Text
                    Н.Е.КОЧИН,И.А.КИБЕЛЬ,Н.В.РОЗЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИК/


Н. Е. КОЧИН, И. А. КИБЕЛЬ, И. В. РОЗЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОМЕХАНИКА ПОЯ РЕДАКЦИЕЙ И. А. К И БЕ Л Я ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ II ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для университилоа ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963
532 К 75
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому иэданию 8 Глава первая Кинематика жидкой среды (Н. В. Розе) 9 А Деформация жидкой частицы § 1 Формулы Коши — Гельмгольца 9 § 2 Чистая деформация 12 § 3 Эллипсоид деформации 13 § 4 Кубическое расширение 15 § 5 Упражнения 16 Б Уравнение неразрывности § 6 Переменные Лагранжа 16 § 7 Переменные Эйлера 18 § 8 Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно 18 § 9 Поле скоростей 19 § 10. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа 22 '§ 11 Уравнение неразрывности в переменных Эйлера 24 ^ 12 Другой метод вывода уравнения неразрывности 25 § 13 Уравнение неразрывное-ти в цилиндрических, сферических и криволинейных координатах 26 § 14 Упражнения 29 В Кинематическая характеристика безвихревого и вихревого движений § 15 Введение 31 § 16 Потенциал скорости 31 ^ 17 Свойства безвихревого движения в односвязном объеме .... 33 § 18 Безвихревое движение в многосвязном объеме 36 § 19 Вихревое поле и его свойства 38 § 20 Упражнения 40 Гтава вторая Основные уравнения динамики идеальной жидко- жидкости (Н. В. Розе) 44 § 1 Силы массовые и поверхностные 44 § 2 Общее уравнение движения 45 § 3 Гидродинамическое давление в идеальной жидкости 46 § 4. Общие \равнения движения идеальной жидкости 47 § 5 Уравнения движения в форме Эйлера 48 ^ 6 Векторные формы уравнений движения 53 § 7 Уравнения движения в форме Ламба 54 § 8 Уравнения движения в форме Лагранжа 57 § 9 Общая постановка задач гидродинамики ........... 58 Г
4 ОГЛАВЛ1 НИЬ § 10. Случай несжимаемом жидкости 59 § 11. Случаи сжимаемой жидкости Баротропноеть н барок ыннос гь Уравнение притока энергии Ь0 § 12. Начальные и граничные условия 64 § 13. Применение закона количеств движения и 3jhOiia моментов ко личеств движения 65 § 14. Уравнение энергии 72 § 15. Упражнения 75 Глава третья Гидростатика (//. В. Розе) 83 А Гидростатическое давление § 1. Уравнения равновесия 83 § 2. Условие для сит 84 § 3 Барометриче! кая формула 85 § 4. Уиювия на поверхности раздела 87 § 5 Общие формулы для определения давления па твердуо поверх ность 88 § 6. Давтенпе [яжелои несжимаемой жидкости 88 § 7. Давление на плоскую стенку 90 § 8. Закон Архимеда 91 § 9 Давление на криволинейную стенку 92 § 10. Упражнения 94 Б Равновесие плавающих тел § П. Условия равновесия плавающего тета . 96 § 12. Поверхность сечений 97 § 13. Поверхность ценчров 98 § 14. Радиусы кривизны главных нормальных сечений поверхности центров 99 § 15. Устойчивость равновесия 102 § 16 Упрам нения 104 Глава четвертая Простейшие случаи движения идеальной жидко- жидкости (Я. В. Розе) ПО А Интегралы Б е р и у л л и и К о ш н § 1. Установившееся движение ПО § 2. Безвихревое движение 113 § 3. Установившееся безвихревое движение 116 § 4. Ограничения, налагаемые на скорость 117 § 5. Формула Торичелли 118 § 6. Истечение газов 118 § 7. Действие мгновенных сил 119 § 8. Кинетическая энергия беавпхревою движения 121 § 9. Теорема В. Томсона 122 § 10. Упражнения 124 Б Плоское безвихревое движение § 11. Введение U9 § 12 Функция тока 130 § 13 Связь функции тока с потенциалом скорости 131 § 14. Комплексная скорость и комплексный потенциал 133 § 15 Связь тоской гидродинамической задачи с теории фунлцш"' комплексного переменного .... 134 § 16 Примеры комплексного потенцп ia . . . . 134 § 17 Источники и сгокн 136 § 18 Дублеты 138
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 19 Вихревые точки 139 <} 20 Вихреисточники 140 § 21 Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости 141 § 22 Упражнения 142 I ч d в л пятая Вихревые движения идеальной жидкости (И. Е. Кочин) 144 А Основные уравнения теории вихрей и теоремы Гельмгольца о сохранении вихрей § 1 Введение 144 § 2 Теорема Томсона 147 § 3 Теорема Лагранжа 151 § 4 Теоремы Гельмгольца . 152 § 5 Сохраняемость векторных линии 154 § 6 Уравнения Фридмана Уравнения Гельмгочьца 160 § 7 Теоремы Гельмгольца 161 ($ 8 Образование вихрей Теорема В Бьеркнеса 162 § 9 Примеры образования вихрей 166 & 10 Упражнения 174 Б Определение поля скоростей по заданному полю вихрей и полю расхождения скорости § 11 Вычисление вектора скорости по вихрю н расхождению ско- скорости для бесконечного пространства 176 § 12 Случай одной вихревой нити 187 § 13 Прямолинейная вихревая нить 192 § 14 Две прямолинейные вихревые нити Движение системы вихрей 193 § 15 Круговая вихревая нить 197 § 16 Вихревой слой 202 § 17 Упражнения 205 В Вихревые цепочки Кармана § 18 Введение 207 § 19 Одна вихревая цепочка 208 § 20 Две вихревые цепочки 209 § 2! Об устойчивости вихревых цепочек Кармана 211 § 22 Схема Кармана движения тела в жидкости с образованием вихрей 225 § 23 Вычисление лобового сопротивления по Карману 229 § 24 Упражнения 236 Глава шестая Плоская задача о движении тела в идеальной жидкости (Н. В. Розе) 237 § 1 Предварительные замечания 237 § 2 Граничные условия Задачи Дирихле и Неймана 238 § 3 Движение кр>гового цилиндра 243 § 4 Нестационарное течение, вызываемое движущимся круговым цилиндром 251 § 5 Общие выражения для гидродинамических реакций при устано- установившемся течении Формула Блазиуса — Чаплыгина 252 § 6 Эффективное вычисление гидродинамических реакции при уста- установившемся течении Формула Кутта— Жуковского .... 254 § 7 Применение метода конформного отображения 257 § 8 Реакции на контур 262 § 9, Парабола устойчивости 265 § 10 Обтекание эллиптического цилиндра 267
g ОГЛАВЛЕНИЕ (§11. Обтекание плоской пластинки 272 '§ 12. Обтекание некоторых форм профилей цилиндров 274 J 13. Обтекание профилей Жуковского 280 § 14. Обтекание решетки 291 § 15. Тонкое крыло 297 § 16. Неустановившееся движение плоского контура 309 § 17. Обтекание с отрывом струй. Метод Кирхгоффа 321 § 18. Метод Жуковского — Митчеля. Истечение из отверстия Удар струи в пластинку. Глиссирующая пластинка 329 § 19. Метод Леви-Чивита 343 § 20. Давление при обтекании со срывом струй и при обтекании с циркуляцией 352 § 21. Обтекание с кавитацией 354 Глава седьмая. Пространственная задача о движении тела в идеальной жидкости (Н. В. Розе) 359 § 1. Безвихревое движение. Движение шара 359 § 2. Обтекание эллипсоида 362 § 3 Функция тока для осесимметричного течения 366 § 4. Метод источников и стоков 370 § 5. Поперечное обтекание осесимметричных тел 374 § 6. Движение твердого тела в безграничной жидкости 375 § 7. Расчет гидродинамических реакций при движении тела . . . 380 § 8. Примеры 387 § 9. Движение тела по инерции 396 Глава восьмая. Волновые движения идеальной жидкости (Н. Е. Кочин) 401 А. Основные уравнения теории волн § 1. Различные типы волн 401 § 2. Основные уравнения 402 § 3. Начальные условия 407 Б. Плоские волны § 4. Введение 409 § 5. Стоячие волны 409 § 6. Прогрессивные волны 414 § 7. Сведение прогрессивных волн к установившем)ся движению . . 418 § 8. Групповая скорость 420 § 9. Общий случай плоской задачи 424 § 10. Профиль волны 431 § 11. Волны при конечной глубине жидкости 436 § 12. Волны на поверхности раздела двух жидкостей 439 § 13. Капиллярные волны 444 § 14. Волны конечной амплитуды 447 § 15. Трохоидальные волны Герстнера 448 § 16. Свойства трохоидальных волн 451 § 17. Энергия волн 455 § 18. Перенос энергии 459 § 19. Волновое сопротивление. Движение тела под свободной по- поверхностью №0 § 20. Волны в сжимаемой жидкости. Обтекание воздухом горного хребта ' 477 § 21, Упражнения 46Ь
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 В. Трехмерные волны § 22. Общие формулы 489 § 23. Корабельные волны . . . .• 499 § 24. Стоячие колебания тяжелой жидкости в сосуде 504 § 25. Колебания жидкости в прямоугольном сосуде и в круговом цилиндре 507 § 26. Упражнения 511 Г. Длинные волны § 27. Основные уравнения 512 § 28. Длинные волны в каналах постоянной глубины 515 § 29. Стоячие колебания в каналах переменной глубины 518 § 30. Стоячие колебания в цилиндрическом сосуде малой глубины . . 521 § 31. Вынужденные колебания в каналах постоянной глубины . . . 522 § 32. Статическая теория приливов 526 § 33. Выводы статической теории приливов 530 § 34. Каналовая теория приливов 534 § 35. Волны во вращающейся атмосферной оболочке 539 § 36. Центры действия атмосферы 546 § 37. Длинные волны конечной амплитуды. Волны на мелкой воде. Разрушение плотины 553 § 38. Обтекание препятствия тяжелой сжимаемой жидкостью. Длин- Длинные волны Бора 561 § 39. Упражнения 570 Литература 571 Именной указатель 576 Предметный указатель 578
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ Дополнения и изменения, внесенные в шестое издание первой части, касаются лишь главы о волнах. Здесь вставлены два новых параграфа: один посвящен теории длинных волн на мелкой воде (в част- частности, рассмотрен вопрос о разрушении плотины), другой —теории длинных волн в сжимаемой жидкости (задача обтекания препят- препятствия). В некоторых местах сделаны незначительные изменения текста. И. Кибель
ГЛАВА ПЕРВАЯ КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ А. ДЕФОРМАЦИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ § 1. Формулы Коши — Гельмгольца. В кинематике твердого тела изучен вопрос о распределении скоростей в движущемся теле и показано, что скорость Ч) любой точки тела можно рассматривать как геометрическую сумму поступательной скорости <о0, определяемой как скорость выбранного в теле полюса, и вращательной скорости вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. Вращательная скорость, как известно, выражается векторным произведением to X Р> где to есть вектор угловой скорости, отложенный по мгновенной оси вращения, а р— относительный радиус-вектор, проведенный из полюса в рассматриваемую точку тела; таким образом « = «0 + еоХр. A.1) причем длина р остается неизменной во время движения тела по условию твердости. Так как v = dr/dt, где г есть абсолютный радиус- вектор взятой точки тела, т. е. радиус- вектор, проведенный из некоторой фиксированной в пространстве точки, принимаемой за неподвижную, то фор- формула A.1) дает одновременно разло- разложение элементарного перемещения dr рассматриваемой точки тела на поступа- поступательную и вращательную части: dr = dro + (MXp)*. A.2) Обращаясь к изучению перемещений и скоростей различных точек движу- щейся жидкой среды, вырежем в ней мысленно малую частицу, ограниченную односвязной поверхностью, например шаровой, и рассмотрим два по- последовательных положения этой частицы в моменты t и t-\-dt, отде- отделенные бесконечно малым промежутком времени dt. Возьмем в первом положении жидкой частицы две любые точки О и А (рис. 1); одну из них, например О, примем за основную (полюс) А' Рис. 1.
10 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I и обозначим через г0 и г их абсолютные радиусы-векторы, прове- проведенные из некоторой точки пространства О; через р обозначим относительный радиус-вектор О А; пусть r'Ot r' и р' означают те же величины во втором положении частицы в момент t~\-dt, гак что Элементарные перемещения точек О и Л будут: Разность р' — р можно назвать элементарным относительным пере- перемещением точки А по отношению к О; обозначим ее через dp, так что dp = p' — p. Вследствие очевидных геометрических соотношений 9' = г' — г'о, 9 = г — г0 будет справедливо соотношение dp = dr — dr0 — (v — v0) dt, где v и v0 — скорости точек Л и О в момент t. С другой стороны, рассматривая поле скоростей жидкости в момент t, т. е. считая ско- скорость функцией точки v == v (г), % = v (г0), мы имеем, согласно определению производной вектора по вектору, с точностью до малых величин второго порядка малости: v (г) — V(г0) = v(го+ р) — v(г0) = (р • V) v, A.3) и, следовательно, dp = (p • V) v dt или, в проекциях на неподвижные координатные оси Oxyz, jf ( ^vx t i fax i fax dx dy dvz e . dv A.4)
§1] ФОРМУЛЫ КОШИ - ГЕЛЬМГОЛЬЦА И Последние формулы после несложных алгебраических преобразо- преобразований, указанных Коши, можно привести к виду: tox дх 1 /dvv 2 \ дх dv, dvx дх \ /dvx ду dvz ду 1 / dvz dvy dz \ldvz dvy to, dVy dz Вводя для краткости обозначения dvr dv,, dvz дх dvv ¦=elt ду ¦ = ?,, dvx dv У_ dx dz dvz ~dz~ dvr • = ?,, и вспоминая определение вихря, мы можем написать: d; = (?lf + 1 e37J + 1 G2C) Л + ^ (С rOty V — 7J rot, ©) dt. j si^) Л 4-1 E rot, v — С rot, *) dt, dt +1 Gj rot, v — $ roty v) dt или короче: где A.5) A.6) A.7) A.8) Последние формулы показывают, что элементарное относительное перемещение dp можно рассматривать как геометрическую сумму двух слагаемых: 1) вектора с проекциями -^-dt, -^r dt, -^r dt,
12 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I dt, называемого чистой деформацией, и 2) вектора (-^ rot v У. p] выражающего элементарное вращательное перемещение, которое полу- получила бы точка А, если бы частица затвердела, при вращении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О с угловой скоростью w = -j Так как dr = dro-\-dp, то мы приходим к заключению, что элементарное перемещение любой точки жидкой частицы можно рассматривать как геометрическую сумму трех перемещений: поступательного, вращательного и деформационного; разделив на dt, мы можем повторить то же самое заключение про скорость: v = vu-\-vl-\-vv A.9) где ©0 — скорость поступательного движения, определяемого полю- полюсом О; в, = to X Р — скорость вращательного движения взятой точки (определяемой относительным радиусом-вектором р) вокруг мгновен- мгновенной оси, проходящей через полюс, с угловой скоростью w^lrottf; A.10) я2 —gradF—скорость чистой деформации, т. е. потенциальный вектор, определяемый квадратичной однородной функцией A.8), в которой коэффициенты имеют вышеуказанное значение. § 2. Чистая деформация. Чтобы представить яснее характер движения, названного чистой деформацией, допустим, что вращательная часть движения отсутствует; тогда относительные координаты неко- некоторой точки жидкой частицы ?, ?), С по истечении элемента вре- времени dt примут значения: B.1) Так как $', rf, С отличаются от X, tj, С на величины бесконечно малые, то с точностью до величин второго порядка малости можно положить V = \ + ех dt\' + ~ 63 dti ¦+¦ ~ 62 dtH, tf Г + 9 dt f\ J Л " t / 1 t J>A.\ \ = С + I 62 rf«' +1 6t dtrf
8 31 от куда ЭПЛИПСОИД ДГФОРММДИИ = A _ Sl dt) V i- 03 Л т)' — 1 92 — e2 Л) V — "g- 6i С = - 4 82 rf«' — 4 A — eg 13 B.2) Последние формулы показывают, что точки малой жидкой час- частицы, лежащие в момент t на сфере радиуса R перейдут в момент t -\- dt на поверхность второго порядка (вследствие линейности предыдущих формул), которая может быть только эллип- эллипсоидом, так как, вследствие сплошности движения, шаровая жидкая поверхность может за бесконечно малый элемент времени dt претер- претерпеть лишь бесконечно малое изменение своей формы; уравнение этого эллипсоида будет: A — 2ех dt) ?/ + A - - 2е2 dt) -q'2 -f- A — 2s3 dt) С'2 — — 2Ot dt -qV — 202 dt C' 293 V = R\ B.3) если отбросить величины второго порядка малости. Эллипсоид B.3) носит название эллипсоида деформации, а его главные оси называются главными осями деформации. § 3. Эллипсоид деформации. Покажем, что точки жидкой час- частицы, лежащие на главных осях деформации, остаются после дефор- деформации на тех же осях, испытывая лишь смещения вдоль этих осей. Для этого воспользуемся тем свой- свойством главных осей эллипсоида, что они совпадают с нормалями к эллип- эллипсоиду в точках пересечения послед- последнего с осями. Пусть р' — вектор с составляю- составляющими ?', if, С', проведенный в конце А' главной полуоси эллип- ^ соида (рис. 2). Направляющие ко- косинусы нормали к этому эллипсоиду в точке (=;', т)', С) пропорциональны производным левой части уравнения B.3) по V, if. С; нормаль коллинеарна с вектором р', то должно быть: A —2ех dt) \' — 63 dtrf — G2 dt С = \fi', Рис. 2. если эта 02 dtV — 6; dtr{ —2eg dt) С = C.1)
14 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 1 где р.— параметр, имеющий очень простое значение. Действительно, если помножить предыдущие уравнения по порядку на V, т/ и С\ сложить и воспользоваться уравнением B.3), то мы получим: откуда следует, что f=-T2-. C.2) где р' есть длина рассматриваемой главной полуоси эллипсоида B.3). Воспользовавшись уравнениями B.2), мы можем переписать со- соотношения C.1) в следующем виде: откуда ? = о ?'• 71== 9 7i'> '•— ' или в векторной форме: где р — радиус-вектор той точки Л, которая после деформации перешла в конец вектора р'. Полученное уравнение показывает, что все точки, лежавшие до деформации на главной оси эллипсоида деформации B.3), остаются после деформации на той же оси. Вычислим отнесенное к единице времени относительное удлине- удлинение главной оси, которое мы обозначим через е: "~~ fdt так что Из уравнения C.2), принимая во внимание, что р = /?, выведем: 1 Iх — A _j_ e dty • или, пренебрегая членами второго порядка малости: ^.= 1 —2е dt. C.3) Воспользовавшись этим выражением, мы можем переписать си- систему C.1) еще так: 2(е, —«)S' + 98ij' + 9aC' = O.
§4] КУБИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ 15 Условие совместности этой системы трех однородных по У, ч\', С уравнений состоит в равенстве нулю определителя 2 (*! — U2 — в) W3 А >-с2 е> и1 и2 "х = 0. C.4) Это кубическое относительно е уравнение имеет всегда три веще- вещественных корня еи е2, ег (два из которых или все три могут ока- оказаться равными). По формуле C.3) мы вычислим соответствующие значения [1.! — 1 — 2е1 dt, ji,2 = 1 — 2е2 dt, \ьъ — \— 2ег dt, и по формуле C.2) найдем длины главных осей эллипсоида B.3), которые мы обозначим через а, Ъ, с: 2 —_*L__ ,2_ /?2 2_ /?2 a~~l—2eldt' \—2e2dt' \—2ebdt' Поэтому уравнение эллипсоида деформации B.3), отнесенное к осям симметрии, получит вид A — Чех dt) ?i + (l — 2е2 dt) tj? -J- (l — 2e3 dt) C? = R2. C.5) § 4. Кубическое расширение. Коэффициенты еи е2, е3 в урав- уравнении C.5) носят название главных удлинений. По известному свойству инвариантности при преобразовании уравнения поверхности второго порядка [получающемуся из уравнения C.4)] будет иметь место соотношение DЛ) D.2) или, заменяя ej, e2, е3 их значениями в A.5), dv, dv,, dv. Нетрудно видеть, что последняя величина имеет простое физиче- физическое значение, выражая собой кубическое расширение жидкости, отнесенное к единице времени. Действительно, обозначая через тих' объем сферической частицы и объем эллипсоида, в который пере- переходит эта частица после деформации, имеем с точностью до величин второго порядка малости: „„„I» — Г>3 т' — т 3 3 к D.3)
dvv ду e3, ( dvz \. e2. o3, шх, сог, D.4) опреде- 16 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I Отсюда получается, что для несжимаемой жидкости в каждой ее точке должно удовлетворяться соотношение дх Заметим, что величины гх, у г ляющие чистую деформацию и вращение частицы, относятся к точке О полюсу частицы — и вообще являются функциями координат (точки О) и времени; в том случае, когда эти величины являются постоянными, деформация называется однородной. § 5. Упражнения. 1. Показать, что при однородной деформации точки жидкости, лежащие на плоскости или па прямой, остаются после деформа- деформации соответственно иа некоторой плоскости или на прямой. 2. Выяснить значение коэффициента ги считая, что все прочие коэффи- коэффициенты равны нулю. Ответ. г\ есть скорость удлинения вдоль оси Ох. 3. Выяснить значение коэффициента 03, считая, что прочие коэффи- коэффициенты равны нулю. Ответ. 03 есть скорость скашивания прямого угла Оху. 4. Показать, чго при однородной деформации направления главных осей деформации для любой точки жидкости будут одинаковы. Б. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ § 6. Переменные Лагранжа. Изучение движения жидкости может быть произведено с двух точек зрения. С точки зрения, развитой особенно подробно Лагранжем, объектом изучения служит сама движущаяся жидкость, точнее говоря, отдельные ее частицы, рассматриваемые как материальные частицы, сплошным образом заполняющие некоторый движущийся объем, занятый жидкостью; такой обьем условимся называть «жидким объемом». Самое изучение состоит: 1) в исследовании изменений, которые претерпевают различные векторные и скалярные величины, характе- характеризующие движение некоторой фиксированной частицы жидкого объема (например, скорость, плотность и т. д.). в зависимости от времени; 2) в исследовании изменений тех же величин при переходе от одной частицы жидкого объема к другой: иначе говоря, упомя- упомянутые величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции от времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуаль- индивидуальность взятой частицы. За такие числа можно, например, принять декартовы координаты жидкой частицы х0, >'„, z0 в некоторый начальный момент времени /(|; тогда при движении жидкого объема можно, очевидно, трактован, координаты любой его частицы х, у, z как определенные функции
§6] ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖД 17 от времени t и начальных координат той же частицы: x = <?l(t, х0, Уо- zo)> ] y=^<p20, xQ, у0, z0), I F.1) причем функции срх, ср2, ср3 при t=t0 тождественно обращаются BY \! У ' ¦Н1 До1 *0' у rn If У \) У I л0 — Y1 v О' Л0> ^0' ''О'1 Вместо декартовых координат лг0, у0, г0, отличающих одну частицу от другой, в рассматриваемом жидком объеме можно взять любые три величины а, Ь, с, связанные с xQ, y0, г0 взаимно-однозначными зависимостями: xo = t\>l(a, b, с), yo = ty2(a> b, с), zo = fy3(a, b, с); иначе говоря, можно взять криволинейные координаты частицы для начального момента ^0. С точки зрения Лагранжа переменные t, a, b, с являются аргу- аргументами, определяющими значение различных векторных и скалярных функций, которыми может характеризоваться движение жидкости; эти переменные носят название переменных Лагранжа. Мы будем, таким образом, иметь: x=fl(a, b, с, t), у = /2(а, b, с, t), F.2) z=f3(a, b, c, t). Проекции скорости и ускорения выразятся формулами: дх dfi (а, Ъ, с, t) dt JL — dt F.3) rrnt — — . WX дB — шу dt2 dt2 ' д2г d2f. F.4) тогность будет: dt2 dt2 ' ? = /(a, *, С t) H i. Л.
18 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I § 7. Переменные Эйлера. С другой точки зрения, развитой Эйлером, объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство (или его фиксированная часть), запол- заполненное движущейся жидкостью, и изучается: 1) изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства с течением времени и 2) изменение этих элементов при переходе к другим точкам пространства; иначе говоря, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции точки и времени, т. е. как функции четырех аргументов х, у, z, t, называемых пере- переменными Эйлера; например: v = F(r. t) или vy — F2(x. у, z, t), G.1) vz = F3(x, у, z, t), аналогично 9 = FA(x, у, z, t) и т. д. Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектами изучения являются различные векторные и скалярные поля, характеризующие движение жидкости, например: поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и т. д. § 8. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно. Такой переход может быть осуществлен при помощи уравнений F.2), которые должны иметь однозначные решения отно- относительно а, Ъ, с: а = <?1(х, у, z, t), 1 b = <?2(x, у, z, t), I (8.1) с = ср3 (#, у, z, t), ) так как два положения жидкого объема в моменты /0 и t связаны, очевидно, взаимно-однозначным точечным соответствием. Из взаимной разрешимости уравнений F.2) и (8.1), как известно из анализа, выте- вытекает, что ни один из функциональных определителей D __ D (х, у, г) D (а, Ь, с) и n _ D (а, Ь, с) __ I 1 D (х, у, z) ~~ D не обращается тождественно в нуль или бесконечность. Пусть, например, некоторая величина Л задана в переменных Эйлера A = F{x, у, z, t)
§9] ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 19 и требуется составить ее производные по переменным Лагранжа; тогда будет: дА да dF dx . у, dx да ' ду да dF ду . SF dz "~г~ дг да' дА __ dF дх dF ду dF дг db дх db ' л" лл i л, м > дА_ дс дА dt dF дх ду dF dy i_ Jif_ w* i dx dc ' dy dc ' d/7 dz dz dc __ dF dx dF dy dF dz dF . ~ dx dt * dy dt ~г дг dt ' d^ ' (8.2) последняя формула на основании F.3) дает выражение для так назы- называемой полной или индивидуальной производной функции F rf/7 EL dx dF dF dz dF (8.3) Применяя последнюю формулу к функциям vx, vy, vz, получаем следующие выражения для проекций ускорения в переменных Эйлера dvx dx dx dvz ~Jx~ dvx dy d^ dy dy dz d^ dz ~df ^4- d^ dt dvz ~dT (8.4) Обратный переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа может быть произведен при помощи уравнений G.1), которые в пере- переменных Лагранжа принимают вид: дх = Fl{x, y, z, t), ду y, z, t), -?- = у, z, t). Интегрируя эти уравнения, найдем: x = fl{cl; c2, c3, t), y = f2(cv с2, с3, t), где Cj, c2, ровании. произвольные постоянные, появляющиеся при интегри- интегриПолагая a = c = c2 — сг, мы приходим к уравне- уравнеЛ v 2 г ниям F.2), определяющим движение в переменных Лагранжа. § 9. Поле скоростей. Точка зрения Эйлера открывает дорогу для применения векторного анализа, название многих терминов кото- которого указывает на тесную связь их с гидродинамикой. Особенно
MIHI ЧАШКИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I плодотворным является рассмотрение векторного нспя скоростей, дчл которого мы повторим некоторые определения векторного анализа. Линиями тока называются линии, которые характеризуются тем, что для данного момента времени t касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью; дифференциальные уравнения линий тока будут: dx dy dz (x, у, г, t) vy (x, у, z, t) vz (x, y, z, t) (9 1) где t играет роль параметра. Через каждую точку поля, в которой функции vx, vy, vz не обращаются в нуль одновременно в данный момент времени, проходит только одна линия тока, как это следует из теоремы существования для системы урав- уравнений (9.1) в предположении, например, что vx, vy, vz однозначные и не- непрерывные вместе с их первыми производными по координатам функции; CICJ Рис. 3. Рис. 4. разные особенности могут представиться, если в данной точке поля скорость обращается в нуль; такие точки называются критическими или особыми. Критические точки могут располагаться изолированно и могут образовывать критические линии и поверхности. Не анализируя вопроса о наличии, распо- расположении и характере критических точек во всей общности, укажем простей- простейшие типы критических изолированных точек для плоского течения жидкости. В этом случае линии тока определяются дифференциальным уравнением dy vy {x, у, t) Тх ~ vx {х, у, t) " Перенося начало координат в одну из изолированных критических точек и предполагая, что в окрестности рассматриваемой критической точки функции vx и vy разложимы в ряды по целым положительным степеням координат, мы приведем уравнение линий тока для данного момента вре- времени к виду dy _ ах -f- by -f- P {х, у) ~d~x~ ~ ~a'x + b'y +Q (х, уУ' где Р и Q — ряды, начинающиеся с членов по крайней мере второго изме- измерения относительно х и у. Как показывается в курсах дифференциальных
СКОРОСТЕЙ 21 уравнений, характер критической точки определяется при выполнении неко- некоторых условий видом корней квадратного уравнения (характеристического); I2 — (а' — Ь)\ + а'Ь — аЬ' — 0. Если корни этого уравнения различны, вещественны, отличны от нуля и одного знака, то в окрестности критической точки все линии тока проходят через критическую точку, касаясь в ней некоторой кривой С,, за исключением одной линии тока Съ пересекающейся с С, под некоторым углом; крити- критическая точка такого типа называется узлом (рис. 3). При равных веще- вещественных корнях, отличных от нуля, линия С2 совпадает с Сх, давая картину вырождающегося узла, или же линии тока будут проходить через крити- критическую точку во всех направлениях (рис. 4). Если корни характеристического уравнения вещес1венны, отличны от нуля и разных знаков, ю через крн- Шческую точку проходят только две линии тока С, и С2; критическая точка такого типа называется седлом (рис. 5). Если корни характеристического уравнения комплексны, то все линии шка спиралеобразно завиваются вокруг критической точки, аснмшотпчески Рис. 6. Рис. 7. к ней приближаясь (рис. 6); в этом случае критическая точка называется фокусом. При чисто мнимых корнях характеристического уравнения и при выполнении некоторых добавочных условий все линии тока в окрестности критической точки могут оказаться замкнутыми кривыми, окружающими ее (рис. 7); критическая точка называется в этом случае центром. Семейство линий тока, содержа параметр t, будет семейством линий, изменяющихся с течением времени; очевидно, что в таком переменном поле траектории жидких частиц не будут вообще совпадать с линиями тока; для постоянного поля скоростей, когда вектор ско- скорости в каждой точке не будет меняться с течением времени, линии тока будут оставаться неизменными и будут служить траекториями жидких частиц. Движение жидкости в этом случае называется стацио- стационарным или установившимся. Потоком скорости через данную поверхность 5 называется поверхностный интеграл Г v ¦ dS = J vn dS = Г vx dy dz -{- vy dz dx -f- vz dx dy; (9.2)
22 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I очевидно, что поток скорости выражает объем жидкости, протекаю- протекающей за единицу времени сквозь поверхность 5, считаемую неподвиж- неподвижной; при замкнутой поверхности 5 вытекающий из поверхности объем считается положительным, а втекающий — отрицательным. Расхождением скорости в данной точке поля называется от- отнесенный к единице объема поток скорости сквозь замкнутую по- поверхность бесконечно малого объема т, окружающего данную точку: /v ¦ dS dvx dvv dv, из определения очевидно, что расхождение скорости выражает ско- скорость кубического расширения жидкости в области данной точки. На основании теоремы Гаусса (или последнего свойства расхо- расхождения скорости), можно выразить поток скорости сквозь замкнутую поверхность через объемный интеграл от расхождения скорости, рас- распространенный на весь объем, заключенный внутри S; fvdS — Jdivvfc. (9.4) s -с Поле скоростей называется соленоидальным или трубчатым, если расхождение скорости равно нулю в каждой точке поля; сле- следовательно, поле скоростей несжимаемой жидкости будет солено- соленоидальным. Циркуляцией скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода называется линейный интеграл ф v ¦ dr = ф vx dx -f- vy dy -j- vz dz, (9.5) L L где dr есть элемент кривой L. Вихрь скорости есть вектор 2 = rot v, определяемый проекциями: О На основании теоремы Стокса, циркуляция скорости по замкнутому контуру равна потоку вихря скорости сквозь любую поверхност!., ограниченную данным контуром: dr= [ftotv\dS. (9.7) / s ^И § 10. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Во всех последующих выводах при рассмотрении движения жидкости мы предполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образом за- заполняет пространство или его определенную часть и что во время движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения.
101 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА 23 Это предположение налагает некоторое условие на изменения плот- плотности и объема жидкости во время движения, носящее название урав- уравнения неразрывности. Обратимся сначала к переменным Лагранжа и рассмотрим два положения одного и того же жидкого объема в моменты t0 и t; пусть в момент t0 жидкий объем т0 ограничен произвольной замкнутой поверхностью So, которая к моменту t перей- перейдет в некоторую другую, также замкнутую поверхность S, ограни- ограничивающую объем т; жидкая частица, имеющая в момент t0 коорди- координаты х0, у0, z0, перейдет в момент t в положение с координатами х, у, z, причем *o = /i(fl- ь< с< *о)' х = /г(а, b, с, t), уо = /2(в. b< с< к)' у = Л(«. ъ> с< О. zo = f3(a> ь' с< ^о)> г = /3(а, Ь, с, t), плотность жидкости р0 в момент t0 перейдет к моменту / в р, причем Ро = /(а, Ь, с, t0); р==/(я, Ь, с, t). В этих формулах а, Ь, с суть параметры, отличающие одну частицу от другой в рассматриваемом жидком объеме. Выражая что масса, заключенная в жидком объеме, не изменится при переходе от мо- момента ^0 к t, имеем: f f fPodxodyodzo = f f fpdxdydz. A0.2) To X Заменим теперь в обоих интегралах переменные х, у, г перемен- переменными а, Ь, с по формулам перехода A0.1); по известным правилам преобразования интеграла при замене переменных получим: Г Г Г pdx dy dz= Г Г Г pDdadbdc, A0.3) где и есть функциональный D(a, определитель У, г) Ь, с) дх да дх db дх дс ду да ду db ду дс дг да дг db дг дс Перенося в A0.2) все члены в одну часть и применяя A0.3), найдем: / / / (РсА — Р°) ^ db dc = 0, где Д, имеет аналогичное с D значение.
24 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Отсюда, ввиду произвольности взятого первоначально объема т0, в любой момент t должно иметь место соотношение или подробнее Р0(а, Ь, с, р<А — A0.4) dx0 da db dx0 дУа da db dz0 da dz0 db дс дс дс = р(й,&, С, t) дх ду dz да да да дх ду dz Ж ~дТ ~Ж дх ду dz dc dc ~dc~ dx da dx db dx dc ду da ду db ду dc dz da dz db dz dc dx0 da dx0 db dxa dc дУо da дУо db дУо dc dz0 da dz0 db dza dr. которое и является искомым уравнением неразрывности в пере- переменных Лагранжа. Для несжимаемой жидкости уравнение нераз- неразрывности принимает вид: A0.5) Если за а, Ь, с взяты начальные координаты частицы, то хо — а, у0 = b, z0 = с, и правая часть обращается в единицу. § 11. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера. Чтобы выразить уравнение неразрывности в переменных Эйлера, применим уравнение A0.2) к бесконечно малому объему 8т0, переходящему к моменту t в объем 8т: р8т = р0 Sx0 = const,, откуда, взяв полную производную по времени, получаем: dt 0. или dt отношение d (tt) о- dt выражает собой скорость относительного кубиче- кубического расширения жидкости в данной точке и равно расхождению скорости в этой точке, как было показано выше в формулах D.2), D.3). Таким образом: уравнение неразрывности в переменных Эй- Эйлера получает вид: 1 do di'y. dvv dv, 1 j Л ] У I * p (ft ' дх ' ду ' . л (П.1)
§121 ДР\ГОП МЕТОД ВЫВОДА J РАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ 25 Уравнение неразрывности после несложных преобразований можно представить еще в следующих равносильных формах: iJlUL + div *, = (), A1.2) Op О (oi/uj О \QXJ\t) О (pZJzj , | . I f j __ . ¦.. О /* 1 1 *^Ч or ' дх ' dy ¦ ог ч у Для несжимаемой жидкости, хотя бы и не однородной, обратится в нуль dp/dt (хотя dp/dt ф 0), и уравнение неразрывности приобре- приобретает вид: dvx dvv dv, ~-f -j-l 4-_? —0. A1.4) ОЛ ' oy ' ог ч у Для стационарного движения -^- = 0, и уравнение неразрывно- неразрывности получается в виде: ——JL—| 1-Х—j _f_ i= 0. A1.5) § 12. Другой метод вывода уравнения неразрывности. Преды- Предыдущий вывод уравнения неразрывности в переменных Эйлера пред- представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменения плотности и объема в некото- некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора pv сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произ- произвольной формы. Этот поток, на основании теоремы Гаусса, може! быть представлен объемным интегралом J J ?v«dS==J JJ [ S Очевидно, что этот поток выражает массу жидкости, вытекающей за единицу времени из замкнутой поверхности S, что повлечет за собой уменьшение плотности в точках внутри 5 за единицу времени на величину — dpldt и соответственное изменение массы жидкости внутри поверхности, равное -IIP, ¦ dx dy dz\ t/ v tf v" таким образом имеем: J J J [
26 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 1 откуда, вследствие произвольности объема -г, снова приходим к урав- уравнению неразрывности: ¦-г Заметим, что для случая несжимаемой жидкости A2.1) т. е. поток скорости через любую неподвижную замкнутую по- поверхность равен нулю, иначе говоря, объем втекающей в поверх- поверхность жидкости равен объему вытекающей. Последнее свойство дает основание для следующей геометриче- геометрической интерпретации, широко применяемой в физике при исследовании векторных полей. Проведем через каждую точку малого замкнутого контура с линию тока и рассмотрим полученную трубчатую по- поверхность, называемую трубкой тока, ограниченную двумя перпенди- перпендикулярными сечениями а и b (рис. 8); пусть площади этих сечений будут Oj и о2, а скорости в точках сечений а и b соот- соответственно i>i и v2; по малости сечения скорость в разных точках сечения можно принять постоянной. Применяя предыдущее свойство к замкнутой поверхности, обра- образованной трубкой тока и ее нормальными сечениями а и Ь, получаем: v1a1 = v2a2. A2.2) Таким образом, произведение из величины скорости на площадь перпендикулярного сечения остается постоянным вдоль трубки Рис. 8. тока, выражая объем втекающей и вытекаю- вытекающей из трубки жидкости в единицу времени. Разобьем все пространство на так называемые единичные трубки тока, для которых упомянутый объем равен единице. Тогда предыдущее свойство I vndS — 0 показывает, что для любой замкнутой поверх- 5 ности число единичных трубок тока, вступающих в поверхность, равно числу трубок, выходящих из поверхности, т. е. что внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидко- жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиваться. § 13. Уравнение неразрывности в цилиндрических, сфериче- сферических и криволинейных координатах. Метод предыдущего параграфа может быть с успехом применен для получения уравнения неразрыв-
131 УРАВНЕН НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 27 ности в различных криволинейных координатных системах, для чего достаточно в качестве объема х взять бесконечно малую ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей. (z) / Й ? V Рис. 9. Рис. 10. Рассмотрим в виде упражнения вывод уравнения неразрывности в ци- цилиндрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. Для цилиндрических координат, например (рис. 9): поток через грань AEHD = — pvrr db dz, » » » BCGF = hvrr-{-- dr] db dz, ABFE = — {Щ dr dz, DCGH = [p<y9 + д (|9"б) rf&] dr dz, ABCD = — pvzr db dr, EFGH = \pv,+-^^-dz]rdQdr поток сквозь всю поверхность ячейки: I dr ' dft дг где vr, Vfj, vz суть проекции скорости на оси цилиндрических коорди- координат. С другой стороны, уменьшение массы жидкости внутри ячейки будет — ^dr-rdO-dz. Приравнивая, находим по разделении на dr db dz искомое уравнение неразрывности в цилиндрических координатах: d дг ¦ 0. A3.1)
28 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ I Для сферических координат (рис. 10) имеем, складывая попарно потоки вектора рр через противоположные грани ячейки: Сумма через ABCD и EFGH: Сумма через AEHD и BFGC: Сумма через AEFB и DHGC: dr ¦ г db) Поток через всю поверхность ячейки: г) . d (pv9 sin в) sin9 + С другой стороны, изменение массы жидкости внутри ячейки будет: —~ir • dr ¦ г db ¦ г smb dty, и, следовательно, уравнение неразрывности в сферических коорди- координатах получает вид: 1 д (?vrr!) 1 д (ри6 sin в) 7г д? '"TsinT Ш 1~ г sin 6 dty • к ¦ / Для случая общих криволинейных орто- ортогональных координат рассмотрим поток через грани элементарной ячейки, образованной тремя парами смежных координатных поверхностей. Называя через dsit ds2 и ds3 длины ребер ячейки, эквивалентной прямоугольному парал- параллелепипеду, а через vv v2, f3— проекции скорости на оси криволи- криволинейных координат (qj, (q2), (q3) (рис. 11) получаем: dp , , , , д (ov, dso ds3) , , -37- ds, dso dSn и ' —^- dq, -+- ot l ° ид^ + d (p^2 dSi ds3) . , д (pv3 dS\ dsj) , A =: (lOn —\ r dQt := U; dq2 42nr dq3 4i заменяя dsv ds2, ds3 через их известные выражения
!4] УПРАЖНЕНИЯ 29 je Нх, Н2, Нъ с> гь параметры Ламэ: мы приходим к следующему виду уравнения неразрывности: которое после нес южных преобразований может быть представлено еще в такой форме: д? , 1 d(fVj) I <J(Pti2) 1 ^(рч3) , ^ "i" Я, а?, "^ Я2 й?2 "*" Я3 а?. § 14. Упражнения. 1. Масса жидкости движется таким образом, что каждая частица описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней, показать, что уравнение неразрывности принимает вид dp i d (рю) _ 7  аГ"~и' где ш — угловая скорость 9 для частицы, положение которой определяется цилиндрическими координатами г, 0, z. (Рамсей) 2. Масса жидкости движется таким образом, что траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров, найти уравнение не- неразрывности. (Рамсей) 3. Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отноше- отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к нему и зависит только от расстояния г до центра; выразить уравнение неразрывности (Рамсей) л dp I до а д (vrr2) . Ответ ~jr-\-vr-^—|—-j—Ч1—- = Э в сферических координатах 4. Каждая частица жидкости движется в плоскости, проходящей через ось г, выразить уравнение неразрывности (Рамсей) _ до , д (?vrr) , д (ри.) . Ответ, г -&~\~—^г~л-г''—~~ — 0 в цилиндрических координа rax.
30 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 5. Траектории частиц жидкости расположены на конусах, коаксиальных с осью г и имеющих общую вершину; выразить уравнение неразрывности. (Рамсей) Ответ: = 0 в сферических коор- г ' г sin 8 динатах. 6. Траектории частиц расположены на сферах, касающихся плоскости Оху в начале координат; вывести уравнение неразрывности. (Рамсей) Решение. Рассмотрим по- поток вектора ?v через элементар- элементарную ячейку, построенную следую- следующим образом. Проведем две сферы, касающиеся плоскости Оху, с цен- центрами С и С на оси Ог и с ра- радиусами г и г 4- dr (рис. 12), пе- пересечем обе сферы вертикальной плоскостью гОК, образующей угол <\> с плоскостью хОг, и отло- отложим на окружностях пересечения дуги Оа и Od, соответствующие одинаковым центральным углам й, и дуги ab и cd, соответствующие одинаковым приращениям d%; про- проведя отрезки be и ad, получим элементарную площадку abed, эквивалентную параллелограмму с точностью до малых величин второго порядка; повернув затем плоскость гОК на угол d^, полу- получим ячейку, эквивалентную пря- прямому параллелепипеду с основа- основанием abed и высотой г sin в db. Площадь элементарного параллг- лограмма abed будет ab ¦ ad ¦ sin {ab, ad), где ab = r rf8; чтобы найти длину ad, проектируем отрезок ad на оси ОК и OZ, рассматривая его как замыкаю- замыкающую ломаной линии аСС d: (ad)k = {г 4- dr) sin 8 — г sin В = sin 0 dr, (ad)z = — {г 4- dr) cos 8 4- /- cos 8 4- dr = A — cos 8) dr, откуда ad = dr /sin2 8 4- A — cos BJ" = 2 sin ~^dr\ далее Рис. 12. (ad)h sin 6 но {ab, (Ж) = 8, значит (ab,ad) = 6/2 и площадь abed = 2r sin2 8/2 dr rfl). Замечая, что fr = 0 и приравнивая поток через все грани ячейки секундному изменению массы — -^ 2r sin2 —drddr sin в
§16] ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ 31 внутри ячейки, получаем д (pu&r sin 6 d<\> 2 sin2 -я- dr ] |?|- rfr rfer sin 0 rf<H 1 щ ±—i' d% + ^^) или йр RfW йц) cos02b'n4+sl° n r sm 6 ^ + sin Q—55 1 55 bP»e —g = 0; L Sill -jr- замечая, наконец, что n cos 8 2 sin2 -j + sin2 0 г = cos в -f 2 cos2 -s- = 1 + 2 cos 0, ! 2 2 sin2! приходим к следующему уравнению неразрывности: до д (ova) vф) г sin в ~ + sin в —JL— + -~^ + р«в A + 2 cos 0) = 0. В. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА БЕЗВИХРЕВОГО И ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЙ § 15. Введение. Рассмотренное в § 1 разложение движения бес- бесконечно малой частицы жидкости на поступательное, деформационное и вращательное дает основание разбить различные случаи состояния движения жидкости для данного момента времени на два общих класса К первому классу мы отнесем безвихревое состояние движения жидкости, характеризующееся тем, что в каждой частице будет отсутствовать вращательная часть движения, иначе говоря, в каждой точке жидкости будет выполняться условие roti/ = 0. A5.1) Ко второму классу мы отнесем состояние вихревого движения, когда условие A5.1) не выполняется во всем объеме жидкости Вопрос о сохраняемости существующего в данный момент без- безвихревого или вихревого состояния движения для последующих момен- моментов времени мы оставляем сейчас открытым и рассмотрим его впо- саедствие в связи с динамическими элементами движения в главе пятой. § 16. Потенциал скорости. Обращаясь к рассмотрению безвихре- безвихревого состояния движения, называемого короче безвихревым движе- движением, напишем подробнее условие A5.1) в проекциях: dy dvx dvz dvy
32 КИНПМЛТПКА ЖИЛКОП CPFAb! |ГЛ 1 Последние равенства, как известно из анализа, выражают необхо- необходимое и достаточное условие того, чтобы vx, vy, vz являлись частными производным по координатам от некоторой функции <?• называемой потенциалом скорости 1): v ^dJL; v дЛ. v dJl. (i6.2) A дх У ду z dz Так как в переменных Эйлера г\., v , vz являются функциями от х, у, z, t, то, очевидно, от тех же аргументов будет зависеть потенциал скорости ев, причем, согласно сказанному выше, время t играет роль параметра; в таком случае трехчлен vxdx-irvydy~\-vzdz можно рассматривать как полный дифференциал функции <р: vxdx+vydy + vzdz = d?xdx + d±dy-\-~tdz = d4, A6.3) и тогда линейный интеграл Г 1) . dr = J vx их + vy dy -f- vz clz — Jc19~9b~9a' A6.4) L L L взятый по некоторой кривой между точками А и В, не будет зави- зависеть от вида кривой и в случае однозначности функции ср будет равняться разности ее значений срл и срл в этих точках 2); отсюда вытекает, что циркуляция скорости, взятая по любой замкнутой кри- кривой при существовании однозначного потенциала, будет равна нулю: -dr==0; A6.5) это заключение следует также непосредственно из формулы Сгокса. Из этого свойства вытекает, что при существовании однозначного потенциала линии тока не могут быть замкнуты, иначе бы полу- получилось, что циркуляция вдоль такой линии не обратилась бы в нуль, так как все элементы линейного интеграла имели бы один и тот же знак. Свойство A6.2) безвихревого движения, выраженное в векторной форме v -— grad ср = V'f, A6.6;, показывает, что скорость является потенциальным вектором и, зна- значит, всякое безвихревое поле будет потенциальным; очевидно, спра- справедливо и обратное заключение. ') По аналогии с определением потенциала сил многие авторы называют потенциалом скорости функцию — <f>; см., например, Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, 1947. 2) В анализе показывается, что при непрерывности и однозначности grad tp во всех точках односаязного пространства потенциал <р будет однозначен в этом пространстве.
