/
Author: Ремизов А.Н. Максина А.Г.
Tags: высшее образование университеты академическое обучение общая биофизика физика задачи по физике сборник задач по физике медицинская физика сборник задач
ISBN: 5-7107-3952-9
Year: 2001
Text
УДК 378.577
ББК 28.071я73
Р38
Рецензент:
профессор Е. В. Коршунов
(заведующий кафедрой медицинской и биологической физики
Московского государственного
медико-стоматологического университета)
Ремизов А. Н., Максина А. Г.
Р38 Сборник задач по медицинской и биологической физике:
Учеб, пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Дро-
фа, 2001. — 192 с.: ил.
18ВК 5—7107—3952—9
Материал, изложенный в книге, соответствует программе курса меди-
цинской и биологической физики. В пособие включены задачи и примеры
различной сложности, поэтому его можно использовать не только для про-
ведения практических занятий, но также при организации факультативных
работ.
В начале каждой главы приводятся основные теоретические сведения и
формулы, необходимые для решения задач. В конце книги содержатся спра-
вочные материалы, полезные при изучении курса и выполнении лабораторных
работ, а также ответы, комментарии и пояснения к наиболее сложным задачам.
Для студентов и преподавателей медицинских вузов, а также сту-
дентов сельскохозяйственных вузов и биологических факультетов уни-
верситетов и педагогических вузов.
УДК 378.577
ББК 28.071я73
18ВК 5—7107—3952—9
© ООО «Дрофа», 2001
Предисловие
Предлагаемый вашему вниманию “Сборник задач по медицин-
ской и биологической физике” — одна из книг учебного комплек-
та, в который также входит учебник А. Н. Ремизова, А. Г. Макси-
ной, А. Я. Потапенко “Медицинская и биологическая физика” и
учебное пособие М. Е. Блохиной, И. А. Эссауловой, Г. В. Мансу-
ровой “Руководство к лабораторным работам по медицинской и
биологической физике”.
Сборник содержит задачи и примеры по темам, которые пред-
усмотрены программами курсов: “Медицинская и биологическая
физика”, а также “Высшая математика” и “Информатика”,
утвержденными Департаментом образовательных медицинских
учреждений и кадровой политики Минздрава России в 2000 г.
В сборник включено около 800 задач по следующим разделам:
математика (элементы дифференциального и интегрального ис-
числений, теория вероятностей и математическая статистика),,
механика (вращательное движение, акустика, элементы биоре-
ологии), термодинамика (включая физические процессы в био-
логических мембранах), электродинамика и медицинская электро-
ника, оптика (волновые явления, тепловое излучение тел), физика
атомов и молекул, ионизирующие излучения и основы дози-
метрии. По сравнению с предыдущим изданием (1-е — 1987 г.)
существенно дополнены разделы “Биореология”, “Биологические
мембраны”, “Тепловое излучение тел”, “Рентгеновское излучение”,
“Радиоактивность”, “Дозиметрия”.
В книге представлены задачи разной степени сложности, имеются
и такие, которые выходят за пределы программ. Поэтому материал
пособия можно использовать не только на плановых практических
занятиях, но и в виде дополнительных заданий к лабораторным ра-
ботам, а также при проведении олимпиад по медицинской и биологи-
ческой физике, для кружковой работы в вузах, для самостоятельной
внеаудиторной работы студентов и т. п.
В начале каждого раздела приведены основные формулы, необ-
ходимые для решения задач. В конце книги содержатся различ-
ные справочные материалы. Эти сведения могут быть использова-
ны при изучении теоретического материала и выполнении лабо-
раторных работ.
ГЛАВА |
Элементы
математики
1.1. Производная.
Применение производной
для исследования функций
Производной функции [(х) называется предел отношения
приращения функции Дг/ к приращению аргумента Дх в точке
х при стремлении Дх к нулю:
Производные некоторых функций
постоянной величины у = С:
у' = 0; (1-1)
степенной функции у = хр:
у’ ==рхц1; (1-2)
показательной функции у = ах:
у' = ах1п а; (1-3)
в частности, если у = ех, то
/ = ех; (1.4)
логарифмической функции у = 1о&а х:
в частности, натурального логарифма у = 1п х:
тригонометрических функций'.
у = 81п х, у' = соз х; (1.7)
у = соз х, у' = -81п х; (1-8)
у-^х, у'~ 2 ; (1-9)
СОЗ X
у = С1е X, у' -- —; (1.Ю)
51П X
обратных тригонометрических функций'.
1 у- агсзтх, у - ', 71 - х (1.11)
, 1 у — агссоз х, у ~ ; л/1 - X (1.12)
. ’ 1 у - агс<® X, у - 2; (1-13)
1 + X
. ' 1 у — агсс^е х, у = - .. . (1.14)
1 +х
Производная суммы (разности) функций у = и + о:
у' = и' ± о'. (1-15)
Производная произведения двух функций у = ио:
у' = и'о + о'и. (1-16)
Производная частного двух функции у = -:
и'у - ь'и У- 2 • V (1.17)
Производная сложной функции у = 1у(и), если и = = /2(х):
. , , Ди дуди Ух = Уиих или (1.18)
Условие возрастания функции у = /(х) на отрезке [а, &]:
Г(х)>0. (1.19)
Условие убывания функции у = Дх) на отрезке [а, Ь]:
Г(х)<0. (1.20)
Условие максимума функции у = /(х) при х = а:
Г{а) = 0 и Г(а) < О.
(1.21)
Если при х = а производные /'(а) = 0 и /"(а) = 0, то необхо-
димо исследовать Г(х) в окрестностях точки х = а. Функция
у = /(х) при х = а имеет максимум, если при переходе через
точку х = а производная /'(х) меняет знак с «+» на «—», в слу-
чае минимума — с «—» на «+». Если /'(х) не меняет знака при
переходе через точку х = а, то в этой точке у функции экстре-
мума нет.
1.1. Найдите производные следующих функций:
Ч \ 3 4 1) У = 4 ах*; 15)у=|х3--^ +5*;
2) у = х3 + 2х2 + 8; 16) у = 2х - Ух ;
2 1 х ^У=-Х +2; 4 17) у = х + 1п х + ;
4) у = 2^[х - 34х ; 18) у = х ~ с!е х;
5) у = х3 + | х2 - 2х + 1; о А 19) у = х - 81п х;
6) у = х4 - ; 20) у = 1оеа х + ах; 21) у = 1п х + -7= ;
7)у = ха + ь;
8) у = 7= + ^ ; 22) у = ехсо8 х; 23) у — 8Ш х 1п х;
3 24) у = 8ш х сов х;
9)у=у -2Л + + 2; 25) у = х 1п х;
10) у = (1 - Зх2)(1 - х)2; 11) у = (2х - 1)(х2 - 1); 12) у = (1 - 4х2)(1 + 2х2); 26) у = ах4х; 27) у = л/х!п х; 28) у = 3 х с!е х-,
13) у = 4^*3 — сов х; 14) у = х4 - 2х3 - 1п х + ах; 29) у = 5ах 3/х; 30) у = 4ах^^;
46)у=^; X
31) у 2 , ’ х + 1
2 32)й-2-х; 47) ' У 81П X
2 л &)у-Х 1 х + 4 3 48)у=^;
34) у - г ; Ух + 1 2х2 + 1п х . 49) у - - 2
2х2 + 3 . 35) у з ’ 4 + х _ 81П X + СОВ X . 50) у — 81П х - СОЗ х 9 51) у = е3х;
3 52) у = сон 2х;
36)у ! _ 4х’ 53) у = 81п2 х;
37)у-*Л; , о 54) у = ат х ;
38) у = 2х ~3х — . л/Х 55)у=ех ;
2 56) у = 1п (х2 + 1);
39)у- х 2; 2-х л/х + X 57) у = а ;
4°)У- 1Дх; 58)у = е81пх; 59) у = Л\пх ;
Л2 + 1 41) у— 2 , 2х 42) У 2 , ’ х + 1 431 и 5%4 ’ 2x3 + 3x2 • 60) у = 2 с!е ; 61) у = 1п (1п х); 62) у = е 1/х ; 63) у = ат (1п х);
43)"’ ‘Л
64) у = 1п (соз х);
АА\ 1/ е • 65) у = (х2 - З)5;
44> У 2х ’
12 СО8 X 45)У- 1 — 81П X 5 66) у = 57(4х2 - Зх + 1) ;
67) у = бе ;
68) у = 1п [х2 - ;
69) у = 1п (з1п х + соз х);
2 . л
70) у = 1е2 X + ех ;
71) у = а2х - л/еш х;
72) у = 1х + 11е3 х + 1ёх;
73) у = соз х - 5 соз3 х-
О
74) у = X + 1п (соз х);
75)у = 1е| -С1е|;
76) у = з1п2 (Зх2 + 2х + 4);
77) у = 2 7з1П х соз 5 ;
78) у = л/х3 + 1х2;
79) у = >]х2 + 1;
80)у = х2 • Зх+1;
81) у = 1п2 х зга2 х;
82) у = 81п3 х сое ;
О
83) у = соз л/х 1п2 х;
84) у = Ч/х 81п ^/х;
85) у = (х2 - 3)51п х;
86) у = Зх с1е %;
о
87) у = 2 л/бш х соз х;
88) у = Зл/1п хх3;
89) у = 1п х х2;
90) у = л/х^/зш х;
91) у = 1п х2 зш2 х;
92) у = е2х7х5 + 1;
93) у = зш х2;
94) у = (1 - х2)3соз х + 2х зш2 х:
95) у = х>]х2 - 1;
96) у = х 7х3 + 2 ;
97) у — ^х1ё х;
98) у = ^х + 1е^;
99) у = л/йх3 - 3 1е х;
100) у = л/х3 + х 81п л/х;
101) у = х2 л/зхп х;
102) у = 3/хс1&2 х;
103) у = зш л/х;
104) у = соз х21п ,/х;
105) у = л/х2 + е3х;
106) у = с!& л/х 1п х3;
107) у = зш3 х соз х; 125)у=е>(^->; 7 СОЗ X
108) у = 2 з1п2 х.соз2 х; 109) у = ес08 х 81п х; X -X 12б)у=е е + е
110) у = е2х соз 2х; 111) у = зш2 х сое Зх; 127),,-^; е
2 < 1 л\ СОЗ 112) у- 2; 81П X 113)у-||,<с<?*) ; 7 зш2х 111)у=-4-; СО8 X . 3 81П X 115) у = г ; *]х 2 .. ч 2зш х _ П6)У= СО8 X ; 128)у=^^; 71п X 129) у = 1п3 (ех + х2); 130)у = 1ё3 (х2); 131)у = 1п (есо8х); 132) у = соз ; 1 2 . 1п X 133)у= е ;
117)у=^; 1п X . 2 118) у = ; а х2 134) у = 71п (1е х); 135) у = 1п2л/х; 136) у = 37зт 2х; 137) у = л/1п3(2х+ 1);
120)у=^Ц±; 1п X 1 \ 3*2 + 4Х . 121>У- СО8 2Х ; 122)у=^Х 7 СОЗ X 4 2х 123)У-Х1п\ ; 1 оо\ 4 81П 138) у = х^е ; 139) у = зш (соз2 х) соз (з1п2 х); .п, 4зт 2х 14°)У= с . 2 3’ 081П X зГ? , 2 з _ . ч . 8Ш л/ X + СО8 X 18 («/3) 1
, „ . . 81П ^Х 1П X 124) у- х ; _ СО8 4х 1П X 142) у = : . 7 51П X
1.2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
1)1/ = х2; 2) у = х3; 3)у = ^; 4) у = х - 81п х; 5) у = 2 + х - х2; 6) у = х2 - Зх + 1; 13) у = 2х3 - 15х2 4- 36х - 2; 14) у = 8х2 - 1п х; 15)г/=е’х2; 16) у = 4х - х2; 17) у = х + зги х;
7) у = -2х2 4- 8х 4- 1; 18)у = ^-2; 1 + х
8) у = х3 - 12 х - 4; 19) у = Зх - х3;
9) у = -х3 4- х2 4- 5х - 6; 10) у = х3 - Зх2 4- 5; 11) у = х2 + 6х - 4; 12) у = х4 + 4х - 6; 20) у = х2е~х; 21)у=у -х2-3х; 22) у = 2х2 - х4.
1.3. Исследуйте функцию на экстремум:
1) у = 2 + х - х2; 2) у = 2х2 - х4; 3) У = х 4- ±; 12) у = 2х3 + Зх2 + 6х + 10; 13)у=-^-; х + 1
4) у = 7х 1п х; 14) у = —; (1 +х)2
5) у = е"х ; 6) у = х3 - 6х2 4- 9х - 4; _ 3 - х2 . 7) У х + 2 ’ 15) у = |х3-х; 16) у = хе~х; 17) у = соз х 4 — 5
8) у = 2х2 4- 5х 4- 7; 9) у = 4 - Зх - 5х2; 10) у = 6 4- 12х - х2; 18)у=^; 19) у = ^2х — х2;
11)у = х3 + 4х; 20) у = х 4- соз х;
21)у=
' у 1п X ’
22)у=-/-;
X - 1
23) у = х2л/х2 + 2 ;
1
24) у =-
25)у=^- -х3;
26) у = х - 1п х.
1.2. Дифференциал функции.
Применение дифференциала
в приближенных вычислениях
Дифференциал независимой переменной равен ее прираще-
нию:
6х = Дх. (1-22)
Дифференциал функции у = Дх):
ду = у'дх. (1.23)
Дифференциал суммы (разности) двух функций у = и ± о:
с1у = 6и±с1р. (1-24)
Дифференциал произведения двух функций у = ио:
ду = оди + идо. (1.25)
Дифференциал частного двух функций у =^‘
ау =----2---• (1.26)
V
Приращение функции:
Ьу = /(х + Дх) - Дх) ~ Ау ~ Г(х) • Дх, (1-27)
где Дх — приращение аргумента.
Приближенное вычисление значения функции:
Г(х + Дх) ~ Дх) + Г(х) • Дх. (1.28)
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной
и относительной погрешностей при косвенных измерениях
и = /(х, у, г, ...).
Абсолютная погрешность результата измерения:
сЬ = ДпЦ§| Дх + |'^| Ду + ||^Дг + ... . (1.29)
Относительная погрешность результата измерения:
йи ~ ~ 1/|Эи| . . |Эи| . . |Эи| . . Л
и и «43x1 Лх+|э«/| Ау+ Ь2| Лг+С1-30)
1.4. Найдите дифференциалы следующих функций:
1)У~ 2 = X + 1 3 И)у- \ ; 81П ЗХ
2) г/ = -7= + сое 2х; ^х 12) у = хсое х + 1; ЛСОЗ X 13) У" . 2 ’
3) у = (2х + X2)3; 1 + 81П X
.. л/х + ^/х 2 ; X 5) у = 1п зш х + х3; 14) у = хех — ех“ 2; 15) у = 1п2 сое х; , х/2 х 16) у = е сое х ; Л
6) у = 2х 4х ; 7) у = зш2 Зх + 1п х2; 8)у= 3*2+1; 9) у = х2 + 81п2 Зх; 10) у = (ех + е-х)2; 17) у = л/со8 Зх; 18) у = еа1ПХ81п х; е‘в х 19)у=Т^ Х-; ' я 1 - сов 2х ом 1 + 81П X 20) у - 2 . 1п X
1.5. Вычислите приращение функции, соответствующее измене-
нию аргумента от хг до х2:
1) у = Зх2 + х - 1, хг = 2, 2)у = 2х3-4х, хх = 1, 3) у = Зх2 - 2х, хх = 2, 4) у = 4х2 - 2х + 2, хг = 2, 5)у-х-1’ *1-3, х2 = 2,01; х2 = 1,02; х2 = 2,001; х2 = 2,003; х2 = 3,002.
1.6. На сколько уменьшится площадь квадрата, сторона которого
а = 10 см, если сторону уменьшить на 0,01 см?
1.7. Определите площадь кольца, если его внешний радиус равен
17,02 см, а внутренний радиус 17 см.
1.8. Тело двигалось в течение I = 26 с с постоянным ускорением
а = 0,2 м/с2. Какой путь з оно пройдет за следующие 0,5 с, если будет
продолжать двигаться с тем же ускорением?
1.9. Количество электричества, протекающего через сечение про-
водника, определяется по формуле <? = 0,01/2 + / + 4 выражено в
Кл). Определите количество электричества, протекшее через провод-
ник за 101-ю секунду.
1.10. У тела массой 1 кг изменилась скорость движения с 23 см/с
до 23,2 см/с. Найдите изменение кинетической энергии.
1.11. Найдите приближенно числовое значение функции при за-
данном аргументе х:
1) у = Хг/З + х , х = 1,004; 2 5)1/= V—, х = 2,95; X + 1 2
2) у = 2х2 + Зх3, х = 2,01; 6) у = , х = 0,97; х3 + X + 1
/2 3) У = ’ х = 4,02; 7) у = Мх - 1, х = 9,24;
4) у = 5х4 + Зх3 - 1, х = 1,04; 8) у = х4 + х3 + 2х, х = 0,96.
1.12. Дано уравнение движения тела: з = -х + 2/2, где з выражено
в метрах, I — в секундах. Найдите путь з, пройденный телом за время
1= 1,92 с от начала движения.
1.13. Тело массой 10 кг движется со скоростью 9,98 м/с. Вычисли-
те кинетическую энергию этого тела.
1.14. Два точечных разноименных заряда притягиваются с силой
р = кт~2, где к — 1 мН • м2. Вычислите силу притяжения зарядов,
если г = 2,04 м.
1.15. Докажите следующие приближенные формулы:
, . ПI п , _ . X
1) а + х ~ а Ч-----—1
па
2) 1п (х ± Дх) ~ 1п х ± — ;
3) З1п (х ± Дх) ~ зш х ± Дх соз х;
4) 1& (х ± Дх) ~ 1е х ± -Н& е • Дх.
1.16. Вычислите центростремительное ускорение тела, движуще-
гося равномерно по окружности радиуса 0,5 м, если скорость тела
V — 4,05 м/с.
1.17. Найдите выражение для относительной погрешности при
вычислении кинетической энергии тела, если масса тела определяет-
ся прямым взвешиванием, скорость рассчитывается по формуле V =
I
7
где I и I измеряются непосредственно.
1.18. Найдите выражение для относительной погрешности в из-
мерении при помощи мостовой схемы сопротивления проводника
Ч
Нх = В.т-, где В., /х и /2 — измеряемые величины.
‘2
1.19. Найдите относительную погрешность в определении силы
света лампочки накаливания при помощи люксметра (I = Ег2), если
на расстоянии 50 см от нее стрелка люксметра отклоняется на 25 де-
лений шкалы. Расстояние г измеряется с абсолютной погрешностью
Аг = 0,005 м.
1.20. Найдите абсолютную и относительную погрешности в опре-
делении объема цилиндра, если при измерениях были получены зна-
чения радиуса Я _ (6 ± 0,1) см и высоты к = (10 ± 0,2) см.
1.3. Неопределенный интеграл
Функция В(х), имеющая данную функцию /(х) своей производ-
ной или /"(х)с!х своим дифференциалом, называется первооб-
разной данной функции /(х). Совокупность всех первообраз-
ных функций для дифференциала /'(х)бх называется неопреде-
ленным интегралом и обозначается символом /(х)с1х.
Основные интегралы
I= иГТТ + с * -1>;
V р. I Л
=1п|х| + С;
(1.31)
(1.32)
(1.33)
| ехдх = ех + С; (1.34)
|81П хдх = -соз х + С; (1.35)
соз хдх = 81п х + С; (1.36)
[ -Ц- = х + С; 1 СОЗ X (1.37)
Г = -с€е X + с. 5Ш X (1.38)
Интегрирование по частям
ибо = ии - иди. (1.39)
Примеры
1. Найти у = рп хдх.
Решение
Полагаем и = 1п х, йп = дх; тогда ди = , V = х. Используя
(1.39), получаем
у=|1пхдх = х1пх-|х^=х1пх-|дх = х1пх-х + С.
2. Найти у = ] (1 + 2х)2йх.
Решение
Заменим 1 + 2х = г; дх — • Тогда
у = | р2дг.
Таким образом, интеграл сведен к табличному виду. Вос-
пользовавшись формулой (1.31), найдем
|р2д2- б23 + С.
Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем
•2
(14^Х)+С
6
1.21. Найдите интеграл:
1>] 4х2<1х; 11)] • 2Л 23*2аХ; X
2)] (Зх2 + 2х - 1)с1х; 12)] 1 4-х , 2 + 4х
3)] (4х3 + 4х - 3)6х; 13)] (Зх2 - 2соз х)6х;
14)/
2х + 1 2х - 1
е - е
4) | х2(1 + 2х)с1х;
5) | (х + 1)(х + 2)<±х;
бх;
15) [ ^^с!х;
' 3 81П X
, Г 2сО82Х + 1 ,
16) I ----2---йх;
СО8 X
ч Г вш2х ~ 3 ,
17) I —2—<1*;
81П X
е 2х , х .
Г е + е 81п х
18) I ---------6х;
19)/
и 2~
11 - СО8 X
ч 2
- 81п х бх;
2°){
'•СОЗ X 51П X'
1.22. Найдите интеграл методом замены переменной:
1) | 72х - 3 &х; 3) | е2х + Чх;
2) соз Зхйх; 4) (ех + е ж)с1х;
5) | (х + 1)3/2бх;
в)/
* X + 1
7)) йх
72 х + 1 ’
8>/ хйх
37х2 + 2
М 3 , х ах
(X4 - 2)
10) { /2 ,22, х^1а + Ъ х ах;
11)/ 2йх
3 - 4х ’
12)/ х^х? + 1 бх;
13)/ Хл/1 - х2 бх;
14)/ ' х2(х3 + 9)3бх;
15)] Г хйх
2х2 + 3 ’
16)] Г х6йх
7 2 ’ (X7 - 2)
17) 1 Г айх . 1 а - х ’
18) Г 2 | еХ х бх;
19) / — бх; ’ ех
20)/ е*71 + ехбх;
21)/ 2х _ 1 бх; X 1 е
22)/ 2ех . (2 + ех)
23)/ Дх е х2\/ё
24)/ ’ 2x4-3, е ах;
25)/ соз Зх бх;
26)/ • йх
- 2О ’ 81П ОХ
27)/ Г йх
2О 9 соз 2х
28)] |" ^81п + соз 2х/бх;
29) Г йх
СО82(1 - 2х)
30) / х2 зш Зх3бх;
31) / з1п2х соз х бх;
32) /^4х; СОЗ X
33)/ ес08 Х81П хйх;
34) [ . ГО— с1х;
' 3 1 + 81П X
35) Г СОЗ X , 1 . 4 81П X 41) Г СОЗ X , 11 + 2вШ X СХ’
36) | з1п5х соз х Дх; 42)
37) Г бет х , 1 з <Ьс; СОЗ X 43) г 71п х , а*;
38) Г СО8 2х , 1.0 ах; Л 1 4- Вт 2х 44) Г 4х ) х!п X ’
39) | * &с; 45) Г л/1 + 1п X , а*; 1 х ’
40) | с!е х Дх; 46) Г йх
3 х(1 + 1п х) ’
1.23. Найдите интеграл методом : интегрирования по частям:
«I х соз хДх; б). Р х3 1п хДх;
2)/ х соз ЗхДх; 7) хе-хДх;
3)/ х 1п хДх; 8>. [ х2е-2хДх;
4)/ х ех Дх; 9’1
М х2 81п 2хДх; 10)] 1" X 81П X Дх.
1.24. Найдите интеграл:
1>/ (2 + 5х)4Дх; 5)/ 81п2 х Дх;
2)/ сое2 х Дх; 6)/ 2 х3 + 1 , х е Дх;
3) I 4(2х - 1)2Дх; 7)/ х ах
.4 Г X 7х7 + 1
4)] -с Дх; л/2 + е* 8)/ 47(5 - х3) Дх;
9) 20)] ‘ 32-Хах;
Ю) 21)] х + 1 , -о ах; х + 1
И) Г йх 22) 1 » X —-— йх;
1 к 2 ' хл/1 + а 1 +е*
12) | С^^ах; 23)] 8М1 ХСО8 X 1 , = ах к , . 2 /7 1 + 51П X
13) Г бхйх • з/Т2
1 2 2 ’ (х2 + 1) 24) } X X 1 }=— ах; Лх
14) Г х3йх 25)] йх
] 2 4’ * СОЗ X х1п2х
15) | 2х йх; 26)] х(1 - х)2йх;
16) ] <2+^ах. 27)] 1 М^х;
17) Г । 1 -1 е* + 1 28)] 47х3 [ с1&2 х йх;
18) | агс!§ х йх; 29)] г 2 | хех йх;
19) Г йх Г ч
71 - 4х2 зо)] | 81Пд хёх.
1.4. Определенный интеграл
Интегральная сумма:
п
1=1
(1.40)
Где — произвольная точка соответствующего отрезка.
Определенный интеграл функции [(х) на отрезке [а, Ь]:
ЬС
] Дх)йх = Пт У (1.41)
а
Формула Ньютона—Лейбница:
ь
[ /(х)йх = Е(Ъ) - Е(а), (1.42)
а
где Е — первообразная функции /(х), т. е.
Г(х) = /(х).
Некоторые свойства определенного интеграла
| /(х)йх = О; (1.43)
а
Ъ а
I /(х)йх = -{ /(х)с1х; (1.44)
а Ъ
Ъ с Ь
/ /(х)Ах= | /(х)с1х + | /(х)йх. (1-45)
а а с
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графи-
ком функции (\х), осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь:
ь
8 = \Кх)Ах. (1.46)
а
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми у = /\(х) и
У = /2(х)[/г(х) /](х)] и двумя прямыми х = а и х = Ь:
ь
5 = I [/г(х) ~ /1(х)]йх. (1.47)
а
1.25. Вычислите интеграл:
9 1) |л/х 6х; 4 1п 2 3) | е~хд.х; 0
Л 2) | 81п хйх; 0 п/ 2 4) | нт х соз хйх; 0
1п 2 5) | е2хДх; 0 16) /——2х + 37* Дх; о
л/4 6) { 8ш(2х - | )<1х; п/6 п/2 17) | 2 81пхсо8хДх; 0
0 7)/^,; 14 - х 18) Дх; ое + 1
8) оЗ + х 2 19) | (х2 - 2х + 3) Дх; 1
п/6 9) [ 81п 6х Дх; 0 20) / ; о7х2 + 9
О 10) | х5(1 - х6)7Дх; -1 21) 01 + 2х3
1 11) /71 + х Дх; 0 0 22) (—; -2(1-2х)3
п/2 12) [ сов2 х 81п х Дх; л/4 23) | нт 2хДх;
0 л/6
13)/4^; ох + 5 л/4 24) | 0 СО8 X
14) [ , хйх -; -17б - 4х2 2 25) { 2хах__. -1(2х2 + 1)
2 2 . 3 , 4 15) 4* + * ДХ; 1 х П - л 26) | 81П Х(*Х ’ п/2(1 - СО8 X)
71/3 27) | 4 8Ш3х сое хйх; 10 3 33) Г12_* ах;
л/4 1 х
1 X 28) йх; ое + 5 34) | х*/х2 + 9 ах; 0
71/2 2
29) / “Ц** &х; 71/4 81П X 35) / х(2х2 + 1)ах; 1
е 2 30) /-2-х- + 1 ах; 1 х 36)/(Л
31) ах; 37) / Дх ; -2(1 - 2х)3
е 2 71/4
32) /12-* ах; 38) / еС08 2х8Ш 2хйх. я/6
1.26. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = 4 - х2, у = 0;
2) у = 3 - 2х - х2, у = 0;
3) у = 1п х, у = 0, х = е;
4) у = х2 - 2, у = 6 - х2;
5) У = У = 0. х = 1, х = 4;
6) у = х2, у = 2 - х2;
7) у = х2 +• 4х, у = х + 4;
8) у = бх - х2, у = 0;
9) у = х3, у = 8, х = 0;
10) у = 2х, у = 2, х = 0;
11) у = 5х, у = 0, х = 2;
12) у = Зх - 1, у = 0, х = 2, х = 4;
13) у = х3, у = 2х;
14) у = 4(1 - х3), у = 0, х = 0;
15) у = х1 2 - х, у = 0, х = О, х = 2;
16) у = 2х2, у = О, х = 2, х = 4;
17)у = х2-х, у = О;
18) у = 2х - х2, у = х;
19) у = у, у = 4 - х;
20) у = х2, у = 1 - х2;
21) у = 4х - 5, у = 0, х = -3, х = -2;
22) у = 2х2 + 2х, у = 0, х - 0, х = 3;
23) у = х3, х = 2, х = 3;
24) у == х2, у = х;
25) у = зш х, у = 0, х = 0, х - п;
26) у = е~х, у = 0, х = 1, х = 2.
1.5. Дифференциальные уравнения
Общий, вид дифференциального уравнения'.
Р(х,у,у',у'', ... ,уп) = 0. (1-48)
Общее решение дифференциального уравнения-.
у = Кх,С^С2,...,Сп). (1-49)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
Р(х,у,у') = 0. (1.50)
Общее решение дифференциального уравнения первого по-
рядка:
у = Кх,С). (1.51)
Примеры
1. Дифференциальное уравнение типа у' = {(х):
= /(х), Ау = {(х)Ах.
Общее решение
У = I /(х)с1х = Дх) + С.
2. Дифференциальное уравнение типа у' = /(у):
Й - «Л яЙ
Общее решение /^-ад_х+с.
3. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными:
/(х)Дх + <р(у)с1у = 0.
Общее решение
/ Дх)йх + / (р(у)с1у = С; Р(х) + Ф(у) = С.
4. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменны-
ми:
/(х)Ф(у)йх + 7(х)Ф(у)йу = 0.
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными пере-
менными: йх + бу = 0. Ф(*) Ф(У) у
Общее решение
+ /й) ау С; Г1(х) + • с-
1.27. Выясните, является ли решением дифференциального урав-
нения указанная функция:
1) у' = Зх* 1 2 + 2, у = х3 4 + 2;
е4х-3
2)/ = 4у + 3,у=^-^;
3) у' = X + у, у = ;
,2
4) —~ + 4у = 0, у = 5 сое (21 + 3);
сИ
5) / ~у = ех,у = (х + 2)ех;
6)/ + у = 2, у = хех;
2
7) (х + 2)йх - 2ду = О, у = ^- + х;
8) Зу - ху' = 0, у = 4х2 + 1;
9) у' - 2х = 1, у = х2 + х;
10) у" -2у' + у = 0,у = хех.
1.28. Найдите общее решение следующих дифференциальных
уравнений:
1) У' = 2у2; 9) /(х + 1)=1;
2)у' = 2х2 + 1; 10) хйх = уду;
3) у' = 5у; 11) у' = у соз х;
4) у' = 81П х + соз х; 12) у' = 2ху;
5) хуу' = 0,5; 13)ду + Зудх = 0;
6) Зхду = 2удх; 14) ^у'= 1;
7) (х + 1)йх - 2худу = 0; 15)еху' = 1;
8) 4х - ЗуЯу' = 0; ю)/+еХ-
1.29. Найдите частные решения дифференциального уравнения:
1) уду - хдх = йх, если у = 0 при х = 2;
, з
,19 - е
2) у = - + х , если у = 1 + -д при х = е;
3) 2ху' = у, если у = 6 при х = 9;
4) 81П хдх = ~ду, если у—1 при х = $ ;
5) Зу2у' = у3 + 1, если у = 2 при х = 0;
6) у’ — ех + 2е-х, если у = 3 при х = 0;
7) (х + 1)йу = удх, если у = 8 при х = 1.
Составив дифференциальные уравнения, решите задачи
1.30—1.35.
1.30. Тело движется прямолинейно с ускорением а = 5 см/с2.
Начальная скорость тела Ц) = 2 м/с. Выведите закон движения этого
тела и вычислите путь, пройденный им за первые 10 мин движения.
1.31. Найдите зависимость потенциальной энергии сжатой пру-
жины от деформации. Потенциальная энергия сжатой пружины рав-
на работе силы Р = кх на пути от 0 до х.
1.32. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности тем-
ператур тела и окружающей среды. До какой температуры охладится
тело за 30 мин, если за 10 мин оно охладилось от 100 до 60 °С? Темпе-
ратура окружающей среды 20 °С.
1.33. Уменьшение интенсивности света при прохождении через
поглощающее вещество пропорционально интенсивности падающего
света и толщине поглощающего слоя. Найдите закон убывания ин-
тенсивности света, если известно, что при прохождении слоя I = 0,5 м
интенсивность света убывает в два раза.
1.34. Найдите закон убывания лекарственного препарата в орга-
низме человека, если через 1 ч после введения 10 мг препарата его
масса уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в
организме через 2 ч?
1.35. Составьте дифференциальное уравнение, описывающее дви-
жение математического маятника, считая, что углы отклонения ма-
ятника малы.
1.6. Теория вероятностей.
Математическая статистика
Относительная частота события:
Р*(А)=%, (1.52)
где п — число независимых испытаний, в которых случайное
событие А происходит т раз.
Вероятность случайного события, согласно статистиче-
скому определению вероятности,
Р(А) = Иш -. (1.53)
П—>°° п
Вероятность появления одного (безразлично какого) из не-
скольких несовместных событий (теорема сложения вероят-
ностей). Для двух событий
Р(А или В) — Р(А) + Р(В). (1.54)
Вероятность совместного появления независимых собы-
тий (теорема умножения вероятностей). Для двух событий
Р(А и В) = Р(А) • Р(В). (1.55)
Вероятность того, что событие А произойдет один раз
при п испытаниях (биномиальное распределение)
Р1п = п(п-1)..Лп-1 + 1) р1^ _ р)П-^ (1.56)
где Р — вероятность наступления события А.
Распределением дискретной случайной величины называ-
ют совокупность ее значений: х^, Х2, ... и соответствующих ве-
роятностей:
Р(Х1) = Р1,Р(х2) = Р2> ••• •
Условие нормировки для дискретной случайной величины,
имеющей п значений:
п
X Х^)=1. (1.57)
1=1
Среднее значение дискретной случайной величины:
т1Х1 + т2х2 + ... + тпхп _
п
771« Т7Т „ % ч 772 х
= ж1Т+- + х"7 = X (1.58)
1 = 1
где т.} — число дискретных случайных величин, имеющих
значение х,.
Математическое ожидание дискретной случайной величи-
ны:
п
М(Х) = х^-1-... + хпрп = У х^. (1.59)
/ = 1
Дисперсия дискретной случайной величины:
п
Г>(Х) = М{[Х - М(Х)]2} = [X; - М(Х)]2 • Р1, (1.60)
1=1
Р(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2. (1.61)
Среднее квадратичное отклонение
о(Х) = Л>(Х) (1.62)
Вероятность того, что непрерывная случайная величина
принимает какое-либо значение в интервале (а, Ь):
ь
РаЬ = $Г(х)йх, (1.63)
а
где /(х) — плотность вероятности (функция распределения
вероятностей).
Условие нормировки для непрерывной случайной величи-
ны’.
/ /(х)6х = 1. (1.64)
Функция распределения случайной величины:
Р(х)= | /(х)6х. (1.65)
Математическое ожидание непрерывной случайной вели-
чины.
+ ОО
М(Х)= | х/(х)с1х. (1.66)
Дисперсия непрерывной случайной величины:
+ ОО
1)(Х)= | [х - М(Х)]2 Дх)Ах. (1.67)
Нормальный закон распределения (закон Гаусса):
(X - о)2
Г(х)=-±=е 2а2 , (1.68)
Ол/2л
где а — математическое ожидание случайной величины, о —
среднее квадратичное отклонение. График закона распределе-
ния представлен на рис. 1.1.
Функция распределения по нормальному закону:
Р(х) = Ф
(1.69)
Значения функции Ф приведены в приложении 6.
Плотность вероятности для проекции вектора скорости
молекул газа на ось Ох:
= (гл/гт)
- 'поь^/(2/:Т)
е
(1.70)
где т0 — масса молекулы, Т — термодинамическая темпера-
тура газа, к — постоянная Больцмана.
Плотность вероятности для модуля скорости молекул
газа (распределение Максвелла по скоростям):
з
/(г) = 4л(2п/гГ)
2 ~
V е
(1.71)
Средняя, средняя квадратичная и наивероятнейшая скорос-
ти молекул:
(1.72)
(1-73)
(1.74)
где 7? — молярная газовая постоянная, М — молярная
масса.
Плотность вероятности нахождения молекулы газа в од-
нородном гравитационном поле (пример распределения
Больцмана)'.
.... тое ~ тоёН/(кТ')
™=~кте
(1.75)
Давление газа (воздуха), находящегося в однородном грави
тационном поле, на высоте к (барометрическая формула):
-т(}ёк/(кТ) -Мёк/(ПТ)
Рк=РОе =Рое
(1.76)
где ро — давление на высоте к = 0.
Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в од-
нородном гравитационном поле, на высоте к:
-тоёк/(кТ) -Мёк/(ВТ)
п = пое = пое , (1-77)
где п0 — концентрация молекул газа на высоте к = 0.
Интервальная оценка генеральной средней (среднее значе-
ние генеральной совокупности):
хв - е < ц < хв + е, (1.78)
где хв — выборочная средняя. Эти неравенства выполняются с
доверительной вероятностью Р. Положительное число Е харак-
теризует точность оценки и называется доверительным ин-
тервалом.
При большой выборке (п > 30):
еТл то
т =--- или г = ,
в Л
где о — генеральное среднее квадратичное отклонение. Обыч-
но в расчетах берется выборочное среднее квадратичное откло-
нение.
Связь между ти Р:
Ф(т) = . (1.79)
Значения функции Ф приведены в приложении 6.
Вероятность того, что случайная величина при нормаль-
ном распределении находится в интервале (яр ж2), можно
найти по формуле
[Хп — а ч гх, - а
~Ф[~
Интервальная оценка генеральной средней при малой вы
борке (п < 30):
Здесь ов — выборочное среднее квадратичное отклонение.
Параметр I (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р на-
ходят по таблице (приложение 5).
Для составления интервального вариационного ряда следу-
ет использовать формулу Старджеса при определении числа
интервалов (/г) с учетом количества вариант (л):
/? = 1 + 3,3 1ел. (1-80)
1.36. Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за
месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота
поступления больных с этим видом заболевания?
1.37. В институт было подано 1275 заявлений о приеме от девушек
и 1084 заявлений от юношей. Каковы относительные частоты подачи
заявления для этих абитуриентов?
1.38. Грани правильного тетраэдра (рис. 1.2) пронумерованы: 1, 2,
3 и 4. Какова вероятность того, что при бросании тетраэдр встанет на
грань с цифрой 17 с цифрой 2? Предполагается, что тетраэдр сделан
из однородного материала. Почему необходимо последнее условие?
Найдите вероятность того, что на видимых (боковых) гранях тетраэд-
ра будут цифры 1,2 и 3.
1.39. В картотеке истории болезней восьми пациентов. Если
наугад взять первую, затем вторую, третью и т. д. историю болезней,
то какова в каждом случае будет вероятность изъятия нужной исто-
рии болезней? Предполагается, что искомая история болезней имеет-
ся в картотеке. Рассмотрите два варианта: а) взятые истории болез-
ней не возвращаются в картотеку; б) взятые истории болезней каж-
дый раз возвращаются в картотеку и хаотически располагаются в
ней.
1.40. В мешке смешаны 30 букв разрезной азбуки. Из мешка вы-
нимают одну букву, записывают ее и возвращают обратно. Так повто-
ряют девять раз. Найдите вероятность того, что из написанных букв
можно образовать слово «биофизика».
1.41. По гладкому столу катится однородный шар. Вследствие сил
трения шар останавливается. Какова вероятность того, что шар оста-
новится, касаясь поверхности стола заранее заданной точкой?
1.42. Найдите вероятность выпадания нечетного числа при броса-
нии игральной кости (однородный куб).
1.43. В урне находится десять шаров: три белых и семь черных. Из
нее наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот
шар белый? черный?
1.44. В условии задачи 1.43 извлекают черный шар и не возвраща-
ют в урну. Какова вероятность извлечь после этого черный шар?
белый?
1.45. В условии задачи 1.43 извлекают белый шар и не возвраща-
ют в урну. Какова вероятность извлечь после этого черный шар?
белый?
1.46. В урне находится десять шаров: два белых, четыре черных,
один красный и три синих. Найдите вероятность появления белого,
или черного, или красного шара при однократной операции изъятия
шара из урны. Укажите разные способы решения. Используйте поня-
тие «противоположные события».
1.47. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя ви-
дами болезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим груп-
пам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3 и 0,2. Для
лечения заболеваний с вероятностью 0,1 и 0,2 необходимо перелива-
32
ние крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью,
если в течение месяца поступило 1000 больных?
1.4В. На странице книги имеется 2500 букв. Буква «а» встречает-
ся 190 раз. Какова вероятность того, что случайно выбранная буква
будет буквой «а»? Какова вероятность того, что случайно выбранная
буква не есть «а»?
1.49. В урне имеется семь черных и несколько белых шаров. Како-
ва вероятность вытащить белый шар, если вероятность вынимания
черного шара равна | ? Сколько белых шаров в урне?
1.50. Какова вероятность того, что при случайном сочетании цифр
1, 2 и 3 получится число 123? не получится числа 123?
1.51. В урне один черный и четыре белых шара. Шары по одному
вынимают из урны и обратно не возвращают. Укажите, чему равны
вероятности вынуть черный шар при первом, втором и т. д. изъятии.
Рассмотрите два варианта: а) черный шар оказывается последним;
б) черный шар вынимают третьим.
1.52. В каждой из двух урн имеется по два черных и три белых
шара. Какова вероятность одновременного вынимания из каждой ур-
ны по черному шару? по белому?
1.53. Какова вероятность того, что в результате бросания играль-
ной кости шесть раз подряд выпадут единицы?
1.54. Какова вероятность того, что в результате бросания играль-
ной кости шесть раз подряд выпадут следующие последовательности
цифр: 1, 2, 3, 4, 5 и 6?
1.55. Какова вероятность того, что в результате бросания играль-
ной кости шесть раз подряд выпадут только четные числа?
1.56. Найдите вероятность того, что в семьях из двух детей оба
ребенка: а) мальчики; б) девочки; в) один ребенок — мальчик,
другой — девочка. Считать, что вероятность рождения мальчика рав-
на 0,515 и пол каждого последующего ребенка не зависит от пола
предыдущих детей.
1.57. Какова вероятность того, что в коллективе из 200 человек
у двух лиц дни рождения совпадают?
1.58. В урне десять шаров: три белых и семь черных. Найдите ве-
роятность того, что последовательно один за другим будут вынуты
шары: а) черный и белый; б) белый и черный.
1.59. В урне восемь шаров: три белых и пять черных. Найдите ве-
роятность того, что последовательно один за другим будут вынуты
два черных шара; два белых шара.
1.60. Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некото-
рый дом оценивается вероятностью 0,4. Найдите вероятность того,
что из пяти вызовов врача два вызова будут в данный дом.
1.61. Из десяти облигаций в тираже в среднем выигрывает одна.
Какова вероятность того, что из двадцати облигаций выиграет только
одна?
1.62. Используя условие задачи 1.61, найдите вероятность того,
что из десяти облигаций выиграет только одна. Поясните, почему
в этом случае вероятность больше, чем в задаче 1.61.
