ISSN 0039-2383
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
1
2008


СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ
Издается с 1 января 1959 г.
Выходит один раз в два месяца
Учредитель: ФГУП «НИЦ «Строительство»
МОСКВА. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко
1
(216) 2008
РЕДАКЦИОННАЯ
КОЛЛЕГИЯ
Главный редактор НАЗАРОВ Ю. П.
Аббасов П. А. Айзенберг Я. М. Александров А. В. Андреев В. И. Бондаренко В. М. Городецкий А. С. Егорычев О. О. Еремеев П. Г. Игнатьев В. А.
Ильичев В. А. Карпенко Н. И. Колчунов В. И. Косицын С. Б. Курбацкий Е. Н. Мондрус В. Л. Немчинов Ю. И. Обозов В. И. Одесский П. Д. Петрухин В. П. Пятикрестовский К. П. (отв. секретарь) Райзер В. Д. Расторгуев Б. С. Семченков А. С. Травуш В. И.
Цейтлин А. И.
Чирков В. П. Шапошников Н. Н. Шугаев В. В.
Редактор выпуска Пятикрестовский К. П.
Корректор Козлова М. В.
Компьютерная верстка Севастьянова М. Г.
Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия.
Свидетельство о регистрации средства массовой информации ПИ №ФС77-19167 от 27 декабря 2004 г.
Адрес редакции:
109428, г. Москва, ул. 2-я Институтская, д. 6, стр. 1 Тел.: 170-10-81 E-mail: strovmex@list.ru www.sm-i-rs.ru
Подписано в печать 24.01.2008. Формат 70x108 1/16. Бумага офсетная. Офсетная печать.
Заказ № 534-1-08
Отпечатано в типографии ООО «Градация П» 109432, Москва, Нагатинская пойма, Проектируемый проезд, 4062, д. 6, стр. 1 Тел.: (095) 677-66-98
Перепечатка материалов журнала «Строительная механика и расчет сооружений» допускается только с письменного разрешения редакции. При цитировании ссылка обязательна.
Представленные заказчиками готовые формы рекламных материалов не подвергаются редакторской правке и печатаются в оригинале.
© ФГУП «НИЦ «Строительство», «Строительная механика и расчет сооружений», 2008 г.


МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Светлой памяти ГА. Гениева посвящается
УДК 624.044.2;539.371
Г.Т. ТАРАБРИН, д-р техн. наук, проф.
Волгоградский государственный технический университет
К ВОПРОСУ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН ВНУТРИ ПОТОКА БАРОТРОПНОЙ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ
В своем научном завещании [1] Г.А. Гениев сформулировал четыре задачи. Вторая задача касается вязкой среды, в которой динамический коэффициент ньютоновской вязкости не является константой, а явным образом зависит от значения первого инварианта тензора напряжения. В его работах [2, 3] было показано, что учет этого явления, называемого баровязкостью, присущего в той или иной степени всякой вязкой среде, существенно влияет на результат решения не только в количественном, но и в качественном отношении по сравнению с решением, получаемым на основе уравнений Навье—Стокса. В своих исследованиях Г.А. Гениев исходил из условия постоянства плотности среды (плотность не зависит от давления). В такой среде скорость распространения волн возмущений давления и сдвигов является бесконечной, а процессы течения описываются уравнениями параболического типа задач математической физики.
В настоящей статье в развитие проблемы, сформулированной Г.А. Гениевым, исследуется вопрос о возможности корректной постановки и решении задачи распространения волн возмущений в баротропной среде (плотность явно зависит от давления), вязкие свойства которой описываются обобщенным законом Ньютона. Такие задачи актуальны для динамических процессов, краевые условия которых представляют собой изменения давления и сдвигов с такой скоростью, когда возникают концентрации возмущений, пренебрежение которыми приводит к существенным и количественным и качественным искажениям реально наблюдаемых явлений. Например, таких, как возникновение волн слабых и сильных разрывов и процессы их распространения. Ясно, что всестороннее решение этой задачи требует одновременного учета и барот- ропности и баровязкости. Однако, чтобы вычленить проблему баротропности, баровязкость из рассмотрения исключается — коэффициенты вязкости принимаются константами.
1. Постановка задачи
Рассматривается трехмерный поток вязкой баротропной среды, отнесенный к эйлеровым координатам х' (/ = 1,2,3) с контра- и ковариантными метрическими тензорами g#, gy. Исследуется существование волн слабых разрывов в потоке при столь малых возмущениях давления, когда коэффициенты вязкости р., £ остаются постоянными.
Приняты обозначения: t — текущее время, р — плотность среды, р — давление в потоке среды, v',v, — контра- и ковариантные векторы скорости потока, а;у,а'у — контравариантный и смешанный тензоры напряжения, a = y]dp/dp — скорость звука в среде, О — скорость волны слабых разрывов, 5, — единичный тензор, п\ л,. — контра- и ковариантные орты нормали и 0',0, — контра- и ковариантные орты касательной к поверхности разрывов.
По дважды повторяющемуся индексу, один раз сверху и один раз снизу, будем подразумевать суммирование от 1 до 3.
Контра- и ковариантные величины связаны равенствами
v'=gUVj, V, = gyVJ, C,J =Clagaj, O'j =giao“, n'=giJnp n,=gvnJ, &=g%,
Орты нормали и касательной суть единичные векторы и взаимно-перпендикулярны. Поэтому
gnpj = g0rinJ = n,n' = 1, £у0,0у = = 0,0' = 1, gvnfij = glJn‘QJ = л,.0' = 0.
На волне слабых разрывов нормальное а и касательное т напряжения, нормальная V и касательная W, составляющие вектора скорости потока v', определяются формулами
с = а“Ч т = °“ЧА’ V = vana, W = v*Qa.
Касательные напряжения ои (/ * j) предполагаются настолько малыми, что можно принять нормальное напряжение а на поверхности разрывов приближенно равным среднему напряжению о“ /3 и, следовательно, приближенно равным давлению р , т.е. а ~ -р. Принимается, что в среде отсутствуют моментные напряжения. Следовательно, тензор напряжения является симметричным ау =ау'- Орт касательной 0' в текущей точке к поверхности разрывов из бесконеч-
2
CTPIITEJHM МЕШШ I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН1 ISSN 1131-2313
№ 1 2008


МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
ного множества касательных принят того направления, которое совпадает с направлением касательного напряжения т. Из двух возможных направлений орта нормали п1 принимается то направление, которое совпадает с направлением вектора скорости движения волны слабых разрывов. Соответственно этому векторы полных напряжений а'улу, о'у0у по взаимно-перпендикулярным площадкам, одна из которых совпадает с поверхностью разрывов — перпендикулярна п1, а другая перпендикулярна направлению т — перпендикулярна 0', определяются формулами
rfrij = -pri + т0', а'у 0у = -/70' +хп'\ (1.1)
Условимся нижним индексом после звездочки обозначать ковариантные производные по пространственным переменным, а точкой сверху будем обозначать частную производную по времени.
В однородной изотропной среде волны слабых разрывов образуют семейство поверхностей, ортогональных траекториям движения их точек [4]. На волне слабых разрывов скалярной функции ф ее частные производные ф.,,ф могут скачкообразно изменяться. Это является свойством разрешающей системы дифференциальных уравнений. Свойство системы заключается в том, что в области ее решения существуют некоторые нестационарные поверхности, называемые поверхностями слабых разрывов, при переходе через которые значения частных производных ф.,,ф ее решения ф могут скачкообразно изменяться. Ноф.,,ф могут быть и непрерывными. Это зависит от начальных и граничных условий. Таким образом, при наличии волн слабых разрывов разрешающая система уравнений такова, что сохраняет корректность постановки краевой задачи с разрывами значений производных на краях. Если волны разрывов могут распространяться с конечной скоростью во взаимно противоположных направлениях, разрешающая система уравнений называется гиперболической; если скорость волн бесконечная — параболической. Разность значений частных производных с разных сторон волны разрывов называют скачками. Условимся их обозначать Цф., Л, [ф].
Скачки частных производных по пространственным переменным и по времени в данной точке волны слабых разрывов связаны между собой. Эта связь называется кинематическими условиями совместности на волне слабых разрывов (условие Адамара) и выражается равенством
ЭДф.,1] + лДфЛ=0. (1.2)
2. Разрешающая система уравнений
Разложение тензора напряжения на шаровую 5а“ / 3 и девиаторную dlj составляющие имеет вид
<tj=b'pl/3+d‘j.
Будем полагать, что решаемая задача является геометрически линейной. В этом случае смешанный тензор деформации определяется формулой [4]
е;=тК+<*%).
где и' — вектор смещения среды, связанный со скоростью потока среды равенством й' = v'.
Обобщенный закон Ньютона в вязкотекущей среде определяет девиатор напряжения как линейную функцию дивергенции скорости потока v“a и скорости деформации ёу равенством
</;=-(2р/3-еК5' + 2рё'.
Толкование физического смысла этой гипотезы можно найти, например, в [5].
В рассматриваемой среде принято, что а“/3 ~-р. Поэтому o-pb'j+dj. Подставляя сюда d'j и переходя к контравариантному тензору напряжения, получаем
о» =-pg* -(2n/3-C)v.V +й(*х +gJa<)- (2.1)
Уравнение движения при больших смещениях - уравнение Эйлера имеет вид
p(v'+v%) = o?y, (2.2)
Баротропность рассматриваемой среды предполагает наличие соотношения
Р = Р{ Р), (2.3)
которое позволяет записать
№ 1 2008
CTNITEXHAI MEXAIIIA I МС1ЕТ CBBPYIEIll ISSI N31-2313
3


МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
р = pdp/dp, р.' = p.fa/dp.
С учетом этого уравнение неразрывности потока среды p + (pv') =0, если продифференцировать произведение в скобках, принимает вид
р + v'p.f +ря2т.аа =0. (2.4)
Уравнения (2.1) — (2.4) в скалярной форме представляют собой одиннадцать уравнений с одиннадцатью неизвестными &Jy,p,p и образуют разрешающую систему.
Свертки равенства (2.1) с и с л,0у дают формулы соответственно нормального и касательного напряжений на поверхности волны разрывов
о = -р-(2ц/3-<;)у.аа + 2ц/»'К„ т = 2ц«Ж(. (2.5)
Обратим внимание, что здесь а»-/?, и поэтому эти величины взаимно уничтожаются. Однако для удобства дальнейших рассуждений сохраним их в записанном виде.
В результате свертки уравнения (2.2) поочередно с nt и с 0, и последующего использования формул (1.1) получается система двух уравнений, определяющих движение среды на поверхности волны слабых разрывов,
p(V + = + 0'т./, + уЖ,) = р., + л'х.,. (2.6)
3. Скачки на волне слабых разрывов
Примем, что /?, ст, х, v',p — непрерывные функции. Чтобы выявить наличие волн слабых разрывов, примем, что частные производные р,р.п\Л*,УУна волне слабых разрывов могут скачкообразно изменяться. Таким образом, скачки названных функций — тождественные нули, а скачки частных производных не являются нулями. Поэтому уравнениям (2.4), (2.5), (2.6) отвечают уравнения скачков
«W./bO, р(ff] + vW.,]) = -et+ «1 т.,II, (3.1)
(2ц / 3 - ;) I v.°J - 2ц«' ЦК, 1 = 0, (3.2)
[РII + VI/>.,.]] + pa2[v.“a 1 = 0, p(ll + vlK,l) = -n'|[p.J + 0'|x.J. (3.3)
Для каждой из функций p,V,x,W справедливо соотношение (1.2).
Рассматривая уравнения (3.1) совместно с соотношениями
0[т.,Л +яДх]1 = 0, ЭДЖ, Л +лДИЛ = 0, 0[р.,Л + лД/>] = О, получим
[41 = 14 = 11 = 1 = 0. (3.4)
Исключая из первого уравнения (3.3) скачок дивергенции [v.aa Л подстановкой (3.2) и учитывая в правой части второго (3.4), получим два уравнения, рассматривая которые совместно с соотношениями
ЭДК,Л + /2ДП = 0, &[/>.,. 1 + лД Л = 0, приходим к однородной системе двух уравнений:
(&-К)|[/.1-ра2--[К] = 0, 1р1-р(Э-К)|П = 0. (3.5)
ip. JL,
Условием существования нетривиальных решений этой системы является равенство нулю определителя ее основной матрицы. Подчиняя определитель этому условию, получим
$ = V±Xa, Х= Г-Ц--. (3.6)
\2ц-зг;
Эта формула определяет скорость распространения волны слабых разрывов 8 относительно неподвижных координат х'. Слагаемое Ха представляет собой скорость этой же волны по движущимся частицам потока среды.
Обратим внимание, что система (3.5) определяет ЛЛЛЛ как величины линейно зависимые. Физически это означает, что слабые разрывы скорости потока и давления в нем взаимно обусловлены. Этот результат не является априори очевидным.
4
CTPIITEIUAI МШИМ I РАСЧЕТ СИПЛЕН! IKI №1-2313
№ 1 2008


МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
4. Обсуждение результатов
1. Наличие вещественных значений скорости О, определяемой формулой (3.6), при 2р-3£ >0 означает существование волн слабых разрывов V,p при выполнении записанного неравенства.
2. Согласно физическому смыслу скачки ЦК]],[[/>] ортогональны поверхности волны разрывов. Такие волны называются продольными.
3. Формула ф в (3.6) физически противоречива. Покажем это на примере. Пусть коэффициенты вязкости так малы, что можно принять р = 0, £ = 0. И пусть при этом, например, 2р-3£ = 6|1-10"8. Так как р = 0, 0 , то баротропную среду можно считать идеальным газом. Тогда, как известно, скорость волн слабых разрывов по частицам газа равна скорости звука а , т.е. ф = V ±а . Однако по формулам (3.6) получаем ф = К±104я • Противоречие очевидно.
4. В практике решения гидродинамических задач второй вязкостью часто пренебрегают, полагая £ = 0 и сохраняя р > 0. По формуле (3.6) при этом $ = V ± ау/3. Отсутствие у скорости по частицам среды прямой зависимости от р и числовой множитель >/з сомнительны с физической точки зрения.
5. Согласно равенствам (3.4), частные производные касательного напряжения т на любой площадке потока являются непрерывными. Физически это означает, что волны, переносящие информацию об изменении касательных напряжений (их называют поперечными), не существуют.
6. Система уравнений, образуемая уравнениями (2.4), (2.5), (2.6), расщепляется на две связанные друг с другом системы (в (2.5) учтено, что а ~-р)\
Система уравнений (4.1) описывает движение среды по направлению нормали п' к выбранной площадке. Она гиперболического типа. Дифференциальные уравнения ее бихарактеристик по направлению орта п‘ и дифференциальные соотношения на них имеют вид
dl = ±Xadt, dp±p\adV = ±\aQlT.'dt,
Система уравнений (4.2) описывает движение среды по направлению касательной 0' к выбранной площадке. Она параболического типа. Здесь dl /dt = ©о, что означает бесконечно большую скорость волн слабых разрывов функций W,x.
Выводы. Влияние вязкости на скорость продольных волн слабых разрывов, определяемое формулами (3.2), не может быть признано физически непротиворечивым.
Отсутствие поперечных волн слабых разрывов противоречит физическому смыслу.
Расщепление разрешающей системы уравнений на две системы разного типа порождает необходимость ассоциированной постановки задач уравнений гиперболического и параболического типов в рамках одной задачи математической физики. Ее корректное решение не представляется возможным, так как информация об изменениях на краях области функционально связанных друг с другом величин распространяется в одном случае с конечной скоростью, а в другом — мгновенно по всей области.
В совокупности предыдущие выводы приводят к заключению, что разрешающая система уравнений задачи о распространении волн давления и сдвигов в потоке баротропной среды, вязкие свойства которой определяются обобщенным законом Ньютона, не может быть признана адекватной реальным процессам распространения волн в вязких средах.
1. Гениев Г.А. О некоторых актуальных проблемных задачах в области прикладной механики и механики сплошной среды // Стр. механика и расчет сооружений. 2007. № 2. — С. 6—7.
2. Гениев ГА. Об уравнениях движения и некоторых задачах для совмещенной модели сплошной среды с переменной вязкостью // Стр. механика и расчет сооружений. 1983. № 5. — С. 28—32.
3. Гениев Г.А. Пространственная и осесимметричная задача динамики баровязкой среды // Стр. механика и расчет сооружений. 1985. № 2. — С. 44—46.
4. Тарабрин Г.Т. Линейная алгебра и тензорное исчисление с применениями в геометрии и теории упругости. - Волгоград: ВолгГТУ, 1998. — 214 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. — 736 с.
(4.1)
(4.2)
Литература
© Г. Т. Тарабрин, 2008
№ 1 2008
CTHITEIHU MEXAIIIA I МС1ЕТ СНРУ1ЕИ11Й1 №1-2313
5


К ЮБИЛЕЮ
К юбилею лаборатории строительных конструкций и инженерных сооружений ЮурГУ
ЮЖНОУРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ЮурГУ)
Основанный в 1943 году как Челябинский механико-машиностроительный институт, в 1951 году вуз был преобразован в Челябинский политехнический институт, а в 1990 году — в Челябинский государственный технический университет. С 1997 года — Южноуральский государственный университет.
Сегодня вуз входит в первую десятку среди 92 университетов России в рейтинге Министерства образования и науки РФ и в a-лигу российских вузов. Это высшая часть рейтинга среди всех университетов страны.
ЮурГУ — центр образовательной, научной, культурной и спортивной жизни Челябинска и региона.
В вузе обучается около 55 тысяч студентов, работает свыше 5 тысяч сотрудников.
Среди профессорско-преподавательского состава более 320 профессоров и 1300 доцентов. В университете работают 5 академиков и 8 членов-корреспондентов Российской академии наук, 2 академика и 4 члена-корреспон- дента других государственных академий, более 150 академиков различных общественных и иностранных академий, 162 преподавателя вуза имеют почетные государственные звания.
В составе университета 36 факультетов, в том числе факультеты военного обучения, предвузовской подготовки, два специальных факультета по переподготовке и повышению квалификации специалистов с высшим образованием, институт дополнительного образования и институт открытого и дистанционного образования. Университет имеет 13 филиалов в городах России.
Подготовка бакалавров, магистров и специалистов ведется по 186 программам высшего образования. Факультет военного обучения готовит офицеров запаса по семи военно-техническим учетным специальностям. По 80 специальностям открыта аспирантура, по 12 — докторантура.
Два техникума и колледж в составе университета ведут подготовку по 10 программам среднего и 7 — начального профессионального образования.
На факультете предвузовской подготовки действуют учебный центр «Абитуриент» и физико- математическая школа, центр по работе с одаренными детьми. ЮурГУ сотрудничает более чем с 20 школами и 10 техникумами. Университет ведет работу в рамках научно-социальной программы для молодежи и школьников «Шаг в будущее». По инициативе вуза создана Российская ассоциация международной программы «Одиссея разума», в которой Челябинск в течение 15 лет представляет нашу страну, а команда Миасского филиала ЮурГУ является одним из лидеров движения.
В вузе ведется обучение по всем формам — очной, заочной, очно-заочной (вечерней), экстернату, в том числе с применением дистанционных технологий обучения.
Университет ведет активную научную, исследовательскую и проектную деятельность. На базе вуза действуют НИИ цифровых систем, Институт химических проблем промышленной экологии АЕН РФ, Уральский центр автоматизации «ФЕСТО», научно-производственный институт «Учебная техника и технологии», Челябинский научный центр УрО РАН, 10 вузовско-академических лабораторий. В вузе сложилось и действует более 50 научных школ.
В составе университета уникальный центр ракетно-космической техники, где собрана единственная в мире коллекция баллистических ракет морского базирования, двигательных установок, систем управления.
ЮурГУ активно сотрудничает с крупнейшими производственными предприятиями, такими, как Промышленная группа «Метран», являющаяся стратегическим партнером университета в области разработки интеллектуальных средств автоматизации и подготовки кадров.
В 2004 году создан Институт открытого и дистанционного образования (ИОДО) на базе существовавшего с 2001 года Центра дистанционного образования ЮурГУ (ЦЦО). В основу деятельности института легли опыт и разработки ЦДО: документационное обеспечение управления образовательной структу¬
6
CTHITEIMI МЕШШ I РАСЧЕТ С11РУ1Е111ISSI1131-2313
№ 1 2008


К ЮБИЛЕЮ
рой, использующей дистанционные технологии; методологическая база создания ресурсов для дистанционного учебного процесса; система повышения квалификации профессорско-преподавательского состава; научные исследования и т. д.
С 2003 года в университете стали работать зал искусств и выставочный центр ЮурГУ «Наука и технологии Южного Урала». В 1980 году открылся музей истории университета. Научная библиотека ЮурГУ является крупнейшей вузовской библиотекой региона. Общий фонд библиотечного комплекса составляет около 3 млн. единиц хранения. Через Интернет библиотека предоставляет открытый доступ к своему электронному каталогу, коллекции полнотекстовых электронных версий учебно-методических изданий ЮурГУ и авторефератов диссертаций.
С 1956 года в вузе издается газета «Технополис». С 2002 года в вузе начал работать учебный телерадиоцентр, а с 2005 года первая в России студенческая телерадиокомпания «ЮурГУ-TB». В следующем, 2006 году в ЮурГУ появилось собственное Интернет-вещание университетской радиостудии.
Более 50 лет действует Центр творчества и досуга. В 1963 году при вузе был создан студенческий театр «Манекен», в 1996 году ставший муниципальным. Многие коллективы вуза, с которыми работают ведущие хореографы, музыканты и режиссеры Челябинска, профессионально выступают на площадках города и области, являются лауреатами всероссийских и международных конкурсов.
С 2002 года в университете действует физкультурно-спортивный клуб. Спортивный комплекс ЮурГУ включает в себя легкоатлетический манеж, один из крупнейших в России бассейнов, зимний стадион. На берегу озера Большой Сунукуль расположены база отдыха «Наука», спортивно-оздоровительный студенческий лагерь «Олимп», детский оздоровительный лагерь «Березка». Отдых студентов и сотрудников организует туристическая компания «Интерклуб».
В 2006 году на традиционной торжественной церемонии диплом получил 150 000-й выпускник.
Среди выпускников вуза крупные политические, научные и хозяйственные деятели. В их числе: заместитель председателя Правительства РФ В. Б. Христенко; губернатор Челябинской области П. И. Сумин; председатель законодательного собрания Челябинской области В. В. Мякуш; глава Челябинска
М. В. Юревич; главный ученый секретарь Президиума Российской академии наук В. В. Костюк. Многие выпускники стали руководителями крупнейших промышленных предприятий страны: ПГ «Метран», ЧТЗ, УралАЗ, ЧМК-«Мечел», ЧЭМК, ПО «Маяк», Станкомаш, ГРЦ, ЗМЗ и многие других. Ректор ЮурГУ A. J1. Шестаков и Президент ЮурГУ член-корреспондент РАН Г. П. Вят- кин — также выпускники университета. Ежегодно университет оканчивает более 8000 выпускников.
Университет фактически со дня своего основания идет ярко выраженным инновационным курсом. За три года ЮурГУ выиграл двадцать три конкурсных проекта, а в 2007 году — еще шесть. Это говорит о высоком научном авторитете вуза.
В 2006 году создан первый в Челябинской области Технопарк «ЮурГУ-Полет» и уже есть планы по созданию нового, более мощного во всех отношениях технопарка.
В начале марта 2007 года Южноуральский государственный университет стал победителем в конкурсе лучших инновационных программ высших учебных заведений в рамках реализации национального проекта «Образование». ЮурГУ с программой «Энерго- и ресурсосберегающие технологии» вошел в число 40 победителей. Бюджет инновационного проекта университета составил 582,6 миллиона рублей. Сам вуз в эту программу вложил еще 146 миллионов рублей собственных средств.
На одном из самых крупных факультетов — архитектурно-строительном — около 1700 студентов, обучающихся по очной форме на 10 специальностях и направлении «Строительство». На 9 кафедрах учебный процесс ведут 146 преподавателей, среди которых 19 докторов наук, профессоров и 86 кандидатов наук, доцентов, среди них есть заслуженные деятели науки РФ, заслуженные работники высшей школы РФ, почетные строители России, почетные работники высшего профессионального образования РФ.
Факультет оснащен современной компьютерной техникой, на кафедрах имеется 165 персональных компьютеров, созданы компьютерные классы. Лаборатории кафедр имеют современное испытательное оборудование. Студенты активно занимаются научными исследованиями, принимают участие в конкурсах, конференциях и олимпиадах на региональном, всероссийском и международном уровне.
№ 1 2008
CTHITEIUAI МЕШКА I РАСТЕТ С11РУ1Е111ISSI №1-2313
7


К ЮБИЛЕЮ
К 90-летию со дня рождения А.А. Оатула и к 50-летию кафедры строительных конструкций на Южном Урале
Ю.В. МАКСИМОВ, кавд. техн. наук, проф. (ЮурГУ, Челябинск)
ТВОРЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ А.А. ОАТУЛА
Введение. Основателем научной школы строительных конструкций на Южном Урале справедливо считают Александра Александровича Оатула - известного уче- ного-строителя и педагога. Признание его вклада в научное наследие и практическое применение конструкторских разработок изложено в данной статье, написанной в канун 90-летия со дня рождения А.А. Оатула.
В 1957 году на должность заведующего кафедрой строительных конструкций Челябинского политехнического института был избран доцент, канд. техн. наук
A.А. Оатул из Уральского политехнического института (УПИ).
Текст статьи. Александр Александрович Оатул родился 29 января 1918 г. в Кишиневе, где окончил классическую гимназию. Его отец, А.И. Оатул, окончил Дерптский (Юрьевский) университет, имел ученую степень кандидата исторических наук, работал попечителем народного образования в Кишиневе и директором мужской гимназии, преподавал историю. Мать — О.А. Оатул (урожденная Карпи) — окончила частную гимназию, преподавала математику в гимназии, где работал А.И. Оатул.
В 1936 г. А.А. Оатул поступил в Бухарестский политехнический институт, затем учился в Одесском строительном институте (1940— 1941), а окончил с отличием Уральский индустриальный институт в 1944 г. Трудовую деятельность начал в июне 1940 г. техником-строителем при гороно Кишинева. Затем, после эвакуации из Одессы, работал гидротехником Бухарского об- лводхоза в Гиждуване Узбекской ССР (сентябрь 1941 — март 1942). Служил в РККА в трудармии на 3-ем строительном участке в системе ЮУЖД (строймастер в Челябинске, Еманжелинске,
B. Уфалее). С осени 1942 г. работал лаборантом кафедры строительных конструкций. В 1943— 1945 гг. руководил строительством объектов подсобного хозяйства института, с 1944 г. — ассистент, старший преподаватель, доцент.
В 1949 г. А.А. Оатул защитил в УПИ кандидатскую диссертацию на тему: «Расчет арок со сквозным надарочным строением», в которой представил аналитический метод расчета арки с надарочным строением как единой монолитной конструкции рамного типа.
Молодой, энергичный, с деловым задором, А.А. Оатул был воспринят студентами и преподавателями ЧПИ как человек, принесший с собой лучшие традиции высшей школы России. С ним связывали надежды по созданию научной школы строителей в Челябинске, которые оправдались благодаря его большой трудоспособности, организаторскому таланту и профессионализму. Кафедра СК начала формироваться из инженеров первого и второго выпуска инженерно-строительного факультета.
Научный и преподавательский потенциал составили профессор А.А. Абаринов (главный инженер Челябинского завода металлоконструкций); доцент, канд. техн. наук ГМ. Сюндю- ков, выпускник 1951 г. кафедры «Основания и фундаменты» гидротехнического факультета Ленинградского политехнического института; доцент, канд. техн. наук А.Ф. Кузнецов — аспирант школы МИСИ члена-корреспондента АН СССР, Н.С. Стрелецкого.
В 1960 году на кафедре СК была открыта аспирантура. Все молодые преподаватели, которых ветераны называли «мальчиками Оатула», прошли научную и педагогическую подготовку через аспирантуру ЧПИ и других вузов, но это было позднее. Открытие аспирантуры решило вопрос подготовки собственных научно-педагогических кадров.
Главную роль в быстром развитии и становлении инженерно-строительного факультета сыграло решение, принятое в 1957 г. по инициативе декана, канд. техн. наук Ф.Г. Шумилина, о строительстве своего лабораторного корпуса инженерно-строительного факультета. В результате кафедра СК создала хорошую базу, оснащенную современным силовым и измерительным оборудованием, обеспечивающим выполнение исследований на высоком теоретическом и экспериментальном уровне. В строительстве принимали участие преподаватели и студенты.
В 1962 году кафедра «Строительные конструкции» была разделена на кафедры «Железобетонные и каменные конструкции» (ЖБК), которой стал заведовать доцент, канд. техн. наук А.А. Оатул, и «Металлические и деревянные конструкции» (МиДК), которую возглавил про¬
8
OTIITEIHAI МЕХА1Ш I МИЕТ CIINIEIII1И11131-2313
№ 1 2008


К ЮБИЛЕЮ
фессор А.А. Абаринов — крупнейший специалист в области технологии изготовления металлических конструкций.
А.А. Оатул проделал большую работу по организации и воспитанию коллектива кафедры ЖБК. Это был учитель, ученый, коллега, требовательный руководитель.
На постоянно действующем научно-методическом семинаре кафедры ЖБК (рук. А.А. Оатул) излагались базисные вопросы теоретической механики, численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, технологии и теории бетона, железобетона, необходимые для исследования и развития науки о железобетоне в рамках аспирантуры и докторантуры.
Особое внимание обращалось на изучение методов теории вероятностей и математической статистики, освоение метода конечных элементов (МКЭ), который является мощным универсальным аппаратом для решения инженерных задач с помощью ЭВМ. Параллельно члены кафедры осваивали приемы работы на ЭВМ различных типов в ВЦ института, а также в порядке стажировки в вузах Москвы, Ленинграда (С.-Петербурга), Киева и др. Большой вклад в компьютеризацию учебного процесса и научных исследований внесли на первом этапе Ю.Ф. Кутин, А.А. Карякин, В.Г. Колбасин, В.В. Па- сешник, начальник ЭВМ В.Б. Самусев - выпускник приборостроительного факультета.
С начала формирования научных работ на кафедре ЖБК был взят курс на применение во всех расчетах нелинейных зависимостей между деформациями и напряжениями арматуры и бетона с учетом международных рекомендаций.
А.А. Оатул обладал хорошей математической подготовкой, знаниями сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, строительной механики. Он изучал зарубежную научную литературу, владел молдавским, румынским, французским, английским и немецким языками. Хорошую подготовку получил в гимназии и всегда вспоминал с благодарностью своих родителей. Он постоянно пополнял и углублял свои знания и к этому принуждал молодежь.
А.А. Оатул подготовил 28 кандидатов технических наук, из них 8 стали заведующими кафедрами и ведущими специалистами. Среди них В.Г. Матвеев — МГТУ им. Носова, В.И. Ми- ловидов - Златоустовский филиал ЮурГУ, И.И. Пантелькин - Липецкий ГТУ. Кстати, в УПИ
А.А. Оатул преподавал сопромат в группе, где учился будущий президент России Б.Н. Ельцин. У него учились на кафедре ЖБК ЧПИ аспиранты-целевики из Бреста, Липецка, Львова, Магнитогорска.
Из своих учеников и последователей А.А. Оатул создал дружный и квалифицированный коллектив преподавателей и научных сотрудников кафедры ЖБК, способный решать на современном уровне учебно-методические и научные проблемы в области теории и практики железобетона.
Под его руководством была создана крупная вузовская научно-исследовательская лаборатория строительных конструкций с несколькими отделами, которая работала при координации и консультации лабораторий НИИЖБ Госстроя СССР (директор К.В. Михайлов).
Отдел подземных сооружений выполнял работы по расчету, проектированию и внедрению в производство новых сборно-монолитных железобетонных конструкций подземных сооружений металлургических предприятий. В отделе работали: В.Г. Колбасин, Г.Н. Запрутин,
С.А. Сонин и др. На развитие этого направления существенное влияние оказал главный инженер треста «Челябметаллургстрой» Абрам Са- мойлович Черный, который ставил задачи перед кафедрой и оказывал финансовую и материальную помощь при выполнении исследований и натурных испытаний железобетонных конструкций.
Отдел динамики железобетона занимался исследованиями, реконструированием и обеспечением надежности железобетонных фундаментов под турбоагрегаты мощностью от 100 до 1200 МВт. Здесь трудились: А.П. Новоселов,
В.В. Кузьмин, Н.В. Троицкий и др. Они принимали участие в проектировании и эксплуатационных испытаниях фундаментов под турбоагрегаты Запорожской, Костромской, Пермской, Троицкой ГРЭС; челябинских ТЭЦ. В процессе эксплуатации проводили испытания для регулирования вибрационного и теплового воздействия на систему фундаментов и турбоагрегатов на Ангренской, Аргаяшской ГРЭС, Белоярской АЭС, Ириклинской, Рефтинской, Сургутской, Южноуральской и других ГРЭС. Доцент, канд. техн. наук А.П. Новоселов консультировал специалистов Ирака по выбору оптимального режима эксплуатации фундаментов и агрегатов электростанции.
Отдел канатной арматуры разрабатывал и испытывал новые виды арматурных канатов для балок и ферм промышленных зданий, плит покрытий большепролетных оболочек, покрытий и дымовых труб высотой до 450 м.
Это был большой работоспособный коллектив, в котором объединились: Ю.В. Максимов, Б.В. Соловьев, В.И. Миловидов, В.В. Па- сешник, А.А. Карякин, Б.А. Евсеев, В.А. Марков, Б.Ф. Бессонов, И.О. Золотарев и др.
В 1963 г. Ю.В. Максимов под руководством
№ 1 2008
CTMITEIHU MEXAIIIA I РАСЧЕТ CIWIEIll l»l N31-2313
9


