Предисловие
Глава I. Ряды и бесконечные произведения
§ 2. Бесконечные произведения
§ 3. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость
§ 4. Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд
§ 5. Повторные и двойные ряды
§ 6. Упражнения
2. Бесконечные произведения
3. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость
4. Степенные ряды
5. Двойные ряды
Ответы к главе I
§ 7. Теоретические задачи
Ответы, решения, указания
Глава II. Несобственный интеграл и интегралы с параметром
§ 2. Собственный интеграл, зависящий от параметра
§ 3. Несобственный интеграл, зависящий от параметра
§ 4. Упражнения
Ответы к главе II
§ 5. Теоретические задачи
Ответы, решения, указания
Глава III. Ряды Фурье. Преобразование Фурье
§ 2. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексного переменного
§ 3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
§ 4. Упражнения
Ответы к главе III
§ 5. Теоретические задачи
Ответы, решения, указания
Оглавление
Text
                    И.А. Виноградова
С.Н.Олехник
В.А. Садовничий
ЗАДАЧИ
И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть 2
РЯДЫ, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Издание третье, исправленное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям и специальностям
физико-математического профиля
эрофа
МОСКВА • 2001


УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 В49 Рецензенты: чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев, академик РАН В, А. Ильин Серия «Высшее образование: Современный учебник» основана в 2001 году Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. В49 Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. / Под ред. В. А. Садовничего. — 3-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2001.— Ч. 2: Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразование Фурье. — 712 с.: ил. — (Высшее образование: Современный учебник). ISBN 5-7107-4295-3(4.2) ISBN 5-7107-4296-1 Учебное пособие (2-е изд. — 2000 г.) соответствует программе курса математиче¬ ского анализа для студентов механико-математических и математических факультетов университетов, педагогических и технических вузов. Задачник отражает современные тенденции развития математики. Большинство задач в пособии сопровождается решения¬ ми, поэтому оно может быть полезно при самостоятельном изучении предмета. В книге содержатся следующие разделы: ряды и бесконечные произведения; несобственные инте¬ гралы и интегралы с параметрами; ряды Фурье; преобразование Фурье. Для студентов университетов, педагогических вузов, вузов с углубленным изучением математики. УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 Учебное издание Вино1радова Ирина Андреевна, Олехник Слав Николаевич, Садовничий Виктор Антонович ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 2 Зав. редакцией Н. Е. Рудомазина Ответственный редактор Ж. И. Яковлева Художник Т. Е. Добровинская Корректор JI. А. Александрова IIj.i. inn Ni' 061622 ш 07.10.97. Подписано и печать 10.04.01. Формат 6()х‘>()'/1(1. liyMai a т mioi рафская. Гарииiура «Таймс». Печать офсетная. Уел. нем. л. 44,5 Тираж 10 000. Закач № 3966. ООО «Дрофа». 1270IS, Москва, Сущевский пал, 49 По вопросам приобретении продукции lii/uncviucuta «Дрофа» обращаться но адресу: I2701X, Москва. Сущевский вал. 49 Тел.: (095) 795-05-.50. 795-05-5 I. Факс: (095) 795 05-52. I орговын дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. I Д. Тел. (095)91 1-70-24. 912-15-16. 91 2-45-76. 011 юча 1 ;шо в полном соотнегсшии е качеи ном предоставленных дпапозптвов в ОАО «Мо/канскип полиграфический комбинат» 143200. I. Можайск, у л Мира. 93
ПРЕДИСЛОВИЕ В России исторически сложилось так, что представление об образовании включает в себя органичное единство школы как системы приобретения знаний, фундаментальной науки как пока¬ зателя уровня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного богатства человека. В предисловии к первой части этого задачника приведены сло¬ ва Н. И. Лобачевского, который на протяжении всей своей препо¬ давательской и научной деятельности размышлял о целях и прин¬ ципах математического образования, о пользе новых учеоных книг. С удовлетворением отмечая успехи своих учеников, он пи¬ сал, что «они тверды в правилах, понимая все, совершенно увере¬ ны в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы с намерени¬ ем даже сысканные, решают их легко, не подозревая, чтоб в них можно скрываться затруднение, достойное занять взрослых». Эти слова по существу отражают основные творческие устремления каждого преподавателя по отношению к своим ученикам. Во второй части учебного пособия «Задачи и упражнения по математическому анализу» представлен материал по теории ря¬ дов, несобственным интегралам и интегралам с параметрами, рас¬ смотрены теория рядов и преобразование Фурье. Оно позволяет реализовать указанные выше принципы преподавания математики и служит достижению поставленных целей. Третье издание задачника, так же как и его второе издание, выходит в двух частях. Часть 1: «Дифференциальное и интеграль¬ ное исчисление». Часть 2: «Ряды, несобственные интегралы, ря¬ ды Фурье, преобразование Фурье». Серия «Высшее образование: Современный учебник», в кото¬ рой он выпускается, кроме практической ценности, призвана по¬ двести некоторые итоги раооты российских ученых и педаго- гов-математиков по созданию базовых учебников по математике. Академик Российской Академии наук В. А. Садовничий
Глава I РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ i 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Определение 1. Последовательность чисел (вообще го¬ воря, комплексных) {ап}, соединенных знаком плюс, ах + а2 + 4- аз + • + ап + • • • называется рядом (числовым рядом) и обозначается ^ ап п= 1 Определение 2. которого являются все члены ряда ап, начиная с (fc-f 1) -го, п = I взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется оо остатком к -го порядка ряда ап и обозначается г^, т. е. п= 1 Определение 2. Ряд а*+1 +а*+2 + - • -f-afc+m + - • членами гк — ^ * ап — ^ ] Я|с+т- гг=Ас 4-1 m = 1 Определение 3. Сумма а\ + а о + • • • + а* первых к членов оо ряда а„ называется к-ой частичной суммой или частичной п = 1 суммой порядка к этого ряда и обозначается S*, т. е. к Sk = вп п = 1 оо Таким образом, каждому ряду ап соответствует по- п= 1 следовательность {5*} его частичных сумм. Обратно, ка- оо ждой последовательности {А^} соответствует ряд ай, где п = 1 а\ = Л\, ап — Ап — Лп_ь п 6 N, тг ^ 2, частичными суммами которого являются члены данной последовательности По¬ этому каждое свойство последовательностей перефразирует¬ ся в некоторое свойство рядов заменой характеристики чле¬ 4
нов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда. оо Определение 4. Ряд ап называется сходящимся, если п = 1 сходится (имеет предел) последовательность Sk его частич¬ ных сумм. оо Ряд ап называется расходящимся, если последователь- П = 1 ность Sk расходится. оо Если ряд 7 ап сходится, то число S = lim Sk называется 4 fc—►оо П = 1 оо его суммой, при этом пишут: S = ап • п — 1 Если ряд расходится, то и его остаток любого порядка расходится. Если ряд сходится, то и его остаток к-го по¬ рядка г к при любом к сходится, в этом случае остаток г к записывается в виде г к = S — Sk и lim Гк = 0. к-+ оо Если члены ряда — комплексные числа ап = огп + Л. где {t>n} и {/?п} - действительные последовательности, то по оо сходимость ряда ^ а„ = ^^(rvn + i/3n) эквивалентна одно- п = 1 п = 1 оо оо оо временной сходимости рядов ^ лп, 0п и 5 = ап = 00 ОО П = 1 П=1 п = 1 = ^ тп + i ^2 @п Таким образом, исследование свойств ря- n = 1 п = 1 да с комплексными членами сводится к исследованию свойств рядов с действительными членами, поэтому в дальнейшем, в основном, рассматриваются ряды с действительными члена¬ ми. Приведем несколько примеров, показывающих взаимоот¬ ношение понятий ряда и последовательности, суммы ряда и предела последовательности. Пример 1. Рассмотрим ряд ОО 1 +q + q2+ -+qn + • •• = П = 1 5
где q — комплексное число и |д| ф 1. Частичная сумма Sk 2 к- 1 1 — Qk этого ряда есть 1 + q + q + • • -f <7 = "Г ^ак как 1 - q lim = 0 при \q\ < 1 и lim Igl* = -foo при |<?| > I, то к-+оо к-+оо lim Sk = при |g| < 1 и lim Sk = оо при |g| > 1. Сле- к—¥оо 1 — q к-too оо довательно, ряд ^^qn~l при |^| < 1 сходится и его сумма п — 1 равна , а при |g| > 1 расходится. 1 - q Записав q в виде q = \q\eta = |gr|(cos or -h isin а), получаем, что qn 1 = ^ |^|n(cos na + г sin na) = n=l n=0 1 1 — |</| cos a + t|g| sin a 1 — \q\ cos a — z|qr| sin a 1 — 2|</| cos a -I- \q\2 и, следовательно, для действительного числа р, — 1 < р < 1, имеем равенства: оо оо , Еп-1 / n v' п 1 - pcosa р cos(п ~ \ )(У — > р COS net - — ' „ 1 — 2р cos а + р2, п—1 п=0 г оо psin a ' sm па — П = 1 1 — 2р cos a + р2. Пример 2. Рассмотрим ряд 1 — 1 + 1 - 1 + = ^ (— 1 )п 1. п — I Поскольку для этого ряда .$2т-1 = 1, *S'2m = о при любом натуральном т, то последовательность {5*} не имеет предела оо при к —У оо. Следовательно, ряд ]^(-1)п~1 расходится. П=1 * Пример 3. Рассмотрим последовательность Лк = & + 1 fc € N. Членами соответствующего ряда, частичными сумма-
ми которого являются числа Аь, будут числа а„: , 1 I а' = Л‘ = 2 = Г2' 71 11 ~ 1 1 V41 о ап = Ап- Лп-1 = —— = —-тт, п G N, п^2. п + 1 п п(п + 1) оо со J Гак как lim fc—►оо Л* = 1, то ряд У^ап = У~] ——гг сходится и fx п^Т‘(П+1) сумма его равна 1. Пример 4. Рассмотрим последовательность {А*}: А* = 1 °° = —, к 6 N. Соответствующим ей рядом будет ряд а„, № ; П = 1 где ai = А\ = 1, ап = Ап - Л„_, = — - -——п € N, П? (П+1)? п ^ 2. Так как последовательность {Л*} сходится при q ^ 0 и о° °о , 1 J \ расходится при q < 0, то и ряд У] a„ = 1+V ( — - — ) ^ ("-I)9/ сходится при ООи расходится при q < 0. °° 71 Пример 5. Рассмотрим ряд —. Чтобы решить вопрос п=i2\ ! о сходимости последовательности {.$*}: .Sfc = 1 + 2 - + -f3 g-f +&преобразуем выражение .b* следующим обра¬ зом: Sk = G + ? + ' +i) + (i + §+ +^) + ' + + (2*-1 + 2*) + 2* ** (l ~ 2*) + 2 (* ~ 2fc_ 1) + + ?(1_2^)+ ' +2^t(1_0=2“2^_^- CO Отсюда получаем, что lim Sk = 2, следовательно, ряд — fc-foo 2n сходится и сумма его равна 2. n=1 00 1 Пример 6. Рассмотрим ряд V* --——-——. Для уп- ^ п(п+ 1)(п + 2)
I*ИЩС||им 'НМ ГИЧ1П.1Х ( VMM I I I f . + w> :\ 2X4 к(к + \)(к + 2) иргмЛц.иугм выражение для члена ряда ап. разложив его на щнм п ишиг дроби: = 1(1. _н_ + _!_л = (n + 2) 2 \7* /1+1 л -1-2/ . п(п + 1)( _ П 1 1_ 1 \ 2 \ п п + 1 71 + 1 п + 2 ) Отсюда получаем, что 1 / 1 I 1\ 1 /1 I 1 1\ ~ 2 \~2 + 3~2,/2 \2_3^4 3/^ \ (\_ 1_ 1 I \ _ 1 / 1 + 2 \к k+l+k+2 k+l)~2\ 2 + - 1 1 ( 1 1 \ ~ 4 + 2 \к + 2 * + I/ • + *+2 *+1/ 1 ^ ] Следовательно, lim .S* = т. е. ряд У] ~7—TTw—схо" /с-►со 4 п(п + 1)(Я + 2) 1 дится и сумма его равна 4 В приведенных примерах последовательность {,Vn} части¬ чных сумм соответствующего ряда или задавалась заранее, или выражалась достаточно просто, так что существование и величина предела Sn устанавливалась непосредственно. Та¬ ким образом, в силу определения одновременно устанавли¬ вались и сходимость, и величина суммы рассматриваемого ряда. В основном, непосредственный анализ последователь¬ ности {.Vn} не представляется возможным, поэтому основны¬ ми задачами в теории числовых рядов являютс я установление сходимости или расходимости данного ряда без вычисления величины его сумм и оценка зависимости остатка ряда гп от номера 7i (скорость сходимости ряда). В силу равенства S = Sn + rn, оценка гп дает оценку гю- 8
грешности при замене суммы ряда S = ап частичной сум¬ мой 5„. n=1 Перефразируя критерий Коши сходимости последователь¬ ности, получаем оо Критерий Коши сходимости ряда. Ряд ^ ап схо- п = 1 дится тогда и только тогда, когда для любого положительно¬ го числа в найдется такой номер N = N(e)t что для любых натуральных чисел р и n, п > N(e), справедливо неравенство п+р к=п < е. Приведем формальную запись критерия Коши сходимости ряда: со ап сходится <=> Ve > 0 ЗМ(е) £ N : п = \ Vn€N, п>М(е),: п+р YLak к—п < €. Заметим, что, как и при анализе последовательностей, критерий Коши редко применяется для доказательства схо¬ димости конкретного ряда из-за технических трудностей. Область применения критерия Коши — как правило, или ут¬ верждения, в которых из сходимости одного ряда выводится сходимость другого, или установление расходимости ряда. Пример 7. Покажем, пользуясь критерием Коши, что всякая бесконечная десятичная дробь 0,(11 сдоз .. .а„ ... = п = 1 определяет действительное число а, т. е. ряд EQ п 10п п = 1 сходится. му Возьмем произвольное натуральное число п и оценим сум- п+р ак при любом р £ N. В силу условия 0 ^ ^ 9 к =п 10* 9
получаем, что °<E£<’£iiFT-i54' + ra + -" + I5;)- /с=п fc = J ^ ~ 10»>-П < 10n"‘ 1 - 10й-1’ Для произвольного положительного числа е положим Ые = = max 11, |lg -J | + 2, тогда из полученной оценки следует, что для любых натуральных р и n, п > Afe, имеем: ^ а* 2 2 0 ^ 2^ ю* < Ю"-1 < То^--1 < *' к —п <Х> Итак, в силу критерия Коши ряд Т^п ’ ^ ^ (1пв ^ гхоДит* п = 1 ся. 11 J ^ 1 Пример 8. Ряд 1 + - + -4 \ - называется 2 л л ' п п = 1 гармоническим рядом. Пользуясь критерием Коши, покажем, что гармонический ряд расходится. Для :ггого надо указать такое число £<) > 0, что для любого номера N и некоторой пары натуральных п+р j чисел р и п, ?i > Л/\ имеет место неравенство ~ ^ So¬ le г:п Возьмем произвольное натуральное число п. Тогда V - - - __L_ J_ 2L - 1 n + 1 2п 2и 2 к—п Таким образом, для ео = - и произвольного номера Л/* найде¬ ны натуральные числа 7t = Л/* 4 1 > Л/* и р — /i, для которых п+Р j 1 - > - = fo, что и требовалось установить, Следователь- к =п пи j но, гармонический ряд - расходится. п — 1 10
Из критерия Коши непосредственно следует Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд оо Еап сходится, то lim ап = 0. П-+ ОО П = 1 Гармонический ряд является примером расходящегося ря¬ да, для которого lim а„ = 0. Следовательно, условие п—>оо lim ап = 0 недостаточно для сходимости ряда. п-*оо по Пример 9. Ряд ^sinn расходится, так как последова¬ ла тельность {sin п} не является бесконечно малой (эта последо¬ вательность не имеет предела)*) Пример 10. Как было показано (см. пример 2) ряд А: оо 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1Н— = п — 1 расходится. Рассмотрим ряд В. (,_ !) + (,_!) + (!_!) + ...+ (!_]) + .... . Если в ряде В опустить (раскрыть) скобки, не произво¬ дя сложения внутри них, то ряд В превратится в ряд А. В таких случаях принято говорить, что ряд В получен груп¬ пировкой членов ряда А. Если же сделать сложение внутри скобок ряда В, то получим, что Ои В . 0 + 0 + 0Н +0+ =£о. п = I Все частичные суммы Sk этого ряда равны нулю, следова¬ тельно, ряд В сходится и его сумма равна нулю. Пусть njf = [27г/с], к 6 тогда 2пк < n* + 1 < 2этк -f 1 и, следо¬ вательно, sin(n* + 2) — sin пд. = 2sin,1 cos(n* + 1) > 2 sin 1 cos 1 = sin 2. Таким образом, для e = sin 2 и любого числа М найдутся натуральные числа п* > Мир = 2 такие, что |sin(7i*. -f 2) -sinu*l > f, следовательно, в силу критерия Коши последовательность ап = sin?i не имеет предела. 11
Итак, группировка членов ряда может превратить расхо¬ дящийся ряд в сходящийся. ! )то утверждение было доказано го на примере ряда ^(— 1)п-1, не удовлетворяющего необходи- Т| =Г 1 мому признаку сходимости - последовательность {( — 1)п-1} его членов не является бесконечно малой. Покажем, что груп¬ пировка членов может превратить расходящийся ряд в сходя¬ щийся и в том случае, когда последовательность членов ряда является бесконечно малой Примсф 11. Ряд . 1 1 1 1 II I А : 1 — + 1 К• • • Н 2 2 2 2 п п п ^ ^ ^ ti раз 11 11 ... -| -}-■•• 71 71 П 71-f-l у > и раз расходится. Докажем .»то, пользуясь критерием Коши. Действительно, для любого натурального V существукгг такие натуральные числа > /V и р, что 1 1 1 И Л f 1 — ~ 1 Ия + 1 — (ln + И — ~ * V V Р И +Г следовательно, ап = I. Условие Коши не выполнено, к = ii -f-1 поэтому ряд А расходится. Рассмотрим ряд »= C-4+(j + 5-5-i)+ + /11 111 1\ 4 “ + » + \П 71 7} 1) 71 п J полученный группировкой членов ряда А. Поскольку каждый член ряда В равен нулю, то ряд В сходится и его сумма равна нулю. Проанализируем проблему группировки членов ряда в об- 12
щем виде. Пусть дан ряд ^^ап. Сгруппировать члены этого п = 1 оо оо ряда — это значит вместо ряда ^ ап рассмотреть ряд пк-\ n=l *=1 где Ак = ^2 а" ’ * = п° < 711 < 712 < • < Пк < .т. е. П=П*_ 1 Ак для каждого к есть сумма к-ой группы (скобки) членов со ряда. Пусть Sn — частичные суммы ряда ^ ап и Sk — ча- оо п = 1 стичные суммы ряда Ак- Для конечных сумм раскрытие к = 1 скобок законно, следовательно, Sk = ^ i + Л 2 + • • * + Ак = П|-1 П 2 — 1 flfc — 1 = а„ + ^ а„ Н + ^ а„ = П — 1 п = П] п=П*_1 = а 1 + «2 + ' ■ ■ + (lnk- 1 = 'b'rifc-l, т е. последовательность 5* есть подпоследовательность по¬ следовательности 5п, именно, Sfc = Snk-1- Из теории пределов последовательностей известны следу¬ ющие утверждения: 1. Если сходится последовательность 5П, то последова¬ тельность SUk-1 сходится и lim 5n = lim Snk-\. n-+r\) к-too оо Для рядов это означает, что если сходится ряд ап, то СК> 71= 1 сходится и ряд ^ Ли суммы обоих рядов равны. k=1 2. Сходимость последовательности Snfc-i, вообще говоря, не влечет сходимости последовательности .Sn. оо Для рядов это означает, что если сходится ряд Ак, то оо к = 1 ряд ап может и расходится, это и показывают примеры 10 п — 1 и 11. 13
Утверждение. Пусть дан ряд ^ап. Пусть далее п — 1 п*-1 Ak = ^ Лтп 1 = ^0 < «I < Т12 < ■ • • < Пк < . . . и ряд Ак сходится. Тогда для того чтобы сходился ряд к- 1 оо £«п, необходимо и достаточно, чтобы п = 1 Jim (max Л £ а. Докажем это утверждение, используя критерий Коши. Для произвольного числа е > 0 в силу условия найдутся на¬ туральные числа /\' и <2, такие, что гпах II ± - ' m — п » , пк-1 ^ п $: пк - 1 m=n*_, для всех натуральных А: > К и <?+р И 5> k-q е <2 для всех натуральных р и g > Q. Для натуральных п > 1 и р положим ко = max{Ar п > Пк} и к] = max {к : п + р п*}, тогда ко ^ к\. Используя эти обозначения, эаиишем +р nfcl -1 п-1 Р+п >2 ат = Е ат - 53 ат + Е 1=П яа=п*() т=пк О т=пк ki п-1 Р+п - Е Ак ~ 53 °т + Е« т • Дс =Дс0-|-1 m=n*0 m=nfc 14
Так как из определения ко и к\ следует, что я*0 < п ^ п*0+] и я*, ^ п + р< пк,+1 , то п+р |Цат| ^ | £ ^1 + т = 1 к — к0 + 1 п п + max 7 ат + max } ат . nfco^n<nfc +i I ' I п* <п^п*1 +1 I ' I 0 0 m=nfc0 1 1 т=п*, Положим N = тах(71#, tiq). Тогда, если п > /V, то ко + 1 > Q и fci + 1 ^ /:о + 1 > Л', следовательно, в силу определения К и <2 получаем, что п+р Е| £ 6 £ Ч<2 + 4 + 4=£ Итак, ряд ^а„ удовлетворяет условиям критерия Коши и, П= 1 следовательно, сходится. оо С другой стороны, если ряд сходится, то условие lim max к—too пя_ | <Cn^nfc — 1 lim г-* = 0, так как к —► оо У! am m=nfc_, £ n= t = 0 следует из соотношения = |r„t., - г„|. Пк~ 1 Следствие 1. Пусть дан ряд ^ an и Ак = а"- П = 1 П = П*_, 1 = no < 7ii < 712 < •• Если lim ап = 0 и sup(7i^ — n/c_i) < n —► оо оо < -f ос, то ряды ^ ап и ^ Л* сходятся или расходятся п — 1 Ac = 1 одновременно. ОО Пк-\ Следствие 2. Пусть дан ряд ^ an и Л* = а„, n = l n=nfc_i 1 = no < 7ii < П2 < — Если для 7ifc_i ^ 71 ^ тг* — 1 все числа ап имеют одинаковый знак (нуль будем считать с лю- 15
ou ou бым знаком), то ряды ^ «„ и Аь сходятся или расходятся п — 1 к — 1 одновременно. Следствие 3. Пусть дан ряд Обозначим через П = 1 {6Г1} последовательность, содержащую все те и только те чле¬ ны последовательности {ап}, п = 1,2,..., которые отличны от нуля, перенумерованные с сохранением порядка. Тогда пи оо ряды ап и ^ Ьп сходятся или расходятся одновременно. п=1 п = 1 Если два ряда ап и 6„ сходятся, то для любых по- п = 1 п = 1 (X- оо стоянных muff ряд ^(аап+/?6п) сходится и ]^(аап+/?Ьп) = оо оо п = 1 п = I = а^Гап +Р^1Ьп' п = 1 п = 1 Таким образом, множество сходящихся рядов представля¬ ет собой линейное пространство. Отсюда получаем следующее утверждение. оо Пусть члены ряда ^ ап представлены в виде суммы: а„ = = с<"+с!,г>+ ■■ .+С?Г Тогда <х> оо I. Если все ряды ^ с^1\ 1 ^ t ^ А, сходятся, то ряд ^ ап n = 1 П=1 сходится. оо 2. Если среди рядов 1 ^ i ^ ку только один расхо- п = 1 оо дится, а все остальные сходятся, то ряд а„ расходится. оо П= 1 Если среди рядов ^ \ 1 ^ t ^ fc, расходится более, оо п = 1 чем один, то ряд ^ ап может как сходиться, так и расхо- п = 1 16
диться — такое представление не информативно в вопросе о сходимости ряда. Приведем соответствующие примеры. ^ 2Л + 5П Пример 12. Рассмотрим ряд ^ —• Так как ап = 1 1 „ ^1^1 = ^ — и каждый из рядов 2^ 5^ и 2^ 2" сходится (см* П=1 П = 1 v-k 2П + 5П пример 1), то и ряд — сходится. П=1 ОО О 2 “I" п Пример 13. Рассмотрим ряд 2"”~ ^аК КаК вп = п = 1 1 п °° п °° 1 = - + сходится (см. пример 5), а ряд У] - п z I п п=1 п=1 / о \ ^ + П2 расходится (см. пример 8), то ряд > — расходится. п-2п П = 1 00 1 Пример 14. Рассмотрим ряд } —7 -г-. Так как ап = " n(n -1- 2) = Н»~;гт2)’то *‘-Ki-i)+sG-0+-+Ki-m)- -1 (1 1 1 1 ^ ” 2 ^ + 2 * + 2 k+l)’ следовательно, lim S* = ^, т. е. ряд У* - ---- - сходится и k->OQ 4 "п(п-1-2) 3 Л °° 1 его сумма равна -. В то же время, каждый из рядов — оо J П = 1 п и V] расходится — расходимость первого установле- т) 4- / П=1 на в примере 8, расходимость второго следует из равенства Sk = S*+2 - 1 ~ где S* — частичные суммы гармонического 17
ряда, a Sk — частичные суммы ряда 2^ ^ п = I ~ ^ -1 Пример 15. Рассмотрим ряд ^ . 1ак как п = 1 П 1 2 , \/й — I 111 —т= ^ - для п ^ 4, то = —7= - - ^ - для /г ^ 4. >/п п п у/п п п Пользуясь этими неравенствами, получаем, что для любых натуральных п ^ 4 и р а ,/1-1 itri Й I ,У?| Е — fc=n АС — п Ас — п к—п Пользуясь критерием Коши и установленной в примере 8 рас¬ ходимостью гармонического ряда, отсюда получаем, что ря- 00 . 00 /—. Е1 Vn “ * II -т= и расходятся. Итак, расходятся все п = 1 * П = 1 оо . сю , оо /— . сю / 1 V п = 1 n = l v п = 1 п = 1 4 v ' Свойство ряда быть сходящимся или расходящимся не за¬ висит от изменения любого конечного чис ла его членов (это следует, в частности, из критерия Коши). Поэтому всюду в формулировках условий сходимости или расходимости ряда можно требование “для всех членов ряда” заменить на “для всех членов ряда, начиная с некоторого номера”. В даль¬ нейшем такая замена будет подразумеваться без специальной оговорки. Определение. Ряд ап называется абсолютно сходя- п = 1 оо щимся, если сходится ряд ^ |ап|. , п = 1 СХ) Если ряд ап сходится абсолютно, то он сходится. Если п — 1 оо оо же ряд ап сходится, а ряд ^ |ап| расходится, то говорят, п = 1 п = 1 18
оо что ряд ап сходится неабсолютно. N = 1 Пример 16. Ряд , , 1111 ^ (~l)n+1 + 2 2 + 3 3+ [=*Ч сходится неабсолютно. Действительно, мастичные суммы S2n этого ряда с четны¬ ми номерами равны нулю, частичные суммы .S^n-i с нечет¬ ными номерами равны —. Последовательность Sn сходится 71 к нулю, следовательно, и рассматриваемый ряд сходится к нулю. ся, ис- Покажем, что ряд ^ |ап| = ^ r'n+П РасхоДИТ( п = 1 п — 1 I- 2 J пользуя критерий Коши. Для произвольного нечетного чи¬ сла 71 = 2g - 1 возьмем р = п + 2 = 2g + 1, тогда получим, что n+p Aq ^ Z>*i = Е тщ к-п k = 2q— 1 L 2 J k = 2q- 111 1 112 q t — Н Ь т г Н ~т 4- • + -— Я Я Я + I q + 1 2q Zq 2q Итак, для = 1 и любого номера 7V нашлись такие натураль- п+р ные числа п = 2 N -1-1 >ДОир = л + 2, что |а^ | > fo, т. е. к =п ос критерий Коши не выполнен и, следовательно, ряд |ап| п = 1 расходится. Определение. Ряд называется безусловно сходящимся, если для любой перестановки ip(n) натурального ряда (<р есть оо биекция 14 на N) ряд ^[2av(n) схоДится- п = 1 оо Теорема. Ряд ап сходится безусловно тогда и только п — 1 тогда, когда он сходится абсолютно. 19
Теорема. При любой перестановке абсолютно сходящего¬ ся ряда сумма полученного ряда равна сумме исходного. Часто используется краткая формулировка этой теоремы: сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Такая формулировка удобна, если речь идет о сумме некоторого счетного множества чисел, нумерация которого еще не установлена или устанавливается произвольно. В силу вышесказанного, для числовых рядов принято вме¬ сто термина “неабсолютная сходимость” использовать тер¬ мин “условная сходимость”. оо Теорема Римана. Если ряд ^ ап с действительными п = 1 членами сходится условно, то для любой точки А расширен¬ ной числовой прямой найдется такая перестановка натураль¬ ного ряда (р(п), что для последовательности Sn частичных оо сумм ряда Vs a^in) имеем: lim Sn = А. ' V ' П-¥ ОО п = 1 Пример 17. Рассмотрим ряд Последовательность хп = 1 + - + - + Н *n п имеет _ 2 3 п предел. Обозначим этот предел через 6^, тогда , 11 ' 1 . 2 3 Ь — = In п + + £п, где lim еп = 0. Для частичной суммы четного порядка П —4 ОО ОО отсюда получаем равенство: 1 11 п = 1 , 1 1 1 1 1 52*-1_2 + 3"4+ ' +2Г~1~2к = = (1 + I + I + ...+ l)-(l + I + i + ...+ l): = In 2Аг -|- Сэ + б2к — (In к + (?j + €k) = In 2 + €2к — £* 20
и, следовательно, lim .$2к = In 2. Так как S2*+i =52*+ а; , '7» /с-foo 2к + 1 то lim S2*+i — lim 62* = In 2, к-* оо /с—►оо откуда получаем, что lim Sn = In2, т. е. п-*оо 5= У" — = In 2. " П (-1ГИ _ п=1 Сделаем перестановку членов этого ряда таким образом, чтобы за двумя положительными членами шел один отрица¬ тельный, тогда получим ряд 1 11111 А 1 + 3-2 + 5 + 7_4 + "‘-2>"’ П = 1 где аз*-2 = 4рз* азк-‘ = 4ГГТ’аз* = -h’k* R 0б°- значим через Sn частичные суммы этого ряда, тогда для лю¬ бого натурального к справедливы соотношения $3к— 1 = Ssk + 7ГГ, $3к - 2 = $3к + 7ГГ 24, -г 2jb Следовательно, полученный ряд будет сходиться, если схо¬ дится последовательность и при этом справедливо ра¬ венство S = lim Sn = lim S3*. n-foo к —f 00 Так как 5,11111 i i i ■ 3* “ 3 2 5 + 7 4 4*- 3 + 44-1 2* “ = l + I + ...+l-i(i + I + ... + ±)_I(i + i + ...+^ = = In +63+64* — - (In 2k+Cj+£2k)-m 2 (In Л+Сэ+£*) =
3 то lim 5з/с = ;rln2. Итак, сумма S переставленного ряда к — оо 2 3 равна - In 2 и не совпадает с суммой S — In 2 исходного ря¬ да. Это, как показывает сформулированная выше теорема Римана. есть следствие неабсолютной (условной) сходимости Ы)п+1 ^ 1 данного ряда. Действительно, ряд > = > - есть Т1 г П п- 1 п=1 гармонический ряд, расходимость которого уже была уста¬ новлена в примере 8. оо Как указывалось выше, сходимость ряда ^(ап + *Ьп) с П = 1 комплексными членами эквивалентна одновременной сходи- оо оо мости двух рядов с действительными членами: и ^ 6„. п=1 П=1 Из неравенств . /п+р П+р \ П+р П+р П +р \k—n к =n / kzzn k=n k—ti в силу критерия Коши следует, что и абсолютная сходимость оо ряда ^^(an ibn) эквивалентна одновременной абсолютной п = 1 (X) оо сходимости двух рядов ап и 6„ с действительными чле- П — 1 П = 1 нами. Приведем несколько примеров анализа абсолютной и не¬ абсолютной сходимости рядов с комплексными членами. оо Пример 18. Ряд ^ гг^- сходится абсолютно, так П = 1 ' (X) 71 П г-л П ^ = 2^» а сходимость ряда ^ 5- установлена в п = 1 примере 5. Так как -5—4:0-0-- как (l+i)2n 22" = 2^ +«Х(-1)'СС-2п"1) . \К=1 Лс=1 / 22
оо V V ' Tt то из абсолютной сходимости ряда, > — -г— следует схо- “ (1 + *) п = 1 димость рядов £а„ и £б„, где П = 1 П = 1 а,г - 22п Ё(-о*сй /с=1 " ‘"=2*7 * = 1 Пример 19. Рассмотрим ряд ” (-i)"+,(>+>+»■) г п = 1 тг(п + 1) Сходимость (абсолютная сходимость) этого ряда эквивалент¬ на одновременной сходимости (абсолютной сходимости) ря¬ дов £ „(„+,) Л. „ 1 -П»+1 (-1) п(п + 1) 1 п(п + 1) (-l)n+1 и ряд У] ———Г сходится (см. пример 3), то ряд У/-; ■ ^in(n + 1) ^n(n+1) сходится абсолютно. Ряд 2 , как показано в приме- п= 1 ре 17, сходится условно (неабсолютно). Итак, ряд (-l)n+1(l + i+m) п = 1 сходится условно п(п + 1) овно. ~ in Пример 20. Рассмотрим ряд 2^ —. Так как п= 1 п = 4к, п = 4к -I- 1, Tt — Ак -|- 2, n = 4* + 3, *GN, (0n i_ n i n ’ n 9 i ’ > n 23
то сходимость (абсолютная сходимость) данного ряда экви¬ валентна одновременной сходимости (абсолютной сходимо¬ сти) рядов —, п = 4к, п ]Гап, где а„ = ^ _ 1 п _ п ’ О, п = 2к + 1 4 к + 2, п = 1 I 71 ]Гб„, где Ь„ = < П=1 n = 4fc + 1, 71 п = 4* + 3, 71 О, п = 2к. Следствие 3 утверждения о группировке членов ряда (см. 00 стр. 17) говорит, что сходимость ряда ^а„ эквивалентна оо / n = 1 сходимости ряда ' Л» ' > а сходимость ряда Ьп эквива- LK оо / j\* n = l лентна сходимости ряда ^Сходимость рядов ^ ——— и 2^ ы 1 устанавливается так же, как и схо- к=1 к=1 ~ 00 (_1)" + 1 00 i" димость ряда в примере 17. Итак, ряд ^ — п — 1 П п = 1 П 00 tn 00 1 сходится. Ряд же ^ расходится - это гар П = 1 П=1 ОО .п монический ряд (см. пример 8). Следовательно, ряд ^ — сходится условно. п"1 У J . ч П Пример 21. Рассмотрим ряд ^ . Гак кар л 2n/2 n=1 = = 1, то данный ряд расходится - для не 1+| 1 - г 24
го не выполнено необходимое условие сходимости. Так как то, следовательно, расходится, по крайней мере, один из ря- ОО 1 / п \ оо дов ]Га„, где а„ = — ( ), или где 6П = n = l \1г = 1 / п—1 Поскольку из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость, начнем с изучения исследования сходимости ря¬ дов, члены которых действительные неотрицательные числа. Заметим еще, что для ряда, члены которого, начиная с не¬ которого номера, не меняют знака, сходимость эквивалентна абсолютной сходимости. Все дальнейшие утверждения относятся только к действи¬ тельным последовательностям {ап}, поскольку в этих утвер¬ ждениях явно или неявно используются условия, содержащие неравенства. Ряды с неотрицательными членами оо Если все члены ряда ^ ап неотрицательны, то последо- п — 1 вательностъ {/?*} его частичных сумм не убывает. Для не¬ убывающей последовательности ее сходимость и ограничен¬ ность эквивалентны. Поэтому для рядов с неотрицательны¬ ми членами — и только для них! — вместо слов “ряд сходит¬ ся” и “ряд расходится” употребляют соответственно символы IX) оо ]Рап<+оо и У^ап = +оо. П = 1 П = 1 ОО Теорема сравнения. Пусть даны два ряда А : ^ ап, оо п = 1 <*п ^0 VnGN, и В : бп^О Vn€N. Если ап ^ 6n Vn € N, п = 1 то из сходимости ряда А следует сходимость ряда В, из рас¬ ходимости ряда В следует расходимость ряда А. 25
Следствие 1. Если ап О, Ьп ^ 0 Vn £ N и ап = 0(6П) оо при п -> оо, то из сходимости ряда следует сходимость со ^ ЕТ1 — 1 flfl. nr 1 Следствие 2. Если ап ^ 0, Ьи ^ 0 Vn 6 N и ап ~ (X) оо при п -> оо, то ряды а„ и 6„ сходятся или расходятся п = 1 п = 1 одновременно оо Внимание! Если в ходе анализа ряда ап, ап ^ 0, полу- п = 1 чена оценка ап ^ 6П, или ап = 0(6П), п —► оо, или ап — о(Ьп), оо тг -> оо, где ряд Ьтх расходится, то такие оценки не дают п~ 1 оо возможности сказать, сходится или расходится ряд ап - 71 — 1 О.) они не информативны в вопросе о сходимости ряда ап. п — 1 Пусть {^п} и {6П} -- неотрицательные бесконечно малые последовательности. Тогда из теоремы сравнения получаем следующие утверждения. Если ап и Ьп бесконечно малые одного порядка, т. е. со со ап = 0(Ь„) и 6П = 0(ап) при 71 —► оо, го ряды ам и 6П П — I п=1 сходятся или расходятся одновременно. Если последовательность {ап} стремится к нулю быстрее последовательности {6yt}, т. е. ап = о(Ьп) при п -> ос», то из сходимости ряда ^ Ьп следует сходимость ряда ^ ап, а из п= 1 п = 1 'Х; оо расходимости ряда ^ ап следует расходимоггь ряда ^ 6П. П = 1 П - I Таким образом, сходимость ряда с неотрицательными члена¬ ми связана со скоростью стремления к нулю его членов. К сожалению, не существует такой “граничной” последо¬ вательности {ап}, а„ ^ 0 Утг 6 N, lim ап — 0, для которой п—*оо 26
все ряды, члены которых стремятся к нулю быстрее, чем аП} сходятся, а все ряды, члены которых стремятся к нулю мед¬ леннее, чем ап, расходятся (см. задачи 9, 11, 13 и вывод из них, стр. 314) Сама формулировка теоремы сравнения показывает, что для ее применения необходимо наличие достаточно широко¬ го запаса “эталонных” рядов, сходимость или расходимость которых известна. оо Ряд сходится при О $ q < 1 и расходится при п = 1 q ^ 1. Используя такой ряд, из теоремы сравнения можно вывести: Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными оо членами ^ ап, ап > 0 Vn Е N, тогда п= 1 Г— ап + 1 | если Inn = q < 1, то ряд сходится, n-юо ап если - -*1- ^ 1 Vn £ N, в частности, если Um —q}> 1, ап п—►оо dri то ряд расходится. На практике, в основном, применяется более слабое усло- оо вие: если все члены ряда У ап положительны и lim = g, t'l n^°° a" то ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1. Признак Коши (радикальный). Пусть дан ряд с не- оо отрицательными членами: а„, ап ^ 0 Vn € N. Тогда П = 1 если lim ?/а^ < 1, то ряд сходится, п-юо если lim > 1, то ряд расходится. п-юо На практике, в основном, применяется более слабое усло- оо вие: если все члены ряда Y44 ап положительны и lim </a^=g п-юо п= 1 то ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1. В теории последовательностей доказывается, что для по¬ следовательности {an} с положительными членами из суще- 27
r an+l ствования предела lim следует существование предела п—♦ со ап lim v/a^ и равенство этих пределов. Следовательно, если для п—►оо ряда с положительными членами выполняется одно из условий признака Даламбера, то обязательно выполняется и соответ¬ ствующее условие признака Коши. Но на практике отноше- ^п+1 ние часто аналитически проще, чем радикал с перемен- an ным показателем \/an, поэтому проще применить признак Даламбера. В то же время область применения признака Ко¬ ши шире, чем область применения признака Даламбера. В частности, для выполнения каждого из условий признака Да¬ ламбера необходима монотонность последовательности {an}, а условия признака Коши не требуют сравнения друг с дру¬ гом соседних членов последовательности {an}. Приведем характерные примеры исследования рядов при¬ знаками Даламбера и Коши. ^ 2п + и2 Пример 22. Рассмотрим ряд > — . Для членов ' Зп + 71 п= I этого ряда имеем: (2+ 1^) (1 + JL) 3«+1 + (n+ lT 2» + »2 ” (з+:Ш.) (1 + |2) ' an+1 2n+l+ (»»+!)* 3" + n 3 V 1 + n ’ с. I • ^Tl *f 1 ^ откуда легко получаются оба равенства: urn —= - и 2 п^по ап 3 lim уап - п—юо J Итак, данный ряд достаточно просто анализируется как признаком Даламбера, так и признаком Коши. ^I\2 Пример 23. Рассмотрим ряд ^ : . |. Для этого ряда П = 1 ' ' г- (п!)" исследование последовательности уап = —■-—-—г существен¬ ен)!]^ <*n+i (п + I)2 но сложнее, чем последовательности —— = —-—- . an (2 + 2n)(2n + l) 28
то в силу признака Даламбера данный ряд сходится. Замечание. В теории последовательностей доказывается неравенство < п! < е■ (^) » откуда следует, (n!)± ^ ei-f _ е1+± НТО ((2п)!)* < ¥ 4 и, следовательно, lim \/а^ < <1. Таким образом, n-fOO \ 4/ данный ряд можно было исследовать и с помощью признака Коши, но при этом пришлось бы использовать более сложные соотношения. °° n"-i Пример 24. Рассмотрим ряд У По- ^ (2n2 + n+ l)“t" скольку члены ряда аналитически записаны в виде степени с переменным показателем, то следует ожидать, что исследо¬ вание последовательности будет проще, чем последова¬ тельности в--1. Действительно, вычисление ап lim fe±! = lim ("+■)’(*■» + ■■+iff n-юо ап п->оо Пп-1(2П2 + 5п + 4)“11- явно громоздко и проводить его не будем. Применим для анализа данного ряда признак Коши: так как П’П » </Оп = Щ (2+±+£)■*■•»•»* то lim v/a^ = -^= < 1, следовательно, данный ряд сходится. Л-ЮО у/2 / 2 + (—1)л \п Пример 25. Рассмотрим ряд ^ (^5 + ( 1)"+1/ ^ока~ жем, что признак Даламбера непригоден для анализа этого
ряда. Так как а„-и _ /2 +(-!)"+'у>+‘ /5 + (-l)n+1 \" а„ V5 + H)n+V V 2 + (—1)" ) *n + l.ftn i /Q\n + 1 , п = 2к — 1, 4n+Mn 6 V 4 1 Ц\" .6^nF = 6leJ • ” = то lim = -i-oo и lim - = 0 < 1. Таким образом, п-*оо ап П —>00 On ни то условие признака Даламбера, из которого следует схо¬ димость исследуемого ряда, ни то, из которого следует его расходимость, не имеют места. Попробуем применить признак Коши. Из равенства у/а^= 2 -|- ( — 1)п 3 = т;n г 1 получаем, что lim \/а^ — Следова- 5 + (— l)n+ Ti —► оо 4 тельно, в силу признака Коши, данный ряд сходится. Итак, вопрос — каким из признаков — Даламбера или оо Коши исследовать данный ряд ^ ап решается в зависимо¬ го! сти от конкретного вида последовательности {ап}. Однако, поскольку оба эти признака основаны на сравнении иссле¬ дуемого ряда с геометрической прогрессией, то ни тот, ни оо другой не дают ответа на вопрос о поведении ряда ап, п = 1 члены которого стремятся к нулю медленнее, чем последо¬ вательность вида {gn}, О < q < 1. Для таких рядов нужна другая эталонная шкала. Выделим новую серию эталонных рядов, используя ре¬ зультат примера 2. В этом примере было показано, что ряд У2 (- —I ) (п + 1 )Я) сходится при q > 0 и расходится при q < 0. Оценим скорость /г 1 1 стремления к нулю последовательности {ап}, ап = —— 30
при q ф 0. Имеем 1 1 _ 1 / / А гг** (гг -h 1 п(* у \ п) = JL (Vi + ^+of-^Y) - — Т\Ч V 71 \п J/ пЧ , п -> оо. В силу следствия 2 теоремы сравнения (см. стр. 27) получаем, °° 1 что ряд ^ — сходится при р = q + 1 > 1 и расходится при п = 1 р < 1; если же р = 1, то перед нами гармонический ряд, расходимость которого установлена в примере 8. Отсюда следует Признак сравнения. Если для последовательности по¬ ложительных чисел {ап} существуют такие числа р и С > 0, что On ~ П -»• ОО, (1) ОО то ряд а« сходится, если р > 1, и расходится, если р ^ 1. г» = 1 °° 1 Сравнением с тем же рядом ^ — получается П = 1 Признак Гаусса. Если ап > 0 и существует такое число е > 0, что *•±1 = 1 + ^ + 6>(-1_Л, п-юо, о„ п V” + / (2) ОО то ряд ^ ап сходится, если ц < -1, и расходится, если п-1 Ц ^ -1. Заметим, что условие признака Гаусса часто формули¬ руется для обратного отношения ——. Приведенная здесь Дп + 1 формулировка подчеркивает связь признаков Гаусса и Да- ламбера. Оба эти признака основаны на анализе отноше¬ ния ——. Признак Даламбера рассматривает тот случай, an +1 31
когда это отношение отделено от единицы снизу или свер¬ ху, и сравнивает последовательность {ап} с геометрической прогрессией. Признак Гаусса рассматривает тот случай, ко¬ гда lim —— = 1, и сравнивает последовательность {ап} с п->оо ап последовательностью {п~ **}. Вопрос — каким из признаков - - сравнения или Гаусса — 00 исследовать данный ряд ап решается в зависимости от п = 1 того, какое из представлений (1) или (2) легче получить. В ап + 1 частности, если ап или отношение являются достаточно ап гладкими функциями от п, необходимое представление полу¬ чается применением формулы Тейлора. Рассмотрим характерные примеры. ОО J ^ Пример 26. Рассмотрим ряд 7 —sin —. п п=\ П Так как ап ~ , п —> оо, то этот ряд сходится при nP+1 р > 0 и расходится при р 0 в силу признака сходимости. Пример 27. Рассмотрим ряд Для последовательности {ап}, ап = -- \/1п ——, как от- \/п V п ап +1 ,— ношение , так и радикал ?/ап имеют достаточно СЛОЖ¬ ЕН ный вид. Выделим главную часть переменной ап следующими преобразованиями: 32
Апу/п ^о(') , п п \ Пу/П ) оо. Итак, ап — —у, п —> -foo, следовательно, в силу признака 4пз со сравнения ряд ап сходится. П = 1 Пример 28. Рассмотрим ряд р > О, q > О, г > 0. ОО / J. . J. \ Е/ I. 0 * + Г * 1 (»■-— j. Для последовательности {а„}, ап = Рп о— , как от- ^п + 1 / ношение , так и радикал уап имеют достаточно слож¬ ен ный вид. Для того, чтобы выделить главную часть перемен¬ ной ап, запишем а„ в виде - = |,+v-K, + v + 1 + v)+e(i)|- = i.|21np_ln,_lnr| + C)(^) = In— n-4oo. qr j \n2J 2n 1 I «2, Переменная — In — является главной частью a„ при 2n j qr| 2 n —► оо, если In — ф 0, т. e. p ф y/qr. При этом усло- qr вии an — — « 2 n In оо, и в силу признака сравнения / 1 \ ряд ^ ап расходится. Если же р = v/gr, то an = О I — ), п = 1 со j \п ) п —► оо. Поскольку ряд > —X сходится, то в силу след- ' 71 П=1 ствия 1 из теоремы сравнения получаем, что в этом случае 33
W -i- . J- 1 ^" T Гп 2 an сходится. Так как pn = ап, если р > qr, n= 1 -L , i 1 0 " + Г » 2 ^ л pn = —аП1 если p ^ qr, то данный ряд сходится, если р2 = gr, и расходится, если р2 ^ qr. Заметим, что формула Тейлора позволяет получать точ- -L , X х. q п ~т г* ную величину константы ь в равенстве ап = рл ~ С-“, р2 = qr, п -> оо. Но следствие I теоремы сравнения п позволяет обойтись без этой величины, что часто упрощает ход решения. оо п|еп Пример 29. Рассмотрим ряд ^ . В формулу об- п= 1 щего члена входит функция п!. В таком случае естественно ал+1 (п + 1)!<?л+1пл+р ^ рассмотреть отношение = 7 rr-v-vi- ,—• Так как ап (п + 1)п+Р+1п!еп 3 3 то данный ряд сходится при р > - и расходится при р ^ - в силу признака Гаусса. Пример 30. Рассмотрим ряд с» £(2 - ,)(2 - **)(2 (2 - ,*). д > 0. П = 1 Прежде всего заметим, что если q = 2m, m G N, то, начиная с некоторого номера, все члены данного ряда обращаются в нуль, следовательно, ряд сходится. Если же q не является целой степенью двух, то, начиная с некоторого номера, все члены данного ряда не меняют знака. Поскольку an+1 = (2 - q)(2 -q*)... (2 - ?-)(2 - 9^т) = an(2 - вп+1 „ * то естественно рассматривать отношение —— = 2 — q**7.
