Author: Быховский И.И.
Tags: распространение акустических колебаний звуковое поле и процессы в нем машиностроение механика
Year: 1968
Text
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВИБРАЦИОННОЙ
ТЕХНИКИ
УДК 534.232.001.11
Основы теории вибрационной техники. Бы хо в-
с к и й И. И., М., «Машиностроение», 1968, 362 стр.
В книге изложены основы теории вибрационной тех-
ники. Несмотря на сложность и тонкость ряда трактуе-
мых проблем, материал подан в форме, доступной для
широкого круга инженеров. Многие окончательные фор-
мулы и зависимости пригодны для практического исполь-
зования. Рассмотрены линейные и нелинейные задачи
динамики центробежных вибровозбудитслей, основы
динамики ударно-вибрационного привода и вибрацион-
ных процессов, энергетические соотношения при колеба-
ниях и динамическое управление колебаниями. Описана
также методика решения ряда нелинейных задач. Этому
предпосылаются минимально необходимые изложенные
с единой точки зрения сведения о колебательном движе-
нии и о колебаниях линейных систем.
Книга рассчитана на инженеров, занимающихся раз-
работкой, расчетом, конструированием, теоретическим
и экспериментальным исследованием, испытанием, экс-
плуатацией и ремонтом средств вибрационной техники,
а также разработкой, проектированием и внедрением
технологических процессов с применением вибрации. Она
будет полезна и широкому кругу инженеров, связанных
с проблемами динамики машин, приборов и сооружений,
а также преподавателям, аспирантам и студентам стар-
ших курсов вузов механических, машино- и приборо-
строительных и строительных специальностей. Табл. 9,
илл. 129, библ. 65 назв.
Рецензент д-р техн, наук О. А. Савинов
Редактор канд. техн, наук Л. Б. Зарецкий
3—2—7
375—68
ОТ АВТОРА
Инженеры, конструкторы и проектировщики, занимающиеся
разработкой и использованием вибрационных машин и процес-
сов, нуждаются в отчетливом понимании работы вибровозбуди-
телей и вибрационных машин. Однако большинство из них
встречается с серьезными препятствиями, так как динамические
явления в вибровозбудителях и вибрационные процессы доволь-
но сложны. Для их ясного понимания необходимо усвоить ряд
трудных, но зато эффективных методов.
Длительный опыт работы в области вибрационной техники
и чтение курсов теории колебаний и динамики вибромашин на-
учным работникам, конструкторам, инженерам и аспирантам
ряда институтов и предприятий определили основное содержание
и план построения книги.
Первые две главы представляют собой тот минимальный
базис, овладение которым необходимо для чтения остальных
глав. Последующие главы и параграфы составлены, по мере
возможности, так, чтобы ими можно было пользоваться в от-
дельности (хотя для избежания повторений сделан ряд ссылок
на предыдущий текст). Таким образом, книге придан отчасти
справочный характер, удобный для специалистов, нуждающихся
в быстром овладении отдельными вопросами. Для этой цели слу-
жит также серия амплитудно-частотных и фазо-частотных харак-
теристик, приведенных в § 13. В книге сделана попытка устранить
существующий разнобой в терминологии и определениях. Некото-
рые вопросы теории не освещены из-за ограниченного объема
книги и вынужденной детализации с целью изложения в доступ-
ной форме сложных, но совершенно необходимых задач.
Параграфы 40, 41, 45, 46, а также частично 36 и 42 написаны
Л. Б. Зарецким.
В оформлении рукописи и рисунков участвовали А. Д. Доро-
хова, Г. С. Климовская, Г. В. Козлов и И. С. Хаимчаев.
И. И. Быховский
ВВЕДЕНИЕ
К вибрационной технике относятся, во-первых, машины,
стенды, устройства, приборы, инструменты, в которых предна-
меренно возбужденная вибрация выполняет полезные функции,
и в дальнейшем мы будем иметь в виду преимущественно этот
ее аспект. К вибрационной технике, во-вторых, относятся аппа-
ратура и устройства для измерения и контроля вибрации, а также
управления ею. Лишь в третью очередь, к вибрационной технике
можно отнести устройства для предотвращения, подавления,
гашения, изоляции вредной вибрации.
Вибрационная техника основывается в первую очередь на
теории колебаний, особенно колебаний нелинейных систем. По-
следнее объясняется тем, что ряд динамических явлений при
работе вибровозбудителей и почти все вибрационные процессы
имеют принципиально нелинейный характер. Теория вибрацион-
ной техники основывается также на теории устойчивости Движе-
ния и вообще на достижениях применения качественных мето-
дов исследования динамических систем. В теории вибрационной
техники использованы также результаты, полученные теорией
автоматического регулирования, аналитической механикой и
другими областями науки. Она имеет близкую связь с динами-
кой машин и сооружений, акустикой, сейсмологией, электротех-
никой, ультразвуковой техникой и радиотехникой. Эта связь
характеризуется главным образом определяющим значением
колебательных процессов в перечисленных областях науки и
техники.
Разработка, создание и совершенствование вибрационных
машин различного назначения были обеспечены трудом многих
исследователей, конструкторов и инженеров. Первоначально
проблемы решались упрощенно. На требования технологов
о повышении производительности конструкторы отвечали увели-
чением размеров, веса, мощности установок, статического
момента и угловой скорости дебалансов центробежных вибро-
возбудителей.
Позднее, привлекая простые идеи теории колебаний линей-
ных систем, начали пытаться создавать резонансные и околоре-
4
•зонансные машины. Многие из этих попыток не увенчались
успехом, так как примитивная теория не учитывала некоторых
эффектов, возникающих при работе вибрационной машины.
Большие потери вызывал неумелый подбор на стадии проек-
тирования надлежащей мощности приводного двигателя машин
с большими вибрационными нагрузками, в особенности когда
диссипативные силы существенно нелинейны.
Явление самосинхронизации двух вибровозбудителей, рабо-
тающих на одном рабочем органе, регистрировалось неодно-
кратно. Самосинхронизация открывала заманчивые перспективы
значительного упрощения конструкции машин и повышения их
надежности. Однако попытки «приручения» нелинейного в сво-
ем принципе явления самосинхронизации эмпирическим путем
или посредством линейных схематизаций закончились полной
неудачей.
Достаточное овладение динамикой ударно-вибрационных
машин потребовало привлечения методов исследования устойчи-
вости нелинейных систем с разрывными условиями движения.
Даже с самого начала расчеты ударно-вибрационных машин
потребовали применения нелинейных методов.
Вибрационные процессы даже при максимально допустимом
упрощении их на стадии составления расчетных схем оказы-
ваются, как правило, существенно нелинейными. Их исследова-
ние и разработка способов расчета требуют развития и приме-
нения тонких математических методов. Эта работа успешно
проводится в отношении вибротранспортирования и в гораздо
меньшей мере в отношении других вибрационных процессов.
Намечается тенденция к созданию новых вибрационных
машин, действие которых основано на использовании тонких
нелинейных динамических эффектов или методов отыскания
оптимальных режимов работы и обеспечения их устойчивости,
выявленных в результате предварительных теоретических работ,
например, машины с супергармоническим вибрационным приво-
дом, системы автоматизации и самонастройки ударно-вибраци-
онных машин и резонансных вибрационных машин.
В развитие отдельных теоретических вопросов в области
вибрационной техники внесли свой вклад многие ученые и инже-
неры. Наиболее крупные работы выполнены И. И. Блехманом.
Теоретические основы вибрационной техники находятся в пе-
риоде становления и быстрого развития, но уже накоплены
эффективные методы исследования и синтеза средств вибра-
ционной техники.
Глава I
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Все многообразие процессов изменения скалярной величины
можно разделить на два класса: процессы колебательные и не-
колебательные. Колебательный процесс характеризуется чередо-
ванием возрастания и убывания переменной величины. Неколе-
бательный процесс таким свойством не обладает. Иногда возра-
стание и убывание удобно рассматривать не в абсолютном
смысле, а относительно другой переменной величины, принимае-
мой за начало отсчета. Все сказанное можно отнести к одномер-
ному движению, когда положение движущегося объекта в дан-
ный момент времени полностью определяется одной координа-
той. Простейший пример одномерного движения представляет
перемещение точки по прямой линии. Колеблющаяся точка
проходит каждое из положений (кроме крайних) на траектории
своего движения попеременно то в одном, то в другом направ-
лении.
Средн колебательных движений особый интерес представля-
ют периодические колебания, когда движение полностью повто-
ряется через определенные равные промежутки времени. Такой
промежуток времени называется периодом колебаний. Функция
f(t), представляющая математическое выражение какого-либо
процесса, называется периодической, если существует постоян-
ная величина Т, называемая периодом, для которой
f(t) = f(t±T) = f(t±2T) = ... = f(t±nT), (1)
где п — любое целое положительное число.
Если точка совершает двухмерное движение (например, на
плоскости) или трехмерное (в пространстве), то возможны иные
виды периодического движения помимо колебательного. Так,
точка может периодически двигаться в одном направлении по
замкнутой траектории, например по окружности или эллипсу.
6
Такое движение можно назвать циркуляционным 1. При цирку-
ляционном движении, в отличие от колебательного, каждое
положение на траектории точка проходит лишь в одном на-
правлении. Вместе с тем у колебательного и циркуляционного
движения есть много общего. При циркуляционном движении
точки ее проекции на осн прямолинейной координатной системы
совершают колебательные движения. Это обусловливает далеко
идущую аналогию в общих закономерностях, а следовательно,
и в математическом описании колебательного и циркуляционно-
го движений. Благодаря этому в физике и технике появились
термины «конический маятник», «эллиптическая поляризация» и
«круговые колебания».
В специальной литературе все чаще встречается термин
«вибрация», представляющий собой синоним механических коле-
баний. Не следует приписывать этим двум терминам различное
значение. Лишены смысла такие встречающиеся иногда словосо-
четания, как колебания и вибрация, вибрационные колебания
и т. п.
Среди множества периодических колебаний особое место
занимают синусоидальные или гармонические 2 колебания, где
колеблющаяся величина представляет собой синусоидальную
функцию времени, например
у = asin + (2)
где у — координата колеблющейся точки, отсчитываемая от ее
среднего положения;
а—амплитуда колебаний;
Т — период колебаний;
<Р — начальная фаза колебаний:
t— текущее значение времени.
Амплитуда колебаний — это абсолютная величина наиболь-
шего смещения от среднего положения при синусоидальных ко-
лебаниях. Размах колебаний, равный удвоенной амплитуде,
представляет собой расстояние между противоположными край-
ними положениями колеблющейся точки. По отношению к неси-
нусоидальным колебаниям термин «амплитуда», строго говоря,
1 Термин «циркуляционное движение» следует предпочесть термину «цик-
лическое движение», так как циклическим часто называют любое периодическое
движение. Например, нередко пишут «один цикл колебаний». Встречается так-
же термин «ротационное движение», если траектория круговая.
2 Здесь предпочтителен термин «синусоидальные колебания», поскольку
в современной литературе термин «гармонические колебания» нередко приме-
няется в другом смысле, противопоставляясь субгармоническим и супергар-
моническим колебаниям. В таком значении гармонические колебания — это вы-
нужденные колебания, форма которых может быть любой, но частота равна
частоте вынуждающего воздействия.
7
неприменим. В этих случаях можно говорить о пиковом значе-
нии колеблющейся величины или о полуразмахе колебаний. Для
синусоидальных колебаний слова «амплитуда», «пиковое значе-
ние» и «полуразмах» являются синонимами.
Очень наглядно векторное представление синусоидальных
колебаний. Если радиус-вектор СМ (рис. 1) постоянной длины а
равномерно вращается, то его проекция на любой из неподвиж-
ных диаметров окружности, описываемой точкой М, совершает
синусоидальные колебания. Если
отсчет углов производится меж-
ду правым горизонтальным ра-
диусом и радиусом-вектором
СМ, а ср представляет собой на-
чальное значение этого угла при
t = 0 и период вращения СМ ра-
вен Т, то колебания проекции
радиуса-вектора на вертикаль-
ный диаметр описываются урав-
нением (2). На правой части
рис. 1 показана осциллограмма,
т. е. развертка по времени этих
колебаний. Видно, что колебания проекции радиуса-вектора СМ
на горизонтальную ось описываются уравнением
х — a cos
(3)
На рис. 1 внизу приведена осциллограмма этих колебаний.
2 л
Фазой колебаний называется угол у ‘ + Ф- под которым
расположен в данный момент времени t радиус-вектор СМ.
Начальная фаза колебаний ф представляет собой фазу колеба-
ний в начале отсчета времени, т. е. при t = 0. При изменении
начала отсчета времени изменяется начальная фаза ф, но оста-
2 зт
ется неизменной фаза — t + ф. Знание фазы необходимо при
сопоставлении двух или нескольких колеблющихся величин.
В этих случаях разности фаз сопоставляемых величин могут
иметь решающее значение. Фаза представляет интерес также
при сопоставлении колебательного процесса с другими явле-
ниями, например ударом, подключением к системе дополнитель-
ных звеньев или связей или отключением их и т. п. Тогда гово-
рят о фазе колебаний в момент наступления данного явления.
Термин «фаза» применим, строго говоря, только к синусоидаль-
ным колебаниям.
8
Величина f, обратная периоду Т, называется частотой ко-
лебаний
f = ~7- (4)
В качестве единицы измерения частоты колебаний f обычно
принимается герц, т. е. одно колебание в секунду. При исследо-
вании колебаний нередко удобнее пользоваться угловой частотой
0 = 2^ = -^, (5)
которая равна угловой скорости радиуса-вектора СМ на
рис. 1 На основании равенств (4) и (5) можно записать фа-
зу колебаний следующим образом:
-|- ф = 2nft + <р = <о/ -|- <р. (6)
Хотя и частота f и угловая частота со имеют размерность
сек1 или 1/сек, во всех случаях, когда возможна путаница,
лучше записывать размерность частоты f гц (герцы) или кол/сек
(колебания в секунду), а размерность угловой частоты со
рад/сек (радианы в секунду). Нередко, когда вполне ясно, о
чем идет речь, угловую частоту называют для краткости
частотой.
Синусоидальные колебания одинаковой частоты называются
синхронными. Разность фаз синхронных колебаний не зависит
от начала отсчета времени. Синхронные колебания с совпадаю-
щими 2 фазами называются синфазными; в этом случае говорят,
что две или несколько величин колеблются в фазе. Два син-
хронных колебания с фазами, различающимися на л (на 180°),
называются противофазными или антифазными; в этом случае
говорят, что две величины колеблются в противофазе.
§ 2. КИНЕМАТИКА СИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
Пусть координата колеблющейся точки определяется выра-
жением
x = xacos(o)Z — ф), (1)
где ха—амплитуда перемещения;
—Ф — начальная фаза.
Величина х иногда, особенно в виброметрии, называется
вибросмещением.
1 Менее удачными представляются постепенно выходящий из употребле-
ния термин «круговая частота» и иногда применявшийся прежде «циклическая
частота».
2 Совпадающими считаются фазы, которые отличаются на числа, крат-
ные 2л.
9
Дифференцируя по времени, получаем выражение скорости
колебаний (виброскорости):
= х — — ха sin (at— ф) = ха cos ( at—ф+—\ (2)
dt \ 2 /
где
ха = хаа (3)
представляет собой амплитуду скорости колебаний. Сопостав-
ляя выражения (1) и (2), замечаем, что при синусоидальных ко-
лебаниях скорость опережает по фазе перемещение на угол
(90°).
Вторично дифференцируя по времени, получаем выражение
ускорения колебаний (виброускорения):
d%x * *
= х = — xacos(at — ф) = х„соб(оД — ффл), (4)
где
ха = хаа = хпсо2 (5)
представляет собой амплитуду ускорения колебаний. Как ви-
дим, ускорение колебаний опережает по фазе скорость на угол
л
— и находится в противофазе с перемещением (см. осцилло-
грамму на рис. 2). Следовательно, перемещение и ускорение
имеют экстремальные значения при нулевых значениях скорости
и нулевые значения при экстремальных значениях скорости.
Как отмечалось в § 1, синусоидальное колебание может быть
представлено равномерно вращающимся радиусом-вектором
постоянной длины. На рис. 2 этот вектор обозначен буквой г
Скорость в данном случае определяется выражением
dr
---= а х г —ras°, (6)
dt
где s°—единичный вектор, направленный по касательной к ок-
ружности в конце радиуса-вектора.
n dr л
Вектор скорости — опережает радиус-вектор г на угол —.
Ускорение в нашем случае определяется выражением
d*r dr
— ах — — rw2r°,
dt*-------------dt
(7)
где г°— единичный вектор, направленный вдоль радиуса-
вектора г.
10
„ d1 2r
Вектор ускорения —
dt2
угол . Получаются
стям (2) и (4). На рис.
dr
опережает вектор скорости — на
dt
результаты, аналогичные зависимо-
2 начала векторов — и — для
Рнс. 2
удобства сопоставления с осциллограммой совмещены с нача-
лом вектора г.
Радиус-вектор г постоянной длины, равномерно вращающий-
ся с угловой скоростью со, может представлять колебания
его проекции г cos (со/— ф) на ось, от которой производится
отсчет углов, или проекции г sin (со/— ф) на перпендикулярную
к ней ось. Обычно, если не
«оговаривается иное, имеется в
виду проекция на ось, от ко-
торой отсчитываются фазовые
углы Ч
Иногда оказывается целе-
сообразным представление си-
нусоидальных колебаний при
помощи комплексных величин.
Любая комплексная величина z = х + iy может быть записана
в тригонометрической и экспоненциальной формах:
г —г (cos 6 +1 sin 0) = re'e,
(8)
где модуль комплексной величины
(9)
и ее аргумент, отсчитываемый от положительного направления
оси х,
6 — arctg —.
х
(Ю)
Синусоидальное колебание представляется комплексной ве-
личиной, модуль которой г постоянен, а аргумент 0 является ли-
нейной функцией времени
6 — СО/— ф. (II)
Комплексное выражение
z = re‘W-*), (12)
подобно вращающемуся вектору, может представлять синусои-
дальное колебание, соответствующее его действительной части
1 В электротехнике обычно рассматривают проекцию на перпендикуляр-
ную ось.
11
Re z = r cos (at— ф), или мнимой части Imz = rsin(co(— <р),
хотя обычно имеется в виду действительная часть *.
Скорость колебаний получим, продифференцировав по вре-
мени выражение (12):
. i + -)
аг . г(<о/—~) \ г ' ,, оу
—- = z = trae ' = гае . (13}
dt
Вторично продифференцировав, получим ускорение коле-
баний:
* *
= z = — га2е‘^~«) (14}
dt2--------------------------------------v '
Итак, мы получили результат, уже известный из равенств (2)
и (4), а также (6) и (7). Это естественно, поскольку между
комплексной величиной z и вектором г на плоскости существует
взаимно однозначное соответствие.
Комплексная величина z = и сопряженная ей ве-
личина z = соответствуют двум векторам, вращаю-
щимся с одинаковой по абсолютной величине угловой скоростью,
но в противоположные стороны, причем первый вектор имеет
угловую скорость и, а второй — и. Колебания, представляемые
действительными частями этих двух комплексных величин, син-
фазны, а представляемые мнимыми частями — противофазны.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим операцию сложения коллинеарных (т. е. совер-
шающихся вдоль одной линии) синхронных синусоидальных ко-
лебаний (см. рис. 3, а). Пусть складываются п колебаний
х,- = a, cos (at — ф,), (i = 1, 2, ... , и). (1)
Согласно § 1, каждое колебание (1) представляется своим
вектором. Для удобства рассмотрения на рис. 3, а начало
1 В электротехнике обычно имеют в виду мнимую часть.
12
<(i + 1)-го вектора совмещается с концом i-ro вектора. Сумма
К
х = £х{ этих колебаний будет тоже синусоидальным колебанием
<=1
той же частоты:
х = a cos (cot — ф), (2)
где в соответствии с правилами сложения векторов
а = 1/ az cos фг-)2 4- (У azsin<pz)2, (3)
Г /=1 \=1
п
V щ sin ф(-
Ф = arctg . (4)
2 ЩСО5фг
1=1
Если складываются два коллинеарных синхронных колеба-
ния, то на основании равенств (3) и (4) амплитуда и начальная
фаза суммарного колебания могут быть записаны в таком виде:
а = у al + al + 2а^а2 со5(ф2 — фх), (5)
, , sin (ср,— ср,)
ф = Ч>! + arctg------. (6)
aL
--+ cos (epg — cpj
Отметим три частных случая, вытекающих из формул (5)
и (6).
1. Синфазные колебания- ф2-= Ф1 (рис. 3,6)
а — аг + а2, ф = ф1 = ф3. (7)
2. Противофазные колебания: ф2 = q>j + л при а[ > а2
(рис. 3, в)
а — аг — а2, ср - фг (8)
3. Разность фаз составляет 90°: ф2 = ф1 + -у- (рис. 3, г)
а = тЛа2 al, Ф = Ф1 + arctg . (9)
Сложнее обстоит дело при сложении несинхронных колеба-
ний. Рассмотрим суперпозицию (наложение, сложение) двух
коллинеарных колебаний X] = щ cos (сщ/ — ф]) и х2 =
= a2cos(co2t—-ф2) с различными частотами со( и о>2. Суммарное
колебание х = Х\ + х2 не будет синусоидальным, но, имея в
виду случай близких частот слагаемых колебаний, т. е.
о>2 — ел <С о)] (здесь о>2 > оц), запишем сумму в виде х =
= a cos (cot — ф), где «амплитуда» а и средняя за время t
13
«угловая частота» со — величины переменные. Пользуясь вектор-
ным представлением (рис. 4, а), находим
а =)/«]+ а! + Ча\й2 cos[(co2—ю1) t—(<р2—<Pi)|, (10)
и/ = <о1/
ага2 {sin [(<о2— <ох) t — (<р2 — <рг)] — sin (<р2 — <рг)} + а\ sin (со2 — од) t
+ arctg---------------------------------------------------------------- .
+ сщ {cos [(со2 — юх) t — (cp2 — cpj] 4- cos (<?2 — <рг)} 4-
+ «2 COS (CO, — CDj) t
(H>
Текущее значение «угловой частоты»
d (col) . . .
-./ = “i + («2 — «1) X
at
4 + ava2 cos Цсо2 — со,) t — (<р2 — cpj]
X —- - . (12)
cf + а2 + 2ага2 cos [(со2—coj 1—(<р2—
«Начальная фаза» ср суммарного колебания подсчитывается
На рис. 4, б представлены осциллограммы колебаний Х\ и х2.
Осциллограммы суммарного колебания представлены на рис. 4, s
для случая di а2 и на рис. 4, г для случая d] = а2. В послед-
нем случае формула (10) переходит в выражение
а = 2ах cos (1 —
\ 2 2
а текущее значение «угловой частоты» согласно формуле (12)
оказывается постоянным и равным
<£>! 4- со,
с» =---—----- .
2
14
/^О^\
а)
6)
в)
Явление, представленное на рис. 4, в и а, называется биением.
Сумма двух одномерных синусоидальных компланарных
(т е. совершающихся в одной плоскости) колебаний с равными
или находящимися в рациональном отношении частотами пред-
ставляет собой в общем случае периодическое циркуляционное
движение. При некоторых частных значениях разности началь-
ных фаз слагаемых оно вырождается в периодическое двухмер-
ное колебательное движение (одномерное в случае синхронно-
сти слагаемых колебаний).
Траектории точки, со-
вершающей одновремен-
но два указанных коле-
бания, называются фи-
гурами Лиссажу. На рис.
5, а изображены фигуры
Лиссажу, соответствую-
щие сложению двух пер-
пендикулярных синхрон-
ных колебаний при раз-
личных значениях разно-
сти начальных фаз ф =
= Ф2 — фь Эти траекто-
рии представляют собой
результат сложения ко-
лебаний х = xacos(wZ —
— ф1) и у = УаСОБ((1Я —
— Фг).
Если складываются
колебания с неравными частотами х = ха cos (nut— фп) и у =
= уа cos (mint — cpm), то (в отличие от случая синхронных коле-
баний) разность начальных фаз фт — фп зависит от выбора на-
чала отсчета времени. В этих случаях удобно пользоваться
приведенной разностью фаз
г)
Рис. 5
. т
Фпр ' фт Фл>
П
(13>
которая не зависит от начала отсчета. Фигуры Лиссажу при
различных значениях приведенной разности фаз (фпр = 0; — ;
я . Зл
2 ’ л) для т:п = 1:2 показаны на рис. 5,6, для
т : п = 1:3 — на рис. 5, в и
Фигуры при фпр = —; О?;
4 2
с фигурами при фпр = —; —
4 2
для т : п = 2 : 3 — на рис. 5, г.
7 л
— совпадают соответственно
4
; но направление обхода
15
траектории меняется на противоположное. Если отношение
т : п иррационально, то движение точки почти-периодическое
(см. § 4), и ее траектория целиком заполняет прямоугольник со
сторонами 2х„, 2у„.
Интересен и практически важен случай сложения двух син-
фазных круговых циркуляционных движений, совершающихся
в противоположных направлениях с равными радиусами г. Одно
из циркуляционных движений может быть представлено выра-
жением ге'С‘о/-'р), а второе ге-»(<"<-«> ?. Их сумма
ге/(<о/-Ф) ге—/«о?-ф) _ 2r cos (оД — <р) (14)
представляет собой одномерное колебание с той же частотой и
и амплитудой 2г.
§ 4. ПОНЯТИЕ О ЧАСТОТНОМ АНАЛИЗЕ КОЛЕБАНИЙ
Задача разложения колебаний неопределенна: она допускает
множество решений. Однозначность решения обеспечивается на-
ложением дополнительных условий. Далее будет идти речь
о разложении коллинеарных или скалярных колебаний, причем
задача будет состоять в разложении колебаний на синусоидаль-
ные составляющие.
Любая ограниченная периодическая функция имеющая
2 п
на протяжении периода — конечное число экстремумов и раз-
рывов, может быть представлена рядом (разложена в ряд)
Фурье:
оо
f (а„ cos runt -|- bn sin runt), (1)
2
n=l
где
23Т
(О
a = — f f (/) cos nmtdty (n = 0, 1,2,...); |
я J
° (2)
2Л V 7
G)
bn = — I f (t) sin runtdt, (n = 1, 2,...).
л J
0
Выражение (1) можно записать в следующем виде:
со
f (0 = V + 'V Сп C0S (^ — <Рп)> (3)
П=4
где _______
Со = ao’. сп = V & + <р„ = arctg(«=1,2, ...). (4)
16
Слагаемые ряда, стоящего под знаком суммы в выражении
(3), называют гармониками или тонами. Величина сп представ-
ляет собой амплитуду n-й гармоники,—<рп— начальную фазу
той же гармоники. Операция разложения функции на синусои-
дальные составляющие называется гармоническим анализом.
Пределы интегрирования в формулах (2) могут быть взяты
иными. Необходимо только, чтобы интеграл охватывал проме-
жуток времени, равный периоду функции f(t). Так, если нижний
предел — , то верхний предел -л+^. Если функция f(t) четная,
€0 СО
т. е. f(t) = f(—t), то все коэффициенты Ьп равны нулю и в раз-
ложении (1) остаются только косинусы (и, может быть, по-
стоянная составляющая). Если же f(t) — нечетная функция,
т. е. f(t) = —f(—t), то нулями становятся все коэффициенты ап
и в разложении (1) остаются только синусы. Иногда соответ-
ствующим выбором начала отсчета времени можно превратить
анализируемую функцию в четную или нечетную, что упрощает
вычисления при разложении в ряд.
Для некоторых периодических функций число гармоник
может оказаться конечным, но вообще ряд Фурье бесконечен.
Во всех точках, где функция f(t) непрерывна, ее ряд Фурье
сходится к значению f(t). Если в точке t = Л функция f(t) пре-
терпевает разрыв, ее ряд Фурье в этой точке сходится к сред-
нему арифметическому пределов функции слева и справа, т. е.
К -у IWi-О) +ГД1 + 0)].
Для разрывных функций следует иметь в виду, что скачок
суммы ряда Фурье в точке разрыва превышает скачок функции
f(t) приблизительно на 18% (явление Гиббса). Если же разрыв-
ная функция f(i) аппроксимируется усеченным рядом Фурье,
т. е. конечным числом первых членов ряда, то в окрестности
точки разрыва функции f(t) будет наблюдаться повышенный
размах, сопровождаемый высокочастотными колебаниями, зату-
хающими по мере удаления от точки разрыва. Совокупность
всех амплитуд сп называется амплитудным спектром функции
f(0. а совокупность всех фаз <ри — фазовым спектром. Величина
Ср
—- представляет собой среднее значение функции f(t). Ее на-
зывают иногда постоянной составляющей.
В качестве примера возьмем четную периодическую функ-
цию, задаваемую на одном из периодов следующими зависи-
мостями:
f(0
t при —»
w
2 Заказ 150
It!Йл! tH 3 ®1 *&
17
График этой функции приведен на рис. 6, а. По формулам (2)
находим
а0 = —. с„=Ц-[(-&„ = 0,
СО ЛП2С0
следовательно,
f (t) = — —— I cos (£>t -|—— cos Зсо/ H—— cos 5at + ... V
2co ла \ 3® 5® /
Амплитудный спектр этой функции показан на рис. 6, б.
В качестве второго примера произведем гармонический ана-
лиз нечетной периодической функции, задаваемой на одном из
012345678П
б) г)
Рис. 6
периодов зависимостью
f (t) = t при----------— t < — .
со со
На рис. 6, в представлен график этой функции. По форму-
лам (2), интегрируя в пределах от---— до — , получаем
а„ = 0, bn = J-(-l)"-1;
ПШ
отсюда
/(/) = — /sin at--— sin 2wt -J—— sin Зсо/-— sin 4cd/ -|- . . . V
co \ 2 3 4 )
Амплитудный спектр этой функции приведен на рис. 6, а.
Чем менее гладка функция /(/), тем медленнее сходится ряд
Фурье. Следовательно, чем более гладка периодическая функ-
ция, тем она беднее высшими гармониками. Так, вторая из рас-
смотренных функций разрывна, и ее ряд Фурье сходится мед-
ленней, чем у первой функции, которая непрерывна.
Периодическая функция имеет линейчатый спектр, т. е. ее
спектр состоит из отдельных линий, соответствующих амплиту-
18
дам составляющих ее гармоник. Сплошным спектром обладают
непериодические функции. Это значит, что в спектре непериоди-
ческой функции имеются, вообще говоря, колебания всех частот
от 0 до оо. Спектр непериодической функции определяется не
рядом Фурье, а интегралом Фурье.
функция f(t), заданная в промежутке —оо < t < оо, кото-
рая всюду непрерывна или претерпевает конечное число разры-
вов первого рода на любом конечном отрезке и которая абсо-
лютно интегрируема в промежутке —оо < t < оо, т. е. обеспечи-
вает выполнение неравенства
ОО
—оо
может быть представлена интегралом Фурье
ОО оо
/(/)=— С dco ( f (^) cos co (/ — tr) dt1 =
. л- J J
0 —oo
oo co
= — J cos utda j f (/x) cosco^d^ -]-
0 —oo
oo oo
4----J sin J f (tr) sin wt1dt1 =
0 —oo
oo
= — j [a (co) cos u>t + b (co) sin co/] dco =
о
= — I S (co) cos [co/ — ф (co)] dco, (5)
Я J
0
где
cosco/jd^;
OO
b (w) = j f (/x) sin co/1d/1;
—oo
(6)
S (co) = ]/[a (co)]2 -]- [b (co)]2; ф (co) = arctg —. (7)
e(co)
Зависимости (6) и (7) показывают, что непериодическая
Функция, как было отмечено, обладает сплошным, т. е. непре-
рывным спектром. Это значит, что функция f(t) может быть
представлена как совокупность синусоидальных колебаний всех
частот, причем каждой частоте со соответствует колебание с ам-
плитудой (бесконечно малой) — S(w)dw и начальной фазой
2*
19
ср (со). Величина 5 (и) называется функцией распределения ам-
плитуд спектра, или плотностью спектра, или спектральной
плотностью. Величины а (со) и Ь(со) называются соответственно
косинусной и синусной компонентами плотности спектра. Ве-
личину ср (со) называют функцией распределения начальных
фаз. Формулы (7) определяют амплитудный и фазовый спектр
функции f(t).
Для четных функций синусная компонента плотности спектра
й(со) = 0, для нечетных функций косинусная компонента
«(и) = 0.
Например, необходимо представить интегралом Фурье чет-
ную функцию
f(0 =
Н при 111 < -у,
0 при 111 > -у ,
описывающую импульс прямоугольной формы, имеющий про-
должительность Т и размах Н. В данном случае
г । 00
5 (со) = я (со) =2 f (/J cos co/1d/1
0
= 2H
т
2
C . I 2Я I . coT
I cos --- sin-----
J co I 2
о
pac-
Этим выражением определяется амплитудный спектр
сматриваемой функции. Ее фазовый спектр дается зависимостью
А . со7 п
0 при sin —— > 0,
• <оТ п
л при sin —— <Z 0.
<p(co) =
Итак, функция f(t) может быть представлена интегралом
2Н Г 1 I . соТ 1 .,
f (/) = ---- I — sin------- cos co/czco.
л J co I 2 I
0
В качестве второго примера возьмем тот же прямоугольный
импульс, но начало его совместим с началом отсчета времени.
Тогда
f /7 при 0 < t < Т,
I 0 при t < 0 и при t > Т.
20
В этом случае
т
а(ы) = Н J cos = — sin wT;
о
т
b (со) = Н sin = — (1 — cos coT);
b
отсюда
S (и) = — ]/sinW+(l-cos<o7')2 = — sin —
(0 <0 2
что идентично результату, полученному в предыдущем случае.
Однако функция распределения начальных фаз здесь иная:
, . ,1 — cos ыТ
<₽(co) = arctg--------——
юТ
2 ’
следовательно, рассматриваемая функция может быть пред-
ставлена интегралом Фурье
оо
1 w = "Г R |sin | “s “ (' - т)da-
о
Полезно иметь в виду, что существует класс непериодических
колебаний, обладающих линейчатым спектром. Такие колебания
(и описывающие их функции) называются почти-периодически-
ми. В спектре почти-периодическод функции имеются по мень-
шей мере две синусоидальные составляющие, частоты которых
находятся в иррациональном отношении, например «2 ©i =
Для почти-периодической функции Ф(/) по любому заданно-
му сколь угодно малому е > 0 можно найти такой отрезок вре-
мени 6(e), называемый почти-периодом, через который функция
повторяется при любых t с отклонением, не превышающим е,
т. е. имеет место неравенство
|Ф(/ + о)-Ф(О|
8.
Глава II
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 5. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Системой мы будем называть совокупность предметов или
элементов (реальных или идеализированных), которые целесо-
образно выделить для решения какой-либо задачи. В систему
могут частично или полностью включаться ее взаимодействия
с внешним миром. Для механической Системы ее взаимодействие
с элементами окружающего мира может быть задано активны-
ми внешними воздействиями, представляющими собой функции
времени (или, в частности, постоянные величины) и связями,
ограничивающими ее движение, причем в уравнения связей
могут входить только координаты системы и их производные по
времени (склерономные, или стационарные связи), или, кроме
того, время в явном виде (реономные, или нестационарные
связи).
Связи и системы с такими связями называются голономны-
ми, если в уравнения связей входят координаты системы, но не
входят производные по времени или дифференциалы координат,
или если уравнения связей могут быть в результате интегриро-
вания приведены к указанному виду. Если связи неголономные,
то их уравнения будут дифференциальными неинтегрируемыми.
В дальнейшем неголономные системы рассматривать не будем.
Связи называются идеальными, если работа реакций свя-
зей на всех допускаемых ими перемещениях равна нулю.
Система считается автономной, если наложенные на нее
связи склерономны, она не подвергается влиянию переменных
внешних воздействий и ее свойства (параметры) не меняются
в зависимости от времени. В противном случае система назы-
вается неавтономной. Следовательно, дифференциальные урав-
нения, описывающие поведение автономной системы, не содер-
жат явных функций времени. Наоборот, в дифференциальные
уравнения движения неавтономных систем время входит явно.
Если в системе происходят случайные процессы или на нее
оказываются извне случайные воздействия, она называется
22
стохастической. В противном случае ее называют детерминиро-
ванной.
Положение системы в данный момент времени определяется
значениями ее координат. Состояние системы в данный момент
времени определяется значениями ее координат и скоростей в
этот момент времени.
Детерминированные системы подразделяются на динамиче-
ские и наследственные (исторические). Дальнейшее поведение
динамической1 системы (а также ее поведение в прошлом)
полностью определено, если задано ее состояние в какой-либо
момент времени. Для определения дальнейшего поведения на-
следственной системы надо, помимо ее состояния в какой-либо
момент времени, знать, какие процессы происходили в ней до
рассматриваемого момента времени, т. е. что она унаследовала от
этих процессов, кроме условий ее состояния.
В дальнейшем будут рассматриваться только динамические
системы. Целесообразно подчеркнуть, что надлежащим образом
подобранные динамические системы могут моделировать такие
характерные наследственные свойства, как, например, упругое
последействие и релаксация напряжения.
Числом степеней свободы системы в обычных случаях
считают минимальное количество независимых величин, задани-
ем которых полностью определяется положение системы. Эти
величины, физическая природа которых может быть различной, на-
зываются обобщенными координатами и могут выбираться,
вообще говоря, произвольно из множества возможных совокуп-
ностей. Более точно, число степеней свободы равно половине
минимального числа условий (обобщенных координат и их
производных по времени), заданием которых полностью опре-
деляется состояние системы в какой-либо момент времени.
Порядок обыкновенного дифференциального уравнения (или
совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений),
описывающего поведение системы, равен удвоенному числу ее
степеней свободы при ограниченном их количестве. Поведение
систем с бесконечно большим числом степеней свободы описы-
вается дифференциальными уравнениями в частных произ-
водных.
Системы могут быть подразделены на линейные и нелиней-
ные. Поведение линейных систем описывается линейными урав-
нениями относительно координат и их производных. Если коэф-
фициенты при координатах и их производных зависят от време-
ни, система называется параметрической. Нелинейные системы
описываются нелинейными уравнениями.
1 Иногда к динамическим системам относят только системы, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями, в частности автономцыми.
23
Силы взаимодействия между элементами обычных линейных,
а также многих нелинейных и параметрических механических
систем можно разделить на три группы: позиционные силы, оп-
ределяемые координатами системы, диссипативные силы, зави-
сящие от скоростей, и инерционные силы, определяемые ускоре-
ниями. Если в системе имеются диссипативные силы, она назы-
вается диссипативной. Такая система характеризуется рассеи-
ванием (диссипацией) энергии, определяемым работой дисси-
пативных сил. Системы называются консервативными, если в
них отсутствует диссипация энергии. Существуют, впрочем, не-
консервативные системы, у которых энергия не только рассеи-
вается, но и притекает извне.
Автономные системы (как линейные, так и нелинейные) мо-
гут быть колебательными и неколебательными. Колебательная
система, во-первых, имеет по крайней мере одно положение
устойчивого равновесия, во-вторых, будучи выведена из этого
положения (на не слишком большое расстояние), совершает
около него свободные колебания, т. е. колеблется без внешнего
воздействия. Неколебательные системы последним свойством не
обладают. Они могут не иметь положений устойчивого равно-
весия. Свободное (без внешнего воздействия) движение таких
систем не является колебательным.
§ 6. СВОБОДНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Рассмотрим плоскую систему, показанную на рис. 7. Здесь
твердое тело 1, обладающее постоянной массой т, связано с
одним концом безмассовой пружины 2,
второй конец которой присоединен к
неподвижной стенке 3. Благодаря на-
личию направляющих 4 тело 1 может
совершать только поступательные пря-
молинейные движения вдоль оси Ох.
Сопротивление движению, включая
трение в направляющих, отсутствует.
Пусть начало отсчета О соответствует
положению равновесия, при котором
пружина 2 не напряжена. Коэффициент
жесткости с пружины 2 постоянен. Ни-
каких внешних воздействий система не испытывает, поэтому ее
движение называется свободным.
В соответствии со вторым законом Ньютона запишем диффе-
ренциальное уравнение свободного движения системы:
тх = S,
(1)
24
где х — ускорение тела 1;
S — сила, с которой пружина 2, действует на тело 1.
Такого рода силы, направленные к положению равновесия,
называются восстанавливающими. Они как бы стремятся вос-
становить положение равновесия.
Поскольку коэффициент жесткости с постоянен, сила S опре-
деляется выражением
S = — сх, (2)
где х — смещение тела 1 от положения устойчивого равновесия.
Подставив это в уравнение (1), получаем
тх + сх = 0, (3)
или
х + ©о* = 0, (4)
где _
«о=1/ — . (5)
У т
Обыкновенное однородное линейное дифференциальное урав-
нение (4) второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет, как известно, общий интеграл
х = С\ cos (д0/ -ф С2 sin <я0/, (6)
где t — время;
Ci и С2 —произвольные постоянные, которые можно опреде-
лить из начальных условий:
при t =0 х = х0, 1
... (7)
х = х0. )
Продифференцируем по времени равенство (6):
х = — C^o sin и0/ + С2соо cos <в0/. (8)
Подставив начальные условия (7) в выражения (6) и (8),
будем иметь два уравнения. Решая их относительно произволь-
ных постоянных, получаем
С1-х0;С2=^. (9)
соо
На основании этого интеграл дифференциального уравнения
(4) принимает вид
х = х0 cos соо£ Н—— sin соо/.