1.63. Найдите вероятность того, что из четырех облигаций выиг-
рает: а) только одна; б) по крайней мере одна. Вероятность выигрыша
отдельной облигации равна 0,1.
1.64. Установлено, что лица из определенной группы людей забо-
левают в среднем два раза в году. Считая, что каждое заболевание
имеет продолжительность Ю дней, получаем 365 — 2 • 10 = 345 дней,
когда человек здоров. Таким образом, можно оценить вероятность за-
2
болевания одного человека как Р = хтг — 0,0058. Какова вероятность
того, что из 10 человек сегодня заболеют трое? Заболевания в этой за-
даче рассматриваются как независимые события (без учета зараже-
ния).
1.65. Найдите распределение случайной величины, образующейся
при бросании правильного однородного тетраэдра (см. рис. 1.2) с про-
нумерованными гранями 1,2, 3 и 4. Проверьте, выполняется ли усло-
вие нормировки.
1.66. Укажите распределение случайной величины, соответствую-
щей выпадению одной из двух сторон подброшенной монеты. Про-
верьте, выполняется ли условие нормировки.
1.67. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение дискретной случайной величины, распре-
деленной в соответствии с условием задачи 1.65.
1.68. Случайная величина представлена следующим законом рас-
пределения:
X 1 4 6 7
р 0,1 0,2 0,2 0,5
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-
тичное отклонение.
1.69. Случайная величина задана законом распределения:
X 1 2 3 4 5
Р 0,2 0,1 0,1 0,4 0,2
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-
тичное отклонение. Дисперсию вычислите двумя способами: по фор-
мулам (1.60) и (1.61).
1.70. График функции распределения вероятностей изображен на
рис. 1.3: Дх) = Ь (0 < х < а), Цх) = 0 (х < 0, х > а). Найдите связь меж-
ду а и Ь.
1.71. График функции распределения вероятностей изображен на
рис. 1.4. Найдите связь между а и Ь.
1.72. Плотность вероятности задана законом
а 81п х, 0 < х < л,
0, х < 0, х > л.
Найдите а.
1.73. График функции распределения соответствует полуокруж-
ности радиуса В (рис. 1.5). Чему равен этот радиус?
1.74. Найдите функцию распределения непрерывной случайной
величины, соответствующей задачам 1.70—1.72.
1.75. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, график которой изображен на рис. 1.3.
1.76. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, график которой изображен на рис. 1.4.
1.77. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение случайной величины, график функции
распределения вероятностей которой приведен на рис. 1.6.
1.78. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения
(1.68), причем математическое ожидание равно нулю (а — 0). Какова
вероятность того, что случайная величина имеет значения х < 0? х > 0?
1.79. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения
(1.68). Какова вероятность того, что случайная величина принимает
значения х < а? х > а?
1.80. В нормальном законе распределения а = 2; о = 4. Чему равно
х, если вероятность того, что случайная величина принимает значе-
3
ния меньше х, равна ?
1.81. Нормальный закон распределения представлен графически
симметрично относительно х = 0. Найдите вероятность того, что слу-
чайная величина принимает значение: а) —а < х < о; б) -2о < х < 2о;
в) -Зо < х < За.
1.82. Принимая для воздуха М = 0,029 кг/моль, определите сред-
нюю квадратичную скорость его молекул при I = 0 °С.
1.83. Определите среднюю и наивероятнейшую скорости молекул
кислорода при I = 132 °С.
1.84. Какая температура соответствует средней квадратичной ско-
рости молекул углекислого газа, равной пкв = 1720 км/ч?
1.85. При какой температуре средняя квадратичная скорость
молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул
азота при I = 27 °С?
1.86. Определите среднюю квадратичную, среднюю и наивероят-
нейшую скорости молекул водорода при I = 27 °С.
1.87. При какой температуре средняя квадратичная скорость мо-
лекул азота больше их наивероятнейшей скорости на 100 м/с?
1.88. Найдите число молекул азота, находящихся при нормаль-
ных условиях в 1 м3 и обладающих скоростью между: а) 99 и 101 м/с;
б) 499 и 501 м/с.
1.89. Какая доля молекул кислорода обладает скоростью, лежа-
щей между 790 и 800 м/с при температуре I = 27 °С?
1.90. Во сколько раз изменится давление воздуха при подъеме на
высоту Л = 20 км, если средняя температура 1 = 0 °С?
1.91. На сколько различаются высоты двух уровней в поле Земли,
если концентрация кислорода О2 на верхнем уровне на 1% меньше,
чем на нижнем? Температура кислорода 1 = 27 °С.
1.92. На какой высоте концентрация молекул кислорода и азота
вдвое меньше их концентрации на уровне моря? Считать температу-
ру всюду одинаковой и равной I = 21 °С.
1.93. Закрытый сосуд высотой Л = 10 м с газообразным кислоро-
дом движется ускоренно в вертикальном направлении в гравитацион-
ном поле Земли. Концентрация молекул кислорода в нижней и верх-
ней частях сосуда отличается на 1%. Температура газа I = —73 °С.
Найдите ускорение сосуда в двух случаях движения: а) вверх;
б) вниз.
1.94. Рост 30 мальчиков в возрасте двух лет (в см) равен: 92, 91,
96, 93, 97, 93, 91, 92, 90, 97, 95, 94, 92, 98, 96, 90, 95, 93, 94, 89, 91,
89, 96, 94, 94, 92, 93, 95, 87, 94. Ранжируйте этот ряд в возрастаю-
щем порядке значений и укажите их повторяемость, т. е. частоту или
относительную частоту. Как называют такое статистическое распре-
деление в медицинской литературе? Укажите моду, медиану и сред-
нее арифметическое значение полученного статистического ряда.
1.95. Представьте данные задачи 1.94 в виде непрерывного (интер-
вального) статистического распределения.
1.96. Постройте полигон частот для данных задачи 1.94 и гисто-
грамму частот по данным задачи 1.95.
1.97. Максимальное артериальное давление у 80 детей до пяти лет
(в мм рт. ст.) равно: 101, 103, 98, 96, 105, 99, 100, 95, 105, 102, 90,
101, 105, 100, 105, 98, 102, 104, 106, 96, 100, 102, 105, 100, 106, 105,
103, 100, 108, 100, 105, 103, 100, 102, 98, 100, 105, 99, 110, 108, 109,
105, 100, 96, 100, 103, 110, 105, 107,110,102,108,111,108,98,110,
95, 105, 115, 98, 96, 100, 95, 97, 105, 105, 98, 99, 94, 98, 100, 105,
102, 96, 90, 105, 100, 102, 95, 103. Ранжируйте этот ряд в возрастаю-
щем порядке значений и укажите их относительную частоту. Укажи-
те моду, медиану и среднее арифметическое значение полученного
статистического ряда.
1.98. Представьте данные задачи 1.97 в виде непрерывного (интер-
вального) статистического распределения, затем постройте полигон
частот и гистограмму частот.
1.99. Проведено 100 измерений мембранного потенциала покоя в
мышечной клетке, и данные представлены в виде следующей таблицы:
X, мВ 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
1 2 5 7 27 23 16 10 5 2 2
Представьте данное статистическое распределение в виде интер-
вального ряда, после чего постройте гистограмму.
1.100. Было измерено максимальное артериальное давление у
50 пациентов, пришедших на прием к врачу. Получены следующие
значения (в мм рт. ст.): 120, 140, 120, 130, 90, 140, 130, 120, 100,
150, 120, 110, 130, 110, 90, 110, 130, 140, 150, 140, 120, 110, 120,
140, 130, 150, 110, 140, 120, 110, 130, 150, 120, 100, 150, 130, 130,
110, 140, 100, 130, 110, 140, 120, 130, 140, 140, 130, 100, 130. Пред-
ставьте эти данные в виде дискретного вариационного ряда, рассчи-
тайте среднее арифметическое значение, укажите моду и медиану
статистического ряда.
1.101. Представьте данные задачи 1.100 в виде непрерывного (ин-
тервального) статистического распределения.
1.102. Постройте полигон частот для данных задачи 1.100 и гис-
тограмму частот по данным задачи 1.101.
1.103. В строках этой и предыдущей страницы подсчитайте число
букв «а». Составьте простой статистический ряд, ранжируйте его, по-
лучите вариационный ряд. Укажите моду, медиану и среднее число
букв «а» в одной строке. Постройте полигон частот. Выполните это
задание для других букв.
1.104. При анализе числа случаев заболевания дифтерией среди
детей было получено следующее распределение:
Возраст(лет) 2 4 6 8 10 12 14 16
Число больных ПО 203 180 100 83 70 48 40
Постройте полигон частот данного распределения, найдите сред-
нее значение и моду распределения. Какую числовую характеристи-
ку надо взять для решения вопроса о профилактике данного заболе-
вания в школах или детских садах?
1.105. В группе больных, состоящей из 10 человек, регистрирова-
ли обезболивающее действие лекарственного препарата. Эффектив-
ность его действия оценивали по продолжительности времени дейст-
вия данного препарата (в ч). В таблице представлены полученные
данные:
«Номер» больного 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Время, ч 3.2 1,6 5,7 2,8 5,5 1,2 6.1 2,9 4,3 5,2
Какова эффективность обезболивающего препарата в среднем, ес-
ли доверительную вероятность выбрать равной 0,95?
1.106. При измерениях получены следующие значения некоторых
величин: а) 19, 20, 21; б) 37, 38, 37, 39, 40; в) 3, 2, 3; г) 4, 5, 6, 4. Дай-
те интервальную оценку истинного значения измеряемой величины,
рассматривая полученные значения как малую выборку. Доверитель-
ную вероятность принять равной 0,95 и 0,99.
1.107. При измерениях в однородных группах обследуемых полу-
чены следующие выборки: а) 36,7; 36,9; 36,8 (температура тела в °С);
б) 71, 70, 74 (частота пульса); в) 12, 14, 12 (частота дыхания). Дайте
интервальную оценку среднего значения соответствующей величи-
ны. Доверительную вероятность принять равной 0,95 и 0,98.
1.108. С помощью микроскопа измеряли диаметр эритроцитов че-
ловека. При этом были получены следующие значения: 5, 8, 11,
8 мкм. Дай1 е интервальную оценку размера эритроцита с довери-
тельной вероятностью 0,95.
1.109. При многократных измерениях концентрации одного и то-
го же раствора сахара поляриметром были получены следующие зна-
чения: 15, 14, 13, 15, 14, 14, 15%. Дайте интервальную оценку кон-
центрации данного раствора с доверительной вероятностью 0,95.
1.110. Считая вашу студенческую группу малой выборкой, найди-
те интервальную оценку роста студентов (отдельно по девушкам и
юношам) с доверительной вероятностью 0,95 и 0,99.
1.111. Используя условие предыдущей задачи, определите интер-
вальную оценку частоты пульса.
1.112. Для определения показателя некоторого физиологического
параметра обрабатывают выборочную совокупность, при этом полу-
чают ов = 0,3, е < 0,01. Каким должен быть объем выборки при дове-
рительной вероятности 0,95 и 0,99?
1.113. Какой следует взять объем малой выборки, чтобы при дове-
рительной вероятности 0,95 получить интервальную оценку 70 ± 1,
если среднее квадратичное отклонение ов = 0,54?
1.114. Длительность сердечного цикла (в с) в кардиограммах у
здоровых и больных детей представлена следующими данными:
а) здоровые дети: 0,91, 0,71, 0,73, 0,82, 0,67, 0,89, 0,90, 1,00,
0,77, 0,78, 0,90, 0,68, 0,52, 0,58, 0,59, 0,66, 0,74, 0,54, 0,72, 0,74,
0,74, 0,79, 0,66, 0,84, 0,85, 0,81, 1,00, 0,77, 0,84, 0,74, 0,65, 0,83,
0,78, 0,93, 0,62, 0,69, 0,57, 0,82, 0,65, 0,74, 0,69, 0,80, 0,78, 0,66,
0,74, 0,68, 0,57, 0,75, 0,69, 0,97, 0,83, 0,78, 0,89, 0,75, 0,68, 0,62,
0,68, 0,85, 0,79, 0,75;
б) больные дети: 0,91, 0,86, 0,74, 1,07, 0,79, 0,89, 0,98, 1,16,
0,77, 0,88, 0,84, 0,68, 0,73, 0,91 1,12, 0,72, 1,23, 0,64, 0,98, 1,37,
0,77, 0,79, 0,66, 0,85, 0,85, 0,81, 1,00, 1,05, 0,94, 0,86, 0,75, 1,17,
0,78, 0,93, 0,69, 0,99, 1,07, 0,82, 0,95, 0,74, 0,69, 0,80, 0,78, 0,66,
0,74, 1,08, 0,77, 0,75, 0,69, 0,97, 0,83, 0,78, 1,18, 0,75, 0,63, 0,82,
0,89, 0,85, 0,77, 0,75
Составьте интервальный ряд по каждому из статистических рас-
пределений и постройте гистограммы.
Г ЛАВА
Механика. Акустика.
Биореология
2.1. Вращательное движение.
Законы биомеханики
Связь между линейными и угловыми характеристиками во
вращательном движении
<18, = г(-<1<р, (2.1)
где ц — расстояние (модуль радиуса-вектора) I й точки тела от
оси вращения; <18, — длина траектории (дуги), соответствую-
щей повороту радиуса-вектора на угол <1<р.
Скорость (линейная) 1-й точки
01 = г^, (2.2)
где о — угловая скорость.
Нормальная составляющая ускорения 1-й точки
2
Г; о
аю = у = (2-3)
Тангенциальная (касательная) составляющая ускорения
1-й точки
ан = г1е, (2.4)
где Е — угловое ускорение.
Полное ускорение (линейное) 1-й точки
а, = г1 л/со4 + Е2 . (2.5)
Момент инерции 1-й материальной точки массой т, от
носительно оси вращения
= пцг2^ (2.6)
Момент инерции тела относительно оси вращения
ЬТ
т1г^ или «Г = .1 г2рс1У, (2.7)
V
где интеграл берется по всему объему V тела: — общее число
материальных точек, из которых состоит тело; р — плотность
тела.
Теорема Гюйгенса
= ^^ + тд2, (2.8)
где — момент инерции тела массой т относительно некото-
рой оси; </0 — момент инерции относительно параллельной
оси, проходящей через центр масс тела; с/ — расстояние между
двумя параллельными осями.
Момент инерции различных однородных тел массой т
относительно оси, проходящей через центр масс:
шара радиуса Е
д=2тВ2; (2.9)
цилиндра с внутренним радиусом г и внешним Е (ось вра
щения совпадает с геометрической осью цилиндра)
^±т(г2 + Е2). (2.10)
Л
В частном случае момент инерции:
тонкостенного цилиндра (Е ~ г)
^тВЛ: (2.11)
сплошного цилиндра (г = 0)
Т=\тЕ2: (2.12)
6-1
тонкого стержня длиной I (ось вращения проходит перпен-
дикулярно стержню через его середину)
^±т12. (2.13)
Момент импульса (момент количества движения) мате-
риальной точки
Ь = т1в1Г1. (2.14)
Момент импульса тела
Ы
Ь; = У 7П;У;Г; =е7(0. (2.15)
*- к «• 4-
I = 1
Элементарная работа во вращательном движении
&А = МФр, (2.16)
где М — момент силы, приложенной к телу.
Работа силы при вращательном движении
<р2
А = | МЛц>, (2.17)
<Р1
где углы и <р2 соответствуют начальному и конечному поло-
жениям радиуса-вектора любой точки твердого тела.
Кинетическая энергия вращающего тела
Ек=|ло2. (2.18)
Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой, ско-
ростью со вокруг оси, при поступательном движении оси со
скоростью V
Ек = ±Ф(02 + ±то2. (2.19)
Основное уравнение динамики вращательного движения
(2.20)
или
М = (2.21)
где М — равнодействующий момент сил, приложенных к телу.
Закон сохранения момента импульса
Ь = сопя! при М = 0. (2.22)
Сила, действующая на частицу со стороны окружающей
жидкости, при центрифугировании
Р\ = роУсо2г, (2.23)
где Ро — плотность жидкости, V — объем частицы, со — угловая
скорость вращения, г — расстояние частицы от оси вращения.
Сила, действующая на частицу при ее движении по
окружности,
Р = р^а^г, (2.24)
где рг — плотность вещества частицы. При Р\* Р происходит пе-
ремещение частицы в направлении к оси вращения (при Р^ > Р)
или от оси (при Р± < Р).
2.1. Число оборотов ротора центрифуги достигает п = 2 • 104 об/мин.
После отключения двигателя вращение прекращается через I = 8 мин.
Найдите угловое ускорение и зависимость угла поворота центрифуги от
времени, считая движение равнопеременным. Укажите направления
векторов со и е.
2.2. Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид
<р = А + В1 + Сг3, где А = 2 рад, В = 3 рад/с, С = 1 рад/с3. Найдите:
1) угол <р, угловую скорость со и угловое ускорение Е в моменты време-
ни = 1 с и 12 = 4 с; 2) среднюю угловую скорость со за промежуток
времени = 12 ~ *1-
2.3. Угловая скорость вращающегося тела изменяется по закону
со = Аг + Вг2, где А = 2 рад/с2, В = 3 рад/с3. На какой угол поверну-
лось тело за время от = 1 с до ?2 = 3 с?
2.4. Рассчитайте момент инерции однородного кольца массой
т = 1 кг относительно оси вращения, совпадающей с его осью сим-
метрии. Внутренний радиус кольца = 10 см, внешний радиус
В2 — 30 см.
2.5. Найдите моменты инерции однородного стержня длиной I и
массой т относительно осей вращения, перпендикулярных стержню
и проходящих через его середину и конец. Проверьте на этом приме-
ре выполнение теоремы Гюйгенса.
2.6. Тонкая однородная прямоугольная пластинка (рис. 2.1) мас-
сой т = 0,6 кг имеет размеры: а = 12 см, Ь = 10 см. Определите мо-
менты инерции этой пластинки относительно осей 1—1 и 2—2, про-
ходящих через центр масс пластинки.
2.7. Прямолинейная однородная проволока длиной I и массой т
согнута так, что точка перегиба делит проволоку на две части, длины
которых относятся как 1 : 2. Чему равен момент инерции проволоки
относительно оси вращения, проходящей через точку перегиба и пер-
пендикулярной плоскости проволоки?
2.8. Представляя тело человека в виде цилиндра, радиус которого
В = 20 см, высота й = 1,7 м и масса т = 70 кг, определите момент
инерции человека в положении стоя и лежа относительно вертикаль-
ной оси, проходящей через центр цилиндра (приблизительно через
центр масс человека).
2.9. Определите момент инерции диска относительно оси враще-
ния, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости,
если в диске сделан вырез в виде круга радиусом г = 0,3 м, центр ко-
торого находится на расстоянии I = 0,5 м от центра диска (рис. 2.2).
Масса диска т = 10 кг, радиус В = 1 м.
2.10. Используя условие задачи 2.9, определите момент инерции
диска относительно оси, проходящей через центр выреза.
2.11. Человек с опущенными руками, момент инерции которого
= 1,2 кг • м, стоит в центре легкой вращающейся платформы. Ка-
кой момент силы сообщает человеку угловое ускорение е = 0,3 рад/с2?
Какое угловое ускорение будет иметь человек, если при том же момен-
те силы его руки займут горизонтальное положение, а момент инерции
при этом = 2,5 кг • м2? Массой платформы и трением пренебречь.
2.12. Две гири массой = 3 кг и т2 = 1 кг соединены нитью, пе-
рекинутой через блок. Масса блока М = 2 кг. Найдите силы натяже-
ния и Т2 нитей и ускорение а, с которым движутся гири.
2.13. Два одинаковых маховика были раскручены до частоты вра-
щения п = 480 мин1 и предоставлены самим себе. Под действием
трения валов о подшипники первый маховик остановился через =
= 1 мин 20 с, второй маховик до полной остановки сделал ^т2 = 240 обо-
ротов. Считая, что момент силы трения в обоих случаях постоянен, оп-
ределите, во сколько раз момент сил трения одного маховика больше
другого.
2.14. Диск радиусом В = 0,5 м и массой т = 3 кг вращается вокруг
оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его
центр. Угловая скорость диска изменяется со временем по закону
(0 = 20 + 8г. Найдите касательную силу, приложенную к ободу диска.
Трением пренебречь.
2.15. Стержень массой т = 6 кг и длиной I = 40 см вращается вокруг
оси, проходящей через его середину перпендикулярно длине стержня.
Угол поворота стержня зависит от времени: <р = Зг3 -12 4- 4г + 6. Найдите
закон, по которому изменяется со временем момент сил, действующих
на стержень. Каков момент сил при г = 3 с?
2.16. Диск массой т — 5 кг и радиусом В = 0,4 м вращается с час-
тотой V — 3 Гц. Через г = 20 с после начала торможения диск останав-
ливается. Найдите момент сил торможения.
2.17. Масса руки человека равна тп = 4,2 кг, длина I = 83 см, ее
центр масс расположен на расстоянии г = 34 см от плечевого сустава,
момент инерции руки относительно этого сустава равен Д = 0,3 кг • м2.
Рука свободно, без мышечных усилий «падает» из горизонтального
положения в вертикальное. Найдите кинетическую энергию руки и
линейную скорость нижней части кисти в конце «падения».
2.18. Какую работу нужно совершить, чтобы привести во враще-
ние сплошной однородный вал вокруг оси, совпадающей с его осью
симметрии, с частотой V = 3 Гц? Масса вала т = 30 кг, радиус
В = 0,5 м. Трением пренебречь.
2.19. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхно-
сти и останавливается через г = 7 с. Определите расстояние, которое
проходит шар до остановки, если коэффициент трения Л = 0,3.
2.20. Диск скатывается с наклонной плоскости длиной I = 7,5 м.
Скорость диска в конце наклонной плоскости V = 7 м/с. Определите
угол наклона плоскости.
2.21. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе,
если продолжительность шага равна Дг = 0,5 с? Считать, что работа
затрачивается на ускорение и замедление нижних конечностей. Уг-
ловое перемещение ног около Аф — 30°. Момент инерции нижней ко-
нечности Д = 1,7 кг • м2. Движение ног рассматривать как равнопе-
ременное вращательное.
2.22. Радиус вращения тренировочной центрифуги равен 5 м. Опре-
делите силу, действующую на летчика во время тренировки на такой
центрифуге, если его масса 80 кг, а перегрузка составила 6#? С какой
частотой должна вращаться центрифуга для создания такой перегрузки?
2.23. Какую работу совершает человек, делая за время Т = 1 с одно
полное колебание мизинцем с углом размаха Дф = 60е? Момент инер-
ции мизинца «I = 4 • 10 5 кг • м2. Считать, что работа затрачивается
на ускорение и замедление мизинца, а его движение — равнопере-
менное вращательное.
2.24. Фигурист вращается, делая П] = 6 об/с. Как изменится мо-
мент инерции фигуриста, если он прижмет руки к груди и при этом
частота вращения станет п2 ~ 1® об/с?
2.25. Человек стоит в центре легкой вращающейся платформы
(скамья Жуковского). Момент инерции его относительно оси плат-
формы = 1,5 кг • м2. При раздвижении рук в горизонтальное по-
ложение момент инерции человека возрастает вдвое. Если при этом
в руках человека гантели, то угловая скорость уменьшается в четыре
раза. Найдите массу гантели, если начальное расстояние между ган-
телями /1 = 0,4 м, а конечное /2 = 1,6 м.
2.26. Во сколько раз изменилась кинетическая энергия системы
в предыдущей задаче?
2.27. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой
Ш] = 60 кг. Платформа, представляющая собой круглый однородный
диск массой т2 =120 кг, вращается вокруг вертикальной оси, прохо-
дящей через ее центр, с частотой 0,1 Гц. Сколько оборотов в минуту
будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы
к ее центру? Считать человека материальной точкой.
2.28. Человек массой = 60 кг находится на неподвижной плат-
форме, масса которой тп2 = 80 кг. Найдите частоту вращения платфор-
мы, если человек начнет двигаться по окружности радиусом = 3 м
вокруг оси вращения. Скорость человека относительно платформы
равна о=1 м/с. Радиус платформы И2 = 10 м. Считать платформу од-
нородным диском, а человека — материальной точкой.
2.29. Вентилятор начинает вращаться с постоянным угловым
ускорением Е = 0,3 рад/с2 и через = 15 с после начала вращения
приобретает момент импульса = 30 кг • м2/с. Найдите кинетиче-
скую энергию вентилятора через /2 = 20 с после начала вращения.
2.30. Стержень массой т = 1 кг, длиной I = 50 см может вращать-
ся около оси, проходящей через его середину перпендикулярно
стержню. Пуля массой т1 = 10 г, летящая со скоростью V = 200 м/с
перпендикулярно оси и стержню, попадает в конец стержня и застре-
вает в нем. Найдите частоту вращения стержня.
2.31. Тяжелоатлет поднимает штангу массой т = 150 кг с груди на
вытянутые руки (й = 65 см) в течение АГ = 1,5 с. Какая средняя мощ-
ность при этом развивается?
2.32. Человек прыгает с высоты й = 1 м в одном случае на прямые
ноги, а в другом — сгибая ноги в коленях. Время торможения при со-
прикосновении с опорой соответственно равно 0,1 и 0,5 с. Вычислите
кратность перегрузок, которые при этом возникают, и длительность
состояния невесомости. Сопротивлением воздуха при падении пре-
небречь; считать, что человек в обоих случаях при падении проходит
одно и то же расстояние.
2.33. Центрифуга, используемая для тренировки космонавтов, со-
вершает п = 0,5 об/с при радиусе траектории К = 4 м. Найдите угол а
между вертикалью и направлением отвеса в месте расположения кос-
монавта. Какие перегрузки при этом возникают? Установите зависи-
мость а = /(со).
2.34. Какие перегрузки возникают в центрифуге, вращающейся
вокруг вертикальной оси, при К = 2 м, V = 0,34 Гц?
2.35. Найдите силу, действующую при центрифугировании на яд-
ра клеток печени, диаметр которых 8 мкм (принять ядра за правиль-
ные сферические частицы), плотность ядер 1300 кг/м3, радиус рото-
ра центрифуги 0,05 м, частота вращения ротора 2 кГц.
2.36. Определите угловую скорость вращения ротора ультрацент-
рифуги, в которой под действием силы 43 нН осаждаются лизосомы.
Плотность вещества лизосом 1200 кг/м3, радиус лизосомы 0,7 мкм,
радиус ротора ультрацентрифуги 0,045 м.
2.2. Механические колебания и волны. Звук
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих коле-
баний
й2х 2
У=-«оХ. (2.25)
Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, I —
время,
“0 - Л <2'26)
— круговая частота колебаний, где к — коэффициент квази-
упругой силы (Е = -Ах), возникающей в системе при выходе ее
из положения равновесия.
Решение уравнения (2.25)
х = А сое (соо2 + Фо), (2.27)
где А — амплитуда колебаний, <р = + <Ро — фаза колебаний,
<р0 — начальная фаза колебаний (ф = фо при I = 0), соо — круго-
вая частота колебаний.
Период колебаний'.
математического маятника
Г=2Л=2л/1, (2.28)
®о
где I — длина маятника, § — ускорение свободного падения;
пружинного маятника
Т=2п^, (2.29)
где к — жесткость пружины;
физического маятника
Т = 2лрЦ, (2.30)
где Л — момент инерции физического маятника относительно
оси, проходящей через точку подвеса, I — расстояние между
точкой подвеса и центром массы маятника.
Приведенная длина физического маятника
Скорость материальной точки, совершающей гармониче-
ские колебания,
с1х
V = = -АЫ081П (Ш0/ + Фо) =
= -утах81п (<М + Фо) = утахсо8 («V + Фо + > (2.32)
где птах = Асоо — амплитуда скорости.
Ускорение материальной точки при гармонических коле-
баниях:
а = = -Асйр сов (ш0^ + Фо) =
= ~атахсо8 (“О4 + Фо) = атахСО8 (ю0* + Фо + л)> (2.33)
. 2
где атнх = Ай0 — амплитуда ускорения.
Энергия колеблющейся материальной точки:
кинетическая
кА2
ек=-2~ 81п2(<°0* + фо); (234>
потенциальная
кА2 ч
Е^=-^- соз2 (соо/ + ф0); (2.35)
полная
кА2
Е = ЕК + Еа=^-. (2.36)
Амплитуда сложного колебания
"А = ^А^ + А2 + 2А1А2с°8(Фо2 ~ Фо1) ’ (2.37)
где 7Ц и А2 — амплитуды слагаемых гармонических колеба-
ний; ф01 и ф02 — их начальные фазы.
Начальная фаза сложного колебания
А.31П <рП1 + А,81П фп,
Ф0 = агс1е-/-—* 2---—. (2.38)
° А^соз ф01 + ,Агсо8 ф02
При сложении двух взаимно перпендикулярных колеба
ний, заданных уравнениями
х = А^соз (ш0« + ф01) и у = А2соз (соо< + ф02), (2.39)
получаем периодическое движение материальной точки по
эллиптической траектории. В общем случае уравнение эл-
липса
2 2
7г + 7г “ 2Я" СО8 (ф02 - Ф01) = (Фог - Ф01)- (2.40)
А1 А2 12
Дифференциальное уравнение свободных затухающих ко-
лебаний
й2х . ппбх , 2 _ ....
2 + 2^ (В Ш0 х ~ (2-41)
где Р = — коэффициент затухания, г — коэффициент про-
порциональности между скоростью материальной точки и си-
лой трения, равной
^тр = -го. (2.42)
Решение зависит от знака разности:
со2 = (О2 - р2, (2.43)
где О) — круговая частота затухающих колебаний.
При Юр - Р2 = со2 > О
х = А0е“Р*со8(<1)( + ф0). (2.44)
Период колебаний
Т= — = , 2?= . . (2.45)
(И Г2 р2
7Ш0~ ₽
2 9 9
При соо - Р = со < 0 период становится мнимым, а
процесс — апериодическим.
Амплитуда затухающих колебаний
А = Аое“Р<. (2.46)
Логарифмический декремент затухания
<247>
где А(1) и А(1 + Т) — две последовательные амплитуды колеба-
ний, разделенные интервалом времени, равным периоду.
Связь коэффициента затухания и логарифмического дек-
ремента затухания
Л = рТ. (2.48)
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
~ + 2р^ + со2 х = /Осо8 0)1, (2.49)
Ро
где /о== — , Ро — амплитуда вынуждающей силы.
Смещение материальной точки после установления вы
нужденных колебаний
х = А сов (со* + фо), (2.50)
где А = =% (2.51)
+ 4Р2(1)2
1еФ0 = -^Ц. (2.52)
о - соо
Круговая частота вынужденных колебаний при резонансе
®рез
(2.53)
Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе
ез
Л)
2₽7“о- ₽2
(2.54)
Уравнение плоской упругой волны
8= А сов о
(2.55)
где 8 — смещение колеблющихся точек в волне относительно
их положения равновесия, у — координата положения равно-
весия какой-либо точки, о — скорость распространения волны
(фазовая скорость).
Интенсивность волны (плотность потока энергии)
I = (Йр17,
(2.56)
где (Пр — объемная плотность энергии колебательного движе-
ния, о — скорость волны.
Объемная плотность энергии упругой волны, распростра-
няющейся в веществе,
(0р =
.2 2
рА (00
2
(2.57)
где р — плотность вещества.
Частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем (эф-
фект Доплера):
(2.58)
где ои и ги — скорости наблюдателя и источника упругой вол-
ны относительно среды, о — скорость распространения волны
в этой среде, V — частота испускаемых колебаний. Верхние
знаки в (2.58) соответствуют встречному движению наблюда-
теля и источника, нижние — движению в противоположные
стороны.
Доплеровский сдвиг частоты
(2.59)
где 1>0 — скорость движущегося тела, о — скорость волны
(ультразвука). Формула получена в предположении о г’д-
Связъ интенсивности звука и звукового давления для пло-
ской волны
2
<2-60’
где р — плотность среды, в которой распространяется звук,
о — его скорость.
Бел (Б) — в общем случае единица логарифмической отно-
сительной величины (логарифма отношения двух одноимен-
ных физических величин). Так, например.
ЬБ = , I = 1ОЬб1о , (2.61)
где ЬБ — выраженный в белах уровень интенсивности I звука
относительно 10, принятого за начальный уровень шкалы, или
в децибелах (дБ):
Г ЬпЕЮ
БдВ = 101е/-,1= 10 дБ 10. (2.62)
•'о
Из (2.60) и (2.61) следует, что
Г 2
= =21^г- (2-63)
Ро р°
Считают, что шкалы громкости (Е) и уровня интенсивнос-
ти звука (Г) совпадают на частоте 1 кГц:
ЕБ = ЕБ = 1ёд (2.64)
или в фонах
Бф = БдБ = 101е^. (2.65)
Рис. 2.3
Соответствие между интенсивностью и громкостью звука на
разных частотах можно найти по кривым равной громкости
(рис. 2.3).
Коэффициент проникновения звука Р при переходе из од-
ной среды в другую определяется по формуле Рэлея:
Р = 4--—Р1/Гг-----2 , (2.66)
(^1Р1/(г2р2)+ 1)
где и 1>2 — скорости звука в соответствующих средах, рх и
Р2 — величины плотностей сред, ь’хР! и ^гР2 — волновое сопро-
тивление сред.
Коэффициент отражения звука г при переходе из одной
среды в другую:
Г = [(^2Р2 - У1Р1)/(У2Р2 + у1Р1)12- (2.67)
2.37. Напишите уравнение гармонического колебания, если амп-
литуда ускорения атах = 50 см/с2, частота колебания V = 0,5 Гц, сме-
щение точки от положения равновесия в начальный момент времени
хд = 25 мм. Найдите амплитуду скорости.
2.38. Напишите уравнение гармонического колебания, если амп-
литуда скорости ошах = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение
точки от положения равновесия в начальный момент времени равно
нулю. Найдите амплитуду ускорения, частоту колебаний.
2.39. Маятник совершает гармонические колебания. Через какое
время он при первом колебании отклонится от положения равнове-
сия на расстояние, равное 1 /2 амплитуды, если период колебания Т =
= 4 с, начальная фаза <р0 = л/2?
2.40. Материальная точка массой т = 2 г совершает гармони-
ческие колебания. В некоторый момент времени смещение точки
х — 5 см, скорость V = 20 см/с, ускорение а = 80 см/с". Найдите кру-
говую частоту, период, фазу колебания в заданный момент времени,
а также амплитуду и полную энергию колеблющейся точки.
2.41. Начальная фаза колебаний точки равна нулю, период коле-
бания Т = 1 с. Определите ближайшие моменты времени, в которые
смещение, скорость и ускорение вдвое меньше амплитудных значе-
ний.
2.42. Материальная точка массой т — 5 г колеблется согласно
уравнению х = 10 сон(2/ + <р0). Найдите максимальную силу, дейст-
вующую на точку, и полную энергию.
2.43. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний име-
й2х
ет вид 0,2—+ 0,8х = 0. Найдите период и частоту этих колебаний.
с1/
2.44. Пружина, к которой подвешено тело, растянулась на 4 см.
Определите частоту колебаний пружинного маятника.
2.45. Тело массой т = 5 кг совершает гармонические колебания
с амплитудой А — 4 см. Найдите период колебаний, если максималь-
ная кинетическая энергия колеблющегося тела Етах = 0,98 Дж.
2.46. Сплошной цилиндр высотой Л = 32 см плавает в вертикаль-
2 гч
ном положении в жидкости, на х погрузившись в нее. Определите
О
период его вертикальных колебаний около положения равновесия.
2.47. Ареометр массой т = 50 г, имеющий в верхней части ци-
линдрическую трубку диаметром Л=1 см, плавает в воде. Определи-
те частоту свободных вертикальных колебаний ареометра около его
положения равновесия.
2.48. Длина столба ртути в сообщающихся трубках манометра
равна I = 50 см. Определите период собственных колебаний ртути
в манометре.
2.49. Груз массой т = 200 г подвешен к пружине с коэффициен-
том упругости к — 9,8 Н/м. Найдите длину математического маятни-
ка, имеющего такой же период колебаний, как данный пружинный
маятник.
2.50. Груз массой т = 0,3 кг, подвешенный к пружине, растягива-
ет ее на Лх = 2,2 см. Определите кинетическую и потенциальную
энергии груза через Д* = 3 с после начала колебаний, если в началь-
ный момент груз оттянут на х^ = 5 см из положения равновесия и за-
тем предоставлен самому себе.
2.51. Полная энергия тела массой т = 1 кг, совершающего гармони-
ческие колебания, Е = 1 Дж, максимальная возвращающая сила, дей-
ствующая на тело, равна Гшах = 0,1 Н. Напишите дифференциальное
уравнение колебаний и его решение, если начальная фаза <р0 = 45".
2.52. Уравнение колебаний материальной точки массой т = 16 г
имеет вид х = 2зт( лг/8 + л/4) [х в см]. Определите кинетическую,
потенциальную и полную энергии точки через Л< = 2 с после начала
колебаний.
2.53. На идеально гладком горизонтальном столе (рис. 2.4) лежит
шар массой М, прикрепленный к вертикальной стойке пружиной с
коэффициентом упругости к. Пуля массой т летит со скоростью о,
попадает в шар и застревает в нем. Определите амплитуду возникших
колебаний и период, а также максимальные значения скорости и
ускорения.
2.54. Физическим маятником называют твердое тело, способное
колебаться относительно положения равновесия. Получите диффе-
ренциальное уравнение, описывающее малые колебания физического
маятника.
2.55. Определите момент инерции физиче-
ского маятника (см. задачу 2.54) массой т =
= 20 кг, если он совершает колебания с пери-
одом Т = 3,14 с, а расстояние от точки подвеса
до центра массы I = 1 м (рис. 2.5).
2.56. Приведенной длиной физического маятника называется
длина такого математического маятника, период колебаний которого
одинаков с периодом физического маятника. Определите частоту соб-
ственных колебаний ноги человека, рассматривая ее как физический
маятник с приведенной длиной I = 40 см.
2.57. Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями:
XI = 3 соз(57 + 0,04л), Х2 = 5 соз(57 + 0,14л).
Запишите уравнение результирующего колебания.
2.58. Разложите гармоническое колебание, совершающееся по за-
кону х = 10 соз (61 -I- 0,2л), на два гармонических колебания той же
частоты и того же направления так, чтобы начальные фазы этих ко-
лебаний были равны «Рох = 0,1л и ф02 = 0,5л соответственно.
2.59. Два одинаково направленных гармонических колебания с
одинаковой частотой и амплитудами = 3 см и А2 = 5 см складыва-
ются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Найди-
те разность фаз складываемых колебаний.
2.60. На горизонтальный и вертикальный входы осциллографа по-
дают соответственно напряжения 17^ = 2 зш 57 и С/2 = 2 зш (57 + а).
Определите уравнение траектории, которая описывается электрон-
ным лучом на экране осциллографа при: а) а = I о) а — л.
2.61. В электронной трубке смещение пучка электронов пропор-
ционально напряжению на отклоняющих пластинах. Найдите урав-
нение кривой, описываемой электронным лучом на экране трубки,
если на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины пода-
ны соответственно напряжения: = 2 зш 57, С/2 — 2 соз 57.
2.62. На горизонтально и вертикально отклоняющие пластины ос-
циллографа подаются соответственно напряжения: = 3 зт 27,
Ъг2 — 5 зш 27. Определите уравнение траектории, описываемой элек-
тронным лучом на экране осциллографа.
2.63. Математический маятник длиной I = 50 см, выведенный
из положения равновесия, отклонился при первом колебании на
= 5 см, а при втором (в ту же сторону) — на х2 = 4 см. Найдите ло-
гарифмический декремент затухания и время релаксации (время
убывания амплитуды в е раз) для этих колебаний.
2.64. За Л7 = 10 с амплитуда колебаний уменьшилась в е раз.
Найдите коэффициент затухания этих колебаний.
2.65. Логарифмический декремент затухания камертона, колеблю-
щегося с частотой V = 100 Гц, равен А. = 0,002. Через какой промежуток
времени амплитуда колебаний камертона уменьшится в 100 раз?
2.66. Логарифмический декремент затухания маятника равен
А = 0,02. Во сколько раз уменьшится амплитуда после пятидесяти
полных колебаний?
2.67. Через время А/ = 10 с амплитуда колебаний маятника уменьши-
лась в три раза. Через сколько времени она уменьшится в десять раз?
2.68. Амплитуда колебаний маятника уменьшается в десять раз за
сто полных колебаний. Определите логарифмический декремент за-
тухания. Через сколько колебаний амплитуда маятника уменьши-
лась в е раз?
2.69. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет
й2х йх
вид 0,5—= + 0,25з~ + 8х = 0. Определите коэффициент затухания
АГ
и круговую частоту этих колебаний.
2.70. Амплитуда затухающих колебаний убывает за десять колеба-
ний на часть своей первоначальной величины. Период колебаний
Т = 0,4 с. Определите логарифмический декремент и коэффициент за-
тухания. Напишите дифференциальное уравнение этих колебаний.
2.71. К пружине подвешено тело, которое растягивает ее на Дх = 5 см.
Напишите дифференциальное уравнение колебаний пружинного ма-
ятника и его решение при начальной амплитуде Ад = 10 см, если че-
рез время Д/ = 5 с амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
2.72. Стальной шарик диаметром Г) = 23 см прикреплен к пружи-
не. Круговая частота его колебаний в воздухе шв = 5 с-1, в глицерине
<ог = 4 с-1. Определите вязкость глицерина в условиях опыта. Счи-
тать, что на шарик радиуса К в глицерине действует сила трения
Г-гр = 6тгг]/?о (закон Стокса), где Т] — вязкость глицерина. Вязкостью
воздуха и сопротивлением пружины в глицерине пренебречь.
2.73. Вынужденные колебания описываются дифференциальным
уравнением
.2 ,
0,45-4 + 0,48 Г; + 1,6х = 0,8 ял 31.
й12 <к
Найдите частоту этих вынужденных колебаний. Чему равна час-
тота собственных колебаний системы? При какой частоте внешней
силы будет наблюдаться резонанс?
2.74. Через какое время после прекращения действия вынуждаю-
щей силы для условия задачи 2.73 амплитуда колебаний уменьшится
в е раз?
2.75. Определите частоту собственных колебаний системы, если
при уменьшении коэффициента затухания колебаний в два раза резо-
нансная частота изменяется от сорез1 = 3,88 с’1 до шрез2 = 3,97 с 1.
2.76. Груз массой т = 2,5 кг, подвешенный к пружине с жестко-
стью к — 3,6 • 102 Н/м, совершает вынужденные колебания под дей-
ствием внешней силы Р = 13,5 8Ш 61. Найдите амплитуду вынужден-
ных колебаний груза. Трением пренебречь.
2.77. Источник звука совершает колебания по закону х =
= 8Ш 2000т#. Скорость распространения звука 340 м/с. Запишите урав-
нение колебаний для точки, находящейся на расстоянии у = 102 м от
источника. Потерями энергии пренебречь, волну считать плоской.
2.78. Найдите разность фаз колебаний двух точек, лежащих на лу-
че и отстоящих на расстоянии Ду = 1,75 м друг от друга, если длина
волны Л = 1 м.
2.79. Какова частота колебаний, если наименьшее расстояние
между точками, колеблющимися в одинаковых фазах, равно Ду =
= 1 м? Скорость распространения волн V = 300 м/с.