то данный ряд сходится при In q > 1 и расходится при Inq ^ 1 в силу признака Гаусса. Окончательно получаем, что данный ряд сходится при дг = 2идг>е,а расходится при 0 < q < 2 и 2 < q ^ е. Две основные элементарные функции — показательная ех и логарифмическая 1пх — при х —> +оо не являются беско¬ нечно большими степенного порядка, т. е. для любого а > О имеем соотношения ха = о(ех) и 1пх = о(ха)> х —> +оо. По¬ этому ряды, в формулу общего члена которых входят эти функции с бесконечно большим при п —> +оо аргументом, не анализируются с помощью признака сравнения. Однако, иногда возможно получить оценку общего члена такого ряда через степенную функцию и, пользуясь теоремой сравнения, сделать вывод о поведении этого ряда. о° Пример 31. Рассмотрим ряд ^ п2е_>^. Так как П = 1 lim Vn2e~^ = lim = 1, n—f 6о n—► оо то ни радикальный признак Коши, ни, тем более, признак Даламбера не решают вопрос о сходимости этого ряда. Функция епри п —► оо убывает быстрее, чем любая отрицательная степень показателя у/п, т. е. = о(п~*) 0° j при п —>* оо (а > 0). Если ао > 6, то ряд сходит- ся.'В силу теоремы сравнения отсюда делаем вывод, что ряд оо ^п2е~^* сходится. Заметим, что оценка п2е~^ = о^п2~^ верна и для О < оо < 6, но, как указывалось выше, такая оценка не инфор- оо мативна в вопросе о сходимости ряда ^ п2е'~^1 поскольку оо J п=1 ряд ^2 2 —ао ’ а° ^ 3’ Р^ХОДИТСЯ. п - 1 °° III п Пример 32. Рассмотрим ряд ^ , q > 0. Из неравен- П — 1 35
In n 1 ства > —, n > 3, q > 0, в силу теоремы сравнения сле- п** п? дует, что данный ряд расходится при 0 < q ^ 1. Пусть q > 1. Так как In п = о{па) при п -> оо для любого а > 0, то для ка- кП - 'П П ^ ждогоа > 0 найдется номер Л (а), такой, что - - для всех п > М(а). Чтобы из этого неравенства сделать вывод о сходимости рассматриваемого ряда, необходима сходимость °о 1 ряда ^а для этого, в свою очередь, необходимо усло- п— 1 вие q — а > 1. Итак, для каждого фиксированного q > 1 берем зависящее от q значение а = —, тогда для всех п > Af(a) Inn 1 справедливо неравенство < , откуда в силу теоремы пя п 2 °° In п сравнения сделаем вывод, что ряд сходится. Оконча- п— 1 тельный результат таков: данный ряд сходится, если q > 1, и расходится, если 0 < q ^ 1. Поскольку и признак сравнения, и признак Гаусса осно¬ ваны на сравнении членов исследуемого ряда с последова- / 1 \ тельностыо вида < — >, то ни тот, ни другой не дают от- 1”р J вета на вопрос о поведении ряда, члены которого стремятся к нулю быстрее, чем —, но медленнее, чем —для любо- п п1+£ °° 1 го е > 0. Рассмотрим, например, ряд ——. Так как ' п In п 1 fl\ 1 f 1 \ —— = о - I, но ----- = о I —— I при п —► оо для любого п\пп \п / п1+с \n\nn/ е > 0, то признак сравнения не решает вопрос о поведении этого ряда. Точно так же отношение (n+1) 1п(п+1) 1 I л/1\ = 1 гт-.-.х+О т , п-»оо, (*)■- (л-f 2) ln(n + 2) п п ln(n + 2) не представляется в виде (2). Итак, данный ряд не анализи- . / 1 \ руется сравнением со шкалой < — >. 1"р J Интегральный признак Коши. Если/: [1, +оо) -» Я — 36
неотрицательная, невозрастающая, непрерывная функция, то оо ряд f(n) сходится или расходится одновременно с инте- п = 1 + оо /w f(x) dx\ если ряд /(п) сходится, то i "=1 +00 +00 Jf(x)dx^rn^ J f(x)dx, где r„ = f(k). /c=n 4-1 00 j Пример 33. Рассмотрим ряд ^ —j—p—, p > 0. T; n = 2 ~T~r— = o(-), p > 0, HO = of I1 - ), p > 0, для n III7 71 \n / П \ П In' 71/ любого e > 0 при 7i -> оо, то признак сравнения не реша¬ ет вопрос о поведении этого ряда. Не должен давать ответ на этот вопрос и признак Гаусса; действительно, отношение (71 + 1) IIIР(П +1) 1 1 / 1 \ (71 + 2) 1пр(п + 2) п рт?1п(7?+2) + \П2 / не ПРеД ставляется в виде (2). ^ Положим f(x) = — —р—, х ^ 2. Функция f(x) удовлетво- х lnF х ряет всем условиям интегрального признака Коши. Так как 4-00 интеграл / -■ —dx сходится при р > 1 и расходится при J х hr х 2 V" 1 р ^ 1, то ряд > —г~б— сходится при р > 1 и расходится пиг п п — 2 оо при р ^ I. Таким образом, мы выяснили, что ряд 7 —— 71 In П п — 2 расходится. 00 i Пример 34. Найти сумму рядаУ^ — с точностью до 10“’* . п п = 1 Решение. Задача поставлена корректно, так как данный ряд сходится. В силу интегрального признака Коши получа¬ 37
ем, что +оо л - ( dx 1 гп — S — Sn $ I 4 — J X4 3(п - п — 1 I)3 00 I Следовательно, для вычисления S = ^ —j с заданной по- п = 1 П грешностью достаточно взять сумму 1 1 1 1 1 1 1 - + 24 + 34 + 44 + + g4 + 7< + . так как jL = jij < Ряды с членами произвольного знака оо Признак Абеля. Пусть дан ряд ^ апЬп. Если после до- П = 1 ОО вательность {ап} монотонна и ограничена, а ряд Ьп схо- ОО П = 1 дится, то ряд ап6п сходится. п— 1 оо Признак Дирихле. Пусть дан ряд ^ап6п. Если по- п п = 1 следовательность {Bn}> Bn = ограничена, апоследова- 1 ОО тельность {ап} монотонно стремится к нулю, то ряд ^ апЬп п = 1 сходится. Следствие (признак Лейбница). Если последователь- ность положительных чисел {ап} монотонно стремится к ну- ОО лю, то ряд —1)л+1ап сходится и его остаток гп удовле- П=1 творяет неравенству |rn| ^ an + i- ~ (-l)n+1 Пример 35. Рассмотрим ряд - . Так как ап = п — In и ] 1 («1)п+1 - J = : , п -> ОО, ТО ряд > = > : п —Inn П “ п — Inn ' тг — In п п = 1 38
расходится. Итак, если данный ряд сходится, то он сходится условно. Последовательность {ап} положительна и стремит¬ ся к нулю при п —► оо. Так как (г — In х)' = 1 ^ О, х х ^ 1, то эта последовательность монотонна. Итак, данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и, следова¬ тельно, сходится условно. Пример 36. Рассмотрим ряд V(—l)"*1 arctg . ^ ("+1)2 Так как In(n + 1) < у/п+1 для п > 2, то ln(n-hl) ln(n -I- 1) 1 0•= TTmF < -(TTiF< (TTi)T’ ">2 Из этого неравенства в силу признака сравнения следует, что * ln(n +1) ряд > arctg —у сходится, следовательно, данный ряд п = 1 \п ^ ) сходится абсолютно. 00 . ЕЧ п ( П -f 1 ) / CI \ (—1) * (cos — J .При п = 1 П любом а для достаточно больших п имеем, что cos — =cos —. Ini n оо пз Для исследования сходимости ряда ^|cos“| используем п=1 П радикальный признак Коши. Так как lim п2 (cos — — l) = — lim п2-^Ц- = — n-юо \ п / n-юо 2гк 2 то lim {/(cos-V*’ = lim еп3 *n(cos f) = n—fOO у V Ц/ n-fOO lim na(cosJ-l) аз — gn-ЧОО — £> T # 00 . .„3 El fl I cos — сходится при аф 0. Бели же I п I п=1 / а \п3 а = 0, то ^cos — J =1 для всех n G N, т. е. не выполнен не- 39
V^/ ,x2l2±^ / a\n обходимым признак сходимости и ряд > (— * ) 2 I COS — 1 П = 1 расходится. Итак, данный ряд абсолютно сходится при а ф О и расходится при а — 0. Пример 38. Рассмотрим ряд tg — . Так как 4пя 4 n't ’ п -> со, то данный ряд сходится абсолютно при q > 1. Так f j \П + 1 ^ как tg = ( — 1)<п+1) tg-— и положительная после- 6 4пя v ; * 4п? 1Г довательность tg (q > 0) монотонно стремится к нулю при ti —у оо, то в силу признака Лейбница данный ряд схо¬ дится условно при 0 < q ^ 1. Если же q ^ 0, то данный ряд расходится, гак как не выполнено необходимое условие сходимости. Замечание. Условия ^ 1 и lirn а„ > 1 расход и мо- ап п--юо сти ряда соответственно в признаках Даламбера и Коши, как это видно из их доказательств, являются условиями наруше¬ ния необходимого условия сходимости ряда. Поэтому, если оо ряд |ап| удовлетворяет этим условиям, то не только он, п = 1 оо но и ряд ^ а„ расходится, так как последовательность {ап} п = ] не является бесконечно малой при п —> оо. °° n 71! Пример 39. Рассмотрим ряд ^. Начнем с иссле- n~* Iqr 1*^ • п! дования абсолютной сходимости. Пусть ап — —, тогда ап+1 kl(n+ 1)пп \q\ -ST = КЛЯГ = (ITif- 1,1 < “ с"')' неравенства lim = — < 1 признак Даламбера показы- п-юо ап е вает, что данный ряд сходится абсолютно.Если \q\^e, то для 40
любого натурального п верно неравенство «п+1 ы О + *)* > I, п * следовательно, в силу сделанного выше замечания данный ряд расходится. “ (-1)п+1Пп+» Пример 40. Рассмотрим ряд > —- г-^й—. Я > 0. \Яп + k) Намнем с исследования абсолютной сходимости. Так как / Пп+* п1 + ^ ,г. г 1 _ \/7 ГТЯ- = ГТ> то lim V е» = - В силу ради- V \Яп + £) + n n_f°° ? кального признака Коши данный ряд сходится абсолютно при q > 1 и в силу сделанного выше замечания расходится при О < q < 1. Осталось выяснить поведение данного ряда при q — 1, поскольку радикальный признак Коши не дает в этом случае определенного ответа. Рассмотрим поведение после- довательности |ап| = при п —у оо. Из соотноше- (» + £) НИИ |а„| = "* n = п»е-п|п(1+-*) H-nln ~ 0 + £) V nV » п —у оо, следует, что lim |ап| = 1. Итак, последователь- п—►оо ность {ап} не является бесконечно малой при п —> оо и, сле- оо довательно, ряд ап расходится. Объединяя все сказанное, П=1 получаем, что данный ряд абсолютно сходится при q > 1 и расходится при q ^ 1. Абсолютная сходимость ряда, как уже говорилось при рас¬ смотрении рядов с неотрицательными членами, обусловлива¬ ется скоростью стремления членов ряда к нулю. Это хорошо видно в формулировке критерия Коши: при условии, что все п+р слагаемые неотрицательны, малость суммы а* к=п малости каждого из слагаемых. Если же слагаемые имеют п+р разные знаки, то малость суммы требует J2ak к=п может быть обязана 41
не малости каждого слагаемого, а взаимной интерференции положительных и отрицательных слагаемых. Перестановка членов ряда меняет порядок этой интерференции - в этом суть теоремы Римана. Этот факт позволяет ожидать, что условие ап ~ 6П, п оо, не гарантирует одновременную по со сходимость или расходимость рядов ^ ап и ^ 6п, если чи- п=1 п=1 ела ап (следовательно, и 6п) меняют знак. Покажем, что это действительно так. ™ /(_Пп + ] 1 \ Пример 41. Рассмотрим ряд ^ [ -= Ь “ ) • Ряд v" п/ (-i)n+1 сходится в силу признака .Лейбница, гармониче- Е П= 1 у/п 1 ский ряд — расходится, следовательно, данный ряд расхо- _ 71 (-i)n+I 1 (-i)n+1 дится. В то же время ■= Ь — ~ ■=—, п —► оо. Итак, у/П 71 у/П последовательность членов данного расходящегося ряда экви¬ валентна последовательности членов сходящегося ряда. Внимание! Делать вывод о сходимости или расходимости оо оо ряда ^ап по поведению ряда где ап — 6„, п —У оо, П=1 П=1 возможно только для рядов с неотрицательными членами! Тот же эффект интерференции положительных и отрица¬ тельных слагаемых лежит в основе признаков Абеля и Ди¬ рихле. Хотя в отличие от признака Лейбница в формулиров¬ ках этих признаков формально не указано, что рассматрива¬ емые ряды имеют члены разных знаков, но область их приме¬ нения — именно такие ряды. Действительно, в силу условия монотонности члены последовательности {ап} в обоих этих признаках могут без ограничения общности считаться поло¬ жительными. Если и члены последовательности {6П} неотри¬ цательны, то ограниченность последовательности Вп — Ьк оо к-1 и сходимость ряда Ьп эквивалентны, а так как при этом 42
<in6n = 0(bri), n —► оо, то сходимость ряда anbn следу- n = l ст просто из признака сравнения. Если же в основе сходи- оо мости ряда Ьп или ограниченности последовательности П П = 1 Вп = ^6^ лежит интерференция положительных и отрица- fc=i тельных членов последовательности {Ьп}» то именно призна¬ ки Абеля и Дирихле позволяют установить сходимость соот¬ ветствующих рядов, чаще всего условную. На практике в признаках Абеля и Дирихле в качестве по¬ следовательности {Ьп } чаще всего берется или последователь¬ ность {(— 1)^п)}, или одна из последовательностей {cos па} и {sinпа}. Ограниченность последовательности при данной функции <р(п) устанавливается непосредственно. Рассмотрим последовательности п Вп = cos a + cos 2a + • • • + cos na = cos qa <7=1 И n Bn = sin a + sin 2a H 4- sin na = ^ sin qa. 9=1 Так как . a _ 1 / . 3a . a\ 1 / . 5a . 3a\ Sm 2Bn = 2 ГП T ‘ Sm 2 J + 2 iSm T ' 8Ш T J + 1 / . 2n + 1 . 2n-l \ 1 / . 2n+l . a\ / = 2 1“ —2—a ~ Sm 2 J ~ cos(n + l)<*-sinna, то для любого a ^ 2тгЛ, к 6 Z, получаем, что id I |cos(n + l)a sinna| 1 l^nl = -г-ъ $ t-г—т. sin y I |sin • 43
Точно так же получаем, что sin(п + 1)а sin па \Вп\ = ^ I . „I, а Ф 2тгк, к 6 Ъ. Итак, установлено, что последовательности Вп и Вп огра¬ ничены при любом а ф 2жк, к 6 2. Поэтому, если при ис- ОО ОО следовании рядов вида f(n) cos па или /(n) sin па про- П=1 П=1 стейшая оценка | cos па| ^ 1, | sin na| ^ 1 не дает возможности сделать вывод об абсолютной сходимости, то обычно проще начать исследование сходимости, а уже потом перейти к ис¬ следованию абсолютной сходимости. оо Пример 42. Рассмотрим ряд —7=~ Простейшая оцен- ка ОО £ П — \ COS П у/п cos п у/п < —= не дает информации о поведении ряда у/П Покажем, что данный ряд сходится. Положим 1 bn = cosп и ап = —т=, тогда \Вп\ - у/п а последовательность {Js} cos к к — 1 1 1 1 Sm 2 монотонно стремится к нулю при п —> оо. В силу признака Дирихле данный ряд схо¬ дится. Для исследования абсолютной сходимости этого ря¬ да удобно воспользоваться оценкой |cosn| ^ cos2 п. Име- COS п " “А ем: у/п 1 cos 2 п 2у/п 2у/п _ cos 2 п Ряд У ' '/=- так п = 1 v же, как и исходный ряд, сходится в силу признака Дирихле, °° 1 а ряд = расходится. Следовательно, расходится ряд Ly/П n = l v ОО 9 ОО cos п Е COS2 71 —а в силу теоремы сравнения и ряд > n=l П = 1 оо ECOS 71 —j=r сходится условно. » = 1 '/и у/а . Итак, 44
Пример 43. Рассмотрим ряд п = 1 cos п ■ arccos - 7= —. Простеи- у/п шал оценка cos п arccos ~ п у/а 2 у/п не дает информации о по¬ ведении ряда У] П = 1 cos n- arccos - у/п Покажем, что данный ряд cos п 1 сходится. Положим Ьп = —т=- и ап = arccos —. Условная схо- у/П п оо оо Е. г—' cos п Ьп = 2^ Установлена в предыдущем монотон- п = 1 примере. Так как последовательность 1 7Г на и ограничена, 0 ^ arccos — ^ —, то в силу признака Абеля п 2 00 I cos п* arccos —• < arccos — > El ииа u* — 7= n=l I V" следует из неравенства cos n- arccos - y/n Icosn 1 , ^ —7=— arccos - (n ^ 2) yn 2 и расходимости ряда ^ n=l сходится условно. cosn V cos n- arccos . Итак, ряд > 7= ^ r-^ cos n • arccos ^ Заметим, что сходимость ряда > — можно ^ V" было обосновать и признаком Дирихле. Но если выполнение П условий ограниченности последовательности Вп = cos /: и 1 к — 1 arccos - стремления к нулю при п оо видим непосредствен- arccos - п но, то проверка монотонности последовательности у/п достаточно громоздка. В данном случае проверка выполне¬ ния условий признака Абеля существенно проще. _ _ sin n(l — sin п) Пример 44. Рассмотрим ряд > . П = 1 45
Простейшая оценка иии о поведении ряда У П=1 sin n( 1 — sin п) sin n(l - sin ?i) п sin n( 1 — sin n) ^ — не дает информа- n Представление в виде произведения апЬп, где ап = sin п и п 1 - sin п Ьп = также не дает информации о сходимости этого п п ряда, поскольку хотя последовательность {Лп}, Лп = aq, <7=1 ограничена и lim Ьп = 0, но последовательность {6П} не мо- П—ЮС нотонна; таким образом, условия признака Дирихле не вы¬ полнены. Покажем, что этот ряд расходится. Действитель- оо но, ряд сходится в силу признака Дирихле. Так как . 71 п = 1 sin2 п 1 cos 2п ^ cos 2п = , ряд > — сходится в силу при- п In In in п ~ 1 оо - оо.? \-л 1 г-л sin п знака Дирихле, а ряд > — расходится, то и ряд > ' 2 п ' п П —1 П=1 расходится, откуда следует расходимость и данного ряда, no- sin n(l — sin n) sinn sin2 n скольку = . п п п °° cos /па Пример 45. Рассмотрим ряд ^ . Последова¬ ла 1 тельность ап = cos у/па не является бесконечно малой (доста¬ точно рассмотреть подпоследовательность апа), откуда сле¬ дует, что данный ряд расходится при q 0 и любом а. При любом а и q > 1 данный ряд сходится абсолютно. Если а = О, то данный ряд расходится и при 0 < q ^ 1. Итак, осталось ис- ОО /— Ecos у/па . „ при о ^ 0 и 0 < q ^ 1 • п = 1 Имея в виду формулу Тейлора Ф(п + 1)-Ф(п) = Ф'(п) + Ф"(п+вп), 0 < 0„ < 1, 46
_ / f соs\/ia рассмотрим функцию Ф(д?) = / ———at, производная ко- 1 торой при х — п равна CQS . Приведенная выше формула ос Тейлора показывает, что если ряд Ф"(п +0П) сходится, то п = 1 сходимость рассматриваемого ряда эквивалентна существо¬ ванию предела Ф(п) при п —► оо. Начнем с оценки Ф"(п + 0П). Из равенства „ , -asinv/xa qcosy/xa Ф"(*) = я**1 , к получаем, что |Ф (х)| ^ —-г-, где к зависит только от q и а. 5 Следовательно, для q 6 Г 1| ряд ^ Ф"(п + 0П) абсолютно ' ** П=1 сходится. Покажем, пользуясь критерием Коши, что для этих значе¬ ний q существует и lim Ф(я). Действительно, пусть £ > 0. г—f+OO Интегрируя по частям, получаем 1*(* + 0-♦(*)! = 2 sin уДа at4~h x+i 2 ( 1\ Xf sin уДа dt * 2 2 2 / 1\ mf dt ^ 8 - 1 + a(9 2j J -1 " ^a(x + £),-i ® \ 2/7 ^ откуда и следует существование lim Ф(я). Итак, данный X-f + OO ряд сходится для а^0и~<д^1. Пусть теперь а^0и0<^|. В таком случае при¬ веденные выше рассуждения не позволяют утверждать, что 47
ряд ^ Ф"(тг 4- Эп) сходится. Напишем для функции Ф(х) п — 1 формулу Тейлора второго порядка Ф(п + 1) — Ф(п) = cos y/nat a sin y/nat q cos у/ппс ш = JS 2пЯ+\ Й5+5 + n)’ 0< 0„ < 1. Из равенства — a2cosy/xa a (g -f sin y/xoi 4x9+1 2х«+? aq sin y/xa q(q -f 1) cos y/xa + 2*«+i + ^ ’ к получаем, что ^'"(х)! ^ ~j-, где к зависит только от а и q, оо следовательно, ряд Фт(я+0п) абсолютно сходится. Заме- П= I X _, . _ . ч / sin \/tor нив функцию Ф(х) на функцию v(x) = / ———си, такими 1 ОО . /— Ear sin v™* — n = . 2n?+5 сходится. Таким образом, сходимость рассматриваемого ря- , Л Л 1 да при q f 0 и 0 < q < ^ эквивалентна существованию пре¬ дела Ф(п) при п —> оо. Интегрируя по частям, получаем ра¬ венство - / v 2 . /- 2 (? — i) /* sin >/ioc . Ф(п) = —7i2 9sm \/7ia sma+ — / — dt. a tt 2a J *</+2 l . [ 81\\\Да . Л 1 Существование предела lim / :—dt, 0 < a ^ x-> + oo J iq+2 2 1 устанавливается точно так же, как и существование предела lirn Ф(х) при q £ (^,1 Поскольку о ^ 0, то последова- х—► -Ьоо \ 2 48
телыюсть Ьп = sin у/па не имеет предела (достаточно рас¬ смотреть подпоследовательность 6пз при а ф пку |&| £ N, и подпоследовательность 6пз+п при а = як, |fc| £ N), то и по¬ следовательность Ф(п) не имеет предела. Итак, данный ряд при а^ОиОсд^- расходится. Для исследования абсолютной сходимости при - < q ^ 1 воспользуемся стандартной методикой — используем нера¬ венство |cos<y/nar| cos2 у/па 1 cos 2у/па пЯ ^ пЯ ~ 2пЧ+ пч ^11 Так как ряд > -—, - < q ^ 1, расходится, то из этого нера- п = 1 оо о /— . Ecos* у/па 1 q ’ 2 < ^ п = 1 E|cOSv/™*| 1 , 2 ^ ^ ^ П = 1 Сведем вместе все полученные выводы. Данный ряд схо¬ дится абсолютно при q > 1 и любом а; сходится условно при -<^1иа^0; расходится при всех остальных комбина¬ циях значений q и а. Гораздо чаще, чем для рядов с неотрицательными члена¬ ми, при исследовании рядов, члены которых меняют знак, оо используется разложение членов ап ряда ^ап в сумму: ап = Сп^ + сп^ + ’ Ь Сп^* Это связано с тем, что оценка скорости стремления последо¬ вательностей {с^}, 1 ^ i ^ к, к нулю обычно ничем не легче, чем последовательности {an}, а интерференция положитель¬ ных и отрицательных членов в каждой из последовательно¬ стей {с£>}, 1 ^ i <С fc, может быть существенно более про¬ стой, чем в последовательности {ап}. Напомним, что опреде- оо ленный ответ о сходимости ряда ап при таком разложе- П — 1 49
нии возможно дать только тогда, когда среди рядов с^, 1 ^ t ^ к, расходится не более чем один. n_1 Будем считать, что ап достаточно гладко зависит от п. Если последовательность {ап} не является бесконечно малой, оо то в силу необходимого условия ряд ^ ап расходится. Если п = 1 lim ап = 0, то, пользуясь формулой Тейлора, можно ПОЛу- n-f 00 чить представление ап в виде суммы: с1,п . с2,п ск,п . а"-^г + ^ + '" + ^г + Гк’п> где или rfc n = 0(^7). или г*,„ = О п 00 > и or 1 < аг < ... < otk < orfc+i- Главная трудность здесь — ис- оо следование ряда ^г*>п. Практически применяется два спо¬ соба: n=1 1. Если otk+\ > 1, то представление г*|П = О п —у оо, показывает, что ряд г*(П сходится абсолютно. п = 1 2. Если последовательность {с*п} положительна, то ряд £ (^7 + »•*.") = £ (^7 + ° (;?£)) является ряд°м с П=1 П=1 неотрицательными членами и, следовательно, сходится или оо Ск п расходится одновременно г рядом > — п = 1 ОО п Пример 46. Рассмотрим ряд ^ g > 0. п = 1 Так как |\/п ^1 - е (~^ ^ ——г, п —► оо, то данный ряд расходится при q ^ -, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости, и абсолютно сходится при q > ^ в силу 50
признака сравнения. Используя формулу Тейлора, получаем, что а„ = у/п (l — eL$1) = i_ + 0f l ) , V / и*-* 2n2q~i \n«-ij q > 0, n —> oo. 00 (— l)n+1 1 Ряд ^ ? Я > 2 ’ сходится в силу признака Лейбница. г» = 1 ^ РяД £ (^гт + 0 (^гт) ) ■ п °°' «°Д™ при Я > I 3 и расходится при q ^ в силу признака сравнения. Объ¬ единяя все сказанное, получаем, что данный ряд расходится 3 3 3 при 0 < q ^ сходится условно при - < q $ - и сходится 3 абсолютно при q > -. 00 Пример 47. Рассмотрим ряд > : , q > 0. Про- " 2пя + sin п п = 1 стеишая оценка sinn ^ показывает, что при 2п« - 1 1 < 2пя + sin п q > 1 данный ряд сходится абсолютно в силу признака срав¬ нения. Для q € (0,1] начнем с исследования сходимости. Ис¬ пользуя формулу Тейлора, получаем, что sin г ' 1 °п “ 2пя inп _ sinп / sinn\“ _ -fsinn 2пя \ 2пя ) sinn/ sinn /sinn\\ = 2^+4**vJ = sin n sin2n /sin 2n\ = 2^-- 4^r+4^7’ OO _ V-^ Sin n Ряд 2nq' > ^ > » сходится в силу признака Дирихле. Ряд / sin2 n / sin2 п \ \ / , I ^2q~ 0 I ~~n2q~ ) ) ’ 11 00’ схоДится или раСХОДИТСЯ n = 1 ' \ / / 51
00 • 2 -2 1 sin П „л sin 71 I Esin n - - £ •' • *aK KaK n = l oo 4^2 q /\n2q gn2 q cos2 n y^cos2ti и ряд > 2~ при q > 0 сходится в силу признака Sn2q Sn‘2q n = l —> I Дирихле, а ряд ^ 2 сходится тогда и только тогда, когда , 8п2ч П = 1 ■Л 1 ^(нт2п /sin 2п\\ q > то и ряд ^ I ^ + о II I, п -+ оо, сходится П—1 ' ' ' ' 1 1 I, ПРИ Я > 2 и РасхоДится ПРИ 0 < Я ^ 2 Используя соотноше ние I sin2n 1 /1 о \ ап ^ ^ : = — (1 ~ COs2n) 2п? -f sin п АпЯ + 2 sin п оо так же, как и выше, получим, что ряд расходится п— 1 при 0 < q ^ 1. Объединяя все сказанное, получаем, что дан- 1 ныи ряд расходится при 0 < q ^ ", сходится условно при - < q ^ 1 и сходится абсолютно при q > 1 оо °°^ / /_ПП"И\ Пример 48. Рассмотрим ряд sin n* In ( 1 4- 7=— ). £1 \ v* ; ( .(_!)"+! \ 1 Простейшая оценка sinn In I 1 + — < не дает V у/п ) у/п 00 / ( l)n+1 \ информации о поведении ряда sin п- In I 1 + -—~— ) . t[ \ >/» / Используя формулу Тейлора, получаем, что ( (-1)Л+1\ ап = sin п In ^1 Н —j=~—J = =s”n ^+° (^)) ■" -*”• ОО / gju Так как (— l)n sin n = sin(l+7r)n, то оба ряда —=. nZ\ vn 52
и V сходятся в силу признака Дирихле. Ряд V Ьп, где . 2п , П г. | п = 1 сходится в силу признака сравнения. Следова n I I I Sin 711 ли ряд сходится. Далее, \ап \ — —^=—, п —у оо, \ у/ 71 Isinnl sin2 п 1 cos2n ^>cos2n —т=~^ ^ —7=“ = *r“F= гг^ • Гак как ряд > - _ с у/п у/п 2у/п 2у/п 2у/п ^ 1 дится в силу признака Дирихле, а ряд N —7= расходится в пЫ 2V^ хо- силу признака сравнения, то ряд ^|ау|| расходится. Итак, п- 1 данный ряд сходится условно. ^ (-1)1^1 Пример 49. Рассмотрим ряд ^ —. Пось скольку ?!'/ Л = 1 1 п?’ то данный ряд сходится абсолютно при q > 1 в силу призна¬ ка сравнения и расходится при q 0, гак как не выполнено необходимое условие сходимости. Пусть q Е (0, 1]. Члены последовательности {ап|, ап = , меняют знак то- 71 гда, когда номер тг переходит от значения т2 — 1 к значе¬ нию m2, т Е N. Отсюда можно вывести, что последователь- п ность Вп — (— неограничена, но поскольку этот т= 1 факт ничего не дает в решении вопроса о сходимости дан¬ ного ряда, не будем проводить его доказательство. Восполь¬ зуемся следствием 2 утверждения о группировке членов ряда (см. стр. 16). Если ^ пЯ v ; ^ п<1 п—к2 n—k'J 53
то в силу этого следствия ряд ^ Ак сходится или расходится fc=i одновременно с данным рядом. Из неравенств 2 п( 1 А _ 2* +1 Дv 1 + Ук2*) к2* < 2^ пч 1 п=к2 2* + 1 2 1 \ , (&Tw = k^+0{i&)' следует, что Ак = (-1 )к + ■ гДе *>к = О ( — ), к -* оо. -М Л2* / ’ / I 1 °° Отсюда видно, что при q € ( 0, - ряд ^ Л* расходится, по- ' " J t=i скольку не выполнено необходимое условие сходимости. Если же q Е ( l], то ряд сходится в силу (бедствия 1 из 50 2 теоремы сравнения, а ряд (— 1)* ргтг сходится в силу при- * а: ~Я 1 к = 1 знака Лейбница. Итак, ряд сходится при q € l| и Ы] “ расходится при q € . Объединяя все сказанное, полу- “(_!)[•/*] 1 маем, что ряд > расходится при q ^ сходится " пЯ 2 условно при q £ П = 1 е в-'] и сходится абсолютно при q > 1. [Заметим, что из полученного вывода о поведении ряда следует, что последовательность Вп = D- п = 1 т = 1 неограничена, ибо в противном случае в силу признака Ди¬ рихле этот ряд сходился бы при q > 0.
Произведение рядов ОО оо Пусть даны два ряда ^ ап и ^ Ьт. Рассмотрим все n=1 m=1 возможные пары произведений (an-6m), п 6 М, т € N, т. е. бесконечную матрицу: (a\b\ 0261 03^1 а\^2 <*2^2 <*3^2 а\Ьт а^Ь т <*з Ьп апЬ\ апЬ2 <*пЬг, (3) Занумеровать члены этой матрицы можно многими спо¬ собами; таким образом получим множество рядов, составлен¬ ных из этих чисел, например: Al: Я1&1“НД2&1+а2&2+а1&2+вЗ&1+вЗ&2+аЗ&3+Д2&3+а1&3 + ' * * или А.2 : ci\b\ + 0162 + CI261 + a36i -f- 0262 + ai^3 + * ■ * 00 Каждый такой ряд называется произведением рядов ^ ап и оо Х>- П = 1 тп= 1 Если один из рядов А\, Аг> • • • сходится абсолютно, то и все остальные также сходятся абсолютно и суммы всех таких рядов равны. Таким образом, в случае абсолютной сходимо- оо сти полученного ряда значение произведения рядов ап и оо гх — 1 bm определено однозначно, хотя представляется это про- m= 1 изведение различными рядами. оо оо Теорема Коши. Если каждый из рядов ^2 ап и 6т п=1 т=1 сходится абсолютно к Аъ В соответственно, то произведение этих рядов сходится абсолютно к АВ. 55
Если члены матрицы (3) не образуют абсолютно сходяще¬ гося ряда, то и сходимость, и величина полученного из нее ряда зависят от способа нумерации этих членов. Одним из распространенных методов рассмотрения произведения ря дов является его представление в форме Коши. ведением этих рядов в форме Коши. В силу теоремы Коши из абсолютной сходимости двух ря¬ дов следует и сходимость их произведения в форме Коши. Как- показывает следующая теорема, произведение в форме Коши сходится и при более слабых условиях на сомножители. Теорема Мертенса. Если из двух сходящихся рядов оо оо ап и Ьт хотя бы один сходится абсолютно, то их про- П — 1 ТП— ) изведение в форме Коши сходится и его сумма равна произ¬ ведению сумм сомножителей. лютно, первый — к 1, второй — к 2 (см. стр. 8). Следова¬ тельно, их произведение абсолютно сходится к 2. Записывая это произведение в форме Коши, получаем равенство оо ОС) Определение. Пусть даны два ряда ^ ап и ^ 6т. Ряд сп, где сп = а\Ьп + «2^п-1 + • • • + dnb] называется произ- п = 1 Пример. Оба ряда оо расходятся. В то же время сходится абсолютно, 56
Таким образом, теорема Коши дает только достаточное, но не необходимое условие абсолютной сходимости произве¬ дения рядов в форме Коши. Точно так же и теорема Мертенса дает только достаточ¬ ное, но не необходимое условие сходимости произведения ря¬ дов в форме Коши даже при условии сходимости каждого из сомножителей. Пример. Рассмотрим произведение неабсолютно сходя- щегося ряда 7=— на себя. В этом случае n=l V" сп = = + 'гг , == + • • • + \\/п у/2-s/n — 1 + 1 _1_Л у/ку/п — к -f 1 >/я/ Поскольку > -7=-—7=5 ( П > 1) И ЧИСЛО СЛаГав- VVn - * + 1 у/^у/^ 9 оо мых в сумме равно п, то \сп\ > 1 и, следовательно, ряд ^ с„ п = 1 расходится. Пример. Рассмотрим произведение неабсолютно сходя- °° ( — 1 )п щегося ряда ^ на себя. В этом случае
11 I 1 h — — + • • ■ H 1 гг 4 • 4 -- I n 2(n— 1) Я\п' (1+ч 7L 1 / 1\ 1/1 1 \ Г I ^ ) H г ( 4 г 4 • 4 n-fl\ n J ?i 4 1 \ 2 n — ] J = (-1)п-4т(Ьп + ^ + о(1)). n 4 1 Полученное соотношение показывает, что lim |cn| = 0. п—юс Так как |с„| > и |сп+,| = |с„| + —j— ( —- |г„|), /14 1 п 4 2 \ п 4 2 / то последовательность |с„| монотонна. Таким образом, в си¬ ро лу признака Лейбница ряд ^сп, т. е. произведение ряда ~ (_П" + 1 n = 1 2_\ на себя в форме Коши, сходится. п = 1 /_ ПП+1 Сумма ряда ) равна In 2 (см. стр. 22). Теорема f п п = 1 Мертенса не применима к произведению ^ЫГ1 ^(-I)n+1 п — I п = 1 ОО Равенство сп = In2 2, где сп = (-l)”*1 V' уста- навливается следующей теоремой: ОО оо Теорема Абеля. Если оба ряда £а"и £ 6,„ схо- п — 1 т= 1 дятся и их произведение в форме Коши ^Г\*Г1 сходится, то ОО ОО ПС 53Cn = • п — I n — 1 n — 1 m = l
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Определение. Пусть дана числовая последовательность {рп}. Символ Р\ Р2 РЗ• • 'Рп • называют бесконечным про- оо п изведением и обозначают рп. Число Рп = называ- п~ 1 <j= 1 ется n-ым частичным произведением. оо Определение. Бесконечное произведение рп называ- п = 1 ется сходящимся, если последовательность Рп имеет предел, отличный от нуля, в противном случае это произведение на¬ зывается расходящимся. Если lim Рп = 0, то говорят, что ОО П—>CXJ произведение рп расходится к нулю. Если бесконечное п - 1 произведение сходится, то число Р = lim Рп называют зна- n -f оо оо чением этого произведения и пишут: Р = рп. п — 1 Пример 1. Рассмотрим бесконечное произведение п(-^ Так как ^ _ 6 _ (я -• 2)(п 4- 3) п(п + ]) п(п + 1) 2 7 п(» + 5) 4-5 "(п + 2)(п + 3)’ 1 *2*3 п 6-7 •••(п +5) 1 6 2 7 п(п + 5) то Рп = Т7 77 ''' 7—Г~о\7"" ,"?i' откУЛа получаем, что 3 4 4-5 (п + 2)(п + 3) Рп ~ 3 4-5 • • (п + 2) 4-5 (п + 3) ~ _ 1 2 (n+4)(n + 5) _ 1 (п + 4)(п+5) ~ (п+ 1)(п + 2)-4-5 _ 10 (п + 1)(п + 2) Из полученного равенства видим, что lim Рп = —, т е. п-^оо 10 данное бесконечное произведение сходится и 59
Пример 2. Рассмотрим бесконечное произведение П 4^ГТТ Имеем: П=1 Рп = (2-4-6 • • -2п)2 1 3 3 5 (2т* — l)(2n + 1) (2п)!! .(2n- 1)!!. 1 2n+ 1 Для нахождения lim Рп поступим следующим образом. Me- п—►ОО тодом математической индукции проверяется, что 2 / ' (т - 1)!! 7г yj т = 2к} к Е N, 771 (m- 1)!! тП , т — 2к — 1, Из этого равенства и неравенства w п 7 2 2 J sin2n + 1 xdx < J sin2n xdx < J sin2n 1 x dx% n E N, 0 0 0 получаем следующие соотношения: (2n)M (2‘n— 1)!! ж (2n — 2)!! (2n+l)!! (2п)!! 2 (2и-1)!Г / (2п)\\ \'2 1 ^ тг ^ / (2п)!! \2 1 \(2п — 1)!!/ 2п+1 < 2 < \(2п-])!!/ 2^’ 2 71 + 1 / (2n)!! VI / (2n)!! V \(2п — 1)!! / 2 я \(2и — 1)!! / 1 ( (2т») М Л2 1 тг “ 2n V(2п - 1)!!/ 2п + 1 < 4тг Л .. / (2n)!! \2 1 тг Отсюда следует, что lim — -—— = -, т. е. л) . 9 n-юи\(27i — 1)!!/ 2тг + 1 2 Я* ТТ 471 2 = 11 4 [ то Равенство называется формулой* Вал- гг = 1 лиса. Из формулы Валлиса можно получить следующие равен¬ ства: СК> 60
и Л _ —±—\ = п 2п(2я+2) = 1 11Д (2*1+ 1)=»^ 11 (2П+1)2 4 Действительно, для первого бесконечного произведения име¬ ем: 1 Р(.) = Ад и, следовательно П 11 4q2 — 1 q= 1 lim P<‘* = — 1 Для второго бесконечного произведения имеем: Р(2) _ 4-2-6-4 • • • (2п + 2)-2п " “ 3-3-5-5-(2n + l)(2n+ 1) ” _ 2 [4-4 б-6 • • • (2п - 2)-2п-2п] (2п + 2) [3-5 • • • (2n + I)]2 _ 2п + 2 2(2n -f- 1) и, следовательно, ( (2»)!! У 1 \(2п - 1)!!/ 2п 4- 1 ’ (((2^Лй) -5Гм) = Г п-+оо Пример 3. Рассмотрим бесконечное произведение . Используя равенство п = 1 1 + ^ + 7Г 4* * * * + — — In П + Сэ + о( 1)| п—> оо, Z 6 п где Сд — постоянная Эйлера, получим, что n!el+*+ +n eino+c,+o(i) с п Рп “ (В +1)! “ ~_е ,ТТТ(1 + о(1))’ п —► оо. Следовательно, lim РЛ = eCj. 61
Отбросив в бесконечном произведении JJp„ первые т чле- п = 1 оо нов, получаем остаточное произведение J"J рп. оо n = m+1 Если произведение рп сходится, то сходится и любое П = 1 оо остаточное произведение рп; обратно, из сходимости n=m + l оо любого из остаточных произведений рп и условия р* ф О, ПГШ+1 ОО I ^ к ^ т, следует сходимость произведения р„. Другими П = 1 словами, отбрасывание или присоединение в начале бесконеч¬ ного произведения конечного числа множителей, отличных от нуля, не влияет на его сходимость. Прежде чем формулировать основные свойства бесконеч¬ ных произведений, заметим, что из сходимости бесконечного произведения следует, что, начиная с некоторого номера, его сомножители не должны менять знака. Поэтому в дальней¬ шем будем всегда предполагать, что все числа рп положитель¬ ны. оо Утверждение. Если бесконечное произведение п Рп ОО П = 1 сходится, то lim ТТ р„ = I. m-юо АХ п=т+1 Следствие. (Необходимое условие сходимости бес¬ конечного произведения.) Если бесконечное произведе- оо ние 1| рп сходится, то lim рп = 1. ■*>А п-юо П = 1 Пример 4. Рассмотрим бесконечное произведение ТТ п + * о л + 1 тпг Я + 1 II Здесь рп = и lim pn = 1; Рп = I I = П П а—►оо ха, q п- 1 <7=1 4 — п -f 1 и lim Рп = 4-оо, т. е. данное бесконечное произведе- п—►оо ние расходится. Таким образом, условие lim pn = 1 является необходи- п—^оо 62
мым, но не достаточным условием сходимости произведения оо оо рп (сравните с условием ап 0 для ряда ^ ап). п=1 п=1 Основным утверждением в теории бесконечных произве¬ дений является оо Теорема. Сходимость бесконечного произведения п Рп, оо п=1 рп > 0, эквивалентна сходимости ряда ^1пр„. При этом, 00 оо п = 1 если ^ 1пр„ = S, то рп = es. п—1 п=1 Пример 5. Исследовать сходимость бесконечного произ> ведения ЙЫ> n=1 ( 1 \ 1 1ение. Так как In I 1 + — I ~ — при х > 0, п / , ч V " / " E'-O-i). то ряд 2^I 1 + ~ }» соответствующий данному произве- п = 1 ' ' дению, сходится при х > 1 и расходится при 0 < х ^ 1. Если же х ^ 0, то рп = ( 1 + — ) не стремится к 1 при п оо. V п* / ОО у j \ Следовательно, произведение ТТ (1 4- —) сходится при х > 1 nVi V "V и расходится при х ^ 1. Пример 6. Исследовать сходимость бесконечного произ¬ ведения П(»+о. п=0 Решение. Если а ^ 0, то рп = 14еа^п ^ не стремится к 1 при п —► оо, следовательно, данное произведение расходится. оо Пусть а<0. Тогдаln(l+een) ~ е-*®'", п -► оо, и ряд ^ е~^п п=0 сходится, откуда следует сходимость ряда ^^1п(1 4- еап) и, п=0 00 следовательно, сходимость произведения JJ(1 4 еап). п=0 Как видно из этих примеров, при исследовании сходи- 63
мости бесконечного произведения J"J рп удобно представить п= 1 его сомножители рп в виде р„ = 1 4- ап. Тогда произведем оо ние и соответствующий ему ряд принимают вид По+«•.), ОО п = 1 ^^1п(1 + ап) и условие рп -* 1, п оо, эквивалентно усло- п = 1 вию оп —>> 0, п —► оо. Если ап —> 0, г? —> оо, то 1п(1 + ап) = о2 = а„ 4- о(а2), п оо. Применяя основную теорему, получим следующие утверждения: I. Если рп = 1 + ап и последовательность ап локально оо сохраняет знак, то сходимость произведения Д рп эквива- ОО П = 1 лентна сходимости ряда ап. П”1 00 оо И. Если pn = 1 4- <*п и оба ряда ^ ап и ^ а2 сходятся, оо п = 1 п=1 то произведение J~J рп сходится. n = 1 сю Заметим, что если ряд ^ а„ сходится абсолютно, то ряд оо п = 1 <*п сходится (см. задачу 25, стр. 317). n = 1 оо оо III. Если один из рядов ^ ап и ^ от2 сходится, а второй п = 1 п = 1 оо расходится , то произведение рп расходится. п — 1 Пример 7. Исследовать сходимость бесконечного рроиз- т-г п3 4- 4п 4- 8 ведения I I г-—— j 71 + 1 _ гтл и3 + 4п 4- 8 , 4п 4- 7 Решение. Так как 0 < = ; 1 = -=—-, п £ N, и гг5 4- 1 п3 4- 1 4п 4- 7 4 ^4п + 7 ■ о - ~ -т, п ч оо, то ряд у ——- сходится и, следова- 71° 4” 1 7lz ' TV* 4" 1 П — 1 64
■pr n + 4n + 8 тельно, сходится произведение I I = —. AJ: + 1 n = l Пример 8. Исследовать сходимость бесконечного произ¬ ведения ТТ cos -7=. „=1 ^ Решение. Так как cos -4= — 1 < 0, n Е N* и 1 —cos -L= ~ , у/п у/п 2п п —У оо, то ряд (cos "4= “ 1) расходится и, следователь- п=1 ' ^ п ^ 1 но, расходится произведение ТТ cos— nVi Vй Пример 9. Исследовать сходимость бесконечного произ¬ ведения y-r / п -I- sin п \ „УД-" )' n + sinn Решение. Здесь последовательность ап — 1 = п sin п не сохраняет локально знака, поэтому необходимо п оо оо оо оо . о Sin 71 ч 9 ч Sin П рассмотреть оба ряда: > an = > и > a* = > —^ . n=l n=l n=l n=l Так как первый ряд сходится в силу признака Дирихле, а второй — в силу теоремы сравнения, то произведение п(^) сходится. Пример 10. Исследовать сходимость бесконечного про- оо изведения Решение. Так же как и в предыдущем примере, необхо- Й(*+ЗД- [ие. Так же как и в * V44 (~1)П+1 V44 ^ гт димо рассмотреть оба ряда: > у=— и > —. Первый П=1 П=1 ряд сходится в силу признака Лейбница, а второй — гармо¬ нический ряд — расходится. Следовательно, произведение 00 / (_1)л+1\ ТТ [ 1 + -—4=— ) расходится. п=1 V V» ; Пример 11. Исследовать сходимость бесконечного про- 65
~ / (_l)[log2n)4 изведения М I 1 Н I. п= 1 ' 71 / Решение. Опять необходимо рассмотреть два ряда: - (_l)[log,n] 1 _ Т * > и > —т. Второй ряд сходится. 1аким обра- “ п п1 п=1 п=1 зом, сходимость данного произведения эквивалентна сходи- мости ряда у . Покажем, что он расходится, поль- 1 71 п = 1 эуясь критерием Коши. Так как [log2n] сохраняет знак, если 2m < п < 2m+1, т € N, то от + 1 _ 1 _ ^ 1 2т _ 1 2-J п > 2т+1 ~ 2 п=2т п=2т В силу произвольности m € N полученное неравенство по¬ следовательно, ~ "J казывает расходимость ряда 2^ - и, ТТ Л (-1)[,ок'п1\ расходимость произведения 11(1-1- 1 • »=1 v п > Пример 12. Исследовать сходимость бесконечного про- ОО изведения а„, где П = 1 02т-1 = ( 1 + "4= ) . «2т = ( 1 7= + ~ ) > Ш G \ ут / \ у/т т / Решение. В этом случае {-4=, n = 2m — 1, j vm. т G N » =, п — 2т, т ут оо оо и оба ряда ^ап и ^ расходятся, поэтому ни одно из П=1 п= 1 вышеприведенных утверждений не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости данного произведения. Рас- 66
смотрим непосредственно последовательность Рп = JJay. Соотношения Я~1 показывают, что сходимость последовательности Рп эквива¬ лентна сходимости последовательности РД = ТТ (1 + —— ), q= 1 ' Яу/Я ) т. е. произведения ТТ f 1 4- —\ Так как ряд У^ —^т= V ту/т) " ту/т m=l v v ' m=l Y сходится, то и произведение ТТ (1 + —”7= ) > и, следова- АА \ ту/т) оо m=l 4 V / тельно, произведение J"J ап сходятся. п = 1 ОО Теорема. Бесконечное произведение п Рп, Рп>о, расхо- П = 1 т дится к нулю тогда и только тогда, когда lim Ylnpn = — оо. m—►оо т—►оо 4 п = 1 Следствие. Бесконечное произведение JJ( l4on), ап > — I, П = 1 п (Е N, расходится к нулю, если оо 1. lim ап = 0, -1 < an < 0, ?i € N, и ряд У^ an расхо- П —► ОО А—^ П = 1 дится; оо оо 2. ряд ^ ап сходится, а ряд ^ а2 расходится. П=1 П=1 Пример 13. Исследовать сходимость бесконечног о про- 00 2п + 2 ПАП f- * 2п"+~3' П = 1 т> 2п + 2 -1 Решение. В этом случае а„ = — 1 = < О, 2п + 3 2п + 3 67
ОО ОО J lim ап = 0 и ряд ап = - расходится. Следо- п—►оо ' 2п 4- , 2п + 3 п = 1 П=1 вательно, данное произведение расходится к нулю. Точно так же расходятся к нулю и бесконечные произве¬ дения из примеров 8 и 10 (стр. 66). ^ Определение. Бесконечное произведение fjpn, Рп > 0, ОО Г1=1 п — 1 сходится абсолютно тогда и только тогда, когда абсолютно о п = 1 Пример 14. Исследовать на абсолютную и условную схо- сходится абсолютно, если ряд In рп сходится абсолютно. П = 1 оо Бесконечное произведение Рп, рп >0, сходится условно, со п = 1 если ряд In рп сходится условно. п = 1 Критерий абсолютной сходимости бесконечного оо произведения. Бесконечное произведение JJpn, Рп > 0, сходится абсолютно тогдг оо сходится ряд £>„ - 1). П = 1 Пример 14. Исследовг димость бесконечное произведение Д П + ■ оТТ JT )> . п п t V ^ П|П "Ь / / Q > 0. П~1 Решение. Так как —— — > 0 для всех п £ N, то па In(71 -+■ 1) сходимость этого произведения может быть только абсолют¬ ная. Согласно критерию абсолютной сходимости, рассмо- ОО трим ряд ^ —— —. Так как в силу интегрального при- ' па 1п(п + 1) П=1 > % знака этот ряд сходится (абсолютно) при а > 1 и расходится при 0 < а ^ 1, то и данное бесконечное произведение абсо¬ лютно сходится njJli а > 1 и расходится при 0 < а ^ 1. Пример 15. Исследовать на абсолютную и условную схо- тт ( (“l)n+1 А димость бесконечное произведение ТТ ( 1 + —г—г гг I, , \ иа ‘п(п 4- 1) у а > 0. "=1 4 v ;/ 68
Решение. Так как па 1п(п -I- 1) 1 , то дан- иа1п(п + 1) ное произведение сходится абсолютно одновременно с беско¬ нечным произведением, рассмотренным в предыдущем при- °°ч (—l)n+1 мере, т. е. при а > 1. Далее, ряд ~ша у } гг сходится при п= 1 ' ' оо всех а > 0 в силу признака Лейбница, а ряд ^ 1 " In (п+ 1) 1 л 1 сходится при а ^ - и расходится при 0 < а < - в силу инте- Z Z трального признака. Итак, данное произведение абсолютно сходится при а > 1, условно сходится при - 1 и расхо¬ дится (к нулю) при 0 < а < Рассмотрим некоторые приложения. , „ №+ 1) •••(£ + п) I. Докажем, что пт ; = 0, если п->оу + 1) • • • (а + п) О < р < а. Действительно, выражение + 1) • • • (а + п) можно рассматривать как частичное произведение Рп+\ бес- Y7 [Р +п) п Р + п , конечного произведения I I г. Поскольку 1 = ~ (<* + я) + п 11=0 4 ' /3 — а а — /3 = < 0 и ряд > расходится, то произведение а + п J а + п + п п а + п п —О п П = 1 расходится к нулю, а это означает, что |im /?(/?+ О • • ■ (/?+«) = о (о < ^ < Q). п-юо ог(а+1) • • (а+п) 1)п+1пп И. Исследуем поведение ряда 2_^ — . Этот п !е" П = 1 ряд знакочередующийся, причем Дп+1 _ (тг + l)n+1 w!en = (1 + £)" (n+l)!en+1 nn е ап т. е. последовательность |ап| монотонна. Следовательно, схо- 69
длмость этого ряда эквивалентна выполнению равенства lim — = 0. Введем обозначения: Ьп — —г—> Рп — ?*-■ и п->оо п\еп п\еп оп 1 °° рассмотрим бесконечное произведение Р — - ТТ Рп- Так как е п = 1 г> I ^П + 1 I частичное произведение = -р\р2 Рп = —г— = &п+1> то Пп е e&i равенство lim —:— = lim 6п = 0 есть расходимость к нулю п—►оо п\еп п—юо этого бесконечного произведения, а эта расходимость экви- оо валентна условию 1прЛ < 0, n € N, и ряд ^ 1пр„ расходится. Так как n=1 , 6п+1 , (n + l)n+1 , (1 + £)” In Рп = 1п -г— = 1п ■ ■■ ■ ■■■; - = 1п 2 , 6п е(п + 1)пП е Л то первое из этих условии следует из неравенства I 1 + — 1 < е, п 6 N, а второе ---- из соотношения ' п' (—l)n+1nn Итак, ряд > : сходится. ' п\сп п = 1 111. Выведем важную формулу представления функции sinx бесконечным произведением. Из формулы Муавра (cos z + i sin^)m = cos mz + isinmr, применяя формулу бинома Ньютона и приравнивая коэффи¬ циенты при мнимой единице в левой и правой частях, полу¬ чаем равенство * sin mz — m_1 mini — 1 )lm - 2) a . о = m cos z sin z ^ cos z sin z + • • Бели m нечетно, то все степени cos z в правой части этого ра¬ венства четные, следовательно, sin(2n + 1 )z = sinz-P(sin2 z), 1 J-, n oo. In 70
где Р(у) — многочлен степени п. Если sinzo ф 0, а sin(2n+ l)zo = 0, то, как видно из полученного равенства, чи¬ сло у = sin2zo является корнем многочлена Р(у). Непосред¬ ственно проверяется, что таким свойством обладают числа о тптг yk = sin m = 1, 2,..., п, причем все они различны. 2п ■+■ 1 (Следовательно, многочлен Р(у) имеет п различных действи¬ тельных корней, ни один из которых не равен нулю, и, тем самым, представляется в виде произведения Р(у) = А(у - yi)... (у - у„) = где В = Р(0). Значение В находится из соотношения sin(2n+l)* Р(0) = lim —v . J- = 2n + 1. *-+o sinz Итак, sin(2n + l)z = (2 n + 1) sin x или £ sinx = (2n + l)sin 2n ■ аму ■ n('-SS) Пусть x ф жк, к E Z. Фиксируем число g такое, что |x| < (g + 1)^г Для n > g запишем полученное равенство в виде sinz = U^ V^n\ где t/<n) = (2n + 1) sin ; 2n+1ii V s*n2 2птт / , »— . -2n+ m=<j+l \ Sin 2п + 1 / Для рассматриваемых х, g, п имеем: U^ ф 0 и, следователь- 71
Так как при этих х и q имеем lim t/in) = ■.“Я,(Р" + ,)-5ТтЙ(‘-5^))- m=l 4 7 то существует и предел sin х V4 = lim K/n> = —. П-fOO * Uq Итак, для x ф жку к Е и любого q, удовлетворяющего неравенству |х| < (q -f 1 )тг, имеем равенство sin* = ия уч = * (д (] - да)) Из выпуклости вверх функции у = sin я на |о, —J следует, 2 / 7Г\ что — (р < sin <р для у? Е (О, — !, откуда получаем, что ж \ 2 / 7ГШ 47Г2Ш2 Sin 2n -f 1 7г2(2п + 1) и так как sin 2n + 1 (2n -f I)2, ПО-етИ"*'- m=<j+1 (X) о Гак как ряд « при любом х сходится абсолютно, то ' 4тг т= 1 оо / о ч х М бесконечное произведение ( 1 - Т~~2 ) сходится т=</+1 ' 171 ' 72
n / ^2 \ абсолютно. Так как последовательность jQ f 1 — J m=<j+l ' 171 ' убывающая, то отсюда получаем неравенство к,-< П (• - £?) < К,'"' < I т=<7+1 Переходя в нем к пределу при п —> оо, получаем, что V* ^ 00 / 2 \ <: Vq ^ 1. Так как lim V* - lim ТТ ( 1 - ) = 1, q—¥oc> 4 q-юо V 4mz У т=</+1 4 7 то, переходя в последнем неравенстве к пределу при q —► оо, получаем, что lim VQ = 1, и, следовательно, q-¥oo sin а: = lim f/c- lim VQ = lim a: TT^ ( 1 ^ ) . q-+oo q-юо q-*oo 11 V 7Tzmz J m=l x ' Итак, получаем формулу: л ■*пО-та)- m = l 4 7 Заметим, что это равенство было выведено при условии, что х ф irk% к Е Z. Но если т = коп, А:0 Е то левая его часть равна нулю и правая часть также равна нулю, поскольку один из сомножителей в бесконечном произведении обращается в нуль. Таким образом, полученная формула верна для всех х Е Ш.
s 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ Отметив в предыдущем параграфе взаимосвязь рядов и последовательностей, мы рассматривали только свойства чи¬ словых рядов, поскольку соответствующие свойства число¬ вых последовательностей изучаются ранее. В этом же пара¬ графе центральное место занимает новое понятие — равно¬ мерная сходимость, и поэтому свойства последовательностей и рядов будут рассматриваться параллельно. Определение. Пусть дана последовательность функций {/„(х)}, х 6 X. Точка хо Е X называется точкой сходимости этой последовательности, если все функции /п(я) определены в точке х0 и числовая последовательность {/п(^о)} сходится. оо Определение. Пусть дан функциональный ряд ип(я) п = 1 Точка хо Е X называется точкой сходимости этого ряда, если все члены ряда функции ип(х) определены в точке хо и пи числовой ряд 5>«(*о) сходится. п = 1 Определение. Совокупность всех точек сходимости по¬ следовательности {/п(*)} называется множеством сходимо¬ сти последовательности {/п(я)}- Определение. Совокупность всех точек сходимости ряда ~Ю по У] ип(я) называется множеством сходимости ряда un(^) П=1 п = 1 Аналогично определяются множества абсолютной и услов¬ ной сходимости ряда. На множестве М сходимости последовательности (ряда) оо определена функция /(х) = lim /п(х) (.S'(x) = wn(x)). n-+(XJ * п = 1 Фактически мы уже находили множество сходимости по¬ следовательности (ряда), когда исследовали последователь¬ ность (ряд), члены которой зависели от некоторого параме- 74
тра. Так, множество сходимости последовательности будет множество М = {х : х > 1}, множеством сходимости о° j ряда ^ п-^-у будет множество М = {х : |х| > 1} и т. д. х" п = 1 Рассмотрим еще два примера. Пример 1. Последовательность {/п(я)Ь /п(*) = n* Inn, имеет своим множеством сходимости множество М = = {х : х < 0} — отрицательную полуось — и сходится на М к нулю. оо п Пример 2. Рассмотрим ряд V] г-. Если |х| < 1, то ~ 1 -f- в п = 1 ,im (/_!£!!_= iim w_ = w<i. n-foo V 1 + я «-►оо л/l + \/l + x^n Если |x| > 1, to lim Ш1-. lim рт f/j- n —► оо V 1 + x2n n-^oo X V 1 1 =A<>. |x| V 1 + *“2n 1*1 rn Если |x| = 1, to 1 Л » = В силу радикального признака 1 Н- xzn 2 Коши и необходимого условия сходимости ряда получаем, что множеством сходимости (абсолютной) данного ряда является множество М = {х, |х| ф 1} — числовая ось с выколотыми точками 1 и —1. Пусть М есть множество сходимости последовательности (ряда) и Е С М, тогда будем говорить, что последователь¬ ность (ряд) сходится поточечно или, короче, сходится на Е. Определение. Пусть последовательность {/»»(*)} сходит¬ ся на множестве Е и /(х) = lim fn(x)> х € Е. Последователь- п —►оо ность {fn(x)} называется равномерно сходящейся на множе¬ стве Е, если для любого положительного е можно указать такой номер Л/\ что условие |/п(*) — f{x)| < £ выполнено для всех х £ Е и всех п > М. В этом случае употребляются также выражения: “после¬ довательность {/п(х)} равномерно сходится на Е к /(х)”, “сходимость последовательности {/п(*)} к /(х) на Е равно¬ мерна” . 75
Если последовательность {/п(я)} сходится на множестве Е} но не удовлетворяет приведенному выше определению, то го¬ ворят, что эта последовательность сходится неравномерно на Е. Выражение “последовательность {/п(*)} не является равномерно сходящейся на множестве Е” принято употре¬ блять тогда, когда последовательность или сходится нерав¬ номерно на Е, или расходится хотя бы в одной точке множе¬ ства Е. Равномерная сходимость последовательности {/п(я)} к f(x) на множестве Е обозначается: /п(я) /(*) на Е. Приведем формальную запись этого определения. (/„(*) =* /(*) на Е) *=> Ve > 0 ЗУ(е) : Vn 6 N, т» > АГ, V* е Е =>\fn{x) - /(*)| < е. ОО Определение. Ряд ип(х) называется равномерно схо- п= 1 дящимся на множестве Ел если последовательность 5п(х) его частичных сумм равномерно сходится на Е. оо Другими словами, ряд ип(х) является равномерно схо- п=1 дящимся на множестве Е, если последовательность его остат- оо ков {гк(х)}} Гк = сходится к нулю равномерно на Е. n=*+1 Так же, как и для последовательности, для ряда исполь¬ зуются термины: “ряд сходится равномерно на Е'\ “сходи¬ мость ряда на Е равномерна”, “ряд сходится неравномерно на множестве и “ряд не является равномерно сходящимся на множестве Еп. Приведем формальную запись равномерной сходимости со ряда ^ ип(я) на Е Т1= 1 ( Url(x) -3 на <==^ ® ЗМ(е) : л — 1 ' Vn 6 N, л > ЛГ(е), Vx е Е => \Sn{x) - 5(х)| < £ 76
или Г £ un(x) 4 S{x) на е) <=► Ve > 0 ЭУ(е) : ' П = 1 ' Vn € N, п > Л/(бг), Ух 6 Е ==>• |гп(х)| < е. 00 ( 1 Л Пример 3. Рассмотрим ряд ^ х2п на интервале -, -J. Во всех точках этого интервала ряд сходится как геометри- ^ х2к+2 ческая прогрессия, и его остаток т> = 2^ х^п равен ( J JV П=* + 1 Из того, что для всех х Е I - ) справедливо неравенство 1 1 О ^ г* ^ тгтг и *1т тгтг = 0» следует, что данный ряд схо- 3-4* к-+ оо 3-4* дится равномерно на множестве Е=|х: оо Пример 4. Рассмотрим ряд х2п на интервале (—1,1). П = 1 Как и в предыдущем примере, во всех точках этого интер- x2Af+2 вала ряд сходится и его остаток г* = г. Покажем, что 1 — xz последовательность г*(х) неравномерно сходится к нулю на Е = {х : |х| < 1}, т. е. данный ряд неравномерно сходится на Е. Для этого надо указать такое положительное число £о, что для любого номера N найдутся натуральное число ко > N и точка хдг £ Е, для которых г/с0(хдг) > £о- Действительно, для произвольного N положим к = Л/* + 1 и xjy = 1 - а(Л0, О < ol(N) < 1. Тогда, используя неравенство Бернулли*), получаем, что Г, , (1.-а(Л0)2^4 (2^ + 4)a(AQ »>Лм(*лг)- !_аа^ ^ 1 — а2 (Л/-) ' Отсюда видно, что если a(Af) = —Д—-, то 7*^+1 (х) ^ i что •/V ~I- 1 2 и требовалось доказать. *)Если а > — 1, то для любого натурального п имеем', что (1 + а)п > > 1 + па. 77
(-l)n + l* Пример 5. Рассмотрим ряд ^ ~7=f===5 на интеРва" п = 1 V 71 + Х / 2 \n+i ле (0,1)- Для каждого х0 € (0,1) ряд V] —зна- V«2 + *o *0 кочередующиися и последовательность —==== монотонно у/п2 + х2 стремится к нулю при п —> оо. Следовательно, в силу теоре- ОО / 1 \ ^ ] мы Лейбница, для любого х Е (0,1) ряд — ■ _, ^ сходит- ^ V п2 + ся и его остаток гп(хо) удовлетворяет неравенству |гп(хо)| < < — —— Итак, для всех х Е (0,1) справедливо у/{п + I)2 + xl ^ ^ неравенство |гп(х)| < - , откуда, если у(п + I)2 + I2 П+1 1 учесть соотношение lim = 0, следует, что данный ряд n-*oo п + 1 равномерно сходится на интервале (0,1). Критерии Коши равномерной сходимости последо¬ вательности. Для того чтобы последовательность {fn(x)} равномерно сходилась на множестве Е, необходимо и доста¬ точно выполнение условия: для любого положительного числа е можно найти такой номер N, что неравенство Ifn(x) — fm{x)I < £ справедливо для всех точек х множества Е и любой пары натуральных чисел* п и т при условии п > N, т > N. Приведем формальную запись критерия Коши равномер¬ ной сходимости последовательности: ifn(x) z* f(x) на Е) *=> Ve > 0 ЗМ(е) : Vn, mEN, n>N(e), т>М{е), VxE£=> |/n(x)-/m(x)| < e. Критерии Коши равномерной сходимости ряда. оо Для того чтобы ряд £>„(*) равномерно сходился на мно- п = 1 жестве Е, необходимо и достаточно выполнение условия: для любого положительного числа е можно найти такой номер N, 78
что неравенство < е справедливо для всех точек х п+р к=п множества Е и любой пары натуральных чисел пир при условии n > Af. Приведем формальную запись критерия Коши равномер¬ ной сходимости ряда: ( jr un(x) z* S(x) на е\ Ve > 0 3Af(e) : П — 1 ' Vx € E} Vp € N, Vn £ N, n > Af(e) n+p k=n < e. Необходимое условие равномерной сходимости ря- оо да. Если ряд ип(х) сходится равномерно на множестве Е} п = 1 то последовательность {ип(х)} сходится к нулю равномерно на Е. Как и для числовых рядов, это условие не является доста¬ точным даже для того, чтобы множество Е входило в множе- оо ство сходимости ряда ^п„(х), как показывает следующий пример. п = 1 °° 1 Пример 6. Рассмотрим ряд на интервале (О, I). п = 1 Неравенство 0 < —-— < -, х G (0,1), n G N, показывает, х + n п Г 1 \ что последовательность < > сходится к нулю равномер- L х + п J но на (0,1), но в то же время для любого значения Хо £ (0,1) 1 ряд расходится. ' Хо + п п = 1 Пример 7. Рассмотрим ряд — на интервале (1,2). п= 1 С одной стороны, неравенство 0< — < —, х € (1,2), п £ N, пх п 79
J 11 показывает, что последовательность < — > сходится к ну- [п* J лю равномерно на (1,2). С другой стороны, применяя ин- оо ^ тегральную оценку остатка ряда ^ — при фиксированном п — 1 +оо / ч [ di 1 г Е 11,2), получаем, что rk(x) > J - = —_ . * + 2 Для произвольного N положим к = Af + 1 и хм = 1 + ^, ЛГ 1 ^ 1 тогда глг+1 хдг) > 7-т——г > т, т. с. ряд > — сходится (У + 3)*г 4 71 неравномерно на (1,2). На практике удобно пользоваться следующим критери¬ ем -фактически переформулировкой определения равномер¬ ной сходимости последовательности. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится на Е к /(х) тогда и только тогда, когда lim sup | fn(x) - f(x)| = 0, x € E. 11—¥OQ Пример 8. Рассмотрим последовательность {/n(z)}, 7ГХ /п(х) = xarctgnx. Если x > 0, то lini fn{x) = —; если n —► Ou 2 7ГХ x < 0, to lim fn(x) = ——, /n(0) = 0 для всех п. Следова- п—юо 2 тельно, множеством сходимости последовательности {fn(x)} является вся числовая ось IR и /(х) = lim fn(x) — тг|х|. n->CXJ 2 Оценим sup |^|х| — хarctgnx|, х G К В силу четности „ 7Г - . . . 7Г функции у — х arctg пх, у = — |х| и неравенств | arctg пх\ < —, | arctg а| ^ |а| имеем, что sup ^|х| — х arctg пх = supx (77 - arctg пх) = r€R*2 \2 / 1 1 = sup(x arcctg пх) = sup х arctg — ^ —. х>0 r>0 flX П Отсюда получаем, что lim sup \fn(x) - /(*)| = 0 и, следова- n“>°°reR 80
тельно, последовательность {/п(я)}, /п(х) — х arctg пх, рав- _ 7Г номерно сходится на Ш к — |х|. Пример 9. Рассмотрим последовательность {/п(я)}, fn(x) = arctgпх. Как и в предыдущем примере, получаем, что эта последовательность сходится на всей числовой оси Ш и /(х) = lim arctg nx = — signx. Так как п —►оо 2 I *■ . I (* \ ^ sup arctg nx — — sign x = sup I — - arctg nx) ^ rER I 2 I x>0 ' 7Г / 1 \ 7Г 7Г Я > 5-„ctg(„.-) = 5-? = - то последовательность {/n(z)} неравномерно сходится к 7Г . — sign х на К. Обратим внимание на то, что равномерная сходимость по¬ следовательности (ряда) на множестве Е является глобаль¬ ным свойством, характеризующим поведение последователь¬ ности на множестве “в целом”, т. е. множество рассматрива¬ ется как единый объект. Поэтому недопустима формулиров¬ ка локального типа: “последовательность (ряд) равномерно сходится в точках множества Еп или “последовательность (ряд) сходится неравномерно в точках множества Еп. В то же время определение равномерной сходимости имеет смысл и для множества Е, состоящего из одной точки: Е = {хо}, и эквивалентно в этом случае сходимости последовательности (ряда) в точке хо. Если мы хотим говорить о равномерной сходимости в таком случае, то формулировка должна быть следующей: последовательность (ряд) сходится равномерно на множестве Е = {хо} (т. е. не в точке хо, а на множестве, состоящем из одной точки Хо). Следующие утверждения немедленно следуют из опреде¬ ления равномерной сходимости. 1. Если последовательности (ряды) {fn{z)} и {^„(х)} / ОО ОО ч I ип(х) и v"(x)) равномерно сходятся на множестве Е, П —1 п = 1 ' то любая их линейная комбинация {а/л(х) + /Здп(х)} 81
I ^((*un(x) + /:/vn(x))J, где а и fi - постоянные, равномерно П — 1 ' сходится на Е. 2. Если последовательность (ряд) сходится равномерно на множестве Е} то сходимость будет равномерной и на любом множестве Е\ С Е. 3. На всяком конечном подмножестве множества сходимо¬ сти последовательности (ряда) эта последовательность (ряд) сходится равномерно. 4. Если последовательность (ряд) равномерно сходится на каждом из множеств Е\ и £*2, то на множестве Е = Е\ U Ё2 эта последовательность (ряд) сходится равномерно. Внимание! Это утверждение не переносится на бесконеч¬ ное объединение множеств, как показывает следующий при¬ мер. Пример 10. Рассмотрим последовательность {/п(х)}, ffx(х) = arctgnx, на множестве Ет — i-H») т ) при фикси¬ рованном m £ N. Так как для х £ имеем lim /п(я) = —■ П —► ОО 2 I 7Г I 7Г 71 и sup I— — arctgnx = — — arctg У 0, п —> оо, то на Ет X12 12 т последовательность {arctg nr) сходится равномерно. Но, как 7Г I * было показано в предыдущем примере, sup — — arctgnx r>0 ' 2 оо т. е. на множестве (0, + оо) = Егп эта последовательность т~ 1 сходится неравномерно. 5. Понятие равномерной сходимости на множестве пред¬ полагает, что рассматриваемая функциональная последова¬ тельность (функциональный ряд) определена на данном мно¬ жестве. Иногда удобно рассматривать числовую последова¬ тельность (числовой ряд) как последовательность (ряд) функ¬ ций, каждая из которых есть константа на данном множе¬ стве. Сходимость такой последовательности (ряда) на любом множестве равномерна. Как и в случае поточечной сходимости, при исследовании равномерной сходимости ряда непосредственный анализ по- 82
ведения последовательности {Sn(x)} или (гп(х)} в подавляю¬ щем большинстве заменяется косвенным — применением при¬ знаков равномерной сходимости, выраженных через свойства членов ряда. Признак Вейерштрасса (мажорантный признак). Если для функционального ряда ^Ptin(x) существует схо- ~ п = 1 дящийся числовой ряд Vj ап такой, что |tin(x)| ^ а„ для п = 1 всех х £ Е и п £ N (мажорантный ряд), то ряд цп(д) сходится абсолютно и равномерно на Е. п=1 Область применения признака Вейерштрасса — исследо¬ вание абсолютно сходящихся, в частности, знакопостоянных рядов. Но множество, функциональных рядов, для которых на множестве Е существует сходящийся мажорантный чи¬ словой ряд, уже множества рядов, абсолютно и равномерно сходящихся на Е. Дело в том, что при применении призна¬ ка Вейерштрасса остаток г^(х) = ^ ип(х) ряда ип(х) пгЛ + 1 оо П = 1 оценивается неравенством sup|rfc(x)| ^ sup |г£п(х)|, а «/- Г ^ _ г- Е» n=fc+lJ такая оценка может оказаться слишком завышенной, т. е. по- оо следовательность {nt}, f* = yZ suPlun(x)| может не стре- п=/с + 1г€£? миться к нулю, в то время как последовательность {г^(х)} равномерно сходится к нулю на Е. Приведем соответствующий пример. оо Пример 11. Рассмотрим ряд ^^un(x), где П = 1 ип{х) = О, X € — sin 2п7гх, х£ п О, °,f). - —1 [2n ’ 2П“1 (JL \2П-1 ’ 83
В каждой точке х0 € [0,1] все члены ряда, кроме, может быть, 1 эдного, обращаются в нуль (в точках х* = j-r все члены ряда 2* равны нулю). Отсюда получаем, что »*(*) = £ и"(х) = n=fc-f 1 о, — sin22nJTJC, а: € п I 1_ 2" ’ 2n_1 следовательно, sup |г*(г)| = «-€[0,1] 1 j-—r, lim sup |r/c(a:)| = О, *+ 1 к-*°°тф,\] т. е. ряд £>„(х) сходится равномерно на отрезке [0,1]. П = 1 J оо С другой стороны, Мп = sup |ti„(x)| = т. е. ряд ) Мп *610.11 " ^ расходится. Итак, для абсолютно (поскольку и„(х) ^ 0 для всех х .Е [0,1]) и равномерно на [0,1] сходящегося ряда оо У] ип(х) не существует сходящегося числового мажорантно- П=1 го ряда. оо При анализе функционального ряда ^un(x) методом п = 1 Вейерштрасса оптимальным — с наиболее точной оценкой — оо мажорантным рядом является ряд SUP lwn(*)| Однако ча- сто бывает достаточно более грубой, но легче получаемой оценки для |м„(х)|. Приведем несколько характерных приме¬ ров. оо Пример 12. Проверим, что ряд \ ~:(хП + Зх~п) равно- мерно сходится на п = 1 84
Решение. Первое слагаемое в сумме хп + Зх п прини¬ мает наибольшее знамение в точке Х\ = 2, второе - - в точ¬ ке х2 = Следовательно, для всех х £ имеем, что 1 _ 4*2П О $ —г(хЛ + Зх п) ^ ——, и в силу признака Вейерштрасса п! п! получаем, что данный ряд сходится равномерно на Замечание. Точная оценка [И- i(*n + 3r-"K sup (Ч(*"+3*-п)) n! *6[i,2]\n! / ^ 3 2” дает мажорантный ряд 2^ —р. члены которого имеют тот П=1 же порядок малости, что и полученный. оо _ . _ Sin ПХ Пример 13. а) Проверим, что ряд > 17= Р^вно- _ Vn4 + х4 мерно сходится на М. п-' ОО г Esin —2 ■ ■ 'г'.ггг.: равномерно сходится 1 VH2 + х2 на R. ” = 1 Для любых а имеем неравенство |sino| ^ min{ |r>|, 1}. От¬ сюда видно, что, желая получить лучшую оценку для |sina|, надо брать оценку |sina| 1, если а принимает значение вне отрезка [-1, 1], и оценку |sina| ^ |а|, если а € [—1, 1]. В пункте а) при х ф 0 аргумент синуса принимает сколь угодно большие значения, поэтому удобна оценка | sin пх\ ^ 1. Итак, sin пт Уп* + X4 1 \/пЛ -}- X4 для всех х £ IR, следовательно, в силу признака Вейерштрасса оо Esin ПХ сходится равномерно на 1R. n = l V» +* X В пункте б) для любого х £ R имеем —► 0 при п —► оо, 85
поэтому удобна оценка |sin ■— | < (“■(. Итак, |и (аЛ| = lsin£l < и < _!_ П у/п2 + X2 ^ п2у/п2 + X2 Л2 для всех х £ R, следовательно, в силу признака Вейерштрасса ОО х Esin £ t . ■■■ .: сходится равномерно на К. п = 1 V п + X2 Проверьте, что в пункте а) оценка | sin пх| ^ |пх|, а в пунк¬ те б) оценка |sin ^ 1 не дают сходящихся мажорантных рядов. Внимание! При анализе ряда в пункте б) использовалось неравенство |sina| ^ |а|, а не соотношение эквивалентности sin a ^ a, a —► 0. Из соотношения u„(x) ^ vn(x), п -* оо, вообще говоря, не следует одновременная равномерная или оо оо неравномерная сходимость рядов ^^un(x) и ^^vn(x) даже П=1 П=1 при условии 1in(x) ^ 0, г„(х) ^ 0. Приведем соответствующий пример. оо оо Пример 14. Рассмотрим ряды —— г- и У —, '' п(хг + п*) ' п3 11 = 1 ' ' п = 1 XX х £ R. С одной стороны имеем, что —г - ~ —, п —► оо. ПХ1 + 71 71 С) другой стороны, неравенство X _ 1 |x7l| I 7l(x2 -f 7l2) 712 X2 + II2 ^ 2n2 X ^ в силу признака Вейерштрасса показывает, что ряд оо е-ч X у "V o гг сходится равномерно на Ш1, а соотношение ' 711 х -f п^) п гг 1 ' 7 |х| г х л sup —^ = +оо —- что последовательность < — > неравномерно reR п ’■«' > ПО сходится к нулю на 1 и, следовательно, ряд — неравно- " 71 мерно сходится на R. П-1 по Пример 15. Проверим, что ряд ^^х2е~пх равномерно п = 1 86
сходится на [0,1]. Решение. Поскольку sup г2 = 1 и sup е~пх = 1, то *e[o,i] *e[o,i] оценка sup х2е-п* ^ sup х2- sup e_n* = 1 не дает сходя- *€[0,1] *€[0.1] *€[0,1] щегося мажорантного ряда. Найдем sup x2c~nz. Поскольку *€[°,1] /оч2 (аг2е п*У = хе п*(2 - пх), то sup х2е п* = ( *€[0,1] \п/ е~2 = 4 ~ - _2п* - 4 *€[0,1] , следовательно, 0 ^ х2е-п* ^ ,* ,, х G [0,1], и в с »- в П силу признака Вейерштрасса данный ряд сходится равномер- но на [0,1]. <*, — - (пЧхТ „ + х2 п4 + а:4 п=1 Пример 16. Проверим, что ряд 3 % ln сходится равномерно на №. Решение. Найти sup —А т In -— — технически сло- хекп*+х7 п4+х4 жно, поэтому попробуем провести оценки каждого из сомно¬ жителей. Используя неравенства 1п(1 4- а) $ а, а > 0, и 2\ху\ ^ х2 + у2, получим, что , (п2 + х2)2 _ (х . 2п2х2 ^ ^ 2п2х2 ^ , 4, 4 — In 11+ . 4 ) ^ 4 . 4^^* П4 + 14 \ n4 + r4/ n4 -f X4 / X V n4 — X2 I Так как I -т—T ) = ГГГ 2Т2» то ГТ \n4 + x2/ (fl4 + X2)2 |n4 n2 1 n4+x2 (n2 + x2)2 ^ 1 n4+n4 2n2 и, следовательно, —A rln—-; — < —Итак, в си- n4 + x2 n4 + x4 2n2 лу признака Вейерштрасса, данный ряд сходится равномерно на R. Определение. Последовательность {/п(я)} называется равномерно ограниченной на множестве ЕУ если существует такая константа А/, что неравенство |/n(x)| ^ М справедливо для всех п 6 М и всех х G Е. Признак Дирихле. Бели члены функционального ряда оо и„(х) могут быть представлены в виде tin(x) = an(x)6n(x), n = l 87
где m а) последовательность сумм ^|^ап(х) равномерно ограни¬ чена на множестве Е, n = 1 б) для каждого х(, £ Е последовательность Ьп(хо) моно¬ тонна ({Ьп(я)} монотонна относительно параметра п), в) последовательность {6п(я)} сходится к нулю равномер¬ но на Еу оо оо то ряд ^un(x) = ^ап(х)6п(х) сходится равномерно на Е. n=1 n=1 Признак Абеля. Бели члены функционального ряда оо £>„(х) могут быть представлены в виде ип(х) = ап(х)6п(х), П=1 где оо а) ряд ап(х) равномерно сходится на Еу п = 1 б) для каждого х0 6 Е последовательность {Ьп(хо)} моно¬ тонна (последовательность {Ьп(я)} монотонна относительно параметра гг), в) последовательность {6„(х)} равномерно ограничена на Е} оо оо то ряд 2>„(х) = ^ап(х)6„(х) сходится равномерно на Е. n=1 n = 1 Так же, как и для числовых рядои, область применения признаков Абеля и Дирихле — неабсолютно сходящиеся ря¬ ды. При исследовании конкретных рядов с помощью этих признаков монотонность последовательности {6п(х)} относи¬ тельно п часто не требует особого анализа — она очевидна. Но грубой (и частой!) ошибкой является пропуск указания на то, что это условие выполнено. Отметим, что именно при применении признаков Абеля и Дирихле иногда возникает необходимость рассматривать числовые последовательности или ряды как равномерно сходящиеся на данном множестве. оо Пример 17. Рассмотрим ряд } , п п = 1 а) на интервале (е, 2тг - е), 0 < е < тг; б) на интервале (0, 2тг).
