Text
                    Н.Е.КОЧИН,И.А.КИБЕЛЬ,Н.В.РОЗЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
ЧАСТЬ-Н
и


II. Е. КОЧИН, И. А. КИБЕЛЬ, Н. В. РОЗЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОМЕХАНИКА ПОД РЕДАКЦИЕЙ И. А. КИБЕЛЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЁРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для университетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963
532 К 75
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к четвёртому изданию 7 Глава первая. Теоретические основы газовой динамики (И. А. Ки- бель) 9 А. Уравнения газовой динамики § 1. Введение 9 § 2. Уравнения гидродинамики в форме интегралов. Сильные раз- разрывы 11 § 3. Уравнения газовой динамики в дифференциальной форме ... 18 § 4. Слабые разрывы. Характеристики уравнений газовой дина- динамики 21 § 5. Распространение сильных разрывов. Теорема Цемплена ... 29 Б. Установившиеся движения. Плоская задача § 6. Плоская задача. Функции 9 и/, 32 § 7. Поверхности разрыва в плоской задаче 35 § 8. Критическая скорость. Трубки тока в сжимаемой жидкости ... 40 § 9. Плоские вихревые движения со сверхзвуковыми скоростями. Характеристики. Угол Маха t4 § 10. Плоские безвихревые движения при v > аА 50 § 11 Использование характеристик для решения плоской безвихре- безвихревой задачи при v > а^ 56 § 12. Движение газа вне выпуклой поверхности. Обтекание угла, большего чем т.. Выход из отверстия. Движение внутри трубы. Сопло Лаваля ¦ . . 69 § 13. Движение газа около вогнутой поверхности. Образование силь- сильного разрыва. Движение внутри угла, меньшего чем т.. Обте- Обтекание профиля с острой передней частью 76 § 14. Крыло в плоскопараллельном сверхзвуковом потоке. Прибли- Приближённые формулы Аккерета, Буземана, Донова. Гиперзвуко- Гиперзвуковые движения 87 § 15. Функция у. Примеры. Точные решения &6 § 16. Дозвуковые скорости. Теория Чаплыгина. Примеры 114 § 17. Дозвуковые скорости. Метод Христиановича 130 § 18. Приближённый метод Христиановича для решения плоских безвихревых задач. Сверхзвуковые скорости 146 § 19. Переход через скорость звука. Предельные линии. Примеры точных решений 156 § 20. Классификация сверхзвуковых течений по Христиановичу . . . 165 1»
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 21 Построение <безударного» сопла Лаваля Истечение raja из отверстия, сопровождаемое переходом через скорость звука ... . . 174 § 22 Численные методы решения плоских задач газовой динамики Расчет сверхзвукового обтекания кругового цилиндра . . 190 § 23 Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями Ги- Гиперзвуковые течения и обтекание тонких тел . . . 206 § 24 Случай реальною газа, «Идеально-диссоциирующийся» газ . 213 В. Установившиеся движения Пространственная задача § 25 Движения с осевой симметрией . . . 221 § 26. Безвихревое осесимметрическое движение при v > а. Метод Франкля ... . 225 § 27. Осеснмметрнческое обтекание круглого конуса Конические течения Обтекание осесимметричных тел 229 § 28. Пространственная задача. Линеаризация уравнении. Снаряд, движущийся под углом к оси симметрии . . 245 § 29 Потенциал ускорения Теорема Прандтля-Глауэрта Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке . . .... 262 § 30 Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха произвольной формы в плане. Концевой эффект и вихревая пелена 273 § 31 Сверхзвуковые конические течения Некоторые точные (не- (нелинейные) решения 301 § 32 Осесимметричное обтекание с отошедшей ударной волной . . 320 Г Неустановившиеся движения § 33. Одноразмерные движения Общие уравнения Характе- Характеристики 325 § 34 Сильные разрывы в одномерной нестационарной задаче . . 329 § 35. Случай постоянной энтропии. Движение поршня в неограни- неограниченной трубе. Точные решения Наличие отражающей стенки 331 § 36 Возникновение и перемещение сильного разрыва 341 § 37 Односторонний взрыв. Плоский, цилиндрический и сфери- сферический взрыв без противодавления. Сферический взрыв с противодавлением 344 Глава в 1 о р а я. Движение вязкой жидкости (//. Е. Кочин)') • ¦ • 369 А. Основные уравнения движения вязкой жидкости § 1. Понятие вязкой жидкости ... . 369 § 2. Тензор скоростей деформации ... . . . 373 § 3. Тензор напряжений 377 § 4. Уравнения движения вязкой жидкости 385 § 5 Различные формы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости 388 ') § 10, § 19, § 20, часть § 34, § 35 н § 36 написаны И. А. Кибелем.
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 6. Начальные и граничные условия 397 § 7. Диссипация энергии 400 § 8. Обобщение уравнений Гельмгольца ... 403 § 9. Закон подобия. Число Рейнольдса 406 § 10. Уравнение притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости . . 415 Б. Точные решения уравнений движения вязкой жидкости § 11. Одномерное течение между двумя параллельными плоскими стенками 420 § 12. Течение Пуазейля 427 § 13. Общий случай стационарного одномерного течения 432 § 14. Нестационарное одномерное течение 437 § 15. Стационарное течение жидкости между двумя цилиндрами . . 447 § 16. Диффузия вихря .... 450 § 17. Течение в диффузоре 460 § 18. Решение Гамеля и его обобщения 475 § 19. Одномерное движение вязкой сжимаемой жидкости 481 § 20. Задача об обтекании полубесконечной пластинки несжимаемой жидкостью 485 В. Приближённые решения уравнений движения вязкой жидкости в случае малых чисел Рейнольдса § 21. Плоское течение между двумя пластинками .... . . 498 § 22. Медленное вращение сферы .... . 502 § 23. Медленное движение сферы . 504 § 24. Парадокс Стокса . . 511 § 25. Уточненное решение задачи о движении сферы . . . 516 § 26. Движение цилиндра . 528 § 27. Гидродинамическая теория смазки 534 Г. Приближённые решения уравнений движения вязкой жидкости в случае больших чисел Рейнольдса § 28. Общая характеристика течений при больших числах Рей- Рейнольдса. Вывод основных уравнений теории пограничного слоя 542 § 29. Вывод Мизеса. Уравнение Мизеса 549 § 30. Интегральное соотношение Кармана и его обобщения .... 556 § 31. Уравнения теории пограничного слоя для сжимаемой жидкости 566 § 32. Пограничный слой в несжимаемой жидкости вдоль плоской пластинки 569 § 33. Пограничный слой в диффузоре. Ламинарная струя 578 § 34. Приближённые методы теории пограничного слоя. Отрыв слоя. Метод Кочина—Лойцянского 588 § 35. Пограничный слой в сжимаемой жидкости. Обтекание пла- пластинки. Метод Дородницына 608 § 36. Сжимаемая жидкость. Пограничный слой для произвольного профиля 627 § 37. Основные уравнения теории исчезающей вязкости 632 § 38. Реакция потока на тело 641 § 39. Обтекание цилиндра . . ¦ 644 § 40. Обтекание плоской пластинки . 652
6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава третья. Элементы теории турбулентности (И. А. Ки- бель) 658 А. Турбулентность и неустойчивость § 1. Введение 658 § 2. Устойчивость движения между двумя коаксиальными цилиндрами 659 § 3. Устойчивость течения между пластинками и устойчивость в по- пограничном слое 666 Б. Развитая турбулентность § 4. Сглаживание 686 § 5. Основные уравнения Рейнольдса 691 § 6. Характеристики турбулентности 698 В. Добавочные напряжения и средние значения гидродинамических элементов § 7. Путь перемешивания и метод подобия 706 § 8. Примеры 709 Литература 718 Именной указатель 721 Предметный указатель . . . . • • 724
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЁРТОМУ ИЗДАНИЮ В новом издании книги наиболее значительной переработке под- подверглась первая глава — теоретические основы газовой динамики. В неё введено пять новых параграфов, в которых приводятся ре- результаты, полученные с помощью электронных быстродействующих машин для задач на сверхзвуковое обтекание как в плоском, так и в пространственном случаях, изложены теория гнперзву- ковых движений, теория диссоциирующего газа, линейная простран- пространственная задача обтекания крыла. Ряд параграфов значительно рас- расширен. Так, в параграфе, посвященном взрыву, даётся теория точеч- точечного взрыва без учёта противодатления, а также детально излагается способ решения на электронной быстродействующей машине задачи о взрыве с учётом противодавления; в параграфе, посвященном крылу в плоско-параллельном потоке, расширено изложение, касаю- касающееся обтекания пластинки; даны новые примеры точных решений в осесимметричном случае. Уточнён ряд отдельных результатов н методов. Так, например, для метода характеристик указываются новые варианты и, в частности, излагается применение его к расчё- расчётам, проводимым с помощью электронных вычислительных машин. В главе о вязкой жидкости вставлен параграф, посвященный точ- точному решению задачи обтекания пластинки, и дано сравнение этого решения с известным решением, относящимся к пограничному слою. При подготовке нового издания исправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании. Как и в прежних изданиях, мы старались не только познакомить читателя с теми или иными основными идеями, но и изложить, по мере возможности, технику решения гидродина- гидродинамических задач. И. Кабель
ГЛАВА ПЕРВАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ А. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение. Газовая динамика — это гидродинамика больших скоростей и малой пространственной протяжённости. Области её применения суть: конструирование скоростных самолётов, внутрен- внутренняя и внешняя баллистика, теория паровых турбин, теория ракет и т. п. Малая пространственная протяжённость изучаемого явления позволяет отбросить в уравнениях газовой динамики внешние силы (совершенно так же, как это делается в обычной теории крыла аэроплана). Действительно, абсолютное значение изменения давле- давления |Др|, происходящего благодаря наличию силы тяжести, при перемещении по вертикали на Дг будет: отсюда 9 8 9 8 р ~ё RT ~~ ' 287- Т ' и если принять Т за 273, то для изменения давления на 1 % пона- понадобится перемещение по вертикали примерно на 80 м. Этот вывод подтверждается также и принципом подобия, согласно которому действие внешних сил будет тем меньше, чем меньше будет масштаб явления. Вторая особенность газовой динамики — наличие больших ско- скоростей — заставляет отказаться здесь от рассмотрения несжимаемой жидкости. Действительно, несжимаемая жидкость, имеющая давле- давление pv плотность pj и движущаяся со скоростью vv приобретает, набегая на препятствие (v = 0), давление
10 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Напротив, сжимаемая, движущаяся адиабатически жидкость приобре- приобретает давление 2\' , ?1 Отсюда видим, чго лишь когда plv2l/4v.p1 < 1/100, т. е. при •/. = = 1,405, Г=273, fj < 70 м/сек, давления для случаев сжимаемой и несжимаемой жидкости будут разниться меньше чем на 1 %. Га- Газовая динамика имеет, однако, зачастую дело со скоростями, значи- значительно большими. На необходимость учёта сжимаемости при боль- больших скоростях указывает (качественно) также принцип подобия. Как будет выяснено в следующей главе, при больших скоростях вязкость играет меньшую роль (большие значения числа Рейнольдса) и область влияния её ограничивается ничтожным пограничным слоем. В гаких вопросах, как сопротивление трения, наличие погранич- пограничною слоя будет, конечно, при всей малости слоя, иметь принци- принципиальное значение. Однако, как мы увидим, при больших скоростях возникают, вообще говоря, другие виды сопротивлений, отодвигаю- отодвигающие на задний план сопротивление трения. Наконец, при больших скоростях обмен теплом с внешним пространством не успевает, как правило, совершиться — отсюда вытекает возможность ограничиться рассмотрением движений адиабатических. Таким образом уравнения газовой динамики суть, вообще говоря, уравнения движения идеаль- идеальной сжимаемой жидкости, не подверженной действию внешних сил. В дальнейшем мы увидим, что наличие больших скоростей по- порождает совершенно специфическое явление, резко отличающее i азовую динамику от иных областей применения механики сжимаемой жидкости (динамическая метеорология и акустика): мы имеем в виду образование поверхностей, при переходе через которые давление, а также и другие гидродинамические элементы претерпевают разрыв непрерывности. Наличие таких поверхностей («волны», «поверхности разрыва», «скачки уплотнения») заставляет осторожнее подойти к выводу уравнений гидродинамики в дифференциальной форме, выводу, обычно делаемому в предположении, что гидродинамические элементы непрерывны. Мы начнём поэтому с уравнений в форме интегралов. Сделаем ещё одно замечание. При весьма больших скоростях, таких, например, с какими приходится иметь дело в случае искус- искусственных спутников Земли, в газе за скачком уплотнения могут образоваться огромные температуры. В реальной атмосфере, состоя- состоящей в основном из молекул кислорода и азота, возникает при этом ряд процессов, связанных с диссоциацией молекул на атомы, а при
§ 21 УРАВНЕНИЯ П1ДР0ДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ И еще больших температурах — с их ионизацией. Поэтому мы должны быгь подготовлены к необходимости использования более общих законов термодинамики, чем те, с которыми приходится иметь дело в акустике, динамической метеорологии и в классической механике сжимаемой жидкости. § 2. Уравнения гидродинамики в форме интегралов. Сильные разрывы. Уравнения движения могут быть записаны, в нашем слу- случае, в виде (приращение количества движения равно импульсу силы): h =- J(ffpnds)dt B.1) М //=/, \ <т> /<=', «, \ (S) / [(")—произвольный объём жидкости, ограниченный поверхностью (S), п — единичный вектор внешней нормали к (S), tx и t2 — два каких-то момента времени]. Уравнение неразрывности естественнее всего при этом записать в виде: Уравнение энергии [приращение живой силы частицы (т), сложенное с приращением внутренней энергии I I I pU dx, где U — внутрен- внутренняя энергия единицы массы, равно работе внешних сил, приложен- приложенных к частице] имеет вид: -Miff» (т) /t = t, \ (т) Все три уравнения [B.1), B.2), B.3)] могут быть записаны сле- следующим образом: (г) причём в первом случае a = pV, cn = — pn, B.5) во втором с = Р, ся = 0, B.6)
12 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I в третьем Х; с„=— pV-n. B.7) Если функции а и сп и их производные существуют и непре- непрерывны в интервале от ti до t2 и во всех точках обьёмов, занимае- занимаемых жидкой частицей (т) при движении её от tx до t2, то мы можем вывести из B.4) обычные дифференциальные уравнения гидродина- гидродинамики. Производные от наших функций могут при этом претерпевать разрыв при переходе через отдельные поверхности. Предположим, однако, что всегда существует одна поверхность ')i2: F(x, у, z, 0 = 0, B.8) проходящая через точки (t) и перемещающаяся в пространстве [вхо- [вхождение t в уравнение B.8)], такая, что сами функции а и сп пре- претерпевают при переходе через эту поверхность разрыв. Часть про- пространства, прилегающая к поверхности Е, делится этой последней на две области: с одной стороны от поверхности F(x, у, z, t) <0, с другой: F(x. у, z, *)>0. Первую область назовём отрицательной и условимся обозначать зна- значения, к которым стремится некая функция Ь(х, у, z, t), если при- приближаться к Е, оставаясь в отрицательной области, через bL; вто- вторую область назовём положительной, а соответствующие ей значения b на X назовём Ь+. Разность Ь+ — Ь_ обозначим через [Ь]: и назовем разрывом или скачком функции b на поверхности 2. Сама поверхность Е называется при этом поверхностью разрыва функ- функции Ь. Предполагая, что [а] и [сп\ отличны от нуля, посмотрим, какие условия налагает на эти разрывы наличие уравнения B.4). Предва- Предварительно введём некоторые термины. Поверхность B.8) в разные моменты времени будет занимать в пространстве различные положе- положения. Рассчитаем скорость N, с которой поверхность эта будет в не- некоторой своей точке удаляться по нормали от своего положения. Возьмём некую точку М(х, у, z) на поверхности S в момент t и проведём нормаль к Е в М, направляя эту нормаль в положитель- положительную область. Пусть эта нормаль пересекается с той поверхностью, ') Мы ограничиваемся случаем существования единственной поверх- поверхности; никакого труда не представит перенести наши рассуждения на сли- сличай любого конечного числа поверхностей.
§ 2] УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ 13 в которую переходит 2 к моменту t-\~t', в точке М*(х*, у*, z*). Тогда .. ММ* lim —тг- 1 и будет искомой скоростью. Но *_ MM* dF jC —- JC — ^— > , , , , 1 g dx где g = _j_- ]/"^2~1)_ /?2 _j_ pi (p^^-fML, \ у \ ox i и F{x\ y\ z-, = F (x, y, z. Здесь и далее символ О(/'2) означает: «величина порядка //2». Далее, Fix, у, z, t) = 0, так как точка М(х, у, z) лежит в мо- момент t на поверхности S, и потому .. MM* F, 140 * 8 Получаем важную формулу л^-- F^~ , ' i?. B.9) У \дх) ~т~\ду) ^\дг) Величина N носит название скорости перемещения поверхности разрыва. Она имеет чисто геометрический характер и никак не связана с существующим движением жидкости. Однако, поскольку речь идёт о перемещении поверхности S в движущейся, в свою очередь, жидкости, представляет интерес ещё и другая величина — именно скорость, с которой поверхность разрыва S перемещается от одной жидкой частицы к другой (скорость эта была бы равна N в случае, если бы жидкость покоилась). Чтобы найти эту скорость в каждой точке М поверхности S, достаточно, очевидно, вычесть из скорости N величину Vп проекции на нормаль п к поверхности S скорости V движения жидкости в этой точке М поверхности. Полу- Полученная величина % = N — Vn B.10) носит название скорости распространения поверхности разрыва. Заметим, что если Vп будет претерпевать разрыв, то то же будет происходить и с 0.
14 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЧЗОВОП ДИНАМИКИ [IЛ I Пользуясь понятием скорости распространения поверхности раз- разрыва, мы без труда можем вывести соотношения, связывающие вследствие уравнений гидродинамики скачки (разрывы) различных гидродинамических элементов. Для этого обратимся сперва к мо- моменту tx и обозначим через ?<( положение поверхности разрыва в этот момент, а через Е/2—положение в момент tx тех точек жидкости, которые в момент /2 (бесконечно близкий к t{) окажутся на поверх- поверхности разрыва. На поверхности ?<, отметим точку М и построим малый цилин- цилиндрик (рис. 1) с осью, совпадающей с нормалью к 2/( в точке М и Рис. 1. Рис. 2 до пересечения с поверхностью ?<а>); объём этого цилиндрика и примем за объём интегрирования (т) (к моменту tx) в выражении B.4). Посмотрим теперь, что произойдёт к моменту t2. Вследствие движения жидкости, точка М перейдёт в какую-то точку М'\ по- поверхность T,ti, переместившись и деформировавшись, займёт некоторое положение ?^; наконец, точки поверхности ?<„ перейдут в точки по- поверхности разрыва Е<2, отвечающей моменту t2. Цилиндрик наш де- деформируется, причём в то время как в момент tx он находился целиком в положительной области, в момент t2 он ляжет в отрица- отрицательной, отвечающей этому моменту области (рис. 2). Обращаясь сперва к левой части уравнения B.4), оценим вели- величины объёмов интегрирования (t)<t и (х)/,. Очевидно, что первый будет: ^2 ') Пусть нормаль эта пересекает 2jo в точке Р. Считая, что нормаль направлена в сторону положительной области (не представит труда про- провести все рассуждения для противоположного случая), будем, очевидно, иметь для малых t2 — tx:
2] УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ 15 где г — бесконечно малый радиус.цилиндрика, а е, — величина беско- бесконечно малая; второй же: где е2 бесконечно мала. При этом как в том, так и в другом случаях мы разумеем под 6 значения скорости распространения в одной и той же точке Жив один и тот же момент времени tx — значения, вычисленные при приближении с разных сторон к поверх- поверхности ?(, ')¦ Теперь мы можем написать: П f fadx\ = а \ (-) )и a dx\ = а_ — tx) + V2 (t2 — tx) (s( — всюду в дальнейшем бесконечно малые величины), и следо- следовательно, Я/»*) - = — кг2 (t2 — tx) [аЦ -f- е5; (а+ и а_—значения а в точке М в момент к правой части B.4). Поверхность {S) складывается из трёх частей (рис. 3): боковой поверхности цилиндра, на которой, очевидно, ). Перейдём теперь f f = O(\)r(t2 — и двух оснований AS и AS'. Наш цилиндрик деформируется и пере- перемещается так, что поверхность раз- разрыва в момент tx является его одним основанием, в момент t2 — его дру- i им основанием, а в моменты t, лежа- лежащие между tx и t2, занимает проме- промежуточные положения, располагаясь где-то между «нижним» и «верхним» основаниями (рис. 3). Отсюда получается, что AS находится за весь промежуток времени Рис. 3 ') Вообще говоря, [G] рыва не терпит. 0, ибо [Vn\ Ф 0, величина же N из B.10) раз-
раз16 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I от tx до t2 в одной области, a AS'— в другой. Предположим, что AS находится в области отрицательной, a AS' — в положительной. Тогда в выражении Г \сп ds величина с„, как легко показать, отли- (S) чается от значения сп, взятого в точке Жив момент tv на величину, исчезающею вместе с (t2— tx) ncr. Замечая, что вследствие B.5), B.7) всегда можно написать: сп = сх cos (п, х) -f- су cos (п, у) + cz cos (я, г), где »— внешняя по отношению к области (т) нормаль, и сохраняя для нормали к AS (вернее, для нормали МР) обозначение п, мы должны, очевидно, написать для AS [нормаль, идущая в сторону положительной области, направлена здесь внутрь (т)]: J J cnds = — cn_u/-2 + e6r2. DS) Совершенно аналогично этому (нормаль, идущая в положительную область, направлена здесь во внешнюю часть пространства). Теперь мы можем написать, очевидно: = Cn+~r>(t2~ tx)- с„_*г2(t2-/,) + e8r2(t2-tx) + Собирая вместе полученные оценки, будем иметь /\ J J J I J \ J *7 I Переходя к пределу, полагая (t2 — ^) —>0, а затем и г—>0, получим основное соотношение [ав]-\-[сп] = 0. B.11) Остаётся только вспомнить значения а и сп из B.5), B.6) и B.7); полечим: = [р]п, B.12) = 0, B.13) BЛ4)
§ 2] УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ 17 Так как по B.13) произведение р9 не терпит разрыва, то мы можем это произведение вынести всюду за знаки разрыва и написать: ?HV] = \p]n, B.15) [рб] = О, B.16) - BЛ7) До сих пор мы не говорили о виде внутренней энергии нашего газа. Мы обратимся теперь к классической газовой динамике, газовой динамике так называемого идеального (в термодинамическом смысле), или совершенного газа. В этом случае внутренняя энергия U еди- единицы массы имеет вид U=cJ, B.18) где cv — теплоёмкость газа при постоянном объёме (величина по- постоянная), а Т—температура. Мы вернемся в § 24 к случаю реального газа, а пока будем рас- рассматривать только идеальный газ. Для него условие B.17) должно быть заменено соотношением VLi_mi/ 1 B.19) Соотношения B.15), B.16) и B.19), коими связаны величины 9, р, V, р, Т по обе стороны поверхности разрыва, носят название условий динамической совместности. Здесь имеется в виду совме- совместность двух движений: с элементами V+, p+, ... и с элементами V_, р_, ... Весьма существенным является наше предположение о том, что существует всегда одна и только одна поверхность разрыва. В этом смысле условия динамической совместности необходимы, и если бы оказалось, что в некоторый момент в жидкости образовалась поверхность разрыва, такая, что гидродинамические элементы с обеих сторон от неё различны, но не связаны соотношениями B.15), B.16) и B.19), то такая поверхность разрыва существовать в дальнейшем одна не смогла бы; здесь возникает взрыв (см. далее § 37 этой главы). В тех точках пространства, через которые поверхность разрыва в данный момент не проходит, мы должны удовлетворить обычным уравнениям гидродинамики. Если 6 = 0, то поверхность разрыва не распространяется по частицам, отделяя всегда одну массу газа от другой. Такая поверхность разрыва назы- называется стационарной. Здесь по B.15) [/?] = 0, а по B.19) [У„] = 0; напротив, [о] и скачок касательных к S составляющих скорости совершенно произвольны. Примерами такой поверхности могут 2 Теоретическая гидромеханика, ч, II
18 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I служить: волнующаяся поверхность реки (отделяющая воздух о г воды), поверхность тёплого или холодного фронта (в метеорологии), по- поверхность газовой струи. Значительно больший интерес для газовой динамики представляют случаи, когда Здесь обязательно будет [р] Ф 0, [Vn] Ф О (если при вфО [р]=0, то по B.15) [V] = 0, затем по B.19) [Т] = 0 и, значит, [р] = 0 '), т. е. разрыва вообще нет). Пример — «балли- «баллистическая волна», бегущая перед носом снаряда. Полезно отметить, что при б Ф О скачок касательной к S составляющей скорости равен нулю (в этом убеждаемся, умножая скалярно обе части B.15) на любой единичный вектор, расположенный перпендикулярно к п). Поверхности ?, на которых сами гидродинамические элементы претерпевают разрыв, носят название поверхностей сильного раз- разрыва. В том случае, если сами гидродинамические элементы непре- непрерывны, но среди их первых производных по координатам или по времени найдётся хотя бы одна, меняющаяся скачком при переходе через поверхность; последняя называется поверхностью разрыва пер- первого порядка. Вообще говоря, если при переходе через поверх- поверхность ? функция b непрерывна, но производная по координате или по времени, начиная с некоторого порядка, терпит разрыв, то S называется поверхностью слабого разрыва для функции Ь. Употре- Употребительны также термины просто «разрыв» или «волна». Поверхности сильного разрыва, представляющие разрыв давления, называются ещё скачками уплотнения или ударами сжатия. § 3. Уравнения газовой динамики в дифференциальной форме. Для той части жидкости, в которой гидродинамические элементы и их первые производные остаются непрерывными, мы можем на- написать уравнения в дифференциальной форме. Уравнения движения уже были подробно выведены в ч. 1 из на- начала Даламбера. Чтобы получить эти уравнения из B.1), поделим сначала обе части B.1) на разность t2 — tx и перейдём затем к пре- пределу, полагая, что t2-^-t1^=t. Получим, очевидно: ?fff?™=-ffp*<°- (ЗЛ) Мы не можем внести слева дифференцирование под знак инте- интеграла, ибо объём (х) сам зависит от времени, но мы можем написать, ') Последнее заключаем из уравнения состояния:
§ 3] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 19 вводя лагранжевы координаты: f f f ?Vdt = f f fpVdxdydz= С f fpVDdadbdc, CO W (-о) где (^о)—положение объёма (-:) в некоторый закреплённый момент ;0, а, Ь, с — лагранжевы координаты, D — функциональный опреде- определитель п_ Р{х, у, г) ~~ D (а, Ъ, с) • С другой стороны, из уравнения неразрывности следует, что PD = Ро. где Ро = р(а> Ъ, с, /о) = Ро(й, Ь, с). Таким образом Г J CpVdx = J J Г V(a, Ь, с, t)po(a, b, c)dadbdc. (-¦) Отметив, что (т0) и р0 от времени, по самому их определению, не зависят, мы можем написать: dt Возвращаясь к старым переменным и к C.1), получим окончательно М Далее, преобразуем правый интеграл по формуле Грина к объём- объёмному интегралу и перенесём всё под знак объёмного интеграла. Получим, вследствие произвольности объёма (х) и предполагаемой непрерывности подынтегральной функции: dV что совпадает с уравнением D.3) гл. II части первой, если там от- отбросить объемные силы F. Уравнение неразрывности подробно было выведено в первой части. Это будет для сжимаемой жидкости ¦||-Н-р div V = 0. C.3)
20 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Наконец, уравнение энергии, если разделить обе его части на f2~~^i и перейти к пределу, полагая, что t2—>-t1~t, даст после собирания членов: (S) Применяя к левой части этого уравнения преобразования, анало- аналогичные тем, что были применены при выводе уравнения, получим: ) (") E) Преобразуя левую часть к объёмному интегралу по формуле Грина, перенося всё в одну сторону и собирая под один знак интеграла, напишем: и вследствие произвольности объёма (т) и непрерывности подынте- подынтегрального выражения Умножим теперь обе части равенства C.2) скалярно на V и вычтем из C.4). Так как V — d V' V dt ~~ dt 2 и так как V ¦ grad p — div (pV) — p div V, мы получим: Деля обе части этого равенства на р, заменяя div V по формуле C.3) и вспоминая, что по уравнению состояния р — R?T, C.5) мы получим: 1 cv dT I do AR T dt p dt ~u> Это можно записать ещё, используя снова C.5), в виде 1 f d\np d\n$\ d\no ~AR Cv \di W) 5Г""~ '
§ 4] СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ 21 Собирая члены с производными, замечая, что и производя простые преобразования, получим окончательно: at p* где v. есть отношение теплоёмкостей. Так будет выглядеть «уравнение притока тепла» — условие адиабатичности в дифференциальной форме. Отметим, что % всегда будет больше единицы. Для одноатомного Газа "'¦=5/з. для двухатомного газа "/-= 7/s (ПРИ обычных температу- температурах). Для воздуха мы будем принимать чаще всего •/. = 7/5= 1.41). При выводе уравнений этого параграфа мы предполагали гидро- гидродинамические элементы и их производные непрерывными. Пусть теперь есть поверхность Е, являющаяся поверхностью слабого разрыва, так что сами функции непрерывны всюду, но уже первые их производные по координатам и времени претерпевают при переходе через ? разрыв. Такого рода слабые разрывы возможны, как мы в дальнейшем увидим, дтя нестационарного движения и для широкого класса стационарных движений. Остановимся на этом вопросе детальнее. § 4. Слабые разрывы. Характеристики уравнений газовой ди- динамики. Наличие поверхности сильного разрыва не накладывало, само по себе, никаких ограничений на скачки гидродинамических элементов, и только необходимость удовлетворить уравнениям B.1), B.2) и B.3) привела к установлению соотношений B.15), B.16) и B.19). Напротив, в случае слабых разрывов уже самый факт существования разрыва производных, имеющего место вдоль много- многообразия деформирующегося и перемещающегося, но всегда остающе- остающегося единственной поверхностью, заставляет связать скачки названных производных некоторыми условиями. Последние являются следствиями 1еометрической или, вернее, кинематической картины движения и выво- выводятся совершенно независимо от уравнений гидродинамики. Условия эти носят название «условий тождественности» и «кинематической совместности». Чтобы их получить, предположим, что функция Ф(х, у, z, f) непрерывна во всём пространстве, занимаемом жидкостью, но что её первые производные претерпевают разрыв на некоторой поверхности S, имеющей уравнение2) /(х, у, г, t) = 0. D.1) ') Употребительны ещё числа %=1,41, а также значение х = 4/з' По- Последнее получается, по Лайтхиллу, в пределе, если, рассматривая реальный, по так называемый идеально-диссоциирующийся газ (в котором у, зависит от Т и от числа диссоциированных молекул), устремлять число диссоцииро- диссоциированных молекул к нулю (см. § 24 этой главы). 2) Под функцией Ф (х, у, г, t) мы можем подразумевать какой-нибудь 1 идродинамический элемент непосредственно или же какую-либо его произ- производную по координатам или по времени.
22 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Мы можем говорить о четырёхмерном пространстве (дг, у, z, t) и в нём изображать уже неподвижную гиперповерхность D.1). Пусть теперь имеется непрерывная вместе с производными функция ф от четырёх наших независимых переменных и такая, что на гиперповерхности D.1) ty(x, у, z, *) = const. Torja вдоль гиперповерхности ? + $*зЧ-$Л + 1</Л D.2) причём дифференциалы берутся вдоль этой поверхности; но здесь, вследствие уравнения D.1), ^ + f<fy + ?<te + ?* = O. D.3) это есть единственное условие, которое следует наложить на диффе- дифференциалы наших координат вдоль поверхности. Сопоставляя D.2) и D.3), заключаем, что во всех точках поверхности разрыва и для любого момента времени должно быть: дх ' дх ~~ ду " ду ~ dz " dz ~~ dt ' dt ~[j?' ( ' где р,ф — некоторая функция от координат и времени, определенная на D.1). Рассмотрим теперь функцию Ф (х, у, z, t), непрерывную во всём нашем гиперпространстве и имеющую непрерывные же первые производные по координатам и времени. Пусть эта функция тожде- тождественно равна функции Ф, но только в положительной области; тогда на поверхности S •=•¦; ?-(?).¦••¦ Рассмотрим ещё функцию Ф, непрерывную вместе со своими первыми производными во всём гиперпространстве и такую, что в отри- отрицательной области Ф==Ф; тогда на S: дх \дх Функция Ф — Ф непрерывна со своими производными во всём гипер- гиперпространстве и, так как [Ф] = 0, — обращается в нуль на S. Но тогда мы можем принять функцию Ф — Ф за функцию ф предыдущей теоремы, и, если заметить, что на S, по определению Ф и Ф, будет:
§ 4] СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ 23 мы можем написать: дФ] Г_дФ1.["дФ] Г дф 1 __ <?/ . df df . df что можно записать ещё так: [VO] = ^V/; [?] = P.f • D.5) Условия D.5) и суть условия совместности, о которых мы говорили- Они показывают, что достаточно задать одну лишь функцию ц.ф, чтобы определить затем разрывы всех производных Ф. Достаточно знать также разрывы одной какой-нибудь производной. Так, например, если разрыв одной из производных первого порядка равен нулю, то и все производные первого порядка будут на D.1) непрерывны. Формулы D.5) могут быть ещё представлены путем деления и лмножения на ^Щ+ (jL^ Щ в виде D.6) не п — единичный вектор нормали, а /V, по B.9), — скорость пере- перемещения поверхности слабого разрыва. Кроме кинематических условий D.5), нам следует подчинить раз- разрывы производных от различных гидродинамических элементов усло- условиям динамическим, проистекающим оттого, что элементы эти должны, в положительной и отрицательной областях отдельно, удовлетворять уравнениям гидродинамики. Считая, что vx, vy, vz, p, p непрерывны, можем написать: D.7) Уравнения наши не содержат производных более высокого порядка, чем первый. Приписывая один раз всем производным знак плюс, а другой раз знак минус и вычитая получаемые уравнения друг из друга соответственно, придём к соотношениям: Щ -%p Ш+?v ¦[Vp] -ypV ¦[Vp]=
24 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I Используя D.6), получим тогда: pyV - - ;.p\N — рУяХ„ + vpVnkf == 0 (/v есть вектор с компонентами Xj, , \v , Xt, V Собирая члены с ), будем иметь: | Xp(/V — Уя) = рХу • «, D.8) PXp (W- у-„) - xp (ЛГ - Vn) Xp = 0. ) Пять величин Х удовлетворяют пяти однородным уравнениям. Для того чтобы существовали X, отличные от нуля, необходимо, чтобы был равен нулю определитель системы; проще всего получить это усло- условие, умножая скалярно первое уравнение из D.8) на п и вставляя вместо р(Ху • п) выражение из левой части второго из уравнений D.8). Получим тогда: что в соответствии с последним из D.8) даст либо N-Vn = 0. либо (N — Vny = *? = a'. D.9) Первое из этих равенств отвечает случаю стационарного разрыва @ = 0). Второе равенство показывает, что скорость распространения нестацио- нестационарной (О Ф 0) поверхности разрыва первых производных всегда равна Величина эта носит название скорости звука. Мы говорили о скорости распространения поверхности слабого разрыва для производных первого порядка. Можно показать, что скорость S распространения любого слабого разрыва (т. е. разрыва производных любого порядка) будет либо 6 = 0, либо | 0[ = а. На- Напротив, как мы вскоре увидим, скорость 0 для сильного разрыва со скоростью звука никак не связана. Покажем теперь, как слабый разрыв связан с характеристиками системы уравнений газовой динамики. Последняя есть система пяти уравнений в частных производных первого порядка по четырём неза- независимым переменным, содержащих пять неизвестных функций. Известно, что к рассмотрению характеристик приводит задача Коши, каковая
СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ 25 в нашем случае формулируется следующим образом. На некоторой шперповерхности S с уравнением f(x, у, z, 0 = 0 D.10) заданы значения всех функций: vx, vy, vz, p, p. Требуется найти в области, окружающей S, непрерывные и однозначные функции vr, ..., р, удовлетворяющие уравнениям D.7) и обращающиеся на 5 и систему заданных значений. Напомним, что доказательство теорем существования однозначного решения задачи Коши находится в связи с возможностью определения на многообразии S значений всех произ- производных от всех искомых функций. Чтобы лучше уяснить себе процесс определения этих производных применительно к нашей системе D.7), сделаем замену независимых переменных, переходя от х, у, г, t к х, у, z, t, так что х — х; = f(x, у, z, t); t = t. В этих новых переменных уравнение гиперповерхности S примет простой вид: и если обозначить vx(x, у, z, t) = vx(x, у, z, t); ..., io, по условию задачи, нам будут даны функции: {vx(x, у, z, t)}f=o = vx(x, у, 0, 7); ... D.11) С другой стороны, для любой функции а будем иметь D.12) D-13) di da dz так что да dx da dz 1 i df dz da dJ df . dx' da dy da dt da dy da dt + + da dz~ da dz df dy ' df dt ' dx /r „ -=0 \ dx Но если (a)/=o = a(jr, y, 0, t) известно, то, так как (da(x, у, z, ~i)jdx)-=Q будет просто равно fa (x, у, 0, Т)/дх, производная (да/дх)-^0 может считаться также из- известной; то же можно сказать и про (da/dy)-=0 и (da./dt)-=G. Таким образом, если бы нам удалось ещё найти {dajdz)-^Q, то мы, зная (а)/_0,
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 сумели бы по D.13) рассчитать (da/dx)f=0, ... У нас имеется пять функций: vx, vy, vz, p, p, так что нам надо найти пягь производных д! dl )-=0' \dl)- Чтобы найти их, обращаемся к пяти уравнениям D.7) и записываем их в новых переменных, пользуясь D.12). Имеем (мы выписываем лишь те члены, которые содержат дифференцирование по z): dz dvy d~z dz - df_ Vr~dx ~d~x~ dy - V_ V> dy v ?L y dy dz dt ] ? dx dz Vz dz dt i p dy dz - df | df\ , 1 df dp V*~dz ~dt) 7 ^T^F~" ()г (9-v dz dy dz i 1 <?P '— df p dz \ A dx " d/ . - df . -i dz dt (->t)\d7 D.14) Пять наших производных можно найти из этой системы алгебраиче- алгебраических уравнений лишь в том случае, если её определитель отличен от нуля. Определитель этот, если обозначить df _ „ будет: А 0 0 df dx 0 0 А 0 df dy 0 0 0 А dz 0 1 Р 1 Р 1 Р "дИ df dy ~dz 0 А df dx — + 0 0 0 1 p 7 Г df , - у ду ~r Vz A - A 11 { dl^ dz D.15)
§ 4] СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ 27 Если гиперповерхность D.10) и заданные на ней функции vx, vy, ... таковы, что D.15) обращается в нуль, система D.14) может допускать лишь неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались ко- конечными, необходимо при этом потребовать обращения в нуль всех определителей, составленных путём последовательного введения пра- правых частей D.14) в столбцы определителя системы. В таком случае многообразие D.10) называется характеристическим многообра- многообразием (характеристической гиперповерхностью) или просто харак- характеристикой. Заметим, что при вычислении старших производных нам придётся иметь дело вновь только с определителем D.15). Таким образом, если <3 в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два различных реше- решения, принимающих на S одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на <5 различны; таким образом может оказаться, что с разных сторон от © движение представляется разными зако- законами, а на самой © гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы <3 перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю D.15) будет совпадать с одним из условий D.9). Для этого стоит лишь ввести «скорость распространения» S характеристики: 1 I' df . - df . - df . - df\ и заметить, что Тогда равенство определителя D.15) нулю будет означать, что 03/б2 — ^t-\=0, D.16) и мы вернёмся к D.9). Мы видим, таким образом, что перемещающиеся поверхности слабого разрыва и характеристические многообразия системы D.7) — это одно и то же. Всегда ли можно говорить о характеристических многообразиях? Всегда ли они будут действительными? Отбрасывая случай, когда 9 = 0, мы должны иметь на характеристике или df . Of , df , df , , ГI df 2 а D.17)
28 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I (мы отбрасываем черту над гидродинамическими элементами), где а, как прежде, — скорость звука. В нестационарных случаях уравне- уравнение D.17) позволит, очевидно, при любых i>v., vy, vz, а найти дей- действительную функцию f(x, у, z, I), и существование последней никаких ограничений на гидродинамические элементы, вообще говоря, не накладывает. Предположим, однако, что мы имеем дело с установившимся движением. Естественно считать здесь, что и поверхность разрыва будет неподвижна в пространстве, т. е. что её скорость перемещения (но не скорость распространения) равна нулю: /V = 0 или 8 = — Vn. D.18) Тогда на поверхности разрыва имеем -—±а D.19) у I Jz у ~ ~ду ' **~~1 или ещё \Vn\ = a. D.20) Пусть теперь установившееся движение жидкости таково, что скорость везде меньше местной скорости звука: В таком случае, какую бы поверхность S мы ни провели через некую точку М, всегда проекция Vп скорости жидкости V в Ж на нормаль п к поверхности ® будет меньше, чем а, и равенство D.20) нигде не будет иметь места. Напротив, если жидкость движется так, что \V\>a, то найдутся поверхности 3, проходящие через М, такие, что проек- проекция Vп скорости V в М на нормаль к этим поверхностям будет в точности равна а. Отсюда вытекает весьма важное следствие. Если жидкость движется стационарно (установившееся движение) и притом повсюду с дозвуковой скоростью, то действительные харак- характеристические многообразия существовать не могут. Напротив, если движение жидкости совершается со сверхзвуковыми скоростями, то всегда могут быть построены действительные характеристики. Мы видим, что переход через скорость звука играет в установившемся движении весьма существенную роль, меняя тип дифференциальных уравнений движения (эллиптический при дозвуковых скоростях на гиперболический при сверхзвуковых).
$ 5] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ. ТЕОРЕМА ЦЕМПЛЕНЛ 29 Наличие действительных характеристик при сверхзвуковых ско- скоростях значительно облегчает решение задачи о движении. Здесь могуг быть развиты эффективные графические методы решения, с каковыми мы и познакомимся в соответствующем месте. Мы вернёмся сейчас к случаю существования сильных разрывов, чтобы доказать несколько общих теорем, сюда относящихся. § 5. Распространение сильных разрывов. Теорема Цемплена. Чтобы найти величину скорости распространения сильного разрыва, прибегнем сначала к соотношениям B.15), B.16) Умножая B.15) скалярно на я, получим: р9 [Vn] = [p], E.1) и замечая, что вследствие формулы B — N—Vn [Vn\ = — [91, E.2) E.3) E.4) напишем вместо E. Но по B.16) поэтому мы можем р 92 р 92 - откуда по E.4): и мы можем найти 1) Р9(бт — е_) = р 0 — написать E.3) - р_ — р или о2 д2 / Р_ — Р + Р~ " \ Р-Р + в виде Р+е + р J — P- 6_ из соотношения 62 _ Р+ Р+- Р_ Pj.- ¦р_ Р- рУ pie2. р_ р^ [р] [р] * E.5) Особенно явной станет разница между величиной скорости рас- распространения слабого разрыва, всегда равной а, и выражением, получающимся из E.5), если мы преобразуем E.5), использовав для этого одно важное следствие соотношения B.19). Заметив, что T~p/Rp и что ср — cv=AR, придадим сначала B.19) вид Умножим теперь обе части B.15) скалярно на V+-f-V_: р9 (V., 4- V_) • (V+ - V_) = Р9 [ V ¦ V] = [р] п ¦ (V+ + V.) и вставим p8[V-V] в E.6); получим:
30 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. ! Раскроем знаки разрывов и перенесём все члены в одну сторону; получим: или после сокращений: -(P+ + P-)lVg+^[f] = 0. E.8) Но по E.2) и B.16) можно написать и мы можем переписать E.8): Раскрывая, далее, знаки разрыва и отыскивая отношение р /р_, мы придем к следующей важной формуле, заменяющей условие B.19): р, (* + l)Pi—(*—1) Р f-±- = - ^ +_(х_1)р • E.10) Пользуясь E.10), преобразуем теперь выражение E.5). Вычтем для этого из обеих частей E.10) по единице: Р \р] (*- Ч- 1) Гр1 Ч- (*- "•— 1) Гр 1 2т, Гр] Следовательно, [p] 2t.p_ .... и по E.5) 62_=x— —P+ . E.12) Наряду с формулой E.5) отметим выражение получающееся умножением E.5) на р2_ и сравнением с р!92+. а также 8+ = *— 7—Пх—^= + Р+ (* + 1)р+ — получающееся из B.16), E.12) и E.10). + = *— 7—Пх—^=7 г;—¦ E-14) + Р+ (* + 1)р+ — (* — 1)р_
§ 5] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ. ТЕОРЕМА ЦЕМПЛЕНА 31 Формулы E.12) и E.14) показывают, что скорость распростране- распространения сильного разрыва всегда отлична от местной скорости звука. В самом деле, по этим формулам равенство или равенство Р_ одинаково влекут за собой условие р+=р_; но тогда по E.10) р+ = Р-, а по B.15) [VJ = 0, и нет никакого сильного разрыва. Нетрудно далее убедиться, что если |6+|<а+, то | 9_ | > а_ и наоборот: если | 9_ | < а_, то ) 6+ | > а+. Если обратиться к стационарным движениям, для которых ЛГ = О, т. е. 6 = — Vп, то мы получим очень важное следствие: скорость V,, по крайней мере с одной стороны от поверхности разрыва пре- превосходит местную скорость звука. Значит, неподвижные поверхности сильного разрыва, так же как и неподвижные характеристики, могут существовать лишь при наличии сверхзвуковых скоростей. Докажем ещё теорему Цемплена: возможны лишь такие сильные разрывы, при которых [Vn}<0. Для доказательства этого положения приходится привлекать второй закон термодинамики, согласно которому энтропия при физических процессах не убывает. Энтропия S может быть представлена в виде 5 = -Т1п?' EЛ5) и, таким образом, вопрос о возрастании энтропии эквивалентен вопросу о возрастании величины pjf. Итак, величина р/р' не убывает. Пусть имеется у нас нестационарный сильный разрыв. Некая масса, находящаяся с одной стороны от разрыва, попадает затем на другую сторону. Могут представиться два случая: 0+<О и 6^ > 0. Если 0+ > 0, то массы, лежавшие с положительной стороны поверхности разрыва, попадут на отрицательную, и энтропия положительной области заменится на энтропию области отрицательной; так как энтропия не убывает, будет т. е, СО.
32 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I Напротив, если 8+ < 0, то массы отрицательной области будут заменены массами положительной стороны, так что окажется [?]>»¦ Покажем, что в обоих случаях будет [Vn] < 0. В самом деле, вслед- вследствие E.10j можно написать: Р- \р_ _ р_ ~"рЛ t- Нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в фигурных скобках, будет положительно при р /р_ > 1 и отрицательно при р /р_<1. Так как р и р положительны, заключаем, что если [Р1р*\ > 0> т0 1р] > 0; если [pjf] < 0, то 1р] < 0. Таким образом, если 6+ > 0, то [р] <0, и если 8+ < 0, то [р] > 0, но р_ р+ '^ + р+р_ и, значит, при 8+ > 0, [р] < О будет [Vn] < О и при 8+ < О, [р] > О также [Vn]<0. Теорема Цемплена доказана. Б. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА § 6. Плоская задача. Функции в1 и /0. Рассмотрим стационар- стационарное движение газа, происходящее одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости (х, у), и притом так, 4TOfz = 0. Уравнения Эйлера представим в форме Лэмба: р дх ~~ Ш 2 ~гМ&е ду)' 1 др д I-2 Alz^rJ F-2) Уравнение неразрывности даёт f^i^-O F.3) дх ^ ду ~и> к '
§6] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧ4 ФУНКЦИИ & II h 33 а условие адиаоатичности: Vx^?.-\-Vy^.A==Q, F.4) Уравнение F.3) позволяет заключить о существовании функции тока <\>(х, у) такой, что _ (Эф г _ _ _#_ 6 . С другой стороны, вдоль линии тока имеем: dx dy вставляя в это равенство vx и vy из F.5), получим без труда й , , д'Ь , „ дх ' ду ' так что уравнения ф (л:, у) = const. суть уравнения линий тока (последние, вследствие стационарности, совпадают с траекториями жидких частиц и остаются во время всего движения неизменными). Умножая первое из F.5) на vy, второе на vx и вычитая, получим: V I ТА / f\ C\\ х дх ' У ду ' ' ' Но если v ф 0, соотношения F.4) и F.6) заставляют нас считать, чго D {х, у) Отсюда заключаем, что ^г = Эх(ф), F.7) где зависит от ф. Легко выразить ft через энтропию 5. В самом деле, по E.15) предыдущего раздела имеем: ^ln»1). F.8) ') Кроме того, 0 есть, с точностью до постоянного множителя, потен- потенциальная температура. Под последней разумеется та температура -, которая получится, если газ адиабатически привести к нормальному давлению Ро. Это будет t = -~- » = const. Ь. 3 Теоретичеикая i идроме1- аника, ч II
34 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. J Умножим теперь F.1) на vx, a F.2) на vy и сложим получен- полученные уравнения, заменив предварительно р по формуле F.7). Так как и так как вследствие F.7) и F.6) х дх ~" У ду ' мы получим после простых преобразований: д I % ——о , v2 Это означает, что вследствие F.6) v2 •/ — _—| -ySjf * =^о(Ф)' (С.9) где /0—функция одного только ф. Чтобы уяснить физический смысл /0, заметим, что <у2/2 есть кине- кинетическая энергия единицы массы, а х х-1 *. о С„ С„ „ у и у - т~ _ г А X 1 У, 1 р Сп ' -~ Су J\ есть «теплосодержание» (принято обозначение срТ/А = i)'); таким образом, /0 есть теплосодержание при отсутствии скорости (t> = 0). Величина /0 определяется, коль скоро известна температура То той точки, в которой скорость равна нулю I/0 = -4- Уравнение F.9) представляет собою не что иное, как уравнение Бернулли. Из уравнений F.1) и F.2) мы получили одно лишь соотноше- соотношение F.9). Второе соотношение позволит нам выразить вихрь и пока- показать, что если Ь и /0 будут постоянными величинами (не завися- зависящими от ф), то движение будет безвихревым, и обратно — если дви- движение безвихревое, то, вообще говоря, & и /0 постоянны. В самом ') Величина i ыожег быть определена как сумма внутренней энергии и отношения р/р: . _ 1 _j_ P cvT p cv + ART _ cpT t = ~A ' ~У ~ А ~^~р~= А ~~А~' Кроме термина теплосодержание для обозначения i употребляются ещё названия: leii.iouasi функция единицы массы и энтальпия.
7] ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ 35 деле, возьмём, например, F.2) и вставим в него v2 из уравнения Бернулли. Произведя сокращение, получим: dvу dvx 1 / di0 х -izi д§ \ дх ду vx \ ~ду~ х— 1 Р ду J или, так как & и 10 зависят от у через посредство ф: ду ' наконец, вследствие F.5) можем написать: —— db\ ,„ ... ) FЛ1) Формула F.11) показывает, что если & и iQ постоянны, то 2^=0. Обратно, пусть 2 = 0. Тогда по F.11) dt0 % ^ db и если dbjd'^ ф 0, то р, а значит, по F.9) и v, будут функциями одного ф: —— ?¦ — 1 di0 d\i Случай этот не представляет интереса; ему отвечают движения с ли- линиями тока — либо концентрическими кругами, либо параллельными прямыми (см. ниже § 15). Таким образом, вообще говоря, если 2 = 0, то должно быть а по F.12) и Заметим, что может оказаться, что dio/d<b Ф 0 a dbfd^ = 0 или же dio/d'b = O, а й?&/й?ф =? 0; при этом, разумеется, 2=^0. Мы увидим, что случай постоянного /0 и переменной энтропии & представляет для газовой динамики наибольший интерес. § 7. Поверхности разрыва в плоской задаче. Покажем прежде всего, что в плоской стационарной задаче /0 не претерпевает скачка при переходе через поверхность сильного разрыва. Для этого обра- обратимся к уравнению E.6) и перепишем его, заметив, что, вследствие стационарности, Vп = — 6, так:
36 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ [ГЛ. I или, что очевидно, откуда, перенося всё влево и собирая члены под знаками разрыва а это и означает, что если 6 Ф 0, то вследствие F.9) и F.7) [/01 = 0. G.1) В приложениях газовой динамики речь идёт обычно о незавихрен- ных потоках газа, обтекающих какое-либо препятствие (крыло, например) или вытекающих из отверстия (сопло и т. п.). Так как в незавихренном потоке 1й — const, и так как по G.1) даже наличие сильного разрыва не изменяет величины /0, то, оставляя в стороне влияние пограничного слоя, мы можем считать в практически важных и интересных случаях просто /0 = const. Обратимся ко второй величине, характеризующей завихренность потока,— 9. Покажем, что если в набегающем потоке и было Ь = const., то после прохождения потока сквозь поверхность сильного разрыва обязательно, вообще говоря, станет db\d§ Ф 0, т. е. если поток до прохождения скачка уплотнения и был потенциальным, то после он становится вихревым. Для доказательства обратимся к формуле E.10) и умножим обе её части на (р_/р+)х. Можем написать тогда: у. + 1 — (х — рл р! ' - ч- v f-t Р- \Р+/ (х+1)-^-(/-1) или, по определению 9 из F.7): -л + 1 — С'- — 1) — Формула G.2) показывает, что &^/9_ = 1, т. е. [9] —0, лишь в том случае, когда р_ /р == 1, т. е. [р] — 0, т. е. когда скачка уплотнения просто нет. Как мы увидим дальше, [р] будет, вообще говоря, раз- различен в разных точках поверхности разрыва, но тогда и [Щ будет меняться от одной линии тока к другой, так что если & «слева» от поверхности разрыва и было постоянно, то, претерпев в разных
§7] ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ 37 точках этой поверхности разные скачки, оно станет функцией от ф. Движение, бывшее перед скачком уплотнения безвихревым, станет затем, вообще говоря, вихревым. Восемь гидродинамических элементов: р + , р+, vx+, vy + , p_, p_, t'r_, ¦wy_ — связаны вдоль поверхности разрыва четырьмя соотноше- соотношениями [формулы B.12), B.13) и E.10)]: pf)[vx] — [p]cos(n, х), G.3) pQ[vy] = [p]cos(n, у), G.4) [p6j = 0, G.5) Р+ _<»+1)Р+-(*-1)р_ fi содержащими, кроме упомянутых элементов, ещё девятую вели- величину— угол между нормалью п к поверхности разрыва и осью Ох или Оу. О, вследствие стационарности движения, выражается через Vп: 6 = -У„. G.7) Таким образом, мы можем, зная все гидродинамические элементы с одной стороны от поверхности разрыва, найти связи между любой парой элементов по другую сторону от поверхности или между каким-либо из этих элементов и углом наклона поверхности. Наи- Наибольший интерес представляет установление соотношения между обеими компонентами скоростей, а также выражение плотности через угол наклона поверхности разрыва. Рассмотрим произвольную точку М поверхности разрыва. Пусть нам известны величины р_, р_, vx_, v _. Повернём ось Ох так, чтобы она пошла параллельно направлению скорости V_ в точке М, и обозначим Пусть ещё угол наклона (я, х) нормали п в точке М поверхности разрыва будет ср. Тогда, так как v —0, имеем прежде всего — S+ = Vn+ = vxcoscp-\-vv sin cp, G.8) — 6_=:Vn_='&1cosep, G.9) а используя E.12), получим: 1 T Pi (* + l)Pi— (*— 1)P откуда без всякого труда найдём p/pj через tgcp: -L = ^ , G.10) Pi of 14 ^
38 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I где, как всегда, буквой а обозначена скорость звука Формула G 10) показывает, что если <р меняется от точки к точке вдоль поверхности разрыва, то p/pj будет разным в разных точках поверхности, и по G.2), если даже и было 8^ = const., то Ь станет в разных точках разное, и возникнут вихри. Так, например, если V_ сохраняет всюду постоянное направление, то при кривой линии раз- разрыва вихри образуются неизбежно; лишь если поверхность разрыва есть плоскость, движение останется безвихревым. Чтобы найти зависимость между vx и vy, разделим сперва G.4) на G.3); получим: VlG.11) tgp vx — vl С другой стороны, по G.3), после сокращения на cos (и, x) = coscp, х — «i) = /> — Pv G-12) а вследствие G.6) ^ . G.13) f +()f Pi Сравнивая два выражения для р—рг (G 12) и G.13)), вставляя вместо p/pj правую часть G.10) и заменяя tgcp через посред- посредство G.11), приходим после простых преобразований к следующей формуле, связывающей vx и vy: 2 ( а\ '- + 1 «1 Остановимся на формулах G.10) и G.14). Формула G.10) выряжает р/р, через ср. Представляют интерес также формулы, выражающие через ср отношение р/рх, а также величины vx и vy. Внося G.10) в G.6), получим после элементар- элементарных преобразований G.15) /?( у -\-1 aj ' у. -\-1 Вставляя это отношение в формулу G.12), получим: G.16)
§71 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ Наконец, внося vx из G.16) в G.11) и решая полученное уравне- уравнение относительно vy, получим: 2 V.. -1 G.17) Формула G.14) имеет многочисленные приложения. В плоскости (их, vy) при данных значениях ах ч vl уравне- уравнение G.14) представляет кривую, симметричную относительно оси vx, пересекающую её в точках (двойная точка) и у^ 1 и имеющую в качестве асимптоты пря- прямую (рис. 4) 2 а\ Рис. 4. Эта кривая может быть получена путём инверсии гиперболы в её вершине и называется гипоциссоидоп (обычная циссоида Диоклеса может быть получена путём инверсии параболы в её вершине). Если скорость в точке Ж_ отрицательной области имеет величину vl (при этом скорость звука ах получится, если i0 известно, из урав- уравнения Бернуллн), то конец вектора V+ скорости в точке М+ будет лежать где-то на упомянутой гипоциссоиде. Если бы нам было известно направление V+, мы могли бы, воспользовавшись гипоцис- соидой, найги и величину вектора Vj_; совершенно аналогично, зная величину V+, мы нашли бы без труда и направление (вернее, абсо- абсолютную величину угла, составляемого вектором V+ с направлением vx). Наконец, при помощи нашей гипоциссоиды можно найти напра- направление поверхности разрыва в точке М, если известно направление скорости после прохождения поверхности разрыва. В самом деле, так как вследствие G.3) и G.4) (t — касательная к линии разрыва в тоскости х, у), то, если обозна- обозначить через Vz проекцию скорости на касательную к линии раз- разрыва,— будет [VT] = 0. Отсюда следует, что направление поверх- поверхности разрыва должно быть таково, что если на него спроектировать скорость тп м после разрыва, то эти цве проекции будут одинаковы
40 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I (Vz+ = Vx_). Имея гипоциссоиду (рис. 5) и зная направ!ение ON, а значит, и величину ON скорости V+ после прохождения разрыва, соединим двойную точку Р гипоциссоиды (ОР = V_) с точкой N и опустим на продолжение прямой PN перпендикуляр из точки О но пересечения с PN в точке Q. Очевидно теперь, что направле- направление OQ таково, что проекции на него V+ и V_ одинаковы. Нам остается ютько перенести это направление на плоскость (х, у), чтобы полечить нужное направление кривой разрыва. Заметим, что всякий луч, выходящий из точки О, пересечет 1ипоциссоиду, вообще говоря, в трех точках (рис 5). Однако, в силу теоремы Цемплена, точки N', расположенные на уходящих в беско- бесконечность ветвях гипоциссоиды рас- рассматривать не следует В самом деле, желая получить при помощи точки N' направление касательной к поверхности разрыва, мы должны опустить перпен- перпендикуляр OQ', но тогда Q'N' есть нор- нормаль к этой поверхности и q7p = v^, Q7W' = vn+1 так что, вопреки теореме Цемплена (§ 5), имеем. V ^> V Рис 5 Точки N и N" обе допустимы с точки зрения теоремы Цемплена Ветвь гипоциссоиды, содержащая точки типа Л'', также может быть использована. Для этого достаточно поменять местами знаки плюс и минус при выводе формулы G.14), положив ОР = V+> а векторы типа ON' принять за V_. Теперь шпоциссоида будет совокупностью точек, изображающих концы векторов тех скоростей, которые после прохождения разрыва могут совпасть с ОР. При таком толковании гипоциссоиды точки типа N не могут быть допу- допущены по теореме Цечплена. Сказанным здесь относительно сильных разрывов мы пока огра- ограничимся, мы вернёмся к ним уже непосредственно в припоЖениях к конкретным случаям движений. § 8. Критическая скорость. Трубки тока в сжимаемой жидко- жидкости. Мы знаем из предыдущих параграфов, а также из недавнего рассмотрения разрывов, как важно отличать стучач, когда движение происходлт со скоростью меньшей, чем скорость зт ка от случаев сверхзвуковых скоростей. Введем теперь важное поняше «крпги-
§ g] КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ТРУБКИ ТОКА 41 ческой скорости». Напишем для этого уравнение Бернулли F.9) в виде: Т+7^Т = /о (8-1) (здесь и в дальнейшем мы считаем, на основании сказанного в на- начале предыдущего пункта, что io = const.) и предположим, что в не- которой точке М скорость движения v оказалась в точности равной существующей в этой точке скорости а распространения звука: v = a. (8.2) Соотношения(8.1), (8.2) представляют собой систему алгебраических уравнений, из которой мы можем определить непосредственно в чис- числах величину скорости v в точке М. Это будет vr: ттт'°1 (8-3) Скорость эта и носит название «критической скорости». Соответ- Соответственно этому имеем и критическую скорость звука а^. +Т 'о- (8-4> Мы видим, что величина v* не зависит от рода движения и поло- положения точки. Для всех движений, обладающих одним и тем же i0, будем иметь всегда одно и то же vi. Нетрудно убедиться, вслед- вследствие (8.1), что если в какой-то точке оказалось v > at, то будет также ия>а (скорость газа будет больше местной скорости звука), и если v < at, то будет также и v < а. Обратно — наличие нера- неравенств v^a повлечёт за собой, соответственно, наличие неравенств Привлекая ещё скорость звука а0 в тех точках, где скорость газа v — 0, 2 -5т = /о> (8'5) мы можем дать для ак выражение при -/. = 1,405. Таким образом, критическая скорость всегда меньше той скорости звука, которая возникает в покоящемся газе, обладаю- щем данным значением i0. Уравнение Бернулли, если выразить в нём /0 через посредство as, примет вид: ±L. -л— 1 -~ -/.— 1 2 ' Г87) ') Это можно непосредственно установить из (8.9) (см. ниже).
42 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Формула (8.1) показывает, что максимальное возможное значение v получится, когда второе слагаемое левой части обращается в нуль, т. е. это будет По (8.7) мы можем написать "?=!" я'да 2,437а,. (8.8) Дальнейшее увеличение скорости газа привело бы к отрицательным давлениям и к явлениям кавитации. Таким образом, величина ги\ал заключается всегда в сравнительно тесных пределах: При расчётах удобно пользоваться безразмерными скоростями vxla*> vyla*- Отношение M=f/a называется числом Маха. Деля (8.7) на v2, мы можем затем найти связь между vja и vja.t в виде: а) —!— у. +1 /Пг' х — 1 \а, / Видим, что число М может изменяться в пределах от 0 до оо. Отметим ещё три употребительные формы уравнения Бернулли. Введём po(ty) — давление, которое возникло бы в некоторой точке линии тока ф = const., если бы в этой точке скорость обратилась в нуль. Очевидно, что вследствие F.9) и (8.6) так что Заменяя а2 в уравнении (8.7) этим значением, получим х-1 (?.y = 1 __*_-. (8.10) Аналогичным образом, вводя ро(ф) (плотность при г> = 0) и имея в виду, что
§ 6) КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ. ТРУБКИ ТОКА 43 мы получим ' Ро / *-М „2 Наконец, вводя температуру То при v = 0 и замечая, что ~~~~Х И х—1 =у.— IT"' можем написать ^.= 1 -——-. (8.12) х— 1 * Величина Го зависит лишь от ах и поэтому не зависит от ф; на- напротив, /?0 и р0 будут постоянны лишь в случае безвихревого дви- движения; так как р0 и р0 просто связаны с 9-, то легко найги скачки этих величин при переходе через поверхность разрыва. Очевидно, будем иметь л 1 Ро+ _ / 9- V"-1 и Р°+ ( Э Х причём 9-_/9+ можно найти по G.2) и G.10) через наклон поверх- поверхности разрыва. Формула (8.11) позволяет доказать очень важную теорему, отно- относящуюся к трубкам тока в стационарном движении сжимаемой жидко- жидкости. Рассмотрим бесконечно тонкую трубку тока, и пусть скорость в элементарном сечении её Д/} (ортогональном к линии тока) будет vv а плотность рх; пусть какое-либо другое сечение Д/2 характеризуется скоростью v2 и плотностью р2. Так как масса между этими двумя сечениями исчезнуть не может, мы должны написать Таким образом, площадь Д/ любого ортогонального сечения нашей трубки будет , , const. ^ pi) В несжимаемой жидкости (р = const.) площадь, таким образом, обратно пропорциональна скорости (чем больше скорости, тем уже трубки тока, и наоборот). Для сжимаемой жидкости мы можем, пользуясь (8.11), написать: , , const.
44 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Постоянная, стоящая справа, сохраняет своё значение вдоль всей трубки. Но такая функция будет иметь минимум, и притом един- единственный, при v = at. В самом деле: d If const. ( . Уг 2v2 n(dkf/dv)v=a = 0, а, как легко видеть, {d2 t\fjdv2)v^a > 0. Мы получа- получаем следующий замечательный результат: при дозвуковых скоростях, так же как и в несжимаемой жидкости, трубки тока будут тем уже, чем больше скорости; наоборот, при сверхзвуковых скоростях трубки тока будут тем шире, чем больше скорости. § 9. Плоские вихревые движения со сверхзвуковыми ско- скоростями. Характеристики. Угол Маха. Продолжим изучение диф- дифференциальных уравнений движения, предполагая, что /0 = const. Мы имеем два конечных соотношения: уравнение Бернулли vl + v) и условие адиабатичности: а2 и два соотношения дифференциальных: выражение для вихря дуу дух _ хр-г db дх ду ~~ %—\ 'Р аГф К Л и уравнение неразрывности дх ' ду Исключим из уравнения неразрывности плотность. Заметим, что по определению Ь и а: Можно теперь написать уравнение неразрывности, введя In p, в виде д'пр , <?lnp | dvx dv^ _ ~~дх~ Vjc ^~ ~~ду~ Vy ~^~ ~дх~ "т~ ~~ду~ ~~ а потом, выражая р через Ь и а2 и замечая, что дЬ . дЬ „
§ 9] ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 45 (см. F.4) и F.7)), привести после простых преобразований к форме: dvx dvv \ 1 / да2 да2 а Выражая далее а2 по формуле Бернулли через v2 и собирая члены при различных производных, получим: dvx dv,- dvv dvv Отметим, что (9.2) имеет один и тот же вид как для вихревого, так и для безвихревого движения. В самом деле, заменив в (9.2) а2 по формуле (8.7), приведём (9.2) к виду: ду ' д. гак что % совершенно выпадает из уравнения (в (9.2) & могло вхо- входить через а). Уравнение (9.1), напротив, указывает на наличие вихря (^&/й?ф=^О). В большинстве задач газовой динамики функцию & приходится рассматривать как известную функцию от ф. Если линии тока ухо- уходят на бесконечность (например, в случае обтекания контура безгра- безграничным потоком), задание &(ф) входит как своеобразное условие на бесконечности. Если мы имеем стационарное движение, в котором вихрь на бесконечности равен нулю, в таком потоке везде будет & — const., если на пути несущихся в этом движении жидких частиц не встречается поверхность сильного разрыва. Если же частицы проходят сквозь поверхность сильного разрыва, то % в них изме- изменится скачком, причём, как мы видели, скачок этот будет, вообще говоря, для разных точек разным. Это и заставляет нас в общей теории брать уравнение (9.1) с правой частью, отличной от нуля. Введём обозначение тогда (9.1) напишется в виде dvv dv, = S, (9.4) жг-^-й- (9-5> Нам надо научиться решать совместно дифференциальные уравне- уравнения (9.3), (9.5). В них входят две неизвестные скорости vx и v и, кроме того, неизвестная функция ф. Функция ф входит, однако, только в (9.5), и притом нг под зна- знаками дифференциалов. Для определения ф необходимо ещё прибавить
46 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I одно из двух соотношений [см. F.5)]'): vx = у^1 Ъ~* (а2)' -^ : vy = -*=i Ъ~' (*2)" -Ц- • (9-6) Мы начнём с теории наиболее простого случая. Именно, предпо- предположим, чго движение таково, что скорость во всех точках плоскости (х, у) превышает скорость звука, т. е. во всех точках плоскости v > at. Наличие действительных характеристик позволяет здесь раз- развить эффективные методы решения системы (9.2), (9.5). Чтобы построить характеристики, которые в случае плоской ста- стационарной задачи будут, очевидно, линиями пересечения с плоско- плоскостью (х, у) цилиндрических поверхностей, предположим, что неко- некоторая кривая L с уравнением У = У (*) есть характеристика для данного движения. Обозначая производную , d ( д , dy д \ , по х, взятую вдоль линии L, через -т—= 1-= \Г"Х~) и прибавляя к системе (9.2), (9.5) соотношения, выполняющиеся вдоль L: (9.7) (9 8) дх dy dx dy dy dvx dy dv dvx dx dvy dx напишем условие того, что L есть характеристика [т. е. условие невозможности однозначного определения четырёх производных dvxjdx, dvjdy, dvyjdx, dvy[dy из нашей системы четырёх уравнений (9.2), (9.5), (9.7) и (9.8)]. Выражая dvjdx и dvy/dx из (9.7) и (9.8) и вставляя их в (9.2), (9.5), получим: [y'(a*-vl 1UX/ *- г/ ду ,_dy_ dvx , dvy _ dvy Q ду ' У ду dx "u' dx ~vxvy dx ' где у' = —г- ¦ Следовательно, вдоль L должно быть ' dx v' (а2 — v2 \ -4~ v v — v'v v — а У \ х) I х у ' х у 1 у' = 0 (9.9) ') Каждое из этих двух соотношений есть следствие другого, что вы- вытекает из (9.2).
§ 9] ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 47 у' (а2 1 xvy(a2-vl) -jf-vxVy dvy ~~~dx~ dx Q = 0*). (9.10) Обращаясь сперва к (9.9), попучим, раскрывая определитель, следующее соотношение, связывающее у', vx и vy: у'2 {vx — а2) — 2т>xv у' + v] — а2 = 0. (9.11) Заметим попутно, что это соотношение было уже получено нами в другом виде в общей теории слабых разрывов. В самом деле, мы видели, что проекция Vп скорости газа на нормаль п к характери- характеристической поверхности должна равняться местной скорости звука В нашем случае Vn — vx cos (it, \Vn\=a. vy cos (n, y) = — и потому условие V2n = а2 примет вид: что, как нетрудно убедиться, совпадает с (9.11). Таким образом, тан- тангенс угла наклона у' характеристики может принимать два значения, определяемые как корни квадратного уравнения (9.11): (9.12) Соответственно этому через каждую точку плоскости (л:, у) можно провести два элемента характеристик, а вся плоскость (х, у) (в пред- предположении всюду сверхзвуковой скорости) может быть покрыта двумя семействами характеристик. Если движение уже известно, т. е. vx и vy известны как функции координат, уравнения (9.12) представят два дифференциальных уравнения, каждое из которых, будучи про- проинтегрировано, даст одну систему характеристик в плоскости (х, у). В дальнейшем мы всегда будем называть ту характеристику, которая отвечает знаку плюс перед корнем в (9.12), характеристикой первого семейства, а ту, что даёт у' со знаком минус перед корнем,—второго *) Равенство нулю определителя с заменённым первым столбцом полу- получается как следствие (9.9) и (9.10).
vxvy + aVv\ 9 vx- ¦"xvy~aVt v2- vx ¦ H- v2y a2 -a2 48 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ [ГЛ. Т семейства. Будем писать соответственно \>i(x) или у2(лг), так что y\ = ^^a\v*t.v2y~~—' (9ЛЗ) (9.14) Обратимся, однако, к уравнению (9.10), которое должно вы- выполняться вдоль характеристик наравне с уравнением (9.9). Раскрывая его и группируя члены, получим сперва [ '/ 2_^2\ I о \^L. — ( 2_ 2\d^? _ = [у' /а2 _ уТу^у^ 1 Qj (9. 1 5) или вследствие (9.11) откуда, деля на у ,— и заменяя члены в квадратной скобке правой части по формуле (9.12): dx uj — a1 dx Vy — a* где справа знак минус отвечает первому семейству, и тогда вместо у' должно стоять у'{, а знак плюс отвечает значению у1' = у'г Мы можем представить произведение корней уравнения (9.11) в виде: и потому вдоль характеристик первого семейства будет ~f-y\dx, (9.18) а вдоль второго i 1 , r-.^]/"ti2 — а2 ,, /П1пч dv Ч—rdvr=Q——=. s— \Ldx. (9.19) У ' v' x „2 л У\ иу и Соотношениям (9.12) и (9.17) можно придать более обозримый вид, если ввести вместо проекций vx и vy скорости величину ско-
§9! ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЬ ДВИЖЕНИЯ 44. рости v и угол J3, образуемый вектором скорости с осью Ох (рис. 6): vx = t>cosfS; fy == ^ sin p. (9.20) Заметим, прежде всего, что скорость V в точке М(х, у) будет ксегда направлена по биссектрисе между касательными к обеим характеристикам, проходящим через М. В этом можно убедиться из рассмотрения (9.12), проще же это можно получить из равенства В самом деле, тот факт, что проекция Vп на нормаль к обеим харак- характеристикам скорости V точки М равна по абсолютной величине одному и тому же числу, указывает, что скорость составляет один и тот у же угол с обеими касательными, проведёнными в М к нашим харак- характеристикам. Угол этот называется углом Маха. Обозначим его бук- буквой а; тогда по определению а будет (рис. 6): sin а. = — . v (9.21) 0 Следует подчеркнуть, что величина рис g угла Маха а зависит исключительно от отношения vja, но не зависит от угла р. В самом деле, по (8.9) мы можем написать: sin а — —2~ \-jr) 2 ' *- ; Теперь мы можем представить (9.12) в виде: у' = tg ф ± а). (9.23) Прежде чем преобразовать (9.18) и (9.19), найдём, как изменяется Ь при перемещении вдоль характеристики. Вдоль последней будет так что или, по F.5), dx dty \дх ' ду = — р (Vy — Vxy>) — Но тогда можно представить 2, стоящее в (9.18) и (9.19), в виде v-l Q = V. ^ 1 1 «у — vxy' dx -А— 1 Vy — Vxy' dx ' 4 Теоретическая шдромеханика, ч II
50 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I Вставим это значение 2 в (9 18) и (9.19) и заменим еще vx и vy по (9.20), а у' по (9.23). Получим: d(t>sinB)+ctg(p т. a) d (v cos В) = ьг _ аг tg (з ± + ~~ х—1 v {sin p — tgO + а) cos 3} (у2ып2? — а2) ' Наконец, собирая члены с dv и rfB, деля на коэффициент при d$ и применяя (9 21), получим посае простых преобразований: dpT^ii.dw=±iI?iL?2ifdln&. (9.24) Мы вернемся к вихревой задаче в § 13, а сейчас приступим к решению отдельных конкретных задач в безвихревом случае. Здесь мы будем иметь значительное упрощение формул (9.18), (9.19) и сможем значительно дальше продвинуться в общей теории. § 10. Плоские безвихревые движения при v > at. Если вихри отсутствуют, т. е. 2 = 0, уравнения (9 18) и (9.19) могут быть записаны в виде: вдоль харак- характеристик первого семейства: dvy 1 dvx У1 вдоль характеристик второго семейства: dv., 1 A0.1) dvx У\ Рассмотрим, кроме плоскости (л:, у), которая вся покрыта линиями характеристик у —^(х) и у =-у<2,{х), плоскость компонентов ско- скоростей (vx, vy). Мы имеем дело со сверхзвуковыми скоростями, значит, в этой плоскости мы должны рассмотреть точки, лежащие вне круга v-=at. С другой стороны, мы знаем (§ 8), что скорость движения газа Таким образом, интересующие нас точки плоскости (vl, vy) все рас- положены в кольце между окружностями v = at и v = 1/ ——у at. Предположим, чго мы перемещаемся вдоль характеристики у —у,(х) в плоскости (х, у). В плоскости {vx, Vy) мы будем перемещаться
§ 10] ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ »>«ф 51 при этом, вообще говоря, вдоль некоторой линии. Эту линию на- назовём характеристикой первого семейства в плоскости (vx, v ). На этой линии должно быть выполнено всюду соотношение A0.1). Аналогичное построение повторим для характеристик второго семей- семейства. Через точку М плоскости (л:, у) проведём элементы характе- характеристик первого и второго семейства. Пусть точке М отвечает точка М' плоскости (vx, vy) (координаты точки М' суть компоненты скорости в точке М). Равенство A0.2) показывает тогда, что касательная к характеристике первого семейства, проходящей в плоскости (л:, у) через М, будет нормальна к характеристике второго семейства, проходящей через соответствующую точку М' в плоскости {vx, vy) (ось Ох параллельна оси vx)\ также, по A0.1), касательная к харак- характеристике второго семейства в (л:, у) будет параллельна нормали к характеристике первого семейства в (vx, vy). Характеристики в плоскости (л:, у) будут иметь в различных задачах газовой динамики различную форму. Напротив, характе- характеристики в плоскости (vx, vy) будут для всех безвихревых задач иметь всегда один и тот же вид, так что мы можем их рассчитать раз и навсегда. Действительно, из уравнения (ЮЛ), например, вследствие (9.14), следует, что dv., v\ — а2 у dvx vxvy — а yv* — a2 т. е., так как а1 выражается только через vx-\-v2 и правая часть, таким образом, зависит только от vx, v , но не зависит явно от х, у, то мы имеем для определения характеристики первого семейства в плоскости (vx, vy) обыкновенное дифференциальное уравнение. Для интеграции этого уравнения удобно обратиться в плоскости (vx, vy) к полярным координатам v, C, уже введённым нами по формулам (9.20). Именно, (9.24) даст нам для безвихревого случая (& = const.) просто ^v = 0, A0.3) и так как cfga зависит исключительно от г» (вернее, от отношения v/aj, то переменные разделены, и достаточно выполнить квадратуру. Вследствие (9.22), имеем: иг)
52 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I так что Р=± (—У • 1 d — a» — 1 / у —(-const. Квадратура легко выполняется, и мы получим V T—rarct§ 1/ ТТЛ/ z-Л- V x-1 ^|/ x+1 у al-^v /т^—i 1—^i^ + const. A0.5) Уравнения A0.5) представляют два (соответственно двум знакам правой части) семейства линий, зависящих каждое от одного пара- параметра. Все эти линии располагаются в кольце Нетрудно убедиться, что это—эпициклоиды, которые можно получить, следя за движением точек окружности радиуса катящейся по кругу v = at. Мы приходим к важному результату: характеристики в плоскости (vx, vy) представляются в случае без- безвихревой задачи всегда в виде эпициклоид. Равенство A0.5) может быть ещё записано, если ввести вместо v угол а по A0.4), так: агс^ const- Для удобства дальнейших вычислений мы будем писать для харак- характеристики первого семейства а для второго' A0.7)
§ Ю] ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ v > af 53 где X и и. — постоянные, а о/а* ¦ (л_\- [л/ (д*) J г '-щи V Через каждую точку М' плоскости (vx, vy) (в кольце a^ ^ 1/ _. a^j проходит одна эпициклоида первого семейства и одна второго семейства. При этом, по A0.7), разность соответствующих значений постоянных [х — X будет в точности равна полярному углу В точки (vx, vy): т. е. будет сохраняться на всём радиусе-векторе, проходящем через М'\ а сумма значений \ и ц будет т. е. сохраняется на всём круге с центром в начале (проходящем через М'). На прилагаемой таблице I мы даём значения числа S{vla^) = = 1000—180/тс-С, начиная от 1000 вниз через 1, и рядом соответ- соответствующие значения а в градусах и значения величин pjpu, via, vja^ и ?Ф*?*- В плоскости (х, у) направление обеих характеристик, проходя- проходящих через точку М, можно узнать по формулам (9.13), (9.14), если известны vx и vy в этой точке М. Если, однако, наши эпициклоиды уже заготовлены, то, зная vx, vy, можно найти направления у[, у'2, не производя вычислений по формулам (9.13) и (9.14). В самом деле, достаточно вспомнить, что элементы эпициклоид, проходящих через М' (с данными vx и vy), нормальны к элементам характери- характеристик противоположных номеров, проходящих через М; таким образом, чтобы построить, например, направление характеристики первого се- семейства в точке М, надо провести через М линию, перпендикулярную
54 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t S 1000 999 998 997 996 995 994 993 992 991 990 989 988 987 986 985 984 983 982 981 980 979 978 977 976 975 974 973 а 90,00 67,28 61,96 58,18 55,12 52,66 50,58 48,70 47,07 45,54 44,16 42,84 41,62 40,51 39,48 38,47 37,53 36,67 35,82 35,02 34,26 33,51 32,80 32,10 31,45 30,80 30,19 29,58 р Ро 0,527 0,477 0,449 0,424 0,401 0,381 0,363 0,345 0,329 0,313 0,298 0,284 0,270 0,257 0,245 0,233 0,221 0,210 0,199 0,189 0,179 0,170 0,161 0,153 0,145 0,137 0,130 0,123 via 1,000 1,084 1,133 1,178 1,220 1,258 1,295 1,332 1,366 1,401 1,435 1,470 1,505 1,539 1,572 1,608 1,641 1,675 1,710 1,744 1,779 1,815 1,850 1,884 1,918 1,954 1,989 2,025 v/a 1,000 1,068 1,107 1,141 1,173 1,201 1,227 1,253 1,276 1,299 1,322 1,344 1,666 1,387 1,407 1,428 1,448 1,467 1,486 1,504 1,523 1,541 1,559 1,576 1,592 1,609 1,625 1,641 1,000 0,994 0,986 0,976 0,965 0,953 0,940 0,926 0,912 0,897 0,882 0,865 0,849 0,832 0,815 0,797 0,779 0,762 0,743 0,725 0,707 0,689 0,670 0,653 0,635 0,617 0,600 0,582 5 972 971 970 969 968 967 966 965 964 963 962 961 960 959 958 957 956 955 954 953 952 951 950 949 948 947 946 870,68 28,98 28,42 27,88 27,34 26,82 26,32 25,80 25,33 24,87 24,42 23,98 23,54 23,12 22,70 22,29 21,89 21,49 21,11 20,73 20,37 20,00 19,64 19,29 18,93 18,59 18,26 17,97 0,00 р Рч 0,116 0,110 0,104 0,097 0,092 0,086 0,080 0,075 0,071 0,066 0,062 0,058 0,054 0,051 0,047 0,044 0,041 0,038 0,036 0,033 0,031 0,029 0,027 0,025 0,023 0,021 0,019 0,000 via 2,062 2,098 2,135 2,174 2,214 2,251 2,296 2,339 2,378 2,422 2,466 2,508 2,550 2,595 2,640 2,689 2,734 2,778 2,826 2,873 2,920 2,968 3,021 3,074 3,131 3,188 3,350 со Таб л 14 а 1,657 1,673 1,688 1,704 1,720 1,735 1,752 1,767 1,781 1,795 1,810 1,824 1,837 1,851 1,864 1,878 1,891 1,903 1,917 1,928 1,939 1,951 1,963 1,975 1,987 1,999 2,012 2,437 и ца ] 0,564 0,547 0,530 0,512 0,494 0,477 0,459 0,442 0,426 0,410 0,394 0,379 0,364 0,349 0,335 0,320 0,306 0,294 0,281 0,269 0,257 0,246 0,234 0,222 0,211 0,200 0,188 0,000 к касательной к проходящей через М' эпициклоиде второго се- семейства (оси х и vr всегда параллельны). На рис. 7 изображен кусок плоскости (vx, vy) (сектор в 70° круга радиуса у —Ц- а с центром в начале координат), на кото- ром нанесены попадающие туда части эпициклоид первого и второго семейств и некоторые круги 5 = const. Если в A0.7) ввести вместо С число 5, мы получим = 1000— Мх = ЮО), 5 — р° = 1000 — ^f- [х = 2 (tj — 100) ф° — в градусах), где ? и tj — новые постоянные, заменяющие 1и ц, На рис. 7 эпициклоиде первого семейства, проходящей через точку v = at E=1000), [Зо = 0 (на рисунке надписаны значения tj— ?,
10] ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ v > a 55 а не C), соответствует ij = 400, эпициклоиде второго семейства, про- проходящей через ту же точку, отвечает tj=600. Эпициклоиды прове- проведены для ? = 400; 401; 402;...; для ? = 399; 398;..., для Рис 7. у — 600; 601; . . .; ^ 5^=1000, 990, 980 . 599; 598; . . . Круги 5= const, проведены для .. Заметим, что в каждой точке = 6 + 1). р° = ? —т)+200.
56 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I Покажем теперь, как при помощи характеристик можно числен- численным образом определить поле скоростей и давление во всех точках плоскости (л:, у) в отдельных задачах газовой динамики. § 11. Использование характеристик для решения плоской безвихревой задачи при w>at. Мы увидим, что любой случай движения газа со сверхзвуковой скоростью и при отсутствии Рис 8. Рис 9. сильного разрыва мы сможем изучить, если научимся решать следую- следующие четыре задачи: Задача 1. Поле скоростей [т. е. vx(x, у) и v (х, у)] задано в плоскости (х, у) на дуге АВ некоторой линии L (рис. 8), не являю- являющейся характеристикой. Определить vx и vv во всех точках обла- сти, ограниченной дугой АВ и двумя характеристиками (разных семейств), вы- выходящими из точек А и В (рис. 8) (в не- некотором криволинейном треугольнике). Задача 2. Поле скоростей известно на дугах АВ и АС двух характеристик разных семейств, выходящих из точки А. Найти vx и vy в области, ограниченной этими дугами и дугами BD и CD ха- характеристик разных семейств, выходящих из В и С (рис. 9). Задача 3. Поле скоростей задано на дуге АВ характеристики какого-либо семейства, причём известно, что точка А лежит на твёр- дой стенке'). Найти vx и v в области, ограниченной АВ, твёрдой стенкой АС и характеристикой ВС другого семейства, выходящей из точки В (рис. 10). Рис. 10. ') Направление последней в А таково, что вторая характеристика, про- проходящая через А, пойдет «внутри» стенки.
Ill ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ v > a 57 О Задача 4. То же, чго и в 3, но вместо стенки АС речь идет о свободной поверхности АС, форма которой заранее, конечно, не- неизвестна (рис. 11). Заметим, что в задаче 1 нам за- дана линия АВ, отрезки же характе- характеристик DC и ВС заранее неизвестны. Напротив, в задаче 2 характеристики АВ и АС считаются заранее известными (неизвестны АВ и CD), в задаче 3 ха- характеристика АВ и контур считаются заданными, наконец, в задаче 4 дана дуга АВ характеристики, а свободная поверхность неизвестна, так же как и ВС. Чтобы приближённо решить задачу 1, поместим на дуге АВ густой ряд точек Мх, М2 Мп (рис. 12). Так как значения (vx, vy) на АВ известны, то в каждой из точек A, v Mv M2, . . ., Мп, В мы можем построить у отрезки прямых по направлениям касагель- Рис. 13. ных к обеим характеристикам по формулам (9.13) и (9.14). Прове- Проведенные нами отрезки прямых приближённо примем за элементы самих характеристик, выходящих из А, Мх В; в точке А нам доста- достаточно построить лишь элемент характеристики АС (пусть это будет характеристика второго семейства), а в точке В — элемент ВС (первого семейства). Пусть элементы характеристик разных семейств, проведенные из соседних точек дуги АВ, пересекаю 1ся в точках Nv
58 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I N2, . • • (например, N2 есть пересечение элемента характеристики второго семейства, выходящей из Mv и характеристики первого семейства, выходящей из М2). Чтобы найти vx, vy в точках Nv N2 рассуждаем так. Отметим скорости vx и vy точек А, Мх, ..., В в плоскости (г»л, vy); пусть это будут точки А'', м[, .. ., В' (рис. 13). Перемещаясь и плоскости (л;, у) по характеристике второго семей- семейства из точки А, мы будем в плоскости (vx, vy) двигаться по эпи- эпициклоиде второго семейства, проходящей через А'; перемещаясь же вдоль характеристики первого семейства из Ж,, мы пойдём по пло- плоскости (vx, vy) вдоль эпициклоиды первого семейства, выходящей из Мь Обе нужные нам эпициклоиды могут быть заранее нарисо- ьаны, поэтому точка их пересечения N\ (рис. 13) может быть сразу найдена хотя бы графически. Совершенно очевидно, что коорди- координаты vx и vy точки Ni и дадут скорости vx и vy в точке Nv Ана- Аналогичным образом мы найдём скорости точек N2 и т. д. Ниже мы укажем на очень удобный прием графического определения скоро- скоростей vx, vy в этих точках. Теперь мы можем взять за отправную сеть ряд точек Nv N2, ¦. . и рассуждать по отношению к ним так же, как мы рассуждали о точках A, Mv ..., Мп, В. Именно в Nv N2, ... скорости уже известны; значит, можно во всех этих точках построить характери- характеристики обоих семейств [по формулам (9.13), (9.14) или как нормали к эпициклоидам плоскости (vv, vy)\ до пересечения их в точках Рх, Р2, Р3> • • •'< скорости же в этих точках найдутся как координаты точек пересечения эпициклоид, проходящих через точки N\, N2, ¦ ¦ . соответственно. Так постепенно мы заполним весь криволинейный треугольник, о котором идёт речь в задаче 1. Линии АС и ВС, неизвестные вначале, построятся при этом сами собой (приближённо, как ломаные, а не как плавные кривые; это же относится ко всем характеристикам). Таким образом, в густой сетке точек (густота эта будет зависеть от густоты точек Мь М2 Мп на АВ) нашего «треугольника» мы будем знать скорости. Линии тока определить теперь легко, если вспомнить, что скорости направлены по биссек- биссектрисам углов между характеристиками, а последние по самому по- построению нам везде известны. Давление находится по уравнению Бернулли. Задача 1 решена. Решение задачи 2 принципиально не отличается от решения задачи 1. Поместим на характеристике АВ густой ряд точек Мх, М2, . . ., Мп, а на характеристике АС густой ряд точек Nv N2, ¦¦¦, Nn- Во всех этих точках скорости vx, vy нам заданы. Через точки Mv М2, . . . проведём затем элементы характеристик
§ II] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ v > а 59 второго семейства (считаем, что АВ— характеристика первого семей- семейства), а через точки Nv N2, ... — отрезки характеристик первого семейства (рис. 14). Пусть пересечением характеристики первого семейства, вышедшей из N{, и характеристики второго семейства, вышедшей из Мх, будет точка Р1. Чтобы найти скорость в Pv замечаем, что перемещение вдоль характеристики A/,Pj означает передвижение в плоскости (vx, vy) вдоль некоторой эпициклоиды первого семейства, выходящей из точки N\ с координатами, равными компонентам скорости в точке Nl, а перемещение вдоль М1Р1 означает передвижение по эпициклоиде второго семейства от точки М.'х с Рис. 14. Рис. 15. координатами — компонентами скорости в точке Му Точка пересече- пересечения Р[ (рис. 15) упомянутых эпициклоид и даст компоненты ско- скорости в Pj. Зная скорости в точке Рх, можем провести через эту точку обе характеристики до пересечения с элементами характери- характеристик первого и второго семейства, выходящих из N2 и из М2 соответственно. Получим точки Р2 и Р3. Чтобы найти скорость в Р2, рассуждаем совершенно так же, как это делали при рассмотрении точки Pj, только роль прежней точки А будет теперь играть точка Nv роль точки Мх будет играть Pv а на место точки Nx придётся ставить N2. Аналогично можно сказать про точку Р3. Продолжая построение далее, покроем постепенно весь криволинейный четырёх- четырёхугольник, о котором идёт речь в задаче 2, сеткой характеристик; на пересечениях последних мы будем знать всюду vx и vy. Линии тока поведутся затем как биссектрисы между касательными к харак- характеристикам, а давление найдётся из уравнения Бернулли. Задача будет решена. Отметим, что все заданные точки А , N\, N2, ¦ ¦ ¦ располо- расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, точки же А , Мг, М2, . . . лягут на одну и ту же эпициклоиду первого семей- семейства. Обе эти эпициклоиды выходят из А'.