2.80. Точка, находящаяся на расстоянии у = 0,5 м от источника
колебаний, имеет в момент I — Т/3 смещение, равное половине амп-
литуды. Найдите длину волны, если при I = 0 смещение источника
равно нулю.
2.81. Источник совершает колебания по закону х = 5 аш 3140Т.
Определите смещение от положения равновесия, скорость и ускоре-
ние точки, находящейся на расстоянии у — 340 м от источника, через
время Д^ = 1 с после начала колебания. Скорость распространения
волны V = 340 м/с.
2.82. Две точки лежат на прямой, вдоль которой распространяет-
ся волна со скоростью V = 50 м/с. Период колебаний Т = 0,05 с, рас-
стояние между точками Ду = 50 см. Найдите разность фаз колебаний
в этих точках.
2.83. Определите разность фаз в пульсовой волне между двумя
точками артерии, расположенными на расстоянии Ду = 20 см друг от
друга. Скорость пульсовой волны считать равной V = 10 м/с, а коле-
бания сердца — гармоническими с частотой V = 1,2 Гц.
2.84. Разность хода звуковых волн, приходящих в левое и правое
ухо человека, составляет 1 см. Определите сдвиг фаз между обоими
звуковыми ощущениями для тона с частотой V = 1000 Гц.
2.85. Интенсивность плоской волны в воздухе равна I = 10"10 Вт/м2.
Найдите амплитуду колебаний частиц (молекул) воздуха при нормаль-
ных условиях и объемную плотность энергии колебательного движения
для частот: = 20 Гц, У2 = 1000 Гц, у3 = 20 000 Гц. Скорость звука в воз-
духе V — 330 м/с.
2.86. Известно, что человеческое ухо воспринимает упругие волны
в интервале частот от V! = 20 Гц до У2 - 20 кГц. Каким длинам волн
соответствует этот интервал в воздухе? в воде? Скорости звука в воз-
духе и воде равны соответственно = 340 м/с и о2 = 1400 м/с.
2.87. Изучение движения барабанной перепонки показало, что
скорость колебания ее участков оказывается величиной одного по-
рядка со скоростью смещения молекул воздуха при распространении
плоской волны. Исходя из этого, вычислите приближенно амплитуду
колебания участков барабанной перепонки для двух случаев: а) порог
слышимости; б) порог болевого ощущения. Частота V = 1 кГц.
2.88. Определите среднюю силу, действующую на барабанную пе-
репонку человека (площадь 8 = 66 мм2) для двух случаев: а) порог
слышимости; б) порог болевого ощущения. Частота V = 1 кГц.
2.89. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями
= 20 м/с и о2 = 10 м/с. Первая машина дает сигнал с частотой
У1 = 800 Гц. Какой частоты сигнал услышит водитель второй маши-
ны: а) до встречи машин; б) после встречи машин?
2.90. Одинаковой ли высоты будет звук в случаях: а) источник
звука движется навстречу неподвижному наблюдателю со скоростью
щ = 40 м/с; б) наблюдатель движется навстречу неподвижному ис-
точнику с той же скоростью? Частота источника звука V = 600 Гц.
2.91. На сколько увеличилась громкость звука, если интенсив-
ность звука увеличилась от порога слышимости в 1000 раз. Задачу
решите для звука частотой: а) 100 Гц; б) 1 кГц. Для решения восполь-
зоваться кривыми равной громкости.
2.92. Два звука одинаковой частоты V = 1 кГц отличаются по гром-
кости на ДЕ = 20 фон. Во сколько раз отличаются их интенсивности?
2.93. Два звука одинаковой частоты отличаются по интенсивности
на ДЕ = 30 дБ. Найдите отношение амплитуд звукового давления.
2.94. По условиям некоторого производства определен допусти-
мый предел уровня шума Е — 70 фон. Определите максимально до-
пустимую интенсивность звука. Условно считать, что шум соответст-
вует звуку частотой V = 1 кГц.
2.95. Разрыв барабанной перепонки наступает при уровне интен-
сивности звука Ьо = 150 дБ. Определите интенсивность, амплитудное
значение звукового давления и амплитуду смещения частиц в волне
для звука частотой V = 1 кГц, при которых может наступить разрыв
барабанной перепонки.
2.96. Нормальный разговор человека оценивается уровнем громкос-
ти звука Ег = 50 фон (для частоты V = 1 кГц). Определите уровень гром-
кости звука, соответствующего трем одновременно говорящим людям.
2.97. Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкос-
ти звука Е1 = 70 фон, крику Е2 = 80 фон. Какой будет уровень гром-
кости звука, полученного в результате сложения крика и шума ули-
цы? Считать частоту равной V = 1 кГц.
2.98. Два звука частотой V = 1000 Гц отличаются по громкости на
1 фон. Во сколько раз отличаются их интенсивности?
2.99. Шум на улице, которому соответствует уровень интенсивнос-
ти звука = 50 дБ, слышен в комнате так, как шум Ь2 = 30 дБ. Най-
дите отношение интенсивностей звука на улице и в комнате.
2.100. Уровень громкости звука частотой V = 5000 Гц равен
Е = 50 фон. Найдите интенсивность этого звука.
2.101. Уровни интенсивности звуков с частотами V; = 100 Гц и У2 =
= 3000 Гц равны Ь = 50 дБ. Определите уровни громкости этих звуков.
2.102. Звук частотой V = 200 Гц проходит некоторое расстояние
в поглощающей среде. Интенсивность звука при этом уменьшается
с 1г = 10-4 Вт/м2 до 12 = 10-8 Вт/м2. На сколько при этом уменьшит-
ся уровень громкости?
2.103. Определите интенсивности звуков с частотами = 100 Гц,
у2 = 500 Гц и Уд = 1000 Гц, если уровень громкости звуков одинаков и
равен Е = 40 фон.
2.104. Доплеровский сдвиг частоты при отражении механической
волны от движущихся эритроцитов равен 50 Гц, частота генератора
равна 100 кГц. Определите скорость движения крови в кровеносном
сосуде.
2.105. Используя эффект Доплера, определяют скорость движе-
ния слоев крови в зависимости от их удаления от оси крупного крове-
носного сосуда: V — /](г). Допустим, что эта зависимость соответству-
ет расчетной для течения вязкой жидкости по цилиндрической трубе.
Какой вид при этом условии имеет график зависимости уд = /2(г)» гДе
Уц — доплеровский сдвиг частоты?
2.106. Источник ультразвука создает в воздухе волну длиной
4,4 мкм. Как изменится длина волны при переходе ультразвука в во-
ду, если принять скорость распространения ультразвука в воде рав-
ной 1500 м/с, а в воздухе 330 м/с?
2.107. Сравните длины волн в воздухе для ультразвука частотой
1 МГц и звука частотой 1 кГц. Чем определяется нижняя граница
длин волн ультразвука в среде?
2.108. Маятниковые часы идут верно при некоторой длине маят-
ника. Что произойдет, если маятник удлинить на 1 см?
2.109. Два колебания направлены вдоль одной прямой и имеют
одинаковый период, равный 10 с. Амплитуды колебаний также оди-
наковы и равны 0,01 м. Разность фаз колебаний составляет 45°, на-
чальная фаза одного из колебаний равна нулю. Напишите уравнение
результирующего колебания.
2.110. Оцените размеры преграды, при которой дифракция су-
щественна, для следующих механических волн: а) мужской голос
(V = 200 Гц, в воздухе); б) нижняя граница ультразвука (у = 20 кГц,
в воде); в) ультразвук, используемый для диагностики (V = 800 кГц,
вводе). Скорость распространения механической волны в воздухе
330 м/с, в воде (мягких тканях) 1500 м/с.
2.111. Определите разность фаз двух точек волны, отстоящих друг
от друга на расстояние 20 см. Скорость волны 4 м/с при частоте 5 Гц.
2.112. В физиотерапии используется ультразвук частотой 800 кГц
и интенсивностью 1 Вт/м2. Найдите амплитуду колебаний молекул
при воздействии таким ультразвуком на мягкие ткани (воду).
2.113. Найдите коэффициент отражения ультразвуковой волны от
поверхности раздела мягкая ткань—воздух. Учесть, что волновое со-
противление мягких тканей в 3000 раз больше, чем воздуха.
2.114. Определите коэффициент затухания колебаний аналитиче-
ских весов, если известно, что за 10 с амплитуда уменьшилась в 20 раз.
2.115. Определите плотность мышечной ткани, если ее волновое
сопротивление равно 1,6 • 106 кг/(м2 • с), а скорость распространения
ультразвука в ткани составляет 1500 м/с.
2.116. Разность фаз звуковых волн с частотой 1 кГц, приходящих
от одного источника к разным ушам, равна 0,2 рад. Определите раз-
ность хода волн, приходящих в правое и левое ухо человека.
2.117. Найдите интенсивность ультразвуковой волны в мышце на
расстоянии 4 см, если глубина половинного поглощения равна 2 см,
интенсивность волны на поверхности воздух—кожа равна 1,5 Вт/м2,
а в ткань проходит лишь 75% энергии волны.
2.118. Какова интенсивность ультразвуковой волны на расстоянии
2 см от поверхности тела, если амплитудное значение давления соста-
вило 2,06 • 105 Па? Плотность ткани принять равной 1060 кг/м3, а ко-
эффициент поглощения считать равным 0,2 • 10'2 м Ч
2.119. Уровень интенсивности сердечных тонов, воспринимаемых
с помощью стетоскопа, равен 10 дБ. Чему равна интенсивность тонов
сердца?
2.120. Человек с нормальным слухом способен ощущать различие
в громкости звуков в 1 фон. Во сколько раз изменяется при этом ин-
тенсивность звука частотой 1 кГц?
2.121. Известно, что кошки воспринимают звуки, создающие дав-
ление, сравнимое с давлением броуновского движения молекул воз-
духа при комнатной температуре (10 6 Па). Какому уровню интен-
сивности соответствуют эти звуки? Сравните их с порогом слышимос-
ти для человека с нормальным слухом.
2.122. Громкость звука частотой 1 кГц уменьшилась на 30 фон
при прохождении через тонкую фанерную перегородку. Какой стала
интенсивность звука, если до прохождения перегородки она состав-
ляла 10 8 Вт/м2?
2.123. Сложный звук состоит из основного и двух обертонов. Амп-
литуды компонент гармонического спектра соотносятся между собой
как 5:2:3. Чему равны интенсивности обертонов, если интенсив-
ность основного тона равна 10~10 Вт/м2?
2.124. Система косточек среднего уха человека работает как рычаг
с выигрышем в силе со стороны внутреннего уха в 1,3 раза. Во сколь-
ко раз среднее ухо увеличивает передачу наружного звукового давле-
ния внутреннему уху, если площадь барабанной перепонки равна
64 мм2, а площадь овального окна 3 мм2?
2.125. Как изменяется скорость движения эритроцитов в крове-
носном русле у пациентов со сфероцитозом, если доплеровский сдвиг
частоты в 1,3 раза меньше по сравнению с нормой?
2.126. Усредненный коэффициент затухания тела взрослого чело-
века равен 0,3. Частота собственных колебаний тела в положении ле-
жа составляет 3,5 Гц, а в положении стоя — около 8 Гц. Во сколько
раз изменится резонансная частота тела человека в разных положе-
ниях при воздействии инфразвука?
2.127. Плотность здоровой мышечной ткани составляет 1060 кг/м3.
Ее волновое сопротивление равно 1,63 • 106 кг/(м2 • с). При исследова-
нии ультразвуком отраженный сигнал был принят через 2 • 10-5 с пос-
ле излучения. На какой глубине в мышечной ткани была обнаружена
неоднородность?
2.128. Оцените верхнюю границу (частоту) ультразвука в воздухе,
если скорость его распространения равна 330 м/с. Считать, что моле-
кулы воздуха имеют размер порядка 1О~10 м.
2.129. Покажите, что заполнение пространства между ультразвуко-
вой головкой и кожей человека маслом способствует эффективному
прохождению ультразвука в биологические ткани (воду). Даны соот-
ветствующие плотности для масла, воздуха и воды: рг = 800 кг/м3,
р2 — 1,3 кг/м3, Рз = 1000 кг/м3, скорость распространения ультразвука
в соответствующих средах = 1500 м/с, г2 = 330 м/с, 1>з = 1500 м/с.
2.3. Течение жидкости. Биореология
Уравнение Бернулли для точек идеальной жидкости, при-
надлежащих одной линии тока,
2
Дет + + РДЛ = сопе1, (2.68)
где рст — статическое, рп2/2 =рд — динамическое и рдй — гид-
ростатическое давление, р — плотность жидкости, о — ее ско-
рость, Н — высота соответствующей точки жидкости относи-
тельно некоторого уровня (например, уровня Земли).
Сила внутреннего трения, действующая между слоями
жидкости площадью 5 (уравнение Ньютона),
= (2.69)
6г
где Т] — вязкость, — градиент скорости.
Объем жидкости, переносимый за 1 с через сечение ци-
линдрической трубы радиуса В (формула Пуазейля):
= пЛ4Р1 ~Рг (2.70)
8г) I ' '
через переменное сечение
(2.71) 8г| 61 '
где I — длина участка трубы, на концах которого поддержива-
ется разность давлений (р^ - Р2).
Гидравлическое сопротивление
(2.72)
лК4
Сила внутреннего трения, действующая на движущееся
в жидкости сферическое тело (шарик) радиуса г (закон
Стокса): Ггр = б7и]го, (2.73)
где о — скорость шарика.
Скорость равномерного падения шарика в вязкой жидкости
, ч 2 2<Р~Рж)ге 9 Т]
где р и рж — плотности материала, из которого сделан шарик,
и жидкости соответственно.
Число Рейнольдса для трубы диаметра Б
где о — скорость жидкости, V = Т)/рж — кинематическая вяз-
кость. Для гладких цилиндрических труб критическое число
Рейнольдса приблизительно равно 2300.
Дополнительное давление под сферической поверхностью
жидкости
Лр=~, (2.76)
где о — поверхностное натяжение жидкости, г — радиус сфе-
рической поверхности.
Высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре
= 2стсо8 6 2
где 6 — краевой угол, В — радиус капилляра, рж — плотность
жидкости.
Закон Гука
о = еЕ, (2.78)
где су — механическое напряжение, 8 — относительная дефор-
мация, Е — модуль упругости (модуль Юнга).
Для вязкого элемента
8Т| = <51, (2.79)
где Т] — вязкость, I — время действия деформирующей силы.
При параллельном соединении упругого и вязкого элемен-
тов (модель Кельвина—Фойгта)
8 = % (1-е~Е{/г1). (2.80)
Л
Механическое напряжение стенки кровеносного сосуда
о = р^, (2.81)
где г — радиус просвета сосуда, й — толщина стенки сосуда.
Скорость распространения пульсовой волны в крупных со
судах
<2-82»
где р — плотность крови.
Связь объемной и линейной окр скоростей кровотока в
сосуде
Я = Укр5, (2.83)
где 8 — площадь просвета сосуда.
Работа, которая совершается левым желудочком сердца
при каждом сокращении,
2
А = У0(р + Ру), (2.84)
где р — среднее давление, под которым кровь выбрасывается в
аорту; р — плотность крови; Ио — ударный объем; V — ско-
рость движения крови.
2.130. Скорость течения воды в некотором сечении горизонталь-
ной трубы V = 5 см/с. Найдите скорость течения в той части трубы,
которая имеет: а) вдвое меньший диаметр; б) вдвое меньшую пло-
щадь поперечного сечения.
2.131. Наблюдая под микроскопом движение эритроцитов в ка-
пилляре, можно измерить скорость течения крови (окр = 0,5 мм/с).
Средняя скорость тока крови в аорте составляет на = 40 см/с. На осно-
вании этих данных определите, во сколько раз сумма поперечных се-
чений всех функционирующих капилляров больше сечения аорты.
2.132. Из горизонтально расположенного медицинского шприца
диаметром 1,5 см выдавливается физиологический раствор силой
Р = 10 Н. Найдите скорость вытекания жидкости из иглы шприца.
Плотность физиологического раствора р = 1,03 г/см3. Сечение по-
ршня значительно больше сечения иглы. Почему скорость вытека-
ния раствора не зависит от сечения иглы?
2.133. Скорость течения воды во всех сечениях наклонной трубы
одинакова. Найдите разность давлений Др в двух точках, высоты ко
торых над уровнем Земли различаются на Л/г = 0,5 м. Чему равно Др,
если система: а) находится в состоянии невесомости; б) испытывает
трехкратные перегрузки?
2.134. В широкой части горизонтальной трубы вода течет со ско-
ростью V = 50 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части
трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях Др =
= 1,33 кПа.
2.135. Трубка Пито (рис. 2.6, а) позволяет по высоте столба жид-
кости измерять полное давление р. Статическое давление р; в движу-
щейся жидкости измеряется трубкой, нижнее сечение которой па-
раллельно линиям тока (рис. 2.6, б). Вычислите скорость течения
керосина, если известно, что р = 13,3 кПа, р1 = 2,66 кПа.
2.136. Из небольшого отверстия в дне широкого сосуда вытекает
жидкость. Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что
высота жидкости в сосуде Л = 1 м. Объясните, почему решение задачи
не зависит от свойств вытекающей жидкости.
2.137. По горизонтальной трубке переменного сечения протекает
вода. Статическое давление в точке х0 равно р0 — 0,3 Па, а скорость
воды 1>о = 4 см/с. Найдите статическое и динамическое давления в
точке X], если отношение сечений трубы ,8 : 8 =0,5.
Х() х1
2.138. Цилиндрическая труба переходит в конус (рис. 2.7). По
этой системе протекает вода в направлении оси х. Считая воду иде-
альной жидкостью, получите зависимость р = /\х) и изобразите ее
графически. Гидростатическое давление не учитывать.
2.139. Используя условие задачи 2.138, рассчитайте зависимость
р = /(х) и изобразите ее графически. Жидкость вязкая.
2.140. Сопоставьте формулы для электрического К =
р/
и гидрав-
О
V 8Т1* - V С
лического X — —т сопротивлении. Укажите и проанализируйте об-
пг‘
щее и различное в этих формулах.
2.141. Вычислите силу, действующую на 8 = 2м2 дна русла, если
по нему перемещается поток воды высотой й = 2 м. Скорость верхнего
слоя воды V = 30 см/с, скорость нижних слоев постепенно уменьшает-
ся и равна нулю у дна.
2.142. В цилиндрическом стакане (высота к = 10 см, внутренний
диаметр .0=5 см) вращается вода. Градиент скорости воды вблизи
поверхности стакана равен “ = 2 с-1. Найдите момент силы, дейст-
вующей со стороны жидкости на стакан. Считать, что вода заполняет
весь стакан и сохраняет форму цилиндра.
2.143. Используя закон Стокса, определите, в течение какого вре-
мени в комнате высотой к = 3 м полностью выпадет пыль. Частицы
пыли считать шарообразными диаметром 1 мкм с плотностью веще-
ства р = 2,5 г/см3.
2.144. Найдите скорость и время полного оседания сферических
частиц радиусом г = 2 мкм (плотность вещества р = 2,5 г/см3) в слое
воды толщиной I ~ 3 см в двух случаях: а) при действии силы тяже-
сти; б) при центрифугировании с п = 500 с-1 (в этом случае действием
силы тяжести пренебречь). Радиус центрифуги К = 10 см.
2.145. Определите максимальное количество крови, которое мо-
жет пройти через аорту в 1 с, чтобы течение сохранялось ламинар-
ным. Диаметр аорты 0=2 см, вязкость крови Г) = 5 мПа • с.
2.146. Какой диаметр имеет перетяжка при отрыве капли дистил-
лированной воды массой т = 50 мг?
2.147. В ряде случаев лекарство дозируют каплями. На сколько
процентов изменится доза водного раствора лекарства при изменении
температуры от = 25 °С до 12 = Ю °С? Этим температурам соответст-
вуют поверхностные натяжения 01 = 71,78 мН/м иа2= 74,01 мН/м.
2.148. Вычислите дополнительное давление, обусловленное по-
верхностным натяжением в сферической капле тумана. Диаметр ее
равен 3 мкм.
2.149. Разность уровней ртути в сообщающихся стеклянном ка-
пилляре и широком сосуде равна Дй = 7,4 мм. Определите радиус
кривизны мениска ртути.
2.150. В горизонтально расположенный капилляр набирают
0,3 мл крови, так что длина столбика составляет 12 см. Сколько кро-
ви останется в капилляре, если его поставить вертикально? Учесть,
что верхний конец капилляра остается открытым.
2.151. В каких сосудах системы кровообращения (крупных или
мелких) существует большая вероятность перехода ламинарного те-
чения крови в турбулентное?
2.152. Определите среднюю линейную скорость кровотока в сосуде
радиуса 1,5 см, если во время систолы через него протекает 60 мл
крови. Считать длительность систолы равной 0,25 с.
2.153. Во сколько раз линейная скорость кровотока (см. задачу 2.152)
меньше критической, если число Рейнольдса принять равным 1160?
2.154. Почему при порезе пальца кровь вытекает из раны равно-
мерной струей?
2.155. Скорость течения воды в некотором сечении горизонталь-
ной трубы равна 5 см/с. Найдите скорость течения в той части трубы,
которая имеет вдвое меньший диаметр.
2.156. Определите работу, совершаемую сердцем при сокращении
левого желудочка, если в аорту со скоростью 0,5 м/с выбрасывается
60 мл крови против давления 13 кПа.
2.157. Найдите кинетическую энергию объема крови, протекаю-
щего за одну минуту со скоростью 0,4 м/с через артерию диаметром
3 мм.
2.158. Во сколько раз меняется модуль упругости стенки аорты
при атеросклерозе, если известно, что скорость пульсовой волны воз-
росла в три раза?
2.159. Через цилиндрическую трубку длиной 50 см и внутренним
диаметром 1 см пропускают воздух с объемным расходом 10 л/мин.
Найдите изменение давления в трубке. Температура равна 20 °С.
2.160. Найдите мощность, развиваемую сердцем человека при со-
кращении длительностью 0,3 с. Ударный объем крови равен 60 мл,
скорость крови в аорте 0,5 м/с. Среднее давление, при котором кровь
выбрасывается в аорту левым желудочком, равно 13,3 кПа. Учесть,
что работа правого желудочка составляет 20% работы левого.
2.161. Во сколько раз меняется скорость оседания эритроцитов у
людей, больных сфероцитозом, по сравнению с нормой, если средний
радиус эритроцита при этом заболевании возрастает в 1,5 раза?
2.162. Определите относительное удлинение скелетной мышцы,
моделируемой телом Кельвина—-Фойгта, за 3 мин, если модуль упру-
гости мышцы 1,2 МПа, площадь поперечного сечения 0,8 • 10 6 м2,
а нагрузка на мышцу 6,3 Н. Вязкость вещества мышцы принять рав-
ной 1,25 г/(см • с).
2.163. Определите эффективный модуль упругости портняжной
мышцы лягушки, если при возрастании приложенного к мышце на-
пряжения от 10 кПа до 40 кПа длина ее увеличивалась от 0,032 м
до 0,034 м.
2.164. Рассчитайте относительное удлинение скелетной мышцы,
предполагая, что ее механические свойства можно описать моделью
чисто вязкостного элемента. Условия взять из задачи 2.162.
2.165. Как изменится модуль упругости бедренной кости человека,
если при напряжении 5 Па относительная деформация составляет
0,025, а при увеличении напряжения до 11 Па она стала равной 0,055?
2.166. Определите давление в стенке капилляра диаметром
20 мкм, если толщина стенки сосуда 2 мкм, а тангенциальное напря-
жение в стенке 8 • 10 5 Па.
2.167. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда
длиной 0,12 м и радиусом 0,1 мм?
2.168. Чему равен эффективный модуль упругости стенки грудной
аорты, если отношение радиуса просвета сосуда к толщине его стенки
равно 5? Известно, что при изменении давления внутри аорты от
13,3 до 16 кПа площадь поперечного сечения сосуда увеличивается с
6,16 до 6,2 см2.
2.169. Скорость пульсовой волны в артериях составляет 8 м/с. Че-
му равен модуль упругости этих сосудов, если известно, что отноше-
ние радиуса просвета к толщине стенки сосуда равно 6, а плотность
крови равна 1,15 г/см3?
2.170. Найдите объемную скорость кровотока в аорте, если радиус
просвета аорты равен 1,75 см, а линейная скорость крови в ней со-
ставляет 0,5 м/с.
2.171. На сколько процентов изменится частота ультразвука при
отражении его от движущихся эритроцитов в артерии? Среднюю ско-
рость движения эритроцитов принять равной 40 см/с.
2.172. Какие частоты зафиксирует приемник ультразвука в усло-
вии задачи 2.171, если частота генератора равна 1 МГц? Рассмотрите
случаи движения крови к технической системе и от нее.
2.173. С какой угловой скоростью должен вращаться ротор цент-
рифуги радиуса 10 см, чтобы в течение 20 мин осели эритроциты в
цилиндрическом стакане высотой 10 см? Предположите, что диаметр
эритроцитов равен 8 мкм и не меняется в процессе оседания клеток,
плотность вещества эритроцитов 1090 кг/м3, а плотность раствора, в
котором находятся эритроциты, равна 1020 кг/м3. Вязкость раствора
1500 мкПа • с.
2.174. Определите абсолютное удлинение сухожилия длиной 4 мм
и площадью сечения 10 6 м2 под действием силы 320 Н. Модуль
упругости сухожилия принять равным 109 Па. Считать сухожилие
абсолютно упругим телом.
2.175. Определите предел прочности кости диаметром 30 мм и тол-
щиной 3 мм, если для ее разрушения требуется сила 400 кН.
2.176. Модуль упругости протоплазменных нитей, полученных
вытягиванием протоплазмы у некоторых типов клеток с помощью
микроигл, оказался равным 9 • 103 Па при комнатной температуре.
Определите напряжение, возникающее в нити при растяжениях, не
превышающих 20% ее первоначальной длины. Считать нити абсо-
лютно упругими телами.
2.177. Нагрузка на бедренную кость, составляющая 1800 Н, при
сжатии вызывает относительную деформацию 3 • 10-4. Найдите эф-
фективную площадь поперечного сечения кости, если ее модуль
упругости равен 23 • 109 Па.
2.178. Какая работа совершается при растяжении на 6 мм порт-
няжной мышцы лягушки длиной 30 мм, если известно, что при на-
грузке 1 г она растягивается на 3 мм? Принять портняжную мышцу
за абсолютно упругое тело.
2.179. Вычислите механическое напряжение бедренной кости
штангиста весом 80 кг при поднятии штанги, в полтора раза превы-
шающей его вес, если диаметр кости 20 мм. Допустимое напряжение
равно 108 Н/м2. Какой предельный вес может выдержать кость?
2.180. Средняя линейная скорость кровотока в сонной артерии
диаметром 3 см равна 5 мм/с. Какова объемная скорость кровотока
в этом сосуде?
2.181. При некоторых заболеваниях критическое число Рейнольд-
са в сосудах становится равным 1160. Найдите скорость движения
крови, при которой возможен переход ламинарного течения в турбу-
лентное в сосуде диаметром 2 мм.
2.182. Для определения относительной вязкости крови можно ис-
пользовать вискозиметр Оствальда. Обоснуйте возможность опреде-
ления вязкости крови по формуле
где I — время протекания крови между калибровочными отметками
вискозиметра; — время протекания воды через тот же объем.
2.183. Определите скорость оседания эритроцитов в плазме крови,
предполагая, что эритроциты имеют шарообразную форму диа-
метром 8 мкм. Плотность крови принять равной 1060 кг/м3, плот-
ность вещества эритроцитов 1090 кг/м3.
2.184. Какие давления требуются для пропускания воды с объем-
ным расходом 10см3/мин через: а) тонкую трансфузионную иглу
(длиной 3 см и диаметром 1 мм); б) иглу для подкожных инъекций
(длиной 2 см и диаметром 0,2 мм)?
2.185. Определите плотность воздуха в пузырьке, радиус которого
5 • 10 3 мм, находящемся в кровеносном сосуде. Давление крови в со-
суде 13,33 кПа при 37 °С.
2.186. Вследствие потери упругих свойств сосудов при атероскле-
розе число Рейнольдса существенно изменяется. Определите число
Рейнольдса в сосуде диаметром 3 мм, в котором скорость движения
крови равна 1,8 м/с. Принять плотность крови равной 1060 кг/м3,
а вязкость крови 5 • 10 3 Па • с.
2.187. Почему в капиллярах изменение давления менее значи-
тельно, хотя число капилляров в сотни раз больше числа артериол?
2.188. Скорость течения крови в капиллярах составляет 0,005 м/с.
Чему равна скорость в аорте, если суммарная площадь сечения ка-
пилляров в 800 раз больше площади сечения аорты?
2.189. Найдите гидравлическое сопротивление системы сосудов,
изображенных на рисунке 2.8.
Рис. 2.8
ГЛАВА
Термодинамика.
Физические процессы
в биологических мембранах
3.1. Термодинамика
Первое начало термодинамики
<2 = М1+А. (3.1)
Здесь О — количество теплоты, переданное системе; ДП —
изменение внутренней энергии системы; А — работа, совер-
шаемая системой.
Работа, совершаемая газом при изменении объема от У^
до У2,
1 2
А= $ рдУ, (3.2)
где р — давление.
Для адиабатного процесса (О = 0)
ДИ = -А = п Су (Т2 ~ 7\). (3.3)
Здесь п — число молей идеального газа, Су — молярная тепло-
емкость газа при постоянном объеме, и Т2 — начальная и
конечная температуры.
Обмен веществ в живых организмах также подчиняется
первому закону термодинамики. Определение энергетического
обмена между живыми организмами и окружающей средой
осуществляется с помощью калориметрии, которая подразде-
ляется на прямую и непрямую. Более распространенной явля-
ется непрямая калориметрия. В этом случае о суммарном теп-
ловом эффекте реакций, протекших в организме, судят по ка-
лорическому коэффициенту кислорода. Он показывает, какое
количество теплоты выделяется при полном окислении данно-
го вещества до углекислого газа и воды на каждый литр погло-
щенного организмом кислорода. Установлено, что этот коэф-
фициент для углеводов равен 20,9, для жиров — 19,7 и для
белков — 20,3 кДж. Однако в живом организме идет также
синтез веществ, которые затем могут окисляться. Чтобы
учесть общее количество теплоты, освобождаемое живым ор-
ганизмом за определенный промежуток времени, надо учи-
тывать дыхательный коэффициент, равный отношению объ-
емов углекислого газа к потребленному за то же время кис-
лороду. Дыхательный коэффициент для углеводов равен 1,
для белков — 0,8 и для жиров он составляет 0,7. Существует
связь между дыхательным и калорическим коэффициентами
(см. приложение 17). Это позволяет устанавливать расход
энергии организма, зная количество поглощенного кислорода
и выделенного углекислого газа.
Количество теплоты, для обратимого процесса
<2 =/тая. (3.4)
Изменение энтропии при нагревании или охлаждении ве-
щества от температуры до температуры Т2
&8 = пСр1п?г, (3.5)
где Ср — молярная теплоемкость при постоянном давлении.
Скорость изменения энтропии для стационарного состоя-
ния в живом организме
Здесь - — скорость изменения энтропии, связанной с неоо-
ратимыми процессами в биологической системе; - - — ско-
рость изменения энтропии вследствие взаимодействия систе-
мы с окружающей средой.
3.1. В кислородной подушке 9,93 г газа находится под некоторым
давлением. Определите работу, которая совершается газом при изме-
нении его объема от 2 до 6 л, если процесс происходит при постоян-
ной температуре 20 °С.
3.2. В барокамере для создания нужного давления использовали
газовый баллон объемом 20 л. При выходе всего газа из баллона была
совершена работа 350 Дж. Каков объем барокамеры, если температу-
ра оставалась постоянной и равной 22 °С?
3.3. Рассчитайте изменение внутренней энергии в результате ис-
парения воды при кипячении инструментов в стерилизаторе, если
давление при этом было постоянным и равным 105 Па, а испарилось
18 г воды.
3.4. 5 моль идеального одноатомного газа адиабатно расширяются
от начального давления 1 МПа. При этом температура газа падает от
320 до 275 К. Какая при этом совершается работа?
3.5. В кислородной подушке объемом 1 л содержится 2 моль кис-
лорода под давлением 300 кПа. При открывании клапана газ расши-
ряется, при этом его температура падает от 325 до 275 К. Рассчитайте
совершаемую газом работу, если внешнее давление 100 кПа.
3.6. 0,85 моль идеального одноатомного газа, первоначально нахо-
дившегося под давлением 1,5 МПа при 300 К, расширяется изотер-
мически, пока давление не станет равно 100 кПа. Рассчитайте совер-
шаемую при этом работу, если расширение происходит: 1) обратимо;
2) против внешнего давления 100 кПа.
3.7. 2 моль кислорода расширяются от начального давления
400 кПа против постоянного внешнего давления 100 кПа. Газ нахо-
дится при температуре 22 °С. Найдите конечный объем кислорода.
3.8. Определите расход энергии человека в состоянии мышечного
покоя, если за 10 мин он выдыхает 60 л воздуха, в котором содержит-
ся 15% кислорода и 5% углекислого газа.
3.9. Спортсмен, пробегая дистанцию, выделяет при выдохе за од-
ну минуту 9 л воздуха, в котором содержится 12% кислорода и 8%
углекислого газа. Определите энергию, расходуемую спортсменом за
5 мин пробега.
3.10. Определите калорический коэффициент кислорода при
окислении глюкозы, если из экспериментов с калориметрической
бомбой известно, что при окислении 1 г глюкозы выделяется
15,7 кДж теплоты.
3.11. На сколько градусов изменится температура азота, который
адиабатно расширяется при начальной температуре 20 °С, если от-
крыть клапан баллона, где 5 моль азота находится под давлением
1 МПа? Объем баллона 5 л, конечный объем, занимаемый газом,
20 л. Внешнее давление постоянно и равно 100 кПа.
3.12. При непрямой калориметрии энергетический расход челове-
ка за 10 мин составил 84 кДж. Какой объем кислорода он вдохнул,
если известно, что в выдыхаемом воздухе содержалось 13% кислоро-
да и 7% углекислого газа?
3.13. Кролик массой 1,5 кг поглотил за один час 1,5 л кислорода.
Определите, сколько энергии расходует кролик за сутки на 1 кг веса,
если средний калорический эквивалент кислорода 20,52 кДж.
3.14. Изменение энтропии при расширении 1 моль закиси азота от
10 л при постоянной температуре составляет 5,8 Дж/К. Каков конеч-
ный объем газа?
3.15. Определите изменение энтропии в процессе таяния 1 моль
льда при 0 °С и последующем нагревании образующейся воды до
100 °С.
3.16. Вычислите изменение энтропии в процессе превращения
1 моль воды в пар при температуре кипения.
3.17. При какой температуре находилось 2 моль воды в сосуде, ес-
ли при ее нагревании до 100 °С энтропия увеличилась на 23,5 Дж/К?
3.18. На нагревание воздуха в комнате объемом 50 м3 до 22 °С за-
трачено 145 кДж теплоты. На сколько градусов повысилась темпера-
тура в комнате? Какой была начальная температура?
3.19. Из-за отсутствия теплоизоляции комната теряет 30 кДж в
минуту. Определите КПД печи, если в ней сжигается 9 кг дров в сут-
ки для поддержания постоянной температуры.
3.20. В палате объемом 30 м3 поставлен холодильник, который по-
требляет мощность 350 Вт. За какое время воздух в палате нагреется
на 2 °С за счет работы холодильника? Считать, что потерь тепла из
комнаты не происходит.
3.21. Человек, занимающийся умственным трудом, потребляет в
сутки 450 г углеводов, 120 г белков и 100 г жиров. Какое количество
энергии выделяется при окислении этих продуктов в организме?
Считать, что усваивается лишь 90% питательных веществ.
3.22. Вычислите изменение энтропии при нагревании 100 г воды
от 0 до 15 °С.
3.23. В сосуд, содержащий 600 г воды при 50 °С, бросают кусок
льда массой 200 г при температуре —10 °С. Определите конечную тем-
пературу воды в сосуде. Теплоемкостью сосуда пренебречь.
3.24. Найдите начальную температуру стерилизатора со шприцем,
если для его нагревания до 100 °С потребовалось израсходовать
45 кДж энергии. Масса стерилизатора и металлической части шпри-
ца 180 г, они сделаны из стали. В стерилизаторе находится 100 г во-
ды, а масса стеклянной цилиндрической части шприца равна 20 г.
3.25. Для охлаждения некоторой установки мощностью 10 кВт ис-
пользуется проточная вода, которая течет по спиральной трубке диа-
метром 15 мм. При этом проточная вода нагревается на 15 °С. С ка-
кой скоростью движется вода по трубке? Считать, что вся мощность
установки идет на нагрев воды.
3.26. Ежедневно с потребляемой пищей работник физического
труда получает около 17 МДж. В течение дня он выполняет работу
10 МДж. Какая доля получаемой с пищей энергии превращается в
полезную работу?
3.27. По некоторым оценкам пловец на дистанции затрачивает
240 кДж энергии за минуту. При этом только четверть этой энергии
идет на механическую работу его рук и ног. Чему равна средняя сила,
препятствующая перемещению пловца, если за одну минуту он про-
плывает 100 м?
3.28. В баллоне было 1СГ2 м3 кислорода. Открыв кран, газ перека-
чали в 20 кислородных подушек емкостью по 10~3 м3 каждая. Про-
цесс перекачки происходил при постоянной температуре. Вычислите
изменение энтропии в этом процессе.
3.29. Сколько полезной работы может быть получено при сжига-
нии 1 моль глюкозы, если предположить, что тело человека работает
как тепловая машина? (т] = 30%)
3.30. Назовите основные различия между стационарным состо-
янием термодинамической системы и состоянием равновесия.
3.31. Чему равен общий баланс энтропии живого организма в ста-
ционарном состоянии?
3.32. Найдите тепловой эффект реакции окисления углерода до
оксида углерода.
3.33. Диета человека массой 70 кг содержит 400 г белка
(20,1 МДж/кг), 22 г жиров (39,8 МДж/кг) и 80 г углеводов
(16,7 МДж/кг). Каждый день он поднимается на высоту 3 км и совер-
шает перед этим работу, включая работу метаболизма, в четыре раза
превышающую механическую работу поднятия своего тела на высоту
3 км. Чему равно изменение внутренней энергии при таком ежеднев-
ном процессе?
•
3.34. Определите температуру мышцы, предполагая, что она рабо-
тает как тепловая машина с г) = 30% при температуре 25 °С.
3.2. Физические процессы
в биологических мембранах
Уравнение Фика
</ = -.0^, (3.7)
ах '
где д — плотность потока диффундирующего вещества, О —
коэффициент диффузии, — производная от концентрации
диффундирующего вещества по направлению х (проекция гра-
диента концентраций на направление х).
Уравнение Теорелла
= (3.8)
ах 47
Здесь ц — электрохимический потенциал;
(3.9)
— подвижность, где В — молярная газовая постоянная.
Средняя величина смещения молекулы вещества в растворе
х = 2В1, (3.10)
где В — коэффициент диффузии, I — время.
Характерное время установления равновесной концент-
рации
*0,5 = 0,693^. (3.11)
Здесь V — объем клетки; 5 — площадь поверхности клеточной
мембраны;
Р=^К, (3.12)
где Р — коэффициент проницаемости мембраны для данного
вещества, I — толщина мембраны, К — коэффициент распре-
деления вещества.
Формула Нернста
ПТ Сп
△ф = 1п / . (3.13)
Здесь Дф — равновесный мембранный потенциал, Со и С; —
концентрации данного иона снаружи и внутри клетки, Р — по-
стоянная Фарадея, 7 — валентность иона.
Уравнение Гольдмана—Ходжкина—Катца
Рк[К+]о + Рш[Ка+]о + РС1[СГЬ
Фм I? 4-4. » (3.14)
* Рк[К + РМа[Ма+Ъ + РС1[С1]0
где фм — мембранный потенциал, Рк, РМа, РС1 — проница-
емости мембраны для соответствующих ионов, [К+]о, [Ма+]0,
[СГ]0 — концентрации ионов снаружи клетки, [К+]{, [Ма+];,
[С1~]1 — концентрации этих же ионов внутри нее.
Потенциал поля заряда у в электролите
Ф=?е’г/6, (3.15)
где г — расстояние, 5 — дебаевский радиус экранирования.
В общем случае, когда в растворе присутствует несколь-
ко ионов,
8 = I. ДГе , ‘ (3,16)
где 7^ — валентность иона, — концентрация соответствую-
щего иона, Е — диэлектрическая проницаемость растворителя.
3.35. Найдите среднюю величину смещения молекулы формамида
в воде и в растворе сахарозы за 1 мин, если коэффициенты диффузии
этого вещества в воде и в сахарозе равны соответственно 1,6 • 10-5
и 0,3 • 10~5 см2 • с-1.
3.36. Чему равна плотность потока формамида через плазматиче-
скую мембрану СИага сега1орНу11а толщиной 8 нм, если коэффициент
диффузии его составляет 1,4 • 10 8 см2 • с-1, концентрация форма-
мида в начальный момент времени снаружи была равна 2 10-4 М*.
а внутри в десять раз меньше?
3.37. Бислойная липидная мембрана (БЛМ) толщиной 10 нм разде-
ляет камеру на две части. Плотность потока метиленового синего через
БЛМ постоянна и равна 3 • 10-4 М • см/с, причем концентрация его с
одной стороны этой мембраны равна 10~2 М, а с другой 2 • 10 3 М.
Чему равен коэффициент диффузии этого вещества через БЛМ?
3.38. Определите коэффициент диффузии в воде эритрола, если
среднее смещение его молекулы составляет 40 мкм.
3.39. Найдите коэффициент проницаемости плазматической мемб-
раны Мусор1азша для формамида, если при разнице концентраций это-
го вещества внутри и снаружи мембраны, равной 0,5 - 10~4 М, плот-
ность потока его через мембрану равна 8 • 10 4 М • см/с.
3.40. Толщину двойного слоя на границе мембрана — электролит
характеризует дебаевский радиус 6. Определите 8 для случая, когда
в растворе электролита, окружающем мембрану, есть только ионы
калия с концентрацией: а) 10 5 М; б) 10’2 М.
3.41. Между внутренней частью клетки и наружным раствором
существует разность потенциалов (мембранный потенциал покоя) по-
рядка 17 = 80 мВ. Полагая, что электрическое поле внутри мембраны
однородно, и считая толщину мембраны I = 8 нм, найдите напряжен-
ность этого поля.
3.42. Для изучения структуры и функции биологических мембран
используют модели — искусственные фосфолипидные мембраны,
состоящие из бимолекулярного слоя фосфолипидов. Толщина
искусственной мембраны достигает около I = 6 нм. Найдите электро-
емкость 1 см2 такой мембраны, считая ее относительную диэлектри-
ческую проницаемость ег = 3. Сравните полученную электроемкость с
аналогичной характеристикой конденсатора, расстояние между
пластинами которого I = 1 мм.
3.43. Найдите дебаевский радиус экранирования, создаваемого при-
сутствующими в растворе ионами кальция с концентрацией 10-5 М
* М = моль/л.