а) Так как s> sin пх п = 1 |sinf для х G (е,27г — е) имеем, что Последовательность Ш 2> П=1 sin ПХ 1C монотонно сходится к нулю при п -> оо. А поскольку эта последовательность числовая, то сходимость равномерна на любом множестве, в том числе и на {бу2п — е). Итак, в силу признака Дирихле на интерва¬ ле (€у2ж — б), 0 < е < тг, ряд У мерно. sinnx сходится равно- п = 1 б) На интервале (0,2тг) приведенное в пункте а) рассу ж де- m ^ ние уже неприменимо, так как оценка sm пх п = 1 |®1П 2 I не дает возможности равномерно ограничить последователь¬ ность < ^sinnx > на (0,27г). Эта оценка дает только воз- п = 1 ' можность утверждать, что для любого фиксированного сю sin ПХ П чен при рассмотрении числовых рядов), т. е. интервал (0,2л*) входит в множество сходимости рассматриваемого ряда. Пользуясь критерием Коши, покажем, что на (0,2тг) ряд оо sm пх сходится неравномерно, т. е. можно указать такое . г~л sm пх . х £ (0, 2ж) ряд у сходится (этот результат был полу- *■ ^ п. п = 1 Esm п п П = 1 число е > 0, что для любого номера N найдутся такие зна¬ чения р, п ь N, п > М, и хп £ (0,2тг), что п+р . , X—ч sm кхп к =П > е. Прежде всего подберем х„ £ (0,2тг) так, чтобы на достаточ¬ но большом промежутке изменения к: п ^ к ^ п + р вели- I гл Ж чина sin кхп была отделена от нуля. Если взять х„ = —, то ^ 6п для п ^ к ^ 5п имеем, что sin кхп ^ Для произвольного 89
номера Af положим n = N + 1, тогда 5» El Sn . Esin kxn I k=n 11 2 >Jta'4"=5' Esin nx сходится неравномерно на (0, 2jt). n=l " Замечание 1. Еще раз обращаем внимание на то, что признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля и Дирихле — достаточные. Для утверждения, что данный ряд сходится неравномерно, обычно опираемся или на критерий Коши, или на его следствие — необходимый признак равно¬ мерной сходимости. оо Замечание 2. Сходимость ряда на (0,2тг) мо- * ^ п Я = 1 sin ПХ П 1 = 1 оо / I Л I \ на ка- /1 I \ жно обосновать и так: (0,2тг) = III —}2тг ) ; \m ml ( 1 1 \ m" „ ждом интервале I —,2л* ) данный ряд сходится (даже \т т) равномерно), следовательно, этот ряд сходится и на (0,27т) = 00 ( 1 1 \ = I I [ —, 2л- 1. Здесь отчетливо видна разница между ^ V га т) m= 1 глобальным (рассматривающим множество “в целом”) свой¬ ством равномерной сходимости и локальным (рассматриваю¬ щим множество как совокупность точек) свойством поточеч¬ ной сходимости. Локальное свойство естественно сохраняет¬ ся при объединении множеств -- оно имеет место в каждой точке каждого множества, следовательно, и в каждой точке их объединения, — а глобальное свойство при таком объеди¬ нении может и не сохраняться, что и имеет место в данном примере. 00 Замечание 3. Из того, что ряд на (0,2тг) схо- ‘ ^ и п = 1 дится неравномерно, следует, что последовательность m {£>»*} п — 1 J не является равномерно ограниченной на (0,27т). Более глубокий анализ, выходящий за обычный объем нашего 90
курса, показывает, что оценка х> sin пх п=1 1 завыше¬ на, но отражает качественную характеристику т ченныи рост sup r€(e,2ir-c) sin nx n=l при £ oo неограни- 04- и m —► +оо. w л (cos nx) sin x arctg nx Пример 18. Проверим, что ряд > : “ Vn2 + х2 У] -(sin(n 4- 1)х — sin(n — l)x) = сходится равномерно на М. Так как Dcos nx) sin х n = l 1 3 = -|sin(m + l)x 4- sinmx — sinx| ^ -, то достаточно показать, что последовательность Г arctg пх I \/п2+х2 } монотонна относительно п и равномерно сходится к нулю на IR. Второе утверждение следует из неравенства arctg пх \/п* + : а первое требует более глубокого анализа. Поэтому приме- ^ Л cos nx sin х ним другой способ. Рассмотрим сначала ряд > —. ■ . ~ х/п2+Х2 Из полученных выше соотношений следует, что этот ряд удо¬ влетворяет условиям признака Дирихле, если ап = (cos nx)sin х 1 и Ьп = -т- у ■ следовательно, сходится равномерно на IR. vn2 -f х2 Последовательность {arctg пх} монотонна относительно п (на это достаточно указать) и равномерно ограничена: | arctg пх| < —, п € N, х € К. Следовательно, в силу призна- . ^ (cos nx) sin х arctg пх ка Абеля ряд 2^ Г'^ 2 сходится равномерно на®. "=l vn +г Внимание! Иногда при применении признака Дирихле из неравенства 0 ^ Ьп(х) ^ jJ„, х 6 £, где /?п — монотонная бесконечно малая последовательность, делается совершенно 91
необоснованный вывод о монотонности последовательности Ьп(х) относительно п. Это является грубой ошибкой. (1 - cos пх) cos пх Пример 19. Рассмотрим ряд ^ п = 1 всех I G R члены последовательности | 1 — cos пх | Для удовле- 1 — cos пх 2 творяют неравенству 0 ^ ^ следовательно, 1 — cos пх п z^O на Ш. Если бы эта последовательность была и мо- _ (1 “ cos пх)cos пх нотонна относительно п на К, то ряд 2^ сходился бы равномерно на 7Г ЗТГ 4’Т (1 — COS ПХо) cos ПХ о Так как ряд 53 к = 1 -2 4*+ 2 k ( 1 — COS ПХо) COS ПХо О, п = 4 к, О, n = 4к -|- 1, — —, V = 4к 4- 2, п О, п = 4* + 3. расходится, то расходится и ряд Итак, хотя последовательность п = 1 7Г ЗТГ 4’Т и последо- < 53 cos пх г Равномерно ограничена на П = 1 ' {1 - cos пх 1 > равномерно стремится к нулю на (1 — costij) cos пх вательность Гтг Зтг1 ^ 4-Т ’РЯД£ *■ J П=1 не только не сходится рав¬ номерно на п Зтг 4’Т , но даже расходится, по крайней мере, в одной точке этого отрезка. Признак Дирихле в данном слу¬ чае не применим, поскольку нарушено условие монотонности 92
{1 — cos nx \ I Из критерия Коши выводится следующее утверждение. оо Пусть члены ряда ^ип(х) непрерывны на замкнутом п = 1 множестве F и ряд сходится равномерно на множестве вну¬ тренних точек F. Тогда этот ряд сходится равномерно на F. Это утверждение позволяет в некоторых случаях устано¬ вить неравномерную сходимость ряда. Именно, если рассма¬ тривается ряд, члены которого непрерывны на замкнутом множестве F, но ряд расходится в некоторой граничной точ¬ ке множества F, то тогда ряд сходится неравномерно на мно¬ жестве внутренних точек F. Приведем соответствующий пример. Пример 20. Рассмотрим ряд агсР^ а) на ЛуЧе л л П = 1 (е, +оо), е > 0, б) на луче (0, +оо). а) Если х 6 (е, +оо), е > 0, то arcctg nx 1 111 О ^ = - arctg — ^ -у- ^ -у, 71 71 пх п х пге _ „ ^ arcctgnx следовательно, по признаку Веиерштрасса ряд > -— -\ п сходится равномерно на (е, Ч-оо) , е>0. "-1 б) В силу произвольности числа е > 0 и неравенства л ^ arcctg пх ^ 1 п пге заключаем, что луч (0, Ч-оо) входит в множество сходимости Е°° arcctg пх _ . Поскольку все члены этого ряда непре- п п = 1 оо J. п ОО гЛ ч arcctg 0 я рывны на [0, Ч-оо) и ряд 2^ = 2^ 2~~ РасхоДится> то П=1 П = 1 ч arcctg nx делаем вывод, что на луче (0, Ч-оо) ряд 2^ ”— сходится неравномерно. П”1
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Теорема о непрерывности предела последователь¬ ности (суммы ряда). Если все члены последовательно- ке хо 6 Е и последовательность (ряд) сходится равномерно на Е, то предельная функция (сумма ряда) непрерывна в точ¬ ке хо € Е относительно множества Е. Обратим внимание на сочетание локальных и глобальных свойств последовательности (ряда) относительно множества в формулировке этой теоремы. Равномерная сходимость — глобальное свойство, а непрерывность в точке — свойство локальное. Разумеется, если члены последовательности (ря¬ да) непрерывны относительно Е в каждой точке х 6 Е, то при условии равномерной сходимости этой последовательно¬ сти (ряда) на Е предельная функция (сумма ряда) непрерыв¬ на на Е относительно этого множества. Теорема о почленном интегрировании последова¬ тельности (ряда). Если все члены последовательности сходится равномерно на [а,6], то функция /(х) = lim /п(х) сти (ряда) непрерывны относительно множества Ев точ- оо интегрируемы в смысле Римана на отрезке [а,6] и последовательность {fn(x)} (ряд ^tin(x)) п = 1 интегрируема на [а, 6] и для любого п = 1 X г на [а, 6] Функция /(г) непрерывна относительно множества — это значит, что сужение функции на это множество непрерывно. 94
Теорема о почленном дифференцировании после¬ довательности (ряда). Если все члены последовательности оо {/„(г)} (ряда $>(*)) дифференцируемы на [а,6], после- П = 1 ОО довательность {/^(х)} (ряд У^ц^(х)) сходится равномерно П= 1 OCJ на [а,6], последовательность {/п(*)} (ряд ^Гип(х)) сходит- п = 1 <*я хотя бы в одной точке хо (Е [а,Ц то последовательность оо ifn(x)} (ряд£«„( х)) сходится равномерно на [а, 6] к диффе- n=1 / \/ ренцируемой на [а,61 функции и ( lim /п(я)) = lim f'n(x) \П-¥ ОО / П—►ОО a^un(x)J = £<(*)) для всех х € [а,6]. П — 1 ' П — 1 ' Условие равномерной сходимости последовательности (ря¬ да) производных в теореме о почленном дифференцировании естественно потребовало существования этих производных на всем отрезке [а, 6]. Таким образом, хотя эта теорема и говорит о локальном свойстве — дифференцируемости пре¬ дела последовательности (суммы ряда), но условия ее более глобальные, чем условия теоремы о непрерывности. Отметим еще, что все три теоремы — о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последова¬ тельности (суммы ряда) дают только достаточные условия того, что предельная функция (сумма ряда) обладает соот¬ ветствующими свойствами (см. задачи 60, 61, 62, 63 стр. 324-325). Обращением (с некоторыми дополнительными условиями) теоремы о непрерывности предельной функции (суммы ряда) является теорема Дини. Теорема Дини для последовательности. Если все функции последовательности {/п(я)} непрерывны на компак¬ те К у последовательность монотонна относительно п и функ¬ ция f(x) = lim fn(z) определена и непрерывна на К, то п-юо fn{x) =*/(*) на К. 95
Теорема Дини для рядов. Если все члены ряда оо ип{х) непрерывны и неотрицательны на компакте К и на п — 1 этом компакте ряд сходится к непрерывной функции 5(х), то оо на К. П = 1 Пример 21. Определим область существования функции оо f(x) = ^un(x), где ип(х) = п2х2е~п х , и исследуем ее не- п — 1 прерывность. Так как для всех п £ N функция ип(х) четная и un(0) = О, а для х ф 0 имеем lim \/ii2x2e~nJx2 = lim п*х*е пх = О, то функция f(x) определена на всей числовой прямой явля¬ ется четной функцией и /(0) = 0. Так как sup ип(х) ^ ип (- ) = е'\ r€R \п/ то на Ш не выполнено необходимое условие равномерной схо- оо димости ряда ип(х) - последовательность {t/n(x)} нерав- п — 1 оо номерно сходится к нулю на 1R. Следовательно, ряд tin(x) П = 1 сходится неравномерно на Ш и его сумма f(x) не обязана быть непрерывной на IR. Рассмотрим луч Ет — ( —, +ос*\ т £ N. Так как \тп ) v!n(x) — Ъг2х(\ - п2х2)е~п х , то для п > т и х £ Ет имеем, что 0 ^ ип(х) ^ ип (— ) = п2 _ = —re т7, следовательно, на луче Ьт ряд из непрерывных m оо функций £«*(*) сходится равномерно. Отсюда получаем, п= 1 96
что функция /(х) непрерывна на каждом луче Ет и, тем са- оо мым, на их объединении луче (0,+оо) - (J Ет. Осталось т.— 1 невыясненным поведение f(x) в точке Хо = 0. Так как 0 ^ ип(х) для всех г 6 R и n G N, то / | -j > -i 1 > щ I - 1 = е , т. е. существует последовательность х„ — - , \Ч/ Я сходящаяся к нулю, для которой значения f(xq) > е 1 не схо дятся к /(0) = 0. Это показывает, что точка х0 = 0 есть точка разрыва функции f(x). Замечание. Разрывность f(x) в точке х0 = 0 можно было установить и на основании теоремы Дини. Действительно, в рассматриваемом ряде члены непрерывны и неотрицательны оо на отрезке [—1,1]; если бы функция f(x) = ип(х) была п — 1 непрерывна на этом отрезке, то ряд сходился бы на [—1,1] оо равномерно. Но было показано, что ряд ^ип(х) сходится п -1 неравномерно на [—1, 1], а других точек разрыва кроме хо = 0 функция f(x) на [-1, 1] не имеет. Пример 22. Определить область существования, исследо¬ вать непрерывность и дифференцируемость функции f(x) = °° 1 = 5Z М"(Х)> ГДе = 2 arCtS К**1' п = 1 71 Решение. Все функции ип(х) непрерывны и дифферен¬ цируемы на R. Так как |i/n(x)| ^ -^-г для х £ R, то ряд оо 2 п г У] ип(я) сходится равномерно на IR, следовательно, функция п = 1 оо f(x) = определена и непрерывна на IR. Рассмотрим п~\ ~ ‘‘формально продифференцированный ряд”: \Jv?n(x), где 2х n=1 у?п(х) = и^(х) = ———. Так как ^п(О) = 0 для всех n £ N, 1 + их * 97
*>n(*) = и lv>n(*)l = , ~ ^3’ n -»• °°- ДЛЯ oo всех x ф 0, то ряд ^у?п(я) абсолютно сходится на Ш к не- n=i 1 1 четной функции (р(х). Пусть < х ^ —, п £ N. Тогда п + 1 п для п ^ к ^ 2п справедливы неравенства: <кх^ 2; 1 + А4!4 ^ 17; п + 1 Ч2' / v 2 2п 1 j£ £17(»+!) > 17(”+1) > 17 Отсюда получаем, что, во-первых, в силу критерия Коши сю ряд сходится на [—1,1] неравномерно, во-вторых, п — 1 у?(х) > — для всех х > 0 и <р(х) < — — для всех х < 0. Итак, на отрезке [—1,1] не выполнены условия теоремы о почлен- оо ном дифференцировании ряда ^un(x). Возьмем луч Ет = п=1 Для всех х € Ет справедливо неравенство = (^+~) 2х 2п2х2 1 т ^ ^п(*) 1 " 7 I I * 4~4 * 2 ^ о1 1 + П4Х4 1 + П4Х* П^Х П* оо откуда следует, что ряд ^^у?п(х) на Ет сходится равномер- п = 1 но. Итак, на Ет выполнены условия теоремы о почленном дифференцировании ряда, следовательно, функция /(х) = оо оо = ^Un(ar) дифференцируема на Ет и /'(х) = ^<рп(х) = П=1 П=1 = ф(х) для всех х £ Ет. Пользуясь локальностью дифферен- оо цирования и равенством (0, +оо) = /?т, получаем, что т=1 /(х) дифференцируема и /'(х) = <р(х) для всех х > 0, а в силу четности /(х) и нечетности у?(х) это равенство верно и для х < 0. 98
Теперь можно показать, что f(x) не дифференцируема в точке го = 0. Действительно, в противном случае f(x) была бы дифференцируема на интервале (-1,1), причем f'(x) = <р(х) для i/O. Но функция f'(x) как точная про¬ изводная должна обладать свойством Дарбу — ее значения должны заполнять промежуток между любыми двумя значе¬ ниями f'(xi) и /'(хг), хь *2 € (-M)i а это условие проти¬ воречит полученным выше неравенствам: f‘(x) = у>(х) > —, 0 < х < 1; /'(х) = <р{х) < -1 < х < 0.
§ 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОО Определение. Ряд ^ an(z — 20)п, где {ап} — числовая п=0 последовательность, называется степенным рядом с началь¬ ной точкой zo. Числа ап называются коэффициентами дан¬ ного степенного ряда. Линейная замена £ = z — zq переводит степенной ряд с оо начальной точкой z0 в степенной ряд ^ ап£п с начальной п=0 точкой в нуле. Те свойства степенных рядов, которые не ме¬ няются при линейном переносе, удобнее формулировать для оо рядов вида 53 *п- п=0 оо Первая теорема Абеля. Бели степенной ряд ап zn п=О сходится в некоторой точке го, |zo| Ф 0, то он сходится абсо¬ лютно для всех z таких, что \z\ < |го|. ^ Следствие. Каждому степенному ряду ^ anzn соответ- п=0 ствует действительное число R ^ 0 или символ +оо так, что для всех z : \z\ < R этот ряд сходится абсолютно и для всех z : \z\ > R этот ряд расходится (более того, при этих значениях z члены данного ряда не представляют бесконечно малой последовательности). Число или символ R называется радиусом сходимости дан- ного степенного ряда. Радиус сходимости является основной характеристикой степенного ряда. оо Если радиус сходимости ряда ^ anzn равен нулю, то мно- п=0 жество сходимости этого ряда состоит из единственной точ¬ ки 2 = 0. Таким образом, этот ряд определяет единственное число do. оо Если радиус сходимости степенного ряда есть п=0 100
символ Ч-оо (Я = Ч-оо), то множеством сходимости этого ря¬ да является вся комплексная плоскость. Таким образом, этот ряд определяет функцию S(z) = для любого ком¬ плексного числа. п=о оо Если радиус сходимости ряда ^anzn есть число Я > О, п=0 то множество сходимости этого ряда представляет собой вну¬ тренность круга радиуса Я с центром в нуле, т. е. множество {z: \z\ < Я} с возможным добавлением точек, лежащих на гра¬ нице этого круга. Как будет показано ниже, множество то¬ чек сходимости данного ряда на окружности \z\ = R может быть пустым, может быть правильной частью этой окруж¬ ности, может полностью совпадать с ней. Таким образом, оо этот ряд определяет функцию £(г) = Для всех ком- п=о плексных чисел, удовлетворяющих условию \z\ < Я, и, может быть, для некоторых или всех чисел, удовлетворяющих усло¬ вию \z\ = R. оо Если радиус сходимости ряда ^^an(z — zo)n есть число п=0 R > 0, то открытый круг {z : \z — zq\ < Я} называют кру¬ гом сходимости этого ряда. Если радиус сходимости ряда оо У] - *о)п есть символ -foo (Я = Ч-оо), то в целях едино¬ го образия формулировок кругом сходимости этого ряда назы¬ вают всю комплексную плоскость. Еще раз обратим Внима¬ ние на то, что круг сходимости степенного ряда обязательно входит во множество абсолютной сходимости этого ряда, но не обязательно совпадает с этим множеством и, тем более, со множеством сходимости. Радиус сходимости Я степенного ряда связан с его коэф¬ фициентами формулой Коши-Адамара: I = */Kj. (1) Если lim 1 ^ — А, то А — lim \/\ап\. следователь- n-*+oo |an| п-*+оо 101
ю, в таком случае R = (2) Если А = 0, то R = +оо). Какой формулой — (1) или (2) — пользоваться для вы- шсления радиуса сходимости конкретного степенного ряда, шределяется видом зависимости ап от п. Приведем харак¬ терные примеры. Пример 1. Найти радиус сходимости и множество схо¬ димости ряда нить формулу (2), поскольку в выражение |ап| входит п!. Так как по радиус сходимости данного ряда R = е2. Для окончатель- юго определения множества сходимости исследуем поведение этого ряда на окружности круга сходимости, т. е. на множе- |gn+iz"+1| = (п + 1)а(яа+1)"еа |а„гп| (я2 + 2n + 2)n+I 102
=(1+оШ)(1+^+о(^))‘ = i + \+0{h)' Отсюда следует, что положительная последовательность |an2n|, \z\ = е2, по крайней мере, начиная с некоторого номе¬ ра, возрастает и, тем самым, не является бесконечно малой. , . 2 ^ (п!)2*П Следовательно, для любого z,\z\ = e , ряд 2^ |2п +’(п2 расходится в силу необходимого условия сходимости. Таким образом, множество М сходимости данного ряда совпадает с его кругом сходимости: М = {z : \z\ < е2}. Пример 2. Найти радиус сходимости и множество схо¬ димости (3 + 4«)"*п ряда 2^ “ \/пи + 1 5п Решение. Имеем |а„| = —. . Здесь удобно приме- Vn2n + 1 нить формулу (1). Так как lim \/|а„| — lim г* = 5, „ 1 „ то радиус сходимости данного ряда R = Для окончатель- 5 ного определения множества сходимости исследуем поведение этого ряда на окружности круга сходимости, т. е. на множе- стве \z\ — Бели |г| = то 5 5 I П. 1 1 1 К* = -ундин»,. = г ~ ~5> п -»■ оо. ^n2n + 1 »a(l + s4a-)* " Отсюда видно, что данный ряд сходится и притом абсолютно во всех точках окружности |г| = -. Таким образом, множе- 5 ство М сходимости данного ряда является замыканием его круга сходимости: М = : \z\ ^ Заметим, что в данном примере можно было вычислить R и по формуле (2), но это вычисление технически сложнее. 103
Пример 3. Найти радиус сходимости и множество схо ^ (1 - уДi)nzn димости ряда ^ 2П Решение. Имеем: |«„| = —— ;———Здесь последо- la I »Ф+М)П) вательность -——т не имеет предела (проверьте!), поэтому K+ll если в предыдущем примере выбор формулы (1) для вычи¬ сления R был сделан из соображений удобства, то в дан¬ ном примере формула (2) просто не применима. Так как 2 2 v < v/|ariI ^ —?=1 тс) lim v/|tt„| = 2 и, следователь- v/4n vn n-» + oo „ 1 „ . . I но, радиус сходимости данного ряда R — Если |г| = то ~ — lj(c(xi‘P + isin^), <р € [0,2л-) и (2 " ^*) + * sin f)n а,,г" = »(3 + (-1П = [(cos - - »sin tJ-) (cos <p + isin y>)]" = n (3 + (-I)") = [cos (ip - I) + «sin (y> - f)]" n(3 + (-i)») и но формуле Myanpa получаем, что » _ cos [я (у - §)]+« Sin [»(»>-§)] n(3+ (-!)») Таким образом, исследование сходимости данного ряда на окружности круга сходимости состоит в исследовании сходи- ^ cos [п (у?—^)] ^ sin [тг (<р- ^)] „ост. р»до. Y. -п „ •£ л|3 + (_||„) »» (0,2*); П — 1 ' \ ' П = 1 \ \ / / именно, если для <р\ € [0,27т) оба эти ряда сходятся, то ряд °° 1 ^anzn сходится при г = r(cos</?i + tsin )» если Для ^2 £ n = l € [0,2тг) хотя бы один из этих рядов расходится, то ряд 104
2^ 1 ^ап2л расходится при z — -(cos<p2 + * sin у?2)- n = l Ряд cos [п (<р - I)] 'Ч »(3+ (-!)») (3) а = 1 представим как сумму двух рядов °о [ О, cos [m (р ~ ^)] . *>т = Я 1 m=1 I 4m ’ и Г21 V'cmcos L cm = < m’ i^i L v 3/J [ 0, oo Отсюда видно, что если оба ряда А : n “cos Г(2д- 1)(<^-5)] 7=1 В : > —- сходятся, то сходится и ряд (3), <7=1 2я “ 1 если один из этих рядов сходится, а второй расходится, то расходится ряд (3), а если расходятся оба эти ряда, то вопрос о сходимости ряда (3) остается открытым. Из соотношений: §“К*-т)]|<1=бЬ1Я- Q I I 2Q ^cos[(2?- !)(*>- |)] $ 53cos [m (*- J)] rn = 2n — 1, m — 2n rn = 2 n - 1, m — 2 n. cos[</(2y>- ^)] bq lm = 1 SC“KV^)]| lsin(f-f)l Ип(^~з)| в силу признака Дирихле следует сходимость рядов А и В , п / 4тг _ ~ чч для v? ^ и (р ф — (мы рассматриваем только ip Е [0,27г)). и О 105
« п 47Г При у? = — и (р = — ряды А и В становятся расходящимися рядами: оо . оо 1 -5* В:5^; ip - 7Г 3’ 4тг ip - т оо оо А я поэтому при этих значениях <р рассматриваем непосредствен¬ но ряд (3). Если <р = —, то ряд (3) принимает вид о оо J Sn(3 + (-!)") 1 1 и неравенство ■— — -—^ — показывает, что этот ряд _ 4тг расходится. Если у? = —, то ряд (3) принимает вид о (-1)" S»(J + (-i)")' Поскольку члены этого ряда стремятся к нулю при п —► оо, то его сходимость эквивалентна сходимости ряда оо £ (й - £) 111 (см. стр. 16). Неравенство —— — - -— > -— покаэыва- 2(2т — 1) 8т 8т ет расходимость этого ряда и, следовательно, расходимость ряда (3). ^ COs[n(y?-^)l 7Г с, ряд 2^ д сходится при <р€ [0,2Я-), . 4jt n_1 к 4л <р ф —, и расходится при <р = — и (р = —. Совершенно ана- ^ sin [п (<р - §)] логично доказывается, что ряд 2^ ——7—г^г сходится Итак, 106
, 7Г 47Г 7Г 47Г при <р е [0,2тг), ^ ф -, ip ф —, в точках же^=-и^>=у все члены этого ряда равны нулю. Окончательно получаем, 00 1 что ряд ^ anzn сходится во всех точках окружности \z\ = - n = 1 l + v/5. -I -л/5| кроме двух: z\ = и г2 = . 1аким образом, 4 4 множеством М сходимости данного ряда является множество М Ряд вида ап [/(г)]а называют обобщенным степенным п = 0 рядом. Множеством сходимости такого ряда является мно¬ жество М = {z : /(z) £ £’}, где Е - множество сходимости оо ряда У1ап*П п=О Пример 4. Найти множество сходимости ряда ^ (*+*г [(5 + 6 (-1)")“ (z -0Г Решение. Положим t = ~~ и найдем множество сходи- ^ t" _ , . 1 мости ряда > т-————-т-. Так как а„ = т- ———-г—. ^[5 + 6(“1)п]п [6+ (—1)п-5]п то — 1 ^=| 1 lim v/|an| = lim -———-г- = 1 П —► 4“00 n-f-foo 6 5*(—1)п и, следовательно, Я= 1. Если |<| = 1, то |an<n| = jjj"+ ^ (-1)п]п и так как lim тт—— = 1, то последовательность n-f-foo [6 + 5.(_l)njn |а„<п| не является бесконечно малой. Следовательно, в си- оо лу необходимого признака ряд ^ antn расходится во всех п=0 точках окружности \t\ = 1. Итак, множество Е сходимо- 107
00 tn гти ряда V 77 7П—ГГ"совпадает с его кругом сходи- “ (5 + 6(-1)п) мости: Е = {/ : |*| < I}. Множеством сходимости ряда у U + 0" [(5 + 6-(—1)п) (г — *)]” является множество М -ЖИ' т. е. множество тех комплексных чисел г, для которых рассто¬ яние до точки г больше расстояния до точки —г (см. рис. I). Рис. 1 Таким множеством является комплексная полуплоскость, ле¬ жащая ниже действительной оси: М = {г : г = а + 6i\ а £ R, ft £ R, 6 < 0}. Вопрос о свойствах суммы степенного ряда имеет смысл, если эта сумма определена более, чем в одной точке, т. е. если радиус сходимости этого ряда не равен нулю. Не углубля¬ юсь в теорию дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, заметим только, что проиэвод- нюй степенной функции zn, п £ N, является функция nzn~l ((производная f'(zo) функции комплексного переменного f(z) определяется как производная функции действительного пе- 1108
ременного равенством гы = lim Я*. + А») - !Ы V Az-+0 Az при условии, что этот предел существует), и, соответственно, первообразной степенной функции zn, п £ N, является функ- zn + l ция . Определение равномерной сходимости ряда непо- п + 1 средственно переносится на ряды в комплексной плоскости; теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании рядов также справедливы в комплексной области. Из формулы Коши-Адамара немедленно следует, что ряды 00 °° a zn А : В : ^ — р (почленно проинтегрированный п=0 ^ п=0 П + ряд А), С : ^>2nanzn~l (почленно продифференцированный п = 1 ряд А) имеют один и тот же радиус сходимости. Теорема. Если R > 0 есть радиус сходимости ряда оо ^T^anzn, то для любого г, 0 < г < Я, этот ряд сходится п =0 равномерно на множестве {z : \z\ ^ г} (на любом круге с центром в нуле, лежащем строго внутри круга сходимости данного ряда). Следствие. Сумма S(z) степенного ряда беско- п= О но дифференцируема в круге сходимости, при этом оо S(m)(z) = ^ п(п- I)...(n-m+l)a„2n~m; функция F(z) = Га„—— является в круге сходимости П + 1 П=0 первообразной для S(z), принимающей нулевое значение при z = 0. Определение. Функция f(z) называется аналитической оо в точке z0 6 С, если существует степенной ряд ^ ап(2г-г0)п, п=о 109
сходящийся к f(z) в некоторой окрестности U(zo) точки zq\ оо f(z) = ^ an(z — z0)n, Vz £ C/(zo). Точка zq в этом случае на- п=0 оо зывается точкой аналитичности функции /; ряд ^Pan(z—z<j)n п=0 называется рядом, представляющим функцию / в U(z0). Из определения немедленно следует, что сумма степенно- оо го ряда ^ an(z — zo)n, РаДиус сходимости которого не равен п=0 нулю, является аналитической в точке zq. Более глубокое утверждение теории функций комплексного переменного со¬ стоит в том, что каждая точка круга сходимости степенного ряда есть точка аналитичности его суммы. Если zo — точка аналитичности функции /, то эта функ¬ ция бесконечно дифференцируема в точке zq (как сумма сте¬ пенного ряда) и коэффициенты степенного ряда, представля- /(п)ы ющего эту функцию, определяются равенством ап — \—-. 00 f(n4zо) Ряд ^ j—(z — z0)n называется рядом Тейлора функ- п=0 П' 1 ции / в точке Zq . Итак, с одной стороны, каждый степенной ряд есть ряд Тейлора для своей суммы; с другой стороны, существует оо единственный ряд вида ^ an[z — z0)n, представляющий дан- п=0 ную функцию в некоторой окрестности точки zo, именно, ряд Тейлора этой функции. Как уже говорилось, степенной ряд *о)п, радиу- п= о сом сходимости которого является положительное число Я, в круге сходимости К = {z : |z-zq| < R} определяет функцию Я(г) = ]Гап(г-гоГ. п=0 оо Предположим, что два ряда ^оп(^ — z0)n = Si(z) и п=0 НО
оо У bn(z—zo)n = 5г(^) имеют частично пересекающиеся круги п=0 сходимости К\ и соответственно, и их суммы совпадают на общей части этих кругов: Si (z) = £2(2), Vz £ К\ П AY То¬ гда каждая точка части окружности одного круга, лежащей внутри другого, является точкой аналитичности функции pi(4 г€А'ь Ы(*). г € К2. Определение. 1. Точки £ окружности круга сходимости оо ряда — z0)n, обладающие такой окрестностью п=0 в которой существует аналитическая функция f(z), совпада¬ ющая с суммой данного ряда на пересечении его круга схо¬ димости с t/(£)> называются правильными или регулярными точками данного ряда. 2. Точки £ окружности круга сходимости, не обладающие такой окрестностью, называются особыми точками данного ряда. Теорема. На окружности круга сходимости степенного ряда находится, по крайней мере, одна особая точка этого ряда. оо Пример 5. Найти регулярные и особые точки ряда zn. ОО 71 = 0 Решение. Радиус сходимости ряда zn равен 1, и для оо п=0 всех z, |z| < 1, имеем равенство ^ zn = Функция | п=0 * fiz) — j определена для всех z ф 1. Покажем, что для любого а ф 1 функция f(z) представляется степенным рядом в некоторой окрестности точки а. Обозначив t = z - а, получим, что 1 _ 1 _ _1_ 1 _ 1 Г 1 — z 1 — а — t 1—а 1 — ~ 1 —а (1 —а)п 1-а n=0v 7 111
Итак, все точки окружности \z\ = 1 кроме точки z0 = 1 явля- оо ются регулярными точками ряда Поскольку в силу п = 0 приведенной выше теоремы на окружности \z\ = 1 должна быть хотя бы одна особая точка этого ряда, то таковой явля¬ ется точка zq = 1. оо Обратим внимание на то, что ряд ^ ztl расходится во п = 0 всех точках окружности \z\ — 1 как в особой точке, так и в регулярных. Выше был приведен пример степенного ряда, сходящегося во всех точках окружности круга сходимости также независимо от того, особые это точки или регуляр¬ ные. Таким образом, сходимость степенного ряда в точках окружности круга сходимости, вообще говоря, не связана с регулярностью его точек. Для функций комплексного переменного справедливо ут¬ верждение: если функция / дифференцируема в каждой точ¬ ке области G, то каждая точка этой области является точкой аналитичности функции f*K Степенные ряды в действительной области Си Если все коэффициенты степенного ряда ^ an(z — хо)п и п = 0 точка хо действительны, то его сужение на действительную оо ось дает степенной ряд ^ ап(х - х0)п. Теперь в дальнейшем 71 = 0 будем считать числа ап действительными, не оговаривая это¬ го специально. Вместо круга сходимости {z: \z\< R} на комплексной плос¬ кости на действительной оси получаем интервал сходимости оо {х : |х| < R). Множество сходимости ряда ^ап(х — хо)п 71 = 0 Можно было обосновать аналитичность функции /(г) =- —-— в лю- 1 - г бой точке z ф 1 ссылкой на эту теорему, но мы предпочли дать прямое доказательство этого свойства J(z). 112
или совпадает с интервалом сходимости, или получается до¬ бавлением к нему одной или обеих концевых точек. Пример 6. Найти множество сходимости ряда J2- / кп сп \ (<»" + — + ^2 ) х". <* > 0, 6 > 0, с > 0. П=1 ' ' Решение. Положим М = шах{а,6,с}. Тогда В силу неравенства 1 / о \» 1 / Ь 1 / с\» , 1 1 „ ^Пм) +п{м) +^\М) <1 + п + ^^3 отсюда получаем, что / 6"с" lim \ ап + h — = М П-++00 V п п1 и, следовательно, Д = Осталось исследовать поведе- М ние данного ряда в концевых точках интервала (—Д, Д) = / i 1 \ п = I — —, — I. В зависимости от соотношения величин а, 6, с возможны три случая. I. М = а. Тогда Л = - и для |г| = - имеем: |(аП+^+^)х"|=1+« Ш ~*1, п —> -f оо, откуда следует расходимость данного ряда как в точке х\ — -Д, так и в точке х2 = Д. И. М = Ь > а. Тогда Д = | и0< -^ < 1. Для х = — 7 о М о имеем равенство 113
Ряд с членами (-1)п + "j? (]^) | схоДится абсо¬ лютно, ряд V"4 -—сходится условно. Следовательно, в , п п = 1 точке х\ = -R данный ряд сходится условно. Для х = - имеем равенство о ( п bn сп\ п 1 Г / \ п 1 / с \п Iе + =п + [(м) +^Ы . 1_ п ’ -1-00. Следовательно, в точке х2 = Я данный ряд расходится. III. М = с > шах{а,6}. Тогда Я=-иО<-~<1, b 1 с О < — < 1. Для |я| = - имеем равенство М с ( п 6" с"\ п\ ( а \п 1 ( Ь\П 1 1 (в+7^)т® +пЫ п —> -foo. Следовательно, данный ряд абсолютно сходится как в точке х\ = -Л, так и в точке х2 = R Итак, окончательно получаем, что а) если тах{а, 6, с} = а, то множество М сходимости дан¬ ного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимо¬ сти: М — ( —, — ); \ а а) б) если тах{а,6,с} = 6 > а, то множество М сходимости данного степенного ряда есть полуинтервал LI I) Ь'Ъ)' т. е. интервал сходимости этого ряда с добавлением левого конца; в) если тах{а,6,с} = с > тах{а,6}, то множество М схо- 1 ]1 димости данного степенного ряда есть отрезок I —, - , т. е. L г с\ интервал сходимости этого ряда с добавлением обоих концов. Предлагаем читателям проверить, что эти три случая ис¬ черпывают все возможные взаимные соотношения между чи¬ слами а, 6, с. 114
Из равенства |ап(-Я)п| = |алЛп| следует, что абсолют- оо нал сходимость степенного ряда ап(х — жо)Л на одном из п=0 концов интервала сходимости влечет абсолютную сходимость его и на другом конце этого интервала. Таким образом, мно¬ жество сходимости степенного ряда может быть полуинтер¬ валом только тогда, когда в соответствующем конце этот ряд сходится условно. Из этого же равенства видно, что если рас- оо ходимость ряда ^ ап(х — xo)Ln на одном из концов интервала п=0 сходимости следует из того, что последовательность {апЯ”} не является бесконечно малой, то и на другом конце интер¬ вала сходимости этот ряд расходится по той же причине. Из формулы Коши-Адамара следует, что lim \/\ап№\ = 1. П-++00 Отсюда видим, что ни радикальный признак Коши, ни при¬ знак Даламбера не дают возможности установить сходимость оо степенного ряда аЛ(ж — хо)п в концевых точках Интерва¬ ла ла сходимости. Однако, расходимость этого ряда в концевых точках иногда устанавливается с помощью этих признаков в допредельной формулировке. оо |ч2 п Пример 7. Найти множество сходимости рядаУ^ --—у- . Решение. Так как п=0 ,.m JoJ Вт (2n + 2)(2» + l) n-++oo |an + i| п-*+оо (71 Н- 1)^ 1 4п(п!)2 то R = Положим Ьп = ■ ■ - ■■*■■■■ . Тогда, если х = 4, то 4 со (2л)! ОО £«„*" = £<>„, аесли х = -4, ТО £а„а:п = £(-1)п6„. п=0 п=0 п=0 п=0 rp ^n + l 2(п+1) L V"4/ | \n l Так как -j— = -----у > 1, то оба ряда 2_^Ьп и Ьп п п=0 п=0 расходятся. Таким образом, множество М сходимости данного ряда совпадает с его интервалом сходимости: М = (—4,4). 115
Пример 8. Найти множество сходимости ряда со Е П = 1 Решение. Если последовательность {ап} имеет предел, то для любой последовательности {/?п} имеем равенство: lim otn&n — lim an lim f3n. n —► +00 n—► + 00 n —► -f - 00 Пользуясь этим свойством, получаем, что Ш "Л4+(~1)п]п'= 1ПЙ[4+(-1)п] = 5. п—► +оо V 71 п—►оо следовательно, R= Положим 5 Ьп = О j п и1] 2т — 1 J ОО 00 Если х = то апхп = ^ 6П. Пусть П=1 П — 1 О, п = 2m — 1. г" = < 1 Расходимость ряда ^ сп и неравенство Ьп ^ сп ^ 0 покаэы- ОО П = 1 ваюг, что ряд ^ 6П расходится. п = 1 Если х = - то 5 ОО ОО оо ОС) ^a„z” = ^P(~l)n6n = - У^», Tl — 1 П = 1 П “ 1 n = I где О, п — 2т - 1, *n=<-L n = 2т . 2т 116
О, п = tm, I \ 2т — 1 г 1 , п — — 1. >/ 1 /3' п- Г \5> С» оо Так как ряд ^ гп сходится абсолютно, а ряд ^ qn расхо- П=1 П=1 оо дится, то ряд 1)ПЬП расходится. гг — 1 Таким образом, множество М сходимости данного ряда МЛ совпадает с его интервалом сходимости: М — I —- 1 . Пример 9. Найти множество сходимости ряда у (2п -!)!!„ к (**>« Решение. Так как (2п+ 1)!!(2п)!! 2n + 1 n-1+oo (2n + 2)!!(2п - 1)!! ~ «■!+"« 2п + 2 ~ ’ то К - 1. i (2п — 1)!! Положим Ьп = -^Г' ОО ОО Если х = 1, то ^ апхп = ^ 6П. Так как П=1 П=1 6n+, 2n+ 1 , 1 - / 1 \ ~Т^~ ~ 2п4-"2 — 2п \п*/ ’ П"++°°’ ОО то в силу признака Гаусса ряд 6П расходится. п = 1 ОО оо Если х = —1, то ]Г^апЯп = £(-1)п6п. Из неравенств П=1 п=1 1^2 3 4 2п - 3 2п - 2 2п - 1 2 < 3 ’ 4 < 5 ’ ' ’ 2п - 2 < 2» - Г 2п < 117
получаем, что 1-3 • • • (2п - 1) 2-4 •••(2п-2) 1 Ьп = —л z— < - 2-4 • 2п 3-5---(2п-1) 2п-6„ ’ откуда следует, что 0 < 6„ < I—, т. е. lim Ьп = 0. Со- 6n+1 2n+l , »-+~ отношение —— = < 1 показывает, что положитель- Ь„ 2п + 2 пая последовательность {&„} монотонна. Следовательно, ряд ОО ]Г^(-1)П&„ сходится в силу признака Лейбница. п = 1 Таким образом, множество М сходимости данного ряда есть полуинтервал [—1,1). Пусть Хо — точка действительной оси и функция оо f(z) = £ап(г — хо)" аналитическая в некоторой окрестно- псО сти (/(хо) точки хо. Сужение этой функции на действитель¬ ную ось дает аналитическую, т. е. представимую как сумма оо степенного ряда, функцию /(х) = ^Рап(х - х0)п. п=0 Теорема о единственности степенного ряда. Если функция / в некоторой окрестности U(xо) точки Хо предста¬ вляется как сумма степенного ряда: 00 f(x) = '%2ап(х ~ хо)п, x€U(xo), п=о то эта функция бесконечно дифференцируема в Г/(хо) и ко¬ эффициенты ап однозначно определяются равенством _ /{п)ы _ _ 0 , ап — , п — 0,1,..., п\ т. е. единственным рядом, представляющим функцию /(х) в окрестности точки х0, может быть ее ряд Тейлора в этой точке. Следствие. Для того чтобы функция / представлялась степенным рядом в окрестности точки хо, необходимо, что¬ бы в некоторой окрестности этой точки функция / имела производные всех порядков. 118
В отличие от функций комплексного переменного диффе¬ ренцируемость функции действительного переменного в не¬ котором интервале (а, Ь) не влечет се аналитичности в этом интервале. Действительно, существует функция /, непрерыв¬ ная на К, но не дифференцируемая ни в одной точке х Е К (см. задачу 68, стр. 327). Функция /j, первообразная для / на R, является непрерывно дифференцируемой на R функци¬ ей, не имеющей ни в одной точке х € R второй производной. Беря последовательно первообраэную /2 от /1, первообраз¬ ную /3 от /2 и т. д., получим для любого п Е N функцию, имеющую п непрерывных производных на R, но не имеющую производной порядка п + 1 ни в одной точке действительной числовой прямой. Покажем, что и условие / 6 С°° (U(x0)), где U(x0) — не¬ которая окрестность точки хо, только необходимо, но не до¬ статочно для того, чтобы функция / была аналитической в точке хо- Пусть f(x) = е“^, х ф 0. Так как lim /(х) = 0, то, полагая /(0) = 0, получим функцию /, непрерывную на всей числовой прямой. Для х ф 0 имеем: 24 1 36 l. 8 1 = —=*е ** ** 4- —е **. X' X9 продолжая операцию дифференцирования, получим, что А 1 ф 0, есть сумма выражений вида — е~^, т Е N. j хт Из равенства = 0, m Е N, и непрерывности функции / в нуле следует, что /' в нуле существует и равна нулю и, таким образом, непрерывна; точно так же получаем, что /" в нуле существует, равна нулю и непрерывна. Продол¬ жая эти рассуждения, получим, что функция / имеет в любой точке х Е R производные всех порядков, причем в нуле все ее производные равны нулю. Следовательно, ряд Тейлора функ- ОО 00 ции / в нуле представляет собой ряд ^ апхп = ^ 0*хп, все п=0 п=0 119
коэффициенты а„ которого равны нулю. Радиус сходимости :»того ряда R = +оо, т. е. ряд сходится при любом х 6 К (это видно и непосредственно), но сумма его есть тождественный нуль и ни в какой точке, кроме нуля, не равна f(x). А по¬ скольку единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию /, может быть только ее ряд Тейлора в точке хо = 0, то, следовательно, функция / не представляется степенным рядом в окрестности нуля, т. е. не является аналитической в точке хо = 0. Еще один пример неаналитической в нуле функции / € € С°°(М) приведен в задаче 75, стр. 329. Для приведенной там функции / ряд Тейлора в нуле представляет степенной ряд ЭО ]Г^апхп с нулевым радиусом сходимости, т. е. не существу- п = 0 ет такой окрестности нуля, в которой этот ряд представлял бы какую-нибудь функцию. Поскольку другого степенного ряда, представляющего / в окрестности нуля, не существу¬ ет, то эта функция в окрестности нуля не представляется степенным рядом, т. е. не является аналитической в точке х0 = 0. оо Если радиус сходимости ряда ^ап(г — хо)п есть число оо п=0 R > 0, то функция 5(г) = ^ an(z — хо)п не может на круге п=0 сходимости совпадать с функцией, аналитической в области, включающей замыкание круга сходимости, поскольку хотя бы одна точка окружности {z : \z - z01 = R) должна быть особой точкой рассматриваемого ряда. Но эта точка не обя¬ зательно лежит на действительной оси. Так что в отличие от функций комплексного переменного функция действительно- оо го переменного 5(х) = ^ап(х — хо)п может совпадать на п=0 интервале сходимости этого ряда (-R, R) с функцией f(x), аналитической на интервале (а, 6) Э [—Я, Я]. ОО Пример 10. Рассмотрим ряд У^(—1)пх2п. п=0 120
Радиус сходимости его равен 1, и СО 1 £(-1)ni2n = TT^ (4) 1 1 + х2 п=0 - + Х для всех ху \х\ < 1. Покажем, что функция f(x) = является аналитической в каждой точке а > 0. Положим I = х — а, тогда х = t + а и _1 1 1 1 _ 1 + х2 1 + а2 + t(t + 2а) 1 -f а2 \ л. п=0 ' 7 t(t + 2a) Полученный ряд сходится абсолютно, если ^ т. е. для t Е (—а — \/2а2 + 1, -а + \/2or2 + 1). Если t Е Е (0, —аЧ-\/‘2а2 + 1), то все слагаемые в многочлене [t(<+2a)]n положительны, следовательно, ряд, полученный после рас¬ крытия всех скобок, также сходится абсолютно для t Е Е (0, -аг+ \/‘2а2 + 1) (см. стр. 16). Делая перестановку членов этого ряда и группируя члены с одинаковыми степенями мы получим ряд вида < 1, 5>ntn = ^а„(*-а)п, п=0 а=0 абсолютно сходящийся при t Е (0, —а + \/2аг2 -f 1), сумма ко- торого равна —— — = —Выпишем несколь- у 1 + а2 + t(t + 2а) 1+ х2 ко первых членов этого ряда: 1 2аI <2(3а2 - 1) <3(4а3 - 2а) 1 + а2 (I + а2)2 (1+а2)3 (1 + а2)4 <4(5а4 — 10а2+ 1) + (1 + а2)5 + '" ОО Итак, для любой точки а > 0 существует ряд —с*)п, п=0 121
радиус сходимости которого Я ^ \/2а2 + 1 - а, а сумма рав¬ на —т. е. функция /(х) = -—аналитична в точке а. 1 + хг 1 + х1 Аналитичность / в нуле установлена равенством (4), а анали¬ тичность в точках отрицательной полуоси следует из четно¬ го сти /. Таким образом, сумма ряда ^(-1)пх2п не определена п=0 вне интервала ( — 1, 1) и в то же время всюду в этом интер¬ вале совпадает с функцией f(x) = =•, аналитической в 1 4- хг каждой точке действительной числовой оси. Полное объяснение подобного поведения степенных рядов для действительного переменного получается только в тео¬ рии функций комплексного переменного. Если для действи¬ тельного аргумента функция f(x) = |е ’ х ^ ® бесконеч- { 0, х = О но дифференцируема в нуле, то для комплексного аргумента нуль является неаналитической — особой — точкой функции f(z) = Если все точки действительной оси аналитиче¬ ские для функции f(x) = г, то в комплексной плоскости 1 + х1 точки z\ = г и z2 = являются неаналитическими точками 1 функции f(z) = - и> соответственно, кругом сходимо- оо сти ряда ^(—l)nz2n, представляющего эту функцию для г, п =0 \z\ < 1, естественно является круг {z : \z\ < 1}, на окружно¬ сти которого лежат эти особые точки. Представление функции f(x) в виде £]ап(х - х0)п, п=0 х £ (/(х0), называют разложением /(х) в степенной ряд в окрестности точки хо. Сравнивая представление функции /(х) в окрестности точки хо многочленом Тейлора и ряд Тейлора с центром в хо этой функции, видим, что стремление к нулю при п —► оо остаточного члена формулы Тейлора г„(/, х, хо) является не¬ обходимым и достаточным условием разложения /(х) в сте¬ 122
пенной ряд с центром в хо- Из представления остаточного члена в форме Лагранжа rn(f,x,xо) = - 'р^;Х (x~*o)n+1, о < 0 < 1, получаем следующее утверждение: Теорема. Если для некоторой окрестности U(xо) точ¬ ки хо функция /(х) £ C°°(U(xq)) н существуют такие чи¬ сла Мид, что |/<п)(х)| ^ Mqn для всех п = 0, 1, 2,... и всех х Е U(xо), то функция /(х) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки хо: п -О и интервал сходимости этого ряда включает U(xо). Если функция / удовлетворяет условиям этой теоремы, то задача: разложить / в степенной ряд в окрестности точки Хо /(п)(х0) сводится к вычислению коэффициентов Тейлора ап = \—- п\ этой функции в точке хо- ^ Обратно, если степенной ряд ^ ап(х - х0)п представляет п=О функцию / в окрестности точки хо, то значения производ¬ ных /(п)ы вычисляются через коэффициенты этого ряда: /(П)Ы = п!о„. Пример 11. В примере 10 был получен степенной ряд, представляющий функцию /(х) = ^ в окрестности точ- ки г = а: 1 + 1 *, ^ 1 2а , , За2-1 . ч2 ~ 1 + а2 (1 + а2)2 (1 + а2)з(г а) 2а(2а2-1), , 5а4 - 10а2+1, ч4 --(ГТ^г (*~а) (ГТ^р (г “а) ~ 2а(3а4 - 10а2 + 3) , ч5 - (1-Ьа2)6 >-«)*+■•■• 123
Следовательно, tn \ _ -2“ /(0t) “ (1 + О2)2 ’ 2(За2-1). f {а) ~ (i + e*p *>"/■, л — ~ 12(2а3 —а) * И " (1 + о2)4 1 _ 24(5а4 — 10а2 + 1) ; (1 + а2)5 m ч_ 240а(3а“ - 10а2 + 3) 7 (а) “ (1 + а2)6 Разложение функций в степенной ряд Возможность почленного дифференцирования и интегри¬ рования степенного ряда внутри его интервала сходимости, а также относительная простота степенной функции делают степенные ряды незаменимыми как в теоретических, так и в практических исследованиях. Естественно, встает вопрос о разложении функции в степенной ряд и исследовании области его сходимости. Существуют различные методы разложения функции в степенной ряд. При этом основными здесь явля¬ ются следующие утверждения: 1) Каким бы образом функция f(x) ни была разложена в степенной ряд, этот ряд будет для нее рядом Тейлора (т. е. единственность разложения функции в степенной ряд). 2) Если функция f(z) (комплексного переменного z) ана- литична в точке z = а, а £ М, и zq — хо + *Уо — ближайшая к а особая точка функции f(z), то функция f(x) (действитель- оо ного переменного) разложима в степенной ряд ^ сп(х — а)п, п=о сходящийся к f(x) в интервале (а — /?,а+ Я), радиус R кото¬ рого равен расстоянию между точками а и zq (особая точка функции f(z) — точка, в которой /(г) не является аналити¬ ческой) . 124
С помощью этих утверждений гарантирована возмож¬ ность применения различных приемов разложения функции в степенной ряд в интервале (а — \zo - а|,а + |го — a|) без до¬ полнительного исследования остаточного члена соответству¬ ющей формулы Тейлора и применения других достаточных условий сходимости полученного ряда к функции f(x). Перейдем к конкретным приемам разложения функции в степенной ряд. а) Непосредственное разложение функции /(х) в ряд Тейлора. В этом случае, находя f^(xо), формально составляют ряд £££!)„_ „г. п = 0 находят область сходимости этого ряда и анализируют, для каких значений х из области сходимости этого ряда справед- П \ \П ливо равенство /(х) = ^ j—Iх “ *о) ■ п=0 П’ Пример 12. Разложить функцию /(х) = ех sin х в степен¬ ной ряд с центром в точке хо = 0. Решение. Применяя формулу Эйлера sin х = 2г ’ получаем Р** _ е-**\ е(1+*> _ е0-*)* /(*) 2i и для п-ои производной имеем /1")(х) = (1 + t)"<'(1+')x ~ (1 ~ г)пг(1~,)т = 2 г ех ((1 + i)ne'x - (1 - i)np-r) _ _ В силу формулы Муавра (1 + t)n = (V2)n (cos Jn + tsin Jn) = (у/2)пе**п, 125
(1 - i)n - (\/2)n ^cos ^ + tsin = / /“xn ( 7tt . . 7n \ = (v2) I cos —n + i sin —n 1 = = (V2)n ^cos +isin (“™)) = (%/2)”е~^\ поэтому »(т"+*)* _ е-(тп+1)* /<">(х) = с*(ч/2)" 2. = (\/2)пег sin (х 4- ~п^ И /(">(0) = (v/2)"sin™. Оставим для функции /(я) ряд Тейлора: (V2)"sin^ 1ГП п о '* п =0 Поскольку для радиуса сходимости Я этого степенного ряда имеем -^г = lim \/|an| = lim — Г, / — 4 . = 0, R п—►+<» V 1 1 п-^+оо ' - ф*п£)п(\ + о{\)) ТО ряд сходится при любом X. Выясним, для каких знамений х найденное разложение схо¬ дится к функции ersinx. Рассмотрим произвольный проме¬ жуток [—а, а]. Для х из этого промежутка имеем: |/<">(*)| < (х/2)пе“, откуда следует, что выполнено достаточное условие вида |/(п)(г)| ^ Ап при любом п 6 N, |х| ^ а (см. стр. 124). Отметим, что метод разложения функции f(x) в степен- оо ной ряд ^а„(х — х0)п непосредственным вычислением ее п=0 производных /(л)(х0), п = 1, 2,..., в основном, позволяет 126
найти, как правило, только любое конечное число членов это¬ го ряда, поскольку найти общую формулу для /*п)(х0) бы¬ вает затруднительно, не говоря уже об исследовании сходи¬ мости ряда к функции /(х). Разумеется, вычислив конечное число коэффициентов ряда Тейлора, можно утверждать, что это есть коэффициенты степенного ряда, представляющего функцию в окрестности данной точки, только опираясь на общие теоремы, сформулированные выше, именно, на теоре¬ мы существования и единственности степенного ряда. Пример 13. Написать три члена разложения функции /(х) = хг, х > 0, в степенной ряд с центром в точке хо = 1. Решение. Поскольку хх = вг|пх, х > 0, то для производ¬ ных этой функции последовательно имеем (гг|пг)' = е.т |пг(1 + 1пх), (<■*|п *)" = ' *1п ' (1 + 2 In * + In2 х + I j , (f*■"*)'" = ^1 + 3lnr + 31n2z + ln3x + In x 2 2 In x 1 _|_ -f 1 r XX X X1 Значения этих производных в точке х = 1 соответственно равны 1, 2, 2, откуда получаем, что для данной функции сте¬ пенной ряд с центром в точке х = 1 имеет вид 1 + + (5) Заметим, что поскольку z = 0 — особая точка функ¬ ции гг1п то разложение (5) представляет /(г) в интерва¬ ле (0,2). В некоторых случаях для нахождения значений f^(x0) совсем не обязательно искать производные функции у = f(x) в точке х0, дифференцируя /(х), затем f'(x) и т. д. Иногда значения /^(хо) находятся из соотношения, связывающего функцию, ее производные и некоторые известные функции. Дифференцируя затем последовательно это соотношение, по¬ лучаем другие соотношения, из которых последовательно на¬ ходятся значения производных высшего порядка. 127
Пример 14. Написать пять членов разложения функции у = earccte* в степенной ряд в окрестности точки хо = 0. Решение. Производная функции у = earccter и сама функ¬ ция у связаны соотношением у, = -унЬ’ т. е. 1/(1 + х2) = -у, (6) поскольку у' = — е"00*®*--—!—Так как у(0) = е'j', то у'(0) = 1 4" х = -е *. Дифференцируя равенство (6), учитывая, что у — у{х\ имеем у"(1 + х2) + у'-2х = -у', (7) откуда у"(0) = у' (0) = е*. Далее, дифференцируя равенство (7), имеем у'"( 1 + х2) + 2ху" + у"-2х + 2 у' = -у", откуда j/"(0) = -у"(0) - 2у'(0) = -е* + 2г» = е*. Аналогично находим y<,v>(l +х2) + 6у" + 6ху"' = -у"', откуда y^)(0) = -J///(0)-6y/,(0) = ~7r^; y(v) (l +Х2) + 8xj/<,v> + 121/" = -y{lv\ откуда y(v)(0) = — 7е% + 12с^ = 5е^. Применяя метод математической индукции, находим, что у(п)(х)(1 + х2) + 2(п - 1)ху(п-‘)(х) + (я - 2)(я - 1 )у(п -2)(х) = = - у*п-1)(х), откуда у(">(0) = -у(п-1)(0) - (я - 2)(п - 1)у(п-2>(0), •1 л ' } п = 3, 4,.... 128
Итак, для нахождения з/п)(0) полумили рекуррентную фор¬ мулу (8), причем У(0) = с*. 1/(0) = -у(0) = -е*. у"(0) = у(0) и разложение данной функции в степенной ряд с центром в точке х = 0 имеет вид arcctgх f § .Х+Ц.х* + —x3_ ]_eix4+ Ц j.5 + . . 2! 3! 24 24 б) Использование основных табличных разложе¬ ний. Как уже указывалось, на практике выразить зависи¬ мость ап от п непосредственно дифференцированием функ¬ ции /(х), т. е. найти явное выражение гпЦхо) как функции п, чаще всего не удается. Для разложения конкретной функ¬ ции f(x) в степенной ряд с центром в точке хо = 0 пользуют¬ ся разложениями основных функций: _2L хп т2 т3 тп е‘= ■£-;= 1+г+- + - + ■■+-+ - ,\г\<с*, п=0 Ж2п + 1 sin”S(^TiT(',r = X3 X5 X2n + 1 = * “ ¥ + 5Т + ''' + (”1)П (2n + 1)! + ' ’' ’ ,i|<00’ 00 Х2п X2 X4 , *2п п= 0 ' ' 2! ’ 4! ' ’ ' v (2п) in(i + x) = f;^(-i)'-i = ■ ■n n = l n X2 X3 xxn = *-y + y- ■•• + (-i)n"1 — + •••. -i<*£ 1, 129
и+,г = I+f; "‘t’" - ?■>'Jm ~" = П= 1 m(m - 1) 2 - 1 + mx + x + • • • + ^ m(m — 1)-... (m — n + 1) _ + —1- 1 г ~x + ‘ ‘ *' n! m E IR, -1 < x < 1. Приведем некоторые частные случаи последней формулы: 1 = 1 + |х|<1, 1 + * * = 1 + х + х2 + х3 Ч hxn Н , |ar| < 1, 1 — х 1 ,1 13 2 13-5 о = 1 — -X + -—X - ■—--X + h у/Г+1 2 2-4 2-4-6 П,(2п-1)М , (2п)!! ’ 1 ,1 1 3 2 13-5 з = 1 + -х + —X2 + —— X3 + • • • + vT^x 2 2-4 2-4-6 + (2г^т (2п)Н ■ г- ,1 1 1 2 113 3 ^П=1 + -х--х +—X ---.+ I ( 1)” 1)!!хп+1 | |х| < 1 + [ > (2п + 2)!! + ' 1 К ■ л . 1 11 2 113 з V1- X = 1 - -х - —х - ——— X 2 2 4 2-4-6 (2п - l)!! »+i I I < 1 (2п + 2)!! + ’ Пример 15. Разложить функцию f(x) = е1"-2*3 в степен¬ ной ряд с центром в точке xq = 0. 130
Решение. Поскольку е1"2** = е е”2а? , то, полагая -2я3 = = у и используя табличное разложение (9) для функции еу, имеем ряд е(1 + (-2,з) + Ь|!)I + ...+fc*2l + ...). „ , 22е в 23е 9 - ,Чп2"е Зп = е - 2ех + —х6 - —х9 + • • •+ (-1)"—х3" + • • . Так как разложение в ряд функции еу имеет место для всех у, то и разложение в ряд данной функции справедливо для всех |х| < оо. Пример 16. Разложить функцию f(x) = --- в степен- 1 + Xя ной ряд с центром в точке хо = 0. Решение. Полагая х4 = р используя формулу (9) для функции z = , имеем ряд , * -4 = 1 - х4 + X8 - х12 + • • • + (~1)пх4п + • . 1 + хн Этот ряд представляет данную функцию для х таких, что \у\ < 1, т. е. |х4| < 1 и, значит, для х из промежутка — 1 < х < 1. Заметим, что на первый взгляд кажется странным тот факт, что функция f(x) = j является бесконечно диф- 1 + я ференцируемой на всей прямой, а разлагается в степенной оо ряд 1+^(—l)nz4n только для х из промежутка |х| < 1. Дело, п=1 однако, в том, что соответствующая функция комплексного переменного f(z) = —^ ^, сужением которой на действи¬ тельную ось является функция f(x) = —j, имеет особые 1 Ч- х точки z\ = i и zi = —t, и поэтому разложение f(z) в степен¬ ной ряд верно для \z\ < 1, что соответствует |х| < 1 (сравните пример 10). 131
в) Использование сложения и вычитания рядов и умножение ряда на многочлен и ряд. В некоторых слу¬ чаях разложение функции в степенной ряд можно получить, суммируя табличные разложения или ранее найденные. Так, например, для разложения функций у = х2гх, y=(x2-f 1) sin х3 достаточно разложение функции ех умножить на х2, а разло¬ жение функции sinx3 умножить на (х2 + 1). При :>том ино¬ гда надо аналитическое представление функции преобразо¬ вать так, чтобы представить ее в виде удобной комбинации функций, разложения которых известны. Так, например, для разложения функций у = 5Г, у = sin2 х, У = "о : У — 1пП + х + х'2 + я3) в степенной ряд х1 — 4х 4- 3 оо ^^апхп достаточно преобразовать их соответственно к n=0 rln5 1 cos2x 1/1 1 \ .иду у = е ,у= 1 — X4 у = In = In(1 - х4) - In(1 - х). 1 — X Помимо перечисленных выше утверждений законность та¬ кого метода разложения функций в степенной ряд основыва¬ ется на следующих результатах. Рассмотрим два ряда: оо ^апж" = а,, + сцх 4- а2х2 + ■ • + а„х" + (10) п — 0 с радиусом сходимости R\ и ряд оо = 6о + Ь\х + 62х2 + • • • + Ьпхп + ■■■ п=0 С радиусом СХОДИМОСТИ /?2 Пусть R = min{/Zi, R2) Тогда для |х| < R эти два ряда можно складывать, вы¬ читать и перемножать, причем в результате опять получим 132
соответственно степенные ряды: оо оо £(an+6n)x", £(ап-6п)х", п=0 п = 0 оо -I- а\Ьп-\ 4- а2&п-2 4- • • • 4- о.пЬо)*п- п=0 Такое приведение подобных членов в произведении степен¬ ных рядов является представлением этого произведения сте¬ пенных рядов в форме Коши (см. стр. 57). Ясно, что степен¬ ной ряд (10) на интервале сходимости |я| < R можно возво¬ дить в любую натуральную степень шив результате опять оо получится степенной ряд коэффициенты которо- n = U го находятся путем перемножения ряда (10) самого на себя rn раз и приведением любым способом подобных чле¬ нов ахп, п - 0, 1, 2 .... Пример 17. Разложить функцию }(х) = —— в х — 2х — 3 степенной ряд: а) с центром в точке xq = 0, б) с центром в точке хо = 4. Решение, а) Представим данную функцию в виде л,) = = L_U х2 — 2х — 3 4 \х — 3 х + 1 / 11 11 12 1 - § 4 х + Г Применяя известные разложения для функций у = , и у = , имеем I — х х , (х\ (х\п i-' I -1 + з + (з) +"'+(з) + "’ Ы<1 1-| ' 3 \3/ V3/ 43 1 х . Iх\2 ,/Х\п IхI 1 - = 1 - х + х2 - х3 + 1- (-1)"х" н , |х| < 1. *+ 1 133
Следовательно, получаем: /(х) = пН1+!+(!)+ +(f)+ "■)“ - ^(1-* + г2-х3 + - +(-1)пхп+-) = 12 7 , (- -X X2 + h Q Q 07 ч^г-моу- (11) Поскольку первый ряд сходится к функции у = 1 |х| < 3, а второй — к функции у = ряд (11) представляет функцию у = Итак, (-1)П + 1 1 1 — £ 1 3 при X + 1 1 х2 - 2х - 3 при |х| < 1, то при |х| < 1. 6) Представим данную функцию в виде „.11 11 1 1 1 /(*) = 7 1 4 г-3 4 г + 1 4 г - 4 + 1 4 х-4 + 5 1 1 1 1 4 1 + (* - 4) 20 1 -h Н4 ’ откуда имеем n=0 п =0 4 ' т. е. Полученное разложение верно при х таких, что одновре- х — 4 менно выполняются неравенства |ат — 4| < 1 и < 1, т. е. 5 при \х — 4| < 1. 134
