Text
                    Н.Е.КОЧИН,И.А.КИБЕЛЬ,Н.В.РОЗЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИК/


Н. Е. КОЧИН, И. А. КИБЕЛЬ, И. В. РОЗЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОМЕХАНИКА ПОЯ РЕДАКЦИЕЙ И. А. К И БЕ Л Я ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ II ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для университилоа ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963
532 К 75
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому иэданию 8 Глава первая Кинематика жидкой среды (Н. В. Розе) 9 А Деформация жидкой частицы § 1 Формулы Коши — Гельмгольца 9 § 2 Чистая деформация 12 § 3 Эллипсоид деформации 13 § 4 Кубическое расширение 15 § 5 Упражнения 16 Б Уравнение неразрывности § 6 Переменные Лагранжа 16 § 7 Переменные Эйлера 18 § 8 Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно 18 § 9 Поле скоростей 19 § 10. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа 22 '§ 11 Уравнение неразрывности в переменных Эйлера 24 ^ 12 Другой метод вывода уравнения неразрывности 25 § 13 Уравнение неразрывное-ти в цилиндрических, сферических и криволинейных координатах 26 § 14 Упражнения 29 В Кинематическая характеристика безвихревого и вихревого движений § 15 Введение 31 § 16 Потенциал скорости 31 ^ 17 Свойства безвихревого движения в односвязном объеме .... 33 § 18 Безвихревое движение в многосвязном объеме 36 § 19 Вихревое поле и его свойства 38 § 20 Упражнения 40 Гтава вторая Основные уравнения динамики идеальной жидко- жидкости (Н. В. Розе) 44 § 1 Силы массовые и поверхностные 44 § 2 Общее уравнение движения 45 § 3 Гидродинамическое давление в идеальной жидкости 46 § 4. Общие \равнения движения идеальной жидкости 47 § 5 Уравнения движения в форме Эйлера 48 ^ 6 Векторные формы уравнений движения 53 § 7 Уравнения движения в форме Ламба 54 § 8 Уравнения движения в форме Лагранжа 57 § 9 Общая постановка задач гидродинамики ........... 58 Г
4 ОГЛАВЛ1 НИЬ § 10. Случай несжимаемом жидкости 59 § 11. Случаи сжимаемой жидкости Баротропноеть н барок ыннос гь Уравнение притока энергии Ь0 § 12. Начальные и граничные условия 64 § 13. Применение закона количеств движения и 3jhOiia моментов ко личеств движения 65 § 14. Уравнение энергии 72 § 15. Упражнения 75 Глава третья Гидростатика (//. В. Розе) 83 А Гидростатическое давление § 1. Уравнения равновесия 83 § 2. Условие для сит 84 § 3 Барометриче! кая формула 85 § 4. Уиювия на поверхности раздела 87 § 5 Общие формулы для определения давления па твердуо поверх ность 88 § 6. Давтенпе [яжелои несжимаемой жидкости 88 § 7. Давление на плоскую стенку 90 § 8. Закон Архимеда 91 § 9 Давление на криволинейную стенку 92 § 10. Упражнения 94 Б Равновесие плавающих тел § П. Условия равновесия плавающего тета . 96 § 12. Поверхность сечений 97 § 13. Поверхность ценчров 98 § 14. Радиусы кривизны главных нормальных сечений поверхности центров 99 § 15. Устойчивость равновесия 102 § 16 Упрам нения 104 Глава четвертая Простейшие случаи движения идеальной жидко- жидкости (Я. В. Розе) ПО А Интегралы Б е р и у л л и и К о ш н § 1. Установившееся движение ПО § 2. Безвихревое движение 113 § 3. Установившееся безвихревое движение 116 § 4. Ограничения, налагаемые на скорость 117 § 5. Формула Торичелли 118 § 6. Истечение газов 118 § 7. Действие мгновенных сил 119 § 8. Кинетическая энергия беавпхревою движения 121 § 9. Теорема В. Томсона 122 § 10. Упражнения 124 Б Плоское безвихревое движение § 11. Введение U9 § 12 Функция тока 130 § 13 Связь функции тока с потенциалом скорости 131 § 14. Комплексная скорость и комплексный потенциал 133 § 15 Связь тоской гидродинамической задачи с теории фунлцш"' комплексного переменного .... 134 § 16 Примеры комплексного потенцп ia . . . . 134 § 17 Источники и сгокн 136 § 18 Дублеты 138
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 19 Вихревые точки 139 <} 20 Вихреисточники 140 § 21 Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости 141 § 22 Упражнения 142 I ч d в л пятая Вихревые движения идеальной жидкости (И. Е. Кочин) 144 А Основные уравнения теории вихрей и теоремы Гельмгольца о сохранении вихрей § 1 Введение 144 § 2 Теорема Томсона 147 § 3 Теорема Лагранжа 151 § 4 Теоремы Гельмгольца . 152 § 5 Сохраняемость векторных линии 154 § 6 Уравнения Фридмана Уравнения Гельмгочьца 160 § 7 Теоремы Гельмгольца 161 ($ 8 Образование вихрей Теорема В Бьеркнеса 162 § 9 Примеры образования вихрей 166 & 10 Упражнения 174 Б Определение поля скоростей по заданному полю вихрей и полю расхождения скорости § 11 Вычисление вектора скорости по вихрю н расхождению ско- скорости для бесконечного пространства 176 § 12 Случай одной вихревой нити 187 § 13 Прямолинейная вихревая нить 192 § 14 Две прямолинейные вихревые нити Движение системы вихрей 193 § 15 Круговая вихревая нить 197 § 16 Вихревой слой 202 § 17 Упражнения 205 В Вихревые цепочки Кармана § 18 Введение 207 § 19 Одна вихревая цепочка 208 § 20 Две вихревые цепочки 209 § 2! Об устойчивости вихревых цепочек Кармана 211 § 22 Схема Кармана движения тела в жидкости с образованием вихрей 225 § 23 Вычисление лобового сопротивления по Карману 229 § 24 Упражнения 236 Глава шестая Плоская задача о движении тела в идеальной жидкости (Н. В. Розе) 237 § 1 Предварительные замечания 237 § 2 Граничные условия Задачи Дирихле и Неймана 238 § 3 Движение кр>гового цилиндра 243 § 4 Нестационарное течение, вызываемое движущимся круговым цилиндром 251 § 5 Общие выражения для гидродинамических реакций при устано- установившемся течении Формула Блазиуса — Чаплыгина 252 § 6 Эффективное вычисление гидродинамических реакции при уста- установившемся течении Формула Кутта— Жуковского .... 254 § 7 Применение метода конформного отображения 257 § 8 Реакции на контур 262 § 9, Парабола устойчивости 265 § 10 Обтекание эллиптического цилиндра 267
g ОГЛАВЛЕНИЕ (§11. Обтекание плоской пластинки 272 '§ 12. Обтекание некоторых форм профилей цилиндров 274 J 13. Обтекание профилей Жуковского 280 § 14. Обтекание решетки 291 § 15. Тонкое крыло 297 § 16. Неустановившееся движение плоского контура 309 § 17. Обтекание с отрывом струй. Метод Кирхгоффа 321 § 18. Метод Жуковского — Митчеля. Истечение из отверстия Удар струи в пластинку. Глиссирующая пластинка 329 § 19. Метод Леви-Чивита 343 § 20. Давление при обтекании со срывом струй и при обтекании с циркуляцией 352 § 21. Обтекание с кавитацией 354 Глава седьмая. Пространственная задача о движении тела в идеальной жидкости (Н. В. Розе) 359 § 1. Безвихревое движение. Движение шара 359 § 2. Обтекание эллипсоида 362 § 3 Функция тока для осесимметричного течения 366 § 4. Метод источников и стоков 370 § 5. Поперечное обтекание осесимметричных тел 374 § 6. Движение твердого тела в безграничной жидкости 375 § 7. Расчет гидродинамических реакций при движении тела . . . 380 § 8. Примеры 387 § 9. Движение тела по инерции 396 Глава восьмая. Волновые движения идеальной жидкости (Н. Е. Кочин) 401 А. Основные уравнения теории волн § 1. Различные типы волн 401 § 2. Основные уравнения 402 § 3. Начальные условия 407 Б. Плоские волны § 4. Введение 409 § 5. Стоячие волны 409 § 6. Прогрессивные волны 414 § 7. Сведение прогрессивных волн к установившем)ся движению . . 418 § 8. Групповая скорость 420 § 9. Общий случай плоской задачи 424 § 10. Профиль волны 431 § 11. Волны при конечной глубине жидкости 436 § 12. Волны на поверхности раздела двух жидкостей 439 § 13. Капиллярные волны 444 § 14. Волны конечной амплитуды 447 § 15. Трохоидальные волны Герстнера 448 § 16. Свойства трохоидальных волн 451 § 17. Энергия волн 455 § 18. Перенос энергии 459 § 19. Волновое сопротивление. Движение тела под свободной по- поверхностью №0 § 20. Волны в сжимаемой жидкости. Обтекание воздухом горного хребта ' 477 § 21, Упражнения 46Ь
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 В. Трехмерные волны § 22. Общие формулы 489 § 23. Корабельные волны . . . .• 499 § 24. Стоячие колебания тяжелой жидкости в сосуде 504 § 25. Колебания жидкости в прямоугольном сосуде и в круговом цилиндре 507 § 26. Упражнения 511 Г. Длинные волны § 27. Основные уравнения 512 § 28. Длинные волны в каналах постоянной глубины 515 § 29. Стоячие колебания в каналах переменной глубины 518 § 30. Стоячие колебания в цилиндрическом сосуде малой глубины . . 521 § 31. Вынужденные колебания в каналах постоянной глубины . . . 522 § 32. Статическая теория приливов 526 § 33. Выводы статической теории приливов 530 § 34. Каналовая теория приливов 534 § 35. Волны во вращающейся атмосферной оболочке 539 § 36. Центры действия атмосферы 546 § 37. Длинные волны конечной амплитуды. Волны на мелкой воде. Разрушение плотины 553 § 38. Обтекание препятствия тяжелой сжимаемой жидкостью. Длин- Длинные волны Бора 561 § 39. Упражнения 570 Литература 571 Именной указатель 576 Предметный указатель 578
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ Дополнения и изменения, внесенные в шестое издание первой части, касаются лишь главы о волнах. Здесь вставлены два новых параграфа: один посвящен теории длинных волн на мелкой воде (в част- частности, рассмотрен вопрос о разрушении плотины), другой —теории длинных волн в сжимаемой жидкости (задача обтекания препят- препятствия). В некоторых местах сделаны незначительные изменения текста. И. Кибель
ГЛАВА ПЕРВАЯ КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ А. ДЕФОРМАЦИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ § 1. Формулы Коши — Гельмгольца. В кинематике твердого тела изучен вопрос о распределении скоростей в движущемся теле и показано, что скорость Ч) любой точки тела можно рассматривать как геометрическую сумму поступательной скорости <о0, определяемой как скорость выбранного в теле полюса, и вращательной скорости вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. Вращательная скорость, как известно, выражается векторным произведением to X Р> где to есть вектор угловой скорости, отложенный по мгновенной оси вращения, а р— относительный радиус-вектор, проведенный из полюса в рассматриваемую точку тела; таким образом « = «0 + еоХр. A.1) причем длина р остается неизменной во время движения тела по условию твердости. Так как v = dr/dt, где г есть абсолютный радиус- вектор взятой точки тела, т. е. радиус- вектор, проведенный из некоторой фиксированной в пространстве точки, принимаемой за неподвижную, то фор- формула A.1) дает одновременно разло- разложение элементарного перемещения dr рассматриваемой точки тела на поступа- поступательную и вращательную части: dr = dro + (MXp)*. A.2) Обращаясь к изучению перемещений и скоростей различных точек движу- щейся жидкой среды, вырежем в ней мысленно малую частицу, ограниченную односвязной поверхностью, например шаровой, и рассмотрим два по- последовательных положения этой частицы в моменты t и t-\-dt, отде- отделенные бесконечно малым промежутком времени dt. Возьмем в первом положении жидкой частицы две любые точки О и А (рис. 1); одну из них, например О, примем за основную (полюс) А' Рис. 1.
10 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I и обозначим через г0 и г их абсолютные радиусы-векторы, прове- проведенные из некоторой точки пространства О; через р обозначим относительный радиус-вектор О А; пусть r'Ot r' и р' означают те же величины во втором положении частицы в момент t~\-dt, гак что Элементарные перемещения точек О и Л будут: Разность р' — р можно назвать элементарным относительным пере- перемещением точки А по отношению к О; обозначим ее через dp, так что dp = p' — p. Вследствие очевидных геометрических соотношений 9' = г' — г'о, 9 = г — г0 будет справедливо соотношение dp = dr — dr0 — (v — v0) dt, где v и v0 — скорости точек Л и О в момент t. С другой стороны, рассматривая поле скоростей жидкости в момент t, т. е. считая ско- скорость функцией точки v == v (г), % = v (г0), мы имеем, согласно определению производной вектора по вектору, с точностью до малых величин второго порядка малости: v (г) — V(г0) = v(го+ р) — v(г0) = (р • V) v, A.3) и, следовательно, dp = (p • V) v dt или, в проекциях на неподвижные координатные оси Oxyz, jf ( ^vx t i fax i fax dx dy dvz e . dv A.4)
§1] ФОРМУЛЫ КОШИ - ГЕЛЬМГОЛЬЦА И Последние формулы после несложных алгебраических преобразо- преобразований, указанных Коши, можно привести к виду: tox дх 1 /dvv 2 \ дх dv, dvx дх \ /dvx ду dvz ду 1 / dvz dvy dz \ldvz dvy to, dVy dz Вводя для краткости обозначения dvr dv,, dvz дх dvv ¦=elt ду ¦ = ?,, dvx dv У_ dx dz dvz ~dz~ dvr • = ?,, и вспоминая определение вихря, мы можем написать: d; = (?lf + 1 e37J + 1 G2C) Л + ^ (С rOty V — 7J rot, ©) dt. j si^) Л 4-1 E rot, v — С rot, *) dt, dt +1 Gj rot, v — $ roty v) dt или короче: где A.5) A.6) A.7) A.8) Последние формулы показывают, что элементарное относительное перемещение dp можно рассматривать как геометрическую сумму двух слагаемых: 1) вектора с проекциями -^-dt, -^r dt, -^r dt,
12 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I dt, называемого чистой деформацией, и 2) вектора (-^ rot v У. p] выражающего элементарное вращательное перемещение, которое полу- получила бы точка А, если бы частица затвердела, при вращении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О с угловой скоростью w = -j Так как dr = dro-\-dp, то мы приходим к заключению, что элементарное перемещение любой точки жидкой частицы можно рассматривать как геометрическую сумму трех перемещений: поступательного, вращательного и деформационного; разделив на dt, мы можем повторить то же самое заключение про скорость: v = vu-\-vl-\-vv A.9) где ©0 — скорость поступательного движения, определяемого полю- полюсом О; в, = to X Р — скорость вращательного движения взятой точки (определяемой относительным радиусом-вектором р) вокруг мгновен- мгновенной оси, проходящей через полюс, с угловой скоростью w^lrottf; A.10) я2 —gradF—скорость чистой деформации, т. е. потенциальный вектор, определяемый квадратичной однородной функцией A.8), в которой коэффициенты имеют вышеуказанное значение. § 2. Чистая деформация. Чтобы представить яснее характер движения, названного чистой деформацией, допустим, что вращательная часть движения отсутствует; тогда относительные координаты неко- некоторой точки жидкой частицы ?, ?), С по истечении элемента вре- времени dt примут значения: B.1) Так как $', rf, С отличаются от X, tj, С на величины бесконечно малые, то с точностью до величин второго порядка малости можно положить V = \ + ех dt\' + ~ 63 dti ¦+¦ ~ 62 dtH, tf Г + 9 dt f\ J Л " t / 1 t J>A.\ \ = С + I 62 rf«' +1 6t dtrf
8 31 от куда ЭПЛИПСОИД ДГФОРММДИИ = A _ Sl dt) V i- 03 Л т)' — 1 92 — e2 Л) V — "g- 6i С = - 4 82 rf«' — 4 A — eg 13 B.2) Последние формулы показывают, что точки малой жидкой час- частицы, лежащие в момент t на сфере радиуса R перейдут в момент t -\- dt на поверхность второго порядка (вследствие линейности предыдущих формул), которая может быть только эллип- эллипсоидом, так как, вследствие сплошности движения, шаровая жидкая поверхность может за бесконечно малый элемент времени dt претер- претерпеть лишь бесконечно малое изменение своей формы; уравнение этого эллипсоида будет: A — 2ех dt) ?/ + A - - 2е2 dt) -q'2 -f- A — 2s3 dt) С'2 — — 2Ot dt -qV — 202 dt C' 293 V = R\ B.3) если отбросить величины второго порядка малости. Эллипсоид B.3) носит название эллипсоида деформации, а его главные оси называются главными осями деформации. § 3. Эллипсоид деформации. Покажем, что точки жидкой час- частицы, лежащие на главных осях деформации, остаются после дефор- деформации на тех же осях, испытывая лишь смещения вдоль этих осей. Для этого воспользуемся тем свой- свойством главных осей эллипсоида, что они совпадают с нормалями к эллип- эллипсоиду в точках пересечения послед- последнего с осями. Пусть р' — вектор с составляю- составляющими ?', if, С', проведенный в конце А' главной полуоси эллип- ^ соида (рис. 2). Направляющие ко- косинусы нормали к этому эллипсоиду в точке (=;', т)', С) пропорциональны производным левой части уравнения B.3) по V, if. С; нормаль коллинеарна с вектором р', то должно быть: A —2ех dt) \' — 63 dtrf — G2 dt С = \fi', Рис. 2. если эта 02 dtV — 6; dtr{ —2eg dt) С = C.1)
14 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 1 где р.— параметр, имеющий очень простое значение. Действительно, если помножить предыдущие уравнения по порядку на V, т/ и С\ сложить и воспользоваться уравнением B.3), то мы получим: откуда следует, что f=-T2-. C.2) где р' есть длина рассматриваемой главной полуоси эллипсоида B.3). Воспользовавшись уравнениями B.2), мы можем переписать со- соотношения C.1) в следующем виде: откуда ? = о ?'• 71== 9 7i'> '•— ' или в векторной форме: где р — радиус-вектор той точки Л, которая после деформации перешла в конец вектора р'. Полученное уравнение показывает, что все точки, лежавшие до деформации на главной оси эллипсоида деформации B.3), остаются после деформации на той же оси. Вычислим отнесенное к единице времени относительное удлине- удлинение главной оси, которое мы обозначим через е: "~~ fdt так что Из уравнения C.2), принимая во внимание, что р = /?, выведем: 1 Iх — A _j_ e dty • или, пренебрегая членами второго порядка малости: ^.= 1 —2е dt. C.3) Воспользовавшись этим выражением, мы можем переписать си- систему C.1) еще так: 2(е, —«)S' + 98ij' + 9aC' = O.
§4] КУБИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ 15 Условие совместности этой системы трех однородных по У, ч\', С уравнений состоит в равенстве нулю определителя 2 (*! — U2 — в) W3 А >-с2 е> и1 и2 "х = 0. C.4) Это кубическое относительно е уравнение имеет всегда три веще- вещественных корня еи е2, ег (два из которых или все три могут ока- оказаться равными). По формуле C.3) мы вычислим соответствующие значения [1.! — 1 — 2е1 dt, ji,2 = 1 — 2е2 dt, \ьъ — \— 2ег dt, и по формуле C.2) найдем длины главных осей эллипсоида B.3), которые мы обозначим через а, Ъ, с: 2 —_*L__ ,2_ /?2 2_ /?2 a~~l—2eldt' \—2e2dt' \—2ebdt' Поэтому уравнение эллипсоида деформации B.3), отнесенное к осям симметрии, получит вид A — Чех dt) ?i + (l — 2е2 dt) tj? -J- (l — 2e3 dt) C? = R2. C.5) § 4. Кубическое расширение. Коэффициенты еи е2, е3 в урав- уравнении C.5) носят название главных удлинений. По известному свойству инвариантности при преобразовании уравнения поверхности второго порядка [получающемуся из уравнения C.4)] будет иметь место соотношение DЛ) D.2) или, заменяя ej, e2, е3 их значениями в A.5), dv, dv,, dv. Нетрудно видеть, что последняя величина имеет простое физиче- физическое значение, выражая собой кубическое расширение жидкости, отнесенное к единице времени. Действительно, обозначая через тих' объем сферической частицы и объем эллипсоида, в который пере- переходит эта частица после деформации, имеем с точностью до величин второго порядка малости: „„„I» — Г>3 т' — т 3 3 к D.3)
dvv ду e3, ( dvz \. e2. o3, шх, сог, D.4) опреде- 16 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I Отсюда получается, что для несжимаемой жидкости в каждой ее точке должно удовлетворяться соотношение дх Заметим, что величины гх, у г ляющие чистую деформацию и вращение частицы, относятся к точке О полюсу частицы — и вообще являются функциями координат (точки О) и времени; в том случае, когда эти величины являются постоянными, деформация называется однородной. § 5. Упражнения. 1. Показать, что при однородной деформации точки жидкости, лежащие на плоскости или па прямой, остаются после деформа- деформации соответственно иа некоторой плоскости или на прямой. 2. Выяснить значение коэффициента ги считая, что все прочие коэффи- коэффициенты равны нулю. Ответ. г\ есть скорость удлинения вдоль оси Ох. 3. Выяснить значение коэффициента 03, считая, что прочие коэффи- коэффициенты равны нулю. Ответ. 03 есть скорость скашивания прямого угла Оху. 4. Показать, чго при однородной деформации направления главных осей деформации для любой точки жидкости будут одинаковы. Б. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ § 6. Переменные Лагранжа. Изучение движения жидкости может быть произведено с двух точек зрения. С точки зрения, развитой особенно подробно Лагранжем, объектом изучения служит сама движущаяся жидкость, точнее говоря, отдельные ее частицы, рассматриваемые как материальные частицы, сплошным образом заполняющие некоторый движущийся объем, занятый жидкостью; такой обьем условимся называть «жидким объемом». Самое изучение состоит: 1) в исследовании изменений, которые претерпевают различные векторные и скалярные величины, характе- характеризующие движение некоторой фиксированной частицы жидкого объема (например, скорость, плотность и т. д.). в зависимости от времени; 2) в исследовании изменений тех же величин при переходе от одной частицы жидкого объема к другой: иначе говоря, упомя- упомянутые величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции от времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуаль- индивидуальность взятой частицы. За такие числа можно, например, принять декартовы координаты жидкой частицы х0, >'„, z0 в некоторый начальный момент времени /(|; тогда при движении жидкого объема можно, очевидно, трактован, координаты любой его частицы х, у, z как определенные функции
§6] ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖД 17 от времени t и начальных координат той же частицы: x = <?l(t, х0, Уо- zo)> ] y=^<p20, xQ, у0, z0), I F.1) причем функции срх, ср2, ср3 при t=t0 тождественно обращаются BY \! У ' ¦Н1 До1 *0' у rn If У \) У I л0 — Y1 v О' Л0> ^0' ''О'1 Вместо декартовых координат лг0, у0, г0, отличающих одну частицу от другой, в рассматриваемом жидком объеме можно взять любые три величины а, Ь, с, связанные с xQ, y0, г0 взаимно-однозначными зависимостями: xo = t\>l(a, b, с), yo = ty2(a> b, с), zo = fy3(a, b, с); иначе говоря, можно взять криволинейные координаты частицы для начального момента ^0. С точки зрения Лагранжа переменные t, a, b, с являются аргу- аргументами, определяющими значение различных векторных и скалярных функций, которыми может характеризоваться движение жидкости; эти переменные носят название переменных Лагранжа. Мы будем, таким образом, иметь: x=fl(a, b, с, t), у = /2(а, b, с, t), F.2) z=f3(a, b, c, t). Проекции скорости и ускорения выразятся формулами: дх dfi (а, Ъ, с, t) dt JL — dt F.3) rrnt — — . WX дB — шу dt2 dt2 ' д2г d2f. F.4) тогность будет: dt2 dt2 ' ? = /(a, *, С t) H i. Л.
18 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I § 7. Переменные Эйлера. С другой точки зрения, развитой Эйлером, объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство (или его фиксированная часть), запол- заполненное движущейся жидкостью, и изучается: 1) изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства с течением времени и 2) изменение этих элементов при переходе к другим точкам пространства; иначе говоря, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции точки и времени, т. е. как функции четырех аргументов х, у, z, t, называемых пере- переменными Эйлера; например: v = F(r. t) или vy — F2(x. у, z, t), G.1) vz = F3(x, у, z, t), аналогично 9 = FA(x, у, z, t) и т. д. Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектами изучения являются различные векторные и скалярные поля, характеризующие движение жидкости, например: поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и т. д. § 8. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно. Такой переход может быть осуществлен при помощи уравнений F.2), которые должны иметь однозначные решения отно- относительно а, Ъ, с: а = <?1(х, у, z, t), 1 b = <?2(x, у, z, t), I (8.1) с = ср3 (#, у, z, t), ) так как два положения жидкого объема в моменты /0 и t связаны, очевидно, взаимно-однозначным точечным соответствием. Из взаимной разрешимости уравнений F.2) и (8.1), как известно из анализа, выте- вытекает, что ни один из функциональных определителей D __ D (х, у, г) D (а, Ь, с) и n _ D (а, Ь, с) __ I 1 D (х, у, z) ~~ D не обращается тождественно в нуль или бесконечность. Пусть, например, некоторая величина Л задана в переменных Эйлера A = F{x, у, z, t)
§9] ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 19 и требуется составить ее производные по переменным Лагранжа; тогда будет: дА да dF dx . у, dx да ' ду да dF ду . SF dz "~г~ дг да' дА __ dF дх dF ду dF дг db дх db ' л" лл i л, м > дА_ дс дА dt dF дх ду dF dy i_ Jif_ w* i dx dc ' dy dc ' d/7 dz dz dc __ dF dx dF dy dF dz dF . ~ dx dt * dy dt ~г дг dt ' d^ ' (8.2) последняя формула на основании F.3) дает выражение для так назы- называемой полной или индивидуальной производной функции F rf/7 EL dx dF dF dz dF (8.3) Применяя последнюю формулу к функциям vx, vy, vz, получаем следующие выражения для проекций ускорения в переменных Эйлера dvx dx dx dvz ~Jx~ dvx dy d^ dy dy dz d^ dz ~df ^4- d^ dt dvz ~dT (8.4) Обратный переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа может быть произведен при помощи уравнений G.1), которые в пере- переменных Лагранжа принимают вид: дх = Fl{x, y, z, t), ду y, z, t), -?- = у, z, t). Интегрируя эти уравнения, найдем: x = fl{cl; c2, c3, t), y = f2(cv с2, с3, t), где Cj, c2, ровании. произвольные постоянные, появляющиеся при интегри- интегриПолагая a = c = c2 — сг, мы приходим к уравне- уравнеЛ v 2 г ниям F.2), определяющим движение в переменных Лагранжа. § 9. Поле скоростей. Точка зрения Эйлера открывает дорогу для применения векторного анализа, название многих терминов кото- которого указывает на тесную связь их с гидродинамикой. Особенно
MIHI ЧАШКИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I плодотворным является рассмотрение векторного нспя скоростей, дчл которого мы повторим некоторые определения векторного анализа. Линиями тока называются линии, которые характеризуются тем, что для данного момента времени t касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью; дифференциальные уравнения линий тока будут: dx dy dz (x, у, г, t) vy (x, у, z, t) vz (x, y, z, t) (9 1) где t играет роль параметра. Через каждую точку поля, в которой функции vx, vy, vz не обращаются в нуль одновременно в данный момент времени, проходит только одна линия тока, как это следует из теоремы существования для системы урав- уравнений (9.1) в предположении, например, что vx, vy, vz однозначные и не- непрерывные вместе с их первыми производными по координатам функции; CICJ Рис. 3. Рис. 4. разные особенности могут представиться, если в данной точке поля скорость обращается в нуль; такие точки называются критическими или особыми. Критические точки могут располагаться изолированно и могут образовывать критические линии и поверхности. Не анализируя вопроса о наличии, распо- расположении и характере критических точек во всей общности, укажем простей- простейшие типы критических изолированных точек для плоского течения жидкости. В этом случае линии тока определяются дифференциальным уравнением dy vy {x, у, t) Тх ~ vx {х, у, t) " Перенося начало координат в одну из изолированных критических точек и предполагая, что в окрестности рассматриваемой критической точки функции vx и vy разложимы в ряды по целым положительным степеням координат, мы приведем уравнение линий тока для данного момента вре- времени к виду dy _ ах -f- by -f- P {х, у) ~d~x~ ~ ~a'x + b'y +Q (х, уУ' где Р и Q — ряды, начинающиеся с членов по крайней мере второго изме- измерения относительно х и у. Как показывается в курсах дифференциальных
СКОРОСТЕЙ 21 уравнений, характер критической точки определяется при выполнении неко- некоторых условий видом корней квадратного уравнения (характеристического); I2 — (а' — Ь)\ + а'Ь — аЬ' — 0. Если корни этого уравнения различны, вещественны, отличны от нуля и одного знака, то в окрестности критической точки все линии тока проходят через критическую точку, касаясь в ней некоторой кривой С,, за исключением одной линии тока Съ пересекающейся с С, под некоторым углом; крити- критическая точка такого типа называется узлом (рис. 3). При равных веще- вещественных корнях, отличных от нуля, линия С2 совпадает с Сх, давая картину вырождающегося узла, или же линии тока будут проходить через крити- критическую точку во всех направлениях (рис. 4). Если корни характеристического уравнения вещес1венны, отличны от нуля и разных знаков, ю через крн- Шческую точку проходят только две линии тока С, и С2; критическая точка такого типа называется седлом (рис. 5). Если корни характеристического уравнения комплексны, то все линии шка спиралеобразно завиваются вокруг критической точки, аснмшотпчески Рис. 6. Рис. 7. к ней приближаясь (рис. 6); в этом случае критическая точка называется фокусом. При чисто мнимых корнях характеристического уравнения и при выполнении некоторых добавочных условий все линии тока в окрестности критической точки могут оказаться замкнутыми кривыми, окружающими ее (рис. 7); критическая точка называется в этом случае центром. Семейство линий тока, содержа параметр t, будет семейством линий, изменяющихся с течением времени; очевидно, что в таком переменном поле траектории жидких частиц не будут вообще совпадать с линиями тока; для постоянного поля скоростей, когда вектор ско- скорости в каждой точке не будет меняться с течением времени, линии тока будут оставаться неизменными и будут служить траекториями жидких частиц. Движение жидкости в этом случае называется стацио- стационарным или установившимся. Потоком скорости через данную поверхность 5 называется поверхностный интеграл Г v ¦ dS = J vn dS = Г vx dy dz -{- vy dz dx -f- vz dx dy; (9.2)
22 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I очевидно, что поток скорости выражает объем жидкости, протекаю- протекающей за единицу времени сквозь поверхность 5, считаемую неподвиж- неподвижной; при замкнутой поверхности 5 вытекающий из поверхности объем считается положительным, а втекающий — отрицательным. Расхождением скорости в данной точке поля называется от- отнесенный к единице объема поток скорости сквозь замкнутую по- поверхность бесконечно малого объема т, окружающего данную точку: /v ¦ dS dvx dvv dv, из определения очевидно, что расхождение скорости выражает ско- скорость кубического расширения жидкости в области данной точки. На основании теоремы Гаусса (или последнего свойства расхо- расхождения скорости), можно выразить поток скорости сквозь замкнутую поверхность через объемный интеграл от расхождения скорости, рас- распространенный на весь объем, заключенный внутри S; fvdS — Jdivvfc. (9.4) s -с Поле скоростей называется соленоидальным или трубчатым, если расхождение скорости равно нулю в каждой точке поля; сле- следовательно, поле скоростей несжимаемой жидкости будет солено- соленоидальным. Циркуляцией скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода называется линейный интеграл ф v ¦ dr = ф vx dx -f- vy dy -j- vz dz, (9.5) L L где dr есть элемент кривой L. Вихрь скорости есть вектор 2 = rot v, определяемый проекциями: О На основании теоремы Стокса, циркуляция скорости по замкнутому контуру равна потоку вихря скорости сквозь любую поверхност!., ограниченную данным контуром: dr= [ftotv\dS. (9.7) / s ^И § 10. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Во всех последующих выводах при рассмотрении движения жидкости мы предполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образом за- заполняет пространство или его определенную часть и что во время движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения.
101 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА 23 Это предположение налагает некоторое условие на изменения плот- плотности и объема жидкости во время движения, носящее название урав- уравнения неразрывности. Обратимся сначала к переменным Лагранжа и рассмотрим два положения одного и того же жидкого объема в моменты t0 и t; пусть в момент t0 жидкий объем т0 ограничен произвольной замкнутой поверхностью So, которая к моменту t перей- перейдет в некоторую другую, также замкнутую поверхность S, ограни- ограничивающую объем т; жидкая частица, имеющая в момент t0 коорди- координаты х0, у0, z0, перейдет в момент t в положение с координатами х, у, z, причем *o = /i(fl- ь< с< *о)' х = /г(а, b, с, t), уо = /2(в. b< с< к)' у = Л(«. ъ> с< О. zo = f3(a> ь' с< ^о)> г = /3(а, Ь, с, t), плотность жидкости р0 в момент t0 перейдет к моменту / в р, причем Ро = /(а, Ь, с, t0); р==/(я, Ь, с, t). В этих формулах а, Ь, с суть параметры, отличающие одну частицу от другой в рассматриваемом жидком объеме. Выражая что масса, заключенная в жидком объеме, не изменится при переходе от мо- момента ^0 к t, имеем: f f fPodxodyodzo = f f fpdxdydz. A0.2) To X Заменим теперь в обоих интегралах переменные х, у, г перемен- переменными а, Ь, с по формулам перехода A0.1); по известным правилам преобразования интеграла при замене переменных получим: Г Г Г pdx dy dz= Г Г Г pDdadbdc, A0.3) где и есть функциональный D(a, определитель У, г) Ь, с) дх да дх db дх дс ду да ду db ду дс дг да дг db дг дс Перенося в A0.2) все члены в одну часть и применяя A0.3), найдем: / / / (РсА — Р°) ^ db dc = 0, где Д, имеет аналогичное с D значение.
24 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Отсюда, ввиду произвольности взятого первоначально объема т0, в любой момент t должно иметь место соотношение или подробнее Р0(а, Ь, с, р<А — A0.4) dx0 da db dx0 дУа da db dz0 da dz0 db дс дс дс = р(й,&, С, t) дх ду dz да да да дх ду dz Ж ~дТ ~Ж дх ду dz dc dc ~dc~ dx da dx db dx dc ду da ду db ду dc dz da dz db dz dc dx0 da dx0 db dxa dc дУо da дУо db дУо dc dz0 da dz0 db dza dr. которое и является искомым уравнением неразрывности в пере- переменных Лагранжа. Для несжимаемой жидкости уравнение нераз- неразрывности принимает вид: A0.5) Если за а, Ь, с взяты начальные координаты частицы, то хо — а, у0 = b, z0 = с, и правая часть обращается в единицу. § 11. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера. Чтобы выразить уравнение неразрывности в переменных Эйлера, применим уравнение A0.2) к бесконечно малому объему 8т0, переходящему к моменту t в объем 8т: р8т = р0 Sx0 = const,, откуда, взяв полную производную по времени, получаем: dt 0. или dt отношение d (tt) о- dt выражает собой скорость относительного кубиче- кубического расширения жидкости в данной точке и равно расхождению скорости в этой точке, как было показано выше в формулах D.2), D.3). Таким образом: уравнение неразрывности в переменных Эй- Эйлера получает вид: 1 do di'y. dvv dv, 1 j Л ] У I * p (ft ' дх ' ду ' . л (П.1)
§121 ДР\ГОП МЕТОД ВЫВОДА J РАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ 25 Уравнение неразрывности после несложных преобразований можно представить еще в следующих равносильных формах: iJlUL + div *, = (), A1.2) Op О (oi/uj О \QXJ\t) О (pZJzj , | . I f j __ . ¦.. О /* 1 1 *^Ч or ' дх ' dy ¦ ог ч у Для несжимаемой жидкости, хотя бы и не однородной, обратится в нуль dp/dt (хотя dp/dt ф 0), и уравнение неразрывности приобре- приобретает вид: dvx dvv dv, ~-f -j-l 4-_? —0. A1.4) ОЛ ' oy ' ог ч у Для стационарного движения -^- = 0, и уравнение неразрывно- неразрывности получается в виде: ——JL—| 1-Х—j _f_ i= 0. A1.5) § 12. Другой метод вывода уравнения неразрывности. Преды- Предыдущий вывод уравнения неразрывности в переменных Эйлера пред- представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменения плотности и объема в некото- некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора pv сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произ- произвольной формы. Этот поток, на основании теоремы Гаусса, може! быть представлен объемным интегралом J J ?v«dS==J JJ [ S Очевидно, что этот поток выражает массу жидкости, вытекающей за единицу времени из замкнутой поверхности S, что повлечет за собой уменьшение плотности в точках внутри 5 за единицу времени на величину — dpldt и соответственное изменение массы жидкости внутри поверхности, равное -IIP, ¦ dx dy dz\ t/ v tf v" таким образом имеем: J J J [
26 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 1 откуда, вследствие произвольности объема -г, снова приходим к урав- уравнению неразрывности: ¦-г Заметим, что для случая несжимаемой жидкости A2.1) т. е. поток скорости через любую неподвижную замкнутую по- поверхность равен нулю, иначе говоря, объем втекающей в поверх- поверхность жидкости равен объему вытекающей. Последнее свойство дает основание для следующей геометриче- геометрической интерпретации, широко применяемой в физике при исследовании векторных полей. Проведем через каждую точку малого замкнутого контура с линию тока и рассмотрим полученную трубчатую по- поверхность, называемую трубкой тока, ограниченную двумя перпенди- перпендикулярными сечениями а и b (рис. 8); пусть площади этих сечений будут Oj и о2, а скорости в точках сечений а и b соот- соответственно i>i и v2; по малости сечения скорость в разных точках сечения можно принять постоянной. Применяя предыдущее свойство к замкнутой поверхности, обра- образованной трубкой тока и ее нормальными сечениями а и Ь, получаем: v1a1 = v2a2. A2.2) Таким образом, произведение из величины скорости на площадь перпендикулярного сечения остается постоянным вдоль трубки Рис. 8. тока, выражая объем втекающей и вытекаю- вытекающей из трубки жидкости в единицу времени. Разобьем все пространство на так называемые единичные трубки тока, для которых упомянутый объем равен единице. Тогда предыдущее свойство I vndS — 0 показывает, что для любой замкнутой поверх- 5 ности число единичных трубок тока, вступающих в поверхность, равно числу трубок, выходящих из поверхности, т. е. что внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидко- жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиваться. § 13. Уравнение неразрывности в цилиндрических, сфериче- сферических и криволинейных координатах. Метод предыдущего параграфа может быть с успехом применен для получения уравнения неразрыв-
131 УРАВНЕН НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 27 ности в различных криволинейных координатных системах, для чего достаточно в качестве объема х взять бесконечно малую ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей. (z) / Й ? V Рис. 9. Рис. 10. Рассмотрим в виде упражнения вывод уравнения неразрывности в ци- цилиндрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. Для цилиндрических координат, например (рис. 9): поток через грань AEHD = — pvrr db dz, » » » BCGF = hvrr-{-- dr] db dz, ABFE = — {Щ dr dz, DCGH = [p<y9 + д (|9"б) rf&] dr dz, ABCD = — pvzr db dr, EFGH = \pv,+-^^-dz]rdQdr поток сквозь всю поверхность ячейки: I dr ' dft дг где vr, Vfj, vz суть проекции скорости на оси цилиндрических коорди- координат. С другой стороны, уменьшение массы жидкости внутри ячейки будет — ^dr-rdO-dz. Приравнивая, находим по разделении на dr db dz искомое уравнение неразрывности в цилиндрических координатах: d дг ¦ 0. A3.1)
28 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ I Для сферических координат (рис. 10) имеем, складывая попарно потоки вектора рр через противоположные грани ячейки: Сумма через ABCD и EFGH: Сумма через AEHD и BFGC: Сумма через AEFB и DHGC: dr ¦ г db) Поток через всю поверхность ячейки: г) . d (pv9 sin в) sin9 + С другой стороны, изменение массы жидкости внутри ячейки будет: —~ir • dr ¦ г db ¦ г smb dty, и, следовательно, уравнение неразрывности в сферических коорди- координатах получает вид: 1 д (?vrr!) 1 д (ри6 sin в) 7г д? '"TsinT Ш 1~ г sin 6 dty • к ¦ / Для случая общих криволинейных орто- ортогональных координат рассмотрим поток через грани элементарной ячейки, образованной тремя парами смежных координатных поверхностей. Называя через dsit ds2 и ds3 длины ребер ячейки, эквивалентной прямоугольному парал- параллелепипеду, а через vv v2, f3— проекции скорости на оси криволи- криволинейных координат (qj, (q2), (q3) (рис. 11) получаем: dp , , , , д (ov, dso ds3) , , -37- ds, dso dSn и ' —^- dq, -+- ot l ° ид^ + d (p^2 dSi ds3) . , д (pv3 dS\ dsj) , A =: (lOn —\ r dQt := U; dq2 42nr dq3 4i заменяя dsv ds2, ds3 через их известные выражения
!4] УПРАЖНЕНИЯ 29 je Нх, Н2, Нъ с> гь параметры Ламэ: мы приходим к следующему виду уравнения неразрывности: которое после нес южных преобразований может быть представлено еще в такой форме: д? , 1 d(fVj) I <J(Pti2) 1 ^(рч3) , ^ "i" Я, а?, "^ Я2 й?2 "*" Я3 а?. § 14. Упражнения. 1. Масса жидкости движется таким образом, что каждая частица описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней, показать, что уравнение неразрывности принимает вид dp i d (рю) _ 7  аГ"~и' где ш — угловая скорость 9 для частицы, положение которой определяется цилиндрическими координатами г, 0, z. (Рамсей) 2. Масса жидкости движется таким образом, что траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров, найти уравнение не- неразрывности. (Рамсей) 3. Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отноше- отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к нему и зависит только от расстояния г до центра; выразить уравнение неразрывности (Рамсей) л dp I до а д (vrr2) . Ответ ~jr-\-vr-^—|—-j—Ч1—- = Э в сферических координатах 4. Каждая частица жидкости движется в плоскости, проходящей через ось г, выразить уравнение неразрывности (Рамсей) _ до , д (?vrr) , д (ри.) . Ответ, г -&~\~—^г~л-г''—~~ — 0 в цилиндрических координа rax.
30 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ 5. Траектории частиц жидкости расположены на конусах, коаксиальных с осью г и имеющих общую вершину; выразить уравнение неразрывности. (Рамсей) Ответ: = 0 в сферических коор- г ' г sin 8 динатах. 6. Траектории частиц расположены на сферах, касающихся плоскости Оху в начале координат; вывести уравнение неразрывности. (Рамсей) Решение. Рассмотрим по- поток вектора ?v через элементар- элементарную ячейку, построенную следую- следующим образом. Проведем две сферы, касающиеся плоскости Оху, с цен- центрами С и С на оси Ог и с ра- радиусами г и г 4- dr (рис. 12), пе- пересечем обе сферы вертикальной плоскостью гОК, образующей угол <\> с плоскостью хОг, и отло- отложим на окружностях пересечения дуги Оа и Od, соответствующие одинаковым центральным углам й, и дуги ab и cd, соответствующие одинаковым приращениям d%; про- проведя отрезки be и ad, получим элементарную площадку abed, эквивалентную параллелограмму с точностью до малых величин второго порядка; повернув затем плоскость гОК на угол d^, полу- получим ячейку, эквивалентную пря- прямому параллелепипеду с основа- основанием abed и высотой г sin в db. Площадь элементарного параллг- лограмма abed будет ab ¦ ad ¦ sin {ab, ad), где ab = r rf8; чтобы найти длину ad, проектируем отрезок ad на оси ОК и OZ, рассматривая его как замыкаю- замыкающую ломаной линии аСС d: (ad)k = {г 4- dr) sin 8 — г sin В = sin 0 dr, (ad)z = — {г 4- dr) cos 8 4- /- cos 8 4- dr = A — cos 8) dr, откуда ad = dr /sin2 8 4- A — cos BJ" = 2 sin ~^dr\ далее Рис. 12. (ad)h sin 6 но {ab, (Ж) = 8, значит (ab,ad) = 6/2 и площадь abed = 2r sin2 8/2 dr rfl). Замечая, что fr = 0 и приравнивая поток через все грани ячейки секундному изменению массы — -^ 2r sin2 —drddr sin в
§16] ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ 31 внутри ячейки, получаем д (pu&r sin 6 d<\> 2 sin2 -я- dr ] |?|- rfr rfer sin 0 rf<H 1 щ ±—i' d% + ^^) или йр RfW йц) cos02b'n4+sl° n r sm 6 ^ + sin Q—55 1 55 bP»e —g = 0; L Sill -jr- замечая, наконец, что n cos 8 2 sin2 -j + sin2 0 г = cos в -f 2 cos2 -s- = 1 + 2 cos 0, ! 2 2 sin2! приходим к следующему уравнению неразрывности: до д (ova) vф) г sin в ~ + sin в —JL— + -~^ + р«в A + 2 cos 0) = 0. В. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА БЕЗВИХРЕВОГО И ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЙ § 15. Введение. Рассмотренное в § 1 разложение движения бес- бесконечно малой частицы жидкости на поступательное, деформационное и вращательное дает основание разбить различные случаи состояния движения жидкости для данного момента времени на два общих класса К первому классу мы отнесем безвихревое состояние движения жидкости, характеризующееся тем, что в каждой частице будет отсутствовать вращательная часть движения, иначе говоря, в каждой точке жидкости будет выполняться условие roti/ = 0. A5.1) Ко второму классу мы отнесем состояние вихревого движения, когда условие A5.1) не выполняется во всем объеме жидкости Вопрос о сохраняемости существующего в данный момент без- безвихревого или вихревого состояния движения для последующих момен- моментов времени мы оставляем сейчас открытым и рассмотрим его впо- саедствие в связи с динамическими элементами движения в главе пятой. § 16. Потенциал скорости. Обращаясь к рассмотрению безвихре- безвихревого состояния движения, называемого короче безвихревым движе- движением, напишем подробнее условие A5.1) в проекциях: dy dvx dvz dvy
32 КИНПМЛТПКА ЖИЛКОП CPFAb! |ГЛ 1 Последние равенства, как известно из анализа, выражают необхо- необходимое и достаточное условие того, чтобы vx, vy, vz являлись частными производным по координатам от некоторой функции <?• называемой потенциалом скорости 1): v ^dJL; v дЛ. v dJl. (i6.2) A дх У ду z dz Так как в переменных Эйлера г\., v , vz являются функциями от х, у, z, t, то, очевидно, от тех же аргументов будет зависеть потенциал скорости ев, причем, согласно сказанному выше, время t играет роль параметра; в таком случае трехчлен vxdx-irvydy~\-vzdz можно рассматривать как полный дифференциал функции <р: vxdx+vydy + vzdz = d?xdx + d±dy-\-~tdz = d4, A6.3) и тогда линейный интеграл Г 1) . dr = J vx их + vy dy -f- vz clz — Jc19~9b~9a' A6.4) L L L взятый по некоторой кривой между точками А и В, не будет зави- зависеть от вида кривой и в случае однозначности функции ср будет равняться разности ее значений срл и срл в этих точках 2); отсюда вытекает, что циркуляция скорости, взятая по любой замкнутой кри- кривой при существовании однозначного потенциала, будет равна нулю: -dr==0; A6.5) это заключение следует также непосредственно из формулы Сгокса. Из этого свойства вытекает, что при существовании однозначного потенциала линии тока не могут быть замкнуты, иначе бы полу- получилось, что циркуляция вдоль такой линии не обратилась бы в нуль, так как все элементы линейного интеграла имели бы один и тот же знак. Свойство A6.2) безвихревого движения, выраженное в векторной форме v -— grad ср = V'f, A6.6;, показывает, что скорость является потенциальным вектором и, зна- значит, всякое безвихревое поле будет потенциальным; очевидно, спра- справедливо и обратное заключение. ') По аналогии с определением потенциала сил многие авторы называют потенциалом скорости функцию — <f>; см., например, Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, 1947. 2) В анализе показывается, что при непрерывности и однозначности grad tp во всех точках односаязного пространства потенциал <р будет однозначен в этом пространстве.
§ 17) СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ В ОДНОСВЯЗНО\\ ОВЪГМЕ 33 Легко видеть, что при существовании потенциала скорости уско- ускорение также будет являться потенциальным вектором. В самом деле, формулы (8.4) тогда принимают вид: дх ~~дх2 ~т~ Ту ~ду~дх "t" Tz дГдх"+~ ЪГдх д ( 1 Г(д9\> 7~Щ>дУ2Чгдг dFdy ">" Wdy д ? _ Ec? d2y |_ dtp d2tp dtp d2tp d2cp ___d_i 1 у -~ dz \ 2 LVdxj "i~ \dy откуда видно, что (iJ) A6.7) § 17. Свойства безвихревого движения в односвязном объеме. При существовании потенциала скорости уравнение неразрывности принимает вид 1^4-^+^4-^-0 A71) и в случае несжимаемой жидкости уравнение неразрывности пре- превращается в уравнение Лапласа: Й + ^-+т! = 0. A7.2) дх2 о у2 dz1 и, следовательно, потенциал <р (считаемый однозначным) будет гар- гармонической функцией точки. Отметим ряд свойств безвихревого движения, отсюда проистекаю- проистекающих: 1. Л ля любой замкнутой поверхности будет иметь место соотношение где d-ijdti означает так называемую производную по нормали к поверх- поверхности: dn~(^x cos (п' •*) + <ty cos (rt> y) + 5J cos ^z^>= прччем для большей определенности дальнейших выводов условимся проводить нормаль п внутрь поверхности 5. 3 Зак. 1190
34 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ I Формула A7.3) представляет собой специализацию для случая безвихревого движения формулы A2.1), справедливой для всякого движения (безвихревого или вихревого) несжимаемой жидкости. 2. Ни в одной точке внутри жидкости потенциал скоро- скорости <р не может иметь максимума или минимума. В самом деле, предположив, что <р в некоторой точке имеет максимум, и окружив эту точку достаточно малой замкнутой поверхностью 5 так, чтобы поверхность была целиком внутри жидкости, мы будем иметь для каждой точки поверхности д<?/дп > 0 и значит тогда -^dS будет > О, что противоречит A7.3). 3. Ни в одной точке внутри жидкости величина скорости v не может иметь максимума. Предположим, что в некоторой точке А скорость имеет максимум vA; выберем оси координат так, чтобы ось х имела направление скорости в рассматриваемой точке; тогда для эюй точки будет Рассмотрим поведение функции да/дх по соседству с точкой А; дифференцируя по х уравнение Лапласа, мы непосредственно убе- убеждаемся, что функция ду/дх будет также ему удовлетворять: дх* ~> ду2 "^ дг? ~~и' т. е. будет гармонической, а кмда в силу предыдущею спойства ду\дх не сможет |;мегь максимума или минимума в точке Л; следовательно* по соседству с А найдутся такие ючки, в которых будет Ш > \дх)А ~ V^ и в которых тогда и подавно будет что противоречит нашему предположению. Это рассуждение не позволяет сделать никаких заключений о возможности для скорости достигать минимума; впоследствии мы увидим, что в безвихревом движении могут существовать точки, в которых скорость имеет минимум, например, v = 0. 4. Среднее значение потенциала скорости на любой сфериче- сферической поверхности, которой ограничивается объем, целиком лежащий с жидкости, равно значению потенциала для центра сферы. В самом
§ 171 СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ В ОДНОСВЯЗНОМ ОВЪРМЕ 35 деле, обозначая радиус сферы через г, а телесный угол (с вершиной в центре сферы), опирающийся на элемент поверхности dS, через dm, имеем: применяя формулу A7.3) и сокращая на г2, остающееся постоянным при интегрировании на поверхности сферы, получаем: f^-dw — О, или 4- ( * dw = О, ./ or or J • s s откуда заключаем, что интеграл I ср dw = const. не зависит от радиуса сферы Уменьшая г до нуля и стягивая сферу в точку А — ее центр, будем иметь: <р dw — 4торд, s или 5. Если потенциал скорости у сохраняет постоянное значение на границах односвязного объема, то он остается постоянным во всех точках внутри объема в силу известного соотношения ЯЛ(Й)'+($'+(?)¦] В этом случае скорость во всех точках жидкости равна нулю. 6. В односвязном объеме жидкости, ограниченном со всех сто- сторон твердыми стенками, не может существовать безвихревое движе- движение. В самом деле, в § 12 было показано, что внутри такого объема линии тока не могут начинаться или обрываться; при наличии же твердых стенок, на которых нормальная слагающая скорости vn = О, линии тока не могут вытекать из границ или втекать в них, следо- следовательно, линии тока могут быть только замкнутыми; выше же при формуле A6 5) было отмечено, что при существовании потенциала скорости внутри односвязного обьема замкнутые линии тока не могут иметь места; значит, жидкость либо остается в покое, либо приходит 3*
С6 KHHLMATHKA ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I в вихревое движение. Отсюда мы можем еще сделать вывод, что если в односвязном объеме жидкости, частично заключенном в твер- твердые стенки и частично ограниченном свободной поверхностью, возникает безвихревое движение, то последнее сопровождается не- непременно изменением формы свободной поверхности, т. е. образо- образованием волн. 7. Если односвязный объем жидкости ограничен со всех сторон неподвижной поверхностью, на одних частях которой потенциал ско- скорости <р сохраняет одно и то же постоянное значение, на прочих же частях равна нулю нормальная составляющая скорости d^jdn, то внутри объема не может существовать безвихревое движение. В самом деле, мы видели, что внутри жидкости линии тока не могут ни начинаться, ни заканчиваться и не может быть замкнутых линий тока, следова- следовательно, линии гока могли бы лишь выходить и входить в тех частях границы, где потенциал о сохраняет постоянное значение, ибо в про- прочих частях границы dy/dn = 0, г. е. линии тока проходят, касаясь стенок; но тогда, идя вдоль такой линии тока, мы не получили бы на ее концах одинакового значения потенциала <р, так как вдоль линии тока потенциал изменяется монотонно. Из свойств E), F) и G) вытекает важное следствие о един- единственности безвихревого движения внутри односвязного объема, если на границах обьема заданы: а) либо паяния потенциала ®, б) либо значения нормальной составляющей скорости df/dn, в) либо значения ср на одних частях границы и значения d'^jdn на прочих В самом деле, если предположить существование двух различных вну- внутри жидкости потенциалов о», и о2, то их разность ср3 — ср2, удовле- удовлетворяя уравнению Лапласа и условиям свойств либо E), либо F), либо G), была бы постоянной внутри жидкости, т. е движение с потенциатом С] было бы тождественно с движением, обладающим потенциалом ср2. Заметим без доказательства, что наши выводы касались внутрен- внутреннего односвязного объема, ограниченною замкнутой позерхностью, но все рассмотренные свойства распространяются и на случай жидко- жидкости, заполняющей внешний, простирающийся в бесконечность одно- связный объем и лежащий снаружи одной или нескольких замкну- замкнутых поверхностей, которые можно, таким образом, рассматривать как внутренние границы объема; при этом лишь приходится исключать из рассмотрения самую бесконечно далекую точку, окружив вну- внутренние границы достаточно от них удаленною замкнутою поверхно- поверхностью и причисляя последнюю к внешней границе упомянутого объема. § 18. Безвихревое движение в многосвязном объеме. Все предыдущие свойства были установлены для односвязного объема жидкости. Напомним, что объем называется связным, если две любые его точки могут быть соединены непрерывной линией, нигде не вы-
18) БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ В МНОГОСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 37 ходящей из границ объема; далее, связный объем называется одно- связным, если любая замкнутая линия, в нем заключающаяся, может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя из границ объема; таков, например, объем, заключенный внутри сферы, или объем между двумя концентрическими сферами, или, например, бес- бесконечный объем снаружи одной или нескольких отдельных сфер (т. е. таких, что ни одна сфера не заключает в себе прочих). Назовем диафрагмой поверхность, целиком заключающуюся в объеме и опи- опирающуюся на замкнутую линию, ко- которая лежит на границах объема. Рис 13. Рис. 14 / / с—^е 1 i I 1 1 1 1 1 .J /V \а г 1 i i ъ/ / 7 V с Очевидно, что в односвязном объеме нельзя провести ни одной диа- диафрагмы без нарушения связности объема. Если в объеме можно про- провести максимум п диафрагм без нарушения связности, то такой объем называется и-)- 1-связным. Например, объем внутри кольца (тор) является двусвязным, так как можно провести только одну диафрагму ab (рис. 13) без нарушения связности; объем, внешний по отношению к коль- кольцу, также является двусвяз- иым, так как только одна диа- диафрагма вида оф (рис. 14) не нарушает связности. Доска Рис. 15. с двумя пробитыми в ней от- отверстиями (рис. 15) представляет пример трехсвязного объема (как внутреннего, так и внешнего); так, для внутреннего объема можно провести только две диафрагмы, например вида abed и efgh, без парзшения связности объема. Обращаясь к рассмотрению безвихревого движения жидкости в многосвязном пространстве порядка связности «-J-1, разберем во- вопрос о вычислении циркуляции скорости т v • dr по некоторому замкнутому контуру L, лежащему целиком в жидкости. Легко видеть,
38 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I что ф v • dr = 0, если контур L может быть стянут в точку непре- L рывным образом, не пересекая границ жидкости, действительно, при таком контуре можно превратить рассматриваемый объем в односвяз- ный, проведя нужное число диафрагм так, чтобы последние не пере- пересекали контура L, что, очевидно, возможно в силу предположения о характере контура, тогда контур L оч}тится цетиком в односвяз- пом объеме, для которого было показано равенство нулю циркуля- циркуляции скорости. Если же контор L не может быть сгянут в точку то рассекая его надлежащим образом допсмнительными линиями, мы всегда можем разбить его а) на известное число таких нестягивае- мых в точку контуров, чтобы каждый из них пересекал по репу только одну диафрагму, и б) на известное число стягиваемых в точку контуров Замечая, что циркуляция по объемлющему контуру равна сумме циркуляции по объемлемым контурам, мы таким образом при- приходим к формуле: + ... +раКа, A8 1) где pv р2 рп — некоторые целые положительные или отрица- отрицательные, или равные нулю числа, а /С,, К2 Кп — цирк} тяции по простым контурам типа (а); эти последние величины носят назва- название циклических постоянных Из формулы A8 1) непосредственно вытекает, что потенциал iho- рости (р в многосвязном пространстве б)дет многозначной функцией точки, и различные значения ® в данной точке будут между собой отличаться на целое число циклических постоянных Из рассмотрен- рассмотренных нами выше семи свойств потенциата ф первые пять остаются в силе при всяких величинах циклических постоянных последние же два свойства и следствие о единственности определения погььциааа по пограничным значениям ® и d^jdn б^дут справедливы, ее та все циклические постоянные обращаются в нуль § 19. Вихревое поле и его свойства. Состояние движения жидко- жидкости называется вихревым, если существуют области, в точках кото- которых вихрь скорости отличен от н^ля, введем в дальнейшем для краткости обозначение rotf = Q, так что Считая, что точки, в которых вектор Q отличен от нуля, сплош- сплошным образом заполняют некоторый объем мы получаем таким обра- образом возможность рассмотреть новое векторное noie—поле вихреь скорости, подобно тому как в § 9 было рассмотрено поле скоростей
ВИХРЕВОЕ ПОЛЕ И ЕГО СВОЙСТВА 39 Зю поле вихрей является соленоидальным полем, т. е. в каждой точке поля расхождение вихря равно нулю: divU = 0, A9.2) Й- = 0. A9.3) ПЛИ дх ~Ъу~ в чем убеждаемся непосредственным вычислением. Hi A9.2) на основании теоремы Гаусса вытекает, что поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: >.ndS = 0. A9.4) Проведем в поле вихрей векторные линии, в каждой точке ко- которых касательная совпадает с направлением вектора вихря; эти ли- линии носят название вихревых линий. Через каждую точку поля будет, вообще говоря, проходить одна впчревдя линия, дифференциальное уравнение которой будет dx dx A9.5) Взчв в вихревом поле малый замкнутый контур и проведя через каждую точку последнего вихревую линию, мы получим трубча- трубчатую поверхность, которая именуется вихревой трубкой (рис. 16); применяя формулу A9.4) к замкнутой поверхности, образованной самой вихревой трубкой и двумя любыми нормальными ее сечениями с площадями с, и с,, мы по- получаем (с точностью до малых величин высших порядков) со- соотношение QjOj = L'2<j2, A9.6) так как для элементарной пло- площадки Oj будет Оя = 2j, для Рис. 16. площадки о2 будет i>n = — 22 и для поверхности самой трубки Qn — 0. Произведение Qa из вели- величины вихря на площадь нормального сечения носит название интен- интенсивности вихревой трубки, или, проще, интенсивности вихря, и соотношение A9.6) показывает, что интенсивность вихря остается постоянной вдоль вихревой трубки. Разобьем все поле вихрей на вихревые трубки определенной интенсивности, например единичные; тогда мы вправе заключить, что внутри жидкости вихревые трубки не могут начинаться или прерываться, ибо формула A9.4) выражает,
40 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ что число входящих в любую замкнутую поверхность трубок равно числу выходящих из поверхности трубок Вихревые трубки могут или начинаться и заканчиваться у границы жидкости, или же замыкаться сами на себя, образуя кольцеобразную поверхность (рис. 17). Интенсивность вихревой трубки весьма просто связана с циркуляцией скорости Г по любому замк- замкнутому контуру, который лежит на поверхности трубки и охватывает ее. В самом деле, взяв лля простоты плоское сечение трубки, хотя бы и не нор- уальное, и применяя теорему Стокса, получаем: г = -f- v vdy + vz dz ¦¦ Рис. 17. где о' есть площадь сечения а, и а — площадь нормального сечения [J (рис. 16). § 20. Упражнения. 1. Жидкость вращается вокруг оси Ог как твердое тело с угловой скоростью ш. Определить поле вихрей скорости. Ответ: Вихревые линии представляют собой прямые, параллельные оси Ог; величина вихря во всех точках одинакова, t- = 2ш. 2. Определить поле вихрей скорости при сдвиге принимая координат- координатную плоскость Охг за плоскость сдвига и считая, что скорости точек жидкости параллельны оси Ох, так что vx = су, vy = 0, v г = 0 Ответ: Все вихревые линии суть прямые, параллельные оси Ог; вели- величина вихря во всех точках одинакова а = с 3. Скорости частиц жидкости пропорциональны расстояниям частиц от оси Ох и параллельны последней, так что vx = cYyi+ z\ vv = 0, vz = 0. Определить поле вихрей. Ответ: Вихревые линии суть окружности у2 -{- г* = const., х = const.; величина вихря везде одинакова: Q = с. 4. Частицы жидкости вращаются вокруг оси Ог со скоростями, обратно пропорциональными расстояниям частиц от этой оси, так что Ух2 4- у2 с Ух2 + у2 cos (ь. х) = — - cos (п. у) = —г- = 0. Определить поле вихрей. Ответ: Движение безвихревое во всех точках, кроме точек, лежащих jmoh оси Ог, в которых vx и иу обращаются в бесконечноаь окр\ ,ь,1в
§ 201 УПРАЖНЕНИЯ 41 ось Oz бесконечно тонким и бесконечно длинным цилиндром и причисляя последний к границе жидкости, мы получим двусвязное пространство снаружи циличдпа, в точках которого потенциал скорости sp = с arctg (xjy) будет мно- гозчачен; циркуляция скорости Г при однократном обходе вокруг цилиндра по любому контуру будет конечной величиной Г = 2тсс, вследствие чего такого рода движение можно назвать изолированной вихревой нитью или изолированным вихрем с интенсивностью 2лс. 5. Выразить градиент скалярной функции grad cp в криволинейных орто- roiaibHbix координатах qu q2, q3. Решение. По основному свойству градиента (grad <?)s = -Л., rie s — произвольное направление, a ds — элементарное перемещение по зк му направлению Беря за 5 по очереди каждое из направлений осей кр чол шейных координат, имеем для элементарных перемещений вдоль по- c.tl. i.'inx известные из кинематики выражения: = /7, dqb ds2 — Нг dq2, ds3 = Иъ dq3, Ни Н2, Н3 суть параметры Лаиэ (см. стр. 29). Таким образом получаем- где Ни Н2, Н3 суть парамет Таким образом получаем ^,^^ ? =J--^; (grad ^ = ^A. Если через /,, i2, i$ обозначить орты, взятые по осям криволинейных координат qlt q2, q3, то выражение градиента в криволинейных координатах будет ^A/1+-^-^^+^-gri. B0.1) В частности, для цилиндрических координат г, 6, г будет и градиент выразится "-?'¦+ 7 &'¦ + ?'* Для сферических координат г, 0, ф имеем' Ht = 1, Нг = г, H3 = r sin 9, и выражение градиента будет v9 =,!*/,+-^/, + —Цг#/з. B0.3) 6. Найти выражения для вихря и расхождения некоторого вектора а в криволинейных ортогональных координатах qu q2, q3. Решение. Положив в предыдущей формуле для градиента (задача 5) 9 = <7i> имеем:
42 КИНЕМАТИКА ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ I Взяв операцию вихря от обеих частей этого равенства и замечая, что rot grad qx = О, и что имеем: откуда grad grad Я,, — Я, 0 = -^-rot/1---2-gradЯ1X/I, Я, rot/, = -rr-gradtf B0.4) Вычисляя векторное произведение, имеем: rot tt^-щ- {(grad Я,)^ - (grad Я,)?>/ но в силу формулы B0.1) предыдущей задачи и, значит, аналогично rot /2 = •^-^- rot /3 = T" '2 — dq, H3H0 B0.5) Найденные выражения B0.5) для вихрей единичных векторов, отложен- отложенных по осям криволинейных векторов, дают возможность вычислить рас- расхождения тех же векторов. В самом деле, в силу соотношения /i=/2X^3 и известной формулы, имеем: dlv /, = dlv (/2 X *з) = 'з • rot /j — /2 • rot i3 и в силу соотношений ортогональности /, • /2 = 0; /2 • i3 = 0; i3-il=0 пол\ чаем: и аналогично: dqt div /, = 1 ая3 --г- Я3Я2 div i3 = ¦ 1 dq3 ^ H2H3 dq3 " ; B0.0;
§ 20j УПРАЖНЕНИЯ 43 Нетрудно теперь перейти к выражению расхождения и вихря любого вектора а, разложив последний по ортам основываясь на известных формулах векторного анализа. Таким образом получаем div а — cii div /, -f- «2 div 1г -f- a3 div i3 -f- /, • grad a, -\- t2 ¦ grad a2 + »з • grad a3 = a, d/^2 a, d//3 a2 d//3 , a2 dfit a3 dHl //2//з dq3 H\ dq\ //2 ^^2 ^з ^^з 1 rfl(»|ff,tf,) д(а,Н3Н,) д(а3НхН,I /У,Я2Я3 L d^r, ' d^2 й^з J' Полагая в последней формуле а = grad 9, получаем выражение для опе- оператора Лапласа в криволинейных координатах' Наконец, применяя формулы B0.5), находим для вихря вектора а выра- выражение д (w^2) 1 , , 1 rd(//,a,) д (НзН) л
ГЛАВА ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Силы массовые и поверхностные. Выделим в жидкости некоторый объем т, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 18). Силы, приложенные к выделенному объему жидкости, можно разбить на два класса. К одному классу мы отне- отнесем силы, действующие на каждый эле- элемент объема dt независимо от того, суще- существуют или нет рядом с объемом dx другие части жидкости. Эти силы мы на- назовем массовыми; иногда не вполне пра- правильно они называются объемными силами. Если назвать через F вектор массовой силы, отнесенный к единице массы, то к элементу объема dx жидкости, плотность которой р, будет приложена массовая сила Fpdx; главный вектор массовых сил, приложенных ко всему объему -с, выразится векторным интегралом ,dx, распространенным по объему х, а проекции главного вектора на оси декартовых координат Ox, Oy, Oz будут соответственно: ¦У Рис. 18. JXpdz, fZpdx, где X, Y, Z суть проекции вектора F. Главный момент массовых сил, приложенных к объему t, отно- относительно начала координат выразится векторным интегралом {г X F) р
,j 2] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 45 где г — радиус-вектор частицы d\\ проекциями главного момента на координатные оси будут соответственно служить интегралы: f (yZ-zY)pdt, j (zX — xZ) pdx, J (xY — yX)pdi. 1 T T Примером массовой силы является сила тяжести, сила инерции и др. К другому классу сил, действующих на рассматриваемый объем т, мы отнесем силы взаимодействия между различными частицами жидко- жидкости. В силу принципа равенства действия и противодействия про- произойдет уравновешивание сил взаимодействия между всеми внутрен- внутренними частицами объема т, лежащими внутри поверхности S, и, значит, могут остаться неуравновешенными только силы взаимодействия, исходящие от частиц, лежащих снаружи поверхности S, и приложен- приложенные к поверхностным частицам объема т; такие силы мы назовем поверхностными. Если через рп обозначить вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади, то на элементарной площадке dS поверхности 5 будет приложена к объему т исходящая от внешних частиц сила pndS; значок п указывает на то, что мы считаем век- вектор рп зависящим от ориентировки площадки dS, т. е. от направления внешней нормали (рис. 18); кроме того, вектор рп может зависеть от координат площадки dS, а также от времени. Если через — п обо- обозначить противоположное направление нормали внутрь поверхности 5, то это направление окажется внешней нормалью для той же пло- площадки dS по отношению к наружным частицам жидкости; согласно нашему обозначению, поверхностная сила, действующая на элемент площади dS наружного слоя частиц и исходящая от частиц, лежа- лежащих внутри поверхности 5, будет p_ndS; вследствие принципа равенства действия и противодействия имеет место соотношение Направление вектора поверхностной силы рп может вообще соста- составлять некоторый угол с внешней нормалью п; проекция/^ на внеш- внешнюю нормаль называется нормальным растяжением или нормаль- нормальным давлением, смотря по тому, будет ли рп составлять острый или тупой угол с внешней нормалью, проекция же рп на площадку dS носит название косого напряжения или, иначе, силы трения. Главный вектор и главный момент поверхностных сил, приложен- приложенных к объему т, выразятся интегралами I р„ dS и I (г X Рп) dS, J J s s распространенными по всей замкнутой поверхности S. § 2. Общее уравнение движения. Применим начало Даламбера, гласящее, что в каждый момент движения любой материальной
46 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ U системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются; тогда B.1) где w есть ускорение элемента dv, при этом— Г wpdx выражает т главный вектор сил инерции. § 3. Гидродинамическое давление в идеальной жидкости. В идеальной жидкости не проявляются силы трения, и малейшее нор- нормальное растяжение влечет разрыв сплошности жидкости; следова- следовательно, поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности dS объема х идеальной жидкости, представляют собою нормальные давления, направленные внутрь объема; иначе говоря, вектор ра направлен по внутренней нормали к элементу dS. Покажем, что для идеальной жидкости величина рп этого вектора не зависит от ориен- ориентировки площадки dS. Для этого рассмотрим в жидкости элемен- 0 тарный объем тетраэдра К ABC (рис. 19), три грани которого КВС, К АС и КАВ параллельны коорди- Рис. 19. натным плоскостям, так что внеш- внешние нормали к этим граням на- яравлены соответственно противоположно осям Ох, Оу и Oz\ обозначим далее через а, р, •; косинусы углов, образованных с осями координат внешней нормалью Dn к четвертой наклонной 1рани ABC; пусть, наконец, площадь грани ABC есть dS, тогда площади граней КВС, КАС, КАВ, являясь проекциями dS, будут соответственно Применяя уравнение B.1) к объему dx тетраэдра, имеем: (/=¦— w)Pdx + p_xadS + p_y$dS + p_2tdS + pndS = Q. C.1) В силу свойства A.1), можно произвести замену обозначая затем через h высоту KD тетраэдра, получим:
§ 4] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 47 и таким образом уравнение C.1) по сокращении на dS примет вид 3" (F — w) р/г — арх — рру — Трг -\-рп = О, откуда, переходя к пределу, при h—>Q, мы приходим к основному свойству поверхностных сил: показывающему, что вектор /J, при произвольной ориентировке внешней нормали п может быть определен, коль скоро заданы три основных вектора рх, ру, pz, выражающих поверхностные силы для площадок, внешние нормали которых параллельны и одинаково направлены с осями Ox, Oy, Oz. Свойство, выражаемое формулой C.2), показывает, что совокупность векторов рп, получаемая при всевоз- всевозможных ориентировках площадок, образует тензор; он называется тензором упругих напряжений. Применим теперь формулу C.2), справедливую для любой жидко- жидкости, к случаю идеальной жидкости. В этом случае векторы рп, рх, Ру Рг будут направлены противоположно внешним нормалям Dn, Ox, Oy, Oz и, проектируя C.2) последовательно на Ox, Oy, Oz, получим: откуда Рп = Рх = Ру = Рг< C-3) т. е. величина нормального давления для идеальной жидкости не зависит от ориентировки площадки, к которой оно приложено. Вследствие этого можно отбросить значок в обозначении, не указывая ориентировки площадки и помня, что гидродинамическое давление направлено по внутренней нормали к площадке. § 4. Общие уравнения движения идеальной жидкости. Урав- Уравнение B.1) для случая идеальной жидкости принимает вид: f(F—w)pdi-\-fpdS=O, D.1) причем вектор гидродинамического давления р направлен по внут- внутренней нормали к поверхности 5. Вводя в рассмотрение орт п внешней нормали, имеем: />= — рп, и предыдущее уравнение принимает вид: f (F-w)bdi — f pndS — 0. D.2)
48 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Применяя к последнему интегралу преобразование Гаусса, по- получаем: Г {(F— w) p — grad р] dr ~ 0. Г В силу произвольности рассматриваемого объема -с подынтеграль- подынтегральное выражение должно быть равно нулю в каждой точке жидкости и в любой момент движения. Таким образом, приходим к основному уравнению движения идеальной жидкости: — w grati p — о, или в проекциях: X х р дх Z —' 1 др р дг = 0. D.3) D.4) § 5. Уравнения движения в форме Эйлера, а) Декартовы координаты. Выражая проекции ускорения в переменных Эйлера по кинематическим формулам (8.4) главы I: f dv, дх dvv дг dVy ~~дг dvz IF и разрешая уравнения D 4) относительно wx y так называемые гидродинамические уравнения Эйлера: wy, wz% мы получаем dvt , dt dvy dt dvz dvx dvy >~ dx 1 d"z dy dv, дг dvz 1 dp p dx 1 dp J~dy~ 1 dp E.1) 6} Цилиндрические координаты. Проекции скорости точки М на оси цилиндрических координат (г), (ср), (z) будут vr = г. v== гср, vz = z, как показывается в кинематике точки. Отложив по осям цилиндри- цилиндрических координат три единичных вектора /,, /2, i3, мы можем вектор скорости точки М (рис. 20) представить в форме v = rix -f rcp/2 -f- ziz
§5) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРЧЕ ЭЙЛЕРА и, дифференцируя по времени, получаем для ускорения: 4У w ¦ U(r^h + zh dt di± IT но dl. dt ~ ¦ 2' dt — ^l- dt и тогда после простых выкладок получим: •¦ -,ч . , 1 d(r^) .... /. vl откуда заключаем, что ¦ = 0'). \ d d(rv9) Далее, так как по основному свойству градиента мы имеем где s — любое направление, и так как эле- элементы дуг координатных линий для цилиндри- цилиндрических координат будут соответственно дг, г <?ср и дг, то (grad p)r = ^r, Рис. 20. Проектируя теперь на оси цилиндрических координат уравнение движения = F grad p, получаем: »; 1 б/. d(ry9) i ^ . l ^ ' r ' p or dt f p o<f z г р дг ') При выводе этих соотношений можно использовать известные фор- формулы, дающие di.jdqk (см., например, Кочин Н. Е., Векторное исчисление di{ i_^±, Li^L/ dq\~~ #2 oq% 2 H3 dq3 3' гл. II, § 18): dH2 dqi *z> dq3 ~~ Я, ''2'' d?3 ~" Я, d?1 /si и аналогичные формулы для производных от 1г и i3. 4 Зак. 1190
50 ОСНОВНЫЕ !¦ РАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Заменим в этих уравнениях полные производные по формулам vr dvr I dvr dvr dvr дг г д<? » ' дг и аналогично для di И V,, приходим к дифференциальным уравнениям типа Эйлера: дг "'^ r d--f "? г дг 1 dvq, 1 dv. dt p dr ' dv® dp dr дг EL дг ' 1.5.2) в) Сферические координаты. Проекции скорости точки М на оси сферических координат (г), (б), (ф) будут: (г) v^ — r sin бф. Отложив по осям сферических координат три единичных вектора iv i%, i^> мы можем вектор скорости в точке М (рис. 21) пред- представить в форме Рис- 21. „ = rix 4- /-6t3 + г sin бфг3. Таким образом, для ускорения w получаем: С другой стороны, Поэтому «> = (/•" — /"б2 — r sin2 8ф2) n бф; -§¦ = - be + 'з cos Оф; — (sin 6tj + cos 0t2) ф. + {^- + r 8 — r sin 0 cos 6ф2) /2 + - (r sin Оф) -f- sin 6r ф -f /• cos Об ф j
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 51 Отсюда wr = - ¦ , 1 , „ ,1 —t <JJ _J <7J <JJ 1 i 1 г ' / Проектируя уравнение движения на оси сферических координат, мы получим: ~ii 2 "л 7" == r p~ 7' "TiT "• r ==' rft/ф иф 1 dp ———1 — (v -4- ct? 8o.1 = r", ;—^r- , dt ^ r ^'I'-'b""!' 4 prsmd <?ф Заменяя -^ по формуле 04-45 dvr 1 r sm 0 1 77 и аналогичным образом -jt в сферических координатах: dv. dv. dt V r дг WO vwr i ф ~7" db 4" r sln о ¦ ¦+ 7 sin 6 ^ dfl r sia В •, получим уравнения типа Эйлера '. = F ctg о др_ дг 4- Ф SID В E.3) г) Общие криволинейные координаты. Для вывода применим рассуждения, аналогичные тем, какие применялись в динамике системы для вывода уравнений Лагранжа. Считая, что выбрана определенная система криволинейных коор- координат qv q2, 9з> т> е< чт0 выбраны определенные зависимости: з< 0; у = з- О.
52 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОМ ЖИДКОСТИ [ГЛ II мы имеем для всякой функции f(x. у, г, 0 от декартовых коорди- координат следующие соотношения: J)L==lLJ^L^IL!y_\.KJ^- (/=1,2,3), dqt dx dqt "' ду dqt ' дг dqt К — JL^Ll+JL^-l-JL^L3 + %• E4) dt dqt dt i~ dq2 dt ~r dq3 dt ot В частности, будет: l ^^ E JA i (/=1,2,3), dx dqt ' ay dqt ~^~ дг dx dx dq, , dx dq = ALqi+J^-q2 + J>^q3 + ~ E 5) и аналогично для vy и vz. Соотношение E.5) показывает, чго если vx рассматривать как функцию от qv q2, q^, qv q2, qa, t, то б)Дет- —?- — —— (/= 1. 2, 6)- yJ u/ Кроме юго, дифференцируя E 5) no qv имеем. dvt_ б2х ¦ д2л ¦ __^—- q3 -J- _^— . р 7) С другой стороны, применяя E.4) к функции -^ • имеем: d i dx сравнивая с предыдущим равенством, пол)чаем. Установив соотношения E 6) и E.8), берем jравнения Эйлера: dvx I dp dvv 1 E/) Л'2_7 —-1-^- ^^ ^ ; "T~ й dt p dx ' fi^ и после умножения на ду дг и слОжения нахоаим: дх dvx i dy dVy dz dvz ~~dq~i~dT~r ~dq^~dT* ~dq~t ~dt t ' dqt i-^- (i=l, 2, 3). E.9) d
^ 6] ВЕКТОРНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Сделав преобразование dq. dt — dt \ dqt x) x dt 11 применив E.6) и E.8), получаем: /1 2 \2V d/j dt dt \ dqt j dq dt dq. dq( ii аналогично для двух других слагаемых в E.9). Вводя обозначения для живой силы единицы массы жидкости и /~\ у У-*- у _У_ 1 у "^ // 1^4"! для обобщенной массовой силы, мы приходим к искомым уравнениям движения в криволинейных координатах l/^\_iL=Q IJ?. (/=1,2, 3). E.10) dt \ dq J dqt p dq. Если массовые силы имеют потенциал V, то, очевидно, будет и уравнения движения npiiMyi вид llP (l=l,2.3). E.11) (l (ll,2.3 dt \dqt I dq. dqt p dq. Уравнения вида E.10) или E.11) справедливы для любых криво- криволинейных координат (не только ортогональных). Проекции скорости на оси криволинейных координат будут выра- выражаться формулами vx = Hxqv v2 = H2q2, v3 -= Я3?3, где Я], Н2, Я3 суть коэффициенты Ламэ (см. стр. 29). В случае ортогональности криволинейных координат живая сила будет иметь вщ 1 § 6. Векторные формы уравнений движения. Написав уравне- уравнение D.3) в виде W = F— — grad/?, или —^=F grad p F.1)
54 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II и выражая полную производную dvjdt по формуле векторного анализа dv dv . , _ч приходим к векторной форме уравнений движения: dv , , _. г, 1 или в других обозначениях: . F.2) F.3) Проекциями уравнения F.2) и служат гидродинамические уравне- уравнения Эйлера. Применяя известное из векторного анализа преобразо- преобразование ¦к grad <о2 = (v • V) <о -f- <o X rot v. мы приходим к другой форме того же векторного уравнения -f grad (j vA — vX rot v = F— - grad p, или в других обозначениях: F.4) F.5) § 7. Уравнения движения в форме Ламба. Проектируя уравне- уравнение F.5) на оси Ox, Oy, Oz и вводя для краткости обозначение rotT = ii. мы приходим к системе уравнений, носящих название гидродинамических уравнений Ламба: -^4-v(^^_ „X rot v=F— ~ Vp. dvx др G.1) где v'2 = v\ -(- v2 -f dv* dvM dv. dvz z~ дх dv, Уравнения Ламба, по существу, не отличаются от уравнений Эйлера, представляя простое преобразование последних. Независи- Независимыми переменными в уравнениях Эйлера и Ламба служат одни и
§7] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАЧБ\ 55 те же величины t, x, у, z, функциями которых являются vx, vy, vz, р, о, X, У, Z. Запишем еще уравнения Ламба в криволинейных координатах. На основании F.4) получим, очевидно: dv2 Я, ~54l 2 _1_ д v2 q _ p dP 1 777 При этом 2 — | ¦ — — 1 • 2n = ~yj ( о . 1 Для цилиндрических координат (г, ср, z) Я, = 1, Я2 = г, Я3 = 1, и мы будем иметь: dt дг 2 dv9 \ д у2 dt ' r d'f 2 ~dT"i 7 " причем f2 — г>2Н- у2 + г>2, 1 du, I dp tj 2 =F — IF • dvr du, 2 г \ or d'f В сферических координатах (г, 0, ф) будет [Г < [Г Г_7 так что уравнения примут вид \ д v2 ~W dO ' 1 г sin О d/» pr sm 0 G.2) G.3)
56 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. П где 1 М . . „ . duel r. ' dvr дг^ п" 7Г (Sin BV.,J гт^ , Иц = тг- r sin о |_ оО ч Ч" ЛЬ J ' г sin О О — 2. ( drvt dvr\ Ф г \ с?г йв j" Приведем еще уравнения относительного движения жидкости, а также уравнения абсолютного движения жидкости, отнесенные к подвижной системе координат. Наряду с неподвижной системой координат Oxyz введем в рас- рассмотрение подвижную систему координат O'x'y'z'; движение последней характеризуется вектором скорости т0 начала подвижной системы координат и вектором w угловой скорости вращения этой системы. Будем считать, что в рассматриваемый момент времени обе системы координат совпадают друг с другом, и обозначим через г радиус-век- радиус-вектор частицы жидкости. Обозначим через ют вектор относительной ско- скорости частицы жидкости, т. е. ее скорости по отношению к подвиж- подвижной системе координат; через вектор переносной скорости и через G.4) вектор абсолютной скорости частицы жидкости. Обозначая через wr < тнэсительное ускорение, через переносное и через wa абсолютное ускорение частицы жидкости, будем иметь равенство чюа = wr + we + wc, G.5) где wc = 2 (to X vr) G.6) есть ускорение Кориолиса. В основное уравнение движения F.1) входит абсолютное уско- ускорение, поэтому, вследствие G.5), уравнение Эйлера для относитель- относительного движения жидкости примет вид wr — F— — grad p — <we — 2 (w X "Or)' G-7)
§8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА 57 Вследствие преобразований предыдущего параграфа, мы можем написать «V = -^Г + &fad 2" Vr — (Vr X fOt Vr), где штрих у производной по t означает, что дифференцирование совершается в подвижной системе координат. Поэтому уравнения относительного движения G.7) записываются так: ~ -f grad jV2r—v,X rotv, + 2 (w X «/¦) = Z7 grad p— та>е. G.8) В некоторых случаях удобно, пользуясь подвижной системой координат, рассматривать абсолютное движение жидкости. Заметим прежде всего, что если мы имеем абсолютный покой жидкости, так что va = 0, то тг— — i'e и поэтому предыдущая формула, в кото- которой надо, конечно, положить F=0, р = const., приводит к соотно- соотношению —т~ grad тт ve ¦+ ve X rot ve -\- 2 (ft) X ".) = w,; G.9) это тождество может быть, впрочем, установлено и непосредственно. Сложим теперь равенства G.8) и G.9); воспользовавшись G.4), получим: ~^ -+¦ grad ^ (т? — TJ) — ч?г X rot ч?, -f -Ь ^ X rot ve-\- 2to X ^n = Z7— — grad /?. Заметим теперь, что е \ а е) \ а е) *> а а е' rot ve = rot (ft) X г) = 2(o; те X rot ve = 2те X w, тг X rot vr = v, X rot г>а — тг X rot те — [va — ve) X rot va — 2fr X w. вследствие этих равенств предыдущее соотношение принимает вид: —тг -\- grad ( — va • ve) —(va — ve) X r°t va = F — — grad p. G.10) Это и есть уравнение абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат. § 8. Уравнения движения в форме Лагранжа. Чтобы получить уравнения движения, исходя из точки зрения Ла1ранжа, мы должны за независимые переменные принять время t и параметры а, Ь, с,
58 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II определяющие начальное положение частиц жидкости в момент t = 0; все прочие величины, фигурирующие в уравнениях движения, должны считаться функциями аргументов t, a, b, с. Обращаясь к общим уравнениям движения F.1), заменим в них wx, wy, wz по кинемати- кинематическим формулам F.4) главы I, тогда найдем: X- дгх 1 dp dt2 ду (8.1) dt2 ~ p дг ' Остается в последних уравнениях выразить др/дх, др/ду, dpjdz через др/да, др/db, др/дс. Умножив уравнения (8.1) соответственно на дх/да, ду/да, dzjda и сложив, получим в правой части: dp dz \ 1 др 1 ! др дх др ду . др дг\ _1 р \ дх да ~*~ Оу да ' dz да ) р да Аналогично после умножения (8.1) на дх/db, dyjdb, dzjdb и сло- сложения найдем в правой части — -~—, а после умножения на dxjdc, ду/дс, dzjdc и сложения получим J— . Таким образом мы приходим к следующим уравнениям движения в форме Лагранжа: dt2 } да ^\ OP ) да ' \ dt2 j da У д2х \ дх , (у д2у\ ду . /7 I d*x \dx , (v д'у \ ду V dt2 ) дс db dz p da ' p ob ' дс " (8.2) § 9. Общая постановка задач гидродинамики. Рассматривая жидкость как совокупность материальных частиц (сплошным образом заполняющих пространство или его часть), между которыми появляются внутренние силы взаимодействия, выражающиеся в идеальной жидкости при посредстве гидродинамического давления, мы можем общую задачу гидродинамики формулировать так: определить под действием заданных внешних сил движение каждой частицы и внутренние силы, т. е. гидродинамическое давление, в каждой точке жидкости ив ка- каждый момент движения.
Ю] СЛУЧАЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 59 Рассмотрим отдельно случаи несжимаемой и сжимаемой жидкости, считая в обоих случаях жидкость идеальной и для простоты одно- однородной. Постановка задач гидродинамики вязкой (не идеальной) жидкости будет рассмотрена во второй части курса. § 10. Случай несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости плотность р есть некоторая постоянная, служащая физической характе- характеристикой данного сорта жидкости и считаемая известной. Взяв уравне- уравнения Эйлера (или Ламба), мы видим, что в них неизвестными величи- величинами являются четыре: vx, vy, vz, p, зависящие каждая от аргументов х, у, z, t\ величины же X, К, Z суть заданные функции тех же аргументов; присоединяя к трем дифференциальным уравнениям Эйлера четвертое дифференциальное уравнение — уравнение неразрывности, мы приходим к задаче определения четырех неизвестных функций vx, vy, vz, p из системы четырех дифференциальных уравнений: . dv, , dv, ,, 1 dp dvx dt dvy dvz + 1 dvx dx dvy dvz dvv dv, dy dvy ~dT dvz ~dT ? dy 1 dp P dz dvx dvy ~w dz A0.1) Если эту систему удастся проинтегрировать, то будут определены векторное поле скорости и скалярное поле давления для каждого момента времени, т. е. будут найдены функции: У, г, t), vx = fx(x, у, z, t), vz = f3(x, у, z, t). удовлетворяющие системе A0.1). Чтобы довести задачу до конца и определить уравнения движения каждой частицы, т. е. зависимости координат частицы х, у, z от времени t и начальных значений коор- координат х0, yQ, zQ, остается проинтегрировать еще систему трех урав- уравнений: dt =/з(*. У. *. *)• i у, dz A0.2) Аналогично обстоит дело, если мы возьмем уравнения движения в форме Лагранжа: в этом случае задача сводится к определению четырех неизвестных функций х, у. z, p, зависящих каждая от
60 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II аргументов t, a, b, с из системы четырех дифференциальных урав- уравнений: / д*х\ дх . (у д2у\ ду 17 \ dt2 ) да -"" V № ) да "•" \ I д>х \ дх (у д>у\ ду I \л dt2 ) db ~> V dt2 ) db ^ \ д2г\ дг 1 др dt2 ) ~да ~р~ ~да~ dt2 7 _ ^!?Л дг —1 dt2 ) д ~ J 1 др да 1 др p дЬ J Ж дх ду дг да да да дх ду дг ~ЬТ~дТ~дЬ дх ду дг дс дс дс да да да дх0 ду0 дг0 db db db дха дуа дга дс дс дс A0.3) §11. Случай сжимаемой жидкости. Баротропность и баро- клинность. Уравнение притока энергии. Переходим к задаче опре- определения движения сжимаемой жидкости. Математически простейшим будет тот частный случай, когда во всем движении плотность есть заранее известная функция от давления Р = Ф (/>)• A1.1) Среды, в которых плотность есть функция одного давления, носят название баротропных. Для баротропных жидкостей уравнение нераз- неразрывности A1.3) главы 1 и три уравнения движения E.1) настоящей главы замыкаются в том смысле, что эти четыре уравнения содержат как раз четыре искомые функции, ибо, пользуясь A1.1), мы можем всюду исключить р, оставив в качестве неизвестных vx, vy, vz, и p. Простейшим примером закона для Ф (р) будет Ф (/?) = const. Это — случай несжимаемой жидкости. Движения, для которых где С — постоянная, называются «изотермическими». Если Ф (р) = Ср", где С и п — постоянные, то говорят о «политропических» процес- процессах, причем величина \jn называется показателем политропы. Таковы простейшие и притом наиболее употребительные виды функ- функций Ф (р) для баротропной жидкости.
§ И] СЛУЧАИ СЖИЧАГ.МОИ ЖИДКОСТИ 61 Среды, в которых плотность не есть функция одного только давления, т. е. для которых нельзя подобрать никакой функции Ф(р), такой, что имеет место A1.1), носят название бароклинных. Здесь плотность р является пятой неизвестной функцией, подлежащей опре- определению, равноправной с функциями vx, vv, vz, p, и потому четырех наших уравнений (уравнение неразрывности и три уравнения движе- движения) недостаточно для решения задачи. Для исследования движения в общем случае бароклинной сжимаемой жидкости оказывается не- необходимым учет нового фактора — притока энергии. Эго обстоятельство вводит в рассмофение две новые величины: температуру (абсолютную) жидкости Т и так называемую плотность тепловой мощности притока энергии е, т. е. количество энергии, получаемое единицей обьема жидкости в единицу времени Чтобы установить, на что расходуется этот приток энергии, обратимся к первому началу термодинамики. Именно, мы должны записав, что энер1ия е' = j f ed-dt, A1.2) притекающая ча промежуток времени от tl до t2 к некоторому жидкому обьему (г), расходуется отчасти на повышение температуры Т жидкоеiи этого обьема, отчасти на совершение работы внутренних сил, действующих в жидкости, т. е. на работу, производимую давте- нием путем уменьшения или увеличения объема сжимаемой жидкости. Обозначая через cv теплоемкость при постоянном обьеме, мы полу- получим часть е| притекшей энергии, израсходованную па увеличение температуры (при постоянстве объема), в виде е\= fdt fc^pd-z. A1.3) л й Обозначая далее через А термический эквивалент работы (А= \jE, где Е — механический эквивалент тепла), мы будем иметь часть г\ нашей тепловой энергии, израсходованную на внутреннюю работу, в виде f-^d-. A14) Но, по механическому смыслу расхождения скорости, имеем: ddx ... —г— — dtdivv, at
62 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II или, заменяя divv его значением из уравнения неразрывности A1.1) главы I, получим: ddz _ 1 rfp ~ a~dt dt Вспоминая, что е' == sj —)— е^, получим: Предполагая непрерывность подынтегральных функций, получим окончательно Это соотношение носит название уравнения притока энергии, или уравнения притока тепла. Приведенный здесь вывод дан А. А. Фридманом'); во второй части нашего курса в главах, посвященных «газовой динамике» и «вязкой жидкости», мы дадим другие выводы этого весьма важного уравнения. Кроме уравнения A1.5), мы должны еще написать соотношение, связывающее р, р и Т. Для совершенных газов таким соотношением является уравнение Клапейрона p = RPT, A1.6) где R — газовая постоянная. Таким образом, мы имеем шесть уравнений: уравнение нераз- неразрывности A1.3) главы 1, три уравнения движения E.1) настоящей главы, уравнение притока энергии и уравнение состояния. Эти урав- уравнения содержат как раз шесть неизвестных функций: vx, v vz, p, о, Т. К сожалению, в A1.5) входит еще величина е, которую не всегда можно считать известной. Простейшим и важным случаем будет отсутствие притока тепла извне, т. е. случай, когда е = 0. A1.7) В данном случае мы можем, сначала используя A1.6), написать A1.5) в виде v T dt p dt а затем, пользуясь еще раз A1.6), исключить Т. В результате полечим: 11Г/Г ~~dt У It) ~~ ~?~Ж ' ') Фридман А. А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ, 1934.
§ II) СЛУЧАЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 63 или, собирая члены с р и г/. Вспоминая соотношение термодинамики cp—cv = где ср — теплоемкость при постоянном давлении, мы получим окон- окончательно для случая, когда е = 0, уравнение притока энергии в виде: где у- = ~Р- (П.9) есгь отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоем- теплоемкости при постоянном объеме. Мы имеем здесь дело с так называе- называемым адиабатическим движением. Величина р/у- связана с энтро- энтропией S соотношением 5 = ^- In -?--{- const. A1.10) В силу A1.8) энтропия при s = 0 сохраняется в частице (хотя может меняться от точки к точке). В частном случае может оказаться, что р/г/ будет постоянным во всей среде. Уравнение A1.8) при этом удовлетворится. В этом случае мы будем иметь дело с баротропной жидкостью. В термино- терминологии, приведенной выше, это будет политропический процесс с по- показателем политропы •/. Процесс этот называют изэнтропичесним из-за постоянства энтропии. Основные виды притока тепла, входящие в е, когда A1.7) не выполняется, связаны с теплопроводностью, вязкостью и излучением. Для первых двух видов притока тепла мы можем выразить е через наши шесть элементов и, таким образом, замкнуть при помощи урав- уравнения состояния и уравнения притока тепла нашу систему. Во вто- второй части этого курса в главе о вязкой жидкости мы увидим, как это конкретно делается. Введение излучения представляет следую- следующее усложнение в том смысле, что интенсивность излучения по- появляется в качестве новой, седьмой неизвестной величины, для ко- которой следует составить седьмое уравнение1). Однако в механика сжимаемой жидкости существует большое количество теорем общего ') Кузнецов Е. С, Лучистый теплообмен в движущейся жидгоч среде, Изв. АН СССР, серия географии и геофизики, 1941, № 1.
64 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ (ГЛ П характера, которые выводятся без привлечения уравнения притока тепла, а только из уравнения неразрывности и уравнений движения. Имени эти общие теоремы и будут даны в первой части нашего курса, когда речь будет идти о сжимаемой жидкости (см., например, главу V). § 12. Начальные и граничные условия. Решения дифферен- дифференциальных уравнений гидродинамики буду г содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые нужно подчинить ряду добавочных условий для достижения определенности в решении конкретных задач о движении жидкости. Эги условия могут быть двоякого рода. Одни из них, называемые начальными, должны быть выполнены в начальный момент движения t = О во всех точках про- пространства, занятого жидкостью; другие, так называемые граничные условия, должны выполняться на границах жидкости в любой момент ее движения. Если рассматривать движение идеальной несжимаемой жидкости в переменных Эйлера, то начальные условия состоят в том, что за- задается состояние движения, т. е. поле скоростей в начальный мо- момент и, значит, решения vx(x, у, z, t), vy(x, у, z, t), vz(x, у, z, t) уравнений A0.1) должны при ^ = 0 обращаться в наперед заданные функции координат точек поля: vx(x, у, z, 0) = <р1(х, у, z), vy(x, у, z, 0) = <?2(х, у, z), vz{x, у, z, Ъ) = фъ{х, у, z). A2.1) Граничные условия могут быть нескольких видов. Если жидкость среди своих границ имеет неподвижную стенку, сквозь которую жидкость не проникает и к которой жидкость при- прилегает без пустот во время движения, то такого рода граничное условие состоит в том, что во всех точках вдоль поверхности стенки скорость частиц жидкости должна быть перпендикулярна нормали к поверхности. Если F(x, у, z) = 0 представляет уравнение поверх- поверхности, стенки, то последнее условие выразится, очевидно, соотноше- соотношением Если стенка представляет собой подвижную поверхность, изме- изменяющую при движении свою форму, так что уравнение поверхности будет вида F(x, у, z, t) = 0, A2.3) и по-прежнему жидкость должна прилегать к стенке, не протекая сквозь нее, то граничное условие, очевидно, будет состоять в юм,
§ 13] ПРИМЕНГНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 65 чю скорость перемещения любой точки поверхности и скорость частицы жидкости, прилегающей в этой точке к поверхности, должны иметь одинаковые проекции на нормаль к поверхности. Пусть точка поверхности, имеющая в момент t координаты х, у, z, получит в следующий момент t-\-dt координаты x-\-dx, y-f-rfy, z-\-dz; так как точка остается на поверхности A2.3), ю F{x-\-dx, y-\-dy, z-^dz, t-\-dt)=O, A2.4) или, разлагая в ряд Тэйлора и ограничиваясь первыми членами раз- разложения: ????<«=о. сад Разделив A2.5) на dt и замечая, что dx dy dz -W=v*> -dF = vr-df = v* суть проекции скорости частицы, находим искомое граничное условие: dF , OF . dF . OF . /1O _ч dx x ' ду У ' dz z ' dt v ' Упомянутые здесь виды граничных условий не исчерпывают все возможные случаи. Своеобразные краевые условия возникают, на- например, на поверхностях разрыва, отделяющих рассматриваемую часть жидкости от других частей той же (или друюй) жидкости. Так, на- например, если жидкость граничит с пустотой (или с воздухом), то во всех точках свободной поверхности [уравнение последней пусть будет F(x, у, г, ?) = 0], кроме условия A2.6), должно выполняться для идеальной жидкости условие р(х, у, z, t) = const. Другие виды поверхностей разрыва и соответствующих краевых условий мы рассмотрим во второй части книги, в главе, посвященной вопросам газовой динамики. § 13. Применение закона количеств движения и закона мо- моментов количеств движения. Эти законы установлены для всякой системы материальных точек, между которыми действуют внутренние силы взаимодействия, попарно равные и противоположные, так что главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю в каж- каждое мгновение движения. В частности, оба закона будут приложимы для жидкости как идеальной, так и вязкой. В случае установив- установившегося движения жидкости закон количеств движения и закон момен- моментов допускают простую геометрическую интерпретацию, к установле» иию которой мы перейдем, ограничиваясь для простоты идеальной жидкостью и начав для большей наглядности с частного случая. 5 Зак аао
66 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II Рассмотрим установившееся движение в элементарной трубке тока (рис. 22) и разберем изменение за бесконечно малый промежуток времени dt количества движения жидкого объема, заключенного в отрезке трубки ab. Пусть скорости в сечениях а и b — v1 и v2 и пусть за вргмя dt рассматри- рассматривав ваемЫй объем перейдет в по- положение а'Ь', так что аа' = v1dt, bb'—v2dt. Так как движение — устано- установившееся, то общие части а'Ь рассматриваемых двух объемов ^ ab и а'Ь' будут обладать оди- ' наковыми количествами движе- движения. Следовательно, искомое Рис. 22. изменение количества движения выразится геометрической раз- разностью количеств движения объемов bb' и аа'. Вследствие неразрыв- неразрывности движения массы жидкости, протекающей за время dt сквозь сечения с и Ь, будут одинаковы, т. е. dm = v1 dt ¦ pj tfSj = v2dt ¦ p2 dS2, где pj, dSx и р2, dS2 суть плотности и площади в сечениях а и Ь. Таким образом, искомое изменение количества движения dK будет: dK — v2 dm — vl dm. С другой стороны, вследствие закона количеств движения, dK будет равняться элементарному импульсу всех внешних сил, прило- приложенных к объему ab, т. е. всех массовых сил и сил гидродинами- гидродинамических давлений, приложенных как к боковой поверхности трубки, так и к сечениям а и Ь. Если массовые силы отсутствуют или если имн можно пренебречь по сравнению с силами давлений, то, обозна- обозначая главный вектор последних через Р, имеем: Аналогично, применяя закон моментов количеств движения и по- повторяя предыдущее рассуждение, мы придем к соотношению: d/ = r2X^2dw — ri X vxdm = Ldt, A3.2) где I есть момент количеств движения жидкого обьема ab, r1 и г2 — радиусы-векторы сечений а и b, L — главный момент сил гидроди- гидродинамических давлений, приложенных ко всей замкнутой поверхности объема ab.
j И1 ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ Ь7 Равенства A3.1) и A3.2) могут быть обьединены при помощи единой формулировки, известной под названием теоремы Эйлера- при отсутствии массовых сил совокупность гидродинамических давлений, приложенных ко всей поверхности некоторого отрезка трубки тока, эквивалентна в случае установившегося движения двум силам: dm dm V*~dT и ~ "i ~dt • приложенным к концам отрезка и численно равным секундным количествам движения жидкости, вытекающей и втекающей в трубку через сечения на ее концах. Если эти две силы пересекаются, то совокупность гидродинами- гидродинамических давлений есть такая совокупность сил, которая, будучи при- приложена к твердому телу, может быть уравновешена одной силой, равной (г»!—<02)~нГ и приложенной в точке пересечения векторов <в2 и г»,. Применим теперь закон количеств движения и закон моментов к любому связному объему жидкости конечных размеров. Пусть, например, проведена непо- ^ис- 23. движная замкнутая поверхность 5 в по- потоке жидкости, обтекающем неподвижное твердое тело М (рис. 23) Жидкий объем, заключенный внутри 5, имеет своей наружной гра- границей поверхность S, а внутренней границей—поверхность твердого тела N[. Через бесконечно малый промежуток времени dt жидкий обьем пере\есгится в положение 5', которое мы получим, отложив от каждого элемента поверхности 5 вектор vdt. В случае установившегося течения жидкости количества движений в общей части Q объемов, заключенных в 5 и 5', одинаковы, сле- следовательно, изменение количества движения жидкого объема 5 за время dt выразится геометрической разностью: Г vdm — Г v dm, которая вследствие закона количеств движения при отсутствии мас- массовых сил будет равна элементарному импульсу всех гидродинами- гидродинамических давлений, приложенных к границам жидкого объема, т. е. к поверхности 5 и поверхности М: Г vdm-— Г vdm = Psdt->rP^dt, A3.3) z где Ps и Рм — кивныс векторы давлений, приложенных к 5 и М.
68 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. И Аналогично, применяя закон моментов количеств движений, при- приходим к равенству: Г (г X"») dm — J (г X v) dm = Ls dt -f LM dt. A3.4) Оба равенства A3.3) и A3.4) выражают, что совокупность гид- гидродинамических давлений на поверхностях S и М эквивалентна сово- совокупности векторов, приложенных к элементам поверхности 5, численно равных секундным количествам движений жидкости, протекающей через элементы этой поверхности, и направленных по течению в тех элементах, где жидкость вытекает, и противоположно там, где она втекает в поверхность S, которая при этом считается неподвижной. Этот результат можно получить и чисто аналитическим путем. Если рас- рассматривается установившееся движение жидкости, в котором можно пре- пренебречь массовыми силами, то применение законов количеств движении и моментов количеств движений к объему т, заключенному между неподвиж- неподвижной (так называемой контрольной) поверхнос1ью S и поверхностью твер- цого тела М, дает M AL — A dt ~~ d\ t Так как при нахождении полной производной d/dt мы следуем за частицами объема т при их движении и так как при этом масса частицы р dx остается неизменной, то знак производной d/dt можно отнести к векторам v и г X ^ -§=r~^?^?dr. A3.6) Взяв проекцию A3.5) на неподвижную ось Ох, имеем: dKx f так как dvxldt = 0 вследствие того, что движение установившееся. Применяя преобразования dvx _ d(v2x?) д(ух?) дх Vx дх д (vy9) ду v*~dy~' д (vxvz?) д (vz?) d~z x дг '
j 13] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 69 получаем. d(v?o) d(v..v..o\ д fv..v~o\ I dz — {vx?) , d(t'yP) d(vz J Второй интеграл обращается в нуль вследствие уравнения неразрывности, ьоторое при установившемся движении имеет вид: д (?vx) д (pvy) д dx ' dy ' dz Разбивая первый интеграл на три слагаемых и применяя к каждому пре- преобразование Гаусса, находим = j [vl? cos (n, x) + vxvyp cos (и, у) -j- vxvz? cos (л, г)] rfS, S Kx С л r I qt ft dt или dt аналогичным путем получаем два других равенства. ~rfT s s = / vy?vndS, -^-<=j vz?vndS, которые вместе с первым можно объединить одним векторным' vndS. A3.7) Применяя аналогичные рассуждения, приходим к следующему выраже- выражению производной от момента количеств движения: dt = f (rXv)?vndS A3.8) Так как pvn dS есть масса жидкости, протекающая в единицу времени через элемент поверхности dS, то выражения A3.7) и A3.8) показывают, что dK/dt и dl/dt можно рассматривать как главный вектор и главный мо- момент системы векторов v?vn dS, распределенных по поверхности S, и мы приходим к объединяющей оба закона A3 5) и A3.6) формулировке: Совокупность поверхностных сил гидродинамических давлений, при- приложенных к поверхности S объема х при установившемся движении, эквивалентна совокупности количеств движения жидкости, ежесекундно уносимых сквозь поверхность S. Эта интерпретация закона количеств движения и закона моментов может оказаться полезной для расчета суммарного эффекта давлений установившегося потока на неподвижное твердое тело, погруженное
70 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [П П в поток полностью или частично. В последнем случае контрольную поверхность 5 следует провести в непосредственной близости к телу со стороны жидкости. Рассмотрим для примера, следуя Прандтлю, косой удар двураз- мерной струи несжимаемой жидкости на плоскую пластинку (рис. 24). У Пусть плоская струя воды, текущая из f j а бесконечности прямолинейно со скоростью v, rfМ- одинаковой для всех точек поперечного се- сечения ширины а, встречает под углом ос плоскую бесконечную пластинку АВ и раз- разветвляется на две струи, линии тока кото- которых по мере удаления от места развет- разветвления асимптотически становятся параллель- параллельными пластинке; пусть ширина этих струй в бесконечности будет аг и а2. Заметим, что скорости струй в сечениях аг и а2 будут одинаковы со скоростью (в бесконечности) рнс 24. неразветвленной струи. В самом деле, при- принимая плоскость течения за плоскость Оху, имеем 1^ = 0, и первые два уравнения Ламба G.1) примут вид: дх \2 д /1 ~дх~ dvx dv,. ду дх ' др_ ду' при этом движение считается установившимся, массовые силы отсут- отсутствующими и р = 1. Умножая эти уравнения на dx и dy, взятые вдоль одной и той же линии тока: dx = vx dt, dy — vy dt, и складывая, находим без труда интеграл (Бернулли) р = const., справедливый для данной линии тока. Считая давление р на свобод- свободной поверхности струи повсюду одинаковым и равным атмосферному давлению р0, мы приходим к заключению, что будут повсюду оди- одинаковы и скорости частиц у свободной поверхности струи, а так как в сечении а скорости всех частиц равны v, то такой же скоростью будут обладать все частицы в сечениях а( и а2- Для расчета сил давлений на пластинку возьмем контур контрольной поверхности S, показанный пунктиром на рис. 24, так, чтобы он прилегал к ппастинке между двумя достаточно удаленными сече- сечениями Cj и а2 и пересекал неразветвлеиную струю также в доста-
«, 13) ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИ/КГНПЯ 71 точно удаленном сечении а. Самую поверхность 5 можно представлять как полную поверхность цилиндра единичной высоты, для которою упомянутый контур в плоскости течения служит основанием и об- образующие которого перпендикулярны к плоскости течения. Форма конгура на участке между сечениями аг, а, а2 остается произволь- произвольной, и можно, например, за этот контур взять свободную границу cipyn. Как было отмечено, давление р0 на части поверхности 5, не прилегающей к пластинке, постоянно; переменное же давление па части, прилегающей к пластинке, можно представить в виде Замечая, что при интегрировании по замкнутой поверхности S и что система параллельных сил (р—po)dS, или, что то же, (р—po)c/S с южится в одну силу приложенную в некоторой точке, называемой центром давления мы имеем по теореме импульсов Р — Г vdm-{- f vdm — \vdm — a{vox + о2от2 — aw (а,) (а2) (а) Проектируя на параллельное и перпендикулярное пластинке напра- направления, находим Р = av2 sin a; 0 = а^о1 — a2v2 — av2 cos а. Из последнего уравнения имеем: а\ — а2 — и, так как вследствие уравнения неразрывности должно быть aj + a2 — а, то 1 + cos а 1 — cos а аг — —4j а; а2= ^ а- Для определения положения центра давлений воспользуемся тео- теоремой о моментах импульсов. Обозначая через О точку пересечения пластинки с осью неразветвленной струи, по которой направлен импульс a<vv, приложенный в сечении с, возьмем точк) О лл центр моментов; тогаа импульсы ajWj и a2vv2, приложенные в сечениях
?2 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. II а1 и а2 в их серединах, будут иметь плечи aJ2 и а2/2, и теорема моментов дает aiv ~y — а-Р ~? = Ре> Где е — расстояние центра давлений от точки О. Заменяя здесь Р через его предыдущее выражение, находим а , rtcr A — 9 ь * § 14. Уравнение энергии. Умножив скалярно обе части урав- уравнения F.1) на vdt, получим: F-vdt — v ¦ dv = — grad p • v dt, (H.I) или Если поле внешних массовых сил стационарно и силы имеют потен- потенциал V,, который можно назвать потенциальной энергией единицы массы движущейся жидкости, т. е. дх ' дх ' ду ' дг ' то (Н.2) принимает вид: Вспоминая определение индивидуальной (полной) производной dp dp , dp , dp , dp dt dt ^ dx v* +йу^+ d^ г> мы можем представить A4.3) еще в таком виде: d(T1 + V0 = -l(^--^)dt. A4.4) где 7\ = х>2/2. Последнее уравнение представляет собой выражение закона живой силы для единицы массы жидкости. Вводя обозначение можно написать1 A4.5)
§ Н] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 73 Умножая A4.5) на элементарную массу pdx и интегрируя по неко- некоторому жидкому объему х, ограниченному замкнутой поверхностью S, имеем: Так как рассматривается жидкий движущийся объем, состоящий из одних и тех же частиц, то pdx не зависит от времени и можно написать: d J G\ 4- Vj)p dx — —а т или Выражение представляет собою живую силу, или кинетическую энергию Т рас- рассматриваемого жидкого объема; интеграл Г Vxp dx может быть назван X потенциальной энергией V всего жидкого объема i, a Ptfdx — ме- мерой диссипативности объема; таким образом: Заменяя в правой части разность — ~ через — ~ и применяя преобразования: 7» — дх х~ дх р дх ' др д (pvy) dvy ~~dJV))~ ду р ~~ду~' ^Е, чу — д < ^рг) __ „ ^г, дг г~ dz p dz ' мы приведем соотношение A4.7) к виду J = — У div (pv) dx -+- У /? div ?> dx.