60 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Переходим к решению задачи 3. Пусть дуга АВ есть дуга задан- заданной характеристики первого семейства. Нанесём на ней ряд точек Мх, М2, ¦ . ¦ (рис. 16). Так как скорости везде на АВ нам известны, мы можем в каждой из точек Mv М2, ¦ ¦. построить элементы характеристик второго семейства [хотя бы по формуле (9.14)]. Про- Проделаем это построение. Характеристику второго семейства, прохо- проходящую через vWj, доведём до пересечения в точке N: с заданной нам стенкой. Теперь мы можем опреде- определить скорость в точке Nv В самом деле, направление скорости там известно — это направление стенки. Проведём в пло- плоскости (vx, vy) радиус-вектор под углом, Рис. 16. Рис. 17. равным углу между направлением касательной в Nx к контуру и осью Ох. Где-то на этом радиусе-векторе нам надо будет искать точку, координаты которой vx, vy дадут скорости в точке Л^. С другой стороны, точка N1 лежит на характеристике второго се- семейства, выходящей из точки Mt. Пусть точке Мх отвечает в пло- плоскости (vx, vy) точка М{ (рис. 17). Проводя через М[ эпициклоиду второго семейства до пересечения с упомянутым выше радиусом- вектором, мы встретим последний в точке Ni, которая, очевидно, и будет иметь в качестве координат скорости vx, vy в точке Л^,. Зная скорости в Nv построим в плоскости (х, у) характеристику первого семейства NXN2 до пересечения N2 с характеристикой вто- второго семейства M2N2, выходящей из М2. Скорости в N2 найдутся как координаты точки vx, vy пересечения эпициклоиды первого семейства, проходящей через N\, и эпициклоиды второго семейства, идущей через М2. Проведём из N2 обе характеристики, причём характеристику первого семейства доведём до пересечения /V3 с харак-
§11] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ и > а^ 61 теристикой второго семейства, выходящей из vW3, а характеристику второго семейства, выходящую из N2, проведём до пересечения с контуром (пусть это будет точка Рх). Скорость в /V3 находится аналогично тому, как находилась скорость в N2; чтобы найти ско- скорость в Р1? замечаем, что направление скорости там известно (так же как было известно направление скорости в NJ, и построим радиус- вектор с этим направлением в плоскости {vK, vy)\ пересечение Р\ этого радиуса-вектора с эпициклоидой второго семейства, проходя- проходящей через A^2> и даст нам искомую скорость в Pv Зная скорость в Р, и в Л/g, проводим там характеристики и т. д. Задача наша будет решена. Обратим внимание на один очень важный частный случай за- задачи 3. Предположим, что нам известно, что вдоль характеристики АВ скорости имеют всюду одну и ту же постоянную величину и направление. Случай этот представится, например, в задаче обте- обтекания профиля безграничным потоком, имеющим постоянную вели- величину и направление скорости. В самом деле, пусть профиль этот начинается от точки А (рис. 16), причём безграничный поток набе- набегает на него слева со скоростью, параллельной оси Ох. Тогда вдоль характеристики АВ (точка В может быть взята на бесконечности) совершается переход от режима прямолинейного набегания на контур к режиму обтекания контура. Вдоль характеристики АВ происходит «склеивание» двух различных движений {АВ как характеристика мо- может быть такой линией слабого разрыва), и на всей АВ скорость постоянна по величине и направлению и равна скорости набегаю- набегающего потока. Отметим попутно, что в таком случае линия АВ будет прямая. Действительно, тангенс наклона у'х вдоль этой кривой, вы- выражающийся при помощи формулы (9.13), будет всюду один и тот же, так как правая часть (9.13) состоит лишь из компонентов скоростей, а они считаются постоянными вдоль АВ. Итак, пусть вдоль АВ всюду $ = $v a v = vv Обратим внима- внимание на характеристики второго семейства M1N1 и др. Вдоль них будет, согласно формуле A0.7), где р. — различные постоянные, характеризующие отдельные харак- характеристики семейства. Найдём jx для характеристики MXNV Послед- Последняя пересекается с АВ в точке Мг; здесь P = Pi и v^=vlt
62 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I следовательно, должно быть и уравнение, связывающее о и р вдоль MlN1, будет иметь вид: Но вдоль М2Рг будет выполняться в точности то же соотношение, ибо М2 лежит на АВ, а там г> = г>1 и C=Pi, так что и для этой линии должно быть выполнено A1.1). Таким образом, в нашем слу- случае скорость v и угол р во всех точках, лежащих между контуром и характеристикой АВ, будут связаны соотношением A1.1) с одной и той же константой \х, в то время как в общем случае постоянная будет меняться от характеристики к характеристике. Соотношение A1.1) играет здесь роль дополнительного конечного соотношения, связывающего компоненты скоростей (vx и г/у могут быть выражены через v и {)). Пользуясь этим соотношением, мы можем привести задачу к решению лишь одного уравнения в част- частных производных первого порядка с одной искомой функцией (на- (напомним, что в общем случае мы имеем систему двух уравнений с двумя функциями), т. е., в конечном счёте, к обыкновенным диф- дифференциальным уравнениям. Чтобы получить это единственное урав- уравнение, напишем, например, условие отсутствия вихря, выражая vx и vy через v и [3: dv sin р dv cos р __ 0 П121 дх ду ' ' ' Помня, что теперь v и р! связаны соотношением A1.1), мы можем, далее, выполнить дифференцирование и написать или, так как по A0.3) dy -^= (мы имеем дело с характеристикой второго семейства), где а — угол Маха, мы можем написать, после простых преобразований: -gr + tg(P+a)-|-=:O (Ц.З) [здесь a — функция v по (9.22), а v — функция от pi по A1.1)]. Это уравнение в частных производных первого порядка интегри- интегрируется и даёт: $ F(y tg(pH-a)x), (П.4) где F — произвольная функция своего аргумента, каковая может
§ II] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ и > а 63 быть определена, если задан контур АС; достаточно написать, что на данной линии АС ф есть данная функция от координат х и у. Итак, если отрезок АВ характеристики в задаче 3 есть прямая линия, то движение внутри треугольника ABC может быть найдено совершенно точно. Стоит только после того, как F из (П.4) известна, решить (П.4) относительно C; мы по- получим р, а затем по A1.1) и v в функ- функциях от х и у. Мы еще не раз вернёмся к этому вопросу. < Mi N. ^-— *% \ -C "Pi В Рис. 18. Рис. 19. Перейдем к решению задачи 4. Пусть скорости заданы вдоль некото- некоторой дуги АВ характеристики, например второго семейства, и пусть из- известно, что А лежит на свободной границе потока. Надо найти форму свободной поверхности АС и движение между АС, АВ и отрезком ВС характеристики первого семейства, проходящей через В (рис. 18). Нанесём на АВ ряд точек Мх, М2, . .. Проведём через точку А элемент прямой, направленной вдоль известной в точке А скорости; этот элемент примем за элемент свободной поверхности, проходящей через А. Проведём затем через М1 характеристику первого семейства до пересечения с этим элементом в точке Nv На свободной поверхности величина давления р будет всюду одна и та же (это определение свободной поверхности), значит, величина v скорости всех точек свободной поверхности, по уравнению Бернулли, будет всюду одинакова. Построим поэтому в плоскости (vx, vy) круг радиуса v = vv где vx — именно это постоянное значение. Чтобы определить направление скорости точки Nv достаточно будет теперь, так как N1 лежит на свободной поверхности, найти в пло- плоскости {vx, vy) точку пересечения N[ эпициклоиды первого семейства, идущей из точки M'v координаты которой суть известные компо- компоненты скорости точки Mv с окружностью v = vt (рис. 19). Определив
64 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I скорость в точке Nv построим продолжение свободной поверхности как отрезок прямой, направленной вдоль этой скорости, затем из Л^ проведём элемент характеристики второго семейства до пересечения в точке N2 с элементом характеристики первого семейства, идущей из М2. Скорость N2 найдётся как точка пересечения эпициклоиды первого семейства, проходящей через М'2 (изображение М2 в пло- плоскости {vx, Vy)\, и эпициклоиды второго семейства, идущей через Nj, Зная скорость в N2, проводим характеристику первого семейства до пересечения с элементом свободной поверхности в точке Р1 и т. д. Задача будет решена. Прежде чем приступить к приложениям к конкретным задачам газовой динамики, скажем несколько слов об оценке погрешности излагаемого здесь метода. Нетрудно убедиться, что решение всех наших четырёх задач основано на умении пользоваться следующими двумя операциями,—назовём их А и Б. Операция А. Даны скорости vx и vy в двух соседних точках М1 и М2 плоскости (х, у). Найги скорость в точке N пересечения ха- характеристик разных семейств, выходящих из Мх и М2 соответ- соответственно. Чтобы проделать эту операцию, достаточно найти точку пересечения эпициклоид разных семейств, выходящих из М[ и М'2 [точки плоскости (vx, vy), координаты коих сугь заданные компо- компоненты скоростей точек Мх и М2 соответственно]. Операция Б. Скорость в точке М плоскости (х, у) известна. Дана линия L, не являющаяся характеристикой (точка М лежит вблизи неё) и такая, что на ней мы знаем направление (или вели- величину) скорости. Найти величину (или направление) скорости в точке N встречи характеристики MN, идущей из М, с линией L. Здесь до- достаточно в плоскости (vx, v ) разыскать точку М' с координатами, равными данным в точке М значениям vx и vy, и провести через М' эпициклоиду до пересечения с радиусом-вектором, параллельным направлению скорости в N' (или до пересечения с кругом, отве- отвечающим известной величине скорости в N'). Для примера рассмотрим подробнее операцию А. Точно мы можем провести лишь половину этой операции: мы можем найги точку N'', т. е. скорость в точке N; положение последней точки нам, однако, неизвестно, ибо вид характеристик в плоскости (х, у) заранее неиз- неизвестен. Мы можем, однако, построить отрезки касательных к ха- характеристикам в точках М1 и М2 [по формулам (9.13) и (9.14)]. Эти отрезки мы и принимаем приближённо за характеристики MlN и M2N (рис. 20). Пересечение этих отрезков даст точку N*, а не N, но мы можем в случае одно-однозначной зависимости между vx, vy и х, у заключить каждую из кирволинейных дуг характеристик в некий угол и таким образом оценить погрешность, получающуюся оттого, что вместо N мы взяли N'. Для этого, пользуясь упомяну-
11J ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК. ПРИ v : 65 той однозначной зависимостью, надо лишь доказать, что делается без особого труда (см. уравнения эпициклоид), что наклон каса- касательной к характеристике монотонно меняется вдоль соответствую- соответствующего участка характеристики; если это так, то, провгдя чергз Мх отрезок прямой MXN \ параллельный направлению касательной к одной аз характеристик в N [это направление мы можем вы- вычислить заранее, хотя положение точки N в плоскости (х, у) неиз- неизвестно, совершенно точно, используя (9.13) или (9.14) и найденную точно точку N'], а через М2— у отрезок A\2N \ параллельный Рис. 20. Рис. 21. касательной к другой характеристике в N, мы можем утверждать, что криволинейная дуга M1N характеристики лежит вся внутри угла /_ N'MXM'*, а дуга M2N— внутри угла /_N"M2N''*\ Таким образом, точность вычисления зависит лишь от близости точек Мх и М2. Решение всех приведённых здесь задач производится при помощи по- построения в плоское 1 и (х, у) характеристик обоих семейств, проходящих через точки, в коих скорости известны. Мы ссылались при этом всё время на формулы (9.13) и (9.14), позволяющие всегда проделать расчёт направле- направлении ух или у2- Хотя этот расчёт и элементарен, он требует всё же непри- неприятных выкладок — извлечения корней и т. п. Буземан дал графический приём быстрого определения направления характеристик в плоскости (х, у) (в тех точках, где скорости уже известны). Пусть скорость точки М (х, у) плоскости {х, у) будет V (vx, v y). Отметим в плоскости точку м (vx< vy) с соответствующими координатами и проведём через М' эллипс с центром в начале и с полуосями, равными о, и V ^4 а* соответ- ственно. Легко видеть, что таких эллипсов будет, вообще говоря, два (рис. 21). Покажем, что большие оси этих эллипсов окажутся как раз па- параллельными характеристикам, проходящим в плоскости (х, у) через точку М (оси Ох и vx всегда параллельны). Чтобы доказать это, представим себе, что вектор скорости V точки М разложен на две составляющие: VT по ка- касательной к характеристике (например, первого семейства), проходящей в плоскости (х, у) через М, и Vn — no нормали к этой характеристике 5 Теоретическая гидромеханике, ч. II
66 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I в плоскости (х, у). Мы знаем, что I Vn I = a. Обратимся к уравнению Бернулли (8.7) и заменим в нём а2 на V\ , a v2 на V2n + V2.. Тогда, собирая члены при v\ и V2n и деля на -У". . , I (х — 1) получим соотношение V2 V2 7ТО + ^=Й- (И.5) ±1 — 1 Спроектируем теперь радиус-вектор ОМ' = | V \ на большую ось одного из проведённых нами эллипсов и на перпендикуляр к ней. Пусть первая про- проекция будет vv а вторая vn. Тогда по самому построению эллипсов будет = 1. Так как, с другой стороны, для точки М' имеем V2 = v2n + v\, то ве- 2 2 личины vn и vx удовлетворяют тем же двум линейным уравнениям, что и величины Vп и Vx, и поэтому можно положить vx=,Vv vn=Vn. Следовательно, направление большой оси нашего эллипса будет совпадать с направлением характеристики, идущей через М, а направление малой оси — с направлением нормали к этой характеристике. Изложенный здесь способ построения характеристик в плоскости (х, у) годится, естественным образом, не только для безвихревого, но и для ви- вихревого случая, ибо он основывается на равенстве | Vn \ = а, одинаково справедливом в обоих этих случаях. Эллипс, о котором здесь идёт речь (назовём его эллипсом Буземана), может быть заготовлен раз навсегда на прозрачной бумаге (или на целлу- целлулоиде); совместив его центр с началом координат, будем поворачивать его вокруг начала до тех пор, пока точка М', дающая в плоскости (vx, vy) скорости точки М, не окажется на эллипсе; нам останется тогда лишь снести направление большой оси эллипса в этом его положении на пло- плоскость (х, у) — направление характеристики, проходящей через М, будет найдено. Направление второй характеристики найдётся как направление большой оси второго возможного положения эллипса. Эллипс Буземана позволяет построить также и характеристики в пло- плоскости (vx, vy), т. е. эпициклоиды. В самом деле, мы видели [формулы A0.1), A0.2)], что характеристики плоскости (vx, vy) (эпициклоиды) будут ортого- ортогональны к характеристикам (другого номера) плоскости (х, у). Направление большой оси эллипса Буземана совпадает с направлением характеристики в плоскости (х, у) — значит, направление малой его оси (ортогональной к большой оси) будет совпадать с направлением эпициклоиды (другого се- семейства). Поэтому, чтобы построить элемент эпициклоиды, проходящей через М', нам достаточно провести через М' эллипс Буземана и затем по- построить элементарный отрезок, выходящий из М' и параллельный малой оси эллипса (рис. 22). Вторая эпициклоида найдётся при построении вто-
ш ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ и > а 67 рого возможного положения эллипса. Отсюда получаем способ построения всех эпициклоид плоскости (vx, vy) при помощи эллипса Буземана. Поме- Поместим на эллипсе Буземана, находящемся в произвольном положении, ряд точек и проведём через эти точки отрезки, параллельные малой оси эл- эллипса (рис. 22); повернём затем эллипс на малый угол и, отметив точки пересечения его с малыми отрезками, построим в этих точках новые эле- элементарные отрезки, параллельные новому положению малой оси эллипса. Продолжая построение дальше (причём вращать эллипс придётся как по, так и против часовой стрелки), заполним всё кольцо —=• аф эпициклоидами. Способ использования характеристик для приближённого решения плоских безвихревых задач при v > а„, изложенный в этом па- параграфе, был приспособлен для ручного счета и широко применялся до появления быстро- быстродействующих электронных вычислительных машин. Для вычислений с помощью электронных машин способ этот неудобен тем, что в расчёт входят тригонометрические функции (это за- заставляет обращаться к большому числу под- подпрограмм и требует много машинного времени). В самом деле, рассмотрим, например, вновь операцию А. Вдоль характеристик выполняются соотношения (9.23) и A0.3). Это значит, что мы можем написать в точке М2 (рис. 20) для характеристики 1-го семейства: Рис. 22. где постановка индекса 2 означает, что соответствующая функция взята в точке М2. С другой стороны, в Мх имеем для характери- характеристики 2-го семейства: (индекс 1 относится к значениям в точке Мх). Заменяя производные конечными разностями (это фактически мы все время и делали), мы найдём координаты (х*, /) точки пересечения наших характеристик из соотношений: A1.7) A1.8) A1.9) В то же время по A0.3) имеем: 5*
68 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 где Р", т>1 — значения этих функций в точке М*. Таким образом, х*, у*, р\ v* определяются из системы линейных уравнений (П.6) — A1 9), а коэффициенты этой системы содержат тригонометрические функции. Элсрсх) предложил приспособить расчёты с помощью характе- характеристик для электронных вычислительных машин следующим обра- образом В качестве искомых величин следует принять не а и C (г;, C), а две новые величины T = ctga, 8=tgp. A1.10) В этих новых величинах соотношения на характеристиках (9.23) примут вид: dy = ^dx. A1.11) В то же время по (9.22) ai х — 1 2 1 v2 x -f 1 у- + 1 1 + T2 ' так что, после элементарных выкладок, мы получим dv 1 ,, / ах \2 — = ~ Т rf 1п ПГ ) = 1 и й?р =v-y-pu?o. Поэтому A0.3) запишется в следующем виде: 1 у2 dy Коэффициенты в A1.11), A1.12) — алгебраические функции. Сам расчет следует проводить итерациями. Именно, если для сокращения письма ввести обозначения: iB -L 1 76-1-1 , 7-5 то мы можем написать (рассматриваем операцию А) в первом при- приближении У* — у2 — Ч (х* — х2); у' - у, — Ьх (х' — л-,), (о* — 32) Е2 = (-{*— 72)^2' (^ — Ь\)Е\~ G —1\}Р\ !) Е h i e r s, The method of characteristics tor iboenergetic supersonic flows adapted for high-speed digital computers, J. Soc. Ind. a. Appl. Math. 7, 1959.
§ 12] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 69 или, решая эти уравнения относительно х\ у*, 5*, f*: Л (Ь2Е2 - ExF, т == ¦ F, A1.14) После того как первое приближение построено, надо перейти ко второму приближению, вычислив значения a*, b*, E*, F* (по пер- первому приближению) и вставив в формулы A1.13), A1.14) вместо а2, bv F —U F* ?2> Z7!, /^2 величины аг-\-а* F -4— —2 • —о соответственно. Таким образом, получим новые значения х, у, о, -[ — второе приближение. Этот процесс нужно повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. На протяжении этого параграфа мы говорили несколько раз относительно ограничений, при которых наши рассуждения были справедливы. Так, например, мы считали, что в участках, нас инте- интересующих, не возникало поверхности сильного разрыва, мы предпо- предполагали одно-однозначное отображение плоскости (х, у) на плоскость (vx, vy) (что существенно было при оценке погрешности приближён- приближённого метода). В § 20, где мы будем говорить о движениях, про- происходящих в одной части плоскости с дозвуковыми скоростями, в другой — со сверхзвуковыми скоростями, мы вернёмся, следуя Христиановичу, к детальному и строгому обследованию всех случаев, которые могут представиться в сверхзвуковом поле; а сейчас перейдём к конкретному рассмотрению отдельных простых примеров. § 12. Движение газа вне выпуклой поверхности. Обтекание угла, большего чем я. Выход из отверстия. Движение внутри трубы. Сопло Лаваля. Рассмотрим некоторые движения со сверх- сверхзвуковыми скоростями.Предпола- скоростями.Предполагаем, как в предыдущем пункте, отсутствие сильных разрывов. Начнём с задачи о движении газа вокруг искривлённого контура, выпуклость которого всегда на- направлена в сторону газа. Пред- \^\\\\\\\\\-л положим, что контур предста- представляется при х < 0 в виде отрица- отрицательной оси Ох, а при х > 0 — в виде кривой, лежащей «под» осью положительных х-ов и так, что касательная к этой кривой меняется непрерывно и в точке О совпа- совпадает с осью Ох (рис. 23). Вдоль оси Оу поток безграничен. Считаем, что поток, бегущий над прямолинейной частью контура, постоянен но величине и направлению и имеет скорость, по величине большую Рис. 23.
70 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. X скорости звука. Пусть в этой области vx — vx > а#; vy = 0. Прове- Проведём характеристику первого семейства через точку О. Характери- Характеристика первого семейства ОА, проходящая в плоскости (х, у) через точку О, будет, как мы уже знаем, прямой линией [всем её точкам будет отвечать в плоскости (vx, vy) одна и только одна точка М'(v1, 0)], значит, во всех её точках у'х будет иметь одно и то же значение. Чтобы найти движение «вправо» от характеристики ОА, напомним, что вследствие постоянства скорости на ОА, по ска- сказанному в предыдущем параграфе (задача 3), мы будем здесь иметь не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но и вообще во всей части плоскости, ограниченной контуром и характеристикой О А. Это значит, что скорости этой части плоскости все расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, проходящей через М''. Проведём эту эпициклоиду. Чтобы найти теперь скорость в какой-либо точке Мх контура, достаточно провести в плоскости (vx, vv) радиус-вектор, параллельный касательной к контуру в точке Мх; пересечение Мх этого радиуса-вектора с проведённой эпициклоидой и даст искомую скорость. Зная М\, мы можем найти направление элемента характеристики первого семейства, выходящей из Мх, в плоскости (х, у). Однако легко видеть, что вся характе- характеристика первого семейства, выходящая из Мх, будет прямой линией, так же как и характеристика ОА. В самом деле, перемещаясь в (х, у) вдоль характеристики 'МХАХ, мы будем пересекать различ- различные характеристики второго семейства (не обозначены на рисунке), но в плоскости {vx, vy) всем этим различным характеристикам отвечает, как мы знаем, одна-единственная эпициклоида второго семейства, проведённая нами через М', скорости вдоль МХАХ най- найдутся поэтому как пересечение эпициклоиды первого семейства, проходящей через Мх, и всегда одной эпициклоиды второго се- семейства, идущей через М', т. е. все скорости вдоль МХАХ будут равны по величине и направлению скорости точки Mv а отсюда и заключаем, что МХАХ есть прямая линия. Таким образом, все характеристики первого семейства в нашей задаче будут прямые лир и i (характеристики второго семейства будут, конечно, криволи- криволинейны). Отметим, что, как в этом легко убедиться из рассмотрения эпициклоиды, выпуклость контура ведёт к тому, что, по мере про- продвижения вдоль контура «вправо», мы будем встречать всё большие
5 12] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 71 и большие значения скорости, причём характеристики первого семейства будут становиться всё менее и менее наклонными к оси Ох. Рассмотрим теперь задачу об обтекании угла. Предположим, что контур при х < 0 совпадает с отрицательной ветвью оси Ох, а при х > 0 имеет уравнение у =— ^ё$ох (Рис- 24); по-прежнему над горизонтальной стенкой и мы можем провести характеристику первого семейства О А, построив предварительно точку М' {vx, 0) в плоскости (vx, v). Далее, начинается обтекание угла, причём поток должен в конечном счёте пойти вдоль стенки ОВ (рис. 24); чтобы найти величину скорости этого нового потока, достаточно найти пере- пересечение N' характеристики второго семейства, проходящей через М', с ра- радиусом-вектором в плоскости (vx, vy), параллельным направлению ОВ. Опреде- Определив N', проведём характеристику перво- первого семейства ОС. Мы можем сказать, что Рис- 24. в угле СОВ поток будет обладать всюду постоянной скоростью, параллельной линии ОВ. Поворот потока со- совершается, таким образом, внутри угла АОС. Пучок прямых, выходящих из О (в том числе ОА и ОС), представит там характеристики первого семейства, причём во всех точках каждой такой прямой, выходящей из О, скорость будет иметь одно и то же значение, легко опреде- определяемое из рассмотрения эпициклоиды второго семейства, проходящей через М'. Движение внутри угла АОС легко построить при помощи (П-4); именно, для обтекания точки будем иметь просто у — xtg$ + a) = 0. A2.l) С другой стороны, по A0.6), в нашем примере будет ^ctga,, A2.2) где а, — угол Маха, отвечающий скорости г/, (когда C равно нулю), т. е. угол между прямой ОА и осью Ох, причём на основании (9.22):
72 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Но A2.1) можно записать так: _a) = -^- = tg6 или р -f- a = б, A2.3) где t) — полярный угол в плоскости (х, у), отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки. Введём еще угол 9:, отсчитываемый по часо- часовой стрелке от некоторой новой полярной оси из условия: 01 = «1 + ]/~йт агс ^ V^\ ctS «i — О- Тогда A2.2) и A2.3) дадут: у ^-i~r arc tg 1/ —j—j- ctg a =9, A2.4) или По этой формуле, вспоминая выражение для ctg a A0.4), можем найти величину скорости на каждом Q -.Q / радиусе-векторе, проходящем через иа- А чало. \ .-'"" / ^^^^^ Уравнения линий тока в полярных координатах будут: dr rdu, к' (г — радиус-вектор, vT — проекция ско- скорости на радиус-вектор; v9 — проек- проекция скорости на перпендикуляр к радиусу-вектору); при этом, так как радиус-вектор есть в то же время характеристика, а угол между скоростью и характеристикой есть а, то и мы можем написать. откуда для линий тока окончательно получим: f где г0—радиус-вектор точки, в которой 9]—0. На рис. 25 сплошными линиями изображены две такие линии тока. Полярная ось расположена в области, в которой происходит
§ 12] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 73 еще прямолинейное движение (Все продолжения линий тока образуют угол тс/2 с осью 6j = 0, ибо при бх = 0 будет по A2 5) а = тс/2.) Найдем еще крайнюю характеристику, после которой начинается обтекание стенки у = — tg уравнению ox Ее угол Маха а2 будет удовлетворять tg а соответствующее 6 найдется по формуле 6 = а2 — р0. В том случае, если стенка у = — ig%x отсутствует и газ выры- вырывается под давлением pv связанным с vl уравнением Бернулли, в среду с давлением р2, причем р2<Срх, поток газа будет поворачиваться и скорость его будет расти до тех пор, пока не станет равной вели- величине %>2, получающейся из уравнения Бернулли при данных & и i0. Тогда для последней характеристики получим значение а = а2 из соотношения (9 21) (а2 — скорость звука при v~v2); sin а„ = v2 При этом угол 01 наклона струи газа после поворота вокруг обтекаемого угла найдется по формуле A2.4) в виде: Наибольшее значение получим, когда газ вырывается в пустоту; здесь а2 = р2 = а2 — 0. °1 — у ^ZT\ ~2 Если р2 > рх или если после угла О (рис. 24) газ должен дви- двигаться вдоль стенки _у ^ tg- $Qx, где тс/2 > C0 > 0, наступает явление сильного разрыва (см. § 13). Рассмотрим задачу об истече- истечении газа из отверстия. Пусть газ вырывается из отверстия (две параллельные прямые), причем скорость движения у места выхода АВ (рис. 26) имеет ком- компоненты Рис 26 vl > ах > 0 (а1 — местная скорость звука). Построив точку М' {vx, 0) в плоскости (vx, Vy) (рис. 27), проведём через А характеристику
74 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Г первого семейства в плоскости (х, у), а через точку В — характери- характеристику второго семейства (рис. 26). В угле ВС А имеем по-прежнему поток с vx = vv vy — 0. Пусть давление в пространстве, в которое выходит газ, будет р2. Построим в плоскости (vx, vy) круг ради- радиуса v2, определяемого из уравнения Бернулли при р = р2. Двигаясь по эпициклоиде второго семейства, проведённой через М!, дойдём до этого круга в точке N' и таким образом узнаем направление скорости после обтекания точки А. Аналогичным образом, привлекая эпициклоиду первого семейства, проходящую через М', найдём скорость Р' около точки В (вообще мы, оче- очевидно, будем иметь симметрию по отношению к оси отверстия). Зная N' и Р', проведём харак- характеристики AD и BE и заполним углы CAD и СВЕ , р'\ пучками характеристик (см. предыдущую задачу). Пусть CD и СЕ будут криволинейные отрезки характеристик второго и первого семейства соот- соответственно, выходящие из С. Из рассмотрения движения в углах мы будем знать эти линии, а также будем знать скорости вдоль них. Поль- Пользуясь способом, изложенным в задаче 2 преды- предыдущего пункта, мы найдём теперь движение в кри- криволинейном четырёхугольнике ECDF [точке F от- отвечает точка Q' плоскости (vx, vy)] (см. рис. 27). Уменье решать задачу 4 нам даст затем возможность найти движение в области ADO (и ВЕН), где DO (и ЕН) — характеристика второго (первого) семейства, проведённая через D (Е), причём попутно мы сможем найти форму свободной поверхности АО (ВН)г). Определив скорости на DO и DF {ЕН и EF), можем, решая задачу 2, найти движение в четырёхугольнике DGKF (FЕНГ), где FK(FJ) — характе- характеристика второго (первого) семейства, выходящая из F, а 0К(Н1) — характеристика первого (второго) семейства, идущая из О (Н). Затем решаем задачу 4 для области GKL{HIM), причём попутно определяем и свободную поверхность (на этот раз криволинейную) и т. д. Мы предоставляем читателю разбор деталей этой задачи. Мы получим здесь, по-видимому, картину периодического сужения и расшире- расширения струи, причём максимальная скорость достигается внутри струи. Картина эта в общем хорошо согласуется с данными экспе- эксперимента. Рассмотрим теперь задачу о движении внутри трубы. Предположим, что в некотором, может быть, криволинейном, сечении трубы АВ поле Рис. 27. ') Легко убедиться, что это будут отрезки прямых, а всё движение — плоскопараллельным потоком со скоростями, равными по величине v2.
12] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 75 Рис. 28 скоростей нам известно (рис. 28). Решаем сначала задачу 1, строя последовательно и поле скоростей и все характеристики (в том числе и крайние характеристики АС и ВС), выходящие из точек отрезка АВ. Между характеристикой АС (ВС) и стенкой решаем задачу 3, в ре- результате чего находим поле скоростей и характеристики (в том числе крайнюю — СЕ (CD)) области АСЕ (BCD). Решаем далее задачу 2 для области ECDF (DF — характеристика первого семейства, иду- идущая через D, EF — характеристика второго семейства, проходящая через Е) и т. д. Большой практический интерес предста- представляет построение так называемого сопла Ла- валя. Здесь речь идёт о получении в трубе, в лабораторной обстановке, сверхзвукового по- потока, который был бы в некоторой области трубы постоянным по величине (заданной зара- заранее) и направлению. Задача эта распадается на две части: во-первых, требуется получить сверхзвуковой поток, во-вторых, надо сделать этот поток равномерным. Получение сверхзвукового потока основы- основывается на том факте, что если мы находимся за пределами крити- критической скорости, то при увеличении скорости трубки тока будут расширяться (в то время как при дозвуковых скоростях трубка тока тем уже, чем больше скорость) (см. § 8 этой главы). Если поэтому нам удастся, всё увеличивая скорость вдоль трубы (путём сужения трубы), достигнуть в некотором сечении трубы критической скорости и если затем мы заставим нашу трубу в направлении потока расширяться, то мы и окажемся в области сверхзвуковых скоростей. Как практи- практически это достигается, мы разберём позже (§ 21), тогда же мы увидим, какого рода трудности здесь встречаются. Сейчас же предполагаем, что, например, А0В0 (рис. 29) есть сечение трубы (ось трубы совпадает с осью Ох), в котором скорости равны крити- о ческой. Плавным расширением добьёмся того, что на оси трубы (последнюю мы считаем симметричной относительно оси Ох) получится нужная нам величина скорости. Предположим при этом, что в нашей трубе не возникло никаких поверхностей сильного разрыва (см. § 21). Пусть нужная нам величина vx скорости получилась в точке А на оси Ох. Теперь попробуем сделать так, чтобы, начиная от некоторого сечения трубы, скорости всех точек были далее направлены вдоль оси трубы и равны в точности vv Нам придётся для этого подо- подобрать форму контура трубы, начиная от некоторой точки. Именно Рис. 29.
76 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ Г обратим внимание на точку В контура трубы, находящуюся на харак- характеристике второго семейства, проходящей через ту точку А оси трубы, в которой мы уже получили нужную нам скорость vv Пусть Mv М2, ¦ ¦ . суть точки пересечения этой характеристики с густой сеткой характеристик первого семейства. В плоскости (vx, vy) точкам В, Mv М2, . . ., А пусть отвечают лежащие на одной и той же эпициклоиде второго семейства точки в!, М\, Л1'2, ..., А' (рис. 30). Мы желаем получить «справа» от А поток, параллельный оси Ох и имеющий повсюду скорость v1. Но тогда характеристика первого семейства, проходящая через А, должна оказаться строго прямолинейной, и направле- направление её известно. Тогда в соответствии с тем, что мы уже говорили при решении задачи 3, и все характеристики первого семейства, выходящие из Мх, М2, ..., также будут строго прямолинейны. Это означает, что скорости всех точек, лежащих на характе- характеристике, идущей из Mv например, будут равны по величине и направлению скорости точки Mv Достаточно поэтому проделать следующее построение: в точке В продол- продолжаем стенку по касательной до пересечения в точке С с характеристикой МХС (прямой). Рис 30. От точки С мы должны затем направить стенку параллельно скорости в Ж, (т. е. параллельно лучу ОМ\,рис. 30) и идти так до пересечения в D с характеристикой M2D; начиная от D, направляем стенку парал- параллельно лучу ОМ<ь и т. д. Так мы дойдём, наконец, до точки Е (рис. 29), после чего контур следует взять паряллельным оси Ох. Заметим, что отношение ширины рабочего сечения трубы к ши- ширине критического сечения мы могли бы получить заранее из условия равенства количества движения в этих обоих сечениях: (F*—ширина критического сечения; р* — критическая плотность; F — ширина сечения с потоком vx; pj — плотность при скорости vj. В таблице на стр. 54 нами были даны значения p^Jp^a^ в функциях от числа давления, или, если угодно, от vja.%. § 13. Движение газа около вогнутой поверхности. Образова- Образование сильного разрыва. Движение внутри угла, меньшего чем я. Обтекание профиля с острой передней частью. Пусть газ движется вдоль контура, который при х < 0 совпадает с осью Ох, а при х > 0
13] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 77 Рис. 31. представляется в виде кривой, угол наклона касательной к которой есть, по крайней мере, в некоторой области около О непрерывная, монотонно возрастающая функция х. Касательная к контуру в точке О совпадает с осью Ох. Поток, бегущий над прямолинейной частью контура, имеет постоянную по величине и направлению сверхзвуковую скорость: vx = vx > a*, vy — 0. Скс- рость эту отметим в плоскости (vv, vy) в виде точки М' оси vx и прове- проведём затем характеристику первого се- семейства через точку О (рис. 31). Эта характеристика будет прямой линией. Прямыми будут также и все остальные характеристики первого семейства, вы- выходящие из различных точек Mv М2, ¦ ¦ ¦ контура. Различие по сравне- сравнению с задачей обтекания выпуклого контура заключается, однако, в том, что чем дальше мы бу- будем подвигаться по контуру от точки О, тем круче по отно- отношению к оси Ох будут становиться характеристики. В самом деле, перемещаясь по контуру, мы в плоскости (vx, vy) будем двигаться по эпициклоиде второго семейства, проходящей через М' (см. первый из разобранных в предыдущем параграфе случаев), причём точки М\, М2 изображающие на эпициклоиде скорости точек О, Mv М2, . .., получаются путём пересечения эпициклоиды с радиусами- векторами, параллельными касательным в О, Mv M2, ... к рас- рассматриваемому контуру; но тогда, по мере того как мы будем пере- перемещаться от Ж] к М<ь и т. д., эти радиусы-векторы будут повора- поворачиваться против часовой стрелки (вследствие вогнутости контура), сле- следовательно, характеристика первого семейства, проведённая через Мх, будет наклонена к оси Ох под углом ббльшим, чем характеристика, идущая через О, и т. д. Но если это так, то обязательно найдутся точки, в которых две характеристики одного и того же (первого) семейства будут между собой пересекаться. Так как вдоль харак- характеристики скорость имеет своё постоянное значение, то в месте встречи двух таких характеристик мы получим, грубо говоря, два разных значения скорости. Здесь наступает явление сильного разрыва. Чтобы найти точку А разрыва, нужно определить предел, к кото- которому стремится точка пересечения характеристики, проходящей через О, и характеристики, идущей _через Mv когда Мх приближается к О. Уравнение характеристики ОА будет = У[@. 0)х, A3.1)
78 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I где у уО, 0) обозначает у[ в точке х — у = §{0)\ уравнение харак- характеристики М{А будет У — ДУо = У[ (д*о. дУо) (х — Дх0), A3.2) где ^xo, Ду0 — координаты точки М{ контура. Выразим координаты вдоль контура - х0, у0 — параметрически через угол р наклона кривой к оси Ох; тогда у1 вдоль контура будет функцией одного р; опре- определим хл (абсциссу А) из системы уравнений A3.1), A3.2) (ищется точка пересечения): i @, О)-у,'(длсо. наменатель на Д х к пределу, пол Дх0—>0 и Ду0—>0, получим (—^-\ =0 : 1\ "Р /р=о J Деля справа числитель и знаменатель на Др (угол наклона контура в точке Мх) и переходя к пределу, полагая Др —> 0, а с ним и Чтобы найти у'х в функции р, вспомним, что где а — угол между характеристикой МХА и линией тока; но наш контур является в то же время и линией тока, поэтому, вспоминая определение а (9.22), а также принимая в расчёт, что «справа» от прямолинейной характеристики первого семейства ОА будет выпол- выполняться A0.3) с нижним знаком, получим без труда: / dxa \ 2 ып а0 cos3 а0 _ / dx0 \ 2 ып2 а0 cos2 a0 где sin а0 = -^-. Прежде чем решать нашу задачу дальше, посмотрим, что будет, ко1Да на контуре имеется угловая точка. Сперва рассмотрим случай, *) Формула эта справедлива только в том случае, когда кривизна обте- обтекаемого контура будет отлична от нуля в точке О. С. Валландер показал, что если I -—) = 0, то разрыв образуется впервые не на характеристике \ах0) i о A3.1), а на одной из следующих характеристик. В некоторых случаях разрыв также может образоваться и не на первой характеристике даже при
§ 13] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 79 когда вдоль контура (рис. 32): у = 0 при х<0; y = ig при х > 0 @ < % < т), где гп — некоторая положительная величина, связанная с г^, о которой будет сказано ниже. Поверхность разрыва начнётся здесь непосред- ивенно у точки О. Пусть слева набегает поток По прохождении поверхности разрыва поток получит новую скорость и станет параллельным наклонной стенке. Найдём величину этой скорости, а также направление линии разрыва (последняя будет прямой, ибо после её прохождения ско- скорость опять будет всюду постоянной). Обратимся к плоскости (vx, vy) и в ней проведем гипоциссоиду G.14), отвечающую 7777777777777777777/ п' Рис 32 Рис 33 скорости vv Построим радиус-вектор MOi под углом J3O к оси vx: точка М\ его встречи с гипоциссоидой даст величину скорости по- потока наклонной стенки (рис. 33), а описанный в § 7 приём по- позволит найти направление ON, параллельное направлению разрыва в Ох). Существенно при этом отметить, что наша задача допускает решение, о котором мы здесь говорим лишь в том случае, если угол р0 не будет слишком велик. Именно должно быть C0 < р+, где р* — полярный угол в точке пересечения круга v = a+ с гипо- гипоциссоидой, отвечающей нашему vx 2). ') Из двух точек пересечения прямой ОМ[ с гипоциссоидой одна всегда находится в дозвуковой области (внутри круга радиуса яД другая — в сверх- сверхзвуковой. Мы выбрали сверхзвуковой режим (точка М[). Эксперимент по- показывает, что из двух возможных режимов осуществляется именно выбранный нами. Строгого математического доказательства необходимости выбора сверхзвукового режима ещё не имеется. 2) Если угол Ро бУДет больше, чем р*, но меньше, чем угол ртах, обра- образуемый осью vx с тем радиусом-вектором плоскости (vx, vy), который касается гипоциссоиды, то можно говорить по-прежнему о движении рас-
80 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Чтобы иметь возможность решать задачи обтекания угла при различных значениях vx, следует изобразить заранее [в плоскости (vx, vy)] семейстьо гипоциссоид, зависящих от параметра vl. Вводя Рис. 34. величины vja*, vja*, vyla* и заменяя в G.14) а\ через v\ посред- посредством уравнения Бернулли, получим для этого семейства линий уравнения Vy ^ A3.3) На рис. 34 изображено это семейство линий для различных vja^ (сплошные кривые) *). сматриваемого типа, только теперь скорость после прохождения разрыва станет дозвуковой. Если jb > Pmaxi то решения рассматриваемого типа не будет — поверх- поверхность разрыва отскакивает от точки О (см. ниже). ') Здесь же нанесены пунктиром кривые постоянных значений Ро+/ро_ (стр. 43).
13) ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 81 В рассмотренном нами случае угла простота заключается в том, что после прохождения разрыва поток становится снова прямолиней- прямолинейным, что линия разрыва есть прямая и что скачок энтропии всюду постоянен [формула G.10) и т. п.], а потому движение остаётся безвихревым. Обратимся теперь к тому случаю, когда стенка совпадает с отрицательной осью Ох при х < 0, а начиная от точки О переходит в криволи- криволинейный контур, составляющий в точке О с осью Ох угол ро, малый, но отличный от нуля '). Мы предположим для большей иллюстративности, что стенка от передней кромки до некото- некоторой точки М является прямо- прямолинейной (её уравнение: у = 77777777777 == t? Ро-*О и только потом на- начинает плавно переходить в кривую (рис. 35). Строим ги- поциссоиду, отвечающую скорости vx набегающего параллельно оси Ох потока, и находим направление разрыва О А около точки О, так же как и в разобранном уже случае угла. Из точки М прово- проводим характеристику первого семейства до пересечения А с по- построенным элементом кривой разрыва. Вследствие прямолинейности Рис. 35. Рис. 36 отрезка ОМ, отрезок ОА линии разрыва будет строго прямолиней- прямолинейным, скорости во всех точках области ОАМ будут постоянны по величине и направлению и изобразятся одной точкой А' плоскости (vx, vy) (рис. 36); движение будет здесь безвихревым, и характери- характеристика МА будет строго прямой линией. Решим задачу 3 для области, ') Достаточно взять р0 < %, где Э„ есть угол, о котором речь шла выше, 6 Теоретическая гидромеханика, ч. II
82 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ 1 ограниченной характеристикой /ИЛ, контуром MNn и характеристикой второго семейства (криволинейной) ANn, проходящей через Л. В этой области задача может быть решена точно, ибо вдоль МА скорости всюду одинаковы, так что здесь будет выполняться соотношение {си. § 11, а также § 15). Далее начинаем приближённое графическое решение. Нанесём на характеристике ANn густой ряд точек Nv N2, ...; им отвечают известные нам точки N'v N'r . . . эпициклоиды второго семейства, проходящей через А'. Проведём через точку /V-, элемент характеристики первого семейства ]Ч{В до пересечения в точке В с продолжением прямой разрыва ОА. Скорость В' в точке В най- найдётся на пересечении с нашей гипоциссоидой эпициклоиды первого семейства, проходящей через Л/"^ Зная В' и N'2, построим с помощью их элементы характеристик /V2P, первого семейства и SP, второго семейства. Было бы ошибочно думать, что скорость в точке Р1 мо- может быть найдена простым пересечением эпициклоиды второго се- семейства, проходящей через В', и эпициклоиды первого семейства, проведённой через N'2. Такое построение справедливо лишь для безвихревого движения, а движение, происходящее справа от поверх- поверхности разрыва и характеристики ANn, обязательно будет вихревым. В самом деле, наклон линии разрыва в точке В найдётся как направление перпендикуляра, опущенного из точки. О в плоскости (ух, vy) на продолжение прямой Е'В', и так как В' не совпадает с А', то наклон в точке В будет отличен от наклона в О или в А, строго говоря, уже начиная от точки А, наша линия разрыва стано- становится кривой, и только неточность графического метода заставила нас заменить прямой линией ОАВ кривую линию разрыва, в то время как на самом деле лишь касательная в точке А к линии разрыва совпадает с прямой АВ. В соответствии с формулами G.2) и G.10), &+ будет вдоль линии разрыва теперь меняться от одной линии тока к другой, начиная от точки А, а тогда в формулах (9.18), (9.19) нельзя положить Q = 0. Чтобы найти скорость в Рх, обратимся к уравнениям (9.18) и (9.19). Перемещению от В до Р-, вдоль харак- характеристики второго семейства, выходящей из В, отвечают изменения скоростей, связанные соотношением (9.19). Заменяя, как всегда, диф- дифференциалы конечными разностями, пишем: Д*„ = (v у)Л — (vy)B; bvx = (vx)Pi — (vx)B; Ax=^xPi~xB.
§ 13] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 83 Вследствие (9.19), точка Р[ плоскости {vx, vy) с координатами (vx)p, (vy)Pi найдётся поэтому где-то на элементе прямой V V + (VV) При Q = 0 мы должны были бы искать vx и vy на элементе прямой, проходящей через В' и параллельной элементу эпициклоиды второго семейства; если й =? О, мы должны по A3.4) искать (vx)p^ и (vy)pl на прямой, параллельной той же эпициклоиде второго семейства, не проходящей через точку В'. Чтобы построить эту прямую, мы дол- должны знать правую часть A3.4). Туда входят известные в точке В величины v, a, y'2, v и хр — хв. Таким образом, нам надо только узнать о_ а2 р rf& ч. — 1 9 d<\> ' Заменим снова db на Д& и d^ на Дф, причём для определения 9 в точке В напишем: Так как «слева» от поверхности разрыва vx — v{ = const., vy = 0, то, очевидно, там будет (pi = но линии тока не претерпевают разрыва, а только изламываются при переходе через поверхность разрыва, поэтому можно положить Переходя к определению ЬА и Ьв, заметим, что здесь, очевидно, идёт речь о Ь+, так что надо применить формулы G.2) и G.10): 9, 2а? где уА и <рв — углы наклона нормали к линии разрыва в точках А и В соответственно. Точка Рх (хР|, ypj лежит на пересечении характеристики ВРХ и характеристики первого семейства N2PV Перемещаясь по BPV мы 6»
84 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 будем двигаться в плоскости (vx,vy) по прямой A3.4); перемещаясь по N2PV мы будем, очевидно, двигаться в плоскости {vx,vy) по прямой . 1 , . / aQ. Vy — VyN, + , ,, (VX — VXN2) = — A3.6) Ho (Q)N = 0, ибо N2 лежит ещё в безвихревой области. Таким об- образом, перемещение по A3.6) есть перемещение по элементу эпицик- эпициклоиды первого семейства, проходящей через Л^, и мы найдём точку Р'х на пересечении этой последней эпициклоиды с элементом прямой A3.4). Зная Р'{, проведём обе характеристики РгР2 и РгС, где Р2 — точка, лежащая на характеристике первого семейства, выходя- выходящей из N3, а С — точка линии разрыва. Скорость в С найдётся как точка С пересечения прямой (9.18) [типа A3.6)] с гипоциссоидой, скорость же в Р2 — как точка Р'2 пересечения прямой (9.19) [типа A3.4)] с эпициклоидой первого семейства, идущей из N'3. Нам при- придётся в обоих случаях знать Q в точке Рх; чтобы определить {d^jdif)p t заметим, что изменение dty, происшедшее благодаря перемещению от В к Pv будет или ДФ = - ?в (vyB - y'iBVxB) {xPi - хв), причём р. х — 1 2а? + (! +1?2 <?У г + ТТ7ГТ (+? ?вУ что же касается Д&, то оно может быть получено интерполированием, ибо, например, изменение 9S — ЬА известно. Нужно помнить только, что если окажется фр < фл, то надо просто положить QPi = 0. Определив скорости в С и Р2, мы можем по указанным выше ре- рецептам найти в этих точках Q, а также построить характеристики CQ{ и /^Qi- Скорость в Qj (не обозначена на рисунке) найдётся затем как пересечение в плоскости (vx, vy) элементов линий (9.18) и (9.19), отвечающих точкам С и Р2 и т- Д- Наша задача, таким образом, будет решена. Формулы (9.18) и (9.19) представляют то неудобство, что в пра- правые части их входит dx; таким образом, мы как бы отдаём предпо- предпочтение координате х перед координатой у, в то время как они равно- равноправны. Вспомним, однако, что направление прямой (9.18) или (9.19)
131 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 85 [где вместо dvx и dvy стоит vx — (vx)M, и vy — {vy)M,] легко опре- определяется; чтобы провести эту прямую, нам, таким образом, доста- достаточно узнать, на каком расстоянии 8 от точки М' плоскости (vx, v ) она проходит. Согласно известному правилу аналитической геометрии, чтобы найти 8, приведём (9.18) и (9.19) к нормальному виду, умно- жая их на соответственно. Замечая, что эле- мент дуги ds вдоль характеристики первого семейства будет dst = Ydx2-{- dy2 =\dx\ а вдоль второго ds2 = | dx мы получим величину о в виде: Но 8 V = а\ ¦ v2 У\ 1 + уГ \ г У2 -У[2У~1+У2 У\Уч 1 + у\ +У2 + У\ Уг и вследствие свойств корней Квадратного уравнения (9.11): УхУг vl-a2 Таким образом, A3.7) Остаётся только определить, в какую сторону следует отложить 8, для чего достаточно найти, например, знак проекции о на ось Ох.
86 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Рассматривая (9.13) и (9.14), легко убеждаемся, что, так как Sign tip,.S = Sign |(yj — y'2)~ rfjfj ') . Для практических вычислений удобно, как всегда, ввести безразмер- безразмерные величины: v, а, &, <|>, 8, s, связанные с v, a, ... соотноше- соотношениями v = atv; а — а^а; 9 = &,&, Ф = р1с^ф, 8 = сД s — ls, где / — произвольная величина. Замечая, что ai = x9Jpi~', и заменяя в A3.7) а2 по уравнению Бернулли, мы придем к следующему выраже- выражению для 8: 8 = Зх-1 *+l 4x '1, 2 где v, = - x—1 2x x—1 — COS f 1/* x + 1 v[ Изложенная здесь вихревая задача была впервые решена Ф. Фран- клем. Несколько слов о решении задачи, о которой мы говорили в на- начале этого пункта. Пусть точка А есть первая точка характеристики первого семейства, выходящей из О, в кото- которой образовался сильный разрыв (рис. 37). В области между прямой ОА, контуром и характеристикой АВ второго семейства, про- проходящей через А, мы имеем, вообще говоря, течение с прямолинейными характеристиками первого семейства. Но дальнейшее решение _л задачи ничем не будет отличаться от реше- решения уже разобранной задачи об обтекании углового контура, причём линия АВ будет играть роль линии ANn (рис. 35). Рассмотрим теперь пример. Пусть на неподвижную пластинку АВ, наклонённую под углом Ро(<Р*) к оси ®х' набегает поток, обла- ') Для характеристик 2-го семейства. Для 1-го семейства знак будет обратным. У/////Щ У/////////"' Рис. 37.
§ И) КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ дающий сверхзвуковой скоростью vx > аг, параллельной оси Ох, Посмотрим сначала, что происходит вблизи пластинки. Над пластин- пластинкой, начиная от точки А (рис. 38), поток будет непрерывно пово- поворачиваться до тех пор, пока не станет параллельным направлению пластинки (см. предыдущий пункт: обтекание угла, большего чем я); далее, от точки В пойдёт линия сильного разрыва; пройдя сквозь неё, поток снова станет параллельным оси Ох (см. начало этого пункта: движение внутри угла, меньшего чем тс). Под пластинкой в точке А нач- начнётся разрыв, и поток станет параллельным к направлению пластинки; около же точки В вдоль характеристики поток начнёт плавно поворачиваться (об- (обтекание угла, большего чем те) до тех пор, пока, пройдя последнюю выходя- выходящую из В характеристику, не станет вновь параллельным оси Ох. Отметим теперь точки Е и D, в которых линии прямо- прямолинейных разрывов пересекаются с край- крайними характеристиками BE и AD, про- проходящими через В и А соответственно. Характеристика EF, идущая через Е, будет, очевидно, играть роль характери- стики ANn на рис. 35. Таким образом, от точки Е начнётся искривление линии разрыва, образование вихрей и искривле- искривление характеристик; аналогичную роль играет характеристика CD. Таким обра- образом, на больших расстояниях от пластинки движение будет носить весьма сложный характер. Так, по Ландау, там должны возникнуть дополнительные поверхности разрыва. Мы можем ожидать, что только в области Ур < У < Уп мы будем иметь сзади пластинки скорости, постоянные по величине и направлению. Заметим при этом, что скорости будут различны сверху и снизу от линии, проходящей через В параллельно оси Ох; в этом легко можно убедиться из рассмотрения эпициклоид плоско- плоскости (ух, fу) и гипоциссоид. § 14. Крыло в плоскопараллельном сверхзвуковом потоке. Приближённые формулы Аккерета, Буземана, Донова. Гиперзву- Гиперзвуковые движения. Парадокс Эйлера-Даламбера справедлив не только для несжимаемой, но и для сжимаемой жидкости, но лишь для случая дозвуковых скоростей. Крыло, двигающееся со сверхзвуковой ско- скоростью, обязательно подвергается действию сопротивления (так назы- называемого, волнового) и подъёмной силы, причем эти силы, вообще Рис 38.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Г говоря, значительно превышают обычные силы, происходящие за счёт образования вихрей в пограничном слое крыла. Пусть крыло помещено в поток сжимаемой жидкости, бегущей параллельно оси Ох со скоростью vx > at. Предположим, что крыло имеет острую переднюю кромку (поместим на ней начало коорди- координат О) (рис. 39) и острую заднюю кромку (точка Р). Проекции на оси Ох и Оу сил, действующих на крыло, делённые на величину дТ, где q = p^zfi/2, а Т—«хорда» крыла, т. е. длина ОР, обозначим через Сг и С Тогда, у. очевидно, будет х~1т\ .1 A4.1) A4.2) где s — длина дуги вдоль контура крыла, \i — угол касательной к контуру с осью Ох, знак «в» означает, что величина вычисляется в точках верхней части контура, а «н» — в точках нижней части кон- контура. Угол р положителен, если он откладывается против часовой стрелки от оси Ох и отри- отрицателен, если он отклады- откладывается по часовой стрелке. Касательная к контуру на- направлена в сторону возра- возрастания дуги s. Дуга s от- считывается как для нижней, так и для верхней ветви контура от точки О. Чтобы найти рв, мы должны отдельно решить задачу обтекания контура, состоящего из отрицатель- Рис. 39. ной части оси Ох, верхней части крыла и прямой, па- параллельной оси Ох и выходящей из Р (жидкость расположить «над» этим контуром). Аналогичным образом рк получится, как давление на крыле, образующееся в результате обтекания контура, составлен- составленного из отрицательной оси Ох, нижней части крыла и прямой (парал- (параллельной оси Ох), выходящей из Р. Заметим, что если бы оказалось, например, что для всех точек верхней части контура
4 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 89 (крыло лежит «под» осью Ох), то характеристика первого семей- семейства, выходящая из О, была бы прямолинейна (так же как и все характеристики первого семейства, начинающиеся в разных точках верха крыла), и мы могли бы найти рв в функции от [Зв, т. е. в функции от места на крыле, совершенно точно. Для этого доста- достаточно было бы написать (считаем, что рв@) —0), а загем, решив это равенство относительно vB, вставить полученное значение vB в уравнение Бернулли [напри- [например, в (8.10)], и разрешить последнее относительно рв. Аналогично можно было бы найти рп, если бы оказалось Р„>0. В случае, если фвH > 0 и фнH < 0, перед крылом образуется поверхность разрыва (рис. 35); предположим, что |(Рв)о1<Р* и I (Рн)о I ^ Р*> Tor^a после прохождения разрыва скорости останутся сверхзвуковыми. Наличие кривых линий разрыва, исходящих в обе стороны от О, усложняет задачу, порождая, с одной стороны, искри- искривление характеристик обоих семейств, с другой стороны, — вихри. Графический метод, изложенный в предыдущем пункте, позволяет и здесь решить задачу до конца. Однако, он не даёт готовых окон- окончательных формул расчёта (для Сх и Су, например), а заставляет решать задачу для каждого случая отдельно, так сказать, арифме- арифметически; кроме того, графический метод может здесь привести к большим неточностям, так как характеристики МА, МгВ и др. (рис. 35) будут практически почти параллельны линии разрыва АО. Однако для случая тонких и мало наклонённых к оси крыльев (малые абсолютные значения углов [Зв и рн) можно провести проме- промежуточные операции в общем виде и дать готовые формулы, по которым, зная форму контура крыла, можно найти непосредственно давление в каждой точке крыла, а также Сх и Су. Это было сде- сделано впервые Аккеретом A925 г.) для случая, когда углы ||3| настолько малы, что членами, содержащими их квадраты, можно пренебречь по сравнению с единицей (линеаризация уравнений); Буземан и Вальхнер A933 г.) дали формулы, учитывающие квад- квадраты углов |р|, наконец, Донов A937 г.) учёл третьи и четвёртые степени углов | ф |. Мы изложим ход рассуждений и окончательные результаты Донова; попутно мы получим, как частный случай, резуль- результаты предыдущих авторов. Рассмотрим произвольную точку N на нашей кривой линии раз- разрыва OQ (рис. 39). В этой точке гидродинамические элементы меняются скачком от значений V_ (vx, 0), pv p{, &x до значений V+ {vx, vy), p, p, 9-. Любая пара значений элементов «справа» от
90 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I разрыва может быть связана одним соотношением. Уравнение гипо- циссоиды G.14), в частности, связывает между собою vx и vy, и значит, г» и р. Замечая, что скорость после прохождения разрыва в точке N образует с осью Ох угол $N, который будет иметь тот же порядок малости, что и углы рв контура крыла, решим уравне- уравнение гипоциссоиды (написанное в координатах v и [3) относительно v, представляя v в виде ряда по восходящим степеням [3. Простые вычисления дадут нам (так как мы ищем четвёртое приближение, то мы ограничиваемся здесь и далее членами с [З4): где ft, = —(M2—l)~v\ b2 = - (М2 - I) [\ = - (М2 — \)''ы [j + ~ М2 + j (х — 1) М4 + Э*»-12* 24 M 16 IVI 4g 3*« М10] . IVI j , С другой стороны, формула G.2) позволит вместе с G.10) найти отношение &/B-J в функции от tgcp, a tgcp по G.11) выразится через vx и г> и, следовательно, по A4.3) в виде ряда по $N. Производя выкладки, получим :): ^L = l+Z3^+^+.... A4.4) где / ^^М6(М2-1 Г''1; *з~ 12 "' /4 = ^=i М6 (М2 — 1)"а [4 + 2 (х - 2) М2 — (я — 1) М4]. То замечательное обстоятельство, что ряд A4.4) не содержит первых и вторых степеней C^, позволяет заключить, что если мы пожелаем ') При разложении в ряд здесь удобно ввести сначала Др = р/р, — 1 и разложить отношение J)/d, по степеням Др (величина того же порядка ма- малости, что и Р), используя лишь G.2) и G.10); уже в этом разложении будут отсутствовать члены с Д в первой и второй степени.
