Варианты вступительных экзаменов
Московский
физико-технический
институт
Математика
Письменный экзамен Вариант 1
1.	Решите неравенство
jH-3>log3(26+3-*).
2.	Решите уравнение
Г	3
V х =	7
3.	Через  точку А (3;   —4)   проведена   каса-
12
тельная    I    к    гиперболе    #=	.    Найдите
радиус окружности с центром иа оси ординат, касающейся прямой / и оси абсцисс. Найдите все решения.
4.	Найдите  все значения хну, такие,  что числа    -
-g-ctgx, 2cos(x-\-y), 4sin 2х, 16sin(x—у)
являются последовательными членами геометрической прогрессии.
5.	В    основании         прямой	призмы ABCDA\B\C\D\ лежит  ромб ABCD,  в  котором |ЛС|=4,    |ВО |=2.   Точки   М   и   JV   лежат   на ребрах    AD    и    В\С\    соответственно,    причем \AM\:\MD\=\C,N\:\NBi |=3:2,        |ЛШ|=л/5- Найдите объем призмы.
Из всех плоскостей, проходящих через прямую (МЛ/), выбрана та плоскость Р, проекция на которую отрезка АА\ имеет минимальную длину. В каком отношении плоскость Р делит отрезок АС?
Вариант 2
1.	Решите неравенство
(I   \ Здг2 т)     Ш
2.	Найдите все решения уравнения
cos 2x=2tg2 x—cos2 x.
удовлетворяющие неравенству
3.	Бригада лесорубов должна была по плану заготовить   за   несколько   дней   216   м3   древесины.    Первые   три    дня    бригада    выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала 8 м3 сверх плана. Поэтому   за   день   до   срока   было   заготовлено 232   м3  древесины.  Сколько  кубических  метров древесины  в день должна  была  бригада  заготавливать по плану?
4.	Вершина С прямоугольника ABCD лежит на     стороне     КМ     равнобедренной     трапеции АВКМ((ВК)\\(АМ)),  Р  —  точка   пересечения отрезков   AM   и   CD.   Найдите   углы   трапеции и отношение  площадей  прямоугольника  и  трапеции, если  \АВ\=2\ВС\, \АР\ = 3\ВК\.
5. Сфера касается плоскости основания и всех боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF (S — вершина). Найдите  объем   пирамиды,  если   радиус  сферы
/\ равен R, а угол SAB равен а.
Плоскость   проходит   через   точку   S,   касается   указанной   сферы   и   пересекает   прямые (BE)   и   (AD)   соответственно в точках М и N (\ЕМ\>\ВМ\, \AN\>\DN\). Найдите
а)	отношение    |?)Л/|: |Л?)|,    если    |В,М| = = \DN\.
б)	отношение \DN\: \AD\, если \ВМ\:\ВЕ\ = = 3:22.
Вариант 3
1. Решите неравенство
~2=7>| + 7+2~-
2. Решите уравнение
-\/3sin 2x =4-\/—sin x-tg x
3.	Решите систему уравнений
{5+'og6,x2=—log^- у, (logs*/)2 _6
4.	Точка    О    —    центр    окружности,    вписанной    в    равнобедренный    треугольник    ABC (\АВ\=\ВС\). Прямая  (АО)  пересекает отрезок ВС  в точке  М.  Найдите  углы  и   площадь треугольника    ABC,    если     |ЛО|=3,     |ОЛ1| =
_ 27 ~ТТ"
5.	В     правильной    треугольной     пирамиде SABC   (S —  вершина,   |S/4|=4)   точка  D лежит  на   ребре  SC,   |С?)|=3,   а   расстояние  от точки   А   до   прямой   (BD)   равно   2.   Найдите объем пирамиды.
Дана сфера радиуса 1 с центром в точке А. Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдр*,! MNPQ, такие, что точки М и N лежат иа прямой (BD), а прямая (PQ) касается сферы в одной из точек отрезка PQ. Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.
