Author: Ремизов А.Н.
Tags: материальные основы жизни биохимия молекулярная биология биофизика медицинские науки общая биофизика общая патология физика медицина
ISBN: 978-5-9704-2484-1
Year: 2013
Text
А.Н. Ремизов
МЕДИЦИНСКАЯ
И БИОЛОГИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗДАНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ГЭОТАР-Медиа»
А.Н. Ремизов
МЕДИЦИНСКАЯ И БИОЛОГИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УЧЕБНИК
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗДАНИЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Москва
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ГЭОТАР-Медиа» 2013
УДК 577.3+[53:61](075.8)
ББК 28.071я73-1+52.5я73-1
Р38
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов медицинских специальностей высших учебных заведений
Ремизов, Александр Николаевич.
Р38 Медицинская и биологическая физика : учебник /А. Н. Ремизов. — 4-е изд., испр. и перераб. — М. : ГЭОТАР-Медиа, 2013. — 648 с. : ил.
ISBN 978-5-9704-2484-1
Учебник написан в соответствии с программой и отражает медикобиологическую направленность курса. Наряду с вопросами физики и биофизики в издании рассматриваются элементы теории вероятностей, математической статистики, вопросы медицинской метрологии, электроники и др.
Предназначен студентам и преподавателям медицинских, биологических и сельскохозяйственных специальностей.
Учебник дополнен учебным пособием (Ремизов А.Н., Максина А.Г. Медицинская и биологическая физика: сборник задач. — 2-е изд., перераб. и доп.), которое размещено в составе электронной библиотечной системы «Консультант студента. Электронная библиотека медицинского вуза» (www.studmedlib.ru/extra).
Права на данное издание принадлежат ООО Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа». Воспроизведение и распространение в каком бы то ни было виде части или целого издания не могут быть осуществлены без письменного разрешения ООО Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа».
© Ремизов А.Н., 2013
© Ремизов В.А., правообладатель, 2013
© ООО Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа», 2013 ISBN 978-5-9704-2484-1 ©000 Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа»,
оформление, 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................12
Введение.......................................................13
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ. ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ..................................17
Глава 1. Введение в метрологию.................................19
§ 1.1. Основные проблемы и понятия метрологии..............19
§ 1.2. Метрологическое обеспечение.........................21
§ 1.3. Медицинская метрология. Специфика медико-биологических измерении........................... 22
§ 1.4. Физические измерения в биологии и медицине..........24
Глава 2. Элементы теории вероятностей..........................26
§ 2.1. Опыт с неоднозначными исходами. Случайное событие ..26
§ 2.2. Действия над событиями. Противоположное событие Несовместные события ......................................27
§ 2.3. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероятностей........................................30
§ 2.4. Относительная частота события, закон больших чисел..32
§ 2.5. Независимые события. Сложение и умножение вероятностей независимых событий...........................34
§ 2.6. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Ряд распределения, функция распределения. Плотность вероятности ................................35
§ 2.7, Числовые характеристики случайных величин...........38
§ 2.8. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин..........................................40
Глава 3. Элементы математической статистики....................45
§3.1. Основные понятия математической статистики..........45
§ 3.2. Числовые характеристики статистического ряда .......47
§ 3.3. Интервальная оценка ................................48
§ 3.4. Интервальная оценка генерального среднего для нормального закона распределения.......................50
§ 3.5. Методы проверки статистических гипотез..............51
§ 3.6. Проверка гипотез о равенстве дисперсий, F-критерий Фишера..........................................54
§ 3.7. Проверка гипотез относительно равенства средних, г-критерий Стыодента ......................................55
§ 3.8. Непараметрическое сравнение двух выборок: критерий Манна-Уитни ......................................57
Глава 4. Основы кибернетики.................................. 59
§ 4.1. Кибернетика и другие науки..........................59
§ 4.2. Кибернетические системы.............................60
§ 4.3. Элементы теории информации..........................63
§ 4.4. Управление и регулирование..........................69
§ 4.5. Моделирование...................................... 73
§ 4.6. Понятие о биологической и медицинской кибернетике...77
РАЗДЕЛ 2. МЕХАНИКА. АКУСТИКА.................................83
Глава 5. Механика вращательного движения.......................85
§ 5.1. Кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси.......................85
§ 5.2. Основные понятия. Уравнение динамики вращательного движения.....................................88
§ 5.3. Закон сохранения момента импульса................. 94
§ 5.4. Понятие о свободных осях вращения...................97
§ 5.5. Понятие о степенях свободы..........................98
§ 5.6. Центрифугирование .. ..............................101
Глава 6. Некоторые вопросы биомеханики........................104
§ 6.1. Сочленения и рычаги в опорно-двигательном аппарате человека..................................................104
§6.2. Механическая работа человека. Эргометрия...........106
§6.3. Перегрузка и невесомость...........................108
§ 6.4. Вестибулярный аппарат как инерциальная система ориентации................................................112
Глава 7. Механические колебания и во шы.......................114
§ 7.1, Гармонические колебания............................114
§ 7.2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения..................................................117
§7.3. Сложение гармонических колебаний...................118
§ 7.4. Сложное колебание. Гармонический спектр сложного колебания...................................... 123
§ 7.5. Затухающие колебания...............................124
§ 7.6. Вынужденные колебания. Резонанс....................126
§ 7.7. Автоколебания......................................129
§ 7.8. Уравнение механических волн........................130
§ 7.9. Поток энергии волн. Вектор Умова.................. 132
§7.10. Ударные волны.......................................133
§7.11. Эффект Допплера.....................................134
Глава 8. Акустика.............................................137
§ 8.1. Природа звука. Физические характеристики...........137
§ 8.2. Характеристики слухового ощущения. Звуковые измерения .... 140
§ 8.3. Физические основы звуковых методов исследования в клинике.................................................143
§ 8,4. Волновое сопротивление. Отражение звуковых волн. Реверберация.............................................145
§ 8.5. Физика слуха......................................147
§ 8.6. Ультразвук и его применения в медицине............152
§8.7. Инфразвук.........................................156
§ 8.8. Вибрации..........................................157
Глава 9. Течение и свойства жидкостей......................158
§ 9.1. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона, Ньютоновские и нсньютоновские жидкости...................158
§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля.159
§ 9.3. Движение тел в вязкой жидкости. Закон Стокса.:....163
§ 9,4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови.............164
§ 9.5. Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса.167
§ 96. Особенности молекулярного строения жидкостей......169
§ 9.7. Поверхностное натяжение...........................170
§9.8. Смачивание и нсс.мачивание. Капиллярные явления..... 171
Глава 10. Механические свойства твердых тел и биологических тканей .... 175
§ 10.1. Кристаллические и аморфные тела. Полимеры........175
§ 10.2. Жидкие кристаллы.................................181
§ 10.3. Механические свойства твердых тел................183
§ 10.4. Механические свойст ва биологических тканей .....190
Глава 11. Физические вопросы гемодинамики ... 197
§11,1. Модели кровообращения .......................... 197
§ 11.2. Пульсовая волна .................................201
§ 11.3. Работа и мощность сердца. Аппарат искусственного
кровообращения....................................204
§ 11.4. Физические основы клинического метода
измерения давления крови .........................205
§ 11.5. Определение скорости кровотока...................207
РАЗДЕЛ 3. РАВНОВЕСНАЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА. ДИФФУЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В БИОЛОГИЧЕСКИХ МЕМБРАНАХ..................................209
Глава 12. Термодинамика....................................211
§ 12.1. Основные понятия термодинамики. Первое начало термодинамики.............................211
§ 12.2. Второе начало термодинамики. Энтропия........... 215
§ 12.3 Критика теории «тепловой смерти» мира.............225
§ 12.4. Термодинамические потенциалы.....................226
§ 12.5. Системы с переменным числом частиц.
Химический и электрохимический потенциалы.........228
§ 12,6 . Стационарное состояние. Принцип минимума производства энтропии.....................................231
§ 12.7. Организм как открытая система.....................233
§ 12.8. Термометрия и калориметрия...........,........... 236
§ 12.9. Физические свойства нагретых и холодных сред, используемых для лечения. Применение низких температур в медицине................................... . 240
Глава 13. Физические процессы в биологических мембранах......242
§ 13.1. Строение и модели мембран.........................242
§ 13.2. Некоторые физические свойства и параметры мембран..246
§ 13.3. Перенос молекул (атомов) через мембраны...........247
§ 13.4. Уравнение Нернста-Планка. Перенос ионов через мембраны .... 253
§13.5, Активный транспорт.................................257
§ 13.6. Разновидности пассивного переноса молекул и ионов через биологические мембраны......................258
§ 13.7. Потенциал покоя...................................259
§ 13.8, Потенциал действия и его распространение..........262
РАЗДЕЛ 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА....................................267
Глава 14. Электрическое по.ш.................................269
§ 14.1. Напряженность и потенциал — характеристики электрического поля.......................................269
§ 14.2. Электрический диполь..............................274
§ 14.3. Понятие о мультиполе..............................278
§ 14.4 Дипольный электрический генератор (токовый диполь).279
§ 14.5. Физические основы электрокардиографии.............281
§ 14.6. Диэлектрики в электрическом поле..................285
§ 14.7. Пьезоэлектрический эффект.........................290
§ 14.8. Энергия электрического поля........................291
Глава 15. Электрический ток...................................294
§ 15.1. Плотность и сила тока.............................294
§ 15.2. Электродвижущая сила источников тока..............295
§ 15.3. Электропроводимость электролитов..................296
§ 15.4. Электропроводимость биологических тканей и жидкостей при постоянном токе ..........................298
§ 15.5. Электрический разряд в газах. Аэроионы и их лечебно-профилактическое действие....................299
§ 15.6. Внутренняя контактная разность потенциалов. Термоэлектродвижушая сила.................................301
Глава 16. Магнитное поле.....................................305
§ 16.1. Индукция магнитного поля..........................305
§ 16.2. Закон Ампера. Энергия контура с током в магнитном поле..........................................308
§ 16.3. Действие магнитного поля на движущийся
электрический заряд. Сила Лоренца...................311
§ 16.4. Экспериментальное определение удельного
заряда частиц.......................................314
§ 16.5. Напряженность магнитного поля.
Закон Био—Савара—Лапласа и его применение...........315
§ 16.6. Закон полного тока. Напряженность магнитного
поля соленоида......................................319
§ 16.7. Магнитные свойства вещества.......................321
§ 16.8. Магнитные свойства ткане^ организма.
Физические основы магнитобиологии...................326
Глава 17. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля.328
§ 17.1. Основной закон электромагнитной индукции..........328
§ 17.2. Взаимная индукция.................................331
§ 17.3. Самоиндукция......................................332
§ 17.4. Вихревые токи.....................................335
§ 17.5. Энергия магнитного поля...........................336
Глава 18. Электромагнитные колебания и волны ................339
§ 18.1. Свободные электромагнитные колебания..............339
§ 18.2. Переменный ток...................................-. 343
§ 18.3. Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений......................................344
§ 18.4. Полное сопротивление (импеданс) тканей организма. Физические основы реографии..............................347
§ 18.5. Электрический импульс и импульсный ток............349
§ 18.6. Прохождение прямоугольных импульсов через линейную цепь. Дифференцирующие и интегрирующие цепи..............351
§ 18.7. Понятие о теории Максвелла. Ток смещения..........354
§ 18.8. Электромагнитные волны............................357
§ 18.9. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине................360
Глава 19. Физические процессы в тканях при воздействии током и электромагнитными полями...................................363
§ 19.1. Первичное действие постоянного тока на ткани организма. Гальванизация, Электрофорез лекарственных веществ........363
§ 19.2. Воздействие переменными (импульсными) токами......365
§ 19.3. Воздействие переменным магнитным полем............Зо9
§ 19.4. Воздействие переменным электрическим полем........370
§19.5. Воздействие электромагнитными волнами.............373
РАЗДЕЛ 5. ОБЩАЯ И МЕДИЦИНСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ...................375
Глава 20. Содержание общей и медицинской электроники...... 377
§ 20.1. Электроника и некоторые направления ее развития..377
§ 20.2. Медицинская электроника. Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов..............380
§ 20.3. Электробсзопясность медицинской аппаратуры.........382
§ 20.4, Надежность медицинской аппаратуры.................388
Глава 21. Система получения медико-биологической информации...392
§21.1. Структурная схема съема, передачи и регистрации медико-биологической информации...........................392
§ 21.2. Электроды для съема биоэлектрического сигнала.....393
§213. Датчики медико-биологической информации...........395
§ 21.4. Передача сигнала, Радиотелеметрия.................398
§ 21.5. Аналоговые регистрирующие устройства........... 400
§ 21.6. Принцип работы медицинских приборов, регистрирующих биопоте нциалы............................................404
Глава 22. Увилитеии..........................................407
§ 22.1. Коэффициент усиления усилителя....................407
§ 22.2. Амплитудная характеристика усилителя. Нелинейные искажения.......................................408
§ 22.3. Частотная характеристика усилителя. Линейные искажения.................................................410
§22.4. Усилитель на транзисторе..........................412
§ 22,5. Усиление биоэлектрических сигналов................421
Глава 23. Генераторы.........................................432
§ 23 1. Разновидности генераторов электрических колебаний.432
§ 23.2. Генератор гармонических колебаний на транзисторе.... 433
§23.3. Генераторы импульсных (релаксационных) колебаний...434
§ 23.4. Электронный осциллограф...........................436
§23.5. Электронные стимуляторы. Низкочастотная физиотерапевтическая электронная аппаратура...............439
§ 23.6. Высокочастотная физиотерапевтическая электронная аппаратура. Аппараты электрохирургии......................442
РАЗДЕЛ 6. ОПТИКА.............................................445
Глава 24. Интерференциям дифракция света. Голография.........447
§ 24.1. Когерентные источники света. Условия для наибольшего усиления и ослабления волн................................447
§ 24.2. Интерференция света в тонких пластинках (пленках). Просветление оптики.......................................451
§ 24.3. Интерферометры и их применение. Понятие об интерференционном микроскопе...........................455
§ 24.4. Принцип Гюйгенса -Френеля.........................457
§ 24.5. Дифракция на шели в параллельных лучах............458
§ 24,6. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр.......461
§ 24.7. Основы рентгеноструктурного анализа...............468
§ 24.8. Понятие о голографии и се возможном применении в медицине.................................................470
Глава 25. Поляризация света................................ 476
§ 25.1. Свет естественный и поляризованный. Закон Малюса.....476
§ 25 2. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков..............................478
§ 25.3. Поляризация света при двойном лучепреломлении........479
§ 25.4. Вращение плоскости поляризации. Поляриметрия.........481
§ 25.5. Исследование биологических тканей в поляризованном свете....................................484
Глава 26. Геометрическая оптика............................ 486
§ 26,1. Геометричес кая оптика как предельный случай волновой оптики...........................................486
§26.2 Аберрации линз . . . .............................487
§ 26.3. Понятие об идеальной центрированной оптической системе...................................................491
§ 26.4. Оптическая система глаза и некоторые ее особенности..494
§ 26.5. Недостатки оптической системы глаза и их устранение..499
§ 26.6. Лупа..............................................500
§ 26.7. Оптическая система и устройство биологического микроскопа................................................502
§ 26.8. Разрешающая способность и полезное увеличение микроскопа. Понятие о теории Аббе.........................506
§ 26.9. Некоторые специальные приемы оптической микроскопии. ..511
§ 26.10. Волоконная оптика и ее использование в медицинских приборах..................................................515
Глава 27. Тепловое излучение тел.............................517
§ 27.1. Характеристики теплового излучения. Черное тело...517
§ 27.2. Закон Кирхгофа....................................519
§ 27.3. Законы излучения черного тела.....................520
§ 27.4. И изучение солнца. Источники теплового излучения, применяемые для лечебных целей............................522
§ 27.5. Теплоотдача организма. Понятие о термографии......524
§ 27.6. Инфракрасное излучение и его применение в медицине .... 527
§ 27.7. Ультрафиолетовое излучение и его применение в медицине .... 528
§ 27.8. Фотоэлектрический эффект и его некоторые применения . .. 529
§ 27.9. Световой эталон. Некоторые световые величины......534
РАЗДЕЛ 7. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ БИОФИЗИКИ..........................................537
Глава 28. Волновые свойства частиц. Элементы квантовой механики.539
§ 28.1. Гипотеза де Бройля. Опыты по дифракции электронов и других частиц...........................................539
§ 28.2. Электронный микроскоп, Понятие об электронной оптике . .. 542
§ 28.3. Волновая функция и ее физический смысл...........546
§ 28.4. Соотношения неопределенностей....................547
§ 28.5. Уравнение Шредингера. Электрон в потенциальной яме .... 548
§ 28.6. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа..........................................552
§ 28.7. Понятие о теории Бора............................556
§ 28,8. Электронные оболочки сложных атомов..............558
§ 28.9. Энергетические уровни молекул....................560
Глава 29. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами.561
§ 29.1. Особенности излучения и поглощения энергии атомами
и молекулами..................................... 561
§ 29.2. Поглощение света.................................564
§ 29.3. Рассеяние света..................................567
§ 29.4. Оптические атомные спектры.......................569
§ 29.5. Молекулярные спектры.............................571
§29.6. Различные виды люминесценции ....................574
§ 29.7. Фотолюминесценция................................574
§29.8. Хемилюминесценция................................577
§29.9. Фотобиологические процессы.......................578
§ 29,10. Биофизические основы зрительной рецепции .......580
Глава 30. Лазеры. Радиоспектроскопия .......................585
§ 30,1, Лазеры и их применение в медицине................585
§ 30.2. Расщепление энергетических уровней атомов в магнитном поле ....................................................589
§ 30.3. Электронный парамагнитный резонанс и его медико-биологическое применение....................591
§ 30.4. Ядерный магнитный резонанс. ЯМР-интроскопия......596
РАЗДЕЛ 8. ИОНИЗИРУЮЩИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ. ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ..................................................599
Глава 31. Рентгеновское излучение ..........................601
§31.1. Устройство рентгеновской трубки. Тормозное рентгеновское, излучение.................................601
§31.2. Характеристическое рентгеновское излучение.
Атомные рентгеновские спектры......................604
§ 31,3. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом .... 606
§ 31.4. Физические основы применения рентгеновского излучения в медицине.....................................609
Глава 32. Радиоактивность. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом..................................... 612
§ 32.1. Радиоактивность..................................612
§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада. Активность..614
§ 32.3. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом . . .. 616
§ 32.4. Биофизические основы действия ионизирующих излучений на организм.....................................620
§ 32.5. Детекторы ионизирующих излучений..................621
§ 32.6. Использование радионуклидов и нейтронов в медицине .... 626
§ 32.7. Ускорители заряженных частиц и их использование в медицине................................................629
Глава 33. Элементы дозиметрии. Элементарные частицы..........633
§ 33.1. Доза излучения и экспозиционная доза. Мощность дозы .... 633
§ 33.2. Количественная оценка биологического действия ионизирующего излучения. Эквивалентная доза..............635
§33.3. Дозиметрические приборы..........................637
§ 33.4. Зашита от ионизирующего излучения................638
Заключение..................................................640
Предметный указатель........................................642
ПРЕДИСЛОВИЕ
По мнению автора, курс физики в медицинском вузе наряду с фундаментальностью должен иметь четкий i медицинский адрес», т.е. быть профилизированным. Профилизация заключается в отборе материала и иллюстрации возможных применений физики в медицине. Профилизация не только мотивирует студентов на изучение физики, она необходима в связи с достаточно ограниченным объемом курса физики в медвузах.
Одна из методических сложностей данного курса — сочетание фун-даментализации с профил изацией. В этом одна из особенностей учебника. Другая особенность связана с тем, что биофизика не выделена в виде отдельной части, а и слагается в соответствующих разделах как физика живого.
В качестве вводного раздела к основному материалу рассматриваются математическая обработка результатов изменений и основы кибернетики.
Описание аппаратуры в учебнике изложено схематично, так как более подробно оно дано в «Руководстве к лабораторным работам по медицинской и биологической физике» ИА, Эссауловой, М.Е. Блохиной, Л.Д. Гонцова (М., 1987) [1]. Примеры и задачи можно найти в «Сборнике задач по медицинской и биологической физике» А.Н. Ремизова, Н.Х. Исаковой, А.Г. Максиной (М., 1987) [2]. Учебник и перечисленные пособия составляют единый методический комплекс.
Главы 2 и 3 написаны Е.В. Фаустовым, доцентом кафедры медицинской и биологической физики Российского государственного медицинского университета, кандидатом технических наук. Глава 8 написана в соавторстве с М.Р. Богомильским.
Автор благодарен профессору Е.В. Кортукову та квалифицированное рецензирование.
А втор
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее широким понятием, включающим все, окружающее нас и нас самих, является материя. Дать обычное логическое определение материи, при котором указывается более широкое понятие, а затем отмечается признак предмета определения, невозможно, так как более широкого понятия, чем материя, нет. Полому вместо определения часто просто говорят, что материя есть объективная реальность, данная нам в ощущениях.
Материя не существует без движения. Под движением понимаются все происходящие во Вселенной изменения и процессы. Условно различные и многообразные формы движения можно представить четырьмя видами: физическая, химическая, биологическая и социальная. Это позволяет классифицировать разные науки в зависимости от того, какой вид движения они изучают. Физика изучает физическую форму движения материи.
Более детально физическую форму движения материи можно подразделить на механическую, молекулярно-тепловую, электромагнитную, атомную, внутриядерную. Естественно, такое деление условно. Тем не менее физику как учебную дисциплину обычно представляют именно такими разделами.
Физика, как и другие науки, использует различные методы исследования, но все они в конечном счете соответствуют единству теории и практики и отражают общий научный подход к познанию окружающей действительности: наблюдение, размышление, опыт. На основе наблюдений создаются теории, формулируются законы и гипотезы, они проверяются и используются на практике. Практика — критерий теорий, она позволяет их уточнять. Формулируются новые теории и законы, они вновь проверяются практикой. Таким обоазом человек продвигается ко все более полному пониманию окружающего мира.
Различные формы движения материи взаимозависимы и взаимосвязаны, что обусловливает появление новых наук, лежащих на стыке прежних — биофизика, астрофизика, химическая физика и др., а также исполь зование достижений одной науки для развития другой.
Читателя, естественно, интересует связь физики и медицины. Проникновение физических знаний, методов и аппаратуры в медицину достаточно многогранно, ниже предлагаются лишь некоторые основные аспекты этой связи.
Физические процессы в организме.
Биофизика
Несмотря на сложность и взаимосвязь различных процессов в организме человека, часто среди них можно выделить процессы, близкие к физическим. Например, такой сложный физиологический процесс, как кровообращение, в своей основе является физическим, так как связан с течением жидкости (гидродинамика), распространением упругих колебаний по сосудам (колебания и волны), механической работой сердца (механика), генерацией биопотенциалов (электричество) и т.п. Дыхание связано с движением газа (аэродинамика), теплоотдачей (термодинамика), испарением (фазовые превращения) и т.п.
В организме, кроме физических макропроцессов, как и в неживой природе, имеют место молекулярные процессы, которые в конечном итоге определяют поведение биологических систем. Понимание физики таких микропроцессов необходимо для правильной оценки состояния организма, природы некоторых заболеваний, действия лекарств и т.д.
Во всех этих вопросах физика настолько связана с биологией, что формирует самостоятельную науку — биофизику, которая изучает физические и физико-химические процессы в живых организмах, а также ультраструктугру биологических систем на всех уровнях организации — от субмолекулярного и молекулярного до клетки и целого организма.
Физические методы диагностики заболеваний и исследования биологических систем
Многие методы диагностики и исследования основаны на использовании физических принципов и идей. Большинство современных медицинских по назначению приборов конструктивно является физическими приборами. Чтобы это проиллюстрировать, достаточно рассмотреть некоторые примеры в рамках сведений, известных читателю из курса средней школы.
Механическая величина — давление крови — является показателем, используемым для оценки ряда заболеваний. Прослушивание звуков, источники которых находятся внутри организма, позволяет получать информацию о нормальном или патологическом поведении органов. Медицинский термометр, работа которого основана на тепловом расширении ртути, — весьма распространенный диагностический прибор. За последнее десятилетие в связи с развитием электронных устройств широкое распространение получил диагностический метод, основан
ный на записи биопотенциалов, возникающих в живом организме. Наиболее известен метод электрокардиографии — запись биопотенциалов, отражающих сердечную деятельность. Общеизвестна роль микроскопа для медико-биологических исследований. Современные медицинские приборы, основанные на волоконной оптике, позволяют осматривать внутренние полости организма.
Спектральный анализ используется в судебной медицине, гигиене, фармакологии и биологии; достижения атомной и ядерной физики — для достаточно известных методов диагностики: рентгенодиагностики и метода меченых атомов.
Воздействие физическими факторами на организм с целью лечения
В общем комплексе различных методов лечения, применяемых в медицине, находят место и физические факторы. Укажем некоторые из них. Гипсовая повязка, накладываемая при переломах, является механическим фиксатором положения поврежденных органов. Охлаждение (лед) и нагревание (грелка) с целью лечения основаны на тепловом действии. Электрическое и электромагнитное воздействия широко используются в физиотерапии. С лечебной целью применяют свет видимый и невидимый (ультрафиолетовое и инфракрасное излучения), рентгеновское и гамма-излучения.
Физические свойства материалов, используемых в медицине.
Физические свойства биологических систем
Применяемые в медицине повязки, инструменты, электроды, протезы и т.п. работают в условиях воздействия окружающей среды, в том числе в непосредственном окружении биологических сред. Чтобы оценить возможность эксплуатации подобных изделий в реальных условиях, необходимо иметь сведения о физических свойствах материалов, из которых они сделаны. Например, дтя изготовления протезов (зубы, сосуды, клапаны и т.д.) существенно знание механической прочности, устойчивости к многократным нагрузкам, эластичности, теплопроводности, электропроводности и других свойств.
В ряде случаев важно знать физические свойства биологических систем для оценки их жизнеспособности или способности выдер
жать определенные внешние воздействия. По изменению физических свойств биологических объектов возможна диагностика заболеваний.
Физические свойства и характеристики окружающей среды
Живой организм нормально функционирует, только взаимодействуя с окружающей средой. Он остро реагирует на изменение таких физических характеристик среды, как температура, влажность, давление воздуха и пр. Действие внешней среды на организм учитывается не только как внешний фактор, оно может использоваться для лечения: климатотерапия и баротерапия. Эти примеры свидетельствуют о том, что врач должен уметь оценивать физические свойства и характеристики окружающей среды.
Перечисленные выше применения физики в медицине составляют медицинскую физику — комплекс разделов прикладной физики и биофизики, в которых рассматриваются физические законы, явления, процессы и характеристики применительно к решению медицинских задач.
Медицина и техника
Современная медицина базируется на широком использовании разнообразной аппаратуры, которая в большинстве своем является физической по конструкции, поэтому в курсе медицинской и биологической физики рассматриваются устройство и принцип работы основной медицинской аппаратуры.
Медицина, вычислительная техника и математика
Компьютеры получили самое широкое распространение как для обработки результатов медицинских исследований, так и для постановки диагноза заболевания. Математика, кроме того, используется для описания процессов, протекающих в живых системах, а также для создания и анализа соответствующих моделей. Математическая статистика применяется для учета вида заболеваний, распространенности эпидемий и других целей.
Раздел 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ. ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ
Физико-математические знания важны врачу еще и потому, что они способствуют формированию материалистического взгляда на живой организм и процессы, протекающие в нем.
В практической деятельности врач постоянно имеет дело с количественными показателями (температура тела больного, артериальное давление крови, дозировка лекарства и т.п.), поэтому надо знать, как получены эти величины, какова их точность, в каких единицах они представлены. Медик сегодня должен иметь представление об обработке результатов измерений, уметь пользоваться вычислительной техникой. Общество, человек, компьютер — примеры систем, которые способны воспринимать и перерабатывать информацию. Подобные системы, живые и неживые, являются предметом изучения кибернетики. Вопросы кибернетики как некоторые общие проблемы, имеющие отношение к различным разделам курса, рассматриваются здесь. Таким образом, раздел можно рассматривать как метрологическое, математическое и кибернетическое введение к медицинской и биологической физике.
Глава 1
Введение в метрологию
Метрологией называют науку об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. В главе наряду с общими вопросами метрологии рассматриваются особенности измерений в биологии и медицине.
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ПОНЯТИЯ МЕТРОЛОГИИ
Измерением называют нахождение значения физической величины опытным путем с помощью технических средств. Измерения позволяют установить закономерности природы и являются элементом познания окружающею нас мира.
Различают измерения прямые, при которых результат получается непосредственно из измерения само! i величины (например, измерение температуры тела медицинским термометром, измерение длины предмета линейкой), и косвенные, при которых искомое значение величины находят по известной зависимости между ней и непосредственно измеряемыми величинами (например, определение массы тела при взвешивании с учетом выталкивающей силы, определение вязкости жидкости по скорости падения в ней шарика). Технические средства для производства измерений (средства измерений) могут быть разных типов. Наиболее известным читателю средством измерений является измерительный прибор, в котором измерительная информация представляется в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем (например, температура представлена в термометре длиной столбика ртути, сила тока — показанием стрелки амперметра или цифровым значением).
К средствам измерений относят также меру, которая предназначена для воспроизведения физической величины заданного размера (например. гиря определенной массы).
Одно из распространенных средств измерений — измерительный (iреобразоватсль (датчик).
Он предназначен для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, об
работки и (или) хранения (например, температура может быть представлена электрическим сигналом, см. § 15.6).
Значение физической величины, полученное при измерении, отличается от истинного. Степень приближения результатов измерения к истинному значению измеряемой величины характеризуется точностью измерений. Точность измерений является качественным показателем измерений.
Количественная оценка результата измерений дастся не его точностью. а погрешностью — отклонением результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Чем меньше погрешность, тем выше точность измерений.
Погрешности объясняются несовершенством средства измерений, неопытностью персонала, влиянием посторонних факторов и др. Из этих причин можно выделить те, которые проявляются нерегулярно и при повторных измерениях оказывают иное количественное воздействие на результат. Такие факторы приводят к случайным погрешностям. Это случайные величины, поэтому их можно обработать, проанализировать и таким образом учесть, используя соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику (см. гл. 2 и 3).
Сведения по теории погрешностей, необходимые студентам-медикам, приведены в [1].
Одним из основных метрологических понятий являются единицы физических величин. Единицей физической величины называют физическую величину, принятую по соглашению в качестве основы для количественной оценки соответствующей физической величины.
Единицы физических величин в основном группируются в системы единиц. Основной является Международная система единиц (СИ). Справочный матерная по единицам физических величин приведен в [2]. Не останавливаясь на этих вопросах, рассмотрим лишь относительные и логарифмические величины.
В измерительной практике достаточно широкое распространение получили относительные величины, которые являются отношением физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную. В качестве примера можно указать концентрацию раствора, относительные диэлектрическую и магнитную проницаемости, коэффициент полезного действия, относительную деформацию, коэффициент трения, вязкость крови относительно вязкости воды и т.д.
Относительная величина не имеет размерности и названия. Однако в ряде случаев относительную величину традиционно выражают со сто
кратным или тысячекратным увеличением. При этом она уже будет иметь единицу, соответственно процент (%) или промилле (%с).
Для выражения уровня звукового давления, уровня интенсивности звука, уровня усиления электрическою сигнала, выражения частотного интервала и т.п. удобнее использовать логарифм относительной величины (наиболее распространен десятичный логарифм):
~ «7 ’
где ci] и а2 — одноименные физические величины.
Единицей логарифмической величины является бел (Б):
Лэ 1 м
lB = lg^- при а2 = Юл,,
если а — энергетическая величина (мощность, интенсивность, энергия и т.п.), ИЛИ
lB = 21g^- прил2=\10с|,
если а — силовая величина (сила, механическое напряжение, давление, напряженность электрического поля и т.п.).
Достаточно распространена дольная единица — децибел (дБ):
1 дБ = 0,1 Б.
§ 1.2. МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Измерения проводятся с использованием технических средств. Результаты измерений должны соответствовать определенной точности и быть одинаковыми, если измеряются идентичные величины независимо от того, производятся ли измерения одномоментно или в разное время, в одной лаборатории или в разных
Для выполнения этих условий должно осуществляться соответствующее метрологическое обеспечение — установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений.
Организационной основой метрологического обеспечения в нашей стране является метрологическая служба России, состоящая из государственных и ведомственных метрологических служб.
Под единством измерений понимают одинаковость результатов тождественных измерений независимо от места и времени их проведения, а также достоверность измерений. Единство измерений позволяет соло-
ставлять результаты, полученные на различных однотипных средствах измерений.
Для определения погрешностей средств измерений и установления их пригодности к применению осуществляют их поверку. Этот термин специфичен для метрологии, хотя в обиходе он соответствует понятию проверка. Поверка проводится органами метрологической службы при помоши эталонов и образцовых средств измерений.
Эталоном называют средства измерений или комплекс средств измерений, обеспечивающие воспроизведение и хранение узаконенной единицы физической величины. Первичные эталоны в нашей стране обеспечивают наивысшую точность воспроизведения данной единицы. Кроме первичного сеть вторичные эталоны, от которых передается размер единицы образцовым средствам измерения. В качестве примера на рис 27.13 показан световой эталон.
Образцовым средством измерения называется такое, которое аттестовано (аттестация — документальное подтверждение соответствия средства измерений своему назначению) в качестве образцового и применяется для поверки по нему рабочих средств измерений.
Рабочими средствами измерений называют такие, которые применяются для практических измерений в различных областях.
Таким образом, метрологическая цепочка, по которой передается размер единицы физической величины, состоит из следующих основных звеньев: эталоны-образцовые средства измерений-рабочее средство измерений.
§ 1.3. МЕДИЦИНСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ. СПЕЦИФИКА МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ
Технические устройства, используемые в медицине, называют обобщенным термином «медицинская техника». Большая часть медицинской техники относится к медицинской аппаратуре, которая, в свою очередь, подразделяется на медицинские приборы и медицинские аппараты.
Медицинским прибором принято считать техническое устройство, предназначенное для диагностических или лечебных измерений (медицинский термометр, сфигмоманометр, электрокардиограф и др.).
Медицинский аппарат — техническое устройство, по шоляющее создавать энергетическое воздействие терапевтического, хирургического или бактерицидного свойства, а также обеспечивать в медицинских не
лях определенный состав различных субстанций (аппарат УВЧ-терапии, электрохирургии, искусственной почки, кохлеарный протез и др.).
Метрологические требования к медицинским приборам как к измерительным устройствам достаточно очевидны. Многие медицинские аппараты призваны оказывать дозирующее энергетическое воздействие на организм, поэтому они также включены в сферу внимания метрологической службы.
Измерения в медицине (медицинские или медико-биологические измерения), а также соответствующие средства измерении достаточно специфичны Эта особенность побуждает выделить в метрологии отдельное направление — медицинскую метрологию.
Рассмотрим некоторые проблемы, характерные для медицинской метрологии и частично для медицинского приборостроения.
I. В настоящее время медицинские измерения в большинстве случаев проводит медицинский персонал (врач, медсестра), нс являющийся технически подготовленным. Поэтому целесообразно создавать медицинские приборы, градуированные в единицах физических величин, значения которых являются конечной медицинской измерительной информацией (прямые измерения).
2. Желательно, чтобы время измерения, вплоть до получения конечного результата, было как можно меньше, а информация как можно полнее. Этим противоречивым требованиям удовлетворяют измерительные комплексы, включающие вычислительные машины.
3. При метрологическом нормировании создаваемого медицинского прибора важно учитывать медицинские показания. Врач должен определить, с какой точностью достаточно представить результаты, чтобы можно было сделать диагностический вывод. При этом должны быть учтены возможные отклонения этих показаний у отдельных больных.
4. Многие медицинские приборы выдают информацию на регистрирующем устройстве (например, электрокардиограф), поэтому следует учитывать погрешности, характерные для этой формы записи (см. § 21.5).
5. Одна из проблем — терминологическая. Согласно требованиям метрологии, в названии измерительного прибора должна быть указана (физическая величина или единица (амперметр, вольтметр, частотомер и др.). Название для медицинских приборов не отвечает этому принципу (электрокардиограф, фонокардиограф, реограф и др.). Так, электрокардиограф следовало бы назвать милливольтметром с регистрацией показаний (или регистрирующим милливольтметром).
6. В ряде медицинских измерений может быть недостаточная информация о связи между непосредственно измеряемой физической величи
ной и соответствующими медико-биологическими параметрами. Так, например, при клиническом (бескровном) методе измерения давления крови (см. § 11.4) допускается, что давление воздуха внутри манжеты приблизительно равно давлению крови в плечевой артерии. На самом деле эта связь не слишком простая и зависит от ряда факторов, в том числе и от степени расслабления мускулатуры. Лабораторные измерения (in vitro) могут отличаться от значений соответствующего параметра в условиях организма (in vivo).
7. В процессе измерения метико-биологические параметры могут изменяться. В практике физико-технических измерений стремятся сделать несколько отсчетов для исключения (учета) случайных погрешностей; это целесообразно в тех случаях, когда есть уверенность в неизменности физического параметра в процессе измерения. Параметры биологической системы могут значительно измениться при длительных измерениях, например вследствие психофизиологических факторов (воздействие окружающей обстановки: помещение, измерительный прибор, персонал и др.) или усталости мышц при многократных измерениях на динамометре. Подвижность органов или самого объекта также может приводить к разным результатам измерений.
Естественно, что при создании медицинской аппаратуры должны быть учтены и иные требования (санитарно-гигиенические, вопросы безопасности, надежности и др.), некоторые из них рассматриваются дальше.
§ 1.4. ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ В БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЕ
Большинство измерений в медицине является измерениями физических или физико-химических величин,
В количественной диагностике — давление крови, временная зависимость биопотенциалов, оптическая сила глаза и др. В лабораторных анализах — вязкость крови, концентрация сахара в моче и др. При лечении важно знать дозу ионизирующего излучения, силу тока при гальванизации, интенсивность ультразвука и т.д.; отсутствие какой-либо информации подобного рода может не только снизить лечебный эффект, но и оказать вред. Количественная оценка параметров среды, окружающей человека (влажность воздуха, температура, атмосферное давление), является необходимым условием профилактики заболеваний, климатического лечения.
Всевозможные физические медико-биологические измерения могут быть классифицированы либо по функциональному признаку, либо по принадлежности к соответствующему разделу физики. Физическая классификация более близка структуре данного курса, поэтому она и приведена ниже.
Механические измерения: антропометрические параметры тела, перемещение, скорость и ускорение частей тела, крови, воздуха, акустические измерения, давление крови и жидкостей в организме и воздуха в окружающей среде, измерение вибраций и др.
Теплофизические измерения: температура органов, частей тела и окружающей среды, калориметрические измерения биологических объектов, ироцуктов питания и др.
Электрические и магнитные измерения: биопотенциалы, индукция магнитного поля сердца, измерение импеданса биологических объектов с диагностической целью, параметров электромагнитных полей и концентрации ионов с гигиенической целью и др,
Оптические измерения: колориметрические измерения, измерения оптических характеристик глазных сред с диагностической целью, спектральные измерения для диагностики и судебно-медицинского назначения, измерение характеристик ультрафиолетового, инфракрасного и видимого света для гигиенических целей и др.
Атомные и яоерные измерения: измерение ионизирующих излучений (дозиметрия) и др.
Кроме того, можно указать и физико-химические измерения: количественное определение состава вдыхаемого и выдыхаемого воздуха, га-ювый состав крови, pH крови и других биологических сред.
Функциональный принцип классификации методов медико-биоло-гнчесжих измерений проиллюстрируем на измерении параметров сердечно-сосудистой системы. Здесь встречаются механические (балли-стокардиография, фонокардиография, измерение давления крови), электрические и магнитные (электрокаодиография, магнитокардиография), оптические измерения (оксигеометрия). Возможно применение и других физических методов; так, например, метолом ядсоного магнитного резонанса определяют скорость кровотока и многие другие.
Глава 2
Элементы теории вероятностей
В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, случайным величинам и случайным процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятностный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить диагноз умершего человека.
§ 2.1. ОПЫТ С НЕОДНОЗНАЧНЫМИ ИСХОДАМИ. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие опытам с неоднозначными исходами. Так называют опыты, результаты которых невозможно безошибочно предсказать. Например, при игре в рулетку шарик, брошенный на вращающееся колесо, может остановиться в любой из 37 пронумерованных лунок (О, I, ..., 36), но до остановки колеса номер лунки остается неизвестным.
Опыт и его исходы
Понятия «опыт» и «исход» являются первичными понятиями теории вероятностей.
Опыт — это некоторая последовательность действии, которые выполняются при соблюдении определенных условий.
Исход — это го, что непосредственно получается в результате опыта.
Опыт задан, если указаны условия его выполнения и известно множество всех его возможных исходов, которое обозначают буквой Q. Например, при игре в рулетку крупье закручивает игровое колесо, бросает на него шарик, ждет остановки колеса и объявляет номер лунки, в которой находит ся шарик. Перечисленные действия представляют собой описание данного опыта. Исходом опыта является объявленный номер лунки. Множеством всех возможных исходов состоит из 37 чисел: Q = {О, 1,2.36}.
Обратите внимание на то, что в результате каждого опыта появляется только один из всех возможных исходов.
В медицинских исследованиях опыт — это любое обследование пациента, например, определение содержания глюкозы в крови, взятой из вены. Исходом является результат обследования.
Случайное событие
Отдельные исходы опыта, как правило, не имеют самостоятельной значимости. Практический интерес представляют некоторые их совокупности, которые называют событиями. Например, игрок в рулетку' может поставить деньги на «четное». Тогда он выиграет, если шарик остановится в лунке с четным номером, и проиграет в противном случае. Конкретный номер лунки значения не имеет. В этом случае есть два события, имеющих практический интерес: «выигрыш» — выпадение четного числа, и «проигрыш» — выпадение нечетного числа. Все остальное — не важно.
Исходы медицинских исследований тоже группируют в значимые события. Например, при определении содержания глюкозы в крови рассматриваются 3 события: данный показатель в норме (3,9—6,4 ммоль/л); ниже нормы', выше нормы. А вот конкретная величина показателя (например, 5,18 ммоль/л) практического значения не имеет. В этом примере событие «в норме» — совокупность всех чисел из интервала (3,9—6,4 ммоль/л).
Случайным событием или просто событием называется некоз орая совокупность исходов опыта, имеющая практический интерес. Такие исходы называются благоприятствующими этому событию (или благоприятным дня него).
Событие наступает, если результатом опыта является один из благоприятствующих исходов.
В теории вероятностей случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами (Л, В, С...).
§ 2.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ. ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ СОБЫТИЕ.
НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ
Для того чтобы объяснить, в чем заключается данное событие, необходимо перечислить все возможные исходы опыта (Q) и указать, какие из них являются благоприятными. В одних случаях сделать это просто, а в других случаях значительно сложнее.
Пусть, например, опьп заключается в том, что стрелок производит по мишени один выстрел. В этом случае возможны только два исхода:
А (попадание) или В (промах). Эти исходы являются простейшими событиями.
Теперь рассмотрим опыт, в котором стрелок производит по мишени два выстрела. В этом случае возможны четыре элементарных исхода:
1) А] и А2 — два попадания;
2) Ai ]л В2 — попадание и промах;
3) 5, и А2 — промах и попадание;
4) BL и В2 — два промаха.
Событию С, состоящему в том, что мишень поражена после двух выстрелов, благоприятствуют три исхода, в которых есть хотя бы одно попадание:
С = {(Л] и Л2), (Л] и В2), (Bi и А2)}.
Для описания сложных событий их представляют как результат операций (действий) над более простыми событиями. К таким операциям относятся сложение и произведение событий.
Суммой или объединением двух событий Ли В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумма событии обозначается следующим образом: А + В. (В некоторых учебниках сумма событий обозначается A U В,)
Событие А + В представляет собой совокупность исходов, благоприятных хотя бы одному из событий А, В.
Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении их обоих.
Произведение событий обозначается следующим образом: А В. (В некоторых учебниках пересечение событий обозначается А П В.}
Событие А В представляет собой совокупность исходов, благоприятных для каждого из событий (и для события А и для события В)
Рассмотренное выше сложное событие С — поражение мишени двумя выстрелами — записывается с помощью операций сложения и умножения простых событий (А — попадание, В — промах) следующим образом:
С = АрА2 + А\- В2 + Bt-A2.
Разберем простой пример, поясняющий технику выполнения операций сложения и умножения событий. Бросается игральный кубик. Событие А — выпадение четного числа: А = {2, 4, 6}. Событие В — выпадение числа, кратного трем: В = {3, 6}.
• Сложение: А + В — это выпадение числа, которое или является четным, или делится на 3: А + В = {2, 3, 4, 6}.
• Произведение: АВ— это выпадение числа, которое является и четным, и делится на 3: А-В = {6}.
Действия над событиями удобно иллюстрировать графически с помощью специальных диаграмм Вена. На этих диаграммах пространство элементарных исходов О изображается некоторым кругом, точки которого интерпретируются как элементарные исходы. Простые события изобра жаются какими-либо фигурами, например, овалами. Изображение суммы и произведения событий показано на рис. 2.1 (темная область),
Рис. 2.1. Графическое изображение суммы и произведения двух событий
Противоположное событие
Каждому событию А можно поставить в соответствие противоположное ему событие А (читается «не 4»), состоящее из всех исходов, неблагоприятных для А. Графическая иллюстрация событий А и А представлена на рис.2.2
Рис. 2.2. Собы тие А и противоположное ему событие А
Событие, противоположное событию Л состоит в том, что при выполнении опыта событие А не наступило.
Отметим,, что А + А = Q.
Несовместные события
Важное место в теории вероятности занимают несовместные события.
Рис. 2.3. Несовместные события не имеют обших
Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно (при выполнении одного опыта).
У несовместных событий нет общих исходов, поэтому они изображаются непсреиекаю-тцимися фигурами (рис. 2.3).
Важным частным случаем несовместных событий являются прямое и противоположное события (Л и А ).
исходов
§ 2.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ, АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Можно заметить, что при многократном повторении опыта со случайными исходами одни события происходят чаще, а другие — реже. Например, при многократном бросании игрального кубика четное число выпадет примерно в половине случаев, в то время как доля чисет кратных трем будет близка к одной трети.
Вероятность события
Для того чтобы сравнивать случайные события но степени возможности их наступления, следует с каждым из них связать какое-то число, которое тем больше, чем более возможно это событие. Это число определяет вероятность события.
Вероятность события — это количественная характеристика возможности его появления.
Вероятность обозначается буквой «А: например, вероятность события А обозначается как Р(А) или РЛ.
Свое первоначальное развитие теория вероятностей получила при анализе азартных игр и применялась к опытам, все исходы которых равновозможны.
Исходы опыта называют равновозможными., если нет объективных причин, в силу которых одни исходы должны появляться чаще других.
Например, вследствие симметрии игральной кости возможности выпадения всех ее граней одинаковы. Поэтому бросок игральной кости — опыте равновозможными исходами,
Классическое определение вероятности
Рассмотрим опыт, имеющий Л'равновозможных исходов. Обозначим Na — число исходов, благоприятных для события А.
Вероятность случайного события — это отношение числа благоприятствующих ему’ исходов к числу всех равновозможных исходов данного опыта:
Pa = ^a/N.
(2.1)
Исторически за этой формулой закрепилось название «Классическое определение вероятности», Это был первый количественный результат (формирующейся теории, который позволил определять шансы на успех в различного рода азартных играх. Рассмотрим применение этого определения к игре в косги.
Задача. Игроки А и В играют, бросая по 2 косги. Игрок А выигрывает в юм случае, когда сумма выпавших очков равна 7. Игрок В выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 8. Кому выгодна эта игра?
Решение. Исходом каждого броска является выпадение пары граней. Вследствие симметрии костей все исходы равновозможны, а их количество -V = 6 • 6 = 36.
Выигрышу игрока А (событие А) благоприятствуют 6 исходов (1—6, 6-1, 2—5, 5—2. 3—4,4—3), NA = 6. Выигрышу игрока В (событие В) благоприятствуют 5 исходов (2—6, 6-2, 5—3, 3—5, 4—4); >Vz; — 5. Используя (формулу (2 1), найдем. РА = 6/36, Рв = 5/36. Таким образом, игроку Л ш ра выгоднее.
Аксиомы теории вероятностей
Далеко не все опыты имеют равновозможные исходы. Например, при стрельбе по мишени возможности попадания и промаха явно различны, Для того чтобы распространить понятие вероятности на произвольные опыты со случайными исходами, потребовалось введение ряда общих понятий и свойств.
Границы, в которых изменяется вероятность события, устанавливают по отношению к двум специальным понятиям.
1. Достоверным называется событие, которое в результате эксперимента должно произойти обязательно. Таким событием является множество всех возможных исходов р,
2. Невозможным называется событие, которое в данном опыте произойти не может. Например, при игре в рулетку не может выпасть число 38 — его просто нет на колесе. Невозможное событие обозначают символом 0.
Вероятность достоверного события принимают за единицу:
Л^-
Вероятность невозможного события принимают за ноль:
Л0) = о.
К этим свойствам вероятности добавляют еще две аксиомы:
• вероятность любого события А лежит между нулем и единицей:
О < Р^< 1;
• вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = РЛ + Рв. (2.2)
Можно доказать, что вероятность суммы совместных событий находится по следующей формуле;
Р(А + В) = РА + Рв- Р(А- В). (2.3)
§ 2.4. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ, ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Условия, в которых допустимо использовать классическое определение вероятности, встречаются чрезвычайно редко, поскольку опыты с равновозможными исходами скорее исключение, чем правило. Если же исходы не являются равновозможными, то вероятность события нельзя вычислять по формуле (2.1).
Рассмотрим метод экспериментальной оценки вероятности некоторого события А. Выполним один и тот же опыт несколько раз и подсчитаем, в скольких опытах данное событие произошло.
Относительной частотой некоторого события А в выполненной серии опытов называют отношение числа опытов (лД в которых событие произошло, к общему числу проведенных опытов (и):
p*=nJ . (2.4)
При небольшом п относительная частота события носит в значительной степени случайный характер. Однако по мере увеличения числа проведенных опытов частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой постоянной величине. Ниже приводится таблица, в которой показано, как меняются частоты (Р*) выпадения герба при увеличении числа бросков (л) симметричной монеты.
Таблица 2.1
п 10 50 75 100 200 300 400 500 600
р* 0,400 0,540 0,493 0,510 0,505 0,503 0,498 0,502 0,499
График, соответствующий этим изменениям, представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Сходимость относительной частоты события кето вероятности
Относительная частота события и его вероятность связаны между собой законом больших чисел.
При неограниченном увеличении числа испытаний частота события стремится к его вероятности:
ПРИ п °0- (2.5)
Это соотношение иногда называют статистическим определением вероятности. В соответствии с законом больших чисел, за вероятность события можно принять его относительную частоту при большом числе испытаний.
§ 2.5. НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Понятие статистической независимости занимает в теории вероятностей важное место и определяется следующим образом.
События А и В называются независимыми., если факт наступления одного из них не меняет вероятности наступления другого.
Типичный пример независимых событий — события, появляющиеся в опытах с независимыми исходами.
Два опыта называются независимыми, если исход одного опыта не может повлиять на исход другого опыта.
Например, при броске двух игральных кубиков результат первого броска никак не влияет на результат второго броска.
Для независимых событий выполняется теорема умножения вероятностей.
Вероятность события, которая является произведением независимых событий А и 5, равна произведению их вероятностей.
Р(А -В) = РА -Рв. (2.6)
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны оба шара окажутся черными.
Событие А — извлечение черного шара из первой урны:
РА= 5/15 = 1/3.
Событие В — извлечение черного шара из второй урны:
Р8=3/20.
Событие А В — оба шара имеют черный цвет:
Р(А -В) = РАРв = 1/3 • 3/20 = 1/20.
Применение теоремы умножения вероятностей к формуле (2.3) приводит к следующему закону нахождения вероятности суммы двух независимых событий:
Р(А +В) = РА + Рв—РА-Р0. (2.7)
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны хотя бы один шар окажется черным. Используя значения РА, Рв и Р(А - В), полученные в предыдущем примере, найдем:
Р(А + В) - 1/3 + 3/20 — 1/20 = 22/60.
§ 2.6. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Часто с исходами опыта связывают числовые значения. Например, на гранях кубика написаны числа, поэтому выпадение какой-либо грани есть выпадение соответствующего числа. При повторных бросаниях кубика выпадающие числа будут меняться случайным образом. В этом случае говорят о случайной величине.
Под случайной величиной (СВ) понимается величина, значение которой зависит от исходов опыта со случайными исходами.
Случайные величины обозначают большими буквами (X У...), а их значения — малыми буквами (х, у...).
Из множества всех случайных величин выделяют два наиболее часто встречающихся вида: дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина — такая СВ, которая может принимать только конечное (или счетное) множество значений.
Эти значения нумеруются хь х2, х3..., а вероятности их появления обозначаются ръ р2, Pj...
Мы будем рассматривать дискретные величины с конечным множеством значений. Примерами таких величин являются число букв на случайно выбранной странице книги, энергия электрона в атоме, число зерен в колосс пшеницы и т.п.
Непрерывная случайная величина — такая СВ, которая может принимать любое значение в некотором определенном интервале (л, А).
Границы интервала могут принимать и бесконечно большие значения.
Примерами непрерывных случайных величин являются средняя температура воздуха в определенный промежуток времени масса зерен в колосе пшеницы, результат любого количественного анализа в медицине и т.п.
Ряд распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина считается заданной, если известны ее возможные значения хн x2...x,v и соответствующие им вероятности
Р2---Р\- Совокупность значений СВ и их вероятностей, заданная в виде таблицы, называется рядом распределения, или распределением дискретной случайной величины:
X *1 х2 х3 ХХ'
р Р\ Р2 Рз Р.Х
Сумма всех вероятностей равна единице:
.'V ХЛ.
(2.8)
Ряд распределения является самой полной характеристикой дискретной СВ.
Функция распределения
Полной характеристикой непрерывной случайной величины является функция распределения Дх), значение которой в каждой точке х равно вероятности того, что случайная величина А примет значение, меньшее х:
Г(х) - Р(Х< х).
(2.9)
Вероятность того, что значение СВ окажется меньше 1, равна С) (все числа меньше +со — достоверное событие), поэтому F(+oc) = 1. Вероятность того, что значение СВ окажется меньше —оо, равна нулю (нет таких чисел — невозможное событие), поэтому F(—оо) = 0. Характерный вид функции распределения показан на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Характерный вил функции распределения случайной величины
Функция распределения позволяет рассчитать вероятность того, что при выполнении опыта значение непрерывной случайной величины попадет в заданный интервал (xb х2):
Р(х} <Х<х2) = F(x2) - Нх^).
(2.10)
Плотность распределения
Функции распределения всех непрерывных случайных величин похожи друг на друга — все они монотонно возрастают от 0 до I. Индивидуальные особенности случайных величин позволяет выявить другая функция. называемая плотностью распределения.
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) Дх) непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения:
^x) = dF/dx (2.11)
Плотность распределения имеет следующее вероятностное истолкование.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина А' принимает значения из малого интервала (х, х + dx), равна произведению плотности вероятности на ширину интервала:
dP=/(x)-dx. (2.12)
Если нарисовать график плотности распределения, то вероятность того, что при выполнении опыта значение непрерывной случайной величины попадет в заданный интервал (хь х2), равна плошади соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2.6). При этом площадь под всем графиком равна единице. Это условие жвивалентно условию нормировки (2.8) для дискретных СВ.
Рис 2.6. Характерный вид плотности распределения случайной величины
Для задач практической статистики интерес представляют только три вида интервалов: «левый хвост» распределения (—со, Х0; «центральный» интервал (хь х2)и «правый хвост» распределения (х2, +«=)
Рис. 2.7. Интервалы, используемые в практической статистике
§ 2.7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Ряд распределений и плотность распределения несут полную информацию о соответствующей случайной величине, однако при решении многих практ ических вопросов достаточно знать две числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию. Мы дадим не очень строгое, но понятное опреде ление этих характеристик.
Математическое ожидание М% случайной величины X — это ее среднее арифметическое значение.
В это определение вкладывается следующий смысл. Пусть в серии из п опытов получены п значений случайной величины: хь х2, ... хп. При неограниченном увеличении длины серии среднее арифметическое всех полученных значений стремится к Мх:
п
1 м <2лз>
—-----> MY при п -+ 00.
и Л
Возможные значения случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания М(х); часть из них превышает М(х), часть — меньше М(х). Рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания оценивают с помощью дисперсии.
Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Пх=М\Х-МД2. (2.14)
Формулы для расчета дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин имеют следующий вид'
Dx = Е Pi ‘ k “ 4Е (2.15)
2=1
+ оо
Dx = f k - 412 • A*) <bc. (2.16)
- co
При вычислении дисперсии отклонения значения случайной величины возводятся в квадрат. Это делается для подавления знака минус, который появляется в тех случаях, когда х < Мх. Если этого не делать, то отрицательные и положительные значения скомпенсируют друг друга и в результате получится ноль. Для того чтобы избавиться от последствий возведения отклонений в квадрат, после вычисления дисперсии из нее извлекают квадратный корень. Полученную при этом величину используют в качестве меры отклонения случайной величины от среднего значения.
Среднеквадратическое отклонение (СКО) случайной величины — это квадратный корень из ее дисперсии:
ах = 4ох (2.17)
(иногда употребляют термин «стандартное отклонение»).
При обработке данных над случайными величинами выполняют математические действия, в результате которых получаются новые случайные величины. Покажем, как меняются при этом математические ожидания и дисперсии.
1. При сложении случайной величины с константой (Q константа добавляется к математическому' ожиданию, а дисперсия и СКО не меняются:
М(Х+ Q = My+C, D(X + С) = Dx.
2. При умножении (детении) случайной величины на константу (к) математическое ожидание умножается на константу, а дисперсия на ее квадрат:
М(к-Х) = к-Мх\
D(k Х) = № Dx, <у(кХ) = к • сх.
3. При сложении случайных величин (как независимых, так и зависимых) их математические ожидания складываются:
М(Х} + Х2) = Л/| + м2.
4. При сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются:
D(X{ 4- Х2) = Д + DX2.
§ 2.8. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим некоторые важные для практического использования законы распределения случайной величины.
Нормальный закон распределения
(закон Гаусса)
Случайная величина ^распределена по нормальному закону, если она определена на всей числовой оси и ее плотность вероятности определяется формулой:
I / (х - ц)2 \
/(X) =----= схр - -у-2— , (2.18)
z. I 'ъ \ О г
ГТ ’ V / тт \ /
где ц = Мх— математическое ожидание случайной величины; ст - се среднеквадратическое отклонение.
Важность нормального закона распределения для практической статистики связана с центральной предельной теоремой, согласно которой сумма большого числа независимых случайных величин с одинаковым законом распределения имеет распределение, которое можно считать нормальным. При этом закон распределения, которому подчиняются слагаемые, значения не имеет и может быть вообще не известен. Мы будем использовать это свойство в следующем параграфе.
На рис. 2.8 представлены графики плотности героятности двух нормально распределенных СВ с ц = О, а = 2иц = 2,а = 1.
Отметим некоторые свойства этих графиков:
• график плотности распределения нормального закона имеет симметричный, колоколообразный вид; линия симметрии проходит через математическое ожидание случайной величины (х = ц);
• в точке х = ц функция достигает максимума;
• параметра характеризует форму кривой распределения: чем меньше а, тем уже и выше график.
Рис. 2.8. Графики плотности вероятности нормального закона распределения
Для вычисления значений функции распределения и плотности вероятностей нормального закона используются компьютерные функции. В широко известном приложении Excel эти вычисления выполняет ста-гисгическая функция НОРМРАСП(х, ц, с, т). При т = 0 вычисляется плотность распределения, а при т = 1 вычисляется функция распределения.
Нормальное распределение с ц = 0 и а = 1 называется стандартным. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, нетрудно показать, что если случайная величина Xимеет нормальное распределение с параметрами ц и а, то случайная величина = (,¥ - ц)/а имеет стандартное нормальное распределение. Отсюда получается, что вероятность события |Х- ц| < к<з равна вероятности события |Aq| < к. Используя формулу (2.10), найдем
Р(-Ла < |Х - ц| < кс) = НОРМРАСП(С 0, 1,1) - НОРМРАСП(-А, 0, 1,1).
Для Л:=1Д = 2и/с=3 получим:
Р(-о< X- а < а ) = 0,6826,
Р(-2а< Х-а<2<з) = 0,9544, (2.19)
Р (-За < X- а < За) = 0,9974.
Последнее число показывает, что вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от среднего более чем на Зо составляет всего 0,26%, Соотношения (2.19) показаны на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания
Распределение X2, распределение Стьюдента и распределение Фишера
Со стандартным нормальным распределением связаны еще три распределения, которые играют важную роль в математической статистике.
Распределение X2
Пусть JV[, ЛЗ, ... Xv — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Тогда сумма их квадратов подчиняется распределению х2 (хи-квадрат):
Y=Xi+X2 +... + Х2. (2.20)
Число слагаемых v (ню) называют числом степеней свободы. График плотности распределения для v = 5 представлен на рис. 2.10.
f
0,2 -]
Рис. 2.10. Плотность распределения у2 для v = 5
Распределение Стьюдента
Если Xслучайная величина со стандартным нормальным распределением, а У — имеет распределение х2 с числом степеней свободы v, то случайная величина
(2-21)
подчиняется распределению Стьюдента с v степенями свободы. График плотности распределения Стьюдента похож на график стандартного нормального распределения и здесь не приводится.
Распределение Фишера
Если Kj и У2 ~ независимые случайные величины, имеющие ^-распределение cv( и v2 степенями свободы соответственно, то отношение
„ ^l‘v2
F —-------
K2-v,
(2.22)
имеет f-распределение Фишера. При этом vj называют числом степеней свободы числителя, a v2 — числом степеней свободы знаменателя.
График плотности F-распределения для v( = 5 и v3 = 10 представлен на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Плотность /'"-распределения для Vj = 5и v2 = 10
Экспоненциальный закон распределения.
Распределение Больцмана
Непрерывная случайная величина с положительными значениями, плотность вероятности которой задана формулой:
/(х)=1-л-гЧх>0, (2.23)
называется распределенной по экспоненциальному закону.
Функция распределения экспоненциального закона выражается формулой:
F (х) = 1 — х>0. (2.24)
В физике вместо функции распределения (2.21) используют функцию:
FB(x) = e-^x>Q, . (2.25)
которая равна вероятности того, что СВ примет значение, большее х. С помощью этой функции описывают распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых полях. Такое распределение называют распределением Больцмана. Из статистического распределения Больцмана вытекает, например, барометрическая формула, определяющая распределение по высоте газа в поле тяжести Земли:
п = я0 ехр(-mgh/k Т), (2.26)
где п и nQ — концентрации молекул на высоте Л и у поверхности Земли; m — масса молекулы; к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.
Глава 3
Элементы математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
§ 3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В медико-биологических задачах часто приходится исследовать распределение того или иного признака для очень большого числа индивидуумов. У разных индивидуумов этот признак имеет различное значение, поэтому он является случайной величиной. Например, любой лечебный препарата имеет различную эффективность при его применении к разным пациентам. Однако для того чтобы составить представление об эффективности данного препарата, нет необходимости применять его ко всем больным. Можно проследить результаты применения препарата к сравнительно небольшой группе больных и на основании полученных данных выявить существенные черты (эффективность, противопоказания) процесса лечения.
Генеральная совокупность — подлежащая изучению совокупность однородных элементов, характеризуемых некоторым признаком. Этот признак является непрерывной случайной величиной с плотностью распределения Дх).
Например, если нас интересует распространенность какого-либо заболевания в некотором регионе, то генеральная совокупность — все население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует рассматривать две генеральные совокупности.
Для изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую часть ее элементов.
Выборка — часть генеральной совокупности, выбираемая для обследования (лечения).
Если эзо не вызывает недоразумений, то выборкой называют как совокупность объектов, отобранных для обследования, так и совокупность
значений исследуемого признака, полученных при обследовании. Эти значения могут быть представлены несколькими способами.
Простой статистичесь ии ряд — значения исследуемого признака, записанные в том порядке, в котором они были получены.
Пример простого статистического ряда, полученного при измерении скорости поверхностной волны (м/с) в коже лба у 20 пациентов приведен в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Простой статистический ряд
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 35 32 38 34 42 36 39 33 28 47 39 33 39 41 40 46 28 37 36 38
Простой статистический ряд — основной и самый полный способ записи результатов обследования. Он может содержать сотни элементов. Окинуть такую совокупность одним взглядом весьма затруднительно. Поэтому большие выборки обычно подвергают разбие н ию на группы. Для этого область изменения признака разбивают на несколько (N) интервалов равной ширины и подсчитывают относительные частоты (л/л) попадания признака в эти интервалы. Ширина каждого интервала равна:
~ ^тах xmird /
I раницы интервалов имеют следующие значения:
X . у 4- /7* X "I- 9 л/ х
Если какой-то элемент выборки является границей между двумя соседними интервалами, то его относят к левому интервалу. Сгруппированные таким образом данные называют интервальным статистическим рядом.
Интервальный статистический ряд — это таблица, в которой приведены интервалы значений признака и относительные частоты попадания признака в эти интервалы.
В нашем случае можно образовать, например, такой интервальный статистический ряд (N = 5, а = 4), табл. 3 .2.
Таблица 3.2. Интервальный статистический ряд
х, х + Дх 28-32 32-36 36-40 40-44 44-48
Р*= п,/л 0,10 0,25 0,40 0,15 0,10
Здесь к интервалу 28—32 отнесены два значения равные 28 (табл. 3.1), а к интервалу 32—36 — значения 32, 33, 34 и 35.
Интервальный статистический ряд можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы значений признака и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, равной относительной частоте. Полученная столбцовая диаграмма называется гистограммой.
Рис. 3.1. Гистограмма
На гистограмме статистические закономерности распределения признака просматриваются достаточно отчетливо.
При большом объеме выборки (несколько тысяч) и малой ширине столбцов форма гистограммы близка к форме графика плотности распределения признака.
Число столбцов гистограммы можно выбрать по следующей формуле:
N= 1 + 3,3-lg«. (3.1)
Построение гистограмм ы вручную — процесс долгий. Поэтому разработаны компьютерные программы для их автоматического построения.
§ 3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА
Многие статистические процедуры используют выборочные оценки для математического ожидания и дисперсии (или СКО) генеральной совокупности.
Выборочное среднее С¥) — это среднее арифметическое всех элементов простого статистического ряда: /1
Х= (3.2)
п
Для нашего примера X = 37,05 (м/с),
Выборочное среднее — это наилучшая оценка генерального среднего М.
Выборочная дисперсия s1 равна сумме квадратов отклонений элементов от выборочного среднего, поделенной на п — 1:
(3.3)
В нашем примере s2 = 25,2 (м/с)2.
Обратите внимание, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки и, а п— I. Это связано с тем, что при вычислении отклонений в формуле (3.3) вместо неизвестного математического ожидания используется его оценка — выборочное среднее.
Выборочная дисперсия — это наилучшая оценка генеральной дисперсии (ст2).
Выборочное среднеквадратическое отклонение (у) — это квадратный корень из выборочной дисперсии:
(3.4)
Для нашего примера 5 = 5,02 (м/с).
Выборочное среднеквадратическое отклонение — это наилучшая оценка генерального СКО (ст).
При неограниченном увеличении объема выборки все выборочные характеристики стремятся к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.
X —> М, s2 —> ст2, у —> ст при Л —> со.
Для вычисления выборочных характеристик используют компьютерные формулы. В приложении Excel эти вычисления выполняют статистические функции СРЗНАЧ, ДИСП. СТАНДОТКДОН.
§ 3.3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА
Все выборочные характеристики являются случайными величинами. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные
характеристики являются лишь оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.
Недостатки выборочного оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая числовой интервал, внутри которого с заданной вероятностью РТ] находится истинное значение оцениваемого параметра.
Пусть — некоторый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.).
Интервальной оценкой параметра ^называется интервал (U}, U7), удовлетворяющий условию:
6ГГ< ^) = Лг
(3.5)
Вероятность РЛ называется доверительной вероятностью.
Доверительная вероятность А — вероятность того, что ист инное значение оцениваемой величины находится внутри указанного интервала.
При этом интервал ( Z7|, Up называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.
Часто вместо доверительной вероятности используют связанную с ней величину а = 1 — Рд, которая называется уровнем значимости.
Уровень значимости — это вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра находится за пределами доверительного интервала.
Иногда а и /д выражают в процентах, например, 5% вместо 0,05 и 95% вместо 0,95.
При интервальном оценивании сначала выбирают соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра.
Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.
1. Чем ниже уровень значимости (чем больше РД, тем шире интервальная оценка. Так, если при уровне значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < М< 39,4, то для уровня 0.01 она будет гораздо шире: 33,85 < М< 40,25.
2. Чем больше объем выборки п, тем уже интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5 - процентная оценка генеральной средней (.0=0,05), полученная по выборке из 20 элементов, тогда 34,7 < М < 39,4.
Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < М< 38,6.
В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего признака, который распределен в генеральной совокупности по нормальному закону.
§ 3.4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОГО СРЕДНЕГО ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Построение интервальной оценки генерального среднего А/для генеральной совокупности с нормальным законом распределения основано на следующем свойстве. Для выборки объема п отношение
t = ) \ s
подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы V = п — 1.
Здесь X — выборочное среднее, аз — выборочное СКО.
Используя таблицы распределения Стьюдента или их компьютерный аналог, можно найти такое граничное значение что с заданной доверительной вероятностью выполняется неравенство:
Этому неравенству соответствует неравенст во для М:
где s — полуширина доверительного интервала.
Таким образом, построение доверительного интервала для М проводится в следующей последовательности.
1. Выбирают доверительную вероятность Рп (обычно 0,95 или 0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят параметр zrp.
2. Рассчитывают полуширину доверительного интервала е:
(3.6)
3. Получают интервальную оценку генерального среднего с выбранной доверительной вероятностью:
Р{Х - с <Л/<А' + е) = Рд .
(3.7)
Кратко это записывается так:
Л/ = А'±в, Рд = ... (3.8)
Для нахождения интервальных опенок разработаны компьютерные процедуры.
Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называемый числом степеней свободы v = п - I, и верхняя строка — уровень значимости а. На пересечении соответствующей строки и столбца находят коэффициент Стьюдента t.
Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента представлен ниже.
Таблица 3.3. ФрагмеН! таблицы распределения Стьюдента
т Уровень значимости а
0,5 0,4 о,з 0,2 0,1 0,05 0,01
1 1,00 1,38 2,00 3,08 6,31 12,71 63,66
10 0,70 0,88 1,10 1.37 1,81 2,23 3,17
19 0,69 0,86 1,09 1,33 1,73 2,09 2,86
Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (п — 20, v =19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты по формулам (3.1—3.3) дают: X — 37,05; $ = 5,02
Выберем а = 0,05 (Рд = 0,95). На пересечении строки «19» и столбца «0,05» найдем t = 2,09.
Вычислим точность оценки по формуле (3.6): в = 2,09-5,02/х/20 = 2,34.
Построим интервальную опенку: с вероятностью 95% неизвестное генеральное среднее удовлетворяет неравенству:
37,05 - 2,34 < М< 37,05 + 2,34, или Л/= 37,05 ± 2,34 (м/с), Рл = 0,95.
§ 3.5. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистические гипотезы
Прежде чем сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий пример.
Для сравнения двух методик лечения некоторого заболевания были отобраны две группы пациентов по 20 человек, лечение которых проводилось по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось количество процедур, после которого достигался положительный эффект. По этим данным для каждой группы находились выборочные средние CY), выборочные дисперсии (у2) и выборочные СКО (х).
Результаты представлены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Число процедур 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 X .S2 5
I-я группа I 2 3 7 4 2 1 6.05 2,16 1.45
2-я группа 1 2 3 6 3 2 1 1 1 7,45 4.05 2,01
Количество процедур, необходимое для получения положительного эффекта, — случайная величина, вся информация о которой на данный момент содержится в приведенной выборке.
Из табл. 3.4 видно, что выборочное среднее в первой группе меньше, чем во второй. Означает ли это, что и для генеральных средних имеет место такое же соотношение: < ЛГ2? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза — это предположение относительно свойств генеральных совокупностей.
Мы будем рассматривать гипотезы о свойствах двух генеральных совокупностей.
Если генеральные совокупности имею" известные, одинаковые распределения оцениваемой величины, а предположения касаются величин некоторого параметра этого распродал с ния, то гипотезы называются параметрическими. Например, выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковой дисперсией. Требуется выяснить, одинаковы ли генеральные средние этих совокупностей.
Если о законах распределения генеральных совокупностей ничего не известно, то гипотезы об их свойствах называют непараметрическими. Например, одинаковы ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки.
Нулевая и альтернативная гипотезы.
Задача проверки гипотез. Уровень значимости
Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.
• — нулевая гипотеза (гипотеза скептика) — это гипотеза об от-
сутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований, — случайны;
• Я, — альтернативная гипоте за (гипотеза оптимиста) — это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей.
Гипотеза Позиция выдвигающего гипотезу
Нулевая — Наблюдаемые различия случайны
.Альтернативная — Наблюдаемые различия достоверны и вызваны объе к ги вным и прич инам и
Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н(} известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал, в который с заданной вероятностью попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью. Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза //0. В противном случае принимается гипотеза Нх.
В медицинских исследованиях используют Рл = 0,95 или = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости а = 0,05 или а = 0,01.
При проверке статистических гипотез уровнем значимости (а) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.
Обратите внимание на то, что по своей сули процедура проверки гипотез направленьз на обнаружение различий, а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику >> — ну что, Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!..
Ну а если значение критеоия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза ЯС( верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.
1. Объемы выбооок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.
2. Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.
Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях,
§ 3.6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ, F-КРИТЕРИЙ ФИШЕРА
В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация, уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.
Постановка'задачи
Получены две выборки и {А2}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения. Объемы выборок — /7] и н2, а выборочные дисперсии равны sf и $2 соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии.
Проверяемые гипотезы:
7/0 — генеральные дисперсии одинаковы',
Н{ — генеральные дисперсии различны.
Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезы отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости H(i берется величина F, вычисляемая по формуле
2
F = (3 9)
г г к
где 5] w 52 — выборочные дисперсии.
Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя Vj = — 1 и числом степеней свободы знаме-
нателя \>2 = п2 — 1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции ЕРАСПОБР.
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: v, = v2 - 20 — I = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При a = 0,05 границы критической области равны соответственно: = 0,40, F.m.... = 2.53.
0,53
♦ — ♦--------------------------------------
0,40 2,53
Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза 7/0: генеральные дисперсии выборок одинаковы.
§ 3.7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОТНОСИТЕЛЬНО РАВЕНСТВА СРЕДНИХ, t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать i-критерий Стьюдента.
Постановка задачи
Получены две выборки {АД и {А2}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Объемы выборок — л^и п2. выборочные средние равны А] и А2, а выборочные дисперсии — s[ и s2 соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние.
Проверяемые гипотезы:
— генеральные средние одинаковы',
Н} — генеральные средние различны.
Показано, что в случае справедливости гипотезы величина вычисляемая по формуле:
~ . (3.10)
(vj • sf + v2 • si) • + n2)
(Vi + v2) • n} • n2
распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы v = vt + + v2 — 2.
Здесь где \j = — 1 — число степеней свободы для первой выборки;
v2 = «2 — 1 — число степеней свободы для второй выборки,
Границы критической области находят по таблицам /-распределения или с помошью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: — /гр и /гр.
Для примера, представленного в табл. 3.4, нолучим:
vi = v2 = 20- 1 = 19; v = 38, /=-2,51.
При а = 0,05 /[р = 2,02.
-2,51
-2,02
2,02
Значения критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимаем гипотезу Яр генеральные средние различны. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.
Применимость t-критерия Стьюдента
Критерии Стьюдента применим только к выборкам из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями. Если хотя бы одно из условий нарушено, то применимость критерия сомнительна. Требование нормальности генеральной совокупности обычно игнорируют, ссылаясь на центральную предельную теорему. Действительно, разность выборочных средних, стоящая в числителе (3.10), может считаться нормально распределенной при v > 30. Но вопрос о равенстве дисперсий проверке не подлежит, и ссылки на то, что критерий Фишера не обнаружил различий, принимать во внимание нельзя. Тем не менее /-критерий достаточно широко применяется для обнаружения различий в средних значениях генеральных совокупностей, хотя и без достаточных оснований.
Ниже рассматривается непараметрический критерий, который с успехом используют для этих же целей и который не требует ни нормальности, ни равенства дисперсий.
§ 3.8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК: КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ
Непараметрические критерии предназначены дня обнаружения различий в законах распределения двух генеральных совокупностей. Критерии. которые чувствительны к различиям генеральных средних, называют критериями сдвига. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных дисперсии, называют критериями масштаба. Критерий Манна-Уити и относится к критериям сдвига и используется для обнаружения различий в средних значениях двух генеральных совокупностей, выборки из которых представлены в ранговой шкале. Измеренные признаки распологаются на этой шкале в порядке возрастания, а затем нумеруются целыми числами 1, 2... Эти числа и называются рангами. Равным величинам присваивают одинаковые ранги. Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место, который она занимает среди других величин.
В табл. 3.5. первая группа из таблицы 3.4 представлена в развернутом виде (строка 1), подвергнута ранжированию (стока 2), а затем ранги одинаковых величин заменены среднеарифметическими значениями. Например, элементы 4 и 4, стоящие в первой строке, получили ранги 2 и 3, которые затем заменены на одинаковые значения 2,5.
Таблица 3.5
3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2,5 2,5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 15,5 15,5 15,5 15,5 18,5 18,5 20
Постановка задачи
Независимые выборки {,¥)} и {А2} извлечены из генеральных совокупностей с неизвестными законами распределения. Объемы выборок п} и п2 соответственно. Значения элементов выборок представлены в ранговой шкале. Требуется проверить, различаются ли эти генеральные совокупности между собой?
Проверяемые гипотезы:
— выборки принадлежат к одной генеральной совокупности;
Нх — выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Для проверки таких гипотез применяется (/-критерий Манна-Уитни.
Сначала из двух выборок составляется объединенная выборка {Л}, элементы которой ранжируются. Затем находится сумма рангов, соответствующих элементам первой выборки. Эта сумма и является критерием для проверки гипотез.
U- Сумме рангов первой выборки. (3.11)
Для независимых выборок, объемы которых больше 20, величина U подчиняется нормальному распределению, математическое ожидание и СКО которого равны:
• («! + п2 + 1)
J «Г«2-(«1 1) „
"=У --------- (3-12)
Поэтому границы критической области находят ся по таблицам нормального распределения.
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: Vj = v2 = 20 — 1 = 19, U= 339. р = 410, о = 37 Для а = 0,05 получим: = 338, Ц|ра„ = 482.
328 --------------------г ♦ ♦ -
338 482
Значение критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимается гипотеза Яр генеральные совокупности имеют различные законы распределения. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.
Глава 4
Основы кибернетики
Кибернетикой называют науку об управлении, связи и переработке информации.
Годом рождения современной кибернетики считается 1948 год, когда американский математик Н. Винер опубликовал труд «Кибернетика, или управление и связь в живых организмах и машинах». Кибернетика изучает общие свойства различных систем управления вне зависимости от их материальной основы. Эти свойства имеют место в живой природе, технике и в коллективах людей.
§ 4.1. КИБЕРНЕТИКА И ДРУГИЕ НАУКИ
Читатель в общих чертах знает предмет многих естественных, общественных и технических наук, таких, как физика, математика, химия, биология, биофизика, история, электротехника и т.д. Среди этих наук особое положение занимает математика - наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Исключительность этой науки в том, что она является инструментом познания в любой отрасли человеческого знания. Все науки, как уже отмечалось, развиваются, используя в той или иной степени математические закономерности. Подобное можно отнести и к кибернетике.
Винер увидел во многих разных науках общие вопросы и черты. Управление осуществляется в обществе, во многих технических системах, в живом организме. Информация перерабатывается людьми, вычислительными машинами, в биологических системах, она передается по проводной линии, радиоканалу, невральным структурам,
На базе многих наук и появилась кибернетика. Все перечислить невозможно, но несомненно влияние техники, математики (теория автоматического регулирования, математическая логика, теория информации и связи, вычислительные машины и др.) и физиологии (учение об условных рефлексах, принцип обратной афферентации, теория функциональных систем и др.).
Схематично место кибернетики в системе наук показано на рис. 4.1.
кибернетика
Общественные науки
Рис. 4.1
Интересно отметить, что появление новых наук на базе комплекса существующих продолжается и сейчас. В качестве примера можно указать синергетику — область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в промессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных системах различной природы (физической, химической, биологической и др.).
В развитие и создание кибернетики прямой или косвенный вклад внесли многие русские и советские ученые. Среди них физиологи и медики И.М. Сеченов (1829—1905), Н.П. Павлов (1849-1936), А.А. Богданов (1 873-1928), П.К. Анохин (1898-1974), В.В. Парин (1903-1971), Н.М. Амосов (р. 1913), техники разных направлений и математики И.А. Вышне-градский (1831-1895), А.М.Ляпунов (1857 —
1918), А.И. Берг(1893-1979), С.А. Лебедев (1902-1974), А.Н. Колмогоров 71903—1987), А.А. Харкевич (1904—1965), В.А. Котельников (р. 1908), Л.В. Канторович (1912—1986), В.М. Глушков (1923—1982) и др.
§ 4.2. КИБЕРНЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Кибернетической системой называют упорядоченную совокупность объектов (элементов системы), взаимодействующих и взаимосвязанных между собой, которые способны воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться информацией.
Примерами кибернетических систем являются коллективы людей, мозг, вычислительные машины, автоматы. Соответственно этому элементами кибернетической системы могут быть объекты разной физической природы: человек, клетки мозга, блоки вычислительной машины и т.д.
Состояние элементов системы описывается некоторым множеством параметров, которые подразделяются на непрерывные, принимающие любые вещественные значения в некотором интервале, и дискретные, принимающие конечные множества значений. Так, например, температура тела человека — непрерывный параметр, а его пол — дискретный параметр. В общем случае состояние элемента кибернетической систе
мы может изменяться и зависит как от самого элемента, так и от воздействия окружающих элементов и внешней среды
Структура кибернетической системы определяется организацией связей между элементами системы и является функцией состояний самих элементов и внешних воздействий.
Функционирование кибернетической системы описывается тремя семе1 стами функции: функциями, которые учитывают изменение состояний элементов системы, функциями, вызывающими изменения в струну ре системы, в том числе вследствие внешнего воздействия, и функциями, определяющими сигналы, передаваемые системой за ее пределы. Для более полного описания системы следует еще учесть се начальное состояние.
Кибернетические системы различаются по своей сложности, степени определенности и уровню организации.
Сложность системы зависит от количества элементов, ее составляющих, от сложности структуры и разнообразия внутренних связей. Существуют сложные кибернетические системы, которые однако, могут быть летально известны, так как являются созданием человека. Вместе с тем такие сложные кибернетические системы, как биологические, благодаря многочисленным и неясным многообразным связям между множеством элементов во многих случаях детальному описанию не поддаются. При исследовании сложных систем имеет место и процесс, обратный разделению системы на элементы: системы представляются в виде укрупненных блоков, каждый из которых сам является системой. Таким образом, сложные системы могут состоять из более простых. Система более высокого уровня представляет собой объединение подсистем более низкого уровня, т.е. организация системы имеет иерархический характер.
Между уровнями иерархии могут возникать взаимосвязи, Само понятие элементов в этом смысле является относительным. В различных случаях одна и та же часть системы может быть и элементом, и блоком, и всей системой. Так, например, при изучении функций мозга его можно рассматривать как элемент, тогда как при изучении работы мозга в связи с его внутренним строением за элемент следует принимать отдельные нейроны. В свою очередь, нейрон будет кибернетической системой при изучении его с учетом клеточного строения.
Кибернетические системы делятся на непрерывные и дискретные. В непрерывных системах все сигналы, циркулирующие в системе, и состояния элементов задаются непрерывными параметрами, в дискретных — дискретными. Существуют, однако, и смешанные (гибридные)
системы, в которых имеются параметры обоих видов. Деление систем на непрерывные и дискретные является условным и определяется необходимой степенью точности исследуемого процесса и техническими и математическими удобствами. Некоторые процессы или величины, имеющие дискретную природу, например элекгрический ток (дискретность электрического заряда: нс может быть заряд меньше, чем заряд электрона), удобно описывать непрерывными величинами. В других случаях, наоборот, непрерывный процесс имеет смысл описывать дискретными параметрами. Так, например, непрерывную выделительную функцию почек удобно описывать дискретной пятибалльной характеристикой. Кроме того, при любых физических измерениях, производя их через определенные интернаты времени, фактически получают набор дискретных величин. Все сказанное свидетельствует, что дискретные системы являются более универсальными, чем непрерывные.
При исследовании непрерывных систем применяют аппарат дифференциальных уравнений, при исследовании дискретных систем — теорию алгоритмов.
В кибернетике и технике принято целение систем на детерминированные и вероятностные. Детерминированной называют такую систему, элементы которой взаимодействуют определенным образом. Состояние и поведение такой системы предсказывается однозначно и описывается однозначными функциями. Поведение вероятностных систем можно определить с некоторой долей достоверности, так как элементы системы находятся под влиянием столь большого числа воздействий, что взаимодействие всех элементов не может быть описано точно. Олин из примеров — реакция организма на воздействие физическими факторами (силовое, электрическое, тепловое и др.); она имеет вероятностный характер.
Система называется замкнутой, если ее элементы обмениваются сигналами только между собой. Незамкнутые, или открытые, системы обязательно обмениваются сигналами с внешней средой.
Для восприятия сигналов из внешней среды и передачи их внутрь системы всякая открытая система обладает рецепторами (датчиками или преобразователями). У животных, как у кибернетической системы, рецепторами являются органы чувств — осязание, зрение, слух и т.п., у автоматов — датчики: тензометрические, фотоэлектрические, индукционные и т.д. (см. § 21.3).
Во внешнюю среду сигналы передаются посредством исполнительных механизмов, называемых эффекторами. Речь, руки, мимика лица являются для человека — кибернетической системы — эффекторами.
Рецептором для автомата с газированной водой является кнопка пни приемник монет, эффектором — выдача газированной воды.
Сложные кибернетичечские системы обладают характерным свойством — способностью накапливать информацию, которая впоследствии может быть использована при работе управляющей системы. )то свойство называется, по аналогии с подобным свойством человеческого мозга, памятью. Запоминание в кибернетических системах осуществляется двумя способами: во-первых, вследствие изменения состояния элементов системы, во-вторых, в результате изменения ее структуры.
§ 4.3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Центральное место в кибернетике занимает информация. Этот термин уже неоднократно встречался в курсе без специального разъяснения как общепонятным. Слово «информация»1 означает, по современным представлениям, совокупность сведений, данных, передачу сообщений.
Источником информации может служить всякое явление или событие, однако оно должно иметь смысл и являться сигналом к тому или иному действию. Иногда говорят, что информация — система сведений об окружающем нас мире, которые получает человек в результате наблюдения и общения с другими людьми. Люди получают информацию, когда ощущают боль, голод, холод, видят, слышат, разговаривают с другими людьми, читают книги и т.п.
Однако представление о том, что информацию получает только человек, является субъективным. На самом деле это понятие имеет более широкий смысл. Так, непрерывное регулирование работы внутренних органов животных и системы развития растений связано с передачей информации.
Не следует вдаваться и в другую крайность, полагая, что всякое отражение событий в мире является информацией. Вряд ли можно считать, чго понижение температуры в горах является для скал информацией о наступлении зимы.
Передача, получение и переработка информации свойственны системам, достаточно сложно организованным, специфическая особенность которых заключается в наличии процессов управления. Замеча-
1 Informatio (лат.) — разъяснение, осведомление.
тельной особенностью информации является то, что она уничтожает незнание чего-либо, уменьшает неопределенность ситуации.
Научный подход к изучению информации был вызван «информационным взрывом» — лавинообразным потоком информации в результате бурного развития науки и техники в середине XX в.
Понятие информации в кибернетике играет такую же важную роль, как понятие энергии и массы в физике. Раздел кибернетики, посвященный вопросам сбора, передачи, хранения, переработки и вычисления информации, получил название теории информации. Рассмотрим кратко элементы этой теории.
Передача информации осуществляется по каналам связи в виде сигналов, вырабатываемых органами кибернетической системы. Каналом связи называется среда, по которой передаются сигналы. При устном разговоре сигналом является речь, а каналом связи — воздух, при радиопередаче музыки сигналом является звук, а каналами связи — электромагнитное поле и воздух.
Физическим носителем сигнала могут быть всевозможные виды материи, которые при передаче одного сигнала могут чередоваться. Например, при радиопередаче мысль, выражаемая словом, переданная за счет биоэлектрических импульсов голосовым мышцам, вызывая их сокращения, создает звуковой образ, который в результате колебания мембраны в микрофоне преобразуется в электрический импульс — сигнал, передаваемый на расстояние. При этом сигналы должны удовлетворять требованиям изоморфизма. Под изоморфизмом понимают такое соответствие физически различных явлений, при котором сохраняется, нс искажается содержание передаваемого сообщения.
Нарушение изоморфизма приводит к искажению информации. Искажение сигналов как вследствие нарушения изоморфизма, так и в результате внешних помех называют шумом.
В зависимости от значения передаваемых'сигналов их делят на осведомительные, сообщающие какую-либо информацию, и исполнительные, которые заключают какую-либо команду к действию. Различают сигналы дискретные и непрерывные. Примером дискретного сигнала является передача азбукой Морзе или передача цифр импульсами тока, примером непрерывного — изменение напряжения в цепи, соответствующее изменению температуры.
Всякое сообщение состоит из комбинации простых сигналов определенной физической природы. Полный набор таких сигналов называют алфавитом, один сигнал — буквой алфавита Для передачи сообщения его следует описать с помощью какого-либо алфавита, иначе говоря, за
кодировать. Кодированием называется описание какого-либо сообщения с помощью определенного алфавита, т.с. установление однозначного соответствия между параметрами, характеризующими сигнал, и информацией. Перевод этого сообщения на другой алфавит называется перекодированием, расшифровка сообщения — декодированием.
Для передачи сообщений в хозяйственной и научной жизни кодирование производится человеком. Однако природой созданы естественные способы кодирования. Эти способы представляют огромный интерес пя науки, например изучение способа кодирования наследственной информации о взрослом организме в зародышевой клетке. Применение кодирования позволяет использовать небольшой алфавит для передачи огромной информации. Оказалось, что любую информацию можно закодировать с помощью двух знаков (0,1). Такой код называется двоичным.
Передача любого сигнала связана с затратой энергии, однако количество передаваемой информации и тем более ее смысл нс зависят от энергии сигнала. Более того, очень часто сигнал малой энергии передает сообщение, в результате которого может быть вызван процесс, связанный с огромной затратой энергии. Например, атомный взрыв может быть вызван нажатием кнопки-включателя соответствующего устройства, спокойная информация о чьем-либо неприглядном поступке может вызвать взрыв негодования.
В кибернетике неважно, какая энергия затрачена для передачи информации, но существенно, какое количество информации будет передано или можно передать по тому или иному каналу связи. Для количественного подсчета информации следует отвлечься от смысла сообщения, аналогично тому, как для решения арифметического примера отвлекаются от конкретных предметов, Складывая, например 2 и 3, получаем 5, при этом несущественно, какие предметы складываем: яблоки, ракеты или звезды.
Как же вычисляется количество информации? Уже отмечалось, что информация тогда имеет смысл, когда она уменьшает степень незнания, т.с. процесс извлечения информации связан с увеличением определенности наших сведений об объекте. Сообщение несет информацию, если из совокупности реально возможных событий указывается некоторое определенное.
Например, читая историю болезни, врач получает информацию о болезнях данного пациента: из всего многообразия различных заболеваний выделены только те, которые перенес данный больной. Сообщение об уже известном не несет информации; так, для грамотного человека
нс содержит информации утверждение, что после 15-го числа месяца наступает 16-е.
Чем больше различных возможностей имеет событие, тем большую информацию о нем несет сообщение. Так, при однократном бросании игральной кости (6 граней) пол у чают большую информацию, чем при бросании монеты (2 стороны), ибо первый случаи имеет большее число равновозможных исходов, чем второй. Говорят, что количество информации изменяется в отношении, обратном вероятности
Так как мерой неопределенности каких-либо событий является вероятность, то следует предположить, что количественная оценка информации связана с основными представлениями теории вероятностей. Действительно, современный метод подсчета информации основан на вероятностном подходе при рассмотрении систем связи и кодирования сообщений.
Рассмотрим метод подсчета количества информации, содержащейся в одном сообщении, предложенный Шенноном и используемый в современной теории информации.
Мера количества информации может быть найдена как изменение степени неопределенности в ожидании некоторого события. Предположим, что имеется к равновероятных исходов события. Тогда очевидно, что степень неопределенности одного события зависит от к\ в случае к — 1 предсказание события является достоверным, т.е. степень неопределенности равна нулю; в случае большого к предсказать событие трудно, степень неопределенности велика.
Следовательно, искомая функция ДА:) (мера количества информации или изменение степени неопределенности) должна быть равна нулю при к = 1 и при возрастании к возрастать.
Кроме того, функция/должна удовлетворять еще одному условию. Допустим, что проводятся два независимых опыта, один из них имеет к равновероятных исходов, а другой — /. Естественно предположить, что неопределенность flkl) совместного появления некоторого сочетания событий первого и второго опытов больше ftk) и Д/) и равна сумме неопределенностей исходов каждого из опытов:
>/)=»+/(/). (4.1)
В левой части формулы представлена функция ДАУ) от произведения кк равного числу возможных пар сочетаний исходов первого и второго опытов. Формуле (4.1) соответствует логарифмическая функция Д£) - loga к.
logfl kl = log,, к + log,, I. (4.2)
Кроме того, полученная функция удовлетворяет условиям log„ 1 = О и возрастает при увеличении к.
Так как переход от одной системы логарифмов к другой в зависимости от основания сводится к умножению функции logfl к на постоянный множитель, то основание логарифмов решающей роли не играет и скажется лишь на выборе единиц количества информации.
Итак, будем считать функцию logo к мерой неопределенности (количество информации) при к равновероятных исходах. Вероятность каждого исхода (события) равна р = р{ = рг = = ... = рк = l/к Так как не-
определенности различных событий суммируются, то неопределенность каждого отдельного исхода равна
к = - | log., | = -р \о%ар. (4.3)
В опыте, имеющем исходы различной вероятности ръ р7, ... рк мера неопределенности каждог о отдельно! о исхода запишется по выражению (4.3):
~Р\ - -АЛОёаЛо
а мера неопределенности всего опыта — как сумма этих неопределенностей:
к
1оМ- (4.4)
/=1
Это среднее значение логарифма вероятности. По аналогии с формулой Больцмана [см. (12.20)], Н называется энтропией или информационной ттропией. Эту величину можно рассматривать как меру информации.
Исследуя на экстремум (4.4), находим, что самой большой неопределенностью обладает событие с равновероятными исходами. Испытание в этом случае дает наибольшую информацию:
^тах —
т1оё^т - = 1оМ
к к к к]
(4.5)
В частном случае двух равновозможных событий количество инфор-
мации, полученной при сообщении, равно
( 21оё='У ' I|ое"4 ; (Л6>
Для выбора единицы количества информации положим а — 2, тогда из (4.6) имеем
tf=log„2=l.
Это количество информации принимается за бит (бит — информация, содержащаяся в сообщении об одном из двух равновероятных событий). Принимая в (4.5) а — 2, получаем, что количество информации
# = log2£ (4.7)
выражается в битах.
Посчитаем информацию, полученную при выпадании 1 в случае бросания игральной кости. Используя (4.7), имеем
// = log2 6 » 2,6 бит.
Понятие информации является одним из важнейших в кибернетике, так как всякий процесс управления связан с получением, накоплением и передачей информации. Отражая общие свойства материального мира, понятие информации выступает как философская категория,
Информационные процессы имеют место при работе любых систем управления — от процессов передачи наследственных признаков до процессов общения между людьми и машинами. Аналогично тому как посредством энергии в физике определяется мера превращения одной формы движения в другую, в кибернетике информация является мерой процессов отражения материального мира.
Как уже отмечалось, информация передается по каналам связи с помощью сигналов. Информация, воспринятая от источника приемными элементами (органами чувств, микрофонами, фотоэлементами и т.п.), преобразуется кодирующим устройством в форму, удобную для передачи сигнала, например в электрический сигнал, и передается по каналу связи к приемнику, в котором информация декодируется, например в звук, и сообщается слушателю Общая схема системы передачи информации изображена на рис. 4.2.
Рис. 4.2
В заключение отметим, что некоторые количественные выражения теории информации пока еще не нашли приложения в медицинской кибернетике. Это обстоятельство обусловлено общим, пока еще в значительной степени качественным характером медицины.
§ 4.4. УПРАВЛЕНИЕ И РЕГУЛИРОВАНИЕ
Для того чтобы происходило целенаправленное изменение поведения кибернетической системы, необходимо управление.
Управление — это осуществление воздействия на кибернетическую систему (объект) в соответствии с имеющейся программой или целью ее функционирования. Говоря кратко, управление — это воздействие на объект для достижения заданной цели.
Цели управления могут быть различными. В простейшей случае это, например, просто поддержание постоянным какого-либо параметра (постоянной влажности в помещении, температуры). В более сложных кибернетических системах целью управления являются задачи приспособления к изменяющимся условиям, например приспособление к изменяющейся среде обитания биологического индивидуума.
Установлено, что схема управления объектами различной природы является общей как для органического мира, включая механизмы управления в живом организме и механизмы биологической эволюции, так и для неорганического мира, вплоть до электронно-вычислительных машин и управления космическими кораблями.
Это сходство позволяет проводить аналогии между живыми системами, прошедшими усовершенствование в течение длительного процесса эволюции, и техническими устройствами, более простыми и менее совершенными.
Исследование биологических систем управления и сравнение их с техническими системами, с одной стороны, позволяют найти новые принципы для создания более сложных технических устройств, а с другой стороны, понять принципы управления, которые лежат в основе биологических объектов и процессов. Первая сторона вопроса является содержанием научного направления, получившего название «бионика».
Во всякой системе управления следует различать управляющий орган и объект управления, а также линии связи (каналы связи) между ними. Управляющий орган является весьма важной частью кибернетической системы. Он представляет собой управлющую систему, которая перерабатывает полученную информацию и вырабатывает управляю
щие воздействия. Процессы переработки информации происходят в различных естественных и искусственных управляющих системах. К ним относятся мышление, переработка информации в автоматизированных системах, изменение наследственной информации в процессе эволюции биологических видов и т.п. Управляющие воздействия передаются через соответствующие эффекторы на объект управления. Связь осуществляется за счет физических процессов, несущих информацию и представляющих собой сигнал. Получив сигнал, объект управления перейдет в соответствующее состояние.
Наиболее интересным является такое управление, при котором операции, обеспечивающие достижения заданной цели управления, выполняются системой, функционирующей без вмешательства человека в соответствии с заранее заданным алгоритмом. Такой вариант называется автоматическим управлением.
Разновидностью автоматического управления является автоматическое регулирование. Этот термин используют в тех случаях, когда цель управления — автоматическое поддержание постоянства или изменения по требуемому закону некоторой физической величины объекта управления (регулирования). Управляющий орган при этом может быть назван регулятором.
Если управляющая система не получает или не учитывает информацию от объекта управления, она называется разомкнутой. Схематично такое управление показано на рис. 4.3 с указанием канала (линии) прямой связи. Такое управление реализуется в светофоре, генетической системе, ЭВМ.
В режиме разомкнутой системы осуществляется автоматическое управление (регулирование) по возмущению. Поясним это примером устройства, автоматически поддерживающего комфортные температурные условия в помещении (рис. 4.4). Здесь объектом регулирования является кондиционер. Возмущение (температура наружного воздуха) воздействует на регулятор (специальный термометр) и оказывает влияние на температуру воздуха в помещении. Термометр в зависимости от возмущения подает сигнал кондиционеру для включения его в работу либо в режиме нагревающего устройства, либо охлаждающего.
Воздух соответствующей температуры поступает в помещение. Существенно,
Управляющий орган
Линия
прямой
СВЯЗИ ▼
Объект управления
Рис. 4.3
что в этой системе нагревание или охлаждение воздуха в помещении зависит от темпера гуры окружающей среды, а не от температуры воздуха в помещении.
Возмущение
Рис. 4.4
Более распространенными и эффективными являются системы управ ления с обратной связью — замкнутые системы управления (рис. 4.5) Управляющий орган при этом перерабатывает информацию, получен
ную как извне от других объектов системы, так и от объекта управления по линии обратной связи.
Обратной связью называют передачу воздействия или информации с выхода системы (элемента) на ее вход, в частности воздействие объекта управления на управляющий орган.
Различают положительную и отрицательную обратную связь. При положительной обратной связи ре-
Рис. 4.5
1ультаты процесса стремятся усилить
его. В технических устройствах положительная обратная связь способ-
ствует переходу системы в другое равновесное состояние или вызывает лавинный процесс.
Отрицательная обратная связь препятствует развитию, изменению процесса и стабилизирует его. Отрицательная обратная связь используется в замкнутых системах управления.
В качестве технической системы с отрицательной обратной связью рассмотрим терморегулятор термостата, в котором используется контактный термометр (рис. 4.6).
При температуре, ниже заданной, ртутный столбик в термометре разрывает контакт в цепи реле, оно включает нагреватель, и температура повышается. При температуре выше нормы ртутный столбик замыкает цепь реле, и нагреватель отключается. Рассмотренная система позволяет поддерживать в термостате температуру в определенном интервале. Этот пример иллюстрирует автоматическое (регулирование) по отклонению.
рис д 6 К- кибернетическим системам с отрицатель-
ной обратной связью (замкнутая система управления) относятся самоуправляющиеся
(саморегулируемыс) системы. Самоуправляющейся системой является.
например, организм животного, в котором самостоятельно поддерживаются постоянный состав крови, температура и другие параметры. Система, состоящая из группы животных и хищников, питающихся ими, например зайцы и волки, также является еаморсгулируемой. Увеличение поголовья волков приводит к уменьшению количества пищи (зайцев), это, в свою очередь, приводит к уменьшению количества волков, отсюда увеличивается поголовье зайцев, и т.д. В результате, если отвлечься от других факторов (отстрел волков, засуха и пр.), численность волков и зайцев поддерживается в этой системе на некотором определенном уровне.
Схему самоуправляющейся системы такого типа можно представить состоящей из следующих частей (рис. 4.7): объекта управления, который воздействует на внешнюю среду, некоего чувствительного элемента, который получает информацию как от внешней среды, так и в результате изменений, происходящих с объектом управления, и управляющего органа (регулятора). По каналу I в регулятор поступает первичная осведомляющая информация, по каналу 2 — управляющая информация
Рис. 4.7
к объекту управления. Через внешнюю среду и чувствительный элемент осуществляется обратная связь.
Изучение самоуправляющихся систем представляет особый интерес для физиологии и биологии.
Существуют системы оптимального управления, пелью которых является поддержание экстремального ^минимального или максимального) значения некоторой величины в зависимости от внешних условий и управляющих сигналов системы.
Простейшим примером такого регулирования может служить устройство кондиционера, создающего температуру в соответствии с влажностью воздуха. Оптимальная система управления уместна и в тех случаях, когда функция системы сводится к сохранению регулируемых параметров в максимальном или минимальном значении при изменении нерегулируемых параметров.
Более подробно вопросы управления рассматриваются в специальной теории управляющих систем. Основными принципами, положенными в ее основу, являются обратная связь и многоступенчатость управления. Обратная связь позволяет кибернетической системе учитывать реальные обстоятельства и согласовывать их с необходимым поведением. Многоступенчатая схема управления обусловливает надежность и устойчивость кибернетических систем.
§ 4.5. МОДЕЛИРОВАНИЕ
В различных областях знаний для исследования реальных систем и процессов используются модели.
Модель — это объект любой природы, умозрительный или материально реализованный, который воспроизводит явление, процесс или систему с целью их исследования или изучения Метод исследования явлений, процессов и систем, основанный на построении и изучении их моделей, получил нсзва-ние моделирования.
Таким образом, под моделированием в настоящее время понимают нс только предметное, копирующее моделирование типа создания модели планера, но и научный метод исследования и познания глубокой сущности явления и объектов. Основой моделирования является единство материального мира и атрибутов материи — пространства и времени, а также принципов движения материи.
В кибернетике моделирование — основной метод научного познания. Эго обусловлено абстрактностью кибернетики, общностью струк
туры кибернетических систем и систем управления разной природы. По существу схемы, приведенные на рис. 4.3-4.7, являются простыми моделями разных систем управления. Вопросы моделирования в этом параграфе рассматривают шире рамок кибернетики, учитывая универсальность этого метода и медико-биологическую направленность интересов читателя.
Остановимся на основных, наиболее существенных разновидностях моделей: геометрические, биологические, физические (физико-химические) и математические.
Геометрические модели — наиболее простая их разновидность. Это внешнее копирование оригинала. Муляжи, используемые в преподавании анатомии, биологии и физиологии, являются геометрическими моделями. В быту геометрические модели часто используются с познавательной или декоративно-развлекательной целью (модели автомашин, железной дороги, зданий, куклы и т.п.).
Создание биологических (физиологических) моделей основано на воспроизведении в лабораторных условиях определенных состояний, например заболевания у подопытных животных. В эксперименте изучаются механизмы возникновения состояния, его течение, способы воздействия на организм для его изменения. К таким моделям относят искусственно вызванные инфекционные процессы, гипертрофирование органов, генетические нарушения, злокачественные новообразования, искусственно созданные неврозы и различные эмоциональные состояния.
Для создания этих моделей на подопытный организм производятся самые различные воздействия: заражение микробами, введение гормонов, изменение состава пищи, воздействие на периферическую нервную систему, изменение условий и среды обитаний и пр.
Биологические модели важны для биологии, физиологии, фармакологии и генетики.
Создание физических и физико-химических моделей основано на воспроизведении физическими и химическими способами биологических структур, функций или процессов. Физико-химические модели более идеализированы, чем биологические, и представляют собой далекое подобие моделируемого биологического объекта.
В качестве примера одной из первых физико-химических моделей можно привести модель роста живой клетки (1867), в которой рост имитировался выращиванием кристаллов CuSO4 в водном растворе Cu[Fe(CN)6], Эта простая модель основана лишь на внешнем, главным образом качественном, подобии модели натуре.
Модели, основанные на количественном подобии, более сложны и строятся во многих случаях на принципах электротехники и электроники с использованием экспериментального материала по электрофизиологии.
Разработанные модели используются при построении механических машин с электронным управлением, имитирующих некоторые акты поведения животных (образование условного рефлекса, памяти, торможения и т.п.). Для эффекта наглядности этим машинам часто придают внешний вид животных: мыши, черепахи, белки.
Важным в практическом отношении является моделирование физико-химических условий обитания отдельных клеток, органов или всего организма в целом. Созданные искусственно растворы имитируют среду, поддерживающую су шествование вне организма отдельных органов и клеток.
Искусственные биологические мембраны позволяют изучать физико-химическую природу их проницаемости дня ионов и влияние на нее различных внешних факторов.
Математическое моделирование биологических объектов представляет собой аналитическое описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным.
Идеальных систем и процессов в природе не существует, однако полученные результаты в известных пределах можно применять к реальным процессам и системам, так как они имеют общие свойства с идеальными. Подобный метод абстракций используется и в физике.
Математические модели строятся либо на основе экспериментальных данных (материальное, или предметное, моделирование), либо умозрительно, используя гипотезу или известную закономерность какого-либо явления. При этом второе, теоретическое, моделирование требует последующей опытной проверки.
Особенно полезно теоретическое моделирование там, где провести эксперимент невозможно или сложно.
«Проигрывание» на ЭВМ математической модели биологического процесса, трудно воспроизводимого в эксперименте, позволяет предвидеть изменение процесса в зависимости от условий, предсказать некоторые новые явления. Так, исследование модели сердечной деятельности, основанной на теории релаксационных колебаний, позволило предсказать особое нарушение сердечного ритма, впоследствии обнаруженного у человека.
В ряде случаев для физически разных моделей получают одинаковые дифференциальные уравнения. Так, нанример, одинаковые урав
нения описывают затухающие механические [см. (7.33)] и электрические [см. (18.13)] колебания или апериодический разряд конденсатора [см. (18.17)], поглощение света веществом [(см. ф. (29.6)| и закон радиоактивного распада [см. (32.8)]. В этой аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к различным явлениям, можно усмотреть единство природы. Такая особенность позволяет использовать аналогии при математическом моделировании, а соответствующие модели называют предметно-математическими моделями прямой аналогии.
Изучение явлений с помощью математических моделей подразделяется на четыре этапа.
Первый этап состоит в выделении объектов моделирования и формулировании законов, их связывающих. Он завершается записью в математических терминах представлений о связях между объектами модели.
На втором этапе происходит исследование математических задач, вытекающих из математической модели. Целью этого этапа является решение прямой задачи, т.е. получение данных, которые можно сравнить с результатами опыта или наблюдений. Для решения поставленных задач используются математический аппарат и вычислительная техника, позволяющая получить количественную информацию.
Третий этап позволяет выяснить, насколько выдвинутая гипотетическая модель удовлетворяет критерию практики. Решение этого вопроса связано с соответствием теоретических следствий экспериментальным результатам. В рамках этого этапа часто решается обратная задача, в которой определяются не известные ранее некоторые характеристики модели по результатам сопоставления выходной информации с результатами наблюдений.
Предложенная модель непригодна, если ни при каких значениях ее характеристик нельзя согласовать выходную информацию с экспериментом.
В четвертый этап входит анализ модели в результате накопления данных о ней и ее модернизация,
В зависимости от характера моделей их условно делят на феноменологические и структурные.
Феноменологические (функциональные) модели отражают временные и причинно-следственные отношения между параметрами, характеризующими функции биологического объекта без учета его структуры.
Объект рассматривается как «черный ящик» — система, в которой внешнему наблюдателю доступны лишь входные и выходные величины, а внутренняя структура неизвестна (рис. 4.8). Метод «черного ящика»
широко применяют для решения задач моделирования сложных кибернетических систем в тех случаях, когда интерес представляет поведение системы. Так,
например, учитывая сложную «конструк- рис 4 g
иию» мозга человека и риск прямого при-
борного внедрения в его структуры, резонно исследовать мозг как «черный ящик»). Это можно делать, исследуя умственные способности чело
века, его реакцию на звук, свет и т.д.
Структурные модели строятся с учетом структуры объекта, отражающей его иерархические уровни.
При этом к структуре относят частные функции отдельных подсистем. Такие модели лучше выражают сушность биологических систем, но сложны для вычислений.
Составление моделей проводится по определенной схеме. Вначале формулируется цель моделирования, затем высказывается гипотеза, представляющая качественное описание системы, выбираются тип модели и математические методы ее описания в зависимости от цели и рода информации.
Заключительный этап состоит в создании модели и сравнении ее с системой-объектом с целью идентификации.
§ 4.6. ПОНЯТИЕ О БИОЛОГИЧЕСКОЙ И МЕДИЦИНСКОЙ КИБЕРНЕТИКЕ
Биологическая кибернетика представляет собой научное направление, в котором идеи, методы и технические средства кибернетики применяются к рассмотрению задач биологии и физиологии.
Биологическая кибернетика может быть представлена теоретической и практической частью. Основной задачей теоретической биологической кибернетики является изучение общих вопросов управления, хранения, переработки и передачи информации в живых системах. Одним из важнейших методов практической биологической кибернетики является метод моделирования — моделирование структуры и поведения биологических систем. В развитие этого метода биологическая кибернетика включает и вопросы конструирования искусственных систем, воспроизводящих деятельность отдельных органов, их внутренние связи и внешние взаимодействия. В этом направлении биологическая кибернетика смыкается с медицинской.
Медицинская кибернетика является научным направлением, связанным с использованием идей, методов и технических средств кибернетики в медицине и здравоохранении. Условно медицинскую кибернетику можно представить следующими группами.
1. Вычислительная диагностика заболеваний. Эта часть в основном связана с использованием вычислительных машин для постановки диагноза.
Структура любой диагностической системы состоит из медицинской памяти (совокупный медицинский опыт для данной группы заболеваний) и логического устройства, позволяющего сопоставить симптомы, обнаруженные у больного опросом и лабораторным обследованием, с имеющимся медицинским опытом. Этой же структуре следует и диагностическая вычислительная машина.
Первым шагом является разработка методик формального описания состояния здоровья пациента, проводят тщательный анализ по уточнению клинических параметров и признаков, используемых в диагностике. Отбирают главным образом те признаки, которые допускают количественную оценку.
Кроме количественного выражения физиологических, биохимических и других характеристик больного для вычислительной диагностики необходимы сведения о частоте (априорной вероятности) клинических синдромов и диагностических признаков, об их классификации, зависимости, об оценке диагностической эффективности признаков и т.п. Все эти данные хранятся в памяти машины.
Следующим шагом является выбор алгоритма. Машина сопоставляет симптомы больного с данными, заложенными у нее в памяти.
Логика вычислительной диагностики соответствует логике врача, устанавливающего диагноз: совокупность симптомов сопоставляется с предшествующим опытом медицины.
Новую (неизвестную) болезнь машина не установит. Врач, встретивший неизвестное заболевание, сможет описать его признаки. Подробности такого заболевания можно установить, лишь проводя специальные исследования. ЭВМ в таких исследованиях сможет играть вспомогательную роль.
2. Кибернетический подход к лечебному процессу. Установив диагноз, врач назначает и проводит лечение, которое, как правило, не сводится к одноразовому воздействию. Это сложный процесс, во время которого врач вновь и вновь получает медико-биологическую информацию о больном, анализирует эту информацию и в соответствии с ней уточняет, изменяет, прекращает или продолжает лечебное воздействие.
Для кибернетических систем характерно целенаправленное воздействие управляющей системы на объект управления (см. § 4.4).
Врач управляет больным, система врач-больной является кибернетической, поэтому кибернетический подход возможен и к лечебному процессу. Однако, несмотря на такие возможности, пока еще проникновение идей, методов и технических средств кибернетики в эту, главнейшую, часть медицины достаточно скромно.
В настоящее время кибернетический подход к лечебному процессу облегчает работу врача, позволяет эффективнее проводить лечение тяжелобольных, своевременно принять меры при осложнениях во время операции, разработать и контролировать процесс лечения медикаментами, создавать биоуправляемые протезы.
Кратко остановимся на возможностях применения такого подхода.
Контроль за состоянием организма человека необходим во многих областях человеческой деятельности (спортивной, производственной, учебной, военной), но особенно важен он в стрессовых ситуациях или в таких лечебных условиях, как, например, хирургические вмешательства с применением искусственного кровообращения, дыхания, при реанимации, в состоянии наркоза и т.п.
Для этих целей создаются информационные системы оперативного врачебного контроля (ИСОВК), которые осуществляют съем медикобиологической информации, автоматическое распознавание функционального состояния пациента, фиксацию нарушений в деятельности организма, диагностирование заболевания, управление устройствами, регулирующими жизненно важные функции.
В задачи оперативного врачебного контроля входят наблюдение за состоянием тяжелобольных с помощью систем слежения (мониторных систем), наблюдение за состоянием здоровых людей, находящихся в экстремальных условиях (стрессовые состояния, невесомость, гипербарические условия, среда с пониженным содержанием кислорода и т.п.).
Реализация принципа интенсивного ухода возможна в результате создания комплекса, позволяющего автоматически непрерывно контролировать состояние больного и сообщать о его изменениях.
Особенно важно получать быстрые и точные сведения о состоянии больного во время операции. В процессе операции фиксируется огромное количество (около 1000) различных параметров, характеризующих состояние больного. Проанализировать и проследить за таким количеством параметров в чрезвычайно короткие сроки дня врача практически невозможно. В этих случаях на помощь приходит ЭВМ, тем более что при использовании ЭВМ в нее можно заранее вложить предшествующие
записи из истории болезни, сведения о наличии медикаментов, указания мер, которые необходимо предпринять в критических ситуациях.
Общие данные об оперируемых больных вводятся в ЭВМ заранее. Ввод данных о текущем состоянии производится с момента поступления больного в операционную. Кроме сведений о состоянии больного вводятся сведения о времени, виде и дозе анестезии и медикаментов и начинается непрерывная фиксация медико-биологических параметров. В результате, если какие-либо показатели будут выходить за критические значения, ЭВМ сообщит в виде звуковых или световых сигналов об опасности, выдаст на регистрирующее устройство информацию, объясняющую причины тревоги, и рекомендации по их устранению.
Еще одной возможностью применения кибернетики в медицине является математическое моделирование лечебного процесса, которое может служить основой для расчета оптимальных лечебных воздействий. Так, например, удается рассчитать процесс введения лекарственного препарата в организм больного, с тем чтобы вызвать наилучший лечебный эффект.
Кибернетический подход реализуется при создании сложных протезов, заменяющих некоторые органы. Поясним это примером.
Исследование биотоков мышц показало, что из-за возможности их съема непосредственно на мышцах удается определить информацию, посылаемую к мышцам (исполнительным, управляемым органам) центральной нервной системой (управляющей системой). Было установлено также, что биотоки могут возникать в мышце при команде центральной нервной системы и без выполнения команды, например в случае отсутствия конечности или ее части.
Эти свойства биотоков мышц позволили разработать активные протезы конечностей. Обычный протез, например ноги, восстанавливал лишь часть функции — опооу, функция управления и координации в нем отсутствовала.
Разработаны протезы конечностей с биоэлектрическим управлением. Для управления такими конечностями разработаны специальные системы, в которые входят устройства съема биопотенциалов, усилитель и преобразователь, усиливающий сигнал и трансформирующий его в форму, пригодную для управления механической частью протеза (электродвигатели, редукторы и т.п.) и приведения в движение собственно протеза (кисть руки, пальцы, стопа ноги и т.д.).
С помощью преобразователей (датчиков), воспринимающих внешние воздействия на искусственный орган, осуществляется обратная связь: электрический сигнал с преобразователя трансформируется в сиг
нал, подобный импульсам в воспринимающих нервах живого организма, и посылается от периферии к центру через неповрежденные участки кожи больной конечности.