ы0
Его можно записать в другой форме:
х — ха cos (и0/ — ф),
(Ю)
(П)
25
где
*«= V *о +~Т; 4,==arct6~^—• (12)
' COq *о%
Следовательно, система совершает синусоидальные колеба-
ния с амплитудой ха, начальной фазой —q> и угловой частотой
юо- Эти колебания называются свободными или собственными, а
угловая частота юо — угловой частотой свободных колебаний или
собственной угловой частотой.
Как показывает равенство (5), собственная частота ио зави-
сит только от
Рис. 8
параметров сит системы и не зависит от на-
чальных условий, а следовательно, и от ампли-
туды. Колебания, частота которых остается по-
стоянной при различных амплитудах, называют-
ся изохронными. Собственные колебания линей-
ной системы изохронны.
Амплитуда и начальная фаза колебаний оп-
ределяются в общем случае, как показывают ра-
венства (12), начальными условиями и парамет-
рами системы. Поскольку рассматриваемая си-
стема консервативна, свободные колебания про-
должаются сколь угодно долго с неизменным
размахом.
Собственная частота линейной системы зави-
сит от жесткости пружины, но не зависит от силы натяжения
или поджатия пружины. Последнее можно показать на следую-
щем примере. Пусть тело 1 (рис. 8) подвешено на безмассовой
пружине 2 так, что оно может двигаться только по вертикали.
В отличие от предыдущего случая, к телу 1 приложена сила
тяжести mg (здесь g— ускорение свободного падения). Напра-
вим координатную ось Ох вниз и начало отсчета О расположим
в положении статического равновесия. Запишем уравнение рав-
новесия:
mg = схст, (13)
где хст — статическая деформация пружины 2 под действием
силы тяжести тела 1.
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
тх ф- с (х + хст) = mg, (14)
или на основании условия (13)
тх + сх = О,
что полностью совпадает с уравнением (3). Следовательно, сила
тяжести, вызывающая дополнительную деформацию пружины,
26
(16)
одной сте-
изображен
F/ny
Рис. 9
яе сказывается на характере колебаний тела около положения
равновесия, приводя лишь к перемещению положения равнове-
сия на величину статической деформации пружины.
Сопоставляя выражения (5) и (13), можно записать:
хст=-^. (15)
“о
Отсюда, учитывая равенство (5) § 1, получаем
248 .
Хст = --~ [ММ].
Го
Классический пример колебательной системы с
пенью свободы представляет маятник. На рис. 9
маятник, у которого неподвижная ось шарнира рас-
положена в точке А, а центр тяжести в точке В.
В положении равновесия линия АВ расположена
вертикально. Запишем дифференциальное уравне-
ние свободных колебаний маятника в условиях от-
сутствия диссипативных сопротивлений:
7ф + mgl sin ф = 0; (17)
здесь J — момент инерции маятника относительно
оси шарнира А;
т — масса маятника;
I — расстояние АВ от оси шарнира до цент-
ра тяжести;
ф — угол отклонения маятника от положения
равновесия.
Уравнение (17) нелинейно. Однако при достаточно малых
углах ф оно может быть записано следующим образом:
J ф + mglty = 0. (18)
Отсюда частота свободных малых колебаний маятника
У так называемого математического маятника вся масса
сосредоточена в центре тяжести, поэтому для него
JM = mil,
Где индекс м показывает, что речь идет о математическом
маятнике; следовательно, для него
27
Зависимость (19) может быть использована для эксперимен-
тального определения ускорения силы тяжести по периоду коле-
бания маятника. Формула (15) для этой цели непригодна, так
как период колебаний массы на пружине не зависит от ускоре-
ния силы тяжести. От последнего зависит статическая дефор-
мация пружины.
Пусть маятник, изображенный на рис. 9, обладает не свобод-
ным, а упругим шарниром с постоянной угловой жесткостью s,
и в положении равновесия отклонен от вертикали на угол а.
Отсчитывая угол поворота ф маятника от положения равнове-
сия, запишем дифференциальное уравнение колебаний:
Jip + mg/sin(a + if) + s(i|? —фст) = 0; (21)
здесь фст— статическая деформация упругого шарнира под дей-
ствием момента силы тяжести маятника, опреде-
ляемая из условия
зф„„ = mgl sin а. (22)
Отсюда для малых колебаний получаем дифференциальное
уравнение
/ф + (mgl cos а s) ф = 0. (23)
Собственная частота колебаний
= |//r.mgfcg?« + s... (24)
В частном случае, при Z = 0, т. е. когда ось шарнира распо-
ложена в центре тяжести,
Юо=1/ (25)
л
Эта зависимость имеет место и при а = ~ -
Перейдем к рассмотрению свободных движений диссипатив-
ной системы, показанной на рис. 10. Она отличается от системы,
изображенной на рис. 7, наличием демпфера или катаракта 5, в:
котором осуществляется рассеяние (диссипация) энергии. Дис-
сипативная сила В, т. е. сила сопротивления движению, с кото-
рой демпфер действует на тело 1, имеет направление, противо-
положное направлению скорости. В нашей линейной схеме эта
сила пропорциональна скорости, т. е.
В — — Ьх, (26)
где b—сопротивление или коэффициент сопротивления1.
1 Представляется более целесообразным термин «сопротивление». Он со-
ответствует электрическому сопротивлению. Кроме того, исключается нередко
встречающееся смешение коэффициента сопротивления и коэффициента зату-
хания.
28
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
тх + Ьх + сх = 0, (27)
ял и
х -р 21гх + юоХ = О,
(28)
где коэффициент затухания или коэффициент демпфирования
h = ---
2m
а «о определяется зависимостью (5).
Как известно, вид общего интеграла
уравнения (28), а значит, и характер
описываемого им движения зависит от
соотношения величин h и о)0. Здесь воз-
можны три случая.
В случае, когда h < соо, общий инте-
грал уравнения (28) имеет вид
х = e~ht (С1 cos-Wj.t + Сг sin (30)
где и С2— произвольные постоянные;
<й1 = о — h2. (31)
(29)
При начальных условиях (7)
Ci = х0‘, С2 = x°h + х° . (32)
сох
Выражение (30) может быть записано также следующим
образом:
х = Ae~ht cos (юД — ф), (33)
где ‘
А = хо+ (x°fe + *°)2 ,
(34)
Ф = arctg x°fe + х° .
Выражение (33) показывает, что свободное движение в рас-
сматриваемом случае представляет собой затухающие колеба-
ния, осциллограмма которых представлена на рис. 11. Эти коле-
бания продолжаются бесконечно, причем величина их размаха
асимптотически приближается к нулю. Применительно к этим
колебаниям нельзя, строго говоря, пользоваться такими терми-
нами, как период, частота и амплитуда колебаний.
Огибающие ±Ae~ht касаются кривой затухающих колебаний
в т°чках, где cos (on t — ф) = ± 1.
29
Экстремальные значения х опережают экстремумы
cos (он/ — ср) на время
A^xt=—, (35>
«1
где б— так называемый угол потерь, определяемый из соот-
ношения
tg6 = —. (36)
“i
Величины экстремумов
kextl = ^ — e~ht^, (37)
w0
где
fext = — (<р — 6 + nk), (k = 0, 1, 2, ... ). (38>
Четным значениям k соответствуют максимумы, нечетным —
минимумы.
Время между двумя соседними максимумами, или миниму-
мами, или между двумя ближайшими нулевыми положениями.
Рис. 11
которые проходит колеблющееся'
тело в одинаковом направлении,
7\=—. (39).
од
Скорость и ускорение получаем,
дифференцируя выражение (33):
х = — A®oe-W sin (ciV — (р + б),
х = — A<ooe-W cos — tp 4- 26). I
(40>
Для рассматриваемых колебаний характерно постоянство
отношения двух соседних максимумов или минимумов
(xext)fc_j-2
(41)
Натуральный логарифм этого отношения
б = In Г ,(*ех.()* -1 = = hT, = 2л tg6 (42)
[ (xext)*-|-2 J ОД
называется логарифмическим декрементом колебаний.
Логарифмический декремент, так же как тангенс угла по-
терь, представляет собой удобный безразмерный параметр, ха-
рактеризующий рассеяние энергии в системе. Часто с той же
30
целью пользуются и другими безразмерными
пример относительным затуханием 1
Р — = sin 6
w0
и добротностью
Q = 1 = и°
4 2Р 2h ’
величинами, на-
(43>
(44)
Иногда в качестве безразмерного параметра, определяющего
рассеяние энергии, пользуются коэффициентом поглощения.
К сожалению, этот термин интерпретируется различными авто-
рами неоднозначно. Приведем четыре встречающиеся интерпре-
тации коэффициента поглощения, которые обозначим символами
Т, Ti, Ф2, Фз-
Коэффициент поглощения Ф представляет собой выражение
£Л+2
Е Ek+2
ф = — J
Ek
где Е — текущее значение энергии системы;
Еь и Eh+2 — значение энергии (потенциальной) в моменты
k-ro и (k + 2)-го экстремумов смещения х.
Поскольку
^k = с (^ext)*> ^k-\-2 — с (-^ext)*+2>
получаем на основании формулы (42)
Ф = 20.
Коэффициенты поглощения Фг, Фг, Фз являются отношения-
ми энергии, рассеянной за один цикл свободных колебаний, к
соответственно среднему арифметическому значению энергии в
начале и в конце цикла, к начальному значению энергии и к ко-
нечному значению энергии. Приведем эти отношения, а также
точные зависимости коэффициентов поглощения от логарифми-
ческого декремента б- и их разложения в ряды по степеням fh
ф _B2(£ft-£ft+2) 2(е2^—1) 2
1 Ek+Ek+2 е2О+1 3
Ф2 = = 1 _ е-2й = 2fl. — 2d2 + — ft8 — ... ,
Ek 3
Ф3 = _£^Z^±L’= е2й_ i = 21'} + 2fl2 + — й3 ф- ...
Е/г+2 3
—
1 Оно по существу представляет собой выражение коэффициента затуха-
я. когда в качестве единицы измерения принято его критическое значение,
Ри котором система перестает быть колебательной.
31
Эти формулы показывают, что Ф1 наиболее близок к VP: они
различаются слагаемым третьего порядка малости по •&. Вели-
чины гР2 и хРз отличаются от гР слагаемыми второго порядка
малости по &.
В табл. 1 приведены формулы для пересчета безразмерных
параметров р, Q, &, 6-
Табмща 1
₽ Q 0 S
₽ ₽ 1 2Q 1 , / 4л! ]/ fl* +1 sin 6
<2 = 1 V <2 1 _ f 4л2 2 |/ О2 + 1 — cosec о 2
0 = 2л 2л /4Q2 — 1 & 2л tg 6
/ ₽• 1
6 = arcsin р 1 arcsin ——- 2Q 0 arctg —— 2л 6
Нетрудно заметить, что логарифмический декремент и угол
потерь имеют смысл, т. е. выражаются действительными числа-
ми, только в рассматриваемом случае, когда h < го0 (точнее,
для угла потерь h sC и0), в то время как относительным затуха-
нием и добротностью можно пользоваться при любых соотно-
шениях h и ио-
В случае, когда h > и0, общий интеграл уравнения (28) мо-
жет быть представлен в виде
х = e~ht (C1evZ + C2e~',t)
или
х = e~ht (Cl ch vt 4- С'2 sh vt), (45)
где
v = —<4. (46)
В этом случае свободное движение системы уже не является
колебательным. Поскольку й> v, lim х = 0, т. е. система в ко-
t ~>со
32
печном счете асимптотически приближается к положению
новесия.
Из начальных условий (7) находим
Ci = —— [х0 (h -|- v) 4- х0],
2v
С2 = — [х0 (h v) + х0].
рав-
(47)
В зависимости от соотношения
метров система может совершать
форм. Для рассмотрения этого
дем безразмерные параметры
h — v
х0 (h + v) h + v
начальный момент тело 1
10) имеет сравнительно
скорость в направлении к
так что р <
х0
начальных
движение в
вве-
условий и
одной из
пара-
трех
(48)
Если в
(см. рис.
большую
положению равновесия,
< —1, то оно проходит через положе-
ние равновесия в момент
/o = _Lln-X±E.
0 2v 1 + р
Затем х достигает экстремального
значения в момент
(49)
а)
б
В)
Рис. 12
= —In
2v 1 + р
(50)
Р =
£
%
после чего х изменяется монотонно, асимптотически приближа-
ясь к нулю. Это иллюстрируется кривыми 1 и 2 на рис. 12, а.
Если в начальный момент тело 1 на рис. 10 движется, уда-
ляясь от положения равновесия, так что р > 0, то х достигает
экстремального значения в момент, определяемый выраже-
нием (50), а затем, монотонно изменяясь, асимптотически при-
ближается к нулю. Этому соответствуют кривые 3 и 4 на
Если в начальный момент тело 1 на рис. 10 движется к по-
ложению равновесия со сравнительно малой скоростью, так что
Р 0, то х с самого начала изменяется монотонно,
асимптотически приближаясь к нулю, как показывают кривые 5
и 6 на рис. 12, в. При этом, в частности, когда р = —1 или
9 ~ X, движение осуществляется так, что скорость все время
остается пропорциональной смещению от положения равновесия.
3 Заказ 150 33
Рассмотрим, наконец, граничный случай, когда h = соо.
В этом случае общий интеграл уравнения (28) можно предста-
вить в виде
х = е-М(С1 + С20. (51)
Этот случай качественно не отличается от предыдущего. Обо-
значим
Ц = (52)
Движение по типу кривых 1 и 2 на рис. 12, а будет осуще-
ствляться при р < —1, причем прохождение через равновесное
положение осуществляется в момент
а экстремальное значение х будет достигнуто в момент
tm= 1 Y~-. (54)
ft (1 + — I
\ И )
Движение по типу кривых 3 и 4 на рис. 12,6 будет осуще-
ствляться при р. > 0. Момент экстремума определяется равен-
ством (54).
Движение по типу кривых 5 и 6 на рис. 12, в будет иметь
место при -—1 р 0. В частном случае, когда ц = —1, ско-
рость все время остается пропорциональной смещению от поло-
жения равновесия.
Итак, свободное движение является колебательным при
h < «о I ₽ < 1, или Q > —, или О < оо, или б и неколе-
бательным при h шо. Граничное значение коэффициента зату-
хания называется критическим:
hKp = ®0. (55)
Практический интерес представляет случай, когда в схеме
на рис. 10 отсутствует пружина 2. Здесь дифференциальное
уравнение свободного движения запишется таким образом:
тх + Ьх = 0 (56)
или
х + 2йх = 0. (57)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
х = С1 + С2е-2« (58)
34
ЧТО представляет собой предел выражения (45) при v = h. Имея
начальные условия (7), получаем
С1 = ч,+А С,—4.; (59)
отсюда
х = *о + -J- (1 — е~2Ы), (60)
x = xoe~2h‘. (61)
Эта система в любом положении может находиться в равно-
весии ’. Она движется монотонно, асимптотически приближаясь
к координате х0 + . На рис. 13, а и б приведены осцилло-
граммы перемещения и скорости.
Как бы ни было мало начальное значение относительного
затухания в схеме на рис. 10, его можно сделать большим еди-
ницы путем уменьшения массы тела Л При достаточном умень-
шении массы первый член левой части уравнения (28) стано-
вится малым по сравнению с остальными членами, так что
может оказаться целесообразным пренебречь им и записать
уравнение следующим образом:
Ьх 4- сх = 0, (62)
или
х + -у- х = 0. (63)
Это дифференциальное уравнение первого порядка. Следова-
тельно, система имеет '/2 степени свободы. Общий интеграл
_____ х = Cte~ Т *. (64)
1 Такое состояние называется безразличным равновесием. См. § 10.
35
По начальному условию х = х0 при t = 0 находим
G = х0; (65)
отсюда
х = хое . (66)
Начальная скорость в этой системе не может быть взята про-
извольно. Она однозначно определяется из уравнения
х = — х0-^- е ь =------с- х, (67)
Ь о
т. е. при t = О
*о = ~ ~ХО. (68)
О
Если системе сообщена иная начальная скорость, то послед-
няя мгновенно изменяется до значения, указанного выраже-
нием (68). Осциллограммы перемещения и скорости этой систе-
Таблица 2
Д иффер енциа л ьное уравнение Соотношение параметров Особые условия ‘п
х 4- 2/ix + w2x = 0 ( b Р = -7—’ “о = \ 2m = 1/—) г mJ h < w0 — 1 2m tn = — = ~ h b
h = со0 -^- = —1 xnh 1 2m tn = — = h b
h > w0 =-1 х0 (h 4- v) (v = l/ft2-w§) 1 2m n — bi — t h 4- v b 1 X . , / 4 cm 14-1/ 1 — V ь2
— = —1 Хо (h — v) , 1 2m n — U — Л h — v b 1 X r— > / 4cm * V1 b^
х 4- 2hx = 0 — — 1 m tn~ 2h ~ b
хх = 0 и — — c
i изображены на рис. 14, а и б. Как перемещение, так и
корость изменяются монотонно, асимптотически приближаясь
к нулю. Равенство (67) показывает, что скорость все» время
остается пропорциональной перемещению.
В литературе часто встречается термин «постоянная време-
ни» (или «время релаксации»), обозначающий время tn, за ко-
торое скорость или огибающая кривой скорости свободного
движения уменьшается ве раз (е = 2,71828...— основание
натуральных логарифмов). Постоянная времени имеет смысл,
т е. является действительно постоянной, только для тех систем,
у которых при свободном движении скорость (или огибающая .
кривой скорости) пропорциональна перемещению (или огибаю-
щей кривой перемещения), отсчитываемому от положения, кото-
рое система займет при t = оо. В табл. 2 приведены значения
постоянной времени в различных случаях.
§ 7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ СИЛОВОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
В отличие ст рассмотренных свободных движений, вынуж-
денные движения возникают в результате внешних воздействий
на систему, которые мы представляем функциями времени.
Когда движение вызывается переменными внешними силами,
принято говорить о силовом или динамическом возбуждении
движения. Если же движение системы вызывается задаваемыми
извне движениями ее элементов или точек, принято говорить
о кинематическом возбуждении движения.
Переменную силу, вызывающую движение, будем называть
вынуждающей силой Рассмотрим случай приложения синусои-
дальной силы к телу 1 консервативной системы (см. рис. 7)
К = cos о/, (1)
где Fa — амплитуда вынуждающей силы F;
ю — угловая частота колебаний силы.
В этом случае дифференциальное уравнение движения систе-
мы можно записать так:
тх ф- сх = Fa cos и/ (2)
или
х + ©о* = — " cos at, (3)
m
гДе co0 определяется формулой (5) § 6.
Общий интеграл неоднородного линейного уравнения (3)
можно представить как сумму общего интеграла соответствую-
- 1 Применяются также термины «возмущающая сила» и «возбуждающая
'-ила».
37
щего однородного линейного уравнения (4) § 6 и частного инте-
грала X уравнения (3):
х = CjCos со0£ 4- Сg sin соо/ 4- X. (4)
Частный интеграл будем искать в виде
X = ха cos со/. (5)
Подставив выражение (5) в левую часть уравнения (3),
получим
следовательно,
р
х — Сх cos <jl>0£ + С2 sin aot -1-----------cos ; (7)
т (со2 — о2)
отсюда
х = — CjCOo sin ы0/ 4- С3соо cos biot-------------sin art. (8)
«(coq — w2)
Подставив в уравнения (7) и (8) начальные условия (7)
§ 6, находим
Теперь интеграл (4) можно представить в следующем виде:
х = Л'о cos со,/ 4---------— sin aot —
(D0
F F
—-------------------;---COS t£>0/ 4-------------------—— cos coT
m (coq — co2) m (cog — co2)
(10)
Здесь первые три члена правой части представляют собой
колебания с собственной частотой системы, а последний член —
колебания с частотой вынуждающей силы. Колебания с соб-
ственной частотой состоят из двух различных по происхождению
частей. Первые два члена определяются начальными условия-
ми и не зависят от вынуждающей силы; они имели место до
приложения вынуждающей силы; назовем их начальными соб-
ственными колебаниями. Третий член зависит от вынуждающей
силы и не зависит от начальных условий; характеризуемые им
колебания возникли в результате того, что в момент времени
t = 0 к системе, которая ранее была свободной, мы приложили
вынуждающую силу К; назовем их возбужденными собственны-
ми колебаниями.
В рассматриваемой идеальной системе собственные колеба-
ния будут совершаться с постоянной амплитудой бесконечно
38
го В реальных системах диссипативные силы приведут к за-
туханию собственных колебаний, в результате чего система
в конечном счете будет совершать вынужденные колебания
X = ------—----- COS (В t. (11)
m(co2— со2)
Выражение (11) показывает, что при со < св0 вынужденные
колебания совершаются в фазе с вынуждающей силой, а при
и > соо — в противофазе. Амплитуда колебаний возрастает по
мере приближения со к св0 и становится бесконечно большой
ПрН и = Юо. Однако, как мы сейчас увидим, эта бесконечно
большая амплитуда достигается через бесконечно большое вре-
мя. Перепишем выражение (10) следующим образом, приняв
для упрощения нулевые начальные условия:
х Fg (cos СО t — COS С00 t)
т (co2 — co2)
Предел правой части при со—>-соо представляет собой не-
определенность вида —. Раскроем эту неопределенность по
правилу Лопиталя, продифференцировав числитель и знамена-
тель по св:
Fa (cos со/—cos con/) ,. Fat sin со/ Fa , . , ..r,.
lim -—S-i------------= lim —----------=-------— t sin cb0/; (13)
m (co2 — co2) <o-mi>o 2mco 2mcoo
отсюда
x = —t sin св0/ = —t cos (co J------------—. (14)
2«гсоо 2/ncOp \ 2 )
Следовательно, при св = сво вынужденные колебания систе-
мы становятся нестационарными: они непрерывно усиливают-
Рис. 15
ся. «Амплитуда» колебаний становится пропорциональной вре-
мени. Осциллограмма этих колебаний приведена на рис. 15, а.
° фазе колебания (точнее, синусоидальный множитель) от-
стают на угол —
2
от вынуждающей силы.
39
Явление, характеризующееся повышенными амплитудами
колебаний при равенстве собственной частоты и частоты вы-
нуждающей силы, называется резонансом (см. § 13). Колеба-
ния при со = называют резонансными, при со < соо — доре-
зонансными, при со > соо — зарезонансными.
Важно отметить, что в нерезо-
нансном случае после приложения
вынуждающей силы полуразмах
колебаний при нулевых начальных
условиях может достигать удвоен-
ного значения амплитуды стацио-
нарных колебаний, определяемых
зависимостью (11). Это следует из
выражения (12), которое может
быть представлено в таком виде:
Рис. 16
2FO
т (сод — со2)
. <Л>П — СО . СОл + СО * /1 Г\
х sin——г sin —— t. (15)
Характер колебаний показан на
рис. 15, б.
Максимальное значение полуразмаха достигается вблизи
1. СОо—<о,| , , я
sin ——г = 1, откуда t - —--------,
2 | |соо — <о|
т. е. тем позднее, чем ближе со к со0 (см. рис. 15, б, где со до-
вольно близка к соо и колебания носят характер биений).
На рис. 16, а приведена зависимость ха от со, а на
рис. 16, б — зависимость от со сдвига фазы колебаний относи-
тельно фазы вынуждающей силы. Они носят названия ампли-
тудно-частотной и фазо-частотной кривых или характеристик.
Первую из них иногда называют резонансной кривой.
В табл. 3 приведены некоторые характеристики вынужден-
ных колебаний.
Перейдем к рассмотрению случая, когда синусоидальная
сила, определяемая выражением (1), приложена к телу 1 дис-
сипативной системы, показанной на рис. 10. Запишем диффе-
ренциальное уравнение движения:
тх ф- Ьх + сх = Fa cos wt; (16)
отсюда
х + 2hx + coox = cos со/, (17)
т
где соо и h определяются формулами (5) и (29) § 6.
4 О
Таблица 3
Наименование вынужденных колебании Дорезонансные <0 < соо Резонансные со = соо Зарезонансные со > со0
Характер колебаний Стационарные Возрастающие Стационарные
Амплитуда Fa т (ыд — со2) 2mcon Fa т(в>2 —u>q)
Фаза относительно фазы вы- нуждающей силы 0 Л 2 — л
Наибольший возможный по- луразмах колебаний при нулевых начальных усло- виях оо 2Fa
т (“о — ш2) т (со2 — со2)
Примерное время достиже- ния максимального полу- размаха колебаний 3 s 1 о 3 со Л СО — (00
Полагая для определенности h < ц)0 и имея в виду равен-
ство (30) § 6, запишем общий интеграл линейного неоднород-
ного уравнения (17):
х — е~ы (С± cos -J- С2 sin од/) + X, (18)
где частный интеграл будем искать в форме
X = x0cos(co/— ср). (19)
Подставив выражение (19) в уравнение (17), найдем
ха = - г — а ; (20)
т (со2 — со2)2 4/12со2
<p=arctg—-------- (21)
— со2
Продифференцируем равенство (18):
х = e~ht [—Cj (h cos оц/д- w1 sin +
+ C2 ((Dj cos — h sin w1i)] + X. (22)
Из уравнений (18) и (22) после подстановки в них началь-
ных условий (7) § 6 определим произвольные постоянные С[
и Подставив их в выражение (18) и воспользовавшись
41
равенствами (19) и (20), запишем интеграл дифференциального
уравнения (17):
, x„h 4“ । |
Хо COS СОЦ Н--2--!—2- Sin<j)1Z —
®1 /
[(со? — со2) cos co1Z Н—М«о2 + со2) sin со
х = e~ht
Fne-ht
— <о2)2 4- 4h2<o2j
+ ' ------------------------ - C°S ~ <₽)-
т у (со2 — со2)2 +4/t2coz
(23)
Первый член правой части представляет собой начальные
собственные колебания, определяемые начальными условиями
п не зависящие от вынуждающей силы, второй член — возбуж-
денные собственные колебания, определяемые вынуждающей
•силой и не зависящие от начальных условий, и третий член —
вынужденные колебания. Собственные колебания независимо
от их происхождения с течением времени затухают, о чем сви-
детельствует множитель е~м, и в конечном итоге остаются
только стационарные вынужденные колебания
otV^coq— <о2) 24-4Л2со2
cos (со/ — <р).
(24)
Сказанное остается справедливым и для случаев h соо,
которые отличаются тем, что собственные движения являются
неколебательными.
В отличие от консервативной системы, вынужденные коле-
бания диссипативной системы стационарны при любом значе-
нии частоты вынуждающей силы.
Исследовав выражение амплитуды вынужденных колеба-
ний (20) на экстремум, мы убеждаемся, что она достигает
максимального значения не при со = coq, как в консервативной
системе, а при резонансной частоте
com = 1 со? — 2Л2 < соо, (25)
причем это максимальное резонансное значение определяется
выражением
х =____
йтаХ 2мА]Л^
(26)
Выражение (25) показывает, что явление резонанса вибро-
смещения в данной системе возможно только при
Ц>0
А <
В интервале 0 < h < , как видно из равенства (26), вели-
чина Хатах убывает с возрастанием А.
42
р!з равенства (21) следует, что фаза колебаний отстает от
фазы вынуждающей силы на угол 0 < ср < при со < о>0, на
-2- при со = соо и на угол < ср < л при со > со0.
yi ол 2 2
На рис. 17, а представлена примерная амплитудно-частот-
ная кривая диссипативной системы
Лазо-частотная кривая.
* В табл. 4 приведена сводка некоторых изложенных резуль-
татов.
6)0
—?=1, а на рис. 17, б —
V2 )
Таблица 4
Наименование характеристики
Формула
Необходимое
условие
Амплитуда вынужденных
колебаний
т Р (сод — со2)2 + 4Л2со2
Фаза вынужденных ко-
лебаний по отношению
к фазе вынуждающей
силы
со < соо
СО = СОу
со > и0
Резонансная амплитуда
вибросмещения
ха шах — _ г—о
. 2/пЛ у сОд
Резонансная частота виб-
росмещения
со„г = У со2 — 2h2
Собственная частота
h < соо
Если поменять в уравнении (16) знаки на противополож-
ные, то первый член левой части представит так называемую
силу инерции, второй член — диссипативную силу, а третий
член — восстанавливающую силу. Восстанавливающая сила
всегда имеет направление, противоположное силе инерции. При
<0 < соо восстанавливающая сила превосходит силу инерции,
при щ > 0)01 наоборот, сила инерции превосходит восстанавли-
вающую силу. При со = соо эти две силы полностью уравнове-
шиваются, поэтому в консервативной системе при синусоидаль-
ных колебаниях вынуждающая сила ничем не компенсируется
колебания неизбежно должны усиливаться (резонанс). В дис-
43
сипативной системе вынуждающая сила компенсируется дисси-
пативной силой.
Применение комплексных величин дает некоторые преиму-
щества при исследовании стационарных вынужденных колеба-
ний линейных (в особенности, сложных) систем. Вынуждаю-
щую силу представляют не в форме выражения (1), а в виде
F = Faeiat.
(27)
Дифференциальное уравнение движения системы с одной
степенью свободы запишется следующим образом:
Рис. 17
тх + Ьх сх = Рае‘^ (28)
или
х + 2/ix 4- и2х = e'“z. (29)
т
Заметим, что, используя здесь
комплексные величины, состоящие из
двух слагаемых-—действительного и
мнимого, мы реализуем принцип су-
перпозиции. Следовательно, такой
подход пригоден только для линейных
систем.
Частный интеграл, соответствую-
щий установившимся вынужденным
колебаниям, примем в виде
х = Aeiat, (30)
где А — комплексная амплитуда колебаний.
Подставив его в левую часть уравнения (29), находим
А =-------------------, (31)
tn (со2 — со2 2/ко«)
откуда, обозначив
А = хае-‘\ (32)
получаем
х = xaei{fat~ф), (33)
где ха и <р определяются формулами (20) и (21).
Подставив интеграл (30) в исходное уравнение (28), по-
лучим
А = -------------. (34)
с —- тсо2 + ibo
Стоящая в знаменателе величина
Ск = с—ты2 4~ ibw (35)
44
называется динамическом или
мь1. Очевидно, что
комплексной жесткостью
|СК| ’
систе-
(36)
т е амплитуда вынужденных колебаний равна отношению ам-
плитуды вынуждающей силы к модулю динамической жест-
кости.
Приняв следующие обозначения для комплексных амплитуд
виброскорости и виброускорения:
А = ia>A, I (37)
А = — <Л4, I
можем записать:
А =--------, (38)
(С \
та — — ]
со /
.где знаменатель правой части
bk = b + i [та----------------------—1 (39)
\ <0 /
называется импедансом, или механическим импедансом, или
комплексным сопротивлением системы. Отсюда
(40)
т. е. амплитуда виброскорости равна отношению амплитуды
вынуждающей силы к модулю импеданса. Равенство (40) пред-
ставляет собой механический аналог закона Ома, определяю-
щего силу тока в цепи с комплексным сопротивлением.
Далее, имеем
А =----------------, (41)
с b
где знаменатель правой части можно назвать комплексной мас-
сой mh. Отсюда
т- е. амплитуда виброускорения равна отношению амплитуды
вынуждающей силы к модулю комплексной массы.
Отметим, что при а = <л0 динамическая жесткость, и ком-
плекснац масса представляют собой чисто мнимые величины,
а импеданс — действительную величину.
45
§ 8. ЦЕНТРОБЕЖНОЕ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИИ
И СИСТЕМА С ПРИНУДИТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
МАССИВНОГО ЭЛЕМЕНТА
Мы обследовали вынужденные колебания под действием
синусоидальной силы, амплитуда которой не зависит от часто-
ты колебаний. Практически большое значение имеет случай,
когда амплитуда вынуждающей силы пропорциональна квад-
рату частоты колебаний. С этим приходится иметь дело при
центробежном возбуждении колебаний. На рис. 18, а изобра-
жена система, состоящая из тела I массы тх (движение его
ограничено идеальными направляющими 4), линейной пружи-
ны 2 жесткости с и линейного демпфера 5 с коэффициентом
а)
Рис. 18
сопротивления Ь, соединяющих тело 1 с неподвижной стой-
кой <3. Колебания тела 1 возбуждаются вращением неуравнове-
шенного ротора (дебаланса) 6 вокруг оси, жестко связанной с
телом 1. Дебаланс 6 вращается с постоянной угловой скоро-
стью го, его масса т0, эксцентрицитет массы (расстояние от оси
вращения дебаланса до его центра тяжести) г. Вращение де-
баланса порождает центробежную силу
Fa = mom\ _ (1)
проекция которой на горизонтальную ось представляет собой
вынуждающую силу
F = Fa cos со/. (2)
Учитывая это, можно воспользоваться выкладками (16) —
(24) предыдущего параграфа и формулами (5) и (29) § 6, но
вместо массы т надо всюду подставлять суммарную массу си-
стемы mi + т0*. Подставив в равенство (20) § 7 величину Fa
из формулы (1), получим следующее выражение амплитуды
вынужденных колебаний:
ха =-----------z '"°™2 . . (3)
(mt + m0) 1 (wq— to2)2 + 4/i2co2
Обоснование этого приводится в гл. V.
46
Исследовав это выражение на экстремум, находим, что ам-
плитуда достигает максимума
«огао
Ха max 1 ,—х----
2 (тх + /п0) hy cog — h~
(4>
при резонансной частоте
(5>
° 5 5 1 2 4
Z X
Рис. 19
На рис. 18, б представлена амплитудно-частотная кривая,
построенная по зависимости (3). Табл. 5 иллюстрирует харак-
терные отличия вынужденных ко-
лебаний при центробежном воз-
буждении.
Перейдем к рассмотрению вы-
нужденных колебаний при кине-
матическом возбуждении. Пусть
тело / (рис. 19) массы т соеди-
нено с неподвижной стойкой 4
пружиной 2 и демпфером 3 и мо-
жет двигаться в направляющих
5. С другой стороны тело 1 со-
единено с поводком 8, движу-
щимся в направляющих 9, пружиной 6 и демпфером 7. Пружи-
ны и демпферы линейны, направляющие идеальны. Жесткости
пружин 2 и 6 соответственно ci и с2, коэффициенты сопротивле-
ния демпферов 3 и 7 соответственно Ь{ и Ь2. Поводку сообщают-
ся извне синусоидальные колебания. Пусть z — координата по-
водка, отсчитываемая от его среднего положения, а х — коор-
дината тела 1, отсчитываемая от его среднего положения. Эти
координаты характеризуют абсолютные движения поводка и
тела 1.
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
тх + Ьгх + b2 (х — z) + с±х + с2 (х — z) = 0. (6)
В соответствии со сказанным выше
z = za cos о/, (7),
поэтому можно записать:
mx + (bj-b b2) х + (с?! + с2) х = za (с2 cos <о/ —
— b2a sin af) (8);
2
х + 2hx 4- <оох = Р cos (wt + ф), (9)
47
где _______
h = А +А. ; ю /_£1 +-й_ ; (Ю)
2т у т
У С2 + ^Щ2 ; = arctg (11)
т с2
Можно рассматривать не абсолютное движение тела 1, а его
движение относительно поводка. Тогда за его относительную
координату принимается
у = х — 2. (12)
Подставив это в уравнение (6) и учтя равенство (7), по-
лучим
у + ^hy + «of/ = Q cos (о/ + x), (13)
где h и wo определяются зависимостями (10),
Q = V (сг — идо2)2 + bi®2;
ГП l 1 л\
Таблица 5
Параметры Способ возбуждения колебаний
Силовое возбуждение. Амплитуда вынуждающей силы не зависит от частоты, Fa — const Центробежное возбуждение, Fa = m0r(o2
Амплитуда вынужденных колебаний общее вы- ражение Fa Хп — г X m}/ (ы2— <о2)2+ 4ft2co2 m0ro>2 Xq — (/пг + m0)X хУ (co2—(u2)2+ 4ft2o>2
при (о = 0 _ Fa тсйц ^ao = Q
при со = оо хаоо 0 mor X°^ ~ m, + m0
резонан- сная х F“ max 2tnh У Ид — ft2 x max ~ 2 (/Tij + m0) ft Уыц — ft2
Резонансная частота вибросмещения = У®о ~ 2ft2 < “o 2 °>о Л 9 9 > ®0 У и2 — 2ft2
48
Таким образом, дифференциальные уравнения при кинема-
ческом возбуждении как в абсолютном движении (9), так и
Т относительном (13) привелись к такому же виду, как при си-
ловом возбуждении (17) § 7, за исключением того, что началь-
ные фазы вынуждающих воздействий при кинематическом воз-
буждении, вообще говоря, не равны нулю. Частотные зависи-
мости амплитуд Р и Q и фаз фи/ вынуждающих воздействий
дают возможность получать разнообразные амплитудно-ча-
стотные и фазо-частотные характеристики '.
В представленной на рис. 20 системе с принудительным
движением массивного элемента амплитуда колебаний послед-
него определяется кине-
матикой привода и не за-
висит от частоты. Здесь
тело 1, обладающее мас-
сой т, соединено с непод-
вижной стойкой 2 пружи-
ной 3 и демпфером 4. Си-
нусоидальные колебания
тела 1 вызываются криво-
шипно-шатунным меха-
низмом с шатуном 5 и
штоком 6. Полагая отно-
шение длины кривошипа к длине шатуна — << I, уравнение
движения тела 1 можно записать так:
X = г cos со/,
(15)
где со — постоянная угловая скорость вращения кривошипа.
Запишем согласно принципу Даламбера условие динамиче-
ского равновесия тела Р.
j‘+B + S + F = G, (16}
где I = —тх — сила инерции;
В = —Ьх — сила демпфера;
= —сх — сила пружины;
F — сила штока 6.
Полагая, что при среднем положении тела 1 сила пружины
РуВ"а НУЛЮ и подставив равенство (15) в уравнение (16), по-
Г = Дасо5(со/ + ф), (17)
Fa = тг У(coq — со2)2 + 4й2со2;
Ф = arctg
2Ясо
(18)
49
См. графики,
4 Заказ 150
приведенные в § 13.
что совпадает с формулой (21) § 7; ио и h определяются фор-
мулами (5) и (29) § 6.
Амплитуда силы F, развиваемой приводом, достигает мини
мума при о = — 2й2, 11 эт0 минимальное значение
Гат\п = 2mrhVa>l — h2.
(19)
В случае отсутствия
= 0 достигается при —
При и = О
диссипативных сопротивлений Famin ~
too-
Д,о = тга2.
(20)
Итак, резонанс в данной системе
проявляет себя снижением усилия в
приводе. При настройке, близкой к
резонансу, усилие в приводе во время
пуска может оказаться гораздо боль-
шим стационарного значения ампли-
туды этого усилия.
На рис. 21 представлены амплитуд-
но-частотные характеристики усилия в
приводе. Кривая 1 соответствует h =
= 0, кривая 2 h <у=, кривая 3 h>
К2 ‘
§ 9. ДЕЙСТВИЕ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ
И НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Синусоидальные вынуждающие воздействия образуют хотя
и важный, но частный и весьма узкий класс возбуждений.
В практике часто приходится сталкиваться с несинусоидальны-
ми периодическими и непериодическими возбуждениями. Рас-
смотрим три метода интегрирования дифференциальных урав
нений при несинусоидальных возбуждениях: метод разложения
вынуждающего воздействия в ряд Фурье, метод припасовыва-
ния и метод вариации постоянных интегрирования (метод Лаг
ранжа).
Пусть на систему (см. рис. 10) воздействует приложенная к
телу 1 сила F (/), представляющая собой известную функцию вре-
мени. Движение системы описывается уравнением
х + 2/ix + <oqx = — К (/). (1)
tn
50
Если вынуждающая сила периодическая, с периодом —, то
ее можно разложить в ряд Фурье
СО
Р (0 = -j- Fo + J? Fn cos (nut - фп), (2)
n=l
где Fo- Pn, tyn находятся по формулам (4) и (2) § 4.
Используя принцип суперпозиции, запишем общий интеграл
уравнения (1):
х = хг + х2 4-----2-^- +
2m (Од
со
+ — V ” ^9 ' 7 2 - 9 C0S ^nb)t — — ?«)’ (3)
т V (о?2 — n2co2)2 + 4/i2n2<02
где
<р„ = arctg
2/i/ico
„2 „2. .2
COq — tl (0
Xi и X2 — два линейно независимых интеграла, представляю-
щих собой собственные колебания системы; например,
для случая h < соо сумма xt + х2 выражается первым
членом правой части равенства (18) § 7.
Если ряд Фурье для силы F(t) бесконечен, то ряд, представ-
ляющий вынужденные колебания, тоже бесконечен. Для полу-
чения решения в конечной форме необходимо последний ряд
просуммировать, что нередко представляет большие и даже не-
преодолимые трудности. Это иногда является существенным не-
достатком метода. Важно отметить, что под действием полигар-
монической силы система с одной степенью свободы может испы-
тывать множество резонансов соответственно числу гармоник
в разложении F(t).
В качестве примера возьмем периодическую силу, изменяю-
щуюся по закону
р (П = Ф при < t < ,
(0 со
P(t) = - Ф пРИ(-^±^< Z < (2у ± 2) л. >
СО со
(-> = 0, 1,2,...). (5)
График силы F(i) показан на рис. 22, а. Разложим ее в ряд
Фурье:
F = >1 ' — /g,
л 2п — 1 ' '
------------ П=1
НепепМсто^ Разложения силы в ряд Фурье можно использовать и в случае
ПостИ0ДИЧёсК0Й силы- заданной на отрезке времени конечной длительности,
роенное таким образом решение имеет силу только на этом отрезке.