К ЮБИЛЕЮ
Рис. 1. А.А. Оатул (слева) и А.А. Гвоздев. Июнь 1965 г., ЧПИ на Совещании ученых СССР
А.А. Оатула определил научное направление «Разработка, исследование и применение арматурных канатов в качестве напрягаемой арматуры в крупноразмерных предварительно напряженных железобетонных конструкциях». С помощью канатной арматуры осуществлено армирование и предварительное обжатие уникальных большепролетных железобетонных оболочек покрытия с размерами в плане до 103x103 м торговых зданий в Челябинске (торговый центр) и Минске (центральный рынок).
Рациональное использование высокопрочной арматуры в предварительно напряженных железобетонных конструкциях невозможно без высокопрочных бетонов. Для развития нового направления был введен отдел предварительно напряженных конструкций с применением высокопрочных и эффективных облегченных бетонов, который проектировал, изготавливал, испытывал и разрабатывал рекомендации к применению конструкций сегментных стропильных ферм пролетом 24 м из бетона М600 (В40), а также дисперсно-армированных (фибробетонных) плит аэродромных и дорожных покрытий, напорных железобетонных труб. Отдел объединил знания и творчество Б.В. Соловьева, Б.А. Евсеева, А.Г. Зивы, С.И. Демакова и др.
Отдел новых конструкций был создан для разработки оригинальных конструкций одноэтажных промышленных и многоэтажных гражданских зданий. В отделе работали Ю.А. Иващенко, Ю.Ф. Кутин, И.Р. Габбасов, А.Д. Лобанов, М.К. Палкин и др.
В июне 1965 года в ЧПИ по инициативе А.А. Оатула (рис. 1) было проведено большое Совещание ученых СССР по проблеме сцепления арматуры с бетоном под председательством профессора, доктора техн. наук, директора НИ- ИЖБ Константина Васильевича Михайлова.
Преподаватели и сотрудники кафедры ЖБК, наряду с исследованиями по целевым программам, выполняли работы по обследованию зданий и сооружений, разрабатывали рекомендации по усилению конструкций и их вос¬
Рис. 2. Участники конференции ЧПИ, 1978 г., во 2-м ряду справа налево: А.А. Карякин, А.А. Оатул
становлению. Характерной особенностью деятельности кафедры под руководством А.А. Оатула была тесная связь науки со строительным проектированием и производством. Основным научным достижением А.А. Оатула в развитии теории железобетона является выдвижение, обоснование и разработка исходных принципиально важных положений теории сцепления арматуры с бетоном. Научное направление было определено выдающимся ученым с мировым признанием Алексеем Алексеевичем Гвоздевым, заведующим лабораторией теории железобетона НИИЖБ, доктором техн. наук, профессором (рис. 1).
В 1970 г. А.А. Оатул защитил докторскую диссертацию на тему «Теоретические и экспериментальные исследования сцепления с бетоном стержневой и канатной арматуры». В 1972 г. он был утвержден в звании профессора.
После защиты докторской диссертации А.А. Оатул активно занимался лекционной, методической работой и международной научной деятельностью, переводчики ему были не нужны. Оатул был прекрасный лектор. Очень много уделял внимания подготовке к лекциям, выводу формул, рисункам, выпустил цикл пособий по курсу «Железобетонные конструкции». Студенты с большим удовольствием слушали его лекции.
С 1971 г. по инициативе и под руководством А.А. Оатула на кафедре ЖБК получило развитие новое направление исследований, основанное на численных методах моделирования объектов строительства, в частности разработка основ расчета железобетонных конструкций методом конечных элементов (МКЭ) с учетом действительных свойств железобетона (прочности и пластичности, трещинообразова- ния, законов сцепления арматуры с бетоном). В 1976 г. он был награжден орденом Трудового Красного Знамени.
В сентябре 1978 г. в Челябинске при непосредственном участии и организации кафедры ЖБК ЧПИ состоялась Всесоюзная научно-тех¬
10
CTPIITEIHAI МЕШШ I РАСЧЕТ СИРУ1ЕН1ISSH1131-2313
№ 1 2008


К ЮБИЛЕЮ
Рис. 3. Участники научно-технической конференции ЮурГУ. 2005 г.
ническая конференция по проблемам применения численных методов в расчетах и исследованиях железобетонных конструкций (рис. 2).
Все это во многом предопределило возникновение и успешное развитие на кафедре СКиИС самостоятельных дисциплин — «Основы МКЭ», «Численные методы», «Основы САПР», «Автоматизированное проектирование», позволяющих вести подготовку специал и- стов-строителей на уровне современных требований науки и производства. Кафедра фактически являлась инициатором применения компьютерных технологий проектирования в Челябинске и области. Накопленный опыт позволил в последующем выполнять научные и практические работы по расчету и конструированию различных объектов: реконструкция главного учебного корпуса ЮурГУ, 25-этажного офисного здания и ряда 16-этажных зданий в Челябинске, покрытия конькобежной дорожки «Уральская молния», библиотеки в Оренбурге, стальных и железобетонных труб в Свердловской, Пермской и Челябинской областях и многие другие объекты.
А.А. Оатул принимал участие в работе национальных групп Европейского комитета по бетону, Международной ассоциации по пространственным конструкциям, координационного Совета по бетону и железобетону Госстроя СССР. В 1985 г. он был удостоен звания заслуженного строителя Российской Федерации, а в 1995 г. — избран почетным членом Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН). После продолжительной болезни
А.А. Оатул ушел из жизни 14 августа 1996 г., оставив работоспособный творческий коллектив преподавателей и ученых. Достойно продолжают дело отца дочери: Ольга Александровна Оатул — канд. техн. наук, доцент кафедры ин¬
форматики ЮурГУ и Елена Александровна Мартынова - профессор, доктор педагогических наук, декан Челябинского госуниверситета.
С 1986 по 1997 гг. кафедрой ЖБК заведовал Юлий Алексеевич Ивашенко — один из первых аспирантов А.А. Оатула. Ю.А. Ивашенко в 1989 г. защитил докторскую диссертацию, внеся свой вклад в развитие теории железобетона по изучению процессов деформирования и разрушения при переменных скоростях нагружения, оценки податливости узлов соединения железобетонных элементов и разработки модели расчета статически неопределимых систем для повышения эффективности сборно-монолитных конструкций. Тема его докторской диссертации «Безригельная конструкция одно- и многоэтажных зданий». Юлий Алексеевич утвержден в ученом звании профессора кафедры ЖБК в 1991 г.
В 1993 г. в связи с проводимыми реформами в России был резко сокращен прием студентов в вузы страны, в том числе и в Челябинский технический университет (ранее ЧПИ) на обучение за счет федерального бюджета. Учебная нагрузка сократилась почти в 2 раза. В 1997 г. ученый совет ЧГТУ принял решение объединить кафедры «Железобетонные и каменные конструкции» и «Металлические, деревянные и пластмассовые конструкции» в одну кафедру с наименованием «Строительные конструкции и инженерные сооружения» с перспективой подготовки специалистов по автомобильным дорогам. Наряду с обучением студентов по специальности ПГС, с 1997 г. кафедра СКиИС ведет подготовку по специальности «Автомобильные дороги и аэродромы» и бакалавров по направлению «Строительство». Заведует кафедрой с 1997 г. профессор, канд. техн. наук Ю.В. Максимов.
№ 1 2008
CTPIITEIHAI МЕШКА I РАСТЕТ CIIHIEIIIISSI1131-2313
11


К ЮБИЛЕЮ
Преподаватели и сотрудники участвуют в работах по технической экспертизе проектов, по обследованию, разработке, рекомендации, выводу из аварийного состояния зданий и сооружений по заказу предприятий и организаций, выполняют научные проекты по грантам Миннауки РФ и межвузовским научным программам раздела «Строительство и архитектура».
С 1997 по 2003 гг. кафедра участвовала в большой и трудоемкой работе по обновлению архитектурного облика главного учебного корпуса с превращением семиэтажного здания в уникальное здание с надстройкой четырех этажей с башней и шпилем (восстановление первоначального проектного облика).
В учебном пособии, изданном ЮурГУ к 90-летию А.С. Черного в 2004 г., «Возведение большепролетной преднапряженной сборномонолитной оболочки торгового центра в Челябинске» под ред. Ю.В. Максимова изложены опыт конструирования, организации строительно-монтажных работ и научное сопровождение технологии обжатия контура оболочки с помощью канатной арматуры и раскружа- ливания. Уникальная железобетонная оболочка перекрывает торговый зал площадью более одного гектара без промежуточных опор и эксплуатируется более 30 лет.
А.А. Карякин — автор учебного пособия, которое рекомендовано учебно-методическим объединением строительных вузов России «Расчет конструкций, зданий и сооружений с использованием персональных ЭВМ».
В 2002 г. защитил докторскую диссертацию
В.Ф. Сабуров на тему «Закономерности усталостных повреждений и разработка метода расчетной оценки долговечности подкрановых путей производственных зданий». Ему присвоено в 2005 г. ученое звание профессора по кафедре СКиИС.
Преподаватели В.Ф. Сабуров, А.Ф. Кузнецов, И.В. Сидоров являются соавторами учебника по металлическим конструкциям в трех томах для студентов вузов по строительным специальностям, который трижды издан в издательстве «Высшая школа» в 1997—2005 гг. под редакцией члена-корреспондента РААСН
В.В. Горева.
Сотрудники кафедры СКиИС Р.Г. Губай- дулин и А.К. Тиньгаев участвовали в разработке СП 53-101-98 «Изготовление и контроль качества стальных строительных конструкций», ГОСТа 23118-99 «Конструкции стальные строительные. Общетехнические условия». Профессор, доктор техн. наук Р.Г. Губайдуллин — член научно-технического совета ЦНИИПСК им. Мельникова.
Группа единомышленников под руковод¬
ством профессора, доктора техн. наук, лауреата премии Совета Министров СССР В.М. Асташкина продолжает исследования и внедрение стеклопластиковых изделий для предприятий с сильно агрессивными средами (дымовые трубы, газоходы, емкости и т.п.).
Работа кафедры продолжается в рамках научно-промышленного консорциума «Ресурс». Председателем избран в 2001 г. доктор техн. наук
В.М. Горицкий (ЦНИИПСК им. Н.П. Мельникова), ЮурГУ представляет доктор техн. наук, профессор В.Ф. Сабуров. В 2001 г. в ЮурГУ проведен семинар-совещание «Проблемы эксплуатации и оценка технического состояния строительных промышленных фондов, отработавших установленные сроки», в 2005 г. - научно-практическая конференция «Исследования, расчет, проектирование и безопасная эксплуатация строительных конструкций зданий и сооружений» (рис. 3).
Заключение
Анализируя итоги научной деятельности строительной школы конструкторов на Южном Урале, следует отметить, что в коллективной работе есть дирижеры и солисты, как в большом оркестре. Это первые руководители аспирантурой:
А.А. Оатул — организатор и создатель обстановки научного творчества, экспериментальной базы технической теории сцепления арматуры с бетоном и основ расчета строительных конструкций МКЭ с учетом их действительных свойств.
А.А. Абаринов - основатель школы метал- лостроительства на Южном Урале, ведущий конструктор и технолог в России.
А.Ф. Кузнецов - достойный ученик школы
Н.С. Стрелецкого, первопроходец исследований влияния технологических процессов на экономическую эффективность металлостроительства.
Г.М. Сюндюков — основатель исследования инженерно-геологической обстановки и свайных фундаментов в регионе, разработчик рекомендаций по восстановлению работоспособности оснований и фундаментов зданий и сооружений.
Под их руководством выросла плеяда преподавателей и исследователей, среди них доктора технических наук, профессора: В.М. Асташкин, Р.Г. Губайдулин, Ю.А. Ивашенко, А.Ф. Кузнецов, В.Ф. Сабуров, которые продолжают и развивают научный потенциал школы конст- рукторов-строителей, учат студентов, руководят аспирантурой, активно работают в ученых советах по защите докторских и кандидатских диссертаций в Челябинске, Магнитогорске, Екатеринбурге, Оренбурге.
12
CTHITEIMI МЕШ11А I РАСЧЕТ CIWIEIII1И11131-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
УДК 624.012.41
А.А. КАРЯКИН, канд. техн. наук, проф. (ЮУрГУ, Челябинск)
ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ ЗАКОНА СЦЕПЛЕНИЯ АРМАТУРЫ С БЕТОНОМ
Рассмотрим равновесие элементарного отрезка арматуры длиной dx, выделенного на участке ее активного сцепления с бетоном (участок между смежными трещинами, зона анкеровки или передачи предварительного напряжения и т. д.), — рис. 1.
Введем допущение о том, что направление действия усилий, возникающих от внешних воздействий, совпадает с направлением размещения стержня арматуры. Поперечные усилия, действующие на арматуру, отсутствуют.
Для точки 1 участка арматуры длиной dx (рис. 1) можно записать:
As, 1 = Дв,1 + gl. (1)
Аналогично для точки 2:
As,2 = Дв,2 + g2. (2)
Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получим:
As,2 — As, 1 = (Дв,2 - Дв,1) + (g2 - gl),
или AUs = AUb + Ag, (3)
где AUs = As,2 — As,l - приращение продольной деформации арматуры на участке dx; AUb =
= (Дв,2 — Дв,1) — приращение продольной деформации бетона на участке dx; Ag = (g2 — gl) —
приращение абсолютных взаимных смещений бетона относительно арматуры на участке dx.
Разделив обе части равенства (3) на dx и перейдя к дифференциалам, получим:
</Us (Юъ dg
dx dx dx
или:
es(x) = ев(х) + eg(x). (5)
Таким образом, получили уравнение (5), связывающее относительные деформации бетона, арматуры и их относительные смещения.
Из (4) и (5) следует, что:
*/Us d\]B dg
es(x) = —,ев(х)=—,eg(x) = -. (6)
Уравнение (5) можно определить как уравнение разрывности деформаций арматуры и бетона на уровне условной поверхности контакта между ними.
Физические уравнения
В качестве физических соотношений принимаются следующие:
es(x) = °Sgs ) (7); ев(х)= (8); eg(x)= ■ (9)
Уравнения (7) и (8) очевидны. Вид уравнения (9) принят, исходя из следующих соображений:
1) по форме он соответствует выражениям (7) и (8);
2) совпадают размерности величин, входящих в (7), (8) и (9).
Принятие выражения (9) означает, что условные касательные напряжения сцепления тсц(х) связаны с относительными смещениями £g(x) через параметр Eg, который имеет физический смысл модуля сцепления. Кроме того, учитывая, что £g(x) есть не что иное, как приращение смещения на длине dx (см. выражение (6)), то касательные напряжения сцепления зависят не от абсолютных смещений, а от их абсолютных приращений. А это, в свою очередь, означает, что касательные напряжения сцепления возникают только на тех участках по длине арматуры, где наблюдаются приращения смещений.
Таким образом:
тсц(х) = Eg-eg (х) = Eg . (10)
dx
№ 1 2008
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СНРУ1Е111 IS» №1-2313
13


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
Дм
Два
di
Дм
St
7>
(Т.+ДО.
а
б
1
N
•
2
3
4
L L/3
, L/3
, из
6s As
Рис. 2. Растяжение стального стержня: а — схема испытаний; б — диаграмма растяжения в относитель- Рис. 1. Схема действия усилий и деформации ар- ных координатах; в — диаграмма растяжения в сме-
матуры и бетона
шанных координатах. Цифры — номера сечений
Выражение (10) однозначно определяет зависимость тсц(х) - eg(x) как некоторую единую функцию.
В литературе ([1, 2, 3]) дискутируется вопрос о форме закона сцепления в координатах тсц — g. Заметим, что в этом случае по оси ординат располагается относительная величина (тсц), а по оси абсцисс — абсолютная (g).
В качестве примера рассмотрим диаграммы растяжения свободного стального стержня в различных координатах (рис. 2).
Из рис. 2 видно, что при изменении системы координат меняется вид закона деформирования: в случае б — имеем единый закон, в случае в — дифференцированный, т.е. для каждого сечения стержня характерна своя зависимость as — As.
В связи с вышеизложенным, зависимости тсц — g в виде дифференцированного закона сцепления, полученные в опытах на растяжение бетонных образцов, армированных центральным стержнем [1, 2], являются объяснимыми и отвечающими сути явления.
Подставив (9) в (5), получим:
О, (X) Ст. (X) | (х)
Es Ев Eg
Статические уравнения
Из уравнения равновесия участка арматуры диаметром d и длиной dx (рис. 1) имеем:
Wx) = - J = -ст'(х/ .
dx 4 4
(И)
(12)
В формуле (12) знак минус принят в силу того, что касательные напряжения сцепления всегда обратны по знаку приращениям напряжений в арматуре.
Подставив (12) в выражение (11), получим:
Здесь г| :
<*s(x) + r|as(x) = Л«ав(х).
4
7’ ае :
a d g
Es _ Es
li'a=Te
(13)
(14)
Выражение (13) — дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее в общем случае поведение контактного слоя между бетоном и арматурой. Решая дифференциальное уравнение (13), имеем:
os(x) = е л*[т|<х JenX(x)dx + С,].
Подставив (15) в (13), получим:
Og(x) = цаав(х) - ц2ае~цх JT1JraB(x)dx -i\e~4XCx.
Полученное выражение (16) подставим в (12). После преобразований получим:
Wx) = ~ asW 7
[T|aJe'1JtoB(x)dx - aenxoB(x) + С,],
или тс„(х) = — ое п * Jс'1 'a'jtxHlx + С|.
(15)
(16)
(17)
(18)
14
CTMITEIHAI MEXAIIKA I РАСЧЕТ СНРУ1ЕШ ISSI N31-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
1Ш_
Бетои класса ВЗ
500
А
Ось симметрии
Eg /
Здесь а = —. / S
ЕВ jz |F=0,75 кН
Таким образом, условные касательные напряжения сцепления выражены через напряжения в бетоне ав(х). Формулу (18) можно определить как обобщенный закон сцепления, так как она получена из самых общих Рис* 3. Исходная балка представлений о работе контакта и может
быть использована для решения многих частных задач сцепления. Заметим, что входящие в формулу (18) функции получены математически, а не путем подбора. Постоянная Cj отыскивается из граничных условий при решении каждой частной задачи.
Пример. Для балки, изображенной на рис. 3, построить эпюры условных касательных напряжений сцепления по длине продольной арматуры в предположении упругой работы материалов.
Сначала решим задачу в общем вцде. Запишем уравнение (18) для рассматриваемой балки с
учетом граничных условий, которые для левой части балки (от опоры до сосредоточенной силы)
выглядят следующим образом:
- при х = 0, as(x) = as(0) = 0;
- при X = О, ов(х) = ов(0) = 0.
Тогда постоянная интегрирования С| в уравнении (18) равна нулю (С| = 0). С учетом этого перепишем уравнение (18):
Wx) = - ae~n*JenX(x)dx. (19)
Рассмотрим частный случай, введя допущение об отсутствии смещений между арматурой и бетоном, что позволит при определении напряжений и геометрических характеристик применить традиционную методику приведенного сечения балки.
Для рассматриваемой балки имеем:
. ч M(x)Ys /.ЛЧ
ов(х) = ; ’ , (20)
Jred
где ав(х) — напряжения в бетоне на уровне центра тяжести арматуры; М(х) — момент инерции приведенного сечения; Ys — расстояние от центра тяжести сечения до центра тяжести арматуры.
Из (20) следует:
M’(x)Ys Q(x)Ys
X) =
Подставив (21) в (19), получим:
°®(х) Jred Jred ‘ (21)
Wx) = - —X)-SS - (22)
cu JredU
где Q(x) - значение поперечной силы по длине балки; Ss = a-As-Ys - статический момент приведенной к бетону площади арматуры относительно центра тяжести сечения; U — периметр арматуры (для круглого сечения U = тс-d).
Формула (22) позволяет вычислить условные касательные напряжения по поверхности арматуры на всей ее длине. Из анализа формулы (22) следует:
1) с ростом периметра U арматуры условные касательные напряжения сцепления уменьшаются;
2) при изменении положения продольной арматуры к нейтральной оси условные касательные напряжения уменьшаются и равны нулю при ее расположении на нейтральной оси (формула Журавского на этом уровне дает максимальные касательные напряжения);
3) при равенстве модулей деформации бетона и арматуры a = 1 (т.е., когда имеем сечение из однородного материала) тсц по поверхности выделенного участка не равны нулю. Это означает, что формула Журавского справедлива для выделенного участка сечения небольшой площади с заменой в ней двух параметров — « SOTC » на «Ss» и «Ь» на «U»;
4) если модуль упругости материала выделенного участка принять равным нулю (Es = 0), тогда a = 0, и этот участок превращается в отверстие, на поверхности которого тсц(х) = 0 (см. формулу (22));
№ 1 2008
cthiteihu мшит i миет сними is» иэя-гзм
15


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
0,75 кН>
2,8 Н/см2
тттттт
Та, = -2,8 Н/
0,75 кН
1760,1 Н
Рис. 4. Усилия в элементах балки: а — эпюра Q; б — эпюра тсц; в — схема действия усилий на выделенные участки арматуры
5) формула (22) получена при условии отсутствия смещений арматуры относительно бетона, что говорит о том, что одной из причин возникновения касательных напряжений сцепления является статическая работа балки в сочетании с различными свойствами материалов;
6) из формулы (22) видно, что эпюра касательных напряжений сцепления по поверхности арматуры с точностью до множителя соответствует эпюре поперечных сил в балке, и, следовательно, она выглядит, как показано на рис. 4.
Значение величины тсц можно вычислить по формуле (22).
Для балки, изображенной на рис. 3, имеем:
Мшах = const = 0,75 кН ■ Q(x) = const = 0,75 кН;
Es
Ев
210000 МПа
1,0 м = 0,75 кН • м;
: 6,462;
32500 МПа As = 3,14 см2;
U = Ted = 3,14 • 2,0 = 6,28 см2;
Ared = 147 см2, Sred = 1100 см3, Уц.т. = 7,483 см; Ys = 7,483 - 4,0 = 3,483 см;
Ss = а • As • Ys = 6,462 • 3,483 * 3,14 = 70,67 см2; Jred = 3011,36 см4;
Wx)= ■
0,75 70,67 1000
= - 2,80 Н/см2
3011,36-6,28
Проверка. Правильность вычисления касательных напряжений сцепления можно проверить, рассмотрев равновесие выделенного из балки участка арматуры (рис. 4, в).
Максимальные напряжения в бетоне на уровне центра тяжести растянутой арматуры:
<*в(Х) :
M(x)Ys 0,75-105-3,483
Jred
3011,36
= 86,7465 Н/см2.
Максимальные напряжения в растянутой арматуре:
Js,max
= ав(х) • а = 6,462 • 86,7465 = 560,56 Н/см2.
Суммарное сдвигающее усилие по поверхности арматуры на длине участка 1000 мм:
Тсц = п ■
d • 1 • тсц = - 3,14 • 2,0 • 100 • 2,80 = - 1758,40 Н.
Усилие в арматуре:
Ns = as- As = 560,56 -3,14= 1760,1 Н - Тсц = 1758,40 Н.
Следовательно, равновесие соблюдено.
Вывод. Представленная в статье форма закона сцепления арматуры с бетоном может быть принята за основу для решения ряда частных задач сцепления с учетом действительных свойств бетона, арматуры и контакта между ними.
Литература
1. Оатул А.А. и др. Предложения к построению технической теории сцепления арматуры с бетоном (с учетом длительных процессов). Сб. «Сцепление арматуры с бетоном». — М., 1971. - 201 с.
2. Оатул А.А., Кутин Ю. Ф. Экспериментальное определение дифференциального закона сцепления стержневой арматуры с бетоном. Сб. «Исследования по бетону и железобетону». Челябинск, 1969. — 150 с.
3. Холмянский М. М. О применении закона сцепления при исследовании механического взаимодействия арматуры периодического профиля с бетоном. М., 1971.- 201 с.
©А.А. Карякин, 2008
16
CTNITEIUAI МЕШШ I РАСЧЕТ СМРУ1Е1И1 ISSN 0031-2303
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
УДК 691.32 + 666.982 + 624.012.45.04:539.319
Б.А. РАКИТИН, ассистент кафедры СКиИС (ЮурГУ),
Б.В. СОЛОВЬЕВ, кавд. техн. наук (ЮурГУ)
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ БЕЗНАПОРНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ТРУБ С УЧЕТОМ СВОЙСТВ МАССИВА
Введение. Современное строительство и реконструкция автомобильных дорог требует наличия качественной системы водоотведения для увеличения службы дорог и улучшения условий их эксплуатации. Для решения этой проблемы применяют безнапорные железобетонные трубы.
Сегодня в нашей стране появились современные технологические решения, обеспечивающие производство безнапорных железобетонных труб в широком диапазоне диаметров, построены новые заводы для их изготовления.
Поэтому детальное изучение механических свойств железобетонных труб, технологии их изготовления, действительных условий работы подземных трубопроводов и действующих на них нагрузок, разработка методов расчета на прочность и трещиностойкость являются необходимыми для проектирования надежных и экономичных сооружений.
Безнапорные бетонные трубы впервые начали применяться в 50-х годах XIX века в Одессе и Ростове-на-Дону. Бетонные трубы изготовлялись вручную короткими звеньями в вертикальных формах с тщательным трамбованием смеси.
В последующие годы, с развитием железобетонных конструкций, бетонные трубы стали армировать спиральной арматурой или проволочной сеткой. Таким образом, появились первые железобетонные безнапорные трубы, производство которых стало быстро развиваться. Вскоре были построены специализированные заводы по их производству.
Трубы железобетонные безнапорные предназначены для прокладки подземных трубопроводов, транспортирующих самотеком, не заполняя все сечение трубы, бытовые жидкости и атмосферные сточные воды, а также подземные воды и производственные жидкости не агрессивные к железобетону и уплотняющим резиновым кольцам.
Самыми распространенными являются железобетонные трубы двух типов (рис. 1):
ТС — цилиндрические раструбы со ступенчатой стыковой поверхностью втулочного конца трубы и стыковыми соединениями, уплотняемыми резиновыми кольцами;
ТСП - то же с подошвой.
По несущей способности железобетонные трубы разделяют на 3 группы:
I — при расчетной высоте засыпки грунтом 2 м; II — 4 м; III — 6 м.
Трубы изготавливаются из мелкозернистого бетона класса по прочности на сжатие В30, марок по морозостойкости — не ниже F200 для труб I группы, а для II и III групп — не ниже F100, водонепроницаемости — W4, водопоглощение — не более 6 % по массе.
Нормируемая отпускная прочность бетона должна составлять не менее 70 % в теплый период года и 90 % в холодный период года от класса бетона по прочности на сжатие.
Трубы армируют цилиндрическим каркасом с ненапрягаемыми продольными стержнями и спиральной рабочей арматурой. Спиральная (рабочая) и продольная (распределительная) арматура цилиндрических каркасов сваривается между собой контактной точечной сваркой в каждом пересечении.
Трубы типов ТС и ТСП поставляют потребителю в комплекте с резиновыми уплотняющими кольцами.
dZZZZZZZZZZ
Рис. 1. Конструкция железобетонных безнапорных труб: а — продольное сечение трубы; б — поперечное сечение цилиндрической трубы; в — поперечное сечение трубы с подошвой; г — гибкий раструбный стык; L — длина трубы; DB — внутренний диаметр; t — толщина стенки
№ 1 2008
CTNITEIHAI МЕШШ I РАСЧЕТ CIWIEIllISSIIB39-23I3
17


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
Рис. 2. Универсальная формовочная машина «VARIANT 1500 D»: 1 — приемный бункер бетонной смеси; 2 — вибраторы; 3 — форма; 4 — основная платформа; 5 — поворотный стол подачи бетона; 6 — ленточный транспортер; 7 — транспортер заполнения вращающийся; 8 — несущая рама; 9 — портал формователя втулочной части
В декабре 2005 г. в поселке Федоровка Челябинского городского округа введен в эксплуатацию завод по производству железобетонных труб. Производительность завода — 3 тыс. метров железобетонных труб в месяц. Строительно-монтажные и пусконаладочные работы произведены ООО «ПКО «ЧелСИ».
Безнапорные железобетонные трубы на этом заводе изготавливают по поточно-агрегатной технологии методом вертикального виброформования с немедленной распалубкой изделия из жесткой мелкозернистой бетонной смеси (жесткость — ЖЗ).
Все технологические операции по формованию железобетонных безнапорных труб выполняют на оборудовании фирмы «SCHLOSSER-PFEIFFER» (Германия). В процессе производства железобетонных труб применяют универсальную формовочную машину «VARIANT 1500 D» (рис. 2), состоящую из двух рабочих шахт, установленных ниже уровня пола, оборудованных двумя регулируемыми центральными вибраторами (вибросердечники), соединенными специальными зажимами с керном машины, что дает возможность быстрой замены формы при переходе на новое изделие.
Наружная форма и металлический поддон размещены отдельно от остальных узлов машины. Поддон представляет собой жесткую плиту с кольцевой обечайкой, имитирующей раструбную часть трубы. Поддон служит основанием для всех последующих технологических операций изготовления труб. Для предохранения утечки цементного молока при формовании труб между наружной формой и поддоном устанавливается резиновое кольцо в канавке формы. Наружная форма имеет одну-, две пары диаметрально расположенных проушин для зацепления крестообразной траверсы. Траверса вместе с наружной формой и поддоном обеспечивает транспортировку трубы по технологической цепочке в вертикальном положении. Траверса состоит из крестообразной рамы и четырех стальных тяг, выполненных в виде кованых якорных цепей.
Сглаживание торцевой поверхности втулочной части трубы осуществляется через возвратно-вращательное движение профильного кольца, механизм вращения которого подается при помощи гидропривода. Для поднятия изделия из шахты и снятия формы с изделия применяют мостовой кран Q = Ют, управляемый с пола.
Приготовление бетонной смеси осуществляется в бетоносмесителе планетарного типа V = 1,5/1 м3. Укладка бетонной смеси в форму производится бетоноукладчиком с подвижной транспортной лентой.
Заготовка продольных стержней арматурного каркаса осуществляется на правильно-отрезном станке марки СПР-12. Цилиндрические арматурные каркасы для труб изготавливают на специализированном станке для сварки замкнутых каркасов автоматического действия тип МВК 450 MASCHINENBAU GMBH. Погрузочно-разгрузочные работы в арматурном цехе осуществляются двумя кран-балками Q = 2 т, перемещение и перекантовка готовых труб — автопогрузчиком с круглыми захватами марки Linde Р140 Q = 14 т.
18
CTMITEIHM МЕШШ I МНЕТ CIIPYIEIll № №1-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
q=4,47 кН/м
2600 Ь.
400 _
ж
1800
2600
ZT\
ZT
1
0,36
0,36
1,45
” лот
эМ, кН-м
3Q,xH
А-А
Рис. 3. Нагрузки, действующие на конструкцию в Рис. 4. Схема, принимаемая при расчете кольце- стадии транспортирования вого сечения
Так как в производство была запущена новая технологическая линия, не имеющая аналогов в России, то требуется провести исследования для успешной адаптации продукции предприятия к нашим климатическим условиям.
Цели и задачи исследования
Объектом исследования являются безнапорные железобетонные трубы, изготавливаемые методом вибропрессования, марки ТС 40.25 (диаметр условного прохода 400 мм, полезная длина 2500 мм).
Цель работы — внедрение зарубежной технологии применительно к геологическому и географическому району строительства и установление пределов несущей эксплуатационной способности безнапорных железобетонных труб для прокладки подземных трубопроводов.
В процессе выполнения данной работы был произведен
1 — анализ существующих технологий изготовления и конструктивных решений железобетонных труб для прокладки подземных трубопроводов;
2 — разработана расчетная модель и выполнен расчет железобетонной трубы 0400мм на прочность и трещиностойкость при разных глубинах заложения: 2, 4 и 6 м;
3 — исследовано напряженно-деформированное состояние трубы при различных условиях ее эксплуатации;
4 — осуществлено проектирование конструкций железобетонных труб;
5 — изучена технология монтажа подземных трубопроводов из железобетонных труб и разработана технологическая карта.
Чтобы увеличить точность расчетов и уменьшить вероятность возникновения ошибок, было принято решение выполнить расчет двумя различными способами и сравнить полученные результаты с лабораторными испытаниями труб.
Первый способ — ручной расчет железобетонных безнапорных труб по прочности и трещи- ностойкости в стадии транспортирования, выполненный по методике, изложенной в [2].
Конструкция рассчитывалась как балка на двух опорах (рис. 3). Нагрузки были собраны с учетом динамических коэффициентов.
Определим относительную высоту сжатой зоны бетона %аг по формуле (1):
N + R.A.
RbA +(R„ +1,1RS )ASJa
Так как %c,r = 0,031 < 0,15 , то необходимо проверить выполнение условия (2):
М MRbArm+RAMr)
Sm"' +0,295R,A,,y.
(1)
(2)
где rm = Г] + Г2, г5 — радиус окружности, проходящей через центры тяжести стержней продольной
арматуры (рис. 4).
№ 1 2008
CTHITEIUU MEXAIIIA I РАСЧЕТ CIWIEIll l»l №1-2313
19