§ 17) СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ В ОДНОСВЯЗНО\\ ОВЪГМЕ 33 Легко видеть, что при существовании потенциала скорости уско- ускорение также будет являться потенциальным вектором. В самом деле, формулы (8.4) тогда принимают вид: дх ~~дх2 ~т~ Ту ~ду~дх "t" Tz дГдх"+~ ЪГдх д ( 1 Г(д9\> 7~Щ>дУ2Чгдг dFdy ">" Wdy д ? _ Ec? d2y |_ dtp d2tp dtp d2tp d2cp ___d_i 1 у -~ dz \ 2 LVdxj "i~ \dy откуда видно, что (iJ) A6.7) § 17. Свойства безвихревого движения в односвязном объеме. При существовании потенциала скорости уравнение неразрывности принимает вид 1^4-^+^4-^-0 A71) и в случае несжимаемой жидкости уравнение неразрывности пре- превращается в уравнение Лапласа: Й + ^-+т! = 0. A7.2) дх2 о у2 dz1 и, следовательно, потенциал <р (считаемый однозначным) будет гар- гармонической функцией точки. Отметим ряд свойств безвихревого движения, отсюда проистекаю- проистекающих: 1. Л ля любой замкнутой поверхности будет иметь место соотношение где d-ijdti означает так называемую производную по нормали к поверх- поверхности: dn~(^x cos (п' •*) + <ty cos (rt> y) + 5J cos ^z^>= прччем для большей определенности дальнейших выводов условимся проводить нормаль п внутрь поверхности 5. 3 Зак. 1190
34 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ I Формула A7.3) представляет собой специализацию для случая безвихревого движения формулы A2.1), справедливой для всякого движения (безвихревого или вихревого) несжимаемой жидкости. 2. Ни в одной точке внутри жидкости потенциал скоро- скорости <р не может иметь максимума или минимума. В самом деле, предположив, что <р в некоторой точке имеет максимум, и окружив эту точку достаточно малой замкнутой поверхностью 5 так, чтобы поверхность была целиком внутри жидкости, мы будем иметь для каждой точки поверхности д<?/дп > 0 и значит тогда -^dS будет > О, что противоречит A7.3). 3. Ни в одной точке внутри жидкости величина скорости v не может иметь максимума. Предположим, что в некоторой точке А скорость имеет максимум vA; выберем оси координат так, чтобы ось х имела направление скорости в рассматриваемой точке; тогда для эюй точки будет Рассмотрим поведение функции да/дх по соседству с точкой А; дифференцируя по х уравнение Лапласа, мы непосредственно убе- убеждаемся, что функция ду/дх будет также ему удовлетворять: дх* ~> ду2 "^ дг? ~~и' т. е. будет гармонической, а кмда в силу предыдущею спойства ду\дх не сможет |;мегь максимума или минимума в точке Л; следовательно* по соседству с А найдутся такие ючки, в которых будет Ш > \дх)А ~ V^ и в которых тогда и подавно будет что противоречит нашему предположению. Это рассуждение не позволяет сделать никаких заключений о возможности для скорости достигать минимума; впоследствии мы увидим, что в безвихревом движении могут существовать точки, в которых скорость имеет минимум, например, v = 0. 4. Среднее значение потенциала скорости на любой сфериче- сферической поверхности, которой ограничивается объем, целиком лежащий с жидкости, равно значению потенциала для центра сферы. В самом
§ 171 СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ В ОДНОСВЯЗНОМ ОВЪРМЕ 35 деле, обозначая радиус сферы через г, а телесный угол (с вершиной в центре сферы), опирающийся на элемент поверхности dS, через dm, имеем: применяя формулу A7.3) и сокращая на г2, остающееся постоянным при интегрировании на поверхности сферы, получаем: f^-dw — О, или 4- ( * dw = О, ./ or or J • s s откуда заключаем, что интеграл I ср dw = const. не зависит от радиуса сферы Уменьшая г до нуля и стягивая сферу в точку А — ее центр, будем иметь: <р dw — 4торд, s или 5. Если потенциал скорости у сохраняет постоянное значение на границах односвязного объема, то он остается постоянным во всех точках внутри объема в силу известного соотношения ЯЛ(Й)'+($'+(?)¦] В этом случае скорость во всех точках жидкости равна нулю. 6. В односвязном объеме жидкости, ограниченном со всех сто- сторон твердыми стенками, не может существовать безвихревое движе- движение. В самом деле, в § 12 было показано, что внутри такого объема линии тока не могут начинаться или обрываться; при наличии же твердых стенок, на которых нормальная слагающая скорости vn = О, линии тока не могут вытекать из границ или втекать в них, следо- следовательно, линии тока могут быть только замкнутыми; выше же при формуле A6 5) было отмечено, что при существовании потенциала скорости внутри односвязного обьема замкнутые линии тока не могут иметь места; значит, жидкость либо остается в покое, либо приходит 3*
С6 KHHLMATHKA ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I в вихревое движение. Отсюда мы можем еще сделать вывод, что если в односвязном объеме жидкости, частично заключенном в твер- твердые стенки и частично ограниченном свободной поверхностью, возникает безвихревое движение, то последнее сопровождается не- непременно изменением формы свободной поверхности, т. е. образо- образованием волн. 7. Если односвязный объем жидкости ограничен со всех сторон неподвижной поверхностью, на одних частях которой потенциал ско- скорости <р сохраняет одно и то же постоянное значение, на прочих же частях равна нулю нормальная составляющая скорости d^jdn, то внутри объема не может существовать безвихревое движение. В самом деле, мы видели, что внутри жидкости линии тока не могут ни начинаться, ни заканчиваться и не может быть замкнутых линий тока, следова- следовательно, линии гока могли бы лишь выходить и входить в тех частях границы, где потенциал о сохраняет постоянное значение, ибо в про- прочих частях границы dy/dn = 0, г. е. линии тока проходят, касаясь стенок; но тогда, идя вдоль такой линии тока, мы не получили бы на ее концах одинакового значения потенциала <р, так как вдоль линии тока потенциал изменяется монотонно. Из свойств E), F) и G) вытекает важное следствие о един- единственности безвихревого движения внутри односвязного объема, если на границах обьема заданы: а) либо паяния потенциала ®, б) либо значения нормальной составляющей скорости df/dn, в) либо значения ср на одних частях границы и значения d'^jdn на прочих В самом деле, если предположить существование двух различных вну- внутри жидкости потенциалов о», и о2, то их разность ср3 — ср2, удовле- удовлетворяя уравнению Лапласа и условиям свойств либо E), либо F), либо G), была бы постоянной внутри жидкости, т. е движение с потенциатом С] было бы тождественно с движением, обладающим потенциалом ср2. Заметим без доказательства, что наши выводы касались внутрен- внутреннего односвязного объема, ограниченною замкнутой позерхностью, но все рассмотренные свойства распространяются и на случай жидко- жидкости, заполняющей внешний, простирающийся в бесконечность одно- связный объем и лежащий снаружи одной или нескольких замкну- замкнутых поверхностей, которые можно, таким образом, рассматривать как внутренние границы объема; при этом лишь приходится исключать из рассмотрения самую бесконечно далекую точку, окружив вну- внутренние границы достаточно от них удаленною замкнутою поверхно- поверхностью и причисляя последнюю к внешней границе упомянутого объема. § 18. Безвихревое движение в многосвязном объеме. Все предыдущие свойства были установлены для односвязного объема жидкости. Напомним, что объем называется связным, если две любые его точки могут быть соединены непрерывной линией, нигде не вы-
18) БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ В МНОГОСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 37 ходящей из границ объема; далее, связный объем называется одно- связным, если любая замкнутая линия, в нем заключающаяся, может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя из границ объема; таков, например, объем, заключенный внутри сферы, или объем между двумя концентрическими сферами, или, например, бес- бесконечный объем снаружи одной или нескольких отдельных сфер (т. е. таких, что ни одна сфера не заключает в себе прочих). Назовем диафрагмой поверхность, целиком заключающуюся в объеме и опи- опирающуюся на замкнутую линию, ко- которая лежит на границах объема. Рис 13. Рис. 14 / / с—^е 1 i I 1 1 1 1 1 .J /V \а г 1 i i ъ/ / 7 V с Очевидно, что в односвязном объеме нельзя провести ни одной диа- диафрагмы без нарушения связности объема. Если в объеме можно про- провести максимум п диафрагм без нарушения связности, то такой объем называется и-)- 1-связным. Например, объем внутри кольца (тор) является двусвязным, так как можно провести только одну диафрагму ab (рис. 13) без нарушения связности; объем, внешний по отношению к коль- кольцу, также является двусвяз- иым, так как только одна диа- диафрагма вида оф (рис. 14) не нарушает связности. Доска Рис. 15. с двумя пробитыми в ней от- отверстиями (рис. 15) представляет пример трехсвязного объема (как внутреннего, так и внешнего); так, для внутреннего объема можно провести только две диафрагмы, например вида abed и efgh, без парзшения связности объема. Обращаясь к рассмотрению безвихревого движения жидкости в многосвязном пространстве порядка связности «-J-1, разберем во- вопрос о вычислении циркуляции скорости т v • dr по некоторому замкнутому контуру L, лежащему целиком в жидкости. Легко видеть,
38 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I что ф v • dr = 0, если контур L может быть стянут в точку непре- L рывным образом, не пересекая границ жидкости, действительно, при таком контуре можно превратить рассматриваемый объем в односвяз- ный, проведя нужное число диафрагм так, чтобы последние не пере- пересекали контура L, что, очевидно, возможно в силу предположения о характере контура, тогда контур L оч}тится цетиком в односвяз- пом объеме, для которого было показано равенство нулю циркуля- циркуляции скорости. Если же контор L не может быть сгянут в точку то рассекая его надлежащим образом допсмнительными линиями, мы всегда можем разбить его а) на известное число таких нестягивае- мых в точку контуров, чтобы каждый из них пересекал по репу только одну диафрагму, и б) на известное число стягиваемых в точку контуров Замечая, что циркуляция по объемлющему контуру равна сумме циркуляции по объемлемым контурам, мы таким образом при- приходим к формуле: + ... +раКа, A8 1) где pv р2 рп — некоторые целые положительные или отрица- отрицательные, или равные нулю числа, а /С,, К2 Кп — цирк} тяции по простым контурам типа (а); эти последние величины носят назва- название циклических постоянных Из формулы A8 1) непосредственно вытекает, что потенциал iho- рости (р в многосвязном пространстве б)дет многозначной функцией точки, и различные значения ® в данной точке будут между собой отличаться на целое число циклических постоянных Из рассмотрен- рассмотренных нами выше семи свойств потенциата ф первые пять остаются в силе при всяких величинах циклических постоянных последние же два свойства и следствие о единственности определения погььциааа по пограничным значениям ® и d^jdn б^дут справедливы, ее та все циклические постоянные обращаются в нуль § 19. Вихревое поле и его свойства. Состояние движения жидко- жидкости называется вихревым, если существуют области, в точках кото- которых вихрь скорости отличен от н^ля, введем в дальнейшем для краткости обозначение rotf = Q, так что Считая, что точки, в которых вектор Q отличен от нуля, сплош- сплошным образом заполняют некоторый объем мы получаем таким обра- образом возможность рассмотреть новое векторное noie—поле вихреь скорости, подобно тому как в § 9 было рассмотрено поле скоростей
ВИХРЕВОЕ ПОЛЕ И ЕГО СВОЙСТВА 39 Зю поле вихрей является соленоидальным полем, т. е. в каждой точке поля расхождение вихря равно нулю: divU = 0, A9.2) Й- = 0. A9.3) ПЛИ дх ~Ъу~ в чем убеждаемся непосредственным вычислением. Hi A9.2) на основании теоремы Гаусса вытекает, что поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: >.ndS = 0. A9.4) Проведем в поле вихрей векторные линии, в каждой точке ко- которых касательная совпадает с направлением вектора вихря; эти ли- линии носят название вихревых линий. Через каждую точку поля будет, вообще говоря, проходить одна впчревдя линия, дифференциальное уравнение которой будет dx dx A9.5) Взчв в вихревом поле малый замкнутый контур и проведя через каждую точку последнего вихревую линию, мы получим трубча- трубчатую поверхность, которая именуется вихревой трубкой (рис. 16); применяя формулу A9.4) к замкнутой поверхности, образованной самой вихревой трубкой и двумя любыми нормальными ее сечениями с площадями с, и с,, мы по- получаем (с точностью до малых величин высших порядков) со- соотношение QjOj = L'2<j2, A9.6) так как для элементарной пло- площадки Oj будет Оя = 2j, для Рис. 16. площадки о2 будет i>n = — 22 и для поверхности самой трубки Qn — 0. Произведение Qa из вели- величины вихря на площадь нормального сечения носит название интен- интенсивности вихревой трубки, или, проще, интенсивности вихря, и соотношение A9.6) показывает, что интенсивность вихря остается постоянной вдоль вихревой трубки. Разобьем все поле вихрей на вихревые трубки определенной интенсивности, например единичные; тогда мы вправе заключить, что внутри жидкости вихревые трубки не могут начинаться или прерываться, ибо формула A9.4) выражает,
40 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ что число входящих в любую замкнутую поверхность трубок равно числу выходящих из поверхности трубок Вихревые трубки могут или начинаться и заканчиваться у границы жидкости, или же замыкаться сами на себя, образуя кольцеобразную поверхность (рис. 17). Интенсивность вихревой трубки весьма просто связана с циркуляцией скорости Г по любому замк- замкнутому контуру, который лежит на поверхности трубки и охватывает ее. В самом деле, взяв лля простоты плоское сечение трубки, хотя бы и не нор- уальное, и применяя теорему Стокса, получаем: г = -f- v vdy + vz dz ¦¦ Рис. 17. где о' есть площадь сечения а, и а — площадь нормального сечения [J (рис. 16). § 20. Упражнения. 1. Жидкость вращается вокруг оси Ог как твердое тело с угловой скоростью ш. Определить поле вихрей скорости. Ответ: Вихревые линии представляют собой прямые, параллельные оси Ог; величина вихря во всех точках одинакова, t- = 2ш. 2. Определить поле вихрей скорости при сдвиге принимая координат- координатную плоскость Охг за плоскость сдвига и считая, что скорости точек жидкости параллельны оси Ох, так что vx = су, vy = 0, v г = 0 Ответ: Все вихревые линии суть прямые, параллельные оси Ог; вели- величина вихря во всех точках одинакова а = с 3. Скорости частиц жидкости пропорциональны расстояниям частиц от оси Ох и параллельны последней, так что vx = cYyi+ z\ vv = 0, vz = 0. Определить поле вихрей. Ответ: Вихревые линии суть окружности у2 -{- г* = const., х = const.; величина вихря везде одинакова: Q = с. 4. Частицы жидкости вращаются вокруг оси Ог со скоростями, обратно пропорциональными расстояниям частиц от этой оси, так что Ух2 4- у2 с Ух2 + у2 cos (ь. х) = — - cos (п. у) = —г- = 0. Определить поле вихрей. Ответ: Движение безвихревое во всех точках, кроме точек, лежащих jmoh оси Ог, в которых vx и иу обращаются в бесконечноаь окр\ ,ь,1в
§ 201 УПРАЖНЕНИЯ 41 ось Oz бесконечно тонким и бесконечно длинным цилиндром и причисляя последний к границе жидкости, мы получим двусвязное пространство снаружи циличдпа, в точках которого потенциал скорости sp = с arctg (xjy) будет мно- гозчачен; циркуляция скорости Г при однократном обходе вокруг цилиндра по любому контуру будет конечной величиной Г = 2тсс, вследствие чего такого рода движение можно назвать изолированной вихревой нитью или изолированным вихрем с интенсивностью 2лс. 5. Выразить градиент скалярной функции grad cp в криволинейных орто- roiaibHbix координатах qu q2, q3. Решение. По основному свойству градиента (grad <?)s = -Л., rie s — произвольное направление, a ds — элементарное перемещение по зк му направлению Беря за 5 по очереди каждое из направлений осей кр чол шейных координат, имеем для элементарных перемещений вдоль по- c.tl. i.'inx известные из кинематики выражения: = /7, dqb ds2 — Нг dq2, ds3 = Иъ dq3, Ни Н2, Н3 суть параметры Лаиэ (см. стр. 29). Таким образом получаем- где Ни Н2, Н3 суть парамет Таким образом получаем ^,^^ ? =J--^; (grad ^ = ^A. Если через /,, i2, i$ обозначить орты, взятые по осям криволинейных координат qlt q2, q3, то выражение градиента в криволинейных координатах будет ^A/1+-^-^^+^-gri. B0.1) В частности, для цилиндрических координат г, 6, г будет и градиент выразится "-?'¦+ 7 &'¦ + ?'* Для сферических координат г, 0, ф имеем' Ht = 1, Нг = г, H3 = r sin 9, и выражение градиента будет v9 =,!*/,+-^/, + —Цг#/з. B0.3) 6. Найти выражения для вихря и расхождения некоторого вектора а в криволинейных ортогональных координатах qu q2, q3. Решение. Положив в предыдущей формуле для градиента (задача 5) 9 = <7i> имеем:
42 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I Взяв операцию вихря от обеих частей этого равенства и замечая, что rot grad qx = О, и что имеем: откуда grad grad Я,, — Я, 0 = -^-rot/1---2-gradЯ1X/I, Я, rot/, = -rr-gradtf B0.4) Вычисляя векторное произведение, имеем: rot tt^-щ- {(grad Я,)^ - (grad Я,)?>/ но в силу формулы B0.1) предыдущей задачи и, значит, аналогично rot /2 = •^-^- rot /3 = T" '2 — dq, H3H0 B0.5) Найденные выражения B0.5) для вихрей единичных векторов, отложен- отложенных по осям криволинейных векторов, дают возможность вычислить рас- расхождения тех же векторов. В самом деле, в силу соотношения /i=/2X^3 и известной формулы, имеем: dlv /, = dlv (/2 X *з) = 'з • rot /j — /2 • rot i3 и в силу соотношений ортогональности /, • /2 = 0; /2 • i3 = 0; i3-il=0 пол\ чаем: и аналогично: dqt div /, = 1 ая3 --г- Я3Я2 div i3 = ¦ 1 dq3 ^ H2H3 dq3 " ; B0.0;
§ 20j УПРАЖНЕНИЯ 43 Нетрудно теперь перейти к выражению расхождения и вихря любого вектора а, разложив последний по ортам основываясь на известных формулах векторного анализа. Таким образом получаем div а — cii div /, -f- «2 div 1г -f- a3 div i3 -f- /, • grad a, -\- t2 ¦ grad a2 + »з • grad a3 = a, d/^2 a, d//3 a2 d//3 , a2 dfit a3 dHl //2//з dq3 H\ dq\ //2 ^^2 ^з ^^з 1 rfl(»|ff,tf,) д(а,Н3Н,) д(а3НхН,I /У,Я2Я3 L d^r, ' d^2 й^з J' Полагая в последней формуле а = grad 9, получаем выражение для опе- оператора Лапласа в криволинейных координатах' Наконец, применяя формулы B0.5), находим для вихря вектора а выра- выражение д (w^2) 1 , , 1 rd(//,a,) д (НзН) л
ГЛАВА ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Силы массовые и поверхностные. Выделим в жидкости некоторый объем т, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 18). Силы, приложенные к выделенному объему жидкости, можно разбить на два класса. К одному классу мы отне- отнесем силы, действующие на каждый эле- элемент объема dt независимо от того, суще- существуют или нет рядом с объемом dx другие части жидкости. Эти силы мы на- назовем массовыми; иногда не вполне пра- правильно они называются объемными силами. Если назвать через F вектор массовой силы, отнесенный к единице массы, то к элементу объема dx жидкости, плотность которой р, будет приложена массовая сила Fpdx; главный вектор массовых сил, приложенных ко всему объему -с, выразится векторным интегралом ,dx, распространенным по объему х, а проекции главного вектора на оси декартовых координат Ox, Oy, Oz будут соответственно: ¦У Рис. 18. JXpdz, fZpdx, где X, Y, Z суть проекции вектора F. Главный момент массовых сил, приложенных к объему t, отно- относительно начала координат выразится векторным интегралом {г X F) р
,j 2] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 45 где г — радиус-вектор частицы d\\ проекциями главного момента на координатные оси будут соответственно служить интегралы: f (yZ-zY)pdt, j (zX — xZ) pdx, J (xY — yX)pdi. 1 T T Примером массовой силы является сила тяжести, сила инерции и др. К другому классу сил, действующих на рассматриваемый объем т, мы отнесем силы взаимодействия между различными частицами жидко- жидкости. В силу принципа равенства действия и противодействия про- произойдет уравновешивание сил взаимодействия между всеми внутрен- внутренними частицами объема т, лежащими внутри поверхности S, и, значит, могут остаться неуравновешенными только силы взаимодействия, исходящие от частиц, лежащих снаружи поверхности S, и приложен- приложенные к поверхностным частицам объема т; такие силы мы назовем поверхностными. Если через рп обозначить вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади, то на элементарной площадке dS поверхности 5 будет приложена к объему т исходящая от внешних частиц сила pndS; значок п указывает на то, что мы считаем век- вектор рп зависящим от ориентировки площадки dS, т. е. от направления внешней нормали (рис. 18); кроме того, вектор рп может зависеть от координат площадки dS, а также от времени. Если через — п обо- обозначить противоположное направление нормали внутрь поверхности 5, то это направление окажется внешней нормалью для той же пло- площадки dS по отношению к наружным частицам жидкости; согласно нашему обозначению, поверхностная сила, действующая на элемент площади dS наружного слоя частиц и исходящая от частиц, лежа- лежащих внутри поверхности 5, будет p_ndS; вследствие принципа равенства действия и противодействия имеет место соотношение Направление вектора поверхностной силы рп может вообще соста- составлять некоторый угол с внешней нормалью п; проекция/^ на внеш- внешнюю нормаль называется нормальным растяжением или нормаль- нормальным давлением, смотря по тому, будет ли рп составлять острый или тупой угол с внешней нормалью, проекция же рп на площадку dS носит название косого напряжения или, иначе, силы трения. Главный вектор и главный момент поверхностных сил, приложен- приложенных к объему т, выразятся интегралами I р„ dS и I (г X Рп) dS, J J s s распространенными по всей замкнутой поверхности S. § 2. Общее уравнение движения. Применим начало Даламбера, гласящее, что в каждый момент движения любой материальной
46 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ U системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются; тогда B.1) где w есть ускорение элемента dv, при этом— Г wpdx выражает т главный вектор сил инерции. § 3. Гидродинамическое давление в идеальной жидкости. В идеальной жидкости не проявляются силы трения, и малейшее нор- нормальное растяжение влечет разрыв сплошности жидкости; следова- следовательно, поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности dS объема х идеальной жидкости, представляют собою нормальные давления, направленные внутрь объема; иначе говоря, вектор ра направлен по внутренней нормали к элементу dS. Покажем, что для идеальной жидкости величина рп этого вектора не зависит от ориен- ориентировки площадки dS. Для этого рассмотрим в жидкости элемен- 0 тарный объем тетраэдра К ABC (рис. 19), три грани которого КВС, К АС и КАВ параллельны коорди- Рис. 19. натным плоскостям, так что внеш- внешние нормали к этим граням на- яравлены соответственно противоположно осям Ох, Оу и Oz\ обозначим далее через а, р, •; косинусы углов, образованных с осями координат внешней нормалью Dn к четвертой наклонной 1рани ABC; пусть, наконец, площадь грани ABC есть dS, тогда площади граней КВС, КАС, КАВ, являясь проекциями dS, будут соответственно Применяя уравнение B.1) к объему dx тетраэдра, имеем: (/=¦— w)Pdx + p_xadS + p_y$dS + p_2tdS + pndS = Q. C.1) В силу свойства A.1), можно произвести замену обозначая затем через h высоту KD тетраэдра, получим:
§ 4] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 47 и таким образом уравнение C.1) по сокращении на dS примет вид 3" (F — w) р/г — арх — рру — Трг -\-рп = О, откуда, переходя к пределу, при h—>Q, мы приходим к основному свойству поверхностных сил: показывающему, что вектор /J, при произвольной ориентировке внешней нормали п может быть определен, коль скоро заданы три основных вектора рх, ру, pz, выражающих поверхностные силы для площадок, внешние нормали которых параллельны и одинаково направлены с осями Ox, Oy, Oz. Свойство, выражаемое формулой C.2), показывает, что совокупность векторов рп, получаемая при всевоз- всевозможных ориентировках площадок, образует тензор; он называется тензором упругих напряжений. Применим теперь формулу C.2), справедливую для любой жидко- жидкости, к случаю идеальной жидкости. В этом случае векторы рп, рх, Ру Рг будут направлены противоположно внешним нормалям Dn, Ox, Oy, Oz и, проектируя C.2) последовательно на Ox, Oy, Oz, получим: откуда Рп = Рх = Ру = Рг< C-3) т. е. величина нормального давления для идеальной жидкости не зависит от ориентировки площадки, к которой оно приложено. Вследствие этого можно отбросить значок в обозначении, не указывая ориентировки площадки и помня, что гидродинамическое давление направлено по внутренней нормали к площадке. § 4. Общие уравнения движения идеальной жидкости. Урав- Уравнение B.1) для случая идеальной жидкости принимает вид: f(F—w)pdi-\-fpdS=O, D.1) причем вектор гидродинамического давления р направлен по внут- внутренней нормали к поверхности 5. Вводя в рассмотрение орт п внешней нормали, имеем: />= — рп, и предыдущее уравнение принимает вид: f (F-w)bdi — f pndS — 0. D.2)
48 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Применяя к последнему интегралу преобразование Гаусса, по- получаем: Г {(F— w) p — grad р] dr ~ 0. Г В силу произвольности рассматриваемого объема -с подынтеграль- подынтегральное выражение должно быть равно нулю в каждой точке жидкости и в любой момент движения. Таким образом, приходим к основному уравнению движения идеальной жидкости: — w grati p — о, или в проекциях: X х р дх Z —' 1 др р дг = 0. D.3) D.4) § 5. Уравнения движения в форме Эйлера, а) Декартовы координаты. Выражая проекции ускорения в переменных Эйлера по кинематическим формулам (8.4) главы I: f dv, дх dvv дг dVy ~~дг dvz IF и разрешая уравнения D 4) относительно wx y так называемые гидродинамические уравнения Эйлера: wy, wz% мы получаем dvt , dt dvy dt dvz dvx dvy >~ dx 1 d"z dy dv, дг dvz 1 dp p dx 1 dp J~dy~ 1 dp E.1) 6} Цилиндрические координаты. Проекции скорости точки М на оси цилиндрических координат (г), (ср), (z) будут vr = г. v== гср, vz = z, как показывается в кинематике точки. Отложив по осям цилиндри- цилиндрических координат три единичных вектора /,, /2, i3, мы можем вектор скорости точки М (рис. 20) представить в форме v = rix -f rcp/2 -f- ziz
§5) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРЧЕ ЭЙЛЕРА и, дифференцируя по времени, получаем для ускорения: 4У w ¦ U(r^h + zh dt di± IT но dl. dt ~ ¦ 2' dt — ^l- dt и тогда после простых выкладок получим: •¦ -,ч . , 1 d(r^) .... /. vl откуда заключаем, что ¦ = 0'). \ d d(rv9) Далее, так как по основному свойству градиента мы имеем где s — любое направление, и так как эле- элементы дуг координатных линий для цилиндри- цилиндрических координат будут соответственно дг, г <?ср и дг, то (grad p)r = ^r, Рис. 20. Проектируя теперь на оси цилиндрических координат уравнение движения = F grad p, получаем: »; 1 б/. d(ry9) i ^ . l ^ ' r ' p or dt f p o<f z г р дг ') При выводе этих соотношений можно использовать известные фор- формулы, дающие di.jdqk (см., например, Кочин Н. Е., Векторное исчисление di{ i_^±, Li^L/ dq\~~ #2 oq% 2 H3 dq3 3' гл. II, § 18): dH2 dqi *z> dq3 ~~ Я, ''2'' d?3 ~" Я, d?1 /si и аналогичные формулы для производных от 1г и i3. 4 Зак. 1190
50 ОСНОВНЫЕ !¦ РАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Заменим в этих уравнениях полные производные по формулам vr dvr I dvr dvr dvr дг г д<? » ' дг и аналогично для di И V,, приходим к дифференциальным уравнениям типа Эйлера: дг "'^ r d--f "? г дг 1 dvq, 1 dv. dt p dr ' dv® dp dr дг EL дг ' 1.5.2) в) Сферические координаты. Проекции скорости точки М на оси сферических координат (г), (б), (ф) будут: (г) v^ — r sin бф. Отложив по осям сферических координат три единичных вектора iv i%, i^> мы можем вектор скорости в точке М (рис. 21) пред- представить в форме Рис- 21. „ = rix 4- /-6t3 + г sin бфг3. Таким образом, для ускорения w получаем: С другой стороны, Поэтому «> = (/•" — /"б2 — r sin2 8ф2) n бф; -§¦ = - be + 'з cos Оф; — (sin 6tj + cos 0t2) ф. + {^- + r 8 — r sin 0 cos 6ф2) /2 + - (r sin Оф) -f- sin 6r ф -f /• cos Об ф j
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 51 Отсюда wr = - ¦ , 1 , „ ,1 —t <JJ _J <7J <JJ 1 i 1 г ' / Проектируя уравнение движения на оси сферических координат, мы получим: ~ii 2 "л 7" == r p~ 7' "TiT "• r ==' rft/ф иф 1 dp ———1 — (v -4- ct? 8o.1 = r", ;—^r- , dt ^ r ^'I'-'b""!' 4 prsmd <?ф Заменяя -^ по формуле 04-45 dvr 1 r sm 0 1 77 и аналогичным образом -jt в сферических координатах: dv. dv. dt V r дг WO vwr i ф ~7" db 4" r sln о ¦ ¦+ 7 sin 6 ^ dfl r sia В •, получим уравнения типа Эйлера '. = F ctg о др_ дг 4- Ф SID В E.3) г) Общие криволинейные координаты. Для вывода применим рассуждения, аналогичные тем, какие применялись в динамике системы для вывода уравнений Лагранжа. Считая, что выбрана определенная система криволинейных коор- координат qv q2, 9з> т> е< чт0 выбраны определенные зависимости: з< 0; у = з- О.
52 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОМ ЖИДКОСТИ [ГЛ II мы имеем для всякой функции f(x. у, г, 0 от декартовых коорди- координат следующие соотношения: J)L==lLJ^L^IL!y_\.KJ^- (/=1,2,3), dqt dx dqt "' ду dqt ' дг dqt К — JL^Ll+JL^-l-JL^L3 + %• E4) dt dqt dt i~ dq2 dt ~r dq3 dt ot В частности, будет: l ^^ E JA i (/=1,2,3), dx dqt ' ay dqt ~^~ дг dx dx dq, , dx dq = ALqi+J^-q2 + J>^q3 + ~ E 5) и аналогично для vy и vz. Соотношение E.5) показывает, чго если vx рассматривать как функцию от qv q2, q^, qv q2, qa, t, то б)Дет- —?- — —— (/= 1. 2, 6)- yJ u/ Кроме юго, дифференцируя E 5) no qv имеем. dvt_ б2х ¦ д2л ¦ __^—- q3 -J- _^— . р 7) С другой стороны, применяя E.4) к функции -^ • имеем: d i dx сравнивая с предыдущим равенством, пол)чаем. Установив соотношения E 6) и E.8), берем jравнения Эйлера: dvx I dp dvv 1 E/) Л'2_7 —-1-^- ^^ ^ ; "T~ й dt p dx ' fi^ и после умножения на ду дг и слОжения нахоаим: дх dvx i dy dVy dz dvz ~~dq~i~dT~r ~dq^~dT* ~dq~t ~dt t ' dqt i-^- (i=l, 2, 3). E.9) d
^ 6] ВЕКТОРНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Сделав преобразование dq. dt — dt \ dqt x) x dt 11 применив E.6) и E.8), получаем: /1 2 \2V d/j dt dt \ dqt j dq dt dq. dq( ii аналогично для двух других слагаемых в E.9). Вводя обозначения для живой силы единицы массы жидкости и /~\ у У-*- у _У_ 1 у "^ // 1^4"! для обобщенной массовой силы, мы приходим к искомым уравнениям движения в криволинейных координатах l/^\_iL=Q IJ?. (/=1,2, 3). E.10) dt \ dq J dqt p dq. Если массовые силы имеют потенциал V, то, очевидно, будет и уравнения движения npiiMyi вид llP (l=l,2.3). E.11) (l (ll,2.3 dt \dqt I dq. dqt p dq. Уравнения вида E.10) или E.11) справедливы для любых криво- криволинейных координат (не только ортогональных). Проекции скорости на оси криволинейных координат будут выра- выражаться формулами vx = Hxqv v2 = H2q2, v3 -= Я3?3, где Я], Н2, Я3 суть коэффициенты Ламэ (см. стр. 29). В случае ортогональности криволинейных координат живая сила будет иметь вщ 1 § 6. Векторные формы уравнений движения. Написав уравне- уравнение D.3) в виде W = F— — grad/?, или —^=F grad p F.1)
54 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II и выражая полную производную dvjdt по формуле векторного анализа dv dv . , _ч приходим к векторной форме уравнений движения: dv , , _. г, 1 или в других обозначениях: . F.2) F.3) Проекциями уравнения F.2) и служат гидродинамические уравне- уравнения Эйлера. Применяя известное из векторного анализа преобразо- преобразование ¦к grad <о2 = (v • V) <о -f- <o X rot v. мы приходим к другой форме того же векторного уравнения -f grad (j vA — vX rot v = F— - grad p, или в других обозначениях: F.4) F.5) § 7. Уравнения движения в форме Ламба. Проектируя уравне- уравнение F.5) на оси Ox, Oy, Oz и вводя для краткости обозначение rotT = ii. мы приходим к системе уравнений, носящих название гидродинамических уравнений Ламба: -^4-v(^^_ „X rot v=F— ~ Vp. dvx др G.1) где v'2 = v\ -(- v2 -f dv* dvM dv. dvz z~ дх dv, Уравнения Ламба, по существу, не отличаются от уравнений Эйлера, представляя простое преобразование последних. Независи- Независимыми переменными в уравнениях Эйлера и Ламба служат одни и
§7] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАЧБ\ 55 те же величины t, x, у, z, функциями которых являются vx, vy, vz, р, о, X, У, Z. Запишем еще уравнения Ламба в криволинейных координатах. На основании F.4) получим, очевидно: dv2 Я, ~54l 2 _1_ д v2 q _ p dP 1 777 При этом 2 — | ¦ — — 1 • 2n = ~yj ( о . 1 Для цилиндрических координат (г, ср, z) Я, = 1, Я2 = г, Я3 = 1, и мы будем иметь: dt дг 2 dv9 \ д у2 dt ' r d'f 2 ~dT"i 7 " причем f2 — г>2Н- у2 + г>2, 1 du, I dp tj 2 =F — IF • dvr du, 2 г \ or d'f В сферических координатах (г, 0, ф) будет [Г < [Г Г_7 так что уравнения примут вид \ д v2 ~W dO ' 1 г sin О d/» pr sm 0 G.2) G.3)
56 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. П где 1 М . . „ . duel r. ' dvr дг^ п" 7Г (Sin BV.,J гт^ , Иц = тг- r sin о |_ оО ч Ч" ЛЬ J ' г sin О О — 2. ( drvt dvr\ Ф г \ с?г йв j" Приведем еще уравнения относительного движения жидкости, а также уравнения абсолютного движения жидкости, отнесенные к подвижной системе координат. Наряду с неподвижной системой координат Oxyz введем в рас- рассмотрение подвижную систему координат O'x'y'z'; движение последней характеризуется вектором скорости т0 начала подвижной системы координат и вектором w угловой скорости вращения этой системы. Будем считать, что в рассматриваемый момент времени обе системы координат совпадают друг с другом, и обозначим через г радиус-век- радиус-вектор частицы жидкости. Обозначим через ют вектор относительной ско- скорости частицы жидкости, т. е. ее скорости по отношению к подвиж- подвижной системе координат; через вектор переносной скорости и через G.4) вектор абсолютной скорости частицы жидкости. Обозначая через wr < тнэсительное ускорение, через переносное и через wa абсолютное ускорение частицы жидкости, будем иметь равенство чюа = wr + we + wc, G.5) где wc = 2 (to X vr) G.6) есть ускорение Кориолиса. В основное уравнение движения F.1) входит абсолютное уско- ускорение, поэтому, вследствие G.5), уравнение Эйлера для относитель- относительного движения жидкости примет вид wr — F— — grad p — <we — 2 (w X "Or)' G-7)
§8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА 57 Вследствие преобразований предыдущего параграфа, мы можем написать «V = -^Г + &fad 2" Vr — (Vr X fOt Vr), где штрих у производной по t означает, что дифференцирование совершается в подвижной системе координат. Поэтому уравнения относительного движения G.7) записываются так: ~ -f grad jV2r—v,X rotv, + 2 (w X «/¦) = Z7 grad p— та>е. G.8) В некоторых случаях удобно, пользуясь подвижной системой координат, рассматривать абсолютное движение жидкости. Заметим прежде всего, что если мы имеем абсолютный покой жидкости, так что va = 0, то тг— — i'e и поэтому предыдущая формула, в кото- которой надо, конечно, положить F=0, р = const., приводит к соотно- соотношению —т~ grad тт ve ¦+ ve X rot ve -\- 2 (ft) X ".) = w,; G.9) это тождество может быть, впрочем, установлено и непосредственно. Сложим теперь равенства G.8) и G.9); воспользовавшись G.4), получим: ~^ -+¦ grad ^ (т? — TJ) — ч?г X rot ч?, -f -Ь ^ X rot ve-\- 2to X ^n = Z7— — grad /?. Заметим теперь, что е \ а е) \ а е) *> а а е' rot ve = rot (ft) X г) = 2(o; те X rot ve = 2те X w, тг X rot vr = v, X rot г>а — тг X rot те — [va — ve) X rot va — 2fr X w. вследствие этих равенств предыдущее соотношение принимает вид: —тг -\- grad ( — va • ve) —(va — ve) X r°t va = F — — grad p. G.10) Это и есть уравнение абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат. § 8. Уравнения движения в форме Лагранжа. Чтобы получить уравнения движения, исходя из точки зрения Ла1ранжа, мы должны за независимые переменные принять время t и параметры а, Ь, с,
58 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II определяющие начальное положение частиц жидкости в момент t = 0; все прочие величины, фигурирующие в уравнениях движения, должны считаться функциями аргументов t, a, b, с. Обращаясь к общим уравнениям движения F.1), заменим в них wx, wy, wz по кинемати- кинематическим формулам F.4) главы I, тогда найдем: X- дгх 1 dp dt2 ду (8.1) dt2 ~ p дг ' Остается в последних уравнениях выразить др/дх, др/ду, dpjdz через др/да, др/db, др/дс. Умножив уравнения (8.1) соответственно на дх/да, ду/да, dzjda и сложив, получим в правой части: dp dz \ 1 др 1 ! др дх др ду . др дг\ _1 р \ дх да ~*~ Оу да ' dz да ) р да Аналогично после умножения (8.1) на дх/db, dyjdb, dzjdb и сло- сложения найдем в правой части — -~—, а после умножения на dxjdc, ду/дс, dzjdc и сложения получим J— . Таким образом мы приходим к следующим уравнениям движения в форме Лагранжа: dt2 } да ^\ OP ) да ' \ dt2 j da У д2х \ дх , (у д2у\ ду . /7 I d*x \dx , (v д'у \ ду V dt2 ) дс db dz p da ' p ob ' дс " (8.2) § 9. Общая постановка задач гидродинамики. Рассматривая жидкость как совокупность материальных частиц (сплошным образом заполняющих пространство или его часть), между которыми появляются внутренние силы взаимодействия, выражающиеся в идеальной жидкости при посредстве гидродинамического давления, мы можем общую задачу гидродинамики формулировать так: определить под действием заданных внешних сил движение каждой частицы и внутренние силы, т. е. гидродинамическое давление, в каждой точке жидкости ив ка- каждый момент движения.
Ю] СЛУЧАЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 59 Рассмотрим отдельно случаи несжимаемой и сжимаемой жидкости, считая в обоих случаях жидкость идеальной и для простоты одно- однородной. Постановка задач гидродинамики вязкой (не идеальной) жидкости будет рассмотрена во второй части курса. § 10. Случай несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости плотность р есть некоторая постоянная, служащая физической характе- характеристикой данного сорта жидкости и считаемая известной. Взяв уравне- уравнения Эйлера (или Ламба), мы видим, что в них неизвестными величи- величинами являются четыре: vx, vy, vz, p, зависящие каждая от аргументов х, у, z, t\ величины же X, К, Z суть заданные функции тех же аргументов; присоединяя к трем дифференциальным уравнениям Эйлера четвертое дифференциальное уравнение — уравнение неразрывности, мы приходим к задаче определения четырех неизвестных функций vx, vy, vz, p из системы четырех дифференциальных уравнений: . dv, , dv, ,, 1 dp dvx dt dvy dvz + 1 dvx dx dvy dvz dvv dv, dy dvy ~dT dvz ~dT ? dy 1 dp P dz dvx dvy ~w dz A0.1) Если эту систему удастся проинтегрировать, то будут определены векторное поле скорости и скалярное поле давления для каждого момента времени, т. е. будут найдены функции: У, г, t), vx = fx(x, у, z, t), vz = f3(x, у, z, t). удовлетворяющие системе A0.1). Чтобы довести задачу до конца и определить уравнения движения каждой частицы, т. е. зависимости координат частицы х, у, z от времени t и начальных значений коор- координат х0, yQ, zQ, остается проинтегрировать еще систему трех урав- уравнений: dt =/з(*. У. *. *)• i у, dz A0.2) Аналогично обстоит дело, если мы возьмем уравнения движения в форме Лагранжа: в этом случае задача сводится к определению четырех неизвестных функций х, у. z, p, зависящих каждая от
60 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II аргументов t, a, b, с из системы четырех дифференциальных урав- уравнений: / д*х\ дх . (у д2у\ ду 17 \ dt2 ) да -"" V № ) да "•" \ I д>х \ дх (у д>у\ ду I \л dt2 ) db ~> V dt2 ) db ^ \ д2г\ дг 1 др dt2 ) ~да ~р~ ~да~ dt2 7 _ ^!?Л дг —1 dt2 ) д ~ J 1 др да 1 др p дЬ J Ж дх ду дг да да да дх ду дг ~ЬТ~дТ~дЬ дх ду дг дс дс дс да да да дх0 ду0 дг0 db db db дха дуа дга дс дс дс A0.3) §11. Случай сжимаемой жидкости. Баротропность и баро- клинность. Уравнение притока энергии. Переходим к задаче опре- определения движения сжимаемой жидкости. Математически простейшим будет тот частный случай, когда во всем движении плотность есть заранее известная функция от давления Р = Ф (/>)• A1.1) Среды, в которых плотность есть функция одного давления, носят название баротропных. Для баротропных жидкостей уравнение нераз- неразрывности A1.3) главы 1 и три уравнения движения E.1) настоящей главы замыкаются в том смысле, что эти четыре уравнения содержат как раз четыре искомые функции, ибо, пользуясь A1.1), мы можем всюду исключить р, оставив в качестве неизвестных vx, vy, vz, и p. Простейшим примером закона для Ф (р) будет Ф (/?) = const. Это — случай несжимаемой жидкости. Движения, для которых где С — постоянная, называются «изотермическими». Если Ф (р) = Ср", где С и п — постоянные, то говорят о «политропических» процес- процессах, причем величина \jn называется показателем политропы. Таковы простейшие и притом наиболее употребительные виды функ- функций Ф (р) для баротропной жидкости.
§ И] СЛУЧАИ СЖИЧАГ.МОИ ЖИДКОСТИ 61 Среды, в которых плотность не есть функция одного только давления, т. е. для которых нельзя подобрать никакой функции Ф(р), такой, что имеет место A1.1), носят название бароклинных. Здесь плотность р является пятой неизвестной функцией, подлежащей опре- определению, равноправной с функциями vx, vv, vz, p, и потому четырех наших уравнений (уравнение неразрывности и три уравнения движе- движения) недостаточно для решения задачи. Для исследования движения в общем случае бароклинной сжимаемой жидкости оказывается не- необходимым учет нового фактора — притока энергии. Эго обстоятельство вводит в рассмофение две новые величины: температуру (абсолютную) жидкости Т и так называемую плотность тепловой мощности притока энергии е, т. е. количество энергии, получаемое единицей обьема жидкости в единицу времени Чтобы установить, на что расходуется этот приток энергии, обратимся к первому началу термодинамики. Именно, мы должны записав, что энер1ия е' = j f ed-dt, A1.2) притекающая ча промежуток времени от tl до t2 к некоторому жидкому обьему (г), расходуется отчасти на повышение температуры Т жидкоеiи этого обьема, отчасти на совершение работы внутренних сил, действующих в жидкости, т. е. на работу, производимую давте- нием путем уменьшения или увеличения объема сжимаемой жидкости. Обозначая через cv теплоемкость при постоянном обьеме, мы полу- получим часть е| притекшей энергии, израсходованную па увеличение температуры (при постоянстве объема), в виде е\= fdt fc^pd-z. A1.3) л й Обозначая далее через А термический эквивалент работы (А= \jE, где Е — механический эквивалент тепла), мы будем иметь часть г\ нашей тепловой энергии, израсходованную на внутреннюю работу, в виде f-^d-. A14) Но, по механическому смыслу расхождения скорости, имеем: ddx ... —г— — dtdivv, at
62 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II или, заменяя divv его значением из уравнения неразрывности A1.1) главы I, получим: ddz _ 1 rfp ~ a~dt dt Вспоминая, что е' == sj —)— е^, получим: Предполагая непрерывность подынтегральных функций, получим окончательно Это соотношение носит название уравнения притока энергии, или уравнения притока тепла. Приведенный здесь вывод дан А. А. Фридманом'); во второй части нашего курса в главах, посвященных «газовой динамике» и «вязкой жидкости», мы дадим другие выводы этого весьма важного уравнения. Кроме уравнения A1.5), мы должны еще написать соотношение, связывающее р, р и Т. Для совершенных газов таким соотношением является уравнение Клапейрона p = RPT, A1.6) где R — газовая постоянная. Таким образом, мы имеем шесть уравнений: уравнение нераз- неразрывности A1.3) главы 1, три уравнения движения E.1) настоящей главы, уравнение притока энергии и уравнение состояния. Эти урав- уравнения содержат как раз шесть неизвестных функций: vx, v vz, p, о, Т. К сожалению, в A1.5) входит еще величина е, которую не всегда можно считать известной. Простейшим и важным случаем будет отсутствие притока тепла извне, т. е. случай, когда е = 0. A1.7) В данном случае мы можем, сначала используя A1.6), написать A1.5) в виде v T dt p dt а затем, пользуясь еще раз A1.6), исключить Т. В результате полечим: 11Г/Г ~~dt У It) ~~ ~?~Ж ' ') Фридман А. А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ, 1934.
§ II) СЛУЧАЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 63 или, собирая члены с р и г/. Вспоминая соотношение термодинамики cp—cv = где ср — теплоемкость при постоянном давлении, мы получим окон- окончательно для случая, когда е = 0, уравнение притока энергии в виде: где у- = ~Р- (П.9) есгь отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоем- теплоемкости при постоянном объеме. Мы имеем здесь дело с так называе- называемым адиабатическим движением. Величина р/у- связана с энтро- энтропией S соотношением 5 = ^- In -?--{- const. A1.10) В силу A1.8) энтропия при s = 0 сохраняется в частице (хотя может меняться от точки к точке). В частном случае может оказаться, что р/г/ будет постоянным во всей среде. Уравнение A1.8) при этом удовлетворится. В этом случае мы будем иметь дело с баротропной жидкостью. В термино- терминологии, приведенной выше, это будет политропический процесс с по- показателем политропы •/. Процесс этот называют изэнтропичесним из-за постоянства энтропии. Основные виды притока тепла, входящие в е, когда A1.7) не выполняется, связаны с теплопроводностью, вязкостью и излучением. Для первых двух видов притока тепла мы можем выразить е через наши шесть элементов и, таким образом, замкнуть при помощи урав- уравнения состояния и уравнения притока тепла нашу систему. Во вто- второй части этого курса в главе о вязкой жидкости мы увидим, как это конкретно делается. Введение излучения представляет следую- следующее усложнение в том смысле, что интенсивность излучения по- появляется в качестве новой, седьмой неизвестной величины, для ко- которой следует составить седьмое уравнение1). Однако в механика сжимаемой жидкости существует большое количество теорем общего ') Кузнецов Е. С, Лучистый теплообмен в движущейся жидгоч среде, Изв. АН СССР, серия географии и геофизики, 1941, № 1.
64 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ (ГЛ П характера, которые выводятся без привлечения уравнения притока тепла, а только из уравнения неразрывности и уравнений движения. Имени эти общие теоремы и будут даны в первой части нашего курса, когда речь будет идти о сжимаемой жидкости (см., например, главу V). § 12. Начальные и граничные условия. Решения дифферен- дифференциальных уравнений гидродинамики буду г содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые нужно подчинить ряду добавочных условий для достижения определенности в решении конкретных задач о движении жидкости. Эги условия могут быть двоякого рода. Одни из них, называемые начальными, должны быть выполнены в начальный момент движения t = О во всех точках про- пространства, занятого жидкостью; другие, так называемые граничные условия, должны выполняться на границах жидкости в любой момент ее движения. Если рассматривать движение идеальной несжимаемой жидкости в переменных Эйлера, то начальные условия состоят в том, что за- задается состояние движения, т. е. поле скоростей в начальный мо- момент и, значит, решения vx(x, у, z, t), vy(x, у, z, t), vz(x, у, z, t) уравнений A0.1) должны при ^ = 0 обращаться в наперед заданные функции координат точек поля: vx(x, у, z, 0) = <р1(х, у, z), vy(x, у, z, 0) = <?2(х, у, z), vz{x, у, z, Ъ) = фъ{х, у, z). A2.1) Граничные условия могут быть нескольких видов. Если жидкость среди своих границ имеет неподвижную стенку, сквозь которую жидкость не проникает и к которой жидкость при- прилегает без пустот во время движения, то такого рода граничное условие состоит в том, что во всех точках вдоль поверхности стенки скорость частиц жидкости должна быть перпендикулярна нормали к поверхности. Если F(x, у, z) = 0 представляет уравнение поверх- поверхности, стенки, то последнее условие выразится, очевидно, соотноше- соотношением Если стенка представляет собой подвижную поверхность, изме- изменяющую при движении свою форму, так что уравнение поверхности будет вида F(x, у, z, t) = 0, A2.3) и по-прежнему жидкость должна прилегать к стенке, не протекая сквозь нее, то граничное условие, очевидно, будет состоять в юм,
§ 13] ПРИМЕНГНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 65 чю скорость перемещения любой точки поверхности и скорость частицы жидкости, прилегающей в этой точке к поверхности, должны иметь одинаковые проекции на нормаль к поверхности. Пусть точка поверхности, имеющая в момент t координаты х, у, z, получит в следующий момент t-\-dt координаты x-\-dx, y-f-rfy, z-\-dz; так как точка остается на поверхности A2.3), ю F{x-\-dx, y-\-dy, z-^dz, t-\-dt)=O, A2.4) или, разлагая в ряд Тэйлора и ограничиваясь первыми членами раз- разложения: ????<«=о. сад Разделив A2.5) на dt и замечая, что dx dy dz -W=v*> -dF = vr-df = v* суть проекции скорости частицы, находим искомое граничное условие: dF , OF . dF . OF . /1O _ч dx x ' ду У ' dz z ' dt v ' Упомянутые здесь виды граничных условий не исчерпывают все возможные случаи. Своеобразные краевые условия возникают, на- например, на поверхностях разрыва, отделяющих рассматриваемую часть жидкости от других частей той же (или друюй) жидкости. Так, на- например, если жидкость граничит с пустотой (или с воздухом), то во всех точках свободной поверхности [уравнение последней пусть будет F(x, у, г, ?) = 0], кроме условия A2.6), должно выполняться для идеальной жидкости условие р(х, у, z, t) = const. Другие виды поверхностей разрыва и соответствующих краевых условий мы рассмотрим во второй части книги, в главе, посвященной вопросам газовой динамики. § 13. Применение закона количеств движения и закона мо- моментов количеств движения. Эти законы установлены для всякой системы материальных точек, между которыми действуют внутренние силы взаимодействия, попарно равные и противоположные, так что главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю в каж- каждое мгновение движения. В частности, оба закона будут приложимы для жидкости как идеальной, так и вязкой. В случае установив- установившегося движения жидкости закон количеств движения и закон момен- моментов допускают простую геометрическую интерпретацию, к установле» иию которой мы перейдем, ограничиваясь для простоты идеальной жидкостью и начав для большей наглядности с частного случая. 5 Зак аао
66 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Рассмотрим установившееся движение в элементарной трубке тока (рис. 22) и разберем изменение за бесконечно малый промежуток времени dt количества движения жидкого объема, заключенного в отрезке трубки ab. Пусть скорости в сечениях а и b — v1 и v2 и пусть за вргмя dt рассматри- рассматривав ваемЫй объем перейдет в по- положение а'Ь', так что аа' = v1dt, bb'—v2dt. Так как движение — устано- установившееся, то общие части а'Ь рассматриваемых двух объемов ^ ab и а'Ь' будут обладать оди- ' наковыми количествами движе- движения. Следовательно, искомое Рис. 22. изменение количества движения выразится геометрической раз- разностью количеств движения объемов bb' и аа'. Вследствие неразрыв- неразрывности движения массы жидкости, протекающей за время dt сквозь сечения с и Ь, будут одинаковы, т. е. dm = v1 dt ¦ pj tfSj = v2dt ¦ p2 dS2, где pj, dSx и р2, dS2 суть плотности и площади в сечениях а и Ь. Таким образом, искомое изменение количества движения dK будет: dK — v2 dm — vl dm. С другой стороны, вследствие закона количеств движения, dK будет равняться элементарному импульсу всех внешних сил, прило- приложенных к объему ab, т. е. всех массовых сил и сил гидродинами- гидродинамических давлений, приложенных как к боковой поверхности трубки, так и к сечениям а и Ь. Если массовые силы отсутствуют или если имн можно пренебречь по сравнению с силами давлений, то, обозна- обозначая главный вектор последних через Р, имеем: Аналогично, применяя закон моментов количеств движения и по- повторяя предыдущее рассуждение, мы придем к соотношению: d/ = r2X^2dw — ri X vxdm = Ldt, A3.2) где I есть момент количеств движения жидкого обьема ab, r1 и г2 — радиусы-векторы сечений а и b, L — главный момент сил гидроди- гидродинамических давлений, приложенных ко всей замкнутой поверхности объема ab.
j И1 ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ Ь7 Равенства A3.1) и A3.2) могут быть обьединены при помощи единой формулировки, известной под названием теоремы Эйлера- при отсутствии массовых сил совокупность гидродинамических давлений, приложенных ко всей поверхности некоторого отрезка трубки тока, эквивалентна в случае установившегося движения двум силам: dm dm V*~dT и ~ "i ~dt • приложенным к концам отрезка и численно равным секундным количествам движения жидкости, вытекающей и втекающей в трубку через сечения на ее концах. Если эти две силы пересекаются, то совокупность гидродинами- гидродинамических давлений есть такая совокупность сил, которая, будучи при- приложена к твердому телу, может быть уравновешена одной силой, равной (г»!—<02)~нГ и приложенной в точке пересечения векторов <в2 и г»,. Применим теперь закон количеств движения и закон моментов к любому связному объему жидкости конечных размеров. Пусть, например, проведена непо- ^ис- 23. движная замкнутая поверхность 5 в по- потоке жидкости, обтекающем неподвижное твердое тело М (рис. 23) Жидкий объем, заключенный внутри 5, имеет своей наружной гра- границей поверхность S, а внутренней границей—поверхность твердого тела N[. Через бесконечно малый промежуток времени dt жидкий обьем пере\есгится в положение 5', которое мы получим, отложив от каждого элемента поверхности 5 вектор vdt. В случае установившегося течения жидкости количества движений в общей части Q объемов, заключенных в 5 и 5', одинаковы, сле- следовательно, изменение количества движения жидкого объема 5 за время dt выразится геометрической разностью: Г vdm — Г v dm, которая вследствие закона количеств движения при отсутствии мас- массовых сил будет равна элементарному импульсу всех гидродинами- гидродинамических давлений, приложенных к границам жидкого объема, т. е. к поверхности 5 и поверхности М: Г vdm-— Г vdm = Psdt->rP^dt, A3.3) z где Ps и Рм — кивныс векторы давлений, приложенных к 5 и М.