Физика
Письменный экзамен
Вариант  1
1.	Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами   (рис.   1).   Оказалось,   что   центр   масс   С такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с   плотностями   q  и  2е-   Определите  отношение масс цилиндров.
2.	На рисунке 2 изображена изотерма влажного воздуха.  Давление воздуха  в точках  /,  2 и   3  равно   р\,  р2   и   рз  соответственно.   Определите относительную влажность воздуха в этих точках.
3.	В   схеме,  изображенной    на    рисунке   3 (величины С, R, ю    известны), при разомкнутом ключе  К заряд левой  пластины  плоского  конденсатора   равен   нулю.   Определите   начальный
55

с
Pf
.
Рис. 1.
Рис. 2. L
U
Рис. 4.
Рис. 5.
v
\
Puc. 3.
Д
К
!     d
Puc. 6.
заряд правой пластины конденсатора, если после замыкания ключа на резисторе с сопротивлением R выделяется такое же количество теплоты, как и в случае, копда конденсатор вначале не заряжен.
4. Тонкая линза создает изображение небольшого предмета, находящегося в ее фокальной плоскости. Определите высоту предмета, если высота изображения г/=0,7 см.
Вариант  2
1.	Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла 25 % от его кинетической энергии в точке бросания?
2.	В  сосуде длиной  L,  разделенном  на  три части легкими поршнями, находятся азот, водород  и   гелий   (рис.   4).   Материал,   из   которого изготовлен   правый   поршень,   оказался   проницаемым для водорода и гелия. Левый поршень проницаем только для  водорода.  Найдите смещения поршней после установления равновесия в  системе.  Первоначальные  давления   и  температуры   газов   одинаковы,   объем,   занимаемый водородом, больше объемов азота и гелия в два раза.
3.	Для  подзарядки  автомобильного  аккумулятора с ЭДС ? =12 В от сети с постоянным напряжением   (/=5  В собрана схема   (рис.  5), содержащая    катушку   с    индуктивностью   /.= =0,1   Гн, идеальный диод Д  н прерыватель  К, который   периодически   замыкается   и   размыкается на одинаковое врем» ti=t2=0,1 с. За сколько времени  можно' таким образом  осуществить подзарядку   аккумулятора   на   20   А-ч   (ампер- часов)? Сопротивлением всех узлов схемы и диода в прямом направлении пренебречь.
4.	Оптическая  система,   показанная   на   рисунке 6, состоит из положительной линзы с фокусным  расстоянием  F|=9 см   и отрицательной линзы   с   фокусным   расстоянием    (по   модулю) ^2=5 см. Расстояние между линзами /.=22 см. При каких расстояниях d от положительной линзы до предмета эта система будет давать перевернутое мнимое увеличенное изображение предмета?
Публикацию подготовили П. Б. Гусятников. А. В. Шелагин
Московский институт
электронного машиностроения
Математика
Письменный экзамен Вариант   1
1. Решите уравнение
-\/2sin x=—\J3tg х.
2.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды   равна   а;   боковое   ребро   равно   Ь. Определите ее объем и площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно   к   боковому   ребру,  противолежащему   этой стороне.
3.	Что значит a^fc? Докажите, что если а>Ь и Ь^с, то а>с.
4.	Расположите    в    порядке    возрастания следующие числа:
1; 0,37; g; g; tg 33°; tg(-314°).
5. Докажите, что если f{x)=
2f (х+2) +f(-x-1) =х Верно ли обратное утверждение?.
Вариант  2
1.	Решите уравнение
|sin x+s'wQ.x\{2x—5)=sin x+sin 2x.
2.	В кубе ABCDAiB\C\D\ с ребром длины а последовательно    соединены    середины     ребер АА,, AiB,, Bid, C,C. CD. DA н АА,. Докажите, что  полученная  фигура  —   правильный  шестиугольник и вычислите его площадь.
3.	а) При a=fc=2 решите уравнение
7 + х~+Л + х~=А = °"
б) Изобразите на координатной плоскости множество точек М (а; Ь), для которых это уравнение имеет единственное решение.
4.	Расположите в порядке возрастания следующие числа:
56