6 Ремизов
и натрия с концентрацией 10 4 М. Как изменится 8, если в растворе бу-
дут только ионы кальция в концентрации 10~4 М?
3.44. Какова связь электродиффузии и электрофореза? Проанали-
зируйте связь, исходя из основного уравнения электродиффузии.
3.45. Потенциал покоя нервного волокна кальмара равен -60 мВ,
а потенциал действия +35 мВ. Вследствие чего происходит такое из-
менение мембранного потенциала?
3.46. Какое из соединений, приведенных ниже, имеет наимень-
шую проницаемость через липидный бислой и почему: толуол, эта-
нол, ионы калия, кальция? Приведите необходимые уравнения.
3.47. Определите равновесный мембранный потенциал митохонд-
рий, если при 37 °С внутри митохондрий рН = 9, а в окружающей
среде 7.
3.48. Покажите, что электродиффузионное уравнение Нернста—
Планка является частным случаем уравнения Теорелла.
3.49. Определите равновесный мембранный потенциал на мембра-
не при отношении концентраций натрия снаружи и внутри клетки:
а) 1 : 1; б) 10 : 1; в) 100: 1.
3.50. Как изменится основное электродиффузионное уравнение
при отсутствии внешнего электрического поля?
3.51. Вязкость липидного бислоя в 100 раз больше, чем вязкость
воды. Толщина примембранных слоев воды приблизительно в 100 раз
больше толщины липидного бислоя. Коэффициент распределения
кислорода в системе липид—вода близок к 1. Что является основным
барьером для молекулярного кислорода при его диффузии через
мембрану: липидный бислой или примембранный слой? Приведите
необходимые уравнения.
3.52. Покажите, что уравнение Фика для диффузии является ча-
стным случаем уравнения Теорелла.
3.53. Определите равновесный мембранный потенциал, создавае-
мый на бислойной липидной мембране ионами калия при температу-
ре 20 °С, если концентрация калия с одной стороны мембраны равна
10 3 М, а с другой — 10~5 М.
3.54. Каков электрический заряд мембраны, если ее емкость
1 мкФ • см1, а равновесный мембранный потенциал такой же, как
в задаче 3.53?
3.55. Рассчитайте потенциал покоя гигантского аксона кальмара,
если известно, что концентрация ионов натрия снаружи равна
440 мМ, а внутри его 49 мМ (температура равна 20 °С).
3.56. Потенциал покоя нерва конечности краба равен 89 мВ. Чему
равна концентрация ионов калия внутри нерва, если снаружи она со-
ставляет 12 мМ? Принять температуру равной 20 °С.
3.57. Определите время, в течение которого устанавливается рав-
новесная концентрация эритрола в клетке, если объем клетки
70 мкм3, коэффициент проницаемости 13 мкм/с, а площадь поверх-
ности мембраны клетки 43 мкм2.
3.58. В клетках фагоцитов равновесная концентрация вещества
устанавливается за 0,2 с. Чему равен коэффициент проницаемости
этого вещества через мембрану фагоцитов, если считать клетку тело1''
сферической формы диаметром 8 мкм?
3.59. Концентрация некоторых ионов внутри и вне клетки гигант-
ского аксона кальмара приведена в следующей таблице.
Вид иона Концентрация иона, ммоль/л
внутри клетки вне клетки
К+ 340 10,4
49 463
сг 114 592
Коэффициент распределения вещества между мембраной и окру-
жающей средой принять равным К = 7 • 10"4, толщина мембраны
10 нм. Найдите средний градиент концентрации ионов на мембране
а) с учетом (ёа); б) без учета (#б) коэффициента распределения ве-
щества между мембраной и окружающей средой.
3.60. Электрическое напряжение на мембране равно 17 = 60 мВ,
толщина мембраны I = 10 нм. Найдите напряженность электрическо-
го поля в мембране (К) и сравните ее с напряженностью электриче-
ского поля плоского конденсатора (Ек) с напряжением С7К = 220 В.
Расстояние между пластинами 1К = 0,1 мм.
3.61. В растворе поддерживается стационарное состояние распреде-
ления некоторого вещества. При этом на расстоянии I — 50 см разность
концентрации растворенного вещества составляет 2 • 10 "1 моль/л.
Коэффициент диффузии И = 3 • 10 12 м2/с. Найдите плотность потока
диффузии и максимальный поток через площадку площадью 8=1 см2.
3.62. Найдите плотность потока (в начальный момент времени) и
коэффициент диффузии глицерина через мембраны одноклеточных
водорослей, если глицерин в начальный момент введен в водный рас-
твор, содержащий клетки, в концентрации ср = 2 10 5 моль/л и эта
концентрация поддерживается постоянной. Изобразите графически
распределение глицерина внутри клетки, в мембране и в окружаю-
щей среде; а) в начальный момент времени; б) в некоторый промежу-
точный момент времени; в) в установившемся равновесном состоя-
нии. Коэффициент проницаемости через мембрану для глицерина ра-
вен Р = 2,1 • 10 9 м/с, а коэффициент распределения вещества меж-
ду мембраной и водной средой К = 7,5 • 10 5. Толщина мембраны
I = 10 нм.
3.63. Из уравнения Нернста—Планка получите: а) закон Ома для
участка цепи; б) выражение для электрического сопротивления;
в) выражение для удельного сопротивления раствора (электролита).
Раствор находится в сосуде (рис. 3.1). Концентрация ионов в выде-
ленном объеме равна с. Электрическое поле однородно.
3.64. При экспериментальном атеросклерозе у кроликов количе-
ственное соотношение молекул холестерина и фосфолипидов может
составлять 1:3. Средняя площадь поверхности эритроцита равна
140 мкм2. Предполагая, что одна молекула холестерина занимает
площадь 0,35 нм2, определите число молекул холестерина в одной
клетке.
3.65. Получая выражение для уравнения диффузии Фика через
мембрану, полагают, что коэффициенты распределения веществ оди-
наковы по разные стороны мембраны. Однако для реальных биологи-
ческих мембран это допущение неверно. Почему?
3.66. При приготовлении варенья используют очень высокие кон-
центрации сахара. Это приводит, в частности, к гибели бактерий, вы-
зывающих бутулизм. В чем состоит одна из причин этого эффекта?
3.67. Определите время установления равновесной концентрации
эритрола в нейтрофилах, учитывая, что клетку можно считать сфе-
рическим телом диаметра 12 мкм. Коэффициент проницаемости
эритрола равен 1,3 • 10~3 см • с-1. Как изменится это время, если в ре-
зультате осмоса объем нейтрофила увеличится в два раза?
3.68. Осмотическое давление крови человека составляет 0,77 МПа.
Сколько молей соли КаС1 должен содержать изотонический физиоло-
гический раствор в 200 мл воды при температуре 37 °С?
3.69. В гипотоническом растворе соли ЫаС1 эритроциты крови
вследствие осмоса приобретают сферическую форму. Площадь по-
верхности эритроцита равна 160 мкм2, объем клетки в изотониче-
ском растворе составляет 85 мкм3. Во сколько раз изменится объем
эритроцита в гипотоническом растворе при изменении его формы от
двояковогнутого диска до сферы, если механического растяжения
мембраны еще не происходит?
3.70. Среднее значение концентрации ионов калия, натрия и хло-
ра в аксоплазме гигантского аксона кальмара равны соответственно
410, 49 и 40 моль/м3. В морской воде концентрация этих же ионов
равна 10, 460 и 540 моль/м3. Вычислите потенциал Нернста для каж-
дого из этих ионов при 27 °С.
ГЛАВА
4
Электродинамика.
Электроника
4.1. Электрическое поле. Электроника
Электрический (дипольный) момент диполя
Р = Ч1, (4.1)
где <? — электрический заряд, I — расстояние между заряда-
ми.
Момент силы, действующей на диполь в электрическом
поле,
М = рЕв1па, (4.2)
где а — угол между электрическим моментом диполя и напря-
женностью.
Проекция силы, действующей на диполь в неоднородном
электрическом поле, на ось Ох
&ЕГ
^=^47’ <4-3>
где рх, Ех — соответственно проекции р и Е на ось Ох.
Потенциал электрического поля, созданного диполем в не-
которой точке А на расстоянии г (г 5> I),
где а — угол между р и направлением на точку А, ег — относи-
тельная диэлектрическая проницаемость среды, Ед — электри-
ческая постоянная.
Разность потенциалов двух точек, равноудаленных от
диполя — источника поля,
81п (у/2) о
<Рв ~ <РА =-и—2Р СО8 ₽’ (4.5)
2леге0г
где у — угол, под которым видны точки А и В от диполя, Р —
угол между р и прямой АВ.
Соотношение между поверхностной, плотностью связан-
ных зарядов и поляризованностью
осв = РеСО5 (4.6)
где а — угол между Ре и нормалью к поверхности диэлектри-
ка.
Связь поляризованности с напряженностью электриче-
ского поля в диэлектрике
Ре = Е0(ег-1)Е. (4.7)
Энергия заряженного конденсатора
Е (4.8)
^эл 2 2С 2 ' '
Объемная плотность энергии электрического поля
Плотность тока
] = дпо, (4.10)
где «у и п — заряд и концентрация носителей тока, о — средняя
скорость их направленного движения.
Плотность тока в электролите
] = дп(Ъ+ + ЬА)Е, (4.11)
где Ь+ и — подвижности ионов соответствующих знаков,
Е — напряженность электрического поля.
Зависимость термоэлектродвижущей силы от разности
температур спаев
ет = 0АТ, (4.12)
где 0 — коэффициент, равный термоЭДС при АТ = 1 К.
Зависимость удельного сопротивления полупроводника
от температуры
ЛЕ,/(2кГ) ,. .
р = рое , (4.13)
где Д^3 — ширина запрещенной зоны; р0 — коэффициент про-
порциональности, имеющий размерность удельного сопротив-
ления; к — постоянная Больцмана.
Вероятность безотказной работы электронного прибора
где И — число не испортившихся за время I приборов, Ио —
общее число изделий.
Интенсивность отказов
. = (/А~
Чувствительность датчика
г-%,
Дх
где х — входная величина, у — выходная величина.
Для переменного тока эффективные значения величин си-
лы тока и напряжения:
I V
у ___ шах шах
~ 72 : эф“ 72 ’
где 1тах, ^тах — амплитудные значения тока и напряжения.
Индуктивное сопротивление катушки индуктивности
Хь = азЬ,
где со — круговая частота, Ь — индуктивность катушки.
Емкостное сопротивление конденсатора
шС ’
где С — емкость конденсатора.
При последовательном соединении резистора, катушки
индуктивности и конденсатора полное сопротивление
электрической цепи переменному току (импеданс) рассчи-
тывают по формуле'.
г= ^* 2 3 * * * * + (хь-хс)2.
Закон Ома для цепи переменного тока'.
т =
•'эФ г ’
Период электромагнитных колебаний в колебательном
контуре:
Т = 2п^ЬС.
Коэффициент затухания
р 2Л’
где К — сопротивление резистора, Ъ — индуктивность катуш-
ки.
4.1. Маленький отрицательно заряженный шарик равномерно
вращается вокруг неподвижного точечного положительного заряда
величиной 10 9 Кл. Чему равно отношение заряда вращающегося
шарика к его массе, если радиус орбиты 2 см, а угловая скорость
3 рад/с?
4.2. Согласно боровской модели атома водорода, электрон движет-
ся вокруг ядра по круговой орбите радиуса 0,53 • 10-1° м. Чему рав-
на напряженность электрического поля и электрический потенциал
в точке нахождения электрона?
4.3. Найдите электрический момент системы электрон—ядро ато-
ма водорода, рассматривая эту систему как диполь. Выразите элект-
рический момент в единицах СИ и дебаях. Расстояние между ядром и
электроном принять равным г — 10 8 см.
4.4. В результате поляризации на концах диэлектрика возникли
связанные заряды с поверхностной плотностью осп = Ю~10Кл/м2.
Образец диэлектрика имеет форму цилиндра длиной I = 30 см и
площадью поперечного сечения 5=1 см2. Считая поляризованный
диэлектрик диполем, найдите его электрический момент.
4.5. Какой максимальный момент силы действует в электри-
ческом поле с напряженностью Е = 20 кВ/м на молекулу воды
(р = 3,7 • 10 29 Кл • м)? В чем различие действия на молекулу одно-
родного и неоднородного полей?
4.6. Какая сила действует на диполь, электрический момент кото-
рого р — 10 10 Кл • м, если он расположен в вакууме на расстоянии
х = 50 см от точечного заряда д = 1,5 • 10 4 Кл вдоль линий напря-
женности? Расстояние между зарядами диполя много меньше х.
4.7. В электрическом поле точечного заряда д = 0,3 нКл на расстоя-
нии г = 1 м от него находится диполь с р = 2 • 10 28 Кл • м. Найдите
максимальный момент силы, действующий на диполь в вакууме.
4.8. Под воздействием однородного электрического поля свобод-
ный диполь начинает колебаться. Получите дифференциальное урав-
нение и формулу для периода колебаний, если известны: напряжен-
ность Е электрического поля, электрический момент р и момент
инерции Л диполя. Считать угол отклонения диполя от положения
устойчивого равновесия малым (ат а ~ а).
4.9. Найдите потенциал поля, созданного диполем в точке А, уда-
ленной на расстояние г = 0,5 м в направлении под углом а = 30' отно-
сительно электрического момента р диполя (рис. 4.1). Среда — вода.
Диполь образован зарядами д = 2 • 10 7 Кл, расположенными на рас-
стоянии I = 0,5 см.
4.10. Используя условие задачи 4.9, найдите разность по-
тенциалов двух точек поля, созданного диполем. Точки находятся
на расстоянии г = 0,5 м под углами соответственно о.| = 0 и
а2 = 90° (рис. 4.1).
4.11. Используя выражение для потенциала диполя и связь между
напряженностью и потенциалом, найдите зависимость напряженнос-
ти электрического поля на оси диполя от р и г.
4.12. Найдите силу, с которой диполь = 10 15 Кл • м) действу-
ет в вакууме на другой диполь (р2 — Ю 16 Кл • м), расположенный
вдоль оси первого диполя на расстоянии г = 20 см (рис. 4.2). Какой
момент силы будет действовать на второй диполь, если его повернуть
на 90е (штриховое изображение на рисунке)? Воспользоваться фор-
мулой, полученной в задаче 4.11.
4.13. Согласно представлениям Эйнтховена, сердце подобно элект-
рическому диполю. Электрический момент сердца-диполя периоди-
чески изменяется как по модулю, так и по направлению. Биопотен-
циалы (электрокардиограммы) регистрируются между вершинами
условно равностороннего треугольника, который образуется двумя
руками и одной ногой. Какой вид имели бы электрокардиограммы,
снятые в трех возможных отведениях, если бы электрический мо-
мент сердца равномерно вращался во фронтальной плоскости? Ука-
жите общие формулы и постройте три «электрокардиограммы», от-
кладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат — разность биопо-
тенциалов.
4.14. Какой вид имели бы электрокардиограммы, снятые в трех
возможных отведениях, если бы электрический момент сердца-дипо-
ля изменялся по закону р = р()со5 (01 во фронтальной плоскости, со-
храняя ориентацию в пространстве параллельно одной из сторон тре-
угольника Эйнтховена? Укажите общие формулы и постройте графи-
ки (сравните с задачей 4.13).
4.15. В одном из отведений наибольшая разность биопотенциалов
на электрокардиограмме равна 2 мВ. Предполагая, что при этом
электрический момент сердца параллелен стороне треугольника
Эйнтховена, с которой снимается электрокардиограмма, оцените ве-
личину электрического момента сердца. Известны: ег = 80, г = 1 м
[см. (4.5)].
4.16. В воде 3% молекул ориентированы упорядоченно вдоль ли-
ний напряженности приложенного электрического поля, остальные
молекулы ориентированы хаотически. Найдите поляризованность
воды. Электрический момент диполя молекулы воды р — 1,86 Д.
4.17. На пластины плоского конденсатора, расстояние между ко-
торыми 1 = 3 см, подано напряжение (7=1 кВ. Пространство между
пластинами заполнено кровью. Найдите поверхностную плотность
связанных зарядов и поляризованность.
4.18. Одна часть плоского конденсатора заполнена водой, дру-
гая — глицерином. Во сколько раз поверхностная плотность связан-
ных зарядов одного диэлектрика больше, чем другого?
Ответ приведите для двух случаев расположения воды и глицери-
на (рис. 4.3, а и б).
4.19. Вычислите электроемкость тела человека, считая ее равной
емкости электропроводящего шара того же объема. Среднюю плот-
ность тела принять равной р — 1 г/см3; масса человека т = 60 кг.
4.20. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами кото-
рого I = 0,5 см, заряжен до разности потенциалов II = 700 В.
Диэлектрик — кровь. Определите объемную плотность энергии поля
конденсатора.
4.21. Конденсатор емкостью Су = 2 мкФ заряжен до разности
потенциалов (7 = 100 В. После отключения от источника ЭДС конден-
сатор был подключен к другому незаряженному конденсатору ем-
костью С2 = 5 мкФ. На сколько изменилась энергия системы двух
конденсаторов?
4.22. Диполь с электрическим моментом р = 0,3 • 10 2 нК • м
ориентирован вдоль линии напряженности электрического поля
Е = 50 В/см. Найдите работу, которую необходимо совершить для по-
ворота диполя на угол: а) 90°; б) 180'.
4.23. Расстояние между пластинами плоского воздушного конден-
сатора площадью 8 = 50 см2 изменяется от 1г = 3 см до 12 = Ю см.
Конденсатор был заряжен до напряжения 17 = 200 В и отключен от
источника тока. Найдите изменение энергии поля конденсатора.
Чему равна работа по раздвижению пластин конденсатора?
4.24. Используя данные задачи 4.23 и считая конденсатор подклю-
ченным к источнику тока, найдите изменение энергии конденсатора,
источника тока и работу по раздвижению пластин конденсатора.
4.25. Через плоское сечение проводника проходят электроны со
скоростью V = 1,5 см/с. Концентрация электронов равна п = 1019 см 3.
Найдите плотность тока. Определите силу тока, создаваемого этими
зарядами, если сечение проводника 5 = 0,3 мм2.
4.26. Найдите плотность тока в электролите, если концентрация
ионов в нем п = 105 см 3, их подвижности Ь+ = 4,5 • 104 см2/(В • с).
Ь =6,5 • 10 4 см2/(В • с) и напряженность электрического поля
Е = 10 В/см. Считая плотность тока всюду одинаковой, найдите силу
тока, если площадь каждого электрода 5=1 дм2. Принять заряд
иона равным заряду электрона.
4.27. Между двумя электродами, к которым приложено постоян-
ное напряжение 17 = 36 В, находится живая ткань. Условно можно
считать, что ткань состоит из двух слоев сухой кожи (рис. 4.4) и
мышц с кровеносными сосудами. Толщина каждого слоя кожи
/1 = 0,3 мм, толщина внутренней ткани /2 ~ 9,4 мм. Найдите плот-
ность тока и падение напряжения в коже и в мышечной (сосудистой)
ткани, рассматривая их как проводники. Как изменяется потенциал
в направлении, перпендикулярном этим слоям?
4.28. В ионизационной камере, расстояние между плоскими
электродами которой I = 4 см, проходит ток насыщения. Плотность
тока у = 15 мкА/м2. Найдите среднее число пар ионов, образующихся
под действием ионизатора в одном кубическом сантиметре простран-
ства камеры в единицу времени. Заряд иона численно равен заряду
электрона.
4.29. Между плоскими электродами площадью 5 = 100 см2 каж-
дый находится V = 300 см3 водорода. Концентрация ионов в газе
п = 5 • 10 см-3. Какое напряжение нужно приложить к электро-
дам, чтобы получить ток силой 1 = 1 мкА? Подвижности ионов:
Ь+ = 5,4 см2/(В • с) и Ь_ = 7,4 см2/(В • с).
4.30. Термопара из РЬ—создает термоэлектродвижущую силу
3 мкВ при разности температур спаев 1 К. Можно ли такой термопа-
рой уверенно установить повышение температуры тела человека от
36,5 до 37,0 °С, если потенциометр позволяет измерить напряжение
с точностью до 1 мкВ?
4.31. Во сколько раз изменится сопротивление полупроводника
при уменьшении температуры вдвое, если его начальная температура
Т = 400 К, ширина запрещенной зоны АЕЭ = 0,7 эВ?
4.32. Во сколько раз уменьшится сопротивление полупроводника
при увеличении температуры на 10%, если его начальная температу-
ра I = 27 °С, ширина запрещенной зоны АЕа = 0,6 эВ?
4.33. Найдите (в электрон-вольтах) ширину запрещенной зоны по-
лупроводника, если известно, что при температурах Т1 = 300 К и
Т2 = 350 К сопротивления его соответственно равны = 700 Ом и
К2 = 100 Ом.
4.34. Как можно из графика 1п И = определить ширину за-
прещенной зоны? Найдите графически ширину запрещенной зоны
для кремния, если из эксперимента получены следующие данные:
т, к 900 682 555 467
П, Ом 0,25 2,5 25 250
4.35. Из зависимости (4.13) получите выражение для температур-
ного коэффициента сопротивления полупроводников. Температур-
ным коэффициентом сопротивления называют отношение относи-
тельного изменения сопротивления к изменению температуры:
ап
“ пат-
4.36. Чему равен температурный коэффициент сопротивления
кремния при температуре 1000 К (см. задачи 4.35, 4.34)?
4.37. При сухой коже сопротивление между ладонями рук может
достигать значения 2^1 = 105 Ом, а при влажных ладонях это сопро-
тивление существенно меньше (Л2 = 1000 Ом). Оцените ток, который
пройдет через тело человека при контакте с электросетью напряже-
нием V = 220 В. Сравните этот ток со значениями порогов ощутимого
и неотпускающего токов, если частота тока равна V = 50 Гц.
4.38. Фибрилляция желудочков сердца заключается в их хао-
тическом сокращении. Если при этом пропустить через область
сердца большой ток, то это приведет к возбуждению большинства
клеток тканей миокарда и в результате может восстановиться нор-
мальный ритм сокращения желудочков. Соответствующий аппарат
называется дефибриллятором. Технически он выполнен в виде кон-
денсатора, который заряжается до значительного напряжения и за-
тем разряжается через электроды, наложенные на тело больного в об-
ласти сердца. Найдите значение максимального тока при действии
дефибриллятора, если он был заряжен до напряжения V = 5 кВ, а со-
противление участка тела равно В = 500 Ом. Покажите графически
(качественно) изменение тока со временем.
4.39. Напряжение сети, питающей медицинский аппарат, равно
и = 220 В. Человек находится на земле (на полу) и касается корпуса
аппарата. Сопротивление тела человека равно Ятч — 1000 Ом. Сопро-
тивление между проводником и человеком (через землю) равно 7?пр =
= 5 кОм. В результате повреждения изоляции проводник соединился
на корпус аппарата (произошел «пробой на корпус»). Найдите напря-
жение, которое будет на теле человека, и протекающий через него
ток, если: а) аппарат не заземлен; б) аппарат заземлен и сопротивле-
ние заземления равно В3 = 4 Ом. Сопоставьте полученные данные со
значениями порога ощутимого тока и порога неотпускающего тока.
4.40. В одной группе, состоящей из 1000 медицинских аппаратов,
за полгода отказало в работе 19. В другой группе, которая состоит из
300 таких же аппаратов, за то же время вышло из строя 13 штук.
Оцените, в какой группе более высокая возможность сохранения из-
делием работоспособности.
4.41. В условиях предыдущей задачи найдите среднюю интенсив-
ность отказов двух групп аппаратов. Время измерять в годах.
4.42. Интенсивность отказов на протяжении некоторого периода
времени постоянна и равна Л = 3 • 10 9 с-1. Найдите вероятность без-
отказной работы за любые: а) два; б) четыре; в) шесть месяцев этого
периода.
4.43. На рис. 4.5 изображена функция преобразования индуктив-
ного датчика. Определите чувствительность этого датчика, укажите
порог и предел чувствительности.
4.44. Покажите, что в замкнутой цепи из разных материалов сум-
ма контактных разностей потенциалов равна нулю при одинаковой
температуре контактов.
4.45. Какое количество последовательно соединенных термопар
надо взять, чтобы создать источник питания для кардиостимулятора
за счет разности температур внешних и внутренних органов, считая
ее равной 1 К? Использовать термопары железо — платина, для кото-
рых термоэлектрическая постоянная равна 18,1 • 10 6 В/К.
4.46. Для измерения размеров объекта можно использовать прово-
лочный линейный реостат длиной 1 м (рис. 4.6). Сопротивление про-
волоки датчика 1 кОм. В цепи датчика есть сопротивление 100 Ом.
Какие показания будет давать амперметр, если рост человека 182 см?
Напряжение внешнего источника 6 В.
4.47. В качестве датчика медико-биологической информации ис-
пользуют конденсаторы с изменяющимся расстоянием между плас-
тинами. Найдите отношение изменения частоты к частоте собствен-
ных колебаний в контуре, включающем такой конденсатор, если рас-
стояние между пластинами уменьшилось на 1 мм. Первоначальное
расстояние равно 1 см.
4.48. Датчик частоты дыхания выполнен в виде резиновой трубки,
которая заполнена угольным порошком. С торцов трубки вмонтирова-
ны электроды. Через уголь можно пропускать ток от внешнего ис-
точника. Длина трубки Г, сечение столбика угля 8, удельное сопро-
тивление угольного порошка р, напряжение внешнего источника 17.
Как подсчитать частоту дыхания пациента, если его грудную клетку
опоясать такой трубкой?
4.49. Почему с увеличением частоты переменного тока уменьши
ется его раздражающее действие на ткани организма человека?
4.50. Сдвиг фаз между током и напряжением при прохождении
переменного тока частотой 25 Гц через мышцу лягушки составил
-35°. Чему равна емкость конденсатора в эквивалентной схеме после-
довательно соединенных резистора и конденсатора, если активное со-
противление равно 0,5 кОм?
4.51. Конденсатор емкостью 25 пФ, заряженный до разности по-
тенциалов 20 В, разряжается через проводник сопротивлением 1 Ом
и индуктивностью 4 мкГн. Найдите коэффициент затухания и амп-
литуду тока в цепи.
4.52. Непосредственной подстановкой в дифференциальное уравне-
ние затухающих электрических колебаний выражения
9 = <70 ехр (~Р0 соа Ы1
получите формулу для расчета частоты колебаний и2 — а>р — 02.
14.53. Сдвиг фаз между током и напряжением при прохождении
переменного тока частотой 30 Гц через мышцу кролика составляет
-65°. Чему равно сопротивление резистора в эквивалентной схеме по-
I следовательно соединенных конденсатора и резистора, если емкость
конденсатора 3,6 мкФ?
4.54. Найдите амплитудное значение тока в цепи, содержащей
I конденсатор емкостью 1 мкФ. Напряжение в электрической цепи
равно 250 В, а активное сопротивление 2,5 кОм. Конденсатор и резис-
тор соединены последовательно. Частота равна 50 Гц.
4.55. Конечность, на которую наложены электроды, имеют актив-
ное сопротивление 1 кОм и емкость 0,2 мкФ. Определите угол сдвига
фаз между током и напряжением для частоты 50 Гц, учитывая, что
активное и емкостное сопротивления соединены последовательно.
4.56. Почему в электрокардиографе для усиления электрического
сигнала необходимо использовать усилитель постоянного тока?
4.57. Колебательный контур аппарата для терапевтической диа-
термии состоит из катушки индуктивности и конденсатора емкостью
30 пФ. Определите индуктивность катушки, если частота генератора
равна 1 МГц.
4.58. Найдите индуктивное сопротивление и угол сдвига фаз меж-
ду током и напряжением в схеме, содержащей последовательно со-
единенные резистор и катушку индуктивности, если амплитудное
7 Ремизов дг?
значение тока равно 30 мА, напряжение 300 В, а активное сопротив-
ление 1 кОм. Нарисуйте векторную диаграмму.
4.59. Определите активное сопротивление катушки электромаг-
нитного реле в схеме рентгеновского аппарата, если индуктивность
катушки 150 Гн, ток равен 2,5 мА, напряжение 220 В, а частота сети
50 Гц.
4.60. Активное сопротивление терапевтического контура аппарата
УВЧ-терапии равно 5 • Ю30м, индуктивность составляет 27 мкГн,
а частота 40 МГц. Определите емкость конденсатора, коэффициент за-
тухания и период колебаний в контуре.
4.2. Магнитное поле.
Движение заряженных частиц
в электрическом и магнитном полях
Связь напряженности магнитного поля и магнитной индук-
ции в однородной безграничной среде
В = роргН, (4.14)
где — магнитная постоянная, цг — относительная магнит-
ная проницаемость.
Закон Био—Савара—Лапласа (рис. 4.7)
, г тг 7(1 /зш (X />| 1 ЕЪ
АН = —-—у- , (4.15)
4пг
или в векторной форме
ан = ^Цг, (4.16)
4пг
где ан — вектор напряженности магнитного поля, созданного
элементом тока ЛИ; г — радиус-вектор, проведенный от эле-
мента тока в точку А, в которой определяется ан, г = |г|.
Напряженность магнитного поля в центре кругового то-
ка радиуса г
Н = (4.17)
Напряженность магнитного поля, создаваемого прямоли-
нейным отрезком проводника с током,
Н = 4^ (81п «! + 8Ш а2), (4.18)
где Ь — расстояние от оси проводника до точки А (рис. 4.8).
Напряженность магнитного поля, создаваемого прямоли-
нейным бесконечно длинным проводником с током,
где Ь — расстояние от оси проводника до точки А.
Напряженность магнитного поля в центре длинного соле-
ноида
(4.20)
где — число витков, I — длина соленоида.
Сила, действующая на элемент тока 1<\1 в магнитном по-
ле с индукцией В (закон Ампера),
дР = /Ва/вшр, (4.21)
где Р — угол между В и <1/, или в векторной форме
ЙГ = ЛИ X В. (4.22)
Магнитный момент замкнутого плоского контура с то-
ком
рт = 18, (4.23)
где >8 — площадь, охватываемая контуром.
Момент силы, действующий на рамку с током в магнит-
ном поле,
М = ртВ еж а, (4.24)
или в векторной форме
М = ртхв, (4.25)
где а — угол между нормалью к плоскости рамки и магнитной
индукцией В.
ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре,
= (4-26)
Сила индукционного тока, текущего по контуру сопро-
тивлением В,
14Ф
П&1 *
(4.27)
Количество индуцируемого заряда в контуре с сопротив-
лением В
где АФ — изменение магнитного потока.
ЭДС взаимной индукции, возникающая в контуре,
%В = -М^, (4.29)
где М — взаимная индуктивность, — скорость изменения
силы тока в соседнем контуре.
ЭДС самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре
при изменении силы, тока в нем,
^С = "Ь-И, (4-30)
где Ь — индуктивность контура.
Индуктивность соленоида
I
(4.31)
где И — общее число витков, I — длина соленоида, 5 — пло-
щадь его сечения.
Энергия магнитного поля контура с током:
Г12
(4.32)
Объемная плотность энергии магнитного поля
О у-т-2
1 „„ 1 В Р(№гН ,Л „О.
СОм=2ВН=2^Го=—2~- (4'33)
Сила Лоренца
/Л = <7ОВ81П Р, (4.34)
где Р — угол между скоростью V движения заряда и магнитной
индукцией В, или в векторной форме
Гл = уч X В. (4.35)
Результирующая сила, действующая на движущуюся за-
ряженную частицу одновременно со стороны электрического
и магнитного полей,
Г<,т = ГР + Гл = ?Е + 7уХВ. (4.36)
4.61. По двум прямолинейным бесконечно длинным проводникам
(рис. 4.9) текут в противоположных направлениях токи силой
11 = 5 А и 12 ~ Ю А. Расстояние между проводниками I = 10 см. Най-
дите напряженность и индукцию магнитного ноля в точке А, лежа-
щей посередине между проводниками, и в точке В справа от провод-
ника с током 12 на расстоянии /1 = 2 см от него.
4.62. По двум длинным параллельным проводникам текут в про-
тивоположных направлениях токи, причем 12 = 21 Расстояние меж-
ду ними 1 — 5 см. Определите положение точек, в которых напряжен-
ность магнитного поля равна нулю.
Рис. 4.9
4.63. Вычислите напряженность магнитного поля, созданного от-
резком прямолинейного проводника длиной I — 8 см в точке, лежа-
щей на перпендикуляре к его середине на расстоянии г = 3 см от про-
водника, если по проводнику течет ток I — 20 А.
4.64. Из проволоки длиной I = 40 см сделана квадратная рамка, по
которой течет ток I = 10 А. Найдите напряженность и индукцию маг-
нитного поля в центре этой рамки. Относительная магнитная прони-
цаемость среды рг = 2.
4.65. По двум длинным параллельным проводам текут в оди-
наковом направлении токи Ц = 1 А и /2 = 2 А. Расстояние между
проводами 1 = 6 см. Определите напряженность магнитного поля
в точке, удаленной от первого провода на = 6 см и от второго на
Ь2 = 3 см.
4.66. По длинному проводу, согнутому под прямым углом
(рис. 4.10), течет ток I = 10 А. Определите напряженность магнитно-
го поля в точке А, если Ь = 2,5 см.
4.67. По тонкой катушке течет ток I = 7 А, радиус витков
г = 10 см. При каком числе витков К напряженность магнитного
поля в центре катушки будет Н = 245 А/м? Считать катушку пло-
ской.
4.68. Ток I = 1 А течет по изолированному проводнику, который
вначале является прямолинейным, затем делает круговую петлю ра-
диуса г = 5 см и далее снова выпрямляется (рис. 4.11). Найдите на-
пряженность и индукцию в центре кольца.
4.69. По проводу (рис. 4.12) течет ток I = 3,2 А. Чему равна ин-
дукция магнитного поля в центре полукруга (точка А)? Радиус его
г = 5 см.
4.70. В однородном магнитном поле В = 0,1 Тл расположен прямо-
линейный участок проводника с током I = 10 А под углом 30' к век-
тору магнитной индукции. Определите силу, с которой поле действу-
ет на каждый сантиметр участка проводника.
4.71. Равносторонний треугольник со стороной I = 10 см располо-
жен в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Найдите
силы, действующие на все стороны треугольника, если по нему течет
ток I = 5 А, а вектор индукции В параллелен одной из его сторон.
4.72. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током
I = 5 А расположена прямоугольная рамка (рис. 4.13), обтекаемая то-
ком 12 = 1 А. Найдите силы, действующие на каждую сторону рамки
со стороны поля, создаваемого прямым током, а также равнодейст-
вующую этих сил. Сторона рамки I = 10 см, расстояние от стороны
АВ до прямого провода Ь = 5 см.
4.73. В одной плоскости с длинным прямым проводником, по ко-
торому течет ток 1 = 10 А, расположена прямоугольная рамка так,
что большая сторона ее длины I = 5 см параллельна проводнику и рас-
стояние от проводника до этой стороны равно длине меньшей сторо-
ны. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку. Окру-
жающая среда — воздух.
4.74. Проволочное кольцо радиусом г = 3 см находится в однород-
ном магнитном поле напряженностью Н = 105 А/м. Плоскость кольца
составляет угол 30° с линиями напряженности. Вычислите магнитный
поток, пронизывающий кольцо. Окружающая среда — воздух.
4.75. Определите работу при перемещении на 50 см проводника
длиной I = 20 см, по которому течет ток I = 10 А, в однородном
магнитном поле с индукцией В = 0,7 Тл. Вектор индукции поля,
направления перемещения проводника и тока взаимно перпендику-
лярны.
Рис. 4.13
4.76. Определите магнитный момент соленоида при токе I — 0,3 А,
если число витков = 500, площадь витка 8 = 20 см2.
4.77. Согласно теории Бора, в невозбужденном атоме водорода элект-
рон движется вокруг ядра по окружности радиуса г — 0,53 • 10-8 см со
скоростью о = 2,2 • 106 см/с. Определите магнитный момент атома во-
дорода, обусловленный этим круговым током, и направление этого мо-
мента.
4.78. В однородном магнитном поле с индукцией В — 0,1 Тл нахо-
дится квадратная рамка с током силой 1 = 0,4 А. Плоскость рамки со-
ставляет с направлением поля угол а = 60°. Определите вращающий
момент, действующий на рамку, если сторона ее а = 2 см.
4.79. Определите максимальный вращающий момент, действую-
щий на квадратную рамку со стороной а = 5 см, помещенную в одно-
родное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл. По рамке течет ток
1= 1 А.
4.80. Короткая катушка площадью поперечного сечения 8 =
= 10 см2, содержащая А = 40 витков, по которым течет ток I = 1 А,
помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Оп-
ределите магнитный момент катушки, а также вращающий момент,
действующий на катушку, если между осью катушки и вектором ин-
дукции поля угол а = 60°.
4.81. В однородном магнитном поле свободно с периодом Т = 10 с
колеблется рамка с током I = 0,1 А. Площадь рамки 8 = 10 см2, мо-
мент инерции «1 = 2 • 103 кг • м2. Определите магнитную индукцию
поля. Максимальный угол отклонения рамки мал.
4.82. Рамка площадью 8 = 20 см2, содержащая А = 10 витков,
равномерно вращается с частотой 10 с-1 в однородном магнитном
поле с индукцией В = 0,04 Тл. Определите максимальную ЭДС, инду-
цируемую в рамке, если ось вращения лежит в плоскости рамки и
перпендикулярна линиям индукции.
4.83. Проволочная рамка площадью 8 = 40 см2 расположена пер-
пендикулярно индукции магнитного поля, которая изменяется по
закону В = 1 + е~2/. Определите ЭДС, индуцируемую в контуре
в момент I = 0,5 с.
4.84. Квадратная рамка со стороной I = 10 см расположена в маг-
нитном поле так, что плоскость рамки образует угол а = 30° с направ-
лением индукции поля, изменяющейся по закону В = ОДзтлХ. Опре-
104
делите закон, по которому изменяется ЭДС в рамке, и найдите ЭДС
в момент I = 4 с.
4.85. Катушка радиуса г = 4 см, имеющая А = 100 витков, нахо-
дится в магнитном поле. Чему равно среднее значение ЭДС индукции
в этой катушке, если индукция магнитного поля увеличивается в те-
чение I = 0,4 с от 1?! = 0 до #2 — 1,2 Тл?
4.86. Самолет, имеющий размах крыльев I = 40 м, летит горизон-
тально со скоростью V — 900 км/ч. Определите разность потенциалов
на концах крыльев, если вертикальная составляющая напряженнос-
ти магнитного поля Земли Н = 40 А/м.
4.87. Виток из проволоки площадью 8 = 20 см2 и сопротивлением
Я = 10 2 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,4 Тл. Плоскость витка составляет угол а = 90° с линиями ин-
дукции. Определите заряд, который протечет по витку, если его вы-
дернуть из поля.
4.88. Кольцо радиуса г = 4 см находится в магнитном поле напря-
женностью Н = 3 • 102 А/м. Плоскость кольца перпендикулярна лини-
ям поля. Каково сопротивление кольца, если при исчезновении поля
по кольцу протекает заряд д = 10-2 Кл? Окружающая среда — воздух.
4.89. Замкнутый провод длиной I = 4 м (сложенный вдвое) развер-
тывается в квадрат в магнитном поле Земли. Вычислите наведенный в
горизонтально расположенном контуре заряд, если известно, что со-
противление провода Я = 5 Ом. Среда — воздух. Вертикальная состав-
ляющая напряженности магнитного поля Земли Н = 40 А/м. Будет ли
больше наведенный заряд, если провод развертывается в окружность?
4.90. На катушку длиной I = 20 см и площадью поперечного сечения
8 = 20 см2 надет проволочный виток. Обмотка катушки имеет А = 100
витков, и по ней идет ток I = 1 А. Какая ЭДС индуцируется в надетом на
катушку витке, когда ток в катушке выключается в течение А/ = 10 2 с?
Относительная магнитная проницаемость среды = 5.
4.91. По катушке протекает ток I = 1 А, который создает в ней
магнитный поток Ф — 0,6 Вб. Сколько витков имеет катушка, если
длина катушки I = 40 см, радиус г = 5 см и относительная магнитная
проницаемость железного сердечника при этом токе р.г = 100?
4.92. На бумажный цилиндр, сечение которого 8 = 50 см2, наматы-
вается однослойная катушка. Густота намотки 20 витков на 1 см. При
какой длине катушки ее индуктивность Ь будет равна 5 • 103 Гн?
4.93. Соленоид с радиусом поперечного сечения г = 3 • 10-2 м изго-
тавливают, плотно наматывая провод диаметром д. = 0,6 мм. Какой
длины должен быть соленоид, если его индуктивность Ъ = 0,006 Гн?
4.94. При изменении силы тока в катушке на Д1 = 0,8 А за Д^ = 2 с
в другой замкнутой катушке, расположенной рядом с первой, возни-
кает ЭДС индукции I = 2 В. Определите взаимную индуктивность
катушек.
4.95. По первичной обмотке трансформатора течет ток, сила кото-
рого изменяется по закону I - 12 еш 10л1. Найдите максимальное
значение ЭДС, индуцируемой во вторичной обмотке, если взаимная
индуктивность обмоток трансформатора Ь = 0,1 Гн.
4.96. Сила тока в соленоиде изменяется по закону I = Юг - I2.
Индуктивность соленоида Ь = 10 Гн. Какая ЭДС самоиндукции будет
в соленоиде через Д( = 2 с?
4.97. Вычислите среднюю ЭДС самоиндукции, получающуюся
при размыкании тока в электромагните. Число витков И — 1000, по-
перечное сечение соленоида 8 = 10 см2, индукция В = 1,5 Тл, время
размыкания Д< = 0,01 с.
4.98. Какова энергия магнитного поля в катушке длиной
I = 50 см, имеющей И = 103 витков диаметром д. = 20 см, если по ней
протекает ток 1 = 2 мА? Найдите объемную плотность энергии.
4.99. Определите энергию магнитного поля в катушке, если длина
ее I = 50 см, площадь поперечного сечения 8 = 20 см2, число витков
И = 1000. По катушке течет ток I = 2 А. Относительная магнитная
проницаемость железного сердечника при этой силе тока = 150.
4.100. При индукции магнитного поля В = 0,1 Тл плотность энер-
гии магнитного поля в железе 0)м = 10 Дж/м3. Какова относительная
магнитная проницаемость железа при этих условиях?
4.101. Напряженность магнитного поля тороида со стальным сер-
дечником возросла от Ну = 200 А/м до Н2 = 800 А/м. Во сколько раз
изменилась объемная плотность энергии магнитного поля? Магнит-
ная индукция полей соответственно равна Ву = 0,5 Тл и В2 = 1,25 Тл.
4.102. По длинному прямолинейному проводнику течет ток
I = 3 А. Определите, как убывает плотность энергии магнитного поля
с расстоянием от прямого тока. Найдите плотность энергии магнит-
ного поля на расстоянии Ь = 5 см от прямого тока. Среда — воздух.
4.103. Найдите удельный заряд для протона, если он, влетая со
скоростью V = 108 см/с в однородное магнитное поле напряженно-
стью Н = 2 • 105 А/м, движется по дуге окружности, радиус которой
г = 4,2 см. Направления скорости протона и индукции магнитного
поля перпендикулярны.
4.104. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью по-
тенциалов, влетают в однородное магнитное поле. У какой частицы
и во сколько раз радиус кривизны траектории будет больше?