74 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [I Л II Применяя, наконец, преобразование Гаусса: J div (pv) dx = J pvn dS, т S мы приходим к соотношению: —тт (Т~\- V) = — / р(<xvx -j- $vy -f- ~{vz) dS -\~ s d —-^- + —i--f ~)dz, A4.8) y \ dx ' ду г dz I v ' T где а, C, ¦[• суть косинусы углов, образованных внешней нормалью к поверхности S с координатными осями. Последнее уравнение носит название уравнения энергии. Поверхностный интеграл — J z) dS можно рассматривать как отнесенную к единице времени работу по- поверхностных сил гидродинамических давлений, приложенных к по- поверхности 5 жидкого объема. Интеграл же dvy dvz дх ' ду ' dz J X можно рассматривать как секундную работу внутренних сил, связан- связанную с расширением каждого элемента объема х, ибо, как было по- показано в кинематике, расхождение скорости dvjdx -)- dvy/dy -\- dvjdz есть не что иное, как секундное относительное кубическое расши- расширение жидкости. Для несжимаемой жидкости этот член в уравнении A4.8) выпадает, и уравнение энергии принимает вид: A4.9) Если, кроме того, жидкий объем заключен в неподвижные i ра- ницы, вдоль которых то A4.9) принимает вид: откуда заключаем, что в таком объеме сумма кинетической и потен- потенциальной энергии остается с течением времени неизменной: T-i-V = const. A4.10)
15] УПРАЖНЕНИЯ 75 § 15. Упражнения. 1. Тяжелая несжимаемая жидкость, налитая в верти- вертикальный цилиндрический круговой сосуд, вращается как твердое тело с по- постоянной угловой скоростью со вокруг оси цилиндра (рис. 25). Определить давление в каждой точке вращающейся жидкости, если известно, что в со- состоянии покоя жидкость имела уровень h от дна сосуда и что над поверхностью жидкости нет давления. Решение. Приняв ось цилиндра за ось Ог " и взяв начало координат у дна, имеем по заданию: vx = — «у, v у = (лх, vz = 0, р = const. Уравнения Эйлера дают: р дх ' coy ^ • 1 dp О D Рис. 25. откуда по умножении на dx, dy, dz и сложении получим для dp выражение dp = co2p (x dx -f- у dy) — pg- dz co2p (Ж2-f y2) — g 1 или и после интегрирования: На поверхности жидкости р = 0; уравнение поверхности дает параболоид вращения; вводя обозначение ОЕ = h', имеем: C = g9h'. Для определения h' имеем условие сохранения объема в покое и при вра- вращении 2тс а TM2h= Г Г zrdrdy, где г и полярные координаты. Вычисляя, имеем: 2ж а na2h= I (h'-\-~ г2) г dr d<? или na2h = па2 (h' + -^- аЛ , откуда
76 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II и давление в любой точке будет: р = g9 (А - г) + I со'р [*» + У2 - \ в2] ¦ 2. По условиям предыдущей задачи вычислить полное давление на дно сосуда. Ответ. Р = T.g$a2h = давлению в состоянии покоя. 3. Некоторый объем жидкости занимает длину 21, находясь в прямой трубке с малой постоянной площадью сечения. На каждую частицу жидкости действует внешняя сила, направленная вдоль трубки к постоянной точке и пропорциональная расстоянию частицы от этой точки. Определить движение жидкости и давление в каждой ее частице. (Рамсей) Решение. Взяв ось трубки за ось Ох и приняв начало координат в по- постоянной точке, имеем из уравнения неразрывности: dv* -О ибо vy = 0 и vz = 0; тогда уравнения Эйлера получают вид: dt ~ 1Л р дх' ду Интегрируя по х, находим: ибо vx и dvxjdt от х не зависят. Граничные условия дают /? = 0 при х = г и при д: = г + 2/, т е. откуда „ dvx , 1 , dv, Но ^ dt и значит откуда, интегрируя, получаем г + / = A sin (уЛй + в) и значит:
i 15] УПРАЖНЕНИЯ 77 т. е. давление определено для каждой точки жидкости при любом положении всего жидкого объема, совершающего гармонические колебания около начала координат. Для середины объема будет — =. — ,ui2. 2 4. Убедиться, что при взрыве мины под изменяется обратно пропорционально расстоя- расстоянию от места взрыва. Решение. Эффект взрыва в точке О со- состоит в сообщении за весьма малый проме- промежуток времени М скоростей частицам жидкости, расположенным вокруг О. Считая картину явления симметричной, будем предпо- предполагать, что скорости всех точек направлены по радиусам-векторам и зависят только от удаления их от точки взрыва; окружим эту гочку двумя концентрическими сферами: Si радиуса 1 и S радиуса г и назовем ско- скорости частиц жидкости на этих сферах через г'1 и v (рис. 26). В силу несжимаемости жидкости через сферы водой взрывное давление \ Рис. 26. Si и S за время At про- протечет одинаковый объем жидкости, т. е. 4%vt At — 4iir2v At, откуда V = - или векторно, для точек Л, и А, лежащих на одном радиусе, Применяя уравнение Эйлера в векторной форме, имеем: F За время Д^ скорость частицы в точке А изменилась от 0 до vjr2, зна- значит ускорение dv/dt приближенно равно f ,/r2 At и велико по сравнению с массовой силой F; отбрасывая последнюю, имеем: grad^ = -1t_ = _7r, где для краткости положено т. е. градиент взрывного давления направлен к центру. Отсюда заключаем:
78 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II Д Д 5. Вертикальная трубка АВ малого постоянного сечения (рис. 27) раз- разветвляется в нижнем конце на две горизонтальные трубки ВС и BD, сече- сечения которых тоже постоянны и равны каждое половине сечения вертикальной трубки; при стыке труб имеются краны, запирающие горизонталь- горизонтальные трубки. Краны заперты, и вертикальная трубка наполнена жидкостью до высоты АВ — а. Определить движение после того, как краны бу- будут одновременно открыты. Решение Обозначим через z переменную вы- высоту жидкости А'В по прошествии времени / oi начала движения, а через г' длину В В'--ВС' жидкости в тот же момент в горизонтальныч трубках. Так как обьем жидкости остается не- неизменным, то z -f- z' — п. Если р есть давление, аи — скорость в не- некоторой точке столба В А' на расстоянии х от В, то уравнение неразрывности дает duldx = 0, и уравнение Эйлера для этой точки принимает вид. ди _ 1 др ~~дТ ё~~^'дх~- С в Рис. 27. D Интегрируя по х, находим: ди_ dt где /@ — произвольная функция времени. Пренебрегая атмосферным давле- давлением, имеем р — 0 при х = г, и значит Исключая из двух последних равенств /(/), получаем: и, в частности, для точки В будет: -'> Аналогично, называя через р' и и' давление и скорость в некоторой точке горизонтальной трубки в расстоянии х' от В, имеем ди' —г — 0 — уравнение неразрывности, ди' ~дТ 1 др' „„ = ~ 7 "d*7 ~ УРавнение ЭилеРа- Интегрируя и нсключая произвольную функцию, получаем: Р' , , , ди' и для точки В: ди' dt " A5.2)
5 15] УПРАЖНЕНИЯ 79 Сравнивая A5.1) и A5.2) для одной и той же точки В, имеем р — р' и значит ди но _ дг __ ¦ , _^_ dz' _ ¦, кроме того, г -f- z' = a и значит z' = — г1. Исключая из A5.3) z' и и', получаем: — (а — z) z — z(g-\-z) или a'z-f ^ = 0. Общий интеграл последнего уравнения есть г = .4 sin 1/ — Удовлетворяя начальным условиям г = а, г = 0 при ^ = 0, находим, что движение уровня жидкости в вертикальной трубке будет выражаться фор- формулой z = a cos до тех пор, пока трубка не опорожнится, что произойдет через время t = (я/2) ]/'a/g. Этот же результат можно получить сразу, применяя инте- интеграл живой силы A4.10): 7J- р аз z2^-?ga -н- = р^з тг > где а — площадь поперечного сечения трубки ЛВ. Отсюда и после интегрирования -il t). \ a I 6. Газ движется при постоянной температуре по прямолинейной трубке постоянного сечения. Пренебрегая силой тяжести, составить дифференциаль- дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет скорость v, считая что она во всех точках одного и того же поперечного сечения в момент t одинакова и на- направлена вдоль трубки. Направив ось Ох вдоль трубки и фиксировав начало координат, имеем уравнение Эйлера dv dv 1 dp + 7V
80 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ II уравнение неразрывности dp д(ру) _ и уравнение состояния, выражающее закон Бойля — Мариотта, Задача сводится к составлению одного уравнения, содержащего только v. Дифференцируя по t уравнение Эйлера, имеем: JPv_ j_ d2v dv^ dv_ __k d2p k dp dp dt2 ' dx dt V + dx ~ЪТ ~ ~ ~p~ Jx~dt +~f~dT~d~x или dt2 ^dx\ dt) dx\p dt )' заменяя dp/dt из уравнения неразрывности и выполняя в правой част диффе- дифференцирование, находим. dt2 ^rdx[dt)~~dx2~1 дх[р дх)- Вследствие уравнения состояния и уравнения Эйлера будем иметь: kv dp v dp dv 2 dv. p dx ~ p dx ~ dt dx' подставляя в предыдущее равенство, приходим к искомому уравнению после переноса двух последних членов в левую часть: d2v , d {„ dv dv\ ,d2v ' —. U чJ — I = k . 7. Показать, что для сжимаемой жидкости, двигающейся в условиях задачи 6, будет справедливо соотношение Решение. Имеем уравнение Эйлера dv .dv _ 1 dp ~~dT~i~dxV-~J~dx~' которое при pip = k принимает вид dv .dv k dp и уравнение неразрывности dp , d(pv) = 0. dt "Г дх Дифференцируя последнее по t, находим: = 0. A5.4)
15] УПРАЖНЕНИЯ С др}юн стороны, уравнение Эйлера дает dv а уравнение неразрывности дает dv V dt - Ь дх -(¦ * Л v- ' *-) v I * 81 A5,5) A5.6) Складывая A5.5) и A5.6), находим. Дифференцируя A5.7) по х и подставляя в A5.4), приходим к искомому соотношению. 8. Два одинаковых закрытых цилиндрических сосуда высотою с, осно- основания которых лежат в одной горизонтальной плоскости и соединены труб- трубкой с краном, наполнены — один водою, другой воздухом, давление кото- которого р0 может уравновесить столб воды высоты Л, причем h < с (рис. 28). В некоторый момент кран открывается и устанавливается сообщение между сосудами. Найти наибольшую высоту поднятия воды во втором сосуде, считая, что воздух в нем сжимается изотермически. Ремение. Обозначим через р давление и через т — объем воздуха в со- сосуде В, когда вода в нем поднялась па некоторую высоту х, тогда по закону Бойля—Мариотта будет: откуда с — х с — x - chg ' С — X A5.8) Применяя уравнение энергии A4.9) ко всему объему жидкости, имеем- 1 t X' \ В т т Рис. 28. где интеграл распространен только на поверхность воды в сосуде В, т«ис как в сосуде Ар = 0, а вдоль твердых стенок o.vx-\- puy -\- -(vz = 0. Вследствие A5.8) имеем- С —X откуда, интегрируя по х, имеем: Потенциальная энергия V жидкого объема равна весу всего объема, умноженному на высоту хс центра тяжести: V=cgS-xc = (c — х) Sg fi Зак 1190 ^ — Sg- cxSg + x*Sg.
82 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ И Подставляя в предыдущее равенство, находим: Т + ± Sgc* - Sgcx + Sgx* - Sgch Ig (с - x) = С. В начале движения при х = 0 будет Г = 0 и мы определяем значение постоянной С: Таким образом, Т - Sgcx + 5^2 — Sgch Ig ^^- = 0. В тот момент, когда вода достигает наибольшей высоты в сосуде В, скорость каждой частицы обращается в нуль и, значит, Т = 0. Следовательно, высота наибольшего подъема служит корнем уравнения ex — x2 + ch Ig C~ - = 0.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ГИДРОСТАТИКА А. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ § 1. Уравнения равновесия. Для покоящейся жидкости гидро- гидродинамическое уравнение F.1) предыдущей главы принимает вид: = 0 A.1) или в npot-кциях Х — —&- Y — l^l- z — ~^- A2) p дх ' p ду ' p dz \ • > Последние уравнения называются уравнениями равновесия. В случае отсутствия массовых сил уравнения равновесия примут вид: дх ' ду ' dz ' т. е. давление одинаково во всех точках жидкости; это соотношение известно под названием закона Паскаля. Для тяжелой жидкости уравнения равновесия дают: др „ д?_ „ др_ } „ дх ду дг Р°' У ¦ ) если направить ось Oz вертикально вниз. Первые два уравнения выражают, что р — const, для всех точек на любой горизонтальной плоскости, которые являются, таким образом, поверхностями равного давления или так называемыми поверхностями уровня. Третье уравнение A.3) для несжимаемой жидкости дает: С, A.4) считая g постоянной величиной в некоторой ограниченной области близ земной поверхности. Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность, к ко- которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление р0 то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью. Взяв 6*
84 ГИДРОСТАТИКА (ГЛ III на ней начало координат, имеем из A.4) С = р0 при z -= О и полу- получаем таким образом соотношение A.5) выражающее известный гидростатический закон: давление на глу- глубине z от поверхности равно внешнему давлению, сложенному с ве- весом столба жидкости, высота которого есть z, а площадь основания равна единице. Этот закон остается справедливым и для сжимаемой жидкости, так как и в этом случае из уравнений A.3) следует: р2 *2 — Р\= I gpdz = Btcy столба высотою z2— zx, где g и р суть некоторые функции от z. § 2. Условие для сил. Уравнения равновесия налагают неко- некоторое ограничение на характер массовых сил, способных создать равновесие жидкости. Чтобы вывести искомое условие, напишем очевидные соотношения, получаемые из уравнений равновесия после предварительного умножения на р и последующих дифференциро- дифференцирований: d(fZ) = д(9У) = д*р ду dz ду dz ' д(вХ)= d(9Z) = д*р dz дх дх дг ' дх ду дх ду Выполняя дифференцирование, находим: p I dy ~dF) — Y ~д7 — z ~dj' ?\dz дх)— дх Л dz' IdY дХ\_ д9 д? р\дх~ ~ду~) — л ~ду~ ~ Y J • Умножая на X, Y, Z и складывая, получаем искомое условие: которое можно короче представить в векторной форме: F-toiF=0. B.2) В геометрии доказывается, что при соблюдении условия B.1) система силовых линий dx dy_ dz_ ~х~— Т~~ z
§ 3] БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 85 может быть пересечена системой ортогональных к ним поверх- поверхностей. В случае однородной несжимаемой жидкости р = const., u урав- уравнения равновесия A.2) дают непосредственно Т. е. массовые силы при равновесии должны иметь потенциал так что F=— grad V. В этом случае условие B.1) выполняется само собой, так как rot F= — rot grad V = 0. § 3. Барометрическая формула. Рассматривая атмосферу как покоящуюся сжимаемую жидкость, можно установить приближенную зависимость между высотой над поверхностью земли и атмосферным давлением на рассматриваемой высоте, известную под названием барометрической формулы. Взяв начало координат на уровне моря и направив ось Oz вер- вертикально вверх, напишем уравнения равновесия: &-°- %-<>¦ %—#¦ <3-'> Здесь р есть плотность на некоторой высоте г, связанная с да- давлением и абсолютной температурой Т уравнением состояния (Кла- (Клапейрона): где R — газовая постоянная. Вводя обычную температуру t в гра- градусах Цельсия 7 = 273-ft и обозначая 1/273 = а (коэффициент температурного расширения воздуха), напишем уравнение Клапейрона в форме Вводя для удобства обозначение 273/?= 1//г, имеем из C.2): r_ kp
86 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill Подставляя в уравнение C.1), получаем: dp __ kg' р 1 -f-ox dz. C.3) Величина ускорения силы тяжести g' на высоте z изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли, как это следует непосредственно из закона тяготения, если пренебречь при этом вращением земли. Принимая землю за шар радиуса а и обозначая через g величину ускорения силы тяжести на уровне моря, имеем: g (a-j-zy Определенное отсюда значение g' подставим в уравнение C.3) dp kga2 dz T~~~~\+az Ja + гу и, интегрируя между высотами zx и z2, на которых давление обо- обозначим через р} и р2, получаем: г2 Здесь t есть некоторая неизвестная функция от z. Сделав п р и- ближенное допущение т = Т = const., где tj и т2 — температуры на высотах zx и z2, мы приходим к при- приближенной формуле А —_. 1п-^- = >, +от"^ (a+zJ' или р2 _ kga* I 1 1 \ ш р{ — 1+ат \a + z a + z)' откуда получаем, обозначив z2 — zx — kz: Вычисления по этой формуле ведутся последовательными прибли- приближениями: сначала в правой части полагают Д.г = 0 и вычисляют первое приближение для Д.г; внося эту величину в правую часть формулы, находим второе приближение для Дг и т. д.
§ 4] УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА 87 Для небольших превышений Д2 можно получить более простую приближенную формулу, приняв непосредственно в уравнении C.3) р = const. = Pi+p\ где р{ и р2 — давления на высотах zx и z2; тогда, обозначая и принимая g' = g, имеем: Р_ Р1+Р2 о Р\- Рг __ kg P+Р 1+а" откуда &Z — -г— , A -4- at). kg Pi+Рг ' Численное значение множителя 2/'kg составляет около 16 000, если высоты взяты в метрах, а давление — в миллиметрах ртутного столба; таким образом, мы приходим к приближенной формуле Бабине bz= 16 000 Pi+Рг § 4. Условия на поверхности раздела. Рассмотрим изменение давления dp при бесконечно малом перемещении вдоль границы раз- раздела двух несжимаемых несмешивающихся жидкостей с плотно- плотностями pi И р2. Так как на границе давление и массовые силы одинаковы для обеих жидкостей, то, умножая уравнения равновесия на проекции перемещения dx, dy, dz и складывая, получаем: D.1) отсюда заключаем, что при pj Ф р2 должно быть D.2) а югда и dp = 0. Таким образом, на поверхности раздела давление постоянно, т. е поверхность раздела служит поверхностью уровня давлений и одно- одновременно является поверхностью уровня и для потенциала массовых сил, как показывает уравнение D.2), которое можно написать в форме dV = 0, так как при равновесии несжимаемой жидкости должен су- существовать потенциал массовых сил. Отсюда мы заключаем, что границей раздела двух соприкасаю- соприкасающихся и находящихся в равновесии тяжелых жидкостей является горизонтальная плоскость.
88 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill § б. Общие формулы для определения давления на твердую поверхность. В заданном поле массовых сил давление является опре- определенной функцией точки, определяемой из уравнений равновесия и добавочного уравнения состояния вида /(/?, р, 7)= 0, устанавливаю- устанавливающего зависимость между давлением, плотностью и температурой. Для несжимаемой жидкости уравнение состояния есть р = const.; для сжимаемой же жидкости уравнением состояния будет уравнение Кла- Клапейрона: причем для определенности температура рассматривается как задан- заданная наперед функция точки; при определении давления на погружен- погруженные в жидкость тела обычно рассматривается изотермическое равно- равновесие жидкости, при котором Т = const. Совокупность сил гидродинамических давлений, приложенных к некоторой твердой поверхности 5, рассматриваемой как часть границы жидкости, приводится, как известно из статики твердого тела, к одной силе, равной главному вектору давлений р== и к одной паре с моментом L=f(rXp)dS 5 или в проекциях E.1) E.2) Рх = Г р cos (re, a:) dS, s E.3) Pz= j pcos{rCz)dS, s Lx= f p[y cos(n, z)—zcos(«, y)]dS, Ly= Г p[z cos (n, x) — x cos (re, z)] dS, Lz = Г p [x cos (я, у) — у cos (re, x)] dS, E.4) где через п обозначено направление внешней по отношению к жидкости нормали к поверхности 5. § 6. Давление тяжелой несжимаемой жидкости. Рассматривая в дальнейшем до конца главы равновесие тяжелой несжимаемой
§ 6] ДАВЛГНИЕ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 89 жидкости с горизонтальной свободной поверхностью, к которой при- приложено постоянное атмосферное давление р0, мы будем иметь на глубине z от поверхности: Давление атмосферы можно заменить весом фиктивного слоя той же самой несжимаемой жидкости; высота такого слоя бучет, очевидно, Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте z0 над свободной поверхностью жидкости, носит название приведенного уровня. Отсчитывая глубины z' о г приведенного уровня, мы будем иметь: z' ¦ g? ИЛИ Z — Z' — Ра F.1) и формула для давления получит более простой вид: P — g&'. F.2) Предыдущие формулы E.3) и E.4) для вычисления главного век- вектора и главного момента сил давлений принимают в этом случае вид: Px = gp \ z'cos(n, x)dS, Ру = g? f z' cos («. y) dS, pz = gp j z' cos (tCz) dS, Lx = gp f lyz' cos (n, z) — z'2 cos («, y)\ dS, L =gp I [z'2 cos(n, x) — X2'cos(rt, z)]dS, Lz = g[j Г [xz'cos(n, y) — yz'cos(n. x)]dS, F.3) F.4) где все интегралы распространены по поверхности S. Как известно из статики, для того чтобы совокупность сил давлений, действую- действующих на поверхность S, приводилась к одной равнодействующей, должно быть выполнено условие PJ_L, или иначе: />д?,4Я/у + />А = 0. F.5) Это условие, вообще говоря, при произвольном виде поверх- поверхности 5 не выполняется. Мы рассмотрим два важных частных случая, когда совокупность i идростатических давлений приводится к одной равнодействующей; это будут случай давления на плоскую стенку и случай давления на твердое тело, целиком погруженное в жидкость.
90 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III § 7. Давление на плоскую стенку. В этом случае гидростати- гидростатические давления представляют собою систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенки. Такая система приводится к одной равнодействующей, рав- равной арифметической сумме всех сил и приложенной в центре па- параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, при- приложенных к площадке S, пло- плоскость которой Q наклонена к го- горизонту под углом 6, возьмем начало координат в плоскости при- приведенного уровня на линии пере- пересечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось Оу' и направив ось Oz' вертикально вниз; кроме того, в пло- плоскости площадки проведем вспомогательные оси Ох и Оу, совместив Оу с Оу' (рис. 29). Тогда формулы F.3) для величины равнодействующей примут вид: Рх, = gp f z'cos («TV) rfS = — ?psin6 J z'dS, Py. = j z' cos (яТУ) dS ¦= 0, Pz, = gp j z' cos («TV) rfS — ?p cos 0 j г' rfS, откуда =gp fz'dS. Последний интеграл есть не что иное, как площадь площадки 5, умноженная на таким образом координату z' центра инерции С этой площади; G.1) но произведение Szrc выражает собой объем цилиндрического столба с площадью основания S и высотою z'c, и мы приходим к заключе- заключению, что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтально на глубине своего центра инерции.
§ в] ^АКОН АРХИМЕДА 91 Для того чтобы найти точку приложения этой равнодействующей и пи так называемый центр давления Ц, имеем следующие условия для координат х', у', z't центра параллельных сил в системе осей Ох', Оу', Oz'\ Рх'ц = J x'p dS = gp j x'z' dS, fy'z'dS. 'щ= fz'pdS = gP (z'2dS. G.2) Координаты той же точки хц, уц, гц в системе осей Ox Oy, Oz, связанных с площадкой, будут, как видно из чертежа: или вследствие G 2): g-p j" x'z' dS J x'z' dS f z'2 dS Ц~ P cos б ~ cos 8 J z' dS ~~ sin 0 J z' dS ' gp j y'z' dS ^y'z'dS Уч= P JVd^ Выражая, наконец, координаты х', у', z' через координаты х и у, связанные с площадкой, имеем: (x2dS (x2dS [xydS (xydS J x dS Sxc J xdS Sxc Последние формуш показывают, что положение центра давления на площадке не зависит от наклона последней к горизонту Заметим при этом, что интеграл I x2dS выражает момент инерции площади 5 относительно оси Оу, а интеграл I xydS есть центробежный момент той же площади. § 8. Закон Архимеда. Другим случаем, когда силы гидростати- гидростатического давления приводятся к одной равнодействующей, является сличай давления на замкнутую поверхность погруженного в жидкость твердого тела. Применяя преобразование Гаусса к поверхностным интегралам в формулах F.3) и F 4) и опуская для простоты письма
92 ГИДРОСТАТИКА штрих над координатой z, имеем: ГГЛ ИГ (8.1) так как формула преобразования Гаусса при внутренней нор- нормали к замкнутой поверхности S имеет вид / /О- У. z)cos(«, x)dS = — Далее имеем: '-х = — 8? / У dx — — L,=0. (8.2) суть координаты центра тяжести объема т, т. е. обьема жидкости, вытесненного телом. Так как условие F.5) в этом случае выполняется, то формулы (8.1) и (8.2) показывают, что силы гидростатических давлений жидкости на замкнутую поверхность погруженного твердого тела приводятся к одной равнодействующей, равной весу вытесненного объема жидкости; эта сила направлена вертикально снизу вверх и приложена в центре тяжести вы- вытесненного объема (точнее, приложена в точках вертикали, проходящей через упомянутый центр тяжести). Если тело погружено в жидкость частично, то, продолжив мысленно горизонтальную сво- свободную поверхность жидкости внутри тела (рис. 30) и считая на этой плоскости АКВ давление постоянным (равным атмосферному), мы можем применить предыдущие рассужде- рассуждения к замкнутой поверхности АК.ВМ, ограничивающей объем т погруженной части тела. Таким образом, получается, что совокуп- ьость давлений на частично погруженное тело приводится к одной равнодействующей Р, равной весу вытесненного объема жидкости, направленной вертикально вверх и приложенной к центру тяжести Ц вытесненного объема т. Аналогично рассматривается случай погру- погружения тела в несколько слоев жидкости различной плотности. § 9. Давление на криволинейную стенку. Совокупность давле- давлений на криволинейную твердую стенку S вообще не приводится к одной равнодействующей. Нетрудно дать указания для расчета главного вектора и главного момента давлений.
§91 ДАВЛЕНИЕ НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ 1ЛЬНК.У 93 Для расчета главною вектора проведем через контур криволи- криволинейной площади 5 (рис. 31) три цилиндрические поверхности, обра- образующие которых параллельны координатным осям Ox, Oz и Оу (последняя поверхность не изо- „ Сражена на рисунке). Эти по- поверхности вырежут на коорди- координатных плоскостях площадки Sx, Sy, Sz, являющиеся проек- проекциями криволинейной пло- площади 5; присоединяя эти пло- площадки, а также поверхность 5 к упомянутым цилиндрическим поверхностям, мы получаем три замкнутые поверхности. На основании закона Архимеда, со- совокупность давлений на каждую такую замкнутую поверхность Рис. 31. приведется к силе, равной весу заключенного в ней объема жидкости и направленной вертикально снизу вверх. Взяв замкнутую поверхность с образующими, парал- параллельными оси Ох, и проектируя все силы на эту ось, имеем: Px-SxPe = 0, где рс — давление в центре тяжести плоской площадки Sx, так как давления на цилиндрическую часть этой замкнутой поверхности будут перпендику 1ярны к оси Ох. Аналогичным путем можно вычислить Р . При расчете Рг примем, что начало координат взято на поверх- поверхности приведенного уровня тогда давление на площадку S. равно нулю и, проектируя на ось Oz все силы, приложенные к замкнутой поверхности с образующими, параллельными оси Oz, получаем, что Рг равно весу столба жидкости над криволинейной поверх- поверхностью S. Для расчета момента L, вокруг верти- вертикальной оси Oz может быть применено следующее построение. Будем вращать площадку 5 вокруг оси Oz и рассмотрим замкнутую поверхность, образованную площадкой S, частью ? поверхности вращения тороидального вида и плоским меридиональным сечением о поверхности вращения (рис. 32). В силу закона Архимеда, совокупность давлений, прило- приложенных к частям 5, S, о рассматриваемой замкнутой поверхности, приводится к одной силе, направленной вертикально, даюшей, сле- следовательно, момент, равный нулю, относительно оси Oz. Кроме того, О \г Рис. 32.
94 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ш все силы, приложенные к части S, пересекают Oz и также дают моменты, равные нулю. Таким образом, получается, что где L'z — момент относительно Oz сил давлений, приложенных к пло- плоской площадке о; последний же момент, на основании предыдущего, будет иметь выражение: 11 = an г., Z где рс-—давление в центре тяжести площадки о, гц—расстояние от оси Oz центра давления площади о. § 10. Упражнения. 1. Объем z несжимаемой жидкости находится в равновесии под действием массовых сил, направленных к неподвижному центру и пропорциональных расстоянию от этого центра. Определить форму свободной поверхности, вычислить давление в центре для воды, если х = 1000 мъ и сила притяжения 1 грамм-массы = 1 дине при удалении на 1 см. Решение. Приняв центр за начало координат, имеем: где (J. — коэффициент пропорциональности, откуда X = — \>-х, У = — (лу, Z = — [J.Z. Далее, dp = p (/Y dx + Y dy + Z dz) = — ?ix (x dx + у dy -f z dz) = — -j w dr2, откуда /,=C—1црг*. (ЮЛ) На свободной поверхности р = 0, и уравнение ее будет иметь вид Следовательно, свободная поверхность имеет форму сферы. Произвольную постоянную определяем из условия 2CV/2 „ (хр /Зх\% U7 ' откуда С = ^Ы ' Давление в центре найдем, полагая в A0.1) г = 0: с _ w / зх у/. Подставляя числовые значения р = 1, [* = 1. х = 109, имеем: ра=: (х~) '' 10" ~ 192 500 дин на 1 см'2 или около 2 «г на 1 см2.
§ 10) УПРАЖНЕНИЯ 95 2. Частицы несжимаемой жидкости притягиваются к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона. Найти уравнение поверхности уровня р = \, если задан объем жидкости и, и сила на единице расстояния равна |х_ Ответ. Сфера радиуса . . у At. 3. Дано поле массовых сил: X = у2-\-2\yz-\-z2, Y = z2 + 2\хгх -f- x2, Z = х2 -j- 2vxy -f- у2, где X, jx и v — параметры. При каких численных значе- значениях А, IX и v в указанном поле возможно равновесие жидкости? Ответ. При А = [л = v = -^-. 4. Частицы газа, рассеянного по неограниченному пространству, при- притягиваются к неподвижному центру с силами, пропорциональными удалению частиц. Определить давление в центре при изотермическом равновесии, если дана масса газа М, и сила притяжения на единицу массы равна [х при удалении от центра, равном единице. о„'з вт ' где ^ — газовая постоянная, Т—абсолют- Т—абсолютная температура. 5. Определить давление в центре Земли, если бы последняя представ- представляла собой шар радиуса R из несжимаемой жидкости плотности р, если известно, что массовая сила веса, равная g на поверхности земли, убывает к центру, будучи пропорциональной расстоянию до центра земли. Qt ,х Ответ. ро = -^ , 6. Определить давление и положение центра давления „ па вертикальный плоский квадрант радиуса а, одна из сторон которого Ох совпадает со свободной горизонталь- горизонтальной поверхностью жидкости, на которой давление равно нулю (рис. 33). г, _ 1 , 3 3 Рис. 33. Ответ. Р = — gpa3, х = — а, У„ = -гг" 71а- 7. Определить положение центра давления на вертикальный круго- круговой диск радиуса а, центр которого имеет глубину h от приведенного уровня. Ответ. Центр давления лежит на одной вертикали с центром диска, а2 ниже последнего на величину -тт-. 8. Полусфера радиуса а с вертикальной осью наполнена до краев жидко- жидкостью. Определить результат давлений на четверть полусферы, отсекаемую двумя вертикальными взаимно перпендикулярными плоскостями. Ответ. Совокупность давлений на рассматриваемую часть сферы Охуг (рис. 34) приводится к одной силе Р = -^ gpa3 YT-2 + 8, длина действия ко- 2 торой ОЦ имеет уравнения: х = у = — г. 9. Определить положение центра давления на вертикальный прямоуголь- прямоугольный щит шлюза, если нижнее ребро щита имеет глубину а. Ответ. Центр давления лежт на средней вертикали на глубине -=-д. о
96 ГИДРОСТАТИКА [гл Hi 10. (Парадокс Жуковского.) В вертикальную стенку сосуда, наполнен- наполненного жидкостью, вделан однородный круглый цилиндр, способный без гре- иия вращайся вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости стенки, так что половина цилиндра остается все время погруженной в жидкость и испытывает, в силу закона Архимеда, давление, направленное снизу вверх, которое, казалось бы, должно заставить цилиндр вращаться Таким образом, казалось бы, можно было получать работу без затраты энергии, т. е. можно бы 0, t осуществить perpetuum mobile. Объяснить, почему цилиндр не вращается. Ответ. Каждая сила давления, действующая на элемент поверхности цилиндра, направлена по радиусу и не дает момента относительно оси. Совокупность всех давлений приводится к одной равиодейсшующей (рис.35), величина которой где д —радиус цилиндра, h — глубина оси от приведенного уровня Сила эта, лежащая в вертикальной плоскости, перпендикулярнои к оси и делящей ее пополам, проходит через ось цилиндра и точку К с координатами 4а ЗА • Б. РАВНОВЕСИЕ ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ § 11. Условия равновесия плавающего тела. Закон Архимеда дает простой критерий для суждения о поведении тела, погружен- погруженного в жидкость. Совокупность гидростатических давлений приво- приводится к одной силе, равной весу вытесненного обьема жидкости, приложенной к центру тяжести объема, погруженного в жиакость, и направленной вертикально вверх. Если тело це шком погружено в однородную жидкость и однородно, то центр тяжести всего тела совпадает с центром тяжести погруженного объема и тогда, очевидно, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы плотность тела р, равнялась плотности жидкости р. Если pt > р — тело тонет, если Pj < р — тело всплывает. Если неоднородное тело погружено в жидкость, которая также может состоять из горизонтальных слоев
121 ПОВЕРХНОСТЬ СЕЧЕНИЙ 97 У различной плотности, то упомянутые центры могут не совпадать, и тогда для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти центры лежали на одной вертикали и чтобы средняя плотность тела равнялась средней плотности жидкости в объеме, занимаемом телом. Для равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, очевидно, необходимо и достаточно: 1) чтобы вес вытесненного объема жидкости равнялся весу тела и 2) чтобы центр тяжести объема, погруженного в жидкость, лежал на одной вертикали с центром тяжести всего тела. § 12. Поверхность сечений. Необходимым (но не достаточным) условием равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, является, таким образом, постоянство объема хг части тела, погру- погруженной в жидкость, считаемую однородной. Условимся называть плоскостью плавания всякую плоскость, отсекающую от тела упомянутый объем т2, а площадь сечения назовем площадью плавания. Огибающая всех плоскостей плавания называется поверхностью сече- сечений. Легко заметить, что поверхность сечений есть не что иное, как геометри- геометрическое место центров инерции площадей плавания. В самом деле, примем какую- нибудь определенную плоскость плавания за плоскость Оху (рис. 36) и возьмем за ось Оу линию пересечения этой пло- плоскости с произвольной соседней пло- плоскостью плавания АВ, наклоненной к пер- первой плоскости под бесконечно малым углом 9. Положение начала координат на прямой уу' остается пока неопределенным. Так как обе плоскости плавания должны отсекать от тела одинаковые объемы, го клиновидные обьемы Ахуу' и Вх'уу' должны быть равны, что с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть вы- выражено равенством Рис. 36. I I zdxdy — I I zdxdy, пл хуу' где Z есть координата точек плоскости АВ; при этом первый интеграл распространен на части х'уу' площади плавания, где координата z отрицательна, вследствие чего для выражения положительной вели- величины — объема — перед интегралом взят знак минус. Переписав пре- предыдущее равенство в виде 7 Зак. 1190
98 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III где интеграл pacnpociранен на всю площадь плавания, и замечая из чертежа, что z = xtgQ, получаем: tgti f f откуда заключаем, что координата хс центра инерции площади хух'у', выражающаяся формулой I I х dx dy х г ^^ -,—-,— , г пл. хух у равна нулю, т. е. центр инерции площади плавания должен лежать на прямой пересечения взятой плоскости плавания с соседней пло- плоскостью. Так как положение последней произвольно, то все линии пересечения должны проходить через одну точку — центр инерции рассматриваемой шощади плавания хух'у'. С другой стороны оги- огибающая поверхнос1ь должна касаться каждой из плоскостей пла- плавания, и точку касания на некоторой плоскости плавания можно рассмафивать как предельное положение точки встречи двух линий пересечения взятой плоскости с двумя другими бесконечно близкими плоскостями плавания. Таким образом, мы приходим к заключению, что поверхность сечений можно рассматривать как геометрическое место центров инерции различных площадей плавания. § 13. Поверхность центров. Каждой плоскости плавания соответ- соответствует определенная форма постоянного объема, отсекаемого ею от тела, и значит соответствует определенное положение центра тяжести этого обьема. Геометрическое место центров тяжест объемов, отсекаемых различными пло- плоскостями плавания, носит название поверхности центров. Согласно сказанному в § 11, разы- разыскание положения равновесия плавающего тела сводится к отысканию на поверхности центров такой точки, чтобы прямая, соединяющая ее с центром тяжести всего тела, была перпенди- перпендикулярна к соответствующей плоскости плавания. Это отыскание облегчается следующим свойством поверхности центров: можно убедиться, что касательная плоскость к поверхности центров параллельна той плоскости плавания, которая соответствует точке касания. В самом деле, если пересечь определенную плоскость плавания АВ (рис. 37) другой произвольной бесконечно близкой плоскостью плавания А'В', то, как мы видели, объемы клиновидных частей АСА' и ВСВ' будут одинаковы. Пусть центры тяжести этих объе- объемов будут Ki и К2, а К — центр тяжести объема ACB'D. Тогда центры тяжести Н2 и Н1 одинаковых объемов ABD и A'B'D, отсе- отсекаемых плоскостями плавания, будут лежать на прямых КК^ и ККХ,
i, н] РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ГЛАВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ 99 и положение точек Я2 и Нг определится из известных соотношений: КН2 _ обьем ВСВ' , КН, __ объем АСА' ~КК2 ~ обьем ABD ' КК\ ~ обьем ABD ' откуда заключаем, что кн 2 . t\t\2 i\i\ i и, следовательно, В пределе, когда А'В' сольется с АВ, секущая прямая на поверх- поверхности центров Я2Я2 примет направление касательной к этой поверх- поверхности, а прямая К\Кг будет лежать в плоскости плавчния. Следова- Следовательно, получается, что произвольная касательная прямая к поверхности центров будет параллельна плоскости плавания, что и оправдывает наше утверждение. Таким образом, разыскание положений равновесия плавающего чела сводится к задаче о проведении из центра тяжести всего тела нормалей к поверхности центров. Заметим, что предыдущее геометрическое рассмотрение приводит нас к заключению о том, что поверхность центров есть поверхность, выпуклая в каждой своей точке, т. е. что эта поверхность по со- соседству с точкой касания лежит вся по одну сторону от касательной плоскости в любой ее точке. В самом деле, так как Н2Н1\\Кг,Кг и так как Кх выше /С2> но и Я, будет выше Я2, предельное же напра- направление Н{Н2 горизонтально. Это означает, что если в Я2 проведена касательная плоскость, которая будет горизонтальна, то все точки поверхности центров по соседству с Я2 будут лежать выше, т. е. расположатся по одну сторону от касательной плоскости. Последнее можно, как известно из геометрии, формулировать еще иначе, ука- указав, что индикатриссой для поверхности центров в любой точке служит эллипс, т. е. что всякая секущая плоскость, бесконечно близкая и параллель- параллельная касательной плоскости, будет пересекать поверхность центров по бесконечно малому эллипсу. § 14, Радиусы кривизны главных нор- нормальных сечений поверхности центров. Фиксируем некоторую плоскость плавания АВ (рис. 38) и проведем в ней оси Ох и Оу, взяв начало координат в центре инерции пло- площади плавания; соответствующее положение центра тяжести погруженною обьема обозначим через Яо с коорди- координатами х0, у0, z0; проведем другую плоскость плавания А'В', близ- близкую к АВ, и отметим соответствующий ей центр Я с координа- координатами х, у, г. Положительную ось Oz будем считать направленной 7*
100 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. III вертикально вверх. Уравнение плоскости А'В' может быть написано в виде где а и р — произвольные малые параметры, так как при а = 0 и Р = 0 получаем 2 = 0 — уравнение плоскости АВ. Для определения координат точек Н и Яо на поверхности цент- центров служат известные формулы 0 = — xdx, х = — ^0 J х J х dx, где •: и х0 означают равные объемы A'B'z' и ЛЯг'. Отсюда находим: т (л: — д:0) = J х rfx; т (у — у0) = J у dz; z(z — zo) = j zdx, причем последние интегралы распространены только на клиновидный объем между плоскостями АВ и А'В'. Выражая элемент этого по- последнего объема dx через zdxdy, где z — координата переменной точки плоскости А'В', мы приведем последние формулы к виду х (х — jCq) = j I xzdxdy — г Г Г х2dx dy -\~ J3 Г Г ху dx dy, t (У — Уо) = / / yzdxdy^o. j J xydxdy + $ j J y4xdy, x(z — z0) =±J j z*dxdy=ja*J j где все двойные интегралы распространены по площади плавания АВ (коэффициент -TV поставлен потому, что координаты центра тяжести элементарного объема zdxdy суть х, у, -кА. Вводя обозначения: Для момента инерции площади плавания относительно Оу: В' = J J x2dxdy,
§ 14] РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ГЛАВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ Ю1 для момента инерции площади плавания относительно Ох: А' = Г Г y2dxdy, для центробежного момента: F ~ Г Г xydx dy, перепишем предыдущие формулы в виде: A4.2) откуда, решая первые два уравнения относительно а и р и подста- подставляя в третье, получаем уравнение поверхности центров по сосед- соседству с точкой Но: 2 (г - z0) = -jfQ^rjn \А' (х - х0J -2F(x — xo)(y- y0) + + B'(y_yoJj. A4.3) Последнее уравнение упрощается, если за оси Ох и Оу взять главные оси инерции площади плавания АВ; тогда, как известно, будет F = 0, а А' и В' превратятся в главные моменты инерции А и В, и уравнение j[14.3) примет вид 2 (z - *о) = -J- (* — хоJ + ^ (У - УоJ- (Н.4) Если, наконец, при сохранении направления осей перевести начало координат в точку Я0(х0, у0, zQ), то уравнение поверхности центров еще более упростится и примет вид 2z = -Lx2 + JLy2. A4,5) С другой стороны, из геометрии известно, что если взять начало координат в точке касания, а оси Ох и Оу в касательной плоскости, направив их по главным нормальным сечениям, то уравнение всякой поверхности вблизи точки касания представится в виде <14-6- причем радиусы кривизны главных нормальных сечений Rx и R,2 вы- выражаются формулами
102 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ II! Сравнивая уравнения A4.5) и A4.6), приходим к заключению: 1) что главные нормальные сечения поверхности центров парал- параллельны главным осям инерции площади плавания, соответствующей точке касания; 2) что радиусы кривизны главных нормальных сечений связаны с главными моментами инерции площади плавания простыми соотно- соотношениями Rl = IJi, /?2 = /2/т A4.7) (/[ обозначает либо А, либо В, а тогда /2 соответственно В или А). § 15. Устойчивость равновесия. Рассмотрим вопрос об устойчи- устойчивости равновесия лишь по отношению к таким перемещениям, кото- которые выводят из равновесия плавающее тело с сохранением объема, погруженного в жидкость. Такие перемещения, как было показано в § 12, сводятся к повороту тела вокруг горизонтальной оси, ле- лежащей в плоскости плавания и проходящей через центр инерции площади плавания. Вопрос об устойчивости равновесия по отно- отношению к перемещениям иного вида очевиден, так как по отно- отношению к любому вертикальному поступательному перемещению равновесие всегда является устой- устойчивым, по отношению же к любому горизонтальному поступа- поступательному перемещению и по отношению к любому повороту вокруг вертикальной оси — равновесие плавающего тела будет без- безразличным. Обращаясь к рассмотрению устойчивости равновесия при пере- перемещениях, не меняющих вытесненного объема жидкости, возьмем на- начало координат в центре тяжести Нй объема, погруженного в жидкость (рис. 39), и направим ось Oz вертикально вверх. Тогда, при равно- равновесии тела, плоскость Ноху будет касательной к поверхности цен- центров, и координаты центра тяжести всего тела С будут 0, 0, z. Взяв на поверхности центров точку Н, близкую к Но, проведем к ней касательную плоскость, уравнение которой на основании A4.5) бутет иметь вид { — Z — -%-$~X)-\--.- (Г, — у), A •"). ] | где 5> '//, С—текущие координаты. Обозначив через d длину перпен- перпендикуляра СР, опущенного из точки С на эту касательную плоскость, Рис. 39.
щ ]о] ЬСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВГСИЯ имеем по известной формую анатитпческой reoMeipmi / /2 ' (~2д2 -2у2 \ —'/2 1 -| j" ~\~~~т~ I в РЯ1 " удерживая в нем Л 72 / н при дальнейшем умножении члены наинизшего порядка матоста относительно малых величин х и у, последовательно находим, при- применяя еще уравнение A4.5): __ "• х "• У 9/ '9/11 9/2 9/2 Применим теперь критерий Дирихте дтя суждения об устойчивости равновесия, для того чтобы равновесие reia было устойчивым, до- (.глочно, чтобы потенциал сил, приложенных к тету, имел минимум в положении равновесия. Силы, приложенные к те 1}, сводятся к i,bjm вершьатьным сн 1ам: силе веса Q, приюжепной к точке С и дейанз'ющей вниз, и равнодействующей Р гидростатических дав те- тений, приложенной в центре тяжести погруженною обьеиа и аей- 1.тв)ющей вверх, при равновесии те та P=^Q, причем равен^ью сохраняется при перемещениях те та, не изменяющих вытесненного обьема После такого перемещения центра //0 в положение Н каса- четьная плоскость A5 1) сделается горизонтальной, а отрезок СР — вершкатьным, и если обозначить после перемещения вертикатьные координаты точек С и Р через z' и г', то б\дем иметь z' — z' = d. A5 3) Потенцпл сит, притоженных к Teiv при направлении оси Ог BBipx, выразится, как известно из механики, формулой и in в cinj ^ равнений A5 2) а A3 3) ^А?1 A5 4) 2/j I - / ' 21\
104 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ. Ill Из последнего выражения видно, что если разности —'-—г и —*-—z будут одновременно положительными, то значение потенциала V = Pz в положении равновесия (х = 0, у — 0) будет являться минимумом, и тогда в силу критерия Дирихле рассматриваемое равновесие будет устойчивым. Точки, отложенные вверх по вертикали Н0С в расстоя- расстоянии /[/х и /2/т от Но, носят название большого и малого метацен- метацентров (считаем 1Х > /2). В силу равенства A4.7) можно еще определить метацентры как центры кривизны главных нормальных сечений поверхности центров. Таким образом, мы приходим к выводу, что положение равновесия плавающего на поверхности жидкости тела будет устойчивым по отношению к повороту вокруг горизонтальной оси, не меняющему помещенного объема жидкости, если центр тяже- тяжести тела, который находится в положении равновесия на одной вер- вертикали с метацентрами, лежит ниже нижнего (малого) из них. § 16. Упражнения. 1 Однородное гело плотности а, имеющее форму параболоида вращения х2 -j- у1 = 2az, усеченного плоскостью, перпендику- перпендикулярной к оси на рассюянии Л от вершины плавает на поверхности однород- однородной жидкости плотности р так, что ось параболоида вертикальна и вершина обращена вниз. Определить глу- глубину г погружения вершины. Отчет z — h Vp/a. 2. Определить поверхность сечений для трехгран- трехгранной однородной призмы плавающей так, что ребра призмы остаются горизонтальными. Решение. Из условий задачи очевидно, что поверх- поверхность сечений представляет собою цилиндрическую поверхность, образующие которой будут параллельны ребрам призмы, поэтому достаточно определить вид направляющей кривой в сечении ABC, перпендикуляр- перпендикулярном ребрам (рис 40) Пусть PQ есть след плоскости плавания тогда, если взять прямые АВ и АС за косоугольные оси х и у с углом при вершине О, то условие сохраняемости погруженного объема дает: площадь APQ = const. или -g- xy sin 0 = const., откуда ху = сг, A6.1) где с — постоянная, определяемая из условия равновесия ¦~- оху sin о = -=- <sab sin о (где р и а суть плотности жидкости и тела, а а и b — длины сторон АВ и АС) или с2р = aba. A6.2) Остается найти уравнение огибающей прямых PQ; уравнение этой пря- прямой есть
§ 16] УПРАЖНЕНИЯ 105 где i и •») — текущие координаты. Выражая у через х на основании A6.1) и дифференцируя затем по параметру х, имеем последовательно: с - Исключая из последних уравнений параметр х, находим уравнение огибаю- огибающей 4^ = с2, что дает гиперболу, асимптоты которой суть АВ и АС. 3. Определить поверхность центров в условиях предыдущей задачи. Решение. По известному свойству гиперболы, точка касания К будет делить пополам отрезок касательной PQ, заключенный между асимптотами; це-rrp же тяжести измещенного объема жидкости будет совпадать с цен- центром тяжести И площади APQ среднего перпендикулярного сечения. Послед- Последний же лежит, как известно на прямой АК на расстоянии 2/3 АК от вершины; следовательно, координаты 5( и i)t точки Н будут: D где 5 и у) — координаты точки К, удовлетворяющие уравнению 45т] = с2. A6.3) Выражая 5 и г; через ?, и т],, находим уравнение кривой центров 9?й, = с2, A6.4) что выражает гиперболу, подобную A6.3). 4. Определнть поверхность сечений и поверхность центров для четырех- четырехгранной призмы прямоугольного сечения, плавающей так, что ребра остаются горизонтальными. Решение. Рассматривая аналогично предыду- предыдущему среднее перпендикулярное сечение ABCD (рис. 41), без труда заключаем, что все возмож- возможные положения плоскости плавания PQ будут пересекаться в одной точке К—середине PQ. Следовательно, в этом случае кривая сечений вырождается в точку. Для определения вида кри- кривой центров отметим центр тяжести Н измещен- измещенного объема в том положении призмы, когда грань АВ горизонтальна, а значит, и параллельна плоскости плавания PQ. Взяв точку Н за на- начало координат, проведем ось Нх параллельно грани АВ Рассматривая некоторое соседнее по- положение плоскости плавания P'Q' и вводя обо- Рис. 41. значения РК= KQ — а. РР' = 6, КН = с. пло- площадь PQAB = 5, имеем для координат х и у тяжести Н' очевидные формулы: 1,2 1 , / 2 х — - S нового 2 " 3 ) аЧ S 1 3 положения » S ' В центра
106 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III Исключая 6, находим-. или, заменяя 5 через 4ас: 3S ' Зс ' т. е. кривая центров есть парабола. 5. Определить поверхность сечений и поверхность центров для плаваю- плавающего однородного кругового конуса. Решение. Пусть ABDE будет одна из плоскостей плавания (рис. 42); это сечение есть эллипс. Проведем в последнем главные оси АВ = 2а и DE — 2b. Возьмем ось конуса за ось Oz, вершину — за начало координат и направим ось Ох в плоскости ОАВ. Обозначив через р перпендикуляр ОК на плоскость плавания, выразим условие постоянства вытеснен- вытесненного объема жидкости: 1 ¦w р ¦ = const. Произведение ра выражает площадь д ОАВ, которая может быть иначе выражена через р 42  '''2 s'n^> гДе 'i = О Л, 1г = ОВ и И — угол между осью конуса и образующей. Таким образом, пре- предыдущее соотношение примет вид после разделения на постоянные мно- множители: /,/„¦ 6= const. A6.5) Покажем, далее, что малая полуось b = sm§ylxl2. В самом деле, так как эта полуось параллельна оси Оу, то b = у . Если уравнение конуса есть z2 = k2{x2 + y2), где то для точки D: Уп = или, замечая, что xD = хс и zD = zc, имеем: Так как точка С есть середина АВ, то Чтобы найти координаты точек А и В, ищем пересечение прямых ОА и ОВ, уравнения которых в плоскости Oxz суть z = kx, г = — kx,
§ 16] УПРАЖНЕНИЯ 107 с прямою АВ, уравнение которой в нормальной форме будет где аир — косинусы углов, образованных перпендикуляром ОК. с осями Ох и Ог, так что а24-!32 = 1. Находим: х — р ( г _ fel — р __ fe/J a a — к j jo «rf — a ft23 ¦ a2 XC ~ 6242 _ a2 P< ZC — 62^2 _ a2 и югда С другой стороны, имеем: ? = bjs\n О, /А2?2 — а2 откуца 6 = sin j^ Вставляя последнее выражение в A6.5), заключаем, что d?2)S/2 = const., илн /,/2 = const. A6,6) Как было показано в задаче 2, огибающая семейства прямых АВ, обладаю- обладающих свойством A6.6), есть гипербола с асимптотами ОА и ОВ. Таким образом, приходим к заключению, что поверхность сечений есть часть поверхности двуполого гиперболоида вращения, которого будут ка- касаться различные плоскости плавания своими центрами С. Так как центр вытесненного объема Я лежит на 3Д отрезка ОС, то заключаем, что поверх- поверхность центров есть подобный гиперболонд вращения. 6. Определить поверхность сечений н поверхность центров для одно- однородного эллипсоида. Решение. Найдем решение задачи сначала для однородного шара с радиу- радиусом, равным единице:
108 ГИДРОСТАТИКА [ГЛ III Очевидно, что огибающей плоскостей плавания PQ, отсекающих от шара некоторый объем т, будет поверхность концентрического шара (рис. 43), радиус которого найдем из соотношения М где f ТС A — 1*2) du = 1, Г г = ON, 1 = ОМ, и = О К, Рис. 43. KL = V\— и2. Выполняя интегрирование, находим: 3 A6.7) Положение центра тяжести Н отсеченного объема найдется по известной формуле: i Г тм(\ — и2) du R=L или 1 3  B +г) • A6.8) Следовательно, поверхностью центров будет служить концентрическая сферическая поверхность радиуса R. Обращаясь к эллипсоиду произведем преобразование к новым переменным 5, -г), С по формулам л: = а%, у = b-<\, z — cZ. Такое преобразование выражает деформацию, складывающуюся из сжатий вдоль осей Ox, Oy, Oz с коэффициентами а, Ъ, с. В результате сжатий эллипсоид перейдет в шар объем которого будет в abc раз меньше объема эллипсоида. Если плоскость плавания отсекала от эллипсоида некоторый объем V, то от шара она будет отсекать объем V/abc. Для шара поверхность сечений и поверхность центров суть концентрические сферы, радиусы г и R которых найдутся из соотношений
УПРАЖНЕНИЯ 10! Возвращаясь к прежним переменным х, у, г, т. е. совершив обратную деформацию растяжения, мы приходим к заключению, что для эллипсоида поверхностями сечений и центров будут служить поверхности подобных эллипсоидов: х1 (ЬгУ У2 (cry . 1 (aRy ^ (bRJ ^ (cRJ 7. Определить поверхность центров для прямого однородного цилиндра произвольной формы сечения. Ответ. Эллиптический параболоид 2z — с В Рис. 44. если начало координат взять в центре инерции О площади перпендикуляр- перпендикулярного сечения MN (основания цилиндра) и оси Ох и Оу направить по глав- главным осям инерции площади этого сечения (рис. 44); А и В суть главные моменты инерции площади: А = J Г x2dxdy, В = J Г у2 dx dy. с — отрезок Oz до плоскостн плавания; V — измещенный объем MPQN; прн постоянстве V остается постоянным и отрезок с.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ИНТЕГРАЛЫ БЕРНУЛЛИ И КОШИ § 1. Установившееся движение. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости допускают интегралы, аналогичные интегралу живой силы, в двух простейших случаях движения жидко- жидкости: 1) установившегося и 2) безвихревого- Рассмотрим случай установившегося движения. В этом случае режим движения в каждой точке, занятой жидкостью, не изменяется с течением времени, и поле скоростей, поле вихрей, поле гидро- гидродинамических давлений, поле массовых сил суть поля постоянные, или стационарные. Линии тока при установившемся движении совпа- совпадают с траекториями жидких частиц. Умножая скалярно основное уравнение движения „ dv 1 , ^~^F=7g Р на элементарное перемещение жидкой частицы vdt вдоль линии тока, получаем: F-vdt — ~-vdt= — (grad p-vdt) или Так как при установившемся движении dpjdt = O, то выражение ~- dx -f- -Д dy 4- -~ dz является полным дифференциалом dp и можно написать Xdx -f Y dy -f Z dz — d iX v2) = dp/p. Последнее уравнение выражает собой не что иное, как закон живой силы для жидкой частицы (см. § 14 главы II).
^ и 5 СТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ 111 Эго уравнение может быть без труда проинтегрировано при соблю- соблюдении двух условий: 1) если массовые силы имеют потенциал, кото- который мы 1еперь обозначим через V, так что Х= — dVjdx, Y = — dV/dy, Z = — dV/dz, н 2) если жидкость баротропна. В таком случае имеем: — dV — й (j v^ = dP. где (см. §11 главы II) и все дифференциалы взяты при перемещении вдоль некоторой линии тока, или, иначе: О!куда пол)чаем так называемый интеграл Бернулли: т/ + уг>2 + Р = Г, A.2) где Г есть величина, сохраняющая постоянное значение на данной линии тока, но, вообще говоря, изменяющаяся при переходе от одной линии к другой. Если массовые силы суть силы тяжести, то, направив ось Ог вертикально вверх, имеем: и интеграл Бернулли принимает вид Для несжимаемой жидкости по формуле A.1) име^м: Разделив на g и вводя обозначение y = pg- для удельного веса, напишем еще интеграл Бернулли в виде В уравнении A.3) первое слагаемое z выражает высоту рассма- рассматриваемой жидкой час гиды в данной трубке тока над некоторой гори- зошальной плоскостью и называется геометрической высотой Вто- Второе стаыемое v2j2g выражает высоту, на icoiopjro моыа бы нодм.пься
112 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV в пустоте материальная точка, брошенная вертикально вверх с началь- начальной скоростью v: это слагаемое называется скоростной высотой. Наконец, третье слагаемое выражает высоту, которую должен бы иметь покоящийся столб жидкости, чтобы получить давление р у основания столба; это слагаемое называется пьезометрической высотой. Таким образом, интеграл Бернулли выражает, что при установив- установившемся движении несжимаемой жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и той же трубки тока, что может быть еще записано так: или, если, в частности, геометрическая высота вдоль линий тока не меняется, то Р-— ^=1Р^~Р\ A.5) Из баротропных случаев остановимся на изотермических и изэн- тропических движениях (см. § 11 главы II). В изотермическом движении dP _ 1 С '= J и интеграл Бернулли A.2) примет вид (по-прежнему в качестве сил берем силу тяжести): Для движений адиабатических •=/ dp _ JL * JlT ! С x—l y ' Ср* и интеграл, аналогичный A.5), примет вид о 2 1 /х 1 ч— 1 \  2"= С" Т=Т ^2 — А Л Так как то мы можем записать этот закон еще в виде = I i-| iL 1 2 Pi \ ^
§2] БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 113 Для воздуха можно считать /я^1,4. Если vl и v2 не слишком велики, то, как легко видеть, влияние сжимаемости будет незначи- незначительным. В самом деле, пусть, например, скорость vl имеет порядок 3 • 10* см/сек, v2 — 0, ряй1,3 • 10~3 г/сл3, рх = 1 ат= Ю6 г/см сек2. Тогда получим: •л-1 Pl v\-v\ _ 0,4-1,3-Ю-3 9-10» ^ 1>67. 10-3f % p{ 2 1,4-10« 2 Но тогда в разложении правой части A.6) в ряд ро 1 I • 1 1 2 1 ^ Р) г pi 2 ^ 1-2 \ * J»i мы можем ограничиться первыми двумя членами и вновь получим уравнение A.5). § 2. Безвихревое движение. Если во время движения в каждой точке поля скоростей движущейся жидкости отсутствует вихрь, т. е. rot v = О, и, следовательно, скорость является потенциальным вектором v = grad tp, так что д<? ду ду х дх ' у ду ' г дг ' то основное уравнение движения F.4) главы второй упрощается, принимая вид д gfad ? , _„Л1 „.2^ ___ /7 i р При этом движение может быть неустановившимся, так что потен- потенциал скорости нужно рассматривать как функцию четырех аргумен- аргументов— х, у, z, t. Так как, очевидно, ^— -T-s.a't,* ) = F— ^ grad p. B.1) то из уравнения B.1) получается F = grad (|J-) + grad A w2) +- - grad p. B.2) Для несжимаемой однородной жидкости будет справедливо очевидное соотношение - grad p = grad (f), B.3) так как р постоянна для всех точек поля. 8 я,и п<><1
114 ПР0СГШШИ1- CJnqAII ДВИЖ1 НПЯ ИДЬ\.1ЪН0И ЖИДКОСТИ [1Л IV Для сжимаемой жидкости можно усгановшь аналогичное соотно- соотношение в том стучае, когда жидкость баротропна. В лом ст)чае введем вновь обозначение -JL~dP или P — I -L., B 4) и юг да можно написать: - grad p = grad P, B.5) ибо из B 4) имеем: 1 dр , . 1 dp , . \ dp , , 1 др ,, - ~сх-4 -х- rfy -I -^ rf^ H ^-dt — ъ дх ' о оу р ог ' р (я EР др др др = ч— dх 4- -3- й?У + 3- dz 4- -57- <#. Сравнивая коэффициенты при дифференциалах ар1ументов, находим: }_d^_dP_, 1 ^Р _ йР . \_dp__dP_ $ дх дл; ' р ду ду ' р dz dz ' откуда следует B.5); соотношение B 3) является очевидно частным случаем B 5). Таким образом, для рассматриваемых сл>чаев безвихревого дви- движения уравнение B.2) примет вид т. е. в этих случаях массовые силы должны являться потенциальным вектором. Обозначая потенциал сил через V, мы приведем уравнение движения B 2) к виду 0, B>6) показывающему, что выражение, заключенное в скобки, не зависит от координат х, у, z и является только функцией времени t: ^ + \tf-\-V + P=F(t), B.7) вид которой остается произвольным. Этот интеграл уравнений дви- движения носит название интеграла Коша. При наличии точько сит тяжести V = gz иитеграт Коши принимает вид + iv<> gz+PF«)- Г2 8)
§2] EE4BH4PFB0E ДВИЖЕНИЕ Ц5 Для несжимаемой жидкости будет р и интеграт Коши получается в виде ^jr + Yv2 + gz + J = Так как в последнем случае уравнение неразрывности имеет вид то мы зак точаем, что полное решение задачи об определении без- безвихревого движения несжимаемой жидкости сводится к отысканию одной функции ер, удовлетворяющей уравнению Лапласа B.10), а также ipai-шчным н начальным )словиям. Гидродинамическое давле- давление р найдется тогда из соотношения B.9), причем вид произволь- произвольной функции Fit) определи 1ся, если будет наперед задана зависи- зависимость р ог времени в одной точке поля. В случае, когда рассматривается абсолютное движение жидкости в подвижной системе координат Oxyz, основное уравнение движения может быть записано в виде G.10) главы второй - (va—ve) X rot*e = /=¦—! gradp. B.1 Будем опять считать, что абсолютное движение жидкости — безвих- безвихревое, т. е. что B.12) если, кроме того, примем, что сила имеет потенциал и плотность есть функция давления, то, повторяя предыдущие рассуждения, при- придем к следующей форме интеграла Коши: 5ТГ B.13) или *у* — «"«У) ^ — ~ (Ром +*ХУ-
116 ПРОСТГПШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДИ ИЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ 1\ где vox, voy, voz — проекции на оси подвижной системы координат скорости v0 начала этой системы, a ч>х, шу, сог — проекции на те же оси вектора угловой скорости вращения подвижной системы коорди- координат to. Этот результат можно получить также непосредственно из урав- уравнения B.7). В последнее уравнение входит производная от ср по вре- времени, взятая в неподвижной системе координат Ojcyz: да да (х, у, z, t) Ж Ы ' Производная же d'yjdt вычисляется в подвижной системе координат, г. е. для точки М, неизменно связанной с подвижной системой координат и имеющей относительно последней координаты х, у, z; ясно, что х, у, z будут функциями от х, у, z, t, причем производ- производные этих функций по времени определяют проекции переносной ско- скорости ve точки М: dx dy sit ex ox I y zs' at *-У oy I z x * dz __ ~~rTT — vez — vo Считая x, у, z постоянными, будем поэтому иметь по правилу диф- дифференцирования сложных функций: да dz да I ^=z —— dz dt dt d'f dt da dt ' da ~~ dt da dx dx dt i d? t + dx ^ ox dy 1 ш dy dt Находя отсюда d^jdt и вставляя полученное значение в B.7), мы и получим B.14). § 3. Установившееся безвихревое движение. В этом случае поле скоростей и поле давлений будут стационарными, поэтому dyjdt = 0, произвольная функция F (t) превращается в произвольную постоянную С, и интеграл Коши B.8) принимает вид: ^& + gz~{-P = C. C.1) где
E 41 ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА СКОРОСТЬ 117 В случае несжимаемой жидкости равенство C.1) перепишется так: "=С C.2) или, по разделении на g: | f=C, C.3) [де -у =^- р^; мы получим равенство, одинаковое по форме с интегра- интегралом Бернулли A.3). Отличие от последнего заключается в том, что иоионнная Г интеграла Бернулли является постоянной лишь для часпщ одной и той же линии тока и принимает различные значения ктя различных линий тока, тогда как в интеграле установившегося безвихревого движения постоянная С сохраняет одно и то же зна- значение для всех частиц движущейся жидкости. Интеграл вида C.1), C.2), C.3) иногда называется интегралом Бернулли — Эйлера. § 4. Ограничения, налагаемые на скорость. Существование интегралов Бернулли, Коши, Бернулли — Эйлера ставит для величины скорости известный предел, превзойти который движущаяся жидкость не может без разрыва сплошности. Рассмотрим, например, устано- установившееся безвихревое движение несжимаемой тяжелой жидкости. Пусть в некоторой точке поля на высоте г0 скорость и давление равны соответственно v0 и р0; тогда интеграл C.3) примет вид V = т; + + ? откуда ~T~2gnr*°~rT~5g Последнее соотношение показывает, что величина v не может ока- оказаться чрезмерно большой ни в одной точке жидкости, так как да- давление р в идеальной жидкости не может быть отрицательным. На- Например, для точек на той же высоте z — zQ получается неравенство откуда находим предел для величины скорости v: Если, например, вода, находящаяся в большом сосуде, вытекает в пустоту под действием только атмосферного давления р0, то на
118 ПРОСТЕПШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV поверхности сосуда можно принять величину v0 близкой к п}лю, и для скорости истечения получается ограничительное условие Например, при ро=- 10 000 кг/м2 для воды имеем: г»<[ 14 м\сек. § 5. Формула Торичелли. Интеграл Бернулли имеет фундамен- фундаментальное значение в вопросах гидравлики. Применим его для опреде- определения скорости истечения несжимаемой тяжелой жидкости из боль- большого открытого сосуда через малое отверстие. Если обозначить через 5 площадь свободной поверхности жидкости в сосуде, через s—площадь отверстия, через V и v — скорости па поверхности и Ei отверстии, ю уравнение неразрывности дает: SV = sv. Счиыя движение установившимся и безвихревым и применяя интеграл Бернулли— Эйлера, имеем: если начало координат взять на свободной поверхности и ось Oz направить вертикально вниз, так как давление в отверстии на глу- глубине г, где вытекающая жидкость образует также свободную по- поверхность, будет равно атмосферному давлению р0. Из равенства E.1) имеем: г,2 __ i/2 = 2gz или v2 — ~v2^ откуда v2 = 2gz -Ш" Если отношение s/S мало, то пренебрегая членом (s/5J, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торичелли v2 — 2gz. § 6. Истечение газов. Можно получить аналогичную прибли- приближенную формулу для оценки скорости истечения газа из большого сосуда через малое отверстие. Пусть давление и плотность газа в сосуде будут рг и pv атмосферное давление и плотность воздуха обозначим через р0 и р0. Будем полагать, что размеры сосуда настолько велики, что истечение можно рассматривать как устано- установившееся и притом безвихревое движение (в некотором интервале времени) и что на достаточном расстоянии внутри сосуда от отвер- отверстия можно пренебречь скоростью газа.
§7] ДЕЙСТВИЕ МГНОВЕННЫХ СИЛ 119 Считая аалее, что расширение газа через отверстие происходит адиабатически, пренебрегая силой тяжести н применяя интеграл дви- движения к двум точкам — внутри сосуда, где скорость ннчюжна, и к отверстию, имеем: где Из уравнения F 1) получаем: Ро pi = _^_ (El _ Е±\ — ,^i_ ^ *—1 \~?1 Ро У Тл—1 Pi \" Po/V или окончательно: F.2) § 7. Действие мгновенных сил. Допустим, что к жидкости прилагаются мгновенные массовые и поверхностные силы, действую- действующие в течение весьма короткого промежутка времени т, но дости- достигающие весьма больших величин. Чтобы определить действие таких сил па движение жидкости, применим основное уравнение движения, в правой части которого выделим явно мгновенную массовую силу F' и мгновенное давление р'\ dv „ , _, 1 , 1 , , — =F+F - j grad p — -grad/. Примем за начальный момент начало действия мгновенных сил; интегрируя тогда от f = 0 до / = т и замечая, что импульсами обыч- обычных сил можно пренебречь ввиду малой величины этих импучьсоп по сравнению с импульсами мгновенных сил, имеем: X •о' — <v=J— / — grad p'dt, о /де v и о' суть скорости одной и той же частицы непосредственно до начала и по окончании действия мгновенных сил, a J есть импульс мгновенных массовых сил: г= J F'dt.
120 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV Вследствие малости т можно пренебречь перемещением частицы за время т и, таким образом, скорости v' и v можно отнести к од- одной и той же точке поля. Ограничимся рассмотрением движения несжимаемой жидкости. Тогда, обозначая через к импульс мгновенных давлений j р' dt, будем, очевидно, иметь: ( G.1) Эго соотношение показывает, что действие мгновенных сил вызывает внезапное изменение скоростей в каждой точке поля. При отсут- отсутствии мгновенных массовых сил и при действии только мгновенных давлений имеем: v = — grad (-У G.2) Обратно, если происходит внезапное изменение поля скоростей что, например, имеет место, если внезапно изменятся границы жидко- жидкости (подводный взрыв), то такое изменение вызовет появление в ка- каждой точке жидкости мгновенных давлений, импульс которых связан уравнением G 2) с изменением скоростей. Взяв операцию div от обеих частей равенства G.2) и замечая, что divt> = 0 и divo' — Q, вследствие несжимаемости жидкости, и что по формулам векторного анализа расхождение от градиента есть оператор Лапласа, мы видим, что импульс мгновенных давлений должен удовлетворять уравнению Лапласа: d^7C_ Й2ТС 5f7C дх2 ~Т~ду2~Т~ дг*— • Далее, можно заключить, что если движение жидкости до начала действия мгновенных давлений было безвихревым, то оно останется безвихревым и по окончании действия. В самом деле, если <о = grad cp, то вследствие G.2) e'==grad(«p— jj. G.3) Называя потенциал скоростей после действия мгновенных давлений •о' = grad cp', через ср': имеем вследствие G.3):
§ Rj КИПЬТИЧССКАЯ ЭНЕРГИЯ BC3BH\PFBOro ДВИЖЕНИЯ 121 lie С—произвольная постоянная, одинаковая для всех частиц жидкости. Равенство G.2) показывает, что если ко всем частицам несжи- несжимаемой жидкости применить одинаковое мгновенное давление, то не произойдет никакого изменения скоростей, так как при т: = const, будет: ю' — TI — — grad [—) = 0, т. е. v' = <v. Равенство G.3) дает возможность установить новую точку зре- зрения на возникновение безвихревого движения. Если в G.3) положить ср= const., то <?' = -7+с- т. е. безвихревое движение, характеризуемое потенциалом ср', может возникнуть из состояния покоя <р = const, после действия мгновенных давлений с импульсом тг = — рср' -\- С. Если же в G.3) положить v' — const., то мы видим, что данное безвихревое движение, обладающее потенциалом скорости ср, может быть полностью во всей жидкости остановлено после применения импульса давлений тг = рср-)-С. Вместе с тем мы заключаем, что никаким подбором мгновенных сил давлений нельзя ни образовать, ни уничтожить вихревого дви- движения, так как в противном случае, полагая, например, v' — О, по G.2) мы имели бы: TI —gradl —I, т. е. rotf = 0. § 8. Кинетическая энергия безвихревого движения. Ограни- Ограничиваясь случаем несжимаемой жидкости, движущейся с однозначным потенциалом скорости ср. имеем для живой силы, заключенной в не- некотором односвязном объеме t, ограниченном замкнутой поверх- поверхностью S, выражение Известное преобразование Грина для двух любых функций ср и дает: (« (т)
122 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV где п есть направление внутренней нормали к поверхности S. Пола- Полагая <р = <р' и замечая, что если <р есть потенциал скорости, то мы получаем для живой силы жидкости, заключенной внутри поверх- поверхности S, выражение (S) Эта формула показывает, что живая сила несжимаемой жидкости в односвязном объеме, движущейся с однозначным потенциалом ско- скорости, зависит исключительно от движения на границах этого объема. В частности, если на границах нет протечения, т. е. если df/dn = O, или если на границах потенциал имеет постоянное значение, которое всегда можно считать нулем, так как потенциал содержит произволь- произвольную добавочную постоянную, то формула (8.4) дает 7=0, т. е. жидкость не имеет никакого движения внутри односвязного объема. Этот результат был нами получен ранее (гл. I, § 17). § 9. Теорема В. Томсона. В. Томсон (лорд Кельвин) доказал, что живая сила несжимаемой жидкости, движущейся в односвязном объеме с потенциалом скоростей, меньше живой силы во всяком другом движении, при котором па границах объема жидкость обла- обладает движением, одинаковым с безвихревым, внутри же обладает вихрями. В самом деле, пусть живая сила в безвихревом движении будет Т, а во всяком другом — V, при условии, что на границах объема нормальная составляющая скорости v' последнего движения одинакова с нормальной составляющей скорости v безвихревого дви- движения: «^+Р«у+т»г=<+К+^ (9Л) где а, р, f — косинусы углов, образованных внутренней нормалью к граничной поверхности S с осями координат. Кроме того, по условию: dz в силу уравнения неразрывности: д2о <Э29 <32ср + + x ^0 И IT
§ 9] ТЕОРЕМА В ТОМСОНА 123 Составляя разность живых сил, имеем: Преобразуем первый интеграл правой части, а именно: в силу оче- очевидных соотношений дер / дер \ д Г / дер \~| I dv д2ер _— у' — = ф \v' ¦—- — со - — дх \ * дх ] дх L \ х ох ] \ г \ дх дх2 Г I ' ^ W I 'у т dtp / t dtp \ д Г / дер \"| / dv'z д"<? \ ~дг \ г дг ) дг \У \ * дг ) \ ^ \ дг dz2 J ' имеем, принимая во внимание (9.2): ду \ У ду Применяя к каждому слагаемому правой части формулу Гаусса преобразования объемного интеграла в поверхностный, находим: f/ откуда, складывая и принимая во внимание (9 1), получаем: f
124 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV и таким образом соотношение (9.3) принимает вид Т ~ 7>0, если хоть в одной точке внутри объема скорость v' оыпчается or скорости безвихревого движения v. § 10. Упражнения. 1. При установившемся истечении газа из тонкой конической трубки траектории частиц представляют собой прямые, сходя- сходящиеся в вершине конуса. Предполагая, что движение совершается изотерми- изотермически, найти соотношение между ско- скоростями V и v в сечениях АВ и ab, пло- площади которых суть S и s (рис. 45). Решение, Из условия изотермич- ности имеем. Е- = k — const. Рис. 45. Р Пренебрегая силой тяжести и применяя интеграл Бернулли — Эйлера к сечениям АВ и ab, имеем: 1 A0.1) где Р и р — давление в этих сечениях. Условие неразрывности дает: откуда = vps, ~p~~~VS' и интеграл преобразуется к виду р Vi—V2 и, vs v2 — V2 k\n = ъ ИЛИ Й!П-тг=- = ^ Р Z VO ?. откуда S - 2k
10] УПРАЖНЕНИЯ 125 2. Определить форму сосуда, употребляемого для водяных часов (клеп- (клепсидры). Решение. Показателем времени в водяных часах служит высота уровня и верхнем сосуде, которая должна уменьшаться равномерно с постоянной скоростью V. Обозначая площадь верхнего уровня че- через 5, площадь малого О1верстия в нижней части со- сосуда через s и скорость истечения в отверстии — через v (рис. 46), имеем вследствие уравнения нераз- неразрывности: SV = sv. A0.2) По формуле Торичелли v = V~2gy, площадь же верхнего уровня S = пх2. Подставляя в A0.2), имеем: откуда находим уравнение образующей кривой 2?S2 * = ау, где я= 3. Показать, что при безвихревом движении с потенциалом ср живая сила несжимаемой жидкости, заключенной в трубке тока малого сечеиия между нормальными сечениями <р = ct, у = с2, может быть выражена формулой Т = -^ М (с2 — с,), где М — секундная масса жидкости, протекающей через трубку. Решение. Если обозначить площади сечений через St и S2, то применяя формулу (8.4) к рассматриваемому объему жидкости, имеем: ~Н« ( так как вдоль боковой поверхности трубки -~ = 0. Замечая, что (&),-• Шг— имеем: 1 ^ ?(v2S2c2 — vtS{Ci). Но вследствие уравнения неразрывности pv2S2 — p«|S| = М и, значШ| 4. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса с. Определить время, потребное для заполнения образовавшейся полости, считая, что в бесконечно удаленных точках действует постоянное давление р0 и что никаких других сил к жидко- жидкости не приложено. Решение. После образования полости частицы жидкости потеку1 к центру по радиусам, и поле скоростей будет симметрично по отношению
126 ПРОСТГИШИЕ СЛУЧАИ ДВИХ<ЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV к центру полости. Взяв последний за начало сферических координат, имеем одно уравнение движения вида Эйлера для точки, удаленной иа расстояние г', скорость которой обозначим через г/, а давление через р'\ dv' , dv' _ 1 dp' Условие несжимаемости даек r'2v'^F(t), A0.3) так как в любой момент рассматриваемого неустановившегося движения объем протекающей жидкости через сферу любого радиуса г' ие зависит ог последнего, но является некоторой функцией времени, ибо движение не- неустановившееся. Из последнего соотношения г'1 взяв частную производную по t и подставляя в первое уравнение, получаем: ^)-4-«' —= -- —. — """ dF а +v TTГ7< где Интегрируя ио г' в пределах oi оо до радиуса г заполняющейся поло- полости (г < с), имеем: -^)+^=f. A0.4) где v означает скорость у поверхности стягивающейся полости; давление на этой поверхности равно нулю, так же как и скорость в бесконечности. Написав соотношение A0.3) для частиц поверхности полости гЧ — F (О и взяв полную производную по t, имеем: с.,,,, п dr . , dv „ „ dv dr „ „ , „ dv подставляя в A0.4), получаем дифференциальное уравнение, связывающее или, по разделении переменных, dr Интегрируя в пределах от некоторого г до с и замечая, что в начале движения при г — с скорость v = 0, находим:
§ 10] УПРАЖНЕНИЯ 127 откуда Разделяя переменные и интегрируя в пределах от начала движения t = О до конца t — -., когда будет г = 0, получаем: о dr I V h Вводя подстановку г — си, находим: 1 Полагая, далее, и = хи», приходим к интегралу Эйлера вида В (р, q): р0 3 о йх = / JT в (| 1 \. По известному свойству В (р, q) = тг 4- 1 "меем: пли, так как Г l-^-j = У г. , а Г 1 — 1 = -- Г (— ], то окончательно 5. Определить давление при взрыве сферической бомбы внутри несжи- несжимаемой жидкости в частицах жидкости, непосредственно прилегающих к поверхности бомбы. Решение. Обозначая через р искомое давление и повторяя ход решения предыдущей задачи, приходим к уравнениям, аналогичным A0.4) и A0.5), с той разницей, что теперь на сферической поверхности р не равно нулю _ZliO + 1 ,,= А,_?. и _2vi_rv^L + \v»=AL_?>A0.6) г ' 2 рр dr 2 pov' откуда можно найти /> в зависимости от о и г, Можно выразить р в функ- функции от г и <. В самом деле, замечаем, что
128 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV откуда dv 2 1 rf2 (г2) и соотношение A0.6) приводится к виду откуда it2 + ( dt ) J ' 6. Показать, что если река имеет закругление, то у берега А с внутрен- внутренней стороны закругления скорость течения больше, а уровень ниже, чем у берега В с наружной стороны (рис. 47). Решение. Считая движение установившимся и безвихревым, примем центр кривизны закругления струи у точки А за начало цилиндрических координат г и ер, направив ось Oz вертикально. Тогда проекции скорости v на оси цилиндрических координат будут: vr — Q; v^ — v; v2 = 0. A0.7) Вспоминая выражения для проекций вихря на оси цилиндрических координат [см. (§ 7) главы И] 1 Г dvz д (rv9) (rot u) dvr dr ' Рис. 47. . . . _ 1 (rot v)z- y д и выражая, что движение безвихревое, находим в силу A0.7): дг дг Кроме того, уравнение неразрывности, написанное в цилиндрических ко- координатах: 1 д (rvr) I dvy dv2 г дг ~*~ г дер "^ dz ~ ' дает = 0 или d{rv) = 0. Таким образом, ri/ == k = const., и = — . Это соотношение показывает, что при правильной форме закругления, когда оба берега у точек А и В имеют общий центр кривизны, так что г > б < р у гв > гА,- будет vB<vA.
§ 11] ВВЕДЕНИЕ 129 На основании же интеграла Бернулли — Эйлера, называя через ZA и Zд высоты уровней в точках А и В, имеем у поверхности: так как давления у поверхности одинаковы (атмосферное). Из последнего соотношения заключаем, что 7. Показать, что если несжимаемая жидкость имеет установившееся без- безвихревое движение, причем внешние массовые силы обладают потенциалом, то давление р удовлетворяет неравенству Указание. Нужно предварительно непосредственным вычислением пока- показать, что V2 (и2) > 0, где v — скорость, а затем применить оператор Лапласа к интегралу Бернулли—Эйлера. 8. Показать, что в установившемся безвихревом движении несжимаемой жидкости, при котором траектории частиц суть плоские кривые, параллель- параллельные одной и той же плоскости (плоское движение), кривизна К линий тока выражается формулой v2 dn где р — давление, р — плотность, V — потенциал внешних массовых сил, dn — элемент нормали к линии тока, взятый в направлении от центра кривизны. Указание. Применить ход решения задачи 6 и из формулы v = —, где г — радиус кривизны, получить: dn r ' после чего использовать интеграл Бернулли — Эйлера. Б. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ § 11. Введение. Движение жидкости называется плоским, если все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре к некото- некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движение, параллель- параллельное этой плоскости. Очевидно, что в этом случае движение будет двуразмерным и достаточно рассмотреть движение в плоскости Оху, принимая за нее ту плоскость, параллельно которой совершается движение. Говоря в дальнейшем о потоке жидкости через некоторую кривую в плоскости Оху, мы будем под последним понимать поток через 9 Зак. 1190
130 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV цилиндрическую поверхность, для которой данная кривая служит на- направляющей, образующие параллельны оси Oz и высота равна единице. § 12. Функция тока. Не делая пока предположения об отсутствии вихрей в жидкости, можно показать, что уже одно уравнение нераз- неразрывности налагает на поле скоростей условие, поддающееся в плоском движении простому кинематическому истолкованию. В самом деле, ура- уравнение неразрывности дает для несжимаемой жидкости dvx dvv dvy д (— v.,) -з —-^-= 0 или иначе -^— — z—— . A2.1) дх ' ду дх ду к Если взять дифференциальное уравнение линий гока ——==—— или —v., dx-\-vrdy = 0, vx vy у \ х j ' то уравнение неразрывности A2.1) показывает, что левая часть по- последнего уравнения представляет собой полный дифференциал ') неко- некоторой функции ф dty = 0, A2.2) так что Функция ']>(х, у) носит название функ- функции тока, так как на каждой линии тока она сохраняет свое постоянное Рис 48 значение ф(х, у) = С, различное вообще для различных линий тока. Если между двумя точками A(xv yx) и В(х2, у2) провести неко- некоторую кривую (рис. 48), то нетрудно усмотреть, что поток жидкости через эту кривую выразится разностью значений функций тока в точках А и В, независимо от формы кривой. В самом деле, (А) (Л) Г v-nds= Г [vxcos(n, x)-rvycos(n, y)]ds = {В) (В) (А) (А) = Г (vx sin 9 — Vy cos В) ds = Г —vydx-\-vjLdy = (В) (В) (В) С \ (\ о &\ (А) где 0 означает угол между ds и Ох. ') В случае неустановившегося движения время t рассматривается как параметр.
s [3] СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ТОКА С ПОТЕНЦИАЛОМ СКОРОСТИ 131 Легко найти также выражение для вихря через функцию тока. Имеем по определению вихря: о dv* дьУ п о -= 2 — дх ду ~ дх2 ду2 ' Отсюда заключаем, что в случае безвихревого плоского движения функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа § 13. Связь функции тока с потенциалом скорости. При суще- существовании в плоском движении потенциала скорости ср будут иметь место равенства v , = -**-, v=^, A3.1) х дх У ду к сравнивая которые с A2.3), устанавливаем: _^Р__^ fy___ ^__ A3 2) или иначе: ду д^ д9 дЪ __„ По оч дх дх + ду ду ~U- ( } Последнее соотношение показывает, что каждая кривая семейства <р = const, пересекается под прямым углом с любой кривой семейства линий ф = const., иначе говоря, линии тока являются ортогональными траекториями семейства изопотенциальных линий. Всякая определен- определенная форма плоского движения жидкости интерпретируется определенной картиной распределения кривых ср== const, и ф = const, в плоскости. В силу взаимной ортогональности кривых этих семейств является безразличным с геометрической точки зрения, какие из них принять за линии тока, а какие за изопотенциальные кривые. На этом осно- основании функции ср и ф называются сопряженными, и мы приходим к заключению, что если удастся найти решение некоторой определенной плоской гидродинамической задачи, т. е. если удастся подобрать потенциал скорости ср (а значит, и функцию тока ф) так, чтобы поле скоростей удовлетворяло определенным пограничным условиям, то мы одновременно получаем решение другой плоской задачи, в которой — ф будет служить потенциалом, а ср — функцией тока. Условия A3.2) позволяют без труда выразить одну из сопряженных функций через другую в квадратурах. В самом деле, если, начример, известен потенциал скорости ср(х, у), то для нахождения
132 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ IV функции тока достаточно взять одно из соотношений A3.2). Взяв, например, второе из них и интегрируя по х в пределах от некото- некоторого значения а до х, получаем: где 6 (у)—некоторая неопределенная пока функция; для нахождения последней достаточно дифференцировать A3.4) по у: или вследствие первого из соотношений A3.2) и вследствие того, что потенциал ср удовлетворяет уравнению Лапласа, имеем: или -^= д ()лг ./ дх2 ' v^7 бл: бл: откуда а интегрируя в пределах от некоторого значения Ь до у, получаем: и значит, Если бы для нахождения ф мы взяли первое из соотношений A3.2), то получили бы другую форму, эквивалентную A3.5): 6 Применяя формулу (8.4), нетрудно установить следующее выра- выражение 1.1 я живой силы жидкости, заключенной внутри простого замкн>гию контура L: ±f A3.7)
§ 14] КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ И КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 133 должно быть причем направление обхода L при интегрировании таково, чтобы интеграл получился положительным § 14. Комплексная скорость к комплексный потенциал. Усю- вчя A3.2), выражающие связь между сопряженными функциями о и |>, суть не что иное, как известные условия Коши — Римана, выражающие то обстоите чьство, что комплексное выражение и» = <р 4~ ф' яв шется аналитической функцией комплексного аргумента z = x f- yi. w = f(z); A4 1) т. е что функция f (z) будет иметь определенную производную dw dcp . d]i . dtp дх дх ду A4.2) Последняя формула показывает, что производная dw/dz тесно связана со скоростью dw . ¦ q\ q\ dz ~~ x У A4.3) 'V UJ-V,jl Если рассматривать вещественную единицу -f-1 и мнимую еди- единицу I как единичные векторы (орты), отложенные по осям Ох и Оу, то комплексное число vx-\-vyi может быгь изображено вектором скорости v, отложенным от начала координат (рис. 49); сопря- сопряженное же число —j— = i>x — vyi изобразится вектором v, который служит зеркальным отражением пектора ско- ц рости по отношению к вещественной оси Ох На этом основании комплексное число dw/dz носит название комплексной скорости, модуль комплексной скорости дает величину скорости: I dw \~dz~ Функция w = ср -(- фг носит название комплексного потенциала. Заметим, что если в A4 1) рассматривать функцию комплексного потенциала w. z = F(w); Рис. 49. z как обратную -фО. A4.4) то производная этой функции dz/dw изобразит вектор, одинаково направленный со скоростью v и имеющий длину 1/|г»|; в самом деле: dz dw dw "dz A4.5)
134 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV § 15. Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение A4.1) показы- показывает, что каждый определенный выбор аналитической функции f (z) дает определенную систему линий тока ф = const, и изопогенциаль- ных линий ср = const, и, значит, устанавливает определенную кине- кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ср н ф). Таким образом, кинемати- кинематическое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви математического анализа найдут свое гидродинамическое истолкова- истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием неко- некоторых важнейших свойств аналитических функций. § 16. Примеры комплексного потенциала. 1. Функция w = az при а вещественном. Имеем: ср -j- ф! = ах -\- ayi, откуда заключаем, что линии тока ф= ay = const, суть прямые, параллельные оси Ох; линии равного потенциала: ср = ах = const. суть прямые, параллельные оси Оу; скорость во всем поле постоянна и при а > 0 направлена вдоль оси Ох (рис. 50), Такой поток мы назовем однородным поступательным. Легко видеть, что при а комплексном (а = а-|~р/) характер потока сохра- У нится, изменится лишь направление скорости, которая изобразится векто- вектором а — р/. 2. Функция w = az2 при а веще- вещественном. Имеем: Линии тока 6 = 2аху = const. 1 Рис. 50. суть равнобочные гиперболы, для которых координатные оси служат асимптотами рис. E1). Изопотенциальные линии ср = а (х2 — у2) = const.
16] ПРИМЕРЫ КОМПЛЕКСНОГО ПОТЕНЦИАЛА 135 являются также гиперболами, для которых координатные оси служат осями симметрии. Комплексная скорость в некоторой точке М dw _ 7/г = показывает, что вектор скорости v направлен по зеркальному отра- отражению ОМ' радиуса-вектора z этой точки и имеет величину, про- пропорциональную удалению точки от начала координат. Так как за возможные твердые границы жидкости можно принять, очевидно, одну из линий тока и так как коор- координатные оси х — 0, у = 0 служат линией тока, ^ = 0, то мы заключаем, что установившееся безвихревое дви- движение внутри прямого угла является кинематически возможным. 3. Функция ffii = Ijz. Имеем: ... 1 х у . Линии тока представляют собой си- систему окружностей У = const. =C или ¦У —7- >' = ' касающихся оси Ох в начале коорди- координат, изопотенциальные линии = const. дают другую систему окружностей, касающихся оси Оу в начале коорди- координат (рис. 52). Выражение комплексной скорости dw 1 ~dz =~? Рис. 52. показывает, что величина скорости становится бесконечно большой в начале координат, следовательно, для возможности применения предыдущих формул нужно исключить из рассмотрения начало коор- координат, окружив эту точку произвольной замкнутой кривой. В этом случае начало координат служит особой точкой для комплексного
136 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV потенциала (простой полюс) и для комплексной скорости (двукрат- (двукратный полюс). 4. Функция w = \nz. Вводя в рассмотрение модуль г и аргу- аргумент 6 для комплексной переменной имеем: z = r (cos б -f- i sin 9) = re'", tp -f ы = In (re) = In r + 8i. Отсюда заключаем, что линии тока суть прямые 6 = const., луче- лучеобразно исходящие из начала координат; изопотенциальные кривые суть концентрические окружности г = const, с центром в начале коор- координат (рис. 53). Выражение для комплексной ско- скорости dw 1 рис показывает, что и в этом случае на- начало координат является особой точкой, именно — логарифмической для ком- комплексного потенциала и простым полю- полюсом для комплексной скорости. § 17. Источники к стоки. Рас- Рассматривая движение жидкости, мы де- делали до сих пор предположение о непрерывности и конечности поля скоростей. Разбирая примеры комплексного потенциала, мы встре- встретились с возможностью сущее юования поля скоростей, непрерывного и конечного во всех точках плоскости, за исключением отдельных изолированных точек. Наиболее простое гидродинамическое истолко- истолкование можно дать картине, изображенной на рис. 53, когда ком- комплексный потенциал имеет изолированную логарифмическую точку. В этом случае линии тока радиально расходятся из начала коорди- координат, так что можно представить, что из начала координат вытекает в каждую секунду некоторое количество жидкости т; такую точку мы назовем источником, а секундное количество вытекающей жидкости — мощностью или обильностью источника; при отрица- отрицательном т происходит поглощение жидкости, такая точка называется стоком. Если начало координат служит источником с мощностью т, а в бесконечности жидкость остается в покое, и других источников и стоков в плоскости Оху нет, то, описав вокруг начала координат, как центра, окружность радиуса г, мы найдем, что поток жидкости через окружность будет иметь постоянную величину т, независимо от радиуса г, гак как вследствие несжимаемости внутри окружности
§ 17] ИСТОЧНИКИ И СТОКИ 137 не может произойти накопления жидкости. С другой стороны, этот поток выразится произведением 2-rdy/dr, так как вследствие симме- симметрии поля скоростей потенциал скорости будет функцией только расстояния г, —так что нормальная скорость вдоль окружности будет равна df/dr. Таким образом имеем: _ do m , 2~г-±—т, откуда cp^-^-lnr. Далее находим: , т о Ф6 а для комплексного потенциала получается w = ~\nz. A7 1) Нетрудно заключить, что если в точках плоскости z — а,, z — а2, . • •, z = ап находятся источники или стоки с обильностями (мощностями) mv m2 тп, то комплексный потенциал течения, ими создаваемого, выразится функцией откуда найдутся следующие выражения для потенциала скорости и функции тока: п ? = 2^ 2 т* 1п Р*! A7'3) где pk и 9ft означают модуль и аргумент комплексного числа z — ak. Формула A7.2) может быть распространена и на случай непре- непрерывного распределения точечных источников вдоль некоторой линии. Пусть, например, на отрезке (— а, а) вещественной оси равномерно распределены точечные источники одинаковой обильности и пусть k означает общую обильность источников, заключенных в единице длины отрезка. Тогда формула A7.2) приведется к виду = -^ [{z + a) In (z + а) — (г — a) In (z — а) — 2а]. A7.5)
138 простейшие случаи движения идеальной жидкости [гл iv § 18. Дублеты. Совокупность источника и стока с мощно- мощностями -\-т и —т, помещенных на бесконечно малом расстоянии 8s друг от друга, называется дублетом. Произведение Ж —яг8s, которое мы будем предполагать конечным (так что т будет неограни- неограниченно возрастать при уменьшении 8s), можем назвать, по аналогии с маг- магнитом, моментом д\блета и счи- считать векторной величиной, напра- направленной одинаково с 8s от стока к источнику: М = т 8s; Рис. 54 это направление мы назовем осью дублета. Для потенциала скорости потока, создаваемого таким дублетом, имеем (рис. 54), согласно A7.3), С точностью до малых величин второго порядка малости можно положить р' — p = 8s-cos9, так как, проектируя соотношение *р'—р= 8*5 на направление векгора р, имеем: p'cos(9' — 6)—р = 8s • cos 9. Разлагая In II—- , р j в ряд, имеем в пределе при 8s->0 Alcos 0 /ion "р = —ъаг- A8Л) Для сопряженной функции тока находим по формулам A3.5): а для комплексного потенциала получается выражение М cos 6 — i sin 0 М 1 М \_ W ~~~2^ ( 8 + ~ ~~ Ъ. 7 2^r (cos sin 6) и, следовательно, простой полюс z = 0 комплексного потенциала, дающий для поля скоростей картину, изображенную на рис. 52, может быть гидродинамически истолкован как дублет в начале координат, ось которого направлена по Ох. Нетрудно видеть, что если ось дублета составляет угол я с осью Ох, то выражение для комплексного потенциала б^дет: Если на плоскости Оху в точках z = av z = а2, .. ., z — ап поме- помещены дублеты, моменты которых равны Mv M2 Мп, а оси обра-
5 19] ВИХРЕВЫЕ ТОЧКИ 139 згют упы аь а2, . . ., ая с вещественною осью Ох, то комплексный потенциал выразится формулой § 19. Вихревые точки. Можно дать еще иное гидродинамическое пстолкование логарифмической точке в комплексном потенциале, чем то, которое было дано в § 17, где показывалось, что поле скоростей, определяемое комплексным потенциалом т , да = -ЙГ1пг, может быть получено, если поместить в начале координат источник мощности т. Чтобы получить новое истолкование, достаточно, как было показано выше в § 13, переменить роли у линий тока и потен- потенциальных линий, т. е. за потенциал скорости принять — ф, за функ- функцию тока взять функцию ср § 17. Такая замена равносильна умноже- умножению комплексного потенциала па i. Положив, следовательно, w=2^lnz, A9.1) мы имеем д ш потенциала скорости выражение <Р = --?в, A9.2) показывающее, что потенциал уже нельзя рассматривать как однознач- однозначную функцию тока на плоскости Оху, так как при обходе вокруг начала координат по произвольному простому контуру величина потенциала изменится на ~Ь т (знак в зависимости от направления обхода). Для функции тока получается из A9.1) выражение ф = -^1пг, A9.3) которое показывает, что линии тока представляют собой концентриче- концентрические окр>жности с центром в начале координат. При этом движение жидкости во всех точках плоскости будет безвихревым, за исключе- исключением начала координат, где скорость по формуле A9.1) будет беско- бесконечно велика. Эту точку мы назовем вихревой, а величину цирку- циркуляции скорости Г, равную—т при положительном направлении обхода вокруг начала координат, назовем интенсивностью или на- напряжением вихревой точки; при этом величина циркуляции не завлсит от формы контура, по которому совершается обход. Таким образом получается, чго вихревая точка 2 = 0 создает плоское движение, определяемое комплексным потенциалом ^ = — In г. A9.4)
14Э ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV Очевидно, что если вихревой точкой служит не начало координат, а точка z=a, то выражение комплексного потенциала будет: Г , , W = i.T.1 a). A9.5) вых точек z ¦¦ Z — й, Fein в плоскости Оху имеется несколько изолированных вихре- ., z — ап с иптенсивностями Tv Г2, . . ., Гп, то движение будет определяться комплексным потенциалом «»= — 2^ Zl Г" 1п (Z ~ аъ)- * = 1 A9.6) § 20. Вихреисточники. Рассмотрим течение, определяе- определяемое комплексным потенциалом w ¦¦ ¦¦4-\nz. B0.1) где q — некоторое комплексное число, которое мы представим У у в форме q = m — iT. B0.2) Рис. 55. Если q вещественно, то на- начало координат служит источ- источником с обильностью т; если же q чисто мнимое, то начало координат является вихревой точкой с интенсивностью Г. В общем случае, когда q комплексно, начало координат представляет особенность, которая носит название вихреисточника. В этом случае плоское течение, определяемое комплексным потенциалом B0.1), можно трактовать как результат наложения друг на друга течения, созданного вихревой точкой г-0 с интенсивностью Г, и течения, созданного источником обильности т, помещенным тоже в начале координат. Полагая z = reif> и выделяя в комплексном потенциале w = —g^— (In r -+- 6г) вещественную и мнимую части, мы найдем для потенциала скорости <р и для функции тока ф выражения ср = рг— (/и In /¦ —I- Г6); ф = ^—(/иб—Г In л). Эти выражения показывают, что линиями тока служит семейство логарифмических спиралей (рис. 55)
§ 21] ВЫЧЕТЫ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ 141 а изопотенциальными линиями — другое семейство спиралей ортогональных к спиралям первого семейства. § 21. Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости. Как известно из теории функций комплексного переменного, структура аналитической функции F (z) вполне определяется распре- распределением в плоскости z особых точек функции и их характером. Теория вычетов дает возможность без труда выразить циркуляцию и поток скорости по любому контуру, если для комплексной скорости ¦а = dw/dz известны распределение простых полюсов и им соответ- соответствующие вычеты. В самом деле, если простые полюсы функции v лежат в точках z = a1, z — a2 z = ап и вычеты, им соответ- соответствующие, суть/4j, A2 А„, то линейный интеграл от функции v по любому замкнутому контуру L, заключающему в себе полюсы ах, а2, .... ап, дает л j ^k. B1.1) С другой же стороны, отделяя вещественную часть от мнимой, имеем: dz = &(vx — vyi) (dx -f dyi) = = (? (vx dx -+- Vy dy) -f I (? (vx dy — vy dx). B1.2) Вещественная часть ф vx dx.-\- vy dy представляет собой циркуляцию скорости по контуру L Коэффициент же мнимой части согласно A2.4) есть не что иное, как поток II скорости сквозь контур L, выражающий секундное объемное количество жидкости, вытекающее из источников, лежащих внутри контура: И = Л) (vx dy — vy dx). Выделяя вещественную и мнимую части каждого вычета
142 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV и сравнивая вещественные части в B1.1) и B1.2), находим выраже- выражение циркуляции скорости через вычеты комплексной скорости п Г = — 2тг S Pft- B1.3) Аналогично для потока скорости получаем: 11 = 2* |>й. B1.4) § 22. Упражнения. (Во всех задачах рассматривается плоское безвих- безвихревое движение несжимаемой жидкости.) 1. Исследовать движение, определяемое потенциалом скорости у = ах (х2 — Зу2) (а > 0). Какой объем жидкости V протекает каждую секунду через отрезок прямой линии, соединяющей точки г, = 0 и г2 = 1 +»'? Ответ, w = az3, ф = ay (Зх2 — у2), линиями тока служат в частности пря- прямые у = 0, у =-У 3 х, так что можно поставить стенки, идущие вдоль поло- положительной оси Ох и под углом 60° к ней; V=2a. 2. Рассмотреть движение, определяемое комплексным потенциалом w — а У~г (а > 0), в области, получающейся, если вдоль положительной осн Ох поставить стенку. Показать, что линиями тока служат параболы. Ответ. Линии тока суть параболы у2 = 4с2 (х -f- с2), охватывающие положительную ось Ох; линиями равного потенциала скорости служат орто- ортогональные параболы у2 = 4с2 (с2 — х) (здесь с — произвольная постоянная). 3. Исследовать движение, определяемое комплексным потенциалом w = га In 1г j (га > 0). В каких точках находятся источники и стоки? Найти, положив z = re , потенциал скорости и функцию тока и показать, что можно рассматривать движение в квадранте, ограниченном осями координат и окружностью г = 1. Найти, какой объем жидкости V протекает через линию, соединяющую точки zx = i, гг = 1/2. Ответ. 2 источника: в точке г = -|-1и г = — 1, один сток в точке z = 0; — 2r2 cos 29-fl , , Г (г2 + 1) tg 9 2—; ^ = от arctg [v rT , Vr— 2r cos 29-fl , , 9 = от In ^ 2—; ^ = от arctg [ rT_ уравнение линий тока в декартовых координатах (¦*2 + У2 + 1) У = с* (*2 + У2 - 1), в частности, линиями тока являются оси координат и окружность хг-\-у2 — \; 4. Пусть в верхней полуплоскости у > 0 имеется несколько источников интенсивности тк в точках zk и несколько вихрей интенсивности Г? в точ- точках г;. Показать, что если поместить еще в нижней полуплоскости в точках г;.,
§ 22] УПРАЖНЕНИЯ 143 симметричных точкам г& относительно вещественной оси, источники той же интенсивности mk, а в точках z\ вихри интенсивности — Гг (как гово- говорят, если отразить источники и вихри от оси Ох), то ось Ох сделается линией тока и может быть поэтому заменена твердой стенкой. 5. Найти комплексный потенциал и уравнение линий тока в полярных координатах для движения жидкости в квадранте, ограниченном осями коор- координат х и у, если известно, что в точке z => I -f- i находится источник интен- интенсивности т, в точке z = 0 — сток той же интенсивности т. Найти еще величину скорости vx в точке г = 1. Указание. На основании предыдущей задачи отражаем систему источ- источников сначала от оси Ох, после чего всю систему источников отражаем от оси Оу. Ответ, w = т^-lnfl + р) , sin 4» = с (г4 + 4 cos 46), Vl= — ~. 6. Найти функцию тока для движения в верхней полуплоскости, огра- ограниченной стенкой, идущей вдоль оси Ох, если известно, что в точке г = I находится дублет интенсивности т, имеющий направление положительной оси Ох. Показать, что та же функция определяет движение жидкости вну- внутри некоторого полукруга. Указание. Воспользоваться задачей 4. 7. Дано движение, определяемое комплексным потенциалом Найти, какой объем жидкости протекает через окружность x2-j-y2 и чему равна циркуляция скорости Г по этой окружности. Ответ. V = 12л, Г = Ы.