68 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. И Аналогично, применяя закон моментов количеств движений, при- приходим к равенству: Г (г X"») dm — J (г X v) dm = Ls dt -f LM dt. A3.4) Оба равенства A3.3) и A3.4) выражают, что совокупность гид- гидродинамических давлений на поверхностях S и М эквивалентна сово- совокупности векторов, приложенных к элементам поверхности 5, численно равных секундным количествам движений жидкости, протекающей через элементы этой поверхности, и направленных по течению в тех элементах, где жидкость вытекает, и противоположно там, где она втекает в поверхность S, которая при этом считается неподвижной. Этот результат можно получить и чисто аналитическим путем. Если рас- рассматривается установившееся движение жидкости, в котором можно пре- пренебречь массовыми силами, то применение законов количеств движении и моментов количеств движений к объему т, заключенному между неподвиж- неподвижной (так называемой контрольной) поверхнос1ью S и поверхностью твер- цого тела М, дает M AL — A dt ~~ d\ t Так как при нахождении полной производной d/dt мы следуем за частицами объема т при их движении и так как при этом масса частицы р dx остается неизменной, то знак производной d/dt можно отнести к векторам v и г X ^ -§=r~^?^?dr. A3.6) Взяв проекцию A3.5) на неподвижную ось Ох, имеем: dKx f так как dvxldt = 0 вследствие того, что движение установившееся. Применяя преобразования dvx _ d(v2x?) д(ух?) дх Vx дх д (vy9) ду v*~dy~' д (vxvz?) д (vz?) d~z x дг '
j 13] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 69 получаем. d(v?o) d(v..v..o\ д fv..v~o\ I dz — {vx?) , d(t'yP) d(vz J Второй интеграл обращается в нуль вследствие уравнения неразрывности, ьоторое при установившемся движении имеет вид: д (?vx) д (pvy) д dx ' dy ' dz Разбивая первый интеграл на три слагаемых и применяя к каждому пре- преобразование Гаусса, находим = j [vl? cos (n, x) + vxvyp cos (и, у) -j- vxvz? cos (л, г)] rfS, S Kx С л r I qt ft dt или dt аналогичным путем получаем два других равенства. ~rfT s s = / vy?vndS, -^-<=j vz?vndS, которые вместе с первым можно объединить одним векторным' vndS. A3.7) Применяя аналогичные рассуждения, приходим к следующему выраже- выражению производной от момента количеств движения: dt = f (rXv)?vndS A3.8) Так как pvn dS есть масса жидкости, протекающая в единицу времени через элемент поверхности dS, то выражения A3.7) и A3.8) показывают, что dK/dt и dl/dt можно рассматривать как главный вектор и главный мо- момент системы векторов v?vn dS, распределенных по поверхности S, и мы приходим к объединяющей оба закона A3 5) и A3.6) формулировке: Совокупность поверхностных сил гидродинамических давлений, при- приложенных к поверхности S объема х при установившемся движении, эквивалентна совокупности количеств движения жидкости, ежесекундно уносимых сквозь поверхность S. Эта интерпретация закона количеств движения и закона моментов может оказаться полезной для расчета суммарного эффекта давлений установившегося потока на неподвижное твердое тело, погруженное
70 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [П П в поток полностью или частично. В последнем случае контрольную поверхность 5 следует провести в непосредственной близости к телу со стороны жидкости. Рассмотрим для примера, следуя Прандтлю, косой удар двураз- мерной струи несжимаемой жидкости на плоскую пластинку (рис. 24). У Пусть плоская струя воды, текущая из f j а бесконечности прямолинейно со скоростью v, rfМ- одинаковой для всех точек поперечного се- сечения ширины а, встречает под углом ос плоскую бесконечную пластинку АВ и раз- разветвляется на две струи, линии тока кото- которых по мере удаления от места развет- разветвления асимптотически становятся параллель- параллельными пластинке; пусть ширина этих струй в бесконечности будет аг и а2. Заметим, что скорости струй в сечениях аг и а2 будут одинаковы со скоростью (в бесконечности) рнс 24. неразветвленной струи. В самом деле, при- принимая плоскость течения за плоскость Оху, имеем 1^ = 0, и первые два уравнения Ламба G.1) примут вид: дх \2 д /1 ~дх~ dvx dv,. ду дх ' др_ ду' при этом движение считается установившимся, массовые силы отсут- отсутствующими и р = 1. Умножая эти уравнения на dx и dy, взятые вдоль одной и той же линии тока: dx = vx dt, dy — vy dt, и складывая, находим без труда интеграл (Бернулли) р = const., справедливый для данной линии тока. Считая давление р на свобод- свободной поверхности струи повсюду одинаковым и равным атмосферному давлению р0, мы приходим к заключению, что будут повсюду оди- одинаковы и скорости частиц у свободной поверхности струи, а так как в сечении а скорости всех частиц равны v, то такой же скоростью будут обладать все частицы в сечениях а( и а2- Для расчета сил давлений на пластинку возьмем контур контрольной поверхности S, показанный пунктиром на рис. 24, так, чтобы он прилегал к ппастинке между двумя достаточно удаленными сече- сечениями Cj и а2 и пересекал неразветвлеиную струю также в доста-
«, 13) ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИ/КГНПЯ 71 точно удаленном сечении а. Самую поверхность 5 можно представлять как полную поверхность цилиндра единичной высоты, для которою упомянутый контур в плоскости течения служит основанием и об- образующие которого перпендикулярны к плоскости течения. Форма конгура на участке между сечениями аг, а, а2 остается произволь- произвольной, и можно, например, за этот контур взять свободную границу cipyn. Как было отмечено, давление р0 на части поверхности 5, не прилегающей к пластинке, постоянно; переменное же давление па части, прилегающей к пластинке, можно представить в виде Замечая, что при интегрировании по замкнутой поверхности S и что система параллельных сил (р—po)dS, или, что то же, (р—po)c/S с южится в одну силу приложенную в некоторой точке, называемой центром давления мы имеем по теореме импульсов Р — Г vdm-{- f vdm — \vdm — a{vox + о2от2 — aw (а,) (а2) (а) Проектируя на параллельное и перпендикулярное пластинке напра- направления, находим Р = av2 sin a; 0 = а^о1 — a2v2 — av2 cos а. Из последнего уравнения имеем: а\ — а2 — и, так как вследствие уравнения неразрывности должно быть aj + a2 — а, то 1 + cos а 1 — cos а аг — —4j а; а2= ^ а- Для определения положения центра давлений воспользуемся тео- теоремой о моментах импульсов. Обозначая через О точку пересечения пластинки с осью неразветвленной струи, по которой направлен импульс a<vv, приложенный в сечении с, возьмем точк) О лл центр моментов; тогаа импульсы ajWj и a2vv2, приложенные в сечениях
?2 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. II а1 и а2 в их серединах, будут иметь плечи aJ2 и а2/2, и теорема моментов дает aiv ~y — а-Р ~? = Ре> Где е — расстояние центра давлений от точки О. Заменяя здесь Р через его предыдущее выражение, находим а , rtcr A — 9 ь * § 14. Уравнение энергии. Умножив скалярно обе части урав- уравнения F.1) на vdt, получим: F-vdt — v ¦ dv = — grad p • v dt, (H.I) или Если поле внешних массовых сил стационарно и силы имеют потен- потенциал V,, который можно назвать потенциальной энергией единицы массы движущейся жидкости, т. е. дх ' дх ' ду ' дг ' то (Н.2) принимает вид: Вспоминая определение индивидуальной (полной) производной dp dp , dp , dp , dp dt dt ^ dx v* +йу^+ d^ г> мы можем представить A4.3) еще в таком виде: d(T1 + V0 = -l(^--^)dt. A4.4) где 7\ = х>2/2. Последнее уравнение представляет собой выражение закона живой силы для единицы массы жидкости. Вводя обозначение можно написать1 A4.5)
§ Н] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 73 Умножая A4.5) на элементарную массу pdx и интегрируя по неко- некоторому жидкому объему х, ограниченному замкнутой поверхностью S, имеем: Так как рассматривается жидкий движущийся объем, состоящий из одних и тех же частиц, то pdx не зависит от времени и можно написать: d J G\ 4- Vj)p dx — —а т или Выражение представляет собою живую силу, или кинетическую энергию Т рас- рассматриваемого жидкого объема; интеграл Г Vxp dx может быть назван X потенциальной энергией V всего жидкого объема i, a Ptfdx — ме- мерой диссипативности объема; таким образом: Заменяя в правой части разность — ~ через — ~ и применяя преобразования: 7» — дх х~ дх р дх ' др д (pvy) dvy ~~dJV))~ ду р ~~ду~' ^Е, чу — д < ^рг) __ „ ^г, дг г~ dz p dz ' мы приведем соотношение A4.7) к виду J = — У div (pv) dx -+- У /? div ?> dx.
74 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [I Л II Применяя, наконец, преобразование Гаусса: J div (pv) dx = J pvn dS, т S мы приходим к соотношению: —тт (Т~\- V) = — / р(<xvx -j- $vy -f- ~{vz) dS -\~ s d —-^- + —i--f ~)dz, A4.8) y \ dx ' ду г dz I v ' T где а, C, ¦[• суть косинусы углов, образованных внешней нормалью к поверхности S с координатными осями. Последнее уравнение носит название уравнения энергии. Поверхностный интеграл — J z) dS можно рассматривать как отнесенную к единице времени работу по- поверхностных сил гидродинамических давлений, приложенных к по- поверхности 5 жидкого объема. Интеграл же dvy dvz дх ' ду ' dz J X можно рассматривать как секундную работу внутренних сил, связан- связанную с расширением каждого элемента объема х, ибо, как было по- показано в кинематике, расхождение скорости dvjdx -)- dvy/dy -\- dvjdz есть не что иное, как секундное относительное кубическое расши- расширение жидкости. Для несжимаемой жидкости этот член в уравнении A4.8) выпадает, и уравнение энергии принимает вид: A4.9) Если, кроме того, жидкий объем заключен в неподвижные i ра- ницы, вдоль которых то A4.9) принимает вид: откуда заключаем, что в таком объеме сумма кинетической и потен- потенциальной энергии остается с течением времени неизменной: T-i-V = const. A4.10)
15] УПРАЖНЕНИЯ 75 § 15. Упражнения. 1. Тяжелая несжимаемая жидкость, налитая в верти- вертикальный цилиндрический круговой сосуд, вращается как твердое тело с по- постоянной угловой скоростью со вокруг оси цилиндра (рис. 25). Определить давление в каждой точке вращающейся жидкости, если известно, что в со- состоянии покоя жидкость имела уровень h от дна сосуда и что над поверхностью жидкости нет давления. Решение. Приняв ось цилиндра за ось Ог " и взяв начало координат у дна, имеем по заданию: vx = — «у, v у = (лх, vz = 0, р = const. Уравнения Эйлера дают: р дх ' coy ^ • 1 dp О D Рис. 25. откуда по умножении на dx, dy, dz и сложении получим для dp выражение dp = co2p (x dx -f- у dy) — pg- dz co2p (Ж2-f y2) — g 1 или и после интегрирования: На поверхности жидкости р = 0; уравнение поверхности дает параболоид вращения; вводя обозначение ОЕ = h', имеем: C = g9h'. Для определения h' имеем условие сохранения объема в покое и при вра- вращении 2тс а TM2h= Г Г zrdrdy, где г и полярные координаты. Вычисляя, имеем: 2ж а na2h= I (h'-\-~ г2) г dr d<? или na2h = па2 (h' + -^- аЛ , откуда
76 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II и давление в любой точке будет: р = g9 (А - г) + I со'р [*» + У2 - \ в2] ¦ 2. По условиям предыдущей задачи вычислить полное давление на дно сосуда. Ответ. Р = T.g$a2h = давлению в состоянии покоя. 3. Некоторый объем жидкости занимает длину 21, находясь в прямой трубке с малой постоянной площадью сечения. На каждую частицу жидкости действует внешняя сила, направленная вдоль трубки к постоянной точке и пропорциональная расстоянию частицы от этой точки. Определить движение жидкости и давление в каждой ее частице. (Рамсей) Решение. Взяв ось трубки за ось Ох и приняв начало координат в по- постоянной точке, имеем из уравнения неразрывности: dv* -О ибо vy = 0 и vz = 0; тогда уравнения Эйлера получают вид: dt ~ 1Л р дх' ду Интегрируя по х, находим: ибо vx и dvxjdt от х не зависят. Граничные условия дают /? = 0 при х = г и при д: = г + 2/, т е. откуда „ dvx , 1 , dv, Но ^ dt и значит откуда, интегрируя, получаем г + / = A sin (уЛй + в) и значит:
i 15] УПРАЖНЕНИЯ 77 т. е. давление определено для каждой точки жидкости при любом положении всего жидкого объема, совершающего гармонические колебания около начала координат. Для середины объема будет — =. — ,ui2. 2 4. Убедиться, что при взрыве мины под изменяется обратно пропорционально расстоя- расстоянию от места взрыва. Решение. Эффект взрыва в точке О со- состоит в сообщении за весьма малый проме- промежуток времени М скоростей частицам жидкости, расположенным вокруг О. Считая картину явления симметричной, будем предпо- предполагать, что скорости всех точек направлены по радиусам-векторам и зависят только от удаления их от точки взрыва; окружим эту гочку двумя концентрическими сферами: Si радиуса 1 и S радиуса г и назовем ско- скорости частиц жидкости на этих сферах через г'1 и v (рис. 26). В силу несжимаемости жидкости через сферы водой взрывное давление \ Рис. 26. Si и S за время At про- протечет одинаковый объем жидкости, т. е. 4%vt At — 4iir2v At, откуда V = - или векторно, для точек Л, и А, лежащих на одном радиусе, Применяя уравнение Эйлера в векторной форме, имеем: F За время Д^ скорость частицы в точке А изменилась от 0 до vjr2, зна- значит ускорение dv/dt приближенно равно f ,/r2 At и велико по сравнению с массовой силой F; отбрасывая последнюю, имеем: grad^ = -1t_ = _7r, где для краткости положено т. е. градиент взрывного давления направлен к центру. Отсюда заключаем:
78 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II Д Д 5. Вертикальная трубка АВ малого постоянного сечения (рис. 27) раз- разветвляется в нижнем конце на две горизонтальные трубки ВС и BD, сече- сечения которых тоже постоянны и равны каждое половине сечения вертикальной трубки; при стыке труб имеются краны, запирающие горизонталь- горизонтальные трубки. Краны заперты, и вертикальная трубка наполнена жидкостью до высоты АВ — а. Определить движение после того, как краны бу- будут одновременно открыты. Решение Обозначим через z переменную вы- высоту жидкости А'В по прошествии времени / oi начала движения, а через г' длину В В'--ВС' жидкости в тот же момент в горизонтальныч трубках. Так как обьем жидкости остается не- неизменным, то z -f- z' — п. Если р есть давление, аи — скорость в не- некоторой точке столба В А' на расстоянии х от В, то уравнение неразрывности дает duldx = 0, и уравнение Эйлера для этой точки принимает вид. ди _ 1 др ~~дТ ё~~^'дх~- С в Рис. 27. D Интегрируя по х, находим: ди_ dt где /@ — произвольная функция времени. Пренебрегая атмосферным давле- давлением, имеем р — 0 при х = г, и значит Исключая из двух последних равенств /(/), получаем: и, в частности, для точки В будет: -'> Аналогично, называя через р' и и' давление и скорость в некоторой точке горизонтальной трубки в расстоянии х' от В, имеем ди' —г — 0 — уравнение неразрывности, ди' ~дТ 1 др' „„ = ~ 7 "d*7 ~ УРавнение ЭилеРа- Интегрируя и нсключая произвольную функцию, получаем: Р' , , , ди' и для точки В: ди' dt " A5.2)
5 15] УПРАЖНЕНИЯ 79 Сравнивая A5.1) и A5.2) для одной и той же точки В, имеем р — р' и значит ди но _ дг __ ¦ , _^_ dz' _ ¦, кроме того, г -f- z' = a и значит z' = — г1. Исключая из A5.3) z' и и', получаем: — (а — z) z — z(g-\-z) или a'z-f ^ = 0. Общий интеграл последнего уравнения есть г = .4 sin 1/ — Удовлетворяя начальным условиям г = а, г = 0 при ^ = 0, находим, что движение уровня жидкости в вертикальной трубке будет выражаться фор- формулой z = a cos до тех пор, пока трубка не опорожнится, что произойдет через время t = (я/2) ]/'a/g. Этот же результат можно получить сразу, применяя инте- интеграл живой силы A4.10): 7J- р аз z2^-?ga -н- = р^з тг > где а — площадь поперечного сечения трубки ЛВ. Отсюда и после интегрирования -il t). \ a I 6. Газ движется при постоянной температуре по прямолинейной трубке постоянного сечения. Пренебрегая силой тяжести, составить дифференциаль- дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет скорость v, считая что она во всех точках одного и того же поперечного сечения в момент t одинакова и на- направлена вдоль трубки. Направив ось Ох вдоль трубки и фиксировав начало координат, имеем уравнение Эйлера dv dv 1 dp + 7V
80 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II уравнение неразрывности dp д(ру) _ и уравнение состояния, выражающее закон Бойля — Мариотта, Задача сводится к составлению одного уравнения, содержащего только v. Дифференцируя по t уравнение Эйлера, имеем: JPv_ j_ d2v dv^ dv_ __k d2p k dp dp dt2 ' dx dt V + dx ~ЪТ ~ ~ ~p~ Jx~dt +~f~dT~d~x или dt2 ^dx\ dt) dx\p dt )' заменяя dp/dt из уравнения неразрывности и выполняя в правой част диффе- дифференцирование, находим. dt2 ^rdx[dt)~~dx2~1 дх[р дх)- Вследствие уравнения состояния и уравнения Эйлера будем иметь: kv dp v dp dv 2 dv. p dx ~ p dx ~ dt dx' подставляя в предыдущее равенство, приходим к искомому уравнению после переноса двух последних членов в левую часть: d2v , d {„ dv dv\ ,d2v ' —. U чJ — I = k . 7. Показать, что для сжимаемой жидкости, двигающейся в условиях задачи 6, будет справедливо соотношение Решение. Имеем уравнение Эйлера dv .dv _ 1 dp ~~dT~i~dxV-~J~dx~' которое при pip = k принимает вид dv .dv k dp и уравнение неразрывности dp , d(pv) = 0. dt "Г дх Дифференцируя последнее по t, находим: = 0. A5.4)
15] УПРАЖНЕНИЯ С др}юн стороны, уравнение Эйлера дает dv а уравнение неразрывности дает dv V dt - Ь дх -(¦ * Л v- ' *-) v I * 81 A5,5) A5.6) Складывая A5.5) и A5.6), находим. Дифференцируя A5.7) по х и подставляя в A5.4), приходим к искомому соотношению. 8. Два одинаковых закрытых цилиндрических сосуда высотою с, осно- основания которых лежат в одной горизонтальной плоскости и соединены труб- трубкой с краном, наполнены — один водою, другой воздухом, давление кото- которого р0 может уравновесить столб воды высоты Л, причем h < с (рис. 28). В некоторый момент кран открывается и устанавливается сообщение между сосудами. Найти наибольшую высоту поднятия воды во втором сосуде, считая, что воздух в нем сжимается изотермически. Ремение. Обозначим через р давление и через т — объем воздуха в со- сосуде В, когда вода в нем поднялась па некоторую высоту х, тогда по закону Бойля—Мариотта будет: откуда с — х с — x - chg ' С — X A5.8) Применяя уравнение энергии A4.9) ко всему объему жидкости, имеем- 1 t X' \ В т т Рис. 28. где интеграл распространен только на поверхность воды в сосуде В, т«ис как в сосуде Ар = 0, а вдоль твердых стенок o.vx-\- puy -\- -(vz = 0. Вследствие A5.8) имеем- С —X откуда, интегрируя по х, имеем: Потенциальная энергия V жидкого объема равна весу всего объема, умноженному на высоту хс центра тяжести: V=cgS-xc = (c — х) Sg fi Зак 1190 ^ — Sg- cxSg + x*Sg.
82 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ И Подставляя в предыдущее равенство, находим: Т + ± Sgc* - Sgcx + Sgx* - Sgch Ig (с - x) = С. В начале движения при х = 0 будет Г = 0 и мы определяем значение постоянной С: Таким образом, Т - Sgcx + 5^2 — Sgch Ig ^^- = 0. В тот момент, когда вода достигает наибольшей высоты в сосуде В, скорость каждой частицы обращается в нуль и, значит, Т = 0. Следовательно, высота наибольшего подъема служит корнем уравнения ex — x2 + ch Ig C~ - = 0.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ГИДРОСТАТИКА А. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ § 1. Уравнения равновесия. Для покоящейся жидкости гидро- гидродинамическое уравнение F.1) предыдущей главы принимает вид: = 0 A.1) или в npot-кциях Х — —&- Y — l^l- z — ~^- A2) p дх ' p ду ' p dz \ • > Последние уравнения называются уравнениями равновесия. В случае отсутствия массовых сил уравнения равновесия примут вид: дх ' ду ' dz ' т. е. давление одинаково во всех точках жидкости; это соотношение известно под названием закона Паскаля. Для тяжелой жидкости уравнения равновесия дают: др „ д?_ „ др_ } „ дх ду дг Р°' У ¦ ) если направить ось Oz вертикально вниз. Первые два уравнения выражают, что р — const, для всех точек на любой горизонтальной плоскости, которые являются, таким образом, поверхностями равного давления или так называемыми поверхностями уровня. Третье уравнение A.3) для несжимаемой жидкости дает: С, A.4) считая g постоянной величиной в некоторой ограниченной области близ земной поверхности. Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность, к ко- которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление р0 то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью. Взяв 6*
84 ГИДРОСТАТИКА (ГЛ III на ней начало координат, имеем из A.4) С = р0 при z -= О и полу- получаем таким образом соотношение A.5) выражающее известный гидростатический закон: давление на глу- глубине z от поверхности равно внешнему давлению, сложенному с ве- весом столба жидкости, высота которого есть z, а площадь основания равна единице. Этот закон остается справедливым и для сжимаемой жидкости, так как и в этом случае из уравнений A.3) следует: р2 *2 — Р\= I gpdz = Btcy столба высотою z2— zx, где g и р суть некоторые функции от z. § 2. Условие для сил. Уравнения равновесия налагают неко- некоторое ограничение на характер массовых сил, способных создать равновесие жидкости. Чтобы вывести искомое условие, напишем очевидные соотношения, получаемые из уравнений равновесия после предварительного умножения на р и последующих дифференциро- дифференцирований: d(fZ) = д(9У) = д*р ду dz ду dz ' д(вХ)= d(9Z) = д*р dz дх дх дг ' дх ду дх ду Выполняя дифференцирование, находим: p I dy ~dF) — Y ~д7 — z ~dj' ?\dz дх)— дх Л dz' IdY дХ\_ д9 д? р\дх~ ~ду~) — л ~ду~ ~ Y J • Умножая на X, Y, Z и складывая, получаем искомое условие: которое можно короче представить в векторной форме: F-toiF=0. B.2) В геометрии доказывается, что при соблюдении условия B.1) система силовых линий dx dy_ dz_ ~х~— Т~~ z
§ 3] БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 85 может быть пересечена системой ортогональных к ним поверх- поверхностей. В случае однородной несжимаемой жидкости р = const., u урав- уравнения равновесия A.2) дают непосредственно Т. е. массовые силы при равновесии должны иметь потенциал так что F=— grad V. В этом случае условие B.1) выполняется само собой, так как rot F= — rot grad V = 0. § 3. Барометрическая формула. Рассматривая атмосферу как покоящуюся сжимаемую жидкость, можно установить приближенную зависимость между высотой над поверхностью земли и атмосферным давлением на рассматриваемой высоте, известную под названием барометрической формулы. Взяв начало координат на уровне моря и направив ось Oz вер- вертикально вверх, напишем уравнения равновесия: &-°- %-<>¦ %—#¦ <3-'> Здесь р есть плотность на некоторой высоте г, связанная с да- давлением и абсолютной температурой Т уравнением состояния (Кла- (Клапейрона): где R — газовая постоянная. Вводя обычную температуру t в гра- градусах Цельсия 7 = 273-ft и обозначая 1/273 = а (коэффициент температурного расширения воздуха), напишем уравнение Клапейрона в форме Вводя для удобства обозначение 273/?= 1//г, имеем из C.2): r_ kp
86 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill Подставляя в уравнение C.1), получаем: dp __ kg' р 1 -f-ox dz. C.3) Величина ускорения силы тяжести g' на высоте z изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли, как это следует непосредственно из закона тяготения, если пренебречь при этом вращением земли. Принимая землю за шар радиуса а и обозначая через g величину ускорения силы тяжести на уровне моря, имеем: g (a-j-zy Определенное отсюда значение g' подставим в уравнение C.3) dp kga2 dz T~~~~\+az Ja + гу и, интегрируя между высотами zx и z2, на которых давление обо- обозначим через р} и р2, получаем: г2 Здесь t есть некоторая неизвестная функция от z. Сделав п р и- ближенное допущение т = Т = const., где tj и т2 — температуры на высотах zx и z2, мы приходим к при- приближенной формуле А —_. 1п-^- = >, +от"^ (a+zJ' или р2 _ kga* I 1 1 \ ш р{ — 1+ат \a + z a + z)' откуда получаем, обозначив z2 — zx — kz: Вычисления по этой формуле ведутся последовательными прибли- приближениями: сначала в правой части полагают Д.г = 0 и вычисляют первое приближение для Д.г; внося эту величину в правую часть формулы, находим второе приближение для Дг и т. д.
§ 4] УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА 87 Для небольших превышений Д2 можно получить более простую приближенную формулу, приняв непосредственно в уравнении C.3) р = const. = Pi+p\ где р{ и р2 — давления на высотах zx и z2; тогда, обозначая и принимая g' = g, имеем: Р_ Р1+Р2 о Р\- Рг __ kg P+Р 1+а" откуда &Z — -г— , A -4- at). kg Pi+Рг ' Численное значение множителя 2/'kg составляет около 16 000, если высоты взяты в метрах, а давление — в миллиметрах ртутного столба; таким образом, мы приходим к приближенной формуле Бабине bz= 16 000 Pi+Рг § 4. Условия на поверхности раздела. Рассмотрим изменение давления dp при бесконечно малом перемещении вдоль границы раз- раздела двух несжимаемых несмешивающихся жидкостей с плотно- плотностями pi И р2. Так как на границе давление и массовые силы одинаковы для обеих жидкостей, то, умножая уравнения равновесия на проекции перемещения dx, dy, dz и складывая, получаем: D.1) отсюда заключаем, что при pj Ф р2 должно быть D.2) а югда и dp = 0. Таким образом, на поверхности раздела давление постоянно, т. е поверхность раздела служит поверхностью уровня давлений и одно- одновременно является поверхностью уровня и для потенциала массовых сил, как показывает уравнение D.2), которое можно написать в форме dV = 0, так как при равновесии несжимаемой жидкости должен су- существовать потенциал массовых сил. Отсюда мы заключаем, что границей раздела двух соприкасаю- соприкасающихся и находящихся в равновесии тяжелых жидкостей является горизонтальная плоскость.
88 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill § б. Общие формулы для определения давления на твердую поверхность. В заданном поле массовых сил давление является опре- определенной функцией точки, определяемой из уравнений равновесия и добавочного уравнения состояния вида /(/?, р, 7)= 0, устанавливаю- устанавливающего зависимость между давлением, плотностью и температурой. Для несжимаемой жидкости уравнение состояния есть р = const.; для сжимаемой же жидкости уравнением состояния будет уравнение Кла- Клапейрона: причем для определенности температура рассматривается как задан- заданная наперед функция точки; при определении давления на погружен- погруженные в жидкость тела обычно рассматривается изотермическое равно- равновесие жидкости, при котором Т = const. Совокупность сил гидродинамических давлений, приложенных к некоторой твердой поверхности 5, рассматриваемой как часть границы жидкости, приводится, как известно из статики твердого тела, к одной силе, равной главному вектору давлений р== и к одной паре с моментом L=f(rXp)dS 5 или в проекциях E.1) E.2) Рх = Г р cos (re, a:) dS, s E.3) Pz= j pcos{rCz)dS, s Lx= f p[y cos(n, z)—zcos(«, y)]dS, Ly= Г p[z cos (n, x) — x cos (re, z)] dS, Lz = Г p [x cos (я, у) — у cos (re, x)] dS, E.4) где через п обозначено направление внешней по отношению к жидкости нормали к поверхности 5. § 6. Давление тяжелой несжимаемой жидкости. Рассматривая в дальнейшем до конца главы равновесие тяжелой несжимаемой
§ 6] ДАВЛГНИЕ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 89 жидкости с горизонтальной свободной поверхностью, к которой при- приложено постоянное атмосферное давление р0, мы будем иметь на глубине z от поверхности: Давление атмосферы можно заменить весом фиктивного слоя той же самой несжимаемой жидкости; высота такого слоя бучет, очевидно, Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте z0 над свободной поверхностью жидкости, носит название приведенного уровня. Отсчитывая глубины z' о г приведенного уровня, мы будем иметь: z' ¦ g? ИЛИ Z — Z' — Ра F.1) и формула для давления получит более простой вид: P — g&'. F.2) Предыдущие формулы E.3) и E.4) для вычисления главного век- вектора и главного момента сил давлений принимают в этом случае вид: Px = gp \ z'cos(n, x)dS, Ру = g? f z' cos («. y) dS, pz = gp j z' cos (tCz) dS, Lx = gp f lyz' cos (n, z) — z'2 cos («, y)\ dS, L =gp I [z'2 cos(n, x) — X2'cos(rt, z)]dS, Lz = g[j Г [xz'cos(n, y) — yz'cos(n. x)]dS, F.3) F.4) где все интегралы распространены по поверхности S. Как известно из статики, для того чтобы совокупность сил давлений, действую- действующих на поверхность S, приводилась к одной равнодействующей, должно быть выполнено условие PJ_L, или иначе: />д?,4Я/у + />А = 0. F.5) Это условие, вообще говоря, при произвольном виде поверх- поверхности 5 не выполняется. Мы рассмотрим два важных частных случая, когда совокупность i идростатических давлений приводится к одной равнодействующей; это будут случай давления на плоскую стенку и случай давления на твердое тело, целиком погруженное в жидкость.
90 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III § 7. Давление на плоскую стенку. В этом случае гидростати- гидростатические давления представляют собою систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенки. Такая система приводится к одной равнодействующей, рав- равной арифметической сумме всех сил и приложенной в центре па- параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, при- приложенных к площадке S, пло- плоскость которой Q наклонена к го- горизонту под углом 6, возьмем начало координат в плоскости при- приведенного уровня на линии пере- пересечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось Оу' и направив ось Oz' вертикально вниз; кроме того, в пло- плоскости площадки проведем вспомогательные оси Ох и Оу, совместив Оу с Оу' (рис. 29). Тогда формулы F.3) для величины равнодействующей примут вид: Рх, = gp f z'cos («TV) rfS = — ?psin6 J z'dS, Py. = j z' cos (яТУ) dS ¦= 0, Pz, = gp j z' cos («TV) rfS — ?p cos 0 j г' rfS, откуда =gp fz'dS. Последний интеграл есть не что иное, как площадь площадки 5, умноженная на таким образом координату z' центра инерции С этой площади; G.1) но произведение Szrc выражает собой объем цилиндрического столба с площадью основания S и высотою z'c, и мы приходим к заключе- заключению, что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтально на глубине своего центра инерции.
§ в] ^АКОН АРХИМЕДА 91 Для того чтобы найти точку приложения этой равнодействующей и пи так называемый центр давления Ц, имеем следующие условия для координат х', у', z't центра параллельных сил в системе осей Ох', Оу', Oz'\ Рх'ц = J x'p dS = gp j x'z' dS, fy'z'dS. 'щ= fz'pdS = gP (z'2dS. G.2) Координаты той же точки хц, уц, гц в системе осей Ox Oy, Oz, связанных с площадкой, будут, как видно из чертежа: или вследствие G 2): g-p j" x'z' dS J x'z' dS f z'2 dS Ц~ P cos б ~ cos 8 J z' dS ~~ sin 0 J z' dS ' gp j y'z' dS ^y'z'dS Уч= P JVd^ Выражая, наконец, координаты х', у', z' через координаты х и у, связанные с площадкой, имеем: (x2dS (x2dS [xydS (xydS J x dS Sxc J xdS Sxc Последние формуш показывают, что положение центра давления на площадке не зависит от наклона последней к горизонту Заметим при этом, что интеграл I x2dS выражает момент инерции площади 5 относительно оси Оу, а интеграл I xydS есть центробежный момент той же площади. § 8. Закон Архимеда. Другим случаем, когда силы гидростати- гидростатического давления приводятся к одной равнодействующей, является сличай давления на замкнутую поверхность погруженного в жидкость твердого тела. Применяя преобразование Гаусса к поверхностным интегралам в формулах F.3) и F 4) и опуская для простоты письма
92 ГИДРОСТАТИКА штрих над координатой z, имеем: ГГЛ ИГ (8.1) так как формула преобразования Гаусса при внутренней нор- нормали к замкнутой поверхности S имеет вид / /О- У. z)cos(«, x)dS = — Далее имеем: '-х = — 8? / У dx — — L,=0. (8.2) суть координаты центра тяжести объема т, т. е. обьема жидкости, вытесненного телом. Так как условие F.5) в этом случае выполняется, то формулы (8.1) и (8.2) показывают, что силы гидростатических давлений жидкости на замкнутую поверхность погруженного твердого тела приводятся к одной равнодействующей, равной весу вытесненного объема жидкости; эта сила направлена вертикально снизу вверх и приложена в центре тяжести вы- вытесненного объема (точнее, приложена в точках вертикали, проходящей через упомянутый центр тяжести). Если тело погружено в жидкость частично, то, продолжив мысленно горизонтальную сво- свободную поверхность жидкости внутри тела (рис. 30) и считая на этой плоскости АКВ давление постоянным (равным атмосферному), мы можем применить предыдущие рассужде- рассуждения к замкнутой поверхности АК.ВМ, ограничивающей объем т погруженной части тела. Таким образом, получается, что совокуп- ьость давлений на частично погруженное тело приводится к одной равнодействующей Р, равной весу вытесненного объема жидкости, направленной вертикально вверх и приложенной к центру тяжести Ц вытесненного объема т. Аналогично рассматривается случай погру- погружения тела в несколько слоев жидкости различной плотности. § 9. Давление на криволинейную стенку. Совокупность давле- давлений на криволинейную твердую стенку S вообще не приводится к одной равнодействующей. Нетрудно дать указания для расчета главного вектора и главного момента давлений.
§91 ДАВЛЕНИЕ НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ 1ЛЬНК.У 93 Для расчета главною вектора проведем через контур криволи- криволинейной площади 5 (рис. 31) три цилиндрические поверхности, обра- образующие которых параллельны координатным осям Ox, Oz и Оу (последняя поверхность не изо- „ Сражена на рисунке). Эти по- поверхности вырежут на коорди- координатных плоскостях площадки Sx, Sy, Sz, являющиеся проек- проекциями криволинейной пло- площади 5; присоединяя эти пло- площадки, а также поверхность 5 к упомянутым цилиндрическим поверхностям, мы получаем три замкнутые поверхности. На основании закона Архимеда, со- совокупность давлений на каждую такую замкнутую поверхность Рис. 31. приведется к силе, равной весу заключенного в ней объема жидкости и направленной вертикально снизу вверх. Взяв замкнутую поверхность с образующими, парал- параллельными оси Ох, и проектируя все силы на эту ось, имеем: Px-SxPe = 0, где рс — давление в центре тяжести плоской площадки Sx, так как давления на цилиндрическую часть этой замкнутой поверхности будут перпендику 1ярны к оси Ох. Аналогичным путем можно вычислить Р . При расчете Рг примем, что начало координат взято на поверх- поверхности приведенного уровня тогда давление на площадку S. равно нулю и, проектируя на ось Oz все силы, приложенные к замкнутой поверхности с образующими, параллельными оси Oz, получаем, что Рг равно весу столба жидкости над криволинейной поверх- поверхностью S. Для расчета момента L, вокруг верти- вертикальной оси Oz может быть применено следующее построение. Будем вращать площадку 5 вокруг оси Oz и рассмотрим замкнутую поверхность, образованную площадкой S, частью ? поверхности вращения тороидального вида и плоским меридиональным сечением о поверхности вращения (рис. 32). В силу закона Архимеда, совокупность давлений, прило- приложенных к частям 5, S, о рассматриваемой замкнутой поверхности, приводится к одной силе, направленной вертикально, даюшей, сле- следовательно, момент, равный нулю, относительно оси Oz. Кроме того, О \г Рис. 32.
94 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ш все силы, приложенные к части S, пересекают Oz и также дают моменты, равные нулю. Таким образом, получается, что где L'z — момент относительно Oz сил давлений, приложенных к пло- плоской площадке о; последний же момент, на основании предыдущего, будет иметь выражение: 11 = an г., Z где рс-—давление в центре тяжести площадки о, гц—расстояние от оси Oz центра давления площади о. § 10. Упражнения. 1. Объем z несжимаемой жидкости находится в равновесии под действием массовых сил, направленных к неподвижному центру и пропорциональных расстоянию от этого центра. Определить форму свободной поверхности, вычислить давление в центре для воды, если х = 1000 мъ и сила притяжения 1 грамм-массы = 1 дине при удалении на 1 см. Решение. Приняв центр за начало координат, имеем: где (J. — коэффициент пропорциональности, откуда X = — \>-х, У = — (лу, Z = — [J.Z. Далее, dp = p (/Y dx + Y dy + Z dz) = — ?ix (x dx + у dy -f z dz) = — -j w dr2, откуда /,=C—1црг*. (ЮЛ) На свободной поверхности р = 0, и уравнение ее будет иметь вид Следовательно, свободная поверхность имеет форму сферы. Произвольную постоянную определяем из условия 2CV/2 „ (хр /Зх\% U7 ' откуда С = ^Ы ' Давление в центре найдем, полагая в A0.1) г = 0: с _ w / зх у/. Подставляя числовые значения р = 1, [* = 1. х = 109, имеем: ра=: (х~) '' 10" ~ 192 500 дин на 1 см'2 или около 2 «г на 1 см2.
§ 10) УПРАЖНЕНИЯ 95 2. Частицы несжимаемой жидкости притягиваются к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона. Найти уравнение поверхности уровня р = \, если задан объем жидкости и, и сила на единице расстояния равна |х_ Ответ. Сфера радиуса . . у At. 3. Дано поле массовых сил: X = у2-\-2\yz-\-z2, Y = z2 + 2\хгх -f- x2, Z = х2 -j- 2vxy -f- у2, где X, jx и v — параметры. При каких численных значе- значениях А, IX и v в указанном поле возможно равновесие жидкости? Ответ. При А = [л = v = -^-. 4. Частицы газа, рассеянного по неограниченному пространству, при- притягиваются к неподвижному центру с силами, пропорциональными удалению частиц. Определить давление в центре при изотермическом равновесии, если дана масса газа М, и сила притяжения на единицу массы равна [х при удалении от центра, равном единице. о„'з вт ' где ^ — газовая постоянная, Т—абсолют- Т—абсолютная температура. 5. Определить давление в центре Земли, если бы последняя представ- представляла собой шар радиуса R из несжимаемой жидкости плотности р, если известно, что массовая сила веса, равная g на поверхности земли, убывает к центру, будучи пропорциональной расстоянию до центра земли. Qt ,х Ответ. ро = -^ , 6. Определить давление и положение центра давления „ па вертикальный плоский квадрант радиуса а, одна из сторон которого Ох совпадает со свободной горизонталь- горизонтальной поверхностью жидкости, на которой давление равно нулю (рис. 33). г, _ 1 , 3 3 Рис. 33. Ответ. Р = — gpa3, х = — а, У„ = -гг" 71а- 7. Определить положение центра давления на вертикальный круго- круговой диск радиуса а, центр которого имеет глубину h от приведенного уровня. Ответ. Центр давления лежит на одной вертикали с центром диска, а2 ниже последнего на величину -тт-. 8. Полусфера радиуса а с вертикальной осью наполнена до краев жидко- жидкостью. Определить результат давлений на четверть полусферы, отсекаемую двумя вертикальными взаимно перпендикулярными плоскостями. Ответ. Совокупность давлений на рассматриваемую часть сферы Охуг (рис. 34) приводится к одной силе Р = -^ gpa3 YT-2 + 8, длина действия ко- 2 торой ОЦ имеет уравнения: х = у = — г. 9. Определить положение центра давления на вертикальный прямоуголь- прямоугольный щит шлюза, если нижнее ребро щита имеет глубину а. Ответ. Центр давления лежт на средней вертикали на глубине -=-д. о
96 ГИДРОСТАТИКА [гл Hi 10. (Парадокс Жуковского.) В вертикальную стенку сосуда, наполнен- наполненного жидкостью, вделан однородный круглый цилиндр, способный без гре- иия вращайся вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости стенки, так что половина цилиндра остается все время погруженной в жидкость и испытывает, в силу закона Архимеда, давление, направленное снизу вверх, которое, казалось бы, должно заставить цилиндр вращаться Таким образом, казалось бы, можно было получать работу без затраты энергии, т. е. можно бы 0, t осуществить perpetuum mobile. Объяснить, почему цилиндр не вращается. Ответ. Каждая сила давления, действующая на элемент поверхности цилиндра, направлена по радиусу и не дает момента относительно оси. Совокупность всех давлений приводится к одной равиодейсшующей (рис.35), величина которой где д —радиус цилиндра, h — глубина оси от приведенного уровня Сила эта, лежащая в вертикальной плоскости, перпендикулярнои к оси и делящей ее пополам, проходит через ось цилиндра и точку К с координатами 4а ЗА • Б. РАВНОВЕСИЕ ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ § 11. Условия равновесия плавающего тела. Закон Архимеда дает простой критерий для суждения о поведении тела, погружен- погруженного в жидкость. Совокупность гидростатических давлений приво- приводится к одной силе, равной весу вытесненного обьема жидкости, приложенной к центру тяжести объема, погруженного в жиакость, и направленной вертикально вверх. Если тело це шком погружено в однородную жидкость и однородно, то центр тяжести всего тела совпадает с центром тяжести погруженного объема и тогда, очевидно, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы плотность тела р, равнялась плотности жидкости р. Если pt > р — тело тонет, если Pj < р — тело всплывает. Если неоднородное тело погружено в жидкость, которая также может состоять из горизонтальных слоев
121 ПОВЕРХНОСТЬ СЕЧЕНИЙ 97 У различной плотности, то упомянутые центры могут не совпадать, и тогда для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти центры лежали на одной вертикали и чтобы средняя плотность тела равнялась средней плотности жидкости в объеме, занимаемом телом. Для равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, очевидно, необходимо и достаточно: 1) чтобы вес вытесненного объема жидкости равнялся весу тела и 2) чтобы центр тяжести объема, погруженного в жидкость, лежал на одной вертикали с центром тяжести всего тела. § 12. Поверхность сечений. Необходимым (но не достаточным) условием равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, является, таким образом, постоянство объема хг части тела, погру- погруженной в жидкость, считаемую однородной. Условимся называть плоскостью плавания всякую плоскость, отсекающую от тела упомянутый объем т2, а площадь сечения назовем площадью плавания. Огибающая всех плоскостей плавания называется поверхностью сече- сечений. Легко заметить, что поверхность сечений есть не что иное, как геометри- геометрическое место центров инерции площадей плавания. В самом деле, примем какую- нибудь определенную плоскость плавания за плоскость Оху (рис. 36) и возьмем за ось Оу линию пересечения этой пло- плоскости с произвольной соседней пло- плоскостью плавания АВ, наклоненной к пер- первой плоскости под бесконечно малым углом 9. Положение начала координат на прямой уу' остается пока неопределенным. Так как обе плоскости плавания должны отсекать от тела одинаковые объемы, го клиновидные обьемы Ахуу' и Вх'уу' должны быть равны, что с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть вы- выражено равенством Рис. 36. I I zdxdy — I I zdxdy, пл хуу' где Z есть координата точек плоскости АВ; при этом первый интеграл распространен на части х'уу' площади плавания, где координата z отрицательна, вследствие чего для выражения положительной вели- величины — объема — перед интегралом взят знак минус. Переписав пре- предыдущее равенство в виде 7 Зак. 1190
98 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III где интеграл pacnpociранен на всю площадь плавания, и замечая из чертежа, что z = xtgQ, получаем: tgti f f откуда заключаем, что координата хс центра инерции площади хух'у', выражающаяся формулой I I х dx dy х г ^^ -,—-,— , г пл. хух у равна нулю, т. е. центр инерции площади плавания должен лежать на прямой пересечения взятой плоскости плавания с соседней пло- плоскостью. Так как положение последней произвольно, то все линии пересечения должны проходить через одну точку — центр инерции рассматриваемой шощади плавания хух'у'. С другой стороны оги- огибающая поверхнос1ь должна касаться каждой из плоскостей пла- плавания, и точку касания на некоторой плоскости плавания можно рассмафивать как предельное положение точки встречи двух линий пересечения взятой плоскости с двумя другими бесконечно близкими плоскостями плавания. Таким образом, мы приходим к заключению, что поверхность сечений можно рассматривать как геометрическое место центров инерции различных площадей плавания. § 13. Поверхность центров. Каждой плоскости плавания соответ- соответствует определенная форма постоянного объема, отсекаемого ею от тела, и значит соответствует определенное положение центра тяжести этого обьема. Геометрическое место центров тяжест объемов, отсекаемых различными пло- плоскостями плавания, носит название поверхности центров. Согласно сказанному в § 11, разы- разыскание положения равновесия плавающего тела сводится к отысканию на поверхности центров такой точки, чтобы прямая, соединяющая ее с центром тяжести всего тела, была перпенди- перпендикулярна к соответствующей плоскости плавания. Это отыскание облегчается следующим свойством поверхности центров: можно убедиться, что касательная плоскость к поверхности центров параллельна той плоскости плавания, которая соответствует точке касания. В самом деле, если пересечь определенную плоскость плавания АВ (рис. 37) другой произвольной бесконечно близкой плоскостью плавания А'В', то, как мы видели, объемы клиновидных частей АСА' и ВСВ' будут одинаковы. Пусть центры тяжести этих объе- объемов будут Ki и К2, а К — центр тяжести объема ACB'D. Тогда центры тяжести Н2 и Н1 одинаковых объемов ABD и A'B'D, отсе- отсекаемых плоскостями плавания, будут лежать на прямых КК^ и ККХ,
i, н] РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ГЛАВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ 99 и положение точек Я2 и Нг определится из известных соотношений: КН2 _ обьем ВСВ' , КН, __ объем АСА' ~КК2 ~ обьем ABD ' КК\ ~ обьем ABD ' откуда заключаем, что кн 2 . t\t\2 i\i\ i и, следовательно, В пределе, когда А'В' сольется с АВ, секущая прямая на поверх- поверхности центров Я2Я2 примет направление касательной к этой поверх- поверхности, а прямая К\Кг будет лежать в плоскости плавчния. Следова- Следовательно, получается, что произвольная касательная прямая к поверхности центров будет параллельна плоскости плавания, что и оправдывает наше утверждение. Таким образом, разыскание положений равновесия плавающего чела сводится к задаче о проведении из центра тяжести всего тела нормалей к поверхности центров. Заметим, что предыдущее геометрическое рассмотрение приводит нас к заключению о том, что поверхность центров есть поверхность, выпуклая в каждой своей точке, т. е. что эта поверхность по со- соседству с точкой касания лежит вся по одну сторону от касательной плоскости в любой ее точке. В самом деле, так как Н2Н1\\Кг,Кг и так как Кх выше /С2> но и Я, будет выше Я2, предельное же напра- направление Н{Н2 горизонтально. Это означает, что если в Я2 проведена касательная плоскость, которая будет горизонтальна, то все точки поверхности центров по соседству с Я2 будут лежать выше, т. е. расположатся по одну сторону от касательной плоскости. Последнее можно, как известно из геометрии, формулировать еще иначе, ука- указав, что индикатриссой для поверхности центров в любой точке служит эллипс, т. е. что всякая секущая плоскость, бесконечно близкая и параллель- параллельная касательной плоскости, будет пересекать поверхность центров по бесконечно малому эллипсу. § 14, Радиусы кривизны главных нор- нормальных сечений поверхности центров. Фиксируем некоторую плоскость плавания АВ (рис. 38) и проведем в ней оси Ох и Оу, взяв начало координат в центре инерции пло- площади плавания; соответствующее положение центра тяжести погруженною обьема обозначим через Яо с коорди- координатами х0, у0, z0; проведем другую плоскость плавания А'В', близ- близкую к АВ, и отметим соответствующий ей центр Я с координа- координатами х, у, г. Положительную ось Oz будем считать направленной 7*
100 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. III вертикально вверх. Уравнение плоскости А'В' может быть написано в виде где а и р — произвольные малые параметры, так как при а = 0 и Р = 0 получаем 2 = 0 — уравнение плоскости АВ. Для определения координат точек Н и Яо на поверхности цент- центров служат известные формулы 0 = — xdx, х = — ^0 J х J х dx, где •: и х0 означают равные объемы A'B'z' и ЛЯг'. Отсюда находим: т (л: — д:0) = J х rfx; т (у — у0) = J у dz; z(z — zo) = j zdx, причем последние интегралы распространены только на клиновидный объем между плоскостями АВ и А'В'. Выражая элемент этого по- последнего объема dx через zdxdy, где z — координата переменной точки плоскости А'В', мы приведем последние формулы к виду х (х — jCq) = j I xzdxdy — г Г Г х2dx dy -\~ J3 Г Г ху dx dy, t (У — Уо) = / / yzdxdy^o. j J xydxdy + $ j J y4xdy, x(z — z0) =±J j z*dxdy=ja*J j где все двойные интегралы распространены по площади плавания АВ (коэффициент -TV поставлен потому, что координаты центра тяжести элементарного объема zdxdy суть х, у, -кА. Вводя обозначения: Для момента инерции площади плавания относительно Оу: В' = J J x2dxdy,
§ 14] РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ГЛАВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ Ю1 для момента инерции площади плавания относительно Ох: А' = Г Г y2dxdy, для центробежного момента: F ~ Г Г xydx dy, перепишем предыдущие формулы в виде: A4.2) откуда, решая первые два уравнения относительно а и р и подста- подставляя в третье, получаем уравнение поверхности центров по сосед- соседству с точкой Но: 2 (г - z0) = -jfQ^rjn \А' (х - х0J -2F(x — xo)(y- y0) + + B'(y_yoJj. A4.3) Последнее уравнение упрощается, если за оси Ох и Оу взять главные оси инерции площади плавания АВ; тогда, как известно, будет F = 0, а А' и В' превратятся в главные моменты инерции А и В, и уравнение j[14.3) примет вид 2 (z - *о) = -J- (* — хоJ + ^ (У - УоJ- (Н.4) Если, наконец, при сохранении направления осей перевести начало координат в точку Я0(х0, у0, zQ), то уравнение поверхности центров еще более упростится и примет вид 2z = -Lx2 + JLy2. A4,5) С другой стороны, из геометрии известно, что если взять начало координат в точке касания, а оси Ох и Оу в касательной плоскости, направив их по главным нормальным сечениям, то уравнение всякой поверхности вблизи точки касания представится в виде <14-6- причем радиусы кривизны главных нормальных сечений Rx и R,2 вы- выражаются формулами
102 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ II! Сравнивая уравнения A4.5) и A4.6), приходим к заключению: 1) что главные нормальные сечения поверхности центров парал- параллельны главным осям инерции площади плавания, соответствующей точке касания; 2) что радиусы кривизны главных нормальных сечений связаны с главными моментами инерции площади плавания простыми соотно- соотношениями Rl = IJi, /?2 = /2/т A4.7) (/[ обозначает либо А, либо В, а тогда /2 соответственно В или А). § 15. Устойчивость равновесия. Рассмотрим вопрос об устойчи- устойчивости равновесия лишь по отношению к таким перемещениям, кото- которые выводят из равновесия плавающее тело с сохранением объема, погруженного в жидкость. Такие перемещения, как было показано в § 12, сводятся к повороту тела вокруг горизонтальной оси, ле- лежащей в плоскости плавания и проходящей через центр инерции площади плавания. Вопрос об устойчивости равновесия по отно- отношению к перемещениям иного вида очевиден, так как по отно- отношению к любому вертикальному поступательному перемещению равновесие всегда является устой- устойчивым, по отношению же к любому горизонтальному поступа- поступательному перемещению и по отношению к любому повороту вокруг вертикальной оси — равновесие плавающего тела будет без- безразличным. Обращаясь к рассмотрению устойчивости равновесия при пере- перемещениях, не меняющих вытесненного объема жидкости, возьмем на- начало координат в центре тяжести Нй объема, погруженного в жидкость (рис. 39), и направим ось Oz вертикально вверх. Тогда, при равно- равновесии тела, плоскость Ноху будет касательной к поверхности цен- центров, и координаты центра тяжести всего тела С будут 0, 0, z. Взяв на поверхности центров точку Н, близкую к Но, проведем к ней касательную плоскость, уравнение которой на основании A4.5) бутет иметь вид { — Z — -%-$~X)-\--.- (Г, — у), A •"). ] | где 5> '//, С—текущие координаты. Обозначив через d длину перпен- перпендикуляра СР, опущенного из точки С на эту касательную плоскость, Рис. 39.
