Author: Садовничий В.А. Олехник С.Н. Виноградова И.А.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика механика решение задач учебное пособие издательство московского университета
ISBN: 5-211-00081-1
Year: 1988
Text
И. А. Виноградова,
С. Н. Олехник,
В. А. Садовничий
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Под общей редакцией
В. А. САДОВНИЧЕГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1988
ББК 22.161
В49
УДК 517(075.8)
Рецензенты:
чл.-кор. АН СССР Л. Д. Кудрявцев,
чл.-кор. АН СССР В. А. Ильин
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Виноградова И. А. и др.
В49 Задачи и упражнения по математическому анализу/
И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Под
общ. ред. В. А. Садовничего. — М.: Изд-во Моск. ун-тах
1988. - 416 с.: ил.
ISBN 5-211-00081-1.
Учебное пособие соответствует программе 1-го курса для студентов-
математиков и отражает опыт преподавания математического анализа
на механико-математическом факультете МГУ. Большая часть задач от-
лична от содержащихся в известном задачнике Б. П. Демидовича.
1702050000(4309000000)—121
В --------------------------81—88
077(02)—88
ББК 22.161
Учебное издание
ВИНОГРАДОВА ИРИНА АНДРЕЕВНА,
ОЛЕХНИК СЛАВ НИКОЛАЕВИЧ,
САДОВНИЧИЙ ВИКТОР АНТОНОВИЧ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Зав. редакцией С. И. Зеленский. Редактор Л. А. Николова. Художественный редактор
Е. М. Дёмина. Технический редактор М. Б. Терентьева. Корректоры М. И. Эльмус,
И. В. Картышева
ИБ № 3105
Сдано в набор 31.07.87. Подписано в печать 15.07.88. Формат 60X90/16. Бумага тнп. № 1.
Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 26,0. Уч.-изд. л. 29,77.
Тираж 15 000 экз. Заказ 162. Изд. № 136. Цена 1 р. 30 к.
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ. 119899, Москва, Ленинские горы
ISBN 5-211-00081-1
© Издательство
Московского университета, 1988 г„
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник составлен на материале занятий по курсу
математического анализа на I курсе механико-матема-
тического факультета МГУ и отражает опыт препода-
вания кафедры математического анализа. Он состоит
из двух частей, соответствующих I и II семестру.
В каждой части отдельно выделены вычислительные
упражнения и теоретические задачи. Первая часть
включает построение эскизов графиков функций, вы-
числение пределов, дифференциальное исчисление функ-
ций одного действительного переменного, теоретические
задачи. Вторая часть — неопределенный интеграл, оп-
ределенный интеграл Римана, дифференциальное исчис-
ление функций многих переменных, теоретические за-
дачи.
В главах, содержащих вычислительные упражнения,
каждый параграф предваряется развернутыми методи-
ческими указаниями. В них даны все используемые
в этом параграфе определения, формулировки основных
теорем, вывод некоторых необходимых соотношений,
приведены подробные решения характерных задач, об-
ращено внимание на часто встречающиеся ошибки.
Всего в обеих частях разобрано около 250 примеров.
Содержание задач и упражнений согласовано с тео-
ретическим курсом математического анализа, читаемым
на 1 курсе мехмата. Большая часть задач и упражне-
ний отлична от задач, содержащихся в известном задач-
нике Б. П. Демидовича, существенно также изменено
изложение и объем темы «Построение эскизов и графи-
ков функций». В глазу «Вычисление пределов» включе-
но большое количество упражнений, требующих исполь-
зования формулы Тейлора. В главе «Дифференциальное
исчисление функций многих переменных» методические
указания написаны с точки зрения современного изло-
жения этой темы в учебных курсах.
В обе части сборника включено около 1800 упраж-
нений на вычисления и 350 теоретических задач.
Авторы выражают искреннюю благодарность всем
сотрудникам кафедры математического анализа меха-
нико-математического факультета МГУ им. М. В. Ло-
моносова за полезные обсуждения, замечания, предло-
жения при подготовке настоящей книги.
3
Часть I
ГРАФИКИ, ПРЕДЕЛЫ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I
ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗОВ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
Основными элементарными функциями считаются: степенная
функция у=ха, показательная функция у=ах, а>0, а¥=1, лога-
рифмическая функция y = \ogax, а>0, а=^1, тригонометрические
функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, обратные тригоно-
метрические функции z/=arcsinx, z/=arccosx, y=arctgx, у—
= arcctg x.
Элементарной называется функция, полученная из основных
элементарных функций конечным числом их композиций и ариф-
метических операций.
Рассмотрим построение эскизов графиков функций путем ка-
чественного анализа с наименьшим числом вычислений. Мы выде-
лим некоторые классы элементарных функций и установим их
главные свойства, опираясь на известные свойства основных эле-
ментарных функций и правила преобразования графика при опре-
деленных операциях с функцией. Техника дифференцирования
практически применяться не будет; она либо излишняя (нет необ-
ходимости пользоваться производной для определения положения
вершины параболы или максимумов синусоиды), либо слишком
громоздка, например, при анализе рациональных дробей. Но не-
которые утверждения, которые строго доказываются с помощью
дифференциального исчисления, будут сформулированы, и соот-
ветствующие свойства функций и их графиков будут использо-
ваться. Более конкретно о том, что именно должен иллюстриро-
вать в поведении функции эскиз ее графика, будет сказано в со-
ответствующих замечаниях и при разборе примеров.
Допустим, что построен график функции y = f(x), хеХ. В сле-
дующей таблице описано, как изменяется этот график при опре-
деленном преобразовании функции f(x) или ее аргумента.
Построение графика функции y = Cf (ax+b) +D в общем случае
сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отображение
и т. д.) графика функции f(x).
Представим у в виде
y=Cf\a(x + 1 + D.
L \ а } 1
4
Таблица
Функция Преобразование, которое следует провести с графиком у =» f(x) иа плоскости XOY
f(x) + A А^О Сдвиг вверх по оси OY графика функции у = f(x) на А единиц, если А>0, и сдвиг вниз на | Л | единиц, если А < 0
f(x — а) а 0 сдвиг вправо по оси ОХ на а единиц, если а>0, сдвиг влево на | а | единиц, если а<0
kf(x), k >0 k ф 1 растяжение вдоль оси OY относительно оси ОХ в k раз, если сжатие вдоль оси OY в 1/fe раз, если 0<^ k<_ 1
f(kx), й>0 k #= 1 сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k раз, если А>1, и растяжение в 1/А раз, если 0<й< 1
-f(x) симметричное отображение графика относительно оси ОХ
\f (*) | часть графика, расположенная ниже оси ОХ, сим- метрично отражается относительно этой оси, осталь- ная часть остается без изменения
f(-x) симметричное отображение графика относительно оси OY
/(Id) стереть часть графика функции у = f(x), лежа- щую слева от оси OY; оставить часть графика у = f(x), лежащую справа от оси OY и на ней; часть графика функции у = [(х), расположенную в области х > 0, симметрично отобразить относи- тельно оси OY в область х<"0
Из такого представления у видно, что для построения графика
этой функции достаточно построить график функции
y1 = Cf (а (х + —Н.
\ \ а / /
Для построения графика функции z/i достаточно построить график
функции «2 — f I а (х + — И • В свою очередь для построения
L \ а / J
графика функции у2 достаточно построить график функции уз —
=f(ax). Итак, для построения графика функции y = Cf а ( х +
+ — И + D необходимо с графиком функции f(x) произвести
а / J
следующие преобразования:
1. Сжать или растянуть график функции f(x) вдоль оси ОХ
относительно оси OY, если а>0; симметрично отобразить отно-
сительно оси OY и сжать или растянуть вдоль оси ОХ относитель-
но оси OY, если а<0.
2. Сдвинуть по оси ОХ полученный график функции f(ax) на
b ь . п ь , п
— : влево, если — >0, и вправо, если — <0.
а а а
3. Сжать или растянуть полученный график функции
f Г а (х Н——] вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С>0;
L \ ° / J
симметрично отобразить относительно оси ОХ и сжать или растя-
нуть вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С<0.
4. Сдвинуть полученный график функции Cf\alx-]--------
L \ а
D вверх, если Z)>0, и вниз на |D|, если Z)<0.
на
Последовательность этих преобразований при построении
графика функции y = Cf(ax+b) +D можно представить символи-
чески в виде цепочки
f U) ~*~f(.ax) -> f
I । b
a (x 4------
\ a
= f (ax + b)-+Cf (ax + b) ->
—► Cf (ax -|- b) -|- D.
На практике удобнее построение графика функции y = Cf(ax+
+ b)+D начинать с написания цепочки
Cf (ах + b) + D Cf (ах + Ь) <- f (ах + b) s
= /[а fx +—4*-f(ax)*-/(x).
\ а /
Отсюда видно, график какой функции в этой цепочке является
базовым для построения графика последующей функции.
Пример 1. Построим эскиз графика функции
y = Iogs(l— 2х).
6
Решение. Напишем цепочку преобразований:
log3 (1 — 2х) s log3 I”— 2 ] ^-~в?г-ga V? вправ°-
•*- l°g3 (— 2х)ч- log3 (2х) ч- log3 х.
Итак, построение эскиза графика функции J/ = log3(l—2х) начи-
нается с построения графика //i = log3X, затем сжатия этого гра-
фика вдоль оси ОХ относительно оси OY в два раза, затем сим-
метричного отображения относительно оси OY и, наконец, сдвига
полученного графика на 1/2 вправо вдоль оси ОХ (см. рис. 1).
Чтобы избежать ошибок при построении графиков, следует
подчеркнуть еще раз, что величина сдвига вдоль оси ОХ опреде-
ляется той константой, которая прибавляется непосредственно
к аргументу х, а не к аргументу ах. Поэтому для нахождения
этой константы выражение ах+b сначала преобразуется к виду
а (х + —V
\ а )
7
В связи с этим рекомендуется операцию сдвига вдоль оси ОХ
проводить после операций сжатия или растяжения вдоль оси ОХ
относительно оси OY.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
о . Злх — 4л
У= — 2tg----------.
О
Решение. Напишем цепочку преобразований
о, Злх — 4л , Злх — 4л , Г л I 4 \
-2tg---------+-tg---------==tg — л-—
о о 2 \ о /
. ' лх ,
ч-Ш —*-tgx.
Последовательно эскизы смотри на рис. 2.
Рис. 2
8
Пример 3. Построим эскиз графика функции
у =— sin ( Зх + —\ + 1.
2 \ 4 )
Решение. Напишем цепочку преобразований:
— sin {Зх + —'j + 1 ч—- sin f Зх + —*- sin f Зх + —'j ==
2 \ 4 ) 2 \ 4 / \ 4 /
х Н—— j ч- sin Зх ч- sin х.
12 /J
== sin 3
Аналогичным методом строятся эскизы графиков функций
с применением и других преобразований.
Пример 4. Построим эскиз графика'' у = log i |1—2|]х| —1|[.
2
9
Решение. Напишем цепочку преобразований:
log1/2[l-2]|x|-1114-^log1/2|l-2[x-l|
4-log,/2|l — 2Jx| logV211 —2x|==logi/2|2x —1| =
= log1/2 2 (x - X) | <- сдвиг Ha 1/2 вправо- log1/2 |2xl^^±
10g1/2 2х^сжатнев2р-
Эскизы смотри на рис. 4.
Разберем следующий пример, где потребуются несколько иные
рассуждения.
Пример 5. Построим эскиз графика функции у = 2'/х.
Решение. Графики функций g=l/x и y = 2s смотри на
рис. 5, а, б. Функция у = 2Ух определена на объединении множеств
(—оо, 0) и (0, +оо), т. е. на множестве (—оо, 0)U(0, +оо). На
множестве (—оо, 0) функция g(x) монотонно стремится к 0 при
х-э—оо и монотонно стремится к —оо при х->0; на множестве
(0, +оо) функция g(x) монотонно стремится к +оо при х->0
и монотонно стремится к 0 при х->+оо. Отсюда легко заключить,
что функция y = 2s определена на множестве (—оо, 0)U(0, + °о).
10
На множестве (—оо, 0), когда х стремится к —оо, функция
у=2е стремится к единице, оставаясь меньше 1, а когда х->0, то
стремится к 0. На множестве (0, 4-°о), когда х->0, функция
у = 2е стремится к +оо, а когда х-> + оо, то стремится к единице,
Рис. 5
оставаясь больше 1. Теперь рисуем эскиз графика функции y = 2i!x
(см. рис. 5, в).
Замечание. Полученные исследования полезно свести в
таблицу и потом строить график
X — оо / 0 0 74-оо участки монотонности функ- 1 ции — X
1 ё=- 0 \ —оо 4~ оо \ 0 изменение g(x) на этих учас- тках
1 \0 4- оо 1 изменение у = y(g(x)) на этих участках
Пример 6. Построим эскиз графика функции z/ = logi/2(x24-x).
Решение. Построим графики g=x2+x и // = logi/2g (см.
рис. 6, а, б). Так как при —функция g=x2+x не поло-
жительна (рис. 6, а), то функция t/ = logi/2(x24-x) определена при
хе(—оо, —1)(J (0, +оо). Составим таблицу.
X — ОО 7 — 1 0 7 4- °°
g = «2 4- X 4- оо S 0 0 7 4"°°
У= logV2g — оо 7 4- 00 4- оо \ — оо
11
Переходим к эскизу графика функции t/ = logi/2 (х2 4-х) (см.
рис. 6, в). Одной из существенных качественных характеристик
функции является ее поведение у «границы области определения»,
т. е. при х-^а, где а — граничная точка области определения и
при х->+оо или х->—оо, если область определения не ограниче-
на слева или справа.
Введем некоторые количественные оценки этого поведения.
Если при х->4-оо или х->—оо разность f (х)—g(x)->0, то говорят,
что функции f(x) и g(x) на плюс или минус бесконечности ведут
себя асимптотически одинаково. Если g(x) по структуре более
у=1од,/2(г2+х)
«проста», чем f(x), то говорят, что f(x) асимптотически ведет
себя как g(x).
Пример 7. Рассмотрим функцию у = ——--------.
X2 _|_ егх
После тождественных преобразований получим
Х4 + *8Х , (_*_____\ . ( X2 , Л =%2 , ^~Х2^
х2 4- eix \ е2* ех ) ' \ eix / х2 4- е*х '
Поскольку lim = lim = lim = 0 (показательная
функция у — ах, а>1, на плюс бесконечности растет быстрее сте-
пенной у=х“, а>0, это строго доказывается позже) и lim x2e2z =
Х->—ОО
= hm ——=0, то видно, что у(х) на плюс бесконечности асимп-
е-»+оо е1
тотически ведет себя как ех и на минус бесконечности — как х2.
Если g(x)=kx+b и /(х)—g(x)—>0 при х-*4-°о (х—>—оо),
то говорят, что график функции f(x) имеет правую (левую)
асимптоту, наклонную при £=/=0, горизонтальную при k—О. Пра-
12
вая асимптота существует тогда и только тогда, когда существ
вуют оба предела: k-sr = lim ——- - и b+ = lim (z/(x)—k^x), ле-
Х-*4-00 X х-»4-оо
вая — когда существуют k~ = lim и L= lim (у (х)—k_jc).
Х->—ОО X Х-+—оо
Если правая и левая асимптоты совпадают, то говорят, что гра-
фик функции имеет асимптоту (наклонную или горизонтальную).
Пример 8. Рассмотрим функцию f(x) =х+ (sinx)/x Так как
(sinx)/x->0(x->oo) (почему ?), то прямая у = х есть асимптота
графика этой функции. Обратите внимание, что график данной
функции пересекает свою асимптоту в бесконечном числе точек:
x~kn для каждого целого k, Эскиз графика данной функции
приведен на рис. 7.
Если при х->а (%->а+, х-+а~) функция f(x) стремится к беско-
нечности, тогда прямая х = а является вертикальной асимптотой
(двусторонней или односторонней). В таком случае иногда ис-
13
пользуется следующая характеристика функции: если в некоторой
окрестности (правой или левой полуокрестностях) точки х=а име-
ет место соотношение 0<Ci< \f(x)/g(x) | <С2, то говорят, что
Цх) имеет при (х-+а+, х-^аг') порядок роста g(x).
§ 2. ГРАФИКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
Определение. Рациональной функцией (рациональной
дробью) называют отношение двух многочленов:
= (Qm(.r)^0).
Qm (х)
Простейшим после многочленов подклассом рациональных функ-
ций является класс дробно-линейных функций
У<х) =—
сх-\- а
Если числитель и знаменатель дробно-линейной функции
__ ах 4- Ь имеют общИй множитель х—а, то функция всюду,
« + d
кроме точки х=—d/c, есть постоянная а!с и график ее имеет вид,
изображенный на рис. 8. Обратите внимание на отличие этого
графика от графика функции у—а[с\
В дальнейшем предполагаем, что рассматриваемая дробь несо-
кратима (т. е. bc^=ad). После тождественного преобразования
Ьс — ad
сх 4- d a d с d
х-1----- х-J- —
С С
14
видно, что график дробно-линейной функции — кривая обратной
пропорциональности y = kjx (гипербола), сдвинутая по оси ОХ на
\d/c\ вправо или влево в зависимости от знака d/c и по оси OY
на \а/с\ вверх или вниз в зависимости от знака ale. Таким обра-
зом, чтобы построить эскиз графика дробно-линейной функции,
достаточно знать ее асимптоты и расположение относительно них
одной из ветвей гиперболы, так как вторая ветвь симметрична
с первой относительно точки пересечения асимптот. Асимптотами
являются прямые х =—die и y=ajc, полученные соответствующим
сдвигом асимптот кривой zy = /e/x, а положение одной из ветвей оп-
ределяется точкой пересечения гиперболы с осью ОХ или OY.
Пример 1. Построим эскиз графика функции у ' 1
ox -j- 2
Решение. Асимптотами являются прямые: х = —2/5, у=^!§.
Точка пересечения гиперболы с осью OY есть (0, р(0)) = (0, 1/2).
Итак, одна из ветвей гиперболы лежит в четвертой четверти от-
носительно асимптот; вторая, симметричная с первой, — во в то-
рой. Эскиз графика смотри на рис. 9.
Из эскиза графика рациональной дроби должны быть видны
следующие свойства: знак, нули и точки неопределенности функ-
ции, ее поведение около точек неопределенности и асимптотичес-
кое поведение на бесконечности.
Всякая рациональная дробь /?(х) представляется в виде сум-
мы многочлена и правильной дроби (степень многочлена числи-
теля меньше степени многочлена знаменателя), т. e.R(х) — Т9(х) +
4—t k<m, где Tq, Pk, Qm — многочлены. Правильная
Qm (x)
дробь при x—>-oo стремится к нулю (почему?), поэтому R(x) на
бесконечности асимптотически ведет себя как многочлен Tq(x),
в частности, при х->4-оо и х->—оо или уходит в бесконечность,
или имеет один и тот же конечный предел. Если рассматривать
только несократимые дроби, то через каждую точку неопределен-
ности (нуль знаменателя) проходит вертикальная асимптота; если
х — а нуль знаменателя кратности k, т. е. знаменатель имеет вид
(х—a)kQ(x), Q(a)=£Q, то порядок роста функции около такой
точки есть 1/(х—а)к.
Если а — корень числителя кратности т, то функция в окре-
стности точки х = а имеет вид С(х—а)”*.
Пример 2. Построим эскиз графика функции
4х5-|- 13Х4
(х +2)2(1— х2)
Решение. Запишем соотношения
4х5+13х4 . , о , 25х2 + 4х — 12
-------! — — 4х + 3 -J '-
(х + 2)2(1-х2)-------------------------------------(х + 2)2 (1-х) (14-х)
х4 (4х4~ 13)
(х4-2)2 (1 —х2)
15
Отсюда заключаем, что точки
х=0, х=—13/4 — нули функ-
ции, прямые х——2, х——1,
х— 1 — вертикальные асимпто-
ты, прямая //=—4х+3 — на-
клонная асимптота. Перемена
знака функции происходит в;
точках х=—13/4, х=—1, х=1;
точка х=0 — корень четного
порядка числителя, точка х—
=—2 — знаменателя, поэтому в.
этих точках знак функции не
меняется. Эскиз графика пред-
ставлен на рис. 10. Заметим, что
на промежутке (—1, 1) кри-
вая дважды пересекла асимп-
тоту //=—4х + 3. Так как мно-
гочлен 25х2+4х—12 более двух
корней иметь не может, то боль-
ше точек пересечения графика
функции с этой асимптотой нет.
Вообще, точное положение та-
ких точек чаще всего находить
не обязательно, достаточно ог-
раничиться качественным ана-
лизом, как в этом примере.
Точно так же чисто качест-
венные рассуждения о поведе-
нии функции приводят к вы-
явлению экстремальных точек
на промежутках (—2, —1), (1,
+ °°).
§ 3. ГРАФИКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
В этом параграфе рассматриваем функции вида у = (х) -
Р?(х).. .Р^(х), где Pi(x), ..., Рй(х) — многочлены, а си, а2, ...
..., а/г — рациональные числа, или конечные суммы таких произ-
ведений. После выделения всех множителей вида (х—а)р, |3>0
произведение Р?1 ... P“fc примет вид
(* — аЭ"1 (* — Да)"" • • (X— Др)аР (1^
(x-b^ ... (X-bqfr
где а/^0, l^i^p, Р/^0, 1=^/=^<7, Т(х) всюду определенная и не
обращающаяся в нуль функция. Если в (1) все а,- — натуральные
числа, все р,- равны нулю и Т(х) — многочлен, то числа си, а2, ...
..., ар называются корнями, а числа аь а2, ..., ар называются
16
кратностью соответствующего корня; в общем случае принято го-
ворить о порядке корня в числителе и в знаменателе.
т т 3 / у
Например, функция у =х т / ____*___ имеет в числителе ко-
И (х + 2)®
рень х = 0 порядка 4/3, а в знаменателе корень х = —2 поряд-
ка 2/3.
Отметим основные свойства степенной функции у=ха с поло-
жительным рациональным показателем a=m/n, где meA', n^N.
Если п четное, то функция у=х1/п определена для х>0 и
п — п г-
у = (у х у» = Ух” .
Если п нечетное, то функция у = хт/п определена для всех дей-
ствительных х, причем для х>0 имеем
у = (уТГ)"1 =
и
у (—х) = (}7—X )т = (— {/7)т = (— х’/п)т.
Отсюда видно, что функция y = x'nin нечетна, если т и п нечетны,
и четна, если п нечетно, а т четно. Поэтому для любого рацио-
нального а достаточно рассматривать поведение функции у=ха-
на положительной полуоси, а ее поведение на отрицательной по-
луоси, если она там определена, обусловливается свойством чет-
ности или нечетности.
Так как а>0, то график функции у=ха проходит через начало,
координат, точку (1, 1) и функция стремится к плюс бесконеч-
ности при х->+оо. Чем больше а, тем ближе к оси ОХ график
функции у=ха на промежутке (0, 1) и дальше от оси ОХ на про-
межутке (1, +оо). Пользуясь техникой дифференцирования, мож-
но показать, что при а>1 график функции у=ха не только лежит
ниже прямой у = х на (0, 1), но имеет в нуле горизонтальную ка-
сательную, а если 0<а<1, то график функции у = ха лежит выше
прямой у=х и имеет в нуле вертикальную касательную.
Эти характерные свойства степенной функции используются
для построения эскизов графиков.
Отметим еще, что график функции у=(х—a)a-h(x) (если
h(а) ¥=0, и график функции й(х) не имеет в точке х=а верти-
кальной касательной) имеет в точке х = а вертикальную или гори-
зонтальную касательную одновременно с графиком функции
у= (х—а)“.
Пример 1. Для функции y — f/x2(x3— 1) поведение в окрест-
ности точки х = 0 определяется множителем (—х2), поскольку
z/ = ^/x2 -f/x3— 1 и j/x3— 1 =# 0 при х = 0. Поведение функции
y = f/ х2(х3— 1) в окрестности точки х = 0 показано на рис. И. В
точке х = 1 поведение функции у — %/х2(х3 — 1) определяется мно-
17
жителем |/х — 1 , поскольку у=--у/х~ 1 • у/х2 (х2 + х+ 1) и
у/х2 (х2 + х + 1) =#0 при х = 1. Эскиз графика данной функции при-
веден на рис. 11.
Пример 2. Для функции y — V*2—*3 поведение в точке х=0
определяется множителем }х2 = | х|, так как у — Кх2 —х3 = )/х2 X
хУ1—х, а в точке х=1 определяется множителем J/1—х. Эс-
киз графика данной функции приведен на рис. 12.
Если t/ = */i(x)+ j/2(x) и функция z/j(x) имеет в точке х=х0
вертикальную касательную, а функция //?(*) не имеет такой каса-
тельной в точке х=Хо, то функция у имеет в точке х = х0 верти-
кальную касательную. _
Пример 3. График функции у=Ух—cosx касается оси OY
в точке (0, —1), поскольку график функции у=}х имеет в точке
х=0 вертикальную касательную
(рис. 13).
На эскизе графика функции
1/=Р?*(х)-Р?2(х). ... -РХт(х),
где Л (х) — многочлены, а, —ра-
циональные числа, должны быть
видны асимптоты этой кривой,
точки пересечения с осями коор-
динат, расположение кривой от-
носительно осей координат, точ-
ки, в которых кривая имеет вер-
тикальную или горизонтальную
касательную.
18
Пример 4. Построим эскиз графика функции
V(х—1)2(х + 2) • Ух —2
(х+1)Ч* + 4)
Решение. Функция определена при х^—2. Точки х — —2,
х=1, х = 2 — нули функции, прямая х= — 1 и ось OY — верти-
кальные асимптоты, перемена знака функции происходит в точках
х = 0 и х = 2, график имеет вертикальные касательные в точках
х = —2 и х = 2, точка х=1 — угловая (т. е. в окрестности этой
точки данная функция имеет вид С]/(х— I)2 = С|х—1[). После
преобразования, тождественного для х>2, имеем
V (1-1/х)2(1 + 2/х) -У1-2/Х
V (1+1/х)‘(1+4/х)
Отсюда видно, что при х-> + оо прямая у=\ — горизонтальная
асимптота. Эскиз графика функции представлен на рис. 14.
При построении подобных эскизов, вообще говоря, не требует-
ся ответа на вопрос, пересекается ли график функции со своими
асимптотами. В данном примере можно ответить на этот вопрос.
Пусть — 1 < х < 0, тогда |х — 2 | > 2, |х — 112 |х + 2 | > 1,
|х| У (х + 1)*-(х + 4) <^4 иг/>-У2/}/4=1,т. е. график функ-
ции на этом промежутке лежит выше асимптоты. Пусть х>2, тогда
19
<x— I)6 (х + 2)3 (х— 2)2 = (х— I)6 (х2—4)2(х +2)< х6 (х +4) (х2—4)2 <
<х6(х+4)(х2 + 2х+1)2, следовательно, у=У('* * * * * * х~~Г' + (* —2)-<-
Xе (х+ 1 )4 (х + 4)
т. е. кривая лежит ниже асимптоты. ______
Пример 5. Построим эскиз графика функции у — х + Ух- —4.
Решение. Функция определена при х^2 и х^—2. Рассмот-
рим функцию при х>2. В точке х = 2 график имеет вертикальную
касательную, проходит через точку (2, 2) и монотонно растет
к плюс бесконечности с ростом х. Проверим, имеет ли график
наклонную асимптоту
lira — = lim (1+ 1/1----------—^=2; lim (у— 2х) =
— lim (]Лх2—4 —х) = lim —-г- —----------=0.
х-и-{-°о х-»—|-оо г х3 — 4 — х
•Следовательно, прямая z/ = 2x — правая асимптота. Для рассмот-
рения функции на промежутке х<—2 удобно сделать замену
2——х, тогда у = Уz2—4 —z и видно, что для z>2, у>—2, при
.£->+оо, у->0; в точке х = —2 график имеет вертикальную каса-
тельную, проходит через точку (—2, —2), и так как у =
~—-------------, то функция монотонно убывает при z->+oo(x-»
у Z2 — 4 + 2
—оо). Эскиз графика функции представлен на рис. 15.
При построении эскиза графика сложной функции, в опреде-
ление которой входят функции
, , ( х, х^О;
х =< и signx =
( —х, х < 0
1,
0,
— 1,
х > 0;
х = 0;
х < 0,
наиболее естественно выделить и рассмотреть отдельно промежут-
ки, на которых выражение под знаком модуля или sign не меняет
знака. Стоит обратить внимание на то, что функция |х| — эле-
ментарная (почему?) и непрерывная, но имеет в нуле угловую
точку, так что и в композиции с этой функцией непрерывность не
нарушается, а угловые точки могут появиться; функция у = signx
разрывна, и при композиции с этой функцией также могут появить-
ся точки разрыва.
§ 4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ ГРАФИКИ
Рассмотрим функцию z/=sinx. Эта функция, рассматриваемая
на всей числовой прямой, не является монотонной. Чтобы гово-
рить об обратной функции, выделим участок монотонности функ-
ции y = sinx. Одним из участков монотонности этой функции яв-
20
ляется отрезок —л/2^х^л/2. Функцию, обратную для функции
</ = sinx, хе[—л/2, л/2], обозначим через z/ = arcsin х, т. е. у =
= arcsinx означает, что x = sinz/ и —л/2^г/^л/2. Если рассмотрим
функцию z/ = sinz на другом участке, например л/2^з^Зл/2, то
существует обратная функция, которая выражается через функ-
цию z/=arcsinz следующим образом: у=п—arcsinz (почему?).
Аналогично, рассматривая функцию y=cosx на промежутке
[О, л], определяется обратная функция z/=arccosx, т. е. запись
</ = arccosx означает, что x = cosz/ и O^z/^л.
Для функции z/ = tgx на промежутке (—л/2, л/2) определяется
обратная функция z/=arctgx, т. е. запись z/=arctgx означает, что
x=tgy и — л/2<у<л,/2. Для функции z/=ctgx на промежутке
Рис. 16
(О, л) определяется обратная функция i/=arcctgx, т. е. запись
i/=arcctgx означает, что x=ctgy и 0<у<л.
Приводим графики обратных тригонометрических функций
{см. 16).
Пример 1. Построим эскиз графика функции
х__2
у — arcsin ----.
21
Решение. Пишем цепочку преобразований:
у = arcsin s arcsin Г J- (х — 2) 1
а з L 3 J
1
ч- arcsin — х ч- arcsin х.
3
2. Построим эскиз графика функции
Пример
y=arccos|(l —2|х|)/3|.
Решение. Пишем цепочку преобразований:
arccos|(l —21х|)/31 arccos|(1 —2х)/3 | s
19/ 1 \ I
__ ___ I 1 сдвиг на 1/2 вправо
= arccos — I х—~ ) ч— -------------!---arccos
/2 \
ч- arccos ~ х ч- arccos х.
\ о /
Последовательно эскизы графиков изображены на рис. 18.
22
Справедливы следующие формулы:
arcsin (—х) = — arcsin х, |х| 1;
arccos(—х)~л—arccos х, | х | <1 1;
arctg(—х) =—arctgх, |х|<оо;
arcctg (—х) = л — arcctg х, | х | < оо;
arcsinх +arccos х = л/2, |х| 1;
arctg х + arcctg х = л/2, [х|<оо;
arcsin (sinх) = х, |х|^л/2;
sin(arcsinх) = х, |х|^1;
arccos(cosх)=х, 0 х л;
cos (arccos х) ss х, | х | 1;
tg (arctgх) = х, |х|<оо;
arctg (tg х) = х, |х|<л/2;
ctg (arcctg х) =х, | х | < оо;
arcctg(ctgх) == х, 0<х<л;
arcsin х = arccos 1 — х2 = arctg —х
/1 —X2
— arcctg jCLzzJL f 0 < x < Г,
X
arccos х — arcsin 1 —x2 = arctg ———
— arcctg — x , 0 <x < 1;
/1 —x2
, 1 X 1
arctg x = arcctg — = arcsin —— = arccos —< -7-,
s 6 x /x2+ 1 /x2+ 1
x > 0;
arctg x + arctg у = arcctg-i—x > 0, у > 0;
arctg x — arctg у — arctg - ~
x > 0, у > 0;
arcctg x + arcctg y= arcctg xy^ -
x > 0, у > 0.
Докажем некоторые из них.
23
I. arccos(—x) = л— arccos x, |x|^l.
Пусть arccos (—x)=a, тогда cosa = —x и О^а^л. Из соот-
ношения 0 а л следует 0 л —а л, а из соотношения cos а =
— —х следует, что cos (л—а)—х. Поэтому л—а = arccos х, откуда
а — л — arccos х, т. е. arccos (—х) = л — arccos х.
2. arcsinx + arccosх = л/2, |х|^1.
Пусть arcsin х = а, arccos х = Р, тогда x = sina = cosP и —л/2<1
^а^л/2, О^Р^л. Имеем sin а = cos Р = sin (л/2—Р). Из соотно-
шения 0 sC р л следует, что — л/2 sC л/2 — Р л/2. Итак,
sin а == sin (л/2—Р) и —л/2 л/2, —л/2 <1 л/2—Р^л/2.
Поэтому а = л/2 — р, откуда получаем, что
а + Р = л/2, т. е. arcsinx + arccos х = л/2.
3. arcsinх = arccosV1—х2, 0<х<1.
Пусть 0<х< 1. Обозначим arcsin х = а, тогда x = sina, 0<а
< л/2. Значит, cosa= + ]/1 —х2, откуда
а = arccos 1—х2, т. е. arcsin х = arccos У1—х2,
что и требовалось доказать.
4. arctgx + arctgy — arcctg ——х>0, у > 0.
х + У
Обозначим arctg х = a, arctg z/ = p, х > 0, у > 0. Тогда х = tga,
y = tgP, 0<а<л/2, 0<Р<л/2. Поэтому
0<a + PO, ctg(a + p)
_ 1 — tg a tg p
tg a + tg p
1 — xy
х + У
Так как 0<а + Р<л, то a + P=arctg ——т. е.
х + У
arctg х + arctg у — arcctg
1 — xy
х + У
Пример 3. Вычислим arcsin(sin 10).
Решение. Поскольку arcsin(sin х) =х при |х|^л/2, то,
пользуясь свойствами функций z/ = sinx и у = arcsinx, а также пе-
риодичностью функции y = sinx, имеем arcsin (sin 10) =
=arcsin sin (10—2л) =arcsin sin [л— (10—2л)]=3л—10, поскольку
|3л— 10|<л/2.
Пример 4. Построим эскиз графика функции у =
= arccos (sin х2).
Решение. Областью определения функции является вся ось
ОХ. Из тождества arcsin х+ arccos х = л/2 при |х| 1 имеем
arccos (sin х2) = л/2—arcsin sin х2 (так как 0^sin2x^l для любо-
го х). В силу четности функции arcsin sin х2 достаточно построить
ее график в области х^0. Поскольку arcsin sin х=х, если |х|^
^л/2, то arcsin sin х2=х2 при х2^л/2, т. е. при О^х^Ул/2. Следо-
24
вательно, при О^х^Ул/2 имеем, что arccos sin х2 = л/2—х2 (см.
рис. 19, а). Если хе(Ул/2, УЗл/2), то х2е(л/2, Зл/2), а поскольку
х2—те(—л/2, л/2) и sin(x2—л) =—sinx2, то arcsin (sin х2) =
— arcsin (—sin (х2—л)) = —arcsin (sin (х2—л)) = — (х2—л) — л—х2.
Рис. 19
Поэтому при хе (]/л/2, У^Зл/2) график исходной функции совпада-
ет с графиком функции л/2—(л—х2)=х2—л/2 (см. рис. 19,6).
При хе (КЗл/2 , ]/5л/2) имеем, что х2е(Зл/2, 5л/2), х —2л е
е (—л/2, л/2), и так как sinx2=sin(x2—2л), то arcsinsinx2 =
= х2 —2л. Поэтому при х е ()/Зл/2, 5л/2) график исходной функ-
ции овпадает с графиком функции л/2—(х2—2л) — 5л/2х2 (см.
рис. 19,в). Аналогично при x^(]/r2k— 1) л/2, ]/(2k + 1) л/2), k 3,
имеем, что график исходной функции совпадает с графиком функции
у = л/2 + (— 1 )*+’ (х2 — Ал).
Окончательный вид эскиза графика функции у = arccos sin х2 пред-
ставлен на рис. 19, в.
§ 5. КРИВЫЕ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Кривой, заданной параметрически, называется множество то-
чек плоскости XOY, координаты которых определяются из соотно-
шений х=х(/), y=y(t) при каждом фиксированном t из некото-
рого множества Т. Обычно в качестве множества Т берется неко-
торый промежуток. Если от функций х(1) и y(t) потребовать
только непрерывность на промежутке Т, то образом этого проме-
жутка при отображении x=x(t), y=y(t) может быть множество
в плоскости XOY, совсем непохожее на интуитивное представле-
ние о кривой. Например, можно задать такое отображение, что
25
образом будет внутренность квадрата. Не углубляясь в теорию
кривых, предполагаем, что рассматриваемый промежуток Т изме-
нения параметра t разбивается на конечное число промежутков,
на каждом из которых функция x(t) строго монотонна. На таком
промежутке определена обратная функция t(x) и y(t) =y(t(x)).
Итак, каждому промежутку строгой монотонности x(t) соответ-
ствует однозначная функция у(х), график которой называется
ветвью данной кривой. Количество ветвей определяется количест-
вом участков строгой монотонности x(t). Если точка (x(to),
у(/о)) не является общей для нескольких ветвей данной кривой,
то в окрестности этой точки можно определить функцию у — у(х),
заданную параметрически, график которой проходит через эту
точку.
Для построения эскиза кривой, заданной параметрически, на
плоскости XOY необходимо отдельно рассматривать участки мо-
нотонности x(t), а затем проводить рассуждения, аналогичные
тем, которые проводятся при рассмотрении сложной функции.
Пусть t возрастает. Тогда если x(t) и y(i) возрастают, то движе-
ние по кривой происходит направо вверх; если x(t) убывает, а
y(t) возрастает, то движение по кривой происходит влево вверх
и т. д. Если при t^t0 имеем х^а, a y(t) стремится к бесконечнос-
ти, то кривая имеет вертикальную асимптоту х=а. Если при
t-+t0 имеем, что x(t) стремится к бесконечности, а у (/)->&, то
кривая имеет горизонтальную асимптоту у = Ь. Наклонная асимп-
тота может быть только тогда, когда при t^t0 функции x(t) и
y(t) одновременно стремятся к бесконечности. Коэффициенты
асимптоты y—kx-\-b вычисляются, как было указано выше, с за-
меной условия х->оо(х->оо, —оо) на условие
Из всего вышесказанного видно, что для построения эскиза
кривой, заданной параметрически, важно точное определение
участков монотонности, по крайней мере функции x(t). Иногда
это можно сделать из качественных соображений, но часто прихо-
дится обращаться к помощи производных.
Рис. 20
26
Пример 1. Построим эскиз кривой х = //(1 + /3), у = t2/(i +t3).
Решение. Эскизы графиков функций x(t) и y(t) смотри на
рис. 20, а, б. Примем без доказательства, что точка t0 — единст-
венная точка экстремума x(t). Тогда участками монотонности
x(t) будут промежутки (—оо, —1), (—1, t0), (tQ, + оо). Оценим
положение точки t0. Поскольку ylx = t, то для 0<^<1 имеем, что
0<у<х, т. е. исследуемая кривая лежит в первой четверти ниже
прямой у=х, а для t>l — выше. Так как x(l/t) =y(t), y(l/t) =
=x(t), то кривая симметрична относительно прямой у=х (вместе
с точкой (х, у) на ней лежит и точка (у, х)). Если t0> 1, то точка,
симметричная с точкой (х(/0), г/(^о)), лежащей выше прямой
у=х, имеет координату x=y(t0) =х(1//0), большую, чем х(/0), что
противоречит условию. Итак, О</о<1-
Проверим, имеет ли кривая наклонную асимптоту. Имеем
lim ylx= ИпП = — 1; lim (z/ + x) = lim t (t 4- l)/(/3+ 1) =
t-^—i /->-i /-»—i z-<—i
= lim//(/2 — /+!) = —1/3,
/->—i
поэтому прямая y=—x—1/3 есть наклонная асимптота исследуе-
мой кривой. Кривая проходит через начало координат: х(0)=0,
1/(0) =0. Когда t растет от 0 до t0, значения функций x(t), y(t)
растут, движение по кривой происходит направо вверх до точки
(х(/0), у (to))- Когда t убывает от 0 до —1, движение по кривой
происходит налево вверх, асимптотически приближаясь к прямой
у=—х—1/3. В точке (x(tQ), У (to)) начинается вторая ветвь кри-
вой, соответствующая изменению t на промежутке (t0, +оо).С рос-
том t функция x(t) убывает и движение по кривой происходит
влево, сначала вверх до точки (x(l/tQ), y(l/to)), а затем вниз;
при t^+оо имеем х(/)->0, y(t)-^O. Наконец, при росте t на про-
межутке (—оо, —1) функция x(t) возрастает, y(t) убывает. При
t^>-—оо получаем, что х(/)->-0, z/(t)->0, ПРИ t^>—1 движение по
кривой происходит вправо вниз, асимптотически приближаясь
к прямой у = —х—1/3. Как уже говорилось, кривая симметрична
при замене t на 1//, поэтому можно было бы ограничиться рас-
смотрением t на промежутке (—1, 1), а оставшуюся часть нарисо-
вать по симметрии относительно прямой у=х. Эскиз кривой пред-
ставлен на рис. 20, в.
Пользуясь техникой дифференцирования, покажем теперь, что
утверждение о монотонности функции x(t) верно, и определим
точно значение to- Имеем
х = /3+ 1 — З/3 = 1 —2/3
* — 03+ 1)2 — (6s + 1)2 ’
При t < р/1 /2 , t^= — 1, имеем x't > 0 и поэтому х (t) строго воз-
растает на промежутках (—оо, —1) и (—1, f/ 1/2); при /> 1/2
имеем x't < 0 и поэтому x(t) строго убывает на промежутке (р/1/2 ,
27
Ч-оо). Так как функция x(t) непрерывна в точке = р/1/2 , то эта
точка есть точка экстремума (точка максимума).
Пример 2. Построим эскиз кривой х=а cos3t, у=а sin3t, а>0.
Решение. Так как точка (x(t0+2n), y(t0+2n)) совладает
с точкой (x(t0), уто достаточно рассматривать t на проме-
жутке (0, 2л). Построим эскизы графиков функций x(t) ny(t)
(см. рис. 21, а, б).
Промежутками монотонности x(t) являются (0, л) и (л, 2л).
Когда t растет от 0 до л/2, движение по кривой происходит влево
вверх от точки (а, 0) = (х(0), у(0)) до точки (х(л/2), у(л/2)) =
= (0, а); когда t растет от л/2 до л, движение по кривой проис-
ходит влево вниз до точки (х(л), у(л)) = (—а, 0). В этой точке
начинается вторая ветвь кривой. Когда t растет от л до Зл/2,
движение по кривой происходит вправо вниз до точки (х(Зл/2),
у(Зл/2)) = (0, а). Когда t растет отЗл/2 до 2л,движение по кривой
происходит вправо вверх до точки (х(2л), у(2л)) = (а, 0). Гак
как х(2л—10) -x(t0), у (2л—/0) =—К (to), х(л—10) =— x(t0)f
у (л—10) = y(t0), то вместе с точкой (х0, у0) на кривой лежат точки
(—хо, уо) и (х0, —уо), т. е. она симметрична относительно обеих
координатных осей. Пусть t меняется на промежутке (0, л/2). Со-
ответствующие точки кривой лежат в первой четверти. Рассмот-
рим множество точек x = acos2/, у — a sin21. Это отрезок прямой
х+у — а, лежащий в первой четверти. Так как при любом t,
0<^<л/2, х<х, у<у, то исследуемая кривая лежит ниже этой
прямой. Эскиз кривой представлен на рис. 21, в.
Пример 3. Построим эскиз кривой x = acos2Z, y = asin3Z,
а>0.
Решение. Так как точка (х(/0+2л), у(^0+2л)) совпадает
с точкой (x(to), у (to)), то достаточно рассматривать t на проме-
жутке длины 2л. Отметим еще следующие соотношения: х(—t) =
= x(t), y(—t) =—y(t), х(л—t) —x(t), у (л—t) =y(t); из них видно,
что при изменении t на промежутке [0, л/2] получаются те же
точки кривой, что и при изменении t на [л/2, л], а при изменении
t па промежутке [—л, 0] получаются точки кривой, симметричные
относительно оси ОХ с точками, полученными при изменении t
23
на [0, л]. Таким образом, достаточно рассматривать t на проме-
жутке [О, л/2]. Построим графики функций x(t) и y(t) (см.
рис. 22, а, б).
Рис. 22
На промежутке [0, л/2] x(t) монотонно убывает, следователь-
но, этому промежутку соответствует одна ветвь кривой. Когда t
растет от 0 до л/6, движение по кривой происходит влево вверх от
точки (х(0), у(0)) = (а, 0) до точки (х(л/6), с/(л/6)) = (а/2, а).
Когда t растет от л/6 до л/2, движение по кривой происходит вле-
во вниз до точки (х(л/2), у(л/2))=^(—а, —а), пересекая ось OY
в точке (х(л/4), у(л/4)) = (0, аУ2/2) и ось ОХ в точке-
(х(л/3), у(л/3)) = (—а/2, 0). При дальнейшем росте I от
л/2 до л, как было отмечено выше, точки (x(Z), y(t)) лежат на
той же самой кривой. При изменении t от 0 до —л получаем вто-
рую ветвь кривой, симметричную с первой относительно оси ОХ.
Эскиз кривой представлен на рис. 22, в.
§ 6. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
И УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ
Полярная система координат определяется заданием некоторой
точки О, называемой полюсом, луча ОР, выходящего из этой точ-
ки, называемого полярной осью, масштаба для измерения длины
и направления отсчета углов. Положительными называем углы,
отсчитываемые от полярной оси против часовой стрелки, а отри-
цательными — по часовой стрелке.
Полярными координатами г и ср точки М, не совпадающей с по-
люсом, называются: расстояние г от точки М до полюса О и угол
ср от полярной оси до луча ОМ. Для полюса О полагается, что
г = 0, а ср — не определен. Полярный угол точки М, отличной от
О, имеет бесконечно много значений, главным значением угла ср
называется его значение, удовлетворяющее условию 0^ср<2л.
Если полюс О принять за начало декартовой прямоугольной
системы координат, направление полярной оси за положительное
направление оси ОХ, а за ось OY принять такую ось, что угол от
29
положительного направления оси ОХ до положительного направ-
ления оси OY равен л/2 (такие системы назовем совмещенными),
то между декартовыми координатами х, у точки М и ее поляр-
ными координатами г и ф имеют место соотношения:
x = rcos<p, z/ = rsintp.
И обратно, r = yrx2 + y2, cos<p = x/r, sin ср —у/г.
Замечание. Если x=/=0, у=#-0, то угол ср можно найти из ус-
ловия tgqj = z//x, причем за главное значение <р взять угол из
[О, 2л) такой, что знак sin ф равен знаку у.
Пример 1. Пусть точка Л1(х, у) имеет декартовы координа-
ты (—1, —1). Найдем полярные координаты этой точки, если
•системы совмещены.
Решение. r = V(—1)2 + (—I)2 = ]/2 ;
cos<p = —]/2/2, sin ср = —J/2/2, откуда <р = 5л/4 + 2л;&, AeZ,
т. е. полярные координаты точки М есть г=У2, ф = 5п/4 + 2л£,
k^Z.
Пример 2. Нарисуем кривую, заданную в полярной системе
координат уравнением r = cos3<p.
Решение. Функция соэЗф — периодическая с главным пе-
риодом Т, равным 2л/3, поэтому достаточно построить кривую для
О^ф<2л/3, а затем, используя периодичность, построить ее для
2л/3^ф<4л/3 и, наконец, для 4л/3^ф<2л. Построим ту часть
кривой, которая расположена в угле 0^ф<2л/3. Функция г = созЗф
на отрезке [0, л/6] монотонно убывает от 1 до 0; на интервале
(л/6, л/2) г<0, поэтому нет точек линии, расположенных внутри
угла л/6<ф<л/2; на отрезке [л/2, 2л/3] кривая монотонно воз-
растает от 0 до 1. Для фе [0, л/6] U [л/2, 2л/3] эскиз кривой пред-
ставлен на рис. 23, а. Осталось построить кривую в других двух
углах: 2л/3^ф<4л/3 и 4л/3^ф<2л, используя при этом периодич-
ность функции cos Зф. Эскиз кривой приведен на рис. 23, б.
Рис. 23
30
Пример 3. Определим вид кривой на декартовой плоскости
XOY, уравнение которой в полярной системе координат, совме-
щенной с декартовой, имеет вид r = cos(p.
Решение. Поскольку г = |/х2 + у2, cos ср =x/j/x2 + у2 , то в
декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид
l^x2 + у2 =х/Ух2 + у2 или х2+у2=х, откуда (х—l/2)2 + z/2= 1/4,—
это есть уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке
(1/2, 0).
Замечание. Из условия /’ = cosq) следует, что r2 = r costpF
откуда х2 + у2=х.
Пример 4. Построим эскиз кривой, задаваемой в декартовой
системе уравнением (х2+у2)3/2 = 2ху.
Решение. Ясно, что кривая
располагается в I и III квадран-
тах симметрично относительно на-
чала координат (если точка
М(х0, у0) лежит на кривой, то и
точка 44'(—х0, —у0) лежит на кри-
вой). Поэтому достаточно построить
кривую в первой четверти.
Перейдем к полярной системе
координат, совмещенной с декар-
товой, тогда имеем r3=2r2 cos <р
sin ср или r=sin2qj. При изменении
угла ф от 0 до л/4 г возрастает от
Рис. 24
0 до 1 (на рис. 24 это движение от
точки 0 до точки А — путь I). При
изменении угла ср от л/4 до л/2 г убывает от 1 до 0 (на рис. 24это
движение от точки А до точки 0 — путь II). Используя замеча-
ние, приведенное выше, получаем эскиз кривой (см. рис. 24).
§ 7. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО
Пусть задано уравнение F (х, у) =0. Если множество точек
плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют этому урав-
нению, состоит из конечного числа непрерывных кривых, каждая
из которых есть график однозначной функции у=у(х), то гово*
рят, что это уравнение неявно определяет соответствующее семей-
ство функций yi(x), yi(x), Уа(х). Если точка (х0, уо) лежит
только на одной из этих кривых, то условие у(х0)=у0 позволяет
однозначно выбрать эту кривую из всего семейства, т. е. уравне-
ние F(x, у)=0 и условие у(х0)=у0 определяют (или задают) од-
нозначную неявную непрерывную функцию в окрестности точки
(%о, Уо) такую, что Е(х, у(х))=0, у (х0)=у0.
Простейшим уравнением вида Е(х, у)=0 является уравнение
х—f(y)=^, определяющее функцию, обратную к f : y—f~x (х). Ось
OY меняется местами с осью ОХ при симметричном отображении
плоскости XOY относительно биссектрисы первого координатного
31
угла. Таким образом, кривая y = f(x) симметрична кривой x — f(y)
или y=f~l (х) относительно этой биссектрисы. При этом отображе-
нии непрерывная монотонная функция перейдет в непрерывную
монотонную функцию, т. е. обратная функция однозначна, непре-
рывна и монотонна. Если же непрерывная функция x=f(y) не мо-
нотонна, то кривая, определяемая уравнением х—f (у) =0, уже не
будет графиком функции у=у(х), так как нет однозначной зави-
симости функции от аргумента.
Если уравнение F(x, у)=0 можно разрешить относительно од-
ной из переменных, то построение множества точек {х, у), для
которых это уравнение справедливо, следует из предыдущих рас-
смотрений. Иногда можно ввести параметр t так, что уравнение
F (х, у)=0 равносильно соотношению {%=%(/), y=y(t), t^T}
(или нескольким таким соотношениям).
Пример 1. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, заданной
уравнением х=у—sin у.
Решение. Имеем, что x(kn)=kn, k^Z; х/=1—cos tyJsO,
х(у) — монотонная нечетная функция. Эскиз кривой в системе
YOX представлен на рис. 25,а, а эскиз кривой, определенной урав-
нением х=у—sin у (т. е. в системе XOY), представлен на
рис. 25, б.
Рис. 25
Пример 2. Нарисуем эскиз кривой, заданной уравнением
х—у cos у.
Решение. Функция х(у) — нечетная; для имеем
х(л/2+йл) =0, x(2kn) =2kn, х((2£+1)л)= — (2&+1)л.
Эскиз кривой х(у) в системе YOX представлен на рис. 26, а, а
эскиз кривой у(х) — в системе XOY, определяемой уравнением
x=ycosy, представлен на рис. 26, б.
32
Пример 3. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, задан-
ной уравнением х5+у5 = 2х2у2.
Решение. Заметим, что точка (0, 0) принадлежит данной
кривой. Других точек вида (0, у) на этой кривой нет. Для по-
строения кривой введем параметр t—yjx. Тогда данное уравнение
преобразуется следующим образом:
х5(1 + /5) =2£2х4.
Отсюда видно, что уравнение х5+у5 = 2х2//2 равносильно соотноше-
ниям x(t) = 2/2/(14-if5), y(t) =2^/(1 + t5), так как точка (0, 0) так-
же принадлежит этой кривой при t = 6. Построение таких кривых
было проведено выше. Кривая представлена на рис. 27.
3 И. А. Виноградова
33
Пример 4. Нарисуем в сис-
теме XOY эскиз кривой, задан-
ной уравнением
х4+у4=х2+у2.
Решение. Перейдем к по-
лярной системе координат, сов-
мещенной с декартовой, полагая
x=rcosqj, y = r sin ср. Тогда урав-
нение данной кривой принимает
вид
г2 = 1/(cos4 <рЧ~sin4<р), т. е.
г2 = 4/(3+соз4ф).
Построение таких кривых также было приведено выше. Эскиз
данной кривой представлен на рис. 28.
Задачи
В одной и той же системе координат построить эскизы графи-
ков следующих функций:
1. у = х, у=х\ у—х4.
2. у = х, у=х3, у=х5.
г- V- V—
3. у — х, у—ух, у=ух, у —у X.
. 1 1 1
4. У ——, у =—, У=~г-
X X3 Хл
5. у=1/^, у=^х\ у=угхР.
6. у = 2х, z/ = 32x, у = 22*, у=х.
7- У = 3~Х, У = ^~2Х, У~х-
8- У = х, z/=log2x, у —log3x.
9- У = х, z/ = logi/2x, z/ = logi/3x.
10. у=х, y = sinx, t/ = cosx.
11. y=x, y = lgx, y = ctgx.
Используя правило построения графика функции y=Af(x) по
графику функции y=f(x), построить эскизы графиков следующих
функций:
12. у ——х2. 13. у —----5-. 14. у=—cosx.
34
15. = tgx. 16.y = 31og2x. 17. у = 2,1 Ух.
18. у=----j"' 5< I9,- У =^-l°gi/3^- 20. i/ = 0,2ctgx.
Используя правило построения графика функции y=f(—х) по
графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следующих
функций:
21. y = log2(—х). 24. i/ = sin(—х). 22. у = у/г—х. 23. у =У—х. 25. y = tg(— х). 26. y = ctg(—х).
27. у = 2-\ 28. У = 29. у = (2,1)-\
30. у — — 3 j/ —х. / 1 \— 31. y = cos(—х). 32. у—1 — ] \ л /
Используя правило построения графика функции y=f(kx)
(k=£Q) по графику y=f(x), построить эскизы графиков следующих
функций:
33. y = sin2x. 34. y = cos-^-x. 35. y = cosnx.
36. z/ = sin —х. л 39. у = ctg —— х. 4 42. у = у/ —0,5х. 45. i/ = log3(—Зх). 37. у = log2 2х. 38. у = log 1/2 (-J- х}. 40. y = tg3x. 41. у = У2х. 43. у= у—2х. 44. у=у4х. 46. z/ = sin(—2х). 47. i/ = ctg(—2х).
Используя правило построения графика функции y=f(x+a)
(а=/=0) по графику функции y = f(x), построить эскизы графиков
следующих функций:
48. у = (х—2)2. 51. у = (х + 4)2. 49. у = (х+1)3. 50. у = У2 +х. 52. y=cos(x—53. y = sin(x + -y).
54. у=: . X — 3 57. г/ = У 1—х. 55. y = tg(l-x). 56. у = (2, 2)l~x. 58. у = -Ух + 3. 59. у = logi/3 (х+ 1).
Используя правило построения графика функции y=f(ax+b)
по графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следую-
щих функций:
60. у = log3 (2х + 3). 61. у = ctg ^2х + -y-Y 62. у = tg ^Зх + .
3*
35
„„ x Зх + л 2лх + л , /г> л \
63. у = ctg———. 64. y=cos-----——. 65. y — tg[2x----).
6 4 \ 3 /
со * блх ~~ Л пм 2 ЛХ Л о о л. 1 л \
66. y = sin----. 67. z/ = cos----. 68. у = tg ( 5х-).
3 5 \ 4 /
69. £/ = —!—. 70. у = ^2—3х. 71. z/=/(l —Зх)3.
72. у = 73. у = —^—. 74. г/ = (л-3)2^‘.
75. у = sin х + cos х. 76. у = х2+2х—5. 77. у = 2х—х2+4.
Используя правило построения графика функции y=f(x)+A
по графику функции y=f(x), построить эскизы графиков следую-
щих функций:
78. у = 1 + sinх. 79. у —2—Зсозх. 80. у = 2—У—х.
81. у— 2 +log2(l + х), 82. y = sin2x. 83. y = cos2x.
84. У = ~^--~-l°gi/2(l+2х). 85. i/==2—3}/1—2х.
86. i/ = sin4x + cos4x. 87. у = 2—3(х—I)2.
88. у=х2 +4x4-8. 89. у—\ — Зх—4х2.
Построить эскизы функций: графиков следующих дробно-линейных
90. = 91. у = -9*~3 . 92. 4 + х у = —1 .
Зх + 2 15х— 5 2х + 1
93. = п. 5х + 20 94. у = ! . 95. 2х —8 у= .
X Зх + 12 х —2
96. у = -х-^^ 97. у = — 98. 14х—8 у = .
х + 5 х+1 2х— 1
Построить эскизы графиков следующих рациональных функ-
ций:
99. у = (х—2) (х2—4). 100. z/= (х + 2) (х—1 )3.
101. у = (\ — х4) (х + 3) (х—2)2. 102. z/ = (l—х)(1—х2)3(2 + х)\
103. ха 104. X3 У — 1 —X2’
1 —X
105. х2+ 1 У= 106. X2 + X + 1
ха + 2 х2 + х + 3
107. х2 — 4 108. (х—4)(х2 —9)
2х2 — 1 х2 — 5х + 6
109. х3 — 4х ПО. Зх2 —2х— 1
J (х—1)2(х+1)‘ (х2-4)(х+2)
Зх* + 4х+ 1 112 (х2 —Зх—4) (х-3)
(2х+1)(х-1)' 'У (х + 5)(х-3)
36
из. у= х3 + 4х2 + 4х И4. у = X3 — X
х2 — 9 (х + 2)2(х— 10) ’
115. у = (х— 1) (х + 2)2 116. у = (4х—1) (х+ I)2
(2х—I)2 (хI)2 (2х + 1)
117. у = х4 — 4Х3 + 2Х3 118. у = (х+ 1)2(х —2)2
(х-2)2(х+1) (х-3) (х2 + 1)
119. у = _ (х-4)2 (х + 1) (х + 3) 120. у = х4 — 9х2
(х2 —4) (х+2)2 (х —4)2 (х+ I)3
121. у = _ х4 Ц- 2Х3 — Зх2 122. у = (х—2) (х4 + 2х3 + 3х2)
(х2 —4) (х+1)2 (4х2— 4х+ 1) (4х2— 1)
Построить эскизы графиков следующих алгебраических функ-
ций:
123. у = У(х—1)2(х—2). 124. у = ^(х+3)5 (х—2)2(х+ 1).
1 1 2
125. у = ^_ х. 126. у = (х+1)2 (х— I)3 (х— 2)2 (х— 3) 3 .
127. у==/х2 + 9 + /х^9. 128. у = х2-/3 + у"(х—I)2.
3 -
129. »=,—+ .
У (ж -и 1>а (* —2)э-/« + 10
130 у- У(х+4)7(х-2)а(х+Т)~
/(х + 2)’(х + 5)
Построить эскизы графиков следующих функций:
131. у = |х| —х.
133. у= |х| —Ух2.
135. у = | |2х—1[ —2|.
137. у = | х | + | х + 11.
139. у = х2— |х|.
141. у = х2—3|х| 4-1.
143. у — |х2 + Зх| 4-2х—8.
147. у = I .
I X
149. у — sign cosх.
132. у=|х| —(Ух)2.
134. у=||х|-1|.
136. у= |х| — |х—1|.
138. у=|х|—|х+1| — [х+2|.
140. у = |х2— 11 —х2.
142. у = |х2 + х|—х + 1.
144. у —(|х| — 1)(х+1).
146. у = |1~3х|-.
t2x+l
148. у = ^±^-.
|х|—1
150. y = x + signsinx.
3Z
151.. у
__х3 sign cos лх
1 + xa '
3Z-------------
152. у = у x2 sign cos лх.
153. у = sign sin лх + sign cos лх. 154. у = sign (sin лх + cos лх).
Вычислить:
155. cos (arcsin 1). 156. sin (arccos 0,8).
157. sin I 2 arccos — I. \ 4 ) 158. tg I arcsin — I. \ 3 /
159. I . 3 5 \ cos | arcsin arccos \ 5 13 / . 160. sin (arctg .
161. sin (arcsin ——Harcsin —'j. \ з 4 / 162. tg (2arctg ( 2
163. arcsin (sin 11). 164. arccos (cos 7).
165. arcsin (cos 8). 166. arctg (tg 25).
167. arctg (ctg 4). 168. arcctg(ctg 17).
Доказать, что:
169. arcsin -у- = arccos -у- = arctg— arcctg-|~.
, / 9 \ .40
170. arccos I-----1 = л— arcsin------.
\ 41 / 41
/ 7 \ 7
171. arcsin I-----= —arctg--------.
\ 25 / 5 24
172. 2 arctg -L + arctg ~ = -y-.
173. л—arcsin 0,9 = 2 arctg 4.
174. arctg — + arctg-y =-^-.
175. cos(2arccosx) = 2x2—1, |x[^l.
176. sin(3arcsinx) —3x—4x3, [x|^l.
177. arccos 1 = 2|arctgx|, |x|<oo.
1 + X2
178. ctg (arctgx) == —, 0 < [x| < oo.
38
, 1 1 farcctg х, х> 179. arctg — =J х (arcctgx—л, х < arctg х + —, 180. arctg 4 1-* arctg x——, 4 V A © d * *
Построить эскизы графиков следующих обратных тригономет-
рических функций:
181. у — arcsin (2x + 1). 183. y = arctg(2—3x). 185. y — arcsin • / 1 — |x| \ 187. у — arccos 1 —— ). \ 2 ) 189. у = arctg *x!_\. \ 4 / 191. у = arcsin —-—. x-J-2 193. у = arctg —. X 182. у = arccos (3x—2). 184. у = arcctg (1 — 2x). , /1 + 3x\ 186. у = arccos i—-—\. «оо • / 2 + 3|x| \ 188. у = arcsin i 4 ' )• 1ПЛ , / 2|x|— 3 \ 190. у — arcctg ( —1 ). \ 5 ) 2 192. у = arccos . x — 3 194. у = arcctg —. X
195. y — arctg L+3. x — 3 197. у = arctg . * bV3x+2 199. y = ! . arctg | |x|— 1| 196. у = arcctg 198. у = arcsin 1 —X 200. y = J . . 1-И1 arcsin з
201. у = arcsin (sin x). 203. у — arccos (cos x). 202. x — arcsin cos x. 204. у = arccos (sin x).
205. у = arctg (tgx). 206. у = arcctg (tgx).
207. у = arcsin (tgx). 208. у = arccos (ctg x).
209. у = sin arcsin 2x. 210. y = cos (arccos —
211. у = sin (arctg x). 212. у = sin (arcctg x).
213. у = tg (arcsinx). 214. у = ctg (arctg x).
39
215. у = tg (arccos х). 216. у =ctg (arcsinx).
217. у = arccos sinx3. 218. у = arcsin cos J/x.
219. . 1 у = cos arcsin—. X 220. У — arctg (tg (2x+ 1))
221. . хг — 1 у — arcsin . х2 + 1 222. j-2 1 y-arctgxa_4 .
223. х2 _1_ 1 у = arcctg ———. X 224. у = arctg \ 2х — 1
225. у = arcsin 2)а. (х+1)’
226. —— 4г у — arccos . (х-1)а(х+1)
227. х3 + 4х2 + 4х y-arctg .
228. y = arcctg^^±^-. (х—2)2(х+1)а
229. z/=arctg^.--1l^-+4) |х|. ь (xs+l)(x —З)5
230. , х4 — 9ха у = arcctg . (х — 4)а(х+ I)3
231. у = arctg х3~х . ь(х + 2)а(х—10)
232. у = arcctg 4х.+ 1.)а^-2)2., (х-3)2(ха+1)
Построить эскизы графиков следующих функций:
233. у = (/х)2— |х|. 234. y=y210g*x.
235. У =logi/2(x— 1)а. 236. y = 2,Iog,x|.
237. 1 . п — sin X cos X. 2 238. у = sinx— Уз cos x.
239. у ==у 1 —sinax. 240. у = У 1—cosax.
241. у = sin2x + cosax. 242. y = tgx-ctgx.
243. __ 9log4sinx у —* 244. у = sinax—cosax.
245. у=х'<*х<*-» 246. у = cos х + У cos2 X.
40
247. у = sin x— )/sin2x.
249. y = —~----hctg|x|.
251. у = (/sin3x)aa.
253.
!/ = -?=
255.
1 + Icosxl
sin |x|
A*to. и =---.---,
x+ 1 X
250. y=sin4x—cos4x.
252. у = (j/'cos x)18.
254. у = -- 1
/l + ig2x
256. y = |x3—x5 + 2|.
257. у — |x2—x*| + 4.
258. y = (|x| + 1) (x—3)x2.
259. y = ]/x2(x—l)2(x—2). 261. y=|/x6(2+x)4(l—x). 260. y = >/x3—3v2. 262. y= 1 11—lx| —2|
263. y = |/2x2(x—3)3(x2—2x)4. 264. Ч-31 lx-ll + 2
265. |x-3| + |x+l|
|x+ 3| + |x — 11
267. z/ = |)/x2—x| + 1.
269. |x + 2|(x-l )2
У 2 11 x2 + 1
271. (x3-l)(x-2)
У (|x|-I)2 (x —4)
273. 1
x2 —4|x|+3
275. 1
log2 (x — 3) — 1
277. y-logi/2|x2—x|.
279. У 10g^ x + 2 •
281.
283 у = 2*slnjc*+*cosjel
266 и — Цх-Ц-21
1 lx) — 11 —2 '
268. у- 1 / х2 + х— 2 I.
270. y = 272 и — (х3— 1) (х + 4) |х|
(х4 + 2) (х —3) 1
12*— 1| '
274 и — 1
sin х + cos х
276 «— 1
^1-2|х|-1
278. у = log i/n sin 2x.
280. ^log^cos-3^-11
5
|l-2x|
284. у = 2 3*+4 .
285. у = log3 -
286. у = logB11-2~*|.
41
287. у —cos3 |2x + —
y \ 3
l 2лх—3л \
sec ----
289. y = 2 \ 8 I.
291. y = sin—.
X
293. y=x*~ (1— x)* 1.
295 «- (x + 1)3 1x31
*+ 1 X
296 ll-x*+x | x*~x +
1*1 И-*1
, / 2x— n\
/ 1 \tg ~7~
297. y= (—' 3 ' — 1. \ 2 / i
299. и = f-L\ sin’*-c°s’*. \ 3 /
301. y = x + sinx.
303. y = x + 2\
305. y = x2sinx.
307. z/ = exsinnx.
309. у =e-x!sin2nx.
311. y = (x2—l)cos—.
313. у — arctg Igx.
315. у = arcctg 1g
317. у = arccos 2x—4
x2 — 4x + 5 '
319. у =arctg ( 1 1 1
sin2 x cos2:
321. у _ 1 1 , 1
X X—1 1 x2
288. f/ = sin4(5x-—V
290. y=--e~x'+x .
292. у —cos—.
X
294. y = x2 + — +
1*1 И-*1
x2 —1
H+*l ‘
298. y = 3sin4*+^‘\
x1—1
300. у = 2ж’-4.
302. y = x—sinx.
(1 \ X
— I .
Л /
306. z/=xsinx.
308. у = e~x cos nx.
ЗЮ. у = --~x ,
1 +x2
312. y = (x2— l)sin —.
X
314. y — arccos—-—.
lg*
y3_ Q
316. у = arctg L
x2 — 9
318. y = arctg—1.
COS X
)v5________________ 1
. 320. у = arcctg---.
№ — 1
42
322. у
X
2'~х — 1
323. у
х + 2
х—I
2*4-1 _
1
324. у = (sin 7) cos<21x|-1).
325. у — х (2—sin — V
\ х )
327. у = хarcsin—.
х
х/х^Л-Klx4 —4| ‘
331. у = j/x2 + 2x4-1.
333. y = fr(х—I)4—х.
335. у у/~ха + —— -е
337. у = -^-.Ух.
X — 1
339. у =/T^72cos—•
X
341. г/ = ^(ГГ2р(х- 1).
343. у = j/x2—х3- ^-2— .
326. у —х2 ^2 + sin2 — j.
328. у =------х—------.
/ 1 >х2-1 _ J
\ 2 / “
330. у = — J/x^ + x.
332. у=х + ^(х—I)2.
334. у = Ух2---1--
у 2^ ‘
336.
У = д/ х44
1
344. у = У(х— 2)2 + 6х—10.
345. г/ = ^(х-1)2-^/(х+1)2.
346. y = f/x2 + 1/(1 +х)2.
347.
/х2+ 1
х |sinx|
348. у
349. у
2х2 — 1
/|х2 —4| '
350. у
1
х2еж—1
х2 — 5х — 4 '
351. у = Ухг + х+ 1 — /х2—х+ 1.
43
352. у==
х2 (х-|- 1)2(х—2)
х2 — 7х 4- 12
353. у = arctg----------
354. z/ = log2(x + /х2—4х).
355.
х — arcsin
4 _____
356. у = у/х arctg ^Х2^~ • •
357. у — g—юо<1—х>« g— ioo(i+x)*.
358.
359. у = (х-1)/(х + 1)3(2-х) • {Vx + V\x\ +1).
ех (х2 — 4х + 3)
х — 5
361. у = (У"9—х2—х—3)ех-х(х—1).
362. у = .
х —2
363. у = 2*-> (|х| — 2— |]х| — 2|).
364. у—2Х~' [sgn(4—х2) + 1].
365. у = хУ|х2 —1|—V^^+T + l.
366. у = arcsin (х Ух2—1—У]*4—2|).
Построить эскизы графиков следующих кривых, заданных па-
раметрически:
367. x(t) _ t fl— 1 ’ У (Г) -- fl t— 1
368. X (0 4 —^2 1-Н3 ’ y(t) /2 1 -н3'
369. X (/) /3 — fl + 1 ’ У У) fl 1-Н’ '
370. х(0 = У У) fl + 2/2 -Н Z + 2
/2___ 1 /2
371. х (Л = ------—, у (Л =---------------------
t(t + 2) ’ # + 2) (t + 1)
44
372. х (/) = ^±_L_ , у (/) = _L_
4(^—1) / + 1
373. х (/) = ——, у (/) = Z(1~4;2) .
' ' 1 _ /2’ 3 ' 1 _ /2
374. х(/)= ——,
375. х (/) = arcsin (sin t), у (t) — arccos (cos t).
376. x(t)~arctg/, y(t)=t3—t.
377. x (/) = (In/) sin/, y(/)=cos/.
378. x(f) — e‘ smt, y(t)=e‘cost.
379. x(/)=sin2/, z/(/)= sin 4/.
380. x(/)=sin4/, у (t) —cost.
381. x(/)==cos4/, у (/) = cos3/.
Построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной си-
стеме координат уравнениями:
382. г = 2ф. 383. а г =—. Ф 384. г = е2ч>.
385. r = sin ф. 386. Г = COS ф. 387. г = cos 2ф.
388. r = cos5<p. 389. 1 г =——. 390. 2 г — .
COS ф sin ф
391. г =2. 392. Ф = л/3. 393. 1 г—
cos3 <р + sin3 q>
394. гг = а2соз2ф. 395. г = sin3—. 3 396. г = 1 + 2 cos ф.
Преобразовать к полярным координатам уравнение линии (си-
стемы совмещены):
397. х2 + у2=х. 398. X2 + у2 = у. 399. х2 + у2 — 5.
400. у — 2х. 401. у = ^- 402. х = 3.
403. х + у — 2. 404. (х2 + у2)2=ху. 405. (х2 + у2)2 —х2— у2
406. х4 + у4=х2+у2. 407. х2 + у2 — (х2—у2)2.
408. ху2 + ух3 = (х2 + у2)2.
Преобразовать к декартовым координатам уравнение линии
(системы совмещены):
409. rcosq> = 3. 410. r2sin2(p = 2. 411. rsin<p = 2.
45
412. r = 2cos<p. 413. r = l+cos<p. 414. r = cosaq>.
415. r=/2. 416. <p=—. 417. r =------!-----.
4 cos <p + sin <p
Нарисовать эскизы графиков следующих кривых:
418. 1/=х-1. 419. |i/|=l- |х|. 420. |х| 4- 11/1 =1.
421. [х] + [/ = 1- 422. |х + / = — Х4- 1/.
423. 11x1-1/1=1.
424. ||х| + ||/-3|-3| =1.
425. 1/ =-ф.(|х|— х).
426. |у+ |/1 = | |х| — х|. 427. х24-/=х4-2.
428. Х2 + У2=Х + У- 429. у2 4-+/=i. 4
430. •у—/ = 1. 431. х34-/ = 1 432. х4 4- / = 1.
433. Ух + Уу — Уа. 434. /х2 4-
435. у2 — х—х3. 436. х — у—у3. 437. х2=у—у3.
438. у2 —х + х3—2ха. 439. х2у2 + У = 1.
440. х4—/ —х2—2у2. 441. у3—х2у + х3 = 0.
442. х5 4- / = ху2. 443. х2 = / 4- у ». 444. 2ху2— Зха4~/=0.
445. х2—ху + у2 = \. 446. 4/ = 4х2у 4- х5.
447. х3 4- / = 3ха. 448. j у3—2у2х—х2 = 0.
449. х*4-/=х84-/. 450. / 4- х4 = ху2.
451. max{(144—25xa—9/—54r/), (min(y, 25—5f/—x2))} = 0.
452. (xa + /— 25) (16xa + /—4) (xa + 16/— 96z/ + 140) X
X (4xa— 16xsignx4-4/—16y4-31)=0.
453. {(42— 38signx)y + x^|Z— 1) (/13—4x4- 1)} X
X {9/5у—x(x— 1) /х + 2}• {4xa + 16/ + 56x— 64z/ +
+ 259} = 0.
46
454. {(4у + x2)2 + sign (x2 + 2x) + 1} -{(x2 + y2)5/2—
—4x (x2— y2)} = 0.
455. {x2-sign (3y—y2) + 1} • {(x2 + y2)5'2 - 2 (|у | + y) (x2 + y2)} x
X {(х2 + У2—2y+l)5/2—2(|y—11 +y—1) (x2—у2 + 2y—1)} x
X {(x2 + y2-6y + 9)2—2 |xy-3x|} = 0.
456. {x2—sign (Gy—y2)} {xa + (у— 6)2} X
X {(y— 5)2 + (x— 2 sign x)2— 1} X
X {(y— 6)2 + (x— signx)2— 2sign(y—6)+ 1} x
X {(x2 + y2)2—16y |x|} • {min [(x4—3y4), (9y + 18—
— |5x2—2|)]} = 0.
457. {min [(xa + y2—2x), (x2 + 16ya— 1), у]} x
X {Gy-\-xV|x + 11 (2 -bx—x2)}- {2x2 + 2y2—2x—2y+ 1} = 0.
458. [27y—x2(x + 2)2(2—x) (/9=T2x
X {max {(у_/ГГз/^^(е-’^+^ + бе-100^2)),
sign (x— 2) + -y- | • {9x2 + 48x + 9ya + 64} = 0.
459. (max{(2—|x|—2 12y—x + 3|), (min[(x2 + y2—4x),
(3x2—y2 + 9—4x^9—y2), (4y2 + x + l — 5y 1 + x )])}) X
X (16x2—32x+16y2—32y + 31) = 0.
460. [(x + 4)2 + 1 — sign (1—y2)] • [(x + 3)2 + y2 +
+ 2 sign (x + 3) + 1] [(2x + 3)2 + y2-1] x
X [(x2—x)2—sign(l —y2) + 1] • [y2 + sign(x2—x) +1] X
X [(x— 3)2 + y2 + 2 sign (x— 3) + 1] • [(x—2)a + (y—1)2 +
+ sign (2—x) 4-sign (y— 1) + 1] • [(xa—9x + 20)2—
— sign(l — y2) + 1] • (y+|x—4| + |x—5|)2—
21
-------X
4
+ 1 =0.
47
Глава II
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть а — точка расширенной числовой прямой, т. е. число
или один из символов +оо, —оо, оо. Обозначим через 0(a)
окрестность точки а и через 0(a) — проколотую окрестность:
О (а) = U (а) \{а). Пусть функция f(x) определена на множестве
Е, для которого точка а есть предельная точка (точка сгущения).
Определение. Число А называется пределом функции f(х)
при х-+а (обозначение: Л = Нт/(х)), если для любого положи-
х-+а
тельного числа e(Ve>0) существует окрестность U(а) точки
а (Я U (а)) такая, что для любого х из проколотой окрестности,
принадлежащего E(Vx^O(a)QE), выполнено неравенство
\f(x)—А\ <е (Ve>0 ZU(a) :Vxe=U (а)(\Е \f(x)—А\ < е).
В таком случае иногда говорят: функция f(x) при х^-а имеет
предел, равный A (f(x) стремится к А при х-+а).
Если а — собственная точка числовой прямой (т. е. число), то
окрестностью U (а) является интервал с центром в точке а. Тогда
определение предела записывается в таком виде: Л = Кт/(х),
х->а
если для любого положительного числа e(Ve>0) существует та-
кое положительное число б(Я6 = б(е)), что для любого x(Vx) та-
кого, что 0< |х— а|<б, х^Е, выполнено неравенство |/(х)—
— Л|<е.
Проколотой окрестностью несобственной точки ( + °°) яв-
ляется любой луч х>а; проколотой окрестностью несобственной
точки (—сю)—любой луч х<а; проколотой окрестностью несоб-
ственной точки (оо)—объединение двух лучей: {x>a}U{x<—а}.
Тогда определение предела записывается (с использованием сим-
волов) в таком ваде:
lim f(x)=/4(lim f(x) — A', limf (х) =Л),
Х->—)-оо ' Х+—ОО 'Х-ФОО
если
Ve>0 ЯС — С (е) > 0: Vx, х > С, x^E(x<Z—С, хЕЕЕ;
|х| >С, хеЕ) |/(х)—Л| < е.
Внимание! В определении Нт/(х)=Л нет никаких условий
х-+а
на значение /(a); более того, нет даже требования, чтобы функ-
ция f(x) была определена в точке а. Поэтому ни неопределен-
ность в точке а, ни значение f(a), если а^Е, не влияют на су-
ществование и величину lim/(x).
х-*а
48
Пример: Пусть / (х) = I ’
I 0, х = 5.
Так как разность f(x)— 1=0 для всех значений х, кроме х=5
(т. е. в любой окрестности С7(5)), то из определения предела сле-
дует, что limf(x) = l.
х=5
В частности, если две функции f(x) и g(x) совпадают в неко-
торой проколотой окрестности точки а, то либо обе они не имеют
предела при х^а, либо limf (х) =limg(x).
х->а х-*а
Пусть а —собственная точка числовой прямой. Бели в опреде-
лении предела функции f(x) заменить множество Е на множест-
во Е+ = Е(\{х>а}(Е_=Е(\{х<а}), то получим определение односто-
ронних пределов в точке lim f (х) (lim f(x)). В терминах
х-*а+ х->а—
окрестностей это значит, что берется правая (левая) полуокрест-
ность точки а, т. е. интервал вида (а, а+6), 6>0, ((а — 6, а),
6>0); в терминах неравенств это значит, что рассматриваются
значения х, удовлетворяющие неравенству
0<х — а<6, 6>0 (0<а — х<б, б>0).
Для простоты изложения в дальнейшем считаем, что f(x)
определена всюду в некоторой, быть может проколотой, окрестно-
сти точки а, тем более что при вычислении пределов имеет место
именно это.
Пример 2. Покажем, что lim sinх= 1.
х-»-л/2
Решение. Оценим разность |1 — sinx| (см. определение).
Имеем 1 — sinx = 2cos(n/4+x/2)sin(n/4 — х/2). Так как для лю-
бого х: | cos (л/4+х/2) | < 1 и |sin(n/4—х/2) | < |л/4—х/2], то 11—
— sinх|=^|л/2 — х|. Следовательно, если б = е, то из неравенства
0<|х — л/2|<6 следует неравенство |1 — sinx| <е. Таким обра-
зом, для Ve>0 Яб = е, Vx : 0< |х — л/2 | <6 = > 11 — sinx| <е,
т. е. lim sin х= 1.
Х-.Л/2
Следует обратить внимание на то, что мы не решаем неравен-
ства 11 — sinx|<e, т. е. не находим множества всех тех и только
тех значений х, для которых оно верно. Нас интересует только
определение такой окрестности точки а=л/2, в которой это нера-
венство выполняется. Выполняется оно вне этой окрестности или
нет, нас не интересует. В такой ситуации бывает удобно заранее
выделить некоторую окрестность точки а, в которой и проводить
дальнейшие оценки. Необходимо только следить за тем, чтобы
окрестность, найденная в результате этих оценок, не оказалась
больше, чем выделенная заранее.
Пример 3. Покажем, что limx2 = 9.
x-t— 3
Решение. Необходимо оценить разность |х2 — 9|. Имеем
|х2 — 9| = |х — 3| • |х+3|. Так как на всей числовой прямой мно-
49
житель ]х— 3j не ограничен, то оценку произведения -сделать
проще, если выделить некоторую, например, 1-окрестность точки
а = —3 — интервал (—4, —2). Для всех хе(—4, —2) имеем |х—
—3 [ <7, следовательно, |х2—9|<7|х+3|. Так как 6-окрестность
точки а = —3: (—3 — 6, —3+6) не должна выходить за пределы
1-окрестности, то берем 6 = min(l, е/7), и из предыдущих оценок
видно, что из неравенства 0< |х+3| <6 следует неравенство
|х2—9|<е. Таким образом, limx2 = 9.
Х"> 3
Пример 4. Покажем, что lim ------------xsmx------= о.
х^+оо х2 — ЮОх + 3000
Решение. Так же, как в предыдущем примере, выделим
удобную для дальнейших оценок окрестность точки +оо (луч
х>а): именно луч х>200. Для х>200 имеем х2—100х + 3000>
> х(х—100) > —, следовательно,
х2—100% +3000 I х2 х
Таким образом, если а = шах{200, 2/е}, то из неравенства х>а
следует
х sinx
х2 — ЮОх + 3000
, __ х sin х „
< е, т. е. lim -----------------------= 0.
*-»+оо х2 — ЮОх + 3000
Пример 5. Покажем, что функция f(x) = sin(l/x) не имеет
предела при х—>-0.
Решение. Запишем с использованием символов утверждение
«число А не является пределом функции f(x) при х—>-а (а—соб-
ственная точка числовой прямой)»:
Яе0 > 0: V6 > 0 Яхб = х(6): 0 < |хв—а\ <6, xe<= Е,
\f(x6)—A\ >е0.
Если А = 0, то возьмем ео= 1/2 и Хь = 1/(2л^+л/2), тогда V63fee
&V: 0<ха.<6 и ]/ (х*) —01 = | f (х*) ] = 1>е0, таким образом,
нуль не есть предел f(x) =sin(l/x) при х->0. Если же Л=+0, то
возьмем е,0=|Л|/2 и Xfe=l/2nh. Тогда V&Ik^N: 0<xft<6 и
|f(xh)—А | = | А | >ео, таким образом, и любое отличное от нуля
число не есть предел функции f (х) =sin(l/x) при х—>-0.
Из приведенных примеров видно, что, пользуясь определением
предела, мы проверяем, является ли данное число пределом дан-
ной функции или нет, но не имеем конструктивного метода вы-
числения предела данной функции.
Непосредственно из определения предела можно получить
утверждения: если у(х) есть постоянная функция, т. е. у(х) = С,
то lim г/(х) =С; если у(х)=х и а — собственная точка числовой
х-+а
50
пре-
прямой, то limy(x) = limx = a. Несмотря на тривиальность этих
х-»а х->а
равенств, они являются отправными точками для вычисления
делов.
Основные утверждения, используемые для вычисления
делов.
Если существуют lim/1(x) и lim/2(x), то
a) Iim (fr (х) + f2 (х)) = lim /х (х) + lim /а (х);
х->а х-+а х-*а
b) lim (Д (х) • /2 (х)) = lim /х (х) • lim/а (х);
х~*а х-*а х->а
lim Л (х)
с) если lim/» (х) =0= 0, то lim - - — -----•
’ х-,а ’ х->а f2(x) lim/2 (х)
х-*а
d) если в некоторой проколотой окрестности точки х~а имеем
/iW<gW</2W и lim/1(x) = lim/a(x)=4, то limg(x)=4
npe-
(принцип двустороннего ограничения).
Пример 6. Найдем lim(aoxn + о^х"-1 + ... + a„_ix + ал) (а—
собственная точка числовой прямой).
Решение. Пользуясь утверждениями о пределе суммы и про-
изведения, получаем, что
lim (ссох'1 + о^х"-1 + ... + a„-ix + ал) = аоап + с^а"-1 4-
х-+а
+ . . . + + <хл,
т. е. предел многочлена при х, стремящемся к числу а, существует
и равен значению этого многочлена в точке а.
В дальнейшем постоянно пользуемся тем, что для любой ос-
новной элементарной функции /(х) и точки а из ее области опре-
деления справедливо соотношение
lim/(x) = /(a).
Определение. Бели функция /(х) определена всюду в не-
которой окрестности точки а (правой полуокрестности, левой по-
луокрестности) и lim/(x)=/(a) (lim / (х) =/(a), lim /(х) =/(a)),
х-*а —
то функция /(х) называется непрерывной в точке а (непрерывной
справа, непрерывной слева).
Пользуясь этим определением, можно предыдущее замечание
сформулировать так: каждая основная элементарная функция не-
прерывна в каждой внутренней точке своей области определения
и непрерывна справа (слева) в крайней левой (крайней правой)
точке области определения.
При вычислении пределов постоянно применяется теорема о
пределе композиции:
51
если функция f(x) непрерывна в точке х=а и существует
limx(/)=a, то верно утверждение
lim/(x (<))=/(lim х (/))=/(а).
Пример 7. Найдем lim In (1 4-^1 + sin2 (х/2)).
*-»4л
Решение. Напишем цепочку соотношений
У1=х/2, yt = sinyv у3=у2, У1 = 1+у3,
Уб = У1й, Ув = 1+У&, Уч = Ълу3.
Применяя последовательно теорему о пределе композиции, по-
лучим
lim у1(х)=2л; lim у2(х) = lim sinуг =0;
х~»4л *-»4л »1-»2я
lim у3(х) =limj/2 = 0; limt/4(x) =
х-*4л Й-+0 х-»4л
= lim(1 + 1/3) = 1; limt/8(x) = limV'i/4 = l,
г/>->о *->4л
lim ув(х) = lim(1 + у3)=2,
х-*4л ys-+\
lim In (1 + У1 + sin2 (х/2)) = lim у1 (х) = lim Inу3 = In 2.
*->4л *->4л I/,-» 2
Заметим, что условие непрерывности функции f в точке х = а
в теореме о пределе композиции нельзя заменить на условие су-
ществования предела функции f при х->-а. Дело в том, что если
Ит/(х)=Д, limx(/)=a и lim/(x(/)) существует, то верно ра-
х—+а
венство lim/(x (/)) = lim/(x) — А, но существование предела
X—
/(х(/)) не вытекает из существования пределов функций /(х) и
Пример 8. Пусть
я
/(х) =sign2x =
1, х=7^0,
0, х = 0,
х (0 =
t, хе(1/2А, 1/(2А— 1)), keZ, k=^0;
— t, хе(1/(2&+1), 1/2Л), k(=Z, k^=0\
0, x = l/^, k^Z, k^=0.
Пусть e>0 — произвольное число и 6 = e. Так как |х(/) |С|Л,
то из неравенства 0<|/| <6 следует неравенство |х(/)|<е, т. е.
limx(/)=0. Так как для любого х#=0 имеем f(x) — 1 = 0, то
lim / (х) = 1.
х-*0
.52
Рассмотрим Для любого 6>0 в интервалах (—б, 0) и
(0, б) найдется бесконечно много t, равных 1/k, k^Z, k^O, для
которых x(t)=0 и, следовательно, f(x(Z))=O. С другой стороны,
при всех значениях 1, отличных от нуля, и чисел вида i/k, k^Z,
k=Y=0, имеем x(t)^0, следовательно, f(x(t)) = 1.
Таким образом, в любой проколотой окрестности точки /=0
функция f(x(t)) принимает как значение 1, так и значение 0. От-
сюда следует, что f(x(t)) не имеет» предела при t—>-0.
Пример 9. Найдем limx2sin(1/х).
Решение. Пользуясь неравенством —х2^х2 sin (1/х)^х2 и
принципом двустороннего ограничения, получаем, что
limx2 sin (1/х) = 0.
__J
Пример 10. Найдем lim-------------.
к г *->-1 х2-4*4-3
Решение. Пользуясь результатом первого примера и утвер-
ждением о пределе отношения, получаем, что
х->—1 х2 — 4х 4- 3 lim (х2 — 4х 4- 3) 14-44-3 4
1
Определение. Функция f(x) при х-+а называется бесконеч-
но большой, если для любого положительного числа С существует
окрестность U (а) такая, что \f(x) | >С для любых хе О (а) ПЕ
(Е — множество определения функции f (х)).
Заменяя в этом определении неравенство |/(х) | >С на f(x)>
>C(f(x)<—С), получаем определение положительной бесконеч-
но большой (отрицательной бесконечно большой) функции.
Сравнивая определение бесконечно большой функции с опре-
делением функции, имеющей предел, видим большую общность:
если в первом определении требуется, чтобы все значения функ-
ции в некоторой проколотой окрестности точки а оси ОХ попада-
ли в заданную окрестность несобственной точки оси OY, во вто-
ром определении требуется, чтобы все значения функции в неко-
торой проколотой окрестности точки а оси ОХ попадали в задан-
ную окрестность собственной точки А оси OY.
Коротко утверждение, что функция f(x) при х->а является
бесконечно большой (положительной бесконечно большой, отри-
цательной бесконечно большой) записывается так:
lim/(x) = oo (limf(x)= 4-оо, lim/(x) — — оо).
х-*-а х->а х-+а
Основные соотношения для бесконечно больших функций:
е) если lim/(x)=0, /(х)^0, то lim—Ц- = оо,
х-»а х->а f (х)
обратно, если lim/(x) = oo, то lim 1//(х) =0;
х-+а х->а
53
f) если lim/1(x)=oo и limfa(х) = Л, то ПпЦ/Дх) + f3(x)) = oo;
x-+a x-*a x-*a
g) если lim/1(x) = 4-оо и lim/a (x) = 4-oo, to lim(/1(x)4-
x-+a x-+a x-+a
+ fi (x)) = 4-00;
h) если Ит/г(х) = оо и limfa(x) — A gfcO, to Iim(/1(x)>fa(x))=oo.
x-*a x-*a x~+a
Из соотношений a) —h) следует, что если lim/1(x) —A^Of
х->а
f2 (х) #= О, lim /а (х) = 0, то lim (х)//а (х) = оо; если же lim (х) = А,
х~+а х~^а х~+а
lim/2(x) = oo, то lim^ (х)//а (х) = 0.
х-+а х->-а
гг и • 1 • 1П (х2 4~ 4х 4“ 2)
Пример 11. Найдем lim----------—I----——.
х-4-о In (х10 4- х3 4- х2)
Решение. Пользуясь соотношением е) и утверждением о
пределе произведения, получим
lim ln(* ~h4* ~h.= lim In (ха 4- 4х 4- 2) х
х->о In (х1» 4- Xs 4- х2) *_>о
1
X lim-------------------------— In 2 -0 = 0.
*->.о In (х10 4- х3 4- х2)
Пример 12. Найдем lim
x-t— оо 2х
2х 1
Решение. Рассмотрим обратную величину -----------= 2Х-—. Приме-
X X
няя соотношение е) и утверждение о пределе произведения, получаем
lim (2х • — j = lim 2х • lim — =0,
Х-+— 00 \ X / Х-+—оо х->—оо X
откуда, применив еще раз соотношение е), следует, что lim х/2х = — оо.
Пример 13. Найдем lim (уг4х24-4х4-х).
X-H-OO
Решение. Из соотношения g) следует, что
lim (1^4х2 4- 4х4~ х) = 4- оо.
х-»-[-оо
Пример 14. Найдем lim(х4-cosх).
*->оо
Решение. Так как 0^ |cosx/x| 1/|х|, то применяя соотно-
шение е) и принцип двустороннего ограничения, получаем, что
lim |cosx/x| =0, т. е. Iimcosx/x = 0, следовательно, в силу утверж-
Х-*.оа Х->оо
дения о пределе суммы lim (1 4-cosx/x)= 1, применяя соотношение h),
*-►00
получаем, что
lim (x + cosx) =limx(l 4-cosx/x)= 00.
*-►00 *->oo
Рассмотрим теперь, как находится предел степенно-показа-
тельной функции [«(х)]®(х)(и(х)>0).
54
Пользуясь непрерывностью показательной функции, получаем
lim [и(*) In ы(лг>]
lim и (x)yW = lim ev^ln «<*> = ex^a
x-+a x-*-a
Таким образом, нахождение предела степенно-показательной
функции сводится к нахождению lim [и(х) 1п« (х)].
х-+а
Рассмотрим подробнее отдельные случаи (I—III).
I. Если limn(x) = 4, limlnu(x)_В, то lim«(x)=eB, так как
х~+а х-+а х-*а
lim In и(х)
lim u(x) = lim eIn “<*> = е*"*0 ~ев
x-ta x-ta
И
lim [a(x) In u(x)] lim a(x)
ex~a = eAB^(eB)A = [hmu(x)]x~*a .
x-+a
Другими словами, если limu(x)=«, u>0 и lima (x) -=v, to
x-+a x-*a
lim и —uv.
x->a
lim [ci(x) In u(x)]
II. Если lim [c(x) ln« (x)] = + оо, то и ex^a = + oo, ec-
x->a
lim [o(x) In u(x)]
ли lim [v(x) Inu (x)] =— оо, to ex^a =0.
x-+a
Отсюда видно, что если lim [и (х) 1пц (z)] = оо и произведение
х->а
ц(х)1пп(х) не сохраняет знак ни в какой проколотой окрестности
точки а, то функция и 1п не имеет предела при х-*а.
Пример 15. Найдем lim (———\с‘вя*
к х2 + 1 /
Решение. Так как
X2 1
limIn------- In—, a limctgлх = oo,
x-l x2+l 2 *-i
TO
lim
x->l
1 **
In------
X2+ 1
• ctg nx = OO.
При 0 < x < 1 имеем, что
X2
In-------ctg лх > 0,
X2 + 1
при 1 < x < 2 имеем
X2
In---------- ctg лх < 0,
x2+l
55
X*
таким образом, бесконечно большая функция п i ‘
в любой проколотой окрестности точки а—1 принимает значения
разных знаков. Поэтому функция
X2 \ ctg пх С*Ялх 'п
=г
хг
х* + 1
не имеет предела при х->1 и не является бесконечно большой при
х—>-1. (В то же время
lim
х2 \ ctg пх
----- =4-оо, lim
Пример 16. Найдем lim fsin-^-V+3
х-*1 \ 4 }
Решение. Так как
limsin-^-=—^=-, lim (х2 4-3) =4,
х-1 4 /2 х-и ’
то
lim
X-t-l
пх \ **+3
sin-----I
4 /
1 \<
/2 /
1
4 ‘
Пример 17. Найдем lim ( 1 \ctg
x-И \ х + 3 /
Решение. Так как
lim -* + *- = —, limctg2 пх = 4- оо,
z-,1 х-3 2 х-1
ТО
lim ctg2 nx In -x 1 = — oo
x-i *4-3
следовательно,
1- / x+ 1 \ctg’n*
lim [—!—| =0.
1 \ x + 3 /
X x
tg —
Пример 18. Найдем lim (sin2x) 2
x-»-n+
Решение. Так как
lim lnsin2x = — oo, lim tg — = — oo,
х->-л+ X-MI+ 2
TO
lim (In sin2 x) • tg—=4-00, lim (sin2 x) 2 =4-00.
Х-.ЛТ- 2 X-f n+
56
III. Пусть в произведении o(x)lnu(x) предел одного из сомно-
жителей при х-*а равен нулю, а второй сомножитель является
бесконечно большой функцией. Такое положение возможно в трех
случаях:
а) Птц(х)=0, limu(x)=4-oo (символически оо°),
х-*а х-+а
б) limv(x)=0, lim«(x)=0 (символически 0°),
х-*а
в) Нтц(х) = оо, limu(x) = l (символически 1°°).
х-*а х-+а
Непосредственное применение теорем о свойствах пределов и
бесконечно больших функций не дает возможности вычислить та-
f (х)
кие пределы. Так же обстоит дело с вычислением когда
g(x)
limf (х) = limg(x) = 0. Этот предел нельзя найти, пользуясь
х-+а
теоремой о пределе отношения, так как предел знаменателя ра-
вен нулю, нельзя использовать и соотношения е)—h), так как
предел числителя равен нулю. В этом случае говорят, что имеется
0
неопределенность —.
Аналогично вводятся символические обозначения неопределен-
ностей ——-, 0-ОО, оо — оо.
ОО
В тех случаях, когда имеет место неопределенность, для вычи-
сления предела — «раскрытия неопределенности» — преобразовы-
вают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
Для таких преобразований используются или тождественные (в
проколотой окрестности точки а) соотношения, либо сравнение
поведения функций при стремлении аргумента к предельной точке.
дЗ_ j /
Пример 19. Найдем lim------------------- (неопределенность ти-
Решение. В проколотой окрестности точки х=1 функции
х® - 1 х* х I 1
- и х— тождественно равны, значит, имеют
х — 4х 4- 3----------------х — 3
« 1 т~т 1 * х2 4- х 1
при х-И один и тот же предел. Предел hm------------------- вычис-
х-+1 х — 3
ляется с использованием утверждения о пределе частного и пре-
деле многочлена. Итак,
lim—*—= lim.*2 + *+-L =
х-и х2— 4x4-3 *->-1 х — 3
Нт (х2 4- х 4- 1)
х-»1_______________
lim (х— 3)
х-И
3
2 '
57
Пример 20. Найдем
]jm а°х'г a-iX"'1 + -H*n-iX 4~ ап
*—оо РоХт + Р1Хт-1 + • + Pm-l* + Pm
оо \
неопределенность ------1.
(m > п > 1, а0₽0 #= 0)
<ХрХп ~|~ СС1ХП~1 Ч~ «П-1* Ч~ ап ________
рохт + р!Хт-1 + .. . + Pm_i* + Pm ~
1 1 1
“о • ~т-п + • • • + “"-1 • хт-1 + хт
Ро + Р1 • + • • • + Pm-i • т. + Рт ~
X хт 1 хт
следовательно, lim ~-п- = -О- =0 (правильная рациональ-
х—оо РоХ"1 -4~ . • - Н~ Рт Ро
ная дробь при х-*оо стремится к нулю).
Если в числителе такой дроби стоит многочлен нулевой степе-
ни, т. е. константа, то стремление дроби к нулю при х->оо сле-
дует непосредственно из соотношения е) для бесконечно больших
функций. __________
Пример 21. Найдем lim (j/x2 * + 4х + 5 + х) (неопределенность
ОО
типа оо — оо).
Решение. Если х < 0, то (И*2 + 4х + 5 +х)= , 4* — =
7 /х2+4х+5— х
5
4 + * ________
= ------- ---------------, следовательно, lim (Ух2 + 4х+& + х) —
Пример 22. Найдем lim }^1 + cosx • tg— (неопределенность
*—л+ 2
типа 0 • оо).
Решение. Если л < х < то V1 + cos х = 1/ 2 cos2 — =
2 Г 2
= —]/2 cos—, следовательно,
lim У 1 + cos х • tg — = lim f — У2 cos —tg —= — ]/2 .
х->л+ 2 \ 2 2/
Пример 23. Найдем lim ------—i———
*-oo In (хм + xs + x)
oo \
типа -- .
oo )
неопределенность
58
Решение. Имеем
In (>? +4x4-2)
In (х10 4- х3 4-х)
2 In | х | 4- In 14-
10 In | x | 4- In I 1 4-
ln 14-
Применяя соотношение e) для бесконечно больших функций и со-
отношение Ь) для вычисления пределов, получаем
1 (i . 4x4-2 \
In ( 1 4--------I
lim ------------------— = lim In f 1 4—+ 2 \ . lim —-— =0,
x-»oo 1П | X | *-,.00 \ x2 ) *->o In |x |
X->oo In j x |
откуда, применяя соотношения а) и b) для вычисления пределов,
получаем
]im 1п(х24-4х + 2) 24-0 1
х->оо In (х10 4-х’4-х) 10 4-0 5
Пример 24. Найдем lim —— (неопределенность типа
х->+оо 2х \ 00 /
Решение. Методом математической индукции доказывается,
что для всех натуральных чисел п имеем п<2п. Пользуясь моно-
тонностью показательной функции 2х, отсюда получаем, что для
х>0 имеем х/2< [х/2] 4-1<2£ж/2^* 1^2ж/2+1, где [а]—целая часть
а. Следовательно, для х>0 имеем х2/4<2ж+2 и 0<х/2х<16/х. При-
меняя соотношение е) для бесконечно больших функций, полу-
чаем, что
lim -2L=0.
Ж-+-1-00 2х
Пример 25. Найдем lim Xх (неопределенность типа 0°).
х—>0-|-
Решение. Необходимо найти lim xlnx. Положим х = 2-а,
х-»0+
тогда условие х->0+ эквивалентно условию а->-4-<». Пользуясь
результатом предыдущего примера, получаем, что
limxlnx= lim ~~a*n2 =0,
х-^04*1 а->4-оо 2
59
следовательно,
lim х In x
lim x* = e*-*°+ = e° = l.
X—>0-f-
Сравнение поведения функций при х-+а.
Определения.
1. f(x)avg(x) при x-+a(f(x) эквивалентна g(x) при х-+а),
если f(x)=a(x)g(x), где а(х)->1 при х->-а.
2. f(x)=O(g(x)) при х-+а, если f(x) = a(x)g(x), где а(х)
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки х=а.
3. f(x)=o(g(x)) при х-+а, если f(x) = а(х) -g(x), где а(х)->0
при х->а.
Замечание. Если g(x) не обращается в нуль в некоторой
проколотой окрестности точки х=а, то
/(x)cog(x) при х-+а, если lim^*) =1;
*-»а g (X)
f(x)=O(g(x)) при х-+а, если отношение
f(x)
!g(x)
ограничено в
некоторой проколотой окрестности точки х=а;
f(x)=o(g(x)) при х-+а, если lim-Ц-) — 0.
X^a g (X)
Отметим, что символом 0(1) обозначается ограниченная в не-
которой проколотой окрестности точки х = а функция, символом
о(1) обозначается функция, имеющая нулевой предел при х-+а
(бесконечно малая функция при х-*а).
Свойства введенных соотношений. (Везде подразумевается, что
х->а.)
1. Если f(x)cog(x), то g(x)<xf(x) (симметричность соотноше-
ния эквивалентности).
2. Если /(х)со g(x) и g (х)со Л(х), то f (х)со h(x).
3. Если f(x)ozg(x), то f(x) = 0(g(x)).
4. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).
5. Если f(x)^g(x), то o(/(x))=o(g(x)).
6. Если постоянная С#=0, то
С • О (g (х)) = О (g (х)), С • о (g (х)) = о (g (х)).
7. О (0 (g (х)) = О (g (х)), О (о (g (х)) = о (О (g (х))) = о (g (х)),
O(p(g(x)))=o(g(x)).
8. Л (х) • О (g (х)) = О (Л (х) • g (х)), Л (х) • о (g (х)) = о (Л (х) g (х)).
9. О (g (х)) • О (g (х)) = О (g* (х)), О (g (х)) • о (g (х)) • о (g2 (х)),
o(g(x)) • o(g(x))=o(g2(x)).
10. О (g (х)) + О (g (х)) = О (g (х)), О (g (х)) + о (g (х)) = О (g (х)),
o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x)).
11. Если / (х) со g (х) и Л (х) со s (х), то f(x)-h (х) со g (х) • s (х).
12. Если lim/(x) =А=#0, то/(х) со А.
х-*а
Из этих свойств следует, что если /(х) co g(x), то /(х)—g(x) =
==о (g (х)) или f (х) = g (х) + о (g (х)). Если функция f (х) представлена
в виде такой суммы, то говорят, что g(x) есть главная часть /(х)
при х->а.
60
Пример 26. Рассмотрим соотношение
Пт ^хп + а1х"-1+ ••• +ап 1х + ап _
х-х аох"
. “1 , «2 ап
«о + + „+•• +
1- XX2 Хп , , п
= нт ------------------------------- 1, а0 #= 0.