ГЛАВА ПЯТАЯ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ И ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА О СОХРАНЕНИИ ВИХРЕЙ § 1. Введение. В главе четвертой был рассмотрен ряд таких движений идеальной жидкости, в которых существовал потенциал скорости ср, так что вектор скорости v, представлялся в виде гра- градиента этой функции: я = grad ср или dv dv die „ ,. эти движения идеальной жидкости называются движениями с потен- потенциалом скорости или безвихревыми движениями жидкости. По- Последнее название объясняется тем обстоятельством, что для движений с потенциалом скорости вихрь скорости обращается в нуль. В самом деле, вихрь скорости Q —rot© есть вектор, составляющие которого определяются формулами: _dvz dvy_ _dvx dvz_ _dvy dvx ^x — -dy~dz' У~ dz ~dx ' ^z — "dx~~ 7 U-^ и обращаются в нуль в случае выполнения условий A.1); например, для составляющей вихря скорости по оси Ох имеем: q 0 х ду dz dz ду Итак, если v = grad ср, то Й = го^ = 0. A.3) Вообще для любой функции ср всегда будет rot grad cp = O. A.4)
ВВЕДЕНИЕ 145 Отметим, что, обратно, из условия A.3) вытекают уравнения A.1), как показывается в векторном исчислении. Таким образом, в безви- безвихревом движении наверное существует потенциал скорости. Задачей этой главы является рассмотрение таких движений идеаль- идеальной жидкости, в которых вектор Q — вихрь вектора скорости — отли- отличен от нуля, по крайней мере, в некоторой части рассматриваемой жидкости. Такие движения мы будем называть вихревыми движе- движениями жидкости. Вихревые движения жидкости могут быть обнаружены при самом элементарном наблюдении. Таково, например, движение воды реки в тех местах, где она обтекает быки моста: за последними обнаружи- обнаруживаются ясно видимые вихревые области. При движении какого-нибудь тела в жидкости, например корабля, за ним также образуются вихри. На образование этих вихрей нужно затратить некоторую энергию; очевидно, что эта энергия получается за счет энергии тела, кото- которое, таким образом, должно преодолевать некоторое сопротивление жидкости. Это сопротивление, вызываемое образованием вихрей, можно назвать вихревым сопротивлением. Циклоны и антициклоны, обусловливающие до некоторой степени погоду тех мест земли, над которыми они находятся, рассматриваемые с шдродииамической точки зрения, тоже представляют собой вихревые образования; еще более резкой формой вихревых образований в атмосфере являются смерчи. Кинематика вихревых движений была отчасти рассмотрена в главе первой. Вспомним некоторые определения и результаты этой главы. При рассмотрении движения частицы жидкости в § 1 главы пер- первой было выяснено, что это движение можно разложить на три части: поступательное движение частицы, деформа- деформацию частицы и вращение частицы. Вихрь век- вектора скорости определяет именно вращение ча- частицы. Если бы частица жидкости была твер- твердой и вращалась с угловой скоростью ш, то вихрь скорости Q был бы вдвое больше ш и имел бы то же направление, что вектор угловой скорости ад. Итак, вихрь скорости,Q характе- характеризует вращение отдельных частиц жидкости, а не их поступательное движение. Можно представить себе такое движение жидкости, в котором каждая частица жидкости бу- будет двигаться только поступательно, так что это движение будет безвихревое, а между тем вся масса жидкости, как целое, будет двигаться по кругу. Для этого заставим прямо- прямоугольный сосуд с жидкостью (рис. 56) перемещаться параллельно самому себе, причем так, чтобы центр его описывал окружность. Мы получим тогда безвихревое движение жидкости, находящейся в сосуде. Ю ^ак. 11У0
146 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Обратным примером является движение жидкости слоями (рис. 57), определяемое формулами vx=ay; vy==0; vz = 0, в котором каждый слой жидкости, параллельный плоскости Oxz, дви- движется параллельно оси Ох, причем скорость движения тем больше, у, чем дальше рассматриваемый слой от- v / ^_ стоит от плоскости Oxz. JL/__a В этом движении v i-%^'---^.. q о, Q ~ 0, 2= — а; О* - х следовательно, рассматриваемая жид- рис 57. кость всюду завихрена. Дело в том, что квадрат /, состоящий из жидких частиц, при своем движении деформируется, превращаясь в парал- параллелограмм //, причемм эту деформацию можно разложить, как было показано в главе первой, на чистую деформацию (в данном случае растяжение вдоль линии а и сжатие вдоль линии C) и последующее вращение деформированного квадрата в направлении, указанном стрел- стрелкой (от оси Оу к оси Ох). Итак, нужно иметь в виду разницу между обыденным понятием о вихревом движении как о движении по кругам и т. п. и гидро- гидродинамическим понятием о вихре, разъясненным в главе первой и только что выше. Может быть, следовало бы оттенить эту разницу в терминологии, однако мы будем придерживаться общепринятой терминологии. Вспомним определение вихревой линии: вихревой линией назы- называется такая линия, во всякой точке которой вихрь скорости напра- направлен по касательной к этой линии. Поэтому уравнения вихревой линии имеют вид dx dy dz Если взять замкнутую линию и через каждую точку ее провести вихревую линию, то совокупность всех таких вихревых линий огра- ограничит вихревую трубку. В § 19 главы I было указано на очень тесную связь понятия вихря вектора с понятием циркуляции вектора по замкнутому кон- контуру L, на котором выбрано определенное направление: Г = ф v ¦ ds = ф vxdx -f- v dy -j- vzdz. (\.b) L L А именно, если взять бесконечно малый плоский контур L, то циркуляция скорости v по этому контуру равна произведению пло- площади о, охватываемой контуром, на составляющую вихря скорости
j 2] ТЕОРЕМА ТОМСОНА 147 Q = rot V, взятую на направление и, перпендикулярное к плоскости контура L: Г=2„о. A.6) При этом, поскольку мы пользуемся правой системой координат, следует брать направление в ту сторону пространства, откуда ориенти- ориентировка контура L кажется направленной против стрелки часов. Так как проекция вектора на свое собственное направление имеет наибольшую величину по сравнению с проекциями вектора на какое- либо другое направление, то, при поворачивании плоскости контура L различными способами, циркуляция по этому контуру будет макси- максимальной в том случае, когда плоскость контура будет стоять перпенди- перпендикулярно к направлению вихря и будет равна Г = 9о. A.7) Формула A.6) может быть обобщена на случай любого контура L конечной величины, на котором выбрано определенное направление обхода; в этом случае она называется формулой Стокса и имеет следующий вид: -ds= С JQnda. A.8) L (S) Здесь ? есть поверхность, ограниченная контуром L; da — элемент этой поверхности; Qn — проекция вектора вихря Q на направление перпендикуляра к элементу поверхности da, выбираемое согласно вышеуказанному. Было отмечено далее, что расхождение вихря всегда равно нулю: divrot© = О, и при помощи этого была доказана следующая теорема о постоянстве циркуляции вдоль вихревой трубки: значения циркуляции по любому замкнутому контуру, охватывающему данную вихревую трубку, равны между собой. Это значение циркуляции было названо интенсивностью вихревой трубки. Для бесконечно малой вихревой трубки ее интенсивность равна по формуле A.7) произведению величины вихря на площадь бесконечно малого поперечного сечения трубки, нормального к ее оси. Теорема о постоянстве интенсивности вихревой трубки вдоль ее оси была установлена Гельмгольцем, создателем теории вихрей. § 2. Теорема Томсона. В 1858 году Гельмгольц в своем знаме- знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря 2, из которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В. Томсоиом. Л\етод 10*
148 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Томсона основан на широком применении понятия циркуляции ско- скорости, понятия, как мы знаем, тесно связанного с понятием вихря скорости. Мы начнем изучение вихревых движений с изложения метода Томсона. Рассмотрим в момент времени t0 какую-нибудь линию А0В0, проведенную в жидкости. Мы будем рассматривать эту линию как жидкую линию, т. е. составленную из жидких частиц. В любой другой момент времени t частицы, составляющие линию А0В0, образуют новую линию АВ. Рассмотрим теперь линейный интеграл от скорости V по линии АВ, т. е. выражение J= АВ f— I (vxdx-\-vydy-\--vzdz). AB B.1) В случае замкнутости линии АВ интеграл J обращается в циркуляцию скорости по замкнутому контуру АВ. В момент tf = t-{-At жидкие частицы образуют линию А'В', а линейный интеграл по А'В' будет иметь значение /= f v'-ds= f А'В А'В' где v' есть вектор скорости в момент f. Чтобы охарактеризовать изменение J с течением времени, составим производную от J по вре- времени, т. е. составим следующее выра- выражение: dJ ,. J'—J —JT = ИГЛ -j-. , где M = t' — t. Нашей первой задачей будет вычисление величины dJjdt. Рассмотрим жидкие частицы, распо- Рис. 58. ложенные в момент t0 на кривой А0В0 (рис. 58). Каждую такую частицу бу- будем характеризовать своим значением некоторого параметра о. Можно, например, взять за этот параметр длину дуги кривой А0В0, отсчиты- отсчитываемую от точки Ао. Ясно, что декартовы координаты х, у, z любой жидкой частицы, лежавшей в момент времени /0 на кривой А0В0, будут функциями как от с, так и от t: х = х (о, t), у — у (о, t), z = z (о, t); B.2) иными словами, радиус-вектор точки М относительно начала коор- координат О есть функция от о и t = Г(С, t). B.3)
§ 2] ТЕОРЕМА ТОМСОНА 149 Выражение циркуляции B.1) запишется следующим образом: АВ АВ Так как ant являются в формулах B.2) и B.3) независимыми пере- переленными, то при дифференцировании J по t нужно da рассматривать как постоянную величину. Ясно далее, по определению скорости, что и следовательно, дгг (a, t) dv(a, t) и точно так же dv (о, t) . ,. где w (a, t) есть ускорение частицы. Поэтому dt J \dt ' да) ° ~т~ J \ ' dadt АВ АВ -Л—1)*+Л-7 АВ АВ Первый член справа построен совершенно аналогично выражению B.4) и есть линейный интеграл от ускорения (w-ds), B.6) АВ ' ' АВ ' АВ что же касается второго члена, то мы имеем очевидную формулу d (<о ¦ ю) = dv ¦ 1) -f- v • dv = 2 (© • dv), следовательно, и значит, Л)/ АВ АВ Возвращаясь к эйлеровым переменным, будем пользоваться обо- обозначением
150 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V и тогда вследствие B 6) и B 8) формула B.5) примет вид АВ Это и есть искомое соотношение. Если контур АВ есть замкнутая линия ?, то точки В и А совпа- совпадают, vB =¦ vA, и, следовательно, формула упрощается, принимая вид Таким образом имеет место следующая теорема. Теорема. Производная по времени от циркуляции ско- скорости v по некоторому замкнутому контуру равна циркуляции от ускорения dvjdt no тому же контуру. Возьмем теперь основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера If^F-lgradp B.12) и сделаем два следующих предположения. 1. Сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V, так что 2. Жидкость считаем баротропной (см. § 11 главы II), т. е. р = ф(р), p = W(p). B.14) В таком случае dP — n<^ B.15) и следовательно, , п 1 grad Р — — grad p. Уравнения Эйлера принимают вид B.16) dj Подставим это выражение для ускорения в формулу B.10) для dt АВ
§ 3] ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 151 но по самому определению grad cp имеют место формулы grad ср • ds — rfcp, Г grad cp . ds = срв — срд, и значит, т. е. / /in 11/ 1 О 21 J_ M/ | о 2 \ /O 1 7\ В случае замкнутого контура L точки В и Л совпадают, и уравне- уравнение B.17) принимает вид откуда после интегрирования сразу получается v-ds — const. B.18) В этом равенстве и состоит основная теорема Томсона. Теорема Томсона. Если массовые силы допускают потен- потенциал, а идеальная жидкость баротропна, то циркуляция ско- скорости по любому замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменной. Непосредственным следствием этой теоремы является теорема Лаграижа. § 3. Теорема Лагранжа. Пусть: 1) жидкость идеальная, 2) сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V и Ъ) плотность жидкости является функцией давления р = ф(р); тогда если в начальный момент времени в некоторой части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой части жидкости. Подчеркнем, что здесь речь идет об определенной массе жидкости, а не об определенной части пространства. Для доказательства тео- теоремы Лагранжа заметим, что, по условию, в начальный момент вре- времени в рассматриваемой части жидкости ?2=0; поэтому, в силу формулы A.8), циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, лежавшему в рассматриваемой части жидкости, равна нулю v ds = 0. По теореме Томсона, циркуляция скорости по жидкому контуру L будет равна нулю и во все время движения. Но тогда из той же
152 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V формулы A.8) вытекает, что для любой поверхности, целиком лежа- лежащей в рассматриваемой части жидкости, Но это может быть только, если в любой точке рассматриваемой части жидкости и для любого направления п окажется 2„ = 0, иными словами, в любой точке рассматриваемой части жидкости и в любой момент должно быть 2 = 0, что и доказывает теорему Лагранжа. Так как отсутствие вихрей равносильно существованию потен- потенциала скорости, то теорему Лагранжа можно высказать еще в такой форме: Если в начальный момент времени движение обладало потен- потенциалом скорости, то оно будет обладать потенциалом скорости и во все время движения. § 4. Теоремы Гельмгольца. Докажем теперь две основные тео- теоремы Гельмгольца. Теорема о сохранении вихревых линий. Если сделать те же предположения, что в теореме Лагранжа, то частицы жидкости, образующие в некоторый момент, времени вихревую линию, во все время движения образуют вихревую линию. Для доказательства мы рассмотрим сперва вихревую поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой вихрь скорости И касается этой поверхности; такую поверхность можно получить, выбирая какую-нибудь линию (которая должна быть отличной от вихревой линии) и проводя через каждую точку этой линии / вихревые линии. Докажем, что частицы жидкости, составлявшие в некоторый момент вихревую поверхность 5, будут образовывать во все время движения вихревую поверхность. В самом деле, возьмем на поверхности 5 бесконечно малый контур L. По формуле A.8) О ti^ Циркуляция скорости по этому контуру равна нулю, так как во всякой точке поверхности 5 нормальная составляющая вихря Qn равна нулю (ибо й лежит в касательной плоскости к S). В следующий момент времени V жидкий контур L примет положение L', причем, конечно, U будет лежать на поверхности S', образованной теми частицами жидкости, которые раньше составляли поверхность 5; по теореме Томсона, циркуляция скорости по кривой U в момент ? равна цирку- циркуляции скорости по кривой L в момент t, т. е. равна нулю: о' • ds — 0. V
§ 4] ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЫДА 153 Но тогда из формулы A.8) вытекает f fQ'ndS=:0; при этом контур U можно взять сколь угодно малым и где угодно лежащим на поверхности S', но тогда непременно во всякой точке поверхности S' ; а это и значит, что поверхность S' есть вихревая поверхность. Возьмем теперь в момент t вихревую линию /; через нее можно провести две пересекающиеся вихревые поверхности 5 и S. В какой- либо другой момент времени частицы, составлявшие поверхности 5 и ?, образуют соответственно поверхности S' и ?', при этом частицы, составлявшие линию пересечения / поверхностей 5 и D, образуют линию пересечения /' поверхностей S' и Е'. В каждой точке кривой /' вихрь скорости И' должен лежать в касательной плоскости как к поверхности S', так и к поверхности ?', т. е. 2' должен быть направлен по пересечению этих касательных плоскостей, а это пере- пересечение представляет как раз касательную к линии /'. Итак, линия /' есть вихревая линия, и теорема доказана. Итак, в рассматриваемом случае каждая вихревая линия сохраняет свою индивидуальность в том смысле, что каждая вихревая линия перемещается в пространстве вместе с частицами жидкости, ее соста- составляющими. Это свойство мы будем называть свойствами сохраняе- сохраняемости епхревых линий, а то.да название доказанной теоремы ста- НОВН1СЯ совершенно понятным. Следствие. При тех же предположениях любая вихревая трубка во время движения будет оставаться вихревой трубкой, так как она ограничена вихревыми линиями, которые все время остаются вихре- вихревыми 1ННИЯМН. Точнее говоря, это следствие надо понимать таким образом, что частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую трубку, в любой следующий (или предыдущий) момент времени тоже образуют вихревую трубку. Теорема о сохранении интенсивности вихревых трубок. Если сделать те же предположения, что в теореме Лагранжа, то интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остаемся постоянной. В самом деле, интенсивность вихревой трубки в момент t опре- определяется как раз циркуляцией скорости по контуру, охватывающему один раз рассматриваемую вихревую трубку
154 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Но тогда рассматриваемая теорема есть непосредственное след- следствие теоремы Томсона, по которой ф v ¦ ds = ф v' ¦ ds. § 5. Сохраняемость векторных линий. Ввиду важности устано- установленных только что теорем Гельмготьца, мы докажем их еще. раз иным методом, исходя из дифференциальных уравнений для вихря скорости. Но предварительно нам нужно остановиться на общем вопросе об условиях сохраняемости векторных линий. Пусть мы имеем какую-либо движущуюся среду, поле скоростей которой дается вектором v{r, t), зависящим, вообще говоря, и от времени. Рассмотрим кроме того еще какой-либо другой вектор а (г, t), как, например, вектор ускорения dv/dt или вихрь скорости rot©. Проведем векторные линии вектора а, т. е. линии, в каждой точке которых вектор а имеет направление касательной к этой линии. Уравнение этих линий в векторной форме есть dr X а = О, или в декартовых координатах: dx dy dz ах (х, у, z, t) ау (х, у, z, t) az (х, у, z, t) ' Совершенно ясно, что для двух разных моментов времени ( я С мы получим, вообще говоря, разные совокупности векторных линий. Рассматривая какую-нибудь векторную линию, соответствующую моменту t\ мы обнаружим, вообще говоря, что она состоит из частиц среды, которые в момент t принадлежали различным векторным линиям. Но, в частном случае, может оказаться, что частицы среды, составляющие к моменту ? векторную линию, в момент t тоже образовывали векторную линию. Если это последнее обстоятельство имеет место для любых моментов времени t и ? и для любых век- векторных линий данного вектора а, то мы будем говорить, что вектор- векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости. Если векторные линии вектора а обладают свойством сохраняе- сохраняемости, то каждая векторная трубка будет во все время движения сплошной среды оставаться векторной трубкой, так как она ограни- ограничена совокупностью векторных линий, каждая из которых остается все время векторной линией. Но в этом случае опять-таки можно различить два подслучая: первым подслучаем будет тот, когда интен- интенсивность векторной трубки f fandc,
§5] СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 155 где ? — поперечное сечение трубки, меняется с течением времени; вторым же подслучаем будет тот, когда интенсивность любой вектор- векторной трубки во все время движения сохраняет свою величину. В этом последнем подслучае мы будем говорить, что интенсивность век- векторных ф}бок обладает свойством сохраняе- сохраняемое in. Мы >же имели выше пример вектора, для которою векторные линии и интенсивности векторных трубок обладают свойством сохра- сохраняемости; а именно, по доказанным выше тео- теоремам Гельчгольца, таким вектором является вихрь скорости в любом движении идеальной баротропной жидкости, которая находится под дейс1вием сил, имеющих потенциал. Мы будем в дальнейшем предполагать, что в рассматриваемой области векторы ч> и а непрерывны вместе с их первыми частными производными и что величина вектора а отлична от нуля. Тогда через каждую точку рассматри- рассматриваемой области будет проходить одна и только одна векторная линия. Докажем теперь следующую основную тео- теорему, принадлежащую А. А. Фридману1). Теорема. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы сохранялись как векторные линии вектора а, так и интенсивности векторных трубок, состоит в выполнении ра- равенства рис -т- (а E.1) во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени t. Доказательство этой теоремы мы разобьем на три части. 1. Покажем прежде всего, что необходимое условие для сохра- сохраняемости векторных линий вектора а состоит в выполнении равенства ?-(«.7)«1Х« = О. E.2) В самом деле, пусть MN (рис. 59) есть некоторая векторная линия в момент t, a M'N' — линия, составленная к моменту t'~t-^-M из тех жидких частиц, которые в момент t образовывали линию MX. Пусть при этом точка М перешла в точку М', а беско- бесконечно близкая к М точка Мх перешла в точку Мх. По условию, 1934. ) Фридман А. А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ,
156 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V линия M'N' есть векторная линия в момент f, следовательно, вектор а' = а -\- da касается линии M'N' в точке М'. Если мы введем обозначение Ьг = ММХ, то ясно, что Так как MN есть векторная линия, то огха = 0, E.3) или иначе Ьг — га, E.4) где е есть некоторое бесконечно малое скалярное число. Совершенно аналогично условие, что M'N' есть векторная линия, запишется так: (Ьг И- d Ьг) X (а + da) = О, или Ъг X а + d or X а + ог X da -\- d Ьг X da — 0. Первый член слева равен нулю в силу E.3), последний же член может быть отброшен как бесконечно малая величина более высо- высокого порядка, чем остальные члены. Деля остающиеся члены на dt, мы получаем условие Заметим теперь, что d , « dr s- c\ — of =^ о ? (О.Ь) ибо знаки dub можно переставить (знак d относится к дифферен- дифференцированию по времени, а знак 8—к дифференцированию вдоль кри- кривой MN); а так как -^-=(8r.V)«. E.7) = еа. E.8) Подставляя эти значения в E.5) и производя сокращение на е, мы придем к равенству E.2), что и требовалось доказать. то и, наконец d Ьг dt , по V формуле dbr E dv дх •4) - dr dt 1 ^ (а- 'У V) -V, dv ду V,
СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 157 II. Покажем теперь, что равенство E.1) есть необходимое условие того, чтобы сохранялись не только векторные линии вектора а, но и интенсивности векторных трубок. Доказательство протекает совершенно аналогично, нужно только учесть добавочное условие сохраняемости интенсивностей векторных трубок. Рассмотрим бесконечно тонкую векторную трубку; ее интенсивность равна / = ас, где а есть площадь поперечного сечения трубки в точке М (рис. 60). Через промежуток времени dt вектор- векторная трубка займет новое положение, и для ее интенсивности мы будем иметь выражение /' = а'а'. Рис. 60. где а' есть площадь поперечного се- сечения трубки в точке М'. По условию должно быть 1', т. е. E.9) Используем теперь условие, что в новом положении векторная трубка заполнена теми же самыми частицами, что и в первоначаль- первоначальном положении. iMacca бесконечно малого цилиндра, вырезанного из вихревой трубки и имеющего основанием поперечное сечение трубки а, а высо- высотой длину MMi= \Ъг\, равна т = ра|8г|, где р есть плотность среды в момент t в точке М. Указанный беско- бесконечно малый объем перейдет в цилиндрический объем трубки, по- поперечным сечением которого будет а', ребром М N\\ = \or~\-d Ьг\, а массой где р' есть плотность в момент V в точке М'. Так как массы ука- указанных двух объемов должны быть одинаковы, то мы будем иметь т = т', т. е. ра|8г| =p'o'\br-\-dbr\. Сравнивая это равенство с E.9), найдем, что 1»г| _ 9 а ~ E.10)
158 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Введем еще, для краткости письма, в рассмотрение новый вектор Д = -^, E.11) тогда мы можем переписать E.10) в виде \Ьг \br-\-dbr\ А' E.12) где через т) обозначена общая величина предыдущих отношений. Но мы знаем, что векторы Ьг и А имеют одинаковое направление, по- поэтому имеет место не только скалярное равенство E.12), но и век- векторное: br = riA, E.13) и Ьг + d Ьг —. т\А' = т) (А + dA) = -цА +1\ dA. Вследствие равенства E.13) это последнее соотношение упрощается: dbr dA _ -чг-^чт- EЛ4) Применяя формулу E.7), будем иметь: ^^ r?\ dA (Ьг- V)v = yl-W, и, наконец, пользуясь E.13) и сокращая на т], получим: -g—(i4-V)tf = 0. E.15) Итак, мы нашли искомое необходимое условие в следующей форме: 7(a-V)w=:0- EЛ6) Нетрудно преобразовать это условие к виду E.1). В самом деле, мы имеем очевидно: jl(a\ J_ ~dt \J) ~~ p dt ~t~ d Но по уравнению непрерывности do поэтому
§ 5] СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ 159 Подставляя это значение в равенство E.16) и сокращая на 1/р, при- приходим к требуемому равенству: вполне эквивалентному равенству E.16). III. Покажем, наконец, что предыдущее условие является доста- достаточным для сохраняемости как векторных линий вектора а, так и интенсивностей векторных трубок. Построим векторные линии вектора а в начальный момент вре- времени t0. Построим теперь для любого момента времени t поле век- вектора а следующим образом. Берем произвольную точку Мо и прово- проводим через нее векторную линию Lo для момента t0. Пусть жидкие частицы, составляющие эту векторную линию, образуют к моменту времени t жидкую линию L и пусть точка Мо перейдет в точку М; тогда мы направляем вектор а в точке М в момент времени t по касательной к линии L, причем приписываем вектору а такую вели- величину, чтобы интенсивность бесконечно малой векторной трубки, охватывающей линию ?0, тоже сохранялась. Построенный вектор а обладает свойством сохраняемости вектор- векторных линий и интенсивностей векторных трубок, поэтому должно выполняться соотношение —г (а ¦ V)x»-f- a divf = 0. При t = tQ вектор а приводится к а. При этом вектор а, по усло- условию, тоже удовлетворяет уравнению E.1). Но дифференциальное уравнение E.1), будучи линейным относительно а, имеет единственное решение, принимающее в начальный момент времени определенные начальные значения. Поэтому вектор а должен совпасть с векто- вектором а и, следовательно, векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора а должны обладать свойством сохраняемости. Итак, высказанная нами теорема доказана теперь полностью. Вследствие важности вектора, стоящего в левой части равен- равенства E.1), Фридман ввел для него особое название и обозначение, а именно: этот вектор называется полным гелъмголъцианом век- вектора а, обозначается через helm а =-^~ — (а- V)v-\- adivo E.18) и читается «гельм вектора а». Итак, необходимое и достаточное условие сохранения векторных линий и интенсивностей векторных трубок вектора а состоит в равен- равенстве нулю гельма этого вектора.
160 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ. V § 6. Уравнения Фридмана. Уравнения Гельмгольца. Напишем основные уравнения гидромеханики идеальной жидкости [гл. II, F.4)]: vXtotv = F— у grad p. F.1) Из этих уравнений можно вывести другие, определяющие изме- изменение вихрей с течением времени. Для этого применим к обеим частям предыдущего равенства операцию rot; будем при этом поль- пользоваться обычным обозначением rot я = 2. Так как , dv д rot v да Х01~дТ — ~~дГ~ — ~Ж и так как rot grad ср — О, то в результате получим: -^ — rot {v X 2) = rot F—rot f- grad p\. F.2) Применяя формулу векторного анализа rot (cpa) = ср rot а -j- grad ф X я. легко найдем, что rot \j grad /?) = -- rot grad p + grad - X grad /?=—у (grad pX grad p). Точно так же вследствие равенств rot (a X Ь) = {Ь ¦ 7) а — (а • V) b -f~ a div Ь — b div a и div й = div rot v = 0 легко получим: rot[v X 2] = B • V)v — (v VJ —2divw. Равенство F.2) принимает поэтому форму ^ 4- (в • V) 2 — (Q • 7) v 4- Q div г» = rot F+ у2 (grad р X grad p). Замечая, наконец, что по определению полной производной dil
ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА \Q\ получаем окончательно основное соотношение (Q VHfQdiv0 = rot/|(gradpXgrad;,), F.3) указанное Фридманом. Смысл этого уравнения будет выяснен не- несколько ниже. Сделаем теперь два предположения: 1. Сила F, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал V, так что F= — gtadV, F.4) и следовательно, totF~0. 2. Плотность р есть функция давления р = Ф(р), (G.5) в этом случае grad р = Ф' (р) grad p, так что векторы grad p и grad p коллинеарны, и следовательно, grad р X gradp = 0. F.6) Уравнение F.3) в силу сделанных предположений сильно упро- упрощается, принимая вид —(Q. VH-j-Qdivz> = O. F.7) Это уравнение мы будем называть уравнением Гельмгольца. В частности, если жидкость несжимаемая, так что divw —0, то получается уравнение -^ = (Q.V)w, F.8) которое было впервые получено Гельмгольцем и на основе которого он вывел свои знаменитые теоремы о вихрях. § 7. Теоремы Гельмгольца. Если: 1) сила F имеет потенциал и 2) плотность есть функция давления, то вихревые линии и интенсивности вихревых трубок обладают свойством сохра- сохраняемости. На основе полученных результатов доказательство этих теорем получается сразу. В самом деле, вследствие сделанных предположений имеет место уравнение Гельмгольца F.7) или, короче, helm 2 = 0. G.1) Но в § 5 было выяснено, что при выполнении этого условия векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора Q 11 Зак. 1190
162 BUXPlBblF ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V обладают свойством сохраняемости, иными словами, как вихревые линии, так и интенсивности вихревых трубок сохраняются, что и требовалось доказать. В частности, при отсутствии вихрей в начальный момент времени их не будет и в любой следующий момент времени. Поэтому движения, бывшие безвихревыми в иекоюрый момгпт времени, всегда останутся безвихревыми, движения же, вихревые в некоторый момент времени, всегда буд\i вихревыми. Таким образом мы полу- получаем резкое разграничение всех движений на тва класса: безвихревые цвижения, или движения с пененцмалом скоросю, и вихревые дви- движения. Если сделанные в теоремах Гельмгольца предположения не выпол- выполняются, то теоремы Гельмгольца перестают иметь место и становятся возможными возникновение и разрушение вихрей. Итак, вихри могут возникать или разрушаться под действием трех главных причин: 1) селл силы, действующие на единицу массы жидкости, не имеют потенциала; 2) если плотность не является функцией одного только давления, а зависит и от других факторов, например темпера 1уры; наконец, 3) если жидкость не идеальная, как мы постоянно пред- предполагали до сих пор, а вязкая. Возможны еще некоторые причины внхреобразования. на которых мы, однако, не останавливаемся. Вопрос о влиянии вязкости на вихревые движения будет разобран а главе о вязкой жидкости. Сейчас же мы ос1ановимся на вопросе о том, как происходит внхреобразование вследствие двух первых причин. Заметим, что jравнение Фртчана F.3), которое можно чашеать в виде helm Q — rot F-\- --2- (grad р К kraJ /;). G-2) дает как раз количественное выражение тех изменений вихрей, которые происходят и силу отсутствия потенШ'Э и у внешних сил и и силу бароклинности жидкости. Нам будет }добисе, однако, пользоваться при изучении внхреобразования методом Томсона. § 8. Образование вихрей. Теорема В. Бьеркнеса. Рассмотрим сначала случай, когда не выполняется соотношение р — Ф (р). т. е. когда плотность определяется не только давлением, но и другими факторами, например температурой или влажностью (для воздуха), или соленостью (для морской воды) и т. д. В этом случае урав- уравнение B.12) может быть написано в виде ~ = - grad V—jgrad p; (8.1) из уравнения B.11) для производной от циркуляции скорости по замкнутому контуру L: Г = (? v ¦ ds
* 8] ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ 1EOPFMA В ВЬЕРКНЕСА 163 н(пучаегся: —^- = ф —- ¦ ds — — ф grad V ¦ ds — ф — (grad p ¦ ds), i i. I no grad V • ds --= dV; ф dV -= 0; grad p ¦ ds ~ dp, поэтому -rfj». (8.2) Эго уравнение, определяющее изменение циркуляции по жидкому конгуру L, было установлено В. Бьеркнесом. Мы установим, следуя ему, значение правой части уравнения (8.2) и после этого сформу- сформулируем теорему. Вместо плотности р удобнее рассматривать в данном случае обратную величину ш = |, (8.3) которая представляет, очевидно, объем единицы массы жидкости и иазыгается удельным объемом. Рассмотрим поверхности р = const.; такие поверхности называются исоЗарическими поверхностями. Рассмотрим еще другие поверхности, на которых со имеет одно и то же значение ш = const., и назовем их изостерическими поверхностями (т. е. поверхностями равного удельного объема). Если бы р = Ф(/?), то на изобарической поверхности р имело бы одно и то же значение, т. е. изобарические и изостерические поверх- поверхности совпадали бы между собою. В рассматриваемом же нами случае изобарические и изостерические поверхности будут пересекапся между собою. Если мы проведем изобарические поверхности, отве- отвечающие ряду значений р, отличающихся друг от друга на единицу, и точно так же построим нзостерические поверхности, отвечающие ряду значений ш, отличающихся друг от друга на единицу, то все пространство разобьется на ряд трубок, образованных двумя после- последовательными изобарическими поверхностями и двумя последователь- последовательными изостерическими поверхностями. Назовем эти трубки изобаро- изостерическими единичными трубками. Рассмотрим теперь нашу кривую L и подсчитаем, сколько изобаро-и:-остерических единичных трубок она охватывает. Предвари- Предварительно вычислим, чему равняется интеграл—cbwrfp, взятый по И"
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ V контуру /, охватывающему изобаро-изостерическую единичную трубку (рис. 61) ADCB. На линиях В А и DC давление р =¦- const., поэтому dp = O; на линии С В о) — ш0 -|- 1, р же изменяется от /70 —j— 1 до р0, поэтому А, — J и) dp == — (ш„ -4- 1 j f Cfl ил линии AD iu -- со0. р же изменяется oi p{) но р(|-(- Ро 1 — J о> dp — — ш0 I dp—~ o.(); поэтому окончательно — ф u) dp - = 1. Если бы мы ориентировали контур / в противоположную сторону, мы получили бы: — ф I» dp — — 1 Итак, ин1е1рал -фш^/р по контуру, охватывающему одну еди- единичную трубку, равен ir 1; при этом, как видно из чертежа, знак плюс берется в том случае, когда направление стрелки, идущей от grad p к grad со, одинаково с направлением об- обхода контура (на рис. 61 обход контура / совершается по часовой стрелке, и стрелка от gradp к grad ш идет по часовой стрелке). Знак минус берется в противо- противоположном случае. Будем теперь различать положительные и отрицательные единичные трубки, смотря по тому, будет ли вышеуказанный инте- г» грал — (bwdp, взятый по контуру, охва- тывающему трубку, равняться -\-1 или —1. Если контур / будет охватывать N1 положительных трубок (или N" отрицательных), то распространенный по этому контуру интеграл будет равняться N' (или — N") Ч*/ Рис. 61.
^ «J ОБРАЗОВАНИЕ ВИХРЕЙ ТЕОРЕМА В ВЬЕРКИЕСА 165 Поэтому в общем случае, когда контур L охватывает ряд трубок как положительных, так и отрицательных, мы можем провести добавоч- добавочные прямо противоположные контуры \ (рис. 62) и образовать таким образом два контура U и L", причем контур U очватывает только положительные трубки, контур /." — только отрицательные; при этом очевидно: ф oj <7/> — — ф со dp — ф in dp, и 1ак к.1К dp-^N', fcudp - V", L" РИС. 62. iae Л7' — число положительных единичных трубок, охватываемых контуром L, a N"—число отрицательных единичных трубок, охва- охватываемых тем же контуром, то р — ф oj dp - N — N , (8.4) i. с. интеграл— хи>я/? представляет разность числа положительных и<обаро-изостерических единичных трубок, пересекающих контур L, и числа отрицательных единичных трубок, пересекающих тот же контур. Теперь формула (8.2) может быть переписана следующим образом: —— = А/' -- N" (8 5) dt и сформулирована так: Теорема В. Бьеркнеса. Производная по времени от циркуляции скорости по какому-либо жидкому контуру L равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих контур L. При этом предполагается, что жидкость идеальная и что силы, дей- действующие на единицу массы жидкости, имеют потенциал. Так как Г = | v ¦ ds ¦= j J Qn dS, L (S) io теорему Бьеркнеса можно еще сформулировать так: производная по времени от потока вектора вихря скорости через какую-либо жидкую поверхность 5 равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изосгерических трубок, пересе- пересекающих поверхность 5.
166 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЬАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ V aradw Итак, пересечение изобарических и изостерических поверхностей является причиной образования вихрей. Если жидкость находилась в начальный момент в покое, но изобарические и изостерические поверхности пересекались, то по формуле (8.5) образуются вихри, которые в моменты, весьма близкие к начальному, будут образовывать трубки, совпадающие с пзобаро-изостернческими трубками. Сохра- Сохранения этих вихревых трубок, конечно, не будет, т. е. в следующие моменты времени вихревые трубки будут составлены из частиц жидкости, входящих в совершенно другой комбинации, чем в пре ш- дущие моменты времени. § 9. Примеры образования вихрей. Дадим несколько примеров образования вихрей. Рассмотрим, например, массу воздушной атмо- атмосферы без водяных паров, окружающей землю. Давление р, абсо- абсолютная температура Т и величина ю для сухого воздуха связаны между собою следующей зависи- зависимостью (законы Гей-Люссака и Бойля — Мариотта): здесь R — газовая постоянная, равная в технической системе единиц 29, 27, если температуру выражать в граду- градусах Цельсия и отсчитывать от абсо- абсолютного нуля, удельный объем—в кубических метрах, приходящихся па 1 кг воздуха, и р — в кг па см2. Таким образом, при одинаковом дав- давлении удельный объем прямо пропор- пропорционален температуре (закон Г^й- Люссака). Вследствие большего на- нагревания от солнца тропические страны теплее полярных; температура воздуха в нижних слоях атмосферы тропических стран значительно выше температуры воздуха полярных стран. Что же касается давления, то оно меняется гораздо меньше при переходе от полярных стран к тро- тропическим. Поэтому по формуле (9.1) мы можем заключить, что удель- удельный объем воздуха в тропических странах гораздо больше удель- удельного объема воздуха полярных стран. С другой стороны, возаух тем разреженнее, чем на большей высоте он находится, поэтому удель- удельный объем возрастает с высотой. Из сказанного ясно, что изостерп- ческие поверхности должны подыматься от экватора к полюсу, так как один и тот же удельный объем воздуха встретится на полюсе на большей высоте, чем на экваторе. Изобарические же поверхности мы должны считать приблизительно горизонтальными. Получайся пересечение изобарических (сплошные линии) и изостерических (пунктир) поверхностей (рис. 63) и, следовательно, произойдет обра- Энватор Рис. 63.
§ 9] ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 167 зоваыпе вихрей. Очевидно, что grad p направлен вертикально вниз, o-rad ш имеет составляющую к югу, поэтому стрелка, указанная на чертеже, показывает, что образуются вихри, сопровождающиеся циркуляцией следующего вида: воздух течет понизу or северных широт к южным, подымается на экваторе и поверху течет к север- северным широтам, где опускается. Эта циркуляция представляет собою пассаты и антипассаты тропических стран. Совершенно аналогично объяснение муссонов (неравномерное нагревание материка и океана зимой и летом) и бризов (неравно- (неравномерное нагревание суши и воды днем и ночью). Такой же самый случай имеет место при первоначальном образовании циклона вслед- вследствие местного нагревания солнцем, распространенною на большую площадь. Изобарические поверхности опять идут приблизительно горизонтально (рис. 64), в то время как изостерические поверхности -*— \ ч ч чх j X ч *-—¦ х ^-- 1 к—— 1 1 ^_^ L —— / —- Рис. 64. в ня!ретых местах идут низко, а в пенагретых — высоко (ибо в не- ншретых местах у поверхности земли плотность большая, а удельный ой р.см мал и делается большим только па некоторой высоте). Таким образом получаются нзобаро-пзостерпческие трубки, значит, происхо- происходит образование вихрей и, следовательно, циркуляции воздуха. Направление этой циркуляции определяется направлением стрелки от gTad p к grad со, т. е., как показывает чертеж, у нас образуется восходящее движение воздуха в центре области, нисходящее дви- движение на границах ее, причем внизу воздух притекает к центру об- области, наверху — оттекает от центра области. Полученная картина потоков воздуха отвечает случаю циклона. Обратная картина полу- получится, если вначале имело место местное охлаждение большой площади. Обратимся к рассмотрению морских течений. И здесь применение теоремы Бьеркнеса об образовании вихрей позволяет разобраться в картине имеющих место потоков воды. Роль неравномерного нагревания играет здесь неравномерная соленость воды. Более соленая вода оказывается при одинаковом давлении и температуре более плотной. Поэтому, если мы имеем массу воды разной солености,
168 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |1Л V например убывающей в сторону положительной оси Ох (рис. 65), то изостерические поверхности опить будут нак юнены к горизонту, причем grad ш будет иметь составляющую в сторону убывания соле- солености, в данном случае в сторону потожительной оси Ох, изобари- изобарические же поверхности мы опять можем считать приблизительно го- горизонтальными и, следовательно с°°5 grad р направтенным вертикально —~-р———; вниз. Направление стрелки от - ^'-' ^''' grad p к grad ш показывает тогда, ———-—^- что возникнут два течения: течение понизу более соленой воды и тече- иие поверху менее соленой воды. Примером таких течений могу г '' »- служить течения из Средиземного ~х моря в Черное и обратно. Так как Рис. 65 концентрация соли в воде Среди- Средиземного моря очень велика, ю, по вышесказанному, соленая и тяжелая вода Средиземного моря должна по дну течь из Эгейского моря через Дарданеллы и Босфор в Черное море, з то время как наверху должно быть течение менее соленой и потому более легкой воды из Черного моря через Босфор в Мра- Мраморное море. Это и имеет место в действительности (эти течения были изучены С. О. ^Макаровым). Аналогичная картина имеет место в Гибралтаре: более соленая вода Средиземного моря течет по дну в Атлантический океан, менее соленая вода Атлантическою океана переносится поверхностным течением в Средиземное море Рассмотрим теперь пример образования вихрей в том случае, когда сила F не имеет потенциала. А именно, рассмотрим движение воздуха над землей. Так как земля вращается около своей оси, ю мы должны рассматривать относительное движение воздуха. В главе второй было выведено уравнение относительного движения жидкости G.7) wr = F gradp — we — 2(o) X vr). (9.2) Обозначим относительную скорость vr просто через v, топа относительное ускорение dv Далее, we есть переносное ускорение точки, т. е. ускорение той точки земли М, в которой находится в рассматриваемый момент времени частица. Но если обозначить через R перпендикуляр, опу- опущенный из рассматриваемого положения частицы на земную ось и имеющий направление от земной оси к частице, то ускорение we будет равно — ю2#, где ш обозначает величину угловой скорости
5j 0] ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 169 вращения земли. В самом деле, точка земли будет описывать окруж- окружность радиуса R равномерно с угловой скоростью ш, следовательно, с линейной скоростью wR, и будет обладать только нормальным ускорением ^п =~ ^2R, направленным к земной оси. Итак: Огмотим, что этот вектор можно представить в виде градиента we — — grad [~2~) . (R* \ -:р)--/?; 3 самом деле, поверхностями уровня, на которых R2j2 постоянно, служат цилиндры, осью которых является темная ось; поэтому grad R2j2 направлен по нормали к цилиндру, проходящему через рассматриваемую точку, и имеет величину ^т? (R2 \ -я-1 совпадает с R. Поэтому уравнение (9.2) принимает вид dv ~dt — F— — grad />-|-grad I — ^—j — 2 (o> X v). где о) есть вектор угловой скорости вращения земли, направленный по оси земли к северному полюсу (мы пользуемся правой системой координат), так как земля, если на нее смотреть с южного полюса, вращается по часовой стрелке. Примем, что на воздух действует только сила притяжения к центру земли и потенциал згой силы обозначим через V: F=~ grad V. Тсгда будем иметь: AL = _ grad V + grad (^i) _ 2 (« X *) - j Если положить V-^- = W, (9.3) то W будет потенциалом силы тяжести, слагающейся из силы притя- притяжения к центру земли и центробежной силы, возникающей от вра- вращения земли. Итак, при рассмотрении относительного движения на вращающейся земле основное уравнение гидродинамики имеет вид dv J „ ^ _ grad й- -- 2 (to X v) — ~- grad p. (9 А)
170 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Сравнение с уравнением B.12) показывает, что F=— gradW — 2(»Xp). (9.5) и, следовательно, сила F не имеет потенциала. Аналогично тому, как из уравнения (8.1) мы получили уравне- уравнение (8.2), мы получим для производной от циркуляции скорости по замкнутому контуру L: 'If = ~ § 7 dp ~ 2 §(w x v)'ds> {9'6) L L Значение первого члена правой части было выяснено выше; остается найти значение второго члена правой части. Смешанное произведение (ft) X v) ¦ ds представляет собой объем параллелепипеда, построенного на трех векторах ft>, v и ds, взятый со знаком -\- или —, смотря по тому, как расположены эти три вектора. Этот объем равен произведению ребра параллелепипеда to на площадь поперечного сечения. Спроек- Спроектируем линию L на плоскость экватора па- параллельно земной оси и обозначим проек- проекцию L через L', проекции ds и v через ds' и 1)'\ тогда поперечным сечением вышеупомяну- вышеупомянутого параллелепипеда будет служить паралле- параллелограмм, построенный на ds' и v' (рис. 66). Если площадь, ограниченную контуром Z/, рцс_ 6(j_ обозначить через X' и представить векто- вектором Е', то приращение этой площади за про- промежуток времени It представится в виде суммы параллелограммов, построенных на сторонах ds' и v' M, т. е. откуда ~ причем это равенство справедливо как по величине, так и по напра- направлению (например, при расположении векторов, указанном на чер- чертеже, как v' X ds', так и dL' надо направлять за плоскость бумаги). Очевидно, что (а) X v') • ds' представляет объем того же параллелепи- параллелепис тем же знаком. Поэтому v) • ds = (й> X v') ¦ ds'. педа, что и значит, И (ft)> С<0 • ds. (ш и X (w X v) ¦ ds = (? (d) X ¦»') • rf«'- /. Но по правилу циклической перестановки векторов в скалчрно- векторном произведении имеем: (ю X *>') ¦ ds' = w • (г»' X ^s').
§ Ч) ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕЙ 171 и значит, Г' ф (» X v) ¦ ds i так как to и dH'jdt имеют либо то же самое направление, либо как раз противоположное. Итак: §>Xv).ds = v4?r, (9.7) где 2У представляет площадь, ограниченную кривой /.', проекцией кри- кривой L на плоскость экватора, и считаемую положительной в том случае, когда направление обхода контура L' кажется совершающимся против часовой стрелки, если смотреть на этот контур с северного полюса земли (ибо в этом случае площадь Е' представляется векто- вектором S', направленным к южному полюсу, так же как и вектор угло- угловой скорости вращения земли to). Итак, вспоминая еще значение первого члена уравнения (9.6), мы будем иметь: -?? = ЛР — /v" — 2<o-^-. (9.8) dt dt v Таким образом, помимо образования вихрей в силу пересечения изобарических и нзостерических поверхностей, мы будем иметь еще образование вихрей, происходящее в силу изменения площади, огра- ограниченной проекцией какого-либо жидкого контура на плоскость экватора. В качестве примера рассмотрим опять пассаты и антипассаты. Возь- Возьмем за контур L кривую, лежащую в нижних слоях атмосферы и охваты- охватывающую всю землю в виде параллели; за положительное направле- направление обхода по этой кривой примем направление от запада на восток. Благодаря пассатным ветрам эта кривая, состоящая из жидких частиц, будет расширяться, следовательно, площадь X/ б]-дет увеличиваться и. значит, по формуле (9.8) циркуляция по кривой L будет умень- уменьшаться; это означает, что появляется восточная составляющая ветра, т. е. а пассатах будут дуть ветры от северо-востока. Аналогично этому, в антипассатах должны иметь место юго-запад- юго-западные ветры. Аналогичные изменения претерпевает движение воздуха в циклонах. Если взять за кривую L окружность, которая располо- расположена в нижних слоях воздуха и центр которой чежит в нагретой области, и за положительное направление этой окружности — напра- направление, противоположное направлению движения часовой стрелки, то площадь Е', ограниченную1 проекцией этой кривой на плоскость экватора, мы должны считать положительной (предполагаем, что речь шет о циклоне в северном полушарии). Но, как было выяснено выше,
172 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V в нижних слоях циклона частицы воздуха продвигаются к центру, и поэтому контур L стягивается, площадь ?' уменьшается, а следо- следовательно, циркуляция по нему увеличивается, что может быть только, если появляется составляющая ветра, направленная вдоль по контуру против стрелки часов. Итак, в циклоне внизу воздух течет не прямо к центру его, а отклоняется вправо. Изложим еще вывод одной формулы Эртеля (Н. ErtelI), обоб- обобщающий теорему Бьеркнеса. Перепишем (9.4) в виде dv v2 ] -^-+grad y-sX rot v~ — grad W -f 2v X w grad p. (9.9) Объединим члены, содержащие rot г» и w, и введем «абсолютный вихрь» Q' по формуле roti?-i-2i!) = Q'. (9.10) Мы получим тогда: ж+?rad т - v х s' = ~ grad r - J grad p' или, если применить к обеим частям этого равенства операцию rot и вспомнить, что ~~§r—v, то -^ — rot (в X Й') = у grad р X grad р. \ ч. 11) Пусть теперь ф есть какая-то функция поля. Умножим скалярно обе части предыдущего равенства на grad 0. Получим: grad ф ¦ ^ — grad ф • rot (в X Q') = р- grad ф • (grad p X grad p). (9.12) Но по известной формуле div (а X Ь) = Ь ¦ rot а — а rot b, мы имеем (rot grad ф — 0) div [grad ф X (о X 2')] = — grad ф • rot (v X Q')< так что grad ф • -^1 + div [grad ф X (v X Й'I = = -^j- grad ф • grad о X grad /?. (9.13) ') Ertel H., Ein nener hydrodynamischer Wirbei^atz, Meteorol. Ztschr., 1942, стр. 277—281.
ПРИМЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕП 173 С другой стороны, по формуле а X (Ь Х*с) - - Ьа ¦ с — са ¦ Ь имеем: Q' -f- v ¦ grad(grad ф ¦ Q') — Q' ¦ grad(t) • grad^) (9.14> (гак как divQ' — 0). Заметим теперь, что гак что grad (v ¦ grad ф) -— grad -~r— grad ~~. (9.15) Комбинируя (9.14) и (9.15), запишем (9.13) в виде -гт- (grad ф • ??)-{- grad ф • Q' div v -4- v ¦ grad (grad ф • Й') — ^k/ db 1 r\ — Is • grad —~ — —j- grad ф • (grad p X grad /?). (9.16) Объединяя первый и третий члены предыдущего равенства, получим: 4f" + grad '^ ' S"' div v = = -2- grad ф ¦ (grad p X grad p). (9.17) Заметим, что из (9.17) можно как частный случай получить фор- формулу F.3) из § 6. Для этого достаточно будет положить по очереди '1>=лг, ф~ .У- 'г'"-2- Действительно, положим, например, ф — х; так как тогда -^- — ^--\~<о ¦ ?ty~vK., мы получим вместо (9.17) проекцию на ось х зразнения F.3). Продолжим преобразование формулы (9.17). Используем уравнение ,. 1 da неразрывности, в силу которого awv-— -п, разделим обе части (9.17) на р и соберем члены. Получим: jt(\ grad if ¦ Q') - I 2' • grad §=~ gradф • grad p X grad I. (9.18; Эю — формула Эртеля. Если в качестве ф взять функцию, зависящую лишь от р и р, например энтропию, то правая часть (9.18) обратится в нуль. Осо- Особенно простой вид примет (9.18), если ф, кроме того, сохраняется
174 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V в частице, так что d<\>/dt = 0. Таким свойством будет, в частности, обладать энтропия при адиабатическом движении (гл. II, § 11). 6 метеорологии часто вводят так называемую «потенциальную темпе- температуру» 0 из равенства ' (919) где у — отношение 1еплоемкостей, Р—постоянное давление, рав- равное 1000 мб 1Я= 106——-J. Так как по закону Клапейрона |гл II, A1.6)) 6 = -~ |—j х =-^-У —ч , 10 S зависит лишь от р и р; с другой стороны, в адиабатическом движении будет (гл. II, A1,8)): ddjdt — O, так что на основе (9.18) можно для адиабатического дви- движения написать: ^[| ]0. (9 20) § 10. Упражнения. 1. Найти кинематическое условие сохраняемости линий тока, т. е. условие, при котором жидкие частицы, составляющие ли- линию тока в определенный момент времени, будут в любой момент времени образовывать линию тока. Решение. Легко видеть, что искомым условием является неизменность линии тока в пространстве В самом деле, частицы каждой линии тока пере- перемещаются вдоль ее самой и, следовательно, в бесконечно близкий момент времени образуют ту же сам\ю линию тока Но вследствие предположения о сохранении линии тока указанные частицы жидкости образ>юг новую линию тока, следовательно, новая линия тока совпадает со старой, т. е. каждая линия тока остается неизменной в пространстве. Аналитическим выражением этого условия являются, очевидно, форм)ли vr = f(x, у, г, t)vxa, i\ =•/(*, у, z, 0 V l'z=f(x< У> ~, 0»го. где I'ro = (vx)i=a И т- Д. 1ак Kaii направление скорости в каждой точке пространства остается неизменным и может меня!ься только величина ско- скорости, что и учитывается функцией f(x, у, г, t) В частности, поставлен- поставленному условию удовлетворяет установившееся движение В этом случае /(д у," z,t) = \. 2. Пусть на идеальн}ю жидкость, плотность которой есть ф\пкция да- давлен 'я, действуют силы, зависящие от потенциала Найти, при каком усло- условии вихрь скорости во всех ючках и в любой момент времени имеет то же направление, что и вектор скорое!и. Решение. Высказанное условие равносильно условию, чтобы вихревые Л1чыи совпадали с линиями тока. Но вихревые линии обладают свойством (.охранения. Тогда, по предыдущей задаче, линии тока должны оставаться неизменными в пространстве, значит и вихревые линии и вихревые трубки будут оставаться неизменными в пространстве. Так как интенсивность вихревых трубок не меняется с течением времени, то и величина вихря должна быть постоянной. Итак, вихри не меняются с течением времени Кроме того, в начальный момент времени вихревые линии должны совпа- совпадать с линиями тока. Обозначим через v0 начальный вектор скорости; гогда v = fi (х, у, г, t) v0, Q = fi0 = /2 (л, у, z) va.
§ 10] УПРАЖНГ-.НИЯ 175 Так как И = rot v = rot (/,z>0) = /, rot v0 + grad /,X»0 = /|fl0 + gfad /, X »o- TO /i«o + gfad/1X»o = ^o или grad/,X»o = (l~/i) «o- Слева стоит вектор, перпендикулярный к v0, а справа — век гор, параллель- параллельный v0, значит, оба эти вектора должны равняться нулю: A-/,)П0 = 0. Значит, или $20 = 0, т. е. Q = 0, что отвечает случаю безвихревого движения, или /| = 1, v = Vq, т. е. движение стационарное, причем должно быть выпол- выполнено соотношение П = rot *> = /(*, у, г) = я. A0.1) 3. Проверить, что в движении, определяемом формулами vx = — /<)»; ку = Л>; vz = Г Ф (г) — 2А? (х^ + уг), вихрь имеет то же направление, что и вектор скорости, и вычислить, во сколько раз вихрь превосходит вектор скорости. Здесь Ф(г) обозначает какую-либо функцию от z. Ответ. О = <1К^__ __ v 4. Показать, что если силы, действующие на жидкость, имеют потен- потенциал V, плотность есть функция давления и то вихревые линии совпадают с линиями тока. 5. Применить результат предыдущей задачи к установившемуся выте- вытеканию воды из широкого сосуда, в котором уровень воды все время под- поддерживается постоянным. Решение. Направим ось Ог вертикально вниз и начало координат по- поместим в плоскости уровня воды. Тогда На каждой линии гока вследствие стационарности движения по теореме Бернулли (§ I главы четвертой) ~v2+V --- const., но на верхнем уровне Р = — (где ра — внешнее давление), V — 0, v — 0 (если сосуч очень итро'шй, так как тогда достаючно подбавлять воду с очень малой скоростью). Знати, во всей массе жидкости, а следовательно, по задаче 4 вихревые линии со- совпадают с линиями тока. Докажем еще в этом случае, что на каждой линии гока отношение У : v остается постоянным. В самом деле, если взять бес- бесконечно малую вихревую трубку и обозначить площадь поперечного сечения
176 r.i!\fLBbIE ДВИЖЕНИЯ НДГАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ v «¦ через а, то вдоль этой трубки остаются постоянными как из (интенсив- (интенсивность вихревой трубки), так и кз (обьем жидкости, протекающей через любое поперечное сечение трубки в единицу времени). Значит, и отношение !Ь/рз = Q/v вдоль всей трубки имеет одно и то же значение. Поэтому, когда v делается большим, то и U делается большим; но если выходное отверстие, из которого вытекает вода, очень мало, го скорость вытекания жидкости будет велика; поэтому и вихри в вытекающей жидкости могут Оыть большой интенсивное in. 6. Прслернть уравнение F 8; для движения несжимаемой жидкости, заданного формулами (з, '} и / —постоянные): Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННОМУ ПОЛЮ ВИХРЕЙ И ПОЛЮ РАСХОЖДЕНИЯ СКОРОСТИ § П. Вычисление вектора скорости по вихрю и расхождени о скорости для бесконечного пространства. Если задано поле ско- скоростей движущейся жидкости, то поле вихрей определяется просто «. помощью дифференцирования составляющих скорости по перемен- шш х, у, z. Именно, обозначим вектор вихря через Й: й — rot©. Тогда, как известно, составляющие вихря суть dv, dv.. dvt dv, dvv dvx '"¦l' <)>• dz ' "v "" dz дх ' "г дх ду ' Так же просто определяйся расхождение в по заданному ю: dvx dvv dv, OX ' Vy ' 02 Обратная задача — по заданным распределению вихрей и расхождению определить скорость в любой точке жидкости—-для полного решения требует еще задания дополнительного условия, н именно задания нормальной составляющей скорости на поверх- поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая: дано, что жидкость заполняет все пространство и находится в покое на бес- бесконечности. Заданы вихрь скорости Q и расхождение скорости в а каждой точке пространства. Требуется определить вектор скорости v. Л ля вычисления v имеем уравнения div ©--в, rot© —9. (П.1) Мы допустим сначала, что расхождение скорости 9 и вихрь Q равны нулю вне некоторого конечного объема ¦:. Мы будем, кроме того, предполагать, что область t может быть разложена на конеч- конечное число частеЧ, в каждой из которых функции 0 и Q равномерно непрерывны, так же как и их частные производные. Кроме того,
5, 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 177 мы будем предполагать, что на поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора й остается непрерывной и только касатель- касательная составляющая этого вектора может терпеть разрыв. Искомую скорость v мы будем рассматривать как сумму двух скоростей: v = vl~\-v2, где vx есть скорость, зависящая от рас- расхождения в, так чго ее вихрь равен нулю, а г>2 есть скорость, происходящая от вихря, так что ее расхождение равно нулю. Итак, для определения вектора vl мы имеем два условия'. div», —в, rot ^ = 0, A1.2) л для определения вектора v2 получаются следующие два условия; divi»2 = 0; rotv2 = 9.. A1.3) Начнем с отыскания вектора vl. Вторая из формул A1.2) пока- покалывает, что мы имеем дело с безвихревым движением, а тогда суще- существует, как было указано в начале этой главы, потенциал ско- скорости 9- Итак, ¦у, = grad ср. Подставляя это значение v1 в первое из уравнений A1.2), мы полу- ч 14 лля определения функции ср уравнение Пуассона Мы дадим сначала не строгое, но имеющее простой гидродина- гидродинамический характер, решение этого уравнения. Предположим сначала, что функция 0 равна нулю всюду, кроме очень малой окрестности -0 начала координат, причем в d- =-- 1. Заметим теперь, что по теореме Гаусса fdivvd, = fvnd,, A1.5) '¦ S ие S есть поверхность, ограничивающая объем т, т. е. объемный интеграл от расхождения вектора скорости равен потоку вектора скорости через поверхность, ограничивающую объем. Применение этой теоремы к нашему случаю показывает, что ноюк вектора скорости через поверхность So, ограничивающую обьем -0, должен равняться единице. В предельном случае, когда объем т0 сжимается в точку, мы получаем картину течения, вызван- вызванною источником, находящимся в начале координат и имеющим интен- интенсивность или обильность, равную единице. Нетрудно найти матема- математическое выражение для этой картины течения. Мы можем считать 12 4-'h. П90
178 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V в силу симметрии, что соответствующий потенциал скорости ср есгь функция только расстояния точки от начала координат. Но, как было указано, функция у должна всюду, кроме начала координат, где она имеет особенность, удо- удовлетворять уравнению *-?+#+&-о. ,.1.6) Написав это уравнение в сферических координатах г, X, у (где X — дополнение широты, й — долгота), получим: " ('?) . Так как о зависит только от г, это уравнение сильно упрощается: \ Or j и сразу интегрируется: Г2 ^ _ Г —s— —- дг Произвольная постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольную сферу с центром в начале координат должен иметь значение, равное 1. А так как на такой сфере нор- нормальная составляющая скорости имеет постоянное значение до С дг г1' а площадь сферы равна 4~г2, то сразу находим, что Итак, дг ~~ Аг.г2 ' откуда легко находим, что 1 f ~ ~ Ат-.г ' причем произвольную постоянную, как не имеющую существенного значения, отбрасываем. Если интенсивность источника имеет значение q, то для соответ- соответствующего потенциала скорости получаем формулу 4кг A1.
5 11] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 179 Картина соответствующего течения очень проста. Линии тока суть прямолинейные лучи, выходящие из начала координат. Скорости частиц жидкости направлены по этим лучам от начала координат и пчеюг величину v=~~, A1.9) прямо пропорциональную интенсивности источника q и обратно про- пропорциональную квадрату расстояния от источника. Если q имеет отри- отрицательное значение, то получается сток. В этом случае скорости частиц жидкости направлены к той точке, где помещается сток. Возвратимся теперь к решению уравнения Пуассона A1.4). Разобьем объем т на малые объемы т,-, в каждом таком объеме хг возьмем некоторую точку /И,- с координатами \t, т]г. С,- и поместим и Mt источник с обильностью qi — т;0 (^-, tj2, С;). Тогда функция Ч({Х, у, Z) = - где г, есть расстояние от точки N с координатами х, у, z до точки Mt. даст очевидно, по сказанному выше, приближенное реше- решение задачи. Перейдем к пределу, устремив все объемы it к нулю, тогда для функции ф(х, у, z) получится выражение A1.10) В 3<w интеграле /- -у(Х — ЕJ -)_ (у — т]J -г (г — Ci2 и интегрировать надо по ?, т;, С. Игак, чтобы получить решение уравнения A1.4), надо распре- распределить по объему - источники, обильность которых, отнесенная к единице объема, имеет значение 6, и образовать соответствующий этому распределению источников потенциал A1.10). Дадим теперь строгое доказательство того, что функция A1.10) удовлетворяет уравнению Пуассона A1.4). Заметим, прежде всего, что если мы имеем ньютонов потенциал W(x, у, z)= f в (i'rT" C) dx, A1.11) v распределенный по некоторой области V, то в точках вне обтема V выполняется уравнение Лапласа ДЧг = ^+** _,_**_ = (,. A1.12) 12*
180 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ V В самом деле, если точка Р лежит вне объема V, го г в инте- интеграле A1.11) не обращается в нуль и, следовательно, можно произ- производить дифференцирование по х, у, z под знаком интеграла. В результате получим: , v, z)— I в(Е, vj, ;)A * d-. 1 Но легко видеть, чго А - — 0, следовательно, ДЧ' - 0. Рассмотрим теперь тот случай, когда точка Р лежит внутри объема V, причем предположим, что функция в(Е„ т), С) непрерывна вместе со своими первыми производными в этом объеме V. Вычис- Вычислим д^/дх2. Мы имеем прежде всего д- ™. = fQ{, т„ :)-J-(k = -fe(i 7,, o^J-rfx. ,11.13) V V Функция, стоящая под знаком интеграла, обращается при г — 0 в бесконечность, так что этот интеграл принадлежит, подобно по- потенциалу A1.11), к числу несобственных интегралов; этот интеграл сходится, так как подынтегральная функция будет при г— >0 беско- бесконечно большой второго порядка (считая г бесконечно малой пер- первого порядка), а известно, что объемные интегралы сходятся, еслл подынтегральная функция обращается в бесконечность порядка ниже третьего. Однако дальнейшего дифференцирования по х под знаком интеграла мы уже не имеем права производить, так как при этом подынтегральная функция сделается бесконечно большой третьего порядка, и интегралы перестанут сходиться. Поэтому мы преобразуем предварительно выражение A1.13). Очевидно, что дх — г3 — д- ' поэтому дх .1 v ' ' д; .1 dz \ г } ' ./ г dz, y V V V Применим теперь формулу Гаусса s где 5 есть поверхность, ограничивающая объем V, а п означает внешнюю нормаль в точках этой поверхности. Эта формула имеет
,. и] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 181 место, хотя подынтегральная функция обращается в бесконечность при г — 0, ибо если мы выделим точку N малой сферой радиуса е. ю интеграл по поверхности этой сферы будет малой величиной порядка г и обратится в пределе в нуль, если мы устремим е к нулю. Итак, ~^= — J —^-y-^cos(/t. \)dS-\- J r djd-. A1.16» S V В первом интеграле правой части г уже не обращается в нуль, так как точка N(x, у, z) лежит внутри объе!«а V, а точка M(k, т\. С). по которой производится интегрирование, находится на поверхности S. Второй же интеграл правой части опять представляет Ньютонов по- потенциал. Поэтому теперь мы можем еще раз произвести дифферен- дифференцирование по х под знаками интегралов. В результате получим: 1 1 г п » -ч -^-.. ,с , f дн г д^9 (?- т'' ')cos^'?) rf^/ V - $—7" **($• 'i. "J cos (tCi)dS-- I -^i ~d~*. A1.17) Таким образом, d2W/dx2 существует и представляется только что найденным образом. Если V есть шар V. радиуса г с центром в !очке Л7, то в точках ограничивающей сферы 5С -* ~~— ~ COS (II, ?), ~ — COS (П, 7)), --"=-= COS (ll, С) и. с !едовательно". ()Щ~ р Q (j г С) , -—"J f X С (УН —~ — — ф — V — cos~ (л. ?) dS — / —ч— 3-- ог"- Анл.югично получим: 05 —-L^-2- COS' (л, т;) rfi — / -^—т-1 J ? .' ^ Складывая эти равенства, найдем:
182 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Если абсолютная величина grad в в точках шара V. не превос- превосходит К, то мы имеем очевидные оценки — 8(х, у, дв поэтому i/^rfS 4-е2 = 4-Кг, Замечая еще, что ф —v 2 — ^S = v ,/ у • 4-s2 = 4-в (х, у, z) и что нетрудно вычислить значение интеграла мы легко придем к оценке , у, z)\ < 16-еАГ. (П. 19) Но значение ДЧГ6 не зависит от радиуса г шара VB, так как если мы возьмем два шара V, и VBi с общим центром в точке /V и с радиусами е и г,, то разность соответствующих функций ЧГ, и ЧГг1 представляется ньютоновым потенциалом распространенным по объему, заключенному между сферами 5г и SEl. и так как точка N лежит вне этого обьема, то, по доказанному выше, мы имеем равенство —ч^) = 0, т. е. Таким образом неравенство A1.19) должно иметь место при сколь угодно малом положительном е, что может быть только, если ЛЧ'Е = —4-в(х, у, z),
§ Ii) ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 183 Это же самое равенство будет иметь место и для произвольного об ьема V, так как его всегда можно разбить на шар V, некоторого радиуса е с центром в точке N и на остающуюся часть Vx. Мы будем тогда иметь W == \\'г 4- Ф\; АЧ75 = — 4-0 (х, у, г); Д^, = О и, следовательно, \W= — 4rS(x, у, z). A1.20) Применяя полученные результаты к потенциалу <р, определенному равенством A1.10), находим, что Д<р = О A1.21) в точках вне об ьема х (т. е. в тех точках, где расхождение равно путю) и что k? = Q(x, у, z) A1.22) в точках объема т. Итак, вектор Vl = grad? = -^-grad/-^i2-^ (П.23) является решением системы уравнений divi>j = e, rotw, = 0. A1.24) Переходим теперь к определению вектора г>2. удовлетворяющего системе уравнений div<72 = 0; toxv2 = il. (I! 25) При этом, конечно, предполагается, что векгор il удовле1воряег условно dh-У —О, A1.26) ибо д in всякого вектора а выполняется равенство divrota = 0. A1.27) Кроме того, как было указано выше, на поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора il должна оставаться непрерывной. Мы \'довлегворим первому из уравнений A1.25), если положим ©2 = rot Л, A1.28) где вектор А, носящий название векторного потенциала, подлежит определению. Подставив это значение г>2 во второе из уравнений A1.25), получим: rot rot A — Q.
184 ВИХРРВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Заметим теперь, что существует следующее легко проверяемое тождество: rotroM = graddiv Л —АЛ. A1.29) где ДЛ есть вектор с составляющими ЬАХ, ЛЛу, ДЛг. Итак, мы получаем уравнение graddiv^ —ДЛ = 2. A1.30) Не нарушая общности, можно считать, что сПуЛ = 0. A1.31) В самом деле, пусть мы нашли вектор Ах такой, чго ~ог — rot Ax, но что divAl=/=0. Положив тогда А = Аг -j- grad <b, мы найдем: rot A — rot Ax -\~ rot grad ¦]> = rot Л1 -— v,,, div A = div Л, -f-divgrad ^ — div Al -J— A*J> и можно подобрать ф так, чтобы Дф = — div A{, тогда, очевидно, буду г удовлетворены как уравнение A1.28), так и уравнение A1.31). В силу условия A1.31) уравнение A1.30) упро- упрощается: ДЛ = — Q. A1.32) Таким образом для определения вектора Л получилось векторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным: \ А С) Л А — С) Д Л О решения которых имеют вид: A1.33) или в векторной форме: A1.34)
$ Ml ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 185 Проверим теперь, что найденный нами вектор А удовлетворяет условию A1.31), т. е. что дАх dAv дА dAv дА, дх ' ду ' дг По условию, объем т может быть разбит на конечное число обьемов т;, в каждом из которых 2 и производные от Q по коорди- координатам непрерывны. К каждому из таких объемов можно применить формулы вида A1.16), так что дх J r Яг E. ' г г„ 0 cos г (j, С) COS t) d_ f iki^Jiil. d ? Q^ (S, -Q, 0 cos (пД) rf5 f Ld'-z (?, ¦>",, i Сложим эти три равенства, причем заметим, что «2, (I, -г], С) cos (ггЛ) + 2, (?, ^, С) cos (Сч) + 2г (?, »i, С) cos (яТс> = »я и что вследствие условия A1.26) дйх E, ч, С) Л2У E, ц, И) дпг E, -rj, С) В результате получим: Складывая такие равенства, относящиеся ко всем объемам т(., полу чим: Но по условию И„ остается непрерывной при переходе через какую- либо поверхность разрыва, следовательно, интегралы, взятые по поверхностям, разделяющим объемы хг, взаимно сокращаются, и остается только интеграл по поверхности S, ограничивающей объем -с:
186 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЬНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Но вне поверхности S вектор Q обращается в нуль, следовательно, на поверхности S составляющая Яп тоже обращается в нуль и div / -'- tft = i что мы и xoie.ni доказать. И гак, A1.35) Складывая оба полученных нами решения г>5 и <v2. мы приходим к решению системы уравнений A1.1) Таким образом, задача определения скоростей по заданному распределению вихрей и расхождения в неограниченном про- пространстве для случая, когда вихрь и расхождение раьны нулю, вне конечного объема имеет следующее решение: v =¦ grad ев -р rot А, (П. 36) где Если мы обозначим через R == } хг-{-у2-\-г2 рассюянис точки Л; до начала координат, то очевидно, чю при R —> ос величины у п А буд}т порядка 1//?, а производные от этих величин по коордшшам будут порядка I//?2. Нетрудно показать, чго найденное нами решение буде! едипс!вен- едипс!венным решением задачи, если на искомый вектор v наложить требова- требование быть всюду непрерывным и обращаться в нуль на бесконечности. В самом деле, допустим, что вектор <и удовлетворяет всем поста- поставленным требованиям. Рассмотрим вектор а — v — v, где v — найденное выше решение задачи. Этот вектор удовлетворяет условиям div а = 0, rot а = 0, A1.38) ибо, например, div a = div v — div v — в — 9 = 0. Кроме того, вектор а, как и векторы v и v, всюду непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Второе из равенств A1.38* доказывает, что вектор а имеет потенциал Ф а = grad<l>,
§ 12] СЛУЧАЙ ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 187 а тогда из первого равенства A1.38) следует, чю divgrad® -=ЛФ = 0. Итак, Ф есть гармоническая функция; точно так же будут гармо- гармоническими функциями и производные дФ/дх; дФ/ду; дФ/dz. Но оче- очевидно, что гармоническая функция достигает своих наибольших и наименьших значений на границе области. Взяв область внутри сферы большого радиуса R с центром в начале координат, видим, что зна- значения всех трех составляющих вектора а должны оставаться меньше величины, которая стремится к нулю при R—>co, т. е. все три со- составляющие вектора а должны тождественно равняться нулю. Можно освободиться от ограничения, что 0 и 2 равны нулю ске конечного объема, а именно, можно рассматривать г как бесконеч- бесконечный объем жидкости, если только сделать некоторые добавочные предположения о в и 2, например, что на бесконечности в и 2 будут порядка 1/R3. § 12. Случай одной вихревой нити. Применим результаты пре- предыдущего параграфа к случаю, когда в беспредельной массе несжи- несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, имеется замкнута вихревая нить L, т. е. бесконечно тонкая вихревая трубка. Так как жидкость несжимаема, то 0 = 0, следовательно, Лср —0. Для вихре- вихревой нити элемент объема dx можно заменить элементом дуги, умно- умноженным на площадь поперечного сечения: dz = ods. Пусть 2 будет величина вектора Q. Составляющие последнею по осям координат суть Отсюда подынтегральные выражения формулы A1.33) будут: Qo dl Qy d- Эз dt} Qz dz Qo rfC и, следовательно: / rf; Г / rf-rj 1 / dt /ion "^ 4i^ I г * У 4т^ / /* ' ^ 4тс / >* ' ' i i Z где через Г обозначена интенсивность вихревой нити: Г = 2с, причем мы считаем, что площадь поперечного сечения о стремится к нулю, 2 же возрастает так, что произведение 2а стремится к пределу, отличному от нуля. Интегралы для Ах, Ау, Az распространены по всей длине нити. Переходим к вычислению составляющих скоростей: dAz дА v, = rot А = -з з^ • * j ду dz
188 т. е. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [1Л V Найдем частные производные от 1/г, помня, что Получаем: х — % — ?И-г-()> — д (Z — W. ? — х д dz ,rl г1 г3 fly V г Тогда подынтегральное выражение для vK будет: i — у dX. С, — z drt A) -'*.-*. r3 ds ds I r' откуда if к/ г ds г ds i — х drt г Us ds — x dC r ds ds г2 ' у d\ 1 ds ds A2.3) Отложим единичный вектор по касательной к вихревой ниги в точке М (рис. 67); проекции этого вектора k будут: Н di di\ d", ds ' ds ' ds ' по направлению вектора г. соединяющею точку М нити с точкой N(x, у. z) жидкости, отложим единичный вектор /. Его составляю- составляющие будут: i — х ¦/] — у / Обозначим через \v ту часть скорости. Рис. 67. которая происходит от действия на точку N элемента нити ds: составляющими Дя являются подынтегральные выражения формул A2.3); нетрудно видеть, что \v выражается с помощью векторного произведения векторов k н /, именно:
i) 12) СЛ\ЧАП ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 189 неличина Лг> равна: . . Г sin 1 ds ,. л >ч :^ A24) 1де а — угол между векторами k и /. Можно установить электро- электродинамическую аналогию для случая замкнутой вихревой нити. Именно, если вместо вихревой нити возьмем линейный проводник электри- электричества, по которому идет ток, интенсивность которого пропорцио- пропорциональна Г, то величина силы воздействия элемента этого проводника на единичный магнитный полюс, помещенный в точке Л'', определяется формулой A2.4) с точностью до постоянного множителя, зависящего от выбора единиц (закон Био и Савара). Можно дать другое представление поля скорости, происходящего от вихревой нити. В самом деле, поскольку всюду в жидкости вихри отсутствуют, кроме точек вихревой нити L, движение, вызываемое вихревой нитью, должно иметь потенциал Ф, т. е. v =- grad Ф. Чюбы найти выражение для потенциала Ф, преобразуем формулу A2 2). Прежде всего мы имеем формулы дх\г) i\) У \) t U JL(±\ - _ If1) ( } дг\г) ~ поэюму Воспользуемся iеперь формулой Стокса i (c, т;, Qdr, f #(~, r(. \)d\ = P dR !де 6Ч ecib поверхность, натянутая на контур L, и п — нормаль к этой поверхности, проведенная в положительную сторону, т. е. в ту, откуда направление обхода по вихревой нити L кажется совер- совершающимся против часовой стрелки (система координат правая).
190 BIIXPLBblE ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В нашем сл\чае следовательно, OR dQ д: д- 4г. д-д^ \г ^Q dP __ Г д2 [ГЛ. V 4т.\ Or? \r)~t' д7 \г)\~ 4- о';Лг) ' 4т.длд';\г)' (Ч [г }' 4х дх 4Л дхдЧ \г)' При преобразованиях мы воспользовались тождеством и первой из формул A2.5). Итак, вынося еще за знак интеграла дифференцирование по х, пол\чим: " v = —Л_! f\ А/Т s или 1^ _d_ Vx ~~~Ш~дх J ~~дп Выражение Рис. 68. дп s имеет очень простой геометрический смысл. В самом деле, из рис, 68 видно, что дп 1 dr 1 . ^-. cos a ¦ = -j- COS (К, Г) = —-j- , r2 d/i если вектор г направлен or точки М поверхности S к точке N(х, у, z), ибо -к— = hm -^— ~ — cos a. Но если обозначить через dv телесный on ал угол, под которым видна площадка dS из точки N, то будем иметь: dJt = ^iiL. A2.6)
-5 121 СЛУЧАИ ОДНОЙ ВИХРЕВОЙ НИТИ 191 В самом деле, проведем из точки Л/, как из центра, сферу ра- радиуса г (рис. 69). Подобно тому, как угол измеряется в радианах отношением длины дуги к радиусу, телесный угол dy^ измеряется отношением площади элемента сферы dSx к квадрату радиуса г2, т. е. as. Но очевидно, что dSt -- dS cos а, поэтому и получается формула A2.6). Отметим, что t-с.ш угол а тупой, то rfy_ получается отри- цгиельным; но ясно, что угол а будет острым, и. следоваюлыю, dy положительным в том с птчае, когда из точки Л'* видна положитель- положительная сторона элемента dS; в том же случае, гогдл из точки /V видна отрицательная сторона этого элемента, угол а о)дет тупым, а элемент dy^ отрицательным. Следовательно, знак dy показывает, видна ли из точки N положительная или сирицательная сшоонг) элемента dS. Итак, Рис. 69. d Г s 5де у ость телесный угол, под которым видна из точки yV поверх- поверхность S, натянутая на контур L, иными словами, телесный угол, под котрым и.5 точки N виден контур L. Поэтому для г\ получаем формулу r °L ¦ Vx ~\т. 1)х~' аналогичные форму ты получаются для v и vz: ,71 — Jj-_ • Ly~~ '4т. дх ' Г д/ * ~ 4т. дг ' Мы получаем окончательно следующий результат: Г A2.7) «ак что, действительно, мы имеем потенциал скорости 4т. " A2.8) Этот потенциал многозначен; если мы заставим точку N обойти вокруг вихревой нити, то он изменится на Г. В этом нетрудно убе- чнться. прослеживая изменение у при указанном обходе точки N.
192 ВИХРГ.ВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [1Л V Впрочем, это можно было определить заранее, ибо циркуляция ско- скорости по контуру, охватывающему вихревую нить, должна равняться интенсивности охватываемого вихря Г, а эта циркуляция дает как раз приращение потенциала при упомянутом обходе. § 13. Прямолинейная вихревая нить. Формулы A2.3) упро- упрощаются для случая, когда рассматриваемая нигь прямолинейна. Пусть нить будет параллельна оси Oz; координаты точек нити по-прежнему обозначаем через (?, ~q, С); ds — элемент дуги нити. Тогда вдоль вих- вихревой нити ds ~ ' ds ' с/5 ~~ ' Формулы A2.3) дают: Г ^Г / -*—з^- Л (так как ds ~ dl), Произведя интегрирование, в котором \, т), х, у, z рассматриваются как постоянные (например, полагая z — C = pctg#), получим: rje Таким образом, мы видим, что движение происходит одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости Оху, так как скорости не зависят от координаты z, a 5 и т) одинаковы для всех точек вих- вихревой нити. Поэтому достаточно рассматривать движение на плоско- плоскости Оху, причем рассматривать вместо вихревой нити точку пересе- пересечения ее с плоскостью Оху. Будем называть эту точку точечным вихрем. Из формул A3.1) выводим, что под влиянием одного точеч- точечного вихря частицы жидкости движутся по окружностям, центром которых является вихрь, со скоростями, обратно пропорциональными расстоянию движущейся точки от вихря: Г 1 V При этом положительным Г отвечает движение по окружности против часовой стрелки, отрицательным—по часовой стрелке.
§ Н] ДВЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 193 Вследствие симметрии движения жидкости около точечного вихря очевидно, что вихрь будет оставаться неподвижным. Как было пока- показано в главе четвертой, движение можно исследовать с помощью функций комплексного переменного z — x-\-yl, составляя комплекс- комплексную скорость v —iv ^ Г У—ч + Цх — 1)_ Г (*-jo) _ = г 1_, х у Чъ f 2та (г — га) (г — га) 2та" z — z0' где положено: г^ = \-\-щ, z — х — 1у, 20 — ; — /tj. р Вводя комплексный потенциал w— -^-^-1пB — z0), имеем: Напомним, что Г — интенсивность вихря — может вместе с тем быть рассматриваема как циркуляция скорости по любому замкну- замкнутому контуру, окружающему точку z0. § 14. Две прямолинейные вихревые нити. Движение системы вихрей. Пусть имеем две параллельные прямолинейные вихревые нити. Как и в предыдущем случае, можно рассматривать движение в одной из плоскостей, перпендикулярных к нитям. Примем эту пло- плоскость за плоскость комплексного переменного z. Пусть интенсивно- интенсивности точечных вихрей zx и 22, получающихся в пересечении нитей с плоскостью Оху, будут Гг и Г2. Комплексный потенциал будет ра- равен сумме потенциалов, соответствующих каждому вихрю, т. е. Г Г W — тЛ- In (Z — Zx) -f -туЛ- In {Z — Z2), 2m K *¦' l 2izi v " комплексная скорость: „. ,.. _ dw - Г' 1 , Г2 1 . так как vx — lvy = —rr, то можно написать следующее дифферен- дифференциальное уравнение: di Г, , Г2 dt 2та (г — zx) "т" 2w (г — z2) ' Исследуем перемещение вихрей в жидкости. Вихрь в точке zx перемещается только под влиянием другого вихря, так как отдель- отдельный вихрь не перемещается (вихрь сам на себя не действует). Именно первый вихрь будет вращаться вокруг второго по окруж- окружности, точно так же как второй вихрь будет вращаться вокруг пер- первого, причем расстояние между вихрями будет оставаться постоянным 13 3dK. 1190
194 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V во все время движения. Для доказательства этих почти очевидных утверждений составим дифференциальные уравнения движения вихрей z1 и z2. Чтобы получить скорость первого вихря, в выражении ком- комплексной скорости — отбросим первое слагаемое и положим во вто- втором z — zv Получим: = dt 2r.i(zx~z2) ' Точно так же Тг2 = Г, dt 2m (z2 — zx) Отделяя в этих уравнениях вещественные и мнимые части, при- приходим к такой системе дифференциальных уравнений: dxx __ Г2 у, — у2 . dx2 _ Г, у, —у2 . ] l)~dT~ ~ 2ъ Р ' 6) dt —- 2т. Р ' I р dyx _ Г2 хх — х2 . rfy2 _ Ti хх — х2 I ^ ; dt ~~ 2п г2 ' ' dt 2r. г2 ' ) где Прежде всего, умножая первое уравнение на Гг, третье — на Г2 и складывая их, найдем: гг-^г + Г2-^г = 0. откуда Г,^ + Г2х2 = const. Аналогичным путем, умножая второе уравнение на Г\, четвер- четвертое — на Г2 и складывая, найдем: =0' °™Уда Г1У1 + Г2У2 = const. Найденные интегралы можно переписать, разделив их на сумму Г, + Г2: ?ifii^_ const., ZiZl±^. = const. В последней форме имеем так называемые «интегралы движения центра инерции» системы двух вихрей. Они показывают, что точка которую назовем центром инерции вихрей, остается неподвижной во все время движения.
14] ДВЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 195 Далее преобразуем систему уравнений A4.1) следующим образом: вычтем из первого уравнения третье, а из второго четвертое. По- Получим: d \Х\ -*~ ^2/ 1 "I 2 У1 """- У 2 • (УI """- У2/ I i~ 2 Х-\ ¦¦"- Х2 di ~ 2х~ 72 ' dl ~~~ 2^ 72 ' Умножим первое из этих уравнений на хх — х2, второе на ух — у2 и сложим: (хх — х2) - dt * yl dt — Интегрирование этого уравнения дает: (х1— х2J-\~(ух— У2J == const., или г = const. Таким образом, видим, что расстояние между двумя вихрями остается постоянным. Сопоставляя этот результат с предыдущим о сохранении центра инерции вихрей, и приходим к заключению, что два вихря вращаются вокруг центра инерции с со- сохранением расстояния между ними. В частном случае, когда 1\ = — Г2, т. е. когда вихри имеют одинаковую интенсивность, но противоположное вращение, центр инерции находится на бесконечности, так как знаменатель Г]-}-Г2 = 0. Покажем, что вихри будут двигаться поступательно с постоянной скоростью, перпендикулярной к прямой, соединяющей вихри (рис, 70). В самом деле, пусть в на- начальный момент вихри были на оси Ох на расстоянии / друг от друга. Тогда из уравнений движения, которые теперь имеют вид: Рис. 70. Г, dt получаем: Тогда и z2 —; ;г = /, т. е. dt dt dz2 = const. г, 2тЛ Отделяя вещественную часть от мнимой, найдем: Г, 2r.l ' Следовательно, вихри перемещаются параллельно оси Оу. Рассмотрим теперь более общий случай, когда мы имеем систему п точечных вихрей, расположенных в точках zv z2, ... 13*
196 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V интенсивности 1\, Г2, .... Гя. В этом случае комплексный потенциал имеет вид а для комплексной скорости получается выражение dw \ч Tk 1 г»,— /г; = —т— = 7\, -тт^- • A4.3) х У dz s*i 2щ г — zk к ' * = 1 Движение вихрей будет определяться уравнениями dt — Lk 2w г, — г* ' A -^ * = 1 где штрих показывает, что при суммировании пропускается член, соответствующий значению ? = /. Из этих уравнений нетрудно вывести несколько простых след- следствий. Умножая уравнения системы A4.4) на Г{ и суммируя по / от 1 до п, легко убедимся, что в правой части все члены взаимно сократятся, и мы получим, что l dt ~Ul откуда с шдует, что п У\ T,z, = const., т. е. п п "У, ы "У V.x, = const., 2 r,Vi = const. A4.5) п Если ^Т.фО, то полученные интегралы можем переписать в виде «интегралов движения центра инерции»: — = const., — = const. Точно так же, умножая уравнения системы (И.4) на Г,г, и суммируя по значку I от 1 до п, мы легко получим равенство Sr v d2i — l V Г Г
[51 КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ 197 Разделяя вещественную и мнимую части, находим: Второе из этих равенств показывает, что сумма моментов коли- количеств движения масс Гг относительно начала координат не меняется с течением времени. Первое же из этих равенств может быть пере- переписано так: п JL V Г (х2 -4- \fl\ — О откуда следует, что |]Г/(х2+у2)= const., A4.7) т. е. сумма моментов инерции масс Гг относительно начала коорди- координат не меняется с течением времени. dz Наконец, умножая уравнения системы A4.4) на Г,-^- и суммируя по /, мы придем к равенству i * dt dt ~ Ь у dt dt ~ Ь 2ш г. —г. dt ~ dt отделяя в котором мнимые части, получаем: где rk; есть расстояние между вихрями zk и zv Производя интегри- интегрирование, получаем еще один интеграл системы A4.4): 2 ГАГг In rkl — const. A4.8) § 15. Круговая вихревая нить. В качестве простейшего при- примера криволинейной вихревой нити рассмотрим круговую вихревую нить радиуса а, лежащую в плоскости ху, центр которой находится в начале координат и интенсивность которой равна Г. Движение во всех плоскостях, проходящих через ось Oz, будет, очевидно, совершенно одинаковым и поэтому удобно пользоваться цилиндрическими коорди- координатами z, р, 6, где
198 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Но мы имеем в цилиндрических координатах следующие выраже- выражения для составляющих rot A: A- l iik — л — j dfj — дАг 1 dz 1 op ' 1 дА? A5.1) Будем характеризовать положение переменной точки М на вихре- вихревой нити углом а, так что на нити , 7j — a sin a, С —0. Кроме того, в формулы A2 1) входит еще расстояние г между точ- точками М<?, т), С) и N(x, у, z), равное г = Y(P cos 6 — о. cos aJ -j- (p sin 6 — a sin aJ -j- z2 = 2я = Ур2—2арсоь(9 — a)-f-a2- По формулам A2.1) находим: , Г /* — a sin a da Г Г a COS a da . , 4jc ,/ r v 4л .' г 2 0 но при 6 = 0, очевидно, АХ = А^, Ау = А-.;, следовательно, . Га /" sin a i ' 4л ,. p2 + a2 -|- ¦г2 — 2ap cos a COS a da ! + а2 + г2 —2apcosa - = 0, A5.2) Пользуясь формулами A5.1), получаем: дА п A5.3) Объем жидкости, протекающей в единицу времени через круг радиуса р с центром на оси Oz и лежащий в плоскости, перпенди- перпендикулярной к оси Oz, очевидно, равен р 2тс р Г Г vzp dp d% = 2т: Г огр rfp = 2тср Л. оо о
§ !5] КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ 199 Этот же результат можно получить и иначе, а именно: в силу того, что v = rot A, поток вектора скорости v через некоторую поверхность может быть вычислен по формуле Стокса: J vn (IS = ? Axdx-\- Aydy + Azdz= § A? dp + A,,pdO -f Azdz\ в нашем случае А — A2 — 0, A-l = A(p, z), и если L есть указанная выше окружность радиуса р с центром на оси Oz, то сразу находим: Г vndS = 2ърА. s Уравнение 2т.рА = const. определяет, очевидно, поверхности тока. Назовем, следуя Стоксу, функцией тока выражение ф = — рА; A5.4) тогда будем иметь: и— — -^-, v, = - ~- A5.5) Р р dz z p dp K ' и 2я рГа Г cos a da ,. _ е. / A5.6) «7 jAa2 + p2_J_^2_2apcOSa ' Последний интеграл выражается через полные эллиптические интегралы. А именно, введем модуль и положим в предыдущем интеграле а-=т:-(-2ср; тогда получим: 2тс я/2 /COS a da /* — 2 COS 29 rf<? _ Уа2 + р2 + г2 — 2ар cos а ~ «/ У а2 + р2 + г2 + 2ар A — 2 мп2 <р) _ _ 4 Г A-2 sin2 уИ? _
200 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Пользуясь обычными обозначениями полных эллиптических интегралов 71/2 Г П К (ft) = [ . dl 2 , Е (ft) = f Vl-^sin^rfcp, ./ у 1 — й-2 ып2 <р •/ легко найдем, что ^(flWl} A5.7) и, следовательно, ¦— Если обозначить через гх и г2 наименьшее и наибольшее расстоя- расстояния от точки N до точек вихревой нити, то —вJ. г2=^2 + (р+а7, A5.9) и легко видеть, что дополнительный модуль к' = у 1—й2 очень просто выражается через гх и г2: k' = H. A5.10) Можно дать еще другое представление функции ф. А именно, положим е'а — и и обозначим через С контур круга \и\ — \ в пло- плоскости комплексной переменной и. Так как 2я / Yd1 sin a da „ + p2 + г2 — 2ap соь a ^ l(r2-r2), A5.11) то ill- /COS a da г + ?2 + z2 — 2ap cos a 2ч 2du
15J КРУ1ОВАЯ ВИХРЕВЛЯ НИТЬ 201 Уравнение имеет корни ¦ = Л, Wo :== 2 первый из которых лежит внутри окружности С, а другой вне ее. Кроме точки и = X, особой точкой подынтегральной функции является еще и = 0. Поэтому мы можем заменить контур интегрирования С произвольным контуром, охватывающим точки м = 0 и м = Х. Сведем этот контур к дважды обегаемому отрезку @, X), как показано на рис. 71. На верхней стороне отрезка @, X) радикал имеет значение Рис. 71. на нижней же стороне он имеет прямо противоположное значение, ибо при обходе точки м = 0 радикал |/ и меняет свой знак на обрат- обратный. Поэтому cos a da У а2 + р2 + г1 — 2др cos a ; — п
202 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Сделав, наконец, подстановку « = Xsin2f, получим: Итак, 2* COS a dot /vs и по формуле A5.6) A5Л2) Эта формула позволяет найти все элементы движения, в частности, построить линии тока. Последние представляют собой замкнутые кривые, охватывающие вихревую нить. В точках около вихревой нити ско- скорость становится бесконечно большой. Очевидно далее, что в точках, лежащих в плоскости вихревой нити, скорость направлена парал- параллельно оси Oz. Отсюда следует, что вихревая нить будет пере- перемещаться параллельно оси Oz. Однако скорость перемещения нити оказывается бесконечно большой. Конечно, на самом деле мы всегда имеем дело не с вихревой нитью, а с вихревым кольцом конечных размеров, которое будет уже перемещаться с конечной скоростью, притом тем большей, чем меньше поперечное сечение кольца. Однако необходимо отметить, что вихревое кольцо конечных размеров, вообще говоря, будет с течением времени испытывать деформацию. § 16. Вихревой слой. Для объяснения ряда явлений, имеющих место в действительности, в гидродинамике вводят понятие о поверх- поверхности разрыва, т. е. поверхности, на которой какой-нибудь элемент, обычно скорость, меняется скачком, претерпевая разрыв непрерыв- непрерывности. Такова, например, поверхность разрыва в циклоне, по которой соприкасаются холодный и теплый воздух и на которой имеет место разрыв скорости ветра. При обтекании тела жидкостью вводят в рас- рассмотрение поверхности разрыва, образующие по краям тела и отде- отделяющие область, в которой происходит движение жидкости, от мертвого пространства позади тела, в котором скорость считают равной нулю. Покажем, что поверхность разрыва тангенциальной скорости можно рассматривать как предельный случай вихревого слоя, т. е. пространства между двумя близкими поверхностями, заполненного вихрями, причем в этом слое происходит непрерывное, хотя и быстрое изменение скорости. Для простоты допустим, что поверхность разрыва есть плоскость 5. параллельная плоскости Oxz, так что ее уравнение у = а. Введем в рассмотрение плоскость S1:y = a-j-e, отстоящую на расстоянии ;
f 16] ВИХРЕВОЙ СЛОЙ 203 or первой (рис. 72). Пусть по одну сторону плоскости 5 жидкость движется со скоростью v, по другую сторону Sj — со скоростью vx, причем обе скорое!и постоянны и направлены параллельно оси Ох, так что происходит разрыв лишь тангенциальной составляющей ско- скорости Составляющие скоростей v и vl по оси Ох пусть будут и и «j. v Положим теперь, что в слое между 5 s, —'- и Sx составляющие скорости определяются у^'Ш^^М формулами V О Тогда на плоскости S, для которой рис 72 у—а = 0, буде; vx—и. На плоскости же 5j, где у— а = е, vx~ux Следовательно, скорость меняется непрерывным образом от и до Wj при переходе oi плоское in 5 к плоскости Sj Вихрь скорости в слое SSl имеет направление, пер- перпендикулярное плоскости Оху, и его соыаыяющая по осп Oz равна о _ dvy dvx и — м, "z ~ Их ~ду~ ~~ I ' При малом е вихрь может быть очень большим. Внутри стоя Q имеет постоянное значение, отличное от нуля, вне слоя 2 = 0. Поэтому слой SSj может бьпь назван вихревым слоем. Можно установить эквивалентность вихревого слоя и поверхности разрыва непрерывности тангенциальной составляющей скороыи o6pai- ным п>тем, исходя oi системы вихрей Именно, п\сгь имеем ряд параллельных равноотсюящих вихре- вихревых нитей одинаковой интенсивности Г (рис. 73). Пусть расстояние между ни- нитями / стремится к нулю гак, что произведение Г/ стремится к пределу, Рис 73. отличному от нуля; lim(r/) = ft можно назвать вихревой плот- плотностью слоя. По обе стороны слоя скорости имеют противополож- противоположное направление, так что, очевидно, имеем разрыв скорости. Рассмотрим в качестве примера вихревой цилиндрический слой. Пусть точечные вихри будут расположены по окружности радиуса R (рис. 74), так что комплексная координата &-го вихря есть Re *.
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Вводя понятие об интенсивности вихрей на элементе дуги R tfcp, будем эту интенсивность считать равной TRdy, для потенциала слоя будем иметь: in w = ~г f In (z — Re1?) dcp, о комплексная скорость будет: 1т. . _ rR f d<f Vx~lvy-!^J ~z~ Для вычисления скорости преобразуем подынтегральное выраже- выражение, разделив его на z (z при интегрировании рассматриваегся как постоянная) и умножив на z — Re'?-\- Re"?. Тогда получим, вынося — за знак интеграла: Г# Г Z—Re?l + Re?1 , Г/? / 1, , y 2шг J z — Reft Y 2niz [ i1 K Значение ln(z — Ref?) зависит от того, где находится точка о о z — внутри окружности или вне. В первом случае, когда \z\ < R, при изменении <р от 0 до 2к аргумент z—Re"?1 меняется на 2т:, так как вектор z—Ref' обходит начало координат. Тогда 2к \\a(z — Re?1) | = 2rJ. о В случае же, если z находится вне круга, т. е. \z\ > R, конец вектора z — Ref1 обходит замкнутый путь, не заключающий начала координат, а потому In (z — Ref') возвращается к старому значению, и, значит, 2я \\n(z — Re?1) | =0. о Таким образом, для комплексной скорости получаем два значения: для внутренней точки круга и для внешней точки. Отсюда следует, что внутри цилиндра, ограни- ограниченного вихревым слоем, движения нет, вне цилиндра движение
УПРАЖНЕНИЯ 205 происходит с такой скоростью, как если бы в центре цилиндра мы имели вихревую нить интенсивности 2к/?Г. Введение понятия о вихревом слое дает ключ к объяснению воз- возникновения вихрей в жидкости. По теореме Лагранжа (см. § 3 этой главы), если в начальный момент времени в идеальной жидкости не было вихрей, то их не будет во все время движения. В действи- действительности же мы видим, что при условиях, близких к условиям тео- теоремы Лагранжа (постоянство плотности, малая вязкость жидкости, наличие потенциала у действующих сил), вихри в жидкости возникают. Если допустить, что на поверхности тела, обтекаемого жидкостью, образуется вихревой слой, то не трудно представить себе, что при неустойчивости этого слоя от него могут отрываться вихри, как это часто имеет место в действительности при движении тела в жидкости. § 17. Упражнения. 1. Найти уравнение линий тока для случая двух вихрей одинаковой интенсивности. Ответ. Приравнивая постоянной мнимую часть комплексного потенциала = ^" In (г — г,)-f 2^71п (г — г2) = 2^-In {(г — г,) (г — г2)}, получим: [{х - xtf -f (у - у,J] Цх - х2у + (у - у2у\ = const., т. е. уравнение лемнискат (рис. 75). 2. Найти уравнение линий тока пары вихрей, т. е. двух вихрей, интен- интенсивности которых равны по величине, но противоположны по знаку. Ответ, {х — х{J + (у — у,J = С [{х — х2J + (у — у2J] — семейство ок- окружностей (рис. 76). Рис. 75. Заметим, что если прямую линию ЛВ заменить неподвижной стенкой и половину чертежа, например левую, исключить из рассмотрения, то получим перемещение одного вихря в жидкости, вблизи стенки. 3. Имеется пара вихрей в жидкости (см. задачу 2), причем на беско- бесконечности жидкость движется с такой скоростью, что вихри остаются непо- неподвижными в пространстве (рис. 77). Найти линии тока, предполагая вихри расположенными в точках = ih и — —ih.
206 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Ответ. Уравнение линий тока: У , , - [ГЛ. V Отметим, что оба вихря оказываются заключенными внутрь замкнутой линии. Область, ограниченная этой замкнутой линией, назы- вается «атмосферой вихрей» (рис. 77). Рис. 77. Рис. 78. Построенные линии тока можно рассматривать как линии тока относи- относительного движения в случае пары вихрей, именно движения относительно плоскости, перемещающейся вместе с вих- вихрями. 4. Дано п вихревых нитей, параллельных друг другу, равноотстоящих и расположенных на круговом цилиндре радиуса R (рис. 78, где п = 4). Найти комплексный потенциал и комплексную скорость любой точки жидкости, а также скорость перемещения вихрей. Ответ. Рис. 79. у Z7tl z'—K" Для нахождения скорости vOx — ivOy вихря, находящегося в точке z = R, преобразуем w: (n-l)z .л-2 z—R Ч ... +ял /?"-' }•
18] ВВЕДЕНИЕ 207 Полагаем z = R, заменяя нулем первое слагаемое, отвечающее вихрю точке г = R: Г и —1 Г (и — 1) I 1Щу - 2ш 2R ~ IR Вихри перемещаются вдоль окружности с постоянной скоростью 4л/? • 5. Найти траекторию прямолинейного вихря, находящегося внутри дву- двугранного угла, образованного двумя взаимно перпендикулярными стенками (рис. 79). Указание. Пусть (х, у) — координаты данного вихря. Отразим его в осях координат, как указано на чертеже, и исследуем движение четырех вихрей. Ответ. Уравнение траектории J-2 ' v2 /72 ' В. ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ КАРМАНА § 18. Введение. Первые опыты, относящиеся к исследованию вихревых явлений позади тела, движущегося в жидкости, были про- произведены Бенаром в 1906 г. Движущимся телом был вертикальный цилиндр. Наблюдения приводят к следующим результатам. При некоторой достаточно большой скорости, зависящей от вяз- вязкости и от ширины движущегося тела, позади цилиндра начинают отрываться вихри поочередно г, справа и слева. Сначала они О( *Т> /Т> <^\ <^> /Т> увлекаются со скоростью тела г», i U—/ —<-) затем их скорость уменьшается, I r— I -*". !!^ ^Ъ ^^ ^ ^^ в то время как вихри расхо- V!!^ дятся несколько в стороны. г На некотором расстоянии за рис> gQ_ телом устанавливаются опреде- определенные расстояния / между вихрями; вихри располагаются так, что между каждыми двумя вихрями одного ряда располагается вихрь другого ряда, причем вихри обоих рядов имеют противоположные вращения (рис. 80). Расстояние h между рядами вихрей не зависит от скорости, а зависит от ширины тела. После Бенара аналогичные опыты проделывались целым рядом Других ученых. В 1912 г. Карман, совместно с Рубахом, дал теорию таких вихревых цепочек, а также рассмотрел теоретически вопрос о сопротивлении, испытываемом цилиндром, движущимся в жидкости при наличии образования цепочек вихрей. К изложению теории Кармана мы и переходим.
208 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V § 19. Одна вихревая цепочка. Рассмотрим бесконечный ряд точечных вихрей, расположенных на одной прямой на одинаковом расстоянии I друг от друга и имеющих одинаковую интенсивность Г. Т^ гг г, г„ г, гг г3 Рис. 81. Пусть имеем вихри в точках z0, zv z_v z2, z_v ... (рис. 81); тогда комплексный потенциал для любой точки жидкости, не совпадающей ни с одним из вихрей, равен сумме потенциалов отдельных вихрей: Мы разделили разности z—zk на —Ik, z — z_k на Ik и умно- умножили z — z0 на it//, чем изменили лишь произвольную постоянную. Так как функция w определяется с точностью до аддитивной постоян- постоянной, то имеем право положить: 1Ъ Так как zk = z0-\~lk, z_k = z0 — Ik, можем написать: w = ¦ Применяя формулу, представляющую разложение sin nx в беско- бесконечное произведение найдем: Г , . я Комплексная скорость в точке z равна сумме скоростей, происходя- происходящих от каждого вихря, т. е.
§ 20] ДВЕ ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ 909 Производя суммирование, придем к формуле vx — ivy = ~ ctg~(z- z0). A9.3) Проще же получить это выражение комплексной скорости, вос- воспользовавшись тем, что скорость есть производная комплексного потенциала: dw где w определяется формулой A9.1). Чтобы найти скорость перемещения самой вихревой цепочки, т. е. скорости каждого из вихрей, ее составляющих, достаточно рассмотреть, как перемещается точка z0, так как очевидно, что все вихри должны перемещаться с одинаковой скоростью. Скорость же в точке z0 происходит от влияния всех вихрей, кроме самого вихря z0. Поэтому в формуле A9.2) следует положить z = zQ во всех членах, кроме первого, который следует отбросить. Получим, что скорость вихря vQ равна нулю, так как в формуле A9.2) при z^=z0 члены попарно сократятся. Таким образом, одна вихревая цепочка остается неподвижной, что можно было предвидеть, так как на точку действуют попарно вихри zx и z_v z2 и z_2 и т. д. в про- противоположных направлениях. § 20. Две вихревые цепочки. Пусть теперь имеем две парал- параллельные цепочки вихрей, причем расстояние между двумя соседними вихрями для обеих цепочек равно /, интенсивности же цепочек у верхней Fj, у нижней Г2; расстояние между цепочками пусть будет h. Один из вихрей верхнего ряда пусть будет zv ближайший к нему из нижнего ряда z2. Очевидно, что для комплексного потен- потенциала будем иметь: комплексная же скорость в точке z равна dw Г|,я . , Г, Выясним, как будут перемещаться в жидкости рассматриваемые вихревые цепочки. Очевидно, что все внхри первой цепочки будут двигаться с одинаковой скоростью; также все вихри второй цепочки должны перемещаться одинаково. Поэтому каждую цепочку можно рассматривать как одно целое, и достаточно исследовать скорости Двух вихрей, например z1 и г2. Вихрь zx будет перемещаться лишь под влиянием второй цепочки, так как одна цепочка, как мы видели, 14 Лак. 1190
210 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V не перемещается. Следовательно, скорость vlx — ivly вихря z1 полу- получим, выкинув первый член в выражении vx — ivy и положив z=zx во втором члене: Аналогично для вихря z2 будем иметь: v iV = Ctg Таковы скорости цепочек. Мы не будем исследовать законов перемещения цепочек в общем случае, а рассмотрим лишь наиболее интересный для нас случай «твердых» цепочек, т. е. цепочек, для которых расстояния между всеми вихрями остаются неизменными во все время движения. Очевидно, для «твердости» цепочек необхо- необходимо, чтобы скорости их были одинаковы: Vlx — iV\y = V2x — Щг Сравнивая B0.1) и B0.2), находим, что для этого должно вы- выполняться соотношение т. е. интенсивности цепочек должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку. Мы будем в дальнейшем писать Г вместо Fj. Далее положим, что цепочки перемещаются параллельно оси Ох, что соответствует картине, имеющей мегто в действитель- действительности, позади движущегося вдоль оси Ох цилиндра. В этом случае Положим zx — Z2 = b-\- hi. Отделяя вещественную и мнимую части -jF-T-А/), имеем: . 1т.Ь . . Ink sin —j— l sh —г— ch —г— — cos —j— ch — cos г— — cos —j— ch —cos где , ex — e~x ,, sh x ch x
§ 21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА СледоЕшельно: ¦г, sh —;— 211 21 . 2nh ЧтЛ ch — cos —j- ып B0.3) ch —r— — cos —j- Так как по условию vly — v2y = 0, то необходимо sin -?- := О, откуда или ? = 0 или 6 = //2. В первом случае получаем располо- расположение цепочек, называемое симметричным: под каждым вихрем одного ряда имеется вихрь дру- другого ряда; во втором случае имеем шахма1ное расположение вихрей, т. е. такое, в котором между каждыми двумя вихрями первого ряда находится вихрь другого ряда (рис. 82). Шахматное распо- расположение отвечает картине вихрей, образующихся позади цилиндра рис ^ (см. § 18). Нетрудно видеть, что скорости перемещения цепочек будут: —0-0---0 о-о—и Г теА v\x == oj" ~7 для симметричного порядка, =2/ th для шахматного порядка. B0.4) В дальнейшем под цепочками Кармана мы будем понимать две цепочки, расположенные в симметричном или шахматном порядке. § 21. Об устойчивости вихревых цепочек Кйрмана. Пусть имеем кармановские цепочки вихрей. Может случиться, что под влиянием каких-то воздействий все или некоторые вихри получат малые смещения. Тогда может оказаться, что вихри с течением времени будут оставаться вблизи тех поло- положений, которые они имели бы, если бы двигались, не подвергаясь смещениям. В этом случае говорят, что движение устойчиво. Если же смещенные вихри будут удаляться от положений, отвечающих невозмущенному состоянию, то движение называется неустойчивым. При таком общем определении устойчивости легко без всяких вычисле- вычислений установить неустойчивость вихревых цепочек Кармана. В самом деле, сместим все вихри одной из цепочек, например верхней, на одну и ту же малую величину 8 = g-|- г-j. Тогда разность z^ — zt = b-\-ih увеличится на 14*
2Г2 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V эту же самую величину 5, т. е. b увеличится на p. a h на "(. Поэтому ско- скорости всех вихрей обеих цепочек будут определяться формулами B0.3), в которых надо заменить b на б + р и А на А + 7- А тогда ясно, что по край- крайней мере одна из величин vx и vy изменит свое значение и, следовательно, все вихри будут удаляться с малыми, но постоянными скоростями от поло- положений, отвечающих невозмущенному состоянию, так что движение оказывается неустойчивым. Мы сузим поэтому определение устойчивости, а именно, мы будем назы- называть движение устойчивым, если при малых смещениях вихрей в начальный момент времени расстояние между любыми двумя вихрями во все время движения остается близким к расстоянию между этими вихрями в начальный момент времени. Докажем сначала неустойчивость одной вихревой цепочки. Пусть мы имеем вихри одинаковой интенсивности Г, расположенные на одной прямой, на одинаковом расстоянии / друг от друга (рис. 81). Разобьем все эти вихри на две группы: группу четных вихрей и группу нечетных вихрей. Всем чет- четным вихрям ..., 2_4, г_2, г0, г2, гА, ... придадим одно и то же смещение, а все нечетные вихри ..., г_3, г_ь ги гъ ... оставим на их местах. У нас образуются тогда две цепочки вихрей, в каждой из которых рас- расстояние между двумя последовательными вихрями равно 11. Движение этих цепочек вихрей будет определяться формулами B0.1) и B0.2), в которых надо заменить / на 11 и в которых надо положить Г, = Г2 = Г: B1.1) dz2 Г , я , . - wiy = —[^ = — -щ ctg 2|- (г, — z2). Введем обозначение ~2f (г2~~z\) = ?> тогда, вычитая из второго равенства B1.1) первое, придем к уравнению dt - МЧ Заменяя в этом равенстве все величины на комплексно-сопряженные величины, получим: dl _ Гл ~Wi л/ ~~ а/2,- ctS r- ¦ Исключая из этих двух равенств время t, найдем соотношение — = —-tlM^ или ctgCdi + dC ctg С Интегрируя это уравнение, получаем: lnsin t-f lnsinC = 1пС или sin!:sinr=C. B1.2) Если С = ?-|-/ii), то ьш i = sin i ch tj -f- / cos ? sh tj; sin S = sin 5 cb -v] — / cos ? sh i), поэтому уравнение B1.2) переходит в ып2 \ ch21] -j- cos2 i sh2 tj = С или Mir* s + sh/* ij = С. B1.3)
i 211 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 213 Рис 83. Общий вид этих кривых представлен на рис. 83. При равновесном положении вихрь г2 лежит как раз по середине между г, и zs, т. е. в точке пересечения двух линий семейства B1.3), от- отделяющих область незамкнутых линий этого семейства от области замкнутых линий. Если вихрь г2 смещается в область незамкнутых кривых, то он будет постепенно уда- удаляться от вихря zv по одной из этих незамкнутых кривых. Если же вихрь гг смещается в область замкнутых кривых, то он будет описывать замкну- замкнутую траекторию около вихря Z\ или z3, притом конечных раз- размеров, хотя бы первоначальное смещение вихря гг было очень мало. Таким образом одна вихревая цепочка является неустойчивой. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости вихревых цепочек Кармана. Разобьем все вихри цепочек на группы по четыре вихря в каждой группе. Пусть основная группа содержит вихри zu г2, zir z4; придадим этим вихрям смещения Ьги Ьгг, 5г3, 5г4. Следую- Следующей группе четырех вихрей при- придадим соответственно такие же сме- смещения и т. д. Тогда можем разбить наши две цепочки на четыре: одна будет состоять из вихрей: zh z_3, z5, г_7, z9, ..., другая — из вихрей: z3, z_u z7, г_5, ..., третья — из вих- вихрей: z2, г_2, гй, г_6, zlQ, ..., и чет- четвертая— из вихрей: z4, za, zs, z_4, гхъ ... (рис. 84). Расстояние между двумя сосед- соседними вихрями каждой из четырех Рис- 84. цепочек теперь будет 21. Комплексный потенциал представим в виде суммы четырех слагаемых, соотве1С1вующих каждой из четырех цепочек: Л ~z-J -rW-A- Л L. 2г ^ In sin 2j {г — z3) — —г4). B1.4) Тогда комплексная скорость будет: dz dw -57- ^j- {z — n3) — ctg ~ z2) — ctg -^-(г — z4) Подставляя в эту формулу вместо z соответственно zb г2, гг и г4 и выбрасывая каждый раз из рассмотрения слагаемые, которые обращаются в бесконечность, т. е. c!g -^=- (z{—г,) для первого вихря, и т. д., найдем
214 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V скорости цепочек: dz. dt ~~dt dz3 = w {ctg w{Z{ ~2з) ~ctg ж(г' ~~ ж Hi ctg Ж (*2 — Zl) + clg ~" гз) ~ clg 4t~= ~Ш { ctg " 2T ~~г[) + ctg W"(г""~гз)~clgЖ B1.5) Дадим теперь нашим вихрям соответственно смещения bzu bz2, 5г3, 5г4. Для того чтобы получить дифференциальные уравнения для этих сме- смещений, возьмем дифференциалы левых и правых частей уравнений B1.5) (вводим для дифференциала знак о, чтобы отличать от имеющегося уже диф- дифференциала d). Замечая, что b\Jf}=='^(jT ' из B1-5) получаем дифферен- дифференциальные уравнения смещений: dbz, dt dt dt dbF4 dt Ik 814 Tk 814 814 Ik 8/2; Ъг, — Вг2- ып2^(г2 2 T" bz, -г,) Ьг, ЬШ227 | 5^2 ьш227 Ьг3 2 ™ 1 4 — Вг, -5г3 -8г, bz г 1 г,) Ьг, — bz4 2 Л 2 "" ьш 27 5г4 (г2-г4) <*.-*.) -5г2 |22/ (г4 — г1) ьт2^ (г4 —г3) ып2^(г4 —г2 В начальный момент имеем у синусов такие значения аргументов: B1.6) JL 2"
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 215 где — / Для симметричного расположения цепочек 6 = 0, для шахматного 6 =-=-• Подставляя выписанные значения аргументов в B1.6) и группируя члены с 8гь 5г2, 8г3 и 5г4, получим: dbzt_ Гтс)/, 1 1 U, , Вг2 dt dt , ; 2 ; L_ Ып2а cos2a + + ; - —8г3 COS2 ее •м* dt \ COS2a sin2a l^ = -_J^j _. 2 ЫП2а COS2a sin2 B1.7) Для упрощения решения задачи сделаем дополнительное предположение о характере смещений основной конфигурации из четырех вихрей. Именно, допустим, что йг3 = — Ьг,, 5г4 = — bz2, т. е. что смещения нечетных вихрей одинаковы по величине, противоположны по направлению и смещения чет- четных вихрей обладают тем же свойством. Нетрудно проверить, что уравнения B1.7) остаются справедливыми при этом предположении, причем уравнения третье и четвертое совпадают соот- соответственно с первым и вторым. Остается, таким образом, система двух урав- уравнений, например двух первых, в которых принято Зг3 == — Ьги 5г4 = — Ьг2: /^ л-ч> "Рте ri ft?1 Гтг Ь А ьг2), B1.8) где 1 1 COS2 В: 1 1 Выражения А я В можно преобразовать к тригонометрическим функциям двойного угла. Тогда получим: , г. 4 „4 cos 2a (ып: (Sin 2аJ Вспоминая, что для симметричного расположения 6 = 0и, следовательно, 2а == -^j- {b -j- hi) = —— i, а для шахматного b = -=-, т. е. 2а = ~ -\—— г", получим: Симметричное расположение 4 4 с/г\2 ) 4 cos — г ^ГД2 4ch Шахматное расположение 4 „ 4 = 2 —- I тсА \2 / jtft\2 ' Г8т') (chr) т:А. — 4 sin —г ( ~1г Л2 .. , тсА Ai sh —
216 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Таким образом, для симметричного расположения А и В оказываются вещественными, для шахматного: А — вещественным, В— мнимым. В послед- последнем выражении мы выделили множитель I, обозначая Л и 4sh \2' Будем теперь писать параллельно формулы для смьчетричного и шах- шахматного расположений. Прежде всего, перепишем B1.8). Симметричное расположение dbz, dt dbz2 ~~dT ' Гга Ы2 (А 6г, + В bz2), Vm Шахматное расположение d 8 J, Гл dt dbz. 8/2 Ttz (IА ог, — Dbz2), Напишем теперь системы дифференциальных уравнений для смещений в вещественной форме. Для этого положим: 5г, = 6х, -f i by, = 5, 4- frh; Ьг2 = 5ж2 + / Sy2 = ?2 + «Is и отделим в последних дифференциальных уравнениях вещественную часть or мнимой. Получим системы четырех уравнений: Симметричное расположение dt d\2 dt dt ¦=?l Шахматное расположение dt где Tk Будем искать частные решения полученных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами в виде показательных функций: где AI, N, P, Q — постоянные. Составим производные: dt и подставим в уравнения выражения для ;,,
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 217 Сокращая затем все уравнения на е , получим системы алгебраических уравнений: Симметричное расположение Шахматное расположение — kDM + co/V— kAQ =¦ 0, кАМ + шР—i — kBM — kAN-\-aQ = 0. Как известно, для того чтобы система однородных относительно М, N, Р, Q уравнений была совместна, необходимо равенство нулю определителя четвертого порядка, составленного из коэффициентов при М, N, P, Q. Будем поэтому иметь: Симметричное расположение со 0 kA kB 0 со —kB—kA со kA kB kB —kA со о о = 0, р (О — kD kA 0 Шах а с п о kD W 0 — kA Mai лож kA 0 to kD HO e н e и е 0 ¦ kA -kC CO = 0. Раскрывая эти определители и располагая их по степеням со, получим такие биквадратные уравнения: со" — 2k2 (А* — В2) со* + k* (Л2 — В2J = 0 для симметричного расположения и «4 — 2k2 (А2 — D2) о>2 -(- k4 (Л2 + D2J = 0 для шахматного расположения. Корни этих уравнений со= ±kV~A2— B*= ±2k для симметричного расположения, »>= ±k(A±Di) для шахматного расположения. Для симметричного порядка существуют частные решения, которые Со- Содержат функцию e2kt. При возрастании t смещения возрастают, следовательно, имеем неустой- неустойчивость движения. Что касается шахматного расположения, то для него получаем частные решения, содержащие функции: e±kAtcos kDt и e±kA'im kDt. Показательные функции с положительным показателем возрастают с воз- возрастанием t, что указывает на неустойчивость расположения в общем случае. Единственный случай, когда возможна устойчивость движения, требует обращения величины А в нуль: ch2 Till = 0, откуда B1.9)
218 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Это и есть полученное Карманом условие устойчивости. Оно дает зависимость между величинами h и /, т. е. расстоянием между цепочками и расстоянием между двумя соседними вихрями каждой цепочки. Именно, из B1.9) можно путем вычисления найти следующее приближенное значение: - = 0,2806. B1.10) Это значение очень близко к данным, полученным в опытах с движением цилиндра в воде. Покажем теперь, что и при выполнении условия B1.9) получается не- неустойчивость движения. Для этого нужно провести более точное исследова- исследование, аналогичное тому, которое мы проделали в начале параграфа для случая одной цепочки вихрей. Будем исходить из системы уравнений B1.5), опре- определяющей zu z2, гъ, z4 в функции времени, т. е. определяющей движение всех четырех цепочек вихрей. По формуле B0.4) невозмущенные цепочки вихрей двигаются со скоростью Введем теперь обозначения — Lx-'^L — — L—ilL — _^-4- — 3l ih 2~ и будем считать, что в начальный момент ^ = 0 вихри ги г2. z3, z4 лежат соответственно вблизи точек zl0, ziQ, z30, г40. Положим теперь IY , л А r.h = H, B1.11) где Cfc суть безразмерные смещения вихрей относительно тех положений, которые они имеют в невозмущенном движении, а -. — безразмерное время; тогда уравнения B1.5) примут вид: dx = /{tg(C4-i + ctg (с, — С, — ^ + // (С,-C + -J+ / — 2 th 2«, ctg к = г-|с,ф_с4~! (C3 — C4 + -J + ///) } — 2 th 2//, B1.12)
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 219 Легко видеть, что dx и, следовательно, С,—С,-Кз —C4 = const. B1.13) Постоянная определяется по начальным значениям величин Ci, ^> ?з> ^4- Предположим последние такими, что эта постоянная обратится в нуль. Тогда во все время движения будет выполняться равенство С,-С2 + ?3-С4=О. B1.14) В силу B1.11) это означает, что ¦г, — г2 4- *з — zA = г,0 — г20 + г30 — г40 = / + 2гА, в частности, будет выполняться равенство У1 + Уз Уг + У4 _ А 2 2 ' показывающее, что среднее расстояние между вихрями верхней и нижней цепочек таково же, как и в случае невозмущенного движения. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда выполняется условие Кар- Кармана, так что sh2tf=l; ch2# = |/; B1.15) вводя обозначения 2(С2-С) = ч 2(С4-С,) = р B1.16) из B1.12), пользуясь еще B1.14), получим: ей dz \cos a -j- cos p cos Э — i ) ' rf"p .. / 1 1 \ —J- == 4i sin а ; r — . dz \ COS cc -(- COS p COSa-(-'/ B1.17) Положим. a = a,4-W2. P = Pi + «3* B1.18) и (cos a 4- 0 (cos p — /) cos a 4- cos p тогда предыдущую систему можно записать в виде da, dF da2 dF dp, dF B1.19) B1.20) Эта система имеет очевидный первый интеграл F = const. B1.21) Разложим F в ряд Тейлора: р 2a a 4-2' В '—а4 — а3 — а2 2 4-— а3 ' — 4 4- L ^ ( 2 2\ /Й2 Й2\ „ о о | 1 04 I +  И ~~ 2J i,Pl ~ P2J ~ ala2"lP2 "I—g" Pi I" + 4 PiPa - 4 PiPa - 4 Piij2 + \ ?2 + • • • B1-22)
220 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Система уравнений B1.20) принимает вид: [ГЛ. V ft3 ^ Pi ~  rftX2 - у Р? I r3 I  Р2 "Г 2 з у Р2 ^ a2 (Pi - о 1 3 = 2a2 - 2" al 3 2 2" «i«2 B1.23) где невыписанные члены — степени не ниже пятой от а,, а2, р,, р2. Как было указано в начале параграфа, мы считаем вихревые цепочки неустойчивыми, если можно указать сколь угодно малые начальные смещения вихрей, такие, что при дальнейшем движении расстояние между двумя вих- вихрями будет отличаться на конечную величину от первоначального расстояния между этими вихрями. Очевидно, что неустойчивость цепочек Кармана в слу- случае выполнения условия B1.15) будет доказана, если мы сможем указать такие сколь угодно малые начальные значения а,, а2, jii, ?2> чтобы в даль- дальнейшем движении величина превзошла конечную величину. Если мы в правых частях уравнений B1.23) оставим только члены пер- первой степени, то получим систему первого приближения: Решая эту систему обычным способом, мы придем к алгебраическому уравнению четвертого порядка, имеющему два чисто мнимых и притом дву- двукратных корня ± 21. Можно показать '), что в этом случае для решения вопросов устойчивости необходимо рассматривать полную систему B1.23). Применим для ее исследования метод Ляпунова. Введем обозначения а, = г, cos tpi, Pi ~rx sin у,, a2 = r2 cos <p2. P2 = r2 Sln ?2> B1.25) ') Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935.