4.105. Электрон, пройдя разность потенциалов 17 — 300 В, влетает
в магнитное поле с напряженностью Н = 8 • 103 А/м перпендикуляр-
но индукции поля. Определите радиус его траектории.
4.106. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл дви-
жется протон. Траектория его движения представляет собой винто-
вую линию с радиусом г = 30 см и шагом к = 20 см. Определите кине-
тическую энергию протона. Масса его т = 1,67 • 10 27 кг.
4.107. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией
В = 1 мТл. Траектория движения электрона представляет собой вин-
товую линию с радиусом г - 1,8 -10 2 м и шагом к ' 0,2 м. Определи-
те скорость электрона и ее направление.
4.108. Электрон движется по окружности в однородном магнит-
ном поле с индукцией В = 0,18 Тл. Определите период обращения
электрона.
Оптика
5.1. Интерференция
Оптическая длина пути
Ь = пх, (5.1)
где х — геометрическая длина пути волны, п — показатель
преломления среды.
Соотношение между разностью фаз Д<р и оптической разно
стью хода 8 двух волн с одинаковой длиной волны Л. в вакууме
Д<р=^8. (5.2)
Условие максимума интенсивности света при интерфе-
ренции
6 = к\; (5.3)
условие минимума
х (2Л + 1)Х , _ , „ ,е
о = 1-2—~ , к = О, 1, 2, ... . (5.4)
Условие максимума интерференции в тонкой пленке для
отраженного света
Г~2 (2/г+1)Х
21^1 п - 81П I =--2—> (5.5)
где I — толщина пленки, п — показатель преломления ве-
щества пленки, I — угол падения. В формуле учтена потеря
«полволны» при отражении от оптически более плотной сре-
ды.
Условие минимума интерференции
21 ~ 81П2/ = к'к. (5.6)
Для интерференции в проходящем свете формула (5.5) соот-
ветствует условию минимума, а (5.6) — максимума.
Закон преломления
8111 I
8111 г
(5.7)
где I — угол падения, г — угол преломления.
5.1. Разности хода двух интерферирующих волн в вакууме равны:
а) 0; б)0,2Л.; в) 0,5?.; г) X; д) 1,2Л. Чему равна соответствующая раз-
ность фаз?
5.2. Разности фаз двух интерферирующих волн равны: а) 0; б) л/3;
в) л/2; г) л; д) 2л; е) Зл. Скольким длинам волн в вакууме будут соот-
ветствовать оптические разности хода этих волн?
5.3. На пути луча света перпендикулярно ему поставлена стеклян-
ная пластинка (п = 1,5) толщиной I = 1 мм. На сколько при этом из-
менится оптическая длина пути?
5.4. Два параллельных луча I и II падают на стеклянную (п =1,5)
призму с преломляющим углом <р = 30" и после преломления выходят
из нее (рис. 5.1). Найдите оптическую разность хода лучей после пре-
ломления; Л = 2 см.
5.5. Оптическая разность хода двух когерентных лучей в некото-
рой точке экрана равна 8 = 4,36 мкм. Каков будет результат интерфе-
ренции света в этой точке экрана, если длина волны света равна:
а) 670,9 нм; б) 435,8 нм; в) 536,0 нм?
5.6. Оптическая разность хода интерферирующих лучей 8 = 2,5 мкм.
Найдите все длины волн видимого диапазона (от 0,76 до 0,4 мкм), кото-
рые дают в этом случае максимум интерференции.
5.7. Оптическая разность хода интерферирующих лучей 8=2 мкм.
Найдите все длины волн видимого диапазона (от 0,76 до 0,4 мкм), ко-
торые дают в этом случае минимум интерференции.
5.8. Один луч от источника 5 монохроматического света (X —
= 0,76 мкм) падает в точку А экрана Э непосредственно, другой —
после отражения от плоского зеркала В (рис. 5.2); 8А = 2 м, 8С = 1 м,
ВС = 2 мм. Что будет наблюдаться в точке А в результате интерферен-
ции лучей — свет или темнота?
5.9. Два монохроматических (X = 0,6 мкм) параллельных луча I и
II идут на расстоянии Л = 2 см друг от друга. На пути луча II постав-
лена стеклянная (п = 1,5) призма (рис. 5.3). Луч II проходит в призме
путь 11 = 1 см и, преломляясь, пересекает луч I в точке Л на расстоя-
нии /2 = 15 см от вертикального катета призмы. Найдите разность оп-
тических путей обоих лучей в точке О. Каков будет результат интер-
ференции лучей в этой точке?
5.10. Как и во сколько раз изменится расстояние между соседни-
ми интерференционными полосами на экране Э в опыте Юнга
(рис. 5.4), если зеленый светофильтр (X) = 500 нм) заменить красным
(Х2 = 650 нм)?
5.11. Как и во сколько раз изменится расстояние между соседни-
ми интерференционными полосами на экране Э в опыте Юнга
(рис. 5.4), если всю установку поместить в воду?
5.12. Два когерентных источника света 51 и $2 расположены
в плоскости чертежа (рис. 5.5) на расстоянии Ь друг от друга и I от
экрана Э (I Ь). Установите зависимость разности хода интерфери-
рующих волн от координаты х точки экрана. Расчет произвести для
сечения, совпадающего с плоскостью чертежа. Какой вид будет иметь
интерференционная картина на всей плоскости экрана?
5.13. Голограмму получают как интерференцию опорной волны,
идущей от источника света, и сигнальной — отраженной от пред-
мета. Все тела могут рассматриваться как совокупности точек, по-
этому принципиальный интерес имеет голограмма точки, регист-
рация которой схематически изображена на рис. 5.6. Здесь: А — точ-
ка предмета, г — фотопластинка, которая после проявления даст го-
лограмму, I — опорная и II — сигнальная волны. Вычислите, на
каком расстоянии х от точки О голограммы будут расположены по-
следующие темные (или светлые) линии: пятая Х5, десятая Хщ, пят-
надцатая х^. Линия, проходящая через точку О, считается нулевой.
Покажите, что расстояния между соседними однотипными линиями
уменьшаются с увеличением х. Для этого найдите Ахг, 4 = Х5 — х4;
△х10, 9 = хю — х9» Ах15, 14 = х15 ~ х14- Расстояние АО — 50 см,
X = 0,5 мкм. Какую форму имеют линии голограммы?
5.14. Расстояние между когерентными источниками света (1 =
= 0,5 мм, расстояние от источников до экрана I = 5 м. В зеленом свете
получились интерференционные полосы на расстоянии Ах = 5 мм
друг от друга. Найдите длину волны зеленого света.
5.15. Два когерентных источника света (X = 0,5 мкм) дают на эк-
ране интерференционную картину. Как изменится эта картина, если
на пути одного из лучей поместить плоскопараллельную стеклянную
(п2 = 1,5) пластинку толщиной I = 10,5 мкм?
5.16. Выразите условия максимума и минимума интерференции
света в тонкой пленке через угол преломления г.
5.17. Покажите, что для интерференции в проходящем свете (лу-
чи 1 и 2) формула (5.4) соответствует условию минимума, а (5.5) —
максимума (рис. 5.7).
5.18. Почему интерференция при отражении от пленки наблюда-
ется более отчетливо (контрастно), чем в проходящем свете?
5.19. На мыльную пленку (п = 1,33) падает белый свет под углом
I = 45°. При какой наименьшей толщине пленка в отраженном свете
будет выглядеть окрашенной в желтый цвет (X = 6 • 10 а см)?
5.20. Мыльная пленка толщиной I = 0,3 мкм освещается белым
светом под углом падения I = 0° и рассматривается в отраженном све-
те. Какого цвета при этом мыльная пленка?
Предположить, что цвет пленки определяется длиной волны, на
которую приходится максимум интерференции.
5.21. На мыльную пленку под углом I = 30° падает параллельный
пучок монохроматического света (к = 600 нм). При какой минималь-
ной толщине пленки она будет светлой в отраженном свете?
5.22. На толстую стеклянную пластинку, покрытую тонкой плен-
кой с показателем преломления п = 1,4, падает нормально параллель-
ный пучок монохроматического света с X = 0,6 мкм. Отраженный свет
максимально ослаблен вследствие интерференции. Определите мини-
мальную толщину пленки.
5.23. Как на основе интерференции света объяснить переливчатые
цвета крыльев некоторых насекомых и птиц?
5.24. Для уменьшения коэффициентов отражения (доли отражен-
ного света) поверхностей оптических деталей на них наносят одну
или несколько непоглощающих пленок (просветление оптики). В ре-
зультате интерференции света, отраженного от передних и задних
границ просветляющих пленок, происходит ослабление отраженных
волн и усиление проходящего света. При углах падения, близких к
нормальному, эффект просветления оптики максимален, если тол-
щина пленки удовлетворяет условию минимума интерференции, а
показатель преломления пленки равен п = Л/п1п2 > гДе П1 и п2 — пока-
затели преломления сред, граничащих с пленкой. Найдите мини-
мальную толщину пленки и ее показатель преломления при условии,
что пленка нанесена на стеклянную поверхность для создания мини-
мального отражения в желто-зеленой области (Л — 555 нм) — области
наибольшей чувствительности человеческого глаза.
5.25. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластин-
ками, положенными одна на другую, поместили тонкую проволочку
(рис. 5.8). Проволочка находится на расстоянии I = 5 см от линии со-
прикосновения пластинок и ей параллельна. На верхнюю пластинку
нормально падает монохроматический свет (Л = 0,6 мкм). В отражен-
ном свете на протяжении каждого сантиметра видно 20 интерферен-
ционных полос. Найдите толщину проволочки.
5.26. На стеклянный (п = 1,5) клин падает нормально пучок света
(Л, = 5,8 • 10 ' м). Угол клина равен 20”. Какое число темных интер-
ференционных полос приходится на единицу длины клина?
5.27. Плосковыпуклая линза касается плоской стеклянной плас-
тинки (рис. 5.9). На линзу падает параллельный пучок света. Между
лучами, отраженными от сферической поверхности линзы («) и от по-
верхности пластинки (б), имеется разность хода, которая зависит от
расстояния между линзой и пластинкой. В результате интерферен-
ции этих лучей образуются линии равной толщины — темные и свет-
лые кольца (кольца Ньютона), которые можно наблюдать как в отра-
женном, так и в проходящем свете. Получите выражения для ра-
диусов г/е темных и светлых колец Ньютона в отраженном свете.
Известен радиус кривизны И линзы. Между линзой и пластинкой на-
ходится воздух.
5.28. Кольца Ньютона наблюдаются в отраженном свете
(А. = 589 нм) под углом I = 0°. В некоторой точке толщина воздушного
слоя между выпуклой поверхностью линзы и плоской пластинкой
I = 1,767 мкм. Какое кольцо — светлое или темное — будет прохо-
дить через эту точку?
5.29. Радиус кривизны плосковыпуклой линзы В = 4 м. Чему рав-
на длина волны падающего на линзу света, если радиус пятого свет-
лого кольца в отраженном свете г5 = 3,6 мм?
5.30. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается моно-
хроматическим светом. Наблюдение ведется в отраженном свете. Ра-
диусы соседних темных колец = 4 мм и г/г+1 = 4,38 мм. Радиус
кривизны линзы В = 6,4 м. Найдите порядковые номера колец и дли-
ну волны падающего света.
5.31. Каково расстояние между десятым и одиннадцатым темны-
ми кольцами Ньютона, рассматриваемыми в отраженном монохрома-
тическом свете, если расстояние между первым и вторым темными
кольцами равно 0,41 мм?
5.32. Одна из причин, по которой невозможно наблюдать интерфе-
ренцию в толстых пленках (пластинках), заключается в нестрогой
монохроматичности света: интерференционные картины от различ-
ных длин волн накладываются друг на друга. Рассчитайте предель-
ную толщину стеклянной (п = 1,5) плоскопараллельной пластинки
для наблюдения интерференции в отраженном свете при нормальном
падении лучей. Предположить, что длина волны света изменяется в
интервале от X] = 600 нм до Л,2 = 600,2 нм.
5.33. Схема интерферометра, служащего для измерения по-
казателей преломления прозрачных веществ, представлена на
рис. 5.10. Здесь: 8— узкая щель, освещаемая монохроматическим
светом (А. = 600 нм); 1 и 2 — две одинаковые трубки с воздухом, дли-
на каждой из которых I = 10 см, Д— диафрагма с двумя щелями.
Когда воздух (п = 1,000256) в трубке 1 заменили углекислым газом,
то интерференционная картина на экране Э сместилась на ДО = 15 по-
лос. Определите показатель преломления углекислого газа.
5.34. На пути одного из лучей в интерферометре Жамена
(рис. 5.11) поместили вакуумированную трубку длиной / = 7 см. По
мере заполнения этой трубки азотом интерференционная картина
сместилась на ТУ = 57 полос. Найдите показатель преломления азота
при этих условиях. Длина волны света X = 600 нм.
5.35. На сколько необходимо переместить одно из зеркал (1 или 2)
в интерферометре Майкельсона (рис. 5.12), для того чтобы интерфе-
ренционная картина сместилась на ^ = 150 полос? Длина волны све-
та X = 500 нм.
5.2. Дифракционные явления
Условия максимума в случае дифракции от одной щели при
нормальном падении на нее параллельного пучка монохрома-
тического света
а 81па = ±(2/; (а = 0); (5.8)
условие минимума
а8тос = ±йХ, (5.9)
где а — ширина щели; к = 1, 2, 3, ... — порядковый номер мак-
симума или минимума; а — угол между нормалью к плоскости
щели и направлением на максимум или минимум.
Основная формула дифракционной решетки (условие для
главных максимумов):
с зш а = ±/гХ,
(5.10)
где к = 0, 1, 2, ... — порядок главных максимумов, с — посто-
янная (период) дифракционной решетки.
(5.11)
Условие добавочных минимумов для дифракционной ре-
шетки
с 8ша = ±^,±^ ±, ...,±(П-1)^,
+(Я + 1)^, +(И + 2)^, ... , - 1)^ и т. д.
Угловая дисперсия
О - —
(IV
Угловая дисперсия дифракционной решетки
(5.12)
(5.13)
ссо8 а'
Разрешающая способность дифракционной решетки
(5-14)
/хл
где АХ = (Л! - Х2) — разность предельно разрешимых (различи-
мых) длин волн; — число щелей решетки.
Условие главных максимумов при наклонном падении све-
та на дифракционную решетку
с(б!п Р - зт а) = ±ЛХ, (5.15)
где Р — угол падения лучей на решетку.
Условие дифракционных максимумов при отражении
рентгеновских лучей от кристалла (формула Вульфа—Брэг-
га):
2/Б1п0=/гХ, (5.16)
где I — межплоскостное расстояние; 0 — угол скольжения
(угол между отражающей плоскостью и падающими лучами),
к = 1,2,3....
Предел разрешения микроскопа (при отражении света от
объекта) при наклонном падении света на объект
г = 0,5 . \ /9. =0,5^, (5.17)
п зш (и/2) ’ А ' ’
где X — длина волны в вакууме; п — показатель преломления
среды, находящейся между предметом и линзой объектива;
и — угловая апертура (угол между крайними лучами кониче-
ского светового пучка, входящего в оптическую систему);
А = п 81п(и/2) — числовая апертура.
5.36. На щель шириной а = 0,2 мм падает нормально монохромати -
ческий свет (X = 0,64 мкм). Определите в угловых единицах ширину
центральной светлой полосы. Считать, что границе светлой полосы
соответствует минимум.
5.37. На щель падает нормально монохроматический свет. Угол
отклонения лучей, соответствующих второму минимуму, равен
2°18'. Скольким длинам волн падающего света равна ширина
щели?
5.38. Длина волны падающего на щель нормально монохромати-
ческого света укладывается в ширине щели шесть раз. Под каким уг-
лом будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?
5.39. Щель шириной а = 0,1 мм освещена монохроматическим
светом (X = 500 нм), падающим нормально, и рассматривается
наблюдателем, находящимся за щелью. Что видит глаз наблюдателя,
если луч зрения образует с нормалью к поверхности щели угол 17'?
угол 43'?
5.40. На дифракционную решетку с периодом с = 0,004 мм падает
нормально монохроматический свет. При этом главному максимуму
четвертого порядка соответствует отклонение от первоначального на-
правления на угол а = 30°. Определите длину волны света.
5.41. Длина волны красной линии кадмия равна 643,8 нм. Каков
угол отклонения линии в спектре первого порядка, если дифракцион-
ная решетка имеет 5684 штриха на 1 см? Сколько добавочных мини-
мумов образуется между соседними главными максимумами? Шири-
на решетки 1 — 5 см.
5.42. Монохроматический свет (X = 0,6 мкм) падает нормально на
дифракционную решетку, содержащую 400 штрихов на 1 мм. Опре-
делите угол отклонения, соответствующий максимуму наивысшего
порядка. Найдите общее число дифракционных максимумов, кото-
рые дает эта решетка.
5.43. В задаче 5.13 было показано, как формируется голограмма
точки. Голограмма состоит из концентрических темных и светлых
окружностей с центром в точке О. С возрастанием радиуса расстояние
между соседними окружностями уменьшается. Вырежем из голо-
граммы узкую полоску вдоль одного из диаметров окружностей. По-
лученная часть подобна дифракционной решетке с переменным пери-
одом (рис. 5.13). Освещая эту необычную решетку светом, падающим
нормально, можно восстановить изображение. Найдите углы, соот-
ветствующие главному максимуму первого порядка, для Х5, х10 и
Х15- За период решетки соответственно принимать: Ахг, 4, Ах10 9 и
△^15, 14> = 0,5 мкм. Покажите условно графически тремя лучами,
как формируется при этом изображение точки.
5.44. На дифракционную решетку Д нормально к ее поверхности
падает параллельный пучок лучей (А. = 0,5 мкм). Помещенная вблизи
решетки линза I проецирует дифракционную картину на плоский эк-
ран Э, удаленный от линзы на I — 1 м (рис. 5.14). Расстояние между
двумя максимумами первого порядка, наблюдаемыми на экране,
а = 20,2 см. Определите: а) постоянную дифракционной решетки;
б) число штрихов на 1 см; в) теоретически возможное число максиму-
мов, которые способна дать решетка; г) угол отклонения лучей, соот-
ветствующий последнему дифракционному максимуму.
5.45. На дифракционную решетку падает нормально свет. При
этом максимум второго порядка для линии А^ = 0,65 мкм соответст-
вует углу = 45°. Найдите угол, соответствующий максимуму
третьего порядка для линии А,2 = 0,50 мкм.
5.46. Имеется дифракционная решетка с 500 штрихами на 1 мм,
освещаемая фиолетовым светом (А. = 0,4 мкм). Определите угловое
расстояние между максимумами первого порядка.
5.47. Дифракционная решетка, имеющая 500 штрихов на 1 мм,
дает на экране, отстоящем от линзы на I — 1 м, спектр. Определите,
на каком расстоянии друг от друга будут находиться фиолетовые гра-
ницы спектров второго порядка.
Рис. 5.14
5.48. На решетку с постоянной с = 0,006 мм нормально падает мо-
нохроматический свет. Угол между соседними спектрами первого и
второго порядков Да = 4°36'. Определите длину световой волны. При
решении использовать приближенное равенство яп а ~ а.
5.49. Найдите наибольший порядок дифракционного спектра
желтой линии натрия (Л = 589 нм) в дифракционной решетке, содер-
жащей 200 штрихов на 1 мм.
5.50. Могут ли перекрываться спектры первого и второго поряд-
ков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом
(Лф = 400 нм и Акр = 760 нм)?
5.51. При освещении дифракционной решетки белым светом
спектры второго и третьего порядков отчасти накладываются друг на
друга. На какую длину волны в спектре второго порядка накладыва-
ется фиолетовая граница (А. = 0,4 мкм) спектра третьего порядка?
5.52. На дифракционную решетку нормально падает пучок света
от газоразрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию
в спектре четвертого порядка накладывается красная линия гелия
(?,кр = 6,7 • 10-5 см) спектра третьего порядка?
5.53. На дифракционную решетку под углом Р = 20° падает моно-
хроматический свет (Л. = 500 нм). Постоянная дифракционной решет-
ки с = 2 мкм. Под какими углами будут расположены главные макси-
мумы второго порядка?
5.54. Определите угловую дисперсию дифракционной решетки
для Л = 589 нм в спектре первого порядка. Постоянная решетки рав-
на с = 2,5 • 10-4 см.
5.55. Используя условие задачи 5.53, вычислите наибольшее, те-
оретически возможное, число образованных главных максимумов.
5.56. Постоянная дифракционной решетки с — 0,02 мм, ширина
решетки I = 1 см. Можно ли, пользуясь этой решеткой, увидеть раз-
дельно в спектре первого порядка дублет желтой линии ртути
(А-х = 576,96 нм, А-2 = 579,06 нм)?
5.57. Под углом а — 30° наблюдается четвертый максимум для
красной линии кадмия (Лкр = 0,644 мкм). Определите постоянную
дифракционной решетки и ее ширину, если она позволяет различить
Дл = 0,322 нм.
5.58. Дифракционная решетка с постоянной с = 3 мкм имеет п =
= 1000 штрихов. Определите наибольшую разрешающую способность
решетки для линии натрия с Л = 589,6 нм.
5.59. Длины волн дублета желтой линии в спектре натрия равны
588,995 и 589,592 нм. Какую ширину должна иметь решетка, содер-
жащая 600 штрихов на 1 мм, чтобы различить эти линии в спектре
первого порядка?
5.60. Рентгеновское излучение с длиной волны к = 0,163 нм
падает на кристалл каменной соли. Найдите межнлоскостное
расстояние кристаллической решетки каменной соли, если диф-
ракционный максимум перв эго порядка наблюдается при угле сколь-
жения 0 = 17°.
5.61. Рентгеновское излуч >ние с длиной волны к = 0,2 нм падает
на монокристалл. Чему равен угол скольжения, если в спектре второ-
го порядка получен максимум? Межплоскостное расстояние равно
I = 0,3 нм.
5.62. Определите предел разрешения микроскопа при наилучших
условиях освещения для объектива: а) безыммерсионного с числовой
апертурой А = 0,9; б) с масляной иммерсией (и = 1,6). Расчет произ-
вести для длины волны в вакууме к = 550 нм.
5.63. В современных оптических микроскопах апертурный угол
достигает наибольшего значения и = 140°. Найдите предел разреше-
ния такого микроскопа в двух случаях: а) для наиболее коротковол-
новой части видимого света; б) для к = 555 нм, наиболее чувствитель-
ной к глазу. Объектив безыммерсионный (сухая система). Объект
освещается наклонным пучком света.
5.64. Во сколько раз можно повысить разрешающую способность
микроскопа, перейдя к фотографированию в ультрафиолетовых
лучах (А.1 = 270 нм) по сравнению с фотографированием в зеленых
лучах (Х2 = 550 нм)?
5.65. Нормальный глаз человека на расстоянии наилучшего зре-
ния различает две точки, удаленные одна от другой на 70 мкм. Раз-
мер изображения на сетчатке в этом случае равен среднему расстоя-
нию между двумя колбочками. Оцените, исходя из формулы (5.17),
предел разрешения глаза, принимая диаметр зрачка д. = 2 мм, а дли-
ну волны к = 555 нм. Формула (5.17) получена из самых общих сооб-
ражений дифракционной теории, поэтому ее можно использовать и
для глаза.
5.66. В каком случае большую роль играет дифракция в глазу:
при большей или меньшей яркости света? Чем объясняется нерез-
кость изображений в сумерках?
5.3. Поляризация света
Интенсивность света, вышедшего из анализатора (закон
Малюса),
I = 10со82 (р, (5.18)
где 1ц — интенсивность плоскополяризованного света, падаю-
щего на анализатор; (р — угол между плоскостью поляризации
поляризованного света и главной плоскостью анализатора.
Закон Брюстера
1%1Б = п, (5.19)
где п — относительный показатель преломления двух сред;
— угол полной поляризации.
Угол поворота плоскости поляризации'.
в оптически активном веществе
а = а01; (5.20)
в растворе
а. = [а0]с/, (5.21)
где Пр — постоянная вращения (вращательная способность),
[ар] — удельное вращение, с — концентрация раствора опти-
чески активного вещества, I — толщина слоя оптически актив-
ного вещества или раствора.
5.67. Две призмы Николя расположены так, что угол между их
главными плоскостями составляет <р = 60°. Во сколько раз уменьшит-
ся интенсивность естественного света при прохождении его: а) через
одну призму; б) через обе призмы? При прохождении каждой призмы
потери на отражение и поглощение составляют 5%.
5.68. Чему равен угол между главными плоскостями поляризато-
ра и анализатора, если интенсивность естественного света, прошед-
шего через эти призмы, уменьшилась в четыре раза? Поглощением
света пренебречь.
5.69. Главные плоскости двух призм Николя, поставленных на
пути луча, образуют между собой угол <Р] = 60°. Как изменится ин-
тенсивность света, прошедшего через эти призмы, если угол между
их плоскостями поляризации станет равным <Р2 = 30°?
5.70. Во сколько раз ослабляется естественный свет, проходя че-
рез две призмы Николя, главные плоскости которых составляют угол
<р = 30°, если в каждой призме на отражение и поглощение теряется
10% падающего на него светового потока?
5.71. В фотометре одновременно рассматриваются две половины
поля зрения: в одной видна эталонная светящаяся поверхность с ос-
вещенностью Е1 = 100 лк, в другой испытуемая поверхность, свет от
которой проходит через две призмы Николя. Граница между обеими
половинами поля зрения исчезает, если вторая призма повернута от-
носительно первой на угол <р = 45°. Найдите освещенность испытуе-
мой поверхности, если известно, что в каждом из никелей теряется
10% падающего на него света. Считать освещенность пропорциональ-
ной интенсивности света.
5.72. Между двумя скрещенными поляроидами размещается тре-
тий поляроид так, что его главная плоскость составляет угол <р = 45° с
главной плоскостью первого поляроида. Как изменится интенсив-
ность естественного света, проходящего через такое устройство? По-
глощением света в поляроидах пренебречь.
5.73. Пучок естественного света падает на систему из четырех
призм Николя, главная плоскость каждой из которых повернута на
угол <р = 60° относительно главной плоскости предыдущей призмы.
Во сколько раз уменьшится интенсивность света, проходящего через
эту систему? Поглощением света пренебречь.
5.74. Угол преломления луча в жидкости г = 35°. Определите по-
казатель преломления жидкости, если известно, что отраженный луч
максимально поляризован.
5.75. Свет падает под углом полной поляризации на границу раз-
дела двух сред. Какой угол образуют между собой отраженный и пре-
ломленный лучи?
5.76. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце,
чтобы его лучи, отраженные от поверхности моря, были бы полно-
стью поляризованы?
5.77. Предельный угол полного отражения для некоторого веще-
ства равен 1пр = 60°. Чему равен для этого вещества угол полной поля-
ризации? Какова скорость света в этом веществе?
5.78. При переходе луча света из стекла в воду предельный угол
оказался равным 1пр = 62°. Под каким углом на поверхность стекла
должен падать луч, идущий в воде, чтобы отраженный луч был пол-
ностью поляризован?
5.79. Пучок плоскополяризованного света, длина волны которого
X = 650 нм, падает нормально на пластинку исландского шпата, вы-
резанную параллельно его оптической оси. Найдите длины волн
обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показате-
ли преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкно-
венного лучей равны по = 1,66 и пе = 1,49.
5.80. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку
исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси крис-
талла. Толщина пластинки I = 0,2 мм. Показатели преломления ис-
ландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей равны
и0 = 1,66 и пе = 1,49. Определите, чему равна разность хода обоих лу-
чей при выходе из пластинки.
5.81. Пучок монохроматического света падает нормально на плас-
тинку кристаллического кварца, вырезанную параллельно оптиче-
ской оси. Определите толщину пластинки, при которой произойдет
сдвиг фаз обыкновенной и необыкновенной волн на 90°.
Для используемого света (А = 600 нм) показатели преломления обы-
кновенного и необыкновенного лучей равны — 1,544 и пе = 1,553.
5.82. Определите толщину кварцевой пластинки, для которой
угол поворота плоскости поляризации света с длиной волны А -
= 500 нм равен а = 48°. Постоянная вращения кварца для этой длины
волны а0 = 30°/мм.
5.83. Между скрещенными призмами Николя поместили пластин-
ку кварца толщиной I = 3 мм, в результате чего поле зрения стало
максимально светлым. Определите постоянную вращения используе-
мого в опыте кварца для монохроматического света.
5.84. Естественный свет проходит через систему из двух скрещен-
ных поляроидов, между которыми расположена кварцевая пластин-
ка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Определите мини-
мальную толщину пластинки, при которой свет с длиной волны
А! = 436 нм будет полностью задерживаться этой системой, а свет с
длиной волны А2 = 497 нм пропускаться наполовину. Постоянная
вращения кварца для этих длин волн равна а'о = 41,5 град/мм
и ад = 31,1 град/мм.
5.85. Определите удельное вращение раствора сахара, концентра-
ция которого с = 0,33 г/см3, если при прохождении монохроматиче-
ского света через трубку с раствором угол поворота плоскости поля-
ризации а = 22°. Длина трубки I = 10 см.
5.86. Определите угол поворота плоскости поляризации светового
луча для мочи больного диабетом при концентрации сахара с =
- 0,05 г/см3. Длина трубки I = 20 см, удельное вращение сахара для
используемого света [а0] = 6,67 град • см2/г.
5.87. Раствор сахара, налитый в трубку длиной I = 20 см и по-
мещенный между поляризатором и анализатором, поворачивает
плоскость поляризации света (X = 0,5 мкм) на а = 30°. Найдите
(в граммах на кубический сантиметр) концентрацию сахара в рас-
творе, если удельное вращение сахара для этой длины волны
[а0] — 6,67 град • см2/г.
5.88. При прохождении света через слой 10% -кого раствора саха-
ра толщиной 1г = 10 см плоскость поляризации света повернулась на
угол ах = 16°30'. В другом растворе сахара, взятом в слое толщиной
^2 = 25 см, плоскость поляризации повернулась на угол а% = 33°. Най-
дите концентрацию второго раствора.
5.89. Между скрещенными поляризатором и анализатором
находится стеклянная трубка длиной I = 30 см, заполненная рас-
твором сахара. При каких концентрациях раствора сахара можно
наблюдать максимальное просветление поля зрения анализатора?
Удельное вращение раствора сахара для используемого света [а0] =
= 6,82 град • см2/г, а максимальная концентрация сахара с = 2 г/см3.
5.4. Тепловое излучение тел. Фотоны
Спектральная плотность энергетической светимости
= “аГ или = "аГ’ (5-22)
где (или д/?еу) — энергетическая светимость, соответст-
вующая небольшому интервалу длин волн дл (или соответст-
вующему интервалу частот йу).
Энергетическая светимость тела
ОО ОО
Ве = | гех<1Л или Ве = | геус1у. (5.23)
о о
Коэффициент поглощения
погл
ф
пад
а =
(5.24)
где Фпогл — поток излучения, поглощенного данным телом;
Фпад — поток излучения, падающего на тело. Тело, для кото-
рого а = 1, называют черным. Тело, для которого а < 1 и не за-
висит от А, называют серым.
Закон Кирхгофа
= =
Ыг
(5.25)
где индексы 1, 2 и т. д. означают различные тела, е^ — спект-
ральная плотность энергетической светимости черного тела.
Формула Планка
9 2
2лйс 1 2лЛу 1
еХ— ,5 Лс/(*ТА) ’ ИЛИ Е* 2 Лу/(ЛТ) ’ (5-26)
Ле -1 се-1
где Л — постоянная Планка.
Закон Стефана—Больцмана
Ве = сТ*, (5.27)
где Ке — энергетическая светимость черного тела, Т — термо-
динамическая температура этого тела, о — постоянная Стефа-
на—Больцмана.
Закон Вина
= Ь
тах гр »
(5.28)
где Хтах — длина волны, соответствующая максимуму спект-
ральной плотности энергетической светимости черного (серо-
го) тела; Ъ — постоянная Вина.
Энергия, масса и импульс фотона
. Нс е = Лу=т; (5.29)
Ну _ Н т~ с2 ~ ; (5.30)
Лу Н (5.31)
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
2
^ = А+^~, (5.32)
2
... т1>
где «V — энергия фотона; —— максимальная кинетическая
Л
энергия электрона, вылетевшего из металла; А — работа выхо-
да электрона из металла.
5.90. Спектральная плотность энергетической светимости черно-
го тела в некотором интервале длин волн = 3 • 104 Вт/(м2 • нм).
Определите соответствующую спектральную плотность энергетиче-
ской светимости серого тела, имеющего ту же температуру и коэффи-
циент поглощения а = 0,8.
5.91. При какой температуре энергетическая светимость черного
тела равна Ке = 500 Вт/м2?
5.92. При какой температуре энергетическая светимость серого
тела равна Ке = 500 Вт/м2? Коэффициент поглощения а = 0,5.
5.93. Определите энергию, излучаемую через смотровое окошко
печи в течение I = 1 мин. Температура печи Т = 1500 К, площадь
смотрового окошка 5=10 см2. Считать, что печь из л учает как черное
тело.
5.94. Найдите температуру печи, если известно, что из отверстия в
ней площадью 5 = 6 см2 излучается 7 кал в 1 с. Считать излучение
близким к излучению черного тела.
5.95. Поверхность черного тела нагрета до температуры Т =
= 1000 К. Во сколько раз изменится мощность излучения этого тела,
если половину поверхности нагреть, а другую половину охладить на
△7=100 К?
5.96. Определите энергетическую светимость тела человека при
температуре I = 36 °С, принимая его за серое тело с коэффициентом
поглощения а = 0,9.
5.97. Как объяснить, что железо при температуре 800 °С светится,
а кварц при той же температуре не светится?
5.98. Имеются две полости с малыми отверстиями одинакового
диаметра В = 1 см и абсолютно отражающими наружными поверх-
ностями. Отверстия расположены друг против друга, расстояние
между ними I — 10 см. В одной полости поддерживается температура
Т = 1700 К. Вычислите установившуюся температуру в другой полос-
ти.
5.99. Считая Солнце черным телом, температура поверхности ко-
торого Т = 5800 К, найдите солнечную постоянную. Радиус Солнца
г = 6,95 • 108 м, расстояние от Земли до Солнца /= 1,5 • 1011 м.
5.100. Используя данные задачи 5.99, найдите энергию и массу,
ежесекундно теряемые Солнцем при излучении.
5.101. Вычислите энергию, теряемую человеком ежесекундно при
теплообмене лучеиспусканием (и поглощением) с окружающей сре-
дой. Рассмотрите два случая: а) раздетый человек; б) человек, одетый
в костюм из шерстяной ткани. Принять коэффициент поглощения
кожи человека с^ = 0,9, шерстяной ткани а2 = 0,76; температуры по-
верхности кожи 11 = 30 °С, поверхности ткани 12 = 20 °С и окружаю-
щего воздуха /3 = 18 °С. Площадь поверхности, через которую осу-
ществляется теплообмен лучистой энергией с окружающей средой,
считать равной 5 = 1,2 м2.
5.102. Найдите связь между относительным изменением температу-
ра
ры излучающего серого тела I I и соответствующим относительным
Ани
изменением его энергетической светимости -5— . Считать бТ Т.
5.103. Температура черного тела Т = 1000 К. На сколько процен-
тов изменится его энергетическая светимость при повышении темпе-
ратуры на ДТ = 1 К?
5.104. В медицине для диагностики ряда заболеваний получил
распространение метод, называемый термографией. Он основан на
регистрации различия теплового излучения здоровых и больных ор-
ганов, обусловленного небольшим отличием их температур. Вычис-
лите, во сколько раз отличаются термодинамические температуры
и энергетические светимости участков поверхности тела человека,
имеющих температуры 30,5 и 30,0 °С соответственно.
5.105. На какую длину волны приходится максимум спектраль-
ной плотности энергетической светимости следующих источников
теплового излучения: а) тело человека с температурой поверхности
кожи ( = 30 °С; б) спираль электрической лампочки (Г = 2000 К);
в) поверхность Солнца (Т = 5800 К); г) атомная бомба, имеющая в мо-
мент взрыва температуру Т ~ 107 К? Излучающие тела считать чер-
ными или серыми.
5.106. В результате изменения температуры серого тела макси-
мум спектральной плотности энергетической светимости сместился
с А-1 = 2400 нм на А.2 = 800 нм. Во сколько раз изменится энергетиче-
ская светимость тела?
5.107. Из закона Вина (5.26) получите зависимости: а) между из-
менением температуры ЙТ тела и изменением длины волны йХтах, со-
ответствующей максимуму спектральной плотности энергетической
светимости; б) между относительным изменением температуры тела
I -у 1 и относительным изменением длины волны, соответствующей
максимуму спектральной плотности энергетической светимости
*^тах
^"тах
. Считать Й71 <К Т.
5.108. На сколько сместится максимум спектральной плотности
энергетической светимости при изменении температуры поверхности
тела человека бт = 30 и до ?2 = 31 °С? Тело человека считать серым.
При решении можно воспользоваться формулой, выведенной в задаче
5.107.
5.109. Покажите, как из формулы Планка для Е; можно получить
формулу для еу.
5.110. Определите массу, энергию и импульс фотонов излучения:
а) красного (X] = 700 нм); б) фиолетового (Л2 = 400 нм); в) рентге-
новского (Л3 -• 0,5 • 1О~1ом).
5.111. Подсчитайте число фотонов зеленого света (Л = 550 нм),
энергия которых Е = 1 Дж.
5.112. Какое количество фотонов света с длиной волны X — 500 нм
соответствует энергии Е = 10 эВ?
5.113. Определите длину волны фотона, импульс которого равен
импульсу электрона, обладающего скоростью V = 104 км/с.
5.114. Какую энергию должен иметь фотон, чтобы его масса была
равна массе покоя электрона?
5.115. Электрон движется со скоростью V = 108 см/с. В результате
торможения электрона в электрическом поле атома он останавлива-
ется и испускает один фотон. Определите длину волны испускаемого
света.
5.116. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его
импульс был равен импульсу фотона с длиной волны X = 500 нм?
5.117. Определите число фотонов, излучаемых в 1 с Солнцем в ин-
тервале длин волн ДА = 1 нм с 1 м2 вблизи максимума спектральной
плотности энергетической светимости. Температура поверхности
Солнца равна 5800 К.
5.118. При какой температуре средняя энергия поступательного
движения молекулы равна энергии фотона красного излучения
(Л = 700 нм)?
5.119. Покажите с помощью законов сохранения энергии и им-
пульса, что свободный электрон не может поглотить фотон.
5.120. Определите красную границу фотоэффекта для цинка и
максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности
цинка светом с длиной волны Л = 200 нм. Работа выхода для цинка
А =3,74 эВ.
5.121. Пригоден ли барий для использования в фотоэлементе
при облучении видимым светом, если работа выхода для бария
А = 2,5 эВ?
5.122. Определите (в электрон-вольтах) работу выхода электрона
из рубидия, если красная граница фотоэффекта для рубидия
к-п = 0,81 мкм.
5.123. Работа выхода электрона из лития А = 2,5 эВ. Будет ли фо-
тоэффект при освещении лития монохроматическим светом с длиной
волны Л = 50 нм?
5.124. Красная граница фотоэффекта у вольфрама Хкр = 230 нм.
Определите кинетическую энергию электронов, вырываемых из
вольфрама ультрафиолетовым светом с длиной волны Л = 150 нм.
5.125. Красная граница фотоэффекта для калия Хкр = 620 нм.
Чему равна минимальная энергия фотона, вызывающего фотоэф-
фект?
5.126. Найдите красную границу фотоэффекта для лития, если ра-
бота выхода А = 2,4 эВ.
5.127. Определите частоту света, вырывающего с поверхности ме-
талла электроны, полностью задерживающиеся при разности потен-
циалов V = 5 В. Красная граница фотоэффекта Укр = 1015 с-1. Найди-
те работу выхода электрона из этого металла.
5.128. Солнечная постоянная равна 1350 Вт/м2. Сколько фотонов
зеленого света (с длиной волны 555 нм) падает ежесекундно на 1 м2
границы земной атмосферы?
5.129. Во сколько раз различаются энергетические светимости
участков тела человека, имеющих температуру 32 °С и 32,5 °С соот-
ветственно? Тело человека считать серым.
5.130. Известно, что для некоторого тела коэффициент поглоще-
ния равен 1 в видимой области спектра (от 800 до 400 нм). Для ос-
тальных длин волн коэффициент поглощения равен нулю. Изобрази-
те качественно спектр излучения этого тела.
5.131. Чем можно объяснить тот факт, что верхняя граница длин
волн света, вызывающего зрительное ощущение, равна 800 нм?
Почему она не может превышать это значение?
5.132. Для человека верхний предел безболезненно воспринимае-
мого потока световой энергии составляет 2 • 10 5 Вт. Сколько при
этом попадает в глаз за 1 с фотонов с длиной волны 555 нм?
5.133. С каждого квадратного метра земной поверхности ежесе-
кундно излучается в среднем 90 Дж энергии. Какой была бы темпера-
тура черного тела, излучающего такую же энергию?
5.134. Зрительное ощущение у человека может возникнуть, если
энергия попадающего в глаз света составляет 2 • 10 13 Дж. Сколько
квантов красного света с длиной волны 700 нм должно одновременно
попасть в глаз для создания зрительного ощущения?
5.135. Энергетическая светимость черного тела возросла на 15%.
Какой была начальная температура тела, если указанное возрастание
энергетической светимости произошло в результате увеличения тем-
пературы на два градуса?
5.136. Определите количество энергии, испускаемой ежесекундно
1 см2 поверхности стальной болванки, нагретой до температуры
727 °С. Коэффициент поглощения стали при этой температуре счи-
тать равным 0,7. С какой поверхности черного тела можно было бы
получить тот же поток излучения при данной температуре?
5.137. При диагностике методом термографии опухоли молочной
железы пациентке дают выпить раствор глюкозы. Через некоторое
время регистрируют тепловое излучение поверхности тела. Быстро
делящиеся клетки опухолевой ткани интенсивно поглощают глюко-
зу, при этом выделяется энергия. На сколько градусов при этом ме-
няется температура участка тела, если излучение с поверхности воз-
растает в 1,3 раза по сравнению с исходным уровнем? Начальная
температура участка тела равна 37 °С.
5.138. Почему при интенсивной нагрузке увеличивается темпера-
тура тела?
5.139. Какой поток энергии излучает тело человека при темпера-
туре 37 °С, если считать, что площадь излучающей поверхности тела
равна 1,8 м2, а коэффициент поглощения при этой температуре равен
0,95?
5.140. Почему в странах с жарким климатом жители носят ватные
стеганые халаты?
5.141. На сколько увеличилась температура тела человека, если
поток излучения с поверхности тела возрос на 4% ? Начальная темпе-
ратура тела равна 35 °С.
5.142. Температура Солнца измерена по его спектру теплового из-
лучения на границе земной атмосферы. Какова была бы ошибка из-
мерения (в процентах), если спектр излучения Солнца регистрирова-
ли на поверхности Земли? (Л = 470 нм, = 555 нм).
1пахатм ,пахзем
5.143. Вычислите общее количество энергии, излучаемой Солн-
цем в одну секунду, учитывая, что расстояние от Земли до Солнца
равно 150 • 106 км, а на 1 м2 поверхности Земли падает поток солнеч-
ной радиации, равный 1120 Вт.