Пример 18. Разложить в степенной ряд функцию /(х) = = ln( 1 + х 4- х2). Решение. Представим функцию у = ln( 1 + х + х2) в виде 1-х3 у = In или так у = 1п(1 — х ) — 1п(1 — х). Раскладывая 1 — х теперь в степенной ряд каждую из функций у = 1п(1 - х ) и у = 1п(1 - х), имеем /—6 -»9 г3п 1п(1 - х3) = -х3 - - — + ■■ ■, |х3| < 1, т. е. |х| < 1, х2 х3 1п(1 - х) = -х - — - y 1*1 < 1 Следовательно, 1п( 1 + X + х2) = -х - у - ^1 + ^ х3 - -Т-Т-ИУ-Т- Отметим, что предложенное преобразование функции у = = 1п(1 + х + х2), определенной на всей действительной оси, /1 -х3\ к функции у = In ( — 1 не сужает области разложимости функции у = 1п(1 + х + х2) в степенной ряд, поскольку разло¬ жение функции у = 1п(1 + х + х2) возможно до первой особой точки функции у = ln(l + z -f z2) = f(z). Особые же точки 1 .V3 1 .V3 этой функции есть точки z\ = — - 4-1— и z2 = — - — t — , £ & L л* которые находятся на окружности \z\ = 1, т. е. кругом схо¬ димости степенного ряда с центром в нуле, представляющего функцию /(*), является круг \z\ < 1. Его сужение на дей¬ ствительную ось есть интервал (—1,1), поэтому интервалом сходимости степенного ряда с центром в нуле, представляю¬ щего функцию у(х), является именно этот интервал, в кото¬ ром функция у = 1п(1 + х + х2) тождественно равна фуцкции у = 1п(1 — х3) — 1п(1 — х). Для разложения функции /(х) в степенной ряд с центром в точке Хо Ф 0 чаще всего применяется следующий метод: вво¬ 135
дится новая переменная t = x — xq и ищется разложение функ¬ ции f*(t) = f(t + xо) в степенной ряд по степеням t (с центром сю в точке t = 0) f*(t) = ^2 antn, |(| < R. Откуда получаем, что n =0 ОО /(*) = а,%(х ~ х°)п’ Iх ~ ж°|< Л’ п=0 Пример 19. Разложить функцию f(x) = cos4 х в степен- 7Г нои ряд с центром в точке хо = —. Решение. Поскольку 7 1 -h cos 2х С08 X — , ТО +cos4х а \ (1 + со® \ 11 г, 1 /(*)=( 2 j =4 + 2COS2x+" 8 3 1 1 = - + - cos2x + -cos4x. Обозначим t = x — тогда x = t + cos2x = -sin2t, 4 4 cos4x = — с os 4t. Следовательно, /(*) = /*(<) = | - ^sin2t - ^cos4(. Применяя разложения (9), имеем f() - 3 1 V (-l)n22n+,<2n+1 1 (—l)n42n<2n fW-8 2 " (2п + 1)! 8^-; (2n)! ’ n=0 4 n=0 4 7 |t| < OO. Возвращаясь к x, получаем n=0 4 ' + £■ (2n)! Л-?) >W<CO- n = l 4 7 Остановимся более подробно на сложении бесконечного множества степенных рядов. 136
Пусть дана последовательность степенных рядов оо Y^anmxn, т = 0, 1, 2,.... п=0 Из них составим повторный ряд оо / оо \ £ ( £ “nm*n j т=0 \п=О / (12) Бели при значении х, равном хо, сходится ряд, полученный заменой всех членов их абсолютными величинами, т. е. £ (x>«~ikiY т=0 \п=0 / то сходится и ряд (12), причем сумма его 5(х) может быть представлена степенным рядом просто оо путем приведения подобных членов: А(х) = £^Лпхп, где оо п=0 Ап - ^ ^ flnmi П = 0, 1, 2, . . .. m — О Пример 20. Разложить функцию /<*) = £ ("dl - 1 1*1 < 1, 0 < а < 1, т=0 в степенной ряд с центром в точке х = 0. Решение. Поскольку — оо = £(-1Гат(2п+1)г2п, |*| < 1, 1 + а2тх2 п=0 то, подставляя это выражение в /(х), получаем (E(-ir«m(2n+1)*2n) = m=0 \п=0 / °° °° ( 1\тЛ(2п+1)т °° = E(-1),*’n Е ( 1 = £<-»"«- *г"- п=0 т=0 п=0 Перестановка суммирования законна, поскольку ряд оо . оо V4 J_ Y^„(2n + l)rn 2п
сходится: оо 1 / о° \ оо , г т=0 \п=0 / т=0 1 _ еа < 1 - х2 ". т! 1-х2 т —г < Пример 21. Разложить в степенной ряд с центром в точ¬ ке хо = 0 функцию у = ctgx. Решение. Используя результаты задачи 80 п. 1 (стр. 330), имеем соотношение °°s 2х2 хctg* = 1 + V -? г—хфкк, к = 0, 1, 2.... Лшш\ хс — ir*mz т= 1 Если |х| < 1, то для любого т — 1, 2, 3,... 2 X2 оо / „2 \п * _ тг5т2 xz - n*mz 1 - п*тл оо / о v п П= 1 4 ' поэтому 00 / оо / 2 \ п\ ■-*Е ЕШ )- т = 1 \п = 1 4 ' / оо оо / 2 \ п —*eeU0 - , ^12л ~ 1 2И^гГ2п* (13) . *■ п = 1 °° 1 где г2п = V] —or-, п = 1, 2,.... Отметим, что если искать ~ 171*" т=1 разложение функции /(х) = xctgx в виде ряда у = а0 4* atx -f а2х2 + h anxn Н 13*
(см. пункт г) настоящего параграфа), то коэффициенты а* можно найти из равенства х соех = sin х, т. е. Л *2 *4 *6 / ,чп *2" ^ * ( 2! + 4! 6! И (2п)! + ' j ~ / X3 хь х2п~1 \ Ч'-¥+5Г--' + '-1>"''(5ГГТ)? + ''')>< х (а0 4* Л\Х 4* а2ж2 4- h апхп 4* • • •) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х как в левой, так и в правой частях этого соотношения, последо- 1 п 1 1 вательно находим а0 = 1, а\ = 0, аг - — = т. е. о 2 6 л 1 ао «2 1 ^ аз = 0, — = — - — 4 а4, т. е. а4 = Сопоставляя коэффициенты при х2 и а?4 в разложении (13) со значением а2 и сц, получаем оо , 2 оо , 4 Е1 _ JT ^ 1 _ * т2 б ’ ~ т4 90 т=1 т=1 г) Метод неопределенных коэффициентов. В неко¬ торых случаях для нахождения разложения функции в степен¬ ной ряд используется метод неопределенных коэффициентов. Суть его состоит в следующем: ищется разложение функ- ОО ции /(я) в виде затем составляется некоторое соот- к=о ношение, связывающее функцию f(x) или ее производные с другими функциями, и из условия тождественного равенства нулю степенного ряда на некотором множестве приравнива¬ ются к нулю его коэффициенты. В результате получаются соотношения, связывающие числа а*, из которых они последо¬ вательно могут быть все или в достаточном количестве (нам необходимом) найдены. Этот метод полезен при разложении в ряд функций у = у = 1п/(х) и т. д., и, кроме того, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождении у(п)(х0) с помощью рядов и т. д. Отметим еще, что в этом методе существенно можно об¬ легчить вычисление, пользуясь тем, что степенной ряд с цен¬ 139
тром в точке х = 0, представляющий четную функцию, имеет оо вид у а соответствующий ряд для нечетной функции /с=0 оо Е2к-\ CkX к = ) Рассмотрим некоторые примеры. Пример 22. Разложить в степенной ряд с центром в точ¬ ке хо = 0 функцию у = earctgr. Решение. Дифференцируя функцию у = earctsx имеем ./ _ arctg х 1 1 -f хг откуда (1 + х'2)у' = у. Будем искать разложение функции у = eai4‘tgx в виде у = = ао + а\Х + а2х2 -f • • • + апхп + • • •. Тогда имеем (1 + x2)(aj + 2а2х + За3х2 + • • • + + 7ianxn"'1 + (ti + l)an + 1xn + •••)= (14) = a0 + (iir -f a2x2 -I- h anxn + • • Приравнивая свободные члены и коэффициенты при оди¬ наковых степенях х как в левой, так и в правой части (14), находим ai = a0, 2a2 = ai, 1 aj + За.з = a2, 2a2 -|- 4a^ = аз, (n - 1 )a„_i + (n + l)an+i = °n, Поскольку при x = 0 имеем earctg* = 1, то а0 = у(0) = 1. Следовательно, ао = 1, а тогда а\ = 1, а2 = аз = 7 5 2 6 °4 24’ “5 120 “ Т Д 140
Итак, 1 2 1 3 7 4 1 5 »=l + « +-j. -я. +я« +■••• Заметим, что разложение для функции у = е*1"01** можно получить, зная разложение функции у = earcctex (См. при¬ мер 14), поскольку ^ arctg х _ ef-arcctgx _ f §-(ir-arcctg(-x)) = § >earcctg(-x) _ = e'I,eI 1 + ,+ 2* Г ~ 24* + 24* + д) Подстановка ряда в ряд. Пусть функция у = /(х) в оо промежутке (-Я, Я) разлагается в степенной ряд ^Panxn, a п=0 оо функция (р(у) разлагается в степенной ряд (р(у) = бту1 ,т >тУ т=О для у €(-*>,*>). Если ао = 1/(0) | < р, то при достаточно малом г будет верно неравенство |/(х)| < р и имеет смысл функция <р (/(ж)). Справедлива следующая Теорема. Если |ао| < р, то функция <p(f(x)) разлагается в окрестности точки х = 0 в* степенной ряд, который можно оо получить, подставляя в ряд для (р(у) вместо у ряд апхп и п=0 производя возведение в степень и объединяя затем подобные члены хр, р = 0, 1, 2,.... Заметим, что область изменения х, для которых обеспе¬ чивается возможность разложения функции (p(f(x)) в ряд по степеням х, можно, например, определить из условий |х| < Я оо и неравенства ^ |апхп| < р. Если представляет интерес вся п=О 141
область, в которой возможно разложение <р (/(*)), то этот вопрос требует отдельного исследования. Пример 23. Рассмотрим функции оо /(*) = -2х - х2, R = +оо, и <р(у) = ym, р = 1. т=0 Функция ^ (/(*)) = ) + 2Х + X2 = (Г^)2 ИМееТ СМЫСЛ при —1 < — 2х — х2 < 1, т. е. при —1 - \/2 < х < — 1 + \/2, х ф — 1. Ее разложение по степеням х есть 1 - 2х + Зх2 - 4х3 + • • • + + • • •. Этот ряд сходится при |х| < 1. Равенство ОО ]Г (-2* - х2)т = 1 - 2* + Зх2 - 4х3 + • (15) т=О имеет место при условии -1 < х < -1+ч/2. Согласно же при¬ веденной выше теореме и замечанию, разложение (15) имеет место во всяком случае для таких х, что 2\х\ + х2 < 1, т. е. 1 — у/2 < х < — 1 -f у/2. Следовательно, равенство (15) верно в более широкой области. Пример 24. Разложить функцию fln^ 1 o' sin Я . __j , х ф О, я*) = * - о в ряд по степеням х. Решение. Так как при любом х д.3 Ть _2 *-1 х х ' *\к-\ х sinx = x- — + —-•• + (-!)* 3! 5! у ' (2к — 1)! ТО ДЛЯ X Ф О 2 -4 „6 -2к — 2 -1-Ч7 + 77~^Г + ' + (_1) 3! 5! 7! ' ' (2*- 1)! 142
sm X а тогда для функции у = In получаем х . 8Ш X ( X2 X4 X6 \ (“I + 120 ~ 840 + 'j ~ 2 V 6 120 840 ) X2 X4 Т~ 180 + Поскольку полученный ряд при х = 0 сходится и его сум¬ ма равна нулю, то этот ряд представляет функцию /(х) для всех х. Отметим, что с другой стороны имеем (см. стр. 74) (17) Разлагая этот ряд по степеням х и приравнивая коэффициен¬ ты соответственно при х2, х4,... в (16) и (17), находим 1 f 1 1 ^ 1 7Г ^Е^=6-откуда х^=Г’ П=1 П=1 1^1 1 ^ 1 л-4 2ir4 ^ п4 “ 180’ откуда „4 ~ go’ П = 1 имер 25. Найти первь _ |(1 +х)*, х Ф 0, \ е, х = 0 П=1 П=1 Пример 25. Найти первые пять членов разложения функ¬ ции у = ^ в степенной ряд в окрестности точки х = 0. Решение. Перепишем функцию в виде _Ге^Щ(1+*)1 хф0 Поскольку для |х| < 1 имеем X2 X3 , X" 143
то !in(i+*) = i-f+т-••+Н)П_,^+" , o< |*|< 1. x 2 6 n Подставляя это выражение в данную функцию, получим, что у = е1-! + т-- + (-1)п-1£^+- = = ее_2 + Т + (-l)n"‘V- + ---, 0<|*|<1. Используя ряд для еу и предыдущую теорему, находим 1 / X X2 X3 1гП~1 \2 + 2!Г2 + Т"Т+ +(_1) ~ + ‘") + 1 / X X2 X3 J ХЛ_1 \3 + 3!Г2 + Т"Т+'"+("1) ~ + ' ) + + + ^(~?+Т~Т + • + (-1)"_l£v~ + - ) +• ••)= + (Ьт? + § + ^ + 24Г1б)х4+ ) = / X 11 2 7 з 7341 4 \ С V 2 241 1бХ + 17280Z + J Пример 26. Разложить бесконечное произведение оо /(«)= П 0+ «"**>. \я\< 1, то = 1 в степенной ряд с центром в точке х = 0. Решение. При |х| < 1 произведение сходится и /(х) > 0. Рассмотрим логарифм /(х): оо ln/(*)= £ln(l+ ,"*). m=l 144
Для |z| < 1 имеем In/(Г) = f; (,”> - \q2m r2 + l-i3mx3 -•••). Так как этот ряд сходится при замене всех членов в скоб¬ ках их абсолютными значениями, то In /(г) в окрестности нуля разлагается в степенной ряд, а тогда в силу теоремы на стр. 142 в степенной ряд можно разложить и функцию еХп^х\ Итак, для достаточно малых х имеем f(x) = 60 + Ьхх + Ъ2х2 + h bnxn + • • Поскольку f(x) = (1 +gz)(l + g2x)(l + <73r)... = = (l + 9x)[(l + ЯЯх)(1 + Я2 Я*) ...] = (!+ Ях)' (/(ях)) , то имеем Ь0 + bi* + Ь2х2 + h Ьпхп + • • = = (1 4- Ях)(Ьо + b\qx + b2q2я2 + • • • + bnqnхп + •■•), откуда, замечая, что 6о = /(0) = 1, имеем Ь\ = яЬо + b\q, b2q2 + biq2 = 62, • •, bnqn + 6П_1*Л = Ьл, т. е. = б2= ’3 6п = 1-?’ (1-*)(1-92Г п(п-|) (1-д)(1-д2)...(1-д")' Итак, з /(*) = 1 + 1 + 71 гг. 2Т*2 + 1 -Ч (1-?)(1-?2) 145
Заметим, что поступая формально, получаем: /(*) = = (l+9r)(l+g2a:)(l+03z)(l+fl4x) . ,(l+gnx)... = = 1 + (Я + Я2 + Ч3 + ' • + Чп + ••■)* + + (Я Я2 + (Я + Я2)Я3 + (Я + Я2 + Я3)ЯА +' • ) *2 + • • = = 1 + у(1+? + 72 + •• •) х + + я2 (я + {я + Я2) + (я + я2 + Я3) + • ) *2 + • • = = 1 + Y^-x + (q(q2 + q3 + qA + ■■■) + + я2(я3 + яА + я5 + ■ ■) + я3(я4 + яъ +•••)+••• + + яп(яп +' + яп + 2 + • • + ят + • •) + • • -)*2 + + (я я2 я3 + • )*3 +••■• = = 1 + Т^—Х + (?3( 1 + я + Я2 + •• •) + 1 - q + яЧ 1 + я + я2+ •••) + +Я7(\+Я+Я2+ ••)+•• )х2 + (яя2д3+ ■ ■ )х3+ • • = = 1+ * х + + -i— + Л х2 + \\-q 1 - Я 1-Я ) 1 - q + (?6 + • • )х3 + • • • = а3 = 1 + х + (1 + q2 +я4 + ■■ -)х2 + 1-q 1-q + (Я6+ ■■ )х3 + • = = 1 + -г1-* + т^- Т-1—х2 + •••. 1 — q 1 — q 1 — q2 е) Деление степенных рядов. Важным применением теоремы о подстановке ряда в ряд является деление степен¬ ных рядов. оо Рассмотрим степенной ряд ^Рапяп, где ао Ф 0, х Е е(-я,,я,). п=0 146
Представим этот ряд в виде а0 Л , ах а2 2 1 + —X + —Z \ do <*0 + —х"+- ао + у)> где ®1 - а2 2 . I e*» п | У =—Х +—X Н 1- X + во во а0 Тогда 1 1 1 (18) а0 + а\Х Н (-о„хп + - - а0 1 + у = 1 -у + у2 + (-l)mym+- «о ОО Радиус сходимости ряда ^(—l)mJ/m есть 1. т=0 Подставляя вместо у соответствующий ряд в (18), полу- чаем в силу общей теоремы выражение 1 в ви- а0 + <их + • • • де степенного ряда с центром в точке xq = 0 для достаточ¬ но малых значений х (например, для таких, что — |х| + «о 02 1 i2 • ■ On \ху + • • ’ + ао ао 1 |х|Л 4 < 1), т. е. = с0 + С\Х + 1- спхп 4- ао + а\х 4- а2х2 + оо Пусть есть еще ряд ^Г^Ьпхп с радиусом сходимости Яг- По¬ может быть записано гда частное п=0 Ьо *+■ ^ix + • • * 4- Ьпхп 4- • ао + aix 4- h апхп 4- в виде (Ьо + b\x 4- •' +bnxn 4 ) (со +cix 4- С2Х2 4- • • -4-спхл + • • •), т. е. представлено степенным рядом do 4* d\x 4- cf2x2 4- • • • 4* dnxn 4- • • • 147
Коэффициенты dt, i = 0, 1, 2,..., можно определить, напри¬ мер, методом неопределенных коэффициентов, исходя из ра¬ венства (ao+ai£+ • • • +an*n + • • + ■ +dnxn + • •) = = 60 + b\x + • • ■ + bnxn + • • •, производя перемножение рядов и приравнивая коэффициен¬ ты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях равенства. Пример 27. Написать несколько членов разложения фун- / т.{ 1, г = О Решение. Для |х| < 1 имеем х = О Поэтому х 148
ж) Почленное интегрирование ряда. Пусть f(x) пред¬ ставляется в виде х /(х) = /(*<>) + J <p(t) dt, где разложение <р(х) — ап(х — жо)Л известно или доста- п=0 точно легко получается. Тогда в силу общей теоремы (см. стр. 110) равенство л*)=/(*„)+£; а-(д~+1)--~ (2°) п=0 справедливо внутри общего интервала сходимости рядов V"' ( \п ап(х “ хо)Л + 1 х;в»(*-*о)я и n+i—• п=О п=0 Вторая теорема Абеля. Пусть Я — радиус сходимости степенного ряда и S(x) — его сумма для х 6 (—Я, Я). Если ряд сходится в точке х = R (х = —Я), то его сумма является функцией непрерывной в точке х = Я ( х = —Я), т. е. lim У2апхп = У2апНГ г—►Я—0 i п=0 п=0 (ji. £>«*=£>.(-« г). \ п=0 п=0 / Из этой теоремы следует, что если ряд ^ аЛ(х-хо)Л или ряд ^ап(*-*0)"+1 > сходится в одном или обоих концах проме- л п + 1 п=0 жутка (—Я, Я), то и равенство (20) имеет место при соответ¬ ствующих значениях х (х = Я, х = — Я). Пример 28. Разложить функцию у = arctg х в степенной ряд с центром в точке xq = 0. 149
Решение. Поскольку arctgx = J , то, разлагая функцию ■ -~-^2 в степенной ряд с центром в точке хо = 0 и 1 „ 0 1 -f* х интегрируя почленно полученный ряд, имеем arctg х = х = j (l - х2 + х4 - х6 + • • • + (-l)"_1x2n-2 + • • •) dx = 0 X3 X5 X7 (-l)n_1x2n-1 “ * 3 + 5 7 + '+ 2n - 1 + " ’' Разложение функции ——- справедливо для x, удовлетворя- 1 -h X2 ющих условию |х| < 1. Для этих же х верно и разложение г3 г5 (-Пл”1ж2п“1 +-■ (2,) Отметим также, что одновременно получено разложение в степенной ряд с центром в точке хо = 0 функции у = arcctg х, 7Г так как arcctg х = — — arctg х, т. е. ж х3 х5 (-l)nx2n_1 иссЦ,,= --«+у-т + ...+ 2п1 +.... (22) Заметим также, что в силу сходимости ряда (21) в точ¬ ках х = +1 и г = - 1из второй теоремы Абеля (стр. 150) следует, что разложения (21) и (22) справедливы и для этих значений х, т. е. хз (-1)п~1х2п“1 arctg* = *-_ + ... + i—i——j + • • • для |x| ^ 1, * х3 (-1)пх2"-' , , , arcctg х = -- х + у+ -+ —2п^~1— + для |*| ^ 1. Пример 29. Разложить функцию у = arctg2 х в степенной ряд с центром в точке хо = 0. Решение. Возводя в квадрат ряд для у = arctgx, имеем 2 / х3 хб х7 (-1)п-1х2"-1 \2 „а, ,= ^-т+т-т +—-Я | +...j , W ^ 1. ISO
т. е. *б+ |х8+- + arct8»i = .“+(-?) гЧ(1 + 5 + 0 +Н-Ж4МН)> +,,_(1 + 5)V+(l + 5 + 0V" "(, + 5 + Ё + 0т+ + +(-,)“" (1 + j + s+ " + 2^r)v + "" Итак, ■"V* = D-i)-1 (' + 5 + • + 2^гт) V'w < L п = 1 х ' Для доказательства формулы общего члена полученного , 1 1 ряда ап = 1 + -Н |- - г можно воспользоваться методом о In — 1 математической индукции (проверьте!). х Пример 30. Разложить функцию J f(x)dx, где 1п(1 + X) ■{' хфО, /(*) = { х 1, х = О в степенной ряд с центром в точке хо = 0. Решение. Разложение функции /(х) в степенной ряд с центром в точке Хо = 0 есть Н-7 + Т + -1 < х < 1, х ф 0, т. е. есть X X2 — I /« = 1-J + T+ tf-T-'—+ . 131
Это разложение верно и в точке х — 0, т. е. для всех х из промежутка -1 < х 1. Следовательно, X 1 о Предложенный способ находит широкое применение при приближенном вычислении определенных интегралов, когда найти первообразную в конечном виде не представляется воз¬ можным (см. далее гл. II § 2). Пример 31. Разложить функцию у = ln(x -f \/l + *2) в степенной ряд с центром в точке хо = 0. Решение. Для производной данной функции имеем у' =(1 Эта функция разлагается в степенной ряд (i+x2)-i = i + f;(-i)"(-2”^!!x2n, i*i <i. n = l Интегрируя почленно этот ряд от 0 до х, имеем х . . г. ( dx 1п(х + \/1 + X2) = J %/гг Поскольку этот ряд сходится и в точках х = ±1 (проверьте!), то по второй теореме Абеля отсюда имеем, что полученное разложение справедливо для всех |ж| ^ 1 В частности, полу¬ чаем, что 1 13 1 + + (-|>‘1fcw-STr + - + X о г 2 152
2 4-... (2n) 2n + l + - =1п(^2 - 1). з) Почленное дифференцирование ряда. Суть мето¬ да состоит в следующем. Пусть надо найти разложение неко¬ торой функции в степенной ряд. Если удается найти такую функцию д{х)у что /(аг) = д'(х), то, разложив функцию ^(х) в степенной ряд и продифференцировав его почленно, получим разложение в ряд функции /(х). При этом полученное раз¬ ложение верно всюду, где соответствующее разложение было верно для функции д{х). Пример 32. Разложить функцию у = ———~ в степен- (1-х)2 ной ряд с центром в точке хо ~ 0. = 1 + 2х + Зх2 + h пхп 1 Н Так как при дифференцировании интервал сходимости сте¬ пенного ряда не меняется, то найденное разложение имеет место при х, удовлетворяющих условию — 1 < х < 1. и) Представление степенным рядом неявно задан¬ ной функции. Пусть функция у(х) определяется уравнени¬ ем F(x,y) = 0 и условием у(х0) = уо (числа х0 и уо должны, естественно, удовлетворять равенству jF(xo,#(xo)) = 0). Теорема. Пусть функция F(x,y) в окрестности точки (х<ь Уо) разлагается в ряд по степеням х —хо и у—уо и коэффи¬ циент при у — уо этого разложения отличен от нуля (^у(х0,у0) Ф 0). Тогда функция у(х), определяемая уравне¬ нием F(xty) - 0 в окрестности точки хо, разлагается в ряд по степеням х — хо Решение. Поскольку (1-X)2 = (1 + X + х2 + х3 + ■ ■ ■ + хп + • • •)' = 133
Другими словами, эта теорема означает, что если F(x, у) аналитическая в некоторой окрестности точки (хо, Уо) такой, что F(xo, Уо) = 0, то функция у = у(х), определяемая уравне¬ нием F(x,y) = 0, также будет аналитической в окрестности точки хо, если Fy(x0,yo) ф 0. Без ограничения общности будем считать, что хо = уо = 0. оо Пусть F(x,y) = ^2 сц,х*зЛ- Так как F(x,y(x)) = 0 в i,*=0 некоторой окрестности точки (0,0), то, следовательно, 53 ci**V = 0 • ,Д=0 Если выделить член с первой степенью у, то, перенося его в другую часть и деля на коэффициент при нем, можно данное уравнение переписать так: У = С\фХ + С20у + Сцху + С02У2 + СэоХ3 + С2IX2 у +■■■. (23) Ряд для функции у(х) будем искать в виде у(х) = а\х + а2х2 + азх3 + • • •. Подставляя это выражение у в (23) и приравнивая коэф¬ фициенты при одинаковых степенях х, после возведения со¬ ответствующих рядов в степень и приведения подобных чле¬ нов, получим систему уравнений, из которой последовательно найдем коэффициенты а;: at = сю, а2 = C20 + Cuaj +c02Oi и т. д. Заметим, что сформулированная теорема носит лишь локаль¬ ный характер и устанавливает только возможность разложения у по степеням х — хо вблизи хо. Определение точного промежутка сходимости этого разложения требует особого исследования. Известно, что если для F(x, у) ее разложение в ряд по сте¬ пеням х и у справедливо для |х| < г и |у| < р, то ряд для у(х) сходится, по крайней мере, для |х| < п, где г} = г И |c,*|rV't < М. 154
Пример 33. Найти пять членов разложения в степенной ряд функции у(х), являющейся решением уравнения у = 1 4 хеу и удовлетворяющей условию у(0) = 1. Решение. Функция еу является аналитической в окрест¬ ности любой точки, в частности, в точке у = 1. Поэтому на основании предыдущей теоремы из уравнения у = 1 4- хеу и условия у(0) = 1 функция у(х) определяется как функция х, аналитическая в точке х = 0: у = 1 + ахх 4 а2х2 -f • • • 4 апхп -f • • Подставляя из последнего равенства выражение у — 1 в уравнение у — 1 = хеу~1е, получаем, что а\Х -I- а2х2 + а3х3 + Ь а„хЛ 4 • • • = = хеев|Х+аз*3+ = хе ^(1 + ахх + а2х2 4 азх3 4 • • •) 4- ]■ (<цх + а2х2 + ■ - )2 (air + a2x2+•• )3 2! 3! откуда ai = е, а2 = <ме = е2, а? С а 3 о a3 = a2e4-f-=e3 + y = -e3, а?е 34 4 14 114 а4 = а3е + aia2e 4 -у- = -е’ + е’4- -еч = —ея и т. д. Следовательно, в некоторой окрестности нуля имеет место представление у = 1 4 сх 4 е2х2 4 ^е3х3 4 -тт*4*4 4 • ■ • I о Пример 34. Рассмотрим уравнение у = a 4 ху>(у), (24) где функцию <р(у) будем предполагать аналитической в точ¬ ке у = а. Тогда из предыдущего следует, что в окрестности точки х = 0 можно определить у как функцию х, аналитиче¬ скую в точке х = 0, такую, что у(0) = а. Пусть и = /(у) — любая функция от у, аналитическая при у = а. Если вместо у подставить в функцию и = f(y) функцию у(х), определяемую 155
из (24), то и также будет аналитической в точке х = 0. Най¬ дем разложение ti(x) по степеням х. Заметим, что у = у(х, а). Дифференцируя соотношение (24) по х и по а, находим у'х = ¥>(у) + Х(РуУх Уа = х,РуУа + !. т. е. *4)^ = *(»)• = откуда ду , ч ду Поскольку у = у(х, а), то и и - f(y) - / (у(х, а)) и ди df ду Of ду ди Tx^Tydi^di^Ta^^lT* (й) Для любой функции F(y) имеем Е ('«я) = к Ня) Справедлива формула дх" <9an~' В самом деле, при п = 1 это следует из (25). Если при п = к она верна, то при п = к + 1 имеем дк+ <9xfc+1 д_ дх у-1 д дап~1 да * — ® _ kl U дх \dx* / (^K))*£isK) = 156
Поскольку и = Щ + X + /#ti\ х2 / ди V W ,=0 + 2! \di) Х-(д^)П\ +••.. »! W Lo x=0 и при x = 0 имеем «(0) = /(у(0)) = Да) = и0, дпи дх" (Г- <ian Г»)/»), ТО /М = /<«) + + + 2Г^И«>т+ х" rf in — 1 (26) n! dan Такой ряд называется рядом Лагранжа. При f(y) = у получаем у = а + хг(а) + ^~(?2(а))+-+^£—[(<рп(а))+--. Пример 35. Для уравнения Кеплера Е = М + е sin £*, где # — эксцентрическая аномалия планеты, М — средняя аномалия, е — эксцентриситет планетной орбиты, сообразно вышесказанному имеем е2 d Е = М + € sin М + ;г7 777 (8*п2 Н ^ А\ ам + tn dn~1(smn М) n! dMn~x (Лаплас установил, что для этого ряда сходимость имеет ме¬ сто при 0 < е < 0,6627...). к) “Обращение степенного ряда”. Пусть функция у = /(х) в некоторой окрестности точки х = хо представля¬ ется рядом по степеням х — хо, т. е. у = a0 + ai (х - х0) + а2(х - х0)2 + • ■ • + ап(х - х0)п + • • * 157
Ясно, что ао = у(хо) = уо, поэтому имеем У - Уо = <м(х “ *о). (27) Предположим, что а\ ф 0 в окрестности точки уо- Тогда х определяется по предыдущей теореме как функция у, при¬ чем х(у) разлагается в ряд по степеням у — уо Вывод: Если у является аналитической функцией от х в точке хо, то в соответствующей точке уо = /~ЧХо) (при условии у;(хо) Ф 0) обратная функция также будет аналити¬ ческой. Если хо = уо = 0, то из (27) имеем х = огу + /?2х2 -I- /?3х3 + • • (28) и коэффициенты искомого разложения х = Ь1у+Ь2У2+6зУ3Н— последовательно определяются из соотношения <*У + 0ъ(1>1У + Ь2у2 4* • )2 + 0з(Ь\у + Ь2у2 + • • )3 + • • • = = Ь\у + Ь2у2 4- 63у3 + • * • * т. е. 6j = а, Ь2 = 02Ь\У 63 = *202Ь\Ь2 + /?з63 ■+• • • • и т. д. Пример 36. Используя разложение функции у = arctg х в степенной ряд arctg г = х - i*3 + - i*7 + ir9 , найти разложение в степенной ряд функции * = tg у = у + а3у3 + а5у5 + а7у7 + а9у9 + •• •. (Выписаны только нечетные степени у, так как у = tg х есть нечетная функция.) Решение. Из уравнения ^ 3 , 1 5 1 7 . 1 9 + 5* ~7* 9 "" имеем
Подставляя в это соотношение вместо х ряд у + а3у3 + as у5 + а7у7 + а9у9 + ■, получим равенство У + «з у3 + a5y5 + a7y7 + a9y9 + • •• = = У + ^(у + «зУ3 + а5у5 + «7У7 + )3 - - ^(у + азу3 + а5у5 + • • )5 + 0 + ^(у + аз у3 + asy5 + • • )7 + • • •, откуда 1 112 а3=з, a5 = --3a3-- = T5, 1 „ 1 « 2 1 г 1 2 1 17 07= --3a5 + j'3a3 — ~5аз + - = a5 + a3 — a3 + - — Итак, 1 з 2 s 17 7 * = l*» = »+3# +,5» +ш» + •••. т. e. 1 з 2 5 17 7 v = te x = x 4- -x -f —x 4 x H У 8 3 15 315 Задача разложения в степенной ряд функции у, определяе¬ мой уравнением (24) (см. стр. 156), и обращения ряда связаны между собой. Если предположить, что <^(а) ф 0, то урав- у — a нение (24) можно переписать в виде х = ——■ и ясно, что <Р(У) нахождение разложения в степенной ряд функции х(у) равно¬ сильно обращению степенного ряда функции <р(у) с центром в точке а. Обратно, если надо обратить ряд у = aix4- a2x2 4- h апхп Н (<*i ф 0), то перепишем это соотношение в виде у = х(а\ 4- a2x Н ) = хф(х) 159
и придем к уравнению типа (24) 1 X = у ф(х) = О + у-у?(х). Тогда имеем в силу соотношения (26) 1 !Г ( А 1 X = у- + . £ (±-L-) V'(0) 2! \dx\i>7(x)J tL (<fn~1 1 ^ n! \dxn~1 v>n(x) / r = 0 Пример 37. Рассмотрим уравнение у з= х(а + х), а ф 0. Перепишем его в виде х = у- 1 а + х Так как d^ dx — (—V = n“1 \a + x J n(n + I)... (2n - 2) то получаем разложение У У , I / 1 \ х = з + • •+(-]) (a + x)2n_ 1 »-,Г2п-2)! у" (н — 1 )!n! a2n“1 + Пример 38. Рассмотрим уравнение у2 = ay + х 1 Здесь у?(у) = Полагая /(у) = у , по формуле Лагран¬ жа (26) находим 1 1 к х2к(к + :\) у* a*+2 2! a*+4 г3 fc(A + 4)(* + 5) х4 к(к + 5)(* + (>)(* + 7) 3! 4! г» Ас +8 С другой стороны, у = ^ + + х (у(0) = а). Отсюда 160
получаем, например, при а = 2, что к 2 1 + у/ГТх к(к + 4)(к + 5) /ж \ 3 + л) Разложение функции в обобщенный степенной ряд. Иногда возникает необходимость разложить функцию не по степеням х - ж0) а по степеням некоторой другой функ¬ ции, т. е. в обобщенный степенной ряд. При этом можно поль¬ зоваться всеми рассмотренными выше приемами и, конечно, табличными разложениями функций в степенные ряды. Пример 39. Разложить в ряд по степеням у/х функцию у = arcsin(l — х) при х }> 0. Решение. Для производной функции у = arcsin(l — х) имеем у1 = . Применяя разложение для бинома (1 + z) ~ получаем 1 1 1 Л 1 3 2 \ у" ^хфТГх~ ^(1 + 41+ 32х + ) - = З2^(ч/х)3~ " =_ж + у?(г)' 1 3 Функция (р(х) = --^=\/х - представляет собой равномерно сходящийся ряд на [0, а], 0 < а < 2. Поэто¬ му первообразная для функции = есть —\/2х, а для функ- у/2х 2 з 3 5 7Г Ции Ч>(х) есть -^гдх* ~ • Поскольку у(0) = Отметим, что получить разложение данной функции по положительным степеням х невозможно, иначе, основываясь на теореме о том, что внутри промежутка сходимости сте¬ пенного ряда функция, его представляющая, имеет проиэвод- 161
ную, получили бы, что ее имела бы в точке х = 0 и исходная функция, что не так. IX I cos -1 в ряд по степеням cosx. х I 1 1 Решение. Поскольку In COS2| = 2^* +cosx) 2^П^’ то полагая у = cosx и разлагая в степенной ряд функцию у = ln(l + у)} получаем In |cos ||= Iln(l+y)-i|n2 = Ч У2 t У3 , , (-l)n"V , 11в0. = j(,*-T+j + -+—;— + -j-5ini- = -5ln2+5E(-|>"'lJv5- ***<“-'), »ez. П = 1 Пример 41. Функция y(x) задана уравнением x - у - arctg у. Выделив главную часть вида (7xrt, С ф 0, функции у при х —► 0, найти три ненулевых члена разложения этой функции в ряд по степеням ха. Решение. Из равенства . У3 У* У1 У9 . *гсц„ = !,-у + --т + - + (см. пример 28) следует, что у ^УЗх1^3, х —► 0. Итак, будем искать три ненулевые члена разложения функции у(х) в ряд по степеням х1/3. Замечая, что из уравнения х = у — arctg у следует нечетность функции у(х), делаем вывод, что коэффи¬ циенты у хп/3 при четном п должны равняться нулю. Итак, представим функцию у в виде у(х) = \/Зх1^3 + а\х + a-jx5^3 + • • • и будем искать коэффициенты аь а2 так же, как при “обра¬ щении"’ степенного ряда (см. стр. 157). Из соотношений
у = V^3x1/3 + а\х + а2х5/3 + • получаем: у3 = Зх + З^х5'3 + З’УЗа?*7'3 + З^9х7'3 - у5 = З^9х5/3 + 15^3а,х7/3 + • •, у7=9^х7/3+ - •, х = х + Х5/3 ^v^9ai - + + х7/3 ('УЗа? + \/За2 - З^За, + ^^ + 3 9\^9 Откуда следует, что а\ = -, а2 = -ттг- Итак, 5 175
§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ Пусть задано счетное множество числовых последователь¬ ностей <*11, 012, 013, • • • , <*1 п, • • • <*21, а22, <*23, • , «2п, • • • (1) aml ? ат2, ЛтЗ, • • ■ , атп, • •• Можно считать, что элементы этих последовательностей рас¬ положены в виде матрицы с бесконечным числом строк и столбцов. Элементы матрицы (1) можно многими способами пред¬ ставить в виде последовательности «1, U2,---, Up,... и составить из нее простой ряд <2) Р=1 Я>г= 1 Бели просуммировать каждую строку матрицы (1) от¬ дельно, то получим бесконечную последовательность рядов оо оо оо 5Zairi - - (3) Г = 1 Г — 1 Г — 1 Запишем формальную сумму оо оо (4) 9=1 г =1 Эту сумму принято называть повторным рядом. Если сначала просуммировать элементы каждого столбца, то получим последовательность оо оо оо ^ <7=1 <7=1 <7=1 164
Суммируя эту последовательность, пэлучим другой повтор¬ ный ряд оо оо £(£<v). (в) г=1 <7=1 Определение. Повторный ряд (4) называется сходящим- оо ся, если сходится каждый из рядов (3) и сходится ряд Ая, оо <7=1 где Ая = 53 аяг — сумма </-го ряда (3). В этом случае сумма оо г= 1 ^^Ач называется суммой повторного ряда (4). <7=1 Определение. Повторный ряд (6) называется сходящим¬ ся, ('(‘ли сходится каждый из рядов (5) и сходится ряд Аг, го г = 1 где Аг = 53 аяг сумма г-го ряда (5). В этом случае сумма оо <7=1 Аг называется суммой повторного ряда (6). г=\ Как показывает следующий пример, суммы обоих повтор¬ ных рядов не обязаны совпадать; более того, сходимость од¬ ного повторного ряда, вообще говоря, не влечет сходимости другого. Пример 1. Рассмотрим матрицу /I _ 1 1 _ 1 1 _ 1 ч '2 2^ 2^ 2^ 2^ 2* ' 1 i (1 ~тг) (*~?г) _0zikl (1-jM _1Llh1 2 2 2s 2J 23 2s 2* i.-L (*~ jr)* ('~jr)-1 ('~^)3 ('-jr)* (‘~jr)2 •j 22 2* 22 2Л 23 24 1 i (*~ft)* (*~O-A)3 0-jr)3 2 2* 2s 22 23 23 2« \ / Каждый из рядов по строке сходится абсолютно и суммы I II 11 их равны: первого второго -третьего - ^ и т. д. Эти 165
суммы образуют сходящийся ряд, сумма которого равна 1 1 1 11 _ 1 1 2 + 22 + 2 22 + '" “ 21 - i “ Рассмотрим теперь ряды по столбцам. Для первого полу¬ чаем сумму 1 Л 1 1 1 1 2 V 2 + 2^+ +2^ + ' j-1 Для второго -М'*('-»*Н)’* *('-«'* )■ Для столбца с номером 2q + 1 сумма равна 2^(1+(1_2^) + (1_2^) + '" + + (1_2^) + •'•) = 2^T'2i^= '■ Для столбца с номером 2q сумма равна '25^(' + ('"2Гг') + (1"2Гг') + ' + + ('-55W) Поскольку ряд 1 — 1 + 1 — I Н h ( - l)n+L + расходится, то повторный ряд вида (6) расходится, в то время как повтор¬ ный ряд вида (4) сходится и сумма его равна 1, причем как все внутренние, так и внешние ряды сходятся абсолютно. Определение. Пусть дана бесконечная матрица (I). Сим¬ вол оо £ V (?) <7=1,г=1 называется двойным рядом. 166
Определение. Частичной суммой двойного ряда (7) на- m п зывается конечная сумма Smn = т. е. сумма тех <7=1Г=1 элементов матрицы (1), которые находятся в прямоугольнике из ее первых п столбцов и тп строк: ( ап 021 а\2 <*22 а\п «2 п От2 <*ln+l Л2п + 1 Отп+1 ^ат+11 ат+12 am1-ln ат+1п + 1 Заметим, что множество 5mn, гл = 1, 2, ..., n = 1, 2,... представляет собой опять бесконечную матрицу. Определение. Двойной ряд называется сходящимся, если при независимом стремлении переменных т и п к бесконеч¬ ности существует предел lim Smn. m—f+oo N—►+00 Значение этого предела называют суммой двойного ряда (7) оо и пишут S = ^ aqr. Если предел Smn при m —> оо, п -> оо я>г—1 не существует, то ряд (7) называется расходящимся. оо Пример 2. Ряд ^ хку1 является сходящимся для |х| < 1, k=\,i=i |у| < 1. В самом деле, *=i/=i *=1 1=1 1 - zm+1 1 - yn+1 х I - у fc = l ’ * Поскольку /=1 lim 1 - xm+l m—►-foo 1 — X 1 1 - X . kl < i- 167
I _ «"+• I lim —j = , |y| < 1, n-++oo 1 — у 1 - у TO 1 _ xm+l 1 - v" + l 1 lim m—►+oo 1 — X 1 — у \ — X 1 — у n—►-f-oo Значит, сумма исходного двойного ряда хку1 равна 1 1 *',=1 1-х 1 - у Естественно поставить вопрос о взаимосвязи сходимости рядов (2), (4), (6) и (7). Теорема. Если простой ряд (2) абсолютно сходится к сумме и, то каким бы образом ни расположить его члены в виде матрицы (I), сходятся оба повторных ряда (4) и (6) и их суммы равны и. Отметим, что эта теорема формулирует важные резуль¬ таты сочетательного и переместительного свойства абсолют¬ но сходящегося ряда: для такого ряда его члены можно пе¬ реставлять произвольным образом и объединять в любом ко¬ личестве в скобки, составляя таким образом новый ряд, и суммы всех таких рядов равны между собой. Так, например, сумма ряда iIiJ.i_J_i_i.JLJL + 2 + 3 + 22 + 22 + З2 + З2 + 23 + З3 + 42 + ’ ОО | °0 | т. е. ряда, где перемежаются члены рядов П=1 П=1 ОО j 00 - 00 - 00- Е з^> равна °умме + П = 1 П=1 П — 1 П = 1 Теорема. Пусть дан повторный ряд (4). Если после заме¬ ны его членов их абсолютными величинами получается сходя¬ щийся ряд, то сходится не только сам повторный ряд (4), но и простой ряд (2), состоящий из тех же членов, что и ряд (4), расположенных в любом порядке, и притом к той же сумме. 168
Следствие. Пусть дана матрица (1). Если после замены всех членов повторного ряда (4) их абсолютными величина¬ ми получится сходящийся ряд, то сходятся оба повторных ряда (4) и (6) и их суммы равны. Отметим, что предположения об абсолютной сходимости рядов по строкам (или по столбцам) н об абсолютной сходи¬ мости ряда, составленного из их сумм, не может заменить требования сходимости повторного ряда для матрицы абсо¬ лютных величин. Пример 3. Рассмотрим матрицу 1-1 О О О Д 0 1-10 0 0 0 1-1 0 • ’ / аяя = 1, <*<7<7+1 = -1} aqr =0, если г/диг^ + 1. Для этой матрицы все ряды как по строкам, так и по столбцам являются конечными суммами и, следовательно, сходятся аб¬ солютно. Сумма в каждой строке и во всех столбцах, начи- оо оо ная со второго, равна нулю. Оба ряда = ^Ро = 0 оо оо <?=! Я— 1 и Лг = 1 + 0 = 1 сходятся абсолютно; однако, сум- г — 1 г = 2 мы повторных рядов (4) и (6) не равны. Если же заменить все члены данной матрицы их абсолютными величинами, т. е. рассматривать матрицу 110 0 0 0 110 0 CLqq = Clqq+l = 1, dqr = 0, вСЛИ Г^ИГ^+1,ТО ВСв СуММЫ по строкам и суммы по всем столбцам, начиная со второго, равны 2, следовательно, в этом случае оба повторных ряда (4) и (6) расходятся, как и надо было ожидать. 169
Основные свойства двойных рядов: оо оо 1. Если ряд ^ адг сходится к сумме 5, то ряд ^ Аадг <7,г= 1 7>г = 1 сходится к сумме А5, где А — константа. оо оо 2. Если ряды ^ а9Г и ^ 67Г сходятся, то сходится ряд оо <7.г— 1 7*г=1 оо оо (а?г + Ь,г) и его сумма равна ^ а,г + ^ 6gr. 7,г = 1 7ir=l <7, т* = 1 оо 3. Если ряд V' а«г сходится, то lim aqr = 0 (необходи- 1-++0О 9<г-1 г —► -j- оо мое условие сходимости двойного ряда). 4. Если все члены двойного ряда адг неотрицатель- <7,г=1 ны, то ограниченность множества {Smn} его частичных сумм есть необходимое и достаточное условие сходимости этого ряда. оо 5. Если ряд ^2 аяг с неотрицательными членами схо- 7,r=1 дится и существует такое число С, что 0 ^ bqr ^ Caqr, то оо ряд bqr также сходится (теорема сравнения для двойных <7.г= 1 рядов). 6. Если члены двойного ряда определены равенством aqr — оо оо оо = bqcr И ряды Ev Е* сходятся (ряд aqr получен 7=1 г= 1 7»г = 1 оо оо оо произведением рядов и 5^сг), то двойной ряд aqr 7=1 г = 1 7.г — 1 оо оо сходится и его сумма равна ^ bq• ^ с*г. 7=1 г=1 ~ (_l)n+m Пример 4. Рассмотрим ряд > . Так как ' т п тп п,т = 1 170
(_l)«+m (_l)n + l (_l)m+l ^(_1)«+1 - - - - - - - и > 1 = m2, то, еле- m n n m ■■ ■ ^ Tk 771 1 n— 1 довательно, данный двойной ряд сходится и его сумма рав¬ на in 2. оо ^ Пример 5. Доказать сходимость ряда ^ m,n = l Решение. Поскольку для любых пит справедливо нера¬ венство 1 1 £ п4 -|- т4 ^ 2т2п2 ’ то для сходимости данного ряда достаточно установить схо- °° 1 димость ряда У^ —г—« . Так как члены этого ряда получе- * т1п1 m>n — 1 оо ^ оо 1 ны умножением двух сходящихся рядов > —г- и > —то т1 п1 оо m= 1 п = 1 ряд У* ——- сходится, а значит, сходится и данный ряд. ' 7177Z m»n=1 ^ Пример 6. Рассмотрим двойной ряд =. . Ра- rrwT^l Vnm (-l)n+m (-l)n+1 (-l)m+1 венство jr. — = — -=— показывает, что этот у/пт у/п у/т двойной ряд представляет собой произведение сходящегося f 1 \n +1 j\n+m ряда т=—на себя. Следовательно, ряд > -— " у/п ' у/пт n = l m,n = 1 v v>(-i)n+1 сходится и его сумма равна квадрату суммы ряда > 7=—. tl ^ В то же время, как показано в примере на стр. 58, произ- (— 1 )п+1 ведение ряда 7=— на себя в форме Коши является расходящимся рядом. Этот пример показывает, что опре¬ деленное выше (стр. 171) представление произведения рядов в виде двойного ряда не эквивалентно ранее рассмотренно¬ му (стр. 57) представлению этого произведения в форме Коши. 171
Теорема. Если сходится двойной ряд aqr и сходят- Я,г-\ оо ся все ряды по строкам (или столбцам) Я — 2,... г — 1 схэ оо оо (^а^г, г = 1, 2,...), то сходится и повторный ряд </=1 <7=1 Г=1 оо оо (Е(Е адг^ и его сумма равна сумме двойного ряда. г = 1 д=1 Заметим, что условие сходимости всех рядов по строкам не следует из сходимости двойного ряда, т. е. это условие не может быть пропущено в формулировке теоремы. Пример 7. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: (~i)n+l ^ (-•г • 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 2 ICS 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 т т т Ш 1 1 1 1 т т га га НУ (-0" йг НУ V •/ Каждый ряд по строке этой матрицы имеет вид ОО ±5>1)"с и является расходящимся. Покажем, что двой- п = 1 ной ряд сходится к нулю. п п Действительно, поскольку ^a2m-ir + ^a2mr = 0 для г — 1 г — 1 любых т и п, то 52m п = 0; точно так же Sm 2п — 0 для 172
любых тип. Далее, S2m+1 2п + ! “ /1111 l\ 1 1 = *$2т2п+1 + ( Ь 1 Ь —) ~ \ 7?1 т т т тп) т т ^ у ^ 2п членов Полученные равенства показывают, что lim 5mn = 0. n—►+оо оо m—►+оо оо Пусть для ряда апт сходятся как все ряды апт П, ТП — 1 оо 171=1 по строкам, так и все ряды ^ апт по столбцам. Тогда в П = 1 силу приведенной теоремы условие сходимости и равенства оо оо оо оо сумм повторных рядов ^ПШ ) и £(£а"'п) необ- n = l m = l т = 1 п = 1 оо ходимо для сходимости двойного ряда ^ апт. Однако, п,т=1 как показывает следующий пример, это условие не является достаточным. Пример 8. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: / 1-1 0 0 О- Л
<*2a-lm = < m ^ 92.fl2q-lm = ~“,g2< ™ < 1), <7 Я a2q-1 m — 0 для всех остальных индексов m, a2qm = ~ a2<?-i m- Каждая строка и каждый столбец этой матрицы содер¬ жат только конечное число отличных от нуля членов; полови¬ на из них положительны, половина — отрицательны, причем абсолютные величины этих членов равны. Итак, все ряды оо оо аптп и ^ anm сходятся к нулю, откуда следует, что и т=1 п = 1 оо оо оо оо оба повторных ряда flnm) и ^ (X>anm) схоДятся n = l т=1 т=1 п = 1 и суммы их равны нулю. ^ Покажем теперь, что двойной ряд ^ anm расходится. n,m= 1 Действительно, m (m+02 (m + *)2 (m+1)2 — ( 53 a2<7~ 1 r + a2?r^ — 0, 9=1 r = l r = 1 ^2m-f 1 (m+1)2 — 11 1 - *b2m (m+ 1)H — H — + 1- — - 1 • m-fl m-f 1 m-fl v v " (m+l) членов Полученные равенства показывают, что предела Snm при п —► -fоо, m —> оо не существует. оо Определение. Двойной ряд amn называется абсо m,n = 1 о© ЛЮТНО СХОДЯЩИМСЯ, если СХОДИТСЯ ряд |amn|- m,n = 1 Как и для простых рядов, из абсолютной сходимости двойного ряда следует его сходимость. оо Если двойной ряд ^ amn сходится абсолютно, то лю- m,n = l бой простой ряд, составленный из чисел amn> также сходит¬ ся абсолютно. Отсюда следует, что amn стремится к нулю 174
не только при одновременном возрастании обоих индексов т и п, но и при возрастании хотя бы одного из этих индексов. Отсюда же следует, что множество {amn} ограничено. Если оо же ряд ^2 атп сходится неабсолютно, то множество {amn} m,n = 1 может быть и неограниченным. Пример 9. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: /0 1 2 3 4 п 1 -1 -2 -3 -4 —п 2 -2 0 0 0 0 т —т 0 0 0 0 \ Для этого ряда Smn = 1, когда т + п > 2, следовательно, он сходится к 1, но множество {amn} его членов неограничен но. Обратим внимание на то, что в силу сходимости двойного оо ряда атп имеем, что lim amn = 0; таким образом, * m,n—»+оо m,n=l для множества {amn} чисел, занумерованных двумя индекса¬ ми, существование предела lim атп не влечет ограничен- m-f+oo п—►+оо ности этого множества в отличие от множества чисел {an}, занумерованных одним индексом. Как следует из вышесказанного, данный ряд не сходится абсолютно. Покажем это непосредственно. Действительно, m п Smn - ЕЕ 1®*'! Г — (1+2+-** + (п-“ l))-|-(l-h 1 + 2 + • • • -j- (п — 1))”1" *|- 2*2 -f- • • * -f* 2(m — 1) — = (п — 1)(гс - 2) + 1+2 (2 + 3 + • • * -Ь (т — 1)) = = (п - 1)(п - 2) — 1 + (m - 1 )т —У -f оо при п —у -fоо, т —У оо. 175
Теорема. Пусть дан двойной ряд ^ апт. Составим оо п,т=1 каким-либо образом простой ряд ^ Uk, состоящий из тех же к = ] членов. Тогда абсолютная сходимость одного из этих рядов влечет за собой абсолютную сходимость другого и равенство их сумм. Теорема. Рассмотрим четыре ряда: два повторных (4), (6), двойной (7) и простой ряд (2). Если хотя бы один из этих рядов сходится при замене всех его членов их абсолютными величинами, то все четыре указанных ряда сходя гея и имеют одну и ту же сумму. Следствие. Если все числа атп ^ 0, то из сходимости (X) оо оо оо одного из четырех рядов: (53amn)’ XI(amn)5 оо оо пг = 1 n = 1 n = 1 m — 1 amn, ( uq есть произвольно занумерованное од т,п — 1 <7=1 ним индексом множество {amn}) следует сходимость осталь¬ ных трех и равенство сумм всех четырех рядов Пример 10. Доказать сходимость и найти сумму ряда ОО j ^ (2n)m+1 n,m=l 4 7 Решение. В силу вышеприведенного утверждения для от¬ вета на заданный вопрос достаточно доказать сходимость и CXJ ОО J найти сумму повторного ряда То"lm+i ) ' * ак как п = 1 m = I ' оо оо . оо , v SS = £ + (2п)3 + ‘= ОО 1 оо . _ (2п)> _ 1 , 1 — , 2п(2п - 1) ’ п = 1 2п n = i V / то этот ряд сходится. Для вычисления его суммы проведем 176
следующие преобразования: я J я J Я J = Е 2п(2п — 1) " ^ 2л - 1 “ ^ 2п ~ n=l v 7 п=1 П=1 = (1 + 5+ +5тЬ)"5(1 + 5+ ' +0 = 2? . <? , = Е1-Е1 = = In2g + С3 - lng - + о(1) = 1п2 + о(1), п оо. Отсюда получаем, что ОО ОО . ОО - £(£ (йг?т) = Е 5^гп) = Д™*.=1п2 n= 1 m=1 4 7 n=1 ' 00 j с’ ряд 12 ?2пГ+Т схоДится к |п2- n,m=l * Итак, Пример 11. Исследовать на сходимость ряд ^ 1 ^ (т + п)" т,п=1 ' , а > 0. Решение. Матрица, соответствующая данному ряду, есть /11 1 1 (1 + 1)“ (1+2)“ (1+3)" " (1 +п)а " s s S 111 1 (2 + 1)" (2+2)“ (2 + 3)« (2 + п)а i /* / 111 1 (3+1)" (3 + 2)" (3 + 3)“ (3 + n)“ \ 177
Составим простой ряд, расположив его члены так, как ука¬ зано стрелками (по диагоналям). 1 1 1 (1 + 1)“ (1 + 2)® (2+1)« 1 1 1 (8) + + (3+ 1)" (2 + 2)“ (1 +3)“ Так как все члены этого ряда положительны, то он сходится одновременно с рядом 1/1 I + 4- =) (1 + 1)“ 4(1+2)° (2+ I) I 1 1 (3+1)“ (2 + 2)" (1+3)" 1 + -I- 1+2)“ (1+п)“ полученным его группировкой (см. стр. 16). Итак, сходи¬ мость рассматриваемого двойного ряда эквивалентна сходи- * • и - 1 1 ^гг н +°° Т1а 1 МОСТИ оотношение п = 2 показывает, что этот ряд и, следовательно, ряд (8), сходится при а > 2 и расходится при а ^ 2. В силу теоремы о сходи¬ мости двойного ряда с неотрицательными членами, получаем оо J отсюда, что ряд } - —, rv > 0, сходится при о > 2 и , (т + и)" п,т= 1 v ' расходится при 0 < г» ^ 2. Пример 12. Рассмотрим матрицу _L J_ _L J_ V2 5Гз 1Г4 Tb 1111 Л = 1-2-3 2 234 2 3-4-5 2 4-5-6 2 1 ?Гб 1 5~67 2 а<|Г — 12 3-4 2 3-4-5 3 4-5-6 4 5 6-7 5 6 7 8 (V-1)! _ (г-1)! r(r+l)...(r + ?) q(q + l)...(q + r)' 178
Сумма членов q-ой строки этой матрицы равна у* (Я-1У- f^r(r+l)...(r + q) l/l 1 \ ^ ^ ^ 9\г(г+1) • (г+?-1) (г+1) - (г+?)У ,д ПД 1 _ (g — I)- _ 1 1-2-... -g qq\ q2' CO J Следовательно, сумма ^ -j есть сумма повторного ряда ОО ОО Ей»- (») q=1 г=1 Ясно, что поскольку agr = arq, то сумма и второго повторно- °° 1 го ряда также равна ^ -j. Рассмотрим теперь матрицу В: г=1 /Чгг + гЗ + з^'1 ) 0 0 00 Д ТТз (гЗТ+зТв "*"4Т<И ) ® 00 ••• ОО 1 2 34 234 5 Ц?(?ИН9+-2)(7+3) 0 0 ' ‘ д=3 т. е. в m-ой строке ( m = 1, 2,...) до ее диагонали сохраняем члены предыдущей матрицы, на диагонали ставим сумму всех членов m-ой строки предыдущей матрицы, начиная с m-го, а остальные члены заменим нулями. Для такой матрицы суммы по ее строкам останутся рав¬ ными суммам по тем же строкам предыдущей матрицы, т. е. оо оо сумма повторного ряда также будет равна 00 1 n = l m=1 п = 1 179
Найдем теперь суммы по столбцам матрицы В. Для этого сначала упростим выражения диагональных членов Ьтт этой матрицы: (т-1)! ,.=«+1 ф+1)..(« + т) _ у' (т- 1)! (т- 1)! (т — 1 + д)... (2т— 1 +q) т2(т+1)... (2т— 1) Теперь найдем сумму оставшихся членов m-го столбца. Она равна ^ (т-1)! ^ (т-1)! i£?+1 + 1) ••■(* + т) ^ (т + *)... (2т + *) ' (т-1)! т(т -hi)... (2т) Следовательно, сумма: всех членов m-го столбца равна (т - 1)! + (т ^1)! т2(т -|- 1)... (2т — 1) т(т + 1) • • (2т) _ (т - 1)! 2т + т _ ((т - I)!)2 т(т + 1)... (2т) т (2т)! Суммируя теперь эти числа, получаем сумму повторного ря¬ да, которая в силу приведенной выше теоремы, должна со¬ впадать с суммой повторного ряда (9) (см. стр. 180). Итак, используя равенство, выведенное на стр. 140, получаем ,2 » , ~((т_!)!)2 Ч. (2т)! • к = 1 Отсюда следует, что 1 I2 (2!)2 (п!)2 тг2 L L L 1 ' 1 2! 4! 6! (2n + 2)! 18 Пример 13. Рассмотрим ряд ^ хтуп. Поскольку он т,п=0 оо оо получен умножением рядов хт и ^ уп, каждый из кото- т = 0 п=0 180
рых абсолютно сходится соответственно при |х| < 1 и |у| < 1, то для этих же знамений х и у абсолютно сходится и двойной ряд. Если |х| > 1 и |у| > I, то хтуп не стремится к нулю и данный ряд расходится. Рассмотрим множество {(x,t/) : |х| = 1, \у\ < 1}. При х = 1 матрица (хтуп) принимает вид Л = /1 У У2 1 У у2 1 У у2 г уп Л а при х — — 1 ВИД в = Сумма рядов по строкам равна (~1)9+1 1 - У для матрицы А и , где q — номер строки, для матрицы В; таким обра- оо оо зом, повторный ряд cimn^ расходится как для матри- m = 1 п = 1 оо цы А, так и для матрицы В. Если бы двойной ряд хтуп m,n=О был сходящимся, то в силу теоремы на стр. 173 эти повтор¬ ные ряды сходились бы. Итак, рассматриваемый ряд рас¬ ходится на мнбжестве {(х,у) : |х| = 1, |у| < 1}. В силу симметрии переменных х и у этот ряд расходится и на мно¬ жестве {(х,у) : |х| < 1, |у| = 1}. Таким образом, множе- оо ством сходимости ряда хтуп является открытый ква¬ драт (-1, 1) х (-1, 1). m'n=0 181
00 I ^r—^ X Пример 14. Рассмотрим ряд > а, , где а* — про 1 — х% i=l извольные числа. Справедливо утверждение, что этот ряд оо сходится, если сходится ряд ^а, х* и \х\ ф 1 (см. задачу 78, • = 1 оо стр. 330). Пусть радиус сходимости ряда х* не мень‘ оо . «= 1 \ v—n а%'Х ше 1, тогда функция у?(х) = > т определена для всех х, 1 — х t=i |х| < 1. Для х, |х| < 1, справедливо равенство t 00 х _» . _21 . . „mi . _ \ s _m* г = X + X + h X + •••=> X 1 — X т= 1 Составим матрицу Л : (а\х ajx2 aix3 4 а\х aix5 aix6 ajx7 ajx8 diX9 д 0 о2х2 0 а2х4 0 а2х6 0 а2х8 0 0 0 азх3 0 0 азх6 0 0 аз*9 0 0 0 а4х4 0 0 0 в4Х8 0 0 V.... 0 0 0 а5х5 0 0 0 0 / Повторный ряд по строкам будет (aix + а\Х2 + • • • + aix* + •••) + (a2x2 -f a2x4 + ■ •) + + (a3x3 + a3x6 + )+•• = <цх a2x2 amxm 1 — X 1 — X2 1 — xm «=1 OO Так как повторный ряд сходится к ^(ж)> а РЯД 1 — X* оо t = l сходится при тех же х, что и х*’ то после замены х 1 = 1 оо на |х| и а, на |а»| получим, что вместе с рядом ^ |а,*||х|ш схо- »=1 182
00 Ixl* дится и ряд |а,| г-р. В силу теоремы на стр. 177 мож- 1 “ 1ХГ но просуммировать элементы матрицы вначале по столбцам; тогда получим разложение в степенной ряд функции у?(х): оо оо <р{х) = ^anxn, где ап = Значок i\n условно означа- п = 1 «|п ет, что сумма распространяется лишь на делители г числа п. Если взять cii = 1, то получим, что ОО ,• оо i=l n = 1 где т(п) —7- число делителей п. Если взять а, = г, то получим, что £тз^ = 5>(п)*п’ 1 - х где <г(п) — сумма делителей числа п. Рассмотрим еще матрицу В / aix 2 a\xz а\х3 aixn a2x2 4 а2хч а2х6 а2х2п акхк акх2к а*х3* a*xfcn Суммы по строкам матрицы В те же, что и матрицы А; оо суммируя же по столбцам, получим: в первом: ряд ^ amxm, оо во втором: ряд ^ атх2т. т=1 т— I w w сю Итак, повторный ряд ^ (E*mn) имеет ВИД Л1"). т — 1 n = l m = 1 оо где /(г) = ^ атхт. В силу равенства сумм повторных ря¬ 183
ах ах ’ дов имеем равенство: оо ?(*) = £/(*")• (10) п = 1 Полагая а,- = а*, |а| ^ 1, получим, что 1 — I к = \ поэтому в силу (10) имеем оо I ч. оо п Е(ах)* я* , , , , Ь^ = ^ТГ^Г' w «'.!*!<> 1=1 п = 1 1 1 В частности, при а — - и х — - получаем равенство оо сю , ^ 2«Г2* - П = ^ ^ 2* (2* - 1) 2n+1 - I 1 4 П -1 Определение. Степенным рядом с двумя переменными х и у называется двойной ряд вида оо атпхтуп. (И) т,п=0 Множество всех тех точек (хо,2/о), для каждой из которых оо сходится ряд ^ атпх™у%} называется областью сходимо- т,п = 0 сти ряда (11). Пример 15. Найти множество сходимости ряда оо Е_ „т т,п атпХ У , т,п=0 где аоо = о, а0„ = ап0 = n!, п € а]т = ат1 = - т!, т G N, атп = 0, если или т ^ 2, или п ^ 2. Решение. Для частичных сумм 5mn данного ряда имеем равенство m п Smn = (1 -у)^у!х9 + у+(1 -*)]Гг!уг. (12) q=1 Г — 1 184
Отсюда видно, что *Vmn(0,0) = 0 и *Smn(l,l) = 0 при лю¬ бых тип, следовательно, рассматриваемый ряд сходится в точках (0, 0) и (1,1). Покажем, что этими двумя точками и исчерпывается мно¬ жество сходимости данного ряда. Действительно, применяя формулу Коши-Адамара, получим, что радиус сходимости оо степенного ряда n\tn равен нулю, следовательно, для лю- п = 1 бого t > 0 имеем: lim V a! tq — -fоо. i—юо п —f ОО <7=1 Далее, при t ф 0 и q > справедливо неравенство (2? - 1)! К|2,-1(2?|<| - 1) > (2q - 1)! |<|2?_1, откуда для t < 0 и п > п0 = 2 п п LHJ -I- 1 получаем, что <7=1 <?=1 2по п >£?!<’ + £ (2?- 1)!|<|2’-1. <7=1 <7=п0 + 1 оо Радиус сходимости ряда £(2q - 1)! r2<,_1 равен нулю, сле- <7= 1 П довательно, для г > 0 имеем: lim У^(2о - l)!r2,_l = +оо, п —► оо ' <7 = 1 откуда получаем, что и 2п lim q\t4 ~ +оо, t < 0. п—►оо ' <7=1 Таким образом, если (х,у) ф (0,0) или (х, у) ф (1,1), то либо одно, либо оба слагаемых в сумме (12) неограниченно растут, 185
когда тип четны и возрастают. Следовательно, в :>том случае lim 52m,2п(ж, у) = ОО. Ш.Т1- Зтот пример показывает, что для двойных степенных ря¬ дов нет аналога первой теоремы Абеля и структура мно¬ жества сходимости двойного степенного ряда существенно сложнее структуры множества сходимости простого степен¬ ного ряда. В то же время имеет место оо Теорема. Если ряд ^ атпхтуп сходится в некоторой m, п = О точке Мо(хо,уо), обе координаты которой отличны от нуля, И множество {<1тпт\Х™Уъ) ограничено, то этот ряд сходится абсолютно во всех точках М(х,т/), координаты которых удо¬ влетворяют неравенствам: |х| < kol, Ы < |уо|, т е- во всех точках открытого прямоугольника с центром в начале коор¬ динат и вершиной в точке Mq. Как показывает эта теорема, причиной разно! о поведения двойных и простых рядов является то, что имеющая предел lim ап последовательность {<*пЬ занумерованная одним ин- п —►по деке ом, обязательно ограничена, а имеющая предел liin m,n->oo последовательность {c*mn}, занумерованная двумя индекса¬ ми, не обязана быть ограниченной (см. стр. 175). оо Следствие. Если ряд атпхтуп абсолютно сходи гея т,п=О в точке Afo(xo, Уо), обе координаты которой отличны от нуля, то этот ряд сходится абсолютно во всех точках Л/(х,у), ко¬ ординаты которых удовлетворяют неравенствам: |х| < |хо|, М < Ы Пример 16. Найти множество абсолютной сходимости (m + 7i)! ряда mlfi I Х У *—4 mlfil т, n = О Решение. Покажем, что множество абсолютной сходимо¬ сти данного ряда совпадает с множеством сходимости ряда 186
оо оо (ffi -J- Ti) ^ У^(|х| 4 |у|)п. Действительно, пусть ряд У* j—— xmyn П — 0 т,п = 0 сходится. Занумеруем числа атп = -——-Д"|х|т|у|п, чтобы т!п! полученный простой ряд принял вид 1 + (|х| + |у|) + (|хр + 2|х||у| + |у|2) + + (|х|3 + 3|х|2|т/| + 3|х||у|2 + |у|3) + • • •, т. е. упорядочение идет по возрастанию суммы (т + п), а для членов an q-n — по возрастанию степени \у\. Такое упо¬ рядочение есть нумерация членов соответствующей матрицы “по диагоналям”. Так как все члены ряда неотрицательны, то сходимость этого простого ряда эквивалентна сходимости ряда t(t^z^М"-‘1#) = Х>1+МГ п— 0 <7=0 ' п=О (см. стр. 176). ОО Обратно, если сходится ряд ^(|х| + |у|)п, то сходится и п=0 оо / . \J ряд (13), откуда следует сходимость ряда т'п' т,п=0 оо V- (т + п)! т. е. абсолютная сходимость ряда > ——х у . ' т\п\ m,n=О Применяя признак Даламбера, получаем, что множеством ОО сходимости ряда ^Г^(|х| -I- |у|)п является открытый квадрат п =0 |х| + |у| < 1. Итак, множество абсолютной сходимости ряда есть М = {(х,у) : |х| + |у| < 1} (см. рис. 2). Пример 17. Найти множество абсолютной сходимости оо ряда ^2 *ту". п=0, т^п Решение. Для абсолютной сходимости двойного ряда не- 187
Рис. 2 обходимо, чтобы сходился каждый из рядов ^ \х\т\у\п = ОО ТП — П = \х\п\у\п ^ |х|д, отсюда получаем необходимость условия <,=о |х| < 1. При этом условии имеем, что Е |*Г1уГ = кПуГу^ И' m=n Так как далее необходима сходимость ряда I* то, следовательно, необходимо условие \ху\ < 1. Обратно, оо если |х| < 1 и |ху| < 1, то сходятся все ряды |x|m|y|n оо оо и сходится ряд £(£ |х|т|уГ), следовательно, сходится двойной ряд с неотрицательными членами |x|m|t/|n, т. е п = 0, m>n 188
Рис. 3 ряд хту11 сходится абсолютно. п=0. т>п ^ Итак, множество абсолютной сходимости ряда хтуп п = 0, т>п есть М = {(x,J/) : |х| < 1, \ху\ < 1} (см. рис. 3). со В силу абсолютной сходимости ряда хтуп оба по- п=0, т>п 189 h У
со оо (гу)п I 1 1 — Г 1 — X 1 — XV п =0 m=n п=0 ПЕ *v) сходятся к одной сумме, если \х\ < 1, \ху\ < 1. m = U п=0 Следовательно, для таких значений х и у имеем равенство: 1 + х(1 + у) + *2(1 + у + у2) Н 1- + хт(1 +у+ ■ + ут) + ■■■= —^?— 1 — х 1 — ху Откуда получаем, что °о Е"*" ■ (1 -«)>■1,1 < '■ т = О * *
{ 6. УПРАЖНЕНИЯ 1. Числовые рады В следующих примерах, рассмотрев предел частичной сум¬ мы ряда, установить его сходимость и величину суммы или расходимость. п=0 °° 1 ^ ^ (а + п)(а + п + 1) оо оо 9)S »(»+!)(» + 2)' 10)S^' оо J 11) У'' т — г: -г, с ф —п, п € N. ^ (с + П - 1)(с + п)(с + п + 1) ОО 12) У" 2n+1 13) V3n2 + 3n + 1 j^n2(n+l)2 2^ n3(n+1)3 • n= 1 ' 7 П=1 ' oo 1 OO H> E 4^-4„ -3 l5)£(-№+2-2WTfT+tf;). П=1 П=1 OO 16) ~ n OO 2>(. + ±). ">£-(■-£) п=1 4 ' n=2 4 7 Io4^, ^n2 + 3n + 2^ n3 + 1 18)Eln(-nT^-3n--j 19)Eln^3T n=l 4 7 n-2 191
'8" 22) ^2 n V. Ы < 1 23) ]Г arctg ^. п =1 п—\ оо 2 00 24) ^2 wctg —. 25) ^2 arcctg(n2 -f n + 1). я>£(*г=*)’ 2») £) ((„ + 1)»^- (» + 2)SiM Tl — 1 29) X! ‘2n rtg — ’ 0< 1 < 2 ^ 1 + x2—‘ r. = l z g 2" Z „ = ] 1 + 1 00 ~2n_1 00 ~3u , i адЕЬ' здЕ»--*1 +' f»= 1 1 - x2n 7 ^ x2" ч I В следующих примерах, не находя явной зависимости ма¬ стичной суммы ряда Sn от п, проверить, что последователь¬ ность Sn не является ограниченной. оо - оо ЭДЕгтг 34>£ П — 1 1 Ты v^* rf^t v/(»*+ 1)(" + 2) оо ^ ОО j 35) > ==. 36) > arcsin-7=. ; ^ v/з^ГТТ + v/Зп^Т ^ Установить расходимость следующего ряда, используя не¬ обходимое условие сходимости. 37) 1-1-1+1+1+1—1—I—1—1+. 3*)Е!тг 39)fysin 1 . - + 1 , П2 + П + 1 п—I п=1 40) П 192 ЁШГ п=1 х ' п=1
«)£ (n + 1) In n! — 2 ln(2! -3! • • •«!) n2 + n f»= 1 46) ^T^sinna, афжm, m£Z. 47) ^^cosn2. n=1 n=l Следующие ряды удобно исследовать, применяя признак Даламбера. оо (2п - 1)!! ,п^п!(2п-Ц)! п! ' ^ (Зп)! п — 1 v ' 4-7-13-... (Зп + 4) “ (2п-1)«! 1 —' 3 7 11 ... (4« + 3) ' ^ (2п)!! п-2"+1 П-1 4 ' П= 1 4 ' 00 Ч fi 1 оо П (Зк + 1) и> L |„ , 1)1 - 8 V- ъ3) Е —2„уГ~ п=1 v ’ п=1 4 ' ОО п • Т ОО -1 М)Е^Л. 55,Е;Л_. п=1 п=1 Следующие ряды удобно исследовать, применяя радикаль¬ ный признак Коши. оо оо 56) ^2(-1Г+п. 57) ^2^_1>"_п.