§ 21) ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА тогда система B1.23) преобразуется в такую: =¦ — -g Лsin — r\r2 sin j Лг2sin C<pi - ъ)— " rir2 sm B<p, + 2<p2) + +  'Ч'г Sln Bf l — 2<P2) +  + Ъ dr2 ~dx = w r0 -2 rA ri ЫП (tfj -f sin , — 2^.4 — -^ r? sin - = — 2rt — ^ ''l — - ri cos 4tPi - cos («Pi cos rA + Y rir2 cos 2 ("Pi rA + 2" '•/I cos 2 («Pi — ?2) + Y r2 cos ("Pi + Ъ --2'r2~~6r2 C0S + у ''l^ cos CtP2 — "Pi) + rir2 + у rir2 cos 2 (<Pi +  rir2 cos 2 ('f i — <p2) — -j '? cos (?, + <p2) + где невыписанные члены — степени не ниже пятой от г, и гг. Система первого приближения принимает вид dx = 0, d<f dx I, dx = 2 и имеет первые интегралы /•] = const., r2 = const., <p, -)- <Рг =: 221 B1.26) B1.27) B1.28) но тогда произвольная функция от г,, г2, tpi"bVs тоже будет интегралом системы B1.27). Отметим, в частности, следующие интегралы: sin <Р2> r\, r\, r\, rxr2 cos (?1 + <Р2), rxr2 s cos (tp, + <р2)- r\ri sln ("Pi + <Р2> rlrl r\r\ cos 2 («Pi + <P2). ^ cos (?1 + tp2), Г1г| мп (?1 + <p2), 4 B1.29) r\r\ sin 2 (?1 + tp2)
222 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Вернемся теперь к системе B1 26). Мы имеем для нее первый инте- интеграл B1.21): F = - 2rxr2 cos fa + <р2) + -§- г\ — -g- r\r2 cos FЬ <р2) - j r\r2 COS fa + <P2) — Y Г1Г2 — " r\r\ cos 2 (<Pl + -g" 'i^ cos CtP2 - «Pi) + -5 'i^ cos № + ?2) + y r\ Заметим теперь, что вследствие уравнений B1.26) мы имеем для произ- произвольного полинома Фл степени п от а,, а2, C,, р2 равенство ~~ ~~ "^ rft ~"~ йг2 rfx ~"~ dtp, rfx где символом О (я) мы обозначаем совокупность членов степени ие ниже я от ri и г2- Напишем теперь первое из равенств B1.26) в виде 7" = - 2г?г2 sin (9l + ft) + r\r\ sin B?1 + 2?2) + + '"l'"! sln (?1 + <P2) — I" rl Sln 4tPl — '"fo sln CtPl — ?2) + B132) Первые три члена справа являются отмеченными в B1 29) интегралами си- системы B1 27). Подберем теперь полином Ф4 так, чтобы было **±=^r\ sin 4?! + г\гг sin CЬ - <р2) - r?/-2 sm B(pi _ 2tp2) + 0F), B1.33) для этого достаточно, вследствие B1.31), удовлетворить уравнению г' sm 4<Pi + rir2 "п C?! - «f2) - r\r\ sm B?1 - решение этого последнего уравнения находится без труда, им является, например: *4 = 24 ri cos 4? 1 + Т ^ cos C<f 1 "~ fz) — g" ГИ cos BtPi — 2<Рг) = = -2T D - 6«?Р? + Pi) + | («i»2 - 3aia2B? + З^^Рг - p?p2) - Складывая равенства B1 32) и B1 33), получим: = -2г?г8 мп (у! Ч ь) + r\r\SIn B?i + 2«?2) + г^г ып fa тЧ2)+0 F) B1.35)
21] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 223 Точно так же можно найти такой полином 4'4, что окажется = 2r,r| sin (?1 + Ъ) + r\r\ sin - г?г2 sin (Tl+ft)+0F), B1.36) например, можно взять Wi = ~ i (^ ^ 6й2?2 + Ра) - 4 («2а1 - 3*1^2 + + 3elp,?2 - PiPD - -g- (»i - Pi) («1 ~ Pi) - 7 «i«2PiP2- B1-37) Заметим теперь, что r,r2 sin (<?, + <p2) = a,p2 + a2[3, и что вследствие B1.23) мы имеем: i „2;,2 1 04 4 з 4 „ з , 1 4 „ 1 _4 J_ -I a2132 — -g- И1 g px[32 g- Р!Р2-Г ^ P2 + w @) — — ~2 r\ T + -g rfr2 cos C?! — <f2) + rjr2 cos (<р! + ?2) + -g- r^ cos C<p2 — Нетрудно найти полином 94, удовлетворяющий условию —?- = - у r\r2 cos C<Р! — ?2) — з" '"i' cos C?2 - <?i) + О F); таким полиномом является, например: 04 = 24 ri^ sin Ctpl ~ ?2) — 24 rir2 sin C?2 - ?0 = = (Pi - aD (i а$2 ~ ^ a2?l) + (Pi - 4) (j «1P2 - ^ «2Pl) • С21») поэтому d (al?2 +a2?l +64) 1 4 . 0 , s . ———ai = - -2 ri + rir2cos (Ti + <P2) + + rsl cos (9l + <?) +1 r42 + О F). B1.39) Пусть теперь начальные значения a,, a2, p,, p2 обращают функцию /=" в нуль; так как эта функция есть интеграл системы B1.26), то во все время движения мы будем иметь равенство /=•==0 B1.40) и, следовательно, в силу B1.30) r^jcos (<Pi + «p2) = 0D). Поэтому равенство B1.39) может быть упрощено:
224 BHXPFBblE ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Вычтем равенство B1.36) из B1.35): + Ъ) ~ ГугЪ sin (с?! + Ъ) + О F). Положим, наконец: V = ('? - 4 + % - У4) («,р2 + ojp! + 04), B1.41) тогда вследсюие двух предыдущих равенств окажется ~ = - {Л+^) '•И ™> (? 1 -h »2)+т И - -2) D -ri)+o (8). Прибавив к правой части функцию получим окончательно: ^jr = — §- {Л -г 4) (Г1 + 4) + ° (8>- B1.42) Отсюда ясно, чю мы будем иметь неравенство -__«-' ^г^ _1_ «.2\ /#•'' _1_ «-^ f91 AT» J ~~~ ~~Л~ \ 1 ~~1— 2 / \ 1 —[— 9 / \ .^^J^ при всех достаточно малых значениях г, и г2, например, в некоторой области г1 + 4<а2- B1.44) Покажем теперь, что можно выбрать сколь угодно малые начальные значе- значения а,, а2, рь 'рг так, что в дальнейшем движении величина 2 | 2 г q 2 | о 2 2 | 2 /О т л с\ а1 "I а2 ~Т~ Pi ~Г f*2 == Г1 I Г2 B1.45) превзойдет конечное значение а2. Для этого достаточно взягь сколь угодно малые начальные значения аь а2, рь р2, удовлетворяющие уравнению B1.40) и неравенству V < 0, чго, очевидно, всегда можно сделать. Начальное значение функции V обо- обозначим через Vo. Покажем теперь, что предположение о том, что величина B1.45) никогда не превзойдет значения а1, приводит к противоречию. В самом деле, пусть во все время движения выполняется неравенство B1.44), тогда имеет место B1.43) и, в частности: функция V убывает и, следовательно, во все время движения V<V0. Но тогда во все время движения будет где b — некоторое положительное число, и так как Г\ -г- г2 = - тл | 2~~~ > ~2~ '
g 22j СХЕМА KAPM\H\ ДВП/КЕНПЯ ТЬЛА ro из B1.43) выводим: 225 ±Ь», т.е. D D' С С так что V неограниченно растет по модулю. Но это противоречит тому, что полином V должен оставаться в обчасти B144) ограниченным по модулю. Итак, можно задать такие сколь угодно малые смещения вихрей, что в дальнейшем движении вихри разойцутся на конечную величину. Это пока- показывает неустойчивость вихревых цепочек Кармана и в исключительном сл}- чае выполнения условия B1.9) Это последнее условие сохраняет, однако, до некоторой степени свое значение, так как оно характеризует те распо- расположения вихрей, которые обладают наименьшей неустойчивостью по сравне- сравнению со всеми другими расположениями вихрей. § 22. Схема Кармана движения тела в жидкости с образова- образованием вихрей. Пусть тело, имеющее форму бесконечного щпиндра с образующими, перпенди- перпендикулярными плоскости Оху, , движется в плоскопараллель- плоскопараллельном потоке жидкости парал- параллельно оси Ох в отрица- отрицательном направлении со ско- скоростью V. Контур сечения цилиндра плоскостью Оху в в обозначим через С (рис. 85). Проведем еще плоскость, па- Рис. 85. раалельную плоскости Оху, на расстоянии единицы дайны от нее. В дальнейшем мы бучеч рас- рассматривать движение жидкости между этими двумя плоское тми. Допустим теперь, чго при движении тела за ним обра- образуется пара цепочек вихрей, расположенных в шахматном порядке, и допустим, что на больших расстояниях от тела за ним течение жидкости такое, ка- какое происходило бы от двух бесконечно длинных цепочек вихрей, рассмотренных в пре- предыдущих параграфах (рис. 86); на больших же расстояниях от Рис. 86, тела перед ними мы предпо- предположим жидкость покоящейся. При таких условиях можно вычислить сопротивление, испытываемое телом при его движении Обозначим через и скорость, с которой будут перемещаться расположенные в шахматном порядке вихри. В § 20 мы видели 15 Зак ИЗО
J.2& 13I1XP1 ВЫЕ ДВП/МППЯ НД1 \,1ЫКI1 ЖИДКОСТИ [1Л V [формула B0.4)], что эта скорость равна u = ~th^. B2.1) где Г — абсолютная величина интенсивности вихрей (остальные обо- обозначения— прежние). Мы примем, как показано па рис. 86, цирку- циркуляцию верхних вихрей отрицательной, т. е. равной — Г, циркуляцию нижних—положительной, т. е. равной -j-Г. Тогда вихри будут перемещаться со скоростью и в направлении отрицательной оси Ох. Введем в рассмотрение подвижную систему координат Оху, пере- перемещающуюся вместе с вихрями со скоростью и, так что вихри относительно этой системы остаются неподвижными. Цилиндр в системе Оху будет перемещаться со скоростью V — и параллельно оси Ох в отрицательном направлении. Легко определить тот промежуток времени Т, за который тело передвинется относительно осей Оху на отрезок Z; очевидно, Отметим, что в два момента времени т и z-\- T картина движения жидкости будет совершенно одинаковой; единственная разница будет состоять в том, что в момент t-j-71 между телом и началом коор- координат подвижной системы Оху будет на одну пару вихрей больше, чем в момент т. При движении тела в жидкости оно будет испытывать сопроти- сопротивление со стороны последней. Нас будет интересовать только лобо- лобовое сопротивление, т. е. составляющая силы сопротивления по оси Ох. Обозначим величину лобового сопротивления черезW и поставим себе задачу вычислить среднее значение лобового сопротивления за период Т. В основу вычисления положим закон количеств движения: при- приращение за некоторый промежуток времени проекции количества движения системы точек на какую-либо ось равно сумме проекций на ту же ось импульсов всех внешних сил, действовавших на систему, за тот же промежуток времени. За рассматриваемую систему точек мы возьмем объем жидкости, ограниченный в момент т контуром ABCD и контуром тела. При этом уравнения прямых AD и ВС суть у = + т], где т] мы считаем очень большим (в дальнейшем мы устре- устремим 7] к бесконечности); уравнения прямых АВ и CD суть х = — ?2 и х = ?1, причем опять-таки il и Е2 считаются очень большими. Мы будем рассматривать движение частиц жидкости относительно подвижной системы координат Оху, перемещающейся вместе с вих- вихрями. Составим комплексный потенциал, характеризующий движение. Если взять основные вихри верхней и нижней цепочек в точках z0 и —zQ I где z0 r^ — _j__- A , то комплексный потенциал, происхо-
22] СХЕМА КАРМАНА ДВПЖЬНИЯ ТЕЛА 227 дящий от вихрей обеих цепочек, будет иметь вид 0^ = —2^ In sin у (z — zo)+i In sin у (г ~Мо) = ir=B2-3) sm у (г — г0) Кроме toi о, так как мы сообщили системе координат Оху дви- ксние параллельно оси Ох со скоростью — и, каждая частица жидкости пспучит добавочную скорость и параллельно оси Ох. Соответствую- Соответствующий комплексный потенциал будет иметь вид: w2-=uz. B2.4) Таким образом, полный комплексный потенциал определяется формулой sin ^-(z + г0) ±B2.5) ТС , y (г г0) При этом, согласно указанному выше, в областях жидкости, дале- далеких от тела и лежащих перед телом (по направлению его движения), мы должны пользоваться потенциалом w2, в областях же за телом необходимо пользоваться потенциалом w. Там, где движение харак- характеризуется потенциалом w2, очевидно, будет: Рассмотрим теперь движение, определяющееся потенциалом ¦wl(z) = <?1(x, y) + %(x, у). Вычислим прежде всего значения функции тока i}^: sin у (г + г0) ып у (г — . cos -7 (г -4- г siny B 7t ,— — 4тс sin у (г—г0) sin у (г — г0) — cos г0— г— г0) cos у (г — го-{-г — г0) — cos у (г — г0 —; 2та ( .ft' cos 2л , 2тс / Л \ Г ch"T У+Т cli F гЛ ft \ 2т,х sm —-- 15-"
228 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V На рис. 86 начерчены линии тока ^(л:, у) — const., причем отно- отношение hjl взято согласно условию B1.9). Легко найти предел (jjj(.v, у), когда у—>-f-oo. В самом деле, в этом случае 2ity тт/z 2-y uft П Г ii, значит, "=-Ь-^ — ^Ч — Ж' B2-8) Точно так же легко найти, что lim ty\(x, у V->-co Гй B2.9) Перейдем к вычислению скоростей. Проекции скорости можно определять по формулам ду ' B2.10) или непосредственно из равенства Jlx dw. B2.11) Воспользуемся последним равенством. Так как wx определяется формулой B2.3), то dw, Г 71 cos у {г + г0) cos у (г — г0) sin у (г Г и cos ¦ cos ¦ 2г0 -- COS г-^ cos • (- sin ch -h 2t.z ¦r.h ' B2.12) -/Shy Мы не будем отделять в этом выражении вещественную и мни- мнимую част, чтобы найти vx и V... Мы только заметим, что если у нмеег очень большие по абсолютной величине значения, rs \SQ$2m/l\
23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 229 2лг 2лг = COS -у- COS — ~ 6} дет очень большим (так как cos—-. 1 4-х , 1 . 4яу\ — „-cos—. t""9"cn~rH и> следовательно, скорость частиц жидко- с in в этом случае очень мала. Поэтому в дальнейшем мы сможем пренебрегать происходящими от комплексного потенциала wl ско- скоростями частиц жидкости, лежащих, например, па прямых AD и ВС. Мы должны, однако, отметить весьма важное следствие, выте- вытекающее из формул B2.8) и B2.9). А именно, вычислим, какое количество жидкости протекает в единицу времени через линию х — const. Оно определяется, очевидно, формулой = р [lim $i(x, у) — lim '^(х, у)\ — у->-Ьсо у->-со — г, ( ГЙ 1/l \ — Th? 109 1 Ч\ -?! 2T--2TJ- Г' <22ЛЗ) Таким образом течение жидкости, вызываемое двумя вихревыми цепочками, таково, что за каждую единицу времени через любую прямую х — const протекает всегда в направлении отрицательной оси Ох масса жидкости Г/zp/L Очевидно, что при сделанных нами предположениях, так как на больших расстояниях перед телом мы предполагаем жидкость покоящейся, упомянутая масса жидкости должна расходиться по обеим сторонам, т. е. мы приходим к заклю- заключению, что через грани AD и ВС будет в каждую единицу времени выходить масса жидкости Г/гр/7. Наконец, что касается движения жидкости, определяющегося потенциалом w и имеющего место за телом на далеких от него расстояниях, то в этом движении очевидно будет: vx = a + vlx. vy^vly. B2.14) § 23. Вычисление лобового сопротивления по Карману. Обо- Обозначим теперь через Kt проекцию на ось Ох количества движения той массы жидкости, которая находится в момент t между конту- контуром ABCD и контуром тела. Возьмем промежуток времени от мо- момента т до момента -c-f-Г и постараемся вычислить приращение величины К( за этот промежуток. Для этого предварительно вы- вычислим:
230 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V Очевидно, эта величина складывается из трех частей: во-первых, из приращения проекции на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые в момент t находились в рассматриваемой области, во-вторых, из проекции на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые за промежуток времени dt вошли в рассматриваемую область и, наконец, в-третьих, из взятой со зна- знаком мин\с проекции на ту же ось количества движения жидких частиц, вышедших за промежуток времени dt из рассматриваемой области: Первая из этих трех величин может быть определена на осно- основании закона количеств движения, по которому производная по вре- времени от проекции количества движения какой-либо системы точек на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось всех внеш- внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Мы пренебре- пренебрежем действием всех внешних сил, за исключением силы, с которой тело действует на жидкость, и сил давления, действующих на кон- контуре ABCD со стороны внешних по отношению к рассматриваемому объему частиц жидкости. Так как сила, с которой тело действует на жидкость, по принципу равенства действия и противодействия, противоположна той силе, с которой жидкость действует на тело, то проекция на ось Ох силы, с которой тело действует на жидкость, равна—W. Далее, силы давления, действующие на гранях AD и ВС, очевидно параллельны оси Оу и не имеют составляющей по оси Ох. Принимая это во внимание, мы можем написать следую- следующее равенство: М^ = _Г+ fpdy— fpdy. АВ CD Переходим к вычислению суммы d2Kt-\- d5Kt- Отметим, что в рас- рассматриваемую область ABCD частицы жидкости могут входить как через грани АВ и CD, так и через грани AD и ВС. Рассмотрим, например, грань CD. Через элемент dy этой грани за время dt вый- выйдет, очевидно, масса жидкости pvxdtdy, которая унесет с собою количество движения жидкости, проекция которого на ось Ох равна ). Всего через грань CD выйдет количество движения J pv\dydt; CD точно так же через грань АВ войдет количество движения Г pv\ dy dt. АВ
<( _М| ВЫЧНС-ЧЕШП- ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРММ1У 231 Наконец, через грани AD и ВС за время dt выйдет, как мы видели выше, количество жидкости ~-dt; проекция скорости vx на этих гранях равна и, поэтому через указанные две грани выйдет количе- ство жидкости —¦—- и dt, а потому мы будем иметь: d2Kt-\-d3Kt^ f^dydt — f ov2x dy dt — ^-udt. AB CD О сончательно для приращения проекции на ось Ох количества движения массы жидкости, находящейся внутри объема ABCD, получим: -AB CD Интегрируя это выражение по промежутку времени от момента до момента х -f- T, легко получим: -. -т = _У Wdt + A /(p + ptydy-ftp + pvtydyl-^T. B3.1) Но левую часть полученного равенства легко вычислить непосред- непосредственно. В самом деле, за время Т тело продвинется относительно вихрей влево иа отрезок /; следовательно, в моменты т и т-f- Т движение жидкости будет совершенно тождественным, единственная разница будет в том, что вся картина движения сместится влево на отрезок I. Поэтому, если мы обозначим через А'В' и CD' отрезки АВ и CD, перенесенные на расстояние I вдоль оси Ох, то картина движения в момент т —J— T" внутри прямоугольника ABCD полностью совпадает с картиной движения в момент t внутри прямо- прямоугольника А'В'CD'. Но тогда ясно, что разность Д"т т — Kz будет равна разности проекций на ось Ох количеств движения двух масс жидкости, заключающихся соответственно внутри CC'D'D и АА'В'В, т. е. К.^т — К.= Г Г pvxdxdy— \ \ pvxdxdy. CDC'D' ABA'B'
232 вихревые движннпя идглльнои жидкое I и [гл v Комбинируя этот результат с B3.1), легко получим для среднего значения лобового сопротивления, испытываемого телом, формулу dt= f(p+?vx)dy — АВ CD -I I / f9vxdxdy- f ffvxdxdyl-^p.. B3.2) S-СОС'Ъ' АВл'в' -I f -СОС'Ъ' Отметим еще, что по формуле Бернулли где С — постоянная. Поэтому AB CD AB CD J Вставляя это выражение в формулу B3.2), получим равенство, которое имеет пока лишь приближенный характер, но которое делается вполне точным, если считать грани AD и ВС, а также АВ и CD бесконечно удаленными; в этом случае для среднего лобового сопро- сопротивления, которое мы обозначим Wm, получим: + т где ^^ \-AB ¦„=4/ Wdt = A + B-?fZ, B3.3) l Г Г Г ГС 1 В — — lim -^ / / ovrdxdy— / / ovrdxdy\ . B3.5) r->oo ']•>,! J J T,-*^ i-CDC'D' ABA' B' J Остается произвести вычисления. Так как в области АВА'В' проекция скорости vx равна постоянной величине и и так как обла- области CDCD' и АВА'В' равны, то, очевидно, что В — —\\т у I / [j(yx — u)dxdy. т'~>'х CDC'D' Но по формулам B2.14) и B2.10) vx - и -= vlx =-
§ 23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 233 значит, ?,+ ' Г со Е I Но нами в формуле B2.13) уже был вычислен интеграл Ы*. у)- lim М*> зо =- у->+со ' ОУ У->+с^ \/-ь.- — со Поэтому легко найдем, что ~-^-dx = ^y-. B3:6) ?, Переходим к вычислению А. Так как на АВ имеем vx^=u, v — О и так как АВ и CD равны по величине, то очевидно Л — — lim-g- ' "~ CD Воспользовавшись формулами легко найдем, что 1 Л B3.7) Т]">а> со Но так как v\y - и, кроме того, на линии CD очевидно dz = tdy, то, обозначая знаком Re вещественную часть какого-либо выражения, очевидно будем иметь в силу того, что следующее выражение для А: El + 1'co
234 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЬАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ V Воспользуемся выражениями B2.12) и B2.1) для dwxldz и и: dw1 17 cill~ _ г -Ji лА ' U~~~Tl ~Г' сПГ 2л* Легко видеть, чт (dWl\* \~dz~j ~+ nh ГЦ dz /2 / 2лг яД\2 I2 I 2лг ~Л\ Icos -y- + /sh —) I cos -y-4-ish -у-1 ,2 /sh-^y- cos (-1 lr 7 Г2 rf_ 2л/ dz sin - соь 1ъг r.h I +'bn~J поэтому Л легко вычисляется: ~ 4л/ 1Ч" г 2лг , . , %h i\ cos— \- ish -y- 2 f,-( Проще всего принять ^ = kl, где ft — целое число, которое мы должны считать очень большим; тогда на линии CD 2л2 . 2и'у . , 2лу 2nz 2л/v . 2лу sin ——- = sin —y~ = г sh —?-; cos —т— = cos—~ = ch -~ и, значит, 4л/ Но, как известно, значит, lim thy=l, lim th у = —1, y-> со y->—oo _ pr2 B3.9) Собирая все полученные результаты B3.3), B3.6) и B3.9), при- приходим к формуле _ РГ2 РГ/г ГЛрц W«'—2tiI~t~ Т I ¦ Вспоминая еще выражение для периода Т I 7 = V— и '
4 23] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КАРМАНУ 235 приходим к окончательной формуле B3.10) Так как числовое значение Г непосредственно из наблюдений не определяется, то мы воспользуемся соотношением между Г и ско- скоростью перемещения вихревых цепочек, соотношением, полученным из условия устойчивости B1.9): и = — th — == —^=-, откуда Г = 21 V2U. 21 I 21У 2 J V Кроме того, j = 0,2806, как мы получили из того же условия устойчивости. Тогда Wm = 2 У2 ulp (V — 2и) • 0,2806 + ^- = = plV2[0,7936 ~~ 0,3141 (уJ]- B3.11) Вводя обозначение B3.12) где d есть величина основного размера обтекаемого профиля, можем написать: Wm=idV2cw B3.13) Карман и Рубах исследовали движение цилиндра в жидкости и получили хорошее совпадение наблюденных данных с вычислениями. Именно, для кругового цилиндра диаметром 1,5 см получено: h =1,8 см, / = 6,4 см, так что Л//= 0,282. Для пластинки глуби- глубиной в 1,75 см: А = 3,0 см, / = 9,8 см, А// —0,306. Результаты измерения силы лобового сопротивления и вычисле- вычисления ее по формуле приведены в табличке (вместо самой силы Wm вычислена пропорциональная ей величина cw): Цилиндр Пластинка u/V 0,14 0,20 lid 4,3 5,6 hid 1,21 1,57 С ВЫЧИСЛ. 0,91 1,61 с иаблюд. 0,90 1,44 A,56) Совпадение хорошее, особенно для цилиндра.
236 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ V § 24. Упражнения. 1. Найти уравнение линий юка одной вихрсвол цепочки (рис. 83). Ответ. ch 2те (у — у0) — cos — (х — х0) = const. 2. Исследовать движение вихревой нити между двумя параллельными стенками. Ответ. Пусть расстояние между стенками будет /, координата вихря—га. Отразим вчкрь относительно каждой стенки и повторим это отражение бесконечное число раз. Получим двойную цепочку, содержащую две системы равноотстоящих вихрей противоположных интенсивностей Г и — Г: вихри 2 Г\ i г Г\ У гл уа п первой системы отмечены знач- значком 1, второй — значком 2 (рис. 87). (г 4 г0); dZg dt откуда t'wz 87. Г ~Ш dt Вихрь перемещается параллельно стенкам с постоянной скоростью. 3. Показать, что уравнения начерченных на рис. 86 линий тока двух вихревых цепочек Кармана, расположенных в шахматном порядке, можно написать в виде: sin x-\- sh у „ ch у ~~ ' где постоянная С может меняться в пределах от —У2 до -\-У'1, если имеет место условие устойчивости B1.9).
ГЛАВА ШЕСТАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Предварительные замечания. Допустим, что рассматривается движение твердого 1ела в без! ранпчном по всем направлениям об[е»н жидкости, покоящейся в бесконечное!и. Движущееся 1вердое ie ю вызовет движение часгпц жидкости, окружающих icio и взаимодейы- вующих с ним. Можно сразу же наметить две общие постановки задачи о движении твердого тела в жидкости: а) Движение тела наперед задано; требуется опредслшь то состояние движения, которое вызовет движущееся тело в окружаю- окружающей его жидкой среде, а также определить силы взаимодействия между телом и жидкостью. Зная эти силы, нетрудно определить внешние силы, которые нужно приложить к телу, чтобы осуществить рассматриваемое заданное движение этого тела. б) Наперед заданы внешние приложенные к телу силы, и ipe- буется определить как движение самого тела, так и состояние движения жидкости а также силы взаимодействия между телом и жидкостью Форма поверхности тела предполагается известной при той и дру- другой постановке вопроса. Таким образом при обеих постановках задачи мы можем различить в ней две стороны, тесно связанные между собою: кинематическую и динамическую. Здесь мы будем рассматривать движения тотько в идеальной жидкости, и надо наперед отметить, что многие резучьтаты, полу- получаемые для идеальной жидкости, значительно расходятся с действи- действительностью. В особенности это относится к расчету сил сопротивления, встречаемого телом при движении в жидкости. Дело в том, что силы внутреннего трения или вязкости, действующие во всякой реальной жидкости между ее частицами, проявляются наиболее эффективно в тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. Наличие даже весьма малой вязкости может значите паю видоизме- видоизменить поле скоростей а следовательно, и связанное с ним поле гидро- гидродинамических давлений вокруг тела.
238 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Из различных типов наперед заданного движения твердого те,1 а в последующем будет играть особую роль случай поступательного прямолинейного и равномерного движения тела в жидкости. Созда- Создаваемое им состояние движения жидкости будет, очевидно, установив- установившимся, если рассматривать движение жидкости по отношению к осям, связанным с телом. Для расчета поля гидродинамических давлений мы можем на основании галилеевского принципа относительности клас- классической механики принять в качестве основных «неподвижных» осей упомянутые выше оси, связанные с телом. Иначе говоря, мы може!М задачу о поступательном прямолинейном и равномерном движении тела в жидкости, которая покоится в бесконечности, свести к задаче об установившемся обтекании неподвижного тела безграничным пото- потоком жидкости, бесконечно удаленные частицы которой имеют повсюду одинаковую по величине и направлению скорость. В настоящей главе мы рассмотрим, как более простой, случай плоского потока, в который помещено тело, имеющее форму беско- бесконечною цилиндра с образующими, перпендикулярными плоскости течения. Все динамические расчеты для сил гидродинамических давле- давлений, их моментов, кинетической энергии, мы будем относить к слою единичной высоты, вырезанному двумя плоскостями, параллельными плоскости течения. При этом мы ограничимся рассмотрением безвихре- безвихревого потока несжимаемой жидкости; случай сжимаемой жидкости будет рассмотрен во второй части курса. При рассмотрении плоской задачи для несжимаемой жидкости мы прежде всего обратим внимание на построение кинематической картины течения при обтекании неподвижного тела или при движении тела в покоящейся жидкости. Это построение сводится к нахождению ком- комплексного потенциала, т. е. к подбору такого распределения особых точек течения — вихревых и источников — на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела давало бы ту же самую кинематическую картину течения, какая наблюдается при внесении тела в поток. По- Построив кинематическую картину течения, мы можем, применяя инте- интеграл Бернулли для установившегося движения и интеграл Коши (Ла- гранжа) для неустановившегося, сделать расчет сил давлений на обте- обтекаемое тело. § 2. Граничные условия. Задачи Дирихле и Неймана. Разы- Разыскание комплексного потенциала w(z) = <?{x, у) + Ц(х, у), определяющего плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости, может быть сведено к разысканию одной функции тока ф, так как потенциал ср связан с ф известными условиями Коши — Римана, позво- позволяющими определить ср в виде квадратуры по известной функции ф. Функция тока ф, которая во всех точках потока несжимаемой жидкости предполагается непрерывной, удовлетворяет в этих точках уравнению
А ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ II НСЙМАНА 239 Лапласа Дф = О, а на границах потока — некоторым известным усло- условиям, вид которых варьирует в зависимости от условий осуществле- осуществления плоского потока. Не задаваясь целью дать исчерпывающую классификацию различ- различных типов граничных условий, укажем наиболее простые случаи. Если рассматривается плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся в бесконечности, воз- возникающее при движении цилин- цилиндрического тела, то граничными условиями для функции тока $ очевидно, будут: а) дх = 0, ду ¦ = 0 B.1) для бесконечно далеких точек по- потока, так как в этих точках ско- скорость должна быть равной нулю; О б) в каждой точке контура дви- рис gg жущегося тела должны совпадать нормальные проекции скоростей ип — самого контура и vn —приле- —прилегающей частицы жидкости (рис. 88); замечая, чго vn ~vKcos(n, x)-\-vycos(n, у) = vr sin 6 — vy cos 9 =^ dy dx di/ dy , d>\> dx d'\> x ds IFy" ~dT 'dx B.2) где 6 есть угол между элементом ds линии тока и осью Ох, мы можем рассматриваемое условие выразить соотношением ds 1 — «у cos 9. B.3) Если при этом в жидкости имеются еще и неподвижные тела, чо очевидно, что на их контурах нормальная составляющая скорости прилегающих частиц жидкости должна равняться нулю, иначе говоря, сам неподвижный контур должен быть в соприкосновении с линией тока (одной или несколькими). В этом случае к предыдущим усло- условиям мы должны присоединить пограничное условие в) ds =0; 6 = const. B.4) для точек неподвижного контура. Если тело движется поступательно со скоростью U, направленной вдоль оси Ох, то условие B.3) принимает вид d'b ,, . , , т —L = U sin б — U - ds dy ds ds
240 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI или поеме итерирования вдоль контура при U — const, дтя всех точек контура )=U)) + c. B.5) lic.ui цилиндрическое тело совершает произвольное движение, то их= U — toy; и = V -\~ шх, где U и V — проекции на оси Ох и Оу скорости точки О, неподвижно связанной с телом, а ш есть угловая скорость вращения тела, по- поэтому d'b ... . rfу ,т г , \ е/х ds ч •*' rfi v ' els отьуда <^-=t/y — Kx — {и(хЧ)|2) + с B.6) на контуре тела. Если поступательный поюк, скоросчь которого в бесконечно удаленных точках равна U и направлена вдоль оси Ох, обтекает неподвижное тело, то граничными условиями будут, очевидно: i^_ Uу +-с B.7) для бесконечно далеких точек и -~ = 0, ф=п= const. B.8) для точек контура. Заметим, что хотя указанные нами граничные условия находят свое главное применение при изучении установившегося движения, но они остаются в силе и для неустановившегося потенциального те- течения. В этом случае в предыдущие формулы лишь войдет как па- параметр время t, от которого будут зависеть U, V, ш, с. Задача об определении в некоторой области D функции ф, удо- удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям функ- функции ф на контуре области D, носит название задачи Дирихле. Мы видим таким образом, что определение плоского безвихревого движе- движения несжимаемой жидкости, вызываемого движением ограничивающих область течения контуров, сводится к решению некоторой задачи Дирихле. При решении нашей гидродинамической задачи можно также отыскивать в первую очередь потенциал скорости ср. Он также дол' жен удовлетворять в области течения уравнению Лапласа Д? = О. Однако граничные условия на контуре примут для функции ср другой вид. По самому определению потенциала скорости нормальная про- проекция vn скорости прнтегающей к контуру частицы жидкости есть
5 2] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 241 и ноэюму пограничное условие для функции ср принимает вид *-=«„. B.9) ие ап есть нормальная проекция скорости точки контура. В част- частное iи, в точках неподвижной границы мы получаем условие ж = °- BЛ°) Задача об определении в некоторой области D функции ср> удовле- удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям нормальной производной функции ср на контуре области D, носи г название задачи Неймана. Таким образом наша гидромеханическая задача своди 1ся к решению некоторой задачи Неймана. По функции ср можно определить функцию ф и обратно. Ясно поэтому, что задачу Неймана можно свести к задаче Дирихле и об- обратно. В самом деле, вспомнив условия Коши — Римана и приняв на время, в соответствии с рис. 88, направление нормали за направле- направление оси Ох, а направление касательной за направление оси Оу, сразу пол}чим соотношения д-f dfy до дЬ дп ds ' ds дп Задание функции ф на контуре сразу определит нам значение нормальной производной потенциала скорости dy _ di>_ дп ds и позволит перейти от задачи Дирихле к задаче Неймана. Обратно, имея задачу Неймана, т. е. зная иа контуре значение д^/дп, лако получим: для любого контура, ограничивающего область течения, и перейдем таким образом к задаче Дирихле. В случае миогосвязной области, ограниченной k контурами, в пре- предыдущей формуле появится свое значение аддитивной постоянной для каждого контура; по значение одной из этих аддитивных постоян- постоянных может быть иыбрано произвольно, так как движение определяется величинами производных от функции ф. Таким образом появятся k— 1 произвольных постоянных. Для определения последних должны быть заданы циркуляции скорости по k—1 контурам, несводимым друг к другу. Это вполне согласуйся с высказанным в конце § 18 главы 16 Зак. UJ0
242 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГЕЛА (ГЛ VI первой замечанием о том, что безвихревое движение полностью опре- определяется заданием ду/дп на контурах только при условии задания всех циклических постоянных. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о безвихре- безвихревом движении несжимаемой жидкости, заключенной в эллиптическом цилиндре. Пусть уравнение эллипса есть v-2 V2 ¦?- + ?-=1. BЛ1) пусть его движение характеризуется проекциями U и V па оси коор- координат скорости его центра и угловой скоростью вращения ш. Тогда функция гока ф должна удовлетворять уравнению внутри эллипса B.11) и 1раничному условию ^^Uy — Vx — -^ (** + /) +const. B.13) на самом эллипсе. Ищем функцию ф в виде полинома второй степени ф = Ах2 + Вху + Су'2 + Dx + Еу + F. Уравнение B.12) приводит к соотношению Из условия B.13) мы получаем, что уравнение А (х2 — у2) -f- Вху -\-Dx~\-Ey — Uу -f- Vх -А- ~ (х2 -)- у2) = const. должно являться следствием B.11). Отсюда вытекают соотношения , . и а2 — *2 2 а2 + / Таким образом искомое течение определяется функцией с2-14) Для проекций скорости находим значения х дх ду аг -j- 62 J ' ' dv db at—b2 lr B>15)
fc 3) ДВИЖиПН. КРУ10В010 ЦИЛИНДРА 243 откуда без труда получим, что ср= Ux+Vy+m д2~^а лгу. B.16) В простейшем случае чисто поступательного движения цилиндра, когда ш = 0, получим: ср = Их + Vy; vx=U; vy = V, B.17) т. е. жидкость движется вместе с цилиндром как одно целое. В случае чистого вращения, когда U = V= 0, имеем: Линии тока абсолютного движения суть гиперболы. Подчеркнем, что полученные нами формулы определяют абсо- абсолютное движение жидкости, но отнесенное к подвижным осям коор- координат Оху. Движение жидкости относительно этих подвижных осей координат определится, если мы из проекций абсолютной скорости B.15) вычтем проекции переносной скорости: vex—U — toy; vey — V-\- сил-; в результате для проекций относительной скорости получим: Траектории относительного движения могут быть получены путем интегрирования уравнений dx _ 2а>а2 dy __ 2ab2 dt ~ аг + Ь2 У' dt i и представляют эллипсы х" i У2 -^¦ + -?г= const., подобные граничному эллипсу. Относительное движение не будет уже безвихревым. § 3. Движение кругового цилиндра. Одним из простейших случаев плоской задачи является задача о движении кругового ци- цилиндра в безграничной жидкости. Берем плоскость Олгу, перпендикулярную к образующим цилиндра, н помещаем начало координат в центр круга С, по которому пло- плоскость Олгу пересекает поверхность цилиндра. Радиус круга пусть равняется с. Мы приходим, очевидно, к плоской задаче определения безвихревого движения вне круга С, возникающего при движении этого круга. П}сть цилиндр совершает поступательное движение,
244 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ TFJIA [ГЛ. VI характеризующееся проекциями U и V скорости эюю движения на оси координат. Тогда мнимая часть комплексного потенциала •ш = ср —j— /ф, являющегося аналитической функцией от г, должна удовлетворять, как было установлено в предыдущем пункте, на круге С условию ф =-= U у — Vx + const. C.1) Проекции скорости vx и vy являются однозначными функциями от х и у, причем они стремятся к нулю, когда точка Р уходит на бесконечность, так как на бесконечности жидкость, по предполо- предположению, покоится. Поэтому комплексная скорость dw является однозначной аналитической функцией or z вне круга С, обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точк'л Но то!да эм функция разлагается в ряд Лорана вида интегрируя это равенство и отбрасывая несущественную аддитивную постоянную, получим: та,==С11пг-4---&+ ... C.3) Для определения коэффициентов Ck надо отделить мнимую часть ф и сравнить ее значение на круге С с выражением C.1). Введем полярные координаты г и 6, положив: и пусть тогда из C.3) без труда получим: „ , А2 cos 0 -4- В2 sin О А3 cos 20 4- Bs sin 20 <f = Al\nr — Bxn 2Д"' , л ft а_ Я 1 г , Л sin 8 - ?2 cos 0 , Л3 si» 26 - В3 cos 26 ф= Л,6-f-^ln/Ч г -272 Полагая в последней формуле г=а н сравнивая полученное выра- выражение со значением ф, даваемым C.1): 6 = Ua sin 0 — Va cos 6 -f- const., придем к заключению, что
5 31 ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Полагая еще, что я — г 1 — тГ' получаем общее решение рассматриваемой задачи в виде 245 ср = ~ 6 — (?/ cos б -f V sin б) —, ф = — ~ In г + (U sin 6 — F cos 6) — . В простейшем случае, когда Г = 0, V = 0, мы пол)чаем: C.4) C.5) C.6) C.7) но как раз такой же комплексный потенциал имеет течение от а}С- лета, помещенного в центре цилиндра, который имеет момент Ж = = 2kUu2 и ось которого направлена по положительной оси Сх (§ 18 главы четвертой, рис. 54). Линии тока в обоих случаях будуг одни и те же, и мы получаем картину течения, изображенную на рис. 89. Точно так же комплексный потенциал w = • C.8) соответствует дублету в начале координат, направление момента которого совпадает с направле- направлением скорости движения цилиндра. Комплексный потенциал w = „-г 2.Т.1 In г C.9) Рис. 89. определяет вихрь интенсивности Г, помещенный в начале координат. Итак, рассматриваемое нами течение, получающееся при движении цилиндра, может быть получено как результат наложения на внхре- вио точку произвольной интенсивности, находящуюся в центре иилиндра, дублета, помещенного в той же точке, с моментом, напра- направленным по скорости цилиндра и имеющим величину 2xqa2, где Я — скорость цилиндра.
V46 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [IVI VI Нетрудно из полученного решения получить решение другой задачи, а именно задачи об обтекании неподвижного кругового ци- цилиндра потоком, имеющим на бесконечности заданную по величине и направлению скорость. Обозначим эту скорость через Vo3=U~\-iV. C.10) Поступательный поток, проекции скорости которого на оси коорди- координат суть U а V, имеет комплексную скорость dw ., .у ~ dz °° и, следовательно, комплексный потенциал w = (U — lV)z = v^z. C.11) Если круг С движется поступательно со скоростью — Vco= — U — IV, а на бесконечности жидкость покоится, то течение, получающееся вне круга, определяется, по предыдущему, комплексным потенциалом C.12) Складывая этот комплексный потенциал с комплексным потенциа- потенциалом C.11), получим: 2 "р Очевидно, что в полученном течении скорость на бесконечности имеет проекции U и V. Очевидно также, что выполняется условие обтекания на круге С, ибо течения C.11) и C.12) дают на этом круге взаимно-yi ичтожающиеся нормальные составляющие скорости. Воспользовавшись обозначением C.10), мы можем записать выраже- выражение C.13) также в виде w = ^-|--^ + wln«. C.14) Если скорость потока на бесконечности направлена по оси ОХ и циркуляция скорости Г обращается в нуль, то получим: w=u(z-\-—). C.15) Этим последним выражением определяется, таким образом, бесцир- бесциркуляционное обтекание круга поступательным потоком.
31 ДБИА1 HHL КРУГОВОЮ ЦИЛИНДРА 247 Воспользовавшись опять полярными координатами (г, 6), без груда получим для этого последнего случая, что =г/(г С3'16) Из последнего выражения очевидно, прежде всего, чю окруж- окружность С, на которой г--а, является линией тока ф--0. Остальные линии тока суть кривые третьего порядка (рис. 90): На окружности С os9, C.17) и, следовательно, для направлен- направленной по касательной к окружно- окружности С скорости мы получаем ве- величину &-JlH-2"s«n9. C.18) Рис. 90 Таким образом скорость в точках контура С имеет величину 21/ | sin 0 j. Наибольшее ее значение равно 2U и достигается в кон- концах диаметра, перпендикулярного к направлению скорости на бес- бесконечности. В точках окружности С, симметричных как относи- относительно оси Ох, так и относительно оси Оу, значение скорости одно и то же. А так как для установившегося безвихревою дви- движения несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил (что мы будем всегда считать, если не сделано особой оговорки) давление р определяется из инте! рала Бернулли р C.19) то ясно, что давление будет одинаково в точках окружности С, симметричных как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. А тогда очевидно, что силы давления, приложенные к элементам окружности С, взаимно уравновешиваются. Таким образом поступательный бесциркуляционный поток идеаль- идеальной жидкости при принятом допущении о безотрывности обтекания не оказывает на круговой цилиндр никакого результирующего давления. В чисто циркуляционном установившемся потоке W — j— '" z
248 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI все частицы жидкости движутся по концентрическим окружноеiям, причем каждая частица движется равномерно со скоростью V = Частицы, лежавшие в некоторый начальный момент на радиусе АВ, расположатся через некоторое время по кривой А'В' (рис. 91), уравнение которой гЦ = const. Очевидно, что чисто циркуляционный поток не оказывает ника- никакого результирующего давления при обтекании кругового цилиндра. Если на поступательный поток, обтекающий неподвижный цилиндр, наложить чисто циркуляционный поток, то получающееся в результате течение утрачивает симметрию по отношению к прямой, проходящей через центр цилиндра параллельно скорости потока в бесконечности. В этом случае комплексный потен- потенциал течения будет, как это следует из C.13): w = U [z + ^j -^ In г, C.20) где U — скорость в бесконечное in, направленная вдоль Ох, и Г—цир- Г—циркуляция скорости при обходе вокруг цилиндра в положительном напра- Рис 91. влении. В зависимости от соотноше- соотношения абсолютных величин Г и U установившееся течение будет иметь различный вид. Чтобы исследо- исследовать картину течения, определим те точки течения, в которых ско- скорость равна нулю; такие точки мы будем называть критическими. Эти точки определяются квадратным уравнением откуда C.21) Если \Т\^> 4тМа, то обе критические точки лежат на мнимой оси: одна вне цилиндра на расстоянии от центра
31 ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 249 трз 1 ая внутри, на расстоянии Г Z-> — жидкости, лежащие на мнимой оси В этом случае все частицы внутри интервала Bj, at) при Г > 0 или внутри интервала (zv —ей) при Г < 0, будут описывать замкнутые овальные траектории, окружающие ци- цилиндр (рис. 92). Если |Г|<4тг?/а, то обе критические точки располо- расположатся на контуре цилиндра (рис. 93), так как в этом слу- случае формула C.21) дает: z\ = a и замкнутых траекторий в по- потоке не будет. Если \Y\-faUa, то мы получаем промежуточный слу- случай: будет одна критическая точка, лежащая на контуре (рис. 94): /Г , . z ~-^U=z±al' Рис.92. причем имеем знак ~\- при Г > 0, — при Г < 0. Рис. 93. Рис. 94 Переходя к вычислению проекций X и Y результирующего давле- давления на слой единичной высоты, вырезаемый в обтекаемом цилиндре двумя плоскостями, параллельными плоскости течения, воспользуемся
250 П.)СКЛЯ ПДАЧА О ДВИЖЕНИИ 1ЬЛА интегралом Бернулли C.19), тогда получим: 2гс 2л К — — &pcos(n, x)ds — -^- / v2cos 6 db — Ca I cos bdb — ИЛ VI У =¦- — ф р cos (я, 2 ,/ cos 0 2к г»2 sin b db — Ca / si sin 6 db = где « — направление внешней нормали и r/s — элемент дуги кругового контура, так что cos (я, х) —cos6; cos (я, у) -= sin 6; ds = adb. На контуре цилиндра скорость будет складываться из скорости C.18) и скорости Г/2га чисто циркуляционного потока, так что "=( ^ 2f/ sin I Г \2 и поэтому л — 2 2я 4L/2 I" sin2 б cos 6 db — 2 -^- Г sin 6 cos 6 rf9 -f- 2rc 2rc 2 sin3 BdO — sin2 8 2r. Г2 C.22) Таким образом поступательный поток с циркуляцией скорости оказывает на тело давление, направленное перпендикулярно к ско- скорости потока в бесконечности, Чтобы точнее определить направление
(, 4] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 251 вектора результирующего давления R, заметим, что при Г>0б\дет Y < 0, а при Г < 0 будет Y > 0; в обоих случаях нужно повернуть на прямой угол навстречу циркуляции вектор скорости потока в бес- бесконечности, чтобы получить направление вектора R. Этот парадоксальный результат возникновения результирующего тавления в составном потоке при отсутствии такового в составляю- составляющих его потоках — чисто поступательном и чисто циркуляционном, находит свое объяснение в асимметрии течения, получающегося при сложении этих потоков. Считая, например, циркуляцию положитель- положительной и взяв для сравнения две точки пересечения контура цилиндра с осью Оу, в которых векторы скоростей составляющих потоков коллинеарны, мы видим, что в верхней точке, где эти скорости про- противоположны по направлению, результирующая скорость окажется меньше по величине результирующей скорости в нижней точке кон- контура, где величины составляющих скоростей складываются арифме- арифметически. Поэтому, как это следует из интеграла Бернулли, давление па цилиндр в верхней точке оказывается больше давления в нижней точке, что и объясняет возникновение результирующего давления, направленного вниз. Формула C.22) является частным выражением формулы Кутта —Жуковского, применимой к любой форме безотрывно обтекаемого контура (см. ниже §§ 6 и 8). § 4. Нестационарное течение, вызываемое движущимся кру- круговым цилиндром. Вернемся к течению, вызываемому движущимся круговым цилиндром радиуса а в безграничном объеме жидкости, которая покоится в бесконечности. Допустим, что движение возникло из состояния покоя; тогда по теореме Лагранжа течение жидкости будет потенциальным; пусть, кроме того, потенциал скорости ш будет однозначной функцией; это требование сводится к допущению, что циркуляция скорости по всякому контуру в жидкости равна нулю. По отношению к подвижным осям Оху течение является неустано- неустановившимся даже при равномерном движении цилиндра. Выберем неподвижные оси Оху так, чтобы в момент t = 0 цен ip цилиндра проходил через начало координат (рис. 89). Так как в рассматриваемом случае Г = 0, то из формулы C.4) получаем для комплексного потенциала выражение «,=—- dt |де есть радиус-вектор центра цилиндра и
252 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI вектор ею скорости. В частности, при прямолинейном движении цилиндра вдоль оси Ох со скоростью и получим: иа2 w oik> да — ЦД2 (х — С) . , иагу Кинетическая энергия Т', заключенная в безграничном слое жидкое!и единичной высоты, может быть вычислена по формуле A3.7) главы четвертой Вычисление дает: Г = 1 г,а V у" COS2 е d9 = у -pa V _ 1. / где Л'Г — масса вытесненной жидкости в объеме, приходящемся на единицу длины цилиндра. Полная кинетическая энергия системы из цилиндра и жидкости будет: где М — масса цилиндра. Применение закона живой силы приводит нас к равенству (М _|_ м1) и du = F ds = Fu dt или M-H = F — M'—, dt dt где F — внешняя сила, приложенная к цилиндру и действующая в направлении оси Ох. Последнее равенство показывает, что цилиндр испытывает силу сопротивления М' dujdt только при ускорении своего движения; при равномерном прямолинейном движении цилиндра сопротивление исче- исчезает. Движение цилиндра под действием внешних сил происходит так, как если бы жидкость отсутствовала, но цилиндр приобрел добавочную массу, равную массе вытесняемой жидкости. § 5. Общие выражения для гидродинамических реакций при установившемся течении. Формула Блазиуса — Чаплыгина. Обра- Обратимся к установлению общих формул для главного вектора и глав- главного момента сил гидродинамических давлений, приложенных к непо- неподвижному цилиндру произвольной формы при обтекании его устано- установившимся потоком несжимаемой жидкости. При этом мы сначала не будем делать предположения о существовании потенциала скоростей,
§ 5] ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ 253 считая лишь обтекание безотрывным. Если по аналогии с понятием комплексной скорости ввести в рассмотрение комплексное давление R потока на тело, определяя R как зеркальное отражение главного век- вектора R сил гидродинамических давлений от действительной оси, то R = X— /К = — ф /г [cos (и, х) — i cos (и, у)] ds = с = — <$ Р (sin е + i cos 6) ds — — i (? /?е-8' ds, с с где « — направление внешней нормали к контуру С тела, а 0 — угол между элементом контура ds и осью Ох (рис. 88). Замечая, что dz — dx A-1 dy = ds (cos 6 -f- i sin 6) — e%l ds, dz — dx — idy ~ds (cos S — / sin 0) = e~bi ds и применяя интеграл Берпулли P ^= с — ^ f^2, имеющий место вдоль контура тела при безотрывном обтекании, в предположении отсутствия массовых сил, находим: dz + ее Замечая далее, что dz = e~2bi dz, получаем: с Но при безотрывном обтекании вектор скорости течения на контуре направлен по касательной к контуру, и, следовательно, ve-u __ v cos о — [v sin 0 = vr — lv представляет собой комплексную скорость v. Таким образом, мы приходим к первой формуле Блазпуса—Чаплыгина: R = X — IY = -| | v2 dz. E.1) с Вычисляя главный момент L сил гидродинамических давлений относительно оси, перпендикулярной плоскости течения и проходящей через начало координат, имеем: L •= — ф р [х cos (я, у) — v cos (//, х)] ds — р {х соь 6 -f- у sin &j as — у р(х d.x 4- у tfy;.
254 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI Воспользовавшись снова интегралом Бернулли и замечая, что с ф х dx с мы приходим к выражению L — 1- ф и2 (х dx -\- у dy) = Re /— ~ р ф ^22 rfi\ , с \ с так как z dz = (х -f- /у) (dx — i dy) =-- х dx-{-ydy~{-i (у dx — х dy). Но, как было отмечено выше: v2 dz — v2dz, и, таким образом, мы приходим ко второй формуле Блазиуса —Чап- —Чаплыгина: f §\ E.2) Если теперь считать поток, обтекающий тело, потенциальным и если известно аналитическое выражение для комплексного потенциала течения w — <d-\- ib = f(z), то формулы Блазиуса— Чаплыгина, принимающие в этом случае вид R==X-lY=^l9 §(¦?)* dz. E.3) с E.4) дают возможность просто найти гидродинамические реакции потока на тело. § 6. Эффективное вычисление гидродинамических реакций при установившемся течении. Формула Кутта—Жуковского. Допу- Допустим, что течение, получаемое при внесении тела в поступательный поток, потенциально везде вне тела и может быть осуществлено путем замены тела известным нам наперед расположением особых точек течения—вихревых, источников я дублетов, лежащих внутри контура С, ограничивающего тело; кроме того, будем считать, что
Mi] ->фф| KTimiioi нычиглшш i ндродптмпчк ки\ piakuiiu 25r) алгебраическая сумма обильностей всех источников равна нулю, чю соответствует тому факту, что поток скорости через контур тела должен равняться нулю. Ограничиваясь для простоты выкладок дискретным расположением особых точек, будем считать, что рас- рассматриваемое течение определяется заданием: п простых источников, лежащих в точках ах, а2, . . ., ап, с обиль- п постямн qx, q2, ..., qn, причем ^ qk = 0; т вихрей, лежащих r точках bv, by, . . ., bm с циркуляциями Г1( р т.блегов, лежащих в точках cv с2. ¦¦¦, ср с моментами Мкел><1 (k=l, 2 р). Тогда комплексный потенциал течения представится в виде п р , w=-v z А-:^- У ab\n (z~ab) — ^ ^ г- ск = 1 k\n(z — bk), F.1) j комплексная скорость п р • т 1 V Як ! _L V мье°к L У ___?*_ (R о\ 2- ^ z — ak~t~2r.?i {г — ску 2r Lk z — bk ' К ' V = ¦ Так как dwjdz регулярно во всей внешней по отношен 1Ю к кон- т\ру С части плоскости z, включая и точку г = сю, то вычисление контурных интегралов E.3) и E.4) сводится к нахождению вычетов подынтегральных функций для точки z=co. В окрестности же по- последней точки комплексная скорость представится, очевидно, раз- разложением Следовательно, степенные разложения подынтегральных функций в окрестности бесконечно удаленной точки будут иметь вид dz i dw si z =
256 ПЛОСКАЯ 3\Д\ЧЛ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI и по известной теореме о вычетах мы будем иметь: F.5) Для вычисления коэффициентов А1 и /12 разложения F.3) доста- достаточно разложить в окрестности бесконечно удаленной точки каждое слагаемое в F.2), на ример: 4 * Л _ г - ак — г ^~ г2 ^ г* тогда найдем без труда: где Г== (л где выражение « = 1 А> -- 1 может быть названо суммарным моментом источников и дублетов, заключенных внутри тела. Таким образом, выражения F.4) и F.5) получают вид Вставляя эти выражения в формулы E.3) к E.4), получаем: Я = ЛГ — lY^ipTv^; F.6) F.7) = Re Г - р^ S ГййА - tpMvJ . L ft-i J Первая из этих формул носит название формулы Кутта — Жу- Жуковского; она показывает, что вектор R (сопряженный с главным
« 7) ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 257 поворотом вектора чэ^ на т. е. знак поворота будет вектором реакций R) повернут относительно вектора комплексной скорости v^ (сопряженного с вектором скорости v^) на прямой угол в направлении, знак которого одинаков со знаком циркуляции Г. Если мы от векторов Л и^ перейдем к их зеркальным отражениям от оси Ox: R и с^, то последние будут также перпендикулярны, причем изменится лишь направление поворота от ч)м к R. Таким образом, R = — ipTvca, F.8) и направление вектора R определится прямой угол навстречу циркуляции, обратеи знаку циркуляции. § 7. Применение метода конформного отображения. Получен- Полученное выше общее решение задачи об обтекании поступательным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произволь- произвольного контура, если только известно конформное отображение внеш- внешности этого конгура на внешность круга. Обозначим через D область плоскости z, расположенную вне рассматриваемого контура С и содержащую внутри себя бесконечно удаленную точку плоскости z. Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость С ;= ? —|— /rj и обо- чергз К окружность с центром в начале координат этой У 7 значим Рис. 95. плоскости и через R — радиус этой окружности. Область плоско- плоскости С, расположенную вне К и содержащую бесконечно удаленную точку, обозначим через Л (рис. 95). Между областями D и Д можно установить взаимно однозначное конформное соответствие при помощи однозначных аналитических функций z = /(C), C=F(z). G.1) Это соответствие устанавливается единственным образом, если потребовать, чтобы точки z = со и С = со соответствовали друг другу и чтобы значение производной dzjd'Q в точке С = оо было поло- положите 1ЬНЫМ.
258 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Аналитическая функция /(С) голоморфна в области Д, за исклю- исключением точки С = со, в которой она имеет, очевидно, полюс первого порядка. Поэтому эта функция должна разлагаться в ряд Лорана следующего вида: * = AC + *0+-?-.4-?+..., G.2) где к > О, согласно принятому выше условию о значении произ- производной dz/cK, в бесконечно удаленной точке. Предыдущий ряд схо- сходится в любой конечной точке области Д. Если в плоскости z провести окружность L с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то в области, расположенной вне L, функция F(z) тоже должна разлагаться в ряд Лорана: C-/z + /0 + ^ + |f+... G.3) Этот ряд является, очевидно, обращением предыдущего ряда, и его коэффициенты легко могут быть выражены через к, k0, klt ..., например: — k' °— ?' 1~~— 1- *• ' Заметим, что радиус R круга К можно брать произвольно, и тогда определится значение действительной постоянной к. Можно было бы принять R=\; можно, наоборот, принять, чго k—l, и то1да значение R полностью определится. Рассмотрим теперь задачу о безотрывном обтекании контура С потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость |voo|e". G-5) Соответствующий комплексный потенциал обозначим, как обычно, через Подставив сюда вместо z его выражение через * = /(С). мы получим функцию Рассмотрим свойства этой функции. Она является очевидно ана- аналитической функцией от С в области Д, поэтому ее можно рассма- рассматривать как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения, происходящего в плоскости С в области Д, т. е. вне круга К. Ком- Комплексная скорость в этом течении определяется формулой dW _ dw dz ' d'C, ~ dz d<.'
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 259 В бесконечно удаленной точке С=оо мы имеем 2 = со и следовательно. значит, в бесконечно удаленных частях плоскости С мы имеем посту- поступательный поток со скоростью С другой стороны, очевидно, что в соответствующих точках плоскостей z и С имеют место равенства w(z) = W(ty, ср = Ф; ф = 1\ и так как на контуре С функция ф имеет постоянное значение (условие обтекания), то значит на контуре К функция W будет иметь тоже постоянное значение, и, следовательно, контур К является ли- линией тока для течения, определяемого комплексным потенциалом W(?). Из сказанного ясно, что W ({.) определяет обтекание круга К потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость kv_o. Эга задача была решена в § 3; следовательно, W(C) должна иметь следующий вид: ^-^-^\aL G.6) Подставляя сюда мы получаем комплексный потенциал w (z) = kvmF(z) + ±j^ + -±f in F(z), G.7) дающий общее решение задачи об обтекании контура С. В решение вошла произвольная постоянная Г, определяющая циркуляцию по контуру С. Для случая гладкого контура, не имею- имеющего угловых точек, значение циркуляции должно быть задано; как раз такой случай мы имеем в задаче обтекания круга. Профили крыльев, употребляющихся з авиации, имеют обычно острую кромку (рис. 95). В этом случае при произвольно выбранном значении циркуляции Г скорость в острой кромке получится беско- бесконечной и только при одном совершенно определенном значении Г скорость в острой кромке останется конечной. Н. Е. Жуковский предложил так именно и определять значение циркуляции Г, чтобы 17*
260 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI скорость в острой кромке оставалась конечной. Физический смысл этой гипотезы Н. Е. Жуковского можно пояснить следующим об- образом: Пусть контур С, находившийся сначала в покое, начинает дви- двигаться поступательно и равномерно в жидкости, покоящейся на беско- бесконечности. По теореме Томсона, циркуляция скорости по жидкому контуру L, охватывающему контур С, должна сохранять свое значе- значение с течением времени и, следовательно, должна все время иметь значение, равное нулю. Вообще говоря, нулевое значение циркуляции не удовлетворяет условию конечности скорости в острой кромке А контура, так что скорость вблизи точки А будет иметь очень боль- большое значение. Заметим теперь, что действительные жидкости всегда обладают вязкостью. Как мы увидим во второй части курса, даже при малой вязкости жидкости нельзя пренебрегать действием сил вязкости вблизи стенок, в данном ?; ^^^-i^-" Ч. случае вблизи контура С. В резуль- результате действия этих сил в тонком, прилегающем к контуру С слое жидкости образуются вихри, кото- которые срываются затем с контура внутрь жидкости. Если теперь рассмотреть два контура Lx и L2 (рис. 96) и обозначи'ь через — Г' циркуляцию по контуру L2, то Рис. 96 ясно, что циркуляция по кон- контуру ?j, охватывающему контур С, будет равна Г', так как циркуляция по всему контуру L = Ll-\~L2, как мы видели выше, равна нулю (этот контур целиком лежит внутри жидкости, где действием малых сил вязкости мы можем пренебречь). Процесс срыва вихрей с преобладанием вихрей одного знака будет продолжаться до тех пор, пока циркуляция Г' не достигнет такого значения Г, при котором скорость в задней кромке контура С будет конечной. Сорвавшиеся с контура вихри при движении контура останутся далеко позади него. Таким образом объясняется установле- установление определенного значения циркуляции при поступательном равно- равномерном движении контура С. Очевидно, то же самое рассуждение применимо и к задаче об обтекании контура С. Определим теперь, исходя из гипотезы Жуковского, значение циркуляции Г для контура С, имеющего острую кромку А. Пусть точке А соответствует в плоскости С точка А' круга К: C0 = /?e'V G.8) Если касательные к контуру С в точке А образуют угол 8 (рис. 95), то в точке А' преобразование перестанет быть конформным; так как угол между двумя касательными к кругу К в точке А' равен ~,
§ ?! ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 261 а внешний угол между касательными к контуру С в точке А равен 2-— Ъ, то с точностью до малых высшего порядка преобразование области Д в область D вблизи точки А' дается формулой отсюда ясно, что при о < я в точке А' По правилу дифференцирования сложных функций dW __ dw dz d'C ~ dz dX.' В точке А' первый множитель справа остается ограниченным по модулю, а второй, как только что установлено, обращается в нуль, следовательно, Иными словами, точка А' должна быть одной из критических точек фиктивного течения в плоскости С. Подставив в равенство -—- btrt ___ jo I . / Q\ значение G.8) и приравняв результат нулю, без труда найдем: Г = 2иШ?(одав-'в° — г^в'9»). G.10) Воспользовавшись, наконец, тригонометрическим представлением получим: Г = 2^А/?|ооо|[е'(«-9) —e-'(«-e»)] = —47tA/?|oe|sin(a — 90). G.11) Итак, для контура с острой кромкой циркуляция Г определяется по формуле л|я1п(в0 —ос). G.12) Как видим, вся трудность в решении задачи о безотрывном обте- обтекании контура поступательным потоком сводится к отысканию кон- конформного отображения области D на внешность круга. Прежде чем переходить к примерам, вернемся к вопросу о вы- вычислении сил, действующих на контур С.
262 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI § 8. Реакции на контур. Мы будем исходить из общих формул Чаплыгина — Блазиуса для сил, действующих на контур С при обте- обтекании его потенциальным потоком = *\-tf.(%)'*\. (8.1) Так как функция dwjdz голоморфна вне контура С, то интегрирова- интегрирование в предыдущих формулах можно производить по любому контуру, охватывающему контур С. Если мы возьмем в плоскости z окруж- окружность L с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то на L и вне L мы должны иметь разложение в ряд Лорана вида Л + + + так как на бесконечности комплексная скорость имеет значение ©„,, то Для определения коэффициента А1 заметим, что мы имеем соот- соотношение 2к1А1 = ф -^- dz — ф dw, щ} U.JC щ) L L если L' есть преобразование L в плоскости С, то из G.9) ясно, что мы имеем также Г = (? ~-d^=^dW. L' V Правые части этих двух формул тождественны, следовательно, Г и, значит, dw - , Г , _Лг_ , .g 2) Составляем 1 _ г2 w\z —0 . Tvm , от 2 4л2 , — = v1 -А Р- -А j Г • • • z ) от таг ' z2 Теперь без труда получим, применяя теорему о вычетах:
§ 8] РЕАКЦИИ НА КОНТУР 263 и по формулам (8.1): R =: X — iY = tpTvw; (8.3) L = Re[—2i:pvo0A3t}. (8.4) Первая из этих формул есть уже известная нам формула Кутта — Жуковского, доказанная теперь для общего случая. Переходя к сопряженным значениям, получим: R = X-\-lY = — lprvao, (8.5) т. е. сила, действующая на контур, равна произведению из плотно- плотности, циркуляции скорости и скорости на бесконечности а ее направление получается из направления скорости на бесконеч- бесконечности путем поворота последнего на прямой угол навстречу циркуляции Если контур С имеет острую кромку, то циркуляция Г опре- определится по формуле G.12), и мы получим из (8.6): P=4icpkR\vJ*\s\n(QQ — a)\. (8.7) Для определения момента относительно начала координат дей- действующих на контур сил достаточно найти коэффициент А2 в разло- разложении (8.2) комплексной скорости. Но dw_ _ dW_ _dC_ __ I, - __Г kvB№\ d?L dz ~ di dz ~~ \ >*• "г" 2wt C2 ) dz ' воспользовавшись формулой G.3) и значениями коэффициентов G.4), получим: С ~ lz Ргг '•"•~г~ 1— _1 X — -*!_! __. _ t _ __ _^_ ... __ k^ ^ поэтому после простых вычислений найдем: dw — Г Итак,
264 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА {ГЛ. VI Подставляя это значение в формулу (8.4), найдем: U. (8-8) Рассмотрим теперь более подробно случай, когда контур С имеет острую кромку А. Рассмотрим формулу конформного преобразования Точку плоскости z, имеющую координату k0, обозначим через Со / и назовем конформным цент- v~ ^- —Л ром тяжести (рис. 97). Так как то, полагая получим: х следовательно, точка Со является центром тяжести для контура С, по которому распределены массы, так что на элемент ds контура С рис 97. приходится масса Rdd, равная величине соответствующего эле- элемента дуги окружности К- Отсюда ясно, что точка Со занимает одно и то же положение по отношению к контуру С при любом положении последнего в плоскости z. Проведем через точку Со прямую С01 под углом 60 к оси Ох и назовем ее критической или первой осью контура. Если поток на бесконечности параллелен критической оси, то а = 90, и по фор- формуле (8.7) подъемная сила обращается в нуль, поэтому критическая ось может быть также названа осью нулевой подъемной силы. Введя в рассмотрение угол т. е. угол атаки по отношению к критической оси контура, пере- перепишем формулу (8.7) в виде
§ 9] ПАРАБОЛА УСТОЙЧИВОСТИ 265 таким образом сила, действующая на контур, пропорциональна синусу угла атаки по отношению к критической оси контура. Подставим теперь в выражение (8.8) для момента L следующие значения входящих туда величин: тогда получим: L = — 2*pk\vj2Re {/(А, — kQRe^) е~21* + ikQRe-i6°}. (8.9) Перемещая контур С в плоскости z параллельно самому себе ак, чтобы конформный центр тяжести Со попал в точку так тН-"". (8Л0) обозначим через F и назовем фокусом контура ту точку, твердо связанную с контуром С, которая будет теперь находиться в начале координат. Из предыдущей формулы найдем для момента сил отно- относительно фокуса F выражение Lp = — 2*pk\vJ*Kt{tkle-*b\, (8.11) не зависящее от угла атаки а. Отсюда вытекает следующая теорема С. А. Чаплыгина: силы, давления на контур могут быть приведены, к силе Жуковского, приложенной в фокусе, и к паре с постоянным, т. е. не зави' сящим от угла атаки, моментом. § 9. Парабола устойчивости. Повернем теперь контур С около фокуса F так, чтобы критическая ось была параллельна оси Ох. В этом случае угол 90 обращается в нуль, и формулы G.12) и (8.7) принимают соответственно вид Г = — 4Tt P=4irpA/?|i»no|2|sina|. Направление силы Жуковского мы знаем: оно перпендикулярно направлению скорости на бесконечности; остается найти линию дей- действия силы. Найдем огибающую линий действия, соответствующих всевозможным углам атаки. Уравнение линии действия пишется так: xY — yX = LP, (9.1) но согласно (8.5) следовательно, Ar^Pr|t;0O|sina = — 4spfe/?|©ooj2sm2a, (9.2) Y = — pV\vw\ cos a = 47tp&# |i>J2 sin a cos a. (9.3)
266 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Поэтому уравнение (9.1) принимает вид х sin a cos а -f- у sin2 а » 8, (9.4) где (9.5) Огибающая семейства прямых (9.4) получается по обычному пра- правилу; дифференцирование по ос дает: х cos2ot + У sin 2a = 0. Исключение а из полученных двух уравнений приводит к искомой огибающей х2-{-у2 = BЬ — уJ, или х2==48(8 — у). (9.6) Это есть парабола с фокусом в точке F, для которой директри- директрисой служит прямая у = 28, параллельная оси Ох. Точка Со, имеющая координату fto=fti/K. (9-7) лежит очевидно на этой прямой. Таким образом директрисой пара- параболы (9.6), которая называется параболой метацентров или пара- параболой устойчивости, является критическая ось контура, а ее фоку- фокусом— фокус контура. Имея параболу метацентров, достаточно провести касательную к ней, перпендикулярную к направлению скорости на бесконечности, чтобы получить линию действия силы, действующей на контур. Но известно, что основание перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на касательную, лежит на касательной к пара- параболе, проходящей через вершину параболы. Поэтому можно дать следующее простое правило построения линии действия силы: через середину перпендикуляра из фокуса на директрису проведем прямую, параллельную директрисе, тогда линия действия силы будет проходить через точку пересечения этой прямой с пря- прямой, параллельной направлению скорости на бесконечности и проходящей через фокус параболы, и будет перпендикулярна направлению скорости на бесконечности. То или другое напра- направление силы на линии ее действия может быть определено либо по правилу Жуковского, либо из знака момента Lp. Отметим еще, что в частном случае, когда LF = 0, сила всегда проходит через фокус F, так что в этом случае мы имеем постоянный центр давления. Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что формула (9.5) справедлива только в том частном случае, когда критическая ось параллельна оси Ох. В общем же случае произвольного расположе-
§ Ю] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 267 ния контура С мы должны воспользоваться формулой (8.11), откуда следует, что положение фокуса F определяется в общем случае равенством Zp=^kfj -g- в °, ("•") ибо ku~ гСа, а из (8.10) вытекает, что § 10. Обтекание эллиптического цилиндра, а) Продольное обтекание. Для того чтобы найти комплексный потенциал w (z) = ср -f- /ф, где 2: = Jf-f-у/, и построить картину течения при обтекании цилин- цилиндра (рис. 98) 4г + 4 = ! («>*) A0.1) установившимся поступательным потоком, скорость которого в беско- бесконечности U направлена по большой оси цилиндра, попытаемся найти Рис. 98. такое конформное преобразование плоскости z в плоскость новой комплексной переменной L чтобы контур эллиптического цилиндра в плоскости z перешел в кон- контур круга некоторого радиуса в плоскости С с центром в точке г = О
268 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI и чтобы точка ,г=оо соответствовала точке С = со: при этом внешняя часть плоскости z по отношению к цилиндру A0.1) будет соответствовать внешней же части плоскости С по отношению к круговому цилиндру. Построив по известным уже формулам ком- комплексный потенциал iz> (С) течения при обтекании кругового цилиндра в плоскости С, и совершив обратный переход С = мы получим искомый потенциал w [F (z)\ течения в плоскости z. Для указанной цели произведем прежде всего преобразование подобия z = cz', A0.2) где с~Уа2—Ь'2 есть линейный эксцентриситет данного эллипса. Тогда эллипсу A0.1) будет соответствовать в плоскости z' эллипс х'г v'2 —г + -^т=1. (Ю.З) а'2 Ъ'1 У ' где линейный эксцентриситет которого равен 1. При этом, очевидно, точкам 2=0 и z — co будут соответствовать точки z' — 0 иг' = со. Из теории конформных преобразований известно, что подстановка преобразует эллипс на плоскости z' ~'2 v'2 У =1 A0-5) с эксцентриситетом 1 в окружность на плоскости С радиуса /? с цент- центром в С=0; причем если /? > 1, то внешняя часть эллипса A0.5) переходит во внешнюю же часть окружности, так что сохранится соответствие точек z' = oo и С=оо. Подберем радиус /? так, чтобы отождествить эллипсы A0.3) и A0.5): Эти уравнения не независимы, и можно было бы ограничиться одним из них. Складывая, находим: R =
s, 10] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 269 Таким образом искомое преобразование будет: (Ю.7) Взяв известное выражение комплексного потенциала течения в плоскости С при обтекании круговою цилиндра потоком, скорость которого и в бесконечности параллельна вещественной оси: W = I мы должны еще скорость и при ? = оо выбрать так, чтобы полу- получить в плоскости z при z = оо скорость U; кроме того, надлежит проверить допущенную неявно параллельность в бесконечности тече- течений в плоскости z и С Преобразование, обратное преобразованию A0.7), будет неодно- неоднозначно но требование R > 1 делает его однозначным. В самом деле, для точки z — а мы имеем: и так как эта точка С должна лежать на окружности радиуса /?=|/ —i-т-, то мы должны взять верхний знак A0.9) При этом мы подразумеваем под у z2 — с2 то значение этого корня, которое при z > с положительно. Комплексный потенциал A0.8) вследствие A0.9) преобразуется к виду w = — с (a — i Вычисляя комплексную скорость, имеем: dw 2a i bz v = =- : — A 1/ ?2 — r2> й(г с (a — b) \ у z2 — c' откуда видно, что при z = оо v, а следовательно, и v = t/, веще- вещественно и притом ?/ = 2и/с.
270 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Таким образом искомый комплексный потенциал при обтекании эллип- эллиптического цилиндра A0.1) поступательным потоком, параллельным в z = w большой оси цилиндра, будет: W = - -{az-byz*-c*). A0.10) Легко проверить, что при Ь->а после раскрытия неопределен- неопределенности вида -гг мы получим найденное раньше выражение для круго- кругового цилиндра. б) Поперечное обтекание. Если скорость потока в бесконеч- бесконечности V направлена в положительную сторону оси Оу (рис. 99), то, отобразив при помощи ука- указанного выше преобразования внешность эллипса плоскости z на внешность круга а-\- b ' ' а — Ь плоскости С, мы должны только для комплексного потенциала w течения в плоскости С взять вместо формулы A0.8) формулу Рис. 99. которую получаем из выведенной нами общей формулы C.13), учи- учитывая, что в бесконечно удаленных точках плоскости С скорость течения направлена в положительную сторону оси т;, имея некоторую величину и. Возвращаясь к переменной z по формуле мы получаем: i — _ — \z - с 1 __ 2ш ~~ с (а — Ь) (bz — < >—R2(z z^=?),
§ 10] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА 271 откуда найдется комплексная скорость течения в плоскости z: - dw 2ui /, аг dz c(a- Так как при z — oo должно быть v~ — Vi, то получаем: и таким образом искомое выражение для комплексного потенциала будет: w = —V~{bz~ aVz2 — с2). A0.11) в) Косое обтекание. Если скорость в бесконечности vw соста- составляет некоторый угол а с продольной осью эллипса то, разлагая вектор ^ на составляющие vw=U + iV A0.12) и рассматривая косое обтекание как результат сложения продоль- продольного и поперечного обтекания со скоростями U и V в бесконечно удаленных точках, мы можем комплексный потенциал такого резуль- результирующего течения представить как сумму соответствующих потен- потенциалов A0.10) и A0.11): w = —Ц- [(аг — ft /г2 — с2) U + i (ft? — a "j/V — с2) V] A0.13) вследствие линейности уравнения Лапласа, которому удовлетворяет w = ср —(— /ф. Вследствие отсутствия циркуляции, силы, действующие на цилиндр при косом обтекании, приводятся к одной паре, момент которой может быть получен применением формулы (8.4): где Л2 есть коэффициент при 1/.г2 в разложении dw/dz в ряд по степеням l/z. Но в окрестности бесконечно далекой точки счедовательно, dz ~ l 2
272 Итак, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА _ (a + b) (bU + iaV) !ГЛ VI и, следовательно, I = Re {шр (a-$-b)(U — iV) (bU + taV)} = — яр (а2 — й Заменяя t/ и К их выражениями ?/ = | щ | cos a, V = | ¦у sin a, получаем окончательно для момента вращающей пары: m 2 sin 2a. . A0.14) A0.15) Последнее выражение показывает, что вращающий момент реак- реакций исчезает при продольном (а = 0) и при поперечном (а = тг/2) обтекании эллиптического цилиндра. § 11. Обтекание плоской пластинки. Формулы, выведенные для эллиптического цилиндра, непосредственно дают картину течения и величину вращающего момента реакций при обтекании бесконечной Рис. 100. плоской полосы шириною 2а (рис. 100). Для этого достаточно в предыдущих формулах положить ? — 0; в результате получим: L = =" кра21 г>оо |2 sin 2a. Выражение для комплексной скорости A1.1) A1.2) v=ll — — a2
И] ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 273 показывает, что скорость обратится в нуль в двух критических точ- точках, лежащих на пластинке. В самом деле, если z вещественно и \z\ < а, то имеем: 7, = rr f v . г , откуда заключаем, что v — 0 при U а z= ± ¦= + a cos a. A1.3) При этом, если критическая точка z = a cos а лежит на одной стороне пластинки, то критическая точка z — — a cos <x будет лежать на противоположной стороне. Нужно заметить, однако, что построенная идеаль- идеальная картина обтекания бесконечно тонкой пла- пластинки физически неосуществима, так как из выражения для v видно, что у краев пластинки v = оо. Мы можем добиться конечности ско- скорости у одного из концов пластинки, например у конца z = a, если возьмем циркуляционный поток (рис. 101). Конформное преобразование Н4); Рис. 101. переводит внешность круга единичного радиуса в плоскости С во внеш- внешность рассматриваемой нами пластинки в плоскости z, при этом точке С=1 соответствует задний край пластинки z = a. Таким образом, мы имеем в данном случае: Применяя теперь формулы § 7, сразу находим для циркуляции ско- скорости значение Г = — 4-kR | г>ю | sin (а — 60) = — 2па | vm | sin а, A1.4) Для комплексного потенциала 18 Зак. 1190
274 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI и для комплексной скорости dw dw dC f a — av o . la \ «m j ып а dz~{2 m 2C2 С ) —/sinaj/~J^}. A1.6) Сила Жуковского имеет величину J*\s\n<i\, A1.7) пропорциональную синусу угла атаки; фокус лежит в точке у Ъ ?_ о — I "п zF — к0 -^- е — j , т. е. отстоит от переднего края пластинки на расстоянии, равном четверти длины пластинки. Эта точка является постоянным центром давления, так как для момента силы относительно фокуса получаем нулевое значение LF-=— 2nPk | vm [2 Re [ik^e-2^] = 0. Скорость на переднем крае пластинки получается бесконечно большой. С этим связано одно интересное обстоятельство. А именно, составляющие силы Жуковского по осям координат имеют значения Х= ?Y\vaj\s\na. — — 2T.pa\va,\2s\tfa., A1.8) Y = — рГ j v^ | cosa = 2irpa 1©^ |2 sin a cos a. A1.9) Но ведь все элементарные давления направлены нормально к пластинке, и возникает вопрос, откуда берется составляющая X силы Жуковского, направленная вдоль пластинки. Эта составляющая носит название подсасывающей силы. Если бы мы чуть-чуть закруг- закруглили передний край крыла, то скорости вблизи него были бы очень большими, но тогда по формуле Бернулли разность между давлением на переднем краю пластинки и давлением на бесконечности была бы большой отрицательной величиной. Наличие этих больших разреже- разрежений и приводит к появлению подсасывающей силы, предельное вы- выражение которой дается формулой A1.8). § 12. Обтекание некоторых форм профилей цилиндров. Если картина течения при обтекании кругового цилиндра чисто поступа- поступательным потоком (без циркуляции) могла быть получена внесением в поток некоторого дублета, то естественной представляется задача определить, какие формы профилей обтекания могут быть получены той или другой комбинацией источников и стоков. Задача эта является
12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 275 обратной задаче определения комплексного потенциала при обтека- обтекании цилиндрического тела заданного профиля. Мы рассмотрим здесь лишь некоторые простейшие комбинации источников и стоков. а) Источник и сток равной обильности т, помещенные на вещественной оси в точках — а и -\- а при наличии однородного поступательного потока, скорость которого в бесконечности vx = U Рис. 102. направлена вдоль оси Ох (рис. 102), дают течение с комплексным потенциалом w =?/*_!_ ?.!„?+?. A2.1) 1 2я г — а Потенциал скорости и функция тока выразятся формулами т. где в) и угол ^ = (г2, х) — (rv x) определяется соотношением cos ^ = cos (гг, x)cos(r2, x)-\-sia(rv x)sin(r2, x) = - у^.—'¦ Для построения линий тока мы можем воспользоваться известным графическим приемом Макс- Максвелла, рассматривая скалярное поле <j> как результат наложения
276 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА друг на друга более простых скалярных полей [ГЛ. VI И фо = ¦ т линиями уровня которых служат пучок прямых, параллельных оси Ох, и пучок окружностей, проходящих через точки аи — а: Построив эти линии уровня через равноотстоящие значения с, и с2 и отыскивая точки пересечения таких линий первого семейства Рис. 103. с линиями второго, параметры которых удовлетворяют условию с1 — с2 = с (const.), мы получим ряд точек на линии тока <]) = с. Производя указанное построение, мы можем убедиться, что линия тока ,. m n иухо состоит из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку ,/~ 9 . ma I -,/" 9 | та\ ¦у a2+w> +у a*+wj- На концах этого отрезка, являющихся критическими точками течения, где скорость обращается в нуль, линия тока ф = 0 развет- разветвляется, образуя профиль овальной формы; ордината у, при х = 0, соответствует максимальной ширине овала и определяется как корень
§ 12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 277 трансцендентного уравнения с/у arete- — = 0. Таким об.разом, комплексный потенциал A2.1) дает картину обте- обтекания цилиндра, ограниченного указанным овальным профилей. б) Точечный источник обильности т и система линейно-рас- линейно-распределенных стоков, суммарная обильность которой равна обиль- обильности источника, помещенные в поступательном потоке на прямой, параллельной скорости г»ет, дают картину обтекания профиля, несим- несимметричного относительно поперечной оси (рис. 103). Взяв упомянутую прямую за ось Ох, поместим начало координат в источнике; пусть координаты начала и конца прямолинейного отрезка АВ, на котором непрерывно распределены стоки, будут а и Ь. Тогда комплексный потенциал течения, создаваемого одними стоками, будет: Wn = = ; г 2я (й — а) а = тг- 1 + и 'п (z — о)— т In (z — а)\. 2тс L b — a v b — a v J Присоединяя сюда потенциал источника и потенциал однородного потока wQ— Uz и отбрасывая несущественное для исследования потока постоянное слагаемое, получаем суммарный потенциал w = w0 -)- wl -f- w2 — z + ^=±ln(z-b)-^\n(z-a)). A2.2) Выражение для комплексной скорости показывает, что условие vao= U удовлетворяется. Течение имеет две критические точки /Си/., лежащие на веще- вещественной оси, в которых скорость обращается в нуль; их абсциссы х1 и х2 найдутся как вещественные корни трансцендентного уравнения m \iu ч т , х — а г> т х — а
2?8 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI где = b-a. B = Для оценки корней применим графический прием; построив кри- кривые (рнс. 104) А и y = из которых последняя представляет гиперболу, мы видим, что хх < О и х2 > Ь. Применяя для определения вида линий тока графический прием Максвелла, можно убедиться, что линия тока ф = 0 будет У Рис. 104. совпадать с вещественной осью вне отрезка KL; в точках же/С и i эта линия разветвляется, образуя профиль указанной формы. в) Система бесконечного множества дублетов с одинаковыми моментами М, одинаково направленными параллельно вектору —vw и помещенными на прямой, перпендикулярной к г^, в расстоянии а друг от друга, создает течение с комплексным потенциалом м 25Г 1 г — Ш если вэять указанное на рис. 105 расположение осей. Вспоминая известное разложение на простейшие дроби -г-со "¦ — йя МЫ ВИДИМ, ЧТО М М
§ 12] ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕЙ ЦИЛИНДРОВ 279 Из симметрии расположения дублетов следует, что все прямые )¦§- (ft — ...,—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ...) служат линиями тока и останутся таковыми же при наложении одно- однородного поступательного потока с потенциалом wo= Uz, а поэтому Рис. 105. картина течения не изменится, если заменить некоторые из упомя- упомянутых линий неподвижными стенками. Суммарный потенциал такого течения выразится формулой w = wo-\-wl = Uz~\- и комплексная скорость будет: - лМ 1 М ,, KZ гтп 2а а 2а2 а откуда видно, что условием i=U. Критические точки течения определяются Sb2 яг — Мл Stl T ~~ 2a?U ' из которого видно, что течение будет обладать двумя критическими точками, лежащими на вещественной оси на равных расстояниях о г начала координат. Обозначая это расстояние через R, мы можем выразить через него величину момента дублетов м = и тогда aU sh2 — cth — . а а A2.3)
280 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Отсюда найдется функция тока all tzR 2лу sh2 -— sin —— "¦ О- О, Это выражение показывает, что линия тока ф = 0 будет состоять из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку, соединяющему критические точки х = — R и x = R, в которых линия тока ф —0 разветвляется, образуя овальный профиль; макси- максимальную ширину этот овал будет иметь при х = 0, так как тогда vy = -ji-=0; ордината -{-у0, соответствующая максимальной ширине, найдется как наименьший положительный корень трансцен- трансцендентного уравнения ~ ,. all , г. tzR , пу О = Ну sh2 ctg -J- . ¦* ъ а ° а Если R маю по сравнению с а, то у0 будет близко к R и упомя- упомянутый овал будет мало отличаться от окружности. В самом деле, полагая —=К перепишем предыдущее уравне- ние в виде у sin -g- = -у- sh^A cos -д-. Раз1агая обе части в ряды по степеням А, будем иметь: __ п R 6R3 ~г " ' - — "¦ 2R "т~ 3 откуда видно, что если X мало, то у2 будет близко к R2. Таким образом, комплексный потенциал A2.3) дает картину обтекания про- профиля, близкого к круговому, помещенного в прямолинейный канал с твердыми стенками, если линейные размеры овала малы по срав- сравнению с шириной канала. § 13. Обтекание профилей Жуковского. Конформное преобра- преобразование () A3Л) примененное нами при изучении обтекания эллиптического цилиндра отображает окружность единичного радиуса в плоскости С l A3.2)
§ 13] ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 281 на отрезок вещественной оси между фокусами эллипса—с и с в пло- плоскости z, причем этот отрезок проходится дважды в противополож- противоположных направлениях, когда соответственная точка С пробегает окруж- окружность A3.2) один раз. Приводя формулу A3.1) к виду и вводя новые переменные г' и С при помощи преобразования подобия г' = 2г\ С = сС, A3.3) мы заключаем, что преобразова- преобразование г' = С' + -?- A3.4) переводит окружность радиуса с плоскости С в отрезок (— 2с, 2с) вещественной оси плоскости г'', пройденный дважды. Представив преобразование A3.4) в виде V, Рис. 106. мы можем убедиться, что окруж- окружность К плоскости С с центром на мнимой оси в некоторой точ- точке Ы, проходящая через точки — сне вещественной оси, пе- перейдет в дугу окружности Р на плоскости z', опирающуюся на точки — 2с и 2с вещественной оси и имеющую вершину в точке '2kl на мнимой оси, при этом дуга Р проходится дважды (рис. 106). В самом деле, непосредственно видно, что точки си — с плоскости U будут соответствовать точкам 2с и — 2с плоскости z', а точки пересечения окружности К с мнимой осью перейдут в одну и ту же точку на плоскос г': точку на плоскости г ='2ki.
282 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Кроме того, из A3.5; имеем: Называя через rv r2, pv р2 модули чисел г' — 2с, г' + 2с, С —с, f-c, а через otj, <х2, $v р2 их аргументы, имеем из A3.6): In -^ + / (a, — a2) = 2 In ii- + 21 (p, — p2). '2 P2 откуда A3.7) Упомянутые комплексные числа z' — 2с, z' + 2c, С — с, С' + с выражаются векторами В'М', А'М', ВМ, AM, и, значит, разности 6' = otj — а2, 6 — р! — р2 выражают углы, под которыми видны отрезки А'В' и Л?? соответ- соответственно из точек М! и М; а так как 6 — const, для окружности К, то вследствие A3.7) будет и 6' = const., т. е. линия A'D'B' пред- представляет собой дугу окружности. Таким образом, преобразование A3.4) отображает полную окруж- окружность К плоскости С где хорда которой вмещает со стороны центра угол 6 и опирается, сле- следовательно, на центральный угол (рис. 106) в дугу Р плоскости z', хорда которой вмещает со стороны, противо- противоположной центру, угол 6' = 26 и опирается, следовательно, на цен- центральный угол Радиус г дуги Р найдется из треугольника ОСВ': r = —r—=-r = —V- A3.8) При этом полному обходу окружности К отвечает дважды про- проходимая в противоположных направлениях дуга Р.
^ 13J OBTFKAHHE ПРОФИЛИ!"! ЖУКОВСКОГО 283 Установив это, рассмотрим наряду с окружностью К, которую будем называть основною, некоторую соседнюю окружность Кх радиуса /?0—)— е, центр которой поместим на продолжении радиуса ВС основной окружности так, чтобы она касалась основной окружности в точке В (рис. 106). Так как окружность Кх охватывает полностью окружность К, то после применения преобразования A3.4) она перейдет в некоторую замкнутую кривую Рх, охватывающую дугу Р. В точке В' Bс, 0) кривая Рх будет касаться дуги Р, подходя к ней с обеих сторон, т. е. образуя острие. Если через центр Сх окружности Кх провести координатные оси 1хСху\х параллельно осям \'Ог{, то точки комплексной плоскости 1Х относительно новых осей будут связаны с соответствующими точками плоскости С при помощи преобразования параллельного переноса C'-Ci + s-, A3.9) 1де g— комплексное число плоскости С, изображающее вектор ОСХ. Вводя в рассмотрение угол -|- наклона радиуса ВС основной окруж- окружности к отрицательному направлению вещественной оси %', мы имеем: и, значит, g^ki + ze^ 2> =kl — ее где Таким образом, -It se 2 . A3.11) Пусть теперь окружность Кх обтекается в плоскости t.x поступа- поступательным потоком с циркуляцией Г; пусть при этом скорость в беско- бесконечности к^ этого потока образует угол а с положительным на- направлением вещественной оси, так что Комплексный потенциал такого изученного нами течения выра- выражается формулой [ i5^]i-lnCi- A3.12) Выразив здесь ц сначала через С на основании A3.9)
284 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI -1/ где g — kt — ее 2 , а затем С — через г' на основании формулы A3.4), которая дает: C'^i-lV + l/V2— 4c2), A3.13) мы получим комплексный потенциал течения при обтекании про- профиля Рх в плоскости z'\ Вычисляя комплексную скорость в бесконечности для течения в плоскости г', имеем: ^оо == I Коо I е~а'< !1> ЗНаЧИТ, ^оо'== Коо" Скорость потока в плоскости z' у задней точки В' контура Рх может оказаться бесконечной, как это видно из выражения для ком- комплексной скорости •=?=?•§•?• <¦»¦"» в котором с/С' 1 1 — — — — со dz' dz' . с2 W р" при U — с. Для того чтобы задача обтекания профиля Рх могла иметь физи- физический смысл, скорость потока на профиле и вне его должна оста- оставаться конечной. Подберем поэтому интенсивность циркуляции Г, оставшуюся неопределенной, так, чтобы удовлетворить требованию о конечности скорости. Для этого достаточно выбрать Г так, чтобы ,j = 0 в точке В плоскости Cj, т. е. при Cj = (Ro -f- s) e 2 . Производя вычисления, найдем: откуда
§ 13] ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 285 ИЛИ ( ) A3.17) где Для расчета главного вектора гидродинамических реакций (на единицу длины цилиндра), приложенных к профилю Р t со стороны потока, воспользуемся формулой Кутта — Жуковского Подставляя сюда выражение для Г A3.17), имеем: R = 4Ц0 | Voo |2 е" (Vc2 + k? + e) sin (« + {) = + -|). A3.18) Вектор R, направленный перпендикулярно вектору скорости v^, называют поддерживающей силой; для величины R имеем: | R | = 4тф | vm I2 (q = 4тгр | vm P(/?o+ 0 sin (a + i) . A3.19) При малых e можно приближенно положить: |/?| = 4^1^|2/?0sin(a + |) A3.20) или вследствие A3.8) I RI = 4^р | ^ |* г sin -| sin (a 4- {) • A3.21) К тем же формулам приходит Н. Е. Жуковский, применяя, пре- преобразование где ai=eg, указанное С. А. Чаплыгиным и не отличающееся по существу от преобразования A3.1) или A3.4), примененного выше. Профили, получаемые применением того или другого из указан- указанных преобразований к некоторой окружности, соприкасающейся с основной окружностью в особой точке преобразования и заключаю- заключающей внутри себя вторую особую точку, получили общее название
286 ПЧОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI профилей Жуковского, впервые указавшего на их применение в каче- качестве профилей крыла аэроплана. Профили Жуковского при заданном расстоянии Ас в плоскости профиля между особыми точками преобразования характеризуются двумя параметрами 4 и е, из которых первый характеризует изгиб или кривизну крыла, а второй — его толщину. При малом изгибе можно приближенно принять 4/- sin | = 2/f = о A'D'B' = F, где F — площадь единицы длины крыла, и тогда для поддерживаю- поддерживающей силы получаем простое выражение ( ly A3.23) При р = О отсюда получается выражение для поддерживающей силы при косом обтекании с циркуляцией плоской пластинки ши- ширины F |/?)=^p|T»coj2Fsina A3.24) при условии, что величина циркуляции подобрана так, чтобы у зад- заднего края пластинки скорость течения оставалась конечной. Этот результат был уже получен выше в § 11 [формула A1.7)]. Формула A3.18) показывает, что поддерживающая сила обра- обращается в нуль и меняет свое направление, если угол а, называемый также углом атаки, принимает значение максимальной же величины поддерживающая сила достигает при а = Т~~2 • Заметим еще, что при а —0 формула A3.21) дает: |/? | = 4тгр j v^ |2 г sin2-])- или | R j = 2лр/1 v^ |2, A3.25) где / = 2r sin2 -| есть так называемая стрела прогиба кривой дуги A'D'B'. Фор- Формула A3.25) выражает теорему Чаплыгина: поддерживающая сила при обтекании без срыва струй круговой дуги потоком, скорость которого в бесконечности параллельна хорде, стягивающей дугу, не зависит при данной стреле прогиба от длины дуги или ее радиуса.
la] ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 287 Для вычерчивания профилей Жуковского при заданных парамет- параметрах можно применить простой прием, указанный Треффтцем. По- Построив в плоскости С соприкасающуюся окружность К\ радиуса Рас. 107. /? 1 ¦=: /?0 —|— е (рис. 107), из которой получается профиль Жуковского после применения преобразования строим вспомогательную окружность К2, получаемую из Кх путем преобразования инверсии и симметрии Так как при этом преобразовании окружность переходит в ок- окружность, причем вещественная ось переходит сама в себя, то по свойству конформности окружность К2 будет пересекать веществен- вещественную ось под тем же углом, что и окружность Кь — иначе говоря, К2 и К\ будут касаться друг друга в точке С'-— С"=с, через кото- которую проходит К\, следовательно, центр С2 окружности К2 располо- расположится на прямой BCV С другой стороны, центр С2, который, заметим, не является соответственной точкой для центра С\ окружности К\, будет лежать на луче B), являющемся отражением луча G) от мни- мнимой оси. В самом деле, так как точки Ах и А2 пересечения окруж- окружностей Кх и К2 с вещественной осью являются соответственными, то вследствие A3.24)
288 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ V! Но если Dr есть проекция центра Cv на ось ?', то и, значит, В таком случае С2 2lc2_j_C? cos _|_j с + 2г cos -i- с + 2е cos -|- С другой стороны, если D2 есть проекция С, на ось ?, то Таким образом, абсцисса центра С21 OD21 будет равна ^2_ | OD2| == | OS | — I D2B ] = с —• ¦ COS^- COS -^- ft? COS -g- kz COS y Ty же самую абсциссу будет иметь точка пересечения луча B), уравнение которого ft + sin -я- с прямой ВСХ, уравнение которой с ^ ft ~ '¦ Построив таким образом окружность К2, мы можем для каждой точки C' — IC'le?' окружности Кх найти соответственную точку С' = с2 = ур—и"""?' на окружности К2, пересекая последнюю л)чом, прове- проведенным под углом — <р к вещественной осн.
13] ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 289 ТII Построив после этою геометрическую сумму векторов ^ и (,' мы, вследствие A3.4), получим соответственную точку профиля Жуковского. Чтобы дать полную характеристику сил гидромеханических реак- реакций, приложенных к профилю Жуковского при его обтекании, вос- ио 1ьз\емся результатами § 8. Конформное преобразование плоскости С на плоскость z предста- представляется в нашем случае равенством , . , с2 „ , . с2 gc2 . так что при сравнении с G.2) получаем: k =1 k0 -- g = ki — ze 2 , Для острой кромки профиля Жуковского и, следовательно, •„=-!¦ Конформный центр тяжести профиля имеет, очевидно, коорди- координату k0, г. е. совпадает с точкой Cv Проводя через него прямую /, составляющую угол — р/2 с осью Ох, получим критическую ось про- профиля (рис. 108). Фокус профиля определится по формуле (9.9): , ft, ,« с2 '| отсюда видно, что направление CXF симметрично с направлением критической оси относительно оси С? и чю расстояние между точ- точками С1 и F определяется по формуле Зная фокус F параболы устойчивости и ее директрису — крити- критическую ось профиля, без труда построим эту параболу. Ее пара- параметр р =г-_ 23 имеет значение 19 Зак 1I9U
290 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ГЕЛА [I П V! Момент реакций относительно фокуса F имеет, как мы знаем, постоянное значение: LP = — 2тгр Re [ik.e-^] = — 2-р | Re Подсчитаем еще момент реакций относительно конформною центра П У Р Рис. 108. тяжести Cj, для чего воспользуемся формулой (8.9), в которой надо положить &0=0: или Re {- 2*pkk$J} = Re {- LCl = — 2тср | г»^ [2 с2 sin 2a. |2 в'"/ Ясно, что этот момент обращается в нуль, если а = 0 или a = it/2. Таким образом, если поток на бесконечности параллелен оси Ох или Оу, то сила реакции будет проходить через точку Сх и, сле- следовательно, будет направлена по оси С{г\ или Cfi. Таким образом парабола устойчивости касается Л как прямой С[Е, так и прямой Cx~q. В частном случае, когда [i =. 0, мы получаем симметричный про- филь носящий название руля Жуковского (рис. 109). В эгом случае LF — 0 и парабола устойчивости вырождается в точку F, лежа- лежащую на оси симметрии профиля, совокупность реакций приводи1ся Рис. 109.