Х->оо Ctg
Следовательно, а^хп есть главная часть
аох" + о^х"'1 + ... + ап^х + ап (ао=0=О) при х->оо.
(Обращаем внимание, что, например, функции
у — ссохп + а1хГ1~1 и у = аохл + cqx"-1 + а2хга'2
также являются главными частями данной функции при х->-оо.)
Пример 27.
Пт «о*” + +<хп-тхт _
X-+Q Оп-тХт
= lim «оХп~т + а1^-1+...+ап.т =1 (ага_т#:0) ао#:О> 1с
х->0 З-п-т
^.т^п),
следовательно, an_mxm есть главная часть ссцх" + ^х"-1 + ... + ап_тхт
при х->0.
Справедливы следующие соотношения (два основных предела):
,. sin х , ,. ех — 1 ,
lim-----— 1; lim--------= 1.
*-»-о X х->-0 х
В другой записи:
sinxcox, ех— 1 <х:х при х->0.
Отсюда получаем, что при х->0:
X х2
1 —cosx = 2sin2 — ос-у (свойство 11);
tgx — —ссх (свойства 11 и 12);
cos х
arcsin х <х> sin (arcsin х) — х;
In (1 + х) ос е1п <>+*) — 1 =х.
Сведем полученные и аналогичные им соотношения в таблицу
(с. 62). Из разобранных примеров следует, что при х->+оо
1) aoxn + о^х"-1 + ... 4-а„_1х + а„ =
= o(P0xm + P1xm-1+ ... +рт_!Х + ₽,л) («оРо^О, /п>п),
2) х = о(2*).
61
Эквивалентность при x 0 Равенство прн x -> 0
sin X od x X2 1 — COS X co — sin x = x + o(x) X3 cosx = 1 — —4- 0 (x2)
tgx co X arcsin x co x arctg x co x ex — 1 co x 1П (1 4" X) co X (1 +x)m— 1 co mx tg X = X + 0 (x) arcsinx = x + 0 (x) arctg x = x 0 (x) ex = 1 +x+o(x) In fl 4- x) = X + o(x) (1 + x)m = 1 -|- mx + 0 (x)
Пример 28. Справедливы соотношения:
lim
Х-+0
1 + tg 5х — cos х
= lim
x-t-0
x2
1 + 5x+о (x) —1 + — + o(x2)
X
I + о (X3) — 1 — — + 0 (x)
Z О
= lim —!.*+. ° «I = lim -5+£-<-1.) = _5— = _25;
— ^- + o(x) '’° — “~ + o(l) —
5 5 5
lim ln(e* + x)~ sin3x ]im In (1 + 2x + 0(x))—3x4-0 (x)
->- arctg 4x *_>o 4x + о (x)
= nm 2x-3x+^(x) = Hm -l + o(l) = _J_.
*->-0 4x+o(x) *->o 4 +o(l) 4
. . ... . (*+o(x))(l—l+^-+o(x2)]
lim—-~sin* =lim tgx(1-cosx) = lim ------------'-----2-------' =
x-t-O x3 *-»0 Xs *->o x3
X3
— + o(x3)
== lim—-----------
x-+0 X3
1
2 ’
Для упрощения выкладок полезно заметить, что из соотноше-
ния f^g при х-+а следует, что limh(x)f (х) — lim Л (х) g (х) или
х->а х->а
оба эти предела одновременно не существуют, т. е. при вычисле-
нии предела произведения f(x)-g(x) один из сомножителей f(x)
или g(x) (или оба) в этом произведении можно заменить эквива-
лентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыду-
щего примера записывается короче:
х3
lim tgx-sinx __iim —С05Д1 =: Hm 2_=-L
x-»0 X3 x-fO x3 ЛХ-0 X3 2
62
В этом примере ясно видно, что соотношение /(х)=о(х) при
определяет только то, что lim = поэтому из соот-
х-*0 X
ношений sinx=x+o(x), tgx=x + o(x) (х->-0), следует только, что
tg х—sin х=о (х), х->0 (свойства би 10), т. е. lim-^^—sin х- = 0,
Х->0 х
но эти соотношения никак не дают сравнения функции tgx—sin к
с функцией х3. Для такого сравнения требуется более глубокий
анализ.
Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вы-
числении предела некоторого выражения заключается в замене
функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на
эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена
делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).
Пример 29. Справедливы следующие соотношения:
,. 2 — 2 cos 2х — sin2 2х .. 1—2 cos 2х + cos2 2х
lim---------------------=lim-------—--------!------
х->0 х4 *->-0 х4
= Пт (1~cos2^2 = Пт ±L. = 4.
x-fO X4 x-+0 X4
Если же заменить функцию t/ = 2— 2cos2x при х->0 эквивалент-
ной функцией 4х2 и функцию z/=sin22x эквивалентной функцией
- 4х^ _
4х2, то получим lim -------=0, что не совпадает с ранее полу-
*-»о х4
ченным верным результатом.
Пример 30. Пользуясь тем, что lim —— — 0 (см. с. 59) и
Х-Ч-оо 2х
соотношением е) для бесконечно больших функций, получаем, что-
X 1
,. 2х’ + Х .. 1+ 2х 2*г—*
lim --------s—= lim ----------------------------
Х->-)-оо 2Х2~^Х Х->+<ю 2Х
Если же в функции г/ = 2х2+х заменить показатель эквивалент-
ной при х-э-4-оо функцией у=х2, то получим
lim
Х->-t-00
2х‘ + х
2хг
lim
—— ) = 1,
2хг~х /
что не совпадает с ранее полученным верным результатом.
Если ищется предел функции при х—>а, п#=0, то для удобства
можно перейти к новому аргументу t/=x — а, предел которого ра-
вен нулю при х-+а.
Пример 31. Найдем lim (х — n/4)tg2x.
х-»-Л/4
63
Решение. Положим х— nfc=y, тогда
lim [х-----2-) tg2x = limi/ • tg (Ъу + = lim t/ (—ctg 21/) =
x л \ 4 / i/->0 \ 2 / y-*o
4
=— lim ।—-— • cos 21/) = — lim —-— • lim cos2м =
y-*o \ sin2y / j,_>0 sin2y j,_»o
= — (lim • 1 —--------—.
\ jf->o 2y j
Пример 32. Найдем
y = x — 1, тогда
/Зл _
cos (— (1 + y)“
lim-------.
*-* In (2x — ^x )
Решение. Положим
Злх“
COS----
lim-----------= lin
**' ln(2x — y57) v-0 ln(2y + 2 —^Г+7")
(Зя Зя \ /Зл \
—• + — ay + о (y) ) sin I — ay + о (у)
=.....------?----?—j-------= lim-------
In ^2y + 2—1 —-y-y+o(y)^ ""‘'° In (1 + ~y-y + o(y)
= H1? [ + :
y-*0 L\* / \ 7 /J 2b
Пример 33. Найдем
tg-?EL
lim(sinnx + x) 2 .
Решение. Вычислим
lim tg-^-ln(sinnx + x) ,
*-*i L 2 J
полагая у =x — 1. Имеем
lim [tg-^-In (sin лх + х) =lim tg - —- -- In (sin л (i/ + 1) +
*-*i L 2 J y->o 2
+ */ + 1) 1 = — lim [ctg-^- ln(l +y— sinny) =
J y-*0 2
.. Г 2 , . ,1 .. 2 (у — лу + о(у)) 2 (л—1)
= — lim -------(у — sin лу) = — lim —х—----——K-^-LL = —-------'.
j,_»0 L пУ J s/--o лу л
64
Следовательно,
te тех 2(л—1)
lim (sin лх+ х) 2 =е я
X—1
Отметим, что при х-*-а утверждения «/(х) <x?g(x)> и «g(x) есть
главная часть /(х)» равносильны. Так как функция /(х) при х->-а
имеет бесконечное множество эквивалентных функций, то при по-
становке задачи выделения главной части f(x) при х-*-а, т. е. на-
хождении эквивалентной функции, указывается, какой именно вид
эта главная часть должна иметь.
Пример 34. Найдем главную часть вида Сха для функции
/(х) = Vx + у/ха . In \ ПРИ х-+0.
Решение. Имеем
Кх + /х2 • 1п 1~х3- =/х + х2/3 - Inf 1--------\ =
V 1 + X2 1 + Ха /
1
= IхI 3 Vx1/3 + 1 • In (1 — 777г) И1/3 • (—2х2) =
= — 2|х|7/3 (х->0).
Следовательно, главной частью /(х) при х->0 является функ-
ция
g(x) =-2|х|7/3.
Пример 35. Найдем главную часть вида С(1—х)“ для функ-
ции
f (х) = 4 Ух — 5 Ух + 1 при х -> 1.
Решение. Если ввестй новую переменную 2=1—х, то полу-
чим, что
/(х) =4(1 — z)174—5(1 —z)>/5+1==4(i —_L + 0(z)) _
— 5 f 1---— + о (г) 'j + 1 == 4 — г + о (г) — 5 + г + о (z) + 1 = о (г),
\ 5 /
таким образом, этим методом мы не получили функцию, эквива-
лентную данной. Введем переменную t так, чтобы избавиться от
иррациональности: x = i20. Тогда так как х->-1, то £-*-1 и
1—х = 1 — ^« = (1 — t)(l + t + t2 + ... + Р9)оо20(1 —О,
4 И, А. Виноградова
65
и
f (х) = 4(8 — 5t4 + 1 = (1 — О2 (4/3 + З/2 + 2/ + 1) 10 (1 — ()2-
Следовательно,
f W
(1-х)2
400
.ioU.i-*)a
40
Итак, главной частью функции /(х) является функция
g(x)=-^=^(x->l).
Пример 36. Найдем главную часть вида Сха для функции
f (х) = arctg х — arccos — при х -> + оо.
х
Решение. Имеем
lim (arctgx—arccos—'j =0,
x->4-co \ x ]
следовательно, при x -> + oo
Итак, главной частью функции является функция g (х) = —— (х ->
2х3
->+ оо).
Пример 37. Найдем асимптоты графика функции у — х +1 4-
4- /х2 4-3x4-7.
Решение. При х -► + оо имеем
у — х 4* 1 4” х 1 4-Н —— — х + 1 4- х f 1 4" ——Н
Г х х2 \ 2х
+ ^- + °(—\}=2х 4-А + 0(1),
2№ \ х )) 2
66
а при x = — oo
_ Г 4 7 /4
у == x -j- 1 — x ~\/ 1 +-1~- — x 1 — x [ 1 +-----H
T x x2 \ 2x
н—— + 0 (—И =--------- + o(l).
2x2 \ x )) 2 '
Итак, график данной функции имеет правую асимптоту у = 2х +
5
Н---и левую асимптоту у = —1/2.
§ 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность {ап} есть функция, заданная на множестве
натуральных чисел 7V = {1, 2, 3,...}. Это множество имеет един-
ственную предельную точку — несобственную точку +°о. Пере-
формулируем определение предела функции на случай последова-
тельности: A = lim ап, если для любого положительного e(Ve>0)
П->оо
найдется такой номер У(ЯУ), что для любого п, n>N(У/г>У),
справедливо неравенство |Л — ап|<е. Если вместо множества
всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмно-
жество {n/i}, k=l, 2, ..., n/i<nk+i, то получим подпоследователь-
ность {anJ. Предел подпоследовательности {а^}, если он су-
ществует, называется частичным пределом данной последователь-
ности.
Если последовательность ограничена сверху, то и множество
всех ее частичных пределов ограничено сверху. Тогда доказы-
вается, что это множество обязательно содержит максимальный
элемент. Этот максимальный элемент называется верхним преде-
лом данной последовательности и обозначается lim ап. Другими
словами, А = lim ап, если Уе> О Я/V : Vn > N : ап<Д + е
ОО
и Я {ап.}: lim ап. = А.
Если последовательность не ограничена сверху, то lim ап = +
П->оо
+ 00.
Аналогично определяется lim ап — нижний предел последо-
Н —»-оо
вательности {ал}. Если последовательность не ограничена снизу,
то lima„ = — оо, в противном случае В = liman есть наименьший
из частичных пределов, т. е. B=lima„, если Ve>0 AN :Vn>N,
Н—>оо
ап>В—Е и Я {аПь}: lim аПь = В.
k' + <X>
Условие существования предела последовательности эквива-
4*
67
лентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой по-
следовательности.
Так как последовательность есть функция, заданная на множе-
стве натуральных чисел, то все рассмотренные выше методы вы-
числения пределов функций применяются и для вычисления пре-
делов последовательностей.
Рассмотрим еще один метод вычисления предела последова-
тельности. Разберем его на примерах последовательностей, задан-
ных рекуррентно.
Пример 1. Рассмотрим последовательность ах — 1, an+i =
— -^-+1, Vne АШрежде всего выясним, существует лиПтал.
2 W-*oo
Методом математической индукции проверяем, что для любого п
справедливо неравенство ап<2. Отсюда получаем, что ап+\ —
—апе=1—ап/2>0. Таким образом, {ап} монотонно возрастает и
ограничена сверху, следовательно, последовательность {ап} имеет
предел. Обозначим его через А. Для определения А перейдем к
пределу в рекуррентном соотношении an+i = an/2+l, имеем А —
=Л/2+1, откуда Л = 2. Итак, lima„ = 2.
и->оо
Пример 2. Рассмотрим последовательность
a„ = /2 + V2+ ... + /2
(п корней). Возрастание ап с ростом п следует непосредственно
из формулы для ап. Для того чтобы сделать вывод о суще-
ствовании предела ап, необходимо проверить, что последова-
тельность ап ограничена сверху. Действительно, заменив в по-
следнем радикале число 2 на 4, тем самым увеличив выражение
для ап, получим, что для любого п выполняется ап<2. Итак,
lim ап существует. Обозначим его через А. Для определения А
п-^со _______
перейдем к пределу в рекуррентном соотношении ап — У2 + ап-\,
имеем А = У2 + А, откуда Л =2. Итак, liman —2.
П-*0О
Пример 3. Рассмотрим последовательность ап = (—l)n, fie
^N. Так как a2fe = l, a2k+i = — 1, то liman = l, liman = — 1, от-
П-»-» „-„о
куда следует, что данная последовательность предела не имеет.
Члены ее удовлетворяют рекуррентному соотношению ап = —an-i.
Если формально перейти к пределу в этом соотношении, то полу-
чим lima„ =—liman-i, откуда limап = 0. Этот пример показы-
П->оо П->СО П->ОО
вает, что возможность перехода в рекуррентном соотношении к
пределу должна быть обоснована, т. е. существование предела
должно быть установлено заранее.
Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности
сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательно-
сти и сравнивают их пределы — частичные пределы исходной по-
следовательности.
68
Пример 4. Пусть дана последовательностьап=п<-~1> ,neN.
Так как для любого п имеем, что ап>0, то любой частичный пре-
дел этой последовательности неотрицателен. Поскольку а2п = 2п и
то lima2„ = lima„ == + оо и lim a2n+i = Ит ап = 0.
П->оо n-t-OO П—^оо П-*оо
Пример 5. Пусть дана последовательность ап — [ 2 + cos— j х
\ 3 /
X ( 1 Н—— cos, n^N. Так как для любого п имеем, что
\ п 6 /
< 3 (1 + 1/п), то liman^3. С другой стороны, ai2t=3(l + l/12/s)/,
п->оо__________________
откуда следует, что lima„ = 3. Точно так же из соотношений ап^
rwoo
— 1/п, для n^N и абй+з=1, k^.N, следует, что liman = 1.
П-*оо
Замечание. В этом примере кроме подпоследовательностей
{ai2fe} и {aefe+з} существуют и подпоследовательности, сходящиеся
к пределу, отличному от 1 и 3, например {аел+г}. Ее предел ра-
вен 3/2.
Используя понятие предела последовательности, можно дать
определения верхнего и нижнего пределов функции f(x), х^Е:
число А есть верхний предел функции f(x) при х^-а (обозна-
чение А — lim / (х)), если V е > 0 3U (a):V х^О (a), хе £, / (х) <
х-+а
< А + е и существует последовательность Хь-*-а, для которой А =
= limf(xk). Число В есть нижний предел функции f(x) прих-^a
{обозначение В — limf(x)), если Ve>0 3.0(a): Vx&U(a), хеЕ
x-+a
f(x)>B~e и существует последовательность x*->a, для кото-
рой В= limf(xk).
&->оо
Условие существования предела функции при х^-а эквивалент-
но условию равенства ее верхнего и нижнего пределов при х-+а.
Пример 6. Рассмотрим функцию f(x)=sin— при х->0.
X
для любого X, Х=#0; с другой
С одной стороны, — 1 sin —
X
1 л
стороны, если хк —--------, k^N, то х,->0 и sin---------= 1;
2*+1/2 J
— । .—
xk ---------, k s N, то хк -> 0 и
2fe —1/2 *
что limf(x) = l, lim/(x) =— 1.
предела при x-»0 не имеет.
если
Xk
sin -5- - — 1. Отсюда следует,
Xk
Следовательно, данная функция
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ
ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
Иногда соотношения эквивалентности могут оказаться недо-
статочными для определения главной части функции при х^-а.
В таком случае одним из методов определения главной части яв-
ляется разложение функции в многочлен Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано. При этом важно, с одной стороны, не по-
терять членов нужного порядка, взяв слишком малую степень
многочлена Тейлора, а с другой — не выписывать лишних членов,
так как это загромождает и затрудняет выкладки. Поэтому при
вычислении пределов полезно оценить заранее, какого порядка
малости погрешность уже не влияет на предел соответствующего
выражения.
Многочленом, Тейлора порядка п функции f в точке а является
п
многочлен Tn(f, а) вида ck(x—a)k такой, что f—Tn(f, а\ =
=о
= о(х— а)п. Приведем следующие основные формулы:
а) е* = 1 + * + -^- + ~^- + • • • +-^- + о(*"), *-+0;
%»3 у 5 ., , 1
б) sinx=x-----—+ —+ if-1 -------+ о(х2п), х->();
’ 3! 5! ' 7 (2п—1)1 V ’
у2 у4 у2П
в) cosx = l-------1----)-..•+(—1)"-------f-o(*2"+1)> х->0;
' 2! 4! V ’ (2л)! V '
г) 1п(1+х)=х—^ + -^+...+(-1)п-1 —+ О(хга), х->0;
2 3 п
д) (l+x)"» = l+mx + ха+...+
+ ш(т-1)...(ш-п + 1)х„+ x_^Q
л!
Обратим внимание на то, что степень многочлена Тейлора
Tn(f, а) может быть и меньше его порядка (больше не может
быть по определению), т. е. любые его коэффициенты, в том чис-
ле и при старших степенях, могут быть равны нулю. В частности,
один и тот же многочлен может быть многочленом Тейлора раз-
ных порядков функции f в точке а. Например, многочлен х---—-
6
является многочленом Тейлора как третьего, так и четвертого по-
рядков функции sinx в нулевой точке.
Пример 1. Пусть у(х) = (х9—2х10)е*‘. Так как у(х)<х>х6 при
х—>-0, то все многочлены Тейлора ниже шестого порядка функции
у в нулевой точке представляют собой тождественный нуль (со=
=С1=с2=сз==С4=С5=0). Так как у—х6=о(х6), х->0, то многочлен
Тейлора шестого порядка Т^(у, 0) функции у в нулевой точке
70
есть хб, а так как = 1 + х4 + о (х4) и, следовательно, у(х)=(хв—
— 2х10)(1 +х4 + о(х4))=х6—х1О + о(х10), то Т6(у, О)=Т7(у, 0) =
= Т8(у, 0)=Т9(у, 0)=х® и Т10(у, 0)=х6—х10.
Из всего вышесказанного следует, что если в многочлене Тей-
лора порядка п функции у в точке а все коэффициенты Ci с номе-
рами меньше k (k<n) равны нулю, а Сд+=0, то при х->а имеем,
что у^Тп(у, 0)<хэСй(х — а)*.
Используя формулы а)—д) для нахождения многочлена Тей-
лора, необходимо правильно оценивать отклонение полученного
многочлена от данной функции, иначе можно допустить грубые
ошибки.
Пример 2. Найдем многочлены Тейлора первого, второго,
третьего и четвертого порядков функции у=1п(1+х+х2) в нуле-
вой точке,
п
S,____
—---L------1_
1=1
+ o(a”), a—>0. В нашем примере a = x+x2. Заметим, что аоэ
<х>х, х->0, следовательно, o(a")=o(x"), х->0, n^N. Поэтому
1п(1 + х+х2) =а+о(а) =х+х2 + о(х) =х+о(х). Итак, многочлен
Тейлора первого порядка функции у в нулевой точке есть Т\(у,
0) =х.
Обратим внимание, что поскольку у=х+х2+о(х), то нельзя
утверждать, что многочлен второй степени х+х2 является много-
членом Тейлора второго порядка функции в нулевой точке. Пока-
жем, что это неверно. Действительно, при х->0 In (1 + х + х2) =
= ln(l+a)=a —Н о (а2) = (х + х2) ^-(х + х2)2 + о(х2); при
раскрытии скобок используем то, что xft = o(x2), если й>2, k^N,
следовательно, (х + х2)-----(х + х2)2 + о (х2) —х + х2-i- х2 + о (х2).
Итак, многочленом Тейлора второго порядка функции у в нулевой
точке является многочлен Т2(у, 0)=х+—. Таким же образом
получаем
1п (1 + х + х2) = х + х2-— (х + х2)2 + — (х + х2)3 + о (х3) =
2 3
= х + X2-— (х2 + 2х3)----— X3 + О (х3) = X + — X2--— х3 + о (х3),
2 3 2 3
следовательно,
Т3(У, 0)=Х+ Ах2-АХ3;
1п (1 + X + X2) =х + X2--- (X + х2)2 + — (х + X2)3--- (х + X2)4 +
2 3 4
+ 0 (х4) = X + -i- X2-X3---i- х4 + о (х4),
71
следовательно,
Т4(у, 0)=х + -1-х2-^-х’—i-x4.
Пример 3. Найдем главную часть вида С[х|“ функции
у(х) = sinx—ln( 1 +х +
—при х->0.
Решение. Пользуясь формулами б)’ и г), пишем последова-
тельно многочлены Тейлора функции у(х) в нулевой точке увели-
чивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от
нуля.
Для первого порядка имеем
у (х) — sin х— In
= (х + о(х))—(х + о(х)) =
= о(х), х->0,
т. е. 7\(у, 0) = 0.
Для второго порядка
у (х) = (х + о (х2))— (х + -^---х2 + о (х2Й = о (х2), х О,
т. е. Т2(у, 0)=0.
Для третьего порядка
у (х) = (х~4 + 0Iх + 4-----------Г (х2 + *3) + — х3 + о
\ о / \ 2 2 3
= о(х3), (х->0),
т. е. Т3(у, 0)=0.
Для четвертого порядка
у(х) = (х — -± + о(х*)}— (х + (х2 + х3 + -у-) +
\ о / \ 282\ , 4 /
+ -у- (х3 + ---X4 + О (Х*)} = О (Х4), X -> 0.
т. е. Т4(у, 0)=0.
Для пятого порядка
у (Х) = (Х _ Л + _А_ + 0 (X5)\_ (х + /Х2 + Х3 +
. X1 X5 \ , 1 ( . , Зх4 , Зх5 \ 1 . , , п в. , 1 J5 , . с.\
+ ------J + -^ + —+ —_(х4 + 2х6)+ —x8 + 0(x5)J=
=-----— x5 + o(xs), х->0,
72
—хъ есть главная
15
при х ->0.
т. е. Т6(у, 0)
— х5 и степенная функция
(л^я
1+ х +——
Пример 4. Найдем главную часть
вида С\х—1|в функции
формулами а)—д), еде.
Решение. Чтобы воспользоваться
лаем замену переменного х = /+1. Тогда задача сводится к на-
хождению главной части вида С|/1в функции у (/) = (1 + t + /2)1/4—
— е 8 при /->0. Пользуясь формулами а) и д), пишем последо*
вательно многочлены Тейлора функции y(t) в нулевой точке уве-
личивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от
нуля.
Для первого порядка
У (0 = (1 +1 + t^7i- е'/4+Р/8 = /! + JL t + о (0 \ -
Е
4
т. e. T\(y, 0) =0.
Для второго порядка
t Р 1
----1----1--.—
4 8 2 16
т. е. Т2(у, 0)=0.
Для третьего порядка
у (t) = (1 + 4 (' +*2) - V* + *3 +
\ 4 32 128
_/1+_L+JL+_L(X=+JL\+_L.^_ + 0
\ 4 8 2 \ 16 32 / 6 64
=—Lp + 0(P), t->o,
6
т. е. Т3 (у, 0) =---t3 и степенная функция-----------i-t3 есть главная
часть функции y(t) — (\ +1 +t3)1/4—e//4+z’/8 при" / _> о. Возвращаясь
к переменному х, получим, что функция —1/6 (х—I)3 есть главная
часть функции у(х)=У х2—х+1 — е*’-1 при х->1.
гз
Пример 5. Найдем предел
Um sin(sinx)—ху4!—х2
Х->0 х6
Решение. Так как в знаменателе стоит х5, то достаточно
найти разложение числителя в многочлен Тейлора с погрешностью
порядка о(х5) при х->0. Так как sinxcox, то о (х5) =о (sin5х), х-*>
—>0. По формуле Тейлора имеем
. , . . . sin’x , sin5x , , . s \
sm (sin x) = sm x------------1- —|- о (si n8 x),
y3 x^
sinx=x----------1--------ho(x5).
6 120 v ’
Тогда
sin3x=(x — + о (х8) V = (х + а (х))8 =
—х3 + Зх2 • а (х) + Зха2 (х) + а8 (х),
где а (х) = —— +—— + о (хБ). Поэтому а (х)со——, х-»«0; ха2 (х)х>
6 120 6
сох-----= о(хБ), х->-0; а3(х) со------=о(х®), х->-0, и, следова-
36 216
1 Xs
тельно, sin3 х=х3—— х5 + о (хБ), х -* 0. Так как а (х) со — = о (х),
Х->0, то х + а(х)сох, х-*0, и sin5x = (x4-a(x))6cox5 х->0, т. е.
sin5x==x6 4-о (х5), х->0. Итак, при х->0
sin (sinx) =х—+ 4-о (х5)—
1 гэ
+ 0 + “12о" + =х—з“ + -йГ + °
Аналогично
X3—
Х2 = Х(1—X2)3 =Х ^1---^-Х2—
= Х----—Xs----— ХБ4-0 (х5).
3 9 7
Итак,
sin (sinx)—xyf 1—х2 = х—^-х34
+ — х3 + — х6 + о (хБ) = хв + о (хБ),
3 9 ’ 90
Xе 4- О (Х3)— X 4*
74
и, следовательно,
lim sin<sin ^) — x^l—x2 _ ] jm / 19 о (x5) \ 19
*->o x5 *_>o \ 90 x6 / 90
X5
Приведем еще ряд примеров разложения по степеням х неко-
торых функций.
Пример 6. Найдем разложение функции y = tgx при х->-0 до
порядка о(х5).
Решение. Первый способ. Имеем
tgx = (sinx)(l— sin2x) 2 = sinx fl + -^-sin2x + -y sin*x +
1 3
= sin x + — sin3 x + — sin6 x + о (x6) —
X3 , Xs
= I x — — + -Г—+ о (x6)! 4- — **
L 6 120 J 2 [ 6
+ J_ [x + 0 (X)P + 0 (x6) = X— 21 + _21_ +
+ -4--«S—-7-+ o(x6)+ -^-X6 + O (x6) ==
=x + -y-+ -^-x6 + o(x6) (x->0).
y3 *] 3
x--------г + 0 <•**) +
Второй способ. Надлежит найти разложение функции tgx по
степеням х с погрешностью о(х5) при х->0. Ищем это разложение
в виде
tg х = а0 + ахх + а2х2 + а3х3 + а4х4 + а6х6 + о (х6).
Из того, что y=tgx — нечетная функция легко показать, что а0—
=а2=а^=0. Поскольку tgxc^x при
х->0 и а±х + OgX3 + а6х6 + о (х6) cv ^х, х->0, то ах = 1.
Для нахождения остальных коэффициентов имеем соотношение
si п х = (х+азх3+а^х5+о (х5)) • cos х, х->0,
или
= (х + а3х3 + а6х6 + о (х6)) (1 — -7- + -77- + о (х6\
\ 2 24
75
т. е.
х——+ ——ho (х6) =х4-х3 (а3—
6 120 4 7 \
4-х5 [ а6— — 4------) 4-о(х5).
\ 2 24 )
Поделив это равенство на х3, получаем
1 ' —-----|-о(х2)=а3-----— + х2(а&—
120 V ! 3 2 \ 5
6
Переходя к пределу при х->0, получаем
1
-----= а.
6
Аналогично из соотношения
X3
1 1
4---------, т. е. а, =—
3 2 3 3
j- о (х2) = х2 (а6
120 7 \ 5
Оз
2
+ о(х2).
получим, ЧТО 05 = 2/15.
1 2
Итак, при х->0 имеем tgx = x4------х34-----х54-о(х5).
3 15
При разложении рациональных дробей удобно пользоваться
методом деления многочлена на многочлен углом.
Пример 7. Найдем разложение функции
1 х — 4х2 + 2х3
у — ---!------!---- ДО
1 + Зх + х3
а о(х’) при х->0.
Решение. Имеем
__14- х—4х24-2х3 1 4- Зх 4- х2____________________________
14-3x4- х2 1—2х4-х24-х3—4х* + 11х5—29х6+76х74-э(х ’)
—2х—5х2 4-2х3
—2х—6х2—2х3
__х2 4- 4х3
х24-Зх34-х4
х3— х4
х34-Зх44-х5
—4х4—х5________
11х54-4х6_______
—29х6—Их2__________
76х’ + о(х7).
Пример 8. Найдем разложение функций y = shx и z/=chx
до порядка о (х7) при х~*0.
76
Решение. Получаем, что
ох р~х 1 г /
sh х =------= — ( 1 + х
2 2 [ \
4- о(х7Й—fl—Х4
7 \ 2! 3! 4! 5!
, X3 , X5 , X7 , ,
= Х 4 '
X2 Xs
X2 , X3 , X4 , X5 Xе
х\
2! ‘ 3! ' 4! ' 5! ' 6! ' 7!
X4 X5 , Х« X7 , .. д ]
— тг + oW
3! 5! 7!
Аналогично
, ех + е~х , , х3 , х4 , х® , 7, . п,
chx = —----------= 14----------------------Но(х7) (х->0).
2 2! 41 6! ’ '
Задачи,
1. Доказать соотношения (х->а):
а) если f (х) g (х), то g(x)oof (х).
б) если f(x)cogr(x) и g(x) с«Л(х), то f (х) с«о Л (х);
в) если f(x)<x>g(x), то / (х) = О (g (х));
г) если f(x)=o(g(x)), то /(х) =0 (g(x));
д) если /(x)cog-(x), то 0(/(х))=0 (g-(x)):
е) если С—константа (С^О), то С • О (g (х)) = О (g (х)),
C-o(g(x))=o(g(x))-,
ж) О (О (g (х)) = О {g (х)), О (о (g (х))) =о(О (g (х))) =о (о (g (х))) =
= o(g (х));
з) Л (х) • О (х)) = О (/i (х) • g (х)), A(x)-o(g(x)) = o(/i(x)-g(x));
и) О (g (х)) • О (g (х)) = О (g2 (х)), О (g (х)) • о (g (х)) = О (g2 (х)),
o(g(x))-o(g(x)) =o(g2(x));
к) О (g (х)) 4- О (g (х)) = О (g (х)), О (g (х)) 4- о (g (х)) = О (g (х)),
о (£(*)) + о (g (*)) = о (g (х));
л) если f (х) g (х) и h (х) <№ (х)т то f (х) h (х) g (х) s (х);
м) если lim/(x)=&, k^O, то /(х) oofe.
х^а
2. Показать, что для любых а>1 и р>0 при х->4-оо хр =
= о(аж), 1пх = о(хр) и что lim (ctgx)‘e* = 1.
*-►04-
3. Показать, что для любого р>0 при х->-0 1п|х| =о(1/хр).
4. Показать, что х—sinx=O(x3) при х->0.
5. Найти главные части • вида Сх“ при х->4-оо следующих
функций:
ах аоЛ-п4~а1хП~1'4~ • 4~дп-1х4~дг»
boXm-\-bixm~1-\-... 4_^m-ix4*^n
О-
в) (х— / ха — 1 )а 4- (х 4-
4-у<х2—1)а (а>0);
ж) 1п(х2 + 4 4-4*2);
и) 7---arctg~—7-;
4 х 4- 1
б) Vx + Vx + ^x ;
г) х2 arc ctg х;
д) xaarcctg(—х);
е) (х2—4x4- Ю) е х ;
з) (х24-2) 1п (х4-2)—хя1пх;
к) arcsin—4*4-
х2 4-10*
77
6. Найти главные части вида Сх“ при х->0 следующих функ-
ций:
a) (1+шх)"—(l+nx)m, т, п е N б) У 1 — 2х— 4х2 + х— 1;
в) х + V х + Ух ; д) Incosnx; ж) 1 + sin ах— cos ах\ и) 1п(х2 + 4х); 7. Найти главные части функций: г) У1 +ах-У 1 + bx— 1; е) ах—bx, a=£b\ з) cosx-cos2x-cos3x—1; к) ctgnx. вида С(1 — х)“ при х->1 следующих
а) х3 + 5х2—Зх—3; в) (х®—х*—х2 + 1) tg лх; д) Xх— 1; б) х + х2 + ... + х"—п; г) arc cos х; , , лх е) In sin ; ' 2
ж) 3-2*—2-3*; и) 1; ПХ ЛХ A S~ 3) з/ — У1—ух
ув __ у^
К) _L25---2----- (а=#&).
arctgx —л/4
8. Найти главные части вида С-—для следующих последо-
вательностей при п->оо:
4 ..-------
а) ап = у п* + ап + Ь—п;
б) an= In—1—-sin—;
п + 5 п
в) an==sin (луп2+/г);
г) ап — ап--— (6 п + с п ), а>0, 6>0, с>0, а2 =£bc;
д) ап = ctg—-----1;
4п —2
ч . ЯП ,
е) а_ = sm-------1;
’ п 2п+1
ж) ап=(Уп + 2—/п) arctg—;
п
3) a„ = yrF-+y/r2-;
. л п
и) <+=----arcsin—7==—;
' 2 /na + 1
к) ап = In (1+3").
78
9. Проверить, что при х->0:
a) xarctg — = 0(х) и х = 0 (х arctg — и
х \ х
б) х cos —= О (х), но х=/= О (xcos —V
10. Проверить, что при х->оо:
а) /х2 + 4arctgx= О (х) и х — О (/х2 + 4arctgx);
б) In (х2 + 2х) =0 (х), но х ф О (In (х2 + 2х)).
Вычислить:
И. пт *2 + *~6 .
х-—1 х2 — Зх + 2
13. lim- *2+-*~6 .
Х-гоо X2 — Зх + 2
X2— 1
12. lim—+*~6
х->2 х2 — Зх+2
15. lim
х-+— 1 х3—Зх —2
14. нт .
х->2 X2 — 4
.. 4 —/21—х
16. lim„j -—----.
*-5 /х—13 + 2
з - з _____———-
17. lim /25 + ^-/29-х
Х->2 X ~У 2х
19. lim (/ х2 + 5х +х).
21. lim (/х2 + 2х —х).
23. lim х (/х2 + 1 + х).
18. lim
х->0
3 ________ 4 ,
3 у/ 1 + х — 4 1 + х +1
2 — 2/1—х
20. lim (/х2 + 5х+х).
X-»—оо
22. lim (/х2 + 2х—х).
Х->—оо
24. lim х (/х2 + 1 + х).
«-►— 00
25. lim (/1 + 2х + х2 —/х2— 4х + 1).
*-►4-00
26. lim (/1 +2х + х2 —/х2—4х+ 1).
—оо
3 ——————____ 3 у -
27. lim (/х3 + х2+х+1—т/х3—х2 + х—1).
Х-+СО
28. limух (j/(x + 4)2 — fax— I)2 ).
Х-Кзо
29.
a) lim + * +
jc->o 2 — 2 1 x x
6) lim 33/T+T-4j+x + L,
x-И) 2 — 2/1—x — x
79
30. lim-^^-
x->0 X
31. lim
ЛХ
sin-----
2
X
ЛХ
sin-----
2
32. lim-------
о . .. arc tg x
34. lim----------—
x-»i 2x
arc tg x
~2x
35. lim-^A
x~*<x> 2x
33. lim
x->0
36. lim x (——arctgx ].
X-^+oo \ 2 /
38. lim-- sinTIX- .
Xr*i sin 4лх
37. lim х(л—arc ctgл).
3g iim cos(xe^)—cos(xe~x)
x-»o arc sin’ x
40. lim
cos 2nx + cos лх
ln(x2— 2x4-2)
41. lim x2 (e * —e x+’).
42. lim
xtgx----------
2cosx
,. x — sin2x
43. h m —-----------
x-»o x 4- sin 3x
sin x + cos x + 1
44. lim
x->« ^sin 2x — cos 2x 4- 1
sin2 txx — sin2 Px
arc tg2 x 4- x3
ln( 1 4~x — x2)4~ arc sin 2x — 3x3
sin 3x 4- tg2 x 4~ (e* — 1 )10
cos x -|- cos 2x 4- • • 4- cos rax — n
sinx2
46. lim
X-oO
48. lim
x-»o
49. lim
x->0
__ sinx-I-sin 2x4-• • • 4~ sin nx
50. lim------—r . .. ,—-----------
x-+o 7/^ 1 — 1
51 lim.tgx + tg2x-H:H:tg^
x->0
arc tg x
. зл—
52. lim
x-*0
53. lim v J,cl8'4
х-^о у 1 4- * sin x — У cos x
1 4- sin x 4- cos x
~з7= “ •
54. lim
X-Wt
56. lim
x-*n
gsin x_ gSin 2x
3<—
45. lim 1 + xsinx —cos2*
x-»o arctg sin2 x
।. arc sin 3x — sin2 x
47. lim--------------------
x-»o tg2 x 4- In (1 -|- 7x)
55. lim
57. [lm Ь-Л-И-а.
x-»o 1 — COS ЛХ
2
3
58. Hm-^--—-2*-.
х-»0 л + X
cos---
59. lim- <а--~а>3----------
*-1+ /х3 — 1 — V2x — 2
60. lim-----------------
х-»л 3/'J~ 3/~
у X — у Л
__________Incosjix
х-»2 /х3 + 4 — /47 ’
62.
а) Иш
х-+4"°° *
б) пт --1
Х->—СО X
Ю. Пш /«,+ 1~У?+\ И. Пт Z*,+-l~^+2.
Х->—со X Х->-|-со X
65. Пт х3 (lAt:2 + 1/х4 + 1 —х]/2 ).
Х-*+°о
66. Пт х3 (J/'x2 +/х4^- 1 —xi/~2~).
Х—>—со
67. lim
*-►2
68. lim
х->1
ех — е2
(х— 4)ех-|-хе2
2 I ПК
X2 + cos ——
Х->0 х2 + ул1 —х2 — 1
72. Пт------.
X—>1 1п(х*+х2 — х)
74. Нт 1П<*2-* + *)- .
х^+оо 1п(х1» + 5х’ + 2)
69. Пт .
х-»0 ln( 1 + хех)
71. Пт ----1п(2х-2~х)- .
х-»о— 1и(х44~х2 — х)
73. Пт-1П^. .
х-сО lnsin2ix
75. Пт - яХ ~— (а>0).
у^~— Ь
76. lim (а > 0, ₽ > 0).
х-»0 X
77. lim
л->2
v2
2* — 16
1п(х2 — X — 1) *
х2 LX2
78. Пт—°
Х-.-0 lncos2x
(а>0,
6>0).
79. lim 2Ь + sin Зх -- 1+ tg х
х->о arc sin х
80. Нт
х->е
In In X
2х— 2е
81. lim
х->1
81
82. lim
x-t-a
ax — xa
x — a
(a>0).
„„ ,. 1/1 — e~x — V1 — cos x
83. lim ---------~=-------------.
*-^•0+ V sin x
sin* sin * 1 1
85. lim ----------------* (a > 0,
*->o L 2 J
1
86. lim । slna*~] *~P (a^fcfen, k^=Z, nt=Z).
*_p\ sin fix J
84. lim-^L (₽:#0)
x->-i sin2itxp
b
87. lim (2——\ct8~.
x-*a \ a /
1
89. lim (1 + tgax)'ncosx .
*->o
81. lim [In (x2 + e*+1)]cte «.
88. lim (2х + sin x)ctg x.
*-*o
1
3
90. lim[ln(ex+x—1)1/*
*->1
m' *s(~+git <“<><>)•
85. limx2fcos —-]/"& + 2x?)
*->00 \ X у 1 _|_ д-з у ‘
86.
*->l к [x-3x j
1_____
88. lim (соз2лх) ln<x‘~2x+2)
3 ___ 1
89. lim (3/"х — 2/x P5*-
*-»i r 7
1
97. lim (x2 + sin2 nx)lnx
*->1
100. lim [In (x-f-ex)l ^tg*
*->04-
101. lim [
*-»4-<» [ x ]
tg-^r-
103. limx 2 .
*->1
105. lim (2— e-x)ctgx.
*->o
102. lim (tg Кг+з"-2 .
*-»i \ 4 /
104. limf-^-Wsr-«)»_
*->л \ cos 3x /
_________________iet nx
106. lim(4х—Ух + 8)Я 2
х->1
$2
107. lim(3v + x) sinx .
*->o
108. lim[cos(sinx)]arcsin*x
x->0
109. lim —J—----------—
x->o+ arc sin x
Hl. lim -V1+cosx
Х->л+ X Я
113. lim f-rrzJ--------
x-+l \УХ —1
110. lim —y e* ~1
x-j.0— arc sin x
112. lim -yi + cos*
Х-ьл— X — n
2
3A—
n4 lim arc sinx-arc tgx
x~>0
X3
,, - ,. / arc sin x
115. lim -------------
x-*o \ arc tg x
116. lim
117. lim[thxph2x.
л-»0
118. lim-^1
*->o
sin 2x____j
119. lim (thx)sh2x.
120. lim
arc cos x
121. lim
1
arc cos* x
Найти следующие пределы:
122. limyGF.
fl—>oo
123. lim— (a>l).
n-+oo n!
124. lim-^+bWL
n~»oo 3rt In n
125. lim ( — + —— + ... +--------i\.
n->co \ 4-7 7-10 (3n+l)(3n + 4) j
126. lim ( —i-1--J----1- ... -4-----------
n-oo \ 1-2-3 2-3-4. n(n+l)(n + 2)
127. lim(Vn + 2—2y^n+l +т/п ).
71-4-00
128. lim—ynii + 3n + -l -yn2+_3-n~1.
/i~>oo ln( 1 -|- n)— ln(2 -|- n)
П—>oo уР^п + З— -Y n. >Лп + 2— Yn+l /’
130. limn arccos—----------. 131. limnfy'TF—1).
П-4ОО “p 1 П-^ОО
132. limnln/1--------—] cos л (Jf4n2 + 10).
n-hOO \ tl /
83
133. lim (— arc tg nxV‘g " /n’+1 (x > 0).
n-*oo'\ Л /
134. Доказать сходимость и найти пределы следующих после-
довательностей:
а) ап = sin (sin (sin ... sinx))...) (n скобок);
6) an = x„+i—xn, где 0 < xx < x2 < .. .< xn< ... и xn = tgxn;
в) a„+1=—, ах = 0;
г) an+i = arc tg an, ^=25;
Д) fln+i = V (2an + a1 = M>0;
d \ an '
e)3, 3+-1-. 3 +----Ц-, 3 +----------Ц------.....
3 3 + — 3 +----—
3+T
135. Найти liman и lim an последовательностей:
П->0О л_>оо
a) a„ = ((-l)n+l)-2n; 6) an = nln(l + J=1VL\;
\ n /
в) a„ = (n + 1): (n + 1 + n-( — l)n);
. I, , . nn \ /, m \
r) an = 1 + sin---- 1 —cos----- .
\ 4 /\ 6 /
136. Найти lim/(x) и lim/(x) следующих функций:
-a) S‘g"^~; 6) /(x) = e“(x2 + 4x+1);
X2 + 1
в) f (x) = (sin nx)cos —.
X
137. Найти lim/(x) и lim/(x) функции /(x)= arctg----sin---.
x^2 —2 x-2 x-2
138. Проверить следующие формулы (x->0):
a) (1+x)* = l+x2 —y- + -|-x4 + o(x4);
(y6 \ Y9 yl2
1 + X3 + — = X3 — — +2L_ + 0(x12);
2 / 6 8
в) ch(sinx) = l +^-— “ + o(x4);
r) cos (sh x) = 1 —--+ о (x4);
«4
х3
д) (ch’x) х‘
х3
1— — 4- -^-x4 + o (x4)l;
12 1440 v 'J’
e) sin(tgx) = x +-j------^-x6 + o(x®);
ж) tg (th x) =x--J- + о (xB).
15
139. При x->0 найти главные части вида Сх" для следующих
функций:
a) (cosx)2sin*—е~х'-,]
i
б) е—(1 +х) х ;
в) (1 +x) * 2 12 —e;
r) tg(sinx)—shx;
д) (cos x4— 1) arctg x2 • 2x2esini;
(ув \
1 +x3H----);
2 /
ж) [sh(shx)—tgx] arcsinx2;
s) ____________
3 Г x*
и) V cos(3xe 2)—cos(]/3 x);
|/cos(xj/6 ) — 1 — In (1—х2);
3 Г 7г
Xs
•tgx2.
л)
gltg(sinx)-sin(tgx)] 1 4-sinx .
Вычислить пределы, используя
3 -----
. . X т/ COS X — sin X
140. lim —?---------------
*-»о
X3
формулу Тейлора:
142. lim
х-»0
144. lim
х-+0
X4
-2x4- -4- x‘
cos 2x — e
tgx4
141. lim sin(sinx)-thx.
X->0 X»'
143. lim ln cos x2 + 1 + 3x4 — 1
*->o
145. lim
л->0
146. lim
*-»о
-----(-5
- X2) * ~ex
; In COS X
X8
—2х«-Y x^
cos 2х — е_'
tg^i
/В
X8 ‘
X
е3
148. lim
*->о
tgx —X/
X6
147. lim
х->0
з _______
149. lim 18/sin<~A8*+£.
x-»0
х13
85
150. lim .
x->0 Xе
151 lim lncos2 x^l/ i +x^—x1
X-.0 Xе
152. lim cos(siJ2:l-/1-3a+^ .
x->0 X4
153. lim —*ggn*>^-----------.
*-*0 (j/cos x — 1)2 arctg x2
154 lim e*!cosx — chx— e~ *' chx + cosx
x-0 Xе
Xs j/ 1 + X — sin® X — tg X
155. lim----------2--------------.
*->0 ln(l+x2)(/l+2x3—1)
156. lim ^1+3sin;c-^ZX,-sh-\..
x-»o arcsin x3
157 lim e* ~ cos * 1 + 3x + 6x2
x-»o arcsin 2x4g x-sh 3x
(1 + x)*—<’('1/ 1 —x + -^- +Vl +.xa— 1)
158. lim--------------'---------------------------
x->0 Xs
X»
159. lim sin(^ 6 )~~*cos.x2
x-»-o x2-ln(l + x3)
160. lim---------------r - --------
x-»o In cos x 4- / 1 + x2 — 1
—x*
161. lim e 2
x-t-o ln2(cos2x)
»on i- -cosx — chx
162. lim-------------------
x-»o x6 + x3 sin3 x
tan i- e**cosx — chx + x5
163. lim------------------
x-»o Xе + x2 sin3 x
164. Um-
x-»o x — sin(x]4" x3)
165. Iim lU+*>4-^ .
X-И) ln(x + cosx)—X
66
166. lim
x-»0
167. lim
x-»0
168. lim
x->0
In cos x -j- e 2 — 1
1 + 3x — Kl + 2x)tg2(sin x)
________
xf^i — x2 — cosxln(l + X)—~
tg x — sin x
sin2 x— x2e~x — x3
1 — y'l + x2 cos x
sin(sin x)— x + —
169. lim-----------------—
x-^o sh(shx)—tgx
ln( 1—%4-x2—x’-f-x4)—In (1 — x+x2)+xs cos x— —— 14-3x
170. lim-----------------------------------------------------------
x-<-0 X2
171. lim (2x4 In f 1--— 'j + j/8x9+ 12х® + 14x7 4- 15x® + 16x®
X->oo \ \ X /
-2x>- -i- x‘
плс О v - a &
x-*o tg(3x2)—3 thx2
173 Нт V^0054x — cos(2xex‘)
x-»o (sin2x—2tgx)2
174. Найти наклонную асимптоту для графика функции:
а) у = у/’ха + 2х + 3—х;
6) у = (2х + 3)е х ;}
в) y — V^x4 + x3 —х2;
1 *®
г) y=x2sin—;
X
ч 1
д) y = xcos—;
X
е) г/ = 1п(1 +е2х);
ж) у
х2 + sin х
x + Zx^H
Ответы
5е а) ^-хп-т; б) х 2; в) 2^; г) х; д) лх2; е) х2; ж) х21п4;
ь0
3) 2х; и) J-; К)—. 6. а) тп(т~пкх2. б) -2х2; в) х~Ь г) (-2-+
2х х 2 \ т
+ — \х; д) ——Xя; е) xln —; ж) ах; з) 7х2; и) xln4; к) —.
п J 2 b лх
87
7. a)—10(1—х); б)---n(n+1} (1— х); в)—8я(1—х)3; г)<2 (1—х) 2 ;
4
д) — (1 — х); е)--^(1—Х)а; ж) 61гЦ-(1—х); з) —у^Т (1—х)“;
О Z я
И) —L (1-х)-‘; к) 2(0-6) 5 (1-X)-V5. 8. а) б)---------------------
л 4п2 п2
(—1)А 1 , а ч л х л v 1 ч '1п2
в) i—— nk-, г) — In —т=; д) —; е) -----------; ж) —з) --------------;
’ 2п ’ п ybc ' п 2п ' пз/2 > / П2
и) 1 ; к) 1пз( — V’. 11.—1. 12.5. 13. 1. 14.0. 15.00. 16.—.
’ -/2п \ п ) 2
17.—. 18.0. 19.+оо. 20.-----------—. 21. 1. 22.+оо. 23. 4-оо.
27 2
24.----L. 25. 3. 26. —3. 27. —. 28. —. 29. а) —; б) —. [Ука-
2 3 3 6 6 k
займе: х = 112— 1. 30. л. 31. 1. 32. 0. 33.—. 34. —. 35. 0. 36.1.
2 8
37. —1. 38.----. 39. — 1. 40.-----41. 1. 42. — 1. 43.---------L.
4 2 4
44 -----. 45. 3. 46. а2—Р2. 47.—. 48. 1. 49.-------п(п+1)(2п-Ц)
2 7 - - 12
50. n(w±-1X. 51. —(?-+1)-. 52. —. 53. 4. 54.--. 55. я. 56.--.
2 2 3 2 2
57.----—. 58. 0. 59. 0 . 60. 0. 61.—2/2“л2. 62. а) 1 — ^4" ;
Л2
б)у'4—1.63. —2. 64. 0. 65.-^-. 66.—оо. 67. оо. 68. 4—л. 69. 1.
8
70.-12.71.1.72.—. 73.1.74.—. 75.^^?. 76. In—. 77. —In 2.
5 5 2 ₽ 3
78.—JrIn~p 79-Т’ 80,~27' 81‘ 5(а~^- 82- а“1п“7’ 83-
__________________ _____________________1_
84 ----85. / ab . 86. е“с‘е“₽. 87. е " . 88. 2в. 89. е~2.
20
3 ( 14-п г ' R2__, «2 О
90. е ‘ 91. е. 92. /alt аа ... а„ . 93. -р-. 94. е2. 95.—.
96. (— •— \ Зя. 97. е2. 98. е-2"‘. 99. 1. 100. 0. 101. 1. 102. е2я.
\ 27 е )
--L
103. е " . 104. elt. 105. е. 106. е " V 6 >. 107. Зе. 108. е 2 .
109.1.110.-1.111.^-. 112.--113.-------L 114.—.
2 2 2 2
8«
1 _ я_
115. е 2 . 116. е2. 117. 1. 118. —1. 119. е->. 120. /Г. 121. е '4 .
122. 1. 123. 0. 124. 0. 125. —. 126. —. 127. 0. 128. —2. 129. 0.
12 4
130. /2~. 131. Ina. 132. —1. 133. 134. а) 0; б) л; в) —;
3
г) 0; д) 3/мГ; е) . 135. а) 0, + оо; б) —1; 1; в) —; + оо;
2 2
г) 0; 4. 136. а) 1; -1; б) + оо; 0; в) 0; 0. 137 Л , Т’ Л "Г*
139. X 1 7 а) х7; 40 ех в\ 1 X3, . 1 л г) х5; ’ 30 д) — х12; е)
2 ’ 24
1 8 - х12; ж) - —— х7-, з) — 30 13 « Xе; 30 . 21 . и) Xе; 20 к) - 1 7 х7; 8
л) — — х7. 140. 6 -. 141. - 45 1 142. -. 24 143. 17
30 ’ 24 ’
144. -. 145. 3 0. 146. —10. 147. 81 148. —. 149. - 45 1 180 ‘
150. —. 151. — 4 Ж 152. 360 6 153. - ю . 154. — 3 —. 155. —. 45 16
156. —. 157. — 3 2 .. 158. — — е. 2 159. — 180 -. 160. 25 -. 161 1 12 ’
162. 0. 163. 1. 164. 2.. 165. 5 &_ 4 ‘ 166. —. 12 167. 2 3 '
168. -. 169. 2 — 3. 170. —. 24 171. 0. 172. — 225 -. 173. —3.
174. а) у = 1 при Х->+оо; у = — -2х—1 при х-»—оо; б) у= = 2х+5;
х 1
В) У = —---г) у—х\ д) у—х\ е) z/ = 2x при х-> + оо; у = 0 при
2 о
— оо; ж) у=-£-при Х->+оо.
Глава III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть f; (a, b)-+R определена на интервале (a, b)^R и хое
<=(а, Ь).
Определение. Число lim + Ах) — f W называется
дх-и) Дх
производной функции f в точке хо и обозначается f'(xo). Операция
89
нахождения производной называется дифференцированием. Функ-
ция, имеющая производную в данной точке, называется диффе-
ренцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференци-
руемости в точке является непрерывность функции в данной
точке.
Если функция f дифференцируема в каждой точке интервала
(а, Ь), то на этом интервале определяется функция f', значение
которой в точке хе(а, Ь) равно производной f'(x) функции f в
этой точке.
Формулы дифференцирования основных элементарных функ-
ций:
1. (1)'=0.
2. (ха)' =-йха-1.
3. (а*)'=ах1па
(в частности, (ех)' = ех).
4. (logax)' = —-—
х In а
/ 1
в частности, (1пх) = —
\ *
5. (sinx)' = cosx.
8. (ctgx)' = — 1 sin2 x
9. (arcsin x)'= 1 /1 — X2
10. (arccos x)'— 1 /Г^х2”
6. (cosx)' = — sinx.
7. (tgx)'
1
COS2X
11. (arctg x)'^-^-.
12. (arcctg x)' =-
13. (shx)'=chx.
14. (chx)'=shx.
15. (thx)'=—A-.
ch2 x
16. (cthx)'=-=-^-.
sirx
Заметим, что все эти формулы справедливы для точек, являю-
щихся внутренними точками промежутка, на котором зависимость
f от х задана соответствующей функцией, если в этой точке ана-
литическое выражение f'(x) имеет смысл.
Основные правила дифференцирования
Если f и g функции, дифференцируемые в точке х0, а и р по»
стоянные, то в этой точке
1) (af+₽£)'=«/' + ₽£';
2) (fe)' =f’g + g’f-,
3) (£(хо)=#О);
\ g / g2
90
4) если h(x) дифференцируема в точке Хо, a f(h) дифференци-
руема в точке ho=h(xo), то в точке Хо
fx = fh hx ,
индекс h в выражении fh' показывает, что производная берется по
аргументу h, т. е.
/ = ]jm f (ho + &М — f (Йо)
Jh дл->о Дй
Для дифференцирования степенно-показательной функции
(u(x)]”(x>(u(x)>0), где ц(х) и v(x) дифференцируемы в точке
Хо, пользуются тождеством [u(x)]t’(x) = et’Wlnu<x>.
Степенная функция у — ха при 0<а<1 определена, но не диф-
ференцируема при х=0; и именно при х = 0 аналитическое выра-
жение ее производной теряет смысл. Точно так же аналитическое
выражение производной функций у = arcsin х и у= arccos х теряет
смысл, если |х|^1, т. е. именно при тех значениях аргумента,
при которых соответствующие функции либо не определены, либо
не дифференцируемы. Все остальные основные элементарные
функции дифференцируемы во всех точках множества определе-
ния, и аналитические выражения их производных имеют смысл во
всех точках соответствующего множества. Поэтому любая эле-
ментарная функция / дифференцируема во всякой точке, в кото-
рой аналитическое выражение ее производной имеет смысл. Если
же аналитическое выражение производной (т. е. функция /') не
определено для некоторого значения хо из множества определения
/, то это говорит о том, что какая-то из основных элементарных
функций, композицией которых является функция f, не дифферен-
цируема при соответствующем значении аргумента; и, следова-
тельно, вопрос о существовании и величине производной / в этой
точке требует дополнительного исследования. _
Пример. Пусть f (х) =х]/г(1 — x)2sinx2, хе (—]/3). Фор-
мально применяя правила дифференцирования, получаем
Д = У(1 —х)2 sinx2 + х •
2х cos х2 • (1 — х)2 — 2(1 — х) sin х2
(1)
2 у^(1 — х)2 sin х2
Функция f не определена только при х = 0 и х= 1. Поэтому для
всех х из множества {(—УЗ, УЗ)\{0}\{1}} производная сущест-
вует и ее значение вычисляется по формуле (1). Вопрос о сущест-
вовании и величине производной данной функции при х = 0 и при
х=1 решаем непосредственно исходя из определения производной
в точке.
Рассмотрим отношение 7 цри х0 = 0 и х0 — 1. Если
*о = О, то = У (1 — ft)2sin/i2, следовательно,
h
lim = о = f (0).
91
Если хв — 1, то = (1 + h) Уsin(1 + /i)2• у</>--. Этафунк-
h h
ция не имеет предела при h-+(Y._________
Итак, функция f(x)=x]/\l—x)2sinx2 не дифференцируема
при х= 1, а при х=0 имеет производную, равную нулю.
Пример 2. Найдем производную функции
4х2 —2х + 10
У —-------—
у х
Решение. Имеем
у = 4х3/2— 2л1/2 + 1 Ох-1/2,
у' = 4 ~ х’/2 _2.д-1/2 + 1 о • (— 1 /2) х-3-'2 =
6х2 — х — 5 . п
—------7=--, X > 0.
хУх ’
Пример 3. Найдем производную функции t/=x(cosx —
— 4sinx).
Решение. Имеем
у' = (cos х— 4 sin х) + х (— sin х— 4 cos х) =
= (1 — 4x)cosx—(4+x)sinx, хе/?.
гт л I т „ < arcsin х
Пример 4. Найдем производную функции у =------------------.
1 — хг
Решение. Получаем
—г 11- - - (1 — х2) — (— 2х) arcsin х г--
, У1 — х2 У1 — х2 + 2х arcsin х . , . ,
у = ~---------------------------= -----------i-----, X < 1.
а (1—X2)2 (1—X2)2 1
Пример 5. Найдем производную функции у — Vtg3 2х + 2,
Решение. Запишем у(х) в виде цепочки суперпозиций ос-
новных элементарных функций: y = hi/2\ h—tz+2\ t=\gz\ z—2x.
Следовательно,
Ух=У^'х=У^* *’х=У^№г* =
= — h~x/2 3t2---1-----2 = — • (tg3 2x + 2)-1'2 • 3 tg2 2x---------2,
2 cos2 2 2 ' ° ' Б cos2 2x ’
t. e.
u’ Stg^x
* >^tg3 2x + 2 • cos2 2x
92
Пример 6. Найдем производную функции
у = In3 arctg2 1/
Решение. Получаем
Пример 7. Найдем производную функции у = хх, х>0.
Решение. Имеем у = ех1пх,
у' = ех1пх(х Inx)' = е*1п* (1пх + х-—) =
\ X /
= е*,п*(1пх + 1)=х*(1пх + 1).
Числа
ИШ + и Пт 1 + Ах) - f(x0)
Дх->о+ Ах Дх->о— Ах
называются соответственно левой и правой производной функции
f в точке хо. Условие /'+ (х0) = f_' (х0) эквивалентно дифференци-
руемости функции f в точке хо, при этом f'(x0) =f'+(x0) = /'_(х0)-
Пример 8. Найдем f'+(x), f'-(x) для функции
Решение. Имеем
г, , , — ё~х‘ • (— 2х) xe~~x‘
f (*) =—/ '
2/1 —е-* V 1 — е~х
Функция /' определена для всех х#Ю. Если х->0, то
V1 — е~х'<х> Ух2,
следовательно,
Г /т г /W-f(O) У1-е~х1 .. /х2
f+ (0) = 11 m ------------= lim —---------------- hm ------= 1
*_>o+ x x-»-0+ X x->0+ x
и
f г /W —/(0) .. .. — X
f- (0) — lim-------------= lim —-------= lim -------= — 1.
x-4-0— X хч-О— x *->0— x
93
Итак, = (0) — 1; Д(0) = -1.
У 1 — e x
Так как /'+(O)y=f'_(O), то в точке х=0 рассматриваемая непре-
рывная функция не дифференцируема. _________
Пример 9. Найдем f'+ (х), /L (х) для функции f (х) =х п (1 +х2).
Решение. Имеем
/' (х) = /In (1 + х2) + —* —-------
' ’ r v ’ /1п (1 +№) (1 +*2)
Функция f'(x) определена для всех хУ=0. Для х = 0 находим
х' 1- /W —Н°) .. х/1п(14-№) ,. 77———й
f+ (0) = lim-------= lim —-—i—i-—- = lim у In (1 + x2) = 0
x->0+ X x->0+ X *->0+
И
7-(0)=0.
Так как f’+ (0) = /_ (0) = 0, то f (0) = 0.
Итак, функция /(x) дифференцируема на всей числовой пря-
мой и
Пример 10. Найдем f'+(x), f'-(x) для функции-
/(*) =
• 1 / п
х sin—, х=Н= 0;
х
0, х = 0.
Решение. Заметим, что функция f непрерывна на всей чис-
ловой оси (почему?). Если х#=0, то
f+(.x)=f-(x)=f (x)=sin --X .J-.cos — =
X X2 X
. 1 ’1 1
= sin------COS .
xxx
Найти производную f'(0), пользуясь формулами и правилами*
дифференцирования, нельзя, так как точка 0 не лежит внутри ин-*
тервала, на котором зависимость f от х задана элементарной
функцией. Так как —^-^-=sin— и функция sin—не име-
ет предела как при х->0+, так и при х->0—, то функция f не
имеет в точке х=0 ни левой, ни правой производной.
На практике удобно пользоваться следующим свойством: если
функция f непрерывна в точке а, производная /' существует в не-
которой правой (левой) полуокрестности а и существует lim /'(х)
х-^-а+
94
(lim f (x)), то этот предел равен f'+(a) Обратим вни-
мание, что условие непрерывности функции f в этом утверждении
существенно. В самом деле,
пусть
f(v) =
arctg — , х#= 0;
х
0, х = 0.
ТогДа
— л/2 = lim / (х) < f(0) < lim f (х) = л/2,
х->0— х->0+
т. е. функция f в точке х=0 не является непрерывной ни справа,
ни слева, откуда видно, что функция f не имеет в точке х = 0 ни
левой, ни правой производной. В то же время для х#=0
1
и существуют оба предела
lim f (х) = — 1, lim f (х) = — 1.
х->0— х->-0+
Пример 11. Найдем производную функции
... ( arctgx, х^0,
/ (х) = 1
( х2 + х, х < 0.
Решение. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей
числовой прямой. Для х>0 имеем f (х) =—i—, для х<О
14-х2
f(x)=2x+l, следовательно,
f'+ (0) = 1 im = 1, 4 (0) = I im (2х + 1) = 1.
х-^04- 1 4- X2 х^0—
Итак, функция f(x) дифференцируема на всей числовой прямой и
1
0;
1,
2x + 1,
x — 0;
x < 0.
/(x) =
Пр и мер 12. Найдем производную функции
(х— 4) arctg —-—, х =/= 4;
х — 4
х = 4.
o,
95
Решение. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей
числовой прямой. Если хУ=4, то
f (х) = arctg —---1----—----,
1 ' 6 х — 4 1 + (х — 4)1 2 *
откуда получаем
4(4)= lim f(x)=^-,
Х-+4+ 2
4(4)= lim f(x)=|- ±
х~>4— *
Итак,
г (х) = 4 (х) = 4 (х) = arctg —+ *~-~4Р’ Х ф 4’
Л — *г 1 “у" 4J
так как
4(4) = ——, 4(4)=—, то в точке х=4
2 2
функция f (х) не дифференцируема.
Пример 13. Найдем производную функции
хаsin—, хУ= О,
X
О, х = 0.
Решение. Имеем /'(x)=2xsin — —cos—, если х#=0.
X X
Значение /'(0) вычислим по определению:
f (0) = lim limxsin — = 0.
x—>-0 X x—>0 X
f(x) =
Итак, функция f дифференцируема на всей числовой прямой, и
2xsin ——cos — , x^feO;
х х
0, х=0.
Заметим, что пределы lim /'(х) и lim f (х) не существуют.
х-,0+ х-,0—
Пример 14. Пусть
1 h (х), х < а.
Какому условию должны удовлетворять непрерывные функции g
и h, чтобы функция f была дифференцируемой на всей числовой
прямой?
96
Решение. Так как f(x)=g(x) для х>а и f(x)=h(x) для
х<п, то условие дифференцируемости g для х>а и h для х<а
необходимо и достаточно для дифференцируемости f на множестве
{х < a} J {х > а}. Для дифференцируемости / в точке а прежде всего
необходимо условие непрерывности h (a) = lim f (х) = f (а), т. е.
х-+а
lim h(x) = g(a).
х-+а—
Если Ах > 0, то _ g (а + Ах) — g (а) . если Дх<0,
Лх Лх
f (а + Лх) — На) й (а + Лх) — h (а) „ , , .
то ——!= —-—!--------------------Таким образом, для дифферен-
Лх Лх
цируемости f в точке а необходимо и достаточно, чтобы g(a)=h(a)
и =h'_(a), поскольку
4 (а) = lim + и f’_ (а) _ lim +
д*-*о+ Лх Дх-*-0— Лх
Пример 15. Пусть
х / ч 1 О,
f (х) = {
( х2 + ах + Ь, х > 0.
Найдем такие значения а и Ь, чтобы f была дифференцируе-
мой на всей числовой прямой.
Решение. Заметим, что так как f должна быть непрерывна в
точке 0, то lim/(x)= lim /(х)= lim /(х) = 1, т. е.
х-+0 х-»0—
lim (х2 4- ах ц-b) —b = ^= 1, откуда 6= 1.
х-»0+
Далее, f'+ (0) = (х2 + ах + й)' | х=0 = а и /_ (0) = (<?*)'1x^0 = 1, следова-
тельно, f(O) существует, если а=1 и 6 = 1. При этих значениях
а и b функция f дифференцируема на всей прямой.
Перейдем теперь ко второй производной и производной n-го по-
рядка.
Производная функции /'(х) называется второй производной
функции f и обозначается f". Далее определение идет по индук-
ции: производная п-го порядка (п-я производная) — fn — есть
производная от производной (п—1)-го порядка:
Пример 16. Покажем, что п-я производная функции у =
I । я» \
= sinx есть sin I х + п 1.
Решение. Имеем у' =cosx = sin ^х + -уЕсли г/(л-1> (х) =
= sin ^х + ~ (п—1) j, то
(х) (x))' = cos (х + — (и — 1Й =sin (х + — nV
\ 2 / \ 2 )
Согласно принципу математической индукции формула доказана.
5 И. А. Виноградова
97
Справедливы, следующие формулы:
(ахУп'> = ах 1пп а (а > 0); (ехУп'> = ех\
(sinх)(п) = sin -у-п^\
(cosx)(n) = cos ^х +-уп);
(х«)('*> =т(т — 1) (т—2) ... (т—n + 1)хт-Г!;
(1пх)(п) — (-1)П7г~1)! .
Для нахождения n-й производной функции f в некоторых слу-
чаях полезно функцию предварительно преобразовать, например,
рациональную функцию разложить в сумму простейших дробей,
понизить степень тригонометрической функции с помощью крат-
ных углов, перейти к комплексным переменным и т. д. Так, на-
пример, при нахождении n-й производной от функций
y = sin4x, у— In , у = sin 2xcos2 Зх, у=ехсозх
у=ех cosx
представим их
соответственно в виде
1 / 1
1
= -i- (cos 4х—4 cos 2х + 3);
1+х
Зх+ 1
У =1п
In 11 + х|— In |3х + 11; у—sin 2x-cos23x =
= -i-(sin8x—sin 4x) + -i-sin2x; у — ex cos x = Re exl‘l+i'>.
При нахождении производных высших порядков от произведе-
ния двух функций полезно пользоваться формулой Лейбница:
если каждая из функций u=f(x) и v—g(x) имеет в точке х<>
производную п-го порядка, то их произведение u-v также имеет
п-ю производную в точке хо, причем
п
(и . v)M = £ cknu{k) v(n~k},
*=0
здесь
u<0) = «(x), v^~v(x), ckn = -—^—.
k\ (n — k)\
98
Пример 17. Найдем г/(10>, если у(х) = (х3+4х* 2 + 2)е2ж.
Решение. Обозначим и(х) = х3 + 4х2 + 2, v(x)=e2x, тогда, при-
меняя формулу Лейбница, имеем
[(х3 + 4х2 + 2) е2х]<1 °> = С?о • (х3 + 4х2 + 2)<°> (е2*)<10) +
+ CL - (х3 + 4х2 + 2)0 • (е2П(9) + do - (х3 + 4ха + 2)<2> • (е2*)8 +
+ Cio (х8 4- 4х2 + 2)<3> • (е2*)О = 210 • е2х • (х8 + 4х2 + 2) +
+ 29-10-(Зх2 + 8х) е2х + 28-45-(6х + 8) е2х + 27- 120-6-е2*.
Здесь мы воспользовались тем, что все производные порядка бо-
лее трех от функции г/=х3+4х2+2 равны нулю.
Поясним теперь, как находятся производные функций, задан-
ных параметрически.
Пусть функция у(х) задана параметрически: x=x(t), y—y(t),
t^T. Если в некотором промежутке (а, Р)<=7' функции x(t) и
y(t) дифференцируемы и х'(/)=/Ю, то в промежутке (а, Р) функ-
ция у(х) однозначно определена, дифференцируема и ух =
xt
Производная ух связана с аргументом х так же, как и исходная
функция у через параметр /: г//=<р(/), х = х(/). Поэтому при вы-
полнении соответствующих условий вторая производная у по х
„ , , , (УхУ Урх{ — х'2у^
равна УХ. = (УХ)Х =—— =------------- и т- Д-
Пример 18. Найдем ух, у"х, и у"х, для функции у(х), заданной
параметрически:
x — a(t — sin /), у = а( \ — cost).
Решение. Так как х/=а(1 — cos/) неотрицательна для /^
=/=2л/?, k^Z, то в соответствующих точках
t
2 sin3 —
2
2а sin3 —
2
t ’ ^х‘
4а sin1 —
2
t t
COS ------ cos ----------------
2 2
4a2 sin2 — • sin5 — 4a2 sin7 —
2 2 2
Рассмотрим теперь дифференцирование функции, заданной не-
явно, т. е. соотношением Е(х, г/(х))=О. Предположим, что такая
функция определена и дифференцируема на некотором интервале
(а, р). Тогда при формальном дифференцировании соотношения
7*
99
F(x,y(x))=O по переменной х получим линейное относительно
ух' уравнение, из которого находим выражение этой производной
(условие существования и дифференцирования заданной таким
образом функции у(х) рассматривается в теории функций многих
переменных).
Пример 19. Пусть функция у(х) определяется из уравнения
Xs + у3 — у5 — х = 0.
Найдем уж'(1), если у(1) = 1.
Решение. Заметим, что значения х=1 и у—1 удовлетворяют
данному уравнению. Дифференцируя соотношение
х3+у3(х) 4~у5(х) —г=0
по переменной х, получаем
Зх2+Зу2уж' — 5у4у/ —1=0.
При х= 1 и у= 1 имеем
3 + Зу/(1) - 5у/(1) - 1 = 0,
откуда у/(1) = 1.
При соответствующих условиях функция у(х) будет иметь и
производные высших порядков, которые определяются уравне-
ниями (F(x, у (х)))", = 0, (F(x, у (х)))"' = 0 и т. д.
Пример 20. Пусть функция у(х) определяется из уравнения
In (х2 + у2) =х—у и х0 = уа = Найдем у' (хс) и у" (х0).
у 2
Решение. Дифференцируя соотношение 1п(х2 + у2(х)) =х—
— у(х), имеем
2х + 2у (х) у'х (х)
или
2х+2у(х)у'(х) — (1—у'(х)) (х2+у2(х))=0, (2)
г / \ X2 + у! (х) — 2х
откуда следует, что у (х) =---------L ----------, следовательно,
х2 + у2 (х) + 2у (х)
, / 1 \ 1 — /2 ГТ 4.4.
У I =-----------— Дифференцируя по х равенство у =
W2' 1+/2
х2 + У2 — 2х „ „
= 24-2 * П0ЛуЧИМ ' Заметим, что в соотношение, опреде-
ляющее у", входит у', которое уже найдено. Технически проще
вычислить у", дифференцируя соотношение (2). В нашем случае
имеем
2 + 2 (у' (х))2 + 2у (г) у' 4- У" (х2 + у2 (х)) -
— (1 —у' (х)) (2х + 2у (х) у' (х)) = 0.
100
Откуда
2 + 2 ( 1~|<2 Y +1/2 у" (-4=-') + уЧ-^—У —
\ 1+Г2 J \ /2 Г У \/ 2 /
— fl----L- VJA (у2 + V2 = О
\ 1+ Г 2 / \ 14-/2 /
\ F 2? (1 + /2)3
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
И ИНВАРИАНТНОСТЬ ЕГО ФОРМЫ
Пусть f определена в некоторой окрестности точки хо. Если
приращение функции f имеет главную часть, линейную относи-
тельно приращения аргумента, т. е. если справедливо представле-
ние Д/=/(х0+Дх)—/ (х0) =ЛДх4-о(,Дх), Дх->0, где Л#=0, то эта
главная часть ЛДх называется дифференциалом df функции f в
точке хо и говорят, что f имеет в точке х0 дифференциал. В случае
Л = 0 дифференциал функции по определению считается равным
нулю.
Для функции одного переменного существование производной
в точке хо и существование дифференциала в точке х0 эквива-
лентны. Поэтому термин «дифференцируемая в точке Хо функция»
означает одновременно существование и производной, и диффе-
ренциала у функции f в точке Хо. Если функция дифференцируе-
ма в точке Хо, то ее дифференциал в этой точке равен fx (хо)Лх.
В частности, для функции у=х имеем dy = Ax, т. е. дифференциал
независимого переменного х совпадает с приращением Дх. Поэто-
му дифференциал функции f записывается в форме df — fx'dx, и
производная fx может быть записана как отношение дифферен-
/I df
циалов: fx = -J—.
dx
Основные правила вычисления дифференциалов функций те
же, что и для вычисления производной.
Если функции fug дифференцируемы в точке Хо, то в этой
точке имеем
1. d (af 4- Pg) = adf 4- f>dg (а и P—постоянные);
2. d(fg)=gdf + fdg.
3. 4i')=
\ g J g
Главным свойством дифференциала является инвариантность
его формы относительно композиции функций, а именно если у =
— у(х) и х=х(0, то dy=yt'dt=yx'-dx. Необходимо только иметь
в виду, что если х — независимая переменная, то dx есть прираще-
101
ние Лх, а если x=x(t), то dx есть главная часть приращения Ах,
линейная относительно АЛ
Свойством инвариантности дифференциала широко пользуются
при преобразовании выражений, содержащих производные.
Пример 1. Пусть дано выражение (1 — х2)ух' — ху(у = у(х)).
Положим x = sint, тогда, переходя в этом выражении к новой не»
зависимой переменной t и считая, что y = y(t), имеем
у'=-^~, dx = costdt, у'—-^!-,
dx 1 dt
Следовательно,
(1 _Х2) у' Ху = =
' Х * dx;
(1 — sin3 t) у, • di — sin Z • у • cos tdt , /
—------------------------------— cos t,- yt—z/sin t.
cost - dt
В данном случае, вместо того чтобы использовать понятие диффе-
ренциала, можно было пользоваться только правилами диффе-
, , , . y't
ренцнрования сложной функции: yt = ух-xt, откуда ух= но
xt
при более сложной замене переменной и функции использование
дифференциалов дает более простой путь при вычислениях.
Пример 2. В выражении (1+х2)у"—у, где у=у(х), перей-
дем к функции «(/), если у =—-—, х = tg t.
cos t
Имеем
, dy * , d(yx) . dt
Ух = -7-> Ухг = (Ух)х=—-------, dx =----—.
dx dx cos31
, cos t • du + и sin t • dt , cos t • du + и sin t dt
; !/'=----------------------------------------------x
x cos21 = cos t u't + «sin t; d (y'x) = —sin t dt u't +
+ cos t • d (u't) + du sin t + и cos t • dt = —sin t • u'tdt +
+ cos t • utldt + sin tut • dt + и cost • dt;
d (y 'x} (— sin t• u'jdt + cos t • u’pdt + sin / • utdt + и cos tdt) cos2 t
У"Хг = ~----- = ------------------ --------------------------------
dx
= cos31 (uta +«).
Подставляя выражения для у и у" в исходное выражение, полу-
чаем
,, , . , „ , , и' u" cos3 / — u sin2 /
(1 + tg2 t) (ut, + U) COS3 t---
1 cos t
dt
cos t
102
Пример 3. В выражении 2у"+ (х+у) (1 — у7)3, у = у(х) пе-
рейдем к функции v(u), если x=u + v, y = v — и.
Решение. Имеем dx=du + dv = du(\ + vu')\
dy=dv—du = (v' — Y)dw, у'х = = ~:
dx vB+l
dll' — d ~ d (v'l (v' ~ Ц _ 2dv'
Ух (у' -t- I)2 (V 4-1)8 ’
, __ _ 2dv'___________ 2v"u>
Ух‘ dx (v'+l)2du(l + v') (1-rc')3'
Подставляя выражения для x, у, у', у" в исходное выражение, по-
лучаем
+ 2и Л __ Y = 4и“2 +4v
(1 + <)3 \ <+1 ) (14Ч)3 ’
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Касательные и нормали к кривым
Пусть L — непрерывная кривая и точка Л10 лежит на L. Пусть
1М— полупрямая, выходящая из Мо и проходящая через несовпа-
дающую с Мо точку М, лежащую на L. Рассмотрим множество по-
лупрямых 1м, когда точки М лежат на L по одну сторону от Af0.
Если существует полупрямая /0, выходящая из точки М, такая,
что угол между /0 и 1М стремится к нулю, когда М-*-Мо, то полу-
прямая /0 называется односторонней полукасательной к L в точке
Мо. Если в точке 2И0 существуют односторонние полукасательные
к L как с одной, так и с другой стороны и угол между ними ра-
вен л (т. е. эти две полупрямые сливаются в прямую), то эта пря-
мая называется касательной к кривой L в точке 2И0.
Если кривая L на плоскости является графиком непрерывной
функции у = у(х), то дифференцируемость у в точке х0 эквива-
лентна существованию невертикальной касательной в точке
М0(х0, у(х0)) кривой и уравнение у—Уо-у'(хо) (х—хо) является
уравнением этой касательной.
т- , ,. и (х)— у (х0)
Если функция у непрерывна в точке х0 и lim —----------=
X—X ~~ Xq
=+оо (или —оо), то в точке Мо(хо, у(х0)) соответствующая кри-
вая имеет вертикальную касательную, уравнение которой есть х=
=х0. Локальное поведение кривой в окрестности такой точки по-
казано на рис. 29, а и б.
Если в точке х0 непрерывная функция у не дифференцируема,
однако существуют у'+(х0) и у'-(х0), то соответствующая кривая
имеет в точке Л10(х0, у(хо)) односторонние полукасательные: ле-
103
вую — полупрямую у — у0=у'_(х0)(х— х0), х^х0 и правую — по-
лупрямую у — у0=у'+(х0)(х — хо), х^х0. Тогда точка хо назы-
вается точкой излома или угловой точкой кривой (см. рис. 29 в,
г, д).
Если функция у непрерывна в точке х0 и lim ~у = + оо,
Х^Х„+‘ X— Х0
lim ^-У^ = __оо ( ]im y^-yM = _OOf Hm =
X—^Xq— X -Vq \ X—X0 X—*Xp— X Xq
= + oo j, то соответствующая кривая в точке М0(ха, у(х0)) имеет
левую и правую полукасательные, каждая из которых является
вертикальной полупрямой, направленной вверх: х = х0, у^уо
(вниз: х=х0, у^уо). Точка кривой, в которой односторонние по-
лукасательные являются одинаково направленными полупрямыми,
называется точкой возврата. Поведение кривой в окрестности та-
кой точки показано на рис. 30, а, б, в. Отметим, что для графика
непрерывной функции возможен только один из вариантов: а)
или б).
Если две кривые имеют общую точку Л1о и в этой точке каж-
дая из этих кривых имеет касательную, то углом между этими
кривыми называется угол между их касательными в точке Мо.
Для краткости в дальнейшем вместо слов «кривая, являющаяся
графиком функции у=у(х)», говорим «кривая ?,'=*/(х)».
Пример 1. Напишем уравнения касательных к кривой у=
=х2~х в точках с абсциссами: а) х = 0, б) х= — 1.
Решение. Имеем г/(0)=0, у(—1)= —2, ух' = 2~х — х2~х1п 2=
= 2~х(1 —х In 2), г/'(0) = 1, у'(— 1)=2(1 + 1п2).
104
Следовательно, уравнения касательных соответственно будут:
а) у = х, б) г/+2 = 2(1 + 1п2) (х+1) (см. рис. 31).
Пример 2. Напишем уравнения касательных к кривой у =
= х~\/г(1 — х) в точках с абсциссами: а) х=0; б) х=1; в) х = 9.
Решение. Имеем у(0)=0, у(1) = 0, */(9)= —18,
у' = ( i _ х) V3_ х. _1_ ( ! __ х)-2/3 = _L (1 _ х)-2/3 (3 _ 4х} t (3)
и «3
у'(0) = 1, у’(9) =--±
Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в)
соответственно у—х и у +18 = — (х—9); в случае б) при х=
105
— 1 формула (3) теряет смысл. В данном случае можно непосред-
ственно вычислить, что
Пт И*) 0.1 = Нт —=— -----= — оо.
X— 1 *-1_/(1_х)2
Заметим, что проще использовать утверждение: если f(x) непре-
рывна в точке хо и limf (х) = оо, то lim (/(х) —/ (х0))/(х—х0) = оо
X-tX9 Х-*Х0
^соответственно +оо или —оо). Таким образом, в точке (1, 0) не-
прерывная кривая у = Х)/1 —х имеет вертикальную касатель-
ную х=1 (см. рис. 32).
Пр и мер 3. Напишем уравнения касательных к кривой х —
= 2cost — cos 2/, z/ = 2sin t — sin2i в точках:
а) /=п/2; 6) t=n; в) /=Зл/2.
Решение. Имеем
/ = л/2=^х = 1, г/ = 2; / = л=^х =— 3, у — 0;
/ = 3л/2=^х=1, у — — 2;
3/ t
’ sin — sin-------
, yt 22.3/,. , ,, .
Ух~ ' ~ t ~ о ’ ^xh=n/2 — 1’ 4М/-ЗЯ/2
Xt Ob I £
cos — sin-
2 2
Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в)
соответственно у — 2=—(х—1) и z/ + 2 = x—1; б) в точке t=
=л(х=—3, у—0) функция ух' не определена.
Рассмотрим кривую в окрестности точки х=—3. Параметриче-
скую связь х и у можно рассматривать и как определение функ-
ции г/(х), и как определение функции х(г/). Так как в окрестно-
сти точки /=л имеем yt <0, то в этой окрестности х есть непре-
рывная однозначная функция у и x/=xi7///=ctg(3t/2), т. е. урав-
нение касательной к графику этой функции в точке у = 0, х = —3
есть х+3=0-г/ или х=—3 — касательная параллельна оси OY.
Если же рассматривать функцию у(х), то точка х=—3, y = Q яв-
ляется общей точкой графиков двух однозначных непрерывных
функций у\ (х) и г/г(х), соответствующих участкам монотонного
изменения x(t): при te(n/3, л) х убывает от 3/2 до —3, при /е
е (л, 5л/3) х возрастает от —3 до 3/2. Так как х^—3, то обе
ветви //1 (х) и г/г(х) кривой x = x(t), y=y(t') лежат справа от пря-
мой х=—3, и в этой точке можно говорить только об односто-
ронних полукасательных к каждой из ветвей. Имеем
lim yj (х) = lim tg-^-=-f-oo, Щп у' (х) = lim tg = — оо.
х-^—З-j- /->л— 2 х->—34“ ^*л4- 2
Отсюда, рассматривая кривую в целом, видим, что полукасатель-
ная «сверху» в точке (—3, 0) является вертикальной полупрямой,
направленной вверх: х=—3, //^0; полукасательная «снизу» —
106
вертикальной полупрямой, направленной вниз: х = —3, Так
как угол между этими полупрямыми равен л, то кривая в точке
имеет вертикальную касательную х=—3 (см. рис. 33).
Пример 4. Напишем уравнения касательных к кривой х~
= 2t—t2, y=3t—i3 в точках a) t = — 1; б) /=1; в) / = У2.
Решение. Имеем t —— 1=^х =— 3, у — —2; ^ = 1=^х = 1,
у = 2; / = /2=^х = 2/2—2; z/ = /2;
.=4=3(isJ!)=A(i+/)i ^i;
х xt 2(1 — /) 2
^->=0, y’x\t^ = ^ +V2).
Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в)
соответственно у + 2 = 0 и у—]/2 + )^2)(х—2]/2 + 2);
3(1__р\
случае б) в точке /=1 функция ~
не определена. В отли-
чие от предыдущего примера при /=1 и у/ = 0, и х/ = 0. Поэтому
нельзя утверждать, что в окрестности точки (1, 2) переменная у
является однозначной функцией х или переменная х является од-
нозначной функцией у. Функция x(t) имеет два участка монотон-
ности: на (—оо, 1] она возрастает от —оо до 1, на [1, +оо) — убы-
вает от 1 до (—оо). Соответственно имеем две однозначные не-
прерывные ветви рассматриваемой кривой yi(x) и уг(х) каждая с
областью определения х^1. Точка 2И0(1, 2) —общая для них. Так
107
как x^I, то можно определить только односторонние полукаса-
тельные к каждой из ветвей в точке Л10. Имеем
lim У1 ^. ~* 1 2 — Пт у' (х) — lim — (1 +1) =3;
— х—1 ж->1— х->1— 2
lim Уа— Пт у'2(х) = lim — (1+^)=3.
х-И— х—1 х->1— х-И— 2
Итак, полупрямая у — 2=3(х—1), х^1, является общей полука-
сательной для обеих ветвей рассматриваемой кривой в точке
’(1; 2). Точка (1; 2) — точка возврата (см. рис. 34).
Пример 5. Напишем уравнения касательных к кривой ху(х+
+ у) +х2 = 2у2 в точках с абсциссами а) х=4; б) х=0.
Решение. Из данного уравнения получаем
_ ха ± У х4 * * * + 8х2 — 4х8
У ~~ 4 — 2х
т. е. кривая состоит из двух ветвей
х2 4- Ух4 4- 8х2 — 4х3 х2 — Ух4 4- 8х2 — 4х3
п ——I-------щ-------- и у —---------!-------.
1 4 — 2х а 4 — 2х
Таким образом, значение х=4 определяет две точки, лежащие со-
ответственно на двух ветвях кривой: Л41(4, —2У2—4) и
Л4а (4,2 J/2—4), а при х=0 имеем У1=г/2=0, т. е. точка Л4о(0, 0)
является общей для обеих ветвей. Пользуясь правилом диффе-
ренцирования неявной функции, находим, что
2ху + х*у' + 2уу'х + у2 + 2х = 4у у', (3)
, 2ху + у1 + 2х ,, , , _
откуда у =——!--------- Угловые коэффициенты касательной в
4у — хг — 2ху
точке М{ и в точке М2 равны нулю, и уравнения соответствующих
касательных есть у — 2^2—4 и у = — 2)^2—4. В точке Л4о(О,
0) уравнение (3) вырождается — превращается в тождество 0 =
= 0. Найти касательную к каждой из ветвей в этой точке можно,
например, дифференцируя каждую из явных функций yt (х) и
у2 (х), однако сделаем это другим способом, поскольку часто урав-
нения ветвей неявно заданной функции не выражаются аналити-
чески в явном виде у = у(х) или х=х{у).
В некоторых случаях удается разделить ветви кривой, задан-
ной уравнением F(x, у)=0, введением параметра. Так, для нашей
Л 4 У 4
кривой введем параметр t = —, тогда параметр t и переменная
х связаны уравнением tx2(х-Нх) +х2=”272х2, откуда х —
Точке Мо(0, 0) соответствуют два значения параметра f=l/Y2 и
<=—1/У2. Легко проверить, что функция x\t) строго монотонна
108
как в окрестности точки /== 1/У2, так и в окрестности точки t=
——1/У2. Так что действительно при изменении t в соответствую-
щей окрестности этих точек мы получаем две различные ветви на-
шей кривой. Имеем
у’ (0) — У~У “ = lim
*-►0 х — 0 х->-0 х х-»-о
Поскольку условие х->0 на одной из ветвей эквивалентно усло-
вию t->-1/у2, а на другой — условию /->—1/У2, то касательная код-
ной из ветвей в точке (0, 0) имеет уравнение у=х/^2, а к дру-
гой — «/=—х/У2. Отметим, что особая точка Л40 (0, 0) кривой
ху (х + у) + х1 2 = 2у2 представляет собой точку пересечения двух ее
гладких ветвей, образующих между собой угол a = arctg2y2.
Пример 6. Найдем угол, под которым пересекаются кривые
x24-z/2 = 12x и у = у^(х—6)2.
Решение. Чтобы найти точку пересечения кривых, надо ре-
шить уравнение (х—6)24-у(х—6)4 = 36. Положим (х—6)2 = z3,
тогда z3+z2 = 36. Так как z3+z2—36= (с—3) (z2 + 4z+12), то урав-
нение имеет единственный корень z = 3, откуда х = 6±рЛ27.
Итак, точками пересечения кривых являются точки Л11(6+у27,9)
и Л12(б —V27, 9). Для первой кривой имеем 2х+2уу'=12, откуда
«/'=(6—х)1у. Следовательно, угловые коэффициенты касательных
к ней в точке Л4Х есть —У^З/З, а в точке М2 есть )/3/3. Для
второй-кривой у' = 2(х—6)1/3/3, следовательно, в точке М\ угло-
вой коэффициент касательной есть 2/3 У3, а в точке Л42 есть
— 2/3 УЗ. Углы, под которыми пересекаются кривые в точках
М\ и Л42, одинаковы и равны
/з + 2 _
arctg—------Х/* = arctg ^2 (см. рис. 35).
1- — 7
9
левой и правой полукаса-
Пример 7. Найдем угол между
2х
тельными к кривой z/ = arcsin----
1 + Xs
стр. 104).
Решение. Имеем
1 2 + 2ха — 4х2
/ 2х (1
\1 +х2/
в угловой точке (см.
2 (1 —х2)
V(1—X2)2 (14-Х2)
(|Х|5М).
109
Следовательно, угловыми точками могут быть только точки
МД1, л/2) и Л12(—1, — я/2). Имеем
у', (1)= Пт у'х= lim —^-- = — 1; у'_(Д) = lim ^ = 1-
+ *-*i+ 'н-*2 *-*1-
Угловые коэффициенты левой и правой полукасательных в точке
М\ равны 1 и —1, угол между ними равен л/2. Так как функция
у(х) нечетная, то кривая симметрична относительно начала коор-
динат и угол между левой и правой полукасательными в точке М2
также равен л/2 (см. рис. 36).
Возрастание и убывание функции
Определение. Пусть функция f определена на интервале
(а, Ь). Если произведение (f(xi)—f(x2))(xi—х2) не меняет знака
на (а, Ь), то говорят, что функция f монотонна на (а, Ь). Если
{f(xi)—f(x2)) (xi—x2)>0 ((ЦхО— f(x2)) (Xi— х2)<0) для любых
Xi, х2, x^x2, из (а, Ь), то f строго возрастает {строго убывает}
на (а, Ъ), если же это произведение обращается в нуль для несо-
впадающих X], х2, то говорят, что монотонность нестрогая.
Если монотонная на {а, Ь) функция дифференцируема на
{а, Ь), то ее производная не меняет знака на {а, Ь). Если f диф-
ференцируема на {а, Ь) и f' (x)>0(f' (х)<0) для всех хе(я, Ь),
исключая, быть может, конечное множество (на котором f(x)=0),
то f строго возрастает (строго убывает) на {а, Ь).
Определение. Функция f, заданная на {а, Ь), имеет в точ-
ке хое(а, Ь) локальный экстремум, если существует такая окре-
стность С7(х0)е(а, Ь), что разность f{x)—f{xQ) не меняет знака
для хе U (х0).
Если /(х)—f(xo)^O для любого xeC'f.t'o), то точка х0 называ-
ется точкой максимума; если f(x)— f(xo)>O для любого хе
е£7(х0), то х0 называется точкой минимума. Заметим, что точка
ПО
локального экстремума обязательно есть внутренняя точка облас-
ти определения функции.
Точки, в которых f(x) определена, a f' (х) равна нулю или не
существует, называем критическими точками f. Всякая точка ло-
кального экстремума является критической точкой, но, как пока-
зано ниже на примерах, не всякая критическая точка есть точка
экстремума.
Достаточные условия локального экстремума
1. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности
критической точки х0 и дифференцируема в ее проколотой окрест-
ности, причем f'(x) в левой (О'_(х0)) и правой (U+(x0)) полуок-
рестностях сохраняет знак. Тогда если f'(x)>0 для xet7_(x0), а
/'(х)<0 для хе(7-(х3), то точка х0 есть точка максимума; если
/'(х)<0 для x^U-(xq) и f'(x)>0 для x^U+(x0), то точка х0 —
точка минимума. Требование непрерывности функции f(x) в точке
Хо существенно.
Пример 8. Пусть
f (х) =
1 +х, х < 0;
0, х=0;
— 1 — х, х > 0,
тогда f'(x) = l при х<0 и f'(x) =—1 при х>0, т. е. при переходе
через точку х = 0 производная меняет знак, но точка х = 0 не яв-
ляется точкой локального экстремума.
2. Пусть f имеет в точке х0 производную порядка п, f(x0) =
=f"(xo)=...=f<r,-V(xo)=Q и /Г(',)(хо)=^О. Если п — четное и
/(,,)(хо)>О, то Хо — точка минимума; если /(п)(х0)<0, то х0 —
точка максимума; если п — нечетное, то критическая точка х0 не
будет точкой экстремума.
Если функция f рассматривается на отрезке [а, Ь] или луче
[а, +°о), то кроме локальных экстремумов f может иметь крае-
вой экстремум: точка а (точка Ь) является точкой краевого экст-
ремума, если существует такая ее правая (левая) полуокрест-
ность, в которой разность f(x)—f(a) (/(х)—f(b)) не меняет
знака.
Пример 9. Найдем точки экстремума и промежутки моно-
тонности функции
, . 1 + Vx+ 1
У(х)=.
х + 2
ф arctg /х + 1.
Решение. Имеем
У' (х) =
1 —/7+1
(х + 2)а/х+ 1
(Х>—1).
Функция у(х) определена и непрерывна на луче х^+—1, а функ-
ция у'{х) — на луче х>—1; г/'(х)>0 для —1<х<0, /(0)=0,
111
у'(х)<0 для х>0. Итак, на интервале —1<х<0 функция у(х)
возрастает, на луче х>0 — убывает, lim у(х)= —; в точке х—
Х-+4-00 2
= — 1 — краевой минимум у(—1) = 1, в точке х = 0 — локальный
и абсолютный максимум у(0) = 1 + л/4.
Пример 10. Найдем точки экстремума и промежутки моно-
тонности функции у (х) = х3 • х2— 1.
Решение. Имеем
У' (х)
х2(11х2 —9)
З-^!—х2)2 ’
3 3
Точки х=0, х = 1, х —— 1, х = —-=- х = — являются крити-
ки Ун г
ческими точками данной непрерывной функции. Функция у'(х)
меняет знак только в точках х^——З/yil и х2 = 3/ун, причем
у'(х)>0 для х< — З/УП, /(х)<0 для — 3/}'l 1 <x<3/yl 1, у'(х)>0
для x>3/yil. Таким образом, функция г/(х) возрастает на проме-
жутках (—оо, —3/yil), убывает на (—З/yil, З/yil), возрастает
на (З/yil, 4-оо), в точке Х\ ——З/yil имеет локальный максимум,
в точке x2 = 3/yil — локальный минимум. Критические точки
х — — 1, х = 0, х=1 не являются точками локального экстремума.
Пример 11. Покажем, что функция г/(х) = f 1 Н——строго
\ х /
возрастает при х>0.
Решение. Имеем
у (х)= 1 Н---I In—I—
\ X / \ X
1 \
х+ 1?
(IXх
1 Н---) >0 для х > 0, то знак у' (х) совпадает со знаком
х 1
х I 1 ।
функции g(x) = ln —--------. Имеем limg(x)=0, g’ (х) =
X X + 1 Х-.-+ОО
------------------<0, х > 0. Итак, функция g (х) стремится
(x-pi)2 x(x-t-l)
к нулю при х->+оо, монотонно убывая, следовательно, для всех
х>0 функция g(x)>0 и, значит, z/'(x)>0, х>0. Откуда вытекает,
что у(х) строго возрастает при х>0.
Пример 12. Доказать неравенство 1 + 21пх^х2 для х>0.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=x2—21пх—1. Имеем
f(l)=0, f' = "• Для имеем f(x)>0, а для 0<х<1
имеем f'(x)<0. Таким образом, f(x) на интервале (0, 1) убывает,
на интервале (1, +оо) возрастает, и так как f(x) непрерывна при
х—1, то точка х=1 является точкой минимума. Следовательно,
для х>0 f(х)=х2—21пх— l>f(l)=0, откуда и вытекает неравен-
ство х2>1+21пх, х>0.
112
Пусть непрерывная функция f задана на отрезке [а, Ь]. Тогда
на отрезке [а, Ь] существуют точки Xi и х2 такие, что
f (xj = max f (x) и f (x2) = min f (x).
*G£a,b]
Если хотя бы одна из этих точек лежит внутри отрезка, т. е. на-
интервале (а, Ь), то в этой точке функция f имеет локальный
экстремум. Таким образом, точки Xi и х2 входят в множество,
состоящее из всех точек локального экстремума функции f на
(а, Ь) и концевых точек х — а и х = Ь.
В свою очередь это множество есть подмножество множества,
состоящего из точек х = а, х — Ь и всех критических точек функции;
f на (а, Ь). Сравнивая значения функции f во всех точках этого
множества (т. е. в концевых и критических точках), находим
max /(х) и min f(x).
x£la, b] хЩа.Ь]
Пример 13. Найдем max f (x) и min /(х),если f(x) =
=x3 + 3x2—9x+ 5.
Решение. Так как функция f(x) дифференцируема на всей
прямой, то критические точки данной функции есть те точки, где
f'(x)=O. Поскольку f'(х) — Зх2 + 6х—9 и f'(x)=O при х =—3 и
х=1, то критические точки есть Xi =—3 и х2=1. Эти точки при-
надлежат отрезку [—4, 4]. Следовательно, надо сравнить значение
функции в точках х0=—4, xi =—3, х2=1 и х3 = 4. Поскольку
/(—4) =25; f(—3)=32, f(l)=0 и /(4) =81, то max f (х) =f (4) = 81,
£-4,4]
min f (x)=/(—l)=0.
[-4.4J
Пример 14. Найдем max f (x) и min f(x), если f(x)v=|3x*—
1—2,33 J—2,33
— 16x3 + 24x2— 431.
Решение. Функция f (x) может быть недифференцируема
в тех точках, где Зх4—16х3+24х2—43=0. Имеем Зх4—16х3+24х2—
—43=(х+1)(3х3—19х2+43х—43). Положим g(x)=3x3—19х2+
+ 43х—43. Тогда g'(x)=9x2—38х+43>0 для всех х, т. е. g(x)
монотонно возрастает, и так как g(3) =—4, то g(x)<0 для всех.
хе[—2, 3]. Следовательно, х=—1 единственная возможная точка
недифференцируемости f(x) на [—*2, 3]. Для х<—1 имеем /'(х) =
= 12х(х—2)2, для х> — 1 имеем f'(x)= — 12х(х—2)2, следователь-
но, критическими точками f(x) на отрезке [—2, 3] будут точки.
Xi=—1, х2 = 0, х3 = 2. Вычисляя значения f(x) для х0=—2, Xi=—1,.
х2 = 0, х3 = 2, х4 = 3, получаем f(—2) =229, f(—1) =0, f(0)=43,
/(2) =27, /(3) = 16, т. е.
maxf(x)=/(—2) = 229, min f(x)=f(—1)=0.
£—2,3] £—2,3]
Формула Тейлора, правило Лопиталя
Пусть функция f в некотором интервале (а, Ь) имеет п произ-
водных. Тогда для любой точки хое(а, Ь) можно написать мно-
113:
гочлен Тейлора Tn(f, х0) = V J.:.’ (5дк (х—х0)\ Разность
jU kl
fe=0
Rn(f, x0)=f(x) — Tn(f, хо) называется остаточным членом формулы
Тейлора f(x)=Tn(f, x0)+Rn(f, х0).
При данных условиях, налагаемых на функцию f, Rn(f, х0) =
=о(х—хо)л(х->хо) и Rn называется остаточным членом в форме
Пеано. Если потребовать, что на (а, Ь) существует f(n+1)(x), то
f(n+D(E) n+i
для любого х из (а, b) Rn(f, х0) =------— (х—хо) > где В —
(п + 1)!
некоторая точка интервала (х0, х), и Rn называется остаточным
членом в форме Лагранжа.
Использование формулы Тейлора с остаточным членом в фор-
ме Пеано для выделения главной части функции f в окрестности
некоторой точки и для вычисления пределов было подробно рас-
смотрено выше. Выражение Rn в форме Пеано в отличие от Rn
в форме Лагранжа позволяет оценить величину погрешности, до-
пускаемой при замене функции f многочленом Т’п(х) на некотором
промежутке.
Пример 15. Оценим погрешность при замене функции f(x) =
= arctgх многочленом Тейлора Tb(f, 1) на отрезке [1/2, 3/2].
Решение. Поскольку
[’ = —*— /(л) (х) — 9----sin (narcctgх), п2
1 + %2’ ' ’ (l + x2)n/2 v ’
{это можно показать, используя тождество
1 1 / 1
1 + х2 2i \х — I
ТО
Л (/. 1) = f 1) - ~ Ь-1)!+"iT (*- V’’-T5(х-
f(x)-T6(f, V>=R6(f, 1)
6!
Так как точка | лежит
| sin (и arcctg g) |^1, то
между хи 1, |х—1|<1/2 и
т) i
5! <
(1+£2).з
1
2«-6
43
53
1
6-53
1
750 ’
Итак, многочлен
А +-L (х-1)-(л-1)" +-jL (х-1)>-^ (х-1)’
114
приближает функцию arctg х для всех /е [1/2, 3/2] с погреш-
ностью не более чем 1/750.
Правило Лопиталя. Пусть функции fug определены и диффе-
ренцируемы в некоторой правой полуокрестности точки a:U+(a) —
={х : а<х<а+8}, 6>0, причем g'(x)^=0, xf^L'+(a) и lim - = А~
х^а+ g' (х)
Тогда, если
1) lim f(x) = lim g(x)=0
x-*a4* х-ка-р
ИЛИ
2) lim f (x) = lim g(x) — oo,
х-^а+ x-m+
TO
lim 1^- = A.
*->a+ g (x)
Правило верно и тогда, когда А есть один из символов оо, +оо„
—оо.
я 1- /(*)
Аналогичное утверждение справедливо и для lim -—— и для
x->a- g(x)
lim. (в первом случае функции fug должны удовлетво-
x->a g (х)
рять соответствующим условиям в некоторой левой полуокрестно-
сти точки а, во втором случае — в некоторой проколотой окре-
стности точки а).
Пример 16. Найдем
lim (—5---л ctg лх .
Х-И \ 1пх )
Решение. Чтобы иметь возможность применить правило Ло-
питаля, представим данную разность в виде отношения функций
1 . sinnx— nlnx-cosnx f (х)
------л ctg лх=------------------= .