3. Автоматизированные системы управления и возможности применения их для организации здравоохранения. В предыдущих разделах в основном делался акцент на процессы управления в биологических системах. Однако в своем первородном варианте термин «управление» больше сининимизировался с понятием «руководство» и относился к управлению хозяйством, предприятием, т.е. коллективом людей, выполняющих определенную цель. Такое понимание управления, разумеется, также является кибернетическим и, следовательно, процесс управление—руководство может быть оптимизирован с использованием методов и технических средств киберне гики.
Такая оптимизация привела к созданию в народном хозяйстве автоматизированных систем управления (АСУ). АСУ отличается от традиционных форм управления тем, что в них широко используют вычислительную технику для сбора и переработки информации, а также новые организационные принципы для реализации наиболее эффективного управления соответствующим объектом (системой).
Объекты управления АСУ различны как по своим масштабам, так и по назначению: участок цеха, кабинет врача, приемное отделение, предприятие, школа, больница, здравоохранение, отрасль промышленности, народное хозяйство страны и т.д.
В зависимости от уровня иерархии АСУ подразделяют на отдельные системы. Так, например, практически в любой отрасли хозяйства можно выделить отраслевую автоматизированную систему управления (ОАСУ).
Здравоохранение есть отрасль народного хозяйства, поэтому для управления этой отраслью была создана ОАСУ «Здравоохранение».
Не вдаваясь в детали такой ОАСУ, что является задачей специального курса в медицинском вузе, отметим лишь ее некоторые особенности.
Любые ОАСУ могут строиться на основе моделей, которые учитывают не только связи внутри данной отрасли, но и межотраслевые связи, т.е взаимоотношение данной системы со всем народным хозяйством. Применительно к ОАСУ «Здравоохранение» модель должна включать как блок управления, так и другие элементы: профилактику, лечение (с диагностикой), медицинскую науку, кадры, материальное обеспечение.
Каждый из перечисленных элементов (блоков) ОАСУ связан как с элементами этой же системы, так и с другими системами. Проиллюстрируем это на примере профилактики заболеваний, Она включает иммунизацию населения, массовые медицинские осмотры, медицинское
просвещение и др. Массовые медицинские осмотры свя ?аны с наличием подготовленных врачебных кадров, обеспеченностью аппаратурой и др. (внутренние связи и зависимости), состоянием и развитием промышленных предприятий, размещением населения по географическим зонам и др. (внешние связи, выходящие за пределы данной ОАСУ).
В первоочередные задачи ОАСУ «Здравоохранение» входят автоматизация процессов сбора и анализа статистической информации по основным направлениям медицинской деятельности и решение вопросов оптимизации некоторых процессов управления.
Раздел 2 МЕХАНИКА. АКУСТИКА
Механикой называют раздел физики, в котором изучается механическое движение материальных тел. Под механическим движением понимают изменение положения тела или его частей в пространстве с течением времени.
Механика в основу которой положены законы Ньютона, называется классической. В ней рассматриваются движения макроскопических тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме.
Вопросы данного раздела могут иметь интерес по следующим причинам:
• понимание механики движения целого оряннизма для целей спортивной и космической медицины, механики опорно-двигательного аппарата человека для целей анатомии и физиологии;
• знание механических свойств биологических тканей и жидкостей;
• понимание работы уха и вестибулярного аппарата как физических устройств, се рдпа как насоса и т.п.;
• выяснение биофизического механизма действия ультразвука;
• понимание физических основ некоторых лабораторных методик, используемых в практике медико-биологических исследований, например центрифугирования.
Глава 5
Механика вращательного движения
При наблюдении сложных движений, например движения тела человека (ходьба, бег, прыжки и т.д.). кажется трудным или даже невозможным описать перемещение всех его точек. Однако, анализируя такие движения, можно заметить, что они состоят из более простых — поступательных и вращательных перемещений.
Механика поступательного движения известна читателю, поэтому ра здел начинается с рассмотрения вращательного движения. Наиболее простым является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот случай позволяет ознакомиться со спецификой, терминологией и законами вращательного движения.
§ 5.1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно.
Размеры и форма абсолютно твердого тела нс изменяются при его движении.
Понятие «абсолютно твердое хсло» — физическая абстракция, так как любое тело способно к деформациям. Однако во многих случаях деформацией можно пренебречь,
Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела — вращение относительно неподвижной оси. Это такое движение. при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.
И jbcciho, что в некоторых случаях для характеристики движения тела необязательно указывать движение всех его точек; так, например, при поступательном движении достаточно указать движение любой одной точки тела.
При вращательном движении вокруг оси точки тела перемешаются по разным траекториям, но за одно и то же время все точки и само тело поворачивается на одинаковый угол. Для характеристики вращения
проведем в плоскости, перпендикулярной оси, радиус-вектор г,- к некоторой точке / (рис. 5.1). Временная зависимость угла а поворота радиуса-вектора относительно некоторого выделенного направления ОХ является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
а =Ж
Рис. 5.1
(5.1)
Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.
со = dex/dz.
(5.2)
Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис 5.2). Вектор угловой скорости в отличие от векторов скорости и силы является скользящим- у него нет определенной точки приложения, и он может быть расположен в любом месте на оси вращения. Таким образом, задание вектора со указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости.
Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением, равным первой производной от угловой скорости по времени:
е = dco/dr (5.3)
или в векторной форме:
s = dw/dr. - (5.4)
Из (5.4) видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dor при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении — противоположно ей.
Так как угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то, согласно (5.2) и (5.3), одновременно все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Линейные характеристики — перемещение, скорость, ускорение — различны для разных точек. Укажем в скалярном виде связь, которая может быть выведена самостоятельно, между линейными и угловыми характеристиками для /-й точки, движущейся по окружности радиусом /;:
As, = г Да; и,- г/о;
ani = vi2/ri =ri®2', axi~ г,а; = Г; л/®2 + £2,
где Дсх — угол поворота; As,— путь, пройденный материальной точкой; о, — скорость точки (линейная скорость), af — ускорение точки; ani — нормальная и аХ1— тангенциальная (касательная) составляющие ускорения (рис. 5.3).
В заключение приведем полученные путем интегрирования соответствующих выражений формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
уравнение равномерного вращательного движения [см. (5.2)]:
а = <ог + а0 (а0 — начальное значение угла); (5.5)
зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении [см. (5.3)]:
о = ег + со0 (соп — начальная угловая скорость): (5.6)
уравнение равнопеременного вращательного движения [см. (5,1) и (5.6)]:
а = (еГ2/2) + + а0.
(5.7)
Полезно сопоставить эти формулы с аналогичными зависимостями для поступательного движения.
§ 5.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент силы _
Пусть к некоторой точке i твердого тела приложена сила Fb лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.4).
Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора точки i на силу:
M^xFj. (5.8)
Раскрывая его, можно записать:
М; = Fjri sin|3, (5.9)
где р — угол между векторами г* и Ft . Так как плечо силы h,= г, sin|3 (см. рис. 5.4), то
(5.10)
Если сила действует под некоторым углом а к плоскости вращения (рис. 5.5), то ее можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельна этой этой оси и не оказывает влияния на вращение тела (в реальном случае она действует лишь на подшипники). Далее будут рассматриваться только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Работа во вращательном движении
Пусть при действии силы АД см. рис. 5.4) тело поворачивается надостаточно маЛЬ1й угол da. Найдем работу этой силы.
Известное из средней школы выражение для работы силы в данном случае следует записать так:
сЦ= Л-cos (90°-Р) (Аз-, (5.11)
где d^y — элементарная работа силы Fh т.е. работа, соответствующая достаточно малому углу поворота; dy. — элементарный путь, пройденный материальной точкой при этом повороте (достаточно малый участок дуги). Учитывая, что Л cos (90° — 0) = E,sin0 и ds(- = ^da, а также соотношение (5.9), из (5.11) имеем
dXy = F{ sinp r-t da = Л/, da. (5.12)
Итак.
элементарная работа сш во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела.
Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа, совершенная всеми ими, определяется аналогично (5.12):
(U=Mda, (5.13)
где Л/ — суммарный момент всех внешних сил. действующих на тело.
Рекомендуем самостоятельно доказать, что суммарная работа всех внутренних сил, действующих между точками твердого тела, равна нулю.
Если при повороте тела положение радиуса-вектора изменилось от aL до а2, то работа внешних сил может быть найдена интегрированием выражения (5.13):
«2
Л = / Л/da. (5.14)
«1
Момент инерции
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения. Укажем сначала, что моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния ее от оси:
(5.15)
Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции всех материальных точек, из которых состоит тело:
N miri2. (5.16)
;=1
Момент инерции сплошного тела обычно определяют интегрированием
J= J r2dw
ПО ВСЕМУ ОБЪЕМУ
(5.17)
В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной I и массой т относительно оси, перпендику-
лярной стержню и проходящей через его середину (рис. 5.6). Выберем достаточно малый участок стержня длиной d.r и массой d™. удаленный от оси 00’ на расстояние х. Ввиду малости это^о участка он может быть принят за материальную точку, его момент инерции [см. (5.15)] равен:
dJ= x2dm.
(5.18)
гис‘ Масса элементарного участка равна про-
изведению линейной плотности т/1, умноженной на длину элементар-
ного участка: dm — (m/i)dx. Подставив это выражение в (5.18). получим
dd= {т/1) • 2dx.
(5.19)
Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем выражение (5.19) по всему стержню, т.е. в пределах от —//2 до +//2:
+//2
т f э > _/яа’’Г1/2 т II3 /3 \ пи1 = 7 J x’®_7TI_;/2 "з7Ц +s ГТГ-
-//2
(5.20)
Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой т\
• полого однородного цилиндра (обруча) с внутренним радиусом г и внешним R относительно оси ОО’, совпадающей с геометрической осью цилиндра (рис. 5.7):
</= w(r2 + Я2)/2;
(5.21)
• тонкостенною цилиндра (R~r) или кольца [см. (5.21)]:
J=mR\
(5-22)
• сплошного однородного цилиндра (г= 0) или диска [см. (5.21)]:
J = mR2/2\
(5.23)
• однородного шара от носительно оси, проходящей через его центр:
J=2/5mR\
(5.24)
• прямоугольною параллелепипеда относительно оси 00’, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания (рис. 5.8):
J= m(a2 + b2)/ 12. (5.25)
Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно некоторой оси ОО’:
J^J^ + md1, (5.26)
где — момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела 00’; т — масса тела; d — расстояние между двумя параллельными осями (рис. 5.9). Единицей момента инерции является килограмм-метр в квадрате (кг-м2).
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Рис. 5.9
Момент импульса
Моментом импульса (момент количества движения) материальной точки, вращающейся относительно некоторой оси, называется величина, равная произведению импульса точки на расстоянии ее до оси вращения:
L-(= Pi ri= Ч ГГ (5 2 7)
Так как V/= or, и = /и,/;2, го
Lj = mt <9>г;r-j = Mjr? <я = J, a. (5.28)
Момент импульса тела, вращающегося относительно некоторой оси, равен сумме моментов импульсов точек, из которых состоит данное тело:
N
L=^J^. (5.29)
i=i
Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, вынеся w за знак суммы [см. (5.29)|, получим:
л-
/ = ©£./,.= о/. (5.30)
/=|
(J— момент инерции тела относительно оси), или в векторной форме:
L == со/ (5.31)
Итак, момент импульса равен произведению момента инерции точки на угловую скорость. Отсюда следует, что направления векторов момента импульса и угловой скорости совпадают. Единицей момента импульса являе гея килограмм-метр в квадрате в секунду (кт • м2 • с~().
Формулу (5.31) полезно сравнить с аналогичной формулой для импульса в поступательном движении.
Кинетическая энергия вращающегося тела
При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела. Для твердого тела:
Е =у У OKMl Л у т,У = ~- (5 32)
k £ 2 £ 2 2 fa 2
Полезно сопоставить выражение (5.32) с аналогичным выражением для поступательного движения.
Продифференцировав (5.32), получим элементарное изменение кинетической энергии во вращательном движении:
с!£к = Ло do.
(5.33)
Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твердое тело, на которое действовали внешние силы, повернулось на достаточно малый угол da. Приравняем элементарную работу всех внешних сил при таком повороте [см. (5.13)] элементарному изменению кинетической энергии [см. (5.33)]: Л/da = Jcodw, откуда:
,,da , dco
Л/— = Joi—.
dt d?
Учитывая (5.2), сокращаем это равенство на о:
J— , dr (5.34)
откуда
£ = M/J, (5.35)
или в векторной форме
м е J ' (5.36)
Это и есть основное уравнение динамики вра фатального движения. Из (5.35) видно, что момент инерции характеризует инерционные свойства гела во вращательном движении: при действии внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.
Основное уравнение для вращательного движения играет ту же роль, что и второй закон Ньютона для поступательного. Физические величины, входящие в это уравнение, аналогичны соответственно силе, массе
и ускорению
Из (5.34) следует, что:
л/ d(Jc)) d£
Л/ = —д— = Jco-— .
dr df
Производная от момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил.
Зависимое гь углового ускорения от момента силы и момента инерции можно продемонстрировать с по
(5.37)
Рис. 5.10
мощью прибора, изображенного на рис. 5.10. Под действием груза 7, подвешенного на нити, перекинутой через блок, крестовина ускоренно вращается. Перемещая грузики 2 на разные расстояния от оси вращения, можно изменять момент инерции крестовины. Меняя грузы, т.е. моменты сил, и момент инерции, можно убедиться, что угловое ускорение возрастает при увеличении момента силы или уменьшении момента инерции.
§ 5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. Как видно из (5.37), d£/ck = 0 при А/ =0, откуда
L = const, = const. (5.38)
Это положение известно под названием закона сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этою тела ос тается постоянным.
Опуская доказательство, отметим, что закон сохранения момента импульса справедлив нс только для абсолютно твердого тела.
Наиболее интересные применения этого закона связаны с вращением системы тел вокруг обшей оси. При этом необходимо учитывать векторный характер момента импульса и угловых скоростей. Так, для системы, состоящей из -Учел, вращающихся вокруг общей оси, закон сохранения момента импульса можно записать в форме:
,v
L = 7,со( = const. (5.39)
/=1
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие этот закон.
Гимнаст, выполняющий сальто (рис. 5.11), в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси (рис. 5.12), в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановиться
Рис. 5.11
Такое же явление может быть продемонстрировано на скамье Жуковского, которая представляет собой легкую горизонтальную платформу, врашаюшуюся с малым трением вокруг вертикальной оси. При изменении положения рук изменяются момент инерции и угловая скорость (рис, 5.13), момент импульса остается постоянным. Для усиления демонстрационного эффекта в руках человека гантели. На скамье Жуковского можно продемонстрировать векторный характер закона сохранения момента импульса.
Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье, получает от помощника велосипедное колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси (рис. 5.14, слева). В этом случае момент импульса системы человек и платформа—колесо определяется только моментом импульса колеса:
L — Уц О -Г /к© к = (5,40)
здесь ,/ч — момент инерции человека и платформы; и сок — момент инерции и угловая скорость колеса. Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, то L сохраняется (L = const).
Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на 180° (рис 5.14, справа), то момент импульса колеса будет направлен противоположно первоначальному и равен «/ксок. Так как вектор момента импульса колеса изменяется, а момент импульса системы сохраняется, то неизбежно должен измениться и момент импульса, человека и платформы, он уже не будет равен нулю1. Момент импульса системы в этом случае
L — COq "t" (—— i/q (Dq "Ь </[<^K’ (5.4 1 )
Небольшим несовпадением оси колеса с осью вращения платформы можно пренебречь.
Рис. 5.13
Закон сохранения момента импульса позволяет приравнять выражения (5.40) и (5.41):
А °к — А ®ч — А или в скалярной форме
А ®к — А — А 2 — А СОц,
откуда
Рис. 5.15
А — 2 А / ^Ч’ (5.42)
По формуле (5.42) можно приближенно оценить момент инерции тела человека вместе с платформой, для чего необходимо измерить сок, <ич и найти JK. Способ измерения угловых скоростей равномерного вращения известен читателю. Зная массу колеса и предполагая, что в основном масса распределена по ободу, по формуле (5.22) можно определить JK. Для уменьшения ошибки можно утяжелить обод велосипедного колеса, проложив по нему специальные шины. Человек должен располагаться симметрично оси вращения.
Более простой вариант рассмотренной демонстрации состоит в том, что человек, стоящий на скамье Жуковского, сам приводит во вращение колесо, которое он держит на вертикальной оси. При этом человек и платформа начинают вращаться в противоположные стороны (рис. 5.15).
§ 5.4. ПОНЯТИЕ О СВОБОДНЫХ ОСЯХ ВРАЩЕНИЯ
Тело, вращающееся вокруг фиксированной оси, в общем случае дей-
ствует на подшипники или другие устройства, которые сохраняют неизменным положение этой оси. При больших угловых скоростях и моментах инерции эти воздействия могут быть значительными. Однако в любом теле молото выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без каких-либо специальных устройств. Чтобы по-
нять, какому условию должен удовлетворять выбор таких осей, рассмо-
трим следующий пример.
Пусть некоторая система, состоящая из двух материальных точек массами т{ и т2 и жесткого стержня, массой которого пренебрегаем, вращается вокруг оси 00’. закрепленной в подшипниках (рис. 5.16; rt и г2 — расстояния от оси вращения до соответствующих материальных точек).
На ось вращения и, следовательно, на подшипники со стороны материальных точек действуют противоположно направленные центробежные силы и Г2= т2аз2г2, где
со — угловая скорость вращения. Если эти силы
0|
JL
Рис. 5.16
не компенсируют друг друга, то на подшипники оказывается постоянное воздействие, которое может приводить к их износу или даже к разрушению. При определенном соотношении масс и расстояний силы Г|И F2 могут быть равны, т.е. тхы2г{ - m2w2r2, или
тхг{ = т2г2. (5.43)
Сопоставляя (5.43) с координатами центра масс, замечаем, что силы, действующие на ось, уравновешиваются, если ось вращения проходит через центр масс.
Таким образом, если ось вращения проходи! перпендикулярно стержню через центр масс, то воздействия на эту ось со стороны вращающегося тела не будет. Если при этом убрать подшипники, то ось вращения начнет перемещаться, сохраняя неизменным положение в пространстве, а тело будет продолжать вращение вокруг этой оси.
Оси вращения, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве, называют свободными. Примерами таких осей являются оси вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела и т.п.
У тела произвольной формы всегда имеется по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут быть свободными осями вращения. Эти оси называют главными осями инерции. Хотя все три главные оси инерции являются свободными, наиболее устойчивым будет вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Дело в том, что в результате неизбежного действия внешних сил, например трения, а также в связи с тем, что трудно задать вращение точно вокруг определенной оси, вращение вокруг остальных свободных осей неустойчиво.
В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно само изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом.
Это явление демонстрируют следующим опытом. К электродвигате-
лю подвешена на нити цилиндрическая палочка, которая может вра-
щаться вокруг своей геометрической оси (рис. 5.17, а). Момент инерции
О
а
Рис. 5.17
относительно этой оси J} = mR1/!. При достаточно большой угловой скорости палочка изменит свое положение (рис. 5.17, б). Момент инерции относительно новой оси равен J2= ml1! 12. Если то и Л > Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.
Читатель может самостоятельно на опыте убедиться, что вращение брошенной спичечной коробки устойчиво относительно оси, проходящей перпендикулярно большей грани, и неустойчиво или менее устойчиво относительно осей, проходящих перпендикулярно другим граням (см. рис. 5.8).
Вращение животных и человека в свободном полете и при различных прыжках происходит во-
круг свободных осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы тела, то при разных позах будут и различные свободные оси.
§ 5.5. ПОНЯТИЕ О СТЕПЕНЯХ СВОБОДЫ
Положение свободной материальной точки в пространстве задается тремя независимыми координатами: х, у, z- Если точка не свободна, а перемещается, например, по некоторой поверхности, то не все три координаты будут независимыми.
Пусть движение материальной точки происходит по сфере радиусом R, заданной уравнением:
А2 +- у1 + £= R2,
Если х и у считать независимыми, то
(5.44)
Для примера возьмем х = 2, у = 3. R = 6, тогда1 z = ±^1^3 . Итак, в этом примере только две координаты из трех являются независимыми переменными.
Независимые переменные, характеризующие положение механической системы, называют степенями свободы.
У свободной материальной точки три степени свободы, в рассмотренном примере — две степени свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, следовательно, такая свободная молекула тоже имеет три степени свободы.
Еще некоторые примеры.
Две материальные точки 1 и 2 жестко связаны друг с другом. Положение обеих точек задано шестью координатами xb yb Zy, х2, у2, z2, на которые наложены одно ограничение и одна связь, математически выражаемая в форме уравнения:
(Х2 - Х| )2 + (у2 - уь)2 + (z2 - Zi )2 = /2-
Физически это означает, что расстояние между материальными точками всегда I. В этом случае число степеней свободы равно 5. Рассмотренный пример является моделью двухатомной молекулы.
Три материальные точки 1, 2 и 3 жестко связаны друг с. другом. Девять координат характеризуют положение такой системы: хь гь х2, у2, z2> х3, Pi, Однако три связи между'точками обусловливают независимость только шести координат. Система имеет шесть степеней свободы. Так как положение трех точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяет положение твердого тела, то и твердое тело имеет шесть степеней свободы.
Такое же число степеней свободы (шесть) имеют трехатомные и мно-юатомные молекулы, если эти молекулы рассматривать как жесткие образования.
1 Если для зависимой координаты из (5.44) получают мнимую величину, это означает, что выбранные независимые координаты не соответствуют каким-либо точкам, расположенным на сфере заданного радиуса.
В реальных многоатомных молекулах атомы находятся в колебательных движениях, поэтому число степеней свободы таких молекул более шести.
Число степеней свободы определяет не только число независимых переменных, характеризующих положение механической системы, но и, что очень важно, число независимых перемещений системы. Так, три степени свободы свободной материальной точки означают, что любое перемещение точки можно разложить на независимые перемещения по трем осям координат. Так как точка не имеет размеров, то говорить о ее вращении не имеет смысла. Итак, материальная точка имеет три степени свободы поступательного движения. Материальная точка на плоскости, сфере или иной поверхности имеет две степени свободы поступательного движения. Перемещение материальной точки вдоль кривой (условный пример — движение поезда по рельсам) соответствует одной степени свободы поступательного движения.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы вращательного движения. Колесо поезда имеет две степени свободы: одна — вращательного движения, а другая — поступательного (перемещение оси колеса вдоль рельса). Шесть степеней свободы твердого тела означают, что любое перемещение этого тела можно разложить на составляющие: перемещение центра масс раскладывается на три поступательных движения по осям координат, а вращение состоит из трех более простых поворотов относительно осей координат, проходящих через центр масс.
На рис. 5,18—5.20 показаны шарнирные соединения, соответствующие одной, двум и трем степеням свободы.
Рис. 5.20
§ 5.6. ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ
Центрифугированием называется процесс, разделения (сепарации) неоднородных систем, например частиц о г жидкостей, в которых они находятся, обусловленный их вращением.
Рассмофим разделение неоднородных систем в поле силы тяжести. Предположим, что имеется водная суспензия частиц различной плотности. Со временем благодаря действию силы тяжести и вы гал кивающей силы Fx происходит расслаивание частиц: частицы с большей, чем у воды, плотностью тонут, частицы с меньшей, чем у воды, плотностью всплывают. Результирующая сила, действующая, например, на более плотную отдельную часгицу, равна:
Fp = w? - tfA = Pi рИс= (Pi - р) Cg, где р| — плотность вещества частицы; р — плотность воды; V — объем частицы.
Если значения pj и р мало отличаются друг от друга, то сипа /рмала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. В цен грифу-ге (сепараторе) такое разделение производят принудительно, вращая разделяемую среду.
Рассмотрим физику этого явления.
Пусть рабочий объем центрифуги (рис. 5.21: а — внешний вид, б — схема рабочего объема) полностью занят какой-либо однородной жидкостью. Выделим мысленно небольшой объем Fэтой жидкости, находящийся на расстоянии гот оси вращения ОО' При равномерном вращении центрифуги на выделенный объем кроме силы тяжести и выталкивающей силы, которые уравновешивают друг друга, действует центростремительная сила. Это сила со стороны окружающей объем жидкости. Она, естественно, направлена коси вращения и равна:
F = т&2г = р Ив2г, (5.45)
где р — плотность жидкости.
Предположим теперь что выделенный объем V— это сепарируемая частица, плотность вещества которой * р). Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидкости, не изменится, как это видно из формулы (5.45).
Для того чтобы частица вращалась вместе с жидкостью, на нее должна действовать центростремительная сила, равная:
F} = тф1г= р! KoV, (5.46)
[де W] — масса частицы, а р, — соответствующая ей плотность.
Рис. 5.21
Если F> Fif то частица перемещается к оси вращения Если F< F{, то воздействия на частицу со стороны жидкости будет недостаточно, чтобы удержать ее на круговой траектории, и частица по инерции начнет перемещаться к периферии. Эффект сепарации определяется превышением силы F. действую щей со стороны жидкости на выделенную частицу, над тем значением центростремительной силы которое обусловливает движение по окружности:
^цф = = m^r= (р-pl) Ko2r (5.47)
Это выражение показывает, что эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения1.
Сравним разделение центрифугированием с разделением с помощью силы тяжести
Гцф (Р1-р)ИЛ- о2г
Г|“ Ff г
В современных ультрацентрифугах угловая скорость достигае т значений и = 2тгЮ3рад/с, откуда [см. (5.48)] при г= 0,1 м имеем:
(2тс- 103)2-0.1
9,8
«4-Ю5.
1 Сила тяжести и выталкивающая сила при выводе формулы (5.47) нс учитываются, так как они направлены вдоль оси вращения и не оказывают принципиального влияния на центрифугирование.
Ультрацентрифуги способны разделить частицы размером менее 100 нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях для разделения биополимеров, вирусов и субклеточных частиц.
Быстрота сепарации особенно важна в биологических и биофизических исследованиях, гак как со временем может существенно измениться состояние изучаемых объектов.
Глава 6
Некоторые вопросы биомеханики
Биомеханикой называют раздел биофизики, в котором рассматриваются механические свойства живых тканей и органов, а также механические явления, происходящие как с целым организмом, так и с отдельными его органами. Говоря кратко, биомеханика — это механика живых систем.
§ 6.1. СОЧЛЕНЕНИЯ И РЫЧАГИ В ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОМ АППАРАТЕ
ЧЕЛОВЕКА
Движущиеся части механизмов обычно соединены с другими подвижными или неподвижными частями. Подвижное соединение нескольких звеньев образует кинематическую связь. Тело человека — пример кинематическом связи.
Рассмотрим систему из двух звеньев Л и В, соединенных осью 00 (рис. 6.1). Это одноосное двухзвенное соединение. При неподвижном звене В звено А имеет одну степень свободы как тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.
Примерами одноосного сочленения в организме человека являются плечелоктевое, надпяточное и фаланговые соединения. Они допускают только возможность сгибания и разгибания с одной степенью свободы. Увеличим двухзвенную систему на одно звено с осью 0’0’, параллельной оси 00 (рис. 6.2). При неподвижном звене Овсе точки звена 1?обладают одной степенью свободы, в том числе и ось ОО, которая может перемещаться по окружности. Звено же А, вращаясь вокруг 00, имеет еще одну степень.
Таким образок}, в одноосной трехзвенной системе1 закрепленное звено нс имеет свободы перемещения, второе звено имеет одну степень свободы и третье — две. Фаланги пальцев соединены суставами, предоставляющими одноосные соединения. Ногтевая фаланга имеет две степени свободы относительно основной и одну степень относительно средней.
1 Понятие «одноосная система» характеризует не число осей, которых может быть несколько, а одно направление всех осей.
Двухосное соединение допускает вращение звеньев по двум взаимно перпендикулярным осям (см. рис. 5.19). Оно имеет две степени свободы вращения. Такое двухосное соединение осуществляется в организме человека двумя близко расположенными сочленениями: атлантозатылочным и эпистрофо-атлантовым. Первое сочленение имеет горизонтальную ось, направленную от правого пле ia к левому. Оно осуществляет вращение черепа вперед и назад. Эпистроф — примыкающий к атланту шейный позвонок — имеет маленький цилиндрический шип, который образует с кольцом атланта одноосное цилиндрическое сочленение t вертикальной осью. Это сочленение обеспечивает вращение головы вокруг вертикальной оси.
Трехосное соединение осуществляет вращение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Пример такого соединения дан на рис. 5.20 (шаровой шарнир). Это соединение имеет три степени свободы вращения. Шаровой шарнир осуществлен в тазобедренном суставе человека. Сочленовая впадина таза имеет форму почти правильного полушария. Соответственную форму имеет и головка бедренной кости, входящая во впадину (рис. 6.3).
Присоединение новых звеньев увеличивает кинематическую подвижность. Так, например, череп благодаря некоторой подвижности межпозвоночных суставов (правда, довольно ограниченной) имеет все шесть степеней свободы.
Опорно-двигательная система человека, состоящая из сочлененных между собой костей скелета и мышц, представляет с точки зрения физики совокупность рычагов, удерживаемых
человеком в равновесии. Рис. 6.3
В анатомии различают рычаги силы, в которых происходит выигрыш в силе, но проигрыш в перемещении, и рычаги скорости, в которых, проигрывая в силе, выигрывают в скорости перемещения. Хорошим примером рычага скорости является нижняя челюсть. Действующая сила осуществляется жевательной мышцей. Противодействующая сила — сопротивление раздавливаемой пищи - действует на зубы. Плечо действующей силы значительно короче, чем у сил противодействия, поэтому жевательная мышца короткая и сильная. Когда надо разгрызть что-либо твердое, человек действует коренными зубами, при этом уменьшается плечо силы сопротивления.
Если рассматривать скелет как совокупность отдельных звеньев, соединенных в один организм, то окажется, что все эти звенья при нормальной стойке образуют систему, находящуюся в крайне неустойчивом равновесии. Так, опора туловища представлена шаровыми поверхностями тазобедренного сочленения. Центр масс туловища расположен выше опоры, что при шаровой опоре создаст неустойчивое равновесие. То же относится и к коленному соединению, и к голеностопному. Все эти звенья находятся в состоянии неустойчивого равновесия.
Центр масс тела человека расположен при нормальной стойке как раз на одной вертикали с центрами тазобедренного, коленного и голеностопного сочленений ноги, на 2—2,5 см ниже мыса крестца и на 4—5 см выше тазобедренной оси. Таким образом, это самое неустойчивое состояние нагроможденных звеньев скелета. И если вся система держится в равновесии, то только благодаря постоянному напряжению поддерживающих систему мышц.
§ 6.2. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА ЧЕЛОВЕКА. ЭРГОМЕТРИЯ
Механическая работа, которую способен совершить человек в тече ние дня, зависит от многих факторов, поэтому трудно указать какую-либо предельную величину.
Это замечание относится и к мощности. Так, при кратковременных усилиях человек может развивать мощность порядка нескольких киловатт. Если спортсмен массой 70 кг подпрьиивает с места так, что его центр масс поднимается на 1 м по отношению к нормальной стойке, а фаза отталкивания длится 0,2 с, то он развивает мощность около 3,5 кВт.
При ходьбе человек совершает работу, так как при этом энергия затрачивается на периодическое небольшое поднятие тела и на ускорение и замедление конечностей, главным образом ног.
Работу, которая идет на изменение кинетической энергии конечно-стей, можно вычислить, используя формулу (5.32). Человек массой 75 кг при ходьбе со скоростью 5 км/ч развивает мощность около 60 Вт. С возрастанием скорости эта мощность быстро увеличивается, достигая 200 Вт при скорости 7 км/ч. При езде на велосипеде положение центра масс человека изменяется гораздо меньше, чем при ходьбе а ускорение ног тоже меньше. Поэтому мощность, затрачиваемая при езде на велосипеде, значительно меньше: 30 Вт при скорости 9 км/ч, 120 Вт при 18 км/ч.
Работа обращается в нуль, если перемещения нет. Поэтому, когда груз
находится на опоре или подставке, или подвешен на нити, сила тяжести не совершает работы. Однако каждому из нас знакома усталость мышц
руки и плеча, если держать неподвижно на вытянутой руке гирю или гантель. Точно также устают мышцы спины и поясничной области, если сидящему человеку поместить на спину груз. В обоих случаях груз неподвижен и работы нет. Усталость же свидетельствует том, что мышцы со
вершают работу. Такую работу называют статический работой мышц.
Статики (неподвижности) такой, как ее понимают в механике, на самом деле нет. Происходят очень мелкие и частые, незаметные глазу сокращения и расслабления, и при этом совершается работа против сил тяжести. Таким образом, статическая работа человека на самом деле является обычной динамической работой. Для измерения работы человека применяю! приборы, называемые эргометрами. Соответствующий раздел измерительной техники называется эргометрией.
Примером эргометра служит тормозной велосипед (велоэргометр; рис. 6,4). Через обод вращающегося колеса 1 перекинута стальная лен-
та 2. Сила трения между лентой и ободом колеса измеряется динамометром 3. Вся работа испытуемого затрачивается на преодоление силы трения (остальными видами работ пренебрегаем). Умножив длину окружности колеса на силу трения, найдем работу, совершаемую при каждом обороте, а зная число оборотов и время испытания, определим полную работу и среднюю мощность.
§ 6.3. ПЕРЕГРУЗКА И НЕВЕСОМОСТЬ
В обычных условиях на человека действуют сила тяжести и сила реакция опооы. При отсутствии ускорения эти силы равны и противоположно направлены. Такое состояние естественно дня человека.
При ускоренном движении системы могут возникнуть особые состояния, называемые перегрузками ч невесомостью.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пусть человек находится в кабине лифта (в ракете), который поднимается вверх с ускорением а (рис. 6.5). На человека действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N. По второму закону Ньютона,
jV + wg = та или в скалярной форме с учетом направления сил
N—mg-ma.N~m(g+a). (6.1)
В этом случае сила реакции опоры больше силы тяжести (N> mg) и возникают перегрузки. Так, если a=g, то N=2mg (двукратная перегрузка), если a=2g, то N=3mg (трехкратная перегрузка), и т.д. Перегрузка выражается отношением v\=N/(mg).
Другой пример, человек находится в кабине лифта (внутри спускаемого космического аппарата), который замедленно, т.е, с торможением, опускается вниз (рис. 6.6). Направления сил и ускорения соответствуют предыдущему примеру, поэтому и в этом случае получаем формулу (6.1). Человек испытывает перегрузки.
Перегрузки могут оказывать существенное влияние на организм человека, так как в этих состояниях происходит отток крови, изменяется взаимное давление внутренних органов друг на друга, возникает их деформация и т.п. Поэтому человек способен выдерживать лишь ограниченные перегрузки. На рис. 6.7 схематически показаны положения
тд
тела и приведены соответствующие значения перегрузок, которые может в течение по крайней мере нескольких минут выносить здоровый человеческий организм без каких-либо серьезных нарушений.
В космической медицине для тренировки людей к перегрузкам, а также при подобных экспериментах на животных используются большие центрифуги. В гаких системах (рис. 6.8, а) можно условно
представить две опоры: горизонтальную, которая Рис. 6.7 действует на тело с силой A’] = wg, и вертикальную
N2, которая сообщает телу центростремительное ускорение и равна mtsFr. Результирующая этих двух сил направлена под углом а к горизонтальной плоскости и равна:
F= ^(mg)2 + (wcj2/-)2 = т ^g2 +o4z'2. причем tga — mg/(ww2r) =g/(c.o2r).
В этом случае перегрузка определяется отношением:
(6.2)
F т \g2 + (й4г2 mg mg
(6.3)
При со2/- >> g из (6.3) имеем р ~ <yFr/g, F» т u>2r. a tga ~ 0. Реакция опоры в основном выступает как центростремительная сила.
Практически возможно, изменяя наклон кресла, в котором находится испытуемый на центрифуге, всегда сделать так, чтобы сила Гбыла перпендикулярна опоре (рис. 6.8, б).
Если лифт (или космический корабль) ускоренно движется вниз (рис. 6.9) или замедленно вверх, то
mg — N = та шт Аг= т (g — a).
(6.4)
Рис. 6.9
Как видно, реакция опоры меньше силы тяжести: N < mg. Если а = g, то ?/ = О — состояние невесомости. Это такое состояние, при котором действующие на систему внешние силы не вызывают взаимных давлений частиц системы друг на друга.
Для биологических объектов невесомость — необычное состояние, хотя и в обыденной жизни встречаются кратковременные периоды частичной невесомости: прыжки, качели, начало движения вниз скоростного лифта и т.п.
Отсутствие действия опоры при невесомости приводит к обшей де-тренированности и связанного с этим снижения работоспособности, уменьшается мышечная масса, происходит деминерализация костной ткани. Поэтому космонавтам в условиях невесомости приходится проводить специальные тренировочные физические упражнения или носить особые костюмы, которые, затрудняя движение, позволяют догружать работу мышц.
В обычных условиях гидростатическое давление pgh крови в верхней части тела меньше, чем в нижней. В невесомости кровь равномерно распределяется в организме; это означает, что верхняя часть тела переполнена кровью по сравнению с обычным состоянием, ощущается тяжесть в голове, появляется отечность лица.
Вестибулярный аппарат (см. § 6.4) на невесомость будет реагировать так, как будто отсутствует гравигационное поле, возникнут вестибулярные расстройства.
Рассмотрим подробнее особенности движения тела человека в условиях невесомости.
Практическое освоение человеком законов механики происходит с раннего детства: мы учимся сидеть, стоять, ходить, бегать, совершать физические упражнения, работать, кататься на велосипеде и т.п. Все это постигается нами в основном без теоретических знаний соответствующих законов. Человек привыкает к бессознательному совершению механических действий. Так, при толкании ядра человек инстинктивно упирается ногой, чтобы не упасть при «отдаче»; ударяя мологком, рабочий непроизвольно напрягает мышцы, препятствующие вращению корпуса, и т.д.
Парадоксально, но человек настолько привыкает к законам механики, что начинает замечать их проявление только в особых, редких и ма-лопривычных случаях.
К таким особенностям и практически важным проявлениям законов механики относится двигательная деятельность человека в условиях невесомости, или, как принято говорить, в безопорном пространстве. Нетрудно подсчитать, пользуясь законом сохранения импульса, что если
Рис. 6.10
человек массой 100 кг в состоянии невесомости бросит тело .массой 0,1 кг со скоростью 3 м/с, то сам он начинает двигаться в противоположную сторону со скоростью 0,3 см/с Если бросок сделать с размахом руки, то тело человека начнет вращаться. Таково необычное по сравнению с земными условиями проявление законов сохранения импульса и момента импульса. Остановиться человек сможет, только взаимодействуя с другими телами. Если человек в состоянии невесомости захочет сделать упражнение «угол», которое достаточно четко выполняют гимнасты в обычных условиях, то движение ног вызовет в соответствии с законом сохранения момента импульса встречное вращение корпуса (рис. 6.10). Поворот корпуса в условиях невесомости, в том числе и при свободном падении, совершают путем вращения конечностями. Так, например, конусообразные вращательные движения рукой над головой вызовут вращение корпуса вокруг оси симметрии (рис. 6.11).
Если в условиях невесомости человек будет завинчивать гайку, то он сам начнет вращаться в противоположном направлении.
В условиях невесомости действуют те же известные законы Ньютона, но в силу необычности условий человек должен «привыкать» к движениям в невесомости. Резкие движения головой, руками или ногами, отбрасывание каких-либо предметов могут существенно изменить движение тела человека.
Это учитывается космонавтами как при подготовке к космическим полетам, так и во время полета. Первый человек планеты, вышедший в открытый космос, А.А. Леонов пишет в своей книге, что «...после некоторой подготовки человек сможет даже при безопорном «плавании» в невесомости быстро и точно ориентировать свое тело в любом направлении исключительно за счет мышечных усилий, не прибегая к помощи технических средств. И далее: «По-видимому, в невесомости при наличии самой незначительной точки опоры можно выполнять любые работы без заметных нарушений координации движений!»1
1 Леонов А.А., Лебедев В.И. Психологические особенности деятельности космонавтов. — М., 1971. — С. 215, 217.
§ 6.4. ВЕСТИБУЛЯРНЫЙ АППАРАТ КАК ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОРИЕНТАЦИИ
В обычных условиях положение свободно подвешенного маятника указывает направление силы тяжести (рис. 6.12, а). Если маятник связан с ускоренно движущейся системой отсчета (неинерциальная система отсчета), то его положение зависит от ускорения системы (рис. 6.12, б). Как следует из рисунка, по второму закону Ньютона:
Fl{ + wg = Fp= та, где результирующая сила равна
F? — mg tga, или та = mgtgot, откуда
d”gtga. (6.5).
Следовательно, даже простой математический маятник в принципе может быть использован для определения модуля и направления ускорения системы.
Более удобным индикатором ускорения системы является устройство, изображенное на рис. 6.13, — тело известной массы укреплено на шести пружинках. По деформации пружин можно определить значение и направление силы, действующей на тело, а отсюда и ускорение системы, если учесть ускорение свободного падения. Такого рода индикаторы используются в инерциальной навигации, получившей развитие в связи с решением космических задач.
В самом деле, если известно ускорение системы, например ракеты, в каждый момент времени, то можно найти зависимость скорости от времени:
и = Jack. (6.6)
Определив и ~ Дт), можно найти положение системы в любой момент:
x = juxdr, у = juydr, г = 1^6/. (6.7)
Таким образом, можно без помоши средств, находящихся вне ракеты, автономно установить ее местоположение, скорость и ускорение в любой момент времени.
Соответствующие устройства называются инерциальными системами ориентации.
Рис. 6.12
Рис. 6.13
В человеческом организме имеется орган, который тоже, по существу. является инерциальной системой ориентации, — это вестибулярный аппарат1. Он расположен во внутреннем ухе и состоит из трех взаимно перпендикулярных полукружных каналов А'и полости - преддверия В (рис. 6.14). На внутренней поверхности стенок преддверия и в части полукружных канатов находятся группы чувствительных нервных клеток, имеющих свободные окончания в форме волосков. Внутри преддверия и полукружных каналов есть студенистая масса (эндолимфа), содержащая мелкие кристаллы фосфорнокислого и углекислого кальция (отолиты). Ускоренное перемещение головы вызывает перемещение эндолимфы и отолитов, что воспринимается нервными клетками (через волоски). Вестибулярный аппарат, как и любая другая физическая система, не отличает гравитационное воздействие от воздействий, возникающих при ускоренном движении системы.
Наш организм приспособился к действию силы тяжести; соответствующую привычную информацию клетки вестибулярного аппарата сообщают в мозг, поэтому состояния невесомости и перегрузок воспринимаются нами посредством вестибулярного аппарата (и других органов) как необычные состояния, к которым необходимо приспособиться. Если оказывается периодическое воздействие на вестибулярный аппарат человека, например при качке корабля, то это может привести организм в особое состояние, называемое морской болезнью.
От системы, изображенной на рис. 6.13, вестибулярный аппарат принципиально отличается тем, что не способен количественно определить ускорение человека. Это обстоятельство не позволяет человеку, едущему в закрытой кабине машины, определить местонахождение автомобиля.
Рис. 6.14
Глава 7
Механические колебания и волны
Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями {переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т.п.)- Всем колебаниям независ имо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Колебания распространяются в среде в виде волн. В данной главе рассматриваются механические колебания и волны.
§ 7.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.
Пусть, например, материальная точка массой т подвешена на пружине (рис. 7.1, а). В этом положении упругая сила F{ уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 7.1, б), то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение упругой силы, согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смешению х точки:
F = —kx, (7.1)
где к — жесткость пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > О, F > 0 при х < 0.
Другой пример.
Математический маятник отклонен от положения равновесия на небольшой угол а (рис. 7 2). Тогда траекторию движения маятника можно считать прямой линией, совпадающей с осью ОХ. В этом случае выполняется приближенное равенство
а ~ since х (ga ® х/ /,
где х — смешение материальной точки относительно положения равновесия; / — длина нити маятника.
На материальную точку (см. рис. 7.2) действуют сила натяжения Лн нити и сила тяжести mg. Их равнодействующая равна:
F= -mgtga = -mgx/l = -кх, (7 2)
где
k = mg/l. (7.3)
Сравнивая (7.2) и (7.1), видим, что в этом примере равнодействующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.
Подставляя выражение (7.2) в формулу второго закона Ньютона, получаем -kx = т (d2x/d/2). Заменяя
2 к
соо- —, (7.4)
т
имеем дифференциальное уравнение второго порядка:
(7.3)
Его решение приводит к гармоническому закону:
М= A cos((0(jt + (р0), (7.6)
где со0 f + ф0— фаза колебаний; ф0 — начальная фаза (при t — 0); <о0 — круговая частота колебаний; А — их амплитуда.
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т.с. [[сложением и скоростью материальной точки в момент г = 0.
Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), совершает гармонические колебания.
При выводе дифференциального уравнения гармонического колебания (7.6) величина сообыла введена формально, однако она имеет большой физический смысл, гак как определяет частоту колебаний v = л0/ (2л) системы и показывает, от каких факторов эта частота зависит: упругости и массы пружинного маятника в одном примере, длины нити и ускорения свободного паления — в другом.
Период колебаний может быть найден из формулы:
Т= 2л/о0. (7.7)
Используя (7.4), получаем периоо пружинного маятника.
Т= 2лу[т/к- (7Л)
подставляя вместо к выражение (6.3), находим период математического маятника:
(7.9)
Очень удобно изображать гармонические колебания с помощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. Из начала оси абсцисс проведем вектор А , проекция которого на \ось ОХ равна Acoscp (рис. 7.3). Если вектор А । равномерно вращается с угловой скоростью
। <D0 против часовой стрелки, то оз = со01 + со0,
уХр । где —-_начальное значение ср, и проекция
V_____I______► вектора А на ось ОХ изменяется со временем
О Асозф х по закону (7.6). В таком представлении ам-р 7 -j пли гуда колебаний есть_молуль равномерно
вращающегося вектора А , фаза колебаний — угол между вектором А и осью ОХ. начальная фаза — начальный угол, крутовая частота колебаний — угловая скорость вращения вектора А , смещение колеблющейся точки — проекция вектора А на ось ОХ.
Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения (7.6) по времени:
о = dlr/d/ = - А si n (coLl t + <p0) - -oW£W sin (<oo i + сри). (7. Ю)
где vmax = Acor, — максимальная скорость (амплитуда скорости).
На основании тригономе рических формул преобразуем (7.10):
v> = [(л/2) + («о /4- ф0)]. (7.1 Г)
Сравнивая (7.11) и (7.6), замечаем, что фаза скорости на тт/2 больше фазы смещения, т.е. скорость опережает по фазе смешение на л/2. Продифференцировав (7.10), найдем ускорение:
а = do/dt = - А cos(cD|jt + ф0) = - атах eos(©0t + <p0), (7.12)
где итах= Ао02 — максимальное ускорение (амплитуда ускорения). Вместо (7.12) запишем
а = amaxCQS [л + (wot + (pu)|. (7.13)
Из сравнения (7.13) и (7.6) следует, что фазы ускорения и смешения различаются на я, т.е. эти величины изменяются в противофазе. Графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 7.4, их векторные диаграммы — на рис. 7.5.
§ 7.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Кинетическую энергию колеблющейся материальной точки можно вычислить по известной формуле, используя выражение (7.10):
2 2 п э 1
= 7? W + Фо) ~ 41 "?А\оо sin (o>f)t + фс) =
= 72 кК sin2(<o0t + ф0). (7.14)
Потенциальную энергию колебательного движения нат дем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругой деформации £ц — У? и используя выражение (7.6);
£п = 72 А'А cos2(®0t + ф0). (7.15)
Складывая кинетическую (7.14) и потенциальную (7.15) энергии, получаем полную механическую энергию колеблющейся материальной точки:
Е — £к + Еп~ l/2 £А2 sin2(co0r + фо) + 7г со 4wor + Фо) =
= У2 ЛА2 [sin2(oj0z + ф0) + cos7co0/ + Qu)] = 72 (7.16)
При отсутствии сил трения полная механическая энергия системы не изменяется:
£=72£А2='/2w®2aA2. (7.17)
Еп Ек ш
Рис. 7.6
Графически зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергий колеблющейся системы от времени показаны на рис. 7.6.
§ 7.3. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний.
Рассмотрим две такие задачи.
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:
Х-( = At cos(o301Z + ф()1), х2 = A, cos(ct)02Z + ф02).
Допустим, что частоты складываемых колебаний одинаковы (со0, = = wu2 = <д0). тогда результирующее смещение точки:
х = X] + х2 = A]COs(ci)0r + ф01) + A2cos(to0/ + <р02). (7.18)
Выполним такое сложение с_помошью векторной диаграммы. Изобразим положение векторовAj иА2 в начальный момент времени (рис. 7.7), углы между этими векторами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний ф01 и ф02. Вектор А— амплитуда результирую
щего колебания. Так как Aj и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор А — будет вращаться с гой же угловой скоростью, т.е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой о0:
х = Acos(ft\/ + Фо). (7-19)
Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу <р0 через заданные значения А1? А3, ср01 и <р02. Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 7.7, получаем:
А2 = А2 +А3
2A]A2cosp.
Так как cosj3 = —cosfn — ((р02 — Ф01)] = со$(Фо2 “ <Poi)» то
А — у/А| + А3 + 2А]А3 cos(cpd2 — <Ро|).
(7.20)
Как видно из рис. 7.7, tg <р0 равен отношению проекции А на ось Y к проекции А на ось X т.е. Ау/Ах. Учитывая, что проекция суммы равна сумме проекций, имеем:
Ау = А|>;+ А2>, = A! sin(p0l + А2 si Пф02, Ах = А1Л.+ А2х = A] cos(p01 + А2 cos<p02, tg<p0=Ay/Ax = (At sincp01 + A2 sin(p02) / (A, cos(pfu + A2cosq)02). (7.2Г)
Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (7.20) и (7.21) можно найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Из выражения (7.20) вытекают следующие частные случаи:
1) ф02 - фП1 = 2£л, cos2Au = +1, где к = 0, 1,2,..., и тогда
А — ^А] "Ь А2 + 2А| А2 cos((pQ2 — Фо[)> (7.22)
т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу л (рис. 7.8, а);
2) <р02 — ф01 = (2к + 1 )я. cos (2к + 1)п = — 1, тогда
А = a/Aj + а| - 2А]А2 = | Aj - А21, (7.23)
т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу л (рис. 7.8,6). В частности, при Aj = А2 имеем А = 0, т.е. колебания нет (рис. 7.8, в).
Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.
Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга: &>01 ~ озО2.
Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис 7.9).
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое •— вдоль оси ОК Колебания заданы следующими уравнениями:
х = A] eos(o01/ 1-<р01); у = A2cos(q02z+ср02). (7.24)
Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т.е. = «П2= со0, тогда
х = А| cos(co0r+(р01); у = А2 cos(w0r + <р02). (7.25)
Уравнения (7.25) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения I, можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория.
Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у —УГу), Для получения которой следует исключить время из уравнений (7.25). Произведя математические преобразования, получим уравнение эллипса:
2 2
х у эту
72 + 72 ~2Т~Г cos(<p02 — cpOi) = sin-(cp02 — <pot). (7.26) A] A2 A, A2
Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 7,10).
Из выражения (7.26) вытекают некоторые частные случаи:
1) <Ро2 ~ (Ро]= (2& + Г)л/2, где к = 0, 1,2, ..., cos[(2£ + 1)л/2] = 0, sin[(2£+ 1)тг/2] =1 и тогда
Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис 7.11, а). Из (7 27) при А] = А2 = /? (рис. 7.11, б) получаем уравнение окружности радиусом Я:
х2 + у2 = ^2- (7,28)
Рис. 7.10
Рис. 7.11
б
2) <Ро2 ~ Фо1 = 2Ал, где А = 0,1,2,..., cosAn =± 1, sin2Arc — 0 и тогда
— + —. ±2——
А, АЗ Aj А2
(7.29)
или после преобразований
= 0,
Л±2.
А, А:
(7.30)
Это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис.
7.12, а соответствует знак «+>> в уравнении (7.30); рис. 7.12, б — знак «—»].
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.
Рис. 7.12
Рис. 7.13
Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот со]/со2 и разности начальных фаз <р02 — срП1 слагаемых колебаний (рис. 7.13):
a) coj/ci^ = ’/д» Фо1 — Фог =
6) О3|/о>2 = ‘/2, (р01 — <р02 = л/2;
в) <»!/со2 = 2/з, Ф01 - 902 = */2;
г) 0)^2 = 3/4, ф01 - <р02 = л/2.
§ 7.4. СЛОЖНОЕ КОЛЕБАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛОЖНОГО КОЛЕБАНИЯ
Как видно из § 7.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.
Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т.п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами — анализаторами.
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.
Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 7.14, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. 7.14, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.
Рис. 7.14, а
Рис. 7.14, б
Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс. Он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.
§ 7.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим.
Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:
т —— - кх + Л™ (7-31)
dr2 w
Для решения этого дифференциального уравнения необходимо знать, от каких параметров зависит сила трения. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах сила трения пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно ей;
dbc
FTp =-пэ =-г —, (7.32)
ей
где г — коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (7.32) в (7.31):
d2x , dx d2x d.x 2
т— = —kx — r—, или----------Ь2В— + оэлХ=О, (7.33)
d/2 dz dz2 dz
2
1де 2p~r/m; o0 =k/m\ p — коэффициент затухания: — круговая часто-
та собственных колебаний системы.
Решение (7.33) существенно зависит от знака разности;
c/=o}q — р~-
1
где о — круговая частота затухающих колебаний. При — р >0 круговая частота со является действительной величиной и решение (7.33) будет следующим:
а = Ay е ('fcos(w/ -Г <р())
(7.34)
График этой функции показан на рис. 7.15 сплошной кривой 1; штриховой линией 2изображено изменение амплитуды:
А - ± Ао е р\
(7.35)
Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и определяется формулой:
2п 2л
Т= — =
(7-36)
При очень малом трении (Р2 << ) период затухающего колебания
близок к периоду незатухающего свободного колебания:
Т~ 2л/®0.
Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания', чем больше р. тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, однако, степень штухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания. понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:
следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:
Рис. 7.15 Рис. 7.16
2 2
При сильном затухании (3 >>ofl) из формулы (7.36) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим'. Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 7.16. Этот случай применительно к электрическим явлениям рассматривается более подробно в гл. 18.
Незатухающие (см. § 7.1) и затухающие колебания называют собственными или свободными. Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
§ 7.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.
Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила:
F= coscoГ,
где — амплитуда; со — круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютока):
d1 2x t dx , „
т — ~ — kx — г — + rn cos wr, d/2 dz °
1 Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мнимые
значения, то ото означает какую-то необычность, экстраординарность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраординарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.
или
d2x dr ?
— + 20 — w0 х cos w/, dr2 d/
(7.38)
где fa = FQ/ m.
Решение дифференциального уравнения (7.38) является суммой двух слагаемых. Одно из них, соответствующее уравнению затухающйх колебаний (7.34), играет роль только при установлении колебаний (см. рис. 7.15). Со временем им можно пренебречь. Другое слагаемое описывает смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях:
Acos(co/ + <р0),
где
. у- / л Г 22 2 ' 2 2
А =/о / V (<о0 - w ) + 40 со ,
2 2
tga ср0 = - 20со/(о> -€о0).
(7.39)
(7.40)
(7.41)
Как видно из (7.39), установившееся вынужденное колебание, происходящее под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, тоже является гармоническим. Частота вынужденного колебания равна частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания, график которых представлен на рис. 7.17, сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы
Амплитуда вынужденного колебания (7.40) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Если <в0 и 0 для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды для заданных <э() и 0 — называют резонансом.
Резонансную круговую частоту можно найти, если определить условие минимума знаменателя в (7.40):
сорез — 20 . (7.42)
Подставив (7.42) в (7.40), находим амплитуду при резонансе:
АреГ/»/ЧР^0-3' •
(7.43)
Рис. 7.17
Рис. 7.18
Из (7.43) видно, что при отсутствии сопротивления (0=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из (7.42) следует, что юС1 — резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 7.18.
Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и, соответственно, несколько резонансных частот.
Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. § 8.7 и 8.8).
§ 7.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ
Как было показано в § 7.6, колебания могут поддерживаться в системе лаже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.
Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы — автоколебательными.
Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.
Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами:
I) собственно колебательная система;
2) источник энергии;
3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему.
Колебательная система каналом обратной связи (рис. 7.19) воздействует на регулятор информируя регулятор о состоянии этой системы.
Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.
Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы — генераторы элекгромагнитных колебаний (см. гл. 23).
Обратная связь
Рис. 7.19
§ 7.8. УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛН
Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.
Различают два основных вида механических волн: упругие волны — распространение упругих деформаций — и волны на поверхности жидкости.
Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.
Уравнение волны выражает зависимость смещения s колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени.
Для волны, распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:
5= Да; t).
8 — A COSCO ?
-----е------
о
- A cosco (7 — х/о)
---------е----------
Рис. 7.20
Если 5 и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.
Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси АДрис. 7.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением
5 = A C0SC9Z.
До точки с некоторой произвольной координатой х возмущение от начала координат дойдет через время /, поэтому колебания этой точки запаздывают:
5 = Acos[oj(r- г)].
(7.44)
Так как время и скорость распространения волны связаны зависимостью t = x/v, то вместо (7.44) получаем
s = A cos[cj(7 — х/и)]. (7.45)
Это и есть уравнение плоской волны, которое позволяет определить смешение любой точки, участвующей в волновом процессе, в любой момент времени. Аргумент при косинусе <р — со(г — х/и) называют фазой волны. Множество точек, имеющих одновременно одинаковую фазу, называют фронтом волны. Для рассмотренного случая фронтом волны будет плоскость х = const (плоскость, перпендикулярная оси ОХ), всем точкам которой соответствует одновременно одинаковая фаза. Отсюда и название — плоская волна.
Скорость распространения фиксированной фазы колебаний называют фазовой. Предположим, что ф = <о(7 — x/u) = const. Продифференцировав это равенство, получим 0 = co(d/ — dx/u), откуда о = dx/dr.
Следовательно, скорость распространения фиксированной фазы колебаний и есть скорость распространения волны.
Кроме фазовой скорости различают еще групповую скорость, которую вводят тогда, когда реальная волна не может быть представлена одним гармоническим уравнением (7.45), а является суммой группы синусоидальных волн.
Длиной волны называют расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2л:. Она равна расстоянию, пройденному волной за период колебания;
X - То.
(7.46)
Уравнение волны (7.45) — одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называют волновым.
Чтобы иметь представление о волновом уравнении, продифференцируем (7.45) дважды по времени / и дважды по координате х:
d v / xid2? / yI
-— = — Асо sinco 1t — r— I, —= — A(«2 sinco 11 — — I; (7.47) d/ ' о / d/2 \ u /
<iy и . I x i d2s ю- / x |
— = — A—sinco 11-------I, — = — A— cosco 11 — — I. (7.48)
dx w \ о / dx2 и2 \ о /
Сравнивая вторые производные в (7.47) и (7.48), получаем одномерное волновое уравнение:
d2y = 1 dA dx2 ” и2 d/2
(7.49)
Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (7,45) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т.д., — отвечает уравнению (7.49), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью и.
§ 7.9. ПОТОК ЭНЕРГИИ ВОЛН. ВЕКТОР УМОВА
Волновой процесс связан с переносом энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.
Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого эта энергия перенесена:
d£ Ф ----- .
d/
Единицей потока энергии волн является ватт (Вт).
Найдем свя зь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.
Выделим объем среды, в которой распространяете £ волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.21), площадь поперечного сечения которого 5, а длина ребра численно равна скорости и и совпадаете направлением распространения волны, В соответствии с этим за 1 с сквозь площадку 5 пройдет та энергия, которой
обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда 5и. Это и есть поток энергии волн;
Ф = (0^5'v, (7.50)
где ар — объемная плотность энергии колебательного движения.
Поток энергии волн, отнесенный к площади, ориентированной перпендикулярно направлению распространения волн, называют плотностью потока энергии волн или интенсивностью волн:
1 = Ф/ .5 = о/;и, или в векторной форме
Т= <opij. (7.51)
Единицей плотности потока энергии волн является ватт на квадратный метр (Вт/м2).
Вектор 1, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн, проходящему через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называют вектором Умова.
Энергия, переносимая упругой волной, складывается из потенциальной энергии деформации и кинетической энергии колеблющихся частиц. Укажем причины, от которых зависит в этом случае объемная плотность энергии волн, Если в формулу (7.17) вместо массы отдельной частицы поставить плотность р вещества, то получим
&р = pAW / S’. (7.52)
Подставляя (7,52) в (7.51), имеем
7= (рА2сп2/2)и. (7.53)
Таким образом, вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны.
§ 7.10. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Один из распространенных примеров механической волны — звуковая волна (см. гл. 8). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т.е. она значительно меньше скорости волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.
Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.
При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в Физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис, 7.22, а. Для сравнения на этом же рисунке показано изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 7.22, б).
Рис. 7.22
Ударная волна может обладать значительной энергией, так при ядер-ном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.
§7.11. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
Эффектом Допплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.
Представим себе, что наблюдатель приближается со скоростью и([ к неподвижному относительно среды источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота v' больше частоты волны, испускаемой источником. Но так как длина волны, частота и скорость распространения волны связаны соотношением v = о / л, то v* = (и + vH) / X, или с учетом X = о / v:
о + он
-^7— V. (7.54)
Другой случай: источник волн //движется со скоростью v к неподвижному относительно среды наблюдателю (рис. 7.23, а). Так как источник движется вслед за испускаемой волной, то длина волны будет меньше, чем при неподвижном источнике. В самом деле, длина волны равна расстоянию между двумя точками с разностью фаз 2л. За время, равное одному периоду, волна распространится на расстояние л. (рис. 7.23, б), источник волн переместится на расстояние АВ ~ инТ. Фазы точек В и С
при этом различаются на 2л; следовательно, расстояние между ними равно длине волны X', образуемой при движении источника излучения.
Используя рис. 7.23 и зная, что v = и / X, выполним некоторые преобразования:
Рис. 7.23
X' = X-vH/v = u/v-uH;v = (d-dm)T/v (7.55)
В этом случае наблюдатель воспринимает волну,частота колебаний которой
V" - и Д' = ]и/(и - uH)]v.
(7.56)
При одновременном движении друг к другу наблюдателя и источника формула для воспринимаемой чистоты получается подстановкой в формулу (7.56) V' (см. (7.54)] вместо v:
и о + ин и + ин --------- -----------v — ------------- V о - и,, О о - он
(7.57)
Как видно из (5.57), при сближении источника волн и наблюдателя воспринимаемая частота больше испускаемой. Изменив знаки у он и ии в (7.57), можно получить аналогичную формулу при удалении источника от наблюдателя. Таким образом, можно записать общую формулу
и±он
V’" — ---- V,
и+ он
(7.58)
где верхние знаки в формуле относятся к сближению источника и при
емника волн, а нижние — к их удалению.
Эффект Допплера можно использовать для определения скорости движения тела в среде. Для медицинских исследований это имеет осо-
бое значение. Рассмотрим подробнее такой случай.
Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы (рис. 7.24). Техническая система неподвижна от
носительно среды. В среде со скоро- Рис. 7.24
стью и0 движется объект (тело). Генератор излучает ультразвук с частотой vr. Движущимся объектом, как наблюдателем, воспринимается частота vl} которая может быть найдена по формуле (7.54):
V) + On и +• ии V, = Д = ц vr, (7.59)
где о — скорость распространения механической волны (ультразвука).
Ультразвуковая волна с частотой vj отражается движущимся объектом в сторону технической системы. Приемник воспринимает уже другую частоту (эффект Доплера), которую можно выразить, используя
формулу (7.56): и vnp= vr, или с учетом (7.59) и ин V V + О() О + Од v «. 2 (7 60) пр и - и0 и о - и0 г
Таким образом, разница частот равна
Ya vnp vr
u + Uo U + uo — D + Uo
-------- v. — v,. = —--------—---------
U — и — Оц
и - u0
(7.61)
и называется доплеровским сдвигом частоты.
В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (и >> о0). Для этих случаев из (7.61) имеем
(7.62)
Эффект Допплера используется для определения скорости кровотока (см. § 11.5), скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов.
Глава 8
Акустика
Акустика — область физики, исследующая упругие колебания и волны от са-мых низких частот до предельно высоких (10 10 ' Гц). Современная аку-
стика охватывает широкий круг вопросов, в ней выделяют ряд разделов: физическая акустика, которая изучает особенности распространения упругих волн в различных средах, физиологическая акустика, изучающая устройство и работу звуковоспринимающих и звукиобразующих органов у человека и животных, и др. В узком смысле слова под акустикой понимают учение о звуке, т.е. об упругих колебаниях и волнах в газах, жидкостях и твердых телах, воспринимаемых человеческим ухом (частоты от 16 до 20 000 Гц).
§ 8.1. ПРИРОДА ЗВУКА. ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Звуковые колебания и волны — частный случай механических колебаний и волн. Однако в свяш с важностью акустических понятий для оценки слуховых ощущений, а также в связи с медицинскими приложениями целесообразно некоторые вопросы разобрать специально. Принято различать следующие звуки:
I) тоны, или музыкальные звуки;
2) шумы;
3) звуковые удары.
Тоном называется звук, являющийся периодическим процессом. Если этот процесс гармонический, то тон называется простым или чистым, а соответствующая плоская звуковая волна описывается уравнением (7.45). Основной физической характеристикой чистого тона является частота. Ангармоническому^ колебанию соответствует еложный юн. Простой тон издает, например, камертон, сложный тон создается музыкальными инструментами, аппаратом речи (гласные звуки) и т.п.
Сложный тон может быть разложен на простые. Наименьшая частота v0 гакот о разложения соогветствует основному тону, остальные гармоники {обертоны) имеют частоты, равные 2v0,3v0 и т.д. Набор частот с указанием их относительной интенсивности (амплитуды А) называется акустиче-
Ангармоничсскос — негармоническое колебание.
ским спектром (см, § 6.4). Спектр сложного тона линейчатый; на рис. 8.1 показаны акустические спектры одной и той же ноты (v0 = 100 Гц), взятой на рояле (а) и кларнете (б). Таким образом, акустический спектр — важная физическая характеристика сложного тона.
Шумом называют звук, отличающийся сложной неповторяющейся временной зависимостью.
Рис. 8.1
А1
100 500 1000 2000 4000 10000 v, Гц
Рис. 8.2
К шуму относятся звуки от вибрации машин, аплодисменты, шум пламени горелки, шорох, скрип, согласные звуки речи и т.п.
Шум можно рассматривать как сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Если попытаться с некоторой степенью условности разложить шум в спектр, то окажется, что .нот спектр будеч сплошным, например спектр, полученный от шума горения бунзс-новской газовой горелки (рис. 8.2).
Звуковой удар — это кратковременное звуковое воздействие: хлопок, взрыв и т.п. Не следует путать звуковой удар с ударной волной (см. §7.10).
Энергетической характеристикой звука как механической волны является интенсивность (см. § 7.9), которая может быть выражена и в виде вектора Умова.
На практике для опенки звука удобнее использовать не интенсивность, а звуковое давление, дополнительно возникающее при прохождении звуковых волн в жидкой или газообразной среде. Для плоской волны интенсивность / свя жна со звуковым давлением р зависимостью
/ = ^/(2рс),1
где р — плотность среды; с — скорость звука.
Нормальное человеческое ухо воспринимает довольно широкий диапазон интенсивностей звука: так, например, на частоте 1 кГц от /0 = К)-12 Вт/м1 2 или д( = 2-10~5 На (порог слышимости) до 1тах = 10 Вт/м2 или ртах = 60 Па (порог болевого ощущения). Отношение этих интенсивностей равно 1013, поэтому удобнее использовать логарифмические единицы (см. § 1.1) и логарифмическую шкалу. Шкала уровней интенсивностей звука создается следующим образом: значение /0 принимают за начальный уровень шкалы, любую другую интенсивность /выражают через десятичный логарифм ее отношения к
£B = lg(///0), (8.1)
а для звукового давления:
ГБ = 2 lg(z?/p0)
При использовании децибел соответственно имеем
Адб = 10 W/k) и £дь = 20(Ж) (8.2)
Звуковое давление в газах измеряется микрофоном, который состоит из датчика, преобразующего акустическую величину в электрический сигнал, электронного усилителя и электрического измерительного прибора (рис. 8.3). Эта схема является более частным случаем обшей структурной схемы (см. §21.1).
Рис. 8.3
1 Строго говоря, в этой формуле пол р следует понимать среднюю амплитуду
тукового давления.
§ 8.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУХОВОГО ОЩУЩЕНИЯ. ЗВУКОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
В § 8.1 рассматривались объективные характеристики звука, которые могли быть оценены соответствующими приборами независимо от человека. Однако звук является объектом слуховых ощущений, поэтому оценивается человеком субъективно.
Воспринимая тоны, человек различает их по высоте.
Высота — субъективная характеристика, обусловленная прежде всего частотой основного тона.
В значительно меньшей степени высота зависит от сложности тона и его интенсивности: звук большей интенсивности воспринимается как звук более низкого тона.
Тембр звука почти исключительно определяется спектральным составом.
На рис. 8 1 разные акустические спектры соответствуют разному тембру, хотя основной тон и, следовательно, высота тона одинаковы.
1ромквстъ — еще одна субъективная оценка звука, которая характеризует уровень слухового ощущения.
Несмотря на субъективность, громкость может быть оценена количественно путем сравнения слухового ощущения от двух источников.
В основе создания шкалы уровней громкости лежит важный психофизический закон Вебера— Фехнера: если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (т.е. в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает в арифметической прогрессии (т.е. на одинаковую величину).
Применительно к звуку это означает, что если интенсивность звука принимает ряд последовательных значений, например al(h а2/0, (а — некоторый коэффициент, а >1) и т.д., то соответствующие им ощущения громкости звука £0, 2ЕП, ЗЕ() и т.д.
Математически это означает, что громкость звука пропорциональна логарифму интенсивности звука.
Если действуют два звуковых раздражения с интенсивностями /и /с, причем /0 — порог слышимости, то на основании закона Вебера— Фехнера громкость относительно него связана с интенсивностями следующим образом:
E=Elg(///0), (8.3)
где к — некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности.
Если бы коэффициент к был постоянным, то из <"8.1) и (8.3) следовало бы, что логарифмическая шкала интенсивностей звука соответствует шкале громкостей В этом случае громкость звука, так же как и интенсивность, выражалась бы в белах или децибелах. Однако сильная зависимость к от частоты и интенсивности звука не позволяет измерение громкости свести к простому использованию формулы (8.3).
Условно считают, что на частоте 1 кГц шкапы громкости и интенсивности звука полностью совпадают, т.е. к — 1 и £ь — lg(///0), или, по аналогии с (8.2):
£ф = 10 lg(///о). (8.4)
Для отличия от шкалы интенсивности звука в шкале громкости децибелы называют фонами (фон).
Громкость на других частотах можно измерить, сравнивая исследуемый звук со звуком частотой 1 кГц. Для этого с помощью звукового генератора1 создают звук частотой 1 кГц. Изменяют интенсивность звука до тех нор, пока не возникнет слуховое ощущение, аналогичное ощущению громкости исследуемого звука. Интенсивность звука частотой I кГц в децибелах, измеренная по прибору, равна громкости этого звука в фонах.
Для того чтобы найти соответствие между громкостью и интенсивностью звука на разных частотах, пользуются кривыми равной громкости (рис. 8.4). Эти кривые построены на основании средних данных, которые были получены у людей с нормальным слухом при измерениях, проводимых по описанному выше методу.
Нижняя кривая соответствует интенсивностям самых слабых слышимых звуков — порогу слышимости; для всех частот £ф = 0, для 1 кГц интенсивность звука 70 = 1 пВт/м2. Из приведенных кривых видно, что среднее человеческое ухо наиболее чувствительно к частотам 2500-3000 Гц. Каждая промежуточная кривая соответствует одинаковой громкости, но разной интенсивности звука для разных частот. По отдельной кривой, равной громкости, можно найти интенсивности, которые при определенных частотах вызывают ощущение этой громкости. Используя совокупность кривых равной громкости, можно найти для разных
1 Звуковым генератором называют электронный прибор, генерирующий электрические колебания с частотами звукового диапазона. Однако сам звуковой генератор не является источником звука. Если же создаваемое им колебание подать на динамик, то возникает звук, тональность которого соответствует частоте генератора. В звуковом генераторе предусмотрена возможность плавного изменения амплитуды и частоты колебаний.
частот громкости, соответствующие определенной интенсивности. Например, пусть интенсивность звука частотой 100 Гн равна 60 дБ. Какова громкость этого звука? На рис. 8.2 находим точку с координатами 100 Гц, 60 дБ, Она лежит на кривой, соответствующей уровню громкости 30 фон, что и является ответом.
Чтобы иметь определенные представления о различных но характеру звуках, приведем их физические характеристики (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Примерный характер звука Интенсивность звука, Вт/м2 Звуковое давление, Па Уровень интенсивности звука относительно порога слышимости, дБ (или уровень громкости звука для частоты 1 кГц, фон)
Порог слышимости 10-12 0,00002 0
Сердечные тоны через стетоскоп 10-11 0,000064 10
Шепот 10-ю 0,0002 20
10 0.00064 30
Разговор:
тихий 10-8 0,002 40
нормальный IO"7 0,0064 50
громкий 10-6 0,02 60
Шум на оживленной улице ю-^ 0,064 80
Крик ю-4 0,2 80
Шум:
в поезде метро 10 2 0,64 90
мотоцикла (максимальный) 10-2 2 100
двигателя самолета 10-1 6,4 110
То же, вблизи 10° 20 120
Порог болевого ощущения 10 64 130
Метод измерения остроты слуха называют аудиометрией. При аудиометрии на специальном приборе {аудиометре') определяют порог слухового ощущения на разных частотах; полученная кривая называется аудиограммой. Сравнение аудиограммы больного человека с нормальной кривой порога слухового ощущения помогает диагностировать заболевание органов слуха.
Для объективного измерения уровня громкости mwa используется шумомер. Структурно он соответствует схеме, и юбраженной на рис. 8.3. Свойства птумомсра приближаются к свойствам человеческого уха (см. кривые равной громкости на рис. 8.4), для этого .для разных диапазонов уровней громкости используются корректирующие электрические фильтры.
Рис. 8.4
§ 8.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗВУКОВЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В КЛИНИКЕ
Звук, как и свет, является источником информации, и в этом главное его значение.
Звуки природы, речь окружающих нас людей, шум работающих машин многое сообщают нам. Чтобы представить значение звука для человека, достаточно временно лишить себя возможности воспринимать звук — закрыть уши.
Естественно, звук может быть и источником информации о состоянии внутренних органов человека. Распространенный звуковой метод
диагностики заболеваний — аускультация (выслушивание) — известен еще со II в. до н.э. Для аускультации используют стетоскоп или фонендоскоп. Фонендоскоп (рис. 8.5) состоит из полой капсулЪз 1 с передающей звук мембраной 2, прикладываемой к телу больного, от нее идут резиновые трубки 3 к уху врача. В полой капсуле возникает резонанс столба воздуха, вследствие чего усиливается звучание и улучшается аускультация.
При аускультации легких выслушивают дыхательные шумы, разные хрипы, характерные для заболеваний. По изменению тонов сердца и появлению шумов можно судить о состоянии сердечной деятельности. Используя аускультацию, можно установить наличие перистальтики желудка и кишечника, прослушать сердцебиение плода.
Для одновременного выслушивания больного несколькими исследователями с учебной целью или при консилиуме используют систему, в которую входят микрофон, усилитель и громкоговоритель или несколько телефонов.
Для диагностики состояния сердечной деятельности применяется метод, подобный аускультации и называемый фонокардиографией (ФКГ). Этот метод заключается в графической регистрации тонов и шумов сердца и их диагностической интерпретации. Запись фонокардиограммы производят с помощью фонокардиозрафа (рис 8.6), состоящего из микрофона, усилителя, системы частотных фильтров и регистрирующего устройства. На рис. 8.7 показана нормальная фонокардиограмма.
Принципиально отличным от двух изложенных выше звуковых методов является перкуссия. В этом методе выслушивают звучание отдельных частей тела при простукивании их.
Рис. 8.7
Представим замкнутую полость, заполненную воздухом внутри какого-нибудь тела. Если вызвать в этом теле звуковые колебания, то при определенной частоте звука воздух в полости начнет резонировать, выделяя и усиливая тон, соответствующий размеру и положению полости.
Схематично тело человека можно представить как совокупность газонаполненных (легких), жидких (внутренние органы) и твердых (кость) объемов. При ударе по поверхности тела возникают колебания, частоты которых имеют широкий диапазон. Из этого диапазона одни колебания погаснут довольно быстро, другие же. совпадающие с собственными колебаниями пустот, усилятся и вследствие резонанса будут слышимы. Опытный врач по тону перкуторных звуков определяет состояние и топографию внутренних органов.
§ 8.4. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
ОТРАЖЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН. РЕВЕРБЕРАЦИЯ
Звуковое давление р зависит от скорости и колеблющихся частиц среды. Вычисления показывают, что
— = рс или р = рею, (8.5)
где р — плотность среды; с — скорость волны в среде. Произведение рс iызывакп удельным акустическим импедансом, для плоской волны его f [азывают также волновым сопротивлением.
Волновое сопротивление — важнейшая характеристика среды, определяющая условие отражения и преломления волн на ее границе.
Представим себе, что звуковая волна попадает на границу раздела двух сред. Часть волны отражается, а часть — преломляется. Законы отражения и преломления звуковой волны аналогичны законам отражения и преломления света. Преломленная волна может поглотиться во второй среде, а может выйти из нее.
Допустим, что плоская волна падает нормально к границе раздела, интенсивность ее в первой среде 1}, интенсивность преломленной (прошедшей) волны во второй среде /2. Назовем
(8.6)
коэффициентом проникновения звуковой волны.
Рэлей показал, что коэффициент проникновения звука определяется формулой;
С1Р[ / (с2р2) к|р[ / (<-2Р:)+ П2 ’
(8.7)
Из (8.6) видно, что наибольшее значение, которое может иметь 0 равно 1. Из (8.7) получаем, что 0 = 1, если qpj = с2р2. Итак, при равенстве волновых сопротивлений двух сред звуковая волна (при нормальном падении) пройдет границу раздела без отражения.
Если волновое сопротивление второй среды весьма велико по сравнению с волновым сопротивлением первой среды (с2 р2 >> С|pi), то вместо (8.7) имеем
0 / (с2р2),
(8.8)
так как с2 р2 / (cjpJ « 1. Приведем волновые сопротивления некоторых веществ при 20 °C (табл. 8.2).
Таблица 8.2
Вещество Волновое сопротивление, кг • и-2 • с-1 Вещество Волновое сопротивление, КГ-М-2-С“1
Железо 40 000 000 Резина 60 000
Бетон 4 800 000 Воздух 400
Вода 1 440 000 Масло 1 350 000
Используем (8.8) для вычисления коэффициента проникновения звуковой волны из воздуха в бетон и в воду:
4-440
4 800 000
100%= 0,037%;
4-440
1 440 000
100% = 0,122%.
Эти данные производят впечатление: оказывается, только очень малая часть энергии звуковой волны проходит из воздуха в бетон и в воду. Во всяком закрытом помещении отраженный от стен, потолков, мебели звук падает на другие стены, полы и пр., вновь отражается и поглощается и постепенно угасает. Поэтому даже после того, как источник звука прекратит действие, в помещении все еше остаются звуковые волны, которые создают гул. Особенно это заметно в больших просторных залах. Процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения источника называют реверберацией.
Реверберация, с одной стороны, полезна, так как восприятие звука усиливается за счет энергии отраженной волны, но, с другой стороны, чрезмерно длительная реверберация может существенно ухудшить восприятие речи, музыки, так как каждая новая часть текста перекрывается предыдущими. В связи с этим обычно указывают некоторое оптимальное время реверберации, которое учитывается при постройке аудиторий, театральных и концертных залов и т.п. Например, время реверберации заполненного Колонного зала Дома Союзов в Москве равно 1,70 с, заполненного Большого театра — 1,55 с. Для этих помещений (пустых) время реверберации соответственно 4,55 и 2,06 с.
§ 8.5. ФИЗИКА СЛУХА
Слуховая система связывает непосредственный приемник звуковой волны с головным мозгом.
Используя понятия кибернетики, можно сказать, что слуховая система получает, перерабатывает и передает информацию. Из всей слуховой системы для рассмотрения физики слуха выделим наружное, среднее и внутреннее ухо.
Наружное ухо состоит из ушной раковины 7 и наружного слухового прохода 2(рис. 8.8).
Рис. 8.8
Ушная раковина у человека нс играет существенной роли для слуха. Она способствует определению локализации источника звука при его расположении в сагиттальной плоскости. Поясним это. Звук от источника попадает в ушную раковину. В зависимости от положения источника в вертикальной плоскости (рис. 8.9) звуковые волны будут по-разному дифрагировать на ушной раковине из-за ее специфической формы. Это приведет и к разному изменению спектрального состава звуковой волны, попадающей в слуховой проход (более детально вопросы дифракции рассматриваются в § 24.6). Человек в результате опыта научился ассоциировать изменение спектра звуковой волны с направлением на источник звука (направления А. А и Дна рис. 8.9)
Обладая двумя звукоприемниками (ушами), человек и животные способны установить направление на источник звука и в горизонтальной плоскости (бинауральный эффект; рис. 8. Ю). Это объясняется тем, что звук от источника до разных ушей проходит разное расстояние и возникает разность фаз для волн, попадающих в правую и левую ушные раковины. Связь между разностью этих расстояний (5) и разностью фаз (Дф) выведена в § 24.1 при объяснении интерференции света [см. (24.9)]. Если источник звука находится прямо перед лицом человека, то 8 = 0 и Дф - 0, если источник звука расположен сбоку против одной из ушных раковин, то в другую ушную раковину он попадет с запаздыванием. Будем считать приближенно, что в этом случае 8 равно расстоянию между ушными раковинами. По формуле (24.9) можно рассчитать для v = 1 кГц и 8 = 0,15 м разность фаз. Она приблизительно равна 180°.
Различным направлениям на источник звука в горизонтальной плоскости будут соответствовать разности фаз между 0° и 180° (для приведенных выше данных). Считают, что человек с нормальным слухом может фиксировать направления на источник звука с точностью до 3°, этому соответствует разность фаз 6°. Поэтому можно полагать, что чело-
век способен различать изменение разности фаз звуковых волн, попадающих в ею уши. с точностью до 6°.
Кроме фазового различия бинауральному эффекту способствует неодинаковость интенсивностей звука у разных ушей, а также акустическая тень от головы для одного уха. На рис. 8.10 схематично показано, что звук от источника попадает в левое ухо в результате дифракции.
Звуковая волна проходит через слуховой проход и частично отражается от барабанной перепонки 3. В результате интерференции падающей и отраженной волн может возникнуть акустический резонанс. Это возникает тогда, когда длина волны в четыре раза больше дайны наружного слухового прохода. Длина слухового прохода у человека приблизительно равна 2,3 см; следовательно, акустический резонанс возникает при частоте:
е 3-102 _
’ 4Ч-,Д |<> - 5 к111-
Наиболее существенной частью среднего уха являются барабанная перепонка 3 и слуховые косточки: молоточек 4, наковальня 5 и стремечко 6 с соответствующими мышцами, сухожилиями и связками. Косточки осуществляют передачу механических колебаний от воздушной среды наружного уха к жидкой среде внутреннего. Жидкая среда внутреннего уха имеет волновое сопротивление, приблизительно равное волновому сопротивлению воды. Как было показано (см. § 8.4), при прямом переходе звуковой волны из воздуха в воду передается лишь 0,122% падающей интенсивности. Это слишком мало, Поэтому основное назначение среднего уха — способствовать передаче внутреннему уху большей интенсивности звука. Используя технический язык, можно сказать, что среднее ухо согласует волновые сопротивления воздуха и жидкости внутреннего уха.
Система косточек на одном конце молоточком связана с барабанной перепонкой (площадь 5) = 64 мм2), на другом — оременком — с овальным окном /внутреннего уха (площадь >52 = 3 мм2)
На барабанную перепонку действует звуковое давление р^ что обусловливает силу
(8.9)
На овальное окно внутреннего уха при этом действует сила F2, создающая звуковое давление р2 в жидкой среде. Связь между ними:
Система косточек работает как рычаг с выигрышем в силе со стороны внутреннего уха в 1,3 раза у человека (схематичное изображение дано на рис. 8.11), поэтому можно записать:
(8.11)
Разделив (8.9) на (8.10) и приравнивая это отношение (8.11), получаем:
F\ __ Р\ _ /2
^2 Р1 $2 h
откуда
Р2 h
— = =20-1.3 = 26
Р\ $2 6
или в логарифмических единицах (см. § 1.1)
£б = 20 IgW^i) = 20 lg26 = 20 • 1,415 * 28 дБ.
На таком уровне среднее ухо увеличивает передачу наружного звуко
вого давления внутреннему уху.
Еще одна из функций среднего уха — ослабление передачи колебаний в случае звука большой интенсивности. Это осуществляется рефлекторным расслаблением мышц косточек среднего уха. Среднее ухо соединяется с атмосферой через слуховую (евстахиеву) трубу.
Наружное и среднее ухо относятся к звукопроводящей системе. Зву
ковоспринимающей системой является внутреннее ухо.
Главной частью внутреннего уха является улитка, преобразующая
механические колебания в электрический сигнал. Кроме улитки к вну-
треннему уху относится вестибулярный аппарат (см. § 6.4), который к
слуховой функции отношения не имеет.
Система косточек
перепонка окно
Рис. 8.11
Улитка человека является костным образованием длиной около 35 мм, она имеет форму конусообразной спирали с 23/4 завитками. Диаметр у основания около 9 мм, высота равна приблизительно 5 мм.
На рис. 8.8 улитка схематично показана развернутой для удобства рассмотрения. Вдоль улитки проходят три канала. Один из них, который начинается от овального ок
на 8, называете* вестибулярной лестницей. Другой канал идет от круглого окна 9, он называется барабанной лестницей 10. Вестибулярная и барабанная лестницы соединены в области купола улитки посредством маленького отверстия — гсликотрсмы 77. Таким образом, оба эти канала в некотором роде представляют единую систему, наполненную перилимфой. Колебания стремечка 6 передаются мембране овального окна 7, от нее перилимфе и «выпячивают» мембрану круглого окна 9. Пространство между вестибулярной и барабанной лестницами называется улитковым каналом I2t он заполнен эндолимфой. Между улитковым каналом и барабанной лестницей вдоль улитки проходит основная (базилярная) мембрана 13. На ней находится кортиев орган, содержащий рецепторные (волосковые) клетки, от улитки идет слуховой нерв (на рис. 8.9 эти подробности не показаны).
Кортнев орган (спиральный орган) преобразует механические колебания в электрический сигнал.
Длина основной мембраны около 32 мм, она расширяется и утончается в направлении от овального окна на верхушке улитки (от ширины 0,1 до 0,5 мм). Основная мембрана — весьма интересная для физики структура, она обладает частотно-избирательными свойствами. На это обратил внимание еще Гельмгольц, который представлял основную мембрану аналогично ряду настроенных струн пианино. Лауреат Нобелевской премии Бекеши установил ошибочность этой резонаторной теории. В работах Бекеши было показано, что основная мембрана является неоднородной линией передачи механического возбуждения. При воздействии акустическим стимулом по основной мембране распространяется волна. В зависимости от частоты эта волна по-разному затухает. Чем меньше частота, тем дальше от овального окна распространится волна по основной мембране, прежде чем она начнет затухать. Так, например, волна с частотой 300 Гц до начала затухания распространится приблизительно до 25 мм от овального окна, а волна с частотой 100 Гц достигает своего максимума вблизи 30 мм.
На основании этих наблюдений были разработаны теории, согласно которым восприятие высоты тона определяется положением максимума колебания основной мембраны. Таким образом, во внутреннем ухе прослеживается определенная функциональная цепь; колебание мембраны овального окна — колебание перилимфы — сложные колебания основной мембраны — раздражение волосковых клеток (рецепторы кортиева органа) — генерация электрического сигнала.
Некоторые формы глухоты связаны с поражением рецепторного аппарата улитки В этом случае улитка не генерирует электрические сиг-
Рис. 8.12
налы при воздействии механических колебаний. Таким глухим можно помочь, для этого необходимо имплантировать электроды в улитку и на них подавать электрические сигналы, соответствующие тем, которые возникают при воздействии механического стимула.
Такое протезирование основной функции улитки (кохлеарное протезирование) разрабатывается в ряде стран. В России кохлеарное протезирование разработано и осуществлено в Российском медицинском университете. Кохлеарный протез показан на рис. 8.12, здесь 1 — основной корпус, 2 — заушина с микрофоном, 3 — вилка электрического разъема для подсоединения к имплантируемым электродам.
§ 8.6. УЛЬТРАЗВУК И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В МЕДИЦИНЕ
Ультразвуком (УЗ) называют механические колебания и волны, частот ы которых более 20 кГц.
Верхним пределом ультразвуковых частот условно можно считать 109—1010 Гц. Этот предел определяется межмолекулярными расстояниями и поэтому зависит от агрегатного состояния вещества, в котором распространяется ультразвуковая волна.
Для генеиирования УЗ используются устройства, называемые УЗ-из-лучателями. Наибольшее распространение получили электромеханические излучатели, основанные на явлении обратного пьезоэлектрического эффекта (см. § 14.7), Обратный пьезоэффект заключаетвя в ме
ханической деформации тел под действием электрического поля. Основной частью такого излучателя (рис. 8.13, а) является пластина или стержень 1 из вещества с хорошо выраженными пьезоэлектрическими свойствами (кварц, сег-нетова соль, керамический материал на основе титаната бария и др.). На поверхность пластины в виде проводящих слоев нанесены электроды 2. Если к электродам приложить переменное электрическое напряжение от генератора 3, то пластина благодаря обратному пьезоэффекту начнет вибрировать, излучая механическую волну соответствующей частоты.
Наибольший эффект излучения механической волны возникает при выполнении условия резонанса (см. § 7.6). Так, для пластин толщиной 1 мм резонанс возникает для кварца на часто-
УЗ
а УЗ
Рис. 8.13
тс 2,87 МГц, сегнетовой соли — 1,5 МГн и титаната бария — 2,75 МГц.
Приемник УЗ можно создать на основе пьезоэлектрического эффекта (прямой пьезоэффскт). В этом случае под действием механической волны (УЗ-волны) возникает деформация кристалла (рис. 8.13, б), которая при пьезоэффекте приводит к генерации переменного электрического поля; соответствующее электрическое напряжение может быть
измерено.
Применение УЗ в медицине связано с особенностями его распространения и характерными свойствами. Рассмотрим этот вопрос.
По физической природе УЗ, как и звук, является механической (упругой) волной. Однако длина волны УЗ существенно меньше длины звуковой волны. Так, например, в воде длины волн равны 1,4 м (1 кГц, звук), 1.4 мм (1 МГц, УЗ) и 1,4 мкм (1 ГГц, УЗ). Дифракция волн (см. § 24.5) существенно зависит от соотношения длины волн и размеров <сл. на которых волна дифрагируем. «Непрозрачное» тело размером 1 м не будет препятствием для звуковой длины с длиной 1,4 м, но станет преградой дня УЗ-волны с длиной 1,4 мм, возникнет УЗ-тень. Это позволяет в некоторых случаях не учитывать дифракцию УЗ-волн, рассматривая при преломлении и отражении эти волны как лучи (аналогично преломлению и отражению световых лучей).
Отражение УЗ на границе двух сред зависит от соотношения их волновых сопротивлений (см. § 8.4). Так, УЗ хорошо отражается на границах мышца-надкостница—кость, на поверхности полых органов и т.д.
Поэтому можно определить расположение и размер неоднородных включений, полостей, внутренних органов и т.п. (УЗ-локация). При УЗ-локации используют как непрерывное, так и импульсное излучения. В первом случае исследуется стоячая волна, возникающая при интерференции падающей и отраженной волн от границы раздела. Во втором случае наблюдают отраженный импульс и измеряют время рас пространения ультразвука до исследуемого объекта и обратно. Зная скорость распространения ультразвука, определяют глубину залегания объекта.
Волновое сопротивление биологических сред в 3000 раз больше волнового сопротивления воздуха. Поэтому если УЗ-излучатель приложить к телу человека, то УЗ не проникнет внутрь, а будет отражаться из-за тонкого слоя воздуха между излучателем и биологическим объектом (см. § 8.4). Чтобы исключить воздушный слой, поверхность УЗ-излу-чагеля покрывают споем масла.
Скорость распространения ультразвуковых волн и их поглощение существенно зависят от состояния среды; на этом основано использование ультразвука для изучения молекулярных свойств вещества. Исследования такого рода являются предметом молекулярной акустики.
Как видно из (7.53), интенсивность волны пропорциональна квадрату круговой частоты, поэтому можно получить УЗ значительной интенсивности даже при сравнительно небольшой амплитуде колебаний, Ускорение частиц, колеблющихся в УЗ-волне, также может быть большим [см. (7.12)], что говорит о наличии существенных сил, действующих на частицы в биологических тканях при облучении УЗ.
Сжатия и разрежения, создаваемые ультразвуком, приводят к образованию разрывов сплошности жидкости — кавитаций.
Кавитации существуют недолго и быстро захлопываются, при этом в небольших объемах выделяется значительная энергия, происходят разогревание вещества, а также ионизация и диссоциация молекул.
Физические процессы, обусловленные воздействием УЗ. вызывают в биологических объектах следующие основные эффекты:
• микровибрации на клеточном и субклеточном уровнях;
♦ разрушение биомакромолекул;
• перестройку и повреждение биологических мембран, изменение проницаемости мембран (см. гл. 13);
• тепловое действие;
Медико-биологические приложения ультразвука в основном можно разделить на два направления: методы диагностики и исследования и методы воздействия.
К первому направлению относятся локационные методы и использован ие импульсного излучения. Это эхоэнцефалография —- определение опухолей и отека головного мозга (на рис. 8.14 показан эхознцефалограф «Эхо-12»); ультразвуковая кардиография — измерение размеров сердца в динамике; в офтальмологии — ультразвуковая локация для определения размеров глазных сред. С помощью ультразвукового эффекта Доплера изучают характер движения сердечных клапанов и измеряют скорость кровотока. С диагностической целью по скорости ультразвука находят плотность сросшейся или поврежденной кости.
Ко второму направлению относится ультразвуковая физиотерапия. На рис. 8.15 показан используемый для этих целей аппарат УТП-ЗМ. На пациента воздействуют ультразвуком с помощью специальной излучательной головки аппарата. Обычно для терапевтических целей применяют ультразвук частотой 800 кГц, средняя его интенсивность около 1 Вт./см2 и меньше.
Первичным механизмом ультразвуковой терапии являются механическое и тепловое действия на ткань.
При операциях ультразвук применяют как «ультразвуковой скальпель», способный рассекать и мягкие, и костные ткани.
Способность ультразвука дробить тела, помещенные в жидкость, и создавать эмульсии используется в фармацевтической промышленности при изготовлении лекарств. При лечении таких заболеваний, как туберкулез, бронхиальная астма, катар верхних дыхательных путей, применяют аэрозоли различных лекарственных веществ, полученные с помощью ультразвука.
В настоящее время разработан новый метод «сваривания» поврежденных или трансплантируемых костных тканей с помощью ультразвука (ультразвуковой остеосинтез).
Рис. 8.14
Рис. 8.15
Губительное воздействие ультразвука на микроорганизмы используется для стерилизации.
Интересно применение ультразвука для слепых. Благодаря ультразвуковой локации с помошью портативного прибора «Ориентир» можно обнаружить предметы и определять их характер на расстоянии до К) м.
Перечисленные примеры не исчерпывают всех медико-биологических применений ультразвука, перспектива расширения этих приложений поистине огромна. Так, можно ожидать, например, появления принципиально новых методов диагностики с внедрением в медицину ультразвуковой голографии (см. гл. 24).
§ 8.7. ИНФРАЗВУК
Инфразвуком называют механические (упругие) волны с частотами, меньшими тех, которые воспринимает ухо челвоека (20 Гц).
Источниками инфразвука могут быть как естественные объекты (море, землетрясение, грозовые разряды и др.), так и искусственные (взрывы, автомашины, станки и др.).
Инфразвук часто сопровождается слышимым шумом, например в автомашине, поэтому возникают трудности при измерении и исследовании собственно инфразвуковых колебаний.
Для инфразвука характерно слабое поглощение разными средами, поэтому он распространяется на значительное расстояние. Это позволяет по распространению инфразвука в земной коре обнаруживать взрыв на большом удалении его от источника, по измеренным инфразвуковым волнам прогнозировать цунами и т.д. Так как длина волны инфразвука больше, чем у слышимых звуков, то инфразвуковые волны лучше дифрагируют и проникают в помещения, обходя преграды.
Инфразвук оказывает неблагоприятное влияние на функциональное состояние ряда систем организма, усталость, головная боль, сонливость, ращражение и др. Предполагается, что первичный механизм действия инфразвука на организм имеет резонансную природу. Резонанс наступает при близких значениях частоты вынуждающей силы и частоты собственных колебании (см. § 7.6) Частота собственных колебаний тела человека в положении лежа (3—4 Гц), стоя (5—12 Гц), частота собственных колебаний грудной клетки (5-8 Гц), брюшной полости (3—4 Гц) и т.д. соответствуют частоте инфразвуков.
Снижение уровня интенсивности инфразвуков в жилых, производственных и транспортных помещениях — одна из задач гигиены.
§ 8.8. ВИБРАЦИИ
В технике механические колебания различных конструкций и машин получили название вибраций.
Они оказывают воздействие и на человека, который соприкасается с вибрирующими объектами. Это воздействие может быть как вредным и приводящим в определенных условиях к вибрационной болезни, так и поле (ным, лечебным (вибротерапия и вибромассаж).
Основные физические характеристики вибраций совпадают с характеристиками механических колебаний тел, это:
• частота колебаний или гармонический спектр ангармонического колебания;
• амплитуда, амплитуда скорости и амплитуда ускорения;
• энергия и средняя мощность колебаний.
Кроме того, для понимания действия вибраций на биологический обьект важно представлять себе распространение и затухание колебаний в теле. При исследовании этого вопроса используют модели, состоящие из инерционных масс, упругих и вязких элементов (см. § 10.3).
Вибрации являются источником слышимых звуков, ультразвуков и инфразвуков.
Глава 9
Течение и свойства жидкостей
К жидкостям относят вещества, которые по своим свойствам занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами. Жидкие среды составляют наибольшую часть организма, их перемещение обеспечивает обмен веществ и снабжение клеток кислородом, поэтому механические свойства и течение жидкостей представляют особый интерес для медиков и биологов.
Материал, изложенный в главе, имеет отношение к гидродинамике — разделу физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и взаимодействие их при это и с окружающими твердыми телами, и к реологии — учению о деформациях и текучести вещества.
§ 9.1. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА. НЬЮТОНОВСКИЕ И НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ
При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластиками (рис. 9.1), из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью ив. Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1,2, 3 и т.д. Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости (О|< и2< и; <„. и т.д.), максимальная скорость ив будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке.
Слои воздействуют друг на друга.
Так, например, третий слой стремится ------------------------%.4_ускорить движение второго, но сам |___________________________^и4- ис пытывает торможение с его стороны,
3 ‘ J ~ Z Z Z” а ускоряется четвертым слоем и т.д. Си-
~-----—--------------- ла внутреннего трения пропорпиональ-
на площади 5 взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относи-
Рис. 9.1 тельная скорость.
Так как разделение на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, отнесенного к длине в направлении, перпендикулярном скорости, т.е. от du/d.x — градиент скорости (скорость сдвига).
do
F =т]-——-У (9.I)
CLV
Это уравнение Ньютона. Здесь р — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения или динамической с вязкостью (или просто вязкостью). Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).
Единицей вязкости является паскаль-секунда (Па с). В системе СГС вязкость выражают в пуазах (П): 1 Па с = 10 П.
Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента скорости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (9. Г) и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (9.1), относят к неньютоновским Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а не ньютоновской — аномальной.
Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению молекул или частиц пространственные структуры, являются неньютоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей.
Увеличение вязкости происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютоновской, вязкости, но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью.
§ 9.2. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ
Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра,
Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен.
Рис. 9.2
Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении труьы показано на рис. 9.2.
Для определения зависимости о = /('') мысленно выделим цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса г и длины / (рис. 9.3, а). На торцах этого цилиндра поддер
живаются давления р} и р2 соответственно, что обусловливает результи
рующую силу
F= pptF1-p^F = (,p{ -pjnfr (9.2)
На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (9.1)]
do du
FTp = т| — 5 = n —- 2лг/, (9.3)
F lx dr
где S - 2л rl — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр. уравновешены: F— Л1р. Подставляя в это равенство (9-2) и (9.3), получаем
0*1 - Р2)71 f'2 = _П 2лг/. (9.4)
Знак «—» в правой части уравнения обусловлен тем, что dv/dr < О (скорость уменьшается с увеличением г). Из (9.4) имеем
. Р1-Р2
du = ———
2/q
Проинтегрируем это уравнение.
rdr.
(9.5)
здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внутренней поверхности трубы (и =0 при г = R), а верхние пределы — переменные. Решая (9.5), получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. кривую, огибающую концы векторов скорости на рис. 9.2):
v= (9 6)
4А]
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (г= 0):
vw<w= (Pi ~Р?) Л2/(4/т1).
Установим, от каких факторов зависит обьем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя (рис. 9.3, б) d5 = 2тггс1г. Так как слой тонкий, можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью о. За 1 с слои переносит объем жидкости
dC= оёУ= и • 2л7х1г. (9.7)
Подставляя (9.6) в (9.7), получаем
Pi — Pi
dQ-л -—— (^-rJ)/dr, 2/т]
откуда интегрированием по всему сечению находим
Pi - Р; f ЛЯ4 р, - Р)
! г. (9.8) 2/п '------------------------/
Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля.
Как видно из (9.8), при заданных внешних условиях и р2) через । рубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вя зкость и больше радиус трубы. Сильная зависимость Q от радиуса обусловливается изменением не только объема, но и относительной доли слоев, расположенных вблизи поверхности трубы.
Проведем аналогию между формулой Пуазейля (9.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению.
2Г=8Л//л/?4.
'9.9)
Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость т|, длина / трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 9.4, а) или параллельно (рис. 9.4, б), вычисляется по формулам:
Х=.Т1+У2 + Лз, (9.10)
(9.11)
Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 — р2)/1 градиентом давления d/?/d/ и получим
тгЯ4 do
°— ш
(9.12)
Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 9.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально Z; dp/d/ = const. Так как Q одинаково, то [см. (9.12)] градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб приближенно показан на рис. 9.5, б.
Рис. 9.4
Рис. 9.5
§ 9.3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН СТОКСА
Вязкость проявляется при движении не только жидкости по сосудам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях в соответствии с уравнением Ньютона сила сопротивления движущемуся телу пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, ограничимся рассмотрением частного случая.
Наиболее простой формой тела является сфера. Для сферического тела (шарик) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных выше факторов выражается законом Стокса:
Лтр =6ттг]ги, (9.13)
где г — радиус шарика; и — скорость движения. Этот закон получен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела.
При падении шарика в вязкой среде (рис. 9.6) на него действуют три силы:
а) сила тяжести mg = 4/з pnr3g (р — плотность шарика);
б) выталкивающая (архимедова) FA = m*g = 4/з Ржлг3& где /иж ~ мас-са вытесненной шаром жидкости; рж — ее плотность;
в) Fpp — сила сопротивления, вычисляемая по формуле (9.13).
Рис. 9.6
При попадании шарика в вязкую жидкость его скорость уменьшается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, опа будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным. В этом случае (см. рис. 9.6)
wg + FA + Flv = О
или в скалярной форме при подстановке соответствующих выражений для сил
4/з яг3Р£ - 4/з - 6лпги0 = О,
(9.14)
где о 0 — скорость равномерного движения (падения)
шарика. Из (9.14) подущаем:
2(р-Рж)г2#/(9т]).
(9.15)
Формула (9.15) справедлива для движения шарика не только в жидкости, но и в газе. Она может быть использована, в частности, для вычисления времени выпадения пыли в воздухе. Поясним это следующим примером. Для воздуха — среды, в которой взвешены различные частицы пыли, — вязкость р = 0,000175 П с. Около 80% пыли, обнаруженной в легких умерших людей, составляют частицы размером от 5 до 0,2 мкм. Если считать пылинки шарообразными, а плотность пыли равной плотности земли (р = 2,5 г/см3), то, вычисляя скорость падения этих пылинок по формуле (9.15), найдем, что ее значения находятся в пределах 0,2—0,0003 см/с. Для полного выпадения такой пыли в комнате высотой 3 м потребуется около 12 суток при условии полной неподвижности воздуха и отсутствия броуновского движения.
§ 9.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ. КЛИНИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ КРОВИ
Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, а приборы, используемые для таких целей, — вискозиметрами. Рассмотрим наиболее распространенные методы вискозиметрии.
Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной
Рис. 9.7
массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений. Капиллярные вискозиметры различной формы показаны на рис. 9.7, а, б (] — измерительные резервуары; Мх и Мг — метки, обозначающие границы этих резервуаров; 2 — капилляры; 3 ~ приемные сосуды).
Капиллярный вискозиметр применяется для определения вязкости крови.
Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от значений I0-5 Па с, свойственных газам, до значений 104 Па с, характерных для консистентных смазок.
Метод падающего шарика используется в вискозиметрах, основанных па законе Стокса Из формулы (9.15) находим
ц = 2(р - рж) r2g/ (9и0).
Таким образом, зная величины, входящие в правую часть этой формулы, и измеряя скорость равномерного падения шарика, можно найти вязкость данной жидкости.
Предел измерений вискозиметров с движущимся шариком составляет 6. 104-250 Па с.
Применяются также ротационные вискозиметры, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, например цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ротора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы,
действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.
С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость жидкостей в интервале 1—Ю5 Па-с, т.е. смазочных масел, расплавленных силикатов и металлов, высоковязких лаков и клеев, глинистых растворов и т.п.
В ротационных вискозиметрах можно менять градиент скорости, задавая разные угловые скорости вращения ротора. Это позволяет измерять вязкость при разных градиентах и установить зависимость r| которая характерна для неньютоновских жидкостей.
В настоящее время в клинике для определения вязкости крови используют вискозиметр Гесса с двумя капиллярами. Схема его устройства дана на рис. 9.7, в. Два одинаковых капилляра ci\b} и соединены с двумя трубочками 1 и 2. Посредством резиновой груши или втягивая воздух ртом через наконечник 3, поочередно благодаря фойнику с краном 4 заполняют капилляр а\Ь\ и трубочку 7 до отметки 0 дистиллированной водой, а капилляр а2о2 и трубочку 2 до отметки 0 — исследуемой кровью. После этого теми же способами одновременно перемещают обе жидкости до тех пор, пока кровь не достигнет цифры 7, а вода — другой отметки в своей трубке. Так как условия протекания воды и крови одинаковы, то объемы наполнения трубок 7 и 2 будут различными вследствие того, что вязкости этих жидкостей неодинаковы. Хотя кровь и является нсньютоновской жидкостью, используем с некоторым приближением формулу Пуазейля (9.8) и запишем очевидную пропорцию:
<?»/& = Лк/лв. (9.!6)
Учитывая, что общий объем И жидкости при равномерном ее течении связан с Q формулой У= Qi, где t — время, вместо (9.16) получаем
: 1'к = Лк :
где Ик — объем крови в трубке 2 от отметки 0 до отметки 1; Ив — объем воды в трубке 7 от отметки 0 до отметки, полученной при измерении; Лк и Л в- соответственно вязкость крови и воды Отношение вязкости крови и вязкости воды при той же температуре называют относительной вязкостью крови.
В вискозиметре Гесса объем крови всегда одинаков, а объем воды отсчитывают по делениям на трубке /, поэтому непосредственно получают значение относительной вязкости крови. Для удобства отсчета сече
ния трубок 1 и Сделают различными, так, что, несмотря на разные объемы крови и воды, их уровни в трубках будут примерно одинаковы.
Вязкость крови человека в норме 4-5 мПа - с, при патологии колеблется от 1,7—22,9 мПа - с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. При тяжелой физической работе вязкость крови увеличивается. Некоторые инфекционные заболевания увеличивают вязкость, другие же, например брюшной тиф и туберкулез, — уменьшают.
§ 9.5. ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
Рассмотренное ранее течение жидкости является слоистым, или ламинарным. Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение и движение становится вихревым или турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным.
Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса:
Re = ржи/)/1],
где рж — плотность жидкос ти; г| — ее вязкость; D — диаметр грубы; о —-скорость течения.
Если число Рейнольдса больше некоторого критического (Re > ReKp), то движение жидкости турбулентное. Например, для гладких цилиндрических труб ReKp « 2300.
Так как число Рейнольдса зависит от вязкости и плотности жидкости, удобно ввести их отношение, называемое кинематической вязкостью:
v - п / рж.
Используя это понятие, число Рейнольдса можно выразить в виде
Re = uD/v.
(9.П)
Единицей кинематической вязкости является квадратный метр на секунду (м2/с), в системе СГС — стокс (Ст); соотношение между ними: 1 Ст = 10~4 м2/с.
Кинематическая вязкость полнее, чем динамическая, учитывает влияние внутреннего трения на характер течения жидкости или газа. Так, вязкость воды приблизительно в 100 раз больше, чем воздуха (при 0 °C), но кинематическая вязкость воды в 10 раз меньше, чем воздуха, и поэтому вязкость сильнее влияет на характер течения воздуха, чем воды.
Как видно из (9.17), характер течения жидкости или газа существенно зависит от размеров трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольших скоростях может возникнуть турбулентное движение. Так, например, в трубке диаметром 2 мм течение воды становится турбулентным при скорости более 127 см/с, а в трубе диаметром 2 см — уже при скорости примерно 12 см/с (температура 16 °C). Течение крови по такой трубе стало бы турбулентным при скорости 50 см/с, но практически в кровеносных сосудах диаметром 2 см турбулентное течение возникает даже при меньшей скорости.
Течение крови в артериях в норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов.
При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, число Рейнольдса может превышать критическое значение и движение станет турбулентным.
Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости, что в случае крови приводит к добавочной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболеваний. Этот шум прослушивают на плечевой артерии при измерении давления крови.
Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополнительную работу дыхательных мышц.
Число Рейнольдса является критерием подобия. При моделировании 1идро- и аэродинамических систем, в частности кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и натура, в противном случае не будет соответствия между ними. Это относится и к моделированию обтекания тел при движении их в жидкости или газе.
Из (9.17) видно, что уменьшение размеров модели по сравнению с натурой должно быть скомпенсировано увеличением скорости течения или уменьшением кинематической вязкости модельной жидкости или газа.
§9.6. ОСОБЕННОСТИ
МОЛЕКУЛЯРНОГО СТРОЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Обычные жидкости изотропны, структурно они являются аморфными телами. Для внутреннего строения жидкостей характерен ближайший порядок (упорядоченное относительное расположение ближайших частиц). Расстояния между молекулами невелики, силы взаимодействия значительны, что приводит к малой сжимаемости жидкостей: небольшое уменьшение расстояния между молекулами вызывает появление больших сил межмолекулярного отталкивания. Подобно твердым телам, жидкости мало сжимаемы и обладают большой плотностью; подобно газам, принимают форму сосуда, в котором находятся. Такой характер свойств жидкостей связан с особенностями теплового движения их молекул. В газах молекулы движутся беспорядочно, на малых отрезках пути — поступательно, в расположении частиц отсутствует какой-либо порядок. В кристаллических телах частицы колеблются около определенных положений равновесия — узлов кристаллической решетки. По теории Я.И.Френкеля, молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положений равновесия, однако эти положения равновесия не являются постоянными. По истечении некоторого времени, называемого временем осед лой жизни, молекула скачком переходит в новое положение равновесия на расстояние, равное среднему расстоянию между соседними молекулами.
Вычислим среднее расстояние б между молекулами в жидкости. Так как б3» 1/л, где п = NA-p/ М — концентрация молекул жидкости (NA — постоянная Авогадро; р — плотность жидкости; М— молярная масса), то
6 ® 1/3 у[п= 3 (9.18)
Порядок 5 составляет 10-1и м; например, для воды 5 «3,10 6 * * * 10 м.
Среднее время оседлой жизни молекулы называют временем релаксации г. С повышением температуры и понижением давления время релаксации сильно уменьшается, что обусловливает большую подвиж-) гость молекул жидкости и малую ее вязкость.
Для того чтобы молекула жидкости перескочила из одного положе-
ния равновесия в другое, должны нарушиться связи с окружавшими ее молекулами и образоваться связи с новыми соседями. Процесс разрыва связей требует затраты энергии Ея (энергия активации), выделяемой при образовании новых связей. Такой переход молекулы из одного положения равновесия в другое является переходом через потенциальный барьер
высотой Eh. Энергию для преодоления потенциального барьера молекула получает за счет энергии теплового движения соседних молекул. ,Зависимость времени релаксации от температуры жидкости и энергии активации выражается формулой, вытекающей из распределения Больцмана;
г — ГцС^а/б^,
(9.18)
где г0 — средний период колебаний молекулы около положения равновесия.
Зная среднее перемещение 5 и среднее время г, можно определить среднюю скорость движения молекул в жидкости:
и = 6 / г =(5 / гу)е£аЛ<]Г|.
(9.20)
Эта скорость мала по сравнению со средней скоростью движения молекул в газе. Так, например, для молекул воды она в 20 раз меньше, чем для молекул пара при той же температуре.
§ 9.7. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
На поверхностях раздела жидкости и ее насыщенного пара, двух несмешиваемых жидкостей, жидкости и твердого тела возникает сила, обусловленная различным межмолекулярным взаимодействием граничащих сред.
Каждая молекула, расположенная внутри объема жидкости, равномерно окружена соседними молекулами и взаимодействует с ними, но равнодействующая этих сил равна нулю. На молекулу, находящуюся вблизи границы двух сред, вследствие неоднородности окружения действует сила, не скомпенсированная другими молекулами жидкости. Поэтому для перемещения молекул из объема в поверхностный слой необходимо совершить работу'.
Поверхностное натяжение определяется отношением работы, затраченной на создание некоторой поверхности жидкости при постоянной температуре к площади этой поверхности:
о = A/S.
(9.2 Г)
Условием устойчивого равновесия жидкостей является минимум энергии поверхностного слоя, поэтому при отсутствии внешних сил или
Рис. 9.8
в состоянии невесомости жидкость стремится иметь минимальную площадь поверхности при данном объеме и принимает форму шара.
Поверхностное натяжение может быть определено не только энергетически. Стремление поверхностного слоя жидкости сократиться означает наличие в этом слое касательных сил — сил поверхностного натяжения. Если выбрать на поверхности жидкости некоторый отрезок длиной / (рис. 9.8), то можно условно изобразить эти силы стрелками, перпендикулярными отрезку.
Поверхностное натяжение равно отношению силы поверхностного натяжения к длине отрезка, на котором действует эта сила:
<з = F/1. (9.22)
Из школьного курса физики известно, что оба определения, (9.21) и (9.22), тождественны. Приведем значения поверхностного натяжения для некоторых жидкостей при температуре 20 ’С (табл. I).
Таблица 1
Жидкость а, Н/м Жидкость о, Н/м
Вода 0,0725 Ртуть 0,47
Желчь 0,048 Спирт 0.022
Молоко 0,05 Сыворотка крови 0,06
Моча 0,066 Эфир 0,017
Поверхностное натяжение зависит от температуры. Вдали от критической температуры значение его убывает линейно при увеличении температуры. Снижения поверхностного натяжения можно достигнуть введением в жидкость поверхностно-активных веществ, уменьшающих энергию поверхностного слоя.
§ 9.8. СМАЧИВАНИЕ И НЕСМАЧИВАНИЕ. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
На границе соприкосновения различных сред может наблюдаться смачивание или несмачивание.
Рис. 9.9
Рассмотрим поведение капли жидкости на поверхности другой, нс смешивающейся с ней, жидкости (рис. 9.9) и капли жидкости на поверхности твердого тела (рис. 9.10 и 9.11). На поверхностях раздела каждых двух сред (1 и 3, 2 и /, 3 и 2) дей-ствуют силы поверхностного натяжения.
Если эти силы разделить на длину окружности капли, то получим соответственно О]з, О2|, О32.
Угол 9 между смачиваемой поверхностью и касательной к поверхности жидкости, отсчитываемый через нее, называют краевым.
За меру смачивания принимают величину
COS9 = (о32- €Г]3 /<т2| )•
(9.23)
Если <у32> о13 (рис. 9.10), т.е. силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами твердого тела и газа, то 0 < л/2 и жидкость смачивает твердое тело, поверхность которого в этом случае называется гидрофильной. В случае о32< о13 (рис. 9.11) 9 > л/2, жидкость не смачивает тела, поверхность его в этом случае называют гидрофобной. Несмачиваюшая жидкость нс протекает через малые отверстия в твердом теле. При о32 — с13 = а21 межмолекулярные силы полностью скомпенсированы (9 = 0). В этом случае равновесие не может наступить и капля растекается по поверхности твердого тела до тех пор, пока не покроет всей ее поверхности или не образуется мономолекулярный слой. Такой случай является идеальным смачиванием. К нему с некоторым приближением можно отнести растекание спирта или воды по чистой поверхности стекла, нефти по воде и пр.
Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Ад. Поверхностный слой подобен упругой оболочке, например резиновой пленке. Результирующая сил поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнуто
<721
Рис. 9.11
ОТО
Рис. 9.10
С
сти (к центру кривизны). В случае сферической поверхности, радиус кривизны которой г, дополнительное давление:
Ар = 2о/ г.
(9.24)
Искривление поверхности (мениск), в частности, возникает в узких (капиллярных) трубках в результате смачивания или несмачивания жидкостью их поверхности. При смачивании образуется вогнутый мениск (рис. 9.12). Силы давления направлены от жидкости наружу, т.е. вверх, и обусловливают подъем жидкости в капилляре. Это равновесное состояние, показанное на рисунке, наступает тогда, когда давление pgh уравновесит Др,
Из рис. 9.12 видно, что r= J?/cosO, где R — радиус капилляра. Поэтому [см. (9.24)] получаем
Др = 2<5 COS0/7?.
Тогда
pgh = 2о cosQ//?,
откуда высота капилляра
h = 2<з cos0/i Rpg),
(9.25)
(9.26)
т.е. зависит от свойств жидкости и материала капилляра, а также его ра
диуса.
В случае несмачивания cosO <0, и формула (9.26) покажет высоту
опускания жидкости в капилляре.