щ ]о] ЬСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВГСИЯ имеем по известной формую анатитпческой reoMeipmi / /2 ' (~2д2 -2у2 \ —'/2 1 -| j" ~\~~~т~ I в РЯ1 " удерживая в нем Л 72 / н при дальнейшем умножении члены наинизшего порядка матоста относительно малых величин х и у, последовательно находим, при- применяя еще уравнение A4.5): __ "• х "• У 9/ '9/11 9/2 9/2 Применим теперь критерий Дирихте дтя суждения об устойчивости равновесия, для того чтобы равновесие reia было устойчивым, до- (.глочно, чтобы потенциал сил, приложенных к тету, имел минимум в положении равновесия. Силы, приложенные к те 1}, сводятся к i,bjm вершьатьным сн 1ам: силе веса Q, приюжепной к точке С и дейанз'ющей вниз, и равнодействующей Р гидростатических дав те- тений, приложенной в центре тяжести погруженною обьеиа и аей- 1.тв)ющей вверх, при равновесии те та P=^Q, причем равен^ью сохраняется при перемещениях те та, не изменяющих вытесненного обьема После такого перемещения центра //0 в положение Н каса- четьная плоскость A5 1) сделается горизонтальной, а отрезок СР — вершкатьным, и если обозначить после перемещения вертикатьные координаты точек С и Р через z' и г', то б\дем иметь z' — z' = d. A5 3) Потенцпл сит, притоженных к Teiv при направлении оси Ог BBipx, выразится, как известно из механики, формулой и in в cinj ^ равнений A5 2) а A3 3) ^А?1 A5 4) 2/j I - / ' 21\
104 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill Из последнего выражения видно, что если разности —'-—г и —*-—z будут одновременно положительными, то значение потенциала V = Pz в положении равновесия (х = 0, у — 0) будет являться минимумом, и тогда в силу критерия Дирихле рассматриваемое равновесие будет устойчивым. Точки, отложенные вверх по вертикали Н0С в расстоя- расстоянии /[/х и /2/т от Но, носят название большого и малого метацен- метацентров (считаем 1Х > /2). В силу равенства A4.7) можно еще определить метацентры как центры кривизны главных нормальных сечений поверхности центров. Таким образом, мы приходим к выводу, что положение равновесия плавающего на поверхности жидкости тела будет устойчивым по отношению к повороту вокруг горизонтальной оси, не меняющему помещенного объема жидкости, если центр тяже- тяжести тела, который находится в положении равновесия на одной вер- вертикали с метацентрами, лежит ниже нижнего (малого) из них. § 16. Упражнения. 1 Однородное гело плотности а, имеющее форму параболоида вращения х2 -j- у1 = 2az, усеченного плоскостью, перпендику- перпендикулярной к оси на рассюянии Л от вершины плавает на поверхности однород- однородной жидкости плотности р так, что ось параболоида вертикальна и вершина обращена вниз. Определить глу- глубину г погружения вершины. Отчет z — h Vp/a. 2. Определить поверхность сечений для трехгран- трехгранной однородной призмы плавающей так, что ребра призмы остаются горизонтальными. Решение. Из условий задачи очевидно, что поверх- поверхность сечений представляет собою цилиндрическую поверхность, образующие которой будут параллельны ребрам призмы, поэтому достаточно определить вид направляющей кривой в сечении ABC, перпендикуляр- перпендикулярном ребрам (рис 40) Пусть PQ есть след плоскости плавания тогда, если взять прямые АВ и АС за косоугольные оси х и у с углом при вершине О, то условие сохраняемости погруженного объема дает: площадь APQ = const. или -g- xy sin 0 = const., откуда ху = сг, A6.1) где с — постоянная, определяемая из условия равновесия ¦~- оху sin о = -=- <sab sin о (где р и а суть плотности жидкости и тела, а а и b — длины сторон АВ и АС) или с2р = aba. A6.2) Остается найти уравнение огибающей прямых PQ; уравнение этой пря- прямой есть
§ 16] УПРАЖНЕНИЯ 105 где i и •») — текущие координаты. Выражая у через х на основании A6.1) и дифференцируя затем по параметру х, имеем последовательно: с - Исключая из последних уравнений параметр х, находим уравнение огибаю- огибающей 4^ = с2, что дает гиперболу, асимптоты которой суть АВ и АС. 3. Определить поверхность центров в условиях предыдущей задачи. Решение. По известному свойству гиперболы, точка касания К будет делить пополам отрезок касательной PQ, заключенный между асимптотами; це-rrp же тяжести измещенного объема жидкости будет совпадать с цен- центром тяжести И площади APQ среднего перпендикулярного сечения. Послед- Последний же лежит, как известно на прямой АК на расстоянии 2/3 АК от вершины; следовательно, координаты 5( и i)t точки Н будут: D где 5 и у) — координаты точки К, удовлетворяющие уравнению 45т] = с2. A6.3) Выражая 5 и г; через ?, и т],, находим уравнение кривой центров 9?й, = с2, A6.4) что выражает гиперболу, подобную A6.3). 4. Определнть поверхность сечений и поверхность центров для четырех- четырехгранной призмы прямоугольного сечения, плавающей так, что ребра остаются горизонтальными. Решение. Рассматривая аналогично предыду- предыдущему среднее перпендикулярное сечение ABCD (рис. 41), без труда заключаем, что все возмож- возможные положения плоскости плавания PQ будут пересекаться в одной точке К—середине PQ. Следовательно, в этом случае кривая сечений вырождается в точку. Для определения вида кри- кривой центров отметим центр тяжести Н измещен- измещенного объема в том положении призмы, когда грань АВ горизонтальна, а значит, и параллельна плоскости плавания PQ. Взяв точку Н за на- начало координат, проведем ось Нх параллельно грани АВ Рассматривая некоторое соседнее по- положение плоскости плавания P'Q' и вводя обо- Рис. 41. значения РК= KQ — а. РР' = 6, КН = с. пло- площадь PQAB = 5, имеем для координат х и у тяжести Н' очевидные формулы: 1,2 1 , / 2 х — - S нового 2 " 3 ) аЧ S 1 3 положения » S ' В центра
106 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III Исключая 6, находим-. или, заменяя 5 через 4ас: 3S ' Зс ' т. е. кривая центров есть парабола. 5. Определить поверхность сечений и поверхность центров для плаваю- плавающего однородного кругового конуса. Решение. Пусть ABDE будет одна из плоскостей плавания (рис. 42); это сечение есть эллипс. Проведем в последнем главные оси АВ = 2а и DE — 2b. Возьмем ось конуса за ось Oz, вершину — за начало координат и направим ось Ох в плоскости ОАВ. Обозначив через р перпендикуляр ОК на плоскость плавания, выразим условие постоянства вытеснен- вытесненного объема жидкости: 1 ¦w р ¦ = const. Произведение ра выражает площадь д ОАВ, которая может быть иначе выражена через р 42  '''2 s'n^> гДе 'i = О Л, 1г = ОВ и И — угол между осью конуса и образующей. Таким образом, пре- предыдущее соотношение примет вид после разделения на постоянные мно- множители: /,/„¦ 6= const. A6.5) Покажем, далее, что малая полуось b = sm§ylxl2. В самом деле, так как эта полуось параллельна оси Оу, то b = у . Если уравнение конуса есть z2 = k2{x2 + y2), где то для точки D: Уп = или, замечая, что xD = хс и zD = zc, имеем: Так как точка С есть середина АВ, то Чтобы найти координаты точек А и В, ищем пересечение прямых ОА и ОВ, уравнения которых в плоскости Oxz суть z = kx, г = — kx,
§ 16] УПРАЖНЕНИЯ 107 с прямою АВ, уравнение которой в нормальной форме будет где аир — косинусы углов, образованных перпендикуляром ОК. с осями Ох и Ог, так что а24-!32 = 1. Находим: х — р ( г _ fel — р __ fe/J a a — к j jo «rf — a ft23 ¦ a2 XC ~ 6242 _ a2 P< ZC — 62^2 _ a2 и югда С другой стороны, имеем: ? = bjs\n О, /А2?2 — а2 откуца 6 = sin j^ Вставляя последнее выражение в A6.5), заключаем, что d?2)S/2 = const., илн /,/2 = const. A6,6) Как было показано в задаче 2, огибающая семейства прямых АВ, обладаю- обладающих свойством A6.6), есть гипербола с асимптотами ОА и ОВ. Таким образом, приходим к заключению, что поверхность сечений есть часть поверхности двуполого гиперболоида вращения, которого будут ка- касаться различные плоскости плавания своими центрами С. Так как центр вытесненного объема Я лежит на 3Д отрезка ОС, то заключаем, что поверх- поверхность центров есть подобный гиперболонд вращения. 6. Определить поверхность сечений н поверхность центров для одно- однородного эллипсоида. Решение. Найдем решение задачи сначала для однородного шара с радиу- радиусом, равным единице:
108 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III Очевидно, что огибающей плоскостей плавания PQ, отсекающих от шара некоторый объем т, будет поверхность концентрического шара (рис. 43), радиус которого найдем из соотношения М где f ТС A — 1*2) du = 1, Г г = ON, 1 = ОМ, и = О К, Рис. 43. KL = V\— и2. Выполняя интегрирование, находим: 3 A6.7) Положение центра тяжести Н отсеченного объема найдется по известной формуле: i Г тм(\ — и2) du R=L или 1 3  B +г) • A6.8) Следовательно, поверхностью центров будет служить концентрическая сферическая поверхность радиуса R. Обращаясь к эллипсоиду произведем преобразование к новым переменным 5, -г), С по формулам л: = а%, у = b-<\, z — cZ. Такое преобразование выражает деформацию, складывающуюся из сжатий вдоль осей Ox, Oy, Oz с коэффициентами а, Ъ, с. В результате сжатий эллипсоид перейдет в шар объем которого будет в abc раз меньше объема эллипсоида. Если плоскость плавания отсекала от эллипсоида некоторый объем V, то от шара она будет отсекать объем V/abc. Для шара поверхность сечений и поверхность центров суть концентрические сферы, радиусы г и R которых найдутся из соотношений
УПРАЖНЕНИЯ 10! Возвращаясь к прежним переменным х, у, г, т. е. совершив обратную деформацию растяжения, мы приходим к заключению, что для эллипсоида поверхностями сечений и центров будут служить поверхности подобных эллипсоидов: х1 (ЬгУ У2 (cry . 1 (aRy ^ (bRJ ^ (cRJ 7. Определить поверхность центров для прямого однородного цилиндра произвольной формы сечения. Ответ. Эллиптический параболоид 2z — с В Рис. 44. если начало координат взять в центре инерции О площади перпендикуляр- перпендикулярного сечения MN (основания цилиндра) и оси Ох и Оу направить по глав- главным осям инерции площади этого сечения (рис. 44); А и В суть главные моменты инерции площади: А = J Г x2dxdy, В = J Г у2 dx dy. с — отрезок Oz до плоскостн плавания; V — измещенный объем MPQN; прн постоянстве V остается постоянным и отрезок с.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ИНТЕГРАЛЫ БЕРНУЛЛИ И КОШИ § 1. Установившееся движение. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости допускают интегралы, аналогичные интегралу живой силы, в двух простейших случаях движения жидко- жидкости: 1) установившегося и 2) безвихревого- Рассмотрим случай установившегося движения. В этом случае режим движения в каждой точке, занятой жидкостью, не изменяется с течением времени, и поле скоростей, поле вихрей, поле гидро- гидродинамических давлений, поле массовых сил суть поля постоянные, или стационарные. Линии тока при установившемся движении совпа- совпадают с траекториями жидких частиц. Умножая скалярно основное уравнение движения „ dv 1 , ^~^F=7g Р на элементарное перемещение жидкой частицы vdt вдоль линии тока, получаем: F-vdt — ~-vdt= — (grad p-vdt) или Так как при установившемся движении dpjdt = O, то выражение ~- dx -f- -Д dy 4- -~ dz является полным дифференциалом dp и можно написать Xdx -f Y dy -f Z dz — d iX v2) = dp/p. Последнее уравнение выражает собой не что иное, как закон живой силы для жидкой частицы (см. § 14 главы II).
^ и 5 СТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ 111 Эго уравнение может быть без труда проинтегрировано при соблю- соблюдении двух условий: 1) если массовые силы имеют потенциал, кото- который мы 1еперь обозначим через V, так что Х= — dVjdx, Y = — dV/dy, Z = — dV/dz, н 2) если жидкость баротропна. В таком случае имеем: — dV — й (j v^ = dP. где (см. §11 главы II) и все дифференциалы взяты при перемещении вдоль некоторой линии тока, или, иначе: О!куда пол)чаем так называемый интеграл Бернулли: т/ + уг>2 + Р = Г, A.2) где Г есть величина, сохраняющая постоянное значение на данной линии тока, но, вообще говоря, изменяющаяся при переходе от одной линии к другой. Если массовые силы суть силы тяжести, то, направив ось Ог вертикально вверх, имеем: и интеграл Бернулли принимает вид Для несжимаемой жидкости по формуле A.1) име^м: Разделив на g и вводя обозначение y = pg- для удельного веса, напишем еще интеграл Бернулли в виде В уравнении A.3) первое слагаемое z выражает высоту рассма- рассматриваемой жидкой час гиды в данной трубке тока над некоторой гори- зошальной плоскостью и называется геометрической высотой Вто- Второе стаыемое v2j2g выражает высоту, на icoiopjro моыа бы нодм.пься
112 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV в пустоте материальная точка, брошенная вертикально вверх с началь- начальной скоростью v: это слагаемое называется скоростной высотой. Наконец, третье слагаемое выражает высоту, которую должен бы иметь покоящийся столб жидкости, чтобы получить давление р у основания столба; это слагаемое называется пьезометрической высотой. Таким образом, интеграл Бернулли выражает, что при установив- установившемся движении несжимаемой жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и той же трубки тока, что может быть еще записано так: или, если, в частности, геометрическая высота вдоль линий тока не меняется, то Р-— ^=1Р^~Р\ A.5) Из баротропных случаев остановимся на изотермических и изэн- тропических движениях (см. § 11 главы II). В изотермическом движении dP _ 1 С '= J и интеграл Бернулли A.2) примет вид (по-прежнему в качестве сил берем силу тяжести): Для движений адиабатических •=/ dp _ JL * JlT ! С x—l y ' Ср* и интеграл, аналогичный A.5), примет вид о 2 1 /х 1 ч— 1 \  2"= С" Т=Т ^2 — А Л Так как то мы можем записать этот закон еще в виде = I i-| iL 1 2 Pi \ ^
§2] БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 113 Для воздуха можно считать /я^1,4. Если vl и v2 не слишком велики, то, как легко видеть, влияние сжимаемости будет незначи- незначительным. В самом деле, пусть, например, скорость vl имеет порядок 3 • 10* см/сек, v2 — 0, ряй1,3 • 10~3 г/сл3, рх = 1 ат= Ю6 г/см сек2. Тогда получим: •л-1 Pl v\-v\ _ 0,4-1,3-Ю-3 9-10» ^ 1>67. 10-3f % p{ 2 1,4-10« 2 Но тогда в разложении правой части A.6) в ряд ро 1 I • 1 1 2 1 ^ Р) г pi 2 ^ 1-2 \ * J»i мы можем ограничиться первыми двумя членами и вновь получим уравнение A.5). § 2. Безвихревое движение. Если во время движения в каждой точке поля скоростей движущейся жидкости отсутствует вихрь, т. е. rot v = О, и, следовательно, скорость является потенциальным вектором v = grad tp, так что д<? ду ду х дх ' у ду ' г дг ' то основное уравнение движения F.4) главы второй упрощается, принимая вид д gfad ? , _„Л1 „.2^ ___ /7 i р При этом движение может быть неустановившимся, так что потен- потенциал скорости нужно рассматривать как функцию четырех аргумен- аргументов— х, у, z, t. Так как, очевидно, ^— -T-s.a't,* ) = F— ^ grad p. B.1) то из уравнения B.1) получается F = grad (|J-) + grad A w2) +- - grad p. B.2) Для несжимаемой однородной жидкости будет справедливо очевидное соотношение - grad p = grad (f), B.3) так как р постоянна для всех точек поля. 8 я,и п<><1
114 ПР0СГШШИ1- CJnqAII ДВИЖ1 НПЯ ИДЬ\.1ЪН0И ЖИДКОСТИ [1Л IV Для сжимаемой жидкости можно усгановшь аналогичное соотно- соотношение в том стучае, когда жидкость баротропна. В лом ст)чае введем вновь обозначение -JL~dP или P — I -L., B 4) и юг да можно написать: - grad p = grad P, B.5) ибо из B 4) имеем: 1 dр , . 1 dp , . \ dp , , 1 др ,, - ~сх-4 -х- rfy -I -^ rf^ H ^-dt — ъ дх ' о оу р ог ' р (я EР др др др = ч— dх 4- -3- й?У + 3- dz 4- -57- <#. Сравнивая коэффициенты при дифференциалах ар1ументов, находим: }_d^_dP_, 1 ^Р _ йР . \_dp__dP_ $ дх дл; ' р ду ду ' р dz dz ' откуда следует B.5); соотношение B 3) является очевидно частным случаем B 5). Таким образом, для рассматриваемых сл>чаев безвихревого дви- движения уравнение B.2) примет вид т. е. в этих случаях массовые силы должны являться потенциальным вектором. Обозначая потенциал сил через V, мы приведем уравнение движения B 2) к виду 0, B>6) показывающему, что выражение, заключенное в скобки, не зависит от координат х, у, z и является только функцией времени t: ^ + \tf-\-V + P=F(t), B.7) вид которой остается произвольным. Этот интеграл уравнений дви- движения носит название интеграла Коша. При наличии точько сит тяжести V = gz иитеграт Коши принимает вид + iv<> gz+PF«)- Г2 8)
§2] EE4BH4PFB0E ДВИЖЕНИЕ Ц5 Для несжимаемой жидкости будет р и интеграт Коши получается в виде ^jr + Yv2 + gz + J = Так как в последнем случае уравнение неразрывности имеет вид то мы зак точаем, что полное решение задачи об определении без- безвихревого движения несжимаемой жидкости сводится к отысканию одной функции ер, удовлетворяющей уравнению Лапласа B.10), а также ipai-шчным н начальным )словиям. Гидродинамическое давле- давление р найдется тогда из соотношения B.9), причем вид произволь- произвольной функции Fit) определи 1ся, если будет наперед задана зависи- зависимость р ог времени в одной точке поля. В случае, когда рассматривается абсолютное движение жидкости в подвижной системе координат Oxyz, основное уравнение движения может быть записано в виде G.10) главы второй - (va—ve) X rot*e = /=¦—! gradp. B.1 Будем опять считать, что абсолютное движение жидкости — безвих- безвихревое, т. е. что B.12) если, кроме того, примем, что сила имеет потенциал и плотность есть функция давления, то, повторяя предыдущие рассуждения, при- придем к следующей форме интеграла Коши: 5ТГ B.13) или *у* — «"«У) ^ — ~ (Ром +*ХУ-
116 ПРОСТГПШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДИ ИЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ 1\ где vox, voy, voz — проекции на оси подвижной системы координат скорости v0 начала этой системы, a ч>х, шу, сог — проекции на те же оси вектора угловой скорости вращения подвижной системы коорди- координат to. Этот результат можно получить также непосредственно из урав- уравнения B.7). В последнее уравнение входит производная от ср по вре- времени, взятая в неподвижной системе координат Ojcyz: да да (х, у, z, t) Ж Ы ' Производная же d'yjdt вычисляется в подвижной системе координат, г. е. для точки М, неизменно связанной с подвижной системой координат и имеющей относительно последней координаты х, у, z; ясно, что х, у, z будут функциями от х, у, z, t, причем производ- производные этих функций по времени определяют проекции переносной ско- скорости ve точки М: dx dy sit ex ox I y zs' at *-У oy I z x * dz __ ~~rTT — vez — vo Считая x, у, z постоянными, будем поэтому иметь по правилу диф- дифференцирования сложных функций: да dz да I ^=z —— dz dt dt d'f dt da dt ' da ~~ dt da dx dx dt i d? t + dx ^ ox dy 1 ш dy dt Находя отсюда d^jdt и вставляя полученное значение в B.7), мы и получим B.14). § 3. Установившееся безвихревое движение. В этом случае поле скоростей и поле давлений будут стационарными, поэтому dyjdt = 0, произвольная функция F (t) превращается в произвольную постоянную С, и интеграл Коши B.8) принимает вид: ^& + gz~{-P = C. C.1) где
E 41 ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА СКОРОСТЬ 117 В случае несжимаемой жидкости равенство C.1) перепишется так: "=С C.2) или, по разделении на g: | f=C, C.3) [де -у =^- р^; мы получим равенство, одинаковое по форме с интегра- интегралом Бернулли A.3). Отличие от последнего заключается в том, что иоионнная Г интеграла Бернулли является постоянной лишь для часпщ одной и той же линии тока и принимает различные значения ктя различных линий тока, тогда как в интеграле установившегося безвихревого движения постоянная С сохраняет одно и то же зна- значение для всех частиц движущейся жидкости. Интеграл вида C.1), C.2), C.3) иногда называется интегралом Бернулли — Эйлера. § 4. Ограничения, налагаемые на скорость. Существование интегралов Бернулли, Коши, Бернулли — Эйлера ставит для величины скорости известный предел, превзойти который движущаяся жидкость не может без разрыва сплошности. Рассмотрим, например, устано- установившееся безвихревое движение несжимаемой тяжелой жидкости. Пусть в некоторой точке поля на высоте г0 скорость и давление равны соответственно v0 и р0; тогда интеграл C.3) примет вид V = т; + + ? откуда ~T~2gnr*°~rT~5g Последнее соотношение показывает, что величина v не может ока- оказаться чрезмерно большой ни в одной точке жидкости, так как да- давление р в идеальной жидкости не может быть отрицательным. На- Например, для точек на той же высоте z — zQ получается неравенство откуда находим предел для величины скорости v: Если, например, вода, находящаяся в большом сосуде, вытекает в пустоту под действием только атмосферного давления р0, то на
118 ПРОСТЕПШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV поверхности сосуда можно принять величину v0 близкой к п}лю, и для скорости истечения получается ограничительное условие Например, при ро=- 10 000 кг/м2 для воды имеем: г»<[ 14 м\сек. § 5. Формула Торичелли. Интеграл Бернулли имеет фундамен- фундаментальное значение в вопросах гидравлики. Применим его для опреде- определения скорости истечения несжимаемой тяжелой жидкости из боль- большого открытого сосуда через малое отверстие. Если обозначить через 5 площадь свободной поверхности жидкости в сосуде, через s—площадь отверстия, через V и v — скорости па поверхности и Ei отверстии, ю уравнение неразрывности дает: SV = sv. Счиыя движение установившимся и безвихревым и применяя интеграл Бернулли— Эйлера, имеем: если начало координат взять на свободной поверхности и ось Oz направить вертикально вниз, так как давление в отверстии на глу- глубине г, где вытекающая жидкость образует также свободную по- поверхность, будет равно атмосферному давлению р0. Из равенства E.1) имеем: г,2 __ i/2 = 2gz или v2 — ~v2^ откуда v2 = 2gz -Ш" Если отношение s/S мало, то пренебрегая членом (s/5J, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торичелли v2 — 2gz. § 6. Истечение газов. Можно получить аналогичную прибли- приближенную формулу для оценки скорости истечения газа из большого сосуда через малое отверстие. Пусть давление и плотность газа в сосуде будут рг и pv атмосферное давление и плотность воздуха обозначим через р0 и р0. Будем полагать, что размеры сосуда настолько велики, что истечение можно рассматривать как устано- установившееся и притом безвихревое движение (в некотором интервале времени) и что на достаточном расстоянии внутри сосуда от отвер- отверстия можно пренебречь скоростью газа.
§7] ДЕЙСТВИЕ МГНОВЕННЫХ СИЛ 119 Считая аалее, что расширение газа через отверстие происходит адиабатически, пренебрегая силой тяжести н применяя интеграл дви- движения к двум точкам — внутри сосуда, где скорость ннчюжна, и к отверстию, имеем: где Из уравнения F 1) получаем: Ро pi = _^_ (El _ Е±\ — ,^i_ ^ *—1 \~?1 Ро У Тл—1 Pi \" Po/V или окончательно: F.2) § 7. Действие мгновенных сил. Допустим, что к жидкости прилагаются мгновенные массовые и поверхностные силы, действую- действующие в течение весьма короткого промежутка времени т, но дости- достигающие весьма больших величин. Чтобы определить действие таких сил па движение жидкости, применим основное уравнение движения, в правой части которого выделим явно мгновенную массовую силу F' и мгновенное давление р'\ dv „ , _, 1 , 1 , , — =F+F - j grad p — -grad/. Примем за начальный момент начало действия мгновенных сил; интегрируя тогда от f = 0 до / = т и замечая, что импульсами обыч- обычных сил можно пренебречь ввиду малой величины этих импучьсоп по сравнению с импульсами мгновенных сил, имеем: X •о' — <v=J— / — grad p'dt, о /де v и о' суть скорости одной и той же частицы непосредственно до начала и по окончании действия мгновенных сил, a J есть импульс мгновенных массовых сил: г= J F'dt.
120 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV Вследствие малости т можно пренебречь перемещением частицы за время т и, таким образом, скорости v' и v можно отнести к од- одной и той же точке поля. Ограничимся рассмотрением движения несжимаемой жидкости. Тогда, обозначая через к импульс мгновенных давлений j р' dt, будем, очевидно, иметь: ( G.1) Эго соотношение показывает, что действие мгновенных сил вызывает внезапное изменение скоростей в каждой точке поля. При отсут- отсутствии мгновенных массовых сил и при действии только мгновенных давлений имеем: v = — grad (-У G.2) Обратно, если происходит внезапное изменение поля скоростей что, например, имеет место, если внезапно изменятся границы жидко- жидкости (подводный взрыв), то такое изменение вызовет появление в ка- каждой точке жидкости мгновенных давлений, импульс которых связан уравнением G 2) с изменением скоростей. Взяв операцию div от обеих частей равенства G.2) и замечая, что divt> = 0 и divo' — Q, вследствие несжимаемости жидкости, и что по формулам векторного анализа расхождение от градиента есть оператор Лапласа, мы видим, что импульс мгновенных давлений должен удовлетворять уравнению Лапласа: d^7C_ Й2ТС 5f7C дх2 ~Т~ду2~Т~ дг*— • Далее, можно заключить, что если движение жидкости до начала действия мгновенных давлений было безвихревым, то оно останется безвихревым и по окончании действия. В самом деле, если <о = grad cp, то вследствие G.2) e'==grad(«p— jj. G.3) Называя потенциал скоростей после действия мгновенных давлений •о' = grad cp', через ср': имеем вследствие G.3):
§ Rj КИПЬТИЧССКАЯ ЭНЕРГИЯ BC3BH\PFBOro ДВИЖЕНИЯ 121 lie С—произвольная постоянная, одинаковая для всех частиц жидкости. Равенство G.2) показывает, что если ко всем частицам несжи- несжимаемой жидкости применить одинаковое мгновенное давление, то не произойдет никакого изменения скоростей, так как при т: = const, будет: ю' — TI — — grad [—) = 0, т. е. v' = <v. Равенство G.3) дает возможность установить новую точку зре- зрения на возникновение безвихревого движения. Если в G.3) положить ср= const., то <?' = -7+с- т. е. безвихревое движение, характеризуемое потенциалом ср', может возникнуть из состояния покоя <р = const, после действия мгновенных давлений с импульсом тг = — рср' -\- С. Если же в G.3) положить v' — const., то мы видим, что данное безвихревое движение, обладающее потенциалом скорости ср, может быть полностью во всей жидкости остановлено после применения импульса давлений тг = рср-)-С. Вместе с тем мы заключаем, что никаким подбором мгновенных сил давлений нельзя ни образовать, ни уничтожить вихревого дви- движения, так как в противном случае, полагая, например, v' — О, по G.2) мы имели бы: TI —gradl —I, т. е. rotf = 0. § 8. Кинетическая энергия безвихревого движения. Ограни- Ограничиваясь случаем несжимаемой жидкости, движущейся с однозначным потенциалом скорости ср. имеем для живой силы, заключенной в не- некотором односвязном объеме t, ограниченном замкнутой поверх- поверхностью S, выражение Известное преобразование Грина для двух любых функций ср и дает: (« (т)
122 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV где п есть направление внутренней нормали к поверхности S. Пола- Полагая <р = <р' и замечая, что если <р есть потенциал скорости, то мы получаем для живой силы жидкости, заключенной внутри поверх- поверхности S, выражение (S) Эта формула показывает, что живая сила несжимаемой жидкости в односвязном объеме, движущейся с однозначным потенциалом ско- скорости, зависит исключительно от движения на границах этого объема. В частности, если на границах нет протечения, т. е. если df/dn = O, или если на границах потенциал имеет постоянное значение, которое всегда можно считать нулем, так как потенциал содержит произволь- произвольную добавочную постоянную, то формула (8.4) дает 7=0, т. е. жидкость не имеет никакого движения внутри односвязного объема. Этот результат был нами получен ранее (гл. I, § 17). § 9. Теорема В. Томсона. В. Томсон (лорд Кельвин) доказал, что живая сила несжимаемой жидкости, движущейся в односвязном объеме с потенциалом скоростей, меньше живой силы во всяком другом движении, при котором па границах объема жидкость обла- обладает движением, одинаковым с безвихревым, внутри же обладает вихрями. В самом деле, пусть живая сила в безвихревом движении будет Т, а во всяком другом — V, при условии, что на границах объема нормальная составляющая скорости v' последнего движения одинакова с нормальной составляющей скорости v безвихревого дви- движения: «^+Р«у+т»г=<+К+^ (9Л) где а, р, f — косинусы углов, образованных внутренней нормалью к граничной поверхности S с осями координат. Кроме того, по условию: dz в силу уравнения неразрывности: д2о <Э29 <32ср + + x ^0 И IT
§ 9] ТЕОРЕМА В ТОМСОНА 123 Составляя разность живых сил, имеем: Преобразуем первый интеграл правой части, а именно: в силу оче- очевидных соотношений дер / дер \ д Г / дер \~| I dv д2ер _— у' — = ф \v' ¦—- — со - — дх \ * дх ] дх L \ х ох ] \ г \ дх дх2 Г I ' ^ W I 'у т dtp / t dtp \ д Г / дер \"| / dv'z д"<? \ ~дг \ г дг ) дг \У \ * дг ) \ ^ \ дг dz2 J ' имеем, принимая во внимание (9.2): ду \ У ду Применяя к каждому слагаемому правой части формулу Гаусса преобразования объемного интеграла в поверхностный, находим: f/ откуда, складывая и принимая во внимание (9 1), получаем: f
124 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV и таким образом соотношение (9.3) принимает вид Т ~ 7>0, если хоть в одной точке внутри объема скорость v' оыпчается or скорости безвихревого движения v. § 10. Упражнения. 1. При установившемся истечении газа из тонкой конической трубки траектории частиц представляют собой прямые, сходя- сходящиеся в вершине конуса. Предполагая, что движение совершается изотерми- изотермически, найти соотношение между ско- скоростями V и v в сечениях АВ и ab, пло- площади которых суть S и s (рис. 45). Решение, Из условия изотермич- ности имеем. Е- = k — const. Рис. 45. Р Пренебрегая силой тяжести и применяя интеграл Бернулли — Эйлера к сечениям АВ и ab, имеем: 1 A0.1) где Р и р — давление в этих сечениях. Условие неразрывности дает: откуда = vps, ~p~~~VS' и интеграл преобразуется к виду р Vi—V2 и, vs v2 — V2 k\n = ъ ИЛИ Й!П-тг=- = ^ Р Z VO ?. откуда S - 2k
10] УПРАЖНЕНИЯ 125 2. Определить форму сосуда, употребляемого для водяных часов (клеп- (клепсидры). Решение. Показателем времени в водяных часах служит высота уровня и верхнем сосуде, которая должна уменьшаться равномерно с постоянной скоростью V. Обозначая площадь верхнего уровня че- через 5, площадь малого О1верстия в нижней части со- сосуда через s и скорость истечения в отверстии — через v (рис. 46), имеем вследствие уравнения нераз- неразрывности: SV = sv. A0.2) По формуле Торичелли v = V~2gy, площадь же верхнего уровня S = пх2. Подставляя в A0.2), имеем: откуда находим уравнение образующей кривой 2?S2 * = ау, где я= 3. Показать, что при безвихревом движении с потенциалом ср живая сила несжимаемой жидкости, заключенной в трубке тока малого сечеиия между нормальными сечениями <р = ct, у = с2, может быть выражена формулой Т = -^ М (с2 — с,), где М — секундная масса жидкости, протекающей через трубку. Решение. Если обозначить площади сечений через St и S2, то применяя формулу (8.4) к рассматриваемому объему жидкости, имеем: ~Н« ( так как вдоль боковой поверхности трубки -~ = 0. Замечая, что (&),-• Шг— имеем: 1 ^ ?(v2S2c2 — vtS{Ci). Но вследствие уравнения неразрывности pv2S2 — p«|S| = М и, значШ| 4. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса с. Определить время, потребное для заполнения образовавшейся полости, считая, что в бесконечно удаленных точках действует постоянное давление р0 и что никаких других сил к жидко- жидкости не приложено. Решение. После образования полости частицы жидкости потеку1 к центру по радиусам, и поле скоростей будет симметрично по отношению
126 ПРОСТГИШИЕ СЛУЧАИ ДВИХ<ЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV к центру полости. Взяв последний за начало сферических координат, имеем одно уравнение движения вида Эйлера для точки, удаленной иа расстояние г', скорость которой обозначим через г/, а давление через р'\ dv' , dv' _ 1 dp' Условие несжимаемости даек r'2v'^F(t), A0.3) так как в любой момент рассматриваемого неустановившегося движения объем протекающей жидкости через сферу любого радиуса г' ие зависит ог последнего, но является некоторой функцией времени, ибо движение не- неустановившееся. Из последнего соотношения г'1 взяв частную производную по t и подставляя в первое уравнение, получаем: ^)-4-«' —= -- —. — """ dF а +v TTГ7< где Интегрируя ио г' в пределах oi оо до радиуса г заполняющейся поло- полости (г < с), имеем: -^)+^=f. A0.4) где v означает скорость у поверхности стягивающейся полости; давление на этой поверхности равно нулю, так же как и скорость в бесконечности. Написав соотношение A0.3) для частиц поверхности полости гЧ — F (О и взяв полную производную по t, имеем: с.,,,, п dr . , dv „ „ dv dr „ „ , „ dv подставляя в A0.4), получаем дифференциальное уравнение, связывающее или, по разделении переменных, dr Интегрируя в пределах от некоторого г до с и замечая, что в начале движения при г — с скорость v = 0, находим:
§ 10] УПРАЖНЕНИЯ 127 откуда Разделяя переменные и интегрируя в пределах от начала движения t = О до конца t — -., когда будет г = 0, получаем: о dr I V h Вводя подстановку г — си, находим: 1 Полагая, далее, и = хи», приходим к интегралу Эйлера вида В (р, q): р0 3 о йх = / JT в (| 1 \. По известному свойству В (р, q) = тг 4- 1 "меем: пли, так как Г l-^-j = У г. , а Г 1 — 1 = -- Г (— ], то окончательно 5. Определить давление при взрыве сферической бомбы внутри несжи- несжимаемой жидкости в частицах жидкости, непосредственно прилегающих к поверхности бомбы. Решение. Обозначая через р искомое давление и повторяя ход решения предыдущей задачи, приходим к уравнениям, аналогичным A0.4) и A0.5), с той разницей, что теперь на сферической поверхности р не равно нулю _ZliO + 1 ,,= А,_?. и _2vi_rv^L + \v»=AL_?>A0.6) г ' 2 рр dr 2 pov' откуда можно найти /> в зависимости от о и г, Можно выразить р в функ- функции от г и <. В самом деле, замечаем, что
128 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV откуда dv 2 1 rf2 (г2) и соотношение A0.6) приводится к виду откуда it2 + ( dt ) J ' 6. Показать, что если река имеет закругление, то у берега А с внутрен- внутренней стороны закругления скорость течения больше, а уровень ниже, чем у берега В с наружной стороны (рис. 47). Решение. Считая движение установившимся и безвихревым, примем центр кривизны закругления струи у точки А за начало цилиндрических координат г и ер, направив ось Oz вертикально. Тогда проекции скорости v на оси цилиндрических координат будут: vr — Q; v^ — v; v2 = 0. A0.7) Вспоминая выражения для проекций вихря на оси цилиндрических координат [см. (§ 7) главы И] 1 Г dvz д (rv9) (rot u) dvr dr ' Рис. 47. . . . _ 1 (rot v)z- y д и выражая, что движение безвихревое, находим в силу A0.7): дг дг Кроме того, уравнение неразрывности, написанное в цилиндрических ко- координатах: 1 д (rvr) I dvy dv2 г дг ~*~ г дер "^ dz ~ ' дает = 0 или d{rv) = 0. Таким образом, ri/ == k = const., и = — . Это соотношение показывает, что при правильной форме закругления, когда оба берега у точек А и В имеют общий центр кривизны, так что г > б < р у гв > гА,- будет vB<vA.
§ 11] ВВЕДЕНИЕ 129 На основании же интеграла Бернулли — Эйлера, называя через ZA и Zд высоты уровней в точках А и В, имеем у поверхности: так как давления у поверхности одинаковы (атмосферное). Из последнего соотношения заключаем, что 7. Показать, что если несжимаемая жидкость имеет установившееся без- безвихревое движение, причем внешние массовые силы обладают потенциалом, то давление р удовлетворяет неравенству Указание. Нужно предварительно непосредственным вычислением пока- показать, что V2 (и2) > 0, где v — скорость, а затем применить оператор Лапласа к интегралу Бернулли—Эйлера. 8. Показать, что в установившемся безвихревом движении несжимаемой жидкости, при котором траектории частиц суть плоские кривые, параллель- параллельные одной и той же плоскости (плоское движение), кривизна К линий тока выражается формулой v2 dn где р — давление, р — плотность, V — потенциал внешних массовых сил, dn — элемент нормали к линии тока, взятый в направлении от центра кривизны. Указание. Применить ход решения задачи 6 и из формулы v = —, где г — радиус кривизны, получить: dn r ' после чего использовать интеграл Бернулли — Эйлера. Б. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ § 11. Введение. Движение жидкости называется плоским, если все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре к некото- некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движение, параллель- параллельное этой плоскости. Очевидно, что в этом случае движение будет двуразмерным и достаточно рассмотреть движение в плоскости Оху, принимая за нее ту плоскость, параллельно которой совершается движение. Говоря в дальнейшем о потоке жидкости через некоторую кривую в плоскости Оху, мы будем под последним понимать поток через 9 Зак. 1190
130 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV цилиндрическую поверхность, для которой данная кривая служит на- направляющей, образующие параллельны оси Oz и высота равна единице. § 12. Функция тока. Не делая пока предположения об отсутствии вихрей в жидкости, можно показать, что уже одно уравнение нераз- неразрывности налагает на поле скоростей условие, поддающееся в плоском движении простому кинематическому истолкованию. В самом деле, ура- уравнение неразрывности дает для несжимаемой жидкости dvx dvv dvy д (— v.,) -з —-^-= 0 или иначе -^— — z—— . A2.1) дх ' ду дх ду к Если взять дифференциальное уравнение линий гока ——==—— или —v., dx-\-vrdy = 0, vx vy у \ х j ' то уравнение неразрывности A2.1) показывает, что левая часть по- последнего уравнения представляет собой полный дифференциал ') неко- некоторой функции ф dty = 0, A2.2) так что Функция ']>(х, у) носит название функ- функции тока, так как на каждой линии тока она сохраняет свое постоянное Рис 48 значение ф(х, у) = С, различное вообще для различных линий тока. Если между двумя точками A(xv yx) и В(х2, у2) провести неко- некоторую кривую (рис. 48), то нетрудно усмотреть, что поток жидкости через эту кривую выразится разностью значений функций тока в точках А и В, независимо от формы кривой. В самом деле, (А) (Л) Г v-nds= Г [vxcos(n, x)-rvycos(n, y)]ds = {В) (В) (А) (А) = Г (vx sin 9 — Vy cos В) ds = Г —vydx-\-vjLdy = (В) (В) (В) С \ (\ о &\ (А) где 0 означает угол между ds и Ох. ') В случае неустановившегося движения время t рассматривается как параметр.
s [3] СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ТОКА С ПОТЕНЦИАЛОМ СКОРОСТИ 131 Легко найти также выражение для вихря через функцию тока. Имеем по определению вихря: о dv* дьУ п о -= 2 — дх ду ~ дх2 ду2 ' Отсюда заключаем, что в случае безвихревого плоского движения функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа § 13. Связь функции тока с потенциалом скорости. При суще- существовании в плоском движении потенциала скорости ср будут иметь место равенства v , = -**-, v=^, A3.1) х дх У ду к сравнивая которые с A2.3), устанавливаем: _^Р__^ fy___ ^__ A3 2) или иначе: ду д^ д9 дЪ __„ По оч дх дх + ду ду ~U- ( } Последнее соотношение показывает, что каждая кривая семейства <р = const, пересекается под прямым углом с любой кривой семейства линий ф = const., иначе говоря, линии тока являются ортогональными траекториями семейства изопотенциальных линий. Всякая определен- определенная форма плоского движения жидкости интерпретируется определенной картиной распределения кривых ср== const, и ф = const, в плоскости. В силу взаимной ортогональности кривых этих семейств является безразличным с геометрической точки зрения, какие из них принять за линии тока, а какие за изопотенциальные кривые. На этом осно- основании функции ср и ф называются сопряженными, и мы приходим к заключению, что если удастся найти решение некоторой определенной плоской гидродинамической задачи, т. е. если удастся подобрать потенциал скорости ср (а значит, и функцию тока ф) так, чтобы поле скоростей удовлетворяло определенным пограничным условиям, то мы одновременно получаем решение другой плоской задачи, в которой — ф будет служить потенциалом, а ср — функцией тока. Условия A3.2) позволяют без труда выразить одну из сопряженных функций через другую в квадратурах. В самом деле, если, начример, известен потенциал скорости ср(х, у), то для нахождения
132 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV функции тока достаточно взять одно из соотношений A3.2). Взяв, например, второе из них и интегрируя по х в пределах от некото- некоторого значения а до х, получаем: где 6 (у)—некоторая неопределенная пока функция; для нахождения последней достаточно дифференцировать A3.4) по у: или вследствие первого из соотношений A3.2) и вследствие того, что потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа, имеем: или -^= д ()лг ./ дх2 ' v^7 бл: бл: откуда а интегрируя в пределах от некоторого значения Ь до у, получаем: и значит, Если бы для нахождения ф мы взяли первое из соотношений A3.2), то получили бы другую форму, эквивалентную A3.5): 6 Применяя формулу (8.4), нетрудно установить следующее выра- выражение 1.1 я живой силы жидкости, заключенной внутри простого замкн>гию контура L: ±f A3.7)
§ 14] КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ И КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 133 должно быть причем направление обхода L при интегрировании таково, чтобы интеграл получился положительным § 14. Комплексная скорость к комплексный потенциал. Усю- вчя A3.2), выражающие связь между сопряженными функциями о и |>, суть не что иное, как известные условия Коши — Римана, выражающие то обстоите чьство, что комплексное выражение и» = <р 4~ ф' яв шется аналитической функцией комплексного аргумента z = x f- yi. w = f(z); A4 1) т. е что функция f (z) будет иметь определенную производную dw dcp . d]i . dtp дх дх ду A4.2) Последняя формула показывает, что производная dw/dz тесно связана со скоростью dw . ¦ q\ q\ dz ~~ x У A4.3) 'V UJ-V,jl Если рассматривать вещественную единицу -f-1 и мнимую еди- единицу I как единичные векторы (орты), отложенные по осям Ох и Оу, то комплексное число vx-\-vyi может быгь изображено вектором скорости v, отложенным от начала координат (рис. 49); сопря- сопряженное же число —j— = i>x — vyi изобразится вектором v, который служит зеркальным отражением пектора ско- ц рости по отношению к вещественной оси Ох На этом основании комплексное число dw/dz носит название комплексной скорости, модуль комплексной скорости дает величину скорости: I dw \~dz~ Функция w = ср -(- фг носит название комплексного потенциала. Заметим, что если в A4 1) рассматривать функцию комплексного потенциала w. z = F(w); Рис. 49. z как обратную -фО. A4.4) то производная этой функции dz/dw изобразит вектор, одинаково направленный со скоростью v и имеющий длину 1/|г»|; в самом деле: dz dw dw "dz A4.5)
134 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV § 15. Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение A4.1) показы- показывает, что каждый определенный выбор аналитической функции f (z) дает определенную систему линий тока ф = const, и изопогенциаль- ных линий ср = const, и, значит, устанавливает определенную кине- кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ср н ф). Таким образом, кинемати- кинематическое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви математического анализа найдут свое гидродинамическое истолкова- истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием неко- некоторых важнейших свойств аналитических функций. § 16. Примеры комплексного потенциала. 1. Функция w = az при а вещественном. Имеем: ср -j- ф! = ах -\- ayi, откуда заключаем, что линии тока ф= ay = const, суть прямые, параллельные оси Ох; линии равного потенциала: ср = ах = const. суть прямые, параллельные оси Оу; скорость во всем поле постоянна и при а > 0 направлена вдоль оси Ох (рис. 50), Такой поток мы назовем однородным поступательным. Легко видеть, что при а комплексном (а = а-|~р/) характер потока сохра- У нится, изменится лишь направление скорости, которая изобразится векто- вектором а — р/. 2. Функция w = az2 при а веще- вещественном. Имеем: Линии тока 6 = 2аху = const. 1 Рис. 50. суть равнобочные гиперболы, для которых координатные оси служат асимптотами рис. E1). Изопотенциальные линии ср = а (х2 — у2) = const.
16] ПРИМЕРЫ КОМПЛЕКСНОГО ПОТЕНЦИАЛА 135 являются также гиперболами, для которых координатные оси служат осями симметрии. Комплексная скорость в некоторой точке М dw _ 7/г = показывает, что вектор скорости v направлен по зеркальному отра- отражению ОМ' радиуса-вектора z этой точки и имеет величину, про- пропорциональную удалению точки от начала координат. Так как за возможные твердые границы жидкости можно принять, очевидно, одну из линий тока и так как коор- координатные оси х — 0, у = 0 служат линией тока, ^ = 0, то мы заключаем, что установившееся безвихревое дви- движение внутри прямого угла является кинематически возможным. 3. Функция ffii = Ijz. Имеем: ... 1 х у . Линии тока представляют собой си- систему окружностей У = const. =C или ¦У —7- >' = ' касающихся оси Ох в начале коорди- координат, изопотенциальные линии = const. дают другую систему окружностей, касающихся оси Оу в начале коорди- координат (рис. 52). Выражение комплексной скорости dw 1 ~dz =~? Рис. 52. показывает, что величина скорости становится бесконечно большой в начале координат, следовательно, для возможности применения предыдущих формул нужно исключить из рассмотрения начало коор- координат, окружив эту точку произвольной замкнутой кривой. В этом случае начало координат служит особой точкой для комплексного
136 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV потенциала (простой полюс) и для комплексной скорости (двукрат- (двукратный полюс). 4. Функция w = \nz. Вводя в рассмотрение модуль г и аргу- аргумент 6 для комплексной переменной имеем: z = r (cos б -f- i sin 9) = re'", tp -f ы = In (re) = In r + 8i. Отсюда заключаем, что линии тока суть прямые 6 = const., луче- лучеобразно исходящие из начала координат; изопотенциальные кривые суть концентрические окружности г = const, с центром в начале коор- координат (рис. 53). Выражение для комплексной ско- скорости dw 1 рис показывает, что и в этом случае на- начало координат является особой точкой, именно — логарифмической для ком- комплексного потенциала и простым полю- полюсом для комплексной скорости. § 17. Источники к стоки. Рас- Рассматривая движение жидкости, мы де- делали до сих пор предположение о непрерывности и конечности поля скоростей. Разбирая примеры комплексного потенциала, мы встре- встретились с возможностью сущее юования поля скоростей, непрерывного и конечного во всех точках плоскости, за исключением отдельных изолированных точек. Наиболее простое гидродинамическое истолко- истолкование можно дать картине, изображенной на рис. 53, когда ком- комплексный потенциал имеет изолированную логарифмическую точку. В этом случае линии тока радиально расходятся из начала коорди- координат, так что можно представить, что из начала координат вытекает в каждую секунду некоторое количество жидкости т; такую точку мы назовем источником, а секундное количество вытекающей жидкости — мощностью или обильностью источника; при отрица- отрицательном т происходит поглощение жидкости, такая точка называется стоком. Если начало координат служит источником с мощностью т, а в бесконечности жидкость остается в покое, и других источников и стоков в плоскости Оху нет, то, описав вокруг начала координат, как центра, окружность радиуса г, мы найдем, что поток жидкости через окружность будет иметь постоянную величину т, независимо от радиуса г, гак как вследствие несжимаемости внутри окружности
§ 17] ИСТОЧНИКИ И СТОКИ 137 не может произойти накопления жидкости. С другой стороны, этот поток выразится произведением 2-rdy/dr, так как вследствие симме- симметрии поля скоростей потенциал скорости будет функцией только расстояния г, —так что нормальная скорость вдоль окружности будет равна df/dr. Таким образом имеем: _ do m , 2~г-±—т, откуда cp^-^-lnr. Далее находим: , т о Ф6 а для комплексного потенциала получается w = ~\nz. A7 1) Нетрудно заключить, что если в точках плоскости z — а,, z — а2, . • •, z = ап находятся источники или стоки с обильностями (мощностями) mv m2 тп, то комплексный потенциал течения, ими создаваемого, выразится функцией откуда найдутся следующие выражения для потенциала скорости и функции тока: п ? = 2^ 2 т* 1п Р*! A7'3) где pk и 9ft означают модуль и аргумент комплексного числа z — ak. Формула A7.2) может быть распространена и на случай непре- непрерывного распределения точечных источников вдоль некоторой линии. Пусть, например, на отрезке (— а, а) вещественной оси равномерно распределены точечные источники одинаковой обильности и пусть k означает общую обильность источников, заключенных в единице длины отрезка. Тогда формула A7.2) приведется к виду = -^ [{z + a) In (z + а) — (г — a) In (z — а) — 2а]. A7.5)
138 простейшие случаи движения идеальной жидкости [гл iv § 18. Дублеты. Совокупность источника и стока с мощно- мощностями -\-т и —т, помещенных на бесконечно малом расстоянии 8s друг от друга, называется дублетом. Произведение Ж —яг8s, которое мы будем предполагать конечным (так что т будет неограни- неограниченно возрастать при уменьшении 8s), можем назвать, по аналогии с маг- магнитом, моментом д\блета и счи- считать векторной величиной, напра- направленной одинаково с 8s от стока к источнику: М = т 8s; Рис. 54 это направление мы назовем осью дублета. Для потенциала скорости потока, создаваемого таким дублетом, имеем (рис. 54), согласно A7.3), С точностью до малых величин второго порядка малости можно положить р' — p = 8s-cos9, так как, проектируя соотношение *р'—р= 8*5 на направление векгора р, имеем: p'cos(9' — 6)—р = 8s • cos 9. Разлагая In II—- , р j в ряд, имеем в пределе при 8s->0 Alcos 0 /ion "р = —ъаг- A8Л) Для сопряженной функции тока находим по формулам A3.5): а для комплексного потенциала получается выражение М cos 6 — i sin 0 М 1 М \_ W ~~~2^ ( 8 + ~ ~~ Ъ. 7 2^r (cos sin 6) и, следовательно, простой полюс z = 0 комплексного потенциала, дающий для поля скоростей картину, изображенную на рис. 52, может быть гидродинамически истолкован как дублет в начале координат, ось которого направлена по Ох. Нетрудно видеть, что если ось дублета составляет угол я с осью Ох, то выражение для комплексного потенциала б^дет: Если на плоскости Оху в точках z = av z = а2, .. ., z — ап поме- помещены дублеты, моменты которых равны Mv M2 Мп, а оси обра-
5 19] ВИХРЕВЫЕ ТОЧКИ 139 згют упы аь а2, . . ., ая с вещественною осью Ох, то комплексный потенциал выразится формулой § 19. Вихревые точки. Можно дать еще иное гидродинамическое пстолкование логарифмической точке в комплексном потенциале, чем то, которое было дано в § 17, где показывалось, что поле скоростей, определяемое комплексным потенциалом т , да = -ЙГ1пг, может быть получено, если поместить в начале координат источник мощности т. Чтобы получить новое истолкование, достаточно, как было показано выше в § 13, переменить роли у линий тока и потен- потенциальных линий, т. е. за потенциал скорости принять — ф, за функ- функцию тока взять функцию ср § 17. Такая замена равносильна умноже- умножению комплексного потенциала па i. Положив, следовательно, w=2^lnz, A9.1) мы имеем д ш потенциала скорости выражение <Р = --?в, A9.2) показывающее, что потенциал уже нельзя рассматривать как однознач- однозначную функцию тока на плоскости Оху, так как при обходе вокруг начала координат по произвольному простому контуру величина потенциала изменится на ~Ь т (знак в зависимости от направления обхода). Для функции тока получается из A9.1) выражение ф = -^1пг, A9.3) которое показывает, что линии тока представляют собой концентриче- концентрические окр>жности с центром в начале координат. При этом движение жидкости во всех точках плоскости будет безвихревым, за исключе- исключением начала координат, где скорость по формуле A9.1) будет беско- бесконечно велика. Эту точку мы назовем вихревой, а величину цирку- циркуляции скорости Г, равную—т при положительном направлении обхода вокруг начала координат, назовем интенсивностью или на- напряжением вихревой точки; при этом величина циркуляции не завлсит от формы контура, по которому совершается обход. Таким образом получается, чго вихревая точка 2 = 0 создает плоское движение, определяемое комплексным потенциалом ^ = — In г. A9.4)
14Э ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV Очевидно, что если вихревой точкой служит не начало координат, а точка z=a, то выражение комплексного потенциала будет: Г , , W = i.T.1 a). A9.5) вых точек z ¦¦ Z — й, Fein в плоскости Оху имеется несколько изолированных вихре- ., z — ап с иптенсивностями Tv Г2, . . ., Гп, то движение будет определяться комплексным потенциалом «»= — 2^ Zl Г" 1п (Z ~ аъ)- * = 1 A9.6) § 20. Вихреисточники. Рассмотрим течение, определяе- определяемое комплексным потенциалом w ¦¦ ¦¦4-\nz. B0.1) где q — некоторое комплексное число, которое мы представим У у в форме q = m — iT. B0.2) Рис. 55. Если q вещественно, то на- начало координат служит источ- источником с обильностью т; если же q чисто мнимое, то начало координат является вихревой точкой с интенсивностью Г. В общем случае, когда q комплексно, начало координат представляет особенность, которая носит название вихреисточника. В этом случае плоское течение, определяемое комплексным потенциалом B0.1), можно трактовать как результат наложения друг на друга течения, созданного вихревой точкой г-0 с интенсивностью Г, и течения, созданного источником обильности т, помещенным тоже в начале координат. Полагая z = reif> и выделяя в комплексном потенциале w = —g^— (In r -+- 6г) вещественную и мнимую части, мы найдем для потенциала скорости <р и для функции тока ф выражения ср = рг— (/и In /¦ —I- Г6); ф = ^—(/иб—Г In л). Эти выражения показывают, что линиями тока служит семейство логарифмических спиралей (рис. 55)
§ 21] ВЫЧЕТЫ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ 141 а изопотенциальными линиями — другое семейство спиралей ортогональных к спиралям первого семейства. § 21. Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости. Как известно из теории функций комплексного переменного, структура аналитической функции F (z) вполне определяется распре- распределением в плоскости z особых точек функции и их характером. Теория вычетов дает возможность без труда выразить циркуляцию и поток скорости по любому контуру, если для комплексной скорости ¦а = dw/dz известны распределение простых полюсов и им соответ- соответствующие вычеты. В самом деле, если простые полюсы функции v лежат в точках z = a1, z — a2 z = ап и вычеты, им соответ- соответствующие, суть/4j, A2 А„, то линейный интеграл от функции v по любому замкнутому контуру L, заключающему в себе полюсы ах, а2, .... ап, дает л j ^k. B1.1) С другой же стороны, отделяя вещественную часть от мнимой, имеем: dz = &(vx — vyi) (dx -f dyi) = = (? (vx dx -+- Vy dy) -f I (? (vx dy — vy dx). B1.2) Вещественная часть ф vx dx.-\- vy dy представляет собой циркуляцию скорости по контуру L Коэффициент же мнимой части согласно A2.4) есть не что иное, как поток II скорости сквозь контур L, выражающий секундное объемное количество жидкости, вытекающее из источников, лежащих внутри контура: И = Л) (vx dy — vy dx). Выделяя вещественную и мнимую части каждого вычета
142 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV и сравнивая вещественные части в B1.1) и B1.2), находим выраже- выражение циркуляции скорости через вычеты комплексной скорости п Г = — 2тг S Pft- B1.3) Аналогично для потока скорости получаем: 11 = 2* |>й. B1.4) § 22. Упражнения. (Во всех задачах рассматривается плоское безвих- безвихревое движение несжимаемой жидкости.) 1. Исследовать движение, определяемое потенциалом скорости у = ах (х2 — Зу2) (а > 0). Какой объем жидкости V протекает каждую секунду через отрезок прямой линии, соединяющей точки г, = 0 и г2 = 1 +»'? Ответ, w = az3, ф = ay (Зх2 — у2), линиями тока служат в частности пря- прямые у = 0, у =-У 3 х, так что можно поставить стенки, идущие вдоль поло- положительной оси Ох и под углом 60° к ней; V=2a. 2. Рассмотреть движение, определяемое комплексным потенциалом w — а У~г (а > 0), в области, получающейся, если вдоль положительной осн Ох поставить стенку. Показать, что линиями тока служат параболы. Ответ. Линии тока суть параболы у2 = 4с2 (х -f- с2), охватывающие положительную ось Ох; линиями равного потенциала скорости служат орто- ортогональные параболы у2 = 4с2 (с2 — х) (здесь с — произвольная постоянная). 3. Исследовать движение, определяемое комплексным потенциалом w = га In 1г j (га > 0). В каких точках находятся источники и стоки? Найти, положив z = re , потенциал скорости и функцию тока и показать, что можно рассматривать движение в квадранте, ограниченном осями координат и окружностью г = 1. Найти, какой объем жидкости V протекает через линию, соединяющую точки zx = i, гг = 1/2. Ответ. 2 источника: в точке г = -|-1и г = — 1, один сток в точке z = 0; — 2r2 cos 29-fl , , Г (г2 + 1) tg 9 2—; ^ = от arctg [v rT , Vr— 2r cos 29-fl , , 9 = от In ^ 2—; ^ = от arctg [ rT_ уравнение линий тока в декартовых координатах (¦*2 + У2 + 1) У = с* (*2 + У2 - 1), в частности, линиями тока являются оси координат и окружность хг-\-у2 — \; 4. Пусть в верхней полуплоскости у > 0 имеется несколько источников интенсивности тк в точках zk и несколько вихрей интенсивности Г? в точ- точках г;. Показать, что если поместить еще в нижней полуплоскости в точках г;.,
§ 22] УПРАЖНЕНИЯ 143 симметричных точкам г& относительно вещественной оси, источники той же интенсивности mk, а в точках z\ вихри интенсивности — Гг (как гово- говорят, если отразить источники и вихри от оси Ох), то ось Ох сделается линией тока и может быть поэтому заменена твердой стенкой. 5. Найти комплексный потенциал и уравнение линий тока в полярных координатах для движения жидкости в квадранте, ограниченном осями коор- координат х и у, если известно, что в точке z => I -f- i находится источник интен- интенсивности т, в точке z = 0 — сток той же интенсивности т. Найти еще величину скорости vx в точке г = 1. Указание. На основании предыдущей задачи отражаем систему источ- источников сначала от оси Ох, после чего всю систему источников отражаем от оси Оу. Ответ, w = т^-lnfl + р) , sin 4» = с (г4 + 4 cos 46), Vl= — ~. 6. Найти функцию тока для движения в верхней полуплоскости, огра- ограниченной стенкой, идущей вдоль оси Ох, если известно, что в точке г = I находится дублет интенсивности т, имеющий направление положительной оси Ох. Показать, что та же функция определяет движение жидкости вну- внутри некоторого полукруга. Указание. Воспользоваться задачей 4. 7. Дано движение, определяемое комплексным потенциалом Найти, какой объем жидкости протекает через окружность x2-j-y2 и чему равна циркуляция скорости Г по этой окружности. Ответ. V = 12л, Г = Ы.