5.144. Площадь поверхности тела человека в 80 раз больше, чем у
морской свинки. Сравните потоки теплового излучения и интенсив-
ность теплового излучения человека и животного, принимая равны-
ми коэффициенты поглощения их тел. Считать температуру тела че-
ловека равной 37 °С, а морской свинки 39 °С.
физика атомов и молекул, ь У~
Элементы квантовой биофизики
6.1. Волновые свойства частиц.
Энергетические уровни атомов и молекул
Длина волны, связанная с частицей, обладающей импульсом
р = то (длина волны де Бройля),
где т — масса частицы, о — ее скорость, Л — постоянная
Планка.
Предел разрешения электронного микроскопа
г = 0,5 Н---------, (6.2)
у2етТ7вт(и/2)
где 17 — ускоряющее напряжение, и — угловая апертура, т и
е — масса и заряд электрона.
Соотношения неопределенностей'.
Ах Арх > , АуДр„ > А , д2Дрг > Л_, (6.3)
где Ах, Ау, Аг — неопределенность (неточность) координаты;
Дрх, Ар(/, Арг — неопределенность в определении проекции им-
пульса частицы на соответствующую ось координат;
АЯАг>А (6.4)
2ТГ
где АЕ — неопределенность энергии некоторого состояния сис-
темы, А# — время его существования.
Уравнение Шредингера для стационарного состояния (од-
номерный случай)
,2 о 2
+ 8тцт _ = 0, (6.5)
йх2 Л р
где у — волновая функция, для уравнения (6.5) V зависит от х;
Е и Ер — полная и потенциальная энергии частицы.
Энергия электрона, соответствующая состоянию с глав-
ным квантовым числом п (п = 1, 2, 3, ...),
где е — заряд электрона; 2 — порядковый номер элемента в
периодической системе элементов Менделеева.
Момент импульса электрона относительно ядра
(6.7)
где I — орбитальное квантовое число (/ = О, 1, 2, ..., п — 1).
Проекция момента импульса электрона на некоторое
произвольно выбранное направление г (обычно направление
индукции магнитного поля)
<6-8’
где гщ — магнитное квантовое число (пг^ = 0, +1, ±2, .... , +1).
Проекция спина электрона на направление индукции маг-
нитного поля
Т —
2пт8’
(6.9)
где т3 — спиновое квантовое число
, 1
т8=±2
Частота света, излучаемого (поглощаемого) атомом водо-
рода,
4 ( , , \
те 1 1
о, 3 2 2 “ 2
8Л ей\пк
(6.10)
где / и к — порядковые номера уровней, между которыми про-
исходит квантовый переход. При пк = 1, щ = 2, 3, 4, ... форму-
ла соответствует линиям серии Лаймана; при пк = 2, и, = 3, 4,
5, ... — серии Бальмера; при пк = 3, п, = 4, 5, 6, ... — серии Па-
шена.
Расстояние между подуровнями энергии атома, помещен-
ного в магнитное поле с индукцией. В,
ДЕ = #1бВ, (6.11)
где # — множитель Ланде; цБ — магнетон Бора.
6.1. Чему равна длина волны де Бройля для электрона, имеющего
скорость V — 1000 км/с?
6.2. Сравните длины волн де Бройля для электрона и шарика мас-
сой т = 1 г, если их скорость одинакова и равна V = 100 м/с.
6.3. Найдите длину волны де Бройля для нейтрона, находящегося
в термодинамическом равновесии в среде с температурой 20 °С.
6.4. В трубке цветного телевизора ускоряющее напряжение I/ =
— 20 кВ. Чему равна длина волны де Бройля для электрона в конце
процесса ускорения?
6.5. Найдите предел разрешения электронного микроскопа,
принимая, что ускоряющее напряжение 17 = 100 кВ, а угловая
апертура и = 10“2 рад. Расчет произвести для двух случаев: а) без
учета релятивистского изменения массы электрона; б) с учетом его.
6.6. Электрон пролетает через щель шириной I = 1 мкм. С какой
наименьшей погрешностью в момент пролета щели может быть
определена составляющая импульса электрона на ось Ох?
6.7. Проекция скорости электрона на некоторое направление
может быть определена с наименьшей погрешностью До — 10 м/с.
Какова (принципиально) неточность соответствующей координаты
электрона?
6.8. Длительность возбужденного состояния атома водорода
соответствует примерно ДД = 10-8 с. Чему равна неопределенность ДЕ
энергетического уровня при этом?
6.9. Метастабильными состояниями квантовых систем называ-
ются такие возбужденные состояния атомов, молекул и атомных
ядер, которые могут существовать длительное время. Чему равна
неопределенность энергии в метастабильном состоянии, если время
жизни для атома в этом состоянии Дг = 0,5 с?
6.10. Покажите, что решение уравнения Шредингера для элек-
трона в потенциальной яме приводит к дискретным значениям энер-
гии. Рассмотрите одномерный случай, электрон движется вдоль оси
Ох. Потенциальная энергия электрона равна нулю в области 0 < х < I,
вне этой области она должна быть бесконечно большой, поэтому
электрона там нет.
6.11. Найдите энергию и момент импульса электрона в атоме
водорода, соответствующие состоянию 18, 2з, 2р.
6.12. Найдите проекции момента импульса электрона на направ-
ление индукции магнитного поля, соответствующие I = 2.
6.13. Найдите проекции спина электрона на направление индук-
ции магнитного поля.
6.14. Найдите границы серии Лаймана (в частотах и длинах волн).
Сопоставьте эти данные с интервалом частот и длин волн видимого
света.
6.15. Найдите границы серии Бальмера (в частотах и длинах
волн). Сопоставьте эти данные с интервалом частот и длин волн
видимого света.
6.16. Интенсивность монохроматического света, обусловленного
переходом атома со второго уровня на первый, в серии Лаймана равна
1 —— . Сколько фотонов в секунду создают такую интенсивность? Тот
м
же вопрос для линии серии Бальмера, соответствующей переходу
с третьего уровня на второй.
6.17. Считая, что в возбужденном состоянии атом находится вре-
мя Д# = 10~8с, вычислите ширину линий (в ДА) серий Лаймана и
Бальмера, указанных в условии задачи 6.16.
6.18. Найдите расстояние между подуровнями энергии атома,
помещенного в магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл; фактор §
принять равным двум. Какой частоте и длине волны электромаг-
нитного излучения соответствует переход с одного подуровня на дру-
гой?
6.19. В радиоспектрометре электронного парамагнитного резонан-
са поглощаемая высокочастотная электромагнитная энергия соответ-
ствует длине волны А. = 3 см. При какой индукции постоянного
магнитного поля будет наблюдаться электронный парамагнитный
резонанс? Принять ё = 2.
6.2. Взаимодействие света с веществом
Интенсивность света, вышедшего из слоя вещества толщи-
ной I после поглощения (закон Бугера),
11 = 10ек\ (6.12)
где 10 — интенсивность света, вошедшего в поглощающее ве-
щество; к' — натуральный показатель поглощения.
Закон Бугера, выраженный через показательную функцию
с основанием 10,
Л = 10 ’ Ю~и, (6.13)
где к ~ 0,43/г' — показатель поглощения.
Закон Бугера—Ламберта—Бера
11 = 10еХ'с1, (6.14)
или
7^/о-1О'< (6.15)
где %' — натуральный молярный показатель поглощения, % —
молярный показатель поглощения, С — молярная концентра-
« п
ция, С = тт- , п — концентрация молекул, поглощающих кван-
ЛА
ты света, Ад — число Авогадро.
Обычно х относят к какой-либо длине волны и называют моно-
хроматическим молярным показателем поглощения (Хх)- Это
замечание относится также и к другим параметрам: к, к' их'.
Связь натурального молекулярного показателя поглоще-
ния с эффективным сечением поглощения молекулы (ст)
Х'=о^А. (6.16)
Коэффициент пропускания т равен отношению интенсив
ностей света, прошедшего сквозь данное тело (или раствор)
и упавшего на это тело,
т=г-
70
Оптическая плотность раствора
(6-17)
(6.18)
Закон ослабления интенсивности света вследствие рас-
сеяния
7г = /о-1От/, (6-19)
где т — показатель рассеяния.
Закон ослабления интенсивности света вследствие сов-
местного действия поглощения и рассеяния
Ц = 10' 10^, (6.20)
где ц = к + т — показатель ослабления.
Квантовый выход люминесценции <р — это отношение ко-
личества испущенных квантов люминесценции 27 г к количе-
ству поглощенных квантов #2:
Квантовый выход в спектрофотометрах
4>=7^~г, (6-21)
1о 1
где 1Л — регистрируемая фотоэлементом интенсивность люми-
несценции; (10 - 1) = 7ПОГЛ — регистрируемая поглощенная ин-
тенсивность света, вызывающего люминесценцию для слабых
растворов с оптической плотностью О порядка 0,1.
Интенсивность люминесценции
7Л = 2,3(р70Л. (6.22)
Время жизни молекулы люминесцирующего вещества в
возбужденном состоянии т
1п ^ = - , (6.23)
-'л/ т
где индексы 0 и I относятся к начальному моменту времени и
моменту I после начала измерения интенсивности люминес-
ценции.
6.20. Пучок монохроматического света проходит через стеклян-
ную пластинку толщиной 1 = 1 см. Определите монохроматический
натуральный показатель поглощения и монохроматический показа-
тель поглощения стекла, если при этом поглощается 0,1 падающего
света. Какой толщины должна быть стеклянная пластинка, чтобы
поглотилась половина падающего света?
6.21. При прохождении света с длиной волны через слой веще-
ства его интенсивность уменьшается вследствие поглощения в
четыре раза. Интенсивность света с длиной волны Х2 по той же при-
чине ослабляется в три раза. Найдите толщину слоя вещества и пока-
затель поглощения для света с длиной волны 7.2, если для света с дли-
ной волны Л] он равен К1 = 0,02 см-1.
6.22. Через пластинку из прозрачного вещества толщиной I = 4,2 см
проходит половина падающего на нее светового потока. Определите
натуральный показатель поглощения данного вещества. Рассеянием
света в пластинке пренебречь; считать, что 10% падающей энергии
отражается на поверхности пластинки.
6.23. В 4% -ном растворе вещества в прозрачном растворителе ин-
тенсивность света на глубине = 20 мм ослабляется в два раза. Во
сколько раз ослабляется интенсивность света на глубине /2 = 30 мм
в 8%-ном растворе того же вещества?
6.24. Какова концентрация раствора, если одинаковая освещен-
ность фотометрических полей была получена при толщине = 8 мм
у эталонного 3% -ного раствора и = 24 мм — у исследуемого рас-
твора?
6.25. Коэффициент пропускания раствора т = 0,3. Чему равна его
оптическая плотность?
6.26. Оптическая плотность раствора О = 0,08. Найдите его коэф-
фициент пропускания.
6.27. При прохождении света через слой раствора поглощается
| первоначальной световой энергии. Определите коэффициент про-
пускания и оптическую плотность раствора.
6.28. При прохождении монохроматического света через слой
вещества толщиной I — 15 см его интенсивность убывает в четыре
раза. Определите показатель рассеяния, если показатель поглощения
к = 0,025 см-1.
6.29. Вычислите толщину слоя половинного ослабления парал-
лельного пучка у-излучения для воды, если натуральный показатель
ослабления р' = 0,053 см-1.
6.30. Интенсивность света, прошедшего через раствор некоторого
вещества, уменьшилась в 10 раз. Молярный показатель поглощения
на данной длине волны равен 2300л/(моль • см), длина кюветы с
раствором равна 1 см. Найдите молярную концентрацию растворен-
ного вещества.
6.31. Чему равен молярный показатель поглощения некоторого
вещества, если при прохождении света через раствор с концентраци-
ей 0,05 моль/л интенсивность света уменьшилась в 25 раз? Длина
кюветы 0,5 см.
6.32. Определите квантовый выход люминесценции вещества, ес-
ли его оптическая плотность равна 0,05, а интенсивность люминес-
ценции в 15 раз меньше интенсивности возбуждающего света.
6.33. Пересчитайте следующие оптические плотности растворов
в проценты пропускания: а) 0; б) 2; в) °°.
6.34. Почему форма спектра фотолюминесценции не зависит от
длины волны возбуждающего света?
6.35. При регистрации фосфоресценции некоторого вещества бы-
ло обнаружено, что интенсивность люминесценции уменьшается в
30 раз за 2 мин. Чему равно время жизни возбужденного состояния
молекул этого вещества?
6.36. Чем объясняется различие времен флуоресценции и фосфо-
ресценции?
6.37. Как изменится квантовый выход люминесценции вещества,
если при той же интенсивности люминесценции интенсивность по-
глощенного света увеличивается на 30% ?
6.38. Лазерное излучение используют в различных областях меди-
цины. Сравните энергию квантов лазерного излучения со следующи-
ми длинами волн: а) офтальмология («приваривание» сетчатки),
А. = 0,514 мкм; б) терапия, А. = 0,63 мкм.
6.39. Почему состояние вещества с инверсной заселенностью энер-
гетических уровней иногда называют состоянием с отрицательной
термодинамической температурой?
6.40. Частотный диапазон лазерного излучения, используемого
в медицине, лежит в пределах от 30 000 ГГц до 1 500 000 ГГц. Най-
дите соответствующие границы диапазона длин волн.
Г ЛАВ А
Ионизирующее излучение
Основы дозиметрии
7.1. Рентгеновское излучение
Граница спектра тормозного рентгеновского излучения
(7-1)
где V — напряжение в рентгеновской трубке, кВ; А,ш4п, нм.
Поток рентгеновского излучения
Ф = /гШ2Я, (7.2)
где I и 17 — сила тока и напряжение в рентгеновской трубке,
Я — порядковый номер элемента вещества анода, к = 10 9 В Ч
Массовый коэффициент ослабления рентгеновского излу-
чения
Мт = йХ3И3, (7.3)
где к — коэффициент пропорциональности, X — длина волны,
7 — порядковый номер элемента вещества-поглотителя.
Линейный коэффициент ослабления рентгеновского излу
чения
М = МтР, (7.4)
где р — плотность вещества.
7.1. Найдите границу тормозного рентгеновского излучения (час-
тоту и длину волны) для напряжений = 2 кВ и 172 = 20 кВ.
Во сколько раз энергия фотонов этих излучений больше энергии фо-
тона, соответствующего Л. = 760 нм (красный цвет)?
7.2. В каком случае произойдет большее увеличение потока рент-
геновского излучения: при увеличении вдвое силы тока, но сохране-
нии напряжения или, наоборот, при увеличении вдвое напряжения,
но сохранении силы тока? Как можно увеличить силу тока, не изме-
няя напряжения в рентгеновской трубке? Проанализируйте процес-
сы, которые происходят при изменении силы тока, при изменении
напряжения.
7.3. При прохождении потока рентгеновского излучения через ко-
стную ткань произошло его ослабление в два раза. Учитывая, что тол-
щина слоя костной ткани составляла 20 мм, найдите линейный коэф-
фициент ослабления.
7.4. Во сколько раз длина волны рентгеновского излучения с энер-
гией квантов 50 кэВ меньше, чем видимого фиолетового света с дли-
ной волны 400 нм?
7.5. Почему характеристические рентгеновские спектры разных
атомов однотипны?
7.6. Чему равна энергия кванта рентгеновского излучения, если
соответствующая ему длина волны равна 0,005 нм?
7.7. Сравните изменение массового коэффициента ослабления кос-
ти и мягких тканей при переходе от мягкого к жесткому рентгенов-
скому излучению. Принять энергию фотонов для мягкого излучения
равной 30 кэВ, а для жесткого 120 кэВ.
7.8. Меняется ли спектральный состав рентгеновского излуче-
ния при изменении тока накала катода рентгеновской трубки? По-
чему?
7.9. Во сколько раз различаются линейные коэффициенты ослаб-
ления воды и насыщенного водяного пара при нормальных услови-
ях? Принять плотность воды 1000 кг/м3, пара 768 кг/м3.
7.10. Учитывая, что при воздействии рентгеновских лучей на ато-
мы кальция имеет место фотоэффект, найдите скорость, с которой
вылетают электроны из атомов кальция, входящего в состав костной
ткани. Энергия квантов рентгеновского излучения равна 10 кэВ,
а энергия ионизации атома кальция равна 6,1 эВ.
7.11. Почему спектр тормозного рентгеновского излучения явля-
ется сплошным?
7.12. Во сколько раз изменится скорость электронов в рентгенов-
ской трубке при увеличении напряжения от 80 кВ до 120 кВ?
7.13. На какую величину сместится спектр тормозного рентгенов-
ского излучения в условиях предыдущей задачи?
7.14. Электроны в луче телевизионной трубки тормозятся вещест-
вом экрана. Напряжение, подаваемое на трубку, равно 20 кВ. Чему
равна граничная длина волны Хт1п спектра рентгеновского излуче-
ния, возникающего при торможении электронов?
7.15. Как влияет на спектр тормозного рентгеновского излучения
увеличение напряжения на трубке? Почему?
7.16. Во сколько раз уменьшится поток рентгеновского излуче-
ния, если вольфрамовый антикатод заменить молибденовым, а на-
пряжение и ток накала в трубке оставить неизменными?
7.17. Тело поглотило фотоны рентгеновского излучения с энерги-
ей 100 эВ, что значительно превышает энергию ионизации атомов
данного вещества. Считая основным эффектом взаимодействия рент-
геновского излучения с веществом некогерентное рассеяние, найдите
длину волны вторичного рентгеновского излучения, если вторичные
электроны движутся со скоростью 3,7 • 106 м/с.
7.18. Напряжение на рентгеновской трубке равно 250 кВ. Найди-
те энергию квантов, соответствующих граничной длине волны спект-
ра тормозного рентгеновского излучения.
7.19. Найдите поток рентгеновского излучения при [7=10 кВ,
1—1 мА. Анод изготовлен из вольфрама. Скольким фотонам в секун-
ду соответствует этот поток, если допустить, что излучается электро-
3
магнитная волна, длина которой равна % от длины волны, соответст-
вующей границе спектра тормозного рентгеновского излучения?
7.20. Считая, что поглощение рентгеновского излучения не
зависит от того, в каком соединении атом представлен в веществе,
определите, во сколько раз массовый коэффициент ослабления
кости (Са(РО4)2) больше массового коэффициента ослабления во-
ды?
7.21. Для рентгенодиагностики мягких тканей применяют
контрастные вещества. Например, желудок и кишечник заполняют
кашеобразной массой сульфата бария Ва8О4. Сравните массовые
коэффициенты ослабления сульфата бария и мягких тканей (во-
ды).
7.2. Ядро. Радиоактивность
Энергия связи ядра
АЕСВ = 931,5[^тн + (А - 7)тп - та\, (7.5)
где ту, тп, та — массы соответственно изотопа водорода ХН,
нейтрона и атома, а. е. м.; 7 — число протонов в ядре (поряд-
ковый номер элемента), А — число нуклонов в ядре (массовое
число); АЕСВ выражается в мегаэлектрон-вольтах.
Основной закон радиоактивного распада
И = Иое~К1, (7.6)
где — начальное число радиоактивных ядер, И — их число
к моменту времени I.
(7.7)
1 1/2
— постоянная распада, 7\/2 — период полураспада.
Изменение активности препарата со временем
А = ХИое~и. (7.8)
7.22. Найдите энергию связи ядра урана 2д|и и энергию связи,
приходящуюся на один нуклон.
7.23. Найдите энергию связи ядер изотопа водорода, дейтерия
и трития. Чему равна энергия связи, приходящаяся на один нуклон?
13
7.24. Запишите реакции образования радиоактивного азота 7К из
устойчивого изотопа бора при искусственной 0-радиоактивности.
13
Каким превращениям будет подвергаться 7И?
7.25. Вычислите число ядер 531, распавшихся в течение первых
суток, если первоначальное число ядер = 1022.
7.26. Каким образом искусственная 0-радиоактивность приводит
30 27
к образованию 1481 из алюминия 13А1?
7.27. Как получить из ртути золото?
7.28. Почему а-частицы, испускаемые радиоактивными препара-
тами, не могут вызвать ядерных реакций в тяжелых элементах?
7.29. Сколько ядер урана 2д21' распалось в течение года, если пер-
воначальная масса урана т = 1 г?
7.30. Сколько ядер из одного моля радиоактивного кобальта ®°Со
распадается за первый месяц, второй, третий?
7.31. Выразите через постоянную распада Л или период полурас-
пада Т1/2: а) вероятность того, что радиоактивное ядро распадается
за время от 0 до I; вероятность того, что радиоактивное ядро распада-
ется за время от I до бесконечности; б) среднее время жизни радиоак-
тивного ядра.
7.32. Какова активность препарата, если в течение 10 мин распа-
дается 10 000 ядер этого вещества?
7.33. Найдите удельную массовую активность урана 2д|и .
7.34. Найдите удельную массовую активность кобальта 2?Со.
7.35. Возраст древних деревянных предметов можно приближен-
„ 14
но определить по удельной массовой активности изотопа 6С в них.
Сколько лет тому назад было срублено дерево, которое пошло на изго-
товление предмета, если удельная массовая активность углерода в
нем составляет 3/4 от удельной массы активности растущего дерева?
7.36. Известно, что при облучении ядер атомов азота потоком
нейтронов может образоваться бор 1|в , углерод '|с и литий дЫ . Ка-
кие частицы сопровождают такого рода превращения?
7.37. Период полураспада радиоактивного фосфора равен
3 мин. Чему равна постоянная распада этого элемента?
7.38. Тяжелый изотоп водорода 2В может вызвать превращение
легкого изотопа лития в тяжелый дЫ . Какие частицы выделяют-
ся в результате этой реакции?
7.39. В каком случае а-распад сопровождается излучением у-кван-
тов?
7.40. Облучая ядра атомов азота 7Н потоком а-частиц, получают
17
изотоп кислорода 8О. Какие частицы выделяются одновременно с
кислородом в этой реакции?
7.41. Каковы косвенные доказательства существования нейтрино?
7.42. В питательную среду размножения клеток вводили радиоак-
32
тивный фосфор 15Р. В результате распада он превращается в атом се-
32
ры 168. Укажите вид радиоактивного распада.
7.43. При облучении нейтронами опухоли, избирательно накопив-
10 7
шей радиоактивный бор 5В, образуется 3Ы и некоторое излучение,
воздействующее на опухоль. Что это за излучение?
7.44. Почему закон радиоактивного распада называют статистиче-
ским?
7.45. При делении 1 г урана выделяется энергия 8,28 • 1О10 Дж.
Какое количество нефти должно сгореть для получения такой энергии?
32
7.46. Препарат фосфора 15Р содержит нерадиоактивные примеси.
Определите процентное соотношение радиоактивного и нерадиоак-
тивного фосфора в 10 мг препарата, если его активность равна
25 мкКи.
7.47. Почему атомные массы многих химических веществ не вы-
ражены целыми числами?
7.48. В 1 мл морской воды содержится 1015 г радона 2||Кп. Какое
количество воды имеет активность, равную 10 мКи?
7.49. Во сколько раз уменьшится количество ядер радиоактивного
цезия за 10 лет?
7.50. При первом измерении скорости радиоактивного распада не-
которого элемента была получена величина 6000 Р-частиц в минуту.
Через сутки эта величина уменьшилась в 20 раз. Найдите период по-
лураспада изотопа.
7.51. Нейтроны впервые были получены в лабораторных условиях
9
при бомбардировке сх-частицами ядер бериллия 4Ве. Запишите эту
реакцию.
7.52. Для исследования щитовидной железы больному ввели
20 мл 10% -ного раствора глюкозы с радиоактивным иодом. Удельная
активность иода в момент введения составляла 0,08 мкКи/мл. Най-
дите массу иода в растворе. Учесть, что каждая молекула глюкозы
связывает один иод.
7.53. В источнике минеральной воды активность радона составля-
ет 1000 Бк на 1 л. Какое количество атомов радона попадет в орга-
низм пациента, выпившего стакан минеральной воды объемом 0,2 л?
7.54. Для торможения нейтронов используют вещества, содержа-
щие элементы с малым атомным весом (парафин, воду). В чем причи-
на этого?
7.55. Через какой промежуток времени после радиоактивного зара-
жения местности стронцием можно будет использовать земли для воз-
делывания на них различных культур, если расчеты показывают, что
количество радиоактивного препарата должно уменьшиться в 100 раз?
7.56. В ампуле находится радиоактивный иод активностью
100 мкКи. Чему будет равна активность препарата через сутки?
7.57. Какое количество радиоактивного кобальта 27С0 надо взять,
чтобы получить источник излучения с той же активностью, которой
131
обладает 5 г иода 531?
7.3. Основы дозиметрии
Удельная активность источника
Ат=^, (7.9)
где т — масса препарата.
Связь поглощенной и экспозиционной доз
В = !Х, (7.10)
где { — переходный коэффициент (для воды и мягких тканей
человека / = 1), если В измеряется в радах, а X — в рентгенах.
Связь эквивалентной и поглощенной доз
Н = кВ,
(7.И)
где к — коэффициент качества, или относительная биологи-
ческая эффективность (ОБЭ). Коэффициент качества для
рентгеновского и у-излучения равен 1, для а-излучения он ра-
вен 20.
Предельно допустимая эквивалентная доза для населения
составляет 0,05 бэр в год, а для профессионалов она равна
5 бэр в год.
Связь между активностью радиоактивного препарата
(А) и мощностью экспозиционной дозы Х/1
7-^4. <7-12>
где ку — у-постоянная, которая характерна для данного радио-
нуклида; г — расстояние от источника ионизирующего излу-
чения.
Экспозиционная доза измеряется в Кл/кг и рентгенах (Р):
1 Р = 2,58 • 10-4 Кл/кг.
7.58. Телом массой т = 60 кг в течение I = 6 ч была поглощена
энергия Е = 1 Дж. Найдите поглощенную дозу и мощность поглощен-
ной дозы в единицах СИ и во внесистемных единицах.
7.59. В т = 10 г ткани поглощается 109 а-частиц с энергией около
Е = 5 МэВ. Найдите поглощенную и эквивалентную дозы. Коэффици-
ент качества к для а-частиц равен 20.
7.60. Мощность экспозиционной дозы у-излучения на расстоянии
г = 1 м от точечного источника составляет Р = 2,15 • 10-' Кл/кг. Опре-
делите минимальное расстояние от источника, на котором можно еже-
дневно работать по 6 ч без защиты. Предельно допустимой эквивалент-
ной дозой при профессиональном облучении считать 5 • 10-2 Дж/кг
в течение года. Поглощение у-излучения воздухом не учитывать.
7.61. Средняя мощность экспозиционной дозы облучения в рент-
геновском кабинете равна 6,45 • 10-12 Кл/(кг • с). Врач находится
в течение дня 5 ч в этом кабинете. Какова его доза облучения за
шесть рабочих дней?
7.62. Смертельная доза для человека массой 70 кг при облучении
всего тела рентгеновскими или у-лучами равна 600 рад. На сколько
градусов от нормальной поднимается температура тела человека при
таком облучении, если считать его однородным фантомом с удельной
теплоемкостью 3,33 кДж/(кг • К)?
7.63. Радиационный фон в некотором городе составляет 30 мкР/ч.
Определите поглощенную и экспозиционную дозы, полученные жи-
телями этого города в течение года.
7.64. При исследовании радиочувствительности живых организ-
мов крыс облучали рентгеновскими лучами в течение 4 ч. При этом
полученная ими суммарная доза составила 300 бэр. Найдите мощ-
ность экспозиционной и поглощенной дозы в этом эксперименте
(в единицах СИ).
7.65. В 10 г воды было поглощено 1О20 протонов с энергией 5 МэВ.
Чему равна поглощенная доза в радах?
7.66. Почему ничтожное тепловое действие ионизирующего излу-
чения дает большой биологический эффект?
7.67. Мощность экспозиционной дозы у-излучения на расстоянии
1 м от источника составляет 0,1 Р/мин. Рабочий находится 6 ч в день
на расстоянии 10 м от источника. Какую эквивалентную дозу облуче-
ния он получает за один рабочий день?
7.68. Одна а-частица создает в воздухе около 150 тысяч пар ионов.
Найдите ионизационный ток, создаваемый препаратом, который ис-
пускает 100 а-частиц в 1 с.
7.69. В каком соотношении находятся мощности экспозиционной
дозы от источников с радиоактивным иодом и кобальтом, если актив-
ность источников одинакова, а расстояние от источника с кобальтом
в два раза больше, чем до источника с иодом?
7.70. Почему снижение парциального давления кислорода во вре-
мя облучения уменьшает радиочувствительность живых организмов?
7.71. Какую экспозиционную дозу создает препарат радиоактив-
ного кобальта с активностью 10 Ки за 30 мин на расстоянии 2 м?
7.72. Интенсивность у-излучения уменьшилась в шесть раз при
прохождении через слой вещества толщиной 5 см. Найдите линей-
ный коэффициент ослабления вещества.
7.73. На каком расстоянии от препарата с радием активностью
100 мКи можно находиться, чтобы эквивалентная доза за шестичасо-
вой рабочий день не превышала допустимую за сутки для професси-
оналов?
7.74. Почему ОБЭ для а-частиц существенно больше, чем для
Р-частиц?
7.75. Мощность экспозиционной дозы на расстоянии 10 см от ис-
точника составляет 85 мР/ч. На каком расстоянии от источника
можно находиться без защиты, если допустимая мощность дозы рав-
на 0,017 мР/ч?
220
7.76. Препарат радия с начальной активностью 0,5 Ки хра-
нился в течение двух лет. Чему равна мощность экспозиционной дозы
излучения препарата на расстоянии 2 м по истечении этого срока?
Приложения
СВЕДЕНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА
1. Латинский алфавит
Печатная буква Название Печатная буква Название Печатная буква Название
Аа а ЙОТ 8б ЭС
ВЬ бе Кк ка Т1 тэ
Сс це Ы эль Ии У
па де Мт эм Уу ве
Ее е Ып эн УУте дубль-ве
И эф Оо о Хх ИКС
се ге Рр ПЭ Ту игрек
нь аш Од ку 2г зет
и и Кг эр
2. Греческий алфавит
Печатная буква Название Печатная буква Название Печатная буква Название
Аа альфа К йота Рр ро
В₽ бета Кк каппа ХОЗ сигма
Гу гамма Л ламбда Уъ ипсилон
Д5 дельта Мц мю ф<р фи
Ее эпсилон Му ню XX хи
х; дзэта КСИ пси
Нт) эта Оо омикрон Псо омега
оо тэта Пл пи
3. Приставки для образования наименований
кратных и дольных единиц
Кратность и дельность Наимено- вание Обозначение
русское междуна- родное
1 000 000 000 000 = 1012 тера т т
1 000 000 000 = 109 гига г о
1 000 000 = 106 мега м м
1000= 1 о3 кило к к
100= ю2 гекто г Ь
10 = 10* дека да йа
0,1 = 10-* деци Д б
0,01 = ю-2 санти С С
0,001 = ю-3 милли м ш
0,000 001 = 10"6 микро мк р
0,000 000 001 = 10-9 нано н п
0,000 000 000 001 = 10~12 ПИКО п р
0,000 000 000 000 001 = ю-*5 фемто ф
0,000 000 000 000 000 001 = ю-*8 атто а а
4. Основные физические
и математические константы
Скорость света в вакууме с = 299792458 м/с
Постоянная Авогадро Ад = 6,022 • 1023 моль-*
Молярная газовая постоянная В = 8,31 ДжДмоль • К)
Постоянная Больцмана к = 1,38 • 10-23Дж/К
Элементарный заряд е = 1,601892 • 10-*9 Кл
Масса покоя электрона те = 9,1 • 10-3* кг
Удельный заряд электрона е/те = 1,76 • 10** Кл/кг
Масса покоя протона Шр = 1,007276470 а. е. м.
Масса покоя нейтрона тп — 1,008665012 а. е. м.
Электрическая постоянная е0 = 10 9/36л Ф/м ~ 8,84 • 10-12 Ф/м
Магнитная постоянная Рд = 4л • 10 Чн/м~ 12,57 • 10 1 Гн/м
Постоянная Стефана—Больцмана о = 5,67 • 10-8 Вт/(м2 • К4)
Постоянная смещения Вина 6 = 2,9 • 10 3м • К
Постоянная Планка Л = 6,63 • 10-34 Дж • с
Число «пи» л = 3,14159...
Основание натуральных логарифмов е = 2,71828...
Связь десятичного и натурального логарифмов 1п а ~ 2,3 а 1^ а ~ 0,43 1п а
Постоянная Фарадея 9,652 • 107 К • кг • моль-1
5. Коэффициенты Стьюдента
п Р
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
2 0,16 0,33 0,51 0,73 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 63,7 636,6
3 14 29 45 62 0,82 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 31,6
4 14 28 42 58 77 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 12,9
5 13 27 41 57 74 94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 8,6
6 13 27 41 56 73 92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 4,0 6,9
7 13 27 40 55 72 90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0
8 13 26 40 55 71 90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,5 5,0
9 13 26 40 54 71 90 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 5,0
10 13 26 40 54 70 88 1,1 1,4 1,9 2,3 2,8 3,3 4,8
11 13 26 40 54 70 88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,8 3,2 4,6
12 13 26 40 54 70 87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,5
13 13 26 40 54 70 87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,3
14 13 26 39 54 69 87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,0 4,2
15 13 26 39 54 69 87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 3,0 4,1
16 13 26 39 54 69 87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 2,9 4,0
17 13 26 39 54 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0
п р
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
18 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0
19 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 3,9
20 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,9
21 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,8
22 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,8
23 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,8
24 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,8
25 13 26 39 53 69 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,7
26 13 26 39 53 68 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,7
27 13 26 39 53 68 86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,8 3,7
28 13 26 39 53 68 86 1,1 1,3 1,7 2,0 2,5 2,8 3,7
29 13 26 39 53 68 86 1,1 1,3 1,7 2,0 2,5 2,8 3,7
30 13 26 39 53 68 85 1,1 1,3 1,7 2,0 2,5 2,8 3,7
40 13 26 39 53 68 85 1,1 1,3 1,7 2,0 2,4 2,7 3,6
60 13 25 39 53 68 85 1,1 1,3 1,7 2,0 2,4 2,7 3,5
120 13 25 39 53 68 85 1,1 1,3 1,7 2,0 2,4 2,6 3,4
ОО 13 25 39 52 67 84 1,1 1,3 1,7 2,0 2,3 2,6 3,3
6. Значение функции Ф(1) для решения задач
на нормальный закон распределения
1 Ф(0 1 Ф(О 1 Ф(П 1 Ф(1)
0,0 0,5000 1,0 0,8413 2,0 0,9772 3,0 0,9986
0,1 0,5398 1,1 0,8643 2,1 0,9821 3,1 0,9990
0,2 0,5793 1,2 0,8840 2,2 0,9861 3,2 0,9993
0,3 0,6179 1,3 0,9032 2,3 0,9893 3,3 0,9995
0,4 0,6554 1,4 0,9192 2,4 0,9918 3,4 0,9997
0,5 0,6915 1,5 0,9332 2,5 0,9938 3,5 0,9998
0,6 0,7257 1,6 0,9452 2,6 0,9953 3,6 0,9998
0,7 0,7580 1,7 0,9554 2,7 0,9965 3,7 0,9999
0,8 0,7881 1,8 0,9641 2,8 0,9974 3,8 0,9999
0,9 0,8159 1,9 0,9713 2,9 0,9981 3,9 1,000
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
7. Теоретическое значение критерия Стьюдента 1теор
для определения достоверности различий
двух статистических распределений
с использованием параметра (
7 Доверительная вероятность Р Доверительная вероятность Р
0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999
1 12,71 63,60 21 2,08 2,83 3,82
2 4,30 9,93 31,60 22 2,07 2,82 3,79
3 3,18 5,84 12,94 23 2,07 2,81 3,77
4 2,78 4,60 8,61 24 2,06 2,80 3,75
5 2,57 4,03 6,86 25 2,06 2,79 3,73
6 2,45 3,71 5,96 26 2,06 2,78 3,71
7 2,37 3,50 5,41 27 2,05 2,77 3,69
8 2,31 3,36 5,04 28 2,05 2,76 3,67
9 2,26 3,25 4,78 29 2,04 2,76 3,66
10 2,23 2,17 4,59 30 2,04 2,75 3,65
11 2,20 3,11 4,44 40 2,02 2,70 3,55
12 2,18 3,06 4,32 50 2,01 2,68 3,50
13 2,16 3,01 4,22 60 2,00 2,66 3,46
14 2,15 2,98 4,14 70 1,99 2,64 3,42
15 2,13 2,95 4,07 80 1,98 2,63 3,39
16 2,12 2,92 4,02 100 1,98 2,62 3,37
17 2,11 2,90 3,97 120 1,97 2,60 3,34
18 2,10 2,88 3,92 200 1,96 2,59 3,31
19 2,09 2,86 3,88 500 1,96 2,58 3,29
20 2,09 2,85 3,85
ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
8. Основные и дополнительные единицы СИ
Величина Наименование Обозначение
Основные
Длина метр м
Масса килограмм кг
Время секунда с
Сила электрического тока ампер А
Термодинамическая температура кельвин К
Сила света кандела кд
Количество вещества моль моль
Дополнительные
Плоский угол радиан рад
Телесный угол стерадиан ср
9. Производные единицы СИ,
имеющие собственные наименования
Величина Единица Выражение производной единицы
наимено- вание обозна- чение через дру- гие еди- ницы СИ через основные единицы СИ
Частота герц Гц — с-1
Сила ньютон Н — м • кг • с-2
Давление паскаль Па Н/м2 -1 -9 м • кг • С
Энергия, работа, количество теплоты джоуль Дж Н • м м2 • кг • с-2
Мощность, поток энергии ватт Вт Дж/с м2 • кг • с'3
Количество элект- ричества, электри- ческий заряд кулон Кл А • с с • А
Электрическое на- пряжение, электри- ческий потенциал вольт В Вт/А м2 • кг • с-3 • А-1
Величина Единица Выражение производной единицы
наимено- вание обозна- чение через дру- гие еди- ницы СИ через основные единицы СИ
Электрическая емкость фарад ф Кл/В м~2 • кг-1 • с4 • А2
Электрическое сопротивление ом Ом В/А м2 • кг • с-3 • А 2
Электрическая проводимость сименс См А/В м2 кг-1 • с3 • А2
Поток магнитной индукции вебер Вб В • с м2 • кг • с'2 • А 1
Магнитная индук- ция тесла Тл Вб/м2 кг • с~2 • А-1
И ндуктивность генри Гн Вб/А м2 • кг • с'2 • А 2
Световой поток люмен лм — кд • ср
Освещенность люкс лк — м~2 • кд • ср
Активность радио- нуклида беккерель Бк распад/с с-1
Доза излучения (поглощенная доза излучения) грей Гй Дж/кг м2 • с-2
Эквивалентная доза зиверт Зв Дж/кг м2 • с-2
10. Внесистемные единицы физических величин
и их соотношение с единицами СИ
Величина Внесистемная единица Обозначение Размер единицы в единицах СИ
Длина ангстрем А 1(Г10 м
икс-единица X 10“13 м
Объем литр Л 10“3 м3
Масса тонна т 103 кг
атомная единица массы а. е. м. 1,6605655 • 10-27 кг
Время сутки средние сут 86 400 с
час ч 3600 с
минута мин 60 с
Величина 1 Внесистемная единица Обозначение Размер единицы в единицах СИ
Скорость километр в час км/ч 2,78 • 101 м/с
Плоский угол градус о 1,75 • 10-2 рад
минута / 2,91 • 10~4рад
секунда 4,85 • 10 6 рад
Частота враще- ния оборот в секунду об/с с-1
оборот в минуту об/мин 1/60 с-1
Давление бар бар 105 Па
техническая атмосфера кгс/см2 9,81 104 Па
физическая атмосфера атм 1,01 • 105Па
миллиметр ртутного столба мм рт. ст. 1,33 • 102 Па
Динамическая вязкость пуаз п 0,1 Па • с
Кинематическая вязкость стокс Ст 10-4 м2/с
Энергия, работа, количество теплоты ватт-час Вт • ч 3600 Дж
калория кал 4,19 Дж
эрг эрг 107 Дж
электрон-вольт эВ 1,6 • 1019 Дж
Мощность лошадиная сила л. с. 735,5 Вт
Количество электричества единица количе- ства электричест- ва сгс сгсф 3,34 • 10 10 Кл
Электрический потенциал, напряжение единица напря- жения СГС сгсф 300 В
Электрическая емкость сантиметр элект- рической емкости см 1,11 • 10“12Ф
Электрический момент диполя дебай д 3,343 • Ю 30Кл • м
Удельное элект- рическое сопро- тивление Ом • мм2/м 10-6 Ом • м
Величина Внесистемная единица Обозначение Размер единицы в единицах СИ
Магнитная индукция гаусс Гс 10’4 Тл
Напряженность магнитного поля эрстед Э 79,6 А/м
Магнитный поток максвелл Мкс 108 Вб
Магнитный момент магнетон Бора — 9,27 • 10”24 Дж/Тл (или А • м2)
я дерны й магнетон — 5,05 • 10 27 Дж/Тл (или А • м2)
Индуктивность, взаимная индук- тивность сантиметр индук- тивности см 10"9 Гн
Активность радиоактивного препарата кюри Ки 3,7 • Ю10 Бк
Эффективное попе- речное сечение ядерных процессов барн б 10“28 м2
Доза ионизирую- щего излучения:
поглощенная рад рад 10“12Гр
экспозиционная рентген Р 2,58 • 10“4 Кл/кг
эквивалентная бэр бэр 10-2 Зв
Мощность дозы:
поглощенной рад в секунду рад/с 10“2 Гр/с
экспозиционной рентген в секунду Р/с 2,58 • 104 А/кг
ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
11. Плотность веществ, кг/м3
Алюминий 2700 Кожа сухая 860
Бензин 680—720 Кровь 1060
Бензол при 0 °С 899 Лед при 0 °С 917
Бром жидкий 3120 Масло касторовое 960
Вода при 4 °С 1000 Медь 8930
Воздух при нормаль- ных условиях 1,29 Молоко снятое 1032
Дерево сухое: » цельное 1028
береза 600—800 Ртуть 13 546
дуб 700—1000 Свинец 11 342
ТОПОЛЬ 300—500 Смола 1020
Железо 7870 Спирт этиловый 789
Золото 19 300 Сталь 7700—7900
Керосин 820 Ткань костная 1700—2000
12. Модуль упругости материалов, ГПа
Дуб (вдоль волокна) 14 Паутина 3
Кожа 1,3 • 10“5 Сталь 195 206
Коллаген 1 Кирпич -10
Костная ткань -10 Свинец 17
Лед при 0 °С 3 Чугун 100
Нить шелковая 6,5 Медь 120
13. Поверхностное натяжение различных жидкостей
на границе жидкость—воздух при 20 °С, мН/м
Белок куриного яйца 53 Масло касторовое 36,4
Бензол 30 Молоко 42—46
Вода при 0 °С 75,6 Раствор мыла 40
Вода при 20 °С 72,6 Ртуть 50
Бром 44,2 Скипидар 26
Кровь 58 Спирт этиловый 22
14. Динамическая вязкость некоторых веществ, мкПа • с
Вода (0 °С)* 1787 Кислород (0 °С) 19,1 • 106
Вода (20 °С) 1005 Кровь (20 °С) 5000
Вода (100 °С) 280 Масло касторовое (20 °С) 970 • 103
Воздух (0 °С) 18,1 Молоко (20 °С) 1800
Глицерин (0 °С) 12,1 • 106 Спирт этиловый (0 °С) 1773
Глицерин (20 °С) 1,48 • 106 Спирт этиловый (20 °С) 1200
Жир рыбий (20 °С) 4,6 • 104
Примечание. В скобках указана температура, при которой приво-
дится данное значение вязкости.