1пх In х-sinnx g (х)
Функции /(х)=зшлх—л In х cos лх и g(x) =1п x-sin лх удовлет-
воряют условиям применимости правила Лопиталя при х из окре-
стности V 1(1) = (1/2, 3/2) \{1). Отношение производных
2
/'(*)/£'(*) равно
л
л cos лх — COS ЛХ + л2 In х- sin лх
X
— sin лх + л cos лх- In х
X
ЛХ COS ЛХ — Л COS ЛХ + л2х In х sin лх
sin ЛХ + лх cos лх • in X
115
Это отношение опять представляет собой неопределенность типа
Применим правило Лопиталя к нему. Отношение производной
числителя к производной знаменателя равно
л cos лх — л2х sin лх 4 л2 sin лх 4- л2 In x-sin пх 4- л* sin лх -|- л8х In х cos лх
л cos лх 4 л cos лх In х 4- л cos лх — л2х In х sin лх
Предел этого отношения при х->1 равен 1/2. Следовательно,
х->1 g' (х) 2
Таким образом,
/ 1 , \ sinnx—ncosnx-lnx
lim I---- — л ctg лх = lim--------=----------=
r-и \ Inx / *_►! sinnx-Inx
__ЛХ COS ЛХ—ЛСО5ЛХ4-Л2Х Inx-sinnx ____
x-fi sin лх 4 лх cos лх-In x
__।. л cos лх — л2х sin лх--;-л2 sin лх 4л2 In x sin nx 4 л2 sin лх 4 л8х In x cos лх
X—>-1 Л COS ЛХ 4 Л COS ЛХ In X 4 Л cos лх—n2xlnx sinnx
= J_
— 2 ’
По смыслу эта цепочка равенства должна читаться с конца: так
как предел последнего отношения существует, то существует и рая
вен ему предел предпоследнего отношения и т. д.
Если же предел отношения производных не существует, то это
ничего не говорит о существовании или несуществовании предела
отношения функций. Приведем соответствующий пример.
Пусть
f (х) = х2 sin — 4 2 sin х и g (х) = х.
X
Тогда
1- f (х) 1- / • 1 , г> sinx \ о
hm 7 = lim х sin------|-2-------I — 2,
х-+о g (x) *-»o \ x x /
1 1
2x sin — —cos 4 2 cos x
f (x) x x
а отношение • , равно ------------------------- и не имеет пре-
дела при х—к0.
Применяя правило Лопиталя, необходимо также следить за
тем, чтобы было выполнено либо условие 1), либо условие 2).
Так, например, пусть
f (x)=sinx+cosx и g(x)=x42.
116
Тогда
/(*)
0 g(x)
1 f (x) Icosx — sinx ,
—, a lim 1 v ' = lim 1-------------------= 1.
2 x-o g' (x) ж-»о 1
(Здесь не выполнены ни условие lim/^x) = lim’g(x) =0, ни условие
х-»0 х->-0
lim f(x) = lim g (x) = oo.)
*-►0 x->-0
Исследование функций и построение кривых
Считаем, что исследовать функцию — это означает:
1) найти область определения;
2) отметить (если они есть) особенности функции (периодич-
ность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пе-
ресечения графика функции с осями координат;
3) если граничные точки области определения функции при-
надлежат ей, то найти значения функции в этих точках, в против-
ном случае — выяснить поведение функции в окрестности этих
точек (включая и несобственные точки —оо и +°о);
4) найти наклонные асимптоты (вертикальные и горизонталь-
ные определяются в пункте 3) или убедиться в их отсутствии;
5) найти участки возрастания и убывания функции, определить
локальные и краевые экстремумы;
6) найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или
вниз, определить точки перегиба.
По результатам такого исследования функции строится ее
график.
(х _L 1)3
Пример 17. Исследуем функцию у — и построим
(х 1 )2
ее график.
Решение.
1) х#=1;
2) при х=0 у — \, при х =— 1 у = 0, при х>— 1 у>0,
л<-1 z/<0;
3) lim у (х) = + оо, lim у (х) = + оо, lim у (х) = + оо,
х->-1+ x-t-4-оо
при
lim у(х) = — оо;
—оо
4) &+= lim = 1,
Х-* 4-00 X
= lim - = 1,
Х-> —оо X
b± — lim (у (х) —х) — 5,
Х-* 4-00
Ь_— lim (у (х)—х)=5;
Х-+ —оо
5) у' (%) = (х+ 1)а (*» 5) у' >0 при х<1 и х > 5;
у' < 0 при 1 < х < 5;
6) /(*) = х#=1, />0 при х>—1, х#=1; у" <0
при X < — 1.
117
Итак, функция у (х) = --- „ определена на множестве-
(—сю, 1)U(1» +°°). График ее пересекает ось OY в точке (0, 1)
и ось ОХ в точке (—1, 0). Вертикальная асимптота х—1, наклон-
ная асимптота у=х+5. На промежутках х<1 и х>5 функция
возрастает, на промежутке 1<х<5 убывает, в точке ^5, 13-^-j
имеет локальный минимум. На промежутке х<— 1 функция вы-
пукла вверх, на промежутках —1 <х< 1 и х> 1 — вниз, (—1, 0) —
точка перегиба. График данной функции представлен на рис. 37.
Рис. 38
Отметим, что у'(—1)=0, т. е. график функции имеет в этой точке
горизонтальную касательную, точка х=—1 является критической,
но локального экстремума у функции в этой точке нет.
Пример 18. Исследуем функцию у = (х — 5) хг и построим
ее график.
Решение. Имеем
1) x<^R\
2) у— 0 при х = 0 и х = 5; у >0 при”х > 5; у < 0 при х<
<5, х 0;
3) lim z/(x)= + oo, lim у(х") =— оо;
Х-* Н“ОО —оо
118
4) k+ = lim ----- = 4-00, k~ = lim =4-00;
X->~f-00 X x->—00 X
5) y' (x) =—--------------~2\ xy= 0, у' (x) > 0 при x < 0 и x > 2;
у' (x) < 0 при 0 < х < 2;
6) у" (х) х 3 (х + 1). х#= О, у" (х) > 0 при — 1 < х < 0 и
х > 0; у" (х) < 0 при х < — 1.
Итак, функция z/(x) = (x— 5)/х2 определена на всей числовой
прямой. График ее пересекает ось ОХ в точках х = 0 и х=5.
Асимптот нет. На промежутках —оо<х<0 и 2<х<4-оо функция
возрастает, на промежутке 0<х<2 — убывает, в точке (О, 0)
имеет локальный максимум, в точке (2, —ЗуЛ4)— локальный
минимум. На промежутках —1<х<0 и 0<х<4-оо функция вы-
пукла вниз, на промежутке —оо<х<—1 — вверх. Точка
(—1,—6) — точка перегиба. Поскольку f(x) непрерывна в нуле и
lim .. = пт = - оо,
Х-*О+ X — 0 «->о+
.. у (х)—у (0) .. х — 5
lim '—---- = lim -------=4-00
х->0— х — 0 х->0—
то полупрямая х = 0, у^.0 является и левой и правой полукаса-
тельной к графику функции в точке (0, 0). Следовательно, точка
(О, 0) — точка возврата кривой. График данной функции пред-
ставлен на рис. 38.
Пр и мер 19. Исследуем и построим график кривой, заданной
параметрически
/2 &
х (0 =------. у (О =------•
' Р—1 ' гз4-1
Решение. Параметрические соотношения определяют функ-
цию у(х), однозначную и непрерывную на тех промежутках изме-
нения параметра t, на которых функция x(t) непрерывна и строго
монотонна. Выделим такие промежутки. Имеем
Xt =-------- yt = -1------
(/2—1)2’ * (Z34- 1)2
Графики функций x(t) и y(t) изображены на рис. 39,а, б. Функ-
ция x(t) строго монотонна на четырех промежутках: (—оо, —1);
(—1, 0], [0, 1), (1, 4-оо). Так как формальное дифференцирова-
ние на всех промежутках производится одинаково, то имеем при
Л#0 и /#=—1
119
/ (2 —/3)(/2—I)2
(/3+1)2(—2Z) 2(Г2 —/+1)2
(Z3 2) (/„1?
Пусть /<—I, тогда:
1) x> 1 (см.. рис. 39, а);
2) У<0 (см. рис. 39, б);
Рис. 39
3) условие х -> 1 4- эквивалентно на промежутке t < — 1 условию
— оо, поэтому lim у(х) = lim г/ (£) = 0; точно так же lim г/(х) =
Л-И+ /->—со Л-*—00
= lim у (t) = —ос;
4) k+=- lim = lim -y~~- = lim ------------------=-------—;
л-н-оо x /-»-!— /->-1— t2 — £-4-1 3
, I i \ , 2 \ i-_ z2 (2/ — 1) 1
b+= lim у (x) 4-----x |= lim ---------------------=—;
+ x-^-oo \ ' 3 ) ^-i- 3(f — 1) (Z2 —z+1) 6
5) так как £<—1, то z//<0;
6) обозначим через g(t) многочлен Р—3/2 + 9/—8; так как
g(—1)=—21<0 и g'(t)—3t2—6Г+9>0, то g(t)<0 для t<—1.
Отсюда следует, что для t<—1 имеем у" >0. Итак, ветвь кривой,
соответствующая изменению t на промежутке (—оо, —1), пред-
ставляет график непрерывной, отрицательной, монотонно убыва-
ющей, выпуклой вниз на луче х>1 функции с асимптотой
2 1
у —------х-|----и краевым условием limz/(x) = 0.
3 6 х^,Т+
Пусть —1</<0, тогда:
1) х^О (см. рис. 39, а);
2) y^sO (см. рис. 39, б);
3) условие х->—оо эквивалентно на промежутке —1</<0
условию t->—1 + , поэтому lim ц(х) = lim г/(/) = + оо, значе-
X > оо
нию х=0 соответствует значение /=0, следовательно, значение у
при х = 0 равно 0;
4) k_ = lim — -----------b—= lim (y(t)----------— х(/Й= —;
’ <-»-!+ х(1) з’ 3 J 6
5) так как — 1 < f < 0, то у'х < 0, lim у’х = — 1;
120
6) Ух. < о.
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме-
жутке — 1<Л£С0, представляет график непрерывной, неотрица-
тельной, монотонно убывающей, выпуклой
функции с асимптотой у=-----— х4----и
3 6
вверх на луче х+/0
краевым минимумом
х=0, у = 0, имеющей в точке (0, 0) левую полукасательную: луч
у=—х, х<0.
Пусть 0<t< 1, тогда:
1) х+/0 (см. рис. 39, а);
2) у^О (см. рис. 39, б);
3) условие хн—оо эквивалентно на промежутке 0^/<1 усло-
вию , поэтому lim у(х) — lim y(t) =—. Значению х = 0
_оо м— 2
соответствует значение у — 0;
4) наклонных асимптот нет, так как при х->—оо у(х) не яв-
ляется бесконечно большой величиной;
5) так как 0 t < 1, то у'х <0, lim у'х — — 1;
6) ^<0.
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме-
жутке 0=%+<1, представляет график непрерывной, неотрицатель-
ной, монотонно убывающей, выпуклой вверх на луче хС/0 функции
с асимптотой у= 1/2 и с краевым минимумом х = 0, г/==0, имеющей
в точке (0, 0) левую полукасательную — луч у = —х, х^0.
Таким образом, точка (0, 0) является общей точкой двух
ветвей кривой, которые подходят к ней слева и сверху, и обе эти
ветви имеют в точке (0, 0) общую левую полукасательную: луч
у=—х, А'сО. Точка (0, 0) является точкой возврата кривой.
Пусть />1, тогда:
1) х>1 (см. рис. 39, а);
2) У>0 (см. рис. 39, б);
3) условие х->1+ эквивалентно на промежутке ^>1 условию
>4“Оо, поэтому lim у(х)= lim z/(/)=0.
Аналогично lim у (х) = lim у (f) = —;
х-Н-оо 2
4) наклонных асимптот нет;
5) Ух > 0 для у^2 , т. е. для 1 < х < уЛ4 / (1^4 — 1); у'х < 0
для 1 < t <уг2 , т. е. для х> у^4 / (>/"4 — 1), точка
-1); /4 /3) — точка локального максимума;
6) для многочлена g(0=/3—3/2 + 9/—8 имеем g[l) =—1<0,
з _ з _ 3 — 3 — з _
g(/2) = —3/4 +9/2 —6 = —3(/2 — 1)(/2 — 2) > 0,
/ (0 > 0.
121
Следовательно, на промежутке (1, существует единственная точ-
ка ta такая, что //’,<0 для 1 <t<tQ и г/",>0 для /0<<<^2~.
Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на промежутке
t > 1, представляет собой график непрерывной положительной на лу-
че х > 1 функции. Эта функция имеет горизонтальную асимптоту
у=1/2 и краевое условие lim y(x)=Q. На промежутке (1, у'Т / (у^4 —
Х-И4-
—1)) функция возрастает, на промежутке (у^4 / (у^4 —1), + оо) убы-
вает, точка (^4 /(^Л4 — 1), уТ/З) — точка локального максимума.
Существует точка х0—х (/0), х0 > / 4 / (у/ 4 — 1) такая, что на проме-
жутке (1, х0) функция выпукла вверх, на промежутке (х0, + оо)
выпукла вниз, точка (х(/0), z/(t0), /ое(1, у 2))—точка перегиба. За-
метим еще, что при параметрическом задании кривой, если существуют
пределы limx(t)=a, lim i/ (t) =b, то точка (a, b) также считается
/-♦co t-i oo
принадлежащей этой кривой. Таким образом, в нашем случае точка
(1, 0) принадлежит кривой. Имеем lim у’ — lim у' = —оо для
X-fl+ t-+—oc
< — 1 и lim у' = lim у’ = + оо для t > 1.
Таким образом, ветвь кривой, подходящая снизу к точке (1, 0),
в этой точке имеет правую полукасательную — луч х=1, у<0;
ветвь кривой, подходящая сверху к точке (1, 0), имеет в этой точ-
ке правую полукасательную — луч х=1, у>0. Угол между этими
лучами равен л, следовательно, кривая имеет в точке (1, 0) верти-
кальную касательную х=1. Объединяя все сказанное, строим кри-
вую (см. рис. 39, в).
Задачи
Найти производную следующей функции:
1 » — (х + ^)а
' у х3 '
3. у = 1 —.
/(Зх + 4Р
2. z/ = (3x-5)«.
4. z/ = ^(8x-3)s .
7. Z/ = xln(x + l/x2 4- 1 ).
9. у = е3х (х + 3).
11. z/=3sin2^.
, о 11/1 — 2х
13. у = arctg I/ ----.
Г П- 2х
sin8 2х
8. z/= In tgx +ctg 2х.
10. y-e-x (cosx + sinx).
*/ = log2
cos x + x sin x
sin x — x cos x
14. y = x2 7arctgx.
122
15. у = х 21-»’.
5 ,---
17. у = 2? fg5*+i.
19. у=^'+е~Х}
21.
23.
25.
27.
29.
31.
32.
у = х2 • arccos Зх.
(1 \ arcsin ха
V)
sin х
у = (arcsin х) *
У =
sinx , , п
-------h х, х О,
X
(х + 1) arctg2 —-
33. Найти Г(0), если
a) f (х) = | х | (1 — cos х);
в) f (х) =
, 4 , х
X2 cos-----------
Зх 2
, о sin 2х + 1
16. у =-----------!----.
sinx — COS X
18.
f'i : х-
20. у = arccos —— * .
1 4-х3
X tg —
22. у = 4 2 .
24. у = 2arccts .
26. у = (arctg 4х)>/' 1 + .
28. г/= (ех 4-е-х)С05 2х.
30. у = arcsin(sinx).
4- 2х, х=/=— 1,
б)/(х) =
х 0;
х = 0.
34. Найти числа alt bi, a2, b2 так, чтобы следующие функции
были дифференцируемы на всей числовой прямой:
arx + blt
л
2 ’
х
а) у = cos х,
&2Х 4“ ^2»
агх2-уЬх, х>1,
б) У =
х sin лх,
п2х4-62,
хе [— 1,
х < — 1;
1].
123
(х — 2)24-£>1, в) У — х2 arctg х, . а2 (х + 2)2 +1>2, j ахх2 + bv х < X > 1, 1*1^ 1» х< — 1; 1 е
г)!,= j х"|пх, 1 е 5 х^е,
( агх + ba, х > е.
35. Найти многочлен наименьшей степени g(x) такой, чтобы
функция f(x) была: 1) непрерывна на всей прямой, 2) дифферен-
цируема на всей прямой, если
5х
а) / (х) = 4 + х2
б) /(х) = х2е~2х, £(*). 4 —х2
в) f(x)= ; 1 .-X2
1 С И С 2,
|х|> 1,
|хК 1 или |х|> 2.
(только пункт 1)
Найти у'_ (х) и у'+ (х) для следующих функций:
36. у = arccos----------.
а 1 + X2
37. у = х| sinх|.
О, х = 0.
40. у = arcsin е~*.
( • 1
xarcsmcos —
39. z/ = ! х
I 0,
41. у = arccos Y 1 —x2 .
x=/=0,
x = 0.
42. Для каких значений p и q функция
y= | x | cosу—, х=И=0, 1/(0)=0 (<7>0)
|X| v
а) непрерывна в точке x = 0;
б) дифференцируема в точке х = 0;
в) функция у'(х) непрерывна в точке х = 0.
Найти производную п-го порядка следующих функций:
43. y = cos4x. 44. у —------------. 45. у=(х2+х+ 1)е"3х.
х2 —- 5х + 6
.„ , . х -j- 2 .г, 1 -р 2х
46. y = eAsinx. 47. и =------—----. 48. у =—----.
у у з Л------- * Зх — 1
у 1 — X
124
49. у = sinx-cos22x. 50. z/=x2sin2x.
1
51. у ==x2 In---.
1+x
52. z/ = e3xsin4x. 53. у = arctg x. 54. y = excos2x.
Найти производные указанного порядка следующих функций,,
заданных параметрически, если:
55. у"' :x(f) =e<(cost + sint), z/(t) = е* (cos /—sint).
56. y"x,: x (f) =a ^cost—In ctgy(t) —asmt.
57. i£:x(0=lna + /T+?), zz(/)=pfL=r.
58. z/”': x (t) =a (1 +cos t) cos t, у (t) =a (1 —cos t) sin t.
59. z/”’: x (t) — a cos t + (at + b) sin t, y(t) = a sin t — (at + b) cos t.
60. yxS: x(t) =acos51, y(t)=asin6t.
61 • yx',' :x(t) = t2, у (t) = in sin t — t ctg t.
62. yx,:x(t)=t* + 3t, y(t)=tarctgt — In/l + t2.
Найти производные y‘x и z/"„
неявно, если:
63. х + у = ех~«.
65. х3 + 4z/3 — 3z/x2 = 2.
67. х(х2 4- z/2)=a(x2 —z/2),
Сделать указанную замену
ниях:
следующих функций, заданных
64. х2 — l+cosxy = 0.
66. х2 + 2ху + у2 — 4х + 2у = 2,
х = 1.
68. х cos л г/—z/sinnx = x—1,
1
х = ц =—.
2
переменных в следующих уравне-
69. х2у"—4ху’ + бу — 0, x = ef, z/ = z/(t).
70. (tu’Y +и"/° = 0, s = Int, u—u(s).
71. v" + — + ^1---v — 0, u = V t v, u~u(t).
72. u" + -^-u = 0, u=Vt z, i—es, z = z(s).
73. (x2 — l)u” + 2xu'-- ы — 0, x— e , u=w(Z).
74. u"—q(t)u = Q, u = yT v, s=-i-lnt, ti = n(s).
75. (tsu'Y+ W = 0, s = — t2, u=—, v = v(s).
2 s
76. (V/ u')'—/’/гм5--0, s=21/t , u — 4v, v — v(s).
77. y"+ 2y(y’)2 = 0, x = x(yY
78. y'----~y =0, x=rcos<p, w = rsintp, r —r(<p).
Х + У
125
79. (ха + у2у у" — 2 (ху9 — у) (уу9 + х)а = О,
x = rcosq), z/=rsin<p, г = г(ф).
Написать уравнения касательной и нормали или полукасатель-
ной к кривой в заданной точке:
80. у — 2~*г sin лх а) х = 0; б) х = 1.
81. х (t) =e_<sin t, у (t) = cos t a) ?=0; 6) t=—;
4
\ j 3л
в) <=—.
82. x(f) = nt—sinn?, y(t)=t—arctgf a) t = 0; 6) f = l;
в) t—2.
S3, у =x2arcsina) x = l; 6) x = pr3 .
84. 2x4—y2—x2 + 2y = Q, x== утГ-
85. у —у/ 1—cos32x a) x = 0; 6) x = —.
6
86. y = x3ctgnx a) x = -= б) х~~7у-
87. x2—xy+-2y2 + x — у —14 = 0, x = l.
x 2y
88. 242' =6 x = 2, y = l.
89. x (/) = i3 — 3/; y(t)=t2 + 2t a)t = — 1; 6) t = 0;
в) Z = /3~.
Найти углы между кривыми:
90. z/=x2lnx, у = 4—4x2.
92. х(/)=/3 + 3/, y(t) = (t + 1) In (1 +t), y =-
1 + xa
93. z/ = 4 + 2yzx—2, y — 2.x.
94. r = a, r2 = 2a2cos2<p.
95. r = 5acos<p, r = a(4—3cos<p).
96. Найти такое значение R, чтобы окружности х24-//2=1 и
{x—2y + y2 = R2 пересекались под прямым углом (были ортого-
нальны).
97. Показать, что семейство гипербол х2—у2 = а2 и ху = Ь об-
разуют ортогональную сетку, т. е. любая кривая первого семейст-
ва пересекает любую кривую второго семейства под прямым уг-
лом.
98. Найти угол между левой и правой касательными в угловых
точках кривых:
126
a) r/=Vln(l + 9x2) ;
2
б) у = arccos
в) z/ = arccos (sinx), хё[—2л, 2л].
99. Доказать, что любая касательная к логарифмической спи-
рали г = пеШФ образует постоянный угол с радиусом-вектором точ-
ки касания.
100. Проверить, что любая касательная к гиперболе—---
= 1 образует с ее асимптотами треугольник постоянной площади.
101. Проверить, что у астроиды х2/3 + г/2/3 = а2/3 для любой ка-
сательной длина ее отрезка, заключенного между осями коорди-
нат, постоянна.
102. Проверить, что у трактрисы х (/) =а (intg-^—(-cos, у (t) =
=asin£, 0</<л, для любой касательной длина ее отрезка от
точки касания до оси ОХ постоянна.
103. Найти угол между двумя окружностями одного радиуса,,
если центр одной из них лежит на другой.
104. Проверить, что кривая ху sin(x-f ^) =2х2—у2 касается
с прямой у = х во всех общих точках, кроме начала координат.
105. Проверить, что расстояние от начала координат до любой
нормали к кривой x(t) =a(cos t+i sin t), y(/)=a(sint—tcost) пос-
тоянно.
106. Проверить, что касательные к кривой x(t)=a(t—sint)>
y(t)=a(l—cost), проведенные в точках, соответствующих значе-
ниям t0 и /о+л, перпендикулярны при любом to^kn, k^Z.
107. Найти промежутки возрастания и убывания, выделить
точки экстремума и выяснить их характер для следующей функ-
ции:
а) у = х2е~х\ , Зх — 7 в) у— ; (X2 — 1)2 д) у = arcsin /1 — 4х2 — — 2/1 —4х2 ; ж) г/ = хх; и) у = х2 — 1пх2; б) z/ = (x — 2)3-угх2; . In2 X г) у- ; V X е) у = arctg х — 1пх; з) у — х — sin2x; к) У = ~х—х arctg х.
108. Доказать неравенства: а) х — < In (1 + х) < х, х; X3 б) х <sinx, х > 0; 6 >0;
1 1 В) (ха+уа)а > (xb + yb)b , ху > 0, у > 0, 0 < а < Ь;
127
г) е* 4- е-*>х2 + 2;
д) ^^Т>агс‘®-Г- х>°’
е) хе-1^ —----— х>0;
е 2
sinJL>JinJL> 0<х<//<л;
х У
з) —--ctgX < ----ctgy, 0 < X < у < я.
х у
109. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)
на отрезке [а, 6], если
I. / (х) = х3 +Зх2—9х + 2: а) а — —4, 6 = 2; б) а —— 1, 6 = 0;
в) а = —6, 6 = 4;
II. f (х) =ех (х2 — х — 1): а) а = — 3, 6 = 0; б) а = —3, 6 = 2;
в) а = — 1, 6 = 0.
ПО. Найти sup/(x) и inff(x), если
х£Е х£Е
L Е = {х-х>2}\ б) £ = {х: |х| < оо};
в) Е = {х: |х| < 2}.
И f {х} ^ g + X^/2 . а) Е ={Х . х > 0}; б) Е = {Х . jx|
в) Е ={х: |х| < 1}.
111. Средней порядка s для двух положительных чисел а и 6
называется функция, определяемая равенством
ДДа, 6) = ^—j s , если s#=0.
Доказать, что
a) min (а, 6) < Дзетах (а, 6);
б) функция ДДа, 6) при а¥=6 есть возрастающая функция пе-
ременной s;
в) найти:
1) lim ДДа, 6).
2) lim ДДа, 6).
3) ПшДДа, 6).
s->0
112. Найти вертикальные касательные к кривой r = a(14-cos<p)
и показать, что кривая лежит между этими касательными.
113. По углам прямоугольной пластинки со сторонами а и 6
вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся фигуры обра-
128
зована коробка, высота которой равна стороне квадрата. Найти
длину стороны вырезаемого квадрата, при которой получается
коробка наибольшего объема.
114. Прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением
пропорциональна произведению основания на квадрат высоты
этого прямоугольника. Найти форму такого бруса, вытесанного
из бревна, поперечное сечение которого есть круг радиуса а, до-
пускающего наибольшую нагрузку.
115. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного
симметрично в сектор круга радиуса а с центральным углом 2а.
116. Найти наибольший объем конуса с данной образующей
длины I.
117. Найти наименьший объем конуса, описанного около полу-
шара радиуса а.
118. Из сектора круга радиуса а свертывается коническая во-
ронка. При каком центральном угле она имеет наибольший
объем?
119. Две точки равномерно движутся по осям координат. Ско-
рость первой точки равна щ, скорость второй — v2. В некоторый
момент времени точки занимали положения А (а, 0) и В(0, Ь)
соответственно. Найти возможное кратчайшее расстояние между
ними.
120. Точка движется по плоскости со скоростью Vi, а по оси
ОХ со скоростью v2, v2>v\. Найти путь из точки Д(0, а) в точку
В(Ь, 0), требующий наименьшего времени на его прохождение.
121. Рычаг второго рода имеет точку опоры на одном конце и
уравновешивается силой F на втором. Вес единицы длины рычага
равен т. На расстоянии а от точки опоры к рычагу подвешен груз
Р. При какой длине рычага I сила F будет наименьшей?
122. Чашка имеет форму полушара радиуса а. В нее опущен
стержень длиной I, 1>2а. Найти положение равновесия стержня.
123. Стержень длиной 2Ь опирается концами на две прямые
в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонтами под угла-
ми а и 0. При каком положении стержня его середина находится
выше всего?
124. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной тра-
пеции ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание тра-
пеции равно а, а боковые стороны равны Ь.
125. Сечение канала представляет равнобедренную трапецию
площадью S и высотой h. Каким должен быть угол между боко-
вой стороной и основанием, чтобы сумма длин нижнего основания
и боковых сторон была наименьшая?
126. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит
канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вер-
шины угла. Найти наибольшую длину бревна I, которое можно
сплавлять по этим каналам из одного в другой.
«л-, л < „ , msincp,
127. Яркость освещения выражается формулой / =--------
г2
где ф — угол наклона лучей, г — расстояние от площадки до ис-
6 И. А. Виноградова 129
точника света, т — постоянная (сила источника света). На какой
высоте h надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение гори-
зонтальной площадки на расстоянии а от столба было наиболь-
шим?
128. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через
точку Л (а, Ь) (а>0, Ь>0), чтобы отрезок ее между положитель-
ными полуосями координат имел наименьшую длину?
129. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через
точку А (а, Ь) (а>0, Ь>0), чтобы треугольник, образованный
этой прямой и положительными полуосями координат, имел на-
именьший периметр?
130. На оси ОХ найти точку Л(х, 0) (х>0) такую, что отрезок
[1,4] оси OY виден из точки А под наибольшим углом.
131. Написать многочлен Тейлора T4(f, 0) четвертого порядка
для следующих функций:
3 — JL
а) У = ~\/ б) t/ = (l +х)* ; в) y = arcctgx.
F X
132. Написать многочлен Тейлора Tn(f, х0) порядка п и оце-
нить разность этого многочлена и функции на указанном отрезке,
принимая в качестве х0 середину этого отрезка:
а) ?=Она [—9, —7],п = 4; б) у — tgх на [—л/6, л/6], п = 5;
в) г/ = созх на
0, —
2
д) z/=xln (1 +х) на [
п = 6; г) у — хе~х на [0, 2], п = 6;
3], п = 4.
133. Вычислить с точностью до 10~3:
а) /ТО; б) {^26;
в) arcsin —; г) arccos-------;
3 ’ \ 4 Л
д) In 10 (In 3 ~ 1,0986); е) In 15 (In 2 ~ 0,6932).
134. Написать многочлен Тейлора третьего порядка в указан-
ной точке для следующей функции у(х), заданной неявно:
а) х4—4ах2у+ 2ау3 + а2у2 = 0, х = у = а (а>0);
б) х3 + У3—аху = а3, х — 0, у—сг,
в) у3—х2у + х3 = х=1, у = 0;
г) х cos у 4- у cos х = 2х, х = у = 0.
Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя:
135. lim sln(e* . 136. lim -----—------.
»_►! inx Х-+04-1 + 2 In sin х
137. lim ln (1+x+x2)±!.nl1--x-+^-. 138. lim
x-r0 1 — cos x x — sin x
X2
in (1 4-x) + — — sin x
2 ,. arcsin x — arctg x
139. lim--------------------. 140. lim-----------------—.
x-rO arctg3 x x-to ln(l+x3)
130
141. lim----------------
x-.o \ tgx ex — \ /
143. lim (tgxd----------
л \ 2x — л
142. lim(—------------5---
x-*o \ sin2 x 1 — cos x
144. lim f —----ctg2 x'l.
X->0 \ x2 )
л
— — arctg x
146. lim ----------------.
145. lim (n—2 arctgx) In x.
147. lim (—---------------—
я \ ctg x 2 cos x
148. lim xln------------—.
x-^+oo ex + e x
149.
151.
lim---------1----------
x-hO L 2x2 x(e2nx—1)
lim xln In—.
*-»o+ x
153. lim xlntg —V
x--> 'j-oo \ 4 x /
155. lim(——
x->oo \ 2
__________1_
157. lim xln(eX-1).
159. lim (sinx)"-*.
Х-+Л.—
— 1
150. lim--------------
x ,<» 2 arctg x2 — л
152. lim sinx-lnx.
x->O-J-
1
154. lim (x + 2x)*
X->_|_oo
. .. ( sinx \ 1—cosx
156. lim ----------]
x->o \ x /
ч eo i- / 1 \ sinjtx
158. lim —
X—*1 \ x /
160. lim f—arcctgx
X' > OO \ Jt
tg™
161. lim(2 ——\ 2“.
x-*a \ a /
1
163. lim (2/x + x)ln*.
X—0
162.
164.
lim (lnctgx)te*.
x->04-
1
lim ( ctg
X-+—oo \
ЛХ \ *
1 + X/
165. Найти такое значение а, при котором функция f(x) непре-
рывна в точке х = 0. Проверить существование и найти величины
производных f'(0), /"(0), ///х(0)> Гу(0). если
( sinx
a) /(x) = j х
( а ,
0,
х = 0;
6
131
Исследовать функции и начертить их графики:
3 Г 1 _
168'
170. у = у'гх(х-—З)2.
172. yJ^±JL
(х+1)3
174. г/=|Л(х + 2)2 + у’(х—2)2.
_ 2х
176. у = ]/х2е 3 .
178. у = Ух Inx.
180. z/ = xln2/3x.
182. у — х2е~х’.
184. у — 2х -|- 4 arcctg х.
2х 2х
186. y = arccos----------.
14-х2 5
«оо -1 — X2 2х
188. у = arcsin-----------.
14-х2 17
169 о = 4~ 6х 4- 4)
‘ У (х4-1)3
171.
(х+1)2
173. г/==±1£±3)
“ Jx+1)3
175. у = уЛ(х— 2)2—- у'(х 4- 2)2„
177. у = (х—6)е
179. i/=x2ln2x.
183. z/=x2e~*.
185. y=xarctgx—(—- +
\ 4
/уЗ
X — 6
189. z/=arcctg —-
2
Исследовать и начертить кривые, заданные параметрически:
190. х(/)=-^—, y(t)=-^—.
7 is 4- ! t3 + 1
191. x(/)=——, y(t)=^~-}-.
192. x(/) = ^, И0=-^.
193. xit)^^—, y(t)=t3-t.
194. x(/)=T^7, y(i) = i3~6t.
195. x(0=-^, y(t)=t3-3t.
196. x(t)=^~, y(t)=Plnt.
197. x(t)=-^—, y(t)=——.
\ / z_ ! ’ / /2 _ !
132
/з /я
198. x(t)=-i—,
' t3 + Г t + 1
/2 /2
199. x(0 = ^-?, ^0=7ZT
Ответы
1. _£>Лх+10^2.+ ?- 2. 18 (Зх— 5)5. 3. у ~2 4. r 6 •
Зх3 Ух У(Зх + 4)6 У 8х —• 3
c 6 — 5x— 7x2 4- 3(3x— 2)( 1 4- x)2/3 „ — 6 cos 2x
6x2(l—x)3/2(14-x)2/3 sin42x
7 In ( r -1- 1/x2 -1- 1 1 1 x R !—. 9. e»‘(3x4-10).
У x2 + 1 sin 2x ptr-V? x sin2 2x
1n3 sin*v 10. —2e~xsinx. 11. —— sinx-3 . 12. —x2 2
2 In 2 (1—x2) sin 2x — 2x cos 2x
13. ---1 14. 2xarctgx4—-—. V1 — 4x2 1 4- x2 15. 2^x!(l —X2ln4).
5,------
।g (gos х 4~ sin х) (sin 2х — 3) УtgJxXT _________in 2 1
1 — sin 2х ’ (tg 5х + 1 )4/s cos2 5x
/14-х2 — xln(x + /l 4-х2) 19 _ 3in>(i+e-*) 2 in 3 In (1 4-e~~*)
(1 +x2) /14-x! ' ‘ ‘
20. 3 ^x 21. 2xarccos3x---------.JL* 22.4 2 • ln4-ftg — 4-
1 4- x3 V1 — 9xa 2
23.
arcsinx1 j
• in----• 2x
3
/1-х4
24. 2arcctg/1+x’-In2 x
(2 4- X2) У1 4- X2
sin*
25. (arcsin x) * /..*cos*-~sin* ]n arcsin x 4-
\ X2
sinx 1 1
x arcsin x У 1 — x3
26. (arctg 4x)r 1+* /—x(l 4-x2) 2/3 X
\ 3
3
X In arctg 4x 4- 1 — *---------------Y 27. ftg — \xarcsin2x fares in 2x In tg — 4-
b arctg 4x 14- 16x2 J к 2 / к 2
1- — 2x In tg— 4- xarcsin2x\. 28. (e* 4- e-*)cos2X (— 2 sin 2x- In (ex +
V 1 — 4x2 2 sin x /
.x _ fl—* \ \ V e —e~* /1 —-77-
4- e~x) 4- cos 2x--------). 29. (ctg—] ( — (e*—e~x) x
' ex + e~x J к 3 / к 3
133
Х(е' + е-*) In ctg ----
О U
1
2х
sin------
3
30. у' — sign cos x.
x=£ 2L. + kn, у
+(i+to) =
31. y' =
x cos x — sin x । % f Q.
r2
32.
1 , x = 0.
y'(— 4-ял) =(—1)*+1, k<=Z.
u v 2 /
— 2(x+ 1) arctg—!—-
______________L±_*_ +
x® 2x -j- 2
+ arctg2—!---(-2, x#=—1;
x+ 1
(-1)*,
33. a) 0; 6) 0; b)-V. 34. a) at =—1, &i=-p a2 = 1, 62=^-; 6) at =
л
2 ’
, Л , , я 1 , л , 1
Ьл =—, а, = л, о„==л; в) а, —-----------, Ь, =------,
1 2 . 2 .2 / 1 4 4 1 2 4
/>а = —2е2. 35. а) 1) х, 2) i-x3 + yx; б) 1) е2_Л1х+.£±£1,
2) (-=-^е2 — — х3 + е2х2 + (— е~2 +— е2') х + (— — —V
\ 4 4 ) \ 4 4 j \ 2 2 /
в) 1) --U2 + 2.36 * 38 39- 4<°) = 2> у’-^ =
= —2. 37. у'\ = 'у'_ = 11sinх| + jx cos х sign sinx, x^=kn, y'+(0) =
= £_(0)=|0, = [tarsi gnft, y'_(kn.) =—'kn sign k, k^Z.
In 2
38. y+=y'_ =-------—, x#=0, г/^(0)=0, z/L(O) = —1.
(2 х — 1)’
39. у. ~у_ =— sign (sin— 'j + arcsincos —, x#=——, x#=0, y' (0)
+ x \ x ) x kn
и 4L (0) не существуют, y'__ (—— ] =(— 1)* (— + , y'+ (—=
=(~1),+I4«-4=^-:p==-. ^*0. 4t°) =
\ / у i — e
= -V2, |z/L(0)=V2. 41. y' =y'_ = -^=, x#=0, z/;(0) = l,
1/2(0) = —1. 42. a) p>0; 6) p > 1; в) p >9 + 1. 43. 2rt-1cos ^2x +
+ —n'j +22n-3cos (4x + —nV 44. (— l)nnl (-----------------1—=
2 J \ 2 J \ (x—3)rt+1
134
— *)rt+1 ). 45. (— I)"'2 Зп~2е~3х (9x2 +-x (9— 6n) + n2—4n + 9).
46. (V2)"e-*sin 47. (~1(1 • 4 7 •... • (3n— 5)) • (x—
_2__ _1__
-I)3 (1 •< ••• (3n-2))(x- 1) 3 ", n>2.
V
ло (—l)rt-5-3rt '•«! .n 1 . 7 . rm \ 3n . 7O rm \
48. ----------n—. 49. —sin «Н--------------sin 3x-|-----4-
(3x — l)rt+1 2 \ 2/4 \ 2 /
4- -y-sin 5x + j• 50. y'—x—xcos2x4-x2 sin2x, y" = l—cos2x4-
4-4x sin 2x4- 2x2cos2x, 0<"> = — 2n-3 ^4x2cos^2x4- -y^4-4nxcos ^2x4-
_|—я t?:?:-1.)-j + (n2—ri) cos ^2x4—n 1 n^3. 51. y' =
= —2xln(l + x)~~, /=-21n(l +x)- + , y™ =
= j”n~ 3^' (2*2 4- 2xn 4- n2—n), n > 3. 52. 5ne3x sin (4x 4- n<p),
<p = arcsin —. 53. 1 --sin (n arcctg x). 54. — 4- — 5”/2x
5 (14-x2) ‘ 2 2
xz In , 2 \ cc cos/ — 3 sin t cc sin/
Xcos 2x4-narcsin—. 55. --------------. 56. ------.
\ У о ] 4e2/ cos5 / a cos4 /
57 1 58 3 cos2Z др 3 (a/ 4- b) sin / — a cos t
(1 4-z2)/14-z2’ 16a2 t . „ 3/ ’ cos5— sin3 — (at 4- b)3 cos5 /
2 2
14- 2/ cos2 / 4- — sin 2/ ,
60. 3 14-7 sin21 2 61. 62 1 — 2/ arctg t
25a2 cos13 / • sin / 4/3 sin4 i 9(1 4-Z2)3
63. 1 —x — у „ 4x4-4y „4 , _ 2 у _ 2y
Ух 14-Х4-/ у*х (l+x + ji)3’ “ ’ Jx sinx# x ’ xx x2
-----2-----^-™xy . 65. y=-^— y" ^2^+4y2-x2 . 66. ,
xsinx# sin3x# x x4-2#’ xx (x-|-2#)3 x
= ~2; Ухх = ~^ ПРИ X==1’ У = — 5; X:=0» y"xx^~~ ПРИ x=lf
0 = 1. 67. y' — 1 u" = ~пои x— a
Ух зУз’ Ухх 9a ₽ 2 ’
1 „ 8/3 a a 9
3/3 ’ Ухх 9a ПРП Л 2 ’ У /12 • !3x Л4-2 ’
y’xx= rc3^2”2^8”’. 69. tf — 5/4-60 = 0. 70. u"4-es(a+1)-u" = 0.
71. ц"4- h— -|Л--~1/4 K = 0. 72. Z4- (|*---------------------r)Z = 0’ 73‘ “, +
135
У — и'-------—u = 0. 74. o’— [1 +4e4s<7(e2s)]0 = O. 75. u’+—= 0.
sh t sh21 s2
76. v"—s8y5 = 0. 77. x”—2x'y — 0. 78. r' cos ^2q> + — j — rcos f 2cp—
—=0. 79. r"—r=0. 80. а) у — лх, y=--------- x; 6) y—— - (x—1),
y = —(x—1). 81. a) у—1= — x, у—1 = x; б) x = ^-e~n/4, у —
л 2
=—-е~л/4', в) y = —— e 4 , x = ^——e 4 . 82. a) y —— x, y =
2 2 2 л3
=----~x\ 6) y + -—l=A-(x—л), y + -^—1= — 4л(х— л);
2 4 4л 4
в) х = 2л, у = 2—arctg2. 83. а) у— -J- = f2L + _*\ (х— 1), у—J- =
=-------------(х—1); б) у— л = + 3) (х — уз), у — л =
д , 1_ \ Уз /
з + уз
=----— (х — Уз). 84. у =---Х—(х---Х—\,у=-]/2[х-----U')
2* , „ У 2 к У 2 Г У к. у' 2/
/з +3
1
при X = ——
/2
у = 0; у— 2 = —i=- fx---L-\ у—2 = — У2 fx-----
/2 \ /2 )' * \ /2/
У?
у = 2. 85. а) полукасательная х=0, i/УО; б) у—— =
‘Уй \ 6 * / ’ 2
У 49 / л \ о„ . 1
х------. 86. а) у--------
УЗ \ 6 / 64
6 — л
1 \
, X-----] , у
32 4 / 64
у = A fx------1_\ 87. у=з
л \ 12 7 » >
у 4-2 — —2(х—1) прих = 1,
1 32 / 1 \ .. л / 1 \
---[х ; б) у= х ,
л — 6 к 4/ 8 к 2 Г
х=1 при х=1, у=3, у + 2=А(х—1),
у = -2. 88. у_\=±.{х_<^ =
= — 2 (х—2). 89. а) полукасательная у+1=----------— (х—2), х^2;
3
б) у = — ~х, у=-^-х; в) у~(3 + 2УЗ) = ^+ 1х, у— (3+2УЗ) =
и Z «5
3 9
-------х. 90. arctg—. 91. arctg3. 92. arctg2. Указание. Пока-
зать, что точка (0, 0) единственная точка пересечения. 93. <р =
= arctg4/7 в /точках (1; 2) и (3; 6); <p=arctg 1/2 в точке (2; 4).
94. л/3. Указание. Уравнение данных кривых представить в виде
х=х(ф), у—у (у), полагая x=r (<p) cos ф, у=г (ф) sintp. 95. arctg 2 УЗ.
136
Указание. См. предыдущую задачу. 96. R = 98. a) arctg (3/4);
б) arctg (4/3); в) л/2. 103. л/3. 107. а) на промежутках (— оо, 0),
(2, + оо) убывает, на промежутке (0, 2) возрастает; при х = 0 минимум,
х = 2—локальный максимум; б) на промежутках(—оо, 0), (4/11, +©о)
возрастает, на промежутке (0, 4/11) убывает, х = 0— локальный мак-
симум, х — 4/11 — локальный минимум; в) на промежутках (—оо, —1),
(1/9, 1), (3, + оо) убывает, на промежутках (—1, 1/9), (1, 3) воз-
растает, х — 1 /9 и х = 3—локальные максимумы; г) на промежутках
(0, 1), (е4, + оо) убывает, на промежутке (1, а4) возрастает, х = 1—
минимум, х = е4—локальный максимум; д) на промежутках (—1/2,
—1/4), (0, 1/4) возрастает, на промежутках (—1/4, 0), (1/4, 1/2)
убывает, при х = ± 1/2 краевой минимум; при х = ± 1/4 максимум,
х = 0—локальный минимум; е) на промежутке (0, + оо) убывает; ж)
на промежутке (0, l/е) убывает, на промежутке (1/е, + оо) возрастает,
х = 1/е минимум, з) на промежутках/— + л/г < х <-^~ + л&\ k<=Z,
\ 6 6 /
возрастает, на промежутках (—л/6 + лА<х<л/6 + лй), Z убывает,
х = —л/6 + л&, k е Z,—локальные максимумы, х = л/6 + л&, k^Z,
— локальные минимумы; и) на промежутках (—оо, —1), (0, 1) убы-
вает, на промежутках (—1, 0), (1, + оо) возрастает, х = ±1—
— минимум; к) на промежутке (—оо, + оо) возрастает. 109. 1..а)
тах/(х) =29, min/(x) =— 3; б) max/(х) = 13, min/(x)=2; в)
max/(x) = 78, min/(x) =— 52. II. a) max / (х) = 5е~2, min/(x) —
= —1; б) max/(x)=e2, min/(x) =—е\ в) тах/(х) = 1/е, min/(x) =
— — 1. ПО. I. a) sup/(х) = 7/5, inf/(х) =8/7; б) sup/(х) = 7/5", inf
/(х) = 0; в) stp/(x)=8/7, inf/(x)=0. II. a) sup/(x)=2, inf/(x)=0,
б) sup/ (х) = 2, [inf/(х) — —1/4; в) sup/(x)=3/4, inf/(х) = —1/4.
111. в) 1) min (q, t); 2) max(q, b)\ 3) ~Vab. 112. x = 2a, x =— q/4.
113. а + г>~~'»/Гд —ab + b , 114. 2a/T/3—ширина, 2a“|/2/'l/3—высота.
6
115. q2tg —. 116. ,-^L. 117. -bL ла3. 118. 2л л/—
2 9/3 2 V з
119. . 120. Если x ——< Ь, то ломаная AC В,
Vvf + Vv% — v2
где C — C(x, 0); если x^ b, то прямая AB. 121. l = ~V2apltn, если
p > ma/2\ l = a, если p^.tnai2. 122. При /^4a угол наклона стерж-
/ + / /2+ 128a2 , sin (a— В)
ня к горизонту равен arccos—1-----1----. 123. <p = arctg---*---— ,
16а 2 sin a-sin fl
где <р—угол наклона стержня к горизонту. 124. ф = arccos +8г>2~д.
46
125. Ф = — при —, ф = ап^— при S<—. 126. / = (а2/3 +
3 3 5 3
3 ГТ
+ b2/3)3/2. 127. h = 128. ф=ап^1/ —. 129. ф=агсзш а —
’ У 2 Ya Т >а2-\-Ь*
137
—arcsin а — 1> «ОЛ п , Ха X4 —' 130. х = 2. 131. а). 1 4- /а2 + Ь2 7 18 3240 ’
б) е ! зх . Не « 7е , , 2447е . . л , 1 , — х2 х34 х4; в) х Н х3. 2 24 16 5760 ' 2 3
132. а) 2 + 12 <* + 8>+ 9-32 (Х+8>’ + (^ + 8)* +
+ -А_ 35-210 (х + 8)4, |/?4(/, 8)К б) <Х+ ; х3+-^х\
|Я5 (Л 0 )К_1 (2LV..Ж < J_; в) 1 ‘ ’ 45 27 /3 \ 6 / 8 50 /2 /2 \ 4 )
1 / Л \2 . 1 / Л \3 1 / я \4 1
-----у=- X — I IX — — ) 4- * 1 _ • IX — | 7/^ ' X
2/2 \ 4 / 6/2 \ 4/ 24/2 \ 4 ) 120/2
v (у я \5 1 {у п\® I п /х я \ Г П V 1 <-
\ 4 / 720/2 \ 4 / I \ 4 / I \ 4 / 7!
<——; г) ------------(X-1)2 + — (х— I)3----L(X-1)4 + _L_(X—1)5_
5000 ’ е 2е ’ Зе ' 8е ! ЗОе ’
(Л Д) 21пЗ + (1пЗ + 4) (X-2) +
+ т4(х“2)2 + Т--^(х“2)3 + -^-^(х-2)4’ |7UZ> 2)1^
^JL.JL<_L_. 133. а) 3,162; б) 2,963; в) 0,340; г) 1,823; д) 2,303;
е) 2,708. 134. а) а+(х—а)------£-(х—а)2-----<х~2°)3 ; б) а + -^-х—
----^-х3; в) 5(х—1) + 130(х—I)3; г) х±х3. 135. 1. 136. 1/2.
137. 2. 138. 1. 139. 1/2. 140. 1/2. 141. 1/2. 142. 1/2. 143. 0.
144. 145. о. 146. —1. 147. —1. 148. 0. 149. л2/6. 150. —1/2.
151. 0. 152. 0. 153. 2л. 154. 2. 155. 1. 156. е-1/3. 157. е. 158. е!-'\
1 _ 2
159. 1. 160. еЛ. .161. е ". 162. 1. 163. /ё. 164. 1. 165. а) а = 1,
f (0)=0, /" (0) = —1/3, Г (0)=0, f(IV)(0)=-b б) а = 1; f (0) = 1/2;
f (0) = 1/3; Г(0) = 1/4; /(1V) (0) = 1/5; ъ) а = 0, /'(0) = 1/3, /"(0)=0,
//"(0)=2/15, f(IV>(0)=0. 166. х/=//2; асимптоты у — х и х = р^2;
(2 \
2, 2 —); локальный максимум (0, 0); на(—оо, 0)
3 J
и (2, + оо) возрастает; на (0, j/2) и (1^2, 2) убывает; —1^4,
----4 j—точка перегиба; на (—оо, —у^4) и (/^2, + оо) выпукла
вниз; на (—^4,^2) выпукла вверх. 167. ху=±1; четная; асимп-
138
тоты х = — 1, х = 1 и у =— 1; локальный минимум (0, 0); на (0, 1)
и (1, + оо) возрастает; на (—оо, —1) и (—1, 0) убывает; (0, 0)—
точка возврата, вертикальная полукасательная х = 0, у^О', (—1/3, 2);
(1/3, 2)—точки перегиба; на (—оо, —1), (—1/3, 0), (0, 1/3),
(1, + оо) выпукла вверх; на (—1, —1/3) и (1/3, 1) выпукла вниз.
168. хУ=0; четная; асимптоты х = 0 и у = — 1; в точках (—1, 0)
и (1,0) вертикальная касательная; на (—оо, 0) возрастает; на (0, +оо)
убывает; точки перегиба (—V5/3, 4/5), (~|/5/3, у/4/5), (1, 0)
и (—1, 0); на (—оо, —1), (_у 5/3, 0), (0, УУ/З) и (1, + оо)
выпукла вниз; на (—1, — У_5/3) и (]/5/3, 1) выпукла вверх.
169. хф—1; г/ = 0прих =—У5—3, х ——2, х = /5—3; асимпто-
ты х=— 1 и у=х4-6; локальный максимум (—3, 5/4); на (—оо,—3)
и (—1, + оо) возрастает; на (—3, —1) убывает; точка перегиба
(0, 8), на (—оо, —1), (—1, 0) выпукла вверх; на (0, + оо) выпукла
вниз. 170. у = 0 при х=0 и х —— 3; асимптота у—х—2; локальный
максимум (1, у/4); локальный минимум (3, 0); (3, 0) — точка возвра-
та; вертикальная полукасательная х=3, z/^О; на (—оо, 1) и (3, 4-°°)
возрастает; на (1,3) убывает; точка перегиба (0, 0); на (0, 3) и (3, +оо)
выпукла вверх; на (—оо, 0) выпукла вниз. 171. х=#—1; г/== 0 при
х = 0 и х = — 2; асимптоты х= — 1 и у=х—1; возрастает на (—оо, —1)
и (—1, 4- оо); точка перегиба (0, 0); на (—оо, —1) и (0, 4-оо)
выпукла вниз; на (—1, 0) выпукла вверх. 172. —1; z/ = 0 при
х = 0 и х ——4/3; асимптоты х = — 1 и у — Зх—5; возрастает на
(—оо, —1) и (— 1, + оо); точки перегиба (—2, —16), (0, 0);
на (—оо, —2) и (—1, 0) выпукла вверх; на (—2, —1) и (0, + оо)
выпукла вниз. 173. х=£—1; у = 0 при х = 0 и х = — 3; асимптоты
х = — 1, у = х; возрастает на (—оо, —1) и (—1, +оо); точки пере-
гиба (0, 0) и (3, 81/32); на (—оо, —1) и (0, 3) выпукла вниз;
на (—1, 0) и (3, + оо) выпукла вверх. 174. Четная; положительная,
локальный максимум (0, 2у/4); минимум (— 2, 2/2) и (2, 2/2);
возрастает на (—2, 0) и (2, +ос); убывает на (— оо, —2) и (0, —2)!
в точках (— 2, 2/2) и (2, 2/2) вертикальные полукасательные
х — — 2, у^2у 2 и х = 2, z/^2-/2; выпукла вверх на (—оо, —2),
(—2, 2), (2, 4- оо). 175. Нечетная; у — 0 при х = 0; асимптота z/=0.
Максимум (— 2, 2/2); минимум (2, —2 у/ 2); возрастает на (—оо,
— 2), (2, 4~оо); убывает на (— 2, 2), в точках (—2, 2у2) и
(2, —2/2) вертикальные полукасательные х = -—2, z/^2/2 и х=
= 2, у —2/2, точка перегиба (0, 0); на (0, 2) и (2, 4- оо) выпукла
вверх, на (— оо,—2), (—2,0) выпукла вниз. 176. Неотрицательная; у = 0
прих = 0; асимптота г/ = 0 при х-> 4- °°; локальный максимум (1, /е-2);
минимум (0, 0); возрастает на (0, 1); убывает на (—оо, 0) и (1, 4~°°);
в точке (0, 0)'—вертикальная полукасательная х = 0, г/^0; точки
перегиба (хп уг) и (х2, z/2), где х1 = 1 — г/ у1=у(х2), х2 = 1 +
139
/3
у, y2 = t/(x1), на (хх, 0) и (0, х2) выпукла вверх; на (—<х>,хг)
(а'2, + оо) выпукла вниз. 177. х=/=0, у — 0 при х = 6; наклонная
асимптота у = х—7; вертикальная асимптота х = 0, у^О; lim у(х) =
X—►О-
= 0; локальный максимум (— 3, —9|^е); локальный минимум
(2, —4/jZe); lim у' =0; точка перегиба (х0, £/0), где х0 —6/13, у0 =
*-<-04-
= г/(х0); на (—оо, 0) и (0, 6/13) выпукла вверх; на (6/13, + сю)
выпукла вниз. 178. х>0; у=0 при х = 1; limz/(x)=0; минимум
*->04-
(1/е2, —2/е); возрастает на (1/е2, 4-оо); убывает на (0, 1/е2);
lim у' = — оо; точка перегиба (1, 0); на (0, 1) выпукла вверх; на
(1, + оо) выпукла вниз. 179. х > 0; неотрицательная; у = 0 при
х=1; lim у = 0; локальный максимум (1/е, 1/е2); минимум (1, 0);
на (0, 1/е) и (1, оо) возрастает; на (1/е, 1) убывает; lim у' = 0;
к—*04*
точки перегиба (хх, ух) и (х2, z/2), где 1пхх=(—3—’/5)/2’, 1пх2 =
= (—3 + ]/5)/2, yt=y{x^, у2=у(х2); на (0, хх) и (х2, + оо) выпукла
вниз; на (хх, х2) выпукла вверх. 180. х > 0; неотрицательная; у = 0
при х = 1; lim у(х) = 0; минимум в точке (1, 0); локальный максимум
х->04-
в точке (е~2/3, е-2/3 V4/9); в точке (1, 0) вертикальная полукасатель-
ная х = 1, точка перегиба (у^е, у^е/Э); на (0, 1) и (1, }/е)
выпукла вверх; на (Vе, + оо) выпукла вниз. 181. х > 0; неотрица-
тельная; у = 0 при х — 1; х = 0, у~^ 0—вертикальная асимптота; асимп-
тота г/ = 0 прих-> + оо; минимум в точке (1, 0); локальный максимум в
точке (е2/3, е“2/3рЛ4/9); убывает на (0, 1) и (е2/3, 4-оо); возрастает на
(1, е2/3); в точке (1, 0) вертикальная полукасательная х=1, г/^О;
точка перегиба (х1( z/x) и (х2, у2), где 1пхх = (3—К13)/6, z/x = z/(xx),
1пх2 = (3+ |/13)/6, у2—у(х^\ на (0, хх) и (х2, 4-оо) выпукла вниз;
на (хх, 1) и (1, х2) выпукла вверх. 182. Четная; неотрицательная;
у = 0 при х = 0; асимптота у = 0; максимум в точках (— 1, 1/е) и (1, 1/е);
минимум в точке (0, 0); возрастает на (—оо, —1) и (0, 1); убывает
на (—1,0) и (1, 4-о°); точки перегиба (хх, z/x), (х2, z/2), (х3, у3),
СЧ, */«), где хг =---j/5 4-V17, х2 =-------^17, х3 =
= УТ?, Х4==_1_уЛ54_у171 у1 = у(х1), у2=у(х2), у3 =
— у(х3), У^ = У^Х^'> на (—°°> xi)> (х2< хз)< (xi> 4-00) выпукла вниз;
на (хх, х2) и (х3, х4) выпукла вверх. 183. Неотрицательная; у = 0
при х = 0; асимптота у = 6 при х->-4-оо; минимум в точке (0, 0);
локальный максимум в точке
4 \
, -— 1; возрастает на (0, 2); убывает
на (—оо, 0) и (2, 4- оо); точки перегиба (хх, ух), (х2, у2), где хх =
140
= 2-/2, х2 = 2 + У2, y2 = y(x2); на (— oo, Xj), (x2, + oo)
выпукла вниз; на (xr, x2) выпукла вверх. 184. у— 2л при х = 0, асимп-
тота у = 2х при х-> + оо; асимптота у = 2х + 4л при х-,— оо; локаль-
ный максимум в точке (—1, —2 + Зл); локальный минимум в точке
(1, 2 +л); возрастает на (—оо, —1), (1+ос); убывает на (—1, 1);
точка перегиба (0, 2л); на (—оо, 0) выпукла вверх; на (0, + оо)
выпукла вниз. 185. у — 0 при х = 0; асимптота у — ------------F”) Х
, / 1 Зл \ .
при х—>- + оо; асимптота у —---------------х— 1 при х->—оо; мини-
мум в точке (1, —1/2); убывает на (— оо, 1); возрастает на (1, +°о);
2х л
выпукла вниз. 186. у = л/2 при х = 0; асимптота у =------------1--;
5 2
I 4 4 \
локальные минимумы в точках —2, лн---------:—arccos—), (1, —2/5);
\ 5 5 /
/ . 2 \ /+ 4 4 \
— 1, л н----, 2, arccos------------
\ 5 ) \ 5 5 )
I — угловые; в точке / — 1, л + —
локальные максимумы в точках
/ 1 , 2 \ /, 2
точки ( — 1, л Н---), ( 1,-----
\ 5 1 \ 5
/ 2 \ 3
левая полукасательная у = ( л н---н-------(х+1), х+/—1, правая по-
\ 5 / 5
/ 2 \ 7
лукасательная у= л-|------I-------(х + 1), х^— 1; в точке (1, —2/5)
\ 5 j 5
2 7
левая полу касательная у=-------------(х—1), х^ 1; правая полука-
5 5
2 3
сательная у =--------1--(х— 1), х>1; убывает на ( —оо, —2),
5 5
( — 1, 1), (2, + оо); возрастает на (—2, —1), (1, 2); точка перегиба
(0, л/2); на (— оо, —1), (0, 1) выпукла вниз; на (— 1, 0) и (1, +оо)
выпукла вверх. 187. х>6, х^0; у = 2 при х = 0; асимптота у —
— —х—1 при х-> — оо; асимптота у=х + 5 при х->+ оо; локальный
минимум в точке (9, 2 + 9 I7 3), краевой минимум в точке (0, 2); убы-
вает на (—оо, 0) и (6, 9); возрастает на (9, + оо); выпукла вниз
на (— оо, 0) и (6, + оо). 188. У — ~ ПРИ * = 0; асимптота у —
• = ———----локальный минимум в точке (—4, 8/17—arcsin 15/16);
локальный максимум в точке (0, л/2); точка (0, л/2)—угловая, левая
л , 32 • л 36
полукасательная у—— + —_х; правая полукасательная У=—---- х;
убывает на ( — оо, —2) и (0, +оо); возрастает на (2, 0); выпукла
вниз на ( —оо, 0), (0, + оо). 189. х=И=0; lim у(х) =0, . lim у(х) =
х^0+ х-0—
(Зл 1 \
— 1’ ~4—'’"г”/’
141
9/2, z/^0, y = 0 при
/ ТС 1
локальный максимум ^1, —----— j; убывает на (— oo, —1), (1, + oo);
возрастает на (—1,0) и (0, 1); выпукла вниз на (— оо, 0); выпукла
вверх на (0, + оо). 190. г/= 0 при х = 0; асимптота у=—х + 1/3;
локальный минимум в точке (0, 0); локальный максимум в точке
(2/3, ^4/3); на (— оо, 0) и (2/3, + оо) убывает; на (0, 2/3) воз-
растает; (0, 0) точка возврата; вертикальная полукасательная х = 0,
у>0; (1, 0) точка перегиба; на (— оо, 0) и (0, 1) выпукла вверх;
на (1, + оо) выпукла вниз. 191. Кривая состоит из трех ветвей. Для
первой ветви у (—х) = ,—у(х)-, при х = 0, х = ± V2, у = 0; локальный
минимум в точке (—1/2, —1/2); локальный максимум в точке (1/2,
1/2); правая асимптота у=—х+/3; левая асимптота у— —х—УЗ;
на (— оо, —1/2) и (1/2, + оо) убывает; на (—1/2, 1/2) возрастает;
(0, 0)—точка перегиба; на (— оо, 0) выпукла вниз; на (0, + оо)
выпукла вверх. Вторая ветвь: х > 0, асимптота х = 0, t/=—х—/3;
максимум в точке / 2/3, —4/2/3); выпукла вверх. Третья ветвь
симметрична со второй относительно начала координат. 192. Кривая
состоит из четырех ветвей. Первая ветвь х^4, — 9/2 <z/^—4;
асимптота у = — 9/2; краевой максимум (4, —4); на (4, -оо) убы-
вает; выпукла вниз. Вторая ветвь симметрична первой ветви отно-
сительно прямой у= — х. Третья ветвь х " ’
х = 16/3, асимптоты х = 9/2 и у = х—6, минимум в точке (16/3, б),
выпукла вниз. Четвертая ветвь симметрична относительно прямой
t/ = — х второй ветви; (4, —4)—точка возврата кривой с полукасатель-
ной у ——х, х^>4. 193. Кривая состоит из трех ветвей. Первая
ветвь —1<х<1, у (—х) = —у(х), у = 0, при х = 0, х = 1 и х =— 1,
(-/3/2, 2/3 pz3)—точка максимума, (/3/2,— 2/3 /3)—точка мини-
мума, на (— 1, —/3/2) и (/3/2, 1) возрастает, на (— /3/2, /3/2)
убывает, (0, 0) — точка перегиба, на (—1, 0) выпукла вверх, на (0, 1)
выпукла вниз. Вторая ветвь 0 < х 1, // У 0; t/ = 0 при х = 1;
асимптота х = 1; (1, 0) —краевой минимум; на (0, 1) убывает;
^/15/4, |/5/3 j—точка перегиба; на (0, /15/4) выпукла вниз;
на (/15/4, 1) выпукла вверх. Третья ветвь симметрична со второй
относительно начала координат. Кривая в точках (— 1, 0) и (1, 0)
имеет вертикальные касательные х= —1 и х = 1. 194. Кривая состоит из
трех ветвей. Первая ветвь—1^х^1,т/(—х) = —z/(x); t/=0 при х = 0,
у (—1)=5, у (1) = —5; краевой максимум^ — 1, 5); краевой минимум
(1,—5); на (— 1, 1) убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (— 1, 0}
выпукла вниз; на (0, 1) выпукла вверх. Вторая ветвь 0 < х / 1;
1/(1) =—5; г/(2У6/7)=0; асимптота х=0; (2 /2/3, 4/2)—точка
минимума; на (0, 2/2/3) убывает; на (2 /2/3, 1) возрастает; выпукла
вниз. Третья ветвь симметрична со второй ветвью относительно начала
координат. Кривая имеет в точках (— 1, 5) и (1, —5) вертикальные
касательные х = —1 и х=1 и две двойные точки—пересечение первой
ветви со второй и третьей. 195. Кривая состоит из трех ветвей. Первая
142
ветвь — 1<х^1, t/(l) = —2; у(— х) =—t/(x); t/(0)=0, у( — 1)=2;
краевой максимум (— 1, 2); краевой минимум (1, —2); на (— 1, 1)
убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (—1,0) выпукла вниз; на (0, 1)
выпукла вверх. Вторая ветвь 0< х^ 1, у (V3/2) =0; асимптота х = 0;
(1, —2)—краевой минимум; на (0, 1) убывает; выпукла вниз. Третья
ветвь симметрична со второй относительно начала координат. Точки
возврата кривой (—1,2),. (1,2); полукасательные у = 2 — 12(х+1),
х~^— 1 и1/ =—2 —12 (х — 1),Х^1. 196. Кривая симметрична относи-
тельно прямой у = —х; при х = 0. На промежутке (— оо, 0] имеем у = 0
при х = 0, асимптота t/ = 0, минимум в точке (—е/2, —1/2е), на (— оо,
—е/2) убывает, на (—е/2, 0) возрастает, (—]^2 ev^/2, —У 2/2е^)—
точка перегиба, на (— оо, —У2е^/2) выпукла вверх, на (—’1/2е1<2/2,
0) выпукла вниз. 197. Кривая состоит из пяти ветвей. Первая ветвь
х< —1/2, 1/< 0; асимптоты t/ = 0, х=—1/2; на (— оо, —1/2) убы-
вает и выпукла вверх. Вторая ветвь х^0, z/^0; i/(0)=0; асимптота
1 3 ,
у = — х-----—; возрастает и выпукла вниз. Третья ветвь —1/2< х^0,
i/>0; t/(0)=0; асимптота х=—1/2; убывает и имеет точку перегиба
х0, соответствующей t0 такому, что /о + З^ —1=0; на (—1/2, х0)
выпукла вниз; на (х0, 0) выпукла вверх. Четвертая ветвь х>4, у^
>2/3; 1/(4) ==-(-;
О
1 3
асимптота у —— х— —, возрастает и выпукла вверх.
Пятая ветвь х>4, у ^2/3; асимптота t/ = 0; убывает и выпукла вниз.
Кривая имеет вертикальные касательные в точках (0, 0) и (4, 2/3)
соответственно х = 0 и х = 4 и двойную точку—пересечение первой
и второй ветвей. 198. х#=1; у = 0 при х = 0; асимптоты х = 1, у —
= Зх-]-1; локальный минимум в точке (27/19, 27/4); на (— оо, 1)
и (27/19, + оо) возрастает; на (1, 27/19) убывает; (8/133, 8/175) —
точка перегиба; на (—оо, 8/133) выпукла вверх; на (8/133, 1) и (1, +оо)
выпукла вниз. 199. Кривая состоит из четырех ветвей. Первая ветвь
х^0, —1/2 < у ^0; t/(0)=0; асимптота у =—1/2; возрастает;
выпукла вниз. Вторая ветвь х^0, t/=gC 0; t/(0)=0; асимптота у = 2х+
+ -^-; возрастает; выпукла вверх. Третья ветвь х > 1, t/>0; асимптоты
х = 1, у = 2х + —; минимум в (4/3, 4); на (1, 4/3) убывает; на (4/3,
+ оо) возрастает; выпукла вниз. Четвертая ветвь х>1, t/< 0;
асимптоты х = 1, у=—1/2; возрастает; выпукла вверх; (0, 0)—точка
возврата кривой с полукасательной у = х, х^0.
Глава IV
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
НА ПРЯМОЙ
Множества обозначим большими буквами латинского алфа-
вита. Знак «и» обозначает объединение, знак «П» — пересечение,
а знак «\» — разность множеств. Для любого множества М
через СМ обозначим дополнение множества М до всей прямой.
1. Доказать, что каждое из условий ЛПВ=Л и А[]В = В необ-
ходимо и достаточно для того, чтобы AczB.
2. Доказать, что если Л\В = О, то Лсл(ВиО).
3. Привести пример таких множеств А и В, что Л=/=В[](Л\В).
4. Доказать, что если A = B\JD, то Л\ВсО.
5. Привести пример таких множеств А, В, D, что Л = ВЬ'В, но
A \B^D.
6. Доказать, что Л\(Ви£) = И\В)\В.
7. Привести пример таких- множеств Л, В, Е, D, что Z)=AiJ
U(B\E), но Д#=(ЛиВ)\£.
8. Доказать, что если D—A{J(B\E), то (A\JB)\EaD.
9. Доказать, что (Д11И2)\(BiUS2)<= (Л i \Bi) (J (Л2\В2).
10. Привести пример таких множеств Ль Л2, Вг, В2, что
HiU^2)\(BiUB2)=#H1\B1)U02\B2).
11. Доказать, что
а) С (Л J В) =СЛ П СВ;
б) С(ЛПВ)=СЛиСВ.
12. Доказать, что
а) С ((Л U В)\(Л П В)) = (С (Л U В)) U И П В),
б) (лисв)п(слив)=(лпв)и(слпсв).
Пусть Е — подмножество числовой прямой. Через Е' обозна-
чим множество предельных точек множества Е, через £ — замы-
кание Е, т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих
Е, через дЕ — множество граничных точек Е.
13. Привести примеры множества Е, удовлетворяющего соот-
ношению:
а) £=£'; б) Е’ cr Е и В\В'=/=0; в)Ес£' и Е'\Е=£0;
г) Е'—Е=#0 и Е\Е' =£ 0-, д) Е(]Е' — 0', е) sup Вег В;
ж) sup Be В; з) sup В е Е \ Е’.
14. Привести пример множества, имеющего:
а) ровно одну предельную точку; б) ровно шесть предельных то-
чек.
15. Дано множество Е на прямой, причем
inf |х„— хт\ = а>0,
п,т9п=&п
144
где хп, хт — любые точки Е. Доказать, что множество Е не имеет
предельных точек.
16. Может ли множество, состоящее только из изолированных
точек, иметь предельные точки.
17. Доказать, что, для того чтобы множество было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои точки
прикосновения, т. е. точки, любые окрестности которых имеют не-
пустые пересечения с множеством.
18. Доказать, что для любого множества Е имеем Е = Е\)Е'.
19. Доказать, что если множество включается в производное
(т. е. в множество всех предельных точек этого множества), то
оно не содержит изолированных точек.
20. Является ли замкнутым множеством множество рациональ-
ных точек отрезка [0, 1].
21. Найти множество предельных точек множества рацио-
нальных чисел.
22. Привести пример множества, не являющегося ни замкну-
тым, ни открытым.
23. Найти множество предельных точек множества ирра-
циональных чисел, больших чем два.
24. Привести пример множества, являющегося одновременно
открытым и замкнутым.
25. Доказать, что изолированная точка множества Е является
граничной.
26. Доказать, что если предельная точка не принадлежит мно-
жеству, то она является граничной.
27. Доказать, что
28. Доказать, что д(ДГ|В)с:сМидВ-
29. Привести пример множества А такого, что А" непусто, а
А"’ пусто, где А" = (Л')' и А'" = (А")'.
30. Пусть f отображает отрезок [0, 1] на множество {ci, Сг, Сз>
^4, £5»
Доказать, что по крайней мере для одного из чисел с, (l^i^
^6) множество имеет предельную точку. Построить при-
мер отображения f такого, чтобы только одно из таких множеств
имело предельную точку; чтобы ровно три таких множества имели
предельную точку.
N N
31. Пусть Е — U Еп. Доказать, что Е' — J Еп.
П=1 П=1
32. Привести пример последовательности множеств Еп таких,
что для любого п Еп' = 0, а Е'^0, где Е = Q Еп.
п=1
33. Доказать, что непустое пересечение любого семейства замк-
нутых множеств замкнуто.
34. Доказать, что сумма конечного числа замкнутых множеств
замкнута.
145
35. Привести пример последовательности замкнутых множеств
fn такой, что множество А = Q Fn не замкнуто; в частности,
п= 1
чтобы множество А было интервалом.
36. Доказать, что сумма любого семейства открытых множеств
является открытым множеством.
37. Доказать, что непустое пересечение конечного числа откры-
тых множеств является открытым множеством.
38. Привести пример последовательности открытых множеств
<G„ такой, что множеств’о А = Q Gn — не открытое; в частности,
п=1
множество А — отрезок.
39. Найти замыкание множества {2о/<7}, где р и q натуральные.
40. Доказать, что множество граничных точек любого множе-
ства замкнуто.
41. Какова мощность множества всех квадратов на плоскости
с рациональными координатами вершин?
42. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на
прямой не более чем счетно.
43. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точ-
ками множества А больше единицы, то множество А не более чем
счетно.
44. Доказать, что множество всех многочленов Р(х)=а0 +
4-01X4-.. . + апхп с рациональными коэффициентами счетно.
45. Известно, что множество предельных точек множества А
счетно.
Доказать, что множество А счетно.
46. Пусть Е = J Еп и каждое из Еп содержит только изолиро-
п—1
ванные точки. Доказать, что Е не более чем счетно.
47. Доказать, что для любого счетного множества Л = {х,г} су-
ществует число а такое, что множество {хп4-а}Г|Л пусто.
48. Представить множество натуральных чисел как счетное
объединение непересекающихся счетных множеств.
49. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1]
на интервал (0, 1).
50. Построить взаимно однозначное отображение [0, 4-оо) на
(а, Ь).
51. Доказать равномощность отрезка [0, 1] и квадрата с вер-
шинами 0(0; 0), Л(0; 1), В(1; 0); С(1; 1).
52. Доказать, что всякое несчетное множество содержит не-
счетное ограниченное подмножество.
53. Привести пример счетного множества, каждое ограниченное
подмножество которого конечно.
54. Привести пример счетного множества, имеющего ровно три
предельные точки.
146
55. Доказать, что все точки счетного множества граничные.
56. Привести пример последовательности вложенных интерва-
лов, имеющих одну точку пересечения.
57. Привести пример последовательности вложенных интерва-
лов, содержащих в пересечении отрезок.
58. Привести пример последовательности вложенных интерва-
лов (ап, Ьп) такой, что [") (а„, Ьп) = 0. При каком дополнительном
П = 1
условии можно утверждать, что последовательность вложенных
интервалов имеет непустое пересечение?
59. Пусть [а, 6] = |J Fn, где Fn — замкнутые множества. До-
П = 1
казать, что существуют отрезок [а, 61 с Га, Ь1 и число п0 такие,
что Л, Л [а, ₽]=[а, ₽].
60. Привести пример последовательности вложенных отрезков.
[ап, Ьп\ такой, что множество ["] [ап, &п] содержит не менее двух
П=1
точек.
61. Доказать, что для последовательности вложенных отрезков
[йп, Ьп] множество Q [ап, Ьг_] есть или точка, или отрезок.
м—1
62. Дано множество £ = [(); 1; —; —; —, .... —!—• 1 и си-
I 2 4 8 2" /
стема интервалов (—е, е) и ((1 —е)/2", (I +е)/2л), n = 0, 1, 2..
где 0 < 8 < 1/2. Выделить конечную подсистему, покрывающую Е.
63. Дано множество Е = {1; -Ь -Ь ... , ..} и система
интервалов (—8, 8) и ((1 —е)/2”, (1 + e)/2z!), n=0, 1, 2, ... , 0<
< 8 <1/2. Можно ли выбрать конечное подпокрытие из этой системы
интервалов?
64. Дано множество £={1, 2, 3, ..., п, ...} и система интерва-
лов (п—8, п+е), п=1, 2, ..., 0<8< 1/2. Можно ли выбрать конеч-
ное подпокрытие из этой системы интервалов?
65. Привести пример покрытия отрезка системой отрезков, из
которых нельзя выбрать конечную систему покрытия.
66. Привести пример покрытия интервала системой интервалов,
из которых нельзя выбрать конечную систему покрытия.
67. Привести пример покрытия интервала бесконечной системой
отрезков, из которых нельзя выбрать конечного покрытия.
68. Привести пример покрытия числовой прямой интервалами,
не допускающего конечного подпокрытия.
69. Доказать, что если из всякого покрытия множества системой
интервалов можно выбрать конечное подпокрытие, то множество
ограничено (т. е. содержится в некотором отрезке числовой пря-
мой) .
147
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
70. Какое свойство последовательности определяет следующее
высказывание:
Vti^N ЭЛ>0, такое, что |ал|сЛ.
71. Доказать, что если некоторая подпоследовательность мо-
нотонной последовательности ограничена, то и сама последова-
тельность ограничена.
72. Привести пример неограниченной последовательности, у
которой есть ограниченная подпоследовательность.
73. Привести пример последовательности, у которой нет огра-
ниченной подпоследовательности.
74. Доказать, что у любой последовательности есть монотонная
подпоследовательность.
75. Доказать, что если у последовательности {ап} нет конечных
частичных пределов, то последовательность {|ап|} стремится
к +оо.
76. Привести пример последовательности {ап} такой, что
Ига |а„| =Л, а предел последовательности {ап} не существует.
Л-*О0
Пусть {ап} — некоторая последовательность и А — множество
значений этой последовательности.
77. Показать, что предельная точка А является частичным пре-
делом последовательности {ап}.
78. Привести пример последовательности {а,,} такой, что точка
a=lima„ не является предельной точкой множества А.
79. Привести пример последовательности {а„} такой, что ни
один из ее частичных пределов не принадлежит А.
80. Показать, что если b есть частичный предел последователь-
ности {ал}, то b принадлежит А.
81. Дана последовательность {ал}. Построить последователь-
ность {Ьп}, для которой каждое из а,- является ее частичным преде-
лом. Может ли последовательность {Ьп} иметь частичные пределы,
отличные от а,?
82. Пусть последовательность {ап} сходится. Является ли схо-
дящейся последовательность {а/г-ы—ап}?
83. Построить пример сходящейся последовательности {ал}> для
которой последовательность {——— расходится. При каком ус-
( ап+1 I
ловии на {ап} последовательность | обязательно сходится?
I Яп+1 J
84. Привести пример последовательности {ап} такой, что
—>4- со и
a) lim(ann —-а„) = 10;
П->-оо
б) Иш(ая+1 —а„)= 4-оо;
П-»оо
в) последовательность {а„+1—ап} не имеет предела ни конеч-
ного, ни бесконечного;
г) lim-^±i-=O;
n-*-oo an
д) lim-^±i-=3;
n->ao an
e) = 4-00;
n->oo On
ж) последовательность gfl+1- не имеет предела.
ап
85. Привести пример сходящейся последовательности {ал}, для
которой n(an+i—ап) стремится к бесконечности.
86. Доказать, что если Ишап = Л, то lim |а„| = |Л|.
П->ОО П-+<Х>
87. Доказать, что если у последовательности {а„} есть две под-
последовательности {anJ и {amfe}, причем объединение индексов
П/г и тк есть все N и anfe->a, amk-*~a, то и а^-^а.
88. Доказать, что для сходимости последовательности {ап} не-
обходимо и достаточно, чтобы сходилась любая ее подпоследова-
тельность.
89. Доказать, что для сходимости монотонной последователь-
ности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности.
90. Дана последовательность {ап}, у которой все подпоследова-
тельности a2i, a32i, a5.2‘, ••• > i=l> 2, ... сходятся к одному и
тому же числу Ь. Что можно сказать о сходимости последователь-
ности {a,J?
91. Привести примеры последовательностей, удовлетворяющих
соотношениям:
a) inf an< lim а„;
б) lim a„ = supan;
П-+СО
в) infan= lim an.
П-+<Х>
92. Доказать, что для любой последовательности
inf ап ^dima„ liman^supan.
93. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает
либо своей нижней грани, либо своей верхней грани, либо той и
другой.
Построить примеры последовательностей этих типов.
94. Доказать, что если lim a„< sup an, то существует такое п0,
что ап, = supa„.
95. Доказать, что
а) lim ап + lim bn lim (a„ 4- Z>„) lim ап 4- lim bn\
П-+СО П-><Х> П-+& П-><Х>
149
6) lim ап lim bn =4 lim (a„ • bn) sC lim an • lim bn (an 0, &„^0);
П->oo П-+-00 П-ФОО П—*<Х> n-*oo
в) lim an + lim bn lim (an + bn)^. lim an + lim bn;
nlL.no n-t-OO n->co fl—>00 n-¥<X>
r) lim an • lim bn lim (a„ • 6n) lim an lim bn (an 0, bn 0).
M—>00 П-*00 П->00 П-+СО
96. Привести примеры последовательностей, для которых в со-
отношениях предыдущей задачи имеют место строгие неравен-
ства.
97. Доказать, что если последовательность {ап} сходится, то
для любой последовательности {6Л} имеем
a) lim (ап + 6„) = lima„ + lim&„;
П-*00 n-»00 П—>20
6) lim (an bn) = lim an lim bn (lima„ > 0).
rt->oo П-+00 fl->00 H->oo
98. Доказать, что если последовательность {a,J такова, что для
любой последовательности {/?„} или
a) lim (ап + bn) — lim ап + lim bn,
П->оэ П->«0 П-*о0
ИЛИ
б) lim (ап bn) = lima„ • lim bn (ап > 0),
П->00 п-+<х>
то последовательность {ап} сходится.
99. Пусть дана последовательность положительных чисел {а,,}
и lim —>г/ > 0.
ап
Доказать, что существуют числа С и N такие, что an>Cqn для
любого n>N.
100. Пусть дана последовательность положительных чисел {ап}
и lim <q.
П-+<х> О-п
Доказать, что an=o(qn), п-^оо.
101. Пусть последовательность {an} сходится, а последователь-
ность {Ьп} расходится. Что можно сказать о сходимости последо-
вательностей {ап+Ьп} и {ап Ьп}?
102. Привести примеры двух последовательностей {оп} и {&„}
таких, что последовательность {an} расходится, а последовательно-
сти {&„} и {апЬп} сходятся. При каком условии на предел {Ьп} пос-
ледовательность {апЬп} может сходиться, если последовательность
{an} расходится.
103. Доказать, что если Пта„=Л, то
П-»оо
Нт Д1 + Д2+ ••• +«п = А
150
104. Доказать, что если ап > 0, n^N и Птал = Л, то
П~>ОО
lim j/а±а2 ... ап — А.
П-+0О
105. Доказать, что если ал>0, n^N и lim —a,l+1 =А, то
П->оо On
1- п/----- л
hm у ап =А.
Л->ОО
106. Последовательность {ап} называется последовательностью
с ограниченным изменением, если существует число С такое, что
для любого пеЛ/
У, la*+i — ak\<C-
fe=i
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением
сходится. Привести пример сходящейся последовательности с не-
ограниченным изменением.
107. Доказать, что последовательность ап = 1 Н—— + — + ...
2 3
, 1
... -|--расходится.
п
108. Пусть последовательность {ап} такова, что:
а) некоторая ее подпоследовательность {anft} сходится,
б) lim max | а —ап. | = 0.
ft-,.-» nfe<P^nfe+1
Доказать, что последовательность {ап} сходится.
109. Пусть последовательность {ап} такова, что:
а) некоторая ее подпоследовательность {аПк} сходится,
б) существует число М такое, что для любого k^N
[n^i —| <Л4,
в) lim(an+i — ап) =0.
П-ФОО
Доказать, что последовательность {ап} сходится.
110. Пусть fn : [0, !]->/?. Для натуральных п и т и числа е>0
обозначим через В^п,т множество {хе [0, 1] : | [п (х)—fn+m (х) | ^е}.
Пусть АВ'П= Q Ве.л.т- Доказать, что для сходимости fn(x) на
т—1
[0, 1] необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 выполня-
лось Q Л8>„ = [0, 1].
П = 1
111. Доказать неравенство Бернулли
(1+х)"^ 1+пх, пеЛ/, х>—1.
151
112. Доказать, что последовательности ап—[1 4—— ]" и Ьп ~
\ п ;
, 1 v+i й ..
14----| монотонны и имеют общий предел:
\ п /'
lim ап = lim bn — е.
П-*оо л-*оо
113. Доказать неравенство
/ п \п , , . !п \п
— < л! < е • — , л s N.
\е } \ 2 )
114. Доказать неравенства:
а) —— < In fl 4- -Ч <—> n&N;
п 4- 1 к п / п
1 , 1 \п .. 4 _
б) -<е— 1 4--------I <—, n~N.
in \ п / п.
§ 3. ФУНКЦИИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
115. Пусть у=х3—Зх.
I. Найти множество на прямой OY, являющееся образом множест-
ва: а) [О^/Т]; б)_[0, 1]; в) (-1J); г) (-2,_2); д) (-5, 5)
е) [-/3, 0]U(V3, 2); ж) [-1/3, 0] J (1/2, 1/3).
II. Найти множество на оси ОХ, являющееся прообразом мно-
жества:
а) (—2, 2); б) [—2, 0]; в) (0, НО).
116. Пусть Х= [0, 1], Y = [0, 1]. Какие из следующих функций
y—f(x) задают отображение X на У; какие — X в У; какие зада-
ют биективное отображение (взаимно однозначное), если
a) f W = 4'tS27"; б) f (х) = sin лх; в) / (х) =2 (х —х2);
2 4
г) f (х) = cos-y-; д) /(х)==х3; е) f (*) = (у)* -
117. Пусть А — любое множество из области определения
функции f(x). Как соотносятся множества А и f~'(f(A))?
118. Пусть А — любое множество из области значений функ-
ции f(x). Доказать, что f(f~‘(A))=A.
119. Пусть А — любое множество из области определения
строго монотонной функции f(x). Как соотносятся множества А
игаи))?
120. Пусть А нВ — множества из области определения функ-
ции /(х).
Доказать, что f(A\JB)=f(A)\Jf(B).
121. Пусть А и В — множества из области определения функ-
ции f(x).
Доказать, что/(ЛИВ)cf(/l)flf(В).
152
122. Пусть А и В — множества из области определения функ-
ции f(x), причем f(x) осуществляет взаимно однозначное отобра-
жение. Тогда /(ЛП-З) =/Й)П/(^)- Доказать.
123. Пусть R — область определения функции f(x) и А — лю-
бое множество из R. Как соотносятся множества
f(R\A) nf(R)\f(A)?
124. Пусть В — область значений f(x) и AczB. Доказать, что
125. Доказать, что для любых множеств А и В из области зна-
чений функции f(x) верно
а) Г‘(ЛП5)=/-1И)ПГ1(Д);
б) ;->(ДиД)=/-1И)иГ1(Д).
126. Функция / отображает отрезок [а, в отрезок [а, &].
Доказать, что если f(f(x))=x, то график функции симметри-
чен относительно прямой у = х.
127. Функция f определена на всей числовой прямой и ее гра-
фик симметричен относительно точки А (а, Ь) и прямой х~ С
(С^=а).
Доказать, что функция f периодическая.
128. Сформулировать, что означает, что функция f не является
четной на промежутке (—/, /)*.
129. Функция f определена на симметричном промежутке
(-/, /).
Доказать, что ее можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
130. Сформулировать утверждение: функция f не является ог-
раниченной на множестве Л1.
131. Какие из следующих функций являются бесконечно боль-
шими при х->А, какие ограниченными, какие неограниченными:
\ 1 . о It 1 / • Л I о \
а) у —-----sin2-----; б) у =----- sin-------F 2 ;
X — 1 X — 1 X — 1 \ X — 1 /
. sinn(x—1) , sinn(x—1) л
в) у =-----г) —icos--------
X— 1 X— 1 X— 1
132. Привести пример функции, определенной на [0, 1], но
неограниченной на любом [а, р]с[0, 1].
133. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв-
ляется монотонной на промежутке [а, Ь].
134. Является ли произведение двух монотонных на
(—оо, +оо) функций монотонной на (—оо, -}-оо) функцией.
* Всюду в дальнейшем требование сформулировать отрицание некоторого
утверждения означает, что соответствующую формулировку надо записать на
языке символики с использованием кванторов. Так, например, отрицание утверж-
дения «число А является пределом последовательности {ал} при п->оо» должно
быть сформулировано следующим образом: существует положительное число е
такое, что для любого натурального числа N существует натуральное число п,
большее числа /V, для которого ]ап—А\>е, т. е.
Зе>0: y-VeN -^n>N : |ап—Д|>е.
153
Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки
х0, называется монотонно возрастающей в точке, если существует
такое 6>0, что для любого х из левой 6-полуокрестности точки Хг>
(х : х0—6<х<хо) имеем f(x)^f(xo) и для любого х из правой
6-полуокрестности (х: хо<х<хо+6) f (х) (х0).
135. Привести пример функции, определенной на [—1, 1], воз-
растающей в точке хо=О и не являющейся монотонной на отрезке
[—б, 6] для любого 6>0.
136. Доказать, что функция, монотонная в каждой точке отрез-
ка [а, Ь], монотонна на этом отрезке.
137. Следует ли из равенства inf Дх) = sup / (х), что / постоянна
хб(а.Ь) *6(а,Ь)
на (а, 6)?
§ 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
138. Пусть /(x)=x2cos —, g(y)=sign2у. Показать, что limf(x) =
X х->0
= 0, limg(t/) = l, но limg(/(x)) не существует. Объяснить, почему
неприменима теорема о пределе сложной функции?
139. Доказать, что равенство lim f (х) = lim f (х) необходимо и до-
статочно для того, чтобы Ит/(х)=Л.
х->х0
140. Доказать, что существует limco[/, (х0—6, х0 + б)] для лю-
б-И)+
бой /, ограниченной в некоторой окрестности х0, где со[Д (а, ₽)] есть
колебание f на (а, Р):
ю[А (а, ₽)]= sup |f(x1)-/(x2)l.
*»£(«.₽)
Этот предел называется колебанием f в точке х<> и обозна-
чается (О (/, Хо) .
141. Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда
и только тогда, когда ш(Д Хо) =0.
142. Привести пример ограниченной в некоторой окрестности
точки Хо=0 функции, для которой lim/(x) не существует, а
х-ИН-
lim / (х) существует.
Л-фО—
143. Доказать, что
® (Л *о) = max (lim f (*) — f (хо)> lim / (х) — lim f (х),
f (х0) — Нт/(*))•
X-tX9
144. Пусть lim/(x)=#0, a lim<p(x) не существует. Доказать, что
' х-*х9
lim / (х) • <р (х) не существует.
154
145. Пусть lim/(%)=/= 0, а ф(х) —бесконечно большая при х->х0.
*-►*0
Доказать, что /(х)ф(х) —бесконечно большая при х->х0.
146. Что можно сказать о непрерывности в точке х0 функций
f (х) + g (х), f (х) — g (х) и f (х) g (х), если:
а) функция f(x) непрерывна в точке х0, а функция g(x) раз-
рывна в точке хо;
б) функции f(x) и g’(x) разрывны в точке х0?
147. Построить пример функций /(х) и g(x) таких, что f(g(x))
непрерывна в точке хо, a g(f(x)) разрывна в точке хо-
148. Функция f (х) определена в некоторой окрестности точки
Хо. Пусть {ап} — некоторая числовая последовательность неотрица-
тельных чисел и для любого леМ существует бп>0 такое, что из
неравенства |х—х0|<бл следует неравенство |f(x)—f(x0) |<ап.
Какое свойство функции описывается этим условием? Каким свой-
ством должна обладать последовательность {ап}, чтобы из этого
условия следовала непрерывность f(x) в точке хо?
149. Доказать, что функция Римана
1, х = 0,
Я(х) =
1
п
0,
m - т
х = — и дробь — несократима,
п п
х —иррациональное
разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой
иррациональной.
150. Доказать, что функция Дирихле
W) = { °’
х —рациональное,
х —иррациональное
разрывна в каждой точке.
151. Привести пример функции непрерывной только
а) в одной точке, б) в двух точках, в) в л точках.
152. Доказать, что если
/еС[а, 6], g^C\a, Ь\
и
Фоглах#, g}, <pa=mintf, g},'
то ф1 (x) и ф2(х)—непрерывные функции на [а, Ь].
153. Пусть f(x)—непрерывная функция на (—оо, + оо) и
f(x, п) =
/(х), х:|/(х)|^п,
п, x:f(x)> п,
—п, х: f (х) < —п, N.
Доказать, что для любого п функция f(x, п) непрерывна на
(—оо, +оо).
155
154. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, &], то
т (х) = inf f (g) и М (х) = sup / (£)
также непрерывны на [а, Ь].
155. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
Ve>03 б>0: V |й| <6 \f(xu-t-h) —f(x0—h) |<е?
156. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
Ve>0a б > 0: V \h\ <б \f(x„ + h) -2f(x0) + f(x0 ~Л)1 <е?
157. Может ли разрывная функция удовлетворять условию
Уе>0Я б > 0: V\h\<6, У|Л'| <6 \f(x0 + h) —
— 2/(х0)+/(х0 —Л')| <е?
158. Найти все непрерывные на (—оо, +оо) функции, удовле-
творяющие условию
a) f(x)=af (2х); б) f (хх + х2) == f (хх) • f (х2).
159. Функция f(x) определена на (а, Ь) и удовлетворяет ус-
ловию
f (Ххг + (1 -X) х2) X /(xj + (1 -X) f (х2)
для любых Xi, х2е(а, Ь) и любого 0<Х<1. Доказать, что f(x)
непрерывна на (а, Ь). Верно ли утверждение, если вместо интер-
вала (а, Ь) взят отрезок [а, б]?
160. Привести пример разрывной в каждой точке отрезка
[0, 1] функции такой, что ее квадрат является непрерывной на
[0, 1] функцией.
161. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [а, б] и не принимает
на нем нулевого значения. Показать, что существует положитель-
ное число ц>0 такое, что для любого ле[а, б] |/(х) | >ц. Пока-
зать, что для интервала это утверждение неверно.
162. Пусть /(х)—непрерывная на (а, Ь) функция и Xi, х2»
х3 — любые точки из этого интервала. Тогда существует точка |
на интервале (а, Ь) такая, что
ж=4_(Нх1)+/(х2)+/(хз))-
Доказать.
163. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко-
торый вектор. Показать, что найдется прямая, параллельная это-
му вектору, рассекающая многоугольник на две части одинаковой
площади.
164. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко-
торая точка. Показать, что найдется прямая, проходящая через
эту точку и рассекающая многоугольник на две части одинаковой
площади.
156
165. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет
хотя бы один действительный корень.
166. Доказать, что если /еС[а, b], g^C[a, b] и f(a)>g(a),
f(b)<g(b), то найдется точка х^{а, Ь), в которой f(х0) =g(x0).
167. Доказать, что для любой непрерывной функции f: [0, 1]->-
->[0, 1] существует точка хое[О, 1], в которой f(x0)=x0 (непо-
движная точка отображения f).
168. Привести пример непрерывного отображения f: (0, 1)->
->(0, 1), у которого не существует неподвижной точки.
169. Функция f(x) непрерывна на (—оо, +со) и f(/(x))=x
для всех /е(—оо, +оо).
Доказать, что существует х0 такое, что f(Xo) =Xq.
170. Функция f(x) непрерывна на окружности. Доказать, что
существуют две диаметрально противоположные точки а и b та-
кие, что f(a) =f(b).
171. Привести пример функции f(x), определенной на отрезке
[0, 1], принимающей на любом отрезке [a, b] ст [0, 1] все проме-
жуточные значения между f(a) и f(b), но не являющейся непре-
рывной на [0, 1].
172. Привести пример функции, ограниченной на отрезке
[0, 1], но разрывной на этом отрезке.
173. Доказать, что непрерывная на отрезке функция, не имею-
щая .на этом отрезке ни одного внутреннего экстремума, монотон-
на. Привести пример, показывающий, что для разрывных функ-
ций это утверждение неверно.
174. Доказать, что если f(x) непрерывна на отрезке [а, и
имеет обратную функцию, то f(x)— монотонная функция на
[а, Ь].
175. Привести пример функции f: [0, 1]—>[0, 1], не являю-
щейся монотонной, для которой существует обратная функция
g(//): [0, 1].
176. Привести пример разрывной функции, для которой об-
ратная функция является непрерывной.
177. Привести пример монотонной на [0, 1] функции с беско-
нечным числом точек разрыва.
178. Доказать, что для функции, определенной на [а, Ь], мно-
жество точек строгого локального экстремума не более чем счет-
но. Построить пример функции, непрерывной на [а, &], с беско-
нечным множеством точек строгого локального экстремума.
179. Существует ли функция f(x), непрерывная на отрезке
[а, д], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (—оо, +оо)?
180. Существует ли функция f(x), непрерывная на отрезке
[а, Ь], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (с, d)?
181. Существует ли функция f(x), непрерывная на отрезке
[а, &], взаимно однозначно отображающая [а, 6] на [0, 1]J[3, 4]?
157
182. Существует ли функция f (х), непрерывная на интервале
(О, 1), для которой множеством значений является множество
а) (0; 2); б) (0; 2)ЩЗ; 5); в) (1, +со); г) [0, 2]?
Если нет, то почему, если да, то привести примеры.
183. Существует ли функция f(x), непрерывная на интервале
(—1; 2), для которой образом интервала (0; 1) является множе-
ство а) (0; 2); б) (0; 2)0(3, 5); в) (1, +°°); г) [0; 2]. Если нет,
то почему, если да, то привести примеры.
184. Существует ли непрерывное биективное отображение
(—1; 2) в R такое, что образом (0, 1) является множество а) (0;
2); б) (0; 2)0(3; 5); в) (1; + оо); г) [0; 2]? Если нет, то почему,
если да, то привести примеры.
185. Доказать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 5]
тогда и только тогда, если для любого с множества {х, хе[а, Ь],
f(x)>c} и {х, хе[а, &], f(x)<c} открыты относительно [а, Ь].
Что можно сказать о функции, если таковыми являются только
множества вида {х:хе[а, &], f(x)’>c}? Привести пример разрыв-
ной функции, для которой все такие множества открыты относи-
тельно [а, Ь].
186. Пусть функции /п (х) непрерывны на отрезке [0, 1] и
J (х) =limfn(x) для любого хе [0, 1]. Доказать, что f(x) имеет на
И->-00
[0, 1] хотя бы одну точку непрерывности.
187. Доказать, что если f(x) непрерывна на [a, fe], то множе-
ство EiUEsU^sU • • замкнуто, где Еп — множество тех точек из
[а, Ь], для которых (x)t^n+\. Показать, что в случае интер-
вала (а, Ь) предыдущее утверждение может быть неверно.
Рассмотреть пример у = —, (а; 6) = (0; 2).
X
188. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв-
ляется равномерно непрерывной на множестве М.
189. Привести пример функции непрерывной, но не равномер-
но непрерывной на множестве а) 0<х< 1; б) х^0.
190. Привести пример функции неограниченной и равномерно
непрерывной на множестве х^0.
191. Доказать, что равномерно непрерывная на ограниченном
множестве функция ограничена на нем.
192. Привести пример ограниченной и непрерывной на (0; 1)
функции, не являющейся равномерно непрерывной на нем.
193. Доказать, что функция f(x), равномерно непрерывная на
каждом из двух отрезков, равномерно непрерывна на их объеди-
нении. Привести пример, показывающий, что для интервалов это
утверждение неверно.
194. Доказать, что функция f(x) равномерно непрерывна на
интервале (а, Ь) тогда и только тогда, когда существует непре-
рывная на отрезке [а, Ь] функция g(x), совпадающая с f(x) на
интервале (а, Ь).
195. Известно, что f(x) непрерывна при х^0 и lim f(x) = C.
158
Доказать, что a) f(x) ограничена при х>0; б) f(x) равномерно"
непрерывна на х>0.
196. Является ли функция Ух равномерно непрерывной на
а) [0, 1]; б) (0; 1); в) [5, +оо); г) [0, + оо); д) [0, +<ю).
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
197. Привести пример двух недифференцируемых функций в
точке хо:
а) произведение которых дифференцируемо в точке х0;
б) сумма которых дифференцируема в точке хо;
г) частное которых дифференцируемо в точке хо.
198. Привести пример функции, дифференцируемой в точках
X]— 0, Х2 = —1, хз=1 и разрывной в остальных точках отрезка1
[-2, 2].
199. Имеют ли производные в точке х = 0, следующие функции:
a) j/ = x|sinx|; б) г/ = х|х3|.
200. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0 и
f(^o)#=0, а функция g(x) не является дифференцируемой в хо, но>
является непрерывной в хо.
Доказать, что функция f(x)-g(x) не является дифференцируе-
мой в Хо.
201. Найти f (0), если /(х) = [~[ (x + k).
4=0
202. Привести пример монотонной функции, производная кото-
рой не является монотонной функцией.
203. Пусть функция f(x)—нечетная, дифференцируемая на
(—оо, +оо). Доказать, что /'(х) —четная функция.
204. Доказать, что производная периодической функции яв-
ляется периодической функцией.
205. Доказать, что функция f (х) = sin х + cos 1/2 х не является
периодической.
206. Привести пример функции f(x) такой, что f'(x) существует
всюду на (—1; 1), ограничена и разрывна только в точке х = 0.
207. Привести пример функции f(x) такой, что f'(x) сущест-
вует всюду на (—2; 2), ограничена и множество
(±—| , п = 1, 2, ... , есть множество точек разрыва f'(x).
1 п J
208. Известно, что f (х) дифференцируема в точке х = 0 и <р (х) =
x2sin —, ху=0,
~ х
0, х = 0.
159
Доказать, что /(ф(х)) имеет в точке х = 0 производную, рав-
ную 0.
209. Привести пример функции f(x), дифференцируемой на
(а, +оо), у которой существует Вт /(х), но не существует пре-
Х->+оо
дела производной при х-*+°о.
210. * Привести пример ограниченной функции f(x), дифферен-
цируемой на (а, + °°), такой, что существует Вт f (х), но не
Х-»-~оо
существует lim / (х).
Х->-4-оо
211. Привести пример функции f(x), дифференцируемой на
(0; 1), такой, что lim f (х) оо, но предела производной не су-
х->0
ществует при х—>0.
212. Привести пример функции f(x), дифференцируемой на
(0; 1), такой, что lim/'(x) = oo, но f(x) является ограниченной
х->04-
на (0; 1).
213. Показать, что если для непрерывной в точке х0 функции
f существует lim f'(x)=A, то существует f'+(x0)=A.
X—
214. Привести пример непрерывной на [—1, 1] функции f(x)
такой, что для всех хен(-~ 1, 1) производная f'(x) существует, но
не существует lim f (х) и lim f' (х).
х—>0“}" X—>0—-
215. Привести пример функции, непрерывной в хо = О, но не
имеющей в хо = О ни левой, ни правой производной.
3.--
216. Рассмотрим функции у\(х) = |х|, yzix) =х и ys (х) = у х2 .
На отрезке [—1; 1] у этих функций нет точки, в которой произ-
водная обращается в нуль.
Какое условие теоремы Ролля нарушено?
217. Доказать, что если все корни многочлена Рп(х) степени п
действительны, то все уравнения Pn(ft> (х)=0 (6=1, 2,...,п—1)
имеют действительные корни.
218. Доказать, что функция f: (a, b)->R, имеющая ограничен-
ную производную на (а; Ь), равномерно непрерывна на (а; Ь).
219. Пусть функция f(x) дифференцируема на [0; 1] и f'(O)X
Xf(l)<0. Тогда на интервале (0, 1) существует с такое, что
f' (с) =0. Доказать.
220. Пусть f(x)=F'(x) для любого ,?е[а, Ь]. Доказать, что
для любых ае[а, &], [Зед [а, &], если /(a)<f(₽) и f(a)<с</(р),
то существует точка у такая, что уе(а, р) и f(y)=c (свойство
Дарбу).
221. Пусть функция f(x) дифференцируема на [хь х2] и 0<
<xi<x2. Доказать, что
(Xj (х2) -xj (xj) =/ (Н) -ВГ (g),
*2 — *1
где seE(xb х2).
160
222. Пусть функция f(xj непрерывно дифференцируема на
(а; Ь). Верно ли, что для любого 0е(а; Ь) существуют х^(а, Ь),
Х2^(а, Ь) такие, что 0с(хь хг) и
f (0) f ~ f fa)
*2 ~ *1
223. Нарисовать график-такой непрерывно дифференцируемой
функции f(x), что множество £, удовлетворяющее соотношению
f(l)— /(0)=Г(^). состоит ровно из трех точек.
224. Известно, что функция f(x) непрерывна на [0; 1], диффе-
ренцируема на (0; 1), f(0) =4, f(l) =2, f'(х)^—2. Доказать, что
/(х)—линейная функция.
225. Функция f(x) имеет на (0, +оо) непрерывную производ-
ную и f(0) = l, |/(х) |^е~ж для х^О. Доказать, что существует
точка хо такая, что f'(xo) =—е-х».
226. Пусть функции f (х) и <р(х) дифференцируемы при xi>x0
и |f(x) |<ф'(х).
Доказать, что для х^х0 имеем |/(х) —f (х0) | ^ф(х) —ф(х0).
227. Пусть феС"(х^х0), ф е Сп (х х0); ф<*> (ха) = ф(*) (х0) для
k = 0, 1, 2, ... , п—1 и ф(п) (х)> ф(п) (х) для xZ>x0.
Доказать, что для х^х0 имеем ф (х) >ф(х).
228. Функция /(х) для всех х удовлетворяет условию
/ (х + Ах) — f (х) — ААх + а (х, Ах),
где |а| < С | Ах|3.
Доказать, что /(х)=Лх + В.
229. Пусть f (х) определена на [а, Ь] и для любых хх с а, Ь],
х2е[а,.6] I/(xi)—f (*г) I % I xi—x2la> где Д' —константа и а>1.