5 lfl КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 91 учесть лишь первые и вторые степени C, отбрасывая члены с [З3 и далее, как малые (приближения Аккерета и Буземана), то мы в праве будем считать bN/%1= 1; это значит, что в первом и во вто- втором приближениях вихреобразование можно не учитывать и считать всюду & = &х = const. Остановимся несколько подробнее на первом и втором прибли- приближениях. Так как с точностью до малых второго порядка включительно вихрей не будет, характеристики будут здесь снова эпициклоидами Рассмотрим на нашей линии разрыва OQ какие-нибудь точки Nv N2, ¦.. (не изображены на рисунке) и через каждую из них проведём по характеристике второго семейства до пересечения с кон- контуром в точках Mv М2, . .. соответственно. Точкам Nlt Л/2, ... отвечают в плоскости (vx, v ) точки гипоциссоиды N\, N%, . . . Так it как углы Рдг малы, то все точки N\, N2, ... будут располагаться поблизости от двойной точки гипоциссоиды ф = 0, ¦# = !»[). Обра- Обратим теперь внимание на то новое обстоятельство, что с точностью до малых второго порядка включительно уравнения гипоциссоиды и эпициклоид, выходящих из точки (vx = vx, vy = 0), совпадают. В самом деле, для эпициклоиды будет по A0.3) и (9.22): d2v \ (\ Vi (da так что I dv\ . 1 / d2v что и доказывает наше утверждение. Но тогда все точки N[, N2, ... можно считать, с точностью до малых второго порядка, расположен- расположенными на эпициклоиде а если это так, то, выходя из точек Mv М2, ... и двигаясь по ха- характеристикам второго семейства N^MV N^vl2,. . ., мы будем в пло- (кости скоростей выходить из N\, Nv .. . и перемещаться прибли- приближённо всегда по одной эпициклоиде A4.5), проходящей через (v = v{, Р = 0) (ибо все точки Nb N2, ... на этой одной эпициклоиде при-
92 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I ближённо лежат). Это значит, что с нашей точностью для всей «верхней» области скорости связаны уравнением одной эпициклоиды A4.5), совершенно аналогично тому, как это было в случае отсут- отсутствия поверхности разрыва. В частности, имеем для точек контура крыла: &)?) <»¦« Решая это уравнение относительно vB (в виде ряда, расположенного по степеням [Зв), получим: Нам остаётся вставить это vB в уравнение Бернулли, чтобы найти давление рв в функции от (Зв, т. е. в функции места на контуре. Уравнение Бернулли х-1 *»р v\ 2 ' V. — 1 ~ 2 |" •/. — 1 v2 -*»р * v\ удобно заранее решить относительно р, взяв его в виде: (для второго приближения надо затем положить &/&х?«1). Вернёмся к третьему и четвёртому приближениям. Здесь нам придётся считать 0 переменным по A4.4), а тогда, вместо уравнения эпициклоид, на основании (9.24) мы должны написать вдоль характе- характеристики NM, например: Прибавим и отнимем в правой части A4.8) член °'_ а' rflnft. Получим: jfn I г ! v М sinct.cosct, ,. о sin a COS a — sin a, COS a. - d P + C —)| = !—j—'dlnO-— ;—:— -dlab. A4.9) L V^s/J x i xl Проинтегрируем теперь A4.9), двигаясь по характеристике от точки N до М. Получим: Sin a, COS *! ,f_ .m Л? м С sin a cos а — sin ax COS a, db J ^—j - -,
§ 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 93 что мы можем записать ещё, если применить к стоящему справа интегралу теорему о среднем значении в виде: sinaicosai & » [Q О. 1 ~ sin a COS а — sin а, COS а, где Я—значение разности -.— для некоторой сред- ней точки кривой MN. При помощи A4.10) найдём теперь vM в функции от $м; для этого нам надо выразить входящие в правую часть A4.10) величины через элементы в точке М. Прежде всего замечаем, что где %0 — значение & на передней кромке (в верхней области), ибо & сохраняется после прохождения разрыва вдоль линии тока, каковой является линия контура крыла ОМ. Теперь вследствие A4.4) мы можем написать A4.11) (как всегда, не выписываем члены, содержащие J3 в пятой степени и выше); таким образом, наша разность логарифмов выражается через известные величины (/3. 1$, ^о) и чеРез угол $N. Выразим теперь Рдг-f-С(vN/at) также через угол $N. Мы уже знаем, что с точностью до малых второго порядка включительно изображение скорости точки N лежит не только на гипоциссоиде в плоскости (vx, vy), но и на эпициклоиде, проходящей через точку vx = v{, J3 = 0. Значит, мы можем ожидать, что p^-f l(vN/aJ — (.(vja)-^- б. м. третьего и четвёртого порядка. Чтобы найти эти малые третьего и четвёртого порядка, удобно ввести в рассмотрение величину v, определяемую равенством (J Разлагая v в ряд по степеням [Зд,, получим:
94 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I где 2х2-52х + м6], м8__ 3-8* + 7»»-2х» ч -f 32 m 96 М j* Мы можем написать теперь: ~t~\dv2)v=vt 2 -f- (J) ( ) - М> 5'г0 поРядка> A4.12) причём \й»/ \dv)v=v, Г" fil\ = /^ Итак, мы можем выразить правую часть уравнения A4.10) через $N, через Н и через известные величины; при этом $N входит в степенях не ниже, чем в третьей. Тщательный анализ, на котором мы не мо- можем здесь останавливаться, позволил затем Донову выразить $N через координату хм точки М и через величины, характеризующие наклон и кривизну контура в точке О (на передней кромке). Именно, при- привлекая характеристику первого семейства NS, а также исследуя вид линии разрыва и обеих характеристик, Донов показывает, что $N=$o+-7^xM$o(-Jz)Q-i- б- м. третьего порядка, A4.13) где a d$/dx — производная' по х от угла [Зв, вычисленного как функция одного х для верхней части крыла:
§ И] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 95 Но теперь ясно, что член, содержащий Н, может быть отброшен как имеющий пятый порядок малости. В самом деле, Н имеет сама, как разность двух функций, вычисленных при бесконечно близких значениях аргумента, первый порядок малости, величина же |3о — ^дт имеет по A4 13) четвертый порядок малости [(d$jdxH—мало]. Вставляя A4 13) в правые части A4 11) и A4 12), внося эти выражения в сьою очередь в правую часть A4 10), полечим, соби- собирая члены. 3s, (bo — br> sin a, cos a, \ / fl!3 \ ~ 24 \ b, ~i" x-1 W хм?о \ dx Jo +" •' Решая это уравнение относительно vM и выписывая члены до четвер- четвертого порядка малости включительно, получим ^ = ^{1+6^4- ЬЛ -Ь ьТм + KVm + Fз ~ К) Р30 + Ъ< - Ь\ - f- (ft, - Ц)]} р' + ^ (ft, - ftj) рзрж + ii Нам остается сделать последний шаг. вставит^ это vM в правую часть выражения A4 7) для давления, и мы полечим давление в ка- каждой точке М обтекаемого контура в функции от (Зж и от хм Вы- Выражение Эд^/Эр входящее в A4.7), есть Ьо/Ь1 и по A4 4) будет После элементарных преобразований получим окончательную формулу Р, = Pi + Ч [аА + а?\ -}- a?l + aft + ajl @) + ам^в @) + где |3В — значение угла наклона касательной в точке контура верхней части крыла, в которой ищется рв, х — абсцисса этой точки,
96 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I рв@) — угол наклона касательной к контуру (верх крыла) в точке О, коэффициенты имеют следующие значения: 2 -^- М4); аъ = (М2 - \Гк [4 - 2М2-f |- (/ + 1) W 15 + 20х — 8у.2 +J№_ Мз _ ^ 12 __ 21 4- 20х Зх2 2х3 ju|10 , 3 -f- 2x y.2 f. l2 48 IVI "т" 48 lVI ' \ T ~i A ¦" l <TA "¦ I' (М2 - 1) (- ¦ _1 _ Qv fiv 2 I v 3 Q __ 7-y 7- 2 u" u^ ~| ^ fcЛ4 i — — 24 '" r 96 ^ =-Ц^ М8 (М2 - 1Г 5 (- 1 + ^=^ М2 +-3-^=^ М4) • Совершенно аналогичным путём для точек нижней части крыла найдём: Ы МР2 @) + вмР2 (°) Рн + aJl @) (^)о х] + б. м. 5-го порядка.
I 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 97 Остановимся на характере различных членов, входящих в наши формулы. Если бы мы пожелали ограничиться вторыми степенями [3, то нам надо было бы сохранить лишь члены с а: и а2. Мы полу- получили бы приближения Аккерета и Буземана. Далее, члены с av a2, аъ, а4 — это как раз те члены, которые получились бы, если бы мы из уравнения эпициклоиды A4.6) нашли v в виде ряда по степеням [3 и, вставив это выражение v в уравнение Бернулли A4.7) (при & = &j), ограничились бы затем четвёртыми степенями [3. Так, если [Зв -^ О, то, как мы уже говорили в начале этого пункта, линии разрыва OQ не будет, и тогда членов с аы, аи, a3d, aid не надо брать вовсе при вычислении рв. Наличие разрыва фв0 > 0, [Зн0 < 0) порождает члены с аы аы в рв и рн. Это — члены третьего и четвёртого порядка малости. Интересно отметить, что влияние кривизны контура в точке О (и следовательно, влияние вихреобразования, ибо если контур прямолинеен около О, то по крайней мере на некотором участке, прилегающем к О, вихрей не будет) появляется лишь в четвёртом приближении — это член, стоящий при ам. Переходя к вычислению Сх и Су по формулам A4.1), A4.2), введём вместо углов [3 углы, отсчитываемые от хорды ОР крыла; именно, обозначим где [3 — угол наклона хорды ОР к оси Ох (на рис. 39 — отрица- отрицательный). В качестве переменной интегрирования в интегралах A4.1), A4.2) удобно взять длину t, отсчитываемую по хорде ОР от точки О. При этом что же касается хв и хш, входящих в давление, то их следует рас- рассчитать по формулам Y — f rnc й cin I ,l — sin Тригонометрические функции углов C, которые входят в формулы A4.1) и A4.2), надо, конечно, разложить в ряды, ограничиваясь членами четвёртого порядка. Производя элементарные выкладки, по- получим окончательно х> -\- CXf -J- б. м. 5-го порядка, 7 Теоретическая гидромеханика, ч. II
98 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I где о с*. = Щ- f (К2 - РД dt+¦*- /(р;3 - р;3) л, о о *i — \ ^az ч~ ) г г" а\ъУ I Г "Г Рв (U)j ~Г й1нР 1 " Н" Рн (у)| \ О J + тDаз —" о о и Су = Су -\- Су -\- Су -\- Су -j-б. м. 5-го порядка, где (в1 - 2«з)?3 - «1в [Р + Рв (О)]3 - а1и [f + р; (О)]3 Су4 = ~ Й2в [ р + Рв (О)]4 + Й2„ [ р + (Зн (О)]4 - ЙЗвр [Р + Рв @)f + + «з„ Р [ Р + Рн (О)]3 - -f а4в [1 + pi (О)]3 о г о В этих формулах надо положить
§ 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 99 если р—j— рв @) > 0 (если линия разрыва сверху), и «1В = Й2в = «Зв = «4в = °. если р + Рв@)<0 (нет линии разрыва вверху); аналогично, anH = and(n=l, 2. 3, 4), если р + р'н@)<0 и аяв = 0(»=1, 2, 3, 4), если р +р|, @) >0. Коэффициенты а, а4, аи, ..., аы вычисляются по-прежнему. Что же касается вычисления интегралов, то оно в отдельных кон- конкретных случаях сильно упрощается. Так, например, если контур крыла симметричен по отношению к прямой, перпендикулярной к ОР и проходящей через середину ОР (например, если контур есть дуга круга), то будет т г о о Отметим, что если р = 0 и [Зн = 0, мы должны ожидать отрицатель- отрицательной подъёмной силы, ибо здесь будет Су1 = 0, С 2 < 0. Выбрав контур конкретной формы, мы можем заранее подсчитать все коэффициенты, стоящие в Сх и Су при разных степенях [3; мы получим тогда как для Сх, так и для Су выражения в виде полино- полиномов четвёртой степени относительно р. Исключая C, получим Сх в функциях от Су. Остановимся более подробно на расчёте сил, действующих на пластинку (рис. 38). Здесь мы имеем точные формулы как для верхней, так и для нижней частей профиля. Для верхней части пластинки имеем по A4.5) и A2.2) , A4.14) где aj —угол Маха набегающего потока (sin<Xj= 1/M). С другой стороны, для коэффициента давления Ср имеем здесь: ръ ~ ~\ г ~ ч. 1*
100 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. J В то же время Pi или, используя (9.22): :__ /_f_\"«ri" (HLJL Vl \"*~'" / sin2a v2 \"JTf \al) \ v t>i «i / \ sln2aj v\ ) 2 sin2 a Отсюда, сопоставляя последнее равенство с равенством A4.15), по- получим -^-_*-1 A4.17) Вставляя выражение для а из A4.17) в соотношение A4.14), полу- получим явную зависимость C0 от Ср . Над пластинкой имеем течение разрежения: так как v > vv то a < ar Если при заданном М увеличивать наклон пластинки (|ро| растёт), то а будет падать (движение по эпициклоиде, рис. 7 «вниз»), пока при некотором предельном значении (|30 = Рпред) не обратится в нуль; это будет по A4.14) для Рпред При этом рв = 0 образуется вакуум. При дальнейшем увеличе- увеличении |poj будет всё время рв = 0. Остановимся подробнее на случае так называемых гиперзвуковых движений. Посмотрим, как ведёт себя число давления над пластин- пластинкой при весьма больших значениях числа М> т. е. когда В формуле A4.14) разложим правую часть в ряд по степеням a и aj (если aj<^l, то и подавно будет a<s^ 1). Имеем _ 2 2 х+1 з 2 2 *+1 з i или, если ограничиться первыми степенями а и о^:  и по A4.16): a = 0,4-^-^0 A4.18)
§ 14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 101 2 1 / ЕСЛИ Р < ЦТТп» Т° Р* НаД° СЧИТаТЬ Равным НУЛЮ (Рпред^ _2 Д Отметим теперь два весьма важных обстоятельства. Во-первых, формула A4.19) получена линеаризацией по отношению к 1/М, а не по отношению к %. Структура её такова, что линеаризация её по отношению к [30 даёт неточные результаты. Поэтому формула A4.19) более точна при больших М, чем линейная формула. Во-вторых, формула A4.19) содержит комбинацию Эта комбинация характерна для гиперзвуковых течений, в чём мы убедимся в дальнейшем при рассмотрении общей теории таких те- течений (см. § 23). По A4.15) и A4.19) мы получим ]. A4.20) Закрепим значение К. Тогда, по A4.19), рв/рг будет закреплено, а по A4.20) коэффициент давления окажется пропорциональным ква- квадрату угла наклона пластинки. Для нижней части пластинки имеем ещё более простые формулы. Именно, аналогично A4.15) пишем: Ср =-|_ (?» _ А. A4.21) Ри *М2 \Pi / К ' Но теперь для определения отношения pjpx используем формулу G.15), по которой где v=rit/2 — tp — угол наклона поверхности разрыва к оси х. Те- Теперь мы имеем по A4.22) и A4.21) A4-23) С другой стороны, деля G.17) на G.16), получим A4.24) Внося v из A4.23) в формулу A4.24), получим явную зависимость tgВо от С . Остановимся опять на гиперзвуковых движениях. Здесь угол v будет мало отличаться от ро (см., например, построение v по рис. 4
102 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I и 5). Между пластинкой и скачком образуется очень тонкий слой весьма уплотнённого газа. Картина течения напоминает ту, что отве- отвечает теории Ньютона; согласно последней, частицы воздуха ударяют о тело и затем продолжают двигаться уже по поверхности тела. Надо отметить, что для М ^> 1 сходство с теорией Ньютона оказы- оказывается не только качественным, но и количественным. В самом деле, легко можно убедиться в том, что при очень больших М и неболь- небольших Во коэффициент давления будет пропорционален В2, как это сле- следует из теории Ньютона. В самом деле, сначала заметим, что по A4.24) при малых |v| (а значит, и малых |В0|) величина sin2v— 1/М2 будет малой более высокого порядка, так что при- приближенно можно записать 2 cos / 1 Заменяя здесь sin v на v, cosv на 1, tgB0 на Во, получим „ ^ * + 1 о •~ 4 ™ или для очень больших М: v^^±^-B0. A4.26) С другой стороны, по A4.23) имеем Сря**ТТт(*-Мг) (U-27) или для М^>1 Ср ^^-j-v2, т. е. по A4.26) Ср «(-/+1)^. По Ньютону мы должны иметь Ср = 23о. Обе величины будут со- совпадать при ч=1. Любопытно отметить, что выражение для скорости звука ]Лс/?Г будет совпадать с выражением ньютоновской ско- скорости У RT также, если 4=1. Формулы A4.25) и A4.27) для М ^> 1 ближе к точным форму- формулам, связывающим С и Во, нежели аналогичные линейные формулы. н Действительно, по линейной теорш- мы имели бы просто (стр. 98) На рис. 40 нанесены значения С для величин М = 3, 5 и 10 соот- ветственно по точным формулам A4.23), A4.24), по линейному за- закону и по формулам A4.25), A4.27). Из рисунка видно, что при М = 5 формулы A4.25), A4.27) дают почти точные, а при ЬЛ= Ю — весьма точные результаты.
14] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 103 Так же, как и для верхней части пластинки, характерной вели- величиной будет произведение К=М$0- Именно, комбинируя A4.27) и A4.25), можно написать: При значениях |Р@)|, близких к $* (определённому в § 13, стр. 79), но меньших, нежели р„, можно пользоваться приближён- приближённым метоюм, указанным в предыдущем параграфе. Еслир*< |[30|<[Зтах, ^s гиперзбук линейная теория точные значения четбертое приближение 2 4 6 8 Ю Рис. 40. причём (d$BldxH = (d$nldx)Q — 0 (кривизны равны нулю), можно ожидать ещё, что поверхность разрыва будет «прилипать» к точке О, хотя после прохождения поверхности разрыва около О возникнут дозвуковые скорости. К анализу движения нужно теперь подходить с большой осторожностью; так как движение после прохождения разрыва будет происходить (во всяком случае близ точки О) с до- дозвуковыми скоростями, уравнения движения будут теперь эллипти-
104 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 ческого типа; даже если обтекаемый контур будет обладать конеч- конечным прямолинейным участком (как это было на рис. 35, или же, если рассматривается, например, обтекание пластинки, поставленной под углом | р | > р,,.), поверхность разрыва, образовавшаяся перед ним, станет криволинейной, возникнут вихри, и задача окажется весьма сложной. Более того, Крокко (Сгоссо) показал, что наличие кривизны контура ускоряет «отскакивание» поверхности разрыва, так что здесь прилипание может осуществляться лишь, если I P [< Ркр- ™е P* < Ркр < Ртах- Но, пожалуй, самой большой трудностью явится то, что мы выну- вынуждены будем обратиться здесь к исследованию движений, происхо- происходящих в одной части плоскости с дозвуковыми, а в другой со сверх- сверхзвуковыми скоростями. В самом деле, если обтекаемый контур ограничен в направлении оси Оу [например, если речь идёт об обте- обтекании пластинки (рис. 38)], то можно ожидать, что его возмущаю- возмущающее влияние на больших расстояниях пропадает и после прохождения разрыва скорость на некотором расстоянии от контура останется сверхзвуковой. В §§ 19, 20, 21 мы изложим некоторые работы, относящиеся сюда. Особняком стоят здесь результаты Релея, который дал точную формулу для подсчёта давления за поверхностью разрыва. Речь идёт об обтекании газом, имеющим сверхзвуковую скорость, тупого (встречающего под прямым углом ось) профиля, симметрич- симметричного относительно оси потока. Сосредоточим внимание на частице, движущейся по оси симметрии. На некотором расстоянии от профиля она пройдёт, как показывает опыт, сквозь поверхность сильного разрыва, а затем добежит прямолинейно до профиля в точке Мо его пересечения с осью симметрии с тем, чтобы после этого начать дви- двигаться по криволинейной траектории, огибая профиль. Найдём давление в точке Мо. Если не учесть появления перед стенкой сильного раз- разрыва, то давление в Мо следовало бы рассчитать просто по уравнению Бернулли, полагая в нём v = 0. Релей первый обратил внимание на появление поверхности разрыва и на связанное с ним изменение давления в Мо. Чтобы дать формулу Релея, предположим, что газ движется с постоянным давлением pv постоянной плотностью pj и постоянной скоростью vx>. При этом 1 *-1 а i ni/i. Д2— * ~~ 1 7,2 | о . х ft я * Пусть vXl > о*. Образуется поверхность разрыва, причём
§ н] КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 105 Найдём сперва р+; полагая в G.15) coscp=l, получим Р+ = v\ 2* y—1 рх «J х+1 По уравнению Бернулли (8.10) можно написать: х-1 A4.29) р2 где р%— давление в Мо при наличии сильного разрыва, но по (8.9) 1 — —1 так что х-1 A4.30) Но по E.10) и E.14): Ъ. Pi р+" и мы можем переписать A4.19) следующим образом: ^С— +<¦+¦>,*;]}• Комбинируя A4.29) и A4.31), мы можем составить отношение для различных величин vxjav Здесь приведены для сравнения две таблицы: таблица А даёт р^Р\ в предположении, что существует поверхность разрыва, таблица Б даёт р2/р1 по уравнению Бернулли, т. е. так, как если бы поверхность разрыва отсутствовала. Рядом с vxjai мы помещаем всюду более показательную величину vxja^. Таблица А Таблица Б а, а* Рг Pi 1 1 1,19 2 1,63 5,82 3 1,96 12,4 4 2,13 21,7 а, Pi Pi 1 1 1,89 2 1,63 7,80 3 1,96 36,4 4 2,13 149,1
106 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I На рис. 41 изображены две кривые (I по закону Релея, II по урав- уравнению Бернулли) в функциях от числа Маха vxjal набегающего по- потока. Для больших значений vxjal мы можем воспользоваться при- приближённой формулой, полагая вместо A4.19) Ра. . 30 а, и принимая вместо A4.20) Р\ 4х 2 3 4 Рис. 41. 4* Формулы A4.30) и A4.31) суть формулы Релея. Значительно больше изучены движения, происходящие со всюду дозвуковыми скоростями. Прежде всего нужно упомянуть здесь точную теорию струй сжимаемой жидкости, принадлежащую Чаплыгину; дока- доказаны также теоремы существования (Франкль и Келдыш, Христианович); разработаны эффективные методы приближённых расчётов (Христиа- (Христианович, Некрасов и др.) и даны приближённые оценки влияния сжи- сжимаемости (например, теорема Прандтля — Глауэрта (см. § 29)). Прежде чем переходить к изучению движения при дозвуковых скоростях, остановимся ещё несколько на исследовании вихревого движения и дадим приём построения различных классов вихревых движений как с до, так и со сверхзвуковыми скоростями. § 16. Функция х- Примеры. Точные решения. Если движение безвихревое, то система двух уравнений в частных производ- производных (9.5), (9.3) первого порядка с двумя функциями vx и vy может быть заменена одним уравнением второго порядка с одной функцией. В самом деле, при 2 — 0 существует потенциал скоростей Ф, так что дФ дФ v*—~5x' vy—~dy"- Вставляя его в (9.3), мы получим наше уравнение: {а\ - Фх) »] Фхх - = 0. A5.1)
§ 15] ФУНКЦИЯ / . ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 107 заменяющее, в случае сжимаемого газа, уравнение имеющее место для несжимаемой жидкости, Рассмотрим, однако, общий случай, когда движение вихревое, т. е. 2 Ф 0. Функция Ф здесь не существует, однако мы можем ввести некоторую новую функцию и построить для неё единственное уравнение в частных производных 2-го порядка, линейное по отно- отношению ко вторым производным и решающее вихревую задачу. Чтобы построить эту функцию, перейдём сперва от независимых перемен- переменных х и у к переменным \ и ф, где ф(х, у) есть введённая выше функция тока [ф(лг, у) = const.—уравнение линии тока], а \ —х. Мы имеем, кроме уравнения Бернулли: A5.2) и условия адиабатичности р = &х(ф)р\ A5.3) одно из уравнений dvx ¦ dvx 1 _д? .. _ .. dvy dvy I dp и определение ф: Замену переменных очень легко сделать, если написать сперва по A5.6): iy A5.7) и затем, заменив х на 5: dx = dl, A5.8) решить A5.7) относительно dy: dy== — d?-| rfi]). A5.9) Мы можем теперь написать: 4-=-?-. 05.10)
108 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. I Удобно затем перейти к переменным ? и ф в A5.5). Получим: dvy dvy дф \ dvy <Эф 1 др йф "dT + ~5f 5*7 + ^"Эф" 7 = ~ 7 ф"7' A5Л2> Заменяя vx и vy (не входящие под знаки дифференциалов) по A5.6) и производя сокращения, получим окончательно простую формулу duu dp A5ЛЗ) Теперь мы можем легко построить то единственное уравнение, о котором мы говорили. Из A5.13) заключаем о существовании функици х(?> Ф) такой, что Уравнение A5.10) может быть теперь написано, если принять в ра- расчет, что г»? -f- v2 — v2, в виде: 4?- = ' -Й-, A5.15) где w2 следует выразить по уравнению Бернулли и на основании A5.14), в виде: Уравнение A5.11) можно представить, используя A5.3) и A5.14), в виде: ' '('')"" A5.17) Правая часть уравнений A5.15) и A5.17) не содержит функции у; перекрёстным дифференцированием мы исключим таким образом у и получим одно уравнение для определения функции х> уравнение, о котором мы упоминали выше: 05.18) Мы считаем всегда & и /0 заданными функциями ф. Определив из уравнения A5.18) функцию х(?> Ф). мы можем затем, путём простых квадратур, найти у(|, ф) из уравнений A5.15), A5.17). Линии тока в плоскости (х, у) будут таким образом найдены: достаточно положить
g 15] ФУНКЦИЯ 1- ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 109 в функции у = у (?, ф), ф = const. Компоненты скоростей г^ и г>у и давление р найдутся из A5.16) и A5.14) как функции ? и ф и, поскольку нам известны линии тока, легко могут быть получены как функции от х и у. Задача о дгижении будет решена. В качестве примера на применение функции х найдём все движения, при которых давление сохраняется вдоль линии тока (см. § 6). Здесь Р=РШ т. е. по A5.14) и, значит, где q (ф) — неизвестная, так же, впрочем, как р (ф), функция ф. Теперь A5.15) и A5.17) примут вид: ду ^ 9р-№ где р' = dpjd^, q' = dqjdty, a i>2 на основании A5.16), зависит лишь от ф. Предположим сперва, что т. е. что давление различно на разных линиях тока. Первое из уравне- уравнений A5.19) интегрируется и даёт: +5(ф), A5.20) где s{Y) — произвольная функция от ф. Дифференцируя A5.20) по ф и срав- сравнивая полученное выражение со вторым из A5.19), получим: лГ v* (а л. Ч' У v~v+y L dif р'2 р'2 \ р' j Щ р' Но переменная 5 входит сюда явным образом; очевидно, что написанное равенство будет иметь место лишь, если ^- = 0- -^--21 = 0 d'\i di> p' т. е. s = const., q'lp' = const., при этом четыре функции ф: v (ф), />(ф), 'о (Ф)> Э (ф) будут связаны двумя соотношениями: уравнением Бернулли и формулой
110 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. t линии же тока, согласно A5.20), будут иметь вид E = х): V2 (у + COnSt.J + (X + COnst.J = —jj . Это — семейство кругов с общим центром. Если р' = 0, то давление одинаково во всём пространстве. Вследствие первого из уравнений A5.19): а'% , /тч ду . d a' ds Но по второму из A5.19): ду __ (Эф ~ поэтому должно быть = 0, т. е. q — = const., V2 и семейство линий тока будет семейством параллельных прямых: у = const, х 4- s (ф). В качестве второго примера рассмотрим безвихревое движение с $ = const., /0 = const. Здесь величина скорости к выражается по уравнению Бернулли через одно р: »-1 v* = 2lt — 2~jp * . A5.21) Попытаемся найти все те движения, в которых также и направление ско- скорости Eггол наклона её Р) зависит лишь от давления: [i = р (р), так что vx = v cos p = ^ (р); t/j, = wy (/р). Тогда dp dvy dvy dp '^7==~Г= ~df~di' и мы получаем, интегрируя это уравнение: d'b d\ dvv f г ^ dp где /, (р) — неизвестная функция от р. Удобно далее ввести в качестве переменных вместо 5 и ф величины р и ф = ф. Тогда 5 = * = -^Ч +/,(/>): Ф = ф. 05.23) и мы можем написать dy dy rffy dy ду ду ( d2vy _
§ 15) ФУНКЦИЯ у. ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ \\\ Вставим сюда ду/дх — ду/д1 из A5.15), а ду/д]> из A5.17); так как из A5.14): то получим: ду fv dvv Ър~1/Х d лг—2 j dv* V —u2 dp ' ду Первое из этих уравнений иитегрируется и даёт У = --^4+/*(/>). A5-24) где /2 — произвольная функция р. Вставляя это у во второе уравнение, видим, что для возможности движения выбранного нами типа должно быть d4x d2vv dp vx dp A5.26) Уравнение A5.25) показывает, что связь между (J и р не может быть про- произвольной; уравнение A5.26) мы используем при установлении краевых условий. Обращаясь к A5.25), замечаем, что " \ " 1 \( 2V' г / 2\ '2 '2 х х > У У 2 1-^ ^' ^ У' \ X у — IT (vi)" — ("' cos р — w sin ffi'J — (f' sin p + v cos JJ?'J = vv" — v2$'2. Но тогда A5.25) даёт: — = P'2. A5.27) С другой стороны, вследствие A5.21), a*~ }' dp2 %v va v3 где а — по-прежнему скорость звука. Таким образом, A5.27) примет вид: / dp \2 Ь2р~2/Х I v2 \ \~dj) =~Т* \~aY~1)' Для возможности движений рассматриваемого здесь типа необходимо, чтобы выражение в скобке в правой части было положительно, т. е. чтобы
112 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I было v > а Таким образом, отыскиваемое нами движение возможно только при сверхзвуковых скоростях Далее, dp dv dp dv v Поэтому, извлекая из обеих частей квадратный корень, получим _ dv ~ аи Но эта формула в точности совпадает с формулой A0.3), дающей связь между риг» вдоль характеристик Следовательно, отыскиваемые нами дви- движения будут такими, что одно из соотношений С (—) т S = const. выполняется не только вдоль характеристики, но и во всей области дви- движений Мы уже упоминали [ § 11 A14)], что здесь могут быть даны решения в замкнутом виде. Эти решения мы сейчас и получили Обращаясь к опре- определению /] н /2, привлечем контурные условия Предположим, что речь идет об обтекании контура y = F(x), A529) где F— заданная функция от х Заметим, что A5 23) и A5 24) при ф = const, представляют параметрические (с параметром р) уравнения линий тока. Пусть на обтекаемом контуре ф = 0 Тогда, вследствие A5 29), должно быть 05.30) Но по A5.26) dp Л dF df} dfx dp (/>>) sP dp следовательно, -|^- = tgp. A531) Уравнение A5 31), решенное относительно /,, и даст /, в функции JJ, т. е. через />, уравнение A5.30) даст затем /2(/>) Задача будет решена. Отметим, что по A5 21) и A5 28) dvx dv cos В dv . rfB - — — - = —г- cos В — v sin я r — rf/> dp dp v ^ dp cos т. e. x-l sinB&p-1/* /" t<2 , = *> „I У р—1. — __ — — dp f.vp sin a и аналогично dvv sin (i;P) = - Psma sin (a q: p) A5.32)
§ 15] ФУНКЦИЯ у ПРИМЕРЫ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 113 причём по A0.5) arc fS (Vt~\- 1&а) +const- Таким образом можно записать A5.23) и A5.24) в виде: X = X COS (а х В) A5 34) V Sin а . г ——— Sin (ax ft) <],+/,(/>). При практическом использовании формул A5.34) надо вспомнить, что v и sin а связаны соотношением (9.22) (уравнение Бернулли) = ^±| * A5.35) х-1 2 sm2c( ' х— 1 и что р и sin а связаны, вследствие (8.10) и A5.35), соотношением Тогда A5.34) примут вид: cos <¦ Так, например, при обтекании угла (задача, решенная в § 12) мы должны положить Тогда будет т. е. далее будет Ч^ и, вследствие A5.33), вводя 6, по формуле A2.4), получим сразу где 8 Теоретическая гидромеханика, ч. II
114 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Г § 16. Дозвуковые скорости. Теория Чаплыгина. Примеры. Переходя к движениям, происходящим со всюду дозвуковыми ско- скоростями, мы начнём с точных решений, получаемых в явном виде. Эти решения были даны в замечательных работах Чаплыгина, содер- содержащих обобщения теории струй Кирхгофа — Жуковского на случай безвихревого движения сжимаемой жидкости. Имеем безвихревое движение и берём уравнение Бернулли в виде: A6Л) где р0 = const, вследствие отсутствия вихрей. В формуле F.5) пишем роф вместо ф (иная нумерация линии тока) Введём потенциал скоростей ср: dx ду A6.3) Оставим 9 и ф в качестве искомых функций, но введём в качестве независимых переменных вместо координат х и у величину ско- скорости v и угол наклона C скорости по отношению к оси Ох. В этом и заключается преобразование Чаплыгина. Прежде всего имеем: vy = v sin J По A6.4), A6.3), A6.2) будем иметь: Решая эти уравнения относительно dx и dy, получим: A6.4) A6.5) A6.6) Это значит, что дх_ dv дх — cos dtp -^ sin В -^_ pi> r dv 1 п Of _Po. pi/ sin d? d^ dv dy 1 . q dy ~d$ v ' dp A6.7)
161 ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА ПРИМЕРЫ 115 Нам остаётся только исключить хну путем перекрестного диффе- дифференцирования уравнений, входящих в A6 7) соответственно. Мы по- получим сперва (ро/р по A6 1) зависит лишь от v): — sin ft df ро о dty cos Э dtp .pdji d ( ?o \ v dv pu l ov z^2 dp r d^ rf^ \ ?v) cos S d» pn n d>V sin 3 дц> , л di> rf / Pn \ ^__ T . _± Z— Sltl D ' ¦—~ ^"^ С О S О .' , I * \ v dv pu ' dv v2 d$ ' г dp rfi/ \ pv /' Умножая первое из этих уравнений на —sin p, второе на cosj3 и складывая, получим: ±JtL — JL(A. 1L (\б r) v dv ~ dv \"pTJ d? ' lU)'SJ Умножая первое из наших уравнений на cos^, второе на sinp и скла- складывая, получим: Представляя ро/р по уравнению Бернулли A6.1), будем иметь: V2 d а ро dv p« dv или, так как по (8.9) Ро — 1 1- -/.—1 v2 а2 v ?v< ! *-l * — 1 =М2— I, ¦*.+ ! а% где М = г>/а, мы можем написать вместо A6.8) ду М2 — 1 р0 <Эф A6.10) Наконец, введем вместе с С. А. Чаплыгиным вместо v величину т: A6.11) Мы получим окончательно: 1 — У,—1 A6.12)
116 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ. 1 или одно уравнение для ф: f 1 хГ"^^] 1 у. 4-1 ~x1 \l ТГ пб 134 Уравнения A6.12) и A6.13) решают вопрос о движении газа, если известна область переменных т, [3, отвечающая этому движению, если дано ф на границах этой области, если везде внутри области -с, C. функция ф со своими первыми производными конечна, однозначна и непрерывна, наконец, если всегда будет 0<т<-^=1, т.е. 0<v<a^, A6.14) и только в отдельных точках контура области может быть т = 0 или х j i= . 1 • Остановимся на доказательстве определённости вида функ- функции ф, удовлетворяющей указанным условиям. Применим доказатель- доказательство от противного: пусть есть две функции <\)х и ф2> удовлетворяю- удовлетворяющие нашим требованиям; покажем, что ф,—'-|>2 — 0- Функция ф3 = ф,—ф2 в данной области (т, р) конечна, непрерывна, удовлетворяет уравне- уравнениям A6.13) и обращается в нуль на контуре. Умножим A6.13) на фзйкйф и проинтегрируем по всей нашей области (х, [3). Обозначая результат интегрирования через /, получим без труда где двойной интеграл распространён на всю площадь (т, Р), одно- однократный— на её контур. Но на контуре будет ф3 —0, значит, равен- равенство / = 0 может иметь место лишь при условии равенства нулю двойного интеграла, а при высказанных выше условиях подынтеграль- подынтегральная функция в этом интеграле не может быть отрицательной. Ясно, что надо принять эту подынтегральную функцию равной нулю, так что внутри области будет везде т. е. фз = В работе С. А. Чаплыгина доказывается, на основании A6.14). что и ср и ф, рассматриваемые как функции координат х, у, не имеют
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ Ц7 в области течения ни максимума, ни минимума; далее доказывается с помощью A6.10) и A6.11), что р как функция от 9 и f не имеет ни максимума, ни минимума, а х не имеет максимума (минимум т = 0). Отсюда следует, что в области ср и ф не может существовать зам- замкнутых кривых, вдоль которых х, у, г, р сохраняли бы постоянное значение. Наконец, из A6.12) заключаем о невозможности существо- существования максимума или минимума функций ср и ф от т и C. После того как функция ф, а за ней ср определены, остается ещё показать, что эти функции действительно представляют функцию тока и потенциал скоростей, т. е. надо показать, что формулы для ср и ф определяют х и C в зависимости от л; и у однозначно. Для этого достаточно показать, что якобиан D(x, y)/D(x, [¦}) не обра- обращается в нуль внутри области (х, C); рассчитаем этот определитель: D (х, у) _ D (х, у) D (у, ф) D (т, р) ~ D (Ь ф) ' D (т, р) • Но на основании A6.6), A6.7) и A6.1): D (х, у) __ A — х) *~' х—1 ?>(?. ф) ~ а^т х+1 ' и на основании A6.12) > ZEL\ D(t.P)— 2т A-х) ^ х' х4- 1 Отсюда видно, что если всюду будет 1 ^-рх^-0, т. е. v-^a^, то равенство О(^.У) _п возможно лишь при обращении в нуль обеих производных д§/д$ и d'ifjdx одновременно. Это может быть лишь в исключительных случаях. Обратимся к задаче о струях. Будем рассматривать течения газа, преграждённые плоскими стенками, с краёв которых газ срывается, обтекая затем области постоянного давления. Будем искать частное решение уравнения A6.13) в виде: где zn (x) — функция одного т, а п и а„ — постоянные. Для определения 2„ получаем уравнение \—1±± т
118 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t ИЛИ , 2 — v. Положим теперь: мы получим для определения уп уравнение: y-=ft <16Л6> Это есть известное уравнение для гипергеометрического ряда. Со- Составляя характеристическое уравнение для показателя р в области точки т = 0, имеем: р(р — 1) + Bд+1)Р = 0, т. е. Pi = 0; р2 = - 2/i. Сохраняя то решение для ф, которое остаётся конечным при х = 0 (т. е. беря р, = 0), мы будем иметь, пользуясь обозначением Гаусса: \-e), A6.17) где Посмотрим теперь, какие из задач указанного выше типа могут быть решены при помощи функции <(* = A -f В$ + 2 5««в (") sin Bяр + «„). где я пробегает счётную последовательность возрастающих положи- положительных значений, А, В, Вп, ап — постоянные. Так как газовая струя ограничена линиями тока, то вдоль кон- контура области (х, |3) функция ф должна принимать те или иные по- постоянные значения. При этом, если рассматриваемая часть контура отвечает плоской стенке, то вдоль неё [3 = const.; если же речь идёт о свободной поверхности, то там будет Pi~ const., и по уравне- уравнению Бернулли v~vx = const., а значит, и = т, = const. ¦ 1 Сравним теперь нашу задачу с задачей о течении несжимаемой жид- жидкости при тех же граничных условиях, т. е. при том же располо-
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ Ц9 жении стенок, при тех же скоростях в бесконечности и при тех же скоростях на границе струй. Задача о струйном течении несжимае- несжимаемой жидкости была решена по методу Жуковского в части 1. Сле- Следуя этому методу, найдём связь между переменными 1п-^- + Ф = In]/ -^--f-/p и ¦о/ = Ф -(- *ЧГ, где Ф и I — потенциал скоростей и функция тока в соответствую- соответствующей задаче о несжимаемой жидкости. Пусть мы получили A6.18) предположим, что / может быть разложена в ряд вида: (где К, В, Кп — постоянные), так что f *п), A6-19) где А, Вп— некие постоянные. Наша задача о течении газа разре- разрешится тогда формулой: ^(?)П^ап), A6.20) где уп(~) есть гипергеометрический ряд A6.17), уп х = уп (ij), I — постоянные, а А, В, Вп имеют как раз те значения, которые входят в A6.19). В самом деле, при т = tL правые части A6.19) и A6.20) совпадают, — значит, если было W — const, при -1 = 1^, то будет ф^= const, при 1 = ^. Далее, если при каком-нибудь значении C .= [30 функция, определяемая A6.19), не зависит от т, то это будет лишь, если sin BяC0 -f- ал) = 0 при всяком п, участвующем в сумме. Но тогда и правая часть A6.20) будет постоянна при том же C. Таким образом, ф из A6.20) будет удовлетворять граничным условиям за- задачи. Формально A6.20) удовлетворяет уравнению A6.13). Таким образом, если ряд A6.20) будет сходиться при всяком т < т^ а при т = т1 будет стремиться к тому же пределу, что и ряд A6.19), причём не только ряд A6.20), но и ряды, составленные формально из A6.20) путём его почленного дифференцирования по х и C, будут сходиться абсолютно и равномерно, то мы вправе считать, что частные производные дф/ck и дф/<?C находятся путём дифференциро- дифференцирования ряда A6.20) и что ф будет действительно искомой функцией тока; тогда, используя A6.12) и A6.6), мы сможем по известному ф
120 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I найти <р, х и z. Задача будет решена. В частности, по A6.12) имеем для d<f. X— 1 — Я- 2т A-х) 2,(l-x) Заменяя члены, стоящие при dx под знаком S, при помощи A6.15) и выполняя интегрирование, получим без труда: 1 , A6.21) —" \  / /Л. 1 где х = 1 4- — — " ^ п Уп Доказательства сходимости даны у Чаплыгина. В качестве первого примера на применение метода Чаплыгина рассмотрим удар струи газа в пластинку, перпендикулярную началь- начальному направлению струи; предположим, что струя симметрично делится пластинкой на две части, причём дана длина пластинки 11 и толщина струи на бесконечности — 2Ь, а также задана скорость на границе струи. В случае соответствующего движения несжимаемой жидкости потенциал Ф и функция тока W связаны с In vjv и f) формулой A6.22) где Q/2 и —Q/2 суть значения W на верхней и нижней внешних границах струи соответственно, а от — угол, под которым каждая из двух частей струи наклонена к оси X на бесконечности [см. часть 1, глава шестая, формула A7.10)].
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 121 Чтобы решить задачу о струе газа, разложим A6.22) в ряд и отделим его действительную и мнимую части. Имеем сначала: Щ- w = 2 In sin (В — i In -?-) — In [sin2 (б — Лп ^j — sin2 m] = = 2 In sin U — i In ^A — In [cos 2m — cos 2 (В — / In -^j-\j -(- In 2 = = 2 In Sin : In Sin : In Sin :In Sin:In Sin:. Вводя вместо тригонометрических функций показательные, получим: — In LI — e . [e-2n(p-m)( ! t In!T ~~22J~—n— t1 ~cos 2nm^ ^cos 2n$ ~l sin 2n^~ Наконец, для W получаем, вставляя 2 In vjv = In ijs: sin Таким образом, для газовой струи можно написать Вследствие A6.21) мы можем затем написать E = 0): (мы взяли С = 0, что означает, что при т = В == 0 мы берём не только ф = 0, но и <р = 0). Остаётся только определить значение чисел Q И т.; воспользуемся для этого известными нам величинами I и Ь. Для определения Q представим поток жидкости через прямую,
122 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ t перпендикулярную к оси Ох и находящуюся на бесконечности «слева», двумя способами: во-первых, +ь \ +ь j vp dy I = J ulPl dy = 2bvlPl, -ь где Pi = Ро | 1 — во-вторых: fvpdy] =*[fpo$-dy\ =PoQ; \-г> /jt=-oo \~ь таким образом, A6'25) Чтобы найти от, запишем, что длина пластинки есть 21. Так так при перемещении вдоль пластинки будет ф = const., т. е. й?ф —0, то вдоль пластинки кроме того, на пластинке P^const. „ rf9 = - Таким образом, вдоль пластинки но, вследствие A6.6), ду sin 3 sin Так что вдоль верхней части пластинки будет (f) =
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 123 и, следовательно, Воспользовавшись второй из формул A6.12) для выражения dy/dz и вспоминая уравнение A6.15), которому удовлетворяет zn = *nyn, получим для /, вследствие A6.23): В этом уравнении I нам задано, a Q определяется по A6.25). Та- Таким образом, мы можем из A6.26) найти т. Остановимся ещё на выражении сопротивления R пластинки. Очевидно, что f ^ где р1 — давление, отвечающее скорости vl, т. е. давление позади пластинки. Но по уравнению Бернулли [формула (8.10)]: X X где р0 = J" а|р0. Таким образом, будем иметь для R: со D_ Q а %-4-1 V С")" 1 —cos2wm "¦ Р 2 ^ у ] ч _- Интегралы, входящие в A6.26) и A6.27), легко вычисляются. В самом деле, обозначая неопределённый интеграл A6.26) через
124 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I /л(т), имеем: 1_ I г- *"' , A- ~s~ x~l 1-х) "-1 dx. Но вследствие A6.15) последний член справа даёт 1/4/г2 /я (-с). Та- Таким образом: 4л2 Что же касается неопределённого интеграла из A6.27), то его можно представить в виде: J A _ х)т=г dIn = A _ ху=т 1п + _^_ J A _ т)т^- /л (х) dx = = A - '=)^Г'« + 1^Т-^Т V^V A6.29) Замечая ещё, что вследствие A6.28) /я@) = 0 (ггл = хлул)( напишем A6.26) в виде а A6.27) даст вместе с A6.30):
Э 161 ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 125 Первый и третий члены правой части сокращаются (см. выражение для р{). Что же касается суммы, то она вычисляется в виде V1 / 1\п+1 1 — cos 2nm те ., . ,,,... 2/—*> 4я»-1 ==TA~COSm)- A6.31) 1 Заменяя l/ _ 1 д« ^Ti — v\ и вставляя Q из A6.25), получаем: A6.32) Запишем ещё, используя A6.28) и A6.31), I из A6.30) в виде 1 = S— 1-|A — cosot) + -T1)-^r. A6.33) 1" т у т Легко видеть, чтохл=1+-^ = Я A6.31) на A6.33), получим окончательно 1 л+^ Я7ЛГ + ^^] ДбЛЯ V (_ i)«+i ^«М A _ cos2«m) , A6.34) 1 1 — cos m 1 где р1 — по-прежнему плотность позади пластинки. Напомним, что т приходится определять из A6.33) после того, как Q известно. В случае, когда b — со, т. е. на пластинку набе- набегает поток бесконечной ширины, мы получим, очевидно, от —0. В качестве второго примера рассмотрим истечение газа из беско- бесконечно широкого сосуда. Пусть давление во внешнем пространстве есть pv давление внутри сосуда, на бесконечности, там, где ско- скорость и=0, есть р0. Пусть р0 > pv Обозначим ширину отверстия
126 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ I ВВ' (рис. 42) через 2Ь, а угол, который составляют стенки с осью Ох, — через qn/2 (при q = 1 получим истечение из сосуда, у ко- которого стенки служат одна продолжением другой). Для соответствую- соответствующей задачи в несжимаемой жидкости мы будем иметь (lm. ч. 1, стр. 321 и далее; мы применяем рассмотренную там нумерацию ли- У ний тока): A! w = Ф -f iW = " Q — _Л ]n /Sin I It A6 35) При этом, когда E = 0, мы имеем справа действительную величину, т. е. W = 0 (ось Ох— середина струи). Если р = Tzq/2 (прямая АВ), получим Рис 42. W=—Q/2; то же значение W будет на нижней границе ВС струи {vjv= 1, > 0). Если же р = — тг^/2, то 47 = Q/2 (стенка Л'Л'), и если р < О, = ©! (верхняя часть fi'C' струи), то тоже будет 5; Мы можем представить w в виде: к \ q ' q v Разлагая в ряд In, получим: ¦ In 1 _е-2(Э-< In *,/?)« |. A6.36) так чго, если vjvi=^(rzjxl)^, то f!=l Q ^ ~ q LL1 2n Ряд этот — абсолютно сходящийся, и, применяя формулу A6.20), получим для функции тока <j\ определяющей истечение сжимаемой жидкости из того же сосуда и при той же скорости на струе: n=l Уп/q A6.37)
§ 16] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 127 Потенциал скоростей по A6.21) запишется в виде (В = — 1/<7): __i 1 Г A-т) '-1 wj Остаётся только определить Q. Чтобы сделать это, найдём, как меняется у вдоль струи. Определим сперва вообще у как функцию от т до р. Для этого напишем выражение для ду/дф. Имеем: ду ду ду . ду дф Но ду 1 йф. р v sin р (?у 1 69 v cos C ^ ~ ^ ТУ 1Г ~" "р7 "~Z5 ' lH}~~D!)x~ D~' где Таким образом, Воспользовавшись A6.37) и A6.38), мы получим: y ft — 1 Интегрируя по (З, получим: <-w — — (i — v Z^i^r) "^—г ° / T" l 3 1 1 cos ^ cos p dp — -sinp(l — x) x-',
128 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ [ где С(х) — произвольная функция от т. Так как при должны получить у — 0, то следует считать С(т)==0. Вдоль линии тока т = xt (граница струи) имеем '): = 0 мы osMdp -^ -1 sinP. О и=1 J Второй из интегралов, стоящих справа, легко вычисляется. В самом деле, так как по известной теореме тригонометрии т 2- sin Bm + 1L sin — q иы можем написать: J cos cos Ho 2az3 »r. .. 1 Г n —!- яр = hm -к- I cos p 4 m-*co ^ J /* sin \ sin- ' sin — причём знак плюс надо брать, когда у>0, и знак минус, — когда У<0. Итак, Таким образом, вдоль границы струи 1 я ,/ * + 1 2 ,, чТ—Г 2 sin p 2j *«. sin -^ причём — it/2 будет для нижней границы ф > 0) и тс/2 — для верх- верхней ф < 0). ') Подробности о сходимости рядов см. в работе С. А. Чаплыгина.