51
На основании этого получим следующий частный интеграл
уравнения (1), соответствующий вынужденным колебаниям:
sin (2/г — 1) со/
4Ф yi
Jim (2/г — 1) V[cog — (2/z — l)2co2]2 | 4 (2/i — l)2ft2co2
В частном случае, когда h = 0,
(7)
x =
sin (2/г — 1) со/
(8)
л/n (2/г—1) [cog — (2/г — 1)2со2]
Применение метода припасовывания (см. § 20) целесообраз-
но в тех случаях, когда функцию F(t) можно разбить на ряд
частей от 0 до Л, от до t2
и т. д. таким образом, что на
каждом отрезке времени лег-
ко построить интеграл уравне-
ния (1).
Воспользуемся этим мето-
дом для отыскания стационар-
ных колебаний консерватив-
ной системы (рис. 7) под дей-
ствием силы F(t), заданной
зависимостями (5) Диффе-
ренциальное уравнение движе-
ния (1)
действия
получает
для одного периода
вынуждающей силы
вид
Л' + (1>оХ = [
О
откуда
ф
— при
т 1
co
Ф (9)
------при
т
л t
со со
2зт
Общий интеграл для от-
резка времени 0 t sj — име-
со
ет вид
ф
х = cos + С2 sin Mot -|----------
mcog
(Ю)
х = — CjO)n sin <оо/ + C2to0 cos <j>ot.
(И)
52
Положим, что при стационарных вынужденных колебаниях,
которые установились еще до момента t = 0, начальные усло-
вия в момент t = 0 имеют значения х = х0 и х = х0, подлежа-
щие определению в ходе решения.
С учетом начальных условий выражения (10) и (11) полу-
чают вид
Ф
Х°' 2
nicojj
Ф
х0 —-----
, , Хо Ф
coso0r 4—— sin co„r 4---------,
“о mcop
w0 sin w0Z 4- x0 cos aot.
X =
(12)
х = —
Далее мы должны записать общий интеграл для отрезка
л , „ 2 л
t — и приравнять значения х и х в начале этого отрез-
со и
ка значениям х и х в конце предыдущего отрезка. С целью со-
кращения выкладок заметим, что функция F(t) на полупериоде
л , _ 2 л
— г <4—отличается только знаком от ее значения на полу-
со со
периоде 0 <1 t . В силу симметрии при установивших-
ся
ся вынужденных колебаниях условия в начале каждого из этих
полупериодов отличаются только знаком, т. е. при t =— имеем
со
х = —х0 и х = — х0*. Но эти начальные условия для второго
л _ , , 2 п
полупериода — t — являются конечными условиями для
со со
первого полупериода 0 / <2 —. Подставив их в равенства
. со
(12), получаем систему уравнений
Ф . лсоп
---— Sin
mcOp w
1 /, , лсо„ \
— 1 4- cos —— х0
соо \ со /
откуда
Хо — 0,
______
mco0 2со
(13)
Подставив значения (13) в первое равенство (12) и учтя
тмеченные выше соображения симметрии, получим искомый
При этом автоматически учитываются условия периодичности, состоя-
Равны Т°М’ ЧТ° значения х и х в начале и в конце периода соответственно
53
результат, соответствующий установившимся вынужденным ко-
лебаниям:
ф Г 1 I j \1
X = ------ 1 — sec------2- COS (At------®-
/пид L 2со \ 2w /J
ф “ J (14)
I 1 ЗТСОл / , ЕС СО л \ |
х =----------1 — sec-------- cos at-------—
mcog L 2<o \ 2cd / |
npn +
(D CD '
Зависимости (14) эквивалентны равенству (8), в чем можно
убедиться, разложив их в ряд Фурье. Они удобны, поскольку
дают решение в конечной форме. Оба вида решения действи-
тельны только для стационарных вынужденных колебаний. Они
недействительны при резонансах, когда
-^ = 2/i+l (н = 0, 1,2),
со
поскольку в консервативной системе колебания при резонансе
непрерывно возрастают. Равенство (8) показывает, что возра-
стают колебания только той гармоники, на которой осуществ-
ляется резонанс.
Метод вариации постоянных интегрирования универсален.
Он сводит задачу интегрирования неоднородного линейного
уравнения к квадратурам1. Пусть х((/) и х2(0 — два линейно-
независимых интеграла однородного уравнения (28) § 6. Его
общий интеграл, как известно, может быть записан в следую-
щем виде:
х = С1х1 (/) + С2х2 (/). (15)
По методу Лагранжа общий интеграл неоднородного урав-
нения (1) ищется в таком же виде, но С] и С2 рассматриваются
не как постоянные, а как подлежащие определению функции
аргумента (времени), т. е. C1 = u1(f), C2 = u2(t). Таким об-
разом,
* = (0 Хх (0 + и2 (/) х2 (/). (16)
Поскольку искомых функций две, можно подчинить их про-
извольному дополнительному условию, в качестве которого
удобно принять уравнение
ui (0 xi (0 + «2 (О х2 (О = 0- (17)
1 Этот метод пригоден для интегрирования любых линейных дифферен-
циальных уравнений любого порядка, в том числе с переменными коэффициен-
тами.
54
Подставляя в дифференциальное уравнение (1) выражение
/16) а также его первую и вторую производные, и принимая
во внимание условие (17), получаем
иг (О [*i (О + 2hxi (О + “о*1 (01 + «2 (01*2 (0 + 2Лхг (0 +
+ (00*2 (01 + и1 (0 Х1 (0 + и2 (0 *2 (0 = — F (0.
т
Выражения в квадратных скобках равны нулю, поскольку
Х1(0 и х2(0 являются интегралами соответствующего однород-
ного уравнения. Поэтому имеем
u1(0x1(0 + «2(0x2(0 = -J- F{t). (18)
т
Из системы двух уравнений (17) и (18) находим Ui(t) и
ii2(t) и, выполнив квадратуры, определяем искомые функции
их (0 = — — [---------/(г)*\(г)-------dz + Cl,
т У *1 (г) %2 (z) — %1 (г) х2 (г)
‘О
и2 (t) = — С-------. F^x\&---------dz + С2,
т У *1(г) х2 (г) — %! (г) х2 (г)
(19)
где CJh С'—постоянные интегрирования, значения которых
определяются начальными условиями.
Знаменатели подынтегральных, выражений не могут быть
нулями, так как Xi(0 и х2(0 линейно независимы. Поэтому
система уравнений (17) и (18) всегда имеет определенные ре-
шения. Нижний предел интегрирования t0 представляет собой
момент, когда к системе была приложена сила F(t), а верхний
предел t — текущий момент времени.
На основании равенств (19) записываем искомое выраже-
ние общего интеграла (16):
х = С1'х1 (t) + С2х2 (0 + — | F (г) [Л1 (г) %2--^ ~ (Z) А1 (— dz. (20)
т У *1 (г) х2 (г) — х2 (г) (г)
Если в уравнении (1) h = 0, то можно принять Xi(0 =
~ cos wo/, х2(0 = sin toot Тогда для начальных условий (7)
ь при t0 == 0 интеграл (20) приобретает вид
t
х~ x0costo0t 0- sin to,/-]—!— ( F (2) sin ton (/ — z) dz. (21)
<o0 ma0 J
0
55
Если, например, на эту систему при нулевых начальных ус-
ловиях в момент t = 0 начала действовать (см. рис. 22, б) сила
f (ф ПРП
| 0 при t >
то на основании зависимости (21) получаем для отрезка вре-
мени 0 t t\ следующий общий интеграл:
х = —-— f sin ©0 (I — z)dz = —— (1 — cos coo/);
J mwg
отсюда
Ф . .
X — ------sin m(Jt.
ma>0
Для времени t > имеем
x = xr cos co0 (t — tj) + -Д— sin coo (t — ZJ,
<o0
где
Ф Ф
=-------(1 — cos ciVi); xx = ----- sin .
muig ma>o
В промежутке времени 0 t t\ система колеблется около
нового положения равновесия, сдвинутого на величину стати-
ческой деформации под действием силы Ф,
Ф Ф
с амплитудой хст, так что хтах = 2хст и хт1п = 0. Движение си-
стемы при t > ti зависит от отношения Л к периоду собствен-
ных колебаний системы. Если 6 составляет целое число перио-
дов собственных колебаний ( четное число полупериодов—],
\ <ОО /
I 2fl JL i , р, , j j
т. е. ti =-- (п = 1,2,...), то при t > ti система останется непод-
важной, так как Xi = xt = 0 (см. рис. 22, в). Если Л равно
нечетному числу полупериодов собственных колебаний, т. е.
. (2п — 1)л , . ,
ti = —------— , то при t > ti система будет колебаться с наи-
со0
большей амплитудой ха = 2хст, что показано на рис. 22, г.
Если же имеет место промежуточный случаи, когда ------------— <
СО/)
. , . 2п л, ,
< ti < ---, то при t > ti система колеблется с амплитудой
0 < Ха < 2хст (рис. 22, д).
56
Б 1C ОБЩИЙ ПОДХОД К СОСТАВЛЕНИЮ
S ' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
С движением систем, обладающих одной степенью свобо-
пы мы знакомились по наглядным примерам. Для исследова-
ния систем с несколькими степенями свободы (с двумя и боль-
шим, но конечным числом степеней свободы) выберем
более общий подход. Возьмем систему, содержащую N
материальных точек. Их расположение определяют 37V декар-
товых координат этих точек в инерциальной системе отсчета:
х х2, •••’Уь У2’ У1*' 2ь 22’ Zn- Если на систему наложено
s независимых связей, ограничивающих ее движение, то она
будет обладать числом степеней свободы
n = 3N — s. (1)
Если связи стационарны, как мы будем принимать в даль-
нейшем, то они определяются уравнениями
fp (Xj, х2, .. ., xN, у1г у2, yN, zlt z2,. .., zN) = 0 (2)
(P = 1. 2, ..., s).
Можно выбрать любые п декартовых координат в качестве
независимых обобщенных координат системы. Они будут пол-
ностью определять ее положение, поскольку остальные s коор-
динат определятся через первые п уравнениями (2). Но можно
в качестве обобщенных координат взять любые иные с/г, (/ =
= 1, 2,...,/г), которые связаны с декартовыми координатами
зависимостями
Qi = *2- • • •. У±, уг, • • Уы, zx, z2>.. ., zN), (3)
(i = 1, 2, н);
здесь мы ограничиваемся стационарным преобразованием ко-
ординат, когда в правых частях уравнений (3) время явно не
присутствует.
Обобщенные координаты qi должны полностью определять
положение системы. Поэтому из п зависимостей (3) и s урав-
нений связей (2) могут быть определены все декартовы коор-
динаты
= Я* ’ ЯпУ
Ук^У/АЯ» Я» ЯпУ
zk = 72, . .., qk), (k = 1, 2, ..., N).
Движение
второго рода:
системы можно описать уравнениями Лагранжа
d dL dL
^~~dqi d^ = Qi
(i = 1, 2, ../г),
(5)
57
где L — функция Лагранжа, равная превышению кинетиче-
ской энергии системы Т над ее потенциальной энер-
гией П, т. е.
Ь = Т-П- (6)
Qi — обобщенные силы, определяемые по формулам
Qi = У +Yk-~ + Zk~^-} (7)
.MIX dq, dqi dqt J
*=l
(i = 1, 2, ..n).
В правой части уравнений Xk, Yh, — проекции равнодей-
ствующей непотенциальных сил, приложенных к k-ii матери-
альной точке системы. В случае свободного движения консер-
вативной системы, которое мы рассмотрим в первую очередь.
Qi = 0.
Кинетическая энергия системы может быть определена
формулой
N
т = ~гУ "Д (4 + yl + 4), (8)
где шк — масса k-ii точки.
Дифференцируя равенства (4), получаем
п п
Vdxk ;. х? dyk .
—4i< Ук— ▼ —Qi>
—A dQi ±шА dqt
i=l i=\
^=S\^L-4i- (9)
dqt
»=1
После подстановки выражений (9) в формулу (8) будем
иметь
п п
7’ = Т 7 В * (10)
/=Г
где ац = ац — коэффициенты, зависящие только от обобщен-
ных координат (или, в частности, постоянные).
Из формулы (8) следует, что кинетическая энергия всегда
положительна и обращается в нуль только при одновременном
обращении в нуль скоростей всех материальных точек системы.
В этом случае обратятся в нуль и 'все обобщенные скорости, в
чем можно убедиться, продифференцировав по времени зави-
симости (3). Поэтому квадратичная форма, стоящая в правой
части выражения (10), положительно определенная. Следова-
тельно, ее коэффициенты ац удовлетворяют критериям Силь-
58
оа согласно которым должны быть положительными опре-
Вщ1итель и все диагональные угловые миноры матрицы коэф-
фициентов
а11 а1Ч • а1п
£Zgl G22 • • • ^-2л
®п1 ^п2 • • • ®ПП
0;
ап ... а1п
ani... ипп
(12)
а11 а12
^21 ®22
Свободные колебания могут совершаться только около по-
ложения устойчивого равновесия. Существует три вида равно-
Рис. 23
весия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Примеры ус-
тойчивого равновесия показаны на рис. 23, а и г (тяжелый
шар во впадине и маятник в нижнем положении), неустойчи-
вого — на рис. 23, б и д (шар на вершине бугра и маятник в
верхнем положении), безразличного — на рис. 23, в (шар на
горизонтальной поверхности).
Система, выведенная из положения устойчивого равновесия,
вообще говоря, не слишком далеко, возвращается к нему. Си-
стема, выведенная из положения неустойчивого равновесия,
отклоняется от него еще больше. Система, несколько отклонен-
ная от положения безразличного равновесия, остается в этом
новом положении.
Потенциальная энергия системы может быть представлена
Функцией обобщенных координат
n^Il{qiqi......<?„). (13)
При равновесии в консервативной системе ее потенциаль-
ная энергия имеет экстремальное значение, т. е.
=0; =0; ....
\ 1 q.=q^ \ dq2 / q.=qW
где qW) — обобщенные координаты положения равновесия.
59
Согласно теореме Лагранжа — Дирихле, положению устой-
чивого равновесия консервативной системы соответствует ми-
нимум потенциальной энергии.
Приняв в качестве начала отсчета обобщенных координат
положение устойчивого равновесия, т. е. qW = 0, (i = 1, 2, ..., п).
разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора около этой
точки:
п п
Л.Л».+^4а + 1^^Ш+.„ (15)
Z=1 Z=1 j=\
Потенциальная энергия определяется с точностью до посто-
янного слагаемого. Равенства (5) показывают, что эта адди-
тивная константа не играет роли при составлении уравнений
движения. Поэтому примем, что величина потенциальной энер-
гии в положении устойчивого равновесия равна нулю, т. с.
77<О> = 0. Коэффициенты kt при первых степенях обобщенных
координат тоже равны нулю, так как
, ( дП \
kt = ( ---
\ dqt hr0
Линейные системы не содержат в разложении потенциальной
энергии членов выше второй степени относительно обобщенных
координат. В случае малых1 * колебаний нелинейных систем
около положения устойчивого равновесия членами выше второй
степени нередко можно пренебречь как малыми высших поряд-
ков, если не все коэффициенты квадратичных членов равны
нулю. Итак, потенциальная энергия будет выражаться квадра-
тичной формой
п п
п = v Уд Уд kucliQp (kn = ka)’ (16)
Z=1 /=1
причем это положительно определенная квадратичная форма,
что вытекает из теоремы Лагранжа — Дирихле. Поэтому коэф-
фициенты kij удовлетворяют критериям Сильвестра, т. е.
(17)
Выше отмечалось, что коэффициенты квадратичной фор-
мы обобщенных скоростей в выражении кинетической энергии
(10) в общем случае зависят от обобщенных координат. Раз-
1 Имеются в виду величины, малые по отношению к единице. Такое рас-
смотрение имеет смысл, когда малая величина безразмерна. Так, 1 мм пред-
ставляет малую величину 10-3, если единица измерения — метр, но он является
большой величиной 103, если в качестве единицы измерения принят микрон.
60
дожив
их в ряд Тейлора около точки устойчивого равновесия,
получим
p=i
(18)
у линейных систем в этом разложении присутствует только
постоянный член При малых колебаниях нелинейных си-
стем членами, содержащими обобщенные координаты в степе-
ни начиная с первой, нередко можно пренебречь, как малыми
высшего порядка. В дальнейшем принимаем щ, = const.
Подставив в выражение функции Лагранжа (6) значения
кинетической и потенциальной энергии из зависимостей (10) и
(16) и произведя предусмотренные уравнениями (5) операции
дифференцирования, получим следующую систему дифферен-
циальных уравнений движения:
У «,•/?/ +2 kiiq' = = 2’ • ’ ” (19)
/=1 /=1
Диссипативные силы можно учитывать при подсчете обоб-
щенных сил по формулам (7) и пользоваться уравнениями (5).
В линейных системах возможен и другой способ составления
уравнений движения. Строится диссипативная функция или
функция рассеяния, представляющая собой положительно опре-
деленную квадратичную форму обобщенных скоростей
1 л "
ф = V 2 > (ba = bji), (20)
z=i /=i
частная производная которой по какой-либо обобщенной ско-
рости, взятая с обратным знаком, представляет собой соответ-
ствующую данной обобщенной координате диссипативную
силу В:
=-----|^,(г= 1, 2, .... п). (21)
В таком случае вместо уравнений (5) можно пользоваться
Дифференциальными уравнениями в следующем виде:
~ ~---------= Qif (i = 1, 2............п)-, (22)
dt dq, dqi dqt
здесь обобщенные силы Qi зависят только от времени.
Поскольку диссипативная функция является положительно
определенной, коэффициенты bij удовлетворяют критериям
'-ильвестра, т. е.
buZ >0, М>12 > 0 . bin >0. (23)
^21^22 Ьп1 Ьпп
61
Произведя операции, указанные в левой части выражений
(22), получим систему дифференциальных уравнений
2 аЧ qi + 2 bi'q> + S kiiqi =
i=i i=i i=i
(t = 1, 2, ...,„).
(24)
§ 11. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ И НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
При свободных колебаниях консервативной системы правки
части уравнений (19) § 10 равны нулю: Q; = 0, (i = 1, 2, ..., п)
Движение в этом случае описывается системой п обыкновен-
ных однородных линейных дифференциальных уравнений вто-
рого порядка
и п
i=i /=1
(1=1,2.....п; О.;; = a.-;', k:: = k::)
или в развернутом виде
а11?1 + й12?2 + • - - + й1п9л + ^1191 + ^12^2 + • • • + KnQn = 0, ]
a21Ql + Й22?2 + • • • + й2п9пН ^2191 + &22?2 + • • + k^n = (
(2)
йп1^71 Д йп2^2 Д • • 'I ^nnQn Д^и2?2 Д - • • Д ^ппЯп —
Такой системе дифференциальных уравнений удовлетворя-
ют частные интегралы
Q,-= Л(-cos (□/— <р), (1=1, 2,..., н). (3)
Подставив в дифференциальные уравнения (2) выражения
обобщенных координат (3) и вторых производных, получим
систему и алгебраических однородных линейных уравнений
относительно коэффициентов Л<:
(^и - «п^2) А± + (^12-о12Пг) АН-... + (kln-aln^) Ап = 0,
(^21 й21^2) (k2i а22^2) • • • + (^2п йгп^2) = 0»
(6П1 - цп1П2) Л1+(^2-дп2Ог) Л2+ ... + (knn~ann^) Л„=0.
Известно, что необходимым и достаточным условием наличия
ненулевых решений такой системы уравнений является равен-
62
стВ0 нулю ее определителя
— °и^2 ^12 й12122 .. . kln
&21 -- П21£22 k 22 6'22£22 • ^2n ^2n^2
kni — aniQ2 kn2 — anz®-2 ...knn — ann&.
(5)
Выражение (5) представляет собой уравнение n-й степени
относительно квадрата частоты £22. Решая его, получаем п квад-
ратов собственных частот (£2Ь £22, —, £2П) исследуемой механи-
ческой системы. Выражение (5) носит название характеристиче-
ского уравнения1. В данном случае все корни £22 характеристи-
ческого уравнения действительные неотрицательные. Каждому
значению квадрата частоты соответствуют два значения частоты
= ± ]/ £2? . Мы будем брать только положительные значе-
ния, поскольку отрицательные частоты дополнительной инфор-
мации о колебательном движении не дают: они эквивалентны
положительным при соответствующем подборе начальных фаз 2.
Возьмем случай, когда все собственные частоты различны:
£21 £22 £2з *4 — *4 £2И.
На основании сказанного общие интегралы системы (2) мо-
гут быть представлены в виде
q1=41cos(£212—<p1)+42cos(Q22—<р2)+...+Л1„соз(£2„2—<р„),
<7г=c°s (£V~<Pi)+42 cos (£22/—<р2)+...-г Лп cos (Qnt—q>„),
cos (£2XZ—<px)+AnZ cos (£2,2—<₽,)+...4- Ann cos (Q„2—<p„).
Первый индекс i в Ац обозначает номер обобщенной коорди-
наты, второй индекс /—-номер собственной частоты.
Решение (6) содержит п2 величин Д;, и п величин q?-, т. е.
всего п(п + 1) постоянных. Начальные условия qi0 и qi0 дают
только 2н уравнений для определения этих постоянных. Следо-
вательно, требуются еще п(п—1) дополнительных условий,
-эти условия легко найти, рассматривая структуру системы
Уравнений (4), в которой один3 из коэффициентов, например
Дь может быть взят произвольно. Тогда остальные единствен-
ным образом определятся через коэффициент Ль Разделив по-
членно левые части уравнений (4) на Д, и обозначив а2 = —,
----------- Аг
„„„ встречаются также названия «вековое уравнение», «уравнение частот».,
«секулярное уравнение».
необ В § было показано, что знак угловой частоты (угловой скорости)
Жения'ДИМ0 УЧНТЬ1Вать ПРИ рассмотрении периодического вращательного дви-
При наличии равных собственных частот — более чем один.
63
A A • A
аз at =—-,a,i = —можем определить эти n—1
A A
величин at (i = 2, 3, Ho Q может принимать n значений:
Qi, Q2, Q3, .... Qn- Это определяет n значений каждого из
коэффициентов а,-, т. е. а®, ..., ain. Так мы получаем п(п — 1;
значений сщ:
= = (7)
(t = 2, 3, ..., п; / = 1, 2, .. п).
Индексы г и s показывают, что имеется в виду вся совокуп-
ность коэффициентов k и а. Отношения ац называются коэффи-
циентами распределения.
Теперь решение (6) можем переписать следующим образом:
<71=711 cos(tV—фО+Лcos(£V—<Р2)+- • -+Tl„cos(Q„Z—<р„); 1
q2 = 4“21 cos — <p1) + A2a22 cos (Q2Z — <p2)
+ Ana2n cos (Q.nt — <p„);
qn = Л1«п1 cos (Gj/—ЧТ) + A2an2 cos (Q2t — <p2)
+ A,a„„cos(£V — <p„).
Обратим внимание на то, что индексы при коэффициенте А
отвечают номерам собственных частот в отличие от индексов в
выражениях (3) и (4), отвечавших номерам обобщенных коор-
динат. Теперь произвольные постоянные Aj и <р3 (их всего 2п)
можем определить через 2п начальных условий qi0 и qi0. Реше-
ния (8) позволяют отметить следующие коренные особенности
свободного движения консервативной системы около положе-
ния устойчивого равновесия.
1. Движение, соответствующее каждой из координат, пред-
ставляет собой суперпозицию (наложение) п синусоидальных
колебаний различных (в общем случае) частот, т. е. система
имеет п собственных частот, определяемых ее параметрами
и не зависящих от начальных условий.
2. Колебания любой координаты q, по / й собственной часто-
те совершаются либо в одинаковой фазе (если ац > 0), либо
в противофазе (если ац < 0) с координатой qx.
3. Если известна амплитуда колебаний какой-либо коорди-
наты на одной из собственных частот, то известны и амплитуды
колебаний всех остальных координат на той же частоте, так как
они связаны между собой коэффициентами распределения, не
зависящими от начальных условий.
Можно так подобрать начальные условия, что амплитуды
колебаний по всем частотам, кроме одной, будут равны нулю.
64
Система в этом случае будет совершать одночастотные, т. е.
лнусоидальные колебания. Такие колебания называются глав-
Сыми колебаниями. Система имеет п главных колебаний '. Каж-
ое из них характеризуется своей формой, полностью опреде-
ляемой соответствующими данной частоте коэффициентами
г аспределения и не зависящей от начальных условий. Формы
гчавных колебаний называют собственными формами системы.
Итак, в общем случае собственные колебания оказываются
многочастотными. Это объясняется связанностью принятой
системы обобщенных координат. Координаты связаны,— это
значит, что не могут осуществляться свободные колебания од-
ной координаты без того, чтобы не колебались другие, связан-
ные с нею. Представляет интерес определение так называемых
нормальных (т. е. взаимно ортогональных) 2 координат, колеба-
ния которых не были бы связаны.
Нетрудно заметить, что связанность собственных колебаний
вызвана связанностью дифференциальных уравнений (2). Так,
например, первое уравнение связано со вторым уравнением
членами, содержащими коэффициенты а12 = а21 и ki2
Если произвести линейное преобразование обобщенных
динат
— fei-
коор-
Qi = gn(h + gi2fh + • - + ginqn
(i — 1, 2, ..., n),
(9)
которое приведет к исчезновению коэффициентов ац и кц с
неравными индексами i /, то вместо системы уравнений (2)
получим п несвязанных линейных дифференциальных уравнений
a'iq\i + к\д\ =0, (i =' 1, 2, . .п). (10)
Теперь отпадает необходимость двойных индексов: а'. =
~а'ц, К = k'u. Дальше все чрезвычайно просто: по каждой из
нормальных координат система ведет себя так, как если бы она
обладала только одной степенью свободы, соответствующей
Данной координате.
Преобразование (9) приводит квадратичные формы (10) и
(*6) § Ю, представляющие собой выражения кинетической энер-
гии через обобщенные скорости и потенциальной энергии через
сообщенные координаты, к так называемому каноническому
Квадратичная форма в каноническом виде представляет
обои сумму квадратов переменных, умноженных на постоянные
ния» ^Ногда вместо термина «главные колебания» пишут «собственные колеба-
Могут 4fi ° вносит путаницу, так как собственные колебания, как мы видели,
ными , Л,1Д многочастотными. Иногда главные колебания называют нормаль-
" колебаниями.
ногда их называют главными координатами.
О Заказ 150
65
коэффициенты, но не содержит членов с произведениями
переменных
п п
г-фУ^й'; л-фУйй1. (in
/=1 <=1
Собственные частоты системы не могут зависеть от выбора
системы координат, так как определяются параметрами систе-
мы. Поэтому искомые нормальные координаты зависят от
времени следующим образом:
q't = At cos (£lit — <pz), (i = 1, 2.n). (12)
Подставив равенства (12) в систему уравнений (8), получим
Qi = <71 + + • • + <7п,
<?2 = а21</1 ФИ22<?2 Ф" . . . ф" СХ2п<7п> (13)
Чп = + Мг + - - • + annq'n.
Решив систему уравнений (13) относительно q'{ , получим
искомые преобразования (9). Нормальные координаты сильно
упрощают исследование движения системы, но их отыскание не
менее трудоемко, чем непосредственное решение в исходной си-
стеме координат qi.
Изложенное становится более наглядным для системы с
двумя степенями свободы. Кинетическая и потенциальная энер-
гия здесь определяются выражениями
Т = (aiq\ + 2а12д^2 ф- ад1),
, (И)
77 = — (krf2 ф- 2^129i^a ф- k2q%),
(так как a12 = йгь ^12 = ^21), причем критерии Сильвестра дают
зависимости
tz1 > 0; о1о2— 012 >0; К > 0; — k2l2>0. (15)
Дифференциальные уравнения свободных колебаний получа-
ют вид
а1<71 Ф" G12?2 Ф" ^1<71 “Ь ^12<?2 = (|g)
«12<71 Ф- °2<?2 + ^12?1 Ф- ^2 = 0.
Подставив сюда интегралы типа (3), получим
(&! — а/22) Аг ф- (&12 — а12П2) Л2 = 0, 1 17)
(*12 - Я12Й2) + (Ъ - А2 = 0; I
66
отсюда характеристическое уравнение
(k, - C1Q2) (k2 - а2О2) - (Z>12 - a12fi2)2 = 0, (18)
вадратное уравнение относительно fi2. Решая его, находим два
корня Q j и fi2- Оба они действительные положительные.
Общий интеграл представим таким образом:
91 = В1СО5(П^ —(p^ + BgCos^ —<р2), (19)
q2 = 1)^ cos (fi^ — <Pj) + В2а2 cos — Фг)> I
где коэффициенты распределения
_ _ *12-а,2й! .
CXj — — ,
k!2-ai2Dl k2~~a2^ (20)
а = _ fel~aiQ2 fe12 ~ °12Q2
&12 — а12^2 ~~ °2^2
Произвольные постоянные В\, В2, cph <р2 можно определить
через начальные условия qi0, ql0, Яж, <7го-
Связанность дифференциальных уравнений (16) обусловли-
вается членами, содержащими а12 и k\2. Выражения
Хв=—Хй=-Л^- (21,)
V а1а2 Г «1^2
называются коэффициентами связи. Первый определяет инерци-
онную связь, второй — позиционную. В диссипативных системах
могут появляться коэффициенты диссипативной связи. Чем
больше абсолютные величины коэффициентов связи, тем силь-
нее связаны обобщенные координаты. Вообще коэффициенты
связи лежат в пределах —1 <% < 1- При % = 0 связь отсут-
ствует.
Нормальные координаты (12) определим, решив систему
Я1 = Я\ + Q2, , )
q2 = a±q'i + а2д2, J
представляющую собой частный случай системы (13).
В данном случае
' a2?i—9г ' а191 — ?2 ,по\
<71 =--------- , <?2 = --- - (213)
сц — а2 ai —• а2
Рассмотрим в качестве примера схему, показанную на
с. 24, а. Здесь два элемента 1 и 2, обладающие массами тх и
сти Связаны между собой пружиной 3 с коэффициентом жестко-
с С2’ Элемент 1 связан также с неподвижной стойкой 4 посред-
НЬ1ем пРУжины 5, коэффициент жесткости которой Сь Идеаль-
направляющие 6 допускают движение только по горизон-
67
тали в плоскости чертежа. В качестве обобщенных координат
Xi и х2 примем отклонения (например, вправо) соответственно
элементов 1 и 2 от положения устойчивого равновесия.
Запишем выражения кинетической и потенциальной энергии
этой системы:
Т = (m1x2i + т2х|);
п = — [c^i + С2 (*г — *1)21
Подставив эти выражения в равенство (6) § 10 и выполнив
необходимые действия согласно формулам (5) § 10, получим
Рис. 24
дифференциальные уравнения движения:
т1х1 + (с1 + с2)х1 — с2х2 = 0, | (24)
/Т12Х2 ~j— С^Х^ ~ С^Х^ — 0, /
здесь П] = Ш\', а2 = tn2~, G12 = 0; k\ = Cj + с2, k2 = с2, k\2 = —с2.
Система имеет только позиционную связь. Коэффициент
связи
у = ___ ~ Сг = — 1 /Л______— .
V (С1 I' Cs) V Сг + С2
Характеристическое уравнение запишем по формуле (18)
(сх + с2 — т^О.2) (с2 — m2Q2) — с2 = 0,
или
— [(Cj + с2) m2 + L>2 ф- сгс2 = 0;
отсюда
Q2 _ (сх + С2) + c.2m! ф V (с1 + с2)2т22 + с%т21 — 2(ct— с2)
2пг1яг2
68
Коэффициенты распределения находим по формулам (20):
С1 + С2 ~ + С2 — т,Ы|
При начальных условиях х{ = х10, х2 = х20, Xi = х2 = 0 при
t __ о интеграл нашей системы дифференциальных уравнений
в соответствии с формулами (19) принимает вид
Х1 = A C0S + A C0S “2b
X2 = 7 ЧК1 COS + AK2 C0S
где
(t] 4- C2 *10 — ^2^20
/4 j = '
,fll (^2 — ^1)
(t| + CZ x10 c2x20
2’0 — ---------------------- .
Нормальные координаты x[ и x2' в соответствии с равен-
ствами (23) определяются такими же зависимостями, как At
и А2, но в правых частях необходимо заменить х10 и х20 на
текущие значения координат X] и х2.
В качестве второго примера возьмем схему (рис. 24,6), ко-
торая отличается от предыдущей только тем, что элемент 2 сое-
динен с неподвижной стойкой 7 посредством пружины 8, коэф-
фициент жесткости которой с3. Обобщенные координаты xt и х2
возьмем такие же. Выражение кинетической энергии не изме-
нится. Потенциальная энергия определяется выражением
П = [c^i + с2 (х2 — хД2 + с3х2].
Дифференциальные уравнения свободных колебаний имеют
вид
ni1x1 + (И + с2) X] — с2х, = 0;
tn2X2 4“ (f3 “В С2) Х2 С2Х1 —- 0-
с целью упрощения примем т} = т2 = т, С] = с3 = с, с2 =
Со и с учетом этого перепишем уравнения:
тх± + (с + Ср) xt — с0х2 = 0;
тх2 + (с 4- с0) х2 — с()х1 == 0.
Связь, как видим, только позиционная. Коэффициент связи
Хс =
с + с0
69
Характеристическое уравнение
с + с0 — mQ2 —с0
—с0 с + с0 — m22
= О
или
отсюда
m2Q4 — 2 (с + с0) m22 + с (с ф- 2с0) = 0;
Коэффициенты распределения сц = 1; а2 = —1. Общий инте-
грал представлен зависимостями
хг — /Ц cos (£V — <fi) + Acos (^ — Фг)>
x2 = cos — <Pi) — A2 cos (Q2t — <p2).
Следовательно, первая собственная форма колебаний пред-
ставляет собой синфазные колебания элементов 1 и 2, а вторая
форма — их противофазные колебания.
Нормальные координаты
*1 = Y (Х1 + Х2==~Г~ Л’2)
могут быть легко интерпретированы физически: х[ представ-
ляет собой перемещение центра тяжести системы, а х? — полови-
ну относительного перемещения элементов 1 и 2 или удаление
любого из элементов от центра тяжести системы.
Примем начальные условия: х} — 2а, х2 = 0, х, = х2 = 0
при t = 0. Тогда движение нашей системы определится выра-
жениями
Xj = a cos Qtt + a cos П2/,
хг = a cos — a cos H2t.
Если to с, то собственные частоты Q] и Q2 близки одна к
другой, и свободные колебания х{ и х2 будут носить характер
биений, что показано на рис. 24, в (колебания хф и на рис. 24, г
(колебания х2).
Этот пример показывает, что при собственных колебаниях
систем со многими степенями свободы может осуществляться
периодический обмен энергией между степенями свободы, когда
колебания одной координаты усиливаются за счет ослабления
колебаний другой.
Вынужденные колебания консервативной системы с двумя
степенями свободы обследуем для случая, когда обе обобщен-
ные силы Qi в уравнениях (5) § 10 представляют собой син-
хронные синусоидальные функции QiCOswZ и Q2cosw/, где Qi
70
q2 _ амплитуды сил. Уравнения движения запишутся в сле-
дующей форме:
~Ь ^i2?2 Н- ^iQi ~Ь ^12^2= Qi eos со/, (26)
«12<? L ^2?2 ~Ь 12*71 ^2^2 ~ ^2 COS (i)t.
Частные интегралы, соответствующие установившимся вы-
нужденным колебаниям, ищем в виде
= Х± cos со/, q2 = Х2 cos со/.
(27)
Подставив их в дифференциальные уравнения (26), получим
систему линейных относительно Х{ и Х2 уравнений:
Xi (&1 — Gi®2) + Х2 (^12 — Gi2c°2) = Об | /28)
Xi (/?12 — cz12co2) + Х2 (k2 — а2со2) = Q2, )
решая которую, находим
Ql &12 — #12^2
С?2 &2---------------Cl2^2
1^ — OjCO2 &12 — flj 2<02
1^12 - ^2 tZgCO2
ki — a±(i)2 Qx
^Х2 —' ^12^2 0.2
|йх — ах(&2 k12 — 012<°2|
I&12 — О12<02 k2 — а2<&2 I
(29)
Когда знаменатели правых частей выражений (29) стремят-
ся к нулю, абсолютные величины Л) и Х2 становятся, вообще
говоря, неограниченно большими, т. е. наступает явление резо-
нанса. Но, приравнивая нулю эти знаменатели, мы получаем
характеристическое уравнение (18), которое обращается в нуль
только при ю = Qi и со = П2- Следовательно, резонанс в кон-
сервативной системе может наступить, когда частота вынуж-
дающей силы равна одной из собственных частот системы.
В отличие от системы с одной степенью свободы, в системах
со многими степенями свободы возможны частные случаи, когда
отдельные резонансы не наступают. Это происходит при одно-
временном равенстве нулю как знаменателя, так и числителя
в правой части одного из выражений (29). При этом неизбежно
становится равным нулю числитель и во втором выражении.
Вспомнив равенства (20), мы убеждаемся, что числители ста-
новятся равными нулю при выполнении одного из условий:
= — cq при со — Qj и = — а2 при со = Q2.
Ч2 Q2
Но, как ранее отмечалось,
где первый индекс показывает номер обобщенной координаты,
второй — номер собственной частоты, которой соответствует
71
данная «амплитуда» 1 собственных колебаний А. Подставляя
отсюда значения сц и а2 в условия (29), получаем
Q1A1 + Q2A2 = 0 при и = Qv 1
QM21 + Q2A22 = 0 при w = Q2. J
Если «амплитуды» свободных колебаний и А12 считать
компонентами одного вектора, а «амплитуды» 2 вынуждающих
сил Qi и Q2— компонентами другого вектора, то первое равен
ство (30) представляет собой условие ортогональности векторов
(Qi, Q2) п (Лц, Л12). Второе равенство дает условие ортогональ-
ности векторов (Qi, Q2) и (A2i, Л22). Физически это значит, что
сумма работ вынуждающих сил на перемещениях при собствен
ных колебаниях (ведь речь идет о случаях, когда частота вынуж-
дающей силы равна одной из собственных частот) равна нулю,
т. е., несмотря на наличие вынуждающих сил, энергия системы
остается неизменной. Поэтому амплитуды колебаний остаются
ограниченными и резонанс не наступает.
Другой важной особенностью систем со многими степенями
свободы является возможность обращения в нуль одного и;
числителей правых частей выражений (29) при частоте, отлич-
ной от собственных частот системы. При этом знаменатель не
равен нулю. В таком случае соответствующая координата не
участвует в вынужденных колебаниях системы и остается неиз-
менной. Наступает явление так называемого антирезонанса, или
динамического поглощения (гашения) колебаний3. Антирезо-
нансу соответствует минимум на амплитудно-частотной харак
теристике, в консервативной системе равный нулю. Такое явле-
ние в системах с одной степенью свободы наблюдаться нс
может.
Остановимся кратко на диссипативных системах. Если в
системе развиваются диссипативные силы, то для случаях двух
степеней свободы диссипативная функция (20) § 10 получа-
ет вид
Ф = у (Ь1Ф + 2й12ад2 + М2). (31)
Дифференциальные уравнения свободного движения, пред-
ставленные в общем случае выражениями (24) § 10, запишем
таким образом:
aiQi 4* 4- 44w/2 4" + ^i2Q2 = 0, 1
«12<А + «2<?2 4- 4- b2q2 + k12qt + k2q2 = 0.1
1 Слово «амплитуда» взято в кавычки, так как А,,- равны амплитудам
с точностью до знака, поскольку Atj могут быть как положительными, так
и отрицательными.
2 Они тоже могут быть получены с точностью до знака.
3 См. § 14.
72
Интеграл линейных уравнений с постоянными коэффициен-
тами всегда можно искать в форме 1
= А^. (33)
Подставив его в левые части уравнений (32), получаем си-
стему однородных линейных уравнений:
(01ьу2 +/цю 4-/г,) + (п12ьу2 -|-+/г12) Л2 = 0, )
(о12шг + b12w + /г12) Д4 + (a2w2 + b2w + k2) А2 = 0, )
которая допускает ненулевые решения только при условии
a±w2 + bxw + kx a12w2 + b12w + k12 = 0
a12w2 + b12w + kl2 a2w2 4- b2w 4- k2
Последнее представляет собой характеристическое уравне-
ние, решая которое, находим четыре (вообще говоря, различ-
ных) значения иц, щ2, w3 и о>4. Из любого уравнения системы
(34) находим отношение Д2:ДЬ т- е- коэффициенты распределе-
ния для найденных четырех корней w. аь а2, аз, а4. Коэффициен-
ты распределения, соответствующие комплексным корням харак-
теристического уравнения, тоже представляют собой комплекс-
ные величины. Теперь записываем общий интеграл уравне-
ний (32):
+ A2eWzt + А3е™>‘ + А^, |
q2 = А 4- A2a2eWit + Asasew^ 4- Д1а4еЕ’*<. |
Корни характеристического уравнения (35) могут быть
действительными неположительными или комплексными попар-
но сопряженными с отрицательными (или в частных случаях
нулевыми) действительными частя-ми. Каждому простому дей-
ствительному корню соответствует частное решение типа одного
из слагаемых правых частей (36). Двум равным действитель-
ным корням соответствует сумма двух частных решений типа
(51) § 6. Если кратность корня Wi выше двух, например s в си-
стеме со многими степенями свободы, то частные решения имеют
вид
Axewtt + A2tewf + Ast2ewit 4- ... 4- Asts~xewi*. (37)
Паре простых (некратных) сопряженных корней соответ-
ствует сумма двух решений типа (30) § 6. Пусть корни гщ =
~ и + iv, w2 = и — iv. Сумма двух частных решений соглас-
но выражению (33) будет
= Д1е“'1< + ДгеШг<,
q2 = А^е^ 4- А2а2е^-‘.