15. Скорость звука в разных веществах, м/с*
Вода(0 °С) 1402 Кислород 316
Вода (20 °С) 1482 Лед(-4’С) 3980
Водород 1284 Спирт этиловый (20 °С) 1165
Воздух 331 Углекислый газ 259
Глицерин (20 °С) 1923
Примечание. Скорость звука для газов дана при нормальных усло-
виях.
16. Интенсивность различных звуков для частоты 1 кГц, Вт/м2
Порог слышимости 10'12 Шум на оживленной улице 10’5
Сердечные тоны через стетоскоп кг11 Крик Ю4
Шепот, тиканье часов мг10 Шум в поезде метро 103
Шуршание бумаги 10'9 Шум мотоцикла (максимальный) 102
Разговор тихий 10"8 Шум вблизи проходящего на большой скорости поезда 101
Разговор нормальный 10~7 Реактивный двигатель, гром 1
Разговор громкий 10® Порог болевого ощущения 10
17. Связь калорического коэффициента 1 л кислорода
с дыхательным коэффициентом
Дыха- тельный коэффи- циент К.К., кДж Дыха- тельный коэффи- циент К.К., кДж Дыха- тельный коэффи- циент К.К., кДж Дыха- тельный коэффи- циент К.К., кДж
0,70 19,619 0,78 19,996 0,86 20,411 0,94 20,821
0,71 19,636 0,79 20,051 0,87 20,461 0,95 20,871
0,72 19,686 0,80 20,101 0,88 20,515 0,96 20,921
0,73 19,737 0,81 20,151 0,89 20,566 0,97 20,976
0,74 19,791 0,82 20,201 0,90 20,616 0,98 21,026
0,75 19,841 0,83 20,256 0,91 20,666 0,99 21,076
0,76 19,896 0,84 20,306 0,92 20,716 1,00 21,131
0,77 19,946 0,85 20,360 0,93 20,767 — —
18. Объем потребляемого О2 и выделенного СО2
при окислении 1 г питательного вещества
Вещество Потребляется 02, л Выделяется С02, л Дыхательный коэффициент
Белок 0,97 0,77 0,8
Жир 2,0 1,4 0,7
Углевод 0,83 0,83 1,0
19. Относительная
диэлектрическая проницаемость
Вода 81 Масло касторовое 4,5—4,8
Воск 2,8—2,9 Парафин 2
Глицерин 43 Слюда 7,5
Кровь 85 Спирт 26
20. Удельное электрическое сопротивление при 20 °С, Ом • м
Алюминий 2,8 • 10’8 Ртуть 0,958 • 10“6
Вода Ю3—104 Спирт этиловый 104—105
Жидкость спинномозговая 0,55 Ткань жировая 33,3
Кожа сухая 105 Ткань мозговая и нервная 14,3
Кость без надкостницы 107 Ткань мышечная 2
Кровь 1,66
21. Показатель преломления
Алмаз 2,417 Сахар 1,56
Вода 1,333 Спирт этиловый 1,362
Водород 1,000138 Стекло:
Воздух 1,000292 легкий крон 1,51
Кислород 1,000272 тяжелый флинт 1,77
Лед 1,31 Углекислый газ 1,000450
Оксид углерода 1,000334
Примечание. Данные относятся к желтой линии И натрия
(Л = 589,3 нм), для газов они указаны при нормальных условиях.
22. Предельный угол внутреннего отражения, град
Вода 49
Глицерин 43
Этиловый спирт 47
23. Приближенное значение интервала длин волн
для основных цветов видимого спектра, нм
Красный 760—620 Голубой 500—480
Оранжевый 620—590 Синий 480—450
Желтый 590—560 Фиолетовый 450—380
Зеленый 560—500
24. Удельная теплоемкость, Дж/(кг • К)
Алюминий 880 Олово 200
Бетон 880 Парафин 3200
Вода 4190 Полиэтилен 2300
Глицерин 2400 Пробка 2000
Дерево (сосна) 2700 Ртуть 138
Железо 460 Свинец 130
Золото 100 Серебро 200
Керосин 2100 Спирт 2400
Латунь 380 Сталь 460
Лед 2100 Стекло 830
Медь 400 Цинк 400
Никель 460 Чугун 540
25. Удельные теплоемкости газов
при постоянном давлении, Дж/(кг • К)
Азот 1000 Водород 14 300
Гелий 5210 Углекислый газ 830
Аммиак 2100 Воздух 1000
Кислород 920
26. Температура плавления
и отвердевания, °С
Алюминий 660 Раствор КаС1 (насыщенный) -18
Вода 0 Ртуть -39
Морская вода -2,5 Свинец 327
Железо 1530 Серебро 960
Золото 1060 Спирт -114
Лед 0 Сталь 1400
Медь 1080 Цинк 420
Нафталин 80 Чугун 1150
Олово 232 Эфир -123
27. Температура кипения при 760 мм рт. ст., °С
Азот (жидкий) -196 Кислород (жидкий) -183
Алюминий 1800 Медь 2300
Аммиак -33 Нафталин 218
Вода 100 Олово 2300
Водород (жидкий) -253 Ртуть 357
Воздух -193 Свинец 1600
Гелий -269 Скипидар 160
Глицерин 290 Спирт 78
Железо 2450 Эфир 38
Золото 2600
28. Удельная теплота
парообразования, кДж/кг
Аммиак 1370 Сероуглерод 350
Вензин 398 Скипидар 294
Вода 2260 Спирт 855
Ртуть 289 Эфир 352
29. Некоторые астрономические величины
Средний радиус Земли 6,37 • 106м Масса Луны 7,3 1022 кг
Средняя плот- ность Земли 5500 кг/м3 Среднее расстояние от Луны до Земли 3,84 • 108м
Масса Земли 5,96 • 1024 кг Период обращения Луны вокруг Земли 27 сут 7 ч 43 мин
Радиус Солнца 6,95 • 108м Средняя плотность Солнца 1400 кг/м3
Масса Солнца 1,97 • Ю30 кг Среднее расстояние от Земли до Солнца 1,49 • 108 км
Радиус Луны 1,74 • 106м
30. Математические постоянные
п 18 п п 1е п
е 2,7182818 0,4343 1/п 0,3183 1,5028
71 3,1415927 0,4972 42 1,4142 0,1505
4тг 12,56637 1,0992 Л 1,7302 0,2386
я2 9,86960 0,9943 1° 0,01745329 рад
7я 1,77245 0,2486 1 рад 57,29578°
1п 10 2.3026 0,3622 1' 0,000291 рад
31. Теплота сгорания топлива, 106 Дж/кг
Антрацит 31 Лигроин 43,3
Бензин 46 Мазут 40
Бурый уголь 9,93 Нефть 46
Дрова сухие 8,3 Порох 3,8
Каменный уголь 30 Природный газ 36
Керосин 46 Спирт 30
Кокс 30 Торф 15
32. Плотности, кг/м3 при комнатной температуре 17—23 °С
Металлы
Алюминий 2700 Марганец 7410
Висмут 9780 Медь 8890
Железо:
чистое 7880 Натрий 9700
сварное 7850 Никель 8800
чугун 7600 Олово 7290
сталь 7700 Ртуть (тверд. -39 °С) 14 190
Золото 19 300 Свинец 11 340
Калий 860 Серебро 10 500
Кальций 1540 Цинк 7100
Магний 1740
Сплавы
Бронза 8800—8900 Константан 8880
(колокольная) 8700 Латунь 8400—8700
(фосфористая) 8800 Магналий (магниево- алюминиевый сплав) 2000—2500
Инвар 8000 Манганин 8500
Различные вещества
Алмаз 3500 Лед (при 0 °С) 917
Асбест 2000—2800 Парафин 900—920
Древесина 600—900 Плавленый кварц 2100—2200
Ясень 600—800 Пробка 220—260
Целлулоид 1400 Слюда 2600—3200
Эбонит 1150 Стекло 2400—2800
Жидкости (при 15 °С)
Анилин 1020 Масло 920
Ацетон 792 смазочное 900—920
Бензин 899 Скипидар 870
Вода 1025 Спирт 810
Глицерин 1260 ЭТИЛОВЫЙ 791
Керосин 800 Эфир 736
Газы (г/м3 при нормальных условиях)
Азот 1251 Неон 900
Аммиак 770,8 Ксенон 5850
Гелий 178 Метан 716
Водород 90 Криптон 3680
Воздух 1292 Окись углерода 1250
Аргон 1783 Сероводород 1539
Водяной пар 768 Фтор 1690
Двуокись углерода 1976 Хлор 3220
Кислород 1429 Хлористый водород 1639
33. Массы некоторых атомов, а. е. м.
4н 1,00783 12С 12,0000
2Н 2,01410 16О 15,99491
Зн 3,01605 56Со 55,93991
3Не 3,01603 235р 235,04277
4Не 4,00260 238р 238,04808
34. Периоды полураспада
некоторых радиоактивных ядер
3Н 12 262 года 32р 14,3 сут
14С 5730 лет 226Ка 1622 года
65Со 18,2 ч 222Кп 3,825 сут
56Со 80 сут 90Бг 28 лет
60Со 5,263 года 137Св 27 лет
4ОК 1,3 • 109 лет 1зол 12,3 ч
42К 12,4 ч 131Л 8,05 сут
24Ма 15 ч 238ц 4,51 • 109лет
35 Значения гамма-постоянной
для некоторых радиоактивных источников,
Р • м2/(с • Ки)
1Э1Д 2,6 60Со 13,5
220Ка 8,4 24Ыа 18,6
•ч Е 2 Я И « Р<1 Рапаб1ит *» Е ь» Ш(е(|цт Лютеций 103 Ьг 260,1054 ЬГ 1а*гелсшт
СО Со 28 56.6 зЬаиит обальт НтоФит Радий 1г 78 195, 1пбшт (ВИДИЙ м* 11’ М1 ) (пелит гнерий уиуаеии цигчаивиА ЧА ЧА 01 102 Ко 259 1009 МоЬеНит
IIIА 27 58.9332 С< К 1 77 192,22 1 109 (2е6’ ме, Мей О ей е | ТЗ Е ж 1 3
3?
Не 4.00260 НеНып Гелий моем иоэм 4102 акт >1 Аг 11 ЛГ 39.94 Агдоп Аргон * Ц и м <5 2 Кг вз3е Кгурюп Коиптон “.07 В, Яи(пеп1и1 РМТАНИ Хе ,3* Хеппл Ксенон ®м ос « § В" (®; йабоп Радон «и XX 00 Ц? О 1О V- 167 26 ЕГ ЕГО ит Звбяй и •инам Ш4 1ДК1 001
< © Ев 8а 6
СО О н со от о °Е « 3 С1 17 у1 35 453 СШогит Хлор 25 Мт» 54,9380 МП Мапдапот Мавгяиаи Вг 35 79,904 Вготит Боом О Е-а €1 ®к со 5 Ю о 01 0) Е* И 1; ш с в: 85 п {2101 ВИ ВоПгшгп Борий о й в М Е 3 1г 5 «'
< И ?5 С О 43 198] 1 Е ыы од о (2 “ 2 ь < 0 107 [262] >» ° и ® ? о!
ш со 00 ? и е и т!> <о 21 05 °3 <п Я I н ТТ О ЗВ 74 183,85 УУоИгат ит йпп.Лп»и 1бог »8 дшт УГИЙ ' [15г! 86
ЛЕМ < О Охудешит Кислород 8 з, . ЗиИиг Сера о* о М 1П Ь- 6 с < ф й> СЛ Йо ф 1! Н !1 А. 106 [263] ЗеаЬог Сибо| ко. КН. 65 ТЬ 158,9254 тегЬнмп Таобий ™ ’ ‘Те
го со О < 0) X со > 7 14 0067 >деп1ит 15 30.97376 ;рпогиз фор |! * _ 33 74 9216 Агзатсит Мышьяк иь 064 МюВ>ит Нмнбий гИ »л из см 1! « Е* ь ^3 83 208,9804 1и(Ьит МУТ ’ оь ОиЬтит Дубний к,0, на |6\ са 157 25 СМ-йя ;т Гааолииий ШЭ 96
< X с < с о г а * ° с г© з! ^а. И) Йо « 2 ни ь о ИА X РО тсо 13 МН Ат
о 5 У п со ф - г-* со О со Р !| Ое 32 72,59 СегтагНит Г евманий М Е« м И О 1 © 2 из г~ НГ На1пшт агоний 1 М ™ □О & см «Нч Е« й |а КН. шш а Е из 5 сг. г_-
И'У’ Г Р > с СагЬопеил Углерод в е| 5 1 Ли м : 1x1 ; см о “ 8п 81аппит Олово О> РЬ Р1итЬит Свиней 104 [261] Рите Реэер к 5 Ч &
о 1- I Ы О из - ?" I; ₽1 сг> ш * р 3 « да ?
Е И т5 Л « ◄ а И |! с> С» Л (ЗаШит Галлий Й -О X 7 Т а' 38,9055 Ь“ 1ап!бали1 Ляытя «м Е« н-с го С е- г; 19 Ас*: 227] Ас11П1и1 Актини ф* « 61 р |1«1 "т Рготвтцм Поометий си г да
П) ГО СР < 'О Е 5
со т в Е 5 12 24.305 1ит 1 О СО СТ о 511 к 38 87,62 т 1МЙ са Сабт1ит Кадмий со Не 'бгагдугит Ртуть 88 [226] ф к 2 Ё8 а* = 5 1 СМ ;
о X о < Ве Вегу1ни1 Берил; ме Мадпез Магни» Е св « <и ои о» « 2 (м О 1 <Л йс со м Е? Л 'С С5 5а 80 200,59 Ну Ка РаОшт Радий Вм Е 1] Св й-
<х ГО со СО ’Ч ® 2 5II со со & Й 8 Я 22 87 223) СП, О 1.0 _ да
и &> X < (н) Ев 21! Ла „„ 22.91 Магнит . Натрий 1] 21 29 । 1 63.546 л СиЕ М 4= 11 Й и — 47 107.8682 2 Агдег Сере Ед « ? < У 03 < о ст е! Рг , Ггапсшт Франций ф 03 5$ Се 140,12 Сепит Неоий © да
36. Перис ПЕРИОДЫ Г" СМ СО тг ю (0 К ВЫСШИЕ ОКСИДЫ ЛЕТУЧИЕ ВОДОРОДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЛАНТАНОИДЫ *
Ответы и решения
ГЛАВА
1.5.1)0,13; 2)0,04; 3)0,01; 4)0,042; 5)0,0015. 1.6.0,2 см2.
1.7.2,14 см2. 1.8.2,6 м. 1.9. ЗКл. 1.10.4,6- 10“4 Дж. 1.11. 1) 2,009:
2)32,44; 3)0,7529; 4)8,2; 5)0,794; 6)0,327; 7)2,02; 8)3,64.
1.12.10,88 м. 1.13. 498 Дж. 1.14. 2,4 • 10“4 Н. 1.15.32,8 м/с2.
ДЯ
дя
дг
дг,
1.17. + 2у + 2у . 1.18. =^ + -Г + 7±-119- Т = °’04-
Л/ Ш I I х ^2 *
1
2
1.20. ДУ = 56 см3; у- = 0,05. 1.25. 1) у ; 2)2; 3)0,5; 4)0,5; 5)1,5;
6) | (73 - 1); 7) 11п |; 8) 11п |; 9) |; 10) ; И) | (2 72 - 1); 12) |;
13) 5 1п |; 14) 0; 15) -2^ ; 16) ; 17) 1; 18) 1п ; 19) ; 20) 2; 21) 1п 3;
22)0,24; 23)0,25; 24)1; 25) |; 26)0,5; 27)^; 28) 1п уу ; 29)0,5;
30) е2; 31)0,5: 32) |; 33)71п410; 34) 32^; 35)9; 36) 37)0,24;
о 4 о У
38) . 1.26. 1) 1О5 ; 2) 1о|; 3) 1; 4) 215 ; 5) 21п 4; 6) 2% ; 7) 2о|;
о о о о О
8)36; 9)12; 10) 2 - Д; ; 11)10; 12)16; 13)2; 14)3; 15) |; 16)37^;
1П Л оо
17) ю|; 18) ; 19) 18; 20) 72 ; 21) 15; 22) 19,5; 23) 16,25; 24) |; 25) 2;
о О О
26) - 1-27. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) нет;
9) да; 10) да. 1.28. 1) у = ~2" с ; 2) у = | х3 + х + С; 3) у = Се5х; 4) у =
= з!п х - соз х + С; 5) у = 71п х + С ; 6) г/ = С л/х2 ; 7) у = 7* _ 1п х + С ;
8) у = 37гх2 + С ; 9) у = 1п (х + 1) + С; 10) у = 7?+"с ; 11) у = Сез1п х;
12) у = Сех ; 13) у = Се~3х; 14) у = 1п (х + С); 15) у - С - е-*; 16) у = 1п х +
_______________________________________ з
+ ех + С. 1.29. 1) у = 72х + х2-8; 2)у = 1п х + ; 3) у = 2Тх;
О
4) у = соз х + ; 5) у = ^9е* - 1; 6) у = ех - 2ё~х + 4; 7) у — 4(х + 1).
1.30. йв = исИ = (н0 + я!)<11; з = Гц/ Ч—у = 10 200 м. 1.31. ЛЕ = с1Л = кхйх;
________________________________________________________________
Е = —х~ . 1.32. Решение: - -т- = к(1 - I)- -= = Ыт, откуда 1п (1 - 2) =
/и иТ 1—1
= -кт + 1п С, I -I = Се~кх. При т = О имеем I = 100 °С и С = 80; при т =
1п 2
= 10 мин имеем I = 60 °С и 60 - 20 = 80е 10А, откуда к = уу;
при
Т = 30 мин имеем I = 80 °С и е
4гзо+<‘>
1
= 80е1п8 + 2 = 30 °С.
1.33. Решение: <12 = -к1&1', -у = -кй1; 1п 2 = -к1 + 1п С, откуда 2 = Се ы.
При I = 0 имеем 2 = 20 = С; I = 20е~м; у = 2 = е0'5*; 1п 2 = 0,5А. Отсюда
,2
к = 2 1п 2 = 1,38 2 = 20е 1’38/. 1.34. 2,5 мг. 1.35. + у у = 0. 1.36. 0,28.
аг 1
1.37.0,54; 0,46. 1.38. у. 1.39. |. 1.40. = 50,8 • 10"15. 1.41.0.
4 о
1 2 17 2
1.42. ^. 1.43.0,43; 0,7. 1.44.x; х. 1.45.x; х. 1.46.0,7. 1.47.300
/л О о У У
5 15
больных. 1.48. 7,6%, 92,4%. 1.49. 7; 35 белых шаров. 1.50. - и « .
о оо
1.51. а) ||||, 1; б) |||, 0,0. 1.52. 0,16 и 0,36. 1.53. (1,6)6 =
= 0,000021. 1.54. . 1.55. = 0,015625. 1.56. а) 0,265; 6)0,235;
в) 0,5. 1.57. Вероятность того, что ни один из опрошенных не имеет дня
364
рождения, совпадающего с днем рождения первого, равна уу ~ 0,997.
„ /'364Л199
Вероятность для 199 человек равна 13^5 I • а вероятность того,
что хотя бы у одного из 199 человек день рождения совпал с днем рож-
дения первого, Р = 1
/'364у99
(Збб)
= 1 - 0,579 = 0,421. 1.58. В обоих слу-
7 < чо 20
чаях - . 1.59.
и хх . 1.60. 0,336. 1.61. Из условия задачи следует,
что вероятность выигрыша для отдельной облигации равна 0,1.
Вероятность того, что из 20 облигаций выигрывает одна, представляет
собой вероятность биномиального распределения (п = 20, I = 1): Р;п =
= н(п—1) _ руг - 1 = 0 27 2 62 0,387. 1.63. а) 0,2916;
6)0,3439. 1.64.0,0000224. 1.67.2,5; 1,25; 1,12. 1.68.5,6; 3,64; 1,9.
1.69. М(х) = 1 • 0,2 + 2 • 0,1 + 3 • 0,1 + 4 • 0,4 + 5 • 0,2 = 3,3;
Б(х) = М[х - М(х)]2 = (1 - 3,3)20,2 + (2 - 3,3)20,1 + (3 - 3,3)20,1 +
+ (4 - 3,3)20,4 + (5 - 3,3)20,2 = 2,01; Б(х) = М(х2) - [М(х)]2 = 12,9 - 10,89 =
п
= 2,01; ст = 7/>(х) = 1,42. 1.70. аЬ = 1. 1.71. аЬ = 2. 1.72. | ант х йх = 1,
о
отсюда а = 0,5. 1.73. В = 72/л ~ 0,8. 1.74. Р(х) =
О, х < 0;
- Ьх, 0 < х < а;
Ьа = 1, а < х;
Г(х) = <
О, х < 0;
15 2 п
5- хЛ 0 < х < а; Р(Х) =
и
1 . л
оа == 1, а < х;
О, х < 0;
-1 а(1 - сон х), 0 < х < л;
2а = 1, л < х.
1.75. М = | хМх =
о
Ь2 2 ’° 2У 12 12-1-76-л? ] хахАх~ з _
2 Г А 2 \2Ь а3Ь 2 0
= л а; Л = ] (х - ,а ] - хйх = .1.77. М = О; Б = [ х2/(х)йх +
о •> I о ) а оо 1о
О 7 а
а О а 34,
+ / х2/(х)йх = ^ х2(ь + -х^йх + | х2(ь - -х1йх = -Г-^-5 + ^--1 +
3 4, 3, 2
а а о а о а а
+ Ь --г- — = "Б"; о - т3 • 1*78. В обоих случаях 0,5. 1.79. В обоих
3 4 а о 6 ^/5
3 (х — 2\
случаях 0,5. 1.80. На основании (1.69) имеем 7 = 0,75 =* Ф[—т— . Из
4 \ 4 )
%___
прилож. 6 находим —— = 0,7; х = 4,8. 1.81. Из (1.69) /'(ст) = Ф(1);
Р = Г(ст) - /(-ст) = Ф = Ф(1)-Ф(-1) = 2Ф(1) - 1; а) Р = 2Ф(1) — 1 =
= 2 • 0,8413 - 1 =0,6826; б) Р = 2Ф(2) - 1 = 2 • 0,9772 - 1 = 0,9544;
в) Р = 2Ф(3) -1 = 2’ 0,9986 - 1 = 0,9972. Функцию Ф находим из прилож.
6. 1.82.484 м/с. 1.83.517,5 м/с; 458,6 м/с. 1.84. 402,9 К. 1.85. 342,9 К.
(V — V )2М
1.86. 1933,8 м/с; 1781,6 м/с; 1578,9 м/с. 1.87. Т = ——-= 333 К
(7з-72)2я
(М — молярная масса азота). 1.88. Мх = л/(р)йо, где п — концентрация мо-
. л, . ( т0 А3/2 -тои2/(2ЛТ)
лекул при нормальных условиях; а) = п • 4л 7—е ао =
= 1,7 • 1018 м~3; б) 4 • 1017 м“3.1.89. 3,9 • 10’3.1.90. рд/род = е-м«л/(лг> =
= 0,08. 1.91. Р е ш е н и е: /р^' — 0,99 = етгЛЛ/<*г7’) - т^ЛйДйТ) =
= 1п 0,99 = -0,01, откуда АЛ = 79,5 м. 1.92. 5510 м для О2; 6297 м для М2.
1.93. § = 62,0 м/с2 (при движении вверх); ё = 42,4 м/с2 (при движении
вниз).
ГЛАВА
2
2.1. 4,36 с-2; ф = = 2.18*2. 2.2. 1) фх = 6 рад, й! = 6 рад/с, = 6 рад/с2;
ф2 = 78 рад, й2 = 51 рад/с, ^2 = 24 рад/с2. 2.3. 34 рад. 2.4. 5 • 10 2 кг • м2.
т12
2.6. 5 • 10-4 кг • м2; 7,2 • 10~4 кг • м2. 2.7. / = -у .Указание: мо-
мент инерции проволоки равен сумме моментов инерции двух ее частей
I 21 9 ~ о „„ . т(7?4г4- 2Я2/2)
длиной х и -х-. 2.8. 1,4 кг • м2; 16,9 кг • м2. 2.9. ] - --х-1 =
3 3 27Г
= 4,75 кг • м2. 2.10. } = т(Д +2^1--1Л = 7>95 кг. м2. 2.Ц. 0,36 Н • м;
22?
771,(4т712 + М) 7712(4771]^ + М)
0,144рад/с2. 2.12. Тг = 2т* * 2тг+М8= 17,6Н; Тг = 2тг + 2т2 + т8 =
2(7’, - Т’2) о М, 2^2 3.
= 13,7 Н; а = —= 3,9 м/с2. 2.13. —2 = - . 2.14. 6 Н.
2.15. М = 1,44* - 0,16; М = 4,16 Н • м. 2.16. 0,38 Н • м. 2.17. Ек = тег =
= 14 Дж; V = 8 м/с. 2.18. 666 Дж. 2.19.8 --=180м. 2.20.30°.
. 2
7Мшах 9
2.21. Работа за один шаг: А = —’ 2 = таг Средняя угловая ско-
_ штах — Аф
рость за полшага о = —%— , откуда йтах = 2и = 2 — . Средняя мощность
2 2
= 14’8 Вт- 2'22‘ 1497 Н' 2-23’ А = 2>“2тах = 2/^А =
2
= З2/^. = 35 . ю-4 дж, Дф = зо° (см решение задачи 2.21).
Тг
2.24. Уменьшится в три раза. 2.25. 3 кг. 2.26. Уменьшилась в четыре ра-
за, 2.27. 12 об/мин. 2.28. Из закона сохранения момента импульса Дй) -
2
- /2Й2 = О, где Д = 7П1Я1, /2 =
”1
тп2в|
2 ; 0)1
й2 = 2л712, а скорость чело-
века относительно оси вращения = V — V2 — V - й2В = V - 2л7г2Л1. От-
771,/?, V , д^*2
сюда п2 = ---------;------=0,38 мин Ч 2.29. Ек = х - = 120 Дж.
Л(2т1Е^ + 7712К2)
3771. V ,
2.30. 77 = ---Г-Х---П =3,7 с1. 2.31.= 0,64 кВт. 2.32. Перегрузки:
Л(771 + ЗТ771)/
а, + е а2 + е
—----- « 5,5; —------ « 2; А*
8 8
с. Указание: 1>гаах = л/2§Л ,
Гтах „ „„ , ((Й2К\ , , , „
= -д^- = -д< . 2.33. а = агс1Н-у- I (рис. 1). Пере-
Ч_ грузки +^° ~ 4. 2.34. 72 . 2.35. 634 нН.
2.36. 332 • 103 рад/с. 2.37. х = 0,05соз (л! + л/3) [х в м);
утах = 0’16 м/с. 2.38. х = 0,1соз (2л1 + + л/2) [х в м];
атах = 3,96 м/с2; V = 1 Гц. 2.39. 0,5 с. 2.40. 4 рад/с; 1,57 с; л/4 рад;
7 • 10 2 м; 0,8 • 10 4 Дж. 2.41. I, = | с; 12 = с; 1а = с. 2.42. 2 мН;
1 6 12 ° 6
0,1 мкДж. 2.43.3,14 с; 2 рад/с. 2.44. 2,5 Гц. 2.45.0,4 с. 2.46. рцй8& =
2 2
— з Рц = з Рж> гДе Рц и Рж — плотности вещества цилиндра и жид-
кости. Составим дифференциальное уравнение вертикальных колебаний
,„<12х й2х 3§ л [зё
цилиндра: р ИЗ—л = -рж8#х, или —+ кт х = 0, откуда и = /-^;
&1 &Г '«2Л
Г = 2л = 0.94 с. 2.47. 0,6 Гц. 2.48. Т = 2п^1/(2ё) = 1 с. 2.49. 0,2 м.
Ох
2.50. Ек = 0,04 Дж; Еп = 0,12 Дж. 2.51. — + 50х = 0; х = = 0,2соз(750* +
д.1
+ л/4) [х в м]. 2.52. Ек = 0; Е„ = 5 • 10 7 Дж; Е = 5 - 10 7 Дж. 2.53. Из зако-
на сохранения импульса ту = (М + т)и, откуда и = ггш/(М + т). Максималь-
„ _ кА2 (т + М)и2
ная кинетическая энергия шара с пулей Ек = —т— =---------5—-— =
Л Са
(т + М)т2V2 т2V2 , ,, 1/2
=------------5— = о,.т _.. ОтсюдаА = ти(к/(М + т)) . Так как (0 =
2(М + т) КМ + т)
— ^к/(М + т), то У = 2л/<о = 2л7(М + т)/к. Тогда сп1ах =Асо = тц/(М + т);
атах — Аш2 = тмЛк/>](М + т)3 . 2.55. 49 кг м2. 2.56. 0,8 Гц. 2.57. х =
= 5,83 соз 5(1 - 0,09л). 2.58. х± = 8соз(61 + 0,1л); х2 =4соз(61 + 0,5л).
2.59. л/3. 2.60. а) Прямая, проходящая под углом 45° к оси Ох; б) точка на
экране осциллографа. 2.61. и2 + и2 = 4. 2.62. = 0,6ц2- 2.63. 0,223; 6,3 с.
2.64. 0,1 с-1. 2.65. 23 с. 2.66. В е раз. 2.67. 20,9 с. 2.68. X = 0,023; п = 43,5.
,2
2.69. 0,25 с-1; 4 рад/с. 2.70. X = 0,01; В = 0,025 с-1; + +0,055? +
я/2 а*
(1 X йх
+ 246х = 0. 2.71. —+ 0’4^7 + 196х = 0; х =0,10е 0,21соз 141 [х в м].
2.72. г) = ц рВ2 7<0р - со2 = 543 Па • с, где р — плотность стали.
2.73. со = Зс х; соо = 2 с 1; сорез = 1,8 с Ч 2.74.1,67 с. 2.75.4 с Ч
2.76. А------—гг ; го! = - ; А = 5 • 10“2 м. 2.77. з = ып 2000л(< - 0,3).
тп(го0 - со )
2.78. 3,5л. 2.79. 300 Гц. 2.80. 2 м. 2.81. х = 0; V = 1,57 • 104 м/с; а = 0.
2.82.0,4л. 2.83.0,048л. 2.84. л/17. 2.85. Ах = 5 нм, Аг = 0,1 нм,
А3 = 0,005 нм; (01 = со2 = со3 = 3 • 1013 Дж/м3. 2.86. Для воздуха:
1 /27
>4 = 17 м, %2 = 0,017 м; для воды: 7ц = 70 м, Х2 = 0,07 м. 2.87. А = ;
а) А = 0,01 нм; б) А = 0,32 мкм. 2.88. Г = 8^21ри ; а) Г ~ 1,95 нН;
б) Р ~ 6,17 мН. 2.89. а) 874 Гц; б) 733 Гц. 2.90. а) 680 Гц; б) 670 Гц.
2.91. На кривой равной громкости (см. рис. 2.1), соответствующей порогу
слышимости, абсцисса 100 Гц соответствует уровню интенсивности звука
40 дБ. Увеличение интенсивности звука происходит в 1000 раз, т. е. на
Д1дБ = 10 1000 = 30 дБ. Таким образом, создается уровень интенсив-
ности звука, равный 40 + 30 = 70 (дБ). Этот уровень интенсивности звука
на частоте 100 Гц соответствует кривой, равной громкости 45 фон. Сле-
довательно, уровень громкости возрос от 0 до 45 фон; б) для 1000 Гц
громкость звука увеличилась на ДБф = ДХдБ = 101000 = 30 фон.
2.92. В 100 раз. 2.93. рг/р2 = 32. 2.94. 10"5 Вт/м2. 2.95. 150 =
— 10 (7/70), т. е. 1/10 — 1015, откуда I = 104% = 1 кВт/м2; р = 72рп7 ~
« 937 Па, так как I = горп = 2л2у2риА2, А = — ~ 3,4 • I О4 м.
2.96. ] 5° .. 5 - 0,1Е2 = 18 [7/(37)] = -0,48, откудаЕ2 = 54,8 фон.
]7О = 1е(7/7о), Л +
2 97‘ [80 = 1О1е(7/7о), х 101в 10 ’
11 = Ю%,
12 = 10%,
71 + 72 = 1,1 • 10%;
0,1Б = 1,1 • Ю8 = 8,04; Е = 80,4 фон. 2.98. 1,25. 2.99. 100.
2.100. 10~7 Вт/м2. 2.101. 15 фон; 55 фон. 2.102. На 50 фон.
2.103. 10-5 Вт/м2; 10-7 Вт/м2; 10~8 Вт/м2. Указание: задачи 2.100—
2.103 решаются с использованием кривых равной громкости.
2.104. 3,75 м/с. 2.106. X = 20 мкм. 2.107. Хзв = 330 мкм Хуз = 330 мм,
нижняя граница ультразвука определяется средним расстоянием между
молекулами в среде при данных условиях. 2.108. Часы будут отставать
(Т2 > Тг). 2.109. х = 0,0185 • соз (0,2л? + 0,125л). 2.110. Дифракция не-
существенна, если размеры преграды превышают длину волны по край-
ней мере на порядок. Поэтому Х1 = 16,5 м; Х2 = 0,75 м; Х3 = 0,0188 м.
2.111. Аф = 0,5л. 2.112. А = 2,28 • 10 8 м. 2.113. Коэффициент отраже-
ния УЗ при нормальном падении волны на границу раздела двух сред
рассчитывают по формуле: г = [(И2 - Е1)/(Е2 + Иг)]2, где и И2 — волно-
вые сопротивления сред. Учитывая, что УЗ переходит из воздуха в мяг-
кую ткань, получаем г = 0,998. 2.114. Р = 0,29. 2.115. р = 1066,6 кг/м3.
2.116. ДЬ = 1 см. 2.117. I = 0,31 Вт/м2. 2.118. I = 0,54 Вт/м2. 2.119. I =
= 10“п Вт/м2. 2.120. В 1,26 раз. 2.121. Интенсивность звука, соответствую-
щая порогу слышимости кошки, в 435 раз меньше, чем человека. 2.122.1 =
= 10-11 Вт/м2. 2.123.12= 0>16 • Ю-10 Вт/м2, Г3 =0,36 • 10"10 Вт/м2.
2.124. Увеличивает в 27,7 раз. 2.125. Скорость движения эритроцитов
уменьшается в 1,3 раза. 2.126. Резонансная частота тела человека в поло-
жении «стоя» в 18 раз больше, чем в положении «лежа». 2.127. В =
= 0,015 м. 2.128. V = 330 • 1О10 Гц. 2.129. Коэффициент проникновения
звука рассчитывают по формуле: р = [4Р1р1/(Р2Р2)]/[^1Р1/(^2Р2) + I]2-
В отсутствие масла волна попадает из ультразвуковой головки в воздуш-
ную прослойку, а из нее в ткань (воду). Подставляя соответствующие
данные для воздуха и ткани, получаем достаточно малое значение коэффи-
циента проникновения волны Р = 0,12%. При наличии масла волна из
ультразвуковой головки попадает в масло, а из него — в ткешь. Подставляя
соответствующие данные для масла и ткани, получаем Р = 98%.
2.130. 0,2 м/с. 2.131. 8К/8А~ 800. 2.132. рг + рИ2 /2 = ррУ2/2, где Р1 и
ш — давление и скорость в сечении поршня, арии — в сечении иглы. Из
условия неразрывности струи имеем 8]Р1 = 8г. Так как >> 8, то П| <К V,
можно считать, что ~ 0. Тогда Рх —р + ра2/2, где р — атмосферное давле-
ние, Р1 > р на 8/8, поэтому Рх - р = 8/8 = ро2/2, откуда V = ^/28/(8р) ~
~ 10,5 м/с. 2.133. 4,9 кПа; а) Др = 0; б) перегрузка, равная 3, соответствует
движению с ускорением а = 2д в поле тяготения, поэтому Др = 2р§Дй +
+ ррЛЛ = 14,7 кПа. 2.134. 1,7 м/с. 2.135. 5,2 м/с.
2.136. 4,4 м/с.
\
2 2 ло
2.137. р0 + ро0 /2 = р! + р^! /2; 8Х<> о0 = откуда 01 = о0. Тог-
2
, Р / 2 2. , ро
да Р1 = Ро + § <г0 ~ ) = Ро + ~2/
2
ро.
= 0,9 Па; рд =
г
2 „2
----— = 0,2 Па. 2.138. На участке х < 0 сечение трубки одинаково, сле-
28„
2 2
Р^о ру (х)
довательно, р = сопз!. На участке х > 0 имеем р0 I—— р(х) + 0 ; так
как 80у0 = 8о, то и = г^Дх + г)2. Тогда р(х) =р0 + Р (а2 - а2) = р0 +
2
Р^о
2
г4
(х + г)4
Зависимость р(х) изображена на рис. 2. 2.139. На
участке х > 0 имеем
08т) , 8бп , „
------—; ар =---------д ах. Интегрируя, полу-
я(х + г) л(х + г)
имеем р(х) = р0 - х. Зависимость р(х) изображена на рис. 3.
2.141. 0,315 мН. 2.142. М --Гг = 8г = ть~ Ш) • =
'<1г '<1г 2 2 Дг
= 7,9 • 10 7 Н • м. 2.143. Д1 = Л Д'о ~ 161 мин. Указание: из форму-
2<Р - рж)г ё
лы (2.74) найти п0. 2.144. а) из закона Стокса о =х------—----- =
У Т|
= 1,3 • 10 5 м/с, тогда I = 2,3 • 103 с; б) в закон Стокса вместо ё следует
подставить со2/? = (2лп)2/?, и тогда V — 1,3 м/с и I = 2,3 • 10 2 с. 2.145. т —
= ир8 = орлВ2/4, где р — плотность крови, Ке = рслО/т), тогда о = КеТ|/(рЛ)
и т = Кет)пВ/4 = 0,18 кг. 2.146. ~ 2,2 мм. 2.147. Увеличится приблизи-
тельно на 3%. 2.148. 96 кПа. 2.149. 0,1 мм. 2.150. В капилляре останет-
ся ~ 2,8 см. 2.151. В крупных сосудах. 2.152. 0,34 м/с.
2.153. Приблизительно в 1,1 раза меньше. 2.154. Пульсации крови сгла-
живаются вследствие эластических свойств сосудов. 2.155. 20 см/с.
2.156. ~ 1 Дж. 2.157. ~ 0,014 Дж. 2.158. Возрастает в 9 раз. 2.159. 38,3 мПа.
2.160. ~ 3,5 Вт. 2.161. Увеличивается в 2,25 раза. 2.162. 6,5.
2.163. 500 кПа. 2.165. 5 кПа. 2.166.1,6 • 105 Па. 2.167. 25,5 Па с/м3.
2.168.1,5 • 1012 Па. 2.169.8,14 • 105 Па. 2.170.0,48 10 3 м/с.
2.171. 0,05%. 2.172. V! = 1000533 Гц; у2 = 999467 Гц. 2.173. со ~ 120 об/мин.
2.174. 1,28 мм. 2.175. 1,5 • 109 Па. 2.176. 1,8 103 Па. 2.177. 26 • 10 5 м2.
2.178.0,12 • 10 5 Дж. 2.179. ЗД4103 кг. 2.180. ~ 2,1 • 106 м3/с.
2.181. 2,76 м/с. 2.183. 85,3 10 8 м/с. 2.184. 20,4 • 1012 Па; 8492,5 х
х 1012 Па. 2.185. ~ 1,6кг/м3. 2.186. 1145. 2.188. 4 м/с. 2.189. 2,6 X.
ГЛАВА О
3.1. 2640 Дж. 3.2. 23,12 • 10 3 м3. 3.3. В данном случае происходит изо-
термическое испарение жидкости при постоянном давлении. Во-первых,
в систему поступает теплота для нагревания жидкости, во-вторых, обра-
зовавшийся пар расширяется против атмосферного давления, совершая
работу. Количество воды в системе равно 1 моль, при этом теплота равна
молярной теплоте испарения. Совершаемую при этом работу можно опре-
делить по формуле (3.3). Поскольку испаряется 1 моль воды и первона-
чально газ не присутствует в системе, изменение числа молекул равно 1.
Таким образом, = 40,62 кДж, А = 3,1 кДж, Д1/ - А = 37,5 кДж.
3.4. Используя формулу (3.3), находим ДП. При этом учитываем, что
Су ~ 3 для идеального одноатомного газа. В данном процессе А = -Д17 =
= 27,8 • 102 м3 • Па (Су — 5 для двухатомного газа). 3.5. 21 • 102 м3 • Па.
3.6. 1)5749 Дж; 2) 1978 Дж. 3.7. Величину У1 рассчитываем по закону
идеальных газов: У^ = пШ/р^, Уг = 11,3 л. Конечный объем газа при обра-
тимом адиабатном расширении находим из уравнения р^У]/5 = ,
учитывая, что Ср/Су = 7/5 для двухатомного газа. При этом У2 = 12,7 л.
3.8. В атмосферном воздухе содержится около 21% кислорода и 0,03%
углекислого газа. Следовательно, из каждых 100 мл воздуха, прошедших
через легкие человека, организмом поглощается 21 - 15 = 6 мл О2. При
этом выделяется 5 мл СО2. Минутный объем дыхания человека равен
60 л : 10 = 6 л. Для расчета количества кислорода, поглощаемого челове-
ком за минуту, составляем пропорцию: из 100 мл воздуха потребляется
6 мл О2, из 6000 мл — х, следовательно, х = 360 мл О2. Дыхательный
коэффициент определяем, исходя из данных задачи, ДК = СО2/О2 =
= 5/6 = 0,83. Из табл. 17 находим калорический коэффициент при дан-
ном дыхательном. Он равен 20,26 кДж. Расход энергии человека в мину-
ту в состоянии мышечного покоя составляет 0,360 • 20,26 = 7,29 кДж.
За 10 мин энергетический расход составляет 72,9 кДж. 3.9. 832,8 кДж.
3.10. 21,14 кДж. 3.11. 41 К. 3.12. 4,1 л О2. 3.13. В сутки кролик потреб-
ляет 36 л О2 (1,5 • 24). Расход энергии кролика за сутки составляет
738,55 кДж с учетом калорического эквивалента кислорода. 3.14. 20 л.
3.15. Изменение энтропии в системе происходит в два этапа: I этап —
плавление льда при 273 К. Для 1 моль воды ДЗ] = С)/1 = 21,77 Дж/К;
II этап — нагревание от 232 до 373 К: Д32 = 2,303 Ср1% (Т2/Т1) =
= 23,45 Дж/К; Д5 = ДЗг + Д52 = 45,2 Дж/К. 3.16. 108,86 Дж/К. 3.17. 276 К.