§ Кч ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 129 В точке В будет в точке В': Таким образом, мы получим связь между Q и Ь в виде: j CO n-l со 0 2 1 sii nBs An Мы вернёмся к несжимаемой жидкости, полагая 1/ -' а -с = = vx, хп->\, 1—Xj —> 1. Так как 4 2 sin -1-- то со p 7 I sin В sin -^- rf8 — / sin Bm +1)^ ! / = 4-111X1 j sinp —^-rfP-j-^ I sin0ctg--d3 = •-' z sin — J 9 о ;i = ±9| + 1 j sinpctg^-rf3, 0 причём верхний знак надо броть при 3>0 и нижний при 3 < 0. Теперь получим s^ctgl.3, о что совпадает с формулой A7.6) ч. 1, гл. VI; надо лишь, в согла- согласии с принятым там обозначением, заменить vx на с, а щB на а. 9 Теоретическая гидромеханика, ч. II
130 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Определим ещё «сжатие струи» в сжимаемой жидкости. Так же как и в жидкости несжимаемой, максимальное сжатие будет иметь место в бесконечно удалённой части струи (иначе ско- скорость получила бы максимальное значение где-нибудь внутри струи). Если ширина бесконечно удалённой части струи будет Ь', то и мы будем иметь Нужно помнить, что движения, о которых мы говорили в этом пара- параграфе, совершаются с дозвуковыми скоростями, в частности, в нашей задаче о струе, максимальные скорости не должны превосходить скорость звука, т. е. должно быть «1 < «*. что эквивалентно условию ?l <r Ь. — Ро ^ Ро в одном из следующих параграфов мы рассмотрим обратный случай: 1 ъ pi § 17. Дозвуковые скорости. Метод Христиаиовича. В настоя- настоящее время существует значительное число работ, посвященных при- приближённому решению задачи о движении газа с дозвуковыми скоростями. Работы эти можно разбить на две группы: в первой группе работ решение даётся последовательными приближениями, во второй авторы ограничиваются той или иной линеаризацией задачи. Мы изложим основные идеи метода последовательных приближе- приближений, предложенные Христиановичем, отсылая за деталями непосред- непосредственно к его статье !). По-прежнему считаем движение безвихревым и скорости всюду дозвуковыми. Введём прежде всего безразмерную скорость v — vjat ')Христиановнч С. А., Обтекание тел газом при больших дозву- дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 131 и новую искомую функцию S(v), определяемую из равенства V 1-Й- * dS=l/ ^Т1 A7.1) W где « — ^ 1 ¦ Уравнения A6.12) примут теперь, после простых преобразований, вид где A7.3) Введём в рассмотрение комплексную величину S — $ и обозначим через [)--|-^v некую совершенно произвольную аналитическую функ- функцию от этого аргумента = /(S — ф). A7.4) Связь между S, В, [л, v определится с помощью условий Коши—Римана; в частности, будет: dS д$_, dS_ d$_ .._ .. Так как d<o ду dfi i d<p dS dp d$ dp ^^ dS dp то no A7.5) и A7.2) будет Таким образом, если перейти в уравнениях A7.2) от S и В к [х и v, то получим: Наконец, л; и у можно связать с [х и v следующим образом. Согласно формулам A6.6) предыдущего параграфа, можем написать: dx _ cos p . dx po sin [ d<t v dty P "v dy sinp # _dy_ ^ cos p d<o v db P v A7.7)
132 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Зная S (а значит, и ti), р, ср и ф в функциях от ia и v, мы сможем, таким образом, найти х и у по формулам A7.7). Обратим теперь внимание на то замечатетьное обстоятельств, что если v^aO, то dS ^advjv, так что Ss: In f —j— const., a yKzal. Но тогда при малых v уравнения A7.5) и A7.6) будут в точности совпадать с уравнениями, описывающими в плоскости ([л, v) движе- движение жидкости, имеющей комплексную скорость ese~li и комплексный потенциат (р-|-/ф. При этом, как нетрудно убедиться, будет х ?5й |л, у ~ v. Обозначим вообще 1,0 0,9 0,7 0.6 ui Off 0,3 02 01 О / / / / 1 / ПК'ФФ, / 7(v) У \ \ О 0.1 в? 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0 Рис 43 S = lnV. Квадратурами можно найти из A7.1) выражение для V в функ- функциях от v. Именно, производя подстановку -i=4" = «2. A7-8) пол\чим 4,(l7.9) (h — uf 1 + и где с — произвольная постоянная. Эту последнюю выберем так, чтобы lim V/v—1. Так как вследствие A7.8) мы имеем v~>o Х= hm h (h-u)h~\l+uf TO ПО 1УЧИМ (A—1)' ft-1 1h ; 0,7579. A7.10) На рис. 43 изображены значения V и ]/ЛГ в функциях от v. Эти же величины даны в таблице II 1). Мы видим, что расхождение между V и v становится заметным лишь в промежутке 0,6<;г»<;1, а У К близко к единице в интервале О <С v -^0,5. Отметив это, пойдём дальше. До сих пор функция / в A7.4), связывающая S — ij3 с \l-\-1>, бьпа произвольной аналитической функцией. Попробуем теперь, ') Рисунок и таблица заимствованы из статьи С. А. Христиановича.
17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 133 Таблица II V 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,625 0,650 V 0 0,0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,3410 0,3862 0,4307 0,4734 0,5144 0,5535 0,5722 0,5904 1 0,9995 0,9980 0,9954 0,9917 0,9870 0,9811 0,9742 0,9655 0,9571 0,9467 0,9353 0,9224 0,9156 0,9083 Ук 1 1 1 0,9999 0,9996 0,9991 0,9982 0,9965 0,9940 0,9899 0,9840 0,9754 0,9632 0,9553 0,9461 V 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1 V 0,6080 0,6251 0,6413 0,6568 0,6717 0,6857 0,6988 0,7110 0,7223 0,7324 0,7413 0,7483 0,7546 0,7577 viv 0,9007 0,8930 0,8845 0,8758 0,8667 0,8571 0,8471 0,8365 0,8255 0,8138 0,8015 0,7882 0,7739 0,7577 0,9350 0,9221 0,9068 0,8925 0,8672 0,8416 0,8156 0,7740 0,7271 0,6788 0,6015 0,5092 0,3728 0 ориентируясь на указанное сходство с уравнениями обтекания в не- несжимаемой жидкости, поставить краевые условия для дифференциаль- дифференциальных уравнений A7.5) и A7.6) следующим образом. Рассмотрим в пло- плоскости ([л, v) некий замкнутый контур С (например, профиль крыла с задней кромкой — остриём — в точке А) и поставим следующие условия: 1) на контуре С [3 совпадает с углом наклона касательной к оси [х: 2) на бесконечности Voo^=e °°— заданная величина и (Зоо —0; 3) если С имеет острую кромку Л, то в Л V имеет конечное значение. Если тело острой кромки не имеет, то дано значение цир- куляции Г вектора Ve вдоль замкнутого контура, охватываю- охватывающего С в плоскости (jj., v). Эта группа условий позволит полностью найти из A7.5) функ- функции «S(|i, v) и J3 ([л, v). Следующие условия позволят определить v) и ( 4) на С ф = 0; 5) на бесконечности 6) наконец, потребуем, чтобы х = х(р, v) у=у([А, v), полу- получаемые при посредстве уравнений A7.5), A7.6), A7.7), давали взаимно однозначные отображения в соответствующих областях (t)., v) и (х, у).
134 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Прежде чем начать интегрировать систему A7.5), A7.6), A7.7) при краевых условиях 1) — б), выясним, отвечает ли это какой-либо гидродинамической задаче вообще и если да, то какой. Вследствие условия б), контур С будет в плоскости (х, у) пере- переходить также в замкнутый контур с (так как уравнения A7.7) опре- определяют л; и у с точностью до произвольных постоянных, то можно добиться того, что точке А будет отвечать какая-то заранее выбран- выбранная точка а контура с). Вследствие 4) на с будет ф — 0; отсюда на с будет . дх _,— , ду — ах = —— rfcp, ay = —~- dy ду ду и по A7.7) вдоль контура имеем Далее, бесконечно удалённая точка плоскости (jji.v) отвечает беско- бесконечно удалённой точке плоскости (х,у); при этом в плоскости (х, у) на сю будет вследствие 2): где Vqo — то значение v, которому по формуле A7.9) отвечает К —Коо. Наконец, используя A7.7), получим без труда вследствие 5) на со в плоскости (х, у): <fy _Ро__дф_ - ду_ Po<ty_A Если, например, мы сопоставим эти, полученные для плоскости (х, у), условия с уравнениями A6.1)-—A6.3), то придём к важному следствию. Всякий раз, когда мы решаем в плоскости ([л, v) систему A7.5) —A7.7) при условиях 1)—6), мы тем самым решаем в пло- плоскости (х, у) задачу обтекания некоторого контура сжимаемой жидко- жидкостью, имеющей определённую скорость на с». Система A7.5)—A7.7) может быть, однако, исследована гораздо проще, чем система урав- уравнений для сжимаемой жидкости. Более того, для A7.5)—A7.7) могут быть легко получены приближённые решения. Именно — задача интегрирования A7.5) при краевых условиях 1), 2), 3) 1) замечательным образом совпадает с задачей определения логарифма и угла наклона скорости в несжимаемой жидкости, обте- обтекающей контур С при циркуляции Г и имеющей на бесконечности скорость Усо. Христианович называет это движение фиктивным пото- ') Конечно, должно быть Уто < 0,7579, чтобы было vm < 1; см. уравнения A7.8) —A7.10).
§ i/j дозвуковые Скорости метод христианович^ 135 ком. Таким образом, как только мы сможем найти обтекание нашего контура С несжимаемой жидкостью — сразу же мы найдём V (а зна- значит, по A7.9) и v) и р в функциях от |л и v. Если мы теперь сумеем установить, какая точка плоскости (\х, v) отвечает той или иной точке плоскости (х, у), то мы узнаем распределение скоростей (v, C) в точках (х, у), а затем по уравнению Бернулли давление, и тем будет решена задача обтекания с некоторой скоростью на оо какого-то контура плоскости (х, у). Соответствие между точками ([л, v) и (х, у) устанавливается с помощью уравнений A7.6), A7.7) и условий 4), 5), 6). Именно, будет: = Г м s 3 А К A7.11) Г I sin 3 г i Ро cos 8 ,т\ i J \ V р V } МА (лгд, уА—координаты той точки плоскости (х, у), в которую мы переводим точку А плоскости ([л, v)). В частности, вдоль контура с будет (tf> = 0): /cos 3 ,— , /* sin В _,— , ... ,„. -z^rftp+хд; у=/ -JLdy + yA. A7.12) V 'J V х = о о Чтобы нагляднее представить степень отличия контуров С и с, по- построим функцию тока Ф и потенциал скоростей W для введенного выше фиктивного потока несжимаемой жидкости, обтекающей кон- контур С в плоскости ([л, v) с циркуляцией Г и со скоростью Voo на бесконечности. В частности, будет ф cos В . дч sin В дФ V ' дФ V ' так что (Ф =: 0) по A7.12) } + хА\ у= I -^-^rrfv-f-yA. A7.13) ^ v, v аФ Отсюда видим^ что для ^малых скоростей, когда Vjv близко к единице_(и_ ср близко к Ф), контур С будет близок к контуру с. Так как Vjv < 1, то контур с будет искажен по сравнению с С.
136 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Для точного определения величин х и у по формулам A7.11) или A7.13) надо выразить ср и ф через ц и v из уравнений A7.6) при условиях 4), 5), 6). Чтобы это сделать, Христианович разбивает каждое из ср и ф на два слагаемых: ср0 и ф0 удовлетворяют уравнениям С^ро л/ is "Yo • ^?о л Ггу~ ^Yo /1*7 1 А\ где Коо = К (vM), и краевым условиям: A7.15) При этом <р* и ф* должны удовлетворять уравнениям: дч ~ при условиях ф* = 0 на С и ср* и ф* ограничены на со. Интеграция A7.14) при условиях A7.15) совершается элементарно. Так как У^Ксо—постоянная величина, уравнение A7.14) означает, что ср0-j-/ УКаэ% есть аналитическая функция от ji-f-jv, и краевые условия A7.15) позволяют эту функцию определить. ср0 и y~K~Z% совпадают с потенциалом скоростей и функцией тока в соответствую- соответствующей задаче для несжимаемой жидкости. Однако при нахождении ср0 и У~Коо% не следует торопиться с определением «циркуляции» из условия регулярности в остриё А контура С (как это надлежало бы сделать в задаче обтекания).. Не надо забывать, что гидромехани- гидромеханический смысл имеют не ср0 и ф0, а суммы cpo-f-cp* и фо-4-ф*, поэтому надлежит оставить циркуляцию, входящую при определении ср0 и ф0, назовём её Г*, неопределённой с тем, чтобы после нахождения <р* и ф* найти Г* из условия 6) для ср и ф (т. е. требуя, чтобы обрати- обратились в нуль интегралы типа A7.11) по замкнутому контуру, обходя- обходящему вокруг С). Для определения <р* и ф* Христианович пишет -Ф, A7.16)
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 137 где срп(л=1, 2) удовлетворяют уравнениям: A7.17) а Ф и W: причём ф! —ф2 = ч7 = 0 на С и все шесть функций ограничены на бесконечности. Уравнения A7.17) сводятся к уравнениям Пуассона. Путём остро- остроумного и тщательного анализа, на котором мы здесь не останавли- останавливаемся, Христианович не только даёт в эксплицитном виде (квадра- (квадратуры) решения системы A7.17), но и находит точные выражения главных членов функций ср„ и ф„ (п = 0, 1, 2) на бесконечности. Затем он показывает, что Ф и ЧГ на бесконечности регулярны. Но тогда известны главные члены функций ср и ф, и мы можем подо- подобрать Г* так, чтобы выполнилось для ср и ф условие 6). Далее Христианович получает: Г где М9, = (^9 =Л а Г—полное значение «циркуляции» в задаче о движении сжимае- сжимаемой жидкости. Мы уже упомянули о том, что при малых скоростях искаже- искажение с по сравнению с С незначительно. При малых скоростях для определения контура с можно ограничиться «первым приближением», полагая сря=;<р0, фяь;ф0. Остановимся на первом приближении подробнее. Обозначим /^о = Ф*+^*1)- A7.19) ') Разница по сравнению с Ф + i4f та, что здесь циркуляция будет Г, а не Г. В случае отсутствия циркуляции Ф* +/ЧГ* = Ф-f-if'*'.
138 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I В работе Христиановича и Юрьева') дан анализ первого прибли- приближения как для циркуляционного, так и для бесциркуляционного обтекания. В первом приближении есть возможность выполнить квадратуры типа A7.13) в общем виде и оценить сразу же то иска- искажение контура, которое мы получаем в методе Христиановича. Чтобы сделать это, заметим, что если мы ограничиваемся первым приближением, т. е. принимаем ^р>сро = Ф*. ф« «[>„ = _* ЦТ-. V /v» то пользоваться точными формулами A7.11) и A7.12), дающими х и у через ц и v, — нет смысла. Более того, если мы в этих точных формулах используем наши приближённые решения, то выражения ? \ \ A7.20) , sin в ,- , On cos В ,— I dy = —^- dm + — —=±- йф V р t/ j не будут полными дифференциалами. Чтобы сохранить в правых частях полные дифференциалы, мы должны дать новые, уже при- приближённые, представления величин \(v и po/pf как функций от S. Обозначим ~ = P(S), -^r = Q{S) A7.21) V и исключим ср при помощи A7.2). Мы получим - [VK cos рР^| + Q sin p Щ dS, Напишем условие того, что dx есть полный дифференциал. Это будет: !) Христианович С. А. и Юрьев И. М., Обтекание профиля при докритической скорости потока, ПММ, т. XI, вып. 1, 1947.
? 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 139 Выполняя дифференцирование и исключая старшие производные от ф при помощи A7.2), мы получим следующие два равенства: L ^ 0. A7.22) Эти равенства выполняются совершенно точно, если P=l/f, Q = po/pu, a YK имеет точное значение A7.3). Посмотрим теперь, чем нам надо заменить Р и Q, если YK мы заменим на Y^co (в этом заключается первое приближение). Наши уравнения нам дадут сразу: P = Cle-s+Cte+s; Q = VKZ^eS — c2e+s), A7.23) где сх и с2 — произвольные постоянные интегрирования. Эти постоян- постоянные мы подберём так, чтобы Р и Q равнялись их точным значениям при v = Vca. Так как S = lnV и так как по A7.3) и (8.9) = ^-VT^W. где M = -J-. . A7.24) Итак, в первом приближении мы должны заменить A7.11) на мв х= f H = + c2F\cosp^*— (= — c2v\sm§dW*-\ + xA, МА м в A7.25) где tj и с2 определяются по A7.24), а функции Ф* и W* как функ- функции от (а и v находятся из задачи обтекания в несжимаемой жидкости. Нужно отчётливо помнить, что в то время, как V и р суть скорость и угол соответственно в потоке несжимаемой жидкости, обтекающей данный контур со скоростью на бесконечности V^> и с циркуляцией Г, функции Ф* и W представляют обтекание того же контура и с той же скоростью на бесконечности, но с другой циркуляцией — Г*. Как найти эту циркуляцию? Она получается, как
140 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I и для точного решения, из условий однолистности плоскости (х, у), отвечающей нашему решению. Подробный и простой вывод имеется в упомянутой статье Христиановича и Юрьева. Оказывается, что надо взять, как и в точном решении A7.26) Если обозначить комплексный потенциал нашего потока с цирку- циркуляцией Г* через F*, комплексный потенциал Ф-|-/ч7 через F, нако- наконец, [л. —J- /v = г, то мы сможем написать, в частности: Уе~1* = § A7.27) и привести подынтегральное выражение A7.25) к более компактному виду: ) = Cl-^rff+Cjig.rfF*. A7.28) 15" где dF* — комплексная сопряжённая с dF* : dF'— AФ* — i dW*. Приведём пример. Пусть в несжимаемой жидкости в плоскости (jx, v) имеет место бесциркуляционное обтекание круга радиуса 1 со ско- скоростью Vco на со. Тогда ( у) A7.29) и A7.28) примет вид: так что x 4- ty = cxz -+- c2V% (J+ { — Искажение может быть теперь легко подсчитано. В случае обтекания эллипса, уравнение которого имеет вид A+r2J "+~ A— r2J ~1( °<''<1' достаточно перейти от плоскости z (— jx -J- iv) к плоскости С по формуле Область |С| > 1 отображается в плоскости (z) на область, внешнюю
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ МЕТОД ХР11СТИАНОВИЧА 141 по отношению к нашему эллипсу. Равенство A7.28) мы запишем теперь в виде: 1 "" ^ ^1*р\аг~. A7.30) При отсутствии циркуляции F* = F. Тогда, производя несложные выкладки, получим: Если эллипс сильно вытянут так, что rttl и 1 малая величина, то можно приближённо написать г = е, где е — = Сх /С — 2е — = \ Этот последний профиль будет весьма близок к нашему эллипсу. В общем случае циркуляционного потока уравнение A7.28) или A7.30) позволит сразу выяснить особенности, которые возникают из-за обращения в нуль „ функций dF"/d^ и dFjdb. За подробностями мы отсы- отсылаем к цитированной работе Христиановича и Юрьева, в которой показано, что если контур в плоскости ([j., v) гладкий, то на контуре в плоскости (х, у) возник- возникнут в местах, отвечающих упомянутым особенностям, угловые точки. Христиано- вич и Юрьев показывают, как можно избежать по- появления этих угловых точек в плоскости (х, у) подбором специального профиля в пло- плоскости ([л, v). На рис. 44 дан пример появления осо- -OJB- ¦0,6- -QA 0,2 0,8 -0,6 -0,4 -0,2 О -0,2 -0,4- -0,6- -0,8- \ 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис 44. причём обтекается бенностей в контуре на пло- плоскости (х, у); здесь Мл =0,333 и Г'/' в плоскости ([л, v) круг радиуса 1. На рис. 45 дан в плоскости (х, у) гладкий контур, обтеканию которого отвечает в несжимаемой жидкости (в плоскости (a, v))
142 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I движение вокруг контура, изображённого на рис. 46. Этот последний контур есть круг- радиуса 1, к которому присоединён отрезок дуги круга ббльшего радиуса (как и в предыдущем примере Мю = = 0,333, r/Vuo = l). 1,2 -0,8- -0,4 -0,8 -0,4- О -0,4 -0,8 <1г2_ Рис. 45. 0,4 Рис. 46. При больших скоростях нельзя ограничиваться первым приближением. Вычисление функций ер,, ф, бывает громоздко, но можно воспользоваться следующим рассуждением. Для dep вдоль контура С имеем: ,— бер , , дер , d® = ^J- dp. 4- -51- dt, причём rfv, например, можно найти через dy. при помощи формулы Таким образом, вдоль С дч С другой стороны, мы можем написать приближённо: дер dep0 depj depg A7.31) A7.32) пренебрегая членом дФ/др. Пренебрежение функцией Ф (или XV) означает, вследствие A7.18), что мы можем пренебречь в формулах A7.17) (для п = 2) членами д^2/дч и дф2/др-, но тогда
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 143 а если вставить дЬ^дч из первого из A7.17) для п = 1, получим. Вспомним еще, что j/"/f,x> <tyo/dv = ^о/^'х' мы п°лучим теперь Аналогичным образом найдем, что Вставляя это выражение в A7.32), используя еще раз A7.14) и пренебрегая членами, содержащими tp1( по сравнению с членами, содержащими ср0, полу- получим окончательно где V—скорость в несжимаемой жидкости (отличная от V, ибо за цирку- циркуляцию мы берем Г*, а не Г). Таким образом, вдоль контура с будет на осно- основании A7.11): А Остановимся еще на следующих весьма простых соображениях. Предположим, что мы изучаем в плоскости (р, -i) обтекание круга (хотя бы бесциркуляционное); в плоскости (х, у) мы имеем сплю- сплющенный круг. Пусть скорость фиктивного потока I/,» =0,35; ей отвечает скорость сжимаемой жидкости г>оо=0,36 (близкая к V;»). Но максимальная скорость г>тзх, получающаяся в сжимаемой жи ко- кости, будет близка к скорости звука. Действительно, г>тах получится там же, где V достигнет максимума. Но VtMX — 2Voa=0,70, а этой скорости отвечает по таблице г> —0,825. Скорость звука будет достигнута, когда будет v—1, т. е. при 17=0,7577; значит, в на- нашем примере сплющенного круга при 1/00—0,7577/2 = 0,3789, т. е. 1Ко?« 0,354, мы обязательно получим звуковые скорости на контуре. Очевидно, что это явление еще раньше возникнет, если контур с в плоскости (х, у) будет точным кругом. Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при vx > 0,36 при обтекании круга возникнут сверхзвуковые зоны.
144 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [1Л I Можно ожидать, что при обтекании вытянутого контура, напри- например профиля Жуковского или профиля крыла современного само- самолета, искажение будет получаться гораздо менее значительным, чем в случае круга. Но если грубо считать, что профили с к С тожде- тождественны, то метод Христиановича дает замечательное средство быстро рассчитывать распределение скоростей и давлений вдоль профиля крыла с учетом сжимаемости при любых дозвуковых скоростях, если известно обтекание крыла при малых скоростях. Действительно, п^сть мы получили, хотя бы путем продувки крыла в аэродинами- аэродинамической трубе при малых скоростях vx на бесконечности, распределе- распределение давления вдоль крыла С. Пусть vx настолько мало, что эффек- эффектом сжимаемости можно пренебречь: критерием этого может служить, например, то, что величина vjat будет почти совпадать с соответ- соответствующей величиной V и с таблицей. По уравнению Бернулли для несжимаемой жидкости 1 __ /' v \'г _ Ui ) ~<?несж' где РР Мы считаем, что q в каждой точке профиля известно, значит, мы можем найти Vjvx для каждой точки профиля. Теперь спросим себя, каково будет распределение скоростей и давлений вокруг крыла С, если скорость на бесконечности будет v2, причем v2~J^>vl? Рас- Рассчитаем сперва v2/a),~ v2, обратимся затем к табтице или к фор- формуле A7.9) и найдем соответствующую скорость фиктивного потока несжимаемой жидкости; пусть эго будет V2', для этого фиктивного потока несжимаемой жидкости конечно снова будет 1де ^несж принимает прежние значения в соответствующих точках контура. Так как V2 известно, эта формула позволит найти V для каждой дайной точки нашего контура С. Тогда по табпице мы можем найти безразмерную скорость v для каждой точки контура с, близкого к С (а грубо говоря, тождественного с С) и обтекаемого со скоростью v2 на бесконечности. Распределение давления найдется затем по формуле -л + 1 •/¦ — 1
§ 17] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 145 В начале этого параграфа мы уже упомянули о том, что сейчас имеется много работ, посвященных приближённому решению задачи о движении газа с дозвуковыми скоростями. Из этих работ значи- значительное число отправляется от уравнений Чаплыгина. Сам Чапльпин предлагает перейти от переменных C, т к переменным р, о, где а = — f 4~A — ^ГГГ^~ + const. = — /-^--^-f const. A7.34) Уравнения A6.12) примут тогда вид ду __ д\, d<f _krd\i д$ дз да б? v ' где х1 1"'A7.36) — ранее упомянутая функция, использованная Христиановичем. Если положить теперь приближённо мы получим для ср и ф в переменных р и о уравнение Лапласа. Чаплыгин произвёл это построение для приближённого решения задачи о струях в сжимаемой жидкости. Слёзкин *) первый указал на воз- возможность применения этих уравнений к решению задач о бесцирку- бесциркуляционном обтекании криволинейных профилей. Карман 2) и Сюэ-сэнь цянь3) исследовали также бесциркуляционную задачу при помощи A7,35) и приняли К постоянным, но равным Коэ4)- Преимущество метода Христиановича заключается в том, что Христиаиович, не ограничиваясь первым приближением, рассмотрел ') Слёзкин Н. А., К вопросу о плоском движении газа, Труды МГУ, 1935. 2) К а г m a n Th., Compressibility Effects in Aerodynamics., Journ. Aer., Sci. 8, 1941. 3) T s i e n H. S., Two-dimensional Subsonic F[ow of Compressible Fluids , Journ. Aer. Sci. 6, 1939. 4) Равенство К = Лло выполнялось бы точно, если бы мы приняли вместо формулы (д = const., так как движение безвихревое) линейный закон р = А — В 1/о, связывающий давление и удельный объем, причем А и В подобрали бы так чтобы наша прямая в плоскости (/>, 1/р) была бы касательной к кривой р = Г(\/?у в точке р^, A/;>)м- В самом деле, при нашем линейном законе Пуассона 10 Теоретичен )я ги фсше^.ишкч, ч II
146 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I общий случай обтекания при наличии циркуляции и что уже в пер- первом приближении он получил большую точность ценой введения, вместо а, величины S. § 18. Приближённый метод Христиановича для решения плоских безвихревых задач. Сверхзвуковые скорости. В пре- предыдущем параграфе мы рассказали о приближённых методах решения дозвуковых задач. Эти методы опирались на использование ф и ф в качестве искомых функций, а плоскости скоростей — в качестве плоскости независимого переменного. В сверхзвуковом случае такого рода искомые функции и независимые переменные также могут помочь решению многих задач. Христиановичу ') удалось, используя <р и ф в качестве искомых функций от C и v, дать новый приближённый способ решения всех основных плоских безвихревых задач в сверхзвуковом случае. Идея решения заключается в следующем. До сих пор, рассматривая движения со сверхзвуковой скоростью, мы строили характеристики в плоскости (х, у) или в плоскости (vx, vy). Вместе с Христиановичем будем теперь строить характе- уравнеиие Бернулли запишется в виде v2 В ( 1 \2 vl В Но тогда в уравнении A6.8) мы будем иметь: d p0 ppot> d Poo р?„ dv pt> 2 dv Bv2 v2 В так что на месте К будет стоять постоянная величина ^ооРоо Л РО 1 в С другой стороны, Мы получим одно и то же значение Кх при В = x/^/p^, но это как раз и означает, что прямая p = A-B-l/i будет параллельна касательной к кривой в точке (pw, 1/рю). ') X р и с т и а н о в и ч С. А., Приближённое интегрирование уравнений сверхзвуковых течений газа, ПММ, т. XI, вып. 2, 1947.
§ 18] ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 147 ристики в плоскости (ср, ф) (речь идёт о безвихревом движении). Чтобы связать ср и ф при перемещении вдоль характеристики, удоб- удобнее всего обратиться к соотношениям A6.6) § 16. Вдоль характе- характеристик мы имеем (см. 9.23): A8.1) где верхний знак отвечает характеристикам первого семейства, ниж- нижний— второго. Значит, по A6.6) вдоль характеристик будет: ¦i-[cosptg(p±a)-slnp]dtp—fl[sinptg(p±a) + cosp]tfj. = 0. A8.2) или, после сокращения и приведения членов: d<? = ±-^ ctgadip. A8.3) Величина (po/p)ciga зависит только лишь от v = v[at: [см., напри- например, (9.22) и A6.1)]: ' о 2 t>2 2 ^- 08.4) A »-1 V * + i Обозначим вместе с Христиановичем ¦)¦ A8.5) _ Легко видеть, что y^{v) есть монотонно растущая функция от v, не отрицательная при v^> 1, обращающаяся в нуль при г>=1 и в бесконечность при v=—:?-т . Итак, вдоль характеристик первого семейства будет di( = ~=d9. A8.6) а вдоль второго: <*!> = —-7==-</<р. A8.7) ') 7. (и) = —^(г'). где K(f) —ф)гнкция, введенная в § 17, только AC (v) ^ определено для и<1, а у_ (р), напротив, мы рассматриваем лишь для v > 1. 10*
148 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Вспомним теперь, что характеристики в плоскости скоростей связаны соотношением р + С (?) = const., где v _ Г / V2— 1 du 1 г % +1 r x +1 —arctg A8.8) Обозначая С (о) — р = 2Х, СЙ + Р=2^. A8.9) и переходя к независимым переменным X и [л, мы должны из A8.6) и A8.7) получить: ° При этом, вследствие A8.9), Х + ^ A8.11) т. е. 1/Vx(fl) есть функция от X-)-ia. Как выглядит эта функция? Не представляет труда изобразить Х в функции от С: и ту, и другую величину можно считать пара- параметрически представленной через v [формулы A8.5), A8.8) соответ- соответственно]. Так, например, легко убедиться, что в области Ся^О (t»wl, причём v~^>'\) Л[х имеет вид Далее, кривая имеет точку перегиба при При дальнейшем росте С знак кривизны у ]// не меняется, и она асимптотически уходит на бесконечность при
§181 ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 149 Кривая Ух в Функции от С представлена на рис. 47. Христианович замечает, что для значений С, не слишком близких к нулю, можно с большой точностью аппроксимировать нашу кривую как куски парабол; так в интервале 0,015 <С< 0,57, A8.12) в котором v меняется в пределах 1,06 <Ъ< 1,74, можно написать A8.13) В интервале 0,57 < С < 1.02 A,74 <©< 2.07) A8.14) можно написать — 1,30) -2 A8.15) и т. п. Обычно в безвихревых зада- задачах мы заранее знаем, в каких преде- пределах меняется поле скоростей v (см. § 11) и поэтому мы можем выбрать представление для Ух в виде наибо- наиболее подходящей параболы. Но, если А? + с)*\ A8.16) raeA.cnk — постоянные (причём k— целое число), то система может быть решена в общем виде. Именно, исключая из A8. используя A8.11) и A8.16), мы получим для ф уравнение Рис. 47. A8.10) 10) tp и Исключая же ф, мы получим для д2ч k X + V- + с \д1 A8.18) Если k положительно, удобно использовать A8.17), если k < 0, — возьмём A8.18). В обоих случаях мы получим уравнение Дарбу, причём тот тип, который в общем виде решается до конца. Так, если к = -\-1, как это будет по Христиановнчу в интервале A8.12),
150 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I мы просто будем иметь в качестве общего решения: где \Fj и W2—две совершенно произвольные функции, каждая от одного аргумента; вид этих функций определится аналогично тому, как это делается в классической задаче о струне — из краевых условий. После того как ф известно, <р найдётся из A8.10) путём простых квадратур. Это будет Аналогичным образом в интервале A8.14) мы имеем A8.15), т. е. й = —1, и по A8.18) можем написать ig±M, A8.20) где Фг и Ф2 — произвольные функции. Прежде чем начать ставить краевые условия, построим ещё, как определяется связь между л:, у и <р, <|>. Как прежде (см. § 16), мы имеем равенства: 1 Слева в этих равенствах стоят полные дифференциалы, и это в конечном итоге обеспечивалось тем, что ср и <|>, v, В были связаны уравнениями A6.9), A6.10). Теперь, когда ср и ф мы представляем приближённо, как функции X и |л (т. е. как функции В и v), мы должны позаботиться о том, чтобы A8.21) оставались полными диф- дифференциалами. Величины \[v и pjpv зависят только от v, т. е. от С. Поэтому запишем A8.21) в виде: dx = p (С) cos В rfcp — q (С) sin В dty, \ |». J A8.22) и посмотрим, как надо представить р и q, чтобы A8.22) были полными дифференциалами. Мы можем прежде всего записать,
§ 18] ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА используя A8.10):- dx = — \р У/ cos В -t- q sin 8| ~- rfX -4- I^ZC0SP — 9sinP]-57 151 A8.23) Напишем условие того, что rfx есть полный дифференциал. Имеем: или если выполнить дифференцирование и вспомнить, что С = (*-f- Р =r= jjl — X, и собрать члены с одинаковыми производными от ф: = 0. Наконец, замечая, что вследствие A8.10) должно быть 2 мы получим окончательно два соотношения A8.24) Те же соотношения получаются из условий, что dy есть полный дифференциал 1). До сих пор наши выкладки были совершенно строгими. Под- Подставим теперь вместо Ух наши приближённые выражения. В случае, когда •2. A8.25) ') Легко проверить, что если мы вставим q = po/pt>, p — \\v, Y~/. = *= У (у2 — 1)/A — у2/Л2)Аа, то A8.24) будут тождественно удовлетворяться.
152 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I мы получим вследствие A8.24): Исключая^, придём к уравнению dQ ^ Z + c dr. -т-Р — и- Общим интегралом этого уравнения будет Р = J^J fCl Sin К + С) + С2 C0S & + С)Ь Для функции q мы получим при этом q = A\cx sin(C + c)+C2cos(^ + c) — — $. + c)[clco В случае, когда V7-—4— ^ Х ~ (С + СJ ¦ получим для q уравнение d2q . 2 dq , „ т. е. теперь будет q = j-^-r [Cj sin (С + с) + с2 cos G+ с)] и /? = — -^ {c!sm((;+cL-c2cos(C + c) — — (С + с) [«1 cos (С + с) — с2 sin (С + с)]}. Для функций р и q, отвечающих параболе A8.13), Христианович выбирает постоянные сх и с2 так, чтобы при С = 0,2 было р = IJv, q = ро/р-у, тогда Cj = 0,553, с2 = 0,082. Христианович даёт решение всех четырёх основных задач, о которых говорилось в § 11. При этом оказывается, что задачи I, II и IV решаются сразу же в конечном виде, или при помощи квадратур; задача же III приводится к решению одного обыкновенного диф- дифференциального уравнения первого порядка. Начнём с задачи I. Задача I. Движение известно на некоторой кривой, не являю- являющейся характеристикой (кривая АВ на рис. 12). Пусть А'В' есть линия, проставляющая кривую АВ в плоскости скоростей (А'В' изо-
§ 18] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 153 браженз на рис. 13). Пусть уравнение этой последней линии в пло- плоскости (л, |л) нам известно: X = Л (|л) или jx = M(X). A8.26) Вдоль этой линии заданы <р и А. Пусть будет здесь, в частности: A8.27) В общее решение для 4 входят две функции Ч^ и Ч?2. Определим их. Умножим обе части последнего равенства на X —[— (х —j— с и продифференцируем по X и [х; Эти равенства, справедливые всюду, запишем для нашей заданной линии. Здесь можно написать: - [х —)— с] (-3-М Члены, стоящие в правой части этих уравнений, известны все, за исключением (<?4/<?Х) и (д4/<Э|х). Найдём эти выражения. Очевидно, что если двигаться вдоль нашей кривой A8.26), будем иметь С другой стороны, или, если воспользоваться A8.10) и A8.25), <ty д'Ь ф, (X) 1М/(Ц? Из A8.30) и A8.31) мы получим: о8-32)
154 TEOPETII4FCK1IE ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Остаётся подставить A8.32) и A8.33) в правые части A8.29) и про- провести квадратуры. Постоянные интегрирования найдутся из условия совпадения ср и ф с заданными значениями из начальной кривой. Мы приняли приближение A8.25). Аналогичным образом решается задача при Yx = -^/(C-j- сJ. Задача II. Если в задаче I пришлось брать ещё квадратуры, то задача II решается совершенно элементарно. Имеем две характе- характеристики: X = Хо и \х = |х0> выходящие из одной точки (рис. 14 и 15). На этих характеристиках движения известны. Пусть будет при 1 = \0 ф = ф1((х), при (л = ;л0 ф = ф2(Х), причём <h Ы = Ы\>)- Тогда, полагая в A8.28) Х = Х0, мы получим: а полагая ;а —|л0, получим: ._ *¦(*) + ' A8-35) Кроме того, первое из этих соотношений даст нам: Из A8.34) Из A8.35) имеем: ЧГ, (X) = — ?2 (jx0) + (X + jx0 + с) ф2 (к). Поэтому окончательно мы получим: С) ф2 (X) — (Хо + t^o + С) ф, A8.36) Задача III. Движение задано вдоль одной из (заданных) характе- характеристик. Пусть, например, при Х = Х0 будет ф = ф2(|л), где Ф2—из- Ф2—известная функция. Движение происходит между этой характеристикой и стенкой, причём уравнение последней мы напишем в виде х — Хф), у=Кф) и на стенке примем ф = 0. Ищем вновь решение в виде A8.28). Полагая сперва там Х = Х0, получим: отсюда сразу найдём W2(\x) с точностью до постоянной ^(Xq); остаётся определить Wi (к). Чтобы это сделать, заметим, что если
§ 18] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА 155 идти вдоль стенки, где ф=0 и йф=О, получим по A8.22): dX последнее равенство можно написать, вследствие A8.10), в виде: «[-*f-l-|]. 08.38) С другой стороны, вдоль линии стенки (ф = 0) будет: ЦГ1(ХL-Чг2(|а) = 0 A8.39) и ещё Таким образом, комбинация, входящая в A8.38), будет По A8.39) выражение в квадратной скобке, стоящее здесь справа, будет просто Итак, мы можем дать формуле A8.38) вид +%.]. A8.41) Наконец, мы можем сюда подставить Ч?2 из A8.37) по формуле Мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для определения вдоль стенки С в функциях от р. Дальше решение сводится к квадратурам. Задача IV. Эта задача решается значительно проще, чем пре- предыдущая. Вдоль свободной поверхности, которая есть линия тока, пусть будет ф = 0. Кроме того, на свободной поверхности давление и, значит, скорость известны; пусть будет там C = Cj. Тогда: ^100+ ^2(^ = 0. если X+li = C1. Далее, вдоль характеристики (см. рис. 18), пусть это будет Х = Х0, имеем ф = ф2 ([>¦)< гДе ^2 — заданная функция. Тогда
156 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Итак, % (Хо) \Рг (X) = - (Хо + с + d - X) ф2 (Cj -).) - Ц\ (Хо). Постоянная Ч\ (Хо) определится из условия совпадения значения ср с заданными её значениями на характеристике. § 19. Переход через скорость звука. Предельные линии. Примеры точных решений. Представим себе несжимаемую жидкость, обтекающую с определённой по величине и направлению скоростью на бесконечности, замкнутый контур. Если, не меняя направление скорости, мы увеличим величину её, то конфигурация линий тока останется неизменной — только нумерация функций тока изменится. Существует лишь одно семейство кривых, которые могут служить линиями тока при обтекании (под данным углом атаки) заданного контура несжимаемой жидкостью. Совсем иначе будет обстоять дело в сжимаемой жидкости. Если в несжимаемой жидкости мы могли написать ~ бф ду ~ d'\i ду Vjc~~dy~~!hc' Vy~~~~dI"Ty~' где так что для ф мы имели просто уравнение Лапласа, то в сжимаемой жидкости мы должны положить р0 х ду ' р0 У ~~ дх ' х дх ' У ду ' причем Ро ( \ х—1 - / так что уравнение, получающееся для ф, будет содержать в качестве коэффициента г>оо/я* — число Маха на бесконечности. Сама конфигура- конфигурация линии тока будет меняться с изменением числа Маха и, таким образом, одному профилю будет отвечать бесконечное множество линий тока, представляющих обтекание этого профиля при различных по величине скоростях на бесконечности'). S2 1 со а2 1 Г1 ') Несжимаемая жидкость получается как предельный случай, когда 1>оо/я* <СС 1> так что в выражении для р/р0 можно пренебречь членом, со- содержащим (vco/a^Y; это приводит к приближённому условию p/po«sl. Дру- Другой предельный случай получится, если скорость «со будет сверхзвуковой и
§ 19] ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 157 Особенно резко проявляется изменение формы линий тока, когда в плоскости течения (обладающего ещё дозвуковой скоростью на бесконечности) возникают сверхзвуковые зоны. Мы уже видели в одном из предыдущих параграфов, на примере обтекания контура, близкого к кругу, что уже при Va,^ 0,36 на профиле появляется точка, где v > ая; при дальнейшем росте скоростей следует ожидать появления сверхзвуковой области. Но здесь возникает новая специ- специфическая трудность. Дело в том, что течения сжимаемой жидкости обладают двумя особенностями по сравнению с движениями жидкости несжимаемой. Во-первых, в сжимаемой жидкости невосможны беско- бесконечно большие скорости (максимальная возможная скорость есть 1/ — i-j-д ), во-вторых, в сверхзвуковом потоке газа, в проти- воположность жидкости несжимаемой, трубки тока расширяются с увеличением скорости (см. § 8). Последнее обстоятельство приводит к тому, что в сверхзвуковой зоне линии тока будут, расширяясь, расходиться по отношению к обтекаемой границе; в дозвуковой зоне, напротив, линии тока будут сужаться и как бы сходиться с приближением к сверхзвуковой зоне. Можно ожидать, что при заданном контуре будут существовать скорости на бесконечности, при которых невозможно будет удовлетворить этим обоим законам. Конечность скорости, с другой стороны, приводит к тому, что там, где решение для несжимаемой жидкости даёт бесконечные скорости, например, при обтекании острия, там решение для жидкости сжи- сжимаемой либо не существует, либо соответствующие линии тока не образуют острого угла. Математически дело сводится к тому, что в сверхзвуковой зоне могут появиться точки и целые линии, на которых производные от скоростей будут обращаться в бесконечность. Это так называемые «предельные линии». Такие решения уравнений газовой динамики, формально существующие, физического смысла не имеют и реали- реализоваться не могут. В этих случаях движение перестраивается так, что возникает линия сильного разрыва (не совпадающая, конечно, с предельной линией), и решение с самого начала следует искать очень большой, т. е. если М<х> = Vm/cka ~2>> 1. В этом последнем случае, так как по (9.22) «.—1 1 мы получим, пренебрегая членом, содержащим l/М^, р/роякA — «2IЛ* !)- Таким образом, в этом предельном случае поток вновь не зависит от числа Маха на бесконечности.
158 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I не в виде непрерывного безвихревого обтекания, а в виде движения, в котором имеется поверхность разрыва, форма и местоположение которой заранее неизвестны и после перехода через которую течение становится вихревым. Опыт показывает, что скачки, как правило, «садятся» на крыло в сверхзвуковой зоне (крыло движется с дозвуковой скоростью). Такие же скачки образуются в сопле Лаваля, даже при нужном пере- перепаде давления, сразу после того, как совершился переход через звуковую скорость, если только профиль сопла не удовлетворяет специальным условиям (см. следующий параграф). Условие наличия предельных линий в том или ином решении уравнений газовой динамики, т. е. условие, при котором появляются бесконечные ускорения (производные от скоростей), нетрудно написать. В самом деле, это условие очевидно равносильно обращению в нуль якобиана D (x, y)jD(v, C); но последний можно записать так: D {х, у) _ D (х, у) D (у, ф) D (v, р) D (9, ф) D (v, р) ' что вследствие A6.8), A6.9) и A6.10) даст: D(v, p) — v» Lip ) (М 1)\д$) \д? ) J- Мы видим, что если М2 •< 1, наш определитель не может обратиться в 0; значит, предельные линии невозможны в дозвуковом потоке. Предельные линии образуются там, где Любопытно, что первые примеры точных решений, в которых осу- осуществлялся переход через скорость звука, обладали все предельными линиями:). Татаренчик2) первый показал, как можно найти ряд точных частных решений уравнений газовой динамики, в которых осуществляется переход через скорость звука, причём движения имеют физический смысл (предельная линия не успевает образоваться). Чтобы получить примеры таких решений, вернёмся к уравнениям Чаплыгина и обратим внимание на то, что каждый член ряда (стр. 118) ф = А Ч- ?C + 2 Bnzn (т) sin B»p + а„) будет формально удовлетворять уравнениям газовой динамики. Тата- Татаренчик рассматривает решения вида: A9.2) ') Toll mien W., ZAMM 17, стр. 117—136A937). 2) Татаренчик В. В., О частных решениях уравнений газовой дина- динамики, ПММ, т. VIII, вып. V, 1944.