ГЛАВА ПЯТАЯ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ И ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА О СОХРАНЕНИИ ВИХРЕЙ § 1. Введение. В главе четвертой был рассмотрен ряд таких движений идеальной жидкости, в которых существовал потенциал скорости ср, так что вектор скорости v, представлялся в виде гра- градиента этой функции: я = grad ср или dv dv die „ ,. эти движения идеальной жидкости называются движениями с потен- потенциалом скорости или безвихревыми движениями жидкости. По- Последнее название объясняется тем обстоятельством, что для движений с потенциалом скорости вихрь скорости обращается в нуль. В самом деле, вихрь скорости Q —rot© есть вектор, составляющие которого определяются формулами: _dvz dvy_ _dvx dvz_ _dvy dvx ^x — -dy~dz' У~ dz ~dx ' ^z — "dx~~ 7 U-^ и обращаются в нуль в случае выполнения условий A.1); например, для составляющей вихря скорости по оси Ох имеем: q 0 х ду dz dz ду Итак, если v = grad ср, то Й = го^ = 0. A.3) Вообще для любой функции ср всегда будет rot grad cp = O. A.4)
ВВЕДЕНИЕ 145 Отметим, что, обратно, из условия A.3) вытекают уравнения A.1), как показывается в векторном исчислении. Таким образом, в безви- безвихревом движении наверное существует потенциал скорости. Задачей этой главы является рассмотрение таких движений идеаль- идеальной жидкости, в которых вектор Q — вихрь вектора скорости — отли- отличен от нуля, по крайней мере, в некоторой части рассматриваемой жидкости. Такие движения мы будем называть вихревыми движе- движениями жидкости. Вихревые движения жидкости могут быть обнаружены при самом элементарном наблюдении. Таково, например, движение воды реки в тех местах, где она обтекает быки моста: за последними обнаружи- обнаруживаются ясно видимые вихревые области. При движении какого-нибудь тела в жидкости, например корабля, за ним также образуются вихри. На образование этих вихрей нужно затратить некоторую энергию; очевидно, что эта энергия получается за счет энергии тела, кото- которое, таким образом, должно преодолевать некоторое сопротивление жидкости. Это сопротивление, вызываемое образованием вихрей, можно назвать вихревым сопротивлением. Циклоны и антициклоны, обусловливающие до некоторой степени погоду тех мест земли, над которыми они находятся, рассматриваемые с шдродииамической точки зрения, тоже представляют собой вихревые образования; еще более резкой формой вихревых образований в атмосфере являются смерчи. Кинематика вихревых движений была отчасти рассмотрена в главе первой. Вспомним некоторые определения и результаты этой главы. При рассмотрении движения частицы жидкости в § 1 главы пер- первой было выяснено, что это движение можно разложить на три части: поступательное движение частицы, деформа- деформацию частицы и вращение частицы. Вихрь век- вектора скорости определяет именно вращение ча- частицы. Если бы частица жидкости была твер- твердой и вращалась с угловой скоростью ш, то вихрь скорости Q был бы вдвое больше ш и имел бы то же направление, что вектор угловой скорости ад. Итак, вихрь скорости,Q характе- характеризует вращение отдельных частиц жидкости, а не их поступательное движение. Можно представить себе такое движение жидкости, в котором каждая частица жидкости бу- будет двигаться только поступательно, так что это движение будет безвихревое, а между тем вся масса жидкости, как целое, будет двигаться по кругу. Для этого заставим прямо- прямоугольный сосуд с жидкостью (рис. 56) перемещаться параллельно самому себе, причем так, чтобы центр его описывал окружность. Мы получим тогда безвихревое движение жидкости, находящейся в сосуде. Ю ^ак. 11У0
146 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Обратным примером является движение жидкости слоями (рис. 57), определяемое формулами vx=ay; vy==0; vz = 0, в котором каждый слой жидкости, параллельный плоскости Oxz, дви- движется параллельно оси Ох, причем скорость движения тем больше, у, чем дальше рассматриваемый слой от- v / ^_ стоит от плоскости Oxz. JL/__a В этом движении v i-%^'---^.. q о, Q ~ 0, 2= — а; О* - х следовательно, рассматриваемая жид- рис 57. кость всюду завихрена. Дело в том, что квадрат /, состоящий из жидких частиц, при своем движении деформируется, превращаясь в парал- параллелограмм //, причемм эту деформацию можно разложить, как было показано в главе первой, на чистую деформацию (в данном случае растяжение вдоль линии а и сжатие вдоль линии C) и последующее вращение деформированного квадрата в направлении, указанном стрел- стрелкой (от оси Оу к оси Ох). Итак, нужно иметь в виду разницу между обыденным понятием о вихревом движении как о движении по кругам и т. п. и гидро- гидродинамическим понятием о вихре, разъясненным в главе первой и только что выше. Может быть, следовало бы оттенить эту разницу в терминологии, однако мы будем придерживаться общепринятой терминологии. Вспомним определение вихревой линии: вихревой линией назы- называется такая линия, во всякой точке которой вихрь скорости напра- направлен по касательной к этой линии. Поэтому уравнения вихревой линии имеют вид dx dy dz Если взять замкнутую линию и через каждую точку ее провести вихревую линию, то совокупность всех таких вихревых линий огра- ограничит вихревую трубку. В § 19 главы I было указано на очень тесную связь понятия вихря вектора с понятием циркуляции вектора по замкнутому кон- контуру L, на котором выбрано определенное направление: Г = ф v ¦ ds = ф vxdx -f- v dy -j- vzdz. (\.b) L L А именно, если взять бесконечно малый плоский контур L, то циркуляция скорости v по этому контуру равна произведению пло- площади о, охватываемой контуром, на составляющую вихря скорости
j 2] ТЕОРЕМА ТОМСОНА 147 Q = rot V, взятую на направление и, перпендикулярное к плоскости контура L: Г=2„о. A.6) При этом, поскольку мы пользуемся правой системой координат, следует брать направление в ту сторону пространства, откуда ориенти- ориентировка контура L кажется направленной против стрелки часов. Так как проекция вектора на свое собственное направление имеет наибольшую величину по сравнению с проекциями вектора на какое- либо другое направление, то, при поворачивании плоскости контура L различными способами, циркуляция по этому контуру будет макси- максимальной в том случае, когда плоскость контура будет стоять перпенди- перпендикулярно к направлению вихря и будет равна Г = 9о. A.7) Формула A.6) может быть обобщена на случай любого контура L конечной величины, на котором выбрано определенное направление обхода; в этом случае она называется формулой Стокса и имеет следующий вид: -ds= С JQnda. A.8) L (S) Здесь ? есть поверхность, ограниченная контуром L; da — элемент этой поверхности; Qn — проекция вектора вихря Q на направление перпендикуляра к элементу поверхности da, выбираемое согласно вышеуказанному. Было отмечено далее, что расхождение вихря всегда равно нулю: divrot© = О, и при помощи этого была доказана следующая теорема о постоянстве циркуляции вдоль вихревой трубки: значения циркуляции по любому замкнутому контуру, охватывающему данную вихревую трубку, равны между собой. Это значение циркуляции было названо интенсивностью вихревой трубки. Для бесконечно малой вихревой трубки ее интенсивность равна по формуле A.7) произведению величины вихря на площадь бесконечно малого поперечного сечения трубки, нормального к ее оси. Теорема о постоянстве интенсивности вихревой трубки вдоль ее оси была установлена Гельмгольцем, создателем теории вихрей. § 2. Теорема Томсона. В 1858 году Гельмгольц в своем знаме- знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря 2, из которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В. Томсоиом. Л\етод 10*
148 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Томсона основан на широком применении понятия циркуляции ско- скорости, понятия, как мы знаем, тесно связанного с понятием вихря скорости. Мы начнем изучение вихревых движений с изложения метода Томсона. Рассмотрим в момент времени t0 какую-нибудь линию А0В0, проведенную в жидкости. Мы будем рассматривать эту линию как жидкую линию, т. е. составленную из жидких частиц. В любой другой момент времени t частицы, составляющие линию А0В0, образуют новую линию АВ. Рассмотрим теперь линейный интеграл от скорости V по линии АВ, т. е. выражение J= АВ f— I (vxdx-\-vydy-\--vzdz). AB B.1) В случае замкнутости линии АВ интеграл J обращается в циркуляцию скорости по замкнутому контуру АВ. В момент tf = t-{-At жидкие частицы образуют линию А'В', а линейный интеграл по А'В' будет иметь значение /= f v'-ds= f А'В А'В' где v' есть вектор скорости в момент f. Чтобы охарактеризовать изменение J с течением времени, составим производную от J по вре- времени, т. е. составим следующее выра- выражение: dJ ,. J'—J —JT = ИГЛ -j-. , где M = t' — t. Нашей первой задачей будет вычисление величины dJjdt. Рассмотрим жидкие частицы, распо- Рис. 58. ложенные в момент t0 на кривой А0В0 (рис. 58). Каждую такую частицу бу- будем характеризовать своим значением некоторого параметра о. Можно, например, взять за этот параметр длину дуги кривой А0В0, отсчиты- отсчитываемую от точки Ао. Ясно, что декартовы координаты х, у, z любой жидкой частицы, лежавшей в момент времени /0 на кривой А0В0, будут функциями как от с, так и от t: х = х (о, t), у — у (о, t), z = z (о, t); B.2) иными словами, радиус-вектор точки М относительно начала коор- координат О есть функция от о и t = Г(С, t). B.3)
§ 2] ТЕОРЕМА ТОМСОНА 149 Выражение циркуляции B.1) запишется следующим образом: АВ АВ Так как ant являются в формулах B.2) и B.3) независимыми пере- переленными, то при дифференцировании J по t нужно da рассматривать как постоянную величину. Ясно далее, по определению скорости, что и следовательно, дгг (a, t) dv(a, t) и точно так же dv (о, t) . ,. где w (a, t) есть ускорение частицы. Поэтому dt J \dt ' да) ° ~т~ J \ ' dadt АВ АВ -Л—1)*+Л-7 АВ АВ Первый член справа построен совершенно аналогично выражению B.4) и есть линейный интеграл от ускорения (w-ds), B.6) АВ ' ' АВ ' АВ что же касается второго члена, то мы имеем очевидную формулу d (<о ¦ ю) = dv ¦ 1) -f- v • dv = 2 (© • dv), следовательно, и значит, Л)/ АВ АВ Возвращаясь к эйлеровым переменным, будем пользоваться обо- обозначением
150 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V и тогда вследствие B 6) и B 8) формула B.5) примет вид АВ Это и есть искомое соотношение. Если контур АВ есть замкнутая линия ?, то точки В и А совпа- совпадают, vB =¦ vA, и, следовательно, формула упрощается, принимая вид Таким образом имеет место следующая теорема. Теорема. Производная по времени от циркуляции ско- скорости v по некоторому замкнутому контуру равна циркуляции от ускорения dvjdt no тому же контуру. Возьмем теперь основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера If^F-lgradp B.12) и сделаем два следующих предположения. 1. Сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V, так что 2. Жидкость считаем баротропной (см. § 11 главы II), т. е. р = ф(р), p = W(p). B.14) В таком случае dP — n<^ B.15) и следовательно, , п 1 grad Р — — grad p. Уравнения Эйлера принимают вид B.16) dj Подставим это выражение для ускорения в формулу B.10) для dt АВ
§ 3] ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 151 но по самому определению grad cp имеют место формулы grad ср • ds — rfcp, Г grad cp . ds = срв — срд, и значит, т. е. / /in 11/ 1 О 21 J_ M/ | о 2 \ /O 1 7\ В случае замкнутого контура L точки В и Л совпадают, и уравне- уравнение B.17) принимает вид откуда после интегрирования сразу получается v-ds — const. B.18) В этом равенстве и состоит основная теорема Томсона. Теорема Томсона. Если массовые силы допускают потен- потенциал, а идеальная жидкость баротропна, то циркуляция ско- скорости по любому замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменной. Непосредственным следствием этой теоремы является теорема Лаграижа. § 3. Теорема Лагранжа. Пусть: 1) жидкость идеальная, 2) сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V и Ъ) плотность жидкости является функцией давления р = ф(р); тогда если в начальный момент времени в некоторой части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой части жидкости. Подчеркнем, что здесь речь идет об определенной массе жидкости, а не об определенной части пространства. Для доказательства тео- теоремы Лагранжа заметим, что, по условию, в начальный момент вре- времени в рассматриваемой части жидкости ?2=0; поэтому, в силу формулы A.8), циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, лежавшему в рассматриваемой части жидкости, равна нулю v ds = 0. По теореме Томсона, циркуляция скорости по жидкому контуру L будет равна нулю и во все время движения. Но тогда из той же
152 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V формулы A.8) вытекает, что для любой поверхности, целиком лежа- лежащей в рассматриваемой части жидкости, Но это может быть только, если в любой точке рассматриваемой части жидкости и для любого направления п окажется 2„ = 0, иными словами, в любой точке рассматриваемой части жидкости и в любой момент должно быть 2 = 0, что и доказывает теорему Лагранжа. Так как отсутствие вихрей равносильно существованию потен- потенциала скорости, то теорему Лагранжа можно высказать еще в такой форме: Если в начальный момент времени движение обладало потен- потенциалом скорости, то оно будет обладать потенциалом скорости и во все время движения. § 4. Теоремы Гельмгольца. Докажем теперь две основные тео- теоремы Гельмгольца. Теорема о сохранении вихревых линий. Если сделать те же предположения, что в теореме Лагранжа, то частицы жидкости, образующие в некоторый момент, времени вихревую линию, во все время движения образуют вихревую линию. Для доказательства мы рассмотрим сперва вихревую поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой вихрь скорости И касается этой поверхности; такую поверхность можно получить, выбирая какую-нибудь линию (которая должна быть отличной от вихревой линии) и проводя через каждую точку этой линии / вихревые линии. Докажем, что частицы жидкости, составлявшие в некоторый момент вихревую поверхность 5, будут образовывать во все время движения вихревую поверхность. В самом деле, возьмем на поверхности 5 бесконечно малый контур L. По формуле A.8) О ti^ Циркуляция скорости по этому контуру равна нулю, так как во всякой точке поверхности 5 нормальная составляющая вихря Qn равна нулю (ибо й лежит в касательной плоскости к S). В следующий момент времени V жидкий контур L примет положение L', причем, конечно, U будет лежать на поверхности S', образованной теми частицами жидкости, которые раньше составляли поверхность 5; по теореме Томсона, циркуляция скорости по кривой U в момент ? равна цирку- циркуляции скорости по кривой L в момент t, т. е. равна нулю: о' • ds — 0. V
§ 4] ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЫДА 153 Но тогда из формулы A.8) вытекает f fQ'ndS=:0; при этом контур U можно взять сколь угодно малым и где угодно лежащим на поверхности S', но тогда непременно во всякой точке поверхности S' ; а это и значит, что поверхность S' есть вихревая поверхность. Возьмем теперь в момент t вихревую линию /; через нее можно провести две пересекающиеся вихревые поверхности 5 и S. В какой- либо другой момент времени частицы, составлявшие поверхности 5 и ?, образуют соответственно поверхности S' и ?', при этом частицы, составлявшие линию пересечения / поверхностей 5 и D, образуют линию пересечения /' поверхностей S' и Е'. В каждой точке кривой /' вихрь скорости И' должен лежать в касательной плоскости как к поверхности S', так и к поверхности ?', т. е. 2' должен быть направлен по пересечению этих касательных плоскостей, а это пере- пересечение представляет как раз касательную к линии /'. Итак, линия /' есть вихревая линия, и теорема доказана. Итак, в рассматриваемом случае каждая вихревая линия сохраняет свою индивидуальность в том смысле, что каждая вихревая линия перемещается в пространстве вместе с частицами жидкости, ее соста- составляющими. Это свойство мы будем называть свойствами сохраняе- сохраняемости епхревых линий, а то.да название доказанной теоремы ста- НОВН1СЯ совершенно понятным. Следствие. При тех же предположениях любая вихревая трубка во время движения будет оставаться вихревой трубкой, так как она ограничена вихревыми линиями, которые все время остаются вихре- вихревыми 1ННИЯМН. Точнее говоря, это следствие надо понимать таким образом, что частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую трубку, в любой следующий (или предыдущий) момент времени тоже образуют вихревую трубку. Теорема о сохранении интенсивности вихревых трубок. Если сделать те же предположения, что в теореме Лагранжа, то интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остаемся постоянной. В самом деле, интенсивность вихревой трубки в момент t опре- определяется как раз циркуляцией скорости по контуру, охватывающему один раз рассматриваемую вихревую трубку
154 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Но тогда рассматриваемая теорема есть непосредственное след- следствие теоремы Томсона, по которой ф v ¦ ds = ф v' ¦ ds. § 5. Сохраняемость векторных линий. Ввиду важности устано- установленных только что теорем Гельмготьца, мы докажем их еще. раз иным методом, исходя из дифференциальных уравнений для вихря скорости. Но предварительно нам нужно остановиться на общем вопросе об условиях сохраняемости векторных линий. Пусть мы имеем какую-либо движущуюся среду, поле скоростей которой дается вектором v{r, t), зависящим, вообще говоря, и от времени. Рассмотрим кроме того еще какой-либо другой вектор а (г, t), как, например, вектор ускорения dv/dt или вихрь скорости rot©. Проведем векторные линии вектора а, т. е. линии, в каждой точке которых вектор а имеет направление касательной к этой линии. Уравнение этих линий в векторной форме есть dr X а = О, или в декартовых координатах: dx dy dz ах (х, у, z, t) ау (х, у, z, t) az (х, у, z, t) ' Совершенно ясно, что для двух разных моментов времени ( я С мы получим, вообще говоря, разные совокупности векторных линий. Рассматривая какую-нибудь векторную линию, соответствующую моменту t\ мы обнаружим, вообще говоря, что она состоит из частиц среды, которые в момент t принадлежали различным векторным линиям. Но, в частном случае, может оказаться, что частицы среды, составляющие к моменту ? векторную линию, в момент t тоже образовывали векторную линию. Если это последнее обстоятельство имеет место для любых моментов времени t и ? и для любых век- векторных линий данного вектора а, то мы будем говорить, что вектор- векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости. Если векторные линии вектора а обладают свойством сохраняе- сохраняемости, то каждая векторная трубка будет во все время движения сплошной среды оставаться векторной трубкой, так как она ограни- ограничена совокупностью векторных линий, каждая из которых остается все время векторной линией. Но в этом случае опять-таки можно различить два подслучая: первым подслучаем будет тот, когда интен- интенсивность векторной трубки f fandc,
§5] СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 155 где ? — поперечное сечение трубки, меняется с течением времени; вторым же подслучаем будет тот, когда интенсивность любой вектор- векторной трубки во все время движения сохраняет свою величину. В этом последнем подслучае мы будем говорить, что интенсивность век- векторных ф}бок обладает свойством сохраняе- сохраняемое in. Мы >же имели выше пример вектора, для которою векторные линии и интенсивности векторных трубок обладают свойством сохра- сохраняемости; а именно, по доказанным выше тео- теоремам Гельчгольца, таким вектором является вихрь скорости в любом движении идеальной баротропной жидкости, которая находится под дейс1вием сил, имеющих потенциал. Мы будем в дальнейшем предполагать, что в рассматриваемой области векторы ч> и а непрерывны вместе с их первыми частными производными и что величина вектора а отлична от нуля. Тогда через каждую точку рассматри- рассматриваемой области будет проходить одна и только одна векторная линия. Докажем теперь следующую основную тео- теорему, принадлежащую А. А. Фридману1). Теорема. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы сохранялись как векторные линии вектора а, так и интенсивности векторных трубок, состоит в выполнении ра- равенства рис -т- (а E.1) во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени t. Доказательство этой теоремы мы разобьем на три части. 1. Покажем прежде всего, что необходимое условие для сохра- сохраняемости векторных линий вектора а состоит в выполнении равенства ?-(«.7)«1Х« = О. E.2) В самом деле, пусть MN (рис. 59) есть некоторая векторная линия в момент t, a M'N' — линия, составленная к моменту t'~t-^-M из тех жидких частиц, которые в момент t образовывали линию MX. Пусть при этом точка М перешла в точку М', а беско- бесконечно близкая к М точка Мх перешла в точку Мх. По условию, 1934. ) Фридман А. А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ,
156 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V линия M'N' есть векторная линия в момент f, следовательно, вектор а' = а -\- da касается линии M'N' в точке М'. Если мы введем обозначение Ьг = ММХ, то ясно, что Так как MN есть векторная линия, то огха = 0, E.3) или иначе Ьг — га, E.4) где е есть некоторое бесконечно малое скалярное число. Совершенно аналогично условие, что M'N' есть векторная линия, запишется так: (Ьг И- d Ьг) X (а + da) = О, или Ъг X а + d or X а + ог X da -\- d Ьг X da — 0. Первый член слева равен нулю в силу E.3), последний же член может быть отброшен как бесконечно малая величина более высо- высокого порядка, чем остальные члены. Деля остающиеся члены на dt, мы получаем условие Заметим теперь, что d , « dr s- c\ — of =^ о ? (О.Ь) ибо знаки dub можно переставить (знак d относится к дифферен- дифференцированию по времени, а знак 8—к дифференцированию вдоль кри- кривой MN); а так как -^-=(8r.V)«. E.7) = еа. E.8) Подставляя эти значения в E.5) и производя сокращение на е, мы придем к равенству E.2), что и требовалось доказать. то и, наконец d Ьг dt , по V формуле dbr E dv дх •4) - dr dt 1 ^ (а- 'У V) -V, dv ду V,
СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 157 II. Покажем теперь, что равенство E.1) есть необходимое условие того, чтобы сохранялись не только векторные линии вектора а, но и интенсивности векторных трубок. Доказательство протекает совершенно аналогично, нужно только учесть добавочное условие сохраняемости интенсивностей векторных трубок. Рассмотрим бесконечно тонкую векторную трубку; ее интенсивность равна / = ас, где а есть площадь поперечного сечения трубки в точке М (рис. 60). Через промежуток времени dt вектор- векторная трубка займет новое положение, и для ее интенсивности мы будем иметь выражение /' = а'а'. Рис. 60. где а' есть площадь поперечного се- сечения трубки в точке М'. По условию должно быть 1', т. е. E.9) Используем теперь условие, что в новом положении векторная трубка заполнена теми же самыми частицами, что и в первоначаль- первоначальном положении. iMacca бесконечно малого цилиндра, вырезанного из вихревой трубки и имеющего основанием поперечное сечение трубки а, а высо- высотой длину MMi= \Ъг\, равна т = ра|8г|, где р есть плотность среды в момент t в точке М. Указанный беско- бесконечно малый объем перейдет в цилиндрический объем трубки, по- поперечным сечением которого будет а', ребром М N\\ = \or~\-d Ьг\, а массой где р' есть плотность в момент V в точке М'. Так как массы ука- указанных двух объемов должны быть одинаковы, то мы будем иметь т = т', т. е. ра|8г| =p'o'\br-\-dbr\. Сравнивая это равенство с E.9), найдем, что 1»г| _ 9 а ~ E.10)
158 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Введем еще, для краткости письма, в рассмотрение новый вектор Д = -^, E.11) тогда мы можем переписать E.10) в виде \Ьг \br-\-dbr\ А' E.12) где через т) обозначена общая величина предыдущих отношений. Но мы знаем, что векторы Ьг и А имеют одинаковое направление, по- поэтому имеет место не только скалярное равенство E.12), но и век- векторное: br = riA, E.13) и Ьг + d Ьг —. т\А' = т) (А + dA) = -цА +1\ dA. Вследствие равенства E.13) это последнее соотношение упрощается: dbr dA _ -чг-^чт- EЛ4) Применяя формулу E.7), будем иметь: ^^ r?\ dA (Ьг- V)v = yl-W, и, наконец, пользуясь E.13) и сокращая на т], получим: -g—(i4-V)tf = 0. E.15) Итак, мы нашли искомое необходимое условие в следующей форме: 7(a-V)w=:0- EЛ6) Нетрудно преобразовать это условие к виду E.1). В самом деле, мы имеем очевидно: jl(a\ J_ ~dt \J) ~~ p dt ~t~ d Но по уравнению непрерывности do поэтому
§ 5] СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 159 Подставляя это значение в равенство E.16) и сокращая на 1/р, при- приходим к требуемому равенству: вполне эквивалентному равенству E.16). III. Покажем, наконец, что предыдущее условие является доста- достаточным для сохраняемости как векторных линий вектора а, так и интенсивностей векторных трубок. Построим векторные линии вектора а в начальный момент вре- времени t0. Построим теперь для любого момента времени t поле век- вектора а следующим образом. Берем произвольную точку Мо и прово- проводим через нее векторную линию Lo для момента t0. Пусть жидкие частицы, составляющие эту векторную линию, образуют к моменту времени t жидкую линию L и пусть точка Мо перейдет в точку М; тогда мы направляем вектор а в точке М в момент времени t по касательной к линии L, причем приписываем вектору а такую вели- величину, чтобы интенсивность бесконечно малой векторной трубки, охватывающей линию ?0, тоже сохранялась. Построенный вектор а обладает свойством сохраняемости вектор- векторных линий и интенсивностей векторных трубок, поэтому должно выполняться соотношение —г (а ¦ V)x»-f- a divf = 0. При t = tQ вектор а приводится к а. При этом вектор а, по усло- условию, тоже удовлетворяет уравнению E.1). Но дифференциальное уравнение E.1), будучи линейным относительно а, имеет единственное решение, принимающее в начальный момент времени определенные начальные значения. Поэтому вектор а должен совпасть с векто- вектором а и, следовательно, векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора а должны обладать свойством сохраняемости. Итак, высказанная нами теорема доказана теперь полностью. Вследствие важности вектора, стоящего в левой части равен- равенства E.1), Фридман ввел для него особое название и обозначение, а именно: этот вектор называется полным гелъмголъцианом век- вектора а, обозначается через helm а =-^~ — (а- V)v-\- adivo E.18) и читается «гельм вектора а». Итак, необходимое и достаточное условие сохранения векторных линий и интенсивностей векторных трубок вектора а состоит в равен- равенстве нулю гельма этого вектора.
160 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ. V § 6. Уравнения Фридмана. Уравнения Гельмгольца. Напишем основные уравнения гидромеханики идеальной жидкости [гл. II, F.4)]: vXtotv = F— у grad p. F.1) Из этих уравнений можно вывести другие, определяющие изме- изменение вихрей с течением времени. Для этого применим к обеим частям предыдущего равенства операцию rot; будем при этом поль- пользоваться обычным обозначением rot я = 2. Так как , dv д rot v да Х01~дТ — ~~дГ~ — ~Ж и так как rot grad ср — О, то в результате получим: -^ — rot {v X 2) = rot F—rot f- grad p\. F.2) Применяя формулу векторного анализа rot (cpa) = ср rot а -j- grad ф X я. легко найдем, что rot \j grad /?) = -- rot grad p + grad - X grad /?=—у (grad pX grad p). Точно так же вследствие равенств rot (a X Ь) = {Ь ¦ 7) а — (а • V) b -f~ a div Ь — b div a и div й = div rot v = 0 легко получим: rot[v X 2] = B • V)v — (v VJ —2divw. Равенство F.2) принимает поэтому форму ^ 4- (в • V) 2 — (Q • 7) v 4- Q div г» = rot F+ у2 (grad р X grad p). Замечая, наконец, что по определению полной производной dil
ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА \Q\ получаем окончательно основное соотношение (Q VHfQdiv0 = rot/|(gradpXgrad;,), F.3) указанное Фридманом. Смысл этого уравнения будет выяснен не- несколько ниже. Сделаем теперь два предположения: 1. Сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V, так что F= — gtadV, F.4) и следовательно, totF~0. 2. Плотность р есть функция давления р = Ф(р), (G.5) в этом случае grad р = Ф' (р) grad p, так что векторы grad p и grad p коллинеарны, и следовательно, grad р X gradp = 0. F.6) Уравнение F.3) в силу сделанных предположений сильно упро- упрощается, принимая вид —(Q. VH-j-Qdivz> = O. F.7) Это уравнение мы будем называть уравнением Гельмгольца. В частности, если жидкость несжимаемая, так что divw —0, то получается уравнение -^ = (Q.V)w, F.8) которое было впервые получено Гельмгольцем и на основе которого он вывел свои знаменитые теоремы о вихрях. § 7. Теоремы Гельмгольца. Если: 1) сила F имеет потенциал и 2) плотность есть функция давления, то вихревые линии и интенсивности вихревых трубок обладают свойством сохра- сохраняемости. На основе полученных результатов доказательство этих теорем получается сразу. В самом деле, вследствие сделанных предположений имеет место уравнение Гельмгольца F.7) или, короче, helm 2 = 0. G.1) Но в § 5 было выяснено, что при выполнении этого условия векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора Q 11 Зак. 1190
162 BUXPlBblF ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V обладают свойством сохраняемости, иными словами, как вихревые линии, так и интенсивности вихревых трубок сохраняются, что и требовалось доказать. В частности, при отсутствии вихрей в начальный момент времени их не будет и в любой следующий момент времени. Поэтому движения, бывшие безвихревыми в иекоюрый момгпт времени, всегда останутся безвихревыми, движения же, вихревые в некоторый момент времени, всегда буд\i вихревыми. Таким образом мы полу- получаем резкое разграничение всех движений на тва класса: безвихревые цвижения, или движения с пененцмалом скоросю, и вихревые дви- движения. Если сделанные в теоремах Гельмгольца предположения не выпол- выполняются, то теоремы Гельмгольца перестают иметь место и становятся возможными возникновение и разрушение вихрей. Итак, вихри могут возникать или разрушаться под действием трех главных причин: 1) селл силы, действующие на единицу массы жидкости, не имеют потенциала; 2) если плотность не является функцией одного только давления, а зависит и от других факторов, например темпера 1уры; наконец, 3) если жидкость не идеальная, как мы постоянно пред- предполагали до сих пор, а вязкая. Возможны еще некоторые причины внхреобразования. на которых мы, однако, не останавливаемся. Вопрос о влиянии вязкости на вихревые движения будет разобран а главе о вязкой жидкости. Сейчас же мы ос1ановимся на вопросе о том, как происходит внхреобразование вследствие двух первых причин. Заметим, что jравнение Фртчана F.3), которое можно чашеать в виде helm Q — rot F-\- --2- (grad р К kraJ /;). G-2) дает как раз количественное выражение тех изменений вихрей, которые происходят и силу отсутствия потенШ'Э и у внешних сил и и силу бароклинности жидкости. Нам будет }добисе, однако, пользоваться при изучении внхреобразования методом Томсона. § 8. Образование вихрей. Теорема В. Бьеркнеса. Рассмотрим сначала случай, когда не выполняется соотношение р — Ф (р). т. е. когда плотность определяется не только давлением, но и другими факторами, например температурой или влажностью (для воздуха), или соленостью (для морской воды) и т. д. В этом случае урав- уравнение B.12) может быть написано в виде ~ = - grad V—jgrad p; (8.1) из уравнения B.11) для производной от циркуляции скорости по замкнутому контуру L: Г = (? v ¦ ds
* 8] ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ 1EOPFMA В ВЬЕРКНЕСА 163 н(пучаегся: —^- = ф —- ¦ ds — — ф grad V ¦ ds — ф — (grad p ¦ ds), i i. I no grad V • ds --= dV; ф dV -= 0; grad p ¦ ds ~ dp, поэтому -rfj». (8.2) Эго уравнение, определяющее изменение циркуляции по жидкому конгуру L, было установлено В. Бьеркнесом. Мы установим, следуя ему, значение правой части уравнения (8.2) и после этого сформу- сформулируем теорему. Вместо плотности р удобнее рассматривать в данном случае обратную величину ш = |, (8.3) которая представляет, очевидно, объем единицы массы жидкости и иазыгается удельным объемом. Рассмотрим поверхности р = const.; такие поверхности называются исоЗарическими поверхностями. Рассмотрим еще другие поверхности, на которых со имеет одно и то же значение ш = const., и назовем их изостерическими поверхностями (т. е. поверхностями равного удельного объема). Если бы р = Ф(/?), то на изобарической поверхности р имело бы одно и то же значение, т. е. изобарические и изостерические поверх- поверхности совпадали бы между собою. В рассматриваемом же нами случае изобарические и изостерические поверхности будут пересекапся между собою. Если мы проведем изобарические поверхности, отве- отвечающие ряду значений р, отличающихся друг от друга на единицу, и точно так же построим нзостерические поверхности, отвечающие ряду значений ш, отличающихся друг от друга на единицу, то все пространство разобьется на ряд трубок, образованных двумя после- последовательными изобарическими поверхностями и двумя последователь- последовательными изостерическими поверхностями. Назовем эти трубки изобаро- изостерическими единичными трубками. Рассмотрим теперь нашу кривую L и подсчитаем, сколько изобаро-и:-остерических единичных трубок она охватывает. Предвари- Предварительно вычислим, чему равняется интеграл—cbwrfp, взятый по И"
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ V контуру /, охватывающему изобаро-изостерическую единичную трубку (рис. 61) ADCB. На линиях В А и DC давление р =¦- const., поэтому dp = O; на линии С В о) — ш0 -|- 1, р же изменяется от /70 —j— 1 до р0, поэтому А, — J и) dp == — (ш„ -4- 1 j f Cfl ил линии AD iu -- со0. р же изменяется oi p{) но р(|-(- Ро 1 — J о> dp — — ш0 I dp—~ o.(); поэтому окончательно — ф u) dp - = 1. Если бы мы ориентировали контур / в противоположную сторону, мы получили бы: — ф I» dp — — 1 Итак, ин1е1рал -фш^/р по контуру, охватывающему одну еди- единичную трубку, равен ir 1; при этом, как видно из чертежа, знак плюс берется в том случае, когда направление стрелки, идущей от grad p к grad со, одинаково с направлением об- обхода контура (на рис. 61 обход контура / совершается по часовой стрелке, и стрелка от gradp к grad ш идет по часовой стрелке). Знак минус берется в противо- противоположном случае. Будем теперь различать положительные и отрицательные единичные трубки, смотря по тому, будет ли вышеуказанный инте- г» грал — (bwdp, взятый по контуру, охва- тывающему трубку, равняться -\-1 или —1. Если контур / будет охватывать N1 положительных трубок (или N" отрицательных), то распространенный по этому контуру интеграл будет равняться N' (или — N") Ч*/ Рис. 61.
^ «J ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ ТЕОРЕМА В ВЬЕРКИЕСА 165 Поэтому в общем случае, когда контур L охватывает ряд трубок как положительных, так и отрицательных, мы можем провести добавоч- добавочные прямо противоположные контуры \ (рис. 62) и образовать таким образом два контура U и L", причем контур U очватывает только положительные трубки, контур /." — только отрицательные; при этом очевидно: ф oj <7/> — — ф со dp — ф in dp, и 1ак к.1К dp-^N', fcudp - V", L" РИС. 62. iae Л7' — число положительных единичных трубок, охватываемых контуром L, a N"—число отрицательных единичных трубок, охва- охватываемых тем же контуром, то р — ф oj dp - N — N , (8.4) i. с. интеграл— хи>я/? представляет разность числа положительных и<обаро-изостерических единичных трубок, пересекающих контур L, и числа отрицательных единичных трубок, пересекающих тот же контур. Теперь формула (8.2) может быть переписана следующим образом: —— = А/' -- N" (8 5) dt и сформулирована так: Теорема В. Бьеркнеса. Производная по времени от циркуляции скорости по какому-либо жидкому контуру L равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих контур L. При этом предполагается, что жидкость идеальная и что силы, дей- действующие на единицу массы жидкости, имеют потенциал. Так как Г = | v ¦ ds ¦= j J Qn dS, L (S) io теорему Бьеркнеса можно еще сформулировать так: производная по времени от потока вектора вихря скорости через какую-либо жидкую поверхность 5 равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изосгерических трубок, пересе- пересекающих поверхность 5.
166 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЬАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ V aradw Итак, пересечение изобарических и изостерических поверхностей является причиной образования вихрей. Если жидкость находилась в начальный момент в покое, но изобарические и изостерические поверхности пересекались, то по формуле (8.5) образуются вихри, которые в моменты, весьма близкие к начальному, будут образовывать трубки, совпадающие с пзобаро-изостернческими трубками. Сохра- Сохранения этих вихревых трубок, конечно, не будет, т. е. в следующие моменты времени вихревые трубки будут составлены из частиц жидкости, входящих в совершенно другой комбинации, чем в пре ш- дущие моменты времени. § 9. Примеры образования вихрей. Дадим несколько примеров образования вихрей. Рассмотрим, например, массу воздушной атмо- атмосферы без водяных паров, окружающей землю. Давление р, абсо- абсолютная температура Т и величина ю для сухого воздуха связаны между собою следующей зависи- зависимостью (законы Гей-Люссака и Бойля — Мариотта): здесь R — газовая постоянная, равная в технической системе единиц 29, 27, если температуру выражать в граду- градусах Цельсия и отсчитывать от абсо- абсолютного нуля, удельный объем—в кубических метрах, приходящихся па 1 кг воздуха, и р — в кг па см2. Таким образом, при одинаковом дав- давлении удельный объем прямо пропор- пропорционален температуре (закон Г^й- Люссака). Вследствие большего на- нагревания от солнца тропические страны теплее полярных; температура воздуха в нижних слоях атмосферы тропических стран значительно выше температуры воздуха полярных стран. Что же касается давления, то оно меняется гораздо меньше при переходе от полярных стран к тро- тропическим. Поэтому по формуле (9.1) мы можем заключить, что удель- удельный объем воздуха в тропических странах гораздо больше удель- удельного объема воздуха полярных стран. С другой стороны, возаух тем разреженнее, чем на большей высоте он находится, поэтому удель- удельный объем возрастает с высотой. Из сказанного ясно, что изостерп- ческие поверхности должны подыматься от экватора к полюсу, так как один и тот же удельный объем воздуха встретится на полюсе на большей высоте, чем на экваторе. Изобарические же поверхности мы должны считать приблизительно горизонтальными. Получайся пересечение изобарических (сплошные линии) и изостерических (пунктир) поверхностей (рис. 63) и, следовательно, произойдет обра- Энватор Рис. 63.
§ 9] ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 167 зоваыпе вихрей. Очевидно, что grad p направлен вертикально вниз, o-rad ш имеет составляющую к югу, поэтому стрелка, указанная на чертеже, показывает, что образуются вихри, сопровождающиеся циркуляцией следующего вида: воздух течет понизу or северных широт к южным, подымается на экваторе и поверху течет к север- северным широтам, где опускается. Эта циркуляция представляет собою пассаты и антипассаты тропических стран. Совершенно аналогично объяснение муссонов (неравномерное нагревание материка и океана зимой и летом) и бризов (неравно- (неравномерное нагревание суши и воды днем и ночью). Такой же самый случай имеет место при первоначальном образовании циклона вслед- вследствие местного нагревания солнцем, распространенною на большую площадь. Изобарические поверхности опять идут приблизительно горизонтально (рис. 64), в то время как изостерические поверхности -*— \ ч ч чх j X ч *-—¦ х ^-- 1 к—— 1 1 ^_^ L —— / —- Рис. 64. в ня!ретых местах идут низко, а в пенагретых — высоко (ибо в не- ншретых местах у поверхности земли плотность большая, а удельный ой р.см мал и делается большим только па некоторой высоте). Таким образом получаются нзобаро-пзостерпческие трубки, значит, происхо- происходит образование вихрей и, следовательно, циркуляции воздуха. Направление этой циркуляции определяется направлением стрелки от gTad p к grad со, т. е., как показывает чертеж, у нас образуется восходящее движение воздуха в центре области, нисходящее дви- движение на границах ее, причем внизу воздух притекает к центру об- области, наверху — оттекает от центра области. Полученная картина потоков воздуха отвечает случаю циклона. Обратная картина полу- получится, если вначале имело место местное охлаждение большой площади. Обратимся к рассмотрению морских течений. И здесь применение теоремы Бьеркнеса об образовании вихрей позволяет разобраться в картине имеющих место потоков воды. Роль неравномерного нагревания играет здесь неравномерная соленость воды. Более соленая вода оказывается при одинаковом давлении и температуре более плотной. Поэтому, если мы имеем массу воды разной солености,
168 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |1Л V например убывающей в сторону положительной оси Ох (рис. 65), то изостерические поверхности опить будут нак юнены к горизонту, причем grad ш будет иметь составляющую в сторону убывания соле- солености, в данном случае в сторону потожительной оси Ох, изобари- изобарические же поверхности мы опять можем считать приблизительно го- горизонтальными и, следовательно с°°5 grad р направтенным вертикально —~-р———; вниз. Направление стрелки от - ^'-' ^''' grad p к grad ш показывает тогда, ———-—^- что возникнут два течения: течение понизу более соленой воды и тече- иие поверху менее соленой воды. Примером таких течений могу г '' »- служить течения из Средиземного ~х моря в Черное и обратно. Так как Рис. 65 концентрация соли в воде Среди- Средиземного моря очень велика, ю, по вышесказанному, соленая и тяжелая вода Средиземного моря должна по дну течь из Эгейского моря через Дарданеллы и Босфор в Черное море, з то время как наверху должно быть течение менее соленой и потому более легкой воды из Черного моря через Босфор в Мра- Мраморное море. Это и имеет место в действительности (эти течения были изучены С. О. ^Макаровым). Аналогичная картина имеет место в Гибралтаре: более соленая вода Средиземного моря течет по дну в Атлантический океан, менее соленая вода Атлантическою океана переносится поверхностным течением в Средиземное море Рассмотрим теперь пример образования вихрей в том случае, когда сила F не имеет потенциала. А именно, рассмотрим движение воздуха над землей. Так как земля вращается около своей оси, ю мы должны рассматривать относительное движение воздуха. В главе второй было выведено уравнение относительного движения жидкости G.7) wr = F gradp — we — 2(o) X vr). (9.2) Обозначим относительную скорость vr просто через v, топа относительное ускорение dv Далее, we есть переносное ускорение точки, т. е. ускорение той точки земли М, в которой находится в рассматриваемый момент времени частица. Но если обозначить через R перпендикуляр, опу- опущенный из рассматриваемого положения частицы на земную ось и имеющий направление от земной оси к частице, то ускорение we будет равно — ю2#, где ш обозначает величину угловой скорости
5j 0] ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 169 вращения земли. В самом деле, точка земли будет описывать окруж- окружность радиуса R равномерно с угловой скоростью ш, следовательно, с линейной скоростью wR, и будет обладать только нормальным ускорением ^п =~ ^2R, направленным к земной оси. Итак: Огмотим, что этот вектор можно представить в виде градиента we — — grad [~2~) . (R* \ -:р)--/?; 3 самом деле, поверхностями уровня, на которых R2j2 постоянно, служат цилиндры, осью которых является темная ось; поэтому grad R2j2 направлен по нормали к цилиндру, проходящему через рассматриваемую точку, и имеет величину ^т? (R2 \ -я-1 совпадает с R. Поэтому уравнение (9.2) принимает вид dv ~dt — F— — grad />-|-grad I — ^—j — 2 (o> X v). где о) есть вектор угловой скорости вращения земли, направленный по оси земли к северному полюсу (мы пользуемся правой системой координат), так как земля, если на нее смотреть с южного полюса, вращается по часовой стрелке. Примем, что на воздух действует только сила притяжения к центру земли и потенциал згой силы обозначим через V: F=~ grad V. Тсгда будем иметь: AL = _ grad V + grad (^i) _ 2 (« X *) - j Если положить V-^- = W, (9.3) то W будет потенциалом силы тяжести, слагающейся из силы притя- притяжения к центру земли и центробежной силы, возникающей от вра- вращения земли. Итак, при рассмотрении относительного движения на вращающейся земле основное уравнение гидродинамики имеет вид dv J „ ^ _ grad й- -- 2 (to X v) — ~- grad p. (9 А)
170 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Сравнение с уравнением B.12) показывает, что F=— gradW — 2(»Xp). (9.5) и, следовательно, сила F не имеет потенциала. Аналогично тому, как из уравнения (8.1) мы получили уравне- уравнение (8.2), мы получим для производной от циркуляции скорости по замкнутому контуру L: 'If = ~ § 7 dp ~ 2 §(w x v)'ds> {9'6) L L Значение первого члена правой части было выяснено выше; остается найти значение второго члена правой части. Смешанное произведение (ft) X v) ¦ ds представляет собой объем параллелепипеда, построенного на трех векторах ft>, v и ds, взятый со знаком -\- или —, смотря по тому, как расположены эти три вектора. Этот объем равен произведению ребра параллелепипеда to на площадь поперечного сечения. Спроек- Спроектируем линию L на плоскость экватора па- параллельно земной оси и обозначим проек- проекцию L через L', проекции ds и v через ds' и 1)'\ тогда поперечным сечением вышеупомяну- вышеупомянутого параллелепипеда будет служить паралле- параллелограмм, построенный на ds' и v' (рис. 66). Если площадь, ограниченную контуром Z/, рцс_ 6(j_ обозначить через X' и представить векто- вектором Е', то приращение этой площади за про- промежуток времени It представится в виде суммы параллелограммов, построенных на сторонах ds' и v' M, т. е. откуда ~ причем это равенство справедливо как по величине, так и по напра- направлению (например, при расположении векторов, указанном на чер- чертеже, как v' X ds', так и dL' надо направлять за плоскость бумаги). Очевидно, что (а) X v') • ds' представляет объем того же параллелепи- параллелепис тем же знаком. Поэтому v) • ds = (й> X v') ¦ ds'. педа, что и значит, И (ft)> С<0 • ds. (ш и X (w X v) ¦ ds = (? (d) X ¦»') • rf«'- /. Но по правилу циклической перестановки векторов в скалчрно- векторном произведении имеем: (ю X *>') ¦ ds' = w • (г»' X ^s').
§ Ч) ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕЙ 171 и значит, Г' ф (» X v) ¦ ds i так как to и dH'jdt имеют либо то же самое направление, либо как раз противоположное. Итак: §>Xv).ds = v4?r, (9.7) где 2У представляет площадь, ограниченную кривой /.', проекцией кри- кривой L на плоскость экватора, и считаемую положительной в том случае, когда направление обхода контура L' кажется совершающимся против часовой стрелки, если смотреть на этот контур с северного полюса земли (ибо в этом случае площадь Е' представляется векто- вектором S', направленным к южному полюсу, так же как и вектор угло- угловой скорости вращения земли to). Итак, вспоминая еще значение первого члена уравнения (9.6), мы будем иметь: -?? = ЛР — /v" — 2<o-^-. (9.8) dt dt v Таким образом, помимо образования вихрей в силу пересечения изобарических и нзостерических поверхностей, мы будем иметь еще образование вихрей, происходящее в силу изменения площади, огра- ограниченной проекцией какого-либо жидкого контура на плоскость экватора. В качестве примера рассмотрим опять пассаты и антипассаты. Возь- Возьмем за контур L кривую, лежащую в нижних слоях атмосферы и охваты- охватывающую всю землю в виде параллели; за положительное направле- направление обхода по этой кривой примем направление от запада на восток. Благодаря пассатным ветрам эта кривая, состоящая из жидких частиц, будет расширяться, следовательно, площадь X/ б]-дет увеличиваться и. значит, по формуле (9.8) циркуляция по кривой L будет умень- уменьшаться; это означает, что появляется восточная составляющая ветра, т. е. а пассатах будут дуть ветры от северо-востока. Аналогично этому, в антипассатах должны иметь место юго-запад- юго-западные ветры. Аналогичные изменения претерпевает движение воздуха в циклонах. Если взять за кривую L окружность, которая располо- расположена в нижних слоях воздуха и центр которой чежит в нагретой области, и за положительное направление этой окружности — напра- направление, противоположное направлению движения часовой стрелки, то площадь Е', ограниченную1 проекцией этой кривой на плоскость экватора, мы должны считать положительной (предполагаем, что речь шет о циклоне в северном полушарии). Но, как было выяснено выше,
172 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V в нижних слоях циклона частицы воздуха продвигаются к центру, и поэтому контур L стягивается, площадь ?' уменьшается, а следо- следовательно, циркуляция по нему увеличивается, что может быть только, если появляется составляющая ветра, направленная вдоль по контуру против стрелки часов. Итак, в циклоне внизу воздух течет не прямо к центру его, а отклоняется вправо. Изложим еще вывод одной формулы Эртеля (Н. ErtelI), обоб- обобщающий теорему Бьеркнеса. Перепишем (9.4) в виде dv v2 ] -^-+grad y-sX rot v~ — grad W -f 2v X w grad p. (9.9) Объединим члены, содержащие rot г» и w, и введем «абсолютный вихрь» Q' по формуле roti?-i-2i!) = Q'. (9.10) Мы получим тогда: ж+?rad т - v х s' = ~ grad r - J grad p' или, если применить к обеим частям этого равенства операцию rot и вспомнить, что ~~§r—v, то -^ — rot (в X Й') = у grad р X grad р. \ ч. 11) Пусть теперь ф есть какая-то функция поля. Умножим скалярно обе части предыдущего равенства на grad 0. Получим: grad ф ¦ ^ — grad ф • rot (в X Q') = р- grad ф • (grad p X grad p). (9.12) Но по известной формуле div (а X Ь) = Ь ¦ rot а — а rot b, мы имеем (rot grad ф — 0) div [grad ф X (о X 2')] = — grad ф • rot (v X Q')< так что grad ф • -^1 + div [grad ф X (v X Й'I = = -^j- grad ф • grad о X grad /?. (9.13) ') Ertel H., Ein nener hydrodynamischer Wirbei^atz, Meteorol. Ztschr., 1942, стр. 277—281.
ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 173 С другой стороны, по формуле а X (Ь Х*с) - - Ьа ¦ с — са ¦ Ь имеем: Q' -f- v ¦ grad(grad ф ¦ Q') — Q' ¦ grad(t) • grad^) (9.14> (гак как divQ' — 0). Заметим теперь, что гак что grad (v ¦ grad ф) -— grad -~r— grad ~~. (9.15) Комбинируя (9.14) и (9.15), запишем (9.13) в виде -гт- (grad ф • ??)-{- grad ф • Q' div v -4- v ¦ grad (grad ф • Й') — ^k/ db 1 r\ — Is • grad —~ — —j- grad ф • (grad p X grad /?). (9.16) Объединяя первый и третий члены предыдущего равенства, получим: 4f" + grad '^ ' S"' div v = = -2- grad ф ¦ (grad p X grad p). (9.17) Заметим, что из (9.17) можно как частный случай получить фор- формулу F.3) из § 6. Для этого достаточно будет положить по очереди '1>=лг, ф~ .У- 'г'"-2- Действительно, положим, например, ф — х; так как тогда -^- — ^--\~<о ¦ ?ty~vK., мы получим вместо (9.17) проекцию на ось х зразнения F.3). Продолжим преобразование формулы (9.17). Используем уравнение ,. 1 da неразрывности, в силу которого awv-— -п, разделим обе части (9.17) на р и соберем члены. Получим: jt(\ grad if ¦ Q') - I 2' • grad §=~ gradф • grad p X grad I. (9.18; Эю — формула Эртеля. Если в качестве ф взять функцию, зависящую лишь от р и р, например энтропию, то правая часть (9.18) обратится в нуль. Осо- Особенно простой вид примет (9.18), если ф, кроме того, сохраняется
174 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V в частице, так что d<\>/dt = 0. Таким свойством будет, в частности, обладать энтропия при адиабатическом движении (гл. II, § 11). 6 метеорологии часто вводят так называемую «потенциальную темпе- температуру» 0 из равенства ' (919) где у — отношение 1еплоемкостей, Р—постоянное давление, рав- равное 1000 мб 1Я= 106——-J. Так как по закону Клапейрона |гл II, A1.6)) 6 = -~ |—j х =-^-У —ч , 10 S зависит лишь от р и р; с другой стороны, в адиабатическом движении будет (гл. II, A1,8)): ddjdt — O, так что на основе (9.18) можно для адиабатического дви- движения написать: ^[| ]0. (9 20) § 10. Упражнения. 1. Найти кинематическое условие сохраняемости линий тока, т. е. условие, при котором жидкие частицы, составляющие ли- линию тока в определенный момент времени, будут в любой момент времени образовывать линию тока. Решение. Легко видеть, что искомым условием является неизменность линии тока в пространстве В самом деле, частицы каждой линии тока пере- перемещаются вдоль ее самой и, следовательно, в бесконечно близкий момент времени образуют ту же сам\ю линию тока Но вследствие предположения о сохранении линии тока указанные частицы жидкости образ>юг новую линию тока, следовательно, новая линия тока совпадает со старой, т. е. каждая линия тока остается неизменной в пространстве. Аналитическим выражением этого условия являются, очевидно, форм)ли vr = f(x, у, г, t)vxa, i\ =•/(*, у, z, 0 V l'z=f(x< У> ~, 0»го. где I'ro = (vx)i=a И т- Д. 1ак Kaii направление скорости в каждой точке пространства остается неизменным и может меня!ься только величина ско- скорости, что и учитывается функцией f(x, у, г, t) В частности, поставлен- поставленному условию удовлетворяет установившееся движение В этом случае /(д у," z,t) = \. 2. Пусть на идеальн}ю жидкость, плотность которой есть ф\пкция да- давлен 'я, действуют силы, зависящие от потенциала Найти, при каком усло- условии вихрь скорости во всех ючках и в любой момент времени имеет то же направление, что и вектор скорое!и. Решение. Высказанное условие равносильно условию, чтобы вихревые Л1чыи совпадали с линиями тока. Но вихревые линии обладают свойством (.охранения. Тогда, по предыдущей задаче, линии тока должны оставаться неизменными в пространстве, значит и вихревые линии и вихревые трубки будут оставаться неизменными в пространстве. Так как интенсивность вихревых трубок не меняется с течением времени, то и величина вихря должна быть постоянной. Итак, вихри не меняются с течением времени Кроме того, в начальный момент времени вихревые линии должны совпа- совпадать с линиями тока. Обозначим через v0 начальный вектор скорости; гогда v = fi (х, у, г, t) v0, Q = fi0 = /2 (л, у, z) va.