Показать это можно следующим образом. Коэффициенты ai
аг в этом случае будут тоже сопряженными комплексными ве-
Для некратных корней характеристического уравнения.
73
.личинами: сц = х + iX, az — x — t’X. В качестве произвольных
постоянных также берем комплексные сопряженные величины
Ai (ci—fc2). А2 = (ci + 1с2). Мы имеем право сделать
это, так как произвольно выбираются всего две постоянные:
С1 и С2.
Подставим все величины в наше решение:
qi=eul [~2~ (Ci—ic^eivt+<Ci+ic^=
= eut (сх cos vt + с2 sin vt).
Последнее преобразование сделано на основании форму-
лы (8) § 2.
9г = е“‘ (сх — ic2) (х + /X) eivt + (q + tc2) (х — iX) e~‘vt =
= eut [(сpc + c2K) cos vt + (c2x — c1X) sin n/J.
Итак, решение получено в действительной форме. В отличие
от свободных колебаний консервативной системы, разность фаз
колебаний координат вообще не равна 0 или л.
Если действительная часть пары сопряженных корней харак-
теристического уравнения равна нулю, т. е. корни чисто мнимые,
то сумма двух частных решений имеет форму (6) § 6. Если со-
пряженные корни s-кратные (для системы со многими степе-
нями свободы), то соответствующее s корням решение имеет вид
q = eut (сг cos vt + с2 sin vt + cst cos vt 4- c4/ sin vt 4-
+ cs/2 cos vt + c6t2 sin vt 4- ... 4- c?2s—i /’-'cos и/4-см/®—' sin vt). (38)
При вынужденных колебаниях линейной системы с двумя
степенями свободы в случае синусоидального синфазного возбуж-
дения дифференциальные уравнения движения запишутся сле-
дующим образом:
«191 + qi2<72 + ^i9i + b12q2 + klq1 -j- k12q2 = Q1 cos co/,
«1291 + o292 + b12q± + b2q2 4- k12qr 4- k2q2 = Q2cosco/.
(39)
Частный интеграл, соответствующий установившимся вы-
нужденным колебаниям, ищем в форме, аналогичной выраже-
нию (19) § 7:
с/, = Л, cos со/ + ТЕ sin со/, ] , й Л.
I (40)
9г — ^2 cos + В2 sin со/. J
Для определения А2, Вх, В2 подставляем выражения (40)
в уравнения (39) и приравниваем коэффициенты при косинусах
74
инусах в правых и левых частях каждого из полученных ра-
венств. В результате образуется система уравнений:
(ki — А + (&12 — й12®2) Аг + Ь1аВ1 ф- Ь12аВ2 = Qx;
(k12 — <312“2) А1 + (fe2 — Й2“2) А2 + ^12Ю^1 ф- ^2(йВ2 = Qi'
— — 612“Л ф- (fii — g#2) Вх ф- (&12 — а12со2) В2 = 0;
— 612<оД — 62С0Д2 + (&12 — Н12®2) В1 + (&2 —- G2“2) fi2 = °>
пешая которую, находим искомые коэффициенты.
1 Вынужденные колебания одной координаты, вообще говоря,
сдвинуты по фазе относительно колебаний другой координаты,
что отличает диссипативные системы от консервативных. Вто-
рым отличием диссипативных систем является притупление или
отсутствие явлений резонанса, подобно тому, как указывалось
в § 7 для систем с одной степенью свободы. Третьим отличием
является притупление или отсутствие антирезонанса, если он
имеет место при снятии диссипации.
§ 12. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
До сих пор речь шла о дискретных системах, состоящих из
отдельных строго разграниченных элементов, причем каждому
элементу приписывались свойства либо только инерционности
(например, материальная точка или неизменяемое твердое те-
ло), либо только упругости (например, пружина), либо только
вязкости (например, демпфер). Теперь мы бегло рассмотрим
колебания некоторых континуальных, т. е. непрерывных систем,
у которых инерционные, упругие и'диссипативные свойства рас-
пределены по всему пространству, занимаемому системой. Каж-
дый условно выделенный элемент, сколь бы малым он ни был,
является носителем всех присущих системе свойств. Поэтому
принято говорить, что система обладает распределенными пара-
метрами, в отличие от дискретных систем, у которых параметры
(масса, коэффициент жесткости, коэффициент сопротивления)
сосредоточены в отдельных элементах. Механические системы
с распределенными параметрами называют также сплошными
телами или сплошными средами, чем подчеркивается контину-
альный характер таких систем.
Чтобы знать состояние системы с распределенными пара-
метрами в какой-либо момент времени, необходимо знать со-
стояние всех ее точек в этот момент, а таких точек бесконечное
множество. Иногда говорят, что система с распределенными па-
раметрами обладает бесконечно большим числом степеней
воооды. Математическим аппаратом, пригодным для описания
ких систем, являются дифференциальные уравнения в част-
Кых производных.
75
Системы с распределенными параметрами можно подразде
лить на одномерные, двухмерные и трехмерные. Конечно, реаль-
ные тела всегда имеют три измерения, но во многих случаях, ког-
да протяженность в одном или в двух измерениях резко преоб-
ладает или когда состояние вдоль одной координатной оси' или
двух осей достаточно для описания поведения системы, такая
схематизация вполне уместна. В качестве примеров одномерных
Рис. 25
систем можно привести струну
и стержень, двухмерных си-
стем — мембрану и пластину.
Для систем с распределен-
ными параметрами характер-
но, что упругие колебания в них
связаны с распространением
волн, представляющих собой
в случае механической систе-
мы распространение деформа-
ций в теле (системе). Это мож-
Рис. 26
но проиллюстрировать на примере струны, которую мы пред-
ставляем как идеально гибкую нить (в ней не возникают напря-
жения изгиба), находящуюся под натяжением. Сообщим струне
деформацию в поперечном направлении, придав ей на уча-
стке 123 форму, показанную на рис. 25, а. Этого можно достичь,
оттянув струну в поперечном направлении в точке 2, предвари-
тельно установив в точках 1 и <3 колышки, которые предотвра-
щают деформацию (в поперечном направлении) остальных ча-
стей струны. Затем одновременно отпустим точку 2 и вынем ко-
лышки в точках 1 и 3. По струне побегут волны, вправо и
влево.
Снимки участка струны в ряд последовательных моментов
времени представлены сплошными линиями на рис. 25, б. Пунк-
тиром обозначены вспомогательные построения.
76
Составим дифференциальное уравнение поперечных колеба-
ий струны при следующих предположениях: струна идеально
Нибка и совершает малые поперечные колебания в одной пло-
скости; масса струны равномерно распределена по ее длине;
диссипация энергии отсутствует.
Д В положении равновесия натянутая струна располагалась по
оси х (рис. 26). Затем участок струны был оттянут в плоскости
чертежа по направлению оси у, образовав криволинейный уча-
сток, показанный на рисунке. После снятия внешнего воздей-
ствия, что происходит в момент времени t = 0, струна начинает
совершать свободные колебания.
Отклонение точки струны с абсциссой х в момент времени /
представляет собой функцию у = у(х, t), вид которой нам пока
неизвестен. Силу натяжения струны обозначим буквой S.
Возьмем участок струны между точками с абсциссами х и
х + dx и составим уравнение его движения, воспользовавшись
вторым законом Ньютона. Если линейная плотность (погонная
масса) струны рь то масса участка струны равна p^dx. Ускоре-
д2у
ние участка струны —.
Сумма проекций сил натяжения на ось у равна —S sin а +
+ S sin (а + da), где а — угол наклона касательной к оси
абсцисс. Поскольку колебания малы, можно принять sin а =
= а = tg а. Воспользовавшись первой частью этого равенства,
получим проекцию сил натяжения в виде Sda или на основании
второй части равенства Sd(tga). Но tg а — — . Следовательно,
дх
имеем
Sd( -^-\=S'-^-dx.
\ дх ) дх2
Теперь можно записать дифференциальное уравнение дви-
жения:
р! -д- dx = S dx. (1)
dt2 дх2 ' '
Разделив обе части выражения (1) на ptdx, получим окон
чательную форму волнового уравнения ’:
Такой же вид имеют уравнения продольных колебании призматического
РЖня, а также воздуха или жидкости в призматической трубе.
77
Существует два классических приема решения волнового
уравнения: метод Даламбера (метод бегущих волн) и метод
Фурье (метод стоячих волн). Первый из них пригоден для ис-
следования колебаний как бесконечной, так и ограниченной
струны; второй пригоден для исследования колебаний только
ограниченной струны. Ознакомимся сначала с методом Далам-
бера. Для этого сделаем замену переменных, полагая, что
у = у (и, v), где
и = х — ct, v = х + ct. (4)
Руководствуясь правилом дифференцирования сложной
функции, можно записать:
д2У = сг( д2У _ 2 д2У I д2У >
dt2 \ ди2 dudv dv2 ) '
д2у д2у , о а2У , д2у
дх2 ди2 dudv dv2
После подстановки равенств (5) в волновое уравнение (2)
получаем
d2t/ а д ( dy \
dudv du \ dv J
Поскольку производная по и от функции — равна нулю,
dv
эта функция не зависит от и и может зависеть только от
чит, проинтегрировав уравнение (6) по и, будем иметь
dv
где /'(о) — произвольная функция от и.
Интеграл уравнения (7) по v можно записать в виде
У = Jf(^) бД + <р(и),
где <р(п) — произвольная функция от и.
Обозначив теперь j f(v)dv = ф(п), будем иметь
f/ = <₽ (и) +ф(о).
С учетом выражений (4) общий интеграл запишется в
у = ср (х — ct) + ф (х + ct),
(6)
v. Зна-
(7)
(8)
(9)
форме
(Ю)
которая называется интегралом Даламбера.
Чтобы разобраться в физическом смысле полученного реше-
ния, возьмем сначала частный случай, когда ф = 0, и положим,
что х к t связаны зависимостью
х — ct = kx — const. (11)
Взяв в этом равенстве производную от х no t, получим
— = с. (12)
dt '
78
Теперь можно утверждать, что зависимость (11) дает абсцис-
% такой точки, которая перемещается со скоростью с в поло-
жительном направлении оси абсцисс. С учетом этой зависи-
юсти у = <р(&1) = const. Следовательно, со скоростью с в поло-
жительном направлении оси абсцисс движется такая точка с
абсциссой х, ордината которой у остается все время постоянной,
равной <р(&1)- Таким образом, с есть скорость распространения
волны вдоль струны в положительном направлении — прямой
волны, а частное решение у = <р (х — ct) соответствует бегущей
прямой волне.
Приняв <р = 0 и х + ct = £2 = const, видим, что частное
решение ip (х + ct) соответствует обратной волне, бегущей в от-
рицательном направлении оси абсцисс со скоростью — с.
Произвольные функции <р и ф можно определить по началь-
ным условиям при t = 0:
У = /(*). -^ = ф(*)- (13)
dt
Подставим первое условие в выражение (10):
)(х) = <р(х) + ф(х). (14)
Продифференцируем по времени выражение (10) и подста-
вим в него второе условие:
Ф (х) = — с<р' (х) + сф' (х)
или после интегрирования по х
X
— [ф(В)^ = -ф(х) + ф(х). (15)
С J
о
Из системы уравнений (14) и (15) определяем
X
ф(х) = -уНх)--^[ф©^,
о
х
ф(х)=4-/(х)+4-Сф©^.
О
Переходя от начального значения времени t = 0 к текущему,
т. е. от аргумента х к аргументу х — ci в первом равенстве и к
х + ct во втором, подставим значения (риф в общий инте-
грал (10). В результате получим следующее частное решение,
отвечающее начальным условиям (13):
x-\-ct
у=4-1Их~с/)+и*+с0)+4- ( (16)
2 2с J
х—&
По неограниченной струне побегут две волны — вправо и вле-
во (см. рис. 25,6). Если же струна имеет конечную длину, то
79
необходимо задать условия на ее концах, т. е. граничные усло-
вия. Если концы струны закреплены, эти условия имеют вид
у — 0 при х = 0, у = 0 при х = I, (17^
где I — длина струны (абсцисса ее правого конца).
Дойдя до конца струны (до точки жесткого закрепления),
волна отразится и пойдет в обратном направлении, причем знак
деформации меняется на обратный. Картина отражения волны
показана на рис. 27, а.
80
Рассмотрим частный случай колебаний закрепленной струны
с граничными условиями (17) и начальными условиями при
t == 0:
У = I/maxSin^- X, = 0.
I dt
Это значит, что в начальный момент струна имеет форму по-
ловины волны синусоиды. Подставив это в решение (16),
получим
У = Утах [siny (х ~ ci) +sin Y (* + ct) ] >
откуда
l/ = i/maxsin-^xcos^n (18)
Мы получили уравнение стоячей волны с периодом колебания
9/
т = —, (19)
с
Характер колебаний струны представлен на рис. 27, б.
Перейдем к методу Фурье. Решение волнового уравнения
ищется в виде произведения двух функций, из которых одна за-
висит только от t, а вторая — только от х
y = T(t)X(x). (20)
Подставим это решение в уравнение (2):
d?T х _ с2 d2X т
dt2 dx2
Разделив переменные, получим
1 d2T _ 1 d2X
с2Т ’ dt2 — X ' dx2
Левая часть этого уравнения зависит только от /, а правая —
только от х. Они могут быть равны в том случае, если пред-
ставляют собой какую-то постоянную величину, которую обо-
значим—д2 таким образом,
1 d2T 1 d2X . 9
--- . - = — . ----= — Л ,
с2Т dt2----------------X dx2
отсюда получаем два обыкновенных линейных дифференциаль-
ных уравнения:
— + с27.27 = 0;
dt2
Л2 V
-|-7Л¥ = 0.
dx2 <
6 Заказ 150
Их общие интегралы имеют вид (6) § 6:
Т = A cos с КТ + В sin cKt,
X — С cos Кх 4- D sin Кх.
Подставив их в решение (20), запишем общий интеграл вол-
нового уравнения (2):
у = (Л coscW + 6sincX/)(C cosXx 4- DsinXx). (21)
Для определения постоянных С, D и К воспользуемся гранич-
ными условиями (17), на основании которых получаем
(Л cos cKt + В sin cKt) С = 0; (22)
(Л cos cKt 4- В sin cKt) (C cos KI D sin KI) = 0. (23)
Первый множитель равенства (22) может быть равным нулю
только при Л = В = 0, но этому отвечает решение у = G, кото-
рое дает не колебания, а соответствует положению равновесия.
Следовательно, остается принять С = 0. Тогда из равенства (23)
находим
sin KI = 0, (24)
так как при D = 0 снова получаем у = 0.
Уравнение (24) дает бесконечный ряд значений К\
Ь„ = -у-, (n = 1, 2, ...)*. (25)
Теперь можем записать частный интеграл, соответствующий
n-му значению числа К, подставив это значение из выражения
(25) в общи/i интеграл (21):
плс , , , . плс Д . пл
ап cos —— t 4- bn sin —— t\ sin —— х.
Сумма всех частных решений даст нам интеграл, соответ-
ствующий любым начальным условиям:
ОО
„ плс . . , плс Д . плх
у = у I ап cos —— t 4- bn sin —j— 11 sin-. (26)
n=l
Остается определить произвольные постоянные ап и Ьп, что-
бы интеграл (26) удовлетворял начальным условиям (13). На
основании первого начального условия
со
= sin-y-x.
n=l
* Значение n = 0 снова приводит к тривиальному решению у = 0.
82
Взяв производную интеграла (26), получаем на основании
второго начального условия
Ф(х) = —6„sin —X.
7i=l
Записанные два выражения представляют собой разложения
начальных функций f(x) и Ф(х) в ряд Фурье по синусам По-
этому на основании второй формулы (2) § 4 находим
i
ап = — I f(x)sin-j— х ах,
о
i
Ьп = —— С Ф (х) sin х dx. (27)
плс J I
о
Нетрудно видеть, что если в начальный момент струна имеет
форму половины волны синусоиды, а скорости равны нулю, то
мы будем иметь решение (18), которое ранее было получено
методом Даламбера.
г-, . л 2л . Зл ,
Зависимости sin—х, sin — х, sin — х называются форма-
ми собственных колебаний струны или ее собственными форма-
ми. Несколько собственных форм показано на рис. 27, в. Каж-
дой собственной форме соответствует своя собственная частота
колебаний
= (п=-1, 2, 3, ...) (28)
и период колебаний
т„ = —• (29)
ПС
Следовательно, система с распределенными параметрами
имеет бесконечное множество собственных частот. Различные
частные случаи колебаний струны представляют собой наложе-
ние п собственных форм колебаний. Поэтому обычно при коле-
баниях струны кроме основного (первого) тона слышится ряд
обертонов (высших тонов).
При наличии равномерно распределенного линейного зату-
хания волновое уравнение имеет вид
^L+2ft-^ = C2-^
dt2 dt dx2
(30)
т а Эт° разложение действительно лишь в области определения функций,
• е- в промежутке 0 х I
6*
83
При наличии силового возбуждения уравнение движения
записывается следующим образом:
б2У. + = с2-^-+ (31)
dt2 dt дх2 Pj ’
где q(x, t) —погонная внешняя сила;
h — коэффициент затухания.
Кинематическое возбуждение задается в виде граничных
условий.
Рассмотрим свободные продольные колебания тонкого приз-
матического стержня, часть которого изображена на рис. 28.
Будем пренебрегать диссипацией энергии при колебаниях и
поперечными пуассоновыми деформациями. Пусть х — коорди-
ната, отсчитываемая вдоль стерж-
ня, у — упругая деформация в
*~х том же направлении, представля-
ющая собой функцию координа-
ты х и времени t, т. е. у = у(х, t).
Вид этой функции должен быть
Рис. 28
установлен.
Возьмем, как показано на рис. 28, элемент стержня длиной
dx. К его левому сечению приложена упругая сила S, к правому
сечению приложена упругая сила S + dS. Масса этого элемента
dm = pFdx,
где р — объемная плотность;
F— площадь поперечного сечения стержня.
д2у ,,
Ускорение стержня . Упругая сила
S = EF
дх
где Е— модуль упругости;
—— относительная деформация.
дх
Отсюда равнодействующая сил, приложенных к элементу
стержня,
dS^EF^-dx.
dx2
Следовательно, дифференциальное уравнение движения рас-
сматриваемого элемента может быть представлено в виде
pF dx = EF dx, (32)
! dt2 dx2
откуда, обозначив
84
получим волновое уравнение (2):
д2у = с2 д2У
dt2 дх2
Обший интеграл этого уравнения для стержня длиной I за-
пишем в виде (21):
у =- (A cos cW + В sin cW) (С cos 7.x + D sin ?.x) .
Граничные условия для закрепленных концов стержня имеют
приведенный в выражении (17) вид у = 0.
Для свободных концов стержня граничные условия опреде-
ляются выражением
-^- = 0,
дх
которое является следствием равенства нулю упругой силы на
свободном конце.
Если оба конца стержня жестко закреплены, то будут иметь
место граничные условия (17), откуда С = 0 и X определяется
выражением (25):
(/2=1,2,...).
Каждому значению лп соответствует собственная форма
колебаний
Хп — sin х (34)
и собственная частота колебаний
Если оба конца стержня свободны, граничные условия мож-
но записать следующим образом:
— 0 при х = 0, ~~ = 0 при х = I. (36)
Продифференцировав по х выражение (21) и воспользовав-
шись граничными условиями (36), получим
(A cos cW + В sin cW) W = 0,
(A cos c7.t Bsin cW) X (— C sin W + D cos W) = 0;
отсюда D = 0 и sin 7.1 = 0, следовательно,
Kn= ~ (n = 0,l,2, ...),
что похоже на предыдущий случай и выражение (25), но отлн-
ется наличием корня 2-о = 0 при п = 0, соответствующего рав-
номерному движению стержня как твердого тела.
85
Собственные формы колебаний определяются равенствами
A-„ = cos-y-x (37)
и собственные частоты
Последнее аналогично выражению (35) в предыдущем слу-
чае; при п = 0 получим По — 0, что отвечает упомянутому дви-
жению стержня как твердого тела.
Если левый конец стержня жестко закреплен, а правый сво-
боден, то граничные условия определяются равенствами
у = 0 при х = О, = 0 при х = I. (39)
дх
В соответствии с этим будем иметь
(A cos сМ 4- В sin сМ) С = О,
(A cos с7Л + В sin ckt) 7. (— С sin KZ + D cos 7.Z) = 0;
отсюда C = 0 и cos X/ = 0, следовательно,
(«+y)t,(" = 0’ b 2’-)- (40)
Собственные формы выражаются равенствами
= sin (n + -i-) -y-x (41)
и собственные частоты
= (42)
На рис. 29 приведены эпюры нескольких первых собствен-
ных форм продольных колебаний стержней с двумя закреплен-
ными концами (а), двумя свободными концами (б), левым за-
крепленным и правым свободным концами (в). Эпюры дают
условное изображение деформаций, так как фактически дефор-
мации происходят вдоль стержня, а не поперек его.
. Уравнение колебаний во всех случаях имеет вид
У = £ («„ cos + bn sin Q„Z) Хп,
п—О или 1
где называются собственными или фундаментальными
функциями.
Коэффициенты ап и Ьп определяются из начальных усло-
вий (13).
Перейдем теперь к свободным плоским поперечным (изгиб-
ным) колебаниям тонких призматических стержней (балок) в
86
направлении одной из главных осей жесткости. Будем прене-
брегать рассеянием энергии при колебаниях, влиянием продоль-
ных и перерезывающих сил и инерции поворота сечений. Коор-
динату, отсчитываемую вдоль балки, обозначим буквой х, попе-
речную деформацию — буквой у. Уравнение изогнутой оси бал-
ки под действием распределенной нагрузки q может быть пред-
ставлено в виде
(43)
EJ X11L = q,
дх*
где Е —модуль упругости;
J — момент инерции сечения балки (экваториальный).
Рис. 29
При свободных колебаниях нагрузка q является чисто инер-
ционной, т. е.
д2у /ллх
’=_р‘да’ <44)
где pt — погонная масса (линейная плотность) балки.
Следовательно, дифференциальное уравнение движения бал-
ки будет
д*У _____Pi . д2У /45\
дх* EJ дЕ ' У
Для балки длиной I решение ищем по методу Фурье в фор-
ме стоячей волны
y = X(x)T(t). (46)
Подставив это решение в дифференциальное уравнение (45),
получим
Pt _ д2Т = 1 _ d*X
EJT ' d/2 “ X ' 1 dx*
87
Обе части этого уравнения должны быть равны постоянной
величине, которую обозначим л4. Из этого вытекает
я2т
— 4- Й27 = 0, (47)
d/2 ' ’
—------VX = 0; (48)
dx4 '
здесь
0= К2у . (49)
Запишем общие интегралы уравнений (47) и (48):
7 = Л cos й) 4-В sin й^, (50)
X = C^cosXr + C2sinXx 4- C3chXx 4- C4shXx. (51)
Прежде чем задать граничные условия для нахождения
постоянных интегрирования в решении (51), вспомним, что угол
наклона изогнутой оси балки (при достаточно малых дефор-
мациях)
6 = -^-,
дх
изгибающий момент в сечении балки
М = EJ-^,
-^- = 0.
dx3
с опорой шарнирно (рис. 30,6),
перерезывающая сила в сечении балки
Q = EJ .
дх3
Если конец балки свободен (рис. 30, а), то граничные усло-
вия определяются равенством нулю изгибающего момента и пе-
ререзывающей силы, откуда
-^- = 0,
dx2
Если конец балки соединен
то граничные условия определяются равенством нулю прогиба
п изгибающего момента, откуда
Х = 0, — = 0.
dx2
Если конец балки жестко защемлен (рис. 30,в), то гранич-
ные условия определяются равенством нулю прогиба и угла по-
ворота изогнутой оси балки, откуда
Л=0, — = 0.
dx
88
Использовав граничные условия на обоих концах, получаем
систему однородных линейных уравнений относительно произ-
вольных постоянных. Условием получения иного решения, поми-
мо тривиального Ci = С2 = С3 = С4 = 0, является равенство
нулю определителя системы, что приводит к трансцендентному
(или тригонометрическому, когда оба конца шарнирно оперты)
уравнению относительно л. Это уравнение имеет бесконечный
ряд неотрицательных корней лп, которые определяют фунда-
ментальные функции Хп и собственные частоты Qn.
В простейшем примере, когда оба конца
балки шарнирно оперты, граничные условия
на левом конце приводят к уравнениям
С3 + С1 = о, С3-С1=0,
откуда Ci = О, С3 = 0. С учетом этого гра-
ничные условия на правом конце приводят
к уравнениям
С4 sh X/ -ф С2 sin X/ = 0,
С4 sh — С 2 sin \1 = 0.
Поскольку решение С2 = С4 — 0 отвечает условиям равно-
весия, а не движения, необходимо равенство нулю определителя
2 sh W sin X/ = 0.
В результате получаем sin X/ = 0 и
Ь„= (п= 1,2, ...), (52)
а следовательно, С4 = 0.
Теперь можно записать фундаментальные функции:
Хп = sin — х (53)
и собственные частоты:
I = (54)
Уравнение колебаний запишется в виде
У = 2 cos sin (55>
n=l
гДе an и bn определяются начальными условиями.
Собственные формы колебаний соответствуют рис. 29, а, но
в данном случае дается действительное изображение деформа-
ции. а не условное, как при продольных колебаниях. Следует
89»
обратить внимание на различие ряда частот в обоих случаях
При продольных колебаниях закрепленного с двух сторон
стержня из формулы (35) следует Qi: fi2 : О3 = 1 : 2 : 3, а при
поперечных колебаниях опертой шарнирно обоими концами
балки, согласно формуле (54), Q! : Q2 : Q3 = I2 : 22 ; З2 =
= 1:4:9.
Мы рассмотрели только случаи свободных колебаний одно-
мерных систем с распределенными параметрами. Колебания
двухмерных систем (мембраны, пластины) описываются диффе-
ренциальными уравнениями с тремя аргументами (время и две
координаты). Колебания трехмерных систем зависят от четырех
аргументов — времени и трех координат.
Важнейшей особенностью систем с распределенными пара-
метрами является наличие бесконечного ряда собственных час-
тот колебаний и соответствующих им собственных форм коле-
баний. Свободные колебания таких систем представляют собой
суперпозицию собственных форм, определяемую начальными
условиями. Если начальные условия соответствуют одной из
собственных форм, то система совершает колебания толь-
ко с одной частотой, соответствующей этой собственной
форме.
Ввиду того что системы с распределенными параметрами
имеют бесконечный ряд собственных частот, эти системы при вы-
нужденных колебаниях допускают бесконечное число резонансов.
§ 13. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Чтобы получить обобщенные результаты и свести к минимуму
число параметров, от которых зависит поведение системы, целе-
сообразно перейти к безразмерным величинам, причем в зави-
симости от решаемой задачи может быть выбрана та или иная
система безразмерных величин. Так, для системы, описываемой
дифференциальным уравнением (17) § 7, можно в качестве
безразмерных переменных принять аргумент т и функцию
определяемые зависимостями
т = (о</, | = ——2-х. (1)
* а
Нередко т называют безразмерным временем, a g— безраз-
мерным перемещением. Они пропорциональны соответствующим
размерным переменным. Однако, применяя эти и подобные им
термины, следует учитывать их условность.
После подстановки новых переменных в дифференциальное
уравнение (17) § 7 оно приобретает вид
g + 2pg + g = cosVT, (2)
90
где безразмерные параметры (3 и у определяются выражениями *
Р = —. у= —; (3)
(Do (Do
здесь и далее в подобных случаях точками над функцией обо-
значается дифференцирование по соответствующему безразмер-
ному аргументу.
Можно принять другие безразмерные переменные:
т« = <о*, §* = —— х, (4)
‘а
подстановка которых в уравнение (17) § 7 приводит его к сле-
дующему виду:
ё#+2₽Х + yX = COS ъ*, (5)
где
₽*=—-Y*= — (6)
со со
представляют собой безразмерные параметры, определяющие
поведение системы.
Переход от первой системы безразмерных величин ко второй
указывается зависимостями
Ч = ту, = £у2, £* = -£-, у* = — . (7)
Т У
Эти зависимости инвариантны по отношению к направлению
преобразования безразмерных величин: переход от второй си-
стемы к первой указывается такими' же зависимостями
т = £ = £*у»,
₽ = = —. (8)
У* У*
Частный интеграл дифференциального уравнения (2), отве-
чающий установившимся вынужденным колебаниям, для первой
системы параметров имеет вид
£ = £acos(yT — <р), (9)
где
~ V (1 — т2)2 + 4₽2у2 ’ (10)
<p = arctg . (11)
* о
д1ер параметре р (относительное затухание) говорилось в § 6 [см., напри-
91
Соответствующий частный интеграл уравнения (5) можно
записать следующим образом:
= ^cos^ —<р), (12)
где , • (13) ]/ (Т*-1)2 +4₽2 <р = arctg -2^* (14) у2-1 1 *
Заметим, что формулы (21) § 7, (11) и (14) определяют одну
и ту же величину сдвига фаз <р.
Итак, поведение систем с одной степенью свободы при сину-
соидальном силовом возбуждении определяется двумя безраз-
мерными параметрами. Характер собственного движения систе-
мы с одной степенью Свободы определяется одним безразмерным
параметром.
Построение безразмерных частотных характеристик (ампли-
тудно-частотных и фазо-частотных) можно производить, откла-
дывая по оси абсцисс у или у*. Во втором случае формула(10)
может быть записана, например, в виде
Т*-1)2 + 4Р*
Когда по оси абсцисс откладывается у или у*, графическое
представление частотных характеристик не всегда удобно, по-
скольку оба этих аргумента изменяются в пределах от нуля до
бесконечности. Так как нулевое значение одного из них соот-
ветствует бесконечно большому значению другого, с целью
изображения всей частотной характеристики на конечном от-
резке оси абсцисс будем строить первую часть частотной кри
вой, откладывая по оси абсцисс слева направо (как это обычно
принято) у в промежутке 0 у 1, что соответствует проме-
жутку оо > у* 1- На другом графике будем строить вторую
часть частотной кривой, откладывая по оси абсцисс справа на-
лево (т. е. во встречном направлении) у* в промежутке
0 у* 1, что соответствует промежутку оо > у 1. Оба
графика строятся в одном масштабе по оси ординат. Пристыко-
вав их затем при значении аргументов у = у* = 1, получим
полную частотную кривую.
Чтобы избежать процедуры построения кривой во встречных
направлениях при разных аргументах, введем новый аргумент:
у при 0 <у 1,
2----— при 1 у < оо,
У
(15)
92
ткпадывая его по оси абсцисс, как обычно, слева направо.
В результате получим такой же график, как после описанного
выше стыкования двух частей. Новый аргумент изменяется в
конечном промежутке 0 < о 2.
Аналогичный график можно получить, откладывая по оси
абсцисс справа налево аргумент
Т* при 0<у*< 1,
<7* = 1
2 — -—-при 1 <7* < ос.
У*
(16)
Обратим внимание на физический смысл безразмерных ве-
личин £ и Вторая формула (1) показывает, что g есть отно-
шение текущей величины перемещения х к величине *
х0 = -% = — = *ст, (17)
с
представляющей собой амплитуду колебаний х0 при со—>0,
равную значению статической деформации хст пружины под
действием постоянной силы Fa. Безразмерную амплитуду
(18)
нередко называют коэффициентом динамичности.
Из второй формулы (4) видно, что есть отношение теку-
щей величины перемещения х к величине
= (19)
ГМ СП2 .
представляющей собой амплитуду колебаний при h = 0 и у — оо
(соо = 0), т. е. амплитуду колебаний свободного тела массы т,
не связанного с пружиной и демпфером, под действием силы
cos со/. Следовательно, безразмерная амплитуда колебаний
U=-r~- (20)
Аоо
Введем еще одну безразмерную величину-—коэффициент
усиления
S, = «!. = 1/ , . (21)
' (Т^—1)2+4₽« /(1 — T2)2+4PV
являющийся отношением амплитуды ха вынужденных колебаний
нашей системы, описываемой уравнением (16) § 7, к амплитуде
няп ВтоРое равенство (17) написано на основании выражения (5) § 6. Не
До смешивать хст в выражениях (15) § 6 и (17).
93
вынужденных колебаний ху усеченной системы, которая лишена
пружины и описывается дифференциальным уравнением
тх + bx = Fa cos at. Коэффициент усиления полезен для
оценки систем, работающих в резонансном или околорезонанс-
н-ом режиме. '
При сравнительно малых значениях р можно для коэффици-
ента резонансного усиления gy рез при у = 1 пользоваться при
ближенными формулами
рез ~ 2р > рез ~ " ~ + 13-
Ошибка не превысит 10% по первой из них при р < 0,22 и по
второй при р < 0,6.
На рис. 31, о1 приведены амплитудно-частотные характери
стики ?а(о) для нескольких значений относительного затухания
Р, построенные по формуле (10). При у,„ = от = ]/ 1 — 2р2
кривые имеют максимумы
Samax — 2р
Ясно, что максимумы существуют лишь при относительном
затухании р, меньшем граничного значения ргр =
На рис. 31, б изображены амплитудно-частотные характери-
стики безразмерной скорости §а(о), построенные по равенству
so = ?ау, вытекающему из решения (9). Когда ут = = 1,
кривые имеют максимумы
Fornax = —
(22)
1
(23)
(24)
при любых значениях р.
Амплитудно-частотные характеристики безразмерного уско-
рения ga(o) (рис. 31, в) построены на основании равенства =
= ёау2. При =
имеют максимумы
’ т’ е' Ст = 2 ~ 1 “ 2Р2’ кРивь,е
max 5а max > (25)
наступающие лишь при значениях р, меньших приведенного вы-
ше граничного значения.
Мы убедились, что при 0 < р < —максимумы, т. е. резо-
г ~
нансы ga, tQ и la, наступают при различных значениях у. При
1 На рис. 31, 32, б, 33, а, 34, 36—44 кривые для р = 0 обозначены циф-
рой 1, для р = 0,1 —цифрой 2, для р = 0,25 — цифрой 3, для Р = К2/2—циф-
рой 4, для Р = 1 — цифрой 5, для Р = 2 — цифрой 6.
94
выбранном нами аргументе о кривые ga(o) симметричны относи-
тельно прямой о = 1. Относительно той же прямой взаимно
симметричны кривые ga(o) и ^а(о).
Амплитудно-частотные характеристики g*a(o) = gS:a(o) =
__ построенные по зависимости (13) для нескольких
Знач*ений р*, приведены на рис. 32, а*.
5 На рис. 32,а и 33,6 кривые для р„ = 0 обозначены цифрой 1, для р* =
цифрой 2, для р„ =1—цифрой 3, для р* =2 — цифрой 4.
95
Максимумы, равные достигаются при о — 1. Различия в
Z р
расположении максимумов кривых на рис. 31, а и 32, а объясня-
ются тем, что каждая характеристика на рис. 31, а построена при
условии р = const, а на рис. 32, а — при условии р* = const.
На рис. 32, б представлены кривые зависимости коэффици-
ента усиления от аргумента о для нескольких значений р,
построенные по формуле (21).
Фазо-частотные характеристики ф(о), построенные по фор-
муле (11) для нескольких значений р, изображены на рис. 33, а.
На рис. 33,6 даны кривые qi(o), построенные по формуле (14)
для нескольких значений р* . Важно отметить, что во всех слу-
чаях при о = 1 угол сдвига фазы перемещения от фазы силы
л
2
Ф =
Перемещение отстает по фазе от силы на этот угол.
В промежутке 0 о 2 отставание по фазе находится в
пределах О sC <р гС л.
Амплитуда вынужденных колебаний при центробежном воз-
буждении определена формулой (3) § 8. Примем в качестве
безразмерных переменных
т = соо/, Ец =
-f- fflq
(26)
96
Тогда формула (3) § 8 приобретет следующий вид:
^‘<а ~ /(1 -- у2)2 + 4|'>2Т2 ‘
Таким образом ^ца = %а- Последняя характеристика пред-
ставлена на рис. 31, в. Амплитудно-частотная характеристика
безразмерной скорости Цо(о) = приведена на рис. 34, а, а
безразмерного ускорения 1ца = y2g4a — на рис. 34, б.
Дифференциальные уравнения абсолютного и относительно-
го движения при кинематическом возбуждении приводятся к
такому же виду, как и при силовом возбуждении. Однако кине-
матическое возбуждение дает гораздо более богатые возмож-
ности как по количеству схемных решений, так и по разнооб-
разию частотных характеристик. Для сравнения, на рис. 35, а
приведены все варианты схем системы с одной степенью свобо-
ды при силовом возбуждении, а на рис. 35, б — при кинемати-
ческом возбуждении колебаний. Схемы 4 и 16 являются универ-
сальными. Остальные получаются путем устранения отдельных
элементов.
Перейдя в уравнении (9) § 8 к безразмерным переменным
z = h = (28)
будем иметь
ik + 2Й* + = Р cos (ут 4- ф), (29)
где безразмерные параметры
р==А + ^_; 7 = (30)
2/п(оо соо
7 Заказ 150
Рис. 35
В)
98
too определяется второй формулой (10) § 8. Введя теперь еще
дВа безразмерных параметра
и=-^—, о= --------, (31)
Ci. “Ь с2 + ^2
получим
р = У и2 + 4о2р2у2, ф = arctg. (32)
Таким образом, поведение системы определяется в общем
случае четырьмя безразмерными параметрами 0, у, и, v, а не
двумя, как при силовом возбуждении.
Приняв решение вида = gfeacos(yT— фоб), запишем выра-
жения амплитуды безразмерного абсолютного перемещения ^1а
и угла сдвига фаз фад:
Ъа =
+ 4q2|32y2 _
(1 — У2)2 + 40V ’
, 20т , 2v0y
Фа6 = arctg —1-4 — arctg —
1 — у2 и
(33)
Величина %ka представляет собой коэффициент передачи. Она
характеризует передачу движения управляемому элементу от
управляющего, поскольку равна отношению их амплитуд. При
кинематическом возбуждении колебаний, как показывает вторая
формула (33), возможны случаи, когда вынужденные колебания
опережают по фазе вынуждающее воздействие. Действительно,
л _
угол фаб может лежать в пределах --— <раб л, т. е. опере-
жение по фазе может в предельном случае достигнуть величи-
л
ны —.
2
На рис. 36 представлены амплитудно-частотные характери-
стики коэффициента передачи ёьа(о) при различных сочетаниях
параметров и и о, каждый из которых принимает значения 0;
Таблица 6
Обозначение характери- стик на рис. 36—43 а б в г д е Ж 3
Номера схем на рис 35, б 13 (5,9) 15 (5,11) 7 (5) 14 (6, 9) 16 (6,11) 8 (6) 10 (9) 12 (11)
7*
99
0,5 и 1. На рис. 37 даны соответствующие фазо-частотные ха-
рактеристики <раб(о), на рис. 38—амплитудно-частотные харак-
теристики безразмерной скорости ^а(о) = у^/1а(о) и на рис. 39 —
безразмерного ускорения = Y2ha(oj. Для сопоставления
со схемами, изображенными на рис. 35, б, в табл. 6 указано,
какие номера схем охватываются характеристиками на рис. 36—
43. В скобках стоят номера схем, представляющих собой пре-
дельные случаи, когда р = 0 или у = 0.
Для построения частотных характеристик относительного
движения при кинематическом возбуждении перейдем в урав-
нении (13) § 8 к безразмерным переменным
т = 1] = — , (34)
га
в результате чего получим
Л + 2pi] + 1] = q cos (ут + х), (35)
где
q = У (1 —и — у2)2 + 4(1— о)2р Y;
X = arctg ; (36)
1 — и — у2
параметры р, у, и, v определяются зависимостями (30) и (31),
а «о—формулой (10) § 8.
Приняв решение вида г] = г]асо5(ут: — <рот), будем иметь
_ , f (1 — и — у2)2 + 4 (1 — Ч2Р2У2
F (1 - у2)2 + 4р2у2 ’ (37)
<рот = arctg — arctg
1 — у2 1 — и — у2
Частотные характеристики т]а(о), Фот(и), Ла(о) = ТлДо),
Ла (и) = у2Ла(и) представлены на рис. 40—43. Взаимное соот-
ветствие характеристик и номеров схем на рис. 35, б указывает
ся в табл. 6.
Для представления в безразмерных величинах амплитудно-
частотной характеристики силы в приводе системы с принуди-
тельным движением массивного элемента введем в формулу
(18) § 8 безразмерную амплитуду силы
Ра = —; (38)
сг
тогда эта формула примет вид
Ра = V(l-T2)2+W, (39)
где и у определяются равенствами (3).
100
Рис. 36
101
Рис. 38
103
Рис. 39
104
На рис. 44 представлено семейство характеристик ра(о).
Многообразие связанных систем с несколькими степенями
свободы так велико, что невозможно произвести здесь краткий
обзор их частотных характеристик даже для случаев двух
степеней свободы. Поэтому мы ограничимся одним важным
примером системы, представленной на рис. 45. Здесь обозна-
чения 1—6 такие же, как на рис. 24, а; кроме того, введен демп-
фер 7 с коэффициентом сопротивления Ъ. К элементу 1 прило-
жена синусоидальная вынуждающая сила.