Доказать, что f(x) постоянна на [а, &].
230. Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [0;
+ оо), lim /(х)=0, |/"(х)| <1.
Доказать, что lim f'(x)=O.
X-*—i~co
231. Пусть f(x) дважды дифференцируема на всей оси и огра-
ничена.
Доказать, что существует х0 такое, что f"(x0) =0.
232. Функция f (x) непрерывно дифференцируема, не меняет
направление выпуклости на (0, +оо) и lim f(x)=A.
Доказать, что lim f'(x)=0.
X-H-00
233. Известно, что функция f(x) дифференцируема для х^а,
не меняет направление выпуклости на [а, +<»), прямая y — kx+b
является асимптотой f(x) при х->+оо и график f(x) расположен
ниже асимптоты.
Доказать, что при этих условиях lim /'(х) = & и f (х) выпукла
х-*4-оо
вверх.
7 И, А. Виноградова
161
234. Привести пример двух выпуклых вверх функций таких,
что их произведение не является выпуклой вверх функцией.
235. Функция f(x) дифференцируема на [0, 1], f(0)=0, и для
некоторого k>Q справедливо неравенство | f'(х) | | f (х) |.
Доказать, что /'(х)=0, хе [О, 1].
236. Пусть /еСЛ— оо, + сю) и существует £>0 такое, что
|/(л) (х)| L для любых п и любых х.
Доказать, что если f (—'j —0 при п е N, то /(х) = 0.
\ п /
237. Пусть f (х) дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1],
f(O)=f(l) = O и min /(х) =—1. Используя формулу Тейлора, до-
*е[0: ц
казать, что max f" 8.
*е[0; 1]
Ответы, решения, указания
3. Например, Л = (0; 3); В = (1; 5). 5. Например, А = [0; 10];
В = [0;7]; D = [5; 10]. 6. Пусть х е Л\(В (J Е) = D. Это значит, что
х е А, но хё В (J Е, т. е. 1) хе А, но 2) хё В и 3) х ё Е. Из 1) и
2) следует, что л'ЕЛ\В, а отсюда и из (3) следует, что хе|Л\
\В)\£. Итак, Л\(В [J Е) с (А\В)\Е. С другой стороны, пусть
хе(Л\В)\£, тогда хе(Л\В), но хёЕ, т. е. 1) хеЛ, но
2) хёВ и 3) хёЕ. Из 2) и 3) следует, что хё(В1)Е), отсюда и
из 1) следует, что хеЛ\(Ви£), т. е. (Л\В)\£сз Л\(Ви Е).
Тем самым доказано равенство множеств (Л\В)\£ и Л\(Ви£).
7. Например, Л = [0,1]; £ = [1/2,2]; £=[2/3, 3/4]; £> = [0;2].
10. Например, Л, = [0; 2]; Ла = [2; 4]; В1 = [1;3]; Ва = [5/2, 5].
11. а) Пусть хеС(ЛиВ), это значит, что хё= (Л (J В), т. е. хёА и
хёВ; отсюда следует, что /еСЛ и хе СВ, т. е. хЕ=СА[}СВ.
С другой стороны, если хЕЕСЛПСВ, это значит, что хеСА и
хЕЕСВ, т. е. хёА и хёВ, следовательно, хё=Л0В, т. е. хе
еС(ЛиВ). Итак, С(ЛиВ)сСЛПСВ и СА f| СВ с С (Л J В), т. е.
С (Л J В) = СЛ П СВ. 13. Например, Га) £ = [0; 1]; б) £ = [0, 1]U
u{- 1}U{2}; в) £ = (0; 1); г) £ = (0, 1) (J {2} U {3} U Н, 5]; д) £ =
— |, п = 1,2, ... , или £ = {1}U{2}; е) £ = (—1, 1) (J {2}, или
£ = (—1, 1]; ж) [£ = [0,2); з) £ = [0, 2] U {4} U {5}. 14. Например,
а) £ = f п~ Л. I, n = 1,2, ...; б) £ = £1(jBaUB3UB4UB6UB,6, где
I п J
Ei = l2i + — |;n = l, 2, ..., 1 i«С 6. 15. "Указание. Доказать от
[nJ
противного. 16. Да, например, множество £=[—}, п = 1,2...........
I п J
20. Нет (см. следующую задачу). 21. Все действительные числа.
22. Например, множество всех рациональных чисел или промежуток £ =
= (0, 10]. 23. Все действительные числа не меньше чем два. 24. Вся
прямая и пустое множество. 29. Например, Л = ^—
162
n kEN. Указание. Показать, что А' = (—1 U {0}, А" = {0},Л"' = 0.
I п J
30. Например, а) /(0)=сх, /^у)=с2, f (v) =Сз’ (т)^4’
f (1) =с5, f(x) =се для хе [0, 1]\|0; -р-рТ ip б) /(°) =cv
f(x)=c2 для х£|0; -М; /(4) =сз; /W=c4 Для хе44- 44
, / 2 \ ,, .
f — =с5; /(х)=с6 для хе
у о !
одной точки —, иеА^. 35.
п
п. — 1
(2 \
—; 1 1. 32. Например, Еп состоит из
з у
Например, Fn =
п— 1
п
п
п = 2,....38. Например, Gn = (-----п 1 1 -V пе У. 39. х^О.
\ п п )
Указание. Показать, что в любом интервале (а, ₽), если 0<а<Р,
найдется точка х0 = 2р/’. 41. Данное множество счетно. Указание.
Каждый такой квадрат характеризуется упорядоченным набором вось-
ми рациональных чисел. 42. Указание. Показать, что это множество
эквивалентно некоторому подмножеству рациональных чисел. 43. Ис-
пользовать утверждение задачи №42. 45. Указание. Рассмотреть мно-
жество Л\Л', предположив, чго А несчетно, прийти к противоречию.
46. Применить утверждение задачи №42 к каждому из Еп. 47. Ука-
зание. Так как А — счетное, то множество В значений |х„—хт\, где
хл ее А, х,„еЛ, не более чем счетно (почему?); следовательно, най-
дется число а, не входящее в В, т. е. хп-\-а^=хт ни для каких
х„еЛ, х,„еЛ. 48. Например, N= |J (|J (2n + 1)2*). 49. Напри-
fe=0 n=o
мер, обозначим x0 = 0, xx = 1, x„
= — „ для n = 2, 3, .. . . Положим
tp(xfe) =x*+2, 6 = 0, 1, ...; tp(z) =z, если zgfc-^-, k = 0, 1, ... . Тог-
да tp—искомое отображение. 50. Например, пусть tpx(x) взаимно одно-
значно отображает [0, 1] на ^а, (сравнить с предыдущей
задачей), а <р2 (х) = arctg (х—1)--&~а + а~г& . Нужное отображение
л 2
есть <рх(х) на [0, 1] и <р2(х) на (1, + оо). 51. Указание. Каждая точ-
ка квадрата характеризуется двумя действительными числами. 52. Ука-
зание. Если Ап есть пересечение множества А с отрезком [—п, п],
пе Д', то А = (J Л„. 53. Например, множество натуральных чисел.
П=1
54. Например, Е — Е, J £2 (J Е3, где Е( = $21 + I, п е N, i =
I л2 j
= 1,2, 3. 56. Например, (----— + %, 2 + 4=4, 57. Напри-
\ п V п /
мер, ----------4, —2-|----Например, ^1, 1 ,
7*
163
nSN. Последовательность вложенных интервалов имеет непустое пе-
ресечение, если замыкание последующего интервала полностью входит
в предыдущий интервал. 59. Предположим противное. Тогда на лю-
бом отрезке [а, 0] с [а, 6] найдется точка, не принадлежащая Flt сле-
довательно, найдется интервал (а', 0'), целиком входящий в дополне-
ние Fr Возьмем отрезок [а1, 0J, лежащий ?в этом интервале, тогда
в этом отрезке найдется интервал (cq, 0i), целиком входящий в допол-
нение F2. Таким образом, строится последовательность интервалов
а"’, 0„) так,что для любого п (ап, 0„) лежит в дополнении к множе-
ствам F1, F2, ... ,Fn+i и замыкание (а„,0п)— отрезок [а„, 0„] — ле-
жит внутри интервала (anli,0n_i). Используя результат предыдущей
00
задачи, получаем, что [а, 0] П {П(ап1 Рм)}¥=0- Это противоречит то-
П=з1
И=1
му, что Q (a„,0n)c:CQ Fn, a (C(J Fn)fl[a,₽] = 0- 60. Например,
n=l n=l n=l
\ 4nS + 2 1 neN. 62. Система состоит из интервала (—8, е)
п2 + 1 П» + 1 J
/ 1 —8 14-е \
и интервалов (—\ с номерами п, удовлетворяющими условию
2"+1 —. 63. Да, хотя множество Е незамкнуто. Сравнить с пре-
в
дыдущей задачей. 64. Нет. 65. Например, отрезок [0, 1] и совокуп-
ность отрезка [—1,0] и системы отрезков
, k s N.
что если Лт = [—1,O]U
[О, 1]\Лт=#0. 66. (Например, интервал (0, 1)
, 1\, пеУ. Сравнить с анализом преды-
\ п /
Например, интервал (0,1) и система отрезков
Указание. Показать,
для любого т имеем
и система интервалов
дущей задачи. 67.
— , 2 , n<=N. 68. Например, система интервалов (—п + 2, Vn-f-lOO),
п
n<=N. 70. Это свойство выполнено для любой последовательности.
72. Например, ап = п<~,)П. 73. Например a„ = n2. 76. Например, ап =
= (—1)". 78. Например, ап — [1 + ( —1)п]• . Указание. Л =
п
= I— 2+ —)и{0}, пеУ. 79. Например, an —(—I)"-———. Ука-
(nJ Л
зание. Частичными пределами последовательности {an} являются точ-
ки 1 и —1. 81. Частичными пределами последовательности {£„} бу-
дут, например, все частичные пределы последовательности {а„} (срав-
ните с результатом задачи №80). 82. Да. a„+i—an->0 при n->-|-oo.
n(n—1)
1 2 1
83. Например, а) ап = — имап=(- 1) б) lima„#=0. 84. Нап-
n! п я—>оо
ример, а) a„ = 10n +—;’б) a„ = n2; в) a„=n+(—1)"; г) такой
п
164
последовательности не существует, так как условия ап -> + оо и
Л—й-п
-f-sinn; е) а„ = п3;
(-1)"
= 0 взаимно противоречат (см. задачу №100), д) ап=Зп-Ь
ж) ап = п (2 + (— 1)п). 85. Например, а„=
(_ 1У» "
v 7 90. Такая последовательность или
, или я,
сходится к "числу b пли расходится. Указание. Рассмотреть последова-
тельность ak, где =1, если k = (2р + 1) 2?, p<=.Ntq^N‘, ak — 0,
если k =3", пеЛ"', и afe = 2, если k не входит ни в одно из выше-
указанных множеств. 91. Например, а) ап=—1 -,илиа„=(—1)п-
. ( или с. = —4, ап— —, п > 1; б) а„=2-(— 1)"-----—, в)
п п п
ап =—п, или ап — —10 + —, n^.N. 95. а) Пусть lim ап — А,
И..А.ГП
lim bn — В, lim (а„ + bn)=C, lim bn — Bx. Ограничимся случаем, когда
Л->ОС n-t-QO П-+ОО
А, В, Bit С конечны (если хотя бы одно из этих чисел бесконечно,
доказательство аналогично). 1) Существует подпоследовательность {nk}
такая, что ank + bnk-*C. Из подпоследовательности ‘{anfe} выберем
сходящуюся подпоследовательность {ап }, тогда lim ап. —А' > А, так
кР Р-»ОО "Р
как Л = Нта„. Так как 6- =(ап. + ЬПи )—аПи , то С—Л' = Ит/>„ ,
7PZ3 kr> kp kP kP p-+<* kP
а так как .6 = lim bn, то C—A'^B. Итак, C^B + A'^B + A.
n->oo
2) Существует подпоследовательность а„?->Л. Из последовательности
{5^} выберем сходящуюся подпоследовательность {ЛП(?}. Так как В± =
= lim bn, то bn -+B'^ZB,. Тогда ап +Ьп ->• Л + В'. Так как С =
П-+<х> Ps ?S Vs
— lim (an + o„), то С A + B' A + Bv 96. Например, для неравенств
пунктов а) и в)
1, n = 3k; — 2, n — 3k\
а„ = — 1, п — 3k—1; bn = 0, n = 3k— 1;
0, n = 3k—2; k <=N-, 1, n = 3k—2; k e N;
для неравенств пунктов б) и г)
1 91. —, n = 3«; 2 3, n = 3k-,
ап = 2, n — 3k— 1; bn = 1/2, n = 3k— 1;
Ш CM -se CO II e —< | co 4, n = 3A —2; kt~N.
165
98. Указание. Если последовательность {ап} расходится, то для
последовательности Ьп= —ап, m=N не выполняется условие а), а
для последовательности bn=--——, n^N не выполнено условие б).
On
99. Указание. Воспользоваться равенством: cin = a1 --22- . -22— • . . .
tZj 6Z2
... • ———. 100. См. указание к задаче №99. 101. Последователь-
аП-1
ность {ап + Ьп} расходится, последовательность {ап Ьп} тоже расходит-
ся, если lima„y=0. Если же а„->0, то эта последовательность может
П->оо
как сходиться, так и расходиться (см. ответ к задаче № 102). 102. На-
пример, ап — ( — 1)", Ьп =—-—. Такое положение возможно, только
у п
если Ьп 0. Сравните с ответом к задаче № 101. 103. Пусть lim ап — 0.
Л->ОО
Тогда для любого е > 0 найдется Nr (е) такое, что —е < ап < 8 для
всех п > Л\. Возьмем У2 >--------------------—, М = N11 — 1 и N—
= max{M, N2}, тогда для и >Л' имеем
а1 Ч~ g2 Т~ • • аП
п
I + • • + I gn I
гг — N-i
что доказывает утверждение задачи. Случай А Ф 0 сводится к разоб-
ранному. 104. Указание. Отдельно рассмотреть случай А = 0, а случай
А=£0 свести к рассмотрению случая Л = 1. 105. Использовать резуль-
тат задачи № 104. 106. Примером может служить последовательность
/__ I\п
а„ = —-----—. Указание. Применить критерий Коши. 107. Показать,
[п 1
~2~ J
что последовательность S2n — S2n-i не стремится к нулю с ростом п,
и применить критерий Коши. 108. Для такой последовательности вы-
полняется критерий Коши. Действительно, для произвольного е > 0
существует К (g) такое, что для kr > К, k2 > К | anki —аПкг | < 8.
В силу условия б) существует такое К, что |ар —anJ< для ^Р-
nk<P^nk+i и V& > К. Пусть N = тах (п / Е \, п~). Для любого
\ з /
т > N единственным образом определяется К (т) так, что п^т) <
<m< nk(m)+i- Если Шу У N, т2 >N, то >К, й(т2)>К и
k (mJ > К (е/З), k (mJ > К (е/З), | ami — атг | «С | ami — a„k{mi} | +
+ I a^(mi) । + । аЧ(тг) -а^ I < 8- 109- Указание. Использо-
вать результат задачи № 108. ПО. Указание. Показать, что условие
166
задачи эквивалентно выполнению критерия Коши для последователь-
ности /п (х0) при любом х0 ее [0, 1]. 111. Указание. Использовать
метод математической индукции. 112. Указание. Применить неравен-
ство Бернулли к отношениям —n+1 и -Ьп . 113. Указание.
ап Ьп+1
Использовать метод математической индукции. 114. Указание: а) ис-
пользовать результат задачи № 112; б) использовать неравенство
fl Н---— }2"<е< (1 -I——V+' (см> задачу № 112) и применить
\ 2n ) \ nJ
/1 \2л /, 1 \п
неравенство Бернулли для оценки разности 1 Н-------—-1 Н--------.
\ 2п / \ п /
115. I. а) [ — 2, 0]; б) [—2, 0]; в) (—2, 2); г) [ — 2, 2]; д) (—110,
ПО); е) [0, 1] U [0, 2); ж)_[-2, 2]. ILJ) (-2,-1)(J(-1, 1) U (1, 2);
2) [—2, —V3]U[0, /3 ]; 3) (—/3 , 0) (J (У 3~, 5). 116. 1) X в У;
2) X на Y; 3) X на Y; 4) X биективно отображается на Y; 5) X биек-
тивно отображается на У; 6) X в V. 117. A cz f-1 (f (Л)) (сравните с
задачами № 115 и № 118). 119. Л = /л (/(Л)).* 121. Рассмотреть при-
мер f (х) = sinx на R: A=lx: х s [о, 2л+—11, В={х: [2л, 4л]}.
I L 4 JJ
122. Пусть г/ое/(ЛПВ), тогда у0 есть значение функции /(х0), где
х0 ez А П В, т. е. /о £ Л и ,?(| £ В. Следовательно, у0 е / (Л) и у0 е
е/(В), т. е. у0 е f (Л) П / (5). В силу биекции х0—единственная
точка, для которой f(x0)=y0. Если х0^ЛПВД|то или лоеЛ, или
х0 е В. Если х0 е Л, то / на множестве Л не принимает значения у0,
т. е. уое/(Л). Если хоеВ, то y0^f(B). Полученное противоречие
показывает, что х0^А(]В. 123. См. задачу № 120. 126. Указание.
Вместе с точкой (х0, г/0) графику функции принадлежит и точка
(у0, хо)- 127. Указание. Пусть точка М (х0, у0) лежит на графике
функции. Рассмотрим результат последовательных симметрических
отображений точки М относительно точки Л, прямой х = С, снова
точки Л и снова прямой х = С. 128. Существует х0 е (—/, /), что
/(^о)¥=/(—хо)- 129. Указание. Рассмотреть <р(х) = (/(х) +/(—х))/2
и ф (х) = (/ (х) —/(—х))/2. 130. Для любого С>0 существует хое/И
такое, что |/(х0) | > С. 131. а) неограниченная; б) бесконечно боль-
шая; в) ограниченная; г) ограниченная. 132. Например, f (х) =
1, если х = 0;
= п, если х= —, тип взаимно простые, п> 0;
0, если х иррационально.
133. Сформули-
руем утверждение, что означает, что функция / (х) не является неубы-
вающей: существуют хое£ [а, Ь] и хх е [а, 6] такие, что ха < хх, но
f (х0) > f (хх). 134. Не обязательно, например, г/х(х)=х, у2(х) = х.
13 5. Например, f (х) —
2 +х (24-sin — 1, х^О;
\ XI
2 х = 0. 136. Указание.
167
Рассмотрим случай неубывающей функции; если f (х) не является
таковой на [а, 6], то найдутся точки а' е [а, б], Ь' «= [а, Ь\ такие,
что а' <_Ь’, но /(а')>/(У) (см. ответ к задаче №133). Показать,
что в точке с = sup{х, хе[а', У], /(х)^Да')} не выполняется усло-
вие неубывания. 137. Да. Указание. Провести доказательство от про-
тивного. 140. Указание. Показать, что <л>[Д (х0—б, х0 + б)] есть
монотонная и ограниченная функция б в некоторой правой полуокрест-
1
sin —,
X
COS X,
5,
ности нуля. 142. Например, f (х) =
х > 0;
х < 0
х = 0. 143. Указание.
Рассмотреть три случая: a) f (х0) > lim f (х); б) lim f (х) sC f (х0) sC
X~+Xq X—
^lirn/(x); в) f (x0)< lim/(x). 146. a) f (x) + g (x) и f(x) —g(x)
>X0 x—>Xq
разрывны; f (x) g (x) может быть как непрерывной, так и разрывной,
например: 1) f(x)=x, £ (х) = sign х; 2) /(х)=х+1, g (х) = sign х;
б) рассмотреть примеры: 1) /(x)=signx, g (х) = —signx; 2) f (х) =
= sign х, g (x) = 2 sign x; 3) / (x) =
arctg —( x=#0;
x g W =
0, x = 0;
0, x 0;
1, x = 0. 147. Например, g (x) = signx, f (x) =x (x2 — 1), xo = 0.
148. Функция ограничена в некоторой окрестности точки х0. Бэлее
того, можно сказать, что для любого е>0 найдется такая окрест-
ность точки х0, что для любого х из этой окрестности | f (х)—/(х0)|<
<в + inf ап. Условие infa„ = 0 необходимо и достаточно для эквива-
лентности сформулированного условия и непрерывности f (х) в точке
х0. 149. Указание. Показать, что для любого натурального N и лю-
бой иррациональной точки найдется такая ее окрестность, в которой
не будет ни одной рациональной точки вида —, где n^N. 150. Ис-
п
пользовать результат задачи № 141. 151. Например, а) f(x)=x-D(x);
б) f (х) = х (х — 5) D (х);__в) /_(х) = (х — 1) (х — 2)
(см.
задачу № 150).
(х — n) D (х)
155. Да. Например, / (х) = sign2x, х0 = 0
или
arctg —,
х
0,
-h. 158.
1
cos —,
х
о,
х0 0.
х = 0, 156. Да. Например, f (х) =
о — и-
157. Нет. Указание. Рассмотреть h' =
х = 0
a) f (х) = С. Указание. Для любого x~R f (х) —
= f (y) = (т) = ' ’' б) ==аХ' Указание-
ш =
168
одной стороны,
,, . 10,
цию f (X) = <
задачу № 150).
Рассмотреть f (2) =f (1 + 1), затем /(n), n^N, затем f j, n e
затем f j, m e Z, затем f(c), где с иррационально. 159. Пусть
x0 e (a, b) и a<x0 —h0<_x0—Л1<х0<х0 + й2 <x0 + hQ<b, положим
X=(/i0—хг = хй, x2—x0 + hl). Тогда из условия задачи получим
неравенство (—f (х0) + / (х0 + h2))/h.^ (— f (х0) + / (х0 + h0))/h0. Анало-
гично получается неравенство (/ (х0) — f (х0 — h^)/^ (/ (х0) —
— f (x0—h0))/h0. Обозначив А = (/ (х0 + Ло) — f (х0))/Л0, В = (f(x0) —
— f(xo—Ло))/Ло» получим, что на интервале (х0—h0, х04~/г0) функ-
ция / удовлетворяет неравенству В (х—х0) f (х0) — / (х) А (х —х0),
откуда следует непрерывность f в точке х0 Если же х0=а или х0=Ь,
то разностное отношение (f (х0)—/(х))/(х0—х) ограничен^ только с
откуда непрерывность не вытекает. Рассмотрите функ-
0<х<1; 1
х = 0, х = 1. 160. Например, f(x)—D(x)— 2 (См.
162. Указание, Пусть х1<х2< х3, показать, что
min /(х) (J-) CJ max f(x). 163. Пусть I—прямая, параллельная
х&хих,Ч
данному вектору, не пересекающая данный многоугольник; ось ОХ
перпендикулярна /; S (х0)—площадь части многоугольника, лежащей
между прямой Z и прямой х=х0. Поскольку данный многоугольник,
можно заключить в прямоугольник, стороны которого параллельны I и
ОХ, то | AS (х) | Ах | X. Далее надо воспользоваться теоремой
о промежуточном значении. 164. Пусть I—произвольная прямая, про-
ходящая через данную точку. Выберем на ней положительное направ-
ление и обозначим направленную прямую /. Пусть /(а) есть направ-
ленная прямая, образующая с 7 угол а (7 (л) ——7, 7 (2л) =/).
Обозначим S (а) площадь той части многоугольника, которая лежит
справа ст 7 (а). Показать, что S(a)—непрерывная функция на [0, л],
и воспользоваться теоремой о промежуточном значении. 165. Показать,
что найдется отрезок [а, 6], на котором многочлен меняет знак.
166. Указание. Рассмотреть функцию ф(х)=7(х)—g(x). 167. Указа-
ние. Если /(0)=а#=0 и — 1, то функция <р(х)— / (х)— х
должна принять на [0, 1] нулевое значение. 168. Например, /(х)=ха.
169. Указание. Показать, что f (х) принимает все значения от —оо
до + оо и применить результат задачи № 126. 170. Предположим
для определенности, что радиус окружности равен I. Пусть Л40 —
фиксированная точка окружности и М (х) — точка, полученная из точ-
ки Ма поворотом на угол х в положительном направлении (против
часовой стрелки). Рассмотреть функцию <р (х) = f (М (х)) — / (М (х 4- л))
на отрезке^ [0, л]. 171. Например, /(x) = sin
169
2
f = 0. 172. Например, f (x) =
. г 1
arctg j -----
x~~2~
2, x = — .
2
173. Указание. Доказательство провести от противного. Пример: f(x) —
’ ’ __ ,T „ ( x, если x рационально;
x, 0<х^1; 175. Например,/(x)=
’ _ 11— x, если x иррационально.
. 1/2, x=0.
176. Любая монотонная, но разрывная функция, например, f(x)~x-\-
, • и г, . 1 0, х = 0;
-f-signx. 177. Например, Нх)=1
I 1/2", 1/2" < х «С 1/2"-1, п <= N.
178. Указание. Пусть Еп есть множество тех х из (а, Ь), что /(х)>
>/(* + /) для всех t таких, что 0< I/ | <-U и а^х—t <x4-t<ft.
п
Доказать, что множество Е точек строгого локального максимума есть
U Еп и каждое из множеств Еп состоит только из изолированных
л=1
точек. Далее применить результат задачи № 46. Пример: f (х) =
(х—a) sin—-—, х#=а.
= 1 х — а
0 х — а. 179. Нет, в силу теоремы об ограни-
ченности непрерывной на отрезке функции. 180. Нет, в силу теоремы
о максимуме и минимуме непрерывной на отрезке функции. 181. Нет,
в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезке
функции. 182. а) / (х) = 2х; б) нет, в силу теоремы о промежуточных
значениях непрерывной на отрезке функции; в) /(x) = -j—J—; г) Дх) =
= l+sin2nx. 183. а) /(х)=2х; б) нет, см. ответ к задаче №182;
в) нет, так как /((0, l))cz/([0, 1]), а на [0, 1] f непрерывна,
следовательно, ограничена; г) f (х) = 1 + sin 2лх. 184. а) /(х)=2х;
б) нет, см. ответ к задаче № 182; в) нет, см. ответ к задаче № 183;
г) нет, так как непрерывная на отрезке и биективная на нем функция
монотонна, т. е. если 0<х<1, то / (0) </ (х) < f (1) (см. задачу
№ 174). 185. Открытым относительно отрезка [а, ft] называется мно-
жество, являющееся пересечением [а, Ь\ с открытым множеством на
прямой. Пусть f е С [а, ft], ЕЦс) ={х, х е [а, ft], f (х) <с}, х0 е Е (с).
Так как /(х0)<с, то в силу непрерывности f в точке х0 существует
такая окрестность t/(x0), что f (х) <С для всех х е U (х0) f] [а, 6],
т. е. £(с) есть множество, открытое относительно [а, Ь]. Точно так
же доказывается ьэто свойство для множеств Д(с)={х, хе [a, ft],
/(х)>с). С другой стороны, пусть все множества Е (с) и Е(с) откры-
ты относительно [a, ft]. Возьмем точку хое [а, ft], число е>0 и рас-
смотрим множество Е (х9, е) = {х, х е [a, ft], | f (х) —f (х0) | < в). Имеем
170
е > 0 и любых me N, N множество
|fn (х)— fn+m(x)\ е.} замкнуто. Применяя
получаем, что и множество ЛП Е= Q Вп,т,е
т—1
имеем | (х) —/ (х) | 8. Используя резуль-
Е (х0, е) = Е (f (х0) + е) П Е (/ (х0)—8), поэтому Е (х0, б) — открытое от-
носительно [а, д] множество (ср. с утверждением задачи № 37).
Так как хое£(хо, б), то существует окрестность U (х0) такая, что
U (х0) П [а, Ь]сг Е (х0, е), т. е. |/(х)— f (х0) | <8 для всех хе (7(х0) П
П [а, 6], что доказывает непрерывность f в точке х0. Пример: /(х) =
= / 0, хе [0, 1/2];
( 1, хе (1/2, 1]. 186. Из утверждения предыдущей задачи сле-
дует, что для любого
Вп,т,е = {х, хе [0, 1],
результат задачи № 33,
замкнуто. Для х е АП18
таты задач № 59 и ПО, получаем, что для любого отрезка [а, 0] е
с [0, 1] найдется число п0 и отрезок [а', 0'] е [а, 0] такой, что
|/п„(х)—/ (х) | <8 для хе [а', 0']. В силу равномерной непрерывности
/п,(х) на [“, Р] найдется отрезок [а, 6] е [а', 0'], на котором коле-
бание (х) меньше 8, следовательно, на этом отрезке колебание f
меньше 3s. Итак, для любого 8 > 0 и любого отрезка [а, ₽] <= [0, 1]
найдется отрезок [tzE, feE] с [а, 0], на котором колебание f меньше Зе.
Построим систему вложенных отрезков [а„, b ] для 8 = — соответст-
q
венно. Если с—общая точка этих отрезков, то a>(f, с)=0 (см. усло-
вие задачи № 140) и, следовательно, / непрерывна в точке с (см.
задачу № 141). 187. Указание. Использовать результат задач 185 и 34.
188. Существует 8> 0, что для любого 6> 0 найдутся xr е М, х2 е М,
что, хотя |хх—х2| <6, но IH-H)—/(*г)1 189. а) Например,
у = sin—, или у = —; б) Например, у = xcosx, или у = sinx2.
х х_
190. Например, у—~\/х, или z/=x + sinx. 191. Указание. Предста-
вить множество Е в виде объединения множеств Еп таких, что Епс.
Г/ п 6(1) 6(1) 1 х,1ч
е (п—1) •—^-г-, п-------, п е N, где о (1)—число, удовлетво-
ряющее условию: из неравенства j хг—х2|<6 (1) следует неравенство
|/(xj—/ (х2) | < 1. 192. Например, i/ = cos—. 193. Пример: f —
= |sinx|/x, =( —1, 0), Е2 = (0, 1). 195. Решение, а) Вейлу
lim f(x)=c имеем, что для 8 = 1 существует хо^О такое, что для
х |>*]"Оо
любого х> х0 с — 1 </(х)<с+1. На отрезке [0, х0] /(х) непрерывна,
значит, по теореме Вейерштрасса ограничена, т. е. |/(х)|^7И, а тогда
для любого х0 |Дх)|Сmax{М, |с — 11, |с+ 1 ]}. б) Возьмем любое
8>0. Существует 0 такое, что для любого х>а |/(х)—с|<е/2,
т. е. для любых х1>а, х2 > a |/(Xj)—/(х2)|<8. На отрезке [0,а+1]
f непрерывна, поэтому для данного 8 существует такое 6> 0, что для
любых хх е [0, а + 1], х2 е [0, а + 1] таких, что |л'г — х2| < 6,
|/(Xj)—/(^г)1<8- Отсюда следует, что если 61 = min{5, 1), то для
любых хг и х2 из [0, +оо) таких, что Ix^х2|<б, имеем |/(хх) —
171
— /(ха)1<е. 196. а) Да; б) да; в) да; г) да; д) да. 197. Например»
а) / (х) = |х|, g(x) = |х|, х„ = 0; б) /(х) = у/Г2, g(x) = l — ^х2,
хо = О; в) / (х) = |х| + 1, g(x) = (|х| + 1) (х + 2), хо = О. 198. Напри-
. - 201 п]
f (*) =
л
мер, f(x)=x2(x2 — 1)2£>(х) (см. задачу №159). ”199. Да.
202. Например, f (х) = х — sin х. 206. Например,
( х2 sin (л/х), х =# 0;
I 0, х = 0.
/ 1 \ 207. Обозначим ц(х) = х(х—l)2sin
1)2’
Фп(^)=Я1—. , /, положим <р(х) = (1— х)2, хе[1, 2J; ср(х) =
= Ф„(Х), хе Г—— V, ф(0)=0; Ф(х) = фп(— х), хе/ — —,
---j, ф (х) = (х + I)2, х е (—2, 1], тогда функция / (х) =х2ф (х)
на интервале (—2, 2) удовлетворяет поставленным условиям. Прове-
рить
это. 209. Например, /(х) = si-n * . 210. Например, f(x)=cos(ln х).
Например, /(х) = — + cos —. 212. Например, /(х)=1/х.
X X
211.
214.
Например, f (х) =
x2sin—, х=+=0;
X
О х = 0. 215. Например, f (х) =
. 1 , п
xsin—, х=+=0;
— х или f (х) —xD (х).
О, х = 0, 219. Указание. Пусть/'(0)> О,
тогда /'(1)<0. Так как f непрерывна на [О, 1], то существует
точка с, в которой функция / достигает максимума, причем с е (0, 1).
221. Указание. Применить теорему Коши о среднем значении к
функциям u = f(x)lx и о = — на [хь х2]. 222. Нет. Пусть /(х)=х3;
(а, Ь) =( — 1, 1), 0 = 0. Для любой пары xt е (—1,0), х2 е (0, 1)
имеем /'(0)=0, но (/(х2)—f (хх))/(х2 — хх) =/= 0. 224. Указание. Рас-
смотреть функцию g (х) =/(х) + 2х—4. 225. Указание. Рассмотреть
функцию g(x)=/(x)—е~х. 233. Указание. Доказать, что в условиях
задачи f (х) монотонна и ограничена. 2 34. Например, /Х(х) = 1— х2,
/2(х) =—235. Решение. Пусть |хе ^0,
применяя неод ократно теорему Лагранжа, получаем | f (х) | = |/(х) —
-/(0) । = |Г(д|х<ш(^)1*<-у i^i =Т
... I/О, где ^(О.х), £г+1<=(0,^) (i =
= 1, 2, ... ,п — 1). Так как /(х) ограничена на [0, 1] и п— любое
натуральное число, то "отсюда следует, что /(х)=0 для любого
А [О, 1]. Тогда,
г
172
х [о, -5— I И [О, 1]. Если k -jL, то Г 0, —1 П [0, 1] = [О, 1]
и утверждение задачи доказано. Если же k >—, то проводим те же
рассуждения последовательно на каждом из отрезков
t =2, 3, ... , [2&] и на отрезке
i 1
~2k J ’
Дока-
I
[ 2fe ’
1 . 236. Решение.
жем, что для любого целого k 0 существует сходящаяся к нулю
последовательность точек {«„}, в каждой из которых f(>‘} (ип) = 0.
Доказательство проведем методом математической индукции. Для й = 0
утверждение следует из условия задачи. Пусть предположение верно
для k=m, т. е. существует последовательность точек {хп} такая, что
limxn = 0 и /(т) (х„) =0. Тогда для любого г, i^N, в силу теоремы
п~*оо
Ролля между точками х{ и х^\ найдется точка yt такая, что
/<пЖ) (Ус) — 0, а это означает, что существует последовательность {«/„}
такая, что lim уп = 0 и (z/J =0. Итак, утверждение доказано.
П-СО
Отсюда следует, что /(ft) (0)=0 для любого натурального k (так как
/еС°°). Применяя формулу Тейлора к отрезку [0, х0], имеем f (л'о) =
Г(0) Ха24- -k fW ХПп- 0 /
— / ~~— *о -t- • • т---г— Х(> ~ ;— х°> и
21 я! я!
< I £ I < I I • Следовательно, | f (хс) | L [ х01 п/п\ для любого натураль-
ного п и любого х0, т. е. /(х0)=0, откуда следует, что f(x) = 0
при любом х.
Часть II
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ
ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ
Определение. Функция F (х) называется точной первооб-
разной для функции f(x) на (а, Ь), если F'(x)=f(x), хЕ(а, Ь),
или, что то же самое, f(x)dx служит дифференциалом для F(x):
dF{x) =f(x)dx.
Определение. Функция F(х) называется обобщенной пер-
вообразной для f(x) на (а, Ь), если F(х) непрерывна на (а, Ь) и
для любого хе (а, Ь) \Кп, где Кп — множество, состоящее не бо-
лее чем из п точек, имеем F'(x)=f(x). Если нет необходимости
подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщен-
ной первообразной, то называем F (х) первообразной.
Пример 1. Функция ln(x + j/l+х2) есть первообразная для
функции 1/1/1 +*2на всей числовой прямой, т. к. (ln(x + 1/1 -гх2))'
= 1/1/1 +х2. Функция |х| есть обобщенная первообразная для
функции signx на (—1, 1), так как |х|еС(—1, 1) и |x|' = signx,
хУ=0.
Соотношение F'(x)=f(x) определяет Г(х) неоднозначно.
Пример 2.
a) (cos2x)' = —2sin2x,
(—2sin2 х)' = —4sin х cos х=—2sin 2х;
б) pin^ + x’-x)]^-?^,
Г In 1' = 2
[ /4 -f- х2 -J- х j + x2
Основным свойством первообразных является следующее: если
F(х) и G(x)—первообразные для одной и той же функции f(x)
на одном и том же промежутке, то их разность постоянна на этом
промежутке.
Определение. Множество всех первообразных для данной
функции f(x) на промежутке (а, Ь) называется неопределенным
интегралом этой функции и обозначается \f(x)dx (промежуток
174
(a, b) о'бычно можно определить из контекста, чаще всего это
промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается).
Следовательно, если F(x) есть первообразная для f(x) на
(а, Ь), то
И (х) dx = F (х) + С.
Пример 3. Найдем точную первообразную для функции
f (x) = elxl на всей числовой прямой.
Решение. При х^О имеем е!ж1 = еж, и для этой функции в
области х>0 одна из первообразных будет ех. При х<0 имеем
eixi_e-x, для этой функции в области х<0 первообразной будет
функция (—e~x+k) при любой постоянной k. Так как первооб-
разная функции еш по определению должна быть функцией не-
прерывной, то должно выполняться условие
lime* = lim (—е-ж + й),
х->0+ х->0—
т. е. 1 = —1+&, откуда fe = 2.
Итак, функция
х > 0;
F(x) =
1, х = 0;
~е-* + 2,
х < 0
является непрерывной на всей числовой оси. Для х>0 имеем
F'(x) = еж=е|ж|, для х<0 имеем F'(х) =е~х=еш. Докажем, что эта
функция будет точной первообразной для функции е1ж1 на всей
числовой прямой. Для этого осталось проверить, что F'(0)=e°=l.
Имеем
X
F' (0) = lim F^-F^ = lim =i,
х^о+ X >*о+ X
/ах 1- F(x)—F(0) ,. —г-*+ 2—1 .
F_ (0) — lim ——— = lim -----------!----= 1, т. e.
x—>-0— X x—>0—~
F'+ (0) = F'_ (0) =F' (0) = 1 = e101.
Следовательно, можно записать
fe'*ldx=F(x) + C= | eX + C’
\—e~x + 2 + C,
х 0;
х < 0.
Доказывается, что любая непрерывная на [а, функция
имеет на (а, Ь) точную первообразную, но в отличие от производ-
ной первообразная элементарной функции не всегда представ-
ляется элементарной функцией, например, первообразные для
функций
sinx ех у2 _у2
-----, ----, ех , е х .
X ' X
176
Основные свойства неопределенного интеграла
1) d\f{x)dx=f{x)dx\
2) (V(x)dx)'=fU);
3) jdf{x) = )f(x)dx=f{x) + C.
Таблица простейших интегралов
xadx ——----p C (ex 7^—1). f——— = —arctg—+ C (a=fcO).
a + 1 J a2 + x2 a a
——— = ln|x| +c (x=#0). a'cdx = — h C {a > 0, a -r In a f —-— = — In it? 1 +c (афО). J a2 — x2 2a a-x\ r ’ 1 —--arcsin +c {аф$). J у a2— x2 a
exdx = eK + C. f -4^-=ln|x+Vx^+k I +С{кфО). J у x2 + k
sin x dx — — cos x + C. i shxdx = chx + C.
cos x dx = sinx + C. J ch x dx = sh x + C.
= tg x 4- C. cos3 X ———==—ctgx4-C. sin3x —cthx + C. J sh3 x = thx + C. J ch=x
Нахождение первообразной или вычисление неопределенного ин-
теграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального
выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы
(«табличные интегралы»).
Правила вычисления неопределенных интегралов
1. J {x)dx=k^f (х) dx (k ф 0).
2. J [/ (х) ± g (x)J dx = J /(х) dx ± j g (х) dx.
3. Если (х) dx = F (х) + С и и = ф(х) непрерывно дифференци-
руема, то [ f (и) du— F (и) + С.
Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива
независимо от того, является ли переменная интегрирования неза-
висимой переменной или функцией. Заметим, что
1 Hvn+i
dx = — d {ах + b), xndx =---,
а п 4-1
-^- = dlnx, -^—dx — —d f—V cosxdx = dsinx,
x x2 \ x )
sinxdx =—dcosx, ——=d~]/x .
2/x
Пример 4.
f (x+l)dx={ (x+1) d (x+1) = Judu = -y- + C.= ti±lt_ + C.
176
Пример 5.
f (5— 3x)51dx - — 4- j (5— 3x)51d (5— 3x) = — (5— Зх)52 + C.
Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно'
возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбина-
цию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод,
здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предло-
женного здесь метода. Пример 6. J х (1 - 2х)3’ dx = j[ —L (1 -!2х) + -1 = у f(l —2x)38dt + -у j(l —2x)3,dx = - (1—2x)37dx = “4")7(1~2х)ЗМ(1~2хИ
+-j- (f(i - 2x>37d (1~ 2x) Пример 7. = L d(- J x3 2 J \ Пример 8. X 1 d— f —J dx = 1 = 1 J s,nx j sin —cos — v 2 2 = C_l^ = in|tgM|+C = ln tg-^-j J tga 2 I Пример 9. = -l-(1 —2x)39— -L(l- lob 102 1 \ 1 — ) = -e +C x2 / 2 Л» 1 . du I cos2 и sin и cos и 1 sin u-cos v cos2 и + C.
d arcsin х
J arcsin5 x / 1 —x2 J arcsin5 x Пример 10. Г dx Г* 1 — /x — J/x+1+Ух—1 J 2 --LCyx-1 dx=4-(x+i)3/2--L(x- Z J О О Задачи Найти интегралы: 1. J(2—3/Г)Мх. 2. 4 arcsin4 х - dx =-£- Jj/x +1 dx— -l)3/2 + C.
177
Ч Г/ 14-Х \2 4‘ ] ’/ 1 ,2 , 3 \ ,
J к * ) Ц X ' X2 ' X3 /
5. 6. f x2 , dx.
J X2 ) 1—X2
7. (* 4 — х2 , \ ах. 8. 1 L* 1 dx.
J 3 4-х2 ) (x24-,l)(x2 — 3)
9. Г dx 10. 1 ’ 14- 2x2 , ! dx.
J х4 — 1 ‘
) x2(14-x2)
11. Г. <1 + ^..-dx. 12. 1 ’ ^1 4-x2 4-^1- — dx.
J х(1 + х2) ) /1— X4
13. у ^8+»-/^-Ldx. 14. I [• dx
J Ух4— 1 ) 2x24-3 ’
15. Р dx 16. 1 dx
J Зх2 — 7 ’ ) /2—x2'
17. Г dx 18. ( ’ dx
J У2х24-5 1 [/3x2—7 ‘
19. J (5* —2х)2 dx. 20. ( > 22x~* 32x4-3 . dx. 1 62x
21. § 2x-3x-5xdx. 22. < • 2x-32x-43x , । dx.
1 « 5X-62X
23. С езх — 1 j \ dx. 24. 1 ’ 22x — 1 , L — dx.
J ех— 1 ) / 2х
25. С sin2 — dx. 26. 1 i cos2 — dx.
J 2 ) 2
27. (• dx 28. ( • cos2 x , i dx.
J sin2x-cos2x 1 sin2 2x
29. J ctg2 x dx. 30. j tg2xdx.
-31. Jyi 4- sin 2xdx, x S ^0, -yj . 32. (2chx—3shx)dx.
.33. J th2 x dx. 34. p dx
J x— 1 ‘
35. (• dx 36. f—U dx.
J 2x4-3 J (x4- 2)(x 4- 3)
3,7. C ^±3 (yv> 38.
J (x4-2)(x-l) J 1+x
.39. (* xdx 40. J (x—l)10dx.
J 1 4- 2x
41. § (2x 4- 5)17 dx. 42. (* dx
J (1 — 3x)3» ’
43. (• dx 44. (* dx _
J ^1—2x J ^(1.4- 3x)4
178
45. J(1 -f- 4x) dx. 46. Jx(x—2)5dx.
47. Jx Д/1 —2x dx. 48. 1 (x + 2) Vx— 2 <
49. p 2x—7 , i —-r dx. 50. f %2 +1 dx.
J V 1 + 3x J *4-1
51. 53. C *241 dx. J 2x — 1 C *-4_ dx. 52. j(2x + 3)2(l—x)' 54 С хЧх
J У x2 — 2 J x2 — 4
55. p xdx p 3x — 1 , 56. \ —7 dx.
J /1 — X1 J Ух2+4
57. C X_±l dx. 58. C—i ~4x
J /x2—10 J V 1 — 2x2
59. J x Vl —x2dx. 60. Jx(l—x2)5dx.
61. p xdx 62 С
J 1 + x1 ’ J x6 — 5
63. p x4dx 64. f dx.
J /3 + X5 J X In5 X
65. f dx 66 f dx
J X V Inx J x(lnx]+3)
67. p dx 3 68. f ^ln2* dx.
J x(2 + ln2x) ’ J x
69. p ex,e2x 1 ——— dx. 70. —-— dx.
J 1-e* J l + ex
71. J sin 5xdx. 72. j* cos -^-dx.
73. J cosaxsinPxdx, a#=P, «#=—₽ f sinaxsinPxdx, ay=P, a=/z—p. J cos3 x sin px dx, 74 J cos ax cos pxdx, a#=p, a=#—p. 7g f sin2 x cos ax dx, ay= ± 2, a=/=C 78. JxsinxMx.
75.
77.
P=/=± 1, P=5^ ± 3.
79. ( —-— cos Vx dx. __ f cos xdx ou. 1
J у X J 1 + sin x
81. § sin2 xdx. 82. J cos2 x dx.
83. J (sin x + 2 cos x)2 dx. 84. J ex cos ex dx.
85. p cos x dx «6 f ——
J sin2 7x
dx.
179'
87. | Р dx
) cos2 8х
89. ! Г-J-dx. ) cosx
91. | i ctg x dx.
93. | p dx
} sin x + cos x
85. | sin 2x , i dx. 1 У 1 — 4 sin2 x
87. | P 1 dx
1 cos2x 1 4- tgx
89. f sin x cos x dx~.
J УЗ —sin4 x
101. f xWarctg2x dx J 1 + 4x2
103. r x+a^2x dx J У1—4x2
105. C (shx—chx)2dx.
88.
90.
92.
94.
96.
98.
—5------dx.
sin Зх
p 1
------J------dx.
J 1 + COS X
f
J (x+sinx)3
f----- sin* ... dx.
J )/2 — sin2 x
\ 1
J sin2 x
100.
--------dx.
1 + tgx
3x ,
— dx.
j- 9x2
arcsin x — arccos x d
104. f x-j-arccos3^2 x
У 1 — x-
<Jx
sh2 x ch2 x
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Если и(х) и v(x)—непрерывно дифференцируемые функции,
то
]udv = u-v — $vdu.
Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что
интеграл $vdu может быть «проще» интеграла $udv. Этот метод
часто применяется, когда под интегралом стоит произведение
«разнородных» функций, например, еах и хр, еах и sinpx, х и 1пх,
х и arctg х и т. п.
Пример 1.
Jхcosxdx = j xd sin х = х sinx—f sinxdx —xsinx + cosx + C.
Здесь в интеграле jsinxdx подынтегральная функция не является
произведением «разнородных» функций х и cosx.
П р и м е р 2.
С + . с 4- J / X2 \ X2 , Р X2 1 ,
| х arctg х dx = | arctg x d I — = — arctg x— 1 — -dx =
J J V 2 / 2 J 2 1 + x2
x2 + 1 f x2 + 1 — 1 , / x2, 1 \ , 1 , „
=—arctgx------I ----!-----dx= I-------arctgx---------x-\-C.
2 s 2 J 1 + x2 V 2 2 / S 2
Q x2
Здесь в интеграле I ——-dx подынтегральная функция является
180
алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном
интеграле.
Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается
получить нетривиальное уравнение для нахождения первообраз-
ной функции.
Пример 3. Вычислим j ех cos xdx.
Решение. Имеем
I = j ех cos xdx=j cos xdex = ex cos x + J ex sin xdx—ex cos x+
4-jsinxdex = ex cosx4-ex sinx— jex cosxdx₽=5
— ex (cos x+ sin x) — I.
Поэтому
f „ j e*(cosx+sinx) , л
I excosxdx— —2----------—FC.
J 2
П p и м e p 4. Вычислим J Ух2 + kdx, A=/=0.
Решение. Имеем
I = f VFTfe dx = xl/x2 + k — f —-^==- = x Ух2 + k—
J J У x2 4- k,
— f x + kdx — x Vx2 + k+ k ln|x + j/x2 + &| +1,
j yz № -j- k
поэтому
fV^+fedx- +~ 1п|х + Ух2 + ^| +C.
Задачи
Найти интегралы!
107. J x sin x dx. 108. j x cos2 x dx.
109. j xsin3xdx. 110. C_L_ dx. J cos2 x
111. J x ctg2 x dx. 112. f x sin x * 1 dx. J COS2 X
113. J in2xdx. 114. f In X , 1 dx. J X2
115. Jx2ln(l +x)dx. 116. f x In (14——'j dx. J \ x /
117. f £ dx. J (l+x2)2 118. J У2—x2 dx.
119. f Ух2 + 3 dx. 120. f arctg x dx.
Ш
121. j arccosxdx.
123. J xarcsinxdx.
125. J eax sin ₽x dx.
127. fJlH^dx.
J COS2 X
122. jx2 arctg xdx.
124. f 3 2x arctg x dx.
J 1 + x2
126. J cos2 (in x) dx.
128. f x arccos — dx.
§ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОГО
Пусть функция f(x) непрерывна, функции x(t) и t(x) взаим-
но обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих
промежутках. Тогда первообразная для f(x) имеет вид Ё(х) =
= Ф(/(х)), где Ф(0 есть первообразная для функции f(x(t))X
Хх' (/). Коротко это утверждение записывается так:
J f (х) dx = F (х) + С = Ф (t (х)) + С = Ф (0 + С = J7 (х(0) х' (0 dt.
Функция х(0 подбирается таким образом, чтобы подынтеграль-
ное выражение приняло более удобный для интегрирования вид.
Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выра-
жения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены.
А. Вычисление интегралов jsinnxcosmxdx; п, пг — целые
I. Если оба показателя пит — неотрицательные четные чив-
ла, то применяются формулы понижения степени:
sin2x=-^-(l—cos2x), cos2x = -±- (1 +- cos 2х).
II. Если п и т — натуральные числа такие, что хотя бы одно»
из них нечетное, то в случае нечетного т полагают sinx = /, а в
случае нечетного п полагают cosx=t и применяют либо формулу
1 — cos2x = sin2x, либо 1 — sin2x=cos2x.
III. Если п и т — целые отрицательные числа такие, что оба
числа |т| и |п| либо четные, либо нечетные, то полагают tgx =
— t либо ctgx=t и применяют формулы
1 12
l+tg2x =--------, l+ctg2x =-------cos2 х + sin2 х = 1.
cos2 x sin2 x
К этому типу сводятся интегралы вида
C--dx-....., п > О, и С—, т>0.
J sin"x J cosmx
В самом деле,
182
dx
cos'” x
du
sinm и
IV. Если п и tn — целые отрицательные числа, причем одно из
чисел |п| или |т| нечетное, то в случае нечетного \т\ полагают
sinx = Z, а в случае нечетного |п| полагают cosx = f. Иногда в
случае больших степеней | п| и |/п| полезно в числителе подынте-
гральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2x+
+ cos2x.
V. Если п — четное число, а т — целое отрицательное число,
то можно заменить sin2x по формуле sin2x=l — cos2x, и в этом
случае интегралы сводятся к интегралам вида
аеЛ'
J COS X
В случае четного т и целого отрицательного п заменяют cos2x
на 1 — sin2x. В некоторых специальных случаях полагают tgx = f.
VI. Если п нечетное и т — целое отрицательное число, то по-
лагают cosx = £ и применяют формулу sin2x=l—cos2x. В слу-
чае, когда т нечетное, а п — целое отрицательное число, пола-
гают sin x = t и применяют формулу cos2 х= 1 — sin2 х.
При вычислении рассматриваемых интегралов часто исполь-
зуются следующие формулы:
sin a-sin р =-i- [cos (а—Р) — cos (а + Р)],
cos а • cos Р = -i- [cos (а—Р) + cos (а + Р)],
sina-cosР = [sin(а—Р) + sin(а + Р)].
Пример I,
С . , , , If о . 2О j 1 fl + cos2x 1 — cos 4х ,
| sin2 х cos4 х dx = — I cos2 x sin2 2x dx = — i--dx —
J 4 J 4 J 2 2
= —— С (1 +cos2x—cos4x—cos 2xcos 4x) dx — —— x + sin2x-
16 J 16 32
----Lf(cos2r + cos6x)dx=-Lx+
64 32 J ' 16 32 64
--— sin 2x----— sin 6x + C= — x-j—— sin 2x —
64 192 16 64
--— sin 4x-----— sin 6x + C.
64 192
188
Пример 2.
J sin5 хcos4x dx——j sin4x cos4xd cosx — —j (1 —cos2 x)2 cos4xd cosx —
- f (cos4 x— 2 cos6 x + cos8x) d cos x — ——~5*- + —cos’ x —-°sa% +<?..
J 5 7 9
Пример 3.
dx __ p
sin3x I
----cos2xcos”x I
COS3 X ,J
(1 4~ tg2x)3d tgx _ P (1 + a2)3 du = Г du
Ju3 J u3 J и
— + 3 ln|U| + ^-U2+-|-«4 + C =
= ~т--^-+3,п1^1 +^-tg2x+^-tg4x+c.
Пример 4.
f sin7 x , 0 sin3 xdcosx
l -----dx — — I ----------
J COS2 X J cos2 X
--------------dx =
sin3 x cos5 x
4 tgx
tg3 x------------
(l + tg2x)3
i , „ f du ,
tg3x
(1 —cos2 x)3d cosx
COS2 X
f 1 — 3u2 4- 3u4 — ue , 1 o „
= — I-------du =-h 3u— u3 4
Ju2 и
1 , n .. "cos5 X
=----------h 3 cos x — cos" x -i---------h C.
cos x 5
Пример 5.
= 1 f 1 + 4z2 + 6z4 -b 4z« + .
16 J Ez5 | Z
1
64
T2’!+Tln|z| +TZ’H
24 + C =
sinx
4 cos4 x
3sinx
8cos2x
+т1п|‘е(т+т)|+с-
184
Пример 6.
sin4x
COS5 X
sin х
4 cos4 x
—’cos" x)2
COS5X
sin x ।
COS2 X
dx
cos5x
dx
dx
cos3 x
cosx
5
8
Пример 7.
dx
sin3 x cos4 x
„ i- dx
sin x cos2 x
dx 1
(sin2x-t-cos2x)2dx
sin3 x cos4 x
f dx 1
J sin3 x
3 cos3 х
"Г 2
3 cos3 x
1
3 cos3 x
sin x , ,
i---------dx 4-
) COS4 X
n C sin2 X 4- COS2 X J ,
- 2 I -----------------dx +
J sin X COS2 X
X |\ . I cosx
r— -j.---------------1_
' 2 I / \ 2 sin2 x
cos x , 5 , I , x I
-------------------1----In tg- -
cos x 2 sin2 x 2--------2
’ sin3 x
1 i +
2
2
В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
У a2 ± x2 ; Ух2 ± a2 > a #= 0
1. Если подынтегральная функция содержит радикал У а2—х2 ,
а > 0, то можно положить x = asin^.
Так как выражение У а2—х2 имеет смысл только при | х|
то и первообразная ищется на промежутке —a<x<a. Для пере-
менной t промежуток изменения выбирается так, чтобы —a<asin/<
<a, следовательно, можно считать, что —< —, тогда У а2—х2—
= acos t.
II. Если подынтегральная функция содержит радикал Ух2—а2 ,
. п а
a > 0, то можно положить х =--------.
cos t
В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче
х<—а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч дру-
гому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая
запись преобразованного подынтегрального выражения, т. е. луч х>а,
тогда берем и Ух2—a2 = atgt.
В этом же случае можно сделать замену x = achZ, тогда
Ух2 — а2 = У a2 (ch21 — 1) = а | sh 11.
III. Если подынтегральная функция содержит радикал Уа2 + х2 ,
а>0, то можно положить x—atgt. Функция x=atg/ непрерывно
дифференцируема на интервале (—л/2, л/2), при этом промежутком
изменения х является вся числовая прямая, поэтому х2-г а2 =—-—.
cos t
185
В этом же случае можно положить х=а sh t, тогда ^х2+а2—
=а ch t.
Для удобства приведем некоторые формулы, связывающие ги-
перболические функции между собой:
thx = -^-, cthx = -^-, ch2x—sh2x=l,
ch x sh x
ch2 x + sh2 x — ch 2x, sh 2x = 2 shxchx,
ch2x-(-l ,» ch 2x—1
ch2 x =-----;, sh2 x =-----------.
2 2
Пример 8. Вычислим
/** y2
I —. —dx.
J /(x2 + a2)3
Решение. Положим x — atgt, тогда dx = ----- и
cos2 t
Так как t = arctg —, to
a
C — x4x = ln I tg f — arctg — + —\ I —sin arctg — + C =
J у (X2_|_ а2)з I \ 2 a 4/1 a
.-----7. x --- + In|x + V*2 + a2 l+C.
Vx2 + a2
Пример 9. Вычислим f "|/a2—x2 dx.
Решение. Положим x = asin/, тогда
J t/a2—x2 dx = Ja2 cos21 dt — J (1 + cos 2t) dt —
= —(t + — sin 2t \ +C.
2 \ 2 /
Так как
t = arcsin—, sinarcsin — = —,
a a a
X
cosarcsin—= I/- 1------- , |x|#=a,
a r a2
186
70
5, z -5-5— . a2 x x у a2 —
у a2—x2 dx =—arcsin----1--------
2 a 2
Пример 10. Вычислим Jj/a2 + x2 dx.
Решение. Положим x = asht, тогда
f Va2 + x2 dx = f ~\/a2 (1 + sh2?1) a ch t dt = a2
pc.
= а2 С .ch2t + 1 dt =— (— sh2t+ t\ + С — — (shtcht 1) + С.
J 2 2 \ 2 / 2
Так как
ch t = V1 + sh21 = 1/ 1 + — ,
r a2
t u 4. , u / * + Va2 + x2
e1 =sh t + ch t = ———--,
a
TO
t ]n x + V~&+^
a
И
J|/a2 + x2 dx = -~Va2 + *2 ln|x + l/a2 + x2 |+C.
С. Вычисление интегралов вида
\R(ex, e2x,..., enx) dx,
dx.
где R— рациональная функция
Полагая ex = z, имеем R(ex, e2x,..., enx) =R (z, z2,...,zn) и
, dz
dx -----.
z
Г ex + 1
Пример 11. Вычислим 1---------
H r J ex — 1
Решение. Полагая ex = z, имеем
+ l r_g+JL. ---CJL = 21n|z—11-
J ex— 1 J z — 1 z Jz—1 J z
— In I z I 4- C = 2 ln|ex — 11 —lnex + C = In (ex — I)2—x + C.
D. Интегрирование биномиальных дифференциалов
Так называются дифференциалы вида xm(a + bxn)Pdx, где а,
Ь — постоянные, отличные от нуля, т, п, р — рациональные числа.
Первообразная для функции хт(а+Ьхп)Р является элементар-
ной функцией в следующих трех случаях: а) р — целое, б) --
187
, т + 1
целое, в) -----!---г р — целое;
п
а) если р — целое, то полагают x=zN, где N — общий знаме-
натель дробей т и п.
р К 7
Пример 12. Вычислим 1 -......о----dx.
J
Решение. Положим x = z6, поскольку р =—2— целое. Тогда
_ 2__
^x = z\ у x — z2, dx — 6z5dz
и
dx = б J = 6 J (г4—2z2 + 3 —
4г2+ 3 \
(1-z2)2 )
dz —
= — z5— 4z3 + 18z— 18arctgz — 6 f —,
5 5 J(l+22)2’
z2dz
F-w
Следовательно,
i ---------dx = — z5—4z3 + 18z 4---—----21 arctg z + C,
J (l+/x)2 5 1 + z2
6 г-
z = у x ;
б) если -1-целое, тогда полагают a+bxn = z-v, где У —
п
знаменатель дроби р.
f* xdx
Пример 13. Вычислим I - д 3 '
J г 1 т у*2
Решение. Положим 1 + х2/3=z2, поскольку —=3 — це-
п
лое. Тогда
— 3 —
x = (z2 —1) 2 , dx=-±-(z2 — 1) 2 -2zdz.
Следовательно,
р — xdx = з f(22 _ 1)2 dz = — z5—2z3 + 3z + С,
\ 1 / з___ J 5
J V 14-т'х2
z — У 1 + х2/3,
в) если -т 1 -с р— целое, тогда полагают ах~п + Ь = гх где
п
N — знаменатель дроби р.
_ f dx
Пример 14. Вычислим I 4.----------
F J /1 + х4
188
Решение. Положим z4=l+x~4, поскольку —
п
целое. Тогда
х = (г4— 1)-I/4, dx = —г3 (г4 —1)“5/4dz,
|/1+Х4 = z(z4— 1)~1/4.
Следовательно,
f dx Г z2dz 1 I 1 1 \ .
J 4 ~J г4— 1 4 J \ г+1 z—1 )
---LC__E£_^±]n 2±1---------Larctgz + C, г = (1+х~4)1/4.
2 J z2+l 4 z—1 2
Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функ-
цию сложного аргумента <р(х), то полезно для упрощения подын-
тегрального выражения сделать замену ф(х)=Л
Пример 15. Вычислим
г . 1 .
I arcsin —;=- dx.
J V*
„ ГТ 1 4 J 2dt
Решение. Положим —= г, тогда dx =--------------
ух J'
и
f . 1 , Г —2 arcsin t ,,
I arcsin —=- dx = 1---------dt.
J Уx J ts
Интегрируя по частям, имеем
„ г arcsin t j, C . , , / 1 \ arcsin t f dt _________________
—2 I--------dt = I arcsin t d — =---------1-----r —
J i3 J \ / t2 J t2V 1 — t2
Следовательно,
f 1 /IX r-----------
I arcsin—dx = x arcsin i —-=• I + у x — 1 +C.
J V* \ Vx 1
Пример 16. Вычислим j е~^х+1 dx.
Решение. Положим —у x+1 =t, тогда х+1 = —Z3, dx =
= —3t2dt. Следовательно,^
Зг---
J е-V *+1 dx = — 3 J e42dt = — 3 (<+ /2—2 J te^dt) = — 3 (еМ2—
—2tef + 2а') + С = — 3/2е' + 6/е'—6а' + С, t = —|/х + 1 .
18»
Задачи
Найти интегралы:
129. J sin4x dx. 130. J sin4 x cos2 xdx.
i3i. C cos6 xdx. 132. J sin2 x cos3 xdx.
133. J sin7 xdx. 134. f —-— dx.
J COS3 X
135. C sin3 x , dx. 136. I* COS2X , | dx.
COS5 X J sin4 x
137. Г sin4x , dx. 138. ^^l±dx.
J cosx J sin3 X
139. j ' dx 140. (* dx
COS5 X ’ J sinex ’
141. C ctg4 x dx. 142. C sin2 x , \ dx.
J cos3 X
143. J Tdx 144. ptgs^-
[_sin:! x cos1 x ' dx
145. J 146. J x2j/a2 + x2 dx.
sin2 x cos4 x
H7- i x2Va2—x2 dx. 148. Jx2Vx2— a2 dx.
149. V X2 575— dx. 150. f - dx.
(a2 —x2)3/2 ’ dx J (x2 + a2)2
151. f 152. j 1/е2х + e2 v dx.
(x2 + a2)3/2 ‘
153. j ’ dx 154. ( 1+>/"x z/ 1 —i L_r dx. J V*
+ 1
155. ( "* dx 156. P dx
| x y' 1 4- x7 J /х3"/ 1 + y x3"
157. j ’ dx 158. p dx
J x2(2 4-x3)5/3
Vx ( 1 + / X )
159. ( '5/rdx. 160. \ x cos 1/x dx.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,
СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Рассмотрим интегралы вида
т Г ? 4х Ч- 5 , т т С Ах -И В <
I. I------1----dx; II. 1—........= dx;
J ах2 + bx + с J V ах2 -f- bx + с
III. {(Ax + B)Vax2 + bx + cdx; IV. f------rdx .....
J J (x— a) у ax2 4- bx + c
190
Выделяя из квадратного трехчлена ах2+Ьх+с полный квадрат,
запишем его в виде ax2+bx+c = a(x + fi)2 + q. Если в интегралах I,
II, III сделать замену x+p = z, то получим интегралы
I'. + dz. п, Г^гВ1 ,dz.
J az2 + q J V az- 4- q
III'. J (Л^ 4- Bj) У az2 + q dz.
Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сво-
дится к вычислению интегралов вида
С Cr -j- Di 0 Cz -{- D i у Cz -4- D i f* , j-y _ / ”z”" л 1
I———dz, । - dz, i dz, I (Cz+D)yr2—z2 dz.
J г2 + r2 J /г2 ± r2 j F++ J
J (Cz + DyVz2 ± r2 dz,
каждый из которых представляет собой комбинацию двух инте-
гралов, один из которых табличный, а другой сводится к таблич-
ному, применяя равенство d(z2±a2) —2zdz. Интегралы \Уа-—x2dx
и ]Ух2 + & dx не входят в таблицу на с. 176, но они уже были
вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встреча-
ются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то
предлагается соответствующие первообразные просто запомнить.
Поэтому эти интегралы также называют табличными:
J У а2 —х2 dx = х^а^х—р £_arcsin — + С,
С Ух2 + k dx — XVX + k + . in । x _|_ -|/%2 + । +
J 9
f 2x [ 5
Пример 1. Вычислим I —-- ---dx.
J + 4x + 7
Решение. Так как x2+4x + 7= (x + 2)2+3, то, полагая x+2=
= 2, имеем
f r 2»+5 Л = C ++2>+1 Л = f 4+1 dz =
J Ух2+ 4x + 7 J /х2 + 4х + 7 J У?2 + 3
= f...d(22+._3) + f dz = 2 У^+З + In | Z + уУТЗ1 + C=
J у г2 + 3 J 1/z2 + 3 1 K 1
= 2Ух2 + 4х + 7 + ln|x4-2+ Ух2 + 4x +7 | +C.
p ri_____3x*
Пример 2. Вычислим 1 , -------- dx.
j у 1 — x — X2
/ i \ 2 5
Решение. Так как 1—x—x2 = —1x4------------+—, то, полагая
\ 2 J 4
, 1
x 4---=z, имеем
2
191
Пример 3. Вычислим J (2x4-7) Д/х2 4-х 4-1 dx.
/ 1 \2 3
Решение. Так как х2 + х+1 = (-гЧ-I 4---, то
\ 2 / 4
делаем в нем
Для вычисления интеграла |--------.-„Л..
J (х — а) г ах" 4- Ьх 4- с
замену х — a = z, тогда получаем интеграл
Подынтегральная функция непрерывна на лучах х>а и х<а. Как
указывалось выше, можно выбрать тот, на котором запись подын-
тегрального выражения более проста, т. е. луч х>а, а тогда z>
192
>0. Такой же выбор в подобных ситуациях применяется и далее
без особой оговорки. Полагая ~ = и, получаем табличный инте-
грал
Замечание. В интеграле IV можно сразу положить
-J— = г.
* — а
Пример 4. Вычислим Г-------.dx =-.
* г j (х —2)/2х34-4х4-8
Решение. Полагая х — 2 = z, имеем при z>0
dx _ 1 Р______________dz_____________
(х —2)/2ха +4x4-8 /1 ' z /(г4-2)34-2 (г-J-2) 4-4 ~
dz
1_Г_____—du_____
Кг J /14- би 4- 12и2
Задачи
Найти интегралы:
161.
2х —5
ха 4- х 4- 3
dx.
162.
1 — 2х
2х3 — 4х — 6
dx.
8 И. А. Виноградова
193
163. f—2=^ dx.
J y'x’ + x+l
165. Г lnx-p2 ) x V 1 — In x — In1 X dx.
167. f COS X J У 1 — 4 sin x 4- cos2 x dx.
169. f dx
J У eix — 5ec-t-6
171. f dx
) (x—1) У 4x2—10x4-7
173. j(1— Зх)У1 +х— x2dx.
175. f—-.*~lL==r-dx.
J У 1 + хг + x4
177. C -• dx -.—
J x у x4 + x2 + 1
179. J (x3 + x) VF+x4 dx.
181. у У cos 2x sin xdx.
164. Г 4x—11 J /14-х-х» dx.
166. Г e»x 4- 3e* J /е2х4-гх4- 1 dx.
168. f g2J J e2x4-2e1:4-4 dx.
170. f dx
J (x4-l)/x»4-l
172. J (x 4- 2) Ух2 + x 4-1 dx.
174. f x3 4- x J — 1 — x2 4- x4 dx.
176. f x3dx
J x4 — x2 4- 5 '
178. f <*+1>2 dv J X -у 1 4- 3x 4- X2
180. J Vcos 2x cos xdx.
182. r 1 4- sin x J cos x К cos 2x dx.
$ В. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В этом параграфе рассматривается интегрирование функций
вида —v , где Т (х) и R(x) — многочлены от х. Если степень
многочлена Т (х) больше или равна степени многочлена R(x), то
делением многочлена Т (х) на многочлен R (х) выделяем целую
часть — многочлен Ф(х), т. е. Т = Ф (х) 4- где степень
' ’ R(x) ’ Я (х)
многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирова-
ние рациональной функции сводится к интегрированию многочле-
на и правильной рациональной дроби.
TI . - Р (х)
Интегрирование правильной рациональной дроби • осно-
вано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой про*
стейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения
многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х—а)к (а —
действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответст-
вуют k простейших дробей:
Ат m =
(x — a)m '
где Am — постоянные.
194
Множителям вида (x2+px+q)1 (трехчлен x2+px+q не имеет
действительных корней) соответствует I простейших дробей вида
BjX Dj ________|2
(ха + рх + <?)‘ ’ ~ ........
где Bi, Di — постоянные.
Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид
Q W = (*—аа)*’- ... • (x—ai)b‘-(xi + p1x + q1)‘t- ...
... (x2 + pix + q]}li,
где си, .... а, — действительные корни многочлена, соответственно
кратности kit k2, .... ki, а трехчлены x2+pix+<7i, ..., x2+pix+qi не
имеют действительных корней, то разложение ' в сумму про-
стейших дробей ищется в виде
Р(х) 4]) Д<'> Д0> ,
Q (х) х — aj (х — aj» " ' (х — ах)к' ~Г
Д<« 4° ВО)Х+С(1)
... ---!-----Ь • - • Н----------1--—----——- +
* — (х — a()Af х1 + Pix +
(х’ 4- pjx -Ь<71)2 " ' (х> + pix + ft)'*
В</>х+ <?</> B^x + W В^х + С^
... 4--——-—!------1___t-------1----h . . Ч__________'---‘
х2 Ч~ Р/х + ?/ (х3 + pjx + ft)* (х>+ р/х+ <?/)'/
Здесь в (1) Ai}, ... ,А(^, В\1}, ... , В^, С\!), ... ,С^— некоторые,
пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых бу-
дет указан ниже.
Итак, интегрирование рациональной функции приводится к ин-
тегрированию дробей вида
I. II. -----------—, £>2. III. —^+-£—.
х — а (х — а)к ха + рх + 7
IV. ---, /и >2.
(Xs + рх + <?)«
(трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней). Для дро-
бей вида I, II, III соответственно имеем
С —-— dx = А In | х + а | + С;
J х — а
е d
D
+-C, /г >2;
dx =
— aY k— 1
k(x — a)‘-‘
195
4(2х+р)+с—
dx=с С..2..р?+—L. dx=
>а 4- рх + q J х’ + рх 4- q
В Г d (х* 4- рх 4- <?) / с Вр
2 J xs4~Px + <7 \ 2
dx
2 /
_ Р4
4
О
= —In |ха + рх + q| +
Вр \
2 arctg
1 Р’
я*- —
£
2
Р1
Я — ~7~
(так как x2+px+q не имеет действительных корней, то q—>
> 0 j. При вычислении интеграла IV поступим следующим обра-
зом: представим линейную функцию в числителе в виде комбина-
ции производной’квадратного трехчлена и константы, т. е.
в / вр \
— (2х4-Р)+ С——-
--:----------------— dX —
: (•’’ + Р* 4- Я}т
_ + /С—--------------------=
\ 2 / J (X2 4- рх 4-
------- 1 !г ~ ^>2.
C.- .fo + C... 'dx=[
J (x2 4- px 4- q)m ' J
_ Д C d (x’ 4- px 4- ?)
2 J <x* + pX + q)m
__ В 1________________1
~~ 2 ’ 1— m (x! 4- px 4- q)‘
Рассмотрим интеграл
/ _ f dx i P*
4 4
(р \ ъ р^
х 4- ~т-) +<7 —— и
. р Р dz
заменой х + ~ = z он приводится к виду « •
Для вычисления такого интеграла используется подстановка z»=>
=—Ь tg и или выводится рекуррентное соотношение, позволяющее
понизить степень т в знаменателе интегрированием по частям.
Действительно,
Г z2dz
J (z! + ft’)m
получим
представляя 1т в виде комбинации 1т-\ и
вычисляя последний интегрированием по частям,
и
dz
= 1 f '(^ + ^)-г2 rfr==
)m ft’ J (z’4-ft’)'?’
If zdz 1 ,
— I Z---------------—--------Im-\ —
ft’ J (z’4-ft’)ra ft’
196
1 С , / 1 1 \ I г
------ I 2(1 I........... • 11 I = ----Im—I “Т
\ 2 (1 — т) (2» + ft’)"1"1 /------------------------6»
_______________2______________ 1________________ Г dz
+ 262 (m — 1) (2s + 6s)m-i 2 (m — 1) ft’ J (z’ + ft5)"'1
________________z______________2m — 3 .
~ 2ft’(m—l)(z’ + ft2)m-i 2ft’ (m — 1) m“‘’
Для нахождения неопределенных коэффициентов при разложении
р W
правильной рациональной дроби , • в сумму простейших дробей
ч W
правую часть искомого разложения (1) приводят к общему зна-
менателю (им будет многочлен Q(x)) и у получившегося в чис-
лителе многочлена, и у многочлена Р(х) приравнивают коэффи-
циенты при одинаковых степенях х. Таким образом, получается
система линейных уравнений, из которой находятся неопределен-
ные коэффициенты (в алгебре доказывается ее однозначная раз-
решимость).
Пример 1. Вычислим Г-------—--------.
F J (*+1)(х-2)»
Решение. Разложение дроби — ------— в сумму простейших
дробей ищем в виде
X А
(х + 1) (х—2)’ х +
(2)
х — 2 (х— 2)а
Приводя в (2) к общему знаменателю правую часть, имеем
X Z Л(х-2)’+В(*+1)(х-2) + С(*+1)
(ж + 1) (х —- 2)’ (х+1)(х_2)«
Приравнивая числители дробей, получаем тождество
х~А (х—2) 2+В (х+1) (х—2) +С (х+1). (3)
Перепишем его в виде
х«= (Л+В)х2+ (С—В—4Л)х+ (4А—2В+С).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему уравнений
Л + В=0,
С—В—4Л=1,
4Л—2В + С = 0,
Л 1 D 1 2
откуда Л = —-, В = —, С = —
У У о
197
Следовательно,
xdx_____________1_ Г dx 1 С dx 2 Г dx
(х4-1)(х —2)’ "" 9 J ж+ 1 9 J х— 2 3 J (х — 2)’
1
х —2
+с.
Иногда полезно в равенство, полученное приравниванием мно-
гочлена Р(х) к числителю дроби, полученной после приведения к
общему знаменателю простейших дробей, подставлять вместо х
некоторые специально подобранные числа (обычно действительные
корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате по-
лучаются линейные уравнения относительно искомых коэффициен-
тов, хотя следует помнить, что при подстановке произвольных чи-
сел полученные уравнения могут быть зависимыми.
Применим этот метод к предыдущему примеру, полагая в
тождестве (3) х«=2, имеем 2=ЗС, откуда С=2/3. Полагая х = — 1,
имеем —1-=9Л, откуда А=—1/9. Полагая х=0, имеем 0=4А —2В+
Ч-С, откуда с учетом найденных Л = — 1/9 и С=2/3 имеем В=
~4А+С/2=1/9.
Зх2 —— х — 2
Пример 2. Вычислим \--------------------ах.
J (1 + х’)’ (х - 1)
Зх® — х — 2
Решение. Разложение дроби ——------------------— в сумму про-
стейших дробей ищем в виде
Зх’ — х — 2 _ А бх + С Dx+ Е
(1 4~ х2)’(х — 1) "х-1 1 +х» . (1 4-х2)2 '
Коэффициенты А, В, С, D и Е определим, исходя из тождества
Зх2— х + 2 = А (1 4 х2)2 + (Вх + С) (х—1) (1 + х2) + (0x4- Е) (х — 1).
Полагая х=1, находим А = 1. Приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях х, приходим к системе уравнений
А + В = 0,
— в + с = о,
2А—С + £> + В=3,
С— В + Е—£> = — Ь
А—С— £ = 2,
откуда находим, учитывая, что А — 1, остальные коэффициенты:
—1, С= —1, 0=1, 0=0.
Следовательно,
f + 2 dx = f-^_____________C^+-Ldx+( xdx- =
J (1 + Xs)’ (X — 1) J x — 1 J 1 4 Xs J (1 4 Xs)’
= ln ]x—11 — -yin 114- X21— arctg x—y. ууу-4-С.
198
Так как разложение на простейшие дроби часто требует гро-
моздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от ра-
циональной функции полезно производить некоторые преобразо-
вания, делать замены переменных, позволяющие упростить вычис-
ление данных интегралов.
Пример 3.
dx__________г г 1 / 1
(х + 2)«(х-3)» J [ 5 U-3
_ 1 Г dx 1 Г dx_________________________2 С dx _
25 J (х — 3)’ + 25 J (х + 2)а 25 ) £(х — 3) (х + 2) ~
1 1 1 1 2 f Г 1 1 1 j
25 (х —3) 25 х + 2 125 J х— 3 х + 2 J
1 1 1 1 2 1 , о,
25 х —3 25 х + 2 125
+ -^-1п |х + 2| +С.
Пример 4.
Г = 1 Г + dx =
J х2(2 + ха)2 2 J х» (2 + х»)>
_ 1 Г dx______________If dx = /_1_________1 \ dx
“ 2 J х’(2 + х«) 2 J (2 +Xs)’ = 4 J \ x« 2 + x2 /
---L f —dx— —---------1--------‘ L_ arctg —+ C
2 J (2 + x2)2 4x 8(x» + 2) 8/2 /2
Пример 5.
f x3-1 f (x + 2)* —6 (x + 2)a + 12 (x + 2) — 9 dx =
J (x+2)« J (x + 2)«
_ f ^x_______g f dx_______12 Г dx__________9 Г dx
J (x+2)» J (x + 2)4 J (x + 2)* J (x + 2)«
=--------Ll_ + —?-------------2—+—?—+c.
2(k + 2>* (x + 2)* (x+2)* 5(x + 2)*
Пример 6.
dx
X3 (X — 1)8
(1—z)7dz
2®
f 1 — 7z + 21z2 —Збг^+Збг4—21z® + 7z« —z7d?
J г»
199
dz
+ 7
zdz —
1 . 7 7 , 35 35
5z* 4 г4
z3 2z2
z
21 In |z| +
2
dx*
1
Пример 7.
Г dx ______P
J x(l—x3)2 J '
___1 P du
~ 3 J a (1 — a)2 3 J 1 — и \ и ' 1 — a
_ 1 P du
~ 3 J (1 —«)«
x*dx
x3(l — X3)* 3 J x3 (1— x3)»
IP 1 I 1 , 1
1_____
1 — и
Пример 8.
dx
x3 (X» — 2)
xdx
x1 (x* — 2)
dx3
x*(x2—2)
1 P du
2 J a2 (u — 2)
и — 2 — и
u* (a — 2)
du —
du
a(u —2)
+ -L1"
x3 —2
x1
Пример 9. Для
x2 — 1
(x2 + x+l)2
dx —
2OQ
1
YC =
X
4- С.
Пример 10.
1
X3
dx =
x4+3x3+l
x3 X3
1 . x3 — 1 , „
”7Гагс'§^7Г+С'
Пример 11.
Пример 12.
Р Зх7 + 5х3 ___3_ Г d (х8 4- 4) 5 Г dx4
J (х8 + 4)2 ~8 J (х8 + 4)3 4 J [(х4)3 + 4]3
3 _____[
8 ’ х’4
du ____
(u3 + 4)3 —
5 х4 , 5 , х4,
— .----------F -г— arctg-Ь с.
32 х8 + 4 64 2
/• x^dx
Пример 13. Вычислим 1------------,
J (х3 — З)3
Решение.
x2dx (* xdx
----------= 1 X----------------
(х3 — З)8 J (х3 — З)3
1 е xd(x3—3)
2 J (х3 — З)8
201
dx _ 1 Г________________
(х2 — З)2 ~ 3 J (х2 —З)2
1 Г dx 1 (• xdx_________________
3J х2 —3 + V J Х (х2 — З)2 ~
-yd(x2-3)
х-------------
(х2 — З)2
3 — х2 4~ х2
dx —
-^=-1П
6/3
1_
6/3
-Д=-1п
In
/3-х
/3 + х
/3 — x
1 X
= —1—In
б/з
Следовательно,
г* х24х
J (х2 —З)3
4-—1—In
48/3
3 — х
/3 4-х
/3-х
1
24
/34-х
/3 —x
6 x2 —3
1 X
6 x2 —3
X
1
x2 —3
dx
х2 —3
1„|£з±£
12/3 | /3 — х
X
(х2 —З)2
4- C.
Иногда при
Р(х)
Метод Остроградского
интегрировании правильной рациональной дроби
} используют метод, суть которого состоит в выделении ра-
циональной части первообразной. Пусть Q(x) имеет кратные кор-
ни (включая и комплексные). Составим многочлен Q2(x) так, что-
бы все его корни были простые и каждый корень Q2(x) являлся
бы корнем многочлена Q(x). Тогда Q(x)=Q2(x)Qi(x), где корни
Qi(x) есть корни многочлена Q(x) с кратностями каждый на
единицу меньше. В частности, все простые корни Q(x) будут кор-
нями Q2(x) и не будут корнями Qi(x).
Справедливо соотношение
J Q (x) QHx) J Q2(x)
где R(x) и Ф(х) — многочлены с неопределенными коэффициен-
тами, степени которых соответственно на единицу меньше степе-'
ней многочленов Qi(x) и Q2(x). Неопределенные коэффициенты
многочленов R(x) и Ф(х) вычисляются при помощи дифференци-
рования равенства (4). Обычно метод Остроградского применя-
ется, если многочлен Q(x) имеет несколько корней большой крат-
ности.
(4)
202
f* 2x 4- 12
Пример 14. Вычислим \--------------dx.
J (x* 24-4x4-8)3
Решение. Полагаем
С 2x+ 12 = ax+b r cx + d dx
J (x2 + 4x + 8)’ x3 4-4x4-8 J x3 + 4x+8
Дифференцируя это равенство, получаем
2х+ 12 а (х2 4-4x4-8)—(2x4-4) (ах 4-й) j ex + d
(x3 + 4x + 8)2 ~ (x2 4- 4x 4- 8)2 x2 4- 4x 4- 8 ’
откуда
2x 4-12 = a (x2 4- 4- 8) —(2x 4- 4) (ax 4- b) 4- (ex 4- d) (x2 4- 4x 4- 8).
(5)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства (5), получим систему уравнений
с = 0,
О =а—2а+ d 4-4с,
2 =4а—4а 4- 2Ь 4- 4d 4- 8с,
12 = 8а—46 4-8d,
откуда с=0, a=d=b=\. Следовательно,
(• 2x4-12 , -«4-1 । Г dx
J (х24-4х4-8)3 х3 4-4x4-8 J (х + 2)2 4-4
— —-----------_L_ arctg
x2 4- 4x 4- 8 2
2
Задачи
Найти интегралы:
183. У dx
X (X + 1) (x 4- 2)
185. J dx
x2(1 4- x2)2
187. J y2 — dx.
1—X4 *
189. J dx
x*4-1
191. f i dx.
J (x34-x + l)3
193. J dx
(x3 —3x4- 2)3
184. 1 ™ dx
J (x2 — I)2
186. 1 [• dx
) (x2 4- 1) (x2 4- 2)
188. 1 P dx
) x2-? 1 ’
190. I Г dx. ) 1 4-x‘
192. Г dx
J X4 (x — 2)’
194. J 1 4-x6
203
195. ( ' dx 1 x(14-x’)* ’ 198. 1 -» x*-l ) x‘ + X* + 1 - dx.
197. ' ' X* + 1 j L ! dx. 198. 1 ' X*— 1 - dx.
) x* + 5x2 + 1 J X* —x’4-1
199. | l*±±dx. 200. I Г dx
) x»+ 1 I X4 (X* + 1)
201. | i dx. 202. ! P Xu dx.
) (14-xT ) (X« + I)3
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Интегралы вида j7? (sinx, cos х) dr, где в общем случае R — ра-
циональная функция, приводятся к интегрированию рациональ-
ных функций с помощью универсальной подстановки tg —• = t,
при этом
„ X
2 sin —
r, . x x 2 , x
sinx — 2 sin—cos——-------- • cos* — —
2 2 X 2
cos —
2
1
= 2 tg —.
& 2
2t
x ~ 1 4-1» ’
1 + tg=
x
x
cos х = cos* —----sin* — = 2 cos* —------1 =
о
2
2
X
i-tg’ —
1—t*
i + tg’Y
x = 2arctg|i, dx
2dt
Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2)=£ воз-
можно только на промежутках, не содержащих точек вида 2£я,
feeZ. В дальнейшем это подразумевается.
Пример 1.
Г dx
dx
3 sin x 4- cos x
XX X л X
6 sin — cos — + cos* — — sin* —
2 2 2 2
dx
C0S’ f (1 + 6 tg T ~tgl ^2
204
2. —1—- In
2/10 u —3+/10
Подстановка (=tg(x/2), являющаяся универсальной для инте-
гралов от рациональных выражений, содержащих функции sin*
и cos х, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже
рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функ-
ция приводится к рациональной дроби более простым способом.
I. Если R(—sinx, cosx)=—7?(sinx, cosx), то применяется под-
становка cosx=(.
II. Если 7? (sinx, — cosx)—-R(sinx, cosx), то применяется под-
становка sinx=7.
III. Если R(—sinx, — cosx) =7?(sinx, cosx), то применяется
подстановка tgx=7.
Замечание. Любое рациональное выражение R(u, v) всегда
можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотрен-
ных в пунктах I, II, III:
R(u,y) — R(—u,v) [ R(—u,v) — R(—u,—v) t
. R(—u, —1>) + R (a, t>)
+ 2
Пример 2. Вычислим С---------sinxdx----.
J cos2 x (sin x + cos x)
r> sin x
Решение. R =---------------------.
cos2 x (sin x cos x)
Так как R(—sinx, — cosx) =R(sinx, cosx), то, полагая tgx—I,
имеем
r sin x dx P tg x d tg x
J J cos2 x (sin x + cos x) J 1 + tg x
= —In 11 +tgx[ +tgx + C.
Пример 3. Вычислим С---------—---------dx.
J 4 cos2x + 12cosx — 7
r> n n sin 2x
Решение. Пусть 7^=---------------------.
4 cos’ x + 12 cos x — 7
205
Так как R(—sinx, cosx)=—7?(sinx, cosx), то, полагая cosx=t,
имеем
sin 2x
4 cos3 x + 12 cos x — 7
— 2tdt
1 I / 3 \3
—------In | cos x 4-----— 4
4 I \ 2 /
1
COS X —'—
2
7
COS X + ----
2
Пример 4. Вычислим I----------------------------.
J cos4 x 4- sin4 x + 2 sin3 x + 1
Решение. R = -------------------. Так как (sin x,
cos4 x 4- sin4 x -|- 2 sin* x + 1
— cosx) — —(sinx, cosx), то, полагая sinx = t, имеем
f* cos xdx __(•d sin x _______________________
j cos4 x + sin4x 4-2 sin3 x + 1 J 14-sin4x4~(l—sin3 x)3 4-2 sin3 x
_ 1 f dt 1 f < + /2 dt
2 J <‘+l 4/2 J /34-/"|/24-1
1 C t — V2 di 1 |n sin3X4-/2sinx4- 1
4 /2 J I3 — t /2 4- 1 8/2 sin3 x — / 2 sin x 4- 1
4------ [arctg (V2sinx + 1)4- arctg (V'2 sinx—1)] + C.
4/2
Иногда, если это не нарушает рациональности подынтеграль-
ного выражения, полезно понизить степени sin х и cos х, исполь-
зуя переход к кратным углам.
Пример 5. Вычислим f---------—------.
J sin8 X + COS8 X
Решение. Применяя формулы
„ 1 4- cos 2х . « -1 — cos 2х
cos2 х = —!-----, sin2 х=--------,
2 2
имеем cos’ х + sin’ х = -i- (1 + 3cos2 2х).
206
Полагая tg2x=+, находим
с dx________________ г 4dx
J sin’x+cosex J 1 — 3 cosa 2x
= arctg-^~ + C.
——— = arctg — + C —
Za + 4 2
Рассмотрим некоторые специальные методы.
n с rt Г sin х — 3 cos х ,
Пример 6. Вычислим \----------------ax.
J 4 sinx-)- 5 cos x
Решение. Представим числитель (sinx—3cosx) в виде ли-
нейной комбинации знаменателя (4sin x+5cos х) и его производ-
ной, т. е.
sin х—3cos х=А (4sin x+5cos х) +В (4cos х—5sin х).
Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему
i 1=4Л —5В, Л П о 17
I—3 = 5Л + 4В, 41 41 ’
поэтому
C sinx — 3cosx 11 C 4 sin x 4 5 cosx _______
J 4 sin x+5 cosx 41 J 4 sinx+ 5 cosx
17 P d (4 sin x + 5 cos x) 11 17 , . . . , e , , „
------\ 1—-------------x-------In 4sinx + 5cosx +C.
41 J 4sinx + 5cosx 41 41
2 sinx + cos x — 1 &
sinx — cosx+ 2
Представим числитель (2sin x+cos x—1) в виде
Пример 7. Вычислим
Решение.
линейной комбинации знаменателя (sinx—cos х+2), его производ-
ной и константы, т. е.
2sin x+cos х— 1 = A (sin х—cos х+2) +В (cos x+sin х) +С.
Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему
2 = Л + В,
1 = _л + в,
. —1 =2Л + С,
3 1
откуда В = —, А = ~, С ——Поэтому
S2 sin х + cos х — 1
sin х — cos х + 2
COS X + sin X
sinx — cosx + 2
з
+ — in | sinx—cosx + 21 —
sinx — cosx4- 2 <
-------------— dx +
sin x — cosx + 2
f* dx
sin x — cos x + 2
1
= — x
2
207
dx
. X X X „ X
2 sin — cos---------cos® — + sin8 —-
2 2 2 2
-j- 2 sin1 — + 2 cos’ —
T 2 2
x
d —
IS p 2
= — x + — In I sin x —cos x + 21 —4 \------
2 2 1 J x l x x \
cos’ — (3tg3 * 5 — + 2tg— + 1^
3 tg — + 1
= -i- x + In|sinx—cosx + 21 —2 V2 arctg-------------1- C.
•—у о n g 2 sin8x4-3 sinx cosx4-5cos’x ,
Пример 8. Вычислим \1--------------------—----- dx.
J sinx — 2 cosx
Решение. Представим выражение 2sin2x+3sin x cos x+5cos2 x
в виде
2sin2x+3sin x cos x+5cos2x = (Л sin x+B cos x) (sin x—2 cos x) 4-
+C(sin2x+cos2x).
Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему
12=Л+С 9 3
{3 — B—2A, откуда Л =--------- B=-------- С
I - ’ 5 5
(5 = — 25 4-С,
Поэтому
Р 2 sin8 х 4- 3 sin х cos х 4~ 5 cos2 х _
J sin х — 2 cos х
19
5
9 3 • , 19 p dx
— — cos x-------sin к -|-----i ------------
5 5 5 J sinx — 2cosx
3
9 3 . Е
= — cosx------sin X -
5
5
2rftg —
X X
2tg2~,+ 2tg-y -2
9
=— cos x —
5
3 . , 19 .
-- Sinx 4---1П
5 5/5
x 1 /5
tg — 4- — —-----
s 2 2 2
x x 1 /5
g 2 + 2 + 2
+ С.
Задачи
Найти интегралы:
203. f—-—.
J 3 4- sin х
dx
1 4- 5 cos х
208
dx
205.
207.
209.
211.
213.
215.
217.
219.
221.
223.
225.
227.
229.
sin x 4- 2 cos x + 6
dx
sin2x—sin2x
dx
1 4- cos2 x
sinxdx
cos2 x — 3 cos x 4- 2
cosxdx
cos2 x — 5 cos x 4- 6 ’
sin 2x ,
--------------- dx.
sin’ x 4- cos1 x
-----1---dx.
--------------- dx.
2 sin x + 3 cos x
cos 2x .
---------dx.
1 + COS2 X
—— dx.
sin x + 3 cos x
sin 2x .
---------dx.
1 + COS1 X
^+^-dx.
(4 4-tg2x) tg3 x
2 sin x -f- cos x
(2 cosx — 3sinx)2
206. Г* cos X dx J 2 — cos x ’
208. ( &х
J 1 4- sin2 x
210. (* dx
J (sin x 4- cosx 4- 1 )2
212. {* sinxdx
J sin2x—3 sin x 4-2
214. C cos 2x dx
J sin1 x 4-cos1 x
216. P sin2 x cos x
j sin x 4- cos x
218. C dx.
J 1 4- ctg x
220. C-™2x_dx.
J 1 4- sin2 x
222. (* cos 2x dx
j sin5 x cos x 4- cos5 x sin x
224. e c°f.x....dx.
J l 4- COS2 X
226. C dx
J sin1 x 4-cos1 x
228. f“ s‘n * + cos x 4- 1
J 2sinx4-cosx 4-2
9ЯП [* 1 4-3 sin2 x 4-2 sinxcosx
J sinx—2 cosx
dx.
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
I. Интегрирование функций вида | х 1/ [ где R — ра-
\ ’ у ух 4-6 Г
циональная функция двух аргументов, т — натуральное число,
а, ₽, У, б — некоторые константы.
При интегрировании таких функций полагают
тогда х будет некоторая рациональная функция <р(/)
ах + $ —
ух+ 6
и интеграл
запишется в виде
где подынтегральная функция есть рациональная функция t.
Пример 1. Вычислим Г ---1- dx.
J х2— ух
209
Решение. Положим Ух==/, тогда -=dt, т. е. dx=2tdt
2 у х
^±J-.2t dt = 2{ dt.
t*- — t J /3—1
Разлагая рациональную функцию
1±1
/3—1
в сумму простейших дро-
бей, имеем
/х + 1 . 4 с dt
—-----'-= dx = — \-------
х2 — /х 3 J t — 1
£
3
dt = —In | Z—11 —
—— In | /а + / + 11 + C = — In -<3--..2L+L + C •
3 1 ' 3 /* + < + !
^_g_ln/~2^!_+J- + C.
3 x+2/x+l
Пример 2. Вычислим С —.
J /х + /х
V — x~3/4
Решение. Положим у x=t, тогда —^-dx = dt, т. е. dx=
~4Pdt и
С---—=4 С <3-dZ- = 4 С-^- = 4 f (t— 1 +—— \ dt =
J V'x+ fl J t* + t J / + 1 J \ t + 1 /
= 4 ---f j. In 11 + 11 j + C = 2 Ух—4 >/x + 41n|-j/rx+l| + C.
f* dx
Пример 3. Вычислим 1 -.
J /(x-1)’ (x + 2)ь
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду
______1_______ 1 4 / / х + 2 \ »
У(Х— 1)3 (х +2)3 (* + 2)2 V \ — 1 /
х I ~ 2
Полагая - —/4, имеем
х—1
2-Н4 , п З/4 , — 12/з
х——i, х + 2=----------, dx —---------dt,
ti— 1 Р— 1 ’ (/«— 1)3
тогда
?________dx______ Г 4 / / х + 2 \з dx __
J У(х—1)3(х + 2)з J у \х —1/ (х + 2)2
210
/3 ««-!)* (-12<») Г____4_
9/« ’ (Р —1)> J 3
dt 4 1
Р ~ 3 ’ I
? Г х — 1
R(x) г>! \
, <> гДе Ж*) —
II. Интегрирование функций вида
рациональная функция.
Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть — много-
член Р (х): R (х) = Р (х) +— и раскладывая дробь - ' j
в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций
R (х)
' приводится к вычислению интегралов следующих
типов:
a) f f dx, Р (х)—многочлен;
J У ах2 + Ьх + с
б) \ ---------г —, А—константа;
J (х — а)* уах2 + Ьх + с
в) С--------<~Мх М, N—константы и трехчлен
J (ха + рх + q)m у ах2 + Ьх 4- с
хг + рх-у q не имеет действительных корней.
Укажем методы вычисления этих интегралов.
а. Можно показать, что первообразную для функции
Р (х) п/ х
—т-, где Р(х) — многочлен степени п, следует искать
У ах2 + Ьх Ц- с .
в виде
f р (х) = Q (х) /аха + дх + с 4- X С -7- dx . , (1)
J у^ ах2 + Ьх + с J Y ах2 + Ьх -р с
где Q(x) — многочлен степени (л—I) с неопределенными коэффи-
циентами, X — неизвестная константа.
Коэффициенты многочлена Q(x) и число X находятся при по-
мощи дифференцирования тождества (1).
Пример 4. Вычислим (* —\х ~ dx—,
J /x’ + x+l
Решение. Полагаем
t z Л2) = (ах> + ^ + о V*8 + 1 4- Ь
J у X2 4- X 4- 1 J у X2 4- X 4- 1
211
Дифференцируя это тождество, имеем
=<2ах + ь> +
У х2 + х + 1
(ах2 + Ъх с) (2х 4- 1) X
2 /х2 + х + 1 + /х2 + х 4-1 ’
откуда
2 (х3—2) = (4ax+2b) (х24-х4-1) + (ax2+bx+c) (2x4-1) 4-2Х.
Для нахождения неопределенных коэффициентов а, Ь, с и X полу-
чаем систему уравнений
2 = 4а 4- 2а,
О = 4а 4- 2Ь 4- а 4- 2Ь,
О = 4а 4- 2Ь 4- b 4- 2с,
— 4 = 2&4-с + 2Х,
1 , 5 1 . 25
откуда а = —, Ь=—---------, с =------, л =------.
3 12 24 16
Следовательно,
б. Интеграл вида f------"==7-----=- подстановкой (х—<х)=—
J (х — a}ky^ax2 4- bx 4- с t
приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте.
Пример 5. Вычислим С------/ .
J х» /х2 4-1
Решение. Положим х=-у, тогда dx ——^-dt и для f>0
имеем
г dx _ _ f fidt_______________Г ttdt
J Xs/хПЛ ~ — }кг+т>~~
Ч/1 + 7^
= — С - -1 dt = — С yFTT dt + С =
J Vi2 + 1 J J /1 4- ia
212
= _/.<1 +L*—Lin|/ + )<1 +/a| + inU + Vi + *2I + c =
= _^yi+f?+2-in^4-yi + <а| + с, / = —.
2 2 1 *
в. Рассмотрим вычисление интеграла
Р Л4х + N dx.
J У ах1 Ьх с (х1 4- рх J- ?)т
Предположим вначале, что
ахЧ-Ьх+с—а (x2+px+q).
Тогда
Г________Afx4-jV_ dx = Г (Л11Х4-^) dx
J (х! 4-рх 4~ <?)m Уаха4-йх4~с J (ха + рх + </)т+1;'2'
Поскольку
М.х 4- Л\ = (2х 4- р) + Л\-^,
то
Мрс 4- . г Г d (X» 4- рх 4- <z)
(ха 4- рх 4- <?)т+1/2 1 J (х« + Рх + <7)'п+1^2 +
________dx_________
(х«4-рх4-<7)'"+1/2 ‘
Первый из полученных интегралов табличный.
гг С dx
Для вычисления интеграла j ———^т-р'/г применяется
подстановка Абеля: t — (1/х2 4- рх 4- q) .
В общем случае, т. е. если отношение трехчленов ах24-Ьх4-с и
х24-рх4-р непостоянно, в интеграле делают замену переменного
так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли
члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью
дробно-линеинои подстановки х|= ,
, Ь , р ь
если р=/=—, и x — t----если р ——.
а 2 а
В результате получаем интеграл
Г------di.
J (Р 4- Х)т /б/2 4- г
Для вычисления этого интеграла представим его в виде
Г Aidt , nf dt
,_______4- В .-----------------------
(Р 4- X)"1 У 6/14- г J (Р + X)m /&Р 4- г
213
К первому из этих интегралов применяем подстановку и =
а ко второму—подстановку v = (У S/2 + г).
Пример 6. Вычислим \ - - ---.
J /(х* + х+2)*
Решение. Полагаем
< = (Уха + х + 2)'
2х + 1
2 ><х2 + х + 2 ’
тогда
4/а (х2 + х + 2) =4х2 + 4х + 1 =4 (х2 + х + 2) —7,
откуда
хя + х + 2 =
— 7
4/2 —4
Дифференцируя равенство
t Ул2 +% + 2 = х+ -у,
имеем
dt Ух2 + х + 2 +
(2х + 1) / 4х
2]/х« + х + 2
= dx,
откуда
dt У ха + х + 2 + /а dx = dx.
Итак,
dx dt
/х2 + х + 2 1 — Р ’
поэтому
Г_____dx_______Г dx_____________1______
J (х2 + х + 2)5/2 J >/ х2 + х + 2* (х2.+ х + 2)2 ~
= Г _4£_ (4Г^4)2 = J16, Г (1_/2)Л== _16_ /1 _ X
J 1 — /2 49 49 J ' 49 \. 3 /
_ 16 Г 2х+ 1_________1_ / 2х+ 1 \ з 1 с
~ 49 [ 2 Ух2 + х + 2 24 \Ух2 + х + 2/ J Г
Пример 7. Вычислим С-------
J (х2+1)/х2 + 2
Решение. Имеем
С-----х+2_____ dx = (------+ С----------------
J i(x«+1) Кх2 + 2 J (х2 + 1)Ух2 + 2 J (х2 + 1)Ух2 + 2
214
______xdx_____________1_ P ______du_______
(x84- 1) /FT2 2 J (u+ 1) /«+"2
-In
2
/х> + 2^+ 1 I
1 P 2г dz
T J (z»-l) г
Для вычисления интеграла . j i'ljiT положим
t = (Ух9 4- 2)' = —г^=г.
v ' /х«4-2
Тогда t9 ——-—, т. е.
х«4-2
х9 = 2i* ty^ + 2=x,
I — /8
dt-yx9 + 2 + -f^=.-=dx,
И /х» + 2
dx
/FT2
di
1 — P '
Следовательно,
2dx = P ’2dt___________1 = Г 2dt =
(xs+l)/x» + 2 J 1 — P ' 2P t J 1-W«
1— P +
= 2 arctg 14- C = 2 arctg
и
f—«+’-Л=Х1„ *44^ +
J (x»4-l)/x«4-2 2 /x*4-24-l
+ 2агс187Йт+С'
Замечание. Интеграл J г"^~ на пРомежУтке >0
. _ 1 Г r—da1
(x < 0) заменой и — — приводится к виду I- ..—
x« J (a 4-1) у 14-2u
Пример 8. Вычислим f +x + . 2- dx.
J (x3 4-1)/**4-1
I. I. __ у
Решение. Выделяя из дроби з~—------- правильную часть(
имеем
х44~х34~4х —7 = х j Зх —8
х’4-1 х» 4-1
215
Разложим дробь —— в сумму простейших дробей
х3 4~ 1
Зх—8 _ А 5х J- С
х34-1 х 4- 1 х* — х 4-1
откуда Зх—8=Л (х2—х4-1)4-(Вх4-С) (х4-1). Полагая в этом равен-
стве х=—1, находим А=—11/3. Из равенства Л4-В=0 и А+С=—8
. D И „ 13
находим А — — В—-------С =--------
Следовательно,
11
f2?.+ ^4-4x-7.dx== ГГ..................~ АД_ +
J (х®4- 1) /х» + 1 J;/x24-l J (х + 1) Vх3 + 1
, 1 С Их—13 ,
4---I------------.— - dx,
3 J (xs —х+ 1) КXs 4- 1
j -pF=- dx = V^+l + 1п | х 4- У^+Т| 4- С.
Для х 4-1 > 0 имеем
'dx
dx
И
И
3 J f 2 2
(x4-l)s 1/ 1 —--4-------
V x-l (^D*
и_____________________
3 J /1 — 2u 4- 2us ~
du
И i
= —I11
3/2
Таким образом,
Г x4 4- x3 + 4x — 7
J (x’4-l)/xs+l
1__________[
4- 1 2
— 4^-----—
+ 1 (x+D2
И i
-----=- In
3/2
1______1_
4-1 2
(x+Da
Их— 13
dx =
з
---7=- In
3/2
1
(X4-1)3
Уб (xs+l)-/2 (x+1)
2 , i / Xs 4-1 4 ,
----arctg I/ -----------y=- In
3 Г (x—l)s /3
Вычисление последнего интеграла разобрано в следующем при-
мере.
Пример 9. Вычислим f-----------Их — 13
J (х*-х +1)У.
dx.