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
1,2
3,123 тс/и2
12,817 тс/м*  13,484 тсАм2
л
3,536 тс/ы2
ОЙ
Рис. 5. Сбор нагрузок на конструкцию: а — нагрузки, действующие на конструкцию от вертикального и горизонтального давления грунта; б — вертикальное и горизонтальное давление грунта на конструкцию от временной нагрузки НК-80 (при расчетной высоте засыпки грунтом 4 м)
В результате расчета получили, что коэффициент запаса по прочности в стадии транспортирования равен 9,62.
После этого был произведен расчет по раскрытию трещин в стадии транспортирования. Необходимо было проверить выполнение условия (3):
М<мт. (3)
Определим момент, воспринимаемый нормальным сечением элемента при образовании трещин (4):
Mcn=RrW±NeH. (4)
В результате выполненного расчета были получены следующие результаты.
1. Трещины при действии полной нагрузки не образуются, и расчет по раскрытию трещин не нужен.
2. Запас по трещиностойкости составляет 26 %.
Второй способ - решение задачи по методике, описанной в [4], и реализация ее в программном комплексе Lira 9.2 с использованием расчетной модели с постоянным коэффициентом постели (основание Винклера).
Расчетная схема безнапорной железобетонной трубы разбита на 290 конечных элементов
типа пластина размером 50x100мм (КЭ 41-универсальный прямоугольный элемент оболочки) и
319 узлов. Элементы задаются двумя типами жесткостей [1].
Основание трубы моделируется элементами с заданным коэффициентом отпора фунта [5]: для песка С = 7000 т/м3; для глины С = 25000 т/м3; для скального фунта С = 100000 т/м3.
Проектируемые железобетонные фубы со следующими механическими характеристиками: класс бетона В30, модуль упругости Е = 26 МПа, коэффициент Пуассона 0,2. Бетон будем считать изофопным и упругим.
Нафузки на проектируемый фубопровод приняты по результатам статического расчета, выполненного по методике, изложенной в [4]. Всего в расчетной схеме 5 зафужений (рис. 5).
Зафужение 1 — нафузка от собственного веса КЭ.
Зафужение 2 — нафузка от вертикального давления фунта.
Загружение 3 — нафузка от горизонтального давления фунта.
Зафужение 4 - вертикальное давление фунта от временной нафузки НК-80.
Зафужение 5 — горизонтальное давление фунта от временной нафузки НК-80.
Все материалы данной модели считаем сплошными и постоянными по своим механическим свойствам. Данное предположение дает возможность считать напряжения, деформации и перемещения отдельных точек непрерывными функциями координат. Кроме того, принимаем материалы упругими, поэтому можем решать задачу в рамках линейной теории упругости.
В результате проведенных исследований в профаммном комплексе Lira 9.2 было разработано 9 расчетных схем сегмента трубы диамефом условного прохода 400 мм в зависимости от
20
СТМ1ТЕ1Ш1 MEXAIIIA I РАСЧЕТ CIINIEIIi IS» IISI-23IS
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
расчетной высоты засыпки грунтом: 2, 4 и 6 м и подстилающего основания: песок, глина, скала (рис. 6).
Если сравнить деформации трубы в зависимости от расчетной высоты засыпки фунтом (рис. 7), то получим, что вертикальный диаметр изменяется сильнее горизонтального.
При расчетной высоте засыпки фунтом 6 м деформации железобетонной фубы примерно в 1,2 раза больше, чем при 4 м, и в 1,8 раза больше, чем при 2 м.
Осадка трубы сильно зависит от типа фунта (рис. 8). Так у песка она в 3,5 раза больше, чем у глины, и в 15 раз больше, чем у скального фунта. Следовательно, подстилающий слой сильно влияет на осадку фубопровода.
Напряжения, действующие в консфукции, сильно зависят от высоты расчетного слоя засыпки фунтом (таблица). Они при глубине засыпки фунтом 6 м примерно в 1,3 раза выше, чем при 4 м, и почти в 2 раза выше, чем при двух метрах.
Нормативные сопротивления для мелкозернистого бетона класса ВЗО равны: на сжатие = 2200 тс/м2; на растяжение Rt = 180 тс/м2.
Сравним действующие в консфукции напряжения — на сжатие: 91,2 тс/м2< = 2200 тс/м2. Верно, на растяжение: 10,2 тс/м2< Rt = 180 тс/м2. Верно.
Следовательно, фещины в трубе не образуются.
Результаты подбора арматуры дали следующие результаты:
по X — фактическое армирование — 1,76 см2 > фебуемое — 1,63 см2;
по Y — фактическое армирование — 1,84 см2 > фебуемое — 1,25 см2.
Следовательно, у фубы есть небольшой запас по армированию.
Лабораторные испытания — испытания фуб на прочность, фещиностойкость и водонепроницаемость проводились по методике, описанной в ГОСТ 6482-88 «Трубы железобетонные безнапорные. Технические условия» (рис. 9). Испытываемые образцы фуб успешно прошли эти испытания. При увеличении испытательной нафузки до разрушающей фубы показали, что запас по прочности составляет 30—45 %.
Расчетная высота засыпки грунтом
Показатели
2 метра
4 метра
6 метров
max
min
max
min
max
min
Перемещения по X, мм
-1,14
-1,03
-1,7
-1,53
-2,14
-1,94
Перемещения по Y, мм
-0,0478
0,0474
-0,0732
0,0727
-0,0872
0,0865
Напряжения Nx,
т/м2
-60,9
-8,75
-91,2
-12,1
-116
-21,3
Напряжения Ny,
т/м2
-7,83
2,69
-11,4
4,1
-15,6
5,15
Напряжения Тху, т/м2
-6,79
6,78
-10,2
10,2
-12,8
12,8
Напряжения Мх,
т-м/м
0,185
-0,172
0,262
-0,282 j
0,34
-0,316
Напряжения Му, т-м/м
0,0376
-0,0354
0,0572
-0,0538
0,0689
-0,065
Напряжения Qx,
т/м
-1,86
1,85
-2,81
2,81
-3,41
3,41
Напряжения Qy, т/м
0,215
-0,215
0,326
-0,326
0,401
-0,4
Подстилающий слой - глина
Рис. 6. Пример результата расчета: изополя напряжений по Nx (расчетная высота засыпки фунтом 4 м, подстилающий слой — глина)
№ 1 2008
CTMITEIHAI MEXAIIIA I МНЕТ СНРУ1ЕИ11Й1 N31-2313
21


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
3 0,20
5 0,18
6 0,16 § 0,14 1 0,12 2 o,i
i 0,08
g 0,06 | 0,04 s 0,02
0 2 4 6 8
Высота засыпки, м
Рис. 7. Деформация трубы в зависимости от расчетной высоты засыпки грунтом: 1 — уменьшение вертикального диаметра трубы; 2 — увеличение горизонтального диаметра трубы
s / я" 6
Ъ5
—i—
i У*
1 У
—1
У\
-Г
0 2 4 6 8
Высота засыпки, м
Рис. 8. Осадка трубы в зависимости от типа грунта: 1 — подстилающий слой — песок; 2 — подстилающий слой — глина; 3 — подстилающий слой - скала
N1 717 Ml 16.8 178 10* 10* 170 090 «31 717 МО 1М
Шружтт* I
Имтоон
I
и
Рис. 9. Напряженно-деформированное состояние поперечного сечения трубы при проведении испытания на прочность
На основании проведенного исследования сделаны следующие выводы.
1. Ручной расчет железобетонных безнапорных труб по несущей способности и раскрытию трещин в стадии транспортирования и решение задачи в программном комплексе Lira 9.2 показали почти полное совпадение результатов.
2. Оба расчета подтверждены результатами лабораторных испытаний, проведенных в испытательном центре строительных материалов, изделий и конструкций ГРЦ «КБ имени академика
В.П. Макеева».
3. На основании проделанных исследований было организовано серийное производство безнапорных железобетонных труб на заводе строительных материалов ООО «ПКО «ЧелСИ».
Литература
1. Карякин А.А. Расчет конструкций, зданий и сооружений с использованием персональных ЭВМ. - Челябинск: ЮУрГУ, 2004. — 194 с.
2. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003). ЦНИИПромзданий, НИИЖБ. — М.: ОАО «ЦНИИПромз- даний», 2005. — 214 с.
3. Сенкевич Т.П., Раголъский С.З., Померанец В.Н. Железобетонные трубы. Под ред. С.З. Рагольского. — М.: Стройиздат, 1989. — 272 с.
4. СНиП 2.05.03-84* Мосты и трубы. - М.: Госстрой России, 2000.
5. СП 32-105-2004 Метрополитены.
©Б.А. Ракитин, Б.В. Соловьев, 2008
22
CTPIITEIkMI МЕШШ I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН1ISSI 1139-2313
№ 1 2008


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 624.074.1; 624.042.5
А.В. ЕРМАКОВА, канд. техн. наук
(ЮурГУ, Челябинск)
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНОГО БЕТОННОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА БАЛКИ-СТЕНКИ
Введение. В данной статье рассмотрены примеры вычисления матрицы жесткости дополнительного треугольного бетонного конечного элемента балки-стенки. Эти матрицы используются при расчете плосконапряженных железобетонных конструкций методом дополнительных конечных элементов (МДКЭ), представляющим собой вариант метода конечных элементов (МКЭ), предназначенный для расчета конструкций по предельным состояниям [1].
Дополнительный конечный элемент (ДКЭ). Каждый конечный элемент (КЭ), входящий в расчетную схему, рассматривается как отдельная маленькая конструкция простой формы, имеющая предельное состояние, определенное заданными условиями нагружения.
Для постепенного превращения исходных основных КЭ с линейными свойствами в такие же элементы, но с нелинейными свойствами, соответствующими достигнутой стадии их предельных состояний, предлагается использовать дополнительные конечные элементы (ДКЭ). Геометрически ДКЭ повторяет основной КЭ, но его жесткостные свойства меняются в процессе расчета.
Схема его действия такова: КЭ с нелинейными свойствами в предельном состоянии = КЭ с линейными свойствами + дополнительный КЭ для учета нелинейных свойств в предельном состоянии.
Матрица жесткости треугольного конечного элемента балки-стенки с линейными свойствами.
Треугольный КЭ балки-стенки с линейными свойствами (таблица, рисунок) предназначен для расчета тонких плосконапряженных систем, лежащих в плоскости ADУ. Каждый из трех узлов /, у, к КЭ имеет две степени свободы, т.е. два возможных линейных перемещения w и и соответственно вдоль осей Хи Y.
В результате расчета вычисляются величины перемещений узлов КЭ, с помощью которых определяются нормальные и касательные напряжения в его центре тяжести.
Основной характеристикой этого элемента, как и любого другого элемента, выступает его матрица жесткости. Эта матрица устанавливает связь между узловыми силами и соответствующими узловыми перемещениями:
R=KV, (1)
где R — вектор узловых реакций КЭ; V— вектор перемещений узлов КЭ; К — матрица жесткости данного КЭ, определяемая по известной формуле [2, 3]:
K = tS{A~x)TBTDBA~\ (2)
где t - толщина КЭ; S - площадь КЭ; Л~1 - матрица, обратная матрице координат узлов А\ (А~х)т — транспонированная матрица А~х\ В — матрица, связывающая узловые перемещения и деформации КЭ; Вт — транспонированная матрица В, D — матрица упругости.
В развернутой форме матрица жесткости представлена в п. 1 таблицы.
Матрица жесткости треугольного конечного элемента балки-стенки с нелинейными свойствами. Для КЭ с нелинейными свойствами, проявляемыми по мере достижения его предельного состояния, справедлива следующая зависимость:
КпопУ = Konl 1 (3)
где Rnoni — вектор узловых реакций с учетом нелинейных свойств; V— вектор перемещений узлов КЭ с нелинейными свойствами; Кпоп[ — матрица жесткости КЭ с нелинейными свойствами на данном этапе расчета.
Для треугольного КЭ балки-стенки с нелинейными свойствами эта матрица жесткости Кпоп1 имеет структуру, аналогичную той, что и для КЭ с линейными свойствами (3). В то же время жесткостные характеристики будут другие, соответствующие данному этапу нелинейного расчета.
Так, если использовать алгоритм учета пластических свойств бетона, разработанный в [3], то модуль упругости Е должен вычисляться по следующей формуле:
Е = ЕЬ{ 1-ю), (4)
№ 1 2008
CTPIITEUIM МЕШНД I РАСЧЕТ CIIPKIEIII IS» 0139-2313
23


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
где Еь — начальный модуль упругости бетона; со — функция пластичности, которая определяет степень проявления пластических свойств бетона на рассматриваемом уровне его загружения.
Матрица жесткости дополнительного конечного элемента (КЭ) с нелинейными свойствами. При использовании для нелинейного расчета метода дополнительных конечных элементов (МДКЭ) матрицу жесткости КЭ с нелинейными свойствами Кпоп1 нужно представить в следующем виде:
Кп0п1 = К + &Кп onb (5)
где К — матрица жесткости КЭ с линейными свойствами, представляющая собой постоянную составляющую матрицы жесткости Кпоп{\ АКпоп1 — матрица жесткости дополнительного КЭ, представляющая собой переменную составляющую матрицы жесткости КЭ Кпоп!.
Эта матрица АКпоп! меняется в пределах 0 < АКпоп1 < (-К) и определяется по формуле:
ЬКП0П1 = Кпоп1 -К. (6)
При линейном расчете и в начале нелинейного эта матрица АКпоп1 = 0, так как свойства линейного и нелинейного КЭ совпадают (Knoni = К).
Если после достижения предельного состояния основной КЭ полностью исключается из работы и Кпоп1 = 0, то
А Кпоп1 = -К. (7)
Во время нелинейного расчета матрица АКпоп!Ф 0 и принимает численное значение в зависимости от степени проявления нелинейных свойств. Например, если Кпоп1 = 0,5АГ, то АКпоп[ = — 0,5АГ.
Пример определения матрицы жесткости дополнительного треугольного бетонного конечного элемента балки-стенки. Как уже говорилось ранее, основной характеристикой, определяемой свойства дополнительного конечного элемента, как и основного элемента, является его матрица жесткости. Эта матрица жесткости должна определяться в зависимости от стадии работы ос¬
новного КЭ.
Треугольный бетонный КЭ балки-стенки имеет два вида предельных состояний по прочности: на сжатие и растяжение [4].
При работе на сжатие треугольный бетонный КЭ балки-стенки проходит две стадии: пластическая работа и полное исключение из нее.
При работе на растяжение этот же элемент проходит четыре стадии: пластическая работа, частичная разгрузка из-за образования трещины, работа с трещиной и полное исключение из работы.
Для описания каждой стадии работы КЭ по каждому из характерных для него предельных состояний необходимо знать характер изменения матрицы жесткости. Соответственно этим стадиям должна определяться и матрица жесткости дополнительного КЭ.
В таблице даны примеры ее вычисления для конечного элемента, имеющего форму прямоугольного равностороннего треугольника.
Здесь рассмотрены следующие варианты работы основного КЭ:
1) линейная;
2) пластическая;
3) работа с трещиной с предварительным линейным поведением бетона;
4) работа с трещиной с предварительным пластическим поведением бетона;
5) полное исключение из работы.
На рисунке в таблице дан треугольный КЭ бетона, расположенный в системе координат XOY. Каждый из трех его узлов /, у, к имеет два возможных перемещения: w — горизонтальное перемещение вдоль оси X, и — вертикальное перемещение вдоль оси Y. КЭ имеет следующие характеристики: модуль упругости бетона Еь = 300000 кг/см2; длина каждого катета а = 5,0 см; толщина t = 1,0 см. Там же дана общая структура его матрицы жесткости.
При линейном расчете его матрица жесткости К определяется по формуле (2). Ее численные значения представлены в п. 2 таблицы. В данном случае нелинейные свойства отсутствуют, и матрицы жесткости КЭ с линейными и нелинейными свойствами совпадают, то есть
К = Кпоп1. (8)
Это означает, что дополнительный КЭ не оказывает никакого влияния на работу основного КЭ и его матрица жесткости равна 0:
24
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СШУ1ЕН1IKI №1-2313
№ 1 2008


1 2 0 0 8 CTNUEhlU MEXAIIIA I РАСЧЕТ CIIPTIEHl l»l 1131-2313
Таблица. Пример вычисления матрицы жесткости дополнительного бетонного конечного элемента балки-стенки в зависимости от стадий его работы
№
Матрица жесткости КЭ с линейными свойствами К и ее структура
Матрица жесткости КЭ с нелинейными свойствами
K-nonl ~ К АК-ПОп!
Матрица жесткости дополнительного КЭ
AK-nonl ~ Knonl ~ К
1. Форма КЭ и структура матрицы жесткости
Модуль упругости бетона Еь = 300000 кг/см2; длина каждого катета а = 5,0 см;
толщина элемента / = 1,0 см.
Kwim
к
Лujui IS
rWJUl
Kukui
is
Pwkui
Kw
К*
uiwj K-umk Kuiwk KWiwi K\viuk Kwt
K-ujuk Kujwk wjuk KWjWk Kukuj Kukwj Kukuk Kukwk
wkuk E.wfcwj(
E-ujuj KujWj
К К К К
fwkwi Pwkuj fwkwj
Здесь, например, элемент Kuiwj означает вертикальную реакцию в узле / от единичного горизонтального смещения узла j ( и>у = 1).
Рис.
1. Линейный расчет (Knoni = К, AKnoni = 0)
218750 93750 -62500 -31250-156250
-62500
218750 93750 -62500 -31250
-156250 -62500
0
0 0
0
0
0
218750 -62500-156250 -31250 -62500
218750 -62500-156250
-31250 -62500
0 0
0
0
0
62500 0 0
62500
62500 0
0
62500
0
0
0
0
156250 31250
0
156250
31250
0
0
0
0
Симметрия 156250
0
Симметрия
156250
0
Симметрия
0
0
62500
62500
0
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


CTHITEIHAI МЕШКА I РАСЧЕТ CIWIEIll 1И1 1139-2313 № 1 2 00 8
Окончание таблицы
1
2
1 з
1
4
3
3. Пластический расчет при со = 0,5 (Kpi =
К+ЛКр1)
218750 93750 -62500 -31250 -
-156250
-62500
109375 46875 -31250 -15625
-78125
-31250
-109375 -46875 31250 15625
78125 31250
218750 -62500-156250
-31250 -62500
109375 -31250 -78125
-15625
-31250
-109375 31250 78125
15625 31250
62500 0
0
62500
31250 0
0
31250
-31250 0
0 -31250
156250
31250
0
78125
15625
0
-78125
-15625 0
Симметрия
156250
0
Симметрия
78125
0
Симметрия
-78125 0
62500
31250
-31250
4
4. Работа с трещиной без учета пластических свойств при а =
30° исо =
-0(КСГС =
К+ЛКСГС)
218750 93750 -62500 -31250 -
-156250
-62500
209930 121200 -76840 -44362 -
-133088
-76838
-8820
27450 -14340
-13112
23162 -14338
218750 -62500-156250
-31250 -62500
69976 -44364 -25614
-76838 -44364
-148774 18136
130636
-45588 18136
62500 0
0
62500
28126 16238
48714
28126
-34374
16238
48714 -34374
156250
31250
0
9376
28126
16238
-146874
-3124 16238
Симметрия
156250
0
Симметрия
84374
48714
Симметрия
-71876 48714
62500
28126
-34374
5
5. Работа с трещиной с учетом пластических свойств при а = 30е
’ и со = 0,5 (Ксгс =
кр1 + лкс
:rc ~ (1 ~ СО) К + ЛКСГС )
109375 46875 -31250 -15625
-78125
-31250
104965 60600 -38420 -22182
-66544
-39419
-4410
13725 -7170
-6556
11581 -7160
109375 -31250 -78125
-15625
-31250
34988 -22182 -12807
-38419
-22182
-74387 9068
65318 -
-22794 9068
31250 0
0
31250
14063 8119
24357
14063
-17187
8119
24357 -17187
78125
15625
0
4688
14063
8119
-73437
-1562 8119
Симметрия
78125
0
Симметрия
42063
24314
Симметрия
-35938 24357
31250
14063
-17187
6
6. Полное исключение из работы (Кцт = 0, ЛКит =-К)
218750 93750 -62500 -31250 -
-156250 -62500
0 0 0 0
0
0
-218750 -93750 62500
31250
156250 62500
218750 -62500-156250
-31250 -62500
0 0 0
0
0
-218750 62500
156250
31250 62500
62500 0
0
62500
0 0
0
0
-62500
0
0 -62500
156250
31250
0
0
0
0
-156250
-31250 0
Симметрия
156250
0
Симметрия
0
0
Симметрия
156250 0
62500
0
-62500
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
АКпоп1=Кпоп1-К=0. (9)
Для того чтобы лучше понять действие ДКЭ при расчете с учетом пластических свойств, обозначим матрицу жесткости основного КЭ Kp!(Knoni = Kpj).
Принимая во внимание выражение (4) и тот факт, что начальный модуль упругости бетона Еь входит в матрицу упругости D{2), эта матрица определяется по формуле:
Кр1 = (1-а>)К. (10)
Если записать эту же матрицу Кр1 в виде, аналогичном (5), то она будет иметь следующий вид:
Kpl = K + AKph (11)
где AKpi - матрица жесткости ДКЭ, учитывающего пластические свойства бетона на заданном этапе нагружения.
Из сравнения выражений (10) и (11) видно, что эту матрицу можно определить по формуле:
АКр1 = —юК. (12)
В общем виде запись (12) выглядит так:
AKpi = Kpi~K. (13)
В таблице (п. 3) дан численный пример ее определения при величине функции пластичности со = 0,5, соответствующей моменту образования трещины в бетоне.
Теперь можно рассмотреть два случая работы КЭ с трещиной: с линейным и пластическим поведением бетона до образования трещины (таблица, п. 4 и 5).
В работе [5] подробно рассмотрена работа КЭ с трещиной, но в данной статье использован ранее разработанный в работах [6, 7] треугольный конечный элемент балки-стенки с условной трещиной. Там же дана и формула для вычисления его матрицы жесткости Ксгс.
При разработке этого элемента были приняты следующие исходные предпосылки:
1) трещины в бетоне образуются при превышении главным растягивающим напряжением предельного сопротивления бетона растяжению;
2) направление развития трещины перпендикулярно направлению этого напряжения;
3) после образования трещины напряжение в направлении, перпендикулярном ее развитию, становится равным нулю;
4) местом появления трещины принят центр тяжести КЭ.
Если считать, что до образования трещины КЭ работал линейно, то после образования трещины его матрицу жесткости Ксгс (Кпоп! = Ксгс) можно записать в форме аналогичной (5) или (11):
КСГС = К + АКСГС, (14)
где АКсгс — матрица жесткости ДКЭ, учитывающего наличие трещины в основном КЭ. Соответственно эта матрица определяется так:
АКСГС = Ксгс — К. (15)
В п. 4 таблицы дан численный пример ее определения при отсутствии пластических свойств (со = 0) и при величине угла между положительным направлением оси X и главным растягивающим напряжением а = 30° в момент образования трещины в бетоне.
Если перейти ко второму случаю работы КЭ с трещиной с пластическим поведением бетона до ее образования, то тогда его матрица жесткости определяется так:
Ксгс=Кр1 + АКсгс. (16)
Эта формула отличается от формулы (14) тем, что вместо матрицы жесткости КЭ с линейными свойствами К использует матрицу жесткости этого же КЭ с пластическими свойствами Кр{. С учетом выражения (11) соотношение (16) принимает вид
Ксгс = К + АКр1 + АКСГС. (17)
Если принять во внимание выражение (10), оно записывается следующим образом:
КСГС={\-<*)К+АКСГС. (18)
Соответственно выражение (15) выглядит так:
АКСгс = Ксгс — Кр1, (19)
или с учетом (17) и (11)
АКСгс ~ Хсгс — К— АКр1, (20)
а, принимая во внимание (18),
№ 1 2008
СТШТЕММ МЕШ1ХА I РАСЧЕТ СМРУ1ЕН1ISSI N30-2313
27


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
АКск=Кск-а-(й)К. (21)
В п. 5 таблицы дан численный пример определения матрицы жесткости ДКЭ, учитывающего наличие трещины, при пластическом поведении бетона (со = 0,5) и при величине угла между положительным направлением оси X и главным растягивающим напряжением а = 30° в момент образования трещины в бетоне.
Рассмотрим последний случай полного исключения КЭ из работы после достижения им предельного состояния (7).
Обозначим его матрицу жесткости КПт (KUm = Кпоп1). В этом случае выражение (5) можно записать так:
Кцт = К + АКцт, (22)
где AK!im - матрица жесткости ДКЭ, обеспечивающего полное исключение основного КЭ из работы.
Исключение из работы означает, что данный КЭ перестает влиять на другие элементы, т.е. его матрица жесткости
КНт = 0. (23)
Тогда матрица ДКЭ равна
А КНт=-К. (24)
В п. 5 таблицы представлен численный пример ее определения при условии полного исключения основного КЭ из работы после достижения им предельного состояния.
Рассмотренные примеры позволяют с помощью соответствующих ДКЭ математически описать поведение треугольного бетонного КЭ балки-стенки на различных стадиях его работы.
Заключение
Использование свойств ДКЭ позволяет реализовать расчет по предельным состояниям железобетонных конструкций, в том числе и работающих в условиях плоского напряженного состояния, как это показано выше. На его основе можно строить эффективные программы, в которых итерационный процесс будет более рациональным, чем в существующих, предназначенных для нелинейного расчета конструкций. Проведенные расчеты железобетонных балок и сравнение полученных результатов с опытными данными доказали эффективность МДКЭ для анализа работы плосконапряженных конструкций по предельным состояниям.
Литература
1. Ермакова А. В. Теоретические основы метода дополнительных конечных элементов для расчета железобетонных конструкций по предельным состояниям. Пространственные конструкции зданий и сооружений (Исследования, расчет, проектирование и применение): Сб. статей. Вып. 10 / МОО «Пространственные конструкции»; под ред. Шугаева В.В. и др. - М., 2006. С. 30—41.
2. Карякин А.А.. Численные методы решения задач строительства на ЭВМ: Тест лекций. — Челябинск: ЧПИ, 1989. - 47 с.
3. Расчет и проектирование элементов железобетонных конструкций на основе применения ЭВМ / Оатул А.А., Карякин А.А., Кутин Ю.Ф. Конспект лекций, 4.4. Под ред. Оатула А.А. - Челябинск: ЧПИ, 1980. — 67 с.
4. Ермакова А.В. Расчет конструкций по предельным состояниям с использованием метода конечных элементов. Пространственные конструкции зданий и сооружений. Сб. статей. Вып. 9. МОО «Пространственные конструкции»; под ред. Шугаева В.В. и др. - М.: ООО «Девятка Принт», 2004. С. 16—25.
5. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. М.: АСВ, 2004. — 248 с.
6. Ермакова А.В. Треугольный конечный элемент балки-стенки с условной трещиной. // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Строительство и архитектура». Вып. 2. № 7(23), 2003. С. 37—40.
7. Карякин А.А., Ермакова А. В. Методика учета процесса трещинообразования при расчете железобетонных конструкций методом конечных элементов. // Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. - Челябинск: ЧПИ, 1985. - С. 131 - 133.
©А.В. Ермакова, 2008
28
СТШТЕШМ МЕШ01А IРАСЧЕТ СООРШОИ 1И1 0130-2313
№ 1 2008


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
УДК 624.139: 624.15
B.C. КАЗАНЦЕВ, канд. техн. наук, доц., Ю.В. МАКСИМОВ, канд. техн. наук, проф.
(кафедра строительных конструкций и инженерных сооружений, ЮурГУ, Челябинск)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИИ ПЫЛЕВАТО-ГЛИНИСТЫХ ЭЛЮВИАЛЬНЫХ, НЕОГЕНОВЫХ И ПАЛЕОГЕНОВЫХ ГРУНТОВ КОНТИНЕНТАЛЬНОГО ГЕНЕЗИСА ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ
Неудовлетворительные прогнозы осадок фундаментов зданий и сооружений требуют совершенствования методики расчета осадок, для этого используются новые теоретические подходы на базе экспериментальных данных свойств фунтов.
В ЮУрГУ были проведены исследования региональных пылевато-глинистых фунтов различного генезиса на сдвиговых и компрессионных приборах «Гидропроекта», приборах трехосного сжатия и полевых испытаний статической нафузкой штампом площадью 5000 см2. Эта работа преследовала цель разработать методику определения поправочных коэффициентов к компрессионному модулю деформации для определения расчетных осадок фунтов при проектировании.
Рассмофим двухмодульную диафамму деформирования фунта природного сложения. Согласно билинейной теории упругопластических деформаций диафамма состоит из двух линейных участков (рис. 1), характеризуемых на первом участке модулем упругости Е0 и коэффициентом Пуассона v0, а на втором — модулем уплотнения Ех и коэффициентом поперечной деформации Vj. Перелом на диафамме деформирования соответствует пределу структурной прочности фунта рс.
Для получения параметров билинейной модели необходимо иметь результаты трехосных испытаний на сжатие. Исследования показали, что эти параметры можно с определенной степенью достоверности вычислить поданным стандартных компрессионных испытаний и на срез.
Модуль уплотнения Fx принимаем равным компрессионному модулю деформации Ек, определенному для диапазона давлений 0,1—0,2 МПа. Для коэффициента поперечной деформации можно воспользоваться общепринятыми рекомендациями для v: 0,30 — пески и супеси; 0,35 - суглинки; 0,42 — глины. Модуль упругости выразим через компрессионный модуль деформации
Е0=теЕк, (1)
где те - коэффициент приведения, выражен отношением модуля упругости к компрессионному модулю деформации, принимается для каждого вида фунта по данным статической обработки результатов фехосного испытания.
Аналогичным образом устанавливаются значения v0 в зависимости от вида фунта. Для элювиальных суглинков можно принять те = 8; v0 = 0,15; для трепеловидных и опоковидных глин те= 6; v0 = 0,10. По результатам испытаний на срез можем назначить предел Сфуктурной прочности фунта рс.
Упругую осадку штампа вычисляем по формуле Шлейхера, пластическую — по схеме послойного суммирования в пределах активной зоны; распределение напряжений на оси штампа принимаем из решения задачи теории упругости для полупространства, а деформации слоев вычисляем для условий компрессии. На нижней фанице активной зоны Нс напряжения равны пределу структур ной прочности при компрессии рс.
Опыт и анализ данных показали, что предел структурной прочности фунта является одной из важнейших характеристик при компрессии. Однако определение этой характеристики по данным стандартных компрессионных испытаний связано со значительными трудностями. В компрессионном приборе не соблюдаются условия нагружения в массиве.
Как показал анализ, Сфуктурная прочность при сдвиге проявляется более отчетливо, чем при компрессии. Это можно объяснить тем, что срез происходит по среднему сечению образца, который менее нарушен при подготовке к испытанию.
Рис. 1. Билинейная модель диафаммы де формирования фунта
№ 1 2008
CTPIITEIfaMI MEXAIIIAI РАНЕТ СИРУ1ЕШ ISSI №1-2313 29