§ 14] ОБТЕКАНИЕ .РЕШЕТКИ 291 Рис. 110. к одной равнодействующей Я, приложенной при всяком угле атаки к точке F, которая является постоянным центром давлений. § 14. Обтекание решетки. В качестве первого обобщения задачи о движении одного профиля рассмотрим решетку, т. е. систему, состоящую из бесконечного числа профилей (рис. 110), которая может быть образована смещением одного профиля на одно и то же расстояние t. Это расстояние назы- называется шагом решетки. Решетки имеют важное применение в теории турбин; к задаче о решетке сво- сводится задача о движении крыла в трубе, задача об ударе о воду в канале, ограниченном параллель- параллельными стенками, и некоторые другие. В дальнейшем будем направлять ось х по хорде профиля решетки. Утл J3, образованный с осью х направлением, по которому надо сместить профиль решетки па шаг t, чтобы получить соседний про- профиль, называется выносом решетки. Величина teif есть период решетки. Рассмотрим обтекание решетки потенциальным потоком, имеющим в бесконечности слева от решетки скорость vv направленную под углом яг к оси х. Далеко за решеткой вправо установится, вообще творя, другая скорость v2, наклоненная под углом а2 к оси х. Естественно считать, что поток, обтекающий решетку, будет периодичен и иметь период tei?. Таким образом, w{z-\- te^) — w (г). Выделим около каждого профиля две линии тока, уходящие своими концами на бесконечность справа и слева, между которыми находится профиль, и получающиеся одна из другой смещением на шаг решетки. Линии эти будут конгруэнтны. Введем вспомогательную плоскость С и совершим конформное преобразование внеш- внешности решеток профилей на многолистную ри- манову поверхность в плоскости С внутри системы концентрических окружностей радиуса единицы (рис. 111). Мы получим многозначное соответствие между С и z. Каждой точке вну- внутри единичного круга плоскости С отвечает бесчисленное множество конгруэнтных точек плоскости z. Пусть точка z = -\-oo перейдет в точку C = -f-e (e — Действительная, положительная величина, меньшая единицы), а точка Рис. 111. 19»
292 ПЛОСКАЯ 34ДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА П"Л VI z — —- со перейдет в С —— г. Если мы обойдем по кругу малого радиуса точку С = — г, то в плоскости С мы придем в ту же точку; напротив, в плоскости z мы придем при этом в ближайшую конгру- конгруэнтную точку. То же можно сказать про обход вокруг точки ?= -\-е. Таким образом, мы имеем дело с отображением каждой полосы между двумя конгруэнтными кривыми АВ и CD (рис. 110) и контуром про- профиля на внутренность круга jC| < 1 с разрезом между точками С— ire: при этом контур профиля переходит в контур окружности, а кон- конгруэнтные кривые — в разрез А'В' (он же CD') между С = — s и Предположим, что мы знаем функцию, дающую наше конформное отображение. Пусть это будет г = /(С). A4 1) Тогда дальше, при решении задачи, мы могли бы рассуждать следующим образом. Обозначим w[/(С)] = W (С) = Ф-f-/W. Вид функ- функции dWjdt, мы можем сразу определить по ее особенностям. Именно, мы можем рассматривать W как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения внутри единичного круга плоскости С. Жидкость вытекает из точки С = — г и втекает в точку С —+ s; кроме того, обход по малым кругам около точек С= is приводит к новым значе- значениям W. Следовательно, в точке С — — s мы имеем вихрь и источник, а в точкеС = -Ь? — вихрь и сток. Это значит, что dWjdt, имеет про- простые полюсы в точках С = ±е. Далее, на круге |С|=1 будут нахо- находиться две точки Е и F, назовем их аргументы kx и k2 (пусть k2 > kx), отвечающие критическим точкам профиля в плоскости z. Положение этих точек заранее не известно, но мы знаем, что в этих точках dWjdb должно обращаться в нуль. Наконец, так как W = const, на круге |^|=1, то мы можем продолжить dWjdl, на всю плоскость комплек- комплексного переменного С, помещая в точках С— ±— (преобразование инверсии) еще два простых полюса. Регулярность W приводит к тому, что при С — оо dW/dt, будет иметь нуль второго порядка. Теперь мы можем сразу написать dW/dt, в виде гае С—некоторое комплексное число. Параметры С, kv k2, e опре- определяются геометрическими свойствами профилей и условиями обтекания. Заметим, что С просто связано с циркуляцией Г по контору каждого профиля в плоскости z. Действительно, циркуляция Г по контуру профиля в плоскости z, взятая в направлении против часо- часовой стрелки, будет равна циркуляции по кругу |?| = 1, взятой по
HI ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ 293 часовой стрелке, последняя же находится через сумму вычетов у по- полюсов С = + е: г.= —2я (_ г _ *'*>)(-е-*'*>) (e-e^Ht-e"»)" ~ — ЧтЛС -f- eik Так как 0(*, —, 2 : _J_ = Ор 2 COS- то мы можем написать: Г = — 4т:ге2 COS • Так как циркуляция Г должна быть действительной, то величину iCe 2 мы будем считать действительной. Введем вместо С новую, но уже действительную величину А из равенства Л = — iCe 2 тогда A4.2) примет вид У АШ _/ iiiij С г __ Jkt\ (у , A4.31 где Л, е, ^j, k2 зействительны. При этом Г=4-Л cos ¦ A4.4) На примере обтекания решетки плоских пла- пластинок покажем, как можно довести решение задачи до конца. Прежде всего получим выражение функции г = /(С), дающей кон- конформное отображение плоскости с надрезами (рис. 112) на внутрен- внутренность круга |С|—1. Чтобы получить функцию /(С), воспользуемся приемом гидромеханики — сравнением простейших течений в той и другой плоскости. Именно, рассмотрим новое, простейшее течение в плоскости z со скоростью, параллельной профилям, т. е. бесцир- бесциркуляционное обтекание решетки; скорость этого течения примем рав- равной единице. Комплексный потенциал wl этого простейшего течения будет: wx=z. A4.5)
294 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ\ [ГЛ VI Какое течение будет отвечать этому бесциркуляционному течению в плоскости Q Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем восполь- воспользоваться форму пой A4 3), подобрав в ней прежде всего параметры так, чтобы полечить Г—0. Согласно A4.4) это будет означать, что k2 = kl-\-r.. A4 6) Обозначим для эюго сличая kl через k0, а постоянную, сюящую теперь множителем в A4.3) — через Ао Итак, (jW г2/>2tk» где Ao, k0, s — действительные постоянные. Интефируя A4.7) и принимая в расчет A4 5), получим: A — е-) с-- ¦с + . VWB ' " г , 1 г A4 8) Удобно ввести вместо параметров Ло и Ао два новых параметра t и "$ из равенств Тогда функция /(С), дающая наше конформное отображение, примет вид '1пттг- '""'"ТТ!)' (ИЛ0) Нетрудно видеть, что ^ег^ будет периодом нашей решетки в пло- плоскости z. Действительно, обход по часовой стрелке по малой окр>ж- ности около точки i^=e приведет к изменению аргумента С—е на — 2-й, и, таким образом, после обхода мы получим вместо /(С) = г величину / (С) = z \- tel$. Решетка в плоскости z будет определена, если будет задан ее период tel? и еще ширина / каждой из пластинок. Свяжем теперь третий параметр, входящий в A4.10),—параметр е — с шириной пластинок, составляющих решетку. Задняя кромка пластинки отве- отвечает значению С = е'*°, передняя кромка переходит в точку С = —-_ ei (fto+тс) __ — etkK Поэтом\ ширина пластинки должна быть опреде- определена по формуле
§ 14] ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ 295 По A4.10) / = — — (el? in g!*°~? e-'P In *-'*"-' t ( ¦ n i 1 + 2e cos k0 4- ?2 o D , 2г sin ko\ ,, . , ,. = — smS ln-y-1!^ ™—-T-— 2 cos 8 arctg-^ -— . A4.11) я V r 1 __2e COS *o + e2 ' ь 1 —?2 / v ; Выразим еще k0 через е и р. Для этого заметим, что, умножая пер- первое из равенств A4.9) на е2 и вычитая второе, мы получим: Л ep—ika . (Ап^ p~lv\ И А 1 ОЛ и та ¦ ' v ' Значит, /i0ecos k0 = --(е2+ 1) sin 8; Лое sin &0— — (е2 — l)cosp, так что ^ J^p. A4.13) Теперь по A4.11) можно представить I в виде t Г . 0. /Г^Цг cos 2? + ^ + 2г sin 3 . / — --- sin rf In —- ¦ r ' —— + * [ ' /1 — 2e2 cos 2Р-И4 —2e sin ? + 2 с os 3 arctg —r 21C^2==-) . A4.14) ^ ^ & /1_ 2i2 cos 23 + ?¦« J v ' Формула A4.14) позволяет выразить е через /, t и р. Формулами A4.10), A4.14) полиостью определена функция, даю- дающая конформное отображение внешности решетки пластинок на вну- внутренность круга ]С| = 1. Вернемся теперь к нашей задаче обтекания. Комплексный потенциал W удовлетворяет уравнению типа A4.3). Интегрируя это уравнение по С, мы получим W в функциях от С. С другой стороны, по A4.1) и A4.10) мы получим соответствие между Сиг. Таким образом, остается лишь выбрать параметры, входящие в A4.3). Параметр в характеризует геометрическую сто- сторону обтекания; он уже определен по A4.14). Чтобы найти пара- параметры A, kx, kv привлечем величину и направление скорости на бесконечности перед пластинкой и условие конечности скорости на задней кромке пластинки. Для определения скорости в плоскости z имеем равенство dz ~ dC ' d'Q ~ AQ Чтобы получить конечную скорость на задней кромке (C=e(ft')> мы Должны будем принять kl = kQ.
296 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА |ГЛ VI Итак, Пусть скорость при z== — оо имеет величину vx и составляет угол ocj с осью X (с направлением пластинки); тогда, так как при z — — оо будет С = — е, мы должны написать: tA ге ге — 6 Отсюда __ /dW\ lCosai==_^.__ {__22tC0SkZ+Tl —, A4.17) = - Л l-2ecosfet + e» * <14-18) Из этих двух равенств мы можем найти А и k2; обтекание будет полностью определено. Найдем еще циркуляцию Г. По A4.4), используя равенство A4.18), в котором Ао заменено по A4.12), мы получим: p.. ^/l-2ecos2? + e(l + E-2ecosfe0) .,„ _ ,14lq. 1 ^ A_?2)A ?4) -U, МП a,. (L4.1V) Отметим, что случай обтекания одной пластинки мы получим пре- предельным переходом при е—>0. Так как по A4.14) для малых е мы имеем ея»—4г, то \imet = -j-1, и A4.19) перейдет в равенство что согласуется с формулой A1.4) этой главы. Найдем еще величину и направление скорости после прохождения решетки. Пусть комплексная скорость на бесконечности справа, т. е. при ", = &, будет v2e-*->1. Тогда по A4.16) g»' t + e' м -t?z*»/ e-g Привлекая A4.4), A4.12) и A4.13), получим затем: vtf-^ — v^e J'' = 7«"fi. A4.20)
§ 15] ТОНКОЕ КРЫЛО 297 Заметим, что зависимость A4.20) можег быть получена также и в случае произвольного контура профиля, обтекаемого со своей циркуляцией Г. Действительно, вспомним соотношение n г= с где интегрирование ведется по контуру профиля С. Выделим область, ограниченную контуром С и контуром ABCD (рис. ПО), состоящим из отрезков двух соседних конгруэнтных линий тока АВ и CD и двух отрезков прямых АС и BD, параллельных периоду решетки. Внутри выделенной области функция dw/dz будет голоморфна; по- поэтому интеграл ф—dz, взятый по контуру С против часовой с стрелки, будет равен со знаком минус интегралу по контуру ABCD, взятому по часовой стрелке. Но интегралы по отрезкам АВ и CD, берущиеся в противоположных направлениях, пропадут из-за пе- периодичности функции dw/dz. Удалим теперь отрезки АС и BD на бесконечность, оставляя их параллельными самим себе. Получим окончательно: С% BD ~{vxe-^l~v2-^l)-tel\ A4.21) Таким образом A4.20) справедливо не только в случае прямо- прямолинейных контуров, но и в любом случае. Силы, действующие на отдельные профили решетки, могут быть найдены без труда, если использовать вновь контур ABCD. Исходя из общих формул Чаплыгина, мы получим, используя A4.21); X — lY = !^§ (—¦ Jdz = — ^-(oje-w —i%e- с § 15. Тонкое крыло. Как мы видели, задача об обтекании контура произвольной формы решается до конца, если известно конформное преобразование внешности контура на внешность круга. Однако отыскание явного вида этого конформного преобразования для про- профиля произвольной формы представляет большие трудности. В настоящее время существуют эффективные приближенные Методы решения задачи обтекания. Из них наиболее развитым
298 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ, VI У .Z является метод Симонова и Серебрийского 1); он может быгь нсполь- яован для расчета обтекания любых профилей, но изложение его выходит из рамок нашей книги. Другие приближенные методы отно- относятся к частным видам контуров, например годятся лишь для тонких профилей. Остановимся на этом подробней. Покажем, как можно в общем виде дать приближенное решение задачи об обтекании произвольного тонкого профиля. Мы заменяем последний кривой линией, проходящей как раз посредине между верхней и нижней частями контура. Пусть уравнение этой линии С есть y = F(x). A5.1) Для определенности мы предположим, что оба конца дуги С лежат на оси Ох, в точках А и В, имеющих координаты + а (рис. 113). Мы будем считать кривизну контура С очень малой, а следовательно, сам контур С мало отличаю- отличающимся от прямолинейного от- отрезка. Итак, функция F(x), заданная на отрезке (—а, а) оси Ох, обращается в нуль в концах этого отрезка и имеет непрерывную вторую производную, считаемую бесконечно малой величиной. рис из Рассмотрим теперь за- задачу об обтекании контура С поступательным потоком, имеющим на бесконечности скорость V, на- наклоненную к осп Ох под углом атаки а, тоже считаемым бесконечно матой величиной, или, что то же, задачу о поступательном движении контура С со скоростью V в направлении, составляющем угол а с отрицательной полуосью Ох. Обозначим в этом последнем случае комплексный потенциал возникающего абсолютного движения жидко- жидкости через w = 'f -\- Щ\ для комплексного потенциала U? = Ф-j-/ЧГ, определяющего обтекание контура, получим: W~-=Ve-uz^-w; A5.2) в частности, W(x, y) = V(ycosa. — xsina.)-{-ty(x, у). Контур С является линией тока для задачи обтекания, поэтому на нем ч7 имеет постоянное значение, которое, не нарушая общности, !) Симонов Л. А., Расчет обтекания крыловых профилей и построе- построение профиля по данному распределению скоростей на его поверхности. ПММ, т. XI, вып. 1—2, 1947. Серебрийский Я. М., Обтекание крыловых профилей произвольной формы, Инженерный сборник, т. 111, вып. 1, 1946.
§ 15) ТОНКОЕ КРЫЛО 299 можем принять равным нулю, поэтому получаем: Вследствие сделанных предположений о порядке малости F(x) и а мы можем, отбрасывая малые второго порядка и выше, заменить cos а на 1, sin а на а и ty[x, F (х)] наф(х, 0) В результате получим граничное условие ф(лг, O) = V[olx — F(х)] при |х|<а A5.3) для комплексного потенциала w. Для комплексной скорости j~—vx — lvv = % Ч- 1 -уг~ A5.4) dz х у ду ' дл граничным условием будет: vy = V[F'(x) — a.] при у = 0, |х|<а. A5.5) Удобнее рассматривать комплексную скорость, так как она является однозначной функцией. Таким образом мы свели задачу к опре- определению функции dwjdz, голоморфной в области, лежащей вне отрезка АВ оси Ох и удовлетворяющей на обеих сторонах этого отрезка |раничному условию A5 5). Такое перенесение граничных условий с контура С на его проекцию АВ на оси Ох оказалось возможным точько благодаря сделанному предположению о слабой изогнутости контура С и представляет сильное упрощение задачи. Мы будем считать, что острой кромке первоначального контура соответсгвуег задний конец В контура С, и потребуем в соответствии с этим коньчности скорости в точке В. На переднем конце А скорость по- лучшся, вообще говоря, бесконечно большой; мы будем предполагать, что вблизи точки А произведение j^Jj/S, где Ь — расстояние точки до Л, остается ограниченным В силу A5.5) составляющая vy скорости не терпит разрыва на отрезке АВ оси Ох; составляющая же vx может терпеть разрыв, но разрыв касательной составляющей скорости можно рассматри- рассматривать как наличие вихревого слоя. Итак, рассматриваемое течение можно считать происходящим от системы вихрей, непрерывно распре- распределенных по отрезку АВ оси Ох. Возьмем теперь в плоскости z две точки AIj и /И2, симметричные относительно оси Ох. Очевидно, что какой-либо вихрь, лежащий на оси Ох, сообщает этим точкам ско- скорости с одинаковыми составляющими по оси Оу и с прямо противо- ио южными по знаку составляющими по оси Ох. То же самое будет иметь место п для всей системы вихрей, распредетенных по ог- резку АВ. Итак, мы имеем равенства **(*. —y)~ — vx(x, у); vv(x, y) = v (х, -у).
300 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТИЛА [ГЛ VI Ясно, что, в частности, на отрезке АВ касательные составляющие скорости при подходе сверху и снизу будут иметь одинаковый мо- модуль, но противоположные знаки. Рассмотрим теперь функцию dz Причем при z = х > а берегся положительное значение корня. Эта функция также является голоморфной во всей плоскости z, разре- разрезанной по отрезку АВ оси Ох, и обращается на бесконечности в нуль. Обозначим через L контур, охватывающий отрезок АВ и пробегаемый но часовой стрелке, а через z точку вне этого контура; функция от С /(С) С—г имеет вне контура L единственную особую точку С = z с вычетом f (z); вычет этой функции в бесконечно удаленной точке равен нулю, поэтому по">тесф«А^Коши получим: I Стянем теперь контур L к дважды пробегаемому отрезку АВ. Ясно, что на верхней стороне этого отрезка надо принять а на нижней поэтому, замечая еще, что вследствие сделанных предположений интегралы по малым окружностям, охватывающим концы А и В отрезка, стремятся к нулю вместе с радиусами этих окружностей, из предыдущей формулы получим: f&=2FT J ~1У 7=1 ¦ F=~z dl~ -а — "о— / 1 У *~ s ~^~ = 1~^—- <%> ?Ъ1 J п Z ъ — Z -а где Ф (ё, —|— 0) означает предельное значение функции Ф(?, tj) при под- подходе к отрезку АВ сверху, Ф(с, —0) при подходе снизу. Вспоминая, что
15] ТОНКОЕ КРЫЛО 301 получим формулу d w ~dz -а Подставляя сюда значение A5.5) для vy, мы и пол>чим окончатель- окончательное решение задачи в виде dw iw f z + a _ 1 / РуF, 0) г/"а+6 ,, -а Найдем разложение этой функции вблизи бесконечно удаленной точки; так как 1 1 1 g 5 — г ^ /. 5\ z гг ('-4) то без труда получим по аналогии с (8.2), что dw Г . А2 . dz ~ 2к1е "т~ ~z*~ i - ' '' где Г = Так как — а то для циркуляции Г получаем выражение для коэффициента Л2 найдем: f^=T^ A5.9) Д1Я вычисления проекций А" и К на оси координат главного вектора сил, действующих на контур, и момента L этих сил
302 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI относительно начала координат, воспользуемся формулами (8.3) и (8.4): При принятой степени точности надо положить v^ = 1 ?zzV — iVa, поэтому без труда получим: X = pTVa. = — Zr.oaV2*2 + 2?V4 J F' (?) ]/ j^ <k. -a a , i i J d'c, а a ¦+ 2pV2 J F' (?) \/ ^^? dl A5.10) Полученные формулы можно еще несколько преобразовать при помощи интегрирования по частям, а именно, мы имеем: -a (a — Z)Va2 — i2 _¦/ (а —«)]Ай2 —^ ибо Z7 (S) на концах отрезка АВ обращается в нуль. Точно так же —а -а Поэтому все требуемые величины могут быть выражены непосред- непосредственно через заданную величину F (х): Г = —2aV {тга A5.11) -a a f f (?) d\ \ _ J , _ ? T^aTZTp I' -'a 1/^^T^ J
§ 15] ТОНКОЕ КРЫЛО 303 В качестве первою примера рассмотрим случай плоской пластинки, для чего достаточно положить F(x) — 0; мы непосредственно полу- получаем выражения для циркуляции и сил: V=—2~aVa; X = — 2-?aVh2; Y == npaW, L=-T,oa2V2a. A5.12) В § 11 задача об обтекании пластинки была решена точно, и оче- очевидно, что полученные сейчас результаты согласуются с получающи- получающимися из точных формул при малом угле атаки а. Комплексная скорость в рассматриваемом случае дается выте- вытекающим из A5.7) выражением а -а Сюящий справа интеграл без труда вычисляется. В самом деле, функция г — а голоморфна во всей плоскости, разрезанной по отрезку АВ оси Ох, и обращается на бесконечности в нуль. Поэтому опять применима формула A5.6). Стягивая контур L к дважды пробегаемому отрезку АВ, будем иметь на верхней стороне этого отрезка а на нижней поэтому из формулы A5.6) получим: r.i .1 Z — z —а — Х С -, /"^+Т dl — Т ./ К ?=Т % — —а откуда Итак, в случае движения плоской пластинки со скоростью V под yi лом атаки а для комплексной скорости имеем: dw .,, , , ,7 ,-и , A5.15) dz \ \ z-\-a )
304 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Найдем предельное значение комплексной скорости при подходе к точкам отрезка АВ сверху: так что При подходе снизу будет: Интенсивность f(S-) тех вихрей, распределенных по отрезку АВ, которыми можно заменить контур с тем, чтобы получить рассматри- рассматриваемое течение, определяется разрывом касательной составляющей скорости т® = ¦»,(«, — о) —м и, следовательно, /"|. A5.16) Полная интенсивность всех этих вихрей и определяет, очевидно, величину циркуляции 2Va f y^=i-rfc. = —2Vara. A5.17) Интенсивность вихрей обращается в нуль на заднем конце крыла, где скорость остается конечной, к переднему же краю крыла интен- интенсивность вихрей беспредельно растет, с этим связано наличие бес- бесконечной скорости вблизи переднего края крыла, а также наличие подсасывающей силы, о чем шла речь в § 11. В качестве второго примера возьмем дужку в форме параболы A5.18) и, I Исходя из A5.10), без труда получим: — 2ттра1' *з. I a —j 1; ! A5.19) Циркуляция и подъемная сила обращаются в нуль при a = — h/a, следовательно, критической осью служит прямая, проходящая через
§ 15] ТОНКОЕ КРЫЛО 305 вершину дужки и задний ее конец. Общая формула A5.7) в данном случае дает: а я j_ 2ft? dw V dz та — a Воспользовавшись теперь формулой A5.14) и вытекающей из нее формулой «— г ^}, A5.20) без труда получим: Для интенсивности вихрей аналогично A5.16) найдем: ® = ^.—0) —¦»,(*,+0) = —2о, ($,+0)= Перейдем от переменной z к неременной G, положив I = acos9; O<0<-; A5.23) тогда -.Га — i ,6 \ у\-,Г о. — 5 -о V T+T^J-' (« + 0V -^5- = asm б, и предыдущая формула примет вид — 21/aig-J- — i^-sinO. A5.24) Изложенный здесь метод решения задачи принадлежит Л. И. Се- Седову. Дадим теперь другой метод решения задачи о тонком крыле. Совершим конформное преобразование внешности отрезка АВ оси Ох на внешность круга К единичного радиуса в плоскости С В частности, полагая на круге К 20 Зак 1190
306 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI получим для точек oipeana AB представление A5.25) Комплексный псченциал . У) удобнее отыскивать в плоскости С. Для мнимой части его мы имеем представление A5.3) Введем обозначение F (a cos 9) = 0/F); A5.26) тогда предыдущее условие может быть записано в виде <b ~ aV [о. cos В — /@)] при '(, = elH. Разложим че1ную функцию /(9) в тригонометрический ряд: СО /(9) = 2 A,cos«9; A5.27) тоиа ф = — oV[^j-f-(^i—a)cos6-f- ^2cos 20 -f- . ..] при С—е'". A5 28) Но ведь комплексный потенциал w должен в плоскости С разлагаться в ряд вида СО I . . а Г W — LT.I ¦ лтЛ ','• Л-1 подставляя в этот рят. и отделяя вещественную и мнимую части, получим: оо Г VI ? = "от ^ ~\~ с'о ~Ь 2и ( пcos ~Ь сл s'n ft^)' л = 1 ф ^ 2 (^ — c't sin л8) при С = ег9. Л = 1 Сравнение с A5.28) показывает, что c'Q=s_aVAo< c^-aV^-a). c"n = -aVAn (Я = 2, 3. ...). с; = о (я=1. 2, ...); кроме того, не нарушая общности, можно положить
§ 15] ТОНКОЕ КРЫЛО 307 В результате приходим к следующему представлению потенциала <р на круге К: СО ? = J19-|-aW sin 9 — aV^AnSinnB; A5.29) заменяя здесь 9 через х по формуле A5.25), получим значения потен- потенциала ср на отрезке АВ оси Ох. Найдем теперь касательные составляющие скорости на верхней и нижней сторонах профиля. На верхней стороне отрезка АВ угол 9 меняется от 0 до ъ; принимая еще во внимание, что dx — — о sin 9 d9, получим: dx~ rfa dx a sin 0 db Г aV COS В . V SHI й Sin 6 к- /, пА„ cosпО. A5.30) ' Sin 6 jmi. " v ' Чтобы в правом конце дужки, которому соответствует 9 = 0, ско- скорость оставалась конечной, необходимо принять A5.31) л = 1 J поэтому будем окончательно иметь: со ^(*,+0)= ^O-cosO) __ у дЛ b^cosn!) ¦* V ' ' Sin 8 JmJ " Sin 6 V У n = l На нижней стороне профиля скорость переменит свой знак vx(x, — 0) = — vx(x,-}-0). Для интенсивности вихрей T(x) = vJC(x, — 0) — vx(x.+0)*= — 2vx( получим следующее тригонометрическое представление: Иногда удобно исходить из тригонометрического ряда СО /=¦'(*) =-т|-+ ^ЯЛ cos яО. A5.34) 20*
308 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТГЛА [ГЛ. VI Вследствие A5.26) и A5.27) имеем: — F' (a cos 6) a sin 0 = a/'@j=-e^ nAn sin nO, n = i поэтому получаем тождество cos л6 sin °=2 пАпsin «9> и так как 2 cos лВ sin 9 = sin (я -f 1)9 -sin (я—1)9, то между Вп и Ап будут существовать соотношения пАп = ^(Вп_1 — Вв + 1) («=1,2,.,.). A5.35) Подставляя это значение в A6.33), после простых преобразований найдем: со , 6 . . r 'Ci D D 1 •— cos л8 tg ^ + V 2j E,-1 — SB + i) S]n6 - — 8 i \/p ]~cosfl I у V1 d cos(w—1)8 —cos(/t+ 1)8 2 -f- v?30 sm6 \-v j^d - n-l и окончательно l + 2l/^finsin«9. A5.36) n = \ Например, в случае параболической дужки A5.18) г-/ / ч 2йх 2й л d 2Л f'(x) = -j-=:_-_-Со8б; 5! = — ^-, В„ = 0 (пф\), и мы сразу получаем формулу A6.24). Имея распределение вихрей, мы сразу можем написать выражение для комплексной скорости dz -•>„, 7 «_. • A5-37) -a Так как вследствие A5.35) то для циркуляции Г, пользуясь A5.31), получим: Г = 2-aV ( B-2+*b. _aj , A5.38)
§ 161 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО KOHTVPA 309 после чего сразу выписываются выражения для сил X — pTVa. = 2TzapV2a f °"^" ' aj; A5.39) Чтобы получить момент относительно начала координат сил, дей- действующих на профиль, разложим A5.37) в окрестности бесконечно далекой точки dw Итак, и по формуле (8.4) Но A5.40) A5.41) sin reG (—a sin 9)^9 = It OO я — Vo2 E0 — 2a) /* cos 9A— cos 9) rf9 -f Va2 V Г 5Л sin n9 sin 29 d9— — 2а) ^ и, следовательно, A5.42) Таким образом, для вычисления сил достаточно знать три первых коэффициента разложения A5.34). § 16. Неустановившееся движение плоского контура. В § 4 нами было рассмотрено поступательное течение, вызываемое движу- движущимся круговым цилиндром. Рассмотрим теперь вопрос о неустано- неустановившемся движении произвольного плоского твердого контура С.
310 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Выбирая фиксированную точку О, твердо связанную с конту- контуром С, за полюс, мы можем характеризовать движение контура С проекциями U и V скорости точки О и угловой скоростью враще- вращения ш контура С около точки О. Положение последней в рассматри- рассматриваемый момент примем за начало координат. Безвихревое движение безграничной жидкости, находящейся вне контура С, определяется комплексным потенциалом w = ср -(- fy, причем на контуре С должно выполняться граничное условие ty—Uy — Vx—^(x2-\-f). A6.1) Однако этим движение жидкости полностью еще не определяется; необходимо задать еще величину циркуляции Г по контуру С. Введем теперь в рассмотрение четыре комплексных потенциала (k— 1, 2, 3, 4), последний из которых w4 соответствует чисто циркуляционному обтеканию контура С, так что <^ = 0 на С, A6.2) причем циркуляция имеет величину Г, а три остальных потенциала определяют бесциркуляционные течения в безграничной области, лежащей вне контура С, причем удовлетворяются граничные условия: ф, = у. ф2 = -*; Фз = -|(*2+:у2) на с. A6.3) Очевидно, что ет, и w2 определяют течения, возникающие при посту- поступательном движении контура С с единичной скоростью параллельно осям Ох и Оу, a wz определяет течение, соответствующее вращению контура С около точки О с единичной угловой скоростью. Очевидно теперь, что если мы составим комплексный потенциал w=Uw^-\-Vw^-\-wwb-\-VwA, A6.4) то он будет удовлетворять всем поставленным выше условиям. Итак, при неустановившемся движении контура С потенциал скорости 9 и функция тока <ji линейно зависят от величин U, V, ш и Г, опреде- определяющих движение контура и циркуляцию по нему: <р=?/<р, + У<Р2+И<Рз-|-Г<Р4; ф=6/ф,-|-^г + С0ф3 + Гф4- A6.5) Рассмотрим теперь вопрос о силах, действующих на контур со стороны жидкости. Будем исходить из законов количеств движе- движения и моментов количеств движения. Обозначим через К какой-либо весьма большой контур, охватывающий контур С, например окруж-
16] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 311 ность большого радиуса а с центром в точке О. Область, располо- расположенную между контурами С и /С, обозначим через D. Проекции на оси координат количества движения жидкости, находящейся в области Ц суть Кх = ==p j .1 l Преобразуем эти выражения по формуле Гаусса; так как функ- функция » может быть многозначной, следует провести разрез от кон- контура С к контуру К, как показано на рис. 114, и за i раницу области D следует взять контур L, состоящий из контуров С, К и дважды пробегаемого разреза АВ; направление обхода этого контура показано на рисунке. Мы будем тогда иметь, применяя формулу Гаусса и затем формулу интегрирования по частям: L L Ky= — p f<?dx~p f L L и in в комтексной форме: Рис. 114. = — Р / (У — ix) d<? — i? L L Так как на двух сторонах раз- реза АВ значения ср различаются на постоянную величину Г, то в последнем интеграле части, проис- происходящие от двух сторон разреза АВ, взаимно уничюжатся, и мы можем написать: К = tp Г zd<o — ip Г z dy, с причем интегрирование по контуру С производим, как обычно, про- против часовой стрелки. По закону количеств движения производная по времени от коли- количества движения той части жидкости, которая находится в области D, равна главному вектору сил давления, приложенных к жидкости вдоль контуров С и К.
312 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ Vt На элемент dz контура К действует сила давления ipdz, поэтому главный вектор этих сил давления есть RK = i j pdz. к Обозначив еще через R = l(pdz с главный вектор сил давления, действующих на контур С со стороны жидкости, и замечая, что па жидкость будут действовать силы прямо противоположные, можем написать закон количеств движения в виде _/?-*.-¦-! f a —I — f к с или Докажем, что правая часть стремится к нулю при неограниченном возрастании а. Для определения давления р мы имеем формулу Лагранжа — Коши ^4 поэтому далее, к к ~ J (vx-\-Lvy)vsds— k k k и так как _^1 — l?_i_ ^L ^L+. &± аУ — df dt — dt ~r~ dx dt ~t~ dy dt — dt '10 ~ J zd? = — f-^-dz— jv2dz-\- k k k k В результате получаем: Rk ~~l? ~St J zdf =l? f T"dz —l? f
§ 16] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 313 и так как скорость v на бесконечности стремится к нулю, имея на контуре К порядок Ija, то оба интеграла в правой части имеют порядок Ija и стремятся к нулю при а->со. Левая часть равен- равенства A6.6), будучи сколь угодно малой и не зависящей от радиуса а окружности К, должна тождественно равняться нулю, откуда A6.7) Совершенно аналогично вычисляется главный момент относительно точки О сил давления, приложенных к контуру С: L= f P (х dx -+- у dy) = f Pd~. с с Момент количеств движения жидкости, находящейся в области D, есть I = Р / / (xvy — У°х)dx dy = P / / (* JJ — У If) dx dy == ' D ' ' D Г г2 Г г2 Г г2 Г r2 L L КС По закону моментов количеств движения *L — L dt — L' ибо все силы давления, приложенные к элементам окружности К, проходят через точку О. Далее: d С г2 , Г г2 , dy . Г d (г2\, С d (г2\ , к к к к = / rvrdy= j rvrvsds; k k поэтому i==Pf/"Т*Р~Р f rvrvsds. A6.8) k f с k Остается показать равенство последнего интеграла нулю. Но dw Г 1 , А2 |^ dz 2я77~' I?5" ' ¦'¦'
314 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI и так как для вихря радиальная составляющая скорости обращается в нуль, а касательная имеет значение Г/2кг, то на окружности К бу- будем иметь: поэтому в интеграле I ds I rvrvs к подынтегральная функция будет порядка —j, а сам интеграл по- порядка —. Устремляя а к бесконечности, из A6.8) получим: Применим полученные формулы в первую очередь для установле- установления связи между силами, действующими на контур при наличии циркуляции Г и при отсутствии последней. Прежде всего, вследствие A6.5) и A6.7) имеем: R = /?0+ /РГ ~ f z dyv A6.10) с где Ro означает главный вектор сил, действующих на контур С при отсутствии циркуляции. Если мы воспользуемся, как в §§ 7 и 8, конформным отображением внешности контура С на внешность круга с центром в начале координат в плоскости С, то будем иметь: ^ — IST1"'1 <Р4 = ^5 A6.11) поэтому Г 1 Г = k0, A6.12) где k0 есть, как было выяснено в § 8, координата конформного центра тяжести Со контура С. Обозначая скорость этой точки через <70, будем иметь: _d__ Г j dk0 dt J Z"V4— dt —Яо- с и формула A6.10) примет вид R — RQ-\-lprqQ. A6.13) Таким образом, при наличии постоянной циркуляции к силам, дей- действующим на контур при отсутствии циркуляции, добавляется сила
§ 161 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 315 Жуковского, соответствующая скорости конформного центра тяжести контура. Чтобы найти точку приложения этой добавочной силы, надо вос- воспользоваться уравнением моментов. Из формулы A6.9), опять-таки вследствие A6.5), получаем: Lf?d<tt. A6.14) Для фиксированной точки контура С функция ср4 с течением вре- времени не изменяется, а dy dy_ _ у dt ~~ dt 2 ~~ dt 2 ~ х dt ~т~ у dt = х (U — шу) + у (V + юх) = Ux + Vy, поэтому добавочный член в формуле A6.14) имеет вид Г?1и f xd9i + V Сyd<fA=rPRfi{kQv0}. A6.15) I с с ) где v0— U-\-lV есть скорость точки О. Если мы временно возьмем за начало координат конформный центр тяжести Со, то будем иметь ko=O, и, следовательно, момент добавочной силы относительно точки Со равен нулю, а сама доба- добавочная сила должна проходить через конформный центр тяжести Со. Итак, при наличии циркуляции на контур действует добавоч- добавочная сила Жуковского грГ<70, приложенная в конформном центре тяжести и соответствующая скорости этой точки. Теорема эта была доказана Л. И. Седовым. Будем теперь рассматривать случай отсутствия циркуляции, так что Г = 0. В этом случае скорость жидкости на бесконечности убы- убывает как 1/а2. Поэтому живая сила всей жидкости будет в этом случае иметь конечную величину с Вследствие уравнений Коши—Римана имеем: d<f йф д<? йф дп ds ' ds дп' и поэтому можно также написать: A6.17)
316 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Воспользуемся теперь тем, что *? == Ufl ~\~ У'^2 ~~\~ шсРз' ф =r t/tjjj —j— 1^^2 —I— '^Фэ' A6.18) и введем обозначения (<% (i, k= 1, 2, 3). A6.19) с Докажем, что \ь = \к1, A6.20) в самом деле, с но по формуле Га>сса левая часть обращается в нуль, так как ш( и ср^ — гармонические. функции; первый же интеграч правой части есть малая величина порядка 1/а2, ибо ср( и tpft можно считать малыми порядка 1/а, а их нормальные производные малыми порядка 1/а2. Интеграл A6.21), будучи сколь угодно мал, должен тождественно равняться нулю, что и доказывает A6.20). Поэтому живую силу жидкости можно написать в виде: 2Г = Хп f/2 + >.22Т/2 Ч- хззш'2 Ч- 2X12f/l/ -f2X13?Ao -f2X23V(o. A6.22) Ввиду аналогии этой формулы с формулой для живой силы твер- твердого гела, коэффициенты \k носят название коэффициентов при- присоединенных масс. Напишем теперь формулы для сил f ?fd>f A6.23) с с в следующем виде: dBx dBv dl X = --df> Y—JF' L = -W A6-24)
§ 16] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 317 где Г С о С С ее ее Если бы мы приложили к покоящейся жидкости, находящейся вне контура С, мгновенные импульсы сил давления, распределенные по контуру С и имеющие величину — рср, то мы получили бы рас- рассматриваемое нами движение. Величины Вх и Ву можно трактовать как проекции на оси координат главного вектора этих импуль- импульсивных сил давлений, а / — как главный момент их относительно начала координат. Замечая, что на контуре С ^Г = Ь> A6.25) можем написать: Вх = —р J <{><% = — [>U j ?! <% — pV J ср2^! — рш J cp3d'h =i с с с с В результате аналогичных вычислений находим: A6.26) Необходимо заметить, что коэффициенты Хг4 зависят от выбора системы координат и, вообще говоря, меняются с течением времени. Поэтому выгодно перейти к подвижной системе координат Оху, неизменно связанной с контуром С. В самом деле, в этой системе координат граничные условия A6.25) для функций ф^ ф2, ф3 будут все время одними и теми же, а следовательно, функции <эх, ср2, % не будут зависеть от времени. Потенциалы cpj, cp2, ср3 тоже не будут зависеть от времени, а следовательно, коэффициенты \lk тоже будут постоянными. Потенциал <Р= ?/?1_|_1Лр2+ш?3 A6.27) и все другие величины будут зависеть от времени только через посредство U, V, ш. При вычислении сил в подвижной системе
318 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА (ГЛ VI координат нужно учитывать то обстоятельство, что в формулы A6.24) входят абсолютные производные. Так как подвижная система коор- координат вращается с угловой скоростью ш, то между абсолютной и относительной (взятой в подвижной системе координат) производ- производными вектора В будем иметь соотношения dBx дВу dBv dBv последние члены в этих формулах учитывают изменение вектора В, происходящее за счет переноса его вместе с подвижной системой координат. Точно так же, при вычислении абсолютной производной момента /, надо учесть то обстоятельство, что при движении контура С начало О подвижной системы перемещается; если мы в рассматриваемый момент t совместим неподвижную систему координат с подвижной, то через промежуток времени dt начало подвижной системы коор- координат будет в точке с координатами U'dt, Vdt. Приводя импульсы, распределенные по контуру С, к этой точке и беря затем момент относительно начала неподвижной системы координат, получим: i + dt^i + ^ откуда и вытекает искомая формула i=w+UBy-VB- A6-29> Итак, при введении подвижной системы координат, твердо свя- связанной с контуром, силы, действующие на контур со стороны жидкости, могут быть определены формулами д дТ дТ v__ д E7 дТ —~WWr^wW' Y ~~WW~WW A6.30) В качестве примера рассмотрим движение эллипса с полуосями а и Ь. Направим оси подвижной системы координат по осям эллипса. Воспользуемся конформным отображением z==R+±L + ?^t A6.31) внешности эллипса на внешность круга К единичного радиуса. Комплексный потенциал и>, должен определиться из граничного условия <j»x = y A6.32)
Ns к,] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 319 ИЛИ lmwl — lmz на К. A6.33) Так как на круге К то мы можем написать, что на круге К , ( аЛ- Ь г . а— b lmz = Im j —^—СН г?— = — Im —^— С --(- Im —^г— = — Im —~ 1- Im —-^— = Im -—- . Поэтому условие A6.33) может быть записано так: \j Im wl — Im —p— на /С. Но тогда ясно, что функция «>! = -{, A6.34) юломорфная вне круга /С и удовлетворяющая граничному условию A6.33), и представляет искомый комплексный потенциал wl. Точно так же граничное условие для комплексного потенциала w2 есть или = Im {— ii?±*I I — i ±=± I = im | _ ii?±*L _ il^=.^L \ = ? 2, J ( z, z, j откуда вытекает, что w2 = — —-. A6.35) Наконец, для определения комплексного потенциала да3 имеем условие ф3 = — I (х2 -+ у2} на /С. A6.36)
320 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА |ГЛ VI Но на круге К __ Я2+*2 , я2-б2 / 1 , 1 2 4 Поэтому условие A6.36) можно написать так: = - i Im i ( откуда вытекает, что _ /(д24-й2)_ _ /(я2 — или, отбрасывая несущественною постоянную: / (а2 — Ь2) A6.37) Наконец, циркуляционное обтекание эллипса определяется фор- формулой ™4 = ^~inC. A6.38) Полный комплексный потенциал дается формулой Ub iVa ;»(д2 —б2) . Г , A6.39) Для определения сил надо вычислить коэффициенты присоеди- присоединенных масс. Например, >-ц = — Р J ?i^i- но па круге К w1= — ~ =—be~ib; Фх —— 6 cos 6; фг = i> sin б,
§ 17] OBTEKAHHF С ОТРЫВОМ СТРУЙ МЕТОД КИРХГОФФА 321 поэтому О Точно так же без труда найдем: ) _и а2. х _. ДР (fl2 —fr2J ¦ > _х _i =о В случае бесциркуляционного течения живая сила ' I 8 | Пользуясь формулами A6.30), получим следующие выражения для сил: . 2 ,2.2 . A6.40) . яр (й2 — й2J da> 2 h2\II\/ В случае наличия циркуляции Г, нужно прибавить еще силу Жуковского, приложенную в центре эллипса (так как &0 = 0) и соответствующую скорости этой точки U-\-iV, т. е. силу 1Рт (и+ЛО = — prv+^рг ^. поэтому выражение для момента останется без изменения, а выраже- выражения для сил примут вид Х=^ — ъ A6.41) § 17. Обтекание с отрывом струй. Метод Кирхгоффа. Разо- Разобранные нами выше случаи обтекания цилиндрических тел плоско- плоскопараллельным потоком жидкости предполагали непрерывность ско- скорости течения во всех точках потока. При этом было показано, что при отсутствии циркуляции чисто поступательный потенциальный поток не оказывает результирующего давления на обтекаемое тело. В попытках найти объяснение этому парадоксу Гельмгольц и Кирх- гофф ввели в рассмотрение, как возможную форму движения жидкости, обтекание с образованием поверхностей разрыва непрерывности скорости. При таком обтекании некоторая линия тока, приходя из бесконечности и встречая нормально контур обтекаемого тела, раз- разделяется на две ветви, которые следуют вдоль контура тела до некоторых точек Вх и В2 (рис. 115), после чего обе линии тока ВХС и В2С отрываются от контура и уходят в бесконечность, отделяя область течения / от области покоя //. 21 Зак И 40
322 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI С Рис. 115. Казалось естественным решать задачу в предположении, что область покоя // заполнена жидкостью той же плотности, что и жидкость в области потока /. Такая схема вызывала возражения, главное из которых заключалось в том, что поверхность разрыва, представляющая собой тонкий вихревой слой, неустойчива. Распадаясь на отдельные вихри, поверхность разрыва быстро заполняет зону // вихревыми движениями. Многочисленные наблюдения подтверждали наличие такой картины явления и привели к созданию теории вихре- вихревых дорожек Кармана. Однако на самом деле суще- существуют различные режимы обтекания тел. При достаточно больших ско- скоростях 1) поток жидкости полностью отрывается от тела у кромок Вх и В2, и тогда за телом образуется зона постоянного давления, запол- заполненная парами жидкости и выде- выделившимися из жидкости газами. При этом плотность среды р' в области // будет значительно меньше плотности р жидкости в основ- основном потоке. При малых р'/р поверхности раздела Bfi и В2С оказы- оказываются практически устойчивыми и теоретические расчеты дают хорошее совпадение с опытом. К задачам, решения которых мето- методами теории струй удачно совпадают с опытом, относятся в первую очередь задачи о глиссировании, о кавитационном обтекании тел и об истечении струй жидкости из отверстий. Перейдем теперь к изложению метода Кирхгоффа. Становясь на точку зрения теории обтекания с отрывом струй, мы будем считать поле скоростей непрерывным и потенциальным в области течения /. Точка разветвления А линии тока, прилегающей к передней части обтекаемого контура, должна тогда быть критической точкой, в кото- которой скорость v = 0, иначе бы вектор скорости терпел разрыв не- непрерывности по направлению. В зоне застоя //, протягивающейся в бесконечность, скорость везде равна нулю и, следовательно, давле- давление постоянно, если отсутствуют массовые силы, что мы и будем предполагать в дальнейшем. В таком случае линии тока Bfi и В2С можно рассматривать как свободные границы жидкости, и величина скорости течения на этих линиях должна в силу интеграла Бернулли— Коши оставаться постоянной и равной величине скорости потока в бесконечности ою. В области течения / предполагается существование комплексного потенциала w = ср-j-/ф; при этом, так как комплексный потенциал определяется до аддитивной постоянной вида с== c1-\-ic2, то постоян- ') Точнее, при достаточно малых числах кавитации, см. § 21,
§ 17] ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ. МЕТОД КИРХГОФФА 323 ные Cj и с2 всегда можно считать выбранными так, чтобы потенциал скорости <р обращался в нуль в точке разветвления А критической линии тока и чтобы вдоль этой линии 6 = 0. Так как вдоль линии 10Ка ф —0 скорость не имеет, кроме точки А, других критических точек и, значит, •.-*>»¦ причем Ппти^= 1^1 при удалении в бесконечность как по линии АС, так и по ветвям ВгС и В2С, то очевидно, что потенциал скорости <о изменяется монотонно вдоль линии ф = 0 и притом от — со до 0 при следовании в безграничном потоке по линии СА из бесконеч- бесконечности до точки А и от 0 до -f-oo при следовании из точки А в бесконечность по каждой ветви ABfi и АВ2С. Предполагая, что течение в области / вне контура тела и, значит, вне линии тока ф = 0 нигде не имеет критических точек и что linru = iuU) при уда- удалении в бесконечность по любому направлению в области /, мы при- приходим к аналогичному заключению, что при следовании по течению вдоль всякой линии тока ф = с ф 0 потенциал скорости изменяется монотонно от —оо до -(-со. Обращаясь к изменению функции тока ф при следовании вдоль эквипотенциальной линии ср = const, и вспоминая, что <3ф __ <Эф _ ~dx~~vr ~dy'~'vx' имеем: й?ф = — vv dx + vx dy — v (— sin б dx -f- cos 0 dy) = = ¦» Г cos (S+y) dx -\-sin(S-^-~\dy\=v da, где do—элемент эквипотенциальной линии, причем из двух возмож- возможных направлений do взято то, которое получается при помощи поло- положительного поворота против часовой стрелки вектора v на тс/2. Так как эквипотенциальные линии, служа ортогональными траек- траекториями линий тока, имеют либо оба конца в бесконечности, либо один конец в бесконечности, а другой на линии тока ф = 0, то оче- очевидно, что, следуя вдоль эквипотенциальной линии по указанному направлению da, мы будем иметь монотонное возрастание функции тока ф либо от —оо до -(-оо, либо от —оо до 0, либо от 0 до -f-00- Таким образом в безграничном потоке линия тока ф = 0 разделит область течения / на две частные области: /', внутри которой ф > 0, и /", где ф < 0. Взяв плоскость течения за плоскость комплексного переменного 2==ic-f-iy, примем за начало координат критическую точку А и сопоставим с этой плоскостью плоскость комплексного потенциала ъ.' = о -}- гф, разрезанную вдоль вещественной оси от <р = 0 до
324 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI (p = -j-oo (рис. 116). Из предыдущих указаний на поведение функ- функций ср и (|) при следовании в плоскости z вдоль линий тока и вдоль эквипотенциальных линий явствует, что каждой точке плоскости z, взятой в области течения /, соот- ветствует определенная точка пло- плоскости w (хотя бы еще и не разре- разрезанной), и обратно: каждой точке разрезанной плоскости w соответ- соответствует определенная точка плоско- плоскости z в области /; при этом точки 2 = 0, w — О, а также 2 = оо, Рис. 116. w = оо являются соответствующими. Задача обтекания тела безгранич- безграничным потоком будет решена, если удастся найти аналитическую функцию w = f(z), A7.1) конформно отображающую область / на разрезанную плоскость w, или же, наоборот, если удастся найти обратную функцию z = F(w), A7.2) отображающую разрезанную плоскость w на область / плоскости z. Заметим, что вследствие указанного взаимно однозначного соот- соответствия функция F должна также быть регулярна и однозначна на разрезанной плоскости w. Производная этой аналитической функции l=-^=F'(w). A7.3) v dw как известно, также является аналитической функцией на разрезан- разрезанной плоскости w. Кирхгофф поставил задачу о разыскании аналити- аналитической зависимости между dz/dw и w вместо отыскания зависимости A7.2), иначе говоря, задачу о конформном отображении разрезанной плоскости w на ту часть плоскости переменной \v A7.4) которая соответствует области течения / плоскости z. Разыскание границ упомянутой части плоскости \jv не предста- представляет труда в том случае, когда обтекаемый контур в плоскости z состоит из прямолинейных отрезков. В самом деле, положив v=\v\eil и заметив, что \v\
17] ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ. МЕТОД КИРХГОФФА 325 мы видим, что при прямом обтекании, например пластинки ВХВ2 (рис. 117), границам области / плоскости z, состоящим из линий тока ВхСг и В2С2, где | v | = | v^ \, и отрезков прямой АВХ, где О = тс/2, и АВ2, где 6 = —тс/2, будут в плоскости \jv соответство- соответствовать (рис. 118) дуга окружности В\С\ с центром в начале координат радиуса l/|f|, дуга той же окружности В'-?ъ отрезок нижней поло- половины мнимой оси от оо до точки В2 и отрезок верхней половины У А' II Рис. 117. Д' Рис. 118. этой оси от оо до точки В\. Таким образом области / на плоско- плоскости z соответствует в плоскости \jv область /', представляющая правую полуплоскость за вычетом полукруга. Если бы удалось найти аналитическую зависимость dz \ dw A7.5) отображающую конформно разрезанную плоскость w на область /' плоскости \jv, то интегрированием A7.5) I dw A7.6) мы получили бы искомую зависимость между w и z, и задача обте- обтекания была бы решена. В рассматриваемом примере эту зависимость нетрудно найти. В самом деле, совершая конформное преобразование при помощи формулы и — .— , Y
326 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI мы увидим (рис. 119), что разрезанной плоскости w будет соответ- соответствовать нижняя полуплоскость и; при этом точка А переходит, очевидно, на бесконечность, точка С переходит в начало координат; точки Вх и В2, которые в плоскости w имели одну и ту же коор- координату с, где с — некоторое положительное вещественное число, А" С" В" Рис. 119. подлежащее дальнейшему определению, перейдут в точки в'[ и Вг< имеющие координаты -|—=- и =- . Ус ус Если M = Mj-j-iK2 рассматривать как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения, происходящего на плоскости % = l/v, то в этом фиктивном течении на линии А В^С'В\А функция тока и2 все время равна нулю, а потенциал и, меняется от —со до -|-оо. Следовательно, рассматриваемое фиктивное течение сводится к обте- обтеканию полукруга В2С В\. Если мы дополним полуокружность В'2С'в[ до полной окружности и рассмотрим бесциркуляционное обтекание этой окружности потоком, имеющим на бесконечности скорость V, параллельную оси Оу, то, в частности, получим в качестве одной из линий тока линию A B>fi BXA . Применяя общую формулу C.13) к частному случаю бесциркуля- бесциркуляционного обтекания круга потоком, параллельным на бесконечности оси Оу, получим: В нашем случае роль комплексного потенциала играет и, роль г играет у, радиус круга а равен l/v^, поэтому получаем: Для точки Вх имеем:
§ 17] ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ. МЕТОД КИРХГОФФА 327 подставляя эти значения в предыдущую формулу, находим: у _ ^ 2УТ' и, следовательно, Решаем это уравнение относительно /: В точке С имеем и = 0, Хг=^/г*ОО) следовательно, надо взять знак плюс. Возвращаясь к прежним обозначениям, получим тре- требуемое выражение dz __ 1 \ЛГ\ 7 , V7 1 1 W=7 . < 1/ i {--г — > -т dz» «jo I ' м» У и; J t/^ у ~ „ w или ~=— У~с-™_+У1.; A7.8) йш у у w интегрирование последнего равенства дает окончательную зависимость (в точке А при z = 0 имеем ie/ = 0): v^ Значению w = с должно отвечать значение z = hi/2, где h — ши- ширина пластинки, поэтому hi _ / /та 2 -«i откуда найдется постоянная с:
328 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI Чтобы получить линию струи В1С1, воспользуемся A7.7): w ih , Г \ =4 + На линии тока ВХСХ имеем ф = 0, w = q, поэтому, отделяя в преды- предыдущей формуле вещественную и мнимую части, находим уравнение линии В1С1 в параметрической форме: h V 1/ /• — —- Очевидно, что струя за пластинкой бесконечно расширяется. Давление Р на пластинку легко найти непосредственным вычисле- вычислением, основываясь на интеграле Бернулли — Коши \_ | |2 L 2 I откуда р — Роэ^^рК-Ы2)- Так как р^ равно давлению в зоне застоя // позади пластинки, то разность р—рм выражает равнодействующую сил давлений, приложенных с обеих сторон пластинки, на единицу ее площади. Таким образом, h_ h_ 2 2 Р = 2 ((р- Pco)dy = p f (vl~ \v\*)dy. A7.10) о о На участке АВХ линии тока ф = 0 имеем: X =: 0, ?2» = Ср(_у), и из формулы A7.7) получаем: dy __ 1 УГ^у + УТ d9 ^оо Уу Далее, так как на участке АВХ vx = 0, то , | dtp у tp
§18] МЕТОД ЖУКОВСКОГО-МИШЕЛЯ 329 и выражение для силы Р может быть преобразовано к виду dv = p / \v2 -~ — j " j \ со d& о Интегрируя, находим: y~ arc sin 1 = / Подставляя сюда значение с из A7.9), приходим к окончатель- окончательному выражению: § 18. Метод Жуковского — Мишеля. Истечение из отверстия. Удар струи в пластинку. Глиссирующая пластинка. По идее Планка Н. Е. Жуковским, а также Митчелем было предложено видоизменение метода Кирхгоффа, состоящее в замене функции 1 dZ , „ , /^со\ -=- = —:— через функцию Z = in I -=- ) и в разыскании затем кон- конформного отображения разрезанной плоскости w на ту часть плоско- плоскости Z, которая соответствует области течения / в плоскости z. Если обтекаемый контур составлен из прямолинейных отрезков, то разыскание упомянутого отображения может быть достигнуто при помощи известной формулы Шварца — Кристоффеля, потому что в этом случае границам области течения / плоскости z будут соот- соответствовать в плоскости Z — X-\-Yl прямые Х = const, и Y = const. В самом деле, написав: v=\v\efti, voa=\va>\ellt и заметив, что v Z = In fe-) = in i^i e<-»+8>' = In Ы-f (—a + 9)/, мы видим, что, следуя по пограничной линии тока ф = 0 плоскости ж вдоль плоской стенки, мы будем иметь К = (—a-j- 9) = const., а следуя вдоль свободной пограничной струи, где \v\ = |x><»|. мы "о пучим ^=^1=0.
330 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI В качестве первого примера рассмотрим задачу об истечении жидкости из сосуда, ограниченного двумя бесконечными симметрич- симметричными стенками. Выберем оси Ох и Оу в плоскости z, как указано на рис. 120. Обозначим через а угол, под которым наклонены стенки сосуда к отрица- отрицательной оси Ох, и через 2Ъ ширину отвер- отверстия ВВ' сосуда, наконец через Q обозначим расход. Если ширину струи на бесконечности обозначить через 2Ь', а скорость струн на у бесконечности обозначить через с, то мы бу- будем иметь очевидное соотношение 2cb' = Q. Чтобы полностью определить Ь' и с, нам надо будет найти еще одно соотношение между неизвестными величинами Ь' и с и дан- данными Ь, a, Q. Рис. 120. Принимая, что на линии тока ABC функ- функция тока ф = 0, мы должны иметь на линии тока А'В'С соотношение <Ji = —Q, чтобы получить заданный расход Q. Потенциал ср меняется как на линии ABC, так и на линии А'В'С' от — со до -\- со; мы примем, что значение ср в точках В к В' равно 0; тогда в плоскости комплексного потенциала w = <?-\-ty области течения будет соответствовать полоса (рис. 121) ширины Q. la 1 Q /г г В В' Рис 121. С С В' с с в Ча. Рис. 122. Рассмотрим теперь, во что перейдет область течения на плоскости переменного Жуковского Z = ln4 = *+/K. A-=ln-T?rr. У = В. где 9 — угол вектора скорости с осью Ох. Очевидно, что 9 = — а на АВ, 6 = а на А'В', \v\ = с на ВС и В'С, следовательно, в пло- плоскости Z мы получаем область в виде полуполосы (рис. 122), распо-
§ 18] МЕТОД ЖУКОВСКОГО - МИШЕЛЯ 331 ложенной справа от оси Оу, так как очевидно, что \v\<^c. Чтобы получить конформное отображение этой полуполосы на полосу в пло- плоскости w, введем еще одну вспомогательную плоскость t и примем, что области течения соответствует на этой плоскости верхняя полу- полуплоскость (рис. 123). Как известно, такое конформное отображение полностью определяется, если задано соответствие трех контурных точек. Примем поэтому, что точка С переходит в точку t — О, точка В в точку t = 1 и точка А в точку t = оо, при этом по сим- симметрии точка В' перейдет в точку 1 Нетрудно теперь определить *¦, ¦; ^^^ зависимость w и Z от t. Найдем сначала функцию w(t). Если на Рис. 123- время рассматривать плоскость t как плоскость некоторого фиктивного течения, aw — как соответ- соответствующий комплексный потенциал, то очевидно, что все линии тока должны идти из точки А в точку С, причем количество поступаю- поступающей в точку С из верхней полуплоскости жидкости равно Q. Но как раз такое течение мы должны получить, если представим себе, что в точке С находится сток интенсивности 2Q и что никаких других особенностей больше нет. Значит, можно принять, что (произвольная постоянная пропадет, ибо при t = 1 должно быть ¦да = 0). Можно, впрочем, непосредственно проверить, что эта функ- функция отображает верхнюю полуплоскость t на полосу АС плоскости w. Чтобы найти функцию Z(t), надо найти конформное отображение полуполосы плоскости Z на верхнюю полуплоскость t. Рассматривая эту полосу как треугольник, одна из вершин кото- которого удалена в бесконечность, отобразим его на верхнюю полупло- полуплоскость вспомогательной комплексной переменной ? — $-(- l-ц по фор- формуле Шварца — Кристоффеля. Последняя формула, как известно, имеет вид J-i,y~\t — ут ... (<-у*^"'л + В A8.1) и служит для конформного отображения внутренности некоторого i-угольника плоскости Z с внутренними углами at, a2, ..., <хл на верхнюю половину плоскости t; периметру многоугольника будет соответствовать вся вещественная ось $, точки которой Elt ^, . . ., ?„ отвечают вершинам многоугольника; постоянные А а В зависят от положения и ориентировки многоугольника на плоскости Z. В функ- функцию A8.1) входят 2п ~\- 3 независимых между собой параметров: п
332 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI вещественных чисел ?,, %г, . .,\п,п—1 из и чисел я,, а2, ..., ая, связанных известной из геометрии зависимостью а1+а2+ ¦•• + ал = (« — 2) 1Г, и по два параметра в каждом из комплексных постоянных А и В. Так как вид и положение многоугольника вполне определяются заданием In координат его вершин, то мы заключаем, что при поль- пользовании формулой Шварца — Кристоффеля можно по произволу рас- располагать тремя параметрами, задавая, например, наперед \v \2, %А, что вполне согласуется со сказанным выше о полной определенности конформного отображения при задании соответствия трех контур- контурных точек. В нашем случае в вершинах треугольника ВВ'А имеем углы а, = ~2> а2~~2' аз~и' причем вершинам В, В', А соответствуют в плоскости t точки Но в случае, когда %п = оо, формула Шварца — Кристоффеля прини- принимает вид с — -1 —-1 ""~' 1 Z—A\(t — ?,)* (t — У* ...(t — ?„_,) « Л 4- В. A8.2) Применяя ее к нашему случаю и замечая, что Z — 0 при t = О, получим: г Z — k{ dt = К arc sin Л J "I/ 1 f2 О Так как в точке В при ? = 1 должно быть Z = — (а, то легко находим, что и, следовательно, Z = — arc sin?. A8.3) Присоединяя сюда уравнение w = — ^\nt, A8.4) мы получаем решение задачи в параметрической форме. Исключая t, мы можем получить соотношение между w и z в явной форме, но для всех расчетов удобнее пользоваться полученными формулами.
§ 18] МЕТОД ЖУКОВСКОГО - МИТЧЕЛЯ 333 Найдем, например, уравнение струи ВС. Здесь t меняется от 0 до 1, и мы получаем из A8.3): с /8 = arc sin t, так что 0 = arc sin t, t — — sin ~ . тс 2a Из формулы A8.4) получим: „ = . = _-°1 так как ф = 0 на ВС. Наконец, общая формула приводит в данном случае к соотношению dz и, так как dz — dx + / rfy, dtp = — -^ ctg 1^- d0, то получаем: йлг = - cos 0 rfcp = — ^ cos 0 ctg |^- d0; ^ = |sin 0 d? = - ? sin 0ctg|i d8. Интегрируя эти соотношения и замечая, что в точке В при 6= — а имеем лг = 0, у = *. получаем окончательные уравнения струи ВС: ь е со. О с* *>; y = *--^-/sin6ctggtf9. A8.5) Так как ширина струи на бесконечности есть 26', то у—>Ь' при 6—>0, и мы получаем соотношение Комбинируя его с равенством находим для с значение О Г 1 /«" В 1 с = -^- 1 +-?¦ J sin0ctg|^-d0 A8.6)
334 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА и для сжатия струи величину ъ' __ Q 1 26с ¦ir I sln8ctg^-' [ГЛ VI A8.7) Формулы сильно упрощаются в частном случае, когда а= ~ В этом случае стенки служат продолжением друг друга (рис. 124). Из предыдущих формул без труда получим для сжатия струи величину А' а для скорости на бесконечности О («+ 2) 2-кЬ В предельном случае а = к получается истечение из насадка, бесконечно заглубленного в жид- жидкость (рис. 125). В этом случае сжатие струи достигает своего предельного значения il —I Ъ ~ 2 • Рис. 126. В качестве второго примера рассмотрим задачу о прямом ударе струи конечной ширины в пластинку, перпендикулярную к струе и симметрично относительно нее расположенную (рис. 126). Толщину струи на бесконечности обозначим через 2Ь, длину пластинки через 21, а расход струи через Q, так что скорость струи на бесконечности
* 18] б)дет равна ME I ОД ЖУКОВСКОГО - МИТЧЕЛЯ 335 С С 11 о в В' V Расположим оси координат, как показано на рис. 126 Пусть tjj = 0 на линии тока, упирающейся в середину пластинки О и раз- разветвляющейся затем на ОАВ и ОА'В'', тогда на верхней гра- границе струи С В будет ф = Q/2, а на нижней С'В' будет О = — Qj2. Принимая еще, что в точке О значение потенциала ср равно нулю, получим отобра- отображение области течения на пло- плоскость комплексного потен- _# циапа w в виде симметричной г о [носительно вещественной оси Рис 127. полосы ширины Q, разрезан- разрезанной по положительной вещественной оси (рис. 127). Отображения точек А и А' лягут в одну и ту же точку w = ср0 > 0 с двух сторон разреза На плоскости dw v \v\ (рис. 128) верхней половине пластинки О А, на которой 8 = .т/2, будет соответство- соответствовать верхняя часть чисто мнимой оси, идущая из бес- бесконечности до точки С == л, внутренней границе струи АВ, на которой \v\ = с, бу- будет соответствовать дуга АВ окружности единичного ра- радиуса с центром в точке ^ = 0, идущая от точки С = I до точки С= еш, где т есть } гол, под которым наклонено к первоначачьному направле- направлению струи направление ско- скорости в каждой из двух струй, на которые разбивается струя вслед- вследствие удара; наконец, на внешней границе струи СВ тоже будет \v\=c, а угол 6 меняется от т в точке В до 0 в точке С, поэтому ВС перейдет на плоскости С в дугу ВС единичной окружности, заключен- in ю между точками С = е1т и С = 1.
336 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Проводя эти рассуждения, нетрудно убедиться, что область течения перейдет на плоскости С в правую полуплоскость за вычетом полу- полукруга, ограниченного полуокружностью АВСВ'А' (рис. 128). Чтобы найти конформное отображение друг на друга двух областей, полу- полученных нами в плоскостях w и С, представим себе на время, что плоскость С представляет плоскость некоторого фиктивного течения, a w есть комплексный потенциал этого течения. Все линии тока идут, как видно из рис. 128, из точки С либо в точку В, либо в точку В1. Проводя эти линии на плоскости С, мы можем заклю- заключить, что в нашем фиктивном течении точка С представляет источник, а точки В и В' — стоки. Чтобы линии О А и О А' были линиями тока, необходимо поместить в точках В" и В'", симметричных с точ- точками В к В' относительно оси vj, стоки той же интенсивности, ч-о в точках В и В', а в точке С", симметричной с С, — источник той же интенсивности, что и в точке С. Тогда получится картина течения, изображенная на рис. 128. Очевидно, что в точках С и С" нужно поместить источники с интенсивностью 2Q, так как только половина этого расхода будет исходить из точки С в первоначальную область течения, ограниченную линией ОАВСВ'А'О. Точно так же в точ- точках В, В', В", В'" надо поместить стоки интенсивности Q. Нетрудно теперь по полученным источникам и стокам построить комплексный потенциал |g ^"»), A8.8) или П 1Г2 1\2 -^-\n у- У . A8.9) Положим: тогда можно написать: e-2im) e2Z-2cos2m+e-22 Ch2Z-cos2m (С2 —IJ в^ — 2 + е~^ ch2Z —1 sh2 Z -f- sin2 m . . sin2 m . sin2 m sh2 Z ' sh2 Z sin2 iZ ' и, следовательно, формулу A8.9) можно представить в следующем виде: *'т Х A8.10) который будет использован при изучении газовых струй.
§ 18] МЕТОД ЖУКОВСКОГО - МИТЧЕЛЯ 337 Мы имеем: dz = — dw; с пользуясь A8.8), без труда получим, что 22?^e-im С — 1 ?+1 С — ei и, следовательно, Г 1 С pim Г p-"n ~\ 2 In-—--«"'In-—- e-im\n-—— . A8.11) C+l ? + <?"" C + e-'m J Эта формула совместно с A8.9) дает полное решение задачи в параметрической форме. Остается найти значение т. Для этого надо использовать то обстоятельство, что нам задана длина пла- пластинки 11. Применяя формулу A8.11) к точке А, в которой z = il. ? = /, получим: и так как ЛВ"'=ЛВ' = 2 sin (! + - то получим следующую связь между / и т: (| |j] A8.12) Функция от т, стоящая в правой части, монотонно возрастает от 0 до оо, когда т. изменяется от 0 до тс/2, поэтому для всякой пластины длины 21 найдется одно и только одно соответствующее значение т. Силу Р давления на пластинку, направленную, очевидно, по поло- положительной оси Ох, проще всего определить из закона количеств Движения. Берем контрольную поверхность, пересекающую все три струи бесконечно далеко от пластинки, и подсчитаем уносимую через эту поверхность составляющую количества движения жидкости по осп Ох. Основная струя вносит количество движения pQc, каждая нз Двух уходящих струй уносит количество движения pQc/2, проекция '22 JaK 1190
338 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI которого на ось Ох равна pQ-K-cos т. Следовательно, искомая уно- уносимая составляющая равна pQc(cos т. — 1); эта составляющая должна по закону количеств движения равняться силе — Р воздействия со стороны пластинки на жидкость, так как на всей контрольной поверхности давление одинаково и имеет нуле- нулевой главный вектор. Итак, P = pQc(l — cosm). A8.13) В качестве третьего примера возьмем глиссирующую пластинку 1). Рассмотрим плоскую пластинку, уходящую на бесконечность и подведенную под углом р к свободной поверхности горизонтального потока несжимаемой жидкости (рис. 129). Поток раздваивается в кри- критической точке В на пла- стинке, и вдоль пластинки вверх отбрасывается тон- тонкая струйка жидкости. 1 Скорость на свободной поверхности по величине постоянна. Эта схема изо- изображает относительное течение, порождаемое пластинкой, глиссирую- глиссирующей (скользящей) с боль- большой скоростью по по- поверхности воды. Предпо- Предполагается, что скорость движения настолько ве- велика, что можно пренебречь в законе Бернулли ускорением силы тя- тяжести и считать жидкость невесомой. В действительности весомость, в частности, сказывается еще в том, что отбрасываемая струйка не уходит в бесконечность, а стекает в воду. Проведем нормаль EF к пластинке так, чтобы она являлась касательной к свободной поверхности. Отрезок 1 = ЕА условно назы- называется длиной глиссирующей пластинки2). Направим оси, как пока- показано на рис. 129, и будем считать жидкость бесконечно глубокой. Как и в первом примере, возьмем верхнюю полуплоскость вспомо- вспомогательного переменного t и отобразим на нее области изменения ') Эта часть параграфа подготовлена М. И. Гуревичем. 2) Подсчеты показывают (см. ниже), что действие воды иа пластинку сосредоточивается почти исключительно на отрезке АЕ.
181 МЕТОД ЖУКОВСКОГО - МИТЧЕЛЯ 339 ВС Г ~7 I Рис. 130 D функций w и Z = ln—-i—, где V= (^1- Соответствие точек видно на рис. 130. Положим вдоль DABEC ф = 0; тогда вдоль CFD будет th = V§, где В — толщина струйки на бесконечности. Область измене- изменения w изображена на рис. 131. ^ Разветвленной линии тока ВС и BAD соответствует на 2- рис. 131 разрез вдоль действи- действительной оси. Отображающую функцию w {t) можно получить при помощи формулы, анало- аналогичной A8.2). Именно точке D - (рис. 131) соответствует на рис. 130 точка ?3 = оо. Точки В д q и С отображаются в точки р .у \Х = Ъ и ?2—1 соответственно. Внутренние углы в этих точках будут равны <х, = 2тг, а2 = 0, откуда ) — b)(t— I) dt — A(t — A8.14) Так как при переходе от линии тока ВЕС к линии тока DC ф полу- получает приращение V8, то из A8.14) следует, что А = — т. A - Ь) • Впоследствии нам понадобится не сама функ- D ция w, а только ее производная по t: dW Vb *~Ь A8.15) Рис.132. В dt — b) \—t' Область изменения Z — t-\-tQ изображена на рис. 132. Ее легко построить, если проследить за изменением Z вдоль граничных линий тока. Для нахождения Z(t) мы должны в соответствии с рис. 130 н 132 положить, в согласии с A8.1): А ? 1 тс «. = Т В ?2 = 6 а2 = 0 С ?3 = 1 тс аз =  22*
340 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI Чтобы при переходе от АВ к ВС скачок Z равнялся ~/, надо счи- считать множитель А = — / У 1 — Ь2. Тогда мы будем иметь: _ ""* *', A8.16) откуда у dz _ \-Ы + У{\-&)$-?) П8 Выразим теперь b через угол атаки 8. Так как в бесконечности К-^-=е-*(*-Р), то аде е-/ (*-р) _ _ ъ (при ?> 1 У —^2 = — / Yt2—1, в чем нетрудно убедиться, следя за аргументом вектора t — 1 при обходе точки t = l), откуда b — cos$. Из A8.15) и A8.17) получаем: dz В 1 — t cos {5 -f sin {5 у 1 — или, интегрируя от t = — 1 до ?, получим: 8 Z = —п ? + sin 8 (^ + arcsin/ — 1/1 — tA]. A8.19) Для нахождения «длины пластинки» / нам нужно, очевидно, вычис- вычислить действительную часть z в точке F (рис. 130). Значение t в точке F находим из того условия, что в этой точке скорость должна быть перпендикулярна к пластинке, т. е. dzjdw должна быть мнимой величиной. Но из A8.17) следует тогда, что {f)F=\jzos^. Подставляя (t)F в A8.19), находим: . 8 Г 1 + cosft , sin ^ . 2cosP 1 ЛЯ9П1 ^ — "^ L 1 — cos p +" 1-cos^ +1п 1 — cos p J' A8'20) так как 1 те . . 1 arcsin j- = w — г ar ch cos 3 2 cos i Формула A8.20) дает зависимость 8 от / и р. Сопротивление и подъемную силу пластинки легче всего найти, используя закон коли- количества движения. Проведем в качестве контрольных поверхностей две «вертикальные» плоскости, расположенные одна далеко слева,
^ 18) МЕТОД ЖУКОВСКОГО - МИТЧЕЛЯ 341 другая далеко справа, н еще плоскость, перпендикулярную к пла- пластинке и пересекающую струйку. Разность между количеством дви- движения, входящим за время dt через левую плоскость, и количеством движения, выходящим за тот же промежуток времени через правую плоскость, будет, очевидно, pVbVdt. К этому надо прибавить при- приращение количества движения за счет течения в струйке. Проекция на горизонталь этой величины будет: pVbVdtcosfi. Если Р — давле- давление на пластинку, то горизонтальная проекция импульса сил за время dt будет Р sin C dt. Итак, сопротивление будет: cosP). A8.21) Умножая это выражение на ctg$, получим подъемную силу: |-cosC. A8.22) Очевидно, что момент гидродинамической силы относительно задней кромки пластинки будет: pz^dt, A8.23) -i где р — давление на пластинку, определяемое при помощи интеграла Бернулли. Интеграл, входящий в A8.23), не столь элементарен, как остальные интегралы настоящего параграфа. Однако и он может быть вычислен точно 1). Приведем только конечный результат: , ,., S2 sin 3 г. , 8 . и + 2A— cos p) In 2]. A8.24) На рис. 133 приведены картины распределения давления по пластинке, полученные при помощи интеграла Бернулли и формул A8.17) и A8.19J). Всюду подобрано одно и то же / (см. рис. 133, где C = 30°). Эти распределения давлений удовлетворительно согласуются с опытами. При малых углах атаки ф -> 0), пренебрегая в квадратных скобках правой части A8.20) членами, малыми по сравнению с 1/J32, получим: /«-gr. A8.25) ') К а л и н и н Н., О моменте давления, действующего на глиссирую- глиссирующую пластинку, Ученые записки СГУ, т. 1 (XIV), серия ФМИ, вып. 1, 1938. 2) W a g n е г Н., Uber Stoss- und Gleitvorgange an der Oberflache von Flussigkeiten, ZAMM, H. 4, 1932.
342 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI Если I конечно, то 8 является малой величиной второго порядка. Из A8.25), A8.21) и A8.22) следует, что сопротивление а подъемная сила Р sin Я COS В: 1ф. Момент относительно задней кромки будет равняться при этом Формулы эти показывают, что при малых углах атаки подъемная сила глиссирующей пластинки равна половине подъемной силы pmApv~ Рис. 133. плоского крыла и что точка приложения подъемной силы у глис- глиссирующей пластинки помещается, как и у крыла, на расстоянии 3/4/ от задней кромки [см. формулу A5.12) и § 11]. В нашей задаче мы предполагали жидкость бесконечной. Задача о глиссировании с учетом дна решается при помощи эллиптических
§ 19] МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИТА 343 функций '). Наконец, можно учесть и влияние силы тяжести. Эта задача была решена Л. И. Седовым 2). § 19. Метод Леви-Чивита. Леви-Чивита принадлежит математи- математическая постановка задачи для случая обтекания со срывом струй криволинейного контура без- безграничным во всех направле- направлениях потоком. Допустим, что криволинейный контур имеет угловую точку А (рис. 134), являющуюся точ- точкой разветвления линии тока ф = 0 и критической точкой течения, в которой скорость обращается в нуль; Вг и В2 — точки схода с контура свободных стр)й Xj и Х2, между которыми располо- расположена простирающаяся в бесконечность зона застоя //. Для упроще- упрощения вычислений распорядимся выбором единиц так, чтобы скорость потока в бесконечности имела величину 1^1=1, и, взяв точку А за начало координат, направим ось Ах параллельно вектору vw, пред- предполагая при этом, что эта ось не выходит из границ области //. Тогда, как было показано в § 17, будет существовать взаимно однозначное соответствие между точками области течения / в пло- плоскости z и всеми точками плоскости комплексного потенциала w, разрезанной вдоль положительной части вещественной оси (рис. 135). Рис. 134. Рис. 135. Рис. 136. Отобразим разрезанную плоскость w на верхнюю полуплоскость вспомогательной переменной t (рис. 136) при помощи преобразования in) = t2, t= ± Yw, A9.1) ')Гуревич М. И. иЯмпольскийА. Р., О движении глиссирую- глиссирующей пластинки, Техника воздушного флота, № 10, 1933. Чаплыгин Ю. С, Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности невесомой жидкости конечной глубины, ПММ, т. V, вып. 11, 1941. 2) Седов Л. И., Плоская задача о глиссировании на поверхности тяжелой жидкости. Труды конференции по теории волнового сопротивления, изд. ЦАГИ, 1937. Числовые расчеты см. Чаплыгин Ю. С, Труды ЦАГИ,
344 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI плоскости t длиною Yai сохраняющего соответствие точек Подвергнем, далее, полуплоскость t преобразованию подобия и параллельного переноса так, чтобы отрезок вещественной оси В2В1 У~а2, соответствующий участку кон- контура ВХАВ2 и вообще не- несимметрично расположенный относительно начала коорди- координат плоскости t, оказался "г ч ¦ j / —С, расположенным на веще- j ственной оси в плоскости J второй вспомогательной пе- переменной f между точками Рис- 137. __1 и _|_i (рИС. 137) и что- чтобы при этом сохранилось соответствие верхних полуплоскостей t и V и точек t = оо и f = со. Искомое преобразование, очевидно, будет: ¦ ' A9.2) Введем вместо параметров ах и а2 удобные для дальнейшего рас- рассмотрения параметры а и о0 при помощи соотношений а = 0; coson = - тогда преобразование A9.2) примет вид t = a (f + cos o0); t' = - — coso0. A9.3) A9.4) Отобразим, наконец, верхнюю полуплоскость V на внутренность верхнего полукруга единичного радиуса с центром в начале коор- координат плоскости новой переменной С при помощи известного пре- преобразования При этом отрезкам В2В1 вещественной оси плоскости ? будет отвечать дуга В2АВ1 окружности (рис. 138), а внешним частям той же оси от t' = -\-\ до t' = -\-oo и от t = —1 до ? — — со будут отвечать радиусы окружности BYO и В2О\ точка А на плоско- плоскости f с абсциссой f = — coso0 перейдет в точку С0 = е'а°, лежащую на окружности в плоскости С; точке ? = схз будет отвечать точка ;=о. Если известны параметры ах и а2 или, что то же, а и о0> то формулы преобразований A9.1), A9.4) и A9.5) устанавливают
19] МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИ1А 345 взаимно однозначное соответствие всех точек разрезанной плоскости w и точек плоскости С, лежащих на указанной полуокружности и вну- jpn нее. Этого достаточно для построения картины линий тока ф = с в плоскости С, но для полного решения задачи об обтекании остается еще разыскание преобразования, конформно отображающего область течения / плоскости z на плоскость w или, что эквивалентно, на внутрен- внутренность упомянутой полуокружности пло- плоскости С. Чтобы построить картину шнпй плоскости С, отвечающих линиям юка, заметим, что уравнение любой 1ИНИН тока плоскости z может быть написано в виде . w — w Л 9 fit 1де Далее, вследствие формул A9.1) и A9.4) w = a2 (f -\- cos o0J; w = а2 (Р -f- cos o0J, N<^-r-- /1 \ i i Рис. 138. 1де f есть величина, сопряженная с V'. Уравнение линий тока A9.6) для плоскости V преобразуется поэтому к виду 2а" {V — t')(f -\-t'-{-2 cos ao)=~ = Ы = const. A9.7) Переходя, наконец, к переменной С = ? —[— /tj по формуле A9.5), получаем уравнение искомых линий в плоскости С: rl[i,^ + ri2 + l)-2coscQ^ + ri2))a2 + rl2~-\) = b^ + ri2J. A9.8) Линии этого семейства кривых шестого порядка, заключенные внутри упомянутой полуокружности, отвечают семейству линий тока области течения / плоскости г. При этом линии тока <|> = 0, идущей из точки z — — со на оси Ох и разветвляющейся в точке z-- 0, соответствуют в плоскости С куски: кривой третьего порядка единичной окружности
346 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI вещественной оси 71 = 0, заключенные в пределах верхней полуокружности. Кубическая кривая касается мнимой оси в начале координат и за пределами полуокружности приближается к асимптоте S = 2 cos o0. Внутри полуокружности эта кубическая кривая разделяет семей- семейство линий A9.8) на два пучка замкнутых линий, отвечающих линиям тока в областях /' и /" течения плоскости z. Для решения основной задачи отображения области течения z на плоскость С Леви-Чивита предложил рассматривать вместо пере- переменной Кирхгоффа 1/г> и переменной Жуковского ln-=R- комплекс- V ную переменную со = Лпо. A9.9) Если обозначить через q величину вектора скорости течения v, через 9 угол наклона скорости к оси Ох и ввести для краткости обозначение In | v\ = \nq = т, так что то ш = б -f- гЧ A9.10) и, обратно, из A9.9) Ъ~е~ш1. A9.11) В силу допущений, положенных в основу теории обтекания со срывом струй, можно наперед указать поведение переменной w на границах области плоскости С, отвечающей области течения / плос- плоскости z. Так, точке Со^е', отвечающей точке разветвления 2 = 0, где г> = 0, соответствует значение w = oo. При следовании вдоль дуг АВХ и АВ2 единичной окружности, отвечающих участкам обте- обтекаемого контура от угловой точки А до точек срыва струй Вх и В2, угол наклона вектора скорости б, т. е. вещественная часть перемен- переменной ш, должен получить известную последовательность значений, определяемую формой контура. При следовании вдоль радиусов ВХО и В2О, отвечающих свободным струям, где величина скорости тече- течения постоянна и равна 1, переменная w будет получать вещественные значения, причем точкам С= 1, С=0, С = —1 будут соответствовать значения cu = 62, w = 0, (d = 6j, где 6j и 02 — углы, которые обра- образует с осью Ох касательная к контуру в точках срыва струй. Нетрудно теперь видеть, что задача конформного отображения области течения / плоскости z на внутренность верхней полуокруж-
§ 19] МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИТА 347 ности плоскости С сводится к разысканию функции w(C), регулярной внутри полуокружности и удовлетворяющей указанным граничным условиям. В самом деле, из A9.11) имеем: ^. = в-'»@ или dz — ebWdw, A9.12) но вследствие преобразований A9.1), A9.4) и A9.5) dw = 2tdt~ la1 (f + cos o0) dt' — ( ±)'C,. A9.13) Подставляя это выражение в A9.12) и интегрируя в пределах от значения С0 = е'<'0, при котором 2 = 0, до некоторого С, заклю- заключенного внутри полуокружности, мы получаем искомое преобразова- преобразование в форме с ~. A9.14) Для разыскания функции ш(С) применим известный принцип сим- симметрии Римана — Шварца. Так как функция со (С) внутри верхней полуокружности регулярна, а на горизонтальном диаметре ВХВ2 вещественна и непрерывна в каждой его точке, то функцию со (С) можно аналитически продолжить на нижнюю полуокружность по прин- принципу симметрии, т. е. определить значения функции для каждой точки (, — re~ia, сопряженной с точкой С = гегс7 нижней полуокруж- полуокружности, как си (С) — б (г, о)— tz(r,a). Продолженная таким образом функция со(С) будет регулярна внутри всей единичной окружности ?2 —j— Tj2 = 1, а на самой окружности имеет две сопряженные особые точки (-_и=е'с° и Со=е-'"о. При этом, как указывалось выше, веще- вещественная часть искомой (продолженной) функции 6 (г, о) зависит от формы обтекаемого контура, причем эффективное определение этой функции представляет большие трудности. Рассматривая обрат- обратную задачу, можно считать 6A, а) заданной функцией Ф(о) пара- параметра о, остающейся кроме того конечной при всяком о, как это следует из физического смысла 6, представляющего угол. Заметив, что функции б (л о) и z(r, о) являются гармоническими внутри всей единичной окружности, мы можем построить 6 (л о) по ее значениям на окружности при помощи известного интеграла Пуассона
348 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI По построенной гармонической функции может быть всегда найдена сопряженная с ней гармоническая функция; по известной формуле из теории функций комплексной переменной имеем: о причем т@, 0) = 0. Эти формулы определяют искомую функцию и> (С) в виде 2я 1 Ce в чем убеждаемся проверкой. Так как по условию аналитического продолжения функция <D(s) должна удовлетворять равенству или, что то же, Ф B- — s) = Ф (s), то после несложных выкладок мы получим для функции w(C) выра- выражение о Как было выяснено выше, ш @) = 0; это обстоятельство налагает на функцию Ф (s) условие Г 0, A9.18) позволяющее определить параметр о0. Определив функцию ш(С), мы без труда можем найти некоторые геометрические и динамические элементы течения. Так, для координат любой точки С = е<" верхней полуокружности из формулы A9.14) получаем: "о х = 2а2 Г e-"<e> cos 0 (о) (cos a — cos o0) sin о da, A9.19) у — 2а2 Г е~z '"> sin S (о) (cos о — cos o0) sin a da. Подставляя сюда значения о = 0 и о =-, мы получаем коор- координаты точек срыва струй В2 и В1.
§ 19] МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИТА 349 Для длины элемента любой линии тока формула A9.12) дает: \dz\ = e~^(T'°"i\d<w\ = 2fl2e~T'r-cr>|coso — cos o0| sin о do A9.20) и, в частности, для длины элемента свободных струй \ и Х2, где т = 0, имеем: \dz\ = \dw\. Для радиуса кривизны R линий тока отсюда имеем: _L а'- (Г, с) rf° (Г' °) / 1 Q О 1 \ Я \ aw | ' Вычислим теперь давление R, оказываемое потоком на тело. Мы имеем, очевидно: /? — — Г pnds — Г pnds, В\АВг ВфВ^ где B2DB1 есть задняя часть контура С, находящаяся в застойной области. Если давление в этой застойной области есть р0, то в об- области течения мы будем иметь: „ i рМ2 __ „ , _р_ г \ о to I о ' ибо на линиях ВХС и В2С давление равно pQ, а скорость равна 1. А тогда ясно, что B2DB, f f\*nds. = -f f(l-\v\*) Обозначая проекции силы R на оси координат через X и Y и замечая, что cos (я, л:) ds = dy; cos (я, y)ds = — dx, легко найдем, что Очевидно, что v n dz имеют на ВХАВ2 или одинаковое, или прямо противоположное направление, почему v dz = v dz, \v\2dz = ». значит, 2 ./ ВХАВ2
350 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VI Пользуясь формулами dz — ll.\ / e~lia^dw— / e-"°^dw , получим: причем, переходя к плоскости С, мы должны брать интегралы по верхней полуокружности единичного круга, пробегаемой по часовой стрелке. Как известно, ш (С) в комплексно- сопряженных точках принимает комплексные сопряженные зна- значения; то же самое имеет место и для div вследствие равенства A9.13). Поэтому Г взятый по верхней полуокруж ности, равен Г ?-" Рис. 139. взя- взятому по нижней полуокружности против часовой стрелки. А тогда ясно, что причем интеграл взят по контуру единичной окружности в положи- положительном направлении. А так как функция ш(С) имеет внутри еди- единичной окружности единственную особенность в точке С = 0, в окрест- окрестности которой е-«»(о _ 1 _ До/@) _ |- \ш" @) + ш'2 @)] + . . .. то, применяя теорему вычетов и переходя к комплексно-сопряженным величинам, легко находим формулу Леви-Чивига: 1] A9.22) В качестве примера на применение метода Леви-Чивита рассмотрим случай косого обтекания пластинки (рис. 139), образующей \ гол р с vm. Здесь для линии тока <|> = 0 имеем: на участке АВУ 6j = p, на участке АВг 92 = 3 — тс,
5 iq] МЕТОД ЛЕВИ ЧИВПТА и функция Ф(s) будет иметь значения: ф (s) = {J — тс, если 0 < s < а0, Ф О) = р, » о0 < s О. 351 Условие дает откуда Г Ф (s) ds = 0 о Т)ао + Р(гс — сто) = °> Для построения преобразующей функции со (С) находим интеграл и тогда it 1 Л 1 Г2 >(?) = — / Ф (s) -=—^—" , гг ds — 4 > к ,1 v М — 2С cos s + С2 Так как /@) = 0, то ш (С) = - / (а0) +-g Пп ^ Ш (-1) = С — е'° Отделяя вещественную часть от мнимой, имеем для точек полу- полуокружности, где С —е'3: х(о) = sm- sin ¦ и е-«(») = sin - после чего по формуле A9.20) вычисляем: \dz\ — 4й2 sin2 a°"^~3 sin a da и, интегрируя в пределах от 0 до а0 и от о0 до тс, определяем л 1ины h2 и Aj участков пластинки АВ2 и /Ifip Aj = a2 [2-(-2cosa0-f-2coso0sin2a0-f-(TC — о0) sino0], /z2 = д2 B — 2 cos aQ -f- 2 cos a0 sin2 a0 -f- o0 sin o0).
352 ПЛ0СК4Я ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ TFJIA ГГЛ VI Из условия /г=.Л1-(-Л^ получаем значение параметра а: h h 9 а2— 4 4- п sin f Для вычисления сопротивления по формуле Леви-Чивита имеем: ш'W = - откуда ш' @) = — 2 sin а0; о/' @) = — 2 sin 2а0> и, подставляя в A9.22), находим: Р = г.оа2 sin а0 (sin а0 — г cos а0), откуда получаем формулу Рэлея: r.oh am а0 sin 3 ! P = тгра2 sin a0 = j-\ °- = j-f L-, 11 ' u 4 -f-я ьш a0 4 4- л sin ,j причем |щ I = 1. CO I § 20. Давление при обтекании со срывом струй и при обте- обтекании с циркуляцией. Если происходит обтекание со срывом струй некоторого контура, обладаю- обладающего осью симметрии, ориентиро- ориентированной в потоке параллельно скорости в бесконечности vm (рис. 140), то очевидно, что ре- результирующее давление потока на такой контур направлено по век- вектору ti^ и может быть выражено формулой Р — Рх= — & pcos(n, x)ds — В2ВВ,АВ2 Рис. НО. = I />cos(ra, x)ds — — Г pcos(n, x)ds. B,ABt B3BB, Замечая, что cos («, х) ds = dy и обозначая через h расстояние между точками срыва струй В1 и В2, имеем: h_  Р = I p dy — ^оо» h_ "
ПРИ ОВТПКАИПИ СО СРЫВОМ СТРУП 353 так как р^ — const, во всей зоне застоя. Применяя, далее, интеграл Бернулли — Кош и, получаем: /г 2 B0.1) откуда приходим к простому неравенству, подмеченному впервые С. А. Чаплыгиным: P<-~?hv^ B0.2) В частности, это неравенство будет иметь место и при прямом ударе струи на круговую дужку, обращенную к потоку либо вы- Рис. 141 Рис. 112. пуклостью, либо вогнутостью (рис. 141). Если г есть радиус дуги н Щ— угол, ею стягиваемый, то /г = 2r sin -S и Р < prv2^ sin ? = Р{>. B0.3) Если же такая круговая дуга обтекается потоком с углом атаки а без срыва струй и при наличии циркуляции, подобранной при усло- условии, чтобы скорость у заднего края дуги оставалась конечной (рис. 142), то величина поддерживающей силы выразится форму- формулой A3.21): Р1 =. 4тто112^г sin 7j sin la —|—^-1. Сравнивая с формулой B0.3), получаем, что о , _ cos ~ 23 Зак. ПОД
354 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Если угол р взять таким, чтобы было cosi2 sin (¦+1) [ГЛ. Vt B0.4) то Ро будет меньше Рх; при угле атаки а = 0 это условие дает Р^18°22'; при а>0 для угла р получается еще меньшее значение, начиная с которого будет удовлетворяться условие B0.4). Этот вывод указывает на несостоятельность элементарного объяснения подъема аэроплана или воздушного змея действием косого удара струи. § 21. Обтекание с кавитацией. Мы знаем, что скорость жидкости обращается в бесконечность в острых кромках профиля В стацио- стационарном решении согласно уравнению Бернулли в острых кромках возникнут при этом бесконечно большие отрицательные давления. Если кривизна обтекаемого профиля везде конечна, то и давление будет конечным, но оно может принимать, в математическом решении, большие по абсолютной величине отрицательные значения. В реаль- реальной жидкости отрицательные давления практически не появляются. Дело в том, что когда давление падает до определенной, зависящей от температуры жидкости малой положительной величины pd, жидкость в определенных условиях начинает испаряться; образуется область, заполненная парами жидкости, сплошность движения нару- нарушается. Явление это называется кавитацией. При развитой кавитации образуются целые полости — каверны, наполненные парами жидкости. На границе между такой полостью и жидкостью можно принимать давление постоянным и равным величине pd; по- поэтому эту границу можно рассматривать как свободную поверхность — струю, схо- сходящую с обтекаемого контура. Так как давление на бесконечности р^ будет больше, чем pd, то в отличие от того, что имеет место при обычном струйном обтекании, теперь свободная поверхность не будет уходить на бесконечность, Рис. 143. а будет стремиться замкнуться на конечном расстоянии от профиля (рис. 143). Мы можем рассмотреть следующую идеальную схему явления. Считаем, что при обтекании позади тела образуются свободные поверх- поверхности, которые смыкаются сзади тела и порождают струю, втекаю- втекающую внутрь полости кавитации. Пренебрежем возвратом во внешний поток масс жидкости, втекающих внутрь каверны. Тогда нам при- придется ввести струю, направленную внутрь каверны, а само движение рассматривать на римановой поверхности, причем считать, что струя
§ 21] ОБТЕКАНИЕ С КАВИТАЦИЕЙ 355 переходит на второй лист поверхности и там уходит на бесконеч- бесконечность. Примем еще, что давление вдоль поверхности каверны всюду равно pd (давление невозмущенного потока рм> pd) и что напра- направление струи, входящей в каверну, прямо противоположно напра- направлению скорости потока, набегающего на тело '). Метод решения задачи проиллюстрируем на примере прямого обтекания пластинки (рис. 143) с образованием за пластинкой кави- тационной полости ABXDB2. Требуется найти и форму границы области кавитации и все обтекание 2). Введем вспомогательную плоскость t и представим себе, что вся внешность каверны отображена конформно на внутренность полу- полукруга |f|=l с диаметром вдоль действительной оси t (рис. 144). Пусть при этом поверхность струи переходит в верхний полукруг, а точки Вх и В2 (края пластинки) переходят в точки t — — 1 и t — -f-1 соответственно (точки В\ и В% плоскости t). Мы уже усло- условились втекание струйки в полость каверны представлять как переход на второй лист ри- мановой поверхности. Пусть это втекание происходит в точке D. Перейдя на второй лист в точке D, струя уходит на бесконечность. ч! Пусть точке D отвечает на плоскости t %'г д' щ точка D'. Так как D лежит на струе, то D' находится на полуокружности в плоскости t, Рис- 144- причем в силу симметрии задачи точке D отвечает точка /. Кроме критической точки А, которая переходит в A'(t = Q), мы будем иметь в нашем потоке еще одну критическую точку К (положение ее заранее неизвестно) вне области кавитации. Пусть она переходит в точку К' на мнимой оси с координатой t =ik@ < k < 1). Наконец, бесконечно удаленной точке С пер- первого листа плоскости z отвечает точка С с координатой t = ic @ < с < k < 1). Пусть отображение дается функцией z = / (t). Обозначим, как всегда, w (z) = w (f (t)) — W (t) и будем рассматри- рассматривать W (t) как комплексный потенциал некоторого фиктивного тече- течения внутри нашей полуокружности плоскости t. По особенностям в плоскости t легко определить вид функции dWjdt. Действительно, в нашем фиктивном течении мы должны расположить особенность типа стока в точке D', особенность типа дублета в точке С, вихрь в точке D'; точки К' и А' этого течения, так же как и В\, В^, должны быть критическими точками. Таким образом, dWjdt имеет полюс первого порядка в точке t — l, полюс второго порядка ') Эта схема была предложена в работе Эфрос Д. А., Гидродинамиче- Гидродинамическая теория плоско-параллельного квазистационарного течения, ДАН СССР 51, № 14, 1946. 2) Задача эта была решена Гуревичем М. И. в работе «Об одной схеме струйного обтекания плоской пластинки». Труды ЦАГИ, № 612, 1947, 23*
356 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VI в точке t — ic, нули первого порядка в точках ^ = 0, t = ik, t~\, t = —1. Так как на полукруге и на диаметре ф = const., мы можем продолжить W(t) на всю плоскость, используя отражение от диа- диаметра и инверсию по отношению к единичному кругу. Тогда при- прибавятся еще полюс 1-го порядка в точке t~ — t, полюса второго порядка в точках / = — ic, t = , t=^-\ , нули первого по- порядка в точках t = — ik, t — ~~i;>t — ~ir~~h- Функиия dWjdt будет, таким образом, рациональной функцией на всей плоскости, и для нее можно сразу написать: ^ц/ - \- "ч \1т'а; I' и i i •¦ ~г ~h I Iх т ь> О О dt - о (*+о (* - /с)» (t+«о» (<+-М2 (* - ^ " -, B1-1) где А — постоянная. Обозначим теперь через tij постоянную величину скорости на границе каверны. Легко найти выражение -т— в функциях от t. Действительно, заметим прежде всего, что внутри верхнего полу- , 1 dw , r, j. i круга функция -у— имеет нули в точках г = 0 и г = г«. 1 dw Далее, dz = 1 на струе, т. е. на верхнем полукруге; аргу- 1 dw , мент -у— будет постоянным, равным тс/2 на отрезке горизонталь- горизонтального диаметра А'В[ и равным — тт/2 на отрезке бгЛ'. Отсюда при , 1 йа> зеркальном отображении -г— через окружность нули переходят в полюсы, а при отображении через действительный диаметр нули переходят в нули. Строя — по нулям и полюсам, получим: 1 _ dw _ в t it — ik) (t + ik) _ д t(t2-\- k?) (9A 9Л где В —постоянная, которую мы сразу же найдем из условия, что при t-—i будет — - —— = ¦— е~н = —1 (скорость, по нашему пред- предположению, направлена п точке D в сторону, противоположную на- направлению обтекания). Таким образом, —1 —Д— " ' ——Bill1. 1
§ 21] ОБТЕКАНИЕ С КАВИТАЦИЕЙ Итак: 1 dm __ ft(t2 + k2) и, dz k2t2+l ' Из B1.1) и B1.3) сразу следует, что dz Ж 357 B1.3) B1.4) Для определения значений трех постоянных с, k и А будут слу- служить три условия: 1. Условие для скорости набегающего потока. 2. Условие однозначности соответствия z (t) в точке t — ic и в точке z — со. 3. Уравнение, дающее ширину / пластинки. Первое условие приведет по B1.3) к равенству (при t — ic dw/dz = vj ^=С^~^. B1-5) 4J \ 1 ' к С Второму условию мы удовлетворим, если потребуем равенства нулю вычета dz/dt в точке t = ic. Это может быть, очевидно, сведено к равенству так что по B1.4) dt In = 0. B1.6) t=te Произведя несложные выкладки, мы получим из B1.6): fc2 5С2— 1 ,?] 7) — с2C4-с2) ' y^'-'J Уравнения B1.5) и B1.7) определяют k и с через fco/x'1 Для опре- определения А надо использовать условие, дающее ширин\ пластинки: +1 -1 B1.8) Интегрирование в B1.8) выполняется, если разложить B1.4) на элементарные дроби. Если использовать еще B1.5) и B1.7),
358 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА СГЛ. VI получим: I __ А ~ : -22- arctg с -+- 1 21 B1.9) Наконец, мы можем найти и силу X, действующую на пластинку. Не останавливаясь на расчетах, приведем из статьи М. И. Гуревича *) рисунок, представляющий отношение сопротивления X к сопроти- сопроти"б / / / / / У / влению Р = отвечающему струйному обтеканию без кавитации [ср. A7.11) § 17 этой главы] (рис. 145). По оси абсцисс отложено так называемое число кавитации о. Последнее выражается по формуле 2 4 6 а 8 Рис. 145. с = ¦ Роо-Рд Применив уравнение Бернулли, получим без труда, что отноше- отношение voa/vv входящее в наши формулы, просто выражается через число кавитации. Именно: ') См. сноску на стр. 355.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Безвихревое движение. Движение шара. Перейдем теперь к рассмотрению пространственных течений идеальной несжимаемой жидкости. Считая движение безвихревым, вводим потенциал скорости <?(х, у, z, t), так что проекции скорости будут: Уравнение неразрывности dvx dvy dvz dx ' dy ' dz показывает, что функция ср должна удовлетворять уравнению Лапласа Давление р определяется формулой Лагранжа — Кошн *Li? A.3) где V — потенциал внешних сил. Часто удобно пользоваться не декартовыми координатами х, у, z, a какими-либо криволинейными ортогональными координатами qv q2, q3. Последние выбираются в соответствии с рассматриваемой задачей. Выведенное в первой главе уравнение неразрывности в криволи- криволинейных ортогональных координатах A3.3) для случая несжимаемой жидкости имеет вид dqt "•" dq2 ~r dq3 где Я[, Я2, Нъ — параметры Ламэ. Проекции скорости на оси кри- криволинейных координат выражаются формулами (глава первая, § 20, задача 5) Ъ—НГд^1 V*-Ji;~dq7' щ~"Ждд7' { '
¦360 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VII Поэтому уравнение Лапласа в криволинейных ортогональных коор- координатах имеет вид д [НгНг ду \ | д /ЯзЯ, дч \ . д ( Н{Н2 д9\ _ dqx \ Я, dq, )~Г dq2 { Я2 dq2 )"+" dq% \ Я3 dqt) ~U' <1<0> В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о поступа- поступательном движении шара радиуса а вдоль оси Oz с постоянной ско- скоростью U. Вводя сферические координаты г, 6, X, связанные с декар- декартовыми координатами при помощи соотношений х = г sin 6 cos X, у = г sin 6 sin А, г = г cos 6, будем иметь: Нт=\, HH = r, #x = /-sin0, и уравнение Лапласа имеет вид Граничное условие на поверхности 5 шара должно иметь вид где ип есть проекция на направление нормали скорости U точки поверхности 5, направленной параллельно оси Oz; поэтому ип = б'cos S, и мы получаем граничное условие ¦^—t/cose при г = а. A.7) Итак, в области вне сферы 5 надо найти решение уравнения A.6), удовлетворяющее граничному условию A.7); кроме того, должно выполняться условие, что на бесконечности скорость обращается в нуль. Из соображений симметрии ясно, что <р не будет зависеть от X. На основании вида граничного условия A.7) можно попытаться искать потенциал в виде произведения s 9. В самом деле, уравнение A.6) обращается в этом случае в обыкно- обыкновенное дифференциальное уравнение 2Я = 0. A.8) принадлежащее к типу уравнений Эйлера. Полагая P = rk, найдем для определения k уравнение k(k-\-\) — 2 = 0,
i I] БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ. ДВИЖЕНИЕ ШАРА 361 л=1, Й2 =— 2. Отсюда следует, что общим решением i A.8) является откуда &j, й2 уравнения A.8) является Постоянную А нужно приравнять нулю, так как иначе не получится нулевой скорости на бесконечности. Итак, нужно принять, В cos 8 Т = —FT-- Остается использовать граничное условие A.7) для определения постоянной В: Итак, искомое течение определяется потенциалом скорости ?=_J^lL A.9) Налагая на это течение поступательное течение со скоростью U в направлении отрицательной оси Oz, для которого потенциалом скорости является <р = — Uz = — Ur cos 8, получим потенциал обтекания шара таким поступательным потоком )S0. A.10) Это течение имеет уже установившийся характер, поэтому давление будет определяться интегралом Бернулли — Коши если внешние си ты отсутствуют. Проекции скорости определяются формулами В частности, на поверхности шара будем иметь: 2. для давления получим формулу
362 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII из нее видно, что распределение давления относительно экваториаль- экваториальной плоскости 0 = тс/2, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, симметрично. А тогда ясно, что давления, приложен- приложенные к поверхности шара, взаимно уравновешиваются. Таким обра- образом шар при равномерном поступательном движении не испытывает никакого сопротивления со стороны жидкости. Этот результат, резко противоречащий данным опыта, носит название парадокса Эйлера — Даламбера. Он объясняется тем, что в действительности безотрыв- безотрывное безвихревое обтекание шара не имеет места, с поверхности шара срываются вихри, которые видоизменяют как картину течения, так и распределение давления по поверхности шара. § 2. Обтекание эллипсоида. Пусть рассматривается обтекание трехосного эллипсоида v-2 V2 ,2 + f + l B1) поступательным потенциальным потоком несжимаемой жидкости, ско- скорость которой в бесконечности U направлена по оси Ох. Попытаемся найти потенциал течения <р, как решение уравнения Лапласа, удо- удовлетворяющее пограничным уравнениям: -jL = t/. -JL = O, &-=0 B.2) dx dy dz v ' для бесконечно далеких точек, S=° C2.3) на поверхности эллипсоида. Равенство B.3) выражает условие безотрывного обтекания и в развернутой форме принимает вид ^(T) + |^(Ty) + ^( ) = О или а? дх ~^ V ду ^cJ dz ~~U> l V Чтобы подобрать искомое решение уравнения Лапласа, возьмем за исходный пункт известное выражение для ньютонова потенциала притяжения однородным эллипсоидом B.1) внешней точки (х, у, z): Ve(x, у, z) = *?*) & B.5) где X есть положительный корень уравнения х2 у2 г3 + +
21 ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСОИДА 363 Если точка (х, у, г) лежит внутри эллипсоида, то теория притя- притяжения дает для ньютонова потенциала выражение Vt(x, у, z) = оо du и Г Л -*2 уз г3 \ =.т.аЪс I 1 у- —| J \ я2 + и 6а + « с2+м/ Вводя для краткости обозначения: оо А(х, у. z)=abcf—- V (а2 du «) (с2 + «) ¦ B-7) оо B(x, у, z) = abc f оо C(x, у, z) = abc f { (с2 ОО D(x. у, z) = abc f du da B.8) мы перепишем предыдущие выражения для ^ и F, в виде где Ло> Во, Со, Do суть значения Л, В, С, D при Х = 0. Отсюда найдутся для компонентов силы притяжения на внешнюю точку (х, у, z) следующие выражения: dV. д\ дх B.9) так как 61 = тса&сA__^___^:____?!_ : = 0 вследствие уравнения B.6). Аналогично найдутся К = 2кВу\ Z ~ 2v.Cz. Во всех внешних точках Ve, а значит, и X, Y, Z удовлетво- удовлетворяют уравнению Лапласа. Будем теперь искать решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее пограничным условиям B.2) и B.4) в форме <р = Ux -4- kX {х, у, z) = 2vkAx -j- Ux, B.10)
364 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII где k — некоторая постоянная, подлежащая дальнейшему определе- определению. Вычисляя ду/дх, имеем: На поверхности эллипсоида Х = 0, и тогда дА___ 1_ dl ~~ а2 " Далее, дифференцируя по х уравнение B.6), находим: 2* Г хг , У2 , ?L__]A а2 + X Ця2 + XJ "^ (б2 + XJ "^ (с2 + XJ J дх откуда пр» Х=^ О д\ __ 2х дх — ~а*р> ' где v-2 V2 ,S р ' а* ^ Ь4 * с4 ' Таким образом для поверхности эллипсоида и аналогично Внося эти выражения в пограничное условие B.4), получаем урав- уравнение 2тсйЛ04 4-?/-4 — 2тсй-^ 0 а2 ' a2 a2/J или 2тсй(Л0 — 2)-f i7 — О, откуда Таким образом, При этом легко видеть, что при удалении точки (х, у, г) в бес- дА дА дА конечность каждая из производных -з—, -т—, -j- стремится к нулю, как \jr2, где г = Ух2 -\- у2 4- z2, а само А — как 1/г3, что обеспе- обеспечивает выполнение условий B.2). Следовательно, формула B.12) и является искомым решением уравнения Лапласа.
