Варианты вступительных экзаменов
Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов в вузы в 1983 году.
Московский
физико-технический
институт
Математика
Письменный экзамен
Вариант   I
I. Найдите область определения функции
f (х)= log2 sin х+ V9jc— 2х2—4.
2.	На координатной плоскости цана точка М (2; 4).   Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно  оси   Оу  и  лежат   на  дуге  параболы у — Зх2, выделяемой условием - 1 <jc< 1, а точка  М является серединой одной  из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который   имеет   наибольшую   площадь.   Найдите эту площадь.
3.	В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD равны 30е, диагональ АС является биссектрисой угла BAD. Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке М, а  отрезок   ВМ  пересекает  диагональ  АС  в точке    N.    Найдите    площадь   треугольника ANM, если площадь трапеции ABCD равна (2 + V3) см2.
4.	Найдите все решения системы уравнений
( 5 sin jc-sin y+ — cos jc-cosj/ = 2
1	i\
^ cos x-sin у—2 sin x-cos y= ^ ,
удовлетворяющие условиям 0<л:<л, 0<{/<л.
5.	На ребре SB пирамиды SABC выбраны точки О и ?так, 4to|SO| = |D?| = 1,|В?| =2. Сечения пирамиды плоскостями, перпендику-
, лярными ребру SB и проходящими через точки D и ?, имеют площади 5 и 16 соответственно, причем первое из этих сечений — треугольник, одна из вершин которого делит ребро SA в отношении 2:1. считая от вершины S. Найдите объем пирамиды.
Вариант  2
1.	Решите неравенство
-4 Ы <з-ф +2'
2.	Решите уравнение
'у — -
 "5 ) =
-^   )  = COSX +  у.
3. Из вершины В тупого угла ромба ABCD проведены высоты ВМ и BN. В четырехугольник BMDN вписана окружностьмдиуса 1 см. Найдите сторону ромба, если АВС = 2 arctg2.
4.	В      основании       прямой       призмы ABCDAlBiClDi  лежит ромб ABCD с углом /1 =60°,   все  ребра   призмы  имеют  длину  а. Точка К является ортогональной  проекцией точки 6,  на  плоскость DA^Ct, а точка L — ортогональной проекцией точки К на плоскость DDxCtC.   Найдите   объем   пирамиды   DCLK.
5.	Решите систему уравнений
С
 шит С
\
Вариант   3
1.	Решите уравнение
bg2(jt—2)+log2(8—x)=\+2 log, (х—
2.	Решите неравенство
2—Зл:< V4 + 9x—9г*.
3.	Решите уравнение
tg (^ л-cos2 2х\ ig (2n-cos2x).
4.	В остроугольном треугольнике ABC высота AD. медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке О. Найдите ?. если IОЕI = =2|ОС|.
5.	Сторона основания правильной призмы ABCAfB^Ci имеет длину а, а боковое ребро —
9 длину — а. Точка ? — середина ребра А В,
а точка М лежит на отрезке ЕС и | ЕМ \ = = -.-|?С|. Вторая призма симметрична призме ABCAlBiCl относительно прямой MCt. Найдите объем общей части этих призм.
Физика
Письменный экзамен Вариант   I
1.	Диск  может  вращаться  вокруг вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости (рис.    1).   На   диске   на   расстоянии   R   от оси лежит  небольшой  брусок массы М.   На горизонтальной поверхности бруска находится шайба массы т. прикрепленная к оси нитью. Диск   вместе   с   бруском   и    шайбой   очень медленно увеличивает свою угловую скорость. Коэффициент трения скольжения между шайбой и бруском ц. Считая трение между бруском и диском пренебрежимо малым, определите,  при  какой  угловой скорости  со  брусок начнет выскальзывать из-под шайбы.
2.	Во  время  профилактического  ремонта дно лодки-плоскодонки оклеили слоем пластика  толщиной   й =3  см.   После  этого  высота надводной части лодки уменьшилась на  величину Л =1,8 см. Определите плотность пластика Q.