Капиллярные явления определяют условия конденсации паров, ки-
пения жидкостей, кристаллизации и т.п. Так, например, на молекулу
пара (рис. 9.13; точка Л) над вогнутым мениском жидкости действует больше молекул жидкости и. следовательно, большая сила, чем при выпуклом мениске. Это хорошо видно из рис. 9.13, на котором пунктиром условно показана сфера молекулярного действия, а штрихом — объемы жидкости, молекулы которых притягивают выделенную молекулу пара. В результате этого возникает капиллярная конденсация в смачиваемых тонких трубках даже при сравнительно малой влажности воздуха. Благодаря этому пористые вещества могут задерживать значитель
Рис. 9.12
ное количество жидкости из паров, что приводит к увлажнению белья, ваты в сырых помещениях, затрудняет сушку гигроскопических тел, способствует удержанию влаги в почве и т.п. Наоборот, несмачиваюшие жидкости не проникают в пористые тела. С этим связана, например, непроницаемость для воды перьев птиц, смазанных жиром.
Рассмотрим поведение пузырька воздуха, находящегося в капилляре с жидкостью. Если давление жидкости на пузырек с разных сторон одинаково, то оба мениска пузырька будут иметь одинаковый радиус кривизны (рис. 9.14, а). При избыточном давлении с одной из сгороп, например при движении жидкости, мениски деформируются, изменятся их радиусы кривизны (рис. 9.14. б), дополнительное давление Др с разных сторон станет неодинаковым. Это приведет к такому воздействию на жидкость со стороны пузырька воздуха (газа), которое затруднит или прекратит движение жидкости. Такие явления могут происходить в кровеносной системе человека.
Попавшие в кровь пузырьки воздуха могут закупорить мелкий сосуд и лишить кровоснабжения какой-либо орган. Это явление, называемое эмболией, может привести к серьезному функциональному расстройству или даже летальному исходу. Так, воздушная эмболия может возникнуть при ранении крупных вен: проникший в ток крови воздух образует воздушный пузырь, препятствующий прохождению крови. Пузырьки воздуха не должны попадать в вены при внутривенных вливаниях.
Газовые пузырьки в крови могут появиться у водолазов при быстром подъеме с большой глубины на поверхность, у летчиков и космонавтов при разгерметизации кабины или скафандра на большой высоте (Тазовая эмболия). Это обусловлено переходом газов крови из растворенного состояния в свободное — газообразное в результате понижения окружающего атмосферного давления. Ведущая роль в образовании газовых пузырьков при уменьшении давления принадлежит азоту', так как он обусловливает основную часть общего давления газов в крови и не участвует в I азообмене организма и окружающего воздуха.
Рис. 9.14
б
Рис. 9.13
Глава 10
Механические свойства
твердых тел и биологических тканей
Характерным признаком твердого тела является способность сохранять форму. Твердые тела можно разделить на кристаллические и аморфные. Так же как и в гл. 9. рассматриваемый материал имеет отношение к реологии и биореологии.
§ 10.1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ И АМОРФНЫЕ ТЕЛА. ПОЛИМЕРЫ
Отличительным признаком кристаллического состояния служит анизотропия — зависимость физических свойств (механических, тепловых, электрических, оптических) от направления.
Причина анизотропии кристаллов заключается в упорядоченном расположении атомов или молекул, из которых они построены, проявляемом в правильной внешней огранке отдельных монокристаллов. Однако, как правило, кристаллические те ла встречаются в виде поликристаллов — совокупности множеств сросшихся между собой, беспорядочно ориентированных отдельных маленьких кристалликов (кристаллиты). В этом случае анизотропия наблюдается в пределах кристаллитов.
Упорядоченность в расположении атомов или молекул кристалла обусловлена тем, что они размещаются в узлах геометрически правильных структур, образуя кристаллическую (пространственную) решетку. В зависимости от природы частиц, находящихся в узлах, и характера сил взаимодействия различают четыре типа кристаллических решеток: ионные, атомные, металлические и молекулярные.
В узлах кристаллической решетки ионного кристалла находятся ионы разных знаков. Силы взаимодействия между ними в основном кулоновские. Такой кристалл в целом рассматривается как одна молекула. Узлы решетки атомного кристалла заняты нейтральными атомами, между которыми действуют ковалентные связи. Во всех узлах металлической решетки расположены положительные ионы металлов. Между
ними хаотически движутся электроны. Система ионов и электронов создает металлическую связь. В узлах кристаллической решетки молекулярного кристалла находятся ориентированные определенным обра
зом молекулы, удерживаемые на своих местах силами межмолекулярного взаимодействия.
С энергетической точки зрения идеальный кристалл противоположен идеальному газу. В идеальном газе абсолютное значение энергии взаимодействия много меньше средней энергии хаотического теплового движения. Наоборот, в кристалле вследствие больших сил взаимодействия абсолютное значение энергии взаимодействия много больше кТ. Поэтому тепловое движение в кристаллах не может разрушить связь между частицами, вследствие чего они совершают малые колебания около положений равновесия. Взаимодействие между частицами любого вида в кристалле выражается зависимостью потенциальной энергии Ь’дот расстояния г между ними (рис. 10.1). Кривая не симметрична относительно минимума. Расстояние г0 между взаимодействующими частицами соответствует минимуму потенциальной энергии при Т— 0 К. Пусть при температуре Т{ суммарная (кинетическая и потенциальная) энергия равна Е}. Это означает, что частица колеблется между точками и В}. Среднее расстояние между двумя частицами = (|ОЛ (| + При Г2 > 7\ энергия
частицы равна Е2 > Е{ и колеблется между и В2. Среднее расстояние между частицами равно г2 = (|ОЛ2| + |О52|)/2. Ввиду того что потенциаль
ная кривая асимметрична, средние расстояния между частицами по мере нагревания увеличиваются: г0< г\< г2 < г3<... при 0 К < Т\<Т2< Т3< ..., что и обусловливает тепловое расширение тел.
Основная макроскопическая особенность аморфных тел заключает-
ся в естественной изотропии их свойств и отсутствии определенной точ-
ки плавления, что обусловлено внутренним строением тел.
внутреннего строения тел, находящихся в
Главной особенностью
Рис. 10.1
аморфном состоянии, является отсутствие дальнего порядка, характерного для крист аллического состояния, т.е. строгой повторяемости в расположении атомов или групп атомов во всех направлениях вдоль всего тела.
Вместе с тем у вещества в аморфном состоянии существует ближний порядок, т.е. некоторый порядок в расположении смежных частиц. С расстоянием этот по-
рядок уменьшается.
Обладая меньшей упорядоченностью внутреннего строения, аморфные тела в одинаковых условиях имеют большие, чем кристаллы, удельный объем, энтропию и внутреннюю энергию.
Достаточно равновесное состояние эти тела образуют только при высокой температуре и малом давлении, что связано с установлением определенного расположения частиц и расстояний между ними. В соответствии с этим аморфные тела в зависимости от скорости внешнего воздействия могут оказаться упругими или текучими. Так, например, если кусок вара положить в сосуд, то по истечении большого промежутка времени он примет форму сосуда, т.е. проявит свойства текучести. Если же этот кусок ударит ь молотком, то он расколется, как хрупкое тело.
Аморфное состояние свойственно веществам самой различной химической природы. При малом давлении и высокой температуре вещества в этом состоянии весьма подвижны; низкомолекулярные являются жидкостями, высокомолекулярные оказываются в высокоэластическом состоянии, С понижением температуры и ростом давления подвижность аморфных веществ уменьшается и все они становятся твердыми телами. Твердое аморфное состояние иначе называют стеклообразным.
Полимерами называют вещества, молекулы которых представляют собой длинные цепи, составленные из большого числа атомов или атомных группировок, соединенных химическими связями. Особенность химического строения полимеров обусловливает и их особые физические свойства.
Наиболее резко отличаются полимеры от низкомолекулярных веществ в механических свойствах. Известно, что для твердых тел характерны большие прочности при малых обратимых деформациях. Жидкости обладают способностью к неограниченной деформации при весьма малой прочности. Полимеры — это материалы, механические свойства которых сочетают свойства твердых тел и жидкостей; они достаточно прочны и вместе с тем способны к достаточно большим обратимым деформациям.
К полимерным материалам относят почти все живые и растительные материалы, такие, как шерсть, кожа, рог, волос, шелк, хлопок, натуральный каучук и т.н., а также всякого рода синтетические материалы — синтетический каучук, пластмассы, волокна и др.
Большинство природных полимерных материалов представляет собой белковые вещества; простые белки — альбумин, глобулин; сложные — казеин, кератины и коллаген. В агар-агаре содержится до 85% углеводов, главным образом полисахаридов, которые также являются полимерами.
Кроме механических полимеры обладают и другими особыми свойствами. Так, например, их растворы имеют повышенную вязкость;
упругость пара растворителя над раствором меньше, а осмотическое давление больше, чем должно быть для идеальных растворов. Полимеры способны сильно набухать в жидкостях.
Длинноцепочечное строение молекул полимеров способствует образованию пленок и волокон.
В настоящее время полимеры все шире используются в качестве диэлектриков.
Простейшим органическим полимером является полиэтилен, полимерная цепь или макромолекула которого составлена из многократно повторяющихся мономерных звеньев, образующихся при соединении молекул этилена:
п *(СН2=СН2) -> [—СН2-СН2—]л .
Полиэтилен — представитель линейных полимеров. Линейными называют полимеры, макромолекулы которых состоят из длинных одномерных цепей (рис. 10.2, а: А — мономерное звено). Разветвленный полимер, кроме основной цепи, имеет боковые ответвления — боковые цепи (рис. 10.2, б).
Полимеры, построенные из длинных цепей, соединенных друге другом в пространственную сетку, являются сетчатыми, или пространственными, а построенные из одинаковых полимеров — гомополимерами. Полимерные соединения, цепи которых состоят из различных мономерных звеньев, относят к гетерополимерам.
Макромолекула полимера не является жесткой. Вследствие теплового движения или под действием внешнего поля ее пространственная форма может изменяться. Эти изменения называют конфирмационными превращениями.
Предельно гибкой является свободносочлененная цепь (рис. 10.3). В такой цепи углы между валентными связями не фиксированы и вра-
А а А А А А щение вокруг них свободное. В реаль-а.... ................... ных полимерных цепях валентные ут-
лы а имеют определенное значение
j д (рис. 10.4). Это приводит к зависимо-
А а А I А А А сти положения одного звена цепи от ----------------------- положения предыдущего. Такая цепь
Ia I А принимает меньшее число конформа-
б । । ции, чем свободносочлененная, но и
она способна сильно изгибаться.
• : Макромолекулы в результате те-
Рис. 10.2 илового движения звеньев принимают
разнообразные конформации, из них крайними, с одной стороны, являются жесткая прямая палочка, с другой стороны, предельно гибкая цепь, свернувшаяся в клубок (глобула).
Макромолекулы могут достигать огромных размеров, обладая относительной молярной массой от нескольких тысяч до сотен миллионов и лаже миллиарда Из-за большого размера молекул полимера температура кипения его чрезвычайно высока (необходима очень большая энергия для испарения огромных молекул) Отсюда у всех полимеров температура разложения ниже температуры кипения и газовое состояние у них не реализуется.
Следовательно, полимеры находятся в конденсированном состоянии: жидком или твердом. Среди твердых полимеров следует различать аморфные и кристаллические.
Аморфный полимер в высокоэластическом состоянии может сильно деформироваться (до 1000%), его деформация обратима, необратимое гонение отсутствует. В этом смысле высокоэластическое состояние — промежуточное между жидким и твердым. Высокоэластическое состояние полимера возникает вследствие гибкости его макромолекул.
Макромолекулы во всех состояниях полимеров всегда более или менее упорядочены, что приводит к надмолекулярным структурам. Извест но, что полимеры характеризуются большим многообразием надмолекулярных структур не только в кристаллическом, но и в аморфном ----—---.
состоянии. Первичными элемента- —_______
ми этих структур являются поли- '
мерные молекулы либо свернутые в г--------- х
глобулы, либо развернутые в ли-
нейную макромолекулу. При кон- Рис. 10.5
такте глобул могут образоваться глобулярные структуры, содержащие большое число молекул, иногда до 1000. При контакте развернутых макромолекул возникают продолговатые пачки (рис. 10.5), которые имеют флуктуационную природу: в одних местах исчезают, в других — появляются, но вместе с тем существуют довольно длительно.
Простейшие первичные надмолекулярные структуры — пачки полимерных цепей — наблюдают как в некристаллических, так и в кристаллических полимерах. При кристаллизации пачки складываются в «ленты». На рис. 10.6 изображены выпрямленная (а.) и сложенная в ленту (б) пачки. Стремление к уменьшению поверхностного натяжения приводит к складыванию лент в пластины (рис. 10.7) и образованию сферолитов (рис. 10.8) или единичных кристаллов (рис. 10.9, единичный кристалл вируса некроза табака).
Многочисленные надмолекулярные структуры разделены академиком В.А. Каргиным на четыре основных типа: глобулярный (свернуты одиночные молекулы или группы молекул), полосатый (структуры всех полимеров в высокоэластическом состоянии), фибриллярный (линейные пачки или их совокупности, сохраняющие продолговатую форму), крупноструктурный (сферолиты, единичные кристаллы и т.п.).
Формы и размеры надмолекулярных структур оказывают большое влияние на прочность полимеров, Так, например, образец с малыми сферолитами обладает высокой прочностью и хорошими эластическими свойствами, образцы же с крупными сферолитами разрушаются хрупко.
Как видно из вышеизложенного, полимерные материалы характеризуются широким набором ценных физико-химических свойств, что позволяет использовать их в различных областях науки и техники, а также в медицине.
Из полимеров типа полиэтилена, поливинилхлорида и др., легко обрабатываемых давлением, изготовляют различные медицинские инструменты и приспособления.
Тефлон, капрон и лавсан, милар, силастиковый полимер обладают высокой химической стойкостью, вследствие чего их используют при
Рис. 10.6
б
Рис. 10.7
Рис. 10.8
Рис. 10.9
изготовлении протезов внутренних частей организма (кровеносных сосудов, клапанов сердца, сухожилий, вживляемых глазных линз и т.п.). Раствор полимера пол и вини л пирролидона — хороший заменитель кровяной плазмы.
В настоящее время в искусственной почке применяются целлофановые мембраны. Такие мембраны задерживают белок и клеточные элементы крови. Проводятся эксперименты по созданию искусственных легких с силиконовыми мембранами, обладающими высокой пропускной способностью по отношению к кислороду и диоксиду углерода.
Большой интерес для медицины представляют тканевые клеи, например алкил-а-нианокрилаты, ??-бутил-а-цианокрилат, быстро полимеризующиеся в пленку/, которые используют для закрытия ран без наложения швов.
К высокомолекулярным соединениям относятся также биополимеры, являющиеся структурной основой всех живых организмов и играющие главную роль в процессе их жизнедеятельности, — это белки, нуклеиновые кислоты, полисахариды, гликопротеиды, липопротеиды, гликолипиды и др.
§ 10.2. ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Жидкими кристаллами называют вещества, которые обладают свон-ствами и жидкостей, и кристаллов.
По своим механическим свойствам эти вещества похожи на жидкости — они текут. По оптическим свойствам жидкие кристаллы ведут себя как анизотропные тела — кристаллы: вращают плоскость поляризации, обнаруживают двойное лучепреломление и т.п. Чаше всего жид-
некристаллические свойства вещество проявляет в определенном температурном интервале, выше которого оно находится в аморфножидком состоянии, ниже — в твердокристаллическом.
Двойственность физических свойств обусловлена внутренним строением жидких кристаллов. Взаимное расположение молекул в них является промежуточным между аморфным состоянием, в котором полностью отсутствует дальний порядок, и твердым крис таллическим, в котором существует как дальний порядок в расположении центров молекул, так и упорядоченность в ориентации молекул. Жидкокристаллическое состояние наблюдается у веществ, молекулы которых имеют вытянутую форму в виде палочки или удлиненной пластинки. Такая форма молекул приводит к возможности их упорядочения.
По характеру молекулярной упорядоченности различают нематические и смектические жидкие кристаллы. В нематических жидких кристаллах молекулы ориентированы параллельно (рис. 10.10, а), но их центры расположены беспорядочно. Смектические
кристаллы состоят из параллельных слоев, в которых молекулы упорядочены (рис. 10.10, б). Особый клас составляют кристаллы холестерическо-го1 типа. Молекулы в таких кристаллах, как и в смектических, собраны в слои. Однако внутри каждого слоя параллельное расположение осей молекул напоминает нематическое состояние (рис. 10.10, в). Между слоями также имеется упорядочение: при переходе к соседним слоям изменяется на небольшой угол общая ориентация данного слоя по отношению к общей ориентации предыдущего слоя (наблюдается винтовая закручен-ность молекулярной структуры).
Молекулярная структура холестерических жидких кристаллов очень чувствительна к любому малейшему внешнему воздействию. Малое возмущение может нарушить слабые межмолекулярные силы, что приводит к заметным изменениям оптических свойств. Так, температура оказывает большое влияние на цвет кристалла: в зависимости от температу
QOOOOO QQOOOO ОООООО QOOOOO
Рис. 10.10
1 Их строение характерно для соединений, содержащих холестерин.
ры он может быть любого цвета от фиолетового до красного. Такие свойства жидких кристаллов начинают использовать для измерения изменений температуры различных участков тел.
В медицине это позволяет фиксировать расположение вен, артерий и других образований, имеющих иную теплоотдачу, чем окружающие среды.
Жидкокристаллические вещества также применяются в различных температурно-чувствительных сигнальных устройствах.
Молекулярная структура жидких кристаллов, а следовательно, и их оптические свойства изменяются в присутствии ничтожных количеств паров некоторых химических веществ. Это позволяет использовать жидкие кристаллы для обнаружения следов этих веществ.
На изменении оптических свойств жидких кристаллов под воздействием электрического поля основано применение их в приборах и часах в качестве цифровых индикаторов.
Исследование жидких кристаллов в живых организмах — огромная, малоизученная, но чрезвычайно перспективная область.
§ 10.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров, называют деформацией.
Деформации могут быть вызваны внешними воздействиями (механическими, электрическими или магнитными) или изменением температуры тела. Здесь рассматэиваются деформации, возникающие при действии сил на тело.
В твердых телах дефоомацию называют упругой, если после прекращения действия силы она исчезает’ Если же деформация сохраняется и после прекращения внешнего воздействия, то ее называют пластической. Промежуточный случай, т.е. неполное исчезновение деформации, принято называтьупругопластической деформацией.
Наиболее простым видом деформации является растяжение (сжатие). Оно, например, возникает в стержне (рис. 10.11) при действии силы, направленной вдоль его оси. Если стержень длиной I при этом удлинился на Д/, то £ = Д///является мерой деформации растяжения и называется относительным удлинением.
Другим видом деформации является сдвиг (рис. 10.12). Сила, касательная к одной из граней прямоугольного параллелепипеда, вызывает его деформацию, превращая в косоугольный параллелепипед (см. штри-
ховые линии на рисунке). Уюл у называют углом сдвига, a tgy — относительным сдвигом. Так как обычно угол у мал, то можно считать tgy = у.
При действии на тело внешней деформирующей силы расстояние между атомами (ионами) изменяется. Это приводит к возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальные положения. Мерой этих сил является механическое напряжение (или просто напряжение).
Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Косвенно напряжение можно определить по некоторым физическим эффектам (см., например, § 25.5).
Применительно к деформации растяжения напряжение о можно выразить как отношение силы к площади поперечного сечения стержня (рис. lO.l I, б):
Для деформации сдвига напряжение т выражают как отношение силы к площади грани, к которой сила касательна (рис, 10.12, б). В этом случае т называют касательным напряжением.
т = F/S.
Упругие малые деформации подчиняются закону Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Для двух рассмотренных случаев (растяжение, сжатие) это аналитически записывается так:
о = Ее. и т = Gy,
где Е — модуль Юнга; G — модуль сдвига.
Экспериментальная кривая растяжения приведена на рис. 10.13. Участок ОА соответствует упругим деформациям, точка В — пределу упругости* характеризующему то максимальное напряжение, при котором еще не имеют места деформации, остающиеся в теле после снятия напряжения (остаточные деформации). Горизонтальный участок CD кривой растяжения соответствует пределу текучести — напряжению, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения. И наконец, напряжение, определяемое наибольшей нагрузкой, выдерживаемой перед разрушением, является пределом прочности.
Между упругими свойствами кристаллических мономеров и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница, например в пределах прочности сталь разрывается уже при растяжении на 0,3%, а мягкие резины можно растягивать до 300%. Это связано с качественно другим механизмом упругости высокомолекулярных соединений.
Как уже говорилось, при деформации кристаллических твердых тел, например стали, силы упругости всецело определяются изменением межатомных расстояний. Структура высокомолекулярных соединений не регулярна. Они состоят из очень длинных гибких молекул, которые причудливо изогнуты, части молекул находятся в хаотическом тепловом движении так, что их форма и длина все время изменяются. Но в каждый данный момент большинство молекул в недеформированном образце имеет длину, близкую к наиболее вероятной. При приложении нагрузки к материалу (рис. 10.14, а) его молекулы выпрямляются в соответствующем направлении и длина образца увеличивается (рис. 10.14, б). После снятия нагрузки вследствие хаотического теплового движения длина каждой молекулы восстанавливается и образец укорачивается.
Упругость, свойственную полимерам, называют каучукоподобной эластичностью (высокой эластичностью или высокоэластичностью).
Рис. 10.13
Рис. 10.14
Приведем данные по механическим свойствам некоторых материалов (табл. 10.1).
Таблица 10.1
Материал Модуль Юнга, ГПа Предел прочности, МПа
Сталь 200 500
Капрон стектонапол ценный 8 150
Органическое стекло 3,5 50
Различие между деформацией кристаллических мономеров и полимерных материалов проявляется и во временной ее зависимости. Дело в том, что практически все материалы обладают ползучестью: под действием постоянной нагрузки происходит их деформация. В полимерах распрямление молекул при нагрузке материала и скольжение макромолекул происходят более длительно, чем, например, ползучесть в металлах. В какой-то мере при ползучести процессы, происходящие в полимере, соответствуют течению вязкой жидкости. Сочетание вязкого течения и высокой эластичности позволяет называть деформацию, характерную для полимеров, вязкоупругой. Упругие и вязкие свойства тел удобно моделировать. Это дает возможность нагляднее представить механические свойства биологических объектов (см. § 10.4).
В качестве модели упругого тела (упругой деформации) выберем пружину (рис. 10.15, а), малая деформация которой соответствует закону Гука.
Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 10.15, б).
Силу сопротивления среды в этом случае примем пропорциональной скорости перемещения поршня [см. (7.32)]: ebe F г — * сопр •
Рис. 10.15
(Ю.2)
Преобразуем уравнение (10.2), основываясь на аналогии. Вместо силы сопротивления запишем напряжение (/^опр °), т-е- силу, отнесенную к единице площади, коэффициент трения, характеризующий свойство среды оказывать сопротивление движущемуся в ней
телу, заменим коэффициентом вязкости среды (г —> г)). смещение те->а — относительным удлинением (х -> е). Тогда вместо (10.2) получим связь между скоростью вязкой деформации и напряжением:
de
е7 = лтг- (10.3)
В справедливости (10.3) частично можно убедиться проверкой размерностей: о [Па], т| [Па с], ds/dr [с-1]. Из (10.3) видно, что напряжение зависит не от самой деформации, а от ее скорости (скорость перемещения поршня).
Вязкоупругие свойства тел моделируются системами, состоящими из различных комбинаций двух простых моделей: «пружина» и «поршень». Рассмотрим некоторые из них.
Наиболее простой системой, сочетающей упругие и вязкие свойства, является модель Максвелла, в которой последовательно соединены упругий и вязкий элемент (рис 10.15. в).
При воздействии постоянной силой пружина упруго мгновенно удлиняется до значения, определяемого законом Гука, а поршень движется с постоянной скоростью до тех пор, пока действует сила (напряжение). Так реализуется на модели ползучесть материала.
Если быстро растянуть модель Максвелла и закрепить это состояние, то деформация будет сохраняться. Пружина после быстрого растяжения начнет сокращаться, вытягивая поршень. Со временем будет происходить релаксация, т.е. уменьшение (расслабление) напряжения.
Опишем математически эту модель. Из закона Гука (10.1) следует сунР = о/Е, где суир — упругая часть общей деформации в модели Максвелла
( корость этой деформации равна
d£wo 1 da
4^= —. (10.4)
dr Е dr
Скорость вязкой деформации выразим из (10.3): ^£вязк СУ
’зИШ (10-5)
Суммируя (10.4) и (10.5), находим скорость общей (суммарной) деформации модели Максвелла:
da = dgynp | daBa3K do о dr dr dr E dr ц
(10.6)
Из уравнения (10.6) можно получить временные зависимости как деформации. так и напряжения.
Если о = const и do/dt — 0 (постоянная сила приложена к модели), то из (10.6) следует
da о о
— = — или de = — dr dr П П
Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и е, получаем
Это соответствует пользучести (рис. 10.16, а).
Если s = const и dc/dz = 0 (поддерживается постоянная деформация), то из (10.6) следует
1 do о do Е г 77 =-----или — = - — dr.
Е dr т| г]
Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и начального напряжения о0до текущих значений t и о, получаем:
? do Е ! о Е I Е \
—de =— dr, In—~------------t, о = <т0exp I- — r). (10.8)
J о nJ a0 т| \ П /
O0 0
Это соответствует релаксации напряжения (рис. 10.16, б).
В рамках модели Максвелла под действием нагрузки происходит, как было показано, быстрое (мгновенное) первоначальное упругое растяжение. В реальных полимерах вязкоупругая деформация обычно происхо-
Рис. 10.16
дит сразу же после приложения нагрузки. Поэтому более подходящей может оказаться модель Кельвина—Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня, нечто вроде амортизатора в автомашине (рис. 10.15, г). Если мгновенно создать в такой системе напряжение:
СУ ^упр + ^вязк- (10.9)
приложив постоянную силу, то деформация системы будет возрастать. Используя (10.1) и(10.3), преобразуем (10.9):
ds ds dr
ст = Ест + и — или ------— - —
at ст — Ее т]
Проинтегрируем последнее выражение от начального момента времени и нулевой диформации до текущих значени t и е;
г ds 1 I 1 ст - Ее t
[ ----=— dr, - — In—— =
J ст — As T| J E сг n
0 0
/ E \ E
In 1-----e| —---.
\ ° ! о
Потенцируя, имеем
о / / E \\
s = — 1— exp — — /I).
£ \ \ П //
Как видно, в рамках модели Кельвина—Фойхта деформация экспоненциально возрастает со временем. При снятии нагрузки (о = 0 в мо-
мент б) деформация начнет экспоненциально убывать. Оба эти случая показаны на рис. 10.17. В полимерах реализуются разные виды деформации: упругая обратимая (модель — пружина), вязкоупругая обратимая (модель Кельвина—Фойхта) и необратимая вязкая (модель — поршень). Сочетание этих £ . Рис. 10.17
трех элементов позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие механические свойства тел и, в частности, биологических объектов.
Моделирование механических свойств тел широко используется в реологии. Основная задача реологии — это выяснение зависимости напряжения от относительной деформации: о = Де); напряжения от времени (релаксация напряжения): ст =Дг) при е = const', относительной деформации от времени (ползучесть): е при с = const.
§ 10.4. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
Под механическими свойствами биологических тканей понимают две их разновидности. Одна связана с процессами биологической подвижности: сокращение мышц животных, рост клеток, движение хромосом в клетках при их делении и др. Эти процессы обусловлены химическими процессами и энергетически обеспечиваются АТФ, их природа рассматривается в курсе биохимии. Условно указанную группу называют активными механическими свойствами биологических систем. Другая разновидность — пассивные механические свойства биологических тел. Рассмотрим этот вопрос применительно к биологическим тканям.
Как технический объект биологическая ткань — композиционный материал, он образован объемным сочетанием химически разнородных компонентов. Механические свойства биологической ткани отличаются от механических свойств каждого компонента, взятого в отдельности. Методы определения механических свойств биологических тканей аналогичны методам определения этих свойств у технических материалов.
Костная ткань
Кость — основной материал опорно-двигательного аппарата. В упрошенном виде можно считать, что 2/з массы компактной костной ткани (0,5 объема) составляет неорганический материал, минеральное вещество кости — гидроксилапатит ЗСаз(РО4)2'Са(ОН)2. Это вещество представлено в форме микроскопических кристалликов. В остальном кость состоит из органического материала, главным образом коллагена (высокомолекулярное соединение, волокнистый белок, обладающий высокой эластичностью). Кристаллики гидроксилапатита расположены между коллагеновыми волокнами (фибриллами).
Плотность костной ткани — 2400 кг/м3. Ее механические свойства зависят от многих факторов, в том числе от возраста, индивидуальных условий роста организма и, конечно, от участка организма.
Композиционное строение кости придает ей нужные механические свойства: твердость, упругость и прочность Зависимость о = /(с) для компактной костной ткани примерно имеет вид, показанный на рис. 10.18, т.е. подобна аналогичной зависимости для твердого тела (см. рис. 10.13); при небольших деформациях выполняется закон Гука. Модуль Юнга — около 10 ГПа, предел прочности — 100 МПа. Полезно эти данные сопоставить с данными для капрона, армированного стеклом (см. табл. 13, заметно хорошее соответствие).
Примерный вид кривых ползучести компактной костной ткани приведен на рис. 10.19. Участок ОА соответствует быстрой деформации, АВ ~ ползучести. В момент соответствующий точке В, нагрузка была снята. ВС соответствует быстрой деформации сокращения, CD — обратной ползучести. В результате даже за длительный период образец кости нс восстанавливает своих прежних размеров, сохраняется некоторая остаточная деформация £ост.
Для этой зависимости можно предложить следующую примерную модель (рис. 10.20, а). Временная зависимость относительной деформации показана на рис. 10.20, б. При действии постоянной нагрузки мгновенно растягиваемся пружина / (участок ОА), затем вытягивается поршень (релаксация А В), после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пружины I (ВС), а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение (обратная релаксация CD), В предзоженной модели не предусматривается остаточная деформация.
Схематично можно заключить, что минеральное содержимое кости обеспечивает быструю деформацию, а полимерная часть (коллаген) определяет ползучесть.
Рис. 10.18
Рис. 10.19
Рис. 10.20
Если в кости или в ее механической модели быстро создать постоянную деформацию, то скачкообразно возникает и напряжение (участок ОА на рис. 10.20, в).
На модели это означает растяжение пружины / и возникновение в ней напряжения. Затем (участок Л5) эта пружина будет сокращаться, вытягивая поршень и растягивая пружину 2, напряжение в системе будет убывать. Однако даже спустя значительное время сохранится остаточное напряжение
Для модели это означает, что не возникнет при постоянной деформации такой ситуации, чтобы пружины вернулись в недсформированные состояния.
Кожа
Она состоит из волокон коллагена, эластина (так же как и коллаген, волокнистый белок) и основной ткани — матрицы. Коллаген составляет около 75% сухой массы, а эластин — около 4%. Примерные данные по механическим свойствам приведены в табл. 10.2.
Эластин растягивается очень сильно (до 200—300%), примерно как резина.
Коллаген может растягиваться до 10%, что соответствует капроновому волокну.
Таблица 10.2
Материал Модуль упругости, МПа Предел прочности, МПа
Коллаген 10-100 100
Эластин 0,1-0,6 5
Из сказанного ясно, что кожа является вязкоупругим материалом с высокоэластическими свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется.
Мышцы
В состав мышц входит соединительная ткань, состоящая из волокон коллагена и эластина. Поэтому механические свойства мышц подобны механическим свойствам полимеров.
Релаксация напряжения в гладких мышцах соответствует модели Максвелла (см. рис. 10.15, в; 10.16, б). Поэтому гладкие мышцы могут значительно растягиваться без особого напряжения, что способствует увеличению объема полых органов, например мочевого пузыря.
Механическое поведение скелетной мышцы соответствует модели, представленной на рис. 10.20, а. При быстром растяжении мышц на определенную величину напряжение резко возрастает, а затем уменьшается до <т1К.т (рис. 10.20, б).
Зависимость о —Дс); для скелетной мыш- ! 1
цы нелинейна (рис. 10.21). Анализ этой кри- 1
вой показывает, что примерно до е ~ 25% /
в портняжной мышце лягушки механизм де- /
формации обусловлен распрямлением мо- ________
лекул коллагена (см. § 10.3). При большей 0 к
деформации происходит увеличение межатомных расстояний в молекулах. Рис. 10.21
Ткань кровеносных сосудов (сосудистая ткань)
Механические свойства кровенос ных сосудов определяются главным образом свойствами коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Содержание этих составляющих сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной системы: отношение эластина к коллагену в общей сонной артерии — 2:1, а в бедренной артерии — 1:2. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон, в артериолах они уже являются основной составляющей сосудистой ткани.
При детальном исследовании механических свойств сосудистой ткани различают, каким образом вырезан из сосуда образец (вдоль или поперек сосуда). Можно, однако, рассматривать деформацию сосуда в целом как результат действия давления изнутри на упругий цилиндр.
Рассмотрим цилиндрическую часть кровеносного сосуда длиной /, с толщиной стенок h и радиусом внутренней части г. Сечения вдоль и поперек оси цилиндра показаны на рис. 10.22. Две половины цилиндрического сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок цилиндра (заштрихованные области на рис. 10.22, а). Общая площадь это-
Рис. 10.22
го «сечения взаимодействия» равна 2й/. Если в сосудистой стенке существует механическое напряжение о, то сила взаимодействия двух половинок сосуда равна:
Г= о IhL
(10.10)
Эта сила уравновешивается силами давления на цилиндр изнутри (они показаны стрелками на рис. 10.22, б). Силы направлены под разными углами к горизонтальной плоскости (на рисунке). Для того чтобы найти их равнодействующую следует просуммировать горизонтальные проекции. Однако проще найти равнодействующую силу, если умножить давление на проекцию площади полуцилиндра на вертикальную плоскость ОО’. Эта проекция равна 2rI. Тогда выражение для силы через давление имеет вид:
F— р- 2ti.
(10.11)
Приравнивая (10.10) и (10.11), получаем о 2И1 - р • 2г/, откуда
h
(10.12)
Это уравнение Ламе.
Будем считать, что при растяжении сосуда объем его стенки не изменяется (площадь стенки возрастает, а толщина убывает), т.е. не изменяется площадь сечения стенки сосуда (рис. 10.22, б):
2prh = const, т.е. rh ~ b = const.
(10.13)
С учетом (10.13) преобразуем (10.12):
рг _ ргг _ рг2 h rh b
(10.14)
Из (10.14) видно, что в капиллярах (г-^ 0) напряжение отсутствует (сг-> 0).
Формула (10.14) выражает связь трех величин, и поэтому установить некоторые зависимости с помощью этой формулы затруднительно. Так, например, зависимость ст =Дг) не является зависимостью типа ст ~ г2, так как давление и радиус сосуда взаимозависимы. Кроме того, уравнение (10.14) не включает модуль упругости — основную механическую характеристику упругого тела, поэтому целесообразно преобразовать эту формулу. Для этого продифференцируем (10.14) как функцию двух переменных:
г2 2prdr
= (10.15)
D О
Продифференцировав закон Гука (10.1), получим:
dcr^E’de. (10.16)
Применительно к цилиндрическому образцу элементарное изменение относительной деформации представим следующим образом:
dr
da = y- ,Ш7>
Используя (10.17), получаем вместо (10.16)
4<^Е~- <1<)18>
Приравнивая правые части (10.15) и (10.18), находим
dr г2 2рг 10.
Е— = ~ dp + -Hdr. (10.19)
г b 1 b
Преобразуем это уравнение:
b I dr 2prdr\ I Eb 2р\ (|0 20)
ар — , — , I — I у — I dr.
1 г2 I г b J \ г г I
Если Е велико, то из (10.20) можно приближенно получить
ЕЬ
dp = -pd''- (10.21)
Уравнения (10.20) и (10 21) могут быть использованы для нахождения связи между давлением и радиусом кровеносного сосуда, а также модуля упругости. При решении вопроса о распространении пульсовой волны количественные соотношения получаются также на основе этих уравнений.
В заключение отметим разделы и направления медицины, для которых особо важно иметь представление о пассивных механических свой-с твах биологических тканей:
• в космической медицине, так как человек находится в новых, экстремальных, условиях обитания;
• результативность спортивных достижений и ее возрастание побуждают спортивных медиков обращать внимание на физические возможности опорно-двигательного аппарата человека;
• механические свойства тканей необходимо учитывать гигиенистам при защите человека от действия вибраций;
• в протезировании при замене естественных органов и тканей искусственными также важно знать механические свойства и параметры биологических объектов;
• в судебной медицине следует знать устойчивость биологических структур по отношению к различным деформациям;
• в травматологии и ортопедии вопросы механического воздействия на организм являются определяющими.
Этот перечень не исчерпывает значения материала, изложенного в настоящей главе, для врачебного образования.
Глава 11
Физические вопросы гемодинамики
Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гиородинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов.
В главе рассматриваются также физические основы работы некоторых технических устройств, используемых в связи с кровообращением.
§11.1. МОДЕЛИ КРОВООБРАЩЕНИЯ
Рассмотрим гидродинамическую модель кровеносной системы, предложенную О. Франком.
Несмотря на достаточную простоту, она позволяет установить связь между ударным объемом крови (объем крови, выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения А’,. и изменением давления в артериях.
Артериальная часть системы кровообращения моделируется упругим (эластичным) резервуаром (рис. 11.1, обозначено УР)
Так как кровь находится в упругом резервуаре, то ее объем в любой момент времени зависит от давления р по следующему соотношению:
У= У. + РР,
(Н.1)
где к — эластичность, упругость резервуара (коэффициент пропорциональности между давлением и объемом); — объем резервуара при отсутствии давления (р = 0). Продифференцировав (11.1), получим:
d V d/> d7 =*d7
(11.2)
В упругий резервуар (артерии) поступает кровь из сердца, объемная скорость кровотока равна Q. От упругого резервуара кровь оттекает с
объемной скоростью кровотока Qq в периферическую систему(артериолы, капилляры). Предполагаем, что гидравлическое сопротивление периферической системы постоянно.
, И । Это моделируется «жесткой» трубкой на вы-
ходе упругого резервуара (см. рис. 11.1).
Можно составить достаточно очевидное уравнение (см. рис. 11.1):
dK
о = ^ + а>’ (н.з)
показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца равна скорости возрастания объема упругого резервуара и скорости оттока крови из упругого резервуара.
На основании уравнения Пуазейля (9.8) и формулы (9.9) можно записать для периферической части системы:
Р~Рв
Л
(Н.4)
где р — давление в упругом резервуаре; рв — венозное давление, оно может быть принято равным нулю, тогда вместо (11.4) имеем:
0 = 7-- (И-5)
л0
Подставляя (11.2) и (11.5) в (11.3), получаем:
&Р р
G = *d7+^ или
р
Q ck - к&р + — dr (11.6)
Проинтегрируем (11.6). Пределы интегрирования по времени соответствуют периоду пульса (периоду сокращения сердца) от 0 до Тп. Этим временным пределам соответствуют одинаковые давления — минимальное диастолическое давление рд:
Тп Р.1
J Qd/- к J d/7
О А
, Рв
+ Y J Р dr о
(11.7)
Интеграл с равными пределами равен нулю, поэтому из (11.7) имеем:
7п !
\ Qdt = — \ pdt.
п Л0 п
(11.8)
Экспериментальная кривая, показывающая воемённую зависимость давления в сонной артерии, приведена на рис. 11.2 (сплошная линия). На рисунке показан период пульса, длительность Тс систолы и Та диастолы, рс — максимальное систолическое давление.
Интеграл в левой части уравнения (11.8) равен объему крови, который выталкивается из сердца за одно сокращение, — ударный объем. Он может быть найден экспериментально. Интеграл в правой части уравнения (11.8) соответствует площади фигуры, ограниченной кривой и осью времени (см. рис. 11.2), это также можно найти. Используя указанные значения интегралов, по (11.8) можно вычислить гидравлическое сопротивление периферической части системы кровообращения.
Во время систолы (сокращение сердца) происходит расширение упругого резервуара, после систолы, во время диастолы — отток крови к периферии. Q = 0. Для этого периода из (11.6) имеем:
р 6р dr
0 = £dp + -p-d/ или — = _------ (11.9)
р kfy
Проинтегрировав (119), получаем зависимость давления в резервуаре после систолы от времени:
Р = РС exp [-\/{к AJ.
(11.10)
Соответствующая кривая изображена ш триховой линией на рис. 11.2. На основании (11.5) получаем зависимость скорости оттока крови от времени:
2=Ccexp[-t<AA£], (11.11)
где О(. = Д. / Xq — объемная скорость кровотока из упругого резервуара в конце систолы (начале диастолы).
Кривые зависимостей (11.10) и (11.11) представляют собой экспоненты. Хотя данная модель весьма грубо описывает реальное явление.
Рис. 11.2
она чрезвычайно проста и верно отражает процесс к концу'диастолы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются.
На основе механической модели по аналогии может быть построена электрическая модель (рис. 11.3).
Здесь источник U. дающий несинусоидальное переменное электрическое напря-
жение, служит аналогом сердца, выпрямитель Я — сердечного клапана. Конденсатор Св течение полупериода накапливает заряд, а затем разряжается на резистор R. таким образом происходит сглаживание силы тока, протекающего через резистор. Действие конденсатора аналогично действию упругого резервуара (аорхы, артерии), который сглаживает колебание давления крови в артериолах и капиллярах. Резистор является электрическим аналогом периферической сосудистой системы.
В более точной модели сосудистого русла использовалось большее количество эластичных резервуаров для учета того факта, что сосудистое русло является системой, распределенной в пространстве. Для учета инерционных свойств крови при построении модели предполага
лось, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, обладают различной упругостью. На рис. 11.4 приведено изображение модели Ростона, состоящей из двух резервуаров с различными эластичностями (упругостями) и неунругими звеньями разного гидравлического сопротивления между резервуарами. Этой модели соответствует электрическая схема, изображенная на рис. 11.5. Здесь источник тока задает пульсирующее напряжение Тг(7), являющееся аналогом давления />((): емкости С) и С2 соответствуют упругостям к{ и к2; электрические сопротивления R}, R2 и R} — гидравлическим сопротивлениям Ль Х2 и Лб силы тока и /2 — скоростям оттока крови 0, и Qi-
Такая модель описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка, их решение дает две кривые, соответствующие первой и второй камерам.
Двухкамерная модель лучше описывает процессы, происходящие в сосудистом русле, но и она не объясняет колебания давления в начале диастолы-.
Модели^ содержащие несколько сотен элементов, называют моделями с распределенными параметрами.
Рис. 11.4
Рис. 11.5
§ 11.2. ПУЛЬСОВАЯ ВОЛНА
При сокращении сердечной мышцы (систола) кровь выбрасывается из сердца в аорту и отходящие от нее артерии. Если бы стенки этих сосудов были жесткими, то давление, возникающее в крови на выходе из сердца, со скоростью звука передалось бы к периферии. Упругость стенок сосудов приводит к тому, что во время систолы кровь, выталкиваемая сердцем, растягивает аорту, артерии и артериолы, т.е. крупные сосуды воспринимают за время систолы больше крови, чем ее оттекает к периферии. Систолическое давление человека в норме равно приблизительно 16 кПа. Во время расслабления сердца (диастола) растянутые кровеносные сосуды спадают и потенциальная энергия, сообщенная им сердцем через кровь, переходит в кинетическую энергию тока крови, при этом поддерживается диастолическое давление, приблизительно равное Н кПа.
Распространяющуюся по аорте и артериям волну повышенного давления, вызванную выбросом крови из левого желудочка в период систолы, называют пульсовой волной.
Пульсовая волна распространяется со скоростью 5—10 м/с и даже более. Следовательно, за время систолы (около 0,3 с) она должна распространиться на расстояние 1,5—3 м, что больше расстояния от сердца к конечностям. Это означает, что фронт пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте. Профиль артерии схематически показан на рис. 11.6: а — поело прохождения пульсовой волны: б — через артерию проходит фронт пульсовой волны; в — в арге-рии пульсовая волна; г — начинается спад повышенного давления.
Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови (максимальное значение — 0,3—0,5 м/с) существенно меньше скорости распространения пульсовой волны,
Как ясно из модельного опыта и общих представлений о работе сердца, пульсовая волна не является синусоидальной (гармонической). Как всякий периодический процесс, пульсовая волна может быть представлена суммой гармонических волн (см. § 7.4). Поэтому уделим внимание, как некоторой модели, гармонической пульсовой волне.
Предположим, что гармоническая волна |см. (7.45)] распространяется по сосуду вдоль оси А"со скоростью и. Вязкость крови и упруговязкие свойства стенок сосуда уменьшают амплитуду волны. Можно считать (см., например,
§ 7.5), что затухание будет экспоненциальным. На основании этого мож-
но записать следующее уравнение для гармонической пульсовой волны:
Р~Рн ехр
(11.12)
где р0 — амплитуда давления в пульсовой волне, х — расстояние до произвольной точки от источника колебаний (сердца); t — время; о — круговая частота колебаний; % — некоторая константа, определяющая затухание волны. Длину пульсовой волны можно найти из формулы:
v 2лу
л — =-----
о со
(11.13)
Волна давления представляет некоторое избыточное давление. Поэтому с учетом основного давления р3 (атмосферное давление или давление в среде, окружающей сосуд) можно изменение давления записать следующим образом:
Р = Ро
+ роехр
cos
(Н.14)
Как видно из (11.14), по мере продвижения крови (по мере увеличения х) колебания давления сглаживаются. Схематично на рис. 11.7 показано колебание давления в аорте вблизи сердца (а) и в артериолах (б). Графики даны в предположении модели гармонической пульсовой волны.
ПЛЛЛ/
a t
Рис. 11.7
Рис. 11.8
На рис. 11.8 приведены графики, показывающие изменение среднего значения давления и скорости икр кровотока в зависимости от типа кровеносных сосудов. Гидростатическое давление крови не учитывается. Давление — избыточное над атмосферным.
Заштрихованная область соответствует колебанию давления (пульсовая волна).
Скорость пульсовой волны в крупных сосудах следующим образом зависит от их параметров (формула Моенса—Кортевега):
Eh
и
(11.15)
где Е — модуль упругости; р — плотность вещества сосуда; h — толщина стенки сосуда; d — диаметр сосуда.
Интересно сопоставить (11.15) с выражением для скорости распространения звука в тонком стержне:
(11.16)
У человека с возрастом модуль упругости сосудов возрастает, следовательно, как следует из (11.15), становится больше и скорость пульсовой
волны.
§ 11.3. РАБОТА И МОЩНОСТЬ СЕРДЦА. АППАРАТ ИСКУССТВЕННОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ
Работа, совершаемая сеидцем, затрачивается на преодоление сил давления и сообщение крови кинетической энергии.
Рассчитаем работу', совершаемую при однократном сокращении левого желудочка. Изобразим Иу — ударный объем крови — в виде цилиндра (рис. 11.9). Можно считать, что сердце продавливает этот объем по аорте сечением 5на расстоянии / при среднем давлении р. Совершаемая при этом работа:
А\ = Fl=pSI=pV
На сообщение кинетической энергии этому объему крови затрачена работа:
А2 — ти2/'2 = р Иуо2/2,
где р — плотность крови; и — скорость крови в аорте. Таким образом, работа левого желудочка сердца при сокращении равна:
4п = Ai+ A=/’4 + ^I/yV)2/2-
Так как работа правого желудочка принимается равной 0,2 от работы левого, то работа всего сердца при однократном сокращении:
^ = 4т + 0,2/1л= 1,2 (^Иу+р^/2). (Н-17)
Формула (11.17) справедлива как для покоя, так и для активного состояния организма. Эти состояния отличаются разной скоростью кровотока.
Подставив в формулу (11.17) значения р = 13 кПа, Ку =60 мл = 6 КНм3, р = 1,05 • 10-3 кг/м\ И — 0,5 м/с, получим работу разового сокращения сердца в состоянии покоя: /1,^1 Дж.
______Z7V Считая, что в среднем сердце совер-р Д '**1 1 | шает одно сокращение в секунду,
____________\ J найдем работу сердца за сутки-
I Ас = 86 400 Дж. При активной мы-
~ .. ' шечной деятельности работа сердца
Рис. 11.9 может возрасти в несколько раз.
Если учесть, что продолжительность систолы около t 0,3 с, то средняя мощность сердца за время одного сокращения <W> = Ах / t — = 3,3 Вт.
При операциях на сердце, которые требуют временного выключения его из системы кровообращения, пользуются специальными аппаратами искусственного кровообращения (рис. 11.10). По существу, этот аппарат является сочетанием искусственного сердца (насосная система) с искусственными легкими (оксигенатор — система, обеспечивающая насыщение крови кислородом).
Рис. 11.10
§ 11.4. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛИНИЧЕСКОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ КРОВИ
Физический параметр — давление крови — играет большую роль в диагностике многих заболеваний. Систолическое и диастолическое давления в какой-либо артерии могут быть измерены непосредственно с помощью иглы, соединенной с манометром. Однако в медицине широко используется бескровный метод, предложенный Н.С. Коротковым. Рассмотрим физические основы этого метода на примере измерения давления крови в плечевой артерии.
Вокруг руки между плечом и локтем накладывают манжету. Сечения манжеты М, части руки Л плечевой кости П и плечевой артерии А показаны на рис. 11.11, а—11.13, а. При накачивании воздуха через шланг В в манжету рука сжимается. Затем через этот же шланг воздух выпускают и с помощью манометра Б измеряют давление воздуха в манжете. На позиции б тех же рисунков изображены продольные сечения плечевой артерии, соответствующие каждому случаю. Сначала избыточное над атмосферным давление воздуха в манжете равно нулю (рис. 11.11), манжета не сжимает руку и артерию. По мере накачивания воздуха в манжету последняя сдавливает плечевую артерию и прекращает ток крови (рис. 11.12). Если мускулатура расслаблена, то давление воздуха внутри манжеты, состоящей из эластичных стенок, приблизительно равно давлению в мягких тканях, соприкасающихся с манжетой. В этом заключается основная физическая идея бескровного метода измерения давления.
Рис. 11.13
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете и в мягких тканях, с которыми она соприкасается. Когда давление станет равным систолическому, кровь будет способна пробиться через сдавленную артерию — возникает турбулентное течение (рис. 11.13).
Характерные тоны и шумы1, сопровождающие этот процесс, прослушивает врач при измерении давления, располагая фонендоскоп на артерии дистальнее манжеты (т.е. на большем расстоянии от сердца). Продолжая уменьшать давление в манжете, можно восстановить ламинарное течение крови, что заметно по резкому ослаблению прослушиваемых тонов. Давление в манжете, соответствующее восстановлению ламинарного течения в артерии, регистрируют как диастолическое.
Для измерения артериального давления применяют приборы, показанные на рис. 11.14: а — сфигмоманометр с ртутным манометром; б — сфигмотонометр с металлическим мембранным манометром; Л/ — манжета; Г— 1 руша для накачивания воздуха; Р — манометр.
р
1 Объяснение этих звуков дал Г.И. Косицкий.
§ 11.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ КРОВОТОКА
Существует несколько методов определения скорости кровотока. Рассмотрим физические основы двух из них.
Ультразвуковой метод (ультразвуковая расходометрия) основан на эффекте Доплера (см. § 7.11). От генератора / электрических колебаний УЗ-частоты (рис. 11.15) сигнал поступает на излучатель УЗ 2 и на устройство сравнения частот 3. УЗ-волна 4 проникает в кровеносный сосуд 5и отражается от движущихся эритроцитов 6. Отраженная УЗ-волна 7 попадает в приемник 8, где преобразуется в электрическое колебание и усиливается. Усиленное электрическое колебание попадает в устройство 3. Здесь сравниваются колебания, соответствующие падающей и отраженной волнам, и выделяется доплеровский сдвиг частоты в виде электрического колебания:
U= Ц) cos 2лид1.
Из формулы (7.62) можно определить скорость эритроцитов:
и
Ц) _ 2
(11.18)
В крупных сосудах скорость эритроцитов различна в зависимости от их расположения относительно оси: «приосевыс» эритроциты движутся с большей скоростью, а «пристеночные» — с меньшей. УЗ-волна может отражаться от разных эритроцитов, поэтому доплеровский сдвиг получается не в виде одной частоты, а как интервал частот.
Таким образом, эффект Допплера позволяет определять не только среднюю скорость кровотока, но и скорость движения различных слоев крови.
Электромагнитный метод (электромагнитная расходометрия) измерения скорости кровотока основан на отклонении движущихся зарядов в магнитном поле. Дело в том, что кровь, будучи электрически нейтральной системой, состоит из поло
Рис. 11.15
жительных и отрицаттьных ионов. Следовательно, двужущаяся кровь является потоком заряженных частиц, которые перемещаются со скоростью икр. На движущийся электрический заряд q в магнитном поле с индукцией 2? действует сила (см. § 16.3):
Р= СРкр *•
(11.19)
Если заряд отрицательный, то сила направлена противоположно векторному произведению икр В.
Как показано на рис. 11.16, силы, действующие со стороны магнитного поля на разноименные заряды, направлены в противоположные стороны. Около одной стенки кровеносного сосуда преобладает положительный заряд, около другой — отрицательный. Перераспределение зарядов по сечению сосуда вызовет появление электрического поля. Это физическое явление называется эффектом Халла.
Рис. 11.16
Рие. 11.17
Напряжение Ux (холловское напряжение) зависит от скорости и движения ионов, т.е. от скорости крови |см. (11.19)]. Таким образом, измеряя это напряжение, можно определить скорость кровотока. Зная сечение S сосуда, нетрудно вычислить объемную скорость кровотока (м3/с):
Q = vKpS.
(11.20)
Практически удобнее в этом методе использовать переменное магнитное поле (рис. 11.17). Это приводит к возникновению переменного холловского напряжения Ux. которое затем усиливается и измеряется.
Раздел 3
РАВНОВЕСНАЯ И НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА. ДИФФУЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ В БИОЛОГИЧЕСКИХ МЕМБРАНАХ
В разделе рассматриваются явления, сущность которых определяется хаотическим движением огромного числа молекул, из которых состоят тела разной природы. Изучая эти явления, применяют два основных метода. Один из них — термодинамический, он исходит из основных опытных законов, получивших название начал (законов, принципов) термодинамики. При таком подходе не учитывается внутреннее строение вещества.
Другой метод — молекулярно-кинетический (статистический) — основан на представлении о молекулярном строении вещества. Учитывая большое число молекул в веществе, можно, используя теорию вероятностей, установить определенные закономерности.
В разделе в разной степени используются оба подхода.
Медикам данные вопросы важны для понимания энергетики организма, теплообмена биологических систем с окружающей средой, выяснения физических процессов, происходящих в биологических мембранах, и др.
Глава 12
Термодинамика
Под термодинамикой понимают раздел физики, рассматривающий системы (термодинамические системы), между которыми возможен обмен энергией, без учета микроскопического строения тел, составляющих систему. Различают термодинамику равновесных систем или систем, переходящих к равновесию (классическая, или равновесная, термодинамика, часто называемая просто термодинамикой), и термодинамику неравновесных систем (неравновесная термодинамика). Неравновесная термодинамика играет особую роль для рассмотрения биологических систем.
В главе наряду с термодинамикой освещены также вопросы, связанные с использованием низких температур и нагретых сред для лечения, и элементы термометрии и калориметрии.
§ 12.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Состояние термодинамической системы характеризуется физическими величинами, называемыми параметрами (объем, давление, температура, плотность и т.д.).
Если параметры системы при взаимодействии ее с окружающими телами не изменяются с течением времени, то состояние системы называют стационарным. Примерами таких состояний в течение небольшого отрезка времени являются состояние внутренней части работающего домашнего холодильника, состояние тела человека, состояние воздуха в отапливаемом помещении и т.д.
В разных частях системы, находящейся в стационарном состоянии, значения параметров обычно различаются: температура в разных участках тела человека, концентрация диффундирующих молекул в разных частях биологической мембраны и т.п. В системе, таким образом, поддерживаются постоянные градиенты некоторых параметров, с постоянной скоростью могут протекать химические реакции.
Стационарное состояние поддерживается за счет потоков энергии и вещества, проходящих через систему. Схематически на рис. 12.1, а показано стационарное состояние, температура неодинакова в разных точках системы (1 и 2). Ясно, что в стационарном состоянии могут на-
Потоков нет
Входящие
потоки
Выходящие потоки
1 2
Рис. 12.1
ходиться такие системы, которые либо обмениваются и энергией и веществом с окружающими системами (открытые системы), либо, по крайней мере, обмениваются только энергией (закрытые системы).
Термодинамическая система, которая не обменивается с окружающими телами ни энергией, ни веществом, называется изолированной. Изолированная система со временем приходит в состояние термодинамического равновесия. В этом состоянии, как и в стационарном, параметры системы сохраняются неизменными во времени. Однако существенно, что в равновесном состоянии параметры, не зависящие от массы или числа частии (давление, температура и др.), одинаковы в разных частях этой системы.
Естественно, что любая реальная термодинамическая система не будет изолированной хотя бы потому, что ее невозможно окружить оболочкой, не проводящей теплоту7. И котированную систему7 можно рассматривать как удобную термодинамическую модель. Схематически равновесное состояние изолированной системы показано на рис. 12.1, б.
Рассмотрим подробнее взаимодействие закрытой системы с окружающими телами. Обмен энергией между ними может осуществляться в двух различных процессах: при совершении работы и при теплообмене.
Мерой передачи энергии в процессе теплообмена является количество теплоты, а мерой передачи энергии в процессе работы является работа1.
Найдем выражение для вычисления работы, совершаемой газом при изменении его объема. Предположим, что газ, находящийся в цилиндрическом сосуде под поршнем, изобарно расширяется от Р) до И2 (рис. 12.2), при этом поршень перемещается на расстояние Д/ = /2 — /]з а объем изменяется на A У = У2 ~ И •
Не вполне удачно, что работой называют и один из возможных процессов передачи энергии, и меру передачи энергии в этом процессе.
На поршень, площадь поперечного сечения которого 5, со стороны газа вследствие давления р действует сила F = pS. Так как направление этой силы совпадает с направлением перемещения поршня, то работа, совершаемая газом;
А - F-M^pS Л/ = р-ДК (12.1)
Рис. 12.2
При расширении газа ЛЕ>0 и работа положительна (А >0); при сжатии ДИ<0 и А <0. Заметим, что речь идет о работе, совершаемой газом, а не внешними силами. Работа всех внешних сил, наоборот, при расширении газа окажется отрицательной, а при сжатии — положительной.
Если при изменении объема давление газа изменяется, то следует вычислять элементарную работу, соответствующую достаточно малому изменению обьема d F:
= р d К
(12.2)
Проинтегрировав (12.2). получим работу, совершаемою газом:
V1
Л= I pdF. (12.3)
Fi
В качестве примера найдем работу идеального газа при изотермическом процессе. Для этого подставим в формулу (12.3) вместо давления его выражение из уравнения Менделеева—Клапейрона:
т RT
~М
(12.4)
Получим:
^2 т dF т И2
F F}
(12.5)
здесь т — масса газа; М — молярная масса (масса моля); Т — термодинамическая температура; R = 8,31 Дж/(мольК) — молярная газовая постоянная.
Рис, 12.3
Из уравнения (12.3) ясно, что работа, совершаемая газом, графически определяется как площадь криволинейной трапеции в координатах «давление-объем» (рис. 12.3). Из рисунка, на котором представлены графики двух различных процессов с одинаковым начальным и конечным состояниями, видно, что работа зависит от процесса. Так, работа А} (рис. 12.3, а) больше чем работа А? (рис. 12.3, б).
Закон сохранения энергии для тепловых процессов формулируется как первое начало термодинамики.
Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение внутренней энергии системы и совершение системой работы:
Q = At/ + A
(12.6)
Под внутренней энергией системы понимают сумму кинетической и потенциальной энергий частиц, из которых состоит система.
Внутренняя энергия является функцией состояния системы и для данного состояния имеет вполне определенное значение; At/есть разность двух значений внутренней энергии, соответствующих конечному и начальному состояниям системы: i\U — U-± — U\.
Количество теплоты, как и работа, является функцией процесса, а не состояния. И количество теплоты, и работу нельзя выразить в виде разности двух значений какого-либо параметра в конечном и начальном состояниях. В связи с этим Q и А в (12.6) записаны без знака приращения А.
Для достаточно малых значении Q, А и малых приращений Uиспользуют соответственно обозначения &Q, 5/1 и dU, подчеркивая этим отличие понятий количество теплоты и работы от внутренней энергии.
Ради упрощения в дальнейшем используются одинаковые обозначения (d£), и dt/), однако следует помнить различие этих физических
величин. С учетом изложенного первое начало термодинамики можно записать в виде:
dQ = dU+ d/t (12.7)
Значения Q, Л, Л (/и dQ, dA, d Uмогут быть как положительными (теплота передается системе внешними телами, внутренняя энергия увеличивается, газ расширяется), так и отрицательными (теплота отнимается от системы, внутренняя энергия уменьшается, газ мается).
§ 12.2. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНТРОПИЯ
Первое начало термодинамики, являющееся законом сохранения энергии, нс указывает направления возможного протекания процессов. Так, например, по первому началу термодинамики, при теплообмене одинаково возможным был бы как самопроизвольный переход теплоты от тела более нагретого к телу менее нагретому, так и, наоборот, от тела менее нагретого к телу более нагретому. Из повседневного опыта, однако, хорошо известно, что второй процесс в природе нереален; так, например, не может самопроизвольно нагреться вода в чайнике вследствие охлаждения воздуха в комнате.
Другой пример: при падении камня на Землю происходит его нагревание, эквивалентное изменению потенциальной энергии, обратный процесс — самопроизвольное поднятие камня только из-за его охлаждения — невозможен.
Второе начало термодинамики, так же как и первое, является обобщением данных опыта.
Существует несколько формулировок второго закона термодинамики: теплота сама собой не может переходить от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой (формулировка Клаузиуса), или невозможен вечный двигатель второго рода (формулировка Томсона), т.е. такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу вследствие охлаждения одного тела.
В тепловой машине совершается работа за счет теплоты, полученной от нагревателя, но при этом часть теплоты обязательно передается холодильнику'. На рис. 12.4 схематически показаны соответственно невозможный (а) и возможный (б), по второму началу, периодические процессы.
Рис. 12.4
Рассмотрим некоторые термодинамические понятия, которые позволяют количественно выразить второе начало термодинамики.
Процесс 1—2 называют обратимым, если можно совершить обратный процесс 2—1 через все промежуточные состояния так, чтобы после возвращения системы в исходное состояние в окружающих телах не произошло каких-либо изменений.
Обратимый процесс является физической абстракцией. Все реальные процессы необратимы хотя бы из-за наличия силы трения, которая вызывает нагревание окружающих тел. Некоторые характерные примеры необратимых процессов: расширение газа в пустоту, диффузия, теплообмен т.д. Для возвращения системы в начальное состояние во всех этих случаях необходимо совершение работы внешними телами.
Циклом или круговым процессом называют процесс, при котором система возвращается в исходное состояние.
График цикла представляет собой замкнутую линию. Цикл, изображенный на рис. 12.5, прямой, он соответствует тепловой машине, т.е. устройству, которое получает количество теплоты от некоторого тела — теплоотдатчика (нагревателя), совершает работу и отдаст часть .этой теплоты другому 02телу — теплоприемнику (холодильнику') (рис. 12 4).
В этом цикле рабочее вещество (газ) совершает положительную работу (рис. 12,5): в процессе 1—й-2газ расширяется, работа положительна и численно равна площади под кривой 1—а—2: в процессе 2—б— 1 работа отрицательна (сжатие газа) и по модулю равна площади под соответствующей кривой. Алгебраическое суммирование дает в целом положительную работу, совершенную га зом за никл и численно равную по модулю площади, ограниченной замкнутой кривой 1—а—2— 6—1.
Обратный цикл1 соответствует работе холодильной машины, т.е. такой системе, которая отбирает теплоту от холодильника и передает
1 Не следует путать обратный цикл с обратимым. Обратимый цикл состоит из обратимых процессов, он может быть как прямой (тепловая машина), так и обратный (холодильная машина).
Рис. 12.5
большее количество теплоты нагревателю. Как следует из второго закона термодинамики, этот процесс (рис. 12.6) не может протекать сам собой, он происходит за счет работы внешних тел. При этом газ совершает отрицательную работу: работа сжатия в процессе 2—а—1 отрицательна, работа расширения в процессе 1—6—2 положительна. В результате алгебраического суммирования получаем отрицательную работу газа, равную по модулю площади, ограниченной кривой 2—а—1—6—2.
Коэффициентом полезного действия тепловой машины или прямого цикла называют отношение совершенной работы к количеству теплоты, полученному рабочим веществом от нагревателя'
х\= А/Q.
(12.8)
Работа в круговых процессах равна разности теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику Q2: A — Qx — Q2.
Следовательно,
Л — (Qi — Q) I Qi-
(12.9)
Рассмотрим цикл Карно (рис. 12.7), состоящий из двух изотерм 7—2, 5—4, которым соответствуют температуры 7) и Т2 (7\ > Т2), и двух адиабат — 2—5, 4— 1. В этом цикле рабочим веществом является идеальный газ. 11ерсдача количества теплоты от нагревателя рабочему веществу происходит при температуре Тх, а от рабочего вещества к холодильнику — при температуре Т2. Без доказательства укажем, что к.п.д. обратимого цикла Карно зависит только от температур 7\ и Т2 нагревателя и холодильника:
Рис. 12.7
Карно, исходя из второго начала термодинамики, доказал следующие положения: к п.д. всех обратимых машин, работающих по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат с одними и теми же нагревателем и холодильником, равны между собой и не зависят от рабочего вещества и конструкции машины, совершающей цикл; к.п.д. необратимой машины меньше к.п.д. обратимой машины.
Эти положения на основании (12.9) и (12.10) можно .записать в виде.
или
Ql~ 02 < ^2
01 ~ Т}
(12.11)
где знак «=» относится к обратимому циклу, а знак «<» — к необратимому.
Это выражение представляет собой количественную формулировку второго начала. Покажем, что ее следствием являются обе качественные формулировки, приведенные в начале параграфа.
Пусть первое тело получает теплоту, в второе тело отдаст ее. Обозначим эти теплоты С] и 02 • Далее будем употреблять единый термин «полученная теплота» и вместо отданной теплоты 02 записывать полученную теплоту Q2 = 02 При этом + Q-> =0, Тогда [см. (12.1Г)] — Т2 >0
и Т{ > 7-2, что соответствует формулировке Клаузиуса: в самопроизвольном процессе теплота передается от тел с более высокой температурой к телам с более низкой.
В том случае, если тепловая машина полностью затрачивает всю полученную при теплообмене энергию на совершение работы и не отдает энергию холодильнику, Q2 = 0 и из (12.11) имеем:
(1 -Т2/Т1 ) 1,
что невозможно, так как Д и Т2 положительны. Отсюда следует формулировка Томсона о невозможности вечного двигателя второго рода. Преобразуем выражение (12.11):
Т> 7\
(12.12)
Отношение количества теплоты, полученного или отданного рабочим веществом, к температуре, при которой происходит теплообмен, называют приведенным количеством теплоты.
Поэтому (12.12) можно сформулировать так: алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты за цикл не больше нуля (в обратимых циклах равна нулю, в необратимых — меньше нуля).
Если состояние системы изменяется не по циклу Карно, а по некоторому произвольному циклу, то его можно представить в виде совокупности достаточно малых циклов Карно (рис. 12.8). Тогда выражение (12.12) преобразуется в сумму достаточно малых приведенных количеств теплоты, что в пределе выразится интегралом:
f dO п
| —<0. (12.13)
J Т
Выражение (12.13) справедливо для любого необратимого (знак «<») или обратного (знак «=►>) цикла; 6Q/T — элементарная приведенная теплота. Кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутому контуру, т.е. по циклу.
Рассмотрим обратимый цикл (см. рис. 12.5), состоящий из двух процессов а и б. Дня него справедливо равенство:
(‘d2< г dQ + г dQ
J Т ~ । Т I т (а) (б)
На основе (12.13) для обратимых циклов имеем
2
1 Т
I
2
dC = o
(а) (б)
Изменив пределы интегрирования по пути б, получим
2 2
fdC fdQ
J — 4- J — = 0, или
1 Т 1 Т
(а) (б)
2 2
Г d£ = Гd0
1 Т I т ’
(а) (б.)
(12.14)
Рис. 12.8
Рис. 12.9
Последнее означает, что сумма приведенных количеств теплоты при обратимом переходе системы из одного состояния в другое не зависит от процесса, а для данной массы газа определяется только начальным и конечным состояниями системы. На рис. 12.9 показаны графики различных обратимых процессов (а, б, в), общими для которых являются начальное 1 и конечное 2 состояния. Количества теплоты и работы в этих процессах различны, но сумма приведенных количеств теплоты одинакова.
Физическую характеристику, нс зависящую от процесса или перемещения. обычно выражают как разность двух значений некоторой функции, соответствующих конечному и начальному состояниям процесса или положениям системы. Так, например, независимость работы силы тяжести от траектории позволяет выразить эту работу через разность потенциальных энергий в конечных точках траектории; независимость работы сил электростатического поля от траекторий заряда позволяет связать эту работу с разностью потенциалов точек поля, являющихся граничными при его перемещении Аналогично, сумму приведенных количеств теплоты для обратимого процесса можно представить как разность двух значений некоторой функции состояния системы, которую называют энтропией:
г dQ
Л5=52-51= J “у", (12.15)
где S2 и 5] — энтропия соответственно в конечном 2 и начальном 1 состояниях. Итак, энтропия есть функция состояния системы, разность значений которой для двух состояний равна сумме приведенных количеств теплоты при обратимом переходе системы из одного состояния в другое.
Если процесс необратим, то равенство (12.15) не выполняется. Пусть дан цикл (рис. 12.10). состоящий из обратимого 2-6—1 и необратимого 1—а—2 процессов.
Так как часть цикла необратима, то и весь цикл необратим, поэтому на основании (12.13) запишем:
Рис. 12.10
Согласно (12.15),
бнеобр
или
2
(12.16)
с _ о _ f ^Оэбр ^2 Oi J гр
2
и тогда вместо (12.16) получим:
Г-^ + 52-51 = <0или I
—, „ - f ^Снеобр
~ — 5) > j р
(12.17)
Итак, в необратимом процессе сумма приведенных количеств теплоты меньше изменения энтропии. Объединяя правые части (12.15) и (12.17). получаем:
2
Т
(12.18)
где знак «=» относится к обратимым, а знак «>» — к необратимым процессам.
Соотношение (12.18) получено на основании (12.11) и поэтому также выражает второе начало термодинамики.
Установим физический смысл энтропии.
Формула (12.15) дает только разность энтропии, сама же энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной:
rd<2 Т
(12.19)
Если система перешла от одного состояния к другому, то независимо от характера процесса — обратимый он или необратимый - изменение энтропии вычисляется по формуле (12.15) для любого обратимого процесса, происходящего между этими состояниями. Это обусловлено тем, что энтропия является функцией состояния системы.
Ра шость энтропии двух состояний легко вычисляется в обратимом изотермическом процессе:
где Q — полное количество теплоты, полученное системой в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 при постоянной температуре Т. Последнюю формулу используют при вычислении изменения энтропии в таких процессах, как плавление, парообразование и т.п. В этих случаях Q — теплота фазового превращения
Если процесс происходит в изолированной системе (d2 = 0), то [см. (12.18)] в обратимом процессе энтропия не изменяется: S2 ~ = 0’
S= const, а в необратимом — возрастает. Это можно проиллюстрировать на примере теплообмена между двумя температурами, образующими изолированную систему и имеющими температуру 7] и /^соответственно (7)> Г>).
Если небольшое количество теплоты d(? переходит от первого тела ко второму, то при этом энтропия первого тела уменьшается на d5j = dQ/7], а второго — увеличивается на d.S2 = dQ/T2. Так как количество теплоты невелико, можно считать, что температура и первого, и второго тел не изменяется. Полное изменение энтропии системы положительно:
d5 = -d5j + dS2
dQ dQ ~т2~ т.
следовательно, энтропия изолированной системы возрастает. Если бы в этой системе происходил самопроизвольный переход теплоты от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой, то энтропия системы уменьшилась бы:
dQ d<2 d5=dS, -dS, = — - — <0 ‘ Л T2
а это противоречит (12.18). Таким образом, в изолированной системе не могут протекать такие процессы, которые приводят к уменьшению энтропии системы (второе начало термодинамики).
Увеличение энтропии в изолированной системе не будет происходить беспредельно. В рассмотренном выше примере температуры тел со временем выравняются, теплопередача между ними прекратится и наступит равновесное состояние (см. § 12.1). В этом состоянии параметры системы будут оставаться неизменными, а энтропия достигнет максимума.
Согласно молекулярно-кинетической теории, энтропию наиболее удачно можно охарактеризовать как меру неупорядоченности частиц системы. Так, например, при уменьшении объема газа его молекулы вынуждены занимать все более определенные положения одна относительно другой, что соответствует большему порядку в системе, при этом энтропия убывает. Когда газ конденсируется или жидкость кристаллизуется при постоянной температуре, то выделяется теплота, энтропия убывает, а упорядоченность в расположении частиц — возрастает.
Неупорядоченность системы количественно характеризуется термодинамической вероятностью Для выяснения ее смысла рассмотрим систему, состоящую из четырех частиц газа: a, b, с, d (рис. 12.11). Эти частицы находятся в объеме, мысленно разделенном на две равные ячейки, и могут свободно в нем перемещаться.
Состояние системы, определяемое числом частиц в первой и второй ячейках, назовем макросостоянием; состояние системы, определяемое тем, какие конкретно частицы находятся в каждой из ячеек, — микросо-стаянием. Тогда (рис. 12.11, а) макросостояние — одна частица в первой ячейке и три частицы во второй — осуществляется четырьмя микросо-
а 'bed
I
Ь jeda
I
а
с 'dab
—I-----
d \abc
I
ab ' cd
I
ac ' bd
I
.1 и ad i be
I
be1 ad l
l
6
bd । ac I
cd 1 ba l
l
Рис. 12.11
стояниями. Макросостояние, соответствующее размещению четырех частиц равномерно по две в каждой ячейке, осуществляется шестью микросостояниями (рис. 12 11,6).
Термодинамической вероятностью называют число способов размещения частиц или число микросостояний, реализующих данное макросостояние.
В рассмотренных примерах И7тер = 4 в первом случае и BzTep = 6 во втором. Очевидно, что равномерному распределению частиц по ячейкам (по две) соответствует бблыпая термодинамическая вероятность. В то же время равномерное распределение частиц отвечает равновесному состоянию с наибольшей энтропией. Из теории вероятностей ясно, что система, предоставленная самой себе, стремится прийти к макросостоянию, которое реализуется наибольшим количеством способов наибольшим количеством микросостояний, т.е. к состоянию с наибольшей термодинамической вероятностью.
Заметим, что если газу предоставить возможность расширяться, его молекулы будут стремиться равномерно занять весь возможный объем, при этом процессе энтропия увеличивается. Обратный процесс — стремление молекул занять лишь часть объема, например половину комнаты, — не наблюдается, этому соответст вовало бы состояние со значительно меньшей термодинамической вероятностью и меньшей энтропией.
Отсюда можно сделать вывод о связи энтропии с термодинамической вероятностью, Л. Больцман установил, что энтропия пропорциональна логарифму термодинамическо! i вероятности:
5’=^1п1Утер, (12.20)
где к — постоянная Больцмана.
Второе начало термодинамики — статистический закон в отличие, например, от первого начала или второго закона Ньютона.
Утверждение второго начала о невозможности некоторых процессов, по существу, является утверждением о чрезвычайно малой вероятности их, практически — невероятности, т.е, невозможности.
В космических масштабах наблюдаются существенные отклонения от второго начала термодинамики, а ко всей Вселенной, так же как и к системам, состоящим из малого числа молекул, оно неприменимо.
В заключение еще раз отметим, что если первый закон термодинамики содержит энергетическим баланс процесса, то второй закон показывает его возможное направление. Аналогично тому, как второй закон термодинамики существенно дополняет первый закон, так и энтропия дополняет понятие энергии.
§ 12.3. КРИТИКА ТЕОРИИ «ТЕПЛОВОЙ СМЕРТИ» МИРА
Настоящий параграф писался в период господства марксистко-лснипской философии. С позиции современной физики он абсолютно несостоятелен и сохранен как пример курьезов, возникающих при внедрении идеалогии в науку.
Клаузиус, а встед за ним и некоторые другие ученые положение о возрастании энтропии изолированной системы перенесли на всю Всетенную. утверждая, что энтропия мира стремится к максимуму. При достижении максимума все виды энергии перейдут в молекулярно-кинетическую энергию, станут равными температуры, концентрации и т.п., прекратятся биологические процессы, наступит «тепловая смерть» мира.
Теория «тепловой смерти» мира с момента своего создания была подвергнута критике как учеными-естествоиспытателями, так и философами, которые показати ее несостоятельность и как физической теории, и как философской концепции.
Прежде всего нельзя выводы, полученные для изолированной системы, переносить на вето Вселенную, ибо изолированность уже предполагает ограниченность и наличие каких-то тел вне системы, в то время как Вселенная безгранична. Больцман опровергал выводы Клаузиуса о неизбежности «тепловой смерти» мира, считая, что так как Вселенная состоит из огромного числа частиц, то в ней принципиально возможны случаи, когда в отдельных частях возникнут колоссальные флуктуации (неоднородности). И действительно, данные астрофизики свидетельствуют, что и сейчас рождаются новые звезды из распыленной материи. т.е. происходят концентрации энергии. Это подтверждает, что второй закон термодинамики, как уже отмечалось, не применим к явлениям в масштабе Вселенной.
Согласно современным представлениям, однородное распределение вещества с одинаковой температурой не является наиболее вероятным и не соответствует максимуму энтропии, если учитывать наличие тяготения.
Вселенная нестационарна, она расширяется, под действием сил тяготения BoipacTaei неоднородность вещества, возникают галактики, звезды, планеты. При наличии тяготения этому естественному процессу соответствует рост энтропии.
И з теории «тепловой смерти» возникает и такой вопрос: если мир когда-нибудь придет к «тепловой смерти», то почему он нс пригнел к ней раньше? Отсюда можно заключить, что мир существовал не вечно, а когда-то возник и когда-то умрет. И тогда можно говорить о каком-то творце мироздания, что непосредственно ведет к религиозным воззрениям. Поэтому неудивительно, что и в наше время духовенство поддерживает идею «тепловой смерти.» мира.
§ 12.4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
При решении разнообразных термодинамических задач аналитическим методом используют особые функции — термодинамические потенциалы. Зная выражение термодинамических потенциалов, через независимые параметры системы можно вычислить остальные параметры и иные характеристики термодинамических процессов.
Рассмотрим некоторые из термодинамических потенциалов.
Подставим в формулу первого закона термодинамики (12.7) выражение для работы (12.2) и количества теплоты в обратимом процессе (dC?= TdS):
(12.21)
Это выражение, объединяющее первый и второй законы термодинамики, представляет собой полный дифференциал внутренней энергии.
Запишем общее выражение полного дифференциала для нашего случая:
(dU\ (dU\ dtf=h^ Ld5+ kp LdK;
\ Cd /И \ СУ 1$
сопоставляя (12.21) с этой формулой, получаем:
_/W\ _ ри\
Т~ (э5/у р~~ (эй)s'
(12.22)
Таким образом, частная производная от внутренней энергии по энтропии равна температуре, а взятая с обратным знаком производная по объему равна давлению. Сама внутренняя энергия является термодинамическим потенциалом.
Еще одним термодинамическим потенциалом является энергия Гельмгольца (свободная энергия):
F= U- TS.
(12.23)
Найдем полный дифференциал оз (12.23):
Используя выражение для dbT [см. (12.21)], преобразуем (12.24):
dF= 7~d5-/>dK- TdS - Sd T = - SdT-p dk. (12.25)
Как и в предыдущем случае, учитывая, что dF — полный дифференциал функции переменных Ги Г, получаем:
/б Г \ /с F \
5
(12.26)
Физический смысл Лвиден из (12.25), в случае Т = constdТ= 0 и dF = = —pd <14, т.е. уменьшение свободной энергии равно работе, совершаемой системой в изотермическом процессе. Так как теплокровные организмы сохраняют неизменную температуру, то можно считать, что совершаемая ими работа осуществляется за счет уменьшения свободной энергии.
Рассмотрим еще один термодинамический потенциал (энергию Гиббса), составленный в виде:
G= F + pV= U- TS + pF. (12.27)
Дифференциал энергии Гиббса равен:
d(?=dCZ— Td5-5dT + pdr+ Vdp. (12.28)
Учитывая (12.21), перепишем (12.28):
d<7= Td5-/?dlz- 7’d5-5dT + pdH+ Vdp = -SdT + Vdp. (12.29)
Сравнивая (12.29) с выражением для полного дифференциала, имеем:
/cG \ /с G \
5=_[зтф. г = (1230)
Энергия Гиббса используется при расчетах энтропии и объема в изобарно-изотермических условиях.
Пусть система приходит к равновесному состоянию в необратимом
изобарно-изотермическом процессе. В этом случае [см. (12.17)]:
и для дифференциала энергии Гиббса вместо равенства (12.29) получаем следующее неравенство;
dG < -S4T + Vdp.
(12.32)
Так как дТ= 0 и dp =0, то из (12.32) имеем
dG< 0.
Такое уменьшение энергии Гиббса будет происходить до тех пор, пока не установится равновесное состояние, и изменение энергии Гиббса станет равным нулю (dC^ 0). Таким образом, в изобарно-изотермическом неравновесном процессе энергия Гиббса убывает и в состоянии термодинамического равновесия минимальна.
Аналогично в состоянии термодинамического равновесия ведут себя другие термодинамические потенциалы (U, Аи др.).
Так, например, убывает при приближении к равновесию и минимальна F— Fmin в состоянии равновесия энергия Гельмгольца для изотермической системы с постоянным объемом, т.е. в случае dT= 0 и d У= 0.
§ 12.5. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ. ХИМИЧЕСКИЙ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛЫ
Изложенное выше относилось к случаю, когда количество вещества в системе оставалось неизменным. Однако в термодинамике изучаются также и системы, в которых изменяется число частиц. В этом случае изменение внутренней энергии системы обусловлено не только теплообменом (dQ=Td5) и совершением работы = pdH), но и изменением числа частиц в системе. Поэтому вместо уравнения (12.2J) следует записать следующее:
dt/= 7d5-pdr+pdM
(12.33)
Здесь d/V — изменение числа частиц в системе, ар — коэффициент, называемый химическим потенциалом. Если в дифференциалы энергии Гельмгольца и энергии Гиббса подставить полный дифференциал внутренней энергии не в виде (12.21), а в записи (12.33), то получим соответственно:
dF= - SdT— pdV+ p d;V, (12.34)
dG'=-5d7-jpdE+pdJV (12.35)
Из (12.33), (12.34) и (12 35) при постоянных парах соответствующих параметров (.У, Р), (Т, 1) и (Т, р) имеем:
_/ен/\ /ас\
М \с-Лг рщ - ^сЛ' / t.v ~ l^v jту
т.е. химический потенциал равен изменению термодинамического потенциала, приходящегося на одну частицу в соответствующем процессе.
Химический потенциал введен в (12.33) и последующие формулы для частиц одного сорта (молекул). Если термодинамическая система состоит из к разных сортов молекул, то в выражение полного дифференциала термодинамических потенциалов добавляют вместо одного члена сумму:
А
(12.36) /=|
где ц; — химический потенциал для /-х молекул, a d/V; — их число.
Заметим, что химический потенциал не является термодинамическим потенциалом, а аналогично давлению, температуре и энтропии называется параметром системы. Как всякий параметр, он является функцией других параметров, например р = р (Г, V, N),
Для идеальных газов и идеальных растворов, т.е. систем, в которых пренебрегают взаимодействием молекул z-го компонента между собой, используют следующее выражение химического потенциала;
+ (12.37)
Формула (12.37) записана для моля вещества. Здесь /V) — число частиц (молекул) Его компонента; Л — полное число частиц: У= JL М’ /=1
Pi— химический потенциал чистого Его компонента (р^ = р,- при = Л).
Практически формулу (12.37) используют и для реальных систем.
Если частицы являются заряженными (ионы, электроны), а система находится в электрическом поле, то вместо химического потенциала используют электрохимический потенциал (у'():
ц, = ц, + Z.FVr (12.38)
где — химический потенциал /-го сорта этих частиц при отсутствии электрического поля [см. (12.37)]; Z-t — зарядное число частицы с учетом знака; F— постоянная Фарадея; ф — электрический потенциал.
На основании формул (12.37) и (12.38) запишем выражение для изменения электрохимического потенциала /-го компонента при переходе системы из одного состояния в другое1
Л2/
Д ft = Ро/ + ЯЛп тг + (12.39)
1 vi/
где индексы 1 и 2 относятся к разным состояниям термодинамической системы.
Электрохимический потенциал, каки химический, имеет энергетический смысл. Поясним в свете этого роль каждого члена в формуле (12.39).
Первое слагаемое в (12.39) соответствует работе, которую необходимо совершить, чтобы вызвать химические изменения одного моля компонента при переходе из одного состояния в другое.
Второе слагаемое преобразуем, учитывая. что при заданном объеме ~ еи/ cib ЭДВ и си ~ молярные концентрации раствора, соответствующие состояниям 1 и 2системы:
^2/ С2/
Я Tin ТГ = ЯЛп------ (12.40)
с1г-
(работа одного моля, которая совершается при изменении молярной концентрации отс1/до с2;).
Третье слагаемое соответствует работе против сил электрического поля при изменении состояния одною моля ионов.
§ 12.6. СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ.
ПРИНЦИП МИНИМУМА ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ
Изложенные выше вопросы термодинамики относились в основном к равновесным процессам или к процессам, которые приводят к равновесным состояниям. Такие ограничения позволили объяснить направленность термодинамических процессов в изолированной системе.
Реальные процессы и состояния в природе и технике являются неравновесными, а многие системы — открытыми. Эти процессы и системы рассматриваются в неравновесной термодинамике.
Аналогично тому, как в равновесной термодинамике особым состоянием является состояние равновесия, так в неравновесной термодинамике особую роль играют стационарные состояния.
Несмотря на то что в стационарном состоянии необратимые процессы, протекающие в системе (диффузия, теплопроводность и др.), увеличивают энтропию, энтропия системы не изменяется. Как понять это противоречие?
Представим изменение энтропии ДА системы в виде суммы двух слагаемых:
AS=AS/+ASf,
(12.41)
где AS,- — изменение энтропии, обусловленное необратимыми процессами в системе; Д5е — изменение энтропии, вызванное взаимодействием системы с внешними телами (потоки, пооходяшие чеоез систему).
Необратимость процессов приводит к AS, > 0, стационарность состояния — к AS = 0; следовательно, ASt, = AS - AS, < 0. Это означает, что энтропия в продуктах (вещество и энергия), поступающих в систему, меньше энтропии в продуктах, выходящих из системы.
В равновесном состоянии, как уже отмечалось, энтропия максимальна, а энергия Гиббса минимальна. Для стационарных состояний И. При-। ожин также указал экстремальное значение некоторой функции, сформулировав принцип минимума производства энтропии: в стационарном состоянии системы скорость возникновения энтропии вследствие необратимых процессов имеет минимальное значение при данных внешних условиях, препятствующих достижению системой равновесного состояния (dS,/dt > 0 и минимальна).
Согласно принципу Пригожина, в системе при стационарном состоянии внутренние неравновесные процессы (диффузия), теплопроводность, химические реакции и др.) протекают так, что ежесекундный
прирост энтропии минимален. Это означает, что система за счет внутренних необратимых процессов не способна выйти из стационарного состояния. Так. сели за счет небольших отклонений (флуктуации) система несколько и отклонилась бы от стационарного состояния, то стремление внутренних процессов уменьшить d5, /d/ вернет систему вновь к этому состоянию.
Отметим, что все изложенное, в том числе и принцип Пригожина, справедливо при заданных и неизменных внешних условиях. При изменении внешнего воздействия (потоков, входящих и исходящих из системы) система уходит из одного стационарного состояния и переходит в другое в том случае, если новые внешние условия будут сохраняться во времени.
Примерами переходных процессов между стационарными состояниями в биологических системах являются генерация нервного импульса, мышечное сокращение и др.
Термодинамические потенциалы системы в стационарном состоянии не изменяются. Воспользуемся условием постоянства энергии Гиббса для установления связи между электрическим напряжением на биологической мембране и концентрацией ионов по обе стороны от нее.
Если А (7 = 0, то из (12.35) с учетом (12.36) дтя постоянной температуры и давления (d7=0 и dp=O) следует
к
= (12.42)
/=|
или Ц| d/V| + ц2 dTV2+... = 0.
В частном случае, если dЛ'частиц переходят из части системы с химическим потенциалом щ в подсистему с химическим потенциалом y2- то
Pi d;V| + ц2 d/V2 = 0
или, так как d= d/V2, щ = ц2,
Ац = 0. (12.43)
Если переносятся ионы при наличии электрического поля, то вместо условия (12.43) следует записать равенство электрохимических потенциалов:
Уравнения (12.43) и (12.44) можно рассматривать как условие равновесных и стационарных состояний. Применять условие (12.44) можно только к таким частям системы, между которыми нет непроницаемых перегородок. Так, для биологической мембраны можно записать (12.44), если есть уверенность, что конкретные ионы проходят через мембрану и что система в целом находится в равновесном или стационарном состоянии.
Так, например, известно, что ионы К+ проходят сквозь биологическую мембрану и их концентрации внутри (K+]z и вне клетки [К+]о различны1. Поэтому можно для стационарного состояния к этим ионам применить условие (12.44), Сделаем это, используя уравнение (12.38):
[К+1/
ЯГ1п—— + T(ip2 —<Pi) =0, (12.45)
JK Jo
так как Z= 1. Здесь <р,- и <р0 соответственно потенциал внутри и вне клерки. Обозначая рм= ср( — ф0 , из (12.45) получаем уравнение Нернста:
RT [КД
9"=”7lnlFT0 <12-46»
где — нернстовский потенциал,
Известно, что отношение концентраций ионов калия в клетке мышечного волокна лягушки равно [К+]/(К+]0 — 48. Подставляя это значение в уравнение Нернста (12.46), получаем:
8,3-300
<₽"= “ "965ТО 1П 48 = - 98 МВ-
Как видно, потенциал внутри клетки отрицательный относительно потенциала вне клетки. На мембране возникает разность потенциалов. Более подробно эти вопросы рассмотрены в гл. 13.
§ 12.7. ОРГАНИЗМ КАК ОТКРЫТАЯ СИСТЕМА
Начальное развитие термодинамики стимулировалось потребностями промышленного производства. На этом этапе (XIX в.) основные достижения заключались в формулировке законов, разработке методов
1 Здесь индекс / образован от inside — внутри; не следует его смешивать с обозначением /-го компонента.
циклов и термодинамических потенциалов применительно к идеализированным процессам: равновесным и обратимым.
Термодинамика биологических систем в этот период не развивалась. Ярким исключением из этого была работа Майера, который по цвету венозной крови матросов, работающих в условиях тропического климата, сформулировал, по существу, приложимость закона сохранения энергии (первый закон термодинамики) к живым системам.
Первый закон термодинамики как закон сохранения энергии настолько общепонятен, что его применения к биологическим системам здесь нс рассматриваются, тем более что в курсе нормальной физиологии изучаются такие темы, как «Обмен веществ и энергии. Питание. Терморегуляция!», а в § 27.5 анализируется теплообмен человека с окружающей средой тепловым излучением Более существенно рассмотреть некоторые вопросы, связанные со вторым началом термодинамики (энтропией) и биологическими системами.
Биологические объекты являются открытыми термодинамическими системами. Они обмениваются с окружающей средой энергией и веществом.
Вообще говоря, живой организм — развивающаяся система, которая не находится в стационарном состоянии. Однако обычно в каком-либо не слишком большом интервале времени принимают состояние биологической системы за стационарное.
Рассмотрим в этом предположении некоторые вопросы. Для организма — стационарной системы — можно записать (см. § 12.6) d5 = О, 5 = const, d5. > 0, d5., < 0. Это означает, что большая энтропия должна быть в продуктах выделения, а не в продуктах питания. Энтропия системы организм—окружающая среда возрастает, как у изолированной системы, однако энтропия организма при этом сохраняется постоянной. Энтропия есть мера неупорядоченности системы (см. § 12.2), поэтому можно заключить, что упорядоченность организма сохраняется ценой уменьшения упорядоченности окружающей среды.
При некоторых патологических состояниях энтропия биологической системы может возрастать (d5 > 0), это связано о отсутствием стационарности, увеличением неупорядоченности; так, например, при раковых заболеваниях происходит хаотическое, неупорядоченное разрастание клеток.
Формулу (12.41) можно преобразовать к виду
dS dS) d5e
— =—- +—? or d/ d/
или для стационарного состояния (5= const, dS/dt = 0)
d5;. d\.
dr dr
(12.47)
Из (12.47) видно, что при обычном состоянии организма скорость изменения энтропии за счет внутренних процессов равна скорости изменения отрицательной энтропии за счет обмена веществом и энергией с окружающей средой.
Согласно принципу Пригожина, dJy /dr > 0 и минимальна: следователь-
но, минимальное значение имеет [см. (12.42)] и
d5e dr
. Отсюда можно
сделать вывод, что скорость изменения энтропии окружающей среды при
сохранении стационарного состояния организма также минимальна.
Основа функционирования живых систем (клетки, органы, организм) — это поддержание стационарного состояния при условии протекания диффузионных процессов, биохимических реакций, осмотических явлений и т.п.
При изменении внешних условий процессы в организме развиваются так, что его состояние не будет прежним стационарным состоянием.
Можно указать некоторый термодинамический критерий приспособления организмов и биологических структур к изменениям внешних условий (адаптация). Если внешние условия изменяются (возрастает
или уменьшается температура, изменяется влажность, состав окружающего воздуха и т.д.), но при этом организм (клетки) способен поддерживать стационарные состояния, то организм адаптируется ( приспосабливается) к этим изменениям и существует. Если организм при изменении внешних условий не способен сохранить стационарное состояние, уходит от этого состояния, то это приводит к его гибели. Организм в этом случае не смог адаптироваться, т.е. не смог сравнительно быстро оказаться в стационарном состоянии, соответствующем изменившимся
условиям.
И последнее. Приведенные в параграфе рассуждения основываются на том, что организм — стационарная система, нс слишком далеко отстоящая от состояния равновесия. В этом случае справедлив принцип 11ригожина. Живые организмы далеко отстоят от положения равновесия. Поэтому в рамках сделанных допущений невозможно объяснить, в частности, рост клеток и возникновение новых структур. В сильно неравновесной системе необходимо учитывать принцип Пригожина—Глансдорфа, согласно которому скорость производства энтропии уменьшается.
В этой области неравновесная термодинамика смыкается с синергетикой, однако рассмотрение подобных вопросов выходит за пределы курса.
§ 12.8. ТЕРМОМЕТРИЯ И КАЛОРИМЕТРИЯ
Точные измерения температур являются неотъемлемой частью научно-исследовательских и технических работ, а также медицинской диагностики и биологии.
Диапазон известных температур очень широк. Самая низкая температура, полученная к настоящему времени, — около 2-10-5 К. Верхний предел достижимых температур ничем не ограничен. Наибольшая температура достигнута в земных условиях при взрыве водородной бомбы и составляет примерно 10s К.
В недрах звезд, по спектроскопическим данным, температура может достигать 109 К и более.
Температурный интервал окружающей среды, в которой могут длительно или кратковременно находиться биологические системы, сохраняя способность к функционированию, значительно уже. И совсем невелик (приблизительно от 0 до 90 °C) диапазон температур самих живых организмов в состоянии их активной жизнедеятельности.
Методы получения и измерения температур в широком диапазоне весьма различны. Область прикладной физики, в которой изучаются методы измерения температуры и связанные с этим вопросы, называют термометрией.
Как известно, температура не может быть измерена непосредственно. Для ее определения нужно установить температурную шкалу; выбрать термометрическое вещество и физическое свойство, зависящее от температуры (термометрическое свойство), условиться о начальной точке отсчета и единице температуры. Для этого обычно выбирают две основные температуры {реперные точки), соответствующие температурам фазовых переходов, например плавлению льда и кипению воды при определенных внешних условиях. Участок шкалы между этими точками называют основным интервалом. За начало отсчета принимают одну из реперных точек (например, 0 °C — температура таяния льда), за единицу температуры — долю основного интервала. Так, 1СС составляет 0,01 доли основного интервала.
Температурные шкалы различаются по термометрическому свойству или веществу. Можно построить огромное количество шкал, значитель
но отличающихся одна от другой, так как ни одно из свойств не зависит от температуры строго линейно и, кроме того, определяется природой вещества.
Принципиальным недостатком всех эмпирических шкал является их зависимость от свойств термометрического вещества. Независимая от свойств и вещества шкала построена на основе второго начала термодинамики и названа термодинамической шкалой температур. За реперную точку ее принята температура тройной точки воды 273,16 К. Определяется эта шкала с помощью цикла Карно. Измерив количество теплоты Ои и Qs в изотермических процессах этого цикла соответственно при температуре таяния льда и Ts кипения воды, можно найти
Ts/T[s= QJQ».
Аналогично, для произвольной температуры Т
r/T()=Q/Q„
где Q — количество теплоты, сообщенное системе в изотермическом процессе при температуре Т. Установленную таким образом температу-ру называют термодинамической.
Единицей термодинамической температуры является кельвин (К) — 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды. Кельвин как единица температурного интервала равен 1/273,16 интервала термодинамической температуры между О К и тройной точкой воды.
Любая эмпирическая шкала приводится к термодинамической посредством введения поправок, учитывающих зависимость термического свойства данного вещества от температуры.
Так как температура определяется по значению какой-либо характеристики термодинамического вещества, то ее определение состоит в измерении таких физических параметров и свойств, как объем, давление, электрические, механические, оптические, магнитные и т.п. Разнообразие методов измерения температуры связано с большим количеством термометрических вешеств и свойств, используемых при этом.
Термометры — устройства для измерения температуры — состоят из чувствительного элемента, в котором реализуется термометрическое свойство, и измерительного прибора (дилатометр, манометр, гальванометр, потенциометр ит.д.). Необходимое условие измерения температуры — тепловое равновесие чувствительного элемента и тела, температура которого определяется.
В зависимости от измеряемых интервалов температур наиболее распространены жидкостный, газовый термометры, термометр сопротивления, термопара как термометр и пирометры.
В жидкостном термометре термометрической характеристикой является объем, чувствительным элементом — резервуар с жидкостью (обычно ртуть или спирт). В пирометрах в качестве термометрического свойства используется интенсивность излучения. Принцигшалоное отличие пирометров от других термометров состоит в том, что их чувствительные элементы не находятся в непосредственном контакте с телом. Пирометры применяют для измерения сколь угодно высоких температур.
При измерении сверхнизких температур термометрическим веществом служат парамагнетики, а измеряемым свойством — зависимость их намагниченности от температуры.
Используемый в медицине ртутный термометр указывает максимальную температуру и называется максимальным термометром. Эта особенность обусловлена его устройством: резервуар с ртутью отделен от градуированного капилляра волосяным сужением, которое не позволяет ртути при охлаждении термометра возвратиться в резервуар (рис. 12.12). Существуют и минимальные термометры, показывающие наименьшую температуру, наблюдаемую за длительный промежуток времени.
Для измерения температуры с большой точностью в небольшом интервале значений служит метастатический термометр (рис. 12.13), состоящий из большого резервуара / с жидкостью (обычно ртуть) и узкого длинного капилляра 3. Масса ртути в резервуаре I переменна, часть ее может быть перелита в резервуар 2. в результате чего на отметке шкалы О установлен нижний предел измеряемого интервала температуры. Цена деления такого термометра равна 0,0Г. Интервал отсчета составляет всего 5°, но он может быть выбран около разных температур.
Многие процессы в физике, химии и биологии существенно зависят от температуры, поэтому получение и поддержание определенной температуры является важной задачей. Для этой цели служат термостаты — приборы, в которых температура поддерживается постоянной, что осуществляют либо автоматическими регуляторами, либо используют для этого свойство фазовых переходов протекать при неизменной температуре.
Для измерения количества теплоты, выделяющегося или поглощаемого в различных физических, химических и биологических процессах, применяют ряд методов, совокупность которых составляет калориметрию1.
1 Группу методов измерения тепловых эффектов, сопровождающих процессы жизнедеятельности, называют также биокалориметрией, а соответствующие приборы — биокалоримстрами.
Рис. 12.12
Рис. 12.13
Калориметрическими методами измеряют теплоемкость тел, теплоты фазовых переходов, растворения, смачивания, адсорбции, теплоты, сопровождающие химические реакции, энергию излучения, радиоактивного распада и т.п.
Подобные измерения производят с помощью калориметров. Эти приборы можно разделить на два основных типа: калориметры, в которых количество теплоты определяют по изменению их температуры, и калориметры, у которых температура постоянна и количество теплоты определяют по количеству вещества, перешедшего в другое фазовое состояние (например, плавящееся твердое тело).
Большинство практически используемых калориметров относится к первому типу. В этих случаях количество теплоты, полученное системой калориметр—исследуемое тело, можно найти по формуле:
Q - скЛГ,
где ск — теплоемкость калориметрической системы; Д’/’ — изменение ее температуры, которое наблюдалось бы при отсутствии теплообмена с окружающими телами.
Для определения Д7в измеренное на опыте изменение температуры должна быть внесена поправка, учитывающая теплообмен с окружаю-
4
Рис. 12.14
щей средой. В этом отношении все калориметры можно разделить на калориметры с изотермической и адиабатной оболочками. Для поддержания изотермических или адиабатных условий калориметр снабжают регуляторами температуры, в качестве которых чаше всего используют контактные термометры, а также термометры сопротивления и дифференциаль
ные термопары.
На рис. 12.14 приведена схема простейшего жидкостного калориметра: 1 — калориметрический сосуд; 2 — цилиндрический сосуд-оболочка; 3 — нагреватель; 4 и 5— мешалки; 6 — термометр.
Калориметры могут служить и термостатами.
§ 12.9. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТЫХ И ХОЛОДНЫХ СРЕД, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ЛЕЧЕНИЯ.
ПРИМЕНЕНИЕ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В МЕДИЦИНЕ
В медицине с целью местного нагревания или охлаждения применяют нагретые ил и холодные тела.
Обычно для этого выбирают сравнительно доступные среды, некоторые из них могут оказывать при этом полезное механическое или химическое действие.
Физические свойства таких сред обусловливаются их назначением. Во-первых, необходимо, чтобы в течение сравнительно длительно] о времени был произведен нужный эффект. Поэтому используемые среды должны иметь большую удельную теплоемкость (вода, грязи) или удельную теплоту фазового превращения (парафин, лед). Во-вторых, среды, накладываемые непосредственно на кожу, не должны вызывать болезненных ощущений. Это, с одной стороны, ограничивает температуру таких сред, а с другой — побуждает выбирать среды с небольшой теплоемкостью. Так, например, вода, применяемая для лечения, имеет температуру до 45 °C, а торф и грязи — до 50 °C, так как теплообмен (конвекция) в этих средах меньше, чем в воде. Парафин нагревают до 60—70 °C, так как он обладает небольшой теплопроводностью, а части
парафина, непосредственно прилегающие к коже, быстро остывают, кристаллизуются и задерживают приток теплоты от остальных его частей.
В качестве охлаждающей среды, используемой для лечения, употребляется лед.
В последние годы достаточно широкое применение в медицине нашли низкие температуры.
При низкой температуре осуществляют такую консервацию отдельных органов и тканей в связи с трансплантацией, когда достаточно долго сохраняется способность к жизнедеятельности и нормальному функционированию.
Криогенный^ метод разрушения ткани при замораживании и размораживании используется медиками для удаления миндалин, бородавок т.п. Для этой цепи создают специальные криогенные аппараты и криозонды.
С помощью холода, обладающего анестезирующим свойством, можно уничтожить в головном мозгу человека клетки ядер, ответственные за некоторые заболевания, например паркинсонизм.
В микрохирургии используют примерзание («прилипание») влажных тканей к холодному металлическому инструменту для захвата и переноса этих тканей.
В связи с медицинскими применениями низкой температуры появились новые термины: «криогенная медицина», «криотерапия», «криохирургия» и т.д.
1 Крио... — часть сложных слов, означающая связь со льдом, низкими температурами; криогенный — относящийся к низким температурам.
Глава 13
Физические процессы в биологических мембранах
Важной частью клетки являются биологические мембраны. Они ограничивают клетку от окружающей среды, защищают ее от вредных внешних воздействий, управляют обменом веществ между клеткой и ее окружением, способствуют генерации электрических потенциалов, участвуют в синтезе универсальных аккумуляторов энергии АТФ в митохондриях и т,д. По существу, мембраны формируют структуру клетки и осуществляют ее функции. Многие заболевания (атеросклероз, отравления и др.) связаны с нарушением структуры и функции мембран.
В главе рассматриваются физические свойства биологических мембран и основные физические проиессы, которые в них происходят.
§ 13.1. СТРОЕНИЕ И МОДЕЛИ МЕМБРАН
Мембраны окружают все клетки (плазматические или наружные клеточные мембраны). Без мембраны содержимое клетки просто бы растеклось, диффузия привела бы к термодинамическому равновесию, что означает отсутствие жизни. Можно сказать, что первая клетка появилась тогда, когда она смогла отгородиться от окружающей среды мембраной.
Внутриклеточные мембраны подразделяют клетку на ряд замкнутых отсеков (компартаментов), каждый из них выполняет определенную функцию.
Толщина мембран порядка нескольких нанометров, поэтому ее нельзя увидеть в оптический микроскоп (см. § 26.8). но можно рассмотреть в электронный микроскоп (см. § 28.2).
Основу структуры любой мембраны представляет двойной липидный слой (в значительной степени фосфолипиды). Молекулы липидов, образующие мембрану, являются алимфатическими соединениями, т.е. состоят из двух функционально различных частей: полярной «головки» и неполярного гидрофобного «хвоста» (рис. 13.1). Двойной липидный слой образуется из двух монослоев липидов так, что гидрофобные «хвосты» обоих слоев направлены внутрь. При этом обеспечи-
НоССССССССС
/\ Л1\/\/\/\/\/\/\/\
НС оос СС С ‘ '
CH3-N-CH2O-P-0 / \ „
СНз
С СНз
С С СНз
СН;
СН2
С С С С С=С С=С С С
О
С с
Холин Фосфат Глицерин Полярная «головка»
Жирные кислоты
Неполярный «хвост»
Рис. 13.1
вас гея наименьший контакт гидрофобных участков молекул с водой (рис. 13.2).
Однако такое представление о структуре мембраны не давало отве гов ни на вопрос о расположении белка в мембране, а в некоторых мембранах его больше половины по массе, ни на вопрос о проницаемости мембран для гидрофильных частиц.
В дальщ йшем было высказано еще множество гипотез о строении биологических мембран, однако ни одна не стала общепринятой. В настоящее время наибольшее распространение имеет предложенная в 1972 г. Синджером и Николсоном жидкомозаичная модель, в основе которой лежит все та же липидная бислойная мембрана. Эта фосфолипидная основа представляет как бы двумерный растворитель, в котором плавают более или менее погруженные белки. За счет этих белков полностью или частично осуществляются специфические функции мембран — проницаемость, активный перенос через мембрану, генерация
Рис. 13.3
электрического потенциала и т.д. Схематично жидкомозаичная структура мембраны показана на рис. 13.3. Здесь 1 — поверхностные белки, 2 — полупогруженные белки, 3 — полностью погруженные (интегральные) белки, 4 —• белки, формирующие ионный канал 5.
Мембраны не являются неподвижными, «спокойными» структурами. Липиды и белки обмениваются местами и перемешаются как вдоль плоскости мембраны — латеральная диффузия, так и поперек нее — так называемый «флип-флоп». Латеральной диффузии соответствует высокая подвижность липидов, а «флип-флопу» — низкая, т.е. обмен местами липидов, находящихся на разных сторонах мембраны, является редким процессом.
Уточнение строения биомембраны и изучение ее свойств оказалось возможно при использовании физико-химических моделей мембраны (искусственные мембраны), Наибольшее распространение получили гри такие модели.
Рассмотрим первую модель — монослои фосфолипидов на границе раздела вода—воздух или вода—масло.
На таких границах молекулы фосфолипидов расположены так, что гидрофильные головки находятся в воде, а гидрофобные «хвосты» — в воздухе или в масле. Если постепенно уменьшать плошадь, занимаемую монослоем, то в конце концов удастся получить монослой, в котором молекулы расположены так же плотно, как и в одном из бислоев мембраны (рис. 13.4).
Второй широко распространенной моделью биомембраны являются липосомы.
Это мельчайшие пузырьки (везикулы), состоящие из билипидной мембраны и полученные обработкой смеси воды и фосфолипидов ультразвуком. Липосомы представляют собой как бы биологическую мембрану, полностью лишенную белковых молекул. На липосомах часто проводятся эксперименты по изучению влияния различных факторов, например состава фосфолипидов, на свойства мембраны или,
Рис. 13.4
м ма!
Рис. 13.5
наоборот, влияния мембранною окружения на свойства встраиваемых белков. Схематически липосомы изображены на рис. 13.5. Третьей моделью, позволившей изучать некоторые свойства биомебран прямыми методами, была билипидная (бислойная липидная) мембрана (БЛМ).
Впервые такая модельная мембрана была создана в 1962 г. П. Мюллером с сотрудниками. Они заполнили отверстие в тефлоновой перегородке, разделяющей два водных раствора, фосфолипидом, растворенным в гептане. После того как растворитель и излишки липида растекаются по тефлону, в отверстии образуется бислой толщиной несколько нанометров и диаметром около 1 мм. Расположив по обе стороны мембраны два электрода, можно измерить сопротивление мембраны или генерируемый на ней потенциал. Если исходно по разные стороны перегородки иомес иль различные по химическому составу растворы, можно изучать проницаемость мембраны для различных агентов.
Мембраны выполняют две важные функции: матричную, т.е. являются матрицей, основой для удержания белков, выполняющих разные функции, и барьерную — защищают клетку и отдельные компартамен-ты от проникновения нежелательных частиц. Если эти функции мембран нарушаются, то происходят изменение нормального функционирования кпеток и, как следствие, заболевание организма.
§ 13.2. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ МЕМБРАН
Измерение подвижности молекул мембраны и диффузии частиц через мембрану свидетельствует о том, что билипидный слой ведет себя подобно жидкости. В то же время мембрана — упорядоченная структура. Эти два фактора заставляют думать, что фосфолипиды в мембране при ее естественном функционировании находятся в жидкокристаллическом состоянии (см. § 10.2). Жидкостные свойства мембраны подтверждаются методами ЭПР (см. § 30 3) и ЯМР (см. § 30.4).
Вязкость липидного слоя мембран приблизительно на два порядка выше вязкости воды, она равна 30-100 мПа-c, что соответствует примерно вязкости растительного масла. Поверхностное натяжение на 2—3 порядка ниже (0,03-1 мН/м), чем у воды.
При изменении температуры в мембране можно наблюдать фазовые
переходы: плавление липидов при нагревании и кристаллизацию при охлаждении. Фазовые переходы связаны с изменением энергии и поэто-
му могут быть обнаружены, в частности, по увеличению теплоемкости с при изменении температуры (рис. 13.6: при температурах 7] и 73 фазовые переходы). Жидкокристаллическое состояние бислоя имеет меньшую вязкость и большую растворимость различных веществ, чем твердое состояние. Толщина жидкокристаллического биослоя меньше, чем твердого.
Конформация (структура) молекул в жидком и твердом состояниях различна, в чем можно убедиться при рентгеноструктурном анализе (см. § 24.7). В жидкой фазе молекулы фосфолипидов могул образовывать полоски (кинки), в которые способны внедряться молекулы диффундиру-
ющего вещества.
б
Перемещение «кинка» в этом случае будет приводить к диффузии молекулы поперек мембраны (рис. 13.7).
Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору, электроемкость 1 мм2 мембраны составляет 5—13 нФ.
§ 13.3. ПЕРЕНОС МОЛЕКУЛ (АТОМОВ) ЧЕРЕЗ МЕМБРАНЫ
Важным элементом функционирования мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы (атомы) и ионы. Существенно, что вероятность такого проникновения частиц зависит как от направления их перемещения, например в клетку или из клетки, так и от разновидности молекул и ионов.
Эти вопросы рассматриваются в разделе физики, относящемся кяв-лениям переноса. Таким термином называют необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины.
К явлениям переноса относят диффузию (перенос массы вещества), вязкость (перенос импульса), теплопроводность (перенос энергии), электропроводность (перенос электрического заряда). Здесь и в следующих параграфах рассматриваются наиболее существенные для биологических мембран явления: перенос вещества и перенос заряда. Как синоним переноса частиц в биофизике широкое распространение получил термин «транспорт частиц».
Выведем основное уравнение диффузии (уравнение Фика), рассматривая процесс переноса в жидкостях
Пусть через некоторую площадку площадью 5 (рис. 13.8) во всех направлениях перемещаются молекулы жидкости. Учитывая теорию мо-
лекулярного строения жидкости (см. § 9.6), можно сказать, что молекулы пересекают площадку, перескакивая из одного положения равновесия в другое.
На расстояниях, равных среднему перемещению 5 молекул (среднее расстояние между молекулами жидкости), вправо и влево от площадки построим прямо-
Рис. 13.8
угольные параллелепипеды небольшой толщины / (I < 5). Объем каждого параллелепипеда равен SI. Если п —- концентрация молекул, то внутри выделенных параллелепипедов имеется Sin молекул. Предположим, что концентрация молекул изменяется в пространстве, в левом (7) выделенном параллелепипеде концентрация равна я(,ав правом (2) — Следовательно, в одном параллелепипеде Sln-t молекул, а в другом — Sln2 молекул.
Все молекулы вследствие хаотичного их движения можно условно представить шестью группами, каждая из которых перемещается вдоль или против направления одной из осей координат. Отсюда следует, что в направлении, перпендикулярном площадке 5”, т.е. вдоль оси ОХ, от первого параллелепипеда перескакивает V6 молекул, а противоположно оси ОЛ'от второго параллелепипеда перескакивает l/6 Sln2 молекул.
Время St «пролета» этими молекулами площадки 5 может быть найдено следующим образом. Предположим, что все молекулы из выделенных объемов движутся с одинаковыми средними скоростями и. Тогда молекулы в объеме 7 или 2, дошедшие до площадки 5. пересекают ее в течение промежутка времени:
St — // и
(13.1)
Подставляя в (13.1) выражение для средней скорости из (9.20), получаем:
I St = — г, 3
(13.2)
где г — среднее время «оседлой жизни» молекулы, оно может рассматриваться как среднее время перескока. «Баланс» переноса молекул через площадку.' 5за промежуток времени St равен:
•/65/W|-V65/«2.
(13.3)
Умножая (13.3) на массу т отдельной молекулы и деля на Д/, находим пяток вещества сквозь площадку 5:
1 Sim
Ф =----- •----(Я) - д2),
6 SI
т.е количество вещества (масса), которое за 1 с переносится через площадку. Изменение концентрации п}—п2 молекул можно представить как произведение бя/Ахна расстояние 26 между выделенными объемами:
Л1 ~ л2 =---- • 23 •
dx
(13.5)
В уравнении (13.4) заменим Д?согласно (13.2) и (п}-п2) согласно (13.5):
1 Slmb dtf 1 52
ф =----------------. 26 = — д— т —
6 /г dx 3 г dr
(13.6)
Отношение потока к площади площадки, через которую он проходит, называется плотностью потока:
Ф 1 S2 dw
(13.7)
Произведение массы молекулы на их концентрацию есть массовая концентрация (отношение массы данного компонента молекул к объему):
dn de с = т- п. т— =—
dx dx
(13.8)
Учитывая это, имеем из (13.7):
1 З2 de
J-—--------.
3 г dx
Это есть уравнение диффузии, которое обычно записывают в виде (уравнения Фика)'.
_ de J=-D—.
dx
(13.9)
Знак «-» показывает, что суммарная плотность потока вещества при диффузии направлена в сторону уменьшения концентрации (в сторону',
противоположную градиенту концентрации), D— коэффициент диффузии, применительно к рассмотренному примеру диффузии в жидкости он равен
1 J=-------
3 г (13.10)
Как видно из (13.10), единица коэффициента диффузии — 1 м2/с.
В уравнении (13.9) можно использовать как массовую (кг/м3), так и молярную (моль/м3) концентрации. Плотность потока вещества имеет единицы 1 кг/(м2 с) или 1 моль/(м2с). Уравнение диффузии можно записать и в виде
dn
J=-Dlx- (13-11)
Единица плотности потока частиц при этом — 1 част./(м2,с).
Изменение концентрации молекул в пространстве с = fix) означает неодинаковость химического потенциала в разных местах системы [см. (12.40)], поэтому плотность потока вещества можно связать с градиентом химического потенциала. Преобразуем формулу (12.40):
Др = R Tin —= 7?Т(1п с2.~ In с( ). (13.12)
Для достаточно малых изменений концентраций
de
dp - R Tdln с = RT—
или для производной по координате
dp RT de
dx с dx ’
откуда градиент концентрации равен de с dp
dx RT dx
(13.13)
Используя <13.9) и (13,13), получаем
с dp
j=-d~rt^ <1314>
А. Эйнштейн показал, что коэффициент диффузии пропорционален температуре:
D
D=uMRT, илинм = ^у,. (13.15)
И поэтому вместо (13.14) имеем
dp
(1316)
В формуле (13.15) иы — подвижность диффундирующих молекул (частиц), выраженная для моля. Вообще говоря, подвижностью диффундирующей частицы (молекулы, атома, иона, электрона) и называют коэффициент пропорциональности между скоростью и частицы и силой /, двигающей частицу, в том случае, когда на частицу действуют другие силы (например, трение или соударение с другими частицами) и она перемещается равномерно:
и = м/или и = v/f.
(13.17)
Как видно из (13.17), единица подвижности 1 м/(сН). Величины им и и связаны через постоянную Авотадоо:
“ - им
(13.18)
Преобразуем уравнение (13.9) применительно к биологической мембране. Будем считать, что концентрация частиц, диффундирующих через мембрану, изменяется в мембране по линейному закону (рис. 13,9). Концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно равны с, и со. Концентрация этих же частиц в мембране изменяется от внутренней к наружной ее части соответственно от сМ) до c\t0.