§ 10] УПРАЖНГ-.НИЯ 175 Так как И = rot v = rot (/,z>0) = /, rot v0 + grad /,X»0 = /|fl0 + gfad /, X »o- TO /i«o + gfad/1X»o = ^o или grad/,X»o = (l~/i) «o- Слева стоит вектор, перпендикулярный к v0, а справа — век гор, параллель- параллельный v0, значит, оба эти вектора должны равняться нулю: A-/,)П0 = 0. Значит, или $20 = 0, т. е. Q = 0, что отвечает случаю безвихревого движения, или /| = 1, v = Vq, т. е. движение стационарное, причем должно быть выпол- выполнено соотношение П = rot *> = /(*, у, г) = я. A0.1) 3. Проверить, что в движении, определяемом формулами vx = — /<)»; ку = Л>; vz = Г Ф (г) — 2А? (х^ + уг), вихрь имеет то же направление, что и вектор скорости, и вычислить, во сколько раз вихрь превосходит вектор скорости. Здесь Ф(г) обозначает какую-либо функцию от z. Ответ. О = <1К^__ __ v 4. Показать, что если силы, действующие на жидкость, имеют потен- потенциал V, плотность есть функция давления и то вихревые линии совпадают с линиями тока. 5. Применить результат предыдущей задачи к установившемуся выте- вытеканию воды из широкого сосуда, в котором уровень воды все время под- поддерживается постоянным. Решение. Направим ось Ог вертикально вниз и начало координат по- поместим в плоскости уровня воды. Тогда На каждой линии гока вследствие стационарности движения по теореме Бернулли (§ I главы четвертой) ~v2+V --- const., но на верхнем уровне Р = — (где ра — внешнее давление), V — 0, v — 0 (если сосуч очень итро'шй, так как тогда достаючно подбавлять воду с очень малой скоростью). Знати, во всей массе жидкости, а следовательно, по задаче 4 вихревые линии со- совпадают с линиями тока. Докажем еще в этом случае, что на каждой линии гока отношение У : v остается постоянным. В самом деле, если взять бес- бесконечно малую вихревую трубку и обозначить площадь поперечного сечения
176 r.i!\fLBbIE ДВИЖЕНИЯ НДГАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ v «¦ через а, то вдоль этой трубки остаются постоянными как из (интенсив- (интенсивность вихревой трубки), так и кз (обьем жидкости, протекающей через любое поперечное сечение трубки в единицу времени). Значит, и отношение !Ь/рз = Q/v вдоль всей трубки имеет одно и то же значение. Поэтому, когда v делается большим, то и U делается большим; но если выходное отверстие, из которого вытекает вода, очень мало, го скорость вытекания жидкости будет велика; поэтому и вихри в вытекающей жидкости могут Оыть большой интенсивное in. 6. Прслернть уравнение F 8; для движения несжимаемой жидкости, заданного формулами (з, '} и / —постоянные): Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННОМУ ПОЛЮ ВИХРЕЙ И ПОЛЮ РАСХОЖДЕНИЯ СКОРОСТИ § П. Вычисление вектора скорости по вихрю и расхождени о скорости для бесконечного пространства. Если задано поле ско- скоростей движущейся жидкости, то поле вихрей определяется просто «. помощью дифференцирования составляющих скорости по перемен- шш х, у, z. Именно, обозначим вектор вихря через Й: й — rot©. Тогда, как известно, составляющие вихря суть dv, dv.. dvt dv, dvv dvx '"¦l' <)>• dz ' "v "" dz дх ' "г дх ду ' Так же просто определяйся расхождение в по заданному ю: dvx dvv dv, OX ' Vy ' 02 Обратная задача — по заданным распределению вихрей и расхождению определить скорость в любой точке жидкости—-для полного решения требует еще задания дополнительного условия, н именно задания нормальной составляющей скорости на поверх- поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая: дано, что жидкость заполняет все пространство и находится в покое на бес- бесконечности. Заданы вихрь скорости Q и расхождение скорости в а каждой точке пространства. Требуется определить вектор скорости v. Л ля вычисления v имеем уравнения div ©--в, rot© —9. (П.1) Мы допустим сначала, что расхождение скорости 9 и вихрь Q равны нулю вне некоторого конечного объема ¦:. Мы будем, кроме того, предполагать, что область t может быть разложена на конеч- конечное число частеЧ, в каждой из которых функции 0 и Q равномерно непрерывны, так же как и их частные производные. Кроме того,
5, 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 177 мы будем предполагать, что на поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора й остается непрерывной и только касатель- касательная составляющая этого вектора может терпеть разрыв. Искомую скорость v мы будем рассматривать как сумму двух скоростей: v = vl~\-v2, где vx есть скорость, зависящая от рас- расхождения в, так чго ее вихрь равен нулю, а г>2 есть скорость, происходящая от вихря, так что ее расхождение равно нулю. Итак, для определения вектора vl мы имеем два условия'. div», —в, rot ^ = 0, A1.2) л для определения вектора v2 получаются следующие два условия; divi»2 = 0; rotv2 = 9.. A1.3) Начнем с отыскания вектора vl. Вторая из формул A1.2) пока- покалывает, что мы имеем дело с безвихревым движением, а тогда суще- существует, как было указано в начале этой главы, потенциал ско- скорости 9- Итак, ¦у, = grad ср. Подставляя это значение v1 в первое из уравнений A1.2), мы полу- ч 14 лля определения функции ср уравнение Пуассона Мы дадим сначала не строгое, но имеющее простой гидродина- гидродинамический характер, решение этого уравнения. Предположим сначала, что функция 0 равна нулю всюду, кроме очень малой окрестности -0 начала координат, причем в d- =-- 1. Заметим теперь, что по теореме Гаусса fdivvd, = fvnd,, A1.5) '¦ S ие S есть поверхность, ограничивающая объем т, т. е. объемный интеграл от расхождения вектора скорости равен потоку вектора скорости через поверхность, ограничивающую объем. Применение этой теоремы к нашему случаю показывает, что ноюк вектора скорости через поверхность So, ограничивающую обьем -0, должен равняться единице. В предельном случае, когда объем т0 сжимается в точку, мы получаем картину течения, вызван- вызванною источником, находящимся в начале координат и имеющим интен- интенсивность или обильность, равную единице. Нетрудно найти матема- математическое выражение для этой картины течения. Мы можем считать 12 4-'h. П90
178 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V в силу симметрии, что соответствующий потенциал скорости ср есгь функция только расстояния точки от начала координат. Но, как было указано, функция у должна всюду, кроме начала координат, где она имеет особенность, удо- удовлетворять уравнению *-?+#+&-о. ,.1.6) Написав это уравнение в сферических координатах г, X, у (где X — дополнение широты, й — долгота), получим: " ('?) . Так как о зависит только от г, это уравнение сильно упрощается: \ Or j и сразу интегрируется: Г2 ^ _ Г —s— —- дг Произвольная постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольную сферу с центром в начале координат должен иметь значение, равное 1. А так как на такой сфере нор- нормальная составляющая скорости имеет постоянное значение до С дг г1' а площадь сферы равна 4~г2, то сразу находим, что Итак, дг ~~ Аг.г2 ' откуда легко находим, что 1 f ~ ~ Ат-.г ' причем произвольную постоянную, как не имеющую существенного значения, отбрасываем. Если интенсивность источника имеет значение q, то для соответ- соответствующего потенциала скорости получаем формулу 4кг A1.
5 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 179 Картина соответствующего течения очень проста. Линии тока суть прямолинейные лучи, выходящие из начала координат. Скорости частиц жидкости направлены по этим лучам от начала координат и пчеюг величину v=~~, A1.9) прямо пропорциональную интенсивности источника q и обратно про- пропорциональную квадрату расстояния от источника. Если q имеет отри- отрицательное значение, то получается сток. В этом случае скорости частиц жидкости направлены к той точке, где помещается сток. Возвратимся теперь к решению уравнения Пуассона A1.4). Разобьем объем т на малые объемы т,-, в каждом таком объеме хг возьмем некоторую точку /И,- с координатами \t, т]г. С,- и поместим и Mt источник с обильностью qi — т;0 (^-, tj2, С;). Тогда функция Ч({Х, у, Z) = - где г, есть расстояние от точки N с координатами х, у, z до точки Mt. даст очевидно, по сказанному выше, приближенное реше- решение задачи. Перейдем к пределу, устремив все объемы it к нулю, тогда для функции ф(х, у, z) получится выражение A1.10) В 3<w интеграле /- -у(Х — ЕJ -)_ (у — т]J -г (г — Ci2 и интегрировать надо по ?, т;, С. Игак, чтобы получить решение уравнения A1.4), надо распре- распределить по объему - источники, обильность которых, отнесенная к единице объема, имеет значение 6, и образовать соответствующий этому распределению источников потенциал A1.10). Дадим теперь строгое доказательство того, что функция A1.10) удовлетворяет уравнению Пуассона A1.4). Заметим, прежде всего, что если мы имеем ньютонов потенциал W(x, у, z)= f в (i'rT" C) dx, A1.11) v распределенный по некоторой области V, то в точках вне обтема V выполняется уравнение Лапласа ДЧг = ^+** _,_**_ = (,. A1.12) 12*
180 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ V В самом деле, если точка Р лежит вне объема V, го г в инте- интеграле A1.11) не обращается в нуль и, следовательно, можно произ- производить дифференцирование по х, у, z под знаком интеграла. В результате получим: , v, z)— I в(Е, vj, ;)A * d-. 1 Но легко видеть, чго А - — 0, следовательно, ДЧ' - 0. Рассмотрим теперь тот случай, когда точка Р лежит внутри объема V, причем предположим, что функция в(Е„ т), С) непрерывна вместе со своими первыми производными в этом объеме V. Вычис- Вычислим д^/дх2. Мы имеем прежде всего д- ™. = fQ{, т„ :)-J-(k = -fe(i 7,, o^J-rfx. ,11.13) V V Функция, стоящая под знаком интеграла, обращается при г — 0 в бесконечность, так что этот интеграл принадлежит, подобно по- потенциалу A1.11), к числу несобственных интегралов; этот интеграл сходится, так как подынтегральная функция будет при г— >0 беско- бесконечно большой второго порядка (считая г бесконечно малой пер- первого порядка), а известно, что объемные интегралы сходятся, еслл подынтегральная функция обращается в бесконечность порядка ниже третьего. Однако дальнейшего дифференцирования по х под знаком интеграла мы уже не имеем права производить, так как при этом подынтегральная функция сделается бесконечно большой третьего порядка, и интегралы перестанут сходиться. Поэтому мы преобразуем предварительно выражение A1.13). Очевидно, что дх — г3 — д- ' поэтому дх .1 v ' ' д; .1 dz \ г } ' ./ г dz, y V V V Применим теперь формулу Гаусса s где 5 есть поверхность, ограничивающая объем V, а п означает внешнюю нормаль в точках этой поверхности. Эта формула имеет
,. и] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 181 место, хотя подынтегральная функция обращается в бесконечность при г — 0, ибо если мы выделим точку N малой сферой радиуса е. ю интеграл по поверхности этой сферы будет малой величиной порядка г и обратится в пределе в нуль, если мы устремим е к нулю. Итак, ~^= — J —^-y-^cos(/t. \)dS-\- J r djd-. A1.16» S V В первом интеграле правой части г уже не обращается в нуль, так как точка N(x, у, z) лежит внутри объе!«а V, а точка M(k, т\. С). по которой производится интегрирование, находится на поверхности S. Второй же интеграл правой части опять представляет Ньютонов по- потенциал. Поэтому теперь мы можем еще раз произвести дифферен- дифференцирование по х под знаками интегралов. В результате получим: 1 1 г п » -ч -^-.. ,с , f дн г д^9 (?- т'' ')cos^'?) rf^/ V - $—7" **($• 'i. "J cos (tCi)dS-- I -^i ~d~*. A1.17) Таким образом, d2W/dx2 существует и представляется только что найденным образом. Если V есть шар V. радиуса г с центром в !очке Л7, то в точках ограничивающей сферы 5С -* ~~— ~ COS (II, ?), ~ — COS (П, 7)), --"=-= COS (ll, С) и. с !едовательно". ()Щ~ р Q (j г С) , -—"J f X С (УН —~ — — ф — V — cos~ (л. ?) dS — / —ч— 3-- ог"- Анл.югично получим: 05 —-L^-2- COS' (л, т;) rfi — / -^—т-1 J ? .' ^ Складывая эти равенства, найдем:
182 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Если абсолютная величина grad в в точках шара V. не превос- превосходит К, то мы имеем очевидные оценки — 8(х, у, дв поэтому i/^rfS 4-е2 = 4-Кг, Замечая еще, что ф —v 2 — ^S = v ,/ у • 4-s2 = 4-в (х, у, z) и что нетрудно вычислить значение интеграла мы легко придем к оценке , у, z)\ < 16-еАГ. (П. 19) Но значение ДЧГ6 не зависит от радиуса г шара VB, так как если мы возьмем два шара V, и VBi с общим центром в точке /V и с радиусами е и г,, то разность соответствующих функций ЧГ, и ЧГг1 представляется ньютоновым потенциалом распространенным по объему, заключенному между сферами 5г и SEl. и так как точка N лежит вне этого обьема, то, по доказанному выше, мы имеем равенство —ч^) = 0, т. е. Таким образом неравенство A1.19) должно иметь место при сколь угодно малом положительном е, что может быть только, если ЛЧ'Е = —4-в(х, у, z),
§ Ii) ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 183 Это же самое равенство будет иметь место и для произвольного об ьема V, так как его всегда можно разбить на шар V, некоторого радиуса е с центром в точке N и на остающуюся часть Vx. Мы будем тогда иметь W == \\'г 4- Ф\; АЧ75 = — 4-0 (х, у, г); Д^, = О и, следовательно, \W= — 4rS(x, у, z). A1.20) Применяя полученные результаты к потенциалу <р, определенному равенством A1.10), находим, что Д<р = О A1.21) в точках вне об ьема х (т. е. в тех точках, где расхождение равно путю) и что k? = Q(x, у, z) A1.22) в точках объема т. Итак, вектор Vl = grad? = -^-grad/-^i2-^ (П.23) является решением системы уравнений divi>j = e, rotw, = 0. A1.24) Переходим теперь к определению вектора г>2. удовлетворяющего системе уравнений div<72 = 0; toxv2 = il. (I! 25) При этом, конечно, предполагается, что векгор il удовле1воряег условно dh-У —О, A1.26) ибо д in всякого вектора а выполняется равенство divrota = 0. A1.27) Кроме того, как было указано выше, на поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора il должна оставаться непрерывной. Мы \'довлегворим первому из уравнений A1.25), если положим ©2 = rot Л, A1.28) где вектор А, носящий название векторного потенциала, подлежит определению. Подставив это значение г>2 во второе из уравнений A1.25), получим: rot rot A — Q.
184 ВИХРРВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Заметим теперь, что существует следующее легко проверяемое тождество: rotroM = graddiv Л —АЛ. A1.29) где ДЛ есть вектор с составляющими ЬАХ, ЛЛу, ДЛг. Итак, мы получаем уравнение graddiv^ —ДЛ = 2. A1.30) Не нарушая общности, можно считать, что сПуЛ = 0. A1.31) В самом деле, пусть мы нашли вектор Ах такой, чго ~ог — rot Ax, но что divAl=/=0. Положив тогда А = Аг -j- grad <b, мы найдем: rot A — rot Ax -\~ rot grad ¦]> = rot Л1 -— v,,, div A = div Л, -f-divgrad ^ — div Al -J— A*J> и можно подобрать ф так, чтобы Дф = — div A{, тогда, очевидно, буду г удовлетворены как уравнение A1.28), так и уравнение A1.31). В силу условия A1.31) уравнение A1.30) упро- упрощается: ДЛ = — Q. A1.32) Таким образом для определения вектора Л получилось векторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным: \ А С) Л А — С) Д Л О решения которых имеют вид: A1.33) или в векторной форме: A1.34)
$ Ml ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 185 Проверим теперь, что найденный нами вектор А удовлетворяет условию A1.31), т. е. что дАх dAv дА dAv дА, дх ' ду ' дг По условию, объем т может быть разбит на конечное число обьемов т;, в каждом из которых 2 и производные от Q по коорди- координатам непрерывны. К каждому из таких объемов можно применить формулы вида A1.16), так что дх J r Яг E. ' г г„ 0 cos г (j, С) COS t) d_ f iki^Jiil. d ? Q^ (S, -Q, 0 cos (пД) rf5 f Ld'-z (?, ¦>",, i Сложим эти три равенства, причем заметим, что «2, (I, -г], С) cos (ггЛ) + 2, (?, ^, С) cos (Сч) + 2г (?, »i, С) cos (яТс> = »я и что вследствие условия A1.26) дйх E, ч, С) Л2У E, ц, И) дпг E, -rj, С) В результате получим: Складывая такие равенства, относящиеся ко всем объемам т(., полу чим: Но по условию И„ остается непрерывной при переходе через какую- либо поверхность разрыва, следовательно, интегралы, взятые по поверхностям, разделяющим объемы хг, взаимно сокращаются, и остается только интеграл по поверхности S, ограничивающей объем -с:
186 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЬНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Но вне поверхности S вектор Q обращается в нуль, следовательно, на поверхности S составляющая Яп тоже обращается в нуль и div / -'- tft = i что мы и xoie.ni доказать. И гак, A1.35) Складывая оба полученных нами решения г>5 и <v2. мы приходим к решению системы уравнений A1.1) Таким образом, задача определения скоростей по заданному распределению вихрей и расхождения в неограниченном про- пространстве для случая, когда вихрь и расхождение раьны нулю, вне конечного объема имеет следующее решение: v =¦ grad ев -р rot А, (П. 36) где Если мы обозначим через R == } хг-{-у2-\-г2 рассюянис точки Л; до начала координат, то очевидно, чю при R —> ос величины у п А буд}т порядка 1//?, а производные от этих величин по коордшшам будут порядка I//?2. Нетрудно показать, чго найденное нами решение буде! едипс!вен- едипс!венным решением задачи, если на искомый вектор v наложить требова- требование быть всюду непрерывным и обращаться в нуль на бесконечности. В самом деле, допустим, что вектор <и удовлетворяет всем поста- поставленным требованиям. Рассмотрим вектор а — v — v, где v — найденное выше решение задачи. Этот вектор удовлетворяет условиям div а = 0, rot а = 0, A1.38) ибо, например, div a = div v — div v — в — 9 = 0. Кроме того, вектор а, как и векторы v и v, всюду непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Второе из равенств A1.38* доказывает, что вектор а имеет потенциал Ф а = grad<l>,
§ 12] СЛУЧАЙ ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 187 а тогда из первого равенства A1.38) следует, чю divgrad® -=ЛФ = 0. Итак, Ф есть гармоническая функция; точно так же будут гармо- гармоническими функциями и производные дФ/дх; дФ/ду; дФ/dz. Но оче- очевидно, что гармоническая функция достигает своих наибольших и наименьших значений на границе области. Взяв область внутри сферы большого радиуса R с центром в начале координат, видим, что зна- значения всех трех составляющих вектора а должны оставаться меньше величины, которая стремится к нулю при R—>co, т. е. все три со- составляющие вектора а должны тождественно равняться нулю. Можно освободиться от ограничения, что 0 и 2 равны нулю ске конечного объема, а именно, можно рассматривать г как бесконеч- бесконечный объем жидкости, если только сделать некоторые добавочные предположения о в и 2, например, что на бесконечности в и 2 будут порядка 1/R3. § 12. Случай одной вихревой нити. Применим результаты пре- предыдущего параграфа к случаю, когда в беспредельной массе несжи- несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, имеется замкнута вихревая нить L, т. е. бесконечно тонкая вихревая трубка. Так как жидкость несжимаема, то 0 = 0, следовательно, Лср —0. Для вихре- вихревой нити элемент объема dx можно заменить элементом дуги, умно- умноженным на площадь поперечного сечения: dz = ods. Пусть 2 будет величина вектора Q. Составляющие последнею по осям координат суть Отсюда подынтегральные выражения формулы A1.33) будут: Qo dl Qy d- Эз dt} Qz dz Qo rfC и, следовательно: / rf; Г / rf-rj 1 / dt /ion "^ 4i^ I г * У 4т^ / /* ' ^ 4тс / >* ' ' i i Z где через Г обозначена интенсивность вихревой нити: Г = 2с, причем мы считаем, что площадь поперечного сечения о стремится к нулю, 2 же возрастает так, что произведение 2а стремится к пределу, отличному от нуля. Интегралы для Ах, Ау, Az распространены по всей длине нити. Переходим к вычислению составляющих скоростей: dAz дА v, = rot А = -з з^ • * j ду dz
188 т. е. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [1Л V Найдем частные производные от 1/г, помня, что Получаем: х — % — ?И-г-()> — д (Z — W. ? — х д dz ,rl г1 г3 fly V г Тогда подынтегральное выражение для vK будет: i — у dX. С, — z drt A) -'*.-*. r3 ds ds I r' откуда if к/ г ds г ds i — х drt г Us ds — x dC r ds ds г2 ' у d\ 1 ds ds A2.3) Отложим единичный вектор по касательной к вихревой ниги в точке М (рис. 67); проекции этого вектора k будут: Н di di\ d", ds ' ds ' ds ' по направлению вектора г. соединяющею точку М нити с точкой N(x, у. z) жидкости, отложим единичный вектор /. Его составляю- составляющие будут: i — х ¦/] — у / Обозначим через \v ту часть скорости. Рис. 67. которая происходит от действия на точку N элемента нити ds: составляющими Дя являются подынтегральные выражения формул A2.3); нетрудно видеть, что \v выражается с помощью векторного произведения векторов k н /, именно:
i) 12) СЛ\ЧАП ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 189 неличина Лг> равна: . . Г sin 1 ds ,. л >ч :^ A24) 1де а — угол между векторами k и /. Можно установить электро- электродинамическую аналогию для случая замкнутой вихревой нити. Именно, если вместо вихревой нити возьмем линейный проводник электри- электричества, по которому идет ток, интенсивность которого пропорцио- пропорциональна Г, то величина силы воздействия элемента этого проводника на единичный магнитный полюс, помещенный в точке Л'', определяется формулой A2.4) с точностью до постоянного множителя, зависящего от выбора единиц (закон Био и Савара). Можно дать другое представление поля скорости, происходящего от вихревой нити. В самом деле, поскольку всюду в жидкости вихри отсутствуют, кроме точек вихревой нити L, движение, вызываемое вихревой нитью, должно иметь потенциал Ф, т. е. v =- grad Ф. Чюбы найти выражение для потенциала Ф, преобразуем формулу A2 2). Прежде всего мы имеем формулы дх\г) i\) У \) t U JL(±\ - _ If1) ( } дг\г) ~ поэюму Воспользуемся iеперь формулой Стокса i (c, т;, Qdr, f #(~, r(. \)d\ = P dR !де 6Ч ecib поверхность, натянутая на контур L, и п — нормаль к этой поверхности, проведенная в положительную сторону, т. е. в ту, откуда направление обхода по вихревой нити L кажется совер- совершающимся против часовой стрелки (система координат правая).
190 BIIXPLBblE ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В нашем сл\чае следовательно, OR dQ д: д- 4г. д-д^ \г ^Q dP __ Г д2 [ГЛ. V 4т.\ Or? \r)~t' д7 \г)\~ 4- о';Лг) ' 4т.длд';\г)' (Ч [г }' 4х дх 4Л дхдЧ \г)' При преобразованиях мы воспользовались тождеством и первой из формул A2.5). Итак, вынося еще за знак интеграла дифференцирование по х, пол\чим: " v = —Л_! f\ А/Т s или 1^ _d_ Vx ~~~Ш~дх J ~~дп Выражение Рис. 68. дп s имеет очень простой геометрический смысл. В самом деле, из рис, 68 видно, что дп 1 dr 1 . ^-. cos a ¦ = -j- COS (К, Г) = —-j- , r2 d/i если вектор г направлен or точки М поверхности S к точке N(х, у, z), ибо -к— = hm -^— ~ — cos a. Но если обозначить через dv телесный on ал угол, под которым видна площадка dS из точки N, то будем иметь: dJt = ^iiL. A2.6)
-5 121 СЛУЧАИ ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 191 В самом деле, проведем из точки Л/, как из центра, сферу ра- радиуса г (рис. 69). Подобно тому, как угол измеряется в радианах отношением длины дуги к радиусу, телесный угол dy^ измеряется отношением площади элемента сферы dSx к квадрату радиуса г2, т. е. as. Но очевидно, что dSt -- dS cos а, поэтому и получается формула A2.6). Отметим, что t-с.ш угол а тупой, то rfy_ получается отри- цгиельным; но ясно, что угол а будет острым, и. следоваюлыю, dy положительным в том с птчае, когда из точки Л'* видна положитель- положительная сторона элемента dS; в том же случае, гогдл из точки /V видна отрицательная сторона этого элемента, угол а о)дет тупым, а элемент dy^ отрицательным. Следовательно, знак dy показывает, видна ли из точки N положительная или сирицательная сшоонг) элемента dS. Итак, Рис. 69. d Г s 5де у ость телесный угол, под которым видна из точки yV поверх- поверхность S, натянутая на контур L, иными словами, телесный угол, под котрым и.5 точки N виден контур L. Поэтому для г\ получаем формулу r °L ¦ Vx ~\т. 1)х~' аналогичные форму ты получаются для v и vz: ,71 — Jj-_ • Ly~~ '4т. дх ' Г д/ * ~ 4т. дг ' Мы получаем окончательно следующий результат: Г A2.7) «ак что, действительно, мы имеем потенциал скорости 4т. " A2.8) Этот потенциал многозначен; если мы заставим точку N обойти вокруг вихревой нити, то он изменится на Г. В этом нетрудно убе- чнться. прослеживая изменение у при указанном обходе точки N.
192 ВИХРГ.ВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [1Л V Впрочем, это можно было определить заранее, ибо циркуляция ско- скорости по контуру, охватывающему вихревую нить, должна равняться интенсивности охватываемого вихря Г, а эта циркуляция дает как раз приращение потенциала при упомянутом обходе. § 13. Прямолинейная вихревая нить. Формулы A2.3) упро- упрощаются для случая, когда рассматриваемая нигь прямолинейна. Пусть нить будет параллельна оси Oz; координаты точек нити по-прежнему обозначаем через (?, ~q, С); ds — элемент дуги нити. Тогда вдоль вих- вихревой нити ds ~ ' ds ' с/5 ~~ ' Формулы A2.3) дают: Г ^Г / -*—з^- Л (так как ds ~ dl), Произведя интегрирование, в котором \, т), х, у, z рассматриваются как постоянные (например, полагая z — C = pctg#), получим: rje Таким образом, мы видим, что движение происходит одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости Оху, так как скорости не зависят от координаты z, a 5 и т) одинаковы для всех точек вих- вихревой нити. Поэтому достаточно рассматривать движение на плоско- плоскости Оху, причем рассматривать вместо вихревой нити точку пересе- пересечения ее с плоскостью Оху. Будем называть эту точку точечным вихрем. Из формул A3.1) выводим, что под влиянием одного точеч- точечного вихря частицы жидкости движутся по окружностям, центром которых является вихрь, со скоростями, обратно пропорциональными расстоянию движущейся точки от вихря: Г 1 V При этом положительным Г отвечает движение по окружности против часовой стрелки, отрицательным—по часовой стрелке.
§ Н] ДВЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 193 Вследствие симметрии движения жидкости около точечного вихря очевидно, что вихрь будет оставаться неподвижным. Как было пока- показано в главе четвертой, движение можно исследовать с помощью функций комплексного переменного z — x-\-yl, составляя комплекс- комплексную скорость v —iv ^ Г У—ч + Цх — 1)_ Г (*-jo) _ = г 1_, х у Чъ f 2та (г — га) (г — га) 2та" z — z0' где положено: г^ = \-\-щ, z — х — 1у, 20 — ; — /tj. р Вводя комплексный потенциал w— -^-^-1пB — z0), имеем: Напомним, что Г — интенсивность вихря — может вместе с тем быть рассматриваема как циркуляция скорости по любому замкну- замкнутому контуру, окружающему точку z0. § 14. Две прямолинейные вихревые нити. Движение системы вихрей. Пусть имеем две параллельные прямолинейные вихревые нити. Как и в предыдущем случае, можно рассматривать движение в одной из плоскостей, перпендикулярных к нитям. Примем эту пло- плоскость за плоскость комплексного переменного z. Пусть интенсивно- интенсивности точечных вихрей zx и 22, получающихся в пересечении нитей с плоскостью Оху, будут Гг и Г2. Комплексный потенциал будет ра- равен сумме потенциалов, соответствующих каждому вихрю, т. е. Г Г W — тЛ- In (Z — Zx) -f -туЛ- In {Z — Z2), 2m K *¦' l 2izi v " комплексная скорость: „. ,.. _ dw - Г' 1 , Г2 1 . так как vx — lvy = —rr, то можно написать следующее дифферен- дифференциальное уравнение: di Г, , Г2 dt 2та (г — zx) "т" 2w (г — z2) ' Исследуем перемещение вихрей в жидкости. Вихрь в точке zx перемещается только под влиянием другого вихря, так как отдель- отдельный вихрь не перемещается (вихрь сам на себя не действует). Именно первый вихрь будет вращаться вокруг второго по окруж- окружности, точно так же как второй вихрь будет вращаться вокруг пер- первого, причем расстояние между вихрями будет оставаться постоянным 13 3dK. 1190
194 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V во все время движения. Для доказательства этих почти очевидных утверждений составим дифференциальные уравнения движения вихрей z1 и z2. Чтобы получить скорость первого вихря, в выражении ком- комплексной скорости — отбросим первое слагаемое и положим во вто- втором z — zv Получим: = dt 2r.i(zx~z2) ' Точно так же Тг2 = Г, dt 2m (z2 — zx) Отделяя в этих уравнениях вещественные и мнимые части, при- приходим к такой системе дифференциальных уравнений: dxx __ Г2 у, — у2 . dx2 _ Г, у, —у2 . ] l)~dT~ ~ 2ъ Р ' 6) dt —- 2т. Р ' I р dyx _ Г2 хх — х2 . rfy2 _ Ti хх — х2 I ^ ; dt ~~ 2п г2 ' ' dt 2r. г2 ' ) где Прежде всего, умножая первое уравнение на Гг, третье — на Г2 и складывая их, найдем: гг-^г + Г2-^г = 0. откуда Г,^ + Г2х2 = const. Аналогичным путем, умножая второе уравнение на Г\, четвер- четвертое — на Г2 и складывая, найдем: =0' °™Уда Г1У1 + Г2У2 = const. Найденные интегралы можно переписать, разделив их на сумму Г, + Г2: ?ifii^_ const., ZiZl±^. = const. В последней форме имеем так называемые «интегралы движения центра инерции» системы двух вихрей. Они показывают, что точка которую назовем центром инерции вихрей, остается неподвижной во все время движения.
14] ДВЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 195 Далее преобразуем систему уравнений A4.1) следующим образом: вычтем из первого уравнения третье, а из второго четвертое. По- Получим: d \Х\ -*~ ^2/ 1 "I 2 У1 """- У 2 • (УI """- У2/ I i~ 2 Х-\ ¦¦"- Х2 di ~ 2х~ 72 ' dl ~~~ 2^ 72 ' Умножим первое из этих уравнений на хх — х2, второе на ух — у2 и сложим: (хх — х2) - dt * yl dt — Интегрирование этого уравнения дает: (х1— х2J-\~(ух— У2J == const., или г = const. Таким образом, видим, что расстояние между двумя вихрями остается постоянным. Сопоставляя этот результат с предыдущим о сохранении центра инерции вихрей, и приходим к заключению, что два вихря вращаются вокруг центра инерции с со- сохранением расстояния между ними. В частном случае, когда 1\ = — Г2, т. е. когда вихри имеют одинаковую интенсивность, но противоположное вращение, центр инерции находится на бесконечности, так как знаменатель Г]-}-Г2 = 0. Покажем, что вихри будут двигаться поступательно с постоянной скоростью, перпендикулярной к прямой, соединяющей вихри (рис, 70). В самом деле, пусть в на- начальный момент вихри были на оси Ох на расстоянии / друг от друга. Тогда из уравнений движения, которые теперь имеют вид: Рис. 70. Г, dt получаем: Тогда и z2 —; ;г = /, т. е. dt dt dz2 = const. г, 2тЛ Отделяя вещественную часть от мнимой, найдем: Г, 2r.l ' Следовательно, вихри перемещаются параллельно оси Оу. Рассмотрим теперь более общий случай, когда мы имеем систему п точечных вихрей, расположенных в точках zv z2, ... 13*
196 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V интенсивности 1\, Г2, .... Гя. В этом случае комплексный потенциал имеет вид а для комплексной скорости получается выражение dw \ч Tk 1 г»,— /г; = —т— = 7\, -тт^- • A4.3) х У dz s*i 2щ г — zk к ' * = 1 Движение вихрей будет определяться уравнениями dt — Lk 2w г, — г* ' A -^ * = 1 где штрих показывает, что при суммировании пропускается член, соответствующий значению ? = /. Из этих уравнений нетрудно вывести несколько простых след- следствий. Умножая уравнения системы A4.4) на Г{ и суммируя по / от 1 до п, легко убедимся, что в правой части все члены взаимно сократятся, и мы получим, что l dt ~Ul откуда с шдует, что п У\ T,z, = const., т. е. п п "У, ы "У V.x, = const., 2 r,Vi = const. A4.5) п Если ^Т.фО, то полученные интегралы можем переписать в виде «интегралов движения центра инерции»: — = const., — = const. Точно так же, умножая уравнения системы (И.4) на Г,г, и суммируя по значку I от 1 до п, мы легко получим равенство Sr v d2i — l V Г Г
[51 КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ 197 Разделяя вещественную и мнимую части, находим: Второе из этих равенств показывает, что сумма моментов коли- количеств движения масс Гг относительно начала координат не меняется с течением времени. Первое же из этих равенств может быть пере- переписано так: п JL V Г (х2 -4- \fl\ — О откуда следует, что |]Г/(х2+у2)= const., A4.7) т. е. сумма моментов инерции масс Гг относительно начала коорди- координат не меняется с течением времени. dz Наконец, умножая уравнения системы A4.4) на Г,-^- и суммируя по /, мы придем к равенству i * dt dt ~ Ь у dt dt ~ Ь 2ш г. —г. dt ~ dt отделяя в котором мнимые части, получаем: где rk; есть расстояние между вихрями zk и zv Производя интегри- интегрирование, получаем еще один интеграл системы A4.4): 2 ГАГг In rkl — const. A4.8) § 15. Круговая вихревая нить. В качестве простейшего при- примера криволинейной вихревой нити рассмотрим круговую вихревую нить радиуса а, лежащую в плоскости ху, центр которой находится в начале координат и интенсивность которой равна Г. Движение во всех плоскостях, проходящих через ось Oz, будет, очевидно, совершенно одинаковым и поэтому удобно пользоваться цилиндрическими коорди- координатами z, р, 6, где
198 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Но мы имеем в цилиндрических координатах следующие выраже- выражения для составляющих rot A: A- l iik — л — j dfj — дАг 1 dz 1 op ' 1 дА? A5.1) Будем характеризовать положение переменной точки М на вихре- вихревой нити углом а, так что на нити , 7j — a sin a, С —0. Кроме того, в формулы A2 1) входит еще расстояние г между точ- точками М<?, т), С) и N(x, у, z), равное г = Y(P cos 6 — о. cos aJ -j- (p sin 6 — a sin aJ -j- z2 = 2я = Ур2—2арсоь(9 — a)-f-a2- По формулам A2.1) находим: , Г /* — a sin a da Г Г a COS a da . , 4jc ,/ r v 4л .' г 2 0 но при 6 = 0, очевидно, АХ = А^, Ау = А-.;, следовательно, . Га /" sin a i ' 4л ,. p2 + a2 -|- ¦г2 — 2ap cos a COS a da ! + а2 + г2 —2apcosa - = 0, A5.2) Пользуясь формулами A5.1), получаем: дА п A5.3) Объем жидкости, протекающей в единицу времени через круг радиуса р с центром на оси Oz и лежащий в плоскости, перпенди- перпендикулярной к оси Oz, очевидно, равен р 2тс р Г Г vzp dp d% = 2т: Г огр rfp = 2тср Л. оо о
§ !5] КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ 199 Этот же результат можно получить и иначе, а именно: в силу того, что v = rot A, поток вектора скорости v через некоторую поверхность может быть вычислен по формуле Стокса: J vn (IS = ? Axdx-\- Aydy + Azdz= § A? dp + A,,pdO -f Azdz\ в нашем случае А — A2 — 0, A-l = A(p, z), и если L есть указанная выше окружность радиуса р с центром на оси Oz, то сразу находим: Г vndS = 2ърА. s Уравнение 2т.рА = const. определяет, очевидно, поверхности тока. Назовем, следуя Стоксу, функцией тока выражение ф = — рА; A5.4) тогда будем иметь: и— — -^-, v, = - ~- A5.5) Р р dz z p dp K ' и 2я рГа Г cos a da ,. _ е. / A5.6) «7 jAa2 + p2_J_^2_2apcOSa ' Последний интеграл выражается через полные эллиптические интегралы. А именно, введем модуль и положим в предыдущем интеграле а-=т:-(-2ср; тогда получим: 2тс я/2 /COS a da /* — 2 COS 29 rf<? _ Уа2 + р2 + г2 — 2ар cos а ~ «/ У а2 + р2 + г2 + 2ар A — 2 мп2 <р) _ _ 4 Г A-2 sin2 уИ? _
200 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Пользуясь обычными обозначениями полных эллиптических интегралов 71/2 Г П К (ft) = [ . dl 2 , Е (ft) = f Vl-^sin^rfcp, ./ у 1 — й-2 ып2 <р •/ легко найдем, что ^(flWl} A5.7) и, следовательно, ¦— Если обозначить через гх и г2 наименьшее и наибольшее расстоя- расстояния от точки N до точек вихревой нити, то —вJ. г2=^2 + (р+а7, A5.9) и легко видеть, что дополнительный модуль к' = у 1—й2 очень просто выражается через гх и г2: k' = H. A5.10) Можно дать еще другое представление функции ф. А именно, положим е'а — и и обозначим через С контур круга \и\ — \ в пло- плоскости комплексной переменной и. Так как 2я / Yd1 sin a da „ + p2 + г2 — 2ap соь a ^ l(r2-r2), A5.11) то ill- /COS a da г + ?2 + z2 — 2ap cos a 2ч 2du
15J КРУ1ОВАЯ ВИХРЕВЛЯ НИТЬ 201 Уравнение имеет корни ¦ = Л, Wo :== 2 первый из которых лежит внутри окружности С, а другой вне ее. Кроме точки и = X, особой точкой подынтегральной функции является еще и = 0. Поэтому мы можем заменить контур интегрирования С произвольным контуром, охватывающим точки м = 0 и м = Х. Сведем этот контур к дважды обегаемому отрезку @, X), как показано на рис. 71. На верхней стороне отрезка @, X) радикал имеет значение Рис. 71. на нижней же стороне он имеет прямо противоположное значение, ибо при обходе точки м = 0 радикал |/ и меняет свой знак на обрат- обратный. Поэтому cos a da У а2 + р2 + г1 — 2др cos a ; — п
202 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Сделав, наконец, подстановку « = Xsin2f, получим: Итак, 2* COS a dot /vs и по формуле A5.6) A5Л2) Эта формула позволяет найти все элементы движения, в частности, построить линии тока. Последние представляют собой замкнутые кривые, охватывающие вихревую нить. В точках около вихревой нити ско- скорость становится бесконечно большой. Очевидно далее, что в точках, лежащих в плоскости вихревой нити, скорость направлена парал- параллельно оси Oz. Отсюда следует, что вихревая нить будет пере- перемещаться параллельно оси Oz. Однако скорость перемещения нити оказывается бесконечно большой. Конечно, на самом деле мы всегда имеем дело не с вихревой нитью, а с вихревым кольцом конечных размеров, которое будет уже перемещаться с конечной скоростью, притом тем большей, чем меньше поперечное сечение кольца. Однако необходимо отметить, что вихревое кольцо конечных размеров, вообще говоря, будет с течением времени испытывать деформацию. § 16. Вихревой слой. Для объяснения ряда явлений, имеющих место в действительности, в гидродинамике вводят понятие о поверх- поверхности разрыва, т. е. поверхности, на которой какой-нибудь элемент, обычно скорость, меняется скачком, претерпевая разрыв непрерыв- непрерывности. Такова, например, поверхность разрыва в циклоне, по которой соприкасаются холодный и теплый воздух и на которой имеет место разрыв скорости ветра. При обтекании тела жидкостью вводят в рас- рассмотрение поверхности разрыва, образующие по краям тела и отде- отделяющие область, в которой происходит движение жидкости, от мертвого пространства позади тела, в котором скорость считают равной нулю. Покажем, что поверхность разрыва тангенциальной скорости можно рассматривать как предельный случай вихревого слоя, т. е. пространства между двумя близкими поверхностями, заполненного вихрями, причем в этом слое происходит непрерывное, хотя и быстрое изменение скорости. Для простоты допустим, что поверхность разрыва есть плоскость 5. параллельная плоскости Oxz, так что ее уравнение у = а. Введем в рассмотрение плоскость S1:y = a-j-e, отстоящую на расстоянии ;
f 16] ВИХРЕВОЙ СЛОЙ 203 or первой (рис. 72). Пусть по одну сторону плоскости 5 жидкость движется со скоростью v, по другую сторону Sj — со скоростью vx, причем обе скорое!и постоянны и направлены параллельно оси Ох, так что происходит разрыв лишь тангенциальной составляющей ско- скорости Составляющие скоростей v и vl по оси Ох пусть будут и и «j. v Положим теперь, что в слое между 5 s, —'- и Sx составляющие скорости определяются у^'Ш^^М формулами V О Тогда на плоскости S, для которой рис 72 у—а = 0, буде; vx—и. На плоскости же 5j, где у— а = е, vx~ux Следовательно, скорость меняется непрерывным образом от и до Wj при переходе oi плоское in 5 к плоскости Sj Вихрь скорости в слое SSl имеет направление, пер- перпендикулярное плоскости Оху, и его соыаыяющая по осп Oz равна о _ dvy dvx и — м, "z ~ Их ~ду~ ~~ I ' При малом е вихрь может быть очень большим. Внутри стоя Q имеет постоянное значение, отличное от нуля, вне слоя 2 = 0. Поэтому слой SSj может бьпь назван вихревым слоем. Можно установить эквивалентность вихревого слоя и поверхности разрыва непрерывности тангенциальной составляющей скороыи o6pai- ным п>тем, исходя oi системы вихрей Именно, п\сгь имеем ряд параллельных равноотсюящих вихре- вихревых нитей одинаковой интенсивности Г (рис. 73). Пусть расстояние между ни- нитями / стремится к нулю гак, что произведение Г/ стремится к пределу, Рис 73. отличному от нуля; lim(r/) = ft можно назвать вихревой плот- плотностью слоя. По обе стороны слоя скорости имеют противополож- противоположное направление, так что, очевидно, имеем разрыв скорости. Рассмотрим в качестве примера вихревой цилиндрический слой. Пусть точечные вихри будут расположены по окружности радиуса R (рис. 74), так что комплексная координата &-го вихря есть Re *.
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Вводя понятие об интенсивности вихрей на элементе дуги R tfcp, будем эту интенсивность считать равной TRdy, для потенциала слоя будем иметь: in w = ~г f In (z — Re1?) dcp, о комплексная скорость будет: 1т. . _ rR f d<f Vx~lvy-!^J ~z~ Для вычисления скорости преобразуем подынтегральное выраже- выражение, разделив его на z (z при интегрировании рассматриваегся как постоянная) и умножив на z — Re'?-\- Re"?. Тогда получим, вынося — за знак интеграла: Г# Г Z—Re?l + Re?1 , Г/? / 1, , y 2шг J z — Reft Y 2niz [ i1 K Значение ln(z — Ref?) зависит от того, где находится точка о о z — внутри окружности или вне. В первом случае, когда \z\ < R, при изменении <р от 0 до 2к аргумент z—Re"?1 меняется на 2т:, так как вектор z—Ref' обходит начало координат. Тогда 2к \\a(z — Re?1) | = 2rJ. о В случае же, если z находится вне круга, т. е. \z\ > R, конец вектора z — Ref1 обходит замкнутый путь, не заключающий начала координат, а потому In (z — Ref') возвращается к старому значению, и, значит, 2я \\n(z — Re?1) | =0. о Таким образом, для комплексной скорости получаем два значения: для внутренней точки круга и для внешней точки. Отсюда следует, что внутри цилиндра, ограни- ограниченного вихревым слоем, движения нет, вне цилиндра движение
УПРАЖНЕНИЯ 205 происходит с такой скоростью, как если бы в центре цилиндра мы имели вихревую нить интенсивности 2к/?Г. Введение понятия о вихревом слое дает ключ к объяснению воз- возникновения вихрей в жидкости. По теореме Лагранжа (см. § 3 этой главы), если в начальный момент времени в идеальной жидкости не было вихрей, то их не будет во все время движения. В действи- действительности же мы видим, что при условиях, близких к условиям тео- теоремы Лагранжа (постоянство плотности, малая вязкость жидкости, наличие потенциала у действующих сил), вихри в жидкости возникают. Если допустить, что на поверхности тела, обтекаемого жидкостью, образуется вихревой слой, то не трудно представить себе, что при неустойчивости этого слоя от него могут отрываться вихри, как это часто имеет место в действительности при движении тела в жидкости. § 17. Упражнения. 1. Найти уравнение линий тока для случая двух вихрей одинаковой интенсивности. Ответ. Приравнивая постоянной мнимую часть комплексного потенциала = ^" In (г — г,)-f 2^71п (г — г2) = 2^-In {(г — г,) (г — г2)}, получим: [{х - xtf -f (у - у,J] Цх - х2у + (у - у2у\ = const., т. е. уравнение лемнискат (рис. 75). 2. Найти уравнение линий тока пары вихрей, т. е. двух вихрей, интен- интенсивности которых равны по величине, но противоположны по знаку. Ответ, {х — х{J + (у — у,J = С [{х — х2J + (у — у2J] — семейство ок- окружностей (рис. 76). Рис. 75. Заметим, что если прямую линию ЛВ заменить неподвижной стенкой и половину чертежа, например левую, исключить из рассмотрения, то получим перемещение одного вихря в жидкости, вблизи стенки. 3. Имеется пара вихрей в жидкости (см. задачу 2), причем на беско- бесконечности жидкость движется с такой скоростью, что вихри остаются непо- неподвижными в пространстве (рис. 77). Найти линии тока, предполагая вихри расположенными в точках = ih и — —ih.
206 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Ответ. Уравнение линий тока: У , , - [ГЛ. V Отметим, что оба вихря оказываются заключенными внутрь замкнутой линии. Область, ограниченная этой замкнутой линией, назы- вается «атмосферой вихрей» (рис. 77). Рис. 77. Рис. 78. Построенные линии тока можно рассматривать как линии тока относи- относительного движения в случае пары вихрей, именно движения относительно плоскости, перемещающейся вместе с вих- вихрями. 4. Дано п вихревых нитей, параллельных друг другу, равноотстоящих и расположенных на круговом цилиндре радиуса R (рис. 78, где п = 4). Найти комплексный потенциал и комплексную скорость любой точки жидкости, а также скорость перемещения вихрей. Ответ. Рис. 79. у Z7tl z'—K" Для нахождения скорости vOx — ivOy вихря, находящегося в точке z = R, преобразуем w: (n-l)z .л-2 z—R Ч ... +ял /?"-' }•
18] ВВЕДЕНИЕ 207 Полагаем z = R, заменяя нулем первое слагаемое, отвечающее вихрю точке г = R: Г и —1 Г (и — 1) I 1Щу - 2ш 2R ~ IR Вихри перемещаются вдоль окружности с постоянной скоростью 4л/? • 5. Найти траекторию прямолинейного вихря, находящегося внутри дву- двугранного угла, образованного двумя взаимно перпендикулярными стенками (рис. 79). Указание. Пусть (х, у) — координаты данного вихря. Отразим его в осях координат, как указано на чертеже, и исследуем движение четырех вихрей. Ответ. Уравнение траектории J-2 ' v2 /72 ' В. ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ КАРМАНА § 18. Введение. Первые опыты, относящиеся к исследованию вихревых явлений позади тела, движущегося в жидкости, были про- произведены Бенаром в 1906 г. Движущимся телом был вертикальный цилиндр. Наблюдения приводят к следующим результатам. При некоторой достаточно большой скорости, зависящей от вяз- вязкости и от ширины движущегося тела, позади цилиндра начинают отрываться вихри поочередно г, справа и слева. Сначала они О( *Т> /Т> <^\ <^> /Т> увлекаются со скоростью тела г», i U—/ —<-) затем их скорость уменьшается, I r— I -*". !!^ ^Ъ ^^ ^ ^^ в то время как вихри расхо- V!!^ дятся несколько в стороны. г На некотором расстоянии за рис> gQ_ телом устанавливаются опреде- определенные расстояния / между вихрями; вихри располагаются так, что между каждыми двумя вихрями одного ряда располагается вихрь другого ряда, причем вихри обоих рядов имеют противоположные вращения (рис. 80). Расстояние h между рядами вихрей не зависит от скорости, а зависит от ширины тела. После Бенара аналогичные опыты проделывались целым рядом Других ученых. В 1912 г. Карман, совместно с Рубахом, дал теорию таких вихревых цепочек, а также рассмотрел теоретически вопрос о сопротивлении, испытываемом цилиндром, движущимся в жидкости при наличии образования цепочек вихрей. К изложению теории Кармана мы и переходим.
208 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V § 19. Одна вихревая цепочка. Рассмотрим бесконечный ряд точечных вихрей, расположенных на одной прямой на одинаковом расстоянии I друг от друга и имеющих одинаковую интенсивность Г. Т^ гг г, г„ г, гг г3 Рис. 81. Пусть имеем вихри в точках z0, zv z_v z2, z_v ... (рис. 81); тогда комплексный потенциал для любой точки жидкости, не совпадающей ни с одним из вихрей, равен сумме потенциалов отдельных вихрей: Мы разделили разности z—zk на —Ik, z — z_k на Ik и умно- умножили z — z0 на it//, чем изменили лишь произвольную постоянную. Так как функция w определяется с точностью до аддитивной постоян- постоянной, то имеем право положить: 1Ъ Так как zk = z0-\~lk, z_k = z0 — Ik, можем написать: w = ¦ Применяя формулу, представляющую разложение sin nx в беско- бесконечное произведение найдем: Г , . я Комплексная скорость в точке z равна сумме скоростей, происходя- происходящих от каждого вихря, т. е.