216
Решение. Так как отношение трехчленов х2—х+1 и х2+1 —
at + р гр
не константа, полагаем х =-Тогда
/+1
Г» Г. 1 а’/’ + 2аФ + р’-(а/ + Р)(/+1) + <« + 2,+ 1
U + ip
Приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе полученной
дроби, имеем соотношение между аир:
2ар—а—р+2=0.
Поскольку
Х2 , 1 = а2/2 + 2«/р + р2 +/2 + 2?+1
(<+1)2
то, приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе этой дро-
би, получаем еще одно соотношение между аир: 2ар+2=0. Из
системы
( 2аР—а—р + 2 =0,
( 2ар + 2 = 0
находим —а=р=—1.
Следовательно, в данном интеграле надо сделать замену
х =-------. Тогда имеем
t + 1
х-
<8 + з Х2 + 1=_2^±2_
(* + 1)2’ (/+1)2’
поэтому
,. io — 2t — 24
Их— 13 —-------
dx —-------dt,
(/+D2
____Пх— 13
(x2 —x+ 1)У
dx —
(/+12) dt
(/» + 3) / /2+ 1 '
Далее, имеем
f tdt
/2 + 3
du
u2+ 2
1 + “ , * 1 i V t2 +
= —— arctg ——- + C = —— arctg----------------7
/2 /2 /2 /2
dt
Для вычисления j —г сделаем подстановку г = (У2 -f- 1)'.
тя dz dt ,2 , о 3 — 2z2
Имеем -------= —т=, /2 + 3 =-------------,
1 —г2 y/2+l 1—z2
217
at
dz 1 1
--------—----------In
3 — 2г2 2/6
—i-r In
2/6
/з/а + 3 + /2 t
Следовательно,
llx— 13
(x2-x4- 1)/"
dx = —2 arctg -—
/2
— 4/3 In
/3/2 J- 3 + /2 t
/3i2 4- 3 —/Т t
J. Л -r 1
где t =~—
1 — X
+ C =
/3—1/2
Задачи
Вычислить следующие интегралы:
dx.
x'dx
dx
х2
' Л ° dx.
x2 + 2
^Л3+бх-7_ dx_
dx
dx
(x’4-x)3/2
_________* 1 ___________dx
(x2 — 1) / x2 — 2x — 1
241.
X2 — 1
dx.
х— 1
x- -t- ox -t- 1 .
(x2 4- 2x — l/2
.----- dx.
(x2+ 1)^3 —x2
dx
dx
246.
x— 1
dx.
dx
dx
/2x — 1 — у2x — 1
dx
(X— 1) frx
dx
(3 —x) /1 —x
3
218
251. f х V ——dx.
J F x —3
252. f---------L±J^----------dx.
(.V* — t/'x) J/'x3
§ 8. ЗАДАЧИ НА РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
253. | ’ dx 1 xlnx — X 254. dx. J у X2 in X + X3
255. | р dx 256. P x2dx
| (а2 —х’)3/2 ‘ ) V a2 + x2
257. 1 “ dx 258. f-*3+1 dx. J x2(l—x)
1 e2z + 6
259. 1 * x2dx 260. f dx
J (1 +x)2(2 + x)2 ’ J (1 +x)3 (1 —x)2 ’
261. I —r - dx. ) Kl+x2 262. । p dx
J (x—I)2 / x2 + x•
263. । P dx 264. f COS3 X J | dx. ) sinx
J sin’x
265. P sin2 x , I dx. J cos4 x 266. j xa cos xdx.
267. f—— dx. J sin2x 268. f-^—dx. J sin4 x
269. f x In — dx. J 1 + X2 270. f dx
J (x+1) (1+x2)2 •
271. Г dx 272. f dx
J (1+x2)2 (2 + x2)2 ’ J 2 + sin x 4- cos x
273. p dx 274. f cos X dx
J sin2x—-5sinx-|-6' J cos2 x — 3 cos x Ц- 2
275. p sin 2x dx 276. p dx
J sin4 x — cos4 x J sin x • sin 2x
277. P cos4 xdx J sin3 x 278. J x arcctg x dx.
279. xa arcsin x dx. 280. j x3 arctg8 x dx.
281. fb p*x \— dx. 282. p dx
е2* + 1
219
283.
285.
287.
289.
291.
293.
295.
297.
299.
301.
303.
305.
307.
308.
309.
311.
313.
_ A
x® (1 4- xa) 2 dx.
dx
sin5 x cos2 x
dx
sin8 x cos2 x
dx
3x4-2
+2 6/x)2
______________ dx.
V 3x2 — 6x4- 13
— dx.
2
dx
(x—l)(x — 2)(x—3)(x — 4)
3x2 + x — 2
(x—l)3(x24- 1)
2x3 — 1 ,
-------- dx.
(2x-(- I)5
dx
(x2— I)3 ’
dx
x3 (x2 4- I)2 ’
x’dx
x*dx
X
dx
dx.
2
(2 sin x — 3 cos x — 5)2
dx
cos3 x ,
-------dx.
sin4x
з — „ 4
Z?+2/*-----dx
- ( r- , 3,—\2
5x — 1 ,
—/ .... dX.
/ 3 — 4x»4- 8x
________dx_________
2 sin x 4- 3 cos x 4- 5 ’
dx
— dx.
>3
294. „
J (x—1)/ 4x2 —10x+7
x« — 1
dx.
X3 — X2 + X — 1
300. - * dx.
J (x- 2)4
302. f 2j^8~1- dx.
J x(x=+l)
304. f LL+2*!.l dx.
dx
x3(x2 —4)
dx.
-— dx.
xdx
(x2 —3x4-2)/x2 —4x + 3 '
cos4 x dx
sin x (cos5 x sin5 x)
314.
xa — 1
(2x2 — I)2
dx.
220
315. Г (xs — l)dx 316. [ dx. J (Xs—1)/ 14-Xs
j (x* + x + l)3
317. f dx 318. P dx
J (x—1)°/2-х» J (X4— 1) / 1 —Xs
319. j x4 yi + x2 dx. 320. p dx
J X4 У 1 — Xs ’
321. 1 arcsin 1 / —-— J V x+1 dx. 322. P x5dx
J 2 — x3 — xe ‘
323. f — dx. J X /х4— 1 324. P dx
J sin x cos3 x
325. tg5xdx. 326. p dx
J sin4 x cos2 x
327. ctg3xdx. 328. P sins x , I dx. J cos’x
329.. P COS4 X , I dx. J sinx 330. P dx
J sin4 x cos4 x
f x — 2>/x) (x-Hr'x2)3
331. dx. 332. C^_£+J_+±_£±J_^_ J (x+l)(4-,/ x+1 )
333. P dx 334. p cos x dx
J (xs + 3x + 2) /3- -4x + xs ’ J sin x — 5 cos x
335. P dx 336. P dx
J sin x 4- tg x J COS X + tg X
337. P dx 338. (* d* J cos x + ctg x ’
J sin x 4- ctg x ’
339. P cos x dx 340. C *3 + 3*.+ i dx. J (x2 + 2x — 1)5/2
J cos3 x + sin3 x
341. f dx 342. p sin5 xdx
J (x2+ 3)5/2 ’ J cos X (cos3 X + sin3 x)
343. P xdx 344. Г r—— - - - (a=#0)
J У1-/1—Xs J x (/ 3 a + p x2 — a2)
345. Г — ~1 dx. J X3 + 1 346. f dx. J x« — бх4 — 5xs + 1
347. P dx 348. p dx
J x6 (1 4-x8) J x(l+x4)2 •
349. J (l+xs)3 350. C dx. J (X4-1)2
221
351. j In (—x + y'l + x3) dx. 352. J (ex—sinx)3dx.
353. J (arccos x)3 dx. 354 C x —2 ex dx
J (1-x)3
355. \— x arcsin xdx. J У 1—x2 356 f cosxd*
J sin3 x — cos3 x
357. C sin3 x cos3 x dx J (sin3x + cos3x)3 35R C dx
J sin* x — cos’ x
OEQ Г ^X 360 C 2 sin x — c°s x 4- 3 J 3 sinx 4- cosx 4- 1 dx.
J 3 ctg x + 2 sin x
361. C 2 si^+co^ dx. J sin x 4- cos x 362 (* cosxs*nx—sin3x J 2 sinx 4-3 cosx dx.
лез C dx 364 C xs 4- 2x3 4- x — 1 J У x1 4- 2x — 1 dx.
J (x + l)‘/x3 —2x '
365. C _K^_+£±2_ dx. J * 366. j x3 Vx2 + 4x dx.
367 C dx 3RR C dx
367’ J (x3 + x4-l)7/2’ J 24-Kx
369. f JL+Yk. dx. j 1— Vx 370. C dx. J 1 4- У’х
371 С dx 372. f 1/ (x+ 1)5 dx. J V (x-1)2
X3 (x+ I)3
373. C -7jL=.- dx. J У x+1 374. C l~^x- dx. J у x 4- 1
з?5. у у ;y dx. з76- X l:
377. f 1 Х.УЗ dx. J l + 3/x Q7R f 'xdX—
J у x4-2 4-У X4-3
374 C ( 1 x 3/2 dx ЧЙП C dx
0 i У • i 1 1 И 14-Х/ c c c x ! *i X“ X 1
381. f 1-~2x_- dx. J (1—З/х)3 qco C dx
\ 2 J / (x-l)3(x4-l)
383. №x 4-3 dx J X3 — Ух 384. ? 1 _fx-- J Ух dx.
222
386. С -.. х—1 dx.
J /х+1 +3 / (1 +Х)з
387. С--V Х+1 +2------ dx 388. Г------------dx-------.
J (х+1)2— И х+1 J У (Х_2)3(х+ 1)<
38g С____________(sin х — cosx) dx_____
J (sin x +cosx)/ sin x cos x + sin2 x cos2x
_______dx
sin3 X + COS3 X
____________dx____________
COS2 X Ц-COS X- / sin X COS X
J^ + 2L.dx.
(x + 3)2
392. C_±—dx.
J COS4X
f* X sin X + COS X dx
J x2 X'
395.
J x\x—11 dx.
396. J |1— 4x2|dx.
397. J min (Ух , 2) dx.
399. f max (4—x2, 2)dx.
398. ^max(|x|, 4)dx.
400. fmin{5—x2, 1, x2}dx.
Ответы *
12
1. 4x—8x3/2 + — x2. 2. — x5/4 + — x 13.
2 5 13
3.----------|-2 In |x| + x.
X
4. ln|x|-------— . 5.---?—[-31n|x| +3x+ . 6. — x +
x 2x2 x 2
. lil 1+x ™ .7 . x „ 1 , x—/ 3
+ —In —. 7. — x-I-----— arctg—8. ------—In --—
2 I 1-x y3 y3 8y3 x + /3
1 ,
-----— arctg x.
9. — In
4
x— 1
X + 1
-----— arctg x. 10. arctg x — .
2 x
11. 2arctgx + In | x |. 12. arcsinx + In | х + У1 +x21. 13. In | x+
+ 1/ x2 — 1 | — In | x + V x2 -|- 1 I . 14. —arctg 1/ -2— x.
Уб r 3
15. --L__ in . 16. arcsin—^. 17. —l—ln|V2x+
2/21 /Зх+И7 /2 /2
+ / 2x2 + 5 | . 18. In | /У x + /3x2^7’ | . 19. ---
2 • 10х 4х 2() __1____ / 1 x 27 /IV 2J 3Qx.
In 10 In 4 ’ ’ 2 In 9 \ 9 ) In 4 \ 4 ) ‘ ln30
* В ответах этого раздела ради краткости произвольная аддитивная по-
стоянная С опущена.
223
ЗЖ
22. (—V----?--. 23. -^~ + ех + х. 24. -L_ + 2
\ 5 / 32 2 In 2 3 J
ln-v
25. — х— 26. 2L + 2!ILL 27. tgx— ctgx. 28.--- tgx —
2 2 22 ьь 4
----j-ctgx. 29. —x — ctgx. 30. tgx—x. 31. —cosx + sinx.
32. 2shx—3chx. 33. —thx + x. 34. ln|x—1|. 35. L ln|2x + 3|.
36. In I * + 2. I. 37. — In I L—LLI 38. x + in|l+x|. 39. — tx —
I *+3 I 3 I x+2 I 1 1 2
----— ln|l +2x|. 40. LzlIL 4i. JL (2x+-5)18. 42. ~(1— Зх)’29.
1 ~16
43. — V 1— 2x . 44. (1 + 3x 5 ). 45. -L (1 + 4x) 15 .
46. _L {x —2)’ +4 U-2)6. 47. -L (1 - 2x)“----------L (1 - 2x)3/2.
48. — (x—2)5/2 + ——(x—2)3/2. 49. — (i + зх)3/2 (1 + 3x)'/2.
5 3 27 9
50. Iх + 1)2 -2x+21n|l+x|. 51. -L x2+у x+-j- In | 2x —1 |.
52.----Ll(i „X)ii + 2(1 — x)w — (1 —x)9. 53. Vx2 —2 —
— 4In | x-+ V*2—2 |. 54. у—H 21n|x2—4|. 55. -L arcsinx2.
56. 3/x2 + 4 — ln|x+Vx2 + 4 |. 57. Vx2 —10+21n|x+Vx2 —10|.
58. -L-arcsinxV2 +2V1 — 2x2. 59___-(1 —x2)3/2. 60.----(1— x2)8.
If 2 3 2
61.—arctgx2. 62. —L-ln . 63. —1/3+x5 64. ——-—.
2 6/5 xs +/5 5 j ,41n4x
65. 2Vlnx. 66. In |lnx + 3|. 67. ~ arctg 68. Lin5/3 x.
69. —ex—2In| ex—1|. 70. ln(l+ex). 71.----------^-cos5x. 72. ^sinp-x.
5 7
73. -Ц —L cos(a—₽) x--Lcos(a+P)xl 74. L-[r-L sin(₽—a)x +
2 [a — p a + P j 2 [p — a
+:~T+sin(“+P)x] • 75- 4" [ sin(₽—a)* —sin(a+ ₽)*].
a+P J 2 [p—a p+« J
76. —L sin ax---— Г —!— sin (2 — a) x 4-— sin (a + 2) x I .
2a 4 [ 2 —a ' 7 a+ 2 J
224
77. 3 8(₽-l) cos(0- —l)x 8(f 3 s(P+ l)x- cos (3+6)x— 8(0 + 3)
+ 1)''''
—— — cos(0—3) 8(0 — 3) ' x. 78. 1 a — COS X2 2 . 79. 2sin"|/x . 80. In| l+sinx|.
81. — — sin 2x. 2 4 82. У —-sin2x. 83. — 4 2 X- 3 -cos 2x + у sin 2x.
84. sinex. 85. 2/2 /2 -{-sinx У 2 —sinx . 86. 7 -ctg7x. 87. -J-tg8x. 8
88. vln I o 1 3x "Г . 89. In . f A \ Л \ 4 / 90. — In | cosx |.
91. In | sin x |. 92. tg-f-. 93. -U-lnl /2 1 . / X , я -) . 94. 1 . 2(x+sinx)2
95. ——4sin2x. 96.—ln|cosx+Vl+cos2x |. 97. ln|l + tgx|.
98. —ctgx + ln|l +ctgx|. 99. -yarcsin-у Л Ю0. yarcctg23x.
101. -yln(l + 4x2) +y- arctg3/2 2x. 102. -y (arcsin2x + arccos2x).
103. V 1 —4x2 н arcsin4 2x. 104. — /1 —x2 — arccos5/2 x. 4 8 5
105. — sh2x ch2x. 106. — 2 • 9 2cth2x. 107. — xcosx + sinx.
108. x2 1 1 3 3 1 1 xsin2x 4 cos 2x. 109. — sinx xcosx sin3x+ 4 4 8 4 4 36
+ —у x cos 3x. 110. xtgx +Injcosx X2 . 111. xctgx+ln|sinx|.
112. X 1 1 ± / X л •, In tg 1 cos x 1 \ 2 4 / . 113. x In2 x — 2 x Inx +• 2x.
114. L. 115. —ln(l+x) x. x 3 y3 y2 I 1 9 + 6 3x+3ln(l + x>.
116. — In f 1 + — i + — x L In 11 + x |. 117. — arctgx . 2 \ x 1 2 2 1 2 2(1Ц-х2)
118. -yV2—x2 -|-arcsin-py-. 119.- j-Vx2+ 3 + y-ln|x+1/x2 +3 |.
120. xarctgx+-i- In (1+x2). 121. xarccosx—У1—x2. 122. у arctgx—
---+ M1+x2)- 123. -y-arcsinx—у arcsinx + -у У 1—x2.
124. 2x arctg x —In (1+x2)+-1-arctg2 x. 125. - sln eax-
126. -^ + _y.cosL2J.P31+2.^in <21nx) . 127. tgx-Incosx + tgx —x.
2 10 6 5
. nc x2 1 1 ---Г • <nn 3 sin2x . sin4x
128. ---arccos-------Vx2 — 1 - signx. 129. —x----------I-----.
2 x 2 * 8 4 32
9 И. А. Виноградова
225
130 x _______ s*n 4* sin8 2x
16 64 48
+ ^-sin4x. 132.
64
. COS7 X
+ ~-
136. — -L ctg3
138.--------!----
2 sin2x
___3 sinx
8 cos2 x ' 8
----— ctgBx. 141. —
+ 1. 143. ——
4/1 3 cos3 x
+ -j ctg2x+In|sinx |. 145. — ctgx+2 tgx-t
3 5
sinx , 1 .
134.----------1----In
|2 cos2 x 2
x. 137.--------
3
- 3 In | sinx | +~
3 i_ x я
T +T
— ctgsx + ctgx-bx. 142
3
2
COS X
131. ——— x 4-—- sin2x---— sin8 2x4-
16 4 48
3
133. —cosx + cos3x-----cos5x +
5
135. — tg4x.
4
( — 4- —П-
\ 2 4/1
139. sin*- +
4 cos4 x
— ctgx —ctg3X —
о
sin x 1 ।
2 cos2 x 2
cos x 5 i I . x i л л
----------In tg— . 144.
2sin2x 2 I 2
tg3x
sin2x----J- sin*x.
4
1 . И0.
ctg4* ,
4
146 x(x24-a2)3/2
3 ’ 4
---y-x-|/x2 + aa —-y-ln|x 4-l/a2 + x2|. 147. —(a2 — x2)3-72 4-
। aS т Г5--5 , cfi x 14o x (x2 — a2)3^2 , a2 _ /-5-»
4-----x Vx2—a2 4-----arcsin—. 148. —-----------1---xl/x2—a2 —
8 8 a 4 8
—y-ln|x + ~^x2—0,21 149. V a2 — = arcsin—. 150. x 4- x2 a
, a2x 3a , 4 arctg 2(a24-x2) 2 —. 151. a a2 f x 152. —(ex 4- 1)3/2. a2 4-x2 3
153. In r4-^-1 У 1 4- ex 4-1 12 154. 2 7 "7 — 3z4, z = У 14-
ter 1 1 1 z~~ 1 । 2 15o> In -f- 7 1 z+ 1 7 1 4Л- arctg z, z = y 1 4-x7. 156. — 2y/(x-3/44-l)2.
157. 6 (|^x —arctg y^x ). 158. L _ 8 4 + 3-27з- 159. —— X x(2 4-x3)2/3 In 5
5V* • Vx------). 160. 2 (3x—6) cosVx 4-2(xVx—6 V^)sinl/^-
In 5 /
161. In (x2 4-x 4-3)—JSLarctg-^-. 162. -±ln|x2-2x-3| -
---Lin|-izzl 163> _3yx2 + x+1 +_LLin|x + —4-Vx24-x4-1 .
4 I x-Ь 1 2 I 2
164. — 4 Vl 4-x—x2 —9arcsin -2x~J- . 165. — V 1—Inx—ln2x’ 4-
/5
4- — arcsin 2 lnx_+1. 166. V^+^^14- —lnfeY4-—4-Ve27+F+lV
2 V 5 2 \ 2 )
226
167. arcsin sin* + 2 . 168. — In(eix 4- 2ex + 4)-1=-arctg -' + 1
Уб 2 ’ /3 /3
5 . 2x — 1 1 . . . 2 , .. , 3 . 2x* I 2— 1— /5
—---arcsin—7=—. 174. — In —1—x24-x* 4-In ----.
16 У 5 4 4/5 2x»-l+/5
175. — — /1 + xa + x4 + — In | x2 + — + V 1 + x2 + x* I.
2 4 | 2 j
176. l_lnlx4-x2 + 5| +_L_arctg^L. 177. __LX
Xln| 2 + *3 + 2-^
—. 178. /x2 + 3x+l +-L ln|x+-|-+
I 2 "/ 3x 4 - 2 |z xa + 3x 4-1 j 179, 1 Q _рд4)3/2.^_
I x I 6
+ — x2у 1 -f-x4 4—— In I x2 / /l 4- x4 I. 180. — sinx Vcos2x 4-
4 4 2
4- -^2 arcsin (]/2sinx). 181.-1 cosx"/cos2x---ln|/2cosx4-
+ Vcos2x|. 182. arcsin 2 sinx ~~ 1 . 183. — In x(x + 2) .
/2 (1- sinx) 2 (x+l)a
184. -----------
2 (1 — x2)
186. arctgx —
HTln|
1
. 185.
x — 1
агс‘е "Л
+ -^ arctg
Уз Уз
190. —4 In
4/2
-Warctg /3^*
+ loin |z[— 10z + -|-22— 2 =
187.
____1_
X
— In
4
3
----— arctgx —
188. -Lin-lL+^i
6 1 —X + A
, 1 , X2— 1
+ ——arctg——
2/2 x/2
191. —
1 —X
__1
4/2
x2—x /24-1 ।
x24-x/2 4-1
2x 4- 1
189.
In
1
2/Г
192. — (-------
64 \ 2z2
. 193.------
x —2
x
2d 4-x2)‘
1 ,
— — arctgx.
x24-x/2-H +
x2—xj/2 4-1
, /1 — x2\
arctg ——- .
\ x/2 J
b — +
z
1___
x— 1
— 2 In I -—?|. 194. — arctgx3— —In (1 + x6). 195.—.—— +
I x — 1 I 3 6 3 1 4- x3
— In x3 1 196. — Ini X2 — X 4- 1 1 t r2 1 197. -/=- arctg
3 1 4-x3 1 2 1 X2 4- X 4-1 1 /7 x /7
9*
227
x2 — x /3 + 1
х’ + х/З + 1
--- 1 .
198. —1—In
2 /3
-|- — arctg —J—. 201. — In(1 + x4) +— •
3 x3 4 4
. 199. arctg x + — arctg x3. 200.
3
-—. 202.
____1
3x3
1
x3+ 1
X In
— .--------. 203. —L--arctg
12 (x‘ + l)2 /2
/2 tgy-/3
/2 tg у + V 3
3tg—- 4-1
---->-----. 204.
2/2
205. —Д_ arctg
/31
’ 2
/зТ
206.
1
4
2
6
2
+arctgf/3 tg-^j. 207. y-ln| 2ctgx - 1 |. 208. X
X arctg (V2 tgx). 209.
-^=r arctg (4-).
/2 \ /2 J
210. — tg--------In 1 +
2 2
+ tg4|--------!---. 211.
2 | # j x
1 + tg~2~
icos X — 1
cos x — 2
x
2tg—-1
4 b 9
212.------- arctg------
/3 s /3
+ tg(-i-+n/4). 213. -_2_ arctg (V2 tg у)
/2 + sin 2x
/2 — sin 2x
1
214. —Lrln
2/2
+ cosx I---— cos2x--5- sin2x. 217. — In I sinx + cosx | + —x.
8 8 2 2
.215. arctg (2sin2x—1). 216. —ln|sinx +
4
8
11 9 4
218. —x-— ln| sinx a. cos x|. 219. -x-ln| 2 sinx + 3cosx|.
22 1313
220. ln(H-sinax). 221. 2x------^arctg(-^V 222. — In—in22x .
/2 \/2 / 2 2—sin22x
3 . 1 In 3tgy-l-/10 224 y
10 10 10 /10 3tgy-l+/To
VTarctg ('/Г)’ 225‘ ~ arctS(cos2x)- 226. -yy arctg [y|-
227. — ln(4+tg2x)—^-ctg2x----—ln|tgv|. 228. — x->—-ln|2sinx+
32 8 16 5 5
+ cosx — 2 |------— In
5
x
tgy + 1
x
tg у + 3
7 1
229. ____________
13 2 cosx—3sinx
228
—^=- In
13/13
-^ln
5 /5
2tgy4-3-/13
2tg y + 34-/T3
2 tg ~ 4- 1 - /5
1 8
230. — cos x 4----------sin x 4-
5 5
231. ——-
4
4- In I x
8 I
233.-------— VI—№
4
2
Y + У^
T 3
8
- У x2 4- x 4- 1 . 232.------5- . -2
4
------ x/T —x2 4—— arcsin x. 234. —у=г- X
8 r 8 /2
. x/2
zarcg7r==?'
235. In | x 4- Ух2 4- 5 | 4-
У _|_ arctg ( / A X
X
1
X x ..) 236.-----. 237. f—Xs— — x24~ — X4-6) X
/xs 4- 5) /х24-х \ 4 4 2 /
X Ух2 4- 2x 4- 3-— In | x 4- 1 4- Ух2 4-2x4- 3 |. 238.--U- X
2 F ~
X arcsin -2 4-In lx— 1 4-Ух2—2x—1 I 4-^=- In —--14-
x— 1 /2 x — 1
1/” -------------1----------
У 2 x4-l (x4-l)a
. 239.x—21п|х4-2| 4-Ух2—x—2 —
--------------- In x------ 4-Ух2 — x— 2
2---------------2
----1-------------5---- + J.
(x-4-2)2 4(x4-2) 4
240. — (x2 4- 4x 4- 1)3/2 —
3
15..+ 2) /xa + 4x+ 1 +2_[ny+2+Vxa 4-4x4-11. 241.-yln|x24-
4- — 4-Уx4 4-3x2 4-1 4- — In
2 2
1/4+-V+1
У X* X3
242. ±ln —f!—2-----Larctg—— 243.-------(xa4-2x—1)-3/2—
4 /3^4-2 2 ь УЗ-х3 3
1 x+ 1 (x-4-1)3 244 6 x •— 31/ X +
4 У x3 4- 2x — 1 12(/x24-2x -1 )3‘
4-2 Ух —6 In (1 +4Уx ). 245. -in- 2 _L+L±12 уз arctg (1 — t)3 v 2/4-1 /3 ’
t = I3/ —-—. 246. — У x4-1 3 ln^ + / + 1 (t-l)a 2 . 2Z 4- 1 arctg 4 —. Z3-l
t = 247. — Г X— 1 16 (3x-5)|/ - --У-1 248. J- In - (x-1)’ 2 -H-H’ , (!-/)«
229
+ УЗ arctg ^±4, t— x . 249. (1 + у^х—1 )» + ln (/2x—l-l)a.
» о
250. — V2 arctg 1 —x- . 251. ——-
/2 4
У X2—X—6 + —In X—
8
« । 12 __, 12
_ J_+yx2—X—6 +3]/x2—x—6. 252. 12 (У x +ln|/x —1| —
— Iny'x). 253. Injlnx—1|. 254. 2yinx+x. 255. Ц- . *_==--•
256. -±-Vaa + x3 —-^-ln\x y^a*+x* 257. -±-x---^-In(e2*+6).
258. —. — 4 In + — lr 16 1 V X 1+x -21n]x— 11 + ln|x|. 259. - 1 14-x 2 + x 2fln 3O~!) x+1 (x—I)2 .
24-x 16 (x+1) 16 (x— 1) 32 (x+1)2 1 261. — u-5— — u-3 + M-i u = A.^. .. 1 5 3 у 1 + X2
DAO 1 ]/x2 + x+l , 1 ,„| 1 , 1 , 1 У X2 + X + 1
3 x — 263. +- 2 sin2 x -1 ' 2/3 ‘“| x—1 ' 2 ' УЗ x—1 1 r I 1 1 -—In tg— . 264.—cos2x+ln|sinx]. 265. — tg8x. 2 2 1 2 3
266. x2sinx + 2x cos x — 2sinx. 267. — xttg x + In | sinx |.
268. xctgx------------------2xctgx + 21n|sinx|l 269. —ln-^- +
3 \ sin3x 2sinax / 2 1 +*a
, 1 2 + tx — In (1 +x2). 270. -Арш. 2 4 \ 1 + x2 - + In |x + 11 У 1 + x2 - + 2 arctgx).
271. — • x 3,,1 : 7- arctg x + — - X ’ + - arctg ~ .
2 1+x2 2 4 x2 + 2 4 /2 /2
tg~y +1 3tg X — — 1
272. УГ arctg — . 273. /2 /2“ arctg — + 2/2
x --— 1
+ Warctg----75=—' 274= “7Tarc,g*st) “ ctg T-
275. — In | cos 2x |. 276.-*-L In I -*nx—- I 277. — cos x —
2 2 sin x 4 | sinx + 1 I
3.1X1 cosx n-o x , x24-l . n-n xs . ,
----.In tg—-------, 278.------- arcctg x. 279.—arcsin x +
2 2 | 2sin2x 2 2s 3
+ 2 + xly1 — x2. 280. — x4 arctg2 x—— arctg2 x——(x3— 3x) arctg x+
9 4 4 6
, x2 1 i /1 , 2\ ooi 1 + ooo 1 IV, yl+e2x—1
H---------In (1 + x2). 281. —arctg--. 282. —In —-----------
12 3 4 2 2 )Л1 + e2^ +1
283. У 1 + x2 + 284. -J---------—. 285. —!-------
у 14-x2 sinx 3sin3x cosx 2sin3x
230
cosx 3 cosx , 15
4sin*x 8 sinax
rzl— + 12
In tg-y . 286.
8
cosx । 3
I cos x 2 sin* x 2
+ 2 arcsin289. 12 Г——3/
ln|tg-y. 288. ~-|/3—4xa+8x4-
1
16
3 (t + 2)
, 12л—
t — У X
291. "|/3x2 — 6x + 13
In x —
292. —
8
294. —In
(X . \
is — + 1 \
6 2 1 I
----------- I.
/3--------/
x2 - 2x + -y- .
4- arctgGV2) + + *-
(2/a-|-l)a 4 V /Tl+2i«T2 (l + 2/a)a’
293. ——--------arctg ----------------, t = y'x".
P4-4 8 2 4 (P + 4)
1
2—x4-/ 4xa—10x-f-7 I 295
-In —J •
x —2
5
_____1
2(x—l)a 2(x —1)
(*+.1Г + 1п_И12Я
2 /ха 4-:
296. —In
3
--yln|x— 11 + у-In(1 + x2)—arctgx. 298.
— arctg x. 299. - -L (2x + l)-> + -y (2x + 1)~2 — -y (2x + I)-3 +
1 2 8_ 1
x —2 (x — 2)a 3 (x — 2)s
>l)-4|(x-l)-4-^+l)-4
+ ~ (2x—1)~4. 300. —
301.----(x—1)~4
16 ’
297.
x .
1
x —1
5
x — 1
2
_L 3 In X— 1 2П0 1 4-x3 1 303 1 2xa4- 1 In xa
' 16 X -|- 1 c Г 2 xa (xa4-1) 14-xa
304.- у arctgx2 + -yin (1 +X4). олк 1 * 2xa—1 305. —— arctg —t=— 2/3 5 /3 — In 12 (14-xa)a x4—xa4-l'
306. 1 8xa + oz - In xa — xa -4 307. x 4~ X'- 2 (xa4- 1) 3_ 2 - arctgx.
308. 2/2 1 — — +6/+ 3 In | /2 | 1-H I» Z =1V —— V X4-1 309. — arcsin x 4~ 2 2(x4-l)’
310. — 2arcsin—1-1/ —311. arctg^-J — Д.—-j—--
x —2 J/ X—1 3/3 /3 2 га—2z+4
---L.—LzJ----- z = tg—. 312. —In —313. 21n (/^-^4
12 га —2z4-4 ’ 2 5 1 + tgsx| Za — ЛН
231
X.
, 12 . 2t— 1 . 12z— 3 ,
4—т=г arctg—7=-, t—y x. 314.—7=-ln
/3 & /3 ’ • r 8/2
/2 x—1 I 1 x
/2 Г4-1 4 2x2 —1 •
315. -УЗ / 9 J-/3-sin4/ +—cos4^—-2^э. sin2t, t=arctg^Ll. 18 9 9 /3
316. ^ln 2/2 , 1 i 1 1 + 2/1 П| x-J- 1 + — U2+ — l 12 6 U = —!—. 318 x —1 , 1 4 1 4 x3 j 24 16 (l-x*)3/2 a 3x3 X ln|(x3 —l)(x2 324. 5 2 cos3 x -2ctgx-^- 329. ”s8-x + 3 QQ1 _ 3 1 —1—4- —+-1/ 1 + _L_ + _L + x— 1 2 У (x — l)2 х,—1 2 L+ -if 1 —+ — . 317. — <—U3 + 2 Г (x+1)2 x+1 2 \ 4 (+_^Lj yu2_2u—1 —-b-ln|u —1 +]/u2—2u—1 J, ! — — arctg-£^~. 319. f— x® 4~ 2 /1—x3 2 У 2 у 1—x3 \ 6 А/1-МЧ — ln|x + yi +X2|. 320. -K.1_ /16 X 21. ztg2z—tgz+г, z = arcsin|//r . 322. —-L-x + 2)2|. 323. -i-ln| x2+]/x4 — 1 | 4--L arcsin-L-. n|ctgx|. 325. LLi—-^1 — In Icosx |. 326. tgx — —. 327. In |sinx|. 328.-^- + -^-. 2 3 5 cosx + in tg — I. 330. — 8ctg2x — ctg3 2x. 2 j 3 3 t 9 t 9 , t . _
2 (t34-4)3 4 (Z2 + 4)3 32 Z3 + 4 64 2 ’ = £Т. 332. — &t — 3 In 14 — t3 I — 6 In | , t=Yx + \
333. —J—In 2/2 + 1/—! A.^_ + _L x+l 8 V (x+1)3 4 x+1 8 4-
4 -Д=- In — /15 x 334. - — x + - 26 336. L-in /5 338. 1 2 (1 4- sin + —7=- arctg 8 /3 у 2 .1/ ! § + _L. 4-2 15 У (x+2)3 15(x + 2) 15 — Inlsinx—5cosxl. 335. 4 —Inltg — 26 1 1 2(1 4-cosx) 2 | b 2 2 sin x — 1 — /5 337 1 j 2 cos x — 1 — /5 2sinx —14-/5 /5 2 cos x — I4-/5 _ +_Lin|tg. 339.-Lin + x) 2 1 \ 2 4 / 6 tg3 x — tg x 4- 1 ^11. 340. L (x2 + 2x — 1 )~3/2 L / + 1 - '3 3 4 /х34-2х—1 +
232
____1 / х 4- 1 \3 з4| 1 / х_________J____________\
12 \ / х2 4- 2х — 1 / ' 9 \ К х24-3 3 (х2 + З)3/2 /'
342. ±In|l+z|+—-1— z = tg3x. 343. (1 - VT=F)3/a -
0 о (1 -|- г) о
о 1Л, ,/т---» плл 1 а /3 , //з а , /х2— а2 \
— 2 у 1 — у 1 —х2 . 344.-arccos------— In [----h------].
4a x 4a \ x x )
345. —In11 4-x] + -y-In| x2 — x + 1 |. 346. у arctg ~~x » 4-
+ v'"|-
-4-mi
350. —In
16
x2 — 2x — 1
x2 4- 2x — 1
X — 1
2
347.------у-------j-arctgx*. 348. In | x [ —
ОЛП X (1 4“ 3x2) 1 ,
349. ———------------------arctgx.
4(1 4-x2)2 4
—------. 351. xln I —x +
X4 — 1
к 1
____ . , sin2x — exsinx 4-
2 2 4
353. x arccos2 x — 2/4 —x2
1
- уarctgx-у
+ e* cos x.
355. —]/~ 1 — x2 arcsin [x 4- x. 356.
--------- arctg ilLLztl. 357.
/3 Б /3
1 , I sin 2x — 2
------In --------------
6 I sin 2x 4~ 2
ex
x—1 ’
1 ln (tgx-1)2 _
6 tg2 X 4- tg X 4-1
358. —In1 sin2x~1 1
3(tg3x4-l) 3
359. JL ]n I C0SX~JL_
5 j 2 cos x 4- 1
arccos x — 2x. 354.
1
sin 2x + 1
360. —
2
3
2/2
— y- (cosx4-sinx). 362. -ysinx----------у cosx 4- 13yjy
x 2 /Тз"
tg 2 ~~ 3 ~~ 3
x 2 У Тз
tg 2 — 3 + 3
In U------
3
1
----i-ln|3sinx 4-cosx4-l |—|-in 3tg
X In
11
27/з
1
X ~
6
1 . 1
x2 x
. 363. ——u24
\ 9
2
5
27
A)V3ua_ 4u+l —
„ 4 ,1
U2-----Щ------
3 3
— 1 — 2 In | x
— 1 . 366.
/ 1
6
. u~
6
— 101n|x + 2 + Vxa4-4x I. 367. —[—%±1....
11 27 (2/x24-x4-l
1
x2+
T|.
In
7+T
/ 2x 4- 1 \3 1
3 \ 2 /х24-х4-1/ '
233
s
7
—41n(2+Vx). 369. -(/x-l)a-
3 3rr
— yx“ —
2 r
2/х — 1
/3
I. 41/ —. 372. ——— + —12^-4- —In [ fa + t — 1 | —
V x+1 (<»_ 1)8 3(P— 1) 9
•J^arctg-^Ll—— ln|f —1|,/=?/£±1. 373. — (х-I-1)7/2—
3/3 /3 9 ” у X—1 7 v ’
7
5
|(x + 2)^
5
_ f 1 — x
5 2
— 6 arctg ^7. 375. arcsin x + Vl — xa. 376.-— + — In 1^1 -
/4—1 4 U + l|
----2- arctg t, t = p/"-2—377. 3 /x2—6 y^x —x+6 In J1 -j-y^x |.
378. _ Л (,r + 2)5/2 + — (X + 2)3/2 + — (x + 3)5/2 _ 2 (x + 3)3/2.
5 3 5
379. —41/ ~~ ----3arcsinx—У 1 — x2. 380. б/-—j- — + t +
У 1+x \ 3 2
+ Inll-1\V t=^x. 381. —A-(3/2 + 4f-ln|3/-l| +—2— \
j \ *J\ot - 1) /
< =v- 388- - 2 ' = /17
383. _Л1п -------4 arctg-^LL, t^x. 384. (1-
з (l — /)a /з ь УЗ 7 V
_ fy/3 _ з (1 — 04/3 , t = yGT. 385. In I x I — ~ In (^’(x + l)a +
+ ^7+T + 1) + /7arctg ?3/<±1.+ 1 . 386. 2 У7+Т -
у о о
----arctg /Зх + 3 . 387. In
з/з
(/ x+1 -1)“ \2 x
. x + 2 +/ x + 1 / /3
-——. 389. arcsin--------J------
. 388.
X arctg r
/3
390. In I tg
3 I
+ —arctg (sinx—cosx). 391. 2]/"tgx —
+ +4-ln| cosxl------—
\ / 0 6 COS2 X
234
393.
395.
396.
397.
399.
400.
(
394.-----
X
Xя х2
3
Xя
2 ’
х2
, —, X < 1.
3 2 3
— х + —х8 + —, х>-^-;
3 3 2
х —— хз, ixK
3 2 j
, 4 а 2 /1
— х---Xя----, х<—.
3 3 2
2_
3
8
3 ’
4х-^-, |хК/2;
2х+ -Ц^-, х>]/’2“;
2х—х<—уГ.
з
5х —Нб, х <—2;
3
Х + Т’
— 1:
398.
к
4х, |х|^4;
2
х2
8, х <— 4.
2
У- И<1;
х—1-, 1<х=
уЗ
5х-----6. х
3
Глава II
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ПОНЯТИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Определение. Пусть функция f(x) определена и ограни-
чена на отрезке [а, Ь]. Конечную совокупность точек (xjj^g
а=хо<х|<х2<...<х„=6
назовем разбиением отрезка и обозначим через Т. Положим
Mk = sup f(x), mk = inf f(x),
xk-t<x<xk xk-^x<xk
Тогда
n
S(f,T) = J? Мк(хк—Xfe-i)—верхняя сумма Дарбу,
n
s(/, D = £ mk (xk — x*-i)—нижняя сумма Дарбу,
I (f, [a, ft]) = inf S (/, T\, / (f, [a, 6]) = sups (f, T).
- T T
Для любой ограниченной функции f на отрезке [а, &] имеем
7(МО])<ДА [О]).
Определение. Если 7—7—7, то функция f называется ин-
тегрируемой в смысле Римана на [а, &] и число I называется on-
ъ
ределенным интегралом от f по [а, &]. Обозначение: I = J f (х) dx.
а
Это определение эквивалентно такому: пусть Т — разбиение [а, Ь]
и {Вд}"=1 — совокупность точек таких, что хк_х<.£,к^.хк, k= 1, 2.п,
тогда f интегрируема на [а, &], если
Ит V /(У (xfc—xfc_i) (1)
iZi
существует и не зависит от выбора точек {?fc}^=1 и разбиения Т.
Если функция f непрерывна на [а, 6], то она интегрируема
на [а, Ь].
1
Пример 1. Вычислим j sin6xdx.
—i _
Решение. Так как функция |/x2sin5x непрерывна на
[—1, 1], то она интегрируема, т. е. можно найти величину пре-
236
дела (1), выбирая некоторую удобную последовательность раз-
биений Тт и точек соответствующих данному разбиению Тт.
Пусть Тт — совокупность точек х, — m^N. Bu-
rn
берем точки являющиеся серединами отрезка [х,_ь х<],
<2m, тогда
2т
f(&) (Xi— X(_1), Sm-fe+l,
и Xi —Xi-\ = —, 1 i m.
m
Следовательно, в силу нечетности функции f имеем, что
т
Sm=—у. (/ (Bft)+=°.
т
i=l
Условие max(xi—x,_i)->0 эквивалентно условию т->оо. Итак,
1
( у/x3sin5xdx = limSm = 0.
m->oo
Если функция f интегрируема на [а, &], то по определению
а b
J / (х) dx = — / (х) dx.
Ъ а
Для вычисления определенного интеграла основной является
теорема Ньютона — Лейбница: если f непрерывна на [а, 6] и F
первообразная для f на [а, Ь], то
ь
$f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x)\<>a.
а
Пример 2.
л
2
f ч j f sin3x \ |я/2 2
\ cos3xdx = sin x-------= —.
J \ 3 / |o 3
0
Если функция fug отличаются друг от друга только в ко-
нечном числе точек, то они одновременно интегрируемы или нет
в смысле Римана на [а, Ь], и если интегрируемы, то
6 ь
У f (х) dx — ^g(x)dx.
а а
Поэтому формула Ньютона — Лейбница применима и тогда, ко-
237
гда функция f совпадает с непрерывной функцией во всех точках
отрезка [а, Ь], кроме, быть может, конечного числа точек.
Конечная аддитивность определенного интеграла: если f ин-
тегрируема в смысле Римана на отрезках [а, Ь] и [&, с], то f ин-
тегрируема на [а, с] и
Ь с с
J f (х) dx + J / (х) dx = J f (х) dx.
Критерий интегрируемости Лебега: функция f интегрируема в
смысле Римана на [а, 6] тогда и только тогда, когда f ограничена
на [а, Ь], и множество Е точек разрыва f на [а, Ь] есть множест-
во меры нуль, т. е. для любого е>0 существует такая счетная
(конечная) система интервалов {(a,, bi)} таких, что
Ес J (ai,bi),
(bi—at)^ lim V (b—- а^ < 8.
N—>ао
1=1
Из критерия Лебега, в частности, следует, что ограниченная
функция, имеющая конечное число точек разрыва первого рода
на [а, Ь], интегрируема на [а, Ь]. Для вычисления определенного
интеграла такой функции отрезок [а, Ь] разбивается на конечное
число отрезков [ak, так, что f для x<^(ah, Ьь.) совпадает с функ-
цией, непрерывной на отрезке [а^,
Пример 3.
4я л 2л Зл 4л
xsign (sin х) dx = § xdx—J xdx+ J xdx—J xdx =
О О я 2л ЗЛ
x2 In x2 2л , x2 Зл x2 4л
=---------Ч----------------- —2л2.
2 [о 2 л 2 2л 2 зл
Из формулы Е1ьютона — Лейбница выводятся следующие фор-
мулы.
1) Если функции и и v непрерывно дифференцируемы на [а, &],
J udv= и (х) v (х) — J vdu
(интегрирование по частям определенного интеграла).
Пример 4.
j xsinxdx=—хcosх|-j-J cos xdx =—2n + sinx|2"=—2л.
238
2) Пусть х — непрерывно дифференцируемая функция на
[а, р] и f — непрерывна на отрезке [с, d] = x([a, 6]) ([с, d] — об-
раз отрезка [а, Ь]). Тогда
*<₽) и
j f (х) dx = $ f (х (t)) xf (t) dt
x(a) a
(замена переменного в определенном интеграле). Заметим, что
в этом утверждении не предполагается монотонности функции х,
более того, не предполагается, что [х(а), х(р)]=х([а, р]).
Пример 5.
2
Гх(3х4—4х2 + l)dx=(— -х4 +— 'll2 = IS.
J k 6 2 /1-1
С другой стороны,
2 2 6
J x (Зх4—4x2 + 1) dx = J (x3—x) (3xa— 1) dx — J zdz = 18.
-i —i о
6
Обратите внимание, что замена произведена в интеграле zdz
о
и функция z=x3—х непрерывно дифференцируема, но не моно-
тонна на [—1, 2].
При замене переменного в определенном интеграле в отличие
от вычисления первообразной не нужно возвращаться к исход-
ному аргументу, так как преобразованный интеграл берется по
тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.
При вычислении неопределенного интеграла иногда делались
преобразования подынтегральной функции, тождественные не для
всех возможных значений аргумента. В этих случаях для про-
стоты подразумевалось, что первообразная находится на тех про-
межутках, на которых необходимое тождество имеет место.
При вычислении определенного интеграла первообразная
ищется на заданном отрезке, поэтому здесь необходимо следить
за тем, чтобы не произвести преобразование, не являющееся тож-
дественным.
1
Пример 6. Вычислим С------------^?===-.
J (х—2)а/ха—10х+13
—1
„ „ 1
Решение. Делаем замену = z, тогда х— 2 dx dz (х-2)’Уха-10х+ДЗ Г i 6 1 V т —— — з Г za г — |г|4г /1 — 6г — Зга
239
Так как х<2, то z<0, следовательно, |z| =—z и
1 —1
р dx _ Г _______id?_______
(x — ty- — Юх+ 13 ~ ' V 1 —6з —3z2 ~
-1 -1/3
•ж/ 4
V т~(г+1)2
V о
-1/3 1 (г+1)/3 ~,/3
+ --„-arcsin-----
-1/3 2—1
=—arcsin ——
/3 /3
Отметим некоторые частные случаи замены переменного в оп-
ределенном интеграле, позволяющие упростить вычисление.
а. Если f — четная и непрерывная на [—а, а] функция, то
f (х) dx = 2 J f (х) dx.
—а о
б. Если f — нечетная функция, непрерывная на [—а, а], тс
J f (х) dx.= — j / (x)’dx и J f (x) dx = 0.
—a 0 —a
В частности, для любого натурального нечетного k
п
J sin* xdx = 0.
—л
в. Если f — периодическая функция с периодом Т, непрерыв-
ная на [0, Т], то f интегрируема на любом отрезке [а, Ь] и
а+Г Т
f (х) dx = J f (х) dx.
а 0
В частности, если k — нечетное натуральное число, р — натураль-
ное число и а — любое действительное число, то
а+2рл а+2рп
sin* xdx = cos* xdx = 0.
а а
Большая часть употребляемых при вычислении неопределен-
ных интегралов подстановок являются непрерывно дифференци-
руемыми функциями. Однако, например, универсальная подста-
240
новка tg(x/2)=Z уже представляет функцию разрывную, если
отрезок интегрирования включает точки вида л(2й+1), feeZ.
2л
С dx
Пример 7. Рассмотрим \ .
3 + cos х
о
Найдем неопределенный интеграл, полагая Z=tg(x/2).
dx
3 + cos х
________2dt_________
/ 1—/2 \
dt
2 4-Z2
1 i t , 1 i tg (x/2)
—-= arctg —— + C = —-=- arctg —
/2 ё /2 /2 S 1 2
Если формально сделать универсальную подстановку tg(x/2)=£
в определенном интеграле, то, так как tgO=tgn=O, получим
о
г dt
J 2+/2
о
О,
с другой стороны, l/(3+cosx)>l/2,
и, следовательно,
Г dx
J 34-COSX
о
2л • — = л.
2
Такая замена сделана неправильно, так как нарушено условие
непрерывности функции Z=tg(x/2) на [0, 2л]. Функция F(x) =
1 1 tg(x/2) л „ , 1
= arctg 1 не является первообразной для ---
на [0, 2л], так как F разрывна в точке х=п. Чтобы получить пер-
вообразную для f на [0, 2л], заметим, что функция
G(x) =
1 . / tg(x/2)’ \ .
—— arctg - , 0 х < л;
/2 S\ /2 Г
1 4. / tg (х/2) \ ~ А
—arctg ( -—-74- .... + С, л < х 2л
J/2 s \ /2 J ’
имеет производную, равную f для всех хе[0, л)и(я, 2л]. Функ-
ция G(x) — первообразная для f на [0, 2л], если она непрерывна
в точке х=л. Для этого постоянная С должна удовлетворять со-
отношению
lim F (х) = lim F (х) + С; =----------+ С,
V ’ х->я+ ’ 2/2 2/2
откуда С = л/У2. Теперь, применяя формулу Ньютона — Лейбница,
получаем
241
2Л
f —-— = G (2л) — G (0) = -к- arctg
J 3 + cos x X ’ /2 /2 /2
0
1 , tg 0 л
----arctg = —
2 /2/2
Более простым и общим является следующий метод вычисления
этого интеграла.
Функция
Л(*) =
F (х) = arctg 0 х < л;
V 7 /2 S /2 ’
lim F(x) =—х = л
^л- 2/2
есть первообразная для l/(3 + cosx) на отрезке [0, л]. Функция
ЛК*) =
F (х) = —U- arctg , л < х < 2л;
7 /2 ь /2
lim F (х) =---------~7^~, х = л
с->л+ 2 /2 ’
есть первообразная для l/(3+cosx) на отрезке [л, 2л]. Исполь-
зуя свойство аддитивности и формулу Ньютона — Лейбница, по-
лучаем
2л л 2Л
Г dx ______ dx Р dx _______________
J 3 + cos х . । 3 + cos х J 3 + cos x
о 0 л
= Л (л)-Fr (0) + F2 (2л) -Л (л) =
= lim F (x) — F (0) + F (2л) — lim F (x) =
Л ____ Л Л
— 2/2 2/2 — /2 '
Этот метод вычисления является примером применения общего
утверждения: пусть f непрерывна на [а, Ь] и выражение f(x)dx
можно представить в виде g(t(x) )dt(x), где функция t непрерыв-
но дифференцируема на [а, Ь),
t (а) = а и lim t (х) = + оо, тогда
ft q
[f(x)dx= lim [g(t)dt= lim (G(q)— G(a)),
J rt^-Loo J </->-4-00
a 4 ‘ a
где G — первообразная для g на луче />inff(x), xe[q, Ь].
242
Определение. Пусть f непрерывна на луче х>р и F (х) —
первообразная для f на луче х>р. Если существует
а
lim (f(x)dx = lim (F (<7)—F(p')),
J q—>-|-oo
+ °°
то этот предел обозначается J f (x) dx и называется сходящимся
p
несобственным интегралом.
Полное рассмотрение свойств несобственных интегралов сдела-
но позже, здесь ограничимся только теми вопросами, которые воз-
никают при замене переменного в интеграле Римана. Будем счи-
тать, что первообразную функции f можно найти, поэтому вычи-
сление предела производится непосредственно. Несобственный
-}-ОО Р
интеграл вида J g (t) dt и аналогичный интеграл J g (t) dt 'По-
лучаются при замене в интеграле Римана с помощью функции
t = t(x), непрерывно дифференцируемой на полуинтервале [а, Ь)
(или (а, &]) и являющейся бесконечно большой определенного
знака при х->Ь— (или х->а+). Здесь существенно, что особой
точкой функции t является именно конец (левый или правый) от-
резка [а, Ь]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше
примере) является внутренняя точка с интервала (а, Ь), то
Ь с b
^f(x)dx разбивается в сумму J/(x)dx + j f (х) dx и переход
а ас
к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.
Пример 8. Вычислим
1
Г ______dx_____
-1/32 [1^ 1 + V^IX3)
Решение. Применяя метод интегрирования дифференциаль-
ного бинома, сделаем замену t = y/ 1+х~3/5. Функция t(x) непре-
рывно дифференцируема на полуинтервалах [—1/32, 0) и (О, 1],
точка 0 является особой точкой 1{х), причем
lim 1!(х) = — оо, limf(x)= +00.
я—►О—— X—>04~
Поэтому в соответствии с изложенным выше интеграл вычисля-
ется следующим образом:
1 о 1
f dx Г dx Г dx
243
3 / — 3 ' ~
r-1 /З/о Юл . 10 , 2/2+1 , 10 ,2/7—1
- 5 In (/ 2-1)-— + —- arctg + — arctg ------
Другим видом несобственного интеграла является интеграл
ь
J f(x)dx, если функция f не ограничена на [а, Ь], но непрерывна
л
на [а+е, Ь] при любом е, 0<е<&—а (или на [а, b—е]), т. е. не
ограничена в окрестности точки а (точки Ь). Этот интеграл суще-
ствует (сходится), если существует
ь ь
lim f /(.г) dx = \f(x) dx=F(b)— lim F (6X)
t->0+ o+b a bl~*a+
b—e
b
lim \ f (x) dx= f f (x)dx
e-0+ J
Такого вида интеграл также может получиться при замене пере-
менного в интеграле Римана.
Пример 9. Вычислим
р.,.. Г1 х fx/Vl — VI— х2, х#хО;
\f(x)dx, если f(x) = l
IV2, х = 0.
Решение. Функция f(x) непрерывна на [0, 1]. После заме-
ны t =У1—х2 получаем
о 1
О tdi ______ О tdt
1 о
В последнем интеграле подынтегральная функция Z/yi—t не огра-
244
ничена на [О, 1). Так как первообразная функции 17}'1—i на от-
резке [0, 1—е] при любом е, 0<е<1 равна
— (1—03/2 —
3
то
tdt
y—t
= lim f Аез/2_2е1/2 + 2------^=—.
е-»0+ \ 3 3/3
Несобственный интеграл может появиться и при интегрировании
по частям.
1
Пример 10. Вычислим ^arcsinxdx.
6
Решение. Функция arcsin х непрерывно дифференцируема
на отрезке [0, 1—е] для любого е>0, но не является такой на
отрезке [0, 1]. Поэтому интегрирование по частям допустимо толь-
ко на отрезках вида [0, 1—е], е>0. Но так как интеграл
J arcsin xdx существует, то
о
1 1-е
\ arcsinxdx = lim \ arcsin xdx =
J e-»0+ J
fl 0
1—e
(• P—® Г* x \
x arcsin x — \ dx —
(0 J V 1 — X2 j
0
= lim ((1 —e) arcsin (1 —e) + У1 — x2 |i~E) = —--1,
e->-0+ ’ 2
t. e.
1—e
lim Г arcsinxdx — lim (F(1—e)—F(0))=.F(l)—F(0),
e->O-h " e-*0+
где непрерывная функция F (x) = x arcsin x +У1 —x2 — первообраз-
ная для arcsin x на отрезке [0, 1].
На практике такого рода интегралы можно вычислять без вве-
дения символа предела, так как в нашем случае можно писать
1
J arcsin xdx = (х arcsin х +У1 —х2) |о = --1,
в
245
или (поскольку первое слагаемое — непрерывная функция)
arcsin xdx — х arcsin х [* — \
«J «J
о о
xdx
/ 1—х2
§ 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
Пусть XOY — декартова система координат на плоскости.
Стандартной относительно оси ОХ областью D называется множе-
ство точек М(х, у), для которых а<х<6, yi(x)^.y^.y2(x), где
У1(х) и у?(х) — непрерывные
функции на [а, Ь]. Геометрически
___ это означает, что слева и справа
у2(х) область ограничена отрезками
। -° прямых х=а, х=Ь соответствен-
р-—7Т\ 7\ но (может быть вырождающими-
। I ся в точку); график функции
а "q j У=У\(%) является верхней, а гра-
фик функции у=У2(х) — ниж-
ней границей области D (см.
Рис. 40 рис. 40).
Аналогично стандартная отно-
сительно оси OY область D есть
множество точек М(х, у), для которых ccycd, Xi (у) <хсх2(у),
где %i(y) и х2(у) — непрерывные функции на [с, d], В этом слу-
чае область D сверху и снизу ограничена отрезками прямых у = с
и y = d, слева и справа — графиками функций х=Х\{у) и х = х2(у)
соответственно.
Рассмотрим частный случай стандартной относительно оси ОХ
области D, когда z/i(.r)=O, a y = f(x) — верхняя граница. Такую
область назовем криволинейной трапецией (см. рис. 41, о).
Пусть Т: a=xQ<Zxi<.x2<Z — <ZXi<iXi+i<Z—-<.Xn = b — разбиение
отрезка [а, Ь].
246
Обозначим
m(= min fix),
n
mi Ui —*J-1),
i=l
M{ — max f (x),
Sy —У Mi (хг—Ач—i).
t=i
Тогда’sr и Sr представляют собой площади фигур, составленных
из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки [x£_i,
х£], а высотами — соответственно наибольшее и наименьшее зна-
чения функции y = f(x) на этом отрезке. Первая из этих фигур со-
держит внутри себя рассматриваемую криволинейную трапецию D,
вторая содержится внутри нее (см. рис. 41,6). Естественно требо-
вать, чтобы площадь SD криволинейной трапеции D удовлетворяла
соотношению sT<SB<ST при любом разбиении Т. Так как функ-
ция y = f(x) непрерывна на [а, 6], то
ь
sup sT = inf ST = f f (x) dx.
т т J
a
Определение. Площадью SD криволинейной трапеции D на-
зывается величина
SD = supsr= inf Sr.
у т
Из определения следует, что
ь
SD = J Уг (х) dx.
а
Площадь SD стандартной относительно оси ОХ области D:
(D = {(x, у) .a^.x^.b, z/i(х)<£/<у2(^)}) вычисляется по формуле
ъ
= J [Уа W —Ух (x)]dx.
а
Площадь SD стандартной относительно оси OY области D:
(D = {(x, у) :c-^y^d, xt(y) <х<х2(г/)}) вычисляется по формуле
d
SD = J [хг(у)~хг(у)] dy.
С
Если область D можно разбить на конечное число областей
Dit D — Q Dt без общих внутренних точек, то SD — пло-
1=эе 1
k
щадь D равна сумме площадей Di: SD—^ S^..
i=l
247
Пример 1. Найдем площадь области, ограниченной линиями
у = х—1 и у2=х+1.
Решение. Данная область является стандартной как отно-
сительно оси ОХ, а именно
D = {(x, у): — 1 <х^3, r/Дх)^ Ух+ 1),
где
91W = ( -v^+й -
I х— 1, 0<х<3,
так и относительно оси OY:
D = {(x, У) :—1<у<2, у2—Icxcy+l) (см. рис. 42). Площадь
SD данной области можно вычислить одним из двух способов:
з о
I. SD — J (f/х + 1 —уг (х)) dx = § 2 1/х 4- 1 dx 4-
—1 —1
з
+ j (УГГ1-Х+ l)dx = -^-(x +I)3/2 11,4-
0
+ — • (х +1)3/213—(LzlUL|3=-L
3 10 2 |о 2
2
II. SD = f(«/4-i-y2 + i)^ = (~4 + v + 2^r
J \ 3 2 / (—j 2
—1
Пример 2. Найдем площадь области, ограниченной кривыми
х2 + 2ах—у2 = 0 и ах—у2+2а2 = 0, а>0.
Решение. Данная область (см. рис. 43) не является стан-
дартной относительно оси ОХ. Ее можно разбить на три стандарт-
ные относительно оси ОХ области:
Е>1 = {(х, у); —2а^х^0, —У2а.2 + ах^.у^У2а2 + ах},
О2 = {(х, у): 0< х< а, у'х2 + 2ах^. у^.у2а2 4-ах},
О3 ={(х, у): 0<Z х а, — V2а2 + ах^у^. —1/х2 4-2ах}.
Из симметрии области D относительно оси ОХ видно, что ее пло-
щадь SD есть удвоенная площадь области, являющейся объедине-
нием двух стандартных относительно оси ОХ областей
E>i = {(х, у) :—2а^х^0, 0^. yt^.y2a2 + ах]
и О2.
248
Отсюда
О а
SD = 2 у У 2а2 + ах dx 4- §
—2а О
= 2[— (ах + 2а2)3^1±2а- (-
L Зо \
+ ~- In (х + а + Ух2 4- 2ах) |“
ах — Ух2 + 2ах) dx —
2 )
= 2а2УЗ+а2 In (2 + V3).
Рис. 42
Относительно оси ОУ данная область является стандартной:
£> = {(*, У)' — аУЗ^у^аУЗ, <^х^—а + У у2 + а2},
а
Снова, используя симметрию области, получаем
аУз
SD = 2 \^Уу2 + а2—а--—\-2a^dy =
о
= 2а2 УЗ + I у У у2 + а2 + a2 In | у 4- У у2 + а21
2 у3 \
За )
aV3
О
= 2а2Уз + а2 In(2 + 1/3).
(Заметим, что при этом способе решения вычисления проще.)
Перейдем к вычислению площади области, ограниченной кри-
вой, заданной параметрически.
Пусть область D ограничена непрерывной замкнутой кривой
Г:х = х(О, у = у(Г), /€=[То,7\], х(У0)=х(Л), у(Т0)=у(Т1).
249
Рассмотрим подробно простейший случай: отрезок [То, Л] делит-
ся точкой те (То, Ту) так, что на каждом из отрезков [То, т] и
[т, Т)] функция х строго монотонна и непрерывно дифференцируе-
ма. Тогда кривая Г состоит из двух ветвей, каждая из которых
есть график однозначной непрерывной функции y=yi(x) и у=у2(х).
Предположим еще, что для любого х выполнено соотношение
г/1(х) <z/2(x), тогда кривая у=У2(х) есть верхняя, а кривая
y = yi(x) — нижняя граница области D. Если при возрастании t
кривая Г проходится так, что область D остается слева (положи-
тельное направление обхода), то верхняя граница области D про-
ходится справа налево (значение х убывает), а нижняя граница
области D проходится слева направо (значение х возрастает),
рис. 44. Если Sd — площадь области D, то имеем
Ь b ь
SD = j (у2 (*) —У1 (*)) = J у2 (х) dx — у yr (х) dx.
а а а
Сделав в первом интеграле замену х = х(/), tе= [То, т), а во втором
х = х (Z), /е [т, TJ, получаем, что так как у2 (х (/)) = у (/), t е [70, т)
и i/iU(0) = */(0> ге[т, Ti), то
г 7, 7,
SD~—у у (t)x(dt — у z/(/)x'd/ =— у y(t)x'(t)dt.
то т
Таким же образом получаем, что если отрезок [То, Tj] делит-
ся точкой те (То, 7\) так, что на каждом из отрезков [То, т] и
[т, Т1] функция у строго монотонна и непрерывно дифференци-
250
Т,
руема, то SD = j* х (/) у’(j) dt. Объединяя эти две формулы, полу-
То
чаем следующую формулу:
г,
SD = j U (О У' (О ~У (0 х’ (/)) dt.
т.
Можно доказать, что все эти три формулы справедливы и в
более общем случае, когда непрерывная замкнутая кривая Г:х =
= %(/), y=y(t), t^[TOi TJ, проходится при изменении / от То до
Г] таким образом, что ограничиваемая этой кривой область D ос-
тается слева. Какую из них удобнее применять, зависит от кон-
кретного вида функций x=x(t) и y = y(t).
Пример 3. Найдем площадь области, ограниченной петлей
кривой
x = a(t2—2t), y = a(t2—1) (£—3), а>0.
Решение. Петля кривой проходится в положительном на-
правлении при изменении t от —1 до 3 (см. рис. 45). Для вычис-
ления площади можно применить любую из трех формул, соответ-
ственно имеем
7\ 3
5 - — С у (t) х' (0 dt = — C a2 (t* — 1) (t—3) (2/ —2) dt =
3
= —2а2 4/3 -h 2/а + 4£ — 3)dt =
О
3
з
I3 17 1 2
= 17--------a2,
1-1 15
Т1
61 —1)Л =
= a2 (— t5— 3/4 + —
\ 5 3
3 17 1 2
= 17-----a2;
-i 15
-S = -y (x (0 y' (t) —y (t) x' (/)) dt =
r,
3
= -y j a2 (tt—At3 + 7t2 —6t+6)dt =
/4 + 2_/3_3/2
3
3 17 1 2
= 17-----a2.
-i 15
251
Пример 4. Найдем площадь области, ограниченной кривой
x = at2l(\ +/4), у— at3/(\ + Р), а > 0.
Решение. Кривая образует две симметричные петли (см.
рис. 46). Верхняя из них проходится в положительном направле-
Рис. 46
Рис. 47
нии при изменении t от 0 до +оо. Найдем площадь области, ею
ограниченной. В данном случае удобно применить для вычисления
симметричную формулу
7,
sd = -j- J [x (0 у' (/) —у (/) x' (/)] dt.
Так как y = tx, то xyf—yx'=x(x+tx')—tx-x'—x2, откуда
a2ti
(1 + P)2
dt
0
+ <X>
__ —a2t l+°° a2 (* dt __ a2it
~ 8 (1 + P) |o + 8 J l + <« “ 161/2 ’
o
Следовательно, площадь всей области равна ла2/8]/2. Отметим, что
рассматриваемая часть кривой есть образ луча />0, поэтому
площадь можно вычислить с помощью несобственного интеграла:
-j-co
J q(f)dt. Об интегралах такого вида см. стр. 246.
о
Рассмотрим на плоскости полярную систему координат. В этом
случае аналогом криволинейной трапеции будет криволинейный
сектор: множество точек
М(г, ср): ФО<Ф<<₽1, (Ф1—Фо<2л). 0<г<г(ф),
где г(ф) — непрерывная функция на [ф0, ф1] (см. рис. 47).
252
Площадь SD криволинейного сектора D = {(r, q>) :<po<<p«pi,
Осгсг(ф)} вычисляется по формуле
Ч>1
SD = -yJ г2 (ф) dq>.
ч>«
Пример 5. Найдем площадь области, ограниченной кривой
r = a sin 3q>, а>0.
Решение. Кривая образует три симметричные петли, каж-
дая из которых ограничивает криволинейный сектор (см. рис. 48).
Рассмотрим первый из них:
Dr = {(г, ф): 0^ ф^С л/3, О^гг^азтЗф).
Площадь его равна 1/3 площади всей области, ограниченной дан-
ной кривой. Следовательно,
л/з
SD = 3Sd. = — f а2зт2ЗфЛр= .
2 J 4
о
Пример 6. Найдем площадь области, лежащей внутри петли
кривой x = a(t2—2t), y = a(t2—1)(/—3) и вне кривой г = а(3—
—2созф), а>0 (системы координат совмещены).
Решение. Чтобы выяснить взаимное расположение этих кри-
вых, сравним их с окружностью
S = {(х, у): х2 + 2ах + у2 —9а2 = 0).
Для точек первой кривой имеем
х2 + 2ах + у2—9a2=a2t (t—2) [(fa—2t—2)2 + 1] =
— a2x[(ia— 2t—2)2+ 1].
253
Следовательно, часть этой кривой, находящаяся слева от оси OY
(х<0), лежит внутри окружности S, а часть кривой, находящаяся
справа от оси OY (х>0), — вне этой окружности. Для точек вто-
рой кривой, лежащих слева от оси OY, имеем jr/2<q)<3n/2, сле-
довательно, г>3а и г2 = 3аг—2arcos<p>9a2—2tzrcos<p. Переходя к
декартовой системе координат, получим, что для всех точек вто-
рой кривой, лежащих слева от оси OY, имеем х2+у2 + 2ах—9а2>0,
т. е. слева от оси OY часть этой кривой лежит вне окружности S.
Если же —л/2<ф<л/2, то г<3а и г2 = 3аг—2arcos<p<9a2—
—2arcoscp, т. е. х2+у2 + 2ах—9а2<0, значит, справа от оси OY
часть этой кривой лежит внутри окружности. Итак, данная об-
ласть лежит справа от оси OY (см. рис. 49). Так как она симмет-
рична относительно оси ОХ, то ее площадь равна удвоенной
разности площади криволинейной трапеции D} = {(x, у) :0<х<За,
0<z/<z/(/(x)), —1</<0} и площади криволинейного сектора
£)2 = {(г, q>): ОМфМ л/2, 0^г^а(3—2cos<p)}.
Следовательно,
Sd = 2
а2 (З/4 —12г3-МП2+ 2/) dt —
л/2
— С а2 (3—2соэф)2 = 2а2 (— t5—3t* +
2 J J 5
о
Л/2
—a2 f (9 —12 cos ф +4 cos2 ф) dq> = a2 (24 —
J \ 1Б
о
§ 3. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Пусть D — криволинейная трапеция:
0<=У^у(х), У^С[а, &]);
D = {(х, у) : 0 М а М х -С Ь,
уох _ тело, полученное вращени-
ем D вокруг оси ОХ. Для раз-
биения Т: a=XQ<X\<....<Xk<xk+x<
<...<xn=b отрезка [а, Ь] обозна-
чим через DT фигуру, составлен-
ную из прямоугольников, основа-
ниями которых являются отрезки
[xk, Xfe+i], а высотами — наимень-
шие значения у на [xk, x^+J. Фи-
гура Dt содержится в криволи-
нейной трапеции D (см.
рис. 50).
254
При вращении DT вокруг оси ОХ получим тело VT0X, содер-
жащееся внутри тела Vox. Тело Vtox составлено из прямых кру-
говых цилиндров, образованных вращением прямоугольников, со-
ставляющих фигуру DT. Высота каждого такого цилиндра есть
(Xk+i—xk), радиус основания — mfc = min у(х), поэтому | VT0X | —
п— 1
объем тела VT0X — равен £ л.т£(хь+1—xk). Объемом |У0Х| те-
ла Vox назовем sup | Vrox |. Так как | Vtox | есть нижняя сумма
т
Дарбу непрерывной функции лу2(х), то
ь
|V0X| =sup|V?x| = л\y2(x)dx. (1)
Т S
При вращении DT вокруг оси OY каждый из прямоугольников,
составляющих DT, образует цилиндрическое кольцо, высота ко-
торого есть m.k, а основанием является кольцо с внешним радиу-
сом xk+\ и внутренним хк. Объем такого цилиндрического кольца
равен nmk(Xk+\2—xk2).
Тело VT0Y, полученное вращением DT вокруг оси OY, есть
объединение этих цилиндрических колец, поэтому его объем | Утог|
равен
п—1
£ ^mk(x2 -х2).
ft=0
Представим разность Xfe+i2—хк2 в виде
2xk(Xk+i—Xk) + {xk+i—Xk)2.
Тогда
п— 1 п— 1
£ (х2+1 — х2) = £ 2nmkxk (xk+l—xk) +
n— 1 n—1 n— 1
+ £ nmk (Wi— xkY = £ 2лтЛ Axft - £ nmk bx2.
k—Q k—0 k=0
Первая сумма есть нижняя сумма Дарбу для непрерывной функ-
ции 2лху{х).
Если параметр разбиения Т есть Х(Т’), то для второй суммы
имеем
п— 1 п— 1
£ птк А%2 < X (Т) £ лтк Ххк.
k=o k=b
255
b
Следовательно, при X (7) -> 0 первая сумма стремится к 2 л ху (х) dx,
а
а вторая стремится к нулю, так как
п—1 ь
lim £ nmk Xxk пу (х) dx.
*(Т)-»о й=0 а
Объемом | V0Y | тела VOy будем называть sup | |. Из предыдущего
т
следует, что
ь
|Voy| —2л ^xy{x}dx.
а
Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим
области
Di = {(x, у): a<x<.b<.Q, 0<z/<z/(x)};
Dz = {(x, у): 0<a<x<b, y(x)<y<Q};
Ds = {(x, у): a<x<b<0, y(x)<y<Q}
и тела Viox, V2OX, Узох, Vi0Y, V20Y, Va0Y, полученные вращением
областей D\, D2, D3 вокруг осей OX и OY соответственно. Повто-
ряя вышеприведенные рассуждения, получаем, что объемы этих
тел соответственно равны:
6
\V?X\ =n\y*(x)dx, t = l, 2, 3;
а
b
I V°y| =2л \xy(x)\dx, i = l, 2, 3.
a
Пусть D — стандартная относительно оси OX область:
D = {(x,y): a<.x<b, y,(x) <y<z/2(x), y,(x)<=C[a, b],
y2(x)(=C[a, b]}.
Если ось OX не пересекает D, то через Vox обозначим тело, об-
разованное вращением D вокруг оси ОХ; если ось OY не пересе-
кает D, то через V0Y обозначим тело, образованное вращением D
вокруг оси OY. Объемы этих тел вычисляются как разность или
сумма объемов тел, полученных при вращении соответствующих
областей вида Dit D2 и Z)3, рассмотренных выше, в зависимости от
знаков чисел а, b и знаков функций yjx) и у2(х). Например, если
г/1(х)<0 и z/2(x)>0 для хе[а, Ь], то | V0Y| есть сумма
256
объемов |Е10У| и | Е30У] тел Vi0Y и Езоу, полученных от враще-
ния областей Z?1={(jc, у): acxcb, 0сусу2(х)} и Z>3={(x, у):
: а<х<&, z/] (х) <z/<0} вокруг оси OY.
Из этих соображений получаем, что
’ ь
\V°X\=^\\y22(x)-yl(x)[dx, (1)
а
b
|Voy| = 2л J|x|(«/2(x) —y1(x))dx.
а
Пусть теперь D — область, ограниченная непрерывной замк-
нутой кривой
Г:х=х(/), y — y(t), t^[T0, Л], x(Z’o) =x(7’i), у(Т0) =y(Ti),
причем при изменении t от То до Ti кривая Г проходится так, что
область D остается слева. Так же, как и при вычислении пло-
щадей, выводится, что если D не пересекается с соответствующей
осью координат и функции х и у непрерывно дифференцируемы
на [То, Ti], то
|V0X| = -л$ y2{t)x'(t)dt—2n^\x{t)yi<t)\y' (t)dt,
| Voy| = —2л \x (/) у (/) \x' (/) dt — л J x2 (t) y' (t) dt.
r„ T„
Если кривая Г:х=х(0, y=y(t), te[To, TJ, не замкнута, но
y(t)>0, t^[TQ, Л], y(7’o)=z/(7’1)=O,
x(T0)=b, x(Tx)—a, b>a,
и область D ограничена кривой Г и отрезком [а, Ь] оси ОХ, то
D можно рассматривать как область, ограниченную непрерывной
замкнутой кривой rt :x=xi(0, te[T0, Т2], Т2>ТЬ где
хх (0 =
x(t), t^iT^],
а + ^-^-Т^,^Тх,Тг],
изменении t от To до Т\ кривая Г1 проходится так, что
остается слева.
у (t), fe[T0,7\],
.0, teiT^T.].
Тогда при
область D
Следовательно, объем |Е0Х| тела Vox, полученного при вра-
щении такой области вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле
т, г,
I voxi = - л J у\ (/) х; (0 dt = - л J z/2 (О х' (0 dt
т, т.
10 И. А. Виноградова
257
или по формуле
Tt
I vox| = 2л$ \x(t)y(t)\y't(t)dt.
т.
Если область D не пересекается с осью OY, то объем |ЕОУ| тела
V0Y, полученного при вращении D вокруг оси OY, вычисляется
по формуле
г, г,
| V'oyl = —2л \x1(t)y1(t)\x' (t)dt= — 2л J \x(t)y(t)\x' (t)dt
т„ т,
или по формуле
т,
| V 0Y | = л j х2 (г) y't (0 dt.
То
Точно так же для области О, ограниченной кривой
Г:х=х(0, y = y(t), te=[T0, TJ, x(Q>0, t е [То, TJ, х(Т0) =
= х(7\)=0, г/(Т0)=с, y(T^=d, d^c, и отрезком [с, d] оси ОУ,
объемы | Vox | и |Е0У| тел, полученных при вращении D относительно
осей ОХ и OY соответственно, вычисляются по формулам
г, г»
|V0X| = -л$ y2(t)x'(t)dt = 2n J \x(t)y(t)\yf(t)dt,
т, т.
Ti
| V0Y[ = —2л | х (t) у (t) | х' (/) dt = л х2 (0 у' (0 dt.
т, т«
Обращаем внимание, что приведенные формулы справедливы и
для областей, не являющихся стандартными относительно любой
из осей координат.
Если тело образовано вращением области D вокруг оси, не
пересекающей область D и не являющейся одной из осей коор-
динат, то для вычисления объема полученного тела делают заме-
ну системы координат так, чтобы в новой системе одна из коор-
динатных осей совпала с осью вращения.
В частности:
а) если осью вращения является прямая у=1, не пересекаю-
щая область
D -.{a<x<b, z/i(x)<z/<z/2(x)},
то объем | Р| тела V1, полученного вращением D вокруг этой оси,
вычисляется по формуле
ь
IV'I =^Jl(//a-/)2-(f/1-02Hx,
258
б) если осью вращения является прямая х=1, не пересекаю-
щая область
D :{a<x<b, yi(x) <.у<.у2(х)},
то объем | тела V‘, полученного вращением D вокруг этой оси,
вычисляется по формуле
ь
|Р| =2re J (уа—yl)\x—l\dx.
Обе эти формулы получаются переносом осей координат так, что-
бы в первом случае ось I стала новой осью ОХ\, а во втором —
ось I стала новой осью OY\.
Пример 1. Область D расположена в правой полуплоскости
(х>0) и ограничена линиями у=х и у = 2х—х3. Найдем объемы
тел, полученных при вращении области D (см. рис. 50 вокруг:
а) оси ОХ; б) оси 0Y; в) горизонтальной касательной к верх-
ней границе D; г) прямой у = х.
Решение. Область D является стандартной относительно
оси ОХ:
D={(x, У) - 0<х<1, х<г/<2х—х3},
следовательно,
1 1
а) |РоХ| = л \ ((2х—х3)2—x2)dx = л J (х« —4xi 4- Зх2) dx =
о о
10*
259
1 1
б) IvoyI — 2л Jx(2x—x3—x) dx —2л J (x2—x4)dx —
о 0
4л
"кГ’
в) для функции z/ = 2x—х3
графику проходит через точку
горизонтальная касательная к ее
е. в этом
1 / _2_
Т 3 ’
4
случае осью вращения является прямая у = _
Сделаем
перенос осей координат, т. е. перейдем к координатам
4 . / 2
ЧТО и — х, v — y--— |/ —,
3
3
и, v так,
тогда ось OU будет осью вращения,
и в новой системе координат область D будет стандартной отно-
сительно оси OU:
D =
(и, о) :
1 4 - / 2 „ 4 , / 2
1, U-1/ —U3------1/
ЗГЗ 3 V 3 j
Следовательно, объем |Е0С7| искомого тела вычисляется по фор-
муле
г) сделаем поворот осей координат на л/4, т. е. перейдем от
переменных х, у к переменным и, v по формулам
и~х cos л/4 + у sin л/4,
(2)
о =—х sin л/4+у cos л/4.
Тогда 0 = -^ + -^-, о =
ось О U.
—^=- + -^=-, осью вращения станет
Еще раз обратим внимание, что формула (1) имеет место для
криволинейной трапеции. Поэтому если мы хотим ее использовать,
260
то необходимо показать, что область D и в новой системе коор-
динат является криволинейной трапецией. Покажем это для на-
шего случая.
Действительно, отрезок ДВ:Л=(0, 0), В=(1, 1) прямой у = х
перешел в отрезок [0, У2] оси OU.
Покажем теперь, что кривая Г: 0<х< 1, у=2х—х3 является в
новой системе координат графиком некоторой функции v = v(u)
для 0<и<У2, т. е. что каждой точке Мо= (и0, 0), 0<и0<у2, со-
ответствует единственная точка М(и0, и («о)) на Г, проекция ко-
торой на ось OU есть Мо. Действительно, в противном случае на
кривой Г нашлась бы по крайней мере одна пара точек
Л41(Х1, y(xi)), М2(х2, у(х2)) такая, что прямая AfiAf2 была бы пер-
пендикулярна к прямой у = х и, следовательно, выполнялось бы
равенство
У М-у(Хг)
хг — xt
—1,
0 хг < х2 1 •
Но в силу теоремы Лагранжа имеем у = у’ (с), где
Xi<c<X2, и так как у'(х) =2—Зх2>—1 для 0<х<1, то такое
равенство невозможно.
Поскольку
Z) = {(u, v) : 0<и<У2, 0<u<u(u)},
то объем | Vou | тела, полученного при вращении области D отно-
сительно оси OU, равен
/2
| Vou | = л j" о2 (u) du.
о
В данном примере для аналитического выражения функции о от
и необходимо из соотношения (2) найти х(и, и), у (и, и), подста-
вить их в соотношение у=2х—х3 и из полученного соотношения
между и и v найти и (и). Все это приводит к громоздким выклад-
ь
кам, поэтому преобразуем этот интеграл к виду J q> (х) dx.
а
Величина и (и) есть расстояние точки М(х, у) на кривой
Г : {(х, у), 0<х<1, у=2х—х3}
от прямой у=х, таким образом,
/Г+/Г =|-7Fir-75--
Далее, на оси OU, т. е. на прямой у=х, имеем dy = dx, поэтому
du (dx 4- dy) — V2 dx.
261
Итак,
,| V°u | = л J и2 (u) du = л J (x * ) V2 dx =
о о
i
-7=- C (x® —2x* + x2) dx
/2 J
0
_ Л / 1 2 1 \ _4л У2
~ y'2\7 Г i05~‘
Пример 2. Найдем объем тела, полученного при вращении
области D, ограниченной петлей кривой
Г:х = /2—2t,
а) вокруг оси ОХ\ б) вокруг вертикальной касательной к Г.
Решение. Петля кривой Г проходится при изменении t от
То= — 1 до 7\ = 3 так, что область D остается слева и состоит из
двух частей, симметричных относительно оси ОХ, соответствую-
щих изменению t от до Т2= 1 и от Т2 до 7\ (см. рис. 52).
Ранее специально оговаривалось, что ось вращения не пере-
секает область D, иначе не ясно, какое тело вращения рассматри-
вается. Единственным исключением является тот случай, когда
ось вращения есть ось симметрии области D. Тогда геометриче-
ски наглядно, что речь идет о теле, полученном при вращении
вокруг оси симметрии области D одной из тех частей, на которые
эта ось делит D.
а. Итак, надо вычислить объем | Vox | тела Vox, полученного
при вращении вокруг оси ОХ области D, ограниченной кривой
Г]:х = /2—2t,y=(t2—1) (/—3), /е[—1, 1], и отрезком [—1, 3] оси
ОХ. Имеем
1
|Р°Х| =_л J (/2_1)2(;-3)2(2/—2)dt =
—1
1
= — 2л I (f — 7/® + 13/5 + 5/4—29/3+1П2+15/- 9)Л = —..
—1
б. Так как на кривой Г имеем х' — 2 -—, то х/=0 при
' • « 3/2—6Z— 1
/=1. Следовательно, вертикальной касательной к Г является пря-
мая х=х(1), т. е. х = — 1. Поэтому
з
| V | = —2л § у (/) (х (/) + 1) х' (/) dt =
—1
3
= — 2л § (/ —I)2 (/2 —1) (/—3) 2 (/ —1) Л =
—1
262
3 3
= — 4л J (f — 3)dt = — 4л J [(/ —I)»—4(Z — l)4]d/=
-i —i
2048
35
j^2
Пример 3. Эллипс-----------h—= 1 делится прямой Ах=By
а2 Ь2
(АВ=£0) на две симметричные части. Найдем объем тела, полу-
ченного при вращении одной из этих частей вокруг прямой Ах = Ву
(см. рис. 53).
Решение. Сделаем поворот осей координат, т. е. перейдем к
координатам и, v так, чтобы ось OU стала осью вращения. Угол
поворота равен <p = arctg-^-, следовательно,
Вх . Ау
U =
УА2 + В2 УА2+В2*
— Ах , By
V = .. --- 4- -7===г.
у Л2 + В2 /Л2 + В?
Рассматриваемая область D не является стандартной относитель-
но оси OU, поэтому удобно рассматривать эллипс в параметри-
ческом задании, поскольку тогда формула вычисления объема
тела вращения не зависит от того, стандартна или нет область
относительно оси вращения.
Положим x = acos/, y = bsmt. Тогда область D ограничена
кривой Г:
ц__ аВ cos / -|- 6Л sin t
~ V А2 4- В2
— аА cos t 4- ЬВ sin t __, , т
v — ‘ ‘ , 2 о 2 1,
у/Л2 4-В2
265
и отрезком оси OU. Значения То и Ti находятся из условия v(T0) =
= v(Л) =0, откуда То = arctg-^-, 7'| = 7’04-л. Следовательно,
ьв
г, тл
| V°u I - - л J о2 (0 и' (0 dt = - --J (а2Д2 cos21 4-
т, г,
4- 62В2 sin21—2abAB cos t sin t) (bA cos t—aB sin t) dt =
Тг
— — +nffl)3/2 J [a2M3 cost—ab3B3 sin t + sin21 cos t X
r.
X (63ЛВ2—a3bA3 4- 2a3b AB3) —cos21 sin t • (a3A3B —ab3B3 4-
+ 2^2B)J dt = -ла+2"а)з/2 p^43sin To + ab3B3 cos To +
+ —(Ш-a3bA3 + 2a3bAB3) +
3
+ —-З Г|> (a3A3B—ab3B3 + 2al>3A3B) =
3
=--------i(3a3M4 4- 3ab3B*)(A3a3 4- B3b3) 4-
(Л24-В2)3/2-3 (Л2а24-В2Ь2)3/2 lV M
4- a3 A3 (IPABF—cPbA3 4- 2a3bAB3) 4- b3B3 (a3A3В —ab3B3 4- 2ab3A3B)\ =
= 3(Л-Л)« + Wl2 lA'+ B,] =
4лйЬ/Л2о24-ДаЬ2
= 3 / Л2 4- B2
Пример 4. Найдем объем тела, полученного при вращении
области D, ограниченной кривой Г :r=a^in3<p, a>0, Оссрсл/3 во-
круг:
а) полярной оси; б) оси <р = л/2 (см. рис. 54)'.
Решение. Перейдем к декартовой системе координат, совме-
щенной с полярной. Кривая Г в этой системе записывается в па-
раметрическом виде: х=а sin 3<р cos<p, z/=asin3<psinq>, и при изме-
нении <р от 0 до л/3 проходится так, что область D остается слева.
Осями вращения являются соответственно оси ОХ и OY. Следова-
тельно,
Л
а) |V°x | = —л У у3 (<р) х’ (ф) с/ф =
о
264
Я/Ъ
—~4~ § (C°S —cos cos 4<Р + cos 2q>) dtp =
о
Л/З
= ~8~ У ^-^-соз2ф—3cos4<р +-|-cos6<р +-|-cos 10<р—
о
—cos 12ф) d<f = -^— £-^-вт2ф—^-зт4ф-{
3 • 1Л 11я/3
— sin 10ф =
20 0
27пая /3 .
320 ’
л/З л/З
б) | V0YI = я С х* 2 (ф) у' (ф) 4ф = С (sin 2ф + sin 4ф)2 х
J 4 J
о о
Л/З
Tict^ 0 13
X(2sin4<p—sin 2<р) dqj = —— I / — sin2cp + 3sin4(p +
o
3 \
+ 2зт6ф-----— sin 10ф—sin 12ф) dy-
ne? Г 3 n 3 . , 3 „ 11я/3 ла381
=-----------со$2ф------сов4ф4------cos 1 Оф =---------.
8 L 4 4 20 J|o 40
Замечание. Есть формула, выражающая объем тела, полу-
ченного вращением криволинейного сектора £>: {(г, ф), ОсфоСфС
сф^я, 0<г<г(ф)} относительно полярной оси без перехода к де-
картовой системе координат. Эту формулу предлагаем вывести са-
мостоятельно (задача № 90 этой главы).
§ 4. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
Определение. Дугой кривой Г назовем образ отрезка
[То, Г1] при непрерывном биективном отображении x=x(t)t
y=y(t), Z=ZW, te[To, TJ и обозначим Г: y(t), z(t),
t^[T0, Л].
Пусть x :T0=t0<.ti<t2<....<.tn = Ti — разбиение отрезка [To,
TJ. Каждой точке разбиения х соответствует точка Mk= (x(tk),
У(tk), z(/fe)), Ocfecn, на кривой Г. Через Гх обозначим ломаную
с вершинами Мо, Л4Ь ..., Мп, а ее длину обозначим через |ГХ|.
Определение. Длиной дуги Г называется число
|Г| =sup|rT|.
%
Заметим, что одна и та же линия может быть образом разных
отрезков при разных биективных отображениях, т. е. может быть
разными способами параметризована. Так, например, возьмем на
265
декартовой плоскости XOY полуокружность с центром в начале
координат радиусом 1, лежащую в верхней полуплоскости. Эту
линию можно представить как отображение у = У1—х2,
— 1 + х -С 1, или как отображение x = cos/, z/ = sin/, Ос/ся,
или как отображение х=1—t, y = ~[/'2t—t2, 0<+<2, и т. д. Вопрос
о том, когда разные параметрические задания кривой определяют
одну и ту же линию, здесь не рассматривается. Ограничиваясь
наглядными соображениями, отметим только, что длина дуги кри-
вой есть ее внутренняя геометрическая характеристика, не зави-
сящая от способа ее параметризации.
Пусть задана дуга кривой Г:{х(<), y(t), z(t), t^[T0, 71]} и
«функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [70, Л],
тогда длина Г вычисляется по формуле
Т,
I г | = f V^ + {yty + ^dt. (3)
т.
Если хотя бы одна из функций x(t), y(t), z(t) не является
непрерывно дифференцируемой на отрезке [70, 7’1J, но все функ-
ции x(t), у(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке
{То, Тх—е] при любом 8, 0<8<Ti—То, функция j/(х')2 + (y't)2 + (г')2
имеет непрерывную первообразную на отрезке [То, 7’1], тогда как
и при рассмотрении определенного интеграла можно воспользо-
ваться формулой (3) для вычисления длины дуги кривой Г, по-
нимая интеграл в этой формуле как
7\—е _____________________
lim J У(x’t)2 + (y'f + (zj)2 dt.
Пример 1. Рассмотрим полуокружность Г :x2+t/2= 1, р>0.
Введем ее параметризацию следующим образом: х=х, у — У1—х2.
Тогда Г есть биективный образ отрезка [—1, 1]. Функция
</=уг=г2 не является дифференцируемой в точках х=1 и
х = — 1, но на отрезке [—1 + е, 1—е] эта функция непрерывно
дифференцируема для любого е, 0<е<1. Так как у'х=—. ./
на [—1 + 8, 1—в],
(О2 + (у;)2 = 1 + (^)2. yl+W=Vrhr
и первообразная функции
1
функция arcsin х — непрерыв-
на на [—1, 1], то длина данной кривой Г вычисляется следующим
образом:
1
Г| = С , d* = arcsinх|1 . = л.
1 J /1—х2 1-1
266
Заметим, что можно рассмотреть такую параметризацию этой по-
луокружности Г_:х(0> z(t), te[^o, *i], что функции x(t) и
у(t) будут непрерывно дифференцируемы на [Zo, £i], например
x = cos/, у=sin t, /(=[0, л].
Приведем некоторые частные случаи формулы (3).
1. Если кривая Г лежит в плоскости XOY, т. е. z(t)=O, то
г, ____________
1П = [ / (x'y + iy'^dt.
т,
2. Если кривая Г лежит в плоскости XOY и является графи-
ком непрерывно дифференцируемой функции у — у(х), хе[а, &], то
ъ
|Г| =J УТ+ТуР^-.
а
3. Если плоская крйвая Г задана в полярной системе коорди-
нат как график непрерывно дифференцируемой функции
<₽1
г = '•(<₽), <ре= [<р0, <Pj, то |Г| =j Уг2 + (гф)М(р.
<₽•
Если кривая Г замкнута, т. е. х(Го) =x(7’1), y(TQ) =y(Ti), z(To) —
= z(Ti), то Г есть биективный образ не отрезка [То, Л], а про-
межутка (То, Т1). Все рассуждения и формулы для вычисления
длины данной этой замкнутой кривой остаются без изменения.
Пусть задана дуга кривой Г:х(0, y(t), z(t), te[T0, TJ, и
функции x(t), у(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [То, TJ.,
Рассмотрим функцию
t ________________
= J /(<)2 + (г/;)2 + (г;)3^ -
т,
длину части кривой Г от начальной точки Мо= (x(T0), у(Т0), z{Tq))
до точки М = (x(t), y(t), z(t)). Дифференциал функции s(t) назы-
вается дифференциалом дуги кривой Г и обозначается ds.
Если задана дуга кривой
Г:х(0, y(t), z(t), te[T0, Tj],
где функции x(t), y(t) и z(t) непрерывно дифференцируемы на
[То, Т,], то
ds=/у;)2 + (у;)2 + (г;)2 dt, t е [т0, tj.
Если кривая Г лежит в плоскости XOY, т. е. z(t) =0, то
ds = Y (xy + (y'ydt.
267
Если кривая Г лежит в плоскости XOY и является графиком не-
прерывно дифференцируемой функции у—у(х), хе[а, &], то
ds = 1 + (у'х)2 dx, х <= [а, 6].
Если плоская кривая Г задана в полярной системе координат как
график непрерывно дифференцируемой функции r=r(<p), <ре[<р0,
<Р1]. т о
ds= [r2+ (r/)2]d<p.
Пример 2. Найдем длину дуги кривой Г:«/=сЬх от точки
Л (0, 1) до точки B(b, chb).
Решение. Так как y/=shx, 1+ (i//)2= l + sh2x и дуга Г
является биективным отображением отрезка [а, &], то
ь ь
|Г| == ^ (1 + sh2x)1/2dx = Jchxdx — shx|ft = sh6.
о о 0
Пример 3. Найдем длину дуги кривой
Г:х=-^-1/2—i-lnt/,
Решение. Возьмем в качестве параметра переменную у.
Тогда
х'=-^-----—; 1 +(<)2 = l+—(z/2—2+ — )=—(«/ + —V.
" 2 2у «’ 4 V У2 / 4 \ у /
Так как для у>1 имеем ху'>0, то отображение у = у, х=х(у),
биективно, поэтому
е
iT’i 1 Г / . 1 \ < 1 / и2 , 1 \ 9 е2+1
1Г| =-\(У + ~) = ~ (f +’1П») , =~4
1
Пример 4. Найдем длину дуги кривой Г : x — acos4, у =
—a sin41, а>0.
Решение. Дуга Г является биективным отображением отрез-
ка [0, л/2]. Так как
х' — —4а cos3/ sin t, у'—4а sin31 cos t,
(x')24- («/')2 = 16a2 cos61 sin21 +16a2 sin61 cos21 =
= 2a2 sin2 2/(1 + cos2 2/),
268
то
«/2 Д
]Г| =aV2 j VI + cos2 2/ sin 2t dt = J Vl+z2dz==
о —i
= -7=-(zVr+?) + ln (z + VW^)|J = a+ J.
у A V *
Пример 5. Найдем длину дуги кривой
„ 2 . 2Л/2/
r:x=/sin/, y=tcost, z=-----------
’ * 3
от точки Л (0, 0, 0) до точки В (0, 2л, 8лУл/3).
Решение. Так как
x' = sinf + <cosf, у'=cost—tsint, z' = ’V2t,
(x')2+(/)2+(2')2=('+1)2
и дуга Г является биективным образом отрезка [0, 2л}, то
2л
|Г] = J (^+ l)dt — 2л2 + 2л.
о
Пример 6. Найдем длину дуги кривой Г : r=a( 1+cos ср),
а>0.
Решение. Поскольку Г — замкнутая кривая, она является
биективным образом полуинтервала [0, 2л). Так как
r'v = —a sin q>, г2 + (г')2 = а2 (2 + 2 cos ф) — 4а2 cos2
то
2л
|Г| = 2а cos —
о 2
О
л
с!ф = 4а cos -2- йф — 8а sin-2- л
о
= 8а.
о
Пример 7. Найдем длину дуги кривой
Г:ф = —fr-F —V 1^г^5.
2 \ г )
Решение. Здесь можно явно выразить зависимость г = г(ф),
однако в этом примере это приводит к громоздким вычислениям.
Проще (в некоторых случаях единственно возможно) преобразо-
вать подынтегральное выражение для вычисления |Г| так, чтобы
269
оно непосредственно выражалось через функцию ф(г), т. е. сде7
лать замену ф = ф(г). Тогда
VГ2 (ф) -Г (г )2 йф = 1/ г2 + -4— ф^г = У г2 • (ф')2 + I (sign ф') dr.
ф У (<рг)2
Для данной дуги кривой имеем
----г2(ф')2 + 1=-Чг + — Г
2\ г2 ) 4 \ г )
Следовательно,
5
| Г| = С — ( г + — 'j dr — ( -—р — In г j 5 = 6 4—— In 5.
J 2 ( г ) \ 4 2 ) 1 2
1
Пр и мер 8. Найдем длину дуги кривой
Г : г = ие2и, ф = и2 + 2и, 0^ы^2.
Решение. В этом примере связь между полярными коорди-
натами г и ф точки М кривой Г задана посредством параметра и.
Преобразуем выражение Уг2 + (г')2 dq> так, чтобы оно непосредст-
венно выражалось через функции г(и) и ф(м), т. е. делаем замену
Ф=ф(и). Тогда
________ Г / / \2
уг2 + ^ф = 1/ /-2 + I _!L I . <p^du =
' \ Фи /
= ]А2 • (ф')а + (г')2 (sign ф') du.
Для данной кривой имеем
/=е2"(1 +|и), ф^ = 2и + 2,
г2-(ф')2 + (г')2 ==е4“- [4и2 (и2 + 2и + 1) + (1 + 4ы + 4и2)] =
= е4и (2и2 + 2и+ I)2.
Следовательно,
s
| Г| = jе2и (2и2 + 2и + 1) du = -j- [t?“(2u2 + 1)]| о = ;
о
§ 5. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения составляют один из простейших клас-
сов поверхностей. Для таких поверхностей общее, весьма сложное,
определение площади поверхности можно заменить более прос-
тым.
270
Пусть даны кривая Г :x = x(t), y~y(t), z = z(t); T0^.t^.T},
xeC* 1 [To, TJ, у^С'[То, TJ, zeeC1 [To, TJ, и прямая l, являю-
щаяся осью вращения. Обозначим через S поверхность, получен-
ную вращением Г вокруг оси I. Пусть т : To=to<tl<t2< <h<
-<tn = T\ — разбиение отрезка [То, TJ; Гт — лома-
ная, вписанная в Г, соответствующая разбиению т, ST — поверх-
ность, полученная вращением Гт вокруг I.
Обозначим через р = р(Л1) расстояние от точки М до оси I.
Отрезок ук = [Mb-i, ломаной Г, при вращении вокруг оси I
образует поверхность Sk.. В зависимости от угла, образованного
отрезком fk с осью I, St является либо частью конической поверх-
ности, либо частью цилиндрической поверхности, либо кольцом.
Если — длина у&, а |3&| — площадь 5*, то
|5ft| = 2n|yJp(Mfe) =
= 2л (о—xk-i (О)2 * * * * * В + (ук (0 — ул-i (0)а + (гк (0 —zk-\ (О)2 х
хр(М»),
где — некоторая точка, лежащая на у*. Можно показать, что
I sk । = 2л /[x;o2 + [//;(^)]2 + k(uf- р (mj (tk - +
+ ° 1).
Тогда для площади поверхности St имеем
п п
1| - 11 | = 2 л £ У[х' О2 + [/ О2 + [/ О2 х
k=i fe=i
xp(Mft)-(/fe-^_i)+o(l).
Определение. Площадью поверхности 3 называется число
|51 =sup| SJ.
т
В наших предположениях о гладкости функций x(i), y(t), z(t)
имеем формулу
т,
|S| =2л j* р (t) ds,
То
где р(/.) есть расстояние от точки М (x(t), у (/), z(t)), лежащей
на Г, до оси вращения I, a ds — дифференциал дуги Г.
Пример 1. Найдем площадь поверхности, полученной враще-
нием кривой Г : z/=sinx, О^х^л, вокруг оси ОХ.
271
Решение. Введем в качестве параметра переменную х. Тог-
да для точек кривой Г получаем
р (/) = р (х) = у (х) = sinx,
ds = 1 + [у'х]2 dx = У1 + cos2 х dx.
Следовательно,
Л
| S | — 2 л j" sin х У1 + cos2 х i
о
----In | COS X + У1 + COS2 X
x = 2л ( —-°|^- v 1 + cos2 x—
)Р-2л(У2 + 1п(1 + V2)).
/ |o
Пример 2. Найдем площадь поверхности, полученной враще-
нием ломаной АВС, где А= (1; 5), В=(1; 2), С=(6; 2) вокруг
оси ОХ.
Решение. Запишем отрезки АВ и ВС в параметрическом
виде:
АВ:х=1, y = t, 2^/^5,
ВС: xs=t, у=2,
Для отрезка АВ имеем p(t)=y(t) = t,
ds = V0 + T3dt = dt.
Для отрезка ВС имеем р(/) =y(f) =2,
ds=VP + 0d/ = d/.
Поэтому
5 6
|S| = ISJ + IS8| = 2л + =
2 1
25
2
2) +2л-2-(6 —1) = 41л.
Пример 3. Хорда АВ окружности Г радиусом а находится
на расстояний b (Ь<а) от центра окружности. Найдем площадь
поверхности, полученной вращением вокруг этой хорды каждой
из частей У и Г2, на которые хорда делит окружность.
Решение. Введем декартову систему координат так, что ее
начало совпадает с центром окружности, ось ОХ параллельна
хорде АВ (см. рис. 55) и пусть хорда лежит в верхней полуплос-
кости. Запишем уравнение окружности в параметрическом виде:
272
x = acost, y = asint, 0^/<2л. Тогда точка В соответствует зна-
чению T0 = arcsin—, точка А — значению 7'1 = л—То. Имеем
а
Fi:x = acosZ, y=asint, /е[То, TJ,
r2:x=acos/, y=asint, [Л; 2л+То] •
Для Г] имеем
р(0 =!/—b = a sin t—b,
ds — Va2 sin21 + a2 cos21 dt=adt.
Следовательно,
]S| = 2n (asin/—b)adt — —2naa cos/l"-7’—2ain(n—2T0) =
T,
— 4a2л I 1/ 1 —— ) — 2aZ>n2 4- 4naZ> arcsin — =
\ r a2 / a
= 4ап У a2—b2 — 2abn2 + 4nab arcsin —.
a
Для Г2 имеем p(0=^—У> ds—adt. Следовательно,
2я+г«
|S| =2л (b—asin t) adt =2nab (я + 2T0) +2а2л cos /1=
n—T.
= 2л2а£ + 4ла6arcsin—+ 4ла1/а2—b2 ;
a
Пример 4. Найдем площадь поверхности, полученной вра-
щением кривой Г : г=а (1+cos <р), а>0, относительно левой вер-
тикальной касательной к этой кривой.
273:
Решение. В декартовой системе координат, совмещенной
с полярной, х и у запишутся как функции параметра <р:
Х = г(ф)С03ф, у = г(ф)31Пф,
т. е.
х(ф) = а(1 +созф) созф, у(ф) =а(1+созф)зшф, 0г^ф^2л.
Для дифференциала дуги Г имеем выражение
ds=V гг(ф) + [гф (ф)]2 </ф = а1/(1 +созф)г+вт2ф сйр =
= 2а | cos 1 с!ф.
Левая вертикальная касательная к кривой Г проходит через точку
2И(х(<ро), У (фо)), где х(ф0) — наименьшее из значений х(ф4)
таких, что х/(ф&)=0. Производная х/ равна а(—sincp-
—2з1пфсозф), следовательно, х/ обращается в нуль в точках
п 2л _ 4л _ п
Ф1 = 0, Ф2-—> Ч)з = л, ф4 = —, ф3 = 2л.
□ о
Наименьшее значение х(фД принимает при k — 2 и k = 4. Итак,
.левая вертикальная касательная имеет уравнение х =------— (см.
рис. 56). Расстояние р(ф) от точки х=х(ф), у—у(у) до оси вра-
щения ^прямой х=—— j равно х(ф) + — . Следовательно,
,|S| =2я| [а<1 +
о
cos ф) cos ф + -j- 2а cos
— I dq> =
2 I
— 4ла2 С (—cos — Ч--cos Ч------cos ——) d(p =
J \ 2 2 2 2 2 2 J
о
. , / г . ф , . Зф , 1 . 5ф \ Iя 84 »
= 4ла2 ( 5 sin— Л-sin—— Ч-sin—— II =--ла2.
\ 2 2 5 2 До 5
Пример 5. Пусть Г — часть кривой у — Зх—х3, лежащая
в правой полуплоскости (х2>0) выше прямой у = х. Найдем пло-
щадь поверхности, полученной вращением Г вокруг прямой у = х.
Решение. Из условия задачи следует, что
Г ; у = 3х—х3, 0^х^У2.