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
Рассмотрим нагружение грунта при компрессии в плоскости инвариантов /?, q (рис. 2):
Р = ~
а, + а
I. g = ?rq3
(2)
2 2 ’
где Oj и о3 — наибольшие и наименьшие главные напряжения:
а, =/? + ?; о3= p-q. (3)
Графическая интерпретация формулы показана на рис. 2.
На оси р откладываем величины главных напряжений и о3, затем проводим две взаимно пересекающиеся линии под углом ±45° к оси р. На пересечении линий получаем точку Мс координатами р и q.
Рассмотрим в системе координат р и q природное напряженное состояние. Бытовое давление на глубине z от подошвы фундамента, имеющего заглубление Л, равно наибольшему главному напряжению от действия собственного веса фунта:
а = а,=р(г + /0, (4)
где р — плотность фунта, h — глубина заложения фундамента.
При многослойном основании ведется суммирование бытового давления по слоям.
Наименьшее главное напряжение от собственного веса
о3 = KqG = KQp(z +h). (5)
К0 - коэффициент бокового давления фунта в покое вычисляем по формуле
К0 =1,2(1 -sin ф). (6)
По формулам (2) и (6) определяем значения инвариантов, характеризующих природное напряженное состояние:
1+ К0 1 -
■ °Р(г + й); д= —
Кг,
p(z + h).
(7)
гя 2 ’ ч 2
Для слоя однородного фунта р =const напряженное состояние отображается на плоскости /?, q точками, лежащими на прямой линия К0 с угловым коэффициентом:
Ъ.
Ря
.1-*о
1 + п
Траектория компрессии в массиве начинается из точек, лежащих на прямой линии К0. В процессе нагружения состояние фунта характеризуется линией структурной прочности при сдвиге (прямая С на рис. 2) и линией предельного напряженного состояния (прямая J). Эти линии исходят из одной фокусной точки на оси q, имеющей ординату C/sincp.
Наклон линии предельного напряжения /зависит от угла внуфеннего фения xgcp. Положение линии/определяют по точкам, соответствующим разрушению образца, направление линии С высфаивают по точкам, соответствующим пределу диафаммы сдвига 5(т), где 5 — смещение обойм.
Наклон линии структурной прочности определяет угол срс равный
Рс = Klр.
(8)
Таким образом, парамеф (рс может быть определен по результатам испытаний фунтов на консолидированный срез в зависимости от угла внутреннего ср. Для элювиальных суглинков можно рекомендовать <рс = 0,61(р; для трипеловаидных и опоковидных глин срс = 0,8ср.
Результаты испытания на срез представлены в системе координат напряжений т„, ап, действующих в площадке среза (рис. 3 а, б).
Вернемся к рассмофению фаекто- рии компрессии в осях /?, q (рис. 2). Направление упругого участка траектории
Рис. 2. Траектория компрессии: /- линия предельного напряженного состояния; С — линия сфуктурной прочности при сдвиге
30
CTPIITEIHAI МОШИИ I РАСЧЕТ СНРУ1ЕИ1 ISSN №1-2313
№ 1 2008


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
нагружения в условиях компрессии, лежащего между А-линией и С-линией, определяется коэффициентом бокового давления от фунта зависящим от коэффициента Пуассона v0:
4 =v0/(l-v0). (9)
Для элювиальных фунтов при v0 = 0,15 коэффициент бокового давления = 0,13.
Приращения главных напряжений от действия дополнительного давления в условиях упругой компрессии определяются по формулам:
До, =Даэ,;Да3=40Д о,. (10)
С учетом соотношений (9) и (10) уравнение фаектории нафужения в упругой стадии запишем так:
ff = (l-ATe) + (l-2v0)[p-(l + Are)]. (11)
Предел сфуктурной прочности при компрессии определяется выходом фаектории нафужения на поверхность сфуктурной прочности, уравнение которой в осях ри q имеет вид:
qc =Ccoscp + /?sincp. (12)
Решив уравнения (11) и (12) совместно, найдем предел сфуктурной прочности в дополнительных напряжениях:
Дpc=e,C+e2ow; (13)
2(l-v0)coscp;
l-2v0 + sincpc
a _(l-v0)[A0(l+8in9c)-l+sinyJ (15)
2 1 - 2v0 + sin (pc
Упругопластическая деформация фунтового основания, обладающего структурной прочностью (осадка штампа 5j), состоит из упругой Se и пластической Sp:
S = Se+Sp. (16)
Упругую составляющую осадки определяем из решения задачи теории упругости для полупространства
к|2ч
v =COM-V-0_>, (17)
Еа
где Ро — среднее дополнительное давление по подошве; со - коэффициент зависит от конфигурации площади фундамента, для круглого штампа со = 0,785.
Пластическая составляющая осадки Sp определяется сжатием фунта в пределах активной зоны.
Вертикальное напряжение по оси фундамента из решения задачи теории упругости определяем
°„ = />0[1-(-г=)3]> (18)
VI + т2
где т = z/Rm (Rm — радиус штампа; z — глубина от подошвы фундамента).
На нижней фанице активной зоны вертикальные напряжения равны сфуктурной прочности:
v„P=EpCH, (19)
Арен — предел Сфуктурной прочности в дополнительных напряжениях на глубине активной зоны Нс.
Предел сфуктурной прочности в однородном отложении возрастает с увеличением вели¬
чины, так как зависит от бытового давления Р6. Необходимо учесть, что в соответствии с критерием разрушения Хворостылева удельное сцепление является функцией уплотняющего давления. Анализ экспериментальных результатов в зоне гипергенеза, то есть до глубины 4—6 м, сцепление примерно постоянно. Ниже этой глубины фунты переходят в зону диагенеза, и формирование их свойств происходит под влиянием уплотняющего давления. Поэтому можно принять следующую зависимость удельного сцепления от бытового давления:
С = С0+асо„. (20)
№ 1 2008
CTPIITEIUM MEXAIIIA I РАСТЕТ CIIPVIEIII IS» N31-2313
31


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
а
0 0.1 0.2 0.3 0.4 On, МПа
Рис. 3. Идеализированные диаграммы сдвига (о): X/ - касательное напряжение при разрушении; тс - то же на пределе структурной прочности. Результаты испытаний на срез (б): 1 — линия предельного равновесия; 2 — линия структурной прочности
Рис. 4. Зависимость тс и ф5 от d
Следовательно
Apcz = я,С0 +(a2 +atac)Gzq, (21)
где С0 — удельное сцепление на уровне подошвы фундамента; ас — параметр Хворослева, значения которого зависят от вида фунта и обычно лежат в диапазоне 0,05—0,15.
Для проведения штамповых испытаний ввиду небольших размеров активной зоны можно принять постоянное значение структурной прочности
APcz = АРсо = а,со + ,0. (22)
При небольшой глубине установки штампа вторым слагаемым можно пренебречь, следовательно
Дpcz = Арс0 = я,С0 = const. (23)
Для определения глубины активной зоны после подстановки (18) и (23) в соотношение (19)
получим:
)3, = А> (24)
V1+»;
тс =НС /Яш — относительная глубина активной зоны.
Введем обозначение обобщенного параметра структурной прочности d = Арс0 / /?0, тогда выражение (24) можно записать так:
l-i-Jb-f-d. (25)
у]\ + тс
Из (25) следует, что относительная глубина активной зоны
(26)
(1-
[1-0 ~d)4
Зависимость между обобщенным параметром структурной прочности d и относительной глубиной активной зоны /яс, определяемой уравнением (26), показана на рис. 4.
32
CTNITEIHAI МЕШКА I РАСЧЕТ CIINIElti IKI1131-2313
№ 1 2008


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
Таблица 1. Значения коэффициентов а1 Таблица 2. Поправочные коэффициенты тк
Значения ах для различных
d
eMz
N
ркп рпг
фи, град.
разновидностей грунта
eMz
N
Р Р
Г КП пг
0,10
2,06
2,24
2,25
0,20
2,54
2,64
2,45
10
2,81
3,13
2,61
12
2,89
3,20
2,69
0,30
3,09
3,04
2,62
14
2,97
3,27
2,77
0,40
3,68
3,43
2,77
16
3,06
3,34
2,86
0,50
4,29
3,79
2,88
18
3,15
3,41
2,94
0,60
5,02
4,17
3,00
20
3,25
3,48
3,03
0,70
5,94
4,58
3,11
22
3,34
3,55
3,12
0,80
6,5
4,99
3,21
24
3,44
3,62
3,22
0,90
6,5
5,40
3,28
26
3,54
3,69
3,32
1,00
6,5
5,65
3,33
28
3,65
3,76
3,43
Примечание. Определение компрессионного модуля де¬
30
3,77
3,84
3,53
формации при (3 = 0,50 для суглинков, (3 = 0,42 для глин.
Используя схему послойного суммирования и учитывая, что компрессионный модуль деформации Ек характеризует пластические и упругие деформации за предел структурной прочности, запишем выражение для пластической составляющей осадки штампа так:
о Не о Не
Sp=-tt\ (av ~dPc>--r J (a„ -dpc)dz, (27)
к 0 0 0
Второе слагаемое исключает повторный учет упругой компоненты осадки, вошедшей в формулу (17).
В формуле (27) обозначено:
Р=1-; (28)
1-v l-v0
Для элювиальных фунтов при v0 =0,15; v =0,35 получим (3 = 0,62; (Зе =0,95.
Проинтефируем выражение (27) и получим
(29)
к 0
где ф5 — функция пластичности:
= mc(\-d) + 2 + —j- .-2yJ\ + ni''
Полная осадка штампа с учетом сфуктурной прочности 5 = /[2соЬо+(р-1)ф5]
Ек т, те
Согласно формуле Шлейхера полная осадка равна:
(30)
(31)
5 = 2copaV-’ (32)
Ешт
где Ешт — штамповый модуль деформации.
Приравняв правые части выражений для осадка (31) и (32), установим зависимость между компрессионными и штамповыми модулями:
Ешт=ткЕк, (33)
где поправочный коэффициент к компрессионному модулю деформации
№ 1 2008
CTNITEIHAI МЕШШ I РАСЧЕТ С11РУ1ЕН1 Ш 1131-2313
33


МЕХАНИКА ГРУНТОВ
к — 2 о
+0,64(|3 - —)ф те т.
Результаты более чем 30-летних испытаний, выполненных в ЮурГУ с участием специалистов треста ЮжуралТИСИЗ, при инженерно-геологических изысканиях на объектах строительства Челябинской области для элювиальных фунтов рекомендуется принимать: v0 = 0,15, v = 0,35, те = 8, Кс = 0,6. При этих значениях v0 и v по выражению (35) получим (Зе = 0,95, Р = 0,62.
Подставив эти значения в формулу (34), получим выражение поправочного коэффициента для элювиальных фунтов:
тк= 1/(0,139 + 0,365<р,). (35)
Если при обработке результатов компрессионных испытаний для элювиальных суглинков в формуле для компрессионного модуля деформации используется значение Р = 0,50, то величина ть найденная по формуле (35), умножается на корректировочный коэффициент 1,24.
На практике скорректированный модуль деформации вычисляется в следующей последовательности:
по табл. 1 — в зависимости от вида фунта и ср„ находим вспомогательный парамеф а\ и определяем обобщенный парамеф сфуктурной прочности при компрессии d по формуле (36):
d = axCJp,, (36)
где Сп - нормативное значение удельного сцепления, МПа; р0- среднее дополнительное давление по подошве проектируемого фундамента или пробного штампа, МПа. При отсутствии данных принимается /?0 = 0,3 МПа;
по табл. 2 — в зависимости от геологического возраста фунта и значения d находим значение коэффициента тк и определяем скорректированный модуль деформации по формуле (37)
Е = ЩЕКН, (37)
где Екн - нормативное (среднее) значение компрессионного модуля деформации для выделенного инженерно-геологического элемента, МПа.
Предложенная методика позволяет уточнить расчетные величины осадок фунтов при проектировании фундаментов в условиях Челябинской области.
©B.C. Казанцев, Ю.В. Максимов, 2008
Наш подписной индекс
18317 для индивидуальных подписчиков 36188 для организаций (годовая подписка). Каталог «Роспечать». Журналы. Стр. 426.
34
СТИЛЕММ МЕШ11КI МЕЧЕТ СШУ1Е1Н IKI НЭ1-2Э13
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
УДК 624.014 + 621.791 + 539.3
Р.Г. ГУБАЙДУЛИН, д-р техн. наук, проф., М.Р. ГУБАЙДУЛИН, канд. техн. наук А.К. ТИНЬГАЕВ, кавд. техн. наук
(кафедра строительных конструкций и инженерных сооружений, ЮурГУ, Челябинск)
КОМПЛЕКСНАЯ ОЦЕНКА СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТНОМУ И ХРУПКОМУ РАЗРУШЕНИЮ КОНСТРУКЦИЙ СТАЛЬНЫХ ДЫМОВЫХ ТРУБ
Современное проектирование стальных дымовых труб предусматривает, с одной стороны, обеспечение требований заданной надежности, а с другой стороны, реализацию принятых конструктивных решений с минимальными материальными затратами. Требования надежности конструкций могут быть реализованы, если на стадии проектирования учитываются все факторы (изготовление, монтаж и эксплуатация), влияющие на условия нормального функционирования сооружения в рассматриваемом интервале времени (рис. 1).
Создавая самонесущие металлические трубы (СМТ) заданной надежности, наряду с решением прямой задачи (определением ее формы и параметров сечений), проектировщик должен сформулировать требования к изготовлению, монтажу и эксплуатации.
В настоящее время схема проектирования, представленная на рис. 1, не выполняется. Во- первых, нет нормативных документов на изготовление и монтаж таких дымовых труб. В действительности наблюдается несогласованность как между основными этапами создания (проектирование, изготовление, монтаж) и эксплуатации конструкций, так и внутри их. Требования, изложенные в стандартах предприятия на изготовление или монтаж конструкций, не всегда обеспечивают показатели прочности и долговечности узлов и соединений конструкций дымовых труб, принятые в проекте. В то же время рекомендации проектировщиков не в полной мере учитывают технические возможности заводов-изготовителей и монтажных организаций. Это объясняется отсутствием четкой взаимосвязи между требованиями к надежности конструкций и требованиями к выполнению технологических операций.
Учитывая приоритет этапа проектирования, на котором формируются требования к качеству и надежности стальных дымовых труб, нами разработана методика комплексной расчетной оценки СМТ, позволяющая на стадии проектирования прогнозировать влияние конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов на показатели их несущей способности. Предлагаемая методика позволяет посредством решения обратной задачи создавать конструкцию узлов рациональной формы, определять требования к материалам, а также проводить регламентацию уровня дефектности сварных соединений, исходя из требований надежности конструкций стальных дымовых труб.
Повреждения несущих конструкций стальных дымовых труб происходят вследствие либо хрупкого разрушения, либо зарождения и развития усталостных трещин, которые могут переходить в хрупкие. Это говорит о несовершенстве методов проектирования и расчетной оценки усталостной долговечности и сопротивления хрупкому разрушению конструкций СМТ. Причем вопросы усталостной и хрупкой прочности необходимо рассматривать совместно, так как
Рис. 1. Системный подход при проектировании СМТ
1 2008
CTPBITEIHM МЕШША I МС1ЕТ С1НУ1ЕШ ISSI1Ш-2ЭН
35


1 РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
зародившаяся усталостная трещина может стать причиной разрушения при низком номинальном уровне напряжений и даже при положительных температурах.
При разработке методики комплексной расчетной оценки надежности СМТ нами была использована кинетическая концепция прочности конструкционных материалов, которая предполагает, что разрушение представляет собой непрерывный процесс накопления повреждений с момента приложения нагрузки (рис. 2).
В действующих нормативных документах принято, что несущая способность (прямая 3) и внутреннее сопротивление, т.е. нагруженность (прямая 4) элемента конструкции в течение срока эксплуатации, не меняются, т.е. принятый запас прочности сохраняется (А, = const).
В принятой методике комплексной расчетной оценки СМТ показатели несущей способности (кривая 1) и нагруженности (кривая 2) зависят от времени, а точка пересечения этих кривых определяет эксплуатационный ресурс конструкции (тр), (Д,*> 0). Из сказанного следует, что величина резерва прочности (А, = oRj -amax/ ) есть функция времени, в то время как по действующим нормативным документам эта величина постоянная (А, = стл,-атах,).
При оценке усталостной долговечности и статической прочности с учетом хрупкого разрушения необходимо знать расчетные характеристики металла, величину и повторяемость нагрузок и располагать соответствующими методами расчета показателей несущей способности [3].
В практике проектирования конструкций, работающих на циклические нагрузки, как в нашей стране, так и за рубежом, предлагается оценку долговечности элементов и сварных соединений вести на основании корректированной теории накопления усталостных повреждений:
*=a,/[i (<Cvj/(°w+, (1)
/=1 /=1
где X — расчетное число блоков нагружения (долговечность конструкции); ар — сумма относительных усталостных повреждений; gRIci — амплитуда предельных напряжений цикла; Nqi — точка перелома кривой усталости; Gai,via — амплитуда напряжений и число циклов в /-той ступени действующего блока напряжений; т{,т2 — коэффициенты, описывающие наклон левой и правой ветвей кривой усталости; 1-ая сумма соответствует накоплению усталостных повреждений при размахе напряжений выше предельных напряжений цикла в коррозионной среде (ао, > о);
2-ая сумма — то же при размахе напряжений ниже предельных напряжений цикла (ао, < о).
Г (бремя)
Рис. 2. Учет фактора времени при прогнозировании резерва прочности конструкций
Расчет амплитуд напряжений по градациям скорости ветра
Распределение скорости 6Р/
ветра
N
Чз
N
С.МПа
Определение блока нагружения
Рис. 3. Схема к пояснению методики построения блока нагружения, использующей подход СНиП 2.01.07-85*: Ьт1 — отклонение верха трубы от вертикали от действия средней составляющей ветрового давления; 5, — отклонение верха трубы от вертикали от действия пульсационной составляющей ветрового давления
36
OTHTEIHAI МЕШКА I РАСТЕТ СНРУ1ЕИ1ISSI1Ш-2Э1Э
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
п
Расчет амплитуд напряжений для у'-той скорости ветра
5 * * * * i I I TFT W*
М-G»
J
в
Определение блока нагружения
tf
■£
ё
и
amJ — средние напряжения для у'-той скорости ветра
<за — ступени амплитуд напряжений для у'-той скорости ветра
Рис. 4. Схема предлагаемой методики построения блока нагружения
В существующих расчетных методах оценки усталостной долговечности [ 1, 2] не учитываются:
— влияние технологических операций на свойства и несущую способность основного металла и сварных соединений;
— влияние остаточных напряжений в элементах и сварных соединениях стальных дымовых труб;
— концентрация напряжений, а также точность изготовления деталей, элементов и влияние их на напряженно-деформированное состояние сварных соединений и узлов конструкций труб;
— влияние коррозионной среды на характеристики сопротивления разрушению при переменных нагрузках основного металла и сварных соединений с учетом технологических воздействий на металл;
— нет метода расчета действительной нагруженности металлоконструкций дымовых труб с учетом реальных постоянных и временных воздействий.
Для дымовых труб ветер является основной нагрузкой, поэтому при расчете таких сооружений, наряду с необходимостью определения характера изменения средних скоростей ветра по высоте, должно быть также учтено воздействие порывов ветра, накладывающихся на установившийся поток ветра.
В гибких стальных трубах цилиндрической формы установившийся ветер, кроме статического действия, вызывает колебания, перпендикулярные направлению потока ветра.
Эти колебания объединяются вихреобразованием в области за сооружением при обтекании его плоскопараллельным потоком. Отрываясь от сооружения, вихри создают импульсы, вызывающие поперечные колебания сооружения с собственными частотами.
Для оценки усталостной долговечности с точки зрения современных подходов необходимо реальное нагружение заменить блочным, эквивалентным по степени вносимого усталостного повреждения, а также иметь предельно допустимые амплитуды цикла нагружения и параметры, характеризующие кривую усталости в коррозионной среде.
Блок напряжений может быть получен как расчетным, так и экспериментальным путем.
Предлагается два способа построения блока напряжений. Наиболее простой состоит в определении гистограммы амплитуд напряжений по градациям средней скорости ветра. Для каждой из средних составляющих скоростей ветра Vl, V2,..., Vn, которые можно определить по дан-
1 2008
CTPIITEIUAI МЕШКА I РАСЧЕТ СНРУ1Е11113» N31-2313
37


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
л*3
aL
il
2 а
ни!
i*
1
А-А
Тензорезисторы
ПЭВМ
iA
Усилитель
сигнала
АЦП
Рис. 5. Схема расстановки приборов: 1 — тензорезисторы; 2 — анемометр; 3 — румбометр
ным Гидрометеоцентра или по климатологическому справочнику, по методике СНиП 2.01.07-85* определяется нормативное значение ветрового давления wm{z) и пульсационная составляющая wp(z). Прикладывая нормативное значение ветрового давления wm(z) к трубе, определяем, с учетом собственной массы и прогиба трубы, средние напряжения цикла нагружения (ат1) при данной скорости ветра, а амплитуду напряжений (ао/) получаем, прикладывая пульсационную составляющую ветровой нагрузки. Количество циклов данной нагрузки получаем путем деления времени приложения ветровой нагрузки на период колебания конструкции трубы по первой форме. Продолжительность ветрового воздействия определяется из справочных данных, а период колебания — из динамического расчета трубы. Проведя данные расчеты, для каждой градации скорости ветра строится блок напряжений (рис. 3) для опасного сечения трубы.
Этот метод построения блока нагружения не всегда является обоснованным в связи с тем, что методика СНиП 2.01.07-85* определяет максимально возможную ветровую нагрузку, и применение ее при воздействии более низких скоростей ветра может быть ошибочным. Данная методика не учитывает поперечные колебания трубы, и расчет амплитуд напряжений является достаточно условным.
Для уточнения построения блока напряжений (рис. 4) предлагается для каждой ступени блока строить распределение амплитуд по логнормальному закону, где максимум распределения соответствует уровню напряжений от пульсационной составляющей ветровой нагрузки. Далее, разбивая соответствующим образом кривую распределения на участки и зная общее количество циклов колебаний за год, соответствующих первой скорости ветра, можно получить годовую гистограмму амплитуд напряжений для данной скорости ветра. Затем, проведя расчеты для каждой градации скорости ветра, получим годовой блок амплитуд напряжений в стенке трубы (рис. 4). Все это позволяет точнее учесть повреждающее действие ветровой нагрузки.
Экспериментальная проверка данной методики проводилась на двух свободностоящих стальных дымовых трубах высотой Н = 60 м и Н = 135 м. Производилась синхронная запись скорости, направления ветра и возникающих от него напряжений в стенке трубы в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 5). Характер колебаний трубы (рис. 6) показывает, что при малых скоростях ветра (до 4 м/с) труба совершает колебания вдоль направления действия ветра, а при больших скоростях ветра труба совершает колебания как вдоль, так и поперек ветрового потока.
Обработка экспериментальных данных показала, что труба колеблется с частотой, соответствующей первой форме колебаний (рис. 6). Данный результат натурного эксперимента позволяет сделать важный вывод о том, что вынужденных колебаний вне собственной частоты сооружения практически не происходит и ими можно пренебречь. Обработав запись напряжений в сечении трубы по методу «максимумов» и по методу «размахов», были получены распределения напряжений вдоль и поперек действия ветра (рис. 7). Из рис. 7 видно, что в стенке трубы возникают
38
CTPIITEIHAI МЕШШ I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН11И1Н31-2ЭН
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
so*** anemias фактические напряжения больше, чем
Скорость ветра 9 м/с
поп*р«с от полной нормативной ветровой наос грузки, определенной по СНиП
оо 2.01.07-85*. В то же время максимум
распределения находится на уровне воздействия пульсационной составля- 00 ющей ветровой нагрузки. Наиболее
00 подходящим для описания распределю ления амплитуд напряжений является
логнормальный закон. Проведенный эксперимент подтверждает правиль-
00
ность принятых предпосылок в пред- 0 лагаемой методике построения блока
нагружения.
Для расчета долговечности конструкций дымовых труб необходимо также иметь предельно допустимую амплитуду цикла нагружения ол, количество циклов, соответствующее точке перелома NG и коэффициенты тх и т2.
Определение предельно допустимых амплитуд цикла нагружения, с учетом влияния коррозионной среды, конструктивно-технологических факторов и плоского напряженного состояния, предлагается по следующим зависимостям:
— для знакопеременного цикла:
ООО 0 05 0 10 0 15 0 20 0 25 0 30
Частота
Кис. Ь. Спектр реакции сооружения
О 35 0 40 0 45
7б<
аа ,
К Ма{г\хк +7?a0T|2A:)/(l-Ra0)
для знакопостоянного цикла растяжения:
Тбаа ,
а* =
К+ (r\\KMa+2r\3KRa0Mmsa)/(\ Ra0)
— для знакопостоянного цикла сжатия:
о»=-
Тбаа ,
К (T\2KMa + 244KRG0MmJ/(\-RG0)
(2)
(3)
(4)
где ол — предел выносливости конструкции с учетом реального напряженного состояния, условий нагружения и свойств материала; G_lK — предел выносливости при симметричном цикле нагружения с учетом влияния конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов; OL,K,Ra0JMmax,Ma,r\lK,y]2K’3K4K — коэффициенты, учитывающие влияние сложного напряженного состояния, асимметрии цикла нагружения, свойств материала. Предлагается методика, описывающая влияние конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов на параметры кривой усталости через изменение ограниченных пределов выносливости на базах 106, 2-107, 108 циклов, а также методика, связывающая параметры кривой усталости для стандартных образцов в воздушной и коррозионной среде.
Обеспечение сопротивления хрупкому разрушению стальных конструкций дымовых труб осуществляется по двум направлениям. В первом случае это достигается за счет выбора основного и сварочных материалов, обеспечивающих вязкое состояние металла. Во втором — за счет ограничения величины номинальных растягивающих напряжений в наиболее нагруженных элементах при допущении квазихрупкого состояния материала в конструкции. Обеспечение сопротивления хрупкому разрушению за счет выбора основного и сварочного материалов основано на экспериментальной оценке температурного интервала вязкохрупкого перехода по результатам испытаний стандартных образцов. Однако стандартные образцы не отражают индивидуальных особенностей напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и не позволяют в полной мере учесть эксплуатационные и технологические воздействия на металл. В отношении конструкций дымовых труб наиболее перспективны расчетные методы оценки хладостойкости элементов конструкций, основанные на аппроксимации функции разрушаю-
1 2008
CTPIITEIMI МЕШША I МИЕТ CIWIEHl ISSI N31-2313 39


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
размахи
Рис. 7. Распределение максимумов и размахов процесса изменения напряжений в стенке ствола (штриховой чертой обозначен уровень полной нормативной ветровой нагрузки, а штрихпунктирной линией — пульсационная составляющая нагрузки для данной скорости ветра)
Рис. 8. Принципиальная схема определения критических температур хрупкости стали при сложном напряженном состоянии 1—5-зависимости £С(П) при температурах Т{ — Т5 соответственно
щих напряжений в области вязкохрупкого перехода, границами которого являются первая Тк\ и вторая Тк2 критические температуры хрупкости. При очевидной перспективности расчетных методов их практическое применение пока не нашло широкого распространения ввиду отсутствия единой точки зрения относительно критериев и метода определения критических температур. Учитывая это обстоятельство, в настоящей работе предлагается метод определения критических температур, позволяющий с единых теоретических позиций учитывать особенности конструктивной формы, технологии изготовления и условий эксплуатации изделия.
Идея метода состоит в том, что при наличии диаграмм предельной пластичности стали и
деформационных критериев первой (£с1) и второй (ес2) критических температур можно опреде¬
лить температурный интервал вязкохрупкого перехода для конкретного конструктивного элемента, если известен для него показатель жесткости напряженного состояния (рис. 8). За диаграмму предельной пластичности стали принята зависимость степени интенсивности пластической деформации (£с), накопленная материальной частицей на момент разрушения образца, от показателя жесткости и вида напряженного состояния.
Согласно принятой схеме (см. рис. 8), критические температуры хрупкости определялись из условий:
£ЛП\№а'Т)т=ТКХ =е/ь (5)
£ЛП\'\*-о'Т)т=ТК2 =е/2> (6)
Сравнительная оценка смещения порога хладноломкости статически нагруженных образцов из стали СтЗ в зависимости от величины предварительной пластической деформации для различных К(
Коэффициент Kt
Значения А Т™, °С
по предлагаемому методу
по методу ЦНИПСК
£пл 2 %
епл = 4%
гпл=Ю%
бпл = 2—10 %
1
1
1
3
2
2
5
14
3
5
10
30
20
4
7
15
46
5
10
22
67
40
СТШТЕШМ MEMIIIA I РАСТЕТ СВВРУ1Е111 l»l №1-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
решая которые, были получены соответствующие расчетные зависимости, имеющие вид:
тп»= £ — • (7)
1+ZLln[1+(.1)(1+ 1-ехРе/н»
Pr <*т Vat ехре/1(2)
Здесь Т0 — температура, равная 293 °К; — коэффициенты, характеризующие чувстви-
тельность стали к низкой температуре; £/рЕ/2 — приведенные критерии первой и второй критических температур хрупкости стали, рассчитываемые по формуле:
с " £с'(2> (Г¥. (8)
*Р
2я‘12) ' я!12)-я,
,П-П.. А С-П. , F0
1п д + nm п ln «1
1 кр 11 кр ~Л1\
Выражение (7) позволяет определить Tkl и Тк2 для различных конструктивных форм. Вместе с тем, помимо концентрации напряжений, к числу причин хрупкого разрушения элементов конструкций относят неблагоприятные последствия технологических и эксплуатационных воздействии на металл, которые не учитываются в должной мере при проектировании стальных конструкций. Разработанный нами метод позволяет решить эту проблему посредством введения в (8) вместо фактического (П) приведенного (Я”) показатель жесткости напряженного состояния, рассчитываемого по формуле:
я:. = я, + 2П*г [In е« - In а], (9)
1ч А £/ Пкр-Пх
где£/,еос — исходная и остаточная пластичность металла при П=1, =1; Д — универсальная
постоянная разрушения; Пкр — критическое значение показателя жесткости напряженного состояния; а — коэффициент, учитывающий влияния вида напряженного состояния.
К достоинству разработанного метода следует отнести возможность дифференцированного учета практически всех наиболее значимых факторов хрупкого разрушения. При этом важно отметить, что результаты расчета не противоречат общепринятым представлениям о закономерностях влияния этих факторов на критические температуры хрупкости стали. В качестве подтверждения последнего в таблице приведены расчетные значения смещений критических температур (А Г/5" = Т“™-Т™) образцов из стали СтЗ, подвергнутых предварительному пластическому деформированию на 2, 4, 10 %. Как видно из таблицы, по мере увеличения Kt степень влияния деформационного старения возрастает, в то время как в существующих методах эта величина считается постоянной, что противоречит результатам теоретических и экспериментальных исследований.
Выводы
На основании обобщения результатов теоретических и экспериментальных исследований, полученных в настоящей работе, разработан метод комплексной оценки коррозионно-усталостной долговечности и сопротивления хрупкому разрушению, позволяющий на стадии проектирования учитывать влияние условий нагружения, прогнозировать влияние конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов на несущую способность стальных дымовых труб и обеспечить их заданный срок службы.
Литература
1. СНиП Н-23-81*. Стальные конструкции - М.: Госстрой СССР. - М., 1995.
2. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия - М.: Госстрой СССР, 1996.
3. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени / Под ред. А.П. Гусенкова —
М.: Машиностроение, 1993. — 363 с.
©Р.Г. Губайдулин, М.Р. Губайдулин, А.К. Тиньгаев, 2008
1 2008
CTNITEIblU МЕШКА I РАСЧЕТ С00РУ1Е001 ISSI 1130-2303
41