§ 20] ДВЕ ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ 909 Производя суммирование, придем к формуле vx — ivy = ~ ctg~(z- z0). A9.3) Проще же получить это выражение комплексной скорости, вос- воспользовавшись тем, что скорость есть производная комплексного потенциала: dw где w определяется формулой A9.1). Чтобы найти скорость перемещения самой вихревой цепочки, т. е. скорости каждого из вихрей, ее составляющих, достаточно рассмотреть, как перемещается точка z0, так как очевидно, что все вихри должны перемещаться с одинаковой скоростью. Скорость же в точке z0 происходит от влияния всех вихрей, кроме самого вихря z0. Поэтому в формуле A9.2) следует положить z = zQ во всех членах, кроме первого, который следует отбросить. Получим, что скорость вихря vQ равна нулю, так как в формуле A9.2) при z^=z0 члены попарно сократятся. Таким образом, одна вихревая цепочка остается неподвижной, что можно было предвидеть, так как на точку действуют попарно вихри zx и z_v z2 и z_2 и т. д. в про- противоположных направлениях. § 20. Две вихревые цепочки. Пусть теперь имеем две парал- параллельные цепочки вихрей, причем расстояние между двумя соседними вихрями для обеих цепочек равно /, интенсивности же цепочек у верхней Fj, у нижней Г2; расстояние между цепочками пусть будет h. Один из вихрей верхнего ряда пусть будет zv ближайший к нему из нижнего ряда z2. Очевидно, что для комплексного потен- потенциала будем иметь: комплексная же скорость в точке z равна dw Г|,я . , Г, Выясним, как будут перемещаться в жидкости рассматриваемые вихревые цепочки. Очевидно, что все внхри первой цепочки будут двигаться с одинаковой скоростью; также все вихри второй цепочки должны перемещаться одинаково. Поэтому каждую цепочку можно рассматривать как одно целое, и достаточно исследовать скорости Двух вихрей, например z1 и г2. Вихрь zx будет перемещаться лишь под влиянием второй цепочки, так как одна цепочка, как мы видели, 14 Лак. 1190
210 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V не перемещается. Следовательно, скорость vlx — ivly вихря z1 полу- получим, выкинув первый член в выражении vx — ivy и положив z=zx во втором члене: Аналогично для вихря z2 будем иметь: v iV = Ctg Таковы скорости цепочек. Мы не будем исследовать законов перемещения цепочек в общем случае, а рассмотрим лишь наиболее интересный для нас случай «твердых» цепочек, т. е. цепочек, для которых расстояния между всеми вихрями остаются неизменными во все время движения. Очевидно, для «твердости» цепочек необхо- необходимо, чтобы скорости их были одинаковы: Vlx — iV\y = V2x — Щг Сравнивая B0.1) и B0.2), находим, что для этого должно вы- выполняться соотношение т. е. интенсивности цепочек должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку. Мы будем в дальнейшем писать Г вместо Fj. Далее положим, что цепочки перемещаются параллельно оси Ох, что соответствует картине, имеющей мегто в действитель- действительности, позади движущегося вдоль оси Ох цилиндра. В этом случае Положим zx — Z2 = b-\- hi. Отделяя вещественную и мнимую части -jF-T-А/), имеем: . 1т.Ь . . Ink sin —j— l sh —г— ch —г— — cos —j— ch — cos г— — cos —j— ch —cos где , ex — e~x ,, sh x ch x
§ 21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА СледоЕшельно: ¦г, sh —;— 211 21 . 2nh ЧтЛ ch — cos —j- ып B0.3) ch —r— — cos —j- Так как по условию vly — v2y = 0, то необходимо sin -?- := О, откуда или ? = 0 или 6 = //2. В первом случае получаем располо- расположение цепочек, называемое симметричным: под каждым вихрем одного ряда имеется вихрь дру- другого ряда; во втором случае имеем шахма1ное расположение вихрей, т. е. такое, в котором между каждыми двумя вихрями первого ряда находится вихрь другого ряда (рис. 82). Шахматное распо- расположение отвечает картине вихрей, образующихся позади цилиндра рис ^ (см. § 18). Нетрудно видеть, что скорости перемещения цепочек будут: —0-0---0 о-о—и Г теА v\x == oj" ~7 для симметричного порядка, =2/ th для шахматного порядка. B0.4) В дальнейшем под цепочками Кармана мы будем понимать две цепочки, расположенные в симметричном или шахматном порядке. § 21. Об устойчивости вихревых цепочек Кйрмана. Пусть имеем кармановские цепочки вихрей. Может случиться, что под влиянием каких-то воздействий все или некоторые вихри получат малые смещения. Тогда может оказаться, что вихри с течением времени будут оставаться вблизи тех поло- положений, которые они имели бы, если бы двигались, не подвергаясь смещениям. В этом случае говорят, что движение устойчиво. Если же смещенные вихри будут удаляться от положений, отвечающих невозмущенному состоянию, то движение называется неустойчивым. При таком общем определении устойчивости легко без всяких вычисле- вычислений установить неустойчивость вихревых цепочек Кармана. В самом деле, сместим все вихри одной из цепочек, например верхней, на одну и ту же малую величину 8 = g-|- г-j. Тогда разность z^ — zt = b-\-ih увеличится на 14*
2Г2 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V эту же самую величину 5, т. е. b увеличится на p. a h на "(. Поэтому ско- скорости всех вихрей обеих цепочек будут определяться формулами B0.3), в которых надо заменить b на б + р и А на А + 7- А тогда ясно, что по край- крайней мере одна из величин vx и vy изменит свое значение и, следовательно, все вихри будут удаляться с малыми, но постоянными скоростями от поло- положений, отвечающих невозмущенному состоянию, так что движение оказывается неустойчивым. Мы сузим поэтому определение устойчивости, а именно, мы будем назы- называть движение устойчивым, если при малых смещениях вихрей в начальный момент времени расстояние между любыми двумя вихрями во все время движения остается близким к расстоянию между этими вихрями в начальный момент времени. Докажем сначала неустойчивость одной вихревой цепочки. Пусть мы имеем вихри одинаковой интенсивности Г, расположенные на одной прямой, на одинаковом расстоянии / друг от друга (рис. 81). Разобьем все эти вихри на две группы: группу четных вихрей и группу нечетных вихрей. Всем чет- четным вихрям ..., 2_4, г_2, г0, г2, гА, ... придадим одно и то же смещение, а все нечетные вихри ..., г_3, г_ь ги гъ ... оставим на их местах. У нас образуются тогда две цепочки вихрей, в каждой из которых рас- расстояние между двумя последовательными вихрями равно 11. Движение этих цепочек вихрей будет определяться формулами B0.1) и B0.2), в которых надо заменить / на 11 и в которых надо положить Г, = Г2 = Г: B1.1) dz2 Г , я , . - wiy = —[^ = — -щ ctg 2|- (г, — z2). Введем обозначение ~2f (г2~~z\) = ?> тогда, вычитая из второго равенства B1.1) первое, придем к уравнению dt - МЧ Заменяя в этом равенстве все величины на комплексно-сопряженные величины, получим: dl _ Гл ~Wi л/ ~~ а/2,- ctS r- ¦ Исключая из этих двух равенств время t, найдем соотношение — = —-tlM^ или ctgCdi + dC ctg С Интегрируя это уравнение, получаем: lnsin t-f lnsinC = 1пС или sin!:sinr=C. B1.2) Если С = ?-|-/ii), то ьш i = sin i ch tj -f- / cos ? sh tj; sin S = sin 5 cb -v] — / cos ? sh i), поэтому уравнение B1.2) переходит в ып2 \ ch21] -j- cos2 i sh2 tj = С или Mir* s + sh/* ij = С. B1.3)
i 211 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 213 Рис 83. Общий вид этих кривых представлен на рис. 83. При равновесном положении вихрь г2 лежит как раз по середине между г, и zs, т. е. в точке пересечения двух линий семейства B1.3), от- отделяющих область незамкнутых линий этого семейства от области замкнутых линий. Если вихрь г2 смещается в область незамкнутых кривых, то он будет постепенно уда- удаляться от вихря zv по одной из этих незамкнутых кривых. Если же вихрь гг смещается в область замкнутых кривых, то он будет описывать замкну- замкнутую траекторию около вихря Z\ или z3, притом конечных раз- размеров, хотя бы первоначальное смещение вихря гг было очень мало. Таким образом одна вихревая цепочка является неустойчивой. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости вихревых цепочек Кармана. Разобьем все вихри цепочек на группы по четыре вихря в каждой группе. Пусть основная группа содержит вихри zu г2, zir z4; придадим этим вихрям смещения Ьги Ьгг, 5г3, 5г4. Следую- Следующей группе четырех вихрей при- придадим соответственно такие же сме- смещения и т. д. Тогда можем разбить наши две цепочки на четыре: одна будет состоять из вихрей: zh z_3, z5, г_7, z9, ..., другая — из вихрей: z3, z_u z7, г_5, ..., третья — из вих- вихрей: z2, г_2, гй, г_6, zlQ, ..., и чет- четвертая— из вихрей: z4, za, zs, z_4, гхъ ... (рис. 84). Расстояние между двумя сосед- соседними вихрями каждой из четырех Рис- 84. цепочек теперь будет 21. Комплексный потенциал представим в виде суммы четырех слагаемых, соотве1С1вующих каждой из четырех цепочек: Л ~z-J -rW-A- Л L. 2г ^ In sin 2j {г — z3) — —г4). B1.4) Тогда комплексная скорость будет: dz dw -57- ^j- {z — n3) — ctg ~ z2) — ctg -^-(г — z4) Подставляя в эту формулу вместо z соответственно zb г2, гг и г4 и выбрасывая каждый раз из рассмотрения слагаемые, которые обращаются в бесконечность, т. е. c!g -^=- (z{—г,) для первого вихря, и т. д., найдем
214 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V скорости цепочек: dz. dt ~~dt dz3 = w {ctg w{Z{ ~2з) ~ctg ж(г' ~~ ж Hi ctg Ж (*2 — Zl) + clg ~" гз) ~ clg 4t~= ~Ш { ctg " 2T ~~г[) + ctg W"(г""~гз)~clgЖ B1.5) Дадим теперь нашим вихрям соответственно смещения bzu bz2, 5г3, 5г4. Для того чтобы получить дифференциальные уравнения для этих сме- смещений, возьмем дифференциалы левых и правых частей уравнений B1.5) (вводим для дифференциала знак о, чтобы отличать от имеющегося уже диф- дифференциала d). Замечая, что b\Jf}=='^(jT ' из B1-5) получаем дифферен- дифференциальные уравнения смещений: dbz, dt dt dt dbF4 dt Ik 814 Tk 814 814 Ik 8/2; Ъг, — Вг2- ып2^(г2 2 T" bz, -г,) Ьг, ЬШ227 | 5^2 ьш227 Ьг3 2 ™ 1 4 — Вг, -5г3 -8г, bz г 1 г,) Ьг, — bz4 2 Л 2 "" ьш 27 5г4 (г2-г4) <*.-*.) -5г2 |22/ (г4 — г1) ьт2^ (г4 —г3) ып2^(г4 —г2 В начальный момент имеем у синусов такие значения аргументов: B1.6) JL 2"
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 215 где — / Для симметричного расположения цепочек 6 = 0, для шахматного 6 =-=-• Подставляя выписанные значения аргументов в B1.6) и группируя члены с 8гь 5г2, 8г3 и 5г4, получим: dbzt_ Гтс)/, 1 1 U, , Вг2 dt dt , ; 2 ; L_ Ып2а cos2a + + ; - —8г3 COS2 ее •м* dt \ COS2a sin2a l^ = -_J^j _. 2 ЫП2а COS2a sin2 B1.7) Для упрощения решения задачи сделаем дополнительное предположение о характере смещений основной конфигурации из четырех вихрей. Именно, допустим, что йг3 = — Ьг,, 5г4 = — bz2, т. е. что смещения нечетных вихрей одинаковы по величине, противоположны по направлению и смещения чет- четных вихрей обладают тем же свойством. Нетрудно проверить, что уравнения B1.7) остаются справедливыми при этом предположении, причем уравнения третье и четвертое совпадают соот- соответственно с первым и вторым. Остается, таким образом, система двух урав- уравнений, например двух первых, в которых принято Зг3 == — Ьги 5г4 = — Ьг2: /^ л-ч> "Рте ri ft?1 Гтг Ь А ьг2), B1.8) где 1 1 COS2 В: 1 1 Выражения А я В можно преобразовать к тригонометрическим функциям двойного угла. Тогда получим: , г. 4 „4 cos 2a (ып: (Sin 2аJ Вспоминая, что для симметричного расположения 6 = 0и, следовательно, 2а == -^j- {b -j- hi) = —— i, а для шахматного b = -=-, т. е. 2а = ~ -\—— г", получим: Симметричное расположение 4 4 с/г\2 ) 4 cos — г ^ГД2 4ch Шахматное расположение 4 „ 4 = 2 —- I тсА \2 / jtft\2 ' Г8т') (chr) т:А. — 4 sin —г ( ~1г Л2 .. , тсА Ai sh —
216 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Таким образом, для симметричного расположения А и В оказываются вещественными, для шахматного: А — вещественным, В— мнимым. В послед- последнем выражении мы выделили множитель I, обозначая Л и 4sh \2' Будем теперь писать параллельно формулы для смьчетричного и шах- шахматного расположений. Прежде всего, перепишем B1.8). Симметричное расположение dbz, dt dbz2 ~~dT ' Гга Ы2 (А 6г, + В bz2), Vm Шахматное расположение d 8 J, Гл dt dbz. 8/2 Ttz (IА ог, — Dbz2), Напишем теперь системы дифференциальных уравнений для смещений в вещественной форме. Для этого положим: 5г, = 6х, -f i by, = 5, 4- frh; Ьг2 = 5ж2 + / Sy2 = ?2 + «Is и отделим в последних дифференциальных уравнениях вещественную часть or мнимой. Получим системы четырех уравнений: Симметричное расположение dt d\2 dt dt ¦=?l Шахматное расположение dt где Tk Будем искать частные решения полученных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами в виде показательных функций: где AI, N, P, Q — постоянные. Составим производные: dt и подставим в уравнения выражения для ;,,
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 217 Сокращая затем все уравнения на е , получим системы алгебраических уравнений: Симметричное расположение Шахматное расположение — kDM + co/V— kAQ =¦ 0, кАМ + шР—i — kBM — kAN-\-aQ = 0. Как известно, для того чтобы система однородных относительно М, N, Р, Q уравнений была совместна, необходимо равенство нулю определителя четвертого порядка, составленного из коэффициентов при М, N, P, Q. Будем поэтому иметь: Симметричное расположение со 0 kA kB 0 со —kB—kA со kA kB kB —kA со о о = 0, р (О — kD kA 0 Шах а с п о kD W 0 — kA Mai лож kA 0 to kD HO e н e и е 0 ¦ kA -kC CO = 0. Раскрывая эти определители и располагая их по степеням со, получим такие биквадратные уравнения: со" — 2k2 (А* — В2) со* + k* (Л2 — В2J = 0 для симметричного расположения и «4 — 2k2 (А2 — D2) о>2 -(- k4 (Л2 + D2J = 0 для шахматного расположения. Корни этих уравнений со= ±kV~A2— B*= ±2k для симметричного расположения, »>= ±k(A±Di) для шахматного расположения. Для симметричного порядка существуют частные решения, которые Со- Содержат функцию e2kt. При возрастании t смещения возрастают, следовательно, имеем неустой- неустойчивость движения. Что касается шахматного расположения, то для него получаем частные решения, содержащие функции: e±kAtcos kDt и e±kA'im kDt. Показательные функции с положительным показателем возрастают с воз- возрастанием t, что указывает на неустойчивость расположения в общем случае. Единственный случай, когда возможна устойчивость движения, требует обращения величины А в нуль: ch2 Till = 0, откуда B1.9)
218 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Это и есть полученное Карманом условие устойчивости. Оно дает зависимость между величинами h и /, т. е. расстоянием между цепочками и расстоянием между двумя соседними вихрями каждой цепочки. Именно, из B1.9) можно путем вычисления найти следующее приближенное значение: - = 0,2806. B1.10) Это значение очень близко к данным, полученным в опытах с движением цилиндра в воде. Покажем теперь, что и при выполнении условия B1.9) получается не- неустойчивость движения. Для этого нужно провести более точное исследова- исследование, аналогичное тому, которое мы проделали в начале параграфа для случая одной цепочки вихрей. Будем исходить из системы уравнений B1.5), опре- определяющей zu z2, гъ, z4 в функции времени, т. е. определяющей движение всех четырех цепочек вихрей. По формуле B0.4) невозмущенные цепочки вихрей двигаются со скоростью Введем теперь обозначения — Lx-'^L — — L—ilL — _^-4- — 3l ih 2~ и будем считать, что в начальный момент ^ = 0 вихри ги г2. z3, z4 лежат соответственно вблизи точек zl0, ziQ, z30, г40. Положим теперь IY , л А r.h = H, B1.11) где Cfc суть безразмерные смещения вихрей относительно тех положений, которые они имеют в невозмущенном движении, а -. — безразмерное время; тогда уравнения B1.5) примут вид: dx = /{tg(C4-i + ctg (с, — С, — ^ + // (С,-C + -J+ / — 2 th 2«, ctg к = г-|с,ф_с4~! (C3 — C4 + -J + ///) } — 2 th 2//, B1.12)
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 219 Легко видеть, что dx и, следовательно, С,—С,-Кз —C4 = const. B1.13) Постоянная определяется по начальным значениям величин Ci, ^> ?з> ^4- Предположим последние такими, что эта постоянная обратится в нуль. Тогда во все время движения будет выполняться равенство С,-С2 + ?3-С4=О. B1.14) В силу B1.11) это означает, что ¦г, — г2 4- *з — zA = г,0 — г20 + г30 — г40 = / + 2гА, в частности, будет выполняться равенство У1 + Уз Уг + У4 _ А 2 2 ' показывающее, что среднее расстояние между вихрями верхней и нижней цепочек таково же, как и в случае невозмущенного движения. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда выполняется условие Кар- Кармана, так что sh2tf=l; ch2# = |/; B1.15) вводя обозначения 2(С2-С) = ч 2(С4-С,) = р B1.16) из B1.12), пользуясь еще B1.14), получим: ей dz \cos a -j- cos p cos Э — i ) ' rf"p .. / 1 1 \ —J- == 4i sin а ; r — . dz \ COS cc -(- COS p COSa-(-'/ B1.17) Положим. a = a,4-W2. P = Pi + «3* B1.18) и (cos a 4- 0 (cos p — /) cos a 4- cos p тогда предыдущую систему можно записать в виде da, dF da2 dF dp, dF B1.19) B1.20) Эта система имеет очевидный первый интеграл F = const. B1.21) Разложим F в ряд Тейлора: р 2a a 4-2' В '—а4 — а3 — а2 2 4-— а3 ' — 4 4- L ^ ( 2 2\ /Й2 Й2\ „ о о | 1 04 I +  И ~~ 2J i,Pl ~ P2J ~ ala2"lP2 "I—g" Pi I" + 4 PiPa - 4 PiPa - 4 Piij2 + \ ?2 + • • • B1-22)
220 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Система уравнений B1.20) принимает вид: [ГЛ. V ft3 ^ Pi ~  rftX2 - у Р? I r3 I  Р2 "Г 2 з у Р2 ^ a2 (Pi - о 1 3 = 2a2 - 2" al 3 2 2" «i«2 B1.23) где невыписанные члены — степени не ниже пятой от а,, а2, р,, р2. Как было указано в начале параграфа, мы считаем вихревые цепочки неустойчивыми, если можно указать сколь угодно малые начальные смещения вихрей, такие, что при дальнейшем движении расстояние между двумя вих- вихрями будет отличаться на конечную величину от первоначального расстояния между этими вихрями. Очевидно, что неустойчивость цепочек Кармана в слу- случае выполнения условия B1.15) будет доказана, если мы сможем указать такие сколь угодно малые начальные значения а,, а2, jii, ?2> чтобы в даль- дальнейшем движении величина превзошла конечную величину. Если мы в правых частях уравнений B1.23) оставим только члены пер- первой степени, то получим систему первого приближения: Решая эту систему обычным способом, мы придем к алгебраическому уравнению четвертого порядка, имеющему два чисто мнимых и притом дву- двукратных корня ± 21. Можно показать '), что в этом случае для решения вопросов устойчивости необходимо рассматривать полную систему B1.23). Применим для ее исследования метод Ляпунова. Введем обозначения а, = г, cos tpi, Pi ~rx sin у,, a2 = r2 cos <p2. P2 = r2 Sln ?2> B1.25) ') Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935.
§ 21) ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА тогда система B1.23) преобразуется в такую: =¦ — -g Лsin — r\r2 sin j Лг2sin C<pi - ъ)— " rir2 sm B<p, + 2<p2) + +  'Ч'г Sln Bf l — 2<P2) +  + Ъ dr2 ~dx = w r0 -2 rA ri ЫП (tfj -f sin , — 2^.4 — -^ r? sin - = — 2rt — ^ ''l — - ri cos 4tPi - cos («Pi cos rA + Y rir2 cos 2 ("Pi rA + 2" '•/I cos 2 («Pi — ?2) + Y r2 cos ("Pi + Ъ --2'r2~~6r2 C0S + у ''l^ cos CtP2 — "Pi) + rir2 + у rir2 cos 2 (<Pi +  rir2 cos 2 ('f i — <p2) — -j '? cos (?, + <p2) + где невыписанные члены — степени не ниже пятой от г, и гг. Система первого приближения принимает вид dx = 0, d<f dx I, dx = 2 и имеет первые интегралы /•] = const., r2 = const., <p, -)- <Рг =: 221 B1.26) B1.27) B1.28) но тогда произвольная функция от г,, г2, tpi"bVs тоже будет интегралом системы B1.27). Отметим, в частности, следующие интегралы: sin <Р2> r\, r\, r\, rxr2 cos (?1 + <Р2), rxr2 s cos (tp, + <р2)- r\ri sln ("Pi + <Р2> rlrl r\r\ cos 2 («Pi + <P2). ^ cos (?1 + tp2), Г1г| мп (?1 + <p2), 4 B1.29) r\r\ sin 2 (?1 + tp2)
222 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Вернемся теперь к системе B1 26). Мы имеем для нее первый инте- интеграл B1.21): F = - 2rxr2 cos fa + <р2) + -§- г\ — -g- r\r2 cos FЬ <р2) - j r\r2 COS fa + <P2) — Y Г1Г2 — " r\r\ cos 2 (<Pl + -g" 'i^ cos CtP2 - «Pi) + -5 'i^ cos № + ?2) + y r\ Заметим теперь, что вследствие уравнений B1.26) мы имеем для произ- произвольного полинома Фл степени п от а,, а2, C,, р2 равенство ~~ ~~ "^ rft ~"~ йг2 rfx ~"~ dtp, rfx где символом О (я) мы обозначаем совокупность членов степени ие ниже я от ri и г2- Напишем теперь первое из равенств B1.26) в виде 7" = - 2г?г2 sin (9l + ft) + r\r\ sin B?1 + 2?2) + + '"l'"! sln (?1 + <P2) — I" rl Sln 4tPl — '"fo sln CtPl — ?2) + B132) Первые три члена справа являются отмеченными в B1 29) интегралами си- системы B1 27). Подберем теперь полином Ф4 так, чтобы было **±=^r\ sin 4?! + г\гг sin CЬ - <р2) - r?/-2 sm B(pi _ 2tp2) + 0F), B1.33) для этого достаточно, вследствие B1.31), удовлетворить уравнению г' sm 4<Pi + rir2 "п C?! - «f2) - r\r\ sm B?1 - решение этого последнего уравнения находится без труда, им является, например: *4 = 24 ri cos 4? 1 + Т ^ cos C<f 1 "~ fz) — g" ГИ cos BtPi — 2<Рг) = = -2T D - 6«?Р? + Pi) + | («i»2 - 3aia2B? + З^^Рг - p?p2) - Складывая равенства B1 32) и B1 33), получим: = -2г?г8 мп (у! Ч ь) + r\r\SIn B?i + 2«?2) + г^г ып fa тЧ2)+0 F) B1.35)
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 223 Точно так же можно найти такой полином 4'4, что окажется = 2r,r| sin (?1 + Ъ) + r\r\ sin - г?г2 sin (Tl+ft)+0F), B1.36) например, можно взять Wi = ~ i (^ ^ 6й2?2 + Ра) - 4 («2а1 - 3*1^2 + + 3elp,?2 - PiPD - -g- (»i - Pi) («1 ~ Pi) - 7 «i«2PiP2- B1-37) Заметим теперь, что r,r2 sin (<?, + <p2) = a,p2 + a2[3, и что вследствие B1.23) мы имеем: i „2;,2 1 04 4 з 4 „ з , 1 4 „ 1 _4 J_ -I a2132 — -g- И1 g px[32 g- Р!Р2-Г ^ P2 + w @) — — ~2 r\ T + -g rfr2 cos C?! — <f2) + rjr2 cos (<р! + ?2) + -g- r^ cos C<p2 — Нетрудно найти полином 94, удовлетворяющий условию —?- = - у r\r2 cos C<Р! — ?2) — з" '"i' cos C?2 - <?i) + О F); таким полиномом является, например: 04 = 24 ri^ sin Ctpl ~ ?2) — 24 rir2 sin C?2 - ?0 = = (Pi - aD (i а$2 ~ ^ a2?l) + (Pi - 4) (j «1P2 - ^ «2Pl) • С21») поэтому d (al?2 +a2?l +64) 1 4 . 0 , s . ———ai = - -2 ri + rir2cos (Ti + <P2) + + rsl cos (9l + <?) +1 r42 + О F). B1.39) Пусть теперь начальные значения a,, a2, p,, p2 обращают функцию /=" в нуль; так как эта функция есть интеграл системы B1.26), то во все время движения мы будем иметь равенство /=•==0 B1.40) и, следовательно, в силу B1.30) r^jcos (<Pi + «p2) = 0D). Поэтому равенство B1.39) может быть упрощено:
224 BHXPFBblE ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Вычтем равенство B1.36) из B1.35): + Ъ) ~ ГугЪ sin (с?! + Ъ) + О F). Положим, наконец: V = ('? - 4 + % - У4) («,р2 + ojp! + 04), B1.41) тогда вследсюие двух предыдущих равенств окажется ~ = - {Л+^) '•И ™> (? 1 -h »2)+т И - -2) D -ri)+o (8). Прибавив к правой части функцию получим окончательно: ^jr = — §- {Л -г 4) (Г1 + 4) + ° (8>- B1.42) Отсюда ясно, чю мы будем иметь неравенство -__«-' ^г^ _1_ «.2\ /#•'' _1_ «-^ f91 AT» J ~~~ ~~Л~ \ 1 ~~1— 2 / \ 1 —[— 9 / \ .^^J^ при всех достаточно малых значениях г, и г2, например, в некоторой области г1 + 4<а2- B1.44) Покажем теперь, что можно выбрать сколь угодно малые начальные значе- значения а,, а2, рь 'рг так, что в дальнейшем движении величина 2 | 2 г q 2 | о 2 2 | 2 /О т л с\ а1 "I а2 ~Т~ Pi ~Г f*2 == Г1 I Г2 B1.45) превзойдет конечное значение а2. Для этого достаточно взягь сколь угодно малые начальные значения аь а2, рь р2, удовлетворяющие уравнению B1.40) и неравенству V < 0, чго, очевидно, всегда можно сделать. Начальное значение функции V обо- обозначим через Vo. Покажем теперь, что предположение о том, что величина B1.45) никогда не превзойдет значения а1, приводит к противоречию. В самом деле, пусть во все время движения выполняется неравенство B1.44), тогда имеет место B1.43) и, в частности: функция V убывает и, следовательно, во все время движения V<V0. Но тогда во все время движения будет где b — некоторое положительное число, и так как Г\ -г- г2 = - тл | 2~~~ > ~2~ '
g 22j СХЕМА KAPM\H\ ДВП/КЕНПЯ ТЬЛА ro из B1.43) выводим: 225 ±Ь», т.е. D D' С С так что V неограниченно растет по модулю. Но это противоречит тому, что полином V должен оставаться в обчасти B144) ограниченным по модулю. Итак, можно задать такие сколь угодно малые смещения вихрей, что в дальнейшем движении вихри разойцутся на конечную величину. Это пока- показывает неустойчивость вихревых цепочек Кармана и в исключительном сл}- чае выполнения условия B1.9) Это последнее условие сохраняет, однако, до некоторой степени свое значение, так как оно характеризует те распо- расположения вихрей, которые обладают наименьшей неустойчивостью по сравне- сравнению со всеми другими расположениями вихрей. § 22. Схема Кармана движения тела в жидкости с образова- образованием вихрей. Пусть тело, имеющее форму бесконечного щпиндра с образующими, перпенди- перпендикулярными плоскости Оху, , движется в плоскопараллель- плоскопараллельном потоке жидкости парал- параллельно оси Ох в отрица- отрицательном направлении со ско- скоростью V. Контур сечения цилиндра плоскостью Оху в в обозначим через С (рис. 85). Проведем еще плоскость, па- Рис. 85. раалельную плоскости Оху, на расстоянии единицы дайны от нее. В дальнейшем мы бучеч рас- рассматривать движение жидкости между этими двумя плоское тми. Допустим теперь, чго при движении тела за ним обра- образуется пара цепочек вихрей, расположенных в шахматном порядке, и допустим, что на больших расстояниях от тела за ним течение жидкости такое, ка- какое происходило бы от двух бесконечно длинных цепочек вихрей, рассмотренных в пре- предыдущих параграфах (рис. 86); на больших же расстояниях от Рис. 86, тела перед ними мы предпо- предположим жидкость покоящейся. При таких условиях можно вычислить сопротивление, испытываемое телом при его движении Обозначим через и скорость, с которой будут перемещаться расположенные в шахматном порядке вихри. В § 20 мы видели 15 Зак ИЗО
J.2& 13I1XP1 ВЫЕ ДВП/МППЯ НД1 \,1ЫКI1 ЖИДКОСТИ [1Л V [формула B0.4)], что эта скорость равна u = ~th^. B2.1) где Г — абсолютная величина интенсивности вихрей (остальные обо- обозначения— прежние). Мы примем, как показано па рис. 86, цирку- циркуляцию верхних вихрей отрицательной, т. е. равной — Г, циркуляцию нижних—положительной, т. е. равной -j-Г. Тогда вихри будут перемещаться со скоростью и в направлении отрицательной оси Ох. Введем в рассмотрение подвижную систему координат Оху, пере- перемещающуюся вместе с вихрями со скоростью и, так что вихри относительно этой системы остаются неподвижными. Цилиндр в системе Оху будет перемещаться со скоростью V — и параллельно оси Ох в отрицательном направлении. Легко определить тот промежуток времени Т, за который тело передвинется относительно осей Оху на отрезок Z; очевидно, Отметим, что в два момента времени т и z-\- T картина движения жидкости будет совершенно одинаковой; единственная разница будет состоять в том, что в момент t-j-71 между телом и началом коор- координат подвижной системы Оху будет на одну пару вихрей больше, чем в момент т. При движении тела в жидкости оно будет испытывать сопроти- сопротивление со стороны последней. Нас будет интересовать только лобо- лобовое сопротивление, т. е. составляющая силы сопротивления по оси Ох. Обозначим величину лобового сопротивления черезW и поставим себе задачу вычислить среднее значение лобового сопротивления за период Т. В основу вычисления положим закон количеств движения: при- приращение за некоторый промежуток времени проекции количества движения системы точек на какую-либо ось равно сумме проекций на ту же ось импульсов всех внешних сил, действовавших на систему, за тот же промежуток времени. За рассматриваемую систему точек мы возьмем объем жидкости, ограниченный в момент т контуром ABCD и контуром тела. При этом уравнения прямых AD и ВС суть у = + т], где т] мы считаем очень большим (в дальнейшем мы устре- устремим 7] к бесконечности); уравнения прямых АВ и CD суть х = — ?2 и х = ?1, причем опять-таки il и Е2 считаются очень большими. Мы будем рассматривать движение частиц жидкости относительно подвижной системы координат Оху, перемещающейся вместе с вих- вихрями. Составим комплексный потенциал, характеризующий движение. Если взять основные вихри верхней и нижней цепочек в точках z0 и —zQ I где z0 r^ — _j__- A , то комплексный потенциал, происхо-
22] СХЕМА КАРМАНА ДВПЖЬНИЯ ТЕЛА 227 дящий от вихрей обеих цепочек, будет иметь вид 0^ = —2^ In sin у (z — zo)+i In sin у (г ~Мо) = ir=B2-3) sm у (г — г0) Кроме toi о, так как мы сообщили системе координат Оху дви- ксние параллельно оси Ох со скоростью — и, каждая частица жидкости пспучит добавочную скорость и параллельно оси Ох. Соответствую- Соответствующий комплексный потенциал будет иметь вид: w2-=uz. B2.4) Таким образом, полный комплексный потенциал определяется формулой sin ^-(z + г0) ±B2.5) ТС , y (г г0) При этом, согласно указанному выше, в областях жидкости, дале- далеких от тела и лежащих перед телом (по направлению его движения), мы должны пользоваться потенциалом w2, в областях же за телом необходимо пользоваться потенциалом w. Там, где движение харак- характеризуется потенциалом w2, очевидно, будет: Рассмотрим теперь движение, определяющееся потенциалом ¦wl(z) = <?1(x, y) + %(x, у). Вычислим прежде всего значения функции тока i}^: sin у (г + г0) ып у (г — . cos -7 (г -4- г siny B 7t ,— — 4тс sin у (г—г0) sin у (г — г0) — cos г0— г— г0) cos у (г — го-{-г — г0) — cos у (г — г0 —; 2та ( .ft' cos 2л , 2тс / Л \ Г ch"T У+Т cli F гЛ ft \ 2т,х sm —-- 15-"
228 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V На рис. 86 начерчены линии тока ^(л:, у) — const., причем отно- отношение hjl взято согласно условию B1.9). Легко найти предел (jjj(.v, у), когда у—>-f-oo. В самом деле, в этом случае 2ity тт/z 2-y uft П Г ii, значит, "=-Ь-^ — ^Ч — Ж' B2-8) Точно так же легко найти, что lim ty\(x, у V->-co Гй B2.9) Перейдем к вычислению скоростей. Проекции скорости можно определять по формулам ду ' B2.10) или непосредственно из равенства Jlx dw. B2.11) Воспользуемся последним равенством. Так как wx определяется формулой B2.3), то dw, Г 71 cos у {г + г0) cos у (г — г0) sin у (г Г и cos ¦ cos ¦ 2г0 -- COS г-^ cos • (- sin ch -h 2t.z ¦r.h ' B2.12) -/Shy Мы не будем отделять в этом выражении вещественную и мни- мнимую част, чтобы найти vx и V... Мы только заметим, что если у нмеег очень большие по абсолютной величине значения, rs \SQ$2m/l\
23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 229 2лг 2лг = COS -у- COS — ~ 6} дет очень большим (так как cos—-. 1 4-х , 1 . 4яу\ — „-cos—. t""9"cn~rH и> следовательно, скорость частиц жидко- с in в этом случае очень мала. Поэтому в дальнейшем мы сможем пренебрегать происходящими от комплексного потенциала wl ско- скоростями частиц жидкости, лежащих, например, па прямых AD и ВС. Мы должны, однако, отметить весьма важное следствие, выте- вытекающее из формул B2.8) и B2.9). А именно, вычислим, какое количество жидкости протекает в единицу времени через линию х — const. Оно определяется, очевидно, формулой = р [lim $i(x, у) — lim '^(х, у)\ — у->-Ьсо у->-со — г, ( ГЙ 1/l \ — Th? 109 1 Ч\ -?! 2T--2TJ- Г' <22ЛЗ) Таким образом течение жидкости, вызываемое двумя вихревыми цепочками, таково, что за каждую единицу времени через любую прямую х — const протекает всегда в направлении отрицательной оси Ох масса жидкости Г/zp/L Очевидно, что при сделанных нами предположениях, так как на больших расстояниях перед телом мы предполагаем жидкость покоящейся, упомянутая масса жидкости должна расходиться по обеим сторонам, т. е. мы приходим к заклю- заключению, что через грани AD и ВС будет в каждую единицу времени выходить масса жидкости Г/гр/7. Наконец, что касается движения жидкости, определяющегося потенциалом w и имеющего место за телом на далеких от него расстояниях, то в этом движении очевидно будет: vx = a + vlx. vy^vly. B2.14) § 23. Вычисление лобового сопротивления по Карману. Обо- Обозначим теперь через Kt проекцию на ось Ох количества движения той массы жидкости, которая находится в момент t между конту- контуром ABCD и контуром тела. Возьмем промежуток времени от мо- момента т до момента -c-f-Г и постараемся вычислить приращение величины К( за этот промежуток. Для этого предварительно вы- вычислим:
230 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Очевидно, эта величина складывается из трех частей: во-первых, из приращения проекции на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые в момент t находились в рассматриваемой области, во-вторых, из проекции на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые за промежуток времени dt вошли в рассматриваемую область и, наконец, в-третьих, из взятой со зна- знаком мин\с проекции на ту же ось количества движения жидких частиц, вышедших за промежуток времени dt из рассматриваемой области: Первая из этих трех величин может быть определена на осно- основании закона количеств движения, по которому производная по вре- времени от проекции количества движения какой-либо системы точек на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось всех внеш- внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Мы пренебре- пренебрежем действием всех внешних сил, за исключением силы, с которой тело действует на жидкость, и сил давления, действующих на кон- контуре ABCD со стороны внешних по отношению к рассматриваемому объему частиц жидкости. Так как сила, с которой тело действует на жидкость, по принципу равенства действия и противодействия, противоположна той силе, с которой жидкость действует на тело, то проекция на ось Ох силы, с которой тело действует на жидкость, равна—W. Далее, силы давления, действующие на гранях AD и ВС, очевидно параллельны оси Оу и не имеют составляющей по оси Ох. Принимая это во внимание, мы можем написать следую- следующее равенство: М^ = _Г+ fpdy— fpdy. АВ CD Переходим к вычислению суммы d2Kt-\- d5Kt- Отметим, что в рас- рассматриваемую область ABCD частицы жидкости могут входить как через грани АВ и CD, так и через грани AD и ВС. Рассмотрим, например, грань CD. Через элемент dy этой грани за время dt вый- выйдет, очевидно, масса жидкости pvxdtdy, которая унесет с собою количество движения жидкости, проекция которого на ось Ох равна ). Всего через грань CD выйдет количество движения J pv\dydt; CD точно так же через грань АВ войдет количество движения Г pv\ dy dt. АВ
<( _М| ВЫЧНС-ЧЕШП- ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРММ1У 231 Наконец, через грани AD и ВС за время dt выйдет, как мы видели выше, количество жидкости ~-dt; проекция скорости vx на этих гранях равна и, поэтому через указанные две грани выйдет количе- ство жидкости —¦—- и dt, а потому мы будем иметь: d2Kt-\-d3Kt^ f^dydt — f ov2x dy dt — ^-udt. AB CD О сончательно для приращения проекции на ось Ох количества движения массы жидкости, находящейся внутри объема ABCD, получим: -AB CD Интегрируя это выражение по промежутку времени от момента до момента х -f- T, легко получим: -. -т = _У Wdt + A /(p + ptydy-ftp + pvtydyl-^T. B3.1) Но левую часть полученного равенства легко вычислить непосред- непосредственно. В самом деле, за время Т тело продвинется относительно вихрей влево иа отрезок /; следовательно, в моменты т и т-f- Т движение жидкости будет совершенно тождественным, единственная разница будет в том, что вся картина движения сместится влево на отрезок I. Поэтому, если мы обозначим через А'В' и CD' отрезки АВ и CD, перенесенные на расстояние I вдоль оси Ох, то картина движения в момент т —J— T" внутри прямоугольника ABCD полностью совпадает с картиной движения в момент t внутри прямо- прямоугольника А'В'CD'. Но тогда ясно, что разность Д"т т — Kz будет равна разности проекций на ось Ох количеств движения двух масс жидкости, заключающихся соответственно внутри CC'D'D и АА'В'В, т. е. К.^т — К.= Г Г pvxdxdy— \ \ pvxdxdy. CDC'D' ABA'B'
232 вихревые движннпя идглльнои жидкое I и [гл v Комбинируя этот результат с B3.1), легко получим для среднего значения лобового сопротивления, испытываемого телом, формулу dt= f(p+?vx)dy — АВ CD -I I / f9vxdxdy- f ffvxdxdyl-^p.. B3.2) S-СОС'Ъ' АВл'в' -I f -СОС'Ъ' Отметим еще, что по формуле Бернулли где С — постоянная. Поэтому AB CD AB CD J Вставляя это выражение в формулу B3.2), получим равенство, которое имеет пока лишь приближенный характер, но которое делается вполне точным, если считать грани AD и ВС, а также АВ и CD бесконечно удаленными; в этом случае для среднего лобового сопро- сопротивления, которое мы обозначим Wm, получим: + т где ^^ \-AB ¦„=4/ Wdt = A + B-?fZ, B3.3) l Г Г Г ГС 1 В — — lim -^ / / ovrdxdy— / / ovrdxdy\ . B3.5) r->oo ']•>,! J J T,-*^ i-CDC'D' ABA' B' J Остается произвести вычисления. Так как в области АВА'В' проекция скорости vx равна постоянной величине и и так как обла- области CDCD' и АВА'В' равны, то, очевидно, что В — —\\т у I / [j(yx — u)dxdy. т'~>'х CDC'D' Но по формулам B2.14) и B2.10) vx - и -= vlx =-
§ 23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 233 значит, ?,+ ' Г со Е I Но нами в формуле B2.13) уже был вычислен интеграл Ы*. у)- lim М*> зо =- у->+со ' ОУ У->+с^ \/-ь.- — со Поэтому легко найдем, что ~-^-dx = ^y-. B3:6) ?, Переходим к вычислению А. Так как на АВ имеем vx^=u, v — О и так как АВ и CD равны по величине, то очевидно Л — — lim-g- ' "~ CD Воспользовавшись формулами легко найдем, что 1 Л B3.7) Т]">а> со Но так как v\y - и, кроме того, на линии CD очевидно dz = tdy, то, обозначая знаком Re вещественную часть какого-либо выражения, очевидно будем иметь в силу того, что следующее выражение для А: El + 1'co
234 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЬАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Воспользуемся выражениями B2.12) и B2.1) для dwxldz и и: dw1 17 cill~ _ г -Ji лА ' U~~~Tl ~Г' сПГ 2л* Легко видеть, чт (dWl\* \~dz~j ~+ nh ГЦ dz /2 / 2лг яД\2 I2 I 2лг ~Л\ Icos -y- + /sh —) I cos -y-4-ish -у-1 ,2 /sh-^y- cos (-1 lr 7 Г2 rf_ 2л/ dz sin - соь 1ъг r.h I +'bn~J поэтому Л легко вычисляется: ~ 4л/ 1Ч" г 2лг , . , %h i\ cos— \- ish -y- 2 f,-( Проще всего принять ^ = kl, где ft — целое число, которое мы должны считать очень большим; тогда на линии CD 2л2 . 2и'у . , 2лу 2nz 2л/v . 2лу sin ——- = sin —y~ = г sh —?-; cos —т— = cos—~ = ch -~ и, значит, 4л/ Но, как известно, значит, lim thy=l, lim th у = —1, y-> со y->—oo _ pr2 B3.9) Собирая все полученные результаты B3.3), B3.6) и B3.9), при- приходим к формуле _ РГ2 РГ/г ГЛрц W«'—2tiI~t~ Т I ¦ Вспоминая еще выражение для периода Т I 7 = V— и '
4 23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 235 приходим к окончательной формуле B3.10) Так как числовое значение Г непосредственно из наблюдений не определяется, то мы воспользуемся соотношением между Г и ско- скоростью перемещения вихревых цепочек, соотношением, полученным из условия устойчивости B1.9): и = — th — == —^=-, откуда Г = 21 V2U. 21 I 21У 2 J V Кроме того, j = 0,2806, как мы получили из того же условия устойчивости. Тогда Wm = 2 У2 ulp (V — 2и) • 0,2806 + ^- = = plV2[0,7936 ~~ 0,3141 (уJ]- B3.11) Вводя обозначение B3.12) где d есть величина основного размера обтекаемого профиля, можем написать: Wm=idV2cw B3.13) Карман и Рубах исследовали движение цилиндра в жидкости и получили хорошее совпадение наблюденных данных с вычислениями. Именно, для кругового цилиндра диаметром 1,5 см получено: h =1,8 см, / = 6,4 см, так что Л//= 0,282. Для пластинки глуби- глубиной в 1,75 см: А = 3,0 см, / = 9,8 см, А// —0,306. Результаты измерения силы лобового сопротивления и вычисле- вычисления ее по формуле приведены в табличке (вместо самой силы Wm вычислена пропорциональная ей величина cw): Цилиндр Пластинка u/V 0,14 0,20 lid 4,3 5,6 hid 1,21 1,57 С ВЫЧИСЛ. 0,91 1,61 с иаблюд. 0,90 1,44 A,56) Совпадение хорошее, особенно для цилиндра.
236 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V § 24. Упражнения. 1. Найти уравнение линий юка одной вихрсвол цепочки (рис. 83). Ответ. ch 2те (у — у0) — cos — (х — х0) = const. 2. Исследовать движение вихревой нити между двумя параллельными стенками. Ответ. Пусть расстояние между стенками будет /, координата вихря—га. Отразим вчкрь относительно каждой стенки и повторим это отражение бесконечное число раз. Получим двойную цепочку, содержащую две системы равноотстоящих вихрей противоположных интенсивностей Г и — Г: вихри 2 Г\ i г Г\ У гл уа п первой системы отмечены знач- значком 1, второй — значком 2 (рис. 87). (г 4 г0); dZg dt откуда t'wz 87. Г ~Ш dt Вихрь перемещается параллельно стенкам с постоянной скоростью. 3. Показать, что уравнения начерченных на рис. 86 линий тока двух вихревых цепочек Кармана, расположенных в шахматном порядке, можно написать в виде: sin x-\- sh у „ ch у ~~ ' где постоянная С может меняться в пределах от —У2 до -\-У'1, если имеет место условие устойчивости B1.9).
ГЛАВА ШЕСТАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Предварительные замечания. Допустим, что рассматривается движение твердого 1ела в без! ранпчном по всем направлениям об[е»н жидкости, покоящейся в бесконечное!и. Движущееся 1вердое ie ю вызовет движение часгпц жидкости, окружающих icio и взаимодейы- вующих с ним. Можно сразу же наметить две общие постановки задачи о движении твердого тела в жидкости: а) Движение тела наперед задано; требуется опредслшь то состояние движения, которое вызовет движущееся тело в окружаю- окружающей его жидкой среде, а также определить силы взаимодействия между телом и жидкостью. Зная эти силы, нетрудно определить внешние силы, которые нужно приложить к телу, чтобы осуществить рассматриваемое заданное движение этого тела. б) Наперед заданы внешние приложенные к телу силы, и ipe- буется определить как движение самого тела, так и состояние движения жидкости а также силы взаимодействия между телом и жидкостью Форма поверхности тела предполагается известной при той и дру- другой постановке вопроса. Таким образом при обеих постановках задачи мы можем различить в ней две стороны, тесно связанные между собою: кинематическую и динамическую. Здесь мы будем рассматривать движения тотько в идеальной жидкости, и надо наперед отметить, что многие резучьтаты, полу- получаемые для идеальной жидкости, значительно расходятся с действи- действительностью. В особенности это относится к расчету сил сопротивления, встречаемого телом при движении в жидкости. Дело в том, что силы внутреннего трения или вязкости, действующие во всякой реальной жидкости между ее частицами, проявляются наиболее эффективно в тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. Наличие даже весьма малой вязкости может значите паю видоизме- видоизменить поле скоростей а следовательно, и связанное с ним поле гидро- гидродинамических давлений вокруг тела.
238 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Из различных типов наперед заданного движения твердого те,1 а в последующем будет играть особую роль случай поступательного прямолинейного и равномерного движения тела в жидкости. Созда- Создаваемое им состояние движения жидкости будет, очевидно, установив- установившимся, если рассматривать движение жидкости по отношению к осям, связанным с телом. Для расчета поля гидродинамических давлений мы можем на основании галилеевского принципа относительности клас- классической механики принять в качестве основных «неподвижных» осей упомянутые выше оси, связанные с телом. Иначе говоря, мы може!М задачу о поступательном прямолинейном и равномерном движении тела в жидкости, которая покоится в бесконечности, свести к задаче об установившемся обтекании неподвижного тела безграничным пото- потоком жидкости, бесконечно удаленные частицы которой имеют повсюду одинаковую по величине и направлению скорость. В настоящей главе мы рассмотрим, как более простой, случай плоского потока, в который помещено тело, имеющее форму беско- бесконечною цилиндра с образующими, перпендикулярными плоскости течения. Все динамические расчеты для сил гидродинамических давле- давлений, их моментов, кинетической энергии, мы будем относить к слою единичной высоты, вырезанному двумя плоскостями, параллельными плоскости течения. При этом мы ограничимся рассмотрением безвихре- безвихревого потока несжимаемой жидкости; случай сжимаемой жидкости будет рассмотрен во второй части курса. При рассмотрении плоской задачи для несжимаемой жидкости мы прежде всего обратим внимание на построение кинематической картины течения при обтекании неподвижного тела или при движении тела в покоящейся жидкости. Это построение сводится к нахождению ком- комплексного потенциала, т. е. к подбору такого распределения особых точек течения — вихревых и источников — на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела давало бы ту же самую кинематическую картину течения, какая наблюдается при внесении тела в поток. По- Построив кинематическую картину течения, мы можем, применяя инте- интеграл Бернулли для установившегося движения и интеграл Коши (Ла- гранжа) для неустановившегося, сделать расчет сил давлений на обте- обтекаемое тело. § 2. Граничные условия. Задачи Дирихле и Неймана. Разы- Разыскание комплексного потенциала w(z) = <?{x, у) + Ц(х, у), определяющего плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости, может быть сведено к разысканию одной функции тока ф, так как потенциал ср связан с ф известными условиями Коши — Римана, позво- позволяющими определить ср в виде квадратуры по известной функции ф. Функция тока ф, которая во всех точках потока несжимаемой жидкости предполагается непрерывной, удовлетворяет в этих точках уравнению
А ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ II НСЙМАНА 239 Лапласа Дф = О, а на границах потока — некоторым известным усло- условиям, вид которых варьирует в зависимости от условий осуществле- осуществления плоского потока. Не задаваясь целью дать исчерпывающую классификацию различ- различных типов граничных условий, укажем наиболее простые случаи. Если рассматривается плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся в бесконечности, воз- возникающее при движении цилин- цилиндрического тела, то граничными условиями для функции тока $ очевидно, будут: а) дх = 0, ду ¦ = 0 B.1) для бесконечно далеких точек по- потока, так как в этих точках ско- скорость должна быть равной нулю; О б) в каждой точке контура дви- рис gg жущегося тела должны совпадать нормальные проекции скоростей ип — самого контура и vn —приле- —прилегающей частицы жидкости (рис. 88); замечая, чго vn ~vKcos(n, x)-\-vycos(n, у) = vr sin 6 — vy cos 9 =^ dy dx di/ dy , d>\> dx d'\> x ds IFy" ~dT 'dx B.2) где 6 есть угол между элементом ds линии тока и осью Ох, мы можем рассматриваемое условие выразить соотношением ds 1 — «у cos 9. B.3) Если при этом в жидкости имеются еще и неподвижные тела, чо очевидно, что на их контурах нормальная составляющая скорости прилегающих частиц жидкости должна равняться нулю, иначе говоря, сам неподвижный контур должен быть в соприкосновении с линией тока (одной или несколькими). В этом случае к предыдущим усло- условиям мы должны присоединить пограничное условие в) ds =0; 6 = const. B.4) для точек неподвижного контура. Если тело движется поступательно со скоростью U, направленной вдоль оси Ох, то условие B.3) принимает вид d'b ,, . , , т —L = U sin б — U - ds dy ds ds
240 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI или поеме итерирования вдоль контура при U — const, дтя всех точек контура )=U)) + c. B.5) lic.ui цилиндрическое тело совершает произвольное движение, то их= U — toy; и = V -\~ шх, где U и V — проекции на оси Ох и Оу скорости точки О, неподвижно связанной с телом, а ш есть угловая скорость вращения тела, по- поэтому d'b ... . rfу ,т г , \ е/х ds ч •*' rfi v ' els отьуда <^-=t/y — Kx — {и(хЧ)|2) + с B.6) на контуре тела. Если поступательный поюк, скоросчь которого в бесконечно удаленных точках равна U и направлена вдоль оси Ох, обтекает неподвижное тело, то граничными условиями будут, очевидно: i^_ Uу +-с B.7) для бесконечно далеких точек и -~ = 0, ф=п= const. B.8) для точек контура. Заметим, что хотя указанные нами граничные условия находят свое главное применение при изучении установившегося движения, но они остаются в силе и для неустановившегося потенциального те- течения. В этом случае в предыдущие формулы лишь войдет как па- параметр время t, от которого будут зависеть U, V, ш, с. Задача об определении в некоторой области D функции ф, удо- удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям функ- функции ф на контуре области D, носит название задачи Дирихле. Мы видим таким образом, что определение плоского безвихревого движе- движения несжимаемой жидкости, вызываемого движением ограничивающих область течения контуров, сводится к решению некоторой задачи Дирихле. При решении нашей гидродинамической задачи можно также отыскивать в первую очередь потенциал скорости ср. Он также дол' жен удовлетворять в области течения уравнению Лапласа Д? = О. Однако граничные условия на контуре примут для функции ср другой вид. По самому определению потенциала скорости нормальная про- проекция vn скорости прнтегающей к контуру частицы жидкости есть
5 2] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 241 и ноэюму пограничное условие для функции ср принимает вид *-=«„. B.9) ие ап есть нормальная проекция скорости точки контура. В част- частное iи, в точках неподвижной границы мы получаем условие ж = °- BЛ°) Задача об определении в некоторой области D функции ср> удовле- удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям нормальной производной функции ср на контуре области D, носи г название задачи Неймана. Таким образом наша гидромеханическая задача своди 1ся к решению некоторой задачи Неймана. По функции ср можно определить функцию ф и обратно. Ясно поэтому, что задачу Неймана можно свести к задаче Дирихле и об- обратно. В самом деле, вспомнив условия Коши — Римана и приняв на время, в соответствии с рис. 88, направление нормали за направле- направление оси Ох, а направление касательной за направление оси Оу, сразу пол}чим соотношения д-f dfy до дЬ дп ds ' ds дп Задание функции ф на контуре сразу определит нам значение нормальной производной потенциала скорости dy _ di>_ дп ds и позволит перейти от задачи Дирихле к задаче Неймана. Обратно, имея задачу Неймана, т. е. зная иа контуре значение д^/дп, лако получим: для любого контура, ограничивающего область течения, и перейдем таким образом к задаче Дирихле. В случае миогосвязной области, ограниченной k контурами, в пре- предыдущей формуле появится свое значение аддитивной постоянной для каждого контура; по значение одной из этих аддитивных постоян- постоянных может быть иыбрано произвольно, так как движение определяется величинами производных от функции ф. Таким образом появятся k— 1 произвольных постоянных. Для определения последних должны быть заданы циркуляции скорости по k—1 контурам, несводимым друг к другу. Это вполне согласуйся с высказанным в конце § 18 главы 16 Зак. UJ0
242 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГЕЛА (ГЛ VI первой замечанием о том, что безвихревое движение полностью опре- определяется заданием ду/дп на контурах только при условии задания всех циклических постоянных. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о безвихре- безвихревом движении несжимаемой жидкости, заключенной в эллиптическом цилиндре. Пусть уравнение эллипса есть v-2 V2 ¦?- + ?-=1. BЛ1) пусть его движение характеризуется проекциями U и V па оси коор- координат скорости его центра и угловой скоростью вращения ш. Тогда функция гока ф должна удовлетворять уравнению внутри эллипса B.11) и 1раничному условию ^^Uy — Vx — -^ (** + /) +const. B.13) на самом эллипсе. Ищем функцию ф в виде полинома второй степени ф = Ах2 + Вху + Су'2 + Dx + Еу + F. Уравнение B.12) приводит к соотношению Из условия B.13) мы получаем, что уравнение А (х2 — у2) -f- Вху -\-Dx~\-Ey — Uу -f- Vх -А- ~ (х2 -)- у2) = const. должно являться следствием B.11). Отсюда вытекают соотношения , . и а2 — *2 2 а2 + / Таким образом искомое течение определяется функцией с2-14) Для проекций скорости находим значения х дх ду аг -j- 62 J ' ' dv db at—b2 lr B>15)
fc 3) ДВИЖиПН. КРУ10В010 ЦИЛИНДРА 243 откуда без труда получим, что ср= Ux+Vy+m д2~^а лгу. B.16) В простейшем случае чисто поступательного движения цилиндра, когда ш = 0, получим: ср = Их + Vy; vx=U; vy = V, B.17) т. е. жидкость движется вместе с цилиндром как одно целое. В случае чистого вращения, когда U = V= 0, имеем: Линии тока абсолютного движения суть гиперболы. Подчеркнем, что полученные нами формулы определяют абсо- абсолютное движение жидкости, но отнесенное к подвижным осям коор- координат Оху. Движение жидкости относительно этих подвижных осей координат определится, если мы из проекций абсолютной скорости B.15) вычтем проекции переносной скорости: vex—U — toy; vey — V-\- сил-; в результате для проекций относительной скорости получим: Траектории относительного движения могут быть получены путем интегрирования уравнений dx _ 2а>а2 dy __ 2ab2 dt ~ аг + Ь2 У' dt i и представляют эллипсы х" i У2 -^¦ + -?г= const., подобные граничному эллипсу. Относительное движение не будет уже безвихревым. § 3. Движение кругового цилиндра. Одним из простейших случаев плоской задачи является задача о движении кругового ци- цилиндра в безграничной жидкости. Берем плоскость Олгу, перпендикулярную к образующим цилиндра, н помещаем начало координат в центр круга С, по которому пло- плоскость Олгу пересекает поверхность цилиндра. Радиус круга пусть равняется с. Мы приходим, очевидно, к плоской задаче определения безвихревого движения вне круга С, возникающего при движении этого круга. П}сть цилиндр совершает поступательное движение,
244 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ TFJIA [ГЛ. VI характеризующееся проекциями U и V скорости эюю движения на оси координат. Тогда мнимая часть комплексного потенциала •ш = ср —j— /ф, являющегося аналитической функцией от г, должна удовлетворять, как было установлено в предыдущем пункте, на круге С условию ф =-= U у — Vx + const. C.1) Проекции скорости vx и vy являются однозначными функциями от х и у, причем они стремятся к нулю, когда точка Р уходит на бесконечность, так как на бесконечности жидкость, по предполо- предположению, покоится. Поэтому комплексная скорость dw является однозначной аналитической функцией or z вне круга С, обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точк'л Но то!да эм функция разлагается в ряд Лорана вида интегрируя это равенство и отбрасывая несущественную аддитивную постоянную, получим: та,==С11пг-4---&+ ... C.3) Для определения коэффициентов Ck надо отделить мнимую часть ф и сравнить ее значение на круге С с выражением C.1). Введем полярные координаты г и 6, положив: и пусть тогда из C.3) без труда получим: „ , А2 cos 0 -4- В2 sin О А3 cos 20 4- Bs sin 20 <f = Al\nr — Bxn 2Д"' , л ft а_ Я 1 г , Л sin 8 - ?2 cos 0 , Л3 si» 26 - В3 cos 26 ф= Л,6-f-^ln/Ч г -272 Полагая в последней формуле г=а н сравнивая полученное выра- выражение со значением ф, даваемым C.1): 6 = Ua sin 0 — Va cos 6 -f- const., придем к заключению, что
5 31 ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Полагая еще, что я — г 1 — тГ' получаем общее решение рассматриваемой задачи в виде 245 ср = ~ 6 — (?/ cos б -f V sin б) —, ф = — ~ In г + (U sin 6 — F cos 6) — . В простейшем случае, когда Г = 0, V = 0, мы пол)чаем: C.4) C.5) C.6) C.7) но как раз такой же комплексный потенциал имеет течение от а}С- лета, помещенного в центре цилиндра, который имеет момент Ж = = 2kUu2 и ось которого направлена по положительной оси Сх (§ 18 главы четвертой, рис. 54). Линии тока в обоих случаях будуг одни и те же, и мы получаем картину течения, изображенную на рис. 89. Точно так же комплексный потенциал w = • C.8) соответствует дублету в начале координат, направление момента которого совпадает с направле- направлением скорости движения цилиндра. Комплексный потенциал w = „-г 2.Т.1 In г C.9) Рис. 89. определяет вихрь интенсивности Г, помещенный в начале координат. Итак, рассматриваемое нами течение, получающееся при движении цилиндра, может быть получено как результат наложения на внхре- вио точку произвольной интенсивности, находящуюся в центре иилиндра, дублета, помещенного в той же точке, с моментом, напра- направленным по скорости цилиндра и имеющим величину 2xqa2, где Я — скорость цилиндра.