Приняв те же обобщенные координаты, что и при рассмот-
рении схемы на рис. 24, а, составим уравнения движения:
т1х1 + Ьх1 — Ьх2 ф- (сг ф- с2) хг — с2х2 = Fa cos at, |
т2х2 ф- bx2 — Ьхл + с2х2 — с2хг = 0. I
После введения безразмерных переменных
51 = —М- g2 = —Х2,
•J 1 г, 1' ту
* а * а
(41)
(42)
(43)
и параметров
о Ь
р =----?=-, у = <о
2 Ут2с2
уравнения (40) запишутся следующим образом:
+ 2₽ti — 2₽^2 + (X 4- 1) — £2 = cos ут;
?2 Н- 2Р^2 - 2Р^1 + ^2- = 0.
Частный интеграл этой системы, соответствующий стацио-
нарным вынужденным колебаниям, можно представить выра-
жениями
= 51а cos (ут — cpj; С2 = £2й cos (ут — ф2),
(44)
где
- _ У(АВ — у2С)2 + 4[32т10 .
1а — А2В — 2у2АС + т4О ’
. 2 Ру5
= arctg-----—— ;
АВ — у2С
t = V(АС — т2Р)2 + 4Р2/Д2 .
ё®а ~ А2В — 2у2АС + у4О
. 2₽т3Д
Ф2 = arctg ——-------;
АС — y2D
А = X — ру2; В = (1 — у2)2 + 4₽2у2;
С = 1 — у2 + 402у2; D = 1 + 4р2у2.
(45)
105
Рис. 40
Рис. 41
S' I | <S 1
106
107
U-0,5 v-0
< C’ j C**j
Ч-. <\J *
s'o-n S‘O=n
4S «Ъ
>> г
S- 1,1
*•
v.z
u-0 v-t
Рис. 43
Д09
Хотя у здесь не представляет собой отношения частоты вы-
нуждающей силы к собственной частоте недемпфированной
системы, удобно при построении частотных характеристик поль-
зоваться аргументом о, введенным выражением (15). Необходи-
мо иметь в виду, что в дан-
ном случае р не представ-
ляет собой относительного
затухания в смысле форму-
лы (43) § 6.
Приведенные зависимо-
сти позволяют установить
ряд важных свойств системы
с двумя степенями свободы,
в частности наличие двух
резонансов и существование
4 6 7
Рис. 45
антирезонанса координаты Интересно отметить, что при от-
сутствии демпфирования и "Ь? до антирезонанса колеблются
синфазно, а после него — противофазно.
§ 14. ДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ
Здесь будут кратко рассмотрены три основные задачи дина-
мического управления колебаниями: усиление, стабилизация и
гашение колебаний в разомкнутых системах, т. е. в системах
без обратных связей. Динамическое усиление осуществляется
таким подбором параметров системы, при котором работа про-
исходит в окрестности резонанса амплитудно-частотной характе-
ристики. Это возможно в системах как с одной, так и с несколь-
кими степенями свободы при достаточно малых диссипативных
сопротивлениях.
Существенным недостатком систем с одной степенью свобо-
ды, работающих в зоне резонанса, является возникновение
больших усилий, передаваемых на неподвижное основание
упругим элементом при больших амплитудах колебаний инер-
ционного элемента. В системах с несколькими степенями свобо-
ды этого можно избежать. Возьмем схему, представленную на
рис. 24, а. Пусть к элементу 1 приложена вынуждающая сила
Fia cos (cut + ф), а к элементу 2 — сила F2n cosat. Тогда диффе-
110
ренциальные уравнения движения запишутся следующим
образом:
+ (сх + с2) хх — с2х2 = Fla cos (at + ip); 1
m2x2 + c2x2 — c2xx = F2u cos at. '
Запишем решения уравнений (1), соответствующие стацио-
нарным вынужденным колебаниям, для трех частных случаев.
Первый случай:
Fla = Fa, Ip = 0, F2a = О
Хх = — -2QL)Fa cos _ CzFa cos (2)
. А A
где
Д = (ci + c2 — mx®2) (c2 — tn2a2) — C2. (3)
Второй случай:
Fla = 0, F2a = Fa
c»Fn , (ci+c2—, ...
x, = ° cos at, = —— 1—— cos at. (4)
1 A A
Третий случай:
Fla = F2a =Fa,^ = n
_ m^Fa . t Y __ (Cr — m^Fg .
Л-| —— COS Cut, Xt) ~ COS (Ut. I <J г
1 A 2 A
Во всех трех случаях резонансы наступают при Д = 0. Пер-
вому резонансу соответствует со = второму со = Q2, где соб-
ственные частоты определяются равенством (25) § 11. Чтобы
уменьшить колебательную нагрузку, передаваемую на непо-
движную опору пружиной 5, выберем жесткость этой пружины
весьма малой, т. е. примем щ с2.
Тогда будем иметь
22^1/ +-т2)-. (6)
у
Так удается получить значительное усиление колебаний при
малых колебательных усилиях, передаваемых на опору.
Возможность динамической стабилизации колебаний пред-
ставляет большой практический интерес. Под стабилизацией
понимается поддержание постоянства амплитуды колебаний
какого-либо инерционного элемента системы при более или ме-
нее значительных изменениях его массы (момента инерции для
поворотных колебаний) и параметров некоторых других непо-
111
средственно связанных с ним элементов. Задачу стабилизации
рассмотрим на тех же простых примерах.
Если во втором и третьем случаях, для которых действитель-
ны решения (4) и (5), подобрать соотношения жесткости с2 и
массы т2 так, чтобы выполнялось равенство
’ <7>
V т2
то колебания элемента 1 не будут зависеть от его массы ш,
и жесткости щ пружины 5, которой он соединен с неподвижной
опорой 4. Его амплитуда колебаний
х1а = ~ (8)
С2
будет равна статической деформации пружины 3 под действием
постоянной силы Fa- Обратим внимание на то, что при соблюде-
нии условия (7) амплитуда колебаний х2а элемента 2 становится
наиболее чувствительной к изменениям параметров С[ и mt.
Динамическое гашение колебаний, которым нередко поль-
зуются для подавления колебаний фундаментов и крутильных
колебаний вращающихся валов, представляет собой частный
случай динамической стабилизации, когда амплитуду колеба-
ний одного из инерционных элементов стремятся стабилизиро-
вать на нулевом уровне. Так, если выполняется условие (7) в
первом из рассмотренных случаев, когда имеет место решение
(2), то амплитуда колебаний х1а элемента 1 становится равной
нулю независимо от того, какие значения приобретают парамет-
ры С] и mi. В третьем случае, как это видно из решения (5),
при условии со = 1/ _£1_ будут погашены колебания элемента 2,
V тг
т. е. х2о = 0 независимо от значений с2 и т2. Во втором случае,
как показывает решение (4), тоже можно получить х2а = 0. но
при условии а> = 1/ Д+Д-, т. е. в этом случае не будет достиг-
Г т1
нута независимость гашения от параметра с2.
Динамическое гашение колебаний соответствует антирезо-
нансу, о котором шла речь в § 11 при рассмотрении структуры
решений (29) § 11. Следует обратить внимание на то, что полные
стабилизация или гашение колебаний возможны только при
отсутствии диссипации энергии в стабилизирующей или гасящей
подсистеме. Имеется в виду, например, подсистема элементов 2
и 3 при стабилизации или гашении колебаний элемента 1.
При силовом возбуждении колебаний динамические стабили-
зация и гашение возможны только в системах, обладающих не
менее, чем двумя степенями свободы. При кинематическом воз-
буждении возможна стабилизация колебаний (правда, в не-
сколько ином смысле) и в системе с одной степенью свободы.
112
Действительно, если в выражениях (33) § 13 принять
и = 1 — у2, v = 1 (9)
получится
^ka — 1 > Фаб — О
(10)
независимо от того, какие значения принимают |3 и у. Это зна-
чит, что амплитуда и фаза колебаний инерционного элемента 1
на рис. 19 соответственно равны амплитуде и фазе колебаний
возбуждающего элемента 8 независимо от значений с2 и Ьг*, ес-
ли выполняются условия со = 1/_£1, &!= 0. Следовательно, свя-
зи 6 и 7 между элементами / и 8 ведут себя как недеформи-
руемые. Приведенный случай нетрудно понять, вспомнив, что в
системе с принудительными колебаниями массивного элемента
при выполнении указанных выше условий амплитуда усилия в
приводном жестком элементе равна нулю, что видно из зависи-
мостей (18) § 8 и (39) § 13.
* Конечно, кроме случая, когда одновременно с2 — 0 и Ь2 = 0; но этот
случай исключен при кинематическом возбуждении колебаний.
8 Заказ 150
Глава 111
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 15. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В § 5 говорилось, что параметрическими называются си-
стемы, описываемые линейными дифференциальными уравне-
ниями с переменными, т. е. явно зависящими от аргумента
(в нашем случае — от времени) коэффициентами*. Так, напри-
мер, дифференциальное уравнение
а (I) х + b (/) х + с (/) х = 0 (1)
описывает движение параметрической системы с одной сте-
пенью свободы. Здесь параметры системы а, b и с изменяются
независимо от ее движения. Более того, само движение может
возбуждаться изменениями параметров. Ранее упоминались
силовой и кинематический методы возбуждения движения.
Здесь мы имеем дело с третьим методом — параметрическим
возбуждением.
Приведем примеры параметрических систем. На рис. 46, а
показана безмассовая струна 1 длиной 2/, концы которой за-
креплены в опорах 2 и 3. К середине струны прикреплен точеч-
ный элемент 4, обладающий массой т. Струна натянута силой S.
Обозначив через х отклонение элемента 4 от положения равно-
весия в плоскости чертежа, будем иметь при х / следующее
уравнение движения:
тх + — х = 0.
/
Если сила натяжения зависит от времени, например 3 =
= So — где Si(£) < So при любых значениях t, то, прене-
брегая диссипацией энергии, получим
тх + -у- [So — 31 (/)] х = 0.
Другой пример приведен на рис. 46, б. Здесь математический
маятник, состоящий из невесомого стержня 1 с точечной мас-
* Иногда термин «параметрические системы» понимают в более широком
смысле, называя так системы, описываемые любыми, в том числе нелинейными
дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.
114
сой 2 на конце, колеблется на шарнире <3. Шарнир расположен
в ползуне 4, который может двигаться в вертикальном направ-
лении под действием силы Q(t). Плоские колебания маятника
сопровождаются возникновением горизонтальной реакции P(t).
Если длина маятника I, угол отклонения его от вертикали г]? и
а) 4) в) г) д)
Рис. 46
масса т, то координата точечной массы к = I sin ф, а уравнение
движения имеет вид
тх = Р (t).
Так как момент инерции системы относительно точки 2 ра-
вен нулю, имеем
Q (/) I sin ф — Р (/) I cos ф = 0.
При малых колебаниях, когда ф С 1, можно принять
sin ф = ф и cos ф = 1; тогда P(t) = <2(/)ф и уравнение движе-
ния приобретает следующую форму:
т/ф — Q (t) ф = 0.
Обозначив Q(t) = —mg — mgk(t-), где g— ускорение свобод-
ного падения, получим
Ф+~М1 —&(О1Ф = о.
Как известно, обычный маятник в крайнем нижнем положе-
нии имеет точку устойчивого равновесия. Нижнее положение
параметрического маятника в случае периодической, например
синусоидальной, функции k(t) может при определенных соче-
таниях параметров
р
-у-, частоты и амплитуды функции k
стать неустойчивым даже при малой амплитуде функции k(t).
И наоборот, крайнее верхнее положение может стать устой-
чивым и так называемый обращенный маятник, показанный на
Рис. 46, в, может совершать периодические колебания, описы-
ваемые уравнением
Ф--^И +А(01Ф= 0.
8*
115
Еще одна параметрическая система показана на рис. 46, г.
Здесь элемент 1, масса которого т, шарнирно соединен с двумя
одинаковыми безмассовыми стержнями 2 и <3. Длина каждого из
них I. Левый конец стержня 2 соединен с неподвижным шарнщ
ром 4, а правый конец 3 соединен с шарниром, укрепленным на
ползуне 5, который может перемещаться в горизонтальном на-
правлении плоскости чертежа. Элемент 1 связан с безмассовой
пружиной 6, жесткость которой равна с; второй конец пружины
связан с неподвижной стойкой 7. В положении равновесия
стержни 2 и 3 лежат на одной прямой. Соединяющий их шарнир
расположен в центре тяжести элемента 1. К ползуну 5 прило-
жена сила F(t). Если отклонения элемента 1 от положения рав-
новесия невелики, так что х I, уравнение движения полу-
чит вид
тх + с -|—j- F (/) х = 0.
В качестве последнего примера рассмотрим рис. 46, д. Здесь
физический маятник 1 колеблется около неподвижного шарни-
ра 2. В маятнике сделан паз <3, в котором перемещается мас-
сивный элемент 4. Ось шарнира 2 и центры тяжести маятника 1
и элемента 4 всегда лежат на одной прямой. Движение элемен-
та 4 в пазу задается извне как функция времени. Поэтому мо-
мент инерции системы / относительно оси шарнира 2 и расстоя-
ние I от оси шарнира до центра тяжести системы тоже
представляют собой функции времени, т. е. J = J(t),
Уравнение движения легко записать, используя известную теоре-
му, согласно которой производная по времени от момента коли-
чества движения относительно неподвижной точки равна момен-
ту сил относительно той же точки:
Г J (/) ^.1 = _ mgl (/) ф,
at L at \
откуда
J (/) ф ф- J (/) ф + mgl (/) ф = 0.
Напомним теперь несколько важных положений теории ли-
нейных дифференциальных уравнений второго порядка. Разде-
лив уравнение (1) на a(t) #= 0, получим
х + р (0 х + q (/) х = 0. (2)
Общий интеграл этого уравнения
х = С1х1 + С2х2, (3)
где С\ и Сг — произвольные постоянные, определяемые началь-
ными условиями;
%1(/) и x2(t)—два линейно независимых частных решения.
116
Линейная независимость означает, что нельзя найти такие
два постоянных числа, с помощью которых можно было бы по-
строить тождество ai%i(Z) + a2x2(Z) = 0- Необходимым и доста-
точным условием линейной независимости Xj и х2 является не-
равенство нулю вронскиана (определителя Вронского)
решений, т. е.
х. х»
Дв = . . =0.
Xi х2
этих
(4)
Вронскиан обладает следующим важным свойством: если он
не равен нулю при каком-нибудь одном значении /, то он не
равен нулю ни при каком значении /. Наоборот, если вронскиан
равен нулю при каком-либо значении t, то он тождественно ра-
вен нулю при всех его значениях. Следовательно, достаточно
знать Х|, х2, хь х2 для одного момента времени, чтобы устано-
вить, имеет ли место линейная независимость решений.
Любые два линейно независимые решения Xi и х2 называют-
ся фундаментальной системой решений, ибо любое решение
уравнения (2) можно выразить линейной комбинацией xt и х2,
например:
Xg — GgjX] (/) -4- П32Х2 (/), (5)
где а31 и п32 — постоянные коэффициенты.
Далее будем рассматривать только дифференциальные урав-
нения с периодическими коэффициентами, т. е. в уравнении (2)
примем p(t) = p(t + Т) и q(t) = q(t + Т), где Т — период ко-
лебаний коэффициентов. Обозначим
х1(/+П = Х1(/), х2_(/+П = ^2(0- (6)
На основании равенства (5) можем записать:
Xi (/) = Х1 (t Ц- Т) = ПцХ! (/) + а12х2 (/); 1
Х2 (Z) = х2 (/ 4- Т) = а21хг (/) + а22х2 (/). J
Решения Xt и Х2 также представляют собой фундаменталь-
ную систему, поскольку их вронскиан не равен нулю. На основа-
нии выражений (7)
Аь(/-|- Т) =
а21
°12
^22
Дв (Z).
Поскольку Ав(/ + 7) о и Дв(/) #= 0,
С11 012 =4=0. (8)
^21 ^22
Хотя коэффициенты p(t) и q(f) уравнения (2) периодиче-
ские, его решения Xt(t) и х2(/) не обязательно будут периоди-
ческими. Но можно всегда найти, так называемые, нормальные
117
решения хи, особенностью которых является выполнение сле-
дующей зависимости
Хн (^ + ^) = ^хн (0» (9)
где л — постоянная величина.
Ясно, что при X = 1 решение (9) будет периодическим с пе-
риодом Т, а при Z = —1 оно будет периодическим с периодом
27\ На основании равенства (5) имеем
Хн (0 = С1Х1 (0 + С2Х2 (О’ (10)
откуда
Хн У + ^) = С1Х1 (^ + ^) + С2Х2 + ^)- (И)
Сопоставив выражения (9), (10), (11) и (7), получим ра-
венство
[Ci (au — X) + c2cz21| xt + [С1а12 + с2 (а22 — X)] х2 = 0,
которое выполняется при любых значениях t. Поскольку лу и х2
линейно независимы, необходимо одновременное выполнение
равенств
Ci (нп — 7) + с2а21 = 0, + с2 (а22 — X) = 0.
Учитывая, что щ 0 и с2 0, получаем так называемое
характеристическое уравнение
=0> (12)
a jo п 2 р 7
корни которого не зависят от того, какой парой фундаменталь-
ных решений мы воспользовались.
Мы получили квадратное относительно X уравнение, кото-
рое не имеет нулевых корней, поскольку его свободный член,
согласно выражению (8), не равен нулю.
Пусть корни характеристического уравнения (12) Zi и Л?
различны. Умножим обе части равенства (9) на экспоненци-
альный множитель
' И') xhj (t + T)= xhj (I), (/ = 1, 2). (13)
Функция <pj(O = x-nj(t) будет периодической с перио-
дом Т, если
(14)
В этом случае фундаментальная система нормальных реше-
ний примет вид
^1(O = eM<Pi(O. хн2(0 = ^/ф2(0. (15)
Если характеристическое уравнение (12) имеет кратные
(равные) корни, т. е. Zi = Х2 = X, то фундаментальная система
118
хм (0 = (0> *2 =
решений может быть записана следующим образом:
^^(О + ФЮЬ
(16)
где е>т = К ср(О и ipfO—периодические функции с перио-
дом Т;
k — постоянная величина.
Решение х2 будет нормальным, х2 = хн2 только при k = 0.
Параметры ц, pj, называемые характеристическими показа-
телями, вообще говоря, представляют собой комплексные ве-
личины.
Решение x(t) называется устойчивым, если с .течением вре-
мени вплоть до t = оо оно остается ограниченным. При нерав-
ных корнях характеристического уравнения, как показывают
равенства (15), решения устойчивы, если действительные ча-
сти характеристических показателей отрицательны или равны
нулю. При равных корнях характеристического уравнения ре-
шения устойчивы, как показывают равенства (16), если дейст-
вительная часть характеристического показателя отрицательна.
Если же она равна нулю, то решения устойчивы только при
k = 0. Здесь, так же как при чисто мнимых характеристиче-
ских показателях цл и ц2 в предыдущем случае, решение яв-
ляется периодическим, если мнимая часть ц представляет со-
бой произведение рационального числа на —. Например, если
где I и п — взаимно простые целые числа, Т — период функций
q(t) и /?(/) в уравнении (2), то период решения равен пТ.
Решения уравнения (2) в общем случае нельзя получить в
конечной форме или выразить через квадратуры с применением
только элементарных функций. Существуют методы построе-
ния решений в виде бесконечных рядов. Нередко вводятся спе-
циальные функции для представления решений.
Уравнение типа (2), например
z + р (0 z + q (t) = 0,
можно представить в виде
x + f(f)x = 0 (17)
при помощи подстановки
4Н (18)
z = хе
Если f(t) —периодическая функция, то выражение (17) на-
зывают уравнением Хилла. Часто это название относится к спе-
циальному случаю, когда f(t) представляет собой четную функ-
119
цию, которая может быть разложена в ряд Фурье по коси-
нусам.
Наиболее исследованным частным случаем уравнения Хил-
ла является уравнение Матье:
х + (а — 2q cos 2со/) х = 0. (19)
Если x'(t) представляет собой решение уравнения Матье
или уравнения Хилла с четной f(t), то х'(—t) тоже есть реше-
ние. Следовательно,
М = ~ [*' (0+*' (—01 и х2= (х' (0 — х' (— 0J
представляет собой фундаментальную систему решений, где
X! — четная функция, х2 — нечетная функция.
Устойчивость или неустойчивость решений х, и х2 зависит
от соотношения параметров а и q в уравнении (19). Границей
между устойчивыми и неустойчивыми решениями являются пе-
риодические решения, которые носят наименование функций
Матье. Четные функции Матье обозначаются сеп (со/, q). нечет-
ные sen(co/, /у), где п2 = а при q = 0. Если п — целое число, то
речь идет о функциях Матье целого порядка; если п — дробное
число, значит, речь идет о функциях Матье дробного порядка.
При п целом (п = 0, 1, 2,...) функции се2п(со/, q) имеют пе-
риод — и разлагаются в ряд по cos 2kwt с постоянным членом,
(1)
зависящим от q, но не от /; функции се2п+1 (со/, q) имеют период
2 зт
— и разлагаются в ряд по cos few/ без постоянного члена; функ-
О)
2 зт
ции se2n+i(co/, q) имеют период — и разлагаются в ряд
СО
sin Лео/; функции se2n+2(o)(, q) имеют период — и разлагаются в
(О
ряд по sin 2kwt, (k — 1, 2,...). Все эти функции имеют п нулей
л i -2л
в интервале 0 < t < —.
со
Функции Матье целого порядка принято нормировать так,
чтобы
2Л 2л
<0 (0
— i се2 (со/, q)dt = — f se2(co/, q)dt = 1. (20)
Л ,1 л J
о о
Графики функций сео(со/, 2), ce2(a>t, 2), се4(со/, 2) приведены
на рис. 47, а; функций se2(co/, 2), se4(co/, 2), se6(a>t, 2) —на
рис. 47, б; функций cei (со/, 2), ее3(со/, 2), ce$(ut, 2)—на
рис. 47, е; функций sei (со/, 2), хе3(со/, 2), хе5(со/, 2)—на
120
пис. 47, г. Области неустойчивости решения уравнения Матье
заштрихованы в плоскости qa на рис. 47, д. Границы областей
соответствуют функциям Матье целого порядка. Этот рисунок
показывает, что чем меньше | q |, тем шире области устойчивости
по направлению оси а. При достаточно больших |д| области ус-
тойчивости выклиниваются.
Рис. 47
§ 16. АВТОНОМНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Системы, поведение которых описывается нелинейными диф-
ференциальными уравнениями, относятся к нелинейным. Если
дифференциальное уравнение не содержит членов, явно завися-
щих от времени, описываемая им система называется автоном-
ной (см. § 5). Исследование нелинейной системы нередко ока-
зывается трудной проблемой. Существует лишь несколько типов
нелинейных дифференциальных уравнений, точные интегралы
•которых могут быть выражены в замкнутой форме элементар-
ными функциями.
При исследовании решений дифференциальных уравнений
большое значение имеет изучение структуры фазового прост-
ранства. Координатами фазового пространства автономной си-
стемы являются обобщенные координаты и обобщенные скоро-
сти. Следовательно, фазовое пространство системы с п степе-
нями свободы имеет 2п измерений. Фазовое пространство
системы с одной степенью свободы имеет два измерения и мо-
жет быть наглядно представлено на плоскости (фазовая пло-
скость) .
Рассмотрим знакомое нам уравнение движения автономной
консервативной линейной системы (4) § 6
х -)- (Оо-Х — 0.
121
Его решение (11) § 6
х = ха cos (со,/ — <р),
откуда
v = х = — хйсоо sin (й0/ — ф).
Согласно сказанному выше, плоскость х, v называется фа-
зовой плоскостью, или плоскостью состояний. Каждому момен-
ту времени t отвечает пара значений х и v, представляющих
координаты точки на фазовой плоскости. Эта точка называет-
ся изображающей (или представляющей) точкой. Изображаю-
щая точка с течением времени описывает линию, называемую
фазовой траекторией.
Уравнения х = x(t) и v = v(t) можно рассматривать как
параметрические уравнения фазовой траектории. Исключив из
лих параметр t, найдем уравнение фазовой траектории f(x, и) =
= 0. В рассмотренном случае можно записать:
-^—= cos (од/— ф), —-— = —sin (со,/—ф). (1)
Возведя эти равенства в квадрат и сложив их, получим
уравнение фазовой траектории:
Поскольку при v > 0 х растет, а при v < 0 х убывает, изо-
бражающая точка движется по часовой стрелке.
При различных значениях амплитуды ха, которая в соответ-
ствии с формулой (11) § 6 зависит от начальных условий х0 и
»о, а именно
хс = 1Ло+4-, (3)
’ ш0
фазовые траектории представляют собой эллипсы различной
величины, что показано на рис. 48, а (стрелки указывают на-
правление движения изображающих точек). Итак, структура
фазового пространства рассмотренного дифференциального
уравнения весьма проста: вся фазовая плоскость заполнена эл-
липсами, вложенными один в другой. Через каждую точку фа-
зовой плоскости проходит одна и только одна фазовая траекто-
рия. Исключение представляет начало координат, через которое
не проходит ни одна фазовая траектория.
Скорость движения изображающей точки называется фазо-
вой скоростью. Модуль фазовой скорости
и = х2 4- х2. (4)
122
В нашем случае
и = хйо)0кsin2 ((о,/ — <р) + ojo cos2 (со,/ — ср). (5)
При любом ха > 0 фазовая скорость не может ни при каких
значениях t равняться нулю, поскольку синус и косинус одного
аргумента не могут одновременно быть равными нулю. При
Ха = 0 изображающая точка находится в начале координат и ее
фазовая скорость равна нулю. Это отвечает положению равно-
весия.
Рис. 48
(6)
(7)
Заменим дифференциальное уравнение второго порядка (4)
§ 6 системой двух уравнений первого порядка
dx dv 2
— v, = — со0х.
dt---------dt
Разделив второе уравнение на первое, получим
dv 2 х
— (00--.
dx v
Это уравнение определяет интегральные 'кривые, которые в
данном случае совпадают с фазовыми траекториями. Левая
часть уравнения (7) представляет собой тангенс угла наклона
касательной к фазовой траектории. Линия, проходящая через
точки различных фазовых траекторий с одинаковым наклоном
123
касательной, называется изоклиной. Для нее — = const. В на-
dx
шем случае это дает —= const или
v
v = kx, (8)
где k = const.
Следовательно, здесь изоклинами являются прямые, прохо-
дящие через начало координат.
Интегрируя уравнение (7), находим
2 2^
откуда, приняв 2с = х*, получаем решение (2).
г, dv 0
В начале координат имеем неопределенность —= — . Сле-
dx 0
довательно, начало координат не имеет определенного направ-
ления касательной и представляет собой особую точку типа
центра. Центром называют изолированную особую точку, через
которую не проходит ни одна фазовая траектория и которую
охватывают замкнутые, вложенные одна в другую фазовые
траектории. Заметим, что замкнутая фазовая траектория отве-
чает периодическому колебательному движению.
Особая точка в начале координат соответствует положению
равновесия системы. Здесь х = 0 и х = 0. Центр представляет
собой положение устойчивого равновесия, поскольку изобража-
ющая точка, выведенная из него на малое расстояние, будет
двигаться в некоторой небольшой его окрестности. Так ведет
себя маятник, выведенный из положения устойчивого равнове-
сия (рис. 23, г).
Движение маятника вблизи положения неустойчивого равно-
весия (рис. 23, д) можно приближенно описать уравнением
х — (f>ox = 0, (9)
где й0 не должна рассматриваться как собственная частота.
Поступая так же, как в предыдущем случае, заменим урав-
нение (9) системой
dx dv 2
----------- = v, ----- = (DqX,
di---------dt
(10)
откуда, разделив второе уравнение на первое, будем иметь
dv о х ....
— = (D0----- . (11)
ах v
Интегрирование этого уравнения дает
и2— ©о*2 = 2с, (12)
124
т. е. уравнение гиперболы с асимптотами, получаемыми при
£ = 0. Фазовая плоскость в окрестности начала координат пред-
ставлена в этом случае двумя семействами гипербол (рис.48,б):
сверху и снизу при с < 0, справа и слева при с > 0. В начале
координат имеется особая точка типа седла. Через нее прохо-
дят две особые фазовые траектории — асимптоты, разделяю-
щие два семейства фазовых траекторий и называемые поэтому
сепаратрисами.
Дифференциальное уравнение свободного движения дисси-
пативной системы (28) § 6
х + 2hx 4- а>оХ = 0
можно заменить эквивалентной системой
^- = v, -^- = -(2Ли+^х), (13)
at at
откуда
,tv 2hv + оД
— =---------—— . (14)
dx v
Общий интеграл этого дифференциального уравнения, пред-
ставляющий собой семейство фазовых траекторий, при условии
О < h < Wq имеет вид
(у _|_ hx)2 + (юо—Л2)х2= Сеп, (15)
где С — постоянная интегрирования;
2/t , v 4- hx
п = — arctg------------ - . (16)
Ыр — й2 Юр — Л2
Можно показать, что выражение (15) представляет собой
семейство спиралей, навивающихся на начало координат, кото-
рое в этом случае является особой точкой типа фокуса
(рис. 48, в). Действительно, сделав линейную подстановку
р = х]/Г£Оо — h2, w = vhx (17)
и перейдя к полярным координатам
y = pcos<p, w — p sin <р, (18)
получим уравнение семейства логарифмических спиралей:
/гер
В рассмотренном случае фокус представляет собой устойчи-
вое положение равновесия. Если же h < 0, т. е. имеет место
В этом случае свободное движение представляет собой затухающие
колебания (см. § 6).
125
так называемое отрицательное затухание, то при | h | < соо на-
чало координат тоже является особой точкой типа фокуса, но
неустойчивого: фазовые траектории раскручиваются с фокуса
(рис. 48, а).
Если h > (й0, что соответствует неколебательному свободно-
му движению (см. § 6), то общий интеграл уравнения (14),
представляющий собой семейство фазовых характеристик, мо-
жет быть записан следующим образом:
Это уравнение семейства кривых, подобных параболам
(рис. 48, д). Все фазовые траектории входят в начало коорди-
нат, которое представляет собой в этом случае особую точку
типа устойчивого узла.
Если h < 0 и |/i| > cdq, то начало координат является осо-
бой точкой типа неустойчивого узла: все фазовые траектории
выходят из него (рис. 48, е).
Пусть нелинейная автономная система с одной степенью
свободы описывается уравнением
и*. = °-
Имея в виду, что
dv dv
= V
dt-------dx
и обозначив
Q (х, d) = vf (x, zj),
получим
dv __ P(x,v)
dx Q (x, c)
(21)
(22)
здесь P(x, v) и Q(x, v) — вообще говоря, нелинейные функции
своих аргументов
Если Р(0, 0) = 0 и Q(0, 0) = 0, то начало координат являет-
ся особой точкой. В этом случае разложения Р и Q в степенные
ряды в окрестности начала координат не содержат постоянных
членов. Обозначим эти разложения
Р (х, v) = рх + qv + Р2 (х, v), Q (х, и) — rx + sv 4- Q2 (х, v), (23)
где Р2 и Q2 представляют собой степенные ряды, начинающиеся
с членов второй степени относительно х и V.
126
С учетом разложений (23) уравнение (22) получит вид
dv рх + qv + Р2 (х, и)
dx гх -г su + Q2 (х. с)
(24)
Это дифференциальное уравнение имеет в начале коорди-
нат такую же особенность (особую точку такого же типа), как
линейное уравнение
dv рх + qv
dx rx -f- sv
при условии, что определитель
Д = Р Р ^0.
г s
(25)
(26)
В табл. 7 приводятся признаки, определяющие тип особой
точки в начале координат для уравнения (25). Эти же призна-
ки пригодны для определения типа особой точки уравнения (24),
за исключением признаков, определяющих центр. В случае
нелинейного дифференциального уравнения это может быть
центр или фокус. Чтобы их различить, необходимо рассмот-
реть члены высших степеней.
Таблица 7
Тип особой точки Основные условия Дополнительные условия
Устойчивая Неустойчивая
Седло (q — г)2 + 4ps >0; ps — qr. > 0 — —
Узел (q — г)2 + 4 ps:> 0; ps — qr < 0 (q — r)2 -|- 4ps = 0 q -p г < 0 <7 + r >0
Фокус (<? — r)2 + 4ps < 0; q + г + 0 q + г < 0 q + г > 0
Центр (q — r)2 -|- 4ps <0; q + r = 0 — —
Возьмем консервативную систему, описываемую дифферен-
циальным уравнением
тх + f (х) = 0. (27)
Для нее дифференциальное уравнение фазовых траекторий
имеет вид
dv = /(*) (28)
dx mv
127
Интеграл этого уравнения
-^ + p(Z)dZ=c
О
(29)
выражает закон сохранения энергии.
Из уравнения (28) следует, что все фазовые траектории пе-
ресекают ось х под прямым углом (поскольку при v = 0 имеем
— = оо). Фазовые траектории симметричны относительно оси х,
dx
так как в уравнение (29) v входит во второй степени. Фазовая
траектория может быть построена следующим образом. Отло-
жим на вспомогательном графике (рис. 49, а) зависимость по-
Рис. 49
тенцнальной энергии П = f(z)dz от х. Проведем прямую,
о
параллельную оси х, на расстоянии Сь равном полной энергии
системы. Изменение х происходит в интервале, где П С].
Подсчитывая по формуле (29) значения и для каждого х, стро-
им фазовую траекторию. Точка, в которой потенциальная энер-
гия П имеет минимум (положение устойчивого равновесия),
является особой точкой типа центра.
На рис. 49, б аналогичное построение сделано для случая,
когда П (х) имеет несколько экстремумов. Все точки на осп
абсцисс фазовой плоскости, которым соответствуют минимумы
потенциальной энергии, являются центрами. Максимумам по-
тенциальной энергии (положениям неустойчивого равновесия)
соответствуют особые точки типа седла. Жирной линией на
рпс. 49, б обозначена сепаратриса, разделяющая области с ка-
чественно различными типами движения.
Свободное движение физического маятника без затухания
хорошо иллюстрирует изложенные общие положения. Диффе-
128
ренциальное уравнение этого движения (17) § 6 имеет вид
Jip + mgl sin ip = О,
где угол ф отсчитывается от положения устойчивого равнове-
сия (крайнего нижнего положения центра тяжести).
Имея в виду, что
i dip . Ip3 lb5
= sin ф = ф — + — ....
dip 3! t>!
можем записать:
2 2
о ^0 ^0
— COpIp + - ip3 —-- Ip5 + . . .
dip _ 3! 4 5! V
dip ip
где coo определяется выражением (19) § 6.
Начало координат на фазовой плоскости является особой
точкой. Для определения типа этой точки воспользуемся
табл. 7. В соответствии с формулой (24) имеем р = —coq, q =
= 0, г = 0, s = 1. Учитывая это, получаем (q — г)2 + 4ps =
= —4&>2 <0, q + г = 0. Следовательно, особая точка пред-
ставляет собой центр.
Запишем теперь дифференциальное уравнение свободного
движения того же маятника, отсчитывая угол ф от положения
неустойчивого равновесия (крайнего верхнего положения цент-
ра тяжести)
Лф — mgl sin ф = 0;
отсюда
dip ' ф
Теперь мы имеем р = со2, q = 0, г = 0, s = 1, а значит,
(<7 — г)2 + 4ps = 4со о > 0, ps — qr > 0. Следовательно, начало
координат является особой точкой типа седла.
Фазовый портрет (совокупность фазовых траекторий) дан-
ной системы представлен на рис. 50, а.
Если в маятнике имеется линейное затухание, то дифферен-
циальное уравнение движения имеет следующий вид (угол ф
отсчитывается от положения устойчивого равновесия):
Уф + и ф mgl sin ф = 0
или
ф + 2йф соо sin ф = 0,
где й = — < Юо.
2/
9 Заказ 150
129
Отсюда получаем
Здесь мы имеем р = —и2, q = —2k, г = 0, s = 1. Отсюда
(с/ — г)2 + 4ps = 4k2 — 4со2 < 0. В этом случае q + г = —2k <
< 0. По табл. 7 устанавливаем, что положение устойчивого рав-
новесия представляет собой особую точку типа фокуса.
Отсчитывая угол ф от положения неустойчивого равновесия,
получим
2 2
4ф ф
здесь р — со2; q =
+ 4ps = 4k2 + 4(02
2k-, г = 0; s = 1. Следовательно
((/ —г)2 +
> 0, ps — qr = > 0. Значит положение
Рис. 50
неустойчивого равновесия
является особой точкой ти-
па седла. Фазовый портрет
системы показан на рис. 50, б.
В качестве следующего
примера рассмотрим свобод-
ные колебания системы с су-
хим трением, схематично по-
казанной на рис. 51, а. Харак-
теристика силы трения пред-
ставлена на рис. 51, б. Диф-
ференциальное уравнение дви-
жения относительно положе-
ния, характеризуемого нуле-
вым натяжением пружины,
имеет вид
тх + сх = — Р sign х, (30)
т. е.
' 1 2
X + (О0Х =
р
— при х 0,
т
X + (OqX = — при X < 0,
т
(31)
где
130
Для х > О сделаем подстановку
, Р
*i = х Н------ ,
mcog
в результате чего получим
Х| + (OoXj = 0.
Это уравнение, как показано выше, дает на фазовой пло-
скости особую точку типа центра при Х\ = 0, Х\ = 0, т. е. при
Рис. 51
Для х 0 подстановка
Р
х, = х —---------------------------
‘ 2
приводит к дифференциальному уравнению
х2 -J- cooXg - О',
Р
здесь фазовые координаты х2 = 0, х2 = 0 или х = -—», х = 0
определяют особую точку типа центра.
Фазовый портрет системы изображен на рис. 51, в. Фазовые
траектории в верхней полуплоскости представляют собой эл-
/ Р \
липсы с центром в точке А 0 ,а в нижней полуплоско-
\ otcoq )
/ Р X
сти — эллипсы с центром в точке В ( —~, 0 ). По достижении фа-
VmcOy J
зовой траекторией участка оси абсцисс АВ движение прекра-
щается. Поэтому участок АВ называется зоной застоя.
В системе, показанной на рис. 7, сила пружины 5 была ли-
нейной функцией деформации х. Характеристика пружины, т. е.
зависимость S(x) для этого случая представлена на рис. 52, а
прямой 1. Из бесконечного множества нелинейных характери-
стик отметим два типа: жесткую характеристику, представлен-
ную кривой 2, и мягкую характеристику, представленную кри-
вой 3. Пружина с линейной характеристикой имеет постоянную
жесткость — —. У пружины с жесткой характеристикой жест-
кость — — является возрастающей функцией абсолютного
значения деформации |х|. У пружин с мягкой характеристи-
кой жесткость —~ —убывающая функция |х|.
Пусть S = —сх — схх3, где с > 0. Если ct > 0, то характе-
ристика пружины жесткая. Если ct < 0, то пружина имеет мяг-
кую характеристику. При жесткой характеристике пружины
дифференциальное уравнение движения системы, показанной
на рис. 7, можно записать в следующей форме:
х + (£>ох 4- а2х3 = 0,
> 0,
х отсчитывается от положения равновесия.
Отсюда
dx _ — COqX— Л3
dx х
здесь р = —со2; q = 0; г = 0; s = 1. Это, как мы видели выше,
свидетельствует о том, что начало координат на фазовой пло-
скости представляет собой особую точку типа центра. На
рис. 52, б показан фазовый портрет этой системы.
Для мягкой характеристики дифференциальное уравнение
движения имеет вид
х + coqx — а2х3 = 0,
/ ci
где а = 1 / — ;
I т
132
отсюда получаем
• 2 2 4
dx _ — toox + а хл
dx x
В начале координат опять имеем особую точку типа центра.
Однако, если | х | может принимать достаточно большие значе-
ния, то система, помимо устойчивого положения равновесия
при х = 0, имеет еще два неустойчивых положения равновесия.
Действительно, уравнение равновесия — кубическое
сосХ -— сх2 * * * * *х8 = 0;
оно имеет три действительных
корня: 0, —, ——. Перенеся на-
ex а
ч>о
чало отсчета абсцисс в точку —,
а
перейдем к аргументу X] = х —
СОо
——-, откуда
а
dx 2<i)gXj -f- 3gc)gX2 -p a2x8
dx хл
Поскольку здесь p = 2to2, q = 0, г = 0, s = 1, новое начало
координат представляет собой особую точку типа седла. Такого
же типа особая точка , о). Фазовый портрет системы с
\ a J
мягкой характеристикой пружины показан на рис. 52, в.
В автономных системах, движ'ение которых описывается,
например, нелинейным дифференциальным уравнением типа
х + <р (х) + f (х) = 0,
могут иметь место стационарные самовозбуждающиеся колеба-
ния (автоколебания). Это происходит в тех случаях, когда при
малых значениях |х| производная < 0, а при больших
dx
значениях |х| - - > 0. Размах автоколебаний хтах — Хп.т
dx
устанавливается таким, что работа неконсервативной силы <р(х)
за период Т равна нулю, т. е.
т
f <р (х) xdt — 0.
о
133
Фазовый портрет такой системы показан на рис. 53. Изо-
браженная жирной линией замкнутая фазовая траектория, со-
ответствующая установившимся автоколебаниям, называется
предельным циклом.