Тогда
ds = Vl 4-9(1—x2)3dx,
р (х) =
| Зх — х3 — х,|
2х — х3
/2"
274
Следовательно,
V 2
|S|=nV2 J VI +9(1— X2)2 (2— х2) xdx =
О
л/2
2
л/2
2
+ J-ln|3/ +V1+9^|)|1I
6 6
Пример 6. Область, ограни-
ченная частью спирали г=еф,
л/6Сф<7л/6, и прямой, прохоДя-
щей через концевые точки спира-
ли, вращается вокруг этой пря-
мой. Найти объем и площадь по-
верхности полученного тела (см.
рис. 57).
Решение. Выберем декарто-
ву систему координат так, чтобы
начало координат совпало с по-
люсом, положительная полуось
ОХ с лучом ф=л/6. Тогда
х = г (ф--— । cos (ф — л/6)— е'Р~я/6
V 6 /
пК2 (2Vio + in(a+yio)).
/ л
COS ф----------
\ 6
У = г <р—
Найдем ds по формуле
ds = Р г2 (<р) + (Гф)3 dtp = • V2 dtp.
Так как осью вращения является ось ОХ, то
Р (ф) = IУ (ф)I =е'р~л/6 Sin (ф—
\ О
следовательно,
7Л/6
|S| =2л j V2 е2<р+я/6 sin ^ф—
л/6
V^Je^/esin^ =-
о
= 2л /2 2 sin t—ws£.e2/|„= еЯ/6.2лу2 __1_(е2л_|_ р.
5
5
27&
Объем тела вычисляется по формуле
7 л/6
jyox|=—n j z/2'(cp)x^d<p =
л/6
7л/6
"== —л f е2Ф-я/3 sin2
л
ф—я
л/6
Л Л
= л Ce3/ (sin31—sin2 / cos/)dt — я (*e3t f—sin /-------— cos/—
I J \ 4 4
0 e
/ *9 3 1 3
/ —sin/——cost ——cost——sin t
---—sin 3t + —cos 3/) dt —I neSf —---------- ---------
4 4 / \-10
3 3 3 3
— — sin 3t -f- — cos 3/ + — cos 3/ 4--sin 3/
+ ne«--------!-----------4---------11-----------------
18
л
О
= л (е3я4-1)------------
\ 10 12
Задачи
Вычислить:
1.
2л
\ sin4 xdx.
2.
2
3.
3.
0
8/3
P xdx
J (x-3)2/89^
2
Л/4
C sina* dx.
J cos5 x
—Л/3
—a
60х + 10х2
4.
6.
7.
dx
8.
’9.
—2a
л/2
P sin4 X. COS4 X ,
\ ------------------dx
J sin10 x + 6cos10 x
—л/2
2л
10.
11.
P dx
J sin® x -j- cos® x
0
12.
—2?3
5/2
dx
(44-х2)2
dx
J (x2— 8x4-15) /6x —x2 —5
2
л/2
P cos2x ,
\ ----------dx.
J sin® x
Я/6
2Л
C Mx
J 2 — sinx*
о
2л
P dx
J | 4 -j- cos2 x
о
з
dx.
о
"276
13. xarctg2xdx. 14.
0 1
15. § arcsin2 xdx. 16.
17. —i 10 C In x , I dx. J 1 +x* 0,1 18.
cos2 (In x) dx.
6
2
.............dx.
cosx In (x + Vl + x2) dx.
1/2
Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в
прямоугольных координатах *:
19.
20.
21.
22.
у —0, х — 2.
у = a cosx.
у = х In х.
23.
24.
у-=х*егх,
у—а$лпх,
у = х!п2х,
у —----cosx, j/ = atgx, х = 0.
3
у — х*—4х3 + 4х2, y = cosnx—1.
X
а
4а ,
У =-----arctg
л
25.
26. х® = х2
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
у = о.
г/=0, у = — 1.
2а3
У —--------,
аг + ха
у2 = х3—х4.
—У2-
а2у* = х*(аг—х2).
у=х, у — —х, —г/2 + 2х2 = 1.
х3 = (х—г/)2-а, г/ = 0.
х2 + 4г/2 = 8а2, х2—Зг/2=а2 (х~.
у3—у = х, у — — (1 + х)2,
у3—у = х, г/ = —(4 + х)2,
х = созлг/, ^уг~ 3 (х + 3).
Найти площадь каждой из частей, на которые парабола
у2 = а(а— х) разбивает круг х2+у2—а2.
35. Найти площадь области, заключенной между параболой
у=х2 — 2х+3, касательной к'ней в точке Л1 (2, 3), и осью OY.
Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной пара-
метрически **.
x = 3t2, y~3t — t3.
x=-y(6—/), </=-^-(6—0.
x = acosi, y = bsint (эллипс).
х = a cos31, у = a sin31 (астроида).
36.
37.
38.
39.
* Замечание. Всюду в этом разделе значения буквенных параметров счи-
таются положительными.
** Замечание. Если y=tx, то yt'x—xt'y—x2(t).
277
40. x = asin^, z/ = asin2/ 1 , „ .
’ а } (кривые Лиссажу).
41. x = acos3/, z/ = asin/ j
лп 'УГ 1УУ
42. x —------------, у =--------------.
(14-/2)2 V (1-j-/2)2
.„ , a sin2/
43. x = a cos t, у =------------.
2 + sin t
Привести уравнение к параметрическому виду и найти пло-
щадь области, ограниченной петлей кривой:
44. х3 + у3 — аху. 45. (х + у)3 = аху.
46. х4 = аху2 + ау3. 47. х5 + у3 = ах2//2.
Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в
полярных координатах:
48. r = acos5<p. 49. r = asin4<p.
51. r = atg<p, ф = л/4. 52. r = a(2—coscp).
54. r = 2<p, (0^ф^2л), 55. r = acos2<P.
cos ф
Ф = 0.
50. г=а(1—апф),
53. г2 = а2еоз4ф.
56. г = (1 + $ш22ф)а.
57. Найти площадь области, ограниченной кривой г = а1/соз2ф
и находящейся внутри круга r—al^2.
58. Найти площадь области, ограниченной кривой r = a(l +
+ созф) и лежащей вне кривой г = 3a cos ф.
59. Найти сумму площадей областей, ограниченных кривой г=
а=созЗф и лежащих вне круга r=a/2.
Перейти к полярным координатам и найти площадь области,
ограниченной кривой:
60. xi+yi = a2xy.
62. x4 + //4 = a2x2.
64. (х2 + у2)3 = ах*у.
66. (х6 + уе) = a2 (х4 + //4).
61. х2+у2 — 2ах, х2 +у2 = 2ау,
М (а/2, а/2) е S,
63. х2 + у2 = а2, х2 +-у2=2ау,
М (0, За/2) е= S.
65. (х2 + у2)3 = а2х2//2.
67. х6+//6=а2х4.
68. Найти площадь области, являющейся пересечением обла-
стей, ограниченных кривыми (х2 + //2)2 = а2(х2— у2) и
(х2+у2)2=2а2ху.
69. Найти площадь области, лежащей между кривыми
(х2+//2)2 = а2(х2— у2) и (х2+у2)2 = 4а2(х2 — у2).
70. Найти площадь области, расположенной в первом квадран- х
g
те, ограниченной кривой г2 — — sin2 2ф
3
и лежащей вне кривой
х4 + //4=х2 + //2 (полярная и декартова системы совмещены).
278
71. Найти площадь области, лежащей между кривыми
х4+г/4 = а2(х2 + г/2) и х2/3+г/2/3 = а2/3.
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограни-
ченной линиями:
72. у = cosx, y = 2cosx, х=±л/2
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
73. у=ех— 1, у=2, х=0.
.а) вокруг оси OY; б) вокруг прямой у = 2.
74. у =--------, у = 0, х = ±1
1 + х2
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси симметрии; в) относительно пря-
мой у= 1.
75. i/ = sinx, х=0, х = л, у = 0
а) вокруг прямой у = — 1; б) вокруг прямой у—1; в) вокруг пря-
мой х=—1.
76. Найти объем тела, полученного при вращении круга ра-
диусом а относительно прямой, лежащей в плоскости круга и от-
стоящей от его центра на расстоянии b (Ь>а).
77. Дан круг радиусом а и прямая, лежащая в плоскости кру-
га на расстоянии b от центра (0<Ь<а). Найти объем тела, полу-
ченного при вращении вокруг этой прямой каждой из частей кру-
га, на которые его делит данная прямая.
78. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра-
ниченной линиями у3~у = х, х = 0 а) вокруг оси ОХ; б) вокруг
оси ОУ.
79. Найти объем тела, полученного при вращении параболиче-
ского сектора с основанием 2а и высотой Н а) вокруг основания;
б) вокруг оси симметрии; в) вокруг касательной, проведенной че-
рез вершину сектора.
80. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры,
•ограниченной линиями у = х(3 — х), у=х: а) вокруг оси ОХ;
б) вокруг оси OY; в) вокруг прямой у—х.
81. Найти объем тела, полученного при вращении части эллип-
са — + -^-=1, лежащего между прямыми y=h и у——h (0<
<h<b) вокруг вертикальной оси симметрии.
82. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры,
ограниченной линиями х3=у2, х=0, у=—1/27, у=8 вокруг оси OY.
83. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры, яв-
ляющейся общей частью кругов х2+у2=2ах и х2+у2 = 2ау:
а) вокруг оси ОХ, б) вокруг прямой у—х.
Найти объем тела, образованного при вращении области огра-
киченной линиями:
84. x=acos3/, z/=asin3/
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг прямой х=а.
85. х=а sin t, у—a sin 2t
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY; в) вокруг прямой х = а;
г) вокруг прямой у=а.
279
86. x = a(f + siM?)> У~а(1— cost), 0^/^2л, y=0
а) вокруг оси OX; б) вокруг оси симметрии; в) вокруг прямой,
у=2а.
87. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной кривой
x=2as\n2t, y = 2acost
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
88. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной петлей кривой
x=acos2t, у=а cos 3t
а) вокруг прямой х=а; б) вокруг оси ОХ;
в) вокруг прямой х=—а.
89. Найти объем тела, полученного при вращении области,
ограниченной кривой r = a(l+cos<p) вокруг левой вертикальной
касательной к этой кривой.
90. Доказать, что объем тела, образованного вращением во-
круг полярной оси области О^а^ф^р^л, О^гсг(ф) (фи г —
полярные координаты), равен
в
V = — л J г3 (ф) sin ф <йр.
а
Найти объем тела, образованного вращением области, ограни-
ченной кривой, заданной в полярных координатах:
91. г —а (1 + sin2<p) вокруг полярной оси.
92. Гх=асоз2Ф вокруг полярной оси.
93. г = а|51п2ф| вокруг полярной оси.
94. г = ае2<р, О^ф^л, ф = 0, ф = л вокруг полярной оси.
Найти длины дуг следующих кривых:
95. i/ = lnx, 3/4х12/5.
96. у —1—Incosx, О^х^л/З.
97. у = 1п(1 — х2), 0<х^1/2.
98. у — arccosегх, O^x^l.
99. —х3 + arcsinх, 0^х^7/9.
100. у = V1 —х2 + arccos х, 0 х 8/9.
101. i/= 1/х—х2 + -у arcsin (2х — 1).
103. (уГ/3 + у2/3 = а2/3.
104.
у |/ --------Уау от точки Л (0,0) до точки В(а/6,а).
280
1 a2 tp
105. x = —a-|- ——И ~ 2 от точки А (а, а) до точки В (5a, 3a).
2
106. Найти длину полу кубической параболы у2 =— (х— I)3, за-
3
ключенной внутри параболы у2 — ~.
107. Найти длину границы области, ограниченной линиями
у = ех, у = 2~]/х , х = 0, у—\.
108. Найти длину границы области, ограниченной линиями
у = 2\/х , у = 2"/х2 .
109. Найти длину линии
i/(x) = jl//4— 1 dt, 1^х^2.
1
ПО. Найти длину линии
// (х)] = /cos 2t dt, 0^х^л/4.
о
111. Найти длину линии
у (х) — /sin 2t dt, 0 х л/4.
о
Найти длины дуг следующих кривых, заданных параметрически:
112. x = acos3/, у — a sin3/.
113. х — а cos51, у=а sin51, 0^/^л/2.
114. х=2a sin21, y = 2a cos t.
115. x=In(l + /2), u = 2arctg/— 2/ + 8 от точки Л(0, 8) до точки
В (In 2, л/2+6).
116. х= (/2— 2)sin /+2/cost, у=(2— /2)cos/+2/sint, 0^/^l.
117. x=6a/5, i/=5a/(l—/8) от точки Л(0, 0) до точки
В (6a, 0).
118. x = 2ash3/, у = 3a ch/ от точки Л(0, За) до точки В(хо, г/о)-
119. х — a cos /, у — —2а In sin / от точки А (0,0) до точки В (х0, у0).
120. x=-y-sin/(l 4-2 cos2/), у = a cos3/ от точки Л(0,а) до точ-
ки В (а/2,0).
121. х = а ^cos/+• lntg-y-'(, у — a sin/ от точки А (0, а) до точки
5(х0,г/0).
122. x = 2acos/, y = 2asint, z = at, 0^/^2л.
123. х= — /3 + —/2, у=--------tA + — /2, z= —/3 + /2, 0</<1.
3 2 3 2 3
124. x = ef (cos/ +sin/), y = e‘(cost—sin/), z — ht, 0^/^2л.
281
125. x = acos3/, z/ = asin3r, z = acos 2t.
126. x = a(/cos/— sin/), у =a(t sin t +cos/), z = ht,
Найти длины дуг кривых, заданных в полярных координатах:
127. r = cos3-^-, О^Ф^л/2. 128. г = а cos1 (ф/4).
3
129. г = Ф2, О^ф^л. 130. ф = ДА2 + 2 + 1п[ г -|-
+ 1/г2Т2|, 0<г<2.
131. ф = 1пг + г, 1 С t С 5.
132. Найти длину дуги спирали Архимеда г = а<р, находящейся
внутри круга радиусом 2ал.
133. Найти длину дуги гиперболической спирали г =---, хр>
Ф
>0, находящейся внутри кольца а/4^г^2а.
134. Найти длину границы областей, ограниченных кривыми
--------- и г = а (1 + cos ф).
4 sin2 --
2
Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе ко-
ординат:
135. r = acos2u, ф = 2(и—tgu) от точки А (а, О) до точки
В(а!2, л/2—2).
136. г = а(1 4-tgu), ф = tgи — lii(l-btgu) от точки Л(а,0) до
точки В(го,Фо)-
Найти площади поверхностей, образованных вращением сле-
дующих кривых:
у2 о2
137-JT^CT=I (а>6)-
а2 о2
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
138. у = —, 0< as^xsgA вокруг оси ОХ.
х
139. у2 + 4х = 2 In у, вокруг оси ОХ.
140. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением
окружности радиусом а относительно прямой, лежащей в ее плос-
кости и отстоящей от центра на расстояние b (Ь>а).
141. Найти площадь поверхности тела, полученного враще-
нием вокруг оси ОХ петли кривой Зау2 = х(а— х)2.
142. Найти полную площадь поверхности тела, полученного
вращением вокруг оси ОХ области, ограниченной линиями у2 = 2х
и 2х=3.
Найти площади поверхностей тел, образованных вращением
кривой, заданной параметрически:
143. x=e*sin£, i/ = e<cos/, 0^/^л/2,
вокруг оси ОХ.
282
144. x=a(t+sin t), y = a(,l + cos t), 0^^2л,
а) вокруг оси OX; б) вокруг оси OY; в) вокруг оси симметрии;
г) вокруг прямой у — 2а.
145. x = a^cost + Intg, y = asint, л/2^7 t ^7 Зл/4, вокруг
оси ОХ.
146. x = 2asin2t, у = 2a cost вокруг оси ОХ.
147. х — а(2cost—cos2t), у = а (2sin t—sin2Z) вокруг оси OX.
Найти площади поверхностей, образованных вращением дуги
АВ кривой:
148. x — at2, y=~at(3—t'1), Л (0,0), B(3a,0),
3
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
9 6
149. х = — at*, у = — a(5t3—3t5), Д(0, 0), B(5a, 0);
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
150. x = 2at3, у= -~a(,2i2—t*),
Д (0,0), В (4a V2", 0),
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
151. Найти площадь поверхности тела, полученного при вра-
щении области, лежащей внутри окружности r=2а sin ср и вне
окружности г=а, относительно осей координат.
152. Найти площадь поверхности тела, образованного враще-
нием области, ограниченной кривой
r2 = a2cos2<p + ft2sin2q) (a>b),
а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.
Ответы
4
, 3л. 7 „„ . 3 , . 1 .1.13+2
1.--. 2.---л. 3. 6—arcsin—-= +arcsin 4. —In —-
4 192 /10 /10 4 /15 + 4
л
tg--
5. — У2~ + — У3~ + — In---£-
8 4 8 Эл
g 8
6. — к 3 . 7.---------------^-\пЗ. 8. 9. -^=. 10. —^=-
5 12а 4а к 3 5/6 4/5
11. 4л. 12. — + arctg 4 . 13.-----^-(4—л) + — 1п2. 14. -|—.
2 3 16 2 5
15. ——4. 16. 0. 17. 0. 18. 0. 19. 2----------—. 20. 2а~}/2 . 21. 1.
2 е2
22. а (— + 1п 23. —. 24. а2 (л— 2 + — In 21. 25. —•
\ 3 2 У 15 \ л / 8
283
26. —. 27. — a2. 28. У2 In (1 + У2 ). 29. —. 30. a2 (— —
15 5 10 \ 2
----^=-ln(2 -f-VT) V 31. —. 32. —. 33. 6 34. S.=Sa =
/3 v / 12 12 л 12
= —-------La2, S3 = -2^- + — a2. 35. —. 36. — УЗ". 37. —.
4 3 2 3 3 5 5
38. nab. 39. — na2. 40. — a2. 41.^-^-a2. 42.—. 43. -^L(16 —
3 3 2 12 /Т
—9 УЗ"). 44. —. 45. —. 46. —. 47. —. 48. 49.
6 60 210 10 4 4
50. 51. —(4—л). 52.53. a2. 54. — л3. 55. — (4 — л).
2 8 2 3 2 ’
Cz* Ю 9 , Г' о -. /г. . рл ЛД2 ЛИ2 . Cl2 1^”3 ЛС12
56. ---ла2. 57.—(л + 6 —зуз . 58.-----. 59.----------—. 60.—-
8 6 4 12 8 2
ci а2 t o\ co ла2 co ла2 । a2 1^3 7ла2 а2л
61. — (л —2). 62. ——. 63.-------1--------. 64. ---. 65. -----.
2 ' У2 3 2 512 8
66. — ла2. 67. 68. a2 (1—69. 3a2. 70. — + ------------
3 2 \ 2 ) 6 3
----arctg У2 . 71. ла2 (У2 —— L 72. a) — ; б) л2 — 2л.
73. a) л(3 In2 3—6 In 3 + 4); б) л (9 In 3—8). 74. a) —(2 +л); б) л In 2;
4
в) -------p 75. a)-y- + 4л; б) 4л —л2; в) 2л2 + 4л. 76. 2л2а2д.
77. -^~Уа2 — Ь2 (2а2 + Ь2)—2na2b arcsinУ- ~Ь ; -^-Уа2—Ь2 (2а2 +
3 а 3
+ Z>2) + n2a2b + 2na2b arcsin —. 78. а) -р-; б) 79. а) -у|- ла№;
б) в) — паН2. 80. а)б)—; в) 81. ,?.na2h(3b2~h2'>
2 5 15 3 15 362
82. — ( 27------У 83. а) — (л—2); б) ла3 УГ (--------------—У
7 \ З7 / 2 ' ' \6 4 /
ол . 32ла3 Зл2а3 о_ . 16 , л2а3 . 16ла3 . 16 „
84. а) -----; б)----. 85. а)----ла3; б) ----; в) ----; г)--ла3.
105 7 4 ' 15 2 ’ 3 ’ 3
86. а) л2а3; б) 2ла3 -------у-); в) Зл2а3. 87. а) 4а3л2; б) -^-а3л.
оо v Пла3 ла3 КЗ -118 22ла3УЗ Оп 13л2а3
8«- VOT = —V„« =----------------, V„_,=--------------.89.—.
Указание. Левая вертикальная касательная имеет уравнение х = <р(х0),
где х (%) = minx (<р) на [0, л]. 91. ——ла3. 92. — ла3. 93. -^-ла3.
\ • V/ \Т/ L » J Qr- О1 1п_
284
94. _2_ ла3(е6я+ 1).95. -^-4-In 2. 96. 1п(2 + УЗ ). 97. 1пЗ—
98. 1п(е+Уё^Т). 99. ЮО. 101. 2. 102.
3 3 а24-6а
а2*2 , 1 Ь(У а2 + Ь2 +Ь) ,г „
4------------—И In—' \ Указание. Перейти к параме-
(а24-62)2/3 а(Иа2 + а2—а)
28
трическому заданию кривой. 103. ------а. Указание. Перейти к пара-
3
метрическому заданию кривой. 104.-у-. 105. ~~а- Ю6. -^2 (53^2—
— 23/2). 107. УГ?7 4-е—2 4- 2 In(1 4- /Г) 4- In (У Г+72 — 1).
108. У2~ + 1п(1+УГ) + — (103/2 —1). 109. —. ПО. 1. 111. 1..
27 3
112.
115.
6а. ИЗ. — а(2-------1п(2~_/3.) \ Ц4.2аУ5 + а!п(2 + У5)..
8 \ КЗ /
2У2 —2. 116. 1/3. 117. 10а. 118. 2ach3f0 —3a ch t0 + a, х (Q =
= х0, y(t0) = у0. 119. a cos /0 + a In
C0S<,° * I. *(Q=x0, y(t0)=y0..
cos Zo + 1 I
122. 2a У5 л. 123. -A- (27 УЗ —2 Уб ). 124. У/г2 + 4е4п—У/г2 + 4 +
4-/г Inf2л. 125. 10а. 126. А./а2/о 4-/г2+—1п|а/0Н-
\ /4 + Д2 _ h j 2 2а 1 0
4- V a2t2 + /г21-—lnh. 127. — (2л+ЗуГ). 128. —. 129. — х
2а 8 3 3
х[(л24-4)3/2—8]. 130.—. 131.3У37-УГ 4- — InI 6 + .
3 2 I 2 4- у 5
132. а(лУ4л2 + 1 4- -у In (2л 4- У4л2 4-1 )• 133. ла X
X lnf---± +_£(У1бл2 4-64 —У1 4- 16л2). 134. ^=2(^-1-
k л 4- у л2 4- 4 } 4
= 4asin—, /3 = —
8 ’ 3 2
3л
cos -
—
2 sin2-
8
^ = 4У2 a sin —, l2
8
л
COS -
n|tg~—| 4----------—
| 16 I 2sin2n/8
-----— In tg 1 I I. = 4a fl — sin
2 16 / \
Зл
cos ------
8
Зл
2 sin2-----
8
16
285
-----Inltg— |. 135. 2a fl----------136. a f-^2-+— X
2 | b 16 / к 2 / \ 2 cos2 <p0 2
137. a) 2nd2 + 2naZ> a-rcsin 8 , 6) 2ла2 +
e
InF-2-(i + «)], t=_E22L. 138. 2лinf у +
e [ b ' J a \ a2 + /1 + a2 /
+ 2л[уЛ i+_L_у" 1+-^- 139. -^[9—8 In2]. 140. 4 л2 ab.
141. —. 142. Зл-Ь—— л [f—V/2— 23/2 ]. 143. 2).
3 3 [ V 2 / 5
1 л а \ 32 a «£. 9 . 32 а \ 32ли^ i a tz о Л2 (i "F 2 \
144. а) ----ла2; б) 16ла2; в)----ла2; г) -----. 145. 2ла2 ( 1 —L— .
3 3 3 \ 2 /
146. (б3/2 —1). 147. 128л—. 148. а) Зла2; б) 28™2)<3 -.
3 5 5
149. а) —ла2; б) --240 ~\f—-ла2. 150. а) бла2; б) -816 |/2 ла2.
3 63 У 3 35
151. а) ла2 f—л+ 4УЗ 'к б) 4ла2. 152. а) 2л fa.2 -4-------Ь---— х
\ 3 / \ Г а4 — й4
х In -g=»r + °,v в) 2л 1ь>+ arcsin V
й2 / \ у а4 — й4 а2 /
Глава III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Точкой х в пространстве Rm называется упорядоченный набор
чисел х= (xi, х2, ...,хт). Величина у называется нор-
г ;=1
мой x^Rm и обозначается ||х||; если нужно уточнить, в каком
пространстве находится х, пишут но обычно индекс опус-
кается, так как из контекста ясно, о каком пространстве идет
речь. Так как
max I Х( | С 1/ У х? С Vm max | гг |,
то условие ||х||->~0 эквивалентно условию max |xt-|->0.
286
Норма в пространстве Rm играет ту же роль, что и абсолют-
ная величина для точек числовой прямой. Расстояние от х до ну-
ля— d(x, 0)—равно норме x:d(x, 0) = ||х||; расстояние между
точками х и у равно норме (х — у) '.d{x, у) = ||х— у\\. В дальней-
шем расстояние между точками х и у записываем в виде ||х— у\\.
Отображение f : E->Rn, EczRm, записывается в координатной
форме f= (fi, fz, fn), где fi'.E-^R\ i=l,2, ..., n*. Отображение-
f:E-*-R, EaRm, назовем функцией (действительнозначной функ-
цией) точки xt=Rm-. x=(xi, х2, .... хт) или функцией т пе-
ременных f(x)=f(xb х2, хт). Исследование многих свойств
отображения f;E-+Rn, EaRm, сводится к исследованию этих
свойств его координатных функций fi, fz, ..., fn, fi'.E^-R'. Поэто-
му в настоящей главе более подробно анализируются функции
f: E^R, EaRm.
Определение. Пусть f-.E-+Rn, EczRm, и Af0— предельная
точка Е. Точка A<=Rn называется пределом отображения f(x) при
х-> Мо: lim f(x) = X, если для любого е>0 существует 6>0 та-
X—>Af(j
кое, что для любого х^Е, удовлетворяющего условию 0< ||х—
— М о 11 кт < б, выполняется ||f (х)—Л ||^< в. Запишем это опре-
деление с использованием символики:
Ve>0 36>0:Vxe£, 0 < ||х—Af01|^ < 6=>||f (х)-Л||л„ < 8.
В терминах покоординатной сходимости утверждение lim f (х) =
х-^Ма
= А,М0= (xi°, х2°.х°т), х=.(Х1, х2,.. ,хт)", записывается так:
Ve>0 36>0:Vx = (x1, х2, ..., хт), х^Е,
0<|х£-х°|<6 (i=l, 2......т)=>Ц/(х)—Л||^< в.
Отображение f:E^Rn, Ec.Rm, где в координатной записи f=
= (fi, fz, fi'.E^R имеет точку А—(аь а2, ...,ап) пределом
при x^~MQ тогда и только тогда, когда lim f£(x)=a£ для любо-
го 1 = 1, 2,... ,п.
Критерий Коши. Пусть f: Е->-Rn, Ec.Rm, и Мо—предель-
ная точка Е. Предел limf(x) существует тогда и только тогда,
когда для любого 8>0 существует б>0 такое, что для любых Xie
<=Е и х2<=Е из неравенство <||М0—х1||^п< б, 0 < ||Мо— х2||^та<
< б следует неравенство
llf(Xl) — f(x2)||<8.
* В дальнейшем пространство R1 будем обозначать проста R.
287
С использованием символов это записывается так:
Ve>0 36>0:Vx1eE, Vx2gE, 0< ЦМо— хх|| < 6,
О < || Мо -х21| < S => || f (xj -f (xe)|L < 8.
Определение. Пусть f-.E-+Rn, EaRm, и множество ЕЕс
<=7?т. Тогда колебанием отображения f на множестве U назы-
вается sup ||/(хх)—/(^2)11 и обозначается Используя
хихгеипЕ
понятие колебания отображения f:E->-Rn, EazRm, на множестве
UczRm, критерий Коши существования предела формулируется
так: пусть f:E-^Rn, EaRm, и Мо—предельная точка Е. Предел
lim/(х) существует тогда и только тогда, когда для любого е>
x-t-M,
>0 существует окрестность точки Мо такая, что
<»c/(f)<8, где t/=E7\{Af0}-
Вычисление предела функции многих переменных часто сво-
дится к вычислению предела функции одного переменного либо с
помощью оценок, либо заменой переменных.
Пример 1. Найдем предел lim--1пх~.
х->о V X2 + у2
</-»0
Решение. Условие (х, г/)->(0, 0) эквивалентно условию
Ух2 + г/* -> 0. Так как
[ sin ху КI ху К-j- (х2 + г/2),
то
sinxt/ I х2 + t/2
уЕх2 + у2 I 2f/х2 + у2
^-1А2 + */2,
и, следовательно,
lim -Й==0.
х-^0 Кх2 + </2
у^о
Пример 2. Найдем предел lim=.
X—*-1 у х% у2 — 2х —1
t/->0
Решение. Так как г=х+г/->-1, то \nz~z — 1= [х + у— 1).
Введем новые переменные г и t: x=l + rcost, y = rsint, тогда ус-
ловие (х, г/)->(1, 0) эквивалентно условию г->-0 и
1 im . = lim Д+*-1)2 .... =
х_»\ ]Е х2 + у2 — 2х + 1 x-»i -/х2 + </2 — 2х + 1
г/-» о
jim г2 (cos/ +sin t)2 0
г->о г
288
Предел функции f(x)=f(xi,...,xm) при условии xh-+co
(х*->+оо; хА—>—оо) и Xi-^Xi°, i=l, 2.......т, l^=k рассматри-
вается как предел функции f х2, .... Xk-i, Xk+\, xm)
при t->-0 (Л->0 + , t-+Q—) и Xj->Xj0, i=l, 2, i=jt=k. Если бес-
конечно большой является не одна координата точки х, а не-
сколько, то аналогично все эти координаты заменяются перемен-
1 1
ными —, — и т. д.
h t2
x*
Пример 3. Найдем предел lim /1 + — \ х+у .
JC—>oo \ X j
у-<-3
Решение. Обозначим x = l/t, тогда условие х->оо у->3 экви-
валентно условию (/, г/)-э-(0, 3), следовательно,
г2 /
lim ——— In | 1
Х—оо X -j- у \
</—3
+~ч
X /
lim ———
(f,aW0,3) t (1 + ty)
lim —— = 1
(t,y) -(0,3) 1 + ty
и
lim 1 +
X->oo \
XZ-*3
1 \x+y
lim —in( i + 2.)
x-^X'-y 4 x>
= e»^3 = e.
Определение. Пусть MQ предельная точка Е и М0^Е.
Отображение f :E-^Rn, EaRm, непрерывно в точке Af0, если
lim / (х) =/(Л40).
x-t-ЛЦ
Отображение f: E->Rn, EaRm, где в координатной записи f=
= (fi, f2..fn), fi-E-^-R, непрерывно в точке М.:,<^Е тогда и толь-
ко тогда, когда каждая из функций fi(x), i= 1, 2, ...,п, непрерыв-
на в этой точке.
Непрерывность функции многих переменных f в точке х обыч-
но устанавливается по теореме о композиции непрерывных функ-
ций. Если же в данной точке функция f не является композицией
непрерывных функций, то вопрос требует индивидуального иссле-
дования.
Приведем соответствующие примеры.
Пример 4. Непрерывность функции
{sin ху „ , 2 , л
-7.. -, х2 + у2 =# 0;
/х2 + </2
0 , х2 + у2 — 0
в любой точке М= (х0, у0), кроме точки Мо= (0, 0), следует из не-
прерывности многочлена, синуса, квадратного корня и условия
хо2 + Уэ2¥=0; непрерывность f в точке Мо следует из равенства
lim —=0 (см. с. 288).
(Х,й)-(0,0) Ух'^у2
11 И. А. Виноградова
289
Пример 5. Непрерывность функции
[ox2 + ^L „2 + 22^о
f(x,y, z)= ^3 + *2
ах2 , у2 + z2 = О
в любой точке M1(xb, ylt z0), где z/2 + z2#=0, устанавливается так
же, как и в предыдущем примере. Пусть М2 = (х0, 0, 0), хоу=О.
Рассмотрим, как ведут себя значения f (М), если точка М приближается
к точке М2 по прямым х = хй, у = 0 и х—х0, y--=z. Для Л4(х0, 0, г)
имеем f(M)=ax2 и lim f (М) = ах? = f (Л12); дляМ(,г0> у, у), y^Q,
м-+м,
имеем f (Л'1) = ах2 + — и lim f (Л4) = ах2 + — =/= f (Л40), так как хи#=0.
2 Л1->-лт2 2
Итак, f разрывна в точке М2, более того, так как в любой окрест-
ности М2 функция f принимает как значение ax2Q, так и значение
azo + ‘y> т0 колебание f в этой окрестности 'не менее Следо-
вательно, в силу критерия Коти, функция f не имеет предела при
М^М2.
Исследуем непрерывность f в точке Л4о = (О, 0, 0). Так как |
“ (f/2 + z2), то \f(x, у, z)|^|a|.r2 + -y |х| при г/2 + г2#=0;
\f(x, у, z)| = |а|х2 при у2 + z2 = 0. Если М(х, у, z)->Afo(0, 0, 0),
то х-+0, следовательно, lim f (М) = 0 = / (Л40), т. е. f непрерывна
В Мо = (0, 0, 0).
Итак, множество М точек разрыва f является осью ОХ с выко-
лотым началом координат.
Обратим внимание, что для доказательства того, что функция
f разрывна в точке М2, достаточно найти такие две линии, прохо-
дящие через точку М2, что f имеет разные пределы, когда точка М
стремится к точке М2, оставаясь на одной из этих линий. Когда
же проверяется непрерывность функции многих переменных в точ-
ке Мо, то необходимо рассматривать поведение этой функции не
на отдельных линиях, проходящих через точку Мо, а во всех точ-
ках некоторой полной окрестности точки М$, причем необходимо,
чтобы при любом стремлении некоторой точки х к точке Л10 было
выполнено lim/(х) =/(Л10).
х^М„
Поскольку техника вычисления предела функции многих пере-
менных аналогична технике вычисления предела функции одного
переменного, то в этом разделе помещены только теоретические, а
не вычислительные задачи, связанные с понятиями предела и не-
прерывности функций многих переменных.
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ, ПЕРВЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ,
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть f: E->-Rn, EczRm, и х0^Е— внутренняя точка Е. Рас-
смотрим линейное пространство векторов h размерности т, имею-
щих начало («приложенных») в точке х0. Такие векторы назовем
векторами смещения. Каноническим базисом в таком простран-
стве будет базис из «приложенных» в точке х0 ненулевых векто-
ров, коллинеарных базисным векторам исходного пространства
Rm. В этом базисе координаты вектора h обозначим Дхь Дх2,...
• • • , Д-^т-
Определение. Отображение f:E-*-Rn, EczRm, дифферен-
цируемо в точке ха^Е, внутренней для Е, если
f(x0+h)—f(x0)=L(x0)h + a(x0, h),
где h—.вектор смещения, L(xQ) \ Rm->Rn— линейное отображение
и ||а(х0, h) = о (|| h ||ят) при
т
/ a » \ 1 / 2
1|/1||^-*0, где ||/i||Rm = l2, Дх?) .
(=1
Линейное отображение L(x0) называется производным отобра-
жением f или производной отображения f в точке хо и обозна-
чается f'(x0).
Пример 1. Рассмотрим отображение f: R2(x, y)^-R2(u, v),
заданное формулами и=х2+у2, v = xy. Возьмем точку Мо= (1, 1).
Покажем, что данное отображение f дифференцируемо в этой
точке. Вектор смещения обозначим h. Его координаты в канониче-
ском базисе обозначим Дх, Дг/ (см. рис. 20). Имеем
/(Mo+/i)=/(l+Ax, 1 + Д//) ={(1 +Дх)2 + (1 +Дг/)2;
(1 +Дх)(1 + Дг/)} = (2+ 2Дг + 2\у + \х2 + \у2\ 1 + Дх + Д(/4-
4- \х\у}.
Разность f (Мо + h) —f (Л40) представим в виде
{2 + 2Дх + 2Д1/ +Дх2 + Дг/2; 1-|-Дх + Дг/+ Дх-Дг/}—{2; 1} =
= {2Дх4-2Дг/; Дх-ьДг/}+ {Дх2 + Д#2, Дх-Дг/}.
Отображение L(l; l)/t: /г = {Дх, Дг/}->-{2Дх-|-2Дг/, Дх 4- Дг/} линейное.
Действительно, если /г1 = (Дх1, Дг/J, /г2 = (Дх2, Az/2), т0
L(l, 1) hr ={2AXj + 2\у1У Axj-f-Az/j),
Е(1, 1)/12 = {2Дх2 + 2Дг/2, Дх2 + Д?/2}
и
Е(1, 1)(/г1 + /г2) = Л(1, 1)ЛХ+ L(l, 1) Л2,
11*
291
L (1, 1) (oc/ij = aL/z1 (проверьте).
Норма вектора a(/W0, h) = {Лх2 + Az/2, Ax • Az/} равна
V(Ax2 + Az/2)2 + (Ax Az/)2. Так как (Ax Az/) Ax + A,y , to
V(Ax2 + Az/2)2 + (Ax-Az/)2 < Jy- (Ax2 + Az/2) =
= VAx2 + Az/2 Д/5/4 (Ax2 + Az/2) = о (/Ax2 + Az/2) = о (|| h ||)
при ||/i||->0, t. e. ||a(/W0, /i)|| = o (|| h ||) при h-+0.
Следовательно, L(l, 1) есть производное отображение отображе-
ния f. Всякое линейное отображение в определенном базисе ха-
рактеризуется некоторой матрицей. Нашему отображению Z.(l, 1)
в каноническом базисе отвечает матрица I j । I.
Отображение f:E-+Rn, EczRm, дифференцируемое в точке хо,
непрерывно в этой точке.
Основные правила дифференцирования
1. Линейность: если отображения fi : E-+Rn, f2:E-+Rn, EczRm,
дифференцируемы в точке х0^Е, то их линейная комбинация так-
же дифференцируема в точке хо и
(a/i + (*о) = (*о) + Р/2 (хо)-
2. Дифференцирование композиции отображений: если отобра-
жение f:X-+Y, XczRm, YczRn, дифференцируемо в точке х0<^Х, а
отображение g: Y—rRv дифференцируемо в точке г/0=}(хо)еУ, то
композиция g°f: X-+RQ дифференцируема в точке х0 и производ-
ная (g°fY(xo) есть композиция производных g'(Уо) ° Г (хо)
Отображение f: E—^R17, E^Rm, где в координатной записи f=
= (fi, f2..fn), fi’.E-^-R, дифференцируемо тогда и только тогда
в точке Хце£, когда каждое из отображений ft: E-+R, EczRm,
i=l, 2,... ,п (т. е. функций 0), дифференцируемо в точке х0.
Производной функции f:E->R, EczRm, в точке х0 является ли-
нейное отображение в R, определенное на пространстве прило-
женных в точке Хо векторов h. Такое линейное отображение век-
тора /z(Axi,..., Ахт) представляет собой линейную форму от
Ах., .... Ахт. Эта линейная форма коротко называется первым
дифференциалом функции f в точке хо и обозначается zif(x0). Зна-
чение этой линейной формы называется значением первого диф-
ференциала функции f в точке хо на векторе h и обозначается
df (x0)h.
По этому определению для функции одного переменного
f:(a, b)-+R ее производной в точке х0^(а, Ь) является линейное
отображение одномерного вектора й=Ах в R, т. е. умножение
этого вектора на такое число а, что
f(x0+.Ax) — f (хо) =аАх + о(Дх).
292
Сравнивая это определение с ранее данным определением произ-
водной функции одного переменного, видим, что коэффициент а
,, f (х0-у Дх)—f (х0) „
есть f (хо) в прежнем смысле: а = lim --------------. Другими
Лх—>0 Ах
словами, в прежнем определении не само линейное отображение
вектора Л = Дх называлось производной, а коэффициент этого ли-
нейного отображения, т. е. его числовая характеристика. Так как
прямая пропорциональная зависимость взаимно однозначно опре-
деляется своим коэффициентом, то для функции одного перемен-
ного производную можно считать как числом, так и линейным
преобразованием векторов смещения, характеризующимся этим
числом. Значение дифференциала df(x0)h = a-&х функции f одно-
го переменного на векторе й = Дх полностью совпадает в обоих
определениях.
Для аналогичной числовой характеристики производной функ-
ции f: E-+R, EmRm, т^2, вводится понятие частной производной
f по одному из переменных.
Определение. Пусть f:E-+R, EczRm, m^2, и хоеЕ— вну-
тренняя точка Е. Частной производной функции f в точке х0=
= (х!°, ..., х°т) по переменному х, называется
jjm / (xl I х2> > xi— 1’
Дх(-
—Н*?, х°2....<! ХЬ X°i + V •О
Дх(
если этот предел существует. В этом случае говорят, что f имеет
частную производную по х, в точке хо и эту производную обозна-
чают -^-(х0) или (х0), или /:(xj.
дх, i
Частная производная (х0), х0 = (х°, х°, ..., х9, ..., х^), вычис-
ляется обычными методами дифференцирования функции одного
переменного, считая все координаты точки x(xi, х2, ...,хто) (все
аргументы функции) фиксированными, кроме той, по которой бе-
рется производная, т. е. х3 = х,° (/=H=i)•
Если обозначить
/;Сч)=/(х°.......Xi, х°+1, .... x°m),
то
иХ{
. тт •> ди ди ди ,
Пример 1. Найдем частные производные ---------, ---, --- функ-
дх ду dz
ции и(х, у, z) = arctg-хг + ;/ в точке М0 = (х0, уй, z0).
1 — ху
293
Решение. Дифференцируя функцию u* (х) = arctg по х,
1 — хуо
получаем
да ,,, . , . , .., zo + У о
----(Мо) = (и, (х0 )' =-------------------------5---г-т- .
дх 1 — 2х0уэ -|- xQyQ -|- 2х0у0г0 Ц- у0 -|- х0 г0
Аналогично
(м ) ______________1±х°г°______________,
ду 1 — 2х0у0 + Фо + 2Wo + г/о + Фо
2
(М,) =_____________Х^~-°У°_________.
dz 1 — 2х0у0 + Xq!/q + 2х0у0г0 + {/q + хо z0
Пример 2. Найдем частные производные
функции
u^xv+yz + zx (х>0, z/>0, z>0).
ди ди ди
дх ’ ду ' дг
Решение.
= ухУ—{ +zx Inz, = ХУ In X + zyz~\ = уг In у + XZx“1.
дх-------------------------------------------------ду-дг
Как уже отмечалось в случае функции одного переменного, ис-
пользовать формулы производных элементарных функций и пра-
вила дифференцирования можно только в тех точках, для кото-
рых значения функции в самой точке и в некоторой ее окрестно-
сти заданы одним и тем же аналитическим выражением. В про-
тивном случае приходится находить производную другим путем,
например ее непосредственным вычислением через предел. Вычи-
сление частных производных функции многих переменных в такой
особой точке хо= (xi°,... ,х°т) иногда упрощается тем, что для
функции одного переменного
f‘(x.)=/(x°, ..., х^, хь х°+„ ..., х^)
точка Хг° не будет особой.
Пример 3. Найдем ----,
дх
{9 , хуг
ах2 Н-------------—,
i/2 + z2
ах2
ди ди ,
—------- для функции
ду дг
У2 + г2 ф 0;
у2 + Z2=0
в точке Мо= (1, 0, 0).
Решение. Так как м*(х) = и(х, 0, 0)=ах2, то -^-(Мо) =
= ((«*)'(1)) =2а. Так как ц’ (г/)=м(1, у, 0)=апри любом у,
294
то----(Л10) =((«’)'(0)) = 0 и аналогично —(Л40) =((«’)'(0)) =0, где
ду 2 дг
(г) = а.
Итак, функция и имеет в точке Л40 все три частные производ-
ные, но, как было показано в примере 5 § 1, разрывна в этой
точке.
Внимание! Для функции f:E-+R, EczRm, т>-2, существование
частных производных в точке Мо не гарантирует непрерывности и
тем более дифференцируемости f в точке Afo-
Если функция f: E-+R, EczRm, т^2, дифференцируема в точ-
ке хое£, то f имеет в этой точке частные производные по всем
переменным, и эти производные являются коэффициентами линей-
ной формы df(xo), т. е.
df W h = (х0) Дх1 + f' (х0) Дх2 + ... + f’m (х0) Дх„,,
где /i = (Axlt Дх2, Дхот).
РаССМОТрИМ фуНКЦИЮ Яг(х)=Хг-, Х=(Х], Х2, . , xm)^Rm, i=l,
2, ..., т. Ее приращение ДлДх0) =Лг(х0+й)—щ(х0)=ДХ{ есть
линейное отображение L вектора h = (Дхь..., Дхт): Lh = Axi, сле-
довательно, dxi = dm(xo) = ДлДхо) =кхг. В силу этого равенства
первый дифференциал функции f в точке Хо может быть записан
в форме
т
df (*о) = f'i Uu) dxx + f2 (x0) dx2 4- ... + fm (x0) dxi;, = £ f’k (x0) dxk.
*=i
Именно эта форма записи первого дифференциала функции
наиболее употребительна. Удобство ее в том, что в силу теоремы
о дифференцировании композиции эта форма сохраняется и тог-
да, когда Xi, Х2, ...,хт являются не только независимыми пере-
менными, но и функциями некоторых других независимых аргу-
ментов: х,: i=l, 2, ..., т. В этом случае символ dxt уже
есть не приращение Лх,, а дифференциал функции х,.
Как уже было показано в примере, существование в точке Л40
частных производных функции f: E-+R, EczRm, m^2, недостаточ-
но для дифференцируемости f в точке Af0. Это только необходи-
мое условие. Дифференцируемость функции многих переменных в
точке хо обычно устанавливается с помощью следующего доста-
точного условия: если G— область в Rm и функция f: G-+R имеет
частные производные в некоторой окрестности точки xoeG и эти
производные непрерывны в точке хо, то f дифференцируема в точ-
ке Хо-
Класс функций, имеющих непрерывные производные в неко-
торой области Gc.Rm, обозначается C!(G). Все функции f: G^R
класса C’(G) непрерывны и дифференцируемы в каждой точке
области G, но существуют непрерывные и даже дифференцируе-
мые в каждой точке M0^G функции, не входящие в класс C’(G)
(за счет того, что частные производные будут разрывны).
295
Пример 4. (Функция, дифференцируемая всюду в области
G, но не принадлежащая классу C’fGJ.J
Пусть
G cz R2, G = {(x, у)’- х2 + у2 <_ 1}
и
[ у1-’3 In (у2 + х4/3), х2 + у2 ф 0;
г(х'У)=\ о , х2 + у2=0.
В каждой точке УИ = (х, у), кроме начала координат
Jl_ = y4/3 _4%1/3_ _^_==_4_г/1/3]п/у2 I Х4/3\ !_------
дх У 3((/2 + х4/3)’ ду 3 У У г/2 + х4/3 ’
dz dz
откуда видно, что в этих точках частные производные — и —
непрерывны и, следовательно, функция z дифференцируема в этих
точках.
Рассмотрим точку Л4о=(0, 0), имеем Az(0, 0)=z(x, у) —
— z(0, 0) =z/4/3In (г/2 + х4/3). Так как для |х|<1/2, |z/|<l/2, у2+
+ х4/3< 1, то
|ln(z/2+x4/3) K|lnz/2| =2|ln|у\ I,
откуда
|Az(0, 0)|<|г/| • | z/|1/3-21 ln| z/| | =o(|z/|)=o(/x2 + z/2),
x2 + y2 -> 0.
Следовательно, если L(0, 0)—линейное отображение, переводя-
щее вектор /i = (х, у) в нуль, то
Az(0, 0) = L(0, 0) h + о (Vx2 + у2), х2 + у2—>-0,
т. е. функция z(x, у) дифференцируема в начале координат и
dz(0, 0) =0-Дх+0-Аг/. Отсюда следует, что
в начале координат. Дей-
— З(х4/3+х4/3)
и если точка М(х, у) приближается к точке Af0= (0, 0), оставаясь
на кривой г/ = х2/3, то
lim (Л4) = оо.
м-*л4, дх
-^(0,0) =0, -f-(0, 0) = 0.
дх ду
Покажем теперь, что разрывна
дх
ствительно, если г/=х2/3=И=0, то
dz . . „„ 4х1/3 2
296
Итак, --- разрывна в начале координат и даже не ограничена
дх
в любой окрестности начала координат.
Если в формулировке задачи, связанной с дифференцирова-
нием функции f:E-+R, EczRm, специально не оговорено, что
функция рассматривается в особой точке, где непрерывность са-
мой функции или ее частных производных не следует непосред-
ственно из непрерывности композиции простейших элементарных
функций, то всегда предполагаем, что речь идет об исследовании
функции f в точках области GczRm такой, что feC!(G). То, что
такая область существует, можно усмотреть из самого задания
функции f. Таким образом, дифференцируемость функции заранее
предполагается.
Пример 5. Найдем первый дифференциал функции
f=ln(4 — х2 — y2+2xz+2yz — 2z2).
Решение. Функция определена в области
G = {(x, у, г) :х2+у2 — 2xz — 2yz+2z2<4}.
Эта область представляет собой наклонный цилиндр, горизон-
тальным сечением которого на высоте z = /i является открытый
круг (х — h)2+ (у — Л)2<4.
Так как
df 2г — 2х
дх 4 — х2— I/2 Н- 2хг + 2уг—- 2г2’
df __________2z — 2t/______
ду 4 — х2 — у2 2хг 2t/a — 2г2 ’
df __ 2х + 2у — 4г
дг 4 — х2 — у2-\- 2хг + 2уг — 2г2 ’
то feC>(G).
Таким образом, в каждой точке MQ=(x, yQ, z0)^G функция f
дифференцируема и
_ 2 (г — х) dx 2 (г— у) dy + 2 (х-[- у — 2z) dz
4 — х2 — у1 + 2хг + 2уг — 2г2
Пусть feC‘(G), тогда линейное отображение f' в канониче-
ском базисе имеет матрицу
(dft dft df, \
dx, дх2 дхт 1
dfn dfn dfn I
dx, dx2 dxm /
Эта матрица называется матрицей Якоби отображения f и обозна-
чается (/')•
297
Если специально не оговорено противное, то в задачах предпо-
лагается, что данное отображение f рассматривается в точках об-
ласти G, для которой feC'(G).
Пример 6. Напишем матрицу Якоби отображения
f: («, 0 -»(*!, х2, х3, х4),
х, = arctg—, х2 = 1п(u2 + v2), x3 — uv2, xi = u2v,
V
в области G — {(u, v), |м|< <ю, у>0).
Решение. Находя соответствующие производные функций
Xi, хг, хз, по и и v, имеем
U2 4- V2
2и
и2 + V2
о2
2uv
и
и2 v2
2ц
и2 4- v2
2uv
и2
Матрица Якоби отображения f:E-+Rm, EczRm, является квад-
ратной. Определитель такой матрицы называется якобианом
отображения f и обозначается | (/') |.
Пример 7. Найдем якобиан отображения f: (и, v, w)-+(x,
у, z), x = uv cos w, y—uvsmw, z=u+v+w.
Решение. Находя соответствующие производные функций
х, у, z по и, v и w, имеем
!(/')! =
и cos© и COS W
у sin© usinw
1 1
—uv sin©
UV COS w
1
= uv(u—v).
Теорема об обратном отображении
Если область Gc7?m и отображение f: G-+Rm удовлетворяют
условиям:
1) feC>(G);
2) f(xo) =у0, xoeG;
3) матрица (Г(хо)) обратима,
то существует окрестность точки Хо U(x0)^G и окрестность точки
УоЩуо) такие, что отображение f: t/(x0)->t/(z/0) биективно (вза-
имно однозначно), f-'eC1 (U(у0)); для любого x^U(х0) и у\ =
~у{Х\) выполняется соотношение (*/1)) = (Г(*i))-1-
Замечание. Условие 3 теоремы эквивалентно условию:
якобиан отображения f в точке х0 отличен от нуля.
Пример 8. Найдем якобиан отображения f: (и, ц)->-(х, у)
хи = х2 + у2, xv=у (х=#0, г/У=О).
298
Решение. Так как здесь легче записать обратное отобра-
жение
(х, у)-+(и, и): и = —-s—, v = —,
то вычислим сначала его якобиан
((/-’)')! = 1 - У2 2у X2 X У J. 1 / и2 =— (1 + X \ X2
X2 X
— у и
Так как — = v и х =-------, то, используя соотношение между опре-
х 1 + V2
делителями взаимно обратных матриц, получаем
1((Г‘)')1 , /А’2 (1 + ^2)2'
Я»)
Если отображение y:X-+Y, XczRm, YczRm, удовлетворяет ус-
ловиям теоремы об обратном отображении, то, разумеется, мож-
но найти и матрицу Якоби обратного отображения х: Y-+X, а
именно (х') = (у')~*, и тем самым найти частные производные
—i = l, 2 т, i=l, 2, ..., т. Но этот путь на-
д-
ето сложен. Другой метод нахождения частных производных об-
ратного отображения будет разобран несколько позже.
Аналогично понятию частной производной функции f:E->~R,
EcRm, вводится понятие частной производной отображения f:E^Rn,
EczRm, по подпространству. Пусть
х = (х1, х2, ..., xm)eRm, u==(ult и2, ...,
V = vz, • • •, vm-q) е Rm~4, где u( = хс, 1 i < q, и Vj = xq+/,
1 С j т—q.
Возьмем х0 = (х°, х°, ..., х^)еЕ и обозначим:
Г(«)=Г(«1, «2, •••, *2, •••, xq, х°+1, •••, ^),
Г (V)=F (Vj, V2, Vm_q)=f(x\, x2°, ..., x«, x,+i, ..., xm).
Тогда (x0) = ((/*)' (u0)) и (x0) = ((/*)' (i>0)). Аналогично опре-
df df
деляются частные производные -ф- и -ф-, если координаты точки
х= (xi,... ,xm)^Rm распределяются в координаты точек u^Rq и
v^Rm~q более сложным способом, а также если пространство Rm
представляется в виде декартова произведения не двух, а более
подпространств.
299
Пример 9. Напишем матрицы отображений-^- и в
каноническом базисе, если
/:ХхК-^(ы, о), Х = {(х1( х2, х3)}, y = {(ylt у2)}
и
« = Х1У1 + хгУг — хз (Уг + Уз),
V = Х1Х2Х3 + Х2х3у1 + Х3у1у2 + у^Хр
Решение. Находя соответствующие частные производные,
имеем
df / У1 У г У1 У% \
\х2х3 “И У1У2 х1хз У\хз AjX2 хзУ1 ~Ь У1Уз/
5/ _ / х1 — хз Х2—Х3 \
\'^2-^3 "т Х3у2 4* У2Х1 ХзУ1 "Р У1Х1/
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Если зависимость функции от аргументов задана через неко-
торые промежуточные переменные, т. е. мы имеем дело с компо-
зицией функций, то говорят, что задана сложная функция.
Пример 1. Найдем первый дифференциал функции f:G-+R,
область GczE — {(u, v) : v>0}, в произвольной точке (и, v)eG,
если
f(x, У> z)=x3 + y3 + z3—3xyz и x=uv, у — — , z — u + v.
V
Решение. Разумеется, можно выписать зависимость
f (и, v)—f(x(u, v), у (и, v), г (и, v)) =
— u3v3 + ——h (и + ц)3—Зм2 (м + ц)
V3
и находить дифференциал f*(u, v). Но при более сложных связях
между переменными проще использовать независимость формы
первого дифференциала от того, независимыми или зависимыми
переменными являются формальные аргументы. Тогда в нашем
примере дифференцирование выполняется следующим образом:
df = (Зх2 —3yz) dx Е (Зу2 — 3xz) dy 4- (3z2 —Зху) dz =
~ 3 Г (u3v3 — --и\ (vdu + u du) +
300
+ (—-----u2v—uv2\ + ((« + v)2—u2) (du + dv) 1 =
\ v3 / v'2 J
— 3 Г (u2v3—2u2 + v2 + — 'j du + ( —— + u3v2 + 2ut) +1)2^ dvl.
L \ r3 ) \ t)4 J J
Пример 2. Найдем первый дифференциал функции f:G-+-
-+R, область GczR3, GczE={(x, у, z) :.r>0, t/>0},
если
f(x, y, z) = <p(x«z, t/xz).
Решение. Имеем
df = <pjd (xyz) + cp'd (yxz) = <Pj' (yzxyz~x dx + zxyz In x dy + yxyz Inxdz) +
+ <p' (zyxz \nydx + xzyxz~x dy + xyxZ In у dz) = (yzx^-1^ +
+ zyxz In у <p') dx + (zxyz In x <pj + xzyxz~lq'2) dy +
+ (yxyz In x <pj + xyxz In у <Pg) dz.
Пример 3. Напишем матрицу Якоби отображения f=h°g,
f: (и, v)-+(Z„ г], £), если
g:x=ucosv, y=usinv, z=uv,
h: g=x2-t/2, r)=xz, t,=yz.
Решение. Находя соответствующие производные, имеем
(cosи —usintA /2х —2у О’
sinv ucosal; (/i')=l z 0 x
v и / \ 0 z y>
Следовательно,
/ 2x
((ho g)') = (/i').(g')= 2
\0
—2y 0\ /cost; —usint)
0 x j.| sint) ucosa
Z У/ \ V и ,
(2xcost)—2y sin v
z cos v + xv
z sin v 4- yv
— 2xusinv — 2yu cost)
— zu sint) -\-xu
ZU COS V -I- yu
2u cos (2t)) —2u2 sin (2u)
2ut)COSt) U2COSt)—U2vsint)
2uvsint) u2 sin v + u2v cos v,
Переформулируем общую теорему о дифференцировании ком-
позиции отображений на случай композиции функций.
301
Пусть f:G-*~R, область GcRm, f=f(хь ,tm)eC!(G). Пусть
далее Xi'.A-^R, область A^Rk, Xi=Xi(t}, ..., ^)eC'(A). Тогда
сложная функция , h)=f(xl(t), ..., xm(t)) диффе-
ренцируема в каждой точке /оеЛ и
а/_= fJ>L _sL
dtj \ дхг ’ дх., ’
„ . гт „ ди ди ди ' / х ху \
Пример 4. Найдем ---, --, --, если и—j х, —, --- .
дх ду дг \ у г /
Решение. Из формулы (1) получаем
ди г, ! ху \
Можно найти эти частные производные также через выражение
первого дифференциала функции
du = /;dx + /;d ) + f3d (^-\=/;dx + /; +
- \ У I \ z / 1 y2
+ Л; + J_ /' + JL f'\dx +
Так как частные производные -----, --, --- функции и есть соот-
дх ду dz
ветствующие коэффициенты ее дифференциала, то
—/;+-д+^д.
дх У г
На практике пользуются как одним, так и другим методами.
302
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ВТОРОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Если функция f:G-+R, определенная в некоторой области Gcz
в каждой точке x^G имеет частную
эта частная производная сама есть функция
df
производную , то
df Г D
---:G-^-Ry частные
дх.
производные которой можно рассматривать.
Определение. Если функция -^-:G-+R, GczRm, имеет
дХ;
д / df \
частную производную ---- ----1, то эта производная называет-
dxj \ дХ{ /
ся второй частной производной от f по х, и х, и обозначается
d^f
----— или f „ , или /...
dxjdxi I i 1
Теорема. Если функция f:G^-R, GczRm, имеет в области G
а2/ а2/
частные производные ------— и ------. то в каждой точке хе
dxj dxi dxi дх/
eG, в которой обе эти производные непрерывны, их значения сов-
падают.
Пример функции f(x, у), для которой /"^=0=Гух, приведен в
теоретических задачах (см. с. 406).
Если определена частная производная функции f порядка
k: по переменным х,,, xit, ..., хг , то частная произ-
водная порядка (й+1) по переменным xly хг„ ...,Xi опреде-
ляется соотношением
Из вышеприведенной теоремы следует, что если все частные
производные порядка k функции f непрерывны в области G, то
значение всех производных f до порядка k включительно не зави-
сит от порядка дифференцирования. Класс функций, непрерывных
в G вместе со своими производными до порядка k включительно,
обозначается C*(G). Если при формулировке задачи не оговорено,
что функция исследуется в особой точке, то всегда подразуме-
вается, что рассматриваются точки такой области G, что /е
eC*(G). То, что такая область непуста или вытекает из условия
или оговаривается в нем.
Функции класса C*(G) называют гладкими функциями до по-
рядка k в G.
Если /eC*(G) для любого k=\, 2, ..., то говорят, что /е
eC“(G).
Пример 1. Пусть f(x, у)=х In (х-Н/2).. Тогда областью G, для
которой feC°°(G), является любая область, входящая в множе-
ство D:{(x, у):у2>— х}. Найдем ——— и ——— для произволь-
дх ду2 дх2 ду
303
ной точки такой области. Пользуясь независимостью производных
высшего порядка от порядка дифференцирования, получаем
У- = in (х + у2) +—— ,
дх х + У2
d2f д / df \ 2у 2ху _ 2у3
ду дх ду \ дх / х + У2 (х + у2)2 (х + у2)2’
d3f d3f д / d2f е.у2 8у4
дх ду2 ду ду дх ду \ дудх / (х + у2)2 (х-^у2)3
_2у2 (Зх — у2)
(х + 42)3 ’
d3f __ d3f д / d2f \ __ — 4у3
дх2 ду дх ду дх дх \ дудх / (х + у2)3 ’
\d3f __ д ( d3f \ 12у3
дх3 ду дх \ дх2 ду J (х + у2)4 •
Для вычисления производных высших порядков сложных фун-
кций пользуются формулой (1) вычисления первой производной
сложной функции, учитывая, что все частные производные сами
есть сложные функции данных аргументов.
Пример 2. Найдем -д , если / = uln(u2—г?2), u = tg(xy),
дх ду
v =sin (х—у).
Решение. Вычисляем частную производную первого порядка
df df ди df dv
дх ди дх ди дх
2uv
u2 — v2
cos (х—у).
In (u2—г?2)
2u2 1 у
и2 — v2 ] cos2 ху
Не подставляя выражение и и v через х и у в эту производную,
вычисляем частную производную второго порядка
d2f
дх ду
d2f
ду дх
df
ду дх
ду
2и2
и2 — V2 J cos2 ху
д
д
2uv
2и2 1
д
и2 — V2
ду
U2 — V2
-------ь [ln(u2—1>2) ч 2“2
cos2 ху [
2ух sin ху
и2 — V2
cos2 ху
cos2 ху
1
д
2ш>
ду \ и2 — v‘
2т / ,
------Sin(x — у) =
U2 — V2
х
У
cos2 ху
2и
4и
U2 — V2 и2 — V2
4и3
cos2 ху
304
2^2
(u2_„2)+_JfL_
U2 — V
\ Г / 2u
Х~У) ---------2
\ U2 — V2
2u 4ui>2
— v2 (u2— v2)2
1 2xi! sin.И/ 'j
cos2 xy cos3 xy )
4u2i> \ x
I — v2)2 J COS2 Xy
-cos (x — «/)) ]-----^4 sin (x—y)-
I u2 — u3
Для наглядности ответы к задачам такого типа даются боль-
шей частью без подстановки в окончательный результат выраже-
ния и и v через х и у, а только указывается еще раз их зависи-
мость. Ответ к предыдущему примеру:
d2f 2ху и3 — 3uv2 g u2 + f2
дхду cos4xi/ (u2 —1>2)2 (и2 — v2)2
/ (x—у) cos (x — у) ,
X V -----—----i--— + U COS2 (X—у) \
\ cos2 xy /
In (u3 — u2)
[cos2 xy
, 2xys\nxy , , 9 . 2u2 1
+ "^4 In (« —V ) + ~2---Г ---2---h
cos3 xy U2 — V2 cos2 xy
4wsinx!/ u2 2uc'sin(x—</)
cos3 XI/ U2 — V2 U2 — O2
где u=tgxi/, u=sin(x—y).
n о tt « d2u d3u J x у \
Пример 3. Найдем ---------- и ------, если u — f[—, — I.
дхду дхдг2 \ У г J
Решение.
(JU 1 СгИ U / 1 £> \ i .
дх 1 у ’ дхду ду \ у у2 1
д2и ___ д ! 1 г, \ _ 1 г„ /___у \ _______1 с,
дхдг дг \ у ’/ у 12 \ г2 / г2 1:
д2и _____ д Г ди \ _________ 2 1 /,,,, ! У \ \
дхдг2 ~ дг \ дхдг J ~ V'12~ г2 122 \ г2 ))
2 rw , У
г3 ' 12 ' z4 / 122 •
Определение. Если f:G^-R, область GczRm, f^C2(G), то
вторым дифференциалом функции f (обозначаемым d2f) называет-
305
ся квадратичная форма от приращений аргументов Дхь Дх2, ...
-.., ДХщ.’
d2f — V1 ——— Дх< Дх,-.
Li dxt дх,- 1
!./=l
В силу равенства Rx. = dx. второй дифференциал функции обычно
записывается в виде
d2f = V —~—dxtdx:.
/-J dxt дх,
i.i—i
Пусть Gcz7?m, f:G-+Rn, f^C2(G), xo^G. Значение первого диф-
ференциала функции f в точке х0 на векторе h= (Дхь Дх2, ...
..., Дхт) дает линейное приближение приращения функции с по-
грешностью о(||Л||) при ||й||г->0.
f (x0+h)-f (х0) =Д/ (х0) =df (х0) h+o (||Л||)
при \\h\\-И).
Значение второго дифференциала функции f в точке х0 на век-
торе h д,аег квадратичное приближение разности
(x0)—df(x0)h
с погрешностью о (||й||2) при \\h\\->0, т. е.
А/(х0)-df(х0)h=d2f (х0)h+o (||/г||2) (\\h\\->0).
В отличие от первого дифференциала форма второго диффе-
ренциала, вообще говоря, меняет вид при замене независимых ар-
гументов Xi на функции хг:Д->С, Дсг/?'?, i=l, 2, ..., т, а именно:
пусть GczRm, f:G-^R, /eC2(G), Ac/?’, x(:A->G, x.-eC2(G), i—
= 1, 2, .... tn, g:b-+R, g(ti, t2, ..., tq)=f(xx(t},f2.....
..., xm(ti, ..., tq), тогда g^C2 (A), но выражение
d2g = P ——— dt( dt:
6 Zj dtidtj 1
£./=1
не обязано совпадать с выражением
т
V • • • tq}, • • . t^dXi (fn . . . QX
W o-Vi dxj
t,/=i
XdX/(^, ... y.
Пример 4. Пусть f(x, у} =x sin у + у cosx, где x и у — неза-
висимые переменные. Тогда
d/ = (sini/—уsinx) dx -} (xcosу + cosx) dy
306
и
d2f = —у cos xdx2—xsinydy2-^ 2 (cos у — sin x)dxdy.
Пусть теперь
g(w, v)=f(x(u, v), y(u, a)),
где f(x, у) определена, как раньше, и x=uv, у = и2—v2. Тогда
dx=udv-\-vdu, dy = 2udu—2vdv
и
dg = [sin (u2—a2) — (u2—a2) sin uv] \ udv ~-vdu) +
+ [uacos (u2—a2) + cosua] (2udu—2vdv) =
= (v sin (u2—a2) + 2u2v cos (u2 —a2) + 2u cosuv —
— (u2v—a3) sinua) du + (u sin (u2—v2)— 2ua2-cos (u2—a2) —
—2a cos uv — (u3—uv2) sin uv) dv,
t. e.
— v sin (u2 —v2) 4-2u2v cos (u2—a2) + 2u cosuv—(u2v—a3) sin «a;
du
= и sin (u2—v2) —2uv2 cos (u2—v2) —2v cos uv—(u3 —uv2) sin uv.
dv
Тогда
= 6ua cos (w2 —v2)—4u3v sin (u2—a2) —
du2
—4uvsinuv +-(2 +a4—u2a2)cosua;
д g = 2 (u2—v2) cos (u2—v2) + (4u2a2 + 1) sin (u2—a2) —
dudv
— 3 (u2—v2) sinwa—uv (u2—v2) cosuv,
— —6uacos(u2— v2) — 4tza3sin(u2—v2) +
dv2
+ 4uasinua -|- (u2a2—2—u4) cosua.
Следовательно,
d2g = [6ua cos (u2 —a2) —4u3asin (u2—a2) —
—4uv sin uv + (2 + a4—u2v2) cos uv] du2 4-
+ [— 6ua cos (u2—a2) —4ua3 sin (u2 —a2) + 4ua sin uv +
+ (u2a2—2—u4) cosua] dv2 + 2 [2 (u2—a2) cos (u2—a2) +
307
+ (4uV + 1) sin (u2 — v2) —3 (m2 —v2) sin uv—
—uv (u2—v2) cos uv] dudv.
Если же формально заменить х, у, dx, dy в выражении
а2/ , „ , „ д2/ , , , д2/ , ,
—- dx2 + 2 —— dxdy н---- dy2
дх2 дхду ду2
через и, v, du, dv, то получим
d2f = —у cos xdx2—xsin ydy2 + 2 (cos у—sinx) dxdy =
= (— (u2 —v2) cos uv) (vdu + udv)2 —uv sin (h2—u2) (2udu—2vdv)2 +
+ 2 (cos (u2 —v2) —sin uv) (vdu + udv) (2udu—2vdv) —
= [4uv cos (u2—v2) —4u3v sin (u2 —v2) —4uv sin uv +
+ (v4—u2v2) cosuu] du2 + [—4uucos(u2—v2)—4uu3sin (u2—v2) 4-
4- 4uv s i n uv + (u2v2 — u4) cos uv] dv2 + 2 [ 2 (u2—v2) cos (u2—v2) +
+ 4u2u2 sin (u2 —v2) —2 (u2 —v2) sin uv—2uv (u2 —v2) cos uv] dudv.
При и — л/2, г = 1 и dv = 0, du=/=0 имеем
d2g—d2f = л cos (—---lj du2 =# О,
т. е. d2g=£d2f.
Пусть область GczRm. Если функция f: G~+R, f(x)=f(xl,...
..., хт) линейно зависит от каждого xt, t=l, 2, т, то все ее
вторые частные производные равны нулю, следовательно, в силу
определения d2/=0; в частности, для функции m(x)=xt, имеем
d2nt = d2Xi = 0.
Пользуясь теоремой о дифференцировании сложной функции, по-
лучаем следующую формулу. Если f:G->~R, GaRm, /еС2(б);
х — (xlt x2,, xm) : A ->G, xt: A cz Rq, xt e С2 (A), i = 1,2,...
... ,m; A-^/?, ^(/)=g'(/1,/2,... ,tq) =f (x1(tl,t2,... ,/„); x2(tl,i2,...
...Q.....xm(t1, t2,... ,tq)), TO
m m
d2g = V dxtdx.. + У “ d2xt.
dxidxj J дх^
i,f=l i==l
Перепишем эту формулу в виде
т
d2g =У] [dxid d2xt\.
308
Коротко это соотношение можно записать формальным равенст-
вом:
<*2g = V]d (-^-dxf =d (V-^- dxA — d(dg),
LA \ dx; ) \ LA dxi )
i=l (=1
которое удобно использовать при вычислениях.
Пример 5. Найдем первый и второй дифференциалы функ-
ции z(x, y)=f(u, v, w), если и = х2 + у2, v = x2—у2, w — 2xy, х и у—•
независимые переменные и feC2(G), Ge/?3.
Р еше н и е. Так как
du = 2xdx ~-2ydy, dv = 2xdx—2ydy,
dw = 2ydx-\-2xdy\ d2u = 2dx2 4~2dy2-,
d2v = 2dx2—2dy2-, d2w = 4dxdy,
TO
dz = f\du 4 f2dv + f3dw — fi (2xdx 4- 2ydy) 4
+ f2 (2xdx—2ydy) 4/з (2t/dx 4 2xdy) = (2xf 4 2xf2 4- 2yfydx 4-
+ (2yf—2yf2 + 2xf3)dy;
d2z = f’i (2xdx~-2ydy)2+f2 (2xdx—2ydy)2 4 /33 (2ydx 4 2xdy)2 4
4 2/12 (2xdx+ 2ydy) (2xdx—2ydy) 4 2fi3 (2xdx 4- 2ydy) X
X (2ydx 4- 2xdy) 4- 2/гз (2xdx—2ydy) (2ydx 4- 2xdy) 4
4- f (2dx2 4- 2dy2) 4- f2 (2dx2 —2dy2) 4 /3 4dxdy =
— (4x2/n 4- 4x2f22 4- 4y2f33 4- 8x2/i2 4- 8xyf 13 4- Sxyf 23 4- 2/i 4- 2f2) dx2 4-
4- (4z/2/n 4- 4y2/22 + 4х2/зз—8y2f"2 4- 8xyf3—8xyf23 4 2f\ — 2f2) dy2 4-
4 (8xyfn —8xyf22 4 8xyf33 4 8 (x2 4 y2) /"3 4 8 (x2 —y2) f23 4 4f3)dxdtf
или
d2z =d [(2xf 4 2xf2 4 2yf3) dx 4 (2yf —2yf2 4 2xf3) dy] =
= [2/idx 4 2xd (/1) 4 2f2dx 4 2xd (/2) 4 2f3dy 4
4 2z/d/3] dx 4 [2f[dy 4 2yd (/I) — 2f'2dy—2yd (f2) 4
4 2f3dx 4 2xd (/3) ] dy = 2f{dx2 4 2f'2dx2 4 4f3dxdy 4
4 (fndu 4 fizdv 4 f^dw) (2xdx 4 2ydy) 4- 2fdy2—2f2dy2 4
+ (fudu 4 fadv+f^dw) (2xdx—2ydy) 4
309
4- (f"i3du 4- f’23dv + f33dw) (2ydx 4- 2xdy) =
= 2f,dx2 4- 2f2dx2 4- 4f'3dxdy 4- (2xdx 4- 2ydy) x
X [/n (2xdx + 2ydy) 4-/12 (2xdx—2ydy) 4-
4- /13 (2ydx 4- 2xdy)] 4- (2xdx—2ydy) • [/"2 (2xdx 4- 2ydy) +
4- /22 (2xdx — 2ydy) 4- /2'3 (2ydx 4- 2xdy)] 4-
4- (2ydx 4- 2xdy) [f"3 (2xdx + 2ydy) 4- /23 (2xdx—
—2ydy) 4-/33 (2ydx + 2xdy)\ 4- 2f\dy2—2f2dy2.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
Теорема. Если отображение F : U^Rrl, определенное в окре-
стности U точки (х0, y0)^Rm+n, x0^Rm, y3^Rn таково, что
1) F(x0, у0) =0;
2) F(=Ck(U),
3) ----j — обратимая матрица О' —{у, (х0,
\ <Д/ (х„,у0)
то существуют (т4-«)-мерная область V= Уусд/У, где
Vx : {х, хе Rm, ||х—х0|| < а},
VnY-.{y, y<=Rn, ||y-t/ol| < ₽},
и такое отображение
/:Vx^Vy, f^C^Vx),
что для любой точки (х, y)^V соотношение F(x, у)=0 эквива-
летно соотношению y=f(x), т. е. F (х, /(х))н=0, x<^Vxm.
В координатной форме эта теорема выглядит так.
Пусть задана система уравнений
F\ > -^2 > • • > , У1 > У > Уп) 0 >
^2 (-^1, ^2> • • > У1! У2> • • • , Уп)
F„ (хх, х2) ... ,хту у1у у2, ... , Уп) =0
и выполнены условия:
I) существует точка
(х0, Уо), х0 = (х°, ... ,х°т), у0 = (у\, ... ,yQn)
такая, что Ft (х0, уо) = 0, i = 1, 2, ..., п;
2) существует такая окрестность U (х0, y0)czRm+n точки
(х0, Уо), ЧТО
Е.еСЧЩхо, Уо)), i = l,2, ... ,п, fe>l;
310
3) якобиан
dFt dFi
dyi ’ ” ’ ’ дуп
dFn dFn
dyi ’ дуп
в точке (х0, Уо) отличен от нуля.
Тогда существует окрестность V(x0)czR”1 точки х0 и функции
yt'-V(x0)^-R, t/i^Ck(V(x0)), i=l, 2, ..., n, такие, что
X2, ..., Xm, У\(Х\, ..., Xm), ..., yn(Xi, . . . , Xm)) =0,
/= I, 2, ..., n,
в области V(x0).
Функции ух, y2, .. , yn называют неявно заданными данной
системой уравнений или неявно определенными данной системой
уравнений.
При дифференцировании неявно заданных функций существен-
но используется независимость формы первого дифференциала от
того, независимые или зависимые переменные являются формаль-
ными аргументами. Действительно, пусть в некоторой области
GczRm функции ух (х), у2(х), ..., уп(х), х=(хх, ..., хт), класса
C‘(G) обращают уравнения системы Fj(x, у) =0, /=1, 2....п,
х= (х., ..., хт), у= (i'i, ..., уп), в тождество, тогда в этой облас-
ти справедливы равенства dFi(x, у(х))=0, /=1, 2, .... и. Таким
образом, дифференциалы переменных Хх, х2.....хт, ух, ..., уП
в области G связаны системой линейных уравнений
т п
/ = 1,2, ... ,п.
7=1 <7=1
Если якобиан
dFi dFj,
dyi ’ ' ” ’ дуп
dFn dFn
dyi ...... дуп
отличен от нуля, то из этой системы однозначно выражаются
дифференциалы dyi, dy2, ..., dy,i как линейные формы относитель-
но dxx, dx2, ..., dxm- Коэффициенты полученных линейных форм
являются соответствующими частными производными
<7 = 1,2, ... ,п, 1=1,2, ... ,т.
дхх
311
Пример 1. Функции и(х, у, z) и v(x, у, z) определяются
системой
ху—z cos и cos v = О,
yz—х cos и sin v = 0.
Найдем
ди ди ди ди ди ди
дх ' ду ' дг ' дх ’ ду ' дг '
Решение. Дифференцируя данные уравнения, получаем
ydx + xdy— dz cos и cos v + z sin и cos vdu + z cos и sin vdv = 0,
ydz + zdy—dx cos и sin v + x sin и sin vdu—x cos и cos vdv = 0.
Откуда
du =-------— Г(xy cos v—z cos и sin2 y) dx +
xz sin и
+ (x2 cos v + z2 sin v)dy + (yz sin v-—x cos и cos2 v) dz],
dv = ——— [(z cos и sin v cos v 4- xy sin v) dx +
xz cos и
+ (x2 sin v—z2 cos v)dy — (yz cos v + x cos и sin v cos y) dz]
и, следовательно,
du г cos и sin2 v — xt/cosv du —(x2 cos v + z2 sin v)
dx xz sin и ’ dy xz sin и
du x cos и cos2 v — уг sin v dv — z cos и sin v cos v — xy sin v
dz xz sin и ’ dx xz cos и
dv z2 cos v — x2 sin v dv yz cos v + x cos и cos v sin v
dy xz cos и ’ dy xz cos и
Данная система определяет функции и(х, у, z) и v(x, у, z) в не-
которой окрестности точки (х0, у0, z0) такой, что xozo cos и0 sin u0#=
=^0, где и0, v0 удовлетворяют уравнениям
Xflt/o—2оcos uo cos = 0, Уого—xo cos uo sin v0 — 0.
Точно так же можно было бы взять в качестве независимых
аргументов любые три из переменных х, у, z, и, v, а оставшиеся
два переменных считать их функциями, например, рассматривать
z и и как функции z(x, у, v) и и(х, у, v). При этом система, свя-
зывающая дифференциалы dx, dy, dz, du, dv, остается той же,
только разрешается уже относительно dz и du.
Если нужно найти производные ~у<1 , <7=1, 2, ..., п, не для
dxt
всех i(i~\, 2, ..., т), а только для некоторого to, то обычно рас-
312
п
dFi , VI dFi дуа n ,
сматривают систему —~+У —1-----— = 0, 1^/^п, получен-
dxi° дУч дх‘°
ную дифференцированием системы тождеств Fj(xb хт, У\, ...
г/ге) =0, по переменной х;„, считая yt функциями
ОТ Х[.
Точно так же система уравнений для вторых производных
——имеет вид
dxidx/t
d2Fj (хъ x-z, ... , xm, У1 (Xi, .. , Xm), y2(x1, ... , xm), ... ,yra(xxm) _Q
SXjSx/;
/ = 1,2..n,
или в форме вторых дифференциалов d2Fj = 0, / = 1, 2, п. При
этом уже необходимо заранее распределить, какие из переменных
являются независимыми, а какие зависимыми, поскольку, как
было показано выше, форма второго дифференциала существенно
зависит от того, независимыми или зависимыми являются фор-
мальные аргументы соответствующей функции.
Вернемся к уравнениям предыдущего примера. Выберем за
независимые переменные х, у, z, тогда, как отмечалось выше,
d2x = 0, d2y = Q, d2z = 0. Пользуясь формулой d2Fj = d(dFj), получа-
ем систему уравнений, связывающих переменные х, у, z, и, v и их
первые и вторые дифференциалы:
2dxdy + 2dz sin и cos vdu -j- 2dz cos и sin vdv -t-
+ z cos и cos vdu2 —2z sin и sin vdudv + z sin и cos vd2u +
+ z cos и sin vd2v + z cos и cos vdv2 = 0,
2dzdy + 2dx sin и sin vdu — 2dx cos и cos vdv + x cos и sin vdu2 +
+ 2x sin и cos vdudv + x sin и sin vd2u —x cos и cos vd2v +
+ xcosusinz?du2.
Подставляя в полученные уравнения выражения du и dv в виде
линейных форм от dx, dy, dz и разрешая систему относительно
d2u, d2v, получим выражение этих дифференциалов в виде квад-
ратичных форм от dx, dy, dz. Вторые производные -
и т. д. выражаются через соответствующие коэффициенты этих
квадратичных форм. Эти вычисления в силу их громоздкости
здесь полностью не приводятся. Покажем, как найти одну из част-
ных производных, например . Дифференцируя уравнения
системы в предыдущем примере по у, получаем
ди , . ди п
x-j-zsinucosu-1-z cos и sin V-=U,
ду ду
313
, . . du dv „
г +- х sin и sin v--х cos и cos v-= 0.
dy dy
Дифференцируя эту систему no z, имеем
. ии . ии ии
sin u cos v-----Н 2 cos и cos и-----------
ду дг ду
—z sin и sin v---------- + cos и sin v---
дг ду ду
dv ди , dv dv
—Z Sin и sin v--------h z cos и cos V----------h
ду дг dy dz
. d2u . d2v n
+ z sin и cos V------1- z cos и sin V---= 0,
дудг дудг
, , . ди ди , ди dv
1 -f-x sin V cos и--------hxsinucos V-------------h
dy dz dy dz
, . dv du , . dv dv .
+ x Sin U COS V----------f- X cos и sin V-----h
ду дг dy dz
, . . u-u и и л
+ X sin u Sin V----X cos U COS V---= 0.
дудг дудг
__ du du dv dv
Подставляя в эти уравнения выражения для ---------, -—, ----, ——,
оу дг ду дг
д2и d2v
получим систему, решая которую можно наити и — —.
На практике удобнее для нахождения одной из вторых про-
изводных дифференцировать по соответствующей переменной со-
отношение, определяющее первую производную, учитывая, какие
из переменных в этом соотношении независимы и какие зависимы.
Так, в нашем случае
д2и д / ди \ д / х2 cos v + г2 sin v \ _______
дудг дг \ ду ) дг \ хг sin и
/ dv dv \
2г sin v + г2 cos v-— х2 sin v------- xz sin и
l дг дг
x2z2 sin2 и
(x2 cos v + z2 sin v) I x sin и -j- xz cos и-------
x2z2 sin2w
Подставляя сюда выражения
ди хcosu cos2и— yz sin v
dz xz sin и
и
dv yz COS V + x sin V cos V cos и
дг xz cos и
314
получаем
д2и 1
-----=----------[x4z cos и cos v (2 sin2 и sin2 v 4-
dydz xV sin3 и
+ cos2 v) 4- xsyz2 cos v sin v (sin2 и —cos2 u) 4-
+ x2zs (cos2 U COS2 V—si n2 и — si n2 U COS2 0 —
—xyz^ (sin2 U COS2 V + cos2 и sin2 0].
Методом последовательного дифференцирования находятся
производные высших порядков, по технические трудности при их
нахождении все более возрастают.
Пример 2. Функции и(х, у) и v(x, у) независимых перемен-
ных х и у определены соотношениями
хе“+° 4- 2uo = 1, yeu~v----— = 2х.
14-v
Найдем du, dv, d2u, d2v в точке х0=1, t/o = 2 при u(s = vq = Q.
Решение. В тех точках, где выполнены условия теоремы
о неявных функциях, переменные х, у, и, v, их первые и вторые
дифференциалы связаны уравнениями
eu+v dx +xeu+° (du 4- dv) 4- 2 (udv 4- vdu) = 0,
eu~v dy 4- yeu~v (du —dv) —- du + — 2dx,
2eu+° dx (du + dv) 4- xeu+v (du + dv)2 4-
4- xe“+c’ (d2u 4- d2v) 4- 4dudv 4- 2udv2 4- 2vdu2 = 0,
2dyeu~v (du—dv) 4- yeu~v (du —dv)2 4-
, „ „ /,79 ,79 \ d2u , 2dudv , ud2v 2udv2 n
4- yeu~v (d2u—d2v)-----------------------------------= 0.
1 + v (14- v)2 G+f)2 0 4=')3
Так как в точке (х0, уй, и0, v0) условия теоремы о неявных функ-
циях выполнены, то du(l, 2), du(l, 2), d2u(l, 2), d2v(\, 2) удов-
летворяют уравнениям
dx + du + dv = 0, dy-\-2(du—dv)—du = 2dx,
2dxdu 4- 2dxdv 4- (du 4- dv)2 4- (d2u 4- d2v) 4- 4dudv = 0,
2dydu—2dydv 4- 2 (du—dv)2 4- 2 (d2u —d2v) —d2u 4- 2dudv — 0,
откуда
du (1,2) = —dv (1,2)= —dx 4-
3 3
315
d2u (1,2) = dy2——dxdy, d2u(l,2) =
= dx2 —dy2 —dxdy.
В частном случае, когда определяется неявно одна функция
у : GczRm, т. е. задано одно уравнение F(xb х2, ..., хт, у) =
=0, формулы для первых частных производных функции у выпи-
сываются в общем виде:
dF
=______2 ...
дхс dF ’ ’ ’ ’
(2)
Пример 3. Найдем первые и вторые производные функции г (х, у),
если z= Vx2-y2-ig -р===г-.
Решение. Перепишем уравнение, неявно определяющее z,
в виде
Способ 1. По формуле (2) получим
уг уг ____________1______
(7/^ТТ^)з “ (/х2-!/2)3 ’ г
cos^ —г — — ~
/х2-г/2
1 1
У X2 — у2 cos2 -—====-
V X2—у2
дг
дх
Так как
= 1 + 1^-^=
У х2 — у
то
дг ___ хг дг уг
дх х2 — у2 ’ ду х2 — у2
316
Далее,
, х dz y2z
-|---------.------= .--------2-----
х2 — t/2 дх (х2 — у2)2
52г _ д / — yz \ _ г 2у2г
ду2 ду \ х2 — у2} х2 — у2 (х2 — у2)2
у dz x2z
х2—у2 ду ~~ (х2 —^2)2
d2z ____ д / xz \ _____ %хуг х дг _________ хуг
дхду ~ ду \х2—у2/ (х2 — у2)2 ~х2 — у2 ду (х2 — у2)2
Способ 2. Имеем
X2 — у2 j
1
, г
C0S2--7 '
/х2 — у2
2
следовательно,
z
= О
г = 1 то также d \ ———-- ) = 0 'l. Отсюда
\}/х2-у2 ) )
(если cos2 ,
dz (xdx — ydy) z ________ q
YX2 — y2 (x2 — y2)3/2 ”
и
fc. г (xdx —уду)
X2 — у2
Далее,
d2z = dz . А,.,г дх2-ду2
X2 — у2 ' X2 — у2
, , , . 2xdx — 2udu
—z (xdx—ydy) ---------=
v (x2— y2)2
———dy2
(x2-y2)2
2xuz , ,
---------ахай.
(х2-у2)2
д-г
х2г
д2г
ду2
____________________хуг
(Х2—у2)2 ’ дхду ^2 — у2)2
=—dx2-
(Х2-у2)2
Отсюда получаем
д2г ______ у2г
дх2 ~ (х2 — у2)2 ’
Пусть задано отображение f : G-+R,n, GczRm, где в координат-
НОЙ записи fl (Хь Х2, .... Хт) =У1, . . . , fm(Xi, х2, ..., Хт) = Ут, х=-
= (хь х2, xm)eG. Тогда переменные х]( х2, .хт, У\, Ут
317
связаны системой уравнений yt—h(xi, ..., хш) =0, Эта
система при соответствующих условиях представляет неявное за-
дание обратных функций х,=Х/(У1, ..., ут), Дифферен-
цировать обратные функции по общему методу дифференцирова-
ния неявных функций проще, чем находить обратную матрицу
к матрице Якоби отображения f.
Пример 4. Найдем условие существования обратных функ-
ций и(х, у, z), v(x, у, z), w(x, у, z) и их дифференциалы, если
Х=НУСО5И>, У=Ш) sin w, z=u+v+w.
Решение. Как было вычислено в примере 7, на с. 298 якобиан
отображения /: (и, v, w) ->(х, у, г) равен uv(u—и), следовательно,
обратные функции определены в окрестности каждой точки (х0, у0, z0),
если х0 = uovo cos ©0, yo = uovo sin©0, zQ=ue+v0 + w0 и uovo (u0—vo)^=O.
При этом условии переменные х, у, г, и, v, w и их дифференциалы
связаны уравнениями
dx = v cos wdu + и coswdv—uv sin wdw,
dy = v sinwdu p и sin wdv + uncos wdw,
dz = du-t dv± dw.
Разрешая эту систему относительно du, dv, dw, получим
du =----i--[(sin w—vcosw) dx — (cos© i-nsin©) dy uvdz],
v (a — v)
dv =-------[(u cos©—sin w) dx + (cos w + и sin ©) dy—uvdz],
u(u — v)
dw = —!—[ — sin wdx ycoswdt/1.
UV
Остановимся еще на одном частном случае неявного задания
функции, а именно на параметрическом задании функции двух
переменных. Такое задание функции имеет вид
x=x(u,v), y = y(u,v), z=z{u,v), (3)
х, у, ге С1 (A), A cz Д2 (и, г?).
Для определенности считаем, что соотношения (3) определяют
переменную z как функцию переменных х и у, тогда переменные
и(х, у) и v(x, у) рассматриваются как промежуточные парамет-
ры в определении z(x, y)=z(u(x, у), v(x, у)). Из общей теоремы
о существовании обратных функций следует, что в окрестности
точки (х0, Уо), в которой
К («о, vo) x’v(u0, v0) ,
|yu(«o,^o) У'(«о,Уо)
определены функции и(х, у) и п(х, у) — обратные к функциям
318
x=x(u, v), у = у(и, у), где х0, Ус, «о, ио связаны равенствами х0 =
=х(и0, Vo), Уо=у(ио, v0). Следовательно, в этой окрестности оп-
ределена функция z(x, у) =z(u(x, у), v(x, у)).
Разумеется, данные соотношения (3) можно рассматривать и
как параметрическое задание функции х=-х(у, z) или функции
у=у(х, z) при выполнении условий существования соответству-
ющих обратных функций.
Пример 5. Найдем первый и второй дифференциалы функ-
ции z=z(x, у), если
x = ucosy, у — и sin v, z = au \-bv.
Решение. В данном примере кажется возможным аналити-
чески выразить и(х, у) и v (х, у), а именно и = ± К'х2 + у2 v =
=arctg —. Но в таком представлении, во-первых, функция v(x,у)
не определена для х = 0 и, во-вторых, функция v принимает зна-
чения только в интервале (—л/2, л/2), в то время как в соотно-
шениях x = ucosa, у — и sin v как и, так и v могут принимать лю-
бые значения
на
всей
числовой
оси и для v = — + лй, k е Z,
имеем х = 0. Кроме того, часто функции и(х, у) и v(x, у) вообще
не выписываются в аналитическом виде. Найдем дифференциалы
обратных функций и(х, у) и v(x, у) из системы
dx = cos vdu—и sin vdv,
dy = sin vdu + и cos vdv.
Имеем
du = cos vdx + sin vdy, dv — -c°s v dy---—dx.
и и
Подставив выражения du и dv в dz, получаем
j j , r j / b sin v \ , , / , b cos v \ ,
dz = adu-[- bdv = acosv — —— dx- asmv H-------------------i dy.
\ u / \ u J
Далее,
jo ! j b cos v , , b sin v , \ ,
d2z = —a sin vdv-------------dv H---------du i dx +
\ u u2 /
, ! , & sin v j b cos v j j
+ a cos vdv —-------dv —----------du \ dy =
\ и U2 /
Г / . Ь COS V \ / COS V J sin V J \ ,
= —asiny----------------------dy--------dx +
L\ и J \ и и /
+ ——n-- (cos vdx + sin vdy) ] dx -\-
u2 J
319
+ acosv
fecostl (cos vdx + sin vdy) 1 dy — sin3 v + — sin 2v}dx2 +
u2 J \ и и j
+ f—cos2 u-—— sin 2v\ dy2 — (' — sin 2v +-^- cos 2iA dxdy.
\ и и2 j \ и и2 /
§ 6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Методы дифференцирования сложных и неявно заданных
функций используются для замены переменных в дифференциаль-
ных выражениях. Эта задача для функции одного переменного
была рассмотрена в разделе «Дифференциальное исчисление
функции одного переменного». Здесь будут рассматриваться
функции многих переменных, и для простоты изложения ограни-
чимся случаем функции двух переменных.
Постановка задачи. Пусть задано некоторое выражение
А, в которое входят переменные х, у, функция z и ее частные про-
изводные по х и у до некоторого порядка k. Пусть далее перемен-
ные х и у выражаются через новые независимые аргументы
х=х(и, v), у=у(и, v). Требуется преобразовать данное диффе-
ренциальное выражение А так, чтобы в него входили переменные
и, v, функция z и частные производные соответствующих порядков
функции z по переменным и и V. Предполагается, что все преоб-
разования делаются в таких областях изменения х, у, и, v, что
существуют обратные функции и = и(х, у), v = v(x, у) и все рас-
сматриваемые функции достаточно гладкие.
Тогда
dz dz ди , dz Эи dz dz ди , dz dv
dx du dx dv dx dy du dy dy dy
Чтобы выразить вторые производные функции z по х, у через про-
изводные z по и, v и производные и и v по х, у, дифференцируем
выражения первых производных. Например,
dz \ dv , dz d2v
dv / dx dv dxdy
du । d2z dv
dy dudv dy
du d2z dv \ dz d2v
dy dv2 dy J dv dxdy
du dxdy
Аналогично находятся производные любого порядка.
320
Обратим внимание на то, что в приведенных формулах фигури-
руют не производные функций х(и, v), у (и, и), а производные
обратных функций и(х, у), v(x, у). На практике связь между пе-
ременными х, у, и, v задается как соотношениями вида х=х(и, v),
у=у(и, v), так и соотношениями вида и = и(х, у), v = v(x, у) или
<pi(x, у, и, п)=0, <р2(^, У, и, п)=0. При любом задании этой связи
удобнее пользоваться при замене переменных именно производ-
ди ди dv dv
ными ---, ---, --, ---.
дх ду дх ду
Пример 1. Приняв и ч о за новые независимые переменные,
преобразуем уравнение
если и=ху, v =—.
У
Решение.
дг
дх
d2z
дх2
dz , 1 dz dz dz
-------L-------, = X
ди у dv dy-------------------du
x дг
У2 dv
d I dz , 1 dz \ / d2z 1 d°z '
=------ у ----1----------= у у----------1---------
dx \ du у dv ) \ ди2 у dudv ,
, 1 / d2z • , d2z 1 \ , d2z , , d2z ,1 d2z
у \ dudv ‘ dv2 у I du2 dudv y2 dv2
d2z d / dz x dz \ [ d2z x ’d2z \
= x--------=: Л I —— X-------------------- - —
dy2---------------------------------------------------dy \ du y2 dv J \ du2 y2-dudv j
x 7 d2z x d2z \ 2x dz
-------------x----------4-------•-----.
y2 \ dudv y2 dv2 / y3 dv
$2Z d2z
Подставляя выражения ------------ и --- в исходное уравнение, полу-
дх2 dy2
чаем
д2г 2х dz д2г дг
4х2 , —------------т— -= О или 2и ", л = “4—
dudv у dv dudv dv
Пример 2. Приняв и и и
преобразуем уравнение
за новые независимые переменные,
д2г д’-г ,
дх2 ду2
т2г = О,
если
x--=e“cosn, у = еи sinv.
Решение. Вначале необходимо найти
du ди dv ду
дх ’ ду ’ дх ’ ду
12 И. А, Виноградова
321
Запишем соотношение между дифференциалами dx, dy, du, dv:
dx = e“ cos vdu—eu sin vdv,
dy = eu sin vdu + e" cos vdv.
Следовательно,
du = e~u cos vdx + e~u sin vdy, dv = —e~“ sin vdx + e~u cos vdy
du „ du „ .
= e~ucosv, = e~usmv,
dx----------------dy
= —e~“sinn, = e~“cost).
dx--------dy
Теперь имеем
dz dz ,, dz .
-----=-----e~~u cos v----e~u sin v;
dx du dv
----= e~u sin v H e~u cos v,
dy du------------------dv
d2z /’d2z d2z . \
----__ e-u cos v ---e-u cos v-------e-u si n n .p
dx2 \ du2 dudv )
dz I ,, du „ . dv \
H-----—e~“cosu-----------e~u sin v---- —
du \ dx dx I
l ^z „ ^z и •
—e~~u sin гл---eru cost»--------e~“sin v
\ dudv dv2 t
dz I „ • du , „ dv \
— —e~“sin v-------Ь e~u cos v-- =
dv \ dx dx j
e—1u cos2y e— 2u sjn2 v — 2 d 2 g-1u cos v sjn v
du2 dv2 dudv
H------(e~~2“sin2ci—e~2ucos2u) + 2------e-2“ cos и sin v,
du dv
d^z I'd^z • d^z \
.---= sin v ------------e~u sin v H-----e~u cos v +
dy2 \ du2 dudv /
-I-— —sin v —• -f- e~u cos v---- +
du \ dy dy /
/ d2z • d^z \
+ e~u cos v---e~u sin v H---e~ “ cos v -+
\ dudv dv2 )
, dz / ,, du _n . dv \
H----e^“cosu---------e u sin v-- =
dv \ dy dy /
322
— e-2u sin2 v + e~2u cos2 v 4- 2 — 2 e~2u sin v cos v +
du2 dv2 dudv
4- (e~ 2ucos2 v—6~2“sin2 v) —2-^—e~2u cos v sin v,
du dv
и данное уравнение преобразуется в уравнение
d2z d2z , о п
--------------Р е2ит2г = 0.
du2 dv2
Более общий случай замены представляет собой переход от
функции z(x, у) к функции w = w(u, v) при условиях связи пере-
менных х, у, z, и, v, w вида fi(x, у, z, и, v, w)=0, f2(x, у, z,. u,v,
w)=0, f3(x, y, z, u, v, w)=0. Кроме того, между переменными
х, у, z есть зависимость z—z(x, у) =0. Итак, имеем систему четы-
рех уравнений с шестью неизвестными:
f1(x,y,z,u,v,w) =0,
/2 (х, y,z,u,v, w) = 0,
f3 (*. y,z*u,v,w) = 0,
z—z(x, у) =0.
Предполагая опять, что преобразования делаются в соответствую-
щей области, считаем эту систему определяющей четыре функции
двух аргументов:
и = и(х, у), V = V(х, у), w = w(x, у), Z(х, у).
Решая соответствующую линейную систему, связывающую диф-
ференциалы dx, dy, dz, du, dv, dw, относительно du, dv, dw, dz,
получаем выражения для частных производных функции и, v, w
по х, у. Подставляя эти выражения в равенства
dw dw du dw dv dw dw du dw dv
. 1 . ( dx du dx dv dx ду du -• — + dy . dv dy '
получаем уравнения, связывающие dw du dw dz c , dv dx dz из кото- dy
„ dz dz dw dw TT -
рых находим выражения -------и----через-----и-----. Чтобы выра-
dx dy du dv
зить вторые производные функции z по х, у через и, v, w и про-
, dw
изводные w по и и v, либо дифференцируют выражения ----------,
dw
по переменным х и у, например,
d2w d2w / du \2 2 d2w / dv du
dx2 du2 \ dx J dudv \ dx dx
। dw d2u dw d2v
du dx2 dv dx2 ’
1 2*
323
либо дифференцируют по х и у найденные выражения -------и ---
дх ду
в зависимости от конкретной ситуации, (см. приведенные ниже
примеры).
Пример 3. Приняв и и о за новые независимые переменные,,
преобразуем уравнение
дг , дг х
X-----г У---= —,
дх ду г
если
и — 2х—г2, а = —.
z
Решение. В данном примере замена функции z не осуществ-
ляется, но, поскольку z входит формальным аргументом в выра-
жения переменных и и V, применяем общий метод. Учитывая за-
висимость z от х и у, получаем
^L = 2-2z— , -^=-2г^-,
дх дх ’ ду ду '
дг
г— У~—
dv __ у дг dv ду
дх г2 дх ’ ду г2
Следовательно,
дх ди \ дх /
дг /У дг \
dv \ г2 дх J ’
дг дг ( п дг
— =----- —2z —
ду ди \ ду
. дг /_1______у дг \
dv \ г г2 ду ) *
откуда
дг
дх
2-
ди
дг у дг
~дй + г2 ~dv
1 дг
г dv
дг
ди
У дг
г2 dv
Подставляя эти выражения производных и выражения
и 4- z2
X = ----!--- И у = VZ
в исходное уравнение, получаем
о —(z2—h2)=z(u2+z2).
dv
Пример 4. Приняв и и v за новые независимые переменные,
a w за новую функцию от и и v, преобразуем к новым перемен-
ным уравнение
324
(xy+z) (1 — у2) -^-=x + yz,
dx dy
если
u = yz—x, v — xz—y, w = xy—z.
Решение. Дифференцируя w как непосредственно заданную
функцию w = w(x, у, z(x, у)), получаем -^- = у------Запи-
dx dx
шем теперь выражение дифференцируя функцию w как ком-
dx
позицию w = w(u(x, у, z(x, у)~), v(x, у, z(x, у))): dw ди ,
dw
dv
dz
= У~
dx
dx du dx
Подставляя сюда выражения производных
дх
dv dz
z , :: - получаем, что
dx dx
dv
dx '
, UC’ VZ
— 1 И -------— Z + x -------
dw
dw
, дг \
z + x------ .
dx )
dx du
dw
Приравнивая найденные выражения ------, получаем уравнение:
dx
dz dw / dz
dx du \ dx
dw
dw
dv
из которого находим, что
dw dw
У + “Z— —2----
du dv
dw dw
1 + У ~Z + x-7
du dv
dz
dx
Таким же методом получаем уравнение
dz dw / dz \ , dw / dz
x------=------{z + У----H------x —
dy du \ dy / dv \ dy
из которого находим, что
dw dw
x — г—--Г——
ди dv
dw dw
л + x "Д-
du dv
dz
dy
Подставляя эти выражения производных
получаем
— Чхуг—z2 + 1—у2—х2) = 0, т. е.
dv
в исходное уравнение,
-^=0.
dv
325
Пример 5. Приняв и и v за новые независимые переменные,
a w за новую функцию от и и v, преобразуем к новым перемен-
ным уравнение
2/ дг \2 „ / дг \2 2 дг
х2 ---- + у2 ----- = Z-------
дх / \ ду J дх
если
x — ue7JJ, y = vew, z=wew.
Решение. Выразим сначала du, dv и dw через dx и dy. Из
системы
dx=e~du + uewd w,
dy = ewdv + vewdw,
dz=ewdw + wewdw
находим выражения du, dv и dw как функции dx, dy и dz. Заме-
няя в этих выражениях dz на
получаем
du =
дх / ду
е®(1 +аа
ew(l + ш
дг , , /, , дг \ <
v---dx +1 + w—v------ dy
дх \ ду /
ew(l + ш
Следовательно,
1 + w— и ——
ew(l +&у)
ди
ду
ew(l + w)
1 + w — v ——
ew(l w) dy
dz
dx dw
е®(1
dz
¥
дх ew(l-|-w) ’ dy ew(14-sa)
Приравнивая выражения полученные дифференциро-
326
ванием функции w, заданной непосредственно как w = w(x, у, z(xr
у)) и как композиция w = w(u{x, у, г(х, у)), v(x, у, z(x, у))), по-
лучаем уравнения
дг дг
1 w — и------ v-------
1 дг dw дх дю дх
ew(l + оу) дх ди ew(14-w) dv ею(1+ш) ’
дг дг
и----- 1 -}- W—v---
1 dz dw ду dw dt)
ду ду ею(1-]-йу) dv ew( 1 -f- w)
из которых находим, что
dw
dz ___ ди
dv dw dw ’
°х 14-u----------f-о---
du dv
Подставляя эти выражения производных и выражения х = ие™,
y = vew, z = we'a в исходное уравнение, получаем
„ j dw \2 „ / dw \2 „ dw dw
u2---- +v2 ---- = w2------.----.
\ du j \ dv / du dv
По и мер 6. Преобразуем уравнение (х—z)-^-+y-^- = О,
dx ду
приняв х за функцию, а у и z за независимые переменные.