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
УДК 624.012:624.07
С.А. СОНИН, канд. техн. наук, доц.
(кафедра строительных конструкций и инженерных сооружений ЮурГУ, Челябинск)
УЧЕТ КОНТАКТНОГО СЛОЯ В СБОРНО-МОНОЛИТНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛКАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Многообразие факторов, влияющих на работу сборно-монолитных конструкций, необходимость учета свойств контакта между бетонами, системы трещинообразования конструкции, наличия и качества пронизывающей контакт арматуры не знают возможности получить обычными методами расчета достоверных данных о надежности работы таких конструкций. В этих условиях для расчета наиболее приемлемым представляется использование метода конечных элементов (МКЭ).
Контакт между «старым» и «новым» бетонами моделируется в расчетной схеме специальными связующими элементами (СЭ) (рисунок).
Такой связующий элемент не имеет физических размеров и состоит из двух взаимно-перпендикулярных связей (пружин), которые объединяют два смежных узла «нового» и «старого» бетона. Наличие податливости связей по контакту позволяет отразить появление и развитие взаимных смещений бетонов. Усилия, возникающие в продольных связях, являются мерой сдвиговых напряжений по контакту, а усилия в поперечных связях характеризуют отрыв или давление бетонов друг на друга в поперечном направлении.
Соотношения между усилиями в связях и взаимными смещениями узлов, которые объединяют эти связи, записываются в следующем виде:
T'=K'ag\ (1)
где
т: =
1
,1
и
5
к*
I
* *
; &к=
С
тк
_ у _
5 СЭ
к; \
X.
(2)
Здесь TKy,KKy,gKu — соответственно усилие в поперечной связи, ее жесткость и взаимное вертикальное смещение узлов, объединенных данной связью; Tx,Kx,g — то же для продольной связи; Кху,Кух — побочные члены матрицы жесткости связующих элементов, учитывающие взаимное влияние связей друг на друга.
Члены Кху и Кух в матрице Кксэ учитывают взаимное влияние нормальных и касательных напряжений по контакту между бетонами. Однако малая изученность этого вопроса затрудняет определение данных величин. В предлагаемой методике Ккху и Кух принимаются равными нулю, а взаимное влияние работы продольных и поперечных связей учитывается косвенно.
Усилие а продольной связи СЭ записывается так:
TK=xKS„
(3)
площадь повер-
где хк — касательные напряжения на рассматриваемом участке контакта; Scp хности контакта на рассматриваемом участке.
Данные экспериментальных исследований показали, что бетон на контакте между сборной и монолитной частями обладает повышенной деформативностью (податливостью). Для его описания принята зависимость, аналогичная зависимости для описания свойств обычного бетона :
т? =G'(\-f, (4)
где Y — относительные деформации сдвига на рассматриваемом участке контакта; y“s — предельные значения относительных деформаций сдвига на контакте; GJ — начальный модуль сдвига бетона на контакте.
а
К методике учета свойств и работы контакта между бетонами: а — представление контакта в МКЭ; б — общий вид поверхности контакта; 1 — «старый» бетон; 2 — «новый» бетон; 3 — продольная связь СЭ; 4 — поперечная связь СЭ
42
СТН1ТЕ1ЫА1 MEXAIIIA I РАСЧЕТ CIWIEIIIISSI1131-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
Подставляя (4) в (3) и учитывая (1), получим выражение для вычисления величины жесткости продольной связи СЭ:
K«_G-f/2t)fSv (5)
Можно допустить , что '{ = / й, где В — условная высота зоны контакта.
Тогда выражение (5) примет вид:
KKx=GZ(\-f/2fs)Scp/B. (6)
Площадь поверхности контакта Scp , приходящаяся на один СЭ, зависит от местоположе¬
ния СЭ по длине контакта.
Параметры зависимости (4) определяем следующим образом.
Выражение (4) представляет собой семейство кривых второго порядка, параметры которых зависят от напряженно-деформированного состояния бетона на контакте.
Предельные значения касательных напряжений т* и деформаций сдвига y*s при чистом срезе неармированного хорошо развитого шероховатого контакта приняты следующими:
<==2Л»,„; 7=910 притих' и f =Ц . (7)
Из выражения (4) получаем значение начального модуля сдвига бетона на контакте при чистом срезе:
2т*
(? = . (8)
t
Предел прочности при срезе с сжатием:
(9)
где fmp — коэффициент трения бетона о бетон, равный 0,63; о* — сжимающие напряжения, действующие по нормали к плоскости контакта (оцениваются по усилиям в поперечных связях СЭ).
При срезе с растяжением величина т* уменьшается по сравнению с чистым срезом в зависимости от величины действующих растягивающих напряжений. Принимается, что при вели¬
чине растягивающих напряжений, равных 0,6-Rbtn, по контакту образуется трещина и горизонтальные связи перестают воспринимать деформации сдвига. Предел прочности при срезе с растяжением
=2Лш -3,3окр при о* <0,6Л6т, (10)
где crh — растягивающие напряжения, действующие перпендикулярно плоскости контакта. Величина предельной деформации сдвига определяется из отношения
2т*
t=<">
Go
которое получено подстановкой соответствующего значения т* в формулу (8).
При задании свойств поперечных связей СЭ были использованы следующие предпосылки:
— прочность бетона контактного слоя на сжатие равна прочности обычного бетона; прочность бетона на растяжение равна 0,6Rbtn;
— начальный модуль деформации £0* бетона контактного слоя на 25 % ниже модуля деформации обычного бетона;
— для описания поведения бетона контактного слоя принята нелинейная зависимость а* = /(е*), аналогичная зависимости для обычного бетона.
Усилие в поперечной связи записывается так:
t;=*kscp, (12)
где а* — напряжение в зоне контакта в направлении, перпендикулярном плоскости контакта. Учитывая (1), получим выражение для определения жесткости поперечной связи:
*г;=к (13)
g‘
1 2008
CTNITEIHU MEXAIHA I РАСЧЕТ СИРУ1ЕН1ISSI N31-2313
43


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
Выражение для начальной жесткости продольной связи СЭ (при у* = 0) записывается исходя из (6):
к;,=(14) В
Начальная жесткость поперечной связи определяется по формуле
(is»
которая получена из выражения (13) с учетом того, что в начальной стадии нагружения о* = е*, a gKu =гк ■ В, где гк — относительные деформации бетона контактного слоя.
Отработка и проверка методики расчета была проведена на сборно-монолитных железобетонных балках таврового сечения со сборной полкой внизу.
Размеры полок приняты равными 35x12 см, ширина монолитного ребра — 20 см, высота ребра - 48 см, пролет — 400 см. Балки загружались четырьмя сосредоточенными силами, прикладываемыми к полкам на расстоянии 80 см друг от друга. В процессе нагружения балок менялось напряженно-деформированное состояние на контакте и, следовательно, менялись жесткости соответствующих связей.
В расчетной схеме приняты следующие начальные жесткости СЭ.
Продольные связи (формула 14):
— жесткости связей, расположенных на краях балки
Ккхн = —°—g = 2-Ь.'А* •? = 2 ■2 А;(. = ] 4123 • 106 Н/см,
В t-B t-B-2
где В — условная высота контакта (В = 20 мм), Ах — длина конечного элемента (А;с=57 мм), t — относительная ширина контакта (t =10 мм);
— жесткости остальных связей
Ккх н =2,825-106 Н/см.
Поперечные связи (формула 15):
— жесткости связей, расположенных на краях балки
Е* • Srn 0,75 • EZ ■ S.B ,
К* = -5— = 5— = 3,078 ■ 10 Н/см;
у." В В '
— жесткости остальных связей
*■;„ =6,156 106 Н/см.
На каждом этапе расчета определялись следующие величины:
— текущие значения относительных деформаций сдвига вдоль контакта
в ’
где We,WH — горизонтальные перемещения соответственно верхнего и нижнего узлов контакта,
объединенных связью;
— в зависимости от величины и знака сопутствующих сдвигу напряжений а* соответствующие значения и (по формулам (9—11));
— по формуле (5) новые значения жесткостей СЭ К* для использования их на очередном шаге расчета;
— вертикальные взаимные смещения узлов на контакте:
£=и.-и„ (16)
где Uв и Uн — вертикальные перемещения соответственно верхнего и нижнего узлов контакта;
— условные относительные поперечные деформации бетонов в зоне контакта
e'=lL; (17)
В
— усилия в поперечных связях
ту = к;-с, (18)
44
CTNITEIHU MEXAIIIA I РАСТЕТ СМРУ1Е1К1 ISSN 1139-2313
№ 1 2008


РАСЧЕТЫ НА УСТАЛОСТЬ
— напряжения
о'=е5(1-/„)ек, (19)
2-е„
где е* — предельные поперечные деформации бетонов в зоне контакта, принимаемые с учетом
(19) равными: 2Rbn /2 — при сжатии и 1,2Rbnt /2 — при растяжении;
— по формуле (13) новые значения жесткостей соответствующих СЭ;
— коэффициент, характеризующий уровень деформаций сдвига для каждого СЭ
Достижение каким-либо коэффициентом of значения, равного единице, равносильно выключению продольной и поперечной связей соответствующего СЭ из расчетной схемы.
За критерий разрыва поперечных связей СЭ в случае, если значение со* для продольной связи данного СЭ не достигло единицы, принято достижение соответствующими напряжениями предельных значений:
ес = ьп ~ ПРИ сжатии; е* = 0,6Rbtn — при растяжении.
В этом случае одновременно перестают работать и продольные связи рассматриваемого СЭ.
Расчетом установлено, что распределение абсолютных сдвигов узлов контакта по его длине на ранних этапах нагружения носит плавный характер.
Достигая своих максимальных значений в приопорной части балки, сдвиги уменьшаются по мере приближения к оси симметрии.
Работа продольных связей на ранних этапах нагружения происходит в условиях, описываемых начальным участком кривой (формула 4), когда модуль сдвига бетона контакта равен принятому начальному модулю сдвига <7*. В целом характер распределения касательных напряжений по контакту соответствует характеру распределения поперечных сил. В поперечном направлении контакт сжат, за исключением мест приложения внешних сил, которые стремятся оторвать сборную часть от монолитной.
Образование трещин, пересекающих контакт между бетонами, приводит к значительным изменениям в напряженно-деформированном состоянии контакта, создавая неравномерность распределения деформаций и напряжений по его длине.
Дальнейшее увеличение внешней нагрузки и связанное с ним образование новых трещин, в том числе трещин, пересекающих контакт, приводит ко все более значительному перераспределению характеристик напряженно-деформированного состояния контакта по его длине. Задолго до момента разрыва контакта в растянутой зоне балки образуются нормальные и наклонные трещины, которые расчленяют контакт на отдельные участки.
Рассматривая напряженно-деформированное состояние контакта, полученное при условной нормативной нагрузке, можно отметить, что значительная часть контакта в этот момент уже нарушена. Ненарушенным остался лишь приопорный участок контакта, а также отдельные участки между внешними силами. При высоких уровнях нагружения в приопорной части контакта развиваются значительные деформации сдвига, а также действуют большие касательные напряжения. По мере приближения к опоре деформации сдвига затухают. Для каждого СЭ контакта определены свои зависимости тк =/(/), различными участками которых описывается их поведение.
Расчет показал, что наличие податливого контакта между бетонами, а также характер приложения внешней нагрузки оказывают заметное влияние на трещиностойкость сборно-монолитной балки.
Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показало, что предполагаемая методика расчета удовлетворительно описывает процесс формирования напряженно-деформированного состояния сборно-монолитной балки при ее кратковременном нагружении, вплоть до стадии разрушения.
Вывод. Разработанная методика расчета сборно-монолитных балок с использованием МКЭ позволяет учесть свойства сцепления между бетонами на контакте, включая его нелинейную податливость.
© С.А. Сонин, 2008
1 2008
CTNITEIHAI МЕШШ I МС1ЕТ С00ПГ1Е001 К» N30-2303 45


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
УДК 539.3
Г.Г. БУЛЫЧЕВ, д-р физ.-мат. наук, проф. (МИРЭА)
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
В работе [1] численный метод пространственных характеристик (МПХ), развиваемый автором, использовался для исследования динамики множественного разрушения плоскодеформи- рованных изотропных упруго вязко пластических тел, подверженных симметричному растяжению; при этом величины нагрузок не слишком превышали предел упругости, что позволяло проводить исследование в рамках малых деформаций.
Как известно, между плоскодеформированным и плосконапряженным состояниями тел и в статике и в динамике существует подобие, позволяющее легко пересчитывать параметры напряженно-деформированного состояния (НДС) с одного состояния на другое. Поэтому представляет интерес моделирование динамики множественного разрушения тонкой изотропной упруговязкопластической пластинки, описываемой той же математической моделью, что и в [1], и сравнение его результатов с [1], с целью проверить существование аналогичного подобия в области разрушения. Такое исследование и проводится в настоящей работе; в качестве выходных параметров моделирования, как и в [1], выбраны: нижний предел разрушения — Pf, задержка начала разрушения — Т0, средняя скорость разрушения — ст и фрактальная размерность разрушения —
Математическая модель динамики пластинки
Материал образца предполагается упруговязкопластическим (по терминологии [2]), поэтому выражение для полной деформации имеет вид:
e„=e;+ej,/,у = 1,2,3, (D
где и ej — компоненты тензоров упругой и вязкопластической деформаций.
Поверхность текучести задается условием Губера—Мизеса:
F = S/ks -1 = 0, (2)
где Sj — девиаторы напряжений; S=(svsJ2)1/2 — интенсивность напряжений; ks — предел текучести материала пластинки на сдвиг.
Определяющие уравнения выбраны в виде, учитывающем влияние скоростей деформаций [3]:
1 • Г 174 Э/ 1 • 1 О 1
е,=_,в+С<Ф(/-)>—. е.=—о„. /,у = 1,2,3, (3)
где е1; — компоненты девиаторов тензоров полных деформаций; <зи — тензоры напряжений; [I — модуль сдвига; К — модуль объемной деформации; £ — коэффициент вязкости материала образца. O(F) — функция пластичности, определяемая из экспериментов по динамическому нагружению пластинки, он равен нулю при F < 0 и монотонно возрастает с ростом F при F > 0; в нашей задаче O(F) = yJT/S. Точка над функциями, как обычно, обозначает дифференцирование их по времени; по повторяющимся индексам проводится суммирование. С учетом особенностей задачи соотношения (3) упрощаются и принимают вид:
=0,5|i"li,J + xj' <Ф(/’)>5(), i,j = 1,2, еп+е22+е33=3-1/Г''(ап+а22), а,3=0. (4)
Уравнения движения и соотношения Коши для материала пластинки имеют вид:
Эап + Эа12 = ЭК1 Эд12 t Эд22 _ ду2 Эе<у _ 1 dxi дх2 dt Эх1 дх2 dt dt 2
дУ. ( dVj дх, дх,
, и = 12, (5)
где Vt - скорости частиц; xt - координаты; t- время.
Все обозначения те же, что и в [1]; в силу малости напряжений и деформаций полные и частные производные в уравнениях движения и в определяющих уравнениях совпадают.
Характеристические уравнения
В МПХ для моделирования используется характеристическая форма представления исходных дифференциальных уравнений. С методикой получения таких уравнений из определяющих уравнений, уравнений движения и соотношений Коши можно ознакомиться, например, в [4].
46
CTPIITEIUM МЕШШ I РАСЧЕТ С11РУ1Е11Й Ш II3I-23H
№ 1 2008


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Таблица
Параметр
Брус, верхний индекс -1
Пластинка, верхний индекс-2
Максимальная скорость волн напряжений
с - 1 £<*-v>
11 Vp(1 + v)(1-2v)
C° p(l-v2)
Предел текучести
*ill=PVii
4"=PV5C|I
Безразмерное время
Tw = tc9/x0
72) = tc0/x,
Безразмерные нагрузки и напряжения
Функция текучести
Fm =S/fc£11 -1
F(2> = S/k(s2> -1
Давление (в правых частях характеристических уравнений)
frfl) _ (CTI1 +CT22 + СТЗз) P “ 3/c'"
_(2,Jl-2v)(aM+a22) 3(l + v)fcj2>
Коэффициент v,
v<‘>=v/(l-v)
v<2>=v
Коэффициент v2
v'l-vj»
v'2,=l-v<2)
Коэффициент v3
v3=l-vf =v2/(l-v)
v3=l-v2=l-v2
Коэффициент у
II
*NJ~1
y = V2/v<2)
Для тонкой пластинки такие уравнения должны быть подобными характеристическим уравнениям для плоскодеформированного образца (бруса). При этом предполагается, что плотность материала — р, модуль Юнга — Е, скорость текучести — Vs, время задержки текучести — т0, коэффициент Пуассона — v и характерный размер — х0 = хтах - xmin для бруса и пластинки одинаковы, а подобие уравнений достигается с помощью нормировок и переобозначений, представленных в приведенной таблице.
Как и ранее в [1], обезразмеривание координат задается соотношением х{ =jc, /jc0, скоростей частиц — Vt = Vt /Vs , а безразмерный коэффициент вязкости 5 = х0 /(Vsz0).
При этом система уравнений движения и определяющих уравнений для пластинки, записанная в безразмерном виде при нормировках, представленных в третьем столбце таблицы, имеет вид:
dan +5ai2 _ду, Эа12 + до22 = дк2 3Oii = 5Ki+v ду2_ §<л/>(сц-/>) Э*1 Эхг dt Эх, дх2 Э/ дt дх\ ' Ъхг 1 S
i=£2+V|i_v25<V7>?,
dt dx2 dxi S dt 2[Эх2 I S
(6)
совпадающий с аналогичными уравнениями [1] (только уравнение для о33 отсутствует и заменено условием а33 =0 ), а характеристические уравнения для направления ха,а = 1,2, описывающие динамику тонкой пластинки, имеют вид, также вполне аналогичный соответствующим характеристическим уравнениям из [1]:
Э , Э Y _т,ч , Э
dt ±Эх j(o«« + F“)±5x„(a,2+VlKp)=_V25<ib<a“a-/’);
У ±
Эх
(0.2 + Уц/У)± ? + VJff=-2f'bcDxSn,
(7)
Э , . экв
(<*№ -v.Oaa) = 'Vj V р -v2S< D>(a№ -v,aa„-v2p);
dt w 1 “a/ 3 Эхр
где верхний индекс - 2 над переменными опущен,р = 3-а,< D > — так же, как и в [1], равно
<4f>is.
Здесь первое уравнение в (7) соответствует продольным волнам, распространяющимся в направлении ха, второе уравнение — поперечным волнам, а третье — контактному разрыву. Совокупность уравнений (7) используется при составлении вычислительных схем во всех харак-
№ 1 2008
CTHITEIHU МОШНА I РАСТЕТ HWIEIll ISSI1131-2313
47


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
терных точках (внутренние точки, граничные точки, угловые точки) пластинки. Для определения условий возникновения трещин, их развития и слияния, кроме системы (7) необходимо задать критерии образования трещины и различные (в зависимости от характера НДС) типы условий на ее берегах.
Критерий образования трещины выберем в виде условия накопления вязкопластических нормальных (к нагрузке) и касательных напряжений:
где /0 — заранее выбранная критериальная величина (здесь она принимается равной единице). Угловые скобки, как и ранее, указывают, что отличными от нуля считаются только положительные значения подынтегральной функции, ха — направление распространения волн, вызывающих разрушение.
До выполнения условий разрушения во всех точках задаются условия непрерывности скоростей частиц и нормальных и касательных напряжений, то есть условия
где знаками «плюс» и «минус» обозначены верхний и нижний берега предполагаемой трещины.
После выполнения условия (8) на образовавшейся трещине задается следующая последовательность условий.
1. Трещина отрыва. В моменту образования трещины от волны, идущей вдоль оси х2, выполняются условия свободных (от напряжений) берегов трещины:
'о
До тех пор, пока Аи2 >0, условие (10) сохраняется, при Аи2 <0 (что достигается лишь при а22 < 0 ) трещина закрывается и на ее берегах задаются условия
Условия (12) сохраняются до тех пор, пока а22 < 0; при а22 > 0 снова задаются условия (10) и начинает вычисляться интеграл для Аи2.
2. Трещина сдвига или комбинированная трещина. В моменту образования трещины определяется а22, и в зависимости от ее знака выбираются либо условия (10), (11), либо условия (12). Граничные условия на поверхностях пластинки были выбраны в том же виде, что ив [1].
Условия (7)—(13) были использованы для разработки алгоритмов для моделирования процесса разрушения пластинки.
При моделировании преследовались следующие цели.
1. Определение минимальных нагрузок Pfi при которых образуется сквозная трещина, и исследование зависимости этих нагрузок от коэффициента nyaccoHav (Pf = Pf(v)).
2. Определение зависимости времени задержки начала разрушения Г0, средней скорости трещины сТ и фрактальной размерности разрушения от приложенных нагрузок/* и коэффициента Пуассона. Определение областей множественного разрушения пластинки и скорости трещины в этих областях.
3. Исследование множественного разрушения пластинки. Определение связи размеров, формы и характера движения области разрушений в образце с величинами Р и v; анализ механизмов разрушения.
4. Сравнение результатов моделирования (графиковГ0,сг и *р) разрушения пластинки и бруса [1].
(8)
о
(9)
°22 - °П ~ а22 ~ °П ~ 0
(10)
и начинает вычисляться расстояние между берегами трещины
(id
V2 — V2 , а22 — а22, а12 — ос | о221 sgn{Vl ), o;2=+a\o22\sgn(V1+-V~), Au2= 0.
(12)
на плоскостях х2 = x2max их2= x2min
на плоскостях х, = *1тах и х, = х1тт
<*22“<*12=0> Оц=0, 0,2=0 .
(13)
Цели и параметры моделирования
48
СТРНТЕ1ЫА1 MEXAIIIA I РАНЕТ СНРУ1Е1И11И11131-2313
№ 1 2 0 0 8


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ |
Моделирование проводилось на квадратной сетке 100 на 100 ячеек, состоящей из 100 слоев, расположенных ортогонально оси х2 (так как предполагалось, что трещины развиваются вдоль оси х1), с одинаковыми параметрами материалов. Толщина слоев в зоне предполагаемого разрушения выбиралась равной одной ячейке. Время моделирования определялось временем образования сквозной трещины, но не превышало 50 времен пробега волны, движущейся со скоростью с0, по пластинке, если после этого в образце не образовывалась сквозная трещина, предполагалось, что нагрузка недостаточна для его разрушения. Величины нагрузок менялись от 1,0 до 2,1 (от 1,0 до 1,1 с шагом 0,001 йот 1,15 до 2,1 с шагом 0,05). Коэффициент Пуассона менялся от 0,02 до 0,48; коэффициент сухого трения а в формуле (12) был выбран равным 0,3, коэффициент 5 был выбран равным 0,2.
Представление результатов. Результаты каждой численной реализации представлялись в виде временной последовательности структур, отражающих напряженное состояние (НС) в сечении рассматриваемого образца и показывающих разрушенные ячейки. Последовательности разрушенных ячеек образовывали трещины или области разрушения (группы трещин). Образец считался разрушенным в том случае, если трещина проходила по образцу насквозь (от одной боковой поверхности до другой), двигаясь не обязательно вдоль одной прямой: она могла ветвиться и переходить с одного слоя на другой. Скорость разрушения сТ определялась как отношение длины образца вдоль оси х, ко времени разрушения. Зависимости ст =cT(P,v) определялись по результатам моделирования и представлены в виде графиков. Фрактальная размерность разрушения определялась функцией = log TV / logA, в которой N — количество разрушенных ячеек в плоскости {х,,х2}, N0 =100 — количество ячеек вдоль оси х,. Результаты расчетов'Р = vF(/>,v) также представлены графически. Величина времени задержки начала разрушения Т0 определялась как время, прошедшее с момента прихода волн растяжения на срединную поверхность пластинки и до начала разрушения, то есть до момента разрушения первой ячейки внутри пластинки. Определялись нагрузки, соответствующие нижнему пределу разрушения оболочки Р,М. При исследовании НС пластинки при таких нагрузках предлагалась гипотеза о характере предельного состояния материала, позволяющая получить аналитические зависимости Р/(у), хорошо описывающие рассматриваемые состояния.
Нижний предел разрушения пластинки. Под Pf = Pf(v) понимаются такие нагрузки, при которых для образования сквозной трещины требуется максимальное время моделирования Гтах , выбранное здесь равным 50 временам пробега волны со скоростью с0 между нагрузками. В силу условия а33 = 0 предполагается, что нижний предел разрушения достигается тогда, когда вся упругая энергия, полученная от нагрузок за время Гтах, достигает определенной, не зависящей от v величины, а единственными напряжениями, отличными от нуля, являются растягивающие напряжения а22 , которые в среднем равны Pf, то есть выполняется соотношение „П = const, где П = cQWa +cJVb — поток упругой энергии, с± =у~1с0 — скорость поперечных волн,
Wa - £'_1(l-2v)(af1 + о]2)/6 — энергия изменения объема, а Wb =(l + v)*S,2£'_1 /6 — энергия изменения формы. Вышеуказанное предположение приводит к формуле
связывающей нижние пределы разрушения пластинки Pf при разных v. Принимая одно из значений Pf за известное (например, рассчитанное с помощью МПХ), остальные можно получить с помощью формулы (14).
На рис. 1 и 2 показаны графики зависимостей Pf{v) для бруса и пластинки.
Сплошными линиями на рисунках показаны графики (сплайны) для величин Pf, полученных с помощью моделирования, линии с маркерами соответствуют аналитическим зависимостям, полученным в предположениях: S = const (для бруса) иТт!1ХП = const (для пластинки). Для
бруса указанное предположение приводит к условию Pf\l 1-v + v2 - const, а для пластинки — к условию (14). Цифрами 2, 3 и 4 на графиках показаны зависимости, полученные из стыковки численных и аналитических значений Pf =Pf(v) в точках v = 0,05; 0,1 и 0,15. Сравнение графи-
Результаты моделирования и их анализ
(14)
№ 1 2008
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН11Й11131-2313
49


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Pf
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 V
Рис. 1. Нижний предел разрушения бруса
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 у
Рис. 2. Нижний предел разрушения пластинки
То
Рис. 3. Задержка начала разрушения в брусе То
Рис. 4. Задержка начала разрушения в плас-
Рис. 5. Скорость разрушения бруса
Рис. 6. Скорость разрушения пластины
¥
Рис. 7. Фрактальная размерность разрушения бруса
¥
Рис. 8. Фрактальная размерность разрушения пластинки
50
CTPIITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СИРУ1ЕН1 ISSN 1131-2313
№ 1 2008


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
ков показывает, что и для бруса и для пластинки диапазон изменения Pf примерно одинаков, а начальные значения практически (до 1%) совпадают и близки к единице, так как при v = 0 с = с0 = -/fVp совпадают и абсолютные, ненормированные значения Pf .
Наилучшая аналитическая аппроксимация результатов моделирования (график 4 на рис. 1 и график 3 на рис. 2) для бруса и пластинки достигается с помощью следующих формул:
P/(v) = 0,9527/Vl-v+v2 и /*r(v) = 1,5677• Vl—v2 /■y/l-2v + 4/2(l-v)-(l+v).
Время задержки начала разрушения Г0 для бруса и пластинки показано на графиках рис. 3 и рис. 4. Диапазон изменения нагрузок ограничен сверху значением Р = 1,5 , поскольку дальше Т0 на всех графиках меняется мало (плавно спадает к Т0 = 1). Графики, изображенные на рисунках похожи: они начинаются примерно с одних и тех же значений и спадают до TQ= 1 ; однако для бруса графики расположены ближе друг к другу и более гладкие, чем для пластинки.
Средняя скорость и фрактальная размерность разрушения. Двумя другими важными характеристиками разрушения являются его средняя скорость сТ =1/(Г-Г0) и фрактальная размерность у; здесь Т — безразмерное время, взятое с момента встречи волн на срединной поверхности оболочки и до момента образования сквозной трещины (по условиям моделирования Т < 50 )• Графики, изображающие ст для бруса и оболочки, показаны соответственно на рис. 5 и рис. 6, а — на рис. 7 и 8.
Сравнительный анализ рис. 5 с рис. 6 и рис. 7 с рис. 8 показывает, что диапазон изменения ст и при одних и тех же нагрузках примерно одинаков. Так же, как и для бруса, для пластинки по характеру разрушения всю область разрушения можно разделить на две части: при/> = 1,0 -г-1,75 разрушение происходит в узкой области, вблизи срединной поверхности пластинки, и почти не сопровождается другими трещинами (за исключением «усов»), при Р = 1,75 -2,1 происходит множественное разрушение, сопровождающееся образованием новых трещин и даже групп трещин; взаимодействие этих трещин может как ускорять, так и замедлять разрушение пластинки. Наибольшее различие графиков как сг, так и наблюдается в области множественного разрушения при больших v; такое различие можно объяснить с энергетических позиций: для бруса а33 □ v • Р и часть работы нагрузок расходуется в плоскости, ортогональной {л,,х2}, поэтому при больших р иу в брусе образуются поперечные трещины, замедляющие разрушение (ст падает) и увеличивающие количество разрушенных ячеек (*р растет). Для пластинки в области множественного разрушения также наблюдается повышенная зависимость ст и от v, однако в этом случае причина оказывается другой: эквивалент давления для пластинки /? = 3_1(l + v)_1(l-2v)(an +а22), и при больших v величина р становится малой и в разрушении значительную роль начинает играть напряжение сдвига а12. Это также приводит к образованию поперечных трещин (но трещин сдвига) и к уменьшению и ст.
Заключение
В статье представлены результаты численного моделирования процесса множественного разрушения тонкой пластинки. Определены четыре характеристики разрушения: нижний предел разрушения Pf, время задержки разрушения Г0, средняя скорость разрушения ст и фрактальная размерность разрушения *р. Предложена аналитическая формула для определения зависимости Pfiy). Проведено сравнение результатов моделирования динамического разрушения бруса (плоскодеформированное состояние) и тонкой пластинки (плосконапряженное состояние), при этом получено хорошее совпадение 1) в диапазоне изменения рассматриваемых параметров, 2) в общем виде графиков и 3) в механизмах разрушения. Отличия характера разрушения пластинки от бруса обусловлены отсутствием в ней нормальных напряженийа33 и видом зависимости p(v), приводящей (при больших v ) к росту влияния касательных напряжений а, 2 на разрушение.
Литература
1. Булычев Г. Г. Динамика множественного разрушения плоскодеформированных упруговязкопластических тел при малых нагрузках / Строительная механика и расчет сооружений. № 6, — М., 2007. 13—19 с.
2. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. — М.: Мир, 2078. — 307 с.
3. Perzyna P. The constitutive equations for rate sensitive plastic materials. Quart. Appl. Math., 20 (5663).
© Г.Г. Булычев, 2008
№ 1 2008
CTNITEIHU MEXAIIIA I МИЕТ CIWIEIII IS» N39-2313
51


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
УДК 624.014.25.042.1
К.К. НЕЖДАНОВ, д-р техн. наук, проф., заслуженный изобретатель России, А.К. НЕЖДАНОВ, инж., А.А. КУЗЬМИШКИН, канд. техн. наук (ПГУАС, Пенза, ЗАО «Пенза GSM»)
СПОСОБ ГАРАНТИРОВАНИЯ ЗАДАННОЙ ВЫНОСЛИВОСТИ К-ОБРАЗНОГО СВАРНОГО ШВА В ПОДРЕЛЬСОВОЙ ЗОНЕ СТЕНКИ ДВУТАВРОВОЙ ПОДКРАНОВОЙ БАЛКИ
Причина возникновения усталостных трещин в К-образном шве в подрельсовой зоне стенки двутавровой подкрановой балки — циклические сдвиги, повторяющиеся в зоне шва миллионы раз [1, 2]. Высокие коэффициенты снижения выносливости (эффективные коэффициенты концентрации напряжений) К>4 [3, Т. 3, с. 141] интенсивно способствуют преждевременному появлению усталостных трещин.
От каждого из колес, движущихся по рельсу, возникают локальные вертикальные воздействия Р100, действующие с эксцентриситетом е, и локальные горизонтальные воздействия ±7*°, действующие с эксцентриситетом, равным высоте рельса hpejl (табл. 1).
То есть вместе с силами Р100 и Рос возникают локальные крутящие моменты
М !ос -■
1¥1кр
: рОС. е + рОС . U
(О
Эти моменты движутся вдоль рельса со скоростью движения крана. В настоящее время силу 7*с вычисляют по СНиП «Нагрузки и воздействия» [5, п. 4.5]:
7** =0,1 (2)
В соответствии с действующим СНиП «Нагрузки и воздействия» [5] расчет на выносливость производят от нормативных воздействий одного крана, причем при определении величины локальных воздействий учитывается коэффициент динамичности уу7 >1 [5, п. 4.8], зависящий от режима работы крана и типа подвеса груза (жесткого или гибкого). Также учитывается коэффициент повторяемости воздействий уп < 1 [5, п. 1.7 (и)] [6, с. 7].
В настоящее время прокатывают крановые рельсы (табл. 2). Рельс КР-140 является наиболее мощным прокатываемым профилем.
Например, при жестком подвесе груза и режиме работы крана 8К коэффициент динамичности у = 1,6. У краностроителей, по справочнику по кранам [3, т. 2, с. 62], коэффициенты динамичности «могут вдвое превысить значения, рассчитанные без учета погрешностей изготовления». При определении локальных напряжений в подрельсовой зоне стенки будем учитывать оба коэффициента, то есть Рэкв = уп ууу Рн. При определении общих (не локальных) напряжений в подкрановой балке будем учитывать только коэффициент повторяемости воздействий уп<1.
Локальные напряжения, возникающие в подрельсовой зоне, в первую очередь зависят от мощности применяемого рельса, и его следует назначать в зависимости от Рэкв. Рельс распреде-
Таблица 1. Подвижные локальные силы от колес кранов
Нормативная
Коэффициенты
Эквивалентная
При изгибе
динамичности
Ул
повторяемости
Уп
Рэкв _ УпУЛ Р«
и срезе Рнуп
Сила, гН
Вертикальная Р 4000
Горизонтальная 400
Т = 0,1Р
1,6
1,6
0,7
0,7
4480
448
2800
280
Таблица 2. Характеристики крановых рельсов
Тип рельса
Площадь сечения Арел, см2
Высота, см
Моменты инерции, см4
Масса, кг/м
Jx
Jy
Лф
КР-70
67,3
12
1081,1
327,2
253
52,8
КР-80
81,1
13
1547,4
482,4
387
63,7
КР-100
113,3
15
2864,7
941
765
89
КР-120
150,4
17
4923,8
1694,8
1310
118,1
КР-140
195,5
19
7427,2
2483,4
2130
153,5
52
CTNITEIHAI MEM11IA I РАСЧЕТ СМРУ1Е1И1ISSI 0031-2303
№ 1 2008