Учитывая линейное изменение концентрации молекул, запишем:
de ___ (^мО ем/)
dx /
Внутри чМем-t Снаружи клетки ^брана|; клетки
Рис. 13.9
где I — толщина мембраны, тогда вместо (13.9) имеем
Л = —D (см - см/) = D (см/- см0). (13.20)
Практически доступнее определить концентрации частиц не внутри мембраны (см/и смо), а вне мембраны: в клетке (cz) и снаружи клетки (со). Считают, что отношение граничных значений концентраций в мембране равно отношению концентраций в прилегающих к мембране слоях: cMo/cMi = Со/с откуда:
СмО См/ .
— = — = к
со с0
(13.21)
где к — коэффициент распределения вещества (частиц) между мембраной и окружающей средой (обычно вводная фаза). Из (13.21) следует
см0 = кс^ и cMi = ксг (13.22)
Подставляя (13,22) в (13.20), имеем
Dk
J Cq)-
Пусть
P=Dk/I,
(13.23)
где Р — коэффициент проницаемости. В результате полу гаем уравнение для плотности потока вещества при диффузии через биологическую мембрану':
§ 13.4. УРАВНЕНИЕ НЕРНСТА-ПЛАНКА. ПЕРЕНОС ИОНОВ ЧЕРЕЗ МЕМБРАНЫ
Как будет показано в § 13.6, на мембране существует разность потенциалов, следовательно, в мембране имеется электрическое поле. Оно оказывает влияние на диффузию заряженных частиц (ионов и электронов). Между напряженностью поля и градиентом потенциала существует известное соотношение (см. § 14.1):
Е=-
dep dx
(13.25)
Если валентность иона Z, то его заряд равен Z- е. На один ион дей-dtp
ствует сила /= Ze— . Сила, действующая на 1 моль ионов, равна:
dx
/,VA = - ZtN^ = - 2F^~ , (13.26)
где F— постоянная Фарадея, F= eNA.
Скорость направленного движения ионов пропорциональна действующей силе:
dm
« = "„/(VA = -«MZF—. (13.27)
Чтобы найти поток ионов, выделим объем электролита (рис. 13.10) в виде прямоугольного параллелепипеда с ребром, численно равным скорости ионов. Все ионы, находящиеся в параллелепипеде, за 1 с пройдут через площадку 5". Это и будет по-юк Ф. Число этих ионов можно найти, умножая объем параллелепипеда (и5) на молярную концентрацию ионов с:
(13.28)
Ф = u._Vc.
Плотность потока найдем, используя формулы (13.27) и (13.28):
ф Фр
J = — = ос = — и.. ZFc ~ .
S dx
В общем случае перенос ионов определяется двумя факторами: неравномерностью их распределения, т.е. градиентом концентрации [см. (13.9)], и воздействием электрического поля [см. (13.29)]:
de dep
•/=-7>d^ -u-'ZFc~te- (13.30)
Это уравнение Нернста— Планка. Используя выражение для подвижности (13.15), преобразуем уравнение (13.30):
de D dtp / de ZFc dtp \
J ~ ~D~i 2Г- = & I-
dx RT dx \ dx /j/’ dx/
(13.31)
Это другая форма записи уравнения Нернста-Планка.
Используем уравнение Нернста-Планка для установления зависимости плотности диффузионного потока от концентрации ионов и напряженности электрического поля. Предположим, стационарность состояния (плотность потока F) постоянна. Электрическое поле в мембране примем за однородное, следовательно, напряженность поля одинакова, а потенциал линейно изменяется с расстоянием. Это позволит
dtp 9м
считать, что — = —, где (рм — разность потенциалов на мембране, dx I
Упростим запись слагаемого в уравнении (13.31):
ZFc d(p ZFc фм
RT dx RT I lC"
где
ZFc
(1332>
— вспомогательная величина (безразмерный потенциал). С учетом (13.32) получим уравнение Нернста-Планка в виде
J=~D
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:
----к----; JdX=-J ----- = f , J/D + yc/Г \ J/D+yc/l-J/D + yc/l
X
I I См/
=— In (J/D +\[ic /I)
О ё смо
J/D + ycw/l V J/D + \|/см0 /1
Отсюда найдем \|/ = in
J/D+yc^// JfD + усм0 //
(13.34)
Потенцируя (13.34), получаем:
J/£> + ycMi/l J/D+ycM II
откуда
J w J w J w
e'v “7Г + ~Vе n = “ГГ ~TC •’ “7Г — 1) “ ~T ^'с Л
D I mo d i mi [) • j mi mo
Dy
i e’r - 1
(13.35)
Преобразуем формулу (13.35), учитывая выражения (13.22) и (13,23):
kCj - ёЧс{} _ Dyk Cj - е'% _ Cj -
I е^-1 / е'|' - 1 ~ е^-\ ‘ (13.36)
Вообще говоря, формула (13.36) справедлива как для положительных (Z>0, v >0), так и для отрицательных (Z<0, \|/ <0) ионов. Однако для отрицательных ионов целесообразно видоизменить это выражение, подставив в него отрицательное значение безразмерного потенциала:
Л-)
с, — е
со
e’v-l
Разделим числитель и знаменатель этого выражения на -с'и;
__ ____^0 Q
tv_1 • (13.37)
При пользовании этой формулой необходимо помнить, что отрицательные значения Zn \|/ уже учтены в самой формуле.
Уравнения (13.36) и (13.37) устанавливают связь плотности стационарного потока ионов с тремя величинами;
1) проницаемостью мембран для данного иона, которая характеризует взаимодействие мембранных структур с ионом.
2) электрическим полем;
3) концентрацией ионов в водном растворе, окружающем мембрану (С/И с0).
Проанализируем частные случаи уравнения (13.36):
а) \|/ = 0, что означает либо Z = О (нейтральные частицы), либо отсутствие электрического поля в мембране (<рм= 0), либо и то и другое:
lim J= Plim ---lim (с,- е^сЭ-
v-o ev — 1 ’и-о
Найдем пределы отдельных сомножителей.
'И 0
1. lim —7----- = — .Эту неопределенность можно раскрыть по
ф-о е Ф— 1 О
правилу Лопиталя:
ш 1
Пт —=lim — = 1-
у-л е — 1 ч’—о е
2. lim (с, - е%) = Cj-ctt.
4’^U
Отсюда получаем, как и следовало ожидать, уравнение (13.24):
J= Р^-с^У,
б) одинаковая концентрация ионов в разных сторонах от мембраны (с, = с0 = с) при наличии электрического поля:
J -
Это соответствует электропроводимости в электролите (см.§ 15.3). Для нейтральных частиц (Z = 0 и у = 0) J = 0;
в) если мембрана непроницаема для частиц (Р— 0), то, естественно, плотность потока равна нулю.
§ 13.5. АКТИВНЫЙ ТРАНСПОРТ
Явления переноса (см. § 13.3 и 13.4) относятся к пассивному транспорту, диффузия молекул и ионов в направлении меньшей их концентрации, перемещение ионов в соответствии с направлением силы, действующей на них со стороны электрическою поля.
Пассивный транспорт не связан с затратой химической энергии, он осуществляется в результате перемещения частиц в сторону меньшего электрохимического потенциала (см § 12.5). Наряду с пассивным транспортом в мембранах клетки происходит перенос молекул и ионов в сторону большего электрохимического потенциала (молекулы переносятся в область большей их концентрации, ионы — против силы, действующей на них со стороны электрического поля).
Этот перенос осуществляется за счет энергии и не является диффузией — активный транспорт. Системы мембран способствующие созданию градиентов ионов К+ и Na+, получили название натрий-калиевых насосов или, проще, натриевых насосов.
Натрий-калиевые насосы входят в состав цитоплазматических мембран, они работают за счет энергии гидролиза молекул АТФ с образованием молекул АДФ и неорганического фосфата (Фн):
АТФ - АДФ + Фн.
Натрий-калиевый насос работает обратимо; традиенты концентраций ионов способствуют синтезу молекул АТФ из молекул АДФ и Фн:
АДФ + Фн = АТФ.
Работа, которая совершается при переносе одного моля вещества и з области с меньшей концентрацией ст ланного компонента в область с большей концентрацией c2i, может быть найдена как изменение энергии Гиббса или изменение химического потенциала[см. (12.39)]:
Л=Дц=ЯЛп-^ • (13.3?)
Так, если принять концентрацию ионов К1 внутри клетки в 50 раз большей, чем вне клетки, то, согласно (13.38), при температуре 36 СС получим
А = 8,31 ДжДмольК) 309К11150 = 10 кДж/моль.
Механизм работы натрий-калиевого насоса недостаточно ясен, однако существенно, что он работает при условии сопряжения калия и натрия. Это означает, что активного переноса ионов Na1 из клетки нет, если во внешней среде нет ионов К1, а ионов К+ — в клетку, если в клетке отсутствуют ионы Na+. Иначе говоря, ионы натрия активируют натрий-калиевый насос на внутренней поверхности клеточной мембраны, а ионы калия — на внешней.
Натрий-калиевый насос переносит из клетки во внешнюю среду три иона натрия в обмен на перенос двух ионов калия внутрь клетки. При этом создается и поддерживается разность потенциалов на мембране, внутренняя часть клетки имеет отрицательный заряд (см.§ 13.7).
§ 13.6. РАЗНОВИДНОСТИ ПАССИВНОГО ПЕРЕНОСА МОЛЕКУЛ И ИОНОВ ЧЕРЕЗ БИОЛОГИЧЕСКИЕ
МЕМБРАНЫ
Простая диффузия через липидный слой схематически показана на рис. I3.l I, она подчиняется уравнению Фика для молекул (13.9) или в более общем случае для нейтральных и заряженных частиц — уравнению Нернста-Планка (13.31). В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кислорода и углекислого газа. Ряд лекарственных веществ и ядов также проникает через липидный слой по схеме, изображенной на рисунке. Как было отмечено в § 13.2, определенная конформация фосфолипидов способствует диффузии поперек мембраны благодаря перемещению кинков.
Однако подобная простая диффузия протекает достаточно медленно и не может снабдить клетку в нужном количестве питательными веществами. Поэтому есть и иные механизмы пассивного переноса вещества в мембране, к ним относятся диффузия через канал (пору) (рис. 13.12) и облегченная диффузия (в комплексе с переносчиком).
Порой или каналом называют участок мембраны, включающей белковые молекулы и липиды, который образует в мембране проход. Этот проход допускает проникновение через мембрану не только малых
lO2
Липидныу бислой
Рис. 13.12
Рис. 13.13
Рис. 13.11
молекул, например молекул воды, но и более крупных ионов. Диффузия через поры также описывается диффузионными уравнениями, однако наличие пор увеличивает проницаемость Р. Каналы могут проявлять селективность (избирательность) по отношению к разным ионам, это проявится и в различии проницаемости для разных ионов.
Ьщс одно облегчение диффузии — это перенос ионов специальными молекулами-переносчиками (рис. 13.13). Наиболее известна способность молекулы валиномицина (антибиотик) переносить через модельные бислойные мембраны ион калия. Эта молекула захватывает ион К+, образует растворимый в липидах комплекс и проходит через мембрану. За способность переносить ионы через мембраны валино-мицин и другие родственные ему соединения получили название ионофоров,
Транспорт с помощью переносчиков может осуществляться и в варианте эстафетной передачи. В этом случае молекулы-переносчики образуют временную цепочку поперек мембраны и передают друг другу диффундирующую молекулу.
Диффузия комплекса молекулы валиномицина и иона калия также описывается общим уравнением диффузии.
Перенос ионов через мембраны исследовал В.Ф. Антонов.
§ 13.7. ПОТЕНЦИАЛ ПОКОЯ
Поверхностная мембрана клетки не одинаково проницаема для разных ионов. Кроме того, концентрация каких-либо определенных ионов различна по разные стороны мембраны, внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный состав ионов. Эти факторы приводят к появлению в нормально функционирующей клетке разности потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой (потенциал покоя).
Основной вклад в создание и поддержание потенциала покоя вносят ионы Na^, К+ и С1~. Суммарная плотность потока этих ионов с учетом их знаков равна
у = +УК» — УС1-. (13.39)
В стационарном состоянии суммарная плотность потока равна нулю, т.е. число различных ионов, проходящих в единицу времени через мембрану внутрь клетки, равно числу выходящих из клетки через мембрану: 7=0.
Для плотности потоков положительных ионов (Na+ и Кл) запишем выражение (13.36), а для плотности потока отрицательных ионов хлора — выражение (13.37). Суммируем эти потоки:
[Na'h-^Na+lj п [ К Щ - еЦкЩ
--------------- + "kV---------------+
_ j К е"* _ 1
(13.40)
Здесь квадратными скобками [ ]г- м [ ]0 обозначены концентрации ионов соответственно внутри и вне клетки. Сократив (13.40) на , раскрыв выражения и перегруппировав их, получаем:
PNa[Na+J, + /'к|К+|, + Pe(C|-]o= /{AJNa^lo + ЩК+]0 + Рс|[С1
ИЛИ
PNa[Na4z + PK|K% + Pcjqi-]0 с'1' ......................... .
PNJNa+Jo + PK[Kl0 + ^cJOin,
Логарифмируя это выражение, находим:
AJNa+|z + Рк[К 4Z + Рс,[С1~]0
V npNa[Na+]04-PKlK+J0 + PC][Cl-]z
Если от безразмерного потенциала вернуться к электрическому потенциалу [см. (13.32)1, то из (13.41) имеем:
RT ^a[Na+]/ + PKlK+]z + Pcl[Cl-]0 F П PNJNa10 + PK[K+]0 + РС1|С1-]/
(13.42)
Это уровне чие Гольдмана—Ходжкина—Катца.
Различные концентрации ионов внутри и вне клетки созданы ионными насосами — системами активного транспорта. Можно сказать, что потенциал покоя обязан активному переносу.
В качестве примера использования уравнения Гольдмана-Ходжкина—Катца рассчитаем потенциал покоя для гигантского аксона кальмара.
Значения концентраций приведены в табл. 13.1.
Таблица 13.1
Ион Концентрация, ммоль на 1 кг Н2О
внутри клетки вне клетки
К+ 340 10,4
Na+ 49 463
ci- 114 592
Проницаемость ионов существенно зависит от состояния организма. В состоянии покоя при физиологических условиях соотношение коэффициента проницаемости равно
Рк-^а^С1= 1:0,04:0,45.
Следовательно, основной, вклад в потенциал покоя вносят только ионы К+ и СГ. Согласно (13.42) при 30 °C имеем
8,3 • 303 340 + 0,45 • 592
<р =------In---------------59,7 мВ.
м 9,6-10* 10,4 + 0,45-114
Это хорошо согласуется с экспериментальным значением — 60 мВ. Из уравнения Гольдмана-Ходжкина-Катца можно получить уравнение Нернста (12.46) дня равновесного состояния. При этом следует прене-
бречь проницаемостями всех ионов (например, = 0 и РС] = 0), кроме ионов одного сорта (Рк 0). Тогда для ионов К+
RT 1К+Ь — In------ .
F [К+]о
§ 13.8. ПОТЕНЦИАЛ ДЕЙСТВИЯ И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ
При возбуждении разность потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется, возникает потенциал действия (рис. 13.14). Он напоминает апериодические процессы, происходящие при зарядке и разрядке конденсатора (см. § 18.1). В нервных волокнах происходит распространение потенциала действия.
Измерение сопротивления мембраны во время возникновения потенциала действия показало, что оно изменяется, повторяя по формуле временную зависимость потенциала действия. Чтобы решить вопрос, для каких ионов изменяется проницаемость мембраны, следует обратить внимание, что потенциал действия приводит к кратковременному возрастанию потенциала внутри клетки (рис. 13.14). Отрицательный относительно внешней среды потенциал становится положительным. Если по уравнению Нернста (12.46) вычислить равновесные потенциалы на мембране аксона кальмара, то получим соответственно для ионов К+, Na+ и С1 * —90, +46, и —29 мВ. Так как при изменении проницаемости мембраны для какого-либо иона этот ион будет проникать через нее, стремясь создать равновесное состояние, то числовые данные показывают, что внутрь клетки проникают ионы Na+, создавая там положи-
тельный потенциал. Следовательно, при возбуждении клетки в начальный период увеличивается проницаемость мембран именно для ионов натрия.
Измерить проницаемость мембран для какого-либо иона (иначе говоря, электропроводимость или сопротивление мембраны для этого иона) можно, если на основании закона Ома найти отношение тока к напряжению, или наоборот. Практическая реализация такой задачи осложняется тем, что проницаемость (электрическое сопротивление) мембраны при возбуждении изменяется со временем. Это приводит к перераспределению электрического напряжения в цепи, и разность потенциалов на мембране изменяется. Ходжкин, Хаксли и Катц смогли создать опыт с фиксацией определенного значения разности потенциала на мембране. Это позволило им провести измерение ионных токов и, следовательно, проницаемости (сопротивления) мембран для ионов.
Результаты этой интересной работы приведены на рис. 13.15. Кривая 1 соответствует временной зависимости ионного тока через мембрану гигантского аксона кальмара, полученного при изменении потенциала на мембране до +56 мВ (потенциал покоя равен -60 мВ). Направление тока отрицательно, что означает прохождение положительных ионов через мембрану внутрь клетки. Этот ток в начальный период возбуждения, как уже было установлено, обусловлен прохождением ионов Na+ внутрь клетки, где концентрация их значительно меньше, чем снаружи. Естественно, что при таком нарушении равновесия ионы К+ начнут перемещаться наружу, где их концентрация существенно меньше. Для того чтобы выяснить, какая часть тока «натриевая»-, а какая «калиевая», можно провести то же возбуждение, но в искусственных условиях, когда в среде, окружающей аксон, нет Na+. В этом случае (см. кривую 2) ток обусловливается только выходом ионов К’ наружу из клетки. Раз-
ница двух кривых показана на третьей кривой: 3=1-2', она дает зависимость от времени ионного тока Na+. В этой кривой часть а соответствует открыванию натриевых каналов, а б — их закрыванию (инактивации).
Ионные каналы — белкового происхождения (см. рис. 13.3 и 13.11). Они селективно (выборочно) пропускают ионы разного вида. Канал может быть закрыт (блокирован) молекулами ядов, его пропускная способность зависит от действия некоторых лекарственных средств, Поэтому теория ионных каналов в мембранах является важной частью молекулярной фармакологии.
Ходжкин и Хаксли смогли на основании рассмотренного опыта в рамках математического моделирования получить кривые, которые хорошо описывают потенциалы действия разных возбудимых структур. Ими, в частности, получено выражение для плотности суммарного тока через мембрану:
dtp _ _ _
j = С — + (<р - (рк) gK л4 + (ф - <pNa) gNa ^А + (ф-фт)^, (13.43)
где С — электроемкость мембраны, приходящаяся на единицу ее площади; 9 — потенциал действия (разность потенциалов между наружной и внутренней поверхностями мембраны); Фк, ФХа, —равновесные потенциалы соответственно для К+, Na+ и всех остальных ионов; gK, gNa, gy — удельные проводимости мембраны для соответствующих ионов при полностью открытых каналах; п — доля активных (открытых) каналов для К+; т — то же для Na+; h — доля неинактивированных, т.е, неза-крывающихся, натриевых каналов. Таким образом, плотность тока через мембрану определяется емкостным током (током смещения), обусловленным изменением заряда на наружной и внутренней поверхности (dtp \
С— и токами проводимости, вызванными прохождением dr /
разных ионов через мембрану, — остальные три слагаемых в правой части уравнения (13.43).
Механизм распространения потенциала действия по нервному волокну рассматривается в курсе нормальной физиологии. Математическое описание этого процесса приводит к уравнению в частных производных (телеграфное уравнение), которое однотипно с уравнением, отражающим распространение электромагнитной волны по двухпроводной линии или по коаксиальному кабелю. Имеется несколько форм записи телеграфного уравнения.
Приведем одну из них:
Э2(? 2ра / Эр <р Эх2 г V 6 Г + рм/
(13.44)
Здесь Ф — внутриклеточный потенциал, измеряемый относительно потенциала покоя. Он зависит от расстояния л вдоль нервного волокна и времени Z; ра и рм — удельные сопротивления соответственно аксоплазмы и мембраны; г — радиус нервного волокна; См — электроемкость единицы плошади мембраны.
Уравнение (13.44), как уравнение в частных производных, выходит за пределы этого курса.
Наряду с некоторой формальной аналогией между волной возбуждения (распространение потенциала действия по нервному волокну) и электромагнитной волной в двухпроводной линии между этими волнами имеется существенное принципиальное различие.
Электромагнитная волна, распространяясь в среде, ослабевает, так как растрачивает свою энергию. Имеет место диссипация энергии колебании, т.е. превращение энср[ ии колебаний (волн) в энергию молекулярно-теплового движения.
Источником энергии электромагнитной волны является источник этой волны: генератор, искра и т.п.
Волна возбуждения не затухает, так как получает энергию из самой среды, в которой опа распространяется (в рассматриваемом примере — энергия заряженной мембраны).
Волны, Получающие энергию из среды в процессе распространения, названы автоволнами, а среда — активной.
Таким образом, распространение потенциала действия по нервному волокну происходит в форме автоволны. Активной средой являются возбудимые клетки.
Расчеты показывают, что скорость распространения возбуждения по гладким немиелинизированным нервным волокнам примерно пропорциональна квадратному корню из их радиуса (и*- -V7). Сравнительно высокие скорости распространения потенциала действия у некоторых беспозвоночных (20—30 м/с) обеспечиваются большим диаметром их волокон (до 1 мм).
У позвоночных животных повышение скорости распространения возбуждения достигается миелинизацией волокон. Удельное сопротивление миелина больше, чем \ других биологических мембран, толщина
миелиновой оболочки в сотни раз превышает толщину обычной клеточной мембраны. Скорость распространения пропорциональна и толщине, и удельному сопротивлению мембраны, поэтому она достаточно высока и у позвоночных животных.
Нарушение миелиновой оболочки приводит к нарушению распространения потенциала действия по нервному волокну7 и, как следствие, к тяжелым нервным заболеваниям.
Раздел 4 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Электрические и магнитные явления связаны с особой формой существования материи — электрическими и магнитными полями и их взаимодействием. Эти поля в общем случае настолько взаимозависимы, что принято говорить о едином электромагнитном поле.
Электромагнитные явления имеют три направления медико-биологических приложений. Первое из них — понимание электрических процессов, происходящих в организме, а также знание электрических и магнитных свойств биологических сред. Например, физические основы электрокардиографии, магнитобиологии и реографии, электропроводимость биологических тканей и жидкостей и др. Второе направление связано с пониманием механизма воздействия электромагнитных полей на организм. Это воздействие может выступать как лечебный, производственный или климатический фактор. Третье направление — приборное, аппаратурное. Электродинамика является теоретической основой электроники и, в частности, медицинской электроники. В этом отношении значение электродинамики для медицины усиливается еще и потому, что многие неэлектрические параметры биологических систем, например температуру, стремятся преобразовать в электрический сигнал для удобства измерения и регистрации.
Глава 14
Электрическое поле
Электрическое поле есть разновидность материи, посредством которой осуществляется силовое воздействие на электрические заряды, находящиеся в этом поле. Характеристики электрическою поля, которое генерируется биологическими структурами, являются источником информации о состоянии организма.
§ 14.1. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ - ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Силовой характерисз икой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в дачной точке поля на точечный заряд, к этому заряду:
E=F/q. (I4.l)
Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.
Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:
= Ш У, Z); ЕУ =f2 (х, у, <); Ez =fy (х, у, z), (14.2)
где Ех. Ev и Е7 — проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля Электрическое поле графически удобно представ.гять силовыми линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.
Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было равно значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.
Рис. 14.1
Энергетической характеристикой электрического поля служит потенциал.
Представим себе, что заряд q перемешается в электрическом поле по траектории 1—а—2 (рис. 14.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (14,1)];
2 2
А= f Etf-dl^qi Erdl, 1 1
(14.3)
где dZ — элементарное перемещение; Et — проекция Е на направление dZ. Покажем, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.
Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории !—а~2—б— 1 (рис. 14.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому раО'о-та сил электростатического поля по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю1:
2 1
А = Д £’/d/= q j E(dl + q f £/d/= 0. (14.4)
J 1 2
Так как силы, действующие на заряд q. определяются его положением в поле, то выражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:
1 2
q\E^l=-q jE/d/;
2 1
(по б) (no б)
1
<7 J‘E/dZ =
2
(по a)
2
I
(no 6)
(14.5)
Равенство (14.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от заряда, начальной и конечной точек перемещений и от напряженности поля.
1 Предполагается, что потери на излучение ничтожно малы.
На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов, или напряжения.
Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами ноля при перемещении точечного положительною заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:
2
tfjz’/dZ 2 A i г
Ц2-Ф2-Ф1 “ — ~ ~ — J £}dZ, Ц4.6)
где <р[ и ср2 — потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и напряженности электрического поля [см. (14.6)].
Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала, Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с Землей, или потенциал шасси, на котором смонтировано радиоустройство (и в том и в другом случаях .
говорят о заземлении), равны нулю. В тео- f г2
ретических задачах обычно считают рав- '
ным нулю потенциал бесконечно удал&нных / точек. ' ’
Вычислим потенциал поля точечного за- Рис ряда, расположенного в однородном изотропном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ег(рис. 14.2). Пусть точки / и 2 находятся на одной силовой линии на расстояниях соответственно и г-> от источника поля — заряда Q Проинтегрируем выражение (14.6) по отрезку 1 -2, учитывая, что Е( = Е = = Q / (4деге0г2) (для точечного заряда) и dr = dZ:
? Q ? dr С О.
91 92 J 4ле е J г2 4лсгепГ| 4яе^еиг,' 04.7)
й И
где х 8,84 ЗО-12 Ф/м — электрическая постоянная.
Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю: О при г2 сс- Тогда из (14.7) получаем:
Q
4лЕг£0Г| ’
или в более общем виде:
Q
4Л£Г£ОГ '
(14.8)
Могли быть и другие предположения относительно потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше, допущение привело к наиболее простому выражению (14.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.
Потенциалы в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят эквипотенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала, На рис, 14.3 изображены эквипотенциальные поверхности1 (штриховые
линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.
Аналитически зависимость электрического потенциала от координат
в разных точках поля задастся уравнением:
Ф у, Z)
(14.9)
или в частных случаях — другими зависимостями, например (14.8).
Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал — через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость уже дана формулой (14.6), или
2
^21 = Фа — (Pi= — f Ei&.
1
(14.10)
1 В плоскости рисунка эквипотенциальные поверхности изображаются эквипотен анальными линиями.
Здесь верхнему пределу интеграла, как и следует из математики, соответствует в левой части уменьшаемое ф2, нижнему — вычитаемое фР
Получим дифференциальную связь межд> Е и <р. Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (14.10) получим:
d<p - —E^l, или Е{ = -dep/d/.
(14.il)
Производная от потенциала по направлению dep/d/характеризует от
ношение прирашения потенциала к соответствующей длине в некото-
ром направлении /; — проекция вектора Е на это направление.
Смыл формулы (14,11) виден из рис. 14 4 В точке О проведен вектор Е, который спроецирован на направления /2 и /3. ^ти ПР°~ екции численно равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: dep/d/j, d(p/d/2, dep/d/j. Наибольшее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой,
совпадающей с Е; знак минус означает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении Е и быстрее всего возрастает в направлении -Е Можно сказать, что вектор Е равен взятому с обратным знаком градиен-
ту потенциала:
Е = - gradep.
(14.12)
В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем
Е) = 0 -> dep/d/ = 0 —> ср = const.
(14.13)
Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны, Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (14.6) находим, что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии /,
£ = ((р( - <р2) / Z= Un/1
(14.14)
Учитывая (14.11) и (14.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:
Ех = -йф/бх, Еу = —d<p/dy, Ez = — d<p/dz.
(14.15)
Тогда напряженность определяют по формуле:
I 2 3 ~
Е = у Ех + Ev + Ez, (14.16)
а направление Е — по значениям косинусов углов между этим вектором и осями координат:
cos( Е , х) = Ех/ £; cos( F, у) = Еу / £; cos( Е , z) ~ E.J Е.
Если поле создано Nточечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в этой точке отдельно (принцип суперпозиции):
.V £=S Д, /=1 (14.17)
а электрический потенциал в этой точке — как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:
Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих 1 змерсний, используя связь Е и ср.
§ 14.2.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Электрическим диполем (диполем) на бывают систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя). Основной характеристикой диполя (рис. 14.5) является его электрический, или дипольный момент — вектор, равный произведению заряда на плечо диполя, направленный от отрицательного заряда к положительному:
Р = дГ (14.19)
Единицей электрического момента дипо- ।
ля является кулон-метр.
Поместим диполь в однородное электри- р
ческое поле напряженностью Е (рис. 14 б). рис -ц
На_каждый in зарядов диполя действуют
силы I = q Е и Е_ = — qE ; эти силы противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен
Л/since = р Esina, (14.20)
или в векторной форме
М = Р*Ё. (14.21)
Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряженности поля.
Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии, направление которой противоположно оси X (рис. 14.7). На него действуют силы
Е+ = qE и Е_= - qE ,
где Е^ и Е._ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 14.7 Е_ > ЕЕ). Значение равнодействующей этих сил:
£= F_ - F, = qE_ - qE, = q(E_ ~ Е+).
(14.22)
Введем отношение (Е_ — Е+)/1, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать
Рис. 14.6
Рис. 14,7
(Е_- E.)/l= dE/dx. (14,23)
где dE/dx — производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (14.2?) следует, что
тогда формулу (14.22) можно представить в виде
dE dE
F =P-—~
dx dx
(14.24)
Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx.
Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еше и вращающий момент, так что свободный диполь практически всегда втягивается в область больших значений напряженности поля.
До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое поле, однако сам диполь является источником поля. На основании (14.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, созданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответственно па расстояния ги q (рис. 14.8):
д / ।______1_
4лСг£Г| \ Г[ г
Q f ~ 4пег£0 rq
(14.25)
Предположим, что I«к, I«q у тогда г« q и
rq ® г— q ~ /cosa,
(14.26)
где а — угол между вектором р и направлением от диполя на точку А (рис. 14.8). Используя (14.26), из (14.25) получаем:
ql cos а 1 р cos а 4л8г£0Г2 4пЕ,.£|| Г2
(14.27)
Рассмотрим некоторые приложения формулы (14.27).
Пусть диполь, электрический момент которого равен р, находится в точке О (рис.14.9), а его плечо мало. Используя (14.27), запишем разность потенциалов двух точек поля А и 5, равноотстоящих от диполя:
Рис. 14.9
Рис. 14.10
1 Р .
Фв ~ Фа = 4“’е r2 (cos ав - cos аА).
Угол между р и прямой АВ или ОС обозначим о. (Z АОВ = 0), тснда (рис. 14,9):
otj = а + р/2 + я/2, а5 = а — р/2 + л/2.
Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:
2а + л (Pi Р
cosaB — cosaA = —2 sin —-— sin у-—/ = 2 sin ~ cosa. (14.29)
Подставляя (14.29) и (14.28), имеем:
Pl sin ~ I
1 p _ . p \2 '
- (pA - 2 T №sa = p cosa. (14.30)
Как видно из (14.30), разность позенпиалов двух точек поля диполя (при данных -бг и г) зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 14,10), и проекции электрического момента диполя pcosa на прямую, соединяющую точки (рис. 14.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (14.27).
Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника АВС (рис. 14.12). Тогда графически на основании (14.30) можно получить. что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции р на его стороны:
Ц-1Я - U вс U са ~ Рав ' Рве: Рса
(14.31)
§ 14.3. ПОНЯТИЕ О МУЛЬТИПОЛЕ
Диполь является частным случаем системы электрических зарядов, обладающих определенной симметрией. Можно указать еще примеры симметричных систем зарядов (рис. 14.13). Общее название подобных
распределений зарядов — электрические мультиполя.
Они бывают разных порядков (/=0.1,2 и т.д.), число зарядов муль
типоля определяется выражением 2<
Так, мультиполем нулевого порядка (2° = 1) является одиночный точеч-
ный заряд (рис. 14.13, а), мультиполем первого порядка (21 = 2) - - диполь, мультиполем второго порядка (22 — 4) — квадруполь (рис. 14.13, б), мультиполем третьего порядка (23 = 8) — октуполь (рис. 14.13, в) и т.д.
а б в
Рис. 14.13
Потенциал поля мультиполя убывает на значительных расстояниях от него (А » d, где d — размеры мультиполя) пропорционально 1/А/+|.
Так, для заряда (/ = 0) <р ~ 1/Л диполя (/ = 1) <р - 1 /R1, для квадруполя ( / ~ 2) ср ~ 1/Я3 и т.д.
Если заряд распределен в некоторой области пространства, то потенциал электрического поля вне системы зарядов можно представить в виде некоторого приближенного ряда:
= А + А . А
ф R № Я3 ‘
(14.3?)
Здесь R — расстояние от системы зарядов до точки А с потенциалом <р; — некоторые функции, зависящие от вида мультиполя, его зарядов и направления на точку А. Первое слагаемое (14.32) соответствует монополю, второе — диполю, третье — квадруполю и т.д. В случае нейтральной системы зарядов первое слагаемое равно нулю. Если R очень велико, то можно пренебречь всеми членами ряда начиная с третьего. Тогда из (14.32) получаем потенциал диполя [см. (14.27)].
§ 14.4. ДИПОЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР (ТОКОВЫЙ ДИПОЛЬ)
В вакууме или в идеальном изоляторе электрический диполь может сохраняться сколь угодно долго. Однако в реальной ситуации (электропроводная среда; под действием электрического поля диполя возникает движение свободных зарядов и диполь либо экранируется, либо нейтрализуется.
Можно к диполю подключить источник напряжения, иными словами, клеммы источника напряжения представить как диполь. В этом с ту-чае, несмотря на наличие тока в проводящей среде, диполь будет сохраняться (рис. 14.14, а). Резистор является эквивалентом сопротивления проводящей среды, Е — э.д.с. источника, г — его внутреннее сопротивление (рис. 14.14, б).
На основании закона Ома для полной цепи
г + Я,
если г » то I— £ / г.
Можно заключить, что в этом случае сила тока во внешней цели будет оставаться почти постоянной, она почти не зависит от свойств
среды (при условии г» R}). Такая двухполюсная система, состоящая из истока и стока тока, называется дипольным электрическим генератором или токовым диполем
Между дипольным электрическим генератором и электрическим диполем имеется большая аналогия, которая основывается на общей аналогии электрического поля в проводящей среде электростатического поля.
Проиллюстрируем эту аналогию на примере плоского конденсатора. Пусть между пластинами плоского конденсатора находится среда с удельным электрическим сопротивлением р или иначе с удельной электрической проводимостью у (у = 1/р). Сопротивление между пластинами конденсатора, как для проводника с сечением 5 и длиной /, равно:
1 /
Я—=
Электрическая проводимость равна:
(14.33)
Если сравнить (14.33) с выражением для емкости плоского конденсатора:
(14.34)
то можно заключить: формула (14.33) для проводимости получается из формулы (14.34) для емкости — заменой абсолютной диэлектрической проницаемости еа=на у.
Суть аналогии электрическою поля в проводящей среде и электростатического поля сводится к следующему:
• линии тока (электрическое поле в проводящей среде) совпадают с линиями напряженности электростатического поля при одинаковой форме электродов;
в том и другом случаях многие формулы имеют тождественный вид, переход от одних формул к другим осуществляется заменой га на у, q на I, С на G (или 1/С на /?). Закон Ома G = I/U аналогичен формуле С = q/U.
Воспользуемся этой аналогией и получим выражение для токового диполя. Аналогично электрическому моменту диполя введем дипольный момент дипольного электрического генератора:
Лг — II,
где / — расстояние между точками истока и стока тока. Потенциал поля дипольного электрическою генератора выражается формулой, аналогичной (14.27):
1 р гcos а
Ф = ~—Т—
4лу г2
(14.35)
(в безграничной среде). Линии напряженности электростатического поля электрического диполя одинаковы с линиями напряженности электрического поля токового диполя (они же совпадают и с линиями тока) (см. рис. 14.3). В соответствии с изложенным в § 14.3 можно ввести и понятие мульти пол ьного электричес кого генератора.
По существу, электрический мультипольный генератор — это некоторая пространственная совокупность электрических токов (совокупность истоков и стоков различных токов).
Все, что было сказано выше о потенциалах полей системы зарядов (электростатическое поле), справедливо и для такого генератора (токового мультиполя) в слабо проводящей среде.
§ 14.5.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОКАРДИОГРАФИИ
Живые ткани являются источником электрических потенциалов (биопотенциалов.)
Регистрация биопотенциалов тканей и органов с диагностической (исследовательской) целью получила название электрографии. Такой общий термин употребляется сравнительно редко, более распространены конкретные названия соответствующих диагностических методов: электрокардиография (ЭКГ) -~ регистрация биопотенциалов, возникающих в сердечной мышце при ее возбуждении, электромиография — метод регистрации биоэлектрической активности мышц, электроэнцефалография (ЭЭГ) — метод регистрации биоэлектрической активности головного мозга и др.
В большинстве случаев биопотенциалы снимаются электродами не непосредственно с органа (сердце, головной мозг), а с других, «соседних», тканей, в которых электрические поля этим органом создаются. В клиническом отношении это существенно упрощает саму процедуру регистрации, делая ее безопасной и несложной.
Физический подход к электрографии заключается в создании (выборе) модели электрического генератора, которая соответствует картине снимаемых поз енииалов. В связи с этим здесь возникают две фундаментальные теоретические задачи: расчет потенциала в области измерения по заданным характеристикам электрического генератора (модели) — прямая задача, расчет характеристик электрического генератора по измеренному потенциалу — обратная задача.
Дальнейшие конкретные рассмотрения физических вопросов электрографии сделаны на примере электрокардиографии.
Одной из основных задач теоретической электрокардиографии является вычисление распределения трансмембранного потенциала клеток сердечных мышц по потенциалам, измеренным вне сердца. Однако даже чисто теоретически такую задачу решить невозможно, так как одно и то же внешнее проявление биопотенциалов сердца будет при разном внутреннем их распределении.
Физический (биофизический) подход к выяснению связи между биопотенциалами сердца и их внешним проявлением заключается в моделировании источников этих биопотенциалов. Все сердце в электрическом отношении представляется как некоторый эквивалентный электрический т енератор либо чисто умозрительно (гипотетически), либо в виде реального устройства как совокупность электрических источников в проводнике, имеющем форму человеческого тела. На поверхности проводника при функционировании эквивалентного электрического генератора будет электрическое напряжение, которое в процессе сердечной деятельности возникает на поверхности тела человека. Предполагают, что среда, окружающая сердце, безгранична и однородна с удельной электрической проводимостью у.
В этом случае для потенциала в некоторой точке можно записать формулу, аналогичную (14.32). При больших R в рамках тех допущений, которые были сделаны в § 14.3, и в этом случае можно ограничиться дипольным приближением и получить формулу (14.35).
Итак, найдено выражение потенциала поля диполя. Это означает, что в мультипольном эквивалентном генераторе сердца основная часть в потенциал на поверхности тела человека вносится его дипольной составляющей. Иначе говоря, моделировать электрическую деятельность
сердца вполне допустимо, если использовать дипольный эквивалентный электрический генератор. При условии ограниченности (конечности) окружающей среды можно прийти к выражению, которое будет отличаться от (14.32) только некоторым множителем.
Дипольное представление о сердце лежит в основе теории отведений Эйнтховена. Согласно ей, сердце есть диполь с дипольным моментом р^, который поворачивается, изменяет свое
Рис. 14.15
положение и точку приложения (изменением точки приложения этого вектора часто пренебрегают) за время сердечного цикла.
На рис 14.15 показаны положения вектора рс и эквипотенциальных
линий для момента времени, когда дипольный момент максимален; это соответствует зубцу Л на электрокардиограмме (см. рис. 14.17).
В табл. 14.1 приведены значения максимального дипольного момен-
та для человека и некоторых животных, они сопоставляются с массами
сердца и тела.
Таблица 14.1
Объект Масса сердца, г Масса тела, кг Максимальный дипольный момент сердца, мА см
Лягушка 0.16 0,036 0,005
Крыса 1,10 0,277 0,107
Собака 108 14.2 1,63
Человек 300 71,5 2,32
Лошадь 3060 419 13,0
В. Эйнтховен предложил снимать разности биопотенциалов сердца между вершинами равностороннего треугольника, которые приближенно
1 В медико-биологической литературе используют термин «вектор электродвижущей силы сердца».
расположены в правой /7Ри левой ЛРруке плевой ноге JJH(рис. 4.16, а). На рис. 14.16, б схематически изображен этот треугольник.
По терминологии физиологов, разность биопотенциалов, регистрируемая двумя точками тела, называют отведением.
Различают I отведение (правая рука—левая рука), II отведение (правая рука—левая нога) и III отведение (левая рука—левая нога), соответствующие разностям потенциалов Ц, (Уи и £/ш. По Эйнтховену, сердце расположено в центре треугольника. Отведения позволяют определить по формуле (14.31) соотношение между проекциями электрического момента сердца на стороны треугольника.
Так как электрический момент диполя — сердца — изменяется со временем, то в отведениях будут получены временные зависимости напряжения, которые и называют электрокардиограммами.
На рис 14.17 показана нормальная электрокардиограмма человека в одном и з отведений.
Электрокардиограмма не дает представления о пространственной ориентации вектора рс. Однако для диагностических целей такая информация важна. В связи с этим применяют метод пространственного исследования электрического поля сердца, называемый вектор-кардиографией.
Вектор кардиограмма — геометрическое место точек, соответствующих концу вектора рс, положение которого изменяется за время сердечного цикла.
Проекция вектор-кардиограммы на плоскость, например на фронтальную, практически может быть получена сложением напряжений двух взаимно перпендикулярных отведений. На рис. 14.18 показано такое сложение с использованием электронного осциллотрафа, на экране
которого наблюдается кривая В. По форме этой кривой делают диагностические выводы.
Большую работу по моделированию электрической активности сердца проделал Л.И. Титомир.
§ 14.6. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Диэлектриками называют тела, не проводящие электрического тока.
Термин «диэлектрик» введен М. Фарацеем для обозначения веществ, через которые проникают электрические поля, в отличие от металлов, внутри которых электростатического поля нет. К диэлектрикам относят твердые тела, такие, как эбонит, фарфор, жидкости (например, чистая вода), газы.
При изменении внешних условий (нагревание, радиоактивное облучение и т.п.) диэлектрик может проводить электрический ток. Изменение состояния диэлектрика при помещении в электрическое поле можно объяснить его молекулярным строением. Условно выделим три класса диэлектриков:
1) с полярными молекулами;
2) с неполярными молекулами;
3) кристаллические.
К первому классу принадлежат такие вещества, как вода, нитробензол и др. Молекулы эз их диэлектриков не симметричны, центры масс их положительных и отрицательных зарядов не совпадают, и они обладают электрическим моментом диполя даже в случае, когда электрического поля нет.
На рис 14.19 схематически показаны молекулы соляной кислоты (а) и воды (б) и соответствующие им дипольные моменты в дебаях1. При
1 Дебай (Д) — внесистемная единица дипольного момента молекул: 1Д = -3,3356440 30 Кл-м.
Рис. 14.19
отсутствии электрического поля дипольные моменты молекул ориентированы хаотически (рис. 14.20, а) и векторная сумма п моментов всех п н
молекул равна нулю: £ р.= 0
„ '=1
Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то дипольные моменты молекул стремятся ориентироваться вдоль поля (рис. 14.20, б), однако полной ориентации не будет вследс гвие молекулярно-теплового п
хаотического движения. В этом случае Д- 0 .
/=]
Ко второму классу диэлектриков относят такие вещества (например, водород, кислород и др ), молекулы которых при отсутствии электрического поля не имеют дипольных моментов. В таких молекулах заряды электронов и ядер расположены так, что центры масс положительных и отрицательных зарядов совпадают. Если неполярную молекулу поместить в электрическое поле, то разноименные заряды несколько сместятся в противоположные стороны и молекула будет име гь дипольный момент. На рис 14.21 схематически в виде кружков показаны молекулы такого диэлектрика при отсутствии (а) и наличии (б) поля. Стрелки у кружков означают дипольные моменты молекул
Третий класс — кристаллические диэлектрики (например, NaCl), решетка которых состоит из положительных и отрицательных ионов. Такой диэлектрик можно схематически рассматривать как совокупность двух подрешеток, одна из которых заряжена положительно, другая — отрицательно. При отсутствии поля подрешетки расположены симметрично и суммарный электрический момент такого диэлектрика равен нулю1. Если диэлектрик поместить в электрическое поле, то подрешетки немного сместятся в противоположные стороны и диэлектрик приобретет электрический момент.
1 Строго говоря, ионные кристаллы могут обладать электрическим моментом и при отсутствии внешнего поля, однако здесь это не учтено.
Все эти процессы, происходящие в разных диэлектриках, находящихся в электрическом поле, объединяют общим термином поляризация, т.е. приобретение диэлектриком полярности.
Для первого класса диэлектриков характерна ориентационная поляризация, для второго — электронная, т.е. смещение главным образом электронов, для третьего — ионная.
Такая классификация условна, так как в реальном диэлектрике могут одновременно существовать все виды поляризации.
Изменение напряженности электрического поля, в котором находится диэлектрик, будет влиять на состояние его поляризации. Охарактеризовать степень поляризации диэлектрика просто суммарным электрическим моментом диполя его молекул А-) нельзя, так как эта „ тт '-1
величина зависит, в частности, от объема. Для оценки состояния поляризации диэлектрика вводят величину, называемую поляризвванностъю, среднее значение которой равно отношению суммарного электрического момента элемента диэлектрика к объему этого элемента:
— п Л
— 2L у ' (14.36)
Единицей поляризованное™ является кулон на квадратный метр (Кл/м2).
При поляризации диэлектрика на одной его поверхности (грани) создаются положительные заряды, а на друтой — отрицательные (см рис. 14.20, би 14.21, б). Эти электрические заряды называют связанными, так как они принадлежат молекулам диэлектрика (или кристаллической решетке при ионной поляризации) и не могут перемещаться в отрыве от молекул или быть удалены с поверхности диэлектрика в отличие от свободных зарядов, которых в идеальном диэлектрике нет.
При возрастании напряженности электрического поля упорядочивается ориентация молекул (ориентационная поляризация), увеличива-
ются дипольные моменты молекул (электронная поляризация), а также происходит смещение подрешеток (ионная поляризация) — все это приводит к увеличению поверхностной плотности ось связанных электрических зарядов.
Рис. 14.21
Рис. 14.22
Таким образом, асв также характеризует степень поляризации диэлектрика.
Установим связь между Ре и на примере поляризованного диэлектрика, сделанного в виде параллелепипеда (рис. 14.22, а). Такой параллелепипед является совокупностью диполей, которые, простоты ради, можно рассматривать как «цепочки»; одна из них показана на рис. 14.22, 6. Так как внутренние части «цепочки» диполей электрически компенсируются, то такая «цепочка» подобна длинному диполю с расстоянием между зарядами, равным ребру параллелепи-
педа.
Если на грани параллелепипеда с площадью 5 возник связанный заряд <?св, п
X, Pi параллелепипеда численно равен q^i.
суммарный электрический момент н
но так как <?св = осв 5, то
— осв SI. Объем параллелепипеда И = 57 cosa. На
основании двух последних равенств имеем
п
1р.
осв И
COSOC
Учитывая (14.36) и (14.37), получаем Ре — р, / = CqS0,’ > откУДа
(14.37)
°сь = ?е СОЯ*7-
(14.38)
Итак, поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной к грани + _ составляющей вектора Рр.
Рассмотрим, например, плоский диэлектрик, распо-
ложенный в однородном электрическом поле (рис. 14.23); Eq — напряженное т-ь поля при отсутствии диэлектрика (поле в вакууме). Связанные заряды создают однородное поле напряженностью Д.о, в резулыате в диэлектрике будет электрическое поле, напряженность которого
Известно, что относительная диэлектрическая проницаемость среды равна отношению силы взаимодействия зарядов в вакууме к силе взаимодействия этих же зарядов на том же расстоянии в среде:
Fq/ Е = гг или Fo = cr F.
Так как напряженность электрического поля пропорциональна силе, действующей на заряд [см. (14.1)]. аналогичное соотношение можно записать для Eq И Е\
(14.40)
Напряженность электрического поля, образованного связанными электрическими зарядами, FrB = осв /е0. Для данного примера из (14.39) имеем асв = Ре, тогда Есв = Ре/ е0. Подстаадяя эту формулу и (14.40) в (14.39), получаем Е = — Ре! sq,
ИЛИ Е(С,. - 1) = PJ Eq, откуда
((14.41)
Как и можно было ожидать, поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля в диэлектрике На основании (14.41) вводят понятие диэлектрической восприимчивости среды'.
(14.42)
которая вместе с относительной диэлектрической проницаемостью сгхаракте-ризует способность диэлектрика к поляризации и зависит от его молекулярного строения, а также от температуры. В переменных электрических полях &г и х изменяются в зависимости от частоты.
В табл. 14.2 приведены значения различных биологических сред и некоторых веществ в постоянном электрическом поле при комнатной температуре.
Таблица 14.2
Ег
Керосин 2 Белок яичный 72
Масло растительное 2-4 Вода 81
Стекло 6-10 Кровь цельная 85
Крахмал 12 Серое вещество .мозга 85
Молоко коровье 66 Нерв зрительный 89
Белое вещество мозга 90
Различие диэлектрической проницаемости нормальных и патологических тканей и сред как в постоянных, так и в переменных электрических полях пытаются использовать дня дна! ностичсских целей.
§ 14.7. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
В кристаллических диэлектриках поляризация может возникнуть при отсутствии электрического поля при деформации. Это явление получило название пьезоэлектрического эффекта (пьезоэффектл).
Различают поперечный пьезоэффскт (рис. 14.24) и продольный (рис. 14.25). Стрелки показывают силы, действующие на кристалл. При изменении деформации, например при переходе от сжатия к растяжению, изменится и знак возникающих поляризационных зарядов.
Пьезоэлектрический эффект обусловлен деформацией элементарных кристаллических ячеек и сдвигом подрешеток относительно друг друга при механических деформациях. Поляризованность при небольших механических деформациях пропорциональна их величине. Пьезоэффект возникает в кварце, ссгнетовой соли и других кристаллах, в которых элементарная ячейка решетки не имеет центра симметрии.
Для демонстрации пьезоэффскта можно использовать установку, схема которой изображна рис. 14.26 К кристаллу К, обладающему пьезоэлектрическими свойствами, приложены металлические пластины М, которые замкнуты через неоновую лампу Н. Эта лампа потребляет небольшой силы ток и загорается при определенном напряжении, т.е. является своеобразным индикатором напряжения.
При ударе (деформации) по кристаллу появляется напряжение на его гранях, а значит, и на металлических пластинах, и неоновая лампа вспыхивает.
Наряду с рассмотренным прямым пьезоэлектрическим эффектом наблюдается и обратный пьезоэффскт: при наложении на кристаллы электрического поля последние деформируются.
Оба пьезоэффекта — прямой и обратный — применяют в тех случаях, когда необходимо преобразовать механическую величину в электрическую, или наоборот.
Так, прямой пьезоэффект используют в медицине — в датчиках для регистрации пульса, в технике — в адаптерах, микрофонах и для измерения вибраций, а обратный пьезоэффект — для создания механических колебаний и волн ультразвуковой частоты.
Рис. 14.24
Рис. 14.25
Рис. 14.26
Существенный пьезоэффект возникает в костной ткани при наличии сдвиговых деформаций.
Причина эффекта — деформация коллагена — основного белка соединительной ткани. Поэтому пьезоэлектрическими свойствами обладают также сухожилия и кожа. При нормальней функциональной нагрузке, а также при отсутствии дефектов в строении кости в ней существу юг только деформации сжатия-растяжения и пьезоэффект отсутствует. Когда что-то ненормально и возникает сдвиговая деформация, возникает пьезоэффект. Он оказывает влияние на постоянно идущие в кости процессы разрушения и созидания и содействует тому, чтобы исчез сдвиг (меняется архитектура и даже форма кости). Указывают два возможных механизма воздействия пьезоэффекта: а) электрическое поле изменяет активность клеток, продуцирующих коллаген, и б) электрическое поле участвует в укладке макромолекул. Исследованием этого вопроса занимался В.Ф. Чепель.
§ 14.8.ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Система зарядов или заряженных тел, заряженный конденсатор обладают энергией.
В этом можно убедиться, разряжая, например, конденсатор через лампочку, присоединенную к нему: лампочка вспыхнет.
Вычислим энергию поля конденсатора. Чтобы зарядить его. будем многократно переносить положительный заряд dq с одной обкладки на другую. По мере его переноса увеличивается напряжение между обкладками конденсатора. Работа, которую необходимо совершить против сил электрического поля дпя .зарядки конденсатора, равна энергии конденсатора:
Еэл = А.
Элементарная работа по перемещению заряда против сил поля равна dA = U- dq. Перенос заряда dq с одной обкладки конденсатора на другую изменяет напряжение его dt/, и тогда из формулы для электроемкости запишем dry = С- dU, а значит, dA ~ С- U dU.
Проинтегрировав это равенство в пределах от UQ = 0 до некоторого конечного значения U, найдем выражение для энергии поля заряженного конденсатора'.
А = Е^ = О &/2. (14.43)
или, учитывая, что С— q/U,
E3^q- U/2 = q2/(2Cj.
(14.44)
Если, не изменяя заряда на об клад кал конденсатора, отключенно-
го от источника напряжения, раздвигать его пластины от до /2, то элек-
троемкость будет уменьшаться. Как видно из (14.44), энергия конденсатора с увеличением объема, занимаемого электрическим полем (рис. 14.27), возрастает, а напряженность поля остается постоянной. Отсюда ясно, что энергия заряженного конденсатора сосредоточена в объеме, занимаемом электрическим полем.
Болес убедительно пояснить существование
Рис. 14.27 энергии электрического поля можно на примере
переменного электромагнитного поля (передача сигнала на расстояние, давление света и т.п.).
Выразим энергию поля через его характеристики. С этой целью преобразуем (14.43). подставив выражение для емкости плоского конденсатора и напряжение из (14.14):
— sr£0 & ^/2,
(14.45)
где V= SI — объем, занимаемый электрическим полем.
Предполагая, что электрическое поле плоского конденсатора однородно, разделим (14.45) на объем и получим объемную плотность энергии поля'.
Единицей объемной плотности является джоуль на кубический метр (Дж/м3).
В заключение заметим, что формула (14.46) справедлива и для неоднородного электрического поля, но тогда она выражает объемную плотность энергии в точке. Энергия этого поля может быть найдена интегрированием (14.46) по соответствующему объему:
Е„ = у- Js^dK. V
В общем случае относительная диэлектрическая проницаемость различна в разных точках среды, т.е. зависит от координат, поэтому в этой формуле ег входит под знак интеграла.
Глава 15
Электрический ток
Под электрическим током обычно понимают направленное движение электрических нарядов. Различают ток проводимости и конвекционный ток. Ток проводимости — это направленное движение зарядов в проводящих телах; электроны в металлах, электроны и дырки в полупроводниках, ионы в электролитах, ионы и электроны в газах. Конвекционный ток — это движение заряженных тел и поток электронов или других заряженных частиц в вакууме.
Приведенная классификация тока в значительной степени условна. Так, например, переменное электрическое поле тоже называют током — током смещения. Есть по крайней мере один общий признак у любого тока: он является источником магнитного поля.
В главе рассматриваются некоторые характеристики электрического тока и источников тока, ток в электролитах и газах и термоэлектрические явления.
§15.1. ПЛОТНОСТЬ И СИЛА ТОКА
Траектории направленного движения положительных электрических зарядов по проводнику назовем линиями тока, касательные к которым показывают направление скорости упорядоченного движения заряда. Обычно линии тока связывают не со скоростью зарядов, а с плотностью тока.
Плотность тока — векторная характеристика электрического тока, численно равная отношению силы тока сквозь малый элемент поверхности, нормальный к направлению движения заряженных частиц, образующих ток, к площади этого элемента:
В § 13.4 была установлена связь между плотностью потока частиц, концентрацией и скоростью их направленного движения [см. (13.29) |:
J = ли.
Если эту формулу умножить на заряд q носителя тока, то получим плотность тока:
j=qJ=qnv. (15.1)
Эту запись можно дать и в векторной форме:
;=<7*u. (15.2)
Вектор j направлен по касательной к линиям тока. Для силы тока запишем следующее выражение:
/ = d<7/d/. (15.3)
Сила тока есть производная по времени от заряда, проходящего сквозь некоторое сечение «ли поверхность.
§ 15.2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ИСТОЧНИКОВ ТОКА
Для того чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это осуществляется источниками тока.
Пусть по замкнутой цепи (рис. 15 I) движется положительный заряд. В идеальном случае сопротивление подводящих проводников (участки 1—2 и 3—4) примем за нуль, т.е. потенциалы точек 7 и 2(3 и 4) одинаковы. Из (14.15) следует, что напряженность поля в таких проводниках равна нулю. Направленное движение зарядов происходит по инерции.
без сопротивления и без воздействия ускоряющей силы.
На участке 2-3 разность потенциалов (<р2 — <рз) равна падению напряжения IR. Наличие разности потенциалов означает, что в проводнике напряженность электрического поля отлична от нуля. Следовательно, на заряд действует сила со стороны электрического поля; кроме того, заряды взаимодействуют в металлах
Рис. 15.1
с ионами кристаллической решетки, что обусловливает силу трения (электрическое противление).
На участке 4—1 положительный заряд переходит от меньшего потенциала ф4 к большему фр Такое перемещение против сил электрического поля происходит под действием сил, получивших название сторонних (£сг). Эти силы могут быть химического, электромагнитного, механического и другого происхождения, кроме электростатического.
Сторонние силы совершают работу.
Электродвижущей силой (э.д.с.) источника тока называют величину, численно равную работе сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда по всей иепи.
Практически работа сторонних сил отлична от нуля только внутри источника тока. Согласно (14.1), отношение сторонней силы к единичному положительному заряду равно напряженности поля сторонних сил:
Я, = Яг/д. (15.4)
Из определения э.д.с. и общей формулы для работы можно записать:
£ = (15.5)
где £ст/ — проекция напряженности поля сторонних сил на направление dL Здесь интегрировать можно не по всему контуру, а только по участкам, в которых расположены источники тока. Как видно из (15,5), э.д.с. в контуре равна циркуляции напряженности поля сторонних сил по контуру.
Наряду с увеличением потенциала в направлении 4—1 внутри источника, сопротивление которого г, имеет место и падение потенциала, равное 1г (рис, 15.1). На рисунке показано распределение потенциала вдол ь цепи, изображенной под графиком.
Э.д.с. соответствует скачкообразному изменению потенциала в источнике тока.
§ 15.3. ЭЛЕКТРОПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
Биологические жидкости являются электролитами, электропроводимость которых имеет сходство с электропроводимостью металлов: в обеих средах, в отличие от газов, носители тока существуют независимо от
электрического поля, поэтому и дня электролитов справедливо выражение (15.1), — однако, в отличие от металлов, его следует представить отдельно для положительных и отрицательный ионов:
= qn+ • и। и j = qn~-v_. (15.6)
Суммарная плотность тока:
/=Л+у_ = <?(«+• с++ о ). (15.7)
Если предположить, что каждая молекула диссоциирует на два иона, то концентрация положительных и отрицательных ионов одинакова:
п+ = п_ = aw, (15.8)
где а — коэффициент диссоциации; п — концентрация молекул электролита.
Направленное движение ионов в электрическом поле можно приближенно считать равномерным, при этом сила qE, действующая на ион со стороны электрического поля, равна силе трения т-и:
qE = Г' и,
откуда, заменяя qjr = b, получаем:
v> — bE. (15.9)
Коэффициент пропорциональности b называют подвижностью ионов. Он равен отношению скорости направленного движения ионов, вызванного электрическим полем, к напряженности этого поля1.
Для ионов разных знаков из (15.9) соответственно имеем:
и+ = Ь+ • Ен о_ = Е. (15.10)
Подставляя (15.8) и (15.10) в (15.7), находим;
j =nqa -(by +/)_)£ (15.11)
1 Подвижность b связана с подвижностью и (см. § 13.3) соотношением h = uq.
Рис. 15.2
Представим электролит в виде прямоугольного параллелепипеда с гранями-электродами площадью 5, расположенными на расстоянии / (рис. 15.2). Умножим обе части (15.11) на 5. Учитывая выражение (14.14), получим:
jS=nqaib+ + b_)-(U/DS, (15.12)
Так как jS = I, то (15.12) соответствует закону Ома для участка цепи без источника тока: 1= U/R, где:
R=(J/S)[nqa (b++b_)]~i
(15.13)
— сопротивление электролита. Сравнивая (15.13) с соотношением R = р//5, получаем:
у — 1/р — nqa (b_ + Ь_).
(15.14)
Отсюда следует, что удельная проводимость у электролита тем больше, чем больше концентрация ионов, их заряд и подвижность. При повышении температуры электропроводимость увеличивается.
§ 15.4. ЭЛЕКТРОПРОВОДИМОСТЬ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ И ЖИДКОСТЕЙ ПРИ ПОСТОЯННОМ ТОКЕ
Биологические ткани и органы являются довольно разнородными образованиями с различными электрическими сопротивлениями, которые могуч изменяться при действии электрического тока. Это обусловливает трудности измерения электрического сопротивления живых биологических систем.
Электропроводимость отдельных участков организма. находящихся между электродами, наложенными непосредственно на поверхность тела, существенно зависит от сопротивления кожи и подкожных слоев.
Внутри организма ток распространяется в основном по кровеносным и лимфатическим сосудам, мышцам, оболочкам нервных стволов. Сопротивление кожи, в свою очередь, определяется ее состоянием: толщиной, возрастом, влажностью и т.п.
Электропроводимость тканей и органов зависит от их функционального состояния и, следовательно, может быть использована как диагностический показатель. Так например, при воспалении, когда клетки набухают, уменьшается сечение межклеточных соединений и увеличивается электрическое сопротивление; физиологические явления, вызывающие потливость, сопровождаются возрастанием электропроводимости кожи, и т.д.
Приведем удельные сопротивления различных тканей и жидкостей организма (табл. 15.1). Электропроводимость тканей при переменном токе рассмотрена § 18.4.
Таблица 15.1
р, Ом
Спинномозговая жидкость 0,55
Кровь I.66
Мышцы 2
Ткань мозговая и нервная 14,3
Ткань жировая 33.3
Кожа сухая 105
Кость без надкостницы I07
§ 15.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РАЗРЯД В ГАЗАХ. АЭРОИОНЫ И ИХ ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЕ
ДЕЙСТВИЕ
Газ, состоящий только из нейтральных частиц, является изолятором. Если его ионизовать, то он становится электропроводным. Любое устройство, явление, фактор, способный вызвать ионизацию молекул и атомов газа, называют ионизатором.
Им может быть свет, рентгеновское излучение, пламя, ионизирующее излучение и пр. Электрический заряд в воздухе может образоваться и при распылении в нем полярных жидкостей (баллоэлектрический эффект), т.е. таких жидкостей, молекулы которых имеют постоянный электрический дипольный момент. Так, например, при дроблении в воздухе вода распадается на заряженные капельки. Знак заряда крупных капель (положительный для чистой воды) противоположен по знаку-
заряду мельчайших. Более крупные капли сравнительно быстро оседают, и в воздухе остаются отрицательно за эяженные частицы воды. Такое явление наблюдается у фонтана.
Электропроводимость газа зависит и от вторичной ионизации.
Чтобы ионизовать нейтральный атом, следует совершить некоторую работу Лн по отрыву электрона, равную энергии ионизации. В физике принято энергию (работу) ионизации выражать ионизационным потенциалом:
Фи = Л /е.
(15.15)
Таким образом, ионизационный потенциал в вольтах численно равен работе ионизации в электрон-вольтах.
Приведем значения наименьшего ионизационного потенциала, соответствующего отрыву внешних электронов, для некоторьгх газов (табл. 15.2).
Таблица 15.2
Фи И Фи, в
Пары натрия 5.1 Азот 15,5
Пары ртути 10,4 Водород 15,6
Кислород 12,5 Гелий 21,5
Углекислый газ 14,4
Ионизационный потенциал внутренних электронов значительно выше.
Наряду с ионизацией наблюдается и обратный процесс — рекомбинация ионов, при которой выделяется энергия. Примером этого явления служит свечение газоразрядных трубок. Если ионизатор прекратит свое действие, то вследствие рекомбинации при отсутствии электрического поля газ сравнительно быстро станет изолятором.
В земных условиях воздух практически всегда содержит некоторое количество ионов благодаря природным ионизаторам, главным образом радиоактивным веществам в почве и газах и космическому излучению. Ионы и электроны, находящиеся в воздухе, могут, присоединяясь к нейтральным молекулам и взвешенным частицам, образовать более сложные ионы. Эти ионы в атмосфере называют аэроионами.
Они различаются не только знаком, но и массой, их условно делят на легкие (газовые ионы) и тяжелые (взвешенные заряженные частицы — пылинки, частицы дыма и влаги).
Тяжелые ионы вредно действуют на организм. Легкие и в основном отрицательные аэроионы оказывают благотворное влияние. Их используют, в частности, для лечения — аэроаонотерапия.
Различают естественную аэроионотерапию, связанную с пребыванием больного в природных условиях с повышенной ионизацией воздуха (горы, водопады и пр.)!, и искусственную, проводимую с помощью специальных устройств — ауроионизаторов, которым может быть любой ионизатор, создающий ионы в воздухе. Однако, используемый для лечебных целей, он не должен вызывать побочного восдного воздействия на организм. Разновидностью искусственной аэроионотерапии является электростатический душ (франклинизация). При франклинизации применяют постоянное электрическое поле высокого напряжения (до 50 кВ). Лечебное действие оказывают образующиеся при этом аэроионы и небольшое количество озона. Франклинизацию проводят в виде общих и местных процедур. При общей франклинизации больной сидит на изолированном деревянном стуле с металлической пластиной, соединенной с положительным полюсом аппарата. Над головой больного на расстоянии I0—15 см устанавливают электрод в виде «паука», подключенный к отрицательному полюсу аппарата.
§ 15.6. ВНУТРЕННЯЯ КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
Рассмотрим контакт двух металлов 1 и 2 с различной концентрацией свободных электронов: пх > п2 (рис. 15.3. а). После создания контакта начнется диффузия электронов из одного металла в другой. Так как концентрации электронов различны, то диффундирующие потоки из разных металлов будут неодинаковыми. Это приведет к заряжению металлов противоположными зарядами и возникновению между ними внутренней контактной разности потенциалов и,. При этом первый металл имеет больший потенциал относительно второго (рис. 15.3, а). Изменение энергии Еэ свободных электронов в приконтактной области при установившемся значении контактной разности потенциалов (рис. 15.3, б) соответствует динамическому равновесию. При динамическом равновесии потоки электронов в одном и другом направлениях
1 Изменение ионного состава воздуха в связи с солнечной активностью является, вероятно, одной из причин влияния Солнца на земные биологические организмы, Оно изучается в разделе биофизики, называемом гелиобиологией.
1 + /?1 + + 1*111 го
а X
Рис. 15.3
одинаковы. Так как концентрация свободных электронов в металлах очень большая, то переход электронов из одного металла в другой практически не изменит их концентраций, которые и в условиях динамического равновесия останутся прежними («1 и п2).Внутренняя контактная разность потенциалов может быть найдена исходя из общего условия равновесия — равенства электрохимических потенциалов соприкасающихся металлов (см § 12.6):
Дц; ~ 0 или 7?Г1п —— + ZF(ср2 — = О-
Так как Z= — 1, то
п Rr 1
4 = 92-91 = —Fln-----
г п2
(15.16)
Итак, внутренняя контактная разность потенциалов зависит как от различий концентраций свободных электронов в металлах, так и от температуры контакта.
Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух металлов 1 и 2 (рис. 15.4), концентрации свободных электронов в которых равны и п2. Контакты Л и В металлов поддерживаются при температурах ГА и Гв соответственно. Для определенности предположим >и2и ГА> Тв. Запишем выражение (15.16) для обоих контактов:
(15.17)
// , п2
UiB =------In------
е «|
(15.18)
Так как контакты металлов имеют разные температуры, то Цв
Вследствие этого в цепи, состоящей из разных металлов, возникает термоэлектродвижущая сила, Ст. Это явление, справедливое и для полупроводников, называют термоэлектричеством. Так как э.д.с. равна сумме скачков потенциала цепи, обусловленных сторонними силами, то
гг ,, п\ кТв п2 к п\
S.s = Uu+UtB-------* In — + —- In — =---------In —L (TA- T„). (15.19)
e n2 e /?[ e n2
к Л]
Обозначив — In-------= [3, получим
e n2
&i = MTA- TB). (15.20)
Устройство, показанное на рис. 15.4, называют термоэлементом или термопарой.
Из (15.20) видно, что р соответствует термо-э.д.с, возникающей в цепи при разности температур контактов, равной 1 К и является характеристикой термопары.
Приведем значение Р при температурах в окрестности 100 СС для некоторых пар металлов (табл. 15.3).
Таблица 15.3
p, мкВ/K P, мкВ/K
Zn—Ag 0,5 Mg- Ag 3,5
W—Ag 2,5 Mo—Ag 6,3
Pb-Ag 3,0 Fe-Pt 18.1
Значительная термо-э.д.с. достигается не только выбором подходящей пары металлов или полупроводников или увеличением АТ, но и последовательным соединением нескольких термопар в термобатарею (термостолбик). На рис. 15.5 показана термобатарея из четырех термопар (нечетные контакты /, 5, 5, 7имеют одну температуру, четные 2, 4, б, 8 — другую).
Тсрмоэлскгричссзво находит три основных применения:
1) для создания генераторов тока с прямым преобразованием молекулярно-теп л о вой энергии в электрическую. Современные полупроводниковые термо! снсра горы имеюгк.п.д. порядка 10%;
2) для определения температур. Зная зависимость 8Т =ДА7), по измерениям £т можно найти А 7', а следовательно, и Т Удобство этого метода заключается в дистанционнооти и возможности измерения температуры небольших объектов, поскольку сам контакт металлов или полупроводников может быть сделан достаточно малым. В медицине, в частности, это используется для нахождения температуры отдельных органов и их частей;
3) для измерения мощности инфракрасного, видимого и ультрафиолетового излучений (см., например, устройство актинометра в §27.4).
Возникновение термоэлектродвижущей силы в рассмотренном примере относится к группе термоэлектрических явлений. Так называют явления, в которых отражается специфическая связь между электрической и молекулярно-тепловой формами движения материи в металлах и полупроводниках.
Глава 16
Магнитное поле
Магнитным полем называют вид материи, посредством которой осуществляется силовое воздействие на движущиеся электрические заряды, помещенные в поле, и другие тела, обладающие магнитным моментом. Магнитное поле есть одна из форм проявления электромагнитного поля.
§16.1. ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Аналогично электростатическому полю, необходимо для магнитного поля ввести количественную характеристику. Для этого выбирают некоторый объект — «пробное тело», реагирующее на магнитное поле, В качестве такого тела достаточно взять малую рамку с током, чтобы можно было считать, что рамка помещается в некоторую точку поля, Опыт показывает, что на пробную рамку с током в магнитном поле действует момент силы Л/, зависящий от ряда факторов, в том числе и от ориентации рамки. Максимальное значение Мтах зависит от магнитного поля, в котором находится контур, и от самого контура: силы тока I, протекающего по нему, и площади 5, охватываемой контуром, т.е.
Mmax~IS. (16.1)
Величину
Р„= IS
(16.2)
называют магнитным моментом контура с током. Таким образом,
Мтах Рт
(16.3)
Магнитный момент — векторная величина. Для плоского контура с током вектор Рт направлен перпендикулярно плоскости контура и связан с направлением тока /правилом правого винта (рис. 16.1).
Магнитный момент является характеристикой не только контура с током, но и многих элементарных частиц (протоны, нейтроны, электроны и т.д,), определяя поведение их в магнитном поле.
Единицей магнитного момента служит ампер-квадратный метр (А' м2). Магнитный момент элементарных частиц, ядер, атомов и молекул выражают в особых единицах, называемых или атомным (цБ), или ядерным (ця) магнетоном Бора'.
= 0,927 • КН-1 а . М2 (Дж/Тл), ця = 0,505 • 10-26 А • м2 (Дж/Тл).
Зависимость (16.3) используют для введения силовой характеристики магнитного поля — магнитной индукции В.
Магнитная индукция в некоторой точке поля равна отношению максимального вращающего момента, действующего на рамку с током в однородном магнитном поле, к магнитному моменту этой рамки:
Ь = Мтвх/рт. (16.4)
ВекторВ совпадает по направлению с вектором Рт в положении устойчивого равновесия контура. На рис. 16.2 показано положение рамки с током в магнитном поле индукции В, соответствующее максимальному моменту силы (а) и нулевому (б). Последний случай соответствует устойчивому равновесию (векторы В и рт коллинеарны).
Единицей магнитной индукции является тесла (Тл):
1 Н-м
1 Тл = ---- = 1 Н/(А- м).
1 А • м2
Таким образом, в поле с магнитной индукцией 1 Тл на контур, магнитный момент которого 1 А - м2, действует максимальный момент силы 1 Н м.
Магнитное поле графически изображают с помощью линий магнитной индукции, касательные к которым показывают направление векто-
Рис. 16.4
Рис. 16.3
ра В. Густота линий, т.е. число линий, проходящих через единичную, перпендикулярно им расположенную площадку, равна модулю вектора В. Линии магнитной индукции не имеют начала или конца и являются замкнутыми. Подобные поля называют вихревыми. Циркуляция вектора магнитной индукции по любой линии магнитной индукции не равна нулю:
= 5/d/*0. (16.5)
Рассмотрим некоторую площадку 5, находящуюся в области однородного магнитного поля индукции В (рис. 16.3 )1. Проведем линии магнитно" индукции через эту площадку. Ее проекция на плоскость, перпендикулярную пиниям, равна 50.Число линий, пронизывающих 5 и 50, одинаково. Так как густота линий соответствует значению В, то общее число линий, пронизывающих площадки, равно
Ф = .
(16.6)
На рис. 16.3 видно, что =5cosa, откуда
Ф = BS cosa или Ф = BnS,
(16.7)
где В, = В cosa — проекция вектора В на направление нормали п к площадке; Ф — магнитный поток.
1 Так как линии В замкнуты, то магнитное иоле не может быть однородным безгранично.
В более общем случае, например неоднородное магнитное поле, поверхность, а не плоская площадка (рис. 16.4), магнитный поток Ф также равен числу линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность.
Единицей индукции магнитного ноля, согласно (16.6), является вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл • м2.
Из формулы (16,7) видно, что поток может быть как положительным (cosot > 0), так и отрицательным (cosa < 0).
В соответствии с этим линии магнитной ин-
Рис. 16.5 дукции, выходящие из замкнутой поверхности,
считают положительными, а входящие — отрицательными. Так как линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю (рис. 16.5).
§ 16.2. ЗАКОН АМПЕРА. ЭНЕРГИЯ КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Одним из главных проявлений магнитного поля является его силовое действие на движущиеся электрические заряды и токи. В результате обобщения многочисленных опытных данных А.М. Ампером был установлен закон, определяющий это силовое воздействие.
Приведем его к дифференциальной форме, что позволит вычислять силу, действующую на различные контуры с током, расположенные в магнитном поле. В проводнике, находящемся в
магнитном поле, выделим достаточно малый участок d/, который можно рассматривать как вектор, направленный в сторону тока (рис. 16.6). Произведение /d/называют элементом тока. Сила, действующая со стороны маг-нитного поля на элемент тока:
df=USsinp • d/, (16.8)
где к — коэффициент пропорциональности; в СИ к = 1, поэтому:
или в векторной форме
d/»=/d7xB. (16.10)
Интегрируя это уравнение, находим силу, действующую на участок / проводника со стороны магнитного поля:
F = /J(d7xB). (16.11)
I
Соотношения (1 б.8)-(16.10) выражают такой Ампере.
Рассмотрим некоторые примеры на применение формулы (16.10)
1. Прямолинейный участок, проводника с током / данной /, расположенный в однородном Mai нитном поле под углом [3 к магнитной индукции В (рис. 16.7). Для нахождения силы, действующей на эту часть проводника со стороны магнитного поля, интегрируем (16.11) и получаем:
F= /5/sin|3. (16.12)
2. Прямоугольная рамка KLMN с током /, помещенная в однородное магнитное поле индукции В (рис. 16.8, а). Пронумеруем стороны рамки и обозначим силы, действующие на них со стороны магнитного поля, — /7 A, Л, f4.
Силы Fj и F3, приложенные к серединам соответствующих сторон, направлены противоположно и по формуле (16.12) равны. Силы же F> == IBb и F4 — /ВЬ создают пару сил, момент которой (рис. 16.8, б)
М= IBb (а/2) since + IBb (а/2) Sina = /Йба since. (16.13)
7 // ’в 7 Ар " а| X _ L _ _____ О'.7 <7^7 & 2 . .... */ >4, Л 3>Х РгЛ _ </K,N Рт - 7 ~ а Гр2 б
Так как 1Ьа = /5 = рт, то из (16.13) имеем:
М= рт В sina, (16.14)
или в векторной форме
М= рт* В. (16.15)
Фактически на основе этой зависимости в § 16 1 была введена магнитная индукция.
Используя закон Ампера, вычислим работу магнитного поля пои перемещении контура с током или изменении ею формы.
При совершении силами F? и F4 (pift 16.8, б) положи тельной работы (вращение рамки против часовой стрелки) угол а уменьшается (da < 0), поэтому при вращении рамки [см. (5.13)] dA = —Л/da или. учитывая (16.14),
dT — —BPm sina da = -7S5d£n (16.16)
(считаем, что при элементарном повороте da сила тока / не изменяется).
Дифференцируя (16,7), получаем:
йФ = —fiVeina da. (16.17)
Сопоставляя (16.16) и (16.17), имеем:
d.4 - /6Ф
Интегрируя это равенство, находим работу сил магнитного поля при перемещении или деформации контура с током в поле;
Л~]7бФ. (16.18)
Совершение работы силами поля означает изменение энергии контура с током, Это могло быть изменение энергии, связанной с движением контура (кинетическая) или с изменением его положения (потенциальная), или и то и другое. В данном случае контур не ускоряется; следовательно, изменяется только его потенциальная энергия в магнитном поле. Работа есть мера передачи энергии от одного тела другому, поэтому элементарная работа сил поля равна взятому с обратным знаком элементарному изменению потенциальной энергии контура с током в магнитном поле: сЫ — — d£It. Учитывая (16.16), запишем:
dЕп = рт Вsina da.
(16.J 9)
Интегрируя эго выражение, получаем:
Еп - — рт В cosa + const.
(16.20)
Из условия Etl = 0 при a = п/2 найдем постоянную в уравнении:
Ея = —рт В cosa.
(16 21)
Из формулы (16.21) видно, что потенциальная энергия контура в устойчивом равновесии (а = 0) минимальна Еп = — рт В, а при неустойчивом равновесии (ос = тг) максимальна:
~ Вт В-
§ 16.3. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЙСЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. СИЛА ЛОРЕНЦА
Сила, действующая, согласно закону Ампера, на проводник с током в магнитном поле, есть результат его воздействия на движущиеся элек-
трические заряды, создающие этот ток.
Рассмотрим иилиндрический проводник длиной / с током /, расположенный в магнитном поле индукции В (рис. 16.9). Скорость направ-
ленного движения некоторого положительного заряда q равна о. Сила, действующая на отдельный движущийся »аряд, определяется отношением силы F. приложенной к проводнику с током, к общему числу 7V носителей гока в нем:
Рис, 16.9
Л=^/М-
(16.22)
Раскроем выражение для силы, используя (16.12) и полагая, что сила гока равна I=jS:
F=jSBlw$,
где у — плотность тока. Учитывая (15.1), получаем:
F=jSBl sin р = gwuStf/sinP ,
(16.23)
где п = N/ (St) — концентрация частиц. Подставляя (16.23) в (16.22), получаем выражение для сипы, действующей со стороны магнитного поля на отдельный движущийся электрический заряд и называемой силой Лоренца.
qN\j.S7Bl sinp
Л= SlF~ =
(16.24)
Направление силы Лоренца можно определить из векторной записи уравнения (16.24)
Л = (?ох В
(16.25)
Как видно из (16.25), эта сила всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы о и В.
Из механики известно, что если сила перпендикулярна скорости, то она изменяет лишь ее направление, но не значение. Следовательно, сила Лоренца не изменяет кинетической энергии движущегося заряда и не совершает работы.
Если заряд неподвижен относительно магнитного поля или его скорость параллельна (антипараллельна) вектору магнитной индукции, то сила Лоренца равна нулю. Ее направление [см. (16.25)] зависит от знака
заряда.
Пусть в однородное магнитное поле индукции В влетает со скоро-
стью о положительно заряженная частица (рис. 16.10). На нее действует
Рис. 16.10
сила Лоренцакоторая вызовет центростремительное ускорение, и, по второму закону Ньютона,
mu2/r= qvB,
(16.26)
где q и т — заряд и масса частицы; г — радиус траектории, по которой она будет двигаться. Из (16.26) получаем:
г-
(16.27)
Отсюда следует, что радиус траектории остается постоянным, а сама траектория есть окружность.
Используя (16 27) и считая, что значение скорости частицы не изменяется, найдем период вращения ее по окружности:
2тгг 2л т=~=7^в- (16.28)
Отношение q/m называют удельным зарядом частицы. Период вращения ее в магнитном поле |см. (16.28)} не зависит от радиуса окружности и скорости, а определяется только магнитной индукцией и удельным зарядом. Эту особенность используют в ускорителе заряженных частиц — циклотроне. Чтобы описать форму траектории заряженной частицы, влетающей ср скоростью и в однородное магнитное поле под произвольным углом к В (рис. 16.11), разложим вектор и на две составляющие ип и о±, направленные соответственно вдоль вектора магнитной индукции магнитного поля и перпендикулярно ему. Составляющая оТ1 при движении частицы в магнит ном поле остается постоянной; сила Лоренца, действующая на частицу, изменит направление о±.
Под действием этой силы частица вращается по окружности. Таким образом, траекторией движения будет винтовая линия — вращение по окружности совместно с перемещением вдоль вектора магнитной индукции со скоростью Оц
Если на движущуюся заряженную частицу q действуют электрическое поле с напряженностью Е и магнитное поле с магнитной индукцией В (рис. 16.12), то результирующая сила равна:
= = х В. (16.29)
Рис. 16.11
Рис. 16.12
Во многих системах (осциллограф, телевизор, электронный микроскоп) осуществляют управление электронами или другими заряженными частицами, воздействуя на них электрическими и магнитными полями, в этом случае основной расчетной формулой является (16.29).
§ 16.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЧАСТИЦ
Измерение удельного заряда частиц позволяет определить массу атомов или молекул и изотопный состав вещества. Рассмотрим принцип действия одного из устройств (рис. 16.13), используемых для этой цели. Поток ионов одинакового знака пролетает через электрическое и магнитное поля (вектор магнитной индукции всюду направлен от читателя перпендикулярно плоскости чертежа). Значения Е и В подбирают так, что поля действуют на заряд q с силами, равными по модулю, но противоположно направленными:^ =fn или qE = qvB, откуда
v = E/B. (16.30)
Одни ионы, скорости которых удовлетворяют условию (16.30), не отклоняются полями и вылетают из отверстия О, другие же отклоняются (штриховые линии на рисунке) и задерживаются. Таким образом, часть устройства, изображенного на рис 16.13, является селектором скоростей; изменяя Е или В, можно отбирать из пучка ионов группы, имеющие скорости, определяемые условием (16.30). Некоторый разброс ско-
Рис. 16.13
ростей обусловлен шириной отверстия О.
Вылетевшие из селектора скоростей ионы попадают в однородное магнитное поле индукции В. Пролегая по полуокружным траекториям, они оставляют следы на фотопластинке Фв разных местах в зависимости от их удельного заряда. По формуле (16.27) вычислим удельные заряды ионов, попавших в разные места фотопластинки:
q/ т - о / (гВ). (16.31)
После проявления на ней будут темные линии или пятна в местах попадания ионов, поэтому можно, во-первых, установить сам факт наличия ионов с определенным удельным зарядом q/m или массой ???, а во-вторых, по интенсивности линий — долю ионов с тем или иным значением удельного заряда.
Рассмотренный прибор является одной из разновидностей масс-спектрографа. Разделенные ионы в некоторых случаях фиксируют поток, такой вариант прибора называют масс-спектрометром. Масс-спектрографы и масс-спектрометры используют для определения изотопного состава веществ.
§ 16.5. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В связи с использованием понятия магнитной индукции возникает необходимость в вычислении этой характеристики магнитного поля в зависимости от конфигурации и значения токов в какой-либо среде. Такая задача приводит к некоторому вспомогательному физическому понятию — напряженности магнитною поля.
Пусть в некоторой точке А создано магнитное поле контуром с током /(.рис. 16.14). Если все пространство заполнено веществом с относительной магнитной проницаемостью ря, то в точке А магнитная индукция будет Вь что можно измерить, например, с помощью пробной магнитной рамки. При заполнении всего пространства другим веществом с относительной магнитной проницаемостью магнитная индукция в точке А станет Я2- Продолжая этот опыт и заполняя пространство различными веществами, можно убедиться, что отношение 7?/(gopj или В/ц (ц0 — магнитная постоянная, ар — абсолютная магнитная проницаемость) во всех случаях одинаково:
В1/ц, = Я1/ц2-...-В/ц. (16.32)
Отношение
Й = В/ц = В/(^) (16.33)
называют напряженностью магнитного поля в однородной среде. Она нс зависит от свойств среды, а определяется только силой тока, протекающего по контуру, и геометрией опыта: формой контура и его
Рис. 16.14
Рис. 16.15
расположением относительно точки А. Векторы Н и В совпадают по направлению.
Напряженность магнитного поля, созданного постоянным током, можно вычислить, используя закон Био—Савара—Лапласа.
Ж.Б. Био и Ф. Савар установили этот закон, экспериментально определив действие токов различной формы на магнитную стрелку. П.С. Лаплас проанализировал данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что напряженность магнитного поля любого тока слагается из напряженностей полей, создаваемых его отдельными элементами. _
Возьмем некоторый проводник е током / и выделим элемент тока 7d/, из которого проведем радиус-вектор г в точку А (рис. 16.15; а — угол между векторами d / иг). В точке А элемент тока создает магнитное поле, элементарная напряженность d И которого определяется законом Био— С мара—Лапласа.
Zd/sina
6H=k • (16.34)
Здесь к — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц. В СИ к = 1 /(4тг), поэтому
dH =
или в векторной форме dH =-----------------------------d/x г.
4тсг3 (16.36)
Из_^(16.36), по общему правилу векторного произведения, видно, что dH на правлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векто-
Idl si па
(16.35)
ры dZ и л (рис. 16.15). Интегрируя (16.36), находим напряженность магнитного поля, созданного контуром с гоком или частью этого контура:
(16.37)
Магнитное поле в центре кругового тока. Круговым называют ток, протекающий по проводнику в форме окружности. Этому току соответствует также вращающийся по окружности электрический заряд.
Выделим в круговом токе элемент тока TdZ и укажем направление элементарной напряженности dH созданного им магнитного поля в точке О — центре окружности (рис. 16.16). Для любого элемента тока dH направлен вдоль пунктирной линии, перпендикулярной плоскости тока, поэтому (16.37) можно записать в скалярной форме:
I г since dZ
Н~А- ~
4л: J г2
Учитывая, что sina = 1, г = const, получаем выражение для напряженности магнитного поля в центре кругового тока:
_ I
Н=^\/‘=7Г (16-38>
Эту зависимость можно использовать, в частности, для определения единицы напряженности магнитного поля — ампер на метр (А/м). Это напряженность в центре кругового тока с диаметром, равным 1 м, если по нему протекает ток 1 А.
Зная напряженность магнитного поля и относительную магнитную проницаемость среды, находим магнитную индукцию:
(16.39)
Магнитное поле прямолинейного бесконечного проводника с током.
В качестве некоторой абстракции рассмотрим неограниченный прямолинейный проводнике током (рис. 16.17, а). Выделим элемент тока 7dZ и проведем радиус-вектор 7в точку А. удаленную от проводника на расстояние h. Вскгор dH направлен перпендикулярно плоскости рисунка
Рис. 16.17
Рис. 16.16
от читателя. Из рисунка видно, что от любого элемента тока элементарная напряженность магнитного поля в точке А перпендикулярна плоскости чертежа, поэтому, как и в предыдущем примере, (16.37) можно записать в скалярной форме:
/ /sina d/ Я= — —
4л. J г2 — со
(16.40)
Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы в него входила только одна переменная — угол а.
Из рис. 16.17, а находим
г = b j cosp и S'.na = cosp.
(16.41)
На рис. 16.17, б показан в большем масштабе угол, под которым из точки А виден вектор d/. Из ACAD следует, что 1С7)| — |G4|dp, так как приближенно |СЛ| = г, то \CD\ = rdp. Из \('DKимеем |CZ)| = d/sina; следовательно, rdp = d/sina, откуда d/= nip / sina. Подставляя (16.41) в последнее равенство, получаем
DI = 6dp /cos2p.
(16.42)
Учитывая (16.42), преобразуем (16.40):
I г cosp cos2p/>dp 4л J /)- co$ 2 p
+ n/1
----- I cospdp.
4nZ> * „
- ir/2
Пределы интегрирования соответствуют крайним значениям угла: ±тс/2. Интегрируя, находим выражение для напряженности магнитного
поля, созданного бесконечным прямолинейным проводником с током в любой точке, удаленной от проводника на расстояние Ь:
Н=1/[2пЬ).
(16.43)
§ 16.6. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА
В ряде случаев для определения напряженности магнитного поля наряду с законом Био—Савара—Лапласа целесообразно использовать связанный с ним закон полного тока.
Проведем линии напряженности1 магнитного поля, созданного бесконечным прямолинейным проводником с током в плоскости, перпендикулярной проводнику, в виде концентрических окружностей (рис. 16.18).
Ради упрощения в качестве произвольного контура выберем окружность радиусом Ь. совпадающую с одной из линий Н. Так как контур и линия напряженности одинаковы по форме, то
Рис. 16.18
Я/d/.
(16.44)
Для вычисления циркуляции подставим сюда формулу (16.43):
/
d/=-----
2nb
Itib j d/=/, о
т.е.
(16.45)
Эго закон полною тока, который связывает циркуляцию вектора напряженности магнитного поля и силу тока.
Более сложный расчет мог бы показать, что формула (16.45) справедлива для произвольного контура, охватывающего любые токи. Обычно л от закон записывают в виде
Касательные к этим линиям совпадают с векторами Н.
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.
Например, если контур охватывает три тока (рис. 16.19): / и 2 — положительные, 3 — отрицательный, — то закон полного тока для этого случая имеет вид
/Z/d/=Z1 + /2-/3.
Применим закон полного тока и найдем напряженность магнитного поля соленоида (рис. 16.20; пунктиром показаны линии напряженности). Чем длиннее соленоид и меньше его диаметр, тем более однородно внутри него магнитное поле. Будем считать поле внутри соленоида однородным, а вне соленоида — достаточно слабым. Пусть / — длина соленоида; N — общее число витков; п — N/1 —отношение числа витков к длине соленоида (плотность намотки). Проведем на рис. 16.20 произвольный контур L, для которого рассчитывается циркуляция. Одна его часть, /, совпадает с линией Н внутри соленоида, другая, — проходит вне его. Таким образом, циркуляция может быть представлена двумя интегралами:
^//zdZ= J/^d/ + J
H,dl.
(16.47)
Так как внутри соленоида Н = Н{, то d/= Hl, вне соленоида Н мало, поэтому I d/ = 0 и из (16.47) имеем 9Hl d/= Hl.
Используя закон полного тока (16.46), получаем Hl - - Hl, от-
куда
H=I(N/l) = In.
(16.48)
Это означает, что напряженность магнитного поля соленоида равна произведению силы тока на число витков, отнесенных к длине соленоида.
§ 16.7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Нет таких веществ, состояние которых не изменялось бы при помещении их в магнитное поле. Более того, находясь в магнитном поле, вещества сами становятся истопниками такого поля. В этом смысле все вещества принято называть магнетиками.
Так как макроскопические различия магнетиков обусловлены их строением, то целесообразно рассмотреть магнитные характеристики электронов, ядер, атомов и молекул, а также поведение этих частиц в магнитном поле. Изложение проведем в рамках классической физики.
Условно будем считать, что электрон в атоме равномерно вращается вокруг ядра со скоростью о по круговой орбите радиусом г (рис. 16.21). Такое движение аналогично круговому току и характеризуется орбитальным магнитным моментом дорб (необходимо помнить, что электрон — отрицатель
но заряженная частица и его движение противопо- рис. 16.21 ложно направлению тока).
Сила тока, соответствующего движению электрона, который вращается с частотой v, равна
/=cv, (16.49)
где е — заряд электрона Так как у = ю/(2яг), то
/=ео/(2лг). (16.50)
Тогда |см. (16.2)1
ею ею г
А>рб=- пг2 = —— (16.51)
2лг 2
Электрон, вращающийся по орбите, имеет момент импульса £орб (рис. 16.21), который в соответствии с (5.27) равен
(16.52)
где т(, — масса электрона.
Отношение магнитного момента частицы к ее моменту импульса называют магнитомеханическим. Разделив (16.51) на (16.52), найдем орбитальное магнитомеханическое отношение для электрона'.
Рорб е
= - — (16.53)
Магнитомеханическое отношение записывают, используя множитель Ланде g:
Электрон обладает и собственным моментом импульса, который называется спином. Спину соответствует спиновый магнитный момент. Спиновое магнитомеханическое отношение вдвое больше орбитального:
е е
Gs = ~^=&2^/g, = 2}' (16.54а)
Соотношения (16.54) и (16.54а) показывают, что между магнитным и механическим (момент импульса) моментами существует вполне определенная жесткая связь, гак как е и те — величины постоянные1, эта связь проявляется в магнитомеханических явлениях. Одно из таких явлений впервые наблюдали А. Эйнштейн и де Гааз в 1915 г. Легкий стержень Сподвешивался на гонкой нити в соленоиде (рис. 16.22). Пэи пропускании тока по соленоиду создавалось магнитное поле и магнитные моменты электронов располагались упорядоченно, что приводило к упорядоченной ориентации моментов импульса. В результате весь стержень приобретал импульс и поворачивался, что было заметно по отклонению светового «зайчика», отраженного от зеркала.
Магнитомеханические явления позволяют определять магнито-механические отношения и на основании этого делать выводы о роли орбитальных или спиновых магнитных моментов в процессах намагничивания. Так, например, опыты Эйнштейна и де Гааза показали, что за намагниченность ферромагнитных материалов ответственны спиновые магнитные моменты электронов.
1 Здесь не учитывается релятивистская зависимость массы от скорости.
Рис. 16.22 Рис. 16.23
Ядра, атомы и молекулы также имеют магнитный момент. Магнитный момент молекулы является векторной суммой магнитных моментов атомов, из которых она состоит.
Магнитное поле воздействует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты, в результате чего вещество намагничивается. Степень намагничивания вещества характеризуется намагниченностью. Среднее значение вектора намагниченности равно отношению суммарного магнитного момента V pmi всех частиц, расположенных в объеме магнетика, к этому объему:
Таким образом, намагниченность является средним магнитным моментом единицы объема магнетика. Единицей намагниченности служит ампер на метр (А/м).
Магнетики делят натри основных класса: парамагнетики, диамагнетики и ферромагнетики Каждому из них соответствует и свой тип магнетизма: парамагнетизм, диамагнетизм и ферромагнетизм Рассмотрим их природу.
Согласно классической теории парамагнетизма, молекулы парамагнетиков имеют отличные от нуля магнит ные моменi ы.
При отсутствии магнитного поля эти моменты расположены хаотически и намагниченность равна нулю (рис. 16.23, а). При внесении парамагнитного образца в магнитное поле магнитные моменты молекул ориентируются предпочтительно по направлению В, в результате чего Jф 0 (рис. 16.23, б). Степень упорядоченности магнитных моментов зависит от двух противоположных факторов — магнитного поля и молекулярно-хаотического движения, поэтому намагниченность зависит как от магнитной индукции, так и от температуры.
Если стержень из парамагнетика подвесить в вакууме в однородном магнитном поле, то в положении равновесия он установится вдоль линий магнитной индукции (рис. 16.24, вид сверху), что соответствует ориентации J по направлению В. Магнитное поле, созданное парамагнетиком, усиливает, хотя и незначительно, внешнее магнитное поле, поэтому индукция В результирующего поля больше магнитной индукции Во поля при отсутствии парамагнетика (В > Яо), Это означает, что относительная магнитная проницаемость парамагнетиков больше единицы (цг>1). К парамагнетикам относят алюминий, кислород, молибден и т.д. В неоднородном магнитном поле в вакууме частицы парамагнитного вещества перемещаются в сторону большего значения магнитной индукции, как говорят, «втягиваются в поле».
Объяснение природы диамагнетизма несколько сложнее, поэтому сначала целесообразно рассмотреть одно механическое явление
Читатель, несомненно, наблюдал, что ось обычного детского волчка описывает вращательные конусообразные движения, которые называют прецессией (рис. 16.25, а). Она возникает тогда, когда на вращающееся тело с моментом импульса £орб действует опрокидывающий момент силы. Если бы волчок не вращался, он бы опрокинулся под действием момента силы тяжести mg, вращение же волчка приводит к прецессии.
Аналогичное явление происходит и с электронными орбитами в магнитном поле. Электрон, вращающийся по орбите, обладает моментом импульса, подобно волчку, а также характеризуется орбитальным магнитным моментом рорб. Поэтому на него, как на контур с током, со стороны магнитного поля действует момент силы. Таким образом, создаются условия для возникновения прецессии электронной орбиты или вращающегося электрона (рис. 16.25, б). Она приводит к появлению добавочного магнитного момента электрона ?по6, направленного противоположно индукции В() внешнего магнитного поля, что ослабляет поле.
Так возникает диамагнетизм. Диамагнетизм присущ всем веществам. В парамагнетиках диамагнетизм перекрывается более сильным парамагнетизмом. Если магнитный момент молекул равен нулю или настолько мал, что диамагнетизм преобладает над парамагнетизмом, то вещества, состоящие из таких молекул, относят к диа
J=0;
8=0
ООО ООО ООО а
Рис. 16.26
магнетикам.
На рис. 16.26 схематично показаны молекулы диамагнетика при отсутствии магнитного поля (а) и в поле (б). Намагниченность диамагнетиков направлена противоположно магнитной индукции, ее значение растет с возрастанием индукции
Так как собственное магнитное поле, созданное диамагнетиком, направлено противоположно внешнему, то индукция В внутри диамагнетика меньше индукции Bq при отсутствии поля (В < Bq). Следовательно, относительная магнитная проницаемость диамагнетика меньше единицы (цг <1). К диамагнетикам относят азот, водород, медь, воду и др.
Если стержень из диамагнетика подвесить в вакууме в однородном магнитном поле, то в положении равновесия он установится перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 16.27, вид сверху).
Частицы диамагнетика в вакууме в неоднородном магнитном поле будут выталкиваться из поля. Например, пламя свечи в таком поле испытывает отклонение (рис. 16.28). Продукты сгорания являются диа
магнитными частицами.
Магнитные свойства веществ зависят от строения молекул, поэтому магнитные методы измерений используют в химических исследованиях. Специальный раздел физической химии — магнетохимия — изучает связь между магнитными и химическими свойствами вещества.
Ферромагнетики, подобно парамагнетикам, создают намагничен-
ность, направленную по индукции поля; их относительная магнитная проницаемость много больше единицы (цг >>1). Однако ферромагне-
тизм существенно отличен от парамашетизма. Ферромагнитные свойства присущи не отдельным атомам или молекулам, а лишь некоторым веществам, находящимся в кристаллическом состоянии. Объяснение этому явлению дает квантовая теория.
К ферромагнетикам относят кристаллическое железо, никель, кобальт, многие сплавы этих элементов между собой и с другими неферромагнитными соединениями, а также сплавы и соединения хрома и марганца с неферромагнитными элементами.
Намагниченность ферромагнетиков зависит не только от магнитной индукции, но и от их предыдущего состояния, от времени нахождения образца в магнитном поле. Ферромагнитные свойства вещества сохраняются лишь ниже определенной температуры, соответствующей точке Кюри.
Хотя ферромагнетиков и не очень много в природе, в основном именно их используют как магнитные материалы в технике. Это обусловлено их сильным магнетизмом, остаточной намагниченностью и коэрцитивной силой.
Значительные механические силы, действующие на ферромагнитные тела и постоянные магниты в магнитном поле, находят разнообразные применения в медицине: исправление грудной клетки у детей (Ю.Ф. Исаков, Э.А. Степанов и др.), магнитные заглушки для предотвращения выделений из искусственного наружного свища оболочкой кишки (В.Д. Федоров, Т.С. Одарюк и др.), удаление ферромагнитных пылинок и опилок из глаза.
§ 16.8. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ ОРГАНИЗМА.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАГНИТОБИОЛОГИИ
Ткани организма в значительной степени диамагнитны, подобно воде. Однако в организме имеются и парамагнитные вещества, молекулы и ионы.
Биотоки, возникающие в организме, являются источником слабых магнитных полей. В некоторых случаях индукцию таких полей удастся измерить. Так, например, на основании регистрации временнбй зависимости индукции магнитного поля сердца (биотоков сердца) создан диагностический метод — магнитокардиографня.
Так как магнитная индукция пропорциональна силе тока, а сила тока (биоток), согласно закону Ома, пропорциональна напряжению (биопотенциал), то в общем магнито кардиограмма аналогична электрокар
диограмме. Однако магнитокардиография в отличие от электрокардиографии является бесконтактным методом, ибо магнитное поле может регистрироваться и на некотором расстоянии от биологического объекта — источника поля. Развитие магнитокардиографии зависит от технических возможностей измерения достаточно слабых магнитных полей (см, §20.1).
Магнитное поле оказывает воздействие на биологические системы, которые в нем находятся. Это воздействие изучает раздел биофизики, называемый магнитобиологиеи
Имеются сведения о гибели дрозофилы в неоднородном магнитном поле, морфологических изменениях у животных и растении после пребывания в постоянном магнитном поле, об ориентации растений в магнитном поле, влиянии магнитного поля на нервную систему и изменение характеристик крови и т.д.
Естественно, что первичными во всех случаях являются физические или физико-химические процессы.
Такими процессами могут быть ориентация молекул, изменение концентрации молекул или ионов в неоднородном магнитном поле, силовое воздействие (сила Лоренца) на ионы, перемещающиеся вместе с биологической жидкостью, эффект Холла, возникающий в магнитном поле при распространении электрического импульса возбуждения, и др.
В настоящее время физическая природа воздействия магнитного поля на биологические объекты еще не установлена. Этот важный вопрос находится в стадии исследования.
Глава 17
Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля
В предыдущей главе была показана одна из сторон взаимосвязи электрических и магнитных явлений: движущийся электрический заряд является источником магнитного поля. Данная глава посвящена другой стороне этой взаимосвязи: переменное магнитное поле порождает электрическое поле; в этом суть явления электромагнитной индукции, которое было открыто М. Фарадеем в 1831 г, после многолетних настойчивых поисков,
§ 17.1. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
При всяком изменении магнитного потока , пронизывающего контур, в нем возникает э.д.с электромагнитной индукции.
Пусть контур прямоугольной формы, расположенный в магнитном поле индукции В, имеет подвижную часть длиной / ^рис. 17.1). При протекании тока / по контуру сила Ампера /действует на подвижную часть и она перемещается на расстояние dx за промежуток времени dr. Работа, совершаемая при этом источником тока, равна энергии, идущей на нагревание по закону Джоуля—Ленца и на перемещение подвижной части;
8/dr = 727?d/+ /Лх, (17.1)
где £ — э.д.с. источника, создающего ток 7 в контуре; R — его электрическое сопротивление.
Так как в данном примере направление тока перпендикулярно В (крестик в кружочке на рис. 17.1 означает, что В направлен от нас за плоскость чертежа), то F= IBI. Подставляя это выражение в (17.1), имеем 8/dr = PR dr + IBl-dx; dr предполагается столь малым, что силу тока можно считать постоянной. Сокращая на 7, получаем
£dr = //?dr+tf/dx. (17.2)
Выполним небольшие преобразования:
где d5 = !<ix — площадь, заштрихованная на рис. 17.1; йФ — изменение магнитного потока, пронизывающего 45, которое в рассмотренном примере обусловлено изменением размеров контура.
Подставив (17.3) в (17.2), имеем 8dZ = = JR-dt + НФ, откуда
8 - бФ/d/
R
(17.4)
Уравнение (17.4) является законом Ома для полной цепи. В числителе правой части уравнения стоит алгебраическая сумма электродвижущих сил, имеющихся в ко игу ре: э.д.с. Е источника и э.д.с. 8,, электромагнитной индукции, возникающая в результате изменения магнитного потока, пронизывающего контур. Итак,
8. = _ ёФ/d/.
(17.5)
Это основной закон электромагнитной индукции, или закон Фарадея.
Хотя формула (17.5) получена на частном примере, она универсальна: при изменении магнитного потока, пронизывающего контур (изменение магнитного поля со временем, приближение или удаление магнита, изменение силы тока в соседнем или данном контуре и т.п.), в контуре всегда возникает э.д.с. электромагнитной индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока.
В выражение (17.5) не входят какие-либо свойства материала, из которого сделан реальный контур; следовательно, э.д.с. электромагнитной индукции от этих свойств не зависит1. Более того, можно даже говорить об электродвижущей силе, возникающей в воображаемом математическом контуре при изменении магнитного потока, который его пронизывает. Это позволяет считать, что изменение магнитного поля вызывает электрическое поле. Ток, протекающий при этом в реальном проводящем контуре, является следствием электрического поля.
Используя закон Ома для полной цепи и основной закон электромагнитной индукции, запишем выражение для индукционного тока:
1 Материал, из которого сделан реальный контур, может влиять на э.д.с, если его магнитная проницаемость зависит от индукции магнитного поля. Здесь это не учитывается.
в, _ 1 6Ф
*d7'
(17.6)
Из (17.6) видно, что сила тока зависит от сопротивления контура; в контуре из идеального изолятора тока в цепи не будет.
Если в однородном магнитном поле индукции В равномерно с угловой скоростью оз вращается рамка площадью S (рис. 17.2), то на основании (16.7) и (5.5) можно записать закон изменения магнитного потока, пронизывающего рамку, со временем:
Ф = BS- cosci = BS • cosco /.
И з (17.6) для данного случая имеем;
1 d
/ = - — — (BS- cos coZ) = Imax sin о.)/.
(17.7)
Imax = / R — амплитуца силы тока. Как видно из (17 7), в этом
случае в рамке возникает переменный синусоидальный индукционный ток.
Знак «—» в формуле (17.6) отражает правило Ленца.
Поясним его на следуюшем примере. Пусть к контуру приближается магнит северным полюсом (рис. 17.3). Допустим, что направление обхода контура, показанное на рисунке (маленькие стрелки), положительное, тогда нормаль п к площадке, охватываемой контуром, имеет соответствующее (берется правовин говая система) направление. Из рисунка
видно, что угол а тупой и, следовательно [см. (16.7)], машитный ноток отрицателен1. При приближении магнита к контуру увеличивается магнитная индукция В, возрастает абсолютное значение магнитного потока, пронизывающею контур, но так как поток отрицателен, то ЛФ<0 и бФ/d/ <0. По формуле (17.6) получаем I >0. Значит, индукционный ток совпадает с направлением обхода контура (большие стрелки на рис. 17.3), что и соответствует правилу Ленца. Определим заряд, протекающий в проводнике в результате электромагнитной индукции. Так как ток есть производная от заряда по времени, то, учитывая (1 7.6), можно записать:
dq 1 йФ
— или Ф? =-с1Ф/Я (17.8)
□ / к
Интегрируя последнее равенство, получаем:
О Ф)
Отсюда следует, что заряд, протекающий в проводнике вследствие электромагнитной индукции, зависит от изменения магнитного потока, пронизывающего контур, и его сопротивления.
Эту зависимость, в частности, используют для измерения магнитного потока приборами, регистрирующими электрический заряд, индуцируемый в контуре.
§ 17.2. ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
Возникновение э.д.с. в одном контуре при изменении силы тока, протекающего по другому контуру, называют взаимной индукцией. Это частный случай электромагнитной индукции.
Рассмотрим два контура 1 и II (рис. 17.4). Если замкнуть ключ К, то по контуру I пойдет ток который создаст магнитное поле. Контур II при этом прониже г магнитный поток Ф2. Он пропорционален магнитной индукции, а магнитная индукция — силе тока, создающего магнитное поле.
1 Формулу (16.7) здесь можно применить условно, так как магнитное поле неоднородно.
Поэтому
0\=Л/21/ь (17.10)
где Л/21 — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы обоих контуров, их взаимного расположения и магнитной проницаемости окружающей среды.
Можно провести аналогичные рассуждения, поменяв ролями контуры I и 11 (на рис. 17.4 это не показано). Если по контуру II протекает ток /2, то он создает поток Фн пронизывающий контур 1:
Ф| — Л/|2Л.
Коэффициенты М12 и М21 одинаковы: Л/12- М1{ = М; их называют взаимной индуктивностью, которая является характеристикой двух контуров. Единицей взаимной индуктивности является генри (Гн). Из определения видно, что 1 Гн= 1 В6/1А.
При изменении силы тока в одном контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий второй, и в нем возникает э.д.с. электромагнитной индукции. Используя основной закон электромагнитной индукции и соотношение (17.10), запишем, считая Мпостоянной,
£/2
(1Ф?
—-=-м dz
ад dz
(17-11)
Аналогично для э. л. с, возникающей в первом контуре, получим
6Ф.
——=-М dz
d/2 dr
(17 12)
Как видно из (17.11) и (17.12), э.д.с. взаимной индукции зависит от быстроты изменения силы тока в соседнем контуре и взаимной индуктивности обоих контуров.
§ 17.3. САМОИНДУКЦИЯ
Возникновение э.д.с. индукции в контуре при изменении силы тока этого же контура называют самоиндукцией. 'Это также частный случай электромагнитной индукции.
Можно заключить, что и в этом случае связь между силой тока, протекающего по контуру, и созданным им магнитным потоком, пронизывающим контур, аналогична (17.10):
Ф = L1,
(17.13)
где L — индуктивность контура.
Индуктивность зависит от размера и формы контура и магнитной проницаемости среды. Единицей индуктивности, так же как и взаимной индуктивности, является тенри.
При изменении силы тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий этот контур, что приводит к возникновению э.д.с. самоиндукции. Используя основной закон электромагнитной индукции и формулу (17.13), получаем выражение для э.д.с. самоиндукции, считая L постоянной:
d(£7) _ d/ ~^T~-L~dT- (17.14)
В результате самоиндукции изменение силы тока в цепи происходит не мгновенно. Покажем это на примере (рис. 17.5). Параллельно к источнику подключены катушка, обладающая большой индуктивностью L и малым сопротивлением, и резистор, имеющий большое сопротивление R и малую индуктивность. При размыкании ключа К верхняя
Рис. 17.5
часть схемы (а) станет самостоятельным контуром (б), в котором ток
обусловлен только электродвижущей силой самоиндукции. На основании закона Ома для полной цепи и формулы (17.14)
d/ d/ R
IR = - L —-— inn — = - — dr. (17.15)
& I L
Проинтегрируем последнее равенство, полагая, что начальному моменту Г — 0 соответствует сила тока 7П, а промежуточному моменту г — сила тока I.
i
t —
J У
Л)
7
dr; In — = - — /.
4
(17.16)
Потенцируя, получаем:
/=/оехр[-(АД)И. (17.17)
Следовательно, сила тока в контуре (рис. 17.5, б) изменяется не мгновенно, а по экспоненциальному закону. Именно поэтому, в частности, при размыкании любой реальной цепи возникает искра или
дуга на контактах выключателя.
На рис. 17.6 показаны зависимости силы тока от времени для двух значений R/L1'.
,R/L\<{R/L)2.
Процессы, подобные рассмотренному, называются переходными; они возникают в электрических цепях при переходе от одного режима работы к другому.
Теоретически такой процесс, как это следует из (17.17), протекает бесконечно долго. Однако принято длительность оценивать временем т, в течение которого параметр, характеризующий переходный процесс (в рассмотренном примере силы тока), изменяется в е раз (потоянная времени).
Выражение для постоянной времени можно получить из (17.17), если вместо /подставить /0/е, а вместо t— т: /0/е = /оехр [-(7?/£)т|, откуда
т = L/R.
(17.17а)
Для переходных процессов (рис. 17.6)
Т| = т2.
В заключение вычислим индуктивность соленоида, имеющего N витков надлине / и площадь 5поперечного сечения. Из (17,3) имеем
£ = Ф/Л (17.18)
1 Формула (17.17) и графики (рис. 17.6) справедливы в предположении, что начальная сила тока на участке ab значительно больше начальной силы тока на участке de (рис. 17.5, а). При размыкании ключа К изменяются направление тока и его сила на участке de.
Здесь J— сила тока, протекающего по соленоиду, которую выражаем из формулы (16.48):
I = HI/N.
(17.19)
Магнитный поток1, пронизывающий все его Nвитков:
Ф = BSN=\x^HSN.
(17.20)
Подставляя (17.19) и (17.20) в (17.18), имеем:
Отсюда видно, что L зависит от геометрии контура {N, 5, /) и относительной магнитной проницаемости цг среды внутри соленоида.
Умножив числитель и знаменатель в (17.21) на длину / соленоида и учитывая, что SI = V— объем соленоида, а п = N/1, получим:
£ = V.
(17.22)
Из формулы (17.22) легко установить, что единицей ц0 является генри на метр (Гн/м).
§ 17.4. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ
Одним из проявлений электромагнитной индукции является возникновение замкнутых индукционных токов (вихревые токи, или токи Фуко) в сплошных проводящих телах: металлические детали, растворы электролитов, биологические органы и т.п.
Вихревые токи образуются при перемещении проводящего тела в магнитном поле, при изменении со временем индукции поля, а также при совокупном действии обоих факторов. Как видно из (I 7.6), сила вихревых токов зависит от электрического сопротивления тела и, следовательно, от удельного сопротивления и размеров, а также от скорости изменения магнитного потока.
1 В электротехнике поток, пронизывающий все или несколько витков соленоида, называют потокосцеплением.
Рис. 17.7
Укажем некоторые применения вихревых токов.
Вихревые токи, согласно закону Джоуля-Ленца, вызывают нагревание проводников, которое используется для плавки металлов в специальных печах и разогревания поверхности проводящих тел с целью поверхностной закалки.
В физиотерапии разогревание отдельных частей тела человека вихревыми токами назначается как лечебная процедура, называемая индуктотермией 17.7 (см. § 19.3)
При взаимодействии вихревых токов, возникающих в движущихся проводниках, с магнитным полем происходит торможение проводников. Это используется, например, в стрелочных электроизмерительных приборах для торможения подвижных частей для более быстрого отсчета показаний.
В ряде случаев действие вихревых токов является нежелательным. Так, нагрев сердечников трансформаторов, двигателей и других устройств связан с непроизводительным расходом энергии, а иногда с необходимостью охлаждать эти детали. Для уменьшения нежелательного нагрева специально увеличивают электрическое сопротивление сердечников, набирая их из пластин кремниевых сталей или ферритовых материалов.
Своеобразно проявляются вихревые токи в проводах цепей переменного тока. В этом случае наблюдается перераспределение тока по сечению проводника: внутри него сила тока меньше, чем во внешних частях. На рис. 17.7 схематически показано распределение силы переменного тока по сечению цилиндрического проводника; толщина окружностей условно пропорциональна плотности тока на разных расстояниях отего оси. Это явление известно под названием скин-эффекта . Степень вытеснения тока на поверхность проводника зависит от его частоты. Так, для высокочастотных токов практически вся внутренняя часть проводников оказывается без тока, поэтому целесообразно использовать полые проводники (трубки), а в отдельных случаях — покрывать их хорошим, но дорогим проводником, например серебром.
§ 17.5. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как уже отмечалось в § 17.3, при размыкании цепи возникает искра, что свидетельствует об энергетических превращениях, так как искра является источником излучения света, нагрева, звуковых волн. Так как
1 Skin {англ.) — кожа, покров, что означает поверхностный эффект.
при этом уменьшается сила тока и, следовательно, индукция магнитного поля, можно сделать вывод о том, что с током и индукцией связана энергия, которая при размыкании цепи переходит в другие формы. Чтобы вычислить эту энергию, вернемся к цепи на рис. 17.5.
После размыкания ключа К в цепи, состоящей из L и /?, протекает ток, обусловленный э.д.с. самоиндукции, и происходит превращение энергии магнитного поля тока главным образом в энергию молекулярно-теплового движения — нагревание резистора. Уменьшение энергии магнитного поля можно вычислить как работу этого тока:
-А£м = А,.
Конечные значения силы тока, индукции магнитного поля и энергии равны нулю, начальное значение энергии магнитного поля тока будет Ем. поэтому ДЕМ = 0 — Ем = -Ем и тогда:
(17.23)
Элементарная работа, совершаемая током за промежуток времени d/, равна 6Д = 8/• dr. Подставляя (17.14) в последнее выражение, имеем:
б/
d/l = - L—~ I dt = dr
Проинтегрировав это равенство в пределах изменения силы тока от / до 0, получаем:
о
f f LI1
Ем= 6Л =-£ /б/ = —-• м J ' J 2
i
(17.24)
Формула (17.24) справедлива для любого контура, она показывает зависимость энергии магнитного поля тока от силы тока в контуре и его индуктивности.
Полезно сопоставить формулу (17.24) с выражением для кинетической энергии поступательного движения: пю2/2. Эта аналогия показывает, что индуктивность контура характеризует некоторые инерционные его свойства. Как невозможно остановить движущееся тело, не осуществив энергетических превращений, так и невозможно остановить движение зарядов (ток) без превращений энергии
Выразим энергию магнитного поля через его характеристики на примере соленоида. Будем считать, что магнитное поле длинного соленоида однородно и в основном расположено внутри него. Подставив / из (17.19) и L из (17.22) в (17.24), найдем:
м /22 № ' 2
(17.25)
Разделив обе части (17.25) на обьем Исоленоида, получим объемную плотность энергии магнитного поля:
^ = ^^//2/2
(17.26)
или, учитывая (16.33):
(17.27)
Единицей объемной плотности энергии является джоуль па кубический метр (Дж/м3).