§ 19] ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 159 где А и В — постоянные, a zn по-прежнему будет и v, удовлетворяет уравнению гипергеометрического ряда A6.16): Здесь /г — любое число. Вместе с Татаренчиком положим: тогда для уп получим: 1 > dx* "т" х—1 rfx ~ Это уравнение интегрируется и даёт: где Cj и с2 — произвольные постоянные. Итак, мы можем принять в качестве решения: A9.3) ф=-^[с,A—x)+ V ^ При этом для ср получается [см., например, A6.21)]: BcosP). A9.4) р Рассмотрим частные случаи. Положим сперва сх = А = 0; — с2б |/ = t = — 7Г = v2 V.+ 1 Й2 x+l -i- = ^ = -lsinp. -*-=9 = i —cosB. A9.5) Найдём сперва, как выглядят в плоскости (х, у) линии г> = const. Так как вдоль этих линий и так как, по A6.7) и по A9-.5) й? w2 p 6,3 pt>2 то ; dy = -4?- cos 28 <ffl. p^2
160 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Интегрируя по 3 в пределах от тс/2 до р, получим: отсюда [ГЛ I Остается найти лишь xo(v) и yo(v). Это суть значения, которые при- принимают х и у ъ функциях от v на линии ^ = тс/2. Но вдоль линии Р = тс/2 = const, будет , дх .— . ду .— dx=—=rdv, dy = —b-dv, dv dv причем (dxjdvH_j;2 = pjpv3, a(dy/dv),_n2 = 0. Таким образом, линия C = тс/2 в плоскости (х, у) переходит в прямую, параллельную оси Ох, и можно считать что же касается х0, то оно найдется квадратурой1) xQ(v)- /Л— Таким образом, линиями v— const, будет семейство кругов с цен- центрами вдоль осп Ох и различных радиусов (см. рис. 48, на котором Рис изображена «верхняя» часть течения). Так как на линии у = 0 будет Р = тс/2 — все линии тока под прямым углом пересекают ось Ох. Рассмотрим линию тока ф=с. По A9.5) там, где эта линия тока пересекает ось Ох, будет v= \jc. Перемещаясь вдоль линии тока, ') Квадратура выполнится, если положить ¦*¦ == 1,40.
4 19! ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 161 мы будем встречать различные значения v. Попадём ли мы на пре- предельную линию? Вдоль предельной линии A9.1) имеем по A9.5): Если двигаться вдоль линии тока ф = с, то будет по A9.5) sinp = = cv, cos2p= 1 —с2-у2, и на месте встречи нашей линии тока с пре- предельной линией будет по (8.9): 2 -, 1 X— 1 ._ 1\A— с2 г»2)— cV = или, если собрать члены и произвести упрощения, _1 -> , *4-1 1 с' V С\ -7 2 с2 У этого уравнения будут действительные корни только при с2 "-" х + 1 ' Но, как мы видели, 1/с равно значению скорости в точке пересече- пересечения нашей линии гока с осью Ох. Значит, на всех тех линиях тока, для которых скорость v на оси Ох будет меньше, чем + 1 ' бесконечные ускорения не возникают, и соответствующие течения имеют физический смысл. На рис. 48 изображены эти линии тока, вплоть до крайней возможной / у 8 t I Круги постоянной В-55. ?«5° Рис 49 скорости сгущаются по мере при- приближения к линиям тока, на которых возможны бесконечные ускорения. Любая из линий тока, изображенных на рис. 48, можег быть принята за границу обтекаемо; о контура. На рис. 49 изображена одна из таких линий тока и нарисованы харак- характеристики первою и второго семейства, которые возникают в нашем движении в сверхзв)ковой зоне. Второй частный случай решения A9.3), A9.4) получим, полагая Со — А. ^= \ Тогда р0 11 Теоретическая гидромеханика, ч II
162 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Вдоль линии v = const. [ГЛ. I X-f-1 dy=(-i-XiLcos2p -' \ f2 7. Так что можно написать: 1 sin 2? где х0("У), yu(v)—значения х и у в тех точках, где р = л/2. Как и в предыдущем примере, определим х0 и у0, перемещаясь по линии ^ = тс/2. Получим без труда: 14- dv, = 0, так что а-0 -= const. — — + In г», >'о -= 0. Вновь можно найти связь между ^ и г> на предельной линии, а также выяснить, на к.гких линиях ф^= const, мы не встретим предельной Рис. 50. линии. Картина течения (в области, имеющей физический смысл) дана \\а ,'ис. 50. На рис. 51 изображена крайняя линия тока и характе- характеристики.
ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 163 Другие примеры точных решений для движений с до- и сверх- сверхзвуковыми скоростями можем найти в статье Ринглеба') и Крафта и Диббла2). Эти авторы отправляются также от решений Чаплыгина. Полезно отметить, что решения вида A9.2) переходят в несжимаемой жидкости в решения типа A9.6) где Рис. 51 z — х -f- iy. В самом деле, для несжи- несжимаемой жидкости мы имели бы вместо A9.2) просто (см. стр. 119): w = ф _|_ iw = Но тогда .. - Т/p~~ip const dz Отсюда и получится A9,6). Так решениям Татаренчика отвечает Bя = - 1) ф _j_ № — k Yz. Здесь линии тока — семейство парабол с общей осью — осью Ох, а линии равных скоростей суть концентрические окружности (с цен- центром в начале). На рис. 50 видно, как искажаются эти линии из-за сжимаемости. Крафт и Диббл рассмотрели детально случаи, когда п=±114, ± 3/4, ± 1. На рисунке 52 изображены некоторые линии тока и линии v — const, для случая п = — 3/4 3). Отдельно показано в увеличенном виде поле, обведённое квадратом. Здесь как раз по- появляются предельные точки. Лишь вне некоторой линии тока воз- возможно физически осуществимое обтекание, сходное с тем, что разобрал Татаренчик. В несжимаемой жидкости этому движению отвечает об- обтекание угла в 60э. В приведённых примерах вопрос о возникновении или невозник- невозникновении предельных линий решается задним числом — после того, как решение получено, применяется критерий A9.1). Нельзя ли, ') R i n g I e b F., Exakte Losungen des Differenzialgleichungen einer adiaba- ti?her Qasstromung, ZAMM 20, 1940. 2) Kratt and Dibble, Dimensional Adiabatic Compressible Flow Pat- Patterns. Journal of the Aeronaut. Sci. 11, № 4, 1914. 3) Постоянные, входящие в zn, подобраны здесь гак, чтобы максималь- максимальная скорость была v— 1,8. 11*
164 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1АЗОВОЙ ДИНАМИКИ |ГЛ. I
§ 20} КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧ5 165 однако, выяснить заранее, получатся ли безразрывные, имеющие физический смысл, решения при обтекании данного контура, при данной скорости на бесконечности и при условии возникновения [.верхзвуковой зоны. Этот вопрос тем более важен, что очень редко удается получить точное решение задачи обтекания. Почти всегда при- приходится довольствоваться решением приближённым, а благодаря неточ- неточности тою или иного приближённого метода мы можем пропустить по- появление опасных областей. Так, например, при неудачном подборе вход- входной части сопла Лаваля может оказаться, что непрерывное движение не осуществимо, и в сверхзвуковой зоне возникает поверхность сильного разрыва (см § 21). Некоторый свет на условие отсутствия или возникновения разрывов проливают работы Христиановича, а также Никольского и Таганова. Мы изложим в общих чертах содержание этих исследований. § 20. Классификация сверхзвуковых течений по Христиано- вичу. Рассмотрим некоторую область течения газа, ограниченную четырьмя характеристиками. Пусть криволинейный четырехугольник MiM2MsM4 (составленный из дуг эпициклоид) изображает рассма- рассматриваемую область течения в плоскости (vx, v ) (рис. 53). Пусть '-5Г м: Рис 53. дуги М'3М'2, М'^М[ принадлежат к эпициклоидам 1-го семейства, а дуги М'4М'3, М[М'2 — к эпициклоидам 2-го семейства. Как в плоскости (ср, ф) расположатся точки Mv M2, М3, М4, являющиеся изображениями точек М\, М2, А1з, NU соответственно? Минимальное значение ср может оказаться в одной из четырех точек Мх, М2, М3, М4. Мы не рассматриваем здесь вырождаю- вырождающихся с 1}чаев, когда в плоскости (vx, vy) мы будем иметь, вместо
166 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I четырёхугольника, дугу характеристик 1-го или 2-го семейства. Эти случаи полностью были разобраны раньше (см. § 12). Рассмотрим все четыре возможных случая. I. Минимальное значение <р оказалось в точке М3. Двигаясь от М3 по характеристике 1-го семейства М3М2, мы будем попадать в область с большим у; следовательно, по A8.6) ф в точке М2 должно быть больше, чем в Мг. Аналогично этому, чтобы попасть в Л14, надо двигаться по характеристике 2-го семейства М3М4< и значение ф в точке Л14 должно быть по A8.7) меньше, чем в М3. Таким образом, в этом случае взаимное расположение точек М2, Ж3, Ж4 будет таким, как показано на рис. 54. Далее, двигаясь от Ж3 к Л14 по характеристике 2-го семейства, мы будем получать по A8.6) для тангенса наклона dty/dy касательных к характеристикам 1-го семейства всё меньшие и меньшие (по модулю) значения, ибо при передвижении по эпициклоиде от Л13 к Мц v растёт и значение (Ух) убывает. Аналогично, двигаясь по характеристике М3М2 от М3 к М2, мы по A8.7) будем встречать всё меньшие и меньшие значения М2 | dfy/dy | для характеристик 2-го семейства. Таким образом, можно уста- установить характер выпуклости характеристик обоих семейств. Схематическое изображение на- нашей области в плоскости (9, <|0 дано на рис. 54. Христиано- вич 1) называет движения такого типа «течениями расширения». 9 Криволинейные характеристики рис 54 как 1"го> так и 2-го семейства ведут себя здесь, если пере- перемещаться в направлении течения (т. е. по линиям ф = const, от мень- меньших 9 к большим) так же, как ведут себя прямолинейные характеристики 1-го семейства в задаче о движении газа вне выпуклой поверхности (§ 12, рис. 23). Возникновение предельной линии (пересечение ха- характеристик) здесь невозможно. П. Минимальное значение 9 пришлось на точку Му Передвижение от точки /Mt к точке М2 позволит теперь заключить, благодаря предположенной минимальности 9 в точке М1 и на основании A8.7), что ф в точке М2 должно быть меньше, чем в Мх; аналогично —1|» ') Хрисщанович С. А., О сверхзвуковых 1ечения.ч газа, Труды ЦАГИ, вып. 543, 1941.
20] КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧУ 167 в М4 будет больше, чем в Мх. Таким образом, точки М{, М2, М4 расположатся так, как показано на рис. 55. Если теперь мы будем перемещаться по характеристике 2-го семейства Ж3Л14 от точки М3 к точке М4, то мы будем в плоскости (vr, vy) дви- <f> гаться в сторону увеличе- ния v и, значит, по A8.7) будем получать всё меньший и меньший (по модулю) на- наклон характеристик 1-го се- семейства (см. рис. 55). Ана- Аналогичным образом при пе- перемещении от М, к Мо Рис. 55. будем получать все меньший и меньший наклон характе- характеристик 1-го семейства. Такие движения Христианович на- называет «течениями сжатия». Двигаясь по течению (слева направо по линиям ф = — const.), мы будем встречать характеристики обоих семейств, веду- ведущие себ [ так же, как вели себя характеристики (прямолинейные) в задаче о движении около вогнутой поверхности (§ 13). Характери- Характеристики сближаются по направлению течения. Предельная линия может здесь возникнуть как оги- огибающая каждого из семейств характеристик. Христиано- Христианович говорит в таких случаях, что течение стремится к раз- разрушению. В случае И тече- течение стремится к разрушению в трёх направлениях: в на- направлении возрастающих ф, в направлении убывающих ф, в направлении движения. III. Минимальное значе- значение 9 принадлежит точке Л12. Рис 56 Движение по характеристике от М2 к М, приведёт теперь, вследствие A8.6), к росту ф; движение от М2 к Мх, по A8.7), - к уменьшению ф (см. рис. 56). .При движении от м'2 к М'г мы будем попадать в область меньших v, значит, характеристики 2-го семейства, встречающие ЩМЪ, будут подходить [вследствие A8.7)] всё круче и круче по мере пе- перемещения от М2 к М3. Напротив, если двигаться от М2 к Mv мы
168 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I будем встречать всё менее и менее наклонённые характеристики 1-го семейства. Наконец, как и в предыдущих случаях, при переме- перемещении по любой характеристике мы будем иметь монотонное изме- изменение тангенса наклона этой же характеристики (неизменность знака кривизны). Такое решение стремится к разрушению в направлении убывающих ф, но в направлении течения оно может не претерпевать разрушения — разрыв может и не возникнуть, ввиду того, что ха- характеристики разных семейств ведут себя здесь по-разному. Этот тип можно назвать «смешанным». IV. 9 достигает минимума в точке Ж4. Теперь рост ф получим, двигаясь от Л14 к Ж,, и убывание —двигаясь от Ж4 к Ж3. При передвижении от Л14 к Л13 будем попадать в область с меньшими v и, значит, по A8.6) характеристики 1-го семейства, пересекающие Ч ' Ж4Л13, будут становиться всё круче по мере перемещения от Ж4 к Ж3. Напротив, двигаясь от Ж4 к Ж1? будем встречать всё менее и менее наклонённые характе- характеристики 1-го семейства. Движе- Движение стремится к разрушению в направлении растущих ф (рис. 57). Как и в предыдущем случае, вопрос о возникнове- возникновении линии разрывов останется открытым. Течения такого типа Христианович также называет смешанными, объединяя их с предыдущими. Мы имеем таким образом ф три типа течений. ' Можно было бы провести Рис 57. классификацию и по поведению характеристик в плоскости (лг, у) непосредственно, но здесь число классов пришлось бы удвоить. В самом деле, рассмотрим направление вогнутости характеристик в плоскости (лг, у). Имеем: Так что dx d2y dx2 tg(P± 1 cos2C a). -1- at d dv ) dv dx. Но вдоль характеристик [см., например, A0.3)] dv
, ,Oj КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧУ 169 а по (9.22) da < / * — 1 о \ 2 2 sin ос cos ос — = — (/-f 1)^г = — [—g- + sin2aj-. Таким образом, i-i-= ± 5-?s г-з \ cos2 a s sin^oc >. dx2 COS2 C ± a) rfx t» sin a COS a ^ 2 ) Кривизна обратится в нуль при значении a = a0, где ¦ о 3 — у. sm2 осо = —J— . При у =1,4 sin a0 = 0,6325, соответствующее число Маха будет 2 M а «0=/2- Такие точки перегиба на характеристиках отчётливо видны, на- например, на рис. 49 и рис. 51 там, где наши характеристики пере- пересекаются с линиями v== \ 2. Таким образом, классифицировать пришлось бы отдельно для М<Мо и М > Мо- Посмотрим теперь, к какому классу движений принадлежит дви- движение, получающееся сразу же за «переходной линией» (так мы будем называть линию, где v = at) в сверхзвуковой области. Отпра- Отправляемся на этот раз от уравнений (9.2): / 9 9\ dvv + D - а2) -? = о и условия отсутствия вихрей dv,. dvr дх ду ~"" Вводя величину скорости v и угол C, так что мы можем переписать наши уравнения в виде или, если ввести v = v[at и обозначить М = v/a: B0.2)
170 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Чтобы выяснить, что будет происходить около линии v~\, рас- рассмотрим сперва произвольную линию v = const. Пусть Р— точка на этой линии. Обозначим длину, отсчитанную по дуге от точки Р вдоль линии v = const., через s. Нормаль в Р к линии v = const, обозначим буквой п. Направив ось Ох по касательной, а ось Оу по нормали к линии v — const, в точке Р, мы можем переписать уравнения B0.1) в виде: (М2 dv Здесь 8 — угол, составляемый вектором скорости с касательной к линии v = const, (см. рис. 58). Исключив из этих уравнений dbjdn, мы получили следующее равенство, свя- связывающее dbjds и dv/dn: Особенно простой вид получит формула B0.3), когда наша линия v — const, есть линия перехода, т. е. если v=\. Тогда: dv — = СО52Ь—. B0.4) Заметим, что если нормаль направлена в сторону сверхзвуковой зоны, то будет dv/dn > 0, и таким образом дЪ/ds > 0. Рис. 58. Отсюда мы получаем важное следствие: если перемещаться по линии v= 1, то угол между направлением скорости и направлением касательной к линии г>=1 будет меняться монотонно и именно так, что если при нашем пере- перемещении сверхзвуковая скорость остаётся слева, то вектор скорости будет вращаться против часовой стрелки. Может ли получиться бесконечное ускорение уже на самой линии v= 1? Согласно B0.4): dv/dn = (\/cos2b)dbjds. Может представиться два случая: 1) 8 = тт/2, 2) S Ф л/2. Если 8 = тт/2, то вектор скорости ортогонален в точке Р к переходной линии. Так как при v~\ sina=l, т. е. а = тс/2, то в точке ©=1 вектор скорости должен быть орто- ортогонален к характеристикам Значит, когда S = ти/2, то характеристики будут касаться в Р переходной линии (рис. 59). Пусть значения угла р на линии v=\ в функциях от длины дуги s,
I 20] КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО ХРИСТИАНОВИЧУ 171 отсчитываемой от точки Р. Дифференцируя это соотношение вдоль дуги, получим (как и прежде, 8— текущий угол, составляемый вектором скорости с направлением касательной к линии v—\, так что |3 — 8 — угол наклона касательной к линии v—\ к оси х). Кроме того, дифферен- дифференцируя вдоль кривой <и=\, имеем: К этим двум уравнениям мы можем присоединить ещё два уравнения, *. которые получатся из B0.2) при М=1. v=\: sin В -g- - cos В -g- = 0, п dv n dv . sin В -, cos 3 -, \- " дх ' ду ' ,Q ,c Рис 59. Решая наши уравнения относительно производных, получим dv^ _ cos О — S) rfp* di7 sin (P — 8) rfg* йу cos2 S rfs"' их cos2 S ds d} sut ,3 d'f d$ _ cost°> d^ N ччч> / V 7Г  «^ "_ „/' vt=1 ду cos S ds ' cb: " cos Мы предположили, что в точке P(s = 0) S = тт/2. Около точки Р мы можем написать поэтому cos2 8 = (db*jdsJ s2 -f- O (s3), где O(s3) обозначает член по- порядка не ниже s3. С другой стороны, для d$*jds имеем так что для dvjdy, например, имеем
172 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ 1 Для ограниченности производной необходимо выполнение равенств Таким образом, для возможности непрерывного перехода от дозвуко- дозвуковой скорости к сверхзвуковой в том случае, когда в некоторой точке линия перехода ортогональна к вектору скорости (например, на оси симметрии сопла Лаваля), необходимо выполнение специаль- специальных условий B0.6) относительно равномерности потока около этой точки. Если линия v=\ сама является характеристикой (или во всех точках касается характеристик), то для непрерывности движения усло- условие B0.6) лолжио выполняться во всех точках этой линии, т. е. должно быть и линия перехода должна быть простой прямой. В противном случае на всей линии перехода мы будем иметь бесконечные значения на- наших производных, т. е. бесконечные ускорения, и тогда движение нельзя продолжить за линию перехода (сама линия перехода будет пре- предельной линией) и всё решение не будет иметь физического смысла. Простейшим примером такого решения может служить аналог источ- источника или стока в несжимаемой жидкости. Именно, если в цилиндри- цилиндрических координатах Vr = Vr </)> ^9 = 0 {vr — функция одного только г), то, так как по уравнению Бернулли _j -L— (\ •/~1 7д\»-' Ро~"\ *+1 i (z> = | vjaj), а вследствие уравнения неразрывности, dr мы можем написать: const. Если г, — радиус того круга, на котором v обращается в единицу, то постоянная интегрирования будет г А . j ', так что г = —-^ г- • B0-7) -/»+! »-1-,\7Т ^2 2 )
20] КЛАССИФИКАЦИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ ПО ХРИС1 ИАНОВИЧ\ 173 Мы можем, казалось бы, представить себе движение таким' на бес- бесконечности v — 0, всюду vr < 0 — жидкость устремляется по радиусам h иентр>; скорость движения монотонно растет по закону B0.7) и на окружности г = гх достигает критического значения. Однако вдоль окружности /¦ = /"» будет dbjds=\/rt, так что B0 6) не выпол- выполняется. С другой же стороны, как нетрудно убедиться, написав уравнения характеристик в цилиндрических координатах, все характе- характеристики должны касаться окружности г = г„ (где ctga = O). Движение наше не может быть продолжено внутрь круга радиуса r = rt. В са- самом деле, знаменатель B0 7) имеет максимум, и следовательно, г имеет минимум в точности при v = 1 Этот пример может служить иллюстрацией к сказанному в начале предыдущего параграфа о невоз- невозможности в сжимаемой жидкости осуществления таких течений, кото- которые в жидкости несжимаемой давали бы бесконечные скорости. Вместо источника, или стока в начале координат, которые получаются в не- несжимаемой жидкости, мы имеем здесь ядро в виде круга радиуса г — гх, внутрь которого течение нельзя продолжить. Вернемся теперь к общему случаю, когда 8 Ф к/2 (см. рис 60) Нетрудно убедиться, что движение, возникающее в сверхзвуковой области сразу за линией перехода, будет принадлежать к типу смешанных течений по Христиановичу. Действительно, найдем изменение ср при перемещении по характеристике. Полная производная по х при перемещении по характеристике будет = v [cos Таким образом, sin p tg (p + а)]. Ha dx линии U=1 Рис 60 cos(P ± а) Ф K^v.o) перехода а = rJ2, Продифференцируем B0 8) ещё раз по л: и определим эту производ- производную на линии перехода Получим: / rf2?\ _ + _«!L_ da^ \ dx* J* - sin Э dx - Знак плюс следует взять при перемещении вдоль характеристик 1-го семейства, знак минус —для 2-го семейства. Таким образом, рсли по мере передвижения от какой-либо точки Р переходной линии по характеристике 1-го семейства ср будет расти, то при перемеще- перемещении от Р по характеристике 2-го семейства ср будет убывать и на- наоборот. Ясно, что это может быть лишь в случае смешанного тече- течения (рис. 56 и 57). Итак, за переходной линией действительно может
174 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 возникнуть предельная линия, в чём мы и имели случай убедиться на конкретных примерах § 19. § 21. Построение «безударного» сопла Лаваля. Истечение газа из отверстия, сопровождаемое переходом через скорость звука. В § 12 мы видели, как можно путём подбора профиля сте- стенок получить равномерную сверхзвуковую скорость в сопле Лаваля, после того как уже получено сверхзвуковое течение в некотором сечении сопла. Подбор стенок производится в сверхзвуковой области. На первый взгляд может показаться, что форма стенок в дозвуковой части сопла — так называемой входной части — может быть произ- произвольна, лишь бы можно было достигнуть перехода через скорость звука. Однако это не так. Затруднения с отысканием решения, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, здесь проявляются особенно отчётливо. Если профиль входного отверстия будет произ- произвольным, может оказаться, что переход через скорость звука будет сопровождаться появлением бесконечных ускорений. Физически это будет означать, что движение перестроится, так что сразу течение будет «испорчено». На рис. 61, заимствованном из статьи Астрова, Р_ Ро 0,75 U.50 0,25 О L а о v а о ( о о и \ *>. эсос ч соа а& оса ахх pax ах* со 100 200 300 Рис. 61. 400 500 хмм 600 х Левина, Павлова и Христиановича'), даны результаты эксперимен- экспериментальных измерений распределения давления р/рп вдоль оси одного сопла Лаваля. Сопло это было рассчитано без учета возможности ') Астров В., Левин Е., Павлов Л., Христианович С, О расчёте сопел Лаваля, ПММ, т. VII, 1943.
§ 21] ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 175 возникновения разрыва. Как видно на рисунке, недалеко от линии перехода (на ней р/ро = 0,528) в сверхзвуковой области возник раз- разрыв; он породил возмущение, отражающееся от стенок сопла и распространяющееся по всей длине сопла. Равномерность потока оказалась испорченной. Как же следует построить входное отверстие, чтобы скачок не образовался? Как построить безударное сопло Лаваля? В качестве простейшего приёма можно, казалось бы, предложить следующий1). На оси симметрии сопла, каковую мы примем за ось Ох, с началом координат в точке линии перехода, зададим ско- скорость vx как некую аналитическую функцию от х. Пусть разложе- разложение этой функции в ряд около точки х = 0 имеет вид: B1.1) Уравнения газовой динамики [см. A5.1)]: *-IK]-^- = 0, B1.2) где Ф — безразмерный потенциал скоростей, так что дФ дФ ,о1 о. ^ = -3—. v „ = -з—, B1.3) ¦* d* v dy v ' вместе с условиями симметрии и условием B1.1), позволят тогда последовательно определить в точке О @, 0) любую производную от Ф_по х к у. Так, например, из условия B1.1) имеем для точки О: дФ/дх — 1, а из условия симметрии: дФ/ду = 0 (vy = 0). Затем из того же условия B1.1) д2Ф/дх2^=А, из условия симметрии д2Ф/дхду =0, из_ уравнения B1.2) получим д2Ф/ду2 = 0. Далее, дЧ/дх3 = 2В, д3Ф/дх2ду = 0; производные же д3Ф/дх ду2, дэФ/ду3 определим путём дифференцирования B1.2) по х и из условия симметрии и т. д. Производя эти совершенно элементарные выкладки, получим: '^М,?^ег Т' Ueber zweidimenslonale Bewegungsgleichung in elnem Gas. mlt Ueberschallgeschwindlgkelt stromt, Forschungheft 72, 1908.
176 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Теперь мы можем написать разложения для vx и vy: —I \*- —1 1 / -** q A_y —j— . . . y? 1 ,O) x —— 1 j j\ pr дг v —— + J^±g^iilly3 _)_... B1.6) и путём простых квадратур определить функцию тока Ч": 4=fj;(i>xdy-vydx), где Одну из линий тока Ф = const, можно принять за стенки сопла. Схо- Сходимость участвующих здесь рядов обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, благодаря аналитичности функции vx(x, 0). Однако радиус сходимости по оси Оу заранее неизвестен, и это сразу же заставляет отбросить изложенный здесь метод построения сопла. Действительно, так как неизвестно, на каком расстоянии мы ещё можем пользоваться нашими рядами, то заранее мы не знаем, не встре- встретимся ли мы с тем же затруднением, о котором говорили в преды- предыдущем параграфе: наше решение может оказаться не имеющим смысла за некоторым у. Изложенные здесь подсчёты дают, однако, совершенно строгие значения производных в точке О от Ф и W и полезны для ориенти- ориентировки. Они показывают, как ведёт себя движение недалеко от линии перехода в случае аналитического решения на оси. Так, например, они позволяют дать уравнение линии перехода около самой точки О. Именно, если искать это уравнение в виде х = я2;у2 + а4/ + •••¦ _ B1-7) то, вставляя B1.7) в B1.5) и B1.6) и написав условие vx -f- vy = 1, получим без труда: х = ^— Ау2 — v ^ ' АВу* + ... Далее, для характеристик обоих семейств, выходящих из О, будем иметь:
211 ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ и если искать их уравнение в виде х = ту2 -(- .. ., то для 1-го семейства (знак плюс) получим: для 2-го: B1.8) х== — 1±±Ау*+ ... B1.9) На рис. 62 дана схема расположения линии перехода и обеих харак- характеристик. Чтобы избежать затруднения, связанного с необходимостью знать радиус сходимости, Христианович, Астров, Левин и Павлов предло- предложили способ построения всего течения в эксплицитном виде, а не при Характеристика Тсемейства Линия перехода •Характеристика Лсемейстеа Рис 62. Рис. 63. помощи рядов. В основу они положили построение входного отвер- отверстия по методу Христиановича (§ 17). Именно они приняли в качестве фиктивного потока течение через так называемый насадок Борда. Уравнение этого течения имеет вид VM(p. -f-h) \ Линии тока схематически даны на рис. 63. Стенки насадка полу- получаются при Ч = ± тт (у — + /V) стенку насадка. О а рис. 63. Стенки насадка полу ) — линия тока дважды повторяет ну насадка. Отделяя действительную и мнимую часть, получим: = -=-[Ф —e-*cos4T], 00 v Линии тока, для которых f=i тг/2, могут быть приняты за «стенку» С фиктивного потока. Уравнения этих стенок будут У 12 Теоретическая гидромеханика, ч. II
178 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ I Потребуем теперь, чтобы V^ было в точности равно тому значению, при котором соответствующая скорость vM в потоке сжимаемой жидкости равна единице: 2А л/ (h~l)"h++, ~ 0,7579. Как показал расчёт упомянутых авторов, контуры в плоскости (х, у) укорачиваются, так что линия г»=1 оказывается на конечном рас- расстоянии !). Далее, весьма существенно то, что линия перехода оказы- оказывается отрезком прямой, перпендикулярной к оси Ох, и вдоль линии перехода скорость всюду имеет одно и то же направление, парал- параллельное оси Ох (в несжимаемой жидкости поток стремится к этому направлению на бесконечности). Мы уже видели в предыдущем параграфе, что прямая линия перехода обладает преимуществом по сравнению с другими. Тот факт, что линия перехода прямая, позво- позволяет считать, что разрывов в сверхзвуковой зоне не образуется. Практически ход построения входной части следующий. Пересечение прямой перехода с осью сопла принимается за начало координат в плоскости (х, у) (положительная ось Ох направлена по оси сопла в сторону сверхзвуковых скоростей, отрицательная — в сторону дозвуковых скоростей). Начиная от линии перехода (в сторону дозву- дозвуковых скоростей), расчёт стенок ведётся вплоть до тех мест, где vя» 0,8 по формулам типа A7.2), упрощённых за счёт того, что здесь VKwO, v^\; начиная от того места, где г»я^0,8, расчёт ведётся по формулам A7.23). В сверхзвуковой части следует сперва отойти от прямой линии v=\ путём разложения v и р в ряды, но не по степеням х и у, как это делалось в начале этого параграфа, а по степеням ф и ф. С этой целью можно использовать, например, урав- уравнения Чаплыгина A6.9), A6.10), которые можно записать сперва в виде df ~~ Ро d<\> <^9 М2—1 ро <5ф д$ р dv dv Dp dp затем принять за независимые переменные ф и ф, а за искомые функ- функции v и р и, наконец, принять за неизвестную функцию t = v2—1. Написав разложение t и р по степеням (риф (практически можно ограничиться членами с пятыми степенями), можно при помощи этих рядов отойти немного от линии v=\ в сторону сверхзвуковых скоростей. Определив вдоль линии ф = const, (упомянутые выше авторы брали ф = 0,44721) скорости в нескольких точках, можно ') Это связано с наличием множителя УК под интегралом выражений для х через у.. Ср. приближённые формулы стр. 143.
§ 2П ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 179 затем уже строить сверхзвуковую часть по методу, изложенному в § lz- На рис. 64, заимствованном из упомянутой работы, изображён профиль сопла, рассчитанного так, чтобы на конце его было v= 1,7; тут же дано распределение давления вдоль оси этого сопла, найден- найденное экспериментально. Сравнение с рис. 61 подтверждает, что здесь удалось избежать появления скачка и связанного с ним искажения потока. * 1 Ось сопла см Ро 1,0 0,5 О 1 \ _¦¦•¦ -——г~ ' 1 Т*—JOO—^37 и 263 *+* 200 -Н Входная часть\ Профилированный участок Рабочая часть сопла \ сопла Цилиндр.участок •'п О, п 'о ю Г©1 о, гпз IYY1 YYY1 ч о /оо гоо ?пп 400 Рис, 64. 500 Кмм 600 Наличие плоской поверхности перехода обеспечило «безударность» сопла. Однако условие, что линия перехода — прямая, является доста- достаточным, но не необходимым для возможности непрерывности движе- движения. Как показал Франкль1), можно использовать непосредственно уравнения Чаплыгина для построения входной части безударного сопла. При этом линия перехода будет, вообще говоря, криволиней- криволинейной. Франкль показывает, как можно продолжить ряды типа рядов Чаплыгина (§ 16) в сверхзвуковую зону, и находит условия, доста- достаточные для того, чтобы решение оказалось безударным. Главная трудность заключается в том, что функция тока ф, которая по Чаплы- Чаплыгину отыскивается как функция Виг», оказывается неоднозначной функцией этих переменных в сверхзвуковой области, прилегающей мат '* %Р ?qH к л ь ф' И- К теории сопел Лаваля, Изв. АН СССР, серия 12*
180 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ J к линии перехода. Остановимся несколько на выяснении этого обстоя- обстоятельства. Способ изложения, более простой, чем у Франкля, был дан позже Фальковичем'). Мы будем придерживаться именно этого способа. Уравнения Чаплыгина берём в виде д$ р dv ' dv v p d[i Примем за независимые переменные ср и ф, а за искомые функции v и р. Получим _L±i^ = _^l Ро 1 -М2 dv _ __ dl р0 v d'\i df ' p v d<f db У ¦ ) Вместе с Франклем введем теперь вместо v величину -q = ~q(x)) из равенства Величина эта будет действительной как при М < 1, так и при М > 1, причём при v < 1 7j > 0 и при v > 1 tj < 0. Совершенно элементарные преобразования дадут нам тогда З # и, если обозначим ftft^iLjAlzJ!!., B1.14) получим окончательно 0==^|l__j_f-. B1.16) Такая форма уравнений удобна при анализе перехода через скорость звука. Функция Ь(-ф может быть представлена около т; = 0 (т. е. около v=\) в виде ряда по степеням -q: ') Ф а л ь к о в и ч С. В., К теории сопла Лаваля, ПАШ, 1946.
„21| ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 181 []о B1.14) при 7] = 0 мы имеем неопределённость, которая легко раскрывается. Действительно, подсчитаем, например, Так как по (8.9) и по B1.11) Нт —-—=—— = (х + 1) ''т V 1 — М2 : ^ 1 dv 2 - . , Нт -Lffk = — Jim l(|/"l_M2), ТО '"'"'(y.+ l)''3. B1.17) Чтобы выяснить поведение решения около линии перехода (т; = 0), заменим в уравнениях B1.15), B1.16) член Ь(-ф на д@). Мы получим при этом главные члены ряда, представляющего точное решение1). Теперь B1.15) и B1.16) примут вид: b @) B1.18) Пусть ось симметрии сопла есть линия ф = 0. Тогда C(ср, 0) = 0. Кроме того, 7j(cp, ф) = т;(ср, —ф); р (ср, ф) = — р (ср, —ф). Таким обра- образом, р содержит лишь нечётные степени ф, a i] — лишь чётные. Частные, точные решения системы уравнений B1.18) будут поли- полиномы (а не ряды): где А — произвольная постоянная. Смысл этой последней легко уста- установить. Действительно, из B1.19) п \ А с другой стороны, d-q д-ц dv дх Y 1 — М2 dv cos | так что, полагая ф = ср=О (точка пересечения линии перехода с осью сопла), получим ''dvK ') Строго это следует из упомянутой работы Франкля.
182 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. (мы совмещаем начало координат в плоскости (х, у) с точкой ср=ф= Итак, B1.20) Ось Ох направлена в сторону сверхзвуковых скоростей, так что / А<0. Полиномы B1.19) годятся, конечно, лишь в небольшом удаления от линии перехода т; = 0, но зато для всей области движения. Посмотрим, как в плоскости (ср, ф) представятся переходная линия и характе- характеристики. На переходной линии по B1.19) будет (т] = 0): ср = тф2. Вдоль характеристик, проходящих через точку [3 = 0, г>=1, имеем A0.6): где = / ^-dv. 1 , Но так как sina=^- и ctga=|/M2—1, то, привлекая B1.11), М Характеристика Характеристика [семейства ^ ^-Л семейства найдём без труда: B1.21) (т) < 0 при г/> 1). Таким образом, вдоль характеристик, проходящих через точку х — у — 0, будет Р=±|(-^)!/2 B1.22) Рис. 65. (в плоскости C, у\ характеристики — полукубические параболы). Вставляя в B1.22) C и т; из B1.19), получим для характеристик 1-го семейства: ср = 4ф2 B1.23) и для характеристик 2-го семейства B1.24) На рис. 65 схематически даны в плоскости (ср, ф) стенки сопла, линия перехода и обе характеристики.
21] ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 183 Линия перехода и обе характеристики, выходящие из точки О, делят всю полосу плоскости (ср, ф), отвечающую решению, на шесть областей. Области эти пронумерованы на рисунке римскими циф- ами I —VI, так что, например, во всей области VI мы имеем дозву- дозвуковые скорости. Посмотрим теперь, будет ли ф всюду однозначной функцией от C и т]. С этой целью исключим ср из уравнения B1.19). Получим: A3f -4- ЪА№ @) 7ji[> — ЪЬЪ @) р = 0. B1.25) Относительно ф это — кубическое уравнение. Оно будет иметь только один вещественный корень, если •|р2 + ?13>0. B1.26) Таким образом, в дозвуковой области, в области VI, где -ц > 0, однозначность функции ф, а значит и ср, обеспечена. Далее, B1.26) сохраняется и при ~q < 0 до тех пор, пока не будет _9g2 3==0 4 Следовательно, однозначность будет иметь место ещё и в областях IV и V. Итак, в областях IV, V, VI мы можем написать В частности, на переходной линии, где т; = причём -^_^=Т1_. B1.28) Ьф) дп ^зр УЩ, прч 6@) v Ьф) Отметим, что аналитическое решение, которое мы приводили в начале этого параграфа, давало при т; = 0, как показывает простой подсчёт, те же ф и дф/дг>, что получаются по B1.28). Решение в областях I, II, III изобразится в виде складчатой поверхности. Интересно отметить, что мы можем расширить наше решение, предполагая, что в области IV (а значит, и V и VI) мы имеем B1.19), в которых А — Ах, а в об- области III имеем B1.19), но с А = А2 Ф Ах (скачок производной dvjdx скорости в точке О). Оба эти решения могут быть «склеены» при помощи переходных областей I, II следующим образом. В областях I. II ищем решение B1.18) в виде Тогда первое из уравнений B1.18) даст
184 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ где t = ср/ф2, а второе приведёт к соотношению Исключая отсюда F, мы придем к одному уравнению 02f + 4/2) /" + b*f'2 - 2 (if - /) = 0. Уравнение это можно записать в виде d dt 2tf'—f ~u' Таким образом, мы можем написать f 2с,/ f где Cj — произвольная постоянная. Это уравнение сразу интегрируется и даёт: V @) / = 4Cj/ - 8с2 + с2 /Г^ё;, где с2—вторая произвольная постоянная. Постоянные сх и с2 мы должны теперь подобрать так, чтобы при t = AJ4 (характеристика, отделяющая область I от области IV) было / = — А\/4 и при t = — A^2 (характеристика, отделяющая I от III) было / = — А%. Итак, мы исследовали поведение главной части частных реше- решений B1.19) системы B1.15), B1.16) в сверхзвуковой области, примы- примыкающей к линии перехода. Эти частные решения будут аналитическими (величина ф и производная dty/dv, если их получить из B1.28), в точности совпадут со значениями ф и dty/dv, построенными из анали- аналитического решения Мейера, данного в начале этого параграфа. Опасность появления скачков может возникнуть в случае склеивания решений, отвечающих А = А{ и А — А2, но здесь могут быть даны неравенства, связывающие Ах и А2, выполнение которых достаточно для безударности решения'). Чтобы построить входную (дозвуковую) часть сопла, Франкль предлагает теперь использовать ряды типа рядов Чаплыгина, следующего вида: ^> Jgjgg B1.29) где А и с — постоянные. Детальный анализ, за которым мы отсылаем к статье Франкля, показывает, что на окружности х = х* будет: l) См. упомянутые выше работы Франкля и Фальковича.
§ 21] ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 185 где постоянная k определяется через с и А. Сравнивая это с B1 28), замечаем, что главные члены ф и д^/дч] совпадают с главными членами нашего частного решения, построенного для сверхзвуковой области. Франкль устанавливает, что ряд B1.29) годится для сколь угодно далекого расстояния от критического сечения в глубь дозвуковой области. Мы можем теперь построить сопло следующим образом В дозвуковой части использовать ряд типа B1.29), вблизи линии перехода использовать решение вида B1.19); начиная с некоторого расстояния от линии перехода, в сверхзвуковой области, применить графический метод, изложенный в § 12. Параметры А, с, а также наклон стенок в дозвуковой области на большом расстоянии от линии перехода могут быть использованы для приспособления к заданным техническим условиям Как показал Франкль в другой работе'), ряды Чаплыгина можно использовать при решении задачи о струе, вытекающей в пространство, в котором давление будет меньше кри- критического. В § 16 мы видели, как происходит истечение струи, если j (Pj—давление во внешнем простран- пространстве, ра—давление внутри сосуда там, где газ покоится). Посмотрим теперь, что будет в том случае, когда Ро V i I /(*-i> Рис 66 Имеем сосуд с симметрично расположенными стенками, угол между которыми равен q-к (при q= 1 стенки будут служить одна продолже- продолжением другой) (рис. 66) Через отверстие сосуда АХА2 газ вырывается во внешнее пространство Следуя Чаплыгину, будем искать функцию тока и потенциал скоростей в зависимости от величины и направле- направления скорости. Вместо уравнений A6 12) теперь удобнее будет взять уравнение A7 35): где о и К зависят то1ы<о от v 1 j/ Ро v ly- 1 — ') Франкль Ф. И, О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверх- сверхзвуковых течении, Изв АН СССР, серия матем , 9 1945.
186 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Исключая из этих уравнений ср, получим для = 0. да* B1.32) Уравнение будет эллиптического типа, когда о>0 (г/< 1, К > 0), и гиперболического при о < 0 (г/ > 1, К < 0). Посмотрим теперь, для каких границ и при каких граничных условиях мы должны решать уравнение B1.32) нашей задачи. Обра- Обратимся к плоскости скоростей и отметим в этой плоскости направле- направления скоростей, отвечающие стенкам сосуда (рис. 67). Эти направле- направления продолжим до пересечения с кругом критической скорости. Рис. 67. Назовём точки пересечения Л] и А2. Проведём теперь из точки А2 эпициклоиду 2-го семейства, из точки С (vx — at, vy ~ 0) — обе эпициклоиды (изображены пунктиром) и из точки А\—эпициклоиду 1-го семейства. Пусть эпициклоиды пересекутся в точках В\ и B'2. Вследствие предположенного симметричного расположения стенок точки В[ и В2 лягут симметрично относительно оси Ох на одну окружность. Исследуем сперва частный случай. Именно, пусть давление р1 во внешнем пространстве в точности равно тому давлению, которое по уравнению Бернулли отвечает кругу В'2В[. Такое давление, мы назовём его рв< есть функция одного только q. По Франклю, картина движения теперь будет следующей. Точка Ах плоскости (х, у) отвечает точке Ах в плоскости (vx, v ); точка А2 отвечает точке А2. Таким образом линия перехода проходит через края выходного отверстия (пунктир на рис. 66). Далее, отрезку эпициклоиды AiB\ отвечает в плоскости {х, у) одна точка Av отре-
§21) ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 187 зок эпициклоиды а'чВ'2 стягивается в одну точку А2. Эпициклоидам второго семейства в криволинейном треугольнике С А1В1 отвечает пучок характеристик, выходящих из Av а характеристики первого семейства в С'А2В2 изображаются пучком характеристик, идущих из А2. Так как радиусу-вектору ОА\ отвечает вся верхняя стенка сосуда, а радиусу-вектору ОС — ось симметрии сосуда, то четырех- четырехугольник ОА\В\с' отобразится на верхнюю часть области дозвуковых скоростей и на область, заключённую между верхней частью АС переходной линии и характеристикой АХС (двуугольник АХС переходит в треугольник А[в\с'\ Таким образом в четырехугольнике ОА\В\с' мы должны решить уравнение B1.32), удовлетворяя краевым условиям1): ф=4г на ОА\в\, ) 2 [ B1.33) ф = 0 на ОС. Рис 68 Анатогичным образом область ОА^В^С отобразится на нижнюю часть дозвуковой области и на двуугольник СА2, причем мы должны решить здесь B1.32) при краевых условиях = — -^ на ОА2В'Ъ = 0 на ОС. B1.34) ') Значение ф на характеристике С'В\ мы найдем при этом в конце решения задачи Задавать эти значения заранее мы не можем Дело в том, что мы имеем здесь дело с обобщенной задачей Трикоми Последняя заклю- заключается в следующем Имеем дифференциальное уравнение второго порядка d2z . d2z n ду дх* где г = г {х, у), которое меняет тип из эллиптического на гиперболический, когда мы попа- попадаем из верхней полуплоскости (х, у) в нижнюю Рассмотрим область D, ограниченную кривой L, лежащей в эллиптической области (с концами на оси ОХ) и характеристиками /., и L2 разных семейств, исходящими из кон- концов L (рис 68) Пусть заданы значения z на кривых L и /., (но не на L2) Грикоми доказал существование и единственность решения этой задачи паше уравнение B1 32) является обобщением уравнения Трикоми (вместо а мы имеем /< (а) положительное при а > 0 и отрицательное при а < 0) Зада- Задание \f на прямых ОА\ и ОС' будет отвечать заданию г на ?, а задание ф на А{В{ отвечает заданию z на Lx Доказательство однозначности решений B1 32) имеется > Франкля
188 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Предположим, что нам удалось найти решения поставленных здесь задач. Это значит, в частности, что нам удалось найти движение и на характеристиках Afi и А2С. Но тогда мы будем знать скорости иа характеристике АХС (и А2С), а нам, кроме того, известно, что Ах (А2) лежит на свободной поверхности, и мы можем, поскольку мы находимся уже в сверхзвуковой области, применить хотя бы метод, изложенный в § 12 (задача 4), и найти вид свободной поверхности AiDl (A2D2) и движение внутри треугольника AXCDX (Л2СО2), где CD\(CD2)— вторая характеристика, выходящая из С (рис. 66). Заметим, чго линии CDl{CD2) отвечает в плоскости (vx, vy) харак- характеристика С'В'2(с'В]). Мы можем теперь решить задачу 2 (§ 12), ибо на характеристиках CDX и CD2 скорости будут известны, и найти движение внутри криволинейного четырёхугольника CDjfDj (точке Е будет отвечать точка Е' плоскости (vx, vy), лежащая на пересечении крайних эпициклоид). Далее, определим (задача IV) свободные поверх- поверхности, идущие от точек Ог, D2 и т. д. Задача будет решена. Прежде чем сказать о том, как же конкретно решается уравне- уравнение B1.32) при условиях B1.33) и B1.34), посмотрим, что полу- получится, когда /?! Ф рв. Пусть сперва Р\ < Рв- Проведём в плоскости (vx,vy) дугу круга с центром в начале координат и с радиусом, отвечающим давлению Р\« Рв) (Рис- 69), а также эпициклоиды второго (первого) семейства, выходящие из Л2(л|), и обе эпициклоиды, выходящие из С Отметим пересечение всех наших четырех эпициклоид с кругом, отвечающим давлению рх (точки D2, Fu F2, Di). Треугольнику AXCD: теперь будет в плоскости (vx, vy)
§ 21] ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 189 отвечать четырёхугольник BiF\D\C . Аналогично этому, треуголь- треугольнику A2CD2 отвечает в плоскости (vx, vy) четырёхугольник ВчРъРгС . Далее, криволинейный четырёхугольник С D'xED\ плоскости (vx, vy) (р'\Е и D^E —дуги эпициклоид) отвечает в плоскости (х, у) фи- фигуре, образованной характеристиками CDV DXE, D2E, CD2 и т. д. Таким образом и здесь всё сводится к решению B1.32) при условиях B1.33), B1.34) для областей ОА^С' и ОА\в\С'. Отме- Отметим, что эти последние области будут в точности теми же, что и области в случае, когда Р\ = рв- Таким образом, течение внутри сосуда полностью определяется решением B1.32) и не зависит от величины давления во внешнем пространстве, если только рх «^ рв. Наконец, в том случае, когда р0 > рг > рв, мы должны рассмо- рассмотреть в плоскости (vx, vy) картину, представленную на рис. 70. Рис. 70. Здесь мы должны решить уравнение B1.32) для области OAiD\E\C при краевых условиях ф = ~2- вдоль OA'\D[E\, 4> = 0 вдоль ОС. Также надо решить B1.32) для области OA'2DiE2C' при краевых условиях ф = — -?- вдоль OA'iD'iE^ ф = 0 вдоль ОС. Коль скоро решения эти получены и мы выходим в сверхзвуко- сверхзвуковую область, мы можем далее вновь применить методы, изложенные
190 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. ] Нам остаётся только сказать, как конкретно ищется решение уравнения B1.32) в смешанных (до- и сверхзвуковых) областях, участвующих в наших задачах. Как мы уже упомянули, Франкль предлагает искать эти решения в виде рядов типа рядов Чаплыгина. Рассмотрим для конкретности решение B1.32) для области ОА\В\С (рис. 67 и рис. 69). Будем искать ф в виде Ф—у—+2^а«тлоГ Т"' ( } где С» = *„(*)• ап — постоянные коэффициенты, пока неопределённые, но такие, что со ряд 2 fln сходится. Краевые условия на прямых ОС и ОЛ[ удо- и = 1 влетворятся при этом сами собой. Сходимость ряда в дозвуковой области (треугольник OAiC ) обеспечивается на основании результатов Чап- Чаплыгина. Франкль показывает'), что при непрерывном изменении дан- данных Коши на переходной линии решение задачи типа нашей, в соот- соответствующем характеристическом треугольнике, меняется непрерывно. Отсюда можно заключить, что B1.35) может представлять решение не только внутри круга г)=1, но и внутри характеристического треугольника. Неопределённые до этого коэффициенты ап надо найти, удовлетворяя краевому условию на характеристике AiB\. Именно, должно быть где а ф) есть результат представления о через fl из уравнения эпи- эпициклоиды А\В\. Путём переразложения наших функций от ji в ряды и сравнения коэффициентов мы получим теперь бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения ап. Практически достаточно будет сохранить конечное число членов ряда для ап, требуя выполнения равенства B1.36) для конечного числа заранее выбранных значений jj. § 22. Численные методы решения плоских задач газовой динамики. Расчёт сверхзвукового обтекания кругового цилиндра. С появлением электронных быстродействующих вычислительных ') Франкль Ф И., loc. cit См также Франкль Ф. И., О задачах Коши д.1я уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с на- начальными условиями на переходной линии. Изв. АН СССР, серия матем., 8, 1944.