62) Следующие ряды удобно исследовать, применяя теорему сравнения или нриэнак сравнения (см. стр. 26 и стр. 32). ОС) ОО j Ь4)Ё(п + 2)2" 65>п5 v4« + 2)' ™ V' 1 V' п'2 + ап + 2 ^ + 2)(п2 + 1)' ’ ~ «И + 6п3 + 2п + Г °о 68) Г а > 0. ^ 1 + ап п. = 1 ОО J 7°)Ё^г 71>ЕйЬ п4 + Зп3 п = 1 п = 2 00 «2 и> , П =11 П — 1 ОО 1 оо 1 74)Е'ь^- 75) Е (1пп)|п1пп' n = l v Я-2 4 ' оо J °° 1 76^ Е (Inn)inn- 77) Е (1п lnn)lnn л—2 я-4 78) £(х/п + 1 - \/п + 2)" In jj" * | П — 1 оо I 1 uu . х' Л т 1 .л. v' 7ГП 79) > arctg —7=- 80)} arcsin _ f-; 1/Ъп7 + Зп3 + 1 ^ п2^п + п+1 194
Следующие ряды удобно исследовать, применяя признак Гаусса. оо) У' (2п ~ *)" 1 031 у' ((2п^1)И\ Л (2п)!! 2п + 1 }^V (2п)!! ) П — 1 4 ' П = 1 4 4 ' ' 84, у (JWLY.1 ’ V(2n - 1)!!7 »’ »(«» +J) (^+!)...(„>+12=^) П = 1 ОО 2"-(п!)2 2-5-8 (Зп- 4) } 2^4 11 -(2n2 + n + l)' } ^ Зп-п! П = 1 V ' П — 1 “ (2n- l)!!sin& ™ (“ п \ 88) ^ —, р > 0. 89) у I ТТ cos ■ .j:I . it, »nw siU,1, v*+v Применяя различные признаки сходимости, исследовать сходимость знакоположительных рядов. Д2п + 3 2П ^П+Г 91) Е 1+22п- П=1 П=1 »>Ез^ П —1 П = 1 _°° on 1 „10 00 w 94) Е 3" + П2 95) 12 7П _ 5п П — 1 П=1 1 00 1 96) 5(3+(-!)")” ' 97)S^’ 00 7" °° 1 98) Y" . 99) —т=. ' 5"-n n Vn П—1 n=l v 10°) Ё |г- 101) Ё »=1 п ™=х оо оо 102) 5; V^555- ЮЗ) £ v"3 + 4r*2 + 1 195
104i У* .====. 105) V tga 1 Vn4 + 6n - 2 ^ П + 2 00 1 1 106) V sin tg a > 0, /? > 0. ^ n<* * n? n = l 107) £>" In" (l + i;) . n = l 4 7 108) V (»!)3 ’ ^518-47 ... (n3 + 2n2 + 2)' 10.) т±Ц*. n=l e n=l 1 3 + (-l)n ^2n + (-!)" 112)52 n = 1 n = l n = l 4 ' 114) f <3^-. ll4; A; (n+ l)3" П = 1 4 ' °° 1 1 °° 1 1 115) -7=sin —. 116) Vlj-L- —. ||7)r!lti^il UgjV^r-. k1, 2" й^1)1 OO , OO , |4o «•JEsrb- П=1 П=1 V 7 00 / \n 00 / . о \ n2 “i£ stt) n=l n=l 1231 f (fr»-1»» 124) f > 123 J 1, n.(2n)!! ' 124> 1, (2„_ l)(5^n- 1) 196 ,10
00 125)Е^г- 126)Е2чЛг n=l n=l 127)fVtg‘-^, 128) £ t?\ V»5 <" + 2)! 00 n2n ~ n3 J29)Z(sp- |3»IE?T П=1 V ' 1 e n = l 131) E m e N- 132> Ё f1 - cov) ■ p > °- n=l n=l „ = 1 ^ ’ ^n(ln3n+l)' 00 n' °° 3" 135) V' ——, a > 0. 136) У' —-X-.—, a > 0. > Z_rf nn+a ’ > (2n)!n“ n=l П—1 v > W±^(l±\),P> 0. 1381 v 1391 v s(5 + i)"' s; °° ft" ОП+1 00 14°) E —•. ■■ - ---.. 141) y>5e-^. ^3n(3n~1) ("+l)! 00 / . 1 \ n3 OO 142) У (H±±) -3-". 143) ]T -7 п^Л n ' ^ >/”(”+ !)(" +2) 0° OO 1441 ,ln n 146) E (in „)n • 147) E 2" n vn oo / 2 . i \ n 00 148)E(C08^n) • 149)E n = 2 4 ' n= 1 n = l n3+l £ (<+*)■' 197
1 OO J оо 150)^-2^% 151) £ ^ln'nln'lnn' TX — Z П = 1 и 152) £ "7 ТТ^“7 Г» * > °- ^ Я(.Я + 1) • • •(? + ") ■»>Х>дат7- ■«ifHsrr)- П=1 v П=1 V ' “Ч£(*ЯТ5)’’ ^g^-C-V.- m±WT. ш)±^. r»=l n-3 n ~ ГпП2 22n ^2, 1 161) S p > °' 162) 5 0°&^' 1fi4\ V'i In2ln3-ln(n + 1) n ’ln<2 + P)' M3 + P)'' • ln(" + 1 + P) ’ °o 1 OO J 164) 52 arcsin3 —, « > o. 165) £ arcsin ^3^4- П=1 n=l 00 1 00 П3 166) X) "CCOS 167) £ arccos . П=1 n=l OO OO 168) arccos n П о• w+v^)i a > 0. n=1 n=l OO 170) ^сова сов2а • • cos2na. •")£§*££ -)£Ш” n=l n=l N ' 198
173 175 177 179 180 181 182 183 184 185 187 189 190 ОО/ \”l 00 / \П ^ 1И> E (“““ ;rTj) П—1 4 7 n =1 v ' DO / 9 \ 2n OO /, 1 \2n |76>Е|т7т^ П = 1 4 7 n = l 11 + ^(2n-l)!f ' ^ nn П — 1 V ' n=l (1-4-7 • • • (3n - 2)) (5 8 11 ■ • (3n 4- 2)) n! (n 4- 1)! -9n П = 1 OO . ^_n!_ 3" («!)” 11 -84 • • (3n4 4- 4 n3 + 4) 1-n3 E“**n + 4 n = 1 V~^ (a(e 4- 1) • • (a + n - 1)V . 2^{b(b + i)...(b + n-i)) ' > • n! np , a > 0. ^ (l + a)(2 + a)...(n + a) £ arcctg 186) £ arctg 2_i. П=1 n=l £45-3-2n' 188) £ ln”(n4- 1) n=4 n=1 v 7 oo / ч n / 2-5-8 -(3n-1) у 1 ^ \2-712 - (5п-3)У nP 199
ОО / /— \ +Зп+2 ОО / .ч , ,91) £ (^) l94) £ Н" «О Ш) £ ^(«+l)-j» + —')y , о > о, 1И) у~(“+ ')Р»+ ‘) ('"»+') (Р\п „>0 0>о '^(0+0(2/9+!)...(»/*+О U; ’ >U’^>U- а(} а(а +!)/?(/?+!) а(а+ 1)(аг+2)/?(/?+1)(/?+2) 1-7 1-2-7-(7+1) 1-2-3-7(7+1)(7+2) а(а+1) .. .(а + fc-l)... (а+п)/?(/?+1)... (Р+п) + (п+1)! 7(7+1)... (7+п) 7 > 0. Л(2а+1)(2а + 3)...(2« + 4п-1)22п (2-4 • • 2п)(2а + 2)... (2а + 2п) ’ ^ 201)|2!ЬМ:^ 205)£(1_^г) • 206) Jn(v^-1). ОО ОО . 207)£(tf5-l), в>0. 208) Е-^т-
nt 4 n=l v оо ОО 3 I 1 215) 4-а“ * — 2^ , а > 0. 216) па In ^—• 217) £>(е*->). n=l n=l оо оо , , тгп v-^ Inn! 219) У cos 220) V --i-,—. ' 2n + 5 ' *-rn ln(n") n=l n=4 4 7 m|Svsrfr+~gV 223) f;0 + ■*" n=2 ,0^n! 225) f;»•( VS- V2). 226) £) "°P5(11+"^I°"1’ r» = 1 n = l 227) ^(чЛГТТ- v^)'. 228) f2)j2-\l2+\/2+ -'fi n = 1 n = ls n корней P oo oo ✓ - v 229) (a± - a*‘n ±) , a > 0. 230) £(ch--l) n=l N ' n=l x л' »>£(«?-*?)', *>o, p • 201
234) £; ri ch f-1 235) 52,n ne n n = 1 236) n = l \ - 1 + , a > 0, 6 > 0. 237) £ | ^±1-1 | ,«>0. n= 1 OO 713 -f П -f 1 n = 1 238) 52 ^arccos ^1 - oo / \ 239) 52 (arctg I - arctg J y/Z. oo n 240) ^ ^arcsm - - arctg ^ :)> 21„ X>” 1^+1' + n = 1 n = l (1 + з^гг) ~{] + h 3 n 243) 52(^n + 1 - \/n)pln n = 2 1 + 1 —-у/л >«> £^ (»=**■- 0 *«) X>" (v^- n = l n=1 \ / о,1я\ * n + 2 7i4 + 3;i2 + 4 246) > arccos — • arccos .247) > arccos ———- -. ; n n 1 n4 + 3n2+n+l *■> ХУ К'♦;)"->]' П = 1 202
252) f”TTrl , а > 0, 6 > 0. n=i 'П + ь) оо оо 253) £nfc (а» - l)P , аф 1. 254) ^ [(np-l)r - nj , р>0. П = 1 П=1 255) Yis/n* -f an + 6 — у/п2 + ain -I- 6i)a. n = l 2581 Е(^г{^)А 2“) £(""; + “•;) • n = l 4 / n = l 4 ' 260) ^ na In fnsin — ^ . 261)^)Pn^tg — ^ n=l ' ' n=l oo 1 oo 262) У" ■■—■■ 263) V ■■ . ■ h'x ^l + 2»-(--D" ^ Vl + 2n<-,)n -IЁ(ms)”"" -.£(*j*|F >»Ё('-(=ет)-лЬ) n*o OO 267) Y (n(n<,) - ') П — 1 (•* I ln (n “ 2 (,n 0 + l8 «))) \ m 2-12+ —— I 269) f:n-lnchi. П » ~ i„п+1 271) £272> £, о/я ,ч- ’ ^ (2п)! ln"(n + 1) П— 1 4 ’ П — 1 203
273) £>(n2 + e~2n) - ln(n3 + e*")]-ne. П= 1 OO 274) £[ln(n2 + e2n) - ln(n3 + e")]ne. U= 1 OO 275) ^ (In In(n + l)a - In lnna), a ф 0. n= 5 / l+sin-7 1 V» n = 1 a arcsin (e - (l •+ £)") ln“(l + 7i2)’' 27б) E —T~e4 277>£ „=л »+tg7e / 278) ^ jln ^ ^arccos-^ +sin 279)E(1-(ln(1-t^)+eS,n")n ) o° / / л 1 \ 2n \a OO -1 ™>E (£* -■) ».»D.**.)h-=f. n=l \ 4 n ' / n=l n 00 /1 1 \ 282) sin ( arctg — j . «,£(,*-*-„1.1)* °° / 1 I \ ^ 284)£(ch--oos-J n = l x 7 285) £ (arctg - In (1 + tg Л \ П=1 ' \ / / “•SK -o° oo 287) E(\/n2+2-V«J+ U‘arctg. 71= 1 204
00 / 1 \а 288) V -J—-e*rct*£ ) 'jfeVnsml ) 289) У" arctg° +sin — \ ^e1_cos» — lj n = l \ n nJ oo . 290) Y2 ( 1 “ si П = 1 ' 2 \ а —r np sin arcsin arctg 2n2 + 1) V " r. ;) oo . 291) sin2 ^rr\/n2 -f nj • tg n = l ^ 292) ^^^nsh--ch-j OO 293) ^ (ln(n2 + 1)- 21nn)a | cosn|. n = 1 OQ 294)^ n = 1 In n + In sin ^ctg(i/n+T-'/n) _ 295) nsin(27rn! e). n = 1 OO 296) Y^n + arctg na — y/n). n = 1 297) f; ((„««* 298) ^ In cos ftg — - arctg —^ n = l ' ^ ™' OO 299) ]T(ensin^-ne-l). П = 1 OO 300)E(c~(' + ",)7(I + .^). n=1 (1-cosi) \ П/ 205
302) 303) 304) °o / 4 or , E( 1Г nn\ 1 I ^^ — COS ) in cos —. V 2n + 2 2n -h 2 / n n = l 4 |(^r- 305) ^ (in ( 1 4 tg2 — In cos , a > 0, P > 0. 306) fj|(co. (cosI) -'OS (chi)) (b^l5-) OO Исследовать сходимость ряда an со следующим общим членом ап. п=\ X 1. 307) а1 " “ / 1 + хЗ dx 308) °" - / 1 + г3' о о тп+ir 2 309) а„ = -— *■ —. 310) а„ = / —dx. J v^l +x3dx пп Х о 1ГП + 1Г rn + ir 311) an = J °-QS g dx. 312) а„ = j С°--^ Х dx} q> 0. 1ГП тгп n+1 £ 313) а„ = J e~V*dx. 314) an = J ^ sin3 X . dx. 315) an = lnn^ n а, a > 0. + x2 0 206
316) ап — 2 In П П+1 п2 + 1 [ sin х , / dx . 317) ап = / sin ii2 du J * J п n2 318) ап = п + 10 J sin и3 du 2 n 320) an = n2 J ^x n + l 319) an = n2 J у n n2 321) an ~ n f — + x ■ dx. dx. ' n+l 322) an = Xх dx 323) an = (£i (2n + 2)! Рассматривая an как члены соответствующего ряда, по¬ казать, что данные последовательности {an} сходятся. п'* 324) а„ = —. 330) а„ - 332) а„ = 334) ап = n5 2” 325) an — 5n n! an n\' 327) an —- bgon nk , *€N. naqn, k|< 1. 329) an = (2n)!! n" (2n)» 331) n" (2n+ 1)!‘ cin — 3"n!" (n!)n nn! 333) an = (2n)! (2")! nn 335) (2 n -1)!! (2 гг)! an — (2n)!! (2n+ 1) (n!)" *1 n 337) an = n"* \П • Рассматривая 5П как частичные суммы соответствующе¬ го ряда, показать, что данные последовательности сходятся. 338) sn = 1 +* п п+1 3 п 207
339) S„ — 1 H—+ • • • + —f= — 2\/Ti. У2 Vn 340)S" = uT^ + Jlbi+ +^“1л1л" Mi)S. = tln* '"2’“ к 2 Ac = 1 Ea\ 11) ——, a > 0, где a(n) — число цифр числа п. п={ 343) Пусть Ап — последовательные положительные корни °° 1 уравнения tgx — х. Исследовать сходимость ряда ^ . п = 1Л^ 344) Исследовать сходимость ряда ^^r(n)an, а >0, где т(п)~ п = 1 число делителей числа п. п-1 345) Исследовать сходимость ряда где (р(п) = j. т 346) Исследовать сходимость ряда к' п — 1 к — 1 - Е in2* по Е {- ) ft >°; б)Ц^!г-а>0- гг п — 1 п=1 347) Найти все значения а, для которых сходится ряд } ——, “ п2 п— 1 где <р(п) --- число нулей в десятичной записи числа п. Последовательность {an} задана рекуррентно. Исследо- оо вать сходимость ряда ап. п = 1 348) в1 = 1. <in + i = —. п Q Л(\\ 1 П°" 349) ai = an+i = 2’ n+1 n + 2 350) ax = an + i = a„ - na 208
351) di — 1, On+i — 352) ai = 1, fln+i — , . 1 -f nan 353) ai = 1, a2 = 2 - \/3, an+2 — 4a„+i + a„ = 0. 1 n 354) ai = 1 = Si, an+1 = —, где Sn = ^ a* *=i Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 356) 1 + 2_4 + 8+16~32 + 357) 1 _I + I_I + I_I+... 358) I-1-Ih-I-I-I + I- ^L-^-h -.. „гм ,111111 1 11 ^ +‘3 + 5 2 4 + 7 + 9 + 11 б 8 + 11111111 11 360) 3 + 5 + 7"3 + 9 + ТГ“5 + 1з + 15~7 + ' ' 361) l + \-\ + l+l7-\+ ' + 4*^з + 4-Г^Т"4 + ' '• „„„ч ,111111 1 1 11 ’ 2 4 6 8 3 10 12 14 16 5 Применяя признак Лейбница, показать, что данный ряд сходится условно. n^J Vn2 — 4n + 1 Vn20 + 4n3 + 1 (-l)nln25n f (-l)nn 366)S(»+.)^ n=l n=1 209
369) У>п(тгуУ + а). п ~ 1 Применяя признаки Абеля или Дирихле, показать, что данный ряд сходится условно. ОО Оо Л cos In 37°) Е о О’ 371) El, ^ Зп + 2 ' In Inn n = 1 я —4 ^ sin in + J) л/п 372) V Кг-~- ■ 373) V(-l)"X_. n — ln'(n + 2) ^ Inn ^)f'<-'l"sln:l'1 375) V(" + 2> *"("+;) ^ N/n^TT n2 — n + 1 n = l n =4 Исследовать сходимость (абсолютную и условную) ряда. «•1 377,S^ (-l)n + 1 ln2(n+ 1) oto\ V' I-1) In (n-f 1) „n4 • (* . \- 1 378) E 379) 2^sin^-+7rnjsm-. П=1 n=l OO oo 380) Y^jro/n* + n). 381) Yj sin(7rv^n2 + n). n=l n=l 3»2 OO 384) У^(-1)п(\/n2 -f 3n 4- 1 — \/n2 — 3n 4- 1). П — 1 38,, EH); n = 1 v n-1 n2 + sin2n 388) D-1)“+Il„(l + I). П 1 4 ' n — 1 4 ' „^(n + 1)a n=1 210'
390 391 393 395 397 399 401 403 405 407 409 410 411 \П — 1 Y ( nn lnn 392) У HH"*1)" > nlnlnn > ^ (271 + 3)"+! ' n = 10 n=1 4 ' n = 1 ' ' n = l 396i D-! r^n. £<-1)n(iw' 3981 n=l ' ' n=l f I (-1)" 400) £(-l)"+18in l—r. ^ (n+ l)(Vn+T- 1) ^ n + v/n (-1)" „no> v' (-1)" S nlnpnln,ln(n+ 1) n»2 n=10 4 ' ghlttir. n = l n = l 00 00 In (l + t~UnV) ^oosnU-^. 406) £ n=l n=l 00 / l\n CO £<$-• n = l V n = l p>°- n = l f-( nn in ln(n 4- 2) „T^o nln(n+ l)ln*(n + 2) D-r(£±i)-. ->£<-■>" (|ЙГ n=1 4 x n=l 4 7 211
(-1) }Ln.-.U 3n \n- 1 4M)j;fcip(i + l + i + ...+i-h.).«>o. n = 2 4 7 (-i)n 4I5'E£ In n 416 417) jT(-\)n2+ (~ir. 418 П = 1 OO 419)2 n= 1 ИГ1 • Л sin . 2 П+ 1 421) Ё (-1) 1) 423)2 ^ v/2n + 1 (-1) * 1 + I)' 420 422 n + In n 7Г П T' 425) n3e n sin n = l n = l v 424 426 428 429) y^sin(7r\/n-f l) sin—. 430 n = 1 431) Ё (-1) Tl — 1 n = 1 oo 433) sin(gy/na + 10). + 1) n= 1 oo 435)53 П = 1 3n n 432 434 436 E n = l oo E n — 1 oo E (2n>! ■ “ (-!)"+> ^ 2n - ^/n n = l v (—l)n arcctg n пЧ E П= 1 oo 2nVl)n+1 Tl! n=4 ' oo ! 2 Em n 7ГП COS —. n 4 n = 2 E n = 10 (~i)n+1 n — In3 71 00 j y>in(Wn + 2) - cos —. n = 1 ” 00 ros LCOS 1+Г» - 3/ n-2 oo (-l)n n=1 n Inn + v^ln3 n 4" + (-5)n V- Z_, + (~5)n 212
437) n = 2 OO 439) £(-1 n = l 441) £ (- fl = l 443) £(-1 fl = l 445) jr(-1 n = l OO 446) £(-1 П — 1 OO 447) £(-1 n= 1 448) nln n n2 -f 4 438) £(-1) n = l narctgn arctg n + 4 Inn 7r(n2 -f 1) 44°) V^cos^— b; ^ Гсо.; n2 4 4 442) У] п 8ш(тг\/n2 4- 2). ( sin n\ n = l OO "„cctg^. 444) "(,~5i"5STr)1,>0 П |п°^1 + У , Q>0. 449) >T sin П «0) E ^ n = l OO q <52>E^ nrl v .„г'»-! 2?rn 451) > cos ——. 1 4 1 3 n = 1 V'"4 (—l)ncos2n Sin Ш' 453>E,>0 454)£—’ ■ n=I v n=2 (n 4 1) cos 2n sin 2n lna n /ikk\ 4 1 455) £^2^С08П n= 1 456) £ 457) £ sin n3 - In Tl r*2nP + Sin SL . In n . 7ГП 458) sm n = 2 n = l П 213
» „ ~ (-l)"sin2(a) 459) V sinnarccos 460) V —. ' ^ n + 5 n-lnn n = 1 n = l 4б1)Г(-1)пГгг". 462)f;i^i2±i. “ y/n ^ у/n + 3n + 2 463) 464)f;^iL_ n In2 n " 2n - sin 3n n^z n=l oo oo COS n Sinn 465) 7 . 466) } —- :—, a > 0. " n — COS n " 3na + sin n n=l n=l V'' (—1)" sin n sin4 n - 4 467) > -v g > 0. 468) > si vsttt s; 469) f; cos n - cos n n = 1 (без исследования абсолютной сходимости). оо -2 — sinn-sin 7Г 470) £ n=l (без исследования абсолютной сходимости)» 47!) £ "■ (■ + *>. 472) V “£+£>. lnn + 5 ■‘Ч Ч/п + 2 П=1 П=1 v v / . 4 3\ ._ *v (■—l)nsin4n 473) 2J (sin п “ 5 ) arcctgn. 474) 2_, —7-," • 8' n=2 '/п1пп 475>f:(‘*(?+1isr)-i)'»>o- n=l N х 7 7 476) £>( П = 1 ' ИГЛ пя 1 + sin -—J , д > 0. ОО 479) 53tg(7r</n4 + (-l)"-n? + 4). П = 1 214
<»»> f> (■+ > 0 481) £ («Ц5Р 0. 482 )g; n = l n=l П — 1 ^ COS Я- (n + -M n S'8 ^ (» + l)V» + 2' “ an ir (n + i) , Л (-l)IW ;:7i ■y-,~ 4861 £ - -)£-»" ьют o° , m[:f] 00 n 488) ^ —. 489) ^ («п(»^Щ)) n= 1 n = I oo 490) Y^n + (~l)n — y/n) arcctg nq, g > 0. n= 1 491) УЛу/п^ -f (—l)™*1 — v^), <7 ^ 0. n = 1 oo «2) £(-ir»,ein n4"o»'+l n = 1 .°°s / l\n 493) -f 1 — y/n^) arctg — , q > 0. fl — 1 oo E- cos (n arccos - ) / 1\ K— aZ. 495) £(-l)»lnefl + tg-). n=1 n —1 ' ' n=1 n—1 oo sin n n2 + 2 n= 1 496) У sin3 n- arctg 215
COS у/пТТ - cos у/п 49?) Е ^——■ р > °- (_n[lnnl cos*5 па 498) V * ]- . 499 У — . ' п *—*1 п - 2 sin па п=1 п=2 500) _ :1 ОО Е^-^Ч—'—-cosiV h \nsm± ”/ ,,n /sinn /sinn\\ “‘)Е(-чЧда“5,пЫ)) °°^ / J J \ 502) E(-])n (arctg ~7f= ~ arcsin ~7Г= I \ vlnn V In 71 / 503) E(-Dn E n = 1 \k = \ 2 n oo £ COS/г k—n rt VrvM-* , 504) V - 1' 71 -f COS .>77 n = 1 oo (El) sin 3rt 505) V ^fc=‘ ' . ’ ^ 3n + 1 n = l oo (Ef) cos2n 506) V = l . ' In n n = 1 507) V(-|)"-' + C>) а > 0. np n! n = 1 В задачах 508 5*22 для исследования условной сходимости использовать группировку ряда. ^ +2+3~4~5_6+7+8+9 ГЛЛч ,11111111 ',09) 1 + 2“3+4 + 5“б + 7 + 8_9+ " ■ 216
г,ПЧ .11111111 1 ^ + 2 + 3 4 5 + 6 + 7 + 8 9 10 + 1111111 2In2 ^ 3In3 4In4 5In 5 61пб + 71n7 + 8In8 Р1П1 ,11111 11 512) + + + ' +7ё~¥ + ' 513) 1~72~7г + 7л~75~7б*" + 1 1 i_ \/3 п — 2 у/Ъп — 1 \/Зп 1 1 1 1 514) —р: — — 1- — — —т= + • • • + л/5-1 х/2 + 1 V§- 1 V3+ 1 1 1_ \/п — 1 Уп + 1 ^ С1С. ,111111 1 1 > +v/3 у/2 + у/5 + у/7 ^+У9 + УЙ v6 + " „ 1 1_ }_ \_ \ 1 1 1 1 > 22 З2 + 42 + 52 + 62 72 82 92 102 + с* ,1111111 * 2 + 3 4 + 5 + 6 + 7 8 + "’ здесь знак минус имеют члены вида 2~*, к 6 N. J 1 1_ _1_ J 1 1_ J_ J_ 1 +х/5 V4 + Vb + V6 л/7“у/8 + %/9 + 7Ш + ' ,111111 1 ^ + ЗР 2р + 5Р + 7Р ~ 4»" + 9р + 11Р 520) 1 + — - — + — + - + — + — - + •••. ’ У 1р 5р 7Р Зр 9р 1 1р 5Р co1, 111111 521 ) 1- (- I- . ’ I р 2« ЗР 4» 5р б? Со«ч ,21121121 522) 1 h 1 1- 1 1 1 . ’ 2ч Зр 4р 59 6р 7р 89 9р 523) \ап\ = —7='> знаки расставлены следующим г^2 П^П образом: два плюса, пять минусов, два плюса, пять минусов и т. д. 217
/ 1 1 \ S{n an / __ | | _ 524;£(l + - + ---+J—, «.#2»*, *GZ. n = l 4 ' ror V"' n'<’n • 71,71 со/?ч V"' (-1)”-cos an 525' > —r^sin—. 526 > ’... ^ nn+2 4 7 ^ П — 1 n=1 VI 527; V(-I)1-^—1 1 Ч«Ч1 ,1 V" sinfffv^n3 + ft2) „ 52«) *> Ъ i^rj , 6) ъ —^—•« > »• n — 2 n=3 y-co.(c,h.); уЦ«И '1 71 In Tl 71 In 71 n=2 n=2 00 i 00 L 530) ^2 I xs*n nxdx. 531) X>1)"W xn arctg —dx. n=l0 n=l Q 1 "r 532) J arctg nx dx n= 1 0 n 00 1 f 534 £(-1 r^je-‘dI n-1 0 ™>D->r- 7S*?*- /^b П — 1 П 00 ’m+,r . 00 »"+* M6»E / ^ “7)£ / COS X dx. хя n=l *n 1 tip n OO 538) У (1 - x2)n sin n rfx. 539) ^ j dx.
oo n + * оо wn и2> £'<-!»"*' / гаг *«) £<-»•/*=*• n_10 п п-1 о °° 1 544) Евп’ ГДе а1 =_1> а2 = 2 > П = 1 (n -f 2)а„^_2 + 2(n + l)an+i + пап = 0. Исследовать абсолютную и условную сходимость ряда. И5,£(-)". ш,£(40*’ п=1 ' n=l N 00 п 0° / • , \ п ">ЕШ ■ п=1 4 7 п = 1 4 ' 549) 00 ;п °° /II V\n 551lE^ n = l 2. Бесконечные произведения Выяснить, сходится или расходится бесконечное произве¬ дение, и в случае сходимости найти его значение. оо 1 / 1 \ “»> П ;гтт 5И) п (> - 555)Й(, + (0!") 5561 557)JI(1+*JV 55») П с,° 2п + 1 n+1 /, , 1 \п сю JL 559) П 560) П у^Х п=1 ' п = 1 " ^ оо оо 561) П™5^" 562) ПсЬ^. П=1 П=1 219
563 565 567 569 571 573 574 575 577 579 581 583 585 / nh n = l 4 OO П 2 +3n + 2, 3 n 3 n n = 2 ) se4>П('-;?)•0<I<1 n = l 3n — 1 3n + 1 00 2 n=3 - 1 П—. «>/» n = l OO П (2„)!! П = 1 4 ' OO a( ^ , a > 0. a + n (2n- 1)!! 566) Й (' ■ isW) • “»П(' + 5ГЬ) n = l 4 7 570,n(2" + 1,(2" + 7) A1 (2n -f 3)(2n -f 5) 4 n - 4r/ + OC’ ,4 1 П HI n = 1 n = 1 П ■ + , «1 = 1, a«+i = (n + 1)(I + a„), \ . Исследовать сходимость бесконечного произведения. ОО 1 П^т йда- п = 0 тг + 1 п -1- 2 п n2- 1 г2+ 1 п П — 1 ™>n*(££) П — 1 4 х оо 580) Д п±. п = 1 1 \ a • , a > 0. п — 1 оо cos (arcctg n). n = l Ш) Д v + OO 584) Да^, a> 0. M = 1 00 I 1 \ ° 586) ( nsin - J , a > 0. 220
587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 e>0- о° а JJ |п (е » - l)j , о > 0. П=1 00 а. ПттТ' “>° П = 1 п ТТ (п<* - Л 1 I arccos , а > 0. й V »- ) оо " + 1 П/ ^ е* > 6 > 0, а фЬ + к, /: £ N. SO**)- оо JJ (l + е~ » , аф -к, к € N. П = 1 ОО \/ln(n -fa) - Inn, а > 0. П = 1 х2 dx \ + х2 5(-^) п= 1 оо Ш'+ЦгЧ.-»- п=1 оо / • а \ п(^). п=1 4 П / а ф пк, к £ Z. 221
60°) Д (l - ^е(^+^), а ф \/к, /: € N. оо оо 601) П tg (j + ап) , |а„| < Я-/4, ^ |а„| < +оо. П=1 П=1 602) f[sin[i (1 + ^)Ь Р>° п=2 L 4 7 J п—2 Исследовать абсолютную и условную сходимость беско¬ нечного произведения. 604) ft (■ + 605) Д (l + п—2 4 п=2 оо оо 608) JJ 609) JJ П = 1 П — 1 бю)П(1-*п)- ^ЙО + Й- П = 1 П=1 ' ' 613) Ц tgw/4 (l + , * > 0. ОО 614) Д а„, где ап : П=1 , 1 1 1 1 \ а2т — 1 77=) а2т-1 —11 + ~Гг= + ~^7=~г — I , Ш Е N. \ У™ Ут? гп) 222
оо 615) JJ ап, где а„ : П = 1 «2т = 1 Г", Ос > 0, а2т-1 = та *('-^)(1 + ;7з) " 6171 (1+f)('-.f) (1+f)(1+^)(‘-^) (1+f)-- ОО • стр. 74), получить равенство cosx = п = 1 619) Используя рассуждения, аналогичные рассуждениям при представлении функций у = sinx и у = cosx бесконечным произведением, получить равенства sh» = «n(l + j|l), <*~iiO+<dw)- 3. Функциональные последовательности и ряды- Равномерная сходимость Найти предельную функцию для последовательности {fn(х)} и построить ее график. 620) /„(*) = 621) /„(*) = х{\ + е-"*). 1 •+- X 622) /„(*) = 623) fn(x) = 624) fn(x) = \/xn + x2n + !. 625) /„(*) = \/x2n + 4r" + 3. 1 *—) V (2n-l )**>)■ 618) Используя представление sinx = x n = l ( 1 + — + —L- ) , m € N. \ ma m2a J )(1 + 7f) (1_7^)x 223
626) fn(x) - cos n ^\An2 + nij . 627) /n(x) = sin ^7г\/n2 + x2) . 628) /„(x) = sin ^тг^п2 + ^ + x2j . 629) fn(x) = sin (2тгУ^Т nx -f x2^ . /2 \2n"‘ 630) /„(x) = f - arctg nx) 631) fn(x) = lim cosm(n!2тгх). m—►co 632) /„(*) = ne~nx‘. 633) /„(x) = nxe~n*\ 634) /„(x) = xsign |sin2(n! ;rx)|, xtg2"^ + y^ tg2n 22. + Г X Г X 636) /„(x) = cos - cos - • • cos —. 637) /„(x) = (x - 1) arctg xn. 638) f„{x) = \jx + \fi + y/x -f • *, X > 0. n корней x"+2 x2n 639) /n(x) - (ЛТТ)! + {^+2y. + " ' + (2n)! Исследовать равномерную сходимость последовательнос¬ ти /п(х) на заданном множестве Е. 640) /„(*) = х2", а)Е = , б)Е = [0; 1]. 641) /„(*) = xn - xn+1, а )Е= [0; 1], б )Е= [1; 2]. 642) /п(х) = -ji—, Е — (0; + оо). х п 643) /„(») = а)Е = [1;+оо), б)Я = [0;1]. х ■+• fix 4" 1 224
644) /„(*) = __, а) £7 = [0; 1], б)Я = [1;+оо). I -|- 71 + X 645)/„(*) = х"-х2", а.) Е = [0; 1], б)£=[1;10]. О ПТ 646) /„(*) = ——, а)Е = [0;1], 6) £ = [1; +оо). 1 + п х Оп^т 647)/п(1) = ТТ^' £ = (-°°;+00)- 648) /„(г) = ^х4 + Е = (-оо;+оо). 649) /„ (х) = п ^^х2 + ^ - х/х2^ , Е = (0; + оо) 650) fn(x) = S‘n WI, а) Е = [—А; А), 6) £ = (-оо; +оо). П 651) /п(*) = sin —, а) Е = [—>1; А], 6) Е = (—оо; +оо). п 652) /n(z) = v^cos" х + sin" х, Е = ^0; . 653) fn(x) = \/l + arctg" x, E = [0;+oo). 654) /„(*) = e"(r-2)| e = [0;4). 655)/„(*) = 4 »n-1 £? = (0;1). n* n* 656) fn(x) = Vl +x2n, a) E = [0;4], 6) E = (4;+oo). 657)/„(x) = nln(l + ^), a) £7 = [0; A], 6) E = (0; +oo). 658) /„(*) = n In (l + ^ , a) E = (0; 2), б) E = (2; +oo). 659) /„(*) = - a)E= [0; 1], 6)E= (0; +oo). Tl -f X t V nx 660)/n(x) = nin+2”2J~2j2, E = [0; 1]. 661) /„(x) = sin2”x + —r, a)E = [0;jt], 6)E- [J;7Г — J], <J > 0. n* I 4 2 662) /»(*) = -4 . 2 ■ E = (0;+oo). 21n n + x2 + xln n 225
663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 226 /п(х) fn(x) fn(x) fn(x fn(x): /»(*) /»(*) a )E Ш fn(x) fn(x) U(X) fn(x) /»(*) fn(x) fn(x) fn(x) /»(*) fn{x) - \/x sinx, E - |o; . = \/cos x, E = ТГ 7Г 2’ 2 sinx = E - (0;я-), где <p(x) - { x ’ x ^ 1, x = 0. (arctg x ■Г > * Ф 0, X — 0. : arctg 3nx — arctg 2nx, a)E = (0;l), 6)E = (l;+oo). TlX — 1 : arcctg ——, a) E = (0; 1), б) E = (1; +oo). n X -f 1 = n4 fchx" ^^ , V i + *ny = [0;J], S > 0, 6)E=(6; l-S), 0 < S < 1, в)Я=[0;1). = 24?Z1F^=M. = n(l — x)xn_1, E ■ [0; 1]. = n2(l -x)xn-', E = [0; 1]. = tix(1 -x)n, E = [0; 1]. 1 1 4- nx , a.) E = [0; 1], 6)E = [l;+oo). = In (\ + , E= [0;3]. V nVn+lJ n + i , a) E-[0; 1], 6) E — [ l;+oo) в) E = nx -I- 1 = 1 - (I -X2)", E=[-y/2\y/2]. n „ r, = n arcctg—, F=[l;-foo). n* tg-, £7= [0; 1]. 1 + n2x2 ° n = nsin —, a) E = [1; -fсо), 6) E = (0;+oo). nx
681) /„(х) 682) /я(х) 683) /„(*) 684) /п(х) 685) /п(х) 686) /„(*) 687) /„(*) 688) /„(*) 689) /п(х) 690) /«(*) 691) /»(*) 692) /„(*) а )Е 693) /„(*) 694) /„(*) 695) /„(х) а) £ = 696) /„(*) 697) /„(*) 698) /„(х) arctg пх _ Гл ч ; Е= [0;+оо). 4- п :|п(1 + Пб"+Сеа») ’ £ = [°;+00)- : а)Е=[-1;1], 6) Е = (—оо; +оо). п4-х пх2 —, а) Е = [1; -foo), б)Я=[0;2]. п4-1 : у/пхе~^^, Е — [0;4оо). : пх2е~пх, а) Е = [2; 4оо), б) Е = [0; 2]. : sin(n2e“nx), a) F = (0; 4-оо), б) Е = [1; 4оо). : я) Е — [1; +оо), б) Е = (0; 1). у/ПХ :х2е-пх, Е = (0; +оо). n ^-^=-arctg-^=^ , а)£=(0;1), б)Я=(1;+оо). : sin (е'“ + тг) ■ (а; +оо), а > 0, б) Е = (0; +оо). : COS (frix2) ’ ^ Е ~ б)Е= +0°^' - , a) Е = (0; а), б) Е = (0; +оо). = |п (*' + i). (0; +00), б) Е = (а; +оо), а > 0. ; cos > a) Е — (0; а), а > 0, б) Е= [0; +оо). =”с,‘гт!^'*)г=(о:0'в)£=0;|)- = - cos Л a )Е = (0; 2), б) Е = (2; +оо). X п 227
6") /»(*) = ’а) Е=(0; 1]| 6)Е=[1;+^- 4 -|- In (п + 1)х 700) /„(*) = (* - 1) arctg i2n, Е = (0;+оо). 701) /„(*) = VI + Е = (0;+оо). пх3 702) /„(х) = -j- —, Е = [0; +оо). X* + ПХ -т п 703) /„(*) = п2 (х* - l) , Я=[1;10). 704) /п(х) = *e""**-ln3n, £ = [0;+оо). 705) fn(х) = sin ) ■ Е = (-оо; +°°) 706) /„(*) = e-2lJ-3ni, а) Е = (0; 1), б) Е = (1;+оо). 707) /п(х) = п4 (е* — cosx"^ , а.) Е — (0; 1), 6)Е = [0;*),0< S < 1. 708) /„(x)=sin2(\/l + пх2-Упх), а)Е = (0;1), б)Е = (1;+оо). 709) /„(*) = v/nx+ln(nx)-%/nx, а)Е=(0;1), б)Е=(1;+оо). 710) /„(x) = arcsin »)^=[0;а), 0<а< 1, б)£ = [0; 1). 711) /„(*) = arcsin , Е = (0; 1). I 4- пх ’12) /•(*> = "’(л*"-ГТрг), a) Е = [0; 1), б)Е = (0; а), 0 < а < 1. 713) /п(х) = (l + “) > а) Е = (а; 6), 0<а<6, 6) Е = (—оо; +оо). 714) /«(*)= (1-“) - а)^ = (-а;а), а>0, 6) Е = (-оо; +оо). 716)/„(«) = ,", ^={1;!;!}. 716)/„(*) = *", Е= (о,0 и {1}. 717) /п(х) = х2п — xn, £={^}- 228
718) /„(*) = *2n - a) E = {0; 1}, б) E = (0; 1). 719) /„(*) = n*e-"lr|, a) E = [-10; -9] U [1; 2], б) E = [-2; -1] U [0; 1]. 720) fn(x) = arctg nx, a) F = [-5; —3]U{0}, 6) E = {-5} U[0; 1]. 721) fn(x) = - — ry—, (ni — 1)л(х — n)1 + 1 а)Я = [0; 1], б)Е= [1; 2], в) E = [2; -hoc). Для следующей функциональной последовательности {/n(*)},*e Е, 1) установить ее сходимость и исследовать ее равномерную сходимость на множестве Е\ 2) выяснить, справедливо или нет равенство lim ( lim /n(*)j = lim ( lim /n(*)j, xo € E. X—►Xn \n —► CXJ / n-4 00 \X —►Xq / 722) f„(x) = rn, £’ = [0; 1], a)x0 = 0; 6)x0 = 1; в) x0 = 723) /„(*) = -*(*), £ = (-ooj+oo), n {0, x — иррациональное число, 1, x — рациональное число а) Хо ~ 1; б) х0 = л/2- 724) fn(x) = 1 х + п5 , Е = [0; +оо), х0 = 1. [п/(х)1 725) /п(^) = , Е - [а;6],/(х) — произвольная функ¬ ция, определенная на[а; 6], a) xq = а; 6) Xq = а + 6 п2х, 726) /„(*) - 1 п*( I-xV -<*<-, Я = [0;1], *о = 0. \п J 71 71 0, 2 71 пт I 727) /„(*) = , , 2 ,, Е = [0; 1], а)*0 = 0; 6)х0 = 1 + n*xz 2 229
728)/„(*)= V1 + х", Е = [0;2] а)хо = 0; б)х0 = 1; в)х0 = 2. Для следующей функциональной последовательности {/„(х)}, х € [а;<*], 1) установить ее сходимость и исследовать ее равномерную сходимость на множестве х G [а; 6]; 2) выяснить, справедливо или нет равенство ь 6 lim [ f(x)dx= /(lim fn(x))dx. n—► oo J J n—► oo a a 729) /„(*) = x", [a;6] = [0; 1]. 730) /„(*) = nxe~nx\ [a;b\= [0; 1]. 731) /„(x) = naxe~nt, [a; 6] = [0; 1]. 732) fn(x) = nx(l - x)n, [a;b] - [0; 1]. nx 733) fn(x) = l+n2x4> [e;6] = [0;l]. 734) fn(x) = nxae~ni, a > 0, [a; 6] = [0; 1]. 735> = [°;!]- 1 4- nx 736) /„(x) = nx(l - x2)n, [a; 6] = [0; 1]. 737) /„(x) = n2 sinx cos2" x, [a; 6] = [0;jt/2]. 738) /n(x) = v/”sin * c°s2n x, [a; 6] = [0;тг/2]. 739) /n(x) = 2n2xe-n2*\ [a;6] = [0; 1]. nx 740) /n(x) = t +ri2r2, M] = [0; 1]. Для следующей функциональной последовательности {/«(*)}, хеЕ, 1) установить ее сходимость и исследовать равномерную схо¬ димость последовательности {/^(х)} на Е\ 2) выяснить, справедливо или нет равенство ( lim /п(*))'| = lim /' (х0), х0 € П-ЮО lx=r0 n-fOO 741) /п(х) = ^ arctg xn, Е f [0; 1], х0 = 1. 230
742) /„(х) = х2 + ^sin (п (х + , Е = (-оо;+оо), хо € Е. Sin пх 743) fn(х) = —JZT-, Е - (—оо; +оо), х0 € Е. у тг 744) /п(х) = Х Е = (—оо; +оо), х0 € Е. 1 4- пх 745) fn{x) = e-n2*\ Я = [- 1J2], а)хо = 0; б)*0 = 1. Найти множество сходимости (абсолютной и условной) ря¬ да. 00 00 /_ 1 \п ™> £ 7«> £ Уг- П—1 п=1 ОО ■* ОО ofl fl 'г—л 1 _ ^ \ г—' 3 • sin X 1 7 9) Е „(п + 2) ' П=1' ' П=1 ' ' ^ 2ncos’1 х ^ 1 75°) Е „4 751) Е п2(х + ЦП' " п2 + п 4 1 " (х -1- п)3 п=1 п=1 4 ' (-!)” ,«х V2' nl ™>Е^пЬ' ™>£(1_3)„ п=1 п=1 4 7 ОО 1^1 оо ™) £ 2^. 757) £ п=1 п = 1 ОО - оо г— 758)^—759) V ; ^ х + 2" ^ х2 + п2 П=1 Л = 1 760> Е rfeiw 761' Е х2 4- п2/3 х2 4- п2 П =г 1 п=1
n=l 80) «>Ё££- ™>E^. n = l П n = 1 ">±g£- »>W n.»E(^)' n=l n=l x 00 i 1 n + 1 xn* n = l OO Г— OO - 74) £ 3nr 4- 2' 775) £ 7Z 3n* + 2' 7 ^ 1 + 4" x1 n — 1 v (2*)" 7fi'V -1 (2»)“ £l+X2" Tly/n + I2 П — 1 n=l °° I 1 °° onr 78) — - 779) У . 7 2n nx ^ nx n=l n=l (-1)" sin °0 /о _2\n 00 E 4^ "»E n=1 4 У n=l n cin JL ХП n + 1 8o\ v _LD1 7m у (-0й ^lin v'n2 + I2Inn П=1 n=l OO 84) V sinrt —-—, a > 0, a > 0, x > 0, — > - > 0. ' a + n 2 a n = l OO 85) У tga —, a > 0, x > 0, ^ > - > 0. ' a + n 2 a n = l 00 1 00 / . \n 86) £ —— • 787) xn ter z-' nn+x П= 1 Xn tg X 88,l^ 232
7Э0) f *2П 791) f V"( 2« У Zw i -|_ j.2n+i iyi) 2^ (2n)!l Vl+*V ‘ n=1 n=l 79 ~ a,ct8n»»si.. 793 y- *(*+1). ..(. + ■.) h '^I+? t, n! oo sin x sin nx ^ (—l)flxn 794) У /I . 795) V 2 .. ^E^rby- 797)f>".n"(l-^). n=l 4 ’ n=I 798) ^2 sin яnx. 799) ^ Q) (e - - 1)" . П=1 n=l S„0 ) £ (-£)"’ «ЧЁЛ--. 802) £ £^(l+x)(l+ar:2).. .(l+xn) 00 40 COS™ П «ИЧЕ^Г1- 8M)E: , . ,2 + iJ“' n=1 n=l oo 8°5) 52(l + -)nn-*. 806) ^e"”3*cosn*. n=l n=l 00 2 00 • 4n n^i лллЧ sin X “7>Етпй? “«IE—■ n = l n=J Ь " '^ЛПТТ,-: OO 813)^ ^(1 + пг)(1 + (п+1)г) 233
In xn . V—> 111 n 8.6) Ё arcsin x 4- n 8,8) f\p&L. 1 + n2X2 n = 1 820) J2 COS 71X n = 1 00 i..n 71 lnr(n 4- 1 ) 822) 824) У arctgn x n = I n= I oo n — 1 830) sin nx rt \/n2 + 1 n - 1 832) f; ^ Пп -Xй 815) £ TT. — 1 817) £ П = 1 np sin 7ii \ + n4 ' (-1 r arccos x + n q > 0. 819) £ 71 = 1 У* 1 + xn , x 0. 823) £ cos nx Tf V^n2 4- 1 n = 1 X2nt-nx 8251 n = 1 826) £ + (-l)n)n. 827) ]T COS П J? 1 = 1 (■ + 828> Ш TT^cos nx' 829) n = l 831) £ n = 1 n sin П2Г n2x2 4- 1 (- l)n sin nx ^ ' 834) ]T sin n- sin n‘ n = l 7i 4 уг 835) ^sin 7г(\Jyt2 4- у2)- n = l 7-; (1 4х2)(24х2). . .(n + z2) п= 1 837) n v^sin” х. 838) £ 77 4- sin X 234
(z + l)2n COS и 839) V " 9" lnJ n n = l ПХ 1 1 A3'"' 84°)E(1+2 + 3 +'"+nj~ fl = l N nmV (-1)" (-1)" h + Sin(*”) ' ^2 «*»* + ^ oo . 2 O 00 3 лллч r-^ sm nicos3ni ft_,4 v > cos°nx W)S пн.*» ■ 845) V 846) V ”У" + Ч». ^^10(0 + 1) v/n3 +1 m±=t£&. m m±*&- П=1 n=l or 1 \ Y' COslW1 П* ОСОЛ V (nx + y2)" n! 851) Ъ „«/< • 852) 2- SS • n=l n n=l 853)f;tg"(*+-^). 854) f; 00 sinnx nr+V Исследовать равномерную сходимость ряда на множест¬ ве Е. оо п = 1 оо п = 1 П=1 858) £ £ = [0; 1г]. V"7+1 235
859) jP , , , E = [0; +00). ’ ^ v^ + fn+l)* 8 ^(x+O^nx E = (_3;0] ' nyn + 1 n = l 00 / 1 \n - 1 861) У" V-;- У, E = [0; +00). \/n + v/X n = l n = l 863)^x2e-rn, E = [0; +00). П -1 n = l 00 n4 + 1 866) ^TV", a) E= (-0,2;0,75); б) E = (-0,2; 1). n = l 00 1 867)E~ 2 2- £ = (0;10). ' ^n2 + nr + I2 v n = l OO 868> 5 3’VH-(2n+ •)*’ E = ,°;+00) «и) f; 2!li±2, £ = №+<»). n — 1 OO 9 . T-л П Sin ПХ 87°) E 9^ ’ b = (-oo;+oo). fl — 1 00 1 871) — sin E = (-00; +00). ГК 71 n = 1 236
872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 00 e-n2rs n = 1 £V"S, a) E = (0; 5); 6) E - (1; -too). П = 1 OO I— a)t' = П — 1 »4 ; 6)£ = i=' ES1I1 ИХ л V г-, ГЛ л 1 ——, 0 < a ^ 1. а)£ = [0; 2тг]; n = l б) E = [<f; 27Г — S], 0 < <$ < 7Г. OO / .4 E, / Sin ПХ \ „ ( + ’ a >0- = (_oo;+°o)- n= 3 4 7 oo £(2*"-*2"), E = [0;1). g(G--')4b")> *=**'• oo У" xe~nx cos nx, E = [0; тг/2]. n= 1 £ n = 1 E=(0;ir/2). ^^x2e ni cos nr, Е = [0;тг/2]. z,„-(r„L,r *=<m. n = 1 oo У x sin I + n5x3 , E = (-oo; +00). 237
885) —е пг cos пх, Е = [0; 7г/2] п = 1 886, £; ™L»“) а > 0; a) Е = п = 1 6) Е 2тг б; б 0;- а 888) £ sin пх <р(п, х) п — 1 у>(п,х) = | 889) £ П — 1 п + П2Х2 890) Y, ~ cos2 а: П = 1 891) £ 3 епх X cos nz n = 1 n2x2 + n ’ 1, 0 ^ х < п, sin пх, х > п, , Е={ 0; тг/2). Е = (-оо; +оо). Е=(0;х/2). 892) П=1 п4 + х , Е — [0; +оо). 893) V 2 * ■ , Я=[0;1]. '' nzxl + п п = 1 894) £ п = 1 оо 895) £ -j-—Г, Е = (-оо;+оо). гк + х1 cos пх , 0 < е < -; а Е — (0; +оо). п = 1 10п + cos пх , a) Е = (0; 7г/2], б) Е — [тг/2; я-). 896) £ Sin I - cos nx , Е - (-оо; +оо). 238
00 (— Пп 897> Е 2 1 ■ = (0; 1]. * Т>*Т!г -I- п 71^2^ + П П = 1 ч ( 1 )П П 71 Г 1 £ 7 ’ ~ [1; +оо). п + * ОО , v "(" + 1) 899) У" 1~ /_ 57, £=[0;+оо). ' ^ п + х - 1п(п2 + х2) 1 ’ 71 = 1 ' оо ( у pjM-.U . 2 (—1) 2 Sin I „ 900) Е ^гт^2 Е = (-оо;+оо). П= 1 °°^ е—п 81П 2* 901> Е пз/2 ■ ! ■ Е = (-°°; +°°) П=1 °° ч/1 _ т2п 902> Е on > Е = [-1;Ч- 2" П = 1 П = 1 v £=i-1;4 П= 1 905) Е d* ~ по ’ ^ = [1;3]. (2п - 1)2П 1 J °° 2х 906) ^ arctgЕ — (—оо; +оо). П = 1 ОО X 907> Е 1+п4ж2’ ^ = (-оо;+оо). П— 1 ОО 908) YI *2е_'/"-*) Е = [0; +оо). П = 1 СО 909) S + ПХН1 + (п + 1)*) ’ а) Е ~ ^ +°°^ 5 > °’ б) Е = (0; +оо). 239
оо п Ч X X sin ПХ 00 2 2 910) У — e~*z~, £ = (0;+оо). ■ ■ ^ 3* п = 1 оо л -v V"* X S1I1 ПХ _ , ч 911) > . . : —, Е = (—сю; +оо). ^ л/п*+Т + е"1г1 912) У](-1) (*~ 1 arcctg(x2 + п3), Е = (-оо;+оо). П = 1 X X л 913)£-f=—Е = (-оо;+оо). ^Г, vn3 + | arctgпг| 914) У" /|П:С2 , Е = (0;+оо). ; п2 + cos2 х ' П= 1 ОО 1 In X 915>Е;?Т^' е = №+“1 ^gln^n + 2)^ £ = (_1;+оо). п — 1 cos2n(x-2”) *17) Е=(0;+оо). ОПХ П = 1 918) ^^ , а.) Е = (0; 1); 6) Е = (1; 2). П п = 1 Определить область Е существования функции /(г) и ис¬ следовать ее на непрерывность. оо оо . 919) /(*) = Y, хе~ПХ- 92°) Я*) = Е -ГГ-2 • п =0 п = 1 оо оо - 921) /(*) = ErVnt 922> Я*) = Е ^ n=0 n=1 оо п оо 923) /(*) = Е „2- 924> Я*) = Е»'Г1*,’‘. П = 1 п— 1 925) /(*) = £ arcsin 926) /(*) = £ n=z 1 n = 1 240
927) OO n = l ' 7 OO 928) f(x) = £ n = 1 929) оо . о . sm nx ^ ~ ^ n In2 П П — 2 930) OO | w-E,(1+nV). ° n = l 4 ' >0. 931) n 1 932) <.».Ё(.+1)‘ n — 1 x ' 933) («) = f; (*n *n+1) tM "+1/ 934) («) = £У'"Ч n-l OO 935) /(*) = £ n = l 936) H II “M8 ! ' 937) /(*) = f; n = l 938) м-V (_1)" x2 + П + 2' n = l OO 939) /(*) = 52' n = l 940) 941) 942) 943) sin nx + n(-l)* X7 + n2 X + n = y 2 . (1 + 2x2)(l + 4x2)...(1 + 2nz2) OO = ^[nxe-"‘ - x(n - IJe-t""1)*]. n = l = E(-i) П + 1 (*-2) 2 n n = l (n+ l)2ln(n+ 1) = £(l-*)(3*-l)". n = 1 241
944) /W-E(V?+n)(v/5;+;t+1)- OO 945) /(X) = 5 0 +*2)0 +2*2)- (1 +n*2)' 00 1 946) /(«) = ^-_e-n*. n=in n OO 947) f(x) = e~nx sin nx. n = 1 OO 948) /(x) = e~ v/”x cos nx. n = l Определить область E существования функции и иссле¬ довать ее на дифференцируемость во внутренних точках Е. 949) /(*) = £ Т- г» = 1 00 • / ч / ч Sin пх 951) /(*) = E-^rJ. п= 1 оо 953) Пх) = ^\*Г1- П = 1 955) f(x) = j; 1 (-1)" П= 1 + X 2 * 950) / 952) / 954) / 956) / 958) / 957) /(х) = ^ х4е п = 1 959) /(х) = ^2 зГУ^П- 960)/ ^ п31п (п+ 1) ОО 961) /(*) = £- ОО 2 п(п -f 1) п — 1 ' оо . / V ул Sin(nx) п= 1 П! к2' 1*1 = J2 arctg п-1 П = 1 = £ п — 2 П In П 2 -f X2 sin(2n7rx) 3s n = 1 242
Показать, что данный ряд допускает почленное интегри¬ рование на [а; 6] и написать полученный при этом числовой ряд. 962) [а;Ь] = [0)2;5]. П! п = 1 [а;Ч = [-1;б]. п — 1 \2п k4 = (-i;2]- П = 1 965) Ет. (•;*] = [-2; 5]- П = 1 ОО 966) 53 (*'^ ~ 155^т) • [а; 6] = [0; 1]. П = 1 4. Степенные рады Найти множество сходимости ряда. ОО ОО 967) 53 п*" 968) 53('/”*)П- п = 1 п = 1 “ *“ ... ^ I" 969) £ - ЭТО) Е ^ П=1 П=1 971) 53 972) J *L,". П=1 П=1 °о ОО п 973) 53( -2)"х2п. 974) 53 п = 1 Я_2 ^ х2п _°°. Гп I П"/3_2п 975»Е^- — я—2 п = 1 00 I п 00 I п 978) 53 "•* 7 п^(2п-I)!!' 243
оо 979) У ^—гх2п. 980) У п\ yjAn -I- 1 -5П/2 fl = 1 п = I оо оо „ оо , 1 V п 98|»Е^. »>» 982)E(1 + ;J *”■ СО 2 п 00 п 983) ;^(-1)П3"(п + 1)3/2' 984)Ё^ТГ- 00 / 1 \n _3п 00 1 985) У ( з/■ 986) У -тг-^—г*". ^ 5nv/nrTT , 2[|о83") п— 1 V П = 1 987) |>"(j+ !)*". 988)|>"(^±i)" 989) f; 990) f; n‘(’+4}™ nlnn ' n + 1 ! n=2 n=l V ' П=1 ' * n=l 993) f НИ;-l)". 994)f;(-,).-'fc-i n=1 n=l М7)Е-‘)”(^тг)" <'+')*” ^Е^+ч’"- 999)£;<1±Щ>: '°°»>Ё(ШЙ"(‘+ЗГ .оо^МШ^)”-" n = 0 244 2n — 1 1 (x+l)n.