Выражение (17.26) справедливо для любого магнитного поля независимо от его происхождения и определяет энергию магнитного поля, отнесенную к объему.
Полезно сопоставить (17.26) с формулой (14.46) для объемной плотности энергии электрического поля. Эти выражения подобны, хотя Ей Яне аналогичны друг другу.
Глава 18
Электромагнитные колебания и волны
Электромагнитными колебаниями называют периодические (или почти периодические) взаимосвязанные изменения зарядов, токов, напряженностей электрического и магнитного полей. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве происходит в виде электромагнитных волн. Среди различных физических явлений электромагнитные колебания и волны занимают особое место. Почти вся электротехника, радиотехника и оптика базируется на этих понятиях.
§ 18.1. СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободными (собственными) электромагнитными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 18 J ), который ключом К заряжается от источника 8, а затем разряжается на катушку индуктивности. При этом в контуре возникает э.д.с. самоиндукции, которая будет равна напряжению на обкладках конденсатора. Используя формулу (17.14), запишем:
- £(d//dz) - q/C.
(18.1)
Отсюда, учитывая (15.3), получаем:
d2^ q
— L------=------
dr2 С
или ---- + ю^ = 0,
(18.2)
где
2
Известно, что (18.2) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (7.6)| имеет вид.;
(со0г + ф0),
(18.4)
где qmax — наибольший (начальный) заряд на обкладках конденсатора;
— круговая частота собственных колебаний {собственная круговая частота) контура; ф0 — начальная фаза.
По гармоническому закону изменяется не только заряд на обкладках конденсатора, но и напряжение, и сила тока в контуре соответственно:
_ г л ______ ииил \ Т Т г
и=---------------cos(«0r + (p0) = t/wOTcob(w0r + (p0), (18 5)
I =--- = 4тахsin (<м + Фо) = - lmaxsin («о' + Фо), (18.6)
dr
где Umaxn 1тах — амплитуды напряжения и силы тока.
Графики зависимости заряда и напряжения от времени аналогичны графику зависимости д=f{th а график зависимости силы тока от времени — графику функции и =/(/) (см. рис. 7.4).
Из (18.3) найдем выражение для периода собственных колебаний (формула Томсона):
2л I-------
Т=
«и
(18.7)
Энергия заряженного конденсатора [см. (14.43)1, а также энергия магнитного поля контура [см. (17.24)] периодически изменяются со временем:
2
Едл = {CUmax/2) gos2 (о01 + Фо),
(18.8)
Рис. 18.1
Рис. 18.2
2
= (^/2)sin2<«Q^<Po)- (1S-9)
Можно убедиться, что сумма выражений (18.8) и (18.9) от времени не зависит: в идеальном контуре суммарная энергия сохраняется, электрические колебания — незатухающие.
Реальный колебательный контур (рис. 18.2) обладает омическим сопротивлением, поэтому колебания в нем затухают. Для этого контура закон Ома может быть записан в виде'
—A(d//dr) = IR + q/C. (18.10)
Преобразовав это равенство: d2<y R dq 1 + q — 0 (18.11)
и сделав замену: dr2 L 2р = R/ L, dr LC 4 = 1/(^C), (18.12)
получим: d2z? dq 2 + 2р — +еГо? = О. d/2 dr (18.13)
Это уравнение совпадас! с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний [см. (7.33)]. При условии, что затухание не слишком велико, т.е. соо — [3 =<о >0, находим следующее решение [см. (7.34)]:
<? = W^₽/cos<or + (f>o)- (18.14)
График этой функции аналогичен графику на рис. 7.14. Если затухание мало (й)0 »р2), то со » с)0.В этом случае логарифмический декремент затухания
(18.15)
о02< р2, или, используя (18.12),
1 А2
LC 4Z2
(18.16)
Рассмотрим два частных случая, вытекающих из неравенства (18.16).
1. В контуре нет конденсатора, иначе говоря, емкостное сопротивление контура (см. § 18.2) равно нулю. Как видно из (18.28), формально это означает С-> со. Из (18.10) получаем уравнение (17.15), решение которого представлено в виде (17.17), а график дан на рис. 17.6.
2. В контуре отсутствует индуктивность \ L -> 0). Из (18.10) имеем:
q dt? q dr
--------, --- = —---- , ИЛИ — =------- •
C d/ C q RC
Интегрируя последнее уравнение, находим:
я , / ,
fdg г dr q t
------ = _ , ]n - = .
• (If J RC Qmax RC
9max 0
(18.17)
(18.18)
Потенцируя второе из выражений (18.18), имеем:
q = 4т«х expl-r/(AC)l.
(18.19)
Уравнение (18,19) описывает процесс разрядки конденсатора на резне гор R. По такому же закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора. При отсутствии индуктивности колебания не возникают (рис. 18.3, а).
Можно показать, что зарядка конденсатора от источника постоянной э.д.с. £ также происходит по экспоненциальному закону:
?=еС{1-ехрН/(ЯО1) = «„,„(1-схр[-Г/(ЯО|). (18.20)
Рис. 18.3
График этого уравнения представлен на рис. 18.3, б. Для контура с конденсатором и резистором постоянная времени переходного процесса (см. § 17.3) равна:
т RC.
(18.21)
Электромагнитные колебания часто называют электрическими.
§ 18.2. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
В широком смысле слова переменный ток — любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к токам, изменяющимся со временем по гармоническому закону. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания.
Представим три разных цепи (рис. 18.4, а—18.6, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение:
/7 = t/W(7X cosco Л
(18.22)
Отметим без доказательства, что сила тока в цепи с резистором (рис. 18.4) будет изменяться в фазе с приложенным напряжением:
(18.23)
7 =
О /max
Рис. 18.4
Imax Uma x R
* ТОКОВ о
Umax L
Q imax ОСЬ
ТОКОВ
б
Рис. 18 5
Umax
б
Рис. 18.6
сила тока в цепи с катушкой я/2:
/ = 4cxcos(<flr-л/2).
(18.24)
а ток в цепи с конденсатором будет опережать по фазе напряжение на л/2:
f=4„arcos(<of+ п/2).
(18.25)
Векторные диаграммы, соответствующие этим примерам, показаны на рис. 18.4, 6-18.6, 6.
Отношение амплитуды напряжения (UtnaA) к амплитуде силы тока (1тах) по закону Ома выражает сопротивление.
Для цепи с резистором имеем омическое сопротивление:
л _ ^тах
к ~ 7
1 max R
(18.26)
для цепи с катушкой индуктивности — индуктивное сопротивление'.
^тах ,
XL = j—“ £ со,
' max L
(18.27)
для цепи с конденсатором — емкостное сопротивление:
^тах 1 лс =-------=
^тахС 6-СО
(18.28)
§ 18.3. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Представим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 18.7). Напряжение на зажимах а„ b цепи, создаваемое внешним источником, выражается по-прежнему зависимостью (18.22) с амплитудой Umax.
В последовательной цепи сила тока на всех участках одинакова, а напряжения различны. Как видно из § 14,2, в обшем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому
I = /,пах cos (оуt - ц>),
(18.29)
где ф — разность фаз напряжения и силы тока.
Сумма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:
U = Umaxcowt = UR + UL+ U( .
(18.30)
В соответствии с изложенным в § 18.2 напряжения UR, UL Uc можно записать так:
UR = UmaxRCOS ~ ф) (В Фазе С ТОКОМ);
(18.31)
(/£ = UmaxLcos(o)t — ср + л/2 ) (опережает силу тока по фазе); (18.32)
Uc ~ Umaxcco$№ - Ф — л/2) (отстает от силы тока по фазе). (18.33)
Подставив (18.31)—(18.33) в (18.30), после тригонометрических преобразований можно получить выражение для полного сопротивления цепи переменного тока и угла ф. Однако более просто и наглядно удается это сделать с помощью векторных диаграмм.
На рис. 18.8 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока 1тах. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участах отложим относительно этого вектора: вектор UmaxR ~ в одной фазе с силой тока; вектор UmaxL — с опережением силы тока по фазе гс/2, векгор UmaxC — с отставанием от сипы тока по фазе л/2. Суммируя три вектора, находим графически значения Umax и л.Используя теорему Пифагора, имеем
2 2
Umax= ^maxR + (UmaxL ~ UmaxC)2- (18.34)
Рис. 18Л
Рис. 18.8
Подставляя в (18.34) выражения этих амплитуд из (18.26)-(18.28) и учитывая закон Ома, находим.
Qax [4аг^-40х/<С(0)] • (18.35)
где Z — полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Из (18.35) получаем:
Z=a//?2+{£o_i/(q0)]2 =^7?2 + (А'£-Лс)2 - (18.36)
Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля—Ленца. Разность индуктивного и емкостного сопротивлений (XL - Хс) называют реактивным сопротивлением. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.
Запишем закон Ома применительно к амплитудам напряжения и силы тока в цепи (рис. 18.7):
^тах ^тах!^ ^тах! R? + (Х^ — А^)2 • (18.37)
Из рис. 18.8 найдем и значение (р через известные величины:
^maXL ^тахС
W =—и--------------
LmaxR
^тах^ы max] ( )
hnaxR
- 1/(Ссо) _XL-XC R R
(18.38)
Если индуктивное и емкостное сопротивления цепи при их последовательном соединении одинаковы (XL = Хс), то [см. (18.36)] Z= R. Из (18.38) имеем tgvp — 0 и ср = 0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе.
Этот случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжения.
Так как Umax^ = UmaxC» то £шрСз = 1/(Ссорез). Отсюда находим резонансную частоту:
®рез = Vi/Zc • (18.39)
UmaxL 1
q ^тах
Umax (UmaxFfl ОСЬ
ТОКОВ
UfnaxC
Рис. 18.9
Рис. 18.10
При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет наименьшее значение, равное R (при данных R, L и С), а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в цепи показана на рис. 18.9. Если £<и > 1/(См), то tg(p >0 и (р >0, сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (см. рие. 18.8). При <1/(Со) имеем tgq> <0 и ср <0. Сила тока опережает по фазе напряжение.
Векторная диаграмма для этого случая дана на рис. 18.10.
§ 18.4. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (ИМПЕДАНС) ТКАНЕЙ ОРГАНИЗМА.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕОГРАФИИ
Ткани организма проводят не только постоянный, но и переменный ток. В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю. Биологические мембраны и, следовательно, весь организм обладают емкостными свойствами, в связи с этим импеданс тканей организма определяется только омическим и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Приведем некоторые значения угла сдвига фаз, полученные при частоте I кГц для разных биологических объектов (табл. 18.1).
Таблица 18.1
ф. град
Кожа человека, лягушки 55
Нерв ля1ушки 64
Мышцы кролика 65
Омические и емкост ные свойства биологических тканей можно моделировать, используя эквивалентные электрические схемы. Рассмотрим некоторые из них (рис. 18.11).
Для схемы, изображенной на рис. 18.11, а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (18.36) при L = 0:
Z= VF+ 1/(.Сю)2 . (18.40)
Из графика видно, что схема имеет существенное противоречие с опытом при (в —> 0 (Z—> ос). Получается, что сопротивление на постоянном токе бесконечно велико (!?). Это противоречит данным, приведенным в § 15.4.
Эквивалентная электрическая схема (рис. 18.11, б) имеет расхождение с опытом при & -> со. На самом деле при больших частотах биологические ткани все же обладают сопротивлением.
Наиболее удачна эквивалентная электрическая схема, сочетающая первые две модели (рис. 18.11, в). При -» оо Хс —> 0 и сопротивление схемы можно найти по правилу параллельного соединения сопротивлений:
R=R]R2/(Rl + R2).
Рис. 18.11
Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма, что важно знать для пересадки (трансплантации) тканей и органов. Проиллюстрируем это графически (рис. 18.12). Здесь 7 — кривая для здоровой, нормальной, ткани, 2 — для мертвой, убитой кипячением в воде. В мертвой ткани разрушены мембраны — «живые конденсаторы», и ткань обла
Рис. 18.12
дает лишь омическим сопротивлением.
Различие в частотных зависимостях импенданса получается и в случаях здоровой и больной ткани.
Как видно из (18.38), угол сдвша фаз между током и напряжением также может давать информацию о емкостных свойствах ткани.
Импеданс тканей и органов зависит и от их физиологического состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечно-сосудистой деятельности.
Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности, называют реографией (импеданс-плетизмография),
С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (рео-энцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 кГц.
§ 18.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИМПУЛЬС И ИМПУЛЬСНЫЙ ТОК
Электрическим импульсом назовем кратковременное изменение электрического напряжения или силы тока,
В технике импульсы подразделяются на две большие группы: видео-и радиоимпульсы.
Видеоимпульсы — это такие электрические импульсы тока или напряжения, которые имеют постоянную составляющую, отличную от нуля. Таким образом, видеоимпульс имеет преимущественно одну полярность. По форме видеоимпульсы бывают (рис. 18.13):
а) прямоугольные;
б) пилообразные;
в) трапецеидальные;
Ш/ШкЛ
а 6 в г д
Рис. 18.13
Рис. 18.14
г) экспоненциальные;
д) колоколообразные и др.
Радиоимпульсы — это модулированные электромагнитные колебания (рис. 18.14).
В физиологии термином «электрический импульс» или «электрический сигнал» обозначают именно видеоимпульсы, поэтому рассмотрим параметры этих импульсов, оценивающие их форму, длительность и свойства отдельных участков.
Характерными участками импульса (рис. 18.15) являются: 1—2 — фронт, 2—3 — вершина, 3—4 — срез (или задний фоонт), 4—5 — хвост. Импульс, изображенный на этом рисунке очень схематичен. У него четко определены моменты начала /j перехода от фронта к вершине н и конца импульса /5. В реальном сигнале (импульсе) эти времена размыты (рис. 18.16), поэтому их экспериментальное определение может внести существенную погрешность. Для уменьшения возможной погрешности условились выделять моменты времени, при которых напряжение или сила тока имеют значения 0.1 Umaxu 0,9 Umox, где Umax — амплитуда, т.е. наибольшее значение импульса (рис. 18.16).
Рис. 18.15
Рис. 18.16
На этом же рисунке показаны: тф — длительность фронта; тср — длительность среза и ти — длительность импульса. Отношение
(0,9 - 0,1 ^тах)/ тср = 0,8 итак / Тф
называют крутизной фронта.
Повторяющиеся импульсы называют им-
l,U
Рис. 18.17
пулъсным током.
Он характеризуется периодом (периодом повторения импульсов) Т — средним временем между началами соседних импульсов (рис. 18.17) и частотой (частотой повторения импульсов) f= \/Т. Скважностью следования импульсов называется отношение:
Q = ТК = МЛ-
(18.41)
Величина, обратная скважности, есть коэффициент заполнения:
K=\/Q=ftw
(18.42)
§ 18.6. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ ЦЕПЬ. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ И ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
При прохождении переменного тока через электрическую цепь, составленную из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, сохраняется форма гармонического сигнала: данному внешнему гармоническому сигналу соответствует синусоидальный электрический ток. Таким образом, между силой тока и напряжением существует линейная зависимость и сама цепь называется линейной. Наличие таких элементов в цепи, как электронная лампа, полупроводниковый диод, транзистор, сделало бы цепь нелинейной
Линейная цепь не искажает форму гармонического напряжения, но изменяет форму импульсного сигнала.
В практической медицине это важно иметь в виду по двум основным причинам.
Во-первых, снимая электрический сигнал для диагностических целей (см. § 14.5) с биологического объекта, следует учитывать возможные искажения его формы в измерительной электрической цепи.
о-------------1|------------о
Свх Я и t/вых
о----------------------1----о
Рис. 18.18
Во-вторых, подавая импульсные сигналы на живой объект с целью стимуляции (см. § 19.2), необходимо знать, как сама биологическая система может исказить форму этого сигнала, будучи частью электрической цепи.
Рассмотрим на двух характерных примерах прохождение прямоугольного импульса через линейную цепь.
Дифференцирующая цепь
Предположим, что на вход схемы (рис. 18.18)’ подан прямоугольный импульс (рис. 18.19, а). Длительность импульса ти, постоянная времени цепи т = RC. Будем считать, что
т„ » т.
(18.43)
Входное напряжение (амплитуда импульса) распределяется на конденсаторе (Uc) и резисторе (Г7Л):
(7ВХ - Umax — Uq + UR
(18.44)
Конденсатор заряжается при подаче импульса |см. (18.19)] и разряжается после его прекращения [см. (18.20)] по экспоненциальному закону. Примерная временная зависимость (/с(г) показана на графике (рис 18.19, б). Выходное напряжение равно напряжению на резисторе:
(4ЫХ — L д — IR .
(18.44а)
Из (18.44) следует:
^вых Mix
(18.45)
График временной зависимости UR(J) может быть построен вычитанием графиков б и а (см. рис. 18.19, а).
1 Эта схема представляет четырехполюсник. Четырехполюсником в электро - и радиотехнике называют любую электрическую пень, имеющую две входные и две выходные клеммы (например, усилитель, трансформатор и т д.). пассивным называют такой четырехполюсник, который не содержит источников энергии, влияющих на проходящий сигнал. Таким образом, данная схема является пассивным четырехполюсником.
Условие (18.43) позволяет заключить, что вскоре после возникновения импульса в цепи Uablx << Пс(рис. 18.197, в этом случае из (18.45) имеем:
Ц? (18.46)
dq (\UC
Так как I =------, q — UrC, то / = С-------,
d/
а с учетом (18.46):
/*С—. d/
(18.47)
Подставляя (18.47) в (18.44а), получаем:
dtfux б'вых*ЯС-----.
d/
(18.48)
Как видно из (18.48), при сделанных рис допущениях в данной схеме выходное напряжение пропорционально производной по времени от входного напряжения. Поэтому данная цепь называется дифференцирующей.
Интегрирующая цепь
Имеем другую линейную цепь (рис. 18.2С), на вход которой подается прямоугольный импульс (рис. 18.21, а). Пусть длительность импульса значительно меньше постоянной времени цепи:
(18,49)
В этом случае конденсатор заряжается медленнее (рис. 18.21, б). Как и в предыдущем примере, UR(t) может быть найдена вычитанием из одного графика другого (рис. 18.21, в), так как формула (18.44) справедлива и здесь. о— <—i-------—о
Выходное напряжение — это напряже-
ние на конденсаторе: ^вх "Т* ^вых
о—---------------1..... о
6/вх = ис.
Рис. 18.20
Из условия (18.49) следует, что С/вх » Uc, это видно и из рис. 18.21, а, б. В этом случае из (18.44) получаем приближенное равенство UBX х UK. Так как
d
UK = /R. то Ua^RC--
d/
Отсюда
1 Г
^ВЫХ х rq I ^ВХ^'
(18.50)
Поэтому данная цепь называется интегрирующей.
В обоих примерах существенно изменилась (исказилась) форма подаваемого импульса.
§ 18.7. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА. ТОК СМЕЩЕНИЯ
Обобщая результаты опытов Х.К. Эрстеда по воздействию электрического тока на магнитную стрелку, опытов Фарадея по электромагнитной индукции и других фактов, Максвелл создал в рамках классической физики теорию электромагнитного поля.
В основе теории Максвелла лежат два положения.
I. Всякое переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное. Переменное электрическое поле было названо Максвеллом током смещения, так как оно, подобно обычному току, вызывает магнитное поле.
Чтобы найти выражение для силы тока смещения, рассмотрим прохождение переменного тока по цепи, в которую включен конденсатор с диэлектриком (рис. 18.22). Конденсатор не препятствует протеканию тока, что заметно по накалу лампочки. В проводниках это обычный ток проводимости /„р, обусловленный изменением заряда на обкладках конденсатора. Можно считать, что ток проводимости продолжается в конденсаторе током смещения /см, причем
Рис. 18.22
Рис. 18.23
Заряд на обкладках конденсатора
Er£f(5
q = CU = ~ El = e^SE.
Тогда сила тока смещения
*см , О.
ш
(18.51)
Так как электрическое поле конденсатора однородно, то, разделив силу тока на площадь, получим выражение для плотности тока смещения:
Л;м - Ег£0 ——. СП
(18.52)
Из (18.52) следует, что Усч направлен в сторону d£/dr, например при увеличении напряженности электрического поля — вдоль Е. Этому случаю соответствует рис. 18.22: заряд на обкладках конденсатора возрастает, и Е направлены от положительно заряженной его пластины к отрицательно заряженной.
Магнитное поле токов смещения было экспериментально обнаружено В.К. Рентгеном, а количественно подтверждено А.А. Эйхенвальдом1.
1 А.А. Эйхенвальд был первым заведующим кафедрой физики Высших женских курсов в Москве, на основе которых был со адан ряд московских вузов, в том числе и Российский медицинский университет.
В опыте Эйхенвальда диск из диэлектрика 1 (рис. 18.23) располагается между пластинами двух плоских конденсаторов 2 и 3. Напряженности электрического поля в них направлены противоположно. При вращении диска вокруг оси 4 происходит изменение поляризации диэлектрика в пространстве междх конденсаторами. Это порождает магнитное поле, определяемое с помощью специальной индикаторной магнитной стрелки.
Подставляя выражение для силы тока смешения (18.51) в закон полного тока (16.46). получаем первое уравнение Максвелла
Г AF
|^а/=/пР + Кге0-А5, (18.53)
которое показывает, что вихревое магнитное поле порождается как токами проводимости /пр (движущимися электрическими зарядами), так и токами смещения (переменным электрическим полем Б).
2. Всякое переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое {основной закон электромагнитной индукции). Используя выражение (15.5) и закон (17.5). получаем второе уравнение Максвелла:
E,d/=-^, 1 df
(18 54)
которое связывае! скорость изменения магнитного потока сквозь любую поверхность и циркуляцию вектора напряженности электрического поля, возникающего при этом. Циркуляция берется по контуру, на который опирается поверхность.
Из основных приведенных выше положений теории Максвелла следует, что возникновение какого-либо поля, электрического или магнитного, в некоторой точке пространства влечет за собой целую цепь взаимных превращений: переменное электрическое поле порождает магнитное (на рис. 18.24, а показаны Е и линия напряженности возникшего магнитного поля при условии dE/dr >0), изменение магнитно-
го поля порождает электрическое (на рис, 18.24, б изображены Н и силовая линия возникшего электрического ноля при условии d/Z/dr > 0) и т.д. Различие в знаке уравнений Максвелла (18.53) и (18.54) обусловливает различное направление стрелок на линиях И и Е этих рисунков.
§ 18.8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Взаимное образование электрических и магнитных полей приводит к понятию электромагнитной волны — распространение единого электромагнитного поля в пространстве.
Поясним это. Пусть в точке л( диэлектрика (рис. 18.25) возрастает напряженность электрического поля. При этом возникает вихревое магнитное поле, напряженность которого Н2 в точке л2 направлена от читателя (ср. с рис. 18.24, а). Возрастание Н- вызывает вихревое электрическое поле, в точке х2 вектор напряженности этого поля перпендикулярен оси ОА'Сср. с рис. 18.24, б) и т.д. Если изменения Е или Н будут поддерживаться в заданной точке за счет энергии некоторого источника, то в пространстве будет непрерывно распространяться электромагнитная волна.
Покажем, что волновой характер распространения электромагнитного поля следует из уравнений Максвелла (18.53) и (18.54). Будем считать среду диэлектриком; следовательно, сила тока проводимости равна нулю. Магнитный поток через некоторую площадь У расположенную перпендикулярно линиям В , равен:
Уравнения Максвелла при этих условиях примут вид1:
j^d/=Mf>5^; j£,d/=-M,n05^-. (18.55)
Выделим в плоскости ZOA (рис. 18.26) элементарный. т.е. достаточно малый, прямоугольный контур 1-2—3-4—1. Площадь, охватываемая контуром, равна dids. На участках 7-2и 3-4 Eldl- 0; на участке 2-3 El<\E= -Evz, на участке 4-1 El d/ = (Е + dE)dz.- Следовательно, циркуляция вектора Е по этому контуру:
0 + (- £Эг) + 0 + (E + dE)dz = dEdz.
Подставляя выражения для площади и циркуляции во второе из уравнений (18.55), получаем:
d&z= или =
(18.56)
1 Уравнения Максвелла записаны в частных производных, так как в дальнейшем возникнет необходимоегь дифференцирования по координате.
Рис. 18.26
Рис. 18.25
Рассматривая аналогично прямоугольный контур 3—6—5-4—3, выделенный в плоскости XOY, можно заметить, чю на участке 3—6 Н, d/= Нсу\ на участках 6—5 и 4—3 Н/ d/ = 0; на участке 5—4 Hz dl = (Н + с И) ду. Отсюда циркуляция вектора Я по атому контуру:
Иду + 0 + [-(Я + ЙЯ)Йу] + 0 = с)Нс>у.
Подставляя выражения для площади, охватываемой контуром, и циркуляции в первое из уравнений (18.55), получаем:
с£
— с HZ.y = s,.g(j dx?z -д— или
Продифференцируем (18.56) по координате х, а (18.57) — по времени
а2£ а2я р2я
Я = . ИЛИ
ах2 схЯ cxcl
1 б2/:’
IV Ио ох2
»2Я S2£
г^ё7 " “ £'-£°
Из последних уравнений следует:
1 г; Л1 F' Г)г /2
1'8.58)
Это есть волновое уравнение (7.49), его решение представим в форме уравнения плоской волны (7.45):
Аналогичное уравнение можно получить и для напряженности магнитного поля:
Н= Я,„СО5(9 (г — Л'/о).
(18.60)
Итак, последовательно от законов Био—Савара—Лапласа и Фарадея через уравнения Максвелла мы приходим к волновому характеру распространения электромагнитного поля.
Из сравнения (18.58) с волновым уравнением (7.49) следует, что скорость распространения электромагнитной волны:
(18.61)
где с = 1/ — скорость света в вакууме.
Таким образом, скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света. Это послужило основанием для создания Максвеллом электромагнитной теории света.
Сопоставляя (18.61) и выражение для показателя преломления п = = с/и, можно установить связь между п и относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями:
П ~ •
(18.62)
Объемная плотность энергии электромагнитного поля складывается из объемных плотностей электрического (14.46) и магнитного (17.26) полей:
«эм = «эл + «м = + ИгМо^/2-
(18.63)
Электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля в диэлектрике энергетически равноправны, поэтому:
(18.64)
тогда для объемной плотности энергии можно записать несколько выражений:
созм = = ц^Н2 = ЕН.
(18.65)
Плотность потока энергии волн (интенсивность волны) получим из общей формулы, подставляя в нее (18.61) и (18.65):
/2 - ЕН - 1----------= ЕН, (18.66)
или
7= Ёх н
(18.67)
— в этой формуле пол Е и Я следует понимать среднее по времени значение модуля этих векторов.
§ 18.9. ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ИНТЕРВАЛОВ, ПРИНЯТАЯ В МЕДИЦИНЕ
Из теории Максвелла вытекает, что различные электромагнитные волны, в том числе и световые, имеют общую природу. В связи с этим целесообразно представить всевозможные электромагнитные волны в виде единой шкалы (рис. 18.27)
Вся шкала условно подразделена на шесть диапазонов: радиоволны (длинные, средние и короткие), инфракрасные, видимые, ультрафиолет
Инфракрасное излучение
Видимый свет А
Ультрафиолетовое излучение
Радиоволны
Рентгеновское излучение
у-Излучение
4 I । . J_I_। L i I । Illi__l_I_______I__I_L
; м Ю2 1 Ю"2 Ю‘4 * 10"6 * 10 е Ю"10 1СГ12 10~14
_Lj_______I_______1—_____I_______L—-----L_—►
3-105 3.108 3-ю11 340143-1017 3-1020 V, Гц
товые, рентгеновские и гамма-излучение. Эта классификация определяется либо механизмом образования волн, либо возможностью зрительного восприятия их человеком.
Радиоволны обусловлены переменными токами в проводниках и электронными потоками (макроизлучатели) Инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения исходят из атомов, молекул и быстрых заряженных частиц (микроизлучатели). Рентгеновское излучение возникает при внутриатомных процессах, у-излучение имеет ядерное происхождение.
Некоторые диапа юны перекрываются, так как волны одной и той же длины могут образоваться в разных процессах. Так, наиболее коротковолновое ультрафиолетовое излучение перекрывается длинноволновым рентгеновским.
В этом отношении очень характерна пограничная область инфракрасных волн и радиоволн. До 1922 г. между этими диапазонами был пробел. Наиболее коротковолновое излучение этого незаполненного промежутка имело молекулярное атомное происхождение (излучение нагретого тела), а наиболее длинноволновое излучалось макроскопическими вибраторами Герца. Российским физиком А.А. Глаголевой-Аркадьевой1 было предложено пропускать искру через смесь большого числа мелких металлических опилок в масле. При этом можно было получить различные электромагнитные волны с длиной волны 82 мкм и более. Диапазоны инфракрасных и радиоволн были сомкнуты.
Сейчас никого не удивляет, что даже миллиметровые волны могут генерировать не только радиотехническими средствами, но и молекулярными переходами Появился раздел — радиоспектроскопия, который изучает поглощение и излучение радиоволн различными веществами. В медицине принято следующее условное разделение электромагнитных колебаний на частотные диапазоны (табл. 18.2).
Таблица 18.2
Низкие (НЧ) До 20 Гц
Звуковые (34) 20 Гп - 20 кГц
Ультразвуковые или надтональные (УЗЧ) 20 кГц - 200 кГц
Высокие (ВЧ) 200 кГц - 30 МГц
1 Александра Андреевна Глаголева-Аркадьева была первым заведующим кафедры физики 2-го Московского медицинского института (ныне Российский медицинский университет).
Окончание табл. 18.2
Ультравысокие (УВЧ) 30 МГц - 300 МГц
Сверхвысокие (СВЧ) 300 МГц - 300 ГГц
Крайне высокие (КВЧ) Свыше 300 ГГц
Часто физиотерапевтическую электронную аппаратуру низкой и звуковой частоты называют низкочастотной. Электронную аппаратуру всех других частот называют обобщающим понятием высокочастотная.
Глава 19
Физические процессы в тканях при воздействии током и электромагнитными полями
Вее вещества состоят из молекул, каждая из них. является системой зарядов, поэтому состояние тел существенно зависит от протекающих через них токов и от воздействующего электромагнитного поля Электрические свойства биологических тел сложнее, чем свойства неживых объектов, ибо организм — это еще и совокупность ионов с переменной концентрацией в пространстве. Первичный механизм воздействия токов и электромагнитных полей на организм — физический, он и рассматривается в главе применительно к медицинским лечебным методам.
§ 19.1. ПЕРВИЧНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА НА ТКАНИ ОРГАНИЗМА.
ГАЛЬВАНИЗАЦИЯ.
ЭЛЕКТРОФОРЕЗ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ВЕЩЕСТВ
Человеческий организм в значительной степени состоит из биологических жидкостей, содержащих большое количество ионов, которые участвуют в различных обменных процессах.
Под влиянием электрического поля ионы движутся с разной скоростью и скапливаются около клеточных мембран, образуя встречное этектрическое поле, называемое поляризационным. Таким образом, первичное действие постояннного тока связано с движением ионов, их разделением и изменением их концентрации в разных элементах тканей.
Воздействие постоянного тока на организм зависит от силы тока, поэтому весьма существенно электрическое сопротивление тканей и прежде всего кожи. Влага, пот значительно уменьшают сопротивление, что даже при небольшом напряжении может вызвать значительный ток через организм.
Непрерывный постоянный ток напряжением 60—80 В используют как лечебный метод физиотерапии (гальванизация).
Источником тока обычно служит двухполупериодный выпрямитель — аппарат для гальванизации. Применяют для этого электроды из
Рис» 19.1
листового свинца или станиоля толщиной 0,3 -0,5 мм. Так как продукты электролиза раствора поваренной соли, содержащегося в тканях, вызывают прижигание, то между электродами и кожей помещают гидрофильные прокладки, смоченные, например, теплой водой.
Дозируют силу постоянного тока по показаниям миллиамперметра, при этом обязательно учитывают предельно допустимую плотность тока — 0,1 мА/см2.
Постоянный ток используют в лечебной практике также для введения лекарственных веществ через кожу или слизистые оболочки. Этот метод получил название электрофореза лекарственных веществ.
Для этой цели поступают так же, как и при гальванизации, но прокладку активного электрода смачивают раствором соответствующего лекарственного вещества.
Лекарство вводят с того полюса, зарядом которого оно обладает: анионы вводят с катода, катионы — с анода.
Введение лекарственных веществ с помощью постоянного тока хорошо иллюстрирует следующий опыт. Двум кроликам выбривают участки кожи на обоих боках и к выбритым местам прикрепляют фланелевые прослойки; одни из них смочены раствором азотнокислого стрихнина, другие — раствором поваренной соли (рис. 19.1). На фланель накладывают электроды и пропускают по цепи ток силой 50 мА. Спустя некоторое время кролик, у которого стрихнин на аноде, погибает при типичных явлениях отравления этим веществом. Другой же кролик, у которого стрихнин на катоде, не погибает, но если изменить направление тока, то и он погибнет.
Гальванизацию и электрофорез лекарственных веществ можно осуществлять с помощью жидкостных электродов в виде ванн, в которые погружаются конечности пациента.
§ 19.2.ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРЕМЕННЫМИ (ИМПУЛЬСНЫМИ) ТОКАМИ
Действие переменного тока на организм существенно зависит от его частоты. При низких, звуковых и ультразвуковых частотах (см. § 18.9) переменный ток, как и постоянный, вызывает раздражающее действие на биологические ткани. Это обусловлено смещением ионов растворов электролитов, их разделением, изменением их концентрации в разных частях клетки и межклеточного пространства.
Раздражение тканей зависит и от формы импульсного тока, длительности импульса и его амплитуды. Так, например, увеличение крутизны фронта импульса уменьшает пороговую силу тока, который вызывает сокращение мышц. Это свидетельствует о том, что мышцы приспосабливаются к изменению силы тока, наступают ионные компенсационные процессы. Крутизна прямоугольного импульса очень большая (теоретически — оесконечная), поэтому для таких импульсов пороговая сила тока меньше, чем для других. Существует определенная связь между пороговой 1т(1Х амплитудой и длительностью прямоугольного импульса, который вызывает раздражение (рис. 19.2). Каждой точке кривой и точкам, лежащим выше кривой, соответствуют импульсы, которые вызывают сокращение мышц. Точки, расположенные ниже кривой, отображают импульсы, не вызывающие раздражения. Кривая на рисунке называется характеристикой возбуждения. Она специфична для разных мышц.
Так как специфическое физиологическое действие электрического тока зависит от формы импульсов, то в медицине для стимуляции центральной нервной системы (электросон, электронаркоз), нервно-мышечной системы, сердечно-сосудистой системы (кардиостимуляторы, дефибрилляторы) и т.д. используют токи с различной временной зависимостью.
Ток с импульсами прямоугольной формы с длительностью импульсов тн = 0,1 -1 мс и диапазоном частот 5—150 Гц используют для лечения электросном, токи с ти = 0,8—3 .мс и диапазоном частот 1 — 1,2 Гц применяют во вжив-. , <тах ,
ляемых (имплантируемых) кардиостимуля- I
торах. Ток с импульсами треугольной формы \
(рис. 19.3, а, ти = 1-1,5 мс, частота 100 Гц), а также ток экспоненциальной формы, им- ——
пульсы которого медленно нарастают и_____________________
сравнительно быстро спадают (рис. 19.3, б; 0 ти
ти — 3-60 мс, частоты 8—80 Гц) применяют Рис. 19.2
Рис. 19.3
для возбуждения мышц, в частности при электрогимнастике. Для разных видов электролечения используют диадинамические токи , предложенные Бернаром. На рис. 19.3, в показана форма одного из видов такого импульсного тока, частота следования импульсов около 100 Гц.
Действие переменного (гармонического) тока на организм при низких, звуковых и ультразвуковых частотах оценивается следующими пороговыми значениями: порогом ощутимого тока и порогом не отпускающего тока.
Порогом ощутимого тока называют наименьшую силу тока, раздражающее действие которого ощущает человек. Эта величина зависит от места и площади контакта гела с подведенным напряжением, частоты тока, индивидуальных особенностей человека (пол, возраст, специфика организма). Для однородных групп испытуемых порог ощутимого тока подчиняется закону нормального распределения со средним значением около 1 мА на частоте 50 Гц у мужчин для участка предплечье—кисть, на рис 19.4 (кривая /) показана зависимость среднего значения порога ощутимого тока для этой группы испытуемых от частоты тока.
Если увеличивать силу тока от порога ощутимого его значения, то можно вызвать такое сгибание сустава, при котором человек не сможет самостоятельно разжать руку и освободиться от проводника — источника напряжения. Минимальную силу этого тока называют порогом неотпускающего тока. Токи меньшей силы являются отпускающими. Порог неотпускающего тока — важный параметр, его превышение может быть губительным для человека. Значения порога неотпускающего тока также подчиняются закону нормального распределения. На рис. 19.4 (кривая 2) графически представлена зависимость среднего по группе испытуемых мужчин значения порога неотпускающего тока от частоты.
Воздействуя на сердце, ток может вызвать фибрилляцию желудочков, которая приводит к гибели человека. Пороговая сила тока, вызы-
вающего фибрилляцию, зависит от плотности тока, протекающего через сердце, частоты и длительности его ,at й-ствия.
При частотах приблизительно более 500 кГц смешение ионов становится соизмеримым с их смещением в результате молекулярно-теплового движения, поэтому ток или электромагнитная волна не будет вызывать раздражающего действия. Основным первичным эффектом в этом случае является тепловое
воздействие. Лечебное прогревание высокочастотными электромагнитными колебаниями обладает рядом преимуществ перед таким традиционным и простым способом, который реализуется грелкой.
Прогревание грелкой внутренних органов осуществляется за счет теплопроводности наружных тканей — кожи и подкожножировой клетчатки. Высокочастотное прогревание происходит за счет образования
теплоты во внутренних частях организма, т.с. его можно создать гам, где оно нужно. Выделяемая теплота зависит от диэлектрической проницаемости тканей, их удельного сопротивления и частоты электромагнитных колебаний. Подбирая соответствующую частоту, можно осуществлять «термоселективное» воздействие, т.е. преимущественное образование теплоты в нужных тканях и органах.
Прогревание высокочастотными колебаниями удобно и тем, что, регулируя мощность генератора, можно управлять мощностью тепловыделения во внутренних органах, а при некоторых процедурах возможно и дозирование нагрева. Кроме теплового эффекта электромагнитные колебания и волны при большой частоте вызывают и внутримолекулярные процессы, которые приводят к некоторым специфическим воздействиям.
Чтобы нагреть ткани, необходимо пропускать большой ток.
Как уже было отмечено, в этих случаях постоянный ток или ток низкой, звуковой и даже ультра звуковой частот может привести к электролизу и разрушению ткани. Поэтому для нагревания токами используются токи высокой частоты (см. § 18.9).
Мощность тока, расходуемую на нагревание тканей, вычислим по формуле Р — PR. Преобразуем ее, считая, что биологическая ткань расположена между двумя плоскими электродами с площадью S. находящимися на расстоянии / вплотную к ним (аналогично тому, что изображено на рис. 15.2).
Пусть плотность тока j одинакова во всех точках ткани и равна плотности тока на электродах. Учитывая, что R = pl/S, получаем:
P = PR =jWpl/S=jp^
(19.1)
где V=S1 — объем ткани. Разделив ((19.1) на этот ооъем, получим количество теплоты q, выделяющееся за 1 с в 1 м3:
<7 = /Р2-
(19.2)
Как и следовало ожидать, q зависит от плотности тока и удельного сопротивления ткани.
Пропускание тока высокой частоты через ткань используют в физиотерапевтических процедурах, называемых аиатермией и местной дарсон-вализаиией.
При диатермии применяют ток частотой около 1 МГц со слабозатухающими колебаниями, напряжение 100—150 В; сила тока несколько ампер. Так как наибольшим удельным сопротивлением обладают кожа жир, кости, мышцы, то они и нагреваются сильнее. Наименьшее нагревание у органов, богатых кровью или лимфой, — легкие, печень, лимфатические узлы. Недостаток диатермии — большое количество теплоты непродуктивно выделяется в слое кожи и подкожной клетчатке.
В последнее время диатермия уходит из терапевтической практики и заменяется другими методами высокочастотного воздействия. Это обусловлено повышенной опасностью диатермии: неисправность аппарата, случайное искрение в месте наложения электродов при прямом двухполюсном касании биометаллического объекта и значительном то-
Рис. 19.5
ке могут привести к трагическим последствиям.
Для местной дарсонвализации применяют ток частотой 100—400 кГц, напряжение его — десятки киловольт, а сила тока небольшая —10—15 мА.
Ток к пациенту П (рис. 19.5) поступает от источника высокочастотных колебаний И через вакуумный или заполненный графитом стеклянный электрод Э. Второго электрода нет, так как цепь замкнута (пунктирное изображение конденсатора) через те
ло пациента и окружающую среду токами смещения. Действующим фактором является не только импульсный ток высокой частоты, но и электрический разряд, возникающий между кожей пациента и электродом.
Токи высокой частоты используются и для хирургических целей (электрохирургия}. Они позволяют прижигать, «сваривать» ткани (диатермокоагуляция) или рассекать их (диатермотомия).
При диатермокоагуляции применяют плотность 6—10 мА/мм2, в результате чего температура ткани повышается и ткань коагулирует. При диатермотомии плотноезь тока доводят до 40 мА/мм2, в результате чего острым электродом (электроножом) удается рассечь ткань. Электрохирургическое воздействие имеет определенные преимущества перед обычным хирургическим вмешательством.
§ 19.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРЕМЕННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
В § 17.4 было показано, что в массивных проводящих телах, находящихся в переменном магнитном поле, возникают вихревые токи, Эти
токи могут использоваться для прогревания биологических тканей и органов. Такой лечебный метод — индуктотермия — имеет ряд преимуществ перед методом, изложенным в § 19.2.
Рассмотрим, от каких факторов зависит степень нагревания тканей при индуктотермии. Схема воздействия показана на рис. 19.6. Из формул (17.6) и (16.7) можно приближенно записать для вихревых токов:
Рис. 19.6
S &В
R d/
Выражая R через формулу'для сопротивления, получаем:
dfi
р dz
(19.3)
где — некоторый коэффициент, учитывающий геометрические размеры образца (ткани). Предположим, что магнитная индукция поля изменяется по гармоническому закону В = Втах cosco/, тогда
d5
п = -В о) sinaV.
Qt |7J|£V
(19.4)
Подставляя в (19.2) вместо плотности тока силу тока из (19.3) (плотцадь сечения учитывается в коэффициенте к{) и используя (19.4). находим:
к 2 О)2 2
У ~ ~2 °2Р sin2co/ = к —~ Втах ш2р sin2<,
(19.5)
где к — некоторый коэффициент.
Таким образом, при индуктотермии количество теплоты, выделяющееся в тканях, пропорционально квадратам частоты и индукции переменного магнитного поля и обратно пропорционально удельному сопротивлению. Поэтому сильнее будут нагреваться ткани, богатые сосудами, например мышцы, чем такие ткани, как жир. Обычно при индуктотермии применяют местное воздействие переменного магнитного поля, используя спирали или плоские свернутые кабели.
Лечение вихревыми токами возможно также при обшей дарсонвализации. В этом случае пациента помещают в клетку-соленоид, по виткам которого пропускают импульсный ток высокой частоты.
§ 19.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРЕМЕННЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ
В тканях, находящихся в переменном электрическом поле (см. схематическое изображение на рис. 19.7% возникают токи смещения и токи проводимости. Обычно для этой цели используют электрические поля ультравысокой частоты, поэтому соответствующий физиотерапевтический метод получил название УВЧ-терапии. Для того чтобы оценить эффективность действия поля УВЧ, необходимо
Рис. 19.7
рассчитать количество теплоты, выделяющееся в проводниках и диэлектриках.
Пусть тело, проводящее электрический ток, находится в переменном электрическом поле. В данном случае электроды не касаются тела. Поэтому выделяющееся в теле количество теплоты целесообразно выразить не через плотность тока на электродах |см. (19.2)], а через напряженность £ электрического поля в проводящем теле.
Выполним достаточно простые пре^разования: Р= U1/ R— E2P-S/ (р/) = = №51/ р. Разделив это равенство на объем 57тела,поиучмм количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 ткани:
q = P/(SI)=№/p. (19.6)
где Е — эффективная напряженность1 электрического поля.
Рассмотрим теперь диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ел находящийся в переменном электрическом поле.
Среднее значение мощности в цепи переменного тока выражается формулой:
Е (^тах hnax/'^') COS ф — 7эф COSif, (19.7)
где ф — разность фаз между силой тока и напряжением. Если применить формулу (19.7) к конденсатору (см. рис. 18.6, а), то, учитывая ср = я/2, получаем:
Р=0.
В этом примере (см. векторную диаграмму на рис. 18.6, б) мощность не поглощается в конденсаторе и ток смещения полностью реактивный. В реальном диэлектрике небольшой ток проводимости и периодическое изменение поляризации вызывают поглощение подводимой электрической мощности, диэлектрик нагревается, на что расходуется часть энергии переменного электрического поля, т.е. имеют место диэлектрические потери.
Как видно из формулы (19.7), наличие потерь в диэлектрике означает, что между силой тока и напряжением будет сдвиг по фазе ф л/2 (рис. 19.8).
Представим вектор тока 1 двумя составляющими: реактивной /ри активной 1Я. Реактивная составляющая сдвинута по фазе относительно напряжения U на п/2 и не вызывает диэлектрических потерь, активная составляющая направлена вдоль вектора напряжения, она и обусловливает диэлектрические потери. Угол о между I и /р называют углом диэлектрических потерь. Как видно на рис. 19.8, чем больше этот угол, тем больше активная составляющая силы тока. На практике реактивную и
1 Эффективная напряжен] гость электрического поля, аналогично силе тока и напряжению, связана с .максимальным значением соотношением Е ~ Етах/ л/2.
Рис. 19.8
активную составляющие силы тока связывают через тангенс угла диэлектрических потерь:
y-=tg5, 4 = Zptg6. (19.8.)
7р
Из рис. 19.8 видно, что = Imax cos<p; сопоставляя это с (19.8), имеем:
ZmflA cos (р =/р tg5.
Учитывая (19.9), преобразуем формулу для мощности (19 7):
Umax
Р = — /р tgd.
(19.9)
(19.10)
Амплитуда реактивной составляющей силы тока /р — это фактически амплитуда силы тока, соответствующая идеальному конденсатору [см. (18.28)]. Поэтому
Umax^-'1-'-1'
(19.11)
Подставляя (19.11) в (19.10) и раскрывая выражение для емкости плоского конденсатора, получаем среднюю мощность:
max
Р = ------------о t g
2 /
(19.12)
Вместо амплитуды напряжения Umili их используем эффективное значение:
• ^эф ^тах /ИЛИ ~ Umax /2-
Имеем:
Р = 1%$ со (erE057/)tg5.
Отсюда, выражая напряжение через напряженность электрического поля, получаем:
Р = Е2!2 со (еге0 S/Г) tgS = соЬ'2еге0 tgS SI.
Разделив это равенство на объем SI диэлектрика, найдем:
q ~ -7- = o£2£rc0tg5,
(19.13)
(под Е следует понимать эффективную напряженность электрического поля).
Сопоставляя формулы (19.6) и (19.13), можно заметить, что в обоих случаях выделяемое количество теплоты пропорционально квадрату эффективной напряженности электрического поля. Она также зависит от характеристик среды, а для диэлектрика — и от частоты поля.
В России в аппаратах УВЧ используют частоту 40,58 МГц, в случае токов такой частоты диэлектрические ткани организма нагреваются интенсивнее проводящих.
§ 19.5. ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ВОЛНАМИ
Физиотерапевтические методы, основанные на применении электромагнитных волн СВЧ-диапазона, в зависимости от длины волны получили два названия: микроволновая терапия (частота 2375 МГц, длина волны 12,6 см) и ДЦВ-терапия, т.е. терапия дециметровых волн (частота 460 МГц, длина волны 65,2 см).
Наиболее разработана в настоящее время теория о тепловом действии СВЧ-полей на биологические объекты Электромагнитная волна поляризует молекулы вещества и периодически переориентирует их как электрические диполи. Кроме того, электромагнитная волна воздействует на ионы биологических систем и вызывает переменный ток проводимости. Таким образом, в веществе, находящемся в электромагнитном поле, есть как токи смешения, ак и токи про во и и мости. Все это приводит к нагреванию вещества. Большое значение имеют токи смещения, обусловленные переориентацией молекул воды. В связи с этим максимальное поглощение энергии микроволн происходит в таких тканях, как мышцы и кровь, а в костной и жировой ткани воды меньше, они меньше и нагреваются.
На границе сред с разными коэффициентами поглощения электромагнитных волн, например на границе тканей с высоким и низким содержанием воды, могут возникнуть стоячие волны, обусловливая местный перегрев тканей. Наиболее подвержены перш реву ткани с недоста
точным кровоснабжением и, следовательно, плохой терморегуляцией, например хрусталик глаза, стекловидное тело и др.
Электромагнитные волны могут влиять на биологические процессы, разрывая водородные связи и влияя на ориентацию макромолекул ДНК и РНК.
При попадании электромагнитной волны на участок тела происходит ее частичное отражение от поверхности кожи. Степень отражения зависит от различия диэлектрических проницаемостей воздуха и биологических тканей. Если облучение электромагнитными волнами осуществляется дистанционно (на расстоянии), то может отражаться до 75% энергии электромагнитных волн. В этом случае невозможно по мощности, генерируемой излучателем, судить об энергии, поглощаемой пациентом в единицу времени. При контактном облучении электромагнитными волнами (излучатель соприкасается с облучаемой поверхностью) генерируемая мощность соответствует мощности, воспринимаемой тканями организма.
Глубина проникновения электромагнитных волн в биологические ткани зависит от способности этих тканей поглощать энергию волн, которая, в свою очередь, определяется как строением тканей (главным образом содержанием воды), так и частотой электромагнитных волн. Так, сантиметровые электромагнитные волны, используемые в физиотерапии, проникают в мышцы, кожу, биологические жидкости на глубину около 2 см, а в жир. кости — около 10 см. Для дециметровых волн эти показатели приблизительно в 2 раза выше.
Учитывая сложный состав тканей, условно считают, что при микроволновой терапии глубина проникновения электромагнитных волн равна 3-5 см от поверхности тела, а при ДЦВ-терапии — до 9 см.
Раздел 5
ОБЩАЯ И МЕДИЦИНСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Понятие «электроника» широко распространено в настоящее время. Являясь технической наукой, электроника основывается прежде всего на достижениях физики. Можно смело сказать, что без электронной аппаратуры сегодня невозможна ни диагностика заболеваний, ни эффективное их лечение. В разделе приводятся лишь некоторые, наиболее существенные аспекты общей и медицинской элсктроникгг и наиболее характерная медицинская электронная аппаратура. Некоторые приборы и аппараты медицинской электроники даны в других разделах.
Глава 20
Содержание общей и медицинской электроники
В главе наряду с изложением содержания электроники рассматриваются вопросы электробезопасности и надежности медицинской электронной аппаратуры.
§20.1. ЭЛЕКТРОНИКА
И НЕКОТОРЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ЕЕ РАЗВИТИЯ
Физика, как и любая другая наука, развивалась и развивается в связи с потребностями общества, ее прогресс стимулируется практическими задачами. В свою очередь, развитие физики способствует решению практических, в том числе и технических, проблем. Так, например, в результате достижений в области исследований электромагнитных явлений получили бурное развитие соответствующие отрасли техники: электро- и радиотехника. Постепенно многие разделы радиотехники стали именовать радиоэлектроникой или электроникой.
Термин «электроника» в значительной степени условный, ему трудно дать четкое определение. Правильнее всего, вевоятно, под электроникой понимать область науки и техники, в которой рассматриваются работа и применение электровакуумных, ионных и полупроводниковых устройств (приборов).
Электронику в широком смысле слова (общую электронику) можно подразделить на группы либо по области применения, либо по классу используемых устройств, либо по категории теоретических вопросов. Так выделяют физическую электронику, имея в виду раздел физики, рассматривающий электропроводимость тел, контактные и термоэлектронные явления; под технической электроникой понимают те ее разделы, в которых описываются устройства приборов и аппаратов и схемы их включения; полупроводниковой электроникой называют то, что относится к применению полупроводниковых приборов, и т.п.
Иногда всю электронику подразделяют на три крупные области: вакуумная электроника, которая охватывает вопросы создания и применения электровакуумных приборов (электронные лампы, фотоэлек
тронные устройства, рентгеновские трубки, газоразрядные приборы); твердотельная электроника, которая охватывает вопросы создания и применения полупроводниковых приборов, в том числе и интегральных схем, квантовая электроника — специфический раздел электроники, имеющий отношение к лазерам и мазерам.
Все эти примеры, с одной стороны, создают впечатление о содержании электроники, с другой стороны, лишний раз отмечают неопределенность границ электроники.
Электроника — весьма динамичная отрасль науки и техники. На базе новых эффектов (явлений) создаются электронные устройства, в том числе и такие, которые находят применение в биологии и медицине. В качестве илл юстрации рассмотрим эффект Джозефсона
В 1962 г. английский физик Б. Джозефсон предсказал, что через очень тонкий слой диэлектрика / (толщиной около 1 нм), расположенный между двумя сверхпроводниками 2, сможет протекать электрический ток (рис. 20.1). Вскоре такое явление было действительно обнаружено. Если сила тока была меньше некоторого критического значения, то на диэлектрике не создавалось падения напряжения, если же сила тока превышала критическое значение, то на диэлектрике возникало падение напряжения и контакт сверхпроводник—диэлектрик—сверхпроводник излучал электромагнитные волны.
Критическое значение силы тока чувствительно к внешним магнитным полям, поэтому устройство, подобное изображенному на рис. 20.1, можно использовать для точного измерения напряженности слабого магнитного поля до значений порядка 10~7 А/м. Недавно эффект Джозефсона стали применять для измерения индукции магнитною ноля биотоков сердца (см. § 16.8).
Любое техническое, в том числе и радиотехническое или электронное, устройство стремятся модернизировать и сделать более надежным, потребляющим меньше энергии, малогабаритным и т.п. Однако при этом возникают трудности; так, например, уменьшение габаритов изделия может уменьшать его нале жность и т.д.
Остановимся на одной стороне вопроса —
тенденции к сокращению размеров, или миниатюризации, электронных устройств и элементов схем. Еще в то время, когда в электронике
использовались только электронные лампы, эти лампы, а также пассивные элементы схемы (резисторы, катушки индуктивности, конден-
Рис. 20.1 саторы) старались сделать малогабаритными.
Позднее стали внедрять печатные схемы, которые имели преимущества перед обычными в размерах и, кроме того, позволяли механизировать процесс монтажа схем. Эти тенденции привели к тому, что в начале 1950-х годов удалось создать электронные устройства, в 1 см3 которых в среднем размещалось 0,5 элемента.
Существенным сдвигом в миниатюризации электронных устройств было внедрение полупроводниковых диодов и триодов, что позволило довести плотность электронных устройств до 2—3 элементов в I см3.
Следующим этапом миниатюризации электроники, который развивается и в настоящее время, является создание интегральных схем. Это микроминиатюрное электронное устройство, у которого все элементы (или их части) нераздельно связаны конструктивно и соединены между собой электрически.
Различают два основных типа интегральных схем: полупроводниковые и пленочные.
Полупроводниковые интегра гьные схемы изготовляют из особо чистых полупроводников. Путем термической, диффузной и иной обработки изменяют кристаллическую решетку полупроводника так, что отдельные его области становятся различными элементами схемы. Это позволяет из пластины размером около 1 мм2 создать схему, эквивалентную радиотехническому блоку, состоящему из 100 деталей и более. В качестве резисторов и конденсаторов в интегральных схемах обычно используют р—л-псреходы.
На рис. 20.2 показана одна из полупроводниковых интегральных схем: а — ее поперечное сечение; б — принципиальная электрическая схема. Разной штриховкой изображены различные полупроводниковые или проводящие материалы или материалы с разными примесями Щ — конденсатор, Б — триод. В — резистор, /—5 — соответствующие точки схемы).
б
Рис. 20.2
Пленочные интегральные схемы изготовляют путем осаждения разни шых материалов в вакууме на соответствующие подложки.
Используют также гибридные интегральные схемы — сочетание полупроводниковых и пленочных схем.
Размеры отдельных элементов интегральных схем порядка 0,5— 10 мкм, поэтому малейшие пылинки, соринки и т.н. могут повлиять на их работу. Это обязывает изготовление интегрдтьньтх схем проводить в условиях повышенной чистоты окружающей среды.
Интегральные микросхемы, содержащие более 100 элементов, получили название больших интегральных схем (БИС).
Создание интегральных схем, миниатюризация электронных устройств являются одним из основных направлений развития современной электроники.
§ 20.2. МЕДИЦИНСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ МЕДИЦИНСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ И АППАРАТОВ
Электроника — прикладная отрасль знаний. Одно из распространенных применений электронных устройств связано с диагностикой и лечением заболеваний. Разделы электооники, в которых рассматриваются особенности применения электронных систем для решения медико-биологических задач, а также устройство соответствующей аппаратуры, получили название медицинской электроники.
Медицинская электроника основывается на сведениях из физики, математики, техники, медицины, биологии, физиологии и других наук, она включает в себя биологическую и физиологическую электронику.
Применения электроники в медицине многообразны, ибо это постоянно расширяющаяся область.
В настоящее время многие традиционно неэлектрические характеристики — температура, смещение те да, биохимические показатели и др. — стремятся при измерениях преобразовывать в электрический сигнал.
Информацию, представленную электрическим сигналом, удобно передавать на расстояние и надежно регистрировать. Можно выделить следующие основные группы электронных приборов и аппаратов, используемых для медико-биологических целей.
Устройства для получения (съема), передачи и регистрации медико-биологической информации
Такая информация может быть не только о процессах, происходящих в организме (биологическая ткань, органы, системы), но и о состоянии окружающей среды (санитарно-гигиеническое назначение), о процессах, происходящих в протезах, и т.д. Сюда относится большая часть диагностической аппаратуры: баллистокардиографы, фонокардиографы, реографы и др. Для подавляющего большинства этих приборов в радиотехническом отношении характерно наличие, усилителей электрических сигналов.
К этой группе можно отнести и электромедицинскую аппаратуру для лабораторных исследований, например рН-метр.
Электронные устройства, обеспечивающие дозирующее воздействие на организм различными физическими факторами
Электронные устройства, обеспечивающие дозирующее воздействие на организм различными физическими факторами (ультразвук, электрический ток, электромагнитные поля и др.) с целью лечения: аппараты микроволновой терапии, аппараты для электрохирургии, кардиостимуляторы и ар.
С физической точки зрения эти устройства являются генераторами различных электрических сигналов.
Кибернетические электронные устройства
Кибернетические электронные устройства:
а) электронные вычислительные машины для переработки, хранения и автоматического анализа медико-биологической информации;
б) устройства для управления процессами жизнедеятельности и автоматического регулирования состоянием окружающей человека среды;
в) электронные модели биологических процессов и др.
Применение электронных медицинских приборов и аппаратов повышает эффективность диагностики и лечения и увеличивает производительность труда медицинского персонала.
§ 20.3. ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ МЕДИЦИНСКОЙ АППАРАТУРЫ
Одним из важных вопросов, связанных с использованием электронной медицинской аппаратуры, является ее элск гробсзопасность как для пациентов, так и для медицинского персонала.
Больной вследствие различных причин (ослабленность организма, действие, наркоза, отсутствие сознания, наличие электродов на теле, т.е. прямое включение пациента в электрическую цепь, и др.) оказывается в особо электроопасных условиях по сравнению со здоровым человеком. Медицинский персонал, работающий с медицинской электронной аппаратурой, также находится в условиях риска поражения элект рическим током.
В электрической сети и в технических устройствах обычно задают электрическое напряжение, однако действие на организм или органы оказывает электрический ток, т.е. заряд, протекающий через биологический объект в единицу времени.
Сопротивление тела человека между двумя касаниями (электродами) складывается из сопротивления внутренних тканей и органов и сопротивления кожи (рис. 20.3). Сопротивление Явн внутренних частей организма слабо зависит от общего состояния человека, в расчетах принимают Rnu = 1 кОм для пути ладонь—ступня. Сопротивление R* кожи значительно превосходит сопротивление внутренних органов и существенно зависит от внутренних и внешних причин (потливость, влажность). Кроме того, на разных участках тела кожа имеет разную тол тину и, следовательно, различное сопротивление. Поэтому (учитывая неопределенность сопротивления кожи человека) ее вообще в расчет не принимают и считают / = £//Явн = 0/1000 Ом. Так, например, /= 220/1000 А — 220 мА при U = 220 В. На самом деле кожа имеет сопротивление, и сила тока в реальной ситуации при напряжении 220 В меньше 220 мА. Понятно, что при работе с электронной медицинской аппаратурой должны быть предусмотрены все возможные меры по обеспечению безопасности.
Основное и главное требование — сделать недоступным касание частей аппаратуры, находящихся под напряжением.
Для этого прежде всего изолируют части приборов и аппаратов, находящиеся под напряжением, друг от друга и от корпуса аппаратуры. Изоляция, выполняющая такую роль, называется основной или рабочей. Отверстия в корпусе долж
Rk «вн
Рис. 20.3
ны исключать возможность случайного проникновения и касания внутренних частей аппаратуры пальцами, цепочками для украшений и т.п. Однако даже если части аппаратуры, находящиеся под напряжением, и закрыты от прикосновения, это ешс не обеспечивает полной безопасности по крайней мере по двум причинам.
Во-первых, какой бы ни была изоляция между внутренними частями аппаратуры и ее корпусом, сопротивление приборов и аппаратов переменному току не бесконечно. Не бесконечно и сопротивление между проводами электросети и землей. Поэтому при касании человеком корпуса аппаратуры через тело человека пройдет некоторый ток, называемый током утечки.
Во-вторых, не исключено, что благодаря порче рабочей изоляции (старение, влажность окружающего воздуха) возникает электрическое замыкание внутренних частей аппаратуры с корпусом — «проббй на корпус», и внешняя, доступная для касания часть аппаратуры — корпус, — окажется под напряжением.
И в одном и в другом случае должны быть приняты меры, которые исключали бы поражение током лиц при касании корпуса прибора или аппарата. Рассмотрим эти вопросы несколько подробнее.
Сила тока утечки на корпус, как и всякий ток проводимости, по закону Ома зависит от напряжения и сопротивления цепи. Цепь тока утечки схематически показана на рис. 20.4. Здесь 1 — корпус аппарата, внутри него трансформатор, первичная обмотка 2которого подсоединена к источнику напряжения сети 3. Вторичная обмотка 4трансформато-ра соединяется с рабочей частью аппаратуры (на рисунке не показана). Сеть независимо от наличия или отсутствия заземления всегда имеет некоторую проводимость относительно земли, которая определяется активным (омическим) сопротивлением R3 изоляции и заземления и емкостью С3 проводников сети и юмли. Электропроводимость между сетью и корпусом зависит соответственно от омического сопротивления рабочей изоляции и емкости между внутренними частями аппаратуры, находящимися под напряжением, и корпусом, т.е. отЯ^-и Сут. Все эти элементы изображены на рис. 20.4 пунктиром, так как они яв-
Рис. 20.4
ляются рассредоточенными параметрами и не представляют резисторов и конденсаторов. Шт'рихпунктирной линией на рисунке показан путь тока утечки, проходящего через тело человека, касающегося корпуса аппарата или прибора.
Если цепь (контур) пациента изолирована от корпуса, то различают еще отдельно Р и ток утечки на пациента.
ак как сила тока утечки существенно влияет на безопасность эксплуатации медицинской аппаратуры, то при конструировании и изготовлении этих изделий учитывают допустимую силу этого тока как при нормальной работе приборов и аппаратов, так и в случае единичного нарушения. Под единичным нарушением понимают отказ одного из средств защиты от поражения электрическим током. По условиям электробезопасности единичное нарушение не должно создавать непосредственной опасности для человека. Допустимые силы токов утечки различают по типам электромедицинских изделий в зависимости от степени защиты этих изделий от поражения током. Таких типов имеется четыре:
1) Н — изделия с нормальной степенью защиты; эта зашита эквивалентна защите бытовых приборов;
2) В — изделия с повышенной степенью защиты;
3) BF — изделия с повышенной степенью защиты и изолированной рабочей частью;
4) CF — изделия с наивысшей степенью защиты и изолированной рабочей частью. К этому типу обязательно относят, в частности, изделия с рабочей частью, имеющей электрический контакт с сердцем. На изделиях типа CF должен быть проставлен специальный знак (рис. 20.5, а).
В табл. 20 1 указана допустимая сила тока утечки (мА) для изделий типов Н, В, BF и CF.
Таблица 20.1
Тип изделия
Н С В, BF CF
Вид тока учстки в нормальном состоянии при единичном нарушении в нормальном состоянии при единичном нарушении в нормальном состоянии при единичном нарушении
На корпус 0,25 0,5 0,1 0,5 0,01 0,5
На паци-ел [та - - 0,1 0,5 0.01 0,05
Рис. 20.5
Рис. 20.6
При пробое на корпус доступные (внешние) для касания части аппаратуры оказываются под напряжением. И в этом случае при нарушенных условиях работы изделий следует предусмотреть возможные способы защиты от поражения электрическим током. К таким основным защитным мерам относятся заземление и зануление. Для понимания физической стороны этих мер нужно знать, как электромедицинская аппаратура подключается к трехфазной системе.
При техническом решении вопроса о наиболее экономной передаче переменного тока по проводам русским инженером М.О. Доливо-Дэб-ровольским в конце прошлого века была предложена трехфазная система тока (трехфашый ток). Один из вариантов этой системы представлен на рис. 20.6: / — фазные обмотки одного генератора, в которых индуцируется переменное напряжение; 2 — нагрузки (потребители); 3 — линейные провода (они соединяют генератор с потребителем). Для того чтобы потреби гель в одном контуре трехфазной цепи нс влиял на режим работы другого контура, целесообразно включить нейтральный (нулевой) провод 4. Напряжения Un между линейными проводами называются линейными, а между линскными и нейтральным проводом — фазовыми (1/ф). Соотношение между фазовым и линейным напряжением следующее:
Ц=Д Ц,«1,73(/ф.
Обычно электромедицинская аппаратура присоединяется как однофазная нагрузка клиненному или фазовому напряжению. На рис. 20.7 показано питание аппарата или прибора линейным напряжением, нейтраль изолирована. Для упрощения предположим, что линейные провода имеют совершенную изоляцию, а нейтральный провод имеет относительно земли сопротивление А’,, (показано пунктиром). Если бы не было защшного заземления Rv то при пробое и касании человеком корпуса на человеке оказалось бы напряжение. Штрихпунктиром показана цепь.
в которую оказался бы включенным человек. Из рисунка видно, что напряжение перераспределяется между сопротивлениями 7?ч тела человека, включая и его заземление, и Rlv Если, например, А/ = 0,5/?и, а (Уф = 220 В, то на человеке может оказаться 220/3 В « 75 В. Для защиты человека в этом случае необходимо заземлить корпус. Сопротивление заземления подсоединено параллельно Лч, Так как & мало (должно быть не более 4 Ом), то >> Rt и фактически на этом сопротивлении и, следовательно, на человеке будет весьма незначительное напряжение.
Существенно отметить, что благодаря значительному сопротивлению /?и пробой на корпус не вызовет аварийного тока, достаточного для срабатывания предохранителя, поэтому это нарушение может остаться незамеченным для персонала. Однако если рядом окажется аппарат (прибор) с пробоем на корпус от другого линейного провода (другой фазы), то между корпусами двух приборов появится линейное напряжение. Одновременное прикосновение к таким корпусам весьма опасно.
В настоящее время в большинстве случаев распространены трехфазные сети с заземленной нейтралью. В этом случае защитное заземление малоэффективно. В самом деле, при хорошем заземлении (рис. 20.7) мало, например Ли » R3. Напряжение распределится между сопротивлениями поровну, и между корпусом и землей окажется напряжение, равное 0,5 £7ф. Это опасно для человека. Скорее всего при пробое сработает предохранитель, однако эго может произойти не сразу или даже вовсе не произойти при недостаточной силе аварийного тока. Для того чтобы предохранитель сработал, используют другой вид защиты — защитное зануление, при котором корпус аппаратуры соединяю! проводниками с нулевым проводом сети (рис. 20.8). В случае пробоя на корпус
Рис, 20.7
Рис. 20.8
возникает короткое замыкание (показано штрихпунктиром), срабатывает предохранитель и аппаратура отключается от источника напряжения. Так как всегда имеется вероятность обрыва нулевого провода, тс нейтраль заземляют в нескольких местах.
Резюмируя сказанное, еще раз отметим, что защитные заземления или зануления должны обеспечивать в установках с изолированной нейтралью безопасную силу тока, проходящего через тело человека при замыкании сети на заземленные части аппаратуры, в установках с заземленной нейтралью — автоматическое отключение аппаратуры от электрической сети.
Однако не всякая электромедици некая аппаратура надежно защищена заземлением или занулением. В зависимости от способа дополнительной защиты от поражения током питающей сети аппаратура делится на четыре класса:
• I — изделия, у которых кроме основной изоляции предусмотрено совместное подключение питающего напряжения и заземления (зануления) доступных для прикосновения металлических частей. Так, например, это может быть сделано с помощью трехпроводного сетевого шнура и трехконтактной вилки. Два провода шнура служат для подведения напряжения, а третий является заземляющим. При вставлении вилки в розетку сначала присоединяется заземление, а затем сетевое напряжение.
• 01 — изделия, которые отличаются от изделий класса I только тем, что имеют отдельный зажим (клемму) на доступных для прикосновения металлических частях с целью присоединения их к внешнему заземляющему (зануляющему) устройству. На рис. 20.5, б показано место защитного заземления (зануления). Применение изделий класса 01 имеет временный характер, в дальнейшем эти изделия должны быть заменены соот ветствующими класса I.
• II — изделия, которые кроме основной изоляции имеют и дополнительную. Возможно вместо основной и дополнительной изоляции наличие усиленной изоляции. У аппаратуры этого класса нет приспособлений для защитного заземления. На рис. 20.5, а показан ввод сетевого шнура (или кабеля) для изделий этого класса.
• III — изделия, которые рассчитаны на питание от изолированного источника тока с переменным напряжением нс более 24 В или е постоянным напряжением не более 50 В и не имеют внешних или внутренних цепей с более высоким напряжением. Изделия этого класса также не имеют приспособления для защитного заземления.
Выше были рассмотрены лишь основные вопросы электробезопасности при работе с электромедипинской аппаратурой. Так как трудно дать электротехническое описание различных ситуаций, способных повлечь несчастный случай, ограничимся в заключение лишь некоторыми общими указаниями:
• не касайтесь приборов одновременно двумя обнаженными руками, частями тела:
• не работайте на влажном, сыром полу, на земле;
• нс касайтесь труб (газ, вода, отопление), металлических конструкций при работе с электроаппаратурой;
• не касайтесь одновременно металлических частей двух аппаратов (приборов).
При проведении процедур с использованием электродов, наложенных на пациента, трудно предусмотреть множество вариантов создания электроопасной ситуации (касание больным отопительных батарей, газовых и водопроводных труб и кранов, замыкание через корпус соседней аппаратуры и т.п.), поэтому следует четко следовать инструкции по проведению данной процедуры, не делая каких-либо отступлений от нес.
§ 20.4. НАДЕЖНОСТЬ МЕДИЦИНСКОЙ АППАРАТУРЫ
Медицинская аппаратура должна нормально функционировать. Это требование, однако, не всегда выполняется, говоря точнее, такое требование не может выполняться сколь угодно долго, если нс принимать специальных мер.
Врач, использующий медицинскую аппаратуру, должен иметь представление о вероятности отказа эксплуатируемого изделия, т.е о вероятности порчи прибора (аппарата) или его частей, превышения или понижения допустимых нарамсгров. Устройство, не отвечающее техническим условиям, становится неработоспособным. Отремонтировав, его можно сделать вновь работоспособным. Во многих случаях достаточно заменить лампу или резистор, чтобы изделие вновь функционировало нормально, однако может быть и так, что аппаратура оказывается настолько устаревшей и изношенной, что экономически нецелесообразно ее ремонтировать (восстанавливать). В связи с этим медицинский персонал должен иметь представление о ремонтопригодности аппаратуры и долговечности ее частей.
Способность изделия не отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение заданного интервала времени характеризуют обобщающим термином «надежность».
Для медицинской аппаратуры проблема надежности особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя может привести не только к экономическим потерям, но и к гибели пациентов.
Способность аппаратуры к безотказной работе зависит от многих причин, учесть действие которых практически невозможно, поэтому количественная оценка надежности имеет вероятностный характер. Так, например, важным параметром является вероятность безотказной работы. Она оценивается экспериментально отношением числа Nработающих (не испортившихся) за время t изделий к общему числу испытывавшихся изделий:
МО
Эта характеристика оценивает возможность сохранения изделием работоспособности в заданном интервале времени. Другим количественным показателем надежности является интенсивность отказов л(г). Этот показатель равен отношению числа отказов с1Лгк произведению времени df на общее число N работающих элементов:
з d;V
Л Ndt '
(20.2)
Знак «—» поставлен в связи с тем, что dN< 0, так как число работающих изделий убывает со временем.
Функция Х(г) может иметь различный вид. Наиболее характерная ее форма изображена графически на рис. 20.9. Здесь заметны три области: I — период приработки, когда «выжигаются» дефектные элементы из
делия, проявляются скрытые пороки, возникшие в процессе изготовления деталей. Интенсивность отказов при этом может быть достаточно велика; II — период нормальной эксплу-
атации, интенсивность отказов значительное время может сохранять постоянное значение. На этот период следует планировать нормальную эксплуатацию аппаратуры; III — период старения, интенсивность отказов возрастает со временем благодаря влиянию старения материалов и износа элементов.
Рис. 20.9
Медикам должно быть интересно, что приблизительно аналогичный вид имеет временная зависимость параметра, характеризующего смертность человека. В большей мере интенсивность смертности присуща периоду младенцев (период 1) и старикам (период III).
Между вероятностью безотказной работы Ри интенсивностью отказов л существует определенная связь. Установим ее для случаев X = const (период II). Запишем дифференциальное уравнение (20.2), разделив переменные по разным частям:
(20.3)
Интегрируя и подставляя нижние пределы (начальное число испытывавшихся изделий и время t = 0) и верхние пределы (число N безотказно работающих изделий в момент г), получаем:
(20.4)
Сопоставляя (20.4) с (20.1), имеем:
P(f) = е~ь.
(20.5)
Таким образом, при постоянной интенсивности отказов получаем экспоненциальный закон изменения со временем вероятности безотказной работы1. Этот закон можно использовать для оценки надежности аппаратуры.
В зависимости от возможных последствий отказа в процессе эксплуатации медицинские изделия подразделяются на четыре класса:
• А — изделия, отказ которых представляет непосредственную опасность для жизни пациента или персонала. Вероятность безотказной работы изделии этого класса должна быть не менее 0,99 в течение наработки между планово-предупредительными техническими об-служиваниями, а для изделий, не подлежащих техническим обслужила ниям (ремонт, поверка), — в течение установленного для них срока службы. К изделиям этого класса относяз'ся приборы для
1 Читателю должно быть интересно и полезно сопоставить уравнение (20.4) с другим статистическим уравнением — основным законом радиоактивного распада (32.9).
наблюдения за жизненно важными функциями больного, аппараты искусственного дыхания и кровообращения и др.;
• Б — изделия, отказ которых вызывает искажение информации g состоянии организма или окружающей среды, не приводящее к непосредственной опасности для жизни пациента или персонала, либо вызывает необходимость немедленного использования аналогичного по функциональному назначению изделия, находящегося в режиме ожидания. Вероятность безотказной работы изделий этого класса должна быть не менее 0,8. К таким изделиям относятся системы, следящие за больными, аппараты для стимуляции сердечной деятельности и др.;
• В — изделия, отказ которых снижает эффективность или задерживает лечебно-диагносз ический процесс в некритических ситуациях, либо повышает нагрузку на медицинский или обслуживающий персонал, либо приводит только к материальному ущербу. Наработка на отказ ремонтируемых изделий этого класса и средняя наработка до отказа перемонтируемых изделий должна не менее чем в два раза превышать наработку или календарный период между планово-предупредительными техническими обслуживаниями, а для изделий, не подлежащих техническим обслуживанием, должна быть не менее гарантийной наработки или гарантийного срока эксплуатации при средней интенсивности использования изделий. К этому классу относится большая часть диагностической и физиотерапевтической аппаратуры, инструментарий и др.;
• Г — изделия, не содержащие отказоспособных частей. Электромедицинская аппаратура к этому классу не относится.
Медикам интересно знать, что понятие надежности можно с некоторой долей условности применять и к человеческому организму, рассматривая болезнь как утрату работоспособности, лечение — как ремонт, а профилактику — как мероприятия, способствующие повышению надежности. Однако организм — сложная система и технический подход возможен лишь отчасти, с учетом обратных связей и процессов регулирования. Именно таков кибернетический подход (см. первый раздел).
Глава 21
Система получения медико-биологической информации
Любое медико-биологическое исс гедование связано с получением и регистрацией соответств\ ющей информации. Несмотря на разнообразие устройств и методов, употребляемых для этой цели, можно указать их общие схемы и принципы действия.
Вопросы, рассматриваемые в главе, частично относятся к кибернетике.
§ 21.1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СЪЕМА, ПЕРЕДАЧИ И РЕГИСТРАЦИИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Для того чтобы получить и зафиксировать информацию о состоянии и параметрах медико-биологической системы, необходимо иметь целую совокупность ус гройств.
Первичный элемент этой совокупности — чувствительный элемент средства измерений, называемый устройством съема, — непременно контактирует или взаимодействует с самой системой, остальные элементы находятся обычно обособленно от медико-биологической системы, в некоторых случаях части измерительной системы могут быть даже отнесены на значительные расстояния от объекта измерений.
Структурная схема измерительной цепи изображена на рис. 21.1. Эта схема является обшей и отражает всевозможные реальные системы, применяемые в медицине для диагностики и исследования. В устройствах медицинской электроники чувствительный элемент либо прямо выдает электрический сигнал, либо изменяет таковой сигнал под воздействием биологической системы. Таким образом, устройство съема преобразует информацию медико-биологического и физиологического содержания в сигнал электронного устройства. В медицинской электронике используются два вида устройств съема: электроды и датчики.
Завершающим элементом измерит ельной цепи является средство измерений, которое отображает или регистрирует информацию о биологической системе в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.
Рис. 21.1
Во многих случаях между устройством съема и средством измерений имеются элементы, усиливающие начальный сигнал (см. гл. 22) и передающие его на расстояние.
В структурной схеме х означает некоторый измеряемый параметр биологической системы, например давление крови. Буквой у обозначена выходная величина, например сила тока (мА) на измерительном приборе или смешение писчика (мм) на бумаге регистрирующего прибора. Для вычисления должна быть известна зависимость у = f(x).
§ 21.2. ЭЛЕКТРОДЫ ДЛЯ СЪЕМА БИОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Электроды — это проводники специальной формы, соединяющие измерительную цепь с биологической системой.
При диагностике электроды используются не только для съема электрического сигнала, но и для подведения внешнею электромагнитного воздействия, например в реографии. В медицине электроды используются также для оказания электромагнитного воздействия с целью лечения и при электростимуляции.
К электродам предъявляются определенные требования: они должны быстро фиксироваться и сниматься, иметь высокую стабильность электрических параметров, быть прочными, не создавать помех, не раздражать биологическую ткань и т.п.
Важная физическая проблема, относящаяся к электродам для съема биоэлектрического сигнала, заключается в минимизации потерь полезной информации, особенно на переходном сопротивлении электрод-кожа. Эквивалентная электрическая схема контура, включающего в себя биологическую систему и электроды, изображена на рис. 21.2 (£бп — э.д.с. источника биопотенциалов; г — сопротивление внутренних тканей биологической системы; R — сопротивление кожи и электродов, контактирующих с ней; 7?в, — входное сопротивление усилителя биоио-
тенциалов). Из закона Ома, предполагая, что сила тока на всех участках контура одинакова, имеем
£бп = fr+IR+fRm = IRj+IRm (R^r+R). (21.1)
Можно условно назвать падение напряжения на входе усилителя полезным, так как усилитель увеличивает именно эту часть э.д.с. источника. Падение напряжения 1г и IR внутри биологической системы и на системе электрот—кожа в этом смысле бесполезно. Так как Ебп задана, а повлиять на уменьшение 1г невозможно, то увеличить /Льх можно лишь уменьшением Ли прежде всего уменьшением сопротивления контакта электрод—кожа.
Для уменьшения переходного сопротивления электрод—кожа стараются увеличить проводимость среды между электродом и кожей, используют марлевые салфетки, смоченные физиологическим раствором, или электропроводящие пасты. Можно уменьшить это сопротивление, увеличив площадь контакта электрод-кожа, т.е. увеличив размер электрода, но при этом электрод будет захватывать несколько эквипотенциальных поверхностей (см., например, рис. 14.15) и истинная картина электрического поля будет искажена.
По назначению электроды для съема биоэлектрического сигнала подразделяют на следующие группы:
1) для кратковременного применения в кабинетах функциональной диагностики, например для разового снятия электрокардиограммы:
2) для длительного использования, например при постоянном наблюдении за тяжелобольными в условиях палат интенсивной терапии;
3) для использования на подвижных обследуемых, например в спортивной или космической медицине;
4) для экстренного применения, например в условиях скорой помощи.
Ясно, что во всех случаях проявится своя специфика применения электродов- физиологический раствор может высохнуть и сопротивление изменится, если наблюдение биоэлектри-2 ческих сигналов длительное, при бессознательны ном состоянии пациента надежнее использо-q вать игольчатые электроды и т.п.
о При пользовании электродами в электро-физиологических исследованиях возникают две ~~~ специфические проблемы. Одна из них — воз-
Рис. 21.2 никновение гальванической э.д.с. при контакте
Рис. 21.3
Рис. 21.4
электродов с биологической тканью. Другая — электролитическая поляризация электродов, что проявляется в выделении на электродах продуктов реакций при прохождении тока. В результате возникает встречная по отношению к основной э.д.с,
В обоих случаях возникающие э.д.с. искажают снимаемый электродами полезный биоэлектрический сигнал. Существуют способы, позволяющие снизить или устранить подобные влияния, однако эти приемы относятся к электрохимии и в этом курсе не рассматриваются.
В заключение рассмотрим устройство некоторых электродов.
Для снятия электрокардиограмм к конечностям специальными резиновыми лентами прикрепляют электроды — металлические пластинки с клеммами / (рис. 21.3), в которые вставляют и закрепляют штыри кабелей отведений. Кабели соединяют электроды с электрокардиографом. На груди пациента устанавливают грудной электрод 2. Он удерживается резиновой присоской. Этот электрод также имеет клемму для штыря кабеля отведений.
В микроэлсктродной практике используют стеклянные микроэлектроды. Профиль такого электрода изображен на рис. 21.4, кончик его имеет диаметр 0,5 мкм. Корпус электрода является изолятором, внутри находится проводник в виде электролита. Изготовление микроэлектродов и работа с ними представляют определенные трудности, однако такой микроэлектрод позволяет прокалывать мембрану клетки и проводить внутриклеточные исследования.
§21.3. ДАТЧИКИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Многие медико-биологические характеристики нельзя снять электродами, так как они не отражаются биоэлектрическим сш налом: давление крови, температура, звуки сердца и многие другие. В некоторых случаях медико-биологическая информация связана с электрическим
сигналом, однако к ней удобнее подойти как к неэлектрической величине (например, пульс). В этих случаях используют датчики (измерительные преобразователи).
Датчиком называют устройство, преобразующее измеряемую или контролируемую величину в сигнал, удобный для передачи, дальнейшего преобразования или регистрации. Датчик, к которому подведена измерительная величина, т.е первый в измерительной цепи, называется первичным.
В рамках медицинской электроники рассматриваются только такие датчики, которые преобразуют измеряемую или контролируемую неэлектрическую величину в электрический сигнал.
Использование электрического сигнала предпочтительнее, чем иных, так как электронные устройства позволяют сравнительно несложно усиливать их, передавать на расстояние и регистрировать. Датчики подразделяются на генераторные и параметрические.
Генераторные — это датчики, которые под воздействием измеряемого сигнала непосредственно генерируют напряжение или ток. Укажем некоторые типы этих датчиков и явления, на которых они основаны:
1) пьезоэлектрические, пьезоэлектрический эффект (см. гл. 14);
2) термоэлектрические, термоэлектричество (см. гл. 15);
3) индукционные, электромагнитная индукция (см. гл. 17);
4) фотоэлектрические, фотоэффект (см. § 27.8).
Параметрические — это датчики, в которых под воздействием измеряемого сигнала изменяется какой-либо параметр. Укажем некоторые типы этих датчиков и измеряемый с их помощью параметр:
1) емкостные, емкость;
2) реостатные, омическое сопротивление;
3) индуктивные, индуктивность или в заимная индуктивность.
В зивисимости от энергии, являющейся носителем информации, различают механические, акустические (звуковые), температурные, электрические, оптические и другие датчики.
В некоторых случаях датчики называют по измеряемой величине; так, например, датчик давления, тензометрический датчик (тензодатчик) — для измерения перемещения или деформации и т.д.
Приведем возможные медико-биологические применения указанных типов датчиков (табл. 21,1).
Датчик характеризуется функцией преобразования — функциональной зависимостью выходной величины у от входной х, которая описывается аналитическим выражением у =flx) или графиком. Наиболее простым и удобным случаем является прямо пропорциональная зависимость у = кх.
Таблица 21.1
Датчик Механический Акустический Оптический Температурный
Пьезоэлектрический АД ФКГ — —
Термоэлектрический - - - Т
Индукционный БКГ ФКГ - —
Фотоэ тектричсский - - оп -
Емкостной ФКГ - - -
Реостатный АД,БКГ - — т
Индуктивный ДЖ - - —
Примечание. АД — артериальное давление крови; БКГ — баллистокардширамма; ФКГ — фонокардиограмма; ОГГ — оксигсмография; Т — температура; ДЖ давление в желудочно-кишечном тракте.
Чувствительность датчика показывает, в какой мере выходная величина реагирует на изменение входной:
Z = Ау /Ах.
Она в зависимости от вида датчика выражается в омах на миллиметп (Ом/мм), в милливольтах на кельвин (мВ/K) и т.д. Чувствительность последовательной совокупности датчиков равна произведению чувствительности всех датчиков.
( ущественны временные характеристики датчиков. Дело в том, что физические процессы в датчиках не происходят мгновенно, это приводит к запаздыванию изменения выходной величины по сравнению с изменением входной. Аналитически такая особенность приводит к зависимости чувствительности датчика от скорости изменения входной величины dx/d/ или от частоты при изменении х по гармоническому закону.
При работе с датчиками следует учитывать возможные специфические для них погрешности. Причинами погрешностей могут быть:
1) температурная зависимость функции преобразования;
2) гистерезис — запаздывание у от х даже при медленном изменении входной величины, происходящее в результате необратимых процессов в датчике;
3) непостоянство функции преобразования во времени;
Рис. 21.5
4) обрат ное воздействие дат чика на биологическую систему, приводящее к изменению показаний:
5) инерционность датчика (пренебрежение сто временными характеристиками) и др.
Конструкция датчиков, исполь-
зуемых в медицине, весьма разнообразна: от простейших (типа термопары) до сложных допплеровских датчиков. Опишем в виде примера весьма простой датчик частоты дыхания — реостатный (резистивный).
Этот датчик (рис. 21.5) выполнен в виде резиновой трубки /, которая заполнена мелким угольным порошком 2. С торцов трубки вмонтированы электроды 3. Через уголь можно пропускать ток от внешнего источника 4.
Если трубкой опоясать грудную клетку пни, как это обычно делается, прикрепить к концам трубки ремень и охватить им грудную клетку, то при вдохе трубка растягивается, а при выдохе — сокращается. При этом изменяется электрический контакт между частицами угольного порошка и соответственно изменяется сопротивление датчика. Сила тока в цепи будет изменяться, что можно зафиксировать, используя соответствующую измерительную схему.
В заключение о i мстим, чго датчики являются техническими аналогами рецепторов биологических систем.
§ 21.4. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛА. РАДИОТЕЛЕМЕТРИЯ
Снятый и усиленный электрический сигнал необходимо передать к регистрирующему (измерительному) прибору.
Во многих случаях электроды или датчики, усилитель и регистрирующий прибор конструктивно оформлены как единое устройство. В этом случае передача информации нс является технической проблемой. Од-
Рис. 21.6
нако измерительная часть может находиться и на расстоянии от биологической системы, такие измерения относят к телеметрии или даже несколько уже — к биотелеметрии. Связь между устройством съема и регистрирующим прибором при
Рис. 21.7
этом осуществляется либо по проводам, либо но радио. Последний вариант телеметрии называют радиотелеметрией. Этот вид связи широко используют в космических исследования^ для получения информации о состоянии космического корабля и его экипажа, в спортивной медицине — о физиологическом состоянии спортсмена во время упражнений. Например, с помощью антенны передатчика на шлеме спортсмена, излучающей радиоволны на расстоянии 300—500 м (т.е. в пределах стадиона), можно фиксировать данные о его состоянии.
Радиотелеметрия применяется также для эндорадиозондирования пищеварительного тракта. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Миниатюрная капсула с радиопередатчиком (эндорадиозонд; рис. 21.6) заглатывается больным (рис. 21.7). По измерению частоты передатчика приемником. расположенным вблизи пациента, можно измерять давление, степень кислотности или щелочности, температуру и другие параметры в месте расположения капсулы.
На рис. 21.8 показана схема эндорадиозонда дня определения активности пищеварительных ферментов. Он состоит из трех основных частей: / — источник напряжения, размещаемый в съемной торцовой насадке; 2 — диск спрессованный из ферромагнитного порошка и частиц, растворяющихся ферментом; 3 — транзистор и другие детали радиосхемы. Диск расположен в съемной насадке и, так же как источник напряжения, после однократного употребления может быть заменен другим. Принципиальная электрическая схема генератора представлена на рис. 23.1.
Диск прижимается к катушке индуктивности 4 и образует с ней зам-
Рис. 21.8
Активность ферментов
Рис. 21.9
кнутый магнито провод По мерс растворения диска пищеварительными ферментами уменьшается индуктивность £цепи и |см. (18.7)] увеличивается частота генератора. Таким образом, по воспринимаемой частоте можно судить об ак гивности ферментов.
Стр) к гурная схема эндора циозонда изображена на рис. 21.9.
В некоторых случаях применяют такие mhoi оканальные устройства, которые позволяют получать, передавать и регистрировать одновременно несколько параметров. Одновременная информация медикобиологического характера существенно расширяет диагностические возможности. В настоящее время обработка такой информации производится с помощью вычислительных машин.
§ 21.5. АНАЛОГОВЫЕ РЕГИСТРИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Конечным элементом технической схемы, изображенной на рис. 21.1, является измерительное (контролирующее) устройство, отображающее или регистрирующее медико-биологическую информацию.
Под устройством отображения понимают устройство, которое временно представляет информацию, при появлении новой информации прежняя информация бесследно исчезает. Такими являются, в частности, стрелочные приборы: амперметр, вольтметр и др Стрелочный амперметр. например, показывает силу тока в данный момент и не фиксирует се. При изменении силы тока в цепи информация о прежнем значении безвозвратно утрачивается. Для запоминания информации, отображаемой такими устройствами, необходимо специально ее фиксировать, что, например, и делают студенты в физической лаборатории, снимая показания приборов. Медико-биологическое применение устройств отображения достаточно мало: электротермометр сопротивления, частотомер пульса и др.
Значительно большее распространение в медицинской электронике получили регистрирующие приборы, которые фиксируют информацию на каком-либо носителе. Это позволяе т документ ировать, хранить, мно-
Глава 21, Система получения медико-биологической информации 401 гократно использовать, обрабатывать и анализировать полученную медико-биологическую информацию.
Отображающие и регистрирующие приборы подразделяют на аналоговые — непрерывные, дискретные и комбинированные, сочетающие возможности аналоговых и дискретных.
Рассмотрим подробнее наиболее распространенные в практике медико-биологических исследований аналоговые регистрирующие устройства. Некоторые из них называют также самопишущими приборами, или самописцами.
В медицине, биологии и физиологии в основном используются следующие способы регистрации информации на носителе:
а) нанесение слоя вещества (красителя) чернильно-перьевая и струеписные системы;
б) изменение состояния вещества носителя: фоторегистрация, электрохимическая, электрофотографическая (ксерография) и магнитная запись;
в) снятие слоя вещества с носителя: закопченная поверхность, тепловая запись.
Простейшим самописцем, находящим и сегодня применение в физиологическом эксперименте, является кимограф (рис. 21.10), работающий от заведенной пружины, или электрокимограф. равномерное вращение барабана которого осуществляется электродвигателем.
Идея кимографа — равномерное вращение или перемещение поверхности носителя сохраняется в подавляющем большинстве современных аналоговых регистрирующих приборов, фиксирующих временную зависимость исследуемой величины. Смещение у писчика или светового пятна, пропорциональное регистрируемой величине, является ординатой полученного графика (рис. 21.11). Равномерное перемещение носи-
Направление перемещения бумаги (носителя)
теля (бумага, фотопленка) означает, что абсцисса прямо пропорциональна времени t. В результате полученная кривая отражает зависимость
Самопишущие приборы, используемые в медицинской аппаратуре, преобразуют электрический сигнал в механическое перемешение. Физически они являются гальванометрами — высокочувствительными электроизмерительными приборами, реагирующими на достаточно малую силу тока. В этих приборах ток, проходящий по катушкам, проволочной рамке иди по петле, взаимодействует с магнитным полем постоянного магнита. В результате этого взаимодействия подвижная часть (магнит, проволочная рамка или части петли) отклоняется пропорционально силе тока, т.е. пропорционально электрическому сигналу.
С подвижной частью соединен пишущий элемент, оставляющий след на движущемся носителе записи: специальное капиллярное перо, либо стеклянный капилляр с соплом в струйном самописце, либо зеркальце, отражающее луч света или что-то другое.
В качестве примера на рис. 21.12 схематически изображен струйный самописец. Здесь / — электромагнит, через обмотки которого проходит регистрируемый электрический сигнал; 2 — постоянный магнит в форме цилиндра, он жестко связан со стеклянным капилляром 3. Из сопла капилляра 4 под давлением вылетают чернила, оставляя след у, пропорциональный отклонению постоянного магнита и, следовательно, силе тока в электромагните.
Важной характеристикой самописца является диапазон частот колебаний, которые они успевают регистрировать. Чем больше момент инерции подвижной части самописца, тем больше запаздывание регистрации относительно истинного изменения регистрируемой величины, частотная характеристика будет хуже.
Рис. 21,13
Рис. 21.12
Наиболее широкие частотные возможности у аналоговых регистрирующих приборов, называемых светолучевыми (шлейфовыми) осциллографами.
Основной частью светолучевого осциллографа (рис. 21.13) является шлейфовый гальванометр Г. состоящий из постоянного магнита 1, металлической нити в виде петли (шлейфа) 2, по которой протекает регистрируемый электрический сигнал, и зеркальца 3. Луч от осветителя Ос падает на зеркало, отражается и попадает на фотографическое устройство Ф, состоящее из рулона фотопленки и лентопротяжного механизма. Электрический сигнал вызывает пропорциональное ему отклонение шлейфа гальванометра. Равномерное протягивание фотопленки создает временную развертку. Используя специальный отметчик времени, на фотопленке можно получить метки.
Такой осциллограф позволяет регистрировать процессы с частотой приблизительно от 0 до 10 кГц, что значительно перекрывает частотные характеристики медико-биологического сигнала. В основном выпускаются многоканальные светолучевые осциллографы, позволяющие одновременно фиксировать десятки изменяющихся величин. Главным их недостатком является необходимость проявления фотобумаги или фотопленки. В настоящее время выпускается специальная бумага, чувствительная к ультрафиолетовому освещению. Она не требует специальной обработки, однако осветитель должен излучать мощный пучок ультрафиолетовых лучей.
В самопишущих устройствах наряду с обычными погрешностями измерительных приборов возникают также погрешности, обусловленные записью.
Причинами погрешности записи могут быть неточность работы механизма перемещения бумаги или фотопленки, запаздывание, вызванное инерцией пишущей системы прибора, изменение размеров бумаги под влиянием влажности воздуха, неточность отметки времени и др.
Кроме однокоординатных самописцев, фиксирующих временную зависимость, в исследовательской практике получили распространение двухкоор-динатные самописцы.
На рис. 21.14 изображен внешний вид такого самописца модели ПДС-21 М. При регистрации поперечная рейка перемещается поступательно, ее смещение пропорционально одному из подаваемых сигналов (параметров) х. Вдоль рейки пропорционально изменению второго параметра у перемещается каретка с писчиком. В результате писчик совершает сложное движение и оставляет на бумаге график функции >’=/(*)
Рис. 21.14
Наряду с аналоговыми регистрирующими приборами в медицинской практике для фиксирования информации используются и такие безынерционные комбинированные устройства, как электронно-лучевые трубки (см. § 23-4)-
Так, например, в портативном вектор-кардиоскопе (см. рис. 21.17) электронно-лучевая трубка является основным элементом, который отображает, а при дополнительном фотографировании и регистрирует электро- и вектор-кардиограммы.
Электронно-лучевая трубка относится к группе комбинированных устройств, так как может отображать (при дополнительном фотографировании — регистрировать) выходную информацию нс только в аналоговой, но и в дискретной форме (цифры, буквы).
§ 21.6. ПРИНЦИП РАБОТЫ МЕДИЦИНСКИХ ПРИБОРОВ, РЕГИСТРИРУЮЩИХ БИОПОТЕНЦИАЛЫ
Биоэлектрические потенциалы являются существенным диагностическим показателем многих заболеваний. Поэтому очень важно, во-первых, правильно регистрировать эти потенциалы, а во-вторых, уметь извлекать из измерений необходимую медицинскую информацию.
Структурная схема медицинских приборов, регистрирующих биопотенциалы, изображена на рис. 21.15. Она является частным случаем обшей схемы, показанной на рис. 21.1.
В клинической практике биопотенциалы отводят поверхностными накожными электродами (см. § 21.2), запись осуществляется аналоговыми регистрирующими устройствами (см. § 21.5). Переход от одних отведений к другим осуществляется специальным переключателем.
Рис. 21.15
Так как биопотенциалы сравнительно медленно изменяются со временем, то в приборах обычно используют усилители постоянного тока (см. § 22.5).
Биопотенциалы, применяемые в электрокардиографии, имеют значение порядка нескольких милливольт, в электроэнцефалографии — микровольт, поэтому для их регистрации необходимо усиление в несколько тысяч раз, что достигается с помощью многокаскадного усиления.
На рис. 21.16 изображен внешний вид портативного электрокардиографа на транзисторах типа ЭК-873, предназначенного для записи электрокардиограммы, а на рис. 21.17 — портативного всктор-кардиоскопа ВЭКС-ln. Этот прибор позволяет вести исследования электрической активности сердца как методом электрокардиографии, так и методом вектор-кардиограФии. Процесс наблюдается на экране электроннолучевой трубки, а также может быть сфотографирован.
В некоторых случаях целесообразно одним прибором определять одновременно ряд параметров, например биопотенциалы, отводимые от разных точек головного мозга. При этом используют многоканальные
Рис. 21.18
но отнести отметчики времени.
устройства, состоящие из нескольких независимых усилителей, регистрация по всем каналам фиксируется на общей ленте. На рис. 21,18 показан внешний вид 16-каналь-ного энцефалографа ЭЭГ16-01.
При снятии и регистрации биопотенциалов используют и некоторые вспомогательные устройства, не представленные структурной схемой на рис. 21.15. К ним мож-которые определяют масштаб оси t
(см. рис. 21.11). В тех случаях, если лентопротяжный механизм обеспечивает строгое постоянство скорости перемещения носителя, необходимости в отметчике времени нет.
Для определения биопотенциалов, иначе говоря, для определения масштаба оси у (см. рис. 21.11) в единицах напряжения используют калибраторы напряжения. Запись калибровочного напряжения делают до или после записи биопотенциала. При снятии электрокардиограммы используют калибровочный сигнал, равный 1 мВ.
Глава 22
Усилители
Усилителями электрических сигналов или электронными усилителями называют устройс тва, уве тчивающие эти сигналы за счет энергии постороннего источника,
В главе рассматриваются некоторые общие вопросы , связанные с усилением электрического сигнала, ука мяваются отдельные конкретные схемы и анализируется специфика усиления биоэлектрических сигна юв.
§ 22.1. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ УСИЛИТЕЛЯ
Усилители могут создаваться на основе различных элементов (транзисторы, триоды и др.), однако в общих вопросах все усилители могул быть представлены достаточно едино. Они имеют вход, на который подается усиливаемый электрический сигнал, и выход, с которого снимается усиленный сигнал (рис. 22.1). Непременной частью всей системы является источник электрической энергии.
Наиболее распространенным принципом усиления сигнала является воздействие входной цепи на электрическое сопротивление выходной цепи. Это воздействие соответствует форме усиливаемого сигнала, и поэтому форма сигнала воспроизводится в выходной цепи.
В соответствии с понятиями кибернетики входную цепь можно считать системой управления, а выходную — объектом управления.
Существенным требованием к усилителям является воспроизведение усиливаемого сигнала (усиление) без искажения его формы.
На практике это требование выглядит как стремление усилить электрический сигнал с наименьшими искажениями.
Возможность усилителя увеличить поданный на его вход сит нал количественно оценивается коэффициентом усиления.
Он равен отношению приращения напряжения (силы тока, мощности) на выходе усилителя к вызвавшему его приращению напряжения (силы тока, мощности) на входе:
, _ А^ВЫХ , _ А^ВЫХ , _ А-^ВЫХ
(22. Г)
Усилитель
Вход
Выход
Источник питания
В зависимости от целей усилители различают по напряжению, силе тока или мощности.
В дальнейшем, ради определенности, все иллюстрации и выводы будут относиться к коэффициенту усиления по напряжению, который будет обозначаться без
Рис. 22.1
индекса.
При усилении сигнала синусо
идальной формы в выражениях (22.1) обычно используют амплитуды
входного и выходного сигналов:
данных/ ^тахвх-
(22.2)
Если к имеет значения, недостаточные для получения на выходе сигнала нужного напряжения, то соединяют несколько усилителей. Каждый отдельный усилитель при этом называют усилительным каскадом. По существу, рис. 22.1 и выражения (22.1) и (22.2) следует отнести к каскаду. Коэффициент усиления усилителя из нескольких каскадов равен произведению коэффициентов усиления всех используемых каскадов:
^1^3'" •
(22.3)
§ 22.2. АМПЛИТУДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСИЛИТЕЛЯ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
Рассмотрим усиление синусоидального (гармонического) сигнала. Для того чтобы форма сигнала при усилении не изменялась, коэффициент усиления должен быть одинаков для различных напряжений в пределах изменения входного сигнала. В этом случае зависимость t/BHX — называемая амплитудной характеристикой усилителя, имеет линейный вид t/Bbrx = (рис. 22.2; прямая линия). На самом деле линейная зависимость выполняется в ограниченной области изменения входного напряжения, при выходе за пределы этой области линейность зависимости нарушается (штриховая линия).
Если входной гармонический сигнал выйдет за пределы линейной части амплитудной характеристики, то выходной сигнал уже не будет гармоническим. Возникнут нелинейные (амплитудные) искажения.
Графически усиление гармонического сигнала иллюстрируется на рис. 22 3 без искажения (а) и с искажением (б).
Каждый из этих рисунков содержит три графика. На одном (оси £/вх и t/Bhlx) указана амплитудная характеристика: линейная (а) и нелинейная <б). На нижнем графике приве
дена зависимость входного напряжения от р времени. Эта зависимость синусоидальная,
но сдвинутая относительно £/вх = 0 на некоторую постоянную величину. График расположен необычно, так как используется общая ось Гвх с предыдущей зависимостью. На левом графике дана временная зависимость выходного напряжения. Здесь тоже ось £/вых принадлежит двум графикам. Этот график строится следующим образом. Из нижнего графика находят значения (/вхдля некоторых фиксированных моментов
Рис. 22.3
времени, затем по амплитудной характеристике устанавливают соответствующие значения £7ВЬ|Х и переносят их на левый график (штриховые линии; точки с одинаковыми символами соответствуют одному и тому же времени).
На графиках зависимости —ДО в случае линейной амплитудной характеристики (а) видна синусоида; следовательно, усиленный сигнал не искажен. При нелинейности характеристики (б) выходной сигнал периодический, но не синусоидальный; следовательно, происходит искажение сигнала при усилении.
Периодический выходной сигнал, полученный после нелинейных искажений входного гармонического сигнала, может быть представлен суммой гармоник (см. § 7.4), поэтому нелинейные искажения можно рассматривать как появление новых гармоник в сигнале при его усилении. Чем больше новых гармоник, чем выше их амплитуда, тем сильнее нелине ные искажения, что оценивается коэффициентом нелинейных искажений.
I 2 2
У ^и2 +и3 + .../б'г
(22.4)
где Ц — амплитуда напряжения основной гармоники; U2, U3,.. — амплитуды новых гармоник. Для точного воспроизведения сигнала коэффициент, очевидно, должен быть минимален.
§ 22.3. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСИЛИТЕЛЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
Использование линейного участка характеристики еще не является гарантией неискаженного усиления электрического сигнала.
Если усиливаемый сигнал несинусоидальный, он может быть разложен на отдельные гармонические составляющие, каждой из которых соответствует своя частота. Так как в усилителях используются конденсаторы и катушки индуктивности, а их сопротивление зависит от частоты (см. § 18.2), то коэффициент усиления для разных гармонических составляющих может оказаться разным. Отметим, что индуктивные свойства резисторов и емкостные свойства проводников, сколь бы малы они ни были, при увеличении частоты тоже могут оказать существенное влияние на коэффициент усиления. Таким образом, существенна зависимость к=фм)) или Z =Лу\ которая получила название частотной характеристики усилителя. Для того чтобы ангармонический сигнал был
Рис. 22.4
усилен без искажения (даже при использовании линейной части амплитудной характеристики), необходима независимость коэффициента
усиления от частоты.
Частотная характеристика должна иметь вид k=const. На практике
это не реализуется и приводит к искажениям, получившим название линейных или частотных.
Линейные искажения иллюстрируются на рис. 22.4. На рис. 22.4, а изо-
бражен периодический сигнал 3, который является суммой двух синусоид (/и 2). Если синусоидальные сигналы усиливаются по-разному, напри-
мер один с Aj = 2, а другой с к2 = 0,5, то результирующий усиленный сигнал отличается от входного (сравните кривые 3 на рис. 22.4, а, б).
Частотную характеристику усилителя обычно изображают графически (рис. 22.5). Из этого рисунка видно, что в пре цел ах to2—оэ3 коэффициент усиления примерно постоянен. В радиотехнике принято считать, что уменьшение его до
Рис. 22.5
0,7^wx (или ^тах/^) практически не искажает сигнала. Диапазон частот (и]—о4 называют полосой пропускания усилителя.
Для расширения полосы пропускания приходится усложнять усилительные схемы. Однако диапазон частот, которые надо усиливать без искажения, определяется задачами усиления. Так, для усиления звука достаточно полосы 60 Гц—15 кГц, а усиление видеоимпульсов требует значительно большей полосы пропускания.
Частотная характеристика имеет большое значение при выборе усилителя для записи биопотенциалов, имеющих характер сложного колебания с различными пределами частот в их гармоническом спектре. Поэтому не всегда усилитель, предназначенный для записи одних биопотенциалов, может быть использован для записи других.
§ 22.4. УСИЛИТЕЛЬ НА ТРАНЗИСТОРЕ
В качестве конкретного физического устройства, усиливающего электрический сигнал, рассмотрим транзистор.
На границе двух полупроводников с различным типом электропроводимости образуется р~л-псрсход Это небольшая по толщине область, сопротивление которой зависит от направления приложенного напряжения. Вольт-амперная характеристика р-/?-перехода показана на рис. 22.6, там же условно изображен полупроводниковый диод. Прямому напряжению (положительное напряжение на графике) соответствует пропускное направление тока, обратному напряжению (отрицательное — на графике) — запирающее направление тока.
Контакты полупроводников с различным типом электропроводимости могут быть использованы также для создания транзисторов — приборов, предназначенных для генерирования и преобразования (усиления) электроматнитных колебаний. Транзисторы являются полупроводниковыми аналогами вакуумных триодов.
К настоящему времени наибольшее распространение получили биполярные транзисторы (или просто транзисторы), название которых отражает тот факт, что их работа основана на использовании носителей обоих знаков — дырок и электронов. Эти транзисторы состоят из двух р—«-переходов. Конструктивно такие переходы образуются в пластинке полупроводника при создании в ней двух областей одного механизма электропроводимости и третьей области — другого (верхние части, рис. 22.7).
Транзистор, представленный на рис. 22.7, а, называется плоскостным транзистором типар- п-р; на рис. 22.7, б — плоскостным транзисто-
Рис. 22.6
Рис. 22.7
ром типа п—р—п. Центральную часть транзистора называют базой Б, крайние — соответственно эмиттером Э и коллектором К. К базе, эмиттеру и коллектору с помощью металлических электродов можно подключить электрическое напряжение. В нижней части рис. 22.7 изображены условные обозначения соответствующих транзисторов на электрических схемах. Стрелка у эмиттера показывает направление тока; р--п-переход между эмиттером и базой называется эмиттерным, а между коллектором и базой — коллекторным.
Рассмотрим физические основы работы транзистора и его способность усиливать электрический сигнал на примере р—п —р-транзистора и схемы, представленной на рис. 22.8 (а — транзистор показан схематически; б — принятое условное изображение транзистора).
Источник тока £э подключен в эмиттерной цепи /, он создает на эмиттерном переходе прямое напряжение. Это напряжение £вх можно изменять, используя делитель напряжения D. На коллекторном переходе источник £к создаст обратное напряжение. Усиленное по сравнению с напряжение £вых снимается с резистора нагрузки Ru в коллекторной пели II. Так как входное и выходное напряжение имеют на базе общую точку, то эту схему называют схемой с общей базой (ОБ)
Работа транзистора основана на том, что напряжение и, следовательно, ток эмиттерного перехода влияют на ток в цепи коллектора. Для понимания процессов, происходящих в транзисторе, следует вспомнить особенности явлений, имеющих место вр~«-переходе.
Сила тока в цепи коллектора невелика при отсутствии напряжения в эмиттерной цепи, так как р—«-переход между коллектором и базой соответствует запирающему направлению. Если создать и увеличивать напряжение между эмиттером и базой, то будет возрастать и сила тока
в цепи эмиттера. Дырки, попадая (инжектируя) в базу, в значительном количестве продиффундируют через нее и окажутся в коллекторе. Сита тока в цепи коллектора возрастет. Прохождению дырок через р-я-переход способствует контактная разность потенциалов между коллектором и базой. В базе дырки могут рекомбинировать с электронами и не достигать коллектора, однако толщину базы делают достаточно малой, порядка десятков микрометров, и большинство дырок попадает в коллектор. Таким образом, сила тока в цепи эмиттера оказывает влияние на сопротивление коллекторного перехода.
Название эмиттер отражает тот факт, что основные носители тока (в рассмотренном примере — дырки) как бы эмиттируются из этого электрода в базу. На самом деле происходит не эмиссия, а инжекция дырок1. Название коллектор1 относится к области, назначением которой является извлечение носителей заряда из базы. База, по существующей терминологии, — область, в которую инжектируются эмиттером неосновные для этой области носители заряда.
Направления токов в различных участках цепи показаны на рис. 22.8, соотношение между токами достаточно просто:
Л = 4+ 'о- (22.5)
Так как сила тока базы невелика, то практически /э = /к. Таким образом, транзистор, включенный по схеме ОБ, нс позволяет увеличивать силу тока. Однако, используя эту схему, можно усилить напряжение и мощность. Поясним это. 1 2
1 Термином «эмиссия» (от лат. emissio — выпуск) в физике принято обозначать электронную эмиссию — испускание электронов металлами в вакуум или газ. Под инжекцией (от лат. injicere — бросать внутрь) понимают проникновение носителей тока черезр—я-пеоеход.
2 Collector (лат.) — собиратель.
Для контура II коллектора на основании правила Кирхгофа (сумма э.д.с источников в любом контуре равна сумме падений напряжений в нем) запишем
8K=4/?l + ZK/?K+«1, (22.6)
где — сопротивление участка контура, где протекает ток /ббазм; А\ — сопротивление коллекторного перехода току /к. Падение напряжения на источнике не учитываем.
Так как сила тока базы мала, го [см. (22.6)]:
Ек = + 4Rh ' (22.7)
Это означает, что э.д.с. источника цепи коллектора равна сумме падений напряжений на коллекторном р-л-персходс и на резисторе нагрузки. Зависимость выходного напряжения от параметров коллекторного контура нетрудно подсчитать. Из (22.7) имеем:
/К=8К/(ЯН-Ь ЯД-
Подставим это выражение в формулу для выходного напряжения:
ЕКАН Ек
I / - Г П — к н _ ________к
вых к н Лн+ Як I + Як/Я„ ' (22.8)
Как видно из (22.8), вариации t/RbIX возможны в пределах от нуля при Яг >> RK до £к при /?к « RH. Как уже отмечалось, изменение Як зависит от изменения силы тока в цепи эмиттера и, следовательно, от изменения входного напряжения. Поэтому получается зависимость А t/вых =fiA t/BX), которая при определенных условиях может быть прямо пропорциональной:
А вых
(22.9)
где к — коэффициент усиления по напряжению.
Усилительные возможности транзистора зависят не только от его свойств и конструкций (материал, концентрация примесей, размер базы и т.п.), но и от элементов усилительного каскада. Однако можно выделить такие параметры, которые зависят лишь от самого транзистора.
416
К такому параметру относят, в частности, статический коэффициент усиления по току для схемы ОБ (коэффициент передачи тока эмиттера), который зависит от толщины базы и параметров полупроводникового материала. Этот коэффициент равен отношению приращения тока коллектора к вызвавшему его изменению силы тока эмиттера при постоянном напряжении коллектор-база:
Д/к
сс-^- при const.
Так как /к » /э, то а « I. При низкой частоте изменение входного напряжения о. имеет значения 0,95—0,998 Постоянное напряжение на коллекторном р—«-переходе можно создать, закоротив резистор нагрузки. Как видно из (22.7), при этом {/к0 х £к, если внутреннее сопротивление источника мало.
Входное (усиливаемое) напряжение всегда подается к паре эмиттер—база. однако это не означает, что через эмиттер и базу протекает входной ток, так как либо эмиттер, либо база включается в цепь коллектора. Сила тока входного электрического сигнала равна /э в том случае, когда к эмиттеру подключен только входной проводник. Этот вариант соответствует схеме ОБ,
Возможны такие схемы, при которых только один проводник входного сигнала подсоединен к базе. В этом случае сила тока входного электрического сигнала равна /б. На рис. 22.9 показана одна из таких схем, называемая схемой с общим эмиттером (ОЭ). В этой схеме эмиттер является общей точкой для входа и выхода. Физические основы работы транзистора сохраняются и в этой схеме: ток эмиттера влияет на сопротивление коллекторного перехода.
Усилительные свойства самого транзистора в такой схеме характеризуются статическим коэффициентом усиления по току для схемы ОЭ (коэффициентом передачи тока базы). Он равен отношению приращения силы тока Д/к коллектора к вызвавшему его приращению силы тока Д/б базы при неизменном напряжении коллектор— эмиттер:
'к
Рис. 22.9
Л4
Л1б
(UK) = const). Постоянное напряжение можно создать, например, закоротив резистор нагрузки (Ан = 0). В схеме ОЭ Д/б соответствует изменению входною тока, а А/к — изменению выходного тока,
Коэффициенты аир зависят от транзистора и отражают связь, существующую между токами эмиттера, коллектора и базы. Установим соотношение между этими коэффициентами,
Из (22.5) следует, что А/э = Л/к + А/б. Подставим это выражение в формулу для а:
_ Дф А/к
A/.j А/к + А/б’
Разделив числитель и знаменатель на Д/б, получим:
А/к/Л/б
“ Л4/М.+ Г
Так как [3 = А/к / Л/б, то
а = р/([3+ 1), р = а/(1 - а).
Как уже отмечалось, а близко к 1; следовательно, р » 1. Так, например, при а = 0,95, р = 0.95/( I — 0,95) = 19.
Для того чтобы использовать транзисторы в конкретных усилительных или генераторных схемах, нужно знать зависимости между токами и напряжениями, которые получили общее название характеристик транзисторов.
Различают входные характеристики — зависимости входного тока от входного напряжения и выходные — зависимости выходного тока от выходного напряжения. Рассмотрим статические характеристики транзистора. включенного по схеме ОБ. Такие характеристики снимаются на установке, подобной той, которая изображена иа рис. 22.8, следует лишь предусмотреть возможность регулировки напряжения не только на эмиттерном, но и на коллекторном переходах вплоть до изменения полярности, а также наличие измерительных приборов — вольтметров и амперметров. Характеристики снимаются при постоянном токе без нагрузки в выходной цепи (RK = 0)
Выходным током в схеме ОБ является ток Д, эмиттера, входным напряжением — напряжение между эмиттером и базой. Поэтому входной характеристикой является зависимость Д, = /(£/э6) при £/кб ~ const,
Рис. 22.10
Рис. 22.11
семейство входных характеристик изображено на рис. 22.10. По существу, это вольт-амперные характеристики для прямого напряжения р—л-перехода (см. рис. 22.6; U XJ), Строго говоря, через начало координат пройдет лишь одна характеристика (при £/кб = 0), однако эти подробности на рис 22.10 не отмечены. Характеристики при разных значениях (7кб расположены достаточно близко друг к другу, так как коллекторный переход оказывает малое влияние на ток эмиттера.
Семейство выходных характеристик lK=f{ UK&) при /, ~ const (/э5 >....> /э4 >... /э]) представлено на рис. 22.11. Нижняя кривая (1Э = 0) является вольт-амперной характеристикой обратного напряжения р—и-псрехода (см. рис 22.6; U <0). Выходные характеристики подтверждают то, что уже было отмечено: ~ а » 1; 7К слабо изменяется при увеличении (7кб до наступления некоторого значения, при котором начинается пробой (пунктирные линии па характеристиках).