«, 221 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 191 машин стало практически возможным получение, с нужной степенью точности, решения наиболее трудных задач газовой динамики. В ка- качестве примера применения соответствующих численных методов рас- рассмотрим расчёт обтекания сверхзвуковым потоком (со скоростью Vm) кругового цилиндра S (рис. 71). От цилиндра отходит ударная волна ?, после прохождения которой поток становится вихревым и смешанным. Требуется найти форму ударной волны, её положение и движение между ударной волной и цилиндром вплоть до не известной заранее линии перехода через ско- скорость звука и далее. Изложим здесь схему численного решения этой за- задачи, разработанную (и применённую к расчётам) О. М. Белоцерковским на основании метода А. А. Дород- Дородницына '). Этот последний метод сводит задачу интегрирования си- системы нелинейных дифференциаль- дифференциальных уравнений в частных производ- производных к решению некоторой аппро- " , ксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде чем излагать схему чи- численного решения, запишем урав- уравнения плоской вихревой стационарной задачи в полярных координа- координатах (г, 6); такая система естественна для рассматриваемой задачи обтехания круга. Уравнения движения примут вид dvr dvr 1 dp dr B2.1) B2.2) (vr, vf> — составляющие скорости по осям гиб соответственно). Уравнение неразрывности запишем в виде: B2.3) ') Дородницын А. А., Об одном методе численного решения неко- некоторых задач аэродинамики, Труды III Всесоюзного матем. съезда, Изд. АН СССР 2 A956), 3 A958). Ьелоцерковский О. М., Обтекание произвольного профиля с ото- отошедшей ударной волной, ПММ, т. XXII, вып. 2, 1958; Расчёт обтекания кру- кругового цилиндра с отошедшей ударной волной, Вычислит, математика, № 3,
192 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ |1Л. I Может быть введена функция тока ф(г, б) такая, что nv _ _ 0*L ov — Й- /02 4^ rPvr~ дв ' 9V"~ dr ' {2.2.Л) Условие адиабатичности запишется в виде: „iii^ii_O Г225) где, как и прежде, & = р1/*р~1. Комбинируя B2.4) и B2.5), заклю- заключаем, что Ь зависит только от ty: jPl" = *W- B2.6) Уравнение Бернулли, получающееся путем комбинации B2.1), B2.2) и B2.4), запишется, как в любом плоском случае, в виде: где, как и прежде (§ 8, стр. 42) ^ах=0Н-1)/(«— l)fil (о, — кри- критическая скорость, не меняющаяся при переходе через поверхность разрыва и потому постоянная как для вихревого, так и для безви- безвихревого движения). Умножая B2.1) на рг и используя уравнение неразрывности B2.3), получим без труда ^ (г р^+рг)*-^ =<*+,. B2.8) Определяя из уравнения Бернулли B2.7) плотность через ви 8и вводя её в уравнение неразрывности B2.3), получим где max Наконец, используя B2.4), почучим для изменения ф вдоль какой-то линии' г = /? (8) соотношение B2Л0) Неизвестными функциями являются здесь vr, щ, ф и Ь. Давление р и плотность р находятся из соотношений B2.6) и B2.7) через <иг vit Ь. Вводя давление рй и плотность р0 адиабатического затормо-
,22] ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 193 жйнного (в невозмущенной среде) потока и потенциальную темпера- температуру ^о д0 скачка- можем написать i—-Ьг-Ч Ч-) *• B2-u> Pa ( ] A Sr-M =( — I ^ B2.12) Po Запишем теперь краевые условия задачи на поверхности разрыва S и на обтекаемом цилиндре 5. Выразим vr, Vtj, ф и Ь сразу после прохождения поверхности разрыва через угол наклона ср нормали к поверхности разрыва к оси X. Из уравнений G.16) и G.17) имеем для vx и vy (соста- (составляющие скорости по оси Л" и ей перпендикулярной) B2.13) "Г tgcplff — cos^l, B2.14) где До, — скорость звука, связанная со скоростью набегающего по тока ¦Уо, и максимальной скоростью г>шах соотношением 2 2 1 со | оо * 2 ~~о "т" ~Z Т~ == "о" ^тах> так что 2 Сочетая B2.13), B2.14) с очевидными соотношениями vr = г)у sin б — г»9 = vx sin б -j- „ и„сО5б, \ л \ B2.15) uvcos9, J v ' получим выражение через <f значений vr и v$ сразу же после пере- перехода через поверхность разрыва. Функция ф не претерпевает скачка после прохождения разрыва. До прохождения разрыва мы имеем = pmvoo sin 9 = р0 (\ ^- ] г»оо sin 9. 13 Теоретическая гидромеханика, ч. II
194 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t Следовательно, на поверхности разрыва 1 tfoorsine. B2.16) При этом, если поверхность ? имеет уравнение г = го-Н(в), B2.17) где г0—радиус обтекаемого цилиндра S, то г и 9 на поверх- поверхности 2 будут связаны очевидным геометрическим соотношением Id \ B2.18) Наконец, для определения значений 0 после прохождения разрыва получим, воспользовавшись формулой G.10): МУ = —f—Y=— hj Ро\ Р / Роо 2* i? *—1\/ <& 1 -f- tg2 B2.19) Остаётся записать краевые условия на обтекаемом цилиндре. Здесь имеем, очевидно, при r = r0 vr = 0 ф—0. B2.20) При этом, так как 5 является линией тока, то вдоль г — га вели- величина 0 должна сохранять постоянное значение, которое можно получить из B2.19), полагая там <р = 0. Таким образом, '* — 1\ж/ 2* v2^ %—1\ / 2 при r—t B2.21) Теперь, когда записаны дифференциальные уравнения и краевые условия задачи, перейдём к описанию аппроксимирующей системы, разработанной и применённой к расчётам О. М. Белоцерковским на основе метода интегральных соотношений, развитого А. А. Дородни- Дородницыным. Разобьём всю область между цилиндром 5 и поверхностью раз- разрыва S на N полосок, проводя N— 1 кривую с уравнениями: /• = r,(9) = ro + ^e(9), /-1.2 N-1. B2.22)
225 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 195 Линии эти отстоят друг от друга на равные расстояния е (имеется в виду расстояние по г при закрепленном 9). Индекс i — N отвечает линии разрыва 2; индекс /=1 отвечает первой, наиболее близкой к цилиндру S, линии и т. д. В дальнейшем будем обозначать все величины на г-й промежу- промежуточной линии индексом i, на ударной волне — индексом S (или N), на поверхности цилиндра — индексом S. Обратимся теперь к уравнению B2.8) и проинтегрируем обе его части по г вдоль произвольного луча б = const, от поверхности тела г = г0 до границы каждой из полученных нами полос. Получим N соотношений (по числу полос) вида Г; (8) Г^Щ \ - (r?vl 4- pr)s + / ^f± dr = / Wp + p) dr. далее, вынося дифференцирование по 9 за знак интеграла (слева) и принимая во внимание определение B2.22) функции гг(9), запишем: Г; (в) (pv%vr) dr — jj (pv,pr\ -щ- -f (rpv2r + pr)i — (pr)s — rt (в) = / (vlp + p)dr, i=l, 2 N. B2.23) Аналогичным образом получим из уравнения B2.9): ~-Jj(^)i^ + (rvr<)l = 0, /=1,2 N. B2.24) Уравнения B2.23), B2.24) содержат интегралы вида Г; (9) / /(Л В)dr. Го Аппроксимируем теперь любую подынтегральную функцию интер- интерполяционным полиномом по г степени N, принимая за узлы интер- интерполяций границы полос: в[т^Г• B2-25) 13*
196 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Коэффициенты ат(Ъ) определим так, чтобы значения /?F) = /[гг@), 8] нашей функции / на линиях гг(9) точно представлялись с помощью нашей интерполяционной формулы. Иначе говоря, определим ах, а2, . • ¦, uN из следующей системы N уравнений N Sn Г Г' Г° У" — f i — 19 АГ т ~о •* ^* • ' ¦ » Jv т-0 или же N 2jam\4j) —fl< /=1. 2 Л^. т=0 Кроме того, заметим, что ао = /о (значение / при г = г0). Пусть мы получим N Яо = /о. flm = *yw/o4-2*/w/y (i«=l. 2 ЛО- B2.26) Коэффициенты bjm, bQm могут быть рассчитаны заранее. Так, для Л^= 1 имеем Для N =2 имеем fo — о fo — 4 b ~— 2* для N=3: _ 9 . 32 —  ' _ . _9 33 — -г 2 • Ч Ориентируясь на B2.25), мы можем теперь вычислить Г f dr. Вве- Введем обозначение: 11 . 2' Ь = 9, b. 9 — ~2"' *i Q 18 = - 27 з— о 0 45 . 2 ' ° • " _ 9 21 2 ' 22=18. _ 27 23 ~~" о ' /,(в)= /(г. 6)rfr. B2.27) Го Используя представление B2.25) функции /, мы получим =1. 2 ЛГ>
. 221 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 197 иЛИ, по B2.22): N пг~О i=l, 2 N. Достаточно будет вставить сюда вместо ат их выражения из B2.26), и мы получим /; (для каждого i) через линейные комбинации от зна- значений /у с/ = о, 1 ло Pw/o+2Py*/J (/" = /*). B2-29) j=l, 2 N. Для N=1 Poi=2-. Pii = - Для N = 2 5 1 1 Poi = "Si"' ™~T' га —~-24"' 1 2 R 1 Для N=3 о _ 1 R— 19 R— 5 R — -L Poi —¦ "§" > Рп — 72" ' l —' 2"' 1 — 72 ' 14 1 Q 1 Q . 3 fi 3 д J_ Роз — ~g~ - Pi3 — ^"' P23 — "8" *¦ Рзз — 8 ' Наконец, удобно будет иметь ещё формулу, позволяющую выразить /i> fN через Jv f2, .... fN, f0. Чтобы получить эту формулу, достаточно решить систему уравнений B2.29) (записанную для /= 1, 2 N) относительно /;-. Получим выражения типа N Приведём коэффициенты а,, для Л^= 1, 2 и 3. Для JV= I ; ) Формула B2.30) особеиио полезна в случаях, когда
198 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Для N— 2 «01 — ~~2' «ц —A «2i =2"' «02= Ь «12 = — 8' «22 = 4- Для ЛГ=3 _ 1 _ 3 _ 3 1 «01 — —""з1 «п—~2< «21 —у- a3i = —g" > 1 с q 2 «02 = у- а12= — "> a22=d> «32 = "J' 27 _ 27 13 а13 —~2~' «23 = g~' азз=у- и т. д. Вернёмся теперь к формулам B2.23), B2.24) и запишем их сперва в виде: где для сокращения записи обозначено: *( = (р«в«Л. 'j = (^)i- B2.32) С другой стороны, в силу B2.30), мы можем записать dsj/db в виде N dsj d 1 1 vi rfs; I de rf6 rf6 e (I или, выполняя дифференцирование: N ^ Тг С/=1, 2 Л0- B2.33) Аналогично, для dt.jdb имеем dtj dt0 I vj> rf^j 1 de vji — B2.34) Но теперь мы можем внести в эти два последних соотношения выра- выражения ds-Jdft, dl-Jdb из B2.31). Мы получим, выражая еще st, tt, г>2р -f p. с помощью B2.29), систему уравнений, в которых слева будут стоять производные dSj/dft и dtj/dQ, а справа — комбинации
^ 22] Численные методы решения плоских задач igg всех искомых функций (г>9M, {vh\ {vh)N; (vr)v (vrJ (vr)N; $., &j, . . ., bN; e (при этом правые части будут содержать про- производные de/dQ и ещё dto/dd). Получим систему 2Л/(у'=1, .... N) обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений 1-го порядка, линейную относительно производ- производных. Система эта будет содержать 2N-\- 1 скорости (wr),, (vrJ, ... (vr)N; (v,)s, (o9)[, .... (t>e)^ (причём (о,.)^ = (©,.)., (vH)N = (vh)r), функцию bs, bv ..., bN, а также функцию еF) — итого i функции. Чтобы замкнуть систему, сперва обратимся к крае- краевым условиям. Заметим, что (fr)v, ('Vii)z связаны с углом ср соот- соотношениями B2.13), B2.14), B2.15). Мы можем, поэтому, ввести вместо двух неизвестных функций (fr)s и (г>9J одну искомую функ- функцию <р (угол наклона). При этом производные, входящиь в наши уравнения, будут содержать как саму функцию <р, так и Именно, для d(vH)Jdti и d(vr)z/dQ будем иметь где dvv dvx I dvx dvy +i69 li6 + m{ и ftj, вычисляемые посредством формул B2.13), B2.14) суть известные функции от ср и 9. Далее, мы имеем ещё соотношение B2.18), связывающее функ> ции е(б) и срF). Недостающие Л/-)-1 уравнения составим, используя уравнение для дЬ/дЬ. Так как & зависит лишь от ф, то можно считать 0(. = &(. (ф.). Поэтому dbjdb = dbljd^l • dtyjdft. С другой стороны, ясно, что в/(«Ь,)=а(»1(ф1)) , так что dbJd^mjd^X . На- конец, напишем dbz/dtyz — dbz/dy ¦ d<fldQ • db/dtyz и заметим, чго в этом выражении rf&j/rfcp может быть вычислено (через <р) непосред- непосредственно по формуле B2.19), a dbjd^ может быть рассчитано по формулам B2.16), B2.17). Если мы запишем теперь dtyJdQ с помощью соотношения B2.10), в котором под R(B) будем подразумевать ri (9) из B2.22), то по- получим окончательно rf9 Это соотношение надо записать для i=l, 2, . .., Л^— 1. Для t = N(L) имеем непосредственно равенство B2.19); на поверхности цилиндра будем иметь постоянное значение bs по формуле B2.21).
200 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t Таким образом мы замкнули задачу: число уравнений будет равно числу искомых функций. При этом краевые условия на теле и удар- ударной волне удовлетворяются автоматически при любом N. Полученная таким путем система обыкновенных дифференциаль- дифференциальных уравнений 1-го порядка (так называемая аппроксимирующая си- система) решается численно шагами по 6. При этом будем отправляться от некоторых начальных значений, отвечающих 0 = 0. Здесь, однако, мы встретимся с тем затруднением, что не все искомые функции задаются при 6 = 0. Именно на оси 6 = 0: 2x »„ х _ 1 Таким образом мы имеем 3N—1 условия, в то время как искомых функций 4N—1 (vr и V-t — выражаются на ? через <р). Неизвест- Неизвестными оказываются (vr\, (vrJ ¦ • ¦ (vr)N_v e@) (N параметров задачи). Обратим внимание на то, что наши дифференциальные уравнения будут содержать подвижные особые точки. Разрешим нашу систему относительно производных от искомых функций. Мы привели си- систему к виду, решённому относительно производных dsjdb, dtj/db, где Sj и tj определяются из B2.32) через (vr)j и (<уа);-. Используя эти связи, получим для J = 0, 1, 2 N: B2.38) где аЯ = х~ (Рдах —р' — f>f) — местная скорость звука. На обте- обтекаемом цилиндре (У = 0) надо учесть, что (vr)s = 0 (тогда s5 = 0). На поверхности разрыва, где j = N (L), справедливо B2.35) и dtjdb, dsz/d6 выражаются через dyjdb. Теперь без труда из B2.38) и B2.37) получим выражение для d(vr)j/dd (у=1, 2, .... N—1) и rf(t;,);/rf9 j — 0, 1 N—l) через dtjdb, dt\dh и ds/jdQ (j = 1, 2 N),
22] ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 201 9 = Uj. где 1 Г 1 / »,-\ */(*-« ds, dt, x rf!n9/l B2.39) ?/ аЗ d</ d(vr)j ^ 44^7 ^^7^ыЧ^г B2-40) Выражение B2.37) или B2.38) при j= N(E) используется для опре- определения rfcp/d9. После этого аппроксимирующую систему в нормаль- нормальной форме можно записать так: dr, d(va)s __ Eo d{v,)] _ Ej 7=1, 2 W—1. Входящие в правые части dSj/db и <#;/d0 определяются по B2.33) и B2.34). Неизвестными функциями здесь являются е, fy, bj, <р, (fr)y, Из аппроксимирующей системы видно, что правые части всех уравнений, кроме уравнения для dvj/db (J=s, I, 2, .... ./V—1), являются голоморфными в области определения функциями от 9 и искомых величин. В уравнениях же для d{v^)jjdb (j = s, I, ..., N— 1) при (v$)j=^aj знаменатель обращается в нуль. Если мы не потребуем, чтобы и числитель Е, в этих точках обращался в нуль, то мы будем иметь бесконечные значения производных db ' dt) т. е. бесконечные ускорения. Тогда движение не может быть про- продолжено за соответствующие точки — мы получим особую предель- предельную линию (ср. решение на стр. 164) и всё решение не будет иметь физического смысла. Таким образом, /V уравнений нашей аппрокси- аппроксимирующей системы в окрестности звуковой линии будут иметь по-
202 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. I движные особые точки и для возможности непрерывного перехода через эти точки необходимо выполнение в них N условий: при —cij должно быть ?\=0 O'=s. 1, 2 N—l). B2.41) Для удовлетворения этих условий в нашем распоряжении имеется N параметров при 9 = 0. Теперь задача полностью замыкается. От- Отметим, что при 6 > 0, как следует из B2.39), уравнения для d (vr)j/db особенностей не имеют, а при 6 = 0 d(vr)j/db = 0. Проведённый О. М. Белоцерковским анализ особых точек по- показывает, что в уравнениях B2.40) особенности будут типа «седла», причём во всей рассматриваемой области интегрирования существует единственное решение, голоморфное всюду и удовлетворяющее усло- условиям как при 9 = 0, так и при (v^)j = aj. Техническая трудность построения такого решения заключается в том, что в особых точках в правых частях уравнений B2.40) будут неопределенности типа 0/0. Заранее раскрыть эти неопределенности нельзя, так так положение самих особенностей и значения многих искомых величин в них не- неизвестны. Для возможности счёта в окрестности таких точек можно поступить, например, так: решение в окрестности регулярной точки 9 = 9,, близкой к особой, разлагается по степеням F — 90) в ряды, по которым оно достраивается вплоть до особой точки 6 = дк (/г=1, 2, ..., N—1); затем в окрестности Qk строятся ряды по (9 — 9ft), которые дают возможность «выйти» из особой точки. В случае необходимости значения Ьк и других величин в этой точке могут быть уточнены методом итераций по условиям склейки при 9 = 90 рядов, отправляющихся от Ьк с решением, полученным обычным путём. Как правило, это делать не приходится, а для возможности «выхода» из особых точек достаточно бывает знать 2—3 члена раз- разложения. Продемонстрируем теперь более детальный ход решения на простейшем случае, когда N=1 («первое приближение»). Промежуточных линий здесь нет и все подынтегральные функ- функции аппроксимируются линейно по их значениям на цилиндре и на волне. Искомых функций будет три: е(9), <р(9) и (V(,)s. Функции (vr)s и (х/9)? на поверхности разрыва (т. е. (vr\ и (v9\) найдутся сразу же из B2.13) — B2.15) после того, как <р(9) известно. Одним из трёх дифференциальных уравнений, служащих для определения е> ?> (vti)s> будет уравнение B2.18), а два других получатся из инте- интегральных соотношений B2.23) и B2.24). При N= 1 каждое из этих соотношений записывается только один раз — для rt = rt = r0 -4- e F). Соотношение B2.23) приведёт нас к равенству: B2.42)
| 2Я ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 203 Соошошение B2.24) записывается в виде: dtc , dt, I f , ^ de _, , "Ж + -5Г = 7 L^1 - ^ Ж - 2ri 0^ Здесь (/ = 5, 1): E^ = 0, так как (i»r),s0), причём /7, и р, определяются через (vb\ и (vr\ с помощью B2.11), B2.12), B2.19) и B2.21). С другой стороны: Pl Здесь B2.44) где rfln&j/dtp находится по B2.19). Подставив из B2.35) выражения d(vr\/dd и d(v9ydB через rf<p/d9 в B2.44) и B2.43), получим окон- окончательно где B2.45) причем ntj и пх по B2.13), B2.14) и B2.35) — известные функции <р и 6. Аналогично, dtx d dv где 0=- ^ »i - ^- («2 - «S)i «i- B2-46> Учитывая, что на поверхности цилиндра (vr)s = 0, получим также:
204 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Теперь из B2.45) и B2.47) мы получим оставшиеся два уравнения аппроксимирующей системы при Л/=1: d(v{ р "* Входящие в правые части dsJdQ и dtjdb находятся по B2.42) и B2.43), a dtjdb определяется из B2.46). Итак, мы можем выразить de/db, dvjdQ, d(v%)Jdb через 9, е, ср, (vb)s. Интегрирование системы проводится шагами по 6 от 6 = 0 (на- (направление набегающего потока), где <р = 0, (г^^О, ео=е(О) — неизвестный параметр, кото- \^'/ V /У Рый определяется из усло- &~/ »V/ л^ вия B2.41) конечности должно быть Во втором приближении (N=2) вводится одна про- f,0 межуточная линия (ква- (квадратичная аппроксимация), в третьем (N=3) — две и т. д. В каждом приближе- приближении (N^-2) добавляется по одному неизвестному пара- параметру (vr)j при 0 = 0 и по одному условию B2.41) конечности производной d(vt)jldb. Совпадение ре- результатов с требуемой точ- точностью в двух последних приближениях свидетельствует о практической сходимости расчёта. Следует заметить, что метод интегральных соотношений весьма быстро сходится. Приведём некоторые результаты расчётов обтекания кругового цилиндра (го=1, х=1,40), взятые из работы О. М. Белоцерков- ского1). Расчёты проводились на быстродействующей электронной вычислительной машине БЭСМ-1 АН СССР. Уже приведённый выше рис. 71 отвечает случаю Moo = tW^co — %. 2,0 1,703\1А81 /,0 Рис. 72. ') См. сноску на стр. 191.
, 22J ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 203 Минимальная область влияния здесь ограничена двумя характе- характеристиками 1-го и Н-го семейств (обозначены цифрами 3 и 2 соот- соответственно), что вполне согласуется со стр. 182. Линия перехода, 2,0 t,o Рис. 74. обозначена цифрой 4. Рис. 72 показывает, как изменяется форма и положение ударной волны и звуковой линии при возрастании Моо Р ТА 1,0 0,8 0,6 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 ё Рис. 75. от 3 до 5. Там же нанесены результаты эксперимента (точки). Рис. 73, 74, 75 иллюстрируют сходимость метода по приближениям
206 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. t для Моо= 3 и 5: пунктиром нанесены результаты расчётов при N=1, сплошной линией — при N=2, треугольниками — при N=3 и точ- точками — эксперимент (Г. М. Рябинков). Как видим, уже расчёт по первому приближению даёт в основном правильное положение и форму ударной волны, распределение давле- давления на теле, на волне. Для определения величин в поле при Моо^СЗ надо считать по крайней мере три приближения, в то время как при Моо > 3 достаточно двух. § 23. Движение с очень большими сверхзвуковыми скоро- скоростями. Гиперзвуковые течения и обтекание тонких тел. В совре- современной газовой динамике, имеющей дело со скоростями порядка нескольких километров в секунду, возникает много теоретических и практических вопросов, требующих изучения движения газа при очень больших значениях числа Моо- Обтекания с очень большими сверх- сверхзвуковыми скоростями обладают рядом специфических особенностей. В § 14, а также в § 19 мы уже обратили внимание на некоторые характерные свойства движений, в которых Мсо]^> 1. В настоящем параграфе мы остановимся на некоторых общих законах таких движений. С. В. Валландер доказал A949) наличие предельного, не зависящего от Me» состояния течения, возникающего при очень больших Мсо J). Покажем, как это получается для плоского случая. Пусть обтекаемое тело помещено в поток газа, обладающий ско- скоростью vx. Образуется поверхность сильного разрыва, после про- прохождения которой начинается вихревое обтекание тела. Движение описывается уравнением Бернулли B3.1) уравнением неразрывности, которое можно взять в форме (9.2): и уравнением для вихря скорости (§ 6): ~х-1р dx ду)~х-1р ду —*-i ду ') Результаты Валландера были получены также Осватичем (К. Oswa- titsch) в работе Ahnlichkeitsgesetze fur HyperschallstrOmung, Zs. f. angew. Math, u. Phys., 1951.
23) ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 207 Вводя а2 из B3.1) в уравнения B3.2) и B3.3) и переходя к безраз- безразмерным скоростям vx/vco = vx, vy/Vjo = vr получим два уравнения: x , dv 2 W^^~°' B3'4) . B3.5) Уравнения B3.4), B3.5) содержат три безразмерных функции: vx, v , !п Ь и, если не считать х, один безразмерный параметр Моо. Последний входит таким образом, что при М»3> 1 членом, его содер- содержащим, можно пренебречь. Отсюда, однако, было бы поспешно сделать вывод о независимости нашего движения от М» при весьма больших Моо- Дело в том, что мы еще не знаем поведения функ- функции !п Ь и не учли краевые условия. Определение !п Ь тесно связано, как известно, с видом поверх- поверхности разрыва. Краевые условия надо будет как всегда записывать на поверхности тела и на поверхности разрыва. На поверхности тела: «у = «ИеР. B3.6) где р—угол наклона касательной к поверхности тела к оси X. На поверхности разрыва можем написать (см., например, B2.19)): 2х 2 1 х —1\/х—1 ,2 1 \х /о_ 7Ч Кроме того, по G.16) и G.17) 2 / 1 \ v = —-~cos<p sincp — г — 1 у % +1 \ М^ cos2? / • Отметим теперь, и это является важным обстоятельством, что, в силу сверхзвукового характера потока, форма поверхности вдали от тела не влияет на течение вблизи головной части тела. Поток вблизи тела находится под влиянием лишь ограниченной, наиболее интенсивной части ударной волны. На этой части cos9 будет отличен от нуля. При оотекании тупого профиля cos ср будет близок к единице; при симме- симметричном обтекании клина coscp будет близок к косинусу угла раствора клина и т, д. Поэтому, на некотором участке будет всегда достигаться
208 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ t™ . такое течение, при котором не только Мс»^> 1, но и MooCOS(p^> 1- Но тогда и в краевых условиях B3.7), B3.8) мы можем отбросить член, содержащий 1/ML- Теперь параметр Mm остаётся в одном лишь выражении для \пЬ: причём член, содержащий Мсо, входит в 1п & аддитивно. Но 1п & вхо- входит в формулу B3.3) лишь под знаком производной по координате поэтому в окончательной задаче Мсо полностью исчезнет, и мы полу- получим доказательство утверждения Валландера '). Закон независимости от Мсо при больших Мсо хорошо подтверждается экспериментально. Обратимся теперь к специальному рассмотрению обтекания тонких тел при больших сверхзвуковых скоростях. На примере обтекания пластинки (§ 14) мы уже видели, что простая линеаризация уравне- уравнений по отношению к основному потоку в случае, когда Мсо^>1. не даёт удовлетворительных результатов. Мы видели, что характерным параметром задачи является, в случае пластинки, величина Mooi Pol- Для общего случая обтекания тонких тел при Моо^§> 1 были открыты специальные законы подобия. Это было сделано Цзянем для безвих- безвихревых движений и обобщено Хэйсом на случай движений выхре- вык 2). Следуя Г. Г. Чёрному 3), попробуем сперва дать оценки порядка различных гидродинамических величин нашей задачи. Пусть, в общем случае, мы имеем установившееся обтекание со скоростью Vx, на бесконечности тонкого заостренного впереди тела, расположенного так, что углы между касательными к поверхности тела и основным потоком близки к нулю. Направив ось X вдоль основного потока, имеем О (cos (я, х)) = х, B3.9) где п — нормаль к телу, х— малый безразмерный параметр (напри- (например, относительная толщина тела, наибольшее значение угла, обра- образованного поверхностью тела с направлением потока, наибольшее значение cos(n, x) и т. п.), буква О, как обычно, означает порядок величины. Из краевого условия обтекания следует тогда, что на контуре B3.10) ') В случае безвихревого движения, т. е. в случае отсутствия поверх- поверхности разрыва, доказательство независимости движения от М^ при M^^l было нами приведено выше. См. сноску на стр. 156. 2) Tslen H. S., Similarity laws of hypersonic flows. Journal Math. Phys. 3 A946), 25; Hayes W. D., On hypersonic similitude. Quart. Appl. Math. 5 A947). 3) Чёрный Г. Г., Течение газа с большой сверхзвуковой- скоростью, Физматгиз, 1959.
s 23] ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 209 где, как и раньше, vx = vjvjo, г/у = иу/г;л. Это соотношение есте- естественно распространить и на всю область течения между поверхно- поверхностью разрыва и контуром. Но на поверхности разрыва мы имеем соотношения G.12), G.15), из которых следует, что — Pcofл (vx — v^^p — p^^-^j (MLcos2cp — l) B3.11) (Рос. P&>—значения р и р до прохождения поверхности разрыва). С другой стороны, так как касательные к поверхности разрыва, составляющие скорости, непрерывны, то B3.12) где V=V(vx—г'СоJ~Ьг;2- Внося это выражение в B3.11), получим квадратное уравнение относительно cos<p, из которого без труда найдём где V=v(vx—lJ4-f2,. так что O(cos?) = V+~. B3.13) "'оо Далее, по G.11) и B3.12) имеем Zy = (vx—l)tg<f = —Van<f. B3.14) Но sincpsbl. Значит, O(V) = O(vy) или, по B3.10), О A0 = т. B3.15) Возвращаясь теперь к B3.12) и учитывая B3.13), B3.14) и B3.15), имеем окончательно для скоростей: O(vx — voa) = vm(x*+-?-), B3.16) O(vy) = vjt. B3.17) Наконец, найдём ещё порядок величин р — рт и р — роо. По B3.11) имеем сперва Poo МС° «о так что, используя B3.16), получим 0 J4 Теоретическая (идромеханика, ч, II
210 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I р — р Что же до , то по G.10) можем написать Роо и тогда, на основании полученных выше оценок для Mr,cos<p. имеем М'^ B3.19) - М^х + Г Проанализируем теперь полученные нами оценки. Пусть сперва мы имеем дело с умеренными сверхзвуковыми ско- скоростями, так что Moo^l- Наши оценки показывают, что тогда при обтекании очень тонких тел (х<^1) возмущения всех гидродинами- гидродинамических элементов малы и имеют один и тот же порядок малости: ~ — l~_L х ~Ъ яйх Р~Ро° тМ х Р~~Рсо ~'М VjC "^Ма)Х' У Х' Рм JO'C> Poo ~ ЛХ' В то же время по B3.13), B3.15) имеем 1 cos ср ~-т«— > со т. е. наша поверхность разрыва будет иметь наклон того же порядка, как и наклон характеристики (большой по сравнению с наклоном обтекаемой поверхности). Мы можем поэтому при исследовании сверхзвукового обтекания тонких тел, если Мсо~1, линеаризовать уравнения движения по отношению к основному потоку, обладающему скоростями vx = vco, Wy = 0, давлением р^ и плотностью роо- Иначе будет обстоять дело при исследовании обтекания тонких тел, когда Мсо^= 1 или же Мс»х^> 1. Здесь наши формулы приведут к новым соотношениям: Vx l~t, Vy X, y , |Vloo r'co rco «Малость» возмущений скорости сохраняется, но характер этой мало- малости будет различным для продольных (vx) и поперечных (уу) соста- составляющих. Возмущения давления и плотности не будут уже малыми; более того, возмущение давления может иметь тот же порядок, что и самодавление и даже превышать его во много раз; отметим, что при этом коэффициент давления п 2 . . 2 Р— Ра= будет весьма мал — он будет иметь порядок т2. Наконец, cos? по B3.13) и B3.15) будет мал и будет иметь порядок тот же, что и косинус
§ 23J ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 211 нормали к поверхности обтекаемого контура — поверхность разрыва будет как бы прилипать к поверхности тела. Мы видим, таким образом, что метод линеаризации, по отношению к потоку на со, не применим в нашем случае больших сверхзвуко- сверхзвуковых скоростей. Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями около тонких тел называют в современной литературе гиперзвуковыми. Выведем теперь, используя наши оценки, важный принцип подо- подобия, касающийся гиперзвуковых движений. Обратимся вновь к общим уравнениям движения, неразрывности и притока тепла для плоского стационарного случая. Выделим основное движение по формуле и перейдём к безразмерным координатам из соотношений: х = *i. У = ^Уг Теперь уравнения движения примут вид: к ^ ' дх, ^ йу,^р, ду, Уравнение неразрывности запишется в виде JLP A+т2И)+4^- = о, dxt rl v ' ' ' dy, и условие адиабатичности даст: р р В согласии с приведенными выше оценками, мы можем считать, что все наши безразмерные функции имеют теперь порядок 1. Считая, что х мало и отбрасывая член, содержащий х2 (это единственное упро- упрощение, которое здесь делается), мы придём к уравнениям B3.22) B3.24) 14*
212 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I Пусть уравнение обтекаемого контура в новых координатах имеет вид Тогда краевое условие на контуре запишется ¦ ч иг , иг или, если отбросить член х2, ?+*wr°- <23-25) Далее, на больших расстояниях от тела возмущения пропадают, и мы должны там написать „ = * = 0. Pl=l, Pl = -^-^-. B3.26) Наконец, выпишем еще условия на поверхности разрыва. Пусть уравнение этой последней (в новых координатах) имеет вид /(*,. у,)=<). Тогда по G.5) имеем или, в нашем приближении: ,^v dyj Аналогичным образом вместо уравнений G.3), G.4) получим теперь „ = Л—-^ B3.28) дхг . B3.29) а вместо G.6) будем иметь: х+1_(х_1)р B3.30) Из двух параметров задачи (т и Моо) ни один не входит в уравне- уравнения B3.21) — B3.24) и краевое условие B3.25). Краевые условия на бесконечности B3.26) содержат лишь комбинацию этих параметров (результат Цзяня). Условия на поверхности разрыва B3.28) — B3.30) также содержат лишь комбинацию этих параметров (результат Хэйса). Отсюда принцип подобия, который может быть сформулирован так:
g 24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 213 движения около двух тел, аффинно преобразуемых друг в друга, имеющих относительные толщины т' и т", будут подобны, если числа Маха М' и М^ этих движений таковы, что Уравнения наши распадаются на две группы: уравнения B3.22) — B3.24) содержат искомые функции v, pv рг и не содержат и; крае- краевое условие B3.25) и условия на поверхности разрыва B3.27), B3.29), B3.30) также содержат лишь v, pv pv Таким образом, задача сильно упрощается. После того как v, pv p, определены, для нахождения и может служить уравнение B3.21) и краевое условие B3.28). Проще определить и из уравнения Бернулли. Хэйс обратил внимание на то, что уравнения B3.22) — B3.24) совпадут с уравнениями для одноразмерного нестационарного дви- движения газа вдоль оси Yv если заменить хх через некое фиктивное время. При этом краевое условие B3.25) представит аналог краевого условия на поршне, движущемся по закону F (xv у^ = 0 (х1 — время), а условия B3.27), B3.29), B3.30), как легко видеть, отвечают в точ- точности условиям на поверхности разрыва в нестационарном случае. § 24. Случай реального газа. «Идеально-диссоциирующийся» газ. При прохождении поверхности сильного разрыва, если сверх- сверхзвуковые скорости движения очень велики, температура может увеличи- увеличиваться до весьма больших значений. В самом деле, комбинируя формулы G.10) и G.15), мы получим для отношения температур 7у7\ на скачке формулу: Если ср — 0 (прямой скачок), то при Mi = 5 будем иметь для х = 1,4 7У7\?«5,8, а при Mi =10 Т/Т1^20,8; это значит, что если 7\ = 280° К, мы получим увеличение температуры в первом случае примерно до 1642° К, а во втором — примерно до 5712° К- При таких высоких температурах отдельные молекулы кислорода, входящего в состав воздуха, начнут диссоциироваться. Соответствующий пересчёт, основанный на рассмотрении стати- статистической физики процесса, был проведён, применительно к газовой динамике, рядом авторов. Остановимся более подробно на теории Лайтхилла ') «идеально-диссоциирующегося» газа. Рассмотрим газ, состоящий из двухатомных молекул. Пусть в нём начинается диссо- диссоциация: часть молекул начинает делиться на свободные атомы. Обо- Обозначим через а процентное отношение (по массе) числа свободных ') L i g h t h 111 M. J., Dynamics of dissociating gas, I Journal of fluid mecha- mechanics, 2 A957).
214 ТЁбРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (возникших за счет диссоциации) атомов [ГЛ. 1 А где пА — число диссоциированных атомов (в единице массы газа), п2А — число недиссоциированных молекул (в единице массы газа). По Лайтхиллу имеем соотношение 1 —а B4.2) где Td и pd—некоторые параметры. Именно, величина Td = D/k, где D — энергия диссоциации, k — постоянная Больцмана (й=1,38Х Х10~16 эрг/град); величина же pd представляется более сложно: она выражается через температуру и некоторые функции распределения; приближенно pd может считаться постоянным. В этом смысле Лайт- хилл говорит об «идеально-диссоциирующемся» газе. Для кислорода 7^ = 59 000° К, pd=150 г/см3; для азота Td = 113 000° К, pd = 130 г/см3. На рис. 76 (заимствованном из статьи Лайтхилла), где по оси ординат отложено а, а по оси абсцисс — TjTd, даны три кривые — зависимости а от T/Td, отвечающие ]g pdjp — 7, 6 и 5 соответственно. 0,036 0,0371>0А 0,04S О,Р5 0,06 0,070,060,09 0,120,1k ОМ Рис. 76. Из рисунка видно, что если при Тяь 1600°К (случай МХ~Ь, см. выше), когда TjTdi^i0,027, практически ещё нет диссоциации, то при Т =5700°К (случай с Ж1=10), когда TjTd^0,097, мы имеем при ^р/р^^б почти полную диссоциацию (для нижних слоев атмо- атмосферы p?tilO г/см3, поэтому рй/ря»1,3- 105 и lgpd/p~5).
§24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 215 Для частично диссоциированного газа уравнения движения и урав- уравнения неразрывности остаются прежними. Изменяется прежде всего уравнение состояния, которое может быть записано теперь в виде а). B4.3) где R, как и прежде,—газовая постоянная. Для воздуха /? = 2,87Х Х106 см2/сек2 ¦ град; для кислорода Я = 2,59-106 см2\сек2 ¦ град, для азота /? = 2,97 ¦ 10 см2\сек2 ¦ град. Изменится и уравнение энергии; при выводе последнего уравнения для внутренней энергии и\и==~д< см- СТР- 17) теперь придётся написать: -=?? + «. B4.4) где ud — RTd (в механических единицах). Для кислорода ad = 1.53Х Х1011 см2(сек2, для азота ud — 3,35 ¦ 10й см2\сек2. При а=0 мы полу- получим при этом U = 3RT. Для идеального газа мы имели (стр. 17) и — CjLr- — т , так что если х = 1,4, то и = 2,5 RT. Формула B4.4) 4 отвечает случаю, когда х —-^-. Уравнение энергии (аналог уравнения C.4)) будет теперь иметь вид И 1/1/ И,, pS^ + pS+ или же (см. стр. 20): p-g- + Pdiv V=0, B4.5') при этом и выражается через B4.4). Теперь, кроме функций V, р, р, Т, в качестве искомых величин входит еще а, которая связана с р и Т конечным соотношением B4.2). Как и прежде, уравнение B4.5) описывает факт сохранения Энтропии 5 частицы, ибо по определению энтропии: du-\- pd — так что, в силу уравнения неразрывности и, по B4.5) имеем dS 0 B4.6) Используя B4.3) и B4.4), мы получим для dS из B4.6) выражение 3ud dT . ud = yj- -y—f- -f
216 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. Но по B4.2) имеем запишем ещё Р далее получим A—a)ln(l — a) + aB — 2 1na)\ J Для сравнения напомним, что в случае идеального газа мы имели (см. F.8), стр. 33): d ~ = —Ц- d In 0х == —Ц- d In GV-*) = d (—Ц- In Г — In pV что согласуется (для х = 4/3) с формулой B4.7), если в ней поло- положить а = 0. Посмотрим теперь, как изменятся, в случае диссоциирующегося газа, условия на поверхности сильного разрыва. Условия B.12), B.13) останутся без изменения. Условие B.17) мы должны записать, вводя вместо U/A его выражение по B4.4I). Ограничимся только рассмотрением стационарного случая, когда 6 = -К„ и [РУя1 = 0. Записывая \pVn\ = [^?Vn] =Р^Я[^]. мы можем представить B.17) в виде Р. Введя вновь теплосодержание (стр. 34) /, мы получим -О, B4.7) ') Мы можем получить взамен B.16), повторяя рассуждения, приведен- приведенные на стр. 29, также и аналог формулы E.9). Это будет
§24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 217 причём теперь, в отличие от того, что отвечает совершенному газу, мы имеем ^ +«(/ai). B4.8) Обратимся к плоскому случаю и будем обозначать значение наших элементов до прохождения разрыва значком «1», после прохожде- ния—значком «2». Умножая B.12) скалярно на п и замечая, что б = — Vn, получим + < + <- B4-9) Умножая обе части B.12) скалярно на единичный вектор т, каса- касательный к поверхности разрыва, получим, как и раньше, «t, = wv B4.10) где г>, — составляющая скорости, касательная к поверхности разрыва. Условие B.13) перепишем в виде hvn^?2vrh- B4.11) а условие B4.7) даёт нам, в соответствии с B4.10): v2 v2 -|l + /1 = -|i+j2. B4.12) Аналогично тому, что было в случае идеального газа, соотноше- соотношения B4.9) — B4.12) связывают пять величин р2, р2> vX2, fy2. T2 че- четырьмя уравнениями. К ним надо прибавить B4.2), записанное для р2 и Т2; в качестве шестой величины будет фигурировать <х2. Анализ формул B4.9) — B4.12) несколько облегчается тем обстоя- обстоятельством, что в интересующих нас сейчас случаях—случаях возникно- возникновения диссоциации — величины 1Х и рх всегда могут считаться пре- пренебрежимо малыми по сравнению с кЧ2 и р^2п соответственно2). Для того чтобы это показать, обратимся вновь к рис. 76. Даже для ничтожно малой диссоциации, когда а = 0,05, мы должны считать T2/Td> 0,0475. Но тогда по B4.8) 7yMd= 7/7^D +а)+ а= = 0,05 + 0,0475D+0,05)^:0,25. Таким образом, по B4.12) мы ') Аналогом формулы E.14) будет теперь более громоздкое соотношение, Если а_ = 0, а — а, ТО МЫ получим 7_-L=- 2Td_ Т Р при a = 0 получим вновь E.14) с k — *lz. 2) Упрощённые условия на скачках, получающиеся путём отбрасыва- иия рх н «,, называются «приближениями для очень сильных разрывов».
218 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I должны иметь—---\—= 2~">0,25. С другой стороны, при обыч- ««*'! 2«^„, ных температурах 7^ порядка ЗОО'К, при отсутствии диссоциации мы имеем TjTd < 0,005 и, следовательно, \judix = 4T/Td < 0,02. Таким образом, даже при ничтожных а величина '/г^я должна зна- значительно превышать /,. Ещё в большей степени это относится к раг>2 и ру Итак, приближенно имеем Исключаем х>„2 с помощью равенства B4.11): vn, = ^-vni. B4.14) Второе равенство из B4.13) дает нам P2 = Piv2n ( 1 "—y~ ). или. по B4.14): 1 г, Наконец, третье из B4.13) даёт нам /2 = — г>М 1 ^-), т. е. Используя B4.8), можем, по B4.16) и B4.15), написать ^2D + a)+a«d = I<(,-i Или, исключая р2 с помощью B4.3): Отсюда выразим р2/ра через Г2 и а: &-= *т* + аТ* +1, B4.17) Pl ^2(l+a) или если использовать ещб B4.2): — = 7+ т-Г-Aп(— -^Г-)— з). B4.18) Может быть построено одно трансцендентное уравнение для опре- определения T2jTd (или а) через vni и pj/p,;. Уравнение это громоздко
§24] СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО-ДИССОЦИИРУЮЩИЙСЯ» ГАЗ 219 и трудно обозримо!). Лайтхилл предлагает анализировать поведение функций после скачка последовательными приближениями. Именно, возьмём сначала какое-либо грубое значение р21Р\< например Р2/Рг = Ю, и найдбм с его помощью по B4,16) i2; но по B4.8), используя B4.15), можно получить ( )f —• B4.19) Из этого равенства, внося сюда выбранное нами р2/рх и найденное нами 12, получим величину а. Вставив это а в правую часть B4.18) (вместе с выбранным рг/Pi). мы получим новое, уточненное отноше- отношение р2/Рг Отправляясь от этого значения проведём расчёт снова и т. д. Приведём пример. Пусть v2n /ad=l,44 (г»л як 4,68 км/сек), pj/pd = = 2 ¦ 10~?(р1^0,26 • 10~3 г/сл*3). Тогда по B4.16) имеем (пренебре- (пренебрегая членом с (pj/paJ) /2/Bd«0,72. При р2/р1= 12 HMeeMp2/pd=2,4 • 10~6; при этих значениях t2 и p2/pt получим по B4.19) (отбрасывая р,/р2 в скобках) а =0,42 и тогда по B4.18) мы сможем найти исправлен- исправленное p2/pi- Эт0 будет p2/Pi == 13,2. Теперь p2/pd = 2,64 • 10~G; если это новое значение внести в наши формулы, величины а и p2/pj оста- останутся практически теми же. Итак, мы получим T2/Td=z 1/13,2якО,075 ') Уравнение для T%jTd можно получить, исключив сперва а из соот- соотношений -=--A+а) = —— (l — —) (следствие B4.15) и B4.3)) и ' d "ij Рг \ Рг / Т v2n I p, \ _ D -f «) + а = 77^- И -) (следствие B4.16) и B4.8)). По отношению -* d ^d ^ ?2' к р,/р2 получим при этом квадратное уравнение: Л Р,\2 2rd Л р,\ ц^C7-2-^)Г2 _0, \ <W r2 - ' о ..„.„.„ . при этом Решив указанное квадратное уравнение, найдём р,/р2 через 7, а затем а через Г2. Останется вставить эти выражения в B4.2), и мы получим одно трансцендентное уравнение, связывающее T2\Td с pd/pj и v2njud. Это урав- / 7* мение будет аналогом соотношения B4.1) (вернее, соотношения ~ = 2-а(х—1) 2 2 = / , ^2- IVIj cos <f, получающегося из B4.1) для очень больших М,, т. е. для рассматриваемого нами сейчас случая «очень сильных разрывов»).