§ 2] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСОИДА 365 Нетрудно, далее, видеть, что если скорость vM образует с осями обтекаемого эллипсоида углы а, C, f. то. разлагая поступательный поток на три потока со скоростями t^cosa, г/^cosp и z^cosf, направленными параллельно осям эллипсоида, мы получим для потен- потенциала скорости результирующего течения выражение (, о i . Ах cos а xcosa + ycosp+;?cosT-T---2^47 + . By cos ? Cz cos t \ "+" 2-B0 "Г" 2-C0 /¦ ^¦Uj Для случая обтекания сфероида (а = Ь> с) потоком, скорость которого г»^ параллельна оси Oz, предыдущие формулы дают: со оэ А = В = аЧ f du — = 2fl2c Г rfv j/ (а2 + иJ/с2-Г-м (Va2 — с2K ./ A + v2J ' где c2-f-X = (a2 —c2)v2. Вводя эксцентриситет находим: ^-B = -^i^(j-arctgv-T-j^). B.14) Аналогично найдется: du "u2 —с2K ./ v-J). B.15) Потенциал течения для такого сплюснутого эллипсоида вращения принимает вид Значение для Со здесь получится из формулы B.15), если для v принять то значение, которое соответствует Х = 0, а именно: тогда ь0 — ¦ iY l - -e2 с \VT- -с2 VI- е f arctg ¦е2 Vi > [ — е2 п е 2
366 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ* [ГЛ VII Но 1 2 и, значит, Со = -?— .___ - arcsin e ¦ B.17) B.18) е3 Внося выражения для С и Со в формулу для <р, получаем: [ -f— arcctg vj arcsin e — e V 1 — e2 Если взять теперь с = 0 и, значит, е—1, то мы получаем потен- потенциал обтекания кругового диска радиуса а потоком, скорость кото- которого в бесконечности направлена по оси диска BЛ9) где a2v2 = X, a X есть положительный корень уравнения § 3. Функция тока для осесимметричного течения. Течение называется осесимметричным, если линии тока расположены в плос- плоскостях, проходящих через данную ось, и в каждой такой плоскости картина распределения линий тока одинакова. Если ось симметрии принять за ось Oz цилиндрических координат р, 0, г, то из опреде- определения следует, что г>„ —0, и уравнение неразрывности A3.1) главы первой для установившегося осесимметричного течения несжимаемой жидкости принимает вид ^ + ^i) = 0 „ли lipU^f). (ЗЛ) op oz Of дг Дифференциальное уравнение любой линии тока для осесимметрич- осесимметричного течения, очевидно, будет: ^=~ или vpdz-vzdp = 0. C.2) Соотношение C.1) показывает, что р служит интегрирующим множителем уравнения C.2), левая часть которого по умножении на р будет представлять собою полный дифференциал некоторой функции ф(р, z): dty — pVpdz — pVzdp, C.3) так что
¦3] ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯ 367 PlpZ) Функция ф (введенная в рассмотрение Стоксом) называется функ- функцией тока. На каждой линии тока эта функция сохраняет постоян- постоянное значение и, следовательно, будет оставаться постоянной на поверхности, получаемой вращением данной линии тока вокруг оси симметрии. Если на одной из таких поверхностей <|» = с0 мы фиксируем любую точку А (р0, г0) (рис. 146), а на другой поверх- поверхности ф=с возьмем некоторую точку Р(р. г) и проведем поверх- поверхность S произвольного вида, опи- опирающуюся на коаксиальные ок- окружности Го и Г, лежащие на упомянутых поверхностях и про- проходящие через точки А и Р, то объем П жидкости, протекшей через поверхность S за единицу времени, выразится разностью зна- чений функции тока, умноженной на 2-я: П = 2я [ф (Р, г)~ ф(Ро, го)\ = = (с~соJк. C.5) Рис. 146. В самом деле, вычисляя поток скорости через поверхность 5, имеем: П = J v • п dS = J (г>ргер + v,nz) dS, где /г—орт нормали, направленной во внешнюю сторону поверх- поверхности S, т. е. от оси Ог. Замечая, что пеdS — рdB dz; nzdS = — так как знак пг противоположен знаку dp, имеем: 2 11= f dB АР АР = 2те[ф(Р, Z) — ф(р0> z0)}. Вводя в рассмотрение функцию тока ф, мы можем еще не пред- предполагать течение потенциальным. Вычислим составляющие вихря скорости при наличии функции тока в рассматриваемом осесим»
368 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ TFHA [ГЛ VII метрьчноч течении Для этого достаточно общее выражение ви\ря в кривочинейных координатах' Н2Н3 [ dq2 dq3 1 Г d (HlVl) д (H3v3) 1 , 1 Г д ^ Я3Я, L dq3 dq{ J ^ ^ HXH выведенное нами в первой главе, применить к цилиндрическим коор- координатам Полагая qx = р, ^2 = 9, qz = z, так что Н1=\, //2 = р, Но = 1 а г>, = v =—^-, Vr, = v, = 0, Vo—v~=z ^—, мы л 1 р ог ' а г р ор по гучаем rot v = -д— — -V3-1-4- -з— I т е (rot г-) -0, —f Таким образом вихрь скорости в осесимметричном течении на- нравтен по касательной к окружности, служащей поперечным сече- сечением поверхности ф = const в данной точке Если течение безвихре- безвихревое, то функция тока должна удовлетворять уравнению Потенциал же скоростей с? должен удовлетворять уравнению Лапласа, которое для осесимметричпого течения в цилиндрических координа- координатах примет вид ^4-S-H-1^-^0- С3-8) dz2 ' д^2 ' р dp v ' Вспедствие coo iношений C 4) между потенциалом ср и функцией тока ф будут иметь место зависимости dp p dz ' dz p dp ^ Эти зависимости позволяют опредепить функцию тока, если потенциал скорости известен, по формуле (Р А (P^)dz-(p^-)dp C 10) (оо го) Так, например, дня однородного постулатепьного течения, по- постоянная скорость которого v^ направлена по оси Oz, мы имеем, очевидно,
§ 3] ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯ 369 Выбирая ось Oz за линию тока t}< = 0, получаем по формуле C.10): Ф = — \ РЧо' C-П) Для источника обильности q, помещенного на оси Oz в начале координат, согласно формуле A1.8) главы пятой имеем: \ q I q ф —. i_ 2 Линиями тока здесь служат лучи, исходящие из начала коорди- координат. Выбирая ось Oz за линию тока ф = 0, находим: (Р, г) (р, г) q Г р2 dz — рг dp q Г Г dz z (р dp -f- г й?г) "] ~^rmJ (/f+t2K ~~to,n-L LКрч7^2 ~ (Грч7?K J~~ 0, г0) ЧГ r ' ' @, г„) (P, г) / Если течение создается несколькими источниками или стоками, то вследствие линейности уравнений C.7) и C.8) будет иметь место принцип наложения полей. Так, для течения, созданного источником и стоком одинаковой обильности q, помещенными на оси Oz в точ- точках z = — а и z'—-\-a, имеем: <?^=JL(±-±)C=JL( 1—^ ! V C.13) q ( z-\-a z — a \ q „ , .. у =^-^- ~ =r=r =r=- — — (cos ft — cost,), C.14) где -jj и т2 — углы, образованные с осью Oz радиусами-векто- радиусами-векторами rj и г2. Отсюда при переходе к пределу при а->0, считая, что произ- произведение q • 2а стремится к конечному пределу М, получаем для тече- течения, созданного дублетом, момент которого М направлен в отрица- отрицательную сторону оси Oz: М д(}\ „ j_, ( ' ] где г = ' П г™ |/г2_]_ Г2 М 4г. М А.— (Vf д dz Z (г) (г) М 4, М? d f1 u C.16)
370 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII § 4. Метод источников и стоков. Этот метод был применен впервые Ранкином к пространственной задаче об обтекании тела и состоит в замене обтекаемого тела такой системой источников и стоков, чтобы поверхность тела служила одной из поверхностей тока; при этом, очевидно, необходимо должна равняться нулю алге- алгебраическая сумма обильностей источников, вводимых внутрь границ тела для построения нужной картины течения. Подбор упомянутой системы источников и стоков по заданной наперед форме поверхности обтекаемого тела представляет большие трудности. Рассмотрим на ряде простейших случаев обратную задачу разы- разыскания тех форм поверхностей, которые могут быть взяты за гра- границы обтекаемого тела при наперед заданном расположении источ- источников. а) Источник и сток равной обильности, внесенные в однород- однородный поступательный поток. Считая, что скорость em однородного потока направлена по оси Oz, поместим источник обильности q на ось Oz в точку г = — а, а сток в точку z = a той же оси. Тогда результирующее течение будет осесимметричным, и по принципу наложения потенциал ср течения выразится формулой „ ,^„, _,_,, DЛ) а функция тока 1_ 2 | X./ _ г4 2) где fj — угол, образованный с осью Oz радиусом-вектором rv про- проведенным в данную точку Р поля из источника, a Y2 — (г> ''гI где л2 — радиус-вектор, проведенный из стока (рис. 147). Для построе- построения поверхностей тока ф — const, можно применить известный гра- графический прием Максвелла сложения скалярных полей, описанный нами в § 12 предыдущей главы. Поверхность тока ф = 0 будет состоять из внешних отрезков оси Oz и некоторой замкнутой поверхности, получаемой вращением овала KNLQ вокруг оси Oz. Критические точки К и L, где течение разветвляется и скорость обращается в нуль, определятся условием или вследствие D.1) л . , , . D.3)
§ 4] МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ а, /у При р = 0 и z > а > О будет /-j^ ние D.3) принимает вид -?- ! = 0- 371 ; — а, и уравне- D.4) критическое значение z = z0, соответствующее точке L, определится как вещественный положительный корень уравнения 0. D.5) Если же р = 0 и г < — а < 0, то г1 = — (г -f- а), л2 = — (z — а), и уравнение D.3) получит вид —aJ Полагая z = — z', имеем уравнение для z': B' 4- в)* — a)* a)* тождественное с уравнением D.4). Таким образом, критической точке К будет соответствовать значение Z = — z0. Поперечник Рис. 147. QN = 2Р0 обтекаемой поверхности определится, если в уравнении этой поверхности i|) = 0 положить z = 0, что приводит к уравнению шестой степени б) Дублет с моментом М, направленным против однородного поступательного течения, дает знакомую уже нам картину обтекания шара. 24*
372 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII В этом случае | Мг , 1 2 I М?2 где Радиус /? обтекаемого шара определится нз условия 4 = 0: R~ Если Ж выразить через R, то предыдущие выражения для 9 ч 41 примут вид «Р = «« в) Одиночный источник обильности q, внесенный в однородный поступательный поток, дает картину обтекания полубесконечного Рис. 148. тела вращения (рис. 148). Этот случай можно трактовать как част- частный случай источника и стока, когда сток удаляется в бесконечность. Взяв источник в начале координат, мы из формул D.1) и D.2) непосредственно получаем: 1 Х D.8)
§ 4] МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ 373 Форма поверхности обтекаемого полубесконечного тела опреде- определяется уравнением ± 2(Ц? ) 0. D.10) Критическая точка z~z0 определится условием vx = 0 при р=:0 Имеем: где /- = y+p Отсюда заключаем, что z0 = — z'Q < 0, но тогда при р = 0 будет г ~ z'o, и предыдущее уравнение примет вид откуда 'О ~Г 9 и Уравнение D.10) при z —-f-°° дает: Это означает, что при возрастании г поверхность обтекаемого тела приближается асимптотически к круговому цилиндру. г) Линейно-распределенные источники на отрезке оси Oz от z = 0 до z=a с переменной обильностью <?(С)й?С на элементе Л, будучи внесены в однородно-поступательный поток, создают течение с потенциалом и функцией тока а а Если алгебраическая сумма обильностей линейно-распределенных источников равна нулю, то последний интеграл исчезает, и поверх- поверхность тока ф=0 будет состоять из отрезков оси Oz и некоторой замкнутой поверхности i*J У(г-Ф D.14)
374 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII охватывающей отрезок с источниками и стоками. Если, наоборот, задать вид поверхности D.14), т. е. считать р известной функцией от г, то разыскание неизвестного распределения <7(С) источников и стоков на данном отрезке оси Oz, при котором данная поверхность обтекалась бы течением, сводится к решению интегрального уравне- уравнения D.14). § б. Поперечное обтекание осесимметричных тел. Предыдущий метод источников и стоков можно применить к задаче обтекания тела вращения, для которого ось Oz служит осью симметрии, по- помещенного в поступательный поток, скорость которого в бесконеч- бесконечности перпендикулярна к оси Oz. Примем плоскость, проходящую через ось Oz параллельно вектору вл> за плоскость Oxz, для которой азимутальный угол 6 = 0, и поместим по предложению Кармана на отрезке оси Oz от z = 0 до z = а линейно-распределенные дублеты, направив их оси навстречу потоку в плоскости Oxz. Считая, что ось Ох направлена по вектору ош и, значит, момент дублета [x(C)fifC, приходящийся на отрезке dt, направлен в отрицательную сторону оси Ох, мы получим в пространстве течение, потенциал которого «/ согласно формуле C.15) выразится в виде 1 д / ~~4Т дх J где г == — СJ. Выполняя дифференцирование, находим: а д (-) ° о а р cos 6 Г ~~ 4я J к- (С) E.1) и следовательно, компоненты скорости v' этого течения по осям цилиндрических координат будут: а df'_ _ cos a /•_!*(?)[(* —СJ —2p2ldr О а , W - 3pcos6 С E(g)(«—о<*с 52) О а , 1 d<f' sin 6 Г у- (?) dtj Vl~J~df~ 4л J [/р2 + (г-СJ]3 "
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В БЕЗГРАНИЧНОЙ ЖИДКОСТИ 375 Однородное поступательное течение имеет потенциал и компоненты скорости этого течения будут: Таким образом, мы получаем компоненты результирующего тече- течения в виде Дифференциальные уравнения линий тока результирующего течения будут: d? _^?_— Iм /*<п Если поверхность обтекаемого тела, получаемая врещением опре- определенной кривой p = p(z) вокруг оси Oz, должна являться одной из поверхностей тока, на которой будут линии из семейства E.3), то значение dp/dz, доставляемое уравнением меридианной кривой р = р (г) и не зависящее от азимутального угла 9, должно совпадать со значением cos e 4- —— dp dz доставляемым уравнениями E.3). Подставляя сюда вместо ду'/др и df'/dz их выражения по формулам E.2) и замечая при этом, что условие независимости от угла 9 действительно соблюдается, мы приходим к следующему интегральному уравнению для функции [л (С): dz „ о I + «„ = 0. E.5) § 6. Движение твердого тела в безграничной жидкости. Рас- Рассмотрим движение жидкости, вызываемое движением тела, ограничен- ограниченного поверхностью S, в безграничной несжимаемой идеальной жидко- жидкости, покоящейся на бесконечности. Мы будем при этом считать, что на жидкость никакие внешние силы не действуют и что движение жидкости безвихревое. Обозначим потенциал скорости в рассматриваемый момент вре- времени t через <р(;е, у, z), так что проекции скорости суть
376 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII Уравнение неразрывности dvx dvy дуг _ дх "^ ду ^~ дг ~и показывает, что функция ср должна удовлетворять уравнению Лапласа во всей области течения, т. е. вне поверхности S. Мы будем считать потенциал ср однозначной функцией. В каждой точке М поверхности 5 должно выполняться граничное условие где ип есть проекция на нормаль п к поверхности S скорости и точки М той же поверхности. Для определенности мы будем считать нормаль п внешней к поверхности 5, т. е. направленной внутрь жидкости. Условие, что жидкость на бесконечности покоится, приводит к граничным условиям г->со дх V^oo ду г->эо дг ' \ • ) где г = Ух2 -f- у1 ~\- z2. Можно считать, что -Д , Д, -Д стре- стремятся к нулю при г—>схэ как величины порядка 1/г3, а ср — как величина порядка Ijr2. В самом деле, введем сферические коорди- координаты г, О, X с центром в начале координат и разложим <f(x, у, z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд по убывающим степеням г. Отбрасывая несущественную постоянную, будем иметь разложение вида со г ' ~U гп+1 где Кя(8, X) — сферические функции. Пусть Б есть сфера радиуса R с центром в начале координат. Вследствие несжимаемости жидкости поток скорости через S должен равняться нулю и так как J1 — A дг ~~ г2 Zd г«+2 1
§ fi] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В БЕЗГРАНИЧНОЙ ЖИДКОСТИ 377 ТО откуда Л = 0. Итак, вблизи бесконечно удаленной точки мы имеем разложение вида откуда и вытекает, в частности, что при г—>оо ср стремится к нулю как 1/л2, а г/^, vy, vz как 1/г3. Для определения функции ср нам нужно знать величины ип, т. е. нормальные к поверхности 5 составляющие скоростей точек этой поверхности. Но известно, что распределение скоростей твердого тела вполне определяется заданием скорости одной точки этого тела и заданием угловой скорости вращения тела. Выбирая за эту точку начало координат О и обозначая через U вектор скорости этой точки, считаемой неподвижно связанной с телом, а через to вектор угловой скорости вращения тела, для скорости и произвольной точки М тела будем иметь формулу где г есть радиус-вектор точки М относительно точки О. В проекциях на оси координат будем иметь: Введем для краткости обозначения cos(«, x) = a, cos (я, у) = р, cos(«, z) = f для косинусов углов, составляемых нормалью к поверхности 5 с осями координат. В точках поверхности 5 Поэтому условие F.3) принимает вид ) + г(хф— уа). F.5;
378 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА (ГЛ VII Из него видно, что функция ср должна представляться в следую- следующем виде: <Р = Ux4\ + U№ + игЪ + ШЛ И" шу?5 + <М>6, F.6) причем все функции cpi. Ъ< <Рз> ?4- %¦ ?б ДОЛЖНЬ' удовлетворять уравнению F.2) и условиям F.4). На поверхности 5 эти функции должны удовлетворять условиям дп так как тогда, очевидно, удовлетворится и условие F.5). Условия F.7) уже не зависят от векторов U и to, так что все шесть функций cpft определяются формой поверхности 5 и выбором системы коорди- координат Oxyz. Сравнение условий F.7) с общим условием F.5) показы- показывает, что функция ipj соответствует тому случаю движения тела, когда т. е. когда тело движется параллельно оси Ох с единичной скоро- скоростью. Аналогичное значение имеют функции ср2 и ср3. Точно так же функция ср4 соответствует случаю, когда Ux == Uy — иж = 0, юж=1, Шу^:шг=,0, т. е. когда тело вращается около оси Ох с угловой скоростью вращения, равной единице. Определим в виде примера эти функции для того случая, когда тело есть трехосный эллипсоид причем а > ? > с. В § 2 было найдено решение задачи об обтекании эллипсоида F.8) потоком, скорость которого на бесконечности направлена параллельно положительной оси Ол- и равна U. Принимая в формуле B.12) ?/=— 1, мы получаем решение хА (х, у, г) Налагая на течение, представляемое этим решением, течение соответствующее равномерному движению параллельно оси Ох со скоростью, равной единице, мы и получим потенциал скорости _ хА (х, у,г) __ 1 дУе Vl~~ 2 — Ао -~2яB — До) Ох' V*''
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В БЕЗГРАНИЧНОЙ ЖИДКОСТИ 379 соответствующий движению эллипсоида параллельно оси Ох со ско- скоростью единица в жидкости, покоящейся на бесконечности. Точно так же получим: F.10) «„ = УВ <*¦ У' *> = * dV* ™ 2 — В„ 2яB — Во) ду ' _ гС {х, у,г)__ 1 дУе ?3 ~ 2 — Со ~~ 2* B — Со) 02 ' Заметим, что на поверхности S мы имеем очевидные равенства Функцию ср4 можно получить из следующих соображений. Функция Ф=т! удовлетворяет, как легко проверить, уравнению Лапласа. На бес- бесконечности эта функция стремится к нулю, как величина порядка I//-3. Наконец, на поверхности S эта функция удовлетворяет условию = B —Со + ?о)УТ —B но на поверхности S имеют место равенства поэтому 21 —li Ь* ~' с8 * Следовательно, можно также написать подберем К так, чтобы
380 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII откуда 2 (В„ - Со) ЬЧ* тогда будем иметь на поверхности S: Сравнивая это условие с условием для функции <р4, приходим к выводу, что ___ (б2 — сг)Ф (Ь* — с2) уг (В — С) ?4 — 2 (б2 - с2) + (Во - Со) (б2 + с2) ~ 2 (б2 - с2) + (Во - Со) (б2 + с2) ' _ (с2 — й2) гх (С — Л) F.12) П Л2) + (Со _ Ло) (с2 (дг — б2) ху (А — В) % — 2 (а2 - б2) + (Л - Во) (я2 + *2) " § 7. Расчет гидродинамических реакций при движении тела. Перейдем теперь к вопросу о силах, которые действуют на твердое тело при его движении в безграничной жидкости. Эти силы приво- приводятся к силам давления, приложенным к элементам поверхности 5. Если п есть орт внешней нормали к поверхности S, то на эле- элемент dS поверхности S будет действовать сила давления — pndS. Для главного вектора R этих сил и для главного момента их относительно начала координат мы получаем выражения — J J p(rXn)dS, G.1) s где г есть радиус-вектор точки М поверхности S относительно начала координат. В предположении отсутствия массовых сил давле- давление р определяется по формуле Бернулли Подставляя это значение р в предыдущие формулы, мы и опре- определим R и L. Удобнее, однако, поступить иначе, а именно исходить из закона количеств движения и закона моментов количеств движения. Проведем произвольную неподвижную в пространстве поверх- поверхность 2, охватывающую поверхность S. Количество движения К жидкости, заключенной в объеме V между поверхностями 5 н ?, ее гь /С— р J/ J vdx= p J J J grad <f dx. v v
§ 7] РАСЧЕТ ГИДРОДННАЛШЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 381 Но по теореме Гаусса / / / grad Vdx= f f fndS — f f tndS- v -z s Изменение за время dt количества движения частиц жидкости, заключенных в момент t между поверхностями 5 и S, равно импульсу сил давления, действовавших на поверхности 5 и S за промежуток времени dt. Обозначим через /?' главный вектор сил давления, приложенных к поверхности ?, тогда импульс сил давления, при- приложенных к поверхностям 5 и ? за время dt, будет равен (/?' — R) dt. Чтобы подсчитать изменение количества движения частиц жидкости, заключенных в момент времени t между поверхностями 5 и Е, нужно учесть то обстоятельство, что за время dt часть этих частиц выйдет через поверхность Е, другие же частицы за то же время dt войдут через поверхность Е и окажутся к моменту t-\-dt внутри объема V. Количество движения частиц жидкости, вышедших за время dt через поверхность S, нужно, очевидно, прибавить к коли- количеству движения жидкости, заключенной в объеме V в момент t-\~dt; количество же движения частиц жидкости, вошедших через поверх- поверхность Е, нужно будет вычесть. Так как через элемент dS поверхности Е за время dt проходит масса жидкости pvndSdt, несущая количество движения pvvndSdt, ю полное изменение количества движения рассматриваемых частиц жидкости равно dK = d J j pyndS — df J рсря dS+ j j pvvn dSdt. s s Приравнивая это изменение количества движения импульсу сил (/?' — R)dt, получаем равенство R'~R = 4l f J^ndS-^f f pyndS + f fpvvndS. G.3) Поверхность Е мы считаем неподвижной в пространстве, поэтому n'dS. G.4) Воспользовавшись G.2) и J f pondS = pof j ndS=O,
382 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VII имеем равенство Подставляя выражения G.4) и G.5) в G.3), получим основную формулу R = 4t fУР^5 + //'p(^-n-vvn)dS. G.6) Здесь S есть произвольная поверхность, охватывающая поверх- поверхность 5. Если принять за Е сферу очень большого радиуса а, то на этой сфере скорость v будет величиной порядка 1/а3, поэтому величина будет порядка I/a6, a так как поверхность сферы Е равна 4тиа2, то второй интеграл в формуле G.6) будет порядка 1/а4 и будет стремиться к нулю при а—>аэ. Поэтому, устремляя с к оо, получим из G.6) окончательную формулу Совершенно аналогично мы найдем формулу для момента L, при- применяя закон моментов количеств движения. Момент количеств движения I жидкости, заключенной в объеме V, есть /=:p///(rX's)ufT==p///(rXgrad(p)dx V V и легко проверить, применяя формулу Гаусса, что г Вместо G.3) мы будем иметь:
§ 7] РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 383 Поэтому вместо G.6) получим: s s а вместо G.7) *J J G.8) Полученным формулам можно дать следующее истолкование. Сила R и пара L определяют воздействие со стороны жидкости на твердое тело. Если тело находится под действием внешних сил, приводящихся к силе F, приложенной в начале координат, и к паре М, то его движение будет определяться формулами dt где G есть количество движения твердого тела, Q есть главный момент количеств движения тела относительно начала координат. Написав предыдущие формулы в виде ± =M. G.9) J мы можем истолковать их следующим образом: при движении твер- твердого тела в жидкости внешние силы должны изменять не только количество движения твердого тела, но еще и систему количеств движения, распределенных вдоль поверхности S, причем на каждую единицу поверхности приходится количество движения — рсря. Величина — pep представляет, как было выяснено в § 7 главы четвертой, тот мгновенный импульс давлений, который, будучи при- применен к покоящейся жидкости, мог бы вызвать рассматриваемое безвихревое движение. Величины—рсря, распределенные вдоль по- поверхности S, образуют систему таких импульсов. Обозначим через В главный вектор этих импульсов, а через / — главный момент их относительно начала координат /= — Pff<f(rXn)dS. G.10) Вектор G-\-B называется импульсивной силой, а вектор Q-\-I— импульсивной парой. Уравнения G.9) принимают теперь очень про- простой вид Ш±Ш ^У^ = М. G.11)
384 ПР0СТГ4НСТВГНПЛЯ Й\Д\ЧЛ О ДППЖПШИ ТГЛ\ Ггп vii Уравнения движения твердого тела удобно записывать в системе координат, неподвижно связанной с телом. Поступим и мы таким же образом. Пусть оси координат Oxyz будут неподвижно связаны с твердым телом, а оси координат Olxlylzl пусть будут неподвижны в пространстве. Предположим еще, что в рассматриваемый момент премени t обе системы осей совпадают. Вспомним, что <? = ихЬ 4- ^у?2 + игъ -f «о 1?4 +- муср3 4- «>,%. G.12) Преимущество подвижной системы координат заключается в том, что в ней функции срр <р2> <ps, <р4, ср5, ср6 не зависят от времени, так как пограничные условия F.7), очевидно, в этом случае не зави- зависят от времени. В формуле G.12) зависят от времени только соста- составляющие векторов f/ и ад, определяющих движение твердого тела, причем эти составляющие берутся на оси подвижных координат. Составим теперь векторы В и /. Мы имеем: Вх = — р J J Ф<х dS, s p/ / s = —P Введем следующие обозначения: тсда вместо G.12) можем написать: б G.13) а вместо G.13), воспользовавшись F.7), можем написать: -5Г~ dS. G.14) G.15) G.16)
PAC4FT ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РГЧКЦИП ПРИ ДВИЖЕНИИ ТБЛ \ 385 Введем еще обозначения -V*dS (/, Л=1. 2, 3. 4. 5, 6). G.17) тогда мы получим из G.15) и G.16) следующие основные формулы: Bt=^\kUk. G.18) * = i Легко показать, что В самом деле, применим к области V, заключенной между поверх- поверхностями 5 и 2, формУлУ Грина J f y'(<pjA?fc- Левая часть равна нулю, ибо Д<р. = ДсрА = 0. Если 2 есть сфера с центром в начале координат большого радиуса а, то подынтегральная функция в первом интеграле правой части будет порядка 1/а5 (ибо срг и cpfe порядка I/a2, a dfjdn и dykjdn порядка 1/а3); поэтому интеграл будет порядка 1/а3 и обращается в нуль при а —> со, следовательно, что равносильно G.19). Таким образом, из 36 коэффициентов X.ft независимых будет только 21; эти коэффициенты называются присоединенными мас- массами тела. Чтобы более точно выяснить их значение, вычислим еще кинетическую энергию жидкости где интеграл берется по всему объему жидкости. Рассмотрим сна- сначала интеграл по области V, заключенной между поверхностями S 11 2-'> в этом случае по формуле (8.4) главы четвертой имеем: I 25 Зак Р.90
386 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VIt Как и выше, легко убедиться, что последний интеграл стремится к нулю при возрастании радиуса а сферы S до бесконечности, по- поэтому для живой силы всей безграничной жидкости, находящейся вне поверхности S, получаем конечное значение Воспользовавшись теперь представлением G.15) и определением G.17) коэффициентов Х,А, найдем: б б Выражения G.18) могут теперь быть представлены в очень про- простом виде: B'=WJ- G3) Вернемся теперь к вопросу о вычислении сил, действующих на твердое тело со стороны жидкости. Мы нашли для главного вектора и главного момента этих сил выражения G.7) и G.8), которые, поль- пользуясь обозначениями G.10), можно записать в виде «—тт. *—•?• <7-24> Нужно, однако, иметь в виду, что в этих формулах производные По времени берутся в предположении, что векторы В я I вычис- вычисляются для неподвижной системы координат. Если же мы берем производные по времени для величин, вычисляемых в подвижной системе координат, то мы будем пользоваться знаком частной про- производной djdt. Вектор В представляет главный вектор системы мгновенных им- импульсов давлений; будем откладывать его от начала О, неподвижной системы координат, тогда dBjdt представляет скорость конца век- вектора В, a dBjdt представляет, очевидно, относительную скорость конца этого вектора, рассматриваемого по отношению к системе координат с началом в точке Ov оси которой параллельны осям подвижной системы. Но абсолютная скорость точки равна геометри- геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости, а по- последней является в данном случае ту. В, ибо под переносным дви- движением мы должны понимать вращение системы координат с угловой скоростью «о. Поэтому мы получаем основную формулу 4?в**+вхи. G.25)
§ h] примеры 387 При вычис тнии dljdt дело обстоит несколько сложнее. Вектор / ссгь i швный момент системы мгновенных импульсов давлений отно- L[iie.ibiio начала О1 неподвижной системы координат. Но когда мы вычисляем dljdt, то мы сравниваем значения в два последовательных момента времени t и t-\-dt главных моментов системы М1новенных нмп}льсов давлений относительно двух различных точек, а именно относительно начала координат подвижной системы в эти два после- последовательных момента времени. Поэтому dljdt будет отличаться от еще добавочным членом, а именно скоростью изменения момента /, взятого около перемещающегося начала координат. Как известно, главный момент системы сил относительно одной точки равен глав- главному моменту той же системы сил относительно другой точки плюс момент главного вектора системы сил, приложенного во второй шчке относительно первой точки. Так как радиус-вектор положения начала координат подвижной системы в момент t-\-dt относительно положения того же начала в момент t есть U dt, то добавочное из- изменение момента будет [Udty^B], а скорость его изменения будет U X В. Поэтому мы получаем вторую основную формулу: 4J- = 4f+«>X/+tfX?. G_26) Итак, силы воздействия со стороны потока на тело определяются следующими формулами: о, > <7-27> а именно эти силы приводятся к силе R, приложенной в начале координат подвижной системы, и к паре L. § 8. Примеры. Рассмотрим теперь два частных примера. Прежде всего заметим, что формулы сильно упрощаются в том частном слу- случае, когда поверхность S имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии (например, есть поверхность эллипсоида). Направляя оси подвижной системы координат по осям симметрии поверхности 5, нетрудно убедиться, что все коэффициенты \lk с разными индексами обращаются в этом случае в нуль, и выражение для кинетической энергии принимает простой вид s fl- (8-1) 25'
388 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Формулы G.18) примут вид: lx = Х44о) v; /у = ).55(ву; /г = Х66о)., и выражения G.27) для сил запишутся в простом виде: dUy = — X dUz ¦зз dt >-33) 66 66 dt [ГЛ VII (8.2) (8.3) В качестве первого примера рассмотрим движение шара радиуса Ь. В случае движения шара в направлении оси Ох с единичной ско- скоростью мы имеем: Ь1 cos О где г, 6, X — сферические координаты с центром в начале шара и полярной осью, направленной по оси Ох. Так как на сфере S дп ¦= а = cos то /¦ sin о о точно так же будем иметь: 2 л22 = Х33 == -Q- Очевидно, далее, что вращение шара около какого-либо тиаметра не вызывае1 движения жидкости, поэтому
5 8) ПРИМЕРЫ 389 н следовательно, д« — ^-55— ^-66— О- Иык, для шара В данном случае удобнее применять неподвижную систему коор- координат, ибо выражение для живой силы (8.4) годится в данном случае цля любой системы координат. Мы имеем, очевидно: В = ^хрЬ3и, 1=0, (8.5) и следовательно, по формулам G.24) видно, что силы воздействия потока на шар приводятся к одной силе, приложенной в центре шара и равной Если масса шара есть т и на него действует сила F, приложен- приложенная в центре шара, то движение шара в жидкости будет опреде- определяйся уравнением dU „ 2 ,„ dU I , 2 ,,\ dU m -dt—r 3 ,,{jo dt или Мы видим, что поступательное движение шара в жидкости про- происходит так, как оно происходило бы в пустоте, если бы масса шара т увеличилась на присоединенную массу 2 о последняя равна половине массы жидкости, вытесняемой шаром. Рассмотрим теперь движение трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, с. Функция хА (х, у, г) принимает на поверхности эллипсоида S значение ( , 2 л dU „ ,о - \m-\-^^ЬЧ-^-^ F. (8.7) Кроме того, она удовлетворяет граничному условию -^i- = а = cos (n, хУ, дп v по этому сразу находим, что
390 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ. VII но по теореме Гаусса f f xcos{C*x)ds= f f f?dt = * = ±* где т — Точно Мы S - объем так же Х2, нашли, эллипсоида. получим: 4 ЛлЛ/, 2 з Т^а \ далее, что X Итак, 4 h Л° 3*Ра 2~Аа' Во . i 4 t Со 2 —Во' 33 3 ' а С2 — С, (б2 — с2) уг (В — С) (8 (8 .8) .9) 2 (б2 - с2) + (В, - Со) (б2 + с») ' причем на поверхности эллипсоида ?>rt — УТ поэтому По формуле Гаусса / / [y2z cos (re, z) — yz2 cos (re, y)\ dS s последний интеграл легко берется / / / (У2 - z2) dx = 1 uaftc F2 и мы окончательно находим: \ — 4 ^6с (б2-с2J (Вр-Со) +» ~ 15 2 (Ьг — с2) + (Во — Со) (б2 + с2) ' 1 -* аналогичные формулы получатся для Х55 и Х66. Для того чтобы можно было составить представление о вели- величинах \п, >>22, ..., которые определяются формулами (8.8), (8.9), (8.10), не хватает еще значений Аа, Во, Со. Они даются, как мы
§ 8] ПРИМЕРЫ 391 видели, формулами B.8) при Х = 0. Легко видеть, что Ао, Во, Со зависят лишь от отношений ajb и с/Ь. В самом деле, вводя вместо и величину t из равенства и = ЪЧ, получим: Ло= pq j Ba— pq dt Q>2+01 0 + 0* /(/>2 + 0(?2 + dt ' (P1 + 0 (?2 + i dt 0A + 0 0A + 0 где M. И. Гуревич и И. С. Риман произвели расчеты этих величин в функциях от р и q и дали графики, на основании которых легко подсчитываются коэффициенты присоединенных масс для произволь- произвольного эллипсоида. На рис. 149—155 даны примеры этих графиков. Именно рис. 149 отвечает вытянутому эллипсоиду вращения (Ь = с). Здесь нанесены величины 4 ' ГУУ — 4 ^ щаЪ2 ^ лраб2 (a2 -f Ьг) (Х33 = ^22' ^44 === 0' ^66 = ^5б) в функциях от отношения bja = \jp. Случай шара получим, когда &/а = 1; при этом в согласии с результатами, полученными выше, будет: Рисунки 150 —155 отвечают трехосному эллипсоиду. Коэффициенты '•ЗЗ изображены соответственно на рис. 150—152 в виде семейств кри- вых, зависящих от параметра р (по оси абсцисс отложены всюду
394 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА величины q). Коэффициенты (ГЛ. VII (Ь* + с') щаЬс («z2-f с*) изображены соответственно на рис. 153—155. Предположим, что центр эллипсоида описывает горизонтальную окружность радиуса I со скоростью U, и пусть оси эллипсоида Ох Uzx Ч 3 г п 1 I \\\ ш \\\ V д \\ \ \ и ~7\ —<. 7ц У* X 1 ¦ Д. Р- .а Mi Ш 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0$ 1,0 Рис. 153. и Оу все время горизонтальны и ось Ох составляет с направле- направлением движения центра эллипсоида постоянный угол 9. Мы имеем в этом случае очевидные формулы: = ?/cosS; Uy = ~ и, = 0; w==0; (о ss-t-,
0,1 02 03 04 0,5 0,6 DJ 0,8 0,9 1,0 g- Рис. 154. 0,1 0,2 03 0,4 05 0,6 0,7 Рис. 155. 0,8 0,S 1,0
396 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII Поэтому формулы (8.3) дают: „ , U2 sin 9 _ „ . U2 cos ^ . о п X— 22—7—. У = - И I ' * = ¦ (8Л1) Lx = 0; Ly = 0; L2 = (Х22 — Хп) U2 sin 9 cos 9. Образуем касательную и нормальную проекции Rt и /?л силы #, п г> о г> ¦ о /i , . ?/2 Sin Э COS i) /?, = Rx cos 9 — /^ sin ft = (Xu — X22) j , Rn = /?л. sin & + Яу cos 9 = — ~ (Xn cos2 9 + X22 sin2 9). (8.12) Таким образом, нормальная составляющая дает добавочную центро- центробежную силу, причем кажущееся увеличение массы эллипсоида равно Ancos29H-X22sin20-. Кроме того, на тело действует пара с моментом (Х22 — Хи) U2 sin 9 cos ft. Эта пара пропадает только при 9 = 0 и Ь = ъ/2, т. е. когда центр эллипсоида движется в направлении одной из осей Ох или Оу. С наличием этой пары тесно связано и наличие касательной силы Rt. В самом деле, очевидно, что энергия жидкости при рассматриваемом равномерном движении эллипсоида остается все время одной и той же. Сила Rn, очевидно, никакой работы не производит. Наоборот, пара L производит работу, если только она не равна нулю, но тогда сила Rt должна тоже производить работу так, чтобы общая работа силы Rt и пары L равнялась нулю. § 9. Движение тела по инерции. Вернемся теперь к общему случаю, когда живая сила жидкости определяется формулой G.22). Поставим вопрос о движении твердого тела в жидкости по инерции, когда на тело не действуют никакие внешние силы. Возьмем для простоты за начало подвижной системы координат центр инерции твердого тела и направим оси координат по главным осям инерции это! о тела, тогда для живой силы твердого тела мы будем иметь выражение Г, = 1 т (Ul + U2y + С$+ 1 (Аа>1 -f Ви] + Са>2), (9.1) где т — масса тела, А, В, С—главные центральные моменты инерции. Главный вектор количеств движения твердого тела G и главный момент количеств движения относительно выбранного начала Q опре- определяются формулами: ^ дТ, . ~ ОТ, дТ> ¦ п — дт> ¦ о — ; (9.2)
§ 0] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ* ПО ИНЕРЦИИ 397 J2ля живой силы полной системы, состоящей из твердого тела к жидкости, мы введем обозначение 72 = 7+7\; (9.3) ясно, что 7 имеет вид G.22), только с заменой коэффициентов \tk на другие коэффициенты, которые мы обозначим через atk. Назовем, далее, вектор (/ + ? = # (9.4) импульсивной силой, а вектор Q + I=N (9.5) импульсивной парой. Вследствие G.23) и (9.2) мы имеем формулы: К дТ2 . is дТ2 . „ дТ2 dUx ' (9.6) Уравнения движения G.11) запишутся теперь в простом виде ., __ дТ2 _ .. __ дТ2 . v дТ2 JV ,, > ч IV,, -, ] 1V — с х дых У day z д<л2 dt ~r' dt —м- В случае отсутствия внешних сил мы будем иметь: В подвижных осях координат, повторяя наши прежние рассужде- рассуждения, мы получим следующие уравнения: ^ ^ ^=0. (9.9) Легко указать три интеграла этой системы. Умножая первое урав- уравнение скалярно на К, найдем: о гс юл а К2 = К\ + К\ 4- К\ — const. (9.10) Эют интеграл выражает, очевидно, постоянство величины импульсив- импульсивной силы; он сразу вытекает из первого уравнения (9.8), которое показывает, что вектор К имеет в неподвижной системе координат постоянною величину и постоянное направление. Точно так же, умножая первое уравнение системы (9.9) скалярно па Л/, а последнее на К и складывая оба полученных уравнения,
398 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII найдем: откуда N-K = KxNx~\-KvNy-+ K2NZ = const. (9.11) Этот интеграл в связи с (9,10) выражает постоянство проекции момента импульсивной пары на направление импульсивной силы. Наконец, третий очевидный интеграл системы (9.9) есть Г2 = const. (9.12) В самом деле, умножая первое уравнение системы (9.9) скалярно на U, второе на со и складывая оба полученных уравнения, найдем, что ж+зг- < другой стороны, Т2 есть квадратичная форма от Ux, Uy, Uz , юг, поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях г,™ ,. дТ2 . ,, дТ2 , ,, дТ2 , дТ2 , дТ2 , д дифференцируя это равенство по t и пользуясь (9.13), получим: 2 dT2 _ dU_\N ^t dt dt dt Наконец, вследствие (9.6) мы имеем тождественно: dT2 dT2 dUx dT2 d(Jy dT2 dUz dT2 du>x ~dT= 1UX' dt "т~ dUy dt ~t" ТЩ dt + du>x dt "+" * duiy dt ' 6wz dt dt ' 6^ Итак, откуда = 0 и Г, = const. -—?. Разберем теперь вопрос о так называемых установившихся дви- движениях твердого тела в жидкости по инерции, т. е. о движениях, в которых U и to имеют постоянные значения во все время движения. Уравнения (9.9) приводятся в этом случае к следующим:
§ 9] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ИНЕРЦИИ 399 Но из этих шести уравнений только четыре независимы В самом деле, первое уравнение, равносильное <а = 1К, (9.15) показывает, что мгновенная ось вращения направлена по импульсив- импульсивной силе К Из последнего уравнения (9.14) найдем: откуда следует, что U l (9.16) При данных X и [а мы получим шесть линейных однородных урав- уравнений в Ux, Ur Uz, шх, иу шг: (9.17) ык как Кх, Ку, Кг, Nx, Ny, N2 суть линейные функции Ux, Uy, UZt шл и>у, ш2 с постоянными коэффициентами. Чтобы предыдущая система пчела решение, определитель ее должен равняться нулю. Этот опреде- определитель есть полином третьей степени от |л. Задавая по произволу \, мы определим из равенства указанного определителя нулю вели- величину [а, а затем из системы (9.17) найдем все шесть величин Ux, Uу, Uг, шх, шу, шг с точностью до постоянного множителя. Разберем, в частности, случай, когда X = 0, и следовательно, Шд.= (ву=:Шг = 0. (9.18) Мы имеем дело с поступательным движением твердого тела. Систе- Система (9.17) приводится в этом случае к простому виду Ux-pKx = 0; Uy — pKy = 0; Uz — [х/Сг = О. (9.19) Но при условии (9.18) будет: (9.20) ~ (апх* + a21f + аъ^ + 1al2xy + 2auxz + 2a23yz) = 1. (9.21) Введем в рассмотрение поверхность /=", = ~ (апх* + a21f + аъ^ + 1al2xy Отнесем ее к главным осям х', у', z
400 ПРОСТРАНСТВ! ИНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [ГЛ VII В этой системе осей формулы (9.20) прим> г вид Kf = alUxi; Ky' = a'2Ur; Ky = a'6UZ', (9.23) а уравнения (9.19) будут: UX' — \x.a'iUX'—0, Ur~ixa'2Ur=0; UZ, — \>.a'3U Z, = 0. (9.24) В общем случае, когда a'v a'2 и а'ъ все отличны друг от друга, возможны три значения для \х: [*! = — , |х2 = -^-, |х3 = —г, (9.25) Й1 «2 аЗ которым соответствуют три поступательных движения в направлении главных осей поверхности (9.21). Итак, для твердого тела существуют, вообще говоря, только три взаимно перпендикулярных направления, по которым оно может совер- совершать поступательное инерционное движение.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛН § 1. Различные типы волн. В настоящей главе мы будем рас- рассматривать волновые движения идеальной жидкости. Волновые движе- движения характеризуются колебательным движением отдельных частиц жидкости. Яркими случаями волновых движений, наблюдаемых в природе, являются, например, морские приливы и отливы, морские волны, сейши в озерах и т. п. Уже приведенные примеры указывают на большое разнообразие волновых движений жидкости. Волны могут быть высокими или низкими, длинными или короткими; они могут быть стоячими или могут перемещаться, при этом при перемещении они могут сохра- сохранять свою форму или изменять ее; волна может быть одинокой или может быть целый ряд волн, следующих одна за другой, и т. д. Причины, обусловливающие волновые движения жидкости, также могут быть разного типа. Укажем главнейшие из таких причин. Гравитационные волны происходят под действием силы тяжести; например, если каким-либо образом поверхность жидкости будет выведена из горизонтального положения, то сила тяжести будет стремиться вернуть эту поверхность в ее равновесное положение и заставит каждую частицу колебаться. Мелкие волны, так называемая рябь, происходят под действием капиллярных сил поверхностного натяжения жидкости. Приливные волны происходят под действием притяжения жидкости к Солнцу и Луне. На волновые движения оказывают влияние также силы трения как внутренние, так и внеш- внешние. Далее, волны могут образовываться вследствие движения твер- твердого тела в жидкости; таким образом, например, возникают кора- корабельные волны. Наконец, в сжимаемых жидкостях, например в воздухе, мснут иметь место упругие волны, состоящие в попеременном расши- расширении и сжатии каждой частицы жидкости. Главное отличие упру- упругих по.щ от предыдущих типов волн состоит в том, что упругие имеют место во всей массе жидкости, в то время как все прети |д'щие типы поли развиваются, главным образом, на поверх- поверхности жидкости и лишь отсюда передаются внутрь жидкости, пир
402 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Мы рассмотрим сначала гравитационные волны, потом приливные, а также остановимся еще на вопросе о волновом сопротивлении. Хотя в последнее время некоторые волновые движения были изучены вполне строго и полностью, мы будем ограничиваться по большей части приближенными и потому более простыми решениями. § 2. Основные уравнения. Рассмотрим теперь происходящие под действием сил тяжести волновые движения однородной несжи- несжимаемой идеальной жидкости, ограниченной снизу и с боков некото- некоторыми неподвижными поверхностями (например, дном озера и т. п.), а сверху свободной поверхностью, на которой и образуются видимые глазом волны. Волновые движения происходят тогда, когда в начальный момент времени имеет место некоторое возмущение жидкости, т. е. неко- некоторое отклонение состояния жидкости от состояния равновесия. При равновесии жидкости скорости всех ее частиц равны нулю, а свободная поверхность жидкости горизонтальна. Поэтому перво- первоначальное возмущение жидкости может слагаться из двух частей: Г) из возмущения свободной поверхности жидкости и 2) из наличия отличных от нуля скоростей различных частиц жидкости. Мы будем предполагать, что первоначальное возмущение жидкости обусловли- обусловливается причинами, действующими исключительно на свободную поверх- поверхность жидкости. Если, например, медленным погружением части твердого тела мы деформируем свободную поверхность жидкости, а потом сразу извлечем тело, то получим таким образом возмущение свободной поверхности жидкости, причем начальные скорости всех частиц будут, конечно, равны нулю. Чтобы получить при горизон- горизонтальной свободной поверхности начальные скорости частиц жидкости, предположим, что на поверхности жидкости, кроме обычного нор- нормального давления, всюду одинакового, действовали еще добавочные давления. Такие добавочные давления могут возникнуть, например, на поверхности воды при внезапном порыве ветра. Мы будем счи- считать, что эти добавочные давления действовали весьма малый проме- промежуток времени т. Интегрируя уравнения движения Эйлера E.1) главы II за этот промежуток времени % и принимая во внимание, что в начале промежутка х было vx — vy = г>г = 0, мы получим из первого уравнения Эйлера: Т -it , /' I dvx , dvx , dvx \ ,, Г v ,, 1 д Г 0 0 0 B.1) Если считать промежуток времени t очень малым, но интеграл от давления по этому промежутку времени (этот интеграл назы- называется импульсом давления за промежуток времени т) конечным, то остальными двумя интегралами можно пренебречь, так как они будут
$ 2] 0СП0ВПЫ1: УРАВНЕНИЯ 403 порядка т. Обозначим еще, как в § 7 главы IV, где было подробно рассмотрено действие мгновенных сил на жидкость, через ти импульс мгновенных давлений: •с B.2) тогда мы получим, что проекции скорости, вызываемой импульсом давления, действующим на свободную поверхность жидкости, опре- определяются формулами v — —(—)¦ v = —(—\- v = —(—) B 3) х дх \f)' У <Ъ» \ р / ' z dz \ p /' v ' ' Итак, движение, возникающее вследствие действия на свободной поверхности жидкости импульсивных давлений, имеет потенциал ско- скорости, и, следовательно, вихри в таком движении отсутствуют. Отметим, что в формуле B.3) функция и зависит от всех трех координат х, у, г, в то время как из вышесказанного следует, что считать заданной ее можно только на поверхности жидкости. О том, как найти функцию и во всякой точке жидкости, будет сказано в § 21. Как указывалось в § 7 главы IV, какое бы безвихревое движение мы ни имели: ^9о ^9о ^Фо ^ х дх ' у fiy > z~~ dz ' ~ ^ го' его можно считать возникшим под действием мгновенных сил давлений, имеющих импульс * = — Р?о- B-4) Так как жидкость идеальна и несжимаема, а сила тяжести имеет потенциал, то происходящее движение, будучи безвихревым в началь- начальный момент времени, будет по теореме Лагранжа безвихревым все время. Потенциал скорости обозначим через <р> так что Уравнение неразрывности dvr dv,, dv, = 0 1 v~ дх ^ ду т дает для определения функции <р уравнение Лапласа ^^si + W + ii^0- B>6) 2Ь*
404 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ VIII Основные уравнения гидродинамики для безвихревого движения ) прощаются, как мы знаем из § 2 главы IV, и принимают вид ^%\ B.7) 1де V обозначает потенциал внешних сил. Если ось Oz направить вертикально вверх, то потенциал силы тяжести, действующей на единицу массы, определяется формулой V = gz, ибо дх ду дг ь у ' Мы будем предполагать происходящее движение настолько мед- медленным, чтобы в формуле B.7) можно было пренебречь членом 1 -r)-vz и, следовательно, написать: B'9) Добавочную функцию F (t) можно не писать, ибо вместо » можно t ввести функцию tp1 = cp— I F{t)dt, для которой —^-——^ F((). о Значок 1 у функции <pt в дальнейшем д.ш простоты мы отбросим и напишем таким образом: JL = -%-gz. B.10) Формулы B.5), B.6) и B.10), где о является решением уравне- уравнения B.6), и служат для решения задачи. Однако уравнение Лапласа имеет много решений, и чтобы выбрать из них то единственное, которое нам нужно, надо обратиться к граничным и начальным условиям. Граница жидкости состоит из неподвижной поверхности (дна) и свободной поверхности. Вблизи неподвижной поверхности жидкость течет параллельно такой поверхности, следовательно, на неподвижной поверхности i ормальная составляющая скорости жидкости vn равна нулю, или так как !>„ = д'-zjdn, то на неподвижной поверхности ° BЛ1) Свободную поверхность в положении равновесия мы примем за плоскость Оху, поместив начало координат в некоторой точке этой поверхности. На свободной поверхности жидкости давление р имеет
§ Щ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 405 постоянную величину р0, равную давлению газа над жидкостью (атмосферное давление воздуха), так как давление должно меняться непрерывно при переходе из газа в жидкость. Поэтому на свободной поверхности ?—?-**• Дтя простоты мы включим /?0/р в dyjdt, введя вместо функции ф функцию <{2 = <p-^-—t, для которой -3L = -^2 ?s~. Значок 2 у функции <р2 мы опять отбросим, и таким образом уравнение B.10) напишем окончательно в виде Р-Р° — df _ „,. г2 \О) Пусть уравнение свободной поверхности к моменту времени t имеет виу 2 = C(jc, у, t), B.13) тогда из уравнения B.12) и того условия, что на свободной поверх- поверхности р = р0, заключаем, что при z = (,(x, у, t) выполняется условие d<f {х, у, z, t) dt B.14) Но так как колебания жидкости предполагаются бесконечно малыми, то в ) равнении B.10) можно брать значение dy/dt при 2 — 0 (вместо z = С) и, следовательно, писать: *(*-*M)+gt = O, B.15) или Продифференцируем уравнение B.16) по t: dl__ 1 д*ч(х,у, 0, t) 'dt ~ ~? Ш - u u> Но легко видеть, что ff^jdt мало отличается от vz. В самом деле, возьмем какую-нибудь частицу свободной поверхности с координа- координатами х, у, z = r-,(x, у, t). Проекции скорости этой частицы на оси координат будут: х At ' иУ ~ /it ' г /// At I" ft у dx о: Ж' vy~ Ж' "г~~Ж~!и~гОх~Ж"+ Ту
406 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Последняя формула следует из того, что dzjdt обозначает производ- производную по времени t от сложной функции (,(х, у, t), в которой х и у тоже изменяются с течением времени (ибо частица, принадлежащая свободной поверхности, перемещается не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении). Итак: но двумя последними членами можно пренебречь, если считать, что дЦдх и дЦду очень малы, т. е. что касательная плоскость к свобод- свободной поверхности мало отличается от горизонтальной плоскости. Итак, на свободной поверхности имеем приближенное равенство *. = ?• BЛ8) и опять, как выше, можем считать это равенство выполненным при Z = 0 (вместо z = ?). Вспоминая еще, что vz = dyjdz, можем оконча- окончательно написать вместо B.17) __l?j Bm дг~ gdt* ( ' При 2 = 0. Соберем теперь все полученные результаты. Безвихревые волно- волновые движения идеальной несжимаемой жидкости, происходящие под действием силы тяжести, определяются по формулам: v = grad tp, где функция if является решением уравнения Лапласа удовлетворяющим на неподвижных границах условию дп а на свободной поверхности условию дер 1 д\ при г = 0.
§ 3] НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ 407 § 3. Начальные условия. Кроме того, <р должно удовлетворять еще начальным условиям. Эти условия легко получить, если вспо- вспомнить то, что выше было сказано о первоначальном возмущении жидкости. Пусть первоначальное возмущение свободной поверхности представляется функцией h(x, у), тогда имеем: Цх, у, 0) = й(*. у), и, следовательно, из уравнения B.16) найдем: эН/(*. у) (ЗЛ) при * = 0 и 2 = 0, где положено f(x, y)=z — gh(x, y) = — g{,(x, у, 0). Начальные скорости частиц мы будем считать образовавшимися вследствие действия импульсивных давлений на свободной поверх- поверхности (всякое безвихревое движение жидкости можно мысленно считать образовавшимся таким образом). Если этот импульс давле- давления обозначить через и (л:, у, z), то начальный потенциал скорости будет по уравнению B.4) равен <Ро = —у*- Мы можем считать первоначальный импульс давлений известным только на свободной поверхности, или, что то же (вследствие бесконечной малости рассматриваемых движений), при z ~0. Обо- Обозначим: <Ро(*> У> 0) = — j*(x, у, 0)~F(x, у). Тогда начальные условия, которым подчинена функция <?(х, у, z, t), будут состоять в задании при 2 = 0 и t = 0 функций ср и т = />(*, у); §=/(*, У) C.2) при 2 = 0, t = 0. Эти добавочные условия вполне определяют движение. В самом деле, не может быть двух различных функций cpj и <р2> удовлетво- удовлетворяющих всем уравнениям B.6), B.11), B.19), C.2), так как тогда функция ¦» = cpj — tp2 удовлетворяла бы всем этим уравнениям, причем начальные условия для ср были бы , = 0. |=0 "РИ 2 = 0, t = 0,
408 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. VIII Эги начальные условия указывают на полное отсутствие первона- первоначального возмущения, так что жидкость в начальный момент непо- неподвижка и ее свободная поверхность горизонтальна, но тогда, конечно, никакого движения и не произойдет, так что все время будет ср ^= 0 и, значит, cpj = ср2, т. е. двух различных функций tp( и <р2 быть не может. Очень часто вместо того чтобы рассматривать, какое движение произойдет при заданных начальных условиях, стараются найти дви- движения, периодически повторяющиеся. Для этого предполагают, что функция tp имеет следующий вид: <?(х, у, z, t) = cos (ot~\- s) Ф(х, у, z). C.3) Из формул B.5) и B.12) видно, что тогда скорость в каждой точке будет меняться периодически, так же как и давление, причем коле- колебания скорости и давления (вернее переменной части давления) будут гармоническими. В дальнейшем на отдельных примерах мы увидим, что часто уравнения B.6), B.11), B.19), которым должна удовлетворять функ- функция tp. определяют не только функцию Ф (х, у, z), но и число а. Это означает, что гармонические колебания жидкости могут быть только определенного периода (подобно тому, как струна может издавать чистый звук только определенного тона или его октаву и т. д.). Эти колебания называются свободными гармоническими колебаниями жидкости. Найдем, из каких уравнений должна определяться функ- функция Ф(х, у, г). Прежде всего из B.6) найдем, что Ф(х, у, z) удовле- удовлетворяет уравнению Лапласа Далее, из B.11) следует, что на неподвижных границах Ф(х, у, г) удовлетворяет условию ? = 0. дп Наконец, из B.19) вследствие того, что 4т§ — ~ °2 cos (°t ~\~ s)> следует, что дг g при z = 0. Отметим еще, что решение второй задачи, т. е. отыскание сво- свободных гармонических колебаний жидкости, может помочь решить и первую задачу, т. е. отыскать движение жидкости по начальным условиям, как это будет показано далее на примерах. Поэтому мы по большей части и будем сначала отыскивать свободные гармони- гармонические колебания.
§ 5] СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 409 Б. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ § 4. Введение. Рассмотрим сначала случай, когда движение каждой частицы жидкости происходит параллельно плоскости Oxz, причем скорость v и давление р совершенно не зависят от координаты у, т. е. движение во всех плоскостях, параллельных плоскости Oxz, совершенно одинаково. Мы будем такие движения называть плоскими и соответственно этому будем говорить о плоской задаче. В этом случае неподвижные границы мы будем предполагать цилиндрическими поверхностями, образующими которых служат пря- прямые, параллельные оси Оу. Кроме того, можно ограничить жидкость еще двумя вертикальными стенками, параллельными плоскости Oxz, так что образуется род канала, движение в котором мы и будем рассматривать. В этом случае уравнения упрощаются, а именно, если положить <?(х, z, t) = cos (at + s) Ф (x, z), D.1) то для определения Ф (х, z) получаются уравнения д2Ф д2Ф дх2 дг2 ' ( • ) на неподвижных границах U = 0. D.3) при 2 = 0 дФ а2 _ ,. ., -5- = -Ф. D.4) dz g K J § 5. Стоячие волны. Рассмотрим сначала самый простой случай: когда никаких границ нет (кроме вертикальных стенок, параллельных плоскости Oxz, которые все равно никакой роли не играют), так что жидкость простирается как в обе стороны, так и вниз до бесконечности (практически это отвечает случаю очень большой глубины в сравнении с длиной волны). В этом случае легко найти ряд частных решений системы урав- уравнений D.2) и D.4) следующего вида: ф(х, z) = P (z) sin k (x — %), E.1) где k и к означают две постоянные величины. В самом деле, так как д2Ф д2Ф то из уравнения D.2) получаем: P"(z) — k2P(z)~0; E.2)
410 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII решая это однородное линейное уравнение второго порядка с постоян- постоянными коэффициентами, получим, что -k*. E.3) Произвольную постоянную С2 нужно считать равной нулю, так как в противном случае при очень больших по абсолютной вели- величине z, т. е. на большой глубине, член C2e~kz был бы весьма боль- большим (у нас ось Oz направлена вертикально вверх, так что нам при- приходится рассматривать только отрицательные значения z), но тогда — как ср, так и производные ср по координатам, т. е. составляющие скорости, возрастали бы до бесконечности при z -> — оо, чего мы допустить не можем. Итак: P(z) = Ce"z, E.4) и значит, Ф(х, z) = Cekisink(x — i,), E.5) cp(jc, z, t) = Cekz sin k (x — S) cos (at -f e). E.6) Посмотрим теперь, что дает уравнение D.4). Имеем: ^ = Ckekz sin k (x — I), №) = Ck sin k (x — E), Ф(х, 0) = следовательно, из уравнения D.4): o2 = ^. E.7) Итак, задаваясь произвольным k, вычислим по формуле E.7) о; тогда формула E.6), где С есть произвольная постоянная, опреде- определяет потенциал скорости некоторого плоского волнового движения безграничной жидкости. Отметим сейчас же, что вследствие линей- линейности системы основных уравнений D.2), D.3) и D.4) сумма любого числа решений этой системы также будет решением системы. Мы многократно используем это замечание в дальнейшем. А именно, мы исследуем сначала движение, определяемое формулой E.6), а после этого будем изучать движения, определяемые потенциалом скорости ср, являющимся суммой двух или большего числа выражений вида E.6). Итак, рассмотрим движение с потенциалом скорости ср(л, z, t) = Cekz sin k (x — S) cos (at -f- s). Мы будем считать для простоты 5 = 0 и s = 0, т. е. будем рассма- рассматривать движение с потенциалом скорости ср(*. z, t) — Cekz sin kx cos at. E.8) Найдем прежде всего вид свободной поверхности. Для этого нужно воспользоваться формулой B.16) г 1 <?Т (х, О, О g g dt
§3] которая дает: Обозначим для С простоты СТОЯЧИЕ Ся . — — sin g Сз _ g волны kx sin at. 411 1 да будем иметь: (f(x, z, t) = — ekz sin kx cos at, С = a sin at sin A*. E.9) E.10) В определенный момент времени сечение поверхности жидкости плоскостью, параллельной плоскости Oxz, представляет, таким об- образом, синусоиду (рис. 156). Обозначим на время a sin at = А, тогда уравнение синусоиды примет вид С = A sin kx. Эта синусоида пересекает ось Ох в точках с координатами х = ^- (ж = 0, ±1, ±2, ...). Эти точки называются узлами. Посредине между двумя соседними узлами лежат пучности волны; последним отвечают попеременно гребни волн {В', В", . . .) и подошвы (С, ...). Расстояние между двумя соседними узлами равно, очевидно, it/ft, расстояние же между двумя соседними греб- z нями будет в два раза больше; обозначим его через h X —i!L k ' и назовем длиной волны. Итак: k — ~ . Рис. 156. Л Расстояние от гребня волны до оси Ох равно численному зна- значению А, т. е. равно |asino?| и колеблется между 0 и \а\. Мы назовем | а \ амплитудой волны. Профиль волны представляет сину- синусоиду, высота которой меняется по гармоническому закону Л — a sin at.
412 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Таким образом, профиль волны колеблется между двумя крайними положениями / и // (рис. 156). Период этого колебания, очевидно, будет " -— 2~/о; мы назовем - периодом волны. Обратное число l/i представляет число колебаний в единицу времени; его мы назовем частотой колебаний, очевидно, ¦z ~ 2т. ¦ Между длиной волны X и периодом т существует тесная связь, выра- выражаемая формулой E.7), которая может быть переписана следующим образом: /^ ? E.11) Перейдем теперь к рассмотрению скоростей и траекторий различ- различных частиц жидкости. Определим прежде всего проекции скорости по формулам ь" cos kx cos of, ve = ^ = -^ e**sin kx eosor, a * dz a или, так как gk = a2, v, — aaekz cos kx cos at, vz = aoe sin kx cos or. J Напишем дифференциальное уравнение линий тока: dx dz dx dz или vx vz cos kx ып kx Здесь переменные разделяются: sin kx dx cos kx — dz. и уравнение легко интегрируется In |cos kx\ + kz = C. E.13) Тот же результат легко получить путем отыскания функции тока 6; как мы знаем, -^- = ~- = — aaekz sin kx cos at; -^- = -^- = аае*г cos kx cos or'; d.r dz dz dx значит, -\--^-dz = «a cos at [ — ekz %m kx dx -\-еПг cos kx dz) = as cos зг1 , , ь- . . = 1 d (eK* cos kx),
§ 51 СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 413 поэтому аа cos at kx, и сравнение какой-либо линии тока есть аа cos at e**cos kx .= < и in ; kx = C", E.14) E.15) чю равносильно E.13). Как видно из уравнения E.13), семейство линий тока получается из определимой линии тока перемещением ее параллельно оси Oz на произвольную величину. Вид этих кривых \казан на рис 157. Так как зш шнии тока не меняются с течением времени, то они с тужа 1 и траекториями частиц жидкости. Однако частицы жид- жидкости совершают по этим траек- юрияч колебательные движения, причем путь, проходимый каждой частицей в одну сторону, на- иотько мат, что его можно счи- ить прямотинейным путем. Пока- Покажем это, нехотя непосредственно \п \ равнений E.12). В самом Рис. 157. дете вследствие предпотоження о том, что котебания весьма ма 1ы (что сводится к предположению, что ампл1П}да а весьма мала в сравнении с длиной волны X), мы можем в формулах E 12) заменить в правых частях х и z i а те значения х0 и z0 которые час ища имела в равновесном своем поло- положении То1да, вспоминая, что dx dz dt cos kx.-. cos of, dz ~Ж = aaekz( sin kxn cos at. мы найдем" d^ _ Эти уравнения легко интегрир)ются и дают: х — йе*2° cos Ax0 sin a/ -f- сг; z = ае^г° sin kx0 sin o^ -j- c2. ^ти уравнения представляют колебания часпщы око то ее сред- средни о «сложения, координаты которою (ix c2). Принимая, что это среднее положение совпадает как раз с равновесным положением пот)чим окончательно для координат часгииы в момент t: х s #в -j- aekst Cos kx0 sin at, z — zo-{-аекг° sin kxos\nst. E.16)
414 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ VIИ Траекторией частицы служит прямая z — zo = (x— х0) ig (kx0), наклоненная к оси Ох под углом kx0. Таким образом, в пучностях колебания частиц происходят в вертикальном направлении, в узлах — в горизонтальном (рис. 158). При этом амплитуда колебаний равна aekZt> и, следовательно, гем меньше, чем глубже рас- расположена рассматривае- рассматриваемая частица. Надо отме- отметить, что уменьшение амплитуды колебаний про- происходит весьма быстро. На глубине, равной длине Рис 158. волны (z0 = — 2n/k), амплитуда будет ае~2ж, т е. уменьшится в е2*?» 535 раз по сравнению с амплитудой коле- колебаний поверхностных частиц. Эго показывает, что явление волн в тех случаях, когда глубина велика в сравнении с длиной волны, носит ярко выраженный поверхностный характер. На этом мы кончаем исследование стоячих волн и переходим к изучению прогрессивных волн. § 6. Прогрессивные волны. Наряду с E.8) рассмотрим движе- движение, определяемое потенциалом скорости: <? = Секг sin k \x — ~j cos (at + -J или cp = Секг cos kx sin at. F.1) Это движение представляет собою стоячие волны, отличающиеся от предыдущих, во-первых, тем, что там, где были пучности, теперь будут узлы, и обратно, и, во-вторых, тем, что фазы колебаний в теперешнем и предыдущем движении отличаются на четверть периода, так что когда частицы в предыдущем движении находятся в крайнем своем положении, в теперешнем движении частицы будут в равновесном положении, и обратно. Сложим теперь оба потенциала E.8) и F.1): cp = Cekz (sin kx cos at -f- cos kx sin at) или cp== Cekz sin (kx-\- at). F.2) Этот потенциал определяет некоторое безвихревое волновое дви- движение, ибо сумма двух решений системы B.6), B.11) и B 19) вследствие линейности этих уравнений также будет решением системы.
§ 5] ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ 4lS Поставим опять те же вопросы: каков вид свободной поверхно- поверхности, каковы скорости и траектории отдельных частиц? Вид свободной поверхности определяется по формуле B.16): - 1 ду (х, 0, t) Са_ введем опять обозначение — =а, тогда уравнения F.2) и F.3) о перепишутся соответственно следующим образом: С = — a cos (kx -f- ot), у =-?f-ekz sin (kx-{-at). F.4) Получаем профиль волны в виде косинусоиды, причем амплитуда волны опять будет |в|, длина волны опять будет \ = 2n/k. Однако коренное отличие этого случая от стоячих волн заключается в том, что вид свободной поверхности будет теперь, оставаясь неизменным по форме, перемещаться в определенную сторону. В самом деле, гребни и подошвы профиля волны F.4) находятся в тех точках, для которых kx -\- at = nit (n = 0, ± 1, ±2, ...), т. е. в разные моменты времени они будут находиться в различных точ- точках х, а именно: Мы видим, что все гребни волны, а с ними и вся волна, пере- перемещаются в направлении отрицательной оси Ох со скоростью c=j. F.5) Так как I то для скорости распространения волн можно дать такие выражения: C~V k ~~V 2* т ~~ 2* * ^ } Отметим еще раз, что перемещается только форма свободной поверхности, сами же частицы жидкости совершают лишь малые колебания около положений равновесия. Скорости отдельных частиц будут определяться по формулам vх = -Д- = ааекг cos (kx 4- ot), F.8) ¦ = асе sin (kx ¦
416 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Уравнение линий тока проще всего найти, составив функцию тка ф. Потенциатом E 8) и F.1) отвечают функции тока: ф! = -г- е cos kx cos at, az ь, , I я \ I , , 7z\ as by . , . ([J = -y е*гсочЫ*— ^-koslo/ f-yj = -?- e ™ kx smot, поэтому искомая функция тока. и значит, уравнение линий тока есть: екг cos (kx -f- °0 = const. Таким образом, линии тока имеют тот же вид, что в случае стоячих волн Однако в силу наличия в уравнениях линий тока вре- времени t линии тока не буд\.т стационарными и, значит, траектории частиц жидкости не будут совпадать с линиями тока Чтобы вывести прибтижеиные траектории этих частиц, пост>пим, как выше, т е. в формулах F.8) положим х и z равными тем значениям х0, z0, которые эти переменные имеют для равновесного положения частицы. Итак: ^ -= аое**> cos (kxo-\-at); ~ == аае^ sm (kx0 + о^). после интегрирования этих уравнений получим: х — хо-{- аек2° sin (kxQ + at), z = zQ — aekz" cos (kx0 -f- at). F.9) Чтобы получить уравнение траектории частицы, искчючим время t: (х — х0J + (z — zQf = a2e2kz°. F 10) Итак, приближенными траекториями частиц жидкости являются окружности, радиус которых равен aekz и тем меньше, чем глубже лежит рассматриваемая частица. Для поверхностных частиц жидкости этот радиус равен амплитуде волны; на глубине, равной длине волны, этот радиус будет в 535 раз меньше Каждая частица описывает окружность в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки (рис 159) В самом деле, если обозначить через 6 угол, который составляет с отрицательной осью Oz радиус-вектор, соеди- соединяющий центр окружности (х0, z0) с точкой (х, z), то, очевидно будет: J z — zo = — aekz' cos 8, J
ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ и из сравнения этих формул с F.9) видно, что этот угол с течением времени увеличивается, значит, каждая частица вращается около равновесного своего положения против часовой стрелки; при этом угловая скорость вращения равна, очевидно, о, поэтому скорость каждой частицы равна aaekZo. Рис. 159 показывает положение восьми частиц в два последовательных момента времени, разделенных промежутком т/8, равным одной восьмой части периода. Рис. 159. Сразу видно, что за промежуток времени х/8 профиль волны, не изме- изменяя своего вида, переместился на восьмую часть длины волны влево, т. е. на Х/8. Таким образом, профиль волны перемещается влево со скоростью с = Х/т. Отметим еще, что частицы, лежащие в гребне волны, проходят, очевидно, через верх своей траектории и, значит, двигаются влево, т. е. туда же, куда распространяются волны (но, конечно, с гораздо меньшей скоростью). Во впадинах же направление движения частиц будет противоположно направлению распространения волн. Вычислим еще давление по формуле B.12): ?? J ** ?=?*¦ = — -J- — gz = — age** cos (kx + at) ~ gz; так как разности г — 20 и х — х0 суть величины бесконечно малые, то, заменяя в первом члене правой части г и X на zQ и х0 и поль- пользуясь F.9), находим: 27 изо
418 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Это обозначает, что те частицы, которые при равновесии лежат в одной горизонтальной плоскости z = z0, во все время движения образуют поверхность, на которой давление будет оставаться постоян- постоянным и притом таким же, каково оно было при равновесии. Частицы свободной поверхности жидкости отличаются от других только тем, что для них 20 = 0 Отсюда мы заключаем, что за свободную поверх- поверхность жидкости можно принять поверхность, образованною частицами, для коих zQ одно и то же. Можно, таким образом, снять слой жидкости, не нарушая волнового движения остальной жидкости Таким образом, каждый слой жидкости колеблется независимо один от дру- другого, а потому мы можем, если хотим, заменить снятый слой жидкости таким же слоем другой жидкости другой плотности Совершенно аналогично предыдущему можно рассмотреть движение с потенциалом скорости: , = ?IL еь* Sin фх _ at); для него профиль волны С= acos(kx— at) F.12) F.13) представляет косинусоиду, перемещающуюся в направлении положи- положительной оси Ох с той же самой скоростью с Траектории частиц будут опять окружностями гех же радиусов аекг°, точько пробегаться эти окружности будут по часовой стрелке Приведем табличку, показывающую, как изменяются скорость распространения прогрессивных волн и их период в зависимости от длины волны для случая очень глубокой в сравнении с этой длиной волны жидкости. X м см/сек т сек 50 8,83 5,60 60 9,68 6,20 70 10,45 6,70 80 11,19 7,15 90 11,81 7,59 100 12,50 8,00 110 13,11 8,39 120 13,70 8,76 133 14,26 9,12 140 14,80 9,46 150 15,30 9,80 § 7. Сведение прогрессивных волн к установившемуся дви- движению. Теорию прогрессивных волн можно развить еще другим методом, который мы и изложим Пусть прогрессивная волна распространяется вправо, не изменяя своего внешнего вида, со скоростью с. Сообщим всей массе жидкости скорость с, направленною параллельно отрицательной оси Ох Тогда профиль волны сделается, очевидно, неподвижным в пространстве. Кроме того, в каждой точке пространства величина и направление
СВЕДЕНИЕ ПРОГРЕССИВНЫХ ВОЛН 419 Рис. 160. скорости не будут уже изменяться с течением времени, а это означает, что течение жидкости сделается установившимся. На рис. 160 показаны линии тока, являющиеся в то же время траекториями частиц жидкости. По этим траекториям жидкость течет со скоростью, приблизительно равной с. В частности, такой линией тока является и профиль волны. С динамической же точки зрения ничего не изменилось, т е. давление должно остаться тем же самым, ибо, как мы знаем из механики, прямолинейное равномерное движение точек происходит при отсутствии z сил и, следовательно, никаких новых сил вводить не надо. Зна- Значит, на крайней линии тока С- давление р должно быть постоян- постоянным (оно должно равняться атмо- атмосферному давлению р0). И Итак, задача сводится к сле- следующей: найти установившееся движение жидкости, при котором профиль волны С служит линией тока, на которой давление р равно постоянной величине р0. Линии тока более глубоких частей жидкости должны все более и более выпрямляться и в пределе становиться прямыми линиями, по кото- которым течение жидкости совершается со скоростью с, направленной влево. Так как движение безвихревое, то существует потенциал скорости срО, z); обозначим еще через ф (лг, z) функцию тока. Тогда cp-f-гф будет комплексным потенциалом; как мы знаем, та = ср-f-/ф является аналитической функцией комплексного переменного х-\-1г: та = <р-|-/<{) — /(x-f- iz). Если бы волны не было, т. е. свободной границей являлась бы ось Ох, то мы имели бы дело с равномерным течением жидкости вдоль отрицательной оси Ох со скоростью с. Комплексный потен- потенциал такого однородного поступательного потока выражается изве- известной формулой та — — с (х -f- iz). Рассмотрим теперь движение со следующим потенциалом: w = ср + Щ = — с (х -f- iz) + ia.ce-ik<x+lQ = = — с (х-\- iz) -f- /асе*2 (cos kx — I sin kx), причем мы предположим ka бесконечно малой величиной. Отделяя вещественную и мнимую части, мы найдем: <? ¦= — сх -\- асе1** sin kx; ф = — cz-\- асе*2 cos kx. 27*
420 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Но профиль волны должен быть линией тока, а на линии тока функ- функция ф должна быть постоянной; примем, что ф —0. Тогда уравнение профиля будет cz = aceftzcos kx или, так как приближенно ейг=1, z = acoskx. G.1) Давление р вычисляется из интеграла Бернулли — Эйлера: У нас -—-+-.-(&)'+(?)¦- = (— с -f- nckekz cos kxJ -\- (a,ckekz sin kxJ — = c2 — 2ac2/fee^ cos но последним членом, содержащим квадрат бесконечно малой вели- величины aft, можно пренебречь, поэтому, воспользовавшись еще фор- формулой acekz cos kx = ty-\- cz, мы получим: г/2 = с2 — 2c/fe (ф + cz) = с2 — 2с&ф — и значит: ^- = — gz^rkc2z + kc^ — j или ^ = (йс2 — §-Jг + Асф +const. G.2) Для того чтобы на линии тока ф = 0 давление р было постоян- постоянным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при z, меняю- меняющемся на этой линии по уравнению G.1), был равен нулю. Поэтому т. е. профилем волны может служить косинусоида G.1), если длина волны ~К связана со скоростью распространения волны соотношением Налагая на полученное установившееся движение равномерный поток вправо со скоростью с, мы остановим движение жидкости на бесконечности, причем профиль волны, имеющий вид косинусоиды G.1), будет перемещаться вправо с постоянной скоростью с, т. е. мы получаем прогрессивные волны длины X. § 8. Групповая скорость. До сих пор мы рассматривали дви- движение ряда следующих друг за другом волн, вполне тождественных
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 421 между собой. Если рассмотреть группу волн с различными длинами волн, то явление усложняется. При этом оказывается весьма полез- полезным ввести понятие групповой скорости. Как мы увидим впослед- впоследствии в § 18, групповая скорость определяет скорость переноса энергии волнами и является поэтому важной динамической харак- характеристикой волновых процессов. Мы разъясним это понятие на одном простом случае. А именно, сложим два потенциала формы F.12) с двумя разными k: где = ~ ekz sin(kx — at) + -?- ek'z sin (k'x — o't), (8.1) Уравнение, определяющее вид свободной поверхности, в данном слу- случае будет: С = — — fy^0' ^ = a [cos (kx — of) + cos (k'x — a't)]. (8.2) Преобразуем это выражение: С = 2a cos [-^— fcos k — k' . 2 x-l-^t]. (8.3) Рис. 161 показывает вид профиля волны в отном частном случае. Мы видим, что различные волны будут иметь теперь различную амплитуду. При этом явственно выделяется волновой характер изменения этой амплитуды. Все это можно получить непосред- непосредственно из формулы (8.3), если предположить, что к' очень мало отличается от k [а значит, о' мало отличается от о, так как о — непрерывная функция k по формуле E.7)]. В самом деле, в этом случае ^ИС- 16*' последний множитель в (8.3) будет очень мало изменяться на протяжении небольшого числа волн длины X = . У ., и, значит, на таком участке мы имеем ряд волн . У ., R —]— R. амплитудой 2а cos ¦ k — i ¦ х — t Однако в разных местах эха амплитуда будет иметь разные зна- значения и будет изменяться от. О до 2а на протяжении отрезка оси Ох, равного по длине -^: —~— = д . Итак, расстояние по оси Ох 2, 2. к — А
422 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII между двумя соседними группами волн с наибольшими амплитудами равно 2tzj{k — k'). Разбираемый случай представляет еще ряд особенностей в срав- сравнении с предыдущими. Прежде всего вид профиля волны все время будет непрерывно изменяться. Это видно, например, из формулы (8.2), так как она показывает, что профиль волны получается сложением двух разных косинусоид, перемещающихся с разной скоростью и, следовательно, смещающихся относительно друг друга. Теперь мы обратим внимание на одно замечательное явление. Мы знаем, что в волновом движении перемещается только форма поверхности. Возьмем определенную волну / и будем следить за ее перемещением. Амплитуда этой волны будет изменяться, как мы видели, очень медленно, сама же волна будет перемещаться в сто- сторону положительной оси Ох со скоростью с— Рассмотрим теперь целую группу волн с наибольшей амплитудой. Эта наибольшая амплитуда получается для тех точек оси Ох, для которых cos ( k — k' д — д' \ I , т. е. для которых k — k' a —a' , -—s— х —¦ —о— t ~ n7Z (п — целое число) или 1пт. Отсюда видно, что группа волн с наибольшей амплитудой пере- перемещается в направлении положительной оси Ох со скоростью С такой же скоростью будут перемещаться группы волн с ка- какой-либо определенной амплитудой. Это означает, что если в момент t в точке х находилась группа волн с амплитудой а, то в момент t-\-t группа волн с амплитудой а будет находиться в точке х -(- Ux. Поэтому скорость U называют групповой скоростью волн. То обстоятельство, что скорость распространения волн с может быть отлична от групповой скорости U, кажется на первый взгляд не- несколько странным. Так например, по формуле (8.5) U _ di ___ d VJk __ dk ~ dk ~ '.
„ 8, гр^ пповая скорость 423 в то время как k V к ' значит, V = \c. (8-6) т. е. групповая скорость распространения волн в два раза меньше скорости распространения отдельных волн. Это показывает, что в то время как определенная волна, например /, распространится на расстояние двух волн и перейдет в положение /', вся tpynna передви- передвинется только на расстояние одной волны, поэтому амплитуда рассматри- рассматриваемой волны / увеличится. В дальнейшем буцет продолжаться увеличе- увеличение амплитуды рассматриваемой волны, пока амплитуда не достигнет максимума, посае чего амплитуда будет убывать, и т. д. Мы видим, таким образом, что при распространении определенной волны эта волна будет в группе волн перемещаться в направлении положите ть- ной оси Ох. Отсюда и становится понятно, что истинная скорое ib распространения волны пожет отличаться от групповой — разность этих двух скоростей показывает, с какой скоростью волна распро- распространяется относительно группы волн. Обратим внимание на то, что отличие группозой скорости от скорости распространения волн будет только в том случае, когда скорость распространения волн зависит от их длины; в этом случае говорят о дисперсии волн. Групповая скорость волн определяется формулой U = dojdk, но _ 2я __ 1т.с следовательно, d — ., ^ ^ dc — с d\ . dc U 7~ —- -77 — '=== С А —ту" , , 1 — dl dk dT откуда получаем важное выражение для групповой скорости, указан- указанное Рэлеем: U = c — л —. (8.7) Можно дать этой формуле простое геометрическое значение, а именно — начертим график для с в функции лив точке с коор- координатами X, с проведем касательную, } равнение последней будет: dc , ,. dc Л dc У — С = -jj- (X — А) ИЛИ у = X -JJ- -+- С — Л-ЗГ. видно, что U — c—л-т-есть отрезок, отсекаемый эюй ка- капа оси с.
424 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Найдем еще вид траекторий частиц в рассматриваемом движении. Так как последнее можно рассматривать как составное из двух дви- движений вида <р = -^- ekz sin (kx — at), для которого x — xQ-\- aekz° sin (kxQ — at), z — zo — aekZl> cos (kx0 — at), то мы будем иметь: x = xQ -)- a [ekz° sin (kx0 — at) -f- ek'z° sin (k'x0 — a't)], z = z0 — a [ekz° cos (kx0 — at) -f- ek'z* cos (k'x0 — a't)]. Движение каждой частицы можно представить следующим оора- зом: пусть точка Х1 — хо + ae"z sin(&AT0 — at), zl = z0 — aekZt> cos (kx0 — at) описывает окружность радиуса aekz" около точки (xQ, z0). Примем эту точку (Хр zx) за центр новой окружности радиуса aek'z°; по этой окружности и будет двигаться наша частица с периодом 2njar. Траекторией частицы будет служить так называемая удлиненная или укороченная эпициклоида. Частица описывает приблизительно окруж- окружность изменяющегося радиуса, при этом мы имеем двоякую перио- периодичность: с одной стороны, имеется период пробега одной окруж- окружности, а с другой стороны, есть период изменения радиуса окруж- окружности. Это отвечает наличию скорости распространения отдельной волны и групповой скорости волн. При рассмотрении вопроса о групповой скорости мы ограничи- ограничились для простоты сложением двух волн одинаковой амплитуды, но разной длины волны. При сложении многих волн приблизительно одинаковой длины волны вычисления несколько усложняются, но суть дела остается той же самой. § 9. Общий случай плоской задачи. Теперь мы рассмотрим самый общий случай плоских безвихревых волн. В §§ 2 и 3 было выяснено, что в этом случае задача сводится к отысканию решения уравнения Лапласа: удовлетворяющего на свободной поверхности условию
. ql ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ 425 npA г = 0 и начальным условиям 9 = F(x); $- = /(*) (9.3) при z = 0 и ? = 0. При этом /(я) и /¦" (х) имеют слеаующее физическое значение. С( ^) есть уравнение свободной поверхности, то -= — g(.(x. 0); (9.4) что же касается F (х), то /=•(*) = —у «(*, 0), (9.5) где 1г(д;, г) обозначает тот импульс сил давлений, который мог бы вызвать начальное распределение скоростей. Вследствие линейности уравнений (9.1) и (9.2) сумма двух реше- решений cpt и tp2 этих уравнений также будет решением. Функции <pt и <р2 мы будем отыскивать по начальным условиям при г = 0, f = 0; при г = 0, f = 0. При этом достаточно ограничиться отысканием cpj. В самом деле, чтобы найти <р2' мы можем поступить следующим образом. Отыщем решение системы уравнений (9.1) и (9.2), удовлетворяющее началь- начальным условиям при z — 0 и f = 0. Рассмотрим функцию <р2=--^-; эта функция, конечно, будет удо- удовлетворять уравнениям (9.1) и (9.2). Кроме того, в начальный момент при z — 0 и г = 0: наконец, в начальный момент при z = \ dt ~ dt2 ~~ s dz но из того, что в начальный момент =р3 —^ при z = 0 и что ср3 Удовлетворяет уравнению Лапласа, следует, что в начальный момент
426 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII <Рз тождественно равно нулю. Поэтому в начальный момент dyjdz = О, и, значит, d<p2ldt = 0. Таким образом, функция <р2 = d<fz/dt является требуемым решением. Итак, мы будем отыскивать решение уравнений (9.1) и (9.2) по начальным условиям ? = 0; -^- = /00 (9.6) При 2 = 0, tz=0. Обозначим начальные значения <р и dyjdt соответственно через <р0 и tp,: <f(x, z, 0)^<?0(x, z), ер (х, г, t) Тогда, по сказанному выше, вследствие первого из условий (9.6) будет: ?()(*¦ ^) 5=0. Отыщем теперь cpj (x, z). Очевидно, что dyjdt удовлетворяет уравнению Лапласа: Д -J- = -sr Лср = 0, значит, Acpj — 0. Но мы уже многократно пользовались следующим решением уравне- уравнения Лапласа: tpj = Cekz cos k (x — e), где С и % были произвольные постоянные. Вычисляя косинус разности и вводя обозначения Czosk\=A, С sin k\ — В, мы можем этот интеграл переписать в другом виде: cpj =z Aekz cos kx + Bekz sin kx, где Л и В — произвольные постоянные. Вследствие линейности уравнения Лапласа мы можем образовать более общее решение уравнения Лапласа: п (х, z) = 2 «*'* {A cos ktx + 5, sin Агл;}. (9.7) Чтобы образовать самое общее решение уравнения Лапласа, нужно взять всевозможные kt от 0 до оо, причем величины Аь и В(
§ 9] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ 427 м< гут браться для данного kt совершенно произвольные. Но то1да с)мма (9-7) перейдет в определенный интеграл со ?1 (х, г) = С е** [A (k) cos kx + В (k) sin kx] dk (9.8) о [сумма (9.7) может быть рассматриваема как приближенное значение этого интеграла, если в ней положить At = A (kt)dk, Bt~ B(kj)dk]. Чтобы показать, что найденное нами решение есть самое общее, надо доказать, что можно подобрать такие функции A(k) и B(k), после подстановки которых в (9.8) функция ср, будет удовлетворять граничному условию <?х(х, 0) = /(х). Подставляя в (9.8) z = 0, получаем, таким образом, интегральное уравнение для определения A(k) и B(k) СО J [A (k) cos kx + В (k) sin kx] dk = f (x). (9.9) о Для решения этого уравнения воспользуемся справедливой при некоторых условиях интегральной формулой Фурье сю со f dk f f(Z)cosk(x — S)rf? = */(*), 0 -co которую можно переписать в виде со р оо J cos Ах Г 0 [_ —oo cos k = nf(x). Из сравнения последней формулы с (9.9) видно, что надо взять со ^о A{k) = \r f f(b)coskt — CO Поэтому OO p CO ftOr, z) = — fekz\coskx f L CO -i OO p OO f /(S)sinAUS UA = - f ekA f f(l)cosk(x — co J 0 L—oo
428 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Предположим, что в последнем двукратном интеграле можно переменить порядок интегрирования; тогда ОО р ОО -» Ъ(х, z) = ^ f /(?) f e**cosk(x — l)dk\<R. (9.10) -co L J Но определенный интеграл со Г ekzcoskxdk Lo = Г легко вычисляется ингегрированием по частям (помним, чго z у нас отрицательно): ее Н о -_/¦ % = 0 </ / J5E*? «<,* = х ik=0 J х х , о о __. ±_еъ, cos^lft<SOD x e x откуда -.к-co Л 22 — / ~ Поэтому си f о И значит, Эта формула определяет решение уравнения Лапласа в области z < 0, обращающееся при z->0 в заданную функцию /(х). Перейдем теперь к решению нашей гидродинамической задачи. Мы рассмотрим следующий частный случай начальных условий. Пусть F(x)=0 и пусть /(х) всюду равна нулю, за исключением малого участка оси Ох,, окружающего начало координат, причем на этом участке (концы которого пусть имеют координаты — е
с,] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ 429 4- s) функцию / (х) предположим столь большой, что интеграл сохраняет конечное значение Гf(x)dx f(x)dx = — Qg. Выясним значение величины Q; из уравнения (9.4) следует, что Таким образом, получаем следующее физическое толкование наших условий: в начальный момент поверхность жидкости всюду горизонтальна, за исключением области вблизи оси Oz; здесь мы имеем в начальный момент сильно поднятую поверхность жидкости, причем объем поднятой жидкости равен Q (если считать толщину жидкости в направлении оси Оу, перпендикулярном к плоскости движения, за единицу). Кроме того, начальные скорости всех частиц жидкости равны нулю [ибо /7(х) = 0]. Требуется определить даль- дальнейшее движение жидкости. Мы будем считать число в бесконечно малым, а следовательно, функцию /(х) бесконечно большой; это, конечно, физически невоз- невозможно, но зато сильно упрощает вычисления. Нужно только иметь в виду сделанное упрощение и при истолковании полученных резуль- результатов применять формулы с осторожностью. При сделанных допущениях формула (9.11) принимает вид и нам надо найти решение <р(х, z, t) уравнений (9.1) и (9.2), для которого ср (я, z, 0) = 0, 1 ду (х, г, t) ) Покажем, что уравнение (¦*, г, t) \ Qgz_ (9.12) dz "^ g dt2 ~ ' которое по условию должно выполняться только на поверхности z = 0, будет выполняться во всякой точке жидкости. В самом деле, Функция
430 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII является, конечно, решением уравнения Лапласа, ибо dz ' g dt2 с другой стороны, при z —0 функция Ф(х, z, t) равна нулю, по- поэтому Ф(х, z, t) тожаественно равна нулю. Итак: Будем искать теперь функцию ср (х, z, t), разложенную в ряд Маклорена по степеням t: Но из (9.13) мы легко заключим, что Воспользовавшись формулами (9.12), мы получим: Z 2 4- ?2 Поэтому искомое решение есть , z, i)— ^ я=о Найдем, во что обратится tp(x, z, ^) при z = 0. Так как, с одной стороны, и, с другой стороны, мы имеем ряд Маклорена по степеням z: + л! [дгп х2 л = 0 го из сравнения (9.15) и (9.16) получим:
§ Ю1 профиль волны 431 Поэтому, полагая в формуле (9.14) z = 0 и n = 2k-\~ I, найдем: ?(х, 0. <)Д-^У^'Г <-1>'g* + 1>' . (9.17) § 10. Профиль волны. Перейдем к исследованию полученного волнового движения. Мы ограничимся рассмотрением профиля волны и тех изменений, которые с ним происходят. Профиль волны определяется, как мы знаем, из уравнения r_ I d<f (х, 0, 0 <.- —у _^, поэтому из уравнения (9.17) мы получим: СО пх n-Q У (-0 Но ! _ 1 • 2 - 3 ... 2fe B* + 1) D*4-2)! 2 ¦ 4 • 6 ... 4* D* 4- 2) • 1 • 3 • 5 ... D* 4" поэтому, если ввести обозначение U = co, A0.2) то будет: Обозначим функцию в скобках через тогда A0.4) Ряд, дающий Ж (со), сходится при всяком о>, однако для числен- численного вычисления этот ряд годится только в том случае, если ад = gt2/2x мало (аналогично тому, как это имеет место для рядов cos х или sin х). Укажем другое выражение для М (со), годное при больших со. Для этого рассмотрим функцию очевидно, что
432 волновые движения идеальной жидкости [гл. viii где знак Im обозначает мнимую часть комплексного числа. Ясно, что rf-/. J_ ( i _|_ -2 i/2 i -3 °>s/2 _i_ 1 < I i ~dZ ~~ ~2 \ Yl» l Ш 2 "^' ~У -t- • • • j — 2-j^- "+" ^" X- Интегрируя это линейное дифференциальное уравнение, найдем: !_о 2/и но х@)—0' следовательно, С = 0, и значит: =-du. уъ A0.5) Рассмотрим для простоты только случай очень большого со, тогда при отыскании приближенного выражения для "/(ш) можно в интеграле верхний предел заменить на сю. Но тогда, произведя замену а = 2v2, получим: / —7=-du^= / ¦ 4v dv / cosf2^ — { / si sinv2dv = 21/2! i \ 2/2 2/2 j ' мы воспользовались так называемыми интегралами Френеля / cos v2dv= / sin v2 dv = у 1/ -5- . Поэтому и значит, '|-|)=/"^sin(| Итак, при больших значениях -|— имеем приближенную формулу ^S1 ' 2" Т j ~~ 2х/; Представим полученные результаты графически. Функцию С (jc, f) можно рассматривать либо в данный момент t, либо в данной точке
Ю] ПРОФИЛЬ ВОЛНЫ 43J оси Ох. Рис. 162 представляет вид функции С(д', t) в определенный момент времени. Так как где ~— 2х ' то при больших х и, следовательно, малых со надо вычислять t.(x, t) по формуле A0.4). Таким образом, чтобы найти точки, в которых профиль волны пересекает ось Ох, надо найти корни уравнения М (со) = 0; первый из этих корней ? будет coj = 4,595. Чтобы найти гребни и по- подошвы волны, надо найти корни уравнения -=р- = 0, или, что то же, корни уравнения d [u>M (<»)] Рис. 102. М-\- соМ' = 0; первые из этих корней будут: Ц = 3,0736, со^=8,36. Д1я малых х надо пользоваться формулой A0.7), которую можно переписать так: Сяь ._ cos/2 sin | f- —); Vr.gt2 \2 4/ отсюда видно, что при малых х и, следовательно, больших со полу- получается ряд волн, которые будут тем короче по длине и тем выше, чем ближе рассматриваемая точка к началу координат. В самом деле, точки пересечения профиля с осью Ох определяются теперь из условия или т. е. -?¦ яй пт: (п — целое) —; ?ti I It 7-1 ТС, Ах \ 4) " ~ Dл — 1) г. ' Расстояние между двумя смежными точками будет: х 28 Зак. 1190
434 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ. VIII и убывает до 0 при возрастании п и св. Амплитуда же волн растет до оо пропорционально полуторной степени ш. Формула A0.2) дает: 2 Следовательно, при увеличении мещается с ускорением d2x _ dt2 определенное значение со пере- перетем меньшим, чем больше само ю. Значит, при увеличении t про- профиль волны будет растягиваться пропорционально квадрату времени, причем вертикальные ординаты будут в таком же отношении умень- уменьшаться (так что площадь, сираниченная какой-нибудь волной, будет оставаться без изменения). Рассмотрим теперь рис. 163, представляющий С(х, t) в данном месте. В этом случае пользуемся формулами ~ I/ 2nx Г . /и CO Sin —- \2 первой —при малых t, второй — при больших. Колебания уровня происходят, как видно, все быстрее и быстрее, причем амплитута колебаний растет пропорционально времени. . Рассмотрим движение в той области значений х и t, 1де С(х, t) определяется формулой A0.7). Так как 2х ' Рис. 163. то dw ~dx gt*_ , da> _ Но при изменении х на длину волны X со должно изменяться на (чтобы мы получили следующую волну), значит: 2х2 т. е. к = A0.8) Точно так же при изменении t на период колебаний х со должно измениться на 4тс, чтобы мы могли получить в данном месте прохо- прохождение следующей волны, значит: ¦ = ¦%-, т. е. х = 4кх
ч ш] профиль волны 435 Наконец, чтобы определить скорость распространения волны, нужно проследить за движением гребня; но гребень отвечает все время одному и тому же значению w, следовательно, х и t меняются по формуле х = gt2j2w, и значит, скорость волны есть с — dx = gt . dt w Так как L ~~ и, ~~ t ~~ V 2% то получается известная нам формула Отсюда видно, что групповая скорость будет равна ¦но очевидно и из формулы A0.8), так как групповая скорость обо- обозначает скорость, с которой распространяются волны определенной длины, но X будет постоянной для тех х и t, для коих ic ~ 2 - Теперь становится понятной причина того, почему рассматривае- рассматриваемые волны двигаются с постоянным ускорением. Волны, больше про- продвинувшиеся по оси Ох, имеют большую длину и, значит, переме- перемещаются с большей скоростью, поэтому ряд волн всегда будет рас- растягиваться, а следовательно, скорость перемещения этих волн будет становиться все больше и больше, и они будут двигаться с постоян- постоянным ускорением. Последнее для гребня первой волны равно §¦/«! = 0,325g\ для подошвы второй 0,120^ и т. д. Таким образом, получается такая картина: начало координат испускает из себя в обе стороны бесконечную последовательность волн, которые уходят затем на бесконечность. На самом деле, ко- конечно, нельзя осуществить тот случай, который мы рассматривали, а именно первоначальное поднятие конечной массы жидкости на бесконечно малом участке оси Ох. Если бы та же самая жидкость быта поднята на участке оси Ох длины 2/, то наши рассуждения в некоторой своей части перестали бы быть верными. А именно, чаши рассуждения будут справедливы лишь постольку, поскольку 1 шны рассматриваемых волн будут велики в сравнении с 21, т. е. отношение 2Г = ~gW ~ ~Ы~ 28*
436 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII и, кроме того, отношения хJ1 должны быть велики в сравнении с еди- единицей, чтобы мы могли применять полученные нами результаты. § 11. Волны при конечной глубине жидкости. Предположим теперь, что глубина жидкости конечна и равна h. Ограничимся для эюго случая выводом формул для стоячих и прогрессивных волн. Опять имеем формулу E.1) Ф (х, z) = P (z) sin k (x — %), где [см. E.3)] Дно жидкости, которое мы предполагаем горизонтальным и урав- уравнение которого 2 = — h, служит неподвижной границей. Поэтому по уравнению D.3) должно бьпь дФ -^- = 0 при z = — h или Поэтому можем принять с Л_ 2 — 1Г т. е. ± e-k <г+л>] = С ch k (z -f A). Итак, мы имеем в данном случае стоячие волны, причем потен- потенциал скорости равен <р(лг, z, t) — Cchk(z-{-h)smk(x — ^)cos(o^ -fe)- (П-l) Остается удовлетворить уравнению D.4): 4*iL приг-0, 4=i дг g которое дает соотношение а2 = — ch kh. Это соотношение определяет величину о и, следовательно, период колебаний т: V"; 2тсЛ. I Вид свободной поверхности определится формулой j, 1 д<? (х, О, t) Сз , ,1 . у , -S , , , | ч
§ 11] ВОЛНЫ ПРИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЕ ЖИДКОСТИ 437 Введем обозначение Га —-chkh^a; A1.3) g y J тогда получим следующие выражения для потенциала скорости ? и профиля волны С (для простоты предполагаем \ = е — 0): <р = —s -i—^—'- sin Ax cos of, !,.= a sm Ax sin of. A1.4) Проекции скорости частиц на оси координат определяются по формулам dx дш agk ch k (г 4- h) , . V, == -7т- — -з-^ — — vt?— cos ^x соь a^- л at ox a ch kh dz df agk sh а следовательно, уравнения движения какой-либо частицы будут [после интегрирования заменяем о2 по формуле A1.2)]: , ch k (Zn -f- h) . X — Xc.-l- a j-7-г COS kx Sin of, u ' sh kh , sh k (za -f- Л) . , г = zn-4- a ^-r—- sin Ал sin of. 01 sh kh Рассмотрим теперь прогрессивные волны, перемещающиеся, на- например, в направлении положительной оси Ох, Для этого нужно образовать разность потенциала A1.4) и потенциала ag ch k (z -4- h) , <?=* chkh ' cos Ax sin of, т. е. рассмотреть движение с потенциалом скорости ag ch k (z-\- h) . , ^ Ф — — .; /7 ' sin (kx — of). ~ a ch kh v ' Сравнение профиля волны в этом случае будет: , 1 ду(х, 0, 0 ., С = — у -^ ' ;- = а cos (kx — ot). Таким образом, профиль волны, имеющий вид косинусоиды, пере- перемещается со скоростью __. a _,/">thftA _ЛГ gl"
438 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Интересно отметить два граничных случая. Если глубина жидкости h очень велика (вернее, если отношение h/k очень велико), то th kh можно принять равным 1 и, следовательно: т. е. получается знакомая формула. Другой предельный случай будет ют, когда глубина h весьма мала (вернее отношение А/Х мало). В этом случае th khttkh, и значит: A1.7) т. е. в случае малой глубины жидкости скорость распространения волн не зависит от их длины. Дадим таблицу, позволяющую вычислять скорости распростране- распространения и периоды волн различной длины. Эта табличка была вычислена при помощи формул A1.2) и A1.5): X Т с Vg~h с 0 0,000 0,399 0,000 2,51 0,5 0,282 0,399 1,77 2,51 1,0 0,399 0,399 2,51 2,51 3,0 0,681 0,393 4,41 2,54 5,0 0,823 0,368 6,08 2,72 10 0,941 0,298 10,6 3,36 30 0,993 0,181 30,2 5,52 50 0,997 0,141 50,1 7,09 100 0,999 0,100 100,1 10,01 оо 1,000 0,000 оо оо Найдем траектории частиц для случая прогрессивных волн; имеем: agk chklz-j-h) ., ,. vr = — i~—- cos (kx — at), x a ch kh v ' z agk ch kh K ' следовательно:
§ 12] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ 439 Исключая время t, найдем уравнения траекторий частиц: \х хо) | \г го) 1 /11 ол Г ch k(zo+h)f ^ Г L s\\kh J L shkh J т. е. траекториями частиц являются эллипсы с полуосями a ch k (zB -f- h) ash k (zo-f- h) sh &Л sh kh При 20 =— Л движение будет совершаться только в горизонталь- пом направлении, ибо малая полуось обращается в нуль и эллипс переходит в отрезок прямой, лежащий на дне. Вращение частиц по эллипсам происходит для волн, распространяющихся в положи- положительную сторону оси Ох, по часовой стрелке. Интересно рассмотреть вопрос о групповой скорости для случая жидкости конечной глубины. Групповая скорость всегда определяется формулой (8.5) и — И' в данном случае Yjk\Th L= 1 fgthfchf 2kh )|_ 1 Л 2kh \ 2V k Г + sh2kh \ ~ 2 CV ^ sh2kh) выражение xjsh x, имеющее при х—>0 предел, равный 1, убывает все время при возрастании х и стремится к нулю при х—>оо. Поэтому групповая скорость всегда не меньше половины скорости распро- распространения отдельной волны и не больше самой этой скорости. В предельном случае очень малой глубины жидкости можно поло- положить А = 0 и тогда оказывается, что U = с, т. е. групповая скорость совпадает со скоростью распространения отдельной волны. Это и понятно, так как в рассматриваемом случае последняя скорость не зависит от длины волны. Это показывает на особую простоту случая малых глубин, который мы подробно рассмотрим в отделе о длин- длинных и приливных волнах. § 12. Волны на поверхности раздела двух жидкостей. Рас- Рассмотрим в этом параграфе теорию плоских волн, происходящих под Действием силы тяжести на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности. Пусть плотность нижней жидкости равна р, плотность верхней р'. Если бы обе жидкости находились в равновесии, границей раздела являлась бы горизонтальная плоскость. Примем эту плоскость за
440 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII горизонтальной плоскостью Z плоскость Оху и направим ось Oz вертикально вверх (рис. 164). Предположим, что глубины обеих жидкостей конечны и равны соответственно h и hi; при этом будем считать, что нижняя жидкость ограничена снизу горизонтальной плоскостью, уравнением которой, очевидно, будет z = — h, и что верхняя жидкость ограничена сверху : h!. Сверх того предположим еще, что при отсутствии волн ниж- нижняя жидкость двигается посту- поступательно параллельно оси Ох со скоростью U, а верхняя со скоростью U' (при движении вдоль отрицательной оси Ох скорость U или U' считается отрицательной). Поэтому при отсутствии волн потенциалы скорости для нижней и верх- верхней жидкости были бы соот- соответственно: <р — Ux, у' = U'x. Рис. 164. При наличии волн на эти по- потенциалы надо наложить доба- добавочные потенциалы ср, и cpj. Мы будем рассматривать прогрессивные волны. Тогда для нижней жидкости надо взять по предыдущему параграфу- <Pj = С ch k(z-\-h) sin (kx — at). Для верхней жидкости надо взять <р[ = C'chk(z — h') sin (kx — at), чтобы удовлетворить условию :0 при z= hi'. Итак: f sin (kx — at); <p' = U'x -4- С ch k (z — h') sin (kx — at). Мы будем рассматривать волны определенной длины "к, следова- следовательно, k = 2-j\. Поэтому у нас остаются пока произвольными три величины С, С и а. Их надо определить из следующих трех условий: 1. Возьмем какую-либо частицу нижней жидкости, лежащую около самой поверхности раздела, уравнение которой: z = C(x, t). Так как рассматриваемая частица все время будет примыкать к поверхности раздела, то ее координаты х и 2 все время будут удовлетворять
s 12] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ 441 только что написанному уравнению. Поэтому проекция скорости рассматриваемой частицы на вертикаль будет равна _ dz _ dt, dx dt, Vz ~~ ИГ ~дх dt > dt ' но dxjdt есть горизонтальная скорость частицы vx, а главная часть последней есть U, поэтому do или так как vz=-^-, то и получаем окончательное следующее условие: dz dx ' dt при z = 0. На самом деле это условие должно выполняться при z = C(jc, О, но так как мы рассматриваем только бесконечно малые волны, то пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, получим как раз вышенаписанное условие. За уравнение поверхности раздела в данном случае естественнее всего взять (см. предыдущий параграф): С (х, t) — a cos (kx — at). Вычисляя (dy/dz)z=0 и подставляя в найденное уравнение, легко получим: Ckshkh=a(a — kU). 2. Рассматривая какую-либо частицу верхней жидкости, лежащую около самой поверхности разрыва, получим условие <V dt. .., . dt n -г- = т- и + -гг при 2 = 0, dz dx ' dt r которое дает следующее соотношение: — C'k sh kti = a(a — kU'). 3. Обозначим давление верхней жидкости через р', давление нижней через р; так как давление при переходе через поверхность разрыва должно меняться непрерывно, то при z = C должно выпол- выполняться условие Давление р мы определяем по формуле п . до 1 „ dv 1 о , , f ~~ — р-=|т —к- рг>г — pV--(-const. = — р-~ — -j pv1 — p^z —f— const.,
442 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII в нашем случае = [ U -f- Ck ch k (z -f h) cos (kx — at)]2 4- -f- [Ck sh k (z -t- /г) sin (fc* — crt)]2 = = LT2-\-2UCkchk(z-+-fi) cos (kx— at) -\- 4- C2A2 (ch2 k(z + h) cos2 (A* — of) 4- sh2 A (z + /г) sin2 (Ад: — at)). Последним членом, содержащим квадрат бесконечно малой вели- величины С, мы можем пренебречь; в предпоследнем же члене мы можем при вычислении v2 для 2 = С заменить z на 0, так как этот член содержит уже множителем бесконечно малую величину С; такое же обстоятельство будет иметь место при вычислении d^jdt. Поэтому 0э)г„|. = Cpoch khcos(kx — at) — уР^2 — — UCk[j ch kh cos (kx — at) — pga cos (kx — at) 4- const.; точно так же вычислим: (/)г = с = С'р'о ch kh' cos (kx —at) — ~ p'U'2 — — U'C'kp' ch kh' cos (kx — at) — p'ga cos (k v — aO 4 const. Приравнивая эти два выражения, получим третье условие: Ср (а — Ш) ch А/г — pga = C'p' (a' — kU') — p'g a, к которому мы присоединим два ранее полученных: Ck shkh^a (a —k(J); — Ck sh kh' = a (a — At/'). Исключая С и С, получим уравнение, определяющее с: р (с — kUJ cth kh 4- р' (a — At/'J cth А/г' = (p — p') #А. Найдя из этого уравнения а, из предыдущих уравнений определим С и С и таким образом полностью решим задачу. Скорость распространения полученных волн определяется, как всегда, равенством внося поэтому в предыдущее уравнение вместо о его значение ck, получим уравнение, служащее для определения с: р (с — Uf cth А/г 4- ?' (с — U'f cth А/г' = -^-fLS- .
$ 12] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ 443 Левая часть всегда положительна, значит, р > р'. Это показывает, что волны рассматриваемого нами типа могут существовать только п том случае, если более легкая жидкость лежит над более тяжелой; в противном случае амплитуда каждого малейшего возмущения будет сильно возрастать, т. е. основное движение обеих жидкостей будет неустойчиво. Но даже при р > р' для некоторых длин волн будет неустойчивость основного движения. Предположим для простоты, что обе жидкости будут очень глубоки, так что можно принять cthkhy^=l и cthkh''-^=l; тогда уравнение для определения с примет вид р (с - U? + р' (с - Wf = iL=lH и легко может быть решено НЛ1! + ?'U' +л /r(?U + ?'U'\2 Р + Р' ~V \ Р + Р' / Р + Р' " *(Р + р') (Р + Р'J Чтобы с было вещественным, необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным. Это приводит к неравенству и если скорости потоков неодинаковы, то найдутся такие большие k, для которых это неравенство не будет выполняться. Но большим k отвечают малые длины волн, следовательно, основное движение будет неустойчиво по отношению к малым длинам волн. На самом деле при малых длинах волн нужно учитывать еще действие капиллярных сил (см. следующий параграф), которые действуют стабилизирующим образом и обеспечивают устойчивость основного движения при не очень больших разностях U — W. Отметим, что в еще более частном случае {/ = ?/' —0, т. е. при отсутствии потоков, скорость распространения волн длины "к будет определяться по формуле с = /g(P-P') = rfg>-(?-?') У А(р + р') У 2гс(Р + р') " При г/ = о мы получим знакомую формулу с — Так как плотность воды в 770 раз больше плотности воздуха, То для системы воды и воздуха i 770 '
444 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII поэтому без большой ошибки можно не учитывать наличие воздуха при вычислении скорости распространения волн на воде. § 13. Капиллярные волны. В § 11 мы вывели [см. A1.5)], рас- рассматривая жидкость глубины h, для скорости распространения про- прогрессивных волн длины \, происходящих под действием силы тяжести, выражение с = Л/ -g^th- однако оказывается, что для очень малых длин волн эта формула неверна, ибо для малых длин волн необходимо учитывать еще влия- влияние так называемых капиллярных сил. Последние происходят от взаимодействия молекул жидкости друг на друга и имеют значительную величину только в очень тонком поверхностном слое жидкости. Возьмем какой-нибудь элемент поверхности жидкости, ограниченный кри- кривой С. Действие капиллярных сил на этот элемент (таково, как если бы к каждому элементу длины ds pdx кривой С была приложена растягивающая элемент поверхности сила ads, перпендикулярная к ds и Рис. 165. лежащая в касательной плоскости к поверхности жидкости. Величина а называется поверхностным натяжением жидкости; она зависит от рода жидкости и от ее темпе- температуры (вернее, от рода двух смежных жидкостей, так как обычно приходится рассматривать соприкосновение двух жидкостей, напри- например воды и воздуха). Для воды и воздуха при температуре 20° С а = 74 дн/см. Рассмотрим влияние капиллярности на гравитационные волны. Ограничимся случаем плоских безвихревых волн, причем примем глубину жидкости равной h. Потенциал скорости ср должен удовле- удовлетворять уравнениям -^- = 0 при z — ~h, при этом давление р определяется внутри жидкости по формуле р — dt gz% Чтобы найти условие, которое должно выполняться на свободной поверхности, рассмотрим элемент поверхности длиною dx (ширину этого элемента в направлении оси Оу принимаем, как обычно, рав- равной единице). Давление над элементом поверхности обозначим через р0 (его считаем всюду постоянным), давление под тем весьма тонкмм слоем, в котором проявляются капиллярные силы, обозначим через р. Тогда четыре силы podx, pdx, а и а, указанные на рис. 165,
§ 13] КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 445 должны находиться в равновесии, следовательно, сумма проекций этих четырех сил на вертикальную ось должна равняться нулю. Эго дает: lot —т— I — la -r-l \ ds/x+dx \ ds I Считая волны бесконечно малыми, мы можем заменить ds через dx и, следовательно, написать предыдущее равенство в виде d ~dx Поэтому условие на свободной поверхности напишется в следующей форме (а, как постоянную, выносим за знак производной): при z = 0. Прод! фференцируем это уравнение по t и заменим, как в § 2, d'Qdt через ду/dz. Мы получим окончательно для <р следующее условие: дг д д3 при z = 0. Итак, <р должно удовлетворять уравнениям A3.1) и A3.2). Двум первым уравнениям удовлетворяет, как известно из § 11, функция ср = С ch k {z -f- h) sin (kx — at). Подстановка этой функции в уравнение A3.2) дает для опреде- определения а при заданном k уравнение — a2 ch kh -f- gk sh kh -|- — sh kh = 0 или a2 = gk th kh -f- — th kh. Для квадрата скорости прогрессивных волн c2=-^- мы получим выражение -_|_^ \\hkh. A3.3) Р / Для случая очень глубокой жидкости можно принять thkfi=l 11 > следовательно: k "т~ р Илч, вспоминая, что k——?-:
446 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ VI!! Исследуем последнюю формулу; рис. 166 дает график с(ХI): как при очень малых, так и при очень больших X скорость с весьма велика; далее, производная dc2 g 2па dX 2тс рЛ обращается в нуль при Х„ = 2тст/ — ; A3.5) dc2 при X < Хт производная -^,— отрицательна; при X > Хга эта производ- производная положительна. Значит, скорость распространения с при возраста- возрастании X от 0 до оо сначала убывает от бесконечности до некоторого ст, а потом возрастает от ст до бесконечности. Этот минимум ст достигается при т и определяется по фор- х = ; муле легко проверить также сле- следующие равенства: Принимая их во внимание, можем переписать общую фор- формулу A3.4) короче: Рис. 166. , A3.7) причем сравнение с A3.4) показывает, что первый член происходит от гравитационных сил (так как в него не входит поверхностное натяжение а); второй же член происходит от капиллярных сил (в него не входит ускорение силы тяжести g). Из формулы A3.7) видно, что при к, больших в сравнении с кт, играет роль только первый член, следовательно, действием капилляр- капиллярных сил в сравнении с действием силы тяжести можем пренебречь; наоборот при X, малых в сравнении с кт, первый член играет очень мал\ю роль и, значит, можно пренебречь действием силы тяжести. Волны с малой длиной волны (X < Хт) называют капиллярными волнами, или рябью. ') Численные значения параметров взяты для случая воды и воздуха (см. ниже).
§14] ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 447 Итак, скорость распространения гравитационных волн не может быть меньше некоторого минимума ст. Отметим еще, что с одной и той же скоростью с > ст могут распространяться волны двух различных длин, ибо если некоторая длина X удовлетворяет уравнению A3.7), то очевидно, что и длина )?т1\ будет удовлетворять тому же уравнению. При этом одна из эгих длин всегда будет больше, а другая меньше Хга (^ибо их про- произведение равно \2т). Так, например, со скоростью с = 2сш будут распространяться волны, длины коих удовлетворяют уравнению откуда \ = D±V\5)\m, Х, = 7.873 Х,ч, Х2 = 0,127Х,„. Укажем еще численное значение \т и ст для случая воды и воз- воздуха. В этом случае а = 74, р=1, g = 98l (в системе CGS); по- поэтому Хт=1,78 см; сш = 23,5 см/сек. Рябь обычно образуется впереди тела, перемещающегося в жид- жидкости, если скорость этого перемещения не менее ст. § 14. Волны конечной амплитуды. Во всех рассмотренных нами волновых движениях мы предполагали движения жидкости без- безвихревыми и колебания частиц бесконечно малыми. Только при этом предположении будут справедливы полученные нами результаты. Так например, мы вывели, что в движении с потенциалом скорости y — Cekzsin(kx — at) (H.I) профиль волны имеет вид синусоиды, амплитуда которой бесконечно мала. Эта синусоида перемещается вправо с постоянной скоростью с. Но если рассмотреть движение, в котором в первоначальный момент времени профиль волны имел вид синусоиды конечной амплитуды, то окажется, что такой профиль с течением времени будет изменять свою форму (конечно, мы не можем при изучении конечных колеба- колебаний жидкости пользоваться приближенными формулами). Профиль волны, который будет перемещаться без изменения своей формы, будет кривой более сложного типа, чем синусоида; мы ограничи- ограничиваемся этими указаниями, не имея возможности входить в более под- подробное обсуждение этого вопроса'). ') В общем случае уравнения (для безвихревого движения) остаются линейными: так же как и в § 7, мы можем искать комплексный потенциал w = т + 'Ф — аналитическую функцию от х -f- 1г. Трудность здесь заключается в том, что краевое условие будет нелинейным. В качестве краевого условия мы имеем вдоль свободной поверхности на основании интеграла Бернулли — Эйлера (стр. 116) — gz + -j \ v |2 = const. В теории струй (гл. VI, § 17) мы принимали в расчет силы тяжести и там достаточно было потребовать cipye условие i v | = const. В случае гравитационных волн мы должны,
448 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Точно так же мы вывели, что бесконечно малые колебания бес- бесконечно глубокой жидкости, определяемые A4.1), таковы, что частицы жидкости движутся по круговым траекториям, радиус которых быстро убывает по мере того, как рассматриваются все более глубокие частицы. Для конечных колебаний и при отсутствии вихрей в выше- вышеуказанном случае перемещения профиля волны без изменения своего вида траектории частиц будут более сложного характера, чем круги. Это будут незамкнутые кривые. При этом оказывается, что имеет место замечательное явление, а именно: при волновом движении рас- рассматриваемого вида происходит (незначительный, правда) перенос жидкости в сторону перемещения профиля волны. Это обозначает, что если провести плоскость, перпендикулярную к направлению пере- перемещения профиля волны (например, плоскость Oyz), то за большой промежуток времени через эту плоскость пройдет больше жидкости с одной стороны, чем с другой. § 15. Трохоидальные волны Герстнера. Случай круговых тра- траекторий отдельных частиц в волновом движении с конечной ампли- амплитудой был рассмотрен Герстнером и Ранкином. Из вышесказанного следует, что рассмотренные ими движения не были безвихревыми. Это уменьшает физический интерес полученного ими решения, так как в начале этой главы мы видели, что волновые движения идеаль- идеальной жидкости, обусловленные силами, имеющими потенциал, непре- непременно должны быть безвихревыми, Применим для решения рассматриваемой задачи переменные Ла- гранжа. Направим ось Ох горизонтально, ось Оу вертикально вверх. Лагранжевы координаты какой-либо частицы, т. е. параметры, отли- отличающие одну частицу от другой, обозначим через а и Ъ. Формулы F.9) дифференцируя вдоль поверхности, написать | v | AllL __ g ALfi = о на линии 6 = 0. Но Ах + is _ J ei% dw \v\ так что дг sin 0 &1 \v Поэтому мм получим d\v\ gsinO ; ;— —¦ v/. f \v\ С другой стороны, если к = —ln|v|, то к и 0 будут гармонически сопря- сопряженными функциями, так что дк/ду = — дй/дЬ. Окончательно получим ¦щ-^ge-^siRtS при 4<=0. Это нелинейное условие и принимается обычно в исследованиях волн ко* нечной амплитуды в безвихревом случае.
15] ТРОХОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЕРСТНЕРА 449 A5.1) наводят на мысль рассмотреть движение, в котором координаты х и у частицы, обладающей параметрами а и Ь, будут к моменту t: х = а-\- Rekt> sin (ka ¦+¦ ot), y = b — Rekb cos (ka -j- at). Проверим, выполняются ли основные уравнения движения [глава II, (8.1) и A0.3)]. Затем надо будет удовлетворить еще граничному условию: давление р на свободной поверхности должно равняться постоянной величине р0 (атмосферному давлению). Прежде всего уравнение неразрывности A0.3) выполняется, ибо дх дх да db ду ду ~да~~дТ 11 + kReM cos (ka -\- at) kReM sin (ka -j- at) ~ \kRekb sin (ka -f at) 1 — kReM cos (ka -j- at) следовательно: . D(x, y) _,, D(x, D(a, У) _ Ь) ~ дх да ду да дх дЬ ду дЬ D(a, b) A5.2) не зависит от времени, а это и выражает уравнение неразрывности в форме Лагранжа. Проверяем основные уравнения движения: дгх — dt* 1^ -0 р ду ~и- A5.3) У нас А" = 0, К — — g; умножая первое уравнение на dx, второе на dy и складывая, получим: д"х ^v. I д2У а dt2 A5.4) Из A5.1) имеем: д2х - /?с2е** sin (ka -±ot) = — о2 (х — а), ¦ — Ra2ekt> cos (ka -\-at) = — о2 (у — b). поэтому Ж = — с2 [(х — a) d (х — а) -+- (у — b) d (у — Н- (д: — a) dfl 4- (У — *) rf^! = = — ¦? d К* — аJ 4- (У - bf] — [(x -a)da-f(.y- b)db]. 29 За к 1190.
450 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Но (x — a)da-\-(y — b) db — = Rekb sin {ka -|- at) da — Rekb cos {ka -\~ of) rfft = Итак: д2у . , ( a2R2e2kb -—i- rf v = — a < p, г cos i ot2 ( I « Поэтому уравнение A5.4) можно проинтегрировать: р у 1 2 1 вставляя сюда значение у, получим окончательно: a2 — ^) Re*» cos (ka +at) ¦+¦ ° H* - + C, A5.5) так что уравнения A5.3) удовлетворяются, если в них подставить найденное значение р. На свободной поверхности жидкости давление должно быть все время постоянным, т. е. при всяком t должно быть р = р0, значит, Так как время t входит только через косинус, то коэффициент при нем должен быть равен нулю: о2 = ??, A5.6) и тогда р _ Таким образом, для частиц, составляющих свободную поверх- поверхность, параметр b должен иметь одно и то же значение. Мы пред- предположим для простоты, что это значение равно нулю, тогда вычитая это уравнение из A5.5), получим для определения давле- давления р формулу ?—?s.=-gb-lf-(l-e^). A5.7) Итак, если о определ!>ется формулой
$ 161 СВОЙСТВА ТРОХОИДАЛЬНЫХ ВОЛН 451 то формулы A5.1) и A5.7) определяют волновое движение, удовле- удовлетворяющее как точным дифференциальным уравнениям, так и усло- условию на свободной поверхности. § 16. Свойства трохоидальных волн. Покажем, что полученное нами движение есть вихревое. Для этого вычислим вихрь скорости; для составляющих скорости имеем: vx = = Raekb cos b), поэтому ^=- =^ = Raekb sin (ka-\-at) = a(x — a), da дЬЛ I da . 11 0 I о dx dy J \ dx A6.1) dy l da dy Чтобы вычислить да/дх, продифференцируем уравнения по х, считая правые части сложными функциями от х и у: A5.1) . dx da da dx . dx db ' db dx ' ~ dy da . dy db da dx ' db dx Решаем эти уравнения относительно да/дх: 1 i? D (х, у) da___ db D (a, b) dx „ dy ~~ db 0 1b точно так же найдем: D (х, у) db _ dx D (a, b) ~dy ~da~' поэтому dx , dy da db da db 2 и, значит, dy = 0 2 —- D (x, y) D (a, b) 2 — k2R2e2kb I _ J Вихрь получился отличным от нуля, следовательно, имеем дело с вихревым движением; из формулы видно, что на свободной поверх- поверхности вихрь наибольший, при стремлении же b к —со (что отвечает удалению в глубь жидкости) вихрь стремится к нулю. Перейдем к исследованию полученного движения. На свободной поверхности жидкости Ъ — 0, следовательно: x = a -}- R sin (ka -+- at), y= —R cos (ka-j-at). A6.2) 29*
452 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл viii В § 6 такое движение ча:тицы было исследовано. Мы видели, что каждая частица описывает окружность радиуса R в направлении против часовой стрелки (рис. 159), причем период вращения т = 2тг/о, а скорость частицы равна Ra. Две частицы с разными а будут находиться в одинаковой фазе, если разность углов ka -f- ot будет равна С1~\ эти две частицы отстоят друг от друга на расстоянии \ — 2-/k, которое, очевидно, есть длина волны. Профиль волны (пунктирная кривая рис. 159) в определенный момент времени пред- представляется в параметрической форме уравнениями A6.2), причем пара- параметром является а. Примем для простоты t —¦ 0; тогда, вводя угол получим: х I = ka, a =- : T 9 -f- # sin 0, y==_/^cosl Как известно, это суть уравнения трохоиды, т. е. кривой, вы- вычерчиваемой некоторой точкой круга, катящегося по прямой линии. В самом деле, рассмотрим качение без скольжения круга радиуса l/k по прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на расстоя- расстоянии l/k кверху (рис. 167). Если круг повернется на угол 0, то центр круга переместится на расстояние 00' = АВ = —- В А' — -г 9, и потому координаты точки М', в которую пе- перейдет точка М, будут, очевидно, как раз — ¦г R sin 9, ¦RcosO. Рис. 167. Если R < \/k, то по- получается трохоида без петель, при R=l/k по- получается циклоида (она имеет точку возврата пер- первого рода), наконец, при R > l/k получается трохоида с петлями. Последний случай, очевидно, физически невозможен. Итак, мы должны считать Очевидно, профиль волны перемещается влево со скоростью с = Х/т. Это было иллюстрировано рис. 159 § 6, на котором пока- показан также способ получения профиля волны, очевидный из чертежа.
161 СВОЙСТВА ТРОХОИДАЛЬНЫХ BOTH 453 Сопоиавим формулы, определяюгцие важнейшие элементы волны через длину волны X; ' ~ ~Х~' yi ловая скорость вращений частиц: период волн: скорость распространения волн: A6.3) Численные значения с и т в зависимости от X были даны в § 6. Возьмем теперь любое значение b < 0. Если положить r = Rekb, то получается: х = а -1- г sin (Ла -|- at), у = b — г cos {ka -\~ at), и, следовательно, мы можем повторить все наши рассуждения. Частицы, у которых b одно и то же, образуют трохоиду, пере- перемещающуюся влево с той же скоростью с. Как мы знаем, давление во всех почках этой трохоиды одно и то же, а именно: Так как 2 „kb то радиусы окружностей, описы- описываемых частицами, будут тем меньше, чем глубже лежит рассматриваемая частица. Вся картина движения предста- Рис. 168. впяется рис. 168. Жирные линии представляют трохоиды, отвечающие равностоящим значениям b (любая из этих трохоид является поверхностью уровня, т. е. поверхностью равного давления, и может потому служить свободной поверхностью жидкости); радиусы кругов убывают поэтому в геометрической про- прогрессии; наконец, пунктирные линии представляют линии, на которых лежат частицы, имеющие одинаковые координаты а.
454 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Рассмотрим еще вопрос о том, как расположится жидкость при равновесии, т, е. каковы будут тогда координаты х0 и у0 частицы с лагранжевыми координатами а и Ь. Напишем уравнения трохоиды, отвечающей постоянному значению параметра Ь: х =sz a-\- Rekb sin ka, у = b — Re*b cos ka. Интеграл x 5 = Г (у — b) dx о представляет площадь, ограниченную трохоидой и прямой у — Ь (части площади над этой прямой считаются положительными, под нею — отрицательными). Так как fifjc = (I -\-kRekb cos ka)da, то x S = — Г Rekb cos ka A + kRekb cos ka) da = о x x = — Rekb J cos ka da — kR2e™b Г cos2ka da. о о Очевидно, x /. , Г sin ka Iх sin kX sin 2rc „ ^kada = [-j-\u Jo Г 2 1 Г J a 2 ,/ ~*~ Jcos 2/ea)tfa =A, о о значит, Поэтому, если жидкость, лежащую под рассматриваемой трохоидой, представить находящейся в состоянии равновесия, то уравнение гра- границы будет, очевидно: В частности, при Ь — 0 получим, что уравнение свободной поверх- поверхности жидкости при равновесии будет: я/?2
§ 171 ЭНЕРГИЯ ВОЛН 455 Значит, гребни волны лежат выше поверхности спокойной жидко- жидкости на величину R -)—V-, подошвы же лежат ниже поверхности t.R2 спокойной жидкости на величину R — —^-. Что же касается зависимости между х0 и а, то легко видеть, что dxo — da; в самом деле, если рассмотреть в плоскости (а, Ь) этемент плоскости'da rfft, то ему будет отвечать площадь в плоско- плоскости (х, у), равная (*' f da db = (l — k2R2e2kb) da db, A6.4) и площадь dXfjdyQ при равновесном положении жидкости; так как эти площади должны быть равны, то dx0 dy0 = A — &2/?2е2*») rfa db, но значит Отметим еще, что площадь, заключенная между двумя соседними трохоидами и двумя вертикалями, отстоящими друг от дру1а на рас- расстоянии, равном X, будет по формуле A6.4) равна х f 6 A6.5) Очевидно, что высота рассматриваемых волн равна 2R. Так как R ^ Ijk = \j2rz, то эта высота никогда не может превзойти величины Х/тг?^0,32Х. Укажем еще, что предельным профилем волны у нас является циклоида, имеющая точку возврата первого рода. Теория показывает, что безвихревые волны имеют предельный профиль другого вида, а именно: он должен иметь угловую точку, в которой сходятся симметрично относительно вертикали две дуги, составляющие одна с другой угол в 120°; при этом высота этой предельной волны будет гораздо меньше, чем в случае трохоидальных волн, не достигая лаже 0.15Х. § 17. Энергия волн. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, из каких частей слагается энергия волн и как она передается от одной части жидкости к другой. Рассмотрим сначала волны несжи- несжимаемой жидкости, происходящие под действием силы тяжести. Тут э! ия воли будет слагаться из кинетической энергии движения
456 ВОЛНОВЫР ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII отдельных частиц жидкости и из потенциальной энергии, происходя- происходящей от того, что центр тяжести жидкости при ее волновом движении лежит выше, чем при равновесии. Рассмотрим сначала безвихревые периодические волны длины X на жидкости конечной глубины h (при /z = co получаем случай бес- бесконечно глубокой жидкости). В этом случае дг ' V \дх) ' \дг) ' следовательно, живая сила, приходящаяся на длину X, будет равна т-hf.f №+(№•«¦ где S обозначает заштрихованную на чертеже (рис. 169) область (толщину жидкости в направлении, перпендикулярном к плоско- плоскости Oxz, т. е. в направлении оси Ov, считаем равной единице). Применяя формулу Грина, получим: ¦-hf -~- дп где L обозначает контур площади S, п — внешнюю нормаль к L. Но интеграл по CD пропадет вследствие граничного условия ду/дп — 0. Зна- Значения функции ср в соответствую- соответствующих точках вертикалей OD и ВС будут вследствие периодичности движения одинаковыми, а значе- значения д<?/дп будут отличаться только знаком (так как нормали в соот- соответствующих точках OD и ВС направлены противоположно друг другу), значит, Рис. 169. OD + BC наконец, на ОАВ за направление внешней нормали можно принять направление оси Oz, а за ds можно принять dx. Итак: Г = —( 7 dx. A7.1) Потенциальную энергию, приходящуюся на длину X, мы вычисли^ следующим образом. Проведем две вертикальные плоскости, перпен-
§ 171 ЭНЕРГИЯ ВОЛИ 457 дикулярные к оси Ох в двух точках k и /, и пусть kl = dx. Тогда над осью Ох будет находиться объем жидкости (.dx, масса этого объема будет pt,dx, центр тяжести будет лежать на высоте С/2, сле- следовательно, потенциальная энергия силы тяжести будет равна (по известной формуле V — mgz) С2 ?gdx а значит, потенциальная энергия, приходящаяся на длину \, будет: A7.2) Так, например, для стоячих волн на жидкости конечной глубины h мы имеем [см. § 11, формулы A1.4)]: ag ch k (z -4- ti) . , , , , , , ... cp— — У ,T smkx cos at (o2~gkthkh), T a ch kh ч ° C= a sin их sino^, следовательно, производя вычисления, имеем: dv agk sh k (z + Л) . , , -j^ = — . , , —- sin kx cos at, oz achkh л T = 1 p ^fzl*\lh cos2 at f sin2 Л л: rfx = 1 pa2g- ^ cos2 e/. о ибо x gkthkh — a2 и f sin2kxdx=^. о Итак: 7_i^.cos2e^ A7.3) Аналогично вычисляется С sin2 kx dx =-^^ sin at. A7.4) Отметим два обстоятельства: во-первых, сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна: т i у— ?a2gK ¦
458 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII во-вторых, кинетическая и потенциальная энергии все время переходят друг в друга, причем средние их значения, взятые за промежуток времени, равный одному периоду х = 2~/<з, одинаковы, ибо т f cos2 at dt = f sin2 atdt = ~. о о Для прогрессивных волн мы имеем: = a cos и вычисление, аналогичное только что приведенному, дает: T=V=Si^, A7.5) так что здесь остаются постоянными и кинетическая и потенциальная энергии по отдельности. В случае трохоидальных волн потенциальную энергию можно вычислить таким же образом. Мы поступим, однако, иначе. А именно, рассмотрим две соседние трохоиды, отвечающие двум значениям b и b-\-db. Площадь, заклю- заключенная между ними и двумя вертикалями, отстоящими друг от друга на расстоянии X, равна Центр тяжести частиц, составляющих эту площадь, лежит, конечно, на прямой у — b, так как всякой частице, лежащей над этим уровнем, отвечает такая же частица, лежащая под ним. В равновесном же положении эти частицы лежат на прямой * " X Значит, потенциальная энергия этого слоя частиц равна а полная потенциальная энергия жидкости, рассчитанная на длину волны, будет равна V = gp~W f (e^ ^ 'fl[-^]. A7.6)
i J8] ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ 459 Скорость каждой частицы равна, как мы знаем, га = ReMo, сле- следовательно, кинетическая энергия, рассчитанная на длину волны, будет: т = 1 Опять получается равенство кинетической и потенциальной энергии. § 18. Перенос энергии. Возьмем прогрессивную волну, напри- например на бесконечно глубокой жидкости, так что ср = ^i- екг sin (kx — of); vx — -|^ = -^ е*г cos (kx — of) = аое*г cos (kx — of); тогда давление определяется по формуле B.12): р~~Ро = _ -^ — g-z = age** cos (kx — of) — g\z. Возьмем теперь какую-либо плоскость, перпендикулярную оси Ох, например плоскость Oyz, и вычислим, какая энергия переносится волнами через эту плоскость с отрицательной стороны оси Ох на положительную. Вычисление будем вести для полосы этой плоскости, ширина которой в направлении оси Оу равна единице. Возьмем элемент dz этой полосы и подсчитаем работу сил давле- давления на этот элемент за время dt; так как сила равна р dz, а проек- проекция скорости на направление силы есть vx, то проекция элементар- элементарного перемещения на то же направление будет vxdt, и значит, искомая работа будет равна pvx dz dt — [a2gope2kz cos2 (Ax—at)-\-(p0—pgz) aaekz cos (kx—ot)] dz dt. За один период г = 2тс/с работа этих сил давления будет равна — dz = x а на всю рассматриваемую полосу эта работа будет: W = itaV работа же, производимая в единицу времени, будет равна
460 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ггл. vm Этой формуле можно дать интересное истолкование. Введем для этого вместо с групповую скорость U по формуле c = 2U. Тогда мы получим: Но -я- a2gp представляет приходящуюся на единицу длины полную энергию волн; мы видим, таким образом, что энергия волн перено- переносится со скоростью, равной групповой скорости волн. Этот результат имеет место и в других случаях волновых движений. Механизм переноса энергии легко объяснить для случая тро- хоидальных волн. Рассмотрим какую-либо вертикальную пло- плоскость PQ (рис. 170), и пусть какая-либо частица пересекает эту плоскость; в течение одного периода эта частица пересечет плоскость дважды, ее кинетиче- кинетическая энергия при этом по- постоянна, следовательно, через плоскость PQ пройдет столько же кинетической энергии в одну сторону, сколько в другую; далее, давление для одной и той же частицы тоже все время постоянно, следовательно, работа сил давле- давления за все время одного периода уничтожится, ибо в точке А будет совершаться такая же отрицательная работа, какая в точке В совер- совершалась положительная. Не так обстоит дело с потенциальной энер- энергией. Как частица В, так и частица В' будут проходить через плоскость PQ слева направо над уровнем СС, а справо налево под уровнем СС и, следовательно, будут переносить потенциальную энергию. При этом очевидно, что потенциальная энергия будет пере- перемещаться одновременно с формой волны, следовательно, со ско- скоростью с. Так как потенциальная энергия равна половине полной энергии, то полная энергия будет перемещаться со скоростью с/2, а последняя скорость и есть как раз групповая скорость. § 19. Волновое сопротивление. Движение тела под свободной поверхностью. С вопросом о переносе энергии волнами тесно связан вопрос о волновом сопротивлении. Пусть, например, волны обра- образуются позади корабля, перемещающегося со скоростью с, тогда ско- скорость распространения этих волн будет равна с. Если энергию волн, приходящуюся на единицу длины, обозначить через Е, то каждую секунду у нас будет образовываться добавочное количество волно- волновой энергии сЕ (так как за единицу времени корабль будет пере- перемещаться на с единиц длины). Но часть этой энергии была пере-
§ 191 ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 461 несена волнами, ранее образовавшимися, а именно, эш волны пере- переносят через каждую плоскость в единицу времени количество энергии с С UE— -уЕ. Остающаяся часть энергии (с— U)E = -^E должна была получиться за счет какого-то другого источника энергии, в данном случае за счет корабля. Итак, каждую единицу времени корабль производит работу сЕ/2, идущую на образование волн. А так как перемещение корабля в единицу времени равно с, то испытываемое им сопротивление R определится по формуле cR^-^L, и значит, #=у. A9.1) Разберем вопрос о волновом сопротивлении несколько подробнее. Как всюду до сих пор, будем считать жидкость однородной, несжи- несжимаемой, идеальной и подверженной только действию силы тяжести, а движение жидкости будем считать безвихревым. В этих предположениях определим вынужденные волны, возни- возникающие при движении тела с постоянной скоростью в горизонталь- горизонтальном направлении под свободной поверхностью жидкости, а также сопротивление, испытываемое телом, которое называется волновым, так как в рассматриваемом случае вся затрачиваемая телом энергия идет на образование волн. Мы ограничимся при этом изучением слу- случая плоской задачи и бесконечно глубокой жидкости. В этом слу- случае очень удобно пользоваться комплексными переменными. Поэтому целесообразно несколько изменить предыдущие обозначения. А именно, мы будем обозначать через Ох горизонтальную ось координат, лежа- лежащую на свободной поверхности жидкости, находящейся в состоянии равновесия, и через Оу— вертикальную ось, направленную вверх. Введем, кроме того, комплексную переменную z = х -)- iy и комплексный потенциал скорости w = cp -j- vlf. Рис. 171. Решим прежде всего задачу о вынужденных волнах, возникающих при движении вихря интенсивности Г, находящегося на глубине h под свободной поверхностью жидкости и движущегося с постоянной скоростью с параллельно положительной оси Ох (рис. 171). Как 13 § 7. нам удобнее будет рассматривать установившееся движение, получающееся при наложении на предыдущее течение равномерного течения в направлении отрицательной оси Ох со скоростью с. Обозначая потенциал этого установившегося движения через W = ф _j_ г-\тд будем имееть: W = w — cz, Ф = у — сх, Ф = $—су. A9,2)
462 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Vllf В этом установившемся движении свободная граница жидкости L служит одновременно и линией тока и линией постоянного давления. По формуле Бернулли мы имеем для давления р выражение подставляя сюда выражения * дх дх 'У ду ду ' \.1а-"^ легко получим: Мы будем считать образующиеся волны столь малыми, чтобы можно было на линии L пренебречь квадратами составляющих скорости и ду/ду в предыдущей формуле; тогда она примет вид Обозначим постоянное на линии L давление через р0 и будем счи- считать, что впереди перед вихрем, т. е. при х —> -(- со, жидкость не взволнована, т. е. что при л:-*-!0 величины д<?/дх и д<р/ду стре- стремятся к нулю и что lim где у = 8(л:) есть уравнение свободной границы жидкости L. Тогда из равенства A9.5) ясно, что Ро — С— 2-рс2. и следовательно, на свободной линии L должно выполняться равенство c2jL. A9.6) Ввиду малости величины 8, мы можем считать это равенство выпол- выполняющимся на оси Ох. Итак, мы получили граничное условие 1. A9.7) Второе условие мы получим, выразив, что линия L есть линия тока для установившегося движения, так что на линии L имеет место равенство 4' = const.
§ 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 463 или, вследствие A9.2), с8 = ф(л:, 8). Заменяя в правой части этого равенства 8 через 0, что можно сде- сделать вследствие малости 8, мы приходим ко второму граничному условию: 8 ф(:, 0). A9.8) Исключая из A9.7) и A9.8) величину 8, приходим к следующему граничному условию для определения функции w(z): -^- = ~- ф при у = 0 дх с2 т г * или -^- — v|) при у = 0, A9.9) где для краткости введено обозначение ¦Jr = v- A9.10) Вводя символ Re я для вещественной части комплексного числа и Imcc для мнимой части этого числа, будем иметь: ду _,. dw ,__ , dw _ , , и следовательно, условие A9.9) записывается в комплексной форме так: = 0 при у==0< A9.11) Из этого условия вытекает, в частности, следующее: = О. A9.12) Как было сказано, функция dwjdz должна стремиться по модулю к нулю при х—>-\-оо. Кроме того, надо, очевидно, считать \dwjdz\ ограниченным при \z\—>oo. В том частном случае движения вихря, который мы сейчас рас- рассматриваем, функция dwjdz должна быть голоморфна во всей полу- полуплоскости у < 0, за исключением той точки, где находится вихрь. Пусть это будет точка z = — th с координатами х = 0, у = — h. Около этой точки функция w(z) должна иметь вид ^ A9.13)
464 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. VIII где g (z) — голоморфная функция в окрестности точки z = — III. Для функции dwjdz мы получили представление dw Г 1 . ~dz~ — ~Ш ~Т+Ш "+"е {Z) Образуем теперь функцию f(z\—i d2w у dw Эта функция голоморфна во всей полуплоскости у < О, кроме точки 2 =— ih, в окрестности которой мы имеем: id?d- A9Л4) где /j (z) — голоморфная функция в окрестности точки z = — ih. Вследствие условия A9.12) функция f (z) принимает веществен- вещественные значения на вещественной оси независимого переменного z. Но тогда эта функция, заданная в полуплоскости у < 0, может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость у > 0 по прин- принципу симметрии Шварца. А именно, значения функции f (z) в двух точках, симметричных относительно оси Ох, должны быть комплексно сопряженными, так что надо принять: = f(x — iy). A9.15) При этом получится функция, аналитическая уже во всей плоскости комплексного переменного z. Эта функция имеет особенность в точке z — — ih, определяемую формулой A9.14); кроме того, она будет иметь особенность в точке z — ih, ибо из формул A9.14) и A9.15) вытекает, что в окрестности этой точки мы будем иметь представление показывающее, что точка z = ih является для функции / (z) полюсом второго порядка. Никаких других особых точек на конечном рас- расстоянии эта функция не имеет. Считая эту функцию голоморфной в окрестности бесконечно удаленной точки и обращающейся в нуль при z = oo, мы приходим к следующему ее выражению: . d2w dw 1 IN 1 Г 1 . Гм 1 ,1П rfi4 2л {z-\-ihf 2да z-\-ih
S 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 465 Общим решением одноро шого уравнения . d2w dw n I —т-5 V —— = О dz1 dz является Применяя для решения неоднородного уравнения A9.16) обычный метод вариации произвольных постоянных, считаем А и В функциями от z и приходим к следующим уравнениям для их определения: v _«_ Л J_! dz ~ 2к\ {z + ihJ z + ih ~^ (г l . у/ ) —/Л)'" z — ih Г Считая функции А и В стремящимися к нулю, когда точка z уходит на бесконечность в направлении положительной вещестпен- ной оси, что мы будем кратко обозначать символом z—>-j-oo, легко получим, что ~ 2тсм I z + ih "^ г — «A f"r 2да '" z — ih ' (t + ihf ~ (t — ihf +00 Но интегрирование по частям дает формулы г г l поэтому после очень простых вычислений находим следующую фор- мУлу для определения комплексного потенциала: w(z)== Г ,n?±^._^i;e-/« f-J^L-dt, A9.17) г — »1егко проверить, что это выражение комплексного потенциала Удовлетворяет всем поставленным требованиям. Никакого другого
466 волновые движения идеальной жидкости [гл. viii решения задачи, удовлетворяющего всем поставленным условиям, не существует. В самом деле, премоложим, что есть еще другое решение задачи w1 (z). Образуем разность •w (z) = •wl (z) — <w (z). Функция w1(z), подобно w(z), должна в окрестности точки z = —ih иметь вид wi (*)= 5п (* где g-^ (z) — голоморфная функция в нижней полуплоскости, поэтому функция w(z) должна быть голоморфной в нижней полуплоскости у < 0. Она должна, далее, удовлетворять условию Im (i — — vw\ = 0 при у = 0. A9.18) Поэтому функция может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость по принципу симметрии Шварца. Итак, F (г) голоморфна во всей пло- плоскости z, т. е. является целой функцией от z. Величина dw dz ограничена во всей нижней полуплоскости; пусть dz пусть еще \w(O)\<N; тогда из следует неравенство \w(z)\ поэтому мы имеем оценку \F(z)\< M Эта оценка доказана только для точек нижней полуплоскости; но так как в симметричных относительно вещественной оси точках функция F (v) принимает комплексно сопряженные значения, то эта
S 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 467 оценка имеет место во всей плоскости. Но тогда из неравенства Коши следует, что F (z) есть линейная функция от z F (z) ^az+b, где а и b— вещественные числа вследствие условия A9.18). Итак, . dw ~ , i —j 4w = az -f- b. Интегрируя это равенство, находим: и так как по условию v v2 dz dw стремится к нулю, когда z стремится к со вдоль положительной вещественной оси, то величины а и С должны равняться нулю, и следовательно, dw Q Q dz ~u> чем и доказывается высказанное выше утверждение. Определим теперь вид свободной поверхности жидкости. Для этого воспользуемся равенством A9.6) Дифференцируя равенство A9.17), найдем: 2та I z-\-ih л z — i Ajrdt. A9.19) — ih K J Полагая в этой формуле z = х и отделяя вещественную часть, легко находим, что г Ъ(х) = -± /1со^{'-^-^тН'-х)сИ. A9.20) too Очевидно, что Игл 8(л:) = 0, так что на далеких расстояниях перед вихрем свободная поверх- н^ жидкости приближается к горизонтальной, как и должно быть,
468 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Иная картина имеет место далеко позади вихря. Заметим прежде всего, что мы имеем равенство с eM di = в самом деле, стоящий слева интеграл, взятый по всей веществен- вещественной оси, может быть дополнен интегралом, взятым по полуокруж- полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенной в верхней полу- полуплоскости, ибо значение интеграла по этой полуокружности стре- стремится к нулю, когда радиус полуокружности стремится к бесконечности; но в верхней полуплоскости лежит единственный полюс t = ih функ- функции, стоящей под знаком интеграла, находя вычет функции в этой точке и помножая его на 2тЛ, мы и получаем значение интеграла. Мы можем написа1ь: fel«dt_ 7 e™dt fs*dt__ -foo +00 —uo поэтому мы можем написать также dw Г Исходя отсюда, получим для Ь(х) выражение Г^-*>а. A9 21) Интеграл в правой части стремится к нулю при х—> — со, следова- следовательно, при очень больших отрицательных значениях х мы будем иметь приближенное равенство 8(л:)^~ e-^sinvx, A9.22) показывающее, что далеко позади вихря свободная граница жидкости имеет вид синусоиды, амплитуда которой имеет значение A9.23) Длина волны определяется формулой л = — =
4 ifl ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 469 Это есть, очевидно, длина тех прогрессивных волн, которые распро- распространяются по поверхности бесконечно глубокой жидкости со ско- скоростью с. Вычислим еще силу, действующую на вихрь. Если проекции этой сиЛы на оси Ох и Оу обозначить соответственно через X и Y, то по известной формуле Чапльпина будем иметь: где интеграл берется по любому замкнутому контуру, охватывающему ви*рь. Пользуясь формулой A9.2), напишем: dW _ Г 1 dz — 2т z + ih ~т-аУг>' где еы dt ~ v/ — >- -г 2-ni z — ih тс ./ ^ — г/г есть, очевидно, голоморфная функция в нижней полуплоскости. Поэтому вычет функции .. Га (—гЛ) в точке z = — in, в которой расположен вихрь, равняется —^—-, и по теореме вычетов мы получаем: Итак, тч оГ^ dI^^v i. 1 & dt 4тс h тс J t — i h + CO Веюдя в последнем интеграле вместо t новую переменную и фор- формулой и = h (t — ih), Mbi можем привести его к виду — ih 2-ik J t — ih J и — оо при этом необходимо подчеркнуть, что в плоскости t путь интегри- интегрирования должен был целиком лежать в нижней полуплоскости, в пло- плоскости же а он должен лежать в верхней полуплоскости.
4?0 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VII! Функция Z Г еа I — du = Ei (z) — UO носит название интегральной показательной функции. Если z поло- положительно и путь интегрирования лежит в верхней полуплоскости, то интеграл можно брать по вещественной оси, обходя точку и = О сверху по бесконечно малой полуокружности. Так как вычет подын- подынтегральной функции в этой точке равен 1, то значение интеграла по упомянутой бесконечно малой полуокружности равно — тсг. Поэтому мнимая часть Ei(x) равна —тс; введем, далее, обозначение Е1Х (х) = Re Ei (x); тогда будем иметь равенство = EL (х) — тс/, предполагая путь интегрирования расположенным в верхней полу- полуплоскости. Итак, мы получаем равенство ,, , ... т, рГ2 , оТ2ч Y -)- IX = рТс — v ( y отделяя в этом равенстве вещественные и мнимые части и подставляя вместо v его значение gjc2, получим окончательные формулы: X— Pgi c~ <¦' л — с2 A9-24> Первая из этих формул определяет волновое сопротивление R=-X=^-e °> ; A9.25) мы могли бы определить его и по общей формуле, приведенной в начале этого параграфа: подставляя вместо амплитуды образующихся волн а ее значение A9.23). Из этой последней формулы видно, что амплитуда волн, а вместе с тем и волновое сопротивление, уменьшается по показательному
§ 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 471 закону с увеличением глубины погружения вихря. Что же касается зависимости волнового сопротивления от скорости движения вихря, то простое исследование показывает, что при очень малых и очень больших скоростях с волновое сопротивление очень мало; оно дости- достигает максимальной величины при с = Y2gh. Вторая из формул A9.24) показывает, что подъемная сила вихря слагается из двух частей: подъемной силы Жуковского рсГ и доба- добавочной подъемной силы: которая имеет положительный знак при малых скоростях с, отрица- отрицательный при больших скоростях и обращается в нуль при -^=-«3 1,57. V gh Задача о вынужденных волнах, возникающих при движении источ- источника интенсивности Q, решается аналогичным образом. Мы приведем поэтому только окончательные формулы Комплексный потенциал w (г) имеет в этом случае следующее значение: г w (z) — -1г- 1 п (г2-4- Л2) — е~ы / -,—rr-dt, A9.27) v ' jit v ' ' it ,/' — in Л со для комплексной скорости получаем выражение *•= ? J_L Ц-l + i^e— f-f^T-dt; A9.28) dz 2-n\z-\-ih z— ih j ' л .It—ill v ' + X, профиль волны определяется уравнением х Q С t sin v (t—x) -f h cos v (t—x) , — -^ J Щ dt причем hm 8(дг) = О, а при x—> — со мы имеем приближенное равенство Ъ(х)жЩ-е-'ксоъчх, A9.29) так что амплитуда образующихся волн равна а = Щ-е-'н. A9.30)
472 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ VIII Составляющие силы, действующей на источник, определяются фор- формулами: 2?Л_ I A9.31) Первая из этих формул показывает, что на источник действует тянущая сила pcQ, которая имеет место и в безграничном потоке жидкости, и, кроме того, сила волнового сопротивления, которая опять-таки может быть выражена через амплитуду образующихся волн по общей формуле, приведенной в начале этого параграфа. Подъемная же сила V совпадает с выражением A9 26) добавочной подъемной силы, получившейся в случае вихря, если только мы заменим в этом выражении Г на Q. Заметим теперь следующее. Если мы примем правую часть фор- формулы A9.28), дающую выражение комплексной скорости для случая источника, за выражение нового комплексного потенциала + СО ю мы удовлетворим, как легко видеть, всем поставленным выше требованиям. Очевидно, что в точке z = — Ih мы имеем диполь с моментом, направленным по оси Ох, следовательно, предыдущая формула определяет волны, возбуждаемые при движении диполя под свободной поверхностью жидкости. Аналогично мы могли бы определить движение, соответствующее диполю с моментом, направленным по оси Оу или имеющим произ- произвольное направление, а также движения, соответствующие особен- особенностям более высокого порядка. Комбинируя такие движения, нетрудно получить волны, возбу- возбуждаемые при движении параллельно оси Ох круга радиуса Ь, центр которого находится на глубине Л. В самом деле, комплексный потен- потенциал движения безграничной жидкости определяется в этом случае формулой показывающей, что это движение можно считать наложением двух течений: одною, происходящего от диполя с моментом, направлен- направленным по оси Ох, и другого, происходящего от вихря интенсив- интенсивности Г .
§ 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 473 Полагая в формуле A9.32) Q = —2тсс62 и складывая получаю- получающийся потенциал с потенциалом A9.17), приходим к искомой формуле wiz) — - ¦e~hz / -r-^rdt- J t — ih +00 Амплитуда образующихся далеко позади тела волн дается формулой ^ A9.34) а для волнового сопротивления и подъемной силы получаются сле- следующие выражения: R = — X = pv (Г -)- 27tvc62J е-м, ^ A9.35) последний член формулы для К представляет собою подъемную силу Архимеда. Полагая 6 = 0, приходим к формулам A9.24) для случая вихря. Для случая Г = 0 получаем, подставляя значение v — glc2: Волновое сопротивление быстро уменьшается с увеличением глу- глубины Л; при заданной глубине h волновое сопротивление R мало при очень малых и очень больших скоростях с и достигает макси- максимального значения при с = Уgh. Рассмотрим теперь волны, возбуждаемые при движении произ- произвольного контура С параллельно оси Ох с постоянной скоростью с. Сделаем предварительно следующее замечание. Если мы сложим оба изученных нами выше течения A9.19) и A9 28), то получим волны, возбуждаемые вихреисточником, причем
474 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Vllt мы будем считать последний находящимся в точке С = \ -j- it\. Мы будем иметь тогда формулу: dw 1 dz ~ 2t.I I z — С ' z — l g.^ Г^_„. A9.37) Для образующихся далеко позади вихреисточника волн легко находим, складывая выражения A9.22) и A9.29), где х надо заменить на х — ? и h на —% выражение S (л:) « -^ [Г sin v (х — %) -f- Q cos v (д: — ?)] = A9.38) Обозначим теперь через wo(z) комплексный потенциал скорости того течения, которое получается при движении контура С в без- безграничной жидкости. В этом случае dwojdz есть голоморфная функ- функция в области, внешней по отношению к контуру С, и по формуле Коши мы имеем равенство dw0 1 С dw0 rfC 1 dz где С есть переменная точка контура С и контур С пробегается в положительном направлении. Мы видим, что движение жидкости можно считать происходящим вследствие наличия на контуре С ряда вихреисточников, причем на элементе rfC расположен вихрь d<fQ и источник d'SfiQ. Но тогда, заменяя в формуле A9.37) F-(-/Q на dwo(L) и про- производя интегрирование по контуру С, мы получаем волновое дви- движение, вызванное только что описанным распределением вихреисточ- вихреисточников. Это волновое движение можно считать первым приближением к тому, которое вызывается движением контура С. На самом деле, в силу наличия свободной поверхности, произойдет некоторое из- изменение величин вихрей и источников, расположенных на контуре С. Это изменение, очевидно, тем меньше, чем глубже находится контур. Таким образом, рассматриваемое приближение тем лучше, чем больше погружение контура С. Итак, в первом приближении мы находим формулу ^ = ±1$^^+ ^JL^Ll-.^e-bz ty I IL-!^d^Q. A9.^9)
$ 19] ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 475 Для профиля волн, образующихся далеко за телом, находим, поль- пользуясь формулой A9.38), выражение 5 (дг)«Im Г | е1** (? е~»' dwQ (Q1. Введем в рассмотрение функцию tf(v)= §e-l<dwu(l); A9.40) тогда получим: A9.41) Следовательно, амплитуда образующихся волн имеет выражение а = 1\Н(у)\. A9.42) А тогда для волнового сопротивления мы находим, применяя фор- формулу, приведенную в начале этого параграфа, Рассмотрим два примера. Пусть контур С есть круг радиуса Ь, центр которого находится на глубине Л, и пусть циркуляция ско- скорости вдоль контура С имеет заданное значение Г. Для движения цилиндра в бесконечном потоке мы имеем формулу A9.33), поэтому, пользуясь формулой A9.40), находим: 2та Производя разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности точки С = — lh, легко находим: \ C + ihJ ~т~ 2ш ц + ih f~ следовательно, по теореме вычетов tf (v) = е-* (Г + 2ttvC62). Таким образом, амплитуда образующихся волн имеет значение
476 РОЛНОВЫГ ДВИЖЕНИЯ ИДС\ЛЬНОП ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII для волнового же сопротивления получаем выражение оба эти выражения совпадают с найденными выше выражениями. В качестве второго примера рассмотрим случай, когда контур С есть эллипс, центр которого находится на глубине h и оси кото- которого 2а и 2{3 направлены параллельно осям координат Ох и Оу. Значение циркуляции Г примем для простоты равным нулю. В этом случае обтекание контура С потоком безграничной жидкости опре- определяется при помощи вспомогательной переменной и формулами = — th + j /а2 — р2(в-г- -Ц, w = где r =y ' g и | и | = г есть уравнение той окружности в пло- плоскости и, которая соответствует контуру эллипса С. Внешности эллипса соответствует внешность этой окружности. Составляем по формуле A9.40) функцию #(v)= с Производя подстановку и =iv, получим: Но из теории функций Бесселя известно, что J 1г-|=г поэтому 2та т -n+1 Я(>) = т.с Уу* — Э2e-^ft (i_,(v /a2 — р) + r%(v У"а2— воспользовавшись еще формулой
5, 2A] ВОЛНЫ F3 СЖИМЛПЧОП ЖИДКОСТИ 477 и вышеуказанным значением г, получим: Н(v) = 2irc0 у ~|- е-'АЛ (v ]А5 —' р2). A9.44) Таким образом, амплитуда волн, возбуждаемых при движении эллипса, имеет значение а = Щу а~^ tf-^Jj (v ]/а2— fi2), A9.45) для волнового же сопротивления получаем формулу A9.46) § 20. Волны в сжимаемой жидкости. Обтекание воздухом горного хребта. В предыдущих параграфах, посвященных волнам, мы ограничивались рассмотрением несжимаемой жидкости. В этом параграфе рассмотрим пример волн, образующихся под действием силы тяжести в бароклинной сжимаемой среде. Ограничимся рас- рассмотрением стационарных волн, возникающих при адиабатическом движении около цилиндрического препятствия. В бесконечной среде, заполненной несжимаемой жидкостью, безотрывное обтекание про- профиля, обладающего симметрией относительно оси, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, будет симметрично отно- относительно этой оси. Напротив, если обтекаемый профиль расположен под свободной поверхностью, то симметрия потока даже в случае симметричного профиля нарушается благодаря появлению сзади про- профиля волн. Волны, получающиеся из-за наличия свободной поверх- поверхности, всегда имеют одну и ту же длину: v g за счет бароклинности возникают волны разных длин (одновременно существует конечное число таких волн). Волны эти хорошо известны метеорологам по облакам, возникающим с подветренной стороны хребта. Подробный анализ влияния бароклинности был дан впервые в работах Дородницына4). Результаты Дородницына мы здесь и изложим. Обратимся к общей системе уравнений гидромеханики и выпишем ее для стационарной плоской задачи. Направим ось у вертикально Вверх, а ось х — горизонтально. ') Дородницын А. А., Возмущения воздушного потока, вызванные не- °СТЯМИ местности- Труды Главной геофизической обсерватории, вып. 23, 8; Дородницын А. А., Влияние рельефа земной поверхности на воз- воздушные течения, Труды Центрального института прогнозов, вып. 21. 1950.
478 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Мы должны удовлетворить двум уравнениям движения: dvx . d dvv dvv \ dp _Z_j_,0 —1\— L. — gOt B0.2) уравнению неразрывности Jl^L+'J^L — о B0.3) Ок ду к ' и уравнению притока энергии (см. гл. II, § 11) — условию адиаба- тичиости движения: — -^-Н-о, — — =0. B0.4) дх р* v ду р* Таким образом, мы имеем для определения четырех функций: vx, vy, р, р — четыре уравнения. Обратимся к краевым условиям. Мы рассмотрим обтекание не- неровности земной поверхности установившимся воздушным потоком, который вдали от поверхности вверх по течению становится горизон- горизонтальным. Скорость этого невозмущенного потока U нам известна как функция от высоты. Распределение плотности по высоте р^ в не- невозмущенном движении вдали от неровности вверх по течению есть известная функция от высоты у. Наконец, распределение давления рх в невозмущен- невозмущенном движении также будет известно и связано с рю барометрической формулой J^^ — gp . B0.5) dy SVc° v ' -,x Будем считать, что движение происходит Рис. 172. в некоторой полосе (струе), ширина кото- которой Н вдали от неровности вверх по течению нам задана (рис. 172). Над этой полосой жидкость по- покоится. Пусть уравнение неровности имеет вид В качестве одного из краевых условий мы должны потребовать равен- равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности у=г^: Далее, на верхней границе потока мы должны иметь равенство давлений при переходе из области движения в область покоя. Пусть уравнение поверхности струи имеет вид B0.7)
щ 20] ВОЛНЫ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 4?9 В покоящейся среде мы будем иметь давление рв (у). Поэтому мы должны написать: O ) B0.8) Вид функции f](x) заранее не известен. Чтобы поверхность B0.7) была поверхностью тока, мы должны потребовать равенства Представим наши искомые функции в виде '(х> у); p = pa>(y) + p'(Jf. у)- При емсутствии препятствия v'x — v' — р' =р' = 0. Будем считать, что неровность у = С и образующиеся возмущения столь малы, что можно пренебречь всюду квадратами величин, снабженных штрихами. Тогда } равнение B0.1) запишется в виде dv' dU dp р U-^~-\-o v' -j- = ~. B0.11) Уравнение B0.2), если принять в расчет B0.5), запишется так: Уравнение неразрывности B0.3) даст нам: J^ + 4^ + ^ = 0. B0.13) дх ' дх ' ду Так как 1 + 1 + ^1 ' (Рсо+РТ Р^ /l_L_PLV Pi \ V Р/ то B0.4) заменится уравнением 1^ и I- (PL—, il\ + V ± ^ = 0. B0.14) В краевом условии B0.6) пренебрежем произведением ¦— ¦ v'; с точностью до малых второго порядка B0.6) можно записать в виде '-fe- B0Л5)
480 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Vltl Далее, так как rt считается малым, то если использовать B0.5) и аналогичное уравнение, связывающее рв(у) и плотность рв(у) верхнего слоя, то B0.8) можно записать теперь так: [(У> B0.16) (предполагается, вообще говоря, наличие скачка плотности при пере- переходе из струи в верхнюю среду). Наконец, B0.9) примет вид Исключая т) из уравнений B0.16) и B0.17), получим »• <2018> Итак, задача сводится к определению четырех функций v'x, v', p', р' из четырех уравнений B0.11) — B0.14) при краевых условиях B0.15), B0.18). Исключим все функции, кроме v' Для этого решим сначала B0.14) да' „ относительно -^— . Получим: где $ = p^hM' Подставляя это выражение в B0.13), будем иметь ^ «^ ^l^ = o, B0.20) ' дх ' ду ' ' оо у dy v хро дх ' дх ' ду или, если исключить -~ при помощи B0.11),
<; 20] волны в c#»vl'VEMon жидкости 481 С друюй сюроны, дифференцируя B0.12) по х и исключая при помощи B0.19) и f20.ll) р' и Р'• получим: Исключая из B0.21) и B0.22) определения р^. Обозначая Р получим для Ж уравнение ^t/-^L. B0.22) получим одно уравнение для B0.23) 1 = 0, B0.24) где Л 00 = 1—1 dint/ X dy U2 d\nU\ d / U2 d\nU\\ 1 d2U T dy )} U dy2 B0.25) где a^ = x ^s_ = -//?r кваДРат СКОРОСТИ звука. Выражения для Л и В могут ?быть значительно Угощены. Заметим сначала, что & может быть выражено через раз и Т<& х-1 Поэтом; 1 *—1 ^ос ър* dy Применяя B0.51) н обозначая 47" = ~Т' ПОЛ>'ЧИМ: din» 31 w пс, dy R
482 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖИПИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Если температура нашей струи на большом расстоянии вверх по течению 7^ не зависит от высоты (f = 0) и если скорость U тоже постоянна, то А и В будут строго постоянными. В обычных условиях в атмосфере f имеет порядок j^5X X Ю~5 градам; величина же ?~^^^^^L^L^lO-^pad¦ см~х. Так как 7№?»250о, то величина —%— имеет порядок 4 • 10 ' см1. С другой стороны, —z— имеет порядок 10~ см~ , ибо величина U увеличивается, вообще говоря, с высотой вдвое на расстоянии по- порядка 10 км. Обычно в атмосфере U имеет порядок 10J см ¦ сек'1; в то же время а^^З.З- 10 см ¦ сек 1. Поэтому (Uja^) silO и мы можем с большой точностью отбросить в А и В все члены, содержащие t/2/^ (и производные от них). Ориентируясь еще на порядок величины —-z—, можно записать приближенно }-, B0.26) Г^= r i; ¦ dy L т^ ^ у. r i;j и dy> • B0.27) Наибольший интерес представляет случай, когда 7^ линейно зависит от высоты (f = const) и в то же время 7^ мало меняется по сравне- сравнению со своим средним значением Т1. В этом случае мы можем, после того как дифференцирование по у выполнено, считать 7^ по- постоянным, равным 7j. Тогда имеем А = (-§ — т) 4- = const' B0.28) Перейдем к безразмерным координатам xv уг: х = ххН, у = ухН. B0.30) Подстановка 1 (К__ \ Ну, m==e2 U 1) г, ,м B0.31) приведет к уравнению i_f!? + 8>m = 0. B0.32)
где ВОЛНЫ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 483 U2Tt '" -^-fJI1-^- т—. f/ Повторяя наши прежние оценки, можно с большой точностью счи- считать фигурную скобку за единицу и тогда \ 1 ' j U U df 2 " B0.33) Если обозначить С(х) = #Z(Xj), то краевое условие B0.15) примет ВИД <т>,,-о= "(РА-о тег- С2»-34) Краевое условие B0.18) после подстановки в него др'/дх из B0.11) ii замены dp v'/dx по B0.21) примет в новых переменных вид B0.35) где dlnU 2g B0.36) Из трех членов правой части B0.36) второй имеет порядок 1, а тре- третий— порядок 10 1-, величина первого члена правой части B0.36) существенно зависит от отношения плотностей (pjp^y =1 при пере- переходе от верхней среды к нижней. Так как давление не претерпевает разрыва, то pjp^ = Тм/Тв; в обычных условиях это отношение бывает близко к единице. Однако даже при скачке всего лишь в 5°, если принять Гю = 220°, имеем Iак гак gff in ?в 980- 10f 220 225 10s i "~45 103, 10 первый член правой части B0.36) будет иметь порядок 20 и, 2 таким образом.  - 10. С большой точностью можно считать,
484 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII что Итак, задача сведена к решению однородного уравнения B0.32) с краевыми условиями B0.34)(неоднородное) и B0.35) (однородное) В качестве примера доведем до конца решение для случая, когда U = const. Теперь B0.32) будет уравнением с постоянными коэффициентами и решение его может быть легко получено. Введем вспомогательную функцию S(xv у}) из равенства т (xv уг) = S (xv у}) + UPoo @) (l - у^Л -g- . B0.38) Функция 5 удовлетворяет неоднородному уравнению дх\ ду\ °° \ 1 — k) \ д3х1 ' rf.Vj J и однородным краевым условиям: при 3'i == 0 5 = 0, B0.40) при У!=1 S = k^. B0.41) Ищем решение для 5 в виде С / v ., \ — V1 С / Y \ е:п „ ., , on /|ОЛ \ 1* У\' ^J 11 \ 1/ 1пУ1" ^AU.tiJ Одночленное решение удовлетворяет условию B0.40); для того чтобы оно удовлетворяло условию B0.41), необходимо, чтобы fn опреде- определялось из соотношения tg1n = k*i,r B0.43) В интервале 0 < ух ¦< 1 мы можем, с другой стороны, представить -Г=^) = 1?сп*п1пУ1' B0-44) где bin ¦(„ cos 7„ — С" Ъ 2 l~k—^loZ ^-^(ОЛ B0.45)
5 20] ВОЛНЫ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 485 Вставляя B0.42) и B0.44) в уравнение B0.39) и сравнивая члены при sin -(nyv получим обыкновенные дифференциальные уравнения тля Sn(xJ: В метеорологически интересных случаях величина k будет зна- значительно меньше единицы. Если принять Тв—Тм= 10°, Н~ 106 см, 10 мы получим k ^ 0,02. Это значит, что корни трансцендентного уравнения B0.43) будут близки к корням уравнения tgyIL=O и можно считать v — и- 1Л in ~~ п" >• С другой стороны, величина о2 имеет в интересующих нас случаях порядок 102. Так, например, по B0.33) при U = 103 см/сек, Н~ \66 см. т=6-10г5 см/град, Тх = 250°, у. = 1,4, ^ = 980 см/сек2 мы по- получим S2 5^120. Это значит, что коэффициент о2 — у2,, для несколь- нескольких первых значений п будет положителен, но, начиная с некоторого номера я, становится отрицателен (если 82— 120, то при л= 1, 2, 3: ?-' _ Т2 > 0, а при п > 4: 82 — т2 < 0), В эюч существенное отличие случая сжимаемой бароклинной а1мосферы о г случая несжимаемой жидкости. Последний мы можем п пучить, формально полагая рм = const., ¦/. = оо, J=^g/R [ср. урав- уравнения B0 19) и B0.23)]. Но тогда по B0.33) будет 8 = 0, причем Т„ определится по-прежнему из B0.43), где k— U2jgH. Теперь, чтобы 72 было положительным, '(п должно быть чисто мнимым: in = iVn. \'равнение B0.43) нам теперь даст ihTn--kTn, и если ft<l, это yjaBiienne будет иметь одно и только одно решение для Гя. Решения B0.46) будут существенно различны для 82 — ¦у2 ';> 0 и i 1Я о2—-j-2 < 0. В первом случае нам придется иметь дело с пе- периодическими, во втором — с экспоненциальными функциями. И в том и в другом сл\чае мы должны откинуть решение однородного \ равнения B0.46): в первом случае потому, что по смыслу задачи возмущение должно отсутствовать далеко перед препятствием (при Xj = — ос), во втором — потому, что решение должно быть ограниченным при х1 = ± со. Таким образом, нам придется иметь ') Отметим попутно, что если бы мы заменили в постановке задач» свободную поверхность струи твердой стенкой, то мы должны были бы по- поставить в качестве второго краевого условия вместо B0.18) краевое усло- В'1С (г'у)у ^ // = 0, т. е. вместо B0.35) условие (ш)у^, =0. При этом равен- равенство ¦1/г — п- должно будет выполняться точно, а в B0.44) и B0.45) нам надо положить k = 0.
486 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII дело лишь с частным решением неоднородного уравнения B0.46), которое легко определяется методом вариации произвольного постоян- постоянного. Решение, затухающее при хх — — оо, будет иметь вид B0.47) если 82 > i2n, и 7t-v sn(x)= ;л 9 V-,2 У? •' L V in -c B0.48) если 82 < i2n. Примем, что (Z)Xt^-a, = (dZjdx{)Xi = _coz=z(d2Zldx1)Xl=,_co = 0. Тогда, выполняя интегрирование по частям в B0.47), получим для b2f \. B0.49) S,,(x{) = -cn^--cnfn f — СО Аналогичным образом по B0.48) для Ь2 < J в . B0.50) Подставляя Sn в B0.42), а затем в B0.38), принимая в расчет B0.44), B0.31) и B0.24), получим решение нашей задачи. Если k очень мало, то т„ — niz, cn = {2jn^) t/pco@), и мы получим: н где для п < 8/тг B0.51) vo« = 2 J cos[/52 — nW (jfj — 5)] Z (S) d;. B0.52)
§ 20] а для п > 8/тг ВОЛНЫ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 487 wa(xl) = f e-v"*-" — J «V^- S. B0.53) Найдем еще уравнения линий тока. Пусть речь идет о линии тока, расположенной на высоте y1 = h далеко слева от препятствия. Уравнение такой линии тока будет: Тогда можно написать: Отсюда, с точностью до малых второго порядка (е мало), получим: *(Xl)=-Jj J Vy(Xv h)dXV Чтобы лучше представить картину обтекания, рассмотрим простой пример. Пусть препятствие имеет в сечении плоскостью {хх, у}) вид прямоугольника, так что L Z = 0. — Z1 = const, При — СО •<,. X при —L^ix при /.^Xj^co Z- Тогда B0.52) даст члены вида при —со -^ jfj -^—L wn(x1) = 0, при — L ^ x1 -^ L 4Z B0.54) 2Z, . , = —г-5- sin i 0/7 при B0.55) где Ьп = ]/82 — /12тг^ . С другой стороны, члены, отвечающие B0.53), будут иметь вид при — со <^ хх -^ — при — L <; ATj <; L При /.^Xj^OO 2Z, sh L B0.56)
488 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Мы видим, что члены типа B0.56) будут быстро затухать как с на- наветренной, гак и с подветренной стороны препятствия. Как легко видеть, в нашем случае симметричного по отношению к оси Y пре- препятствия эти члены дают симметричный по отношению к оси Y вклад в картину обтекания, Наоборот, члены типа B0.55) (малые номера п) не дают никаких возмущений с наветренной стороны, но порождают незатухающие периодические возмущения с подветренной стороны. Эти возмущения носят название волн подветренной стороны. По- Подобные возмущения приводят в природе часто к образованию позади хребта параллельных гряд облаков (там, где вертикальные токи по- положительны, возникают дополнительные условия для конденсации влаги и облакообразования; там, где т < 0, имеем нисходящие токи и уменьшение облачности), которые неподвижно стоят, несмотря на сильный перпендикулярно к ним направленный ветер. Мы предполагали, чго —¦ — j > 0. Если-^—§ — Т<СОJ)—¦ волн типа B0.52) не будет и все решения для wn (у,) будут иметь характер B0 53). Волны подветренной стороны пропадают. В общем случае, когда U зависит от высоты, будет иметь значение кривизна профиля скорости. Если U" < 0 и ^ — j > 0, мы будем иметь вновь Ь2 > 0; наоборот, если U" > 0 и достаточно велико, то даже при ^——С- > f может оказаться 82 < 0. § 21. Упражнения. 1. Найти скорость распространения и период коле- колебаний для океанских волн в 145 м длиной. Ответ, с = 15,05 м/сек; % = 9,64 сек. 2. Океанские волны перемещаются со скоростью 10 м/сек Найти длину этих волн и их период- Ответ. X = 64,05 м; -с = 6,41 сек. 3. Заметили, что поплавок поднимается и опускается на волне пятна- пятнадцать раз в минуту. Найти длину волн и скорость их распространения, счи- считая глубину жидкости очень большой. Ответ X = 24,98 м; с = 6,25 м/сек. 4. Вычислить приходящуюся на длину волны кинетическую и потенциаль- потенциальную энергию прогрессивных волн длины X, происходящих под действием силы тяжести на поверхности раздела двух жидкостей, глубины которых h ') Это отвечает случаю так называемого «сверхадиабатического» гра- градиента 7- Заметим, что если бы при решении задачи обтекания учитывалась влажность воздуха и конденсация водяного пара (возникающая при подъемз несущего водяной пар воздуха), нам пришлось бы видоизменить уравнение притока тепла типа B0.4) за счет введения скрытой теплоты конденсации. Можно показать, что соответствующее видоизменение было бы эквивалентно замене — jr- другим значением (зависящим от Т и р), меньшим по ве- величине См., например, Динамическая метеорология, под ред. Извекова Б. И. и Кочина Н Е., ч. 4, 1937.
* 22] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 489 н h', плотности р и р', причем нижняя жидкость ограничена снизу, а верхняя сверху горизонтальными плоскостями (р > р'). Ответ У^. 5. Найти групповую скорость U для капиллярно-гравитационных волн па бесконечно глубокой жидкости. Прн каком условии групповая скорость больше скорости распространения самих волн с? Решить последний вопрос также графнчески при помощи графика с (к) (рис. 166) н графического спо- способа отыскания U. Ответ, с = Т/ -§—Н =-, U- — (х- + -гЬ ?/> с, если А < ?,„. г 2я ' рХ с \4я ' рХ/ '" 6. Найти скорость распространения капиллярно-гравитационных воли па поверхности раздела двух бесконечно глубоких жидкостей разных плот- плотностей р и р'. Определить, для какой длины волны скорость распростране- распространения наименьшая, и найти значение этой минимальной скорости. Ответ, c2== 7. Найти скорость распространения капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела двух бесконечно глубоких жидкостей разных плот- плотностей р и р', если верхняя жидкость меньшей плотности р' течет со ско- скоростью U н величина поверхностного натяжения есть а (образование ряби ветром, скорость которого равна U). Могут ли волны распространяться против ветра? При какой скорости U основное движение устойчиво для всех длин волн? Вычислить критическую скорость Uo, при которой основное дви- движение делается неустойчивым для некоторых длин волн, если р'/р = 1/770 (отношение плотностей воздуха н воды) и а = 74 дн/см. Ответ, с если то одно из двух значений с будет отрицательным, т. е. волны могут рас- пространяться против ветра. Устойчивость для всех волн будет при U < у Sa\? — ? HP x P ' г в частности для воды и воздуха при Р Р U < 6,46 м/сек. В. ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ § 22. Общие формулы. Обратимся теперь к изучению общего случая трехмерных безвихревых волн на поверхности бесконечно i лубокой жидкости. Потенциал скорости должен удовлетворять урав- уравнению Лапласа
490 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII причем на большой глубине (z —> — со)ср стремится к нулю. На свободной поверхности д 1 ?2 можно, однако, доказать, что это уравнение справедливо в любой точке жидкости. Наконец, ср должно удовлетворять начальным условиям <р = />(*. у), -§¦=/(*. У) B2.3) при z = 0 и * = 0. Мы примем f(x, у) = 0 и будем искать ср в виде ряда Маклорена Но из уравнения B2.2) ясно, что Остается найти ср0 и l-^-J • Вследствие того, что f(x, y) = 0 (рассуждаем так же, как в § 9), мы получим: Отыщем fo(x, у, z). Аналогично формуле (9.11) § 9 положим: СО СО е.у, z) = —J- f f zF (S| ^ di dT[ j~ B2.6) — CO —CO и докажем, что сро(лг, у, z) удовлетворяет как уравнению Лапласа, так и условию Нпиро(д;. у, z) = F(x, у). B2.7) 2->0 Как легко проверить, уравнению Лапласа удовлетворяет функция от л-, у, z: 1 1 ~R~ Yz* + {x — gJ-j_(у —^Т8 ' но тогда ему удовлетворяет также и функция J_J__ ? дг R [.
% 22] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 491 а значит, и весь интеграл B2.6), представляющий сумму таких функций. Докажем теперь справедливость равенства B2.7). Сначала пред- предположим, что всюду F(x, у)=1, и докажем, что со со J С СгаЫг> =] B2 8) L .i,-SJ+(у - Т|J]'/а Введем для этого в плоскости \ч\ полярные координаты р и ср. полагая тогда интеграл B2.8) легко вычисляется: со со 2и со 1_ Г Г zdzdr, 1_ Г Г z? d? d? _ ~2t'LL t-г* + (-« — 6)" + (У — Ч)я]*л ~ 2"/ J (г» + Р*)''«~ . о~ УТ*~1' так как вследствие отрицательности z будет ]/z2 = — z. Так как подынтегральная функция в B2.8) всюду одного знака, то такой же интеграл, взятый по любой части 6' плоскости $yj, будет меньше единицы: 1 Г Г zdldi\ 2я ./ J [z2 -\-(x — ?J + (y — t\J]'2 Возвратимся теперь к формуле B2.6) и представим ее в виде 2. — ± f F 2tc L L — CO —CO Первый из интегралов в правой части равен, по предыдущему, Р (х, у); второй же стремится к нулю, когда z стремится к нулю, если предположить функцию F(x, у) ограниченной и в точке (х, у) непрерывной. Для доказательства рассмотрим в плоскости \у\ малый кружок «Ь с центром в точке (х, у) и с радиусом е; остальную часть
492 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII плоскости Irj обозначим через S,; тогда, очевидно, ,. Г Г z[F (g, y;) - F (х, у)] djd-ц __ Q Что же касается круга S, то для точек (?, ~q), лежащих внутри 5, будет: \F(l ri)-F(x, y)\ <bv причем Ej можно считать стремящимся к нулю, когда в стремится к нулю (в этом состоит условие непрерывности функции F(x, у)). Поэтому 1 Г Г [F(S,V-F(x,y)] 2я Jc J \гг + (х — g z d\ d-ц ш s- [z* + (x~W + (y--tf}i Итак, при z, стремящемся к нулю, второй интеграл формулы B2.9) может быть сделан меньше любого числа г,, значит, предел этого интеграла равен нулю, и мы получаем, что limcpo(x, у, z) — F(x, у), г->0 что мы и хотели показать. Примем теперь, что функция F(x, у) повсюду равна нулю, за исключением малой окрестности 5 начала координат, в которой F (х, у) предположим столь большой, что интеграл f f F{x, остается ьонечным и равняется П, где П обозначает импульс сил давлений, способный вызвать желаемые нами начальные скорости. При таких условиях, вводя цилиндрические координаты (г, 9, z), мы получим: ,х у г)==А ?=211=^LjL\ Но тогда
$ 22] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 493 и значит, ?(Г> г, 0 —^] (~1)П П gtf Д+г-w-^-^t- B2.10) Чтобы получить уравнение профиля волны, надо найти ср(г, 0, t). Но мы имеем: 1 1(\Л-г*У'5 V С—1)" 1 - 3 ¦ 5 ... B/2-1) г \ г2 / ¦*¦« 2"л! С другой стороны, по формуле Маклорена СО 1 V г" I д" 1 /1 = 0 Сравнивая эти два разложения, найдем: Поэтому, подставляя в формулу B2.10) г = 0 и /t = 2ft-f-l, найдем: Для профиля волны по уравнению . . 1 йу (г, 0, найдем следующее выражение: Оно показывает, что форма профиля волны в данном месте зави- зависит, главным образом, от величины gfijr, так чго теперь возмущения будут распространяться концентрически с постоянным ускорением •-оверщенно аналогично случаю плоских волн. Ряды B2.11) и B2.12) годятся для вычисления только при малых значениях gt2/r. Для больших gt2/r удобнее дать другие формулы, аналогичные формулам A0.7) случая плоских волн. К выводу этих формул мы сейчас и обратимся.
494 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Введем для краткости обозначение 4?- = «>. B2.13) тогда формулу B2.11) можно переписать следующим образом: а(г п Л— П V (-1)*+|[ЬЗ-5...B*+1)]*2'*+'ш'«-н <р(г, О, О—-г^Я-^ Dft+ 2)! • B2Л4) * = 0 Этот ряд можно представить определенным интегралом, причем под знак последнего войдет функция Бесселя нулевого порядка: v2 r4 v-6 Jq\x) — 1 9! "г 22-4! 22 ¦ 42 • б2 ' " ' ± |_ _^ | 9! "г 22-4! 22 ¦ 42 • б2 ' " ' ш+ [2 • 4 • 6 ... 2?]2 ? = 0 и ее производная У (х). Рассмотрим для этого функцию F (*) = -к \xj« {x)\=Jo (*)+Ч (*)• Разложение в ряд этой функции имеет вид (-1)* B*+!)¦«'* - dx t—o wj — ^ [2-4-6... 2ft]2 " Вычислим теперь следующий интеграл: ic/2 ф (св) = / cos yF Iycos2cP) d<?> B2.15) о подставляя сюда данное выше разложение функции F (х), найдем: Ф(а>) = ^^~.^ (. )"...1 / cos«+1 Но, как известно, к/2 cos S 4**1» dv — ... 4ft+1) ' о поэтому коэффициент при ев2* будет: (_l)*[2.4...4ftDft + 2)J'i __ 1 Dft+2)!
22] ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 495 и следовательно, со — Л Сравнение этой формулы с B1.14) показывает, что ср(г, 0, t) = — оП(й2Ф(ц)). B2.16) По этой формуле можно вычислять ср(г. О, t) при больших зна- значениях ш. Функция Ф (о>) обозначает здесь определенный инте- 1рал B2.15). При больших ш можно дать приближенное выражение пя этого интеграла. Воспользуемся известными из теории функций Бесселя неравенствами Л (*) — V —cos х B2.17) справедливыми для всех положительных х; здесь Ао, А-^ и Л2 обозна- обозначают некоторые определенные числа. Из этих неравенств вытекает следующее: Ух ~ [xJ0 (х)] ~ [xJ0 \ х sin (* - ^ <д а из этого неравенства непосредственно следует, что coscp/7/ —cos2' Y ' 2 — cos7 cp sin | — cos2 ср /2 и значит, к/2 Ф(ш)-)-]/"- f cos2cpsin('|cos2cp — — )dcp Вычислим интеграл *i(u>) = / -. B2.18) cos2 cpsin |y
496 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Введем для этого новую переменную интегрирования i|> = 2cp; тогда п 6 Воспользуемся теперь формулой (со те . со T~T + TCOS (СО Я \ /@ ,\. /« Я \ . / СО Т — 4" j cos D" cos Ф] + cos ^ - ?) sin ^ cos и отметим, что при помощи функций Бесселя можно взять интегралы //о>cos ф \ .. i (а>\ Г ¦ cos^—r-tJrf<|» = 7ty0^J, J si о 1Г Tt /. / to COS 6 \ ., A Г cos<|)cos(—r-^jd«|» = O, J COS Принимая все это во внимание, мы можем установить следующее соотношение: при помощи неравенств B2.17) мы найдем, что , . ТС ,/- + / со я \ . / со тс COS Sin U 4/ U 4 У CO или ФХ1 ./(О Теперь из B2.18) мы заключим, что Ф((В)~7Г cosJ 1де В—определенное число. Таким образом, имеем приближенное равенство
^ 22) ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 497 ii значит <р(л, О, О»- =- ^ з cosf. B2.19) 2 у 2r.pr2 4 У 2прг3 4r Для профиля волны найдем уравнение - / *\ 16? (Л 0, 0 Ш gt2 llgt3 . gt2 l (/-, t)= r\ > > > де —— cos — —~ • sin — g dt 2/2 тер/-3 4r 8/2 л?г4 4r или, оставляя только второй член, более важный для больших / получим окончательно следующее приближенное выражение для про- профиля волн: М!^1. B2.20) 4r v ' Приведем еще выражения функций ср(г, 0, /) и С (г, t) через оесселевы функции. ВследствиеB2.15), вспоминая определение функ- функции F (х), имеем: и/2 я/2 =J coscp./()^yCos2cpW<p— у у ибо J'0(x) = — Jx(x). Произведя в обоих интегралах подстановку I— в 1 в sincp= у 2 sin —, coscptfcp= —?=¦ cos— dd, cos2 cp = 1 — 2 sin2 -^ = cos 9, получим: i/2 it/2 я г/2 / cos3cpJ11 — cos2cp)dcc = —=. / cos 9 cos — Jx I — cos 6)^9 = 2/2 Q 32 Зак 1190
498 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Но в теории бесселевых функций доказывается формула к/2 У^ (z) У, (z) = \ f J^ Bг cos 0) cos (ц — v) S dB. 0 если [x-j-v> — 1. Частными случаями этой формулы являются сле- следующие: г/2 У2 (z) J__i B) = |- /* ioBzcos8)cos~rf0, 4-4 я о г/2 Уз (г) У! (г) = - Г Л B2 cos 0) cos ~ dd, 4 4 о п/2 У^ (г) У 1 (г) = - / ^ Bг cos 0) cos -у rfO. Так как () /(«) то последнюю формулу можно записать еще так: г/2 - f y1BzcosS)cos^-rf8=y , B) [i У, B) — У а В результате легко находим следующее выражение для Ф (ш): и следовательно,
с; 2Ч| КОРАБЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 499 Вс.1едс1вне формулы ! д ( ° ° ц пользуясь формулами теории бесселевых функций, легко найдем для профиля волны следующее выражение: 0, " <L Эти формулы дают решение задачи, пригодное при любых значениях ш. § 23. Корабельные волны. В предыдущем параграфе мы полу- получили для поверхности жидкости, возмущенной приложением в опре- определенной точке ее некоторого им- ,, пульса давления, приближенное вы- выражение: С = — sin -^—. B3.1) 8V2r.gr' \Г Мы применим этот результат к нахождению вида корабельных волн, производимых кораблем при движении его на очень глубокой воде с постоянной скоростью с. При этом волнообраз}ющее действие корабля можно заменить действием двух импульсов давления, производимых его носом и кормою (от носа и кормы образуются самостоятельные волновые системы, которые интерферируют друг с другом). Мы ограничимся, однако, еще более простым случаем и рассмотрим только один возмущающий центр, который примем перемещающимся по оси Ох в отрицательную сторону со скоростью с. Пусть в момент времени t = 0 этот центр находится в начале координат. Обозначим через t время, которое потребовалось возмущающему центру, чтобы переместиться из поло- положения Q в положение О (рис. 173); тогда, очевидно, Волны, исходившие из возмущающего центра, когда последний находился в положении Q, имеют в разных местах разную длину и разную фазу. Рассмотрим какую-либо точку Р- Волны, пришедшие в эту точку и испущенные возмущающим центром в положении Q, будут налагаться на волны, получившиеся в те моменты, когда воз- возмущающий центр занимал другое положение на оси Ох. 32*
500 ВОЛНОВЫГ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Эти волны, созданные возмущающим центром в различные моменты времени, будут иметь в точке Р, вообще говоря, самые различные фазы и потому будут взаимно уничтожаться. 1Может, однако, случиться, что найдется такое положение Q возмущающего центра, что волны, созданные им в любом, соседнем с Q, положении Q', будут иметь в точке Р ту же самую фазу (или почти ту же самую), что и волны, созданные в положении Q. Такие волны взаимно сложатся и дадут в точке Р некоторое возмущение. Поэтому для отыскания результи- результирующего возмущения в точке Р нужно рассмотреть те положения Q возмущающего центра, при которых фазы волн, созданные в Q и в соседнем положении Q', будут в точке Р совпадать. Из формулы B3.1) видно, что для этого нужно, чтобы в точ- точках Q и Q' аргумент gft/r имел бы одинаковое значение. Так как г = PQ, a t=——, 10 г и t зависят от положения Q. Если в точке Q', соседней с точкой Q, величина gfl/r должна иметь то же значение, что в точке Q, то дифференциал этой величины в точке Q должен равняться нулю: Итак, результирующая амплитуда волны в точке Р может про- изойш только от волн, созданных при положениях возмущающего центра, близких к тем положениям Q, для которых — dt — ^rdr=*0. B3.2) г г2 ч ' Но очевидно, что и если ввести угол OQP=b, то из Д QQ'Q" {QQ" A_PQ'): dr = с cos 6 dt. Поэтому уравнение B3.2) даег: ctcosQ B3.3) При помощи этого уравнения нужно определять те точки Q, которые дают главную часть волнения в точке Р. Это проще всего сделать геометрически. Для этого отметим (рис. 174) на оси Ох положение Qx точки Q, разделим отрезок OQX пополам и середину его обозначим через Мг; тогда в Д M1PQi будет M1Ql=^ct/'2, PQj^r, но тогда формула B3.3) показывает, что [_ MXPQX — 90".
КОРАБЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 501 Соединим точки О и Р прямой линией и разделим ОР в точке С пополам; прямая CMV соединяя середины сторон ОР и OQX тре- мольника OPQ1, параллельна стороне PQX этого треугольника и. значит, перпендикулярна к РМХ. Поэтому угол СМ^Р есть прямой. Значит, если на СР как на диаметре мы построим окружность, то последняя пройдет через точку Мх. Так как точка Мх лежит еще на оси Ох, то мы получаем следующее правило для определения отвечающего точке Р положения центра возмущения: надо соединить Рис. 174. точку Р с точкой О (настоящим положением центра возмущения), разделить ОР пополам в точке С, построить на СР как на диаметре окружность, найти точки пересечения Мх и М2 этой окружности ч. осью Ох (но которой движется центр возмущения), тогда, откла- откладывая отрезки MlQx — 0Mx и M2Q2 = ОМ2, мы и получим искомые Рис. 175 положения Qx и Q2 центра возмущения. При этом PQ: перпендику- 1ярно к РМХ и РО_2 перпендикулярно к РМ2. Точек пересечения Мх и М2 може[ оказаться две, одна или ни одной. Одна точка пересечения будет в том случае, когда ось Ох будет касаться окружности СМР (рис. 175), из чертежа видно, что iTo будет лишь в том случае, когда sin/ МОР = А = -^, т. е. если 1_М0Р~ 19° 28'. Если /_ МОР превосходит эту величину, то
50? ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII ье будет ни одной точки пересечения окружности с осью Ох. Таким образом, волны чувствительной амплитуды образуются только в угле i раствором 38° 56', биссектрисой которого является ось Ох. Перейдем теперь к отысканию вида корабельных волн. Для этого мы найдем кривые постоянной фазы, т. е. геометрическое место ючек Р, для которых фаза будет одна и та же (например, такими кривыми являются гребни волны или впадины). Для такой кривой фаза постоянна, т. е. -^=04= const., B3.4) ме г — расстояние точки Р до соответствующего центра возмуще- возмущения Qj (или Q2)> а t — ~ (или ——I. При этом каждому поло- положению точки Р отвечает свое положение точки Qx и свое t. Зна- Значит, t и г будут функциями от положения точки Р, которое мы будем характеризовать горизонтальными координатами х и у. Проще всего найти кривые постоянной фазы в параметрической форме. Из рис. 174 ясно, что х = ОМХ -j- MXP cos (у — 6\ = ~ A -4- sin2 0), у = — МХР sin (^ — 6\ = — ~- sin S cos 0. Но из уравнений B3.3) и B3.4) следует, что для кривых постоян- постоянной фазы а: о .gt* н = a, il=?^cos0, B3.5) 2ct cos 0 2 g ч ' значит, уравнения кривых постоянной фазы имеют вид х = — cos 6 A 4- sin2 6) = -^ E cos 0 — cos 30), о о у = — — cos2 8 sin 9 = — ^- (sin S -4- sin 30). о о B3.6) Как видно из этих уравнений, все кривые постоянной фазы подобны, причем центром подобия является точка О. Достаточно поэтому построить одну из кривых. Вид этих кривых показан на рис. 176. Докажем, что часть ВА кривой получается при изменении б от 0° до 35J16', часть АО при изменении 9 от 35° 16' до 90°. Часть кри- кривой ВСО получается при отрицательных значениях 6. Для доказательства рассмотрим опять рис. 174. Из него видно, что всем точкам Р, лежащим на одном и том же радиусе ОР. составляющем с осью Ох угол р, отвечают два значения угла 0;
§ 23] КОРАБЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 503 обозначим их через 6, = ?_ ОМ{С и 62 = ?_ ОМ2С. Если угол {J очень мал, то 6j близко к 90J и в2 близко к нулю. При увеличении угла J3 угол дг убывает, угол S2 возрастает; эти углы 6j и S2 становятся равными друг другу при р = 19Э28'. Из рис. 175 видно, что в этом случае в1 = 02 = /_ОМС =-\ LMDC — \ (90° — !9°280 = 3VI6'. Итак, через взятую точку Я (рис. 176), лежащую внутри угла АОС, проходят две кривые ОА'РВ'С и ОРАВС рассматриваемого семей- семейства; величины соответствую- соответствующих фаз надо вычислять по формуле B3.4). Величина а принимает, по определению, экстремальные значения в точках Ql и Q2. Очевидно, что при перемеще- перемещении точки Q от 0 до точки Qj а будет возрастать от О до av при дальнейшем же перемещении точки Q из поло- положения <3Х в Q2 величина а будет убывать от Gtj до а2. Итак, a.j > а2. Но очевидно, что мень- меньшее значение фазы а2 отвечает кривой ОА'В'С. Поэтому точке Р, рас- рассматриваемой как точка кривой ОА'РВ'С, отвечает значение 62> а той же точке, рассматриваемой как точка кривой ОРАВС, отвечает зна- значение Oj. Отсюда и вытекает, что при перемещении точки Р по части кривой ОРА угол 6 будет меняться от 90° до 35°16', на части же АВ угол 6 будет меняться от 35° 16' до 0°. Точки О, А и С являются, как можно показать, точками возврата первого рода. Итак, при движении корабля образуются две системы волн: диагональные — вида О А и ОС и поперечные — вида ABC; первая система происходит от положений возмущающего центра типа Qv вторая — от положе- положений типа Q2; обе эти системы накладываются друг на друга и обра- образуют в совокупности корабельные волны. Отметим еще, что при 0 = 0 будет х — ОВ, следовательно, по формуле B3.6) Рис. 176. Отсюда следует, что расстояние между двумя соседними гребнями поперечных волн будет равно 2^c2/g, так как двум таким гребням отвечают значения фаз, различающиеся на 2т:. Поэтому длина волны Для этих поперечных волн будет: х==
504 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII а скорость их распространения будет y"g>X/2ir = c, т. е. скорость распространения образующихся при движении корабля поперечных волн совпадает со скоростью корабля. Этого, конечно, и надо было ожидать. Отметим в заключение, что примененный нами метод дает только приближенную теорию, воспроизводящую лишь главные черты явления; на более детальном исследовании мы не останавливаемся. § 24. Стоячие колебания тяжелой жидкости в сосуде. До сих пор мы предполагали, что жидкость простирается в горизонтальном направлении во все стороны до бесконечности. Теперь мы рассмо- рассмотрим движение жидкости в какой-нибудь ограниченной области, про- происходящее под действием силы тяжести. Примером таких движений являются так называемые сейши в озерах, состоящие в периодических колебаниях уровня озера, распространяющихся на все озеро. В настоящем параграфе мы рассмотрим стоячие колебания жидко- жидкости глубины h, находящейся в цилиндрическом бассейне (в частности, при /z —оо получаем жидкость бесконечно большой глубины). Таким образом, направляя ось Oz вертикально вверх и беря начало коор- координат на поверхности уровня в равновесном положении, мы будем иметь следующее уравнение дна жидкости: z — — h. Мы будем рассматривать безвихревые движения; потенциал ско- скорости обозначим через <?(х, у, z, t). Этот потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа B4.1) На свободной поверхности должно выполняться уравнение Наконец, на дне и на боковых стенках сосуда должно выполняться условие 5=0. B4.3) Чтобы получить стоячие колебания жидкости, мы рассмотрим потенциал скорости ср вида ср(х, у, z, г)=^Ф(х, у, z) cos at. Формула A1-1) § И наводит на мысль взять следующую зависи- зависимость <р от г: <f(x, у, z, t) — chk(z + h)${x, y)cosat. B4.4)
« ?4] СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ В СОСУДЕ 505 'iona уравнение B4.1) обращается в следующее: l? + |J-4-*8O = 0. B4.5) Уравнение B4.2) дает уравнение, связывающее о и k: — a^chkh-i-gkshkh^O или а2 = gkth kh. B4.6) Период колебаний т определяется через а при помощи простой фор- м\ лы Наконец, уравнение B4.3) на дне выполняется само собой, ибо па дне направление нормали совпадает с направлением оси Oz, но dz (*. у) cos at, (-^-) = 0. Остается выполнить еще условие на боковых стенках цилиндра, ограничивающего жидкость: Исследуем полученное движение сначала в общем виде. Скорости частиц жидкости определяются формулой v — cos ot grad Ф. B4.8) Интегрируя поэтому уравнения dx дФ , dy дФ , dz дФ —— ~vr =т— cos of; —тг—-г- coso^, -^ = -3— cos at, dt х дх dt dy dt dz мы получим, обозначая средние положения частиц через х0, у0, z0 и подставляя в Ф (х, у, z) вместо х, у, z это среднее положение х0, у0, z0 (вследствие малости колебаний х мало отличается от ха и т. д.): , 1 / дФ \ . , х х + [^та B4.9) дФ \ Следовательно, каждая частица колеблется прямолинейно по гармо- гармоническому закону около среднего своего положения, причем все 'истицы одновременно проходят как через свои средние, так и чер,м
506 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII крайние положения. Обратим внимание на вертикальную составляю- составляющую скорости и вертикальную амплитуду: (дФ \ •—-I cos at —= k sh k (z0 + h) Ф (x, y)cosot, k zQ=—s\\k(z0-\-h)${x, y) sin ot. B4.10) На дне сосуда vz = 0; кроме того, vz обращается в нуль во всех точках вертикального цилиндра Ф (х, у)_0. Найдем вид свободной поверхности жидкости: с = ~ 7 &)г=0 = 7ch kh ф {х' у) sin cL B4'11} Поверхность уровня совершает, таким образом, гармонические колебания. С точностью до некоторого множителя эта поверхность имеет всегда следующий вид: г = Ф(х, у). B4.12) Кривые, лежащие в полости z — 0, уравнение которых есть Ф(х, у) = const., B4.13) суть линии уровня поверхности B4.12). Их можно назвать линиями равной вертикальной амплитуды, так как вертикальное перемещение всех частиц такой линии по формуле B4.10) одинаково. В частности, кривые Ф(а\ у) = 0 являются узловыми линиями для вертикального движения, так как на них вертикальное перемещение частиц равно нулю. Найдем еще линии тока на плоскости Оху, которые опреде- определяются из уравнения dx dy dx dy _____ или — — — . Как известно, это есть уравнение кривых, ортогональных к линиям уровня B4.13), а такие кривые называются линиями наибольшего скага. Итак, линии тока на плоскости Оху являются линиями наиболь- наибольшего ската на поверхности B4.12). Условие B4.7) выражает то обстоятельство, что цилиндр, ограничивающий жидкость, проходит через линию тока на плоскости Оху. Действительно, скорость частицы, прикасающейся к цилиндру, лежит в плоскости, касательной к ци- цилиндру, следовательно, контур поперечного сечения цилиндра пло- плоскостью z = 0 в каждой своей точке касается проекции скорости на тоскость Оху, т. е. является линией тока на плоскости Оху.
^ 25] КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ СОСУДЕ 507 § 25. Колебания жидкости в прямоугольном сосуде и в кру- круговом цилиндре. Обратимся к частным случаям движения. Из формулы A1.1) § 11 при kA = 7ij2, e —0 получаем следую- следующий потенциал скорости: <f(x, у, z, t,) == ch k (z -f-A) cos kx cos at, 1ЛКИМ образом, Ф(х, y) = coskx. Уравнение линий тока dx dy sin kx о выполняется в двух случаях: во-первых, может быть dy = O, у = const., во-вторых, может быть sin kx — 0, kx = p~, x — p~lk, lit p — любое целое число. Итак, мы можем рассмотреть движение жидкости, заключенной в прямоугольном сосуде произвольной ширины b (границы у —0 и у = Ь), длина же этого сосуда должна равняться кратному от ~jk (границы х = 0 и х = px/k). Пусть нам дан прямоугольный сосуд длины а и ширины Ь. Тогда из условия pnjk — a мы определим k. Полагая /7=1, мы получим: kx — к/а, полагая /7 = 2, 3, 4, ..., получим соответственно: &2 —2-/a, k3—3~ja, k4 = ir,/a, ... По формуле B4.6) мы получим соответствующие функции, ча- частоты и периоды: Ф(х, y) = cos^, gp B3Л)
508 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Если жидкость бесконечно глубокая, то th ^—— = cth -^-- = }t и мы получим: Наоборот, если глубина жидкости мала в сравнении, с длиной а, , p-h рт-.h ю th—= -—, и мы имеем: а п __pr.Y'Rh ____ 2а °" - "• " pyjh B5'3) Уравнение B5.1) показывает, что свободная поверхность есть косинусоида, имеющая р полуволн. На рис. 177, построенном для случая /7 = 3, показаны узловые линии вертикальною движения. Последние определяются по формуле ф(х, у)-=0. В нашем случае это уравнение принимает вид D71X cos^^ = 0 и имеет следующие решения: _ а За Bр — \) а Х ~ 2р' Тр' ¦ ¦ ¦ ' Тр • Таким образом, имеем р )злов. Шак, в бассейне прямоугольной формы возможны колебания различных периодов. Однако последние определяются совершенно опреде- определенным образом. Это будет иметь место и в других случаях. Чтобы получить более общий случай ко- колебаний, возьмем = cos [k (x cos a -{- у sin а)]; Рис. 177. это сводится к тому, что теперь к гребням волн будет перпендику- перпендикулярна не ось Ох, а прямая, составляющая с осью Ох угол а. Дви- Движение, симметричное относительно оси Ох, будет определяться функ- функцией Ф2(х. у)— cos [A (jc cos а — у sin а)]. Вследствие линейности основного уравнения B4.5) мы можем образовать следующее его решение: Ф .= у (Ф1 -\- Ф2) = cos (kx cos a.) cos (ky sin a)
§ 25] КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ СОСУДЕ 509 или, обозначая для краткости k cos a = т. k sina = я, ft = У /я2-)- я2, будем иметь: ф (д;, у) = cos mx cos ny. Уравнением линий тока является dx dv dx dy ... ^ Tl -Til _, . ., . -\ m sin mx cos ny ~ n cos /ил: ып ny " m tg отл: п tg ny Оно легко интегрируется. Мы отметим только следующие част- частные решения: __ х = ^ B5.4) и У=-^- B55) Поэюыу, не нарушая движения жидкости, мы можем поставить стенки, уравнения которых даются формулами B5.4) и B5.5). Пусть нам дан прямоугочьный у сосуд длины а (границы х — 0 и х = а) и ширины Ь (границы у = 0 и у = Ь) (рис. 177) Гогда для определения т и п мы имеем условия т ' п oik) да т —— , а К к Предпола1ая Д1Я простоты рис Og жидкоеib бесконечно глубокой, получим для определения частот и периодов возможных колебаний формулы (р и ^ — произвольные целые неотрицательные числа): g Если глубина жидкости мала, то 2 "Т B5.6) Т B5.7) На рис. 178 показаны линии уровня поверхности ф (х, у) — cos ^c- соь -—-
510 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Д1Я спучая р — 2, q = 2. Узловыми линиями являются указанные на чертеже прямые, параллельные осям координат. Чтобы разобрать случай кругового цилиндра, введем вместо х и у полярные координаты г и б: х = г cos 6, y = rsinS. Основное уравнение B4.5) примет вид д*Ф 1 дФ 1 д'Ф + + дг2 — 0. Мы ограничимся отысканием решения этого уравнения, не зави- зависящего от 6; если ввести новую переменную w = kr, то для опреде- определения Ф(г) получается уравнение Бесселя и, значит, если J0(z) есть функция Бесселя нулевого порядка, ю ф (г) = 70(/гг); (р(х, у, z, t) — cos at ch k (z ¦+h) J0(kr). Проекции скорости в полярных координатах равны vr = -^r = kcosatchk(z+h)j'0(kr); г», =-^-^-= 0. Отыскиваем линии тока из уравнений dr rdb dr dO — — или —; = —. J 0 Таким образом, линиями тока являются радиусы, исходящие из начала координат 6 = const., и концентрические окружности г = гр, где гр есть корень уравнения Jo(kr) = O. Пусть нам дан цилиндрический сосуд радиуса а. Тогда из усло- условия а — гр мы определим k. Уравнение J0(x) = 0 имеет бесконечное кочичество корней, пер- первые из которых суть: Xj = 3,83l7, л;2 = 7,0156, х3= 10,1735. Поэтому k будет определяться из уравнений и xi и xi и хъ 1 а ' 2 а 3 а а соответственные периоды колебаний будут для бесконечно глубо- глубокой жидкости: 2тс " -' а B5.8)
26] УПРАЖНЕНИЯ 511 Д ш жидкости малой глубины: Узловые линии вертикального движения определяются из урав- уравнения Ф (г) = У0(^) =¦/<>(— и так как первыми корнями уравнения J0(x) — 0 являются х\ = 2,4048, х^ —5,5201, ' линий будут, например, для р р ур 0() х\ = 2,4048, х^ —5,5201, х'3 = 8,6537, то радиусы этих узловых 1 Хъ § 26. Упражнения. 1. Рассмотреть сгоячие колебания однородной жидко- жидкости постоянной глубины /г, происходящие под действием силы тяжести, для которых потенциал скорости <? имеет вид 9 = С cos mx cos ту cos at ch k (z -f- /г) (ср. § 25). Найти уравнение линий тока на плоскости Оху и показать, что за вертикальные стенки, ограничивающие жидкость, можно взять, помимо указанных в § 25, еще такие, уравнением которых является х ± у = пг./т (п — целое число). Вывести отсюда период т самых медленных колебаний в цилиндрическом сосуце, поперечным сечением которого является равно- равнобедренный треугольник с катетами, равными а, считая жидкость бесконечно глубокой. Ответ. Уравнение линий тока sin mx = С sin my, х = 2У a-fg. 2. Рассмотреть стоячие колебания однородной жидкости постоянной глубины Л, происходящие под действием силы тяжести, предполагая, что потенциал скорости <р имеет вид f = С cos ОФ (/-) cos zt ch k (г -(- /г), где г, 0, г — цилиндрические координаты точек (начало координат взято на свободной поверхности жидкости при равновесии последней, ось Ог напра- направлена вертикально вверх). Найти Ф (г) и а. Какими вертикальными стен- стенками можно ограничить жидкость, чтобы она могла производить указанные колебания? Рассмотреть случай колебаний в цилиндрическом сосуде, попе- поперечным сечением которого является полукруг радиуса а, и определить периоды "[ и -2 одноузловых и двуузловых колебаний в таком цилиндре для случая жидкости малой глубины. Указание. Первые два корня уравнения Jl(x) = Q равны д:^ = 1,841, л2 = 5,332 [/, (х) — функция Бесселя первого порядка]. Ответ. Ф (г) = /[ (kr), о = Уgk tgh kh; можно ограничить жидкость цилинчром г — а, или цилиндром г = а п плоскостью 6=0 и 0=-
512 ВОЛНОВЫГ ДВИЖЕНИЯ ИДЕ\ЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Vtll 3. Проверить, чго движение с потенциалом скорости 2~ tt , sin kr cos — cos it eh k (г -f /i), / 2 — С у где r, 6, 2 — цилиндрические координаты, при о = |^^й tgh kh представляет происходящие под действием силы тяжести стоячие колебания однородной жидкости постоянной глубины h, если в этой жидкости поставлена верти- вертикальная стенка, уравнение которой 6 = 0. Показать, что можно ограничить жидкость еще вертикальной стенкой г = а и найти для данного а период самого медленного колебания для случаев бесконечно глубокой и очень мелкой жидкости. Ответ. Для глубокой жидкости i = ' I/ — = 5,82 l/ — , для V •* r g f g мел- кой -. = ^- , = 5,39 . , где а есть наименьший положительный корень a Vgh V gh уравнения tga = 2a и равен 1,1656. Г. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ § 27. Основные уравнения. В § 11 при рассмотрении волн, распространяющихся на жидкости конечной глубины, была выведена формула A1.7) для скорости распространения волн с в том случае, когда длина волны X весьма велика в сравнении с h: причем эта скорость оказывается не зависящей от длины волны. Такие волны называются длинными. Практическая важность отдельного изучения длинных волн кроется в двух обстоятельствах: во-первых, в силу независимости скорости распространения волн от длины волны длинные волны могут быть изучены гораздо подробнее, чем в общем случае; во-вторых, длинными волнами являются некоторые важные типы волн, например приливные волны, возникающие под действием притяжения Луны и Солнца. Рассмотрим сначала плоскую задачу, т. е. предположим движе- движение происходящим в плоскости Oxz, причем направим ось Oz вер- вертикально вверх, ось Ох по горизонтали, а начало координат возьмем на свободной поверхности жидкости в ее положении равновесия. Напишем основные уравнения движения в форме Эйлера для слу- случая плоского движения несжимаемой жидкости: dvx v I dp у dt - р дх ' dvz „ 1 dp ~~ ~ J~dF ' df дл ~г dz z_ __ n B7.1)
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 513 Сделаем следующие допущения. 1. Вертикальным ускорением частиц можно пренебречь, т. е. во второй формуле можно принять dvjdt = 0. Это означает, что вер- вертикальная скорость частиц меняется очень медленно. 2. Вертикальными силами можно пренебречь, за исключением силы тяжести, т. е. во второй формуле можно принять Z = — g. 3. Амплитуда колебаний частиц жидкости очень мала в сравнении с глубиной жидкости. Глубину жидкости в равновесном положении мы обозначим через h (piic. 179). В разных местах она может быть разной, так как дно жидкости может быть не прямолинейным. Обозначим, как обычно, через С ординату профиля волны, т. е. возвышение свободной поверх- поверхности жидкости над ее равно- равновесным положением. Очевидно, чю ч является функцией х и t. Второе уравнение B7.1) примет, в силу сделанных до- допущений, вид до и легко проинтегрнруется: , t), Рис. 179. но на свободной поверхности, т. е. при z = С, давление р должно равняться постоянной р0 (давлению атмосферы). Поэтому х, О- Исключая С, окончательно получим: Р — Po = дх дх B7.2) Подставляем найденное значение р в первое уравнение системы B7.1): dvr ., д? dt B7.3) Мы будем считать горизонтальную силу X не зависящей от z, т. е. функцией только х и t, тогда горизонтальное ускорение dvjdt будет одинаково для всех частиц, лежащих в одной вертикальной плоскости (т. е. имеющих одинаковые х), а следовательно, если скорости этих частиц в начальный момент времени были одинаковы, то они во все время движения будут одинаковы. Таким образом, vx S3 Зак. 1190
514 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII является функцией только х и t; поэтому dvx dvr dv x ^_ __ Ci_ dt ~ dt i" x dx ' но последним членом можно пренебречь вследствие условия 3) и значит: dvx dvx dt dt ' Поэтому уравнение B7.3) принимает окончательно вид Обратимся к последнему уравнению B7.1) Это есть уравнение неразрывности. Мы выведем другое уравнение, заменяющее это уравнение, причем воспользуемся методом, похожим на метод, приме- примененный для вывода уравнения неразрывности А именно, рассмотрим обьем жидкости заключенный между двумя неподвижными в про- пространстве вертикатьными плоскостями АВ и А'В', перпендикуляр- перпендикулярными к оси Ох и отстоящими на расстоянии dx (толщину жидко- жидкости в направлении оси Оу, перпендикулярной к осям Ох и Oz, считаем равной единице). За время dt через плоскость АВ войдет, очевидно, количество жидкости, равное гае значок х обозначает абсциссу точек плоскости АВ, через пло- плоскость А'В' за то же время выйдет количество жидкости — абсцисса точек плоскости А'В'). Поэтому количество жидкости между плоскостями АВ и А'В' уменьшится на E№*<±±m.dxdt. B7.5) Но это уменьшение, вследствие несжимаемости жидкости, может произойти только за счет понижения уровня жидкости между АВ и А'В'. Но за время dt уровень повышается на -т- dt; значит, мы имеем приращение количества жидкости между АВ и А'В', равное p^dxdt. B7.6) Приравнивая два выражения B7.5) и B7.6) одного и того же количества, только взятого с разными знаками, получим: at - о\ ~ ~д~х ^~JV V*Jx~- {Z }
§ 28] ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ В КАНАЛАХ ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНЫ 515 Но последними двумя членами, представляющими произведение двух малых величин, можно пренебречь, и значит, получаем оконча- окончательное равенство д? д (hvx) dt дх ' Итак, уравнения движения длинных волн для случая плоского движения имеют следующий вид: l^K ^^) B7.8) dt ь дх ' dt дх где X—горизонтальная сила, действующая на единицу массы, h — глубина жидкости, С — высота жидкости над ее равновесным положением. Введем в рассмотрение горизонтальное смещение %{х, t) какой-либо частицы от ее равновесного положения (оно одинаково для всех частиц лежавших в начальный момент на одной вертикали). Очевидно, что vx=-§. B7.9) Из второго уравнения B7.8) мы выведем, что д'.. __ <72(/г?) dt dxdt и, интегрируя это уравнение по t, получим: Но произвольная функция С (х) должна равняться нулю, ибо если нет горизонтальных смещений, то нет и вертикальных, т. е. если ?.= 0, то и С = 0, значит, С(х) = 0. Поэтому С=--^0. B7.10) Интегрирование уравнений B7.4), B7 9), B7.10) и определяет . оризонтальное смещение частиц жидкости. § 28. Длинные волны в каналах постоянной глубины. Рас- Рассмотрим сначала свободные колебания жидкости, происходящие при отсутствии внешних сил, т. е. положим ^ = 0. Примем сначала глубину h постоянной. Тогда уравнения принимают вид д- - и ~dt —~
516 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Исключим одну из неизвестных функций, например vx, для чего продифференцируем первое уравнение по х, второе по t и вычтем первое уравнение, умноженное на h, из второго: п"/* и. С\ /Ой О\ . ,„ ?j 1С ~х—п~ \J, \?О .? \ Для vx получается такое же уравнение. Положим: с=У?*. B8.3) Чтобы решить уравнения B8.1), введем новые независимые пере- кенные хг и х2 по формулам тогда, рассматривая г;х и С как функции от л^ и х2, получим по правилу дифференцирования сложных функций: dt ' dxi dt ' дх2 dt \ дх2 дх, j' дх дхг дхх и аналогичные формулы для С. Вставляя эти выражения в уравнения B8.1), получим: dv x dv % д^> ()С Л д^, ()С , dvx dvx ~ дх2 дх^ дх2 дх, дх2 дх, ох^ дх, Образуем сумму и разность этих уравнений, предварительно помноженных первое на h, второе на с: Из этих уравнений видно, что ~^-~\~-г есть произвольная функ- функция одного xv точно так же —?-—-j- есть произвольная функция одного лг2: Решая эти уравнения относительно vx и С, окончательно находим: как самое общее решение системы B8.1).
28] длинные волны в к\пллл\ постоянной глубины 517 Рассмотрим частный случай движения, когда / — 0 и, следова- следовательно: vx~cF{x — ct)\ Z. = hF(x — ct). B8.5) Легко выяснить физическое значение формулы B8.5); в геометри- геометрической точке, координата которой к моменту t есть х = хо~\~ ct, будет: ,т| rF ( Y \ Г hF I Y \ их — ы ^л-пу, ч — tit v (У1 т. е. vx имеет одно и то же значение в геометрической точке, пере- передвигающейся параллельно оси Ох вправо со скоростью с. То же имеет место и для С. Итак, определенные значения vx и С распростра- распространяются параллельно оси Ох вправо со скоростью с. Важно подчеркнуть, что частицы жидкости совершают очень малые колебания, а потому сами частицы перемещаются в ту или другую сторону на очень малые расстояния. Это смещение какой-либо частицы легко вычислить; оно, очевидно, равно за промежуток времени t2 — tx: Ъ.2 — \~ I vxdt— f cF(x — ct)dt = — f F(x~ ct)d(x — ct) = t, x-ct, = i J x-ct, x—ct2 Последний интеграл представляет, очевидно, объем жидкости, ограниченный осью Ох и той частью волны, которая пройдет над рассматриваемым местом за промежуток времени (tl, t2). Таким обра- образом, после прохождения волны каждая частица окажется смещенной вправо или влево. Если, наоборот, F —0, то эти уравнения представляют распространение возмущений параллельно оси Ох влево с той же самой скоростью с. В общем случае фор- формулы B8.4) представляют наложение друг на друга обеих систем волн, из которых одна система волн перемещается вправо, а другая влево с одинаковой скоростью с. Следующая таблица показывает зависимость скорости распростра- распространения длинных волн от глубины: ft, м см\сек 1 3,13 10 9,90 100 31,32 1000 99,05 10 000 313,2 34 Зак, над
518 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Как было показано в § 17, потенциальная энергия волн равна в то время как кинетическая энергия волн выражается, очевидно, интегралом -?-р / hvxdx (вертикальная скорость гораздо меньше горизонтальной и потому членом v2z можно пренебречь в сравнении с vx\. Для волн, распро- распространяющихся в одном направлении, например направо, будет по формулам B8.5) •--г- следовательно, а это покатывает, что кинетическая и потенциальная энергии длин- длинных волн, распространяющихся в одну сторону, равны между собой. § 29. Стоячие колебания в каналах переменной глубины. В § 24 была рассмотрена теория стоячих волн на жидкости постоян- постоянной глубины. Мы покажем на примере, ограничиваясь случаем длинных волн, как определяются стоячие колебания жидкости, заклю- заключенной в сосуде, дно которого не горизонтально. Этот последний случай имеет место, например, для сейш, происходящих в озерах и представляющих свободные колебания всей жидкости, находящейся в озере. Уравнения свободных колебаний жидкости получаются из B7.8), если в последних уравнениях положить Х — 0: dt ~~ s дх' dt ~ дх ' Исключая сначала 1>х, потом С, найдем, что С и hvx удовлетво- удовлетворяют уравнениям дК д dt2 B9 1 Рассмотрим теперь плоское движение в канале, дно которого имеет параболический вид, так что глубина h представляется урав- уравнением
§ 29] СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ В КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ 519 где /г0, очевидно, есть наибольшая глубина озера, 2а—его длина (ширина его в направлении оси Оу не играет для рассматриваемых движений никакой роли и может быть принята за единицу). Чтобы рассмотреть стоячие колебания жидкости, положим: hvx — sin at ¦ Р (х), B9.2) гогда для определения Р(х) из последнего уравнения B9.1) полу- получается уравнение Введем для простоты новую переменную и = х!а и обозначим: P(x) — P(au) — Q(u), [д, = —^— 1 B9.4) тогда для определения Q(u) будем иметь: A—и2) —т-^ -\- (J.Q = 0. B9.5) При х—+а левая часть уравнения B9.2) обращается в нул>., следовательно, и правая часть, т. е. Р(+а) = 0 или, что то же, Q(±l) = 0. Вид уравнения B9.5) показывает, что мы можем искать решение этого уравнения в виде полинома л-й степени (ибо d2Q/du2 будет тогда полиномом степени (п — 2)-й и по умножении на 1—и2 даст полином я-й степени, который сократится с (J.Q). В силу условия Q(±l) = 0 этот полином Q(u) делится на и2—1. Будем последовательно испытывать полиномы второй степени, третьей и т. д. 1. Если Q(u) — полином второй степени, то можно взять: Q(u) = u2— 1, B9.6) ибо Q(u) может отличаться от и2—1 только постоянным множи- множителем, который, вследствие линейности уравнения B9.5), никакой роли не играет. Но тогда ~~dtf~2' п чтобы уравнение B9.5) выполнилось, надо взять ji = 2. Это урав- уравнение определяет период колебания: B9.7) 1 a l V2gh, Пай 1см вит, профиля волны; из 34*
520 следует значит, ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ г . ,. 1 , dP I , dQ {,(х, г) = —cos or —— =— cos ot ~-, v ' a dx aa du 1ГЛ. VIII С (x, t) = — cos ot ¦ и Чх cos at. B9.9) Отсюда видно, что свободная поверхность жидкости все время остается плоскостью, причем ось Оу(х — 0) является линией узлов; Рис. 180. мы имеем дело с самым медленным одноузловым колебанием (рис. 180). Горизонтальная скорость определится по уравнению B9.2) vx — г- sin ot; «о горизонтальное смещение I будет поэтому определяться интегриро- интегрированием уравнений B7.9) и B7.10); оно оказывается равным Таким образом, вся масса жидкости колеблется вправо и влево, совершая гармонические колебания с амплитудой 1/А0о. 2. Если Q(u) — полином третьей степени, то, вследствие его делимости на и2—1, можно принять: (и2 — 1) Q" (и) = (я2 — 1) B • Зи + 2а), [xQ (a) = (a2 — 1) ((аи -)- (ая), следовательно, надо взять: Перно.ч колебания будет: 2-а B9.10) B9.11)
§ 30] СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ 521 Профилем волны будет служить: СО, ^) = -?^-(Зи2~l) = -^^i(Зл:2 — а% B9.12) 1 е. парабола второй степени (рис. 180). Узловых линий будет две, именно: х= ±~= ± 0,5774а. Точно так же отыскиваются колебания трехузловые, четырех- узловые и т. д. Периоды этих колебаний будут становиться все короче и короче, причем закон их изменения следующий: _ 1 1 1 . _ ' 3 = 1,000 : 0,577 : 0,408 : ... Укажем примерный период сейш. Леманское озеро имеет ширину около 10 км и глубину около 200 м, при этом наблюдаются попе- поперечные сейши с периодом в 10 минут. По формуле же B4.3) § 24 должно быть: т, = , = 450 сек. = 7,5 мин 1 Vgh Сейши наибольшего периода (около 23 часов) наблюдались в Аральском море, которое при большой длине (около 400 км) имеет малую глубину. § 30. Стоячие колебания в цилиндрическом сосуде малой глубины. Основные уравнения в общем случае наличия длинных волн имеют следующий вид: dt dt --e^-г" C0Л) й; d(hvK) d(hv, ~dt~ dx dy" Так как вывод их совершенно аналогичен выводу § 27, то на нем мы не останавливаемся. Для случая свободных колебаний X =Y = 0. Примем еще глу- глубину жидкости постоянной. Тогда, исключая vx и vy, легко найдем: дК . d2vx d2v4 ( дК дК \ г I ¦ dt2 ~ dxdt dydt и, вводя опять скорость распространения длинных волн с = у gh . найдем: „-, _ , „-, . ,,.L , \O\j.Z)
522 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Чтобы отыскать стоячие колебания жидкости, надо положить: С = Ф(х, y)coso^, C0.3) но тогда для определения Ф(х, у) получится уравнение ~7Г"г" + ~з-г +&2Ф = 0, C0.4) где введено обозначение *=у. C0.5) На боковых стенках сосуда нормальная составляющая скорости равна нулю: но из уравнений с тр ^ v ет что счедовательно, dvx оС dt *> дх ' dt ~ на цилиндрической дФ avy dt d: ° dn ' стенке d: g dy и, таким обраэом, для Ф(х, у) получаются те же уравнения, что в § 24 (что, конечно, и надо было ожидать, ибо изученный там общий с гучай включает, как частный, случай малой глубины). § 31. Вынужденные колебания в каналах постоянной глубины. Пусть теперь на жидкость действует внешняя возмущающая гори- горизонтальная сила X; тогда жидкость будет совершать под действием этой силы вынужденные колебания. Таково именно происхождение приливов и отливов, причем в этом случае возмущающей силой является сила притяжения частиц воды к Луне и Солнцу. Уравнения движения для случая канала постоянной глубины h принимают вид E? K § ^ C1.1) dt ° дх ' dt дх Если % обозначает смещение частицы из равновесного ее поло- положения, то 4r, C12) dt поэточ\ последнее уравнение дает: (К — / ?