Важными параметрами транзистора являются его входное и выходное сопротивления, которые определяются на основании закона Ома следующим образом:
XЬ&/ДIj ( CKg const), Д 6^Кб/Д^к (2Э const ).
Эти сопротивления можно выразить как производные; так, например, Я _ =----!-- Так как производная от функции геометрически
* ал ау^ '
равна тангенсу угла наклона касательной к кривой относительно оси ОХ (в данном примере относительно оси 4/}б), то входное сопротивление можно записать и так: Rby = 1/tgcp, где — угол наклона касательной к кривой (характеристике) относительно оси 6/эб или Aux = etgep. Последняя формула позволяет графически из характеристик находить входное
Рис. 22 12
Рис. 22.13
сопротивление транзистора. Аналогично можно из выходных характеристик найти выходное сопротивление.
Статические характеристики транзистора для схемы ОЭ приведены на рис. 22.12 (входные) и 22.13 (выходные). Входной характеристикой является зависимость тока /5 базы от напряжения и5з база-эмиттер: /б = /(С/бэ) при UK3 = const (f/кэ, > Uk32 > 1/кэ3). Выходные характеристики представляют зависимость /к =Д £/кэ) при постоянном токе базы (/б = const' /б5 > /б4 >... > /б1). Аналогично рассмотренному ранее, из входных характеристик графически можно найти входное сопротивление транзистора для схемы ОЭ, а из выходных характеристик — выходное сопротивление и коэффициент передачи тока базы £.
Внешний вид биполярного транзистора изображен на рис. 22.14,
Дальнейшее совершенствование транзисторов привело к созданию полевых транзисторов, которые в настоящее время представлены различными вариантами. Рассмотрим полевой транзистор с управляющим р—«-переходом. Основной принцип работы такого полевого транзистора — это воздействие электрическим полем (отсюда и термин «полевой») входной цепи на ширину канала полупроводника, по которому протекает ток выходной цепи.
К полупроводнику л-типа, сечение которого показано на рис. 22.15, а, подключены
электроды — исток (И) и сток (С). В цепь Рис. 22.14 И—С включены источник постоянного напряжения е и резистор нагрузки. В тело основного полупроводника вмонтирован полупроводник /’-типа, к которому подведен вывод — электрод, называемый затвором 3. На границе полупроводников с различным механизмом проводимости образуется ^-«-переход — область,
Рис. 22.15
обедненная носителями и поэтому обладающая значительным сопротивлением. Так как ширина р~«-перехода зависит от электрического поля, изменяя напряжение t/BX между истоком и затвором, можно изменять ширину канала, через который проходит ток между истоком и шоком. Таким образом осуществляется влияние входного напряжения на выходное, которое снимается с резистора Ан. Полевые транзисторы имеют большое входное сопротивление, поэтому для них проще решаются вопросы согласования сопротивлений при усилении биопотенциалов [см. § (22.5)].
Условное изображение рассмотренного типа полевого транзистора приведено на рис. 22.15, б. На рис. 22.15, в показано условное изображение такого же полевого транзистора, создаваемого на основе полупроводника р-типа.
В заключение рассмотрим особенности конкретной схемы усилительного каскада с ОЭ (рис. 22.16). Выходное усиленное напряжение, как видно из рисунка, равно
^иых 4; ’
(22.10)
Рис. 22.16
где 8 — э.д.с. источника питания; 1К — сила тока в цепи коллектора; Лк — сопротивление резистора в цепи коллектора.
Переменный входной сигнал подключен к эмиттерному переходу и влияет на силу тока коллектора, а следовательно, и на падение напряжения на резисторе цепи коллектора (/КЛК). Таким образом, вы
ходное напряжение [см. (22.10)1 изменяется в соответствии с изменением входного напряжения. Ра целительный конденсатор Ср) не позволяет постоянной составляющей силы тока базы протекать через источник входного напряжения, конденсатор Ср2 отфильтровывает на выход только переменную составляющую.
Для получения прямо пропорциональной зависимости между выходным и входным напряжениями нужно выбрать такое положение исходной рабочей точки А на амплитудной характеристике (см. рис. 22.2), чтобы изменение входного и выходного напряжений было в пределах линейной части этой характеристики. При расчете рабочей точки используют характеристики, приведенные на рис. 22.12 и 22.13. Резистор /^цепи базы (см. рис. 22.10) позволяет установить для этого нужный режим работы схемы.
§ 22.5. УСИЛЕНИЕ БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Прямое, непосредственное измерение биоэлектрического сигнала или сигнала, созданного на выходе генераторного датчика, является трудновыполнимой задачей, так как эти сигналы обычно весьма малы. Именно поэтому в структурной схеме (см. рис. 21.1) вторым элементом показан усилитель электрических сигналов.
Ради определенности проиллюстрируем особенности усиления медико-биологических электрических сигналов на примере биоэлектрических сигналов, т.е. тех сигналов, которые снимаются электродами с биологического объекта.
Специфика усилителей биопотенциалов определяется следующими основными особенностями этой разновидности электрических колебаний:
1) выходное сопротивление биологической системы совместно с сопротивлением электродов обычно достаточно высокое;
2) биопотенциалы — медленно и вменяющиеся сигналы;
3) биопотенциалы — слабые сигналы.
Рассмотрим подробнее эти вопросы. В § 21.2 отмечалась роль переходного сопротивления электрод—кожа на передачу биоэлектрического сигнала последующим элементам схемы. Оказывается, этим вопросом проблема сопротивлений не ограничивается, при усилении сигнала следует учитывать соотношения сопротивлений /?, и /?вх [см. (21.1)]. Необходимо, как принято говорить, согласовать сопротивления входной цепи, усилителя и выходного сопротивления биологической системы.
Вопрос согласования полных сопротивлений (импедансов) достаточно сложный. Проиллюстрируем его лишь двумя особенностями взаимодействующих элементов электрической схемы.
Если учитывать!олько радиотехническую сторону вопроса, то следует на вход усилителя подать максимальную мощность от источника усиливаемых колебаний. Это осуществляется при равенстве внутреннего сопротивления источника и сопротивления потребителя, для нашего случая — при условии Я, - R3X.
Иначе, выразив из (21.1) силу тока / = ^/(R, + 7?вх) и подставив в формулу для входного напряжения усилителя, получим:
с р
U = = А,+ 7?ВХ R(/RBX+]' (22.11)
Из (22.11) следуют некоторые предельные случаи:
О 0 при Rux -> 0, т.е. на входе усилителя не будет напряжения, если его входное сопротивление равно нулю;
2) ZZBX -» £б1Тпри RBX -> ад, т.е. максимально возможное напряжение на усилителе будет при бесконечно большом его входном сопротивлении.
Во втором случае тока во входной цепи нет; следовательно, не будет передаваться и мощность от источника сигнала.
В реальной ситуации на входе усилителя окажется часть напряжения, генерируемого биологической системой и зависящего от отношения Rj/R^ [см. (22.11)1.
Эти примеры обращают внимание на необходимость согласования сопротивлений. В электрофизиологии считают, что Явх должно в 10—20 раз превышать наибольшее возможное значение /?,.
Малая частота биологических электрических сигналов приводит к тому, что в цепях усилителя невозможно использовать конденсаторы, так как при малых частотах значительно возрастает емкостное сопротивление [см (18.28)]. Приходится использовать специальные усилители постоянного тока.
Малость биопотенциалов побуждает использовать усилители с достаточно большим коэффициентом усиления, поэтому даже небольшие помехи, попадающие на вход усилителя, могут исказить полезный биоэлектрический сигнал и вызвагь ложную информацию. Помехами можно считать любые токи или напряжения на выходе усилителя при отсутствии на его входе полезного сигнала.
От одних помех можно избавиться или уменьшить их влияние, усложнив и удорожив конструкцию усилителя. От других избавиться в принципе
невозможно, и поэтому приходится использовать каскад с небольшим коэффициентом усиления.
Так. например, если усилительная схема питается от выпрямителя с несовершенным фильтром, то возникает фон, соответствующий периодичности тока городской электросети. Улучшение выпрямления, сглаживание пульсаций, устраняет этот фон..
Переменный ток городской сети может наводить э.д.с. вследствие электромагнитной индукции в рядом расположенных усилительных цепях и биологических объектах. Экранирование усилителя и проводников в его цепи, а также исследуемых систем, удаление этих элементов от проводников с переменным током позволяет устранить или уменьшить и эти помехи.
Если детали усилителя (электроды ламп, пластины конденсаторов и др.) будут колебаться, то это приведет к периодическому изменению параметров схемы и, как следствие, к возникновению случайных электромагнитных ко зебаний — микрофонный эффект Укрепляя детали схемы и усиливая амортизацию, можно уменьшить или ликвидировать помехи этого вида.
Большая группа помех получила название шумов. Шум слышен, например, в приемнике в виде шипения, треска и шороха. Особенно это заметно при большом усилении.
Шум слышен лишь тогда, когда его частотные характеристики попадают в область 20 Гц - 20 кГц. Если графически изобразить зависимост о силы тока или напряжения на выходе усилителя от времени, то даже при отсутствии сигнала на входе сила тока и напряжение не будут постоянны (рис. 22.17).
В этом проявляются шумы.
Термин «шум» произошел от слухового восприятия электрических .хаотических сигналов при подключении репродуктора. Однако сейчас это понятие используется безотносительно к их частотному интервалу и тем более бсзотносигсльно. воспроизводятся ли шумы звуковыми волнами или нет. 1
Шумы обусловлены флуктуациями то-
ков, т.е. случайными отклонениями их от -------г~~----------
средней величины, что вызвано беспоря-
дочным движением электронов. Избавиться от шума достаточно сложно, стараются изготовить специальные малошумящие тран- 0!
зисторы и лампы для использования в пер-
вых каскадах усилителей. Рис. 22.17
Искажения усиленного сигнала могут возникнуть и вследствие нестабильности источников питания, поэтому в некоторых случаях следует специально предусматривать стабилизацию напряжения Рассмотрим наиболее распространенные усилители, используемые для решения медико-биологических задач.
Обратная связь в электронных усилите-
лях. Повторители. Для медико-биологических целей применяют усилители с глубокой отрицательной обратной связью.
Отрицательная обратная связь препятствует развитию, изменению процесса и стабилизирует его. Это важно и для электронных устройств.
Применительно к усилителю обратная связь означает воздействие сиг
нала с его выхода на вход.
Возможная структурная схема усилителя с обратной связью изображена на рис. 22.18. Здесь цепь обратной связи подключена к выходу усилителя параллельно его нагрузке; следовательно, напряжение Uoc обратной связи прямо пропорционально напряжению (7ВЫХ на выходе. Напряжение обратной связи во входной цепи включено последовательно с напряжением Ur источника сигнала (генератора).
Рассчитаем коэффициент усиления усилителя (см. § 22 1), охваченного обратной связью1. Назовем отношение
0 = ^о.с/^вых
(22.12)
коэффициентом передачи цепи обратной связи, или Uoc = [3 • UB[M.
Коэффициент усиления схемы с обратной связью ксв равен отношению выходного напряжения ?7ВЫХ к напряжению Ur источника сигнала:
КсВ = ^вьтх/ Ц-
(22.13)
Напряжение на входе усилителя (рис. 22.18) равно
UBX = t/r + (70С,
(22.14)
или
(7ВХ — Ur- + р иаъзх,
(22.15)
1 Здесь ради простоты не рассматриваются фазовые соотношения между различными напряжениями.
откуда
(22.16)
~ ^вх — 3 ' Мзых’
Подставляя (22.16) в (22.13), получаем:
^св вых / (^вх 3 ’ вых)•
Разделим в этом выражении числитель и знаменатель на А/Вх:
Цшх / Ц* i-3 6U/t4x‘
(22.17)
Отношение
^вых / ^вх
является коэффициентом усиления по напряжению собственно усилителя, без цепи обратной связи. В результате имеем
А'
св~ |14ttT
(22.18)
Для того чтобы коэффициенты усиления сохраняли положительные значения, знаменатель формулы (22.18) взят по модулю.
Проанализируем выражение (22.18).
Если |1 — р&| > 1, то Асв < к. Последнее справедливо при 0 < 0, так как к всегда положительно. В этом случае реализуется отрицательная обратная связь, которая приводит к уменьшению усилительных возможностей схемы. Физически такое происходит потому, что напряжение обратной связи ослабляет напряжение, подаваемое на вход усилителя.
При |1 - рА] < 1 будет АС13 > А, [3 X), обратная связь положительная.
Если |1 — рА| -> 0, то Асв -> оо. Из (22.13) следует, что при заданном (/вых Ц- 0 — напряжение источника электрического сигнала равно нулю. Такая схема может работать без внешнего источника колебаний, т.е. как генератор (а не усилитель1) с обратной связью.
Вис три следствия из (22.18) встречаются на практике, однако особый интерес для медицинской электроники представляет усилитель с отрицательной обратной связью.
Продифференцировав (22.18), получим:
_ (1 - РАО + РА- dA
d^B " (1 - РА)2 ~ (l-МУ' (22>19)
Разделив (22.19) на (22.18), найдем:
dAc> 1 dA
(22.20)
Выражение (22.20) приводит к интересному выводу: если |1 — рА| >1 (отрицательная обратная связь), то относительное изменение коэффициента усиления схемы с обратной связью меньше относительного изменения коэффициента усиления собственно усилителя в 1 — рА раз:
dACB dk Асв к
Это означает большую стабильность усилителя, охваченного отрицательной обратной связью, меньшую зависимость его от внешних влияний. Проиллюстрируем сказанное количественным примером. Пусть коэффициент усиления к - 100, коэффициент передачи р цепи обратной связи равен —0,1. Подставляя эти значения в (22.18), имеем:
100 _ 100
Асв ~ 1 - (-0,1) 100 ” н *9,1,
Если по каким-либо причинам коэффициент усиления усилителя уменьшился на 20% и стал равным к{ = 80, то новое значение коэффициента усиления усилительной схемы с обратной связью
80 _ 80
*св) ~ 1-(-0,1)-80 “ 9 л8’9‘
Уменьшение Аси произошло всего на
9,1 -8,9
------— 100% «2,2% (!'), 9-1
хотя усилительные возможности схемы с отрицательной обратной связью меньше усилительных возможное гей самого усилителя.
Входное сопротивление усилителя, охваченного последовательной обратной связью, согласно закону Ома, равно
Лвх. си ~ •
Используя (22.1Ь),получаем:
''вх. св г -^вх О РМ? (22.21)
'вх
где 7?р,. = £/вх / /|1Х — входное сопротивление собственно усилителя.
При отрицательной обратной связи (р <0) св > Лнх. При «глубокой», стопроцентной, отрицательной обратной связи (Р — — I) имеет 7?вх св = Rsx (1 + к). При больших значениях к RBX св » RBX.
Две особенности усилителей с отрицательной обратной связью (стабильность к внешним воздействиям и большое входное сопротивление) позволяют использовать такие устройства для целей медицинской электроники. Усилители со стопроцентной отрицательной обратной связью получили название повторителей. Их используют как промежуточные усилители (предусилители) и располагают между биологической системой и основным усилителем для согласования сопротивлений. Большое входное сопротивление повторителей согласуется с большим сопротивлением измеряемого объекта. Малое выходное сопротивление повторителя согласуется с малым входным сопротивлением последующего основного усилителя. По этой причине повторители называются также трансформаторами полных сопротивлений.
Из (22.18) следует, что для повторителей (р = — 1)
kCii = k/(l+ky,
следовательно, кср к 1 при к » 1. На практике ксв примерно равна 0,95— 0,99. При таких значениях из (22.13) имеем t/Bblx » (7Г; выходное напряжение повторяет напряжение, подаваемое на усилитель, охваченный стопроцентной отрицательной обратной свя зью. Фазы входного и выходного напряжений в этом случае также одинаковы. Отсюда и термин повторитель, точнее — повторитель напряжения.
Реальное воплощение повторителя зависит от типа используемого в нем электронного устройства. Существуют три типа повторителей: ис-токовый — на полевом транзисторе (рис. 22.19, а); эмиттерный — на биполярном транзисторе (рис. 22,19, б); катодный — на электронной
Рис. 22.19
лампе (рис. 22.19, в). Название повторителя зависит от названия цепи (сама цепь названа но элементу электронного устройства), в которую включен резистор нагрузки Л (истоковая, эмиттерная или катодная цепь),
Во всех этих случаях можно убедиться, что выходное напряжение — напряжение на резисторе R — полностью (стопроцентно!) входит во входную цепь.
Усилители постоянного тока. Дифференциальный каскад. Для усиления биопотенциалов нужны усилители, полоса пропускания которых имеет нижнюю границу ю — 0. Усилители такого вида получали название усилителей постоянного тока независимо от того, усиливают они силу тока или напряжение.
Анализируя возможности использования транзисторов в усилительных схемах (см. § 22.4), можно думать, что усиление медленно изменяющихся сигналов и сигналов постоянного тока не отличается от усиления переменного сигнала. В самом деле объяснение физических основ работы транзисторов как усилителей можно было дать и для постоянного тока. Однако при наличии отрицательной обратной связи такие схемы, как изображенная на рис. 22.16, имели бы невысокий коэффициент усиления и использовать один каскад было бы затруднительно. Приходится использовать ряд каскадов, а это вносит особые сложности при усилении медленно изменяющихся сигналов. Причина в том, что в усилителе постоянного тока каскады должны быть соединены без использования реактивных
Рис. 22.20
элементов (конденсаторы, трансформаторы), которые не выполняют своих функций на постоянном токе, Соединение должно быть осуществлено проводниками — гальваническая связь (рис. 22,20}. Однако при такой связи медленные, случайные изменения напряжения или силы тока на выходе каскада (дрейф) будут усиливаться последующими каскадами, что приведет к искажению информации.
Причиной дрейфа может быть старение элементов усилителя, влияние температуры, нестабильность напряжения источников питания и др Таким образом, при прямом усилении необходимо стремиться уменьшить дрейф в каждом каскаде и прежде всего во входном.
Одним из способов уменьшения дрейфа является использование дифференциального каскада, простейшая схема которого изображена на рис. 22.21, а — здесь Т\ и Т2 — два одинаковых транзистора; 7?к] и Лк2 резисторы в цепях коллекторов; Rj — резистор в цепи эмиттеров; R — переменный резистор для регулировки схемы; Ан — резистор нагрузки, с которого снимается выходное напряжение (7ВЬ1).. Входное напряжение Сьх подается на базы транзисторов. Схема, приведенная на рисунке, фактически является мостом. Для того чтобы это было понятнее, представим ес в принятом для подобных схем виде (рис. 22.21, б): сопротивление R расчленим по двум плечам, транзисторы Т} и Т2 изобразим как последовательные соединения полупроводников с разным механизмом электропроводимости. К одной диагонали моста подключен источник питания, к другой — резистор А,, нагрузки.
Мост уравновешен, если выполняется условие:
Лк1+Д/2
Як2+Я/2 «Т2 ’
(22.22)
где АТ1 и ЯТ2 — сопротивления соответственно первого и второго транзисторов. В этом идеальном случае ток через диагональ не идет и £/вых = 0.
Рис. 22 22
Возможные изменения напряжения источника питания или одинаковые изменения свойств транзисторов под влиянием температуры и времени не нарушат равновесия моста и не вызовут появление гока через резистор Лн. В обычном усилителе постоянного тока все подобные влияния неизбежно привели бы к дрейфу.
Входной сигнал разбалансирует мост, так как потенциалы баз разных транзисторов станут различными и изменятся /?Т1 и ЛТ2.
Нарушится условие (22.22), и в диагонали неуравновешенною моста возникает ток.
Выходное усиленное напряжение будет пропорционально разности входных потенциалов на базах, поэтому такой усилительный каскад называется дифференциальным
Т ак как идеального уравновешивания быть не может, то и в дифференциальном каскаде будет небольшой дрейф. Баланс схемы улучшается регулировкой переменного резистора R.
Можно избежать ряда трудностей, специфичных для усилителей постоянного тока прямого усиления, если преобразовать медленно изменяющийся усиливаемый сигнал в переменное напряжение, амплитуда которого пропорциональна этому сигналу.
рис. 22.23
Ограничимся рассмотрением структурной схемы такого усилителя с преобразованием (рис. 22.22). Сначала усиливаемое напряжение (рис. 22.23, а) преобразуется в колебания, амплитуда которых изменяется по времени пропорционально входному сигналу (рис. 22.23, б) Затем полученное в результате преобразования напряжение повышается (рис. 22.23, в) до необходимого значения в усилителе низкой частоты, в качестве которого используют, например, резисторный усилитель (см. § 22.4). Это напряжение далее детектируется (выпрямляется) для получения на выходе огибающих колебаний (электрических импульсов). Таким образом, на выходе усилителя можно создать напряжение, пропорциональное входному, но значительно его превосходящее (рис 22.23, г).
Усилители такого типа отличаются повышенной стабильностью, малым дрейфом и некоторыми другими преимуществами. Разумеется, кроме перечисленных выше схем усилителей постоянного тока существует ряд еще более сложных устройств, имеющих более высокие качественные показатели.
Глава 23
Генераторы
Генераторами (электронными генераторами) называют устройства, которые преобразуют энергию источников постоянного напряжения в энергию электромагнитных колебаний различной формы.
Большая группа медицинских по назначению аппаратов является конструктивно генераторами разнообразных электромагнитных колебаний. Наряду с генераторами в главе описывается также устройство электронного осциллографа.
§ 23.1. РАЗНОВИДНОСТИ ГЕНЕРАТОРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
По принципу работы различают генераторы с самовозбуждением (автоколебательные системы или автогенераторы) и генераторы с внешним возбуждением, которые, по существу, являются усилителями мощности высокой частоты.
Большинство генераторов, применяемых для решения радиотехнических задач, являются генераторами с самовозбуждением: их подразделяют на генераторы гармонических (синусоидальных) колебаний и генераторы импульсных (релаксационных) колебаний.
Технической основой генератора могут быть вакуумные устройства (электронные лампы), газонаполненные (газоразрядные) лампы, полупроводниковые элементы и интегральные схемы.
Два последних понятия объединяют единым термином — «твердотельные устройства», от физического понятия «твердое тело». Имеется в виду, конечно, общность нс по механическим, а по электрическим свойствам твердого гела. Так возникает понятие «твердотельный генератор».
Генераторы также подразделяют по частоте и мощности колебаний.
В медицине электронные генераторы находят три основных применения:
— в физиотерапевтической электронной аппаратуре;
— в электронных стимуляторах;
— в отдельных диагностических приборах, например в реографе.
§ 23.2. ГЕНЕРАТОР ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ТРАНЗИСТОРЕ
Рассмотрим принцип работы генератора на транзисторе (рис. 23.1), в котором возникают автоколебания, близкие к синусоидальным, Для понимания обших принципов функционирования данного генератора целесообразно вспомнить структурную схему автоколебательной системы (см. рис. 7.19).
Колебательный контур £КСК расположен в цепи коллектора.
Катушка £ос, индуктивно связанная с £к, выполняет роль обратной связи. Источником энергии служит батарея к. В качестве клапана, пропускающего в контур энергию в нужный момент, используется тран-
зистор.
В момент включения схемы в колебательном контуре возникают малые случайные электромагнитные колебания. За счет индуктивной об
ратной связи эти колебания передаются на базу, точнее на р—«-переход между эмиттером и базой, и усиливаются (см. § 22.4). Усиленные транзистором колебания через коллекторную цепь подаются в колебатель
ный контур в резонанс с теми, которые там уже существуют, и амплитуда колебаний возрастает. Разумеется, так будет лишь при определенном фазовом соотношении между колебаниями в контуре и изменением напряжения на базе. Обратная связь должна быть положительной. Если
поменять концы обмотки £о с, то желаемый эффект не будет достигнут: малые колебания контура, возникшие из-за случайных токов во время включения схемы, будут подавляться транзистором.
В § 22.5 при анализе формулы (22,18) было замечено, что усилитель,
охваченный положительной обратной связью, может стать и генератором. Сопоставим генератор (рис. 23.1) с усилителем (рис. 22.8, б). И в
том и в другом случае усиливаемый сигнал подается между эмиттером и
базой, а усиленный снимается с коллектора-базы. В случае генератора усиленный сигнал через индуктивную связь частично вновь попадает на эмиттер—базу.
Возрастание амплитуды колебаний не может происходить бесконечно. Во-первых, батарея £ является источником вполне конечной энергии и не может обеспечить колебаний бесконечной амплитуды. Во-вторых, амплитудная характеристика (см. рис. 22,2) имеет ограниченный линей-
Рис. 23.1
ный участок, а выход за пределы линейной части означает (штриховые линии на рисунке) уменьшение коэффициента усиления.
Таким образом, процесс будет периодическим, близким к гармоническому. Схема генерирует колебания, частота которых равна частоте собственных колебаний контура ЛКСК. Изменить эту частоту можно, изменяя параметры контура — индуктивность и емкость. Из конструктивных соображений обычно делают переменной емкость Ск. Элементы схемы /?б и Сб служат для создания на базе нужного напряжения смещения, чтобы выбрать оптимальное положение рабочей точки (см. рис. 22 2, точка А на графике) и не закоротить источник напряжения с цепью эмиттер—база.
§ 23.3. ГЕНЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСНЫХ (РЕЛАКСАЦИОННЫХ) КОЛЕБАНИЙ
Из многих вариантов генераторов релаксационных колебаний рассмотрим два наиболее простых.
Одна из схем (рис. 23.2) — генератор с использованием неоновой лампы Л. Такие лампы зажигаются при некотором строго определенном значении напряжения U3, а гаснут при меньшем напряжении Ur. Процесс начинается с зарядки конденсатора С.
На графике зависимости выходного напряжения от времени (рис. 23.3) этот этап показан отрезком ОА, отвечающим уравнению (18.20). В точке А напряжение на конденсаторе достигает значения 1/3, достаточного для ионизации газа в неоновой лампе, лампа загорается и конденсатор разряжается через нее [см. (18.19)]. В точке Д напряжение на лампе станет равным UT, лампа гаснет и ее сопротивление значительно возрастает. Конденсатор опять подзаряжается, и процесс повторяется.
Как видно из (18.20), скорость возрастания напряжения в такой схеме можно изменять, изменяя параметры Ли С. Так, увеличение сопротивления приведет к увеличению времени Г, участок ОА станет более пологим. Изменение напряжения на участке АВ происходит при разряде неоновой лампы и зависит, следовательно, от ее характеристик. Подбирая параметры схемы, можно реальный график (рис. 23.3) приблизить к идеальному, называемому пилообразным напряжением (рис. 23.4). График зависимости этого напряжения от времени напоминает профиль пилы. В течение времени Гнапряжение линейно возрастает от до </2, затем за время т оно линейно уменьшается до минимального значения. Если требуется более точное приближение к линейному возрастанию напряжения со временем, то применяют более сложные схемы. Пилообразное напряжение используется в развертке электронного осциллографа (см. § 23.4).
Генератором релаксационных колебаний является также мультивибратор. одна из схем которого изображена на рис. 23.5. Для понимания работы этой схемы напомним кратко свойство транзистора пропускать или не пропускать ток в зависимости от напряжения на базе. Резистор Ag] подсоединен параллельно к^-л-переходу коллектор—база первого транзистора. Если через этот резистор протекает ток сверху вниз, то потенциал базы транзистора больше потенциала коллектора. Это увеличивает электропроводимость транзистора, и через него сможет идти ток от эмиттера к коллектору. При прохождении через резистор /?б] тока в противоположном направлении, т.е. снизу вверх, потенциал базы будет меньше потенциала коллектора и транзистор окажется запертым.
• Vbwx
Т-П-П
О f
Рис. 23.6
Допустим исходно, для начала объяснения, что транзистор Гр1 заперт, источник заряжает конденсатор Q (цепь указана штриховкой). После того как конденсатор Q зарядится до некоторого напряжения, он сможет при открытом транзисторе Гр1 разряжаться через него (цепь показана пунктиром). Ана
логичное рассуждение можно провести и для конденсатора С2. Важно заметить, что каждый конденсатор разряжается через соседний резистор, влияя, таким образом, на состояние соседнего транзистора.
Этот процесс пока очень напоминает работу релаксационного генератора на неоновой лампе. Там конденсатор заряжался через резистор А, здесь через Ян] и R§2, разряжался через неоновую лампу Л, здесь через Гр[ и резистор 7^2- Но в предыдущем случае ток через лампу проходил при определенном значении напряжения, здесь же он зависит от падения напряжения на Aq] в результате зарядки и разрядки конденсатора С2.Пока конденсатор С2 заряжается (через /?п2 и тик по проходит сверху вниз, транзистор Гр1 отперт. Когда этот конденсатор разряжается (через Гр2 и Rqj), ток по Яф направлен снизу вверх и при соответствующем его значении транзистор 7р1 заперт. Таким образом, когда один конденсатор заряжается, другой разряжается; когда один транзистор отперт, другой— запер г, и наоборот. Процесс имеет повторяющийся характер.
Конечно, можно допустить случай, когда оба транзистора отперты, а напряжения и силы токов на всех элементах постоянны во времени. Более детальное исследование показывает, что такое состояние будет неустойчивым и любое малое отклонение от него приведет к возникновению вышеописанных скачков.
Характер выходного напряжения £/ВЬ1Х мультивибратора зависит от параметров входящих в него резне горов, конденсаторов и транзисторов, а также от того, симметричны ли параметры элементов слева по отношению к аналогичным параметрам справа, и т.д. Приведем один из возможных случаев, когда выходное напряжение имеет почти прямоугольный характер (рис. 23.6).
§ 23.4. ЭЛЕКТРОННЫЙ ОСЦИЛЛОГРАФ
Осциллограф — это измерительное устройство для визуального наблюдения или записи функциональной зависимости двух величин, преобразованных в электрический сигнал.
Осциллографы широко используют для наблюдения временной зависимости переменной величины
Главной частью электронного осциллографа является электроннолучевая трубка (рис. 23.7). Ес элементы расположены в вакуумированном баллоне Б. Они включают люминесцирующий экран 3, отклоняющую систему О из конденсаторов и электронную пушку П (выделено штриховой линией), состоящую из подогревного катода, подобного катоду диода, и специальных электродов, которые ускоряют и фокусируют электроны. На пластины конденсаторов подается разность потенциалов. В зависимости от ее знака и значения пучок электронов отклоняется в вертикальном или горизонтальном направлении. Сформированный и определенным образом направленный электронный пучок попадает на люминесцирующий экран — переднюю стенку электронно-лучевой трубки, покрытую люминофорами, которые способны светиться под воздействием ударов электронов (катодолюминесценция}.
Пучок электронов на экране изобразится светящейся точкой. Плавно изменяя напряжение на отклоняющих пластинах, светящуюся точку можно перемещать по экрану. Люминофоры обладают свойством послесвечения, они светятся в данном месте некоторое время после того, как электронный пучок сместился с данного места. Поэтому перемещение пучка наблюдается на экране в виде линии.
Структурная схема осциллографа дана на рис. 23.8: Ус. X, Ус. Y — усилители; БП — блок питания; ГР — генератор развертки; ЭЛ Т — электронно-лучевая трубка. Имеется также блок синхронизации. На рис. 23.9 изображена передняя панель осциллографа.
Поданный на клеммы «Вход У» и «Земля» сигнал усиливается и подаемся на вертикально отклоняющие пластины. На экране осциллографа такой сигнал изобразится отрезком вертикальной прямой.
Рис. 23.9
Для наблюдения зависимости сигнала от времени следует светящейся точке сообщить одновременно равномерное движение в горизонтальном направлении. Чтобы записать периодический процесс, точка должна за некоторый конечный промежуток времени переместиться слева направо по экрану и в возможно короткий промежуток времени вернуться обратно. Поэтому напряжение, подаваемое на горизонтально отклоняющие пластины, должно иметь пилообразны! вид (см., например, рис. 23.4, причем Т >> т ). Принцип устройства, служащего для этой цели, — генератора развертки — был рассмотрен в § 23.3.
Для того чтобы периодический процесс отображался на экране неподвижным изображением, необходимо подобрать достаточно точно
частоту развертки: на один период времени развертки должно приходиться целое число периодов исследуемого сигнала. Это условие выполняется блоком синхронизации развертки. Ручки «Диапазон частот» и «Частота плавно» позволяют задавать нужную частоту развертки.
Если исследуемый процесс однократный или непериодический, то может быть использован ждущий режим развертки, предусмотренный в некоторых осциллографах. Этот режим развертки действует каждый раз и только тогда, когда возникает регистрируемый процесс.
Вращая ручки «Яркость.» и «Фокус», изменяют разность потенциалов между ускоряющими электродами, благодаря чему достигаются различная интенсивность и площадь сечения электронного пучка. При этом наблюдается изменение яркости и фокусировки светящейся точки. Ручки «Ось У» и «Ось X» служат для смещения всей изображаемой картины в вертикальном или горизонтальном направлении. Для наблюдения зависимости каких-либо двух величин подают электрические сигналы, отвечающие этим величинам, на клеммы «Вход Y» и «Вход А». Генератор развертки при этом не включается. Так, в частности, можно получить фигуры Лиссажу (см. § 7.3), вектор кардиограмму (см. § 14.5).
С помощью ручки «Усиление» изменяют усиление поданного сигнала. При этом на экране осциллографа изображение растягивается или сжимается по соответствующему направлению.
Для калибровки масштаба времени в некоторых осциллографах предусмотрен генератор меток времени для периодического изменения яркости пятна на экране. Благодаря этому можно определять длительность изображаемого процесса или его отдельных частей.
Изображение, полученное на экране электронного осциллографа, может быть сфотографировано.
§ 23.5. ЭЛЕКТРОННЫЕ СТИМУЛЯТОРЫ.
НИЗКОЧАСТОТНАЯ ФИЗИОТЕРАПЕВТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
Будем ради краткости называть физиотерапевтическую электронную аппаратуру низкой и звуковой частоты низкочастотной Электронную аппаратуру всех других частот обобщающим понятием высокочастотная.
Медицинские аппараты — генераторы гармонических и импульсных низкочастотных электромагнитных колебаний — объединяют две большие группы устройств, которые трудно четко разграничить: электронные стимуляторы (электростимуляторы) и аппараты физиотерапии. При небольших частотах наиболее существенно специфическое, а не тепловое, действие тока. Поэтому лечение током имеет характер стимулирования какого-либо эффекта раздражением токами. Это обстоятельство, вероятно, и влечет смешение понятий «лечебный аппарат» и «электростимулятор».
Хотя электрическое раздражение мышцы было обнаружено еще в XVIII в., широкое использование электростимуляторов началось лишь в последние десятилетия. В настоящее время имеется много разных электростимуляторов. Нои сейчас важной медицинской и физиологической проблемой остается точное задание выходных параметров электрического сигнала разработчикам электростимуляторов: форма импульса, его длительность, частота импульсного тока и скважность следования импульсов (см. гл. 18 и 19).
Электростимуляторы могут быть подразделены на стационарные, носимые и имплантируемые (вживляемые). Для полностью имплантируемых электростимуляторов, например кардиостимуляторов, достаточно серьезной проблемой являются источники питания, которые должны
Рис. 23.10
длительно и экономно функционировать. Эта проблема решается как созданием соответствующих источников, так и разработкой экономичных генераторов. Так, например, желательно иметь генераторы, которые практически не потребляли бы энергию в паузе между импульсами.
В качестве примера стационарного стимулятора широкого назначения можно указать универсальный электроимпульсатор УЭИ-1 (рис. 23.10). Он представляет собой генератор импульсного тока прямоугольной и экспоненциальной формы. Параметры импульсов и их частота могут регулироваться в широких пределах, так, например, длительность прямоугольных импульсов способна изменяться дискретно от 0,01 до 300 мс. Аппарат позволяет измерять амплитуду импульса тока в цепи пациента. На экране электронно-лучевой трубки (левая сторона лицевой панели УЭИ-1) можно наблюдать форму импульсов на выходе аппарата.
Примером своеобразного стимулятора являются дефибрилляторы — аппараты, представляющие собой генераторы мощных высоковольтных электрических импульсов, предназначенные для лечения тяжелых нарушений ритма сердца. Дефибриллятор включает накопитель энергии (конденсатор), устройство заряда конденсатора и разрядную цепь. На рис. 23.11 показан внешний вид импульсного дефибриллятора ДИ-03.
Носимым и частично имплантируемым кардиостимулятором является имплантируемый радиочастотный электрокардиостимулятор ЭКС Р-01 (рис. 23.12). Имплантируемая его часть (приемник) показана в центре рисунка, се масса 22 г, толщина 8,5 мм. Приемник воспринимает радиосигналы от внешнего передатчика (на рисунке слева). Эти сигналы воспринимаются внутри тела больного имплантируемой частью и в виде импульсов через электроды подаются на сердце. В правой части рисунка показан блок питания, который, как и передатчик, носится больным снаружи.
К особой разновидности электростимуляторов можно отнести такие, которые способны в закодированной форме передать информацию, обычно воспринимаемую органами чувств. Подобным стимулятором является кохлеарный протез, преобразующий звуковую информацию в электрический сигнал, т.е., по существу, заменяющий улитку внутреннего уха (см. § 8.5). Носимый кохлеарный протез показан на рис. 8.13.
К техническим устройствам электростимуляции относятся также электроды для подведения электрического сигнала к биологической системе Во многих случаях электростимулирование осуществляется пластинчатыми электродами, которые накладываются на тело человека
Рис. 23.13
б
подобно электродам для электрокардиографии (см. § 21.2). Для вживляемых электродов проблемы более серьезные, в том числе и проблема выбора материала, устойчивого к коррозии при прохождении тока в условиях агрессивной биологической среды.
Примером физиотерапевтического аппарата для электротерапии синусоидальными модулированными токами является «Амплипульс-3» (рис. 23.13, а). В нем частота несущих синусоидальных колебаний равна 5 кГц, частота модулирующих синусоидальных колебаний может плавно регулироваться в пределах 10-150 Гц. Некоторые возможные формы токов, созданные этим генератором, показаны на рис. 23.13, б, соотношение между частотами несущих и модулирующих колебаний на рисунке не выдержано.
§ 23.6. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ФИЗИОТЕРАПЕВТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА. АППАРАТЫ ЭЛЕКТРОХИРУРГИИ
Большая группа медицинских аппаратов — генераторов электромагнитных колебаний и волн — работает в диапазоне ультразвуковых (над-гональных), высоких, ультравысоких и сверхвысоких частот и называется обобщающим термином высокочастотная электронная аппаратура.
Проблема электродов в данном случае решается по-разному. Для высокочастотных токов (см. рис. 19.5) используются стеклянные электроды. воздействие переменным магнитным полем (индуктотермия) оказывается через спирали или плоские свернутые кабели, по которым проходит переменный ток, создавая переменное магнитное поле. При УВЧ-терапии прогреваемую часть гела помещают между дискообразными металлическими электродами (рис. 23.14). покрытыми слоем изолятора. При воздействии электромагнитными волнами к гелу приближают излучатель этих волн.
Для безопасности больного электроды подключаются не к колебательному контуру генератора, а к контуру пациента (терапевтическому контуру), который индуктивно связан с основным колебательным контуром генератора (рис. 23.14). Индуктивная связь исключает возможность случайного попадания больного под высокое постоянное напряжение, которое практически имеется в большинстве медицинских высокочастотных генераторов. На рис. 23.14 изображен генератор на триоде, так как ламповые генераторы еще применяются в медицинской аппаратуре в связи с необходимостью получить достаточно большую мощность,
Рис. 23.14
Рис. 23.15
Физиотерапевтические аппараты, являющиеся генераторами электромагнитных колебаний, конструируются так, чтобы не мешать радиоприему и телевидению. Это обеспечивается, с одной стороны, специальными помехозащитными устройствами, а с другой стороны, определенным строгим заданием диапазона рабочих частот.
Внешний вид некоторых аппаратов показан на рисунках: аппарат «Искра-1» — высокочастотный генератор, работающий в импульсном режиме и используемый для местной дарсонвализации (рис. 23.15), аппарат ИК.В-4 для индуктотсрмии, работающий на частоте 13,56 МГц (рис. 23.16), переносной аппарат для УВЧ-терапии — УВЧ-66 (рис. 23.17), аппарат для микроволновой терапии «Луч-58» (рис. 23.18).
К высокочастотной электронной медицинской аппаратуре относят и аппараты электрохирургии (высокочастотной хирургии). Основой этих устройств является генератор электромагнитных колебаний гармониче
ских или модулированных. Мощность используемых в электрохирургии электромагнитных колебаний может быть от 1 Вт до несколько сотен ватт.
Особенность генераторов в том, что они должны отдавать мощность в нагрузку (биологическая ткань), которая изменяется в значительных пределах. Длительное время генераторы вообще могут работать без нагрузки, поэтому в аппаратах элсктрохирургии еще в значительной степени используются вакуумные лампы, которые по сравнению с полупроводниковыми устройствами обладают большей устойчивостью к возможным перегрузкам.
При электрохирургии электромагнитные колебания подаются на электроды, которые рассекают или коагулируют ткань. Различают электроды для монополярной и биполярной электрохирургии.
В первом случае один выход генератора аппарата соединен с активным электродом, которым и осуществляют электрохирургическое воздействие, а другой электрод — пассивный — контактирует с телом пациента.
Во втором случае оба выхода генератора соединены с двумя активными электродами, между которыми протекает высокочастотный ток, оказывая хирургическое воздействие. В этом случае оба электрода являются активными, а пассивный электрод не используется.
Внешний вид одного из аппаратов электрохирургии показан на рис. 23.19.
Раздел 6 ОПТИКА
Оптика — раздел физики, в котором рассматриваются закономерности излучения, поглощения и распространения света. В физике термин «вел » применяют не только к излучению, воспринимаемому глазом человека, но и к невидимому излучению. Природа света двойственна, дуа-листична. Это означает, что свет проявляет себя и как электромагнитная волна, и как поток частиц — фотонов. Дуализм света, в частности, отражается формулой е = Av, так как энергия е фотона является квантовой характеристикой, а частота колебаний v — характеристикой волнового процесса. В одних оптических явлениях в большей степени проявляются волновые свойства света, а в других — корпускулярные. Двойственная природа присуща и частицам — электрону, протону и т.д. Так как свет обладает электромагнитной природой, то оптику целесообразно изучать после электродинамики. Вопросы излучения света граничат с атомной физикой и существенно с ней связаны. Поэтому раздел «Оптика» предшествует атомной физике.
В развитии физики оптические эксперименты и теории сыграли особую роль: законы прямолинейного распространения света и его отражения от зеркальных поверхностей были одними из первых физических законов, известных еще задолго до нашей эры; интерференционный опыт Майкельсона стал экспериментальным основанием теории относительности; гипотеза Планка о дискретности излучения положила начало квантовой физике Исследования видимого света и его измерения относятся нс только к области физики, но и к физиологии. В этом отношении оптика подобна акустике. Для медиков и биологов эти знания прежде всего важны при исследовании биологических объектов: микроскопия, спектрометрия, рефрактометрия, поляриметрия, колориметрия. Кроме того, врачам следует знать физические основы использования теплового излучения для диагностики заболевания (термография), устройство аппаратуры светолечения и другие вопросы.
Интерференция и дифракция света. Голография
Под интерференцией света понимают такое сложение световых волн, в результате которого образуется устойчивая картина их усиления и ослабления. Для получения интерференции света необходимо выполнение определенных условий.
Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного распространения в среде с резкими неоднородностями. Возможность наблюдения дифракции зависит от соотношения длины волны и размеров неоднородностей. Различают с некоторой степенью условности дифракцию сферических волн (дифракция Френеля) и дифракцию плоскопараллельных волн (дифракция Фраунгофера). Описание дифракционной картины возможно с учетом интерферениии вторичных волн.
В главе рассматривается голография как метод, основанный на интерференции и дифракции.
§ 24.1. КОГЕРЕНТНЫЕ ИСТОЧНИКИ СВЕТА. УСЛОВИЯ ДЛЯ НАИБОЛЬШЕГО УСИЛЕНИЯ И ОСЛАБЛЕНИЯ ВОЛН
Сложение волн, распространяющихся в среде, определяется сложением соответствующих колебаний. Наиболее простой случай сложения электрома! нитных волн наблюдается, когда их частоты одинаковы и направления электрических векторов совпадают, В этом случае амплитуду результирующей волны можно найти по формуле (7.20), которую для напряженности электрического поля запишем в виде:
Е1 = £[ + + 2£jE2 cos Дф , (24.1)
где Дф — разность фаз слагаемых волн (колебаний).
В зависимости от типа источников света результат сложения волн может быть принципиально различным.
Сначала рассмотрим сложение волн, идущих от обычных источников света (лампа, пламя, Солнце и т.п.). Каждый такой источник представляет совокупность огромного количества излучающих атомов. От-
дельный атом излучает электромагнитную волну приблизительно в течение 10“8 с, причем излучение есть событие случайное, поэтому и разность фаз Дф в формуле (24. Г) принимает случайные значения. При этом среднее по излучениям всех атомов значение cosAcp равно нулю. Вместо (24.1) получаем усредненное равенство для тех точек пространства, где складываются две волны, идущие ог двух обычных источников света:
<Е-> = <Е^ > + <4 >•
(24.2)
Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то из (24.2) имеем условие сложения интенсивностей /, и /2 волн:
/=/] + /2.
(24.3)
Это означает, что для интенсивностей излучений, исходящих от двух (или более) обычных световых источников, выполняется достаточно простое правило сложения: интенсивность суммарного излучения равна сумме интенсивностей слагаемых волн. Это наблюдается в повседневной практике: освещенность от двух ламп равна сумме освещенностей, создаваемых каждой лампой в отдельности.
Если Дф остается неизменной, наблюдается интерференция света. Интенсивность результирующей волны принимает в разных точках пространства значения от минимального до некоторого максимального.
Интерференция света возникает от согласованных, когерентных источников, которые обеспечивают постоянную во времени разность фаз Дф слагаемых волн в различных точках. Волны, отвечающие этому условию, называют когерентными.
Интерференция могла бы быть осуществлена от двух синусоидальных волн одинаковой частоты, однако практически создать такие световые волны невозможно, поэтому когерентные волны получают, расщепляя световую волну, идущую от источника.
Такой способ применяется в методе Юнга. На пути сферической волны, идущей от источника S’, устанавливается непрозрачная преграда с двумя щелями (рис. 24. Г). Точки волновой поверхности, дошедшей до преграды, становятся центрами когерентных вторичных волн, поэтому щели можно рассматривать как когерентные источники. На экране Э наблюдается интерференция.
Другой метод заключается в получении мнимого изображения 5” источника S (рис. 24.2) с помощью специального однослойного зеркала
Рис. 24.1
Рис. 24.2
{зеркалоЛлойда). Источники S и 5’ являются когерентными. Они создают условия для интерференции волн. На рисунке показаны два интерферирующих луча, попадающие в точку А экрана Э.
Так как время т излучения отдельного атома ограничено, то разность хода 5 лучей 7 и 2 при интерференции не может быть слишком большой, в противном случае в точке А встретятся разные, некогерентные волны. Наибольшее значение 6 для интерференции определяется через скорость света и время излучения атома:
5 = cz = 3 • 10s 10 8 = 3 м.
(24.4)
Расчет интерференционной картины можно сделать, используя формулу (24.1), если известна разность фаз интерферирующих волн и их ам
плитуды.
Практический интерес представляют частные случаи: наибольшее усиление волн — максимум интенсивности (max), наибольшее ослабление — минимум интенсивности (min).
Отмстим, что условия максимумов и минимумов интенсивностей удобнее выражать не через разность фаз, а через разность хода, так как пути, проходимые когерентными волнами при интерференции, обычно известны. Покажем это на примере интерференции плоских волн I, П, векторы £которых перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 24.3).
Колебания вектора £этих волн в некоторой точке В, удаленной на расстояния лу и.
Рис. 24.3
соответственно от каждого источника, проис
ходят по гармоническому закону
Ei = Е,паХ\ e0S(!) vl/vl), £2 = Етах2 cosoj (/-х2/н2). (24.5)
Для общности вывода предположим, что волны распространяются в разных средах1 с показателями преломления Л] и п2. Скорости распространения волн соответственно равны и = с/Л[ и и2 = с/л2, где с — скорость света в вакууме. Тогда из (24.5) следует выражение для разности фаз2:
Дф = ф2 — <р! = И (t - Л'2/О2) — СО (/ — X[/U]) =
= со (Х|/О! - х2/и2) = (2я/(Тс)) - х2п2). (24.6)
Так как длина волны в вакууме X = 7с, то вместо (24.6) имеем
Дф - (2л/Х) (xjW; — х2п2). (24.7)
Произведение геометрического пути волны на показатель преломления среды, т.е. хп, называют оптической длиной пути3, а разность этих путей
6 = X|/?|— х2п2 (24.8)
— оптической разностью хода интерферирующих волн.
На основании (24.7) и (24.8) получим связь между разностью фаз и оптической разностью хода интерферирующих волн:
X
Дф-----S или б = —- Дф. (24 9)
2л 2п '
Используя законы сложения колебаний и соотношение (24.9), получаем условия максимума и минимума интенсивности света при интерференции:
X X
5 =----2kn = kk = 2k----, (24.10)
2л 2
1 Схематичность рис. 24.3 не позволяет показать разные среды распространения для различных волн.
- Полезно заметить, что так как Дф не зависит от времени, то слагаемые волны являются когерентными.
3 Отрезки с одинаковой оптической длиной пути, т.е. отрезки, которые пройдены светом за одинаковое время, называют таутохронными.
л К
5=------(2Ar + 1) л = Qk + 1)-----, (k = 0,l,2...) (24.11)
2л 2
Следовательно, максимум при интерференции наблюдается в тех точках, для которых оп гическая разность хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн), минимум — в тех точках, для которых оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.
§ 24.2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА В ТОНКИХ ПЛАСТИНКАХ (ПЛЕНКАХ). ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ
Образование когерентных волн и интерференции происходит также при попадании света на тонкую прозрачную пластинку или пленку. Пучок света падает на плоскопараллельную пластинку (рис. 24.4). Луч 1 из этого пучка попадает в точку А, частично отражается (луч 2), частично преломляется (луч AM). Преломленный луч испытывает отражение на
нижней границе пластинки в точке М. Отраженный .туч, преломившись в точке В, выходит в первую среду (луч Д. Лучи 2 и 3 образованы от одного луча, поэтому они когерентны и будут интерферировать. Найдем оптическую разность хода лучей 2 и 3. Для этого из точки В проведем нормаль ВС к лучам. От прямой ВС до встречи лучей их оптическая разность хода не изменит
Рис. 24.4
ся, линза или глаз не внесут дополнительной разности фаз.
До расхождения в точке А эти лучи в совокупнос ти с другими, не показанными на рис. 24.4, формировали луч 7 и поэтому, естественно, имели одинаковую фазу. Луч 3 прошел расстояние |ЛЛ/| 4- \МВ\ в пластинке с показателем преломления п, луч 2 — расстояние |.4С] в воздухе,
поэтому их оптическая разность хода:
6 =(ИЛ/| + |А/Д)л-И^ = 2И^1«-И<Й, (24.12)
так как|ЛЛ/| = \МВ\. Согласно закону преломления,
и = sin/ / sinriuni sin / = п sin г, (24.13)
где г — угол падения; г — угол преломления.
Из Д/ШО находим: \АМ\ = |ОЛ/| / cosr = // cosr, |ЛО| = |ОЛ/| tgr = Ztgr (/ — толщина пластинки). Из ДЛСЙ находим [ЛС| = |/i/?|sim = 2 |ЛО| sim. Учитывая эти равенства, а также (24.13), получаем |ЛС| = 2/ tgr- п- sinr = ~ 2/л • sin2r/ cost.
Тогда
6 = 2/rt/cosr— 2/z?/sin2r/cos/‘ = 2/,/cosr.
Таким образом, оптическая разность ход? лучей
б =2 In cos г.
(24.14)
В формуле (24.14) не учтено одно важное обстоятельство. Опыт показывает, что при отражении света от среды оптически более плотной, т.е. с большим показателем преломления, фаза волны изменяется на тс, что соответствует |см. (24.9) j изменению оптической разности хода на Х/2, т.е. при отражении света от среды оптически более плотной происходит потеря полволнык
Если бы оба луча 2 и 3теряли лолволны, это не изменило бы выражения (24.14). Однако луч 2 отражается от среды оптически более плотной (точка А) и теряет полволны, а луч 3 отражается от среды оптически менее плотной (точка М), его фаза при этом не изменяется. С учетом потери полволны оптическая разность хода:
S = 2/я cost— Х/2, или 5= lln cost + л/2.
(24.15)
Так как cosr= у 1 — sin2/* = 1 — sin2//л2 ~ у п2 — sinh'/n , то 6 можно выразить и через угол падения:
6 = 2/п \я2 - sin2/ /п - Z/2 = 2/\н2 - sin2? - А./2.
Для максимума интерференции [см. (24.10). (24.16)] имеем;
21 у п2- sin2/ = (2k + 1) (Х/2).
(24.16)
(24.17)
Для минимума интерференции [см. (24.11), (24.16)] имеем:
1 Для циклических процессов не имеет значения, уменьшается или увеличивается фаза на л, поэтому равноценно было бы говорить не о потере, а о приобретении полволны, однако такая терминология не употребляется.
2/уд2-sin2? = kV.
(24.18)
Формулы (24.17) и (24.18) соответствуют интерференции в отраженном свете. Интерференция в прохолящем через пластинку свете показана на рис. 24.5; изображены только те лучи, которые необхо
димы для понимания явления.
Читатель может самостоятельно вывести соответствующие формулы и убедиться, что для этого случая (24.17) соответствует минимуму интерференции, а (24.18) — максимуму. В свете закона сохранения энергии это понятно, так как интерференция есть перераспределение световой энергии: падающий поток перераспределяется пластинкой на отраженный и проходящий (поглощением здесь пренебрегаем), причем если отраженный максимален, то проходящий минимален, и наоборот.
Интерференция при отражении наблюдается более отчетливо, чем в проходящем свете, что обусловлено существенным различием интенсивностей отраженного и проходящего лучей. Если принять, что на границе раздела прозрачных сред отражается около 5% падающей энергии, то
Л = 0,05
(24.19)
где /| и / — интенсивности лучей 7 и 2 соответственно (см. рис. 24.4). Интенсивность луча 5 с учетом двукратного преломления и однократного отражения равна:
73 = 0,95 0,05-0,95
(24.20)
Из (24.19) и (24.20) имеем:
(24.21)
что означает приближенное равенство амплитуд интерферирующих лучей при отражении: условие минимума соответствует почти полной темноте. Делая аналогичный расчет для проходящего света (рис. 24.5), получаем:
/2= 0,95-0,95 /3 = 0,95-0,05-0,05-0,95/2;
1 Для того чтобы при максимумах и минимумах сохранить для к те же значения (0, 1.2 и т.д.), формулу для 5 записываем с + ^/2.
/2: Л ~ 400,
или для амплитуд
42:^ 20. (24.22)
Из (24.22) видно, что в проходящем свете интерферируют волны с существенно различными амплитудами, поэтому максимумы и минимумы мало отличаются друг от друга и интерференция слабо заметна.
Проанализируем зависимости (24.17) и (24.18). Если на тонкую плоскопараллельную пластинку' под некоторым углом падает параллельный пучок монохроматического излучения, то, согласно этим формулам, пластинка в отраженном свете выглядит яркой или темной.
При освещении пластинки белым снегом условия максимума и минимума выполняются дня отдельных длин волн, пластинка станет окрашенной, причем цвета в отраженном и проходящем свете будут дополнять друг друга до белого.
В реальных условиях падающий пучок не является строго параллельным и не имеет одного определенного угла падения i. Такой небольшой разброс i при значительной толщине пластины / может приводить к существенному различию левых частей в формулах (24.17) и (24.18) и условия максимума и минимума не будут выдержаны для всех лучей пучка света. Это одно из соображений, поясняющих, почему интерференция может наблюдаться лишь в тонких пластинах и пленках.
При падении монохроматического света на пластинку переменной толщины каждому значению / соответствует свое условие интерференции, поэтому' пластинка пересечена светлыми и темными линиями (полосами) — линиями равной толщины. Так, в клине это система параллельных линий (рис. 24.6), в воздушном промежутке между линзой и пластинкой — кольца (кольца Ньютона).
При освещении пластинки переменной толщины белым светом получаются разноцветные пятна и линии: окрашенные мыльные пленки, пленки нефти и масла на поверхности воды, переливчатые цвета крыльев не-lllllllll которых насекомых и птиц. В этих случаях не обязательна полная прозрач-/-------------- НОСТЬ 1U1CHOK.
Особый практический интерес имеет s' интерференция в тонких пленках в свя-
зи с созланием устройств, уменьшающих долю световой энергии, отраженной Рис. 24.6 оптическими системами, и увеличила-
ющи.х, следовательно, энергию, поступающую к регистрирующим системам — фотопластинке, глазу и i и. С этой целью поверхности оптических систем покрывают тонким слоем оксидов металлов так, чтобы для некоторой средней для данной области спектра длины волны был минимум интерференции в отраженном свете. В результате возрастет доля прошедшего света. Покрытие оптических поверхностей специальными пленками называют просветлением оптики, а сами оптические изделия с такими покрытиями — просветленной оптикой.
Если на стеклянную поверхность нанести ряд специально подобранных слоев, то можно создать отражательный свстофшльтр, который вследствие интерференции будет пропускать или отражать определенный интервал длин волн.
§ 24.3 ИНТЕРФЕРОМЕТРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.
ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОМ
МИКРОСКОПЕ
Интерференцию света используют в специальных приборах — интерферометрах — для измерения с высокой степенью точности длин волн, небольших расстояний, показателей преломления веществ и определения качества оптических поверхностей.
На рис. 24.7 изображена принципиальная схема интерферометра Майкельсона, который относится к группе двухлучевых, так как световая волна в нем раздваивается1 и обе се части, пройдя разный путь, интерферирую!.
Луч I монохроматического света от источника Sпадает под углом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку Л, задняя поверхность которой полупрозрачна, так как покрыта очень тонким слоем серебра. В точке О этот луч расщепляется на два луча 2 и 3, интенсивность которых приблизительно одинакова. Луч 2доходит дс зеркала I, отражается, преломляется в пластине Л и частично выходит из пластины — луч 2'. Луч 3 из точки О идс г к зеркалу II, отражается, возвращается к пластине Л, где частично отражается, — луч 2'. Лучи 2’ и 3', попадающие в глаз наблюдателя, когерентны, их интерференция может быть зарегистрирована.
Обычно зеркала I и II располагают так, что лучи 2 и 3 от расхождения до встречи проходят пути одинаковой длины. Чтобы и оптическую
1 Строго говоря, вследствие многократных отражений может образоваться более чем два луча, однако их интенсивности незначительны.
длину путей сделать одинаковой, на пути луча 3 устанавливают прозрачную пластину В, аналогичную А, для компенсации двух путей, пройденных лучом 2 через пластину А В этом случае наблюдается максимум интерференции.
Если одно из зеркал сдвинуть на расстояние Х/4, то разность хода лучей станет Л./2, что соответствует минимуму, произойдет смешение ин-
терференционной картины на 0,5 полосы1. Если зеркало от первоначального положения переместить на расстояние Х/2, то оптическая разность хода интерферирующих лучей изменится на л, что соответству
ет максимуму, произойдет смешение интерференционной картины на целую полосу. Такая связь между перемещением зеркала и изменением интерференционной картины позволяет измерять длину волны по перемещению зеркала и, наоборот, перемещение по длине волны.
Интерферометр Майкельсона применяют для измерения показателя преломления. На пути лучей 2 и 3 устанавливают одинаковые кюветы К (показаны пунктиром на рис. 24.7), одна из которых наполнена веществом с показателем преломления ль а другая — с п2. Оптическая разность хода лучей
<5 = 2/л, -%л2 = 2/(/?1-л2),
(24.23)
где / — длина однократного пути .туна в среде, заполняющей кюветы; так как лучи проходят кювету дважды, то расстояние равно 2/. Предположим, что вследствие этой разности хода интерференционная картина смещается на к полос, тогда
S= к!. (24.24)
Приравнивая (24.23) и (24,24), получаем
Ал = — я2 = кк / (21) (24.25)
Если считать, что смещение на 0,1 полосы (к =0,1) может быть зафиксировано, то, например, при / = 2,5 см, л = 500 нм имеем
1 Вследствие разных углов паления лучей из А* на пластину А или нестрогой перпендикулярности зеркал I и П интерференционная картина практически всегда представлена полосами (полосы равного наклона или равной толщины соответственно). Этот вопрос подробно не рассматривается.
Ля = О, I
500- КГ9
2 • 0,025
5 1(Н
5-Ю-2
= ю-6.
Как видно, интерференционный рефрактометр (интерферометр, приспособленный для измерения показателя преломления) способен Фиксировать изменения показателя преломления в шестом знаке после запятой.
Интерференционный рефрактометр применяют, в частности, с санитарно-гигиенически мм целями для определения содержания вредных газов.
С помощью интерферометра Майкельсон доказал независимость скорости света от движения Земли, что явилось одним из опытных фактов, послуживших созданию специальной теории относительности
Сочетание двухлучевогс интерферометра и микроскопа, получившее название интерференционного микроскопа, используют в биологии для измерения показателя преломления, концентрации сухого вещества и толщины прозрачных микрообъектов.
Принципиальная схема интерференционного микроскопа показана на рис. 24.8. Луч света, как и в интерферометре, в точке А раздваивается, один луч проходит через прозрачный микрообъект М а другой — вне его. В точке Длучи соединяются и интерферируют, по результату интерференции судят об измеряемом параметре.
Рис. 24.8
§24.4. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ
Расчет и объяснение дифракции света можно приближенно сделать, используя принцип Гюйгенса—Френеля.
Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхнос ью в последующий момент времени (рис. 24.9; 5] и 55 — волновые поверхности соответственно в моменты и > ?[)
Френель дополнил это положение Гюйгенса, введя представление о когерентности вторичных волн и их интерференции.
В таком обобщенном виде эти идеи получили название принципа Гюйгенса— Френеля.
Для того чтобы определить результат дифракции в некоторой точке пространства, следует рассчитать, согласно принципу Гюйгенса—
Рис. 24.9
Френеля, интерференцию вторичных волн, попавших в эту точку от волновой поверхности Для волновой поверхности произвольной формы такой расчет достаточно сложен, но в отдельных случаях (сферическая или плоская волновая поверхность, симметричное расположение точки относительно волновой поверхности и непрозрачной преграды) вычисления сравнительно просты. Волновую поверхность при этом разбивают на отдельные участки (зоны Френеля), расположенные определенным образом, что упрощает математические операции.
§ 24.5. ДИФРАКЦИЯ НА ЩЕЛИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ
На узкую длинную щель, расположенную в плоской непрозрачной преграде MN, нормально падает плоскопараллельный пучок монохроматического света (рис. 24.10; — а — ширина щели; L — собирающая
линза, в фокальной плоскости которой расположен экран Здля наблюдения дифракционной картины).
Если бы не было дифракции, то световые лучи, пройдя через щель, сфокусировались бы в точке О, лежащей на главной оптической оси линзы. Дифракция света на щели существенно изменяет явление.
Будем считать, чго все лучи пучка света исходят от одного удаленного источника1 и, следовательно, когерентны. Доесть часть волновой поверхности, каждая точка которой является центром вторичных волн, распространяющихся за щелью по всевозможным направлениям. Изобразить все эти вторичные волны невозможно, поэтому на рис. 24.10 показаны только вторичные волны, распространяющиеся под углом а к направлению падающего пучка и нормали решетки. Линза соберет эти волны в точке О’ экрана, где и будет наблюдаться их интерференция. (Положение точки (У получают как пересечение с фокальной плоскостью побочной оси СО’линзы, проведенной под углом а.)
Чтобы узнать результат интерференции вторичных волн, проделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр AD к направлению
1 Практически точечный источник можно расположить в фокусе линзы, не показанной на рис. 24.10, Так что от линзы будет распространяться параллельный пучок когерентных волн.
Рис. 24.10
пучка вторичных волн. Пути всех вторичных волн отЛРдо О' будут тау-тохронными, линза не внесет добавочной разности фаз между ними, поэтому та разность хода, которая образовалась у вторичных волн к AD, будет сохранена и в точке О .
Разобьем BD на отрезки, равные А/2. В случае, показанном на рис. 24.10, получено три таких отрезка: |/?Я2| = 1^2^11 =l^i^l = А/2. Проведя из точек В2 и прямые, параллельные AD, разделим АВ на равные зоны Френеля: |/М[| = |лА J = |Л27?|. Любой вторичной волне, идущей от какой-либо точки одной зоны Френеля, можно найти в соседних зонах соответствующие вторичные волны такие, что разность хода между ними будет А/2.
Например, вторичная волна, идущая от точки /12 в выбранном направлении, проходит до точки О' расстояние на А/2 больше, чем волна, идущая отточки А ।, и т.д. Следовательно, вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, погасят друг друга, так как различаются по фазе на л.
Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны А и угла а. Если щель АВ разбить при построении на нечетное число зон Френеля, a BD — на нечетное число отрезков, равных А/2, то в точке О' наблюдается максимум интенсивности света
\BD\ = a sina = ± {2k + 1) (А/2) (k = 1, 2...). (24.26)
Направление, соответствующее углу a = 0, также отвечает максимуму, так как все вторичные волны придут в Ов одинаковой фазе.
Если щель АВ разбито на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум интенсивности света:
О О sincj
Рис. 24.11
Таким образом, на экране 9 получится система светлых (максимум) и темных (минимути) полос центрам которых соответствуют условия (24.26) или (24.27), симметрично расположенных влево и вправо от центральной (а = 0), наиболее яркой, полосы. Интенсивность /остальных максимумов убывает по мере удаления от центрального максимума (рис. 24.11).
Если щель освещать белым светом, то на экране Э [см. (24.26), (24.27)] образуется система цветных полос, лишь центральный максимум будет сохранять цвет падающего света, так как при а = 0 усиливаются все длины волн света.
Дифракция света, как и интерференция, связана с перераспределением энергии электромагнитных волн в пространстве. В этом смысле щель в непрозрачном экране является не просто системой, ограничивающей приложение светового потока, но перераспредели! ел ем этого потока в пространстве.
Чтобы понять влияние соотношения между шириной щели и длиной волны на возможность наблюдения дифракционной картины, рассмотрим некоторые частные случаи:
1) Л << а. Представив формулу для максимумов в виде
sina = ±('2к + 1)Х /(2а),
имеем sina ~ 0 практически для всех максимумов, и дифракция при этом не наблюдается. Этот случай соответствует достаточно широкой по сравнению с длиной волны щели. Так, например, не удается осуществить дифракцию в комнате при прохождении света через окно;
2) a < X. На основании (24.27) для первых минимумов, которые ограничивают центральную светлую полосу, можно записать:
sina = ±?t/a.
Отсюда имеем |sina| > 1 Это означает, что при a < "к вместо системы максимумов и минимумов весь экран слабо освещен. Такая картина практически возникает уже при условии a —* к.
§ 24.6. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА. ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР
Дифракционная решетка — оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных, обычно равноотстоящих друг от друга щелей.
Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных царапин (штрихов) на стеклянную пластину. Непроцарапанные места — щели — будут пропускать свет; штрихи, соответствующие промежутку между щелями, рассеивают и не пропускают света. Сечение такой дифракционной решетки (а) и ее условное обозначение (б) показаны на рис. 24.12.
Расстояние между центрами соседних мелей называют постоянной или периодом дифракционной решетки
с-а + Ь,
(24.28)
где а — ширина щели; b — ширина промежутка между щелями.
Если на решетку падает пучок когерентных волн, то вторичные волны, идущие по всем возможным направлениям, будут интерферировать, формируя дифракционную картину.
Пусть на решетку нормально падает плоскопараллельный пучок когерентных волн (рис. 24.13). Выберем некоторое направление вторичных волн под углом о относительно нормали к решетке. Лучи, идущие от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода 5 = Такая же разность хода будет для вторичных волн, идущих от соответственно расположенных пар точек соседних щелей. Если эта разность хода кратна целому числу длин волн, то при интерференции возникнут главные максимумы, для которых выполняется условие
Рис. 24.12
Рис. 24.13
а о
|/f= кк, или с sina — ± кк, (24.29)
где А — 0, 1,2 — порядок главных максимумов, Они расположены симметрично относительно центрального (к = 0, a = 0). Равенство (24.29) является основной формулой дифракционной решетки.
Между главными максимумами образуются минимумы (добавочные), число которых зависит от числа всех щелей решетки. Выведем условие для добавочных минимумов. Пусть разность хода вторичных волн, идущих под углом а от соответственных точек соседних щелей, равна k/N, т.е.:
5 = с • sina = X / TV, (24.30)
где jV — число щелей дифракционной решетки. Этой разности хода 8 [см. (24.9)] отвечает разность фаз Аср = 2л /N.
Если считать, что вторичная волна от первой щели имеет в момент сложения с другими волнами нулевую фазу, то фаза волны от второй щели равна 2n/W, от третьей — 4n/N, от четвертой — бл/vV и т.д. Результат сложения этих волн с учетом фазового различия удобно получить с помощью векторной диаграммы: сумма Л' одинаковых векторов напряженности электрического (или матитного) поля, угол между любыми соседними из которых есть 2w/N, равна нулю. Это означает, что условие (24.30) соответствует минимуму. При разности хода вторичных волн от соседних щелей 8 = 2(X/7V) или разности фаз Д<р = 2(2л/А) будет также получен минимум интерференции вторичных волн, идущих от всех щелей, и т.д.
В качестве иллюстрации на рис. 24.14 изображена векторная диаграмма, соответствующая дифракционной решетке, состоящей из шести щелей: Е), £2 и т.д. — векторы напряженности электрической составляющей электромагнитных волн от первой, второй и т.д. щелей.
Возникающие при интерференции пять добавочных минимумов (сумма векторов равна нулю) наблюдаются при разности фаз волн, приходящих от соседних щелей, в 60° (а), 120° (б), 180° (в). 240° (г) и 300° (д).
Так, можно убедиться, что между центральным и каждым первым главным максимумами имеется N — 1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию:
с sin a = ± Х/JV; ± 2X//V, ± (N - 1) X / У.
(24.31)
Рис. 24.14
Между первым и вторым главными максимумами также расположены N-1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию:
esina = + (/V + 1) к/ Лг; ± (Л' + 2) X/ N... (2N- 1)X//V, (24.32)
и т.д. Итак, между любыми двумя соседними главными максимумами наблюдается N—1 добавочных минимумов.
При большом количестве щелей отдельные добавочные минимумы практически не различаются, а все пространство между главными максимумами выглядит темным. Чем больше число шелеи дифракционной решетки, тем более резки главные максимумы. На рис. 24.15 представлены фотографии дифракционной картины, полученной от решеток с разным числом (V щелей (постоянная дифракционной решетки одинакова), а на рис. 24.16 — график распределения интенсивности.
Особо отметим роль минимумов от одной щели. В направлении, отвечающем условию (24.27), каждая щель дает минимум, поэтому минимум от одной щели сохранится и для всей решетки. Если для некоторого направления одновременно выполняются условия (24.27) и (24.29), то соответствующие главные максимумы не возникнут. Обычно стараются использовать главные максимумы, которые размещаются между первыми минимумами от одной шели, т.е. в интервале:
Рис. 24.15
При падении на дифракционную решетку белого или иного немонохроматического света каждый главный максимум, кроме центрального, окажется разложенным в спектр [см. (24.29)]. В этом случае к указывает порядок спектра.
Таким образом, решетка, как и шель, является спектральным прибором, поэтому для нее существенны характеристики, которые позволяют оценивать возможность различения (разрешения) спектральных линий.
Одна из таких характеристик — угловая дисперсия — определяет угловую ширину спектра. Она численно равна угловому расстоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу (dft. = 1):
D = da/d?<.
Дифференцируя (24.29) и используя только положительные значения величин, получаем:
с • cosa da = к • dZ.
Из последних двух равенств имеем:
D - к / (с cosa). (24.34)
Так как обычно используют небольшие углы, то cosa » 1. Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок к спектра и чем меньше постоянная с дифракционной решетки.
Возможность различать близкие спектральные линии зависит не только от ширины спектра или угловой дисперсии, но и от ширины линий, которые могут накладываться друг на друга.
Принято считать, что если между двумя максимумами одинаковой интенсивности находится область, где интенсивность составляет 80% от максимальной, то спектральные линии, которым соответствуют максимумы, уже разрешаются. При этом, согласно Дж.У. Рэлею, максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой, что и считается критерием разрешения. На рис. 24.17 изображены зависимости / отдельных линий о г длины волны (сплошная кривая) и их суммарная интенсивность (пунктирная кривая). Из рисунков легко увидеть нераз-решенность двух линий (а) и предельную разрешенность (б), когда максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой.
Разрешение спектральных линий количественно оценивается разрешающей способностью, равной отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены:
Рис. 24.17
Так, если имеются две близкие волны * А2, ДА = А( - А2, то (24.Ж) можно приближенно записать в виде:
R = А1 / (/4 - А2), или R = k2/a}- А2). (24.36)
Условие главного максимума для первой волны с sina = к • Аи
С ним совпадает ближайший минимум для второй волны, условие которого:
с sina = к А2 + А2 /N
Приравнивая правые части последних двух равенств, имеем:
к • А , = к • А2 4~ А2 / N. к (А| — А2) = А2 /У,
откуда [см. (24.36)]:
R = kN. (24.37)
Итак, разрешающая способность дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок к спектра и число N штрихов.
Пример
В спектре, полученном от дифракционной решетки с числом щелей N= 10 000, имеется две линии вблизи длины волны А = 600 нм. При какой наименьшей разности длин волн эти линии различаются в спектре третьего порядка (Л = 3)?
Для ответа на этот вопрос приравняем (24.35) и (24.37): Ла - X / (kN), откуда ДА = X / (kN). Подставляя числовые значения в эту формулу, находим ЛХ = 600 нм/(3 • 10 000) = 0,02 нм
Так, например, различимы в спектре линии с длинами волн 600,00 и 600,02 нм и не различимы линии с длинами волн 600,00 и 600,01 нм.
Выведем формулу дифракционной решетки для наклонного падения когерентных лучей (рис. 24.18, Р — угол падения). Условия формирования дифракционной картины (линза, экран в фокальной плоскости) те же, что и при перпендикулярном падении.
Проведем перпендикуляры А'В к падающим лучам и АВ' ко вторичным волнам, идущим под углом а к перпендикуляру, восставленному к плоскости решетки.
Из рис. 24.18 видно, что к положению Л’Ялучи имеют одинаковую фазу, от А/?’и далее разность фаз лучей сохраняется. Следовательно, разность хода:
(24.38)
Из AAA# имеем |ЛА’| = |Аб| • sinp = с sin[3. Из NBB'A находим |ДВ’| = = \А#| sina = с sina. Подставляя выражения для |АА’| и \ВВ'\ в (24.38) и учитывая условие для главных максимумов, имеем;
с (sinP — sina) - + kN
(24.39)
Центральный главный максимум соответствует направлению падающих лучей (a = Р).
Наряду с прозрачными дифракционными решетками используют
отражательные, у которых штрихи нанесены на металлическую поверх-
ность. Наблюдение при этом ведется в отраженном свете. Отражатель-
ные дифракционные решетки, изготовленные на вогнутой поверхности, способны образовывать дифракционную картину без линзы.
В современных дифракционных решетках максимальное число штрихов составляет более 2000 на 1 мм, а максимальный размер заштрихованной поверхности 300 х 300 мм, что дает значение для Nоколо
Рис. 24.18
миллиона.
§ 24.7. ОСНОВЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА
Основная формула (24.29) дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны. Такая скромная применительно к обычной дифракционной решетке задача подводит к практически важному вопросу — измерению параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгеновских лучей, что является содержанием рентгеноструктурного анализа.
Пусть совмещены две дифракционные решетки, штрихи которых перпендикулярны. Дня решеток выполняются условия главных максимумов:
<?! • sina, = ± • а, с2 - sina2 = ± • X. (24.40)
Углы eq и а2 отсчитываются во взаимно перпендикулярных направлениях. В этом случае на экране появится система пятен, каждому из которых соответствует пара значений к.\ и к2 или cq и а2. Таким образом, и здесь можно найти с, и с2 по положению дифракционных пятен.
Усложняя задачу, логично считать, что дифракционная картина позволит измерить параметры и для трехмерной периодической структуры.
Естественной объемной периодической структурой являются кристаллы, крупные молекулы и т.п. Вторичные волны в кристалле возникают в результате взаимодействия первичных лучей с электронами атомов.
Для отчетливого наблюдения дифракционной картины должно выполняться определенное соотношение между длиной волны и параметром периодической структуры (см. § 24.5). Оптимальным условиям соответствует примерно одинаковый порядок этих величин. Учитывая, что расстояние между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле 10~10 м) приблизительно равно длине волны рентгеновского излуче-
ния, можно считать, что кристалл для этих лучей является трехмерной дифракционной решеткой.
На рис. 24.19 пунктиром показаны две соседние кристаллографические плоскости. Взаимодействие рентгеновского излучения с а юмами и возникновение вторич-
пых волн можно рассматривать упрошенным методом как отражение от плоскостей.
Пусть на кристалл под углом скольжения 0 падают рентгеновские лучи 1 и 2; Ги 7 - отраженные (вторичные) лучи, СЕ и CF — перпендикуляры к падающим и отраженным лучам соответственно. Разность хода отраженных лучей /’ и 2’:
5 = |Р£| + \DF\ - 2/sin0,
(24.41)
где I — межплоскостное расстояние.
Максимумы интерференции при отражении возникают в случае, когда разность хода равна целому числу длин волн:
2/sin0 = 1, 2, 3...).
(24.42)
Это формула Вульфа—Брэггов.
При падении монохроматического рентгеновского излучения на кристалл под разными углами наибольшее отражение (максимум) будет для углов, отвечающих условию (24.42). При наблюдении под определенным углом скольжения пучка рентгеновского излучения со сплошным спектром максимум дифракций будет выполняться для длин волн, удовлетворяющих условию Вульфа—Брэггов.
П. Дебаем и П. Шеррером был предложен метод рентгеноструктурного анализа, основанный на дифракции монохроматических рентгеновских лучей в поликристалличсских телах (обычно спрессованные порошки). Среди множества кристаллитов всегда найдутся такие, для которых одинаковы /, 0 и к, причем эти величины соответствуют форму
ле Вульфа-Брэггов. Отраженный луч дающим рентгеновским лучом L (рис. 24.20, а). Так как условие (24.42) одинаково для многих кристаллов, по-разному ориентированных, то дифрагированные рентгеновские лучи образуют в пространстве конус, вершина которою лежит.в исследуемом объекте, а угол раствора равен 40 (рис. 24.20, б). Другой совокупности величин /, 0 и к, удовлетворяющих условию (24.42). будет соответствовать дру-
2 (максимум) составит угол 20 с па-
Рис. 24.22
Рис. 24.21
гой конус. На фотопленке рентгеновские лучи образуют рентгенограмму (дебаеграмму) в виде окружностей (рис. 24.21) или дут.
Дифракцию рентгеновских лучей наблюдают также при рассеянии их аморфными твердыми телами, жидкостями и газами. В этом случае на рентгенограмме получаются широкие и размытые кольца.
В настоящее время широко применяют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем на рис. 24.22 показаны рентгенограммы белков. Этим методом Дж. Уотсон и Ф. Крик установили структуру ДНК и были удостоены Нобелевской премии (1962). Использование дифракции рентгеновских лучей от кристаллов для исследования их спектрального состава относится к области рентгеновской спектроскопии.
§ 24.8. ПОНЯТИЕ О ГОЛОГРАФИИ
И ЕЕ ВОЗМОЖНОМ ПРИМЕНЕНИИ В МЕДИЦИНЕ
Голография' — метод записи и восстановления изображения, основанный на интерференции и дифракции волн.
Идея голографии была впервые высказана Д. Габором в 1948 г.. однако ее практическое использование оказалось возможно после появления лазеров.
1
Голография (грен.) — метод полной записи.
Изложение голографии уместно начать сравнением с фотографией. При фотографировании на фотопленке фиксируется интенсивность световых волн, отраженных предметом. Изображение в этом случае является совокупностью темных и светлых точек. Фазы рассеиваемых волн не регистрируются, и, таким образом, пропадает значительная часть информации о предмете.
Голография позволяет фиксировать и воспроизводить более полные сведения об объекте с у чего м амплитуд и фаз волн, рассеянных предметом. Регистрация фазы возможна вследствие интерференции волн. С этой целью на светофиксируюшую поверхность посылают две когерентные волны: опорную, идущую непосредственно от источника света или зеркал, которые используют как вспомогательные устройства, и сигнальную, которая появляется при рассеянии (отражении) части опорной волны предметом и содержит соответствующую информацию о нем.
Интерференционную картину, образованную сложением сигнальной и опорной волн и зафиксированную на светочувствительной пластинке, называют голограммой. Для восстановления изображения голограмму7 освещают той же опорной волной.
Покажем на некоторых примерах, как получается голограмма и восстанавливается изображение.
Голограмма плоской волны
В этом случае на голограмме фиксируется плоская сигнальная волна 7, попадающая под углом а( на фотопластинку Ф(рис. 24.23).
Опорная волна II падает нормально, поэтому во всех точках фотопластинки одновременно ее фаза одинакова. Фазы сигнальной волны вследствие ее наклонного падения различны в разных точках светочувствительного слоя. Из этого следует, что разность фаз между лучами опорной и сигнальной волн зависит от места встречи этих лучей на фотопластинке и, согласно условиям максимумов и минимумов интерференции, полученная голограмма будет состоять из темных и светлых полос.
Пусть АВ (рис. 24.23, б) соответствует расстоянию между центрами ближайших темных или светлых интерференционных полос. Это означает, что фазы точек А и В в сигнальной волне отличаются на 2л. Построив нормаль Л С к ее лучам (фронт волны), нетрудно видеть, что фазы точек А и С одинаковы. Различие фаз точек В и Сна 2л означает, что | ВС| = X. Из прямоугольного ЛА ВС имеем
Рис. 24.23
Рис. 24.24
Итак, в этом примере голограмма подобна дифракционной решетке, так как на светочувствительной поверхности зарегистрированы области усиленных (максимум) и ослабленных (минимум) колебаний, расстояние АВ между которыми определяется по формуле (24.43).
Так как сигнальная волна образуется при отражении части опорной от предмета, то понятно, что в данном случае предметом является плоское зеркало или призма, т.е. такие устройства, которые преобразуют плоскую опорную волну в плоскую сигнальную (технические подробно-ст и на рис. 24.23, а не показаны).
Направив на голограмму опорную волну 1 (рис. 24.24), осуществим дифракцию (см. § 24.6). Согласно (24 29), первые главные максимумы (к = 1) соответствуют направлениям
sina = ±Х,/с
Подставив АВ из (24.43) вместо с, имеем
sma — ±?>. sina} = ±sina]
(24 44)
(24.45)
откуда
a = ± аи
(24.46)
Из (24.46) видно, что направление волны Г (рис. 24.24), дифрагированной под углом U], соответствует сигнальной: так восстанавливают волну, отраженную (рассеянною) предметом. Волна /” и волны остальных главных максимумов (на рисунке не показаны) также воспроизводят информацию, зафиксированную в голограмме.
Голограмма точки
Одна часть опорной волны II попадает на точечный объект А (рис. 24.25, а) и рассеивается от нее в виде сферической сшнальной волны Д другая часть плоским зеркалом 3 направляется на фотопластинку Ф, где эти волны интерферируют. Источником излучения является лазер Л. На рис. 24.25, б схематически изображена полуденная голограмма.
Хотя в данном примере сигнальная волна является сферической, можно с некоторым приближением применить формулу (24.45) и заметить, что по мере увеличения угла а] (см. рис. 24.23, а) уменьшается расстояние АВ между соседними полосами. Нижние дуги на голограмме (рис. 24.25, б) расположены более тесно.
Если вырезать из голограммы узкую полоску, показанную пунктирными линиями на рис. 24.25, б, то она будет подобна узкой дифракционной решетке, постоянная которой уменьшается в направлении оси X. На такой решетке отклонение вторичных волн, соответствующих первому главному максимуму, возрастает по мере увеличения координаты х щели [см. (24.41)|; с становится меньше, |sina| — больше.
Рис. 24.25
Таким образом, при восстановлении изображения плоской опорной волной дифрагированные волны уже не будут плоскими. На рис. 24.26 показаны волна Г, формирующая мнимое изображение А’ точки А, и волна создающая действительное изображение А".
Так как рассеянные предметом волны попадают совместно с опорной волной во все точки голограммы, то все ее участки содержат информацию о предмете, и для восстановления изображения не обязательно использовать полностью всю голограмму. Следует, однако, заметить,
Рис. 24.26
что восстановленное изображение тем хуже, чем меньшую часть голограммы для этого применяют. Из рис. 24.26 видно, что мнимое и действительное изображения образуются и в том случае, если восстановление осуществляют, например, нижней половиной голограммы • штриховые линии), однако изображение при этом формируется меньшим количеством лучей.
Любой предмет является совокуп
ностью точек, поэтому рассуждения, приведенные для одной точки, могут быть обобщены и на голографию любого предмета. Голографические изображения объемны, и их зри
тельное восприятие ничем не отличается от восприятия соответствующих предметов1: ясное видение разных точек изображения осуществляется посредством адаптации глаза (см. § 26.4); при изменении точки зрения изменяется перспектива, одни детали изображения могут засло
нять другие.
При восстановлении изображения можно изменить длину опорной волны. Так, например, голограмму, образованную невидимыми электромагнитными волнами (ультрафиолетовыми, инфракрасными и рентгеновскими), можно восстановить видимым светом. Так как условия отражения и поглощения электромагнитных волн телами зависят, в частности, от длины волны, то эта особенность голографии позволяет использовать ее как метод внутривидения, или интроскопии1 2
Особо интересные и важные перспективы открываются в связи с ультразвуковой голографией. Получив голограмму в ультразвуковых механических волнах, можно восстановить ее видимым светом. Ультразвуковая голография в перспективе может быть использована в медицине для рассматривания внутренних органов человека с диагностической целью, определения пола внутриутробного ребенка и т.д. Учитывая большую информативность этого метода и существенно меньший вред ультразвука по сравнению с рентгеновским излучением, можно ожи
1 Некоторое отличие обусловлено одноцветностью изображения, которое неизбежно при записи и восстановлении монохроматической волной.
2 Intro (лат.) — внутри и skopeo (лат.) — смотрю. Визуальное наблюдение объектов, явлений и процессов в оптически непрозрачных телах и средах, а также в условиях плохой видимости.
дать, что в будущем ультразвуковая голографическая интроикопия заменит традиционную рентгенодиагностику.
Еще одно медико-биологическое приложение голографии связано с голографическим микроскопом. Его устройство основано на том, что изображение предмета получается увеличенным, если голограмму, записанную с плоской опорной волной, осветить расходящейся сферической волной.
В развитие голографии внес вклад советский физик, лауреат Ленинской премии Ю.Н. Денисюк, разработавший метод цветной голо! рафии.
Сейчас трудно оценить все возможности применения голографии: кино, телевидение, запоминающие устройства и т.д. Несомненно лишь, что этот метод является одним из величайших изобрезений нашего времени.
Глава 25
Поляризация света
В главе рассматриваются методы получения упорядоченной ориентации электрического и магнитного векторов в световых волнах и некоторые свойства таких волн.
§ 25.1. СВЕТ ЕСТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ. ЗАКОН МАЛЮСА
Электромагнитную волну, в которой векторы Е и, следовательно, векторы Н лежат во вполне определенных плоскостях, называют пло-скополяризованной. __
Плоскость, проходящая через электрический вектор Е в направлении распространения электромагнитной волны, является плоскостью поляризации.
Плоскополяризованную волну излучает отдельный атом. В естественном свете, идущем от Солнца, накаленной нити лампы, газоразрядной трубки, пламени и т.п., складываются неупорядоченные излучения множества хаотически ориентированных атомов, поэтому направление Е не выдерживается в одной плоскости1. Такой свет можно рассматривать как наложение плоскополяризованных волн с хаотической ориентацией плоскостей колебаний, электрические векторы ориентированы по всевозможным перпендикулярным лучу направлениям. На рис. 25.1 показаны в некоторый момент времени сечение луча О и проекции векторов Е на плоскость, перпендикулярную лучу.
Если выбрать две любые взаимно перпендикулярные плоскости, ^походящие через луч естественного света, и спроецировать векторы Е на плоскости, то в среднем эти проекции будут одинаковыми. Поэтому луч естественного света удобно изображать как прямую, на которой расположено одинаковое число тех и других проекций в виде черточек и точек (рис. 25.2, а). Таким образом, прямая с черточками (рис. 25.2, б) или точками (рие. 25.2, в) обозначает луч плоскополяризованного света.
Лун света, состоящий из естественной и поляризованной составляющих и называемый частично поляризованным, условно показан на
1 В действительности многие источники излучают частично поляризованный свет.
4—г* I.
а
в
—Hi ’ ill г
—н . I.... |. д
Рис. 25.2
Рис. 25.3
рис. 25.2, г. л, причем соотношение числа черточек и точек отражает степень поляризации, т.е. долю интенсивности поляризованной составляющее относительно полной интенсивности света.
Устройство, позволяющее получать поляризованный свет из естественного, называют поляризатором. Он пропускает только составляющую вектора Е на некоторую плоскость — главную плоскость поляризатора.
При этом через поляризатор проходит поляризованный свет1, интенсивность которого равна половине интенсивности падающего света. При вращении поляризатора относительно луча естественного света поворачивается плоскость колебаний вышедшего плоскополяризованного света, но интенсивность его не изменяется. Поляризатор можно использовать для анализа поляризованного света, тогда его называют анализатором.
Если плоскополяризованный свет с амплитудой электрического вектора Eq падает на анализатор, то он пропустит только составляющую вектора Eq , равную:
£’ = £0cos(p, (25.1)
где (р — угол между главными плоскостями поляризатора Ри анализатора А (рис. 25.3),
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний [см. (7.16)], то из (25.1) получаем:
/=70со82(р, (25.2)
где 70 — интенсивность плоскополяри юванного света, падающего на анализатор; I — интенсивность света, вышедшего из анализатора. Равенство (25.2) выражает закон Малюса.
1 Возможное поглощение света полязатором здесь и далее не учитывается.
Как видно из закона Малюса, при повороте анализатора относительно луча падающего плоскополяризованного света интенсивность вышедшего света изменяется от нуля до /0. Если при повороте анализатора относительно падающего луча как оси вращения интенсивность прошедшего света не изменяется, то свет может быть естественным1; если при этом интенсивность изменяется по закону (25.2), то падающий свет — плоскополяризованный.
Термин «поляризация света» имеет два смысла. Во-первых, под этим понимают свойство света, характеризующееся пространственно-временной упорядоченностью ориентации электрического и магнитного векторов. Во-вторых, поляризацией света называют процесс получения поляризованного света.
§ 25.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
При отражении от границы двух диэлектриков естественный свет частично поляризуется (рис. 25.4).
В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, а в пре-эс I ломленном — параллельные ей. Если угол па-
дения удовле гворяет условию:
tg/b=«, (25.3)
j \ то отраженный луч полностью нлосконоляризован
(рис. 25.5). Соотношение (25.3) выражает закон Рис. 25.4 Брюстера. Здесь угол падения /Б — угол Брюсте-
ра, или угол полной поляризации', п — относитель-ный показатель преломления двух сред.
''’Ч. /SJ s' Преломленный луч при выполнении закона
Брюстера частично поляризован, при этом сте-lggQ пень его поляризации наибольшая.
j X/ Используя (25.3) и закон преломления, не-
X трудно показать, что при полной поляризации
1 X отраженного света угол между преломленным Рис. 25.5 и отраженным лучами равен 90й.
1 При этом возможная круговая поляризация, которая здесь не рассмотрена.
Таким образом, граница двух диэлектриков или диэлектрика и вакуума является поляризатором.
В качестве поляризатора используют также стопу стеклянных пластин. Независимо от угла падения и выполнения закона Брюстера степень поляризации преломленного луча возрастает по мерс прохождения пластин, как это схематически показано на рис, 25.6.
§ 25.3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ДВОЙНОМ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИИ
Некоторые прозрачные кристаллы обладают свойством двойного лу-
чепреломления: при попадании света на кристалл луч раздваивается. Для одного из лучей выполняются законы преломления и поэтому этот луч называют обыкновенным, для другого — не выполняются и луч называют необыкновенным
Двойное лучепреломление при нормальном падении света на поверхность кристалла показано на рис. 25.7: обыкновенный (о) луч. как это следует из закона преломления, проходит не преломляясь, необыкновенный (е) — преломляется.
Направления, вдоль которых двойного лучепреломления нет и оба луча — обыкновенный и необыкновенный — распространяются с одной скоростью, называют оптическими осями кристалла (пунктир на рис. 25.7). Если такое направление одно, то кристаллы называют одноосными (они и рассматриваются в этом параграфе). К ним относят исландский шпат
(разновидность углекислого кальция СаСО3 — кристаллы гексагональной системы), кварц, турмалин (сложный алюмосиликат, кристаллы
тригональной системы) и др. Плоскость, проходящая через оптическую
ось и падающий луч, является главной. Колебания обыкновенного луча перпендикулярны главной плоскости, а необыкновенного лежат в главной плоскости, т.е. эти лучи поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Двойное лучепреломление обусловлено особенностями распространения электро-
Рис, 25.7
магнитных волн в анизотропных средах: амплитуды вынужденных колебаний электронов зависят от направлений этих колебаний.
Ход обыкновенных и необыкновенных лучей в кристаллах можно наглядно представить с помощью волновых поверхностей. Предположим, что внутри кристалла произошла световая вспышка и во вес стороны распространяются две волны: обыкновенная и необыкновенная. В некоторый момент времени их волновые поверхности займут положение, изображенное на рис. 25.8 (а — для положительных кристаллов; б — для отрицательных). Сферы соответствуют обыкновенным волнам, имеющим по всем направлениям одинаковую скорость о0; эллипсоиды — необыкновенным волнам, скорость ое которых зависит от направления. Вдоль оптических осей оо1 скорость обыкновенной и необыкновенной волн одинакова и равна:
1>0 = С/?7О,
(25.4)
где д0 — показатель преломления обыкновенного луча, имеющий разное значение для различных кристаллов.
Для положительных кристаллов < и0, для отрицательных > и0. Наибольшее различие скоростей обыкновенная и необыкновенная волны имеют в направлениях, перпендикулярных оптической оси; для этих направлений вводят показатель преломления необыкновенного луча. У исландского шпата (отрицательный кристалл) = 1,6584, пе — 1,4864; у кварца (положительный кристалл) = 1,5442, = 1,5533 (данные приведены для желтой линии натрия Л = 589,3 нм).
Двоякопреломляющие кристаллы непосредственно не используются как поляризаторы, так как пучки обыкновенных и необыкновенных лучей слишком мало разведены или даже перекрываются. Однако из этих кристаллов изготовляют специальные поляризационные призмы.
Рассмотрим наиболее распространенную призму, предложенную У. Николем (призма Николя, или просто николь).
Николь представляет собой призму из исландского шпата, разрезанную по диагонали и склеенную канадским бальзамом1 К (рис. 25.9). Для него п = 1,550; это значение лежит между показателями преломления обыкновенного и необыкновенного лучей исландского шпата. Это позволяет, подобрав соответствующим образом углы призмы, обеспечить полное отражение обыкновенного (о) луча на границе с канадским бальзамом. Отраженный луч в этом случае поглощается зачерненной
1 Это смолообразное вещество — живица, получаемая из канадской пихты.
Рис. 25.8
Рис. 25.9
нижней гранью или выводится из кристалла. Необыкновенный (е) луч выходит из николя параллельно нижней грани.
На ином принципе основаны поляризаторы, изготовляемые из турмалина, герапатита (сернокислый иод-хинин) и некоторых других кристаллов. которые наряду с двойным лучепреломлением могут поглощать один из лучей значительно сильнее, чем другой (дихроизм). Так, в пластинке турмалина толщиной около I мм обыкновенный луч практически полностью поглощается и вышедший свет плоскополя-ризован.
Из мелких кристалликов герапатита выкладывают значительные площади на целлулоидной пленке. Для их ориентации используют электрическое поле. Такие устройства (поляроиды) могут работать как поляризаторы (анализаторы).
Основным недостатком турмалина и поляроидов по сравнению с никелем являются их плохие спектральные характеристики. Белый свет после прохождения этих поляризационных устройств становится окрашенным, в то время как николь прозрачен в видимой части спектра.
Достоинство поляроидов — большая поверхность, что позволяет использовать широкие световые пучки.
§ 25.4. ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ. ПОЛЯРИМЕТРИЯ
Вращение плоскости поляризации, обнаруженное впервые на кристаллах кварца, заключается в повороте плоскости поляризации пло-скополяризованного света при прохождении через вещество. Вещества, обладающие таким свойством, называют оптически активными.
Пусть монохроматический свет падает от источника 5на систему поляризатор P-анализатор А (рис. 25.10), которые поставлены скрешенно,
Рис. 25.10
т.е. их главные плоскости взаимно перпендикулярны. В этом случае свет до наблюдателя не дойдет, так как анализатор не пропускает в соответствии с законом Мал юса (ф = 90’) плоско! юляризован ный свет.
Если между поляризатором и анализатором поместить кварцевую пластинку так, чтобы свет проходил вдоль ее оптической оси, то в общем случае свет дойдет до наблюдателя. Если же анализатор повернуть на некоторый угол, то можно вновь добиться затемнения. Это свидетельствует о том, что кварцевая пластинка вызвала поворот плоскости поляризации на угол, соответствующий повороту анализатора для получения затемнения.
Используя в опыте свет различной длины волн, можно обнаружить дисперсию вращения плоскости поляризации (вращательную дисперсию), т.е. зависимость утла поворота от длины волны. Кварцевая пластинка толщиной 1 мм поворачивает плоскость поляризации приблизительно на следующие углы (табл. 25.1)
Таблица 25.1
а,град
Для света:
красного 15
желтого 21
фиолетового 51
Для определенной длины волны угол а поворота плоскости поляризации пропорционален расстоянию /, пройденному светом в оптически активном веществе:
а = а0 /,
(25.5)
где а0 — коэффициент пропорциональности, или постоянная вращения (вращательная способность), град/мм.
Существует две модификации кварца, каждая из которых поворачивает плоскость поляризации в определенном направлении: по часовой стрелке — правовращающий (положительный) кварц, против часовой
стрелки1 — левовращающий (отрицательный). Постоянная вращения в обоих случаях одинакова.
Оптически активными являются также многие некристаллические тела: чистые жидкости (например, скипидар), растворы оптически активных веществ в неактивных растворителях (раствор сахара в воде), некоторые газы и пары (пары камфоры).
Для растворов был установлен следующий количественный закон:
сс=[а0]С7, (25.6)
где С — концентрация оптически активного вещества; / — толщина слоя раствора; [а0] — удельное вращение, которое приблизительно обратно пропорционально квадрату длины волны и зависит от температуры и свойств растворителя.
Соотношение (25.6) лежит в основе весьма чувствительного метода измерения концентрации растворенных веществ, в частности сахара.
Этот метод (поляриметрия, или сахариметрия) широко используют в медицине для определения концентрации сахара в моче, в биофизических исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответствующие измерительные приборы называют поляриметрами или сахариметрами.
Поляриметр позволяет измерять не только концентрацию, но и удельное вращение. Используя различные светофильтры, можно найти зависимость удельного вращения от длины волны (дисперсию оптической активности), в настоящее время для этих целей применяют специальные приборы — спектрополяриметры.
Вращение плоскости поляризации растворами обусловлено взаимодействием электромагнитной волны с асимметричными молекулами растворенного оптически активного вещества. Такие молекулы не обладают зеркальной симметрией, т.е. при их отражении в зеркале получается иная форма. Левая молекула является зеркальным отображением правой. Молекулы с одинаковой химической формулой, но разной структурой поворачивают плоскость поляризации в разных направлениях.
Характерно, что все важнейшие биологические молекулы (белки, нуклеиновые кислоты, полисахариды и т.п.) асимметричны и могут быть представлены попарно антиподами, каждый из которых есть зер-
1 Направление вращения устанавливается относительно наблюдателя, смотрящего навстречу световому лучу.
(но)
15 10^
5-
—5 -
-10- \
—15 _ V
0 ”20 4060 80^00
СНС13 СНС12СООН
Рис. 25.11
калъное отображение другого. Однако при этом в веществах биологического, а не синтетического происхождения обычно представлен только один оптический антипод. Так, например, сахар, изготовленный обычным путем, является правовращающим, но при синтезе химическими методами получают смесь, содержащую равное количество правых и левых молекул. Такая смесь, на зываемая рацемической, не вращает плоскость поляризации, так как происходит взаимная ком-
пенсация действия различных молекул. Если в раствор синтетически полученного сахара поместить бактерии, которые питаются сахаром, то они будут усваивать только молекулы правовращающего сахара.
Рацемическая смесь является менее упорядоченной системой и имеет ббльшую энтропию, чем такая же совокупность молекул одного типа. Это термодинамическое различие синтетического и естественного может быть иллюстрацией физического смысла энтропии биологических систем.
Поляриметрию применяют не только для определения концентрации растворов, но и как метод исследования структурных превращений, в частности в молекулярной биофизике В качестве примера на рис 25.11 приведен график изменения удельного вращения [а0] в одном из полипептидов в зависимости от состава растворителя, являющегося бинарной смесью хлороформа СНС13 и дихлоруксусной кислоты СНСЬСООН. При 80% дихЛоруксусной кислоты происходит резкое падение оптической активности, что свидетельствует об изменении конформации молекул полипептида.
§ 25.5. ИССЛЕДОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ В ПОЛЯРИЗОВАННОМ СВЕТЕ
Рассматривая прозрачные биологические объекты в микроскопе, трудно выявить различные структуры, поэтому приходится применять некоторые специальные методики; в их числе поляризационная микроскопия
Поляризационный микроскоп аналогичен обычному биологическому микроскопу, но имеет поляризатор перед конденсором и анализатор в тубусе между объективом и окуляром. Предметный столик может вращаться вокруг оптической оси микроскопа. Таким образом, объект
освещают поляризованными лучами и рассматривают через анализатор.
Если скрестить поляризатор и анализатор, то поле зрения будет темным, таким же оно останется при помещении на предметный столик изотропных прозрачных тел. Анизотропные предметы изменяют поле зрения в соответствии с тем влиянием, которое они окажут на направление плоскости колебаний поляризованного света.
Так как некоторые ткани (мышечная, костная, нервная) обладают оптической анизотропией, возможна поляризационная микроскопия биологических объектов. При скрещенных поляризаторе и анализаторе будут видны только те волокна, анизотропия которых изменяет поляризованный свет.
Поляризованный свет можно использовать в модельных условиях для оценки механических напряжений, возникающих в
костных тканях. Этот метод основан на явлении фотоупругости, которое
заключается в возникновении оптической анизотропии в первоначально изотропных твердых телах под действием механических нагрузок.
Из прозрачного изотропного материала, например плексигласа, создают плоскую модель кости. В скрещенных поляроидах эта модель незаметна, так как выглядит темной. Прикладывая нагрузку, вызывают анизотропию плексигласа, что становится заметным по характерной картине полос и пятен (рис. 25.12). По этой картине, а также по ее изменению при
увеличении или уменьшении нагрузки можно делать выводы о механических напряжениях, возникающие в модели, а следовательно, и в натуре.
Глава 26
Геометрическая оптика
Геометрическая (лучевая) оптика — раздел, в котором изучают законы распространения света на основании представления о световом луче как линии, вдоль которой распространяется энергия световой волны.
В главе законы геометрической оптики применяются к рассмотрению конкретных оптических систем. Наряду с этим излагаются вопросы физики глаза
§ 26.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ
В предыдущих главах были рассмотрены явления, вполне удовлетворительно описываемые в рамках волновой природы света. Однако во многих практических вопросах, таких, как формирование светового пучка, образование изображения и др , волновая природа света может оказаться несущественной Более того, учет интерференции, дифракции и поляризации в этих случаях лишь усложнит получение конечного результата. Для решения такого рода задач применяют законы геометрической оптики.
Геометрическая опгика есть предельный случай волновой оптики при стремлении длины волны к нулю.
Это можно пояснить на примере дифракционной решетки. Из (24.26) при X —> О следует ос —> 0, т.е. получаем обычное для линзы фокусирование параллельного пучка света в точке О фокальной плоскости (см. рис. 24.10)
Для выяснения предельных возможностей оптических систем вновь приходится учитывать волновой характер света. Поэтому в этой главе частично рассматриваются вопросы интерференции и дифракции.
Геометрическая опгика является примером теории, позволившей при небольшом числе основных понятий и законов получить много практически важных результатов. В теории оптических устройств она и сейчас имеет большое значение.
§ 26.2. АБЕРРАЦИИ ЛИНЗ
В данном курсе рассматриваются только сферические линзы, поверхностями которых являются выпуклые или вогнутые сферы. Фокусное расстояние такой линзы определяется формулой
7=<л-1,Н ±i)! (26.1)
где и /?2 — радиусы кривизны передней и задней сферических поверхностей линзы соответственно: знак «+» берется для выпуклой поверхности, а знак «—» — для вогнутой; л — показатель преломления вещества, из которого изготовлена линза: окружающая среда — воздух. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы:
________1_______
(л-Г)(1/^+ 1/Я2)"
Величина обратная фокусному расстоянию линзы называется оптической силой D:
D = y- (26.2)
Приведем формулу тонкой линзы, известную из цокольного курса:
1 _ 1 1
.ГД <2б3>
где О; — расстояние от предмета до линзы; а2 — расстояние от изображения до линзы.
Соотношение (26.1) получено для тонкой линзы при следующих предположениях:
1) изображение формируется приосевыми (параксиальными) лучами;
2) лучи составляют небольшие углы с главной осью системы;
3) показатель преломления для всех длин волн одинаков
При выполнении таких условий создается точечное изображение, т.е. каждая точка предмета дает одну точку изображения.
Эти условия не реализуются па практике. Показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия).
Точки предмета лежат в стороне от оптической оси, что не отвечает второму условию. Применение только параксиальных лучей существенно ограничило бы световые потоки.
Все это приводит к аберрациям^ или погрешностям реальных оптических систем, существенно снижающим качество оптических изобра
1 Aberratio (лат.) — уклонение.
жений. Однако, зная причины аберраций, можно добиться их устранения, если соответствующим образом подобрать систему линз.
Рассмотрим некоторые основные аберрации линзы.
Сферическая аберрация
Она заключается в том, что периферические части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие ог точки 5на оси, чем центральные (рис. 26.1). Изображение светящейся точки на экране Э имеет вид светлого пятна. Для устранения сферической аберрации и создают систему из вогнутой и вы пуклой линз.
Астигматизм1
Это недостаток оптической системы, при которой сферическая световая волна, проходя оптическую систему, деформируется и перестает быть сферической. Различают два вида аегт матизма. Один из них обусловлен падением на оптическую систему лучей, составляющих значительный угол с оптической осью (астигматизм косых пучков).
Пусть точка А предмета расположена вне главной оптической оси (рис. 26.2, а); из всех лучей, идущих от этой точки, выделим элементарный пучок таким образом, чтобы его центральный луч AS лежал в одной плоскости с главной оптической осью О(У. Любую плоскость, проходящую через главную оптическую ось, называют меридиональной, в данном примере возьмем плоскость, в которой лежат центральный луч элементарного пучка и главная оптическая ось (на рис. 26.2, а — плоскость чертежа).
При наклонном падении элементарного пучка линза создаст два изображения точки А в виде отрезков прямой. Один из них лежит в меридиональной пяаскости и отчетливо виден на экране II (рис. 26.2, а), другой — в перпендикулярной плоскости, которую называют сагиттальной, он отчетливо виден на экране I. В промежутке между плоскостями I и II наблюдается пятно рассеяния, имеющее форму эллипса или окружности (рис. 26.2, б). Если предметом является отрезок линии, то качество изображения зависит от ориентации отрезка. Отрезки, расположенные в меридиональных плоскостях1 2 3, дают четкое изображение в плоскости II, а расположенные в сагиттальных плоскостях — в плоскости 1.
1 Астигматизм — не точечный. Точке предмета соответствует нс одна точка изображения.
2 Предполагается, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной главной
оптической оси.
Рис. 26.1
Рис, 26.2
Для демонстрации астигматизма косых пучков удобна сетка, представленная на рис. 26.3, а. Помещая ее как предмет перпендикулярно оптической оси, зададим систему отрезков, лежащих в меридиональных плоскостях (радиусы) и сагиттальных (окружности). На рис. 26.3, б, в показаны изображения этих отрезков, полученные в соответствующих плоскостях.
Для исправления астигматизма создают сложные оптические системы, состоящие из нескольких линз, благодаря чему удается образовать хорошие изображения при углах падения лучей 50-70°.
Другой вид астигматизма обусловлен асимметрией оптической системы. Линзы с такой аберрацией называют астигматическими. Эти линзы, аналогично астигматизму косых пучков, создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость.
Наиболее наглядно астигматизм такого типа можно продемонстрировать на цилиндрической линзе (рис. 26.4). Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, преломляется линзой Столько в плоскостях, перпендикулярных образующей цилиндра, поэтому на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается прямая линия, а не точка, как при сферических линзах. Если с помощью цилиндрлче-
а
Рис. 26.4
Рис. 26.5
ской линзы отобразить на экране сетку из тонкой проволоки с квадратными ячейками (рис. 26.5, а), то наиболее четкое изображение получается в виде системы параллельных линий, направленных вдоль образующей цилиндра (рис. 26.5, б, в; изображения соответствуют двум взаимно перпендикулярным положениям цилиндрической линзы).
Дисторсия
Этот вид аберрации возникает вследствие того, что лучи, посылаемые предметом в систему, составляют большие утлы с оптической осью, при этом зависимость линейного увеличения от угла пучка приводит к нарушению подобия изображения и предмета. Типичные проявления дисторсии показаны на рис. 26.6: а — подушкообразная; б — бочкообразная; предметом является сетка с квадратными ячейками.
Подбирая систему из нескольких линз с противоположным характером дисторсии, можно исправить эту аберрацию.
Хроматическая аберрация
Как видно из (26.2), фокусное расстояние линзы определяется показателем преломления, который зависит от длины волны. Поэтому пучок белого света, идущий параллельно главном оптической оси, будет фокусироваться в разных ее точках, разлагаясь в спектр (рис. 26.7: Ф — фиолетовые лучи; К — красные), кружок на экране окажется окрашенным. В этом заключается хроматическая аберрация, которая очень часто сопутствует изображениям в линзах.
Для исправления этого вида аберрации создают ахроматические оптические системы из линз, которые изготовляют из стекол с разной дисперсией: ахроматы и апохроматы.
а б
Рис. 26.6 Рис. 26.7
В оптических устройствах используют системы из линз, называемые анастигматами, в которых исправлены нс только хроматическая аберрация, но и сферическая, и астигматизм.
Существуют и другие виды аберраций, которые здесь не рассматриваются.
Одновременное устранение всех аберраций может оказаться слишком сложной или даже неразрешимой задачей, поэтому обычно избавляются только от тех погрешностей, которые существенно мешают основному назначению оптической системы. Так, для объективов микроскопов важно устранение сферической аберрации, возникающей при рассматривании объектов, лежащих вблизи фокуса и отображаемых широкими пучками.
§ 26.3. ПОНЯТИЕ ОБ ИДЕАЛЬНОЙ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Реальные оптические системы состоят из различных деталей и часто включают в себя несколько линз (см. § 26 2). При произвольном расположении линз расчет и построение изображений могут быть достаточно сложными.
Практически часто используют системы сферических поверхностей (линз), центры которых лежат на одной прямой — главной оптической оси. Такие оптические системы называют центрированными.
Рассмотрим некоторые выводы теории идеальной центрированной оптической системы, предложенной Гауссом. В этой системе каждой точке или линии пространства предметов соответствует только одна точка или линия пространства изображений. Пары точек или линий обоих пространств называют сопряженными. К идеальной центрированной оптической системе приближаются такие, в которых использу-
Рис. 26.8
ются параксиальные лучи. Эта система есть физическая абстракция, но-зволяюшая рассчитывать реальные системы с учетом степени их отклонения от идеальной.
Укажем характерные точки и плоскости центрированной оптической системы (рис. 26.8; Qx и Q2 — крайние сферические поверхности), принятые в теории Гаусса, с помощью которых можно определить изображения предметов.
Проведем в пространстве предметов луч параллельный главной оптической оси В пространстве изображений ему сопряжен луч Л2, проходящий через точку Г2. Точка F, пространства изображений, сопряженная бесконечно удаленной точке пространства предметов, является вторым, или задним, фокусом системы.
Аналогично, лучу В2 пространства изображений соответствует луч Вх пространства предметов, проходящий через точку Fx. Точка Fx пространства предметов, сопряженная бесконечно удаленной точке пространства изображений, является первым, или передним, фокусом1.
Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальными.
Так как лучи А} и Вх попарно сопряжены А2 и В2, то сопряжены и точки Q и С2 пересечения этих лучей или их продолжений. Проведя через С, и С2 плоскости, перпендикулярные ОХО2, получим точки Нх и Имеем попарное сопряжение этих плоскостей, точек и Н2 и отрезков СХНХ и С2Н2. Отрезки С\НХ и С2Н2 не только сопряжены, но и равны (ICjZTJ = |С2Я2| =/?) и имеют одинаковое направление относительно оптической оси (одинаковые знаки); следовательно, для них линейное увеличение р = +1. Оптическая система имеет две сопряженные плоскости, перпендикулярные оптической оси, для которых линейное увеличение сопряженных отрезков р = +1; такие плоскости и соответствующие точки //] и Н2 главной оптической оси называют главными.
1 Так как пространства предметов и изображений взаимно сопряжены, то понятия «передний» и «задний», «первый» и «второй» условны.
Расстояния между фокусами и соответствующими главными точками называют фокусными:
F{H\=f, F2H2=f2.
(26 4)
Главные плоскости и точки Н\ и Н2 могут лежать не только внутри центрированной оптической системы (рис. 26.8), но и вне ее, совершенно не симметрично относи-1ельно граничных поверхностей (рис. 26.9).
Главные точки и фокусы называют кардинальными точками, а соответствующие плоскости — кардинальными плоскостями. Эти точки и плоскости используют щпя построения изображения безот
носительно к истинному ходу лучей в системе. Общие принципы аналогичны правилам построения изображения в тонкой линзе.
На рис 26.10 показан пример построения изображения в центрированной оптической системе. Луч /, идущий от светящейся точки параллельно главной оптической оси, продолжают до пересечения с главной плоскостью пространства изображений, а затем проводят через фокус F2. Луч 2 проходит через фокус F} до пересечения с главной плоскостью пространства предметов, а затем параллельно оптической оси. Пересечение двух лучей (точка S2) и дает изображение точки
Точки )V| и N2 (рис. 26.10) называют узловыми. Их особенность заключается в том, что сопряженные лучи 3, проходящие через них, одинаково наклонены к оптической оси.
Если по обе стороны от оптической системы находятся среды с одинаковыми показателями преломления, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками.
Таким образом, оптическая система характеризуется шестью кардинальными точками и шестью кардинальными плоскостями.
Приведем без вывода наиболее важные формулы для центрированной оптической системы:
Z/ф а2 = И
(26.5)
(26.6)
где Л] и п2— показатели преломления среды соответственно слева и справа от крайних сферических поверхностей оптической системы; обозначения а2, f, f2 разъяснены на рис. 26.10. Отрезки а} и отсчитываются от главной точки а отрезки а2 и f2 — от Н2. Они считаются положительными, если их направление совпадает с направлением распространения света, и отрицательными, если противоположно. Обычно в геометрической оптике на рисунках принято распространение света слева направо.
Так как тонкая линза является частным случаем центрированной оптической системы, то естественно, что все сказанное выше справедливо и для нее. В этом случае четыре кардинальные точки — главные и узловые — совпадают с центром линзы, а формула (26.5) превращается в (26.3). Правила построения изображения в таких линзах, известные читателю из средней школы, также являются частным случаем более общего метода, описанного выше.
§ 26.4. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ГЛАЗА И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ОСОБЕННОСТИ
Глаз человека является своеобразным оптическим прибором, занимающим в оптике особое место. Это объясняется, во-первых, тем, что многие оптические инструменты рассчитаны на зрительное восприятие, во-вторых, глаз человека (и животного), как усовершенствованная в процессе эволюции биологическая система, приносит в рамках бионики некоторые идеи по конструированию и улучшению оптических систем.
Для медиков глаз не только орган, способный к функциональным нарушениям и заболеваниям, но и источник информации о некоторых неглазных болезнях.
Остановимся кратко на строении глаза человека.
Рис. 26.11
Собственно глазом (рис. 26.11) является глазное яблоко, имеющее не совсем правильную шаровидную форму: передне-задний размер у взрослого в среднем 24,3 мм, вертикальный — 23,4 мм и горизонтальный — 23,6 мм. Стенки глаза состоят из трех концентрически расположенных оболочек: наружной, средней и внутренней. Наружная белковая оболочка — склера 1 — в передней части глаза превращается в прозрачную выпуклую роговую оболочку 2 — роговицу. Толщина роговицы в центре около 0,6 мм, на периферии — до 1 мм. По оптическим свойствам роговица — наиболее сильно преломляющая часть глаза. Она является как бы окном, через которое в глаз проходят лучи света. Радиус кривизны роговицы примерно 7—8 мм, показатель преломления ее вещества — 1,38. Наружный покров роговицы переходит в конъюнктиву 3, прикрепленную к векам.
К склере прилегает сосудистая оболочка 4, внутренняя поверхность которой выстлана слоем темных пигментных клеток, препятствующих внутреннему диффузному рассеянию света в глазу. В передней части глаза сосудистая оболочка переходит в радужную 5, в которой имеется круглое отверстие — зрачок 6. Непосредственно к зрачку с внутренней стороны глаза примыкает хрусталик 7 — прозрачное и упругое тело, подобное двояковыпуклой линзе. Диаметр хрусталика 8—10 мм, радиус кривизны передней поверхности в среднем 10 мм, задней — 6 мм. Показатель преломления вещества хрусталика несколько больше — 1,4Г
Между роговицей и хрусталиком расположена передняя камера <*? глаза, она заполнена водянистой влагой — жидкостью, близкой по опти-
1 Строение хрусталика напоминает слоистую структуру лука, причем показатель преломления слоев неодинаков. Вследствие этой специфики хрусталик преломляет так, как однородное вещество с показателем преломления, большим показателя преломления любого слоя.