Решение. Чтобы было удобно пользоваться общим методом,
введем переменные и, v, w так: w = x, и=у, v = z. Приравнивая
dw dw . . ,
выражения — ,----, полученные дифференцированием функции
дх ду
w, заданной непосредственно как цу = щ(х, у, z(x, у)) и как ком-
позиция w=w(u(x, у, z(x, у)), v(x, у, z(x, у)), получаем урав-
нения
1__ dw
ди
dw дг
dv dx
V —-----1 ----. --,
ди [ dv ду
откуда
dw дх
дг __ 1 __ 1 дг _ ди _______ ду
дх dw дх ’ ду dw дх ’
dv дг dv дг
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение,,
получаем
327
Пример 7. Приняв и и о за новые независимые переменные,
а ш за новую функцию от и и v, преобразуем к новым перемен-
ным уравнение
д2г о д2г , д2г п
дх2 дхду ду2
если
и — х-\-у, v = -^-, W — ——.
X X
Решение. Приравнивая выражения полученные
дх ду
дифференцированием функции w, заданной непосредственно как
w = w(x, у, z(x, у)) и как композиция w = w(u(x, у, z(x, у)),
я(х, у, z(x, у)), получаем уравнения
г
x2
1 dz
X dy
1 дг _ dw у dw
х дх ди
dw 1 dw
du х dv
х2
dv
откуда
дг
дх
dw у dw । г
du x dv x
dz dw , dw
----= х н----------.
ду--ди dv
Далее,
д2г
d f dw у dw
— x------------------
dx2 dx \ du x dv
, У dw у ( d2w у
“T’ -------------I
x2 dv x \ dudv
d2w 2y d2w
— x--------------------
du2 x dudv
d2z d I dw .
-------- x -b-
dy2--dy \ du
। / d2w 1 d2w \
\ dudv x
d2z' d I
------= X
dxdy--dy-----\
1 dw у
x dv x
d2w /.
— X---------H 1-
du2 \
d2w
dw , xl d2w У d2w
du \ du2 x2 dudv
г । 1 dz ______
x2 dv2 / x2 x ’ dx
y2 d2w g d®
x3 dv2 du ’
\ / d2w , 1 d2w \ ,
= X---------1----------+
/ \ du2 x dudv )
d2w , o d2w , 1 d2w
-----------------f- 2-------1---------.
dv2 / du2 dudv x dv2
dw у dw
du x dv
/ д2ш । 1
\ dudv x
у \ d2w
x I dudv
d2w
dudv
d2w \ 1 дг
dv2 ) x dy
у d2w i dw
x2 dv2 du
х
Подставляя эти выражения
получаем
производных в исходное уравнение,
d2w i y2 t I , 2y \ n d2w n
------- — + — -f- —— — 0 или ---------------------------= 0.
dv2 \ x3 x x2 / dt)2
328
§ 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Определение. Пусть поверхность S задана в R3 непрерыв-
ной функцией z = f(x, у), т. е. 3:{(х, у, f{x, у)), (х, y)^D] и
точка s0= (х0, у0, 20)&S. Плоскость Р : А (х—х0) + В (у—у0) +
+ C(z—z0) =0, проходящая через точку s0, называется касатель-
ной плоскостью к S в точке $0, если
\f(x,y)— z\ =о(/(х— х0)2 + (у—у0) ), ]/(х—х0)2 + (у—-у0)2 ->0,
где точка (х, у, f(x, y) ')<^S и точка (х, у, z)<=P.
Аналогично определяется касательная плоскость, если поверх-
ность задана непрерывной функцией х=х(у, z) или у = у(х, z).
Поверхность в данной точке может иметь только одну каса-
тельную плоскость.
Определение касательной плоскости, вообще говоря, не должно-
зависеть от выбора системы координат, так как существование
в данной точке поверхности касательной плоскости к ней есть
внутреннее свойство поверхности. Но поскольку мы занимаемся
не внутренней геометрией поверхностей, а геометрическими прило-
жениями методов анализа, то наши рассмотрения ограничиваются
такими поверхностями, к которым эти методы применимы, т. е.
поверхностями, аналитически представимыми в некоторой системе
координат.
Если поверхность S задана функцией г=Дх, у), об-
ласть D принадлежит R2, то касательная плоскость к S сущест-
вует в каждой точке S0=(x0, у0, f (х0, Уо)) и имеет уравнение
z—Ж.Уо) =-^-(хп,у0)(х—х0) + ~-(.x0ty0)(y—1/0).
дх ду
Если поверхность S задана уравнением F(х, у, z)=0, причем
Fe^Cl(G), область G принадлежит R3, Мо= (хо, Уо, z0)<=G,
F (х0, уо, z0) =0 и хотя бы одна из производных Fx' (Af0), Fy' (Al0),
FZ'(MO) отлична от нуля, то касательная плоскость к S сущест-
вует в точке Л10 и имеет уравнение
F'x (А40) (х -х0) -р Fy (A40) (у - у0) + Fz (Мо) (z -z0) = 0.
Если поверхность S задана соотношениями х=х(ц, v), у =
=у(и, о), z—z(u, v), причем х, у, z^C'(^), область А принадле-
жит R2(u, v), М0=(и0, fo)^A, х0=х(ц0, t’o), Уо = у(ио, v0),
z0 = z(u0, оо) и векторы
(хй (Мо), у и (Мо), г» (Л40)) и (х„ (Мо), y'v (Мо), Z-, (Л40))
неколлинеарны, то касательная плоскость к S в точке s0 =
= (^о, Уо, 2о) существует и имеет уравнение
X — Хо У—Уо г—г0
хи (AIq) У и (Alg) Zu (Л1о)
Xv (Л1 о) У» (А40) zv (А40)
QOQ-
При выполнении сформулированных выше условий парамет-
рического и неявного задания поверхности S в полученном урав-
нении касательной плоскости хотя бы один из коэффициентов при
переменных отличен от нуля, т. е. этому уравнению действительно
отвечает некоторая плоскость в 7?3. Равенство нулю коэффициента
при какой-нибудь переменной в уравнении касательной плоскости
в точке Л1о геометрически означает, что эта плоскость параллель-
на соответствующей оси координат. Аналитически это значит, чю
в окрестности точки Мо не выполнены условия теоремы существо-
вания для этой координаты как функции остальных двух.
Пример 1. Напишем уравнение касательной плоское! и
к сфере x2 + y2+z2 = a2 в некоторой ее точке s0=(x0, у0, z0), a=FF).
Решение. Пусть сначала гс>0. Тогда в некоторой окрестнос-
ти точки (х0, уо) сфера задается функцией г=|/а2—х2—у2. Так
как х02 + г/02 = а2—z02<tf2, то можно считать эту окрестность такой,
что производные
дг — х дг — ч
---= —Г.. =— и --------— — ------- -----
дх Еа2 — х2 — у2 ду у'аг — х2 — у2
непрерывны в ней. Итак, условия существования касательной
плоскости в точке $о=(хо, Уо, г0), z0>0, выполнены и ее уравне-
ние имеет вид
г—г0= — — (х—— хй) — (у— Уо).
zt> г0
Точно так же проводятся рассуждения для точки s3= (х0, у0, z0),
если z0<0. Если же zo=O, то z уже не является однозначной глад-
кой функцией переменных х и у ни в какой окрестности точки
(х0, Уо). Так как при zo=0 хо2-]-уо2 = а2, то х0 и уо одновременно
в нуль не обращаются. Если хо=^О, то в окрестности точки (у0, 0)
х определяется как однозначная гладкая функция у и z; если
УоФО, то в окрестности точки (х0, 0) у определяется как однознач-
ная гладкая функция х и z. В каждом из этих случаев уравнение
касательной находится тем же методом, как и в случае г0>0,
и имеет вид
X—хо= — (у — у о)
х0
при хо#=О и у—Уо = — — (х—х0) при г/о#=О.
Уо
Все эти случаи объединяются, если использовать формулу
уравнения касательной плоскости для неявного задания поверх-
ности.
Обозначим Е(х, у, z)=x2 + y2 + z2—а2, тогда Fx' = 2x, Fy’ = 2y,
Fz' = 2z, и так как ни в какой точке сферы x2 + z/2 + z2 = a2 все три
координаты одновременно не обращаются в нуль, то уравнение
касательной к этой сфере в точке s0= (х0, у о, Z&) имеет вид
х0 (х—Хо) + Уо (У—Уо) + z0 (г —г0) = 0.
330
Очевидно, что при соответствующих условиях это уравнение
касательной плоскости совпадает с найденным выше.
Определение. Если поверхность S имеет в точке soeS
касательную плоскость Р, то прямая, проходящая через точку So
перпендикулярно Р, называется нормалью к S в точке Sq, а вектор,
перпендикулярный к Р, называется нормальным вектором к по-
верхности S в точке So.
Заметим, что если N\ — нормальный вектор к поверхности S
в точке So, то и любой вектор N='kN\ (Л#=О), будет тоже нор-
мальным вектором к поверхности S в точке s0.
Пример 2. Напишем уравнения касательной плоскости я
и г
нормали к поверхности S, заданной уравнением 2 z -|-2 х =6
в точке ЛТ0= (1; 2; 2).
у z
Решение. Если F(x,y,z) = 2 z + 2 х—6,
то F’ =---—-2 х 1п2,
х х*
! -5L
Е' = — 2 2 In 2,
» 2
1 — -Я.
F' = — 2 х 1п2--—2 2 In 2.
2 х г-
Следовательно, уравнение касательной плоскости есть
—4 In 2-(х — 1) + In 2 (у — 2) + -L In 2 (z— 2) =0,
или
8х—у-—7z+8 = 0.
Уравнение нормали в параметрическо.м виде есть
х=1 + 8/, у = 2—t, z=2—It
или в каноническом
х—1 у — 2 2 — 2
8 —1 — —7 ’
Пример 3. Напишем уравнение касательной плоскости №
нормали к цилиндру уг = 2рх в произвольной точке s0= (х0, Уо, z0)
этого цилиндра.
Решение. Цилиндрическая поверхность с образующими, па-
раллельными оси OZ, не может быть задана функцией z = z(x, у).
В данном случае можно рассматривать эту поверхность как опре-
деленную функцией х = . Тогда и уравне-
2р ду р \
ние касательной плоскости в точке s0 имеет вид х—х0 = — {у —1/0),
Р
или р(х—х0)—уо(у—Уо) =0. Можно было бы рассматривать ци-
линдр и как поверхность, определенную неявным соотношением
у2—2рх = 0.
Уравнение нормали к цилиндру в точке so имеет вид
x = x0 + pt, y = yo—yot, z = z0.
В любой точке цилиндра касательная плоскость вертикальна (па-
раллельна оси OZ), а нормаль горизонтальна (перпендикулярна
оси OZ).
Пример 4. Напишем уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности S, заданной соотношениями х=пЧ-о2, у = и?—о3,
z=2uv в точке s0 = (x(«0, v0), у(и0, v0), z(w0, о0)), если г/0=2, п0 = 1.
Решение. Имеем
< = x'v = 2v’
z'u = 2v, z'v = 2u;
Уо~У(.ио> »о) = 3,
<(«о, Ц>) =1,
y'v(“0, »«)= —3;
* 4 = 2u, y'v = —Зи2;
* о = *(«о, Ц>)=3,
z0 = z(«0, v0) = 4;
< («о. f0) =2; u'u(uQ, п0) = 4,
< («о. Ц>) =2, г;(и0, t»o) = 4.
Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке s0 имеет
вид
х—3 у—3 z—4
1 4 2
2—3 4
= 0,
т. е. 2х—z—2 = 0, а уравнение нормали в точке $0 имеет вид
х = 3 + 2(, у = 3, z=4—t.
Определение. Пусть кривая Г в пространстве R3 задана
соотношениями
х=х(т), у = у(х), z=z(r), te[a, £].
Возьмем Toe (a, 0) и те(то, Р). Полупрямую
х = х(т0) + ([х(т)— х(то) ] ,
У = У (То) + t[y (т) — У (То)],
г=г(т0) + ф(т)—г(т0)],
/>0,
проходящую через точки уо=(*(то), г/(т0), г(т0)) и у=(х(т), г/(т),
г(т)) кривой Г, назовем правой секущей. Полупрямую, являющую-
ся предельным положением правой секущей при т-*То, если та-
кая существует, назовем правой полукасательной к кривой Г
в точке уо- Аналогично определяется левая полукасательная к Г
в точке уо.
332
Определение. Если угол между правой и левой полукаса-
тельными к Г в точке уо равен л, т. е. объединение этих полука-
сательных является прямой, то эта прямая называется касатель-
ной к кривой Г в точке у0.
Определение. Если кривая Г имеет в точке у0 касатель-
ную, то плоскость, проходящая через точку уо перпендикулярно
касательной, называется нормальной плоскостью к кривой Г в точ-
ке у0.
Если функции х=х(т), 2/ = z/(r), z=z(r), определяющие кри-
вую Г, дифференцируемы в точке то^(а, Р) и вектор (х'(то),
г/'(то), z'(to)) не нулевой, то касательная к Г в точке уо=(х(то),
у(то), г(то)) существует и параллельна вектору (х'(то), у'(то),
z'(tq)), т. е. ее уравнение имеет вид
х = х(т0) + /х'(т0), У=У(х0) +G/'(to), z = z(t0)+fe'(xo).
Пример 5. Напишем уравнение касательной прямой и нор-
мальной плоскости к кривой Г : х2 +-у2 = 2ах, x2 + y2 + z2 = 4a2 в
( За а >/* 3 \
точке 7VL-----—-—, а .
°\ 2 ’ 2 /
Решение. Кривая Г задана как пересечение двух поверхнос-
тей. Возьмем в качестве параметра кривой Г переменную z. Диф-
ференциалы dx, dy и dz связаны уравнениями
2xdx + 2ydy = 2adx,
2xdx + 2ydy+2zdz=0.
Разрешая эту систему относительно dx и dy, получим
dx = dz, dy = -~г (д~
а ay
Следовательно, хг'(Мо) = — 1, у/(Мо) = и уравнение каса-
И 3
тельной к Г в точке ЛТ0 имеет вид
, а УЗ , t , ,
К У = -~ + -^~ z = a + t,
2 у 3
нормальной плоскости
dz.
За
x = —
2
.а уравнение
\ 2 ) УЗ \ 2 / '
Определение. Если f: G->R, область Gcz/C, feC'(G),
xoeG, то вектор с координатами (-^—(x0), -^—(xQ), ~^—(x0)\
\ dx, dx2 dxm )
называется градиентом функции f в точке х0 и обозначается
;grad/(x0).
Градиент функции f в точке х0 является нормальным вектором
поверхности уровня функции /, проходящей через точку Мо, т. е.
.поверхности f(x, у, z)=f(M0) (если gradf не нулевой вектор).
333
Пример 6. Пусть
/(х1( х2, х3, х4) = х3х2 + х3х3 + х;х4 4- х3х1—xlx2x3xi.
Найдем градиент функции f в точке х0 = (1; —1; 2; •—3).
т-, тт „ df df df df .
P e ш e н и e. Найдем частные производные---, ---, ---, ------
дх± дх2 дх3 дх^
= Зх?х2 + х4 —х2х3х4;
dXi
—хз зх2х3—х^х.,;
JL =хз + Зх|х4—ххх2х4;
z4v °
Значения производных в точке Хо=(1, —1, 2, —3) являются коор-
динатами вектора grad/(x0), т. е. grad/(x0) = (—36, 13, —40, 32).
Определение. Пусть / : G->7?, область G принадлежит
Rm, x0^G и вектор /=(/], R, 1т)- Если существует предел
]im f +
м И1И1
то его значение называется производной функции f по направлг-
нию I в точке х0 и обозначается (х0).
Если f : G-+R, область G принадлежит Rm и f дифференцируе-
ма в точке xq^G, то — (х0) по любому направлению I существует
dl
и вычисляется по формуле
т т
^7 (*о) = У] (Л‘о) • 47Г = S cos ’
dl £4 дх ( || Z || dxt
i=i i=i
где а,- — угол между / и осью OXt. Так как вектор Z0 = (cosa1₽
cosa2, ..., cosam)== есть единичный вектор, совпадающий по
направлению с вектором I, то удобно направление, по которому
вычисляется производная, обозначать сразу единичным вектором.
Если f: G-+R, область GaRm и /eC’(Gj, то для x0^G
= =°P.gradHx.),
dl II / II
df , .
следовательно, производная —(х0), т. е. скорость изменения
dl
функции f по направлению I в точке х0, достигает наибольшего
334
значения, если направление I совпадает с направлением
grad/(x0), и этот максимум равен ||grad f (х0) ||.
Пример 7. Найдем производную функции
f = arctg-----h In (x2z2 + у2)
У
в точке Мо= (1, 1, —1) по направлению градиента функции
<р(х, у, z) = xyz—х2—у2—z2 в этой точке.
Решение. Имеем
grad ф(Мо) = (yz—2х, xz—2у, ху—2z) | м, = (—3, —3, 3),
= (______!__________1_
° \ /3 ’ V3 ’ /3 J’
df zy 4-2xz2 1 df ,, 2у— xz 3
— (Мп) = -2-!-------- =—; —(Мп) = — ----------------- = —;
дх у2 + x2z2 м, 2 ду у2 + x2z2 м„ 2
-^(Мо)
dz
ху + 2x2z I
у2 + x2z2 |м0
dl
1______3______1 _ 5
2/3 2 /3 2 /3 ~~ 2/3 ‘
Пример 8. Найдем производную функции и(х, у, z)=xyz в
и* z%
точке (х0, у0, z0), лежащей на эллипсоиде----1---1---=1, по
а2 Ь2 с2
направлению внутренней нормали к эллипсоиду в этой точке.
Решение. Один из нормальных векторов к поверхности
— 4- — + — = 1 в точке (хо, Уо, z0) имеет координаты)—, —,
а2 Ь2 с2 \ а2 Ь2
— |. Геометрические соображения показывают, что единичный
с2 /
вектор внутренней нормали должен иметь координаты, противопо-
ложные по знаку координатам точки, в которой он определяется.
Следовательно, обозначая этот вектор через п, имеем
п =
1____________ ! х0
Т2 JT' ( a2 ’
хо Ур zo х
a4 + + ~
и
ди ~. xoy-uza д2 + &2 + е2
'дП l/ у° го
O* i + />4 + С4
Уо 2о \
Z?2 * с2 /
Xpt/pZo (а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2)
335
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Функция f : F.-^R, EczRm, имеет локальный
максимум (локальный минимум) вэ внутренней точке х0 множе-
ства Е, если существует окрестность U(xo)aE точки х0 такая, что
f(x)^f(x0) (f(x)^f(x0)) для всех x^U(x0). Если при x^U (х0)\
\Хо имеет место строгое неравенство f(x) <f(x0) (f(x) >f (x0)), то
локальный максимум (минимум) называется строгим, в пробив-
ном случае — нестрогим.
Определение. Локальные максимумы и минимумы функ-
ции называются ее локальными экстремумами.
Точки, в которых функция имеет локальный экстремум, назы-
ваются экстремальными точками.
Определение. Пусть f : G-+R, область GaRm. Точка xoeG
называется критической точкой функции f, если каждая из част-
df , , . ,
ных производных —в этой точке или не сущесг-
d:q
вует или равна нулю.
Обратим внимание на то, что критическая точка функции обя-
зательно есть внутренняя точка множества ее определения.
Необходимое условие экстремума: если область G принадле-
жит Rm и в точке x0^G функция f : G-+R имеет локальный экст-
ремум, то Хо — критическая точка функции.
Другими словами, всякая экстремальная точка функции есть
ее критическая точка.
Достаточное условие экстремума: пусть область G принадле-
жит Rm, f: G-+R, /eC2(G) и xo<sG — критическая точка f:
а) если квадратичная форма d2f(x0) положительно определена,
то в точке Хо функция f имеет строгий локальный минимум;
б) если квадратичная форма d2f(x0) отрицательно определена,
то в точке Хо функция f имеет строгий локальный максимум;
в) если квадратичная форма d2f(xo) знакопеременная, то в
точке Хо функция f не имеет экстремума; точка х0 в этом случае
называется седловой точкой функции [.
Исследование определенности квадратичной формы d2j(хэ)
может быть проведено с помощью критерия Сильвестра: квадра-
m
тичная форма V, а^хр^ положительно определена тогда и толь-
i,/=i
ко тогда, когда положительны все главные миноры матрицы
а12 й13 • • ахт\
I 4*21 ^22 ®23 • • • ^2т I
\О,П1 а„;2 Я/пЗ • • • ^'г.п/
и отрицательно определена тогда и только тогда, когда ац<0 и
при переходе от любого главного минора к главному минору сле-
дующего порядка знак минора меняется.
336
Для функции двух переменных z=f(x, у) критерий Сильвестра»
состоит в следующем. Пусть область G принадлежит Д2, f; G-+R,.
feC2(G) и x0^G — критическая точка функции f. Обозначим
А^
дх2
Тогда:
а) если
строгий локальный минимум;
б) если
строгий локальный минимум;
в) если
(т. е. не есть точка максимума или минимума).
Пример 1. Исследуем на экстремум функцию
(*о), В = -^_(х0),
дхду
C = ^L(x0).
ду2 07
и Л>0,
и Л<0,
то
то
в точке хо функция / имеет
в точке х0 функция f имеет-
'О, то точка х0 — седловая точка функции f
А В
В С
А В
В с
А В
В С
и = 2x3yz—х2—у2—z2.
Решение. Координаты х, у, z критической точки гладкой,
функции и должны удовлетворять системе
6x2yz—2л = 0,
2x3z—2у = 0, или
2х3у—2г = О
Зх2уг = х,
x3z = y,
. х3у =z.
Отсюда получаем пять критических точек:
Л4о = (0, 0, 0), Mr=( 1, f 1,-------
0 v 1 1 ’ /3 /3)' 2 \ ’ /3 /з
Л43= ( —1.
1
Кз
1
/3
1
/3
1 \
кз г
, М4= -1,
Так как weC2(G) для любой области GcrT?3, то возможно даль-
нейшее исследование поведения функции и в стационарных точках
с помощью достаточного условия экстремума:
б2и , „ „ д2и п д2и п
-----= \2xyz—2; ------ --—2; -----------=—2;
дх2 ду- дг2
д2и г* п д2и f л д2ы л о
= b;rz; = bx2z/; - -2х.
дх ду---------------------------дх дг-ду дг
Отсюда получаем d2u(M0)=—2dx2—2dy2—2dz2. Так как d2u(M0)
является отрицательно определенной квадратичной формой, то
в точке Мо функция и имеет строгий локальный максимум.
337.’
Для анализа квадратичной формы
d2u (Л4г) = 2dx2 —2d у2—2dz2 + 4 Д/3 dx dy + 4 УЗ dx dz +
+ 4dydz
применим критерий Сильвестра. Матрица этой формы есть
/ 2 2 УЗ 2 УЗ
I 2 УЗ — 2 2
\2УЗ 2 — 2
Ее главные миноры есть
2 >0;
2 2 УЗ
2УЗ —2
2 2 УЗ 2 УЗ
2 УЗ —2 2
2 УЗ 2 —2
>0.
.Распределение знаков этих миноров показывает, что данная квад-
ратичная форма знакопеременная, следовательно, в точке
функция и не имеет экстремума: точка есть седловая точка
функции и.
Точно так же устанавливается, что точки М2, Мо и М4 также
«седловые точки функции и.
Пусть f : G-+R, область G принадлежит R"1 и x0^G — крити-
ческая точка функции f. Если f не принадлежит классу С2(и(х0))
или квадратичная форма z/2/(x0) полуопределена, т. е. неположи-
тельна или неотрицательна, то приходится непосредственно срав-
нивать значение f(x0) со значениями f(x) в некоторой окрестности
точки хо, ибо сформулированное достаточное условие неприме-
нимо.
Пример 2. Исследуем на экстремум функцию
z=(l—-х2)у'у (1— у).
Решение. Имеем
-^- = -2х/У(1-//); = (1 — (2 —5у) (^0).
дх ду з
Пусть Л40 = (Хо, 0) и М= (х0, Az/), | х015^=1, тогда
.. z (М)—z (Мп) г
hm —— -----—— = lim --------------------= оо.
Ду-0 Д{/ Ду—о Дг/
Если же А4Х = (1, 0) и А4 = (1, Az/), то г (М) —z (А4Х) = 0, следователь-
но, -^-(А4х)=0. Точно так же (А42) = 0, где М2 — ( — 1, 0).
ду ду
Таким образом, все точки оси ОХ, кроме точек Mt и М2 являются
. dz
такими критическими точками функции г, в которых --- не су-
;338
ществует. В точках М\ и М2 -^- = 0 и -^- = 0, т. е. эти точки
дх ду
также критические, но в любой окрестности как точки М{, так и
,. дг ,,
точки т2 имеются точки, в которых ------- не существует. Итак,
ду
для любой окрестности U (/И) произвольной точки М оси ОХ
функция z не является функцией класса С2(£/(Л4)). Рассмотрим*
точку Мо=(хо, 0), |х0|<1, и такую окрестность U(Л40), что для
всех (х, у)е£/(Л40) имеем |х|<1, |у|<1, тогда для всех (х, у)е
имеем z(x, z/)^O==z(xo, 0). Итак, в точке Л40 функция
z имеет локальный минимум (нестрогий). Точно так же проверя»
ется, *jto во всех точках Afi=(xi, 0), |xi | >1, функция z имеет
нестрогий локальный максимум.
Рассмотрим теперь произвольную окрестность £7(Л42) точки
М2= (1, 0). Если (х, y)^U(M-2), х>1, 0< |у| <1, то z(x, у)<0 =
=z(l, 0)=z(M2). Если же (х, у)е£/(/И2), 0<х<1, 0<|у|<1, тс»
Z(X, */)>0 = Z(l, 0)=Z(‘^2),
т. е. в точке М2= (1, 0) функция z не имеет экстремума: М2 —
седловая точка функции z. Точно так же проверяется, что М5 =
= (—1, 0) — седловая точка функции, z.
Кроме точек оси ОХ критическими точками функции z являют-
ся точки Mi= (1, 1), Л45= (—1, 1), Мв= (0, 2/5). Для анализа по-
ведения функции z в этих точках можно применить достаточное.*
условие:
-£- = -2 ^‘(1-й. = ЧИ-Ш
LzA С/W \ %У J
д2г 2 /к о\
------- — ху 3 (5у—2).
дхду 3 ’
Отсюда
Так как квадратичная форма d2z(M6) отрицательно определенная^
то в точке Л16=(0, 2/5) функция z имеет строгий локальный мак-
симум. Так как d2z(M4) =4dxdy есть знакопеременная квадратич-
ная форма, то в точке Af4(l, 1) функция z не имеет экстремума:
ЛД •— седловая точка функции z. Так же проверяется, что ЛГ5—
седловая точка функции z. _
Пример 3. Исследуем на экстремум функцию z = (l 4-х2) у.
Решение. Имеем
следовательно, ни одна точка вне оси ОХ не будет критической.
339*
Пусть Ро = (%о, 0) иР= (х0, Л//), тогда
,. z(P)—z(P0) r (1 + ^)у/Д{/
lim —i— ---= lira ----------------= оо.
Лл-»0 At/ лу->о At/
Таким образом, все точки оси ОХ являются критическими точками
функции г, в которых не существует. Из определения z(x, у)
ду
получаем, что если у>0, то z(x0, y)>O = z(xo, 0), если у<0, то
z(x0, у) <O = z(xo, 0) для любого х0. Итак, каждая точка оси ОХ
является критической точкой функции z, в которой нарушены усло-
вия гладкости и каждая такая точка есть седловая точка функ-
ции z.
Из рассмотренных двух предыдущих примеров видно, что если
в критической точке функция z не имеет хотя бы одной частной
производной, то эта точка может быть как точкой локального
минимума, так и точкой локального максимума и седловой точкой.
Пример 4. Исследуем на экстремум функцию
,z= (х—у)2 + (у'А— Г)4— 1.
Решение. Так как функция z гладкая, то координаты х и
:у ее критической точки должны удовлетворять системе
( 2 (х—у) = 0,
(_2(х-//) + 12^ (z/3 —1)3 = 0.
Отсюда получаем две критические точки Мо= (0, 0) и М\= (1, 1).
Найдем
-ГТ=2- ^ = 2+24Н^-1)3 +W^-l)2, -^-=-2.
дх2 ду2 дхду
Отсюда
d2z (Л40) = d2z (Л^) = 2dx2 + 2dy2 —4 dxdy = 2 (dx—dy)2,
юткуда видно, что это полуопределенная квадратичная форма
(неотрицательная). Так как z(Mi)=—1 и z(M)>—1 для любой
точки то в точке Л1]= (1, 1) функция z имеет строгий ло-
кальный минимум (даже абсолютный).
Рассмотрим поведение функции z в произвольной окрестности
U(Л4о) точки Л4о=(О, 0). Если М=(х, 0)<=U(M0), х=£0, то z(M) =
— x2>O=z(Mo); если же М=(у, y)^U(M0), 0<у<\, то z(M) =
= (//3—I)4—KO = z(Mo).
Следовательно, точка Л1о — седловая точка функции г.
Итак, если для некоторой окрестности U (Л40) cz/?m точки Л40^
функция f^C2(U (Мо)), точка Л40 — критическая точка
функции f и d2f(M0) — полуопределенная квадратичная форма, то
точка Мо может быть как точкой локального экстремума, так и
седловой точкой функции f.
.340
обязательно
1 — х2у2
------, ТО
(1-WW
Заметим, что если для некоторой окрестности U(M0) czRm точки
M0^Rm функция f^C2(U (Мо)) и в точке /Ио функция f имеет не-
строгий экстремум, то квадратичная форма d2f(M0)
будет полуопределенной.
Пример 5. Исследуем на экстремум функцию
ху
1 х2у2
„ т, дг 1 — х2у2 dz
Решение. Так как--------— у------------; ---= х-
дх (l-hxV)2 ду
критическими точками функции z является точка Л1о=(О, 0) и все
точки М=(х, у):ху=±1. Из неравенства 12ху|1 + х2у2 полу-
чаем, что |я|^1/2. В каждой точке линии ху=1 имеем z(x, у) =
= 1/2; в каждой точке линии ху =— 1 имеем z(x, у) =—1/2. Сле-
довательно, в каждой точке линии ху=1 функция z имеет нестро-
гий максимум, в каждой точке линии ху = — 1 — нестрогий мини-
мум. Найдем вторые частные производные функции z:
_ 2хц3 3 д2г _ 2х3// *2^2 3
дх2 У (1+xV)3’ ду2 у (1+%21/2)3 ’
д2г __1 — 6х2у2 + х*у*
дхду (1 + х2</2)3
Если М = (х, у), где хг/==1 или ху = —1, то квадратичная форма
d?z (/И) = ——(у2 dx2 + х2 dy2 + 2ху dx dy) полуопределена, как
и должно быть в точках нестрогого экстремума.
Квадратичная форма d2z(Ma) =2dxdy — знакопеременная, сле-
довательно, Afo= (0, 0) — седловая точка функции z.
Определение. Пусть переменные хь х2, ..., хт связаны си-
стемой уравнений
Fl ( Х1, . . . , Хт) =0,
Fk(xi, ..., хт)=0, k<m,
Fi^Cl(G), область G принадлежит Rm и точка х0=
= (xi°, х2°, xm°)^G такова, что А(хо)=О, Функция
f:G-+R имеет условный максимум (минимум) в точке х0, если су-
ществует окрестность U(x0)^G точки х0 такая, что /(х0)>
>d(x) (f(x0) (x)) для всех xst7(x0), для которых Ft(x)=0, 1<
(Другими словами, сравниваются между собой значения функ-
ции, которые она принимает на множестве тех точек х= (хь х2, ...
..., хт), координаты которых удовлетворяют уравнениям связи
K,(xi, ...,хт)=0, 1<1<й<т.)
341
В дальнейшем предполагаем, что функции f и Fi,
принадлежат классу C2(G) и ранг матрицы
dFi dFi dFi
dXi дх2 ' дхт
dF2 dFt dFt
dxY дхг dxm
dFk dFk dFk
d%! dx2 dxm
в каждой точке x0=(Xi°, x2°, xJJsG равен k. Для определен-
ности положим, что
ал
dxY
^(x0)....-^-(x0)
(xo) 4%0)
dxk
¥=0.
Тогда в некоторой окрестности t7(Л10) точки M0=(x°k+i, х°т)
система уравнений Fi(xit х2, .хк, xm)=0, 1 < i < k<m, опре-
деляет k функций класса C2(f7(Af0)) от (т—k) независимых ар-
гументов:
Xj X1 (Хй+1, Xfe+2> • • • , Хт) ,
X2=X2(Xfc+i, Xk+2, . .., Хт),
Xk Xk (Xfc-f-i, Xfc-f-2, • • • , Xm) •
Таким образом, в некоторой окрестности U(Л10) точки Л40 фун-
кция f с учетом условий связи F((x)=0, представляет
функцию класса С2((7(Л1о)) от (m—k) независимых аргументов:
f (*1, Х2, ..., хт) =f (хх (хл+1.Хт), ...,Xk (xfr+i, . . . , Х,„), Х^-1, . . .
..., хт) =f* (xk+i, Xk+2, ..., Х,п). Если х0 = (х°, х°, ..., х°т) есть
точка локального условного экстремума функции f при условиях
E,(x)=0, то точка (х^+1, х£+2, ..., х°) есть точка
обычного локального экстремума функции f*(xk+i, Х&+2, ..., хт).
Итак, исследование условного локального экстремума функ-
ции / сводится к уже разобранному исследованию обычного ло-
кального экстремума некоторой функции меньшего числа пере-
менных.
Дифференциал функции f* имеет вид:
т k т
дхч дх„ 4 ЛяЛдХа
?=1 <7=1 <7=*+1
где dx\, dx2, ..., dxk есть дифференциалы функций хь х2, ..., Xk,
определенных системой уравнений ЕДх)=0, Выраже-
342
ние этих дифференциалов в виде линейных форм от дифференциа-
лов независимых переменных dxk+i, dxk+2, , dxm находятся из
системы линейных уравнений: df(=0, т. е.
т
V-^-dx. = 0,
Li dxq q
Подставив найденные из этой системы выражения dxr,dx2,... ,dxkedf* =
т
= V dx„ получим выражение df* в виде линейной формы диф-
dxq
i=q
ференциалов dxk+i, dxk+2, •••, dxm. Координатами (x°+1, x°+2, ...
..., x°m) стационарной точки Mo функции f* будут такие значения
4н, ^+2, • • •, х°т, что в точке ха = (хг (х°±1, ..., х°т), ..., xk (х°+,....
..., х°г) все коэффициенты этой линейной формы равны нулю.
Чтобы окончательно решить вопрос о поведении функции в
окрестности точки Af0, нужно исследовать d2f*(M0). Второй диф-
ференциал функции /* имеет вид
т k
d2f* = V1 ——— dx dxD + V d2xq,
Li dx„dxq q ° Li dxq q
q,P—\ «=1
где d2xx, ..., d2xk есть вторые дифференциалы функций хь х2, ...
.., xk, определенных системой уравнений F,(x)=0,
(Обратите внимание, что d2Xk+\=.. . = d2xm=0, так как Xk+i, хт
независимые переменные.) Выражение вторых дифференциалов
d2x}, d2x2, ..., d2Xk в виде квадратичных форм дифференциалов
<dxk+i, dxm находятся из системы
y^-dxq = G,
Li dxq q
V --°-Fl- dxv dxq + V —d2xq — 0, 1 i :C k < tn.
Li :^dxq p ’ Li dxq q ’
( 1 <7=1
Подставляя в выражение
m k
d2f*= У dXp dXq + S ?“d2x<>
dxpdxq QJ dxq
q,p=l q=l
dxit dx2, dxk в виде линейных форм и d2x^, d2x2, ..., d2Xk в
виде квадратичных форм от dxk+i, dxk+2, dxm, получим выра-
жение d2f* в виде квадратичной формы от dxk+i, dxk+2, , dxm.
Если полученная форма знакоопределенная, то точка Af0=
= (х°*+1, .... х° т ) есть точка локального экстремума функции f*
343
и, следовательно, точка х0 = (хх (xg+1..х^), .. •, хк (х£+1, ...,
xm)> Xfe+P •••» есть точка локального условного экстремума
функции f при условиях F,(x)=0, 1<1<&</И.
Пример 6. Найдем точки условного экстремума функции
z=4x—у, если х2—у2=15.
Решение. В этом примере F(x, у) = х2—у2—15, матрица
/__L; есть (2х; — Чу). Из условия х2—у2=15 следует, что в
\ dx ду /
множестве точек, координаты которых удовлетворяют этому усло-
вию, не содержится точек с нулевой координатой х, следователь-
но, всюду на этом множестве минор 2х матрицы (2х; —Чу) отли-
чен от нуля. Поэтому условие связи определяет всюду на этом
множестве функцию х=х(у). Анализируем теперь функцию z как
функцию одного аргумента y.z* (y)=z(x(y), у)=4х(у) — у. Из
уравнения х2—у2=15 получаем, что xdx—ydy=0, откуда dx = — dy
и, следовательно, dz* — 4dx — dy — (—--I'j dy. Итак, для ко-
\ x /
ординат критической точки функции z*(y) имеем систему уравне-
ний
‘ 1=0,
X
х2—у2-^\5.
Решая эту систему, получим, что возможными точками локального
условного экстремума функции z=4x—у при условии х2—у2=15
являются точки Afj (4, 1) и М2(—4, —1).
Теперь надо рассмотреть d2z* (у) в точках х=4, у=1 и х=— 4,
у—— 1. Так как z* (у) =4х(у) — у, то d2z* (y)=4d2x, а из условия
связи х2—у2=15 получаем, что xdx—ydy=0 и xd2x+dx2—dy2=O.
Следовательно, в точке х=4, у—1 имеем
| 4dx—dy = 0,
} 4d2x + dx2 — dy2 = 0,
15
откуда d2z* (у) = 4d2x =-dy2 и точка Afj (4, 1) является точкой
16
локального условного минимума функции z=4x—у при условии
х2—г/2=15, причем z(Af!) = 15.
Точно так же получим, что в точке х= —4, у — —1 d2z = —
15
-----dy2, т. е. точка М2(—4, —1) является точкой локального ус-
16
ловкого максимума функции z=4x—у при условии х2—г/2=15, при-
чем z(Af2)=—15.
Замечание. В данном примере значение функции z в точке
локального условного минимума больше, чем в точке локального
344
условного максимума; это объясняется тем, что множество, на ко-
тором рассматриваются значения функции z, не является связным.
На практике нахождение точек условного экстремума функции
f=f(Xi....хт) с условиями связи Fi(xb xm)=0,
методом дифференцирования сложных и неявных функций часто
оказывается весьма громоздким. Более простые вычисления полу-
чаются, если применить следующий метод.
Метод множителей Лагранжа. Пусть область G принадлежит
Rm, функции f:G-+R и Ft’.G^R, 1 принадлежат классу
C2(G) и ранг матрицы
(dFr dFt X
дхщ I,
dFk dFk I
dXi ' " ’ dxm /
во всех точках xoi=G равен k.
Составим функцию Лагранжа
к
L (х, X) = L (хх, х2 ... хп, ... , 2Q = f (х) + £ ^Fi (х).
Точка Хо— (-*Т°, .... хт°) может быть точкой условного экстремума
функции f при условиях Fi(x)=0, только тогда, когда
существуют числа Xi°, 7-2°, • •, W1 такие, что точка Мо = (х?, х°, ... ,
Хт, X?, Л®, ... , ^k) является критической точкой функции
Лагранжа L(x, X). При этом числа Xi°, %2°, X*0 называются
множителями Лагранжа, соответствующими точке Хо- Дальнейшее
исследование поведения функции f в выделенных точках возмож-
ного локального условного экстремума проводится анализом вто-
рого дифференциала функции L(x, Л) с учетом условий связи.
Если выражение d2L(x, X) в точке Мо есть знакоопределенная
квадратичная форма, то и с учетом условий связи выражение для
d2L(x, X) останется таковым, т. е. экстремальной точке функции
L(x, X) соответствует точка условного экстремума функции f при
условиях Л(х)=0, Обратим внимание, что если вы-
ражение d2L(x, X) есть знакопеременная квадратичная форма, то
с учетом условий связи выражение d2L уже может быть знако-
определенной квадратичной формой; т. е. не всегда точка локаль-
ного экстремума функции f при условиях Л(х)=0, со-
ответствует экстремальной точке функции Лагранжа L(x, X).
Пример 7. Найдем экстремальные значения функции z—
=х2—у2 на прямой 2х—у—3=0.
Решение. Запишем функцию Лагранжа
L(x, у, Х)=х2—у2+Х(2х—у—3).
345
Координаты критических точек функции £(х, у, Л) находятся из
системы
2х + 2Х = 0,
— 2у—X = 0,
2х — у — 3 = 0,
отсюда получаем х=2, у=1, Х=-2. В точке (2, 1, -2) выражение
d2L(x, у, А), равное 2dx2—2dy2+2dxd).—dyd'/., есть знакопеременная
квадратичная форма, следовательно, точка (2, 1, —2) не экстре-
мальная точка функции L(x, у, X), но эта точка может быть экс-
тремальной точкой функции z=x2—у2 при условии связи. В самом
деле, из условия связи имеем 2dx=dy. Учитывая это соотношение,,
для d2L получаем выражение 2dx2—8dx2=—6dx2, которое есть от-
рицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно,
точка (2, 1) является точкой локального максимума функции z=
—х2—у2 при условии связи 2х—у—3 = 0.
Пример 8. Исследуем, имеет ли функция
и(х, у, z)=xy+xz+yz
условный экстремум в точке Af0(l, 1, 1), если
2x3z/2z+4x2+5у2+6z2-17=0.
Решение. Напишем функцию Лагранжа
L(x, у, z, X) =xy+xz+yz+X(2x3y2z+4x2+5y2+6z2—17).
Координаты х, у, z, X критической точки функции L (х, у, z, X)
должны удовлетворять системе
у + z + 6Хх2у2г + 8Хх = 0,
х + z + 4Xx3yz + 1 ОХг/ = 0,
х + у + 2Хх3//2 + 12Kz = 0,
2xsy2z + 4х2 + Бу2 + 6z2 —17 = 0.
Проверка показывает, что х=1, у=1, z=l, £=—1/7 есть решение
этой системы. Следовательно, в точке Мо— (1, 1, 1) возможен ус-
ловный экстремум функции и(х, у, z) с условием 2x3y2z+4x2+
+5y2+6z2—17=0, причем соответствующий множитель Лагранжа
К равен —1/7. Находим второй дифференциал функции Лагранжа
d2L(x, у, z, X) =2dxdy + 2dxdz -\-2dydz+d'kd (2x3y2z + 4х2 + 5у2 4-
+ 6z2 —17).
В силу условий связи
d (2x3y2z + 4х2 + by2 + 6z2— 17) = §x2y2zdx + 4yx3zdy 4- 2x3y2dz +
+ 8xdx + 1 Qydy + 12zdz = 0,
346
поэтому при х = 1, у = 1, z = 1 имеем
6dx + 4dy 4 2dz 4-8dz + lOdy + 12dz —О, откуда dz = — dx— dy,
и, следовательно, в точке (1, 1, 1, —1/7)
d2L = 2dxdy—2dx2 — 2dxdy 4- 2dy2 —2dxdy = —2 (dx2 4 dxdy+dy2}.
Так как d2L(x, у, z, %) в точке (1; 1; 1; —1/7) является отрица-
тельно определенной квадратичной формой, то функция
L(x, у, z, 2.) имеет в точке (1; 1; 1; —1/7) локальный максимум
и, следовательно, точка Af0(l, 1, 1) есть точка условного максиму-
ма функции u=xy+yz+zx при условии 2x3y24-4x24-5y2+6z2—17=0.
Иногда можно выяснить характер точек, полученных методом
Лагранжа, не прибегая к анализу второго дифференциала функ-
ции Лагранжа в этой точке.
Пример 9. Найдем точки условного экстремума функции
z — 2х3+3а2х+2у3+3а2у,
если х2 4 у2 = а2 (а > 0).
Решение. Запишем функцию Лагранжа
L(x, у, X) =2х3 43а2х + 2у3 4~3а2у 4 X(х2 4 у2—а2).
Координаты х, у, X критической точки функции L(x, у, 2.) долж-
ны удовлетворять системе
6х2 4 За2 4 22.x = 0,
бу2 4 За2+ 2X^ = 0,
. х2 4 у2 —а2 = 0.
Отсюда получаем две критические точки (а/~]/2 , а!~\/2 , —3}//2а) и
(— а)У2, — alV2 , 3/V2a).
Множество KciR2, К—{(х, у) :х24-у2=а2} есть компактное связ-
ное множество. Следовательно, непрерывная функция z на этом
множестве должна принимать максимальное и минимальное зна-
чения. Из предыдущего рассмотрения видно, что_ эти значения
функция z принимает в одной из точек (a/V2 , а/У2 ) и (— а/У~2 ,
— 0/1/2), так как в других точках множества К функция
z заведомо не имеет экстремума. Так как з(а/фл2 , аД/2 )=4ау 2 ,
z(—а/У~2 , —а/']/2 ) = — 4а у' 2 и К — связно, то точка
Mt = (а/У2 , а/У2 )— точка условного максимума, а точка
/И2 = (—а/]/ 2, —а)У2 ) — точка условного минимума функции
z=2x3+3a2x+2y3+3a2y при условии х2+у2=а2.
Пример 10. На сфере S={(x, у, z) :x2+y2+z2—a2} расположе-
ны три материальные точки Pi=(xb 21), Р2=(х2, у2, ^2), Рз=
= (хз, уз, 23) с массами т2, т3. При таком положении точки
347
Р=(х, у, z) на сфере x24-y2+z2=a2 сумма у ||Р—Р^-т^ —
i=l
момент инерции данной системы точек относительно точки Р —
будет минимальной?
Решение. Необходимо найти условный минимум функции
з
и(х, у, z)=y тг[(х —rt)24-(y—У,)2 + (z—г,)2],
i=i
если x2+y2+z2=a2.
Запишем функцию Лагранжа
з
L (х, у, z, X) = у rtit [(х— х(-)2 4- (у — г/г)2 4- (z — г,-)2] 4-
i=i
+ X (х2 4- у2 4- z2 —а2).
Координаты х, у, z, Z критической точки функции А(х, у, z, Z)
должны удовлетворять системе
2т1 (х—хг) 4- 2m 2 (х—х2) 2т3 (х—х3) + 2Zx = О,
2тх(у—уг) 4-2т2(у—у2) 4-2т3(у—у3) 4-2Zy = O,
2т1 (z—zx) 4-2т2 (z — z2)4-2m3 (z—z3) 4-2Zz = 0,
x2 4- y2 + z2 = a2.
Эта система имеет два решения:
~ "11X1 + m2x2 + п3х3 ~ тгуг 4- тгу2 + т3у3 ~
-'-1,2 =------------;---, У1,2 =---------;-----:--, z1>2 —
i"i 4" г"2 4“ "1з 4~ 'vi,2 i"i = "1г -r "is 4” М,2
__ "iiZi 4- m2z2 4- "г3г3
т1 + т2 + т3 + ^1,2
где
Г з з
Xi,o = ±l/ а2У т24-2 у тгт7 (xzxy 4-УгУ/+ Z/Z,) —
f' i=l 1'=#/
— (т± -bm2 4-m3).
Следовательно, точкой Р может быть одна из двух точек: Ро=
= (хь ух, Zx) и (х2, Уг, -?2), а именно та, для которой значение
функции и(Р) меньше, в зависимости от конкретных чисел х<, у,,
Zi, mi, 1<г<3. В общем виде это сравнение здесь не проводим из-
за громоздкости выкладок.
Выделение точек условного экстремума входит составной
частью в решение задачи нахождения наибольшего и наименьше-
го значений функции f:E-+R, E^Rm, на множестве ExCzE. Дейст-
вительно, если эти значения функция f принимает во внутренней
348
точке Хо множества Ег, то точка хо есть точка обычного локально-
го экстремума функции f; если наибольшее или наименьшее значе-
ние функция f принимает в граничной точке Xi множества то-
точка Xi есть точка условного локального экстремума функции f
при условии, что рассматриваются только граничные точки мно-
жества Ei.
Пример 11. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции
и = х2 — 2ах + у2 — 2ау + z2 — 2az (а > 0)
в полушаре
D=-{(x, у, z) : х2 + у2 + z2^ 4а2, z>0}.
Решение. Так как непрерывная функция и рассматривается на'
компакте, то существуют точки Л40 = (х0, уй, z0) и Л40 = (х0, у0, 20)
такие, что
и (Л40) = шах и (Л4), и (Л40) = mina(Af).
мео мео
Если эти точки лежат внутри полушара, то их координаты долж-
ны удовлетворять системе
2х—2а = 0,
2у—2а = 0,
2z — 2а = 0.
Отсюда видно, что внутри полушара есть только одна возможная
экстремальная точка Afi= (а, а, а).
Возможную экстремальную точку на полусфере
S:{(x, у, г): х2 4- у2 4-z2 = 4а2, z > 0}.
Ищем как точку условного экстремума функции
и = л2 — 2ах + у2—2ау 4-z2 —2az
при условии
х2 4-у2 + z2 = 4а2, z > 0.
Запишем функцию Лагранжа
L(v, у, z, Х)=х2—2ах + у2—2ay+z2—2az 4- К (х24-y2+z2 — 4а2).
Координаты критической точки функции1 £(х, у, z, К) должны
удовлетворять системе
2х—2а 4-2А.Х =0,
2у—2а +2Xz = 0,
2z — 2а 4- 2Xz = 0,
х2 -г у2 4-z2—4а2 = 0.
349
Отсюда получаем, что возможной экстремальной точ_кой на полу-
сфере S является точка Л42 = (2а/У3 , 2а/УЗ , 2а/У"3).
Далее ищем возможную экстремальную точку Л43= (х, у, 0) на
«руге x2+z/2<4a2, z=0. Так как в точках этого круга
а(х, у, z)=u(x, у, 0)=х2—2ах + у2—2ау,
то координаты экстремальной точки, лежащей внутри этого круга,
должны удовлетворять системе
2х—2а = 0,
2у—2а — 0,
. г = 0.
Отсюда получаем Л13=(а, а, 0).
Наконец, осталось найти возможную экстремальную точку ЛГ4=
= (х, У, 0) на окружности х2+г/2=4а2, 2=0.
Запишем функцию Лагранжа
L(x, у, Х)=х2—2ах¥у2—2ау + Z (х2 + у2 — 4а2).
"Координаты критической точки этой функции должны удовлетво-
рять системе
2х—2а + 2Хх = 0,
2у—2а-'г2ку = 0,
х2 + г/2 = 4а2.
Отсюда получаем две возможные экстремальные точки на окруж-
ности:
x2 + z/2 = 4a2, 2 = 0: М4 = (1/2 а, 1/2 а, 0) и М5 = (—У2 а,
-1/2, 0).
Итак, наибольшее и наименьшее значения в полушаре D функ-
ция и может достигать только в одной из пяти точек:
Л1х = (а, а, а), М2 = М3=(а, а, 0), М4 =
1 2 \ Уз Уз у з Г 3 \ , I, 4
= (1/2~a, V2 а, 0), М-о = ( —У 2 а, —уГ, 0).
Так как
и(М1)= — За2, и(М2} = — 4(УЗ' — 1)а2, а(М3) = —2а2, и(М4) =
= — 4(уГ— 1) а2, а(М6)=4а2(уГ + 1),
то
max и (М) — и (М5) = 4а2 (У 2 +1),
MED
min а (Л4) =а (MJ = —За2.
med
350
Задачи
Найти частные производные указанного порядка от следующих
функций:
1. m=cos (x+z/);
ах + by
ди ди д2и д2и
дх ’ ду ' дх2 ’ дхду
д2и д2и д2и
дх2 ’ дхду ' ду2
3.
4.
5.
zz—sin—;
У
д3и д3и
дх3 ’ дхду2
«==1п(1 + 2х + 3у); _
дх2ду2
и = ех^у^г2^ д2и ^Зц
дх2ду ’ дхдудг
6. и=ху+ух;
д2и д2и д2и
дх2 ’ дхду ’ ду2
Найти якобиан отображений h’.Rm-+Rm, если:
7. h: x = r cos ф, z/ = rsin<p; h: (г, Ф)->(х, у).
8. И.: и = ——, V — w=z; h: (х, у, z)-+-(u, v, w).
у2 X
9. h: и =---------, v = xy, w ——; h: (x, у, z) -> (u, v, w).
x2 + y2 x
10. h:x = &\t, у = %г\-~ z = ti —gn; h: (g, т]Л) -> U, */> 4
11. h: x = r cos фcos г/ = г5тфсо5ф, y=rsinty-, h:(r, ф, Ф)->
->(x, y, z).
12. h:u=xy, v= — \ h:(u, u)->(x, y).
X
13. h: u — x2 + z2, v = y2 + z2, w = x2 + y2; h: («, v, w) ->(x, y, z).
14. h: u = x + у +z, uv = y + z, uvw = z; h: («, v, w) -^(x, y, z).
15. h: x = г cos Ф, i/ = rsin<p, z = «2; h:(x, y, z)->-(r, ф, и).
Написать матрицу производной отображения ф в каноническом
базисе, если:
16. ф:(«, v)->(x, у, z); x. = uv, y — u2-}-v2, z—u2—v2.
17. ф:(ы, u)->(x, у); x = «cosv, z/ = usinn.
18. ф:(п, v, w) -> (x, y); x = u2 + v2 -j-w2, у =u + v + w.
19. Ф : (u, v)->x; x——.
V
20. ф:м->(х, у); x = utgu, y = usinu.
21. ф : (u, v, w)-^-(x, y, z); x = uln—, y = vln —, z = wln—-
W U v
Написать матрицу производной отображения <f=h°g в канониче-
ском базисе, если:
351'
22. g:x = «2—w2, y = u2—г?2; h:^ = xy, т] = —, £ = arctg—.
У У
23. g: х = и2 + и2 -Ьк.’2; /i:£ = x2, т] = х4.
24. g:x = ucosv, y = usinv, z=w, h:'i -=x2—yz, r\=z2—xy.
25. g:x = sin«, y = cosu, z--eu- h : £ = arctgxyz.
26. g-.x — иУ-, /i:g = sinx, t] = cosx, g = tgx.
27. g:x = uv, y = u2—v2; h : |=arctg—, т] = 1п (x2 + y2), £=x—y.
У
’Написать матрицу производной отображения <f=h°g в канониче-
ском базисе в точке Л4о, если:
28. g'.u — arctg (у2—2х) = аге'
х
h-.^ — u2-rv2, т] = u2 — . Мо : х0 = 1, у0=~]/3.
29. g:u=xyz, v = х2 + у2-I-z3;
h:^ = uv, т]= —, £ = М0:х0 = 1, z/o = O, г0 = 1.
30. g : и — х2 + у2 + г2;
h : g = arcsin —; Л40: х0 = 1, у0 = 2, z9 = 3.
и
31. g: и=‘1пх, v = x2, w = x + Inx;
h: g = —, т] = w + и; Af0: x0 = 1.
V
32. Написать матрицы отображений и в канониче-
ском базисе, где
<р:ХхУ->(«, v), X = (xlt х2), Y~(ylt у2, ys),
•если:
а) и = х2+х2 + у2 +у%— yl,
УуУъУз)
б) M = £/1sinx1 4- z/2 sin Л'2 4- у3 cos (хг—х2),
V = У2 COS (хгх2) 4- Уг Sin (х2 —х2) 4- У3 cos (х2 4- х2);
в) и = yr arctg — 4- (у2—у3) In (х2 + х2),
х2
и==У2 ------— ) +i^3 in—.
\ хг х2 / х2
33. Проверить, что в точке М(1, 1, 1, I, 1) соотношения
х24-х2 4-у2 4-z/24-^—5 = °,
Xj— х24-^—у\ + у1 — t =0,
х2 4-2x3 4-^—4 = 0.
.352
не удовлетворяют условиям теоремы существования отображения
<р: (z/з, Z/2)_>(^i, х2, z/i), но удовлетворяют условиям существования
отображения <р:(хь x2)-+(yi, Уч, Уз)-
34. Проверить, что данные соотношения однозначно определя-
ют отображение tp:X—>~Y в окрестности точки Л40, если:
а) хгуг Yx2y2 — у3у2 — 1 =0,
(%2 —Хх) (у2 + У1) — УлУчУ3 —1=0,
(%2 + х|) (z/2 — Z/2) + у^у2 = 0,
X . (хг, х2), Y . (z/p у2, у3),
Ж4 х°, у°, z/О, у°),
х° = 1, х° = 2, z/° = l, z/° = 0, z/° = l;
б) sin (лх^) + sin (лх2у2) -j- sin (лх3у3) = 0,
cos -у- (хх—у2) + cos -у- (х2—уг) + cos -у (х3—z/J - 2 = 0,
X. (х1; х2, х3), Y . (z/j, у2),
Мо(х0, х°, х°, у", у°),
х°=0, х° = 1, х0 = 0, z/° = l, z/°=0;
в) — arctg -------х1х2у1у2 = 0,
л х2у2
x^y\-x\yl-------!------—=о,
Х1У1 х2у2
X . (xlt х2), Y. (z/15 z/2),
Ч(х°, х°, z/°, z/0),
x0 = 1( x° = 3, z/° = 1/2, Z/° = 1/16.
Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих
функций (х, у и z — независимые переменные):
35. и=х2г/2.
36. и = ху + yz + zx.
37. и = cos (еху).
38. и = х^ -\-ух-
39. и = In xyz, х > 0, у > 0, z > 0.
40. и = arctg
z
41. Найти значение первого дифференциала функции и в точ-
ке Мо на векторе смещения h, если:
a) u = arcsinxz/, Л40(1/2, 1), h = (0, 5; 0, 1);
б) и=хау—ху3, Мо (1, 2), /г = (—0, 5; 0, 8);
в) zz = x2i/, Л10(4, 1), /г = (0, 1; 0, 2);
г) u = yr4xrTF, М9(1, 2), /г = (—0, 2; 0, 3);
13 И. А. Виноградова
353
д) и = х Д/1 + у3 , Л40 (2, 2), h = (0; 0,5);
е) и— cos(x— у2), Мо j, Л = (0, Г, 0).
Найти дифференциалы первух двух порядков сложной функ-
ции и, если ф — дважды дифференцируемая функция:
42. и = ф(/), t = x2—у2.
43. t = xyz.
44. и = ф(/), t—xy+yz + zx.
45. ы = ф(/), = х2 + у2 + z2.
46. и = ф(£, т]), g = x24-y2, т] = х2 — у2.
47. и = ф(|, т])> 1=ху, т] = —.
У
48. и = ф(|, т]), 1 = х2 + у2, х\ = ху.
49. и=<р(|, П), | = —, П =—.
У X
50. u = <f (х + у, х2 + у2).
51. и = ф (ху, уг).
en / X2 У \
52. м = ф —, — .
\ У х2 )
53. u = <p(g, т],£), £ = ХУ, 'Ч = х—у, Z = x + y.
54. и = ф (|, т], £), Ъ = х2, т] = №, С = 22.
55. ц = ф(2х, Зу, 4г).
56. u==q>(x + yx-z, x2 + y2 + z2).
57. u = (f(x + z2, y+x2, z + y2).
58. и=ф(51пх2, sin yz, sin xy).
59. и=ф(хег, yez, zex~y).
60. и = ч(х2 + y2, y2-\-z2, x2 + z2).
Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функцию
у(х) в окрестности точки М(х0, у0):
61. х2 + ух -у у2 = 3, х0 = у о — 1.
62. ху + 1пху=1, х0 = 2, у0 = 1/2.
63. ех+у+у—х = 0, х0= у0 = —1/2.
Проверить, что данное уравнение однозначно определяет функ-
цию z(x, у) в окрестности точки М(х0, yQ, z0):
64. х + у + z = sinxyz, х0= у?r=za = 0.
65. x2z3 + y3z2 +z2x3 = 8, x0 = 1, y0=—1, z0=2.
66. Xy + yz T zx — 3, xo = y0 = 20 = 1.
Предполагая, что точка (x0, Уо, Zo) такова, что в ее некоторой
окрестности однозначно определена дважды непрерывно диффе-
354
ренцируемая функция z(x, у), найти значения указанных произ-
водных в этой точке:
67. , — z- , если х2 + у2 + z2 = R2.
дх ду дхду
со dz dz д2г . г , , ,
68. ----, ----, ---, если arctg —=2 4-х + у.\
ду дх дх2 х
69. - д г , —, если х 4- y + z = Inxyz, х>0, z/>0, z>0.
дх ду2 дхду
-гл дг дл, д2г д2г , / , 9,9,9
70. —---------, ---, ----, если in (ху 4- уг) — х2 + у2'+г2—2.
дх ду дх2 дхду
-71 д2 дг д2г
71. -—, — --------, если х + у + z = cosxyz.
дх ду ’ дхду ’
-то дг дг д2г ,, , , о
72. ----, -—------- если xv+yz = 3.
дх ду дхду
дг дг д2г 99 , п
73. — -—, -------, если х = и2—j2, y — uv, z = u + 2v,
дх ду дхду
... дг дг д^г < zz , . 9 , 9.
74. •—-,------, ---, если х = arctg—, y = m(u2 + v2),z=u—v.
дх ду дхду v
-е дг дг д2г д2г „ . „
75. ----• ----, ---, ----, если x = e“sinv, у = еи cosv, z = uv.
дх ду дх2 дхду
Найти частные производные первого порядка функции z=
=z(x, у), заданной неявно, предварительно найдя ее первый диф-
ференциал:
76. z4 4- zx3 4- zy3 — а\
77. xyz = x2 4- у2 4- г2.
78. - 2! 2 = In (х 4-# Ч-z).
х~ 4- У2
79. z cosx 4- у cosz 4-х cos у = 3.
80. г(1 +х2) = у(\ +24).
Найти и если:
dx dx
81. x2 = z2 + y2, az + by 4-cz=l.
82. x3 + y2 — 3z4-a = 0, z2—2y2—x4-6 = 0.
83. x3 + y3 + z3—3xyz — 0, x + y + z = a.
84. cos x 4- cos у 4- cosz = a, x3 4- y3 4-z3 ~b.
85. sin2z/—cosxsinz = 0, 2x — z/tgz = O.
86. Найти если
dx dx dx
u2 + x2 4- y2 4- z2 = a2,
In xy 4- — =b2,
x
In — 4-zx = c2.
X
13*
355
Найти первые и вторые производные функций z(x, у) и и(х, у),
если:
87. х + у 4-2 + и — а,
х3 + у3 + г3 4- и3 = Ь.
88. х + у 4-2 + и = а,
xyzu = b.
„„ гт „ ди ди 'dv dv
89. Наити ----, ---, --, -----, если
дх ду дх ду
x(u2-i-v2)—иу = 2, xv—у (и2 4-и2) = 1.
пп гт » ди ди dv dv , , , _
90. Наити ------ --, --, -—- в точке х~ —1, и = 1 (и = 2.
дх ду дх ду
v = —2), если
XUV + ухи + vxy + uvy = 0,
я2 + у2 + u2 -j- и2 — 10.
„, тт „ дг дг х 4- и , .
91. Наити-----и —, если г =-------, а и(х,у) находится из
дх ду у — и
уравнения их—и3 + у3 = 8.
Найти первые и вторые производные функций у(х) и z(x) в
точке х0, если:
92. х2 —y2 + z2 = l,
у2—2.г + г = 0, х0 = 1 (у0 = 1, z0 = l).
93. 1х2 + 2у — 3z2 = — 9,
4х4-2у2—2г3 4-4 = 0, х0 = 1 (у0 =—2, г0 = 2).
94. Найти если z=x24-y2, где у=у(х) есть решение урав-
нения \+х+у2=ех+У.
Найти первый и второй дифференциалы функции z=z(x, у),
заданной неявно:
95. х2 •+- zx 4- г2 4- у = 0.
96. х34-у3— 8xyz—г3 = 1.
97. 2 In (xyz) = х2 4- у2—z2 — 1, х>0, у>0, г>0.
98. л4 4- У4 + z4 = 4хуг.
99. x = ucosv, y = usinv, z = uv.
100. x = u + lnu, y — v— Inu, z = 2«4-t\
101. x = ueu+v, y = ueu~v, z = u2 + v2.
102. Найти первые и вторые дифференциалы функций и(х, у)
и v{x, у), если xu+yv=l, x+y+u+v=Q.
Найти второй дифференциал в точке Л40(х0, у0), z(Af0)=z(>
функции z(x, у), заданной неявно, если:
103. хг54-у3г—.г3 = 0, Л40 = (1,0), z0=l.
104. 5х2 4-5у2 + 5г2 — 2ху — 2уг—2xz—72 = 0, Л40 = (1,1), г0 = 4.
105. 2х2 4- 2у2 4- г2 4- 8xz—24-8=0, Л40 = (—2,0), 20= 1.
356
106. 2х2 4-2z/2 + z2 + 4xz —z — 8 = 0, Mo = (0,2), z0 = 1.
107. x = cos«sinv, у = cos u cos и, z = sinu,
A40 = (VM4, 1/2УГ), z0=l//F, иэ = л/4, v0 = n/3.
Найти вторые дифференциалы функций и(х, у) и ц(х, у) в точ-
ке М0(х0, уо), если:
108. хи + yv~Q, uv—ху = 5, /Ио = (— 1,—1), u0 = 2, v0 = 2.
109. xsinu + vsinz/=—, ucosx + z/cosv = — + x,
4 6
Мо = (0,л/6), u0 = n/6, v0 = n/2.
Найти указанные производные функции z(x, у), заданной не-
явно:
если F (xyz, х + у) — 0.
ду
если F (ху ,yz,zx) =0.
ду
если F(x2— у2, у2—z2, z2—х2) = 0.
ду
если F (у—zx, x—zy, z—xy) = Q.
ду
Проверить, что функция z(x, у), определяемая соотношением
F(u, v)=Q, является решением уравнения
114. Fi——, —-— + —Uo, (х2 + у2)—+ 2ху —+z2=0.
\ X + у 2 X — у 2 ) дх ду
115. F(z2—y2, х2 + (у — z)2) = 0, (z—y)2 — +xz—=xy.
дх ду
116. f(—~, 2х—4z — y2) — 0, ху-^- + (x — 2z) ~^~ — yz.
\ х дх • ду
117. Fix2 + у2, —1 = 0, ху^-—x2—=yz.
\ х / дх ду
118. F((x—y)(z-|-l), (х + у) (z —1))=0, (xz 4у) +
+ (x+zy) —= 1 —z2.
111. —,
дх
112. —,
дх
113. —
дх
Показать, что функция и удовлетворяет данному уравнению:
,, _ I х \ ~ ди , ди , ди п
119. и={— х----------------гУ------ + z-----= 0.
\ у / дх ду дг
120. и = 1п (х2 + у2),
121. и = е~х (х—у)2,
122. и = ех+^ (х+у),
д2и , д2и п -
дх2 ду2
д2и д2и ~ ди
----------------2 —— = и.
дх2 ду2 ду
д2и 2 д2и д2и ___________g
дх2 дхду ду2
357
123.
124.
и = х cos —, х2 + 2ху
х дх2
и cos(x —у)Ч- cos(x + у)
X
д2и . » д2и
--------h У2-----
дхду ду2
д2и
ду2
д2и. , 2 ди
~z~—I-------;—•
ОХ2 X ох
Предполагая, что произвольные функции <р и ф дифференцируе-
мы достаточное число раз, проверить следующее равенство:
1 дг , 1 dz г , ч ч\
125. — ----1------= —, если з = уф(х2—у2).
х дх У ду у2
, г, л дг дг •
12b. cosy----k cosx----= cosx cos у, если г = sin уч-
dx ду
Ч-ф (sinx—sin у).
.ля — i dz л ( у \
127. x2----p yz---=x, если z2 = xy 4~ ф — .
dx dy \ x J
128. (у2 4- г2—x2) ——-2xy + 2xz = 0, если x2 4-y2 + z2 =
dx dy
= УФ V
\ У /
129. xy ——y2-^ + x(l Ч~х2)=0, если ^xyz=—xi—2x2 + <p(x, y).
dx dy
tnn dz , dz , , l У \
130. x-----\-y-— xy+z, если z — xy 4- хф — .
dx dy \ x /
, n i d2z o d2z , d2z n / , \
131. 2------------1----= 0, если г = ф(хЧ~у).
дх2 дхду ду2
«on д2г д2г п дг г \
132. -----------—2-----Z, если г = е~х-®(х — у).
«Эх2 ду2 ду
133. ------=—2ф", если г = ф(у—х) — хф'(у—х).
дх2 ду2
134. ------а2—-~ = 0, если г = ф(х—п/)Ч-ф(х—at) .1
дх2 ду2
. 2 д2г , „ д2г « d2z п ( У \
135. х2----Ь2ху--------\-у2---=0, еслиг=хф — .
дх2 дхду ду2 \ х J
136. (х-у)-^------^ + -^ = 0, если z= Ф^-^+^ + 1/).,
дхду дх ду х
137. у2^-2у-^ = 0, если z^l/*—ф(ху)Ч-фр-).
дх2 ду2 ду Г У \ х /
дг
ду
«оо । 2 (1г о д2г 2 «Э2г дг
138. X2-----2ху-------Ь у2--- Ч- X-
дх2 дхду ду2 дх
если z = ф (ху) In у ч- ф (ху). j
-~~- + У ~^~ + х -^-+xyz = b, если z=e 2 (Ф (х) Ч-Ф (у)).
дхду дх ду
d2z д2г . о д2г , d2z , , ^/т , п/Г\ ।
—=—+2 Г- если 2=фС*+У* , у + УО +
dt2 дх2 дхду ду2
Ч-ф(х-УГ, у-уГ).
хг+»’
2
139.
140.
358
, д-г d2z „ _ ф(х—1/)+<р(х+у) .1 f , ... ,,
141. = 0, если z = ——7 ' 4---\
дх2ду2 2 2 J т v ’
*~У
<лп <^г 2( d2z , 2 дг \ ф(г — а/)+ ip(r + at)
142. = а2 -, если Z- —------ —1—
dt2 \ dr2 г dr j г
Приняв у за новое независимое переменное, а х за функцию от
у, преобразовать следующие уравнения:
143. у'у"' — 3(/)2 = 0.
144. у" + (еу—x)(z/')3 = 0.
145. \у'" + у у'] (у’)2-(у")2 [3z/' 4- х2] = 0.
146. у"—у'— (у')3х3 = 0.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие обыкновен-
ные уравнения:
147. у2 + (х2—ху) у' = 0, y = tx, y = y(t).
148. у' + 2ху = 2х3у3, и = — , и = и(х).
' У2
149. (ху + х2у3)~1 у'— 1, и — ——, и = и(х).
У2
150. ху"—у'+ ху = 0, t = ^~, У = У(Я-
4
151. х2у" -\-3xy' +у =0, x = ef, y-=y(t).
152. х3у"' + 2х2у" — ху' + у — 0, i = lnx, y — y(t).
153. ху"-\-2у'—ху~е\ у =—, и—и(х).
X
154. у" + — у'—а2у = 2, у = — , и = и(х).
X X
155. xiy” — с2у = 0, у = -,х=-у, u—=u(t).
156. у" = -, и ——у—, / = 1п-^^-, и = и(0.
(х— 1)2(Х — 2)2 х —2 х 4- 2
157. О" —1) (1 —х2)2 4-z/ = 0, x=th/, У=-^~, u = u(t).
СП t
158. хуу"—х(у')2 +у-у' = 0, и = 1п—, и = и(у).
159. 2у" + (х 4- у) (1—у')3 — 0, х—у = и, x + y=v, v — v(u).
Приняв v за новую функцию v(x, у), преобразовать следую-
щие уравнения:
«пл д t 9 ди \ , д2и п
160.--------[X2 —х2-----= 0, V=xu.
дх \ дх ) ду2
. д2и ди , ди „ , х
161. (х— у)—-г_ + т_ = 0> f = (*—*/)“•
дхоу ох ду
359
д2и 2 ди , 3 ди Зи п v
.--------------------------1-------------------------= 0, и =-------------.
дхду х — у дх х — у ду (х — у)2 х — у
дхду дх ду
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразо-
вать следующие уравнения:
, _. „ дг дг п у
164. х2---—ху------= 2, и — ху, v = — .
дх ду х
165. 2у+ ех— tyex, и = у2 + ех, v—ya—ех.
дх ду
< „„ дг , дг , п и >
166. у----\-х------[-ху = 0, и = —, v — yx3.
ду дх х
с, дг , дг , n п 4 + v2
167. 2у---р •—--t-2i/ = 0, y=v, х —----------.
дх ду 2
168. у-^ + 4-—==У*У . Х = а2, y — (u—v)2.
ду дх
169. (x+z) —+ (z/+z) —=0, и=Х, v =
дх ду х + г
Приняв и и v за новые независимые переменные, a w за но-
вую функцию от и и v, преобразовать к новым переменным сле-
дующие уравнения:
170. — + ~ + х+у = 0,
дх ду
u = y + x, v = y—х, w = xy—г.
, _ ( дг дг .
171. 1-------= 4х,
дх ду
U — X, V = X—У, W — X— y+z.
172. х(— + —')+z+ х + у=0,
\ дх ду ]
u = x + y, v=x—у, w = zx.
дг , дг п
173. у---рх----= 0,
ду дх
и= v = y, w — yz—X.
X
174. ——- sin2 х-р ctg х ——- = cos2 z,
dx dy
2y + tgz-ctgx, и = ctgx (tgz + ctgx), &y = tgz+ctgx.
175. yz——xz-^- = ez, u—x2 + y2, y = arctg—,w = (x2+y2)e~x.
dx ду у
176. (xz/ + z)-^- + (l—z/2)'-^-=x + z/z, U = yz—X, y = xz—y,
dx dy
w = xy—z.
360
Приняв £, т] и т за новые независимые переменные, a w за но-
вую функцию от ц и т, преобразовать к новым переменным сле-
дующие уравнения:
177. (у+ г)~ + (г + х) -^-+(х + у)-^- = и,
дх ду дг
х—У = —, У—z = —, x + z/4-z = t, w = u2.
и и
, „ ди .[ ди , ди
178. 2cosz--= usmz--------1-----1 ,
дг \ дх ду j
ucosz=H, zzsinz = n, х +у + и = х, w = u2.
179. Преобразовать уравнение
, , \ дг , , ч дг п
(У + г) — 4- (*/—г) — = О,
дх ду
приняв у за функцию, а х и z за независимые переменные.
180. Преобразовать уравнение
дх ду
приняв х за функцию, а у и z за независимые переменные.
181. Преобразовать уравнение
\ дх / \ ду /
приняв у за функцию, a u=x+z, v=y—z за независимые пере-
менные.
182. Преобразовать уравнение
/ дг дг , \ дг
z у-----4- х----rz\-^y----,
\ ду дх / дх
приняв х за функцию, a u = yz+x, v=xz+y за независимые пере-
менные.
Приняв и и и за новые независимые переменные, преобразо-
вать следующие уравнения:
183. —— = 0, и=х—у, v = x-t- у.
дх2 ду2
184. — + у~ +— — = 0 (г/>0), u = x, v = 2 У'у.
дх2 ду2 2 ду w ’ г »
< о г /1 , д2г ,, , д2г , дг , дг п
185. (1+х2)-—+(1+^) —+х—4-У—=0,
дх2 ду2 дх ду
и = In (х +1/1 + х2), v = In (у + )/1 + у2).
186. 2 -^-2 -^ + 5 =
дх2 дх ду ду2 дх
и = ^-{х — у), v = ~(2x + y).
о о
361
187. -^1 + 2 —-----------3 —+2 — 4-6—
дх2 дх ду ду2 дх ду
О, и — х + у,
и = 3х—у.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
d2z . д2г к d2z dz
дх2 дхду ду2 дх
д2г . д2г п и + v
----4---=0, у ——:, х
ду2 2 4
^д^__2у^ = 0
' ду2 ду
2х-^- + —= 0,
дх ду ду2
2ху~----Зу2
дх ду ду2
дх2
2 d2Z
X2-----
дх2
2 d2z
х2-----•
дх2
2 д2г
X2-----
дх2
д2г
= 0, и=2х—у, V=X.
ду
и — V
у
и =ху, V — —
X
и=хеу, v = y.
О, и = —, v = ух3.
X
9 d2z , n d2z , о d2z л У
х2-----\-2xy--------Ну2-—- = 0, и = —, v = y.
дх2 дх ду ду2 х
д2г п . d2z , /о 9 , д2г п
-----2sinx Н (2—cos2x)--------= 0, и=х,
дх2--дхду--------7 ду2
v = y—COSX.
d2z
195. tg2x-^|- — 2z/tgx-^ + y2-^- + tg3x-J- = 0, u = ysinx,
dx2 dx dy dy2 dx
196.
197.
198.
199.
v = y.
d2z n , r— d2z , ’ d2z 1 dz
x--------2 у xy---------1- у-----h —- —
дх? дхду dy2 2 dy
„ d2z , o d2z , d2z n
y2-—- + 2y---------h'----= 0, y = v, x--
дх2 дхду dy2
d2z d2z „ . n и + v
-------У-----= 0, у > 0, х = у
дх2 ду2 а 2
и+и2
2
__(v — и}2
“ 16
+ m2z = 0, 2х = и2—v2, y = uv.
дх2 ду2
Приняв и, v и w за новые независимые переменные, преобра-
зовать следующие уравнения:
200. 2 —+ 2 — + ——2
дх2 ду2 dt2
и = Х + у + t, V ——у — t, W=—t.
201. + 2-^-+-- ,
dx2 dy2 dx dt dy dt dx dy dt
д2г
____2
дх ду ду dt
dz dz _______q
dy
дх
дг дг
О,
x = 2u—v—w, y—2v—и—w, t = и + v + w.
Приняв и и v за новые независимые переменные, a w за но-
вую функцию от и и v, преобразовать к новым переменным сле-
дующие уравнения:
202.----h2-----4---= 0, и=х, v=x—у, w = x—y + z.
дх2 дх ду ду2
203. №• — + У2— — 2ху —— = 0, и=-ху, v = y, w = z—y.
дх2 ду2 дхду
362
204.
205.
206.
207.
д2г , д2г п .
, -----------= 0, м = у + х, и = ц—X, w=xy — Z.
ду2 АхдУ дх2
д2г о д2г д2г дг дг .
х-----к 2х-------х-----1-----1---=4, и~Х;-и,
дх2 дхду ду2 дх ду
V = X — у, W=ZX.
(1—х2) —+ (1-у2) -
v дх2 ,
z —ew.
дг , 1 д2г 1
' —X-----=----, I
2 дх2 у
д2г ! д2г дг
[дх2 ду2 дх
д2г
дх2
д2г дг , дг
----= х к у---------, X—COSU, y=COSt),
ду2-дх ду
у
и = —, v = y, w = yz—X.
о, +
дх
208. (1—х) -
L
v = -|--|/ 1—х, w = V 2 z ( У1—х).
опа д2г п д2г д2г „ . у г
209. 2 ------------1----=0, и=х + у, v = —, w ——.
дх2 дхду ду2 х х
nin с, д2г . о д2г д2г . дг . дг , п п
210. 2-----1-2-------!-----1-4-----1-4-----|-z = 0, и = 2у—х,
дх2 дхду ду2 дх ду
v=x, z = we~x-y.
,, ,, д2г д2г п дг 1 п у + а у — а
211. (1—X2)-------------2х----------Z = 0, « = 2-1—, v=------,
v ' дх2 ду2 дх 4 2 2
ш
z = .___x = cosa.
у sin a
Преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая х=
=rcos<p, z/=r sin <р, следующие выражения:
о«г> Sz , дг
212. X------к У --.
дх ду
п дг дг
213. у------х-----.
дх ду
... . / дг 2 , дг 2
214.
215.
216.
217.
. д2г , д2г
Az =-----|----.
дх2 ду2
„ д2г о д2г 2 д2г
дх2 дх ду ду2
„ д2г п д2г „ д2г / дг , дг \
у2------2ху-------к X- -----X-------к У--- .
дх2 дхду ду2 \ дх дх /
Найти производную функции / = х3—х2у + у3—1 в точке
по направлению, образующему угол л/6 с осью ОХ.
Найти производную функции f=x—x2y+yi в точке Л(1, 1)
218.
Л (2, 1)
219.
по направлению вектора АВ, где В (4, —2).
220. Найти производную функции z=f(x, у) в точке А(х0, у0):
а) по направлению касательной к кривой <р(х, у) = С в точке
Ui, У1);
363
б) по направлению нормали к кривой <р(х, у)=С в точке
(*ь Уд-
221. Найти производную функции f=x2—xy+y2+2z в точке
М(1, 2, 3) по направлению вектора d(l, 1, 1).
222. Найти производную функции f=x2—ху+у2+2 в точке
Л4(Г, 2, 3) по направлению вектора d(l, 1, 1).
223. Найти производную функции z=ln (x2+z/2) в точке
М(а/8, a3]/3/8) к кривой х2/2+у2/3=а2^2 по направлению внутрен-
ней нормали этой кривой.
224. Дана функция z=z(x, у) из класса С1 (D) и гладкая кри-
вая C:x=x(t), y=y(t), t^[To, T'i], лежащая в области D. Обозна-
чим через n(t) непрерывно меняющийся вектор нормали к С на
dz
дп
[То, 7'1]. Найти
225. Найти производную функции и = ху + — в точке
Л1(2, 1, 2) по направлению градиента функции ~V—xyz в этой
точке.
Написать уравнения касательных прямых и нормальных плос-
костей к следующим кривым в заданной точке Л40(х0, уо, z0):
226. 4х = /4, 3y = t3, 2z = t2, Мо=(—, —, —
\ 4 ’ 3 ’ 2
227. x=t—sin/, у — 1—cos/, z=4sin-^-, Л40=(л/2—1, 1, 2/2).
229. у = ех, z = x2, Л4о = (О, 1, 0).
231. x2 + y2+z2=r2, 2х2+у2 — z2 = 0, Л10=(—, —
у ° \ 2 2И2 2/2 /
232. 2х2 + Зг/2+г2—47 = 0, x2 + 2z/2—z = 0, Л40 = (—2, 1, 6).
233. у2 + z2 = 25, х2 + у2 = 10, Л40 = (1, 3, 4).
234. x = ucosv, z/ = tzsinc’, z = av, х2 + у2 = 4ах,
М0=(а, —а/3,
235. х = ы2+п2, y=2uv, z — u2v, —v2u, z2=2x— у—2,
M0 = (5, 4, —2) (w0 = l, «о = 2).
Написать уравнения касательных плоскостей и нормалей к сле-
дующим поверхностям в заданной точке Л40(х0, Уо, zo}'-
236. z = xy, Л40 = (5, 1, 5).
237. xV—xz/2 = z-b —, Л40 = (2; 1/2; —3/8).
8
364
238. xs + t/13 + 5г = 7, Д40 = (1, 1, 1).
239. x3 + z3 — 3xz = 3, Л40 = (1, 4, 2).
240. ху + xz + yz = х3 + у3 -4- г3, Л40 = (1, 1, 1).
241. х34-г/34-г3 =—xyz, Л40 = (1, —1, —1).
242. x = u + v, y = u2-j-v2, z~u3-j-va,
Д40 = (х(ы0, п0), у(и0, t>0), z(u0, v0)), «0=1, ц„ = 2.
243. x = sin и |/ 1 —m2 sin2 v, у = cos и cos v,
z = smt)-prl—m2sin2n, |m|^l,
М0 = (х(м0, «о). voh z(u0, v0)), ы0 = 4> ио = л/4.
4
244. x=«cosv, «/ = «sinu, z=v,
M0 = (x(u0, ус), y(u0, v0), z(u0, v0)), ы0 = 1, и0 = л/4.
245. x=e“ 4-Msinu, y = eu—ucosv, z = uv,
M^x^, v0), y(u0, u0), z(«0, t>0)), u0 = l, п0 = л.
Исследовать на экстремумы следующие функции:
246. f =—х2—ху—у2 + х-\-у.
247. / = (2«х—-х2) (2Ьу—у2).
248. /=х2 + хг/ + г/2 + —+ ~.
х у
249. f = xs + y3—Заху.
250. f = xi + yi—Збху.
251. f=xi + yi—2х2 + 4ху— 2у2.
252. f = x2—2xy2 + yi—y5.
253. f = e2x (х + у2 + 2у).
254. f = x2 + 3xy—81п|х|—61п|г/|.
255. / = 3х2у 4- у3 — 18х —30г/.
256. f — х2— 2ху + 4у2 + 6г2 4- буг—6г.
257. / = ху + уг + гх.
258. f = yxaz2(2—у — 2г—Зх).
259. f = х + у + 8 cos — cos 0 ^4x^4 2л, 0^ У 2л.
260. / = 1пху—г(х—у)—х2—у2 4- 2ху—у.
261. / = (х24-у2)е-(х2+^.
262. / = г 1пг—г—г Inxy 4-хг/ + х2 4- 2у2 — 4х—2у.
263. f = 4 — (х24-У2),/3.
у2 _ ft2
264. / =-------у-----
1 + х1 + yi — 2x2t/2
Исследовать на экстремумы в заданной точке следующие функ-
ции:
265. f = х3 4- у3 4- г2 4- 3>ху—2г—9х—9г/,
а) Мг = (2, -1, 1); б) Л42 = ( — 1, 2, 1).
365
266. f =x5 ¥3x3y + 3у3х + у3, Mo= (—12/5, —12/5).
267. f = x cos у + z cosx, а) Л41 = (л/2, 0, 1); б) Л42 = (л/2, л, —1).
Найти те точки кривой, в которых ордината или абсцисса име-
ют локальный экстремум:
268. (х2 + у2)2 = 2а2 (х2—у2), х2 + у2 =# 0, а > 0.
269. Xs 4- у3 = За ху, ху^=0, а > 0.
270. х4 + yi = 8ху2, ху =# 0.
271. xs + y4 + 4x2y—2у3 = 0 (исследовать только ординату).
272. (х24-у2—4х)2 = 16 (х2 4- у2), х2 + у2=£0.
273. г = a)/sin2(p, а > 0.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции у
от переменной х:
274. у2—ау — sinx = 0, 0^х^2л.
275. (у—х)3 4-х 4-6 = 0.
276. (у —х2)2 = х5, х2 4- у2 =# 0.
277. х2 4-ху+у2 = 27.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции z от
переменных х и у.
278. 2х2 4- 2у2 4- г2 4- 8yz—2 4- 8 = 0.
279. 5z2 4-4zy 4-у2—2у4-3х2—6x4-4 = 0.
280. 5х2 4- 5у2 4- 5г2—2ху—2хг—2yz—72 — 0.
281. х4 4- yi 4- zi = 2 (х2 4- у2 4- z2).
282. z2 + xyz—ху2—х3 = 0.
Проверить существование экстремума у функции z(x, у) в точ-
ке Мо, если
283. 21 In (х2 4-у2 + z2) = 12х—18у — 13z, Мс = (2/7, —3/7, 6/7).
284. лх sin пу — п2у2 sin лг 4- л2г sin лх = (7 — 9у),
Мо = (1/2, 1, 1/6).
Найти точки условных экстремумов следующих функций:
285. / = 2х4-у—24-1, х2 4- у2 4- 2г2 = 22.
286. f — x—у, tgx—3tgу = 0, |х|< л/2, |у|<л/2.
287. f — xy, х3 + у3—аху = 0, а > 0.
288. f=xyz, х24-y24-z2 =а2, а > 0.
289. f—xyz, ху + xz + yz — a2, х > 0, у>0, 2>0, а > 0.
290. f = xyz, х +у 4-2 = 5, ху +yz +zx = 8.
291. f=xy + yz, х2 + у2 = 2, г/4-2=2, x>0, y>0, z > 0.
292. f=xy2z3, x 4- my2 4- nz3 — 1, m>0, n > 0, x > 0, у > 0,
2> 0.
366
п
293. f = x™ + x!?+...+х™, (m>l), £х£ = а.
; = 1
« »
294. / = £аЛ, У л-2=^2.
z=i 1=1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в задан-
ной области:
295. f ~ ху—х'у0<х<1, 0<z/<2.
296. / = х2 + 3у2 —х+ 18у—4, 0<х<1, 0<у^1.
297. f = x3 + 3y2 —Зху, 0<х^2,
298. /=-^---у-, х>0, у>0, —
2 6 8 3 4
299. f = xe + ya—Зх2 + 6ху — Зу2, 0^у^х^2.
300. f = cos х cos у cos (х + у), О^х^л, О^у^л.
301. / = (х—у2) V (1—х)2, у2<х<2.
302. / = х3 + у3—9ху + 27, О^х^а, О^у^а, 3 < а < 9.
303. f = xi + yi—2х2 + 4ху—2у2, О^у^а, О^у^а, а>1.
304. f —ху + yz+zx, х2 + у2 + z2 а2.
305. f = x + y + z, х2 4-z/2^z^1.
306. f = 2sinx 2 sin у -у sin (x + у), 0^х^л/2, O^i/O/2.
307. Представить положительное число а в виде суммы пяти
положительных слагаемых так, чтобы их произведение имело наи-
большее значение.
308. Представить положительное число а в виде суммы п по-
ложительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наи-
меньшей.
309. Представить положительное число а в виде суммы п по-
ложительных слагаемых Xi, Хг, ..., хп так, чтобы произведение
z=x®1, ..., х“п (а, — заданные положительные числа) было наи-
большим.
310. Определить наибольшее значение корня а-й степени из
произведения положительных чисел х!; х2, ..., хп при условии, что
их сумма равна заданному числу а. Используя эту задачу, дока-
зать, что среднее геометрическое нескольких положительных чисел
не больше их среднего арифметического.
311. Через точку Л (a, b, с), а>0, fe>0, с>0, провести плос-
кость, отсекающую от первого октанта (х>0, у>0, z>0) тетра-
эдр наименьшего объема.
312. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда с
заданной суммой длин его ребер а, имеющего наибольший объем.
313. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда
данного объема V, имеющего наименьшую площадь поверхности.
367
314. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда,
£/2 ^2
вписанного в эллипсоид — + — 4—-=1,при которых параллеле-
пипед имеет наибольшую полную поверхность.
315. Доказать, что из всех четырехугольников, описанных во-
круг круга радиуса /?, наименьшую площадь имеет квадрат.
316. Найти треугольник, периметр которого равен 2р и кото-
рый при вращении относительно одной из своих сторон образует
тело наибольшего объема.
317. Через точку М, лежащую внутри данного угла, провести
прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей
площади.
318. Внутри данного угла В поместить отрезок DE длины Ь,
концы которого — точки D и Е — находятся на сторонах угла, так
чтобы площадь треугольника DBE была наибольшей.
319. В данный круг вписать треугольник так, чтобы сумма
квадратов длин его сторон была наибольшей.
320. Определить положение точки относительно вершин остро-
угольного треугольника АВС, чтобы сумма расстояний от этой
точки до вершин треугольника была наименьшей.
321. Определить положение точки относительно вершин тре-
угольника, чтобы сумма квадратов расстояний от этой точки до
вершин треугольника была наименьшей.
322. На плоскости XOY даны две различные точки Pt (аь £>i)
и Рг(аг, Ь2), а,'^а2>0, Ь2~^Ь,>0. Найти точку Qi на оси ОХ и точ-
ку Q2 на оси OY, чтобы длина ломаной PtQtQzPz была наимень-
шей.
323. Из всех конусов с данной боковой поверхностью найти ко-
нус с наибольшим объемом.
324. Среди всех четырехугольников с заданными сторонами
найти такой, площадь которого наибольшая.
325. В данный круг радиуса R вписать четырехугольник ABCD
наибольшей площади, если величина угла BAD равна а.
326. Доказать, что в треугольнике радиус вписанной окружно-
сти не может быть больше половины радиуса описанной окруж-
ности.
327. Найти кратчайшее расстояние от точки А(р, 4р) до точек
параболы у2=2рх (р>0).
328. Найти длины осей эллипса, полученного в сечении ци-
линдра №+2i/2=l плоскостью x+y+z=0.
329. Найти кратчайшее расстояние между прямыми
х — а _ у — b _’z — с х — аг у — _ г — с,
I т п ’ /х '
330. На плоскости заданы п точек Pt (а/, bi). Найти координа-
ты точки Р(х, у) такой, что
п
Е т([(х—ai)2 + (y—fc,)2]
i=i
368
(mt — заданные положительные числа) будет наименьшей. Дать
механическое истолкование полученных формул.
. , . и ц. ,
— sm(x + y), —— = — cos(x + z/),
Ответы
1. —— = — sin (% + у),
дх
d2u , . „ d2u. 2d2 d2u 2b2
*— 1Л I W 1 • •
dxdy dx2 (ax-rby)3 dy2 (ax + by)3
d2u 2ab „ д3и 1 x 53u x2 x
----- =-----------. 3. -----= cos —, ----------= cos---------
dxdy (ax —by)3 дх3----------у3 у dxdy2-------------у3 у
4x
x , 2 x .
sin----1---cos—. 4.
yi 3 У
--u— = 8xyzext-W+*\
dxdydz
if У
+ 8х2уех2+у2+г‘,
+ yx in2 y,
d2u
"dy2
+ yx~l + xyx~{
11. г2созф. 12.
14.
18.
21.
23.
25.
27.
216
d3u
. 5. ~ff—=:4yex2+y2-zt +
(1+2% + Зг/)4 dx2dy
6. = y(z/~ W~2 +
dx2
- = xy In2 x + x (x — 1) yx~~, - d--~ = yxy~x In x + xy-y -f-
dxdy
In y. 7. r. 8.--------— . 9. ---------' 10. n2^
х2у3 x (x2 y2)
—. 13. / . _-=^.
2v 4/ 2 V (« +v — w) (ufw — v) (v + w— u)
u2v. 15. ------- - - —
2 / z(x2fy2)
/ 2u 2o 2w \
I I . 1У • j
\ 1 1 1 /
f , v и U 't
In---- ----------------
l£-‘ V W
V , W V
------In-------
и и------------w
w w , и
—------------In------
1 U V V )
14xu 4xv 4xw
\8x3u 8x3u 8x3ai
yz cos и—xz sin и + euxy
1 + x2y2z2
v U\ 16. 1 2u 2v j \2u —2v] 17 (C°SV \sinu —wsinv\ и cos a / *
( tg « + 20. \ sinu + —2xv ' 2xv / y2 \ 2ox u
1 V 22. U ' 1 V2 )' 2u (x + y) c, i 1 X 2u 1 \ У Уг n / U — X 2U — \ X2 + y2 COS2 u и cos и —2wy 2w У 2wy •
/ 'x2 + y2 x2 + y2
2xcosu—zsino —2x«siny—zu cos v —y\
—z/cos и—xsinu ywsinu—xucoso 2z /
(VUv~1COS X
—m^sinx
Ш11-1
COS2 X
llv In и cos X
—u° In и sinx
uv In и
COS2 X
( yv — 2xu
х2 + У2
2xv + 4uy
V v— 2u
yu + 2xv 1 л л / 3 л \ 2 + 6 I
x2 + y2 2xu — 4yv- • 28- л
2 2 УЗ
л 4- Я л у 3 л |
Л “t* У и 2u 2 2/3 2 6 /
369
0 2 0
29. 0 Т 0 30. f--------------------------т=г-\
\ 7/195 ’ 7/195 7 / 195 /
—L о —-
2 2 )
ЗЕ 32. а) = f2%1 2'М / Эср 2У1 2у2 “2М;
W ' дх / к 1 1 / ’ ' ду > \.~УгУз ~У1Уз —УхУг)
6) (“rWS/11 v12\ гДе У11=/С05Л1—^3sin(^i—х2)> yi2=z/2cosx2 +
+ уа sin (хх — х2), У21 = — у2х2 sin (ххх2) — 2у1х1 cos (х2 + х2) —
— 2z/3xx sin (х| + х2), У22 = — y2xr sin (ххх2) — 2угу2 cos (х2 — х|) —
У А + 2х!Уа — 2хху3
sinxx sinx2
sin (х2 — x|) cos xxx2
2x2y2 — 2x2</3 — y-tXj
COS (л'х—х2) \
COS (Х2 — X2) У ’
йф \ _
НХ2
.2
'2
У1УЛ — У%
arctg
х2
xi
1П (х2 Х2)
У2—У1УзХ2 ' °У '
x2
— 1п(х2 4~x|) \
I . 35. du — 2xy2dx +
Уз In —
\ X2
4- 2yx2dy, d2u = 2y2dx2 / 8xydxdy -j- 2x2dy2. 36. du = (y ±z)dx +
4- (x +z) dy + (y 4- x) dz, d2u = 2 (dxdy 4- dxdz / dzdy). 37. du =
——sin (e':y) (yexdx+exdy), d2u = [ —cos (exy) e2xy2 — sin (evz/) -exy\ dx2 +
+ 2 [—cos (exy) e2xy—sin (exy) ex] dxdy + [—cos (exyj e2x] dy2. 38. du =
= (z/x^-1 + y-xlny)dx + (xplnx + x/-1) dy, d2u = [y (y — 1) xs~2 +
+ yx In2 y]j dx2 + 2 [№~! + x^ly In x + x in у • yx~x 4- yx~l] dxdy +
4- [xy in2 x + x (x — 1) yx~2] dy2. 39. du = ~dx 4- —dy + — dz, d2u —
xyz
= — —dx2 — —dy2------------—dz2. 40. du = —г--------{—dx + — du —
x2 y2 Z2 Z2 4- X2y2 \ Z 2
ХУ j-\ J2 — 2xzy2 , 2 o z3 — zy2x2 , , , o x2y3 — z2y , ,
-------dz , d2u = -------— dx2 4- 2--------— dxdy -t- 2 • —----dxdz—
z2 / (z34-x2/)2 (z34-x2/)2 (z2+x2y2)2
--------------dy2 +2 х3у2~хг2 dydz 4- ----------dz2. 41. a) -L- 0,55;
(z24-x2/)2 s (z2 + x2y2)2 (z24-x2</2)2-/3
6) — 12,6; в) 0,8(l+ln4); r) — д) 2; e)— 42. du =
= 2<p'xdx— 2q'ydy, d2u = (2q/ 4- 4<p"x2) dx2 — Sxyq’dxdy 4- ( — 2/ 4-
х2
Уг
х2
X
z2
1 1
370
4- 4cp"z/2) dy2. 43. du = q'yzdx+y'xzdy+®'xydz, d2u — (cp"y2z2) dx2 4-
+ <f"x2z2dy2 + q"x2y2dz2 4- (2<p'z 4- 2q"xyz2) dxdy + (2q>'у + 2q"xzy2) dxdz +
+ (2q'x+2q>”yzx2)dydz. 44. du=q>'(y + z) dx+q' (x4-z) dy+q’ (y+x)dz,
d2u = cp" (y 4- z)2 dx2 + cp" (x + z)2 dy2 4- cp" (y 4- x) dz2 + 2 (cp' 4- cp" (y + z) X
X (x + Z)) dxdy + 2'(cp'+<p"(z/ + Z) (y+x)) dxdz+2(q' + q"(x+z)(y+x')) X
X dydz. 45. du=2xq>'dx + 2yq'dy 4- 2zcp'dz, d2u = (2cp' + 4x2cp") X
X dx2 4- (2cp' + 4y2 cp") dy2 + (2cp' + 4г2 ср") dz2 + 8xy <p" dxdy +
4- 8xz<f'dxdz + 8zyq’dydz. 46. du = (cpJ2x + (f22x)dx + (<p[2y —
— q>22y) dy, d2u = (cp;,4x2 + 8q)"2/ + cp"24x2 + 2<p'x + 2<p2) dx2 +
+ 2 (cp?, 4.ry—cp"24y//> dxdy + (cpj',4y2 — 8cpJ'2z/2 + <р"24г/2 + 2cpJ —
•— 2cp') dy2. 47. du = ср у 4- ср . — \ dx + I cp x — cp„.- dy, d2u =
\ ‘ у ) “у2 /
= Й"/2 +- 2cp"2 + cp"02 • dx2 + 2 fcp^ry — cp"2 + cp;—cp; dxdy 4-
+ (сРпл'2‘^2ф12'^Г + ф22^Г +<p2^T ) dy2' 48‘ du=.(^\2x + ^y)dx 4-
4- (cpJ2у 4- <p/) dy, d2u = (cp'^x2 4- 4cp[2xy 4- cp"2z/2 4- 2cpJ) dx2 + 2 ($n4xy 4-
+ cp)'2 (2x2 + 2y~) -j- cp';2xi/) dxdy 4- tfn4y2_+4xyy"t2 4- ф^х2) dy2. 49. du =
= K—--------^-~]dx+ ( — cp;~4-cp;-— ) dy, d2u=(<p" • 4---------------
- 2<p;9• 4- 4- cp;2. -4 4- <₽;• 4-) +2 ( -Ф’;!~ + • — -
1- x2 x4 X3 / V u y3 xy
н У ' 1 * 1 \ 1 1 . / n X3 c\ ,f 1 1
— <P,2 • —----<Pi • —;---<P2 • — dxdy + cp —--------------2cp • — 4-
У1 x2 / \ У1 У2
+ Ч22 • dy2- 50. du = (cp; 4- 2x<p;) dx 4- (cpj 4- 2z/cp;) dy, d2u = (cp^ +
+ 4xcp;2 4-4x2cp;2 + 2cp;) dx2 4- 2 (cp^ 4- 2z/cp"2 -b '2xcp"2 4- 4xy<f"22) dxdy 4;
+ (cp;,14-4z/cp;24-4z/2cp;2)dz/2. 51. du^^ydx 4- (cp;* 4- <&)dy 4- %ydzt
d2u = q\{y2dx2 4- (cp;'/2 4- 2cp;2xz 4- cp;/2) dy2 4- cp"2r/2dz2 4- 2 (cpj'/y 4-
4- <p;'2z/z 4- cpj) dxdy 4- 2q"l2y2dxdz 4- 2 (cpj'/z/ 4- cp'^zy 4- cp^) dydz. 52. du =
! , 2x , 2y \ , j , x2 , 1 \ , ,2 / „ 4x3
= JCP1------d2U=^n___
n 8 1 n 4y2 \ 1 2 I 0 / n 2x3 . n 4 r 2t/
— ^12 • +%2 — ] dx . 2 -cpu — +cp12 — -cp22 — -
+ J49’- 53‘ 4,=
= (<Р;г/+<Р2+ср;)</х4-(ср/—<f2+^dy, d2u=^ly2+2<f”2y+2(f”3y+(p22 +
+ 2<P23 + ч>зз) dx2 4- 2 (cp;'/z/— cp;2z/ 4- cp^ 4- cp;'2x 4- cp;3x — cp;2 4- cp; 4-
+Ф33)dxdy++ 2c₽i3x — 2ф;/+Ф22— 2(Р2з +Ф33)dy2- 54-du =
= cpJ2xdx 4- q'22ydy 4- cp;2zdz, d2u = (cp;', • 4x2.) dx24- cp"24r/2d!r/2 4- q334z2dz24-
371
__ XQ . . Иг?—c* —x) ’ zxo ( zz—zx — x xp
- 'e9
ге
ZZ — zX — X fiQ gZ Hqxq Z HQ Z XQ
Li гг + zx zp fix ~ zzq ' ft ~ ZQ '~ — zp ^9
’Zzp[^&+z^)z+zzf О+“*з+ s!*)]+z^p 1С<ь+’(Ь) z+zfy (O 4-Os +
+ "*)] 4- zxP [(!* + !<b) Z + Zxt (O + Os + 0)1 = ”гР ‘гр О + E*) zz 4-
+fip C<b+Jdb) ^g+xp(%+Jd)) %s=”P -09 -zpM^+tf-x/d)—йг_*Еаг5Ь—
—n-x+z3d zezb—й_*+гахгО—ff~x+zdez<b 4- Zzadzzb+zzaxz\H) s+zpxp^a^4-
4- 2a’<b + n-x+zaz^b —„_x+2?dz2Zi> — я_х+2зхгг[& — й_х+гэ™й> + 2sa№Etb 4-
4-2saxO)S+zpxp (й_^*4-га!<Ь 4- ^X+Zazzz&+^X+Zadz^+^X+Z3zx^^~^
4- й_2+2аЕ'(Ь 4- г гэ4г'i+ггэх’ 4b) s 4- /7рхр (й_^гесЬ—й5_^гаггЕЕ(Ь—^+2azEEdb 4-
4- й_^+гаге’* — 2zaz\b)z 4- Zzp (йг_хгаЕЕ* 4- fi-x+zadzz^z + zzazdzz<b<t+:
4- /i-x+zax^z 4- ?zddxz4;z + ?№’*) 4- г^р G-xazEcb 4- «s-2SaEzEEcb’4-
+fi-x^zdz^z—2zdZ^) + zxP^-X3^+ лг-хгэг2£Е(Ь4-й_^+2агЕ’*г4-гга”<Ь)'=
= nzp 'zp (й_хэ% 4- 2э/?г(Ь 4- .^x’cb) 4- dp (Й_Х32?<Ь—2э4Ь) 4- хр (й-хзг% 4-
4- гэ}<}>) = пр -ед -zpdp (zd ins dzzt> — zd soo *<b 4- zd soo dx soo /гЛЬ 4-
4- dx soojzxsoo BxE4b+zd Zs<x>zdzz&+zd soo zx[sco zxz}&>)z+zpxp(zx uis Jtbzx —
— z.xsoo ’cb 4- dx soo zd soo ,/zES(b 4- dx soo zx soo /h'e,<t> 4- zx.soo Pz2I<b 4-
4- zx Esoo zx’4b) z + dpxp (dx uis ЕЛ/гх — dx soo E<b + dx Esoo xd £Ed> 4-
4- zd soo dx soo zdzzb 4- dx soo zx soo zxs’(b 4- zd soo zx soo ггг4Ь) z +
4- zzp (zd Bsoo zdzzfo 4- zd soo zx soo d№,'±3 4- zx Ssoo zx} 'd>) 4- zdp (dx г5оо sxEEd> 4-
4- zd soo ^xsoo zxE‘d)g 4 zd Bsoo zzzz^) + zxp (dx Bsoo s№Ed) 4- ^xsoozxsoo 4-
4- zx Ssoo zzx}&>) = nzp lzp (zd soo dz& 4- zx soo x]d>) 4- dp (dx soo x£d> 4-
4- z^sooz%) 4- xp (dx soo d% 4- zxsoozjcb) = np -gg 'zpdp (EEcb^g 4-
4- E4)2/4- + + zzz\ii) 2 + ZPXP (*6^* + zxtf\b 4- e'd> 4- zz"<b) z +
4-йрхр (£ZJidxb + zzhxz+dz^b + г» Z + zzP (1*3 + +
+ ъ^Р (S*2 4- EEd)^v 4- d^zb 4- гЕ*) 4- zxp (Z<hz 4- zxfz(b 4- x^'jb 4- ”<b) = nzp
'zp (ЕЛ 4- zg%) 4- dp (Ed)/?g 4 4b) 4' xp (Wg 4- !<b) = np 'zpdp (^fozdfy 4-
4-' Z},tidz 4- zzzt<ii 4- "*) z 4 zpxp (zz&zxf 4- xzzxi) 4- z^'* 4- Z 4-
+ dpxp (zzMx],+z^xz+dz^ 4- "*) Z 4- zzP (г*2 4- zz<bzz^ 4- s'*zf, 4- ’’*) 4-
4- z.fip Os 4- zzbzdfr 4- zlbdf 4- г» + ъхР 4- г>г^ 4- zl<hxf, 4- "*) = ”гР
‘zp (Zd>zz 4- ,’<b) 4- dp (zMz 4- !<b) 4- xp (Z<hxz 4- ]<b) = np -gg 'zpdp^i>]>z 4-
4- zpxpE'd>9i 4- P>pxpz'Ml 4- ^pE%9i 4- zdpzz^Q + zxpliM = nzp ‘zp^f 4-
4- /Tp'dig -+• xp'<hz — np -gg -dpzpdzg • SEcb 4- zpxpzxgE'd) 4- dpxpdx^z\t> 4-
eze
zx + zfi — fix — zz xp zx + zfi — fix — Zz xp , fi^~ - fiz
zx—zfi + zX—zfi zp sx + zfi — zz — fix fip £8 гхгд — £
*P . fig —fiz xp Uv : *7Q * zp uo vx — — qz xp to — qz xp 18“
/?p zxfiZ\ — AZ -oz — fip of + qx zp
, ez^ — zx + I fiQ ( Zzd^ — ZX + I XQ Z UIS fi — X SOD
fZ + I ZQ zxz — ZQ UO Z SOD — /IUISX
йе Z UIS fi — X SOD XQ . ^fi—zx — z + fi + x)(zfi + zx} L?—
~ ZQ fi SOD — X UIS Z ZQ U4> (z + fi + x) ztiz +z(zfi + zx) r.—
fiQ . (s'? — zx~ z + Л + x) (г/?+ гх) i xq zz — fix fiQ
~ ZQ (z + fi + x) zxz + г(г/» + 8x) ZQ °4, ZX — fiz ZQ
t zz — dx XQ ZQ LL . + ex + EZf fiQ . r.fi + «X + szfr _ xp •91
zfi — xz zs/iS ZQ exze zp
fiQ r? __ XQ кэ /ip _ „а xp
a uis ~ aQ a soo ap a soo пд a uis VQ
« Tl3 fiQXQ
fip / (a uis a + a sod n) np \ fiQ a soon + д uis - np fiQ fiQ fiQ \ + fl uis n — a sod np ap ' vp / zzQ
« "Э n3 zxQ
xp ! (aursa+i? soot?) — ир \ xp a sod a + д uis . ад xp xp xp \ + a uis n — a sod ap ' np j zzQ
. пЭ fiQ < n3 ’’e . г fiQXQ
a SOD n, -f- fl UIS n — ZQ fl UIS fl + fl SCD П ZQ fl + И ZzQ
. г ftp ‘a-J- n ZQ xe ... . + г" . г« + г” fiQ gtfJ
a — n ZQ w ap a np
< г(гп + zn) t’ fiQXQ
I fiQ a - \ fiQ \ Ь ” 1 ftp / (flS —”) f— GH L x 1 fiQ fiQ \ И г”) 5 — 5 \ др nQ ) zzQ
, E«+Sw fiQ ,(г<г+г”)г XQ ^ui 2fi
?7g+<2 ZQ «г — ” ZQ bI“ /?U[XUl^T_fiX—fiU[XU]z^x/l\_ffzX—fiuh-fiX T-i ax
fiqxo fi u] zfi Hq fi щ zfi xq
- -------- ‘ ------------------- — = --------- ‘-------- — — --------- -7»
zEp x-zfa- + ХЩдХ ZQ х_ЯхИ ZQ
fix- (zfix) uis + j
zfix uis ( —— x + —— fi + z ) — ( —?— xfi + zx\ ( —— fix + zfi j zfix sod —
ZQ ZQ ] \ ZQ / \ ZQ )
fiQXQ < zfix UK fix--'-[ fig zfix uis Rx+\ xq e([—jZj+zxg)
ZZQ ZfixU\SZX-\-[ ZQ Z/l.Y UIS Z/j'+[ ZQ Z$—SZX^ZZX9~^KX^~.
fiQxQ J / , x XQ , 1
= [ (z^S—Zzxf + ~ + Zzx$ — Zxz^ — ezfr — XfJ x
E(l — Zzz + zxz)__ zxQ ,1 — Zzz+xzz__ XQ . (I — zzt + xzz)fi _ fiQ .