§ '1] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КАНАЛАХ ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНЫ 523 и после интегрирования получаем [см. формулу B7.10)]: Поле газляя найденные значения ^ и С в первое уравнение C1.1), найдем: Примем для простоты, что сила изменяется периодически по формуле X — fsin(ot — kx), C1.5) тогда соответствующее вынужденное колебание имеет вид \ — a sin (о* — kx), C1.6) где а определяется из уравнения C1.4) в виде Поэтому *= vJ-.tf&Hat — kx) C1.7) и из уравнения C1.3) Ь C1.8) Сравнивая уравнения C1.5) и C1.7), мы увидим, что период возму- возмущенного движения совпадает с периодом возмущающей силы. Из уравнения C1.7) видно, далее, что горизонтальное смещение имеет ту же самую фазу, что и возмущающая сила, если k2c2—о2 > 0. Выясним физическое значение этого условия. Свободные колебания, для которых длина волны определяется по формуле X = 2ir/A, т. е. соипадает с длиной волны рассматриваемых вынужденных колебаний, распространяются со скоростью с, следовательно, период этих сво- свободных колебаний равен с kc ' период же возмущающей силы равен Поэтому
524 волновые движения иделльнол жидкости [гл. vim таким образом, если период возмущающей силы больше периода свободных колебаний, имеющих ту же длину волны, что и рассматри- рассматриваемые вынужденные колебания, то последние совпадают в фазе с возмущающей силой; в противном случае эти фазы будут разли- различаться на тс. При т =-с, будет иметь место резонанс, так как формула C1.7) показывает, что в этом случае вынужденные коле- колебания будут бесконечно велики. На самом деле это решение перестает быть верным и должно быть заменено следующим: s — .__ ^ cos (@t f?х~\ С\ 1 9^ показывающим, что амплитуда вынужденного колебания будет расти пропорционально времени /. Рассмотрим еще вынужденные колебания в канале конечной длины I, ограниченном стенками х = + 1/2, на которых должно по- поэтому выполняться условие ; = 0 при х=±1/2 C1.10) (так как па этих концах движение воды может происходить только в вертикальном направлении, то горизонтальное смещение \ должно обращаться в нуль). Найденное выше решение X = k2J_ д2 sin (at — kx) C1.11) уравнения ~лтг — °2 т-т = / sin (at — kx) at2 dx2 J не удовлетворяет пограничным условиям C1.10). Решение однород- однородного уравнения 2я имеющее тот же период i~ , что и возмущающая сила, имеет вид 1 = A sin ot cos I 1- a J —|— В cos at sin I где A, B, a и fi — произвольные постоянные. Поэтому мы можем написать следующее решение неоднородного уравнения C1.11): Sin ^ —kx)^rA sin -f В cos at sin
§ 31] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КАНАЛАХ ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНЫ 525 Для определения А, В, а и р используем пограничные условия C1.10), которые дадут четыре уравнения (на каждом конце полу- получаем два уравнения, так как члены, содержащие sin at, и члены, содержащие cos at, должны обратиться в нуль по отдельности): cos А cos cos + Л cos (- 4 + *) = 0, =0. Очевидно, мы удовлетворим этим уравнениям, если примем: cos kl kl COS а!_ 2с k2c2 Но тогда выражение для I можем написать в виде sin (al — kx) ¦ kl ax cos -=- sin at cos ? С ~ a/ 2c sin —=- cos at sin al C1.12) По формуле C1.3) мы определим: kl fkh cos -=- sin at sin a I c COS sin - a kc al 2c T COS sin at al COS ax С C1.13) Мы отметим только одну особенность этих выражений. Если sin -^— = 0 или cos ту-= 0, то величины ; и С обращаются в беско- бесконечность. Это показывает, что при некоторых определенных раз- размерах канала будет происходить явление резонанса и вынужденные колебания будут очень большими. Для наличия этого явления должно быть- а/ - •о" 2с
526 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII где п — целое число. Решая это уравнение относительно /, найдем: / = -^~. C1.14) Это условие можно представить в другом виде. Период возму- возмущающей силы равен т = 2тс/о; далее, основной период собственных колебаний жидкости в канале длины / был вычислен нами в § 25, формула B5.3): т, = 2//с; поэтому, выражая а через тис через tj, получим: т, = ят. C1.15) Поэтому явление резонанса будет происходить для всех тех длин канала, для которых основной период собственных колебаний в целое число раз превышает период возмущающей силы. Это обстоя- обстоятельство является частным случаем общего закона; резонанс про- происходит, если один из периодов собственных колебаний жидкости в данном сосуде в целое число раз превосходит период возмущающей силы (в нашем случае все периоды собственных колебаний являются целыми частями основного периода, поэтому если какой-либо период собственных колебаний является целым кратным периода возму- возмущающей силы, то и основной период будет его целым кратным). § 32. Статическая теория приливов. Применим предыдущие рас- рассуждения к теории приливов. Предварительно мы изложим так называе- называемую статическую теорию приливов, основателями которой являются Ньютон и Даниил Бернулли. Эта теория носит гидростатический характер и дает картину явления приливов только в общих чертах. В основе статической теории приливов лежит допущение, что в каждый данный момент океан, покрывающий твердую землю находится в равновесии под действием силы тяжести и возмущаю- возмущающих сил, происходящих от Луны и Солнца. Поэтому свободная по- поверхность воды примет форму поверхности уровня: V(х, у, г) = const., где V — потенциал всех сил, действующих на жидкость. Мы будем рассматривать только одно возмущающее тело, напри- например Луну. Влияние Солнца учитывается совершенно аналогично, и общее воздействие Луны и Солнца получится как сумма воздей- воздействий, оказываемых ими по отдельности. Допустим сначала, что возмущающего тела нет совсем. Обозначим потенциал силы тяжести (в которую включена и центробежная сила вращения Земли) через Vt {г, ср, ф). Здесь через г, ср и ф обозначены сферические координаты точки, а именно, через г — расстояние до центра Земли, через <у — широта точки, через ф — западная долгота.
42] СТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРИЛИВОВ 527 Пусть уравнение поверхности океана при отсутствии возмущающего тела есть r = ro(<f, ф), тогда, так как поверхность океана должна быть поверхностью уровня, мы должны иметь: ^1<>о. ?. Ф) = const. C2.1) Обозначим еще через V2(r, cp, ф) потенциал приливообразующгй силы Луны. При наличии Луны уравнение поверхности океана будет уже р, ф) и так как потенциал действующих на океан сил теперь равен Vj -f- К2, то должно быть: 2(л0+А, ср, ф) = const. C2.2) На самом деле потенциал силы тяжести Vl изменится вследствие перемещения масс воды, составляющих океан, но этим изменением I/, мы будем пренебрегать. Вычитая из этого уравнения уравне- уравнение C2.1), мы получим: Vi(ro-\-h. <?, . <р, ф) = const. Вследствие малости высоты приливов А в сравнении с л, можно в функции V2 заменить ro-f-A просто на средний радиус земли а; далее, но — dVJdr есть составляющая по радиусу Земли силы, действующей на единицу массы, значит, поэтому получаем окончательно следующее основное уравнение статической теории приливов: 2 = C, C2.3) 2 V ' /С / и • , D-x О Рис. 181. из которого- и может быть вы- вычислена высота приливов. Остается вычислить приливообразующую силу. Обозначим: рас- расстояние от центра Земли О до Луны L через D — OL (рис. 181); угол, образуемый OL и радиусом-вектором OQ = г, проведенным в некото- некоторую точку жидкости Q, через 9; расстояние от Луны до рассматриваемой
528 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII точки Q через d = LQ, массу Луны через т, массу Земли через М, радиус Земли через а. Тогда действующая на единицу массы, нахо- находящуюся в Q, сила притяжения к Луне F определится из следую- следующей пропорции: F та2 ~g ~~Ш2' ибо сила притяжения прямо пропорциональна массам притягивающихся тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния 1Между ними. Поэтому F=- , ma2g "Md2 Возьмем иа время оси координат Оху, проведя их, как показано иа рис. 181. Тогда проекции силы ^на оси координат, очевидно, будут: р р ma2g D — х р р . ma2g у Так как мы рассчитываем силы, приходящиеся на единицу массы, то таковы же будут и проекции ускорения жидкой частицы, вызывае- вызываемого лунным притяжением. Но последнее действует на всю Землю, и если мы предположим, что при вычислении действия Луны иа твердую Землю можно считать Землю состоящей из сферических однородных слоев, то ускорение Fo, сообщаемое Луной всей Земле целиком, будет определяться по формулам гох _ ma2g Так как рассматриваются только смещения частиц жидкости от- относительно земного шара, то приливообразующей силой будет являться, очевидно, только разность F—FQ: __ ma*g ( D — x 1_\ „ „ _ ma2g у Достаточно рассмотреть первое приближение: так как г очень мало в сравнении с D, то угол а очень мал, поэтому D — х при- приблизительно равно d, но тогда: D—x J__J 1 _Рг — d* _(D — d3 D2" d2 D2 d2D2 d*D2 ~ D3 ~ D3' поэтому приливообразующий потенциал V2 надо определять из урав- уравнений: dV2 1х ma2g dV2 x ma2g ~дх~ ~~~ ~Ш М ' ~ду ~W M '
« V] СТАТИЧЕСКАЯ ТГОРИЯ ПРИЛИВОВ 529 которые лают: у _ ma2g Заменив, наконец, х и у по формулам х = г cos Ь, v = r заметив, что 2х2 — у2 = л2B cos2» — sin2») — r2Ccos2 &*— 1), им окончательно: и 1), полу- получим окончательно: 4^ C2.4) Обратим внимание на то, что приливообразующая сила пропор- пропорциональна массе возмущающего тела и обратно пропорциональна третьей степени расстояния до последнего, поэтому приливообразую- приливообразующая сила Луны оказывается большей, чем прилпвообразующая сила Солнца. Применив теперь основное уравнение статической теории прили- приливов C2.3), получим для высоты прилива следующее выражение: Мы заменили при этом в C2.4) радиус Земли г его средним зна- значением а. Введем для краткости обозначение И — 'Ата> тогда выражение для потенциала V2 примет вид V2 = — ^Я (cos2 ft — 1), а уравнение C2.5) может быть написано в форме V2 = — ^Я (cos2 ft — 1), C2.7) C2.8) Остается определить постоянную С из того условия, что объем жидкости остался после деформации, произведенной возмущающим телом, неизменным; это условие выражается, очевидно, равенством S(hdS = O, C2.9) распространенным по всей поверхности Земли (мы предполагаем для простоты всю Землю покрытой океаном). Разобьем всю поверхность Земли на полосы, каждая из которых заключена между двумя малыми кругами, отвечающими двум соседним значениям $ и 9 -\- d$. Эти круги являются, очевидно, пересечениями Земли с плоскостями, пер- перпендикулярными к линии OL. Площадь такой полосы равна,
530 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII очевидно, 2тш sin Ьа db = 2im2sin S rfS. Поэтому равенство C2.9) приводится к такому: J 2тш2 sin &Я (cos2 & — ~\ db + 4тш2С = 0, S откуда после элементарных вычислений имеем С —0 и, таким обра- образом, имеем оконча1ельяо, что h = H(cos2b— j\. C2.10) § 33. Выводы статической теории приливов. Уравнение C2.10) показывает, чго свободная поверхность жидкости имеет форму сфе- сфероида вращения, осью которого является прямая линия, соединяю- соединяющая центры Земли и Луны. При этом в точке пересечения этой линии с поверхностью Земли (этим точкам отвечают значения & = 0и8=п) 2 высота прилива будет наибольшей и равна h—-~H, так как для этих точек cos2 Ь = 1; для этих точек Земли Луна находится в зените или надире. Наибольший отлив будет, очевидно, в тех точках Земли, для которых cos 9= 0, г. е. в точках пересечения поверхности Земли с плоскостью проходящей через центр Земли и перпендику- перпендикулярной к линии OL, соединяющей центры Земли и Луны. Для этих точек Луна находится на горизонте и h = — -g- H. При перемещении Луны относительно Земли поверхность жидкого сфероида будет все время деформироваться, причем одно из двух мест наибольшего прилива будет все время смотреть на Луну. Высота приливов опре- определяется величиной Н. Дадим ее численное значение. Для Лупы имеем: т 1 а 1 поэтому //=54 см. Для Солнца имеем такие значения: Мы видим, таким образом, что приливообразующее действие Луны в два раза сильнее такого же действия Солнца. Рассмотрим теперь определенное место поверхности Земли. Фор- Формула C2 10) показывает, что высота прилива зависит от зенитного расстояния Луны Последнее меняется периодически в течение лун- лунных суток (равных 24 часам 50 минутам), правда не точно периоди- периодически, ибо в силу того, что вращение Луны около Земли происхо- происходит не в плоскости экватора Земли, зенитное расстояние Луны будет изменяться периодически в течение лунного месяца (равного 29'/2 суткам). Поэтому приливы, происходящие от Луны, тоже будут
331 ВЫВОДЫ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРИЛИВОВ 531 обладать еще месячной периодичностью. Чтобы ближе рассмотреть эют вопрос, введем координаты Луны, а именно ее склонение 8 (рис. 182) и часовой угол а, отсчитываемый к западу от меридиана PQ, проходящего через рассматриваемое место Земли Q и через полюс Земли Р. Тогда по известной формуле сфериче- сферической тригонометрии будем иметь: Соь2 8 = (sin cp sin 8 -f- cos 9 cos 8 cos aJ = = sin2 cp sin2 8 -j- 2 sin cp cos cpsin8cos8cosa -j- -j- cos2 cp cos2 8 cos2 a = = sin2 cp sin2 8 -j- -к- sin 2cp sin 28 cos a -j- + y(l— sin2<p)(l— sin28) A +cos 2a). Рис. 182. Производя легкие преобразования, получим следующие выраже- выражения для высоты приливов и приливообраз)'ющей силы: h 1 „Г A-3 sin'8) A-3 sin'у) . " ~ 2 I 3 "г- sin 28 sin 2cp cos a -f- cos2 cp cos2 8 cos 2a j; V2=~gh, первую формулу можно представить в следующем виде: где 3sin28)(l—3sin2cp), h2 = -=- Н sin 28 sin 2cp cos a, A3 = -к- H cos2 cp cos2 8 cos 2a C3.1) C3.2) C3.3) и, следовательно, прилив в данном месте можно считать слагающимся из трех частей. Рассмотрим каждую из этих частей по отдельности. Прежде всего отметим, что hx зависит только от широты места наблюдения ср и от склонения Луны 8 и не зависит от часового угла Луны а (изменения величины Н, происходящие от изменения расстоя- расстояния Луны от Земли D при движении Луны по ее орбите, мы рас- рассматривать не будем). При этом имеет значение только абсолютная величина 8, ибо в hx входит только sin2 8. Но 8 изменяется перио- периодически, причем продолжительность периода равняется времени об- обращения Луны около Земли, т. е. лунному месяцу; период же изменения численного значения S будет, очевидно, в два раза меньше.
532 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Поэтому hx представляет высоту полумесячного прилива. Если воз- возмущающим телом является Солнце, то получаются приливы полуго- полугодового периода. Эги приливы длинного периода обращаются в нуль на широте ср —35Э16', для которой sin <p= l/j/l^, и имеют наиболь- наибольшее значение на полюсе. Выражение для А2 содержит множителем cos а, но а изменяется па 360° в течение лунных суток, в то время как 8 за этот проме- промежуток времени изменяется мало. Поэтому /г2 представляет высоту суточного прилива. Если ср > 0 и 8 > 0 (т. е. рассматриваемое место Земли и Луна находятся в северном полушарии), то наибольшая вы- высота суточного прилива будет при cosa=l, т. е. при прохождении Лупы через меридиан рассматриваемого места Земли; наименьшая высо- высота прилива будет при cos a — —1, т. е. при прохождении Луны через меридиан антипода рассматриваемого места Земли. Если 8 < 0, т. е. Луна находится в южном полушарии, то соотношения будут обратные. Суточный прилив имеет наибольшую величину на широте ср = 45° и обращается в нуль на экваторе (ср = 0) и на полюсе (ср = 90°). Наконец, А3 представляет высоту прилива полусуточного периода, ибо /г3 содержит множителем cos 2a, периодом изменения которого является половина лунных суток. Наибольшая высота полусуточного прилива, обычно наиболее заметного, будет при cos 2a = 1, т. е. при а = 03 или а —180°. Эти значения угла а отвечают, очевидно, прохождению Луны через меридиан рассматриваемого места Земли Q над горизонтом или под ним. Наименьшая высота полусуточного прилива будет при cos 2a ==—1, т. е. при a = 90° или a ==270°. Явление полусуточного прилива интенсивнее всего протекает на экваторе (где ср = О), а также в те дни, когда Луна проходит через экватор (8 = 0). На полюсе (ср = 90°) полусуточный прилив отсут- отсутствует. Аналогичные выводы можно сделать и для Солнца; получаются приливы суточные (с периодом в 24 часа) и полусуточные (с перио- периодом в 12 часов). Все эти приливы будут налагаться друг на дру- друга, так что в общем высота приливов h окажется очень сложной функцией. Очевидно, что при новолунии и полнолунии действия Солнца и Луны будут взаимно усиливаться, так что получатся приливы значи- значительной величины; наоборот, когда Луна будет находиться в первой или последней четверти, действие Солнца будет парализовать дей- действие Луны и приливы будут незначительными. Все эти выводы статической теории приливов подтверждаются наблюдениями только в самых общих чертах. Так например, высота приливов в среднем гораздо больше найденного нами выше значе- значения в 0,5 м. Наибольшие приливы наступают не в момент прохо- прохождения Лупы через меридиан а на несколько часов позчнсе, и т. д.
§ 33] ВЫВОДЫ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРИЛИВОВ 533 На самом деле приливы нужно рассматривать как явление дина- динамическое, а именно — как вынужденные колебания масс океана, происходящие под действием приливообразующей силы. Как мы видели в § 31, величина вынужденных колебаний зависит от свойств свободных колебаний, происходящих в данном бассейне, поэтому величина и характер приливов должны сильно зависеть от того, в каких условиях находится рассматриваемое место Земли; это и подтверждается опытом, показывающим, что на одних берегах океана приливы велики, на других—малы, причем в одних местах пре- преобладают полусуточные приливы, в других — суточные и т. д. Чтобы учесть влияние местных условий, Лаплас предложил поль- пользоваться формулой более общей, нежели найденная нами выше фор- формула C3.1). А именно: каждый член этой формулы надо умножить па численный множитель, причем значения этих численных множи- множителей для каждой гавани надо подбирать на основании опытных данных; кроме того, в члены, зависящие от часового угла Луны, надо ввести сдвиг фазы, тоже определяемый на основании опытных данных. Таким образом, формула C3.1) заменится теперь на h — Н [С, A — 3 sin2 8) -j- C2 sin 28 cos (х — a,) -f- С3 cos2 8 cos 2 (а — а2)], C3.4) такая же формула получится для солнечных приливов. Имея кривую приливов, мы можем постараться представить ее формулой типа C3.4) (к которой прибавлены еще члены, происходящие от Солнца). Более удобным практически является, однако, так называемый гармони- гармонический анализ приливов, которым поэтому и пользуются при пред- предсказании приливов. Этот способ состоит в дальнейшем упрощении вида членов фор- формулы C3.4) за счет увеличения числа этих членов. Если угловую скорость вргщ пия Земли обозначить через и>, среднюю угловую скорость вращения Луны около Земли через пх и угловую скорость вращения перигея Луны около Земли через р, то каждый член фор- формулы C3.4) будет функцией от tat, nxt и pt, не меняющейся при .увеличении какого-либо из этих чисел на 2tr. Зависимость от pt получается в силу того, что Н зависит от расстояния Луны от Земли D, а это расстояние, очевидно, является периодической функ- функцией t с периодом 2тг//?. Поэтому каждый член рассматриваемой формулы может быть разложен в кратный ряд Фурье вида (а, [3, Т — целые неотрицательные числа): 2 л?-гcos (awt -f-А)cos (Pv+B)cos Воспользовавшись дважды формулами тригонометрии, позволяющи- позволяющими заменить произведение двух косинусов суммой двух косинусов, !]Ч)
534 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII мы сможем привести формулу для h к следующему виду: А = 2 А>р,' cos (au>/ -f- [in^ + -\pt -f- 5), |де а, р и 1 — целые (положительные, равные нулю или отрицатель- отрицательные) числа. Обозначим еще через п' среднюю угловую скорость вращения Земли около Солнца, тогда для солнечного прилива полу- получится аналогичное выражение. Кроме того, так как движение около Солнца влияет на движение Луны около Земли, в членах, дающих лунный прилив, появятся еще слагаемые от n't, и окончательно мы получим, что h = 2 A9ls cos [(aio + рЯ1 -f *ip -f- bn') t + e]. C3.5) Итак, прилив в любом месте Земли может быть представлен как наложение друг на друга ряда частных приливов, причем периоды этих частных приливов определяются из астрономических данных, ибо со, я,, р, п' даются астрономическими наблюдениями, а а, р, -f, 8 являются целыми числами. Для практических целей наиболее важными являются около двадцати пяти определенным образом выбранных членов разложения C3.5). Поэтому можно написать окончательную формулу в следую- следующем виде: A = A> + 24*«>s((V + eft): C3.6) здесь шк являются определенными числами, величины же Ак и tk должны быть для каждой гавани определены на основании много- многолетних наблюдений приливов в этой гавани. Вычисление величин Ак и ек составляет задачу гармонического анализа приливов и производится при помощи особых приборов или по особым вычислительным схемам. Найдя Ак и ек, мы можем по той же формуле C3.6) вычислить высоту прилива в любой момент времени, т. е. можем предсказывать приливы. Существуют особые вычислительные машины для предсказания приливов. Результаты вы- вычислений публикуются в таблицах приливов. § 34. Каиаловая теория приливов. Как было упомянуто выше, приливы следует рассматривать как явление динамическое, т. е. следует принимать во внимание движение частиц воды, вызываемое приливо- образующими силами. Лаплас первый дал динамическую теорию при- приливов; ои рассматривал приливы океана, целиком покрывающего Землю. Однако в силу сложности явления приливов, происходящей от того, что колебания разного типа накладываются друг на друга, не удается получить удовлетворительного согласия между данными опыта и результатами, выводимыми из динамической теории приливов. Мы ограничимся поэтому изложением двух простых случаев так пазы-
§ 34] КЛНАЛОВАЯ ТЕОРИЯ ПРИЛИВОВ 535 ваемой кана.ювой теории прилива, подробно разраоошшой Эри. На этих примерах мы выясним, в чем состоит основная идея дина- динамической теории приливов. Рассмотрим сначала происходящее под действием приливообра- зующей силы Луны движение воды в очень узком канале, совпадаю- совпадающем с земной параллелью, находящейся под широтой ср- Как всегда, внутренним трением мы будем пренебрегать, т. е. воду будем считать идеальной жидкостью. Глубину жидкости мы предположим постоян- постоянной и обозначим через 1г. Мы будем рассматривать только приливы суточные и полусуточные; поэтому мы сможем пренебрегай:, измене- изменением склонения Луны, т. е. мы будем считать 8 постоянным. Точно так же мы будем считать постоянным расстояние D от Лупы до Земли. Будем отсчитывать западную долготу точки ф от некоторого определенного меридиана. Обозначим горизонтальное смещение какой- нибудь частицы жидкости через <;, высоту прилива через \. В § 31 нами было выведено уравнение вынужденных колебаний жидкости в прямолинейном канале постоянной глубины Л: ^!i — п2-^- 4-X C4 1) где c2 — gh и X есть внешняя возмущающая горизонтальная сила. В нашем случае ось канала представляет окружность большого ра- радиуса a cos ср. Так как глубина жидкости h очень мала в сравнении с этим радиусом, то в каждом месте канала можно считать его пря- прямолинейным и можно применять уравнение C4.1); при этом очевидно, что приращению долготы city отвечает dx = a cos cp rftjj, так что дЪ _ 1 дЧ дх2 a2 cos2 ср д<\J Перейдем к определению силы X. Так как Земля вращается и так как рассматривается движение жидкости относительно Земли, то нужно учитывать, по общей теории относительного движения, доба- добавочные силы, отвечающие переносному ускорению и ускорению Ко- рнолнса. Аналогично тому, как мы это делали в § 9 главы пятой, соединим силу, отвечающую переносному ускорению, вместе с силой притяжения к центру Земли в одну вертикальную силу тяжести. Сила же Кориолиса перпендикулярна к скорости частицы жидкости, следовательно, перпендикулярна к оси Ох. Поэтому составляющие •;илы тяжести и силы Кориолиса по оси Ох обратятся в нуль, и останется, таким образом, только горизонтальная составляющая при- ливообразующей силы Луны; для потенциала этой силы мы имеем 35-
536 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ГГЛ. VHt выражение C3.1) -f- sin 28 sin 2<p cos a -4- cos2 cc cos2 3 cos 2a 1; C4.2) поэтому дх a cos 9 Итак, _ ^ 2 a cos cf d!/ Найдя %, мы определим С по формуле C1.3): _ дх acosydb C4.5) Обозначим через п среднюю угловую скорость вращения Луны относительно Земли; тогда можно принять (рис. 183) a. = nt—ф, поэтому дУ2 __ _ dV2 ~ЩГ ~ д*~' и значит, м А' = -э— [sin 28 sin cp sin (nt — ф) -f- cos2 8 cos (p sin 2 (м/ — ф)]. Поэтому уравнение принимает вид ?i. 5-^Ц— Tff = -^- [sin 28 since sin (я/ — ф)-f- dt2 a2 cos2 tf бф2 a l т v r/ i -+ cos2 8 cos q> sin 2 (/wf — ф)], C4.6) и легко интегрируется по методу § 31, формула C1.7): , agH sin 25 sin 9 cos2 <p . , , ,. , asH cos2 Ь cos3 v . n , , ,. ; = 5-—^~ sin (nt — Ф) -\~ XT! 2^ 2^; sin 2 (nt — Ф)- ч '' ' 4 (с2 — a2n2cos2y) v ~' ; = -5—5 5-2^ sin (nt — Ф) \ XT c2 — a2/22cos2tf ч '' ' 4 (с Для высоты приливов получим по формуле C4.5): - с2Н sin 23 sin 2? . , ,. . cWcos25cos3cf _ С = н-т-s n гЧ cos (яг — Ф) + -?гп 5~5 гЧ- cos 2 (nt — ф). 2 (с2 — a2n2cos2y) v T/ ' 2 (с2 — a2rt2cos2t?) v T/ Первый член представляет, очевидно, суточный прилив, период которого равен 2тг/я, т. е. лунным суткам. Так как период этого члена, рассматриваемого как функция от ф, равен 2it, то длина этой приливной волны равна длине рассматриваемой параллели. Этот член пропадает для экваториального канала (ср = 0) или при про- прохождении Луны через экватор (8=0). Второй член представляет полусуточный прилив, ибо период этого члена равен it/я, т. е. лун-
$ 14] КАНАЛОВ<\Я ТЕОРИЯ ПРИЛИВОВ 537 пым полусуткам. Как функция от ф, эта приливная вочпа имеет период к, следовательно, длина ее равна половине длины рассматри- рассматриваемой параллели. Когда Луна будет проходить через меридиан дан- данного места, то nt будет равняться ф (рис. 183) и, следовательно, будет прилив или отлив, смотря по тому, будет с2—a2ra2cos2<p по- положительным числом или отрицатель- отрицательным. Так как с2 = gh, то прилив 6}дет, если h > cos2 cp, но можно принять я —6,37- 106 м, 11 = Гкйгтгп = 7'03 ' 10 7^ ¦ поэтому rt—- =^20,4 км, и значит, чтобы при ё прохождении Луны через меридиан был iio.t\c> точный прилив, необходимо вы- Рис. 183. иолнение неравенства h > 20,4cos2cp«^. Так как средняя глубина океанов равна приблизительно 3,5 км, то «прямой» прилив может иметь место только в очень высоких широтах (примерно выше 65°), в низких широтах будет «обращен- «обращенный» прилив, т. е. при прохождении Луны через меридиан какого-либо места в этом месте будет отлив. Почему это происходит так, было обьяснено в § 31. А именно, собственные колебания в канале рас- распространяются со скоростью с, и чтобы обежать половину Земли (длина рассматриваемых вынужденных колебаний равна половине длины парачлели), им надо затратить время ка cos а> равное, например, 30 часам для экваториального канала (<р = 0) глу- глубины h = 3,5 км, в то время как период возмущающей сил j равен только 12 часам 25 минутам. В силу малости периода воз\уцающей силы в сравнении с периодом собственных колебаний того же вида, что и вынужденные колебания, и будет разность фаз в 180° между возмущающей силой и вынужденными колебаниями. Предположим теперь, что канал направлен по меридиану, кото- который мы возьмем за начальный меридиан. В этом случае ф = 0, a — nt, переменной величиной будет служить широта ср, и в уравнении C4.1) надо будет положить dx = a dtp, X = х—, поэтому это урав- уравнение примет вид ~М? — §г |л = "f^-1C sin2 S— 1) sin 2cp-j-2 sin 28 cos nt cos 2<p — — sin2'f cos28cos2/zf]. C4.7)
538 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Это уравнение имеет следующее частное решение: t gHa C sin2 5 — 1) sin 2'f , gHa . n» , . _ i== № + 4c2- в'а' S1" 25 C0S nt S1" 2(P ~ откуда по формуле « , d; /г (Js dx a dtp в]Iтекает следующее выражение для высоты прилива: С = ~ A — 3 sin2 о) cos 2'f 4- 4с~2~7^г sin 25 cos "' sin 2с? + Яс2 4(с2 - д'д«) COs2 Ь Cos 2/г^cos 2?' C4'9) Первый член представляет изменение уровня воды в канале, меняющееся лишь очень медленно вместе с 8 (полумесячный период). Второй член представляет стоячие колебания суточного периода; при ср = 0 и ср = 90°, т. е. на полюсах и экваторе, будут находиться узлы этих колебаний. Наконец, третий член представляет стоячие колебания полусуточного периода с узлами в точках ср^= ±45°. Представляется интересным рассмотреть еще приливы в каналах конечной длины. Пусть имеется канал, расположенный по параллели, широта кото- которой (р. Пусть канал этот ограничен па своих концах вертикальными стенками, лежащими в плоскостях меридианов ф= ±ф0. Таким обра- образом, ллина этого канала будет: Z = 2atjj0cos ср. Склонение Луны 8 примем для простоты равным нулю; тогда из формулы C4.6) получим: dt2 ill — МП Cos ср sin 2 (nt — <1>), C4.10) a2 cos2 <f d<\>2 a T v T/ v ' причем надо отыскать решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям: 5 = 0 при ф=±ф0. Но как раз такая задача была рассмотрена в § 31. Действительно, уравнение C1.11) § 31 перейдет в наше уравнение C4.10), если, мы положим: gH cos а> п , 2 a поэтому формулы C1.12), C1.13) § 31 дают решение нашей задачи. По § 31 резонанс будет происходить при тех длинах канала, при которых основной период собственных колебаний хх = 2//с
§ 3,-,J ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЛТМОСФЕРНОП ОБОЛОЧКК 539 будет в целое число раз превышать период возмущающей силы, в данном случае 12 час. 25 мин. = 745 минут. Так например, для канала глубиной h = 3,5 км, для которого с — ~\/gh=^ 185,3 м/сек, наименьшая критическая длина канала, при которой будет происхо- происходить резонанс, будет равна / ^v i Следующие критические длины будут в два, три и т. д. раз превосходить эту величину. Так как с = \Z~gh, я 1 = с-с/2, то при уменьшении глубины канала уменьшается и критическая длина канала. Эти соображения показы- показывают, что амплитуда и характер приливов в различных водоемах Земли будут разные, так как они зависят от размеров и глубины водоема; опыт подтверждает этот вывод. § 35. Волны во вращающейся атмосферной оболочке. Рас- Рассмотрим еще длинные волны, которые образуются в земной атмосфере. Последняя захватывается вращением Земли. Кроме того, в земной атмосфере существует, вообще говоря, всегда, начиная с некоторой высоты, западно-восточное движение1) (атмосфера как бы перегоняет землю в ее западно-восточном вращении). Возьмем сферическую систему координат, связанную с вращающейся Землей. Обозначим через 6 дополнение до широты ср : 0 = — — ср, через X—долготу, отсчитываемую от некоторого меридиана к во- востоку, через г — расстояние от центра Земли. Пусть v,t — составляю- составляющая скорости по меридиану (положительная, когда скорость напра- направлена к югу), vx — составляющая скорости по кругу широты (поло- (положительная, когда скорость направлена к востоку). Запишем уравнения движения в форме Ламба vX*otv ±v vB^+w') + 2vX C5.1) ¦— X Здесь W, как и прежде, — потенциал силы тяжести, включающий в себя ньютоновское притяжение и центробежную силу вращения Земли, а последний член справа представляет силу Кориолиса (глава пятая, § 9). Напишем составляющие этого уравнения но осям 8 и X, при- причем в согласии с методом длинных волн пренебрежем членами с ¦) Существование холодных полюсов и теплого экватора приводит к тому, что, при почти постоянном давлении на уровне моря, на высотах получается низкое давление над полюсами, более высокое и умеренных зонах и еще более высокое в экваториальной зоне (см. барометрическую формулу § 3 главы третьей). Наличие силы Кориолиса создает затем циклоническое вращение вокруг полюсов, т. е. западно-восточные вегры.
540 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII составляющими скорости по оси г. Получим: I — ОР z | | 117| сое о\ rp dO г дЬ \ 2 ~t~w)< \po.t) -^--t^^t.^w»; 7^Ш\~Ж ~7ыГЖ1т + 1Г11 C5-3) где Уравнение неразрывности d sin 8 V, \ _ - „ - можно значительно упростить применительно к атмосферным движениям. Именно, в таких движениях, в отличие от задач нелинейной акустики н газовой динамики, изменения плотности р со временем и при пере- перемещении по горизонтали малы по сравнению с самой плотностью; так как к тому же толщина действующей части атмосферы (величина порядка 20 км) мала по сравнению с радиусом Земли, мы можем вместо C5.5) написать с большой точностью: dpiy p /<Эр9sin 8 df>\_0 /3=5 6^ Умножим обе части C5.3) на sin 6, продифференцируем получен- полученное выражение по 6 и вычтем из него продифференцированное по X. уравнение C5.2). Получим, принимая во внимание C5.4) и C5.6): 1 / dp dp dp dp \ , Z + 2a> cos 6 dpty ,„,-, in6pHd6 dk dk dti)~^~ p dr ' ^ ' "r2sin6pH Пусть Земля есть сфера радиуса а0. Тогда при г — а0 мы должны положить vr = 0. Кроме того, при г->со надо считать (pvr)->0 (атмосфера не теряет и не приобретает массу извне). Но тогда сущест- существует такая высота, для которой pvr достигает максимума'), т. е. где дг Постулируем, что по крайней мере один такой уровень сущест- существует для всей земной атмосферы. Назовем его «средним уровнем». Практически можно говорить в этом смысле об уровне 3 — 5 км. ') Другая возможность отвечает случаю отсутствия вертикальных скоро- скоростей vr ~= 0.
s i->] ВОЛНЫ ВО ВРАЩШШХПСЯ АТПОСФГРНО1 I ОБОЛОЧКЕ. 541 Для среднего уровня C5.6.) запишется в виде dvt, sm 0 . dvx _ „_ . так что существует функция тока ф(9, л, /•) такая, что 1 д]> 1 d|i .„- д. 1 / <Jp dp dp dp \ Далее, выражение ~[-ж-ж Ж~Ш1 точно Равн0 нулю для баротропной жидкости. В атмосфере можно по уравнению Клапейрона (о = PIRT) заменить этот двучлен на выражение -=¦(-vf- ~ ^- —-]. Vl ' ' J r Т \ дХ дО dO дХ) В задачах теории климата (в стационарных или квазисгационарных задачах) близ поверхности Земли, где горизонтальные контрасты температур велики (они порождаются хотя бы наличием материков и океанов), приведенный здесь двучлен оказывается существенным. На среднем уровне, где горизонтальные контрасты температур сглажи- сглаживаются, згог двучлен несуществен в задаче о бегущих волнах. По- Поэтому мы окончательно можем написать уравнение C5.5) на среднем уровне: dt г dO 'г sin в дХ j \ i Нам остается только заменить С по формуле C5.4) и г»0, vx — по формуле C5.9), и мы получим одно уравнение для определения функ- функции ф. Так как вследствие C5.4) и C5.9) С = -^-Дф, C5.11) [де то мы получим окончательно: ' **2 tin Tt ') Строго говоря, так как при г = ай vr — 0, можно написать: г Лd? ff) dC ~\~ 2со cos 6 vx д^ -\- 2oi cos в \ р dt Ж + 7 5в f" r sine dX j C + 2o)CosS ; так как еще при r->co ovr->O, то получится: Г / <^С | fr9 dt + 2« cos 8 ^ d? + 2о> cos 6 \ f dr _ ./ \ dt ' г 50 h r sin 6 «ft j С + 2o> cos 8 ~U; Oo таким образом, уравнение C5.10) выполняется лишь в среднем по высоте.
542 ВОППОВЫЕ ДВИЖГНПЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VMI Представим теперь, в ссчласии с тем, что мы юворили в начале этого параграфа, что наше движение на среднем уровне состоит нз основного, стационарного, чисто зонального, западно-восточного по- потока, на который накладываются малые, незональные возмущения так, что vt = v'b(b,l.t). v, =«;(9)-f-«'(e. X,/), р^-.р(Ь)-\-р'ф,\, /), C5.14) где v'q , т/, р' малы, a v} и р зависят лишь от 6. Примем, далее, что vx = arsmd, C5.15) где а — постоянная величина. Тогда, если ф = ф@)-|-ф'@, X, t), C5.16) то вследствие C5.9) и C5.15) получим: ф(8)= — a/-2cos0 C5.17) v L_fcl vl C5 m V0— /-sine d\ ' V>>—r~W {ЛЯЛЬ) Вставляя C5.16) в уравнение C5.13), принимая в расчет C5.17) и отбрасывая члены, содержащие квадраты ф', получим для определе- определения ф' уравнение i# »$ + .)%.*-0. C5..9, Решение этого линейного уравнения можно искать в виде ф'= /F) cos (mX-|-af), C5.20) где т — целое число, a—неизвестная постоянная и /(9)—неизвест- /(9)—неизвестная функция от 6. Для такого решения Дф' = Г—Ц^- — (sin 6 4Й %тг f I cos {ml + at), T L sin в db \ db j sin2 6 J J v ' ' так что C5.19) даст следующее уравнение для определения /: _!* (sin6-??) + [ 4^ + l^±H!L!!L\f = o. C5.21) sin 6 do ^ rf6 / ' [ sin2 6 ' a-\-am ]J K Мы пол}чим уравнение для присоединенных полиномов Лежандра и вместе с тем единственную возможность для всюду ограниченного решения, если положим второй член, стоящий в квадратной скобке, равным м(я-{-1), где п — целое число. Мы придем, таким образом, к соотношению а==а«=:-ат + -А^-тг. C5.22) причем C5.20) примет вид <|/= /)/>? (cos 6) cos (лЛ+ (#*)' C5.23)
§ 351 ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ АТМОСФЕРНОЙ ОБОЛОЧКЕ 543 где D — произвольная постоянная. Давление определится теперь квадратурой. Действительно, обращаясь к уравнению C5.3), мы получим после его линеаризации (оставляем лишь основную плотность р среднего уровня, которая считается постоянной): dv} dt ' где _ , _ Используя C5.15), C5.17) и C5.18), получим: dt дЬ С другой стороны, по C5.23) п dt m dX Теперь мы можем выполнить квадратуры по X и написать: Используем еще C5.22) и C5.23) и придем к равенству Г sin 8 dpm I р> = 2 (а + ш) PD [cos 6PJ (cos 0) - я(д+1) -^pJ cos (mX -f <#*). C5.24) Заметим еще, что, приняв C5.15), мы получим на основании C5.2), чго р где С — не зависящая от 6 и X величина. Величину а (угловая скорость вращения основного потока) назы- называют индексом циркуляции. Как правило, она положительна, по коле- колеблется от сезона к сезону: зимой а^0,04о>, легом а ^ 0,20м. Фор- Формула C5.22) имеет многочисленные метеорологические приложения. Она показывает, в частности, что волна, наложенная на основной поток, будет двигаться с определенной скоростью, зависящей от индекса циркуляции и от размеров волны (от чисел т и п, характеризующих размеры волны). Согласно C5.21) полны, отвечающие небольшим воз- возмущениям (большие и), будут двигаться с запада на восток (в™ < 0\ как бы уносясь основным потоком; напротив, крупные вогаы будут твигаться против зонального потока. Мы получили одночленное частное решение вида C5.20). Это решение Гаурвнца. Общее решение, которое позволяет слеал'Ь •54 еузьбой начального возмущения произвольного вида, наюжениаго
544 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII на наш основной поток C5.15), было получено Е. Н. Блиновой '). Чтобы получить общее решение, Блинова рассуждает следующим образом. Пусть начальное поле возмущения давления (p)t=0 может быть пред- представлено в виде ряда по шаровым функциям (на среднем уровне): со со (/?')*=() = 2 20*n cosml~\-A'nmsmml)P™ (cos'J). C5.25) С другой стороны, используя известные соотношения, представляющие dPm cosSP^ и sin 6 " в виде линейных комбинаций P%+i n Р'п-\'- cos №",! (cos 6) = nZltl P«+i (cos 6> + Йт P^-i (cos 6), C5.26) . dP"n'(cos Ч) n(n-m+l) (я+1)(я + <и) sm e _ = 2д+1 Pn+i (cos 6) 2^+T P«-i (cos 9). C5.27) мы можем записать C5.24) в виде р' = 2 (a -f- to) pDH„ (cos 6) cos (ml -+- o™t), «„ (cosh) —(n+1)Bre + 1)^ иB„ + 1) C5.28) Далее, выражение , C5.29) где D™ и Dnm — произвольные числа, будет также решением нашей системы уравнений. Можно выразить теперь D™ и D,',m через посред- посредство А™ и Ллт. Для этого положим в C5.29) f = 0 u перенумеруем члены так, чтобы получить ряд по P^(cos6). Будем иметь, очевидно*. :ю со " лBи-1) 'т (д+2)(я + «+1) 1 cin m)\ pm n+i (n+l)B JS1" mk] F ') Блинова Е. Н., Гидродинамическая теория волн давления, температур- температурных волн и центров действия атмосферы, ДАН СССР, г. XXXIX, Jvfe 7, 1943.
§ 35] ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ АТМОСФЕРНОЙ ОБОЛОЧКЕ 545 Сравнивая почленно ряд C5.25), в котором коэффициенты заданы, и ряд C5.30), в котором коэффициенты неизвестны, придем к системе уравнений = Ап . C5.31) Из этой системы уравнений определяются последовательно, начиная с младших номеров п, коэффициенты D через коэффициенты А. Возмущения ф' функции тока для нашего движения представятся по C5.23) в виде СО СО Ф' = 2 2 [О™ cos (ml + o"t) + DT sin (ml -f <%t)\ P™(cos 9), n = m т = \ где Ef% и Dn" — величины, уже определенные выше. На практике расчеты упрощаются тем, что, как показывает сравне- сравнение выражений C5.26) ц C5.28), для больших п справедливо соот- соотношение Нп (cos 8)^ cos ЪР™ (cos 6). Мы остановились подробно на анализе уравнения C5.19); по- последнее было нами получено в результате линеаризации уравне- уравнения C5.13). В 1945 г. Эртель указал на возможность получения ряда частных решений нелинейного нестационарного уравнения C5.13). Эртель ищет решение для ф в виде (})(8, X, ^) = — г2а cos 6 -}- К„ @, l — QntI), C5.32) где К„F, X) есть сферическая функция порядка п: Уп F, X) = А0Рп (cos 0) -h2 ЛМ' (cos 6) cos (ml + В"), C5.33) причем а, йл, Ло, Л'", В'" — постоянные. Так как ДК„ = — п (п -(- 1) К„, ') Аналогичное, но более частное решение было получено Крэйгом (Craig R., A solution of nonlinear vorticity equation for atmospheric motion, The Journal of Meteorology, 2 A945), № 3). Однако при метеорологической интерпретации своего решения Крэйг сделал неправильный вывод. Вывод Крэйга был исправлен в работах Блиновой (Блинова Е. Н., Об опреде- определении скорости движения ложбин из нелинейного уравнения для вихря, ГТММ, т. X, вып. 5—6, 1946) и Нимтэна (N e a m t a n S., The motion of har- harmonic waves in the atmosphere, The Journal of Meteorology, 3 A946), № 2).
546 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII то по C5.30) Дф = 2гЧ cos б —«(«-)- 1) Yn\ = „(„ +D^L jL==2/-2asine«(»+l)^ _ ,, dJ; 9 . с , дУп дб дУ„ „ Кроме того, -J- = /-чх sin 9 -j—-^р, --Х. =--^ ¦ Вставляя эги производные в C5.13), придем к соотношению что после приведения и сокращения членов дает: «(«-(-1)Ц„ —are (»+1) +2(a + to)^=0. Таким образом, C5.30) удовлетворяет при произвольных Ао, А™> В"п\ а уравнению C5.13), если только Решение C5.32) представляет (как и аналогичное решение в ли- линейном случае) волны, нааоженные на западно-восточный перенос, угловая скорость которого есть с. Угловые скорости 2„ движения волн будут представляться по формуле C5.31). Но угловые скорости волн в линейном случае будут: ojf/m; это по формуле C5.22) будет в точности совпадать с выражением 2„, полученным для соответ- ci дующего нелинейного случая. § 36. Центры действия атмосферы. В предыдущем параграфе мы рассмотрели бегущие возмущения, налом<енные на западно- воеючный перенос. Для метеорологии представляют большой интерес неподвижные (стационарные) возмущения чисто зональной циркуляции. Примерами таких возмущений могут служить так называемые центры действия атмосферы (исландский минимум, азорскнй максимум, сибир- сибирский антициктон и др.). Возникновение этих возмущений западно- восточного переноса, сохраняющихся в течение промежутка времени порядка сезона, можно объяснить, привлекая бароклннность атмо- атмосферы. Пересечение изобар и изотерм будет иметь место уже потому, что материки и океаны, как правило, нагреты по-разному: зимой материк будет холоднее, океан—теп тес, легом — наоборот. На принципиальную возможноаь посiроения стационарных решений типа
§ 36] ЦЕНТРЫ ДЕЙСТВИЯ АТМОСФЕРЫ 547 центров действия >называл еще Россбл (Rossby). Гидродинамическая теория явления была дана Е. Н. Блиновой'). Изложим здесь в общих чертах теорию Блиновой. В нашей задаче мы будем считать процесс стационарным, а тем- температуру атмосферы заданной функцией: Т=Т(Ь, X, г). Будем искать все остачьные гидродинамические элементы: три составляющие ско- скорости и давтение (плотность найдется через р и Т по уравнению Клапейрона). Эти функции связаны уравнениями движения и уравнением нераз- неразрывности. Все уравнения должны быть преобразованы применительно к специфике атмосферных движений планетарного масштаба. Так как основная масса атмосферы содержится в ничтожном по сравнению с радиусом Земли а0 слое (порядка 20 км), то в коэф- коэффициентах наших уравнений мы можем всюду заменить г на а0, а производи)ю д/дг—на производную djdz, где z~r— а0 — рас- расстояние от поверхности Земли. С большой точностью можно считать, dW 3W что -1— = —;— = 0 и что (За ду dW __ дг ~~ g' где ускорение силы тяжести g — постоянная в пределах атмосферы величина Поэтому в согласии с методом длинных воли третье урав- уравнение движения может быть записано в виде <> = -}?-*. C6.1) Далее, одним из наиболее важных свойств атмосферы является всегда существующая заметная зависимость дав тения и плотности от расстояния от поверхности Земли; зависит от высоты, как правило, и температура. Вид этой зависимости в основных чертах сохраняется всегда. Можно ввести поня1ие стандартной атмосферы и рассматри- рассматривать р, р и Т на каждом уровне как величины, близкие к их стан- стандартным значениям р, р, Т данного уровня. Пусть l(b, X, z), p =' C6 2) T=T{z)-\-Tx{b, X, z). Функции р, р, Т будут в дальнейшем считаться известными. Они связаны барометрической формулой (уравнение статики) 0 = —4-^ —ЙГ C6.3) f аг и уравнением Клапейрона р = RoT. ') См. сноску на стр 544 и далее: Блинова Е. Н., К вопросу об оп- определении давления на уровне моря, ДАН СССР, т. XIII, № 3, 1953.
548 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДГАЛЬНОП ЖИДКОС ГИ [ГП V1I1 Выражая в барометрической формуле р через р и 7', получим: !_^1__ ?_ р dz RT' откуда Z dz -if о rw. Так как абсолютная температура Т всегда положительна, р будет падать с высотой. Величина \p\\jp будет всегда мала по сравнению с единицей. Так, например, за стандартное давление на уровне моря можно принять (p)z=0= 1013 мб A мб = \03 г/см сек2); величина (p)z=0 будет ко- колебаться в пределах от 960 мб (глубокий циклон) до 1050 мб (высокий антициклон). В первом случае jt?j = —53; во втором р^ — 37. В обоих случаях |рх\/р?а0,01. На высоте в 5 км р будет иметь порядок 500 мб, величины же рг будут, как правило, колебаться в пределах ог 460 до 540 мб и т. д. Имея это в виду, преобразуем 1 dp I 1 др\ выражение ~- или —^- : р ои \ р ok j Так как, далее, р не зависит от 9, разлагая In II -\- ~) в ряд In | 1 -j- ^r-j = Q-— -к\ — I + ... и ограничиваясь первым членом, \ Р 1 Р г\Р! мы получим: \ dp ^^ pj, д рх р дЧ дО р Аналогичным образом 1 др ^RT д Pi . р dX дк р С другой стороны, р dz dz dz p ил i no C6.3) i^^^A^-g^. C6.4) р dz dz p T
$ 361 ЦЕНТРЫ ДЕЙСТВИЯ АТМОСФЕРЫ 549 Мы можем теперь написать уравнения движения предыдущего параграфа C5.2), C5.3) для нашей стационарной задачи в виде ^А4LAUL C6.5) 4. а0 дд р аа д% 2 г>Л<, -4-2tocos 6) = ~ . C6.6) Уравнение же C6.1) примет на основании C6.4) и C6.2) вид ±P^ C6.7) 0 RT+g^ дг р Т Уравнение неразрывности предыдущего параграфа C5.6) с боль- большой точностью можно записать в виде | ^>\_ р. C6.8) \ d~?vr ^ 1 /^8 sin | р йг а0 sin 6 \ д® дк Уравнения нашей задачи содержат два дифференцирования по z. Значит, мы должны прибавить два краевых условия. Это будут: при 2 = 0 vr = Q; C6.9) при г = со pvr—>0. C6.10) Умножим C6.6) на sin 6, продифференцируем полученное уравнение по 6 и вычтем продифференцированное по X уравнение C6.5). По- Получим, принимая во внимание C6.8): Vfj dC -+¦ 2а> cos 6 . vx д? -f- 2a> cos 6 а0 d(i ' а0 sin 6 dX ^ R rdTj д (рЛ dTi д I рЛЛ C + 2MCOS8 d^vr C6 11) а0 sin в [ д\ дв [ р } d6 дХ { р )J p d2 Это соотношение заменит нам в дальнейшем одно из уравнений дви- движения. Обратимся теперь к уравнению неразрывности. В нашей задаче характерные горизонтальные размеры явления будут иметь порядок 103 км—10s см. Горизонтальные скорости имеют, как всегда в ме- метеорологии, порядок 10 MJceK = 103 см/сек; значит, характерные 1 дьь 1 dvi , 103 1П_5 1 n „ значения ^ или к —^- будут: -ттй = 10 . С другой сто- а0 dO a0 sin 0 д\ } J Ю8 сек rJ роны, вертикальные скорости в метеорологических процессах боль- большого масштаба, как правило, ничтожно малы — их порядок не пре- р вышает величины 10 м\сек. В то же время характерными высо- высотами будут 10 к.и=104 м («толщина» тропосферы). Тогда dvjdz
550 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII имеет порядок = 10~6 . Мы видим, что в уравнении C6.8) каждый из членов, содержащих горизонтальные скорости v$ и vx, будет на порядок выше третьего члена, содержащего вертикальную скорость. В метеорологических случаях считают поэтому, что для всех уровней атмосферы может быть написано приближенное соот- соотношение Отсюда, конечно, не следует, что vr==0. Величина vr определится из уравнения C6.11), в котором все члены имеют один и тот же порядок малости. Приближенное соотношение C6.12) позволяет вывести функцию тока i из равенств Чтобы довести решение задачи до конца, примем, как и в пре- предыдущем параграфе, что движение состоит из основного, чисто зо- зонального западно-восточного переноса и наложенных на него малых возмущений, так что = v'f,{Q, X, z), v,=vh(Q, z)-\-v[{b, X, z), vr = v'r(Q, X, z),) - b, X, z), j C6Л4) где v'r v'x, v', p' малы, a vx и р1 зависят лишь от 9 и z и нам заданы. Нам заданы также и температуры 7=Т1F. г)+Г(б, X, z), C6.15) причем 7^@, z) характеризует перепад температуры между эквато- экватором и полюсами (различный на разных высотах), а V описывает незональные влияния материков и океанов. Примем, далее, что vx = z(z) aQ sin 9. C6.16) Тогда, если 6=,-i@, z) + <|/(S. X, z), то no C6.16) 0@, 2) = — a (^ a2 cos 6 C6.17) и v.== —гг-ж-> ¦"> — тяг • C6.18) Величина i{Z) растет с высотой и достигает экстремума в ниж- нижней стратосфере; отношение а/ш всегда мало (а/ш < 0,06). Заметим
§ 36] ЦЕНТРЫ ДЕЙСТВИЯ АТМОСФЕРЫ 551 еще, что fv vx, /?x будут связаны между собой двумя уравне- уравнениями— C6.5), C6.7), записанными для основного движения. Заме- Заменяя в коэффициентах этих уравнений Т на Т, полагая, что 1 -f- -^- «=;1, получим по C6.6): 2a>aa2cos6sme = /?f-^--4-. C6.19) Заменяя в C6.7) Т на Т, получим: ЛЬД C6.20) dz р RT2 Интегрируя C6.19) по 9, получим: C6.21) c(z)\^, р RT где с (z)— функция одного z. Отсюда по C6.20) имеем: 7\F, z) = С(*) +M(z)sin29, C6.22) где Г) d а --^-, Ж = —±Т—^-. g dz g dz j Перейдем теперь к составлению уравнений для возмущенного движения. Из уравнения C6.6) получим вследствие C6.14), C6.17), C6.18), если отбросить члены, содержащие квадраты малых величин и заме- заменить а-|~ш на ш, выражение ? + slne. C6.23) Уравнение C6.11) нам даст, если принять в расчет C6.19) и C6.22): -Л- ^- -Л- 2и> —.фг = си cos 6 дТ' д р' 2w cos 6 dav' = 2а^2RMcosb+ al^ Т дХ дК р р дг Наконец, уравнение C6.7) можно записать в виде ±4- = -^ Г. C6.25) дг р RT2 Итак, нам надлежит найти три функции у, р', v' из трех урав- уравнений C6.23), C6.24), C6.25) при краевых условиях C6.9) и C6.10).
552 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Проинтегрируем уравнение C6.25) по z от 0 до z. Получим: f^t C6.26) где Я@, X)— неизвестное возмущение давления на уровне моря: ЯF, 1)=р'(Ь. X, 0). Дальнейший ход решения, по Блиновой, заключается в следующем. Интегрируя уравнение C6.23) по X и используя C6.26), выразим <|/ через Р и Г'; уравнение C6.24) при условии C6.9) позволит путем квадратуры определить v'r через <|/, /?', Г', т. е. так как ф' уже найдено через Р и 71', определить «/ через Р и 71'. Нам остается написать замыкающее условие C6.10), и мы получим связь между Р и проинтегрированными по z от 0 до оо комбинациями из Т'. Эта связь будет иметь вид дифференциального уравнения в частных про- производных по б и X; последнее должно быть решено на сфере при одном лишь условии ограниченности решения. Определив Р, найдем и все остальные функции. Остановимся на приближенном решении. В уравнении C6.23) вто- второй член справа будет мал по сравнению с членом, стоящим налево (из-за малости <х/2со). Поэтому можно C6.23) заменить приближенным равенством d/= Rf ?. C6.27) т 2<о cos 6 р или по C6.26) где _P^3_t T2=Z^iAiL. C6.29) cos Dp @) г Г2 {z) cos 6 Далее, так как MjT<^\ (M — перепад температуры по горизон- горизонтали, Т — температура), то второй член справа в C6.24) может быть откинут по сравнению со вторым членом слева. Тогда по C6.9) о Таким образом, условие C6.10) приведет нас к равенству Ct.31)
§ 37] ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 553 i де T'^Kz) C6.32) Заменяя <J/ по C6.28), получим окончательно для определения <р уравнение atA? + 2шср = /?@, ^)> C6.33) где со со aI== Г afpdz:jfpdz, Гр d2. о \ о о /о C6.34) Если F разлагается в ряд по шаровым функциям: F = 2 2 (F% cos mX -j- F^ sin ml) P% (cos 6) n m •^к. Fn —известные постоянные^, то ср найдется по C6.33) в виде ряда ф — VV (mm cos ml -f- (p'msin mX) Рш (cos 6), причем pm p'm ' n , n = 2( В выражении для F C6.34) член, содержащий tj, описывает эффект пересечения изобар и изотерм, проведенных в горизонталь- горизонтальных плоскостях; член с i2 появляется за счет пересечения изобар и изотерм, проведенных в плоскостях вертикальных. § 37. Длинные волны конечной амплитуды. Волны на г- елкой воде. Разрушение плотины. При выводе в § 27 основных уравне- уравнений для длинных волн мы сделали три допущения: допущение о воз- возможности пренебречь вертикальными ускорениями, допущение о воз- возможности пренебречь вертикальными силами, кроме силы тяжести, и допущение о малости амплитуд колебаний частиц жидкости. В этом параграфе мы снимем третье допущение и рассмотрим длинные волны конечной амплитуды. Примерами задач, сюда относящимися, будут раз- разрушение плотины, разрушение волны, обтекание берега или препят- препятствия в случае мелкой воды и т. п. В этих задачах допущение о малости амплитуд будет приводить к неточности, в то время как остальные допущения теории длинных волн оправданы. В случае плоских движений несжимаемой жидкости (§ 27) мы внош имеем здесь уравнение B7.3). Однако мы теперь не будем 36 Jdh ll и
554 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. vm заменять dvjdt на dvxjd(, а напишем вместо B7.4) dvx , „, dvx _ „ д' дх dx C7.1) При получении из уравнения B7.7) уравнения B7.8) мы пренебрегали нелинейными членами. Теперь мы этого делать не будем и возьмем второе основное уравнение для длинных волн в виде dt = -дг((АН-0^]. C7.2) Для пространственных движений, когда имеются две скорости, vx, vy, и две координаты х, у имеем по аналогии: dt dv., dv., C7.4) C7.5) Если h = const (дно горизонтально) и X = Y = 0, то уравнения C7.3) — C7.5) совпадают с уравнением плоской нестационарной задачи о дви- движении сжимаемой жидкости, обладающей специальным видом зависи- зависимости плотности от давления: = у ~ (политроппый процесс с показателем политропы п = 2. См. гл. II, § 11). Движения сжимаемой жидкости рассматриваются подробно во второй части этого курса, в главе по газовой динамике. Методы, из- излагаемые в главе по газовой динамике, могут быть перенесены на рассмотрение соответствующих задач о длинных волнах на поверх- поверхности воды. Мы не будем сейчас останавливаться на общих реше- . ниях, а ограничимся рассмот- рассмотрением одного характерного примера приложения уравнений C7.3) —C7.5). В качестве этого примера рас- рассмотрим задачу о разрушении С, '//////////ЛЪ. О плотины. Рис. 184. Пусть в начальный момент вер- вертикальная перегородка удерживает в равновесии прилегающие к ней слева и справа покоящиеся слои воды (рис. 184) толщины Cj и Cj соответственно; пусть для конкрет- конкретности Cj > ^2< Перегородка внезапно убирается. Требуется найти дви- движение.
§ 37) ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 555 В качестве дифференциальных уравнений задачи будут служить уравнения ди ди dZ C7.6) ди dt дх = 0 C7.7) (vx = и), из которых нам надлежит определить две функции: и и С (скорость и высота свободной поверхности соответственно). Движе- Движение наше, начавшееся с разрыва в искомой функции С, будет и дальше сопровождаться наличием разрыва. Нам предстоит сначала вывести условия на разрыве, которым (во время движения) должны удовлетворять искомые функ- функции. Чтобы вывести эти усло- условия, обратимся к законам сохранения количества движе- движения и массы. Пусть мы имеем движение, происходящее при наличии раз- разрыва (рис. 185). Рассмотрим вертикальную плоскость, состоящую из жидких частиц, которая находится слева от поверхности разрыва; пусть закон ее движения х —Xj(^). Рассмотрим еще плоскость, лежащую справа от поверхности разрыва; пусть ее закон движения x = x2(t). Закон движения поверхности разрыва пусть будет x — 4(t). Рассмот- Рассмотрим массу воды, заключенную между двумя вертикальными плоско- плоскостями, движущимися вместе с водой: х = х{ (t), х = х2 (t) {х2 > х{). Количество движения этого жидкого объема будет x,{t) Г рС dx, где р — постоянная плотность жидкости. На объем этот действуют силы давления где С] и ^ — высоты свободной поверхности слева и справа от разрыва соответственно. При этом в согласии с формулой (,27.2) имеем p = g-p(C — г). C7.9; 36*
dt 556 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Приравняем приращение количества движения импульсу сил: ~ / p^udx= I (р) dz— f (p)x_ dz C7.10) *,(<) 0 0 или, по C7.9), -^ I рС и dx = Щ- (С? — ф. C7.11) По закон} сохранения массы I p(,dx = 0. C7.12) В левые части уравнений C7.11), C7.12) входят интегралы вида /= Г a(x,t)dx, где а — функция, претерпевающая разрыв в пределах интервала инте- интегрирования в точке x — %(t). Обозначим значения а, получающиеся на плоскости x = K(t), если приближаться к этоР плоскости, оста- оставаясь слева, через а"\ значение а, получающеесг если приближаться к плоскости х = S; справа, обозначим через а+. Разность а+ — а" назовем «разрывом а» и будем обозначать так: а+ — а~ =[а]. Мы можем написать lit) x,(t) I=z Г a(xJ)dx-\- f a(x,t)dx, так что dI — С 0± И _l d? - dX' / (f\ _i_ dt rj yt ctt dt Xl + -?f a(x2(t), *)-—^а + . C7.13) Заметим при этом, что И v // у унаши плоскости x = xv x = x2 — жидкие плоскости). Будем теперь рассматривать случай, когда толщина нашего жидкого объема стре-
§ 37) ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ мится к нулю, но разрыв остается внутри (так что х2~*%, Xj->?) Тогда интеграл в правой части C7.13) устремится к нулю и мь получим, очевидно, • еле дет ¦(t+J], C7.14 С I С, и ш Мы получим таким образом два условия на скачке Первое¦ вие C7 10): С~ и~ {N— и~) — С+ второе — следствие C7 12): (.-(N — u-) — t+(N~u*)=0 C7 15 %i dl Здесь N = —- — скорость перемещения поверхности разрыва. Вернемся теперь к нашей задаче о разрушении плотины Будеи рассматривать в воде четыре различные области (рис. 186) Прежд( всего это области / и IV (крайняя слева и крайняя справа), где вод. находится в состоянии покоя и уровни имеют А началпные значения С[ (в обтасти /) и С2 (в об- области IV) Область / со- сопрягается с областью // вдоль тоскости А А В области // жидкость движется и это движение сопрягается непрерывным образом с покоем об- области / Положение пло- плоскости А А и движение в об пасти // могут быть для любоп момента времени определены (см ниже) Далее, область / сопрягается по плоскости ВВ с областью /// Скорости и высот! поверхности переходят опять непрерывно от значений в области / к значениям в области ///, после чего (в области ///) и и С сохра няют постоянные значения Эти последние значения сопрягаются покоем в области IV вдоль поверхности СС, причем здесь и и ' терпят скачок Покажем теперь, как найти скорости движения поверхности А/ и поверхности разрыва СС, а также движение жидкости в обла стях /// и //. В области // имеем автомодельное решение системы C7 6) — C7 7 (мы помещаем начало координат оси х в точке, у которой в началЕ ный момент располагалась плотина) Ищем решение в виде 0 В Рис 186 —"(т)- ^z(f
558 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ VIII Тогда для U и Z получаем систему уравнений (t/_A-L|-|-Z-^=0, ял ал где Х=~т-. Решение этой системы получается в виде U=\(c + x); Z = -LBc —jtf, C7.16) где с — произвольная постоянная. Там, где сопрягаются области / и //, мы должны иметь U = О, т. е. Х = —с или х==—ct; таким образом, с есть скорость пере- перемещения плоскости А А. Второе соотношение C7.16) позволит найти величину скорости с, ибо должно быть CI = -g— Bc -f- сJ, откуда Это скорость распространения волны на поверхности при глубине С, (ср., например, B8.3)). Итак, движение в области // плоскости определено: УЩ' ^iBv^-fJ- C7Л7) Область /// характеризуется некоторой постоянной скоростью и' и постоянным уровне; С'. Эти две неизвестные величины должны быть связаны в силу C7.17) соотношением 2YW +и'=21/?^. C7.18) Далее, сопряжение движений в областях /// и IV происходит вдоль плоскости разрыва СС. В области IV всюду и = 0, С = С2. Прини- Принимая в формулах C7.14), C7.15) и+ = 0, С+ = С2, мы должны запи- записать два условия сопряжения движений в /// и IV: Vu'(N— a') = -f (С2 — СЬ. C7.19) U(N— и') —С2Л? = 0. C7.20) При этом наряду с двумя неизвестными и', С появляется еще третья неизвестная величина: jV—скорость перемещения плоскости СС. Три уравнения C7.18)—C7.20) послужат для определения и', С, N. Удобно преобразовать C7.19), заменяя в нем С • и' по C7.20), к виду ^(Л^-и') = |(С' + у. C7.21) Введем скорости ? V^ V& C7.22)
§ 37] ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 559 и безразмерные величины c = c':cv u~u':cv N — N; сх, а также отношение Из уравнений C7.20) и C7.21) легко получим выражения для и, С через /V: C7.24) Уравнение C7.18) в безразмерных величинах примет вид 2F-\-u—2; C7.25) таким образом, мы можем, зная Ь (т. е. отношение yCj), опреде- определить /V из уравнения 1 ь2 C7.26) На рис. 187 представлены значения N/Y g^, u'\Ygt.v (С—У/С^ cjYg^i B функциях от отношения С2|СХ первоначальных высот воды. Заметим, что подъем воды при ее движении после разрушения пло- плотины имеет максимум (около точки ^^=@,18^) и этот максимум составляет примерно одну треть от первоначальной высоты воды слева от плотины (см. рис. 187). В предельном случае движения воды по сухому руслу, когда С2=^0, мы получим С —0, JV=a' = 2K^i, Результат этот по- получается непосредственно из анализа формул C7.20), C7.21). Этот случай схематически изображен на рис. 188. Представляет еще интерес исследование, в функциях от времени, движения в том месте, где первоначально находилась плотина. Здесь может оказаться два случая: случай, изображенный на рис. 186, когда плоскость ВВ лежит справа от начального положения О пло- плотины, и случай, когда ВВ находится слева от О. В первом случае точка О находится в области // и движение в этой точке целиком
560 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII определяется формулами C7.17), в которых надо только положить JC у = 0. Таким образом, в этом случае =4с,. 4 т. е. скорость и высота не зависят от времени и высоты С2, а це- целиком определяются через Cj. Во втором случае точка О попадает в область /// и здесь будет Здесь скорость и высота вновь не зависят от вре- времени, но теперь их значения зависят уже и от ^ и от С2, ибо отношения a'/Ye^i и С'/^! зависят от ^/Cj. Нельзя ли заранее ука- указать, какой из двухслучаез будет реализоваться? Урав- Уравнение плоскости ВВ по вто- второму уравнению из C7.7) будет C7.27) поэтому если С > <г Сх, то плоскость ВВ окажется справа от О (первый слу- чай), если С < „- Cj, пло- плоскость ВВ окажется слева (второй случай). Если С'=-g-Cj, то плосколь 5В будет всегда прохо- — - 4 2 ~ дить через О. Но тогда с = 2/3 и по C7.25) « — 2—-^ =— =.с. Это так называемая критическая скорость. Она отвечает совершенно определенным значениям b = b* и N = N*; последние могут быть определены из уравнений C7.23), C7.24), левые части которых за- заменены на 2/3. Численный расчет дает для критических отношений Cj/ti (т. е. для Ь*2) выражение ^/^^«0,1384. На рис. 187 эта чочка отвечает пересечению линий u'[Yё^ч и c'lYS^i (c общей ордина-
§ 38] ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 561 той, равной 2/3). Если Cj/Cj < b*2, то КС < jVC,, jc по формуле C7.27) будет отрицательно и точка О окажется в области ///. Если C^/Cj > b*2, точка О окажется в области //. Таким образом, до тех пор, пока С2/С] будет мень- меньше, чем Ь*2, мы будем иметь в точке разрушения плотины ме- меняющееся значение и'/Уg^ (с уве- увеличением C2/Cj от нуля до 0,4384 u'lvS^\ увеличивается от нуля до 2/3), но как только мы перей- перейдем через значение t^/Cj = Ь*2 и будем увеличивать С2/С, = 2/3. § 38. Обтекание препятствия тяжелой сжимаемой жидкостью. Длинные волны. Бора. Вернемся к задаче обтекания, рассмотрен- рассмотренной в § 20. Не будем на этот раз линеаризировать уравнения, но упростим их так, как это делается в теории конвекции. Отправными уравнениями будут, как и в § 20, Рис. 188. далее мы всегда будем иметь a'/Vg^i = v * дх dv z dz dx ' dT dx ' dz df x—1 T dz x p = 0, г dz) C8.1) C8.2) C8.3) C8.4) Сделаем упрощения конвекции, аналогично тому как мы поступали в § 36. Будем считать, что где , z), Т= \p'\<l~p Г(х, z), P= p'(x, z), C8.5) p, p, f — положительные «стандартные» значения р, Т, р соответ- соответственно— известные функции от высоты z; р', Т', р' — возмуще- возмущения, вызванные препятствием. При этом р dz C8.6) C8.7)
562 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ Vlir Упрощения, о которых мы упомянули, позволяют написать (ср. стр. 548) ±_др_^,дФ_ 1 др дФ g T, р дх ^ дх ' р dz ' ° dz T\ где Т — средняя температура атмосферы ф = ю\ С. р Аналогично этому, 1 р 1 т dx дТ dx "~ d ~dx~ d dx О Г f P 1 T dz "~ dT dz " P 1 " f dp dz + df dz d 1 Л P T -' T f Теперь уравнения C8.1) — C8.4) запишутся приближенно в виде (если учесть неравенства C8.5) и заменить еще Т, там где Т входит в коэффициенты, через 7\): dvx , dvx дФ оо v \v C8.8) дх ' г дг дх С38.9) !L + ±*L) = oi C8.10) p dz) V ¦" dx dz дх р у dz p p dz _д_^Г ±_Г_ vz df dx T dz f Г, dz = 0. C8.11) дх p ^ z\dz p ^ p dz Заметим, что по C8.6) и C8.7) —-^- = C-« — , p dz RT RT\ 1 do 1 rfp 1 df g . i df n — —v~ = — -?- — «^ s_ .|. _!_ Где y = . Стандарт- p dz p dz T dz RTS 7, ' dz ное изменение температуры с высотой составляет 5° на км; поэтому с большой точностью можно считать —•—?-« — = const р dz RTX b#T~wW~i~M ¦ 10-^)- Члены' в уравнении неразрывности пренебрежимо малы по сравнению с остальными (см. 38.5), и мы можем написать C8.10) в виде дл: ^ аг RTt vz~u-
§ 38] ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 563 В атмосферных условиях третий член в этом уравнении составляет незначительную долю от первых двух. Мы окончательно остано- остановимся на следующей форме уравнения неразрывности: ТЕГ+Т[Г = 0. C8.12) Аналогичные упрощения применимы к уравнению притока тепла C8.11) (пренебрежение членами, содержащими р'/р и т. п.). Примем окончательно вместо C8.11): ^ 4? -Т[)<', = 0. C8.13) где 7а~' Т? » а 7 считается постоянной. Задача сводится к определению из уравнений C8.8), C8.9), C8.12), C8.13) четырех функций: vx, vz, Ф, V. Эти четыре уравнения обладают тремя интегралами. По C8.12) можем ввести функцию тока ф из равенств «, = ?. «, = --?. C8.14) Теперь уравнение C8.13) может быть записано в виде dz дх дх \dz ^ '« '/ или (при постоянном fа — f) и мы получаем первый интеграл: /1(Ф). C8.15) где /х(ф) — произвольная функция от ф. Исключим теперь из урав- уравнений C8.8) и C8.9) функцию Ф, для чего продифференцируем C8.8) по z, C8.9) — по х и вычтем друг из друга. Получим: дф дЦ д'\> дЦ ___ g дГ дх dz ~дх~ dz T7 дх ' где Аф = -??Г~т^Г * Используя интеграл C8.15) и замечая, что дГ df, dii -^—=-;т--г-, получим: дх di/ ox J _ д±_ (д_Ц_ _ _g_ dfi\ __ дх \ дг 7" d^)~ дг дх дх \ дг 7",
564 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII Это уравнение, как легко видеть, эквивалентно следующему: ii_2_(да—х, *М w д (м>- g ? df>)-() Отсюда мы заключаем, что ^=т\гч$-+ш> C8Л6) где /2—новая произвольная функция от ф. Функции f1 и /2 могут быть определены из условий при х = — со. Так, например, если при х =— со, мы имеем поток постоянной скорости vx— U = const, Т' = 0, то функция тока при х =— оо (назовем ее W) будет связана с U по C8.14) соотношением W = U С другой стороны, по C8.15) имеем (fa — f)z = f1(W), таким обра- образом, /г(У) = .. ЧГ. Это соотношение должно быть справедливо для всех i|>. Итак, Далее, по C8.16) имеем f (W f (W , (-{a — -Qg поэтому Таким образом, для случая (^)v=_0o= t/. (^Ojr^.-oo^1^ мы Должны будем решать уравнение ?^Л C8-19) После того как ф уже известно, V определится из C8.15)> останется найти только Ф. Чтобы найти Ф, умножим C8.8) на vx> C8.9) на vz и сложим. Получим без труда, используя C8.14), что Отсюда получается третий интеграл: v2 -1- v2 g z1 g _JL_—L_j_ ф_|___(^а — у)— _zfl (ф) = /3 (ф), C8.20) где д—третья произвольная функция от ф. Вид функции /3 опре- определится из условия (Ф) =_оо:=0. В рассмотренном выше примере
8 88] ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 565 Скажем теперь о краевых условиях задачи. Пусть уравнени про- профиля обтекаемого препятствия имеет вид z = ^(x). C8.22) Тогда одним из краевых условий будет или, по C8.14), <1?(х, z) = 0 при z = {(х) [ф определено с точностью до постоянной слагаемой, и мы можем считать, что ф(—со, 0)—0]. В качестве краевых условий сверху можем принять наличие горизонтальной стенки z = Н, и тогда будет vz = 0 при z — H или ц(х, Н) = const. C8.23) Так, в разобранном нами частном случае постоянной скорости U на бесконечности, будем иметь ty(x, H)=UH. Другим типовым условием будет условие наличия сверху сво- свободной поверхности. Форма этой поверхности определяется вместе с решением всей задачи. Для записи этого условия следует при- привлечь C8.20). Обратимся теперь к подробному рассмотрению случая длинных волн. Для длинных волн в уравнении C8.9) мы отбрасываем левую часть. Это означает в конечном счете, что вместо уравнения C8.16) мы получим теперь Вместо C8.20) мы получим теперь + Ф + УГ(^-^4-|г^^) = /з(Ф)- C8-25) Уравнение C8.15) перепишем без изменения ^ = /|№-(Т,-7)г- C8-26) В качестве конкретного примера рассмотрим задачу о перевали- переваливании холодной воздушной массы через хребет 1). Пусть уравнение сечения хребта будет ') Мы излагаем здесь работу Франкля Ф. И. и Гутмана Л. Н., Термогидродинамическая модель боры, ДАН СССР 130 A960), № 3.
566 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VHI Будем считать, что выше холодного потока располагается воздух, который мы можем принять за неподвижный (рис. 189). Пусть урав- уравнение поверхности, отделяющей теплою Ьассу от холодной, будет Вид функции т) заранее не известен. Прилг = — оо примем x/x = const = U, Т' = 0, т\ = Н. Тогда fx и /2 из уравнения C8.24) удовлетворяют соотношениям г C8.17), C8.18), так что C8.24) запишется в виде C8.27) Уравнение это мы должны ре- шать при краевых условиях Рис. 189. t^0 ПРИ z = l(x), tb—UH при z = t\{x). Рассматриваем C8.27) как обыкновенное дифференциальное урав- уравнение (х входит параметрически); получим решение, удовлетворяющее поставленным краевым условиям: {^sinQ^_Q[(l)(} C8.28) где В этой формуле не известно еще -ц{х). Чтобы найти щ(х), восполь- воспользуемся краевым условием для давления C8.25). Потребуем непрерыв- непрерывности давления при переходе через поверхность z~t\(x). Вспомним, что давление р в движущемся воздухе имеет вид p = ~p(z)~\-p', C8.29) причем i^L__AZ C8.30) dz R f Обозначим давление в верхней среде через pB(z). Так как эта среда неподвижна, то ^?2.—-.Л?л, C8.31) dz R Тв где Та — температура верхней среды. Давление р на уровне Н
§ 38] ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 567 будет р(Н). Мы можем тогда, интегрируя C8.30), написать _? fif. R J Г р(г[) = }(Н)е и . C8.32) На основании C8.31), благодаря непрерывности давления имеем />„(Ч) =/>(#)« Н ¦ C8.33) Потребуем теперь равенства давлений на поверхности z — ri(x): откуда по C8.32) IP' = e " —1. V P 1г = ц Пусть теперь f==T0— fz, TB = TB(H)— ~{B(z — H). Выполняя инте- интегрирование, получим: L т-в(Я) J L ?(H) J АГ(Я)Г(Я) R T (H) TB (H) (мы ограничиваемся первыми степенями разложения в ряд). Итак, мы должны положить Запишем теперь уравнение C8.25), заменив в нем fl по C8.17), /3_по C8.21). Получим: Это соотношение должно быть справедливо повсюду. Полагая в нем z = -q(x) (или, что то же самое, ty=UH) и заменяя Ф по C8.34),
568 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ VIII получим уравнение, из которого мы сможем определить т;: откуда U /1 4- 2та (Я -г}) - о2 {Н~~& Здесь введен безразмерный параметр т: НI ТВ(Н)\ У Te-Y U Т(Н) Заметим теперь, что по C8.28) и мы придем к следующему трансцендентному уравнению для опре- определения Г): ! —С) — (Я — 7j)cos a Gj — С). C8.35) Для анализа его удобно ввести безразмерные величины при этом п л/ S (Та — 7) И /qo qfi\ LJ I/ "—7р у: • I О О .OVJ I г У 1 U Известная величина С и неизвестная величина ч\ будут связаны урав- уравнением, содержащим два безразмерных (заданных) параметра т и D: 1= \ У\ 4- 2т (D —^) — (D — т;J — 1 ] sin (г) — С) — (D—^) cos (^—С). Параметр т описывает скачок, претерпеваемый температурой при переходе от холодной массы к теплой, параметр D характеризует «толщину» (Я) холодной массы. Закрепляя т и D, мы можем пред- представить C8.37) в виде кривой на плоскости (С. vj); по заданному зна- значению С можем затем получить г\ и решить задачу. На рис. 190х) изображено семейство кривых C8.37) при т = 3,2 для пяти различных значений D (D— 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0). Здесь по оси ординат отло- отложено D — т;, по оси абсцисс С. Все кривые проходят через начало ¦) Рисунок взят из упомянутой выше работы Франкля и Гутмана.
§ 18] ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 569 координат (при х = — со, С —0, т\= Н при любом D). Замечательно то, что каждая из этих кривых имеет максимум С = Стах(т, D). Отсюда возможность существования трех принципиально различных режимов обтекания. Рассмотрим движение с конкретными значениями -: и D. Если высота хребта нигде ие достигает Стах, отвечающего нашим значениям т и D, то мы, по мере продвижения вдоль хребта (начиная от значения С=0), будем всегда находиться на восходящей ветви кривой C8.77); перевалив через хребет, мы вынуждены будем затем спуститься по той же ветви до значений С = 0. Если профиль хребта симметричен относительно вертикальной оси профиля, то движение Зкм z Юм/сек / 1,5 2 25 3 Рис. 190. 40. г Юм/сак Рис. 191. будет также симметричным. Этот случай представлен на рис. 191. Здесь в качестве постоянных взяты //-^=3 км, Г(//) = 270°, 7B(#) = 280°, U = 10 м/сек, -f-= ~ м/сек2 град, 1 ~ ~3 — 3 • 10~3 град/м. При этом D^a3, тяйЗ,2. Второй режим может возникнуть при тех же значениях D и т, когда обтекаемый хребет будет иметь максимальную высоту, в точ- точности равную Cmax(x, D) В этом случае, перемещаясь вдоль хребта от С = 0 до Стах, мы будем подниматься вдоль кривой C8.37), пока не дойдем до точки С = Стах, после же переваливания через хребет мы можем использовать два решения. Одно из них будет отвечать возвращению по восходящей ветви кривой до точки С = 0; это реше- решение по своему характеру одинаково с решением, отвечающим первому режиму. Другое решение отвечает спуску по нисходящей ветви кри- кривой C8.37); здесь симметрия (даже для симметричного профиля) нарушается: при спуске мы получим здесь возрастание скорости, т. е. 37 Зак 1190
570 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII ту картину, которая наблюдается при так называемой боре. На рис. 192 представлен такой случай. Реализуется ли этот второй режим или нет—зависит от распределения давления при х = 4~°°- Наконец, если высота горы С больше, чем ?тах, решение построить не удастся. Здесь следует ожидать Юм/сен О Ю Мм/сен картину нестационар- нестационарного скачка, движу- движущегося против течения. § 39. Упражнения. 1. Найти скорость рас- распространения длинных волн в канале, у кото- которого сечение по всей длине одинаково и имеет площадь S', причем ши- ширина сечения у самой поверхности воды рав- равна Ь. О /0 2030м/сек Ответ, с = 1/ ^т- Риг 1Q? ГО "" э 2. Найти скорость распространения длин- длинных волн в канале глубиною 20 см, сечением которого является трапеция, если ширина канала на дне равна 40 см, а у поверхности воды — 60 см. Ответ, с = 128 см/сек. 3. Найти скорость распространения длинных волн в канале полукруглого сечения, радиус которого г = 1 м. Ответ, с = iy = 2,78 м!сек. 4. Объяснить, почему волны, набегающие на берег, идут всегда парал- параллельно берегу или под очень малым углом к нему. Указание. Использовать зависимость скорости распространения длин- длинных волн от глубины жидкости. 5. Найти скорость распространения длинных волн на поверхности раз- раздела двух жидкостей, глубины коих h и /г', плотности р и р', причем нижняя жидкость ограничена снизу, а верхняя сверху — горизонтальными плоско- плоскостями (р и h относятся к нижней жидкости, причем р > р'). Ответ, с = 6. Найти скорость распространения длинных волн на поверхности раз- раздела двух жидкостей, глубины коих h и h', плотности р и р', причем нижняя жидкость ограничена снизу горизонтальной плоскостью, верхняя же жидкость имеет свободную поверхность, на которой давление постоянно (р и h отно- относятся к нижней жидкости, причем р > р')- Ответ, с = 1 g{h + h') ± I g |/(A- h'f
ЛИТЕРАТУРА К главе I 1. Жуковский Н. Е., Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, Москва 1948. 2. Лам б Г., Гидродинамика, перев. с ан.л., Госгехиздат, Москва, 1947. 3. Л а н д а у Л. Д. и Л и ф ш н ц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех- Гостехиздат, Москва, 1954. 4. Л о й ц я н с к и й Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, Москва, 1950. 5. План к М., Введение в механику деформируемых тел, Москва, 1929. 6. Прандтль Л., Гидроаэромеханика, перев. с нем., ИЛ, Москва, 1951. 7. Современное состояние гидродинамики вязкой жидкости, под ред. С. Г о л ь д ш т е й н а, т. I и II, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1948. 8. Прандтль Л. — ТитьенсО., Гидро- и аэромеханика, т. I и II, перев. с нем., ОНТИ, Москва, 1933 и 1935. 9. Фридман А. А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ, Москва, 1934. 10. Appel P., Traite de mecanique rationnelle, т. III, Paris, 1921. 11. Kirchhoff, Vorlesungen iiber mathematische Physik, т. I, 1877. 12. Ramsey and В e s a n t, Hydromechanics, т. II, 1913. 13. Muller W, Mathematische Stromungslehre, Berlin, 1928. К главе II 1. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947. 2. Фридман А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ, Москва, 1934. 3. Appel P., Traite de mecanique rationnelle, т. III, Paris, 1921. 4. Mit Пег W., Mathematische Stromungsiehre, Berlin, 1928. 5. Ramsey and В e s a n t, Hydromechanics, т. II. 6. WienW, Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig, 1900. К главе III 1. Прандтль Л. — Титьенс О., Гидро- и аэромеханика, т. I, перев. с нем., ОНТИ, Москва, 1933. 2. Appel P., Traite de mecanique rationnelle, т. III, Pans, 1921. 3. Ramsey and В e s a n t, Hydromechanics, т. II. К главе IV 1. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947. 2. Appel P., Traite de mecanique rationnelle, т. III, Paris, 1921. 3. Ramsey and В e s a n t, Hydromechanics, т. II. 37*
572 ЛИТЕРАТУРА К главе V 1. Билля Г., Теория вихрей, перев. с франц., ОНТИ, Москва, 1936. 2. Жуковский Н. Е., Теоретические основы воздухоплавания, Собрание сочинений, т. VI, Гостехиздат, Москва, 1948. 3. К о ч и н Н. Е., О неустойчивости вихревых цепочек Кармана, Доклады Академии иаук СССР, т. XXIV, № 1 A939), 18—22. 4. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947. 5. Прандтль Л. — Титьенс О., Гидро- и аэромеханика, т. I и II, перев. с немецк., ОНТИ, Москва, 1933 и 1935. 6. Фридман А., Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости, ОНТИ, Москва, 1934. 7. Appel H., Traite de mecanique rationnelle, т. III, Paris, 1921. 8. AuerbachF., Wirbelbewegung, Handbuch der physikalischen und tech- nischen Mechanik, т. V, Leipzig, 1927. 9. В jerk nes V., Das dynamische Prinzip der Cirkulationsbewegungen in der Atmosphare, Meteorologische Zeitschrift A900), 97. 10. В jerk nes V., Cirkulation relativ zu der Erde, Meteorologische Zeit- Zeitschrift A902), 97. 11. Helmholtz H., Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbeibewegungen entsprechen, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, т. 55 A858), 25; Wissenschaftliche Abhandlungen, т. I, Leipzig A882), 101. 12. К a r m a n Th. und R u b а с h H., Ueber den Mechanismus des Fliissigkelts- und Luftwiderstandes, Physikalische Zeitschrift, т. 13 A912), 48. 13. Kirchhoff O., Vorlesungen uber theoretische Physik, т. I, Leipzig, 1897. 14 M й 11 e r W., Mathematische Stromungslehre, Berlin, 1928. 15 Poincare H., Theorie des tourbillons, Paris, 1893. 16 Thomson W., On Vortex Motion, Transactions of the Royal Society of Edinbourgh, r. XXV A869), 217; Mathematical did physical papers, т. IV, Cambridge A910), 13. К главе VI Общие курсы и трактаты 1. Дюрэнд В. Ф., Аэродинамика, т. II, перев. с англ., Оборонгиз Москва, 1936. 2. Жуковский Н. Е., Теоретические основы воздухоплавания, Собрание сочинений, т. VI, 1948. 3. К о ч и н Н. Е., Гидродинамическая теория решеток, Гостехиздат, Москва, 1949. 4. Л а г а л л и М., Идеальные жидкости, гл. X в книге Ф. Франк и Р. М и з е с, Дифференциальные и интегральные уравнения математиче- математической физики, часть II, перев. с немецк., ОНТИ, Москва, 1937. 5. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ, Гостехиздат, Москва, 1947. 6. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, Москва, 1950. 7. Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, изд. 2, Гостехиздат, Москва, 1950. 8. V i 11 at H., Apercus theonques sur la resistance des fluides, Scientia, № 38 A920).
ЛИТЕРАТУРА 573 9. Besant W. and Ramsey A., Hydromechanics, т. II, London, 1931. 10. Cisotti U., Idromeccanlca piana, т. I и II, Miiano, 1921 и 1922. 11. Kirchhoff O., Vorlesungen iiber theoretische Physik, т. I Leipzig, 1897. 2. M й 11 e r W., Mathematische Stromungslehre, Berlin, 1928. Специальные вопросы Общие формулы для расчета реакций 1. Жуковский Н. Е., О присоединенных вихрях, Собрание сочинений, т. IV, Гостехиздат, Москва, 1948. 2. Некрасов А, И., Теория крыла в нестационарном потоке, Изд-во АН СССР, Москва, 1947. 3. С е д о в Л. И., К теории неустановившихся движений крыла в жидкости, Труды ЦАГИ, вып. 229 A935). 4. Чаплыгин С. А., О давлении плоскопараллельного потока на пре- преграждающие тела, Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, Москва, 1948. 5. Bias iu s H., Funktionen-theoretische Methoden in der Hydrodynamik, Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, т. 58 A910). 6. К u 11 a W., Auftriebskrafte in stromenden Fliissigkeiten, Illustrierte aero- nautische Mitteilungen, т. 6 A902). 7. L i e b m a n n H., Die Lagallysche Formel fiir den Fliissigkeitsdruck, Sit- zungsberichte der Bayerischen Akademie d. Wissenschaften A922). Обтекание профилей Жуковского 1. Голубев В., Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке, ОНТИ, Москва, 1936. 2. Чаплыгин С., О давлении плоскопараллельного потока на прегра- преграждающие тела, Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, Москва, 1948; К общей теории крыла моноплана. Там же. 3. Mises R., Zur Theorie des Tragflachenauftriebs, Zeitschrift fur Flug- technik, 1917, там же, 1920. Обтекание со срывом струй 1. Гуревич М. И., Теория струй идеальной жидкости, Физматгиз, Москва, 1961. 2. Гуревич М. И., Некоторые замечания о стационарных схемах кави- тационного обтекания пластинки, Изв. АН СССР, Отд. техн. наук, № 2 A947). 3. Жуковский Н. Е., Видоизменение метода Кирхгоффа и т. д., Сочи- Сочинения, т. II, Москва, 1948. 4. Foppl L., Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder, Sitzungsberichte- der Bayerischen Akademie der Wissenschaften A913). 5. H e 1 m h о 11 z H., Ueber die diskontinuierlichen Flussigkeitsbewegungen, Philosoph. Magazine A868). 6. Kirchhoff O., Zur Theorie freier Flussigkeitstrahlen, Crelle's Journal fiir reine und angewandte Mathematik, т. 70 A869). 7. Leathern, On two-dimensional fluid motion with free streamlines past an obstacle of curved outline, Proceedings of the Royal Irish Academy, т. XXXIV A918). 8. L e v i - С i v i t а Т., Scie e leggi di resistenza, Rendiconti dei Circolo Matematico di Palermo, т. XVIII A907).
574 ЛИТЕРАТУРА 9. Levy, Discontinuous fluid motion past a curved boundary, Proceedings of the Royal Society, т. 92 A916). 10. Mich ell, On the theory of free streamlines, Philosophical Transactions сер. A, i. 181 A890). 11. Planck M., Zur Theorie der Flussigkeitstrahlen, Wiedemann's Annalen т. 21 A884). 12. R а у 1 e i g h, On the Resistance of fluids, Philosoph Magazine, т. 2 A876). 13. Serrin I. B., Existense theorems for some hydrodynamical free boundary problems, Journal of Rational Mechanics and Analysis, т. I, № 1 A952) К главе VII 1. Дюрэнд В. Ф., Аэродинамика, т. I, перев. с англ., Оборонгиз, Москва 1936. 2. Жуковский Н. Е., Лекции по гидродинамике (Сочинения, т. II), 1935. 3. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947. 4. Седов Л, О неустановившемся движении жидкости внутри тела вра- вращения, Труды ЦАГИ, вып. 515 A940). 5. Ф абр н кант Н. Я., Аэродинамика, т. I, 1949. 6. К а г m a n Th , Berechnung der Druckverteilung an Luftshiffkorpern, Abhandlungen aus dem Aerodynamischen Institut der techmschen Hoch- schule Aachen, т. 7, Berlin, 1927. 7 R a n k l n e W., On the mathematical theory of streamlines, Philosophical Transactions A871). 8. Stokes O., On the steady motion of incompressible fluids, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, т. VII A842). Парадокс Эйлера — Даламбера 1. L i с h t e ns t e i n L., Orundlagen der Hydromechanik, Berlin, 1929. 2 Roy M., Note sur le paradoxe de d'Alambert, Journal de l'Ecole Polytech- nique, т. II, сер. 26, 1927. 3. Painleve P., Les resistances d'un liquide au mouvement d'un solide, там же. }. Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947. К главе VIII 1. Р э л е й, Теория звука, т. I н II, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1955. 2 Сретенский Л. Н., Теория волновых движений жидкости, ОНТИ, Москва, 1936. 3. Стокер Дж. Дж., Волны на воде, пер. с англ., ИЛ, Москва, 1959. 4. Теория поверхностных волн. Сборник переводов, ИЛ, Москва, 1959. 5. Труды конференции по теории волнового сопротивления, ЦАГИ, Москва, 1937. 6. Airy О. В., Tides and waves, Encyclopedia Metropolltana, т. V A845). 7. A u e r b а с h F., Wellenbewegung der Flussigkeiten, Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, т. V, Leipzig A927), 300. 8. BouasseH, Houle, Rides, Seiches et Marees, Pans, 1924 9. С h г у s t a 1 O., Some Results in the Mathematical Theory of Seiches, Transactions of the Royal Society Edinbourgh, т. 41 A905), 599. 10. Darwin O. H. und Hough S S., Bewegung der Hydrosphare, Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, т. VI, ч. 2, Leipzig A908).
ЛИТЕРАТУРА 575 П. Defant A., Gezeitenprobleme des Meeres in Landnahe, Hamburg, 1925. 12 Hogner E, Ueber die Theorie der von einem Schiff erzeugten Wellen tind des Wellenwiderstandes, Proceedings of the I International Congress for Applied Mechanics, Delft A925), 146. 13. К ot с h l n e N , Determination ngotireuse des ondes permanentes d'ampleur finie a la surface de separation de deu\ hquides de profondeur finie, Mathemat. Annalen, т. 98 A927) 14. Levi-Civita T, Fragen der klassischen und relativischen Mechanik, Berlin, 1824 15. L e v i - С l v 11 a T , Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie, Mathematische Annalen, т. 93 A925), 264 16. RossbyC O, Relation between variations in the intensity of zonal cir- circulation of the atmosphere and the displacements of the semi-permanent centers of action, Journal of Marine Research, т II, № 1 A939) 17. Vergne H, Ondes liquides de gravite, Memorial des Sciences Mathema- tiqueb, т XXXV, Paris A928). 18. Wedderburn, Seiches, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, т 48 A922), 211. 19. Wien W, Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig, 1900. 20. W l g 1 e у W. С S, Ship wave resistance, Verh. d. 3 Internat. Kongr. Techn. Mech, т. I., Stockholm A931), 58.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Авербах 572, 574 Аппель 571, 572 Архимед 91 Бабине 87 Бенар 207 Бернулли Д 70, 526 Бесант 571, 573 Блазиус 253, 573 Блинова Е Н 544, 545, 547 Бьеркнес В 163, 572 Вагнер 341 Веддербурн 575 Вернь 575 Вилла 572 Вин 571, 575 Гечьмтшьц 147, 152, 161 321 572, 573 Герстнер 448 Гспубев В В 573 Гольдштеин 571 Г}ревич М И 338, 343, 355, 358 391 573 Гутман Л Н 565, 568 Дарвии 574 Дефант 575 Дородницын А А 477 Дюрэнд 572, 574 Жуковский Н Е 96, 259, 285, 329 571, 572, 573, 574 Извеков Б И 488 Калинин Н О 341 Карман 207, 225, 229, 235, 572, 574 Кирхгофф 321, 324, 571, 572, 573 Кочин Н Е 49, 488 572, 575 Кристел 574 Крэйг 545 Кузнецов Е С 63 Кутта 573 Лага пли 572 Лагранж 16, 17 Ламб Г 32, 571, 572, 574 Ландау Л Д 571 Лаплас 533, 534 Леви 574 Леви Чивита 343, 346, 573, 575 Либманн 573 Литем 573 Лифшиц Е М 571 Лихтенштейн 574 Лойцянскии Л Г 571, 572 Макаров С О 108 Мизес Р 572, 573 Митчел 329 Михель 574 Мюллер 571, 572, 573 Некрасов А Нимтэн 545 Ньютон 526 И 573 Пенлеве 574 Планк 571, 574 Прандтль Л 70, 571, 572 Пуанкаре 572 Рамсей 29, 76, 571 Ранкин 340, 448, 574 Риман И С 391 Рой 574 Россби 547, 575 Рубах 207, 235, 572 Рэлей 423, 574 Седов Л И 305, 315, 343, 572 573, 574 Серебрийский Я М 298 Серрен 574
именной указатель 577 Симонов Л А 298 Сретенский Л Н. 298 Стокер 574 Стоке 147, 199, 367, 574 Тнтьенс О 571, 572 Томсон В (лорд Кельвин) 122, 147, 572 Трефтц 287 Уигли 575 Фабрикант Н Я. 574 Феппль 573 Франк Ф 572 Франкль Ф И 565, 568 Фридман А А. 62, 155, 161, 571, 572 Хогнер 5/5 Хуг 574 Чаплыгин С А 253, 285, 343, 353, 573 Чизотти 573 Эйлер 18, 19 Эри 535, 574 Эртель 172, 545 Эфрос Д. А. 355 Ямпольский А Р 343
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Амплитуда волны 411 Анализ приливов гармонический 533 Антипассат 167, 171 Антициклон 145 Архимеда закон 91 Атмосфера вихрей 16Ь, 206 Бабине формула 87 Бароклинность 60 Баротропность 60 Бернулли интеграл 70, 111 Бернулли — Эйлера интеграл 117 Био— Савара закон 189 Блазиуса — Чаплыгина формулы 253, 254 Бойля — Мариотга закон 80 Бьеркнеса теорема 1Ь5 Взрыв бомбы внутри несжимаемой жидкости 127 — мины под водой 77 — подводный 120 Вихреисточник 140 Вихрь абсолютный 172 — в криволинейных ортогональных координатах 42 — скорости 22, 154, 176 — точечный 192 Возникновение вихрей в жидкости 162, 205 Волны 36 — в сжимаемой жидкости 477 — во вращающейся атмосферной оболочке 539 — вынужденные 471 — Герстнера трохоидальные 448 — гравитационные 401 — длинные 512, 515, 565 — — в каналах постоянной глубины 515 — капиллярные 444, 446 — конечной амплитуды 447 длинные 553 Волны корабельные 401, 499 — мелкие 401, 446 — морские 401 — на поверхности раздела двух жид- жидкостей 439 ¦— плоские 409 — при конечной глубине жидкости 436 — приливные 401 — прогрессивные 414, 418, 437 — с подветренной стороны 488 — стоячие 409 — трехмерные 489 — трохоидальные Герстнера 448 — упругие 401 Вынос решетки 291 Высота геометрическая 111 — прилива 529 — пьезометрическая 112 — скоростная 112 Вычет комплексной скорости 14) Вязкость 63 Гаусса теорема 22, 177 Гей-Люссака закон 166 Гельмгольца теоремы 152, 153, 161 — уравнение 161 Гельмгольциан вектора полный 159 Гидростатика 83 Гипотеза Жуковского 260 Градиент сверхадиабатический 488 Граница раздела 87 Гребень волны 411 Группа волн 423 Давление взрывное 77 — гидродинамическое 252 в идеальной жидкости 46 — гидростатическое 83 — мгновенное 119 — на замкнутою поверхность погру- женно! о в жидкость твердого тела 91
предметный указатель 579 Давление на криволинейную стенку 92 — — плоскую стенку 90 твердое тело 89 — нормальное 45, 46 — при обтекании со срывом струй 352 с циркуляцией 352 — тяжелой несжимаемой жидкости 88 Движение — см. также Обтекание и течение — в жидкости плоского контура не- неустановившееся 309 — по инерции 398 -~ тела 237, 359—375 цилиндра 225, 243, 251 . _ шара 388 эллипсоида 389 — вихревой нити между двумя па- параллельными стенками 236 — вихревых цепочек неустойчивое 211 — устойчивое 212 — внутри прямого угла 135 — газа по прямолинейной трубке по- постоянного сечения 79 — жидкости адиабатическое 63, 112 безвихревое 31, 114, 144, 406 — — в многосвязном объеме 37 односвязном объеме 33, 35 — элементарной трубке тока 66 элиптическом цилиндре 242 вихревое 31, 38, 145 — — волновое 401 идеальной ПО, 144 изотермическое 60, 112 изэнтропическое 112 плоское 129, 409 — — под действием сил тяжести 504 по прямолинейной трубке по- постоянного сечения 80 с потенциалом скорости 144 стационарное установившееся 21, ПО установившееся 116 — системы вихрей 193 — тела под свободной поверхностью 460 -по инерции 396 — цилиндра в бесконечном потоке 475 — шара поступательное 360 Действие мгновенных сил 119 Деформация жидкой частицы 9 — однородная 16 — чистая 12 Диафрагма 37 Дирихле задача 240 Дисперсия волн 423 Диссипативность объема 73 Длина волны 411 — глиссирующей пластинки 338 Дублет 138 Жидкость бароклинная 61 — баротропная 60, 111, 114, 150 — идеальная 151 — неразрывная 24 — несжимаемая 59 — сжимаемая 60 Жуковского гипотеза 260 — парадокс 96 — профиль 286 — руль 290 Жуковского — Митчеля метод 329 Задача Дирихле 240 — Неймана 241 Закон Архимеда 91 ¦— Био — Савара 189 — Бойля — Мариотта 80, 166 — Гей-Люссака 166 — живой силы 72, 110 — количества движения 65, 226 — моментов количества движения 65 — Паскаля 83 Излучение 63 Импульс давления 402 Индекс циркуляции 543 Интеграл Бернулли 70 — Бернулли—Эйлера 117 — Коши ПО, 114 — Пуассона 347 Интегралы движения центра инер ции 194 Интенсивность векторной трубки 154, 157 — вихревой нити 187 точки 139 трубки 39, 147, 153 — вихря 39, 193, 204, 226 Истечение газа из сосуда через от- отверстие 118 тонкой конической трубки 124 — жидкости из сосуда 330 Источник 136 Каверна 354 Кавитация 354 Капиллярность 444 Кинематика жидкой среды 9
580 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Кирхгоффа метод 322 Клапейрона уравнение 62, 85 Клепсидра 125 Колебания жидкости в круговом ци- цилиндре 507 — — в прямоугольном сосуде 507 — — вынужденные 522 — — свободные гармонические 408 состояние 504, 518, 521 Координаты общие криволинейные 28, 51 — сферические 28, 50 — цилиндрические 27, 48 Коши — Гельмгольца формула 9 Коши интеграл ПО, 114 Коши — Римана условие 133 Коэффициент приведенных масс 316 — температурного расширения воз духа 85 Кривизна линий тока 129 Крыло тонкое 297 Кутта — Жуковского формула 251, 256, 263 Лагранжа переменные 17 — теорема 151 Лапласа уравнение 33 Леви Чивита метод 343 Линия вихревая 39, 146, 152 — наибольшего ската 506 — равной вертикальной амплитуды 506 — тока 20, 35, 70, 129, 202 Масса жидкости 25 — тела присоединенная 385 Метацентр большой 104 — малый 104 Метод Жуковского — Митчеля 329 — источников и стоков 370 — Кирхгоффа 322 — конформного отображения 257 — Леви-Чивита 343, 350 — Симонова — Серебрийского 298 Момент чублета 138 Мощность источника 136 Муссон 167 Напряжение вихревой точки 139 — косое 45 Натяжение жидкости поверхностное 444 Нить вихревая 187 — — круговая 197 прямолинейная 192 Обильность источника 136 Образование вихрей 162, 171, 225 Обтекание-—см также Движение — воздухом горного хребта 477 — жидкостью неподвижного твердо- твердого тела 67 — круга поступательным потоком бесциркуляционное 246, 326 — неподвижного кругового цилиндра 246 — осесимметричных тел поперечное 374 — пластины косое 350 — — прямое 355 — плоской пластины 272 — препятствия тяжелой сжимаемой жидкостью 561 — произвольного тонкого профиля 298 — профилей Жуковского 280 — решетки 291 бесциркуляционное 293 — с кавитацией 354 — с образованием поверхностей раз- разрыва 321 — с отрывом струй 321 — тел вращения 374 — тела безграничным потоком 324 — цилиндров различной формы 274 — эллипсоида 362 — эллиптического цилиндра 267 Объем жидкий 16 — жидкости многосвязный 37 — — односвязный 35, 57 связный 36 — удельный 163 Оператор Лапласа в криволинейных координатах 43 Ось деформации главная 13 — дублета 138 — контура критическая 264 — нулевой подъемной силы 264 — профиля критическая 289 Отлив морской 401 Отображение конформное 257 Пара вихрей 193, 205 — импульсивная 383, 397 Парабола метацентров (парабола устойчивости) 266 Парадокс Жуковского 96 — Эйлера — Даламбера 362 Параметры Ламэ 29, 41, 359 Паскаля закон 83 Пассат 167, 171
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 581 Переваливание воздушной массы че- через хребет 565 Переменные Лагранжа 17, 18, 19 — Эйлера 18 Перенос энергии 459 Период волны 412 — решетки 291 Пластинка глиссирующая 338 Плоскость плавания 97 Плотность жидкости 151 — слоя вихревая 203 — тепловой мощности притока тепла 61 Площадь плавания 97 Поверхность изобарическая 163 — изотермическая 163 — контрольная 68 — равного удельного объема 163 — раздела 87 — разрыва 171, 202 — свободная 83 — сечений 97, 107 — уровня 83 — центров 98 для однородного эллипсоида 107 для прямого однородного ци- цилиндра 109 Подошва волны 411 Показатель политропы 60 Поле вихревое 38 — скоростей 19 соленоидальное (трубчатое) 22 Порядок вихрей симметричный 211 шахматный 211 Постоянная газовая 62, 85 Постоянные циклические 38 Потенциал векторный 183 — комплексный 133 — Ньютона 179, 362 — скорости 32, 34, 131, 144, 152, 359 Поток — см. также Движение жид- жидкости — однородный поступательный 134 — скорости 21, 26, 141, 142 — установившийся циркуляционный 247 Прилив морской 401 — «обращенный» 537 — «прямой» 537 Принцип симметрии Римана—Швар ца347 Шварца 464 Производная по нормали к поверх- поверхности 33 — полная (индивидуальная) 19 Профиль волны 431, 437 — Жуковского 286 — крыла аэроплана 286 — тонкий 298 Процесс изэнтропический 63 — политропнческий 60, 63 Пуассона уравнение 177 Пучность 411 Равновесие жидкости изотермическое 88 — плавающих тел 96 — тяжелой несжимаемой жидкости 88 Радиус кривизны главных нормаль- нормальных сечений поверхности центров 99 Разрушение вихрей 162 — волны 553 — плотины 554, 557 Расположение вихрей симметричное 211 — — шахматное 211 Растяжение нормальное 45 Расхождение вектора в криволиней- криволинейных ортогональных координатах 41 — скорости 22, 176 Расширение жидкости кубическое 15, 74 Реакция при движении тела гидрав- гидравлическая 380 Резонанс 524 Руль Жуковского 290 Рябь 401, 446 Свойство сохраняемости вихревых линий 153 Седло (особая точка) 21 Сейши 401, 504 Сила живая несжимаемой жидкости 122 — Жуковского 315 — импульсивная 383, 397 — капиллярная 444 — массовая 44 — мгновеннаи 119 — объемная 45 — поверхностная 45, 69 — подсасывающая 274, 304 — подъемная Архимеда 473 — трения 45 Симонова — Серебрийского метод 298 Система вихрей 193, 203 Скорости волн групповая 422 — комплексная 133
582 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Скорость критическая 560 — кубического расширения жидкости 22 — чистой деформации 12 Слой вихревой 203 цилиндрический 203 Смерч 145 Сопротивление вихревое 145 — волновое 460, 461 — лобовое 226, 232 по Карману 229 Сохраняемость векторных линий 154 Среда бароклинная 61 — баротропная 60 Сток 136 Стокса теорема 22, 40 — формула 147 Стрела прогиба 286 Тело плавающее 96 Тензор упругих напряжений 17 Теорема Бьеркнеса 165 — Гаусса 22, 177 — Гельмгольца 161 о постоянстве интенсивности вихревой трубки 147 сохранении вихревых линий 152 интенсивности вихревых трубок 153 —• Лагранжа 151 — о постоянстве циркуляции 147 — Стокса 22, 40 — Томсона 122, 147 —• — основная 151 — Фридмана 155 — Чаплыгина 265, 286 — Эйлера 67 Теория вихревых дорожек Кармана 322 — приливов каначовая 535 — статическая 526 Течение — см. также Движение —• жидкости пространственное 354 — морское 167 — осесимметричное 366 Точка вихревая 139 — критическая 20, 248 — особая 20 Трохоида 452 Трубка вихревая 39, 153, 187 — изобаро-изостерическая единичная 163 — тока 26, 112 . единичная 26 Угол атаки 264, 286 Удар струи в пластинку 70, 334 Удлинение главное 15 Узел (особая точка) 21, 411 Уравнение абсолютного движения жидкости в подвижной системе ко- координат 57 — Гельмгольца 161 — движения идеальной жидкости об- общее 45 — Клапейрона 62, 85 — Лапласа 33, 120 — неразрывности 16, 23, 25 ¦—• — в криволинейных координатах 359 общих криволинейных орто- ортогональных координатах 28 переменных Лагранжа 24 — —• — — Эйлера 24 сферических координатах 28 — — — цилиндрических координа- координатах 27 — притока энергии (притока тепла) 62 — Пуассона 177 — состояния 80, 85 — статической теории приливов 527 — Фридмана 160 — энергии 72, 74 Уравнения гидродинамики идеальной жидкости 44 — движения в векторной форме 53 — форме Лагранжа 51, 58 Ламба 54 Эйлера 48 — — длинных волн 515 идеальной жидкости 47 — Ламба гидродинамические 54 — равновесия 83 — Эйлера гидродинамические 48 Уровень поверхности 83 — приведенный 89 Ускорение Кориолиса 56 Условие Коши — Римана 133 — равновесия плавающего тела 96 — устойчивости движения вихревых цепочек Кармана 218 Условия граничные 64, 239 — начальные 64, 407 Устойчивость вихревых цепочек Кар- Кармана 211 — равновесия 102 Фокус (особая точка) 21 — контура 265
предметный указатель 583 Формула Бабине 87 барометрическая 85 Блазиуса — Чаплыгина вторая 254 Блазиуса — Чаплыгина первая 253 давления на твердую поверхность 88 - Коши — Гельмгольца 9 Кутта — Жуковского 251, 256,263, 285 ¦ Лагранжа — Коши 359 ¦ Леви-Чивита 350 - Стокса 147 - Торричелли 118 Шварца — Кристоффеля 329, 332 Эртеля 173 Фридмана теорема 155 - уравнении 160 Функции сопряженные 131 Функция тока 130, 199, 367 ¦ — для осесимметричного течения 366 Характеристика вихревого движения кинематическая 31 Центр (особая точка) 21 - давления 71, 91, 266 - действия атмосферы 546 Центр инерции вихрей 194 — кривизны главных сечений поверх- поверхности центров 104 Цепочка вихревая 208 Кармана 207,211 Циклон 145, 171 Циркуляция скорости 22, 32, 37, 40, 142, 151, 193 Чаплыгина теорема 265, 286 Частота колебаний 412 Число кавитации 358 Шаг решетки 291 Шварца •— Кристоффеля 331 формула Эйлера — Даламбера парадокс 362 — переменные 18, 24, 25, 6-1 — теорема 67 Эллипсоид вращения 13 Энергия волн 455 — кинетическая 73 безвихревого течения 121 — потенциальная 72, 73 Энтропия 63, 173 Эпициклоида удлиненная 424 — укороченная 424 Эртеля формула 173
Кочин Николаи Евграфович, Нибелъ Илья Афанасьевич, Розе Николаи Владимирович Теоретическая гидромеханика, ч. 1 М., Физматгиз, 1S63 г., 584 стр. с илл. Редактор Н. И. Роэальская Техн. редактор Э. И. Михлин Корректор Е. А. Белицкая Сдано в набор 20/11 1963 г. Подписано к печати I2/V1 1363 г. Бумага 60Х9'I/,,. физ. печ. л. 36,5 Условн. печ. л. 36,5. Уч.-изд. л. 34,41. Тираж 12 000 экз. Т-0-1997. Цена книги I р 13 к. Заказ J* 1190. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15. Типография № 2 им. Евг. Соколовой УЦВ и ПП Ленсовиархоэа. Ленинград, Измайловский пр., 29.