3.	Напряженность   однородного   электрического поля слева от бесконечной заряженной   плоской   пластины   равна   ?,,   а  справа Е2   (рис.   2).   Определите  силу  f,   действующую на единицу площади  пластины со стороны электрического поля
4.	С   помощью   тонкой   линзы   получено изображение трезубца ABCEDG, у которого |/1В| = |ВС]   (рис.   3).   Основание   трезубца
56

c
1—f-
R
— m
i
I'm     I
I'm: J
_j|_rYVV^
I'llC   ¦>
E    D    С И
С    В    А
JA\
\ f
I'nc   (i
i
к
AC лежит на главной оптической оси линзы. Отрезок АВ изображается с увеличением Р,=6, а отрезок ВС — с увеличением Р2 = 3- Определите, с каким увеличением Го изображается отрезок BD.
Вариант 2
1.	Тело массы М налетает на две последовательно соединенные пружины  жесткости k,  и  k2  (рис. 4). Максимальная энергия деформации   пружины  2 оказалась  равной   Е. Определите начальную скорость тела v.
2.	При   нагревании   серебряного   проводника сечения S = 5 • 10~2 мм2 его сопротивление возросло на Д/?= 1,5 • 10~2 Ом, а внутренняя энергия увеличилась на Д[/ = 1,6 Дж. Найдите температурный коэффициент сопротивления серебра  а.  Плотность серебра  q = = 10,5 • 103    кг/м3,    удельная    теплоемкость с = 235 Дж/ (кг • К), удельная проводимость а = 0.62 • 106 Ом -' • см-'.
3.	В колебательном LCR-контуре (рис. 5) сопротивление невелико, так что колебания в нем затухают слабо. Для получения незатухающих    колебаний    поступают    следующим образом: дважды за период в моменты, когда заряд конденсатора максимален, его пластины быстро раздвигают от расстояния d, до расстояния d2, а в моменты, когда заряд равен нулю,    их    быстро   сдвигают   до    прежнего расстояния    (так   называемый   параметрический резонанс). При каком относительном из-, менении расстояния между обкладками Ad/d колебания в контуре затухать не будут?
4.	За положительной линзой Л с фокусным   расстоянием   f = 24   см   на   расстоянии 1=4 см   расположено  выпуклое сферическое зеркало 3.   Эта  система  линза + зеркало отражает лучи,  параллельные  оптической  оси линзы, точно в обратном направлении. Определите радиус кривизны зеркала R  (рис. 6).
Публикацию подготовили С. П. Коновалов, А. В. Шелагин
Московский институт
электронного
машиностроения
Математика
Письменный экзамен
Вариант   1
I. Решите систему уравнений x+y+z=&
2.	При повороте координатной  плоскости на угол а с центром в точке М точка А (1; 2) переходит  в Л, (6; 5),  а   в (1; 4)   в  в( (4; 5). Найдите образ точки С (1; 3). Найдите образ еще одной точки  (по Вашему выбору).  Найдите величину угла а и координаты точки М.
3.	Какие из графиков функций у = 2х*—х.
 ^-7—l—
имеют центр симметрии?
4. При каких значениях а наименьшее значение функции
на отрезке  [0; 2]   равно - -4?
5. При каких значениях а. Ь. с равенство
a-cos (Зл:	^ ) +fc-sin 2 (х+ — ) +
+ c-sin (х + л) =0
/л    п    л\, „
выполняется при xgf —,—, —- f? При каких 4 о     4     6 '
значениях а, Ь, с это равенство выполняется
для всех
 [—-; — J ?
Вариант   2
1.	Решите систему уравнений
(х—3i/ = — 5 х__2у _      23 Зу       х	6'
2.	Точки Л (1; 1) и В (5; 1) являются вершинами острых углов равнобедренного 'прямо-
57