3.18. 19,8 °С. 3.19. 58%. 3.20. 3 мин. 3.21. 12,2 МДж. 3.22. 22,47 Дж/К.
3.23. 20,4 °С. 3.24. 13,4 °С. 3.25. 0,9 м/с. 3.26. 0,59. 3.27. 600 Н.
3.28. 5,86 Дж/К. 3.29. 854 кДж. 3.32. 121,4 кДж/моль. 3.33. 2870 кДж.
3.34. 153 °С. 3.35. X! = 4,38 • 10-2 см; х2 = 1,9 • 10 2 см.
3.36. 3,2 • 10~6 М см/с. 3.37. 2,4 см2/с. 3.38. 8 • 10 6 м2/с. 3.39. 16 см/с.
3.40. а) 9,6 • 10 8 м; б) 0,3 • 10“8 м. 3.41. 107 В/м. 3.42. Так как С/8 = е^0/1,
то получим 0,44 мкФ/см2 — для мембраны; 2,7 пФ/см2 — для конденса-
тора. 3.43. 4,2 мм; 3,04 • 10 5 мм. 3.47. 122 мкВ по ионам водорода.
3.49. а) 0 В; б) 67,3 мВ; в) 134,7 мВ. 3.53. 134,7 мВ. 3.54. 10 7 Кл • см-1.
3.55. 55,3 мВ. 3.56. 410 мМ. 3.57.0,09 с. 3.58.1,85 • 10-3 см/с.
3.59. ва = (см, - см0)/1 = к(с1 - с0)/1; = (с; - с0)/1. Поэтому = к§б.
В таблице концентрация дана в ммоль/кг. Так как 1 кг воды занимает объем
1 дм3 = 10 3 м3, то 1 ммоль/кг = 10'3 ммоль/м3 — 1 моль/м3. Отсюда получа-
ем: ёб = (340 - 10,4)/10 8= 3,3 • 106 моль/м4; #а = 2,3 • 103 моль/м4.
3.60. Е = и/1 = 60 мВ/10 8 м = 6 • 106 В/м; Ек = УК/1К = 220 В/10 4 м =
= 2,2 • 10е В/м; Ек/Е = 2,7. 3.61. а = - = 1,2 х
х 10 12 моль/(м2 • с) и Ф = Л5 — 1,2 • 10 16 моль/с. Максимальный по-
ток будет проходить через площадку, если она ориентирована перпенди-
кулярно вектору плотности потока. 3.62. Для нахождения плотности по-
тока используем формулу г/ = Р(с0 - сг). С учетом того что в начальный
момент времени с, = 0, получаем: .Г = 4,2 • 10 11 моль/(м2 • с). Коэф-
фициент диффузии находим по формуле Р = Р1/к = 2,8 10 13 м2/с.
Графики изображены на рис. 4, а—в. 3.64. Ы = 108. 3.65. Различие ко-
эффициентов распределения веществ по обе стороны мембраны обуслов-
лено асимметрией расположения в бислое различных фосфолипидов и
белков. 3.66. Высокая концентрация сахара во внешней среде может при-
водить к потере клеткой воды вследствие осмоса. 3.67. 0,08 с; 0,39 с.
3.68. 0,16 моль/л. 3.69. Объем увеличится в 2,2 раза.
ГЛАВА
4.1. 8 • 10 6 Кл/кг. 4.2. 5,1 • 10й В/м; 27 В. 4.3. 1,6 • 10 29 Кл • м ~
= 4,8Д. 4.4.3 • 10 15 Кл • м. 4.5.1,25 - 10 25 Н • м. 4.6. Г =
&Е а
ЙХ Р<\х
д
. 2
4ле0х
Рд = 2,16 мН. 4.7. 5,4 • 10 28 Н - м.
2леох'
4.8. = 0; Т = 2яЛ7(рВ). 4.9.0,38 В. 4.10.0,44 В.
аг
У Казани е: использовать формулы (4.4) и (4.5). 4.11. Е = р/(2легЕ0г3).
4.12.3,4 • 10 18Н; 2,25 • 10 19 Н • м. 4.15. 10 11 Кл - м. Указание:
в формуле (4.5) следует применять у = 120°, Р = 0. 4.16. Р, ~ 6,2 мКл/м2.
Указание: следует суммировать электрические моменты упорядоченно
ориентированных молекул в 1 м3 воды. 4.17. р± = осв = 2,5 • 10 5 Кл/м2.
4.18. а) Напряженности электрического поля в диэлектриках различны,
поэтому пользуемся формулой сса = е0 (ег - 1) • Е0/Ег, где Ео — напря-
женность поля, которое создавалось бы в вакууме свободными зарядами.
Искомое отношение равно асв (в воде)/осв (в глицерине) = 1,01;
б) напряженность электрического поля в обоих диэлектриках одинакова.
Используя формулу (4.7), получаем отношение поверхностных плотностей
связанных зарядов, равное 1,9. 4.19. С = = 4ттЕо ?/Зт/(4лр) = 9 пФ.
“1
4.20. 74 Дж/м3. 4.21. Уменьшилась на 7 мДж. 4.22. а) А} = | АГйа =
О
“1
= | Ер 81п иске = 1,5 • 10 8 Дж; б) А2 = 2 Аг. 4.23. ДЕ = 69 нДж; ДЕ = А.
о
с2е2 схи2 г2
4.24. Изменение энергии конденсатора: ДЕК = —---------2— = *2* х
V2С^(С2 ч ^2е05//1 ч
х (С2 - С!) = —2—— 1 = ~21—(д— 7 = -20,6 нДж; изменение
энергии источника тока: Деи = ПДд = [717ДС = (72 (Сх - С2) =
/ С2ч / ^ч
= (72 • Сд 1 - — = (1ге08/11) 11 - т- 1 = 41,2 нДж; работа по раздвиже-
к с1/ V 12)
нию пластин конденсатора А = ДЕИ 4- ДЕК = (4,12 - 2,06) • 10-8 Дж =
= 20,6 нДж. 4.25. 2,4 • 104А/м2; 7,3 мА. 4.26. 1,76 мА/м2; 1,76 • НГ14 А.
4.27. / = 17/(2р111 1- р2(2) = 0,599 А/м2; Щ = ]2р111 = 35,9 В; (72 = /р2/2 =
= 0,0113 В (здесь Р! и р2 — удельные сопротивления кожи и мышечной тка-
ни). 4.28. п = 1/(2дУ) = ]/(2дГ) ~ 1,3 • 1015 м3. 4.29. Ц = 1У/(пд(Ь+ + Ь)82) ~
~ 3 кВ. 4.30. Из условия задачи (3 = 3 мкВ/К, тогда = (ЗД7 = 3 • 0,5 =
= 1,5 мкВ. Следовательно, можно установить повышение температуры
тела человека. 4.31. Увеличится в 2,5 • 104 раз. 4.32. Уменьшится в 2,9
ДЕ3
раза. 4.33. 0,7 эВ. 4.34. 1,1 эВ. 4.35. а ---. 4.36.-0,0067 К-1.
2кТ
4.37. Ц = 2,2 мА, 12 = 220 мА. В первом случае ток превышает порог
ощутимого тока, но не достигает порога неотпускающего тока. Во втором
случае ток существенно превышает порог неотпускающего тока. 4.38. 10 А.
4.39. Рис. 5, а иллюстрирует общую схему заземления, а) Принципиаль-
ная схема показана на рис. 5, б. Используя закон Ома, находим ток, про-
текающий через тело человека: 7ТЧ = 17/(/?пр + Д.,ч) = 36,7 мА. Это значе-
ние выше порога неотпускающего тока (около 15 мА), б) Принципиаль-
ная схема показана на рис. 5,6. Находим общее сопротивление парал-
лельного соединения сопротивления заземления и сопротивления тела
человека: — В3ЕГЧ/(В3 + В^) = 3,98 Ом = 4 Ом. Сила тока в цепи равна:
I = <7/(Я1 + Впр) = 44 мА, следовательно, напряжение на теле человека
равно /7ТЧ = 1В1 = 176 мВ, а ток, протекающий через тело человека, равен
1ТЧ = Г7Т,,/7?ТЧ = 0,176 мА. Это значение существенно меньше порога ощу-
тимого тока (около 1 мА). 4.40. Р] = 0,981 • Р2 = 0,957. 4.42. Необходи-
мо вывести формулу, связывающую вероятность безотказной работы, ин-
тенсивность отказов и время; Ра = 0,985, РГ) = 0,969 и Рв = 0,954.
4.45. 50 000 штук. 4.46. 6,5 мА. 4.47. 0,05. 4.49. Раздражающее действие
переменного тока обусловлено смещением ионов с ткани, которое происхо-
дит в противоположных направлениях в течение каждого полупериода.
При высокой частоте переменного тока амплитуда колебаний ионов стано-
вится соизмеримой с амплитудой теплового движения и раздражающее
действие тока прекращается. 4.50. 18,2 мкФ. 4.51. 125 103с 1, 250 мА.
4.53. 0,7 кОм. 4.54. 77,7 мА. 4.55. 83°. 4.56. Частота колебаний сердца
у человека составляет 1—2 Гц. Для усиления такого сигнала пригодны
усилители, частотная характеристика которых соответствует усилите-
лям постоянного тока. 4.57. 0.85 мГн. 4.58. 6,86 кОм; 82°. 4.59. ~ 88 кОм.
4.60. бОмкФ; 102 Ом/Гн; 2,5 • 10’8 с. 4.61. Н4 = 63,7 А/м, ВА =
= 9 • 10 5 Тл; Нв = 73,4 А/м, Вв = 9,3 • 10 5 Тл. 4.62. Искомые точки ле-
жат на прямой, параллельной проводникам, на расстоянии 5 см слева от
проводника с током силой 1г. 4.63. ~ 85 А/м. 4.64. Н = [167/(71/)] зш 45° =
= 90 А/м; В ~ 0,22 мТл. 4.65.= 11 А/м. 4.66. Я = 7/(4л5) = 32 А/м.
4.67. Ы = 2гН/7 = 7. 4.68. 13,2 А/м; 1,65 • 10 5 Тл. 4.69. В = 7р0/(4г) =
= 2 • 10 5 Тл. 4.70. 5 мН/см. 4.71. Рг = 0; Р2 = Р3 = 0,087 Н. 4.72. Р^ -
= = 2 мкН; О = 0,67мкН; Рве = Рао =
г 2лЬ * 2п(Ь + /) ’ ВС ли
V 1 а* Но7172 , ь + 1 , ,
= —о---- — =—~------- 1п —— = 1,1 мкН; равнодействующая
/271 * X /571 О
Р = Рд в + Рсо + Рвс + РАР = 1,36 мкН. 4.73. Ф = ^ Вп<18 —
8
М07/ ?° лх Ц07Г .
= -Д- = -4— 1ц 2 = 0,69 Вб. 4.74. 1,8 • 10 4 Вб. 4.75. 0,7 Дж.
2л 1 х 2л
4.76. 0,3 А • м2. 4.77. рт - еиг/2 = 0,93 • 10 25 А • м2. 4.78. 8 мкН • м.
4.79. 1,25 мН • м. 4.80. 0,04 А • м2; 6,8 мН • м. 4.81. На рамку с током в
ЙВВ 2л
О т •
однородном магнитном поле действует вращающий
момент М = ртВ. В положении устойчивого равнове-
сия рт П В и М = 0. Малые свободные колебания
рамки будут совершаться около устойчивого положе-
ния равновесия. Запишем второй закон Ньютона для
а2<р й2ф Ртв
рамки: Л —$ = -ртВу, или —+ —у- (р = 0. Реше-
[р
нием этого уравнения будет <р = <р0 сов М, где (й = /—у =
4л^
Отсюда В = —т— = 8 Тл. 4.82. 0,05 В. 4.83. ~ 3 мВ. 4.84. Магнитный
Т 18
поток через рамку Ф = В/2сов (90° - ос) = = 0,II2 сое (90° - а) еш Ш. ЭДС
в рамке изменяется по закону |^| = = 0,1л12сов (90° — а) сое П1 =
= 15,7 • 10 4сов Ж. В момент 1 = 4 с ЭДС в рамке равна = 15,7 • 10 4 В.
4.85. 1,51 В. 4.86. 0,5 В. 4.87. 0,08 Кл. 4.88. 1,9 • 10 4 Ом. 4.89. 10 5 Кл.
4.90. 6,28 • 10 2 В. 4.91. 500 витков. 4.92. 0,2 м. 4.93. 0,5 м. 4.94. 5 Гн.
4.95.37,7 В. 4.96.60 В. 4.97.150 В. 4.98.1,6 • 10“7 Дж; 105Дж/м3.
4.99. 1,5 Дж. 4.100. 400. 4.101. Возрасла в 10 раз. 4.102. Плотность энер-
гии магнитного поля и>м = цгр0Н2/2; для прямого тока Н = 1/(2пЬ), где Ь —
расстояние от тока. Тогда = цгр0/2/(8я2х2), т. е. плотность энергии маг-
нитного поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от
тока. На расстоянии х= г, т. е. при г = 5 см, шм = 1,1 • 10 4 Дж/м3.
4.103. 0,96 • 108 Кл/кг. 4.104. Радиус кривизны траектории будет в 43 раза
больше у протона. 4.105. Электрон, пройдя разность потенциалов 17, приоб-
ретает кинетическую энергию: те2/2 = е17, откуда V = 4(2Цё)7пг . В магнит-
ном поле на электрон действует сила Лоренца = еслВ = которая вы-
зовет центростремительное ускорение, и по второму закону Ньютона =
= 5,8 мм. 4.106. Протон
влетает в магнитное поле со скоростью V, направленной под углом а к векто-
ру индукции В (рис. 6). Из рисунка имеем = V вш ос, 1>( । = V сов а; О [ дВ -
= т • /г. Отсюда = Вгд/т. Шаг винтовой линии: к = 1>ц7\ где Т — пе-
2, V 1 / 217
ти /г,откудаг=^^,илиг=^ •
риод обращения протона, равный Т = 2лг/0ц_. Тогда к = — 2лг = р|,
Отсюда 1>ц =
кВ72 2 9
-Х-— ; о -о II + V?
2пт 11 -*•
к2
4л2
. Вычислив V, на-
2
ходим ЕК = ту2/2 = 7 • 10 15 Дж. 4.107. V = — В — = 6,34 • 106 м/с; а =
- - 0,58 (а = 30°). 4.108. Т = 2 • 10 10 с.
Л ' Ве/т
ГЛАВА
5.1. а) 0; б) 72°; в) 180°; г) 360°; д) 432°. 5.2. а) 0; б) Х/6; в) Х/4; г) Х/2;
д)Х; е) 1,5Х. 5.3. Дй = п1 - I = Цп - 1) = 0,5 мм. 5.4.1,73 см.
5.5. а) Минимум; б) максимум; в) частичное гашение. 5.6. Из формулы
$
(5.2) следует к = г , где к — целое число, удовлетворяющее условию:
Л
2,5 МКМ . 2,5 МКМ е ог- о лг, л . лее
------ > к > -----, или 6,25 > к > 3,29. Отсюда к = 4, 5, 6, и тогда
0,4 мкм 0,76 мкм
=2,5/4 = 0,625 мкм; Х2 = 2,5/5 =0,5 мкм; Х3 = 2,5/6 = 0,416 мкм.
5.7. = 0,57 мкм; Х2 = 0,44 мкм (см. решение задачи 5.6). 5.8. Темнота.
5.9. 5 = 0,6 см; к = й/Х = 1000, так как к равно целому числу, то результа-
том интерференции будет максимум. 5.10. Возрастет в 1,3 раза.
5.11. Уменьшится в 1,33 раза. 5.12. Рассмотрим некоторую произволь-
ную точку А экрана (см. рис. 5.5). Введем обозначения: АО = х, А8г = 1г,
А52 = 12. На основании теоремы Пифагора запишем: I2 — I2 + (х - Ь/2)2,
/2 = I2 + (х + Ь/2)2. Вычитая из первого равенства второе, получаем:
I2 - /2 = 2хЬ, или (^ — 12) (1г + /2) = 2хЬ. Так как I > Ь, то + Г2 ~ 21;
- /2 = 8 и тогда имеем приближенное равенство: й • 21 = 2хЬ или
б = хЪ/1. 5.13. Расстояние АО выразим в длинах волн: АО = к§К, расстоя-
ние от А до п-й линии голограммы /гпХ, где кп = к0 + п. Искомое расстоя-
ние хп = ^(к^)2 - (Л0Х)2 = Х^Ь2 - йц = к^п2 + 2коп . Находим:
х4 = 1,41 мм, х5 = 1,58 мм, Дх51 4 = 0,17 мм; х9 = 2,12 мм, х10 = 2,24 мм,
Дх10, в = 0,12 мм; Х14 = 2,65 мм, х15 = 2,74 мм, Дх15> 14 = 0,09 мм.
5.14. X = 0,5 мкм. 5.15. Найдем, на сколько длин волн X или полудлин
Х/2 изменилась оптическая разность хода при внесении пластинки:
X = (й2 - йг)/Х = (п2/ - п^Ц/Х = Ю,5, где П1 — показатель преломления
воздуха. Полученное значение к означает, что оптическая разность
хода изменилась на нечетное число полуволн. Откуда можно заключить,
что интерференционная картина изменилась на противоположную:
на месте темных полос оказались светлые, а на месте светлых — темные.
5.16. 2 1п сов г = (2к + 1) Х/2 (максимум); 2 1п сов г = /гХ (минимум).
5.19. /т1п = 1,33 • 10-5 см. 5.20. Из (5.4) выразим длину волны:
X = (41>]п2 - 81п21) /(2к + 1); для 1 = 0 имеем X = 4 1п/(2Л + 1); подставляя
значения I и п, получаем: Х4 = 1,6 мкм для к4 = 0; Х2 = 0,53 мкм для к2 = 1;
Х3 = 0,32 мкм для к2 = 2. Если сопоставить эти данные с длинами волн
видимого диапазона, то следует выбрать Х2 = 0,53 мкм, что соответствует
зеленому цвету. 5.21. 120 нм. 5.22. 0,1 мкм, в этом случае нет потери по-
луволны. 5.24. Так как тц = 1, п2 = 1,5 (стекло), то п = ^п~2 = 1,22. Из ус-
ловия минимума интерференции в отраженном свете (без потери полу-
волны) находим /т1п = Х/(4п) = 113,7 нм. 5.25. Интерференционные поло-
сы (темные и светлые) возникают вследствие отражения света на поверх-
ностях воздушного клина, образованного между стеклянными
пластинками. Первая от точки А темная полоса (с учетом потери полу-
волны) возникает при толщине воздушного слоя Х/2 (разность хода X),
вторая — при толщине X и т. д. Общее число светлых или темных полос на
расстоянии I равно т.1, где т — число светлых или темных полос, приходя-
щихся на единицу длины клина. Из предыдущего рассуждения должно
быть ясно, что максимальная толщина воздушного промежутка, т. е. тол-
X Об* 10
щина проволочки, В = -^т1 = ~—2---- ' $ * Ю2 м = 3 • 10-5 м.
5.26. По пяти темных и светлых полос на 1 см. 5.27. Оптическая раз-
ность хода интерферирующих лучей зависит от ширины воздушного про-
межутка, например АО = х (см. рис. 5.9), и потери полуволны, которая
имеет место для луча, отраженного от поверхности 5: 8 = 2х + Х/2. Для
светлых полос (максимум) в отраженном свете имеем 8 = 2х + Х/2 = XX;
х = (2к - 1) X/4, (1) для темных полос (минимум): Р = 2х + Х/2 = (2Х + 1) Х/2;
х = к)./2, (2) где к = 0,1, 2,.... Введем обозначение: |АО| = |ОС| = К, |АВ| = гк,
|ОВ| = В - х. В А АВО: В2 = г3 + (В - х)2 = г2 + В2 - 2Вх + х2. Так как х ма-
ло, то пренебрегаем х2 по сравнению с другими членами уравнения. Тог-
да гк = .]2Н.х. Сопоставляя (3) с (2) и (1), получаем выражения для ра-
диусов темных колец Ньютона гк — ^кВ~К и светлых гк = Л(2к - 1)Вк/2 .
5.28. Темное. 5.29. 0,72 мкм. 5.30. Так как гк + } = (к + 1)ВХ, г3 = кВХ
(см. решение задачи 5.27), то гк + 2 - гк = ВХ, откуда X = (гк + х - г2)/В =
= 0,497 мкм; к = гк /(ВХ) = 5; к + 1 = 6. 5.31. 0,153 мм. 5.32. Запишем
условие (5.4) для двух длин волн (зш I — 0): 2 1п = (2кг + 1)Х]У2, (1) 2 1п =
X] + АХ
= (2к +1)-----• (2) где к1 = к + 1, Хг + АХ = Х2. Приравнивая правые
части (1) и (2), имеем X! = (2к + 1)ДХ/2 (3). Решая совместно (2) и (3), по-
лучаем Х1 = 21п ДХ/(Хг + АХ). Так как Хг >> АХ, то I = X3 /(АХ • 2п) =
= 0,6 мм. 5.33. 1(гц -п) = Кк,п1 = п + №к/1 = 1,000346. 5.34. 1,000489.
5.35. 0,037 мм. 5.36. Из (5.8) следует в!п а — +к/а = 3,2 • 10-3. Отсюда
агсехп 3,2 • 103 > а > -агент 3,2 • 10 3. Так как угол мал, то можно запи-
сать: 3,2 • 10 3 рад > а > -3,2 • 10-3 рад. 5.37. 50Х. 5.38. 30°. 5.39. Най-
дем, четному или нечетному числу полуволн равно произведение а вш а:
2авш а _ 2-0,1 • 10 Зяп 17' _ 2авш а 2 0,1 10Лш 43'
Х 500 10’9 X 500 Ю-3
Следовательно, в первом случае наблюдается
минимум, во втором — максимум. 5.40. 0,5 мкм.
5.41. 21°28'; 28 419. 5.42. Теоретически возможное
значение а = 90°. При этом кХ = с, отсюда к < с/Х =
= 4 • 16, т. е. к (целое число) = 4. С учетом того что
максимумы расположены попарно симметрично
относительно центрального, а также учитывая и
центральный максимум, получаем й=4+4+1=
0 0005
= 9. 5.43. а = агс8ш(Х/с); а5 = агсбш-д-р^— = 10 ,
. 0,0005 , ,, . 0,0005
а10 = агсвш 0 12 - = 14, а15 = агсаш 0 09 = 19
(построения даны на рис. 7). 5.44. а) Линза формирует дифракционную
картину в фокальной плоскости. Для максимумов первого порядка
выполняется условие аш (Х| = Х/с, откуда с = Хат Приближенно мож-
но считать (см. рис. 5.14): аш О'.) = т/(21). Отсюда с = 2\1/т — 4,95 мкм;
б) п = 1/с = 2020 см в) к = 9 + 9 + 1 = 19; г) 65°24'. 5.45. а2 = 54 40'.
5.46. 23°6'. 5.47. 0,87 м. 5.48. 0,48 мкм. 5.49. 8. 5.50. Не могут.
5.51. Так как к2Кх = к3)., то Хх = к3’к/к2 = 0,6 мкм. 5.52. X = 5,02 • 10 5 см.
XX 2-0,5 • 10 3
5.53. Из формулы (5.15) следует: аш а = аш В + — = ат 20° ±----х—;
с 9 . 1П 6
= 57°21'; а2 = —9°5'. 5.54. Л = 4,16 • 105 рад/м. Указание: ис-
пользуем формулу (5.12); угол а находим из (5.9). 5.55. В (5.14) следует
подставить значение = 90° иа2 = 90°. Так как к — целое число, то по-
лучаем для максимумов, расположенных по разные стороны от централь-
ного: = 2 и к2 = 5. Всего имеем й = 5 + 2+1=8 главных максимумов.
5.56. Можно. 5.57. с = 5,15 мкм; I = 2,57 мм. 5.58. Как видно из (5.14),
наибольшая разрешающая способность дифракционной решетки будет
при максимальном значении к. При условии аш а = 1 из (5.9) следует
Лп1ах< = 5,088, т. е. йтах = 5ий= АА=5 • 1000 = 5000. 5.59. 1,65 мм.
5.60. 0,279 нм. 5.61. 6 = 41°49'. 5.62. а) 0,3 мкм; б) 0,19 мкм. 5.63. а) 213 нм;
б) 295 нм. 5.64. Приблизительно в два раза. 5.65. Апертурный угол и ра-
вен отношению диаметра зрачка к расстоянию до предмета (расстояние
наилучшего зрения): и = с!/Ь; аш (н/2) ~ й/(2В). Среда между предметом
, „ 0,5 X 0,5 X 2Ь ХЬ
и глазом - воздух (п = 1). Имеем г = =
0,555 • 250
=----5------ » 70 мкм (здесь Ь — расстояние наилучшего зрения).
5.66. Дифракция играет большую роль при меньшем диаметре зрачка,
что имеет место в случае меньшей яркости света (адаптация). В сумерках
зрачок максимально увеличен и нерезкость изображения объясняется не
дифракцией. Это явление обусловлено увеличением сферической аберрации
при расширении зрачка. 5.67. а) Приблизительно в два раза (7 = О,4577о);
б) приблизительно в девять раз (7 — 0,1170). 5.68. а = 45°. 5.69. Увеличит-
ся в три раза. 5.70. Приблизительно в три раза. 5.71. Е2 — 500 лк.
5.72. Уменьшится в восемь раз. 5.73. В 128 раз. 5.74. 1,4. 5.75. 90°.
5.76. 37°. 5.77. 49°6'; 2,6 • 108 м/с. 5.78. 48°30'. 5.79. 3,92 • 10“7 м;
4,36 • 10 7 м. 5.80. 0,034 мм. 5.81. 0,0167 мм. 5.82. 1,6 мм. 5.83. 30 град/мм.
5.84. 8,6 мм. 5.85. 6,67 град • см2/г. 5.86. 6°40'. 5.87. 0,22 г/см3. 5.88. 2%.
5.89. 0,44 г/см3, 1,32 г/см3. 5.90. 24 кВт/ (м2 • нм). 5.91. 306 К.
5.92. 352 К. 5.93. Е — вТ^ЕЫ ~ 17,2 кДж. 5.94. 969 К. 5.95. Увеличится в
1,06 раза. 5.96. 465 Вт/м2. 5.98. Первая полость излучает мощность =
= (лВ/4)с7^, где Ту — термодинамическая температура этой полости. Во вто-
рую полость через отверстие попадает лишь часть этой мощности, равная Р2 =
= РуР2/(8/2). При установившейся температуре Т2 вторая полость будет из-
лучать такую же мощность, которая, согласно закону Стефана—Больцмана,
2
равна Р2 = а7^ • Из полученных уравнений имеем Т2 = Ту л/т>2/(8/2) =
= 188 К. 5.99. а = (г/РрсТ* ~ 1377 Вт/м2. 5.100. = лАтТ4 =
= 9,74 • 1025 Дж/с; ~ 1,08 • 105кг/с. 5.101. а)Р = 7* - 74) =
= 77 Дж/с; б) Р = 8а2о{ 7^ - 7* ) = 10,3 Дж/с. 5.103. 0,4%. Указание:
воспользоваться соотношением, полученным в задаче 5.102. 5.104. Т2/Ту ~
= 1,0017; Я2/Я1 ~ 1,0066. 5.105. а) 9,5 мкм; б) 1,4 мкм; в) 0,5 мкм;
г) 0,29 нм. 5.106. Увеличится в 81 раз. 5.108. На 0,032 мкм в сторону более
коротких волн. 5.110. а) 3,2 • 10 36 кг; 2,8 • 10 19 Дж; 9,5 • 10 28 кг • м/с;
б) 5,5 10 36 кг; 5 • 10 19 Дж; 16,6 • 10~28 кг • м/с; в) 4,4 • 10“32 кг;
4 • 10 15 Дж, 13,3 • 10'24кг • м/с. 5.111.2,77 • 1018. 5.112. 4 фотона.
5.113. 7,4 • 1011 м. 5.114. 0,51 МэВ. 5.115. 0,44мкм. 5.116. 1,5 103 м/с.
5.117.^= ^ = - Л-С/(Д) “ 1,48 • 1023 фотонов/(с • м2).
“Лтах/С Ь е -1
5.118.
2кс
Зкк
= 1,4 • 104 К. 5.120. 330 нм; 9,4 • 105 м/с. 5.121. Пригоден.
7 =
5.122. 1,53 эВ. 5.123. Нет. 5.124. 4,6 • 10“19 Дж. 5.125. 3,2 • 10“19 Дж.
5.126. 517 нм. 5.127.2,2 • 1015с-1; 6,6 • 10“19Дж. 5.128. 37,8 • 102° фо-
тонов. 5.129. В 1,007 раз. 5.130. Указание: для решения задачи
воспользоваться законом Кирхгофа и спектром теплового излучения
черного тела. 5.131. Из-за собственного теплового излучения в этой об-
ласти спектра человек видел бы только внутренность своего глаза, что
равносильно слепоте. 5.132.55,8 • 1012. 5.133. 200 К. 5.134.0,7 • 10е.
5.135. 50 К. 5.136. 0,17 Вт; 0,7 см2. 5.137. 0,7 К. 5.138. При интенсив-
ных физических нагрузках образование тепла в организме превалирует
над теплоотдачей в окружающую среду, что приводит к увеличению тем-
пературы тела. 5.139. 895,4 Вт. 5.140. Для уменьшения поглощаемой
мощности излучения во избежание перегрева организма. 5.141. 3 °С.
5.142. 18%. 5.143. 31,7 • 1027 Дж. 5.144. Поток теплового излучения с
поверхности тела человека в 78 раз больше, чем у морской свинки, а
энергетическая светимость тела свинки в 1,026 раз больше, чем челове-
ка.
ГЛАВА
6.1. 7,3 • 1О“10 м. 6.2. 7,27 • 10”6 м и 6,63 • 10”33 м. 6.3. X = к/л]ЗкТтп ~
= 1,47 • Ю10м. 6.4.Х = к^2ейпГе ~ 8,86 пм. 6.5. а) 0,194 нм;
б) находим скорость электрона с учетом релятивистского изменения
массы со скоростью: тпрс2/71 - V2/с2 тос2 = е!7, откуда V —
I 2 4 2 2 о ТЛ-дУ
= с^1 - гпцс /(М 4- т^с ) = 1,64 • 108 м/с; р = тс = -г..— —=
71 - у2/с2
= тпсу/ >]с2 - V2 =1,79 • 10-22 кг • м/с; г =0,5—т—7—777г =0,185 нм.
" ' - ’ ' рвш (и/2)
6.6. Др* > й/(2тгДх) = 1,05 • 1О-20 кг • м/с. 6.7. Дх > Л/(2лтДг>) =
= 1,15 • 10“5 м. 6.8. ДЕ = Л/(2лДО = 6,55 • 10~8эВ. 6.9. = 13,1 • 1016эВ.
6.11. Е = -2те4/(8Л2 Ер п2); отсюда имеем 13,4 эВ; 3,4 эВ; 3,4 эВ;
= -^-^1(1 + 1) ; отсюда получим 0, 0, 1,5 10~34 м2 • кг/с. 6.12. 1цг =
Я
=/ип,/(2л); отсюда имеем ±1,05 • 10”34 м2 • кг/с, ±2,11 • 1034 м2 • кг/с.
6.13. Ь8г =йт8/(2тг); ±0,53 • 10 34 м2 • кг/с. 6.14.3,3 • 1015Гц;
2,5 • 1015 Гц; 90 нм; 120 нм. 6.15. 0,82 • 1015 Гц; 0,46 • 1015 Гц; 366 нм;
652 нм. 6.16. 6,0 • 108 и 3,3 • 108 фотонов в секунду. 6.17. 0,76 фм;
22,6 фм. 6.18.9,27 • 10“24Дж; 1,4 • Ю10 Гц; 2,1см. 6.19. 0,36 Тл.
6.20. к' — 0,1 см-1; к = 0,043 см”* 1; 1-ц2 ~ 6,9 см. 6.21. Для света с длиной
-Л I
волны ±1 имеем: /р/4 = 7о1О 1 , откуда I = I# 4/0,02 = 30,1 см; для дру-
-Л-/ ,
гой длины волны: 1д/3 = 10 • 10 , откуда к2 — 3/30,1 = 0,016 см .
1
6.22. Ц = 0,9/р е ; Ц — О,57о> отсюда к’ = т
7о 1
1п0,9 р = — 1п1,8 =
= 0,14 см-1. 6.23.71 = 70 • 10-Х,С1'1, 70Д1 = 2 = 10Х,С1'1 ; 1г =
= 10 • 10 2 2,10/12 = п — 10Х| 2 2. Учитывая, что С21г ~ находим
п = 10 1 = 23 = 8. 6.24. 1%. 6.25. 0,52. 6.26. 0,83. 6.27. 0,67; 0,18.
6.28. 1$/1ъ = 10^, откуда р ~ 0,04 см”1. Но ц = к + т; т = (0,04 —
— 0,025) см”1 = 0,015 см”1. 6.29. 13,1 см. 6.30. 10”3 моль/л.
6.31. 1280 л/(моль • см). 6.32. «0,6. 6.33. а) 100%; 6)1%; в)0%.
6.34. Испускание флуоресценции происходит всегда с нижнего возбуж-
денного энергетического уровня; переходы на этот уровень с вышележа-
щих энергетических уровней являются безызлучательными. 6.35. 35 с.
6.36. Фосфоресценция осуществляется с нижнего триплетного энергети-
ческого уровня, в то время как флуоресценция — с нижнего синглетного
уровня. Время жизни частицы в триплетном состоянии много больше, чем в
синглетном. 6.37. <р2 = 0,7ф|. 6.38. а) 12,9 • 10”2° Дж; б) 10,5 • 10”2° Дж.
6.39. В состоянии термодинамического равновесия распределение атомов
по энергетическим уровням определяется законом Больцмана: = с ехр
[ Е/(кТ)], где 1^1 — число атомов, находящихся при температуре Т в со-
стоянии с энергией Е,; к — постоянная Больцмана; с — коэффициент про-
порциональности. Пусть Еп и Ет — значения двух энергетических уров-
ней, причем Еп > Ет. Тогда для обычного состояния вещества: Ып/Ыт =
= с ехр [{-Еп/(кТ)]/с имеем ехр [ -Ет/(/г7)]} = ехр [-(Е„ - Ем)/(кТ)] < 1.
При инверсной заселенности число атомов в состоянии Еп больше, чем в
состоянии Ет (ЛГП > Нт)-. Кп1Кт = ехр [-(Е„ - Ет)/кТ] > 1. Лога-
рифмируя это выражение, получаем = ~(Еп - Ет)/(кТ), откуда
Т = -(Еп - Ет)/к \1^п/Кт). Так как > 1, то 1п > 1 и Т < 0.
6.40. 1 мкм, 50 мкм.
ГЛАВА /
7.1. 6 • Ю”10 м и 0,6 • 10”10 м; 5 • 10 17 Гц и 5 • 10“18 Гц; в 1,27 • 1012
и 1,27 • 1013 раза. 7.3. 0,035 мм”1. 7.4. В 16 000 раз. 7.5. Характерис-
тические рентгеновские спектры возникают в результате выбивания
электронов из внутренних слоев атомов. Однако внутренние слои атомов
у разных элементов одинаковы, они различаются лишь энергетически.
7.6. 4 • 10“14 Дж. 7.7. Массовый коэффициент увеличивается для кости
и мягких тканей в 64 раза. 7.8. Увеличение тока накала приводит лишь к
увеличению количества электронов, вылетающих с катода за единицу
времени, энергия же электронов не меняется. 7.9. 1,3. 7.10. 1,5 • 106м/с.
7.11. При торможении электронов веществом анода лишь часть энергии
идет на создание фотонов рентгеновского излучения, другая часть идет
на нагревание анода. Соотношение между этими частями случайно, по-
этому при торможении большого количества электронов образуются
кванты рентгеновского излучения разной энергии. 7.12. Увеличится в
1,2 раза. 7.13. А/. = 0,05 Ю’10 м. 7.14. 0,615 • Ю”10м. 7.15. При уве-
личении напряжения на трубке меняется спектральный состав рент-
геновского излучения и спектр сдвигается в сторону более коротких
волн, так как возрастает энергия электронов в ускоряющем электриче-
ском поле. 7.16. Уменьшится в 1,8 раза. 7.17. 2 мкм. 7.18. 0,25 МэВ.
7.19. = Ф/йу ~ 6,9 • 1012 фотон/с. 7.20. В 68 раз. 7.21. Массовый
коэффициент ослабления больше в 354 раза у сульфата бария.
7.22. 1,8103 МэВ/нуклон. 7.23. 2,2 МэВ; 8,5 МэВ; 1,1 МэВ/нуклон;
2,8 МэВ/нуклон. 7.24. Х°В + *Не — + ^п; г7М -» |с + °е + °Уе.
7.25. Ал.=Ао-А = Ао-Аое-1,12‘‘/Г =0,736 • 1022. 7.26. ^А! + *Не -»
30_ , 1 30„ 30 _. ,0 ,0 _ 198тт , 1 199„ 198.
15^ + оп> 15^ “' 14®1 + 1е + (Уе- 7.27. 8оне + оп —♦ 80Н^ * 79Аи +
+ . Так как нейтроны редко попадают в ядра ртути, затраты энергии в
этом процессе очень велики. Таким образом, процесс получения золота
бомбардировкой ртути нейтронами экономически невыгоден. 7.28. Энер-
гия а-частиц недостаточна, чтобы преодолеть силу отталкивания ядра
тяжелого элемента и проникнуть в него. 7.29. Ао = А^/А; й/А = —1Аой1 »
» 0,4 • 1012. 7.30. Так как период полураспада значительно больше трех
месяцев, то можно приближенно считать, что каждый месяц распадается
одно и то же количество ядер: ЙА = -ХАой1 ~ 0,065 • 1023. 7.31. а) Обо-
значим искомую вероятность Р, тогда 1 - Р есть вероятность того, что яд-
ро не распадается к моменту I. Вероятность распада ядра за время от I до
ЙА
I + Й1 по теореме умножения вероятностей равна фр = (1 - (1)> по-
ЙА
скольку — доля распадающихся за время ш радиоактивных ядер
равна вероятности распада отдельного такого же ядра за это же время.
НА
Так как ='- ХсВ, то из (1) получаем ЙР = (1 — Р) Хй1 (вероятность поло-
. алг „
жительна), поэтому подставляем модуль . Интегрируя последнее ра-
венство, получаем искомую вероятность: Р = 1 — е-^. Вероятность распа-
да ядер за время от I до 00 равна 1 — Р = е^г. Ядро, которое распалось за
время от I до I + Й1 с учетом малости <1/, «прожило» время 1. Таких ядер
ЙА, их общее время жизни: = -1АХй/. Подставляя сюда А = Аое-^,
имеем гйА = (2) Искомое I получим, проинтегрировав абсолют-
ное значение (2) и разделив на Ао: т = ХА0] /е й//А0 = т
. 7.32. 16,6 Бк.
ЙА
7.33.
ЙА тп А
1п 2Ад ЙА
~ 12 • 106 Бк/кг. 7.34.-ЧТ--- =
ТА ' <И т
- 4,2 • 1016 Бк/кг. 7.35. * = —
А
= -ПГ о3- = 2312 лет. 7.36. а и 0-час-
1п / 1
тицы, нейтроны. 7.37. 3,85 • 10 3 с 1. 7.38. Протоны. 7.39. Когда обра-
зовавшееся ядро находится в возбужденном состоянии. 7.40. Электроны,
нейтроны и антинейтрино. 7.41. Непрерывность энергетического спектра
Р-частиц при распаде атомов. 7.42. р-Распад с испусканием электрона и
антинейтрино. 7.43. а-Излучение. 7.44. Выполняется при большом коли-
честве ядер радиоактивного изотопа. 7.45, 1800 кг. 7.46. 8,5 • 10 6%.
7.47. Потому что существует несколько изотопов химического элемента.
7.48. = 300 м3. 7.49. Уменьшится в 1,3 раза. 7.50. 5,55 часа. 7.51. +
+ ®Ве + оП. 7.52. 1,3 • 10“15. 7.53.9,5 • 107. 7.55. 186 лет.
7.56. 92 мкКи. 7.57. 546 г. 7.58. 0,017 Гр; 1,7 рад; 0,7 • 10'6 Гр/с; 0,7 •
104 рад/с. 7.59. 8 рад, 160 бэр. 7.60.= 36 м. 7.61.2,7 • 10 3 бэр.
7.62. 1,8 • 10-3 К. 7.63. 0,262 Р; 0,262 рад. 7.64. 75 Р/ч, 75 рад/ч.
7.65. 8 • 1011 рад. 7.66. Повреждающее действие обусловлено не тепловым
эффектом. 7.67. 0,36 бэр. 7.68. 2,4 • 10“12 А. 7.69. 0,77. 7.71. 6,1 бэр.
7.72. = 0,36 см *. 7.73. = 31м. 7.74. а-Частицы, обладая большой (по
сравнению с Р-частицами) массой, могут эффективно взаимодействовать
с ядрами атомов, ионизируя их. 7.75. 7 м. 7.76. 1,05 Р/с.
Оглавление
Предисловие ................................. 3
глава Элементы математики
1.1. Производная. Применение производной для исследования
функций.................................................. 4
1.2. Дифференциал функции. Применение дифференциала
в приближенных вычислениях...............................11
1.3. Неопределенный интеграл.............................14
1.4. Определенный интеграл ..............................19
1.5. Дифференциальные уравнения..........................23
1.6. Теория вероятностей. Математическая статистика......26
глава Механика. Акустика.
Биореология
2.1. Вращательное движение. Законы биомеханики...........41
2.2. Механические колебания и волны. Звук ...............48
2.3. Течение жидкости. Биореология.......................64
глава_3 Термодинамика. Физические процессы
в биологических мембранах
3.1. Термодинамика....................................74
3.2. Физические процессы в биологических мембранах....79
г лава Электродинамика.
Электроника
4.1. Электрическое поле. Электроника..................86
4.2. Магнитное поле. Движение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях................................98
ГЛАВА Оптика
5.1. Интерференция..................................108
5.2. Дифракционные явления .........................115
5.3. Поляризация света..............................121
5.4. Тепловое излучение тел. Фотоны.................124
глава 6 физика атомов и молекул.
Элементы квантовой биофизики
6.1. Волновые свойства частиц. Энергетические уровни атомов
и молекул...........................................132
6.2. Взаимодействие света с веществом...............136
глава 7 Ионизирующее излучение.
Основы дозиметрии
7.1. Рентгеновское излучение........................140
7.2. Ядро. Радиоактивность........................ 143
7.3. Основы дозиметрии..............................146
Приложения .........................................149
Ответы и решения ...................................168
Учебное издание
Ремизов Александр Николаевич,
Максина Александра Генриховна
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Заведующая редакцией Н. Е. Рудомазина
Ответственный редактор Ж. И. Яковлева
Оформление Т. Е. Добровинская-Владимирова
Художественный редактор М. Г. Мицкевич
Технические редакторы М. В. Биденко, Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка Д. А. Дачевский
Корректор Н. С. Соболева
Изд. лиц. № 061622 от 07.10.97.
Подписано к печати 26.07.01. Формат 60х90‘/16.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,0. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1421.
ООО «Дрофа».
127018, г. Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, г. Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, г. Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП ордена «Знак Почета»
Смоленской областной типографии им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.