§ 17. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Метод последовательных приближений по своей идее чрезвы-
чайно прост. Он заключается в использовании какого-либо под-
ходящего итерационного процесса, т. е. повторного применения
одних и тех же математических операций. Для использования
этого метода необходимо, во-первых, иметь подходящее перво-
начальное приближение (т. е. приближенное решение), во-вто-
рых, убедиться, что процесс последовательных приближений
сходится.
Пусть имеется дифференциальное уравнение
х + f(x, х, t) = 0, (1)
где f(x, х, t) —периодическая функция аргумента t.
Будем искать периодическое решение уравнения (1). пред-
полагая, что его приближенное решение
х = х0 (0 (2)
нам известно. Решаем уравнение (1) относительно х:
х = — f(x, х, t) (3)
и подставляем в правую часть решение (2) и его производную
X1 = —f(x0 х0, /); (4)
индекс при х обозначает номер приближения.
Проинтегрировав равенство (4) дважды, получим
Х1 = — j j f(x0> Хо, t) dt2- (5)
здесь постоянная первого интегрирования принята равной ну-
лю, так как мы ищем периодическое решение. Полагая посто-
янную второго интегрирования также равной нулю, мы тем
самым выбираем начало отсчета в среднем положении колеб-
лющейся точки. Зная приближение хь таким же путем ищем
следующее приближение:
х2 = — j J f (хп х1; t) dt2 (6)
и т. д. до тех пор, пока не получим необходимой точности.
Практически каждое последующее приближение сопряжено
с быстро возрастающей громоздкостью выкладок и вычисли-
тельными трудностями. Поэтому нередко ограничиваются од-
ним приближением.
134
Пусть, например, для уравнения Дуффинга
X 4- COqX 4- а2х3 — и cos со/ (7)
приближенное решение имеет вид
х0 = a cos со/. (8)
Подставив его в дифференциальное уравнение (7), восполь-
зовавшись тригонометрическим тождеством
cos3 р = — cos В 4—— cos Зр (9)
4 4
и приравняв коэффициенты при cos со/ в левой и правой частях,
получим кубическое уравнение:
(со2— со2)а 4- -к cz3 = и, (10)
4
определяющее амплитуду а.
Решим теперь уравнение (7) относительно второй произ-
водной и подставим в него х0, воспользовавшись тождест-
вом (9):
х, = — со2а cos со/-й3 cos со/ 4- и cos со/ + — cftz’cos Зсо/. (11)
4 4
Подставив сюда значение и из выражения (10), будем
иметь
хг = — (о2а cos со/-~~ cos Зсо/, (12)
откуда находим очередное приближение:
х, = a cos со/ 4~ —— cos Зсо/, (13)
1 36и2
состоящее из первой и третьей гармоник. Дальнейшие прибли-
жения, которые позволили бы уточнить значение амплитуды
первой и третьей гармоник и найти амплитуды следующих,
практически весьма затруднены громоздкостью выкладок, и
обычно их не производят. Мы не останавливаемся здесь на
проверке сходимости итерационного процесса.
Одной из разновидностей метода последовательных при-
ближений является метод Раушера, согласно которому в каче-
стве исходного приближения для дифференциального уравне-
ния вынужденных колебаний нелинейной системы берется под-
ходящее решение дифференциального уравнения свободных
колебаний той же системы. Последнее у консервативных си-
стем с одной степенью свободы может быть сведено к квадра-
туре. Пусть дано дифференциальное уравнение
х + f (х) — и cos <о/- (14)
135
Ищем сначала периодическое решение уравнения
х + f(x) = 0 (15)
с частотой to. В качестве начальных условий принимаем
х(0) = а, х(0) = 0, (16)
где максимальное смещение а должно быть подобрано так,
чтобы оно соответствовало угловой частоте со.
Первый интеграл уравнения (15) при начальных условиях
(16) имеет вид:
^- = ff(E)dE;
отсюда, обозначив
Ф(х) = р®<& (17)
будем иметь
х = — У2[Ф(а) —Ф(х)]. (18)
Второй интеграл можно получить из выражения (18) в та-
кой форме:
t = = f г- = (19)
J /2[Ф(а)-ФЮ1 ’
С целью упрощения положим, что входящая в дифферен-
циальное уравнение (14) функция Дх) нечетна, т. е. Дх) =
= —Д—х). Тогда для изменения х от а до 0 потребуется чет-
верть периода, т. е. —. Следовательно,
2 со
[ . (20)
.) ]Л2[Ф(а)-Ф(О] 2со v
о
Из зависимости (20) определяется значение максимального
смещения а.
Получив из выражения (19) исходное приближение /0(х),
подставим его в уравнение (14):
x + f(x) — w cos [citf 0 (х)] = 0. (21)
Решая это уравнение так же, как и уравнение (15), находим
t\ (х), а затем в случае необходимости делаем следующее при-
ближение и т. д.
136
§ 18. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Метод осреднения при решении нелинейных дифференци-
альных уравнений был развит и обоснован в трудах Н. М. Кры-
лова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского. Метод гар-
монического баланса является разновидностью метода осред-
нения. Рассмотрим его на примере уравнения
х + f (х, х) = и cos mt. (1)
Периодическое решение этого дифференциального уравне-
ния естественно представить рядом Фурье:
оо
х = + V (а„ cos п at -р bn sin nat),
2
откуда
ОО
х = со "V п (— ап sin nat + bn cos neo/).
n=l
Разложим теперь в ряд Фурье функцию f(x, х):
ОО
f со V п (— ап sin п at + bn cos псо/),
n=l
со
У (а„ cos п at + bn sin nat) —
2
А
= —— + V (Ап cos ncot.-p Вп sin nat).
п= 1
(2)
(3)
Сохранив в разложениях только первые гармоники, запи-
шем выражения коэффициентов Ао, Аь Вх по формулам (2)
§ 4:
(!)
Ао = — ( f (— аа± sin at -Р abx cos at,
n j \
jT
-j- a. cosco/ -I- b, sin at ] dt,
2 J
JT
(0
Aj = — I f ( — cofij sin at -P abr cos co/,
(5>
137
at cos wZ + sin со/ \ cos atdt,
(6)
(!)
co r
— coo1 sin coZ + abv cos at,
Л
(!)
~—|- a± cos at Д- by sin coZ j sin atdt.
(7)
Далее из соотношения (3) находим, ограничиваясь первой
гармоникой,
х = — со2 (сд cos at 4- by sin coZ). (8)
Подставив теперь полученные выражения в исходное урав-
нение (1), будем иметь
А
— сАд cos at — <o2b1 sin at -f- -у- Д- Ay cos at 4 By sin at = и cos at,
откуда
Л = о,
— a2by + Bj = 0,
— a2at + Ay = и.
(9)
(Ю)
Теперь подставив сюда значения Ло, Л1 и Ву из равенств
(5) — (7), получим уравнения для определения а0, Щ и Ьх:
Л
(!)
J f —con, sin at + aby cos at, Д-
__л
(!)
4- д, cos at Д- b, sin at^ dt = 0,
Л
(0
— co2bt Д- — ( f(—aar sin at Д- aby cos at, -^-Д-
n J \ 2
_ Л
(!)
(II)
+ ед cos at + br sin at
sin at dt = 0,
Л
(!)
— cAzj—coflj sincoZ Д- ab} coscoZ, +
__Л
(!)
4- cos at + bt sin at
cos at dt = u.
138
Степень точности полученного приближенного решения за-
висит от того, как быстро сходится ряд (2).
В качестве примера возьмем уравнение Дуффинга (7) § 17:
X + соох а2хя = и cos соЛ
Решение, которое ищем в виде
х = 4- aicos + bi s*n
удобно преобразовать таким образом:
х = 4- cos (at — <рг),
где С[ и <р! определяются через и Ъ[ по формулам (4) § 4,
откуда
о1 = Cj cos <рр
bi = Ci sin фр
В рассматриваемом примере
f (х, х) = f (х) = ыох 4- и2х3.
Подставив сюда значение х и сохраняя гармоники не выше
первой, получим
/(х) = -^
а2Ор За2с0с2
8 4
,(.2 , 3a2floCi , 3“2с1
+ I f,,oc 14~
4 4 /
Теперь из первого равенства (11) получаем
/ С£>0 a2fl0 3с1
°о-------1--------Ь ----
2 8 4
= о,
откуда а0 = 0.
Второе равенство (11) дает
(ю02 — со2) с, 4- — сс2с? sin ф. = 0,
4
откуда (pi = 0
Наконец, из третьего равенства (11) находим
/2 2\ , 3 2 3
с, (йо — со ) 4-а С{ = и,
4
полученным ранее выражением (10) § 17.
полученное приближенное решение, можно за-
нелинейное дифференциальное уравнение ли-
, решение которого
139
что совпадает с
Использовав
менить исходное
нейным дифференциальным уравнением,
совпадает с приближенным решением исходного нелиней-
ного уравнения. Такое преобразование дифференциального
уравнения называется методом эквивалентной линеаризации.
Заменим обследованное нами уравнение Дуффинга линей-
ным уравнением
х ф- kwox = ucoswZ. (12)
Подставив сюда приближенное решение уравнения Дуф-
финга, полученное методом гармонического баланса, запишем
следующую зависимость:
(&оо — к»2) сг = и. (13)
С другой стороны, мы имели
/ 2 2\ , з 2 3
(«о — <0 ) су -]-а С] = и. (14)
4
Сопоставив эти два выражения, получаем
Следовательно, линеаризованное дифференциальное урав-
нение (12) имеет вид
/ За2С] \ 2
х + | 1 -|-----0)0Х = u cos со/. (16)
\ Ч )
Полученное путем эквивалентной линеаризации дифферен-
циальное уравнение имеет одну важную особенность: коэффи-
циент при х в левой части уравнения, представляющий собой
квадрат собственной частоты, зависит от амплитуды колеба-
ний С].
§ 19. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Идея метода малого параметра заключается в разложении
решения данного дифференциального уравнения в ряд по сте-
пеням малого параметра около так называемого порождающе-
го решения. Оно представляет собой решение порождающего
(укороченного) дифференциального уравнения, которое полу-
чается из исходного при обращении малого параметра в нуль.
Этот метод был предложен и математически обоснован Анри
Пуанкаре. Не касаясь вопросов обоснования, рассмотрим тех-
нику применения одного из вариантов метода малого парамет-
ра на примере решения дифференциального уравнения
m d к- сх с,х3 — 0 (1)
eft2 1 v '
140
или
—— + о)ох + сс2№ = 0, (2)
Л2
где
Решение будет строиться в виде ряда около решения по-
рождающего уравнения
-^- + <^х = 0. (4)
<и2
Понятию малого параметра можно придать строгий смысл,
когда этот параметр не имеет размерности, т. е. когда его ве-
личина не зависит от принятого масштаба измерения. Поэтому
целесообразно привести дифференциальное уравнение к без-
размерному виду, что можно сделать, например, введением
безразмерных переменных
т = = со/, £ = —; (5)
а
здесь а — полуразмах колебаний;
о) — частота колебаний;
X — отношение частоты колебаний <в данной системы к
частоте <»о порождающей системы.
Подставив новые переменные (5) в уравнение (2), обозна-
чая точками над g операцию дифференцирования по т и введя
малый параметр
получим
Й + ^+ц^.= 0. (7)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда
g (т) = g(0) (т) + ^(1) (т) + р2В(2) (т) + ... (8)
Отношение частот также представим в виде ряда
% = 1 + pXj + ц2Х2 + ... (9)
В каждом конкретном случае избранный параметр ц счи-
тается малым, если сходятся используемые ряды по его сте-
пеням. Если в исходном дифференциальном уравнении нет под-
ходящего параметра, то его можно ввести искусственным
путем.
141
Подставим теперь ряды (8) и (9) в исходное уравнение (7)
(имея в виду сохранение членов до второго порядка маслостп
включительно, т. е. содержащих в качестве множителя вторую
степень р)
[ 1 + 2pXj + р2 (Хх + 2Х2) + ... ] (£0) + |4(1) + Р21(2) +-.-) +
+ V0) + р^> + рЧ(2) + ... + ^(0)3 + зрЧ(0)Ч(1) + ... =0. (10)
Эта подстановка превращает дифференциальное уравнение
(7) в тождество (10), действительное для любых значений р
в пределах сходимости рядов. Поэтому должны быть в отдель-
ности равны нулю коэффициенты при каждой из степеней р,
начиная от нулевой степени. Приравняв эти коэффициенты ну-
лю, получаем последовательность линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка относительно функций (п =
= 0, 1, 2, ...). Выпишем эти уравнения:
£0)-Н(0) = 0, (11)
= —2ХД(0) —В(0)3, (12)
g(2) + ^<2) = (Х2 + 2x2)V0) — 2X.J?1’ — 3g(0)2e(1), (13)
Эти уравнения будем решать, потребовав, чтобы все функ-
ции имели общий период 2л, т. е.
= «(п) (т + 2л), (п = 0, 1, 2, ...), (14)
и приняв, что в начале отсчета аргумента система имеет наи-
большее отклонение от положения равновесия, т. е. при т = 0
^=1,4 = 0, (15)
причем эти начальные условия распределены между составля-
ющими функциями и их производными следующим об-
разом: при т = 0
£(0) = 1, Ё(0) = 0, E(ft) = 0, i(ft) = 0, (6=1, 2, ...). (16)
Общий интеграл порождающего уравнения (11) может быть
записан в такой форме:
£(0) = а0 cost + b0 sin т. (17)
На основании условий (16) а0 = 1, Ьо = 0, следовательно,
e(0) = cosT. (18)
Подставив это решение в правую часть дифференциального
уравнения (12) и применив тождество (9) § 17, получим
£(1) £(') _ /2Хх-—^cost-----— cos3t. (19)
\ 4 / 4
142
Для выполнения условия периодичности (14) необходимо,
чтобы в правой части уравнения (19) отсутствовал резонанс-
ный член, т. е. чтобы коэффициент при cos т был равен нулю
2Х, — — = О,
4
откуда
К = 4 • (20>
О
С учетом этого общий интеграл уравнения (19) имеет вид
Е(|) = a, cos т 4- bi sin т 4-cos Зт.
1 1 32
Из начальных условий (16) находим
с, = — ——, О,
1 32 1
откуда
Е(1> = -----— cost -|-— cos3t. (21)
32 32
Подставим теперь результаты (18), (20) и (21) в правую
часть дифференциального уравнения (13) и после тождествен-
ных тригонометрических преобразований получим
Ё(2) ^(2) _ /2^ —21_\ cos т —3_ cos -----3_ cos (22)
V 128 / 16 128
Из условий периодичности (14) имеем
откуда
(23)
С учетом этого запишем общий йнтеграл уравнения (22)
ё(2) = a, cos т 4- bv sin т — - — - cos Зт 4--— cos 5т.
2 2 128 1024
На основании начальных условий (16)
отсюда
£ (2) 23 cos ---------3 cos -------1 cos
1024 128 1024 v
Подставив теперь полученные результаты в ряды (8) и (9),
получим искомое решение нелинейного дифференциального
143
уравнения (7) с точностью до членов второго порядка малости
включительно:
- /1 1 , 23 ,1/1 3 \ „
с = [ 1---ц 4--------и* cos т Н-----р, ( 1 --ц) cos Зт 4-
< 32 1024 г / 32 < 4
4------— р2 * cos 5т (25)
1024 V ’
и отношение частот
(26>
О ДОС)
Возвращаясь теперь к исходному дифференциальному урав-
нению (2), запишем его решение:
< । а2а2 । 23<х4а4
32<Bq 1024cOq
. За2а2 X <5 7, а4а5 г ,
1----------) a cos 4-------------cos 5ы/,
4<Dq у 1024<Bq
a cos at +
х =
2Л2
32<£>5
(27)
где
/, . Зсс2а2 21а4а4
® = ®о 1 4-------
\ 8“о
256с0(*
(28)
Другие примеры применения метода
можно найти в § 36 и 42.
малого параметра
§ 20. МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ
В § 17—19 рассматривались приближенные аналитические
методы исследования нелинейных систем. Здесь речь будет
идти о точном методе припасовывания (пристыковывания, сши-
вания), который обычно находит применение при исследовании
кусочно-линейных систем, т. е. таких нелинейных систем, пове-
дение которых на отдельных участках описывается линейными
уравнениями. Решение ищется для каждого участка, а затем
начальные условия последующего участка припасовываются
(пристыковываются, пришиваются) к конечным условиям пре-
дыдущего участка.
Рассмотрим процедуру расчета на примере свободных ко-
лебаний системы с одной степенью свободы при наличии сухо-
го трения (рис. 51). Дифференциальное уравнение ее движе-
ния (30) § 16 распадается на два линейных уравнения:
2 Р „
х. 4- со0Х] =-------при х 0,
т
х, 4- гооХг = — nPH х < 0.
т
(1)
(2)
144
Движение на первом этапе начнется при начальных усло-
виях
t = 0, хг = — ас, хг = 0. (3)
Отвечающий этим начальным условиям интеграл уравнения
(1) может быть представлен в виде
*1 = — ( Ло-----cos ---------------; (4)
у у тсйр
отсюда скорость
/ Р \
х = ( а0со0 ------) sin a>ot. (5)
\ mcoo /
Первый этап движения закончится при х = 0 в момент вре-
мени
G = (6)
(Со
Подставив это значение в уравнение (4), получим
Итак, конечные условия первого этапа при t =----
xi ~ со ~ ’> xi= 0; (8)
mct>Q
они же будут начальными условиями второго этапа, когда в
действие вступает уравнение (2), т. е.
при t = ——
а>0
*2 = «о-----. х2 = 0. (9)
mcog
Интеграл уравнения (2), отвечающий начальным условиям
(9), имеет вид
(ЗР \ Р
«0 - I cos aot + —L- , (10)
mcog j тыц
откуда скорость
/ ЗР \
х2 = ( аосоо----) sin eV. (11)
\ тсоо /
Второй этап движения закончится при х2 = 0, т. е. в мо-
мент времени t =—.
соо
10 Заказ 150
145
Следовательно, конечные условия второго этапа будут при
2л.
соо
х2 = — (а0------лг2 = °; (12)
( mag J
они же будут начальными условиями третьего этапа, когда
снова вступит в действие уравнение (1).
Движение представляет собой затухающие колебания с мак-
симальными смещениями, уменьшающимися в арифметической
4Р
прогрессии с разностью —5. Когда по окончании очередного
этапа абсолютная величина смещения окажется меньше или
. Р
равной —движение прекратится,
тоф
Более рельефно возможности метода припасовывания мож-
но продемонстрировать на примере системы, совершающей
периодические колебания. Пусть в только что рассмотренной
задаче к колеблющемуся телу приложена синусоидальная вы-
нуждающая сила. Дифференциальное уравнение колебаний по-
лучит тогда такой вид:
+ = —Psignf-^-')+Бссоз(оФ + ф); (13)
at2 \ at /
здесь ф — подлежащая определению фаза вынуждающей силы
в момент начала первого этапа.
Перейдем к безразмерным переменным
. та>2
т — at, £ =-----х
Fa
и введем безразмерные параметры:
тогда уравнение (13) запишется в виде
В + £ = — Р sign 5 + cos С* + <р);
точкой над £ обозначено дифференцирование по т.
Уравнение (16) распадается на два:
В ф- = — р ф- COS (Т ф- ф) При В О,
В ф- = р ф- cos (т ф- ф) при Ё < 0.
Будем искать периодическое решение с периодом 2л. Пусть
в начале первого этапа, когда вступает в действие уравнение
(17), начальные условия при т = 0
£ = —Во, В = 0. (19)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
146
Общий интеграл уравнения (17) можно записать в следую-
щей форме:
Е, = аг cos (у*т 4- фг)-£-4- —-i— cos (т 4- <р), (20)
t ?! - 1
откуда
£ = — ° 17* sin (^т + фу)--sin (т 4- <р). (21)
?!“»
Подставив в эти зависимости начальные условия (19), по-
лучим
. р . cos ф н ,оох
ах cos i|y-^-4- (22)
?! ?! -1
— суу* sin фг--= 0. (23)
Т,2-1
Учитывая симметричность схемы, можно записать конечные
условия первого этапа движения (по прошествии полупериода),
которые будут также начальными условиями второго этапа
при т = л:
е = t = 0. (24)
Надо учитывать, что могут иметь место более сложные
движения с периодом 2л, когда после каждого этапа движения
следует конечный интервал застоя в крайнем положении.
Подставив в зависимости (20) и (21) условия (24), будем
иметь
ai cos (лЬ 4- ФО----Р- - = Ео. (25)
?! ?!-!
— ауу* sin (лу* 4-фу) 4- Sln (p =0. (26)
?!-’
Таким образом, получены четыре уравнения (22), (23), (25)
и (26), из которых должны быть определены постоянные ин-
тегрирования at и фь начальное смещение и начальная фа-
за ф вынуждающей силы. Займемся определением этих вели-
чин. Сложив уравнения (23) и (26), получим
sin (лу# 4- фу) 4- sin ф! = 0,
откуда
2 sin (4- Ф1^ sin п— = 0,
\ 2 Т1/ 2
Поскольку, вообще говоря,
sin —=^= 0,
2
,0* 147
остается
Фх =-----• (27)
. I' 2
Сложив уравнения (22) и (25) и учтя равенство (27), по-
лучим
G1= _P_sec2^.
V* 2
Ьодставив равенства (27) и (28) в уравнение (23),
(28)
по-
лучим
Ф = arcsin
Р О’2 ~ 9
Т*
(29)
2
Наконец, из уравнения (22), имея в виду, что £о > 0, на-
ходим ______________________
5"= (30>
Из выражения (29) устанавливаем следующее условие су-
ществования искомого решения:
(31)
' Общий интеграл дифференциального уравнения (18), кото-
рое описывает движение на втором этапе, может быть пред-
ставлен в виде
I
= а2соз(^т + ф2) + -^ +—-—cos (т + ф), (32)
v! Т. -1
I • * *
откуда
t = — а2Т* sin (у*т + ф2)-—- (т + ф). (33)
72-1
Подставив в эти два равенства условия (24), получим сле-
дующие уравнения для определения постоянных интегрирова-
ния а2 и фа:
а2 cos (лу* 4- ф2) + —„--= £0, (34)
V2 т! - 1
— а2у# sin (лу* + Фа) + -s‘n ф - = 0. (35)
V.2-1
148
Из уравнения (35) с учетом соотношения (29)> получаем
а2 sin (лу* + ip2) = tg . (36)
У. 2
Из уравнения (34) находим
а2 cos (лу* + ip2) = — -т • (3?)
К
Разделив равенство (36) на (37), можем записать:
tg(^b + if2) = —tg-^-,
откуда
или
^2 = —(38)
и, далее,
а2 =-— sec . (39)
у2 2
Теперь можем записать искомые решения на обоих этапах:
g =---------— + — sec пу*- cos f у*т — 4-
У.2 У? 2 Г 2 )
1 , . I P (у. — 0 . лу*
4---------cos т 4- arcsin ---------1-----— tg ——
у2 — 1 L \ У* 2
£ = —-----------— sec -4ЕЕ*_ cos Л, х----------3-у- ) 4-
Т2 у2 ; 2 е* 2 )
4---—cos Гт 4- arcsin I р(у1 0 «у,
^-1 tS"Tj
при 0 <3 л, (40)
при л т 2л. (41)
Условие (31) необходимо, но недостаточно. Достаточным
будет условие £ 0 при т = 0, откуда на основании получен-
ных зависимостей
р <------------т* -. (42)
lL2-l||/ ^4-tg2^-
।
Изложенное наглядно показывает возможности и процеду-
ру применения метода припасовывания. Следует иметь в виду,
что лишь в немногих случаях дело обстоит так просто, как в
нашем примере. Вообще же метод припасовывания приводит
149
к трансцендентным уравнениям, решить которые можно толь-
ко численными способами, так что общей аналитической зави-
симости по этапам движения в законченном виде, как прави-
ло, получить не удается.
Дальнейшие примеры применения метода припасовывания
содержатся в § 41.
§ 21. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Важной негативной особенностью нелинейных систем яв-
ляется неприменимость к ним принципа суперпозиции. Это
проявляется, в частности, в том, что сумма двух или несколь-
ких решений системы не представляет собой решения этой си-
стемы. Это проявляется также в том, что реакция нелинейной
системы на два или несколько одновременных воздействий не
равна сумме реакций этой системы на каждое из воздействий,
приложенных порознь.
Автономные консервативные нелинейные системы, вообще
говоря, неизохронны (хотя существуют частные случаи изо-
хронных нелинейных систем). Это значит, что частота их сво-
бодных колебаний зависит от их размаха. У систем с жесткой
характеристикой восстанавливающей силы собственная часто-
та возрастает с ростом размаха колебаний. Если же восстанав-
ливающая сила имеет мягкую характеристику, то собственная
частота убывает с ростом размаха колебаний. Применительно
к уравнению (1) § 19 это видно из формулы (28) § 19, кото-
рую запишем, сохраняя только два члена и принимая во вни-
мание равенства (3) § 19:
® = <оо(1 + (1)
Если С] > 0, т. е. характеристика восстанавливающей силы
жесткая, то — > 0. Если же ct < 0, то — < 0 (здесь а — полу-
да да
размах колебаний).
Соответственно этому при вынужденных колебаниях нели-
нейных систем резонансная частота зависит от размаха коле-
баний. На рис. 54, а представлена «амплптудно»-частотная 1
характеристика системы, описываемой уравнением
X + Юо* + сс2л 3 = и COS <£>t (2)
при а2 > 0. а на рис. 54, б при а2 < 0. На этих рисунках линии
6—7, называемые скелетными кривыми, представляют сбой за-
1 Кавычки в названии характеристики подчеркивают, что по оси ординат
откладывается не амплитуда, а полуразмах колебаний.
150
висимости (1) частоты свободных колебаний от «амплитуды».
Участки кривых 4—3 неустойчивы.
Если в системе есть линейная диссипация энергии, то вме-
сто уравнения (2) будем иметь
х + 2/ix -|- а20х + а2х3 = и cos at, (3)
для которого «амплитудно»-частотные характеристики изобра-
жены на рис. 54, в при а2 > 0 и на рис. 54, г при а2 < 0.
Рис. 54
Проследим по рис. 54, в, как будет вести себя система при
достаточно медленном увеличении частоты ю от нулевого зна-
чения. Полуразмах колебаний будет возрастать по кривой 1—2
и в точке 2 достигнет максимума (резонанс). При дальнейшем
возрастании частоты возмущения со полуразмах будет убывать
до точки 3, в которой частотная кривая имеет вертикальную
касательную. При дальнейшем сколь угодно малом росте <о
полуразмах колебаний скачком снизится от точки 3 до точки 4.
Далее при возрастании и полуразмах будет плавно убывать
вдоль линии 4—5.
Если начиная от точки 5 достаточно медленно уменьшать
частоту и, то полуразмах колебаний будет плавно возрастать
до точки 6, где касательная частотной кривой вертикальна.
Здесь при дальнейшем сколь угодно малом уменьшении со по-
луразмах скачкообразно возрастает от точки 6 до точки 7.
151
Далее с убыванием частоты полуразмах будет плавно умень-
шаться по линии 7—1.
Следует отметить, что столь просто явление протекает тог-
да, когда возбуждающее воздействие осуществляется от иде-
ального источника энергии с абсолютно жесткой характеристи-
кой. Это значит, что возбуждающее воздействие совершенно не
зависит от того, как реагирует система. Для случая, представ-
ленного на рис. 54, г, подобные упомянутым явления будут
наблюдаться при противоположных изменениях частоты.
Итак, во-первых, имеются критические частоты, соответст-
вующие точкам 3, 4 и 6, 7 на рис. 54, в и г, при которых про-
исходит скачкообразное изменение размаха (срыв) колебаний.
Во-вторых, на «амплитудно»-частотных характеристиках име-
ются участки 7—2 и 4—6, которые могут быть достигнуты при
изменении частоты возбуждения только в одну сторону (толь-
ко при увеличении частоты или только при ее снижении).
В-третьих, имеются участки «амплитудно»-частотных кривых
3-—6, которые отвечают неустойчивым состояниям и поэтому не
могут быть реализованы. В-четвертых, при изменении (напри-
мер, уменьшении) амплитуды вынуждающего воздействия «ам-
плитудно-частотные кривые смещаются (см. штриховые кри-
вые на рис. 54, виг) таким образом, что максимум движется
вдоль линии 2—8, оставаясь на ней. Следовательно, резонанс-
ная частота изменяется. В § 16 отмечалось, что в некоторых авто-
номных неконсервативных нелинейных системах могут устанав-
ливаться периодические колебания со строго определенными
размахом и частотой (самовозбуждающиеся колебания или ав-
токолебания). Эти колебания поддерживаются за счет поступле-
ния энергии от неколебательного источника.
Многие нелинейные системы способны реализовать качест-
венно различные режимы движения, причем у границ этих ре-
жимов достаточно ничтожно малого изменения одного из па-
раметров, чтобы система скачком перешла от одного типа
движения к другому, качественно отличному типу движения.
Рассмотренное выше явление срыва колебаний представляет
простейший пример такого рода переходов. Под действием сину-
соидального возбуждения нелинейная система совершает коле-
бания широкого спектра. При этом основная частота колебаний
может быть в 2 или иное целое число раз меньше частоты воз-
буждения (субгармонические колебания).
В ряде случаев нелинейным системам свойственно явление
захватывания частоты, когда при достаточном сближении двух
или нескольких частот колебания в системе осуществляются
с одной частотой. Частным случаем захватывания является
самосинхронизация двух или нескольких связанных объектов.
Г л а в a IV
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
§ 22. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ
ПРИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Запишем уравнение движения консервативной колебатель-
ной системы следующим образом:
тх: + f (xj = 0, (1)
где f (х) — восстанавливающая сила.
Подстановкой
уравнение (1) может быть приведено к виду
mxdx f (х) dx = 0. (3)
Проинтегрируем это выражение от начальных значений
входящих в него переменных
х = 0, х = хт (4)
до текущих значений
mudu f (z) dz = 0. (5)
г о
т
Обозначив f(x)dx = П(х) и приняв /7(0) = 0, будем иметь
•и у 2
Е^ + П(Х)=-^Е. (6)
Интеграл (6) представляет собой математическое выраже-
ние закона сохранения энергии, причем первое слагаемое левой
части — это текущее значение кинетической энергии Т системы,
второе слагаемое — текущее значение потенциальной энергии
системы. Постоянная величина, стоящая в правой части, равна
полной энергии Е данной системы. Действительно, Е — это ки-
нетическая энергия системы в начальный момент, когда ее по-
тенциальная энергия равна нулю.
Уровень, от которого производится отсчет потенциальной
энергии, как известно, произволен. Положив П (0) = 0, мы при-
153
няли, что в положении устойчивого равновесия при х = 0 по-
тенциальная энергия системы равна нулю. Это значит, что сте-
пенной ряд Маклорена, представляющий собой П(х), имеет
вид (см. § 10)
лМ=2йдх»+дах.+.... (7)
Итак, равенство (6) может быть записано в следующем
.виде:
Т + П = Е. (8)
В колеблющейся системе потенциальная энергия дважды за
период будет принимать максимальное значение
Лтах = Е (9)
при х = хтах и при х = Xmin. т. е. при наибольших отклонениях
системы от положения равновесия в одну и в другую сторону.
В эти моменты кинетическая энергия будет принимать мини-
мальные значения'
7^ = 0- (Ю)
Дважды за период система будет проходить через положе-
ние равновесия, и в эти моменты ее кинетическая энергия бу-
дет достигать максимума
7’тах = £. (Н)
;а потенциальная — минимума
Лт1п = 0. (12)
Таким образом, колебания кинетической и потенциальной
энергии происходят с размахом £ и с частотой, в 2 раза боль-
шей частоты колебаний рассматриваемой системы.
Особую наглядность это положение приобретает в линей-
ной консервативной системе с одной степенью свободы. Ее по-
ведение описывается уравнением (3) § 6
тх + сх = 0.
В этом случае потенциальная энергия определяется выра-
жением
77 =~- (13)
Если при t = 0 будем иметь, подобно условиям (4), х = 0,
х = ха, то интеграл уравнения (3) § 6 получит в соответствии
£ формулой (10) § 6 следующий вид:
х = — sin <о0/, (14)
ы0
154
где ьзо определяется выражением (5) § 6
/ с
ю0= 1/ — •
|/ т
Поскольку ха = ыоХа вместо выражения (14) получим
X = ха sin (£>ot,
откуда
X = (Лоха COSC00t
Полная энергия системы
-о 9 9 2
тха та^ха сха
Е =------=--------=------.
2 2 2
Кинетическая энергия
Т = Е cos2 соо/ = -i- £ (1 + cos 2соо/).
Потенциальная энергия
П = Е sin2 соо/ = Е (1 — cos 2соо0.
(15)
(16)
(17)
Эти выражения показывают, что кинетическая и потенци-
альная энергия колеблются в противофазе с частотой, равной
удвоенной собственной частоте
-системы. Следовательно, за один
период свободных колебаний си-
стемы происходят два цикла пол-
ного превращения кинетической
энергии в потенциальную и по-
тенциальной в кинетическую. Это
иллюстрируется рис. 55.
При свободных колебаниях
диссипативных систем, .помимо
превращения кинетической энер-
гии в потенциальную и потенциальной в кинетическую, имеет
место рассеяние энергии. Возьмем в качестве примера систему,
описываемую дифференциальным уравнением (27) § 6
тх + Ьх 4- сх = 0.
Если в качестве начальных условий принять при t = 0 х =
— О, х = Л'о, то в соответствии с зависимостями (30), (32) —
ч(34) § 6 будем иметь
х = — е~ы sin <i\t, (18)
W1
где, согласно формулам (29) и (31) § 6,
h = —— ; Wj = 1/ со? — /г2.
2т 1 ' °
155
Продифференцировав по времени выражение (18), получим
x = 6), (19)
«1
где 6 — угол потерь; в соответствии с формулами (36) § 6
cos 6 =
«о
Согласно принятым условиям, в начальный момент х = 0 и
система не обладает потенциальной энергией, следовательно,
вся ее энергия находится в форме кинетической энергии. Анало-
гичное положение будет через любое целое число полуциклов
(цикл составляет — V Через п циклов энергия системы будет
«1 )
определяться выражением
- 2 • 9
т*п тх0 _21)п
=--------=--------е
2 2
(20)
где О — логарифмический декремент колебаний, который в со-
ответствии с формулой (42) § 6 равен
а - 2я/г .
«1
Через п + 1 цикл будем иметь соответственно
mx^+I тх20 -2й(п+1) ....
^п+1 — —2 — е (21)
Следовательно, рассеяние энергии за (п + 1)-й цикл со-
ставляет
АЕп+1 = е-20п (1 - в”20). (22)
Суммарное рассеяние энергии за все п предшествовавших
циклов составляет
• 2
^(! —е-2^-
2 v
(23)
Если консервативная линейная системы с несколькими сте-
пенями свободы задана своими нормальными координатами
(см. § 11), то по каждой из степеней свободы, определяемой
соответствующей нормальной координатой и нормальной ско-
ростью, наблюдается та же картина поочередного превращения
кинетической энергии в потенциальную и потенциальной энер-
гии в кинетическую, что и в консервативной линейной системе
с одной степенью свободы.
Существенно новое явление наблюдается в связанных си-
стемах. В них, помимо указанных превращений энергии, про-
156
исходит еще поочередный обмен энергией (циркуляция) меж-
ду степенями свободы системы. С таким примером мы встре-
чались в § 11, рассматривая свободные колебания консерва-
тивной системы с двумя степенями свободы, схематически по-
казанной на рис. 24, б. Там указанное явление иллюстрирова-
лось рис. 24, в и г.
Рассмотрим теперь автономную диссипативную линейную
систему с несколькими степенями свободы. Уравнения ее дви-
жения, согласно формулам (10), (16), (20), (22) § 10, имеют
вид
V£M/ + ^М/+2^ = 0, = 1-2-••>«)• (24)
/-1 /=1 /=1
' Вычислим скорость изменения полной энергии системы, т. е.
dE
производную — . Согласно формулам (10) и (16) § 10 полная
энергия системы
п п п п
Е = — 2 2 a'4q^qi + т 2 2 k4qiqi- (25)
1=1 /=1 1=11=1
Дифференцируя это выражение по t и принимая во внима-
ние уравнения (24), находим
п п п п п п п
-зг=2 2 ar>qiqi+ 22 kiiq‘qi= 2q< {2 a6qi + 2 =
/=1/=1 /=1 j=l /=1 /=1 /=1
п п
= -22^/ = -2Ф. (26)
i=i i=i
Таким образом, полная энергия системы убывает (о чем
свидетельствует знак минус) со скоростью, равной удвоенной
величине диссипативной функции.
§ 23. МОЩНОСТЬ, НЕОБХОДИМАЯ ДЛЯ ПОДДЕРЖАНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.
ЦИРКУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ ЕЕ ИСТОЧНИКОМ
И КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СИСТЕМОЙ
Возьмем систему с одной степенью свободы, описываемую
уравнением (16) §7
тх + bx + сх = Fa cos wt.
Периодическое решение его дается выражениями (19) —
(21) §7:
X = ха cos (ю/ — ср),
157
где
т У (со2 — со2)2 + 4/г2со2
ср — arctg
Скорость
2/г со
со2 — со2
х = — ха sin (о/ — tp) = — мха sin (со/ — <р).
Энергия, необходимая для поддержания колебаний в тече-
ние одного периода, определяется выражением
2л
А = Fxdt, (1)
о
где согласно равенству (1) § 7,
F = Fa cos at.
Подставив в подынтегральное выражение значения вынуж-
дающей силы и скорости, получим
2л
(1)
А = — Faxna J cos at sin (<й/ — ф) dt,
о
откуда
А = nFnxa sin ф. (2)
Теперь легко записать выражение средней мощности, раз-
виваемой источником энергии:
NcP = = у- Faxa sin ф. (3)
Подставив сюда значение ха, а также
2Лсо
sm ф == ---,
(сор — о2)2 _|_ 4/г2со2
будем иметь
Т2со2/г
ср т [(«Q — со2)2 + 4/г2со2|
При помощи очевидного соотношения
х = Fa COS tp
т (сор — со2)
формуле (4) для средней мощности можно придать вид
Т2со sin 2ф
=---------------—
4пг (<0р — со2)
(5)
158
Если в равенство (1) вместо вынуждающей силы подста-
вить эквивалентную ей левую часть дифференциального урав-
нения (16) § 7, то с учетом выражения (3) получим
2гС 2л 2Л
Ncp — ~~ J mxxdt + j bx^dt + cxxdt. (6>
ООО
В силу взаимной ортогональности х, х и х на периоде коле-
баний первый и третий интегралы равны нулю. Это значит, что.)
при периодических колебаниях не требуется, чтобы в вынуждаю-
щем механизме развивалась мощность на преодоление сил инер-
ции и сил упругости или иных потенциальных сил (речь идет о*
средней мощности, а не о мгновенных значениях ее). Следова-
тельно, мощность необходима только для преодоления диссипа-
тивной силы. Взяв второй интеграл правой части равенства (6)._
получим после необходимых преобразований известную уже нам;
зависимость (5).
Мгновенное или текущее значение мощности, развиваемой
источником, равно произведению мгновенных значений вынуж-
дающей силы и скорости колебаний:
N = Fx, (7),
откуда
N = — Faxaa cos at sin (at — <p)
или
N = Faxaa sin ф — Faxaa sin (2at — <p). (8),
На основании равенства (3) можем также записать:
N = Ncp — j- Faxaa sin (2at — ф). (9).
Итак, мгновенная мощность N, развиваемая источником
энергии, представляет собой синусоидальную функцию време-
ни, изменяющуюся с частотой, в 2 раза большей частоты оз ко-
лебаний системы, около среднего значения NCp- Поскольку
sin ф < 1, амплитуда колебаний мощности —Faxaa превышает
ее постоянную составляющую (среднее значение) ~ Faxaa sin ф.
Благодаря этому мгновенная мощность представляет собой зна-
копеременную функцию, которая за период колебаний системы
2л о *
— четыре раза изменяет свои знак. А это значит, что дважды за
период колебаний системы энергия течет из источника в систему
(когда мощность, развиваемая источником, положительна), и
159.
дважды она течет обратно из колеблющейся системы в источник
энергии (когда мощность, развиваемая источником, отрица-
тельна) .
Максимальное (положительное) значение мощности
Мпах = у F аХаЫ (1 + Sin <р). (10)
Минимальное (отрицательное) ее значение
Мпш = — sin <р). (11)
Ясно, что при л > ср > 0 (чему соответствует h > 0)
l^raax|>|Mmin|.
В случае q> — — (чему соответствует со = ы0 или недостижи-
мое предельное значение h = со)
^min 0» ^тах “ F
т. е. мгновенная мощность в этом исключительном случае всегда
больше или равна нулю. На рис. 56, а показана кривая мгновен-
ной мощности в общем случае.
, Воспользовавшись тождест-
венным преобразованием
sin (2<о/ —'ф) = sin (2(о/ — 2ф -|-
+ ф) = sin ф cos (2<в/ — 2ф) -]-
+ cos ф sin (2о/ — 2ф),
из зависимости (8) получим
выражение мгновенной мощно-
сти в виде суммы двух иных
слагаемых:
N = — Fxta sin ф [ 1 —
2 LI Cl 1 L
—cos (2<а/ — 2ф)]—
---— Faxaa> cos ф sin (2<о/ — 2ф);
(12)
здесь первое слагаемое правой части все время остается не-
отрицательным и колеблется около NCp с амплитудой NCp- Вто-
рое слагаемое колеблется около нуля. На рис. 56, б показаны
эти слагаемые.