1 ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Таблица 3. Геометрические размеры (см) арочных параболических рельсов
Рельс
А
Ь-Ь0
b
Ьmax
2ЬП
И
'г
Л
АрКР50
5
1,0
10,0
25,1
12,2
11,5
1,6
8,54
АрКРбО
6
1,2
10,7
28,2
15,0
15,7
1,8
11,25
АрКР70
7
1,6
11,7
31,3
17,0
18,7
2,0
12,0
АрКР80
8
1,68
14
36,7
19,88
20,0
2,1
17,89
АрКРЮО
10
1,8
16,3
46,8
27,4
23,2
2,5
27,4
АрКР120
12
1,8
19,0
47,1
16,3
30,0
2,8
16,3
АрКР140
14
2,0
22,0
53,8
17,2
32,2
3,0
17,2
Таблица 4. Площади сечения, моменты инерции, моменты сопротивления, масса арочных параболических рельсов
Рельс
А, см2
Jx, см4
Wx, см3
Jy, СМ4
Wy, см3
Jp, СМ4
Масса, кг
АрКР50
38,0
780,9
135,8
1310,1
104,4
2091
29,846
АрКРбО
50,92
1971,5
251,2
2110,6
149,8
4082,1
39,97
АрКР70
67,31
3618,7
387
3299,4
211
6918,1
52,84
АрКР80
81,08
5042,7
504,3
5525,2
301,1
10567,9
63,65
АрКРЮО
112,91
9712,0
836,5
12095,9
516,9
21807,8
88,63
АрКРЮО
149,37
22073,2
1470,6
19322
820,5
41401,5
117,23
АрКР140
194,99
32171,6
1999,5
32077,7
1192,9
64249,3
153,07
Таблица 5. Увеличение моментов инерции и моментов сопротивления арочиых параболических рельсов по отношению к обычным рельсам, разы
Рельс
Jx
Wx
Jy
Wy
JP
АрКР50
2,18
1,782
11,76
4,207
4,45
АрКРбО
3,01
2,178
10,779
4,004
4,800
АрКР70
3,558
1,966
10,319
3,959
4,931
АрКР80
3,309
2,161
11,792
4,180
5,304
АрКРЮО
3,46
2,272
13,155
4,215
5,854
АрКРЮО
4,602
2,664
11,55
4,27
6,4
АрКРМО
5,81
3,162
12,30
3,89
7,90
ляет локальные контактные воздействия на большую длину и поэтому является макрорегулятором. Существующие рельсы часто не обеспечивают достаточной длины распределения локальных контактных воздействий, передаваемых от рельса на балку, и поэтому не обеспечивают достаточной выносливости К-образного сварного шва.
Низкая эффективность крановых рельсов возникает из-за ряда существенных недостатков. Существующие рельсы не гарантируют выносливости подрельсовой зоны. По действующим нормам [4, с.47] расчеты на выносливость выполняются для двух миллионов циклов, однако на самом деле не гарантируют и такой выносливости.
На рубеже второго и третьего тысячелетий были изобретены арочные рельсы [7]. Приводим сортамент арочных рельсов (рис. 1, табл. 3, табл. 4).
Сравнение новых арочных рельсов со стандартными, прокатываемыми в настоящее время, показывает их неоспоримые преимущества (табл. 5).
Главные преимущества арочных рельсов:
— гарантированное увеличение основных характеристик без увеличения материалоемкости. Например, увеличение моментов инерции при изгибе Jx в 2—6 раз, Jy — в 10—13 раз;
— наличие у рельсов естественной амортизирующей способности, возникшей в результате арочного очертания профиля;
№ 1 2008
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СИРУ1ЕН1ISSI1138-2313
53


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Рис. 1. Поперечное сечение арочного рельса: 1 — арка; 2 - параболические треугольники; 3 — подошвы
— хорошая устойчивость при действии сил 7ioc за счет значительной ширины профиля;
— простота проката по сравнению со старыми профилями рельсов.
К сожалению, прокат арочных рельсов не налажен.
При конструировании двутавровой сварной подкрановой балки прежде всего должен быть соблюден принцип равновыносливости подрельсовой зоны. На действующих комбинатах черной и цветной металлургии этот принцип нарушается. По исследованиям А.Б.
Патрикеева [8], наиболее часто усталостные трещины возникают у верхних углов разрезных балок. То есть эти узлы имеют наименьшую выносливость. Такое явление объясняется следующим: во-первых, нарушена непрерывность упругой опоры у рельса; во-вторых, упругая опора под рельсом имеет ступеньку, в результате чего воздействие от рельса передается только на одну, выступающую вверх балку, вызывая увеличение локальных воздействий в 2 раза; в-третьих, в этих узлах недопустимо высоки коэффициенты снижения выносливости (К>5) [3, с. 141, п.25]. Поэтому появление усталостных трещин в верхних узлах балки неизбежно.
Эти узлы должны быть законструированы по принципу равновыносливости и, безусловно, должна быть выполнена К-образная разделка кромок и обеспечен провар на всю толщину. Также опасны верхние концы сварных швов вертикальных ребер жесткости, где тоже нарушен принцип равновыносливости.
Следующий алгоритм расчета гарантирует достаточную выносливость К-образного сварного шва в подрельсовой зоне. Предлагаем задавать выносливость при прокатывании колес кранов не менее шести миллионов раз. Шесть миллионов циклов обосновываем следующим образом. По ведомственным нормам [9, с. 59] отраслевой срок эксплуатации подкрановых балок с интенсивным тяжелым режимом эксплуатации - минимум 10 лет. При накоплении в год 600- 650 тыс. циклов [1, 2] за десять лет накапливается не менее шести миллионов циклов.
В журнале «Строительная механика и расчет сооружений» [10, с.66] впервые опубликована полученная диаграмма пределов выносливости и линии регрессии в натуральной логарифмической шкале при симметричных циклах колебаний сдвигающих напряжений и амплитудном коэффициенте = 1:
х,ос
экст
(3)
(4)
=axN* =46,583 ■ N260 и при отнулевых циклах колебаний (Ах =0,5)
т'£о 5А: = я, JV* = 97,022 • N-°Л6°. (5)
Продлим эти линии регрессии до шести миллионов циклов и аналогично предыдущей статье получим пределы выносливости с учетом тройного рассеяния 3olnx/lnyv. Подставляя в уравнение линий регрессии А = 6, получим ожидаемые пределы выносливости без учета рассеяния. При симметричных циклах А = 1
T%LiK =aTNln =46,583-б-0,260 = 29,2 МПа, (6)
предел выносливости с учетом тройного рассеяния в координатах натуральных логарифмов
С),», = = 22,5 МПа. (7)
При отнулевых циклах Ах =0,5
- = axNbx = 97,022 • б"0’260 = 60,9 МПа,
(8)
54
CTPIITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СНРУ1ЕШ 1И1 N31-2313
№ 1 2008


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
предел выносливости с учетом тройного рассеяния
т7;
_ 1птЮ,5-Зст1п'с/1п УУ
Пред.вын.-е =46,9 МПа. (9)
Аналогично получим тангенс угла наклона нижней линии диаграммы пределов выносливости
%Ун=2'
Joe
I 4=1*
4=0,5*
=2(
(Ю)
(И)
(12)
и пределы выносливости при произвольном амплитудном коэффициенте
Пред.вын. ~ ТА=\К + т ' Н »
где хт — средние напряжения циклов сдвигов при четырех миллионах циклов
пред.выи. = 25,0 +1,04 • тт; (13)
при шести миллионах циклов
пред.,ын. = 22,5 +1,04 • тш. (14)
Предельные амплитуды колебаний сдвигающих напряжений
а пред ~ (15)
Подробно расчет выносливости выполнен в учебном пособии [6, прил. 3, с. 125]. Общая суть проверки на выносливость сводится к следующему: находятся средние напряжения в балке и предельные амплитуды колебаний сдвигов при локальных воздействиях колес кранов. Если амплитуды превышают предельные по диаграмме, приведенной на рис. 2, выносливость не обеспечена. Ориентировочные значения пределов выносливости при различных амплитудных коэффициентах приведены в табл. 6.
Обратим внимание на то, что предельные амплитуды локальных сдвигающих напряжений изменяются мало. Тем более что при 4—6 млн циклов амплитудный коэффициент/ >0,3. Так, при Ах = 0,29 предельная амплитуда колебаний больше, чем при симметричных циклах в 24,9/22,5 = 1,1 раза, то есть на 10 %.
Гарантированная выносливость К-образного сварного шва в подрельсовой зоне стенки балки обеспечивается следующим образом:
— амплитуды колебаний сдвигающих напряжений ±ха не должны превышать предельной амплитуды колебаний ±ха пред (6 млн циклов)
аапред (16)
— экстремумы сдвигающих напряжений не должны превышать предела выносливости Rv при определенном амплитудном коэффициенте А и заданном числе циклов прокатывания колес кранов (6 млн)
экстр -v (12)
Авторами был произведен ряд проверок выносливости существующих подкрановых балок согласно вновь полученной диаграмме выносливости. В частности, проверка подкрановой балки для крана грузоподъемностью QKp = 16/20 т с режимом работы 8 К, с жестким подвесом груза показывает, что выносливость при 6 млн циклов не гарантирована даже при использовании наиболее мощного прокатываемого рельса КР-140.
Рис. 2. Диаграмма пределов выносливости для 6 миллионов циклов колебаний напряжений
№ 1 20 0 8 СТНИЫЫи MEXAIIU I РАСТЕТ СНРУ1Е111ISSI N3B-2313 55


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Таблица 6. Значения пределов выносливости Rv и предельных амплитуд чапред в зависимости от амплитудного
коэффициента Ах
0
20
23,46
30
А
1
0,54
0,5
0,44
А
22,5
43,3
46,93
53,7
' а пред
22,5
23,3
23,46
23,7
40
60
80
100
103,3
0,38
0,29
0,24
0,21
0,21
64,1
84,9
105,7
126,6
130
24,1
24,9
25,7
26,6
26,7
Выводы
1. Вследствие того что расчет ведется для 6 миллионов циклов нагружений и производится учет тройного рассеяния в логарифмических координатах, диаграмма пределов выносливости становится существенно «уже» и показывает недостаточную выносливость тех конструкций, которые ранее считались выносливыми.
2. В ряде случаев гарантировать выносливость при использовании существующих рельсов невозможно, и ее следует повышать другими способами, например используя новый принцип конструирования сварных балок — удаляя сварной шов на такое безопасное расстояние, где локальные сдвигающие напряжения не смогут его повредить.
Литература
1. Нежданов К. К. Совершенствование подкрановых конструкций и методов их расчета / дисс. на соискание уч. степени доктора техн. наук - Пенза, 1992.
2. Сабуров В.Ф. Закономерности усталостных повреждений и разработка метода расчетной оценки долговечности подкрановых путей производственных зданий / дисс. на соискание уч. степени доктора техн. наук — Челябинск, 2002.
3. Брауде В.И., Гохберг М.М., Звягин И.Е. и др. Справочник по кранам: В 2 т. Характеристики материалов и нагрузок. Основы расчета кранов, их приводов и металлических конструкций. Под общ. ред. М.М. Гохберга. — М.: Машиностроение, 1988 - 536 с.
4. СНиП П-23-81*. Стальные конструкции: — М., 1990. — 96 с.
5. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия: - М., 1987. - 36 с.
6. Нежданов К.К., Нежданов А.К., Туманов В.А. Долговечные подкрановые конструкции: Учебное пособие. - Пенза: ПГАСА, 2000. - 176 с.
7. Нежданов К.К. Эффективные профили арочных рельсов: Учебное пособие / К.К. Нежданов, В.А. Туманов, А.К. Нежданов. - Пенза, ПГУАС, 2005. — 100 с.
8. Патрикеев А.Б. О механизме разрушения верхних участков стальных подкрановых балок //Промышленное строительство. — 1971, № 5.
9. ОРД 0000089. Техническая эксплуатация стальных конструкций производственных зданий. Вводится в действие с 3.08.1989. - М.; МИНЧЕРМЕТ, 1989. - 98 с.
10. Нежданов К.К., Нежданов А.К., Кузьмишкин А.А. Расчет на выносливость двутавровых подкрановых балок с К-об- разными сварными швами в подрельсовой зоне стенки // журнал «Строительная механика и расчет сооружений», № 4. - М., 2007. - С. 66-70.
Приложение
Проверим выносливость двутавровой сварной балки [6], сечение которой состоит из поясов — верхнего 61x2 = 122 см2, нижнего 41x2 = 82 см2 и стенки 170x1,2 = 204см2, с суммарной площадью £л = 408 см2.
Высота сечения балки h =174 см. Главный момент инерции Jx= 1971148 см4. Статический момент верхнего пояса Sx = 9463,4 см3. Расстояние до центра тяжести от нижней грани равно уц= 95,43 см. Поперечная сила Q = 4375 гН. Собственные моменты инерции верхнего пояса равны: при изгибе Jxn =40,7 см4, при кручении
А-0,6з|/п4 = 1-0,6з|24 = 159,3<
Характеристики рельсов приведены в табл. 2. Подвижные силы от колес кранов грузоподъемностью QKp = 16/20 т с режимом работы 8 К с жестким подвесом груза приведены в табл. 1. Пролет крана 28,5 м; нормативные вертикальные силы от колес кранов Рн = 4000 гН; масса крана 195 т; масса тележки 18,5 т; пролет подкрановой балки 12 м; тип рельса КР-120.
QSXn(M 4375-9463,4
Средние напряжения от среза = ——-— = = 17,5 МПа определяем при действии одного кра-
J х ’ * ст 17/ 114о * 1,2
на от нормативных сил РНУ умноженных на коэффициент повторяемости уп, то есть от
Уп рн =0,7 4000=2800гН. Они малоизменчивы и создают фон, на котором происходят колебания локальных сдвигов.
56
CTNITEIUAI MEXAIIIA I РАПЕ! С11РУ1Е11ЙII» №1-2313
№ 1 2008


ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ |
Таблица 7. Циклы колебаний напряжений в зоне К-образного шва при многократном прокатывании колес кранов (Рэкв = 4480 гН)
Вычисление величин локальных напряжений
При рельсе
КР-120 | КР-140
Эффективная длина волн локальных колебаний напряжений, см
1ч ■ ■ 3’254923'l82+ 40’7 =52'l?
52,17
59,8
Колебания крутящих моментов м1£ = РЭкв е+т-Ира М% = ± (4480-2 + 448-17) = ± 16576 гНсм
16576
± 17472
Колебания локальных напряжений при качении колёс кранов, МПа
Минимум напряжений при центральном сжатии | 0 | 0
Экстремум колебаний напряжений при центральном сжатии, МПа
«-. - -448° = - 7 1,56 t'/’tcm 52,1 7 1,2
-71,56
-62,45
х1х°; = ±0,3о'ос = ±0,3-71,56 = ±21,47
±21,47
±18,73
Циклические колебания напряжений от кручения верхнего пояса, МПа
= ±2Л/-./ст=±2-16576.1,2 =± V‘P ZyKp 1310 + 159,3
±27,08
±18,31
Амплитуды т£р = ±0,25 -стр = ±0,25 • 27,08 = ±6,77
±6,77
±4,58
Сумма колебания локальных напряжений от нуля до = а1ук ± ст'°;р = -71,56 - 27,08 = -98,6
-98,6
-80,77
Сумма амплитуд колебаний циклов сдвигающих напряжений ± ха
“=±(0,30+0,25-0'“)= ±(21,47+6,77)= ±28,24
± 28,24
±23,31
Отнулёвые колебания циклов сдвигающих напряжений от нуля до
*2т«*=-0.5ЕСТ>
-49,3
-40,38
В зоне сопряжения верхнего пояса и стенки балки определим колебания локальных напряжений, возникающие от катящихся колес кранов Рэкв = 4480 гН.
В табл. 7 дан расчет колебаний напряжений в стенке балки.
В соответствии с рассчитанной диаграммой выносливости делаем следующие проверки при рельсе КР- 120 и симметричных циклах колебаний, амплитудный коэффициент А, = 1:
1а < 1а пред J 1аА = 1 = 28>24 МПа > 22>5 МПа*
Амплитуда действующих напряжений превышает предельную амплитуду, следовательно, выносливость не обеспечена.
При отнулевых циклах колебаний, амплитудный коэффициент Д = 0,5 :
1а < 1а пред; 1аА=о,5= 0,549,3 = 24,65 МПа > 0,5 46,93 = 23,46 МПа.
Амплитуда действующих напряжений превышает предельную амплитуду, следовательно, выносливость не обеспечена.
Проверим выносливость около опоры. В этом случае необходимо учитывать средние напряжения = 17,5 МПа.
*V= = 22,5+1,04 Хт =40,7 МПа.
Действующие напряжения около опоры балки:
=v+SC = 17>5 + 28>24 = 45>74 МПа;
Ькстр = 45>74 > Rv = 4«,7-
Экстремальные напряжения больше предела выносливости, следовательно, выносливость не обеспечена.
Увеличиваем мощность рельса.
Проверка для рельса КР-140 дает следующее:
1ал=1 = 23,31 МПа > 22,5 МПа.
1аА=0 5 = 20Д9 МПа < 23,46 МПа.
хжстр = 40,81 > Rv = 40,7.
Ситуация улучшилась (ха л=0,5 удовлетворяет условию), однако в целом выносливость по-прежнему не обеспечена.
Так как рельс КР-140 является самым мощным из выпускаемых, следовательно, выносливость нужно повышать другими способами, например используя новый принцип конструирования сварных балок — удаляя сварной шов на такое безопасное расстояние, где локальные сдвигающие напряжения не смогут его повредить.
© К. К. Нежданов, А. К. Нежданов, А.А. Кузьмишкин, 2008
№ 1 2008
CTNITEIUAI MEMIIIA I РАСЧЕТ СНПЛЕН1 ISSI N31-2313
57


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
УДК 624.074.1.003
А.С. ДЕХТЯРЬ, д-р техн. наук, проф.
Национальный транспортный университет, Киев
ОПТИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ НА СУДОХОДНЫХ РЕКАХ
В [ 1 ] описана задача выбора оптимальной схемы стоечно-балочных конструкций (мосты и путепроводы) регулярной структуры с неразрезными балками, а для случая статически определимых балок аналогичная задача решена в [2]. Регулярные схемы мостов с одинаковыми длинами пролетов возможны в мостах на несудоходных реках, а на судоходных реках мосты имеют как минимум два пролета, предназначенные для пропуска судов. Если русло реки образовано породами, которые легко размываются, приходится проектировать несколько пролетов с длиной, равной длине судоходного пролета на случай, если изменится расположение наиболее глубоких участков русла.
Действующие нормы проектирования [3] на водных путях 1—4-го класса предусматривают устройство двух одинаковых судоходных пролетов для движения судов в обоих направлениях. На реках 5-7-го класса по судоходству больший пролет предназначают для низового движения.
Ниже модель [1] обобщена на случай проектирования автодорожных мостов на судоходных реках. В общем случае в результате решения такой задачи находим оптимальную схему моста, содержащую пролеты четырех размеров — два неодинаковых русловых судоходных пролета, набор одинаковых пролетов левой и одинаковых пролетов правой несудоходной части. При заданной несущей способности сооружения получаем соответственно четыре типа балок пролетных строений. Для расчета размеров поперечных сечений балок применена теория предельного равновесия и методика, описанная в [1], там же приведены основные соотношения. Как и прежде [1], описанные здесь методика и программа предназначаются для выбора оптимальной схемы сооружения на ранних этапах проектирования.
Алгоритм решения оптимизационной задачи предполагает следующие этапы.
1. Ввод исходных данных — ширины и профиля преграды. Профиль задается численно — координатами точек дна по результатам гидрологических измерений. Кроме того, задаются прочности материалов пролетных строений и опор, интенсивность равномерной поперечной нагрузки, заданные длины большего и меньшего судоходных пролетов, горизонт высоких вод, расчетный судоходный горизонт, допустимый коэффициент общего размыва.
2. Аналитическое описание профиля с помощью комбинации гармонических функций. Используются несколько первых гармоник и метод наименьших квадратов.
3. Отыскание точки с наибольшей глубиной.
4. Первоначальное размещение в этой точке русловой опоры, разделяющей оба судоходных пролета — они располагаются по обе стороны от опоры. Затем левый и правый несудоходный участки разбиваются на л, и п2 пролетов, одинаковых в пределах каждой из этих частей.
5. Определенные в предыдущем пункте длины разных пролетов (в общем случае — четырех) позволяют рассчитать размеры поперечных сечений балок пролетных строений, а также площади сечений и размеры русловых и пойменных опор.
Обозначим q интенсивность нагрузки, равномерно распределенной на всем пролетном строении и приходящейся на один квадратный метр поверхности. Допустим, что ширина балки (или суммарная ширина всех балок), равна Ь. Эта величина связана с длиной сооружения соотношением Ь = 2а$. Тогда из условия прочности балки
М0=0,125?М2. (1)
Прочностные свойства конструкции здесь представлены идеальным жесткопластическим материалом, у которого предел текучести при сжатии сГ намного превосходит предел текучести при растяжении а. Такой материал с достаточной степенью точности описывает поведение конструкционного железобетона.
Для балки прямоугольного сечения, выполненной из идеального жесткопластического материала с неодинаковыми пределами текучести при растяжении и сжатии, находим
M0=0,5cbh\
где И — высота прямоугольного сечения изгибаемой балки.
Подставив эту величину в равенство (1), получим
58
CTHITEIHAI МЕШШ I РАСЧЕТ СВВРУ1Е1К1IHI H39-23B3
№ 1 2008


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ 1
£2 =0,25 р,
гдее — относительная высота сечения, p = q<j~l — относительная интенсивность равномерной поперечной нагрузки.
Располагая размерами поперечных сечений балок, можем вычислить суммарный объем материалов в них:
Р,=4л3рел-1. (2)
Здесь п — число пролетов (далее п{ или п2).
Площадь поперечного сечения сжатой стойки может быть представлена выражением
F = 4a*pfin\ (3)
где п0 — наименьшее рассматриваемое число пролетов. Обозначим Н = ца и у = тогда объем материала во всех стойках равен
К, =4<7\>Рл2Х,
1=1
а полный объем материала
V = V,+V2 = 4e3P(n +2 n't). (4)
/=1
6. Для полностью определенной геометрической схемы сооружения вычисляются русловая и пойменная части расхода, отверстие моста и коэффициент общего размыва. В этих вычислениях в алгоритмическом плане наибольшую трудность представляет расчет площади «живого сечения»
— площади замкнутого многоугольника, ограниченного ломаной линией дискретно заданного профиля и линией горизонта высоких вод. Проблема заключается в программном определении точек пересечения этой горизонтали со сторонами полигона, часто невыпуклого.
Вначале вводится автоматическое описание полной области профиля с помощью логических R- функций [4]. Затем устанавливается принадлежность этой области точек 1,2,3 ... (рис. 1), последовательно выбираемых на линии горизонта высоких вод. За пределами области /-функция отрицательна, она обращается в нуль на границе области и положительна внутри области. Точки пересечения горизонтали с профилем определяются как точки перемены знака /-функции.
Среди всех возможных проектов допустимыми считаются проекты, для которых коэффициент общего размыва меньше допустимого.
7. Для допустимых проектов вычисляется целевая функция — приведенная стоимость материалов, в которой стоимости материалов опор и пролетных строений вводятся с весовыми коэффициентами, учитывающими особенности конструкций и их возведение.
8. Поиск оптимального проекта — проекта с наименьшей приведенной стоимостью материалов производится по трем независимым переменным - числам щ и п2 пролетов в левой и правой несудоходных частях моста и d - смещению средней русловой опоры судоходных пролетов в одну или другую сторону от точки с наибольшей глубиной.
Ниже представлены примеры оптимальных схем балочных мостов и приведен анализ полученных результатов. Во всех примерах ширина реки равна 240 м, интенсивность равномерной поперечной нагрузки принята равной 100 МПа.
В первом примере величины судоходных пролетов составляют 48 и 36 м. Профиль преграды задан дискретно и представлен суммой трех синусоид с амплитудами T|i =0,15;rj2 =0,07;т|3 =0,02. Профиль и полученный проект показаны на рис. 2, а. В нем целевой функции — безразмерной величине приведенной стоимости z = 2,55-10“2 отвечает разбиение левой части моста на 5 и правой части
— на 3 пролета. При этом русловая опора, разделяющая судоходные пролеты, смещена влево на 20 м относительно точки с наибольшей глубиной.
Если в этом примере положение опоры зафиксировать в наиболее глубоком месте, вид оптимального проекта изменится (рис. 2, б), а приведенная стоимость увеличится на 3 % — с 2,55-10-2 до 2,62* 10-2. Переход к варианту с двумя одинаковыми судоходными пролетами L — 48 м незначи- рис. \
№ 1 2008
CTMITEIHU МЕШКА I РАСЧЕТ CBIPYIEIll ISSI N31-2313
59


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Рис. 2
Рис. 3
4*23
3*21,33
тельно изменяет вид оптимального проекта (рис. 2, в) и увеличивает его стоимость до 2,68-Ю-2.
Второй пример отличается от первого глубиной русла и конфигурацией профиля т\{ =0,45; т|2 = —0,1; Лз= 0,07. По остальным параметрам он соответствует сооружению, оптимальный проект которого показан на рис. 2, а. Увеличение глубины привело к удорожанию проекта z =3,80-10-2. Изменилась и схема сооружения (рис. 3).
Анализ представленных здесь и других многочисленных оптимальных проектов позволяет сделать некоторые выводы.
1. Варьирование положения русловой опоры, разделяющей оба судоходных пролета, не всегда приводит к ее смещению относительно самой глубокой точки профиля.
2. Увеличение судоходных пролетов сверх заданных размеров всегда сопровождается удорожанием проекта, поэтому можно утверждать, что длины судоходных пролетов не должны включаться в число варьируемых переменных оптимизационной задачи.
3. Принятое в проектной практике предположение о приблизительном равенстве стоимостей опор и пролетных строений в оптимальном проекте справедливо лишь для определенных глубин русла.
4. Увеличение интенсивности заданной нагрузки удорожает проект, но не изменяет схему сооружения.
Литература
\. Дехтярь А.С. Оптимальные схемы стоечно-балочных конструкций //Строительная меха ника и расчет сооружений. — 2007. — № 1. — С. 18—23.
2. Дехтяр А.С. Оптимальш схеми балкових моспв // Вюник Нацюнального транспортного ушверситету. — 2007. - № 13. - С. 260-266.
3. Державш буд1вельш норми Украши (ДБН Украши) В.2.2-14:2006. «Споруди транспорту. Мости та труби. Правила проектування». — Кию, 2006, Офщшне видання. — 359 с.
4. Рвачев B.JI. Геометрические приложения алгебры логики.- Киев: Техника. — 1967. — 287 с.
5. Богданов Г.И., Владимирский С.Р. Проектирование мостов и труб. Металлические мосты: Учебник для вузов
ж.-д. транспорта. М.: Маршрут. — 2005. — 460 с.
© А. С. Дехтярь, 2008
60
CTPHTEIHAI MEXAIIIA I РАНЕТ СНРУ1ЕН1 Ml 1131-2313
№ 1 2 0 0 8


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
УДК 624.042.8
П.М. САЛАМАХИН, д-р техн. наук, проф. (МАДИ (ГТУ))
ОСОБЕННОСТИ ТРЕХ ЗОН ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ВОЗМОЖНЫХ РЕШЕНИЙ ИЗГИБАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В трудах Н.С. Стрелецкого [ 1,2], подводящих итоги работ в области познания закономерностей веса конструкций, отмечено, что «теория законов веса конструкций планомерно не разработана, хотя отдельные частные вопросы уже вскрыты». Это побудило предпринять попытку развития закономерностей изменения веса изгибаемых конструкций, основы которых были созданы Н.С. Стрелецким.
Так, для выполненной из материала с модулем упругости Е произвольной изгибаемой конструкции, загруженной некоторым образом по длине пролета, получены закономерности изменения ее веса G в функции непрерывно изменяющихся ее высот Я и уровней расчетных сопротивлений R. В пространстве G—R—H эта зависимость представлена в виде некоторой поверхности, которая названа «весовой » [4]. Для представления на этой поверхности информации о прогибах конструкции использована известная фундаментальная зависимость
f н
между относительными прогибами —, относительными высотами — изгибаемых конструкций
L Е
а
и относительными деформациями — кромок их поясов. В зависимости (1) а и р — коэффици-
Е
енты, учитывающие тип поперечного сечения конструкции и схему ее загружения.
/
Из нее следует, что при фиксированной величине параметра ар — значение относительного параметра — для изгибаемых конструкций находится в линейной зависимости от относи-
Е н
тельного параметра —, а при заданных величинах пролета L, модуле упругости материала Е и
1 к f
схеме загружения конструкции условие постоянства относительного прогиба — при проектировании конструкции различной высоты выполняется, если соблюдать условие
Используемые расчетные сопротивления материала R и применяемые высоты Я в любой балочной конструкции могут иметь верхнее и нижнее значения. Так, реальные расчетные сопротивления имеющихся конструктивных материалов с некоторым модулем упругости Е могут принимать значения в некоторых пределах от минимального значения Rn до максимального /?шах- Высота Я конструкции в рамках принятой конструктивной формы также может изменяться от минимального ее значения Hmin до максимального Ятах. Будем называть ту часть весовой поверхности, которая находится в пределах Hmin < Я< Ятах, /?min < R < Rmax , областью возможных решений изгибаемой конструкции рассматриваемой конструктивной формы.
Уравнение весовой поверхности в этой области на основе физических соображений представлено ранее [4] в следующем виде:
где первый член учитывает вес поясов изгибаемой конструкции, второй — вес стенок, ребер жесткости, вертикальных связей сплошных изгибаемых конструкций или вес элементов решетки и вертикальных связей сквозных изгибаемых конструкций, третий - вес горизонтальных связей, поперечных балок, элементов настила. В этом уравнении/10 — некоторая функция, которая определяет влияние всех основных параметров, кроме Я и R, на вес первой группы элементов; /20 — аналогичная функция, определяющая вес втррой группы элементов; /30 — функция, определяющая вес третьей группы элементов; а, (3, %, V— положительные по физическому смыслу показатели степеней, учитывающие влияние параметров Я и R.
R = кЯ,
(2)
где к =
(3)
№ 1 2008
CTNITEIUAI MEMIIIA I МПЕТ CBIPYIEIII1Й1 N39-2313
61


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
v>" V'N'V
\V\
Kmiii Й* h h «*
Рис. 1. Проекция весовой поверхности G=f{R,H) на плоскость R— Я
В сечениях этой поверхности горизонтальными плоскостями с аппликатами <7, = const получаются горизонтальные кривые равного веса (изопонды), которые являются геометрическим местом точек на весовой поверхности, соответствующих возможным конструктивным решениям с одинаковыми значениями веса. Эти кривые представлены на проекциях поверхности на плоскость R —Я (рис. 1).
При сечении весовой поверхности вертикальными плоскостями со значениями Rt = const получаются вертикальные кривые (изотензы), которые являются геометрическим местом точек на весовой поверхности, соответствующих возможным конструктивным решениям изгибаемой конструкции с одинаковыми уровнями строго реализованных расчетных сопротивлений при различной высоте конструкции. На рис. 2 на плоскости G — Н приведена проекция семейства изотенз с различными значениями RL
Каждая изотенза при определенном значении высоты, определяемой нижеприведенной формулой
Н onmR
<*/
10
Х/20Д
(4)
имеет точку с минимальным значением веса конструкции при рассматриваемом уровне расчетных сопротивлений. Линия, соединяющая минимумы изотенз, является одним из тальвегов весовой поверхности и названа тальвегом изотенз.
Отмечены следующие особенности семейства изотенз.
• Изотензы с более высоким уровнем расчетных сопротивлений на плоскости G —Я стремятся к началу координат.
• Минимумы изотенз, характеризующихся более высоким уровнем расчетных сопротивлений, на плоскости G — Я стремятся к началу координат.
При сечении весовой поверхности вертикальным пучком плоскостей, проходящих через
СЦ>ц/-)
начало координат с разными угловыми коэффициентами к = , получено семейство
изофлекс — геометрических мест точек на поверхности, соответствующих возможным конст-
62
СТР11ТЕ1ИА1 МЕШШ I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН1ISSM1131-2313
№ 1 2008