ческим свойствам к воде. Вся внутренняя часть глава от хрусталика до задней стенки занята прозрачной студенистой массой, называемой стекловидным телом 9. Показатель преломления стекловидного тела такой же, как и у водянистой влаги.
Рассмотренные выше элементы глаза в основном относятся к его светопроводящему аппарату.
Зрительный нерв 10 входит в глазное яблоко через заднюю стенку; разветвляясь, он переходит [5 самый внутренний слой глаза — сетчатку, или ретину 11, являющуюся световоспринимающим (рецепторным) аппаратом глаза. Сетчатка состоит из нескольких слоев и неодинакова по своей толщине и чувствительности к свету, в ней находятся светочувствительные зрительные клетки, периферические концы которых имеют различную форму. Продолговатые окончания называют палочками, конусообразные — колбочками. Длина палочек 63—81 мкм, диаметр около 1,8 мкм, для колбочек соответственно 35 и 5—6 мкм. На сетчатке глаза человека расположено около 130 млн палочек и 7 млн колбочек.
В месте вхождения зрительного нерва находится нс чувствительное к свету слепое пятно 12. В середине сетчатки, чуть ближе к височной области, лежит самое чувствительное к свету желтое пятно 13, центральная часть которого имеет диаметр около 0,4 мм.
Колбочки и палочки распределены но сетчатке неравномерно. Колбочки расположены главным образом в центральной части сетчатки, в желтом пятне, в центре желтого пятна находятся исключительно колбочки, на краях сетчатки — только палочки.
Рассмотрим сначала особенности светопроводяшего аппарата глаза.
Глаз может быть представлен как центрированная оптическая система, образованная роговицей, жидкостью передней камеры и хрусталиком (четыре преломляющие поверхности) и ограниченная спереди воздушной средой, сзади — стекловидным телом. Главная оптическая ось Об) (рис. 26.11) проходит через геометрические центры роговицы, зрачка и хрусталика. Кроме того, различают еше зрительную ось О’О’ глаза, которая определяет направление наибольшей светочувствительности и проходит через центры хрусталика и желтого пятна. Угол между главной оптической и зрительной осями составляет около 5°.
На рис. 26.12 показаны фокусы, главные точки и плоскости и узловые точки для некоторого усредненного нормального глаза (расстояния указаны в миллиметрах). Для упрощения часто заменяют эту систему приведенным редуцированным глазом, т.е. линзой, окруженной воздухом со стороны пространства предметов и жидкостью с п = 1.336 со стороны пространства изображений. В одной из моделей приведенного глаза
Рис. 2о.12
единая главная плоскость находится на расстоянии 1,6 мм от передней поверхности роговицы, узловые точки совпадают и расположены на расстоянии 7,2 мм от поверхности роговицы.
Основное преломление света происходит на внешней границе роговицы, оптическая сила всей роговицы равна приблизительно 40 дптр, хрусталика — около 20 дптр, а всего глаза — около 60 дптр.
Различно удаленные предметы должны давать на сетчатке одинаково резкие изображения. Из формулы (26.5) видно, что это можно осуществить либо изменяя расстояние й2межДУ главной плоскостью и сетчаткой аналогично тому, как это делают в фотоаппаратах, либо изменяя кривизну хрусталика и, следовательно фокусные расстояния/ и/.В глазу человека реализуется второй случай.
Приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов — «наводка на резкость» — называют аккомодацией'.
Когда предмет расположен в бесконечности, то его изображение в нормальном глазу находится на сетчатке. Хрусталик при этом аккомодирован на бесконечность и ето оптическая сила наименьшая. Если предмет приближается к глазу, то у хрусталика увеличивается кривизна; чем ближе предмет, тем больше оптическая сила глаза, ее изменения происходят приблизительно в пределах 60-70 дптр.
У взрослого здорового человека при приближении предмета к глазу до расстояния 25 см аккомодация совершается без напряжения и благодаря привычке рассматривать предметы, находящиеся в руках, глаз чаще всего аккомодирует имез lho на это расстоя] те, называемое расстоянием наилучшего зрения.
1 У некоторых рыб аккомодация происходит за счет перемещения хрусталика в целом относительно оптической оси, т.е. реализуется первый случай.
Рис. 26.13
Для рассматривания еше более близких предметов приходится уже напрягать аккомодационный аппарат. Наиболее близкое расположение предмета от глаза, при котором еще возможно четкое изображение на сетчатке, называют ближней точкой глаза (ближняя точка ясного видения). Расстояние до ближней точки глаза с возрастом увеличивается: следовательно, аккомодация уменьшается.
Размер изображения на сетчатке зависит не только от размера предмета, но и от его удаления от глаза, т.е. от угла, под которым виден предмет. В связи с этим вводят понятие угла зрения. Это угол между лучами, идущими от крайних точек предмета через совпадающие узловые точки (рис. 26.13). Из рисунка видно, что, во-первых, один и тот же угол зрения р может соответствовать разным предметам КМ и QP. и, во-вторых, что угол зрения вполне определяет размер изображения на сетчатке.
6 = /р, (26.7)
где /— расстояние между единой узловой точкой Nи сетчаткой (l~ 17 мм) Формула (26.7) получена в предположении, что угол зрения мал.
Из рис. 26.13 легко установить связь между размером В предмета, расстоянием L его от глаза, точнее от узловых точек, и углом зрения р:
Я = £р, (26.8)
отсюда с учетом (26.7) имеем:
b = 1B/L.
(26.9)
Для характеристики разрешающей способности глаза используют наименьший угол зрении, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета. Этот угол приблизительно равен Г, что соответствует [см. (26.8)] расстоянию между точками, равному 70 мкм, если они на-
холятся на расстоянии наилучшего зрения. Размер изображения на сетчатке в этом случае [см. (26.7)J равен 5 мкм, что соответствует среднему расстоянию между двумя колбочками на сетчатке. Поэтому если изображение двух точек на сетчатке займет линию короче 5 мкм, то эти точки не разрешатся, т.е. глаз их не различает.
Такое же значение наименьшего угла зрения будет получено, если учесть ограничения, которые накладывает дифракция света (см. § 26.8). Поражает целесообразность природы — ничего лишнего: число колбочек, приходящихся на единицу площади сетчатки, отвечает предельным возможностям геометрической оптики.
В медицине разрешающую способность глаза оценивают остротой зрения. За норму остроты зрения принимается единица, в этом случае наименьший угол зрения равен Г.
При отклонениях острота зрения во столько раз меньше нормы, во сколько раз наименьший угол зрения больше минуты. Если наименьший угол зрения равен 4', то острота зрения равна 1:4 = 0,25.
В отдельных случаях глаз человека различает и более мелкие величины, чем те, которые соответствуют углу 1’. Так, например, смешение движущихся предметов заметно, когда оно достигает 20” по дуге, несовпадение двух тонких линий обнаруживается уже при угле 12” между ними и т.д. В физических измерениях часто применяют приборы, в которых стрелка не должна смещаться с нулевого деления (штриха) шкалы (потенциометры, мосты/. Благодаря способности глаза обнаруживать малые смещения линий такие приборы могут давать более точные показания, чем те, в которых определяется расстояние между штрихом и стрелкой1.
Чувствительность глаза к свету и цвету, а также биофизические вопросы зрения рассматриваются в седьмом разделе.
§ 26.5. НЕДОСТАТКИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ГЛАЗА И ИХ УСТРАНЕНИЕ
Аберрации, свойственные линзам, у глаз почти не ощущаются.
Сферическая аберрация незаметна ввиду малости зрачка и проявляется лишь в сумерках, когда зрачок расширен: изображения нерезки. Хотя глаз и не является ахроматической системой, однако хроматическая аберрация не ощущается из-за избирательности видности излуче
1 Это вопрос не только физический, но и физиологический.
ния и малого размера зрачка. Астит матизм косых пучков не имеет места, так как глаз всегда устанавливается в направлении наблюдаемого предмета. Исключение составляет лишь астигматизм, обусловленный асимметрией оптической системы (несферическая форма роговицы или хрусталика). Это проявляется, в частности, в неспособности глаза одинаково резко видеть взаимно перпендикулярные линии на испытательной таблице. Такой недостаток глаза компенсируют специальными очками с цилиндрическими линзами.
Оптической системе глаза свойственны некоторые специфические недостатки.
В нормальном глазу при отсутствии аккомодации задний фокус совпадает с сетчаткой — такой глаз называют эмметропическим. и аме-тропинеским, если это условие не выполняется.
Наиболее распространенными видами аметропии являются близорукость (миопия) и дальнозоркость (гиперметропия). Близорукость — недостаток глаза, состоящий в том, что задний фокус при отсутствии аккомодации лежит впереди сетчатки; в случае дальнозоркости задний фокус при отсутствии аккомодации лежит за сетчаткой. Для коррекции близорукого глаза применяют рассеивающую линзу, дальнозоркого — собирающую.
§ 26.6. ЛУПА
Возможность разрешения деталей предмета зависит от размеров его изображения на сетчатке глаза или от угла зрения. Угол зрения можно увеличить, приблизив предмет к глазу, однако это связано с некоторыми ограничениями:
1) в ряде случаев технически невозможно существенно изменить расстояние между предметом и глазом (напримео, при рассмотрении звезд или Солнца);
2) невозможно приблизить предмет на расстояние меньшее предельных возможностей точки глаза, до ближней аккомодации.
В связи с этим для увеличения угла зрения используют оптические приборы: телескопы, лупы, микроскопы и т.п.
Рассмотрим устройство одного из наиболее простых оптических приборов — луны.
Лупой называют оптическую систему, в передней фокальной плоскости которой или « непосредственной близости от нее расположен наблюдаемый предмет.
Рис. 26.14
Изображение, создаваемое лупой, находится в бесконечности или на удобном для глаза расстоянии. Если изображение в бесконечности, то оно наблюдается глазом без аккомодации.
На рис. 26.14, а показано двумя лучами, как с помощью лупы формируется изображение на сетчатке; N— объединенная узловая точка оптической системы глаза, предмет помещен в передней фокальной плоскости. Луч I проходит через центр лупы без преломления, а затем преломляется глазом. Другие лучи, идущие от этой же точки предмета, после преломления в лупе будут параллельны лучу /. Чтобы определить положение изображения на сетчатке, выберем из этих лучей тот, который проходит через объединенную узловую точку (.туч 2). Он не преломляется глазом. Его пересечение с сетчаткой и укажет положение изображения предмета. Остается лишь для полноты картины достроить начальную часть луча 2 и конечную часть луча 7 (показаны пунктиром).
Увеличением лупы называют отношение угла зрения [3’, под которым видно изображение предмета (рис. 26.14, а), к углу зрения (3, под которым виден предмет, находящийся на расстоянии наилучшего зрения = 25 см (рис. 26.14, б). Из рисунков видно:
|3’ = Я//, Р=5/«о, (26.107
где В — линейный размер предмета. Учитывая (26.10), получаем увеличение лупы:
г = р’/р=ао//
(26.11)
Отсюда видно, что формула для увеличения связывает постоянную величину/лупы с расстоянием наилучшего зрения — довольно условной величиной. У близорукого глаза расстояние наилучшего зрения а& < 25 см, у дальнозоркого > 25 см, поэтому для близорукого глаза увеличение от одной и той же лупы будет меньше, чем для дальнозоркого.
Учитывая, что напряжение аккомодации сильно утомляет глаз и допустимо лишь как кратковременное явление, следует при пользовании лупой помещать предмет в фокальную плоскость, а глаз — у самой лупы.
Лупы изготовляют из одной или нескольких линз. Увеличение лупы зависит от ее конструкции и изменяется в пределах от 2 до 40—50. Наиболее распространены лупы с 10-кратным увеличением.
Разрешаемое с помощью лупы расстояние между двумя точками можно вычислить по формуле (26.8). Например, если для 10-крат-ного увеличения взять [3 = 0,V ~ 3-10“5 рад; L = а(1 = 0,25 м, то получим В = 0,25-3- Ю—5 = 7,5 мкм.
§ 26.7. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И УСТРОЙСТВО БИОЛОГИЧЕСКОГО МИКРОСКОПА
Для получения больших увеличений в качестве лупы следует использовать [см (26.11)] короткофокусные линзы. Однако такие линзы имеют небольшие размеры, им свойственны значительные аберрации, что накладывает ограничения на увеличение лупы. Большее увеличение можно получить, рассматривая через лупу действительное изображение предмета, созданное дополните льной линзой или системой линз. Таким оптическим устройством является микроскоп. Лупу в этом случае называют окуляром, а дополнительную линзу иди систему линз — объективом.
Для того чтобы глаз не был напряжен, стремятся совместить изображение, созданное объективом, с фокальной плоскостью окуляра. На рис. 26.15 показан ход лучей в микроскопе, объективом и окуляром которою являются собирающие линзы, и в глазу.
Рис. 26.15
Изображение AjBj предмета АВ, созданное линзой объектива Об, находим согласно правилу построения изображения в тонкой линзе; луч 1, параллельный главной оптической оси, проходит после преломления в линзе через фокус, луч 2 через центр линзы идет без преломления; А В, расположено в передней фокальной плоскости окуляра.
Лучи 1 и 2 доходят до линзы окуляра Ок и в ней преломляются. Чтобы показать ход этих лучей после преломления в окуляре, проведем следующее рассуждение.
Все лучи, идущие из некоторой точки фокальной плоскости (например, Аь),. после преломления в линзе должны распространяться параллельно друг другу. Проведем из А] луч A[Dчерез центр линзы; лучи 1 и 2 после преломления в окуляре пройдут параллельно А^ до встречи с глазом. Пусть луч I проходит через объединенную узловую точку N глаза и потому без преломления дойдет до точки А2 сетчатки. В эту же точку сфокусируется луч 2. На сетчатке глаза получаем изображение А2В2 предмета АВ.
В современных оптических микроскопах об ьектив и окуляр состоят из системы линз, представляющей собой оптическую систему (рис. 26.16). Главные плоскости объектива и окуляра такой системы показаны на рисунке раздельно, окружающая среда имеет одинаковый показатель преломления. Лучи J и 2, идущие от точки В предмета АВ, пересекаются в точке В', где формируется изображение, создаваемое объективом. Луч 2 попадает на окуляр параллельно главной оптической оси, поэтому он проходит через фокус В2. Так как лучи 1 и 2 выходят из одной точки В' фокальной плоскости, после преломления в окуляре они будут параллельны друг другу.
Можно указать главные точки и фокусы микроскопа как единой центрированной оптической системы. Так как луч 7 в пространстве
Рис. 26.16
предметов параллелен главной оптической оси, то он в пространстве изображений пересечет оптическую ось в заднем фокусе /Д.
Главные точки и плоскости найдем из условия, что точка и ее изображение, расположенные в соответствующих главных плоскостях, равноудалены от главной оптической оси.
Чтобы не загромождать чертеж, выберем точку К передней главной плоскости так, чтобы луч, распространяющийся от ртой точки параллельно оптической оси. в пространстве предметов совпадал с лучом /. Сопряженную ей точку АЛ расположенную в задней фокальной плоскости, найдем из условия, что она лежит на луче / и удалена на такое же расстояние от главной оптической оси, как и точка К. Проедируя F на главную оптическую ось, получаем заднюю главную точку Н\
Для нахождения передней главной точки из К направим луч 3 параллельно главной оптической оси. Он пройдет через Л2 до пересечения с задней главной плоскостью объектива. Чтобы определить направление этого луча после выхода из передней главной плоскости объектива, сделаем дополнительное построение; из точки D, лежащей в фокальной плоскости, проводим луч DC параллельно главной оптической оси, он должен пройти через фокус /Д а луч 3 пройдет параллельно CF{. Пересечение луча 3 с главной оптической осью даст передний фокус Ами-кроскопа, а с лучом / — положение точки А, которая лежит в передней главной плоскости; И — передняя главная точка микроскопа. Отметим, что в этом случае фокусы расположены между главными точками.
Так как показатели преломления среды пространств предмета и изображения одинаковы, то на основании (26.6) фокусные расстояния отличаются только знаком;/ = — f.
Определим фокусное расстояние микроскопа.
Из подобия ДАТУР и ЛСЬДД а также ДР/Д/^ и ^K\H2F2 соответственно имеем:
1 КН I / |Н F| = |С Н J / 1ВД или |KHj /Д= |СН J /Д; (26.12)
IК, Н2| / |H2F2| = I df{\ 11 f;f2\ или |K, H2| /,Д = |СН ,| / Д, (26.13) гдеД — фокусное расстояние объектива, Д —- фокусное расстояние окуляра; Д — расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра, называемое оптической длиной тубуса. Разделив (26.12) на (26.13) и учитывая, что |КН| = |К|Н2| имеем/2 Л : J\ откуда фокус-
ное расстояние микроскопа:
f~f\ .fi /&
(26.14)
Рис. 26.17
Так как и для микроскопа в принципе справедлива общая формула (26.11), то [см. (26.14)]:
Г= |У/ р =я0/(Ш
(26.15)
Итак, увеличение микроскопа равно отношению произведения оптической длины тубуса на расстояние наилучшего зрения к произведению фокусных расстояний объектива и окуляра.
Формулу (26.15) можно представить как произведение двух сомножителей:
ГОк= л0/./2 и Го6= А//],
(26.16)
где Гок — увеличение окуляра; Гоб — увеличение объектива1.
На рис. 26.17 изображены общий вид (а) и схема (б) биологического микроскопа МВР-1. Его главные части: основание 8, коробка с микро
1 Читателю из курса физики средней школы известна формула для увеличения линзы. Следует учесть. что предмет располагается вблизи фокуса объектива. поэтому расстояние предмета от линзы объектива приблизительно равно ее фокусному расстоянию. Так как оно невелико, то оптическую длину тубуса можно считать расстоянием от объектива до изображения.
метрическим механизмом 9, предметный столик 10, револьвер 11 с объективами 5, конденсор 2 и окуляр 7. Оптическая система состоит из двух частей: осветительной и наблюдательной. В осветительную часть входит зеркало /, конденсор с ирисовой апертурной диафрагмой 3 и съемный светофильтр 4, а в наблюдательную — объектив, призма би окуляр, соединенные в тубусе микроскопа.
Пучок лучей от источника света падает на зеркало, которое отражает его к диафрагме, проходит через конденсор и исследуемый препарат и затем попадает в объектив.
§ 26.8. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И ПОЛЕЗНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ МИКРОСКОПА.
ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ АББЕ
Из формулы (26.15) можно сделать вывод, что при надлежащем выборе /| и /^увеличение микроскопа будет сколь угодно большим. Однако на практике биологи, врачи и другие специалисты, работающие с микроскопами, редко используют увеличения, превышающие 1500—2000 Чтобы уяснить причины такого положения, ознакомимся с понятиями «предел разрешения», «разрешающая способность» и «полезное увеличение микроскопа».
Предел разрешения — это такое наименьшее расстояние между двумя точками предмета, когда эти точьи различимы, т.е. воспринимаются в микроскопе как две точки.
Разрешающей способностью обычно называют способность микроскопа давать раздельные изображения мелких деталей рассматриваемого предмета. Это величина обратна пределу разрешения. Разрешающая способность микроскопа обусловлена волновыми свойствами света, поэтому выражение для предела разрешения можно получить, учитывая дифракционные явления.
Рассмотрим дифракционную теорию разрешающей способности микроскопа, предложенную Э. Аббе.
При освещении прозрачного предмета в микроскоп попадает свет, рассеянный (дифрагированный) объектом. В качестве наиболее простого предмета была взята дифракционная решетка — объект с достаточно определенной с груктурои.
Пусть решетка Д (рис. 26.18) состоит из четырех щелей 1-4. От каждой щели распространяются вторичные волны, на рисунке показан ход пяти лучей от каждой такой волны. Вторичные волны, падающие под
Рис. 26.18
одинаковым углом к оптической оси линзы L, соберутся в фокальной плоскости F. Если разность хода вторичных волн, идущих от соседних шелсй и отклоненных на одинаковый угол, равна целому числу длин волн, то в местах, обозначенных точками на плоскости F, появятся главные максимумы (центральный, 1-й, 2-й).
Картину, образуемую в фокальной плоскости линзы, называют первичным изображением. Оно содержит определенную информацию о предмете, однако не является изображением в общепринятом понимании.
Собственно изображение, или вторичное изображение (Г~4Г), образуется в плоскости / при пересечении вторичных волн, идущих от каждой из щелей. Вторичное изображение создается после первичного, поэтому оно не может содержать большей информации о предмете, чем первичное.
В оптических устройствах, в том числе и в микроскопе, пучки света всегда ограничены, поэтому важно знать, как это повлияет на искажение изображения предмета, какое минимальное количество лучей способно передавать правильную информацию о предмете.
Главные максимумы попарно симметрично располагаются относительно центрального и в некоторой степени дублируют друг друга. Совокупность максимумов, расположенных с одной стороны от центра, вместе с центральным достаточна, чтобы передать информацию о предмете. Следовательно, экранирование лучей, идущих от максимумов, расположенных по другую сторону от центра, лишь уменьшит яркость изображения предмета.
При экранировании в плоскости F лучей от нечетных главных максимумов объективно создаются условия, при которых второй главный максимум играет роль первого, четвертый — второго и т.д,, т.е. [см. (24.29)] изображение будет такое же, как и у дифракционной решетки с вдвое меньшим периодом.
Центральный максимум имеет обшую структуру для решеток с раз
ным периодом и, следовательно, не содержит информации об особенностях предмета. Поэтому если пропустить лучи только центрального максимума, экранировав все остальные, то вторичное изображение предмета (решетки) не сформируется.
Такого рода опыты с различным ограничением пучков света в плоскости Fпроделал Аббе. Он установил, что для соответствия вторичного изображения предмету необходимо по крайней мере, чтобы из первичного изображения проходили дальше лучи центрального и одного из первых главных максимумов.
Реально свет от предмета распространяется к объективу микроскопа в некотором конусе (рис. 26.19, а), который характеризуется угловой апертурой — углом и между крайними лучами конического светового пучка, входящего в оптическую систему1. В предельном случае, согласно Аббе, крайними лучами конического светового пучка будут лучи, соответствующие центральному (нулевому) и 1 -му главному максимумам (рис. 26.19, б). При этом луч падает на предмет (решетку) под углом и/2, такой же угол и для первого дифракционного максимума. Из формулы (24.39) при [3 = и/2 и а - —w/2 получаем:
2csin(w/2) = X.
(26.17)
В рассмотренной модели предмета (решетка) за предел разрешения z следует принять элемент структуры — постоянную дифракционной решетки с, т.е. z = с при указанных а и р. Из (26.17) находим:
z = 0,52. sin(«/2)
(26.18)
1 Предполагается, что объектив микроскопа наиболее сильно ограничивает световой поток, т.е. является апертурной диафрагмой.
или, учитывая, что X = X 0/«, и вводя А = п sin(w/2),
z = 0,5л. q/A.
(26.19)
где Л — числовая апертура; п — показатель преломления среды, находящейся между предметом и линзой объектива.
Как видно из формулы (26.19), один из способов уменьшения предела ра {решения микроскопа — использование света с меньшей длиной волны. В связи с этим применяют ультрафиолетовый микроскоп, в котором микрообъекты исследуются в ультрафиолетовых лучах. Принци
пиальная оптическая схема такого микроскопа аналогична схемам обычного микроскопа. Основное отличие заключается, во-первых, в использовании оптических усл ройств, прозрачных для ультрафиолетового света, и, во-вторых, в особенности регистрирования изображения. Так как глаз непосредственно не воспринимает этою излучения, то употребляются фотопластинки, люминесцентные экраны или электронно-оптические преобразователи (см. раздел седьмой).
Другой способ уменьшения предела разрешения микроскопа — увеличение числовой апертуры, что достигается увеличением как показателя преломления среды между предметом и объективом, так и апертурного угла. В обычных условиях (воздух) показатель преломления равен единице. Угол же и/2 может иметь большие значения — теоретически до 90°. Если этот угол очень велик, то лучи первого максимума могу г не попасть в объектив. Так, например, на рис. 26.20 показано, что объектив Об не захватывает лучей, отходящих от точки / под углом 45°. Чтобы эти лучи попали, надо предмет приблизить к объективу, например в точку 2. Однако расстояние предмета от линзы не может изменяться произвольно, оно постоянно для каждого объектива и прибли
жать предмет нельзя.
Числовая апертура может быть увеличена с помощью специальной жидкой среды — иммерсии — в пространстве между объективом и по-
кровным стеклом микроскопа. В иммерсионных системах по сравнению с тождественными сухими системами получают больший апертурный угол (рис. 26.21). В качестве иммерсии используют воду (я = 1,33), кедровое масло (п — 1,515), монобромнафталин (я = 1,66) и др. Для каждой иммерсии специально рассчитывают объектив, и его можно применять только с данной иммерсией.
Сухая Иммерсионная
система система
Предметное стекло
Рис. 26.21
В современных микроскопах угол м/2 достигает наибольшего значения, равного 70°. С этим углом получают максимальные числовые апертуры и минимальные пределы разрешения (табл. 26.1).
Таблица 26.1
А Z, мкм
Сухая система 0,94- 1 = 0,94 0,30
Водяная иммерсия 0,94-1,33 = 1.25 0,22
Масляная иммерсия 0,94-1,515 = 1.43 0,19
Данные приведены для наклонного падения света на объект и наиболее чувствительной глазу длины волны 0,555 мкм.
а б
Рис. 26.22
Условия освещения объекта влияют на разрешающую способность микроскопа, что важно учитывать в биологических исследованиях.
Известен курьез, когда исследователи-биологи отнесли к разным видам диатомею, так как разные условия освещения выявляли иначе структуру ее панциря. На рис. 26.22 показан вид объекта при полном (а) и частичном (б) разрешении из-за разного освещения.
Заметим, что окуляр совершенно не влияет на разрешающую способность микроскопа, он только создает увеличенное изображение объектива.
Оценим полезное увеличение микроскопа, используя формулу (26. Г9).
Если предмет имеет размер, равный пределу разрешения z, а размер его изображения <’ и если это изображение расположено на расстоянии наилучшего зрения от глаза, то увеличение микроскопа:
V = t/z.
Подставляя в эту формулу z из (26.19), получаем;
Г = /4г7(О)5ло). (26.20)
Нормальный глаз в предельном случае различает две точки предмета, угловое расстояние между которыми равно 1 (см. § 26.4). Считают, что удобная различимость должна соответствовать углу зрения в интервале от 2 до 4’ или значениям z' (на расстоянии наилучшего зрения) от 140 до 280 мкм. Подставляя их, а также Хо= 0,555 мкм в формулу (26.20), находим интервал значений увеличения микроскопа:
500/4 < Г< 1000 Л. (26.21)
Эти увеличения называют полезными, так как при них глаз различает все элементы структуры объекта, которые разрешимы микроскопом.
Подставляя числовую апертуру иммерсионной системы с маслом (А — 1,43) в (26.21), получаем следующее неравенство дня полезных увеличений такого микроскопа: 700 < Г< 1400.
§ 26.9. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ОПТИЧЕСКОЙ МИКРОСКОПИИ
Измерение размеров микроскопических объектов с помощью микроскопа
Применяют окулярный микрометр — круглую стеклянную пластинку', на которой нанесена шкала с делениями. Микрометр устанавливают в плоскости изображения, получаемого от объектива.
При рассматривании в окуляр изображения объекта и шкалы сливаются и можно отсчитать, какое расстояние по шкале соответствует измеряемой величине. Отсчет по шкале еше не дает размера объекта, так как совмещаемое со шкалой изображенис не равно размеру' предмета. Надо найти цену одного деления окулярного микрометра, для этого
Рис. 26.23
применяют объектный микрометр — шкалу с делениями по 0,01 мм. Рассматривая объектный микрометр как предмет, совмещают в одном поле зрения две шкалы — объектную и окулярную — и определяют пену деления окулярного микрометра.
Вместо объектного микрометра можно применить любой препарат, размер которого известен, или использовать счетную камеру Горяева, употребляемую в медицинских изме
рениях.
В настоящее время широко применяют окулярно-винтовой микрометр, внешний вид которого изображен на рис 26.23. Этот прибор устанавливают вместо окуляра. При вращении винта перемещается перекрестие, что позволяет отсчитывать доли делений микрометра.
Окулярно-винтовой микрометр нуждается в предварительной градуировке.
Микропроекция и микрофотография
Формирование микроскопического изображения происходит с участием человека и завершается образованием действительного изображения в глазу.
Обычный микроскоп сам по себе не создает действительного изображения, однако для фотографирования (микрофотография) или проекции микроскопического изображения на экран (микропроекиия) должно быть получено действительное изображение. Для этого изображение, даваемое объек тивом Об, надо расположить дальше фокусного расстояния окуляра Ок (рис. 26.24).
Рис. 26.24
Метод фазового контраста
Интенсивность световой волны, проходящей через прозрачный объект, почти не изменяется, но фазы претерпевают изменения, зависящие от толщины объекта и его показателя преломления. В этом смысле прозрачные объекты называют дефазирующими. Увидеть детали таких объектов обычным образом невозможно. В биологических исследованиях такие объекты иногда окрашивают, однако при этом могут изменяться их свойства и жизнеспособность.
Для рассмотрения деталей дефазирующих объектов Ф. Цернике предложил метод фазового контраста. Пусть объект состоит из однородной прозрачной среды 1 с показателем преломления п, в которой имеется прозрачное включение 2, например бактерия с показателем преломления Л] (рис 26.25) При попадании плоскопараллельно!о пучка света часть ег о будет проходить через прозрачный объект и линзой L фокусироваться в небольшом участке Ффокальной плоскости F, а другая часть будет дифрагировать на неоднородности и соберется линзой в точке А плоскости 1.
Фазовый состав световых колебаний в плоскости 1 графически в координатах интенсивность—фаза изображен на рис. 26.26. Кривая 1 соответствует прямому свету, прошедшему через объект без дифракции, кривая 2 — свезу, дифрагированному объектом. Если п} > п2, то эта кривая будет отставать по фазе, что и показано на рисунке. Кривую 2можно представить как сумму двух волн. Одна из них (/) проходит объект без дифщакции, другая (3) является результатом дифракции на бактерии с показателем преломления щ. Кривую 3 можно найти графически, вычитая из ординат кривой 2 ординаты кривой 1.
Глаз в плоскости / (см. рис. 26.25) не различает волны 1 и 2, так как их интенсивности одинаковые, а на различие фаз глаз не реагирует. Необходимо фазовый рельеф преобразовать в амплитудный.
Как видно из рис. 26.26, волна 3 сдвинута по фазе относительно волны 1 приблизительно на я/2, что соответствует оптической разности хо-
да Х/4. Если изменить фазу волны 1 на%/2, то волны 1 и Покажутся либо в фазе (рис. 26.27, а), либо в противофазе (рис. 26.27, б). Кривую 2найдем графически как сумму ординат кривых 1 и 3. Из рисунка видно, что в этом случае волны 1 и 2уже различаются по интенсивности (амплитуде). поэтому глаз заметит бактерию на однородном световом поле.
Так как волна 7 проходит в плоскости F(cm. рис. 26.25) через небольшой участок, то можно, поставив в этом месте небольшую круглую пластинку' (фазовую пластинку) Ф, изменить фазу волны. Иногда фазовую
пластинку изготавливают из материала, который частично поглотает волну 7, в этом случае контраст бактерии будет еще более усилен, так как будет увеличена разница амплитуд волн 7 и 2
Фазово-контрастные устройства (пластинки, конденсоры) обычно комплектуют как дополнительные приспособления к микроскопам.
Рис. 26.28
Ультра микроскоп ия
Это метод обнаружения частиц, размеры которых лежат за пределами разрешения микроскопа. Микроскопы, работающие по этому методу, называют ультрамикроскопами. В них осуществляют боковое (косое) освещение, благодаря чему субмикроскопические частицы видны как светлые точки на темном фоне; строение частиц увидеть нельзя.
Принципиальная оптическая схема ультрамикроскопа изображена на рис. 26.28. Свет от источника попадает с левой стороны в кювету К с мелкими частицами аэрозолей, гидрозолей и т.п.; наблюдение проводят сверху. Этот метод позволяет регистрировать частицы размером до 2 мкм; его используют, в частности, с санитарно-гигиеническими целями для определения чистоты воздуха.
§ 26.10. ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В МЕДИЦИНСКИХ ПРИБОРАХ
Традиционными элементами оптических систем, формирующих световой пучок, являются линзы, зеркала, призмы, плоскопараллельные пластинки и т.п. Начиная с 50-х годов нашего столетия к этим элементам прибавились волоконно-оптические детали, которые способны передавать свет по канатам, называемым светопроводами.
Волоконной оптикой называют раздел оптики, в котором рассматривают передачу света и изображения по светопроводам.
Этим же термином иногда называют и сами волоконно-оптические детали и приборы.
Волоконная оптика основана на явлении полного внутреннего отражения. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна (рис. 26.29). Так как при полном отражении коэффициент отражения сравнительно высок (порядка 0,999ч), то потери энергии в основном обусловлены поглощением света веществом внутри волокна. Так, например, в видимой области спектра в волокне длиной 1 м теряется 30-70% энергии.
Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости све-топроводяшей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) — световоды. На рис. 26.30 схематически показан световод; из-за хаотического расположения волокон изображение цифры 1 искажено.
Рис. 26.31
В медицине световоды используют для решения двух задач: передачи световой энергии, главным образом для освещения холодным светом внутренних полостей, и передачи изображения. Для первого случая нс имеет значения положение отдельных волокон в световоде, для второго существенно, чтобы расположение волокон на входе и выходе световода было одинаковым.
Примером влияния волоконной
оптики на модернизацию существующих медицинских аппаратов является эндоскоп — специальный прибор для осмотра внутренних полостей (желудок, прямая кишка и др.). Он состоит из двух основных частей: источника света и смотровой части. Используя волоконную оптику, удалось, во-первых, свет от лампочки передавать внутрь органа по световоду, тем самым избегая нежелательного нагревания этого органа, которое неизбежно возникало при помещении источника света внутри полости в эндоскопах прежней конструкции; во-вторых, что самое главное, гибкость волоконно-оптических систем допускает осмотр большей части полостей, чем жесткие эндоскопы.
На рис. 26.31 показан волоконный гастроскоп. С его помощью можно не только визуально осмотреть желудок, но и произвести необходимые снимки с целью диагностики. Именно эти потребности медицины стимулировали развитие волоконной оптики вообще.
С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние органы с целью лечебного воздействия на опухоли.
В заключение заметим, что сетчатка глаза человека является высокоорганизованной волоконно-оптической системой, состоящей примерно из 130-106 волокон. Это, вероятно, наиболее сложная волоконно-оптическая система, существующая в настоящее время.
Глава 27
Тепловое излучение тел
Излучение электромагнит ныл волн веществом происходит благодаря внутриатомным и внутримолекулярным процессам. Источники энергии и, следовательно, вид свечения могут быть разными: экран телевизора, лампа дневного света, лампа накаливания, гниющее дерево, светлячок и т.д. Из всего многообразия электромагнитных излучений, видимых и,ш не видимых че.н/веческим глазом, можно выделить одно, которое присуще всем телам. Это излучение нагретых тел, или теплово» • излучение. Оно возникает при любых температурах выше О К, поэтому испускается всеми телами. В зависимости от температсры тела изменяются интенсивность излучения и спектральный состав, поэтому далеко не всегда тепловое излучение воспринимается главам как свечение
§ 27.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.
ЧЕРНОЕ ТЕЛО
Среднюю мощность излучения за время, значительно большее периода световых колебаний, принимают за поток излучения Ф, В СИ он выражается в ваттах (Вт).Поток излучения, испускаемый 1 м2 поверхности, называют энергетический светимостью Re. Она выражается в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).
Нагретое тело излучает электромагнитные волны различной длины волны. Выделим небольшой интервал длин волн от X до X + dX. Энергетическая светимость, соответствующая этому интервалу, пропорциональна ширине интервала:
= rAdX.
(27.1)
где rk — спектральная плотность энергетической светимости или испу-скательной способности тела, равная отношению энергетической светимости узкого участка спектра к ширине этого участка, Вт/м3. Испу-скательная способность тела есть функция длины волны и температуры: Г;. = Г (\, Т).
Зависимость спектральной плотности энергетической светимости от длины волны называют спектром излучения тела.
Проинтегрировав (27.1), получим выражение для энергетической светимости тела:
2
(27.2)
Л
(Пределы интегрирования взяты с превышением, чтобы учесть все возможное тепловое излучение )
Способность тела поглощать энергию излучения характеризуют коэффициентом поглощения, равным отношению потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него:
~ ФПОГ71/Ф11ЛД' (27.3)
Так как коэффициент поглощения зависит от длины волны, то (27.3) записывают для потоков монохроматического излучения, и тогда это отношение определяет монохроматический коэффициент поглощения или поглощательную способность тела1.
= фпогл U)/ фПА.д (А-). (27.3а)
Поглощательная способность тела есть функция длины волны и температуры сц -а(л, 7).
Из (27.3) следует, что коэффициенты поглощения могут принимать значения от 0 до 1. Особенно хорошо поглощают излучение тела черного цвета: черная бумага, ткани, бархат, сажа, платиновая чернь и т.п.; плохо поглощают тела с белой поверхностью и зеркала.
Тело, коэффициент поглощения которого равен единице для всех частот, называют черным. Оно поглощав г все падающее на него излучение.
Черных тел в природе нет, это понятие — физическая абстракция. Моделью черного тела является маленькое отверстие в замкнутой не-\ прозрачной полости (рис. 27.1). Луч, попавший в это отверстие, многократно отразившись от К. / I стенок, почти полностью будет поглощен. \ у В дальнейшем именно эту модель будем при-
/ нимать за черное тело.
Тело, коэффициент поглощения которого меньше единицы и не зависит от длины волны Рис. 27.1 света, падающего на него, называют серым.
Серых тел в природе нет, однако некоторые тела в определенном интервале длин волн излучают и поглощают как серые. Так, например, тело человека иногда считают серым, имеющим коэффициент поглощения приблизительно 0,9 для инфракрасной области спектра.
§ 27.2. ЗАКОН КИРХГОФА
Между спектральной плотностью энергетической светимости и монохроматическим коэффициентом поглощения тел существует определенная связь, которую можно пояснить на следующем примере.
В замкнутой адиабатной оболочке находятся два разных тела в условиях термодинамического равновесия, при этом их температуры одинаковы. Так как состояние тел не изменяется, то каждое из них излучает и поглощает одинаковую энергию. Спектр излучения каждого тела должен совпадать со спектром электромагнитных волн, поглощаемых им, иначе нарушилось бы термодинамическое равновесие. Это означает, что если одно из тел излучает какие-либо волны, например красные, больше, чем другое, то оно должно больше их и поглощать.
Количественная связь между излучением и поглощением была установлена Г. Кирхгофом в 1859 г.: отношение испускательной способности тела r( Т) к его поглощательной способности a(k, Т) есть функция г(Д 7), одинаковая для всех тел (закон Кирхгофа)-.
Т)
(27.4)
Для черного тела а(Х, Т)=1. поэтому е(л. Т) —энергетическая светимость черного тела.
Используя закон Киртофа. испускательную способность реального тела можно выразить через его поглощате дьную способность:
г(л, 7) = a (A.. Т) • е(/., 7). (27.5)
Тогда формула (27.1) принимает следующий вид:
d7?f=a(X, Т)-е(Х, 7)’dk (27.6)
При этом поглощательная способность тела может быть определена экспериментально.
§ 27.3. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА
Излучение черного тела имеет сплошной спектр. Графики спектров излучения для разных температур приведены на рис, 27.2. Из этих экспериментальных кривых можно сделать ряд ЕХ а Т’з выводов.
/ \ Существует максимум спектральной плот-
/ Т2\ пости энергетической светимости, который с
| /~\\ повышением температуры смещается в сторо-
II т \\ ну коротких волн.
На основании (27.2) энергетическую све-f тимость черного тела Re можно найти как пло-
X щадь, ограниченную кривой и осью асбцисс,
Рис. 27.2 иди
2 j
(27.7)
Из рис. 27.2 видно, что энергетическая светимость увеличивается по мере нагревания черного тела.
Долгое время не могли получить теоретически зависимость спектральной плотности энергетической светимости черного тела от длины волны и температуры, которая отвечала бы эксперименту. В 1900 г. это было сделано М. Планком.
В классической физике испускание и поглощение излучения телом рассматривались как непрерывный процесс,
Планк пришел к выводу, что именно эти основные положения не позволяют получить правильную зависимость. Он высказал гипотезу, из которой следовало, что черное тело излучает и поглотает энергию не непрерывно, а определенными дискретными порциями — квантами. Представляя излучающее тело как совокупность осцилляторов, энергия которых может изменяться лишь на величину, краткую /п1, Планк получил формулу:
2 л h с2 1 2л Av3
??’ exp [hc/(kTk)\ - 1 = exp[/?v/(£7)] - 1 (27'8)
(й — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме; к — постоянная Больцмана), которая прекрасно описывает экспериментальные кривые, изображенные на рис. 27.2.
На основании (27.6) и (27.8) спектр излучения серого тела может быть выражен зависимостью-
2 л h с2 1
ПС3 ехр [Лс/(ЛП)| - 1 '
(27.9)
где а — коэффициент поглощения серого тела.
Из формулы (27.8) можно получить законы, которые были установлены еще до основополагающей работы Планка. Рассчитаем энергетическую светимость черного тела ио формуле (27.7) с учетом (27.8):
'X
Re =2n/ic2l
О
_________67_________
73{ехр[Ас/(А:Гл)]}-1
Произведя замену переменных hc/^кТк) = х, запишем:
2 л кА Re ~ Й3С2 f x3dx 2л к4 с х36д- 74 V 1 = м? П г 1 (27.9а) J ех — 1 /?3с2 J ех — 1 ® о г х3 dx л4
Без вывода укажем, что щий из постоянных равен: 1 ~ с Множитель в (27.9а), состоя- J ех — 1 15 0
о = 2л3 к4 /(15 W) 5,6696 • 10~« Вт (м2 • К4).
(27.10)
Окончательно получаем:
Re=(jT\
(27.11)
Это закон Стефана—Больцмашг. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. Величину с называют постоянной Стефана—Больцмана.
Для серых тел [см. (27.2) и (27.9)] имеем:
г 2 л h с2 67
Бе = а ——------------- _ ,—- = ас Г4.
J 75 ehc/(kTk)} - 1
(27.12)
Закон Стефана—Больцмана можно качественно проиллюстрировать на разных телах (печь, электроплита, металлическая болванка и
т.д.): по мере их нагревания ощущается все более интенсивное излучение.
Функция ех, записанная в виде (27.8), имеет экстремум при условии:
dex/<R =0.
Отсюда находим закон смещения Вина:
^тах = Ь/Л ,
(27.13)
(27.14)
где Хтах — длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b = 0,28978 1(Н м • К — постоянная Вина. Этот закон выполняется и для серых тел.
Проявление закона Вина известно из обыденных наблюдений. При комнатной температуре тепловое излучение тел в основном приходится на инфракрасную область и человеческим глазом не воспринимается. Если температура повышается, то тела начинают светиться темнокрасным светом, а при очень высокой температуре — белым с голубоватым опенком, возрастает ощущение нагретости тела,
Законы Сгефана—Больцмана и Вина позволяют, измеряя излучение тел, определять их температуры (оптическая пирометрия).
§ 27.4. ИЗЛУЧЕНИЕ СОЛНЦА.
ИСТОЧНИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ЛЕЧЕБНЫХ ЦЕЛЕЙ
Наиболее мощным источником теплового излучения, обусловливающим жизнь на Земле, является Солнце
Поток солнечной радиации, приходящийся на 1 м2 площади границы земной атмосферы, составляет 1350 Вт, Эту величину называют солнечной постоянной.
В зависимости от высоты Солнца над горизонтом путь, проходимый солнечными лучами в атмосфере, изменяется в довольно больших пределах (рис. 27.3; граница атмосферы изобоажена условно) с максимальным различием в 30 раз. Даже при самых благоприятных условиях на 1 м2 поверхности Земли падает поток солнечной радиации 1120 Вт. В июле в Москве при наивысшем стоянии Солнца это значение достигает только 930 Вт/м2. В остальное время дня потери в атмосфере еще больше.
Рис. 27.3
Рис. 27.1
Ослабление радиации атмосферой сопровождается изменением ее спектрального состава. На рис. 27.4 показан спектр солнечного излучения на границе земной атмосферы (кривая 7) и на поверхности Земли (кривая 2) при наивысшем стоянии Солнца. Кривая / близка к спектру черного тела, ее максимум соответствует длине волны 470 нм, что, по закону Вина, позволяет определить температуру поверхности Солнца — около 6100 К. Кривая 2 имеет несколько линий поглощения, ее максимум расположен около 555 нм. Интенсивность прямой солнечной ра
диации измеряют актинометром.
Принцип действия его основан на использовании нагревания зачерненных поверхностей тел, происходящего от солнечной радиации.
В термоэлектрическом актинометре Савинова— Янишевскою (рис. 27.5) приемной частью радиации является тонкий, зачерненный с наружной стороны серебряный диск 7. К диску с электрической изоляцией припаяны спаи термоэлементов 2, другие спаи 3 прикреплены к медному кольцу (на рисунке не показано) внутри корпуса актинометра и затенены. Под действием солнечной радиации возникает электрический ток в термобатарее (см. § 15.6), сила которою пропорциональна потоку радиации. Рис. 27.5
Дозированную солнечную радиацию применяют как солнцелечение (гелиотерапия), а также как средство закаливания организма.
Для лечебных целей используют искусственные источники теплового излучения: лампы накаливания (соллюкс) и инфракрасные излучатели (инфраруж), укрепленные в специальном рефлекторе на штативе. Инфракрасные излучатели устроены подобно бытовым электрическим нагревателям с круглым рефлектором. Спираль нагревательного элемента накативается током до температуры порядка 400—500 ’С.
§ 27.5. ТЕПЛООТДАЧА ОРГАНИЗМА. ПОНЯТИЕ О ТЕРМОГРАФИИ
Тело человека имеет определенную температуру благодаря терморегуляции, существенной частью которой является теплообмен организма с окружающей средой. Рассмотрим некоторые особенности такого теплообмена, предполагая, что температура окружающей среды ниже температуры тела человека.
Теплообмен происходит посредством теплопроводности, конвекции, испарения и излучения (поглощения).
Трудно или даже невозможно точно указать распределение отдаваемого количества теплоты между перечисленными процессами, так как оно зависит от многих факторов: состояния организма (температура, эмоциональное состояние, подвижность и т.д.), состояния окружающей среды (температура, влажность, движение воздуха и т.п.), одежды (материал, форма, цвет, толщина).
Однако можно сделать приближенную и усредненную оценки для лиц, не имеющих особой физической нагрузки и проживающих в условиях умеренного климата.
Так как теплопроводность воздуха мала, то этот вид теплоотдачи очень незначителен.
Более существенна конвекция, она может быть не только обычной, естественной, но и вынужденной, при которой воздух обдувает нагретое тело. Большую роль для уменьшения конвекции играет одежда. В условиях умеренного климата 15—20% теплоотдачи человека осуществляется конвекцией
Испарение происходит с поверхности кожи и легких, при этом имеет место около 30% теплопотерь.
Наибольшая доля теплопотерь (около 50%) приходится на излучение во внешнюю среду открытых частей тела и одежды. Основная часть это
го и злучения относится к инфракрасному диапазону с длиной волны от 4 до 50 мкм.
Для вычисления этих потерь сделаем два основных допущения.
1. Излучаемые тела (кожа человека, ткань одежды) примем за серые. Это позволит использовать формулу' (27.12).
Назовем произведение коэффициента поглощения на постоянную Стефана—Больцмана приведенным коэффициентом излучения. б = сот. Тогда (27.12) перепишется так:
Re = c>T\
(27.15)
Ниже даны коэффициент поглощения и приведенный коэффициент излучения для некоторых тел (табл. 27.1).
Таблица 27.1
а б, 10-8 Вт/(м2 • К4)
Хлопчатобумажная ткань 0,73 4,2
Шерсть, шелк 0,76 4,3
Кожа человека 0,90 5,1
2. Применим закон Стефана—Больцмана к неравновесному излучению, к которому, в частности, относится излучение тела человека.
Если раздетый человек, поверхность тела которого имеет температуру 7), находится в комнате с температурой Го, то его потери излучением могут быть вычислены следующим образом. В соответствии с формулой (2*7.15) человек излучает со всей открытой поверхности тела площади S мощность Р{ = S&T]4. Одновременно человек поглощает часть излучения, попадающего от предметов комнаты, стен, потолка и т.п. Если бы поверхность тела человека имела температуру, равную температуре воздуха в комнате, то излучаемая и пот зощаемая мощное j и были бы одинаковы и равны PQ = 56 Г04.
Такая же мощность будет поглощаться телом человека и при других температурах поверхности тела.
На основании двух последних равенств получаем мощность, теряемую человеком при взаимодействии с окружающей средой посредством излучения:
Р=Л-А = 5'8<г1-7-;).
Для одетого человека под Т} следует понимать температуру поверхности одежды. Приведем количественный пример, поясняющий роль одежды.
При температуре окружающей среды 18° С (291 К) раздетый человек, температура поверхности кожи которого 33°С (306 К), теряет ежесекундно посредством излучения с площади 1,5 м2 энергию:
Р = 1,5-5,1 Д0-Д3064 - 2914) Дж/с^ 122 Дж/с.
При той же температуре окружающей среды в хлопчатобумажной одежде, температура поверхности которой 24 °C (297 К), ежесекундно теряется посредством излучения энергия:
Род = 1,5 • 4,2 • 10-Д2974 - 2914) Дж/с 37 Дж/с.
Максимум спектральной плотности энергетической светимости тела человека в соответсз вии с законом Вина попадает на длину волны приблизительно 9,5 мкм при температуре поверхности кожи 32’С.
Вследствие сильной температурной зависимости энергетической светимости (четвертая степень термодинамической температуры) даже небольшое повышение температуры поверхности может вызвать такое изменение излучаемой мощности, которое надежно зафиксируется приборами. Поясним это количественно.
Продифференцируем уравнение (27.15): d/?e = 4стР • 6Т. Разделив это выражение на (27.15), получим dRJRe = 4d Т/Т. Это означает, что относительное изменение энергетической светимости больше относительного изменения температуры излучающей поверхности в четыре раза. Так, если температура поверхности тела человека изменится на 3 °C, т.е. приблизительно на !%, то энергетическая светимость изменится на 4%.
У здоровых людей распределение температуры по различным точкам поверхности тела достаточно характерно. Однако воспалительные процессы, опухоли могут изменить местную темпера гуру.
Температура вен зависит от состояния кровообращения, а также от охлаждения или нагревания конечностей. Таким образом, регистрация излучения разных участков поверхности тела человека и определение их температуры являются диагностическим методом.
Такой метод, называемый термографией, находит все более широкое применение в клинической практике.
Термография абсолютно безвредна и в перспективе может стать методом массового профилактического обследования населения.
Определение различия температуры поверхности тела при термографии в основном осуществляется двумя методами. В одном случае используются жидкокристаллические индикаторы, оптические свойства которых очень чувствительны к небольшим изменениям температуры. Помещая эти индикаторы на тело больного, можно визуально по изменению их цвета определить местное различие температуры.
Другой метод — технический, он основан на использовании тепловизоров (см. § 27.8).
§ 27.6. ИНФРАКРАСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНЕ
Электромагнитное излучение, занимающее спектральную область между красной границей видимого света (1 = 0,76 мкм) и коротковолновым радиоизлучением [к = (1—2) мм], называют инфракрасным (ИК).
Инфракрасную область спектра условно разделяют на близкую (0,76—2,5 мкм), среднюю (2,5—50 мкм) и далекую (50—2000 мкм).
Нагретые твердые и жидкие тела испускают непрерывный инфракрасный спектр. Если в законе Вина вместо ктах подставить пределы ПК-излучения, то получим соответственно температуры 3800-1,5 К. Это означает, что все жидкие и твердые тела в обычных условиях практически не только являются источниками И К-излучения, но и имеют максимальное излучение в ПК-области спектра Отклонение реальных тел от серых нс изменяет существа вывода.
При невысокой температуре энергетическая светимость тел мала. Поэтому далеко нс все тела могут быть использованы в качестве источников ПК-излучения. В связи с этим наряду с тепловыми источниками ИК-излучения используют еще ртутные лампы высокого давления и лазеры, которые уже не дают сплошного спектра. Мощным источником ИК-излучения является Солнце, около 50% его излучения лежит в ПК-области спектра.
Методы обнаружения и измерения ИК-излучения делят в основном на две группы тепловые и фотоэлектрические. Примером теплового приемника служит термоэлемент, нагревание которого вызывает электрический ток (см. § 15.6). К фотоэлектрическим приемникам относят фотоэлементы, электронно-оптические преобразователи, фотосопротивления (см. § 27.8).
Обнаружить и зарегистрировать инфракрасное излучение можно также фотопластинками и фотопленками со специальным покрытием.
. Лечебное применение инфракрасного излучения основано на его тепловом действии. Наибольший эффект достигается коротковолновым И К-излучением, близким к видимому свету. Для лечения используют специальные лампы (см. § 27.4'
Инфракрасное излучение проникает в тело на глубину около 20 мм, поэтому в большей степени прогреваются поверхностные слои. Терапевтический эффект как раз и обусловлен возникающим температурным градиентом, что активизирует деятельность герморегулирующей системы. Усиление кровоснабжения облученного места приводит к благоприятным лечебным последствиям.
§ 27.7. УЛЬТРАФИОЛЕТОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНЕ
Электромагнитное излучение, занимающее спектральную область между фиолетовой границей видимого света (X = 400 нм) и длинноволновой частью рентгеновского излучения (X = 10 нм), называют ультрафиолетовым (УФ).
В области ниже 200 нм УФ-излучение сильно поглощается всеми телами, в том числе и тонкими слоями воздуха, поэтому особого интереса для медицины не представляет.
Остальную часть УФ-спсктоа условно делят на три области: А (400— 315 нм), В (315—280 нм) и С (280—200 нм).
Накаленные твердые тела при высокой температуре излучают заметную долю УФ-излучения. Однако максимум спектральной плотности энергетической светимости в соответствии с законом Вина даже для наиболее длинной волны (0,4 мкм) приходится на 7000 К. Практически это означает, что в обычных условиях тепловое излучение сеоых тел не может служить эффективным источником мощного УФ-излучения. Наиболее мощным источником теплового УФ-излучения является Солнце, 9% излучения которого на границе земной атмосферы составляет ультрафиолетовое.
В лабораторных условиях в качестве источников УФ-излучения используют электрический разряд в газах и парах металлов. Такое излучение уже не является тепловым и имеет линейчатый спектр.
Измерение УФ-излучения в основном осуществляется фотоэлектрическими приемниками, фотоэлементами, фотоумножителями (см. § 27.8). Индика горами УФ-света являются люминесцирующие вещества и фотопластинки.
УФ-излучение необходимо для работы ультрафиолетовых микроскопов (см. § 26.8), люминесцентных микроскопов, для люминесцентного анализа (см. § 29.7).
Главное применение УФ-излучения в медицине связано с его специфическим биологическим воздействием, которое обусловлено фотохимическими процессами (см. § 29.9).
§ 27.8. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ И ЕГО НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называют группу явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом и заключающихся либо в эмиссии электронов (внешний фотоэффект), либо в изменении электропроводимости вещества или возникновении электродвижущей силы (внутренний фотоэффект).
В фотоэффекте проявляются корпускулярные свойства света. Данный вопрос излагается в настоящей главе, так как ряд методов индикации теплового излучения основан на этом явлении.
Внешний фотоэффект наблюдается в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация) и в конденсированных средах.
Внешний фотоэффект в металле можно представить состоящим из трех процессов: поглощение фотона электроном проводимости, в результате чего увеличивается кинетическая энергия электрона; движение электрона к поверхности тела; выход электрона из металла. Этот процесс энергетически описывают уравнением Эйнштейна:
hv — А + ти2/2, (27.16)
где h\> = е — энергия фотона; wu2/2 — кинетическая энергия электрона, вылетевшего из металла; А — работа выхода электрона.
Если, освешая металл монохроматическим светом, уменьшать частоту излучения (увеличивать длину волны), то, начиная с некоторого ее значения, называемого красной границей, фотоэффект прекратится. Согласно (27.16), предельному случаю соответствует нулевая кинетическая энергия электрона, что приводит к соотношению:
Avrp = А или X гр = he /А. (27.17)
С помощью этих выражений определяют работу выхода А.
Приведем значения красной границы фотоэффекта и работы выхода для некоторых металлов (табл. 27.2).
Таблица 27.2
^-ii) Л, эВ
Серебро 260 4.75
Цинк 290 4.20
Цезий 620 2,0
Как видно, термин «красная граница» не означает, что граница фотоэффекта обязательно попадает в область красного цвета.
Внутренний фотоэффект наблюдается при освещении полупроводников и диэлектриков, если энергия фотона достаточна для переброса электрона из валентной зоны в зону проводимости. В примесных полупроводниках фотоэффект обнаруживается также в том случае, если энергия электрона достаточна для переброса электронов в зону проводимости с донорных примесных уровней или из валентной зоны на акцепторные примесные уровни. Так в полупроводниках и диэлектриках во зникает фотоэлектропроводимость.
Интересная разновидность внутреннего фотоэффекта наблюдается в контакте электронного и дырочного полупроводников. В этом случае под действием света возникают электроны и дырки, которые разделяются электрическим полем р—«-перехода: электроны перемещаются в полупроводник типа п, а дырки — в полупроводник типа р. При этом между дырочным и электронным полупроводниками изменяется контактная разность потенциалов по сравнению с равновесной, т.е. возникает фото электродвижущая сила. Такую форму внутреннего фотоэффекта называют вентильным фотоэффектом.
Он может быть использован для непосредственного преобразования энергии электромагнитного излучения в энергию электрического тока.
Электровакуумные или полупроводниковые приборы, принцип работы которых основан на фотоэффекте, называют фотоэлектронными. Рассмотрим устройство некоторых из них.
Наиболее распространенным фотоэлектронным прибором является фотоэлемент. Фотоэлемент, основанный на внешнем фотоэффекте (рис. 27.6, а), состоит из источника электронов - фотокатода К, на который попадает свет, и анода А. Вся система заключена в стеклянный баллон, из которою откачан воздух. Фотокатод, представляющий фоточув-ствительный слой, может быть непосредственно нанесен на часть внут-
Рис. 27.6
в
ренней поверхности баллона (рис, 27.6, б). На рис. 27,6, в дана схема включения фотокатода в цепь.
Для вакуумных фотоэлементов рабочим режимом является режим насыщения, которому соответствуют горизонтальные участки вольт-амперных характеристик, полученных при разных значениях светового потока (рис. 27.7; Ф2 > ФД.
Основной параметр фото эдема гта — его чувствительность, выражаемая отношением силы фототока к соответствующему световому потоку. Эта величина в вакуумных фотоэлементах достигает значения порядка 100 мкА/лм.
Для увеличения силы фототока применяют также газонаполненные фотоэлементы, в которых возникает несамостоятельный темный разряд в инертном газе, и вторичную электронную эмиссию — испускание электронов, происходящее в результате бомбардировки поверхности металла пучком первичных электронов. Последнее находит применение в фотоэлектронных умножителях (ФЭУ).
Схема ФЭУ приведена на рис. 27.8. Падающие на фотокатод А'фотоны эмигрируют электроны, которые фокусируются на первом электроде (диноде) Э]. В результа ге вторичной электронной эмиссии с этого динода вылетает больше электронов, чем падает на него, т.е. происходит как бы умножение электронов. Умножаясь на следующих динодах, электроны в итоге образуют усиленный в сотни тысяч раз ток по сравнению с первичным фототоком.
Рис. 27.9
ФЭУ применяют главным образом для измерения малых лучистых потоков, в частности ими регистрируют сверхслабую биолюминесценцию, что важно при некоторых биофизических исследованиях.
На внешнем фотоэффекте основана работа электро! п ю-оптического
преобразователя (ЭОП), предназначенного для преобразования изобра
жения из одной области спектра в другую, а также для усиления яркости изображений.
Схема простейшего ЭОП приведена на ряс. 27.9. Световое изображение объекта 1. спроецированное на полупрозрачный фотокатод К, преобразуется в элек тронное изображение 2 Ускоренные и сфокусированные электрическим полем электродов Э электроны попадают на люминесцентный экран L. Здесь электронное изображение благодаря катодолюминесценции вновь преобразуется в световое 3.
В медицине ЭОП применяют дня усиления яркости рентгеновского изображения (см. § 31.4), это позволяет значительно уменьшить дозу облучения человека. Если сигнал с ЭОП подать в виде развертки на теле-
визионную систему, то на экране телевизора можно получить «тепловое» изображение предметов. Части тела, имеющие разные температуры, различаются на экране либо цветом при цветном изображении, либо яркостью, сели изображение черно-белое. Такая техническая система,
Напыленный
Свет электрод
Рис. 27.11
Рис. 27.12
называемая тепловизором, она используется в термографии (см. § 27.5). На рис. 27.10 дан внешний вид тепловизора ТВ-03.
Вентильные фотоэлементы имеют преимущество перед вакуумными, так как работают без источника тока,
Один из таких фотоэлементов — медно-закисный — представлен на схеме рис. 27.11. Медная пластинка, служащая одним из электродов, покрывается тонким слоем закиси меди Си2О (полупроводник). На закись меди наносится прозрачный слой металла (например, колото Au), который служит вторым электродом. Если фотоэлемент осветить через второй электрод, то между электродами возникнет фсто-э.д.с., а при замыкании электродов в электрической цепи пойдет ток, зависящий от сзегового потока. Чувствительность вентильных фотоэлементов достигает нескольких тысяч микроампер на люмен.
На основе высокоэффективных вентильных фотоэлементов с к.п.д., равным 15% для солнечного излучения, создают специальные солнечные батареи для питания бортовой аппаратуры спутников и космических кораблей.
Зависимость силы фототока от освещенности (светового потока) позволяет использовать фотоэлементы как люксметры, что находит применение в санитарно-гигиенической практике и при фотографировании для определения экспозиции (в экспонометрах).
Некоторые вентильные фотоэлементы (сернисто-таллиевый, германиевый и др.) чувствительны к инфракрасному излучению, их применяют ддя обнаружения нагретых невидимых тел, т.с. как бы расширяют возможности зрения. Другие фотоэлементы (селеновые) имеют спек тральную чувствительность, близкую к человеческому глазу, это открывает возможности использования их в автоматических системах и приборах вместо глаза как объективных приемников видимого диапазона света.
На явлении фотопроводимости основаны приборы, называемые фото-сопротивлениями. Простейшее фотосопротивление (рис. 27.12)
представляет собой тонкий слой полупроводника 1 с металлическими электродами 2; 3 — изолятор.
Фотосопротивления, как и фотоэлементы, позволяют определять некоторые световые характеристики и используются в автоматических системах и измерительной аппаратуре.
§ 27.9. СВЕТОВОЙ ЭТАЛОН. НЕКОТОРЫЕ СВЕТОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Тепловое излучение тел широко используют как источник видимого света, поэтому остановимся еще на некоторых величинах, характеризующих его.
Для воспроизведения с наивысшей достижимой точностью единиц световых величин применяют световой эталон со строго заданными геометрическими размерами.
Устройство его схематически показано на рис. 27.13: ! — трубка из плавленного оксида тория вставлена в тигель 2, состоящий из плавленного оксида тория и заполненный химически чистой платиной 3; 4 — кварцевый сосуд с порошком оксида тория 5; 6 — смотровое окно; 7 — фотометрическая установка, позволяющая уравнивать освещенности, создаваемые на пластине 9} эталонным излучателем и эталоном-копией; 8 — специальная электрическая лампа накаливания (эталон-копия).
Сила света / — характеристика источника света — выражается в канделах (кд). Кандела — сила света, испускаемого с поверхности площадью 1/600 000 м2 полного излучателя в перпендикулярном направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины при давлении 101 325 Па.
Рис. 2713
Световым потоком Ф называют среднюю мощность энергии излучения, оцениваемую по световому ощущению, которое она производит.
Единицей светового потока является люмен (лм), Люмен — световой поток, излучаемый точечным источником в телесном угле 1 ср при силе света 1 кд.
Светимостью называют величину, равную отношению светового потока, испускаемого светящейся поверхностью, к площади этой поверхности'.
R = ®mJS.
(27.18)
Единицей светимости является люкс (лк) —- освещенность поверхности площадью 1 м2 при световом потоке падающего на нее излучения, равном 1 лм.
Для оценки излучения или отражения света в заданном направлении вводят световую величину, называемую яркостью. Яркость определяют как отношение силы света d/ элементарной поверхности d5 в заданном направлении к проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную этому направлению:
d7 d/
d5cosa’
(27.19)
где a — угол между перпендикуляром к светящейся поверхности и заданным направлением (рис. 27,14).
Единица яркости — кандела на квадратный метр (кд/м2). Световой эталон при сформулированных выше условиях соответствует яркости 6 • 105 кд/м2.
Источники, яркость которых одинакова по всем направлениям, называют ламбертовскими1, строго говоря, таким .
источником является только черное тело, । Г
Освещенностью называют величину, равную /
отношению потока, падаюшего на данную по - л
верхнее ть, к площади этой поверхности'. / \
£=ФпадМ- (27.20)
В гигиене освещенность используется для опенки освещения. Измеряется освещен- d^° \
ность люксметрами, принцип действия кото-
рых основан на фотоэффекте (см. § 27.8). Рис. 27.14
Оценку и нормирование естественного освещения производят не в абсолютных единицах, а в относительных показателях коэффициента естественной освещенности — отношение естественной освещенности в рассматриваемой точке внутри помещения к одновременному значению наружной освещенности на горизонтальной поверхности под открытым небом без прямого солнечного света.
Оценка искусственною освещения производится путем измерения освещенности и яркости, а нормирование уровней искусственного освещения — с учетом характера зрительной работы. Пределы допускаемой освещенности для разных работ колеблются от сотни до нескольких тысяч люкс.
Раздел 7
ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ БИОФИЗИКИ
До конца прошлого века атом считали неделимой частицей. Однако открытие электронов, обнаружение их в составе всех веществ убедило ученых в сложном строении атома. Решающее значение для понимания структуры атома сыграли знаменитые опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Были созданы условия для развития физики атома, которая изучает строение и состояние атомов: теория атома, атомная (оптическая) спектроскопия, рентгеновская спектроскопия, радиоспектроскопия и другие вопросы. Физика атомов и особенно физика молекул перекликаются с вопросами, рассматриваемыми в химии. Четкие границы раздела в этой области отсутствуют. Врач должен иметь представление о природе физических и физико-химических процессов, происходящих в организме человека. В конечном итоге эти процессы разыгрываются на молекулярном уровне, поэтому здесь рассматриваются вопросы, связанные с энергетическими превращениями молекул в биологических системах (хемилюминесценция, фотобиологические явления и др.). Эти темы объединяют термином «квантовая биофизика», видимо, по созвучию с квантовой механикой.
Глава 28
Волновые свойства частиц. Элементы квантовой механики
Квантовой механикой называют современную теорию, устанавливающую способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, ядер) и их систем. Необычность квантово-механических представлений по сравнению с классической физикой открыла период ломки основных физических моделей, которые казались очевидными и нерушимыми. Главным образом это коснулось понятия частицы и принципов ее движения.
Вэтой главе дается понятие не только о квантовой механике, но и о тех идеях и опытах, которые привели к этой теории. Как метод, основанный на волновых свойствах электронов, рассматривается электронная микроскопия.
§ 28.1. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ.
ОПЫТЫ ПО ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДРУГИХ ЧАСТИЦ
Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем (1924)’.
В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.
1 Гипотеза де Бройля была сформулирована до опытов, подтверждающих волновые свойства частиц. Де Бройль об этом позднее, в 1936 г. писал так: «... не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойственен, как и свет? На первый взгляд такая идея казалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законам классической динамики. Электрон никогда явно не проявлял волновых свойств, таких, скажем, какие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспериментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фанта шя».
Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц — фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства. Итак, фотон — элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.
Логично считать, что и другие частицы — электроны, нейтроны обладают волновыми свойствами.
Формула для импульса фотона:
p=hv/c=hfk (28.1)
была использована для других микрочастиц массой т, движущихся со скоростью и:
р = т\у = h/X,
откуда
X = (28.2)
По де Бройлю, движение частицы, например электрона, подобно волновому процессу с длиной волны X, определяемой формулой (28.2). Эти волны называют волнами де Бройля.
Гипотеза де Бройля была столь необычной, что многие крупные физики-современники не придали ей какого-либо значения. Несколькими годами позже эта гипотеза получила экспериментальное подтверждение: была обнаружена дифракция электронов.
Пусть электрон получает кинетическую энергию, пройдя разность потенциалов U, тогда заполняется равенство:
дю2/2 — eU.
Выразим отсюда скорость и, подставив ее в (28.2), имеем:
7, = h/^2emU- (28.3)
Для получения достаточно хорошего пучка электронов, который можно зафиксировать, например, на экране осциллографа, необходимо ускоряющее напряжение порядка 1 кВ. В этом случае из (28.3) находим к = 0,4 • 10-10 м, что соответствует длине волны рентгеновского излучения.
В гл. 24 было отмечено, что дифракция рентгеновских лучей наблюдается на кристаллических телах; следовательно, для дифракции электронов необходимо также использовать кристаллические вещества
К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля, Дж.П. Томсон и независимо от него П.С. Тартаков-ский — на металлической фольге (по-
ликристалл иасское тело). Рис. 28.1
На рис. 28.1 изображена электроно-
грамма — дифракционная картина, полученная от взаимодействия электронов с поли кристаллической фольгой.
Сравнивая этот рисунок с рис. 24.21, можно заметить сходство дифракции электронов и рентгеновских лучей.
Способностью дифрагировать обладают и другие частицы, как заряженные (протоны, ионы и др ), так и нейтральные (нейтроны, атомы, молекулы).
Аналогично рентгеносгруктурному анализу можно применять дифракцию частиц для определения упорядоченного или разупорядочен-
ного расположения атомов и молекул вещества и для оценки параметров кристаллических решеток.
В настоящее время широкое распространение имеют методы электронографии (дифракция электронов) и нейтронографии (дифракция нейтронов).
Могут возникнуть вопросы: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?
Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, т.е. как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства при
суши не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.
§ 28.2. ЭЛЕКТРОННЫЙ МИКРОСКОП. ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ
Волновые свойства частиц можно использовать не только для дифракционного структурного анализа но и для получения увеличенных изображений предмета.
Из (26.19) следует, что предел разрешения оптического микроскопа в основном определяется предельным значением длины волны света, воспринимаемого глазом человека. Подставив в ату формулу значение длины волны де Бройля (28.3), найдем предел разрешения электронного микроскопа, в котором изображение предмета формируется электронными пучками:
Z = 0,5/? /\^2emU sin(ы/2)J. (28.4)
Как нетрудно убедиться, предел разрешения z электронного микроскопа зависит от ускоряющего напряжения, и можно добиться, чтобы он был значительно меньше, а разрешающая способность значительно больше, чем у оптического микроскопа.
Электронный микроскоп и его отдельные элементы по своему назначению подобны оптическому, поэтому воспользуемся аналогией для объяснения его устройства и принципа действия. Схемы обоих микроскопов изображены на рис. 28.2 (а — оптический; б — электронный).
В оптическом микроскопе носителем информации о предмете АВ является фотон, свет. Источником света обычно служит лампа накаливания /. После взаимодействия с предметом (поглощение, рассеяние, дифракция) поток фотонов преобразуется и содержит информацию о предмете. Поток фотонов формируется с помощью оптических устройств, в основном линз: конденсора 3, объектива 4, окуляра 5. Изображение В{ регистрируется глазом 7 (или фотопластинкой, фотолю-минес пирующим экраном и т.д.).
В электронном микроскопе носителем информации о предмете является электрон, а источником электронов — подогреваемый катод 1. Ускорение электронов и образование пучка осуществляют фокусирующим электродом и анолом — системой, называемой электронной пушкой 2. После взаимодействия с предметом (в основном рассеяние) поток электронов преобразуется и содержит информацию о предмете. Формирование потока электронов происходит под воздействием электрического поля (система электродов и конденсаторов) и магнитного (систе-
ма катушек с током). Эти системы называют электронными линзами по аналогии с оптическими линзами, которые формируют световой поток (3 — конденсорная; 4 — электронная, служащая объективом; 5 — проекционная). Изображение регистрируется на чувствительной к электронам фотопластинке или катодолюминесцирующсм экоане б
Чтобы оценить предел разрешения электронного микроскопа, подставим в формулу (28.4) ускоряющее напряжение 100 кВ и угловую апертуру порядка 10~2 рад (приблизительно такие углы используют в электронной микроскопии). Тогда получим 0,1 нм, что в сотни раз лучше, чем у оптических микроскопов. Применение ускоряющего напряжения, большего 100 1 В, хотя и повышает разрешающую способность, но связано с некоторыми сложностями, в частности происходит
разрушение исследуемого объекта электронами, имеющими большую скорость. Практически даже с помощью самого хорошего электронного микроскопа можно достичь предела разрешения порядка 1(Н° м; это в сотни раз лучше, чем у оптических микроскопов.
К достоинствам электронного микроскопа следует отнести большую разрешающую способность, позволяющую рассматривать крупные молекулы, возможность изменять при необходимости ускоряющее напряжение и, следовательно, предел разрешения и сравнительно удобное управление потоком электронов с помощью магнитных и электрических полей.
Укажем некоторые особенности эксплуатации электронного микроскопа. В тех частях его, где пролетают электроны, должен быть вакуум. так как в противном случае столкновение электронов с молекулами воздуха (газа) приведет к искажению изображения. Это требование к электронной микроскопии усложняет процедуру исследования, делает аппаратуру более громоздкой и дорогой. Вакуум искажает нативные свойства биологических объектов, а в ряде случаев разрушает или деформирует их.
Для рассматривания в электронном микроскопе пригодны лишь очень тонкие срезы, так как электроны сильно поглощаются и рассеиваются веществом. Поэтому в некоторых случаях целесообразно сделать оттиск исследуемой поверхности объекта на тонком слое пластмассы. Эту процедуру называют репликацией, а пластмассовую копию поверхности — репликой.
Рис. 28.3
Рис. 28.4
Современный отечественный электронный микроскоп ЭВМ-100 ЛМ (рис. 28.3) дает максимальное 600 000-кратное увеличение и гарантированный предел разрешения 3 -10 1и м. На рис. 28.4 приведены снимки молекул РНК в разных состояниях, полученные на электронном микроскопе с увеличением в 100 000 раз.
Наличие волновых и корпускулярных свойств как у фотонов, так и у электронов и других частиц позволяет ряд положений и законов оптики распространить и на описание движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях.
Эта аналогия позволила выделить как самостоятельный раздел электронную оптику — область физики, в которой изучается структура пучков заряженных частиц, взаимодействующих с электрическими и магнитными полями. Как и обычную оптику, электронную можно подразделить на геометрии* скую (лучевую) и волновую (физическую).
В рамках геометрической электронной оптики, в частности, описывается движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Схематическое изображение построения изображения в электронном микроскопе (см. рис. 28.2. б) основывается на геометрической электронной оптике.
Подход волновой электронной оптики существен в том случае, когда проявляются волновые свойства заряженных частиц. Хорошей иллюстрацией является нахождение разрешающей способности (предела разрешения), приведенное в начале параграфа.
§ 28.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: ц/(х, у, z, t).
Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т.е. не зависящим от времени, то ^-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой — от координат:
у(х, у, z, t) =A0v(a, у, <). (28.5)
В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ^-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения
Выделим в пространстве достаточно малый объем dK= dxdyd^, в пределах которого значения \|/-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dWzB частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ^-функции:
dJrft=M2dPz. (28.6)
Отсюда следует физический счысл волновой функции:
|vP = dryB/dH. (28.7)
Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, т.е. отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему.
Интегрируя выражение (28.6) по некоторому объему И, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме1
H-zB = jH2dE. (28.8)
V
§ 28.4. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.
Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Дх и Д/\.
В классической физике нет каких-либо ограничении, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, т.е. Дх —> 0 и Дрл -> 0.
В квантовой механике положение принципиально иное: Ах и Дрх, соответствующие одновременному определению х и рх, связаны зависимостью:
Ах Д/\> А/(2я).
(28.9)
Таким образом, чем точнее определена координата х (Дх -> 0), тем менее точно определена проекция рх(Арх -> ос), и наоборот. Аналогично,
Ду Дру >h/(2n); Sz > h/( 2n).
(28.10)
Формулы (28.9), (28.10) называют соотношениями неопределенностей. Поясним их одним модельным экспериментом.
В § 24.5 было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет наблюдаться и при дифракции электронов на щели в модельном опыте1. Уменьшение ширины шели означает уменьшение Ах (рис. 28.5), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, т.е. к большей неопределенности импульса и скорости частиц.
Еще одно соотношение неопределенностей можно представить в виде:
Л.Е> й/(2л),
(28.11)
где Д£ — неопределенность энергии некоторого состояния системы; А/ — промежуток времени, в течение которого оно существует. Соотно-
1 Реально осуществить закон опыт невозможно, так как размеры щели должны быть порядка атомов, поэтому описывается некоторый мысленный эксперимент.
шение (28.11) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е{, и т.д. имеют некоторую ширину (рис. 28.6), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.
«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии .ЛЕ излучаемого фотона и его частоты Av при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:
A£"= А(/ш) = /;Av
(28.12)
Это проявляется в уширении спектральных линий.
§ 28.5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ЭЛЕКТРОН В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
Так как состояние микрочастицы описывают у/-функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Э. Шредингером (1926). Такое уравнение в квантовой механике постулируется также, как в классической механике постулируется второй закон Ньютона.
Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так-
с2и 32у Э2\|/
дх2 ду2
8 тс 2/л
—^—(Е- Ejv = О,
(28.13)
где т — масса частицы; Е и Еп — ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени).
Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси Az (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид:
d2\i %nhn
dx2 h-
(£-£,> = ().
(28.14)
Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной ямс.
Пусть электрон перемещается вдоль оси Столько в пределах 0 < х < / (рис, 28.7), Это означает, что в указанном интервале ^-функция отлична от нуля, а вне интервала (х <0, х >/) равна нулю.
Так как на частицу в выделенном интервале силовые поля не действуют, то ее потенциальная энергия может иметь любое постоянное значение (наиболее удобно принять £п = 0). Вне этого интервала электрона нет, поэтому следует считать его потенциальную энергию бесконечно большой. На рис. 28.7 показана графическая зависимость £п = fix). Интервал 0 < х < /, удовлетворяющий сформулированным выше условиям, называют одномерной прямоугольной потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками. С учетом £п = 0 уравнение Шредингера (28.14) для интервала 0 < х < / имеет вид:
d2y dx2
8n2m
(28.14а)
Введя обозначение
со2-8л2т£//72,
получим:
—— + С92 V = 0. dx2
(28.15)
(28.16)
Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонического колебания (см. § 7.1), решение которого:
Y = Vocos(°>x +Фо)’ (28.17)
где — амплитуда волновой функции; ср0 — се начальная фа за.
Чтобы найти две постоянные у0 и ср0> а также возможные значения ю или Е, рассмотрим граничные условия.
1) при х =0, \р0 = 0. Подставляя эти значения в (28.17), получаем 0 — у0 • cos(0 + (р0) = \|/о • costp0. Физический смысл здесь имеет только одно значение: coscp0 = 0, откуда (р0 = л/2:
2) при х = /, = 0. С учетом ф() = л/2 из (28.17) имеем 0 = \p0cos$a/ + л/2). Физический смысл здесь имеет только одно значение: cos(«/ + + л/2) = 0, или со/ + л/2 = (2« + 1)( л/2), откуда:
а! =пк / /,
(28.18)
где п — целое число, оно принимает значения 1, 2, 3,..; п * 0, так как в противном случае у = О при любом х, что означает отсутствие электрона в потенциальной яме. Число п называют главным квантовым числом. Из (28.15) находим энергию Е— А2<о2/(8 л2/„), что с учетом (28.18) дает:
E„=lW(8w/2)W.
(28.19)
Индекс п при Е показывает, что различным значениям главного квантового числа п соответствует и разная энергия.
Подставляя со из (28.18) в (28.17) и учитывая <р0 = л/2, получаем:
V — фу cos(?ia7t//+ л/2) = VoCosn(x«//+ 1/2)- (28.20)
Проанализируем выражения (28.19) и (28.20).
Рис. 28.7
Рис. 28.8
Прежде всего примечательно, что решение уравнения Шредингера для электрона в потенциальной яме без каких-либо дополнительных постулатов приводит к дискретным, квантованным значениям энергии:
£) = /г2/ (8/»£), Е2 = {h2/(8ш/)] - 4 и т.д.
Энергетические уровни £(, £2, £3, £4, соответствующие разным состояниям электрона, схематически показаны на рис. 28.8. Вычислим разность энергий соседних уровней л + I и п:
ЛЕ — — £„ = h2(n + l)2/(8m£) - h2n2/(Rml2) =
= /?tyz2+2« + I-«2)/(8w/2) = /?2(2л + l)/(8m£). (28.21)
Из (28.21) видно, что при некотором фиксированном значении п дискретность, т.е. различие энергий соседних уровней, тем меньше, чем больше размеры потенциальной ямы Так, например, рассчитаем два случая при п = 1:
Г) / = 5 • КГ10 м, что примерно соответствует размерам атома; тогда Д£ = 4,5 эВ. Это по порядку величины совпадает со значениями, полученными для атома водорода по теории Бора;
2) 1= 1(Н м, что фактически соответствует такой ширине потенциальной ямы, что электрон можно считать свободным; при этом ЛЕ = 1,1-10~16 эВ. Здесь дискретность ничтожна и практически можно считать, что энергия электрона изменяется непрерывно.
Возведя (28.20) в квадрат, получим плотность вероятности |ц/|2 нахождения электрона в разных точках потенциальной ямы. На рис. 28.9 показана графическая зависимость отх при разных дискретных состояниях, т.е разных квантовых числах. Как видно из рисунка, электрон может с разной вероятностью находиться в различных местах потенциальной ямы. Есть такие точки, в которых вероятность нахождения электрона вообще равна нулю. Это существенно отличается от представлений классической физики, согласно которым равновероятно нахождение частицы в разных местах потенциальной ямы (рис. 28.10) и невозможно разделение ямы точками, в которых исключено нахождение частицы.
Уравнение Шредингера можно применить и к более сложным силовым полям, например к электрону в атоме Это приведет к дополнительным математическим трудностям, но не изменит основных особенностей
атомных систем: дискретности энер! стических состояний, вероятностных суждений о нахождении электрона, своеобразной зависимости |ф|2 от координат и т.д.
§ 28-6. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА К АТОМУ ВОДОРОДА. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в пояс ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи выходит за рамки нашего курса, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.
Прежде всего в уравнение Шредингера (28.13) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов — е (электрон) и Ze (ядро), — находящихся на расстоянии г в вакууме, выражается следующим образом;
Еп= (“C)Ze/(4nE0r) - -Ze2/(4nc()r). (28.22)
При центральной симметрии поля, созданного ядром, удобнее решать задачу не в декартовых прямоугольных координатах, а в сферических Г, 0 И ф.
Решение уравнения Шредингера находят в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит от одной переменной:
ф(г, 0, ф) =/i(r)/2(.e)/3((p)
(28.23)
Аналогично тому, как для электрона в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками граничные условия привели к конкретным возможным значениям ф и энергии, так и в потенциальной яме, соответствующей атому водорода, физические условия приводят к возможным значениям/ьЛ,Уз и, следовательно, ф-функции. Здесь также проявляется главная особенность квантово-механических систем — дискретность состояний.
Дискретность математически заключается в том, что любая из функций уравнения (28.23) имеет целый набор (спектр) решений, каждому из которых отвечает определенное кванто моугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами1. Первое из них — главное квантовое число п — 1, 2, 3... Оно определяет уровни энергии электрона по закону:
£ = -we4Z2/(8£20 /22z?2). (28.24)
Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (см. § 28.7).
На рис. 28.11 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водо
рода (Е15 Е2, Е3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии £л от расстояния /-между электроном и ядром [см. (28.22)]. С возрастанием главного квантового числа п увеличивается г [см., например, (28.33)], а полная [см. (28.24)] и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (£>0) соответствует состоянию свободного электрона.
1 В общем случае квантовыми числами называют целые (0,1, 2...) или полуцелые (1 /2, 3/2,5/2, .} числа, oi [ределяюшие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы и элементарные частицы.
число, п отличие от пря-
Е, Еп, эВ
5'-
Рис. 28.11
Второе квантовое число — орбитальное /, которое при данном п может принимать значения 0, 1, 2... п — 1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L, электрона относительно ядра:
!)•
(28.25)
Третье квантовое число — магнитное ть которое при данном I принимает значения 0, ±1, ±2 ... ±/; всего 2/ + 1 значений. Это число определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление Z:
h
2л
(28.26)
Четвертое квантовое число — спиновое (магнитное спиновое)1 ms.
Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:
h
(2&.2Т)
Состояния электрона в атоме с заданными п и /обозначают следующим образом: Is, 2s, 2р, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква — орбитальное квантовое число: символам s, р, соответствуют значения /= О, 1, 2, 3 и т.д.
Число состояний с заданными п и /будет 2(2/ + Г). Чтобы найти общее число состояний, имеющих одинаковое главное квантовое число, просуммируем 2(2/+ 1) по всем возможным значениям /:
— I
Е 2(2/4-!) = 2,0
/-0
(28.28)
Таким образом, первому уровню энергии атома водорода соответствуют два состояния электрона, второму — 8, третьему — 18 и т.п. (табл. 29).
Наглядное представление о нахождении электрона в атоме дают фотографии электронного облака (рис. 28.12). Снимки выполнены на модели со светящейся лампочкой. Рассчитав плотности вероятности |ур нахождения электрона в атоме, лампочку перемещали в соответствии
1 Наличие спина у частиц не следует из уравнения Шредингера.
с этим расчетом: больше времени она находилась в местах с большей плотностью вероятности, менее длительно — в местах с меньшей плотностью вероятности. В результате экспозиции на фотопленке получились места разной интенсивности, которые иллюстрируют распределение электрона в атоме. Из рисунков видно, сколь условно и даже неверно понятие «орбита» применительно к движению электрона.
Спиновый и орбитальный магнитные моменты взаимодействуют между собой, это изменяет систему энергетических уровней атома по сравнению с той, которая была бы без такого взаимодействия. Говорят, что спин-орбитальное взаимодействие приводит к тонкой структуре энергетических уровней. Если оно существенно, то необходимо учитывать полный момент импульса электрона — орбитальный плюс спиновый. При эзом вместо /к, и tns используют другие квантовые чис-
□па
1s т = О
Рис. 28.12
2s т = 0 3s т - О
3d т - 1
3d т =
ла: j и пу.
Квантовое число J — орбитальное плюс спиновое — определяет дискретные значения полного момента импульса L электрона;
!)
(28.29)
Магнитное квантовое число ну характеризует возможные проекции полного момента импульса на некоторое произвольно выбранное направление Z:
h
L^m'-
(28.30)
При заданном / квантовое число j принимает два значения: ±1/2 (табл. 28.1).
Таблица 28.1
Символ состояния Значения квантовых чисел Символ состояния Значения квантовых чисел
п / т1 ms я 1 тз
1.5 1 0 0 ±1/2 3/] 3 1 1 ±\J1
25 2 0 0 ±1/2 Зр 3 1 -1 ±1/2
2р 2 1 0 ±1/2 3d 3 2 0 ±1/2
2р 2 1 1 ±1/2 3d 3 2 1 ±1/2
2р 2 1 -1 ±1/2 3d 3 2 -1 ±1/2
3s 3 0 0 ±1/2 3d 3 О 2 ±1/2
3^ 3 1 0 ±1/2 3d 3 2 _т ±1/2
При заданном j квантовое число nij принимает 2у + 1 значении
§ 28.7. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ БОРА
Еще до создания квантовой механики в 1913 г. датский физик Н. Бор предложил теорию атома водорода и водородоподобных ионов, которая основывалась на ядерной модели атома и двух его постулатах. Постулаты Бора не уклады вались в рамки классической физики.
Согласно первому постулату, атом и атомные системы могут длительно пребывать только в некоторых стационарных состояниях. Находясь в таких состояниях, атом не излучает и не поглощает энергии. Стационарным состояниям соответствуют дискретные значения энергии: £ь Е2...
Любое изменение энергии атома или атомной системы связано со скачкообразным переходом из одного стационарного состояния в другое.
По второму постулату, при переходе атома из одного состояния в другое а том испускает или поглощает фотон, энергия которого определяется уравнением (29.1).
Переход от состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией сопровождается излучением фотона. Обратный процесс возможен при поглощении фотона.
Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода вращается по круговой орбите вокруг ядра. Из всех возможных орбит стационарные состояния соответствуют только тем, для которых момент импульса равен целому числу /?/(2л):
(л= 1,2, 3...), (28.31)
где т — масса электрона; ол — его скорость на л-й орбите; т — ее радиус. На электрон, вращающийся по круговой орбите в атоме, действует кулоновская сила притяжения со стороны положительно заряженного ядра, которая, по второму закону Ньютона, равна произведению массы электрона на центростремительное ускорение (запись дана для вакуума):
Ze e _ Ze1 _
4п£Ог7, 4ле0т;, Г„ ’ (28.32)
где е — заряд электрона; Ze — заряд ядра. Для водорода Z= 1, для водородоподобных ионов Z> 1. Исключая из (28.31) и (28-32), получаем:
гл = £0/г2д2/(л Ze2m). (28.33)
Используя (28.32), находим кинетическую энергию электрона:
Ek = т\у7п/2 = -Ze2/(8nsor/z), (28.34)
а сумма кинетической (28.34) и потенциальной (28.22) энергий дает полную энергию электрона:
п 8яеог,; 4я£ог„
Подставляя выражение (28.33) в (28.35), получаем [см. (28.24)1:
Е = —roe4 Z2/(8eo/I2«2).
На основании второго постулата |см. (29.1)| и формулы (28.24) Бор подучил формулу (29.2), объясняющую сериальные закономерности спектра атома водорода и водородоподобных ионов (см. § 29.2).
Теория Бора в свое время явилась триумфом развития атомной физики. Впервые, хотя и дяя простейшей атомной системы (один электрон вращается вокруг ядра), были раскрыты закономерности спектров.
Несмотря на большой успех теории Бора, скоро стали заметны и ее недостатки. Так, в рамках этой теории не удалось объяснить различие интенсивностей спектральных линий, т.е. ответить на вопрос, почему одни энергетические переходы более вероятны, чем другие. Теория Бора не раскрыла спектральных закономерностей более сложной атомной системы — атома гелия (два электрона, вращающиеся вокруг ядра).
Недостатком теории Бора была ее непоследовательность. Эта теория нс была ни классической, ни квантовой, она объединяла в себе положения принтмпиально отличных теорий: классической и квантовой физики. Так, например, в теории Бора считается, что электрон вращается в атоме по определенной орбите (классические представления), но при этом он не излучает электромагнитной волны (квантовые представления).
В первой четверти нашего века стало ясно, что теория Бора должна быть заменена другой теорией атома. Появилась квантовая механика.
§ 28.8. ЭЛЕКТРОННЫЕ ОБОЛОЧКИ СЛОЖНЫХ АТОМОВ
Квантовые числа, описывающие состояние электрона в атоме водорода. используют для приближенной характеристики состояния отдельных электронов сложных атомов. Однако при этом следует учитывать по крайней мере два существенных отличия сложных атомов от атома водорода:
1) в сложных атомах энергия электронов из-за их взаимодействия зависит не только от л, но и от /;
2) отличие обусловлено принципом Паули, согласно которому в атоме не может быть двух (и более) электронов с четырьмя одинаковыми квантовыми числами.
При образовании электронной конфигурации, соответствующей нормальному состоянию, каждый электрон атома стремится иметь наименьшую энергию. Если бы не принцип Паули, то все электроны расположились бы на самом нижнем энергетическом уровне. Фактически же, за некоторыми исключениями, электроны занимают ту последовательность состояний, которая указана для атома водорода в табл. 29.
Электроны с одинаковым главным квантовым числом образуют слой. Слои называются К, L, М, TV и т.д. в соответствии с я = 1, 2, 3, 4... Электроны, имеющие одинаковые пары значений п и /, входят в состав оболочки, которая кратко обозначается так же, как соответствующие состояния дня электрона атома водорода: 15, 2s, 2р и т.д. Так, например, называют 25-оболочка, 25-электроны и т.п.
Число электронов в оболочке обозначают справа вверху около символической записи оболочки, например 2//.
Распределение электронов по оболочкам в атоме (электронные конфигурации) обычно указывают следующим образом: для азота 1s2, 2s2, 2р\ для кальция к2, 2s1, 2р*>, 3s2, 3pt>, 4s2 и т.д,
Так как энергия электронов сложных атомов зависит нс только от п, но и от /, то построение таблицы Менделеева не всегда происходит постепенным заполнением слоев по мере усложнения атома. У калия (Z = 19), например, вместо заполнения слоя М (возможно, было Is2, 2s1, 2р\ 3s2, Зр6, За1) начинается заполнение слоя У и создается следующая электронная конфигурация: Is2, 2s2, 2р6, 3s2, Зд6, 4s1.
5f 14
7s—— 2
-—— 6
j/ -10
ЧГ
6s 2
5р 6
8— —у
4р 6
3d 10
о
с.
Зр 6
3s 2
2р 6
2s 2
1s 2
Рис. 28.13
Аналогичные отклонения от регулярного заполнения слоев имеются
и у других элементов.
Всегда выполняется общее правило: электроны невозбужденного атома занимают состояние с наименьшей энергией и в соответствии с принципом Паули. На рис. 28.13 схематически без соблюдения масштаба показаны энергетические состояния сложного атома и соответствующее им число электронов.
В заключение отметим, что состояние многоэлектронного атома в целом определяется следующими квантовыми числами: L — полного орбитального момента атома, которое принимает значения О, I, 2, 3 и т.д.1; J — полного момента атома, которое может принимать значения с интервалом в единицу от |£ — 5| до |Z + 5|; S— результирующего спинового момента атома; магнитного который определяет дискретные значения проекции полного момента атома на некоторую ось Z:
(28.36)
При заданном J принимает 2J + 1 значений:
-J, -J + 1
1 Не следует смешивать это обозначение с названием электронного слоя £ и с полным моментом импульса электрона.
§ 28.9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ МОЛЕКУЛ
Так как молекулы состоят из атомов, то внутримолекулярное движение сложнее внутриатомного. В молекуле кроме движения электронов относительно ядер происходит колебательное движение атомов около их положения равновесия (колебание ядер вместе с окружающими их электронами) и вращательное движение молекулы как целого.
Электронному, колебательному и враща-
v’
3
2
1
О
тельному движениям молекулы соответствуют J три типа уровней энергии: £эл, £KW1 и £вр. Со-
гласно квантовой механике, энергия всех видов движения в молекуле принимает только ___ дискретные значения (квантуется). Предста-|__вим приближенно полную энергию Е молеку-
1__ лы суммой квантованных значений энергий
§ разных видов:
0—а' Е= Е„ +Ew„+Etp. (28.37)
На рис. 28.14 схематически изображена си-v стема уровней молекулы: далеко отстоящие -...........— электронные уровни энергии а’и а” , для кото-
3 ' рых £^а1 = £лр - 0; более близко расположенные
колебательные уровни v’, v”, для них £вр = 0;
2 --- ? наиболее тесно расположенные вращательные
________2 уровни f и /” с различным и значениями £кр.
1 --- , ....- J— Расстояние между электронными уровнями
________3
2 энергии порядка нескольких электрон-вольт, 0 —........—между соседними колебательными уровнями
10-2—10—1 эВ, между соседними вращательны-Рис, 28.14 ми уровнями 10~5 * ** * ** * 10—10 3 эВ
Глава 29
Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами
Огромное количество разных явлений происходит потому, что изменяется знсргия атомов и молекул. В одних случаях для практики нет необходимости в атомно -молекулярном подходе к анализу явлений. В других — эффективное использование явления оказывается возможным только г непременным учетом его молекулярной (атомной) природы.
В этой главе излагаются особенности излучения и поглощения энергии атомами и молекулами, а так. ке некоторые практически важные явления, знание атомарной природы которых существенно для их использования. Некоторые вопросы этой обширной темы рассматриваются в следующей главе.
§ 29.1. ОСОБЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ АТОМАМИ И МОЛЕКУЛАМИ
Атом и молекула могут находиться в с тационарных энергетических состояниях. В этих состояниях они не излучают и нс поглотают энергии. Энергетические состояния схематически изображают в виде уровней (см., например, рис. 28.13}, Самый нижний уровень энергии — основной — соответствует основному состоянию.
При квантовых переходах атомы и молекулы скачкообразно переходят из одного стационарного состояния в другое, с одного энергетического уровня на другой.
Изменение состояния атомов связано с энергетическими переходами электронов. В молекулах энергия может изменя ться не только в результате электронных переходов, но и вследствие изменения колебания атомов и переходов между вращательными уровнями.
При переходе с более высоких энергетических уровней на нижние атом или молекула отдает энергию, при обратных переходах — поглощает. Атом в основном состоянии способен только поглощать энергию.
Различают два типа квантовых переходов:
1) без излучения или поглощения электромагнитной энергии атомом или молекулой. Такой безызлучательный переход происходит при взаимодействии атома или молекулы с другими частица
ми, например в процессе столкновения. Различают нсупругое столкновение, при котором изменяется внутреннее состояние атома и осуществляется безызлучательный переход, и упругое — с изменением кинетической энергии атома или молекулы, но с сохранением внутреннего состояния;
2) с излучением или поглощением фотона.
Энергия фотона равна разности энергий начального и конечного стационарных состояний атома или молекулы:
/?v=£/-£t. (29.1)
Формула (29.1) выражает закон сохранения энергии.
В зависимости от причины, вызывающей квантовый переход с испусканием фотона, различают два вида излучения. Если эта причина внутренняя и возбужденная частица самопроизвольно переходит на нижний энергетический уровень, такое излучение называют спонтанным (рис. 29.1, а). Оно случайно и хаотично по времени, частоте (могут быть переходы между разными подуровнями), по направлению распространения и поляризации. Обычные источники света испускают в основном спонтанное излучение. Другое излучение вынужденное, или индуцированное (рис. 29.1, б). Оно возникает при взаимодействии фотона с возбужденной частицей, если энергия фотона равна разности уровней энергий. В результате вынужденною квантового перехода от частицы будут распространяться в одном направлении два одинаковых фотона: один — первичный, вынуждающий, а другой — вторичный, испущенный.
Излучаемая атомами или молекулами энергия формирует спектр испускания, а поглощаемая — спектр поглощения.
Интенсивность спектральных линий опреде-
ляется числом одинаковых переходов, происхо-дящих в секунду, и поэтому зависит от количе-, г ства излучающих (поглощающих) атомов и веро-
ятности соответствующего перехода.
Квантовые переходы осуществляются нс между любыми энергетическими уровнями. Установлены правила отбора, или запрета, фор-/7-. мулирующие условия, при которых переходы и возможны и невозможны или маловероятны,
g Энергетические уровни большинства ато-
мов и молекул достаточно сложны. Структура Рис. 29.1 уровней и, следовательно, спектров зависит не
Глава 29. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами 563 только от строения одиночного атома или молекулы, но и от внешних причин.
Электромагнитное взаимодействие электронов приводит к тонкому расщеплению1 энергетических уровней (тонкая структура). Влияние магнитных моментов ядер вызывает сверхтонкое расщепление (сверхтонкая структура). Внешние по отношению к атому или молекуле электрические и магнитные поля также вызывают расщепление энергетических уровней (явления Штарка и Зеемана; см. § 30.2).
Спектры являются источником различной информации.
Прежде всего по виду спектра можно идентифицировать атомы и молекулы, что входит в задачи качественного спектрального анализа. По интенсивности спектральных линий определяют количество излучающих (поглощающих) атомов — количественный спектральный анализ. При этом сравнительно легко находят примеси в концентрациях 10~5— 10 6% и устанавливают состав образцов очень малой массы — до нескольких десятков микрограммов.
По спектрам можно судить о строении атома или молекулы, структуре их энергетических уровней, подвижности отдельных частей больших молекул и т.п. Зная зависимость спектров от полей, воздействующих на атом или молекулу, получают информацию о взаимном расположении частиц, ибо воздействие соседних атомов (молекул) осуществляется посредством элекгромагни i ного поля.
Изучение спектров движущихся тел позволяет на основании оптического эффекта Доплера определи ть относительные скорости излучателя и приемника излучения.
Если учесть, что по спектру вещества удается сделать выводы о его состоянии, температуре, давлении и т.п., то можно высоко оценить использование излучения и поглощения энергии атомами и молекулами как исследовательский метод.
В зависимости от энергии (частоты) фотона, испускаемого или поглощаемого атомом (или молекулой), классифицируют следующие виды спектроскопии: радио-, инфракрасная, видимого избиения, ультрафиолетовая и рентгеновская-.
Пи типу вещества (источника спектра) различают атомные, молекулярные < пектры и спектры кристаллов. 1 2 *
1 Термин «расщепление» здесь означает нс процесс, а некоторое уже образовавшееся состояние.
2 Здесь нс указана у-спектроскоиия, обусловленная ядерными кванзовыми
переходами.
§ 29.2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
Интенсивность света, распространяющеюся вереде, может уменьшаться из-за поглощения и рассеяния его молекулами (атомами) вещества.
Поглощением света называют ослабление интенсивности света при прохождении через любое вещество вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии.
Установим закон поглощения света вещее гном. Если выбрать небольшой слой вещества толщиной dx(pnc. 29-2), то ослабление интенсивности d/света этим слоем при поглощении будет тем больше, чем больше толщина слоя и интенсивность света, падающего на этот слой:
d/=-^/-dJC,
(29.2)
где к — натуральный показатель поглощения (коэффициент пропорциональности, зависящий от поглощающей среды и нс зависящий в определенных пределах от интенсивности света); знак «—» означает, что интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается, т.е. d/ <0. Интегрируя (29.2) и подставляя соответствующие пределы (рис. 29.2), получаем:
о
откуда, потенцируя, имеем:
h~ h е kl-
(29.3)
Эта формула выражает закон поглощения света Бугера. Как видно, натуральный показатель поглощения к является величиной, обратной расстоянию, на котором интенсивность света ослабляется в результате поглощения в среде в е раз.
Натуральный показатель поглощения зависит от длины волны света, поэтому целесообразно закон (29.3) записать для монохроматического свеча:
/,= /()е Ч
(29.4)
где — монохроматический натуральный показатель погощения.
Так как поглощение света обусловлено взаимодействием с молекулами, закон поглощения можно связать с некоторыми характеристиками молекул.
Пусть п — концентрация молекул, поглощающих кванты света. Эффективное сечение поглощения молекулы обозначим а (некоторая площадь, при попадании фотона в которую происходит его захват моле
Рис. 29.2
кулой).
Если считать, что площадь сечения прямоугольного параллелепипеда (рис. 29.2) равна 5, то объем выделенного слоя ScLx, а количество молекул в нем nSdx.
Общая площадь эффективного сечения молекул этого слоя равна onSdx. На этот слой падает поток фотонов Ф = 1S. Доля площади эффективного сечения молекул в общей площади сечения:
onSdx S
= rm dx.
(29.5)
Можно считать, что такая же, как и (29.5), часть попавших на слой фотонов поглощается молекулами, ибо отношение площадей определяет вероятность взаимодействия одного фотона с молекулами выделенного слоя.
Доля поглощенных слоем фотонов может быть выражена через поток (дФ/Ф) или интенсивность (d///) света. На основании изложенного можно записать;
d/ I
— —o«dx,
(29.6)
откуда после интегрирования и потенцирования имеем:
//=
(29.7)
В это уравнение в отличие от (29.4) входит параметр молекулы о.
Предположим, что молекулы, поглощающие фотоны, находятся в растворителе, который не поглощает свет. Молярная концентрация С = n/N\ , откуда п = CNA.
Преобразуем произведение стл:
566 Раздел 7. Физика атомов и молекул. Элементы квантовой биофизики сп - и CTVA = у' С,
где %’ = а • NA — натуральный молярный показатель поглощения.
Его физический смысл — суммарное эффективное сечение поглощения всех молекул одного моля растворенного вещества. Используя это понятие, можно (29.7) записать в следующем виде (закон Бугера-Ламберта—Бера) :
(29.8)
В лабораторной практике закон Бугера—Ламберта—Бера обычно выражают через показательную функцию с основанием И):
/z=70-10“z'4 (29.9)
где х — молярный показатель поглощения; х х 0,43х’> так как е ~ 10°>43. Обычно х относят к какой-либо длине волны и называют монохроматическим молярным показателем поглощения (х>_).
Отношение потока излучения, прошедшего сквозь данное тело или раствор, к потоку излучения, упавшего на это тело, называют коэффициентом пропускания.
Выразим его как отношение интенсивностей:
т = ////0. (29.10)
Десятичный логарифм величины, обратной коэффициенту пропускания, именуют оптической плотностью раствора:
Z) = lg(l/r) = lg(/0///)^Xxa (29.11)
На основе закона Бугера—Ламберта—Бера разработан ряд фотометрических методов по определению концентрации вещества в окрашенном растворе (концентрационная колориметрия). В этих методах непосредственно измеряют световые потоки, прошедшие через раствор, коэффициент пропускания или оптическую плотность.
Зависимости k-f =f[(k) и х>. являются спектрами поглощения вещества.
Спектры поглощения являются источником информации о состоянии вещества и структуре энергетических уровней атомов и молекул (см. § 29.4 и 29.5).
§ 29.3. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Рассеянием света называют явление, при котором распространяющийся в среде световой пучок отклоняется по всевозможным направлениям.
Необходимое условие для возникновения рассеяния света — наличие оптических неоднородностей, т е. областей с иным, чем основная среда, показателем преломления.
Рассеянию и дифракции света присущи некоторые обшие черты, оба явления зависят от соотношения преграды или неоднородности и длины волны. Отличие между этими явлениями заключается в том, что дифракция обусловливается интерференцией вторичных волн, а рассеяние — сложением (а не интерференцией!) излучений, возникающих при вынужденных колебаниях электронов в неоднородностях под воздействием света.
Различают два основных вида таких неоднородностей:
1) мелкие инородные частицы в однородном прозрачном веществе.
Такие среды являются мутными: дым (твердые частицы в тазе), . туман (капельки жидкости в газе), взвеси, эмульсии и т.п. Рассеяние в мутных средах называют явлением Тиндаля;
2) оптические неоднородности, возникающие в чистом веществе из-за статистическою отклонения молекул от равномерного распределения (флуктуации плотности). Рассеяние света на неоднородностях этого типа называют молекулярным; например, рассеяние света в атмосфере.
Уменьшение интенсивности света вследствие рассеяния, как и при поглощении, описывают с помощью показательной функции:
(29.12)
где т — показатель рассеяния (натуральный).
При совместном действии поглощения и рассеяния света ослабление интенсивности также является показательной функцией:
h= ke »>, (29.13)
где р — показатель ослабления (натуральный). Как нетрудно видеть, ц = т + к.
Рэлей установил, что при рассеянии в мутной среде на неоднородностях, приблизительно меньших а также при молекулярном рассеянии интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (закон Рэлея):
(29.14)
Рис. 29.3
Это означает, что из белого света веществом, например в точке Д (рис. 29.3), будут преимущественно рассеиваться голубые и фиолетовые лучи (направление А), а красные — проходить в направлении Б падающего света. Анало1ичное явление наблюдается и в природе: голубой цвет неба — рассеянный свет, красный цвет заходящего Солнца — изменение спектра белого света из-за значительного рассеяния
голубых и фиолетовых лучей в толще атмосферы при наклонном падении (см. пояснение к рис. 27.3).
Меньшее рассеяние красных лучей используют в сигнализации: опознавательные огни на аэродромах, наиболее ответственный свет светофора — красный и г.п. Инфракрасные лучи рассеиваются еше меньше. На рис. 29.4 изображены две фотографии пейзажа: на левой, снятой обычным методом, туман сильно ограничил видимость: на правой, снятой в инфракрасном излучении на специальной пластинке, туман нс мешает, он оказался прозрачным для более длинных волн.
Если взвешенные частицы велики по сравнению с длиной волны, то рассеяние нс соответствует закону Рэлея (29.14) — в знаменателе дроби будет стоять X2. Рассеянный свет теряет свою голубизну и становится белее. Так, пыльное небо городов кажется нам белесым в противоположность темно-синему небу чистых морских просторов.
Направление рассеянного света, степень его поляризации, спектральный состав и т.д. приносят информацию о параметрах, характеризующих межмолекулярное взаимодействие, размерах макромолекул в
растворах, частиц в коллоидных растворах, эмульсиях, аэрозолях и т.д.
Рис. 29.4
Методы измерения рассеянного света с целью получения такого рода сведений называют нефелометрией, а соответствующие приборы — нефелометрами.
§ 29.4. ОПТИЧЕСКИЕ АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ
Атомными спектрами называют как спектры испускания, так и спектры поглощения, которые возникают при квантовых переходах между уровнями свободных или слабовзаимоОействующих ат змов.
Под оптическими атомными спектрами будем понимать те, которые обусловлены переходами между уровнями внешних электронов с энергией фотонов порядка нескольких электрон-вольт. Сюда относятся ультрафиолетовая, видимая и близкая инфракрасная (до микрометров) области спектра.
Наибольший интерес представляют оптические атомные спектры испускания, которые получают от возбужденных атомов. Их возбуждение обычно достигается в результате безызлучательных квантовых переходов при электрическом разряде в газе или нагревании вещества пламенем газовых горелок, электрической дугой иди искрой.
В § 29.1 были изложены общие соображения о спектрах атомов. Подробные сведения о спектрах конкретных атомов можно найти в специальных справочниках по спектроскопии. В качестве простого примера рассмотрим спектр атома водорода и водородоподобных ионов.
Из формул (28.24) и (29.1) можно получить формулу для частоты света, излучаемого (поглощаемого) атомом водорода (Z= 1):
_ теА [ ।_____। 1
8£иЛ2 I Лг2 /2 Г (29.15)
Эта формула была экспериментально найдена И.Я. Бальмером еше задолго до создания квантовой механики и теоретически получена Бором (см. § 28.7); i и к — порядковые номера уровней, между которыми происходит квантовый переход.
В спектре можно выделить группы линий, называемые спектральными сериями.
Каждая серия применительно к спектрам испускания соответствует переходам с различных уровней на один и тот же конечный (рис. 29.5).
В ультрафиолетовой области расположена серия Лаймана, которая образуется при переходе с верхних энергетических уровней на самый
Рис. 29.5
нижний, основной (к = 1). Из формулы (29.15) для серии Лаймана получаем:
те4
8е J
г J_____11
IF- ? I
(/=2,3,4...),
(29.16)
т.е. находим частоты всех линий этой серии. Самая длинноволновая линия имеет наибольшую интенсивность. Интенсивности спектральных линий на рис. 29.5 условно показаны толщиной прямых соответствующих переходов.
В видимой и близкой ультрафиолетовой областях спектра расположена серия Бальмера, которая возникает вследствие переходов с верхних энергетических уровней на второй (к = 2). Из формулы (29.15) для серии Бальмера получаем:
,w4 Г I 1 I
"-Л...,-./'А ('-=3.4,5...,. (29.17)
т.е. находим частоты всех линий этой серии.
В инфракрасной области расположена серим Пашена, которая возникает при переходах с верхних энергетических уровней на третий (к — 3). Из формулы (29.15) для серии Пашена следует:
те4 [1 1 1
’'Л;Л Р| (/ = 4,5,6...). (29.18)
Существуют и другие серии в инфракрасной области.
Может показаться, что спектр атомарного водорода не ограничен со стороны малых частот, так как энергетические уровни по мере увеличения п становятся сколь угодно близкими. Однако на самом деле вероятность перехода между такими уровнями столь мала, что практически эти переходы не наблюдаются.
Выражение для ионизационного потенциала (15.15) можно получить из (29.15), считая к = 1 и i-> оо;
те3
Фи“(8г2оА2Г (29'19)
Для атомного спектрального анализа используют как спектры испускания (эмиссионный спектральный анализ), так и спектры поглощения (абсорбционный атомный спектральный анализ).
В медицинских целях эмиссионный анализ служит в основном для определения микроэлементов в тканях организма, небольшого количества атомов металлов в консервированных продуктах с гигиенической целью, некоторых элементов в трупных тканях для целей судебной медицины и т.п.
§ 29.5. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
Молекулярные спектры (испускания и поглощения) возникают при квантовых переходах молекул с одного энергетического уровня на другой (см. § 28.9) и состоят из совокупности более или менее широких полос, которые представляют собой тесно расположенные линии. Сложность молекулярных спектров по сравнению с атомными обусловлена
572 Раздел 7, Физика атомов и молекул Элементы квантовой биофизики большим разнообразием движений и, следовательно, энергетических переходов в молекуле.
Учитывая (29.1) и (28.37), находим частоту, излучаемую или поглощаемую молекулой1
v - у (£- £") = у [(£.’£^) + (£^ол +• £К1ЛЛ) +
+ (£Н’Р - £«Р) | = у (А£а:1 + А£кол + А£вР); (29.20)
здесь один или два штриха относятся, как принято в молекулярной спектроскопии, к верхнему и нижнему уровням соответственно. Следует иметь в виду, что A£.j;i>>A£K0JI>>A£Bp. Если Д£эл= 0 и А£кол= 0, а Д£вр^ 0, то получают состоящие из отдельных линий чисто вращательные молекулярные спектры, которым отвечают [см. (29.20)] небольшие частоты, они наблюдаются в далекой инфракрасной области и особенно в микроволновой (СВЧ). Длина волны порядка 0,1 — 1 мм.
Если Д£эл— 0, а Д£кол * 0, то обычно одновременно и а Л£вр^ 0, при этом возникает колебательно-вращательный спектр. Он состоит из колебательных полос, распадающихся при достаточном разрешении спектрального прибора на отдельные вращательные линии. На рис. 29.6 графически изображен колебательно-вращательный спектр метана. Инфракрасные колебательно-вращательные спектры наблюдают в близкой инфракрасной области.
При а Д£эл 0 обычно одновременно а Д£кол *0 и а Д£ьр 0. Образуются электронно-колебательные, а точнее — электронно-колсбательно-вращательныс спектры, которые состоят из различных полос, а полосы — из тесно расположенных линий, соответствующих вращательным переходам. На рис. 29.7, а приведен электронно-колебательный спектр молекулы азота, а на рис. 29.7, б — ''''Чь вращательное расщепление одной из
Электронно-колебательно-вращательные спектры испускания и поглощения наблюдают в видимой и (ультрафиолетовой областях.
Специфичность и индивидуальность спектров отдельных молекул лежит в основе качественного и коли-Рис. 29.6 чественного спектрального анализа.
llllllllllllill II Illi I I
Рис. 29.7
Молекулярные спектры позволяют исследовать не только строение молекул, но и характер межмолекулярного взаимодействия.
Молекулярные спектры поглощения (абсорбционные) являются важным источником информации о биологически функциональных молекулах, они широко используются в современных биохимических и биофизичес к их работах.
Во многих случаях эти спектры регистрируют как сплошные, не разрешая те детали, которые были описаны выше.
Так, например, на рис. 29.8 приведен спектр поглощения суспензии эритроцитов. Спектр поглощения кожи человека изображен на рис. 29.9, в ультрафиолетовой части показатель поглощения велик и кожа поглощает излучение в самых верхних слоях. В видимой области пока затель поглощения снижается и остается почти постоянным до красной области.
Рис. 29.8
Рис. 29.9
§ 29.6. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
Люминесценцией называют избыточное над тепловым излучение тела при данной температуре, имеющее длительность, значительно превышающую период {10~15 с) излучаемых световых волн.
Признак длительности в этом определении был предложен С.И. Вавиловым для того, чтобы отличить люминесценцию от некоторых других явлений вторичного свечения, например отражения и рассеяния света.
В зависимости от вида возбуждения различают несколько типов люминесценции.
Люминесценция, вызванная заряженными частицами: ионами — ио-нолюминесценция, электронами — катодолюминесценция, ядерным излучением — радиолюминесценция. Люминесценцию под воздействием рентгеновского и у-излучения называют рентгенолюминесценцией, фотонов — фотолюминесценцией (см. § 29.7). При растирании, раздавливании или раскалывании некоторых Кристалов возникает триболюминесценция. Электрическим полем возбуждается электролюминесценция, частным случаем которой является свечение газового разряда Люминесценцию, сопровождающую экзотермическую химическую реакцию, называют хемилюминесценцией (см. § 29.8).
§ 29.7. ФОТОЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Фотолюминесценция, называемая иногда просто люминесценцией, подразделяется на флуоресценцию {кратковременное послесвечение) и фосфоресценцию {сравнительно длительное послесвечение).
Начальным актом любой фотолюминесценции является возбуждение фотоном с энергией Av атома или молекулы. В наиболее простом случае, который обычно реализуется в одноатомных парах и газах, атом возвращается в основное состояние, излучая фотон света гой же частоты v (рис. 29.10). Это явление называют резонансной флуоресценцией {резонанснымрассеянием). Специальные опыты показали, что такое свечение возникает приблизительно через 10~8 с после освещения вещества и поэтому не является рассея-нием в обычном понимании этого слова.
При добавлении в люминесцирующие пары —-------- инородных газов (водород, кислород и др.) резо-
нансная флуоресценция уменьшается. Это обу-
Рис. 29.10 словлено тем, что за время, пока атом находится
3'
2
। Без излучения
I ____________
Рис. 29.12
Рис. 29.11
в возбужденном состоянии, он может встретиться с молекулой другого сорта и отдать ей энергию. Кинетическая энергия молекулы при этом возрастает, а атом безызлучательно переходит в основное состояние.
Более вероятно, что из возбужденного состояния 3 (рис. 29.11) молекула безызлучательно перейдет на уровень 2, а затем спонтанно с излучением кванта с энергией Лм’ на уровень 7.
В сложных органических молекулах возникает переход из возбужденного состояния 3 в некоторое промежуточное, метастабильное 4. переход из которого в основное состояние маловероятен (рис. 29.12). За счет молекулярно-кинетической энергии окружающих частиц или за счет нового кванта света возможен переход молекулы на возбужденный уровень 2, а с него — в основное состояние 7. Таков один из механизмов фосфоресценции. Нагревание увеличивает вероятность ухода с метаста-бильного уровня и усиливает фосфоресценцию.