Представим теперь выражение (7) в виде
N = (тх + Ьх + сх) х. (13)
160
Нетрудно убедиться, что первое слагаемое правой части ра-
венства (12) соответствует мощности, развиваемой на дисси-
пативном (активном) элементе системы
у Рахаы sin ) 1 — cos (2ы/ — 2<р)] = Ьх2-, (14)
второе же слагаемое правой части равенства (12) соответству-
ет сумме мощностей, развиваемых на инерционном и упругом
(реактивных) элементах системы
---— Fa ха со cos <psin (2wZ — 2<p) = (mx -|- cx)x~, (15)
равно нулю при ф =
т. e. при co — coq.
2 ’
Амплитудное значение переменной части первого слагае-
мого правой части равенства (12) называется активной мощ-
ностью
акт = ср = — FaXa(A SW ф = у FaXa SIH ф, ( 16)
а амплитудное значение второго слагаемого — реактивной мощ-
ностью
Nреакт = у FaXato COS ф = у F(lXa COS ф. (17)
Можно воспользоваться эффективными (среднеквадратич-
ными) значениями вынуждающей силы и скорости колебаний
тогда активная и реактивная мощности могут быть выражены
так:
Nакт ^эф sin ф, Nреакт ~ COS ф . (19)
§ 24. МАКСИМУМ СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ
Расчет мощности, необходимой для поддержания колеба-
ний, представляет собой трудную задачу при разработке новых
вибрационных машин. Такой расчет должен основываться на
заданных диссипативных сопротивлениях, но о них, как прави-
ло, имеются лишь неясные представления. Какие-либо регуляр-
11 Заказ 150
ные методы подсчета диссипативных параметров создаваемой
конструкции обычно отсутствуют. Даже экспериментальные ис-
следования и испытания машин далеко не всегда вносят доста-
точную ясность. Поэтому грубые просчеты в мощности двига-
телей при проектировании новых вибромашин не являются ред-
ким исключением.
Во многих случаях положение осложняется тем, что факто-
ры, определяющие рассеяние энергии при колебаниях, не толь-
ко не стабильны, но, наоборот, изменяются в довольно широких
пределах. В некоторых случаях такие изменения представляют
собой закономерное следствие работы машин, в других слу-
чаях это результат случайных процессов.
Нередко единственно надежным критерием оказывается мак-
симум средней мощности вибровозбудителя. Более того, в ряде
случаев максимальная мощность практически реализуется, и
поэтому указанный критерий становится необходимым и доста-
точным.
Задача о максимуме средней мощности вибровозбудителя
формулируется следующим образом: необходимо установить,
во-первых, при какой величине коэффициента сопротивления
(или иных однозначно выражающихся через него параметров)
возбудитель вибрации будет развивать максимальную мощ-
ность, имея в виду, что остальные параметры системы (масса,
жесткость, амплитуда и частота вынуждающей силы) остаются
неизменными, и, во-вторых, какова величина максимума сред-
ней мощности.
Для линейной системы с одной степенью свободы решение
этой задачи легко найти, рассмотрев зависимость (5) § 23.
Правая часть этого равенства достигает максимума, если
sin 2<р = 1 при too > со, либо если sin 2<р = —1 при соо < и.
„ л
В первом случае максимум достигается при <рт = —, а во вто-
3 л
ром—при фт = — В обоих случаях максимальная величина
средней мощности вибровозбудителя составит
max Лф, = —----------. (1)
. | 9 о I ' z
4m <Dq — ^1
Коэффициент затухания, при котором мощность
максимума, определим из зависимости
достигает
I Ш Фт I
2hma>
2 2 I
<0g — 6)
откуда
2 2
СОр — (О
2 cd
(2)
162
Имея в виду, что коэффициент сопротивления
лучаем
J 12 2 1
д т 110 о I | с — /тго21
.
(О со
Соответствующее относительное затухание,
формулой (43) § 6, будет
I 1 — Т2 ;
2?
где у = — согласно второму равенству (3) § 13.
О)0
Добротность в соответствии с формулой (44) §
Q =I
I 1 — Т2 I ’
b = 2hm, по-
(3)
определяемое
(4)
6
(5)
(6)
Логарифмический декремент колебаний (имеет смысл при
р < 1) в соответствии с табл. 1
ф =------------------------ 2я
V (1—у2)2
Угол потерь (имеет смысл при р sC 1) по той же таблице
= arcsin 1 1 1 . (7)
Выражение (1) теряет силу при соо = со, так как в этом слу-
чае ф =—. Правая часть равенства (5) § 23 при ф = и
со0 = со становится неопределенностью, которая раскрывается
подстановкой значения
2,'ко (cOq — <>г)
2_m2)2 +4ft2(t)2 •
Таким образом, при соо = со
F2 F2
Ncp = —^—=-—^-
р imh 2b
и max Ncp = оо наступает при hm = 0 (b = 0).
Введем безразмерный параметр, пропорциональный мощно-
сти (условно назовем его безразмерной мощностью)
sin 2ср =
(8)
тогда выражение (5) § 23 может быть представлено в виде:
у2 sin 2<р sin 2ср
х = — -----—— —-----— (
СР 4(1-у2) 4(у2-!)’
где в соответствии со вторым равенством (6) § 13 у* = —.
Выражение (1) представится соответственно в такой форме:
1
4 | Т* — 1 |
max
т2
4 | 1 — Т2|
(Н)
Наконец, зависимость (8), действительная при у = у* = 1-
примет вид
1
Хс„ = -----
ср 4Р
(12)
На рис. 57, а представлена зависимость max хср от о, подсчи-
танная по формуле (Ю), причем о определяется равенствами
(15) § 13
о =
у при о у 1,
о 1 , ,
2 — — при 1 у < о
Т
На рис. 57,6 показана зависимость р,п от о, построенная по
формуле (4).
Рис. 57
В табл. 8 сведены параметры, подсчитанные выше.
Применение критерия максимальной мощности осложняется
тем, что диссипативные сопротивления зачастую представляют
собой существенно нелинейные функции скорости, причем вид
этих функций обычно неизвестен. Поэтому важно выяснить,
можно ли пользоваться результатом, полученным для линей-
ных систем, в случае систем с нелинейными диссипативными
сопротивлениями.
С указанной целью будем рассматривать множество законов
рассеяния энергии, при которых диссипативная сила В является
нечетной функцией скорости.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний систе-
мы с одной степенью свободы получит тогда следующий
вид:
d2x
dt2
+ сх = Ва cos at.
т
(13)
164
Таблица 8
Параметры Значения параметров при
со < со0 (0 > СОо (0 = (Оо
max NCp Fa2w ОО
4т | Юр — ы2 |
max пср Т2 оо
4 | 1 — Т2|
<Рт Л 4 Ззт 4 л 2
^гп | с — та? | (0 0
hm | (О2 — со2 1 2со 0
Pm 1 1 — У2 1 2? 0
Qrn Т |1-т21 оо
2п л _ V (i—у2)2 0
. 11 — т21 arcsin 2у 0
Введем безразмерные переменные (4) § 13, отбросив ненуж-
ные здесь индексы в виде звездочек,
т — со/, | =---х, (14)
Fa
а также безразмерные параметры
здесь параметр у* аналогичен параметру, определяемому вто-
рым равенством (6) § 13, а параметр р* представляет собой
обобщение параметра, определяемого первым равенством (6)
165
§ 13, и превращается в него в частном случае линейного дисси-
пативного сопротивления, когда В(х) = Ьх. Введем также обо-
значение
В ( F(^
• (16)
В( —)
\ ты I
Подставив зависимости (14)—(16) в уравнение (13), полу-
чим
f+2p^(t) + Y:g = cosT. (17)
Интеграл этого уравнения, соответствующий периодическим
колебаниям системы с частотой вынуждающего воздействия, мо-
жет быть представлен рядом (см. § 4)
g = V с„ cos (пт — ср„), (18)
л=1
где сп и tpn — соответственно амплитуда и начальная фаза
n-й гармоники.
Поскольку вынуждающее воздействие имеет частоту первой
гармоники, то вследствие взаимной ортогональности синусов и
косинусов кратных частот на периоде вынуждающее воздейст-
вие будет совершать ненулевую в среднем работу только на пер-
вой гармонике колебаний. Следовательно, для подсчета средней
(активной) мощности достаточно определить лишь первую гар-
монику ряда (18). С этой целью положим
% = Cj cos (т — <px), (19)
откуда
| = — Cj sin (т — cpj), g = — сх cos (т — (pj. (20)
Так как f(£) является нечетной функцией £, эту функцию
можно разложить в следующий ряд:
оо
f(i) = ^lPnsinn(T — (p1). (21)
Амплитуда первой гармоники этого ряда определяется по
второй формуле (2) § 4:
2
л
Pi =
j* f [с1 sin (т — fpj| sin (т — <р,) dx = — Ф (с,).
о
(22)
Подставим теперь в уравнение (17) выражения (19), (20),
заменив при этом f(£) первой гармоникой согласно равенствам
(21) и (22):
— с1 cos (т — <рх) — 2р*ф (с,) sin (т— <рх) + у2с1 cos (т — <рх) = cos т.
166
Отсюда, сгруппировав в отдельности члены, содержащие в каче-
стве множителей sin т и cos т, получим следующую систему
уравнений:
ci (?* — 1) sin <рх — 2р*Ф (сх) cos <рх = 0, 1
ci (?* — О cos Ф1 + 2₽*ф (ci) sin Ф1 = 1-
Решая эту систему уравнений, находим
sin <₽! = 2р*Ф (с,), cos <рг = сх (у; — 1), (24)
F (О> ₽*) = с\ (V2 _ 1)2 + 4р2ф2 (С1) -1=0. (25)
Полученные из этих уравнений значения сх и являются
первым приближением, которое содержит тем меньшую погреш-
ность, чем ближе рассматриваемое движение к синусоидаль-
ному.
Средняя за период колебаний безразмерная мощность опре-
делится выражением
1 2-“ •
zcp= — ^cosydr. (26)
b
Подставив сюда значение первой гармоники g из первого ра-
венства (20), получим
'сР = sin <h, (27)
или, с учетом первого равенства (24),
<£р = М1Ф(С1). (28)
Определим теперь max хср. Это максимальное значение до-
стигается при
= о. (29)
* dp*
Амплитуда первой гармоники щ зависит от р*, причем эта
зависимость F(cb = 0 дается уравнением (25). Поэтому
dF
d^cp _ дУ.ер диср dp*
dp* ~ dp, dCj ’ dF ' 1 '
dcj
Подставляя сюда —и , вычисленные из уравнения
dp* dcl
(28), а —— и----------из уравнения (25), и приравнивая ре-
dp* dCj
зультат нулю в соответствии с уравнением (29), получим
cim I11
2Ф (clm)
(31)
167
Подставив выражение (31) в уравнение (25), находим
‘ (32)
С1т Г2|Тш2-11-
Па основании результатов (31) и (32) находим из равенства
(28) искомую величину
тах У'£р = 4 | ?2 _ ! | • (33)
Итак, мы получили такую же зависимость, как и (11), кото-
рая была выведена для линейной системы. Это значит, что для
систем с нелинейной диссипацией подсчитанный в первом при-
ближении максимум средней (активной) мощности, которая
может быть реализована выбровозбудителем, не зависит от вида
закона рассеяния энергии и определяется тем же выражением,
что и в случае линейной системы.
Из выражений (24) вытекает необходимость выполнения сле-
дующих условий:
CiC-T-J (34)
2₽* | у2 - 1 |
Эти условия удовлетворяются при с> = Cim и ₽* = Р*т Дей-
ствительно, выполнение второго условия (34) вытекает из зави-
симости (32). Подставив в равенство (31) значение cim из зави-
симости (32), будем иметь
Ф(с1т) = —А—•
т. е. выполняется и первое условие (34).
Если рассмотреть совокупность законов рассеяния энергии
при колебаниях, для которых диссипативная сила может быть
представлена в виде одночленной степенной нечетной функции
скорости
Izfr |Ct zfr
ЛД Sign-^, (0<a<TO), (35)
at | at
то на основании изложенного будем иметь
о bFa ' г I л |а
Р* =-------- ; f (I) = RI sign
2 (тш)“
(36)
здесь Г(з) — гамма-функция Эйлера.
168
В частном случае а = 0, т. е. когда диссипативное сопротив-
ление представляет собой так называемое сухое или кулоново
трение, получим
f(i)= signg;
2Д,
_ , . 4 „ я
®(cim) — ’ P*m о
Л о \ 2
Для этого случая в § 20 мы получили точное периодическое
решение с периодом 2зт (движение без остановок). Средняя без-
размерная мощность может быть определена по формуле
__ 2р£»
(37)
(38)
лср
л
где go — наибольшее отклонение от положения равновесия -
определяется формулой (31) § 20, а р = 2р*. Подставив это
в правую часть равенства (38), получим
„ Ф
, 4РПт;-1)2 tg2
т2 2
Это выражение достигает максимума при
8 =-----------—---------
Рдоп
ср
(39)
2|7 2 Z 2 ПК (v;-1)^ 2
(40)
причем указанный максимум определяется равенством
Т*
max z.n =--------—-------
up
(41)
я (к2 - 1) ^1
Таблица 9
Значения max х^ при у* =
0 0. 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8
0,203 0,206 0,214 По формуле (41) 0,227 | 0,247 | 0,282 0,337 0,438 0,639
0,250 0,252 0,260 По формуле (33) 0,274 | 0,296 | 0,333 0,390 0,490 0,690
+23,0 +22,3 С +21,4 )шибки формулы (33) в % +20,7 | +19,8 | +18,1 + 15,8 + 11,9 +8,0
169
Выражение (40) удовлетворяет условию (31) § 20. Для того
чтобы оно удовлетворяло также и условию (42) § 20, необходи-
мо выполнение неравенства
У*
tg-^
В табл. 9 приведены значения max хср, подсчитанные по фор-
мулам (41) и (33), а также погрешность формулы (33) в про-
центах.
Данные таблицы показывают, какие хорошие результаты
дает приближенная формула (33) даже в случае такой нелиней-
ной диссипации, как сухое трение.
Г л а в a V ---------------------------------------------------
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
§ 25. СХЕМЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ ОДНОЧАСТОТНЫХ
ВЫНУЖДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИИ
У центробежных генераторов механических колебаний (ви-
бровозбудителей) переменными силами, возбуждающими коле-
бания, являются центробежные силы инерции, которые возни-
кают при вращении неуравновешенных роторов, называемых
дебалансами. В связи с практической потребностью преимуще-
ственное распространение получили вибровозбудители со стати-
ческой неуравновешенностью роторов. Однако встречаются
вибровозбудители с динамической неуравновешенностью и ком-
бинированные случаи.
Вообще говоря, абсолютная величина, пространственная ори-
ентация и характер изменения во времени вынуждающих сил
и моментов центробежных вибровозбудителей зависят от движе-
ния вибрационных рабочих органов машин, которые колеблются
при помощи вибровозбудителей, а также от свойств двигателя,
приводящего во вращение дебалансы. Движение рабочего орга-
на определяется, в частности, местом расположения вибровоз-
будителя, типом связей между ним и вибровозбудителем, взаи-
модействиями со средой, с которой рабочий орган контактирует
непосредственно или через промежуточные элементы. Следова-
тельно, необходимо исследовать динамику системы, включаю-
щей двигатель, вибровозбудитель, рабочий орган и внешнюю
среду, а также связи и промежуточные элементы.
Здесь мы рассмотрим некоторые схемы генерирования вы-
нуждающих воздействий, отвлекаясь от указанных зависимос-
тей, т. е. считая корпус вибровозбудителя и оси вращения рото-
ров неподвижными, а неуравновешенные роторы — свободными
от воздействия каких бы то ни было сил или моментов, т. е. вра-
щающимися с постоянными угловыми скоростями. Из бесчис-
ленного множества возможных схем выбраны наиболее простые,
охватывающие большинство практических применений.
В первую очередь рассмотрим плоские схемы со статически
неуравновешенными роторами (рис. 58, а—м). В этих схемах
все центробежные силы дебалансов компланарны и расположены
171
в плоскости чертежа. Векторы моментов сил, если они появля-
ются, перпендикулярны плоскости чертежа. При наличии одного
дебаланса (рис. 58, а) мы имеем круговую вынуждающую силу
Рис. 58
(вращающуюся вынуждающую силу постоянного модуля). 1 одо-
граф вектора вынуждающей силы представляет собою окруж-
ность (рис. 58,6). Цифрами обозначены последовательные поло-
172
женпя дебаланса и соответствующих векторов вынуждающей
силы. Если статический момент массы дебаланса относительно
оси вращения обозначить буквой К, то модуль вынуждающей
силы определится выражением
Fa = К®2, (1)
где со-—угловая скорость вращения дебаланса, а сам вектор
силы может быть в соответствии с равенством (12) § 2 пред-
ставлен в виде
F = Fae'"z, (2)
если дебаланс вращается в положительном направлении, и
F = Fae~~iat, (3)
если дебаланс вращается в отрицательном направлении.
Круговая вынуждающая сила, приведенная к средней точке
вибровозбудителя, обычно совпадающей с его центром тяжести,
может быть получена и в более сложных схемах, например
двумя одинаковыми дебалансами, вращающимися синфазно
в одном направлении, как показано на рис. 58, в. Если статиче-
ский момент относительно оси вращения каждого из дебалансов
равен К, то модуль вынуждающей силы Fa = 2Ко>2. Средняя
точка вибровозбудителя расположена посредине отрезка, сое-
диняющего оси вращения дебалансов. В случае трех дебалансов,
представленном на рис. 58, г, круговая вынуждающая сила, при-
веденная к средней точке, расположенной на оси среднего деба-
ланса, может быть получена, если все три дебаланса вращаются
синфазно в одном направлении, оси крайних дебалансов, лежа-
щих на одной прямой с осью среднего, симметричны относи-
тельно этой оси, а статические моменты массы крайних дебалан-
сов равны один другому.
Синусоидальная вынуждающая сила постоянного направле-
ния (направленная вынуждающая сила) может быть получена
при вращении вокруг одной оси двух одинаковых дебалансов А
и В (рис. 58, д) в противоположных направлениях с одинако-
выми по модулю угловыми скоростями. Линия действия вынуж-
дающей силы проходит через ось вращения. Если статический
момент каждого из дебалансов К, то амплитуда вынуждающей
силы Fa = 2Л'ы2. В соответствии с заключительным замечанием
§ 2 вынуждающая сйла в этом случае определится выражением
F = у Faeiat + | Fae-iat = Fa cos art (4)
в предположении, что начальная фаза равна нулю.
Подобный результат можно получить, если каждый из двух
дебалансов вращается вокруг отдельной оси (рис. 58, е), причем
173
линия действия силы проходит через точку, расположенную
посредине прямой, соединяющей оси дебалансов.
Если направленная вынуждающая сила должна быть полу-
чена при помощи трех дебалансов, схематически показанных
на рис. 58, ж, причем оси крайних дебалансов расположены
симметрично относительно оси среднего и на одной прямой
с нею, то необходимо, чтобы крайние дебалансы, каждый из ко-
торых имеет статический момент массы, равный половине стати-
ческого момента К среднего дебаланса, вращались синфазно
в одном направлении. Средний дебаланс должен вращаться
в противоположном направлении с такой же по модулю угловой
скоростью. Линия действия вынуждающей силы будет проходить
через ось среднего дебаланса. Ее амплитуда Fa = 2Ка2.
Эллиптическая вынуждающая сила может быть получена
при помощи двух дебалансов А и В с различными статическими
моментами массы (рис. 58, з), вращающихся вокруг одной оси
в противоположных направлениях с одинаковой по модулю уг-
ловой скоростью. Годограф вынуждающей силы показан на
рис. 58, и. Сила приложена к оси вращения.
Синусоидальный вынуждающий момент может быть получен
двумя одинаковыми дебалансами, вращающимися противофаз-
но в одном направлении (каждый вокруг своей оси), как пока-
зано на рис. 58, к. В этом случае вынуждающий момент опреде-
лится выражением
М = Ма cos а»/, (5)
а его амплитуда
’ ЛД = К1а2, (6)
где К — статический момент массы одного дебаланса;
I — расстояние между осями вращения дебалансов.
Направленная вынуждающая сила совместно с колеблющим-
ся вынуждающим моментом может быть получена по схеме на
рис. 58, е, но при иных начальных фазах, как показано на
рис. 58, л.
Круговая вынуждающая сила совместно с колеблющимся
вынуждающим моментом может быть создана по схеме на
рис. 58, в, но при иных начальных фазах, как представлено на
рис. 58, м.
Из пространственных схем рассмотрим прежде всего случай
чисто динамической неуравновешенности одного ротора, кото-
рый мы схематизируем двумя одинаковыми дебалансами А и В,
противофазно закрепленными на двух концах вала С. Две про-
екции этой схемы изображены на рис. 58, н. Здесь генерируется
вращающийся вынуждающий момент постоянного модуля (кру-
говой момент). Вектор этого момента вращается в плоскости
левой проекции.
174
Два таких одинаковых ротора с параллельными валами, вра-
щающиеся в противоположные стороны с одинаковой по модулю
угловой скоростью и имеющие фазировку, указанную на аксоно-
метрической схеме (рис. 58, о), порождают синусоидальный вы-
нуждающий момент, вектор которого лежит в плоскости осей
роторов перпендикулярно им.
Если ротор имеет одновременно статическую и динамичес-
кую несбалансированность, как показано на аксонометрической
схеме на рис. 58, п, то будут совместно генерироваться круговые
момент и сила.
При равных дебалансах круговая сила приложена к точке,
лежащей посредине оси.
Два ротора (рис. 58, /г), вращающиеся вокруг параллельных
осей в противоположных направлениях с одинаковой по модулю
угловой скоростью и с фазировкой, указанной на рис. 58, р, ге-
нерируют синусоидальный динамический винт, т. е. синусои-
дальные синфазные (или противофазные) вынуждающую силу
и вынуждающий момент, векторы которых параллельны.
§ 26. ПРИВЕДЕНИЕ ЖЕСТКОСТЕЙ,
КОЭФФИЦИЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ И МАСС
Упругие элементы в одномерных схемах могут группировать-
ся как параллельно, так и последовательно. Параллельные груп-
пы упругих элементов показаны на рис. 59, а — г. Суммарная
жесткость с группы равна сумме жесткостей с,- составляющих
ее элементов
С = 2С'’
z=i
где п — число элементов в группе. '
Последовательная группа упругих элементов изображена на
рис. 59, д.
Суммарная податливость — группы (податливость — ве-
с
личина, обратная жесткости) равна сумме податливостей —
с<
входящих в нее элементов
i l
Аналогично жесткости определяется коэффициент сопротив-
ления параллельной группы демпфирующих элементов ( рис. 59,
е и ж)
* = &
*=1
175
Аналогично податливости определяется коэффициент «про-
водимости» 1 — последовательной группы демпфирующих эле-
ь
ментов (рис. 59, з)
n
b
(4)
Пусть в системе, представленной на рис. 60, а, возможны
лишь малые колебания рычага 1, один конец которого закреплен
на шарнире 2. Рычаг опирается на пружину жесткости с в точ-
Рис 60
1 Термин «проводимость» применяется в электротехнике. Проводимость —
величина, обратная электрическому сопротивлению.
176
ке 3, расположенной на расстоянии 1У от шарнира. Нас интере-
сует движение конца 4 рычага, расположенного на расстоянии
1пр от шарнира. Необходимо найти приведенную жесткость спр
пружины, на которую должен опираться конец рычага, чтобы
действие этой предполагаемой пружины было эквивалентно дей-
ствию фактически установленной и показанной на схеме пру-
жины.
Критерием эквивалентности установленной и приведенной
пружин, обеспечивающим равенство собственных частот, должно
быть равенство потенциальной энергии, запасаемой пружинами
при каком-либо перемещении (повороте относительно шарнира)
рычага
СУХу СпРХпр
2 — 2
где Ху — деформация установленной пружины при каком-то пе-
ремещении рычага;
хпр — деформация приведенной пружины при том же переме-
щении рычага.
Поскольку
ХУ 1у
хпр ^пр
получаем
спр=П,—• (5)
1пр
Аналогично обстоит дело с приведением коэффициентов со-
противления (схема показана на рис. 60, б). Критерием эквива-
лентности установленного и приведенного демпферов, обеспечи-
вающим равенство коэффициентов затухания, должно быть ра-
венство рассеиваемой мощности при каком-либо движении ры-
чага
ЬухУ — ЬпрХпр'
где by и Ьпг> — коэффициенты сопротивления установленного и
приведенного демпферов;
Хуихп}1 — скорости рычага в точках присоединения соответ-
ствующих демпферов.
Поскольку
ху __
Хпр 1пР
можно записать:
^пр = ^у 2 • (6)
‘лр
12 Заказ 150 177
Если в точке 3 рычага 1, изображенного на рис. 60, а, имеет-
ся точечная масса ту, которую необходимо привести к точке 4,
т. е. найти приведенную массу тср, то критерием эквивалентно-
сти, обеспечивающим равенство собственных частот, должно быть
равенство кинетических энергий
Уу = тпрхпр
2 2
откуда
/2
mnP = tnv-^. (7)
1пр
Аналогично жесткости, коэффициенту сопротивления и массе
приводятся угловая жесткость, коэффициент углового сопротив-
ления и момент инерции.
Рассмотрим в качестве примера систему с одной степенью
свободы, изображенную на рис. 60, в. Здесь зубчатая рейка 1,
шестерни 2, 3, 4 и зубчатая рейка 5 находятся в зацеплении.
Рейка 5 соединена с рычагом 6. Шестерни 2, 3, 4 и рычаг 6 име-
ют неподвижные оси. Рейка 1 и рычаг 6 соединены с пружинами.
На осях шестерен имеются крутильные упругие элементы. На
схеме обозначены массы т;, моменты инерции /,, радиусы за-
цепления Гг, жесткости Ci и угловые жесткости s, соответствую-
щих элементов, а также плечи рычага 6. Необходимо привести
все инерционные элементы к массе mi и все упругие к пружине
Ci (имеются в виду малые колебания рычага 6).
Обозначив посредством хг- и фг- линейные и угловые переме-
щения соответствующих элементов, можем записать:
I -И I = GI Фг I = гя | Фз I = О I Ф41 = I х-о | =/6|ф6|- (8)
Суммарная тПрх1 2 кинетическая энергия системы тлх| 7о<р2 73<Рз msx5 , 2*222 2 76Фб , гп^т (Рб || I » 2 2
отсюда на осно вании равенств (8) получаем приведенную массу:
тпр = т + 5 йЛ + 5 OJ сГГо ГОТО + О №
Суммарная Спрх1 2 потенциальная энергия системы с1х1 52фо , 5зФз . с6^бФб 2 2 2 2 2’
178
отсюда на основании равенств (8) получаем приведенную
жесткость:
Нередко возникает задача приближенного приведения систе-
мы со многими степенями свободы или с распределенными па-
раметрами к системе с малым числом степеней свободы, чаще
всего с одной. В качестве примера возьмем систему, состоящую
из элемента 1 с массой т, подвешенного на пружине 2, масса
которой гщ (рис. 61, а). Масса пружины распределена равномер-
но, и поэтому система имеет бесконечное число степеней свободы
Сделаем приближенное приведение
массы пружины к ее концу, соединен- х\\хх\\\х д _______,
ному с элементом 1, в результате чего А
получим систему с одной степенью Д
свободы. ——2
Пусть х — координата какого-либо р»
сечения пружины, отсчитываемая по —L / :
оси пружины от неподвижной заделки,
а у — смещение этого сечения от рав-
новесного положения. Примем, что
эпюра у(х~) в любой момент времени
Рис. 61
при колебаниях системы подобна этой
эпюре при статической деформации пружины силой, приложен-
ной к ее нижнему концу. Эта эпюра представляет собой тре-
угольник, показанный на рис. 61, б, причем
у,
у=~х,
где I — длина пружины; yi — смещение ее нижнего конца.
Принятое допущение тем точнее, чем сильнее неравенства
т\ < т, 21 < Z, где к — длина волны деформации в пружине, ко-
торая, как известно, обратно пропорциональна частоте коле-
баний.
Приведенную массу найдем применявшимся выше энергети-
ческим методом. Кинетическая энергия бесконечно малого отрез-
ка пружины
dT = — yzdm1,
где
dtnr — ^-dx.
1 I
12:
179
Учитывая это, а также зависимость у(х), аналогичную зави-
симости у(х), получим
*2
dT = —— хЧх.
2Р
Кинетическая энергия всей пружины
‘91 9
Т = хЧх-^L-,
2/3 J 6
о
с другой стороны,
т = mnpyj
2 ’
где тпр — приведенная масса пружины
Отсюда
§ 27. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
С ЦЕНТРОБЕЖНЫМ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕМ
Колебания систем, вызываемые центробежными вибровозбу-
дителями, рассматриваются здесь в предположении, что дебалан-
сы возбудителей вращаются равномерно. Хотя во многих случаях
это допущение, как показа-
но в гл. VI, не соответствует
действительности, оно по-
зволяет с достаточной точ-
ностью решить ряд простых
задач динамики центробеж-
ных вибровозбудителей.
Даже при постоянстве
угловой скорости вращения
дебалансов инерционные
силы, которыми они воздей-
ствуют на приводимую в
Рис. 62
движение систему, сами за-
висят от возбуждаемого ими движения системы, причем харак-
тер этой зависимости определяется рядом факторов, отмеченных
в § 25. Этим действие центробежных вибровозбудителей отли-
чается от действия равномерно вращающихся и постоянных по
модулю сил. Однако возможно приведение первых ко вторым.
Для выяснения условий и способов такого приведения целесо-
образно рассмотреть общий случай движения плоской системы
с центробежным вибровозбудителем.
На рис. 62 представлена такая схема. Здесь корпус вибровоз-
будителя 1 жестко прикреплен к приводимому в движение те-
лу 2, которое вместе с жестко присоединенными к нему частями
180
вибровозбудителя мы будем называть рабочим органом. Центр
тяжести рабочего органа находится в точке А, равновесное поло-
жение 1 которой принято за начало координат. Дебаланс 3 вра-
щается вокруг оси, совпадающей с точкой В, жестко связанной
с рабочим органом. Цифрами 4 и 5 обозначены проекции равно-
действующей упругих сил, приложенных к рабочему органу, а
цифрами 6 и 7 — проекции равнодействующей диссипативных
сил. К рабочему органу приложены также упругий 8 и диссипа-
тивный 9 моменты.
Введем следующие обозначения:
то — масса дебаланса;
г — эксцентрицитет массы дебаланса относительно оси вра-
щения В;
-То, Уо — проекции точки В;
I = АВ = + у*-,
mi — масса рабочего органа;
хс, ус — плечи проекций упругой силы;
хь, Уъ — плечи проекций диссипативной силы;
/о— центральный момент инерции дебаланса;
Ji — центральный момент инерции рабочего органа;
о — угловая скорость вращения дебаланса;
х, у — проекции смещения точки А от положения равновесия;
ф — угол поворота рабочего органа от равновесного поло-
жения;
t — время.
Для составления дифференциальных уравнений движения
воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода (5) § 10.
Наша система обладает тремя степенями свободы. В качестве
обобщенных координат возьмем х, у, ф. Угол ф будем считать
малым, вследствие чего х0 и у0 постоянны. Упругие и диссипатив-
ные воздействия пропорциональны соответствующим обобщен-
ным координатам и скоростям. Плечи упругих и диссипативных
сил постоянны. Кинетическая энергия системы
Т = 71+7о> (1)
где кинетическая энергия рабочего органа
Л = у + у "КУ2 + у (2)
кинетическая энергия дебаланса
То = то — УоФ — «г sin со/)2 + ~т0 (у+*оФ +
4-шг cosco/)2+—- J0(£>2. (3)
1 Или среднее положение — в случае отсутствия положения устойчивого
равновесия.
181
Потенциальная энергия системы
п = у сх (х — £/с.ф)2 + у (У + *сФ)2 + у (4)
где c.v, су и s — коэффициенты линейной и угловой жесткости.
Обобщенные силы
Q.v =— Ьх (х — ybty),
Qu=—by(y + xby),
<2Ф = — (р + bxyl + byxl) ф + b^hX — ЬуХьу,
(5)
где Ьх, Ьу и р — коэффициенты линейного и углового сопротив-
ления.
Определив функцию Лагранжа по формуле (6) § 10 и проде-
лав операции, предписанные уравнениями (5) § 10, получим ис-
комые дифференциальные уравнения колебаний нашей системы:
(тх + т0) х + Ьхх + схх — тоуоЦ — Ьхуьгр — cxycip =
= m0m2 cosro/;
(m! + m0) у -i- byy cyy + т0хоф + bvxbq -ф CyXcty =
= /и0го)2 sin о)/;
(А + т012) ф + (р + Ьху2ь + ЬуХ2ь) ф + (s + схус +
4- СуХс) ф — тоуох — Ьхуьх — схг/ех 4- тьхоу 4- Ьухьу 4-
(6)
+ сихсУ = т0са>2 (х0 sin и/ — у0 cos со/).
Если действие дебаланса заменить действием силы с постоян-
ным модулем Fa, приложенной в точке В и вращающейся с той
же угловой скоростью о, то дифференциальные уравнения дви-
жения запишутся следующим образом:
тгх 4- Ьхх 4- схх — bxybty — cxycty — Fn cos to/;
тхУ + byy 4- Cyy 4- byxbty 4- сусф = Fa sin ®Z;
АФ + (P + ЬхУь + ЬуХь) ф + (S + схУс^Сухс) Ф —
— bxybx — cxycx 4- byxby + CyXcy = Fn (x0 sin — y0 cos co/).
Сравнивая выражения (6) и (7), мы видим, что для приведе-
ния уравнений (7) к виду (6) необходимо:
модуль вынуждающей силы Fa принять равным центробеж-
ной силе m0ro)2, развиваемой дебалансом в его относительном
движении вокруг своей оси В;
в качестве массы принять полную массу всей системы, т. е. к
массе рабочего органа тх добавить массу вращающегося деба-
ланса Шо,
182
момент инерции системы подсчитать относительно центра
тяжести рабочего органа, полагая массу дебаланса сосредото-
ченной на оси вращения В, т. е. к центральному моменту инерции
рабочего органа добавить произведение т012;
ввести в левые части дифференциальных уравнений члены,
характеризующие инерционную связь поворотной степени сво-
боды с поступательными, причем коэффициент членов, опреде-
ляющих связь ф с х, равен — тоуо, а коэффициент членов, опре-
деляющих связь ф с у, равен тохо.
Если ось вращения дебаланса совпадает с центром тяжести
рабочего органа (х0 = у0 = 0) или рабочий орган движется по-
ступательно (ф= 0), последние два условия отпадают.
§ 28. ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЬ С НАПРАВЛЕННОЙ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИЛОЙ
Будем называть систему центрированной, если равнодейст-
вующая центробежных сил дебалансов, равнодействующая упру-
гих сил, приложенных к рабочему органу, и равнодействующая
приложенных к нему диссипативных сил все время проходят че-
рез центр тяжести рабочего органа. На рис. 63, а показана цен-
трированная система, в которой вибровозбудитель 1 прямоли-
нейно направленного действия прикреплен к платформе 2, опи-
рающейся на пружины 3 и демпфер 4, причем вынуждающая,
упругая и диссипативная силы действуют вдоль одной прямой —
оси х.
Изображенная на рис. 63, б схема с вибровозбудителем 1 кру-
гового действия эквивалентна предыдущей схеме, если идеаль-
ные связи 5 обеспечивают прямолинейное движение платформы
вдоль оси х; масса дебаланса и статический момент этой массы
относительно оси вращения соответственно равны сумме масс и
сумме статических моментов масс в предыдущей схеме, а также
идентичны остальные параметры обеих систем. Идеальные свя-
зи 5 делают излишним требование центрирования сил.
183
В данном случае дифференциальное уравнение колебаний
в соответствии с первым уравнением (6) § 27 имеет вид
(тх + т0) х + bx + сх = тот2 cos и/, (1)
или
х + 2Лх ф- окх = , -'г‘/м— cos cot, (2)
иц + т0
где
/Т - , VJQ ------------- | / ------- .
2 (тг + т0) |/ mj + тп
Частный интеграл, соответствующий стационарным вынуж-
денным колебаниям, может быть записан в следующей форме:
х = ха cos (со/ — <р), (4)
где в соответствии с формулой (3) § 8
х _ ____________трг&
(тг + т,,)^ ((Op — со2)2 + 4й2а>2
и в соответствии с формулой (21) § 7
Рис. 64
ср = arctg
2/ico
COq — <1)2
Для соответствую-
щих безразмерных пе-
ременных (26) § 13
амплитудно-частотные
характеристики пред-
ставлены на рис. 31, в,
34, а и б.
Перейдем к рас-
смотрению центриро-
ванной системы (рис.
64, а), где линия дей-
не совпадает ни с одной из главных
ствия вынуждающей силы
осей жесткости Ох и Оу *. Здесь линия действия вынуждающей
силы вибровозбудителя 1 наклонена под углом а к оси Ох. На-
чало координат О расположено в центре тяжести рабочего ор-
гана 2 в положении равновесия или в среднем положении.
* Вдоль одной из главных осей жесткость максимальна, а вдоль другой
(перпендикулярной) — минимальна. Направление статической силы совпадает
с направлением вызываемой ею статической деформации только в случае,
когда линия действия силы совпадает с одной из главных осей пли когда обе
главные жесткости равны. В последнем случае жесткость по любому направ-
лению одинакова и действие пружин эквивалентно действию изотропной упру-
гой среды, не обладающей инерционностью, на рабочий орган кругового
сечения.
184
Т Поскольку система центрирована, она будет совершать толь-
ко поступательные колебания. Дифференциальные уравнения
можно в данном случае записать следующим образом:
ф- т0) х + схх = т0т2 cos a cos о/, 1
! (о)
(/гц т0) у ф- Су у = т0ги2 sin a cos art I
или
2
mor<£>2 cos a ,
—-----------COS ©I,
mi + m0
" , 2 m0r(0z sin a .
У + ®уУ = —£--------------COS И4,
Wj + m0
(6)
где
(7>
Интегралы уравнений (6), соответствующие стационарным
вынужденным колебаниям, имеют вид
a cos а . а sin а , ,ох
х —-----------COS (£>t, у = —------cos иЛ (о)
2 2 2 9 ' '
СО* — СО СО2 — СО
где
т, + т0
Равенства (8) показывают, что рабочий орган совершает
прямолинейные колебания с амплитудой ха^~Уа • Дейст-
вительно, из этих зависимостей следует
du — со2
tg ai = - tg « = const, (10)
со“ — аг
где сс, — угол наклона траектории к оси Ох.
со*—со2
При 2 - > 0, т. е. когда колебания по обеим главным
со“—со2
осям жесткости одновременно дорезонансные либо одновременно
зарезонансные, траектории 2, 3 рабочего органа (рис. 64, б) ле-
жат в тех же квадрантах, что и линия действия 1 вынуждающей
силы. При их = (йу, т. е. Сх = су, из формулы (10) получаем см =
= а, т. е. траектория совпадает с линией действия силы.
2 9
СО* — (О2
При -х--------<0, т. е. когда колебания по одной из главных
со2—со2
осей жесткости дорезонансные, в то время как по другой — заре-
зонансные, траектории 4, 5 рабочего органа лежат в смежных
185
квадрантах. При -%---- = —ctg2a траектория 6 рабочего
S—СО2
органа перпендикулярна линии действия вынуждающей силы. _
На рис. 65 изображена центрированная система, отличающая-
ся от предыдущей наличием демпфирования, причем главные оси
жесткости Ох, Оу совпадают с главными осями демпфирования.
Дифференциальные уравнения движения этой системы имеют
следующий вид:
(m, + mn) х + bxx + схх = m0rco2 cos a cos (At, 1
(ml + m0) у + byy cyy = т0ги2 sin a cos (At )
или
x + 2hxx + co*x = m°rt°2 cos a COS (At,
».,+». . (12)
• , 2 morco2 sin a ,
у + 2h U + (£>yy = —-----------------COS (At,
r>li + mo
где
ft =---------; fta =----------------; (13)
2 (mi + mo) 2 (.mi + ni0)
разом:
где
(Ax и coy определяются выражениями (7).
Интегралы уравнений (12), отвечающие периодическим вы-
нужденным колебаниям, можно представить следующим об-
X = XoC0S(c0f—CpJ, |
у = уа COS ((At — (ру), J
т,,г(!г cos a zitr\
Ха = -----------г ~ , (13)
(тх + т0) У (со2 — со2) 4- 4/i2co2
morco2 sin a
(mr + т0) “ “2)2 + 4/1Д°2
> 2/i_v(d j z«
= arctg ; = arctg - 7 --. (16)
— ClT — CD
hx “2
) = m t. e. — =—s-------, данная система ве-
hv co2-co2
дет себя подобно консервативной, т. е. рабочий орган совершает
прямолинейные колебания с амплитудой + ’ котоРая
меньше амплитуды колебаний консервативной системы. Направ-
ление движения определяется выражением (10), причем щ и а
лежат в одном квадранте.