V46 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [IVI VI Нетрудно из полученного решения получить решение другой задачи, а именно задачи об обтекании неподвижного кругового ци- цилиндра потоком, имеющим на бесконечности заданную по величине и направлению скорость. Обозначим эту скорость через Vo3=U~\-iV. C.10) Поступательный поток, проекции скорости которого на оси коорди- координат суть U а V, имеет комплексную скорость dw ., .у ~ dz °° и, следовательно, комплексный потенциал w = (U — lV)z = v^z. C.11) Если круг С движется поступательно со скоростью — Vco= — U — IV, а на бесконечности жидкость покоится, то течение, получающееся вне круга, определяется, по предыдущему, комплексным потенциалом C.12) Складывая этот комплексный потенциал с комплексным потенциа- потенциалом C.11), получим: 2 "р Очевидно, что в полученном течении скорость на бесконечности имеет проекции U и V. Очевидно также, что выполняется условие обтекания на круге С, ибо течения C.11) и C.12) дают на этом круге взаимно-yi ичтожающиеся нормальные составляющие скорости. Воспользовавшись обозначением C.10), мы можем записать выраже- выражение C.13) также в виде w = ^-|--^ + wln«. C.14) Если скорость потока на бесконечности направлена по оси ОХ и циркуляция скорости Г обращается в нуль, то получим: w=u(z-\-—). C.15) Этим последним выражением определяется, таким образом, бесцир- бесциркуляционное обтекание круга поступательным потоком.
31 ДБИА1 HHL КРУГОВОЮ ЦИЛИНДРА 247 Воспользовавшись опять полярными координатами (г, 6), без груда получим для этого последнего случая, что =г/(г С3'16) Из последнего выражения очевидно, прежде всего, чю окруж- окружность С, на которой г--а, является линией тока ф--0. Остальные линии тока суть кривые третьего порядка (рис. 90): На окружности С os9, C.17) и, следовательно, для направлен- направленной по касательной к окружно- окружности С скорости мы получаем ве- величину &-JlH-2"s«n9. C.18) Рис. 90 Таким образом скорость в точках контура С имеет величину 21/ | sin 0 j. Наибольшее ее значение равно 2U и достигается в кон- концах диаметра, перпендикулярного к направлению скорости на бес- бесконечности. В точках окружности С, симметричных как относи- относительно оси Ох, так и относительно оси Оу, значение скорости одно и то же. А так как для установившегося безвихревою дви- движения несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил (что мы будем всегда считать, если не сделано особой оговорки) давление р определяется из инте! рала Бернулли р C.19) то ясно, что давление будет одинаково в точках окружности С, симметричных как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. А тогда очевидно, что силы давления, приложенные к элементам окружности С, взаимно уравновешиваются. Таким образом поступательный бесциркуляционный поток идеаль- идеальной жидкости при принятом допущении о безотрывности обтекания не оказывает на круговой цилиндр никакого результирующего давления. В чисто циркуляционном установившемся потоке W — j— '" z
248 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI все частицы жидкости движутся по концентрическим окружноеiям, причем каждая частица движется равномерно со скоростью V = Частицы, лежавшие в некоторый начальный момент на радиусе АВ, расположатся через некоторое время по кривой А'В' (рис. 91), уравнение которой гЦ = const. Очевидно, что чисто циркуляционный поток не оказывает ника- никакого результирующего давления при обтекании кругового цилиндра. Если на поступательный поток, обтекающий неподвижный цилиндр, наложить чисто циркуляционный поток, то получающееся в результате течение утрачивает симметрию по отношению к прямой, проходящей через центр цилиндра параллельно скорости потока в бесконечности. В этом случае комплексный потен- потенциал течения будет, как это следует из C.13): w = U [z + ^j -^ In г, C.20) где U — скорость в бесконечное in, направленная вдоль Ох, и Г—цир- Г—циркуляция скорости при обходе вокруг цилиндра в положительном напра- Рис 91. влении. В зависимости от соотноше- соотношения абсолютных величин Г и U установившееся течение будет иметь различный вид. Чтобы исследо- исследовать картину течения, определим те точки течения, в которых ско- скорость равна нулю; такие точки мы будем называть критическими. Эти точки определяются квадратным уравнением откуда C.21) Если \Т\^> 4тМа, то обе критические точки лежат на мнимой оси: одна вне цилиндра на расстоянии от центра
31 ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 249 трз 1 ая внутри, на расстоянии Г Z-> — жидкости, лежащие на мнимой оси В этом случае все частицы внутри интервала Bj, at) при Г > 0 или внутри интервала (zv —ей) при Г < 0, будут описывать замкнутые овальные траектории, окружающие ци- цилиндр (рис. 92). Если |Г|<4тг?/а, то обе критические точки располо- расположатся на контуре цилиндра (рис. 93), так как в этом слу- случае формула C.21) дает: z\ = a и замкнутых траекторий в по- потоке не будет. Если \Y\-faUa, то мы получаем промежуточный слу- случай: будет одна критическая точка, лежащая на контуре (рис. 94): /Г , . z ~-^U=z±al' Рис.92. причем имеем знак ~\- при Г > 0, — при Г < 0. Рис. 93. Рис. 94 Переходя к вычислению проекций X и Y результирующего давле- давления на слой единичной высоты, вырезаемый в обтекаемом цилиндре двумя плоскостями, параллельными плоскости течения, воспользуемся
250 П.)СКЛЯ ПДАЧА О ДВИЖЕНИИ 1ЬЛА интегралом Бернулли C.19), тогда получим: 2гс 2л К — — &pcos(n, x)ds — -^- / v2cos 6 db — Ca I cos bdb — ИЛ VI У =¦- — ф р cos (я, 2 ,/ cos 0 2к г»2 sin b db — Ca / si sin 6 db = где « — направление внешней нормали и r/s — элемент дуги кругового контура, так что cos (я, х) —cos6; cos (я, у) -= sin 6; ds = adb. На контуре цилиндра скорость будет складываться из скорости C.18) и скорости Г/2га чисто циркуляционного потока, так что "=( ^ 2f/ sin I Г \2 и поэтому л — 2 2я 4L/2 I" sin2 б cos 6 db — 2 -^- Г sin 6 cos 6 rf9 -f- 2rc 2rc 2 sin3 BdO — sin2 8 2r. Г2 C.22) Таким образом поступательный поток с циркуляцией скорости оказывает на тело давление, направленное перпендикулярно к ско- скорости потока в бесконечности, Чтобы точнее определить направление
(, 4] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 251 вектора результирующего давления R, заметим, что при Г>0б\дет Y < 0, а при Г < 0 будет Y > 0; в обоих случаях нужно повернуть на прямой угол навстречу циркуляции вектор скорости потока в бес- бесконечности, чтобы получить направление вектора R. Этот парадоксальный результат возникновения результирующего тавления в составном потоке при отсутствии такового в составляю- составляющих его потоках — чисто поступательном и чисто циркуляционном, находит свое объяснение в асимметрии течения, получающегося при сложении этих потоков. Считая, например, циркуляцию положитель- положительной и взяв для сравнения две точки пересечения контура цилиндра с осью Оу, в которых векторы скоростей составляющих потоков коллинеарны, мы видим, что в верхней точке, где эти скорости про- противоположны по направлению, результирующая скорость окажется меньше по величине результирующей скорости в нижней точке кон- контура, где величины составляющих скоростей складываются арифме- арифметически. Поэтому, как это следует из интеграла Бернулли, давление па цилиндр в верхней точке оказывается больше давления в нижней точке, что и объясняет возникновение результирующего давления, направленного вниз. Формула C.22) является частным выражением формулы Кутта —Жуковского, применимой к любой форме безотрывно обтекаемого контура (см. ниже §§ 6 и 8). § 4. Нестационарное течение, вызываемое движущимся кру- круговым цилиндром. Вернемся к течению, вызываемому движущимся круговым цилиндром радиуса а в безграничном объеме жидкости, которая покоится в бесконечности. Допустим, что движение возникло из состояния покоя; тогда по теореме Лагранжа течение жидкости будет потенциальным; пусть, кроме того, потенциал скорости ш будет однозначной функцией; это требование сводится к допущению, что циркуляция скорости по всякому контуру в жидкости равна нулю. По отношению к подвижным осям Оху течение является неустано- неустановившимся даже при равномерном движении цилиндра. Выберем неподвижные оси Оху так, чтобы в момент t = 0 цен ip цилиндра проходил через начало координат (рис. 89). Так как в рассматриваемом случае Г = 0, то из формулы C.4) получаем для комплексного потенциала выражение «,=—- dt |де есть радиус-вектор центра цилиндра и
252 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI вектор ею скорости. В частности, при прямолинейном движении цилиндра вдоль оси Ох со скоростью и получим: иа2 w oik> да — ЦД2 (х — С) . , иагу Кинетическая энергия Т', заключенная в безграничном слое жидкое!и единичной высоты, может быть вычислена по формуле A3.7) главы четвертой Вычисление дает: Г = 1 г,а V у" COS2 е d9 = у -pa V _ 1. / где Л'Г — масса вытесненной жидкости в объеме, приходящемся на единицу длины цилиндра. Полная кинетическая энергия системы из цилиндра и жидкости будет: где М — масса цилиндра. Применение закона живой силы приводит нас к равенству (М _|_ м1) и du = F ds = Fu dt или M-H = F — M'—, dt dt где F — внешняя сила, приложенная к цилиндру и действующая в направлении оси Ох. Последнее равенство показывает, что цилиндр испытывает силу сопротивления М' dujdt только при ускорении своего движения; при равномерном прямолинейном движении цилиндра сопротивление исче- исчезает. Движение цилиндра под действием внешних сил происходит так, как если бы жидкость отсутствовала, но цилиндр приобрел добавочную массу, равную массе вытесняемой жидкости. § 5. Общие выражения для гидродинамических реакций при установившемся течении. Формула Блазиуса — Чаплыгина. Обра- Обратимся к установлению общих формул для главного вектора и глав- главного момента сил гидродинамических давлений, приложенных к непо- неподвижному цилиндру произвольной формы при обтекании его устано- установившимся потоком несжимаемой жидкости. При этом мы сначала не будем делать предположения о существовании потенциала скоростей,
§ 5] ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ 253 считая лишь обтекание безотрывным. Если по аналогии с понятием комплексной скорости ввести в рассмотрение комплексное давление R потока на тело, определяя R как зеркальное отражение главного век- вектора R сил гидродинамических давлений от действительной оси, то R = X— /К = — ф /г [cos (и, х) — i cos (и, у)] ds = с = — <$ Р (sin е + i cos 6) ds — — i (? /?е-8' ds, с с где « — направление внешней нормали к контуру С тела, а 0 — угол между элементом контура ds и осью Ох (рис. 88). Замечая, что dz — dx A-1 dy = ds (cos 6 -f- i sin 6) — e%l ds, dz — dx — idy ~ds (cos S — / sin 0) = e~bi ds и применяя интеграл Берпулли P ^= с — ^ f^2, имеющий место вдоль контура тела при безотрывном обтекании, в предположении отсутствия массовых сил, находим: dz + ее Замечая далее, что dz = e~2bi dz, получаем: с Но при безотрывном обтекании вектор скорости течения на контуре направлен по касательной к контуру, и, следовательно, ve-u __ v cos о — [v sin 0 = vr — lv представляет собой комплексную скорость v. Таким образом, мы приходим к первой формуле Блазпуса—Чаплыгина: R = X — IY = -| | v2 dz. E.1) с Вычисляя главный момент L сил гидродинамических давлений относительно оси, перпендикулярной плоскости течения и проходящей через начало координат, имеем: L •= — ф р [х cos (я, у) — v cos (//, х)] ds — р {х соь 6 -f- у sin &j as — у р(х d.x 4- у tfy;.
254 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI Воспользовавшись снова интегралом Бернулли и замечая, что с ф х dx с мы приходим к выражению L — 1- ф и2 (х dx -\- у dy) = Re /— ~ р ф ^22 rfi\ , с \ с так как z dz = (х -f- /у) (dx — i dy) =-- х dx-{-ydy~{-i (у dx — х dy). Но, как было отмечено выше: v2 dz — v2dz, и, таким образом, мы приходим ко второй формуле Блазиуса —Чап- —Чаплыгина: f §\ E.2) Если теперь считать поток, обтекающий тело, потенциальным и если известно аналитическое выражение для комплексного потенциала течения w — <d-\- ib = f(z), то формулы Блазиуса— Чаплыгина, принимающие в этом случае вид R==X-lY=^l9 §(¦?)* dz. E.3) с E.4) дают возможность просто найти гидродинамические реакции потока на тело. § 6. Эффективное вычисление гидродинамических реакций при установившемся течении. Формула Кутта—Жуковского. Допу- Допустим, что течение, получаемое при внесении тела в поступательный поток, потенциально везде вне тела и может быть осуществлено путем замены тела известным нам наперед расположением особых точек течения—вихревых, источников я дублетов, лежащих внутри контура С, ограничивающего тело; кроме того, будем считать, что
Mi] ->фф| KTimiioi нычиглшш i ндродптмпчк ки\ piakuiiu 25r) алгебраическая сумма обильностей всех источников равна нулю, чю соответствует тому факту, что поток скорости через контур тела должен равняться нулю. Ограничиваясь для простоты выкладок дискретным расположением особых точек, будем считать, что рас- рассматриваемое течение определяется заданием: п простых источников, лежащих в точках ах, а2, . . ., ап, с обиль- п постямн qx, q2, ..., qn, причем ^ qk = 0; т вихрей, лежащих r точках bv, by, . . ., bm с циркуляциями Г1( р т.блегов, лежащих в точках cv с2. ¦¦¦, ср с моментами Мкел><1 (k=l, 2 р). Тогда комплексный потенциал течения представится в виде п р , w=-v z А-:^- У ab\n (z~ab) — ^ ^ г- ск = 1 k\n(z — bk), F.1) j комплексная скорость п р • т 1 V Як ! _L V мье°к L У ___?*_ (R о\ 2- ^ z — ak~t~2r.?i {г — ску 2r Lk z — bk ' К ' V = ¦ Так как dwjdz регулярно во всей внешней по отношен 1Ю к кон- т\ру С части плоскости z, включая и точку г = сю, то вычисление контурных интегралов E.3) и E.4) сводится к нахождению вычетов подынтегральных функций для точки z=co. В окрестности же по- последней точки комплексная скорость представится, очевидно, раз- разложением Следовательно, степенные разложения подынтегральных функций в окрестности бесконечно удаленной точки будут иметь вид dz i dw si z =
256 ПЛОСКАЯ 3\Д\ЧЛ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI и по известной теореме о вычетах мы будем иметь: F.5) Для вычисления коэффициентов А1 и /12 разложения F.3) доста- достаточно разложить в окрестности бесконечно удаленной точки каждое слагаемое в F.2), на ример: 4 * Л _ г - ак — г ^~ г2 ^ г* тогда найдем без труда: где Г== (л где выражение « = 1 А> -- 1 может быть названо суммарным моментом источников и дублетов, заключенных внутри тела. Таким образом, выражения F.4) и F.5) получают вид Вставляя эти выражения в формулы E.3) к E.4), получаем: Я = ЛГ — lY^ipTv^; F.6) F.7) = Re Г - р^ S ГййА - tpMvJ . L ft-i J Первая из этих формул носит название формулы Кутта — Жу- Жуковского; она показывает, что вектор R (сопряженный с главным
« 7) ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 257 поворотом вектора чэ^ на т. е. знак поворота будет вектором реакций R) повернут относительно вектора комплексной скорости v^ (сопряженного с вектором скорости v^) на прямой угол в направлении, знак которого одинаков со знаком циркуляции Г. Если мы от векторов Л и^ перейдем к их зеркальным отражениям от оси Ox: R и с^, то последние будут также перпендикулярны, причем изменится лишь направление поворота от ч)м к R. Таким образом, R = — ipTvca, F.8) и направление вектора R определится прямой угол навстречу циркуляции, обратеи знаку циркуляции. § 7. Применение метода конформного отображения. Получен- Полученное выше общее решение задачи об обтекании поступательным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произволь- произвольного контура, если только известно конформное отображение внеш- внешности этого конгура на внешность круга. Обозначим через D область плоскости z, расположенную вне рассматриваемого контура С и содержащую внутри себя бесконечно удаленную точку плоскости z. Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость С ;= ? —|— /rj и обо- чергз К окружность с центром в начале координат этой У 7 значим Рис. 95. плоскости и через R — радиус этой окружности. Область плоско- плоскости С, расположенную вне К и содержащую бесконечно удаленную точку, обозначим через Л (рис. 95). Между областями D и Д можно установить взаимно однозначное конформное соответствие при помощи однозначных аналитических функций z = /(C), C=F(z). G.1) Это соответствие устанавливается единственным образом, если потребовать, чтобы точки z = со и С = со соответствовали друг другу и чтобы значение производной dzjd'Q в точке С = оо было поло- положите 1ЬНЫМ.
258 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Аналитическая функция /(С) голоморфна в области Д, за исклю- исключением точки С = со, в которой она имеет, очевидно, полюс первого порядка. Поэтому эта функция должна разлагаться в ряд Лорана следующего вида: * = AC + *0+-?-.4-?+..., G.2) где к > О, согласно принятому выше условию о значении произ- производной dz/cK, в бесконечно удаленной точке. Предыдущий ряд схо- сходится в любой конечной точке области Д. Если в плоскости z провести окружность L с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то в области, расположенной вне L, функция F(z) тоже должна разлагаться в ряд Лорана: C-/z + /0 + ^ + |f+... G.3) Этот ряд является, очевидно, обращением предыдущего ряда, и его коэффициенты легко могут быть выражены через к, k0, klt ..., например: — k' °— ?' 1~~— 1- *• ' Заметим, что радиус R круга К можно брать произвольно, и тогда определится значение действительной постоянной к. Можно было бы принять R=\; можно, наоборот, принять, чго k—l, и то1да значение R полностью определится. Рассмотрим теперь задачу о безотрывном обтекании контура С потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость |voo|e". G-5) Соответствующий комплексный потенциал обозначим, как обычно, через Подставив сюда вместо z его выражение через * = /(С). мы получим функцию Рассмотрим свойства этой функции. Она является очевидно ана- аналитической функцией от С в области Д, поэтому ее можно рассма- рассматривать как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения, происходящего в плоскости С в области Д, т. е. вне круга К. Ком- Комплексная скорость в этом течении определяется формулой dW _ dw dz ' d'C, ~ dz d<.'
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 259 В бесконечно удаленной точке С=оо мы имеем 2 = со и следовательно. значит, в бесконечно удаленных частях плоскости С мы имеем посту- поступательный поток со скоростью С другой стороны, очевидно, что в соответствующих точках плоскостей z и С имеют место равенства w(z) = W(ty, ср = Ф; ф = 1\ и так как на контуре С функция ф имеет постоянное значение (условие обтекания), то значит на контуре К функция W будет иметь тоже постоянное значение, и, следовательно, контур К является ли- линией тока для течения, определяемого комплексным потенциалом W(?). Из сказанного ясно, что W ({.) определяет обтекание круга К потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость kv_o. Эга задача была решена в § 3; следовательно, W(C) должна иметь следующий вид: ^-^-^\aL G.6) Подставляя сюда мы получаем комплексный потенциал w (z) = kvmF(z) + ±j^ + -±f in F(z), G.7) дающий общее решение задачи об обтекании контура С. В решение вошла произвольная постоянная Г, определяющая циркуляцию по контуру С. Для случая гладкого контура, не имею- имеющего угловых точек, значение циркуляции должно быть задано; как раз такой случай мы имеем в задаче обтекания круга. Профили крыльев, употребляющихся з авиации, имеют обычно острую кромку (рис. 95). В этом случае при произвольно выбранном значении циркуляции Г скорость в острой кромке получится беско- бесконечной и только при одном совершенно определенном значении Г скорость в острой кромке останется конечной. Н. Е. Жуковский предложил так именно и определять значение циркуляции Г, чтобы 17*
260 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI скорость в острой кромке оставалась конечной. Физический смысл этой гипотезы Н. Е. Жуковского можно пояснить следующим об- образом: Пусть контур С, находившийся сначала в покое, начинает дви- двигаться поступательно и равномерно в жидкости, покоящейся на беско- бесконечности. По теореме Томсона, циркуляция скорости по жидкому контуру L, охватывающему контур С, должна сохранять свое значе- значение с течением времени и, следовательно, должна все время иметь значение, равное нулю. Вообще говоря, нулевое значение циркуляции не удовлетворяет условию конечности скорости в острой кромке А контура, так что скорость вблизи точки А будет иметь очень боль- большое значение. Заметим теперь, что действительные жидкости всегда обладают вязкостью. Как мы увидим во второй части курса, даже при малой вязкости жидкости нельзя пренебрегать действием сил вязкости вблизи стенок, в данном ?; ^^^-i^-" Ч. случае вблизи контура С. В резуль- результате действия этих сил в тонком, прилегающем к контуру С слое жидкости образуются вихри, кото- которые срываются затем с контура внутрь жидкости. Если теперь рассмотреть два контура Lx и L2 (рис. 96) и обозначи'ь через — Г' циркуляцию по контуру L2, то Рис. 96 ясно, что циркуляция по кон- контуру ?j, охватывающему контур С, будет равна Г', так как циркуляция по всему контуру L = Ll-\~L2, как мы видели выше, равна нулю (этот контур целиком лежит внутри жидкости, где действием малых сил вязкости мы можем пренебречь). Процесс срыва вихрей с преобладанием вихрей одного знака будет продолжаться до тех пор, пока циркуляция Г' не достигнет такого значения Г, при котором скорость в задней кромке контура С будет конечной. Сорвавшиеся с контура вихри при движении контура останутся далеко позади него. Таким образом объясняется установле- установление определенного значения циркуляции при поступательном равно- равномерном движении контура С. Очевидно, то же самое рассуждение применимо и к задаче об обтекании контура С. Определим теперь, исходя из гипотезы Жуковского, значение циркуляции Г для контура С, имеющего острую кромку А. Пусть точке А соответствует в плоскости С точка А' круга К: C0 = /?e'V G.8) Если касательные к контуру С в точке А образуют угол 8 (рис. 95), то в точке А' преобразование перестанет быть конформным; так как угол между двумя касательными к кругу К в точке А' равен ~,
§ ?! ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 261 а внешний угол между касательными к контуру С в точке А равен 2-— Ъ, то с точностью до малых высшего порядка преобразование области Д в область D вблизи точки А' дается формулой отсюда ясно, что при о < я в точке А' По правилу дифференцирования сложных функций dW __ dw dz d'C ~ dz dX.' В точке А' первый множитель справа остается ограниченным по модулю, а второй, как только что установлено, обращается в нуль, следовательно, Иными словами, точка А' должна быть одной из критических точек фиктивного течения в плоскости С. Подставив в равенство -—- btrt ___ jo I . / Q\ значение G.8) и приравняв результат нулю, без труда найдем: Г = 2иШ?(одав-'в° — г^в'9»). G.10) Воспользовавшись, наконец, тригонометрическим представлением получим: Г = 2^А/?|ооо|[е'(«-9) —e-'(«-e»)] = —47tA/?|oe|sin(a — 90). G.11) Итак, для контура с острой кромкой циркуляция Г определяется по формуле л|я1п(в0 —ос). G.12) Как видим, вся трудность в решении задачи о безотрывном обте- обтекании контура поступательным потоком сводится к отысканию кон- конформного отображения области D на внешность круга. Прежде чем переходить к примерам, вернемся к вопросу о вы- вычислении сил, действующих на контур С.
262 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI § 8. Реакции на контур. Мы будем исходить из общих формул Чаплыгина — Блазиуса для сил, действующих на контур С при обте- обтекании его потенциальным потоком = *\-tf.(%)'*\. (8.1) Так как функция dwjdz голоморфна вне контура С, то интегрирова- интегрирование в предыдущих формулах можно производить по любому контуру, охватывающему контур С. Если мы возьмем в плоскости z окруж- окружность L с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то на L и вне L мы должны иметь разложение в ряд Лорана вида Л + + + так как на бесконечности комплексная скорость имеет значение ©„,, то Для определения коэффициента А1 заметим, что мы имеем соот- соотношение 2к1А1 = ф -^- dz — ф dw, щ} U.JC щ) L L если L' есть преобразование L в плоскости С, то из G.9) ясно, что мы имеем также Г = (? ~-d^=^dW. L' V Правые части этих двух формул тождественны, следовательно, Г и, значит, dw - , Г , _Лг_ , .g 2) Составляем 1 _ г2 w\z —0 . Tvm , от 2 4л2 , — = v1 -А Р- -А j Г • • • z ) от таг ' z2 Теперь без труда получим, применяя теорему о вычетах:
§ 8] РЕАКЦИИ НА КОНТУР 263 и по формулам (8.1): R =: X — iY = tpTvw; (8.3) L = Re[—2i:pvo0A3t}. (8.4) Первая из этих формул есть уже известная нам формула Кутта — Жуковского, доказанная теперь для общего случая. Переходя к сопряженным значениям, получим: R = X-\-lY = — lprvao, (8.5) т. е. сила, действующая на контур, равна произведению из плотно- плотности, циркуляции скорости и скорости на бесконечности а ее направление получается из направления скорости на бесконеч- бесконечности путем поворота последнего на прямой угол навстречу циркуляции Если контур С имеет острую кромку, то циркуляция Г опре- определится по формуле G.12), и мы получим из (8.6): P=4icpkR\vJ*\s\n(QQ — a)\. (8.7) Для определения момента относительно начала координат дей- действующих на контур сил достаточно найти коэффициент А2 в разло- разложении (8.2) комплексной скорости. Но dw_ _ dW_ _dC_ __ I, - __Г kvB№\ d?L dz ~ di dz ~~ \ >*• "г" 2wt C2 ) dz ' воспользовавшись формулой G.3) и значениями коэффициентов G.4), получим: С ~ lz Ргг '•"•~г~ 1— _1 X — -*!_! __. _ t _ __ _^_ ... __ k^ ^ поэтому после простых вычислений найдем: dw — Г Итак,
264 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА {ГЛ. VI Подставляя это значение в формулу (8.4), найдем: U. (8-8) Рассмотрим теперь более подробно случай, когда контур С имеет острую кромку А. Рассмотрим формулу конформного преобразования Точку плоскости z, имеющую координату k0, обозначим через Со / и назовем конформным цент- v~ ^- —Л ром тяжести (рис. 97). Так как то, полагая получим: х следовательно, точка Со является центром тяжести для контура С, по которому распределены массы, так что на элемент ds контура С рис 97. приходится масса Rdd, равная величине соответствующего эле- элемента дуги окружности К- Отсюда ясно, что точка Со занимает одно и то же положение по отношению к контуру С при любом положении последнего в плоскости z. Проведем через точку Со прямую С01 под углом 60 к оси Ох и назовем ее критической или первой осью контура. Если поток на бесконечности параллелен критической оси, то а = 90, и по фор- формуле (8.7) подъемная сила обращается в нуль, поэтому критическая ось может быть также названа осью нулевой подъемной силы. Введя в рассмотрение угол т. е. угол атаки по отношению к критической оси контура, пере- перепишем формулу (8.7) в виде
§ 9] ПАРАБОЛА УСТОЙЧИВОСТИ 265 таким образом сила, действующая на контур, пропорциональна синусу угла атаки по отношению к критической оси контура. Подставим теперь в выражение (8.8) для момента L следующие значения входящих туда величин: тогда получим: L = — 2*pk\vj2Re {/(А, — kQRe^) е~21* + ikQRe-i6°}. (8.9) Перемещая контур С в плоскости z параллельно самому себе ак, чтобы конформный центр тяжести Со попал в точку так тН-"". (8Л0) обозначим через F и назовем фокусом контура ту точку, твердо связанную с контуром С, которая будет теперь находиться в начале координат. Из предыдущей формулы найдем для момента сил отно- относительно фокуса F выражение Lp = — 2*pk\vJ*Kt{tkle-*b\, (8.11) не зависящее от угла атаки а. Отсюда вытекает следующая теорема С. А. Чаплыгина: силы, давления на контур могут быть приведены, к силе Жуковского, приложенной в фокусе, и к паре с постоянным, т. е. не зави' сящим от угла атаки, моментом. § 9. Парабола устойчивости. Повернем теперь контур С около фокуса F так, чтобы критическая ось была параллельна оси Ох. В этом случае угол 90 обращается в нуль, и формулы G.12) и (8.7) принимают соответственно вид Г = — 4Tt P=4irpA/?|i»no|2|sina|. Направление силы Жуковского мы знаем: оно перпендикулярно направлению скорости на бесконечности; остается найти линию дей- действия силы. Найдем огибающую линий действия, соответствующих всевозможным углам атаки. Уравнение линии действия пишется так: xY — yX = LP, (9.1) но согласно (8.5) следовательно, Ar^Pr|t;0O|sina = — 4spfe/?|©ooj2sm2a, (9.2) Y = — pV\vw\ cos a = 47tp&# |i>J2 sin a cos a. (9.3)
266 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Поэтому уравнение (9.1) принимает вид х sin a cos а -f- у sin2 а » 8, (9.4) где (9.5) Огибающая семейства прямых (9.4) получается по обычному пра- правилу; дифференцирование по ос дает: х cos2ot + У sin 2a = 0. Исключение а из полученных двух уравнений приводит к искомой огибающей х2-{-у2 = BЬ — уJ, или х2==48(8 — у). (9.6) Это есть парабола с фокусом в точке F, для которой директри- директрисой служит прямая у = 28, параллельная оси Ох. Точка Со, имеющая координату fto=fti/K. (9-7) лежит очевидно на этой прямой. Таким образом директрисой пара- параболы (9.6), которая называется параболой метацентров или пара- параболой устойчивости, является критическая ось контура, а ее фоку- фокусом— фокус контура. Имея параболу метацентров, достаточно провести касательную к ней, перпендикулярную к направлению скорости на бесконечности, чтобы получить линию действия силы, действующей на контур. Но известно, что основание перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на касательную, лежит на касательной к пара- параболе, проходящей через вершину параболы. Поэтому можно дать следующее простое правило построения линии действия силы: через середину перпендикуляра из фокуса на директрису проведем прямую, параллельную директрисе, тогда линия действия силы будет проходить через точку пересечения этой прямой с пря- прямой, параллельной направлению скорости на бесконечности и проходящей через фокус параболы, и будет перпендикулярна направлению скорости на бесконечности. То или другое напра- направление силы на линии ее действия может быть определено либо по правилу Жуковского, либо из знака момента Lp. Отметим еще, что в частном случае, когда LF = 0, сила всегда проходит через фокус F, так что в этом случае мы имеем постоянный центр давления. Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что формула (9.5) справедлива только в том частном случае, когда критическая ось параллельна оси Ох. В общем же случае произвольного расположе-
§ Ю] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 267 ния контура С мы должны воспользоваться формулой (8.11), откуда следует, что положение фокуса F определяется в общем случае равенством Zp=^kfj -g- в °, ("•") ибо ku~ гСа, а из (8.10) вытекает, что § 10. Обтекание эллиптического цилиндра, а) Продольное обтекание. Для того чтобы найти комплексный потенциал w (z) = ср -f- /ф, где 2: = Jf-f-у/, и построить картину течения при обтекании цилин- цилиндра (рис. 98) 4г + 4 = ! («>*) A0.1) установившимся поступательным потоком, скорость которого в беско- бесконечности U направлена по большой оси цилиндра, попытаемся найти Рис. 98. такое конформное преобразование плоскости z в плоскость новой комплексной переменной L чтобы контур эллиптического цилиндра в плоскости z перешел в кон- контур круга некоторого радиуса в плоскости С с центром в точке г = О
268 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI и чтобы точка ,г=оо соответствовала точке С = со: при этом внешняя часть плоскости z по отношению к цилиндру A0.1) будет соответствовать внешней же части плоскости С по отношению к круговому цилиндру. Построив по известным уже формулам ком- комплексный потенциал iz> (С) течения при обтекании кругового цилиндра в плоскости С, и совершив обратный переход С = мы получим искомый потенциал w [F (z)\ течения в плоскости z. Для указанной цели произведем прежде всего преобразование подобия z = cz', A0.2) где с~Уа2—Ь'2 есть линейный эксцентриситет данного эллипса. Тогда эллипсу A0.1) будет соответствовать в плоскости z' эллипс х'г v'2 —г + -^т=1. (Ю.З) а'2 Ъ'1 У ' где линейный эксцентриситет которого равен 1. При этом, очевидно, точкам 2=0 и z — co будут соответствовать точки z' — 0 иг' = со. Из теории конформных преобразований известно, что подстановка преобразует эллипс на плоскости z' ~'2 v'2 У =1 A0-5) с эксцентриситетом 1 в окружность на плоскости С радиуса /? с цент- центром в С=0; причем если /? > 1, то внешняя часть эллипса A0.5) переходит во внешнюю же часть окружности, так что сохранится соответствие точек z' = oo и С=оо. Подберем радиус /? так, чтобы отождествить эллипсы A0.3) и A0.5): Эти уравнения не независимы, и можно было бы ограничиться одним из них. Складывая, находим: R =
s, 10] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 269 Таким образом искомое преобразование будет: (Ю.7) Взяв известное выражение комплексного потенциала течения в плоскости С при обтекании круговою цилиндра потоком, скорость которого и в бесконечности параллельна вещественной оси: W = I мы должны еще скорость и при ? = оо выбрать так, чтобы полу- получить в плоскости z при z = оо скорость U; кроме того, надлежит проверить допущенную неявно параллельность в бесконечности тече- течений в плоскости z и С Преобразование, обратное преобразованию A0.7), будет неодно- неоднозначно но требование R > 1 делает его однозначным. В самом деле, для точки z — а мы имеем: и так как эта точка С должна лежать на окружности радиуса /?=|/ —i-т-, то мы должны взять верхний знак A0.9) При этом мы подразумеваем под у z2 — с2 то значение этого корня, которое при z > с положительно. Комплексный потенциал A0.8) вследствие A0.9) преобразуется к виду w = — с (a — i Вычисляя комплексную скорость, имеем: dw 2a i bz v = =- : — A 1/ ?2 — r2> й(г с (a — b) \ у z2 — c' откуда видно, что при z = оо v, а следовательно, и v = t/, веще- вещественно и притом ?/ = 2и/с.
270 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Таким образом искомый комплексный потенциал при обтекании эллип- эллиптического цилиндра A0.1) поступательным потоком, параллельным в z = w большой оси цилиндра, будет: W = - -{az-byz*-c*). A0.10) Легко проверить, что при Ь->а после раскрытия неопределен- неопределенности вида -гг мы получим найденное раньше выражение для круго- кругового цилиндра. б) Поперечное обтекание. Если скорость потока в бесконеч- бесконечности V направлена в положительную сторону оси Оу (рис. 99), то, отобразив при помощи ука- указанного выше преобразования внешность эллипса плоскости z на внешность круга а-\- b ' ' а — Ь плоскости С, мы должны только для комплексного потенциала w течения в плоскости С взять вместо формулы A0.8) формулу Рис. 99. которую получаем из выведенной нами общей формулы C.13), учи- учитывая, что в бесконечно удаленных точках плоскости С скорость течения направлена в положительную сторону оси т;, имея некоторую величину и. Возвращаясь к переменной z по формуле мы получаем: i — _ — \z - с 1 __ 2ш ~~ с (а — Ь) (bz — < >—R2(z z^=?),
§ 10] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 271 откуда найдется комплексная скорость течения в плоскости z: - dw 2ui /, аг dz c(a- Так как при z — oo должно быть v~ — Vi, то получаем: и таким образом искомое выражение для комплексного потенциала будет: w = —V~{bz~ aVz2 — с2). A0.11) в) Косое обтекание. Если скорость в бесконечности vw соста- составляет некоторый угол а с продольной осью эллипса то, разлагая вектор ^ на составляющие vw=U + iV A0.12) и рассматривая косое обтекание как результат сложения продоль- продольного и поперечного обтекания со скоростями U и V в бесконечно удаленных точках, мы можем комплексный потенциал такого резуль- результирующего течения представить как сумму соответствующих потен- потенциалов A0.10) и A0.11): w = —Ц- [(аг — ft /г2 — с2) U + i (ft? — a "j/V — с2) V] A0.13) вследствие линейности уравнения Лапласа, которому удовлетворяет w = ср —(— /ф. Вследствие отсутствия циркуляции, силы, действующие на цилиндр при косом обтекании, приводятся к одной паре, момент которой может быть получен применением формулы (8.4): где Л2 есть коэффициент при 1/.г2 в разложении dw/dz в ряд по степеням l/z. Но в окрестности бесконечно далекой точки счедовательно, dz ~ l 2
272 Итак, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА _ (a + b) (bU + iaV) !ГЛ VI и, следовательно, I = Re {шр (a-$-b)(U — iV) (bU + taV)} = — яр (а2 — й Заменяя t/ и К их выражениями ?/ = | щ | cos a, V = | ¦у sin a, получаем окончательно для момента вращающей пары: m 2 sin 2a. . A0.14) A0.15) Последнее выражение показывает, что вращающий момент реак- реакций исчезает при продольном (а = 0) и при поперечном (а = тг/2) обтекании эллиптического цилиндра. § 11. Обтекание плоской пластинки. Формулы, выведенные для эллиптического цилиндра, непосредственно дают картину течения и величину вращающего момента реакций при обтекании бесконечной Рис. 100. плоской полосы шириною 2а (рис. 100). Для этого достаточно в предыдущих формулах положить ? — 0; в результате получим: L = =" кра21 г>оо |2 sin 2a. Выражение для комплексной скорости A1.1) A1.2) v=ll — — a2
И] ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 273 показывает, что скорость обратится в нуль в двух критических точ- точках, лежащих на пластинке. В самом деле, если z вещественно и \z\ < а, то имеем: 7, = rr f v . г , откуда заключаем, что v — 0 при U а z= ± ¦= + a cos a. A1.3) При этом, если критическая точка z = a cos а лежит на одной стороне пластинки, то критическая точка z — — a cos <x будет лежать на противоположной стороне. Нужно заметить, однако, что построенная идеаль- идеальная картина обтекания бесконечно тонкой пла- пластинки физически неосуществима, так как из выражения для v видно, что у краев пластинки v = оо. Мы можем добиться конечности ско- скорости у одного из концов пластинки, например у конца z = a, если возьмем циркуляционный поток (рис. 101). Конформное преобразование Н4); Рис. 101. переводит внешность круга единичного радиуса в плоскости С во внеш- внешность рассматриваемой нами пластинки в плоскости z, при этом точке С=1 соответствует задний край пластинки z = a. Таким образом, мы имеем в данном случае: Применяя теперь формулы § 7, сразу находим для циркуляции ско- скорости значение Г = — 4-kR | г>ю | sin (а — 60) = — 2па | vm | sin а, A1.4) Для комплексного потенциала 18 Зак. 1190
274 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI и для комплексной скорости dw dw dC f a — av o . la \ «m j ып а dz~{2 m 2C2 С ) —/sinaj/~J^}. A1.6) Сила Жуковского имеет величину J*\s\n<i\, A1.7) пропорциональную синусу угла атаки; фокус лежит в точке у Ъ ?_ о — I "п zF — к0 -^- е — j , т. е. отстоит от переднего края пластинки на расстоянии, равном четверти длины пластинки. Эта точка является постоянным центром давления, так как для момента силы относительно фокуса получаем нулевое значение LF-=— 2nPk | vm [2 Re [ik^e-2^] = 0. Скорость на переднем крае пластинки получается бесконечно большой. С этим связано одно интересное обстоятельство. А именно, составляющие силы Жуковского по осям координат имеют значения Х= ?Y\vaj\s\na. — — 2T.pa\va,\2s\tfa., A1.8) Y = — рГ j v^ | cosa = 2irpa 1©^ |2 sin a cos a. A1.9) Но ведь все элементарные давления направлены нормально к пластинке, и возникает вопрос, откуда берется составляющая X силы Жуковского, направленная вдоль пластинки. Эта составляющая носит название подсасывающей силы. Если бы мы чуть-чуть закруг- закруглили передний край крыла, то скорости вблизи него были бы очень большими, но тогда по формуле Бернулли разность между давлением на переднем краю пластинки и давлением на бесконечности была бы большой отрицательной величиной. Наличие этих больших разреже- разрежений и приводит к появлению подсасывающей силы, предельное вы- выражение которой дается формулой A1.8). § 12. Обтекание некоторых форм профилей цилиндров. Если картина течения при обтекании кругового цилиндра чисто поступа- поступательным потоком (без циркуляции) могла быть получена внесением в поток некоторого дублета, то естественной представляется задача определить, какие формы профилей обтекания могут быть получены той или другой комбинацией источников и стоков. Задача эта является
12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 275 обратной задаче определения комплексного потенциала при обтека- обтекании цилиндрического тела заданного профиля. Мы рассмотрим здесь лишь некоторые простейшие комбинации источников и стоков. а) Источник и сток равной обильности т, помещенные на вещественной оси в точках — а и -\- а при наличии однородного поступательного потока, скорость которого в бесконечности vx = U Рис. 102. направлена вдоль оси Ох (рис. 102), дают течение с комплексным потенциалом w =?/*_!_ ?.!„?+?. A2.1) 1 2я г — а Потенциал скорости и функция тока выразятся формулами т. где в) и угол ^ = (г2, х) — (rv x) определяется соотношением cos ^ = cos (гг, x)cos(r2, x)-\-sia(rv x)sin(r2, x) = - у^.—'¦ Для построения линий тока мы можем воспользоваться известным графическим приемом Макс- Максвелла, рассматривая скалярное поле <j> как результат наложения
276 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА друг на друга более простых скалярных полей [ГЛ. VI И фо = ¦ т линиями уровня которых служат пучок прямых, параллельных оси Ох, и пучок окружностей, проходящих через точки аи — а: Построив эти линии уровня через равноотстоящие значения с, и с2 и отыскивая точки пересечения таких линий первого семейства Рис. 103. с линиями второго, параметры которых удовлетворяют условию с1 — с2 = с (const.), мы получим ряд точек на линии тока <]) = с. Производя указанное построение, мы можем убедиться, что линия тока ,. m n иухо состоит из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку ,/~ 9 . ma I -,/" 9 | та\ ¦у a2+w> +у a*+wj- На концах этого отрезка, являющихся критическими точками течения, где скорость обращается в нуль, линия тока ф = 0 развет- разветвляется, образуя профиль овальной формы; ордината у, при х = 0, соответствует максимальной ширине овала и определяется как корень
§ 12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 277 трансцендентного уравнения с/у arete- — = 0. Таким об.разом, комплексный потенциал A2.1) дает картину обте- обтекания цилиндра, ограниченного указанным овальным профилей. б) Точечный источник обильности т и система линейно-рас- линейно-распределенных стоков, суммарная обильность которой равна обиль- обильности источника, помещенные в поступательном потоке на прямой, параллельной скорости г»ет, дают картину обтекания профиля, несим- несимметричного относительно поперечной оси (рис. 103). Взяв упомянутую прямую за ось Ох, поместим начало координат в источнике; пусть координаты начала и конца прямолинейного отрезка АВ, на котором непрерывно распределены стоки, будут а и Ь. Тогда комплексный потенциал течения, создаваемого одними стоками, будет: Wn = = ; г 2я (й — а) а = тг- 1 + и 'п (z — о)— т In (z — а)\. 2тс L b — a v b — a v J Присоединяя сюда потенциал источника и потенциал однородного потока wQ— Uz и отбрасывая несущественное для исследования потока постоянное слагаемое, получаем суммарный потенциал w = w0 -)- wl -f- w2 — z + ^=±ln(z-b)-^\n(z-a)). A2.2) Выражение для комплексной скорости показывает, что условие vao= U удовлетворяется. Течение имеет две критические точки /Си/., лежащие на веще- вещественной оси, в которых скорость обращается в нуль; их абсциссы х1 и х2 найдутся как вещественные корни трансцендентного уравнения m \iu ч т , х — а г> т х — а
2?8 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI где = b-a. B = Для оценки корней применим графический прием; построив кри- кривые (рнс. 104) А и y = из которых последняя представляет гиперболу, мы видим, что хх < О и х2 > Ь. Применяя для определения вида линий тока графический прием Максвелла, можно убедиться, что линия тока ф = 0 будет У Рис. 104. совпадать с вещественной осью вне отрезка KL; в точках же/С и i эта линия разветвляется, образуя профиль указанной формы. в) Система бесконечного множества дублетов с одинаковыми моментами М, одинаково направленными параллельно вектору —vw и помещенными на прямой, перпендикулярной к г^, в расстоянии а друг от друга, создает течение с комплексным потенциалом м 25Г 1 г — Ш если вэять указанное на рис. 105 расположение осей. Вспоминая известное разложение на простейшие дроби -г-со "¦ — йя МЫ ВИДИМ, ЧТО М М
§ 12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 279 Из симметрии расположения дублетов следует, что все прямые )¦§- (ft — ...,—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ...) служат линиями тока и останутся таковыми же при наложении одно- однородного поступательного потока с потенциалом wo= Uz, а поэтому Рис. 105. картина течения не изменится, если заменить некоторые из упомя- упомянутых линий неподвижными стенками. Суммарный потенциал такого течения выразится формулой w = wo-\-wl = Uz~\- и комплексная скорость будет: - лМ 1 М ,, KZ гтп 2а а 2а2 а откуда видно, что условием i=U. Критические точки течения определяются Sb2 яг — Мл Stl T ~~ 2a?U ' из которого видно, что течение будет обладать двумя критическими точками, лежащими на вещественной оси на равных расстояниях о г начала координат. Обозначая это расстояние через R, мы можем выразить через него величину момента дублетов м = и тогда aU sh2 — cth — . а а A2.3)
280 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Отсюда найдется функция тока all tzR 2лу sh2 -— sin —— "¦ О- О, Это выражение показывает, что линия тока ф = 0 будет состоять из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку, соединяющему критические точки х = — R и x = R, в которых линия тока ф —0 разветвляется, образуя овальный профиль; макси- максимальную ширину этот овал будет иметь при х = 0, так как тогда vy = -ji-=0; ордината -{-у0, соответствующая максимальной ширине, найдется как наименьший положительный корень трансцен- трансцендентного уравнения ~ ,. all , г. tzR , пу О = Ну sh2 ctg -J- . ¦* ъ а ° а Если R маю по сравнению с а, то у0 будет близко к R и упомя- упомянутый овал будет мало отличаться от окружности. В самом деле, полагая —=К перепишем предыдущее уравне- ние в виде у sin -g- = -у- sh^A cos -д-. Раз1агая обе части в ряды по степеням А, будем иметь: __ п R 6R3 ~г " ' - — "¦ 2R "т~ 3 откуда видно, что если X мало, то у2 будет близко к R2. Таким образом, комплексный потенциал A2.3) дает картину обтекания про- профиля, близкого к круговому, помещенного в прямолинейный канал с твердыми стенками, если линейные размеры овала малы по срав- сравнению с шириной канала. § 13. Обтекание профилей Жуковского. Конформное преобра- преобразование () A3Л) примененное нами при изучении обтекания эллиптического цилиндра отображает окружность единичного радиуса в плоскости С l A3.2)
§ 13] ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 281 на отрезок вещественной оси между фокусами эллипса—с и с в пло- плоскости z, причем этот отрезок проходится дважды в противополож- противоположных направлениях, когда соответственная точка С пробегает окруж- окружность A3.2) один раз. Приводя формулу A3.1) к виду и вводя новые переменные г' и С при помощи преобразования подобия г' = 2г\ С = сС, A3.3) мы заключаем, что преобразова- преобразование г' = С' + -?- A3.4) переводит окружность радиуса с плоскости С в отрезок (— 2с, 2с) вещественной оси плоскости г'', пройденный дважды. Представив преобразование A3.4) в виде V, Рис. 106. мы можем убедиться, что окруж- окружность К плоскости С с центром на мнимой оси в некоторой точ- точке Ы, проходящая через точки — сне вещественной оси, пе- перейдет в дугу окружности Р на плоскости z', опирающуюся на точки — 2с и 2с вещественной оси и имеющую вершину в точке '2kl на мнимой оси, при этом дуга Р проходится дважды (рис. 106). В самом деле, непосредственно видно, что точки си — с плоскости U будут соответствовать точкам 2с и — 2с плоскости z', а точки пересечения окружности К с мнимой осью перейдут в одну и ту же точку на плоскос г': точку на плоскости г ='2ki.
282 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Кроме того, из A3.5; имеем: Называя через rv r2, pv р2 модули чисел г' — 2с, г' + 2с, С —с, f-c, а через otj, <х2, $v р2 их аргументы, имеем из A3.6): In -^ + / (a, — a2) = 2 In ii- + 21 (p, — p2). '2 P2 откуда A3.7) Упомянутые комплексные числа z' — 2с, z' + 2c, С — с, С' + с выражаются векторами В'М', А'М', ВМ, AM, и, значит, разности 6' = otj — а2, 6 — р! — р2 выражают углы, под которыми видны отрезки А'В' и Л?? соответ- соответственно из точек М! и М; а так как 6 — const, для окружности К, то вследствие A3.7) будет и 6' = const., т. е. линия A'D'B' пред- представляет собой дугу окружности. Таким образом, преобразование A3.4) отображает полную окруж- окружность К плоскости С где хорда которой вмещает со стороны центра угол 6 и опирается, сле- следовательно, на центральный угол (рис. 106) в дугу Р плоскости z', хорда которой вмещает со стороны, противо- противоположной ц