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Рис. 3. Вид изофлексы
руктивным решениям изгибаемой конструкции с одинаковыми значениями относительного прогиба. На рис. 3 на плоскости G — Н приведена одна из изофлекс.
Каждой точке этого графика соответствуют варианты решения конструкции, относительные прогибы которых одинаковы, а напряжения в поясах различны и равны кЯ. В связи с этим на оси абсцисс этого графика кроме масштаба Я нанесен еще масштаб R = к Я. Минимальному весу конструкции <7min к соответствует некоторая оптимальная высота Нопт к и напряжение R = = кНопт к в нижнем поясе конструкции. При любой другой высоте, отличной от Нопт к, и другом уровне напряжений, отличном от кНопт, вес ее будет больше. Это приводит к важному выводу о том, что при проектировании конструкции по жесткости не всегда следует в ней полностью использовать расчетные сопротивления. Минимальный вес конструкции в этом случае получается при условии, если напряжение в нижнем ее поясе принимает вполне определенное значение, равное R = к Я. Это напряжение будем именовать оптимальным напряжением для конструкции с заданным относительным прогибом и обозначать Ronm к. Соответствующую ему высоту будем называть оптимальной высотой при проектировании по жесткости и обозначать Нопт к. При использовании более высоких уровней расчетных сопротивлений, чем оптимальный, вес изгибаемой конструкции и ее высота возрастают, что делает нецелесообразным применение в них более прочных материалов.
На плоскости R — Я (см. рис. 1) семейство изофлекс проецируется в виде семейства прямых, а на плоскости G — Н в виде семейства кривых. Каждая изофлекса имеет свою точку минимума при некоторой оптимальной высоте, определяемой нижеприведенной формулой
Но,
(«+р)/к
_]а+Р+х-
(5)
(X-v)/20tfM
Соединив точки минимумов всех изофлекс, подучим линию их тальвега. На рис. 1 приведено положение тальвега изотенз ЛВ и тальвега изофлекс СД. Из соотношения (4) получено уравнение линии тальвега изотенз в виде
в v af
R* =—
а из соотношения (5) — уравнение тальвега изофлекс в виде
<а+р>/,„
/Г=:
(6)
(7)
Так как значения а, (3, X и V больше нуля, то всегда будет иметь место соотношение
а + Р > —, что свидетельствует о том, что для всех изгибаемых конструкций на плоскости R— Я X-v X
тальвег изофлекс более удален от начала координат, чем тальвег изотенз.
При анализе закономерностей, свойственных весовой поверхности, выявлено, что линии тальвегов изотенз и изофлекс разделяют область существования возможных решений на три зоны, отличающиеся условиями получения конструкций минимального веса. Отметим, что про¬
№ 1 2008
CTHUEIHU MEXAIIIA I РАСТЕТ CIWlElllIKI N31-2313
63


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
фессор В.В. Захаров ранее в работе [3] установил соответствующие этим зонам три случая проектирования. Рассмотрим выявленные зоны.
Обозначим зоной I ту часть области, которая находится на тальвеге изотенз АВ (см. рис. 1) и левее его. Зоной II обозначим ту часть области, которая находится между тальвегами изотенз АВ и изофлекс СД (см. рис. 1). Зоной III обозначим ту часть области, которая находится на тальвеге изофлекс СД и правее его.
При решении практических задач проектирования необходимо выбирать тот вариант конструкции, который при заданном уровне расчетных сопротивлений R = Rq имеет минимальный
вес и относительный прогиб \ /i) — i /i\ • Эти задачи решаются по-разному, в зависимости от того, в какой зоне области возможных решений точно удовлетворяются условия:
то есть, в какой зоне области существования находится точка пересечения изотензы R = Rq с
Если условия (8) удовлетворяются в зоне I области возможных решений, то конструкция минимального веса получается в том случае, если принимается вариант, находящийся на линии тальвега изотенз при R = Rq. Относительный прогиб этого варианта всегда меньше допускаемого или, в частном случае, равен ему.
Для иллюстрации этого выберем точку М (см. рис. 1), лежащую в зоне I области возможных решений. Пусть в ней точно выполняются условия (8). Она лежит вне тальвега изотенз, поэтому не удовлетворяет условию минимума веса при R = Rq= Rq. Искомое решение можно найти, двигаясь по области от точки Мк тальвегу изотенз по изотензе, на которой находится точка М. Движение вне изотензы при R>Rq невозможно из-за нарушения условия прочности, а движение при R < Rq нецелесообразно, так как это приводит к увеличению веса конструкции. Целесообразным остается только движение по изотензе к ее тальвегу, где находится искомая для этого случая точка N, содержащая оптимальное по условию минимума веса решение. При этом движении пересекаются изофлексы с (//l) 4X0 свидетельствует об уменьшении относительных прогибов
конструкции, т.е. об избыточном удовлетворении условия жесткости конструкции.
Таким образом, относительный прогиб оптимального варианта в зоне I меньше V/\ или
равен ему при нахождении точки М на линии тальвега изотенз. Эта особенность зоны I свидетельствует о том, что размеры конструкции в ней определяются только условием прочности. Об удовлетворении условия жесткости в этой зоне можно не заботиться, оно выполняется всегда с избытком.
Если условия (8) удовлетворяются в зоне II области существования возможных решений, то конструкция минимального веса получается в том случае, если принимается вариант, соответствующий строгому удовлетворению этих условий. Для иллюстрации этого выберем точку L, лежащую в зоне II (см. рис. 1). Пусть в ней строго выполняются условия (8). Эта точка не удовлетворяет условию минимума веса при R = Rq, так как лежит вне тальвегов изотенз и изофлекс. Двигаться от нее к тальвегу изотенз нельзя, так как это приведет к нарушению условия
вию R >Rq, что недопустимо. Движение от точки L по изотензе к тальвегу изофлекс возможно, но нецелесообразно, так как это приведет к увеличению веса и высоты конструкции. Следовательно, единственно возможным решением в этом случае является принятие того конструктивного решения, которое соответствует точке L. Это решение является компромиссным. Оно не является идеальным для удовлетворения условий прочности или условий жесткости. Тем не менее в этом решении полностью используется заданное расчетное сопротивление, а относительный прогиб равен допускаемому.
Отмеченная особенность зоны II области свидетельствует о том, что в ней определяющими размеры конструкции являются условия прочности и жесткости. Пренебрежение каким-либо из этих условий приводит или к снижению надежности конструкции, или к увеличению ее веса.
Если условия (8) удовлетворяются в зоне III области существования возможных решений,
(8)
изофлексой (f/)
, двигаться от нее к тальвегу изофлекс также нельзя, так как это приведет к усло-
64
CTPIITEIHAI МЕШШ I РАНЕТ СНРУ1Е1Ш ISSI1131-2313
№ 1 2008


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Рис. 4. К методу направленного поиска Ни R
то конструкция минимального веса получается в том случае, если принимается вариант, находящийся на тальвеге изофлекс с (f/i) ~V/[\- Уровень расчетных сопротивлений, необходимый для этого варианта, всегда будет меньше заданного R< Rq или, в частном случае, равен ему.
Для иллюстрации этого выберем точку Р (см. рис. 1), лежащую в зоне III области возможных решений. Пусть в ней строго удовлетворяются условия (8). Она не отвечает условию минимума веса, так как лежит вне тальвегов изотенз и изофлекс. Для получения варианта конструкции, удовлетворяющего условию минимума веса, необходимо от точки Р двигаться в сторону тальвегов. Движение по изотензе к точке N обеспечивает самое интенсивное снижение веса, но
оно невозможно ввиду того, что при этом нарушится условие (f/i) —1{/0 • Единственно возможным направлением поиска оптимального решения в этом случае является движение по изофлексе к минимальной ее точке F, т.е. к тальвегу изофлекс. При этом движении пересекаются изотензы с R< Rq, что свидетельствует об уменьшении необходимого уровня расчетных сопротивлений, т.е. об избыточном удовлетворении условий прочности. Таким образом, оптимальный уровень расчетных сопротивлений в зоне III всегда меньше заданного уровня расчетных сопротивлений. В частном случае при нахождении точки Р на тальвеге изофлекс, он будет равен заданному.
Эта особенность зоны III свидетельствует о том, что основным условием, определяющим размеры конструкции в ней, является условие жесткости. Об условии прочности в этой зоне можно не заботиться, оно удовлетворяется всегда с избытком. Получение конструкции наименьшего веса обеспечивается при снижении уровня расчетных сопротивлений до оптимального уровня R = Ronm к
Из вышеизложенного следует, что поиск оптимального решения конструкции необходимо начинать с установления той зоны области возможных решений, в которой по заданным исходным данным его следует искать. Для этого воспользуемся выявленными выше закономерностями и характерными особенностями этих зон. Выше было отмечено, что характерными особенностями зон являются:
для зоны I - (f/L)onm [f/L]; (9)
для зоны II —
> Rопт >*о; (Ю)
для зоны III — Ronm < Rq. (11)
Для нахождения положения оптимального решения конструкции в области существования
в общем случае необходимо определить две величины: у/ ) и Ronm, сопоставить их с допус-
/ ь/ опт
№ 1 200 8 СТИ1ТЕ1ИА1 МЕШИ» I РАСЧЕТ ClinriEIII ISSI N31-2313 65


ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ
каемым значением У/\ и заданным уровнем расчетных сопротивлений Rq. При этом по условиям (9), (10) и (11) устанавливается номер зоны.
В общем случае этот поиск следует производить по-разному, в зависимости от того, известны ли
значения а, (3, % и V и явные зависимости /|0h/20 в формуле (3) для веса конструкции. Если они известны, то по формулам (4) и (5) можно определить значения оптимальных высот HonmR Нопт к.
Значенияи &опт после этого могут быть определены по формулам:
/)опт=щ,ЕН (12)
Rопт к — к* (13)
По известным значениям ({/i)onm и Ronm к далее по условиям (9), (10) и (11) устанавливается номер зоны, а затем на основе изложенных выше закономерностей находится оптимальное решение конструкции. Если искомое решение находится в зоне 1, то оно расположено в точке минимума изотензы R = Rq. Если искомое решение находится в зоне II, то оно расположено в
точке пересечения изотензы R = R$c изофлексой (//) =[%]- Если искомое решение находится в зоне III, то оптимальный вариант расположен в точке минимума изофлексы.
Если конкретный вид функции (3 ) неизвестен, то при выборе оптимального решения среди всех решений, находящихся во всей области их существования, целесообразно воспользоваться излагаемым ниже методом двух сечений.
В соответствии с этим методом (см. рис. 4, а) при автоматизированном проектировании конструкции область возможных решений вначале следует рассечь плоскостью R = Rmax и получить изотензу с R = Rmax. Точке N (см. рис. 4, б) минимума изотензы при этом будет соответствовать некоторый относительный прогиб ({/i)onm •
Далее необходимо сопоставить ({/i)onm с \?/j\ • При этом может быть два случая.
Случай 1. (f/L)onm[f/J . Точка N (см. рис. 4, б) изотензы на ее проекции на плоскость R— Я будет находиться в положении N2 (см. рис. 4, а), т.е. правее точки D пересечения изотензы с изофлексой. Дальнейший поиск следует прекратить. Оптимальный вариант решения конструкции уже найден: он находится в первой зоне области существования в точке N2 минимума изотензы.
Случай 2. (f/L)onm>[f/]- Точка N изотензы на ее проекции на плоскость
R —Н будет находиться в положении Nb т.е. левее точки D пересечения изотензы с изофлексой. В этом случае поиск следует продолжить с тем, чтобы установить, в какой — второй или третьей — зоне области существования находится оптимальное решение. Для этого область существования следует при автоматизации проектирования рассечь дополнительно плоскостью (//) = V/j\
и получить изофлексу с ) = [/\.
Точке У7 (см. рис. 4, в) минимума изофлексы будет соответствовать некоторый оптимальный уровень расчетных сопротивлений Ronm к. Если Ronm к< Rq (при этом точка F изофлексы на ее проекции на плоскость R — Н будет находиться в положении F2 (см. рис. 4, а)), то оптимальный вариант соответствует в точке F2 минимума изофлексы, т.е. зоне III области существования возможных решений.
Если RonT к >Rq, то оптимальный вариант находится в точка D (рис. 4, а) пересечения изотензы и изофлексы. В этом случае он находится в зоне II области существования возможных конструктивных решений.
Литература
1. Стрелецкий Н.С., Стрелецкий Д.Н. Проектирование и изготовление экономичных металлических конструкций. — М., 1964.
2. Стрелецкий Н.С. Законы изменения веса металлических мостов. Транспечать, 1926.
3. Захаров В. В. Теоретические предпосылки к установлению системы высотных типоразмеров пролетных строений мостов//. Вопросы типизации мостовых конструкций.— М., 1963.
4. Саламахин П.М. Метод обобщения закономерностей веса несущих конструкций. — М., 1977.
©П.М. Саламахин, 2008
66
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ С11РУ1Е1И 1И11831-2313
№ 1 2008


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
УДК 539.3:624.04
Г.В. ВАСИЛЬКОВ, д-р техн. наук, проф.
(Ростовский государственный строительный университет)
ЭВОЛЮЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Введение
Все без исключения объекты природы из косной или живой материи проходят этапы зарождения, роста, адаптивной эволюции, гомеостатического равновесия, разрушения и, в конечном счете, исчезновения, или, точнее, превращения в элементы других систем. Разрабатываемая теория эволюции жизненного цикла механических систем предлагается для изучения структуры несущих конструкций строительных сооружений. Условно время жизни сооружения разбивается на три этапа — становления, квазистационарного состояния, разрушения. Разрабатываемая теория, имеющая безусловно широкий спектр применения, иллюстрируется на примерах расчета несущих конструкций строительных сооружений, т.е. речь идет о структурах строительных систем, обеспечивающих нормативную прочность, жесткость, деформативность, устойчивость [1, 2].
В таком контексте становление - создание проекта будущего сооружения в результате мыслительной деятельности человека и затем его возведение. Следующий этап жизни сооружения — квазистационарное состояние структуры. Внешняя среда, внешние воздействия (силовые статические и динамические, температурные, кинематические) на всем протяжении этого этапа варьируются, естественно, изменяются компоненты НДС системы, но если при этом не происходит перестройки структуры, то такой этап жизни сооружения будет называться квазистацио- нарным. При отсутствии таких эффектов в материале, как пластичность, ползучесть, релаксация, разрушение, раздел науки МДДТ — теория упругости позволяет определить компоненты НДС сооружения на этом этапе. Следующий, третий этап в жизни сооружения — эволюция разрушения, постепенный распад элементов системы, уменьшение их рабочих объемов, ослабление, редукция или — инволюция. Завершением третьего этапа при постепенном накоплении повреждений является либо лавинообразное разрушение, либо искусственное расчленение системы, когда поставлен диагноз об опасности дальнейшей эксплуатации.
На первом этапе предлагается использовать теорию адаптивной эволюции механических систем (ТАЭМС) [2], на втором — теорию упругости (ТУ), на третьем — теорию эволюции разрушения (ТЭРМС), основы которой будут изложены ниже. В совокупности обозначенные теоретические представления образуют эволюционную теорию жизненного цикла (ЭТЖЦ) механических систем.
Построение ЭТЖЦ базируется на законе сохранения энергии для самоорганизующихся систем, на предположении существования идеального состояния системы, когда повсюду, в любом индивидуальном объеме плотность энергии деформаций э = эн, где эн — нормируемая величина,
эУ = э.Г, (1)
где V, V' — текущий и итоговый объемы произвольного элемента системы. Стремление к изоэ- нергетичности на микроуровне (2-й закон термодинамики) порождает микрохаос, но одновременно на макроуровне, если система имеет способность поддерживать гомеостазис, то в ограниченных объемах вещества появляется порядок — гармония, симметрия, ритм [1, 2]. Первое
следствие закона сохранения (1)
V' = ryV, т = э;'э,уе (0, 1] (2)
позволяет определять величину V' в отдельных элементах и в целом для всей системы итоговую изоэнергетическую структуру методами ТАЭМС. При отсутствии метаболизма система не может устранять паразитные и наращивать недостающие объемы «строительного материала» в элементах. Будем предполагать, что элементы системы из косного вещества при отсутствии метаболизма разрушаются, когда э > эн. Основную зависимость для такого состояния элемента определим по (1), выражая величину текущего объема V через V':
У = э„э-]У',э>эн. (3)
№ 1 2008
CTHITEMU MEXAIIIA I РАСЧЕТ СШУ1Е1Н IS» 1131-2313
67


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
Таблица 1.
Единая формула изменения объема V = xyV, х = э~'э
становление
разрушение
э
э > э„,
уе (0, 1]
уе [-1,0)
квазистационарное состояние э < э„, у= О, V = V
В реальных материалах рост деформаций и, как следствие, текущей плотности энергии э происходит с задержкой (явления ползучести).
По этой причине в (3) дополнительно вводится параметр 5 е [0, 1], учитывающий задержку разрушения индивидуального объема V':
K = (v>"')V, 8 6 [0, 1]. (4)
Первое (2) и второе (4) следствия из (1) можно записать единой формулой
V = xyV, (5)
которая при разных величинах у трактуется как формула изменения индивидуального объема эволюционирующей системы для этапов становления (у е (0, 1]), квазистационарного состояния (у = 0), разрушения (уе [-1, 0)) (см. табл. 1).
2. Теория разрушения
При построении экспериментальных зависимостей а ~ е рассматриваются результаты опытов при одноосном растяжении, сжатии, чистом сдвиге, всестороннем сжатии и др. Экспериментальный образец представляет собой конструкцию с неоднородным распределением компонент НДС. Например, при сжатии бетонного кубического образца диаграмма деформирования а ~ е имеет характерный вид, изображенный на рис. 1, а. При построении диаграммы силу Р, сжимающую образец, относят к первоначальной площади F0, а укорочение А/ — к первоначальной высоте /0 (а = />/Уг0, е = А///0), т.е. не учитывают уменьшение рабочей площади поперечного сечения образца в процессе нагружения, хотя известно, что при испытании прочности бетонного кубика в момент разрушения площадь поперечного сечения уменьшается примерно на 30—40 % (рис. 1, б).
Диаграмма деформирования, изображенная на рис. 1, а, называется условной (на жаргоне квазиисследователей «полной», т.к. к участку ОА присовокупляется ниспадающая ветвь АВ). Учет ниспадающей ветви диаграммы приводит к нелепым и бессмысленным выводам. Для демонстрации этого представим, что при достижении точки А образец зафиксирован между двумя жесткими пластинами (рис. 1, в), и предполагая, что материал сопротивляется в точном соответствии с графиком на рис. 1, а, определим приращение напряжений на участке АВ:
До = н&а*Де, Ао = о в-оА, Ае = ев-еа.
В результате получим, что при До>0 (уменьшение сжимающих напряжений) Де<0 (деформации сжатия продолжают увеличиваться). Таким образом, если следовать реликтовому заблуждению о существовании ниспадающей ветви, то оказывается, что растягивающее напряжение Да вызывает деформацию сжатия Де. Такого абсурдного механического эффекта для реальных материалов окружающей нас природы получить невозможно. В чем принципиальная ошибка заблуждающихся? Оказывается, кривую равновесных состояний несущей конструкции (бетонного образца) Р~А1 они отождествляют с диаграммой о ~ е. При построении действительной диаграммы необходимо в процессе разрушения образца выявлять величину текущей рабочей площади F материала ненарушенной структуры и определять истинные напряжения. При этом
♦
Да
I
Да
68
OTHTEIHM МЕШКА I РАСЧЕТ CIWIEIll IS» 1139-2313
№ 1 2008


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
действительная диаграмма отличается от условной только по оси ординат (при равных деформациях ординаты действительной диаграммы больше ординат условной по абсолютной величине). Более того, численные эксперименты показывают, что в области ненарушенной структуры материал ведет себя как линейно-упругое тело с начальным модулем упругости.
При формулировке уравнений равновесия физических и геометрических зависимостей в МДДТ рассматривается исчезающе малый элемент пространства, занятого деформируемым твердым телом, по Ньютону, - материальная точка объемом V. В процессе становления—разрушения системы при формулировке второй начально-краевой задачи морфодинамики [2] предполагается, что модуль упругости Е изменяется. Умножим левую и правую часть (5) на Е
EV = xyEV, _ (6)
и будем предполагать, что индивидуальный объем материальной точки V -V - const, а осред- ненный модуль упругости изменяется в соответствии с равенством
EV = EV,
тогда из (6) следует
Ё = хуЕ. (7)
В процессе становления э >, =, < эн и уе (0, 1]. В процессе разрушения метаболизм прекращается и в индивидуальных объемах при э < эн параметр у = 0, а при э> эн у е [-1,0).
Физические уравнения теории упругости для квазистационарного этапа жизни системы представим в виде
CTj, = Stf3АГе0 + ; К = Е/3(1-2v); G = E/2(1+ v). (8)
Компоненты тензора напряжений при такой записи получены в виде суммы шаровой и де- виаторной частей. Для этапов становления и разрушения заменим в (8) величину модуля упругости на осредненный модуль Ё (7):
о, =т» (8,3*6,+ 2 Get). (9)
Полная система уравнений пространственной задачи эволюционной теории жизненного цикла, включающая уравнения равновесия, геометрические и физические зависимости, статические и кинематические краевые условия, начальные условия, имеет вид:
-+р,= 0, еК; Эх,
ги 2
охЧ&'ЗКгь+Хк,), е V,S;
<у*-я»/=о>
щ-иь= 0, eS2; э = э°, тт = 1, т = ээ“‘, e V,S.
(Ю)
Нормируемая плотность энергии эн в процессе становления—разрушения определяется на основании положений естественного отбора. В процессе становления при отклонении э от нормируемой величины э„ включается механизм гомеостазиса и величина модуля упругости Е изменяется так, чтобы э —> эн. Предположим, что в некоторый момент эволюционного времени нормируемая плотность энергии достигла величины эн. Пусть наибольшие по абсолютной величине компоненты напряженного состояния системы при растяжении, сжатии, сдвиге равны Gpmax* Ccmax’ Хтах‘ Обозначим эту совокупность величин буквой о. Определим коэффициенты пропорциональности в зависимостях а = $эн =>Р = я_1э„. Введем обозначение для нормируемых напряжений растяжения, сжатия, сдвига в виде ан = [ор\, [ас], [т]. Эволюционирующая система может существовать без отклонений от нормы, если а<ан. При этом зависимость между ан и эн принимает вид: ан = Р'э' =» Р' = эноГн1. В процессе эволюции эн>эн и р р' или р - р' =» 0. Для определения эн полагаем Р = Р', откуда следует
эи=аиа~'эн- (И)
№ 1 2008
CTNITEIblAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН1ISSI N31-2313
69


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
Последовательно подставляем в (11) соответствующие величины напряжений. В результате получим три величины э', из которых выбирается наименьшее, при этом для остальных двух выполняется неравенство а < |3э'. Таким образом,
э'н = inf (я,0 1 )8 э«> 5 6 [0, 1]. (12)
Параметр 5 учитывает эффект запаздывания реакции системы при изменении эн.
Для стадии разрушения определение э' основывается на такой формулировке естественного отбора: разрушаются наиболее перегруженные элементы системы, у которых плотность энергии э превышает верхнюю границу толерантности эн = эпр. Энергетические термы (границы) существуют для каждого элемента системы. Пересечение термы с превышением влечет за собой качественное преобразование элемента, переход его на новый уровень существования, но для предшествующей системы это превращение означает разрушение, отчленение части элемента от рассматриваемой системы, уменьшение рабочих объемов материала. В элементах, у которых э > эпр, какое-либо напряжение равно нормируемому. Поэтому в рассматриваемый момент эволюции разрушения ан = Рэ„ =» (3 = а~хэн. В следующий текущий момент эволюционного времени а = Р'э' =» Р' = а~хэн. Из условия Р = Р' имеем
з;=(я;'я)Ч,5б [0, 1]. (13)
Для сохранения последовательности разрушения (первыми разрушаются наиболее нагруженные элементы из одинакового материала) из трех величин в (13) при последовательной подстановке а = Gpmax, остах, хшах, ан = [ар], [ас], [х] выбирается наибольшая
эн =sup(a~laf эн , 5 е [0,1]. (14)
Выражения (12) и (14) можно записать единой формулой:
= inf )* э„, (15)
где 5 е [0, 1] при становлении; 5 е [—1, 0] при разрушении; 5 = 0 в квазистационарном состоянии структуры. В начальном состоянии определяется в виде:
э;=0,5*А, Ьн=1грЦгс]Лу1
При становлении из трех величин э° выбирается наименьшая, при разрушении — наибольшая.
При построении дискретного отображения эволюционного процесса используется метод Ритца—Куранта (МКЭ). Предположим, что на л-ой итерации определены узловые перемещения qn. Для каждого КЭ определяются величины потенциальной энергии деформаций Unr\ средней плотности э" = U" !Vr (Vr — объем КЭ); величины деформаций и напряжений в центре элемента, главные деформации и напряжения, максимальные касательные деформации и напряжения; нормативная величина эн" по (15) и эволюционный фактор (т/ )п. По (7) определяются
новые модули упругости Е" =(xj) Еп~х и формируется ОМЖ системы КЭ для выполнения сле¬
дующей итерации Knqn+l = Р с последующим повторением описанных выше операций.
3. ЭТЖЦ в задачах расчета тонких изгибаемых пластин
Сформулируем две начально-краевые задачи морфодинамики теории эволюции разрушения для тонких изгибаемых пластин.
Первая задача: в процессе разрушения уменьшается высота элементов системы. В силу специфики НДС тонких пластин наиболее нагруженные слои находятся на лицевых поверхностях. Поэтому в процессе решения задачи эволюции разрушения толщина некоторых элементов должна уменьшаться. Если в начальном состоянии толщина пластины постоянна, то в процессе эволюции она превращается в пластину переменной толщины. Из закона сохранения для самоорганизующихся систем кэ = Н'эн при отсутствии обменных процессов следует
h = xyh\ т = э“1э, уе [—1,0).
Так же, как и для пространственной задачи, разрушение поверхностных слоев пластины происходит при соблюдении неравенства э> эн, а при э<эн параметр у = 0, xY = 1, И = И'. Вывод дифференциального уравнения морфодинамики при разрушении без изменения повторяет пос-
70
CTHITEIUAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ СНРУ1Е11ЙISSI1131-2313
№ 1 2008


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
Таблица 2
Алгоритм дискретного отображения процессов
становления
разрушения
Knqn+l=p; ?"+1=>£/;+1,к;+1, э;+1
= uf / к;+|, а";'; Э;+1 = inf (аиа' f э”
(<;)"'-(г (>rf)'
К1+1 > Г1, Р )"+1 = (эГ1 (эГ1)'' )Т; эГ1 < э;+1
у6 (0, Ц; Se (0,1]
tJ = 1; у 6 [—1, 0), 8 е [-1,0)
АГЧрл; или ег'=(х1)”"е:
ледовательность, приведенную в [1]. Нелинейное уравнение движения структуры эволюционирующей пластины:
Э2 d2w ( Э2 лЭ2и> Э2 пЭ2иЛ Э2 d2w Э2 пЭ2и>
Эх2 Эх2 +v(ax2 э/ +э/ Эх2 J ( VW а+эуг
где Z) = tyZ)', Д = Eh'3 /12(1 - v2). Краевые условия, например, при х = const для жесткого защемления
w=0, w'x = 0.
Для свободного края
dx dy J Эх ydx dy J dy dxdy
В дискретном отображении эволюционного процесса на каждом шаге используется метод Ритца—Куранта (МКЭ)
Knqn*l=P.
Для каждого элемента системы в центре лицевой поверхности вычисляются величины главных нормальных напряжений, максимальное касательное. Из всей совокупности выбираются наибольшие по модулю нормальные и касательные напряжения. Эти величины образуют совокупность ап+х = <зртах, остах, тmax• Нормируемая плотность энергии для выполнения (л+2)-го шага в соответствии с положением естественного отбора определяется по формуле:
ЭГ‘ =inf(a„a‘')%; , 5е [-1,0].
При таком выборе эпн+х разрушение на шаге интенсивнее происходит в наиболее нагруженном элементе, элементы, в которых э < э„, остаются без изменения до выявления нового НДС.
эГ1 > эГ1, Yе [-1,0); (т;)"+1 = (э;+| (эГ)“' [; эГ1 < эГ, у=0, (т:)"+1=1; л;+1 = (т;)"+1 л;.
Далее определяются элементы общей матрицы жесткости Кп+\ и вычисления повторяются. В процессе разрушения жесткость системы уменьшается, перемещения растут. При полном разрушении части или всей системы detA' = 0.
Для второй задачи морфодинамики разрушения определяется условный модуль деформации при постоянной толщине всех элементов:
э;+,>э;+‘,уе [-1,0), Еп;'={fr)nЕпг-, э;+1 <э;+‘,у=о,е"г+' = е? = е.
В табл. 2 приведены алгоритмы процессов становления и разрушения.
Для тонких пластин по приведенному алгоритму на каждом шаге эволюции определяется либо новый модуль Е, либо толщина элемента. При изменении толщины механические константы материала Е, v постоянны. Если варьируется модуль Е, то в первом приближении можно положить коэффициент Пуассона равным начальному на всех этапах. Для уточнения расчета необходимо иметь экспериментальную зависимость v=v(E).
Процесс становления в рассматриваемом классе задач проектирования не является отражением какого-либо естественного, природного развития объекта (без участия человека). По этой
№ 1 2008
CTMITEhlAI МЕШКА I РАСТЕТ СМРУ1ЕН1ISSI №0-2313
71


ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
причине неопределенные параметры у и 5 подбираются на основании численных экспериментов для обеспечения сходимости вычислительного процесса. Алгоритм, отражающий разрушение модели реального объекта, также содержит неопределенные параметры у и 5. Поэтому возникает следующая задача: для строительных материалов на основании физических экспериментов найти корреляционную зависимость между у, 5 и временем существования построенного объекта, что позволит определить длительность эксплуатации сооружения до момента полного разрушения.
4. Заключение
Эволюционная теория жизненного цикла самоорганизующихся, саморазвивающихся, са- моразрушающихся систем содержит три взаимопроникающих этапа — становления (ТАЭМС), квазистационарного состояния (ТУ), разрушения (ТЭРМС). В теоретической модели регулятором перехода в следующий период служит временеподобная координата т7. Параметр у е [-1, 1] определяет скорость эволюционных преобразований структуры на всех трех этапах. На первом у е (0, 1], система обладает способностью к обмену веществ, приспосабливается, адаптируется к внешним воздействиям. Второй этап (у= 0) характеризуется неизменной структурой, а длительность квазистационарного состояния бесконечно мала либо вообще отсутствует, так как в элементах системы затухающее становление и возникающее разрушение противоборствуют на протяжении всего жизненного цикла системы. На третьем этапе метаболизм прекращается, эволюционное время поворачивается вспять (у е [—1, 0)), начинается разрушение несущего каркаса системы, части элементов выпадают из ансамбля. Скорость разрушения зависит и от состояния внешней среды, внешних воздействий и от достигнутого уровня эволюции.
В традиционных подходах теоретического определения физических уравнений все усилия направлены на концентрацию различных свойств среды в материальной точке: нелинейность - физическая и геометрическая; наследственность — ползучесть, релаксация; разнообразие физических свойств по направлениям — анизотропия и, как следствие, дилатансия. Вызвано это способом формулировки задачи в виде дифференциальных уравнений, которые унифицируют объект — для всех материальных точек существует однотипная система дифференциальных уравнений, а на границе тела задаются краевые условия. В целом для всей системы вводится условное начало отсчета физического времени и задаются начальные условия для искомых функций. При этом необходимы экспериментальные параметры ядер ползучести, релаксации; характеристики поверхностей а0 ~ а0 (е0,е,), а, ~а,.(£0,£,) (см., например, [3]).
Релятивистская ЭТЖЦ для заключительной стадии существования механических систем позволяет рассматривать процессы пластичности, ползучести с новой точки зрения, как результат уменьшения рабочих объемов материала в материальных точках, определения энергетических границ разрушения. Параметры у и 5 определяют эффект запаздывания реакции системы и при нагружении, и при разгрузке (ползучесть, релаксация, появление остаточных деформаций). При вычислении эпр = эн появляется возможность рассматривать поведение различных материалов. Например, если появляется необходимость учитывать разрушение только от сдвига, то совокупность величин ани а содержит только по одной компоненте: ан = [т], а = хтах. При учете разрушений от растяжения и сдвига - две: ан = [ор], [т], а = ортах, хтах.
В предлагаемой новой эволюционной теории разрушения процесс распада элементов зависит не только от достигнутого состояния в каждой материальной точке системы, но и от общесистемного изменяющегося параметра предельной плотности энергии эпр = эн.
Циклическое возрождение, становление, бытие, разрушение - свойства без исключения всех систем, больших и малых, слабо и сильно взаимодействующих друг с другом, пребывающих в состоянии хаоса и порядка... Предполагается, что ЭТЖЦ поможет получить некоторые оценки поведения механических систем в периоды становления, квазистационарного состояния, разрушения.
Литература
1. Васильков Г.В., Иванов М.Ю. Полиморфизм оптимальных структур самоорганизующихся систем // Строительная механика и расчет сооружений. - № 3, 2007. - С. 35—51.
2. Васильков Г. В. Теория адаптивной эволюции механических систем. - Ростов-на-Дону: Терра-Принт, 2007. - 247 с.
3. Васильков Г.В. и др. О реологических моделях упруговязкопластических сред // Изв. вузов Сев.-Кав. регион. Естественные науки. — № 3, 1998. - С. 21—35.
©Г.В. Васильков, 2008
72
CTNITEIblM MEXAIIIA I РАНЕТ СНРУ1Е1И1 l»l 1131-2313
№ 1 2008