220 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I (Г2яй4400°К), в то время как при отсутствии диссоциации мы полу- получили бы по B4.1): Т2 2х(» —1) Г, 2 2 2(»-1) v\ т. е. при принятых в этом примере величинах -^«^§^¦«0,176 (Г2^ 10 000° К). Любопытной особенностью движений с диссоциацией является то, что величина p2/Pi имеет определенный экстремум, при котором а дй0,6-г-0,7; этот экстремум отвечает примерно значениям pj/pj^a я» 13 -г— 15. Заметим, что для идеального газа р2/рх монотонно растёт с ростом М! и достигает предельного значения только при М1 = оо (ср. G.10)), И^Ц т. е. при х = 1, it v 3 И^^Ц-, т. е. при х = 1, it^7. Pi * —1 v 3 р, Остановимся теперь на выражении для энтропии; посмотрим, что можно сказать об изэнтропических движениях диссоциирующегося газа. Аналогично случаю идеального газа мы можем и здесь ввести скорость звука как скорость распространения малого возмущения. Заметим сперва, что энтропию 5 вновь можно сштагь функцией только р и р, ибо хотя по определению S зависит от Т, р и а, мы можем считать, что с помощью уравнений B4.2), B4.3) Г и а выра- выражены через р и р. Возвращаясь к системе уравнений D.14), мы должны заменить лишь последнее из уравнений этой системы соотношением дх у ду^ г дг dt ) \ др дг ^ д? дг Повторяя рассуждения § 4, мы получим теперь для квадрата ско- скорости звука а2 выражение: 2_____^L ¦ dS dp ' dp Если обозначить то f> аналог отношения теплоемкостей, будет зависеть от р и р. Мы можем представить f в виде: d\np
j 25] ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 221 (дифференциалы берутся при dS = 0) и получим, после простых выкладок: 277X1 - а») + B + За» - »') 71 2 7 ~Г|аA-а2)+3B-а)A+а)Г2 " Для крайних значений а = О и а = 1 получим соответственно -г = 4/3 и f = s/31). Интересно отметить, что, подобно p2jpv вели- величина т имеет экстремум (для отношений TjTd, 1 ежащих между 0,04 и 0,10) Для каких-то промежуточных значений а; в этом убеждаемся из анализа формулы B4.20). Мы ограничимся сказанным здесь относительно особенностей диссоциирующегося газа. Вопрос о движении в пограничном слое, влиянии вязкости, а также диффузии рассмотрен в ряде работ, из которых упомянем работу В. В. Щенникова2). В. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА § 25. Движения с осевой симметрией. Из пространственных движений рассмотрим сперва обладающие симметрией по отношению к некоторой оси. Последнюю примем на ось Oz цилиндрической системы координат; расстояние от оси будем обозначать через г, полярный угол через 6, проекции скоростей — через vz, vr, v^ соот- соответственно. Условие осесимметричности запишется тогда в виде: dp _ dvr _ Кроме того, движение предположим стационарным, так что ни один из его элементов не зависит от времени. Так как движение про- происходит одинаково во всех меридиональных плоскостях (полуплоско- (полуплоскостях), проходящих через ось Oz, мы можем рассмотреть одну такую полуплоскость (z, г). Уравнения движения примут вид: 1 др _ д v* (dvr dvz\ J_ dp д v2 (dvr dvz J~5F~~~dF~2 v*\~dz dF Уравнение неразрывности примет вид: Т + Т = °= условие адиабатичности даст: 4 дг р" ) Последнее значение совпадает с тем, которое приводится обычно Для идеального одноатомного газа: % = 5/з (стр. 21). ) Щенннков В. В., Расчёт ламинарного пограничного слоя у субли- сублимирующей поверхности, Сб. выч. матем. н мат. фнзикн, 1 A961), № 5,
222 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. i Мы видим, что все уравнения, кроме уравнения неразрывности, отли- отличаются от уравнений плоской задачи (§ 6) лишь заменой х на z и у на г. Поэтому мы можем повторить все те выводы, которые мы получили, не употребляя уравнения неразрывности, в плос- плоской задаче. Введём функцию тока фB, г). Из уравнения неразрывности имеем: и F.11) заменится на х-1 -?. B5.3) oz or Снова вихри будут отсутствовать, если diQ/dty = d%ldty = O; обратно, если Q = О, будет, вообще говоря, diJdty — db/dty — O. Обращаемся к условиям на поверхности сильного разрыва (в пло- плоской задаче это были цилиндрические поверхности, сейчас — это поверхности, получающиеся вращением около оси Oz; их пересече- пересечение с плоскостью меридиана назовём линией разрыва); получим, очевидно, вновь G.1) и G.2), а также формулы р9 [vz] = [р] cos (n, z); p9 [vr] = [р] cos (n, г) вместо G.3), G.4), причём по-прежнему имеют место G.5), G.6), G.7). Но тогда справедливо и G.10), где <р есть угол между нор- нормалью к линии разрыва и осью Oz, a vl есть скорость до разрыва. Далее, G.14) запишется в виде: т. е. нам придётся иметь дело с прежней гипоциссоидой. Наконец, всё, что мы говорили о критической скорости и об уравнении Бер- нулли (§ 8), останется в силе, если только заменить там, где они входят, буквы х и у на z и г соответственно. Обратимся к изучению движений со сверхзвуковыми скоростями и привлечём уравнение неразрывности. Примем, что tQ= const.; Q = г . рр * —j-r-, причём ^l _ !**_ _ о /95 5) дг дг —Шш ^ '
§ 25] ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 223 Уравнение неразрывности (второе из дифференциальных уравнений задачи) запишется так: , dlnp , dvr . dvz __ ar . выражая р через а, получим после простых преобразований: d%) dv dl'r ./о 2 &v a2V = -Г- B56) Уравнение B5.6) отличается от уравнения (9.2) наличием свобод- свободного от производных члена — a2vr\r. Предположим, что v > a^, и введём характеристики г = r (z). Вдоль них мы имеем: dvz , dvz dr dvz , dvr , dvr dr __ dvr dz ' dr dz dz ' dz ' dr dz dz Находя отсюда dvjdz и dvrjdz и внося в B5.5) и B5.6), приведем последние уравнения к виду: SF № + r (fl - ^)J - -w ir\vz + о? - vl) = dr ' dr dz Чтобы линия r = r(z) была характеристикой, должно быть: г' (а2 — v2)-]- v v —r'vv, — (а2 — vl\ \ ZJ ' Г Z Г Z \ Т) a2vr 1 r' (a2 _ = 0, = 0. Первый из этих определителей даст нам, очевидно, аналогично пло- плоскому случаю: г'2 (у\ — а2) — 2vrvzr' -+ v\ — а? = 0 B5.7) rfr vrvz ± a — а2 B5.8) где значку 1 отвечает знак плюс, значку 2—знак минус перед корнем. Мы видим таким образом, что в плоскости (z, r) характеристики г = г (z) строятся из скоростей vz, vr совершенно так же, как в
224 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. плоскости (х, у) характеристики y==y(x) строятся из vx и vy. Обра- Обратимся теперь ко второму определителю. После простых преобразо- преобразований получим: Замечая, что вследствие B5.7) коэффициент при v' будет равен (v2 — a2\Jr'', деля на него и заменяя члены в квадратной скобке правой части по формуле B5.8), получим: dvr / v\ — a2 dvz _ аи Yv2 — аг / аЧгг' Вспоминая затем, что „2 „2 получим окончательно: вдоль характеристики первого семейства: a2v. , . f;1^ B5.9) вдоль характеристики второго семейства: + аЯ Vv2 — а2г'2 а\ r[vi — < B5.10) Так же, как и в плоском случае, можно придать формулам более обозримый вид, если ввести величину скорости v и угол наклона р к оси z: B5.11) Мы получим тогда вместо B5.8) в>- B5Л2) где, как и прежде, sin a = ajv. Формулы B5.9) и B5.10) перейдут при этом в соотношения B5.13) ^AL. B5.14)
5 261 БЕЗВИХРЕВОЕ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ V>a 225 Формулы B5.9), B5.10) существенно отличаются от формул (9.13), (9.Н) плоской задачи наличием вторых членов фигурной скобки справа. Формулы B5.13), B5.14) отличаются от (9.24) наличием члена, содержащего drjr. Это будет особенно явно в безвихревом случае, к которому и переходим. § 26. Безвихревое осесимметрическое движение при v > a. Метод Франкля. Если вихри отсутствуют, т. е. 2 = 0, будет: вдоль характеристики первого семейства: B6.1) вдоль характеристики второго семейства: Л,г + ^л,, = _*к__,;л. B6.2) Задача об исследовании такого движения была решена впервые Франклем. Наряду с плоскостью (г, г) рассмотрим плоскость (vz, vr). Совер- Совершенно аналогично тому, как это было в плоской задаче, нашему движению отвечают точки плоскости (vz, vr), лежащие между кру- кругом v2 = v2z -f- v2 = а2 и кругом #2=—i-y а2№; это объясняется тем, что уравнение Бернулли vl + v* a2 _ х + 1 а\ пишется здесь так же, как и в плоской задаче. Однако характеристики в плоскости (vz, vr) не будут теперь эпициклоидами и даже более того, они аналогично характеристикам в плоскости (z, r) не могут быть найдены до тех пор, пока движение не определено. Происхо- Происходит это вследствие наличия в B6.1) и B6.2) правых частей. Легко видеть, что наша задача представляет формальную аналогию с рас- рассмотренным нами в § 8 случаем плоского вихревого движения. В самом деле, соотношения вдоль характеристик в плоскости (vx, vy) в вихревой задаче представлялись в виде неинтегрируемых комбина- комбинаций (9.18) и (9.19), заменяемых при практических расчётах урав- уравнениями типа A3.4), A3.6). Но B6.1), B6.2) отличаются от (9.18), (9.19), кроме того, что вместо л; и у в них стоят z и г, только видом коэффициента при dz; при этом коэффициент при dz в B6.1) и B6.2) даже проще, чем коэффициент при dx в плоской задаче (последний содержит подлежащую сложному определению величину Q). Что же касается до характеристик плоскости (z, r), то они опре- определяются по формулам B5.8), т. е. совершенно так же, как 15 Теоретическая гидромеханика, ч, II
226 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 характеристики в плоскости (х, у); уравнения B5.8) по-прежнему эквивалентны соотношению (п — нормаль к характеристике); уравнение Бернулли справедливо в прежней форме; можем легко провести характеристики в плос- плоскости (г, г). Обращаясь к задачам типа 1, 2, 3 и 4, рассмотренным в § 11, заметим, что для приближенного (графического) решения их здесь, как и там, достаточно научиться следующим трём операциям: 1) находить скорость в точке пересечения характеристик разных семейств, выходящих из двух различных, близко расположенных точек, в которых скорости уже известны; 2) находить скорость в точке пересечения с заданным элементом стенки характеристики, выходящей из близкой к стенке точки, в кото- которой скорость известна; 3) находить скорость в точке пересечения характеристики, выхо- выходящей из точки, близкой к некоторой свободной поверхности, с заданным элементом этой свободной поверхности. Научимся сперва операции 1. Операция 1. Пусть в близких точках М1 и М2 плоскости (z, r) (рис. 77) известны скорости; отметим в плоскости (vz, vr) точки М\ и М.% координаты которых суть компоненты скоростей в точках Мх и М2 соответственно. Через точки М1 и М2 проведём элементы характеристик разных се- семейств до их пересечения в N} (пусть для конкретности MlMi— элемент дуги характе- характеристики первого семейства, a M2NX — второго z семейства). Это построение можно выполнить, вычисляя r\ 2 по B5.8). При этом, как и в пло- Рис. 77. ской задаче, элементы характеристик следует заменять элементами касательных к характе- характеристикам. Чтобы найти скорость в точке Л^г, рассуждаем так. Пере- Перемещаясь по элементу MlNi в плоскости (z, r), мы будем, вслед- вследствие B6.1), перемещаться в плоскости (vz, vr) по элементу прямой B6-3) где постановка значка М1 при скобке означает, что выражение в скобке вычисляется в точке Мх. С другой стороны, перемещаясь
§ 26] БЕЗВИХРЕВОЕ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ V>a 227 по ЩМр будем двигаться по прямой Точка N{ плоскости (vz, vr), лежащая на пересечении прямых B6.3) и B6.4), даст компоненты скорости точки Nx. Операция 2. Известна скорость в точке Мь и дан элемент твёр- твёрдой стенки, близкий к Мх, но не проходящий через Мх (рис. 78). Через Ж, проведём характеристику, например, первого семейства 4 Рис. 78. Рис. 79. до пересечения со стенкой в точке Nv Скорость точки Nl находится в плоскости {vv vr) на пересечении прямой B6.3) с радиусом-векто- радиусом-вектором, параллельным направлению касательной к стенке в точке Nx (рис. 79). Операция 3. Известна скорость в точке М1 и дан элемент сво- свободной поверхности, близкий к Mlt но не проходящий через Mv Проведём через М1 характеристику, например, первого семейства до пересечения со свободной поверхностью в точке Nv Скорость в Nx найдётся в плоскости (vz, vr) на пересечении прямой B6.3) с кругом v — v^, где v1 есть скорость, отвечающая, по уравнению Бернулли, давлению, имеющемуся на свободной поверхности. В практических приложениях построение прямых B6.3) и B6.4) можно проводить графически, используя то их свойство, что каждая из них ортогональна соответствующей характеристике другого номера, проведённой в плоскости (z, r) (тангенсы наклона наших прямых суть—l/(Vo) и 1/(/-,') V Но если мы знаем направление элемен- тов B6.3), B6.4), то, чтобы уметь их провести, достаточно найти ещё, например, их расстояние от точек М\ и Жг соответственно. Приводя уравнения наших прямых к нормальной форме, получим Для этих расстояний 8 следующие выражения: dz rtf-J) Vl+r* ¦dz 15*
228 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Заменяя в случае первой характеристики \dz\ на \dz\ [ГЛ. I dst --.- где dsx — длина дуги вдоль характеристики (например, отрезок рис. 77), а для §2 '• \^z\ = - 5г ,¦ и замечая, что (см. вывод для плоской вихревой задачи § 13), получим: rv* \dsx\\ o2 = rv2 \ds2\. B6.5) Остается только найти, с какой стороны от той или иной точки плоскости (vz, vr) надо проводить на расстоянии Ъх или 82 наши характеристики, иначе говоря, надо знать знак проекции \ и 82 на какую-либо ось, например, на ось Oz. Из элементарных геометри- геометрических соображений получим, что V, -2^2" dZ ) = Sig" [Vr {Vl — a2) dZ\ ¦ B6-6) В качестве примера рассмотрим движение внутри трубы заданной формы, обладающей осевой симметрией по отношению к оси Oz. Предположим, что в некотором произвольном сечении трубы АВ (рис. 80, рассматриваем одну только полуплоскость) скорость движения превышает звуковую и нам известна. Нанесём на отрезке АВ ряд точек А, Мх, М2, ... и через все эти точки проведем эле- элементы характеристик первого се- семейства. Характеристику, выходя- выходящую из Mv доведём до пересе- пересечения с контуром в точке Nx и, пользуясь операцией 2, найдём g q скорость в Nx; проводя затем из Nx элемент характеристики второго семейства до пересечения в точке N2 с характеристикой первого семейства, идущей из Ж2, найдём с помощью операции 1 скорость в точке N2 и т. д. Заметим, что ско- скорости точек, лежащих на оси Oz, должны находиться из условия vr = 0 (скорость направлена там вдоль оси Oz); при этом, желая найти о для точек оси Oz, мы должны будем вычислять там выра- выражение vr/r = 0/0. Последнее надо заменить на dvrjdr, так что при
,7J ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 229 вычислении 8 в точках оси трубы придётся брать значение vrjr для соседних точек, которые не лежат на оси, и в которых скорости уже известны. Решим задачу о получении плавного потока (сопло Лаваля). Пусть в точке С мы имеем нужную нам сверхзвуковую скорость, и CD (рис. 80) есть характеристика второго семейства, проходящая через С. Так как в осесимметрических задачах нет интегрируемых комбина- комбинаций характеристик, то здесь не будет, вообще говоря, и прямоли- прямолинейных характеристик, а потому применить метод, данный в § 12, нам здесь не удастся. Но всё же одна прямолинейная характеристика (след в меридиональной плоскости характеристического конуса с осью, совпадающей с осью Oz) может существовать и здесь, а именно, она получится для потока, параллельного оси Oz и обладающего всюду постоянной скоростью. Как раз такой поток мы и хотим по- получить «вправо» от точки С; проведём же через С заранее прямолинейную характеристику первого семейства. Чтобы подобрать вид стенки, начиная от точки D «вправо», нанесем на прямолинейной характе- характеристике (так же, как и на кривой CD) ряд точек и, пользуясь опе- операцией 1, начнём узнавать скорости в криволинейном четырёхуголь- четырёхугольнике, рассмотренном в задаче 2 (§ 11). Если мы возьмём крайнюю точку на прямолинейной характеристике достаточно далеко, нам надо будет затем лишь построить (путём интерполяции) линию тока, про- проходящую через D. Её мы и можем принять за искомую стенку. Переходим к внешним задачам и прежде всего к вопросу об обтекании конического острия. Случай этот не поддаётся нашему методу, ибо на таком острие г — 0, a vr Ф 0 и 8 обращается в оо. § 27. Осесимметрическое обтекание круглого конуса. Кони- Конические течения. Обтекание осесимметричных тел. Пусть поток, обладающий постоянной сверхзвуковой скоростью fj > alF набегает на круго- круговой конус с вершиной в точке Р и с осью вдоль оси Oz. Перед конусом образуется коническая поверхность раз- разрыва (рис. 81) с вершиной в Р; на этой поверхности линии тока претер- претерпят, как всегда, излом, а затем нач- начнётся обтекание конуса. В противопо- противоположность тому, что мы имели в плоской Р задаче при обтекании угла (§ 13 и Рис. 81. рис. 32), линии тока, после прохожде- прохождения разрыва, станут здесь кривыми. Простота задачи обтекания конуса заключается, однако, в том, что скорости будут иметь одну и ту же величину и направление во всех точках какого-либо конуса с осью Oz и с вершиной в Р. Таким образом, наш поток не только не будет
230 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I зависеть от полярного угла б плоскости, перпендикулярной к оси Oz, но также не будет зависеть от расстояния s от точки Р. Вводя в мери- меридиональной плоскости (z, г) (плоскости, проходящей через ось Oz) полярные координаты (с полюсом в Р) s и ср. будем таким образом считать, что скорости vr и vz зависят лишь от ср: «* = *,(?): «V = «»¦(?)• B7Л) В плоскости {t)z, vr) мы получим, исключая ср из B7.1), неко- некоторую кривую отвечающую обтеканию нашего конуса. Построим эту кривую. Для этого обратимся к уравнениям B5.5) и B5.6) B=0) и, перейдя в них к переменным s и ср. положим dvrjds = dvjds = 0. Получим вместо B5.5) после простых преобразований: vr или W , уг Отсюда заключаем, что направление Рис. 82. нормали в некоторой точке М' нашей кривой f(vz) в плоскости (г/г, vr) будет совпадать с направлением того радиуса-вектора в плоскости (z, r) (угол ср). скорость точек которого изображается точкой М' в пло- плоскости {уг, vr) (оси Oz и Ovz совпадают; рис. 82). Обратимся теперь к уравнению B5.6). Оно примет в полярных координатах вид: [(а2 — vl) sin2 <р + vrvz sin cp cos <p] -^- — — [VrVz S'n2 T ~f" (fl2 — VV) s'n f cos ?] ~7Г~ — a^vr' и если заменить dvrjdy на dvr/dvz-dvz/dy — f dvjdy, то можно найти выражение для dyldvz: ^„ (я2 — f2) sin2 9 + vTvг sin if cos if — vT vz sin2?/' — (a2 — v2) sin 9 cos 9/' dvz a2vr Наконец, заменяя /' по B7.2), мы получим: df а2 — (vz sin f — vr cos ^J dvz a2vr Вставляя сюда ср, выраженное по B7.2) через /, беря vr = f(vz) и а2 по уравнению Бернулли, получим дифференциальное уравнение
. ,71 ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 231 второго порядка для определения f(vx). Найдём теперь радиус кри- кривизны R кривой vr = f(vz) в точке М'. Очевидно, что A+/)= 1 1_=:—± ° /" sin3 9 d , sin3 /" sin3 9 d ,, sin3 9 dy d „ dvz dvz dy sin3 9 a2 — (vz sin 9 — vr cos 9J или B7.3) sin2 9 1 smtp / vz sin 9 —1>,. cos 9 Выпишем еще дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет / (vz) Это будет /^==1+(^' " ^~' B7'4) где Предположим теперь, что в какой-то точке М' нашей кривой нам известно ср, т. е. предположим, что мы знаем для нашего дви- движения величину и направление скорости на каком-нибудь определён- определённом конусе с вершиной в Р. На основании B7 2) и B7.3) мы можем тогда дать графический способ приближенного построения кривой vr = f(vz) для нашего движения. Зная ср, vz, vr можем вычислить R по B7 3), откладывая это R по нормали в М' (направление ее из- известно, ибо ср известно), найдем центр кривизны N для М' и про- проведем малую дугу круга радиуса R с центром в N. Взяв точку М\ этой дуги, близкую к ЛГ, найдем угол наклона cpi B точке М\ ра- Диуса проведенного нами круга и снимем vTl и vZl как координаты точки Mt. Мы можем теперь, вновь обратившись к B7.3), найти R\ — радиус кривизны в точке Mi, построить центр кривизны Ыг и т. д. Рассмотрим теперь вопрос об обтекании конуса с углом рас- раствора 2j30. Пусть нам заранее известно, что угол раствора конуса ') В пространстве (vx, vy, vz) уравнение vr—f(vz) представляет собой поверхность вращения вокруг оси vz. А. А Никольский исследовал также Движрния, в которых пространство годографа вырождается в любую по- поверхность или же, наконец, в линию. В последнем случае получается обоб- обобщение тех случаев плоских течений, в которых годографом служили эпи- эпициклоиды (см ниже § 31) Аналогичные результаты получили С В Валландер и Жермен (Jermain)
232 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ 1 сильного разрыва, расположенного перед нашим конусом, будет 2v0. Построим гипоциссоиду, отвечающую скорости набегания vz = vx, <иг = 0, и при помощи угла v0 найдем величину скорости (vz, vr) (опуская перпендикуляр из точки (vx, 0) на прямую, наклоненную под углом v0 к оси vz и отыскивая пересечение этого перпендикуляра с гипоциссоидой) после прохождения разрыва. Примем теперь наше v0 за отправной угол ср (рис. 82), а нашу скорость отметим в плоскости (vz, vr), и будем строить линию vr = f(vz) до той ее точки Q, где направление нормали к нашей кривой пойдет в точности по напра- направлению радиуса-вектора OQ этой точки; точка Q даст величину скорости в том месте, где скорость будет направлена вдоль конуса, на котором она измеряется, т. е. даст скорость на поверхности v . обтекаемого твердого конуса (угол OQ v с осью z равен ро). При построении, на основании B7.3), кривой / (vz) полезно заметить, что B7.3) может быть записано в виде 1--К рис 83 где RU = BM' (рис. 83) есть отрезок нор- нормали от точки М' до пересечения с осью vz, a U есть проекция скорости V в точке М' на направление каса- касательной к кривой vr = f (vz) в этой точке. Совершенно очевидно, что, зная кривую vr = f(vz), мы будем знать все движение, ибо, чтобы найти скорость на радиусе-векторе полярного угла <р (конус с углом раствора 2ср) достаточно будет найти на нашей кривой такую точку, чтобы нормаль в ней пошла под углом ср к оси z. Трудность состоит только в том, что в за- задачах на обтекание острия бывает задан угол острия, а не угол по- поверхности разрыва. В работе Хантше и Вендта') даются кривые, связывающие при различных значениях vxjat величины [Jo и v0. Эти авторы взяли сперва ряд значений vxjat(vxjat = 1,17; 1,25; 1,37 и т. д.), построили для каждого из них гипоциссоиду, взяли на каждой такой гипоциссоиде по нескольку точек (8 или 9) и построили линии / (vz), выходящие из этих точек. Пример такого построения дан на рис. 84. Здесь Oj/a, = 1,6582 {vxjax — 2,0636). «Концы» наших линий (т. е. те места, где нормаль к этим линиям совпадает с продолжением радиуса-вектора) соединены в свою очередь кривой (авторы упомянутой работы наз- назвали эту кривую «яблоковидной»), числа, стоящие у концов линии / (vz), ') HantscheW.WendtH, Mit Ueberschallgeachwindigkeit angebla- sene Kegelspitzen. Jahrbuch deutschen Luftfahrtforschung, 1942.
§27] ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 233 означают отношение ро+/ро_, отвечающее тому или иному случаю. На рис. 85 изображено семейство яблоковидных кривых (верхняя полуплоскость) вместе с соответствующим семейством гипоциссоид (нижняя полуплоскость). На рис. 86 по горизонтальной оси отложены углы v0> по вертикали — углы [Jo и дано семейство кривых, завися- зависящих от параметра vja^. Тут же дан рис. 87, где по оси абсцисс отложены Mx = vxjav по оси ординат отложены v0, а кривые зависят от параметра [30. Наконец, рис. 88 даёт величину (р—/^/'/гР^. гДе р — давление на конусе, в функциях от угла ро для разных vja^!). "у. \0,в6 0,92 0,80 0,969 0,996 ?=1,6582 , Рис. 84. j- =2,0636 В решении рассмотренного типа «концы» линий vr = / (vz) лежат на яблоковидной кривой, а «начинаются» эти линии на гипоциссоиде. Другой тип движения, описываемого уравнениями B7.2), B7.3), может быть получен в виде конического течения сжатия в сопле специального вида, в котором прямолинейный поток vz = vv vr = 0, начиная от некоторого конуса ВРВ (рис. 89), плавно переходит в ко- коническое течение, а затем, после прохождения конической поверх- поверхности сильного разрыва АРА, опять становится прямолинейным, но уже с новой скоростью vz = v2, vr — О (Буземан). Чтобы найти это движение (а заодно и форму стенки), можно задать скорость г/2(<а„) после прохождения разрыва и угол ср0 конуса разрыва. Тем самым мы можем определить значения v'z, v'r скоростей перед прохождением разрыва, а затем, используя B7.3), построить соответствующую кривую vr = / (vz) (Z,), подобно тому как мы это делали в случае обтекания конуса. ) «Левые» ветви кривых на рис. 86 и 88 отвечают режиму обтекания со сверхзвуковыми скоростями на поверхности конуса, «правые» — с дозву- дозвуковыми (две точки пересечения гипоциссоид с радиусом-вектором).
234 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I 60' So 50е 40° SO0 20° 10° Рис. 85. fff" гО' 30° 40° 50' 60° 70' 80"v030° Рис. 86.
§271 ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 235
236 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (ГЛ. 1 Для удобства можно вновь обратиться к гипоциссоиде G.14), но теперь вместо vx следует подставить в эту формулу v2 — скорость, возникающую после прохождения разрывах). Уравнение для 0о'г, v'\ примет вид (аналог A3.3)): B7.5) Так как теперь v2 < a^, то гипоциссоида B7.5) будет иметь иной вид, чем рассматривавшиеся до сих пор. Именно, кривая B7.5) состоит из изолированной точки vz = v2, vr = 0 и из линии, распо- располагающейся в полосе 2v2/(*-{-l)-\-a4v2 > vz~^> a2jv2 (см. рис. 90), д пересекающей ось <ог в точке , a2/vz и имеющей асимптоту С и - Кривая L будет теперь «начинаться» на гипоцис- гипоциссоиде, а «заканчиваться» на оси z (в точке В), где и определится скорость vv Оба типа течений, рас- рассмотренных нами, реали- реализуются только при наличии конической поверхности сильного разрыва и являются течениями сжатия. Следующим образом доказывается, что движение 2-го типа не может существовать без поверхности сильного разрыва. Пусть наша кривая L может быть продолжена до пересечения с осью симметрии (пунктир на рис. 90) в точке D. Дифференцируя урав- уравнение B7.4) по vz и полагая / = 0, получим Рис. 89. ГГ = B7.6) Равенство это показывает, что /'/" должно быть положительным. С другой стороны, из рисунка видно, что /' < 0 около точки D, что же до /", то, в силу B7.2), мы можем написать /"== — d(tg<f>)/dvz. Так как (см. рис. 89) ctg<p по мере продвижения слева направо все время растёт, переходя от отрицательных значений через нуль к по- положительным, a vz уменьшается (течение сжатия), мы имеем /" > 0; но тогда /'/" < 0, и мы получим противоречие с B7.6). Это про- ') См. аналогичное рассуждение в § 7,
, 27] ОСЕСИММЕТРИЧЕСК.ОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 237 тиворечие не имеет места в случае, отвечающем точке В, где /' > 0. Третий тип движений, удовлетворяющих B7.2), B7.3), был найден д. А. Никольским A949). Это осесимметрическое коническое течение, при котором невозму- невозмущённый поток со скоростью vv начиная с некоторого характери- характеристического конуса (с вершиной на оси симметрии), непрерывно разряжается. Течение это можно рассматривать как внешнее обте- обтекание невозмущённым сверхзвуко- сверхзвуковым потоком некоего тела враще- вращения—полубесконечного цилиндра, который после некоторого сечения начинает постепенно сужаться (см. рис. 89). Возможность су- существования такого течения видна из следующего рассуждения. Возьмём в плоскости годо- годографа скорости (рис. 91) неко- некоторую точку Bi (y'z, v'\. Через эту точку проходит бесконечное мно- множество интегральных кривых Рис. 90. уравнения B7.4). Среди этих кри- кривых найдутся такие, которые будут обращены выпуклостью к оси v2. В самом деле, по B7.3), если проекция U на касательную к нашей кривой скорости в точке Вх будет меньше чем а, то радиус/? будет отрицатель- отрицательным (vr <; 0), что и означает выпуклость соответствую- соответствующей кривой L. Между тем всегда можно выделить та- такой угол с вершиной в точ- точке Bv что проекция ско- скорости на любую прямую, проходящую через Вх внутри этого угла, окажется меньше Рис. 91. чем а. Итак, через Вх про- проходит бесконечное множество интегральных кривых L, выпуклых по отношению к оси vz. Если мы будем двигаться по одной из таких кривых по направлению к оси vz, то, как легко видеть, выпуклость нарушаться не будет (точки перегиба не встретятся), и мы сможем
238 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 пройти по нашей линии L до оси vz. Пусть мы попадём при этом в точку Ах (vx, 0). Наклон нормали к линии L в точке Л, легко определить. Для этого достаточно положить в уравнении B7.4) vr***0, Получим B7.7) где 1.2 ¦«?• Рис. 92. Соответствующий (в смысле равенства B7.2)) конус Я\ (рис. 92) будет иметь наклон <рх, опре- определяемый равенством 1 S1H Ф, = гт- . м, Следовательно, конус /Cj будет характеристическим конусом. Таким образом, движение, опре- определяемое нашей линией L, можно представить в виде прямолинейного потока со ско- скоростью vx, который после прохождения характеристического конуса Кх начинает плавно поворачиваться, расширяясь. Точка Вх нашей кривой не может быть расположена сколь угодно далеко от оси vz. Двигаясь по L, начиная от Ах, мы рано или поздно дойдём до точки перегиба (/"=0) этой кривой, после чего кривая L станет обращаться вогнутостью к оси vz. При движении от Ах по L нормаль к L вращается по часовой стрелке; после прохождения точки перегиба нормаль начнёт вращаться против часовой стрелки, т. е. мы вынуждены будем возвращаться в область течения, уже описанную кривой АХВХ, и это решение не имеет смысла. Поэтому движение наше может быть доведено только до точки перегиба кривой L. Приравнивая нулю /" в уравнении B7.4), мы можем найти значение/^ на месте точки перегиба: vrvz ., Наклон f'o отвечает некоторому конусу Ко (рис. 92) (он также есть конус характеристик). Раствор продольного конуса Ко будет различен для различных интегральных кривых (различных точек Вх). Течение этого типа можно построить (и параллельно построить соответствующую обтекаемую поверхность), отправляясь от оси ог=г0и задавая скорость t/j. Затруднением, однако, является то, что линия vr = 0 является особой линией для уравнения B7.4) и такой, что через каждую точку Аг оси vr=0 проходит бесконечное множество интегральных линий L и кривизны
§ 27) ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 239 всех «тих линий будут одни и те же1). Окончательно можно оста- остановиться н* следующем способе построения течений Никольского. Задаёмся *начением г>г; по этому значению определим Mi и построим f'x по формуле B7.5) Отойдем теперь в плоскости годографа от оси vz на небольшое рас- расстояние /2тзз0,01ая. по нормали (/г = '*>,•)¦ Соответствующее значе- значение (vzJ находится по приближённой формуле (замена производной конечной разностью): (vzJ ~v1^-r /2. f\ Мы получили точку А2 ((vгJ, /2), в которой можем найти а2 по уравнению Бернулли: В точке А2 зададим теперь значение f'r Так как, по определению нашей кривой L, проекция скорости на касательную к L должна быть меньше скорости звука (U < а), и так как проекция на харак- характеристическое направление будет всегда в точности равна скорости звука, мы должны выбрать /2 так, чтобы наклон L оказался боль- большим, чем наклон, отвечающий B7.2). В остальнЬм f'2 может быть произвольной, и от выбора этой величины зависит, какую именно интегральную кривую мы получим в конце расчёта. ') Действительно, по формуле B7.4) мы получим для (f")i неопределён- неопределённость типа 0/0, которую надо раскрыть по правилу Лопиталя: ^1^,2 (Vz+f/У lim /" = lim д2 _ Отсюда, принимая во внимание B7.7) найдём /" = 1+1 Mi 1 й /fZ
240 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I После того как /'2 известно, мы можем найти /? по формуле B7.4): ¦ = -^1 [Ы2+/2/2Г 4 г Дальнейшее построение можно проводить шаг за шагом, задавшись близкими друг к другу значениями (vz)z, (fzL, ..., (vz)n величины vz. Если fn_v f'n_y f'n-\ известны, то величины fn, f'n найдутся по формуле /„=/._!+/;.! [(va\ -(Vj)e_j; /; -rn_x+/:_x [(«,)„ -(«,),_,]. величина а„ найдётся затем из уравнения Бернулли: из соотношения J п /| '2 Вычисление надо вести до тех пор, пока /" не станет нулём. Рас- Расчёты ведутся практически, конечно, в безразмерных величинах (vJa*< vrla* и т> Л-)- На рис. 93 даны примеры, взятые из работы -0,5 \ Никольского, двух профилей рассматриваемого типа, отвечающих одному и тому же значению Mi =1,7. Здесь же показано распре- распределение давления вдоль профиля Никольского. Задача обтекания произвольного тела вращения, имеющего впе- впереди остриё, и с осью вращения, расположенной вдоль потока, была
§27] ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 241 исследована впервые Ф. Франклем. Угол острия должен быть, как и в плоском случае, не слишком велик, чтобы не образовалось до- дозвуковых скоростей. Если это условие выполнено, то задача обтека- обтекания решается без труда. В меридиональной плоскости имеем контур с остриём в Р (рис. 94). Пусть обтекаемое тело представляется близ Р в виде конуса, а затем контур его начинает плавно перехо- переходить в криволинейный. Перед конической частью (отрезок контура РА) образуется коническая поверхность разрыва (линия РВ), и мы можем найти движение в области между РА и РВ по методу, изложенному выше; проведём при этом через Л характеристику АВ первого семейства, отметим на ней ряд точек: Мг, М2, .. . (рис. 94) и построим элементы характеристик второго се- семейства, проходящие через эти точки. Пусть Мг — самая близкая к А точка, МуС — проведённый через неё элемент характеристики второго семейства, С — точка контура. При помощи опе- операции 2 (§ 26) найдём скорости в точке С и проведём через С характе- характеристику первого семейства до пересе- пересечения в точке Nx с характеристикой второго семейства, идущей из М2. Ско- pt рости в Nx найдутся при помощи опе- операции 1 (§ 26) и т. д. Так мы заполним всю область между линией АВ, конту- контуром АЕ и характеристикой второго семейства BE, выходящей из В. Из близкой к В точки. Nn характеристики BE проведём элемент ха- характеристики первого семейства до пересечения D с продолжением прямой РВ. Точка D лежит на поверхности разрыва; чтобы найти скорость в D, мы должны поступить так же, как в операциях 2 и 3, только вместо пересечения соответствующего отрезка характеристики плоскости {vz, vr) с радиусом-вектором (или с кругом) нам придётся искать пересечение с гипоциссоидой. Определив в D скорость (при помощи гипоциссоиды) и направление поверхности разрыва, прове- проведём из D характеристику второго семейства до пересечения Q с характеристикой PnQ первого семейства (Рп — точка, близкая к Nn и лежащая на BE). Ход решения дальше был бы ясен (определение скорости в Q, проведение характеристики QF до пересечения с отрезком DF ли- линии разрыва и. т. д.), если бы не пришлось учесть появления вихрей. Последние не появлялись при обтекании конуса, ибо поверхность 16 Теоретическая гидромеханика, ч, II Рис. 94.
242 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [Гл I разрыва там пересекала меридиональную плоскость по прямой; но теперь линия разрыва есть кривая, после прохождения возникнут вихри, и придётся воспользоваться формулами B5.9), B5.10). «Рас- «Расстояние» 8 из § 26 найдётся теперь по более сложной, чем B6.5), формуле, содержащей Ь и dbjdty. Впрочем, вычисления db/dty и & совершенно аналогичны вычислениям этих величин для плоской за- задачи (§ 13). Изложенный здесь графический приём решения задачи на обте- обтекание при всей его простоте отличается громоздкостью. Могут быть предложены другие методы использования соотношения на характе- характеристиках (даже если по-прежнему говорить о ручном счёте). А. А. Дородницын предлагает использовать формулы B5.13) и B5.14) (при движении вдоль характеристик), выполняя в них инте- интегрирование (вдоль той или иной характеристики) с попутной аппрок- аппроксимацией самих характеристик в виде кривых второго порядка по г; при этом подынтегральные функции там, где они остаются, также аппроксимируются тем или иным способом. Применение этого приёма иллюстрируем на случае наличия при обте- обтекании криволинейного скачка уплотнения. Пусть обтекаемое тело вращения имеет с самого начала кривизну, отличную от нуля (рис. 95). Надо определить форму скачка уплотнения и течение позади него. Возьмем на поверхности обтекаемого тела вращения вблизи носика Р точку А. Пусть через эту точку проходит характеристика 2-го семейства АС и характеристика первого семей- семейства АВ; точки С, В лежат на поверхности разрыва. Форма этих обеих характеристик, так же, как и форма поверхности разрыва, не- неизвестна. Мы будем их аппрокси- аппроксимировать с помощью трех па- парабол. Для поверхности разрыва примем z = Clr + ctr», B7.8) где с,, с2 подлежат определению. Для характеристики 1-го се- семейства АВ напишем Рис. 95. г = Za + в, (г - га) + 6, (г - га)\ B7.9) где (га, га) — координаты (известные) точки А, а{ и а2 — постоянные, под- подлежащие определению. Наконец, для характеристики 2-го семейства АС напишем г = га-\-а2(г-Га) + Ьг(г-гаУ, B7.10) где аг и b2 заранее неизвестны. Обозначим через ч угол касательной к поверхности разрыва с осью г. Дифференцируя B7.8), получим
27j ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 243 где v , v_ — углы наклона поверхности разрыва в точках Р и В соответ- соответственно, о, —ордината (неизвестная) точки В. Таким образом, вместо B7.8) мОжем написать Ctg-yn —Ctgv г = ctg ,pr + & в2гь ?- Л B7.11) В частности, в точке В Угол чр можно считать известным и равным углу скачка для конуса, каса- касательного к телу в точке Р. Три известных величины: -у^, гь, гь связаны одним соотношением B7.12). Далее, дифференцируя уравнение B7.9) и учи- учитывая B7.12), мы можем написать Cfg (К ~ «А) = Я1. С[ё (Рд + ав) = d8 <?Л + ал) + 2*1 (Гь - Га), так что для точки В по B7.9) имеем Г^ + «a)j. B7.13) В этом соотношении $А — угол касательной к контуру в точке А — известен, но неизвестны величины аА, рд, ав, гь, rft. Так как точка В лежит на по- поверхности разрыва, то значения $в и а^ могут быть выражены через чв. Именно, из условия непрерывности скорости, касательной к поверхности разрыва, имеем vb = vlcos4Bstc{4B-^B). B7.14) Здесь и, — скорость набегающего потока, скорость vb выражается через угол Маха ад как всегда с помощью соотношения (9.22). Кроме того, деля G.17) на G.16), можем получить = ctg vfi Таким образом, в качестве неизвестных остаются четыре величины: ч , а. гь< гь. Воспользуемся теперь соотношением B5.13). Проинтегрируем его вдоль линии АВ в В VA _ В Г sin ft sin a dr -J sin(p_a)— <27Л6> л (Функция С определена по формуле A0.8)). Вклад первого интеграла правой части B7.16) незначителен, приближённо можно принять, в качестве подынтегрального выражения этого интеграла, 16*
244 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. \ значение его в одной какой-то точке, например до прохождения поверхности разрыва. Выражение, входящее во второй интеграл, можно аппроксимиро- аппроксимировать в виде sin 3 sina N sin (8 —а) ~/и+ г ' определяя М и N так, чтобы соотношение это выполнялось в точках А и В: sin 3, sina. N sin 3D sin a N -^Л A — AH , . L^ S = AH • sin (\i ~—~ ol л f sin (A — ct _ i f, Тогда соотношение B7.16) примет вид sin 8 л sin а . / г г.\ sin р _ sin a / rb Ф4 (i+^'" е)+^4('+ B7.17) Здесь рд, ra известны, рд и rft выражаются через 9^, 9fi найдётся по vfi с помощью G.2), G.10); что же до 9 , то оно известно и определяется че- через чр, ибо вдоль линии тока (обтекаемой поверхности) 9 не меняется. Неизвестными являются по-прежнему -у^, гь, гь, а^. Таким образом, мы имеем три соотношения B7.12), B7.13) и B7.17), содержащие четыре неизвестных. Чтобы замкнуть задачу, используем соот- соотношение вдоль характеристики АС. Точка С находится на поверхности раз- разрыва B7.11); значит, во-первых, можно написать гс = н, во-вторых (как результат дифференцирования), ctg чс = ctg vp + CtgVg~°tgV r, B7.19) В последних двух равенствах содержатся новые три неизвестные вели- величины: гс, гс, чс. Запишем, наконец, условия на характеристике B7.10) и соотношение B5.14), проинтегрированное вдоль АС V«\ r(VA S'n a, COS a, bc B7.21) В равенстве B7.20) величины 3e, vc и Ьс находятся через чс, а остальные величины введены были выше. Таким образом, мы имеем семь трансцендент-
§ 28) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 245 ных уравнений: B7.12), B7.13), B7.17) —B7.21) с семью неизвестными гь гь> гс< гс ад> v?> V Практически решение этих уравнений облегчается тем, что гс будет значительно меньше, чем гь, так что чс очень близко к чр. Положив в первом приближении чс — чр, мы получим Подставляя эти величины в B7.20), определим гс и гс через известные ве- величины га, га, |5Л, р^, а^ и неизвестную величину а^. Затем, вставляя най- найденные г с гс в B7.21), найдём и а^. После того как а^ получено, сразу можно найти из системы B7.12), B7.13) величины гь, гь через чв и затем из уравнения B7.17) найти vfl. Теперь подставим найденные значения чв и гь в B7.18), B7.19). При этом мы получим новые значения гс и чс в функ- функциях от г с а используя B7.20), B7.21), определим исправленное значение а^, Переходя снова к системе B7.12), B7.13), B7.17), найдём исправленные зна- значения -у^ и гь и т. д. Наконец заметим, что при решении осесимметрических задач на электронных быстродействующих машинах удобно использовать пе- переменные, аналогичные тем, что были введены в § 11 (по Элерсу). Этот вопрос подробно рассмотрен в упомянутой выше статье Элерса (стр. 68), а также в работе П. И. Пушкина1). § 28. Пространственная задача. Линеаризация уравнений. Снаряд, движущийся под углом к оси симметрии. Обращаясь к общему пространственному случаю установившегося движения, напишем уравнения движения: |^ gradp B8.1) (Q — вектор вихря), уравнение неразрывности: gradlnp- V+divV = 0 B8.2) и уравнение притока энергии: V . grad ^- =. 0. B8.3) Уравнение B8.3) равносильно тому условию, что величина сохраняется в частице, т. е., вследствие стационарности движения, на каждой линии тока. Умножая B8.1) скалярно на V, получим, так как — grad;» —ft;?-1^ * ') Ч у ш к и н П. И., Затупленные тела простой формы в сверхзвуковом потоке газа, ПММ, т. XXIV, в. 5, 1960.
'246 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 для величины /0: ^Г~+Т=ТЬР * ='о B8.4) сохраняется на каждой линии тока. Мы примем, как и раньше, что вообще /0 = const. Тогда B8.2) после преобразований, аналогичных тем, что были сде- сделаны в § 9, даст: к- + f где, а* *V как 0Vr \ х | ) cU ' \ ду ' раньше, -С г»2 V У dvy дх а )+ ;2 = ) ду VXVz (¦ ^ _ Р - + (*?- х-1 ¦жЪр х -а>) dvz\ дх ) дг -И >у- + -1 (¦ dvy дг + <^у j B8 0, • 5) Предположим, что поле скоростей в нашем движении может быть представлено в виде: где v', v , vr — бесконечно малые, зависящие от х, v, z функции, ао, — постоянная величина. Такое движение получится, например, если поток скорости vl3 параллельный оси х, набегает на бесконечно тонкое, наклонённое под бесконечно малым углом атаки к оси х крыло, или же на бесконечно тонкий и бесконечно мало отклонен- отклоненный от своей оси симметрии снаряд и т. п. В свою очередь, давление р и плотность р будем искать в виде: где рх и pj — постоянные; при этом B8-6) tf? По аналогии с тем, что было в подобных случаях в плоской задаче (приближение Аккерета и Буземана для тонких крыльев), мы и здесь вправе считать, что, с точностью до малых второго порядка,
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 247 вихри будут отсутствовать, если на бесконечности поток был потен- потенциальным. Будем же считать, что существует потенциал скоростей Ф: B8.8) причём ф^ф^Ф', B8.9) где Ф, =-»!*. а ф' — бесконечно малая функция от х, у, z такая, что дФ' дФ' дФ' v' — ow • v' — " . ¦ р' — gw (8 101 * дд: у ду ' г dz \ • / Теперь уравнения B8.1) могут быть заменены одним уравнением Бернулли B8.4) и уравнением B8.5), причём будет &=^&j = const. Уравнение Бернулли даст, если ограничиваться малыми первого по- порядка: "~1 "'.-I P' 2 ' *,—1 "LyL или вследствие B8.7) и B8.6): ^^4- — — о. B8.11) Вводя потенциал скоростей, напишем ещё Wli*l + :?l = 0. B8.12) Уравнение B8.5) примет вид, если ограничиться малыми первого порядка: \ i i) дх 1 ду 1 &г ' где a2i = xpl/pl или, если разделить на а^ и ввести Ф': v2 \ дЧ' д2ф' сРф' v\ \ дЧ дЧ дЧ Прежде чем идти дальше, заметим, что линеаризация, которую мы только что произвели, не будет точной в двух случаях: когда ^i^uj (околозвуковые течения) и когда •D1^>a1 (гиперзвуковые случаи). В обоих случаях мы можем провести частичную линеариза- линеаризацию. В первом случае мы можем построить уравнение, заменяющее
248 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I уравнение B8.13), следующим образом. Пусть для простоты v{ = av Тогда обе эти величины равны а* и мы можем написать где ~—, -~—, -J— малы по сравнению с а*. Запишем теперь уравнение B8.5) в виде: = 0 B8.15) (это аналог уравнения A5.1)) и оставим лишь главные члены в квадратных скобках. Именно, в первой скобке мы получим, пре- пренебрегая cp2-f-'?2> 2(у.+ 1)ад^.; во второй и третьей квадратных скобках оставим только 2а?, заменим в остальных членах ух на а* и отбросим член, содержащий произведение трёх малых величин: cpVcp' Мы получим вместо B8.13): Заметим далее, что если О(у'\ = е, то порядок v' будет s*'». Действительно, пусть порядок v' будет еа; сопоставляя 1-й и 2-й члены уравнения B8.16), замечаем, что O(f'у) — О (-^—1 = е2, зна- значит дифференцирование по у имеет порядок е2-"; но тогда по B8.14), так как О (<р') = О (J^) = е, имеем О (г>у) = О (J^-} = ?3"я. Итак, s3~a = е2, т. е. а = 3/2. Аналогичным путём докажем, что О Ы'Л = в8/!. Но тогда О (tp'tp' )= О((р^ср^.г) = б3 и мы можем пренебречь двумя последними членами уравнения B8.16). Получим окончательно вза- взамен B8.13) Во втором случае — в случае гиперзвуковых движений — мы по- получим уравнения, совершенно аналогичные уравнениям B3.21) — B3.23) плоского случая. Вывод их очевиден и мы на нём не останавливаемся. Вернёмся к детальному исследованию случаев, описываемых уравнением B8.13). Решение нашей задачи сводится к определению функции Ф' из линейного уравнения B8.13) с постоянными коэффициентами; при
s 2g] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 249 этом давление определится из уравнения B8.12). В качестве краевых условий надо принять: > *№ + »') д 0 B8.18) на обтекаемых твёрдых стенках, или pl-{- р' = const. на свободной поверхности. Можно указать сразу же ряд замечательных частных решений уравнения B8.13). Именно, если формально перейти от переменных х, у, z к переменным х, у, z, так чго * = *; у=|/ 1—^-У; * = |/ 1—-г*. B8.19) го уравнение B8.13) перейдёт в уравнение Лапласа, и мы можем в качестве решения взять, например, потенциал источника, находя- находящегося в точке @, 0, 0): const. Ф' = Возвращаясь к старым переменным, получим в качестве решения уравнения B8.13): Ф' =—- const- ¦¦¦ B8.20) У V Если v1<^av то приближённо B8.19) будет иметь тот же вид, что и потенциал, в несжимаемой жидкости источника, помещённого в точке @, 0, 0). Мы можем, таким образом, считать, что потенциал вида С, у, ) = VlX-[ ==. = ; - x'f + М - -1 ) [(у - у'J + (г - г'J] представляет в сжимаемой жидкости результат наложения потока г»,, параллельного оси х, на источник бесконечно малой интенсивности, помещенный в точке (х', у', z'). Так как уравнение B8.13) линейно, то сумма выражений вида /- B8.21)
250 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I для разных (х', у', г') и с будет также решением B8.13). Кроме того, решениями будут функции, получающиеся путём дифференци- дифференцирования правой части B8.21). Потенциалы вида Фд мы можем теперь использовать для краевой задачи газовой динамики. Пусть для конкретности речь идёт об обтекании крыла конечного размаха, бесконечно тонкого и беско- бесконечно мало отклонённого к оси х. Поместим во всех точках М' (х', у', z') поверхности крыла источники с потенциалами Ф^ вида B8.21), считая, что с есть функция от х', у', z', а затем возьмём Ф' в виде интеграла от Ф^, распространённого по поверхности крыла: Ф'(х, у, z) = = f f c(M')d° B8.22) Г ( v^ Вид функции с останется определить из краевого условия B8.18), которое, если ограничиться малыми первого порядка, может быть записано в виде дФ' vxcos(n, x)-\—-5— = 0 на поверхности крыла B8.23) (так как cos (я, х) —б. м., cos (я, у) — б. м., cos (я, z)= 1+6. м.), и, таким образом, даст интегральное уравнение для с. Если vx < ах, то подкоренное выражение в Фд положительно во всём пространстве, и мы можем действительно распространить интеграл B8.22) на все точки поверхности крыла. Качественно движение будет происходить здесь так же, как в несжимаемой жидкости. Принципиально иначе будет обстоять дело при vx > ах. Теперь Фд будет иметь смысл лишь до тех пор, пока (х — x'f> (-L- 1 )[{у — у'? + (z — z'?\. \«i / Это значит, во-первых, что если мы имеем единственный источник, помещённый в точке М'(х', у', z'), то он будет поставлять потен- потенциал Ф' лишь в точки М(х, у, z), расположенные внутри прямого круглого конуса, вершина которого находится в М', ось параллельна оси х, а котангенс половины угла раствора равен yi^/a*—1, ибо уравнение такого конуса в пространстве (х, у, z) будет Во-вторых, это значит, что если мы имеем ряд источников, поме- помещённых в различных точках М' (х'> у', z'), то в какой-нибудь точке
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 251 М (х, у, z) пространства (х, у, z) будут проявляться лишь те источ- источники М' (х', у', z'), которые попадут внутрь конуса (*' - х? = (^—\\ [(у' - y?+(z' — z)\ B8.25) вершина которого находится в М, ось параллельна оси х, а котан- котангенс половины угла раствора равен yvya* — 1 . Но если это так, то при вычислении потенциала Ф' в точке М'(х, у, z) мы должны, при выполнении интегрирования B8.22), распространять интеграл лишь на ту часть поверхности крыла, которая отсекается конусом B8.25) и лежит внутри этого конуса. Легко видеть, что угол раствора нашего конуса есть в точности двойной угол Маха, отвечающий невозмущенному потоку: если = a,/f1, то /4->-/-}--¦- У а\ У пп\ ctga, Конусы B8.24) — это характеристики наших линеаризированных диф- дифференциальных уравнений гиперболического типа. Прежде чем переходить к конкретным случаям, отметим ещё, что с точки зрения нашего первого приближения безразлично, интегри- интегрировать ли в B8.22) по поверхности крыла, или же по площадке, получающейся как проекция нашего крыла на плоскость (х, у). Это происходит от того, что с само бесконечно мало и, заменяя интегрирование B8.22) на интегрирование по бесконечно близкой поверхн