Для фотолюминесценции в основном справедлив закон Стокса: спектр люминесценции сдвинут в сторону длинных волн относительно спектра, вызвавшего эту фотолюминесценцию (рис. 29.13).
В самом деле, как видно из рис. 29.10, энергия Av’ излучаемого фотона не больше энергии Av поглощенного фотона:
Av’<Av, (29.21)
откуда л,’ > л,. Имеются отклонения от закона Стокса — антистоксова люминесценция. Особенно хорошо это видно при возбуждении фотолюминесценции отдельной спектральной линией, т.е. монохроматическим светом (рис. 29.14). Антистоксово излучение возникает при возбуждении частицы, которая уже находилась в возбужденном состоянии (рис. 29.15, уровень 3). При переходе с уровня 2на основной 7 излучается энергия Av’. Как видно из рисунка:
Av’ > Av или X’ < X.
(29.22)
Возбуждение Люминесценция
‘Возбуждающая линия _ у
Люминесиенция
Антистоксово излучение
Рис. 29.13
Рис. 29.14
Ряд биологически функциональных молекул, например молекулы белков, обладает флуоресценцией. Параметры флуоресценции чувствительны к структуре окружения флуоресцирующей молекулы, поэтому по люминесценции можно изучать химические превращения и межмо-лскулярное взаимодействие
В последние десятилетия стали широко применять специальные флуоресцирующие молекулы, добавляемые мембранным системам извне. Такие молекулы получили название флуоресцентных зондов (нековалентная связь с мембраной) или флуоресцентных меток (химическая связь).
Изменение флуоресценции зондов и меток позволяет обнаружить конформационные перестройки в белках и мембранах.
Рассмотрим некоторые применения фотолюминесценции для медицинских целей.
Люминесцентный анализ, основанный на наблюдении люминесценции объектов с целью их исследования, используют для обнаружения начальной стадии порчи продуктов, сорт ировки фармакологических препаратов и диагностики некоторых заболеваний. Так, пораженные грибком волосы и чешуйки под ультрафиолетовым светом дают ярко-зеленое люминесцентное свечение. Проницаемость капилляров кожи можно определить, вводя подкожно люминесцентные красящие вещества.
При благоприятных условиях люминесцентный анализ позволяет обнаружить люминесцирующие вещества массой до I О-10 г.
Рис. 29.15
Люминесцентный анализ микроскопических объектов проводят с помощью специальных люминесцентных микроскопов, в которых в отличие от обычных источников света, как правило, используются ртутные лампы высокого и сверхвысокого давлений и применяют два к^ветофщль-тра. Один из них, расположенный перед конден-
Люминофор
Рис. 29.16
сором, выделяет область спектра источника света, которая вызывает люминесценцию объекта; другой, находящийся между объективом и окуляром, выделяет свет люминесценции. На основе фотолюминесценции созданы источники света, спектр которых больше соответствует дневному свету, чем у ламп накаливания. Это имеет значение как для производственных целей, так и для гигиенических. В таких люминесцентных лампах, называемых лампами дневного света, происходит электрический разряд в парах ртути при низком давлении (электролюминесценция). На внутренней поверхности лампы, сделанной из обычного стекла (рис. 29.16), нанесен тонкий слой люминофора, который фотолюминесцирует под воздействием излучения паров ртути.
Изменяя состав люминофора, можно подобрать наиболее подходящий спектр фотолюминесценции. На рис. 29.17 показан один из возможных спектров, интенсивные линии соотвегствуют спектру паров, излучение которых част ично проходит через люминофор.
§ 29.8. ХЕМИЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Люминесценция, сопровождающая химические реакции, называется хе-милюмииес ценцией.
Она испускается либо непосредственно продуктами реакции, либо другими компонентами, которые возбуждаются в результате переноса энергии им от продуктов реакции.
Яркость хемилюминесценции, т.е. число квантов, испускаемых в единицу времени, возрастает с увеличением скорости реакции и эффективности хемилюминесценции — среднего числа квантов, приходящегося на один акт реакции. По хемилюминесценции можно определить состав вещества (хемилюминесцентный анализ).
Частное проявление хемилюминесценции — свечение, сопровождающее химические реакции биологических объектов, — называют биохемилюминесценцией. Излучение гнилушек, I светляков — примеры биохемилюми несцен-
Z—\ ции (биолюминесценции).
/ \ В среде биофизиков малоинтенсивная
/ ' биолюминесценция получила название
* J сверхслабого свечения, оно активно изуча-
лось рядом ученых, в частности Ю.А. Вла-2+ *7 димировым.
Было показано, что в биологических си-
Рис. 29.18 стемах хемилюминесценция возникав г при
рекомбинации перекисных свободных радикалов липидов: RO2+RO2 -> возбужденный продукт -> продукт + + квант хемилюминесценции.
Интенсивность хемилюминесценции существенно возрастает при добавлении к исследуемым биологическим системам, например, солей двухвалентного железа. На рис. 29.18 видно увеличение интенсивности люминесценции в суспензии митохондрий в момент введения двухвалентного железа. Если подобный эксперимент проделать с плазмой крови при гнойном аппендиците или холецистите, то можно заметить, что свечение в первом случае значительно слабее. Таким образом, хемилюминесценция может использоваться как диагностический метод.
§ 29.9. ФОТОБИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Фотобиологическими называют процессы, которые начинаются с поглощения квантов света биологически функциональными молекулами, а заканчиваются соответствующей физиологической реакцией в организме или тканях.
Важной характеристикой воздействия света на протекание биологических процессов является спектр фотобиологического действия — зависимость фотобиологического эффекта от длины волны действующего света. Спектры действия позволяют определить, какая область спектра наиболее эффективно вызывает биологический процесс, а также выяснить механизм такого воздействия.
Медику необходимо понимание этих процессов для обьяснения механизма зрения (см. § 29.10) и оценки разнообразных воздействий УФ-излучений (см. § 27.7).
Поглотив квант света (см. § 29.2), молекула возбуждается. Энергия возбуждения может быть пере дана другим молекулам. Для фотобиологического процесса существенно, чтобы в результате такого возбуждения совершалось химическое превращение (фотохимическая реакция.^ После первичного фотохимического акта реакции развиваются так, что наличие света не обязательно (темновые реакции), в конце концов они и приводят к отклику биологической системы на свет.
Рассмотрим количественно начальные этапы этого процесса: поглощение света и первичную фотохимическую реакцию.
Аналогично § 29.2, введем понятие эффективного сечения поглощения молекулой фотона о. Отличие от вывода закона Бутера—Ламберта-Бера заключается по крайней мере в следующем: во-первых, будем учитывать уменьшение числа активируемых молекул, так как воздействие света вызывает их превращение; во-вторых, рассмотрим достаточно тонкий слой разбавленного раствора, это позволит считать интенсивность света /0 постоянной и одинаковой во всем растворе.
Элементарное уменьшение концентрации dz? молекул под действием света пропорционально:
— концентрации п молекул;
- эффективному сечению поглощения о;
— времени облучения d/;
— количеству фотонов, которые в единицу времени проходят через 1 м2 грани кюветы (/0);
d« = — d/. (29.23)
Здесь знак «—» означает уменьшение числа молекул со временем. Коэффициент фх называют квантовым выходом фотохимической реакции. Этот коэффициент показывает, какая часть молекул, которые поглотили фотоны, вступила в фотохимическую реакцию. Разделим переменные и проинтегрируем (29.23):
t {
где /?о — начальная концентрация молекул, a п,— концентрация молекул в момент t. Получаем:
In {п{/ nQ) =
или
1п(л0/ Я,) = фЛ/()0| = Х»оФг
(29.24)
Здесь /0/ - Д — доза облучения, а <ярЛ = егЛ. — площадь поперечного сечения молекулы для фотохимического превращения, она пропорцио
нальна вероятности такого взаимодействия фотона с молекулой, в ре-
зультате которого произойдет фотохимическая реакция.
Для нахождения <рА строят график зависимости In (я0/ nt) =f(D0) и по наклону прямой |см. (29.24)] определяют эту величину (рис. 29.19).
В фотохимии спектром действия называют зависимость ох(Х). Эту зависимость можно найти, используя связь стх= сг(рг Дело в том, что квантовый выход фотохимических реакций в
растворах не зависит от длины волны действующего света (фх= const). Физически это означает, что независимо от энергии возбуждения h\> молекула будет возбуждена (см. § 28.9) и сможет начать фотохимическое превращение. Учитывая это, можно заключить, что спектр действия ох(Х) и спектр поглощения (см. § 29.2) — зависимость a(Z) — имеют одинаковый вид, так как различаются только постоянным множителем <рх. Такая
особенность позволяет, сопоставляя спектр фотобиологического действия со спектрами поглощения разных биохимических соединений, определить механизм действия света и, в частности, УФ-излучения.
Так, например, было установлено, что кривая гибели бактерий под действием УФ-излучения (спектр фотобиологического действия) подобна спектру поглощения нуклеиновых кислот. Это дало основание сделать вывод, что гибель бактерий обусловлена повреждением именно
нуклеиновых кислот.
§ 29.10. БИОФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗРИТЕЛЬНОЙ РЕЦЕПЦИИ
В § 26.4 были рассмотрены особенности светодроводящей части глаза. Восприятие сьета глазом является фотобиологическим процессом, поэтому механизм работы световоспринимающего аппарата рассматривается здесь.
Светочувствительные зрительные клетки — палочки и колбочки — играют разную роль в возбуждении световою ощущения. Палочки более светочувствительны, но не различают цвета. Колбочки различают цвета; кроме того, при достаточной яркости предмета они чувствительны к восприятию деталей изображения, поэтому разрешающая способность глаза обусловлена размещением колбочек на сетчатке (см. § 26.4).
Палочки относят к аппарату сумеречного и ахроматического зрения, а колбочки — дневного и цветового.
Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы чувствительности глаза к свету и цветут
Светочувствите зьностью глаза называют величину, обратную пороговой яркости, т.е. минимальной яркости, вызывающей зрительное ощущение в данных условиях наблюдения.
Светочувствительность глаза изменяется в широких пределах благодаря зрительной адаптации — способности глаза приспосабливаться к различным яркостям. Адаптация осуществляется следующими способами:
1) изменением диаметра зрачка в пределах от 2 до 8 мм, что изменяет световой поток в 16 раз;
2) уменьшением концентрации неразложившегося светочувствительного вещества:
3) экранированием колбочек и палочек темным пигментом, помещаемым в сосудистой оболочке и способным в процессе адаптации перемешаться в направлении стекловидного тела;
4) изменением в зависимости от яркости предмета степени участия палочек и колбочек в возбуждении светового ощущения.
Адаптация позволяет глазу нормально функционироват ь в диапазоне яркостей от 10~7до 105 кд/м2. Нижний предел, или абсолютный порог светочувствительности глаза при полной темновой адаптации, составляет около сотни фотонов в секунду. Из них только около 10% поглощаются молекулами зрительного пигмента в палочках сетчатки, а остальные отражаются от роговицы, поглощаются оптическими средами глаза или проходят сквозь сетчатку и поглощаются в клетках пигментного эпителия. Наличие пигментного эпителия, подстилающего сетчатку, существенно уменьшает отражение и рассеяние света от задней стенки глаза. Глаз человека реагирует на электромагнитные волны с длиной волны приблизительно от 400 до 760 нм. Спектральная чувствительность глаза характеризуется видностъю излучения-
где 6Ф — световой поток; дФ3 — мощность излучения, обусловливающего этот световой поток; 6Ф и 6Ф_> отнесены к достаточно малому интервалу длин волн от X до X + dX. Принято считать, что нормальный глаз наиболее чувствителен к желто-зеленому монохроматическому излучению X = 555 нм. При этом мощность и шучения, равная 1 Вт, вызывает световое ощущение, соответствующее световому потоку 683 лм. Из (29.25) для этой длины волны имеем видность излучения = 555 нм = 683 л м/Вг. Относительная видность равна
= (29-26)
где 5 пах — максимальная видность излучения данного спектра.
На рис. 29.20 показана кривая видности дневного зрения 1 и сумеречного 2. По существу, эти кривые являются спектром фотобиологического действия. Для дневного зрения соответствует, как было отмечено, X = 555 нм, а для сумеречного X = 510 нм. При сумеречном зрении глаз плохо различает цвета и излучение разных длин волн воспринимается как голубовато-серое. Отсюда, вероятно, и пословица *Ночью все кошки серы».
Максимум кривой видности дневного зрения соответствует максимуму солнечного излучения, прошедшего атмосферу и попавшего на поверхность Земли (см. § 27.4), в этом проявляется целесообразность организации глаза человека.
Палочка состоит (рис. 29.21) из чувствительного к свету наружного сегмента / и внутреннего сегмента 2. содержащего ядро и митохондрии, которые обеспечивают функционирование клетки. Внутри наружного сегмен та расположены тонкие диски 3 диаметром около 6 мкм Каждый диск состоит из бислойной мембраны и по форме напоминает сплющенную липосому (см. § 13. Г). В зрительные диски встроен зрительный пиг-
Рис. 29.20
Рис. 29.21
СН3
н I н
С С Q
/ 7 4 8 / 9'4.10/11%
С С р1_|
н н 12у
4 5 С(СН3)
НС
Рис. 29.22
мент — родопсин. Число дисков в одной кле тке измеряется > ^сколькими сотнями. От внутренне! о сегмента идет связь к нервному волокну.
Родопсин представляет собой сложный белок с молекулярной массой около 40 0(Ю. Диаметр его молекулы составляет 4 нм, если ее форму принять за сферическую.
Родопсин состоит из белка опсина и хромофорной группы — ретиналя
Роти налы вообще говоря, может иметь несколько пространственных изомеров, но с опсином связывается только П-иисрстиналь (рис. 29.22). Под действием света ретиналъ отщепляется от родопсина и переходит в наиболее устойчивую конформацию сплошного трансизомера.
В результате изменения структуры ретиналя в мембране диска происходят изменения, связанные с изменением положения родопсина. Родопсин переходит с междисковой гидрофильной поверхности на внутреннюю гирофобную фазу мембраны.
Если в темноте мембрана диска непроницаема для ионов Na1, К", Са2+ и др., то в результате освещения конформационное изменение родопсина приводит к изменению состояния мембраны: увеличивается проницаемость для некоторых ионов. В этих процессах функция родопсина состои т в том, что он под действием света способствует образованию пор в дисках для некоторых ионов и закрывает каналы на внешней мембране для ионов натрия. Это и приводит к возникновению потенциалов, вызывающих нервный импульс. Особенностью наружных сегментов палочек сетчатки является то, что в темноте потенциал имеет натриевую природу в огличие от потенциала других клеток (см. § 13.7). В результате изменения структуры родопсина под действием света проницаемость мембран для натрия резко снижается, а для других ионов не
440 480500560580600 640 X, НМ
Рис. 29.23
меняется. При этом на первое место выходит проницаемость для калия, потенциал становится калиевой природы и полярность его меняется. Это приводит к тому, что в отличие от всех других известных клеток на цитоплазматической мембране наружных сегментов палочек потенциал имеет знак плюс внутри и знак минус снаружи.
Пигмент колбочек содержит тоже П-цисретиналь, как и родопсин, но бел
ковая часть пигмента отличается, поэтому пигменты колбочек называ
ются иодопси нами.
Измерение спектров поглощения отдельных разновидностей колбочек показало, что каждая колбочка содержит определенный вид иодо-псина. Йодопсины колбочек человека имеют максимумы поглощения' при 445, 535 и 570 нм (рис. 29.23). На этих сведениях базируется трехкомпонентная теория цветного зрения. При некоторых генетических заболеваниях нарушается синтез бслков-иодопсинов и глаз не способен различать красный и зеленый цвета (дальтонизм).
Глава 30
Лазеры. Радиоспектроскопия
В этой главе, как и в предыдущей, рассматриваются явления, связанные в основном с и мучением и поглощением энергии атомами и молекулами.
Такое устройство, как лазер, и такие явления, как магнитный резонанс, стали активно применяться в медицине в последнее время.
§30.1. ЛАЗЕРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНЕ
Несмотря на общую природу световых и радиоволн, многие годы оптика и радиоэлектроника развивались самостоятельно, независимо друг от друга. Казалось, что источники света — возбужденные частицы и генераторы радиоволн — имеют мало общего. Лишь с середины нашего столетия появились работы по созданию молекулярных усилителей и генераторов радиоволн, которые положили начало новой самостоятельной области физики — квантовой электронике.
Квантовая электроника изучает методы усиления и генерации электромагнитных колебаний с использованием вынужденного излучения квантовых систем (см. § 29.1). Достижения в этой области знаний находят все большее применение в медицине.
Ознакомимся с некоторыми явлениями, лежащими в основе квантовой электроники.
При вынужденном (индуцированном) излучении число переходов, совершаемых в секунду, зависит от числа фотонов, попадающих в вещество за это же время, т.е. от интенсивности света. Кроме того, вынужденные переходы будут определяться заполненностью, или, как говорят, населениосзью (заселенностью) соответствующих возбужденных энергетических состояний. Индуцированное излучение тождественно падающему во всех отношениях, в том числе и по фазе, поэтому можно говорить о когерентном усилении электромагнитной волны.
Для отдельной частицы равновероятны вынужденное поглощение, если частица находится в основном состоянии, и излучение, если частица возбуждена (см. рис. 29.1, б). Поэтому даже сели число возбужденных частиц в веществе равно числу невозбужденных, усиления падающей электромагнитной волны не будет.
На самом деле в обычном состоянии вещества число невозбужден
ных частиц больше, чем на каком-либо возбужденном уровне. Таким
образом, условия да я усиления волны еще хуже.
Распределение частиц по энергетическим уровням описывается за
коном Больцмана, который графически совместно с энергетическими
уровнями показан на рис. 30.1. На рисунке «длина» каждого уровня пропорциональна числу частиц, имеющих соответствующую энергию.
Усиление электромагнитных волн можно вызвать, используя активную среду, в которой хотя бы дня двух уровней было распределение частиц, обратное больцмановскому {инверсная насел енност ь).
Это состояние формально получается из распределения Больцмана для Т < 0 К, поэтому называется состоянием с отрицательной температурой. По мере распространения света в такой среде интенсивность его возрастает, имеет место явление, обратное поглощению. Это означает, что в законе Бу
гера (29.3) к < 0, поэтому инверсная населенность соответствует среде с
отрицательным показателем поглощения.
Состояние с инверсной населенностью можно создать, отбирая соответствующие частицы или специально возбуждая частицы, например, светом или электрическим разрядом. Само по себе состояние с отрицательной температурой долго не существует.
Явление вынужденного излучения используют в квантовых генераторах (усилителях). Первый такой генератор в диапазоне СВЧ (мазер) был сконструирован в 1955 г. независимо советскими учеными Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым и американскими — Ч.Таунсом и др.* 1 Так как работа этого прибора была основана на вынужденном излучении молекул аммиака, генератор был назван молекулярным.
В I960 г. был создан первый квантовый генератор видимого диапазона излучения — лазер1 с рубином в качестве рабочего вещества. Этот
1 В 1964 г. Н.Г. Басову, А.М. Прохорову и Ч. Таунсу за эти работы была присуждена Нобелевская премия.
1 Название «лазер» является аббревиатурой от англ. Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (усиление света посредством вынужденного излучения).
оптический квантовый генератор (ОКГ) создает импульсное излучение с длиной волны 694,3 нм и мощностью в импульсе 1 МВт. Возбуждение, или, по терминологии квантовой электроники, накачка, осуществляется специальной лампой.
В том же году был создан газовый гелий-неоновый лазер, возбуждение в котором возникало при электрическом разряде. Излучающими являются атомы неона, атомы гелия играют вспомогательную роль. На рис. 30.2 показаны энергетические уровни атомов гелия и неона. При электрическом разряде часть атомов неона переходит с основного уровня 1 на возбужденный 3. Для чистого неона время жизни на этом уровне мало и атомы переходят на уровни 7 или 2, реализуется больцманов-ское распределение. Для создания инверсной населенности нужно каким-то образом увеличить населенность уровня 3 и уменьшить на уровне 2.
Атомы гелия способствуют увеличению населенности уровня 3. Первый возбужденный уровень гелия совпадает с уровнем 3 неона, поэтому при соударении возбужденного агома гелия с невозбужденным атомом неона происходит передача энергии.
Для разгрузки уровня 2 подбирают такой размер газоразрядной трубки, чтобы при соударении с ее стенками атом неона отдавал энергию, переходя с уровня 2 на 7.
Так обеспечивается стационарная инверсная населенность уровней 2 и 3 неона.
Основным конструктивным элементом гелий-неонового лазера (рис. 30.3) является газоразрядная трубка 7, обычно кварцевая, диаметром около 7 мм. В трубке 2 при давлении около 150 Па находится смесь гелия и неона (гелия приблизительно в 10 раз больше, чем неона).
Рис. 30.3
Рис. 30.2
В трубку вмонтированы электроды 5 для создания газовото разряда. На концах трубки расположены плоскопараллельные зеркала 4п 5, одно из них (5) полупрозрачное. Фотоны, возникающие при вынужденном излучении, в зависимости от направления их движения либо вылетают из боковой поверхности трубки, либо, многократно отражаясь от зеркал, сами вызывают вынужденные переходы. Т аким образом, пучок, перпендикулярный будет иметь развитие и выходит наружу через полупрозрачное зеркало 5.
Это лазер непрерывного действия. Так как уровни 2 и 3 неона обладают сложной структурой (на рис. 30.2 не показано), то гелий-неоновый лазер может работать на 30 длинах волн в области видимого и инфракрасного диапазонов. Зеркала 4 и 5 делают с многослойными покрытиями, и вследствие интерференции создается необходимый коэффициент отражения для заданной длины волны. Так, красным гелий-неоновым лазером излучается длина волны 632,8 нм.
Применение лазеров основано на свойствах их излучения: строгая монохроматичность (АХ « 0,01 нм), достаточно большая мощность, узость пучка и когерентность.
Лазеры используют для измерения расстояния между Землей и Луной (получаемая точность — около десятков сантиметров), дня голографии, дня прожиган ня малых отверстий как средство связи и т.д.
Лазер находит приложение и в медицине. Можно указать два основных направления.
Первое основано на свойстве лазеров разрушать биологические ткани, что совместно с коагуляцией белка позволяет проводить некоторые бескровные рассечения. В эгом направлении можно отметить следующие применения: безоперационное лечение отслойки сетчатки, для этой цели создан специальный лазернь й прибор — офтальмо-коагулятор', световой бескровный нож в хирургии, который не нуждается в стерилизации; лечение глаукомы посредством прокалывания лазером отверстий размером 50-100 мкм для оттока внутриглазной жидкости; уничтожение раковых клеток; разрушение дентина при лечении зубов.
Второе направление связано с голографией (см. § 24.8). Так, например, на основе гелий-неонового лазера с использованием волоконной оптики разработаны гастроскопы, которые позволяют голографически формировать объемное и зображенис внутренней полости желудка.
Гелий-неоновый лазер находит применение для лечения ряда заболеваний (трофические язвы, ишемическая болезнь сердца и др.).
§ 30.2. РАСЩЕПЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ АТОМОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В § 16.1, 16.2 было показано, что на контур с током, помещенный в мат нитное поле, действует момент силы. При устойчивом равновесии контура его магнитный момент совпадает с направлением вектора магнитной индукции. Такое положение занимает контур с током, предоставленный самому себе. Существенно иначе ориентируются в магнитном поле магнитные моменты частиц. Рассмотрим этот вопрос с позиции квантовой механики.
В § 28.6 отмечалось, что проекция момента импульса электрона на некоторое направление принимает дискретные значения. Чтобы обнаружить эти проекции, необходимо каким-то образом выделить направление Z. Один из наиболее распространенных способов — задание магнитного поля, в этом случае определяют проекцию орбитального момента импульса [см. (28.26)], проекцию спина (28.27), проекцию полного момента импульса электрона [см. (28.30)] и проекцию момента импульса атома [см. (28.36)] на направление вектора магнитной индукции В.
Связь между моментом импульса и магнитным моментом (16.54) позволяет использовать перечисленные формулы для нахождения дискретных проекций соответствующего магнитного момента на направление вектора В. Таким образом, в отличие от классических представлений магнитные моменты частиц ориентируются относительно магнитного поля под некоторыми определенными углами.
Для атома, например, из (28.36) получаем следующие значения проекций магнитного момента на направление вектора магнитной индукции:
е , eh
Pmz = S— La, = «— — «Мб™/, (30. П
2т 2т 2л v
где цБ = eh/(4nm) — магнетон Бора', g — множитель Ланде (д-фрактор). для заданного уровня энергии атома он зависит от квантовых чисел L. J, S. Знак «—» в (30.1) обусловлен отрицательным зарядом электрона.
Формулу (16.21) для энергии контура с током в магнитном поле можно применить и к атому. Учитывая, что рт cosa равно проекцииpmz магнитного момента на направление вектора магнитной индукции, получаем:
£п = - рт В cosa = - pmz В = g • рБ - mj-B.
Таким образом, энергия атома в магнитном поле с учетом, что при его отсутствии энергия атома равна £0, определяется по формуле.
£=£0 + #щБ тгВ. (30.2)
Так как магнитное квантовое число mj может принимать ?./ + I значений от +7 до —то из (30.2) следует, что каждый энергетический уровень при помещении атома в магнитное поле расщепляется на 2J + 1 подуровней. Это схематически показано на рис. 30.4 для J = \/2. Расстояние между соседними подуровнями равно:
Д£=£ЩБ-А (30.3)
Расщепление энергетических уровней приводит и к расщеплению спектральных линий атомов, помещенных в магнитное поле. Это явление называют эффектом Зеемана.
Запишем выражение (30 2) для двух подуровней Е{ и Е2, образованных при наложении магнитного поля:
= 4 + тЧь £2 = + BmJb (З0.4)
где £0| и Eq2“ энергии атома при отсутствии магнитного поля. Используя (29.1) и (30.4), получаем выражение для излучаемых атомом частот:
v = (£02 - £()1) / h + Mb В - S тл) / fi = V(J + Av, (30.5) где
vq = (Е02 ~ ^01) / В (30.6)
— частота спектральной линии при отсутствии магнитно! о поля;
Av = pR 5(g; -g; m,n)/h (30.7)
— расщепление спектральной линии в магнитном поле. Из (30.7) видно, что Av зависит от магнитного квантового числа, множителя Ланде и магнитной индукции поля. Если^ = g2 = g, то:
Av = ^pB£(ffl/2-W/1)//?,
Согласно правилам отбора для магнитного квантового числа, имеем:
Рис. 30.5
V , v ЭМбВ
vo+—— v0 v0 j]—
Это соответствует трем возможным частотам: v0 + g^B / h, v0, v0 — / h, т.е. в магнитном поле спектральная линия расщепляется на триплет (рис. 30.5). Такое расщепление называется нормальным или простым эффектом Зеемана, он наблюдается только в сильных мшнитных полях
В слабых магнитных полях сушесг вует аномальный эффект Зеемана, в этом случае g, * g2 и расщепление спектральных линий значительно более сложное
§ 30.3. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПАРАМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС И ЕГО МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
У атома, помещенного в магнитное поле, спонтанные переходы между подуровнями одного и того же уровня маловероятны. Однако такие переходы осуществляются нндуцированно под влиянием внешнего электромагнитного поля. Необходимым условием является совпадение частоты электромагнитного поля с частотой фотона, соответствующего разности энергий между расщепленными подуровнями. При этом можно наблюдать поглощение энергии электромагнитного поля, которое на зывают магнитным резонансом.
В зависимости от типа частиц — носителей магнитного момента — различают электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) и ядерный магнитный резонанс (ЯМР).
ЭПР происходит в веществах, содержащих парамагнитные частицы: молекулы, атомы, ионы, радикалы, обладающие магнитным моментом, обусловленным электронами. Возникающее при этом явление Зеемана
592 Раздел 7. Физика атомов и молекул. Элементы квантовой биофизики объя< няют расщеплением электронных уровней (отсюда название резонанса — электронный). Наиболее распространен ЭПР на частицах с чисто спиновым магнитным моментом (в зарубежной, литературе такую разновидность ЭПР иногда называют электронным спиновым резонансом).
ЭПР был открыт Е.К.Завойским в 1944 г. В первых опытах наблюдалось резонансное поглощение в солях ионов i руппы железа. Завойскому удалось изучить ряд закономерностей этого явления.
Из выражений (29.1) и (30.3) получаем следующее условие резонансного поглощения энергии.
/?v g ц-g
(30.9)
Магнитный резонанс наблюдается, если на частицу одновременно действуют постоянное поле индукции В и электромагнитное поле с частотой у. Из условия (30.9) понятно, чго обнаружить резонансное поглощение можно двумя путями: либо при неизменной частоте плавно изменять магнитную индукцию, либо при неизменной магнитной индукции плавно изменять частоту. Технически более удобен первый вариант.
На рис. 30.6 показаны расщепление энергетического уровня электрона (а) и изменение мощности Р электромагнитной волны, прошедшей образец, в зависимости от инпукции магнитного поля (б). При выполнении условия (30.9) возникает ЭПР.
Форма и интенсивность спектральных линий, наблюдаемых в ЭПР, определяются взаимодействием магнитных моментов электронов, в частности спиновых, друг с другом, с решеткой твердого тела и т.п. Выясним, как эти факторы влияют на характер спектров.
Предположим, что условие (30.9) выполняется. Для поглощения энергии необходимо, чтобы у атомов вещества была большая населенность нижних подуровней, чем верхних. В противном случае будет преобладать индуцированное излучение энергии.
При электронном парамагнитном резонансе наряду с поглощением энергии и увеличением населенности верх
них подуровней происходит и обратный процесс — безызлучательные
переходы на нижние подуровни, энергия частицы передается решетке.
Процесс передачи энергии частиц решетке называют спин-реше-точной релаксацией, он характеризуется временем т. По соотношению Гейзенберга (28.11) это приводит к уширению уровня.
Таким образом, резонансное поглощение возникает не точно при одном значении В, а в некотором интервале Д5 (рис. 30.7). Вместо бесконечно узкой линии поглощения будет линия конечной ширины: чем меньше время спин-решеточной релаксации, тем больше ширина линии (временам Т] < т 2, соответствуют кривые 1 и 2на рис. 30.7).
Уширение линий ЭПР зависит также от взаимодействия спинов
электронов (спин-спиновое взаимодействие) и от других взаимодействий парамагнитных частиц. Разные типы взаимодействия влияют не
только на ширину линии поглощения, но и на се форму.
Поглощенная при ЭПР энергия, т.е. интегральная (суммарная) интенсивность линии, при определенных условиях пропорциональна числу парамагнитных частиц Отсюда следует, что по измеренной интегральной интенсивности можно судить о концентрации этих частиц.
Важными параметрами, характеризующими синглетную (одиночную)
£погл
Врез
Рис. 30 7
линию поглощения, являются v, Spe3,
g (положение точки резонанса), соответствующие условию (ЗС.9). При
постоянной частоте v значение 2?рез зависит от g-фактора. В простейшем случае g-фактор позволяет определить характер магнетизма системы
(спиновый или орбитальный). Если же электрон связан с атомом, входящим в состав твердой кристаллической решетки или какой-либо мо-
лекулярной системы, то на него будут влиять сильные внутренние поля. Измеряя g-фактор, можно получить информацию о полях и внутримо
лекулярных связях.
Однако если бы при исследовании получалась только синглетная линия поглощения, многие приложения магнитных резонансных методов были бы невозможны. Большинство приложений, в том числе и медикобиологических, базируется на анализе группы линий. Наличие в спектре ЭПР группы близких линий условно называют расщеплением. Имеется два характерных типа расщепления для спектра ЭПР.
Рис. 30.8
Первое — электронное расщепление — возникает в тех случаях, когда молекула или атом обладают не одним, а несколькими электронами, вызывающими ЭПР. Второе — сверхтонкое расщепление — наблюдается при взаимодействии электронов с магнитным моментом ядра.
Современная методика измерения ЭПР основывается на определении изменения какого-либо параметра колебательной системы, происходящего при поглощении электромагнитной энергии.
Прибор, используемый для этой цели, называют спектрометром ЭПР. Он состоит из следующих основных частей (рис. 39.8): I — электромагнит, создающий сильное однородное магнитное поле, индукция которого может плавно изменяться; 2— генератор СВЧ-излучения электромагнитного поля; 3 — специальная «поглощающая ячейка», которая концентрирует падающее СВЧ-излучение на образце и позволяет обнаружить поглощение энергии образцом (объемный резонатор); 4 — электронная схема, обеспечивающая наблюдение или запись спектров ЭПР; 5 —образец; 6 — осциллограф.
На современном отечественном ЭПР-спектромстрс «Рубин» (рис. 30.9) используют частоту около 10 ГГд (длина волны 0,03 м). Это означает в соответствии с (30.9), что максимум ЭПР поглощения для g = 2 наблюдается при В = 0.3 Тл.
Практически на ЭПР-спектромсграх регистрируют не кривую поглощения энергии (рис. 30.10. а), а ее производную (рис. 30.10, б).
Одно из медико-биологических применений метода ЭПР заключается в обнаружении и исследовании свободных радикалов. Так, например, спектры ЭПР облученных белков позволили объяснить механизм образования свободных радикалов и в связи с этим проследить изменения первичных и вторичных продуктов радиационного поражения.
Рис. 30.9
ЭПР широко используют для изучения фотохимических процессов, в частности фотосинтеза. Исследуют канцерогенную активность некоторых веществ. С санитарно-гигиенической и елью метод ЭПР используют для определения концентрации радикалов в воздушной среде.
Сравнительно недавно специально дня изучения биологических молекул был предложен метод спин-меток, сущность которою состоит в том, что с молекулой исследуемого объекта связывается парамагнитное соединение с хороню известной структурой. По спектрам ЭПР находят положение такой спин-mci ки в молекуле. Вводя метки в различные части молекул, можно установить расположение различных групп атомов, их взаимодействия, изучать природу и ориентацию химических связей и обнаруживать молекулярное движение. Присоединение к молекуле не одной, а нескольких спин-меток, например двух, позволяет получить снедения о расстояниях меченых групп и их взаимной ориентации.
Используются также и спиновые зонды — парамагнитные частицы, которые нековалентно связаны с молекулами. Изменение ЭПР-спектра спиновых зондов дает информацию о состоянии окружающих его молекул. На рис. 30.11 показаны ЭПР-спектры нитроксильного радикала, который в качестве спинового зонда помешен в глицерин. С увеличением температуры уменьшается вязкость глицерина, и эго изменяет вид спектра ЭПР. Таким образом, по форме спектра ЭПР можно определить микровязкость — вязкость ближайшего окружения спинового зонда. Так, в частности, удается определить микровязкость липидного слоя мембран (см. § 13.2).
Епогл
Рис. 30.10
бЕпогл ав
В нашей стране проводятся большие исследования биологических объектов методом ЭПР.
§ 30.4. ЯДЕРНЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС.
ЯМР-ИНТРОСКОПИЯ
Ядерный магнитный резонанс не относится к разделу физики атомов и молекул, однако рассматривается в одной главе с ЭПР как явление магнитного резонанса.
Магнитный момент ядер суммируется из магнитных моментов нуклонов. Обычно этот момент выражают в ядерных магнезонах (ця); 1 ря = 5,05 1О“27 А - м2. Магнитный момент протона приближенно равен ртр — 2,79ця, а нейтрона ртп - — 1,91ря. Знак «—» означает, что магнитный момент нейтрона или ядра ориентирован противоположно спину.
Приведем магнитные моменты некоторых ядер (табл. 30.1).
Таблица 30.1
9 Be 12 С 6 L 115 г 49
йя 0 — 1,2 0 5,5
Магнитный момент ядра, помешенного в магнитное поле, может принимать лишь дискретную ориентацию. Это означает, что энергии ядра будут соответствовать подуровни, расстояние между которыми зависит от индукции магнитного поля.
Если в этих условиях на ядро воздействовать электромагнитным полем, то можно вызвать переходы между подуровнями. Чтобы осуществить эти переходы, а также поглощение энергии электромагнитного поля, необходимо выполнение условия, аналогичного (30.9):
hv = Яя Мя
(30.10)
где — ядерный множитель Ленде.
Избирательное поглощение электромагнитных волн определенной частоты веществом в постоянном магнитном поле, обусловленное переориентацией магнитных моментов ядер, называют ядерным магнитным резонансом (ЯМР).
ЯМР можно наблюдать при выполнении условия (30.10) лишь для свободных атомных ядер. Экспериментальные значения резонансных
частот ядер, находящихся в атомах и молекулах, не соответствуют (30.10). При этом происходит химический сдвиг, который возникает в результате влияния локального (местного) магнитного поля, создаваемого внутри атома электронными токами, индуцированными внешним магнитным полем. В результате такого диамагнитного эффекта возникает дополнительное магнитное поле, индукция которого пропорциональна индукции внешнего магнитного поля, но противоположна ему по направлению, поэтому полное эффективное магнитное поле, действующее на ядро, характеризуется индукцией:
Яэф = (1 -о) Д (30.11)
где и — постоянная экранирования, по порядку величины равная 10 6 и зависящая от электронного окружения ядер.
Отсюда следует, что для данного типа ядер, находящихся в различных окружениях (разные молекулы или разные, не эквивалентные места одной и той же молекулы), резонанс наблюдается при различных частотах. Это и определяет химический сдвиг. Он зависит от природы химической связи, электронного строения молекул, концентрации данного вещества, типа растворителя, температуры и т.д.
Если два или несколько ядер в молекуле экранированы различно, т.е. ядра в молекуле занимают химически не эквивалентные положения, то они имеют различный химический сдвиг. Спектр ЯМР такой молекулы содержит столько резонансных линий, сколько химически не эквивалентных групп ядер данного типа в ней имеется. Интенсивность каждой линии пропорциональна числу ядер в данной группе.
В спектрах ЯМР различают два типа линий пи их ширине. Спектры твердых тел имеют большую ширину, и эту область применения ЯМР называют ЯМР широких линий. В жидкостях наблюдают узкие линии, и это называют ЯМР высокого разрешения
На рис. 30.12 изображены кривые ядерного магнитного резонанса для твердых тел (а) и жидкостей (б). Острота пика в жидкостях обусловлена следующим. Каждое ядро взаимодействует со своими соседями. Так как ориентация ядерных магнитных моментов, окружающих ядро данного типа, изменяется от точки к точке в веществе, то полное магнитное поле, действующее на различные однотипные ядра, также изменяется. Это означает, что для всей совокупности ядер область резонанса должна представлять собой широкую линию. Однако из-за быстрых перемещений молекул в жидкости локальные магнитные поля недолговечны. Это приводит к тому, что ядра жидкости находятся под воздействием одного
Рис. 30.12
и того же среднего поля, поэтому линия резонанса является резкой.
Для химических соединений, в которых наблюдается ЯМР ядер, занимающих химически эквивалентные места в молекуле, наблюдается одиночная линия. Соединения более сложного строения дают спектры из многих линий.
По химическому сдвигу, числу и положению спектральных линий мож-
но установить структуру молекул.
Химики и биохимики широко используют метод ЯМР для исследования структуры от простейших молекул неорганических веществ до сложнейших молекул живых объектов, а также при решении многих задач, связанных с протеканием химических реакций, изучением структур исходных веществ и получающихся в результате реакций продуктов. Одним из преимуществ этого анализа является то, что он не разрушает объекты
исследования, как это происходит, например, при химическом анализе.
Очень интересные возможности для медицины может дать определение параметров спектра ЯМР во многих точках образна. Постепенно, послойно проходя весь образец (сканируя), можно получить полное представление о пространственном распределении молекул, содержащих, например, атомы водорода или фосфора (при магнитном резонансе от протонов или ядер фосфора соответственно).
Все это осуществляется без разрушения образца, и поэтому можно проводить исследование на живых объектах. Такой метод называют ЯМР-интроскопией (об интроскопии см. § 24.8). он позволяет различать кости, сосуды, нормальные ткани и ткани со злокачественной патологией. ЯМР-интроскопия позволяет различать изображение мягких тканей, например, отличает изображение серого вещества мозга от белого, опухолевых клеток от здоровых, при этом минимальные размеры патологических включений могут составлять доли миллиметра. Можно ожидать, что ЯМР-интроскопия станет эффективным методом диагностики заболеваний, которые связаны с изменением состояний органов и тканей.
Частота электромагнитных волн, вызывающих переходы между энергетическими состояниями при ЭПР и ЯМР, соответствует радиодиапазону. Поэтому оба этих явления относятся к радиоспектроскопии.
Раздел 8
ИОНИЗИРУЮЩИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ. ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ
Ионизирующим излучением называют потоки частиц и электромагнитных квантов, взаимодействие которых со средой приводит к ионизации ее атомов и молекул. Ионизирующим излучением являются рентгеновское и у-излукение, потоки а-частиц, электронов, позитронов, протонов, нейтронов. В разделе описываются как источники ионизирующего излучения (рентгеновские трубки, радионуклиды1, ускорители), так и физические вопросы применения этого излучения для медицинских целей. Медикам и биологам, несомненно, интересны и такие вопросы, как взаимодействие ионизирующего излучения с веществом и элементы дозиметрии ионизирующего излучении.
1 Нуклиды ~ атомы, ядра котооых отличаются по своему составу, т.е. содержат различные количества протонов или нейтронов либо и тех и других частиц. В ряде случаев этот термин относят к общему названию атомных ядер.
Радионуклиды — нуклиды, способные к радиоактивному распаду.
Глава 31
Рентгеновское излучение
Рентгеновским излучением называют электромагнитные волны с д йеной приблизительно от 80 до 10~- нм. Наиболее длинноволновое рентгеновское излучение перекрывается коротковолновым ультрафиолетовым, коротковолновое — длинноволновым у-излучением. По способу возбуждения рентгеновское излучение подразделяют на тормозное и характеристическое.
§ 31.1. УСТРОЙСТВО РЕНТГЕНОВСКОЙ ТРУБКИ. ТОРМОЗНОЕ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Наиболее распространенным источником рентгеновского излучения является рентгеновская тоубка, которая представляет собой двух-электродный ваккумный прибор (рис. 31.1). Подогревный катод / испускает электроны 4. Анод 2, называемый часто антикатодом, имеет наклонную поверхность, для того чтобы направить возникающее рентгеновское излучение 3 под углом к оси трубки, анод изготовлен из хорошо теплопрово-дящего материала для отвода теплоты, образующейся при ударе электронов. Поверхность анода выполнена из тугоплавких материалов, имеющих большой порядковый номер атома в таблице Менделеева, например из вольфрама. В отдельных случаях анод специально охлаждают водой или маслом.
Для диагностических трубок важна точечность источника рентгеновских лучей, чего можно достигнуть, фокусируя электроны в одном месте антикатода. Поэтому конструктивно приходится учитывать две противоположные задачи: с одной стороны, электроны должны попадать на одно место анода, с другой стороны, чтобы не допустить перегрева, желательно распределение электронов по разным участкам анода. В качестве одного из интересных технических решений является рентгеновская трубка с вращающимся анодом (рис. 31.2).
В результате торможения электрона (или иной заряженной частицы) электростатическим полем атомного ядра и атомарных электронов вещества антикатода возникает тормозное рентгеновское излучение.
Механизм его можно пояснить следующим образом. С движущимся электрическим зарядом связано магнитное поле, индукция которого зависит от скорости электрона. При торможении уменьшается магнитная
индукция и в соответствии с теорией Максвелла появляется электромагнитная волна.
При торможении электронов лишь часть энергии идет на создание фотона рентгеновского излучения, другая часть расходуется на нагревание анода. Так как соотношение между этими частями случайно, то при торможении большого количества электронов образуется непрерывный спектр рентгеновского излучения. В связи с этим тормозное излучение называю! еще сплошным. На рис 31.3 представлены зависимости потока рентгеновского излучения от длины волны л (спектры) при разных напряжениях в рентгеновской трубке: Ux < U2 < U3.
В каждом из спектров наиболее коротковолновое тормозное излучение возникает тогда, когда энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле, полностью переходит в энергию фотона:
в U / ^min’
(31.1)
откуда
^min= he/(eU). (31.2)
Эту формулу можно преобразовать в более удобное для практических целей выражение:
А • = 1 ?3 / и
(31.3)
где kmi„ — длина волны, 10~1() нм; U — напряжение, кВ. Формула (31.3) сооз ветствует рис. 31.3.
Заметим, что на основе (31.2) разработан один из наиболее точных способов экспериментального определения постоянной Планка.
Коротковолновое рентгеновское излучение обычно обладает большей проникающей способностью, чем длинноволновое, и называется жестким, а длинноволновое — мягким.
Увеличивая напряжение на рентгеновской трубке, изменяют спектральный состав излучения, как это видно из рис. 31.3 и формулы (31.3), и увеличивают жесткость.
Если увеличить температуру накала катода, то возрастут эмиссия электронов и сила тока в трубке. Это приведет к увеличению
Рис. 31.3
числа фотонов рентгеновского излучения, испускаемых каждую секунду. Спектральный состав его не изменится. На рис. 31.4 показаны спек-
тры тормозного рентгеновского излучения при одном напряжении, но при разной силе тока накала катода: /Н| < /н2.
Поток рентгеновского излучения вычисляется по формуле:
Ф = kllfiZ,
(31.4)
где Z/и 1 — напряжение и сила тока в рентгеновской трубке; Z— порядковый номер атома вещества анода; к — коэффициент пропорциональности. Спектры, полученные от разных антикатодов при одинаковых U и /и, изображены на рис. 31.5.
Рис. 31.4
Рис. 31.5
§ 31.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. АТОМНЫЕ РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
Увеличивая напряжение на рентгеновской трубке, можно заметить на фоне сплошного спектра появление линейчатого, который соответствует характеристическому рентгеновскому излучению (рис. 31.6). Он возникает вследствие того, что ускоренные электроны проникают в глубь атома и из внутренних слоев выбивают электроны. На свободные места переходят электроны с верхних уровней (рис. 31.7), в результате высвечиваются фотоны характеристического излучения. Как видно из рисунка, характеристическое рентгеновское излучение состоит из серий К, L. М и т.д., наименование которых и послужило для обозначения электронных слоев. Так как при излучении Л’-серии освобождаются места в более высоких слоях, то одновременно испускаются и линии других серий.
В отличие от оптических спектров характеристические рентгеновские спектры разных атомов однотипны. На рис. 31.8 показаны спектры различных элементов. Однотипность этих спектров обусловлена тем, что внутренние слои у разных атомов одинаковы и отличаются лишь энергетически, так как силовое воздействие со стороны ядра увеличивается по мере возрастания порядкового номера элемента. Это обстоятельство приводит к тому, что характеристические спектры сдвигаются в сторону больших частот с увеличением заряда ядра. Такая закономерность видна из рис. 31.8 и и звсстна как закол Мозли\
Рис, 31.6
Рис. 31.7
>lv=A(Z- В),
(31.5)
где v — частота спектральной линии; Z— атомный номер испускающего элемента; А и В — постоянные.
Есть еще одна разница между оптическими и рентгеновскими спектрами.
Характеристический рентгеновский спектр атома не зависит от химического соединения, в которое этот атом входит. Так, например, рентгеновский спектр атома кислорода одинаков для О, О2 и Н2О, в то время как оптические спектры этих соединений существенно различны. Эта особенность рентгеновского спектра атома послужила основанием для названия характеристическое.
Характеристическое излучение возникает всегда при наличии свободного места во внутренних слоях атома независимо от причины, которая его вызвала. Так, например, характеристическое излучение сопровождает один из видов радиоактивного распада (см. § 32.1), который заключается в захвате ядром электрона с внутреннего слоя.
Рис. 31.8
§ 31.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Регистрация и использование рентгеновского излучения, а также воздействие его на биологические объекты определяются первичными процессами взаимодействия рентгеновского фотона с электронами атомов и молекул вещества.
В зависимости от соотношения энергии hv фотона и энергии ионизации1 Лн имеют место три главных процесса.
Когерентное (классическое) рассеяние
Рассеяние длинноволнового рентгеновского излучения происходит в основном без изменения длины волны, и его называют когерентным. Оно возникает, если энергия фо гона меньше энергии ионизации: hv < Аи.
Так как в этом случае энергия фотона рентгеновского излучения и атома не изменяется, то когерентное рассеяние само по себе не вызывает биологического действия. Однако при создании защиты от рентгеновского излучения следует учитывать возможность изменения направления первичного пучка. Этот вид взаимодействия имеет значение для рентгеноструктурного анализа (см. § 24 7).
Некогерентное рассеяние (эффект Комптона)
В 1922 г. А.Х. Комптон, наблюдая рассеяние жестких рентгеновских лучей, обнаружил уменьшение проникающей способности рассеянного пучка по сравнению с падающим. Это означало, что длина волны рассеянного рентгеновского излучения больше, чем падающего. Рассеяние рентгеновского излучения с изменением длины волны называют некогерентным, а само явление — эффектом Комптона. Он возникает, если энергия фотона рентгеновского излучения больше энергии ионизации; hv >А,Г
Это явление обусловлено тем, что при взаимодействии с атомом энергия hv фотона расходуется на образование нового рассеянного фотона рентгеновского излучения с энергией hv’, на отрыв электрона от атома (энергия ионизации Ли) и сообщение электрону кинетической энергии Ек:
hv ~hv’ +ЛИ+ £к. (31.6)
1 Здесь под энергией ионизации понимают энергию, необходимую для удаления внутренних электронов за пределы атома или молекулы.
Так как во многих случаях h\> » Аи и эф-фект Комптона происходит на свободных электронах, то можно записать приближенно:
hv = /щ’ + £к. (31.7) Рис. 31.9 Ек
Существенно, что в этом явлении (рис. 31.9) наряду с вторичным рентгеновским излучением (энергия hv фотона) появляются электроны отдачи (кинетическая энергия Ек электрона). Атомы или молекулы при этом становятся ионами.
Фотоэффект
При фотоэффекте рентгеновское излучение поглощается атомом, в результате чего вылетает электрон, а атом ионизируется (фотоионизация).
Три основных процесса взаимодействия, рассмотренные выше, являются первичными, они приводят к последующим вторичным, третичным и т.д. явлениям. Так, например, ионизированные атомы могул излучать характеристический спектр, возбужденные атомы могут стать источниками видимого света (рентгенолюминеспенция) и т.п.
На рис. 31.10 приводится схема возможных процессов, возникающих при попадании рентгеновского излучения в вещество. Может происходить несколько десятков процессов, подобных изображенному, прежде чем энергия рентгеновского фотона перейдет в энергию молекулярнотеплового движения. В итоге произойдут изменения молекулярного состава вещества.
Процессы, представленные схемой рис. 31.10, лежат в основе явлений, наблюдаемых при действии рентгеновского излучения на вещество. Перечислим некоторые из них.
Рентгенолюминесценция — свечение ряда веществ при рентгеновском облучении. Такое свечение платиносинеродистого бария позволило Рентгену открыть лучи. Это явление используют для создания специальных светящихся экранов с целью визуального наблюдения рентгеновского излучения, иногда для усиления действия рентгеновских лучей на фотопластинку.
Известно химическое действие рентгеновского излучения, например образование перекиси водорода в воде. Практически важный пример — воздействие на фотопластинку, что позволяет фиксировать такие лучи.
Ионизирующее действие проявляется в увеличении электропроводимости под воздействием рентгеновских лучей. Это свойство используют
Рис. 31.10
в дозиметрии для количественной оценки действия этого вида излучения.
В результате многих процессов первичный пучок рентгеновского излучения ослабляется в соответствии с законом (29.3).
Запишем его в виде:
(31.8)
где ц —линейный коэффициент ослабления. Его можно представить состоящим из трех слагаемых, соответствующих когерентному рассеянию цк> некогерентному цнк и фотоэффекту цф:
ц = цк + цнк + Рф.
(31.9)
Интенсивность рентгеновского излучения ослабляется пропорционально числу атомов вещества, через которое этот поток проходит. Если сжать вещество вдоль оси Х\ например, в h раз, увеличив в b раз его плотность, то
ослабление пучка не изменится, так как число атомов остается прежним. Следовательно, показатель степени в формуле (31.8) не изменится:
p|A'l = р2Л'2 = ри*| /Й
(31.10)
л2 =Л'| / Ь, так как при сжатии толщина поглошаюшего слоя уменьшилась в Ь раз. Из (31.10) имеем р, = ц2 /Ь.
Это означает, что линейный коэффициент ослабления зависит от плотности вещества.
Поэтому предпочитают пользоваться массовым коэффициентом ослабления, который равен отношению линейного коэффициента ослабления к плотности поглотителя и не зависит от плотности вещества:
= Pi /р-
(31.11)
§ 31.4. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В МЕДИЦИНЕ
Одно из наиболее важных медицинских применений рентгеновского излучения — просвечивание внутренних органов с диагностической целью (рент гена диагн оетика).
Для диагностики используют фотоны с энергией порядка 60-120 кэВ. При этой энергии массовый коэффициент ослабления в основном определяется фотоэффектом. Его значение обратно пропорционально третьей степени энергии фотона (пропорционально Л5), в чем проявляется большая проникающая способность жесткого излучения, и пропорционально третьей степени атомного номера вещества-поглотителя:
= R3Z3,
(31.12)
где к — коэффициент пропорциональности.
Поглощение рентгеновских лучей почти не зависит от того, в каком соединении атом представлен в веществе, поэтому можно легко сравнить по формуле (31.12) массовые коэффициенты ослабления ц,„к кости Са3(РО4)2 и ц,„в мягкой ткани или воды Н2О. Атомные номера Са, Р, О и Н соответственно равны 20, 15, 8 и 1. Подставив эти числа в (31.12), получим:
pWK _ 3 • 2()3 + 2 153 + 8 • 83
1Г«в 2-Р + 83
Существенное различие поглощения рентгеновского излучения разными 1 канями позволяет в теневой проекции видеть изображения внутренних органов тела человека.
Рентгенодиагностику используют в двух вариантах: рентгеноскопия — изображение рассматривают на рентгенолюминесцирующем экране, рентгенография — изображение фиксируется на фотопленке.
Если исследуемый орган и окружающие ткани примерно одинаково ослабляют рентгеновское излучение, то применяют специальные контрастные вещества. Так, например, наполнив желудок и кишечник кашеобразной массой сульфата бария, можно видеть их теневое изображение.
Яркость изображения на экране и время экспозиции на фотопленке зависят от интенсивности рентгеновского излучения. Если его используют для диагностики, то интенсивность не может быть большой, чтобы не вызвать нежелательных биологических последствий. Поэтому имеется ряд технических приспособлений, улучшающих изображение при малых интенсивностях рентгеновского излучения. В качестве примера такого приспособления можно указать электронно-оптические преобразователи (см. § 27.8). При массовом обследовании населения широко используется вариант рентгенографии — флюорография, при которой на чувствительной малоформатной пленке фиксируется изображение с большого рентгенолюминесцирующего экрана. При съемке используют линзу большой светосилы, готовые снимки рассматривают на специ-
альном увеличителе.
Рис. 31.11
Интересным и перспективным вариантом рентгенографии является метод, называемый рентгеновской томографией, и его «машинный вариант» — компьютерная томография.
Рассмотрим этот вопрос.
Обычная рентгенограмма охватывает большой участок тела, причем различные органы и ткани затеняют друг друга. Можно избежать этого, если периодически совместно (рис. 31.11) в противофазе перемешать рентгеновскую трубку РТ и фотопленку Фп относительно объекта Об исследования. В теле имеется ряд непрозрачных для рентгеновских лучей включений, они показаны кружочками на рисунке. Как видно, рентгеновские лучи при любом положении рентгеновской трубки (/, 2 и т.д.) проходят че
рез одну и ту же точку объекта, являющуюся центром, относительно которого совершается периодическое движение FT и Фп. Эта точка, точнее небольшое непрозрачное включение, показана темным кружком. Его теневое изображение перемещается вместе с Фп, занимая последовательно положения 7, 2и т.д. Остальные включения в теле (кости, уплотнения и др.) создают на Фп некоторый общий фон, так как рентгеновские лучи не постоянно затеняются ими. Изменяя положение центра качания, можно получить послойное рентгеновское изображение тела. Отсюда и название — томография (послойная запись).
Можно, используя тонкий пучок рентгеновского излучения, экран (вместо Фп), состоящий из полупроводниковых детекторов ионизирующего излучения (см. § 32.5), и ЭВМ, обработать теневое рентгеновское изображение при томографии. Такой современный вариант томографии (вычислительная или компьютерная рентгеновская томография) позволяет получать послойные изображения тела на экране электронно-лучевой трубки или на бумаге с деталями менее 2 мм при различии поглощения рентгеновского излучения до 0,1%. Это позволяет, например, различать серое и белое вещество мозга и видеть очень маленькие опухолевые образования.
Первая Нобелевская премия была присуждена К.Рентгену (1901), в 1979 г. Нобелевская премия была присуждена Г. Хаунсфилду и МакКормаку за разработку компьютерного рентгеновского томографа.
С лечебной целью рентгеновское излучение применяют главным образом для уничтожения злокачественных образований (рентгенотерапия).
Глава 32
Радиоактивность.
Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
Одним из распространенных источников ионизирующего излучения является радиоактивный распад атомных ядер. В главе наряду’ с этим вопросом рассматривается взаимодействие ионизирующего излучения с веществом.
§ 32.1. РАДИОАКТИВНОСТЬ
Радиоактивностью называют самопроизвольный распад неустойчивых ядер с испусканием других ядер или элементарных частиц. Характерным признаком, отличающим ее от других видов ядерных превращении, является самопроизвольность (спонтанность) этого процесса. Различают радиоактивность естественную и искусственную.
Естественная радиоактивность встречается у неустойчивых ядер, существующих в природных условиях. Искусственной называют радиоактивность ядер, образованных в результате различных ядерных реакций. Принципиального различия между естественной и искусственной радиоактивностями нет. Им присущи общие закономерности.
Рассмотрим основные типы радиоактивного распада.
сх-Распад состоит в самопроизвольном превращении ядра с испусканием а-частицы. Схему а-распада с учетом правила смещения записывают в виде:
zX -> z--2Y + X
(32.1)
где X и Y — символы соответственно материнского и дочернего ядер. Примером ot-распада является превращение радона в полоний, а полония в свинец:
222 п 218 п , 4
S6Rn -> 84Ро + 2а И
218Dz4 214п, , 4-
84 Р° -> + 2СХ-
При а-распаде дочернее ядро может образоваться не только в нормальном, но и в возбужденных состояниях. Так как они принимают
дискретные значения, то и значения энергии i
Л/й а-частиц, вылетающих из разных ядер одного и того же радиоактивного вещества, дискрет- / X ны. Энергия возбуждения дочернего ядра ча- / \
ще всего выделяется в виде у-фотонов. Имен- \
но поэтому а-распад сопровождается у-излу- \
чением. ----------
.. стах с
Если дочерние ядра радиоактивны, то воз-
никает целая цепочка превращений, концом Рис. 32.1 которой является стабильное ядро.
fi-Pacnad заключается во внутриядерном взаимном превращении нейтрона и протона. Различают три вида р-распада.
1. Электронный, или [3 '-распад, который проявляется в вылете из ядра р~-частицы (электрона). Энергии [3-частиц принимают всевозможные значения от 0 до Етах, спектр энергий сплошной (рис. 32.1). Это не соответствует дискретным ядерным энергетическим состояниям. В 1932 г. В. Паули высказал предположение о том, что одновременно с р_-частицей из ядра вылетает еще и другая, нейтральная, с очень малой массой. По предложению Э. Ферми эта частица была названа нейтрино. Позже было установлено, что нейтрино возникает при р~-распаде, а при Р -распаде — антинейтрино.
Энергия, выделяющаяся при p-распаде, распределяется между Р-частицей и нейтрино или антинейтрино.
Схема р--распада с учетом правила смещения:
+ +Ц (32.2)
где v — обозначение антинейтрино. Примером р_-распада может быть превращение трития в гелий:
1Н -э ?Не Е_,р + v .
При р~-распаде электрон образуется вследствие внутриядерного превращения нейтрона в протон:
on +_i'p+v. (32.3)
2. Позитронный, или р+-распад. Схема р+-распада:
lx -> zJy + Др +V, (32.4)
где v — обозначение нейтрино. Примером -распада является превращение рубидия в криптон:
37 Rb —> 36 Rr + +13 + V,
При {3+-распаде позитрон образуется вследствие внутриядерного превращения протона в нейтрон:
+|р -о* +V. (32.5)
3. Электронный, или е-захват. Этот вид радиоактивности заключается в захвате ядром одного из внутренних электронов атома, в результате чего протон ядра превращается в нейтрон:
jp +_°₽ ->jn +v. (32.6)
Схема электронного захвата:
дХ + 1 Р —> /-I Y + V. (32.7)
Примером е-захвата может быть превращение бериллия в литий:
4 Be +_Jp -> з Li + v.
В зависимости от того, с какой внутренней оболочки захватывается электрон, иногда различают К-захват, L-захват и т.д. При электронном захвате освобождаются места в электронной оболочке, поэтому этот вид радиоактивности сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Именно по рентгеновскому излучению и был обнаружен электронный захват.
Радиоактивностью являются также спонтанное деление ядер, протонная радиоактивность и др. Понятие радиоактивности иногда распространяю] и на превращения элементарных частип.
§ 32.2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА. АКТИВНОСТЬ
Радиоактивный распад — это статистическое явление. Невозможно предсказать, когда распадется данное нестабильное ядро, можно лишь сделать некоторые вероятностные суждения об этом событии. Для боль-
Глава 32. Радиоактивность. Взаимодействие ионизирующего...615 шой совокупности радиоактивных ядер можно получить статистический закон, выражающий зависимость нераспавшихся ядер от времени.
Пусть за достаточно малый интервал времени dr распадается dA ядер. Это число пропорционально интервалу времени dr, а также общему числу Nрадиоактивных ядер:
dN=-XNdt,
(32.8)
где 7„ — постоянная распада, пропорциональная вероятности распада
радиоактивного ядра и различная для разных радиоактивных веществ. Знак «—» поставлен в связи с тем, что dN < 0, так как число нераспавшихся радиоактивных ядер убывает со временем.
Разделим переменные и проинтегрируем (32.8) с учетом того, что
нижние пределы интегрирования соответствуют начальным условиям
(Г = О, N - 7V0; jVfl — начальное число радиоактивных ядер), а верхние —
текущим значениям / и N;
выражение, имеем:
N t
г d/V г N
— = —'к dr, In — — —)j. Потенцируя это
J A J ’ (Vo
М) О
Л = .
(32.9)
Это и есть основной закон радиоактивного распада: число радиоактивных ядер, которые еще не распадись, убывает со временем по экспо-не] щиальному закону.
На рис. 32.2 изображены кривые I и 2, соответствующие разным веществам (Ai > л2); начальное число А'о радиоактивных ядер одинаково.
На практике вместо постоянной распада чаще используют другую характеристику радиоактивного изотона — период полураспада Т. Это
время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер. Естественно, что это определение справедливо для достаточно большого числа ядер. На рис. 32 2 показано, как с помощью кривых 1 и 2 можно найти периоды полураспада ядер; проводится прямая, соответствующая 7V0/2, до пересечения с кривыми. Абсциссы точек, пересечения дают Т\ и Т2.
Рис. 32.2
Чтобы установить связь между Ти X, подставим в уравнение (32.9) N = NJ2 и t= Т. Л0/2 = Л е~~ут. Сокращая на и логарифмируя это равенство, получаем:
Т= 1п2/Х * 0,69/Х. (32.10)
Работая с радиоактивными источниками, важно знат ь число частиц или у-фотонов, вылетающих из препарата в секунду. Это число пропорционально скорости распада, поэтому скорость распада, наливаемая активностью, является существенной характеристикой радиоактивного препарата:
Используя (32.8)—(32.10), можно найти следующие зависимости для активности:
d.V
А=— = ХЛ = ХА^-' , (32.12)
N
А=— In 2. (32.13)
Таким образом, активность препарата тем больше, чем больше радиоактивных ядер и меньше их период полураспада. Активность препарата со временем убывает по экспоненциальному закону.
Единица активности — беккерель (Бк), что соответствует активности нуклида в радиоактивном источнике, в котором за 1 с происходит один акт распада. Наиболее употребительной единицей активности является кюри (Ки); 1 Ки = 3,7 - 10'° Бк = 3,7 • 1010 С"1. Кроме того, существует еще одна внесистемная единица активности — резерфорд (Рд); 1 Рд = 106 Бк = = Ю6 с-‘. Для характеристики активности единицы массы радиоактивного источника вводят величину, называемую удельной массовой активностью и равную отношению активности изотопа к его массе. Удельная массовая активность выражается в беккерелях на килограмм (Бк/кг).
§ 32.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Заряженные частицы и у-фотоны, распространяясь в веществе, взаимодействуют с электронами и ядрами, в результате чего изменяется состояние как вещества, так и частиц.
Основным механизмом потерь энергии заряженной частицы (а и [3) при прохождении через вещество является ионизационное торможение. При этом ее кинетическая энергия расходуется на возбуждение и ионизацию атомов среды.
Взаимодействие частицы с веществом количественно оценивается линейной плотностью ионизации, линейной тормозной способностью вещества и средним линейным пробегом частицы.
Под линейной плотностью ионизации i понимают отношение числа d/т пар ионов, образованных заряженной ионизирующей частицей на элементарном пути d/. к этому пути: / = dn/d/. Размерность — пар ионов/м.
Линейной тормозной способностью вешества 5 называют отношение энергии d£, теряемой заряженной ионизирующей частицей при прохождении элементарного пути d/ в веществе, к длине этого пути. 5 = dE/d/. Размерность — Дж/м.
Средним линейным пробегом заряженной ионизирующей частицы R является среднее значение расстояния, проходимого частицей в данном веществе до потери ионизирующей способности.
График зависимости линейной плотности ионизации от пути х, проходимого а-частицей в среде (воздух), показан на рис. 32.3. По мере продвижения частицы в среде уменьшаются ее энергия и скорость, линейная плотность ионизации при этом возрастает и только при завершении пробега частицы резко убывает. Возрастание / обусловлено тем, что при меньшей скорости сс-частица больше времени проводит вблизи атома и, таким образом, возрастает вероятность ионизации атома. Как видно из рисунка, линейная плотность ионизации а-часгиц естественнорадиоактивных изотопов в воздухе при нормальном давлении составляет i — (2 -г 8) • I О6 пар ионов/м.
Так как для ионизации одной молекулы требуется энергия около 34 эВ, го значения линейной тормозной способности вещества (воздуха) S лежат в интервале 70-270 МэВ/м.
Средний линейный пробег а-частицы зависит от сс энергии. В воздухе он равен нескольким сантиметрам, в жидкостях и в живом организме — 10—100 мкм. После того как скорость а-частицы замедляется до скорости молекулярно-теплового движения, она, захватив два электрона в веществе, превращается в атом гелия.
Ионизация и возбуждение являются первичными процессами. Вторичными
/,106м“1
Рис. 32.3
процессами могут быть увеличение скорости молекулярно-теплового движения, характеристическое рентгеновское излучение, радиолюминесценция, химические процессы.
Взаимодействие а-частиц с ядрами — значительно более редкий процесс, чем ионизация. При этом возможны ядерные реакции, а также рассеяние а-часгиц.
0-Излучение, гак же как и a-излучение, вызывает ионизацию вещества. В воздухе линейная плотность ионизации [3-частиц может быть вычислена по формуле:
/ = к (с/и2),
где к * 4600 пар ионов/м.
Кроме ионизации и возбуждения 0-частицы могут вызывать и другие процессы. Так, например, при торможении электронов возникает тормозное рентгеновское излучение. 0-Частицы рассеиваются на электронах вещества, и их пути сильно искривляются в нем. Если электрон движется в среде со скоростью, превышающей скорость распространения света в этой среде, то возникает характерное черепковское излучение (излучение Черепкова—Вавилова}.
При попадании 0+-частицы в вещество с большой вероятностью происходит такое взаимодействие ее с электроном, в результате которого вместо пары электрон—лози грон образуются два у-фотона. Этот процесс, схема которого показана на рис. 32.4, называют аннигиляцией. Энергия каждого у-фотона, возникающего при аннигиляции, должна быть не меньше энергии покоя электрона или к у-фотон позитрона, т.е. не менее 0,51 МэВ.
\ Несмотря на разнообразие процессов, при-
\ водящих к ослаблению 0-излучения, можно
\ приближенно считать, что интенсивность его
изменяется по экспоненциальному закону, по-
6 0 ) + добному (31.8). В качестве одной из характери-
_ стик поглощения 0-излучения веществом ис-
< пользуют слой половинного поглощения, при
\ прохождении через который интенсивность
\ излучения уменьшается вдвое.
\ Можно считать, что в ткани организма
\ [3-частицы проникают на глубину 10-15 мм.
* Защитой от 0-излучения служат тонкие алю-
Рис. 32.4 миниевые, плексигласовые и другие экраны.
Так, например, слой алюминия толщиной 0,4 мм или воды толщиной 1,1мм уменьшает вдвое p-излучение от фосфора Р .
При попадании у-излучения в вещество наряду с процессами, характерными для рентгеновского излучения (когерентное рассеяние, эффект Комптона, фотоэффект, см. §31.3), возникают и такие, которые неспецифичны для взаимодействия рентгеновского излучения с веществом. К этим процессам следует отнести образование пары электрон—позитрон, происходящее при энергии у-фотона, не меньшей суммарной энергии покоя электрона и позитрона (1,02 МэВ), и фотоядерные реакции, которые возникают при взаимодействии у-фотонов больших энергий с атомными ядрами. Для возникновения фотоядсрной реакции необходимо, чтобы энергия у-фотона была не меньше энергии связи, приходящейся на нуклон. В результате различных процессов под действием у-излучения образуются заряженные частицы; следовательно, у-излучения также является ионизирующим.
Ослабление пучка у-излучения в веществе обычно описывают экспоненциальным законом (31.8). Линейный (или массовый) коэффициент поглощения можно представить как сумму соответствующих коэффициентов поглощения, учитывающих три основных процесса взаимодействия — фотоэффект, Комптон-эффект и образование электрон-позитронных пар:
В = Вф + Инк + Мл-
(32 14)
Эти основные процессы взаимодействия происходят с разной веро-
ятностью, которая зависит от энергии у-фотона (рис. 32.5; кривая полу-
чена для свинца). Как видно из рисунка, при малых энергиях основную роль играет фотоэффект, при средних — Комптон-эффект и при энер-
гиях, больших 10 МэВ, — процесс образования пары электрон—позитрон.
Экспоненциальный закон ослабления пучка у-фотонов выполняется приближенно, особенно при больших энергиях. Это обусловлено вторичными процессами, возникающими при взаимодействии у-излучения с веществом. Так, например, электроны и позитроны обладают энергией, достаточной для образования новых у-фотонов в результате торможения и аннигиляции.
ц, см-1
Н, МэВ
Рис. 32.5
Поток нейтронов тоже является ионизирующим излучением, так как в результате взаимодействия нейтронов с ядрами атомов образуются заряженные частицы и у-излучение. Проиллюстрируем это несколькими примерами:
• деление ядер при захвате ими нейтронов, образуются радиоактивные осколки, у-излучение и заряженные частицы;
• образование о-частиц, например ^Д] + = ^Na + 2а;
• образование протонов, например =IqC + \р.
§ 32.4. БИОФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕЙСТВИЯ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ НА ОРГАНИЗМ
Рассматривая первичные физико-химические процессы в организме при действии ионизирующих излучений, следует учитывать две принципиально разные возможности взаимодействия: с молекулами воды и с молекулами органических соединений.
Под действием ионизирующих излучений происходят химические превращения вещества, получившие название радиолиза. Укажем возможные механизмы радиолиза воды:
Н?О -э Н2О*, Н2О“ -> ОН~ + Н , Н2О -> Н2О+ + е“, ОН- -> ОН + е-. Н201 + Н2О -> Н3О+ + ОН , Н+ + е“ -> Н, Н2О + с“ Н2О-.
Реакция с кислородом может привести к образованию гидроперекиси и перекиси водорода:
Н + О2 + НО2, НО2 + Н -> Н2О2.
Взаимодействие молекул органических соединений с ионизирующими излучениями может образовать возбужденные молекулы, ионы, радикалы и перекиси:
RH -> RH* R + Н, RH+ -> R + Н+,
RH -> RH- +е“, R + О2 -> RO2.
Из приведенных реакций ясно, что эти высокоактивные в химическом отношении соединения будут взаимодействовать с остальными молекулами биологической системы, что приведет к нарушению мембран, клеток и функций всего организма.
Рассмотрим некоторые обшие закономерности, характерные для биологического действия ионизирующего излучения.
Значительные биологические нарушения вызываются ничтожно малыми количествами поглощаемой энергии излучения.
Ионизирующее излучение действует нс только на биологический объект, подвергнутый облучению, но и на последующие поколения через наследственный аппарат клеток. Это обстоятельство, а также его условное прогнозирование особо остро ставят вопрос о защите организмов от излучения.
Для биологического действия ионизирующего излучения специфичен скрытый (латентный) период. Разные части клеток по-разному чувствительны к одной и той же дозе (см. гл. 33) ионизирующего излучения. Наиболее чувствительным к действию излучения является ядро клетки.
Способность к делению — наиболее уязвимая функция клетки, поэтому при облучении прежде всего поражаются растущие ткани, Это делает ионизирующее излучение особенно опасным дтя детского организма, включая период, koi да он находится в утробе матери. Губительно действует излучение и на ткани взрослого организма, в которых происходит постоянное или периодическое деление клеток слизистую оболочку желудка и кишечника, кроветворную ткань, половые клетки и т.д. Действия ионизирующего излучения на быстрорастущие ткани используют также при терапевтическом воздействий на ткани опухоли.
При больших лозах может наступить «смерть под лучом», при меньших — возникают различные заболевания (лучевая болезнь и др.).
§ 32.5. ДЕТЕКТОРЫ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Детекторами ионизирующих излучений называют приборы, регистрирующие а-, p-рентгеновское и у-излучения, нейтроны, поотоны и т.д. Детекторы используют также для измерения энергии частиц, изучения процессов взаимодействия, распада и т.п,
Работа детекторов основана на тех процессах, которые вызывают регистрируемые частицы в веществе
С некоторой условностью детекторы могут быть представлены гремя группами: следовые (трековые) детекторы, счетчики и интегральные приборы.
Следовые детекторы позволяют наблюдать траекторию частицы, счетчики регистрируют появление частицы ь заданнном пространстве, интегральные приборы дают информацию о потоке ионизирующего излучения. Еще раз отметим условность этой классификации. Так, например, следовые детекторы можно использовать, чтобы сосчитать пролетающие частицы, от «поштучной» регистрации частиц счетчиком можно перейти к суммарной оценке потока ионизирующего излучения и т.п.
К следовым детекторам относят камеру Вильсона, диффузионную, пузырьковую, искровую камеры и толстослойные фотопластинки. Общность всех этих устройств заключается в том, что наблюдаемая частица ионизирует молекулы или атомы вещества на своем пути. Образованные ионы проявляются по вторичным эффектам: конденсация пересыщенного пара (камера Вильсона и диффузионная); парообразование перегретой жидкости f пузырьковая камера); образование разрядов в >азах (искровая камера); фотохимическое действие (толстослойные фотопластинки. Так как многие из перечисленных методов знакомы читателю по курсу физики средней школы, в качестве иллюстрации рассмотрим лишь работу искровой камеры. Она состоит из электродов, пространство между которыми заполнено газом. Высоковольтное напряжение подается на электроды во время прохождения частицей пространства камеры, сигнал для включения напряжения поступает с других детекторов. Электроны, возникшие вдолы раектории частицы при ионизации атомов газа, ускоряются электрическим полем и производят сами ударную ионизацию. В результате на небольших участках образуется видимый глазом искровой разряд.
На рис. 32.6 показана схема узкозазорной искровой камеры. Расстояние между электродами, помещенными в камеру, порядка 1 см. Искровые разряды возникают перпендикулярно электродам, их совокупность указывает траекторию частицы.
В стримерной1 искровой камере расстояние между электродами — 5—20 см. Высоковольтное напряжение снимается примерно через 10-5 с после прохождения частицы. За это время искры зарождаются только в непосредственной области первичной ионизации, созданной регистрируемой частицей. Следы частиц в стримерной искровой камере изображены на рис. 32.7
1 Стримерами называют светящиеся разветвленные каналы, образующиеся при электрическом разряде в газах.
Рис. 32.6
Рис. 32.7
К интегральным детекторам можно отнести фотопленки (фиксируется степень почернения после проявления пленки), ионизационные камеры непрерывного действия и др.
Рассмотрим устройство и работу ионизационной камеры непрерывного действия. Она представляет собой конденсатор К, внутри которого находится газ (рис. 32.8). При попадании излучения в газ происходит ионизация и по цепи протекает электрический ток, который обычно усиливают и измеряют. Сила тока пропорциональна числу ионов, образованных в камере в секунду, и, следовательно, потоку энергии проходящих ионизирующих частиц.
В некоторых приборах разрядка конденсатора под действием ионизирующего излучения фиксируется электрометром.
К счетчикам относят большую группу газоразрядных устройств (импульсные ионизационные камеры, пропорциональные счетчики, счетчики Гейгера—Мюллера), а также люминесцентные, полупроводниковые и др.
Проанализируем зависимость импульса тока /, возникающего при попадании частицы в газовый промежуток (число ионов, участвующих в одном импульсе), от напряжения Uна электродах (рис. 32.9; кривые соответствуют а- и (3-частицам).
Рис. 32.8
Рис. 32.9
Обе кривые мотут быть условно представлены шестью областями, для которых характерны различные процессы.
В области I рекомбинации часть ионов рекомбинирует. С ростом напряжения число рекомбинирующих ионов уменьшается, увеличивается число ионов, которые достигают электродов. Так как ионизирующая способность а-частиц больше, чем р-частин, то кривые для них различны.
Область II соответствует насыщению. Все первичные ионы доходят до электродов, но вторичной ионизации еш.е нет. В этой области работает ионизационная камера.
В области III начинает проявляться вторичная ионизация, однако импульс тока при этом остается пропорциональным начальной ионизации. Число N пар ионов, присутствующих после усиления, пропорционально числу .% первичных пар ионов, образованных ионизирующей частицей:
Ar = £7V0, (32.15)
где к — коэффициент газового усиления (к = 103т106). Он зависит от конструкции счетчика и природы используемого в нем газа. Именно в этой области работают пропорциональные счетчики.
Так как N(i и, следовательно. Nзависят не только от вида частицы, но и от ее энергии, то пропорциональные счетчики могут измерять и энергию частиц.
Область IV называют областью ограниченной пропорциональности. Здесь еще проявляется зависимость от начальной ионизации, но к значению U4 она уже пропадает. Значение 1/4, называемое порогом области Гейгера, зависит от конструкции счетчика, а также от давления и вида газа, используемого в нем. В этой области импульс тока становится достаточно большим и при малой начальной ионизации.
В области V работают счетчики Г ейгера—Мюллера. Здесь большой коэффициент газового усиления, но нельзя различать энергии частиц.
В области VI возникает непрерывный газовый разряд, который приводит к быстрой порче счезчика. Области V и VI соответствуют самостоятельному газовому разряду, который будет поддерживаться и после прекращения ионизирующего действия частицы.
В качестве примера газовых устройств рассмотрим счетчик Гейгера— Мюллера, он состоит из коаксиально расположенных цилиндрических электродов [рис. 32.10: I — анод (тонкая нить, натянутая вдоль оси), 2 — катод в виде напыленного на стеклянную трубку 3 металла]. Давление газа внутри счетчика — 100-200 мм рт.ст. К электродам при-
Рис. 32.10 рис. 32.11
кладываезся напряжение порядка нескольких сотен вольт. При попадании в счетчик ионизирующей частицы в газе образуются свободные электроны, которые движутся к аноду. Так как нить тонкая (диаметр около 0,05 мм), то вблизи нити электрическое поле сильно неоднородно, напряженность поля велика. Электроны вблизи нити ускоряются настолько, что начинают ионизовать газ. В результате возникает разряд и по цепи (рис. 32.11) протекает ток.
Самостоятельный разряд в счетчике Гейгера-Мюллера необходимо погасить, иначе счетчик не прореагирует на следующую частицу. Для гашения разряда применяют радиотехнический метод и метод, основанный на добавлении в трубку многоатомных газов (самогасящиеся счетчики).
Простейшим вариантом первого метода является включение последовательно со счетчиком высокоомного резистора. При протекании тока на этом резисторе происходит значительное падение напряжения, напряжение на счетчике уменьшается и разряд прекращается. Более распространены самогасящиеся счетчики, в которых благодаря специальному газовому наполнению разряд сам собой обрывается даже при малых сопротивлениях цепи.
Электрические импульсы, возникающие во внешней цепи на резисторе, усиливают и регистрируют специальным устройством. На рис. 32 12 показан внешний вид установки Б-4, которая работает совместно со счетчиком Гейгера—Мюллера.
Рис. 32.12
Принцип действия сцинтилляционного (люминесцентного) счетчика основан на гом, что под действием ионизирующего излучения в некоторых веществах происходят кратковременные вспышки света — сцинтилляции. На первом этапе развития ядерной физики сцинтилляции регистрировались при визуальном наблюдении. В люминесцентном счетчике они регистрируются автоматически с использованием фотоэлектронного умножителя.
Полупроводниковые счетчики реагируют на изменение электропроводимости р—«-перехода под воздействием заряженной частицы.
Как видно, все перечисленные выше детекторы работают, когда частицы производят ионизацию в определенном объеме. В связи с этим для регистрации а - и ^-частиц стенки счетчиков или камер должны пропускать эти частицы. В отдельных случаях для регистрации a-излучения соответствующий источник помещается внутрь камеры, так как трудно сделать стенки камеры прозрачными для этих частиц.
Рентгеновское и у-излучения регистрируются благодаря ионизации, которую вызывают заряженные частицы, образованные при фотоэффекте, Комптон-эффекте и т.д.
Счетчики должны удовлетворять некоторым общим требованиям, таким как эффективность, разрешающее время и др. Эффективностью называют отношение числа зарегистрированных частиц к общему числу частиц, пролетевших через счетчик. Разрешающим (или мертвым) временем счетчика называют минимальное время, которое должно разделять следующие друг за другом частицы, чтобы они не были сосчитаны как одна.
§ 32.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАДИОНУКЛИДОВ И НЕЙТРОНОВ В МЕДИЦИНЕ
Медицинские приложения радионуклидов можно представить двумя группами. Одна группа — это методы, использующие радиоактивные индикаторы (меченые атомы) с диагностическими и исследовательскими целями. Другая группа методов основана на применении ионизирующего излучения радионуклидов для биологического действия с лечебной целью. К этой же группе можно отнести бактерицидное действие излучения.
Метод меченых атомов заключается в том, что в организм вводят радионуклиды и определяют их местонахождение и активность в органах и тканях. Так, например, для диагностирования заболевания щитовидной железы в организм вводят радиоактивный иод I или1 , часть которого концентрируется в этой железе. Счетчиком, расположенным
Места, Регистрирующий обогащенные
Рис. 32.13
поблизости от нее, фиксируют накопление иода. По скорости увеличения концентрации радиоактивного иода можно делать диагностический вывод о состоянии щитовидной железы.
Рак щитовидной железы может давать метастазы в разные органы. Накопление радиоактивного иода в них может дать информацию о метастазах.
Для обнаружения распределения радионуклидов в разных органах тела используют гамма-топограф (сцинтиграф), который автоматически регистрирует распределение интенсивности радиоактивного препарата. Гамма-топограф представляет собой сканирующий счетчик, который постепенно проходит большие участки над телом больного. Регистрация излучения фиксируется, например, штриховой отметкой на бумаге. На рис. 32.13, а схематически показан путь счетчика, а на рис. 32.13, б — регистрационная карта.
Применяя радиоактивные индикаторы, можно проследить за обменом веществ в организме Объемы жидкостей в организме трудно измерить непосредственно, метод меченых атомов позволяет решить эту задачу. Так, например, вводя определенное количество радиоактивного индикатора в кровь и выдержав время для его равномерного распределения по кровеносной системе, можно по активности единицы объема крови найти ее общий объем.
Гамма-топограф дает сравнительно грубое распределение ионизирующего излучения в органах. Более детальные сведения можно получить методом авторадиографии.
Рис. 32.14
В этом методе на исследуемый объект, например биологическую ткань, наносится слой чувствительной фотоэмульсии. Содержащиеся в объекте радионуклиды оставляют след в соответствующем месте эмульсии, как бы фотографируя себя (отсюда и название метода), Полученный снимок называют радиоавтографом или авторадиограммой. На рис. 32.14 иллюстрируется применение этого метода. Здесь изображены фолликул щитовидной железы крысы (а) и авторадиограмма (б) того же фолликула после введения аминокислоты (лейцина), меченной радиоактивным J4C. Проявленные зерна серебра (темные точки в фотоэмульсии на рис. 32.15) указывают распределение |4С в фолликуле.
В живой организм радиоактивные атомы вводятся в таком небольшом количестве, что ни они, ни продукты их распада не оказывают вреда организму.
Лечебное применение радионуклидов в основном свя зано с использованием у-излучения (гамма-терапия).
Рис. 32.15
Фотоэмульсия
Следы от радиоактивного излучения
Радиоактивные метки
Биологический препарат
Гамма-установка (рис. 32.16) состоит из источника, обычно 60Со, и защитного контейнера, внутри которого помещен источник; больной размещается на столе. Применение у-излучения высокой энергии позволяет разрушать глубоко расположенные опухоли, при этом поверхностно расположенные органы и ткани подвергаются меньшему губительному действию.
'Терапевтическое применение имеют и а-частицы. Так как они обладают значительной линейной плотностью ионизации, то поглощаются даже небольшим слоем воздуха. Поэтому использование а-частиц в терапии (а-терапия) возможно лишь при контакте с организмом либо при введении внутрь организма.
Характерным примером является радоновая терапия: минеральные воды, содержащие Rn и его дочерние продукты (см. § 32.1), исполь-1уются для воздействия на кожу (ванна), органы пищеварения (питье), органы дыхания (ингаляция).
Еще одно лечебное применение а-частиц связано с использованием потока нейтронов. В опухоль предварительно вводят элементы, ядра которых под действием нейтронов вызывают ядерную реакцию с образованием а-частиц. Облучая после этого больной орган потоком нейтронов, вызывают ядерную реакцию и, следовательно, образование а-частиц (например, реакции В 4- J п \ Li +2аили^1+ и->^н+2а)-
Таким образом, и а-частицы и ядра отдачи (ионизирующее излучение с высокой линейной плотностью ионизации) образуются внутри органа, на который они должны оказать разрушительное воздействие. Можно ввести радиоакгивный препарат в больной орган на острие иглы.
Существуют и другие приемы лечебного воздействия иони зируюшим излу’ь&нием радионуклидов и нейтронами.
§ 32.7. УСКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В МЕДИЦИНЕ
Ускорителем называют устройство, в котором под действием электрических и магнитных полей формируется пучок заряженных частиц высокой энерти.
Рис. 32.17
Различают линейные и циклические ускорители. В линейных ускорителях частицы движутся по прямолинейной траектории, в циклических — по окружности или спи-ра.™.
Наиболее известным циклическим ускорителем является циклотрон (рис. 32.17), в котором под действием магнитного поля индукции В, направленной перпендикулярно плоскости рисунка, заряженная частица движется по окружностям. Переменное электрическое поле между дуанта-ми / ускоряет частицу. Согласно форму
ле (16.28), период Твращения частицы не зависит от ее скорости и ра-
диуса траектории, поэтому время прохождения частицей любой полуокружности в каждом дуанте одинаково. Оно соответствует половине периода колебаний электрического поля. Таким образом, магнит
ное поле обеспечивает вращение частицы по окружности, а электрическое поле — изменение ее кинетической энергии. Источник частиц 2 находится вблизи центра циклотрона, пучок ускоренных частиц 3 вы
летает из циклотрона после ускорения.
Циклотрон способен ускорять протоны до 20—25 МэВ. Ограничение энергии ускоряемых частиц обусловлено релятивистской зависимостью массы от скорости. Так как масса увеличивается с возрастанием скорости, то [см. (16.28)] период вращения частицы будет также возрастать. В результате этого нарушится синхронность между движением частицы и изменением электрического поля. Электрическое поле будет не ускорять, а замедлять частицы. В связи с этим в циклотроне нельзя ускорять электроны, так как они быстро достигают релятивистских скоростей.
И} этого затруднения можно найти выход, изменяя частоту электрического поля в соответствии с изменением периода вращения заряженной частицы. Такой ускоритель называют фазотроном (синхроциклотроном), он способен ускорять протоны до энергии 730 МэВ.
Можно предположить и другое решение вопроса: по мере возрастания массы увеличивать индукцию магнитного поля. Как видно из формулы (16,28), в этом случае можно сохранить период вращения частицы неизменным. Ускоритель такого типа называют синхротроном.
Для ускорения тяжелых частиц до энергий порядка гигаэлектронвольт и выше используют синхрофазотрон, в котором изменяют и магнитное поле, и частоту электрического поля. Синхрофазотрон, работа-
ющий в Дубне, ускоряет протоны до 10 ГэВ, серпуховской синхрофазотрон — до 76 ГэВ.
Довольно распространенным ускорителем электронов невысоких энергий является бетатрон. В отличие от других циклических ускорителей в нем электрическое поле не подается от внешних источников, а создается
Рис. 32.18
при изменении магнитного поля.
На рис. 32.18, а схематически показано, что при изменении магнитного поля электромагнита 7 возникает, согласно теории Максвелла, вихревое электрическое поле. В зазоре 2 магнита расположена вакуумная камера, в которой ускоряются электроны. Ситовые линии электрического поля в виде концентрических окружностей расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости рис. 32.18, а. На рис. 32.18, б изображена отдельная линия напряженности электрического поля, которая приближенно совпадает с траекторией электрона. На этом рисунке линии вектора В в основном перпендикулярны плоскости чертежа, маг
нитная индукция возрастает.
Электрон удерживается на орбите магнитным полем (сила Лоренца)
и ускоряется электрическим.
Бетатроны способны ускорять электроны до десятков мегаэлектронвольт. В настоящее время бетатроны используют главным обоазом в прикладных целях, в том числе и медицинских. Остановимся на медицинских приложениях ускорителей. Ускорители заряженных частиц применяют как средства лучевой терапии в двух основных направлениях.
Во-первых, используют тормозное рентгеновское излучение, возникающее при торможении электронов, ускоренных бетатроном. Фотон Энергии гормозно! о излучения с энергией несколько десятков МэВ, оказывается более эффективным, чем у излучения большинства изотопов.
Во-вторых, используют прямое действие ускоренных частиц: электронов, протонов. Электроны ускоряются бетатроном, а протонный пучок получают от других ускорителей. Как видно из рис. 32.3, заряженные частицы, в том числе и протоны, наибольшую ионизацию производят перед остановкой. Поэтому при попадании пучка протонов в биологический объект извне наибольшее воздействие будет оказано не на поверхностные слои, а на опухолевые ткани, которые расположены в глубине организма. В этом основная выгода применения заряженных
частии для лучевой терапии глубинных опухолей. Поверхностные слои в этом случае повреждаются минимально. Малое рассеяние протонов позволяет формировать узкие пучки и, таким образом, очень точно воздействовать на опухоль. Наряду с лечебным применением ускорителей в последние годы открылись возможности использования их в диагностике. Здесь можно указать две области.
Одна — ионная медицинская радиография. Суть метода заключается в следующем. Пробег тяжелых заряженных частиц (а-частицы. протоны) зависит от плотное ги вещества. Поэтому если регистрировать поток частиц до и после прохождения объекта, то можно получить сведения о средней плотности вещества,
Таким образом, так же как и при рентгенографии, возможно ра зличать структуры большей и меньшей плотности. Преимущество у этого метода перед рентгенографией — более низкая контрастность, что позволяет лучше различать структуру мягких тканей.
Другая область применения связана с синхротронным излучением.
Синхротронным излучением называют интенсивное ультрафиолетовое и мягкое рентгеновское излучение, которое испускают электроны, движущиеся по круговой орбите со скоростями, близкими к скорости света. Впервые это излучение как световое наблюдалось на синхротронах, поэтому оно и называется синхротронным. Синхротронное излучение в целях диагностики применяют аналогично обычному рентгеновскому излучению. Одно из преимуществ синхротронного излучения перед рентгеновским заключается в возможности поглощения этого излучения преимущественно некоторыми элементами, например иодом, который может иметь повышенную концентрацию в тканях. Отсюда возникают условия для ранней диагностики злокачественных опухолей.
Отметим, что синхротронное излучение начинают применять и в лучевой терапии.
Глава 33
Элементы дозиметрии. Элементарные частицы
Необходимость количественной оценки действия ионизирующего излучения на различные вещества живой и неживой природы привела к появлению дозиметрии. Дозиметрией называют раздел ядерной физики и измерительной техники, в котором изучают величины, характеризующие действие ионизирующего излучения на вещества, а также методы и приборы для их измерения. Первоначально развитие дозиметрии было обусловлено необходимостью учета действия рентгеновского излучения на человека.
§ 33.1. ДОЗА ИЗЛУЧЕНИЯ И ЭКСПОЗИЦИОННАЯ ДОЗА. МОЩНОСТЬ ДОЗЫ
Уже отмечалось, что ионизирующее излучение только тогда оказывает действие на вещество, когда оно взаимодействует с частицами, входящими в состав этого вещества.
Независимо от природы ионизирующего излучения его взаимодействие количественно может быть оценено отношением энергии, переданной элементу облученного вещества, к массе этого элемента. Эту' характеристику называют дозой излучения (поглощенной дозой излучения) D.
Различные эффекты ионизирующего излучения прежде всего определяются поглощенной дозой. Она сложным образом зависит от вида ионизирующего излучения, энергии его частиц, состава облучаемого вещества и пропорциональна времени облучения. Дозу, отнесенную ко времени., называют мощностью дозы.
Единицей поглощенной дозы излучения является грей (Гр), который соответствует дозе излучения, при которой облученному веществу массой I кг передается энергия ионизирующего излучения 1 Дж; мощность дозы излучения выражается в греях в секунду (Гр/с). Внесистемная единица дозы излучения — рад[ (1 рад = 10 2 Гр = 100 эрг/г), ее мощности — рад в секунду (рад/с).
1 Термин «рад» является аббревиатурой английских слов: Radiation Absorbed Dose.
Казалось бы, для нахождения поглощенной дозы излучения следует измерить энергию ионизирующего излучения, падающего на тело, энергию, прошедшую сквозь тело, и их разность разделить на массу тела. Однако практически эго сделать трудно, так как тело неоднородно, энергия рассеивается телом по всевозможным направлениям и т.п. Таким образом, вполне конкретное и ясное понятие дозы излучения малопригодно в эксперименте. Но можно оценить поглощенную телом дозу по ионизирующему действию излучения в воздухе, окружающем тело.
В связи с этим вводят еще одно понятие дозы для рентгеновского и у-излучения — экспозиционную дозу излучения X. которая является мерой ионизации воздуха рентгеновскими и у-лучами
За единицу экспозиционной дозы принят кулон на килограмм (Кл/кг). На практике используют единицу, называемую рентгеном (Р), — экспозиционная доза рентгеновского или у-излучения, при которой в результате полной ионизации в 1 см3 сухого воздуха (при О °C и 760 мм рт.ст.) образуются ионы, несущие заряд, равный 1 ед. СГС^ каждого знака. Нетрудно подсчитать, что экспозиционная доза 1 Р соответствует образованию 2,08 • 109 пар ионов в 0,001293 г сухого воздуха; 1 Р = 2,58 -10-4 Кл/кг.
Единицей мощности экспозиционной дозы является I А/кг, а внесистемной единицей — 1 Р/с.
Так как доза излучения пропорциональна падающему ионизирующему излучению, то между излученной и экспозиционной дозами должна быть пропорциональная зависимость-
D=fX, (33.1)
где/— некоторый переходный коэффициент, зависящий от ряда причин и прежде всего от облучаемого вещества и энергии фотонов.
Наиболее просто установить значение коэффициента/если облучаемым веществом является воздух. При Х = 1 Р в 0,001293 г воздуха образуется 2,08-Ю9 пар ионов; следовательно, в 1 г воздуха содержится 2.08 -109/0,001293 пар ионов. В среднем на образование одной пары ионов расходуется энергия 34 эВ. Это означает, что в 1 г воздуха поглощается энергия излучения, равная:
2,08 109
0>001293 ' 34 1.6 • 10 '2 #рг/г = 88 эрг/г.
Итак, поглощенная доза 88 эрг/г в воздухе энергетически эквивалентна 1 Р. Тогда по формуле (33.1) имеем:
Z) = 0,88X /=0,88,
если D измеряется в радах, а X- в рентгенах.
Коэффициент/для воздуха мало зависит от энерг ии фотонов.
Для воды и мягких тканей тела человека /= 1; следовательно, доза излучения в радах численно равна соответствующей экспозиционной дозе в рентгенах. Это и обусловливает удобство использования внесистемных единиц — рада и рентге на
Для костной ткани коэффициент/уменьшается с увеличением энергии фотонов приблизительно от 4,5 до 1.
Установим связь между активностью радиоактивного препарата — источника у-фотонов— и мощностью экспозиционной дозы. Из источника U (рис. 33.1) у-фотоны вылетают по всем направлениям. Число этих фотонов, пронизывающих 1 м2 поверхности некоторой сферы в 1 с, пропорционально активности А и обратно пропорционально площади поверхности сферы (4лг2). Мощность экспозиционной дозы (X/t) в объеме Изависит от этого числа фотонов, так как именно они и вызывают ионизацию. Отсюда получаем:
где ку — гамма-постоянная, которая характерна для данного радионуклида.
§ 33.2. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА БИОЛОГИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ДОЗА
Для данного вида излучения биологическое действие обычно тем больше, чем больше доза излучения. Однако различные излучения даже при одной и той же поглощенной дозе оказывают разные воздействия.
В дозиметрии принято сравнивать биологические эффекты различных излучений с соответствующими эффектами, вызванными рентгеновским и у-излучениями.
Коэффициент К, показывающий, во сколько раз эффективность биологического действия данного вида излучения больше, чем рентге-
невского или у-излучения, при одинаковой дозе излучения в тканях, является коэффициентом качества. В радиобиологии его называют также относительной биологической эффективностью (ОБЭ).
Коэффициент качества устанавливают на основе опытных данных. Он зависит не только от вида частицы, но и от ее энергии. Приведем приближенные значения К (табл. 33.1) для некоторых излучений (в скобках указана энергия частиц).
Таблица 33.1
К
Рентгеновское, у- и р-излучсния 1
Тепловые нейтроны (—0.01 эВ) 3
Нейтроны (5 МэВ) 7
» (0,5 МэВ) 10
а-Излучение 20
Поглощенная доза совместно с коэффициентом качества дает представление о биологическом действии ионизирующего излучения, поэтому произведение DK используют как единую меоу этого действия и называют эквивалентной дозой излучения Н\
Н = DK.
(33.3)
Так как ы — безразмерный коэффициент, то эквивалентная доза излучения имеет ту же размерность, что и поглощенная доза излучения, но называется зивертом (Зв). Внесистемная единица эквивалентной дозы — бэр1; 1 бэр = 10~2 Зв.
Эквивалентная доза в бэрах равна дозе излучения в радах, умноженной на коэффициент качества.
Естественные радиоактивные источники (космические лучд, радиоактивность недр, воды, радиоактивность ядер, входящих в состав человеческого тела, и др.) создают фон, соответствующий приблизительно эквивалентной дозе 125 мбэр. Предельно допустимой эквивалентной дозой при профессиональном облучении считается 5 бэр в течение года. Минимальная летальная доза от у-излучения около 600 бэр. Эти данные соответствуют облучению всего организма.
1 Бэр — аббревиатура от слов «биологический эквивалент рентгена».
§ 33.3. ДОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Дозиметрическими приборами, или дозиметрами, называют устройства для измерения доз ионизирующих излучений или величин, связанных с дозами.
Конструктивно дозиметры состоят из детектора ядерных излучений и измерительного устройства. Обычно они прог радуированы в единицах дозы или мощности дозы. В некоторых случаях предусмотрена сигнализация о превышении заданного значения мощности дозы.
В зависимости от используемого детектора различают дозиметры ионизационные, люминесцентные, полупроводниковые, фотодозиметры и др.
Дозиметры могут быть рассчитаны на измерение доз какого-либо определенного вида излучения или регистрацию смешанного излучения.
Дозиметры для измерения экспозиционной дозы рентгеновского и у-излучения или ее мощности называют рентгенаметрами.
В качестве детектора у них обычно применяется иони рационная камера. Заряд, протекающий в цепи камеры, пропорционален экспозиционной дозе, а сила тока — ее мощности. На рис. 33.2 показан микро-рентгенометр МРМ-2 со сферической ионизационной камерой, вынесенной отдельно от прибора.
Состав газа в ионизационных камерах, а также вещество стенок, из которых они состоят, подбирают такими, чтобы осуществлялись тождественные условия с поглощением энергии в биологических тканях.
На рис. 33.3 показан комплект индивидуальных дозиметров Д К-0,2 с общим измерительным устройством. Каждый индивидуальный дозиметр представляет собой миниатюрную цилиндрическую ионизационную камеру, которая предварительно заряжается. В результате ионизации происходит разрядка камеры, что фиксируется вмонтированным в
Рис. 33.2
Рис. 33.3
нее электро метром. Показания его зависят от экспозиционной дозы ионизирующего излучения.
Существуют дозиметры, детекторами которых являются газоразрядные счетчики.
Дня измерения активности или концентрации радиоактивных изотопов применяют приборы, называемые радиометрами. Принцип их работы изложен в § 32.5.
В заключение заметим, что общая схема всех дозиметров аналогична той, которая изображена на рис. 21.1. Роль датчика (измерительного преобразователя) выполняет детектор ядерных излучений. В качестве выходных устройств могут использоваться стрелочные приборы, самописцы, электромеханические счетчики, звуковые и световые сигнализаторы и т.п.
§ 33.4. ЗАЩИТА ОТ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Работа с любыми источниками ионизирующих излучений требует зашиты персонала от их вредного действия. Это большая и специальная проблема, в значительной степени выходящая за пределы чисто физических вопросов. Кратко рассмотрим се.
Различают три вида защиты: защита временем, расстоянием и материалом.
Проиллюстрируем первые два вида защиты на модели точечного источника у-излучения. Преобразуем формулу (33.2):
Х=кЧ^-'- (33.4)
Отсюда видно, что чем больше время и меньше расстояние, тем больше экспозиционная доза. Следовательно, необходимо минимальное время находиться под воздействием ионизирующего излучения и на максимально возможном расстоянии от источника этого излучения.
Защита материалом основывается на различной способности веществ поглощать разные виды ионизирующего излучения.
Защита от a-излучения проста: достаточно листа бумаги или слоя воздуха толщиной в несколько сантиметров, чтобы полностью поглотить а-частицы. Однако, работая с радиоактивными источниками, следует остерегаться попадания а-частиц внутрь организма при дыхании или приеме пищи.
Для защиты от 0-излучения достаточно пластин из алюминия, плексигласа или стекла толщиной в несколько сантиметров. При взаимодействии 0-частиц с веществом может появиться тормозное рентгеновское излучение, а от 0+-частиц — у-иадв’чение, возникающее при аннигиляции этих частиц с электронами. Наиболее сложна защита от нейтрального излучения: рентгеновское и у-излучения, нейтроны, Эти излучения с меньшей вероятностью взаимодействуют с частицами вещества и поэтому глубже проникают в вещество. Ослабление пучка рентгеновского и у-излучений приближенно соответствует закону (31.8). Коэффициент ослабления зависит от порядкового номера элемента вещества поглотителя [см. (31.12)] и ог длины волны, что для у-фотонов изображено на рис. 32.5. При расчете защиты учитывают эти зависимости, рассеяние фотонов, а также вторичные процессы. Некоторые из них цля рентгеновского излучения показаны на рис. 31.10. Защита от нейтронов наиболее сложна. Быстрые нейтроны сначала замедляют, уменьшая их скорость в водороде од ержащих веществах. Затем другими веществами, например кадмием, поглощают медленные нейтроны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В медицине достаточно давно используются физические методы. Еще в древности для лечения применяли охлаждение и нагревание различных участков тела, фиксирование конечностей при переломах и др.
Ряд ученых, врачи и физиологи, в своих профессиональных и жизненных увлечениях разрабатывали физические вопросы, укрепляя своими трудами проникновение друг в друга этих важных отраслей естествознания. Поучительны в этом отношении примеры некоторых великих ученых.
Юнг Томас (1773—1829) учился в ряде университетов, где сначала изучал медицину, но потом увлекся физикой. Объяснил явление аккомодации глаза изменением кривизны хрусталика, первый объяснил явление интерференции света и ввел термин «интерференция», разрабатывал теорию цветового фения, исследовал деформацию тел.
Пуа зеиль Жан Луи Марн (1799-1869) — французский фи зик и физиолог. Изучал течение жидкости в тонких цилиндрических трубках и внутреннее трение, первый применил ртутный манометр для измерения давления крови.
Майер Юлиус Роберт (1814-1878) — немецкий врач. Как корабельный врач во время плавания заметил, что цвет венозной крови матросов в тропиках и в северных широтах различается. Это дало ему основание считать, что существует связь между потреблением вещества и образованием тепла, а теплота и работа способны взаимопреврашаться. Майер один из первых открыл закон сохранения и превращения энергии.
Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (1821 —1894) — немецкий врач, физиолог и физик. Математически обосновал закон сохранения энергии, отметив его всеобщий характер, разработал термодинамическую теорию химических процессов, существенных успехов достиг в области физиологической акустики и физиологии зрения, впервые измерил скорость распространения нервного возбуждения.
Дарсонваль Жак Арсен (1851-1940) — французский физик и физиолог. Проводил исследования в области электричества и его применения в медицине, основоположник электрофизиотерапии.
Применение достижений физики в медицине происходило и происходит постоянно. Проиллюстрируем это несколькими примерами из XX столетия: открытие электромагнитных волн — микроволновая терапия, открытие рентгеновских лучей — рентгенодиагностика и рентгенотерапия, открытие радиоактивности — радиодиагностика и радиотерапия, появление лазеров — лазерная терапия и лазерная хирургия и др.
Из учебника видно, что практически в любом разделе физики можно обнаружить медицинские приложения физических знаний и физической аппаратуры, а медицинская техника, по существу, целиком основана на исиоль ювании физических законов, правил, закономерностей, физических явлений, физических свойств материалов и др.
Именно поэтому физико-математические и биофизические знания являются существенным элементом высшего медицинского образования, они способствуют всестороннему изучению организма человека. Это важно для формирования медицины как точной науки.
Читатель учебника будет работать врачом в 2000-х гг., медицина станет в значительной степени использовать понятия точных наук, гора здо шире войдет в практику ЭВМ и медицинская техника.
Освоение настоящего курса нс просто, но затраченные время и усилия окупятся при изучении последующих курсов и в практической деятельности ВРАЧА — главной фигуры лечебного процесса.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аберрация линз 487
астигматизм 488
дисторсия 490
сферическая 488
хрома) идее кая 490
Автоволны 265
Автоколебания 129
Авторадиография 627
Адаптация глаза 494
Ак гивность удельная массовая 616
Актинометр 523
Акустика 84, 137
Анализатор 477
Анизотропия 175
Апертура угловая 508
Аппарат
вестибулярный 112
искусственного кровообращения 204
медицинский 22
Аудиометрия 143
Аускультация 144
А ^роионизатор 301
Аэро ионы 300
Б
Бетатрон 631
Биомеханика 104
Биопотенциалы 281,404
Биотелеметрия 398
Биофизика 14
Биохемилюминесценция 578
Близорукость 500
В
Вероятность
безотказной работы 389
доверительная 49
события 30
Вибрации 157
Видеоимпульсы 349
В ид но сть и зл уч е н ия 582
Вискозиметрия 164
Внутривидение 474
Волны
дс Бройля 542
звуковые 137
плоские 358
пульсовые 196
ударные 133
ультразвуковые 153
электромагнитные 339, 357
Вязкость жидкости 158
Г
Гальванизация 363
Гемодинамика 197
Генератор
дипольный 279
квантовый 585
релаксационных колебаний 434
электрических колебаний 432
Гистограмма 47
Глаз человека 494
Голограмма 471
Голо) рафия 473
Громкость звука 140
Д
Давление крови 197
Дальнозоркость 500
Дарсонвализация 368,442
Датчики 392.395
Дебай 285
Деформация
пластическая 183
тела 183
упругая 183
Диамагнетики 323
Диатермия 368
Дисторсия 490
Дифракция 499
Диффузия 231
Диэлектрики 285
Доза
излучения 633
эквивалентная 635
экспозиционная 633
Дозиметрия 635
3
Закон
Ампера 308
Био—Савара—Лапласа 315
Брюстера 478
Бутера 564
Бугера—Ламберта—Бера 566
Вебера—Фехнера 140
Вина 522
Кирхгофа 519
Малюса 477
Мозли 604
Рэлея 567
Стефана—Больцмана 521
Стокса 575
Фарадея 329
Звук 143
громкость 146
И
Излучение
вынужденное 562
индуцированное 585
спонтанное 562
Изоморфизм 64
Импеданс
акустический 145, 349
электрический 346
Импульс электрический 349
Индуктивность взаимная 396
Индуктотермия 369
Индукция магнитного поля 305
Интенсивность волны 360 звука 139 излучения 238 отказов 389 света 459
Интерференция 457 Интроскопия 475 Инфразвук 156 Искажения линейные 410 нелинейные 408
К
Калориметрия 236 Катодолюминесценция 437 Кибернетика 59 Колебания
вынужденные Г26 гармонические 114 затухающие 124 сложное 123
Коэффициент диффузии 250 заполнения 351 затухания 124, 125 излучения 525 отражения 588 поглощения 518 полезного действия 20, 217 проникновения звуковой волны 146 пропускания 566 Стьюдента 51 трения 20,186 усиления усилителя 407
Криотерапия 241 Криохирургия 241
Л
Лазер 585
Липосомы 244
Лупа 500
Люминесценция 574
м
Магнетики 323
Магнетон 589
Магнитобиология 326
М а гнитокардтюграфия 327
Макросостояние 223
М а се - с 11 е ктрометр 315 Мембраны
биологические 347 бислойные 582
Метрология медицинская 22
Механика 84
Микропроекция 512 Микроскоп
биологический 484, 502 голографический 475 интерференционный 455 поляризационный 484 ультрафиолетовый 529 электронный 542
Микросостояние 223 Микрофотография 512 Модель 73
вязкого тела 186
Максвелла 187
Момент
дипольный 274
импульса 94
инерции 94 магнитным 305 силы 165
электрический 286
Мультиполь 281
Н
Намагниченность 323 Напряжение касательное 184 механическое 184 электрическое 153
Напряженность электрического поля 269
Натяжение поверхностное 170
Невесомость 108
Несмачивание 171
Нефелометрия 569
О
Обертон 137
Ожидание математическое 38
Оптика
волоконная 515
геометрическая 486
Ориентация инерциальная 112
Освещенность 535
Осциллограф 436
Отклонение среднее квадратическое 39
П
Память 63
Парамагнетики 323
Перегрузка 108
Период
затухающих колебании 125
маятника 116
Перкуссия 144
Пирометрия 522
Плоскостыюляризации 181
Плотность
вероятности 555
ионизации 617
оптическая раствора 566
потока 249
тока 294
энергетической светимости 517
энергии магнитного поля 338
энергии поля 292
Повторители 424
Погрешность 20
Поле
магнитное 305
электрическое 269
Ползучесть 186
Полимеры 186 Поляризатор 477 Поляризация диэлектриков 287 света 476
Поляризоваппость 289 Поляриметрия 481 Порог тока 366 Постоянная
Авогадро 169 Больимана 44 Вина 522 вращения 482 молярная газовая 213 Планка 520
Фарадея 230
Потенциал действия 262 покоя 259 термодинамический 226 химический 228 электрического поля 269 электрохимический 228
Поток
вещества 248
магнитный 307
энергии волн 132
Правило Ленца 330
Прецессия 324
Призма Николя 480 Принцип
Гюйгенса—Френеля 457
Паули 558
Пригожина 232
Протезирование кохлеарное 152
Процессы биологические 374 обратимые 231 физико-химические 327
Р
Радиоактивность 612
Радиография ионная медицинская 632
Радиоимпульсы 349 Радиотелеметрия 398 Разность
контактная 414
потенциалов 301
хода Интерферирующих волн 450
хода лучей 451
Распад радиоактивный 612
Распределение
Больцмана 44
нормальное 41
Стьюдента 42
Фищера 43
Рассеяние
когерентное и некшерентное 606
резонансное 574 света 567
Расходометрия ультразвуковая 207 электромагнитная 207
Расщепление электронное 589
Реверберация 145
Резонанс 126
акустический 149,611 магнитный 585 напряжений 344
электронный парамагнитный 591
ядерный магнитный 591
Рентгенодиагностика 609 Ренттенолюминесненция 607 Реография 347
Реология 158
Решетка дифракционная 461
С
Самоиндукция 332
Светимость энергетическая 520 Светочувствительность глаза 581 Свечение сверхслабое 578 Снизь кинематическая 104 обратная 71
Сила
Лоренца 311
термоэлектродвижушая 301 тока 294
электродвижущая 295
Система
детерминированная 62
дискретная 61 замкнутая 62 кибернетическая 60 колебательная 129 непрерывная 61 опорно-двигательная 105 разомкнутая 70 самоуправляющаяся 72 смешанная 61
Скважность следования импульсов 351 Скин-эффект 336 Скорость волны 131 звука 133 распада 616
распространения нервного возбуждения 640
распространения света 618
угловая 86
Смачивание 171
Соотношения неопределенностей 547 Сопротивление волновое 145 гидравлическое 162 емкостное 344 индуктивное 344
кожи 298
омическое 344
тканей к жидкостей 299
электролита 298
Спектр
акустический 137
ангармонического колебания 157
31 ома рентгеновский 605
гармонический 123
дифракционный 461
ренп еновский 604
сложного колебания 123
Спектроскопия 585
Спин 322
Способность разрешающая
глаза 581
микроскопа 506
Статистика математическая 45
Стимуляторы электронные 439
Счетчик Гейгера-Мюллера 623
Т
Тело
абсолютно твердое 85
серое 519
черное 517
Тембр звука 140
Температура термодинамическая 213
Теорема сложения и умножения вероятностей 34
Теория
Аббе 506
Бора 551
тепловой смерти 225
Термография 446
Гермодинамика 14,211
Термометр 238
Термометрия 236
Термопара 238
Течение жидкости 167
Ток
вихревои 335
переменный 330
смещения 354
утечки 383
Томография 610
Тон звуковой 137
Транзисторы 412
У
УВЧ-терапия 442
Угол зрения 498
Удар звуковой 138
Удельное вращение 483
Ультразвук 152
Ул ьтра микроскопия 514
Уравнение
динамики вращательного движения 88
Максвелла 356
Нернста 233
Ньютона 158
Фика 247
Шредингера 548
Усилители 407
Ускорители 629
Ухо 148
Ф
Ферромагнетики 323
Фигуры Лиссажу 438
Флуоресценция 574
Формула
Вульфа-Брэггов 469
Моенса—Кор ieвега 203
Планка 253
Пуазейля 159
Томсона 215
Фосфоресценция 574
Фотолюминесценция 574
Фотоупругость 485
Фронт
волны 131
импульса 365
Функция
волновая 546
непрерывной случайной величины 36
X
Хемилюминесценция 538
ц
Центрифугирование 101
Цепь линейная 351
Цикл Карно 217
Циклотрон 313
Ч
Число Рейнольдса 167
Ш
Шум 423
Э
Электроды 392
Электрокардиографии физические основы 281
Электроника 376 Электропроводимость биологических тканей 298 электролитов 296
Элекгрофорез 363
Эндоскоп 516
Энергия
Гельмгольца 226
Гиббса 227 кинетическая 117 магнитного поля 308 потенциальная 117 электрического поля 291
Энтропия 215
Эргометрия 106
Эффект
Джозефсона 378
Доплера 134
Зеемана 563
Комптона 606 микрофонный 423 пьезоэлектрический 290 фотоэлектрический 529 Холла 208
Штарка 563
Эффектор 62
Я
ЯМР-интроскопия 596
ПРИГЛАШЕНИЕ К СОТРУДНИЧЕСТВУ
Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа» приглашает к сотрудничеству авторов и редакторов медицинской литературы, литературы по ветеринарии и агротехнике.
ИЗДАТЕЛЬСТВО СПЕЦИАЛИЗИРУЕТСЯ НА ВЫПУСКЕ учебной литературы для вузов и колледжей, атласов, руководств для врачей, переводных изданий
По вопросам издания рукописей обращайтесь в отдел по работе с авторами. Тел: (495) 921-39-07.
Учебное издание
Ремизов Александр Николаевич
МЕДИЦИНСКАЯ И БИОЛОГИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Зав. редакцией О. В. Кириллова
Редактор Е.В. Фаустов Выпускающий редактор Е.А. Бакалина
Корректор Е.И. Макеева Компьютерная верстка Т.М. Мосолова
Подписано в печать 19.10.2012.
Формат 60х90'/|6. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Объем 40,5 п.л.
Тираж 2000 экз. Заказ № 1087
ООО Издательская группа «ГЭОТАР-Медиа».
115035, Москва, ул. Садовническая, д. 9, стр. 4;
тел./факс: (495) 921-39-07, e-mail: info@geotar.ru, http://www.geotar.ru
Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
ISBN 978-5-9704-2484-1
Учебник написан в соответствии с программой и отражает медико-биологическую направленность курса. Наряду с вопросами физики и биофизики в издании рассматриваются элементы теории вероятностей, математической статистики, вопросы медицинской метрологии, электроники и др.
Предназначен студентам и преподавателям медицинских, биологических и сельскохозяйственных специальностей.
Учебник дополнен учебным пособием (Ремизов А.Н., Максина А.Г. Медицинская и биологическая физика: сборник задач. — 2-е изд., перераб. и доп.), которое размещено в составе электронной библиотечной системы «Консультант студента. Электронная библиотека медицинского вуза» (www.studmedlib.ru/extra).
www.geotar.ru
www.medknigaservis.ru
> Математическая обработка результатов измерений, основы кибернетики
> Механика. Акустика
> Равновесная и неравновесная термодинамика, диффузионные процессы в биологических мембранах
> Электродинамика
> Общая и медицинская электроника
> Оптика
> Физика атомов и молекул, элементы квантовой биофизики
> Ионизирующие излучения, основы дозиметрии
Физика