КРИТИКА
УДК 539.37
Н.И. КАРПЕНКО, д-р техн. наук, проф.
(НИИСФ РААСН)
К ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ КРИТЕРИЕВ ПРОЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ, ОДНОМУ ЕЕ ПАРАДОКСУ И ПРАКТИЧЕСКОМУ ПРИМЕНЕНИЮ КРИТЕРИЕВ В РАСЧЕТАХ
Разработка критериев прочности железобетонных плит имеет давнюю историю (работы [ 1 ]—[7] и др.). Эта история тесно связана с историей определения несущей способности плит кинематическим и статическим методами предельного равновесия [1, 2]. В нашем анализе остановимся на критериях [4]—[7], которые предназначены для определения нижней (безопасной) границы несущей способности плит в соответствии со свойством статического метода предельного равновесия, по А.А.Гвоздеву [2]. Критерии также используются в деформационной модели плиты с трещинами [5, 7] для моделирования стадии разрушения. Заметим, что рассматриваемые критерии, в силу предпосылок метода предельного равновесия, оценивают разрушение при значительных пластических деформациях арматуры и бетона (таким образом, являются критериями оценки пластического разрушения, критериями или условиями текучести арматуры). Рассмотрим вопросы практического использования критериев, предварительно остановившись на одном парадоксе в разработке критериев.
К работам по разработке критериев прочности добавилась парадоксальная статья А.С.Зале- сова и А.Иванова [8]. В статье нет ни одной ссылки на работы, то есть предполагается ее полная новизна. В то же время статья представляет собой в основном набор заимствований из работ [4]— [7], притом выполненных с целым рядом ошибок. А основной «новый» критерий, к которому приходят авторы [8], установлен А.А. Гвоздевым еще в работах [2,4]. Об этом также нет упоминания.
Главный парадокс состоит в том, что статья [8]опубликована в журнале «Строительная механика и расчет сооружений», посвященном НИИЖБ, в связи с присвоением институту имени А.А. Гвоздева.
Критерий прочности плит А.А. Гвоздева
В подтверждение своих слов приведем краткий фрагмент из статьи А.А. Гвоздева [4], изменив в нем лишь нумерацию формул и литературных ссылок.
«Расчету несущей способности железобетонных плит методом предельного равновесия посвящено немало работ [1, 2, 3 и др.]. Напомним, что излом таких плит представляет собой взаимное вращение смежных звеньев, на которые разделяют плиту возникающие трещины. Оси взаимного вращения звеньев параллельны поверхностям плиты и расположены обычно в ее толще вблизи сжатой грани. В зависимости от того, раскрываются ли трещины на нижней или на верхней поверхности плиты, различают положительные и отрицательные линии излома. Трещину излома пересекают обычно стержни двух, а иногда и большего числа направлений. Обозначим через т отнесенный к единице длины момент усилий текучести в арматуре, перпендикулярной к линии излома, относительно середины высоты сжатой зоны. Для линии излома, нормаль к которой образует с направлениями стержней угол а, величина момента, определяемого усилиями в стержнях рассматриваемого направления и отнесенного к единице длины линии излома, равна /яcos2 а. При наличии стержней нескольких направлений, пересекающих трещину (по предположению они все текут, когда трещина раскрывается), суммарный момент на единицу длины равен:
/n„=£m,cos2 а,(1=1,2...). (1)
Для направления линии излома, перпендикулярного предыдущему, отнесенному к единице ее длины, предельный изгибающий момент равен:
m,=m,sin2ar (2)
Крутящий момент, отнесенный к единице длины тех же линий излома, равен:
mnt = т: cos a, sin а,. (3)
Легко убедиться, что при изменении направления линии излома величины тп,т,и тп1 изменяются как компоненты симметричного тензора, который можно назвать тензором сопро¬
тивления [2].
№ 1 2008
CTNITEIHAI MEXAIIIA I РАСЧЕТ CISfflEIII IS» НП-2313
73


I КРИТИКА |
Главные оси тензора действующих моментов (изгибающих и крутящих) могут не совпадать с главными осями тензора сопротивлений. Предельное условие удобно выразить, используя новый тензор — тензор запаса Г, равный разности тензора сопротивлений Т и тензора действующих моментов Т. Таким образом, компоненты тензора запаса равны:
mx=mx-mx; my=my-my; mxy=mxy-mxy; (4)
Элемент железобетонной плиты достигает предельного состояния, когда минимальный момент тензора запаса обращается в нуль. Направлению линии излома присвоим индекс v, а ее нормали — индекс и. Тогда предельное условие запишется так:
mx+mv (mx+mv)2
т»=тш»= 2 «I 2 \+т*у-°■ (5)
Отсюда тхту -т2 >0. (6)
Так как оси v и и являются главными осями тензора запаса, то = 0, т.е. = т. Иными
словами, на линии излома как изгибающий, так и крутящий момент равны предельным, что
естественно вытекает из того обстоятельства, что вся арматура, пересекающая трещину, течет в предельном состоянии.
Максимальный момент тензора запаса в предельном состоянии равен:
Чакс =тх+ту- тМИН =тх+ту.
Угол (3 между нормалью к линии излома и осью х определяется из
*2 p=J=bE,
тх -ту тх- ту
откуда /&Р = ±ПГ. (7)
\ту
В развернутой форме условие (6) и равенство (7) принимают вид:
(.тх-тх)(ту-ту)-(тху-тху)2>0; (6)
вР = ±Г* (7)
\ту-ту I''
Как правило, целесообразно совмещать координатные оси с главными осями ортотропии плиты, тогда т =0.
Аналогичные выражения можно составить и для отрицательных линий излома. Следует, однако, иметь в виду, что в зависимости от характера армирования нижней и верхней арматурой главные оси ортотропии, с которыми надо считаться применительно к положительным и отрицательным линиям излома, могут быть направлены по-разному.
Из условий вида (6) можно определить, допустимо ли то или иное напряженное состояние изгибаемой плиты. Если ни то, ни другое неравенство вида (6') не нарушено, напряженное состояние допустимо.
При обращении того или другого неравенства в равенство происходит раскрытие положительной или отрицательной линии излома, направление которой определится тогда из соответствующей формулы вида (7')».
Краткий комментарий к представленному отрывку из статьи А.А. Гвоздева [4].
Формулы (1) — (4) установлены в статье А.А. Гвоздева [2], а формула (5) в этой статье записывается так:
«минО- (5')
Поскольку эта запись тождественна записи (5), то работа [2] считается началом разработки критерия прочности (6) — (6').
Несмотря на простоту записи, критерий (6) с компонентами (1)—(4) относится к самому разнообразному виду армирования. Например, это может быть сетка с неортогональными стержнями или прямоугольная сетка с третьим наклонным слоем стержней и др.
74
CTPIITEIMI MEMIIIA I МПЕТ СНРУ1ЕШ ISSI1131-2313
№ 1 2008


КРИТИКА
В [5,7] показано, что к условиям (6), (6') А.А.Гвоздева необходимо добавлять два дополнительных условия
>0; ту> 0, (8)
поскольку нормальные компоненты тензора запаса не могут быть отрицательными величинами (иначе условия (6), (6') могут выполняться при двух отрицательных значениях тх и ту); а также замечено, что знак « + » в формуле (7) при тху = 0 совпадает со знаком крутящего момента мху (в общем виде он обратен знаку ).
В частном случае нередко применяемой прямоугольной сетки, когда оси х и у совпадают с направлениями стержней, критерий (6) записывается в виде (6'). При этом компоненты тензора сопротивления будут равны:
mx=faxZx(5,-, ту =/orZraT; <=0, (9)
где — погонные площади стержней в сетке (отношения площадей стержней х и у направле-
ний к расстояниям между стержнями); ат — предел текучести арматуры (в реальных расчетах ат заменяется на Rs — расчетное сопротивление арматуры, при этом реальная диаграмма заменяется некоторой условной диаграммой Прандтля); Zx,Zy — расстояния от центра стержней х и у направлений до середины высоты сжатой зоны (зачастую вводится среднее расстояние Z).
В статье А.С. Залесова и А. Иванова [8] величины тх,ту обозначены Mxult,Myult, а для действующих моментов тх,ту,т приняты обозначения Мх,Му,М. Сопоставляя предлагаемое ими условие (42) с условием А.А.Гвоздева (6') видим, что они, с точностью до обозначений, совпадают. При этом авторы [8] полагают, что трещина излома совпадает с площадкой главных моментов (формулы (24)—(27)), что противоречит формуле (7') и является ошибкой. В статье А.А. Гвоздева [4] показано, что такое совпадение будет иметь место лишь в частном случае изотропного армирования, когда fsx=fsy•
Заметим, что авторы [8] приводят иной, чем у А.А. Гвоздева, вывод его критерия прочности (6'), который заимствован из работы [5].
О другом способе вывода критерия прочности А.А. Гвоздева и его развитии на другие напряженные состояния пластин [5—7]
Способ предложен в [5] для выхода разработанной деформационной модели плиты с трещинами на стадию разрушения. Приведем краткие фрагменты из этой работы (изменив, как и выше, номера формул и ссылок).
«Вырежем из железобетонной плиты трехгранную призму так, чтобы две ее грани прошли вдоль арматурных осей, а третья (единичной длины)— по трещине (рис. 1, а).
Полагаем, что арматура в трещинах способна воспринимать в основном нормальные напряжения аа х и Ga y и небольшие касательныето ;с и та у. Составляя сумму моментов относительно осей I-I и II-II, параллельных у их, получим:
GaJaXZx + т. .yZyCtga = МХ + М ctga;
aayfayZy +xaJaxZxtga = Му + Mxytga.
(Ю)
Запишем эти уравнения в следующей форме:
MMcigct My + Mxylga
°а.х- ="7 а„.у ="7 Л>> (11)
xJ а.х yJ а.у
где коэффициенты кх и ку учитывают влияние та х и та,у...
Из формул (11) следует, что напряжения арматуры в наклонных трещинах будут зависеть не только от изгибающих, но и от крутящих моментов, при этом:
Mtga > 0; Mxyctga >0. (12)
...Рассмотрим некоторые вопросы расчета пластин в упругопластической стадии. Принимая в уравнениях (10), (11) <*а.х=(*а.у=ст и полагая для этой стадии = Ху = 1(тошХ = та у = 0), запишем их в таком виде:
К.,- = VyZJa x >МХ + Mxyctga;
Мху- = GTZyfay >Му + Mtga, (13)
№ 1 2008
CTMITEIHU MEXAIIIA I РАСТЕТ CllfflEIII Ml N31-23»
75


КРИТИКА
-s:
x "Ж
rS/l
My Kf
Рис. 1. Расчетная схема: а — при действии моментов (Мх, Му, Мху); 6 —дополнение к схеме при действии моментов (Мх, Му, Мху) и сил (Nx, Ny, Nxy); в — расчетная схема предельных напряжений в бетоне сжатой зоны с двумя высотами х и х (изменения к схемам а и б); О* — элемент срединной поверхности
где на основании (12)
ММх;Муу>Му. Уравнения (13) можно преобразовать к виду:
(М,.х-Мх)М,.у-Му)-М1>Ъ
tga
= +
мту-м,
Мг-М,
(14)
(15)
(16)
Условия текучести (15), (16) в несколько ином виде и другим способом были впервые получены в работе А.А.Гвоздева [4] (при этом тх = МТХ, ту = М, (3 = 90° - а)...
В более общем виде, когда к пластинке кроме моментов приложены в ее срединной плоскости и силы Nx,Ny,Nxy (рис. 1, б), условие текучести растянутой арматуры плит можно записать в таком виде:
{MTx-Mx-NxZb)(MT_y-My-NyZb)-(Mxy + NxyZbf> 0, (17)
гдeZ/, = 0,5(/i — л:т), Nx,Ny,Nxy — нормальные и касательные усилия, отнесенные к единицам длин элемента». Далее устанавливается критерий прочности элемента при действии только сил N N N
х’у’ 11 ху •
Таким образом, предложенный в [5] иной вывод критерия А.А.Гвоздева оказался довольно универсальным, позволив построить систему критериев для оценки прочности плит при различных напряженных состояниях.
В принципе пределы текучести арматуры х и у направлений могут несколько различаться (принимать значения и а), тогда
;мт,= ст,/чЛ • (18)
Применительно к общему критерию (17) уравнения типа (13), записываются в виде:
мтх = orxfaxZx >МХ+ Mxyctga + NxZb + NxyZbctgcc; м1у = oyyfayZy >My+ Mxytga + NyZb + N4Zbtga.
(19)
76
CTNITEIkIM MEXAIIIA I РАНЕТ CIIPYIEHl Ml 1131-2313
№ 1 2008


КРИТИКА
Из этих уравнений кроме критерия (17), следует также
(20)
кроме этого (согласно [6]), к условиям (17) добавляются ограничения
Мх.х = (JTxfaxZx - Мх + NxZb>
(21)
Сопоставляя формулы (13) с формулами (20)—(23) из статьи [8] можно заметить, что они с точностью до обозначений и допущенной в [8] ошибки совпадают. Ошибка заключается в том, что в зависимостях (20)—(23) статьи [8] tga перепутан с ctga и наоборот (в соответствии с обозначениями а на рис. 2 в [8]), хотя, видимо, это описка: за а принят угол, который равен 90° - а. Кроме этого, авторам [8] можно подсказать, что угол также находится из уравнений (13). Для его определения нет необходимости привлекать дополнительные ошибочные предпосылки.
К условию А.А.Гвоздева (15) авторы [8] вводят дополнительное условие для плоского слоя, выделенного на уровне арматурной сетки и подвергнутого действию погонных сил NX,NV,NXV. Применительно к изгибаемым плитам это условие является излишним, поскольку прочность плиты по арматуре в полной мере оценивается моментным условием (15). Видимо, это делается для подчеркивания широты полученных результатов. В то же время условие прочности плоского слоя давно известно [5—7], оно применяется для расчета балок-стенок и записывается в виде
где знак « + » совпадает со знаком величины Nxy (разделив все компоненты (22) на толщину пластины h, придем к его записи в напряжениях, которая приведена в [5]). Заметим, что балки- стенки обычно армируются двумя сетками, устанавливаемыми у обеих поверхностей конструкции. При этом fax и fay представляют собой суммарные погонные площади обеих сеток.
Условия (22)—(23) устанавливаются по аналогии с условиями (14)—(15), только моментные уравнения заменяются проекциями сил на оси хи у. Для этого выделяется трехгранная призма, наклонная грань которой проходит по сквозной трещине текучести арматуры. При этом формально все зависимости можно получить из уравнений (10)—(13), заменяя МХ,М ,Л/ на Nx, Ny, и исключая Zx и Zy, например; условия типа (10), (13) записываются (согласно формулам (1.36) и (1.93) из [7]):
Преобразования (25), как и других аналогичных уравнений, в условия (21), (23) довольно просты. В первом случае из системы (25) исключаются tga и ctga (учитывая, что ctga • tga =1), а во втором — касательная компонента Nxy.
Однако возможен и другой способ вывода. Запишем уравнения (25) в исходном виде (формулы (1.93) из [7] для ортотропного армирования):
В этой системе линейных уравнений sina и cos а одновременно не могут быть нулями, поэтому определитель системы должен равняться нулю. Из этого и следует условие (22).
Приведенные в статье [8] условия прочности (36)—(38) с точностью до обозначений совпадают с условиями (22), (23), хотя получение (24) авторами [8] еще не понято. Зависимости (1)— (6) из [8] с точностью до обозначений и введенной выше поправки к обозначению а в [8] совпадают с (25), (26).
О критерии прочности стенок при плоском однородном по толщине напряженном состоянии
формул [(1,95)—(1,97) из [7]):
(<*v,fax ~ Nx Хту fay ~ у) ~ N]y> 0; (0rxfax -Nx)>0; (<jryfay -Ny)> 0;
(22)
(23)
(24)
Grxfax Nx + Nxyctga, oTVfav >Ny+ Nxytga.
(25)
(°«/ox ~Nx) sin a - Nv cos a = 0; - Nxy sin a +(oTyfay -Ny) cos a = 0.
(26)
№ 1 2008
CTNITEIblAI MEXAIIIA I РАСТЕТ CIINIEIIIISSI N31-2313
77


КРИТИКА
К учету дополнительных факторов, влияющих на прочность
Выше в стадии текучести арматуры касательные напряжения и тау (рис. 1, а) принимались равными нулю (соответственно Хх - Ху -1). В действительности, как показали исследования [7], влияние касательных напряжений сохраняется и в стадии текучести арматуры, то есть текучесть арматуры будет достигаться при совместном действии нормальных (сг, оау) и соответственно касательных (ахау) напряжений, в результате величины аах и аау уже будут меньше пределов текучести отх и ату. Однако, если это уменьшение учесть, например, по условию пластичности Мизеса, приняв во внимание, что и Taywt превышает 10—15 % от сгтд:,сгт>,, то оно окажется пренебрежимо малым. Поэтому можно полагать, что и в стадии текучести арматуры оах ~ <Утх ',<Уау ~ <V В деформационной модели железобетона с трещинами [7] к уравнениям типа (10) добавляются условия совместности перемещений стержней в трещине. В результате их совместного решения и устанавливаются значения Хх и Ху (зависимости (1.33) из [7]):
X, = nxfax У
nJa, + /„/'£« ’ У nJay+fjgU (27)
где пх — параметр тангенциальной податливости стержней в бетоне у трещины (до текучести арматуры пт -13-17, после текучести пт - 25).
С учетом указанного фактора, согласно (11), правые части зависимостей (13), (19), (25) умножаются на Хх и Ху или формально сгтх заменяется на отх / Хх, а <Уту на <Уту / Ху (см. формулы (1.986) из [7]).
Поправки не касаются ограничений (14), (21), (23). В этих ограничениях коэффициенты Хх и Ху равны единице.
В статье [8] также появляются (опять без всяких пояснений и ссылок) поправочные коэффициенты Хх и Ху и формулы (27) по их определению (при fax= /ау1л nt= 10 см. формулы (11), (12), (15), (16) в [8]).
Не поняв сути этих поправок, авторы [8] вместо деления рекомендуют (то же, что стх) умножить на Ах, a Nsy (то же, что <Уту) на Ху. В этом случае получается обратная ситуация — касательные напряжения значительно снижают несущую способность элемента.
В работе [3] была выдвинута идея «полного перегиба», согласно которой арматура при текучести в трещине перегибается так, что становится нормальной к трещине. В результате этого несущая способность значительно увеличивается. Исследование [7] и анализ экспериментов показали, что некоторый перегиб стержней у трещины имеет место, однако он (из-за податливости бетона) пренебрежимо мал и не оказывает заметного влияния на прочность.
Определение прочности, подбор арматуры
Все современные методы определения прочности железобетонных конструкций, в том числе и подбор арматуры, основаны на статической теореме А.А.Гвоздева метода предельного равновесия. Согласно этой теореме любое статически допустимое поле внутренних усилий (моментов и сил), в том числе и поле, найденное из упругого решения, удовлетворяющее критериям прочности (точнее, пластичности, без хрупкого разрушения) приводит к нижней границе несущей способности.
Зачастую подбор арматуры осуществлялся по данным линейного расчета, хотя, естественно, учет пластических деформаций по деформационной модели [5,7] позволяет более точно определить необходимое армирование и повысить значение нижней оценки несущей способности. Кроме этого, конструкция должна удовлетворять еще и критериям допустимой деформативности и ширины раскрытия трещин, что можно установить только на основе деформационных моделей. Однако такие модели еще не нашли достаточного отражения в современных расчетных комплексах.
В свое время интенсивно развивались направления по поиску статически допустимых полей напряжений на основе использования линейного и нелинейного программирования, которые позволяли получить наиболее высокие оценки нижней границы несущей способности и приблизить ее к верхней границе, определяемой кинематическим методом предельного равновесия (обзор этих работ дан в [7]). Наиболее актуальным это стало для таких воздействий, как взрыв, теракт, сейсмика. К сожалению, это направление в последнее время совсем забыто, хотя, значительно возросшие возможности вычислительной техники открывают по этому направлению большие перспективы.
78
CTPIITEIUAI MDimilA I РАСЧЕТ СНРУ1ЕН1 ISSI H3I-23H
№ 1 2008


КРИТИКА
Определив статически допустимое поле усилий, можно найти необходимое армирование: по формулам (13) — в изгибаемых плитах, по формулам (19) — в плитах и элементах оболочек, по формулам (25) — в элементах балок-стенок (формулы записываются в виде равенств). Неизвестной величиной в этих зависимостях остается угол а , а в формулах (13), (19) еще и высота сжатой зоны хт, через которую определяются величины Zx, Zy и Zb. Остановимся на их определении.
Определение угла а. Угол наклона трещин излома (текучести арматуры) а при подборе арматуры по формулам (13), (19) и (25), в принципе можно назначать сравнительно произвольно, при этом критерии прочности (15), (17), (22) будут удовлетворяться автоматически (как и формулы (16), (20), (24)).
Однако имеется ограничение физического плана, связанное с тем, что углы наклона линий излома а не должны значительно отличаться от углов наклона трещин в начальной стадии тре- щинообразования (этот наклон обозначим а0)- Угол а0 практически не зависит от армирования. Вторым ориентиром является известное условие минимума арматуры при а = 45°.
В плитах начальные трещины согласно [7] проходят по площадке действия максимальных моментов Ммакс, при совместном действии моментов и нормальных сил — по площадкам главных ядровых моментов А/Ямакс, которые находятся по компонентам
(естественно, формулы вида (29) справедливы и для моментных компонентов).
В предельной же стадии ориентация трещин в значительной степени определяется армированием (зависимости (16), (20) и (24)).
Наложение трещин излома на начальное поле трещин связано с большими деформациями плиты. В связи с этим может использоваться рекомендация работы [7] (с. 67), которая сводится к следующему «Степень внутреннего перераспределения усилий, которая необходима для реализации указанного выше пластического состояния, может оцениваться по разности |а-а0|* Судя по данным некоторых экспериментов, армирование должно подбираться так, чтобы а-а0 <15-20° (хотя это ограничение требует еще уточнения). При подборе ортогональной арматуры необходимо иметь в виду указанное ограничение на сс-а0 и учитывать тот факт, что расход арматуры на элемент уменьшится по мере приближения а к 45° (это легко доказывается из условия (Уj(fax + Лу) = тт)». Таким образом, рекомендация [7] сводится к следующему: если 30° <а0 <60°, то при подборе арматуры по формулам (13), (19) и (25) можно принимать а ~ 45°; если 0<а0 < 30°, то а ~а0 +15°, если 90° >а0 > 60°, то а ~а0 -15°.
Определение высоты сжатой зоны хт. В начале развития железобетона железобетонные плиты в основном относились к слабо армированным конструкциям. Для них высота сжатой зоны не превышала 0,2A, (i = х,у ), или 0,2А0, где А, — расстояние от центра тяжести нижней арматуры х и у направлений до верхней поверхности плиты (hc — полезные высоты, А0 — средняя полезная высота). В связи с этим в запас прочности в формулах (9) зачастую принимали Z, ~ 0,9А, . Примерно такой же прием рекомендуется в [8] (Z = 0,8А0). Ограничение Z, < 0,9А, сохранилось и до настоящего времени (в данной статье тоже). Однако условие Z, « 0,9А, может приводить к заметной переоценке прочности плит, особенно в случае совместного действия моментов и нормальных сил сжатия. В корректной постановке высота сжатого слоя бетона должна определяться из условия удовлетворения напряжений в нем критерию прочности в виде равенства. Анализ такой постановки представлен в [7]. Но такой подход приводит к нелинейным зависимостям по определениюхт и соответственно Z,.
Этого удается избежать, если использовать, следуя [7], приближенную двухступенчатую (с двумя высотами хтх и *ту) модель бетона сжатой зоны над трещиной излома, представленную на рис. 1, в. Проекции сил, приложенных к призме на рис. 1, д, (с поправками 1, б, в) на оси х и у, приводят к зависимостям:
М =М +N —• М =М +N —: М =М +N —,
1YJ ЯХ X X £ яу у ' 1 ’ у f > 1У± яху 1УЛ ху ' 1 ’ ху s »
0 0 О
(28)
в балках-стенках — по площадкам действия А’макс. При этом
— (макс — х ) Ху ИЛИ ~ (макс — Уу ) I ху
(29)
ftJax-Nx - Nn.ctga о/ау - Ny - Nxytga
(30)
'ТХ
№ 1 2008
CTPIITEIHU МЕШКА I РАСТЕТ CIIPYIEIll ISSI M3S 2M3 79


КРИТИКА
где Rb — прочность бетона; (JTX = Rsx;<JTy =Rsy.
С учетом (30)
Zx=hx-0f5xTX;Zy=hy-0f5xTy\ Zbx = 0,5(/i -xTX); Zby = 0,5(/i -хту). (31)
Определение погонных площадей арматуры fax и fay и уточнение общего критерия прочности плит при совместном действии моментов (Мх, Му, Мху) и погонных сил (Nx, Nу, Nxy). Введение двух высот сжатой зоны xTi (i = х, у) приводит к некоторому изменению уравнений (19). В первом уравнении (19) Zb заменяется на Zbx, а во втором — на Zby. Это ведет также к некоторому изменению зависимостей (17) и (20): в (17) (Мху +NxyZb)2 заменяется на (Мху + NxyZbx)x(Mху +NxyZby), а в
(20) под корнем числитель умножается на (Л/ху + NxyZbx), а знаменатель на (Мху + NxyZby).
Все эти уравнения могут использоваться в расчетах в сочетании с последовательными приближениями, полагая, например, в первом приближении xTl -0,2hr Затем при подборе арматуры следуют уточнения на основании (19), (30), (31). Однако последовательные приближения не обязательны. Подстановка в (19) значений (31), записанных с учетом (30), приводит к квадратным уравнениям по непосредственному определению и fay:
тгJaxm + G f
2
2 Rh
- + <TTv/a,
N Nxvctga 1 1 N
h н—— н————— — —N(h + -*-)-
Rh Rh \ * 2 x Rh
N N tga ) l N
hv\-Mv—N(h + —£■)- Rh Rh \ У 2 Л Rh
1 2 Nv
+-)
ctga--N1 °‘g a =0;
</g2a n (32)
tga = 0
2 Rh
Определив из первого уравнения (32) ctga, а из второго tga и приняв ctga • tga = 1, получим окончательную запись критерия прочности. При этом случай Nxy = 0 необходимо рассматривать отдельно, что создает вычислительные трудности. В принципе можно использовать и исходную запись общего критерия прочности в виде (17) с указанной выше корректировкой, последовательно уточняя ZX,Zy,Zbx,Zhy. Что касается чисто моментного критерия прочности А.А. Гвоздева в виде (6) или (15), то этот критерий при двухступенчатой эпюре напряжений в сжатой зоне (видимо, в таком единственном случае) не претерпевает изменения.
Представленные выше критерии остаются справедливыми, пока высоты сжатой зоны не превышают некоторого граничного значения. После этого может происходить разрушение по бетону сжатой зоны до начала текучести арматуры. Постановка дополнительных критериев по бетону сжатой зоны подробно рассмотрена в [7] (с. 153).
Укажем еще на одно обстоятельство. Нами рассмотрены элементы пластин с трещинами в нижней растянутой зоне. Однако возможны случаи, когда трещины располагаются на нижней и верхней поверхностях плиты одновременно. Подбор верхней арматуры и дополнительные критерии прочности для таких элементов рассмотрены в [6, 7]. Также могут несколько изменяться величины Zx,Zy и Zb в представленных выше критериях.
Что касается статьи [8], то авторам можно напомнить слова Козьмы Пруткова: «Если, сударь, ты что-то новое в науках вычитал, вовсе не означает, что ты это открыл».
Литература
1. Johansen K.W. Brudlinieteorier. Copenhagen, 1943.
2. Гвоздев А.А. Метод предельного равновесия в применении к расчету железобетонных конструкций. Инженерный сборник, т. V, вып. 2, 1949.
3. Wood R.H. Plastic and elastic design of slabs and plates. Thames and Hudson London, 1961.
4. Гвоздев А.А. К вопросу о предельных условиях (условия текучести) для ортотропных сред и для изгибаемых железобетонных плит. В сб. «Строительная механика». — М.: Стройиздат, 1966. С. 208—211.
5. Карпенко Н.И. О работе железобетонных плит с трещинами. Материалы VI конференции по бетону и железобетону, первая секция, Стройиздат, 1966. С. 10—16.
6. Карпенко Н.И. Условие текучести арматуры железобетонных сред с трещинами. «Строительная механика и расчет сооружений» №2, 1968. С. 24—26.
7. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. — М., Стройиздат, 1976. С. 208.
8. Залесов А.С., Иванов А. Методы расчета прочности железобетонных плит плоских перекрытий. Строительная механика и расчет сооружений, № 5, 2007. С. 14—19.
©Н.И. Карпенко, 2008
80
CTNITEIhlAI МЕШШ I РАСТЕТ СНРУ1Е111ISSI1131-2313
№ 1 2008


СОДЕРЖАНИЕ
Механика сплошных сред Тарабрин Г.Т. К вопросу о распространении волн внутри потока
баротропной вязкой среды 2
К юбилею
Южноуральский государственный университет 6
Максимов Ю.В. Творческое наследие А.А. Оатула 8
Расчеты на прочность
Карякин А.А. Об одной форме закона сцепления арматуры с бетоном 13
Ракитин Б.А., Соловьев Б.В. Исследование напряженно-деформированного
состояния безнапорных железобетонных труб с учетом свойств массива 17
Численные методы Ермакова А.В. Матрица жесткости дополнительного треугольного
бетонного конечного элемента балки-стенки 23
Механика грунтов Казанцев B.C. Максимов Ю.В. Определение модуля деформации пылевато-глинистых элювиальных, неогеновых и палеогеновых грунтов
континентального генезиса челябинской области 29
Расчеты на усталость
Губайдулин Р.Г., Губайдулин М.Р., Тиньгаев А.К. Комплексная оценка сопротивления усталостному и хрупкому разрушению конструкций
стальных дымовых труб 35
Сонин С.А. Учет контактного слоя в сборно-монолитных железобетонных
балках с использованием метода конечных элементов 42
Динамические расчеты
Булычев Г.Г. Динамическое разрушение изотропной пластинки 46
Нежданов К.К., Нежданов А.К., Кузьмишкин А.А. Способ гарантирования
заданной выносливости К-образного сварного шва в подрельсовой зоне
стенки двутавровой подкрановой балки 52
Оптимизация конструкций
Дехтярь А.С. Оптимальные схемы балочных мостов на судоходных реках 58
Саламахин П.М. Особенности трех зон области существования
возможных решений изгибаемых конструкций 61
Теория разрушения Васильков Г.В. Эволюционная теория жизненного цикла
самоорганизующихся механических систем 67
Критика
Карпенко Н.И. К истории развития критериев прочности железобетонных плит,
одному ее парадоксу и практическому применению критериев в расчетах 73
Список корреспондентских пунктов журнала СМ и PC
1. Волгоград, ВолГАСУ акад. РААСН, д-р техн. наук, проф., ректор В.А. Игнатьев
зав. каф. строительных конструкций В.И. Колчунов
4. Пермь, ПГТУ д-р техн. наук, зав. каф. строительной механики Г.Г. Кашеварова
5. Ростов-на-Дону, РГСУ д-р техн. наук, проф., зав. каф. строительной механики Г.В. Васильков