~ (2+5(-1)=!т!1)“ '»«2> Е л-2 1003) £*.^.(.-2)". .004) f n=0 n=l v oo / \n 00 >“») E^ (згтт) 1006)E<”»V(‘+-)" w±(*±Z)' n —1 4 ' n = 2 4 7 io°9) 1010) f; „=2 "Vlnn ^ n2 OO n3 00 1011>£^Г- Ю12) ^5" x"3. n = 1 nil OO Qo n 2 1013) £ 5»’(x + 2)"’. 1014) J2 ,o,5>£(1+H+...+iy. ”=' n —1 1016) Yl xn. n = 1 ^ Найти круг сходимости ряда. !0I7)EV- п= 1 Ю18) ^—4 п\ П —1 -»ёсгг- п -1 4 7 п = 1 1022) V ' п! (1 — г)1 п = I 4 7 оо 1023) Г /о "л г"- ^(2 + ,)" Пг 1 7 (z-i)". (2 + 2)". 245
'°”>Ш п—1 4 ' п—1 1028) У ? 1029) V - ,-)». ^>/(Зп-2)2“ ^ (3-4*)" „ lMnf(* + <1h юзо) У" ;n, V;*"- 1031)У//о ч„ • ' ^ 5n(m - 1) 7 ^ (3 + t п П=1 4 7 П=1 4 ’ Ю32) £ iilig^L ,033)£iiM. ^(!->/3*)п 3"(n — i) Ю34) f; ^~-2t)TT- 1035) E ,■ (гГ1)Пп2- 2n(n + 1) 2n 4 (n — l)i n=l 4 7 n=l 4 ’ «ив) Е(^)" (* + *■)-■ П=1 Вычислив значения производных /^(х0), написать п от¬ личных от нуля членов разложения функции f(x) в степенной ряд с центром в точке хо- 1037) /(х) = 2^, х0 = 4, п = 4. 1038) /(х) = tgx, хо = тт/4, п = 4. 1039) /(х) = I с* - Г О N 1, Н II О , sin х In X х Ф 0 0, н II о 1040) /(х) = t х ’ ^ , х0 = 0, п = 3. [ 0, х = 0 1041) /(х) = 1п(\/х 4 1), х0 = 16, п = 4. 1042) /(х) = sin \/х, хо = —1, п — 4. 1043) /(х) = е'/ТТ*\ ю = -1, п = 3. 1044) f(x) = -г-—, *о = ^/2, п — 3. sin X 246
1045) f(x) — —^—, xq = 1, n - 3. arctg x 1046) f(x) = —-—, Xq = 0. n — 4. cos x Разложить функцию f(x) в степенной ряд с центром в точке xq = 0, используя разложения основных элементарных функций. Указать радиус сходимости полученного ряда. 1047) f(x) = е~2х. 1048) /(ж) = sin5*. х3 1 1049) f(x) = cos —. 1050) f(x) = In -——. о 1 — 2x Ю51) f(x) ,= rln ^1 + . 1052) /(x) = ■j~ZT^2 1053) f(x) =Vl + x. 1054) f(x) = s/l - Ax. 1055) f(x) = ch (-|) . 1056) f(x) = sh(-3x). 1057) f(x) = arctg 2x. 1058) /(x) = arcsin ^x. о Разложить в степенной ряд с центром в точке хо функ¬ цию /(х), преобразовав ее при необходимости так, чтобы можно было применить формулы стр. 130-131. Указать ра¬ диус сходимости полученного ряда. 1059) f(x) = с‘г/2, а) х0 = 0; б) х0 = 10. 1060) /(х) = 2х, х0 = а. 1061) f(x) = 2Г З'х, х0 = 0. 1062) f(x) = (2 -I- xje*-1, а) х0 = 0; б) х0 = 1; в) х0 = -2. 1063) /(х) = sin(a + х), хо = 0. 1064) /(х) = cos(a + х), х0 = 0. 1065) /(х) = cos3 х, а) хо = 0; б) хо = п/2. 1066) /(х) = sinx cos Зх, х0 = 0. 1067) /(х) = sin х cos х, а) х0 = 0; б) хо = тг/6. {cos х — 1 i ’ , *0 = 0. 0, 1 = 0 247
1069) f(x) = lnx, a) x0 = 1; 6)x0 = e2. 1070) f(x) = ln(4 + 3x - x2), x0 = 2. 1071) f(x) = ln(l + x + a:2), xo = 0. 1072) /(*) = sh3x, x0 = 0. 1073) /(x) = ch2x, xo = 0. 1074> '<*> = *rhrr *»=0 IC75) /w = -Гз a|ro =0; 6111 = 1/2 1076) /W = + ~ix + 8' 10 = ~2 1077) f(x) = ^x, a) xo = -8; 6)x0 = 125. Используя методы дифференцирования либо интегриро¬ вания степенного ряда, разложить функцию /(х) в степенной ряд с центром в точке х<> = 0 и указать его радиус сходимо¬ сти. 1078) f(x) = arctgx. 1079) /(х) = arcctg x 1080) /(x) = (x+l)ln(x+l)-x. 1081) f{x) = ——-——. (1 - х)л 1082) /(х) = arcsinx. 1083) /(х) = arccosx. 1084) /(х) = arcsin ,.-f ■■■■■. 1085) /(х) = arccos(l - 2х2). \/1 + х2 10861 1087)/(»)= /^ Л. О о 1088) /(*) = j Л. ,089) f(x) = j 1090) о о х * /(*) = / 'п |г7 Л. 1091) /(х) = J Л. о о 1092) /(*) = j 1 tC2°s2< Л. 1093) /(х) = J ^5^1 dt. 248
Применяя различные методы, разложить функцию /(х) в степенной ряд с центром в точке х0. Указать радиус сходи¬ мости полученного ряда. 1094) / 1095) / 1096) / 1097) / 1098) / 1099) / 1100) / 1101)/ 1102) / 1103) / 1104) / 1105) / 1106) / 1107) / 1108) / 1109) / 1110) / 1111)/ 1112) / 1113)/ 1114)/ 1115)/ 1116)/ = 1п(1 — х2), хо = 0. 1 j, *о = 0. 1 + X4 1 = . *о = 0. </\ + х3 ’ = (1 - Х2)“1/2, х0 = 0. = ех_\ а) х0 = 0; б)х0 = 4. = е3х - 2е~г, х0 - 0. = хе~£ , хо = 0. 1 Г, Хо = -1. 23г_2' = 2*ех“\ х0= 1. = sin3x, а) хо = 0; б) хо = —. 4 X . 7Г = cos а) х0 = 0; б)х0 = = ^(er -f е~* 4- 2 cos г), х0 = 0. = sin2 г, а) го = 0; б) х0 = 4 = cos2 х, а) х0 = 0; б) х0 = в) х0 = I 4 • 4 * = sin4 X, Х0 = —• 4 = sin X сов2 X, Хо = 0. = cos х cos 2х, х0 = 0. = х cos3 2х, хо = 0. = (х — tg х) COSX, Хо = 0. = xsin2x cos3x, хо = 0. = 1п(4 4- х2), х0 = 0. = х ln( 1 4- х2), х0 = 0. = xlnx, а)х0 =1; б)х0 = 4. 249
1117 1118 1119 1120 1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 230 /(х) = ln(2x + 3), a) xo = 0; 6) x0 = -1; в) xo = 4. f(x) = ln(3 - 4x), x0 = —2. f(x) = ln(2 - 7x), x0 = -1. 2x + 1 f(x) = In , a) Xo = 0; 6) x0 = 1. x + 1 f(x) = In 7ГТТ~ > a) xo — 0; 6) x0 = 1 • 2 + Sx f(x) - ln(x2 + 5x + 6), x0 = 0. 2 + x2 f(x) = In , Xq = 0. 1 - X fw ~In ^ - L+6' ~1 f(x) = In \/ *0 = 0. /(x) = ln(2 + x)(3 + x)(l + x), a) Xo — 0; 6) x0 = 1. /(x) = ln(l - x + x2), x0 = 0. /(x) = ln(l + x + x2 4- x'*), x0 = 0. /(x) = (x2 + x + 1) ln(2 + x), x0 = -1. /(x) = (x2 + 5)In j——2, x0 = 0. 4 — xJ /(*) = 2Г+3' ^X° = °’ 6^° = 2' f(x) = a)x0 = 0; 6)x0 = -1. Zt I f(r) = X5, a) x0 = 0; 6)x0 = -1. f(x) = x6 — 2x2 + 4x, a) xo = 0; 6) Xo = 1. 1 i /(x) = - + 2x , x0 = 1. X /(I) = I= °- Пх) = S-L + 2’’° = 0
1139) f(x 1140) f(x 1141) f(x 1142) f(x 1143) /(x 1144) f(x 1145) f{x 1146) f(x 1147) f(x 1148) f(x 1149) f(x \ 1150) f(x 1151) f(x 1152) f(x 1153) f(x 1154) /(x 1155) f{x 3 — 8z , x0 = 0. 1 — 5x + 6x2 5 — x 12 — x — x2 1 — x + x2 , xo = 0. 1 + x + x2 1 , xo = 0. , x0 = 0. X4 + X3 + X2 + X + 1 (1+x)2’ 10 = °- xo = 0. (2 + x2)2 ’ (i 10 ~ °' (ГГ^’1» = 0 (T^I)5' 10 = 0 X 1 X + 1 X2 — 1 1 x3 + x2 + 5x + 5 2 — x + x2 , xo = 0. , xo = 0. (1-x)3 3x + 8 , x0 = 0. , X0 = 0. (2x - 3)(x2 + 4) x2 + x + 1 _ (x - l)2(x — 2) ’ • v^+T Xo = 1‘ л/l -2x’ Xo = ~L 2x - 3 VbT+4' *° 251
1156) / 1157) / 1158) / 1159) / 1160) / 1161) / 1162) / 1163) / 1164) / 1165) / 1166) / 1167) / 1168) / 1169) / 1170) / 1171) 1172) / 1173) / 252 1 \/х2 - 12х + 40 х -|- 3 \/х2 -6х + 18’ ( 1 — у/\ — х2 , *o = 6. j Хо — 3. , x ф 0, X О, х = О, arctg(x +1), х0 = -1. а — х arctg , хо = 0. а + х 1 х 3 Хо = 0. - arctg j + - arctg х, х0 = 0. I 1 j 1 1 — X' ху/2 75*гс‘81-г’ , х0 = 0. 2- 2х = arctg — . ■, , хо = 0. = arctg = arcctg 1 + 4х 2 + х2 2-х2 х уГ—X , х0 = 0. ==, х0 - 0. = х arctg х — In У1 + г2> *о = 0. = ln(x + л/l + z2), хо = 0. 1 , x2 + Ху/Ъ + 1 In — ^ , х0 = 0. 2уД г^З+1 1 , 1 + 2х + х2 = 3'" *° = 0 = х ln(x -f \/х2 4- 2), х0 = 0. = х2 arccos 2х, хо = 0. 2х = arcsin 1 -f х: г, Хо = 0. = х arcsin(x + \/1 - х2), хо = 0.
1174) /( 1175) /( 1176) /( 1177) /( 1178) /( 1179) /( 1180) /( 1181) /( 1182) /( 1183) /( 1184) /( 1185) /( 1186) /( = x arccos(x — s/l — x2), x0 — 0. = x arccos v/4 + x4 3 x r. г 1 = -- + -Vl - x2 + - arcsin x, x0 , x0 = 0. 1 sj 1 - X2 arcsin X = 1 , x ф 0, /(0) X — j df, xo = 0. о r = J cost3, dt, xo — 0. 0 x /sint , -y- dt, x0 = 0. о f dt ~ J NГГТ*' xo ~ 0 r = J cos Vtdt, xo = 0. о x = J >/Г+7*л, xo = o. 0 r /arcsint , —j A, x0 = 0. о Г = J t2 sh t dt, xq = 0. X 4'- — e “72" ■ xq = 0.
Используя функции комплексного переменного, найти разложение функции /(х) в степенной ряд с центром в точ¬ ке хо = 0 и указать радиус сходимости полученного ряда. 1187) /(х) = ех sin х. 1188) f(x) — tx cos x. 1189) f(x) — e3x sin 2x. 1190) f(x) = e~x cos 3x. 1191) f(x) = ch xcosx. 1192) f(x) — sh xsin x. 1193) f(x) — erctgQr cos x. 1194) f(x) - errosor cos(x sin a). 1195) f(x) = arctg(x 4* 1). 1196) a)/(x) = -=—l——, 6) f(x) = ' x2 — X + 1 ’ ' 4 ' X2 4 X + 1 Используя метод неопределенных коэффициентов, напи¬ сать п первых ненулевых членов разложения функции f(x) в степенной ряд с центром в точке хо = 0. 1197) /(х) = tg х, п — 5. ( J. J_ 1198) /(х) = < sinx х’ Х п = 2. [ 0, х = 0, 1199) /(*) = п = 3. COS X X 1200) f(x) I = < Sin X П = 4. I 1, x=0, 1201) /(x) = ■ ■, n — 3. 2 + sin x 1202) Г xctgx, x^0, /г) = < 71 — 4 \ * = 0, x2 T 0 ln(l+x)2’ F ’ n = 4. 0, x = 0, 71 — 5. \/l + x2 ’ 254
X2 х Ф О, 1206) /(*) = { char - Г г ’ п = 3. 2, х = 0, 1207> я*) = п = 3- Г г, х ф О, 1208) /(х) = < ех — \ г п = 4. I 1, х = О, 1209) /(х) = ег 1п(1 + х), п = 4. х Ф 1210) /(х) = ^ 1п(1 — х) ’ л = 4. 1211) f(x) = Используя умножение степенных рядов, написать п пер¬ вых ненулевых членов разложения функции /(х) в степенной ряд с центром в точке хо = 0. 1213) = л = 7. 1 — X 1214) }(х) — ех 1п(1 - х), п = 6. 1215) /(х) = arCtg Х, п - 6. 1 - X 1216) /(х) = arctg х-cosх, п — 4. 1217) /(*) = -^L, n = 5. V1 + х 1218) /(х) - е_г cos у/х, п = 4. 1219) /(х) = п = 4. 1 — X1 1220) f{x) = -£—, п = 7. \/1 + X2 1221) f(x) = sinx-ln(l — x2), n = 4. 255
1222) f(x) = (a + bx + cx2 + dx3 + /х4 + кхъ -1- • • )2, n = 6. Проверить равенство. /1 i \ 1223) ln2( 1 — x) = 2 У ^ ( 1 + “ 4" • * • -f — j ^ ^ ^ , —■ 1 ^ x < 1. n = l ' 1224) arctg2 x = (1 + >+... + _LT).^lW<1. = Ё('-* + Н + - +S1) H<‘ n = l ' 1226) (£>") = l + j£>+l)(n + 2)*", |*| < 1. \n=0 / n=0 1227) (£>") (£>+1)*"] =l + if](n+l)(n + 2)*". \n=0 / \n=0 / n = l >«) w<~. \n=0 / n=0 *«>(f:SV=£^w<- \n=0 / n=0 4nj»n Snrn /цп « ”»» EtE(-'IV = E Чг-• 1*1 < “ л п! " П\ ' n\ n = 0 n=0 n=0 Найти произведение двух рядов. оо t оо п=0 п=О ОО 00 1232) £д", |д|<1 п=0 п=0 256
1233) OO n = l oo £ n= 1 чп n(n + 1) °° 1 V' 1 00 1 1 J 1)’ Ь (2« - l)(2n+ 1) 1235) v (-i)n -1 1)!’ v(-ir h (2">! I 1236) 00 on n = 0 00 r £- n = 0 -5)” n! 1237) Доказать , ЧТО (si) '‘±1? k = 1 делителей числа к. Используя деление степенных рядов, написать п первых ненулевых членов разложения функции /(х) в степенной ряд с центром в точке хо = 0. 1238) /(*) = ln*1 + g), п = 4. COS X I / arctg х I !- ,1^0, 1239) f{x) = < arctg х r п = Ь. * = 0, 1240) /(*) = thx, n = 3. 1241) f(x) = -i—, n = 4. cos X 1242) /(*) = —V, n = 4. lnbh 1243) /(*) = , а0фО, n = 4. E «n*n n=0 Проверить равенство. ^(-l)"2nxn ^,7"*" ,, ) E -^r: E —^— = E 1*1 < n=0 n=0 n=0 257
1245) ]Г(п+1)(п + 2)(п + 3)х" : ^ xn = 11 = 0 n=0 оо = 6+3^(n+l)(n+2)zn, |х|<1. n = 1 n =0 n = l 1247) |l +5 £(" + »)("+ 2)*- 11 = 1 ■} £>-= ) n = 0 = + i)*n, kl < l. n=0 Используя метод обращения ряда, найти п первых нену¬ левых членов разложения в степенной ряд с центром в точке х0 = </(0) функции /(я), обратной к функции #(х). 1248) ^(х) = е* - 1, п = 3 (/(х) = ln(l + х)). 1249) <7(х) = sinx, п = 3 (/(х) = arcsinx). 1250) д(х) = х -f sin х, п = 3. 1251) <z(x) = х — е“х, п — 4. 1252) д(х) = 2х - ^1 +х2, п = 3. 1253) <z(x) = х - ln(l -f х2), п — 4. Используя метод подстановки ряда в ряд, найти п первых ненулевых членов разложения функции f(g(x)) в степенной ряд с центром в точке хо = 0, если известны разложения в степенные ряды функций /(х) и д(х). 1254) /(*) = sin(sin х), п — 3. 1255) /(*) = 1п(1 + ег), п — 4. 1256) /(*) = — In cos х, n = 3. 1257) fH = ln(l 4-sinx), n = 3 1258) /(*) = \/l + sinx, n = 4. 1259) /(*) = 2co,Jr, n- 4. 1260) я*) = In tg(x + jt/4), n = 258
1261) /(г) = \/Г+4*ТТ2*2, п = 4. 1262) /(х) = 1п(х2 - х + 1), п = 4. Получив соотношение между у и у', последовательным дифференцированием установить соотношение между функ¬ цией у и ее производными до порядка fc. Исходя из полу¬ ченных равенств, написать п отличных от нуля членов раз¬ ложения в степенной ряд с центром в точке х0 = О функ- ции у = /( *) 1263) /(*) er5inr, п = 4. 1264) /(*) ecosх, п =4. 1265) /(*) е1*х, п = 6. 1266) /(*) - earctgI, п = 5. 1267) /(*) = esinr, Ti — 8. 1268) /(*) = (1 + х)т, 71 = 5 1269) /(*) = е со«* , 71 = 4. 1270) /(*) = ^arcs.n г ^ п = 4 1271) /(*) = tgX, 71 = 3. 1272) /(*) —-—, п — Ь. COS X Составив дифференциальное уравнение, которому удовле¬ творяет функция /(х), доказать справедливость равенства. |етз)Щ1±£)=,-+ _!_W + ' (1 +х)" ’ \п п+ \) 2! + „(,, + 1И„+2|.(1 + _1т + _±_)|! + .... / х^ 2 х^ 1274) у 1 - I2 arcsin х = х ' 3 3 5 — — _ ЗЙГТ 2 х5 2-4 х7 1275) \Л + x2ln(x + \/l + х2) = г+у-з У + ^-7 “"’Ж’-Ч^От+О^От-- ■) -5"(1 + 0j+(I + 5 + 0t-' 259
ГЛ8) ^ arctg xln(l + т2) - I \ х3 ( 1 I 1 \ г5 1 + 2) (1 + 2 + 3 + 4Jy + . гп2 2 m2(m2 — 4) л 1279) cos (га arcsin х) = 1 2Г 4! Х ^ m2(m2 - 4)(m2 - 16) 6 + _1 л _2,•+.... 1280) sin(m arcsin х) = m(m2 — 1) ^ m(m2 — l)(m2 — 9) ъ = mx зГ х' + 5| *' - 1281) cos(m arccos х) = 7ГШ ( тп1 9 77/2 (т2 - 4) л \ = —-2- (' - IT' + —iHL* - ) + 7Г//1 ( m{m2 - 1) + sin — I mx —- -x*5 + Разложив функции у - sin(m arcsin x) и у = cos(rn arcsin x) в ряды no степеням буквы m, получить разложение в ряд но степеням х функции 1282) }(х) = arcsin х. 1283) /(х) = arcsin2 х. 1284) f(x) = arcsin3х. 1285) f(x) = arcsin4 x. Доказать справедливость разложения. ,286) = г - (l + I) x2 f (, + I + i) x3 - 1 1 1 1 + 2 + 3 + iK+ W<L 1287) — ln(l + x)ln(l - x) = x2 + ^1 - ~ + 0 у + /, I I I l\i6 , , , + {l~2 + i~^b) T+ "' |X|<L 260
1290) In 1 + ^ * = 1 x 1-3 x2 13 5 x3 ~ ~2 2 ~~ 24 T ~ 2Тб У 1*1 < 1 1291) 1 x *1 3 x2 13 5 x3 , , , — • — -|- — — -!-•••, x I 1 . 2 2 2-4 4 2-4-6 6 11 л /"2(1 ~ n/1 ~ x) \ m x m . 0ч/х\2 ,292) (-±_* [j =l + T4 + 2!{m + 344) + -f »i(m +_4|(mjf5) (I)3 + ^| < ( Написать n ненулевых членов разложения в степенной ряд с центром в точке хо = 0 функции у = f(x), являющейся аналитической ветвью кривой F(x,y) = 0. 1293) F(x, у) = у3 + ху - 8 — х2. п = 3. 1294) F(x, у) = 2у - sm у - х, п - 2. 1295) F(x, у) = у7 - ау - х, у(0) = 0, а ф 0, п - 4 1296) F(x, у) = у - a + ху5, а ^ 0, п = 5. 1297) F(x, у) = у4 - 4у - х, п = 2. 1298) F(x, у) = х’5 - Зху +у3, п - 2. 1299) F(x, у) = 4(х — 1)у5 + 2ху3 — Зх3у + х4, п — 2. оо 1300) Пусть /(х) = ^ апхп Написать разложение функции п = 0 с/ \ Я*) - п F(x) = в степенной ряд с центром в точке хо = 0. 1 — х
1301) Доказать справедливость разложения 1 _ 1 — х — х2 — X3 = 1 4- X + 2х2 + 4х3 + 7г4 + 13х5 + 24х6 + • + апхп + ■■■, где а„ = а„_1 + а„_2 + а„_3, я ^ 4, |г| < <5, S > 0. 1302) Доказать справедливость разложения п=0 где коэффициенты ап есть последовательные числа Фибонач¬ чи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . каждое из которых равно сумме двух предыдущих 1303) Разложив в ряд по степеням х обе части тождества 1 1 - X — X2 1 1 v/5-И + 1 + X /5-1 2 найти формулу, выражающую числа Фибоначчи ап. 1304) Доказать, что если справедливо равенство 1 +р,* + р2Г2 + р3Х3 + - = • - г, 1 + Ьх + ахг то справедливо также и равенство 1 + ах 1 -j- Р\Х Р2Х 4 Рз^ 4 • • • — (1 — ах)[(1 4- ах)2 — 62х] Пользуясь разложением функции /(х) в степенной ряд, найти значение производной /^(хо) указанного порядка п. 1305) /(*) = е“£, /(1О)(0). 1306) f{x) = /<6>(0). 1307) /(х) = х6 arctg х, /(18^(0). 1308) f(x) = х2 >УГТ?, /(5)(0). 1309) /(х) = cosx chx, /<7>(0). 262
1311) /(*) = x3ln(l-x + x2-x3), /(8,(0). 1312) /(*) = x5cos|, /(,1)(0). 1313) /(*) = - 2 ■ ‘ - a)/(38>(-l); 6)/<1,,0,>(-l). xz + Ix -f о 1314) /(x) = (x -2)2ln(3x + 2), /(7)(2). 1315) f(x) = х2е2г, /(20)(1). 1316) /(*) = *+L, /(10°)(0). V 1 — x ,3i7) '<*>= 1318) /(*) = In (ab ф 0), /<">(0). a — bx Разложить функцию у = f(x) в обобщенный степенной ряд относительно функции д(х) и указать множество сходи¬ мости полученного ряда. 1319) f(x) = ——, д(х) = I — X X 1320) f(x) = lnx, ^(х) = Г х 4- 1 1322) /(i) = х, ,(j,)=Tif-j. 1 4- xz 1323) f(x) - —g{x) = cos cos- x 2 1324) /(x) = x, <j(x) = sinx. 1325)/(x) = x, g(x) = ctgx. 1326) f(x) = —, g(x) = cos2x. Z COS X 1327) f(x) — arccos(l — x), g(x) = y/x. 263
С) 13*29) f(r) = arcsin ^ ^ ^, g(x) = y/x. 1329) f(x) = arcsin Выделив главную часть вида сх", с ф 0, функции у(х) при т. —> О, наити л ненулевых членов разложения :>той функ¬ ции в ряд по степеням х°. 1330) х ~ у — 1 +<~у, п = Л. 1331) х — у -- 1п(1 4- у), п ~ 4. 1332) х = у - sin у, п — 3. 1333)- х = tgy - у, п = 3. у2 1334) х = —— 14 ros y, п = 3. Проверить равенство. ^ • 9 Г sin ь 1335) / — А = С + In |*| + 1 X 0 < |х| < 1. 0 < |х| < 1. 0 < х < 1, 1 < х < оо.
1340) X / dt ... . In x In2 x — = 1ц|1ц,|+—+ —+ ln"x + j- + nn! 5. Двойные ряды Для данной матрицы рассмотреть соответствующие по¬ вторные ряды и двойной ряд и выяснить их сходимость. 1 2 3 1341) /JL JL f 12 2 3 0 о о 0 0 \ 1342) 1 1 1 34 4 5 5 6 1 1 1 34 4 5 5 6 1 1 1 3 4 4 5 5 6 0 1 4 5 1 5 6 -х3 х2 2(1^г2) х2 ((1-<г2) (1-<г2)3 гх2 (1-х2): '(I-*2)2 'х2 0-*3Г -г3(1 -чс3)3 г3(1-*3)3 • \ О < X < 1. 1343) ( 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 265
Исследовать сходимость следующего ряда, используя в случае необходимости результаты задач 105, 107, 108, 113 стр. 336, 337. 1344) Ё -4-S> ^ > 0, /? > 0. ' тапР т,п = 1 °о 1345) ————, а > 0. (ш + п)<*’ m,n = 1 4 °о J 1346) Е (Ат2 + 2Втп + Сп2)“ ’ “ > °’ m,n = ! v 1 АС - В2 > 0, А > 0, С > 0. / 1 \™+п 1347) V 7 Г“. а>0* ; ^ т| п)а т,п = 1 -2L /_пт+" 1348) V ( /т п. 1349) V ’ та + п& m,n = 1 ,350) V ■”*? + ">. тп2 + 5т т,п = 1 ,351) у tlT~. ' та +п0 т,п — 1 >«> Ё (пт)! т, п—2 Inm^lnn 1353) V 77-7 ■ (1п(ш + п))т+п m,n = l v 1354) J] cos тх sin пу m,n = 1 l+^2nJ 266
Найти сумму ряда. 1355> Е i- л тгг т,п = 2 т,п=2 оо 1357) V „.■Ь., <2"> 1358) £ (4п - 1)2т+1' m,n = 1 4 ,3591 £ (3^2F m,n = l v 7 т,п = 1 4 7
также гм. пример Г) на стр. 8. 22) Указание. Ис- ' 1 - W ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I 3 2 I 1) 2) 3) Расходится. 4) Расходится. 5) —. 2 1] 1 — In 2 6) Расходится 7) И. 8) ~ 9) 1. 10) g. II) _J_. 12) 1. 13) 1. 14) ^ 15) 1 - \/2. 16) Расходится. 17) - In2. 18) 1пЗ. 19) In 3/2. Указание. Sn = -In--- ^ас“ ходится. 21) -—-—— Указание. Рассмотреть Sn - Sn q, а (1 - <7) •ни (/(1 + Я) <1):] пользовать результат и метод решения задачи 21. 23) 7г/4. Указание. Воспользоваться соотношением с г с arrtg „ arct,g - arrtg . а + п—1 а-\-п с-+ (а + ида + п—1) 71 3 7Г 7Г Sn = arctg . 24) —. Гм указание к задаче 23. 25) п -+ 1 1 4 26) 1. Указание. Проверить, что .S'Tl = I . 27) —Т) (71 + 2)! sin j* I I / 1 х 2 Указание. Проверить, что Sn - ——- - -—:—— «г sin" х \2nsin^r 28) —3/2 29) ctgj*. Указание Рассмотреть функцию х П г х х sinx (-Г) = cos - cos — • • ■ COS 2 22 2n 2n sin ~ и найти Y[ (x)' Доказать. что частичная сумма данного ря- П (х) 1 X X да равна-=^—, т е. равна — ct.g —-ctgx. 30) . Ука- Цп(х) 2п 2п 1 - х х 2п х2" о ч х зание. Проверить, что .Ъп = — . 31) при 1-х 1 — х2 1-х |х| < 1 и S = при |х| > 1. Указание. Прологарифми- х — 1 268
n ровать и продифференцировать равенство ^1 4- х2 ^ = к = 1 1-Х2" ,1 1 = . Проверить, что STl ^ 32) Расхо- 1 — х ] — х \ —х£ дится. 33) Указание. Sn = 1 Н -= 4 • • 4 —7= ^ —т= = у/п. у/2 у/п у/п 34) Указание. . 35) Ука- у/гГ+1 >ДТ2 у/п7 4- Зп 4- 2 2п 1 111 зание. ■ -- > 7= •—= . \/3п 4- 1 4- V^3n — 1 2\/Зп 4- 1 2\/3 >/w 4- 1 36) Указание, arcsin —у= ^ —-=. 45) Указание. In п! = 0(п In п), Vn vn n —> 00. (n 4- 1) In n! — 2 ln(2!*3!... n!) 1 lim 5 = n-H-oo 71 4* n 2 47) Указание. Предположив, что cos n2 -4 0 при n —У 4-oo придти к противоречию, рассматривая разность cosn2 — — cos(n4-l)2 и используя то, что последовательности cos(n+ I) и sin(2n 4- 1) не являются бесконечно малыми при п —► 4-оо. 48) Расходится. 49) Сходится. 50) Сходится. 51) Сходится. 52) Расходится. 53) Сходится. 54) Расходится. 55) Сходится. 56) Расходится. 57) Сходится. 58) Расходится. 59) Сходится. 60) Сходится. 61) Сходится. 62) Расходится. 63) Расходится. 64) Сходится. 65) Расходится. 66) Сходится. 67) Сходится при а ф 0, расходится при а = 0. 68) Сходится при а > 1, расходится при 0 < а ^ 1. 69) Сходится при b > 0 и s > 1, рас¬ ходится при 6 > 0, 0<$^1и6=0, s любом. 70) Сходится. 71) Расходится. 72) Сходится. 73) Расходится. 74) Расхо¬ дится. 75) Расходится. Указание. — rr—t— = -77-:—> 7 (1пп),п,пп e(in in п)2 > -г— = 76) Сходится. Указание. Тл—~— = —г-^.— < е\пп п / « (1пп),пп П1п1пп < 1. 77) Сходите. Указание. (|п ^^ 78) Сходится при а > 0. Расходится при а ^ 0. 79) Расходит¬ ся при 6 = 0, сходится при 6 ф 0. 80) Сходится. 81) Сходится при а > 0, расходится при а ^ 0. 82) Сходится. 83) Сходится 269
при а > 2, расходится при а 2. 84) Сходится при р < 12, расходится при р ^ 12. 85) Расходится при любых а. 86) Рас¬ ходится. 87) Сходится. 88) Сходится при р > -, расходится при 0 < р ^ 89) Сходится. 90) Расходится. 91) Сходится. 92) Сходится при а > 1, расходится при а ^ 1. 93) Сходится. 94) Сходится. 95) Сходится. 96) Сходится. 97) Расходится. 98) Расходится. 99) Расходится. 100) Сходится. Ю1) Рас¬ ходится. 102) Расходится. 103) Сходится. 104) Расходится. 105) Сходится при q > 1, расходится при а ^ 1. 106) Сходит¬ ся при а + 0 > 1, расходится при a -f 0 ^ 1. 107) Сходится. 108) Сходится. 109) Расходится. 110) Сходится. 111) Схо¬ дится. 112) Сходится. 113) Сходится при а > 1, расходится при а ^ 1. 114) Сходится. 115) Сходится. 116) Сходит¬ ся при а > 1/2, расходится при а ^ 1/2. 117) Сходится. 118) Сходится. 119) Сходится. 120) Сходится. 121) Сходится. 122) Сходится. 123) Сходится. 124) Расходится. 125) Сходит¬ ся. 126) Сходится. 127) Сходится. 128) Сходится. 129) Рас¬ ходится. 130) Сходится. 131) Расходится. 132) Сходится при р > 1/2, расходится при р ^ 1/2. 133) Сходится. 134) Схо¬ дится. 135) Сходится. 136) Сходится при любом а > 0. 137) Сходится при р > расходится при р ^ -. 138) Сходит- ся. 139) Сходится при а > 1, расходится при а ^ 1. 140) Рас¬ ходится. 141) Сходится. 142) Сходится. 143) Расходится. 144) Расходится. 145) Расходится. 146) Сходится. 147) Схо¬ дится. 148) Сходится. 149) Сходится. 150) Сходится при а > 1 и при Of — 1, 0 > 1, расходится при а ^ 1 и при а - 1, 0^1. 151) Сходится при а > 1, при а = 1, р > 1, при а = 1, р = 1, q > 1; расходится при а < 1, при а = 1, р < 1, при а = 1, р = 1, q < 1. 152) Сходится при q — р > 1, расходится при q -р ^ 1. 153) Сходится. 154) Сходится. 155) Сходится. 156) Сходится. 157) Сходится. 158) Сходится. 159) Сходит- 3 ся. 160) Сходится. 161) Сходится при р> - расходится при 3 2 р ^ 162) Расходится. 163) Сходится при р > 1, расходится при р ^ 1. Указание. ап(р) — монотонная функция, и для 270
р > 1 ^ “г™—, п ^ No{p,e), где 6n = nlnp £ я при лю- бом е > 0 (см. также задачу 22 стр. 316). 164) Сходится при а > расходится при а ^ -. 165) Сходится. 166) Расхо- о о дится. 167) Сходится. 168) Расходится. 169) Расходится при любом а ф 1. 170) Сходится при а ф тгк, к € Z. Расходится sin 2п+1а при а = 7гЛг, к 6 Z. Указание. ansina = — . 171) Рас¬ ходится. 172) Расходится. 173) Сходится. 174) Расходится. 175) Сходится. 176) Сходится. 177) Сходится. 178) Схо¬ дится. 179) Расходится. 180) Расходится. 181) Сходится. 3 182) Расходится. 183) Сходится при р > расходится при 3 2' 184) Сходится при а —р > 1, расходится при а — р ^ 1. 185) Сходится. 186) Расходится. 187) Сходится. 188) Рас¬ ходится. 189) Сходится при а < 1, расходится при a ^ 1. 190) Сходится при а > 0, р любом, расходится при a = 0, р ^ 1 и при a < 0, р любом. 191) Расходится. 192) Схо¬ дится. 193) Сходится. 194) Расходится. 195) Сходится при р( 1 — а) < 1, расходится при р(1 — a) ^ 1. 196) Сходится при a — (3 — а(3 > 0, расходится при а — (3 - а/3 ^ 0. 197) Сходится при 7 — а — /? > 0, расходится при 7 —a —/? <С 0. 198) Сходится при всех а ^ 0. 199) Расходится. 200) Сходится. 201) Схо¬ дится. 202) Расходится. 203) Сходится. 204) Сходится при а > 1, расходится при а $ 1. 205) Расходится. 206) Расхо¬ дится. 207) Расходится при а ф 1. 208) Сходится. 209) Рас¬ ходится. 210) Сходится при р > расходится при р ^ -. 4 4 211) Сходится при а > 2, расходится при а $ 2. 212) Сходит¬ ся при a < —1/2, расходится при а ^ —1/2. 213) Расходится. 214) Расходится. 215) Сходится при любом а > 0. 216) Схо¬ дится при а < 2, расходится при а ^ 2. 217) Расходится. 218) Сходится. 219) Сходится. 220) Расходится. 221) Расхо¬ дится. 222) Расходится. 223) Расходится. 224) Сходится при (3 — За > 3, расходится при /3 — За ^ 3. 225) Сходится при а < 2, расходится при а ^ 2. 226) Сходится при (3 — a + 1 > 0, расходится при /? — a+ 1 ^ 0. 227) Сходится при а = 1, Р > 2, 271
расходится при а ф 1 и любом р и при а = 1, р ^ 2. 228) Схо¬ дится. Указание. V2 = 2cos7r/4. 229) Сходится при любых а > 0. 230) Сходится при р > -, расходится при р ^ 1/2. 231) Сходится при р > -, расходится при р 232) Рас- и О ходится. 233) Сходится при х = 0 и любом р и при х ф 0 и р < —. 234) Расходится. 235) Сходится. 236) Расходит- 3 к ся при любых а > 0 и 6 > 0. 237) Сходится при а > 1/2, расходится при a 1/2. 238) Расходится. 239) Сходится. 240) Сходится. 241) Расходится. 242) Расходится. 243) Схо¬ дится при р > 3/4, расходится при р 3/4. 244) Сходится при а < 2, расходится при a 2. 245) Сходится при а. < 1 /2, расходится при а ^ 1/2. 246) Расходится. 247) Сходится. 248) Сходится при q > 1, расходится при q ^ 249) Сходит¬ ся. 250) Сходится при а > 6, расходится при а ^ 6. 251) Схо¬ дится при р— к > 1, расходится при р - к <. 1. 252) Сходится при к < —1, расходится при к ^ -1. 253) Сходится при р — к > 1, расходится при р — к <С 1. 254) Сходится при р > 2, расходится при 0 < р 2. 255) Если а ф сц, то сходится при а < 0 и расходится при а ^ 0, если а = аь 6 ^ 6i, то сходится при а < 1 и расходится при а ^ 1, если а = сц, 6 = 6], то сходится при любом а. 256) Сходится при а — 2, расходится при а ^ 2. 257) Сходится при а = —, расходится 7Г при а ^ . 258) Расходится. 259) Расходится. 260) Сходится 7Г при а < 1, расходится при а ^ I. 261) Сходится йри а > 2/3, расходится при а ^ 2/3. 262) Расходится. 263) Расходит¬ ся. 264) Сходится. 265) Сходится при а > 1, расходится при о? 1. 266) Сходится. 267) Сходится при а < — 1, рас¬ ходится при а ^ — 1. 268) Расходится. 269) Сходится при а < I, расходится при а ^ 1. 270) Сходится. 271) Сходит- пп\ ся. Указание. 0 < ап ^ . 272) Сходится при а > 1, (2п). расходится при а ^ 1. 273) Сходится при а < — 1, расходит¬ ся при а ^ —1. 274) Сходится при or < —2, расходится при а ^ — 2. 275) Расходится при любом а ф 0. 276) Сходится. 272
277) Сходится при а > 1, расходится при а <С 1. 278) Схо¬ дится при а > расходится при а ^ 279) Сходится при 1 а < 2, расходится при а ^ 2. 280) Сходится при а > рас- О 1 3 ходится при а <С - 281) Сходится при а > -, расходится о * 3 при а -. 282) Сходится при а < 2, расходится при а ^ 2. 283) Сходится при а > расходится при а ^ - 284) Схо¬ дится при а > расходится при а $ 285) Сходится при а > ^, расходится при а ^ 286) Сходится при а > 1, 3 расходится при а ^ 1. 287) Сходится при а > — расхо- 3 дится при а ^ — -. 288) Сходится при а > 1/2, расходится при (х ^ 1/2. 289) Сходится при 2/? + а > 1, расходится при 2(3 + а ^ 1 290) Сходится при 4а - /? > -2, расходится при 5 4а-/? ^ -2. 291) Расходится. 292) Сходится при а > рас- 8 5 1 ходится при а ^ 293) Сходится при а > расходится при 8 2 а ^ 294) Сходится при а > 1/4, расходится при а ^ 1/4. 295) Расходится. Указание. Найти предел ап при п —у +оо. 296) Сходится при а < — -, расходится при а ^ . 297) Схо¬ дится при а < 1, расходится при а ^ I. 298) Сходится при а > -, расходится при а <С - 299) Сходится при а < — 1, 6 6 расходится при а ^ — 1. 300) Сходится при а > 5, расхо¬ дится при а ^ 5. 301) Сходится при а > расходится при ос ^ 302) Сходится при <*>—-, расходится при а ^ Z Z Z 303) Сходится при а < — 1, расходится при а ^ — 1. 304) Схо¬ дится при а < 1, расходится при а ^ 1. 305) Сходится при min(a,/?) > расходится при min(a,/?) ^ 306) Сходится 273
при а + (3 > расходится при а + /? $ -. 307) Сходится. 308) Расходится. 309) Сходится. 310) Расходится. Указание. Сравнить ап и 311) Расходится. Указание. Срав¬ ни + 1) нить ап и -— -. 312) Сводится при q > 1, расходится при 7Г(71 + 1) 0 < q ^ 1. 313) Сходится. 314) Сходится. 315) Сходится при а > 1, расходится при 0 < а <С 1. Указание. Последова- n ^ j тельность -— Inn имеет конечный предел константу ' к к = \ Эйлера. 316) Сходится. Указание. Для оценки интеграла п+1 dx применить формулу интегрирования по частям. х J 317) Сходится. Указание. Применить формулу интегриро- a+J [ 2usinir „ вания по частям к интегралу / аи. 318) Сходится. J 2 и а Указание. Применить формулу интегрирования по частям к а+6 /3t* sin tz —^—du. 319) Сходится. 320) Расходит- о ся. 321) Сходится. 322) Сходится. 323) Сходится. Указание. п к\ ^ (п + 1)! 342) Сходится при а > I, расходится при к = 1 0 < а 1. 343) Сходится. 344) Сходится при 0 < л < 1, расходится при а ^ 1. 345) Сходится при а > е, расходится при а < е. См. указание к задаче N 315. 346) а) Сходится при а > 2, расходится при 0 < а <С 2. См. указание к задаче N 45. б) Сходится при а > 1, расходится при 0 < а ^ 1. См. ука¬ зание к задаче N 315. 347) Сходится при |а| <С 1, расходится при |а| > 1. 348) Сходится. Указание. Применить признак Даламбера. 349) Сходится. Указание. Применить признак Гаусса. 350) Сходится. Указание. Методом математической 1 2 индукции доказать, что справедлива оценка — < ап < —г-. пг п1 274
351) Сходится. Указание. Доказать методом математиче- 1 2 ской индукции справедливость неравенства 0 ^ — < п . ап 352) Сходится. Указание. Доказать методом математиче- 1 2 ской индукции справедливость неравенства 0 ^ — < п . ап 353) Сходится. Указание. Найти такие постоянные Сид, что ап = Cqn. 354) Расходится. Указание. Показать, что условия: Sn ограничена и ап —> 0 не могут выполняться од- 2 новременно. 355) Указание. Представить члены ряда ап (-1)"п (-1)" в виде ап — Ь ——— и воспользоваться методом ре¬ шения примера 5 на стр. 8. 356) —. Указание. Предста- j j n ^ j вить 5з„ в виде S3n = ^ 357) In2. Указание. *=о к=0 j | I Представить 52п в виде ,V2n = £ - - El' ^58) - ln2. *=i fc=i Указание. Представить 6з„ в виде 5зп = — — Ас — 1 Ае = 1 1 ХП ^ 1 1 - - ^ 359) 2 Указание. Представить Ssn в виде к- 1 бп 1 ] 3n 1 1 2П 1 1 Se„ = 360) 1 + - 1п2. Указание. Ас — 1 Ac=I *=] 2n j j n 1 4n+4 j Представить 53„ в виде 53n = I ~ Е £ + 2 53 I + Е I ~ Ас = 1 /с — 1 Ас = 1 1 1 3 - - г 361) -In2. Указание. Представить 53п в виде 2 fc=i * 2 4n j 1 2n 1 1 " ] 5зп= El~ 2E1-9E1 362) °- Указание- Предста- *=1 к=1 *=1 | | n ^ j | j вить S5n в виде 55п= Сходится Ас = 1 Ае = 1 Ае = 1 275
условно для всех а ф 0. Указание. Представить выраже¬ ние sin 7Г\/п2 + а в виде (- l)n sin(7r\/п2 + а - тгп). 376) Схо¬ дится условно. 377) Расходится. 378) Сходится абсолютно. 379) Сходится условно. 380) Сходится условно. 381) Расхо¬ дится. 382) Сходится условно. 383) При р > 2 сходится абсо¬ лютно, при 0 < р ^ 2 сходится условно, при р ^ 0 расходится. 384) Расходится. 385) Сходится абсолютно. 386) Сходится абсолютно. 387) Сходится абсолютно при \а\ > 1, сходится условно при |а| = 1, расходится при |а| < 1. 388) Сходится условно. 389) Сходится абсолютно. 390) Сходится условно. 391) Сходится условно. 392) Сходится абсолютно. 393) Схо¬ дится абсолютно. 394) Сходится условно. 395) Сходится аб¬ солютно. 396) Сходится условно. 397) Сходится абсолютно. 398) Сходится условно. 399) Сходится абсолютно. 400) Схо¬ дится условно. 401) При а > 1 сходится абсолютно, при а = 1, 0 > 1 сходится абсолютно, при а = 1, (5 ^ 1 схо¬ дится условно, при 0 < а < 1 сходится условно, при а — 0, /3 > 0 сходится условно, при а = 0, 0 ^ 0 расходится, при о < 0 расходится. 402) При р > 1 и любом q сходится аб¬ солютно, при р — 1, q > 1 сходится абсолютно, при р — 1, q ^ I сходится условно, при 0 < р < 1 и любом q сходится условно, при р ^ 0 и любом q расходится. 403) Сходится абсо¬ лютно. 404) Сходится абсолютно. 405) Сходится абсолютно. 406) Сходится абсолютно. 407) Расходится. 408) Сходится абсолютно. 409) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при р ^ 1. 410) Сходится абсолютно. 411) Сходит¬ ся абсолютно. 412) Расходится. 413) Сходится абсолютно. 414) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при а ^ 1. 415) Сходится условно. 416) Сходится абсолютно. 417) Расходится. 418) Сходится условно. 419) Сходится абсо¬ лютно. 420) Сходится абсолютно при q > 0, сходится условно при -1 <<7^0, расходится при <7 <1 -1 421) Сходится услов¬ но. 422) Расходится. 423) Сходится условно. 424) Сходится абсолютно. 425) Сходится абсолютно. 426) Сходится условно. 427) Сходится условно 428) Сходится условно. 429) Сходит¬ ся условно. Указание. Сравнить с примером 45 на стр. 47-50 430) Расходится. Указание. Рассмотреть а^+к- 431) При 276
Q > 1 сходится абсолютно, при 0 < (* ^ 1 сходится условно, при а $ 0 расходится. 432) Сходится условно. 433) Сходит¬ ся условно. 434) Сходится условно. 435) Сходится условно. 436) Сходится абсолютно. 437) Расходится. 438) При q > 1 сходится абсолютно, при 0 < q ^ 1 сходится условно, при q <С 0 расходится. 439) Расходится. 440) Сходится услов¬ но. 441) Сходится условно. 442) Расходится. 443) Сходится условно. 444) Сходится условно. 445) Сходится абсолютно 1 Л 1 при а > -, сходится условно при 0 < о ^ расходится при а <С 0. 446) Сходится абсолютно при q > 1, сходится условно при q ^ 1. 447) При а > I сходится абсолютно, при а ^ 1 сходится условно. 448) При а > 1 сходится абсолютно, при а ^ 1 сходится условно. 449) При а > 1 сходится абсолютно, при 0 < а ^ 1 сходится условно. 450) При а > 1 сходится абсолютно, при 0 < а ^ 1 сходится условно. 451) Расходится. 452) Сходится условно. 453) При q > 2 сходится абсолютно, при q ^2 сходится условно. 454) При 0 > 1 и любом а и при Р = 1 и а < — 1 сходится абсолютно, при (3 = 1 и а ^ — 1 сходится условно, при 0 < Р < 1 и любом а сходится услов¬ но, при /? = 0, а < 0 сходится условно, при /9 > 0 и а ^ 0 расходится, при (3 < 0 и любом а расходится. 455) Сходится условно. 456) Сходится абсолютно. 457) Сходится абсолют¬ но при р > 1, сходится условно при 0 < р ^ 1, расходится при р ^ 0. 458) Сходится условно. 459) Сходится условно. 460) Сходится условно. 461) Сходится условно. 462) Сходится абсолютно. 463) Сходится абсолютно. 464) Сходится условно. 465) Сходится условно. 466) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при - < а I, расходится при 0 < а ^ 1 1 sin п „ Указание. —— :— = - —— г—г. 467) При 3 па + sin п 3 па 3na(3na + sin п) q > 2 сходится абсолютно, при 0 < q <С 2 сходится услов¬ но. 468) Расходится. 469) Сходится условно. 470) Сходит¬ ся условно. 471) Сходится условно. 472) Сходится условно. 473) Сходится условно. 474) Сходится условно. 475) Сходит¬ ся абсолютно при q > 1, сходится условно при ^ < q ^ I, рас- 277
ходится при 0 < q ^ 476) Сходится абсолютно при q > 1, сходится условно при ^ < g ^ 1, расходится при 0 < q ^ 477) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при О < р ^ 1, расходится при р 0. 478) Сходится абсолютно при р > сходится условно при max (- — 1,0) < р ^ Я \Я ) Я расходится при р ^ max ( 1,0^. 479) Сходится услов¬ но. 480) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при а ^ 1, 481) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при 1/2</><1.482) Сходится условно. 483) Сходится условно. 484) Сходится условно. 485) Сходится абсолютно. 486) Сходится абсолютно при q > 1, сходится условно при 2 2 расходится при q ^ 487) Сходится абсолютно 3 3 при а > 1, сходится условно при 0 < а ^ 1, расходится при а < 0. 488) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при 0 < а <С 1, расходится при а $ 0. 489) Сходится абсо¬ лютно. 490) Сходится абсолютно при q > —, сходится услов- 1 но при q ^ - .49!) Сходится абсолютно при q > 2, сходится 2 2 условно при - < q ^ 2, расходится при g ^ 492) Сходится о условно. 493) Сходится абсолютно при всех q > 0. 494) Схо¬ дится условно. 495) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при 0 < а ^ 1, расходится при а $ 0. 496^ Схо¬ дится абсолютно. 497) Сходится абсолютно при р > схо- 1 2 дится условно при 0</><-. 498) Расходится. 499) Сходит- , 2тгАг 2тг ся условно при а ^ , к 6 расходится при а = , 3 3 к Е Z. 500) Сходится абсолютно. 501) Сходится абсолютно. 502) Сходится условно. 503) Сходится условно при любом к. п n + i 1 504) Сходится условно Указание. cos к = : 28*П2 505) Сходится условно. Указание. Показать, что последова- 278
но. См. указание к задаче N 505. 507) Сходится абсолютно при Р > а+1, сходится условно при а < /3 ^ а+1, расходится при р ^ а. 508) Сходится. 509) Расходится. 510) Расходится. 511) Расходится. 512) Сходится абсолютно. 513) Расходится. 514) Расходится. 515) Расходится. 516) Сходится абсолютно. 517) Расходится. 518) Сходится условно. 519) Сходится абсо¬ лютно при р > 1, расходится при р < 1. 520) Сходится абсо¬ лютно при р > 1, сходится условно при р = 1, расходится при р < 1. 521) Сходится абсолютно при р > 1, q > 1, сходится условно при 0 < р = q ^ 1, при остальных значениях параме¬ тров расходится. 522) Сходится абсолютно при р > 1, q > 1, сходится условно при 0 < р = q 1, при остальных значениях параметров расходится. 523) Сходится абсолютно. 524) Схо¬ дится условно. 525) Сходится абсолютно. 526) Сходится условно при а ф 2тгк + тг, к £ Z, расходится при а = 2жк + тг, к G Z. 527) Сходится абсолютно. 528 а) Сходится условно при а > 0. 528 б) Сходится абсолютно при а > 1, сходится услов¬ но при а ^ 1. 529 а) Сходится условно при а ф 0. 529 б) Схо¬ дится условно при а ф 0, сходится абсолютно при а = 0. Указание. Сравнить с примером 45 на стр. 47-50 (см. также задачу 42 на стр. 321). 530) Сходится условно. 531) Схо¬ дится абсолютно. 532) Расходится. 533) Сходится условно. 534) Сходится абсолютно. 535) Расходится. 536) Сходится абсолютно при q > 1, сходится условно при 0 < q ^ 1, расхо¬ дится при q ^ 0. 537) Сходится абсолютно при q ^ 0, сходит¬ ся условно при —1 < q < 0, расходится при q ^ — 1. Указание. Применить формулу интегрирования по частям к интегралу о тонно стремится к нулю при п —> оо и проверить справедли- / —— dx и использовать результат задачи 536. 538) Схо¬ дится условно. Указание. Показать, что j(1 — х2)п dx моно- 279
вость оценок J~ х2)П ^ ~ ~ ^2^ ^ Ъ>п' П ^ 0 539) Сходится условно Указание Проверить справедливость зш п п /sin х , sin п . / 1 \ —— dx hО I I, п -+ +оо. 540) Сходит- о ся абсолютно. 541) Сходится условно. 542) Сходится услов¬ но. 543) Расходится. 544) Сходится условно. 545) Сходит¬ ся абсолютно. 546) Сходится абсолютно. 547) Расходит¬ ся. 548) Сходится абсолютно. 549) (’ходится абсолютно. 550) Сходится абсолютно. 551) Сходится условно. 552) Схо¬ дится условно. 553) Расходится к нулю. 554) -. 555) 2. 556) 2. 557) — при |r| < 1, расходится при |х| ^ 1. 1 — х 558) Расходится. 559) Расходится к нулю. 560) ес\ ('у — константа Эйлера. 561) 562) 563) -. 564) Рас- 2 Х Х ходится к нулю. 565) 5(56) —. Указание. Восполь¬ зоваться формулой Валлиса. 567) -. 568) 2. 569) Расхо- 3 дится к нулю. 570) -. 571) Расходится к нулю. Указание. 1 (2п)!! 0 < Рп ^ . Умножить Рп на — —. 572) Расхо- у/ЪгТТ (2л + 1)!! дится к нулю. 573) а“1п2. 574) 2. Указание. Проверить, что ап = 2(п!) и Рп = —. 575) Расходится к нулю. 576) Рас- а\-п\ ходится к нулю. 577) Сходится. 578) Сходится. 579) Сходит¬ ся. 580) Расходится. 581) Сходится. 582) Сходится. 583) Рас¬ ходится. 584) Сходится. 585) Сходится. 586) Сходится при а > расходится при 0 < ос ^ 587) Сходится при ос > 1, расходится к нулю при 0 < а ^ 1. 588) Сходится при ос > 1, расходится при 0 < а ^ 1. 589) Сходится. 590) Сходит¬ ся. 591) Сходится при а > 1, расходится при 0 < q 1. 592) Расходится к нулю при 0 < а ^ 2. 593) Сходится. 280
594) Сходится. 595) Сходится при ja| < 2, расходится при |а| ^ 2. 596) Сходится. 597) Расходится. 598) Сходится при | а | > е. 599) Сходился. 600) Сходится. 601) Сходится. 602) Схо¬ дится при Р > \> расходится к нулю при 0 > р < 603) Расходится ж. нулю. 604) Сходится условно. 605) Схо¬ дится абсолютно при р > 1, сходится условно при \ К р ^ 1 606) Расходится. 607) Расходится. 608) Расхо¬ дится. 609) Сходится условно. 610) Сходится абсолютно при |х| < 1, расходится при |х| ^ 1. 611) Сходится абсолютно при |х| < 2, расходится при |х| ^ 2. 612) Сходится условно. 613) Сходится абсолютно при х > 1, сходится условно при - < х 1. 614) Сходится условно. 615) Сходится абсолютно при a > 1, сходится условно при ^ < a 1. 616) Расходится. 617) Сходится абсолютно при a > 1, сходится условно при 1 f _, sin 2х - < (у 1. 618) Указание, cosx = —:—. ° 2 sin х 621) f(x) = х, х ^ 0. 622) /(*) = 0. 623) /(*) = \х\. Г 1 I I <г I (1, (К И < 1. 624) f(x) = | х2 625) f(x) = < 1, *=1, |*|> 1. 7ГХ 626) /(х) = cos —. 627) f(x) = 0. 628) f(x) = 1 629) f(x) = sin тгх. f'~ , x > 0, 630) f(x) — ^ *<0, 0, x = 0. 631) /(«) = ( '■ 1 p*“"0"MbU0''' ^ 0, x иррациональное. x2, Ixl > 1. 281
(532) f(x) = 0, x ф 0. 633) J(x) = 0. •534) /(х) 0, г рациональное, х, г иррациональное. 635) Дх) = < у/х, 0^х<1и4&— l<x<4fc+l, х, 4А- — 3 < х < \к — 2 и 4Аг - 2 < х < 4* - 1, ~(\/х + х)’ х = ‘2к — 1, к = 1,2,.... 636) /(*) sinx • X ф О, х 1, х = 0. ( 0, -I < X $ 1, 638) /(г) = i( 1 + vT+ 4х). 639) /(х) = 0. 640) а) ( 'ходи гея равномерно, б) Сходится неравномерно. 641) а) Сходится равномерно, б) Расходится. 642) Сходит¬ ся равномерно. 64.4) а) Сходится равномерно, б) Сходится неравномерно. 644) а) Сходится равномерно. 6) Сходится неравномерно. 645) а) Сходится неравномерно, б) Расходит¬ ся. 646) а) Сходится неравномерно, б) Сходится равномерно. 647) При а ^ 2 расходится всюду кроме х — 0, при а > 2 сходится равномерно. 648) Сходится равномерно 649) Схо¬ дится неравномерно. 650) а) Сходится равномерно, б) Схо¬ дится равномерно. 651) а) Сходится равномерно, б) Схо¬ дится неравномерно. 652) Сходится неравномерно. 653) Схо¬ дится равномерно. 654) Сходится неравномерно 655) Схо¬ ди гея равномерно. 656) а) Сходится равномерно б) Сходит¬ ся равномерно 657) а) Сходится равномерно 6) Сходится неравномерно. 658) а) Сходится неравномерно, б) Сходит¬ ся равномерно. 659) а) Сходится равномерно, б) Сходится неравномерно. 660) Сходится равномерно. 661) а) Сходит¬ ся неравномерно, б) Сходится равномерно. 662) Сходится неравномерно. 663) (!ходится неравномерно. 664) Сходится 282
неравномерно, неравномерно, ся равномерно ся равномерно ся равномерно неравномерно 665) Сходится неравномерно. 666) Сходится 667) а) Сходится неравномерно, б) Сходит- 668) а) Сходится неравномерно, б) Сходит- 669) а) Сходится равномерно, б) Сходит- в) Сходится неравномерно. 670) Сходится 671) Сходится неравномерно. 672) Сходится неравномерно. 673) Сходится неравномерно. 674) а) Сходит¬ ся неравномерно, б) Сходится равномерно. 675) Сходится равномерно. 676) а) Сходится неравномерно, б) Сходит¬ ся неравномерно, в) Сходится равномерно. 677) Сходится неравномерно. 678) Сходится неравномерно. 679) Сходит¬ ся равномерно. 680) а) Сходится равномерно, б) Сходится неравномерно. 681) Сходится равномерно. 682) Сходится равномерно. 683) Сходится неравномерно. 684) а) Сходит¬ ся равномерно, б) Сходится неравномерно. 685) а) Сходит¬ ся неравномерно, б) Сходится равномерно. 686) Сходится неравномерно. 687) а) Сходится равномерно, б) Сходится равномерно. 688) а) Сходится неравномерно, б) Сходится равномерно. 689) а) Сходится равномерно, б) Сходится не¬ равномерно. 690) Сходится равномерно. 691) а) Сходится равномерно, б) Сходится неравномерно, равномерно, б) Сходится неравномерно, неравномерно, б) Сходится равномерно, равномерно, б) Сходится неравномерно, неравномерно, б) Сходится равномерно, равномерно, б) Сходится неравномерно, равномерно, б) Сходится неравномерно, неравномерно, б) Сходится равномерно, ся неравномерно, б) Сходится равномерно. 700) Сходит¬ ся равномерно. 701) Сходится равномерно. 702) Сходится неравномерно. 703) Сходится равномерно. 704) равномерно. 705) Сходится равномерно. Сходится равномерно. 692) а) Сходится 693) а) Сходится 694) а) Сходится 695) а) Сходится 696) а) Сходится 697) а) Сходится 698) а) Сходится 699) а) Сходит- неравномерно неравномерно неравномерно неравномерно равномерно. равномерно. б) б) Сходится равномерно, б) Сходится равномерно б) Сходится равномерно б) Сходится неравномерно. Сходится 706) а) Сходится 707) а) Сходится 708) а) Сходится 709) а) Сходится 710) а) Сходится 711) Сходится не- 712) а) Сходится неравномерно, б) Сходится 283
равномерно. 713) а) Сходится равномерно, б) Сходится не¬ равномерно. 714) а) Сходится равномерно, б) Сходится не¬ равномерно. 715) Сходится равномерно. 716) Сходится рав¬ номерно. 717) Сходится равномерно. 718) а) Сходится рав¬ номерно. б) Сходится неравномерно. 719) а) Сходится рав¬ номерно. б) Сходится неравномерно. 720) а) Сходится равно¬ мерно. б) Сходится неравномерно. 721) а) Сходится неравно¬ мерно. б) Сходится равномерно, в) Сходится неравномерно. 722) Сходится неравномерно, а) Да. 6) Нет. в) Да. 723) Схо¬ дится равномерно, а) Нет. б) Нет. 724) Сходится равномер¬ но; да. 725) Сходится равномерно; а) и б), если существу¬ ет lim /(я), то “да”, в противном случае “нет”. Указание. X—fro п/(х) - 1 ^ [л/(х)] ^ nf(x). 726) Сходится неравномерно; да. 727) Сходится неравномерно, а) Да б) Да. 728) Сходится равномерно, а) Да. б) Да. в) Да. 729) Сходится неравно¬ мерно; да. 730) Сходится неравномерно; да 731) Для а > 1 сходится неравномерно и равенства нет; для -1 ^ а 1 схо¬ дится неравномерно, равенство есть; для а < — 1 сходится равномерно и равенство есть. 732) Сходится неравномерно; да. 733) Сходится неравномерно, нет. 734) Для а > 1 схо¬ дится равномерно и равенство есть; для 0 < а ^ 1 сходится неравномерно, равенство есть. 735) Сходится неравномерно; да. 736) Сходится неравномерно; нет. 737) Сходится нерав¬ номерно; нет. 738) Сходится неравномерно: да. 739) Схо¬ дится неравномерно; нет. 740) Сходится неравномерно; да. 741) 1) Сходится равномерно. 2) Нет. 742) I) Сходится рав¬ номерно. 2) Нет. 743) 1) Сходится равномерно. 2) Спра¬ ведливо всюду, кроме нуля. 744) I) Сходится равномерно. 2) Справедливо всюду, кроме нуля. 745) 1) Сходится неравно¬ мерно. 2) а) Нет б) Да. 746) Сходится абсолютно при х = 0. 747) Сходится абсолютно при '2тгк < х < (2к + 1)7г, к G Z. 748) Сходится абсолютно при i > е и 0 < i < -. 749) Схо- е дится абсолютно при пк - arcsin - $ х <С пк + arcsin -, к £ TL. v и 7Г 27Г 750) Сходится абсолютно при —\- тгк х Ь тгк, к Е Ъ. 3 3 751) Сходится абсолютно при т 0 и х ^ —2. 752) Сходится 284