' i ~ 4Q zxz — Zxz— I ~ ZQ (z + %) (гйг — i) — ~zq~
e(Z'—[) fix figxQ z—t fi fiQ z—I x
(I — Л) (I — x) ~Z — zzq ' \ — fi z ~~zq~ ' I—X~ ~ ~~
84. dy —x2 sin z + z2 sin x dz — x2 sin x + x2 sin у gjj dy
dx y2sinz— z2 sin у ’ dx y2 sin z — z2 sin у ’ dx
— у sin x sin z 4- 2 cos x cos3 z dz 2 sin 2y cos2 z + sin2 z sin x cos z
у sin 2y + sin zcosx cos2 z dx у sin 2y + sin zcos x cos2 z
86 dy __ У У — х dz _ 1 —XZ z du 1 [ y2 x — у ,
dx x x + 1/ dx 1 + xz x dx и [ x x -+- у
+ z2 xz — 1 1 R7 дг _ и2 — x2 dz и2 — у2
x xz + 1 dx и2 — z2 ’ dy и2 — z2
du z2 — x2 du z2- -y2 d2z d2u Q и(х2 — z2)2 +
dx u2 — z2 ’ dy ~ и2- — z2 dx2 dx2 (и2—z2)3
+ x (и2 — z2)2 + z (и2 — X2)2 d2z d2u Q и (у2 — z2) (x2 — z2)
(и2— z2y ’ с )xdy 1 dxdy (u2—z2)3
л.2. •(и2 — X2) (и2— у2) d2z d2u _ = 2 y(u2— z2)2 + z(y2—u2)2 + u(z2—y2)2
(и2—Z2)3 dy2 ' di/2 (u2 — z2)3
jg dz ___ z (u — x) dz __ z (u— y) du ___ и (z— x) du
dx x (u— z) ’ dy у (и — z)’ dx и (z— u)’ dy
_ и (z — y) d2z ________ d2u ______ (u — z)2 + (« — x)2 + (z — x)2
у (z— u) ’ dx2 dx2 x2 (u—z)3
d2z d2u ________(“— x) (u— У) 4- (z— x) (z— y) d2z d2u
dxdy dxdy xy (u— z):- ’ dy2 dy2
-ZU <м~г>3+ (Ц-У)2+(--У)2 89. du 2xv2~(x-2vy)(u2 + v2)
y2 (u — z)3 * dx 2x2u — xy 4- 2vy2
du u(x— 2vy)—2xv(u2 4- г.'2) dv __ yv — 2xuv— 2u2y (u2v2) dv _____
dy 2x2u — xy 4- 2.vy2 ’ dx 2x2u — xy 4- 2.vy2 ’ dy
_ (u2 + v2)(2xu — y) +2u3y gg du _ ____du _ __________ g dv _
2x2u — xy 4- 2vy2 dx dy dx
/ du \ du
, л ( 1 + ~Г~ (У — «) + (x + u)
= — 9/4; — = „ 7/4. 91. =
dy dx (y— u)2
du / du \
я (y — u) — — (.x-\-u) [I-—-]
dz dy \dy du — и du
dy (y— u)2 dx x — 3u2 dy
. 92. / = 1; y" =----z' = 0, г"= — —. 93. /=—,
x — 3u2 * 3 3 2
„ 379
У =-----------,
а 125
95. dz =-------dx —
dz
1 _ ex+y
ex+v — 2y
dy, d*z = -,6^.-fo2 -6xZ dx2 _
z' = -~, z" — -y-. 94. — 2xy2 4- 2x2y
1
dx
-------—— dxdy------------------ dy2.
(x4-2z)3 3 (x + 2z)2
d2z = 6x2z2y + 2хгу3 + 2x;1 ~ 2z%4 dx2 +
(x4-2z)3
96. dz = dx + dy,
xy 4- z2 xy 4" Z2
8xz2y2 + 4x3zy + 4yz* dxdy +
(xt/4-z2)3 ' (xt/4-z2)3
6xz2y2+2yzx2 + 2y^-^ 97. &==^.2-1....Л_^+^1 . dy.
z24-l X z24-l у
(xy + z2)3
374
d2z
1______
1 \3
dx2 —
x —
1 —
У —
r)]<My + [(i + -L) (z+y)2-
98. dz = -3~zy dx + -y—z* dy,
xy — z3 xy — z3
diz== - 10А^ + 2zxy3 + 3x°z2 + zV + 3z°x2 dx2 2 3z*xy — xy5 — z7
(xy — z3)3 ' (xy — z3)3
2yiz3 — 2x^z3 — x5y + 3z2y3x3 + x2y2z . . x2//1 —10z3y3x + 2zx3y X-zX2
(xy — z3)3 (xy —z3)3
4- 3zy8-~l~ 3z<^ dy2. 99. dz — (ycosu — sin a) dx 4- (cos v 4- и sin v) dy,
(xy z )
d2z — — sin2adx2 — 2 — sin vcos vdxdy +— cos2vdy2. 100. dz =
и и и
__ 2uv + v , uv — 2u dz? _____ 2uv 4- 2zw2 — uv3 4- v d^2
1 + UV -|- UV ’ (1 + zzt>)3
+ dxdy + -u2v + 2u3v-^ + 2“ dy2. 101. dz = -L-X
(l + «t)3 y (l~r™)3 ’ ’ "
X [e~“_°(l +u + v)dx + ev~u(v—и — l)dyl, d2z v_ ,
U2 (1 + и)3
4- 3u + 3u2—2u3—2u4 —v—3&v—3u2v—u3v) dx2—(u2 4- 3u 4- l)dxdy 4-
4- e2v (1 +3« + 3u2—2n3—2u4 + o {-3uv+ 3u2v+ uav) dy2]. 102. du =
2e~2u
= ——— dx + ——— dy, dv = ——— dx + ——dy, — d2u — d2v =
x — y x — у у — x у — X
= 4y-j^dx2 2(y-v + u~x)_dx 2_Sv2Zx)d^ 103>----------
(x-y)2 (x-y)2 (x — y)2 y 25
104.----—dx2 {- — dxdy--—dy2. 105. — dx2 4- — dy2. 106.—4dx2—
18 9 18 15 15
—&4dxdy — 132dy2. 107. —|/2dx2—^-^-dxdy—)/2dy2. 108. d2u =
=-^- dx2 4- dx dy 4- dy2, d2v =--— dx2 4- dx dy 4-— dy2.
32 16 32 32 16 ' 32
109. d2u =
-^-(1/3 —1) —J/З j dx2+ fj/3— -y-(2 И'З — l)^dxdy{-
4-(2л — л /3) dy2, d2v= \
+ 2xdy2. 110. -^- =----Ft + zy^ , dz_^_ in
dx xyFl ’ dy xyF{ dx
yF 'i + zF3 dz__________xF] 4- zF' gz______2xF\ — 2xF3 dz
yF2-{-xF'3 ’ dy yF'2-\-xF'3 ' ' dx zF'2—zF'3 ’ dy
375
yF'2—yF\ dz —zF'^F^ — yF's dz F\— zF2 — xF3
zF2 — zF3 ' dx xF, + yF2 — F3 ’ dy xF} + yF2 — F3
143. x"' = 0. 144. x"-+-x = ey. 145. x'" + x2 (x")2 —у (x')3 = 0. 146. x"+
+ (x')2x3 = 0. [147. y'=y. 148. u'— 4xu + 4x3 = 0. 149. — u' =
= 2х(и+х). 150. ty" + y = 0. 151. y" +2y' + y = Q. 152. y'" — y"—
—У'-тЦ=0. 153. и"—u = ex. 154. и"—a2u = 2x- 155. u"—c2m = 0.
156. u"—u'+u = 0. 157. u"ch3/ = l. 158. yu” + u'=0. 159. v" + v = 0..
160. dv dx d2v dx2 - = 0. — = 0. 161 dy2 163. -22_ dx dy . -22_=o. 162. (x—u)-2^- + 2 —
dx dy = 0. 164. - dz = —1 dx dy . 165. dy dz । du
dv
166. 169. 173. 177. 181. JI2. dv 187. 190. 4V dz du dw dv dw v dz и dv = 0. w V - + l=o. 170. — du 174. ~ du 178. dr] dw \ du J d2z d2; du2 dv‘ 2_ = 0. du ~ = 0. 1 du 167. — 4-2v = dv t». = 0. nr * du + ^L==0, 175. dv —2n 179 dy 0. 168. (—Y —У = v.. \ du ) \dv / =2u. 172. 2 — + d=o. du 1 ',dw , w dw n — In—= и. 176. — = 0. dv u dv У 2 ЮЛ dx
dt 1 dw /. 2 dv \ ^=0. 185. d2z , 1 du dv ' 2 2-22_ + l dudv v dx 182. — = 1. 1 du - = 0. 186. — du2 188. — + 22 du2 dv2 d2z dz dt'2 du y + z 183. du dv d2z 1_ dv2 3 •4-^ = 0. dv = 0. 192. • dy у = 0. 184. — + du2 dz 2 dz q du 3 dv d2z 189. -22_ = 0, du dv d2z 1 dz q du dv 4v du
193. d2z _ du2 = 0. 194. ~ +- du2 d2z h COS u dv2 -^- = 0. dv 195. ’d2z Q t dv2 u V2 dz _ du = 0.
196. d2z 1 / dz dz \ = 0. 197. d2z _9 dv2 dz = 0. 198. 2 d2z : +
dv2 V \ du dv ) du dudv
, 1 I dz dz\ n lnn d2z' , d2z , , , _ , d2z ,
4---------•--1 = 0. 199.-1-------h m2 (u3 + tr) г=0. 200.-h
u — v\ du dv j du2 dv2 du2
+ _^z_+ 2 =0. 201. —----— = _L2L_ 202. — —
dv\ dw2 du dv du2 dv2 3 dw ’ du2
= 0. 203. v2-^-—2u— =0. 204. — = JL. 205. — ^2—— —
dv2 du du2 2 du2 du dv
d2w 2 dw + -2w =2. 206. (u + f)2 d2w d2w +(v-Y+l \ du ) ' ! dw\2
dv2 и + V du _ „ + du2 dv2 \ dv /
= 0. 207. 22L=0. 208. -22_:=_L.-------. 209. 221 = 0.
du2 dudv 4 (u — v)2 dv2
376
210. 2^+_^L+_^_2^__ш==о. 211. -^- +---------------------------= 0.
du2 dv2 du dv dudv (u—v\
4 sin2 --
\ 2 J
Указание. Вначале перейти к переменным а и у и функции г (а, у),
dz
а затем к переменным и и v и функции w(u, v). 212. г-------------.
dr
—. 214.
Йф
215. —+ — *.
dr2 г dr
213.
cos 2ф
sin 2ф
-. 219.----
2 /2
1 d2z
r2 dtp2
df ,
— («о, Уо)
220. a) --------------
dz dz
dr dtp
216. r2--^-. 217. —. 218. 4/3 —
Йф2
\ df dtp
(*i> У1) 1 + (xo< Уо) ~~ (xi, У1)
I dy dx
dr2
df dtp df dtp
~X~ (*o. Уо) (xi, yt) 4- — (x0, Уо) — (xi, У1)
dx dx dy dy
ъ f dtp 2 (dtp \2
* V Ы(Х1’У1)) +Ы(Х1'У1ч
221. /L. 222. 1/3.
Уз
oq/o — (x(^o), У (to)) Уt (to) — — (x(i0), y(io))xt(io)
223. 224. __________________________д-У___________________
la i /" f ,
± I (xt(io)Y + (yt(to)Y
225.
1/ —,226.x----X— — y-— —z---— ,x + y + z=—.227. x—
V 3 4 3 2 ’ * 12
_2L+ 1=^ — 1 = 2 J/2, x + y + V2z—-—:4=0. 228. x—- =
2 ' y /2 2 2
5
, x—3y—z---^ = 0. [229. у==-^- = -р x +
a b at,
y~~7d z~~Z~
+ // — 1 =0. 230. -v~ =-1-± =--Д—, ax—by + V2 cz —
a —b с у 2
г г г У 5
a2 , b2 с2лу2 n X“ 2 У~ 2/2 2 “ 2 /f
/2 /2 4, /10 —3/5 1
/TOx—3/5 z/ + z = o. 232. i+i = ^Zll=LrJ 27х+28// + 4г+2 =
27 28 *
= 0. 233. -—1=^—+ + 234. x—^ =
-3 1 -3/4 ’ 1 y 4 1 2/3
2л
ч/- z —-- a
2/3x—2y+z—4a/3— — a=0. 235. =
— 2 1 3 1
377
= ±ZZ2L = -iXji-i x+2y —13=0. 236. x + 5y —z —5 = 0, =
2 0 * * 1
1 3
u — — z +---
у—1 z—5 nO_ , л . 11 n x — 2 2 8
— -----=----. 237. %4-4u—4г----= 0,----=------=-----------------------.
5—1 214 —4
238. 8х + 13г/ + 5г—26 = 0, iZL* = LzJ. = LILl. 239. — x+3z — 5=0,
’ 8 13 5
x— 1 у — 4 z— 2 „ла , on x—1 У—1 z—1
---= ----= . 240. x-Yy+z — 3 = 0, = — =-.
—103-------------------------------------------------1-1-1
241. 2х + г/ + г = 0, = 2±1 = £±1. 242. 12x—9y + 2г —9=0,
lz2 —m2 1 /2 —m2
x--3 = y-5 = z-9 243 2 = 2___2 _______2
12 —9 2 ’ ' m2 — 1 {tn2— 1 1
/2 —m2 — К 2“^m2
У 2 /2
X—---- у— —-
= 0. 244. x — y + V2z—^^ = 0, --— =------— = --~”/4 .
a 4 1 -1 /2
245. (e + l)x —(е + л)г/ + (е+1)г = 0, = .
e4 1 — e — л e -j- 1
246. (1/3, 1/3)—точка максимума. 247. (a, 5)—точка максимума;
(0, 25), (0, 0), (2a, 0), (2a, 25) — седловые точки. 248. (l/p"3, 1/}/3)—
точка минимума. 249. (a, а) при а > 0—точка минимума, при а < 0—
точка максимума; (0, 0)—седловая точка. 250. (3, 3), (—3, —3) —
точки минимума, (0, 0) — седловая точка. 251. (]/2, —]/ 2), (—}С2,
V 2)—точки минимума, (0, 0)—седловая точка. 252. (0, 0)—седло-
вая точка. Указание. Рассмотреть f(x, 0) и f(y2, у) в окрестности
точки (0, 0). 253. (1/2, —1)—точка минимума. 254. (1, 2), (— 1,
—2)—точки минимума. 255. (1, 3)—точка минимума; (— 1, —3) —
точка максимума; (3, 1), (— 3, —1) — седловые точки. 256. (— 1,
— 1, 1)—точка минимума. 257. (0, 0, 0)—седловая точка. 258. (2/7,
2/7, 2/7)—точка максимума; все точки плоскости х=0 и точки пря-
мых г = 0, у + Зх—2=0 и у = 0, 2—2г — Зх = 0 — седловые; при г = 0,
у=т^0, х#=0 и у+ 3x^=2—нестрогий экстремум. 259. (л/6, л/6)—
точка максимума. (5л/6, 5л/6) — седловая точка. 260. (0,0) —
точка минимума; все точки окружности х2 4- у2 = 1 —точки нестрогого
максимума. 262. (2, 1/2, 1)—точка минимума. 263. (0, 0)—точка мак-
симума. 264. (0, 0)—седловая точка; все точки гиперболы х2—у2 = \—
точки нестрогого максимума; все точки гиперболы у2—х2 = 1—точки
нестрогого минимума. 265. а) Седловая точка, б) седловая точка.
266. Точка максимума. 267. а) Седловая точка, б) седловая точка.
378
268. ^-^-аУЗ, ~ aj, (—^-аУЗ, aj—точки максимума ордина-
ты; [~аУЗ, —^-а^, (——точки минимума орди-
наты; (а]/2, 0)—точка максимума абсциссы; (— аУ2, 0)—точка
минимума абсциссы. 269. (а Зу 4, а 2 )—точка максимума абсциссы;
(а у' 2, а^4)—точка максимума ординаты. 270. (4, 4), (4, —4) —
точки максимума абсциссы; (2 Уз, —2 у7 27)—точка минимума орди-
наты; (2 УЗ, 2 У27) — точка максимума ординаты. 271. (0, 2)—точка
максимума ординаты, ' (У2 (|/5 —1), 1—/5), ( — У 2 (У5 —1),
1—Уб)—точки минимума ординаты. 272. (—1, Уз), (—1, —У 3)—
точки минимума абсциссы; (3, 3 У 3)—точка максимума ординаты;
(3, -3 уз) —точка минимума ординаты; (8, 0)—точка максимума
абсциссы. 273. (Уз/2 У2, у^27/2 |/2)—точка максимума абсциссы;
(—У3/2 У2, —у 27/2 / 2 )—точка минимума абсциссы; (|/ 27/2 У2,
^3/2 У2) —точка максимума ординаты; (—-^27/2 У2, —4уЗ/2У2)—
точка минимума ординаты. 274.^-—,^-а + У а2 + 4]—точка максимума;
а—~']/а2 + 4^—точка минимума. 275.^
2 \ /1
4--—=—точка максимума; —6 4--------—6
3 у 3 / \ 3 "у 3
нимума. 276. -256 —точка максимума. 277. (—3, 6)—точка
\ 25 3125 / J
максимума; (3, —6)—точка минимума. 278. (0, —2)—точка локаль-
ного минимума, г(0, —2) = 1, (0, 16/7)—точка локального максиму-
ма, г(0, 16/7) = —8/7. 279. гтах = 0 при х = у = \; zmin = — 4 при
х = 1, г/= 9. 280. гтах=4 при x = z/ = l, гт1п =—4 при х — у ——1.
2тах=У2 при х = 0, у = 0;
и х= —1, у — —1;
1. 282.
з/з
|—точка ми-
281. 2т?п=—У2 при х = 0, у — 0;
1 + уз при X = l, z/=l
= —1 + УЗ при х = 1, у = 1 и
Zmln —
х= —1, у =
= —12 УЗ при х =—6, у=—6 УЗ, 2тах
1/ = бУз. 285. (4,2,—1)—точка максимума, f,
точка минимума, /min =—10. 286. (л/З, л/6)—точка максимума,
/шах = л/3; (—л/З, —л/6)—точка минимума, fmm=—л/З. 287. (а/2,
а/2)—точка максимума, /тах = а3/4. 288. (а/УЗ, —а/УЗ, —а/Уз).
Zmin —
= 12 }/3 при х =—6,
max —12; (-4, —2, 1)-
379
{—alV3, а/УЗ, —а/УЗ), (—аГУЗ, —а/УЗ, а/УЗ), (а/У3, а/УЗг
а/УЗ)—точки максимума, /,гг1Х=с3/3 У 3; (—а/уЗ, —а/УЗ, —а/УЗ),
(—а/УЗ, а/УЗ, а/Уз), (а/УЗ, —а/УЗ, а/Уз), (а/УЗ, а/уЗ,
—а/уз)—точки минимума, /т1п =—а3/ЗУЗ. 289. (а/УЗ, а/УЗ,
а/УЗ)—точка максимума, /тах = а313УЗ. 290. (4/3, 4/3, 7/3), (4/3,
7/3, 4/3), (7/3, 4/3, 4/3)—точки максимума, /тах = 4-^-; (2, 2, 1),
(2, 1, 2), (1, 2, 2)—точки минимума, /ты = 4. 291. (1, 1, 1)—точка
максимума, /тах = 2. 292. /тах = 1/27тп в точке (1/3, 1/уЗт,
l/j/3n). 293. — в точке (х,, х2, хл), где Xi=aln.
Указание. Воспользоваться тем, что определитель матрицы квадратич-
ной формы d2f удовлетворяет соотношению Ап = 1 +An~i. 294. fmax =
/ ~ I / п
= а1/ В точке (х>, х2, ..., хп), где х( = а>* ]/
i=l I i=l
1/£ 2
/min=—k у У в точке (хх, х2,
295. /min =—2 при х—1, у~2\ /тах = 2/27 при х=1/3, у = 2/3.
296. /тах = 17 при х = 0, у = \ и х = 1, у = \\ /min =—17/4 при х =
= -у, // — О- 297. /тах = 8 при х = 2, г/ = 0; fmin= —1/16 при х =
— У = 298. /так = 2/9 при х=1, г/ = 4/3; /min = 0 на всей
границе. 299. /тах = 27 при х = 2, у =2; /min= — 2 при х = 1, у — 0.
300. /max = 1 при Х=п, у = 0 И X = 0, У--Я’, X = 0, !/ = 0иХ=П,
у = я; fmin——1/8 при х = л/3, у = я/3 и х = 2л/3, г/ = 2л/3.
301. /тах = 2 при х = 2, у —О’, /min=0 во всех точках хорды Х=1
и на параболе уг=х, составляющей [часть контура области.
302. /тах = а3 + 27 при х = 0, у = а и х = а, у = 0-, /min = 0 при х = 3,
у = 3. 303. /max = 2а* при х = а, у = а\ /min=—1 при х = 0, у=\
их=1, г/= 0. 304. /max = а2 при х = г/ = г = а/УЗ, fm\n=—оа/2 на
всей окружности х2 + уъ + г2 =а2, x + y + z = 0. 305. /тах = 1+У2
при х=1/У2, г/=1/У_2, г = 1; /пнп = —1/2 при х =—1/2, у=—1/2,
2 = 1/2. 306. /min = 0 при Х = О, г/ = 0; /тах = 2 -5+g/5
при х = у, cosx = ^—307. а/5, а/5, а/5, а/5, а/5. 308. —, —, ...
4 п п
..., —. 309. X; =------, i=l, 2, ..., п. Указание. Рае-
га a1 + a2+i... +a„
380
смотреть 1пг. 310. а/п. 311. — +— + — = 3. 312. Куб со стороной
а b с
а/12. 313. Куб со стороной yrV. 314. Длины сторон равны — а,
3
-|-Ь, ~с- 316. Стороны треугольника равны и
317. Если В и С—точки пересечения прямой со сторонами угла, то
|ВЛ1| = |Л4С|. 318. DBE — равнобедренный треугольник. 319. Пра-
вильный. 320. Точка О должна удовлетворять условиям АОВ — ВОС —
= АОС — -^-. 321. Центр тяжести треугольника. 322. | OOj | =
3
gib-2 — аД , |ОО2| — _ 323. Квадраты радиуса основа-
bt 41 + а2
ния, высоты и образующей конуса относятся, как 1:2:3. 324.
Вписанный в окружность. 325. АС — диаметр, точки В и D
расположены на окружности по разные стороны диаметра
CAB==CAD — ~a. 327. рД/5. 328. Уб + У12, Кб — /12.
329. _£+-gi)L + Д Д' 1Л'_ L = mn1—nmx, М = п1г —
У Д*. У
—In,, N — lm,—ml,. 330. x = -^------- у = .
1 11 n n
Tm‘
ie=l i=l
Глава IV
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ
И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
1. Привести пример функции, определенной на [а, &], непрерыв-
ной на (а, Ь), но не интегрируемой по Риману на [а, Ь].
2. Привести пример дифференцируемой на всей прямой функ-
ции, производная которой не интегрируема по Риману [—1, 1].
3. Привести пример функции, интегрируемой по Риману на
[— 1, 1]. но не имеющей на этом отрезке первообразной.
4. Доказать, что функция Римана
381
О , х—иррациональное;
— х= —, где т—целое, m^Q, п—натуральное
R (х) = < п п
| число, ——несократимая дробь
г "
Р
интегрируема на [0, 1] и найти F(a, 0) — [ R (х) dx, (а, 0) cl [0, 1].
а
5. Функция Дирихле
1, х—рациональное,
О, х — иррациональное
Д(х) =
отличается от функции Римана только в рациональных точках.
Функция Дирихле не интегрируема по Риману (почему?) на {0, 1].
Таким образом, изменение функции на счетном множестве точек
может вывести ее из класса интегрируемых функций. Доказать,
что изменение интегрируемой функции на конечном множестве то-
чек не нарушает интегрируемости функции и не изменяет величи-
ны интеграла.
6. Привести пример неинтегрируемой по Риману на [0, 1]
функции, квадрат которой есть интегрируемая по Риману на [0, 1]
функция.
7. Функция f(x) интегрируема по Риману на [0, 1] и
[ /(x)dx>0. Доказать, что существует отрезок [a, 0]cz[O, 1] та-
fl
кой, что f(x)>0 для любого хе[а, 0].
8. Доказать, что для ограниченной и монотонной на [0, 1]
функции f существует постоянная С такая, что для любого яеМ
|>)
о
4=1
с
п
9. Функция f имеет на [0, 1] ограниченную производную. До-
казать, что существует постоянная С такая, что для любого mg
e.V
I п
\f(x)dx—)!<—.
J п AJ \ п /1 п
о 4=1
10. Пусть функция f непрерывна на [а, 6] и для любых Xi и х2
из [а, Ь] справедливо неравенство
с [ X, X, \ __ f (х,) + f (х,) , . ,
f [ ——-) (свойство выпуклости).
382
Доказать, что тогда
ь
f / а + b \ ,, ч___________f (а) 4- f (b) ,, 4
a
11. Пусть функции fug непрерывны и монотонно возрастают
на [0, 1]. Доказать, что
1 1 1
j / (х) g (х) dx > J / (х) dx • f g (x) dx.
о 6 6
12. Модулем непрерывности функции f на отрезке [а, b] назы-
вается функция
uy(6) = sup|Hx1)— / (х2) I.
Xi, х2, |Xj—х2|<6, хп х2е [а, 6].
Доказать, что для разбиения Т6 отрезка [а, Ь] с параметром &
справедлива оценка
S(f, T6)-s(f, Tt)<(b-a)w(6).
13. Функция f интегрируема по Риману на [а, Ь]. Доказать, что
существует последовательность непрерывных на [а, Ь] функций
фп таких, что
ь
J|f(x)—ф„(х)|</х->0, ц->оо.
а
14. Доказать, что интегрируемая по Риману на [а, Ь] функция
f обладает свойством интегральной непрерывности, т. е. для любо-
го отрезка [а, р]сд(а, Ь)
₽
lim j | f (x 4- h) —f (x) | dx = 0.
A-*0 ‘a
15. Привести пример непрерывной на [а, b] и не равной тожде-
ь
ственно нулю функции f, для которой, j f (х) dx = 0.
а
16. Доказать, что если непрерывная на [а, Ь] функция f не
равна тождественно нулю, то найдется отрезок [а, Ь] та-
кой, что J/(x)dx=^0 (ср. с задачей № 4).
а
17. Доказать, что для непрерывной на [а, Ь] функции f из ра-
ь
венства ( /2 (х) dx = 0 следует, что f есть тождественный нуль на
[а, И
383
18. Функции fag интегрируемы по Риману на [а, Ь]. Доказать
неравенство
ь ь ь
[.[ f (х) g (х) dx]2 < f f2 (х) dx- j g2 (x) dx.
a a a
19. Функции fag непрерывны на [а, Ь]. Найти необходимое и
достаточное условие справедливости равенства
ь ъ ь
[J f (*) g (*) dx]2 = J f2 (x) dx f g2 (x) dx.
a a a
20. Доказать, что для непрерывной на всей числовой прямой
функции f, периодической с периодом Т, и любого числа а спра-
ведливо равенство
a+т Т
j f (х) dx = j" f (x) dx.
a 6
21. Функция f непрерывна на всей числовой прямой, и для лю-
бого числа а справедливо равенство
а+г Г
J f (х) dx = j f (х) dx.
а 0
Доказать, что f — периодическая функция.
22. Функция f определена на всей числовой прямой, непрерыв-
на и периодическая с периодом Т. Найти необходимое и достаточ-
ное условие для того, чтобы функция
X
F(x)=\f{t)dt
6
была периодической с периодом Т.
23. Функция f непрерывна на [—I, I]. Доказать, что если f чет-
ная, то
i i
f f (х) dx = 2 f f (х) dx,
—i 6
а если f нечетная, то
i
§ f (х) dx = 0.
24. Доказать, что любая первообразная нечетной функции яв-
ляется функцией четной, а среди первообразных четной функции
есть, и притом только одна, нечетная функция.
384
25. Доказать, что для непрерывной на [—1, 1] функции справед-
ливо равенство:
л л/2 л/2 л/2
J/(sinx)dx = 2 ) /(sinx)dx==2 ) f(cosx)dx = j* f(cosx)dx.
ООО —л/2
26. Функция ср непрерывна на [О, Z], и для всех хе [О, /] имеем
ф(/—х)=ф(х). Функция f непрерывна на отрезке ф([0, /])•
Доказать, что:
I 1/2
a) f f ($>(x))dx = 2 f /(ф(х))</х;
6 b
i i
б) jx/(<p(x))dx = -y
о о
27. Функция
, . _ , — 20 (x1 — 32x3 + 12x2 + 8x — 64)__
S ' ~ 16x« — 32x5 + 169л4 — 1056x3 + 6784x2 — 512x + 256
i /'(x)
всюду, кроме точки х = 1, равна , где
f (х) = х (80~5*)
М ’ 4(1 —х) (х2 + 4) '
Найти:
О 4
a) j g (х) dx; б) [ g (х) dx.
—4 6
28. Пусть
( х , О^х^ 1/2;
^х)=(д(х), 1/2 <х^ 1.
Указать, какое из следующих соотношений неверно и почему:
1/2 Л/6
a) J f(x)dx= j f (sin/) cos/dt;
о о
5 л
1/2 6
6) f (x) dx— / (sin /) cos /dt.
6 b
29. Привести пример непрерывных на [0, 1] функций f и g та-
ких, что g монотонна на [0, 1], gjO, 1]=[0, 1] и функция f(g(x))X
Xg'(x) не интегрируема по Риману на (0, 1].
14 И. А. Виноградова 385
30. Найти:
ь
а) i e~x2dx;
da J
a
b
в) —— f e~x2 dx;
db J
a
31. Пусть
/ sinx
f(x)= X
ь
б) — С e~x*dx;
dx J
a
Z?2 cos a
г) C In (1 +x2) dx; д) — C ln(l+x2)dx.
db J da J
a sin a
¥= 0;
I 0 , x = 0.
X
Доказать, что f интегрируема на [—1, 1] и F(x)= J f (/) dt диф-
-i
ференцируема на (—1, 1). Найти f'(0).
32. Пусть интегрируемая на [а, Ь] функция f имеет в точке хо^
X
е (а, Ь) неустранимый разрыв первого рода и F (х) = J f (t) dt.
а
Доказать, что F не является дифференцируемой в точке Хо.
33. Пусть
sin—, х=#0;
£(х)= х
I 0 , х=0.
Доказать, что существует постоянная С такая, что
X
Ц §(/)<# |<iCx2, |хК1-
6
34. Привести пример функции, имеющей неустранимый разрыв
в точке х = 0, интегрируемой по Риману на [—1, 1], такой, что
X
функция F(x) = j f(t)dt дифференцируема во всех точках ин-
—1
тервала (—1, 1).
35. Функция f непрерывна и неотрицательна на [0, +оо) и
X
dt^O для любого х>0. Доказать, что функция
б
х
[ if W dt
j* f (О dt
6
возрастает на (0, +оо).
386
36. Доказать, что для любого 7>л/2 справедливо неравенство
f -^^dx< 0.
J X
л/2
37. Функция f непрерывна на [0, +оо) и lim f(x) = A. Найти
lim — у
;-»+оо X J
О
38. Функция f непрерывна и неотрицательна на [а, Ь].
Доказать, что
ь
Пт Г( fn (x)dx\'ln = M,
n-»+oo a J
где
М = max f (х),
ж€[а,4]
39. Доказать, что
Л/2
lim J cos'txdx = 0.
п->о0 -л/2
Л
40. Сравнить числа [esin’xdx и Зл/2.
б
41. На отрезке [—л/2, л/2] нет точки £ такой, что
Л/2 л/2
J хsinxdx = g J sinxdx,
—Л/2 —л/2
Л/2 Л/2
так как J sinxdx = 0, a J хsinxdxу=0 (проверить). Какое условие
—Л/2 —Л/2
теоремы о среднем нарушено?
42. Пусть
g(x) = signx+
На отрезке [—3, 1] нет точки £ такой, что
1
j g(x)dx = g(g)(l-(-3)),
—3
1
так как [ g(x)dx = 0, а функция g(x) не принимает нулевого значе-
—з
ния. Какое условие теоремы о среднем нарушено?
14* 387
43. Функция f интегрируема по Риману на [а, Ь]. Доказать ра-
венство
ь Ь-е,
f/(x)dx = lim ( lim ( f(x)dx}.
a E1^0+ e-O+a^e
44. Функция g неотрицательна на [а, Ь] и интегрируема по Ри-
ману на [а, Ь], функция f непрерывна на (а, Ь) и произведение fg
интегрируемо по Риману на [а, 6]. Доказать, что в этих условиях
справедлива теорема о среднем, т. е. найдется такая точка
ь ъ
е(а, Ь),что f f (x)g(x)dx=f(£) \g(x)dx.
a a
45. Доказать, что
2л
snx , п
----dx > 0.
X
О
46. Пусть <р — монотонно возрастающая, непрерывно диффе-
ренцируемая на [0, +оо) функция, отображающая [0, +оо) в [а, Ь).
Доказать, что для любой непрерывной на [а, 6] функции f имеем
ь т
\f(x)dx = lim f f (ср (f)) ф' (0 dt.
а Г-»4-оо q
47. Функция f непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Дока-
зать, что
1 1 1
.(I/(х) | dxsC max {.[if (x)|dx, | ff (x)dx|).
6 0 0
48. Функция f непрерывно дифференцируема на [0, 1] и f(l) —
—/(0) = 1. Доказать, что
i
[[/' (х)]Мх>1.
о
49. Найти дифференцируемую на [0, +оо) неотрицательную
функцию f такую, что при замене независимого переменного х=
X
=х(£), где £ = f f (0 dt, она переходит в функцию е~\
о
50. Функция f определена на [0, 1] и убывает на нем. Доказать,
что для любого ае (0, 1) имеем
f f (х) dx а ( / (х) dx.
о 5
388
51. Доказать, что
/2^
[ sin х2 dx > 0.
b
52. Доказать, что для непрерывных функций и(х) и о(х) таких,
что и(х)>0 и у(х):»0, удовлетворяющих условию
t
u(f)^.C + [ и (х) v (х) dx, С > 0, t > а,
а
справедливо неравенство
t
u(f)^.C exp (J v (x) dxk
a
53. Доказать, что для непрерывных функций u(x) и v(x) та-
ких, что и(х)>0 и п(х)>0, удовлетворяющих условию
t
ит (t)^C + J u(x)v(x) dx, С > 0, m>l, t > а,
а
справедливо
t
и (/) Cr exp (J v (х) dx^.
а
54. Доказать, что если интегрируемая на [а, 6] функция f стро-
ь
го положительна, то f (х) dx > 0.
а
55. Для заданного отрезка [а, Ь] и заданных чисел А, В, kx и
Aj обозначим через т и М соответственно числа
min ku k2, ------- , max «j, /г2, ---- .
\ Ь — a j \ Ь — а }
Доказать, что для любого е>0 существует функция fe
еС!(—оо, +оо) со следующими свойствами:
а) /(а)=Д, f(b)~B-
б) f'(a)=kh f'(b)=k2;
в) m—е</'(х) <Л1+в, х^[а, Ь].
Следующее построение используется в задачах 56 и 57. Обо-
значим через Ui.i интервал с центром в точке 1/2 и длиной 1/5.
Множество [0, l]\us,i состоит из двух отрезков pi.i и pi,2. Интер-
валы u2.i, и2,2 имеют центры в центрах отрезков pi,It pi,2 соответ-
ственно и длину 1/52. Интервалы и|е1, и2,ь и2Л взаимно не пересе-
2 2
каются и множество [0, 1]\ (J U U; / состоит из четырех отрез-
<-i /=1
389
ков p2,i, р2.2, Рг.з, Р2.4- Пусть построены взаимно непересекающиеся
k 2* '
интервалы uij для 1</<2'-1. Множество [0,11\ (J U Ui <
i=i /=i ’
состоит из 2* отрезков pft р pk 2; pft 2ь Тогда интерва-
лы
U*+1,P U*-f-1.2’ •••• “*4-1,2*
имеют центры в центрах отрезков рЛ и рЛ 2, .... pft 2* соответ-
ственно и длину 1/5*+1. Таким образом, по индукции определяет-
ся бесконечная система интервалов
Ut.j, l<i<oo, 1</<2г-1.
56. Доказать, что множество
Р = [0, 1]\ и и «и
есть замкнутое множество не меры нуль.
57. Обозначим через <р(Х, (а, Ь), х) (Х<1) функцию, равную
нулю на промежутках
аb______Ь — а \ / а-\-Ь Ь — а
2 2 / ’ I 2 + 2 '
ь
я
и равную X (Ь—a) cos2 -
а + Ь \
х —-------
2 /
------------ на отрезках
X(b — а)---г
а 4- 6 « Ь — а]
--------Н Л-----.
2 2
х^
2
2
Положим
F(x) =
{ 1 \
<р f —, Uij, хj, хеuij,
’0 , xeP|J( —оо, 0)U (1, +oo),
где интервалы Uij, l<i<oo, l</<2i-1, определены перед задачей
CD 2 1
№ 56 и P=[0, 1]\U U ui.i- Пользуясь критерием Лебега, до-
1=1 /=1
казать, что функция F дифференцируема на всей прямой и функ-
ция F' ограничена, но не интегрируема по Риману на [0, 1].
58. Привести пример функций f:[0, 1]->-Р и G:[0, таких,
что f непрерывно дифференцируема на [0, 1], G строго монотонна
и всюду дифференцируема на [0, 1] и равенство
1 1
f (х) G (х) dx = f (х) G (х) [J — J f (х) G' (х) dx
о о
390
не имеет места из-за того, что интеграл в правой части этого ра-
венства не существует.
59. Привести пример функций ):[0, и ср:[О, 1] та-
ких, что f непрерывно дифференцируема на [0, 1], <р строг» моно-
тонна и всюду дифференцируема на [О, 1], а равенство
1 1
j f (х) dx = J f (q> (x)) <p' (x) dx
о 0
не имеет места из-за того, что интеграл в правой части этого ра-
венства не существует.
Ответы и указания
[---------?---------, х е (а, Ь)-,
1- f(x) = (х — а)(х — Ь)
[ 0, х = а, х = Ь.
2. F(x) =
х2 sin — , хф О,
х2
О, х = 0.
Функция / интегрируема по Риману на [—1, 1], так как она ограни-
чена и монотонна на [—1, 1]. Предположим, что существует непре-
рывная на [—1, 1] функция F (х) такая, что F' (х) = /(х) для всех
хё[—1, 1]\Др, где Кр—конечное множество точек из [—1, 1].
Тогда найдется такое п0, что на отрезке [3/2n““2, 1/2"”-1] нет точек
из Кв, т. е. F’=f всюду на этом отрезке. Тогда функция !f должна
f / 3 г \ 1
на этом отрезке принимать все значения между /1 и
f = ~~ (см. №220 ч. I, гл. IV). Но других значений, жроме
чисел вида 1/2р, функция f (х) не принимает. Следовательно, предпо-
ложение о существовании первообразной неверно. 4. F (а, 0)=О для
любого [а, 01 с [0, 1]. 5. Указание. Пусть ф (х) = f 1> х-~хо> Дока’
х Ф х0.
зать, что J<p(x)dx = O для любых а и 0. Если f(x)=g(x) всюду,
а
b Ь
кроме точки х = х0, то J [f (х) — g (х)] dx= J [f (х0) —- g (х0)] dx =
а а
391
, с , „ , „ „ , . „ f 1, х—рациональное; _ Л.
= k f <p(x)dx = 0. 6. f (x) = { F 7. Указание.
J I—1, x — иррациональное.
Предположим противное, т. е. что для любого отрезка [а, Р] cz [0, 1]
существует хаР cz [а, £] такое, что f (хаР) < 0. Следовательно,
inf /(х)^0. Тогда для любого разбиения Т отрезка [0, 1] имеем
*е[а.₽]
1
8 (Д 7)^0 и f / (х) dx = sup s (/, T’J^O, что противоречит условию
о т
k
1 1 п
J/(x)dx>0. 8. Jf(x)dx--------— I
о о fc=l
Пусть f (х) невозрастающая, тогда
Г k — 1 k „ 1
е -------, — . Следовательно, —
[ п п п
п
отсюда получаем, что 0
/?=1
ы
п
w < /Р—-Ч для х <=
\ п / \ п /
k
п
f/(x)dx<-L
\ n / J П \ П )
k—l
n
k
n
( f f (x) dx--L f
kJ fl \ n
k-l
n
[/(0)—/(!)]• Аналогично рассмат-
ривается случай неубывающей функции /(х). 9. Указание. Для оцен-
LL
п
ки] J Дх) dx применить теорему о среднем. 10. Из непрерывности и вы-
fe-i
’п "
пуклости f (х) следует, что /(х)^ При х [a, &].jOt-
Ь — а
сюда следует правое неравенство. Для доказательства левого неравенст-
ва сделать замену переменного х = а 4~--- +1. 11. Обозначим f Дх) dx = А.
2 о
В силу теоремы о среднем существует точка с = [0, 1] такая, что
f (с) = А, а в силу возрастания f справедливы неравенства А—f (х) 0
для О^х^с, f(x)—А^0дляс^х^1. Применяя теорему о сред-
392
С с
нем, получаем, что ^(х)(Л—f (х)) dx — g (gx) j (Л —f (x)) dx, e
6 6
e [0, с], и Jg(x)(/(x) —A)dx = g(l2) if ix) — A)dx, g2e[c, 1]. Так
какО^ j” (A—f(x))dx — Ac— | / (x)
b о
= 'J if W —A) dx и g (^) «С g О
c
1
f g ix) if (*) —A) dx, откуда следует,
i
dx = Ac — (A — j- f (x) dx^ =
c
TO g (x) (4 — f ix)) dx <
0
1 1
что A \ g(x)dx = ^ f (x) dx x
b о
i i
X [ gix)dxs^ g(x) f(x)dx. 13. Так как / интегрируема на [a, 6], то
b b
для любого е >0 существует такое разбиение Т отрезка’ [а, /], что
п
l^Sif, Т)< /4-8, т. е. /С £ Mk ixk — Xk-\) < I 4- е, где Mk =
t=i
х / \ n i \ ( x e= [xfe, хк— J; _ . .
= sup fix). Пусть <pB(x)= * 1 J Тогда q>s (x) ин-
I ‘An, x — b.
b
тегрируема на [a, Ь] и <pe (x) dx = S if, T). Функция фе(х) разрывна в
a
точках xx, x2, ...,xn-i из отрезка [a, &] и inf f = m^ <pe (x) д4 M =
*e[a,b\
— sup f. Возьмем отрезки [xfe—6, xk 4- 6], где 6'< — max [xk—Xk-11
*i[a,b] • 2 Isgtegn
и k = 1, 2, ... , n — 1. Отрезки [xk—6, xk 4- 6] не пересекаются. Пусть
фе,б = М1 для хе [а, хх— б], <fe,t = Mn для’хе- [хп_] 4-6, b), (f£,s = Mk
для хе [х*4-6, —6],й= 1,2, ...,п—2, и линейна на отрезках
[xfc—6, xk 4-6], 6=1,2, ...,п — 1; фе,j определена однозначно, так
как значения на концах отрезка уже определены. Тогда функция
ь ь
фв.с(х) непрерывна на [а, Ь] и | J [f(x) — <ре,<з (х)] dx| | J if ix) —
а а
b b
— Фе[(х)) dx| 4- | j (Фе (х) — Фе,в (х)) dx| = | j / (х) dx — S if, Т) | 4*
а а
Ъ
4-1 j (фЕ (х) —фе,с (х))dx | дС 8 4- (п— 1) (|М| 4- |/и|)б. Отсюда следует
а
утверждение. 14. Указание. Если / непрерывна на [а, Ь], то ш(б)->0
393
при 6->0 (см. задачу №12). Если / не является непрерывной, то вос-
/ ( Ь -4- а \\
/ 2л I х-----\
I \ 2/1
пользоваться результатом задачи № 13. 15. / (х) — sin I----------- I-
\ Ь — а /
18. Указание. Рассмотреть квадратный трехчлен относительно Л:
ь
У (f (х) —(х))2 dx- 19. Функции f (х) и g (х) линейно зависимы на
а
а±Т Т
[а, й]. 21. Пусть Ф (а) = j f(x)dx — ^f(x)dx. Тогда по условию
а О
Т
Ф(а) = 0и, следовательно, Ф'(а)—/(а + Т)—f(a)sO. 22. J f(t)dt~0.
о
л/2
25. Указание. В интеграле J /(sinx)dx сделать замену: а) л—x = t\
о
2 2
б) -----х = t. 26. Указание. В интегралах J f (ср (х)) dx и J xf (ср (х)) dx
о о
Зл
сделать замену I—x = t. 27. а) л/4; б) ------. Обратить внимание на то,
4
что функция arctg/(х) на отрезке [0, 4J не является первообразной
для g (х). 28. а) Верно; б) Неверно, так как образ отрезка [0, 5л/6]
при отображении ^ = sinx есть отрезок [0, 1], на котором f не интег-
рируема. 29. Рассмотрим функции / (х) == 1 и
0, х^ 0;
_J_ хе Г—!—, —Д.-----------!--------1 n = Q 1 ....
ЗП+1 [ 2n+1 2'1 (п +1) 3n+1 ]
\ „ л (п + 1) 3n+1 (х — —7— 'j
g(x) =12 2 Г ( 2" I
»------------cos ------- ч
| 3П+1 3п+1 2
/1 1 1 \ л ,
х е--------------------, -- ; п = 0, 1, ...
\ 2п (n + 1) Зп 2" /
(1, х^ 1.
Покажем, что справедливы следующие утверждения: a) g непрерывна
на (0, 1]; б) g дифференцируема на (0, 1]; g' (х) неотрицательна и
не ограничена на (0, 1]; в) lim g(x)=0; г) производная функции g
в нуле существует и равна нулю. Действительно, а) Обозначим хп =
= хп = ~----------( ’ п = 0’1’ ' ’ ’ ’ И3 определения функции g
394
видно, что она непрерывна на каждом из интервалов (х„+1, хп), (хп,
Хп), п = 0,1,..., и интервале (1, оо). Так как lim g (х) = — V.*. -р-
Н—— = = g (хп) = lim g(x) и limg(x) = —! 1—— cos2——
3n+1 3n ё V nl х-гД 3n+l 3n+l 2
= —-— — g(xn) = lim g(x), то функция g непрерывна в каждой из
3"+l
точек xn,~xn, тг = О, 1, .... Итак, g непрерывна на (0, 1]. б) Из опре-
деления функции g видно, что она дифференцируема на интервале
(1,оо) и на каждом из интервалов (xn+i,xn), (хп,хп), п = 0, 1,...,
причем g' (х) =0, х <= (х„+ь х„), п = 0, 1, ... ; g' (х) = —2- (n + 1) х
X sin л (тг-Н) Зп+’^х-----хе(х„, хп), п=0,1,...; g'(x) = 0,
х > 1. Остается проверить дифференцируемость g в каждой из точек
х„, х„, тг = О, 1, .... Так как g непрерывна в этих (точках, то доста-
точно показать, что lim g' (х) = lim g' (х) lim g' (х)~ lim g' (x).
ж~',хл+ x~^xn~ x->-£^+ z->xn--
Действительно, lim g'(x) = 0 и lim g'(x)=|—— (n + 1) sin 0 = 0,
x->xn+ x~,’xn~ 2
lim g'(x) = 0 и lim g'(x) = —(n + 1) sin 3" p--Л = 0. Если
x^xn~ x^xn+ 2 3n+1
X<=(xn,xn), TO -~^~+ Ц- < X~-^- <°> поэтому g\x)>0 для xs
G(xn, xn), следовательно, g'(x)^0 для xeiO, 1]. Наконец, если
x0— Xn to g' (x0) = — (тг+l), t. e. g' не ограничена на (0, 1].
2 2
в) Так как g’ (х)> 0 для хе (0, 1], то функция g монотонна, следо-
вательно, предел g (х) при х -► 0 + существует, и так как хп -> 0 4-
+ (п-> оо), то lim g (х) = limg (х„) = limg М-') = lim — = 0. г) Если
Х-*0+ п—*ос п->оо \ 2п / п->ос Зп у
Г 1 1 I л 1
хе --------, ---- , n = 0, 1,..., то в силу монотонности имеем, что
2n+1 2n I
q g W — g (0) 2n+1 g (-1—'j = ~. так как условие х -> 0 + экви-
валентно условию п + оо, то g' (0) = lim g~g(91 — 0. Посколь-
+ х-»04- х
ку g непрерывна в нуле и g'_ (0) = 0, то g дифференцируема в нуле
и ё’ (0) = 0- Из условий а) — г) следует, что функции / (х) s 1 и
g (х) удовлетворяют требованиям задачи. 20. а) —е~аг', б) 0; в) ег~ь’
395
г) 26 In (1 + Z>2); д) —sin a In (1 4- cos8 a) — cos a In (1 4- sin8 a).
31. F'(0) = l-33- Так как g( — x) — — g(x), to
—r
| Jff (0^| = | Jff (0^|.
0
т. e. при доказательстве можно считать, что
О < х 1. Так как
Iff (01 с1
для любого х е [0, 1]. Далее,
то | f ff (ОН ] < *2
6
Итак,
У sin -i- dt | 2x8 4- 2 J tdt — 3x8;
x1 0
g (0 dt | sC 4xa. 34. f (x) =
b
sin—, x=# 0; r CO<!1:
= x ’a 36. Пусть Ф (7) = ( dx. Тогда Ф' (T) =
, О, X = 0. n/2
~-osT и точками локального максимума Ф(Т’) на [л/2, 4-оо) будут
точки Tk, в которых cos 7 меняет] знак с 4- на —, т. е. точки
Tk = ^+2kn, k^N, Ф(Т*) = ^
п=0
COS X .
------dx.
X
Используя теорему о среднем, докажем, что для любого
5Л , Зл f — а 5л а — а
----Ь2Ал -----|~2fcn -Ь2£л
2 2 2
, . т С COS Xi f* COS X i (* COS X J а л
k e N \ --------dx — \ ------dx 4- \ -------dx < 0.
J X J X J X
Л I Л , 3л a
\-2kn \-2kn ^2kn
2----------------------------------------------------2-2
Следовательно, Ф (T) sup Ф (Tk) < 0. 37. A. 38. Пусть /(x0)=M.
k
Тогда для любого e > 0 существует такое h > 0, что на отрезке
6пс[а,6] длины h, содержащем х0, имеем /(х) >Л1—е. Тогда
ь
{(Ь—а) Мп)',п > [ J f (х) dx]1/n > {J fn (х) dx} n > {h (M—e)n},/n,
a -en
ь
и в силу произвольности 8 отсюда получаем, что lim } J fn (х) dx}1/n = М.
396
b—г
44. Указание. Применить теорему о среднем к интегралу j f (х) g (x) dx
a+e
а использовать результат задачи №43. 45. Указание. См. задачу №44.
46. Указание. Использовать результат задачи № 43. 48. Указание.
Воспользоваться неравенством [/' (х)]2 2/' (х)— 1. 49. По условию
X X
ехр [ — j f (/) dt} = f (x) или \f(t)dt =—ln/(x). Дифференцируя это
о b
равенство, находим /'(х) =—(/(х))2; так как /(0)=е°=1, то /(х) =
1 a
— —5—. 50. Имеем —-—Г f (х) dx^. f (a) — С f (х) dx, откуда
х+ 1 1 —-a J a J
a О
<a Г/(x) dx^ (1—a) i f (x) dx и a f (x) dx^ ? f (x) dx. 51. Указание,
a oob
Сделать замену переменного x2 = у и полученный интеграл преобразо-
вать к интегралу по промежутку [0, л]. 52. Из неравенства uft)^
t
С + и (х) v (х) dx получаем ---v. Проинтегрировав обе час-
в С + f uvdx
а
t
та этого неравенства от а до t, получим неравенство In [С 4- uvdxj —
а
t t t
— In C^^vdx или неравенство С 4-j uvdx^. С exp u(x) dx}.
a a a
353. Указание. Воспользоваться тем, что функция g(u) — u—ит огра-
ничена сверху и задачей 52. 54. Первое решение. Из неравенст-
ь
:ва f (х) > 0 для любого х ЕЕ [а, Ь] следует, что J / (х) dx 0. Если
а
Ь &'
f (х) dx = 0, то для любого отрезка [а', Ь’] ед [а, Ь] имеем / (х) dx = 0
•в а'
b
(почему Если j/(x)dx = O, то существует такое разбиение Т от-
а
п
резка [а, Ь], что S (/, Т) = у Mt (х,•— x,_i) < b— а, где Mt = sup f,
следовательно, хотя бы для одного отрезка разбиения [x/.-i.xJJ име-
«м sup /<1. Обозначим [x(o_i, х,0] через [аЛ, dj. Тем же рас-
1*1,-\-xi^
суждением получаем, что найдется отрезок [а2, 62] с [ап такой,
397
что sup f <—. Продолжая это рассуждение, получим систему вло-
женных отрезков \а„, ЬД, q^N, таких, что sup /< —следова-
q
тельно, если ceQ [а?, Ь?], то /(с)^0. Итак, предположение, что
(“1
Ь
j f(x)dx — 0, противоречит условию: /(х)>0 для любого хе [а, 6].
а
b
Следовательно, J/(x)dx>0. Второе решение. Так как / интег-
а
рируема по Риману, то в силу критерия Лебега множество точек ее
разрыва есть множество меры нуль. Тогда существует точка х0 е (а, Ь),
в которой функция непрерывна, следовательно, существует интервал
(с, d) с (а, Ь) и число е > 0 такие, что х0 се (с, d) и / (х) > е для лю-
бого хе (с, d), откуда следует утверждение задачи. 55. Ищем функ-
X
цию / в виде / (х) = J ср (/) di + А. Чтобы функция f удовлетворяла
а
условиям а), б), в), достаточно, чтобы функция ср удовлетворяла сле-
дующим условиям: 1) <реС( —оо, -f-oo); 2) ср(а)=^, <р(/>)=&2;
ь
3) т — esC ср (х) sC М + е, xs[a, д]; 4) ср (х) dx = 5—А. Обозначим
а
k = (B—A)l(b—а). Рассмотрим два случая: I. Пусть kr < k < k2.
Тогда точка с, удовлетворяющая соотношению -с~ д- = , лежит
Ь — с k — ki
строго внутри [а, 6]. Пусть ср(х) = йх для х^а, <р(с) = &, q>(x) = kz
для х^Ь и ср(х) линейна на [а, с] и [с, Ь]. Условия 1), 2), 3) вы-
fi
полнены и | ср (х) dx = — (с—а) (k 4-^) + — (b—cj (ks -j- k) = k(b —
2 2
a
— a) = B—А, так что выполнено и условие 4). II. Пусть
Возьмем число k', удовлетворяющее условиям а) £<£'<£ 4-е и
б) k' < 2k—Й1 +-2. Так как -у-— < k, то 2k—kl~^ fe'2 >fe и условия
а) и б) непротиворечивы. Пусть ср(х) = ^ для х^а, ср (х) = /?2 для
х^Ь, ср(х) = &' для хе[а-а, Ь—а], ср(х) линейна на [а, а+а] и
[&—а, Ь], где а—некоторое число, лежащее между нулем и (&—а)/2,
которое точно определяется позже. Условия 1), 2) и 3) для ср выпол-
нены. Покажем, что можно подобрать а так, чтобы выполнялось ус-
398
b
ловие 4): \y(x}dx = k' (b — a)---5- (k'—kja------- (k'—k2) a = Ja.
2 £
a
При a—>0 + Ja->k’ (b—a) >k(b—a) = B — A, а при «-» b~~
Ja a ^k' 4- —г-~~ j < (b—a)k — B—А в силу условий на k’.
Следовательно, в силу непрерывной зависимости Ja от а найдется
такое значение а, 0 < а< что J„ = B— А, т. е. выполнено
2 а
условие 4). Заметим также, что это построение <р проходит и тогда,
когда kx<i k2 = k. Если же kr = k2 = k, то <f = k, f — kx + A. Все ос-
тальные варианты соотношений между klt k2 и k рассматриваются
аналогично либо первому, либо второму случаю. 56. Замкнутость Р
следует из того, что Р есть дополнение до отрезка [0, 1] открытого
оо '
множества G = [J [J u(/. Предположим, что Р есть множество меры
.=1 /=1
нуль. Тогда существует система интервалов {6ft} таких, что [J6fec:P
Й = 1
и
00
|6ft| < Система интервалов {6ft,
k=i
uij}, k= 1, 2, ... , 1 2,
1 = 1,2, ... , покрывает весь отрезок [О, 1]. Выберем из нее конечную
подсистему, покрывающую [О, 1], и разделим интервалы этой конеч-
ной подсистемы на две группы: в первую отнесем интервалы вида 6fc,
во вторую—вида Перенумеруем интервалы первой группы б1, 62... ,
... ,6q и второй и1, и3,... ,«р,... , Ир. Так как конечное число ин-
тервалов б1,... , 6q, п1, ... , иР покрывает отрезок [0,1], то должно
Q р
быть > 1- с
Q сю
другой стороны, V|6»| <\ |6„| <—,
J
р
+ |up| <-у. Полученное противоречие показывает, что Р не есть
р=1
множество меры нуль. 57. Из определения видно, что F непрерывно
дифференцируема на каждом из интервалов и,./, 1^/^2‘-1, t =
= 1, 2, ... , F (х) = О на множестве Р, вне отрезка [0,1] и в тех
точках интервала мо-, которые отстоят от его границы не более чем
399
на |uiy-| -----— Поэтому для х0^Р разностное отношение
/(Х|> + . или равно нулю, или х0+Леи(/, ЙХ 1«г/| ,
„„„„„ I F(x0 + h) — F (х0) | F(x0 + h) | u{l | i 1
ТОГДа ---------------- — ----------- --------- • ---------- —-----
I h I h i \Uij\ (i — 1) i — 1
Возьмем произвольное e > О, найдем l0 так, чтобы —-— < е, i > /0
и положим h0 = —у— . ———. Тогда для всех х0 е Р и всех h : | h\ <
5 0 /о — 1
, < | F (хп -j- h) — F (xn) I . „ r?i / x
n9 ———----------' < e. Следовательно, F (x) существует и рав-
на нулю для всех хеР. Вне [0, 1] F' (х)=0. Итак, F дифферен-
1 Tit
цируема на всей прямой. Для xeu(/ |F'(х) | = 2л cos----------------х
I i Х/1
nt I I 2nt I ,
X sm-------- = nsin—— , где t—расстояние от x до середины uif
i | 1 i I i5‘ I
\и, /I 1
при t X-----— = —^т—, а если x отстоит от середины utj больше,
2i 2i'T
чем на —-—, то F' (х) = 0. Следовательно, с одной стороны, \F' (х) |^л,
2i'5l '
хеи», с другой стороны, если t — - “1J' =—-—, то |Г'(х)|=л.
41 4i5‘
Итак, | F' (х) | X л для любого х=(— оо, 4- оо). Пусть Mk = [0, 1]\
* 2‘~1
X U U u‘i' постРоения системы интервалов u(/, 1 X/X 2‘-1, i —
i=l /=1
= 1,2, ..., следует, что Мк состоит из 2* непересекающихся отрез-
ков равной длины: p*,i, рА,2, .... pft26, ... и | р*,/1 < 1 X / X 2*.
Интервал лежит строго внутри р*,/, Р= Q Мк, поэтому для лю-
6=1
бой точки х0 g= Р и любой ее окрестности U (х0) найдется такой отре-
зок р40./, что х0е= рб0,/ с U (х0) и, следовательно, найдется интервал
Uk„+i,j, лежащий внутри этой окрестности. Так как F' (х0) = 0, а
max | F' (х) | =л, то точка х0 является точкой разрыва функции F'.
Итак, функция F' определена и ограничена на всей числовой прямой
и множеством ее точек разрыва является множество Р. Так как это
множество не есть множество меры нуль (см. задачу 55), то в силу
критерия Лебега й'не интегрируема по Риману на [0, 1]. 58. Напри-
мер, /(х)=х, G (х) = F (х) + 2лх, где F (х)—функция из задачи 57.
400
59. Например, f(x)=x, ср (х) == X (F (х) + 2лх), где F (х)— функ-
ция из задачи 57, а X выбрано так, чтобы ср(1) = 1, т. е. ср (х) =
— (F (х) + 2лх).
§ 2. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Какие из следующих функций р(х, у) являются метрикой на
числовой прямой:
а) Р(М У) = arctg| у—х|; \ И — у\ б Р (х,у) = —— —; 1 +(х — у)2
в) р (х, у) = sm2 ху, Д) р(м У) — (х — у)2-, г) р(х,у)=\ху\; е) Р (*,</) = |х—;
ж) Р(х, у) = sin|x—у\. X / \ |х—у\ 3 Р (х, у - —— г—. 1 +|х — 1/1
2. Пусть R(X, р) есть числовая прямая с метрикой р(х, у)=-
=arctg \у—х| и Я1 (X) — числовая прямая с метрикой р(х, у) —
= \у—х|. Доказать, что любое открытое множество в R(X, р) яв-
ляется открытым в Rl(X), а любое замкнутое множество в R (X, р).
является замкнутым в Rl(X).
3. Пусть R(X, р) есть числовая прямая с метрикой р(х, у) =
= arctg \у—х|. Доказать, что в пространстве R(X, р) существует
замкнутое ограниченное множество, не являющееся компактом.
4. Доказать, что любое открытое множество в Rn есть объеди-
нение не более чем счетного числа открытых кругов.
5. Доказать, что объединение двух связных множеств, имею-
щих общую точку, связно.
Множество MczR2 называется линейно связным, если для лю-
бых его двух точек гу и т2 существует непрерывная кривая, со-
единяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве
(т. е. непрерывное отображение ср отрезка [0, 1]->-Rn такое, что
(p(0)==mi, ср(1)=т2 и для любого хе[0, 1]ср(х)еЛ4).
6. Доказать, что любое линейно связное множество связно.
7. Множество MczR2 состоит из точек, координаты (х, у) ко-
торых удовлетворяют соотношению t/=sin 1/х, и отрезка [х=
=0, —Доказать, что М связно, но не линейно связно
(определение линейно связного множества см. перед задачей № 6).
Расстоянием между двумя множествами AczRn и BczRn назы-
вается число
р(Л,В)= inf (||х — г/||Лп).
х£А,уС-В
8. Доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограни-
ченными непересекающимися множествами в Rn не равно нулю.
9. Привести пример двух замкнутых непересекающихся мно-
жеств в R2, расстояние между которыми равно нулю.
401
10. Привести пример двух непересекающихся ограниченных
множеств в R2, расстояние между которыми равно нулю.
11. Пусть F — непустое замкнутое множество в Rn и F=U/7nt,
т—1
где Fm ~ замкнутые множества. Доказать, что существует число
т0 и замкнутый шар UcRn такие, что
FHf7 = Fmont7, F(]U*0.
12. Пусть функция f:Rn->-R определена в некоторой окрестно-
сти U0 точки x0<=Rn. Д,ля произвольной окрестности UczUa точки
х0 через diam U будем обозначать sup 1^—х2||оп— диаметр
•Ч, хг<=У
области, а через a(f,U)= sup |/(Л)—колебание функции
А.веи
на U.
Доказать, что для любой ограниченной функции существует
число %о), равное пределу
lim ©(/,[/)
diam С7—*0
(число a(f, х0) называется колебанием функции / в точке х0).
13. Доказать, что со (f, Хо) (см. № 12) равно нулю тогда и толь-
ко тогда, когда f непрерывна в точке хц.
14. Пусть Ec:Rn, f-.E-^R,
Ес+={х, х^Е, f(x)>c},
Ei;~={x;x^E, f(x)<c}.
Доказать, что для непрерывности f на Е необходимо и достаточ-
но, чтобы множества Ес+ и Ес~ были открыты относительно Е для
любого действительного числа с (это значит, что Ес+ и Ес~ есть
пересечение Е с некоторым открытым в Rn множеством). _
15. Пусть U — некоторый открытый шар в Rk и fn:U-+R —
последовательность функций. Для натуральных чисел п, т и числа
«>0 рассмотрим множества
Ап,т,е = {х Xc=U, | In (х) fn+m (х)
И
со
Еп,&~ р] Ari,m,E
т=\
Доказать, что условие «для любого s > 0— |J Bn,e~U-» необхо-
n='i
димо и достаточно для сходимости последовательности fn(x) в
каждой точке хеебг. __
16. Пусть (У —некоторый открытый шар в Rk, fn:U-+R, fn^
и для любого x^U fn(x)-+f{x). Доказать, что для любо-
го замкнутого множества FczU найдется точка xq^F, в которой
f (х) непрерывна относительно F, т. е.
lim f(x) = /(x0).
х-9-Xq, x^F
402
17. Пусть на декартовой плоскости задано множество D (JD=^
^0). Каждой точке этого множества ставится в соответствие его
ортогональная проекция на ось ОХ. Доказать, что полученное
отображение непрерывно.
Числовую функцию /=/(х!; х2, .... Хп) назовем линейно непре-
рывной, если она непрерывна, как функция каждой из координат
xi, при фиксированных остальных.
18. Привести пример функции f:R2^>-R, линейно непрерывной
в квадрате [—1, 1]Х[—1, 1], но разрывной в начале координат.
19. Доказать, что линейно непрерывная в некотором круге
UczR2 функция f:U-+R имеет в этом круге точку непрерывности.
20. Привести пример функции f(x, у), разрывной в каждой
точке квадрата [0, 1]Х[0, 1], но непрерывной как функция х при
любом фиксированном г/е[0, 1].
21. Пусть область GcT?2 и функция f:G-+R непрерывна в G
как функция переменной х при фиксированном у, таком, что
(х, y)^G, и удовлетворяет условию Липшица по переменной у,
т. е. существует постоянная L такая, что |/(х, yi)—f(x, у2)|<
у2| для любой пары точек (х, у\), {х, у2) из G. Доказать,
что f непрерывна в G.
22. Пусть GczR2 и функция f:G-+R линейно непрерывна в G
и монотонна по одной из переменных. Доказать, что f непрерывна
в G.
23. Привести пример разрывной в квадрате Л=[—1, 1]Х[— 1, П
числовой функции /, строго монотонной по каждой переменной и
непрерывной по одной из них на [—1, 1] (при фиксированной дру-
гой).
24. Привести пример функций f(x, у) и g(x, у), каждая из ко-
торых является разрывной в точке (0, 0) и таких, что:
а) их сумма есть функция, непрерывная в точке (0, 0);
б) их произведение есть функция, непрерывная в точке (0, 0).
25. Пусть / (х, у) = - + . Показать, что
х2 + у2
lim(lim f(x, у)) и lim(lim/(х, у))
*-*0 </->-0 *-»0
существуют и равны, но не существует lim f(x,y).
26. Пусть существуют
lim / (х, у)~А и lim (lim / (х, у)) =В.
(Х,^(Х0,г/0) „-.у.
Доказать, что А = В.
27. Пусть
/ (х, у) = (х2 + г/2) sin — sin—.
х у
Доказать, что существует lim /(х,у), но не существует ни один
(*.40-*(0,0)
из повторных пределов:
lim (lim/(х, у)), lim (lim fix, у)).
х ,V-*0 г/-*-0 л-э-0
403
28. Показать, что
1- /г X2 + у2 \ .. х- у2
lim lim — ------—----- == lim 1 im---------—-----
Х->°° \и-*°° 1 +(* - У)* 1 (1-мо \X-WO 1+(*—y)i .
но lim ----------------- не существует.
Х-*оо 1 + (х Д4
{/-►ОО
29. Найти
lim (lim cosm(n! 2лх)).
n->oo m->oc
30. Показать, что функция
f (*, У) =
Л—У~, х24-у2=#0;
X1 + у2
0, х2 + у2 = 0
в любой окрестности точки (0,0)
(-1,1)-
31. Показать, что функция
принимает любые значения из
К*, У) =
X
~Х'±У2
о,
х2 4- у2 =£ 0,
х2 + у2 = 0
в любой окрестности точки (0, 0)
принимает любые положитель-
ные значения.
32. Пусть [ (х, у) = хуе~У'~хГ>г. Показать, что f(x, у)-*-0, ког-
да точка (х, у) стремится к со, оставаясь на фиксированном луче
x=Zcosa, y=/sina, 0<а<2л, /-Н-оо, но f(x, у) не является бес-
конечно малой при х-*оо, у~+оо.
33. Доказать, что следующие функции непрерывны в начале
координат:
а) f =
sin ху
/ х2-^ у2
х2 4- у2 ¥= 0;
б) f — sin (х2 4- у2);
0, х2 4- у2 = 0;
_{ х2In(x24-z/2), x24-z/25^0;
( 0, х24-у2=0;
sin ху , а
---—, х 0;
Д) / =
*3 + у3
х2 4- у2 ’
х2 4- у2ф 0;
е) / =
0, х24-у2 = 0;
34. Доказать, что следующие функции
ными в начале координат:
У, х = 0-,
Vrx2+y2sin
у х2 4- у2
х2 4- у2 #=-0;
0, х2 4- у2 = 0.
не являются непрерыв-
а) / =
sin —, х2 4- у2 #= 0;
X
0, х2 4- У2 = 0;
404
в) f =
Д) / =
х3 + г/г
Xs + у3
+^ = 0;
х2 + у2 =# 0;
х2 + у2=£ 0;
е) f =
Xs + j/2
X2 + у
О,
с2ху
X2 + у2
х2 + у #= 0;
х2 -Ьу = О;
х2 4- у2 #= 0;
0, х2+г/2 = О;
О, х2 4- I/2 = о.
Обозначим
D = {(x, у): x24-J/2<1}, u2 + v2<4},
Mt = {{u,v): u2 + v2 < 4} U {(«,«)'• (u—4)2 4-у2 < 1},
M3 = {(u, v): u24-u2<4}, М4 = {(и, v): v2 < u}.
35. Существует ли непрерывное в D отображение f:D—>J?2 та-
кое, что:
a) /(D)=Mi; б) f(D)=M2; в) fP)=M3; г) f(D)=Af4?
Если существует, то привести пример, если не существует, то объ-
яснить почему?
36. Пусть Е={(х, у):х2+у2<4}. Существует ли непрерывное в
Е отображение f.E-^-R2, для которого:
a) f(D)=Mi; б) f(D)=M2-, в) f(D)=M3- г)
Если существует, то привести пример, если не существует, то объ-
яснить почему?
37. Пусть £={(х, у) :х2+у2<4}. Существует ли непрерывное и .
биективное отображение f.E—t-R2, для которого:
а) /(Г>)=М1; б) f(D)=M2; в) f(D)=M3-, г) f(D)=M4.
Если существует, то привести пример, если не существует, то
объяснить почему?
38. Показать, что функция f = sin- непрерывна в своей об-
ласти определения Е и не является равномерно непрерывной на
множестве £Т|{(х, у) :х24-г/2< 1}. Какое условие теоремы Кантора
нарушено?
39. Показать, что функция f=x24-y2 равномерно непрерывна на
множестве х24-у2<1.
40. Функция / =
непрерывна на множестве 0<х2+
+i/2<2. Будет ли она равномерно непрерывна на этом множестве?
Будет ли она равномерно непрерывна на множестве — <х2 4- у2 <2?
41. Пусть f:R2-^R равномерно непрерывна на открытом огра-
ниченном множестве DczR2 и А — предельная точка Е, не принад-
лежащая Е. Доказать, что существует limf (Л4).
М-+Л
42. Пусть Е — открытое множество в Rn и f:D-+R. Для того
чтобы f была равномерно непрерывна на Е, необходимо и доста-
точно, чтобы существовала функция g, непрерывная в D, такая,
что f—g на Е. Доказать.
405
43. Привести пример функции f:R2^-R, равномерно непрерыв-
ной на множестве х>0, i/>0, непрерывной, но не равномерно не-
прерывной функцией на всей плоскости.
44. Пусть /=г х2у . Показать, что функция f непрерывна
в квадрате [—1, 1]Х[— 1, 1], в начале координат имеет частные про-
изводные, но не дифференцируема.
45. Пусть
Проверить, что функция / в квадрате Л=[— 1, 1]Х(—1, 1] всюду
имеет частные производные, эти производные ограничены в А, но
f не является дифференцируемой в начале координат.
(х2 + у2) cos-—, х2 + у2 =# О,
46. Пусть f *2 -\ -у2 Показать, что f
О, х2 + у2 = 0.
дифференцируема в точке (0, 0), но ее частные производные —
разрывные функции в точке (0, 0).
47. Пусть область GcT?2, а функция f:G^-R непрерывна по од-
ной из переменных и имеет ограниченную производную по другой
переменной в G. Доказать, что f непрерывна в G.
48. Пусть GczR2 — выпуклая область, функция f:G-+R имеет
в G ограниченные частные производные по обеим переменным.
Доказать, что / равномерно непрерывна в G.
49. Область MczR2 состоит из тех точек т, полярные коорди-
наты которых <рт, гт удовлетворяют условию
фт>2л, arctg <pm—a<rm<arctg(pm+a,
где
а = 4- (arctg (2л 4- ф,,;)—arctg фт).
О
Обозначим через О полюс и ф=ф(х, у), то значение угла между
полярной осью и отрезком От, для которого
arctg ф—а<гы< arctg ф + а, а = — (arctg (2л + ф)— arctg ф).
8
Показать, что функция ф(х, у) однозначно определена на М, име-
ет непрерывные и ограниченные частные производные по перемен-
ным х и у в М, но не является равномерно непрерывной в М.
50. Пусть
ху —-—г_
f (х) = *2 + у2
х2 + у- 0;
0, х2-гу2 = 0.
406
Показать, что f"xy(0, 0)^f"yx(0, 0). Какое условие теоремы Швар-
ца здесь нарушено?
51. Дано уравнение у2—х2(1 — х)=0.
а. Каково множество Л с:/? тех значений х, для которых это
уравнение определяет у(х)?
б. Сколько однозначных функций на множестве А определяет
это уравнение?
в. Сколько однозначных непрерывных на А функций определя-
ет это уравнение?
г. Сколько однозначных, дифференцируемых во всех внутрен-
них точках А, функций определяет это уравнение?
д. Сколько однозначных непрерывных функций на отрезке
[0, 1] определяет это уравнение,'если добавить условие:
=-----1 . п. у(1) = 0.
{ 2 J /8
52. Уравнение (х2+у2)2=х3—Зху2 определяет у как многознач-
ную функцию х. Какое максимальное количество значений у мо-
жет соответствовать данному х? Выделить однозначные гладкие
ветви у(х) и найти точки ветвления.
53. Показать, что уравнение x=ky+q(y), где &¥=0 и <р(у) —
дифференцируемая, периодическая с периодом Т функция, удов-
летворяющая условию )<р'(у) | < однозначно определяет функ-
цию у (х) = —+ гр (х), где ф(х) — периодическая функция с пе-
k
риодом | k | • Т. Проиллюстрировать результат графически.
54. Пусть
0, х2 + у2 = 0.
Показать, что:
a) f (х, у) непрерывна в начале координат;
б) f (х, у) не является дифференцируемой в начале координат;
в) для любых x=x(f), y=y{t) :х(0)=0, у(0) =0;
хеСф-1, 1], yGEC'f-1, 1];
х2(0+у2(0>0 при £¥=0
f*(O=f(x(Z), у (0) дифференцируема при любом /е[—1, 1] (в част-
ности, при /=0).
Найти выражение через х/|;=о и у/|;=о.
55. Функция f (х, у) определена и непрерывна в некоторой
окрестности точки (х0, у0) и удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют производные fx'(x0, у0) и fy'(x0, у0);
2) для любого отображения <р:7?2(ы, и)->7?2(х, у); <р(«о, fo) =
— (хо, Уо), непрерывно дифференцируемого в некоторой окрестно-
сти точки («о, v ), существуют производные (f°<p)u'(wo, Уо)=Л и
<f°4)y'(uo, Vo)=B-,
407
3) справедливы равенства
A=f'x(x0, уй)х'и(и0, ц8) +f'y(xa, у0)у'и(и0, ц0),
B=fx(x0, y0)xv(u0, v0) +fy(x0, y0)y'v(u0, v0).
Доказать, что f дифференцируема в точке (х0, уо).
Ответы и указания
1. а) да, б) нет, не выполнено неравенство треугольника: если
взять, например, х~ 10, у— 11, z = 0; в) нет, не выполнено условие
р(х, у) —0 тогда и только тогда, когда х = у; г) нет, так же, как
и в пункте в); д) нет, не выполнено неравенство треугольника, если
взять, например, х = 2, у=1, z=0; е) нет, не выполнено условие
симметрии; ж) нет, так же, как и в пункте в); з) да. 2. Указание.
Пусть иг (х0, е) есть 8-окрестность точки х0 в R1 (х) и U2 (х0, 8) —
8-окрестность в R(x, р). Показать, что для любого е>0 существует
> 0 такое, что l/\ (х0, с U2 (х0, е) и существует б2 > 0 такое,
что U2(x0, б2) czU1 (хл, е). 3. Указание. Пользуясь результатом зада-
чи 2, показать, что любой компакт в R (х) есть компакт в R1 (х, р).
4. Указание. Представить открытое множество' G в виде счетного
объединения ограниченных открытых множеств Ga, а каждое из Ga
в виде Ga=UGa,n, где —множество тех х е Ga, для которых
расстояние до границы Ga больше 1/п. 5. Пусть М1 и М2—связные
множества и х()е П М2. Если М = J М2 несвязно, то существует
два открытых непересекающих множества G± и G2 такие, что М cz
с Gi U G2, М П G2 =# 0, М П G^ 0. Пусть х0 ее G,. Так как М1 связ-
но и хоеЕ MjClGj, то cz Gr Точно так же и M,cGv Следова-
тельно, M = M1L)A12c:G1, и так как С1П62 = 0, то MPlG2 = 0,
что противоречит условию несвязности М. 6. Указание. Воспользовать-
ся тем, что при непрерывном отображении отрезок переходит в связное
множество. 8. Указание. Показать, что для любых двух множеств
А с Rn, BcRn функция q>: Л-*/?1, <р (х) = inf || х—у ||Лп непрерывна.
уев
9. Например, гипербола х2 — у2 = 1 и ее асимптота у = х. 10. Напри-
мер, два открытых круга {(х, у) : х2 + у2 < 1} и {(х, у) : (х—2)2 +
+ у2<1}. 11. Предположим противное. Тогда в любом шаре и, та-
ком, что F П и =/= 0, найдется точка хх такая, что хх е F Q и, х1 е. F^.
Так как замкнуто, то найдется шар cz и с центром в точке хр
и1ПЕ1 = 0, причем можно считать, что радиус шара tz1 не превос-
ходит 1. Продолжая так же рассуждать, получим последовательность
вложенных и замкнутых шаров и гэ их со и2 со ... zz> ип со ... с цент-
рами в точках хп и радиусами оп < — соответственно таких, что»
408
unf]E =£ 0, unC]Fn= 0, п=1, 2, ... . Пусть х0—общая точка всех
множеств uni\F, тогда, с одной стороны, x0<=F, с другой стороны
___________________________ __ оо
для любого п имеем х0 е Fn> поэтому х0 е F = |J Fn. Полученное
п=1
противоречие доказывает утверждение задачи. 12. Указание. Проверить,
что для последовательности t/rt(x0) вложенных окрестностей точки х0
последовательность ® (/, Un) монотонна и ограниченна. Для произволь-
ной последовательности Un(x0) окрестностей точки х0 при условии
diam Un (х0) -*• 0 доказать существование последовательности Um (х0)
«-►оо
вложенных окрестностей точки х0 такой, что для любого n s N су-
ществуют /п1 (п) s N и т2 (п) <= N такие, что U^n.) (х9) до Un (х0) до
ддо UmtW(x0) и diamt/m (х0)->0. 14. Необходимость условия следует из
т—оо
свойства сохранения знака непрерывной функции. Достаточность усло-
вия докажем от противного. Если f разрывна в точке х9 е Е, то ха
не является изолированной точкой £ и по крайней мере две из трех
точек расширенной числовой прямой lim/(x), f(x0), lim/(x) различны.
x-+xQ x~»xa
Для определенности положим, что lim / (х) </(х9) (остальные случаи
X .ха
рассматриваются аналогично). Если lim / (х) <с </ (х0), то x0^Et,
X-*Xq ~ ____
но в любой окрестности точки х0 найдется точка х^Е, х^ЕТ.
таким образом, Е? не является открытым относительно множества Е.
Полученное противоречие доказывает достаточность условия задачи. 15.
Указание. Показать, что условие задачи эквивалентно фундаментальнос-
ти последовательности/„(х9) для любого х9еУ. 16. Указание. См. зада-
чу № 185, ч. I, гл. IV. 18. Например, /(х, у) =
х*+у2^0;
Х2-г у2
О x = i/ = O.
19. Указание. Показать, что такая функция есть предел последовательности
непрерывных функций и применить результат задачи 16. 20. Например,
f (х, I '• еми « раа»°“° " *е[0, 1], 21 Указание
I 0, если у иррационально и хе[0, 1].
Представить приращение / в виде / (х + Ах, у + Ау) — / (х, у) =
= /(х+Дх, у+ку) — f (х+Ах, у)+/(х+Ах, y) — f(x, у). 22. _Пусть
(х0, у9) е Q. Возьмем некоторое е>0. Выберем Ах>0 и ку > О
такие, что {(х, у):х9— Ах^х^х0+ Ах, у0— ку^у^у0+ ку} е G.
Для определенности предположим, что функция / (х, у) не убывает
по переменной у при фиксированном х. В силу линейной непрерыв-
ности f 'i(x, у) существуют h и k: 0 <й < Ах, 0< &< ку такие, что
I /(хи, у0) — /(х0 + Ах, у0) | < е, | /(х0, у0) —f(x0, у0 + ку) | < в,
409
Уо+ty—/(x0 + Ax, y0+k) I < 8, |/(x0, y0~ ky~ f(x0+Ax, y0~ k)\<e
для всех Дх и Ду : | Ах|<б h, | Ау | k. Тогда для |Дх|<й, |Ду|<&
имеем | /(х0-гДх, у0 + Ду) — /(х0, у0)| < |/(х0 + Дх, у0 + Ду) —
—/(х0 + Дх, у0)| + |/(х0+Дх, у0)—/(х0, у0)|< |/(х0 + Ах, у0 + А)—
/ (Хо + Ах, У о) I +е^ \f (х0Ч-Дх, #о+^)—f Uo, Уо +&) I + I f(x0, y0 + k)—
— f(x0, y0)| + |/(x0, yu) — f(x0 -Ь Дх, y0)| + 8 < 48, т. e. функция
f(x, у) непрерывна в (x0, y0). 23. Например, / (x, у) =x+ у + sign y.
24. Например: a) /=sign(xy), g=x— sign(xy); 6) / = sign(xy), g=xy.
25. Указание. Рассмотреть / (x, x) и / (x, —x). 28. Указание. Pac-
<•, \ n / гл z . I 0, x — иррациональное;
смотреть / (x, x) и f(x, 0). 29. D(x) =
i 1, x—рациональное.
32. Указание. Рассмотреть /(x, x2). 33. Указание, a) |/(x, y) j
I xy | - 1 x2 + u2 1 _, —5- . .
<5- --— —---------— рх2 + у- ; в) — e) перейти к полярной
У х2 Ц- у2 2 у х2 4- у2 2
системе координат. 34. Указание, а) Рассмотреть f (х, х); б) рассмот-
реть /(0, у); в) рассмотреть f (х, 0); г) рассмотреть / (х, х3—х2);
д) рассмотреть f (х, kx) либо перейти к полярным координатам; е) рас-
смотреть / (х, х). 35. Необходимые примеры отображений удобно за-
писывать в виде г1 = г1(г, <р), <р1 = фх(г, <р), где (г, ф) —полярные
координаты точки М (х, у), х2 -Ь у2 > 0, а (л1, фх) — полярные коорди-
наты точек Р (и, v), u2+u2>0 (полярная и декартова система коор-
динат согласованы). Если при отображении f полюс переходит в полюс,
ri и 4>i—непрерывные функции от г и ф, ПгпгДл, ф) = 0 для любого
г-*0
Ф, Нтф1(г, Ф)=Ф1(г, 0) + 2л для любого г> 0, то отображение f
ф->2л
будет непрерывным, а. Д: полюс переходит в полюс, г1 — 2г, фх = ф.
б. Непрерывного отображения D в М2 не существует, так как D связно,
а М2 несвязно, в. /2: полюс переходит в полюс, гх = 8г(1—г), фх=ф.
г. /3=g1°g,2> гДе £2: у)->(м, полюс переводит в полюс ф.=фк
гх=---------- и у. : (и, v)->(«, v) —сдвиг в плоскости UOV на еди-
(1 — г cos ф)
ницу вправо по оси U (у2 (х, у)->(и, v) переводит множество D во
внутренность параболы о2 — и 1). 36. а) Отображение из решения
задачи 35; б) такого отображения нет, см. и. б) решения задачи 35;
в) отображение /2 из решения задачи 35; г) такого отображения не
существует, так как по условию отображение f непрерывно на D —
= {(х, у) :х2 + у2< 1}сЕ, следовательно, f (О)—ограниченное мно-
жество и в силу соотношения f (£)) с: f (О) f (D) также должно быть
ограниченным множеством. 37. а) Отображение из решения зада-
чи 35; б) такого отображения не существует, см. п. б) решения за-
дачи 35; в) такого отображения не существует. Действительно, из
условия задачи следует, что [~1 (Л(2) —f~1 (f (О)) =D, т. е. прообраз
замкнутого множества, есть множество открытое, что противоречит
410
непрерывности отображения, г) такого отображения не существует,
см. п. г) решения задачи 36. 38. Указание. Рассмотреть значение
функции на прямых y=kx. 39. Указание. Использовать то, что функ-
ция f (х, у) непрерывна на множестве х2 4- у2 1. 40. На множестве
0 < х2 + у2 <2 функция не является равномерно непрерывной (см.
указание к задаче 38). На множестве <х2 + у2 <2 функция рав-
номерно непрерывна (см. указание к задаче 39). 41. Указание. Исполь-
зовать критерий Коши. 42. Указание. Для доказательства необходи-
мости надо доказать, что функция f (Л) = lim f (М) существует
М-»Л, М FD
(см. задачу 41) и непрерывна на границе dD = D\D. 43. Например,
/(х, у)=х2е-х 4- у2е~у\ f(x, у) = е~х~у. 44. f непрерывна как компо-
зиция многочлена и кубического корня. Гак как для любого хе
е [ — 1, 1], / (х, 0)=0 и для любого у е [ — 1, 1], /(0, у) = 0, то
Л(0, 0) = 0, Д(0, 0)—0. Если f дифференцируема в точке Л1о=(0, 0),
то df = 0 и, следовательно, А/ = /(х, у) — f (0, 0) = /(х, у) =
= о(УДх2 4-Ау2) (Ах2 +Ау2->0). Но для у=х имеем: f(x, х) = х,
следовательно, —(х' = '\/? signx, а функция V2 signx не явля-
У X2 + у2
ется бесконечно малой при х->0. Полученное противоречие показывает,
что / не дифференцируема в точке ЛГо = (0, 0). 45. Так же, как в
предыдущей задаче, доказывается, что fx (0, 0)=/^(0, 0) = 0 и f не
дифференцируема в точке Мо = (0, 0). Если Л4 = (х, у), х>0, у>0,
то в некоторой окрестности точки М f(x, у) = ———, следовательно,
х + у
> г х-
/ДМ) =---------, fy (М) = ------- т. е. в первом квадранте
(х + у)2 (х + у)2
l4(M)j<l, |Д(М)|<1, так как/(—х,—у)=/(х,у)=—/(х;—у) =
=—/(—х, у), то |Д(Л1)|<1, | fy(M) | < 1 для любой точки М, не
лежащей на осях ОХ и OY. Непосредственным переходом к преде-
лу получается, что для точек М, лежащих на осях ОХ и OY,
= sign у, Д(М)= signx. 47. Указание. Использовать тео-
рему Лейбница и результат задачи 21 в б-окрестности t/ДМ)
произвольной точки М с G, где б выбирается так, чтобы t/6(M)czG.
48. Указание. Использовать теорему Лейбница. 49. Пусть Мр —
= {т : 2пр <ф,л 2л (р + 1), arctg <pm—а <г1П < arctg + а), тогда
М = Q Мр. Если точка т = (х, у) е= Мр, то ф(х, у) = ф04-2лр, где
p=i __
<ро(0<фо^2л)—угол между вектором От и полярной осью, совпа-
дающей с положительной полуосью ОХ. Чтобы установить однознач-
ную определенность функции ф (х, у), достаточно показать, что мно-
жества Мр не пересекаются. Пусть /0 есть луч, выходящий из полюса
411
под углом ф0, 0<ф0^2л, к полярной оси. Этот луч пересекается с
Мр по отрезку, концевые точки которого отстоят от полюса на
rP = ar?tg (ф0 4- 2лр)-1- (arctg (ф0 + 2л (р + 1))—arctg (<р0 + 2лр)) и
О
Гр = arctg (ф0 + 2лр) + 4- (arctg (ф0 + 2л (р + 1)) — arctg (<р0 + 2лр)).
О
Так как гр<гр+ь то отрезки /0 П Мр и Zo П p^q, не пересекают-
ся. Следовательно, Мр[\ M.q=/= 0, p=£q. Возьмем последовательность
точек тр с полярными координатами фр=Ф0+2лр, rp=arctg (фи+2лр).
Тогда треМрП/и, lim гр=л/2, следовательно, существует limmp=m0F
р--*ОО р->оо
и в силу критерия Коши для любого е> 0 существует Р такое, что
для любых рх> р2> Р \\mPl—mPt ||<е. С другой стороны, из того,
что mPl е MPt А /0, тР1 е= МРе П10, следует ф (тР1) = ф0 + 2лрх, ф (тРг) =
= Ф0 + 2лр2, т. е. |ф(т₽1)—ф(тР1)| = 2л|рх—р2| ^2л. Итак, в мно-
жестве М имеется пара сколь угодно близких точек, разность зна-
чений функции ф в которых не менее 2л, т. е. ф не является равно-
мерно непрерывной на М. Пусть пг0 = (х0, у0)<=М. Если хо=/=0, то
найдется такая окрестность точки m0{7(m0)e Л1, что ф(т) = arctg — +
X
+ 2л/гх (m0), kr е N для любого m^U (m0); если у00, то найдется
такая окрестность точки т0 что (f(m) = arcctg — + 2л/г2(т0)>
У
k2 е N. Следовательно, для любой точки m0 <= М имеем — (т0) =
дх
— У о
хо + Уо
— (ГПо)
ьу
х0
,.2 , ,,2 ’
ло т Уо
т. е. I -^5- (т) 1^1,
I дх I
^(»)
ду
для любого т^М. 50. (Д)^ (0, 0) = 1, (Д)Р(0, 0) = — 1. 51. а) А =
= ( — оо, 1]; б) бесконечно много; в) четыре: г/х =—хУ1—х, у2 =
< 1
— — 1*| ’ VI—*, Уз=1*|У1— х, i/4= *У1—х ; г) две: ух =
= —х У1 —х . у2 =х VI —х ; д) I) одну: у — —х VI —х ; II) две:
i/x=— xVl—х и у2=хф<1—х. 52. Указание. Для анализа много-
значной функции у (х) полезно нарисовать кривую, определяемую
данным уравнением, перейдя к полярным координатам. Точки ветвления:
(-9/16, 3V1F/16), (—9/16, —3VL5/16), (0, 0), (1, 0). Гладкие
ветви: = —х У 16х + 9—Зх—2х2 ; у2=—ух (—9/16<^х^0);
91 = Т/хГГбТТ9-Зх-2.<"; У. <—9/16<х<1). 53.ВСН-
лу периодичности ф, применяя теорему Лейбница, получаем шах|ф(у)| =
уек
— шах |ф (у) |&| Т + |Ф (0) |, следовательно, переменная х = ky +
412
+ <р (у) принимает все действительные значения. Так как х'у — 1г+ч #=0,
то обратная функция у = у (х) определена, непрерывна и дифференци-
руема на всей числовой оси. Функция g(x}—y(x) ~ также одно-
значно определяется из уравнения kg + q ^g + =0 при любом х.
Если хх — х + | k | Т, то значение g'1 = g'U1) должно удовлетворять
уравнению kgx + ср ^gt + + Т signkj = 0, которое в силу периодич-
ности ф равносильно уравнению kg1 + ф ^gr + =0. Таким образом,
значения g = g (х) и g± = g (х + | А | Т) удовлетворяют одному и тому
же уравнению, и в силу однозначности его решения g = g1(x) =
= g(x + I^IT), т. е. функция g периодическая с периодом |6| •7\
54. Так как |ху|^-1-(х2 4-у2), то |/(х, у)|=С~|х|, откуда следу-
ет непрерывность / в начале координат. Так же, как в задаче 44,
находится, что fx (0, 0) — fy (0, 0) = 0. Если f дифференцируема в точ-
ке Л1 = (0, 0), то отсюда следует, что df = Q и Д/ = /(х, у)—f(0, 0) =
= f (х, у) — о (1/х2 + у2) (х2 + у2 -> 0). Но для у =х имеем
T/х2 -Ь х2
х3 1 1
= ।—-= — signx, а функция — signx не бесконечно малая
при х->0. Следовательно, f не дифференцируема в точке Л4о = (0, 0).
Пусть х=х(0, х(0) = 0, у = у(О, у(0) = 0, х(0, у(0^С‘[ —1, 1],
Л2 -р- В2 > 0. Тогда при /->0 х(/) = Л/+о(Д
/* (/) = f (X (/), у (/)) = --------------------^3 + o(f)----- =
1 !\ ХП Д2/2 + ВЧ2 + О (t2)
т. е. /* (t) дифференцируема в нуле и (f‘)t\t=o =
х;(0) = Л, уД0) = В,
у (/) = Bt + о (/)
==_^ + о(/),
42+В2
=--------. Если
л2 + В2
где в? (0 + 82 (0 -* 0, при t -> 0; так как х2 (t) + у2 (t) > 0 при t ф 0,
2
то e;«)+8ho >о при Тогда ШД») _=
t t ef + е2
е2е
----—— = 0, т. е. f* (t) диффе-
о е1 + 82
ренцируема в нуле и ft' /=0 — 0. 55. Пусть fx (х0, у0)=Л и fy(x0, у0) =
= В. Функция g(x, y) = f(x0 + x, yQ + у)-— Лх— By— f (х0, у0)
дифференцируема в точке Л4о = (О, 0) тогда и только тогда, когда f
дифференцируема в точке (х0, у0). Так как g'x(MQ) = Q, ^(Л40) = 0,
то в силу условия задачи для любых x(i), y(t), х(0) = 0, у (0) = 0,
и
А —0 и 13 = 0, то x(t) = t • Ег(г), £/(0=^ * еа(0
и, как было показано выше, lim
„2 . 2
4ia
x(f), y(t)^Cl(-i, 1) имеем g't (x (t), у (/))|<=o = O. Предположим,
что g не дифференцируема в точке Л4о = (О, 0). Это значит, что су-
ществует последовательность точек Мр — (хр, yp)-+MQ и число £а>0
такие, что для любого ре N имеем g (хр, ур) е,, Vxn -Т у2Р . Пусть
k—конечная предельная точка множества (Если это множест-
во не имеет конечных предельных точек, то аналогичное рассуждение
проводится для множества для которого в этом случае нуль
I УР J
будет предельной точкой.) Выберем подпоследовательность Мр. после-
довательности Мр такую, что хр. монотонно стремятся к нулю (для
Ур.
определенности хр. > 0) и —--*-k (t->oo). Положим пг~рг Так как
Xpi
уР.-+0, Хр. ->0 при i->oo, то найдется такой номер п2 = р(, что
Z/p. 1 УП< УП. - Уп, I 1 Т—Г ”
—!--------<— -------< —-Н-------. Продолжая по индукции такой вы-
Хп1 хп^ хп* хП1 2
бор, построим последовательность точек Мр = (хч, уч) таких, что при
.р->оо, х„10, ——>k и при любом q (q — 1, 2 ...) ----
xk х„
----L < уч ~ yq+1 < ф Используя результат задачи 55 § 1
Q Х(] xq+l xq Я
гл. IV, для каждого q найдем функцию ср^: Rl Rx такую, что
еС’(—оо, + оо) <p4Z(x<?+i) = yq+x, ф,(х,) = yq, ф'(Xp+i) =-^2_,
xq+l
уАхч) = —, —-------------— <ф' (х) < —+ —, хе [х?+1, xq]. Положим
V Xq Xq q q Xq q
Ф<7 (X),
kx,
x(t) = t и y(0==y(x) =
\—x+ z/j, X >Xj
X1
(Xg+I, X?),
0; Тогда x(0, y(f)^
e C1 (— oo, oo), x (0) = z/(0)=0, но по построению последовательности
Mq = (Xq, yq) g (Xq, у (x,)) = g (Xq, уq) > Ёа V X? + y'q , СЛвДОВаТеЛЬНО,
функция g (x(f), у (/)) не может иметь в точке t = 0 производную,
равную нулю. Полученное противоречие показывает, что g дифферен-
цируема в точке А40 =(0, 0).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . ............................................ 3
Часть I. Графики, пределы, дифференциальное исчисление функции одной
переменной . . . ........................ 4
Глава I. Построение эскизов графиков функций.................... 4
§ 1. Элементарные преобразования графиков................... 4
§ 2. Графики рациональных функций...........................14
§ 3. Графики алгебраических функций.........................16
§ 4. Обратные тригонометрические функции и их графики ... 20
§ 5. Кривые, заданные параметрически ..............................25
§ 6. Полярная система координат и уравнения кривых в этой системе 29
§ 7. Функции, заданные неявно......................................31
Зада чи . . . .......................................34
Глава II. Вычисление пределов..........................................48
§ 1. Предел функции ...............................................48
§ 2. Предел последовательности ....................................67
§ 3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора .... 70
Задачи . . . .......................................77
Ответы.............................................................87
Глава III. Дифференциальное исчисление функций одного действительного
переменного . . ............................89
§ 1. Вычисление производных........................................89
§ 2. Дифференциал функции и инвариантность его формы ... 101
§ 3. Приложения дифференциального исчисления......................103
Касательные и нормали к кривым................................103
Возрастание и убывание функции.................................ИО
Формула Тейлора, правило Лопиталя..............................ИЗ
Исследование функций и построение кривых......................117
Задачи . . . .......................................122
Ответы . . ............................................133
Глава IV. Теоретические задачи . ..............................144
§ 1. Общие свойства числовых множеств на прямой...................144
§ 2. Последовательности и их свойства.............................148
§ 3. Функции. Общие свойства . ..........................152-
§ 4. Предел и непрерывность функций...............................154
§ 5. Дифференцируемость функций . .......................159
Ответы, решения, указания ........................................162
Часть II. Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальное
исчисление функций многих переменных .................... 174
Глава I. Неопределенный интеграл......................................174
415
§ 1. Первообразная и простейшие способы ее нахождения . . . 174
Задачи . . . .......................................177
§ 2. Интегрирование по частям ...................................180
Задачи . . . .......................................181
§ 3. Замена переменного..........................................182
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . 190
Задачи . . . .......................................193
§ 5. Интегрирование рациональных дробей..........................194
Задачи . . . .......................................203
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций . . 204
Задачи . . . .......................................208
§ 7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы .... 209
Задачи . . . .......................................218
§ 8. Задачи на различные методы интегрирования...................219
Ответы...........................................................223
Глава II. Определенный интеграл Римана...............................236
§ 1. Вычисление определенного интеграла. Понятие несобственного
интеграла....................................................236
§ 2. Площадь плоской области.....................................246
§ 3. Объем тела вращения . .............................254
§ 4. Длина дуги кривой...........................................265
§ 5. Площадь поверхности вращения................................270
Задачи . . . .......................................276
Ответы . . . .......................................283
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных . 286
§ 1. Предел и непрерывность......................................286
§ 2. Производная, первый дифференциал, частные производные . . 291
§ 3. Дифференцирование сложных функций...........................300
§ 4. Производные высших порядков. Второй дифференциал . . . 303
§ 5. Дифференцирование неявных функций ..........................310
§ 6. Замена переменных . 320
§ 7. Геометрические приложения...................................329
§ 8. Экстремумы функций многих переменных .......................336
Задачи . .................................................351
Ответы ..........................................................369
Глава IV. Теоретические задачи.......................................381
§ 1. Первообразная и определенный интеграл Римана .... 381
Ответы и указания . ....................................391
§ 2. Функции многих переменных...................................401
Ответы и указания . ............................... 408