абсолютно при — ^- + тг/:<Сх^^ + пк, к £ 7L. 753) Сходится абсолютно при х ф -к, к £f$. 754) Сходится абсолютно при 2 х > 1, сходится условно при - < х ^ 1. 755) Расходится при о всех х ф 3. 756) Сходится абсолютно при 2пк < х < (2к + 1 )7г, к £ Z. 757) Сходится абсолютно при |х| > 1. 758) Сходится абсолютно при х ф —2П, п £ N. 759) Сходится абсолютно при |х| < оо. 760) Сходится условно при |х| < оо. 761) Схо¬ дится абсолютно при |х| ^ 1/2. 762) Сходится условно при |х| < оо. 763) Сходится абсолютно при х ф 0. 764) Сходится абсолютно при |х| < оо. 765) Сходится абсолютно при х > 1. 766) Сходится условно при 0 < х ^ 1, сходится абсолютно при х > 1. 767) Сходится условно при —п/2+2пк < х < п/2 + 2пк, к £ Z. 768) Сходится условно при пк < х < пк + п/2, к £ TL. 769) Сходится абсолютно при |х| < оо. 770) Схо¬ дится абсолютно при |х| < оо. 771) Сходится абсолютно при |х| < оо. 772) Сходится абсолютно при \х\ < оо. 773) Схо¬ дится абсолютно при х > 2. 774) Сходится абсолютно при х ^ 0. 775) Сходится абсолютно при х ф 0. 776) Сходит¬ ся абсолютно при |х| > 1. 777) Сходится абсолютно при |х| ^ 1/2. 778) Сходится абсолютно при |ж| < оо. 779) Схо¬ дится абсолютно при х < 0. 780) Сходится абсолютно при \х\ < оо. 781) Сходится абсолютно при х ф 0. 782) Сходит¬ ся условно при х ф —к} к £ N. 783) Сходится условно при |х| < оо. 784) Сходится абсолютно при а > 1, расходится при О < а ^ 1. 785) Сходится абсолютно при а > 1, расходится при 0 < а ^ 1. 786) Сходится абсолютно при 1 < |х| < п/2 я пк < |х| < пк 4- п/2, к £ N. 787) Сходится абсолютно при х > 1. 788) Сходится условно при |х| ^ 1. 789) Сходится абсолютно при х ^ 0. 790) Сходится абсолютно при |х| < 1. 791) Сходится абсолютно при \х\ ф 1, сходится условно при х = — 1. 792) Сходится абсолютно при |х[ < оо. 793) Сходится абсолютно при х ^ — 1, х = 0. 794) Сходится абсолютно при х = пк, к Е Z, сходится условно при х ф пк, к £ Ъ. 795) Схо¬ дится абсолютно при |х| ^ 1. 796) Сходится абсолютно при |х| < оо. 797) Сходится абсолютно при |х| < 1. 798) Схо¬ дится абсолютно при х £ Ъ. 799) Сходится абсолютно при 285
|х| < 3. 800) Сходится абсолютно при х ф 0. 801) Сходится абсолютно при х > 0. 802) Сходится абсолютно при |х| < оо, х ф — 1. 803) Сходится абсолютно при х > 1. 804) Схо¬ дится абсолютно при \х\ ф 1. 805) Сходится абсолютно при х > 1. 806) Сходится абсолютно при х > 0. 807) Сходит¬ ся абсолютно при |х| < оо. 808) Сходится абсолютно при х ^ 1их^7г/2 — як, к £ N. 809) Сходится абсолютно при —тг/4+7гк ^ х ^ п/4+пк, к £ Ъ. 810) Сходится абсолютно при X > 1 и -1 < х < 0, сходится условно при |х| = 1. 811) Схо¬ дится условно при х ф 2пк, к £ 7L. 812) Сходится абсолютно при |х| < оо. 813) Сходится абсолютно при х ф —, п £ N. п 814) Сходится абсолютно при х < -1. 815) Если р < q - 1, то сходится абсолютно при |х| < оо, если q - 1 ^ р < q, то сходится условно при х ф пк, к £ Z, и абсолютно при х = тг&, к £ Ъ, если р ^ qt то сходится абсолютно при х — ттк,к £Ъ. 816) Сходится условно при |х| ^ 1. 817) Сходится условно при |х| ^ 1. 818) Сходится абсолютно при |х| < оо. 819) Сходится абсолютно при х > 1 и х = 0. 820) Сходится абсолютно при х > 1, сходится условно при х ^ 1 их / 2тг к} к £ 7L. 821) Схо¬ дится абсолютно при |х| < оо. 822) Сходится абсолютно при - < х < е, сходится условно при х = -. 823) Сходится е е условно при х ф 2пк, к £ Ъ. 824) Сходится абсолютно при |х| $ tg 1. 825) Сходится абсолютно для х таких, что х2 < ех. 826) Расходится при любом х. 827) Расходится при любом х. 828) Сходится абсолютно при |х| < 1. 829) Сходится абсо¬ лютно при х = 7г/г, к £ Z, сходится условно при х ф irk, к £Ъ. 830) Сходится абсолютно при х = тг/с, ik £ 7L, сходится услов¬ но при х ф пку к £ 7L. 831) Сходится абсолютно при х = пк, к £ Ъ, сходится условно при х ф жк, к £ Ъ. 832) Сходится абсолютно при |х| > -. 833) Сходится абсолютно при |х| < 1. с 834) Сходится условно при х ^ 0. 835) Сходится абсолютно при х = 0, сходится условно при х ф 0. 836) Сходится абсо¬ лютно при х > 1, сходится условно при 0 < х ^ 1. Указание. 2 Для 0 < х $ 1 показать, что |ап| = 0(п х ), п —> оо, рас¬ смотрев 1п|ап|. 837) Сходится абсолютно при х ф пк 4* — > 286
к £ Ъ. 838) Сходится абсолютно при |х| < 1, сходится услов¬ но при х = 1. 839) Сходится абсолютно при — 4 < х < 2, « ходится условно при х = 2 и х = —4. 840) Сходится условно при х ф жк, к £ Z, сходится абсолютно при х = тгк, к £ It. 841) Сходится условно при всех х. 842) Сходится условно при х ф п(2к И- 1), к £ Ъ. 843) Сходится абсолютно при х = 7гк, 8тг к к £ Z, сходится условно при х ф —к £ TL. 844) Схо- 5 2ттк дится условно при х ф ——, к £ Z. 845) Сходится условно о при х ф (2к + 1)тг, к £ Ъ. 846) Сходится абсолютно при 7Г 7Г к х = — (2к + 1), к £ Z, сходится условно при х ф —, к £Ъ. 847) Сходится абсолютно при х = сходится тгк условно при х ^ —, к £ 7L. 848) Сходится абсолютно при х > 1, сходится условно при 0 < х ^ 1. 849) Сходится абсо¬ лютно при х > 1, сходится условно при 0 < х $ 1. 850) Схо¬ дится абсолютно при х > 3, сходится условно при 0 < х ^ 3, 27Г х ф —. 851) Сходится абсолютно при х > 4, сходится услов- о но при 1^х<2,3^х<4. 852) Сходится абсолютно при |х| < е. 853) Сходится абсолютно, если существует к £ N та¬ кое, что |х — жк\ < 854) Сходится абсолютно при х = пк> к £ N, или х + у > 1, сходится условно при х ф тгк, к £ Z, и 0 < х + у ^ 1. 855) Равномерно. 856) Равномерно. 857) Рав¬ номерно. 858) Равномерно. 859) Равномерно. 860) Равно¬ мерно. 861) Равномерно. 862) Неравномерно. 863) Равно¬ мерно. 864) Равномерно. 865) Равномерно. 866) а) Рав¬ номерно. 6) Неравномерно. 867) Равномерно. 868) Равно¬ мерно. 869) Неравномерно. 870) Равномерно. 871) Равно¬ мерно. 872) Равномерно. 873) а) Неравномерно, б) Равно¬ мерно. 874) а) Неравномерно, б) Равномерно. 875) а) Не¬ равномерно. б) Равномерно. Указание. См. пример 17 на стр. 89. 876) Равномерно. 877) Неравномерно. 878) Неравно¬ мерно. 879) Неравномерно. 880) Равномерно. 881) Неравно¬ мерно. 882) Равномерно. 883) Равномерно. 884) Равномер¬ но. 885) Равномерно. 886) а) Равномерно, б) Неравномерно. 287
887) Равномерно. 888) Неравномерно. > казание. Расемо- 2к . треть У />(п, хи, гл*‘ J'k = 2i*-f 1. лг G FI. 889) Неравно- ' 71 п—к мерно. 890) Равномерно. 891) Равномерно. 892) Равномерно. 893) Равномерно. 894) Равномерно. 895) а) Неравномерно. 6) Равномерно. 896) Равномерно. 897) Равномерно. 898) Рав¬ номерно. 899) Равномерно. 900) Равномерно. 901) Равно¬ мерно. 902) Равномерно. 903) Равномерно. 904) Равномер¬ но. 905) Равномерно. 906) Равномерно. 907) Равномерно. 2к 908) Равномерно Указание. Рассмотреть xlr~^Tk, где | п = к Хк = ^ ^ ^ *^9) а) Равномерно. 6) Неравномер¬ но. 910) Неравномерно. 911) Равномерно. 912) Равномер¬ но. 913) Неравномерно. Указание. Проверить, что ап —> 0, тг —> оо, неравномерно. 914) Неравномерно. Указание. Про¬ верить, что ап —> 0, 71 -> оо, неравномерно. 915) Неравно¬ мерно. Указание. Проверить, что ап —> 0, п —> оо, неравно¬ мерно. 916) Неравномерно. 917) Неравномерно. 918) а) Не¬ равномерно. 6) Равномерно. 919) Е — [0;ос); разрыв в нуле. 920) Е — К, непрерывна. 921) Е - [0; -h-^о), непрерывна. 922) Е - (1;+оо). непрерывна. 923) Е - [—l;-fl], непрерыв¬ на. 924) Е — (-1/3; 1/3), непрерывна. 925) Е ~ К, непре¬ рывна. 926) Е = 'Ж. непрерывна. 927) Е = К, разрыв в нуле. 928) Е = Ш \ {2лк, к £ Z}, непрерывна. 929) /? = 1R, непре¬ рывна. 930) Е — К при а > 1. Е - R \ {0} при 0 < «г $ 1; непрерывна. 931) Е = (— оо; —2) U (2;-hoc) U {1}, непрерывна. 932) Е — (—1;+1), непрерывна. 933) Е — [—1; + 1], непрерыв¬ на. 934) Е - (0;+оо), непрерывна. 935) Е = IR, непрерывна. 936) Е - ,|РПР°Р|ЛВНа- 937) Е - {х ф. - 71, 7i £ Z}} непрерывна. 938) Е — И'., непрерывна. 939) Е -- К, непре¬ рывна. 940) Е — Ш\ {0}, непрерывна. 941) Е — IK, непрерыв¬ на. 942) Е = [ 1; 3], непрерывна 943) Е = (—oo;log32)U {1}, непрерывна. 944) Е = (0,-hoo), непрерывна. 945) Е = М, разрыв в нуле. Указание. Рассмотреть / (±-V Использо¬ 288
вать неравенство 1 + кх2 ^ 1 + —. Доказать, что \f{x)\ > п е 946) Е = [0;+оо), непрерывна. 947) Е = [0;+оо), разрыв в нуле. Указание. Вычислить /(х), перейдя к комплексным пе¬ ременным. 948) Е = (0;+оо), непрерывна. 949) Е = [—1; 1), дифференцируема на (-1; 1). 950) Е = [—1; 1), дифференци¬ руема на (—1; 1). 951) Е = R, дифференцируема. 952) Е = IR, дифференцируема. 953) Е = (—1;1), дифференцируема при х ф 0. 954) Е = R, дифференцируема. 955) Е = R, диф¬ ференцируема. 956) Е = 1R, х ^ 7гАг, к £ Ъ, дифференци¬ руема. 957) Е = [0;+оо), дифференцируема. 958) Е = R, дифференцируема при х ^ 0. 959) Е = R, дифференцируе¬ ма. 960) Е = R, дифференцируема. 961) Е = М, в нуле не дифференцируема. Указание. Рассмотреть при 1 п = 1 оо 964) £ П = 1 1 (1 — (—2)2n+l) п-9" 2п+1 00 1 965) Е^Г^С082п — cos3n). п=1 оо 967) |х| < 1. 968)i = 0. 969) -1 ^ х < I. 970)-1 ^*^1. 971) х = 0. 972) |х| < оо. 973) |х| < 4=. 974) -1 < с < 1. 975) |х| < 1. V2 976) |х| < оо. 977) |х| < оо. 978) |х| < 2. 289
979) |х| < 980)-^Ux<^. 981) |х| ^ 1 при а > 1, \х\ < I при а ^ 1. 982) |х| < € 983) |х| ^ уД. 984) |х| < 2. 985) -\/b < х $ \/Ъ. 986) — 1 ^ х < 1. 987) |х| < 1. 988) |* + 3| < 3/2. 989) 0 ^ х < 2. 990) |х| < оо. 991)-10^х<0. 992) \х\ < оо. 993) |х — 1| < 3. 994)|х-1|^4. 995) |х - 2| < \/3. 996) -1 ^ х < 0. 997) |х + 1| < </2. 998) |* + 2| ^ 16' 999) |х + 1|< 1 1000) |х + 3| < 1001)-1^х<1 1003) 1 ^ X ^ 3. 1004) х ^ —3, х > — 1. 1002) -I <х-3< I 1005) х>-1 *<~\- ,лл.ч 1 л/2 11 л/2 1 Ю06) — — — С х С —, --<Х<— 1007) |х| < оо. 1009) — — + жк ^ х < — + тгк, к £ Z. 4 4 1010) — arcsin -^= -f жк ^ х ^ arcs in -^= + тг/:, к £ Z. 1011) | х ] < 1. 1014) |х| < е. 1017) |г| < 1. 1020) г € С. 1023) \z\ < у/1. уД 1012) |х| < 1. 1015) И < 1. 1018) г G С. 1021) |г| < е. 1024) |г + 2| < 2. 1013) ~<х<~ 5 1016) |х| < 1. 1019) \z\ < %/2. 1022) |г+ 1| < —. е 1025) |г-2|< -L. 290 СЛ | СО
у/2 1026) \z- 1| < 1. 1027) |*| < 1. 1028) |z — 1| < 1029) \z-i\ < 1. 1030) |аг| <1. 1031) \z +1| < -УТО. 1032) |z + 4*| < 1. 1033) \z + 1 + «| < 3.1034) \z - 2i| < 2. 1035) \z- 1| < 1. 1036) |z + i| < -^=. v2 1037) 4 + ln2(x — 4) + In 2(2 In2 — l)(x — 4)2 + 10 4 In3 2 — 6 In2 2 + 3 In 2 . + ш («-4)» + ... X2 X4 x6 1040) — + ] 6 180 2835 1 24 1041>1"3+5!2<I-le>-9™48<*-16>, + "" 1042) -ein 1 + |coel (* + 1)+ ~ 5 е0*1) ^ ^ ^ + 1046)l + i.1+A«' + ^«< +. 1047) ^ R = oc n=0 1019) f'(-1)"-52n+1i^1 Л лл -a ~(2пТТ)Г >Я-°°- n=0 291
n=0 oo 2nrn 1 •050) E— .*=2- n=1 /_i\n_3r.+l 1051)ЕЧт-'й=^ n=l OO 1052) Yi*2"' R=l n= 0 1053) l + lg + f^-l)"-1^^*", Я = 1. n=2 ' 4_ . ^4"-25-(3n-4)_n 1054) 1 - -x + 2^ 3^j * , Я - 1. n=2 -22- x2n '»“)Epr(boT'R=“' n=0 ' ’ _°° o2n+l_2n+l ,o“)-i:-^+ir,B=00- n=0 4 7 °° ( i\n-lo2n-l i Ю57) V i x2-1, Я = i ' 2n - 1 2 n = l inro4 x ^(2n-l)!! x2n+1 „ , 3+S (2n^!! (2n+^32n+i 00 f—Плгп 1059)*) л=о°- fiw"-* ^(-1)п (*-10)" p-^ б)е yT—• H-°° n=0 1060) 2вУ'^(*-а)п, Я =00. ^ n! 00 1 / 2\n Ш)Е/ |пз , Я = oo. n=0 ' 7 292
1062) а) - ^ f~T~) гП) ^ = °° п=0 ' ' П = 0 ' 7 , 1 ^-(*+2)"« „ ■)?Z- nf ' R = °° n=0 °° / 1 \n _2n °° /_ i \n _2n + l 1063)sin«g (2n), +cosa.g—— —r, R= oo. 1,|пж2п 1)пдт2п + 1 Юм) с».. £-553;—“••E-jsrnr'я=”' n=0 ' ' n=0 ' ' 3 (-l)n(l + 32r*-1) x2n, R= oo. n=0 oo v 3 ^ (-l)n + 1(32n - 1) / Я-\2"+1 „ «> l*"*) ’й = 0°- ,nfiBv 1 y- (~i)n(4«)3"+1 i (-1H2*)2"*1 2S (2n + 1)! 2^ (2,1 + 1)! ’ OO «£й(-Г (2п+1)! l)n2n / n^0{2n+l)!lI 6> - (_ir2?.-i (,_.)*• V3L, щх л-°°- rv=0 ' 7 Ю68) £ r '2n), , « = ~ n=0 ' — (-1)"!2"-1 (2n)! юб9),)|;(-')'1~'п(,-|)',д=1, 293
1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080 1081 294 n = l v (-l)"-1*3" _ у (-1)»-^" R=l n ’ n = 1 n = 1 q _°° qn _ i 6 У 1 -2n + l D 4„^(2^ТШ* 'Л-“- , A 22n-lx2n > + Е-(здг. * = »• n = l v ' ” (-l)n(4»-H-3n-n)jn 12"+i a) -2 + 2f;-^ '2(43пП-2)(» + 8Г, Д = 8. n = l 00 / МП-1 » Y' (-l)""1*2"-1 2 " 2n — 1 f» = l n(n + l) ..(n + 1) П = 1 ' ' if>+!)(„ +2)*", Д= 1. n=0 2. = 125. Ю | CO
infl'M I У"1 ^2n ~ x2n+1 r— i 1082) x + ^ R - 1. П = 1 ' ' ,лллх П (Z71 - 1 (2n — 1)!! x2n+1 R=\. f — llnx4n+2 ■«■«igpLnVi^i)’ я=о° д,2п+1 '»87)ЕнГр^,я='. П=0 ' 7 “ ~ x17n+1 1088) 1—L , R=l. 1089) £ pjj-j-p Я=1. ~ (.nn-Un 1 ~ x2n !°90)Е4г-'й=1 1091)-2^M^j!’ Д=°° n = 1 n=l v 7 — (-l)n4n*2n-1 1094) - jP —- Д= 1. Ю95) jPf-1)"*4". Д= 1. n=l n=0 1ллл\ i (— l)n(4-7 • (3n — 2)) 3n _ 1096) 1 + £ 3n,n; ■ « = 1. n=l 00 x2n, Д= 1. 295
1098) a) Д = оо; б) е3 £ il-i) п=0 п=0 ">")f~ У * п=О 1100) Ц^~*2п+1. я = оо- п=О *** 1101) 32^^T-(*+l)n. я = 0°- п=0 1102) 2^ *1п2^ 1Г{Ж. 1)", Я = оо. п=0 110»Ч ^ V'(_1)"'32n+1x2n+1 Ft - ею ПОЗ) а) ^ р»+1у; * п=0 ' V^^-(-l)"3S” ( TN»- n=0 Y' (-l)n32n+1 / JT\2"+1 2 ho (2n+l)! ' 4' (-1)"*2" 11°4)») Е^ГЩТ’ s=o° n=0 4 9 \2 n n=0 oo* fi\ /oV^ (-l)n(x + Я-/3)1- 6> V3L—p^rn—+ + £ (2n + l)!2ln+1 iX + 1 ^ 1 + 4-(—1)" no«)«) n=0 296 n —, Я = oo. Я = oo. = oo. = oo.
I со «2" 1107) a) (-1)* —-г2-1, oo. 1 ^(-l)"2"-4x-V2)2" *>2-E (йГЙ)! 'я-~' 1,08)b£wnF<I-'/4),’+,+ n=0 oo (_l)" + 1.24n 3 /4Ч2П n_ + 2^ Torn (*-*/4) - д-°°- n=l oo (2n)! 1109) Ei^(l + 3J"+1)l2n+1> Д=0°- 11|0>5£<-1»"((2Ь+1пт)*,”-я=~ Я = оо. n=0 “ 2n*3n+l it ш2> + »»,*€ z. 5!"+l”‘I,"«, R = oo. X2 X4 X6 1114),n4+2^-2^ + 3^- - * = 2 1H5) E —----- , Я= 1. П = 1 297
in6).)Lizia£ziz^+f н)г^, я=1. n=l n = l ~ (— 1)Пшт1(х — 4^n+1 6) 4 In 4 + (r — 4) In 4 + фГп + n = l T» = l 1117) a) ln3 + £-———n~3--- , R=\- (-"lj"-12" „ D_1 fiv ^(-l)"-1^- „ 1 6) ^—-—* , Я--. n = l oo / о \ " + 1 (A) *=t- n..,ta.-£(l)-fc±i£. «[-£?)■ n=1 N ' L 7 ,,„nl .^(-l)n-12n _ ^(-l)n-1xn „ 1 П20) a) £ !—i- *» - £ i—L- , R = n = l 4 ' n — 1 «4 n = l x ' n — 1 4 7 6) _in5+f;^(*-i)" + +£4%<->". *4 П= 1 4 ' 298 cs ico
1123) ln2+52a„xn, n=l On = 1 2*—1’ 1 ■ И)*"1 2 к 2* к n = 2Jk- 1, , n = 2k, 2n+l n=0 1127) 52 fl = l n » Д = 1 • (- l)»-1 f-U 1 n 1 \2n 3n (- ■I)""1 (- + l n \2n 3n 53" oo V ИГ V n 00 *"+i fl = l 1128) V'i—Я = 1. £5"+1 «»"+1 H29) l)I+" 91 -E fl = 1 fl = 1 00 / I i\n +E (-l)»-l(« +1)" Д= 1. n=l —HI "‘1У+£’Ч1 N ' n=2 N + ^|-j-(41-n - 9*-")^ , Л = 2. R = 2. Я= 1. : = 2. |x", д = 1. -)(*-l)n, Д = 2. Д = 1. x(x+l)n+1 ( n -(4-n — 9-n) + 299
I,*I,-,iD-,)-(!)V. «л. «ijD-O-(|)’(*-гг. я=5- n=0 ' ' И32)а) 1-£(-1)"£, Я = 2. n=0 оо б) 1-2£(-1)"(1+х)", Я = 1. п=0 1133) а) г5, Я = оо. б) — 1+5(х+1) + 10(х+1)2 +10(х+ 1)3+5(х+I)4 + (х+1)®, R — оо. 1134) а) г6 - 2х2 + 4х, R = оо. б) 3+6(х-1)+13(х-1)2+20(х-1)3+30(х-1)4+6(х-1)5+ + (х-1)6, Я = оо. ОО 1135) 52(-1)"(*-1)п+2+6(х-1)+6(х-1)2+2(х-1)3, Я= 1. п=0 п=0 у/ь- 1 1 -л/5 . 1 + у/Ь 1136) 4fE(*n+1-en+1)*n- ^ п = 1137)Ё(1_гят)*’' К=1 ,138)„?.(('0"+1_2"+‘)т' я4 00 1 1139) 52(2"+1 + 3")хП- R - к п=О 1140) + Я = 3. 7 ^ V 21 Зп 28 4" ) г»—П 4 ' п=0 300
1141) 1 - 2х + 2х2 - 2х4 + 2х5 + апхп + • • •, = 0, аз^_1 = 2, а3^_2 = —2, /: Е N, Я = 1. л, *уч 1 2х 2х2 Указание, /(х) = 1 - -——^ + г. 1-х3 1 - х3 00 1142 1143 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 Е*5" “ Ех5П+1> Я=1‘ п=0 п=0 оо £(-1Г(п+1)*п+2, Д = 1. п ~0 оо 5>+1)х3", Д = 1. п=О оо n=0 53 nx", Д = 1. n = l OO 2 " 2 , n=0 n=l 1 1 ~2n + l i op ~2n 5 E<-»*«" - 5o'E(-T— + 50 D-‘) V' n=0 n=0 n=0 Д = 1. jT((n+l)2+l]x", Д = 1. -gor-sf^-en X *4 Ё(3-3"-упт)*”’ я=‘ 301
ПСЙ\ 1 I V' (“1Г(2п- 1)"/ />\2п р_ 456) 2 + 2^ jT!23n+i (*-6) ■ R- П= 1 11 vn 2 J- if* - 41 -4- - V' (~0"(2n ~ O-'/j. 1157) 2+ 3(x 3)+ 3 2^ 32n(2n)!! ^ fl = l 4 7 . о Y' (~ 1)"(2« - 1)!! 2„ + 22w 32” (2«)!! (I_3) 1 R- n = l ' ' ~ (2n-3)!! 2n_, 1158)2-, (2n)!! * ft_1 n= 1 "“tD-Tp^rr+J. *-w. fl = 1 ' 7 „ 6n + 1 ^ 6n + 5 n=0 n=0 1182>1, 4n +1 +^„ 4„ + 3 ■ Л n=0 n=0 = 2. - 3)2n+1 + ;3. I = 1 = 1.
°° ( i \no2n— 1 i i 1163) arctg2+J]) ЦЬ-j— г2""1, n = l _ 00 ГГ4п + 2 »“>4+В«=^- |1в5>?-2',-|ет2!"м',п+г' я=^ П = 1 ' 7 МЯ7у f*(2n-l)!! х2"*1 ,,6Т)2^ (2л)!! 2п + 1 ’ п—О °° /т6п+1 г6п+5 \ П^В-.Г (вггт - SJ+») ■ R=1 п = 1 °° / _Зп+1 _Зп+2 \ 11«11:<-,>*(5Гм-5Гп)- *=■' „«,.^^+ffca^g^j}^. я=л — (2п)! *г"« „ 1 ' 2 1171) J*2 - 2х3 - 2 52 ^ ' 2 ^ (n!)2 2n+ 1 П= 1 х ' П72)У'^1Их2"+') Д=1. ’ ^ 2n + 1 п=0 1173И I ** I У'Г(2П_1)!! *2П+2^ д-1 1 + — + 2^ \(2п + 2)!! 2TTTl)' R -1 303
117<?\ (2n-3)!! 2n+i 1176) 2 6 ^ (2n+l)(2n)!! n ~2 1 ,77\ (2(n ~ •))" 2n p_i 1177)2. (2n + I’jli" ’ R~l П= 1 ' ' ™ f _ I \nT2n+4 11-78) \n > A. , , R = oo. } ^ (2n + 4)n! n =0 E- r_n^j.6n + l ,[ } ,wo R= oo. (6n+l)(2«)! 2n+l n=0 °° X OO xn + l "м>£нг<^П)№ x>0- 11831 i I *6 (2"-Wxs»+1 1183)x+12 + ^ 2"n!(5n + l) 1 • 1184) x + Y' (2n~1)!! r2n+i Я=1 I io4) x + 2_^ 2".n!(2n + l)2 ’ n = l ' ' ^ r2n+4 U85) S 2(2n + 2)(2n+ 1)!’ Я = °°
им,я. л—П * ' ' п=0 с» « = * П! п=0 1191) Ё(-1Г^“, Я = оо. п=О оо “ЧЕЖ-"-— v~'4 cos (па) хп , л ^ 1193) > —г— г, sina ^ О, Я = оо. 9 ^ sm ап! ^ п=0 ,194) f)S2f2f4^, Я = оо. п! п=0 1196) a) f;(-l)"-l,-»„2lr<"+1). Я п=0 1 2 2 5 17 , 62 9 1,97), + 5*’+1Г‘ + + 498) *- + J^«3 + - , **»*,*€ г. ‘>99) 1 + y + 5J*" + - • ,200) 1+|^ + ^+51|5««+.--. >»» 5 +**+*«’ + ■-- Ш2), ОО. = 1. = 1. 305
1203 1204 1205 1206 1207 1208 1209 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 SC Л 1 о 1 л 2 + Т ~ 12* “12х + “'' X 1 о 1 » 1 4 - + -х х Ч х + ■■■. 2 4 24 48 1 з 1 4 3 5 + 3* +5Х “lo1 + 2 - -х2 Н—— х4 + • • •. 6 120 тгх jtx2 / Зтг3 + 4лД з ~2 4 ( 24 jХ +" ■ х 1 , 1 4 1 1 х х -f • • • 2 12 720 х2 2х3 9х5 * + 2! + 1Г + "5Г + " ’ , 1 1 2 1 3 - 2х + 12* +Й* + -• 1 гг2 -I- 46 г6 -I- 1-1 +3* ~ 45 + "• 11 1 3 1 5 -2 + Т2Х" 720Г +46^!Х + , „ 5 , 8 з 65 4 163 5 1 + 2*+-х2+-х*+-х4 + —х5 3 , 4 , 4 89 5 409 X Н X -I- —г -4- X + X -+■ 2 2 3 120 720 , 2 з 2 4 13 5 13 6 х + х +зх +зх +ТГ +!Г _ ^_3 . ^9 5 _ 1301 7 6 + 120 5040 + , 1 1 2 1 з 49 4 1 х х — —х Н х + ■ • • 2 8 16 384 , 3 25 , 331 з '-Г+24* _ 720* + -• 5 , 101 , 4241 , х + -х + х Н х + • •. 6 120 5040 1 2 1 з 7 4 7 5 ,+ж+в* "6Х +72Х +40Х “ 1957 + ~720 * + •••■ 481 6 6480
~ 3 120" 252 1222) а2 + 2а6х + (62 + 2ас)х2 4- (2ad + 2Ьс)х3 + + (с2 + 2а/ + 2bd)x4 + (2ак + 26/ + 2cd)x5 + 1231) 1. ОО | 1232) £(п+1 )," = 7Г—- n=0 V П=1 ,И4) ‘+JL + ...+ (l 2 (2n- l)(2i> + 1) + +n(n+ I)-,!,) + °° / i \n- 1 o2n —2 °° / o\n 1^) E (2„ — 1)! • 1236> E = e'3' n=l v 9 n=0 1238) x - ~x2 + |*3 - ~x4 + • • • 1239) ^ -5*4 + Ш*в + ”- ,240),-£+!,• + .... , *2 5x4 53x6 921 о 23513 10 1241) l + y+_ + _ + _x +-fir* + •••
1251 1252 1253 1255 1257 1259 1260 1261 1262 1263 1264 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 + 1) + + I)2 + + »)3 + + П4 + ' I(*+l)+l(*+l)2+i(*+l)3+. . ry ~ 9 a 4 x3 x5 X + X2 + 2x6 + -X4 + • • .1254) X - — -f — + • • xx2 x4 x2 x4 ln2+2 + T~84!+ ' 1256) Y + T2 + X2 X3 X X2 x3 *-y + T + "- 1258) , + 2 "¥“48 + 2 - (2ln2)x + ^ln 2 + - In 2j x + • •. 4 з 4 c + 3 + 3 + 1 + 2x + 4x2 - 8x3 + - • • x2 2x3 x4 x5 ~X + T + 1_ + T“T+ ' l+l!+y + Bol6 + / x2 4x4 31x6 \ 4 ^ + ^T"^60+" 7' x x2 3x3 9x4 29x5 129x6 Т+2Г + 'зГ + 1Г + “sT + ~бТ~ + x2 x3 7 4 1+*+T“T"24* +"- x2 Зх4 8x5 3xe 56*7 119x8 440x9 + ;E+2! 4! ~5! бГ 4 7Г 8! 9!~ 1 + X + ^x2 + ?x3 + • •. X2 X3 T + y + ' ' *3 4 5 •+T + T6* +-- 3 5x4 5
1272 1282 1283 1284 1285 1293 1294 1295 1296 1297 1298 1299 1300 1303 1305 1308 с2 5х4 53х6 921а:8 1 + 2! + 4! + 6! (2 п)! 8! j \ 2п + 1 _п (n!)2(2n + 1) п=0 (I) 2 (2т»)! n=0 v ’ (2х) 2 п (2п)! 6^5 (n!)2 2n+ 1 П = 1 ' ' 6^4"-М(п-1)!]2.2п 1 + 32 + (2 п = 2 (2п)! .2 1 1 i+ 22 + 32 + (п - I)2 х х ~ 6 + 12 + У = х-у + 2г3 5х4 а а° а° а' ,5. , cJJ ir 13 3 у — а а х •+■ 5а х - 15а1 V* + 35а1'х4 + 4 х х V — j. h * * • • У 4 1024 s' = r, + 8T‘s+ • vl-l (У3-,Г У 2 24 оо п F(z) = '£snxn, S„=£afc. n=0 Wn = -945. 105 16 ’ у/Ъ (MVS)" n + 1 , n <= N. 1306) 0. 1309) 0. 1307) 0. 1310) -16! (l + ^). 309
1311)-^. 1312) —-г-- 5 4 ?(!)’ 1313) а) - в; б) о. 1314) 1315) 220-116е2. 1316) 1317)Ц^,п[(п + 1)|]. 1318) /<”>(0) = 0 при п = 2*. Jfc G N; /(">(0) = 2- (п - 1)! при п = 2к - 1, * € N. w>' 1320) —2z — \г3 ---- г2"-1 , 0 < х <+оо. 3 2п — 1 iooi\ - | 1 -2 , 1*3 _3 . | (2П ~1)!! а+1 , ^ 1 1321) г + -г +—, +...+ (2п),, , +..., 1323) ]Г^(л + 1)2Л cos2n 7 + < а? < + 2тг£, к £Z. п=0 Указание. —=— = — разложить по степеням сов X у2 у + 1 = сов х -I- 1 = 2 сов2 —. Z 1324) sinx + лгчм/о i\ (8*п s)2"*1- ^ (2n)!!(2n+ l)v ; Указание. Применить формулу х = arcein(sinx). 1325) | + £^3T(ctg*)2n"‘. n = l Указание. Применить формулу х = arcctg(ctgx) = - - arctg(ctgx). ОО 1326) 5^(-1Г-1 ^"-‘(гх), X Ф | + irk, kez. 310
1327) v/2V?+^=(v^)3 +^^(л/^)5 + - -. (К г <2. 1328) j(V^)3 ~ "*■ ■ "*" I ( П"-1 + I 0 < х < 1 + < 1> (а+1)„+ ’ 1329) \/2 ^\/*+^(V*)3-g(\/*)5-y(v^)7+ • ) . <К*<1. 1330) у = Л,'» + ‘ * + + _|_*> + .... .33i)» = ^,,2 + r + ^W-I'J+ " 1333) у = ^Зг>/3 - \х - :^*5/3 + • - -. 1Ж),= »Я^+^« + ^^+.... 1341) Сходятся ряды по столбцам и по строкам. Оба по¬ вторных ряда и двойной расходятся. 1342) Сходятся ряды по строкам и по столбцам. Один из повторных рядов сходится, а другой повторный и двойной ряды расходятся. 1343) Все ряды по строкам расходятся, все ряды по столбцам сходятся. Соответствующий повторный ряд и двойной ряд сходятся. 1344) При а > 1, /? > 1 сходится, при а ^ 1 или /? ^ 1 рас¬ ходится. 1345) Сходится при а > 2, расходится при а ^ 2. 1346) Сходится при q > 1, расходится при а ^ 1. 1347) Схо¬ дится абсолютно при а > 2, сходится условно при 0 < а ^ 2. 1348) Сходится условно. 1349) Сходится абсолютно при а > 1 и в > 1, расходйтся при а ^ 1 или 0^1. 1350) Сходится условно. 1351) Сходится абсолютно при а > 2 и 0 > 2, схо¬ дится условно при 0<а^2и0</?^ 2. 1352) Сходится. 1353) Сходится. 1354) Сходится условно. 1355) 1. 1356)—-—. р+ 1 1357) In2. 1358) ^ - In 2. 1359) 1360) iln2. 8 2 8 4 311
s 7. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1. Числовые ряды*1 ОО 1. Пусть а„ > 0 и ряд ^ а„ сходится. Доказать, что lim ап п — 0. n=l П-ЮО ОО 2. Пусть ап > 0 и ряд ^ ап сходится. Доказать, что ОО с П — 1 Е^п — расходится. П = 1 3. Привести пример сходящегося ряда с ненулевыми чле- ОО ОО Q а„, для которого ряд У — сходится. П = 1 П = 1 оо 4. Привести пример сходящегося ряда ^ а„ с положи- оо п = 1 тельными членами, для которого ряд ^ гп расходится. п= 1 оо 5. Привести пример сходящегося ряда ап с положи- оо П = 1 тельными членами, для которого ряд гп сходится. п = 1 6. Доказать, что для монотонной последовательности {а„} из сходимости ряда ^ а„ следует, что ап = о ( — V п -* оо. п = 1 ' 7. Пусть вп 4- 0, р > I и ряд У^вп' I — I сходится. П = 1 \П / СЮ Используя результат задачи 6, показать, что ряд а„ схо- П = 1 дится. оо 8. Привести пример сходящегося ряда ^ап с положи- п = 1 тельными членами, для которого lim пап > 0. п—*оо Всюду 5П обозначает n-ую частичную сумму, а гп — n-ый остаток, рассматриваемого ряда. 312
9. Пусть ряд ап с положительными членами сходится. П = 1 оо Доказать, что ряд сходится. n=l v'r"-1 10. Последовательность {ап} задана условиями а\ = 1, 2 00 °° Д a„+i = у. Доказать, что ряд £ а„ сходится, а ряд ^ —== П=1 П=1 V П расходится. оо 11. Пусть ряд ^ап с положительными членами расхо- п = 1 оо дится. Доказать, что расходится ряд П=1 ОО 12. Положим ап = 2П . Доказать, что ряд ^ а„ расхо- ОО п = 1 — СХОДИТСЯ. n=l n+1 13. Пусть {ап} и {6П} — две последовательности положи¬ тельных чисел, причем последовательность {ап} монотонна, ОО ряд ^Ьп сходится и ап = o(6n), п оо. Доказать, что П = 1 существует такая монотонная последовательность {/?п}, '«то 00 а„ = о(/Зп), п -> оо, и ряд Р” сходится. П = 1 Вывод из задач 9, 11, 13. Пусть {ап} — произвольная ОО монотонная последовательность. Бели ряд сходится, п=1 то существует такая монотонная последовательность {ЬЛ}> ОО оо что ап = о(Ьп), п -4 оо, и ряд ^ Ьп сходятся. Если ряд ^ ап П = 1 П=1 расходится, то существует такая монотонная последователь- 00 ность {Ьп}, что Ьп = о(ап), п —¥ оо, и ряд ^ Ьп расходится. п=1 14. Доказать, что для любой бесконечно малой последова¬ тельности {ап} найдется последовательность bn = (— l)v^n\ 313
<p(ri) =1,2, такая, что ряд а.пЬп сходится. п= 1 15. Пусть последовательность {ап} бесконечно малая и оо ряд \ап \ расходится. Доказать, что 1) для любого числа А п-1 найдется такая последовательность Ьп = (— 1)^п\ <р(п) =1,2, оо что ряд ^^ап6„ сходится к А, 2) найдется такая ПОСЛеДОВа- ri = 1 т тельность Ьп = (— 1)^п), <^(п) = 1,2, что lim 7 6„а„ = -f оо т-¥оо ^ п = 1 (сравните с теоремой Римана). оо 16. Пусть для ряда ап существует такая перестановка nr 1 00 </?(n):N <—► N, что ряд av>(u) сходится. Доказать, что п= 1 оо го ряды ^^(|an| -f an) и ^(|an| — an) сходятся или расходятся п=1 п — 1 одновременно оо оо 17. Пусть ряд ап сходится, а ряд \ап\ расходится. р Доказать, что lim —= 1, где Рт = V'fan + |а„|) и Nm = т~*оо /Vm “ т n= 1 = £(lanl ~ а")- п = 1 18. а) Доказать, что если последовательность положи- оо оо тельных чисел {an} монотонна, то ряды ап и 2та2*» П=1 П=1 сходятся или расходятся одновременно. б) Пусть {г*п} — монотонно возрастающая последователь¬ ность положительных чисел. Доказать, что ряды ■>£('-£:) “ «ЁОГ-О сходятся, если эта последовательность ограничена, и расхо¬ дится, если она неограничена. п — 1 т 314
19. Пусть {ап} и {6n} — Две последовательности положи¬ тельных чисел и существует такое число N € N, что ^ ^ для всех п > М. Доказать, что из сходимости ряда оп оо оо 6П следует сходимость ряда ^ ап. n = 1 us 1 оо 20. Пусть ап > 0 и ——1 = l-an. Доказать, что ряд ^ ап П=1 q сходится, если, начиная с некоторого номера, an > —, где 91 q > 1, и расходятся, если, начиная с некоторого номера, an < —, где q < I (признак Раабе). Я оо 21. Пусть ап > 0 и ^ciп ~ 1 —an. Доказать, что ряд ^ ап п = 1 7 Uin сходится, если, начиная с некоторого номера, ап > , 91 где q > 1, и расходится, если, начиная с некоторого номера, q Inn or„ < , где q < 1. fl 22. Пусть {an} — последовательность положительных чи¬ сел и lim \п ( -^2 1 ) — 1 Inn = Ь. Доказать, что ряд п-юо [ \an+i J J оо У] ап сходится, если 6 > I, и расходится, если 6 < 1. п = 1 23. Привести пример двух последовательностей {an} и {Ьп} оо таких, что ап ^ 6П для всех 91 6 N, ряд ^an сходится, а оо П = 1 ряд ^2 ьп расходится. п = 1 24. Привести пример двух последовательностей {an} и {&„} оо таких, что |а„| > |ЬП| для всех n € N, ряд а„ сходится, а оо П = 1 ряд расходится. П= 1 315
25. Доказать, что из сходимости ряда ап с неотри- п = 1 оо цательными членами следует сходимость ряда для п — 1 любого £ > 0. 26. Привести пример монотонной последовательности по- оо ложительных чисел {а„} такой, что ряд а2 сходится, a оо п = 1 ряд ^ ап расходится. п= 1 27. Доказать, что ряд 11 111 1 1 1п2 ~ 2ln2 ~ 21п2 + ЬГз ~ 31п3 ЗЙГЗ “ зТпЗ + + _1 1 1 1_+ _ у'д Inn nlnn nlnn nlnn " n’ П — 1 n членов где an = 1 m + m — 4 i ’ n= о ’ In m 2 1 m2 + m - 4 m2 + 3m - 2 —^ < n < , m In m ’ oo сходится, а ряд |a„|^signan расходится при любом q ф 1. n = 1 28. Пусть {an} — последовательность неотрицательных оо чисел. Доказать, что из сходимости ряда а„ следует схо- П=1 димость рядов. оо 1) Y ; 2) V ; й 1+а" ^1 + па" оо 3) 53max(an, ап+ь ап+2); п = 1 316
4) ^тт(ап, an+l)..., a2n-i); «n + Gn + 1 + h 02n-l . n = l oo •>£ П n = 1 oo oo 6) У ^ 'dn + 1 i 7) ^ ^ >/anan + l • • -a2n-l* n — 1 n = l 29. Пусть {bn} — последовательность неотрицательных oo чисел. Доказать, что из расходимости ряда 6„ следует п = 1 расходимость рядов: °о . оо 5Imax(6n’6n+1’ ^-0. 30. Пусть ГО, пф 2*, Ьп = < 1 fc W' "=2*’ Доказать, что ряд ^ 6п сходится, а ряд п — 1 оо ^тах(Ьп, 6п+ь.... Ь2„-|) П= 1 расходится (ср. с п. 4) задачи 28 и с п. 2) задачи 29). 31. Пусть {0, п = 2* — 1, 1 кеы. -к, п = 2к, ОО Доказать, что ряд 6„ расходится, а ряды п-1 l) £n/M^, 2) 5^min(6n, 6п+1,., 62n-i) п = 1 п = 1 сходятся (ср. с пп. 4), 6) задачи 28 и с п. 2) задачи 29). 317
32. Пусть [О, пф 2\ 6" = Ь к£П. СО оо Доказать, что ряд ^ 6П расходится, а ряд ^ схо- n = 1 п — 1 П п дится (ср. с п. 2) задачи 28). оо оо 33. Доказать, что из сходимости рядов а2 и ^ П=1 П=1 следует сходимость рядов: Iе*» I П=1 П= 1 П = 1 1)£|ап6„|, 2) £>» + 6»)2. 34. Пусть /(х) — непрерывная, строго возрастающая на [0; -foo) функция, /(0) = 0, lim /(х) = -foo, и д(х) — функ- х-ч+оо цця, обратная к /(г). Доказать, что для любых положитель¬ ных чисел а и 6 справедливо неравенство Юнга а о аЬ ^ / f(x) dx + Jg(x)dx. о о В частности, получить неравенство: ah ^ Аа1^ + /i-б1^, а>0, 6 > 0, 0<А<1,/1=1 — А. 35. Пусть /(х) — непрерывная, строго возрастающая на [0;-foo) функция, /(0) = 0, lim f(x) = +00, и д(х) — функ- х —► 4”Оо ция, обратная к /(х). Доказать, что если последовательно¬ сти {ап} и {Ьп} неотрицательны, то из сходимости обоих ря- оо оо оо дов Y2 a„f(a„), Ьпд(Ьп) следует сходимость ряда ^ апЬп П = 1 П = 1 П — 1 36. Пусть {ап} и {6П} — две последовательности положи¬ тельных чисел, 0<А<1,/1=1 — А. Используя результат задачи 34, доказать неравенство Гельдера: 318
1) для любого m Е N справедливо неравенство: £а„6п<(ЕаЛЛ(х;бЛ'; п = 1 \п = 1 / \п = 1 / оо °° JL 2) если ряды ^ ап и ^ сходятся, то сходится ряд П=1 П=1 /°° ЛХ /°° Л" ап6п, и его сумма не превосходит I a* I I W 1 • п = 1 \п = 1 / \г»=1 / 37. Пользуясь результатом задачи 34, доказать, что при q > 1 для любых положительных чисел а и 6 имеет место неравенство: аЬч~1 <; -(а9+ (?- 1)6’). Я 38. Пусть {ап} — последовательность положительных чи- L Л L а1 + °2 + ^ Лп П сел, 6о = 0, Ьп = . Пользуясь результатом п задачи 37, показать, что для q > 1 6* - тЬ6Г,а" * т~г[(п - m m 2> П=1 V П=1 39. Пусть {ап} — последовательность положительных чи- оо сел, g > 1 и ряд сходится. Пользуясь результатами П = 1 задач 36 и 38, доказать неравенство Харди-Ландау: 40. Пусть {а„} — последовательность положительных чи- оо сел и ряд ^а„ сходится. Пользуясь результатом задачи 39, П = 1 доказать неравенство Карлемана: оо оо \/ах аг-.. -ап ^ е У"\ап. П=1 П=1 319
41. а) Пусть последовательность {ап} монотонна, но не бесконечно малая. Доказать, что ряды ОО '"О У] а„ sin па, ап cos па п=1 п гг О расходятся при любом а ф тгк, к Е Ъ. б) Пусть последовательность {ап} монотонна, бесконечно малая и ряд ап расходится. Доказать, что ряды П=1 го оо ^«„sinna, ал П=1 оо k cos 7i а п = 1 « = I сходятся условно для любого а ф пк, к Е /£• Вывод из задачи 41. Для рядов со оо ^arlsinna и an cos na, n = 1 n = 1 где последовательность {an} монотонна, ус ловия I) lim an =0 n —► го го и 2) 5^|rtn| < -boo не только достаточны, но и необходи- п = I мы соответственно для сходимости и абсолютной сходимости этих рядов при а ф пк, к Е Ъ. + СО 4*2. Пусть / Е С^Г.+оо) и интеграл J f'(x)dx сходится I ГО абсолютно. Доказать, что сходимость ряда ^^/(70 зквива- + СХ) " = 1 лентна сходимости интеграла I /И dr. I 43. Доказать, что хотя бы одна ил точек 0 или 1 является предельной точкой последовательности {тгп — [тгп]}, п Е Н 44. Пользуясь результатом задачи 4.4, привести пример последовательности {an}, являющейся бесконечно малой, оо ДЛЯ которой ряд ^2 ап s*n п сходится абсолютно. П — I 320
45. Положим „ -А - Н)П + ' fln — bfi — J— у/й оо оо Доказать, что ряды ^ ап и ^ Ьп сходятся, а их произведе- П=1 П=1 , оо ние по Коши, т. е. ряд ^ сп, где ст = ai&m_i -f a2&m-2H 1- П = 1 -f ат _ 1Ь1 расходится. 2. Функциональные ряды и последовательности 46. Пусть последовательность непрерывных на М функ¬ ций /п(я) сходится равномерно на М. Доказать, что эта по¬ следовательность сходится равномерно на М. оо 47. Привести пример ряда ^tin(x), равномерно сходя- «=1 оо щегося на [0; 1] такого, что ряд ^ |ип(я)| сходится на [0; 1] п = 1 неравномерно. 48. Как показывает результат задачи 47, из условий: оо 1) ряд 5>n(z) сходится на Е равномерно, п = 1 2) последовательность {vn(x)} ограничена в совокупности на Еу оо вообще говоря, не следует, что ряд vn(x)un(x) равномер- п = 1 но сходится на Е. Какие дополнительные условия достаточно наложить: а) на последовательность {un(x)}; б) на последо¬ вательность {гп(х)}, чтобы можно было гарантировать рав¬ номерную сходимость ряда vn(x)un (х) на Е? оо п= 1 49. Пусть ряд ]>>2(х) сходится на множестве М к огра¬ n = 1 321
ниченной функции. Доказать, что из сходимости ряда а2 ОО П = 1 следует равномерная сходимость на М ряда ^ |anun(x)|. П-\ 50. Может ли последовательность разрывных на [а; Ь] фун¬ кций /п(х) равномерно сходиться на [а; 6] к функции /(х), непрерывной на [а; 6]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить, почему. 51. Может ли последовательность непрерывных на [а; 6] функций {/п(я)} равномерно сходиться на [а; 6] к функции, разрывной на [а; 6]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить, почему. 52. Привести пример последовательности {/п(я)}> равно¬ мерно на [0; 1] сходящейся к неограниченной функции /(х). 53. Пусть последовательность {/п(я)} равномерно сходит¬ ся на М к функции /(х), ограниченной на М. Доказать, что существуют такие числа А > 0, N Е N, что |/п(я)| ^ А для всех п > М и всех х 6 М. 54. Пусть две последовательности {un(x)} и {vn(x)} рав¬ номерно сходятся на М к ограниченным на М функциям и(х) и v(x) соответственно. Доказать, что последовательность {u„(x)vn(x)} сходится равномерно на М. 55. Привести пример двух последовательностей {un(x)} и {г?п(х)}, равномерно сходящихся на [0; 1] таких, что последо¬ вательность {tin(x)t>„(x)} сходится на [0; 1] неравномерно. 56. Привести пример последовательности {/n(z)}, Удо¬ влетворяющей условиям: 1) все функции /п(х) непрерывны на (0; 1); 2) для любого хоЕ (0; 1) последовательность {/n(*o)} монотонна; 3) последовательность {/п(я)} сходится к непре¬ рывной на (0; 1) функции /(х) неравномерно на (0; 1). Какое условие теоремы Дини нарушено? 57. Пусть последовательность непрерывных на [а; +оо) функций /п(х) сходится к непрерывной на [а;+оо) функции /(х) и при этом: 1) существуют lim /(х) — А и lim /n(z) = Ап, Vn E N; X —► -f- OO X —► -f- oo 2) lim An = A\ n—►oo 322
3) для любого хо € [а;+оо) последовательность {/п(хо)} монотонна. Доказать, что последовательность {/п(х)} сходится рав¬ номерно на [а; +оо). 58. Пусть последовательность непрерывных и монотон¬ ных на [а; Ь] функций /п(х) сходится к непрерывной на [а; 6] функции /(х). Доказать, что последовательность {/п(х)} сходится на [а; 6] равномерно. Верно ли будет аналогичное утверждение на компакте К? 59. Пусть последовательность непрерывных на (а; /?) фун¬ кций /п(х) сходится на (а;/?) к /(х). Доказать, что для не¬ прерывности / на (а;/?) необходимо и достаточно следую¬ щее условие: для любого отрезка [а; 6] С (а; /?) и любых чи¬ сел е > 0 и N 6 N существует конечный набор интервалов Uq С (от; 0) и чисел nq 6 N, 1 ^ q ^ Q} таких, что 2) п, > Я, 1 s: q ^ Q; 3) |/п,(*) - /(*)I < е для всех * € Uq, 1 ^ q ^ Q. 60. Привести пример последовательности непрерывных на [0; 1] функций /п(х), сходящейся на [0;1] к функции / ? 61. Привести пример последовательности непрерывных на [0; 1] функций /п(х), сходящейся к непрерывной на [0; 1] функции, и такой, что 62. Привести пример последовательности непрерывных на [0; 1] функций /п(х), сходящейся к непрерывной на [0; 1] функции /(х), и такой, что Q 1) 9=1 5 Л[0; 1]. О о 323
63. Привести пример неравномерно сходящейся к /бС[0;1] последовательности непрерывных на [0; 1] функций /п(я) та¬ кой, что 1 1 lim [ fn{x)dx= f f(x)dx. n-*00 J J Вывод из задач 60-63. Условие равномерной сходи¬ мости интегрируемых на [а; Ь] функций существенно, но не необходимо для возможности перехода к пределу под знаком интеграла. т 64. Занумеруем множество чисел ^>1 ^ т 2Ч — 1, £ N, /z mn и обозначим через элемент этого множества с номером п. Положим /п(х) = 1, 0, х = ( тп 1 ■е |^-оо; U U[^ + 2^;4°°)’ (тп 1 mn \ \2^п 2<*"~1 1 2?" / (х-—х ^ + ——\ \ 2?" 2*"-1/ \2^п ’ 2^ 29"-1/ (см. рис. 4). Показать, что последовательность {/п(я)} расходится в 1 каждой точке отрезка [0; 1], но J /^(х) dx -> 0, п —► оо. о 65. Показать, что последовательность гладких функций /п (х) = -7= sin пх равномерно сходится на IR, а последова- у/П тельность ffn(x) расходится при любом х £ №. 66. Пусть 1 - (х — \)2п /п(х) = * х G [0; 1], 324
fn(x) Рис. 4 fn(x) = ~, х>1, fn{x) = -fn(-x), X < 0. Показать, чт? 1) fn E для любого n E N; 2) /„(x) =3 /(x) = 0 на отрезке [—1; 1] , 3) /^(1) = f'(-l) = 0 для любого n E N; 4) /40) = 0 / iim /„(О) (см. рис. 5). n—юо 67. Пусть <Pn(x) = 0, /„ [2’+' (« - ,&.)! + i , 1 2ч+1 n2«’ n’ x ^ 0, x€ I \2e ’ 2«-1 ?€N, *> 1, где fn(x) — функции, определенные в задаче 66. Показать, что 1) 'Рп Е C!(IR) для любого n Е N; 325
Рис. 5 2) <pn(z) =4 ¥>(*) = 0 на К; 3) последовательность 'р'п(х) сходится на R; 4) для любого q € N имеем <р' (^jj =0 ф <р'п 68. Функция /о(х) определена условиями: ( *■ [°:^1 ■ .) /„(«>= ' [l х, х € ^2, lj , 2) периодична с периодом 1. /о(4я*) Положим /„ (*) = (см. рис. 6) и /(*) = £ /nW- 4 It-о nAAAM/V. _3_ 4» j L_ 4W 24" 1 J_ 3 2_ 2 4* 4» 2 4* 4n Рис. 6 326
Показать, что /(х) непрерывна на R и не имеет производной ни в одной точке iGM- 69. Показать, что последовательность равномерно сходится на К к функции /о(я) из задачи 68. Пользуясь этим, доказать, что непрерывная, нигде не диффе¬ ренцируемая функция /(х) из задачи 68 может быть предста¬ влена как предел равномерно сходящейся последовательности функций класса С°°(М). Вывод из задач 65 и 69. Условие равномерной сходимо¬ сти последовательности производных существенно для диф¬ ференцируемости предельной функции даже при условии, что все функции этой последовательности бесконечно гладкие и последовательность сходится равномерно. °° (х 1) 70. Пусть /(х) = ^ —. Показать, что п = 1 а) /(х) определена на [1;+оо*); б) /(х) £ С°°(1; +оо); в) 1 < /(х) < х для всех х 6 (1;+оо); г) liraI f(x) = 1 Ф /(1); Г-П + д) прямая у = х — 1 является правой асимптотой графика функции у = /(х). 71. а) Пусть последовательность {6П} монотонна и Ьп = оо. Доказать, что последовательность 5т(я) = =°G>" = ^ bn sin пх ограничена в совокупности на [0; 2тг]. п = 1 б) Пусть последовательность {frn} монотонна. Доказать, что условие 6„ = о п —► оо, необходимо и достаточно оо для равномерной сходимости ряда ^P6nsinnx на [0;2тг]. п = 1 327
72. Пользуясь результатом задачи 71, привести пример оо равномерно сходящег ося на [0; 7г] ряда Ьп sin х такого, что оо П-1 ряд £|‘ yisin7ix| расходится при любом х £ (0; 7г). 73. Пусть <Рп{х) = 0, х = 0, 1 1 У" V " г- sinnx ч /8 у/п Показать, что 1) у?п(х) =4 0 на [0;2тг]; 2) для любого хо 6 [0;27г] найдется такое п0 € что последовательность у?п(хо), п ^ По, монотонна; оо 3) ряд ^ <р„(х) sin nxsin х сходится на [0;27г] неравномер¬ но. 74. Пусть ряд cos пх + 6n sin пх) сходится на Отрез¬ ав ке [«;/?]. Доказать, что lim (|ап| + |&п|) = 0 (ср. с задачей 44). п —* оо оо 75. Показать, что функция /(х) = e_fl cos п2х имеет гг = 1 производные всех порядков в любой точке х € IR, а ее ряд Тейлора с центром в нуле имеет нулевой радиус сходимости. оо 76. Показать, что радиус сходимости ряда ^ п,ппхЛ pa¬ ri = 1 оо вен 1 и для любого натурального q ряд Ьп,?*"*9, получен¬ ий ный (/-кратным почленным интегрированием данного ряда, расходится при |х| = I. 77. Доказать, что если |х| < 1, то из сходимости ряда оо оо Х>п(х) следует абсолютная сходимость ряда ^ tin(x)xn. п = I п = 1 328
78. Доказать, что если ряд ап сходится, то ряд п = 1 °о а хп °°^ —-—- сходится при всех х, |х| ^ 1; если же ряд ап гг=1 1 “ ХП п = 1 оо расходится, то на множестве {х : |г| ф 1} ряды £апхп и п — 1 ОО п Еапх одновременно сходятся или расходятся. оо 79. Пусть М\ — множество сходимости ряда и п = 1 П=1 оо . п!а„ М2 — множество сходимости ряда . . ^*(х+1)...(* + п) Доказать, что М2 = Mi -{0, -1, —2,..., —т,...}, теП. 80. Используя равенство оо sin X -п(-£) п = 1 4 ' (см. стр. 74), получить равенства: 00 л 1 0° 1^2* 1 ~ / 1 1 \ 1. ctg х = - + V -г 5-г = - + V + — ) X ' х^— 7Г*П* X V® — *ГП Х + 7ГП У п=1 п=1 4 ' х ^ 7гА: , к 6 Z. 2х п — 1 х 2. tgX— 2 (2п-1)»>а 3.^- =-4^-1)”—* sin X х — п — \ оо = 7 + £Н)п(-^ + ;гггг). ****• keZ' X V X — 7ГП X 4“ 7Г71 У n = l v ' 329
1___L ^ f 1 1 \ l2 x ~ x2 + " \ (x — 7m)2 (x + тгп)2 / ’ fl = 1 7 4. sin x ф 7гАг, к € S. 81. Используя равенство sin £ тт x л* = I 1 cos —, 0 < x < — x 11 2" 2 n = 1 (см. задачу 561 стр. 220), доказать, что ОО 1 , El X I ТГ 2^ 2" = I — gх’ 2 П=1 82. Используя равенства оо оо / 2 \ sh* = х Л (l + ^5^2) > х = П ( I + -(2^1)а,2 ) п~\ п=1 \ 4 / получить равенства 1 °° 1. cth х — —Ь 2х X XZ + 7Г2П2 ’ 2 1 = 1 I у-У1)"2* shx х X2 + ТГ2П2 п = 1 3. Суммирование числовых рядов методами (С, 1) и Абеля ОО Пусть дан ряд ап. Сопоставим ему последователь- Si + S2 + • • ■ + Sn ж ность сгп = средних арифметических его п частичных сумм. Если существует lim <тп = 5, то говорят, п- — что ряд ^ ап суммируется методом (С, 1) (методом средних п = 1 арифметических) к числу S или, короче, (С, 1)-суммируется оо к 5; если величина S несущественна, то говорят: ряд ап (С, 1)-суммируем. n=1 330
Пусть дан ряд а„. Если ряд ^ апхп 1 сходится на ин- п=1 п=1 оо оо тервале (0; 1) и lim апхп~1 = S, то говорят, что ряд У] а„ п=1 п=1 суммируется методом Абеля к числу 5; если величина 5 несу- оо щественна, то говорят: ряд ап суммируем методом Абеля. п = 1 оо 83. Доказать, что ряд сходящийся к числу S, п = 1 (С, 1)-суммируется к тому же числу S (регулярность (С} 1)-суммирования). оо 84. Доказать, что если для ряда } а„ имеем lim Sn = +оо, ' п—юо П=1 то lim <тп = -fоо. 71 *Т W | »• 85. Показать, что 5П — <тп = — (гп — 1)ат. т=2 оо 86. Доказать, что из сходимости ряда ^а„ следует, что m n = 1 пап = о(т), т —► +оо. П=1 87. Привести пример последовательности {ап}, не являю- оо щейся бесконечно малой, для которой ряд ап (С, 1)-сум- п = 1 миру ем. оо 88. Доказать, что из (С, 1)-суммируемости ряда ^ ап п = 1 следует, что an = o(n), n —► -f оо. 89. Пусть ряд (С, 1)-суммируем и ап = <>(-)> п=1 \п / п —у оо. Пользуясь результатом задачи 85, доказать, что этот ряд сходится. 90. Привести пример бесконечно малой последовательнос- оо ти {ап}, для которой ряд ^ап расходится, но (С, 1)-сумми- п=1 руем. 331
91. Доказать, что ряд ^^ап, сходящийся к числу 5, сум- п = 1 мируем методом Абеля к тому же числу S (регулярность сум¬ мирования методом Абеля). оо 92. Показать, что если ряд ^an^n_1 сходится на (0; 1), п— 1 то для х € (0; 1) справедливы равенства оо оо 1) ^2апхп-' = (1 - П — 1 П = 1 оо оо 2) ^a„xn_I = (1 -х)2У^п<тпд"~1. П=1 П=1 93. Пусть последовательность {an} такова, что ряд оо т Еапхп сходится на интервале (0; 1) и lim / ап — +оо. т—юо п=1 п=0 Пользуясь результатом задачи 92, доказать, что оо lim ) anxn~l = -foo. I —► 1 — * П—\ 94. Пользуясь результатом задачи 92 и равенством оо 1 = (1 -х)2^пхп'\ х € (0; 1), П= 1 оо доказать, что ряд а„, (С, 1)-суммируемый к числу 5, сум- п = 1 мируется методом Абеля к тому же числу S. 95. Пользуясь результатом задачи 88, привести пример оо ряда , суммируемого методом Абеля, но не суммируе- П=1 мого методом (С, 1). оо 96. Доказать, что если ряд ап суммируем методом п = 1 Абеля, то ап = о(1 -f е)п, п —► оо, при любом е > 0. оо 97. Доказать, что если ряд ап суммируется методом п = 1 332
Абеля и ап = о ( — j, п —> оо, то ряд ^ ап сходится. 00 п —1 98. Доказать, что если ряд ^ап суммируется методом ОО П=1 Абеля и ап ^ 0, то ряд ап сходится. п — 1 4. Бесконечные произведения 99. Пусть {рп} и {gn} — последовательности положитель¬ ных чисел, для которых сходятся бесконечные произведения: оо оо Рп и JJ qn • Что можно сказать о сходимости бесконеч- П —1 П-1 OO OO OO 1 ных произведений: 1) П(р«+?");2) Прп-а>°;3) П —; п = 1 п = 1 п = 1 4) пПт1’ П-l П — 1 100. Доказать критерий Коши сходимости бесконечно¬ го произведения: условие — для любого € > 0 найдется чи¬ сло Af(e) £ N такое, что для любых натуральных чисел т п+т и п > Af(e) справедливо неравенство (П*) <7=п необходимо и достаточно для сходимости бесконечного про- оо изведения рп, если рп > 0, Vn £ N. П= 1 101. Пусть последовательность {рп} монотонна. Дока- оо оо зать, что бесконечные произведения П Рп И П p\l сходятся п = 1 </=0 или расходятся одновременно. 102. Пусть последовательность {рп} монотонна, рп > О, оо Vn £ N, и произведение Рп сходится. Доказать, что
оо 103. Пусть рп ^ 1, Vn £ N, и произведение рп сходится. п = 1 Доказать, что lim nlnp„ = 0. n-f оо 104. Привести пример последовательности {рп} такой, оо что рп ^ 1, произведение рп сходится и lim nlnpn > 0. п = 1 5. Двойные ряды Для последовательности с двумя индексами ат п, го, n £ N, введем обозначения: Al,o(flm,n) — <*т,п ^т + 1,п, ^0,1 (®m,n ) — ®m,n ®m,n + l j Al,l(®m,n) — ®m,n ®т+1,п Ят,п+1 ®m+l,n+l = = Ai,o(am,n) — Ao,i(am+i,n)- Последовательность атп называется убывающей, если Ai,o(am,n) ^ 0 и До,1(ат п) ^ 0 для всех m, п £ N. Последо¬ вательность am n называется убывающей в строгом смысле, если Ai,o(am,n) ^ 0, A0(i(am>n) ^ 0 и Aitl(am|n) ^ 0 для всех 771, п £ N. Для двойных сумм имеет место преобразование Харди, аналогичное преобразованию Абеля простых сумм: т п т— 1 п — 1 « = 1 j = 1 i = l j = 1 m— 1 n — 1 “Ь ^ ^ ,n&\,o{b% ,n) 4“ ^ ^ ^n(j Aq,1 (bm,j ) "Ь 5тпЬтп , »=1 J=1 » J где *•.; = YlYlaP4 q=1p=l 105. Пусть am n > 0, m,n £ N, и существует g < 1 такое, am,n+1 . am +1,1 /T что ^ q и ^ g для всех m,n £ N. Доказать, am,n am,l oo ЧТО ряд am,n СХОДИТСЯ. m,n = 1 334
i тт _ л I _ n am,n +1 ^ ^m,n + l a>m+1,1 ^ 106. Пусть am n > 0, 6Ш|П > 0, —2 ^ t~ , ^ ®m,n *m,n Am, 1 ^ -Г1'1 для всех m, n G N. Доказать, что из сходимости °т, 1 оо оо ряда ^ bfixtix следует сходимость ряда ®ш,п • m,n = l m,n = l 107. Пусть am n ^ 0, m, п Е N, и существует такое g < 1, что m+^/amn ^ q для всех m, n G N. Доказать, что ряд оо am,n СХОДИТСЯ. m,n = 1 108. Пусть /(х,у) > 0 на [а;+оо) х [6;+оо). Доказать, что из условий 1) при любом хо G [а; +оо) функция f(xо, у) убывает; 2) при любом уо G [6; +оо) функция /(х, у0) убывает; 3) при любом х G [а; +оо) определена функция +оо ♦(*) = J f(x,y)dy, ь +оо 4) интеграл j Ф(х) dx СХОДИТСЯ, а оо следует сходимость ряда /(a + m,Hn). m,n= 1 109. Пусть атп > 0, m,rr G N, и последовательность am,n — убывающая. Доказать, что ряды оо У am „ и 2 2р+<?а2»,2« m,nrl Р,<7=0 одновременно сходятся или расходятся. 110. Пусть {а„} и {Ьп} — две неотрицательные после- р довательности, р > 1, q = -. Пользуясь результатами Р- 1 оо задач 39 и 36, доказать, что из сходимости рядов а£ и п = 1 335
°° °° Q b bqn следует сходимость ряда ———. n — 1 m,n = l 111. Пусть последовательности am n и bm n удовлетворяют условиям: 1) существует такое число А, что т п £Х>.; »=ij=1 всех m, n Е 2) последовательность Ьт п — убывающая в узком смысле. т п Доказать, что ^ Ab\ti для всех m,n Е N. ;=1j=i 112. Пусть последовательность ат п — убывающая в уз¬ ком смысле. Используя результат задачи 111, показать, что если ат 1 -4 0, т —У + оо, и ain 4 0, n -) -foo, то ряд оо ^2 (--l)m+"am,n СХОДИТСЯ. m,n = 1 ИЗ. Пусть последовательность атп — убывающая в уз¬ ком смысле и lim am i =0, lim a\ n = 0. Доказать, что m—юо ’ n—foo ’ ряды oo oo 1) am n cos na cos n(3} 2) am n cos na sin n/?; m,n= 1 m,n = l oo 3) £ am n sin nar sin n(3 m,n= 1 сходятся при любых а ф nk, /3 ф nq, k,q E Z. 114. Пусть радиус сходимости каждого из степенных ря- оо оо ДОВ ЕЯпхП и £ 6пхп равен 1. Доказать, что для всех х, П — 1 п=1 СО оо оо оо |х| < 1, сходятся оба ряда ^ an Ьтхтп и ^ 6m anxnm п — 1 т= 1 т= 1 п = 1 и суммы их равны. оо 115. Пусть ряд am nxmt/n сходится в точке (хо,уо)- m,n= 1 Обозначим через Rn и Ят радиусы сходимости рядов 336
оо ои ат пхгп и ат,пуп соответственно. Положим т— 1 n = 1 а = min(|xo|, inf Яп), b — min(|yo|, inf Ят). Доказать, что ряд <im,n*myn абсолютно сходится в точ- m,n = 1 ке (х,у) G (-а; а) х (-Ь\Ь).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 3. Например, a2q-i = a2q = —, q Е М. Я Я +оо 1 „ f dx 1 4. Например, ап = -х. Здесь гп ^ / — = —— J х* п -f 1 п + 1 + 0О 1 / dx I 5. Например, а„ = Здесь 0 < гп ^ / — = — п п 6. Указание. Для произвольного п 6N рассмотреть а,. Н*1 '(») ' = О , п ->оо, т- е. a„f = о . п 7. Решение. Так как последовательность монотонна, то из сходимости ряда anp I — I следует, Ел! Умножая обе масти этого соотношения на anp , получаем, что / EzlL / 1 \ Р \ ап = о \ апр - , п —> оо, откуда и следует требуемое утверждение. 1 2 1 2 8. Например, an = —г, пф тп , an = —, п = m , n, m Е N. гк п оо 9. Сходимость ряда ■ ■ п- следует из неравенства О <; -g!L- = r?-LT.Гл = у/Тп— 1 -^/Гп— 1 _ / /Z /Г“\ \/Ггг“1 ^ о/ /Г /Г~Л — (y/rn — 1 л/гп)' у ^ 2(>^ГП _ 1 у/гп). Vrn- 1 10. Решение. Из условия следует, что для любых п Е N an и р Е N имеем неравенство: an+p ^ Отсюда получаем, 338
1 00 во-первых, что 0 < ап ^ -- и, следовательно, ряд ап п=1 сходится, во-вторых, что rn^al (j + \ + - +2^Г+ •) = а« оо и, следовательно, —= ^ 1, поэтому ряд у, “7= расходится. V*» „=1 vr" 11. Решение. Из соотношения ат , ®го+1 , , х Sg Sm—q , ы . м + > -3—~m€N,fl€N)?>m, *^m+l oo и расходимости ряда ап следует, что при фиксирован- П=1 ном тп lim + M ^ 1, !-*•+«> \bm ья/ q-f+oo y^m откуда в силу критерия Коши вытекает расходимость ряда ОО Ет П=1 Л 12. Указание: Sn+i >an*2n. 13. Решение. Положим no = 1 и определим числа пя, q € N, условием nq = min{n : п > ng_ 1, Ьп < Ьт^-Л- Так как Ьп —► 0+ при п +оо, то числа nq определены для всех q 6 N и nq | -foo. Положим рп = 6n^, nq ^ n < ng+i. Если пя^п< п9+1) то справедливы неравенства 0 ^ /?п = ЬПя ^ 6П в 0 ^ ~ ^ -г"1* Первое из них показывает, что ряд Рп оп ОО 4 9 ЕРп сходится, а второе — что lim = 0. П—►ОО рп П—1 ОО Нп 14. Указание. Если ряд |an| сходится, то bn = 1 для П = 1 всех п 6 N; если этот ряд расходится, то утверждение дока¬ зывается аналогично теореме Римана. 15. Утверждение доказывается аналогично теореме Рима* на. 339
17. Утверждение следует из соотношений: lim Рт - lim Nm = +00, Sm = Рт - Nm. m—►+00 m—►+<» 18 а). Указание. Сравнить последовательности и Sq, п п где 5„ = У^ач, Sn = У^2га2г. <7=1 г=1 18 6). Решение. 1. Из условий следует, что для любых натуральных тир справедливо соотношение m+p / v т+р ttm+p + 1 ~ um ^ / j _ tin \ _ цп+1 ~ Цп ^ «т+р+1 n=m V «п + 1 / п=т «п + 1 (1) ^ ttm+p+1 ~ um ^ ^т+р+1 ~ ит s s • «т+1 Щ Если последовательность {un} неограничена, то при фикси¬ рованном m lim “m+p+1 ~Um = 1, р-юо ит+р + 1 откуда в силу соотношения (1) и критерия Коши следует рас¬ ходимость ряда } (1 ]. Если последовательность {un} ограничена, то она сходится, следовательно, в силу кри¬ терия Коши для любого е > 0 найдется такое N{£) € N, что О < tim+p+i — tim < £-u\ для всех натуральных рит> М(£), откуда в силу соотношения (1) следует, что для этих р и т т+Р ✓ ч имеем: 0 ^ [ 1 — ) < £ и в силу критерия Коши ряд “п + 1/ Ef1-—) h'l v u«+i) сходится. Пункт 2) доказывается аналогич- \ un + l/ но. 19. Утверждение следует из неравенства аПо+ч ^апо -!Г±1> ?€N. ®п0 340
20 Указание. Использовать результат задачи 19 и при¬ знак Гаусса. 21. Решение. Из условия следует, что ап = ел|п^1_ап^, q In п t . . л ч 1 — ап > 0. Если ап > , q > 1, то имеем: п 1п(1 — ап) < 71 ^ < — пап < —q\nn, откуда следует, vto 0 < ап < —, q > 1, п* оо . Е_ q\nn ап сходится. Если 0 < осп < , 0 < q < 1, для п п — 1 п > УУо, то ап —► 0, п -* +оо, и, следовательно, найдутся та¬ кие числа </1, 0 < </1 < 1, и N] € N, что 1п(1 — а„) > — 71 для п > N\. Отсюда получаем, что ап > —0 < q\ < 1, п?1 оо тг > N1, и ряд ап расходится. Если же существует бес- 71=1 конечная подпоследовательность пи, для которой аПк ^ 0, то оо расходимость ряда ап следует из того, что lim ап ^ 1. . п —► оо П — 1 22. Решение. Проведем доказательство для случая Ь < 1. Доказательство для Ь > 1 проводится аналогично. Из условия п __ \ 1 In 71 = 6 lim n —► + оо „(-5Ъ--Л-1 . Van +1 / 1 следует существование таких чисел £, 0 < 5 < —, и /Vj, iV] 6 что для п > N\ справедливо неравенство 71 ^ — 1^ - lj 1ПП $ 1-1 и, следовательно, ^ 1 + — + — , n > N\ Положим an+i n nlnn 1 00 n iV n ^ 2. Так как ряд } a„ расходится, то в n(lnn)1 ' v ’ n=2 силу результата задачи 19 для доказательства расходимости 341
ряда ^ ап достаточно найти такое число /V, N £ N, что при п = 1 п > N справедливо неравенство ап ^ _ап_ (2) «п+1 <*п + 1 Возьмем такое N2 £ N, чтобы для п > N2 выполнялось нера¬ венство In ^1 + ^ ^ (l - ^ Тогда для п > N2 имеем, что -Въ^Л + Г) ('iHtLtll')1'* = orn+i V п) \ \пп J -ИХ'-^Г > 1 1 - е > 1 н— н . п п In п Отсюда следует справедливость неравенства (2) при п > max(Ni, N2), что и завершает доказательство. 23. Например, ап = Дг, 6П = — 71 П (-1)П + 1 1 24. Например, ап = — , Ьп = ) - Т1 « • п п-f 1 26. Например, ап = —. п 27. Решение. Так как для данного ряда Sma+m_, =0, т- 2, 3,..., —— 1 m2 + m — 4 m2 + 3m — 4 0<S"<i^' 2 <л< 2 ' го этот ряд сходится и его сумма равна нулю. Так как ап —> 0, п -* оо, то для q ^ 0 последовательность {|an|9signa„} не является бесконечно малой, таким образом, оо ряд ^lanl’signan расходится. Пусть q > 0, q ф 1, пт = П = 1 m2 -f т — 6 • / ч = , т = 2, 3,..., и — соответствующая ча¬ 342
стичная сумма ряда ^ \ап\я sign ап. Записав в сумме 5^ П = 1 сначала все положительные, а затем все отрицательные сла¬ гаемые, получим: т < тп гм 4 / « \ “ 5Z „9 ln« п = (* “ ^Т) ' п = 2 п = 2 п=2 4 7 Для любого q > 0, д ^ 1, разность 1 ^у, п = 2, 3,..не 1- 1 „9-1 > Сq меняет знака и существует такое Ся > 0, что для всех п = 2, 3, Следовательно, m 1 m=2'3 n=2 °° 1 откуда в силу расходимости ряда ^ г—^— при любом q > О ' lnv п п = 2 следует, что lim \Sft | = +оо при любом q > 0, q ф 1, что т—>■ -f-oo т оо и доказывает расходимость ряда \<*п\я signan при q > О, П = 1 q ф 1. ^ 28. 1) Следует из неравенства 0 ^ -—-— ^ ап. 2) Сле- а °п дует из неравенства 0 ^ -—-— ^ ап. 3) Следует из нера- 1 + пап венства max{an, an+1, an+2} < an + «п-i-i + <»n+2- 4) Следует из неравенства min{an, an+i,..., a2n-i} ^ an- 5) Обозначим через 5„ последовательность частичных сумм ряда Е П=1 Тогда + <*n + l + 1- 02*1 — 1 5 , 02 + 03 , fl3+a4 + a5 «. = «■ + —j—+ j an-f an+i-f • • •-f в2п-1 ^ 343
^ а, + °Л + °3(\ + \) + 04 Q + ■ ■ + + а’(^ + ^т + "+тгт)+ "+ + агп~1{ъЬт+2^2+'"+1) < Е х ' g = 1 Я Полученное неравенство показывает, что ряд Efli + оз + • • • + q2n-l п П = 1 сходится. 6) Следует из неравенства между средним геоме¬ трическим и средним арифметическим. 7) Следует из п. 5 и неравенства между средним геометрическим и средним ариф¬ метическим. 29. 1) Так как -—= 1 , то для сходимости ряда 1 + bn 1 -|- Ьп °° 6 необходимо, чтобы 6„ -* О, п —У +оо, а при этом ЬПуп —у -foo, и расходимость ряда > — следует 1 + Ьп ^ 1 + 6„ оо из расходимости ряда 6„. 2) Следует из неравенства п — 1 max{ bn у bfi ,.. •) ^2n—i} ^ bn. 30. Решение. Если 2* + 1 ^ п ^ 2/с+1, то 2*+1 + 1 ^ 2n- 1 2*+2 - 1, следовательно, ^^х{ dfi, An -f-1) • • • ) &2п — 1 } 2^ 1 для 2* + 1 ^ п ^ 2* + 1. Отсюда получаем неравенство: г^ 2 к j У! max{an, an^i,..., a2n-i} = 2^+7 = 2 ’ п = 2* + 1 344
что и доказывает расходимость ряда оо ^ ^ шах{ап, Дп+1) • • •) а2п—i}- п = 1 33. 1) Следует из неравенства |ап6п| ^ ^2) Сле¬ дует из неравенства (ап + 6П)2 ^ 2(а2 -f 62). 3) Следует из п. 1). 34. Решение. Построим график функции у — f(x) (см. а рис. 7). Величина S\ = J f(x)dx представляет собой пло- о щадь фигуры, ограниченной полученной кривой, осью ОХ и ь прямой х = а; величина S2 = J д(х) dx представляет собой V0 площадь фигуры, ограниченной полученной кривой, осью OY и прямой у = 6. Нужное неравенство вытекает из того, что площадь прямоугольника со сторонами а и 6 не превосходит суммы площадей S\ + S2- Полагая /(г) = получим по¬ следнее неравенство. 345
а 35. Утверждение следует из неравенств J f(x)dx^.af(a), Ь ° Ь д(Ь) и результатов задачи 34. о 36. 1) Решение. Пусть ап = — г- и /?„ = ■ Л / m . \ ^ Тогда (§■*)* (£*0” апЬп а / Ао„/Л цЬп ** = <*П Рп ^ + т 1/А у-* »1 //1 (1л4) (М £* m i m / m \^/т 1 \ ^ ^ ^ £ “n^n ^l£a") ' ( £ ) т 1 , + п = 1 \п = 1 / \п = 1 / ап У* Ьп \г» = 1 / \п=1 / + - £ п = 1 2) Следует из п. 1). 37. Указание. Применить последнее неравенство из зада чи 34, положив А = и = 1 . Я Я 39. Решение. Из п. 2 задачи 38 получаем, что k я ^Ql + <*2 + 1- д|»у z-u^:L_±±,y ’-‘is \ » J для любого натурального т. Полагая А = — 1 — Я Я 346
отсюда в силу неравенства Гельдера получаем, что Так как Е(а,+а2! • +апУ>0> Я1 + а2 + ' * ‘ + ап то отсюда следует требуемое неравенство. 40. Указание. Применить утверждение задачи 39 к ряду 41. а) Решение. При любом а ф тгfc, к £ Z, последова¬ тельности {sinпа}, {cos па} не являются бесконечно малыми (доказательство этого факта проводится так же, как дока¬ зательство в сноске на стр. 12). Так как из условия следует, что последовательность {ап} отделена от нуля, то и после¬ довательности {an sin па} и {aacosna}, а ф irk, к £ Z, не являются бесконечно малыми, следовательно, данные ряды расходятся. б) Утверждение следует из соотношений: |an sin па| ^ |an|sin2 па = ^—^(1 — cos2na); |ап cosna| ^ |аа| cos2 па = + cos2na). 42. Решение. Положим Ф(х) = I f(t)dt. Сходимость ин¬ теграла f (х) dx эквивалентна существованию предела Ф(х) при х —► -foo. Применяя формулу Тейлора, получаем, что ап и перейти к пределу при q -foo. п= 1 X П + 1 Ф(п + 1) - Ф(п) =/(п) + J + 1 - t)dt П 347
Неравенство n+1 П+1 J f'(t)(n+l-t)dt ^ j \f'(t)\dt показывает, что при заданных условиях ряд со » + ‘ X; / f(t)(n+i-t)dt П — I ~ сходится абсолютно, откуда следует, что из условия суще¬ ствования предела Ф(я) при х -> +оо следует сходимость ря- оо Да П — 1 СХЭ Обратно, если ряд ^ f(n) сходится, то из предыдуще¬ го го рассуждения вытекает существование предела Ф(п) при п —у +оо. Для х 6 (0; 1) в силу формулы Тейлора имеем п+аг |Ф(п + я) - Ф(п)| = \xf(n) + J f (t)(n + х - t) dt\ ^ П n+1 В силу сходимости ряда f(n) и абсолютной сходимости +оо П = 1 интеграла J f (х) dx отсюда следует, что Ф(п + х) — Ф(п) —>> 0 1 при п —У оо равномерно на (0; 1), что и показывает одновре¬ менное существование пределов lim Ф(п) и lim Ф(х). п—ЮО X—► -f-OO 43. Решение. Обозначим через а минимальную, в че¬ рез 6 — максимальную из предельных точек последователь¬ ности {тгп - [тгп]}, n £ N, тогда 0 ^ а ^ b ^ 1. Предположим, что 0 < 1 — Ь ^ а, тогда найдется такое натуральное число т, 348
1 что или 1)1 — 6= — или 2) 0 < 1 — п(1 — 6) < а. Возьмем тть такую последовательность n* t +°°» 1ТО {ппя “ t7171?]) q -> Ч-оо. В первом случае получаем, что lim т(тгп* — [тгп*]) = mb = m — 1. Jim (тгтп9 - т[тгп7] — т -4 1) = О, откуда следует, что для последовательности {(irmnq—[fl*mn<j])} либо нуль, либо единица являются предельной точкой. Так как последовательность {(тгтпд — [7гтл^])} есть подпоследо¬ вательность последовательности {(7гп — [*гп])}, то получен¬ ное утверждение противоречит принятому предположению. Во втором случае, не ограничивая общности, можно считать, что неравенство 0 < 1 <£ m(l — (nnq — [я*п9])) < Q справедливо для всех q € N, откуда получаем, что m-1 < m(irnq-[nnq]) < т, т. е. [nmnq] = m[irnq] + т — 1. Следовательно, lim (irmnq — [тгтп^]) = = lim (m(imq — [тги^]) — m 4- 1) = 1 - m(l — 6) < a, g-f+oo что противоречит определению a. Итак, предположив, что О < 1 — Ь ^ а, мы пришли к противоречию. Аналогично дока¬ зывается, что предположение 0 < а < 1 — 6 также приводит к противоречию. Следовательно, верно хотя бы одно из ра¬ венств: а = 0, 6=1. 44. Решение. В силу утверждения задачи 43 существует 1 последовательность nq t +оо, для которой |smnJ < —. Я Последовательность <7—► +оо т. е. удовлетворяет требованиям задачи. 45. Указание. Так как \/к(т — к) ^ —, l^Ar^m—1,то 2 2 |ст| ^ —т = 2. 349
46. Указание. Написать условие критерия Коши равно¬ мерной сходимости последовательности {/п(х)} на М и пе¬ рейти в нем к пределу при х хо, где х Е Л/, хо 6 М. 47. Например, «„(*) = (-1)в[*"-*п+1]. оо 48. а) Ряд |tin(x)| сходится равномерно на Е. п = 1 б) Последовательность {«„(ж0)} монотонна при любом го € Е. ОО 49. Решение. Для ряда ^^|апип(х)| выполнено условие П — 1 критерия Коши равномерной сходимости на М. Действитель- оо т+9 но, пусть А = sup ^2 ип(х) + тогда 0 ^ и2(х) < А Х^М п=. 1 п=т любых натуральных m, q и А ^ 1. В силу критерия Коши оо и сходимости ряда а2 для любого числа е > 0 найдется п = 1 такое число N Е что для всех натуральных q и т > N вер- m+g ^2 но неравенство ^ а2 < —. Отсюда, применяя неравенство п=т Коши-Буняковского, получаем, что 1 < е ™+q /т+q \ I /т+<7 \ 2 |a„un(x)| ^ I unix) ) ( £ a" ) n=m \n=m / \n=m / для всех натуральных q и m > TV, что и требовалось доказать. г/ч п г / ч D(x) 50. Да, например, /п(х) = х + -, где о(*> - {J: х рационально, х иррационально функция Дирихле. Здесь каждая функция /п(х) разрывна во всех точках отрезка [0; 1] и в то же время /„(х) на [0; 1]. 350
51. Нет. Это предположение противоречит теореме о не¬ прерывности предельной функции. 52. Например, /„(*) = 1- i х^О, /п(0) = 0. X п 54. Указание. Использовать равенство UnMM*) - ti(r)v(jc) = = u„(x)[t>n(x) - v(x)] + t>(x)[un(x) - u(x)] и результат задачи 53. 55. Например, п2х2 vn{x) ^ _j_ nx^2n — x) ’ u„(x) = - - X Ф 0, u„(0) = 0. X In 56. Например, fn(x) = яп- Нарушено требование ком¬ пактности множества, на котором заданы все остальные ус¬ ловия. 57. Решение. Возьмем произвольное число е > 0. Из условия 2) следует существование такого числа N\ Е N, что \Aj\fl — Л\ < -, а из условия 1) — существование такого числа £ £ Ь> а, что |/(х) - А\ < - и |/лг,(х) - Л*,| ^ - для всех х ^ Ь. Для всех х € [Ь; +оо) и любого натурального числа п > Ni из условия 3) следует, что \fn(x)~f(x)\ ^ |fNl(x)-f(x)\ $ l/jVi(*) - + I-An, - A\ + \ A - f(x)| < e. На отрезке [a;6] последовательность fn(x) удовлетворяет ус¬ ловиям теоремы Дини, следовательно, существует такое чи¬ сло N2 Е N, что \ fn(x)—f(x)\ < е для всех х 6 [а; 6] и всех*нату¬ ральных п > ЛГ2. Отсюда получаем, что \fn(x) — f(x)\ < е для всех х Е [а;+оо) и всех натуральных n > N = тах{ЛГь #2}, что и требовалось доказать. 351
58. Решение. Не ограничивая общности, можно считать, что каждая из функций /п(х) неубывающая, тогда и функция /(х) — неубывающая на [а; 6] Положим а(Ь — а) Хат - а + , 0^7$ т, m Е N. 771 Для любого числа е > 0 в силу непрерывности f(x) существу¬ ет такое гп Е N, что \f(xqm) - f(xq_] m)\ <-,!$?$ m, а в силу сходимости fn(x) и f(x) на [а; 6] существует такое N 6 N, что 0 5$ \fn{Xq n\) /(*<f,m)| < - для всех (/, 0 ^ q ^ 7Г1, и всех натуральных п > N. Если х Е x7>m], 1 ^ <? ^ т, то, используя неубывание функций fn(x) и f(x), получаем, что |/п(х)-/(х)К ^ | fn(Xq,m) ~ f (Xq- I ,т)\ ~ f{xq,rn)\ $ $ |/п(л>(7,т) “ /(^<7,т)| + |/(^q,rn) — /(г^--1,т)| + + \fn(Xq- \ tin) ~ f(xq- 1,т)| 4 \ f {Tq- \ ,т) ~~ 7(^)1 < £ для любого натурального п > N. Так как т [(J,6] — [x(f- 1 m , X<j,m], q-\ то неравенство |/n(x) - /( *)l< e при 7J > N справедливо для всех x E [a; 6], что и требовалось доказать. На компакт К доказательство переносится дословно. 59. Решение. Необходимость. Пусть [а; 6] С (с*;/?). Для произвольных фиксированных чисел е > 0 и N Е N положим Ет =•- {* : х € («;/*), |/(*) - /л/+га(*)| < е}, тп £ N. Из сходи- мости /п(х) к f(x) на (or;/9) и непрерывности функций /п(х) и /(х) на (а;/Я следует, ч го каждое из множеств Ет) m Е N, является объединением интервалов и совокупность всех этих интервалов представляет покрытие отрезка [а; 6]. Выбрав из полученной совокупности интервалов конечное покрытие, обозначим полученные интервалы через (Jq и соответствую¬ щие им числа вида N + т через nq, 1 ^ q ^ Q. Полученный набор интервалов и натуральных чисел удовлетворяет требу¬ емому условию. 352
Достаточность. Пусть хо € (<*;/?)• Возьмем произволь¬ ное число е > 0. В силу сходимости /а(хо) к /(хо) найдется такое ЛГ £ что |/п(х0) — /(х0)| < - для всех натураль- и ных п > N. Возьмем отрезок [а;6] С (<*,/?)> содержащий внутри себя точку xq. Пусть набор интервалов Uq и чисел nq £ N, 1 ^ q ^ Q, соответствует отрезку [а; 6] и числам N. Обозначим через Uq интервал Uq> содержащий точ- и ку х0, и через по — соответствующее натуральное число. В силу непрерывности функции /По(х) на (а;/?) существует та- кое числоS > 0, что (х0-<5; х0+<5) С U0 и |/п0(х)-/„о(х0)| < ^ для всех х € (*о — <5; хо + <$)• Отсюда для х € (хо — 6\хо + 6) получаем соотношение: |/(х0) - /(х)| ^ \f{x0) - /00(^0)! + + 1/п0(хо) - /«„(*) I + !/«„(*) - /(*) I < 3 - = е, что и дока¬ зывает непрерывность функции /(х) в произвольной точке 353
Го € (а;/?). 60. Например, fn(x) = 1 / X п \п2х, 0 -^х<С 1, п 0<х< i (см. рис. 8). 61. Например, 2п ^"х, 2п /п(х) = ^ -2п п( 1)П (г - £-) , < а; < - п 2тг п О, (см. рис. 9а, б). - I п У = 1 1 4fc+2 2* + 1 в; 62. Например, 4 п2х, /„(*)= < _4п2(*-1), О, 0^х<-, 2т» ^ < гг’ - $*<: 1 п (см. рис. 10). 1 354
Рис. 10 63. Например, 2 nx, fn(x) = < —2n - i) , 0, 2n ’ 1 ^ 1 ^ X < -, 2n n - ^ X ^ 1 n (см. рис. 11). 64. Решение. Из определения /п(х) получаем, что и так как </„ -* +оо при п —► оо, то, следовательно, 1 [ fi(x)dx = 0. n-юо J Пусть хо € [0; 1]. С одной стороны, существует такая под* последовательность nj f +оо, что /п,(хо) = 0, а с другой 355
Рис. 11 стороны, существует такая бесконечная последовательность m„t 1 тп% 1 Щ t Ч-OO, ЧТО Xq £ 1 24ni 29п* ’ 29п« 2Япг и, следователь¬ но, /П|(хо) ^ откУДа и следует расходимость последова¬ тельности /п(х о). 65. Указание. Использовать то, что последовательность {cosnx} не является бесконечно малой ни при каком х £ IR. 68. Решение. Так как 0 ^ /о(х) ^ х £ R, то 0 ^ /п(х) < < тДтГ) х £ IR, и непрерывность функции /(х) следует из оо 2-4" равномерной сходимости ряда /п(х) на IR. Для любой точ- п = 0 ки хо £ Ш найдется последовательность вложенных отрезков Яп 1 Яп ^ ^ содержащих xq. На отрезке Дп Ап = 2 4п ’ 2-4п 1 4n+i . Если т > п, то возьмем точку хп, отстоящую от хо на число ^ является периодом для функции /т(х), следова¬ тельно, — -Х-п -—= 0. Если т ^ п, то функция /т(х) Хп Хо линейна на Дп и ее угловой коэффициент по модулю равен 1. 356
Поэтому /(*n) - /(жо) _ у fm{xn) - /т(=о) _ у'/ nv>(m) *»“*«> ^ X"-r0 Ьi где <р(т) равно 0 или 1 и, следовательно, f(xn) — /(хо) __ Г четному целому числу при нечетном п, хп — хо \нечетному целому числу при четном п. ^ /(^п)-/(х0) Отсюда видно, что отношение не имеет преде- хп Хо ла при п —у +оо. Так как при этом хп —У хо, то, следователь- /(х) - /(хо) но, и отношение не имеет предела при х -* хо- х - Хо 70. Решение. Пункты а) и б) следуют из определения /(х) и равномерной сходимости при любых фиксированных к 00 In* п и е > 0 ряда ^ —— на [б:;+оо). Запишем функцию /(х) в _ TL п — 2 оо X 1 виде /(х) = х — 1 -f ——. Из неравенства о 71 п=2 / — л<£—< I —Л= 1, Х> 1, 2X_1 J tx J Iх 2 n=2 1 получаем правую часть неравенства в). Так как In2 <1, In 2 то ^ ” 2^-1 > ® Д*®* х ^ откуда следует, что функция х ~~ 1 + 2* -1 монотонно возрастает на [1; -|-оо), и следова¬ тельно, для всех х > 1 имеем неравенство х — 1 4- > ^ Пункт г) следует непосредственно из п. а) и п. в). Соотноше¬ ния 1 00 1 х — 1 х — 1 2* ^ п1 п=3 +оо n V- X -1 /■*-!., 1 0 < > < / dt — -—- х > 1, пх J t* 2r_1 п=3 357
показывают, что lim [f(x) — (x — 1)] = 0, т. е. справедливость т —► -f- оо П. д). 71. а) Решение. В силу периодичности и нечетности фун¬ кций Sm(x) достаточно найти такое число М, что |5m(x)| <С М для всрх х £ (0; 7г) и всех т £ М. Пусть С — sup|n6„|. Для х £ (0; 7г) положим /1 = j. Если m ^ /i, i |5т(х)| ^ £ \bn sin пх | |^6пх| ^ С fix ^ Стт. П=1 П=1 Если же m > /1, то frnsii I'S'mlx)! < l”6nXl + n = l m 53 ft"si UZZfJi + 1 sm nx n = *i+l Для оценки суммы ^ 6n sin nx применим к ней преобра¬ зование Абеля: 6n sin пх п=р + 1 гтг- 1 ^2 (bn-bn+i)B„(x) + bmBm(x)-b„+lB„{x) n = *i-f 1 где Bq{x) = Г sin пх. Так как П — 1 |5,(х-)| ^ х G (0; тт), ?GN, X (см. стр. 44- 45) и последовательность {6П} монотонна, то от¬ сюда получаем, что Ьп sin пх п = ц~f 1 ^2|Ьй+1| - + 2|Ьт| - ^ < 78-^п- X XX x(/i + 1) 358
Из определения числа р, следует, что — < /1 + 1, откуда окон- х чательно получаем для т > р оценка: |5ш(х)[ ^ Сп + 8Стт = 9С7Г, что завершает доказательство. 6) Указание. Для доказательства необходимости рассмо- 2т треть V 6„sinxm, где хт = -—. Доказательство доста- ' 4 т П—ТП точности проводится аналогично доказательству в решении предыдущей задачи. sin пх 72. Например, > —7—7 —. nln(n+ 1) 73. Указание. Для любого m <Е N рассмотреть 2т У <^„(xm)sinnimsinxm> n=m 2 где хт = у/т 74. Решение. Запишем ряд cos пх -h bn sin пх) в виде П-\ оо Урп cos[n(r - <рп)), где рп = + Ь*. Надо доказать, что п = 1 lim рп — 0. Если это не так, то найдутся такая последова¬ ть—юо тельность натуральных чисел nq f +00 и такое число С > 0, что \рпя\ > С для всех q € N. Пусть mi — первый член по- 2тг следовательности nqy большии, чем — . Тогда на отрезке [а;/?] функция cos[mi (х — <ртх)] принимает все значения от —1 до 1, следовательно, существует отрезок [а\\Р\] С [<*;/?], на котором cos[mi(x — y>mi)] ^ и тем самым
Рассуждая аналогично, найдем число m2 и отрезок [(*2,02} С [ai;/?i] такие, что | pm2 cos [m2 (х - х € [си2,02]- Продолжая этот процесс неограниченно, получим возраста¬ ющую последовательность натуральных чисел т*, к £ N, и последовательность вложенных отрезков [or*;/?*] таких, что С \ртк cos[t»*(x — ipmk )]| > —, х G [c*fc; /?*] Для точки £ G € Р|[а*;/?*] имеем к = 1 с lim |рп cos[n(4 - v?n)]| ^ — > О, П—ЮО I и, следовательно, ряд ]T^/>nCOs[n(£ — <£>п)] расходится, что п = J противоречит условию. оо 75. Решение. Ряд e-n cos п2х сходится при х = 0; все п= 1 его члены tin(x) бесконечно дифференцируемы на IR; для лю¬ бого натуральног о q имеем: (ип(х))^ = е~п-n2q cos (ri2x- 00 00 и в силу сходимости ряда ^ е~пп2д ряд ^^(un(x))^ сходит- п=1 П=1 ся равномерно на IR. Следовательно, / £ C°°(1R). Ряд Тейло- 00 х2 q 00 ра /(х) с центром в нуле имеет вид ^ -- -- е~пп4д. п=0 ' п = 1 Итак, для доказательства утверждения задачи достаточ¬ но показать, что \ 1 °° Х]6-"”49 +°°- (3) Используя неравенство п! < е , получаем, — У e~nnAq > = I ( (2^)- ' eq2<*eA<* е \ е2 ) ’ что 2 q 360
откуда и следует соотношение (3). 76. Следует из равенств f jjln П lim п“ = 1 и lim — — — ; = оо п-¥00 п-юо п(п + 1 )(п + 2) . . . (п + Я) для любого натурального q. 77. Следует из неравенства: |Un(z)*"| ^ |l|nSUp|«„(l)|. П оо 78. Решение. Если ряд сходится, то радиус сходи- П= 1 оо мости степенного ряда ])^anxn не меньше 1, следовательно, П = 1 оо ряд Е апхп сходится абсолютно для любого х, |х| < 1. Если п = 1 оо |х| < 1, ТО ^ Кхп\ ^ апхп 1 _ ХП ^ 7ГТЛ* следовательно, ряд ^ у—; ' ' П = 1 сходится абсолютно. Если же |х| > i, то сходимость ряда ^ апхп апхп ап (£)п > следует из равенства = -ап - - fr-fi 1 - хп 1 - хп 1 - (I) П=1 \т) оо и вышеприведенного рассуждения. Пусть теперь ряд ап П = 1 оо^ расходится. Если |х| < 1 и ряд —2—- сходится, то, П = 1 1 ~~ *П 77 п «П«П применяя результат задачи 77 и равенство апх = 1 — хп а хп °° - ^—п'хП' получаем, что сходится ряд У^апхп. Обратно, 1 х п = 1 оо пусть |х| < 1 и ряд ^ апхп сходится. Так как последователь- п = 1 1 ность ^ монотонна и ограничена, то в силу признака о° а хп Абеля сходится и ряд ^ п . Опять применяя результат п=\1~х П 361
00 л anxn EUfj X - —, откуда в 1 x n = 1 силу равенства anxn an anxn 1 — xn 1 — x2n 1 — x2n 00 „ anjc получаем, что сходится ряд . Осталось показать, 1 х п = 1 сю что из расходимости ряда ап следует расходимость ряда п = 1 оо п ЕЛ X —-—- для всех х : |х| > 1. Действительно, если |х| > 1 и П — 1 0° п п Еапх апх ап х _ — сходится, то из равенства у—^ уЦп и п=1 СЮ / 1 \ п ап \х) результата задачи 77 следует, что сходится ряд 2_^ тугй , п — 1 * ~ Vi/ «п ф" откуда в силу равенства а„ = следует оо сходимость ряда что противоречит принятому усло- п = 1 ВИЮ. 79. Решение. Равенство апп\ ап п\пх х(х + 1 )...(x + n) пг х(х + 1)... (х + п) показывает, что в силу признака Абеля для доказательства данного утверждения достаточно показать, что для любо¬ го х ф 0,-1, —2,..., —m, т £ N, обе последовательности _ п\пх 1 Рп = гг : г и — ограничены и локально моно- х(х + 1)...(х + п) Рп тонны. Так как Рп+1 (п + !)*+» Рп пх(х + утверждени Рп — ^1 + — ^ локально сохраняет то это утверждение эквивалентно тому, что последователь- L }х+1 / • 1\ ”1 ность ~ 362
знак и произведение Рп сходится, а это утверждение сле- П = 1 дует из соотношения 1 - г2г,2 80. Указание. 1) Показать, что ряд In |*|+]Г^ In П = 1 допускает почленное дифференцирование в окрестности лю¬ бой точки х ф 7гАг, к Е Ъ. 2) Использовать равенство tgx = = ctg - *) . х Ф ^ + **'. к £Z. 3) Использовать равенство 1 XX = tg — -h ctg —, х ф тгку к Е Z. 4) Показать, что ряд из sin х 2 2 п. 1 допускает почленное дифференцирование в окрестности любой точки х ф 7гАг, к Е Z. оо 81. Указание. Показать, что ряд In cos —, 0 < х < —, П = 1 допускает почленное дифференцирование в окрестности лю¬ бой точки х Е ^0; ^ . 82. Указание. Обоснование этих равенств полностью ана¬ логично обоснованию равенств I) и 3) в задаче 80. 83. Решение. Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое число iV Е N, что для n > N имеем |5 — 5П| < -. Пусть т > N. Представив разность Sm — S в виде (S1-S) + (S2-S) + ..-+(5Ar-S) ( т [Sn+ 1 - S) 4- h(Sm — S) т - N m-N т ’ 363
видим, что N - S) km - •*>! ^ — 771 q= 1 e(m - N) + L: откуда следует, что существует число N\ 6 N, N\ > TV, обла¬ дающее свойством: для всех тп > N\ имеем |<тт — 5| < £, что и завершает доказательство. 84. Доказательство аналогично доказательству утвержде¬ ния задачи 83. 86. Следует из результатов задач 83 и 85. 87. Например, ап = ( — 1)п_и. 88. Следует из соотношения: ап - п сгп + (п - 2)сг„_2 - 2(n - 90. Например, s \ - n -1-11 _1 \ “п 2 ’ 2 ’ 2’ г’З’З'З’ 3’ 3’ 3 т. е. ал = —, m(m— 1) < п ^ш2, ап = — —, тп2 <п<^ 771(771 + 1) т т 95. Например, ап = (— 1)п п. 96. Указание. Использовать формулу Коши для определе¬ ния радиуса сходимости степенного ряда. 97. Решение. Применяя результат задачи 83 к ряду оо 1 Ш Е(1П<*Г»1 - |(» — l)<Jn-i|), получим, что lim — У^|па„|=0. т—Юо ГП п=1 п=1 Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое N £ N, что для всех m > N' имеем: 771 п= 1 Пусть хт = 1 , тогда в силу неравенства Бернулли для 771 / J \ п -1 fi — \ л любого п £ N имеем 1 — я"-1 = 1 — ( 1 ) <С < —. \ 771/ 771 771 364
Таким образом, для т > N получаем: £ - «Г1 ^5>n|(l-C-‘)+ £ n = l n=m + l т оо 1 '' • ^ 1 1 v—> . , £ ^ п.—1 £ £ 1 ^ m^|n“n| + b Е *•» <2 + 2^'Т^=£’ п= 1 п=т+1 откуда в силу соотношения lim хт = 1 следует требуемое m-foo утверждение. 98. Следует из результата задачи 94. 99. 1) Расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости бесконечного произведения. 2) Сходится к (п 3) Сходится к П Рп П = 1 4) Сходится к Й Pnj q”j 5) Сходится к (п Pnj : ^ri9nj* оо 100. Заметим, что как из сходимости рп, так и из п = 1 условия критерия Коши следует существование таких чисел а > 0, Л > a, N £ N, что п а < Пр9 < А’ (4) <7 = 1 m > N и п > N, поэтому будем использовать это соотноше¬ ние как в доказательстве достаточности, так и в доказатель¬ стве необходимости условия критерия Коши. Достаточность. Из соотношения (4) получаем, что для 365
п > N -1-1 и любого натурального т справедливо неравенство n+m п — 1 П р* - П р* = к~\ к = \ п— 1 П р* fr = l откуда в силу условия критерия Коши вытекает, что после- п довательность частичных произведений Рп = J"J рк удовле- к-1 творяет критерию Коши сходимости последовательности и, следовательно, сходится. Необходимость. Возьмем произвольное число б > 0 и по¬ ложим е 1 = а£, где число а определено в соотношении (4). В силу критерия Коши сходимости последовательности Рп = п - Рк найдется число Ni 6 N такое, что для любых нату- /с = 1 ральных 771 и п > /V справедливо неравенство |Pn+m—Рп-\ I < ^1 Отсюда для 71 > max{7Vi, TV} получаем, что ^n+m . , у 1 > а ( ТТ Ро ) — 1 Kq = n /п+m 1 е, = ае > |P„_i| т. е. неравенство \ * ' \ (П р*) -1 >мПм ^ q = n гл—п ' l+m ч Пр.) Г7 —п ' < справедливо для любых натуральных тп и п > N2, где N2 = max{7Vi, ЛГ}. 2* fc 101. Указание. Сравнить П Р» н 11 Р23 • t=l j=o 102. См. решение задачи 6. 104. Например, Рп = п, m £ N (ср. с задачей 8). 366
105. Следует из неравенства 0 < am n ^ a\ iqm^n 2 и оо сходимости ряда gm+n. m,n = l 106. Следует из неравенства 0 < ат „ ^ Ьт п-т^-- 107. Следует из неравенства 0 ^ am n ^ gm+n и сходимо- оо сти ряда gm+n. m,n = 1 108. Решение. В силу интегрального признака сходимо- оо сти простых рядов ряд ^ /(a + т, 6 + п) сходится и его сум- п = 1 ма 5(т) удовлетворяет неравенству 0 ^ S(m) ^ F(a -f m). Из условия следует, что F(x) — неотрицательная убываю¬ щая функция на [а; +оо). Снова применяя интегральный при- оо знак сходимости простых рядов, получаем, что ряд ^ S(m) т= 1 сходится. Так как последовательность /(а + т,Ь -+ п) нео- оо трицательная, то сходимость повторного ряда 5(ш) = m= 1 оо оо = f(a + т, Ь + п) эквивалентна сходимости двойного m=l n = 1 оо ряда 53 /(a + m,6 + n). т,п = 1 2* 2J * j 109. Указание. Сравнить ^ ^am n и ^ ^ 2р+<7а2р,2« m=l n = l р=0д=0 и использовать то, что сходимость ряда с положительны¬ ми членами эквивалентна ограниченности множества его ча¬ стичных сумм. 110. Решение. Равенство ОО , ОО.ОО, m + n " m + n ^ m + n m,n = l , m = l n = l l^n<m l^m^n 367
ОО , Oj , ,, amVn ,1 ат&п и симметрия рядов ,Sj = > и ^ = > ' 7П + 71 ' 7П -J- 71 m = 1 n = 1 l^n^m l^m^n показывают, что достаточно провести доказательство схо¬ димости только для ряда S^. Положим Ап — а\ -+Я2 + • * * + ап, оо ^ °° /\ тогда 52 ^ > --- -п- = > —Ьп- Неравенство Харди-Лан- ' 71 ' 71 . п=1 п = 1 n^m ^ дау (см. задачу 39) показывает, что ряд ( — ) сходится, ед п=1 4 7 а неравенство Гельдера (см. задачу 36), — что сходится ряд °° л °о , Е. am&n 6„, откуда и следует сходимость ряда > . 71 ' m-f-n n = l п,т=1 112. Указание. Записать разность Sm+Pin+q — 5m n в виде V Я ГП д EE(-i)m+n+,+>am+<1n+i+££(-i)r+n+v»+i + i = 1 J = 1 *=lj = l m+t i = l 5=1 и применить результат задачи 111. 113. См. указание к задаче 112. 114 Указание. Использовать неравенство |an6m*mn| <: |anxn| |6mxm|, m E N, п E N, m > 1, n > 1, и свойства абсолютно сходящихся рядов. 115. Указание. Доказать, что для (х,у) Е (—а; а) х (—6; 6) последовательность ат пхтуп ограничена.
Глава II НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ § 1. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение А. Пусть и> — собственная или правая несобственная (+оо) точка числовой прямой и функция f:[a\u) —> Ш интегрируема в смысле Римана на каждом от¬ резке [а; 6] С [а\и>). Тогда, если существует предел 6 lim [ f(x)dx, (]) b-+u>— J a u> J f(x) dx и то его величина обозначается j f(r) dx и называется несоб a ственным интегралом функции / по промежутку [а;и>) и фун¬ кция / называется интегрируемой в несобственном смысле на [а;ы). Сам символ I fix) dx также называют несобственным ин- .//<« тегралом. Если предел (1) существует, то говоря'г, что дан¬ ный интеграл сходится или является сходящимся интегралом. Если предел (1) не существует, то говорят, что данный ин¬ теграл расходится или является расходящимся интегралом. Таким образом, вопрос о сходимости несобственного интс- ы грала J f(x)dx есть по сути дела вопрос о том, является ли а и символ J f(x)dx определенным чис лом пли но г. а Ь Точно так же, рассматривая lim I f(x) dx, можно oilре- (1 ->-Ы 4- J a делить сходимость и величину пли расходимость нссобствен- 369
ь ного интеграла J /(х) dx, где и — собственная или левая пе- и> собственная (—оо) точка числовой прямой. Поскольку оба определения симметричны, то все утверж- ш дения в дальнейшем приводятся для интеграла вида J f(x)dx. а Если ы есть собственная точка числовой прямой и / Е 6 € Я[а;ы], то / G R[a\b] для всех b Е (а;ы) и lim I f(x)dx = b—tuj — J a и/ = J /(*)<**• Это свойство выражают так: несобственный а интеграл есть обобщение интеграла Римана, и эти интегралы неп роти вореч ивы. Рассмотрим, насколько расширилась область применения операции интегрирования с введением понятия несобственно¬ го интеграла. Во-первых, появляется возможность интегрирования по +оо бесконечному промежутку. Символ J /(х) dx не может быть а определен конструкцией Римапа или Дарбу, поскольку в эти конструкции входит длина промежутков разбиения проме¬ жутка интегрирования, что подразумевает конечность этих промежутков и, следовательно, всего промежутка. Во-вторых, появляется возможность интегрировать неог¬ раниченные функции. Согласно определению А для того, чтобы ставить вопрос о сходимости интеграла J f(x)dx, необходимо, чтобы функ- а ция / была интегрируема в смысле Римапа на каждом отрезке [в; 6] С [а;и;). Пусть {е,,} — монотонно возрастающая пос ле¬ довательность: е] ^ а и lim £„ — ы. Тогда в силу критерия 370
Лебега*) функция / ограничена на каждом отрезке [а:е„] и множество Мп точек разрыва / на [а;£„] есть множество меры нуль. Следовательно, функция / может быть неограни- чена 'голько и левой полуокрестности точки ш и множество М оо точек разрыва / на [п\и) п силу равенства М — Мп есть П = 1 множество меры нуль. Обозначим символом (а, 6) собственный или несобствен¬ ный промежуток, не уточняя, является ли он интервалом, по¬ луинтервалом или отрезком, с возможным исключением ко¬ нечного множества точек. Точки а и b будем называть конце¬ выми точками промежутка (а, 6) независимо от того, являют¬ ся ли они собственными или несобственными точками число¬ вой прямой. Несобственную точку числовой прямой и такую собственную точку, что в любой левой или любой правой по¬ луокрестности ее функция / неограничена, будем называть особыми точками функции /. Пользуясь введенными терминами, заметим, что опреде¬ ление А есть определение несобственного интеграла функ¬ ции / на промежутке (а^и) в том случае, когда особой точ¬ кой функции / является только правая концевая точка про¬ межутка (а,о;); а затем определен несобственный интеграл а ff(x)d х, если особой точкой функции / является только ле¬ ей вая концевая точка промежутка {и), а). Определенно В. Пусть функция /:(а,/?) —► R имеет на промежутке (а , /3) конечное число особых точек и Т : а = ао < ai < ... < ап = /? такое разбиение промежутка (а,/?), что на каждом из j, а,), 1 ^ ?*, особой точкой функции / является толь¬ ко одна из концевых точек. Тогда •^Функция / Е Я[а;Ь] тогда п только тогда, когда она ограничена на |п;6] и множес тво се точек разрыва на [о; 6] ость множество мери нуль. 371
“ > а) если каждым из интегралов j f(x)d.r. \ f i ^ п, р сходится, то интеграл J f(x)dx называется сходящимся (ин- 0 а теграл J f(x)dx сходится), его величина полагается ранной (X " ? I f(x)dx и функция / называется интегрируемой в не- »=1Л а. — I собственном смысле на (а,/?); <>• б) если хотя бы один из интегралов J f(x) dx расходится, интеграл J f(x) dx называется расходящимся (интеграл Р то (3 J f(x) dx расходится). а Это определение корректно, т. е. ни сходимость или расхо- Р димость интеграла J f(x) dx, ни его величина в случае сходи- Ог мости не зависят от выбора разбиения Т, удовлетворяющего сформулированному условию. Обратим внимание на то, что выражения “функция / не интегрируема в несобственном смысле па (а,/?)” п “иите- Р грал J f(x)dx расходится” не полностью тождественны. « р Именно, говоря “интеграл J f(x)dx расходится", мы Пред¬ ок полагаем и конечность множества особых точек функции / на (а,/?), и интегрируемость в смысле Римана функции / на любом отрезке \и\Ь] С (п,/?), не содержащем особых точек, и 372
утверждаем только го, что хотя бы один из пределов. входя iii.liх и определение несобственного интеграла по промежутку (о,_]:п,) с концевой особой точкой, не существует. Пмра- желне “функция / не интегрируема на (а;/?) и несобствен¬ ном смысле” может, кроме того, обозначать и то, чгго мно¬ жество особых точек функции / на (а;/?) бесконечно, и то, что / не интегрируема в смысле Римаиа па некотором от¬ резке [ci\b] С (а;/?), не содержащем особых точек функции / (в силу критерия Лебега это эквивалентно тому, что множе¬ ство точек разрыва / на [а; 6] и, тем более, на (or;/?), не есть множество меры нуль). + оо /dx - Функция 1 + хг 1 0 /(х) = - на (0;-foo) имеет одну концевую особую точ- 1 -f х1 ку - несобственную точку ы = -foo. Так как 6 lim / —^—rdx= lim arctg 6=^. b—► -foo J 1-fX2 6-k+oo ° 2 0 +00 dx то по определению интеграл / ^ сходится и его вели- тг У 1 + х2 чина равна —. о +оо Пример 2. Рассмотрим иитеграл J sin xdx. Функция о f(x) = sinx на (0;-foo) имеет только одну концевую особую точку - несобственную точку и = -foo. Так как о о lim / sinхdx — lim (—cos6) -►-foo J 6-++CO I sili xdx pa i + CO не существует, то no определению интеграл / sm xdx рас¬ ходится. 373
Пример 3. Рассмотрим интегралы: 4-оо 1 -f со а) 1 о о + OU 1 + оо f dx Г dx [ dx ^ J XT' J хР’ ./ хР’ Начнем с пункта а). На промежутке (1;+оо) функция /(х) = — имеет одну особую точку — несобственную точ¬ ку (+оо). Так как 6 dx _ |т^(*1_р-а1_р). рФ 1, In-, р= 1, +оо /dx f dx — = lim I — сходится при p > 1 и pac- XP 6->+oo J xP l l ходится при p ^ 1. Переходим к пункту б). Ha промежутке (0;1) функция f(x) = — интегрируема в смысле Римана при р < 0 и имеет хр особую точку хо = 0 ири р > 0. Пользуясь приведенным выше равенством, получаем, что Г & 1^(1-*•->), рф 1, { хР \ -In6, Р= 1, 1 откуда следует, что интеграл / — сходится при р < 1 и f dx J расходится при р ^ 1. 0 Переходим к пункту в). Разбиение 7' : (0, 1, +оо) предста¬ вляет промежуток (0; +оо) как объединение двух промежут¬ ков (0; 1) и (1; +ос), на каждом из которых функция fix) — — имеет не более одной особой точки, причем эта точка коиеч- 4-со n f dT ная. Согласно определению И интеграл / —сходится тогда J *г о 374
1 4 оо f dx ( dx и только тогда, когда сходится оба интеграла I --- п I О 1 Первый из этих интегралом расходится при р ^ 1, ivropoii — при р ^ 1, таким образом, одновременно оба. птн интеграла + оо м / dx не сходятся ни при каком значении р. Итак, интеграл / — расходится при любом значении р. 0 + ОС> _ Г х cos х — sin х Пример 4. Рассмотрим интеграл / ах. J т2 X cos X SD1 X ^ Функция /(х) = — г на промежутке (0; +оо) имеет X две особые точки — собственную точку хо = 0 и несобствен¬ ную точку (+оо). Разбиение Т : (0,7Г, +оо) представляет про¬ межуток (0;-foo) как объединение двух промежутков (0; 7г) и (7г;+оо), на каждом из которых функция /(х) имеет толь- ко одну концевую особую точку. Так как х cos х —sin х . ,/sinx\ = TO 6 /xcosx —sinx . /sin 6 sina\ ? *=(—-—). 0<.<K+oo. a Отсюда получаем, что [ lim f<l(-1)= J x1 /'-ю+j \ x J V b J 0 b и -f PO -J-OCi /xcosx -sili. v , f ./sin x\ sin 6 dx — lim I dI — Inn —-— = 0. X 6-» + cxj J \ X J b-> + со I) 375
+ C4j [ x cos x — sin x Итак, по определению В интеграл / г ах схо- J х1 о дится, поскольку сходятся оба интеграла гг 4-оо /xcosx —sinx Г х cos х—sin х —р—•>* » j — О 7Г +оо /х cos x — sin x , f dx — —J -f 0 — —1. x2 о 2 f dx Пример 5. Рассмотрим интеграл / Па проме- J I - хг 1 0 жутке (0;2) функция /(х) = имеет одну, но уже не 1 — х1 концевую особую точку Хо = 1. По определению В для схо- 2 [ dx димости интеграла / необходима сходимость обоих J 1 ~ х1 1 0 2 f dx f dx интегралов: / ~ и / J 1 - xl J 1 — xz b] f dx 1 — 6 Если 0 < 6 < 1, то I = In Так как функция J 1 — xl 1-1-6 1-6 ° F(6) = In- не имеет предела при 6 —> 1 —, то, следова- 1 + 6 1 телыю, интеграл / расходится. Итак, независимо от J \ - х1 О 2 2 f dx J 1-х'2 О 2 f dx f dx поведения интеграла / т интеграл / расходит- J 1 — х1 J 1-х- СЯ. 1 о ч 1 — Я Замечание. Функция F(x) = ln определена при х = () 1 + х и х = 2 и ^(2) — F(0) = In Если не обратить внимание па о то, что функция f(x) = —-—- неограниченна и, тем самым, 1 — тг 376
нгинтсгрируема на (0;2), то, формально применив формулу Ньютона Лейбница, можно сдрлать неверный вывод: ипте- f dr 1 грал / сходится и его величина равна In J 1-г 3 о Внимание! Прежде нем применить формулу Ньюто- ъ на Лейбница к интеграл}' I /(х) с/х, необходимо убедиться, что функция f(x) интегрируема в смысл Римана на (а; 6). Пример 6. Функция Дирихле щ*) = (?’ v 7 [ J, х — рационально х — иррационально, не интегрируема в смысле Римана ни на каком отрезке [а; 6] С С [0; 1]. Следовательно, функция D(x) не интегрируема и в несобственном смысле на (0; 1). Множество функций, интегрируемых в несобственном смысле на промежутке (а; 6) (собственном или несобствен¬ ном), обозначим через Л(а;Ь). Еще раз обратим внимание, что для собственного промежутка (а; Ь) множество Я[а; Ь] ин¬ тегрируемых в смысле Римана на [а; Ь] функций есть подмно¬ жество R(a;b). Основные свойства несобственного интеграла. 1. Если / € R(a;b) и д £ Л(а;6), то для любых постоян¬ ных а, Р функция а/ + 0д Е Л(а; 6) и 6 ь ь J(af(x)+Pg(x))dx = a jf(x)dx+/3Jg(x)dx (линейность). а a a Другими словами, несобственный интег