186
Когда
Если же q>x¥=<Pv, то рабочий орган совершает поступательные
эллиптические колебания, причем каждая его точка движется по
своей эллиптической траектории против часовой стрелки при
«Рх < Ч’у и по часовой стрелке при q>x > <ру. Одна из осей эллипти-
ческой траектории повернута относительно оси Ох на угол
= ± arctg 2^Qcos(tpy -<pj . (17)
амплитуда колебаний вдоль этой оси
а =хауа sin (<ру — <рЛ) pg)
у (Аа + Уа) ' у (ха ~ ^а) COS 2а1“cos (ф«/—Фх) sin 2к1
Амплитуда колебаний вдоль второй оси эллиптической траек-
тории
ь _ ХдУа sin (<ру — <рЛ.) р9)
j/^y (fa + У а) + у (*и — У a) COS 2“1—хаУа COS (фг/—фА) sin 2ссх
Когда ха = у а и —фх| =^-, рабочий орган совершает кру-
говые колебания.
Представляет интерес обследование системы, показанной на
рис. 66. Здесь рабочий орган 1, находящийся вне действия силы
тяжести, приводится в колебательное движение возбудителем 2,
причем линия действия вынуждающей силы расположена на рас-
стоянии AtO = I от центра тяжести О. Выберем в качестве обоб-
щенных координат смещение х центра тяжести О и угол поворо-
та ф рабочего органа относительно среднего положения. Диффе-
187
ренциальные уравнения движения на основании выражений (6)
§ 27 можно представить в следующем виде:
{т1 + /п0) х + molty — т0т2 cos lot, j
(Jj + m0/2) 4 + molx = mort<i>2coscot J
Подставив периодическое решение этой системы
х = Лсо5со/, ф = В cos со/ (21)
и решив полученную систему алгебраических уравнений, на-
ходим
„ ____________________________mitnj.r (22)
Jj (^i + mo) + тгт012 (mv + m0) + тгта12
Все точки рабочего органа, лежащие на оси Оу, колеблются
в горизонтальном направлении, причем их отклонение от сред-
него положения определяется выражением
х* = (Л — By) cos a>f, (23)
где у — ордината колеблющейся точки.
Найдем ординату у = L такой точки Вх на оси Оу, которая
все время остается неподвижной, т. е. для которой х* = 0. На
основании равенства (23) А — BL = 0, откуда, использовав вы-
ражения (22), получаем
<24>
т±1
Точку В{ называют центром колебаний или нулевой точкой.
Следует обратить внимание на взаимность точек At и By. если
линия действия вынуждающей силы будет проходить через точ-
ку Bi, то точка Л] станет центром колебаний. Нулевая точка
или центр колебаний соответствует центру удара.
Итак, колебания рабочего органа можно рассматривать как
качания относительно нулевой точки Вь которая остается непод-
вижной. В этой точке можно установить идеальный шарнир,
в котором при малых колебаниях рабочего органа не будут воз-
никать реакции.
§ 29. ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЬ С КРУГОВОЙ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИЛОЙ
В представленной на рис. 67 центрированной системе рабочий
орган 1 приводится в движение вибровозбудителем 2 с круговой
вынуждающей силой. Полагая Ьх= Ьу = 0, запишем дифферен-
циальные уравнения колебаний, исходя из выражений (6) § 27:
(т1 4- т0) х 4- схх = т^ а>2 cos u>t, ]
। (О
(т1 4- т0) у 4- суУ = morco2 sin со/. J
Эти уравнения не связаны и, следовательно, х и у представ-
ляют собой нормальные координаты системы.
188
Интегралы уравнений (1), описывающие вынужденные коле-
бания, имеют следующий вид:
m0ra>2 , т„г(£?
X = -----;--ГТ~2----2\" Cos at> У ~ Sln “Л (2)
("Ч + т0) (со2 — ш ) (/щ + т0) (со2 — со2)
где собственные частоты сох, а>у определяются формулами (7)
§ 28. Все точки рабочего органа описывают одинаковые эллип-
тические траектории, уравнения которых относительно центров
эллипсов могут быть представлены в такой форме:
у2 рЗ
— + — =1,
х2 и2
ла У а
где полуоси эллипса
т0гы2
<о*-ш2|
ха — I \ I
(tn у т0) |
тиг(й2
(zzzj + т0) |
2
cof —(О
(3)
(2),
Рис. 67
Как следует из равенств
точки рабочего органа движутся по
своим траекториям в том же на-
правлении, в котором вращается де-
баланс, если настройка системы вдоль обеих осей координат
одновременно дорезонансная или одновременно зарезонансная.
со2—со2
В этих случаях —Q---- > 0. Если же настройка системы вдоль
со;—со2
одной из координатных осей дорезонансная, в то время как
со2—со2
вдоль другой зарезонансная то -к-----
и;—со2
органа движутся по своим траекториям
ном вращению дебаланса.
В двух частных случаях траектории
становятся круговыми: при равенстве главных частот ((ож —
= а>у #= со) движение происходит в направлении вращения деба-
ланса. Если же частота вынуждающего воздействия является
среднеквадратичной главных частот
жение происходит в направлении, обратном вращению деба-
ланса.
Дифференциальные уравнения колебаний системы, изобра-
женной на рис. 67, когда коэффициенты сопротивления не равны
О и точки рабочего
в направлении, обрат-
точек рабочего органа
(0
дви-
1 Такую настройку согласно В. Д. Земскову назовем межрезонансной.
189
нулю, можно записать в такой форме
(т1 ф- т0) х + bxx-\- схх = т0т2 cos a>t,
("Ч + m0) у + byy + суу = mor(£>2 sin cot
Система уравнений не связана. Интегралы, отвечающие вы-
нужденным колебаниям, определяются равенствами
X = хп COS ((ot — фх), У = Уа sin (<1>/ — фу), (5)
где
(тг + тп) У^со2 — <х>2)2 + 4ft2 и2
/7!„rbJ2 /с,
Уа = ----------./, 9 949 (6)
(mj + /п0) V (со; — со2)* + 4ft; со2
Значения срх, (ру определяются формулами (16) § 28, сох, <0у—
формулами (7) § 28, hx, hy — формулами (13) § 28.
Рабочий орган рассмотренной системы совершает эллиптичес-
кие колебания, но оси эллиптической траектории, вообще говоря,
не параллельны осям координат. Одна из главных осей эллипти-
ческой траектории повернута относительно оси Ох на угол
а, = -L arctg 2^Osin«py-yx) (7>
2' Уа-^а
Амплитуда колебаний вдоль этой оси
= ____________________ХдУо I cos (tfy - срх) |
Y (ХД + У2а) — у (ХД “ Уа) cos 2а1 + хаУа sin (фу - фх) sin 2«j
Амплитуда колебаний вдоль второй оси эллиптической траек-
тории
= хаУа I C°s (ФУ — фх) I
|/ у (ха + У а) + у (ХД — COS 2а1 — хаУа S'" (фу ~ Фх) Sin 2аг
Когда |фу — фх| < -у-, рабочий орган движется в направле-
нии вращения дебаланса. Когда [ <pv — фх| > у, рабочий орган
движется в направлении, противоположном вращению дебалан-
са. При Iqjy — срх | = эллиптическая траектория вырождается
в прямолинейную, причем амплитуда колебаний Ci = р^х2+ у2
и угол «! = arctg — sin (фу — фх) . Когда ха = уа и фу — фх =
190
— О, рабочий орган совершает круговые колебания в направле-
нии вращения дебалансов. Для осуществления последнего случая
необходимо и достаточно, чтобы hx = hy, ах = а>у.
Если в показанной на рис. 67 системе отсутствуют пружины,,
т. е. сх = су = 0, то в интегралы (5) необходимо подставить сле-
дующие значения амплитуд и фаз:
х“= ---------У“ = - "Т—Т’ (1о>
(«! + т0) у со2 + 4Л“ (mj + т0) V со2 + 4/Г
. / 2/ц \ , ( 2/1,, \ ,
= arctg ——М, ф = arctg ( ——М. (И)
\ со / J \ co /
I Ф?7 фх| < 2 »
Поскольку здесь
рабочий орган может со-
вершать только эллиптическое движение (в частности, круговое)
в направлении вращения дебаланса.
После произведенного изучения поведения центрированных
систем (или эквивалентных им систем, которые благодаря нало-
женным на них связям могут двигаться только поступательно)
полезно подчеркнуть ряд особенностей, имея в виду, что некото-
рые из них при первоначальном ознакомлении могут показаться
парадоксальными или даже неправдоподобными.
Во-первых, можно построить центрированные системы, в ко-
торых под влиянием вибровозбудителя направленного действия
рабочий орган будет совершать колебания: вдоль прямолинейной
траектории, направленной под любым углом к линии действия
вынуждающей силы, в том числе перпендикулярно этой линии;
по эллиптической траектории, главные оси которой могут быть
расположены под любым углом к линии действия вынуждающей
силы; по круговой траектории.
Во-вторых, можно построить центрированные системы, в ко-
торых под влиянием вибровозбудителя кругового действия рабо-
чий орган будет совершать колебания: вдоль прямолинейной тра-
ектории, направленной под любым углом к главным осям жест-
кости и сопротивления; по эллиптической (в частности, круговой)
траектории в направлении вращения вектора вынуждающей
силы; по эллиптической (в частности, круговой) траектории в на-
правлении, обратном вращению вектора вынуждающей силы,
причем в этом и предыдущем случаях оси эллиптической траек-
тории могут быть расположены под любыми углами к главным
осям жесткости и сопротивления.
§ зо. СИЛОВЫЕ взаимодействия и потребляемая мощность
После того как проинтегрированы дифференциальные уравне-
ния движения, легко подсчитать реакции упругих (пружин) и
191
диссипативных (демпферы) связей. Реакция i-го упругого эле-
мента
= — с&, (1)
где Ci — коэффициент жесткости (линейный или угловой) упру-
гого элемента;
Zi — деформация упругого элемента (линейная или угло-
вая);
Sf — реакция (сила или момент). упругого элемента.
Реакция t-ro диссипативного элемента
(2)
где bi — коэффициент сопротивления (линейный или угловой)
диссипативного элемента;
Zi — скорость деформации диссипативного элемента (ли-
нейная или угловая);
Bi — реакция (сила или момент) диссипативного элемента.
Проекция силы взаимодействия дебаланса с рабочим орга-
ном (силы давления дебаланса на подшипники) на координат-
ные оси определяются равенствами
Л k
X = т^х -ф V Six + V В1х,
i=I <71 (3)
У = mjj + v siu 4- V Biy,
i=i
где x, у — текущие координаты центра тяжести рабоче-
го органа;
S,x, BiX, SiV, Biy — проекции сил реакций линейных упругих и
диссипативных связей на соответствующую
координатную ось;
п, k — общее число линейных элементов, соответст-
венно упругих и диссипативных.
В выполнении громоздкого подсчета по этим формулам нет
необходимости, поскольку, сравнив первые два уравнения (6)
§ 27 с формулами (3), можно получить зависимости
X = moru>2 cos <»/ — тох 4- I ,..
I VV
Y = тога? sin со/ — т^у — mnxoty J
для возбудителя с круговой вынуждающей силой. Сравнение
уравнения (5) § 28 с формулами (3) дает зависимости
X = m0rco2 cos a cos со/ — т„х,
У — moru>2 sin a cos со/ — тоу
192
для возбудителя с направленной вынуждающей силой в центри-
рованной системе. Полная сила давления дебалансов на под-
шипники _______
Р = ]ЛХ2 + У2. (6)
Структура зависимостей (4) показывает, что у возбудителя
с круговой вынуждающей силой максимальное значение силы
давления дебаланса на подшипники может быть как больше, так
и меньше центробежной силы дебаланса в его движении относи-
тельно оси вращения. Возможны частные случаи, когда сила
давления дебаланса на подшипники тождественно равна нулю.
В центрированной системе последнее имеет место, когда х =
= —г cos ®/, у = —г sin ®/. В этом случае сх = су = /щ®2, Ьх =
= Ьу = 0.
У возбудителя с направленной вынуждающей силой амплиту-
да силы давления каждого из дебалансов на свои подшипники
не может быть меньше центробежной силы в его движении от-
носительно оси вращения. Необходимо иметь в виду, что форму-
лы (5), так же как и равенство (6) в случае такого возбудителя,
дают равнодействующую давлений всех дебалансов возбудителя
на свои подшипники. В любом случае давление каждого из де-
балансов на свои подшипники можно подсчитать как взятое с
обратным знаком произведение массы дебаланса на абсолютное
ускорение его центра тяжести. Для системы, изображенной на
рис. 62, получаем
X — —- т0 (х — г/оф — г®2 cos at),
Y =— т0(у -|- хоф — г®2 sin и/).
Для одного из дебалансов системы, представленной на рис. 65,
имеем
Хг —-----[х — г®2 cos (а + <i>t) |;
m - (8)
ЗД =-----у- [у — r<£>2 sin (а 4- ®/)],
а для другого дебаланса
Х2 =-----|х — г®2 cos (а — ®/)],
(9)
у2 = — — r(i>2 sin (« — ®о].
Запишем теперь на основании принципа Даламбера выраже-
ние момента М, приложенного к валу ротора со стороны двига-
теля (рис. 62):
М = mor [г/cos®/— xsin®/ + (х0 cos®/ Ц- yosin®Z) ф|, (10)
13 Заказ 150
193
или
Л4 — mor [у cos о/ — х sin со/ + I sin (со/ + (11)
где _______
|=/х;+й
Xx = arctg .
Уо
В связи с тем, что
У == у a sin — <₽£,)» X = Ха cos (со/ — срх),
ф = фасо5(со/ + х1 —у), (12)
момент на валу ротора в общем случае состоит из двух слагае-
мых: постоянной составляющей Л1ср и переменной синусоидаль-
ной составляющей ЛД cos (2со/— 0), колеблющейся с частотой,
в 2 раза превышающей частоту вынуждающего воздействия. Та-
ким образом,
Л1 = ЛДр-)-/W0cos(2<o/ — 6). (13)
Только при отсутствии диссипации энергии Мср = 0. Величи-
на 7Иср может быть подсчитана по формуле
2л
iMdt- (14)
о
Поскольку дебаланс вращается с постоянной угловой скоро-
стью со, мощность N, передаваемая двигателем колеблющейся
системе,
N — Ма>, (15)
откуда
Ncp = Мср^’ Na = <со. (16)
Существует ряд типов центробежных вибровозбудителей,
различающихся характером осуществления силового взаимодей-
ствия дебаланса с корпусом возбудителя и способом приведения
дебаланса во вращение. При обсуждении вопросов силового
взаимодействия дебаланса с подшипниками имелась в виду кон-
структивная схема, представленная на рис. 68, а. Здесь вал 1 де-
баланса 2 вращается на подшипниках, наружные кольца кото-
рых жестко присоединены к корпусу 3 вибровозбудителя. Такие
возбудители принято называть дебалансными.
Другой тип возбудителя — поводковый — схематически пока-
зан на рис. 68, б, где бегун 1 обкатывается по беговой дорожке 2
корпуса 3 вибровозбудителя. Бегун приводится в движение по-
водком 4, соединенным с приводным валом 5. Вал вращается
в подшипниках, наружные кольца которых жестко соединены с
корпусом возбудителя. Если пренебречь инерционными свойства-
ми вала с поводком, то дебалансом в этом случае следует счи-
тать бегун. Эксцентриситет г массы т0 бегуна относительно оси
194
вращения равен разности радиусов беговой дорожки /?, и бегу-
на /?2 =
г = Rr-R.2. (17)
Нормальная составляющая силы воздействия бегуна на кор-
пус передается в месте контакта бегуна с беговой дорожкой. Тан-
генциальная составляющая передается на корпус через подшип-
ники вала.
Третий тип возбудителя — планетарный — схематически изо-
бражен на рис. 68, в. Как и в предыдущей схеме, здесь бегун 1
обкатывается по беговой дорожке 2 корпуса <3. Бегун приводит-
ся во вращение валом, через который может передаваться толь-
ко крутящий момент. Обкатывание бегуном беговой дорожки
обеспечивается либо силой трения (фрикционно-планетарный
вариант), либо специальной зубчатой передачей (зубчато-плане-
Рис. 68
тарный вариант). В первом варианте в месте контакта бегуна с
дорожкой на корпус передается как нормальная, так и танген-
циальная реакция бегуна. Во втором варианте тангенциальная
составляющая передается зубчатым зацеплением.
Угловая частота вынуждающего воздействия планетарного
вибровозбудителя равна угловой скорости обегания со, которая
находится в следующем соотношении с угловой скоростью сое
приводного вала собственного вращения бегуна
о = iwe, (18)
где передаточное число
Дебалансом в этом случае следует считать бегун; эксцентри-
ситет массы определяется зависимостью (17). Момент М на ва-
лу в i раз больше подсчитанного по формуле (13), но при под-
счете мощности, сообщаемой колеблющейся системе, в формулу
(14) следует подставлять момент, подсчитанный по выраже-
нию (13).
На рис. 68, г показана другая разновидность планетарного
возбудителя. Здесь бегун 1, выполненный в форме кольца, обка-
13* 195
тывается своей внутренней поверхностью по пальцу 2, жестко
соединенному с корпусом 3. Поскольку в данном случае /?, < Т?2,
эксцентриситет дебаланса подсчитывается по формуле
г = ^2-Т?1. (20)
Передаточное число определяется в этом случае выражением
i = (21)
R% — Ri
§ 31. МАЯТНИКОВЫЙ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЬ
Рис. 69
Маятниковый вибровозбудитель или маятниковый вибратор 1
состоит (рис. 69) из основания 1, жестко прикрепляемого к виб-
рируемому телу 2, маятника 3, качающегося относительно оси О,
жестко связанной с основанием, и де-
баланса 4, вращающегося вокруг оси
А, жестко связанной с маятником.
При надлежащем выборе параметров
вибровозбудителя рабочий орган (ви-
брируемое тело с основанием возбуди-
теля) центрированной системы совер-
шает практически прямолинейные ко-
лебания. Будем считать эту систему
центрированной, если при среднем по
ложении качающегося маятника центр
тяжести В рабочего органа, ось О
шарнира, центр тяжести Е маятника
и ось А вращения дебаланса лежат
на одной прямой, если направление
равнодействующих упругих сил и дис-
сипативных сил, приложенных к рабо-
чему органу со стороны внешней сре-
ды, проходят через центр тяжести В
рабочего органа и если одна из главных осей жесткости и одна
из главных осей сопротивления связей рабочего органа с внеш-
ней средой совпадает с прямой ВОЕА.
Для того чтобы маятник в положении равновесия удерживал-
ся под требуемым углом к вертикали, в конструкции маятнико-
вого вибровозбудителя предусматриваются упругая втулка 5
или упругие элементы 6 малой жесткости. Введем следующие
обозначения:
т0 — масса дебаланса;
/и, —масса маятника;
1 Неудачный термин «вибратор» как синоним вибровозбудителя прочно
укоренился в специальной литературе. Как известно, в физике, радиотехнике,
акустике, теории колебаний термин вибратор является синонимом осцилля-
тора, т. е. колебательной системы, и не связан с представлением о вынужден-
ных колебаниях.
196
tn2— масса рабочего органа;
s — коэффициент угловой жесткости втулки 5;
р — коэффициент углового сопротивления втулки 5;
с — коэффициент жесткости элементов 6;
b — коэффициент сопротивления элементов 6;
с' и Ь' — коэффициенты жесткости и сопротивления упругой
и диссипативной связей маятника с окружающей сре-
дой;
сх, cshs2 — соответственно коэффициенты жесткости вдоль осей .
х и у и коэффициент угловой жесткости упругих свя-
зей рабочего органа с окружающей средой;
Ьх, Ьу и ps — соответственно коэффициенты сопротивления вдоль
осей х и у и коэффициент углового сопротивления
диссипативных связей рабочего органа с окружаю-
щей средой;
h — расстояние ВО от центра тяжести рабочего органа до
оси шарнира маятника;
а — расстояние ОЕ от оси шарнира маятника до его цент-
ра тяжести;
I — расстояние ОА от оси шарнира маятника до оси вра-
щения дебаланса;
1\ — расстояние OD от оси шарнира маятника до линии
действия упругих и диссипативных сил элементов 6;
ki, k — расстояние ОН от оси качания маятника до линии
действия на маятник упругой и диссипативной реак-
ций среды;
г — эксцентриситет массы дебаланса относительно оси
вращения А;
Jo — центральный момент инерции дебаланса;
J'i — центральный момент инерции маятника;
^2 — центральный момент инерции рабочего органа;
х, у и ср — координаты центра тяжести и угол поворота рабо-
чего органа, отсчитываемые от среднего положения;
ф — угол поворота маятника, отсчитываемый от среднего
положения;
а — угол между вертикалью, направленной вниз, и сред-
ним положением линии ВОЕА-,
со — угловая скорость вращения дебаланса;
t — время;
coZ — угол между радиус-вектором центра тяжести деба-
ланса относительно оси вращения и положительным
направлением оси х, которая совпадает со средним
положением линии ВОЕА\
£ — ускорение свободного падения.
Для выяснения условий, при которых рабочий орган совер-
шает прямолинейные поступательные колебания вдоль оси х, со-
197
ставим общие уравнения движения, полагая, что углы ср и гр
малы:
(m2 + пг0)х + bxx +cvx = m0r(£)2 cos co/;
(1)
(m2 + т1 + m0) у + (by + b') у + (cy + c’)y + (mx 4- m0) /кр + b'hxp +
4- c'/icp + (тга + mol) гр + fc'/ггр + с'А1гр = morco2 sin co/; (2)
[J2 + (mj + m0) h2] <p + (p2 + b’h2 + p + bl2) <p +
+ (sa 4- c'h + s + cl i) ip + (m^a 4- mol) у 4- b'hy 4- c’hy 4-
4- (mpa 4- tnol) hty 4- (b'kh — p — Ы2\) гр 4- (c'krh — s —c/f) гр =
= mor<s>2h sin co/; (3)
(J i 4- /«iO2 4- /?V2) Ф + (b'k2 + P + bl2) гр 4- (c'k2 4- m^ga cos a 4~
4- s 4- cl2) гр 4- (mxa 4- mol) у 4- b'ky 4- c'kry 4- (m1c? 4- mol) Лер
4- (b'kh — p — bl2) <p 4- (c'kyh — s — cl2) <p =morco2/ sin co/.
Мы ищем условия, при которых
у = 0, ср = 0.
Перепишем уравнения (2), (3) и (4), приведя их правые
ти к одинаковому виду и использовав тождества (5):
(тла 4- тй1) гр + б'&гр 4- с'^гр = m0rco2 sin со/;
( р + Ы\ \
(mjC 4- т01) гр 4- [b'k-------------гр 4-
\ я /
(s -1~ cl ।
c'k1 — - гр = /но/ со2 sin со/;
Я /
4- тга2 4- т012) гр 4- -у- (b'k2 + р + Ы2) гр 4-
4- -у- (c'k2 4- mi ga cos а 4~
+ s 4- c^i) 41 = m0rco2 sin со/.
Таким образом, мы имеем три дифференциальных уравнения
вида
Д гр 4~ + Срр = Fa sin <0/, (/= 1, 2, 3), (9)
частные интегралы которых, соответствующие периодическим
вынужденным колебаниям, должны быть идентичны.
198
(4)
(5)
час-
(6)
(7)
(8)
Для этого необходимо и достаточно выполнение равенств
(О2 СО2 (О2
В1 = В2 = В3. (11)
основании выражения (10) уравнения (6) и
Сравнивая на
(7), получаем
—-ri| = 0;
h
отсюда следует, что
s = 0, с = 0, (12)
поскольку II > 0 и h =/= 0.
Сравнивая те же уравнения на основании выражения (И),
находим
Р + _ Q
h ~~ ’
откуда следует, что
р = 0, 6 = 0. (13)
Из сравнения уравнений (6) и (8) на основании выражения
(11) с учетом условий (13) устанавливаем, что
fe = Z. (14)
Наконец, из сравнения уравнений (6) и (8) на основании вы-
ражения (И) с учетом условий (12) находим
I 7т 1С /i j (k-t - Z) . *1 /1 Е\
I = —----------------------- + g cos a , (15)
тга со2 [_ mva J
где момент инерции маятника относительно оси качания
Д = Ji тга2. (16)
Равенства (12) — (15) представляют собой необходимые и до-
статочные условия для выполнения тождеств (5). Итак, чтобы
рабочий орган в центрированной системе с маятниковым вибро-
возбудителем совершал прямолинейные колебания, необходимо
и достаточно выполнение следующих условий: отсутствие дисси-
пативных и упругих связей маятника с рабочим органом; линия
действия диссипативной реакции внешней среды, приложенной
к маятнику, должна проходить через ось вращения дебаланса;
расстояние между осью качания маятника и осью вращения де-
баланса должно устанавливаться в соответствии с равенст-
вом (15).
Первое из перечисленных условий не может быть выполнено,
за исключением редких случаев, но упругие связи маятника с
199
рабочим органом делаются весьма податливыми с малыми коэф-
фициентами жесткости и рассеяние энергии в них мало. Поэтому
влиянием таких связей обычно можно пренебречь.
Как правило, второй член правой части зависимости (15) мал
по сравнению с первым, и поэтому расстояние между осью ка-
чания маятника и осью вращения дебаланса можно устанавли-
вать по формуле
1 = —, (17)
/п1а
т. е. ось вращения дебаланса должна находиться в центре удара
(центре качания) маятника.
В идеализированной модели рассматриваемой системы, кото-
рая описывается дифференциальными уравнениями (1) — (4), не
учтены, в частности, следующие две особенности поведения этой
системы: средними положениями при колебаниях рабочего орга-
на вдоль оси х и качаниях маятника не являются положения
статического равновесия этих элементов. Смещение среднего
положения при колебаниях рабочего органа определяется не
учтенной выше центробежной силой инерции, развиваемой маят-
ником при его качаниях. Текущее значение этой центробежной
силы
Р = (tn^a -|- т01) ф2. (18)
Колебания маятника, как это следует, например, из диффе-
ренциального уравнения (6), совершаются по следующему за-
кону
ф = Фа sin (°^ — 6i)> (19)
где 0] — угол сдвига фазы качаний маятника по отношению к
фазе вращения дебаланса;
фа — угловая амплитуда качаний маятника, которая при
слабых упругих и диссипативных связях, наложенных
на маятник, может быть представлена зависимостью
Обычно фа <0,1, и поэтому наше предположение о малости
угла ф1 оправдано.
Воспользовавшись зависимостями (19) и (20), перепишем ра-
венство (18) в таком виде:
Р = (от°г)2<“2 cos2 (at — 0J
тха -|- mol
ИЛИ
Р = Рср+Рср cos 2(^-0,),
(21)
200
где средняя величина центробежной силы
(m0r)2m2
2 (mLa + mBl)
(22)
р =
2 ср
1 , 2
= -у W«2.
Эта сила вызовет смещение среднего положения рабочего ор-
гана на величину
х _ Рср __ (7П0г)2<й2 _ 4?affl0r(02 да.
ср сх 2 (туа + mot) сх 2с х
Как показывает второй член правой части равенства (21), ра-
бочий орган под действием центробежной силы маятника будет
совершать дополнительные колебания с удвоенной частотой.
Амплитуда этих колебаний при слабых упругих и диссипативных
связях, наложенных на рабочий орган, может определяться вы-
ражением
х - _________Рср =
(m2 + mt + т0) и2
(mor)2 (24)
2 (гща + т0/) (т2 + т1 + т0)
При тех же условиях амплитуда основного тона колебаний,
как это следует из дифференциального уравнения (1),
х . = тог
т-2 + «1 + т0
Сопоставляя эти два равенства, находим
1 ,
Х2а — Х1'аХа’
(25)
(26)
т. е. амплитуда второй гармоники обычно мала по сравнению с
амплитудой основного тона колебаний рабочего органа. Смеще-
ние же среднего положения рабочего органа, определяемое за-
висимостью (23), может быть довольно большим при малом ко-
эффициенте жесткости сх.
Прежде чем перейти к подсчету отклонения среднего положе-
ния маятника, займемся балансом мощности данной системы.
Развиваемая двигателем механическая мощность на валу деба-
ланса N может быть представлена в виде следующей суммы:
JV = Мо + + А1 -р Л^2> (27)
где No — мощность, необходимая для преодоления диссипатив-
ных сопротивлений вращению дебаланса;
— мощность, необходимая для преодоления трения в шар-
нире маятника;
N'i—мощность, необходимая для преодоления остальных
диссипативных сопротивлений качаниям маятника;
Л^2 — мощность, необходимая для преодоления диссипатив-
ных сопротивлений колебаниям рабочего органа.
201
Полагая, что сопротивления вращению дебаланса целиком
приведены к кулонову трению в подшипниках и пренебрегая
сравнительно небольшим влиянием качаний маятника и колеба-
ний рабочего органа на давление в подшипниках, можем запи-
сать:
No = foromor(»s, (28)
где f0 — условный коэффициент трения в подшипниках деба-
ланса;
г0 — условный радиус цапфы подшипника дебаланса.
При выполнении условий (12) — (15) реакция шарнира маят-
ника все время направлена вдоль оси х. Поэтому мощность, ко-
торая необходима для преодоления трения в подшипнике шар-
нира маятника, определяется зависимостью
Ni = f1r1m0rco2|4'CoscoZ|,
где fi—условный коэффициент трения в подшипнике шарнира
маятника;
Г) — условный радиус цапфы подшипника шарнира маят-
ника.
Подставив в это равенство ф на основании равенств (19) и
(20), получим
Ni = | cos at cos (at — 0J |. (29)
В этом выражении не учтена составляющая реакции в шар-
нире маятника от действия центробежной силы маятника, так
как эта сила гораздо меньше центробежной силы дебаланса.
Тождественное преобразование приводит выражение (29) к
следующему, более удобному виду:
М = — /х/ффд/НоГ®31 cos 0х + cos (2at — 0J (30)
На рис. 70 представлен график зависимости от времени пере-
менного множителя выражения (30). Средняя мощность
может подсчитываться по формуле
(31)
Эта величина пропорциональна заштрихованной на рис. 70
площади.
Подставив сюда значение мгновенной мощности из ра-
венства (30) и произведя интегрирование, получим
Nip = — !1Г^ат0га3
4
cos 6Х Н----sin
л
(32)
202
или с учетом равенства (20)
м'ср = {т°г}2<- [(1 - cos ег + — sin еЛ (33)
2 (т^а + mc/) |_\ л ' л
Это выражение показывает, что средняя мощность N'lcp за-
висит от угла 0j сдвига фазы качаний маятника относительно
COS 6f + CGS(2Gjt-Of)
Рис. 70
фазы вращения дебаланса. Однако изменения N{ во всем диа-
пазоне углов 0, невелики. Максимум М’1ср, достигаемый при 0j =
л
Т’
max N\cp =
2/Vi (отрr)‘W
л (m,a + mol)
(34)
Наименьшее значение N\
minWi'rp =
принимает при 0( = 0 и 0i = л:
fi'l (^</)2<й3
2 (mta + mol)
(35)
min
Отношение -------= 0,785. Таким образом, ошибка в под-
max N i ср
счете 7Vjcp, вызванная недостоверностью 0Ь не может превы-
сить 21,5% от max N’icp- Фактически величина этой мощности
должна быть близка к min Л^ср, так как большая диссипация
энергии при качаниях маятника недопустима.
Среднюю мощность N"icp находим по формуле (4) § 23, кото-
рая в данном случае принимает вид
» (m0r)2/2w6p'(
Nicp — 0
2{[s1 — (m1a+m0l)la2]2 + pfo-}
(36)
где р”—приведенный коэффициент углового сопротивления ка-
чаниям маятника без учета трения в подшипнике шар-
нира;
Pi — то же с учетом трения в подшипнике шарнира;
S] — приведенный коэффициент угловой жесткости, учиты-
вающий все упругие связи, наложенные на маятник.
203
Учитывая слабость упругих и диссипативных связей, нало-
женных на маятник, выражение (36) можно упростить, приведя
его к виду
~ _ (тог)2ш2р,
i<P 2(m1a + m0Z)2
Если необходимо подсчитать угол 0Ь можно воспользоваться
формулой (5) § 23, в соответствии с которой, учитывая слабость
наложенных на маятник упругих связей,
д,' , .г" (m0r)2la>3 sin 20х
4 + mnl)
Подставив в левую часть значения средних мощностей из вы-
ражений (33) и (37), получим следующее трансцендентное урав-
нение для подсчета угла би
26’
\ л
(37)
(38)
, 26t \ П , 4 .
1-------— (COS -|--------sin
л
-|—— I sin 26j =--------—-------
2 (m(a -J- mol) <o
Среднюю мощность, необходимую для поддержания колеба-
ний рабочего органа, подсчитаем на основании формулы (4) § 23
исходя из дифференциального уравнения (1):
ЛГ (т0г)2ьЫх
1V2cp — --------------------------—
2 [ [сх — (m2 + m, + т0) со2]2 + Ь2о2}
(39)
(40)
В соответствии с равенством (27) средняя механическая мощ-
ность, развиваемая двигателем на валу дебаланса,
N Ср = й/q + Nicp + Ntcp + N2cp- (41)
Теперь можно подсчитать отклонение среднего положения
маятника от его равновесного положения. Если двигатель встро-
ен в маятник, то отклонение среднего положения
фср-= --------Nep-No---------- (42)
со [s ± (пца + m0Z) cos а]
происходит в сторону, противоположную направлению вращения
дебаланса. Если двигатель находится вне маятника, то отклоне-
ние среднего положения
Р ю fsi ± + пг01) cos а]
происходит в сторону вращения дебаланса.
В обоих случаях предположено, что фср — малый угол. Более
точно фср определяется из трансцендентного уравнения
к ± + mol) g sin JfL. cos (а ± -^-)1 = Ncp — No
& \ А / I
204
В первом случае и
cotpcp pi + (mia + mo0 8 sin ~~ cos (a ±
bo втором случае. Верхний знак берется, когда центр тяжести
маятника в среднем положении выше, чем в состоянии равнове-
сия, а нижний знак, когда он ниже.
В первом случае отклонение по формуле (42) определяется
разностью момента на валу дебаланса, передаваемого статором
на маятник, и момента сил сопротивления вращению дебаланса,
который воспринимается маятником в основном через подшип-
ники. Во втором случае отклонение по формуле (43) определя-
ется моментом сил сопротивления вращению дебаланса.
§ 31. ГЛУБИННЫЙ ВИБРАТОР
Глубинные (внутренние или погружаемые) вибраторы приме-
няются главным образом для уплотнения бетонных смесей. Они
представляют собой центробежные вибровозбудители кругового
действия дебалансного или планетарного типа. На рис. 71 изо-
бражена схема дебалансного глубинного
Рис. 71
вибратора, вал 2 которого, приводимый
во вращение от вынесенного двигателя,
опирается на подшипники 3, установлен-
ные в цилиндрическом корпусе 4. На вал
насажен дебаланс 5. Вал 2 соединен с
двигателем гибким валом 1. Бетонная
смесь при обычных частотах вибрирова-
ния может рассматриваться как изотроп-
Рис. 72
ная среда, обладающая малой жесткостью, но развивающая
значительные диссипативные и инерционные силы.
Корпус вибратора удерживается таким образом, что он не
может поворачиваться относительно своей оси.. Благодаря изо-
тропии окружающей среды, концентричности дебалансного вала
и корпуса вибратора, цилиндрической форме корпуса, а также
осевой симметрии масс корпуса (со всеми жестко присоединенны-
ми к нему элементами), точки, расположенные на оси корпуса,
описывают круговые траектории.
205
Рассмотрим случай, когда векторы всех сил, приложенных к
корпусу (сил инерции дебаланса и соколеблющейся бетонной
смеси, диссипативного сопротивления бетонной смеси), лежат
в одном поперечном сечении с центром тяжести корпуса, и линии
их действия проходят через этот центр (который в силу упомяну-
той осевой симметрии масс лежит на геометрической оси корпу-
са, совпадающей с осью вращения дебаланса). В этом случае
корпус будет совершать поступательное круговое движение, при
котором все его образующие будут описывать круговые цилин-
дрические поверхности одинакового диаметра. Следовательно,
движение можно рассматривать в плоскости действия сил.
В такой постановке схема глубинного вибратора будет отли-
чаться от представленной на рис. 67 отсутствием упругих связей.
Кроме того, с целью учета сил инерции колеблющихся масс
бетонной смеси к массе гщ рабочего органа (корпуса вибратора)
необходимо добавить приведенную к корпусу массу тс соколеб-
лющейся части бетонной смеси. Поскольку здесь мы имеем дело
с осесимметричной задачей, адекватной системой координат для
ее рассмотрения являются полярные координаты р, 0. Поместим
полюс в точке О (рис. 72), вокруг которой вращается ось кор-
пуса вибратора, и направим полярную ось ОР параллельно на-
чальному (в момент времени t = 0) положению линии, соеди-
няющей ось А корпуса с центром тяжести В дебаланса. Угловая
скорость со дебаланса направлена против часовой стрелки; в том
же направлении ведем отсчет полярного угла 0.
Кинетическая энергия рассматриваемой системы может быть
представлена выражением
Г = (тх + тс +т0) (р2 + р202) +
+ тогы [р0 cos (со/ — 6) — р sin (со/ — 6)] -|-
+4-(jo+"v->2. о
где р = ОА — модуль радиуса-вектора оси корпуса;
0 — полярный угол этого радиуса-вектора;
т0—масса дебаланса (включая все жестко связанные
с ним элементы);
г — эксцентриситет массы дебаланса относительно
оси вращения А;
/0 — центральный момент инерции дебаланса.
Диссипативная функция
ф = -А- b (р2 + р202), (2)
где b — коэффициент диссипативного сопротивления среды.
206
Воспользовавшись уравнениями Лагранжа в форме (22) § 10
(здесь L = Т, Qi = 0), получим следующую систему уравнений
движения глубинного вибратора:
(гъ + тс + т0)(р — рё2) + £?р — т0г®2 cos (со/— 6) = 0, I
(тх + тс+т0) (рб + 2р0) + fep6 — mara2 sin (at — 0) = 0.
Нетрудно видеть, что первыми интегралами этой нелинейной
системы дифференциальных уравнений, соответствующими ста-
ционарному движению, будут
р = 0, 0 - со; (4)
отсюда получаем вторые интегралы:
р=ра) 6 = ®/-(р, (5)
где р„ — амплитуда круговых колебаний корпуса;
<р — угол сдвига фазы корпуса относительно фазы враще-
ния дебаланса (—<р — начальный полярный угол ра-
диус-вектора р).
Подставив значения (4) и (5) в дифференциальные уравнения
(3), получаем систему уравнений:
(mx 4- тс + m0) ра + mor cos <? = 0, 1
Ьра — mora sin <р = 0, /
решая которую, находим
tg <р =---------Ь------, (7)
(mt 4- тс 4- т0) со
. т,.т
ра =---------------COS <р = —£---Sin ср =
mi + тс 4- т0 b
__ __________^0^_______
V(тг 4- тс 4- то)2со2 4- Ь2
Как показывают уравнения (6), sin <р 0 (равенство при b =
= 0), a cos<p 5g: 0 (равенство, при ра = 0, т. е. при b = оо). Сле-
довательно, угол ср лежит в пределах <р л, причем пра-
вый предел соответствует b = 0, а левый соответствует b = оо.
Обычно коэффициент диссипативного сопротивления b и при-
веденная масса соколеблющейся бетонной смеси тс неизвестны.
При экспериментах можно измерить амплитуду круговых коле-
баний корпуса ра и угол сдвига фаз <р. Зная эти величины, нахо-
дим из второго уравнения (6)
b=-^^-sin<p (9)
Ра
207
и из первого равенства (8)
тс = —( т-г cos ф + т • (Ю)
\ Ра /
Средняя мощность, необходимая для поддержания колеба-
ний корпуса,
Л\ = — Bv,
где В — диссипативная сила, с которой среда действует на кор-
пус вибратора;
v — модуль скорости движения корпуса.
В соответствии с выражениями (2), (4) и (5),
— В — bpa<>), v = расо,
следовательно,
N± = bfa2.
Подставив сюда значения b из равенства (9) и рп из первого
равенства (8), получим
д/ = __ (№0г)2т3 sin 2ср „„
1 2 («х + тс + т0)
Максимум этого выражения достигается при sin 2ф = —1,т. е.
3
при ф = — л. Максимальная мощность
max N, =-----——---------; (12)
2 (nil -f- mc m0)
она в 2 раза превышает мощность, определяемую по формуле
(1) § 24, что вполне естественно, поскольку формула (1) § 24,
получена для системы с одной степенью свободы, а в данном слу-
чае реализуются две степени свободы.
Мощность, необходимая для преодоления трения в подшип-
никах дебалансного вала,
Мо = fo'o^o™3 V1 — Р (2 — р) cos2 ф, (13)
где f0 — условный коэффициент трения в подшипниках;
/'о — радиус условной цапфы подшипников;
Р = ------------• (14)
гщ + тс + т0
Соотношение (13) может быть получено из рассмотрения тре-
угольника ОАВ на рис. 72.
Суммарная механическая мощность, реализуемая на деба-
лансном валу,
М — Мо + A/j.
При вынесенном двигателе к корпусу приложен момент
(15)
(D
208
Рис. 73
направленный в сторону вращения дебаланса. При встроенном
двигателе к корпусу приложен момент
М= , (16)
(О
направленный в сторону, противоположную вращению дебаланса.
Для предотвращения проворачивания корпуса вибратора к нему
извне должен быть приложен момент, абсолютная величина ко-
торого определяется выражением (15) или (16). Это рассужде-
ние справедливо, когда линия действия диссипативной силы пе-
ресекает ось корпуса вибратора.
Благодаря осевой симметрии вы-
ражения (6) — (16) при каждом
фиксированном значении о> со-
храняют свою силу и в случаях
нелинейной зависимости дисси-
пативной силы от скорости и си-
лы инерции бетонной смеси от
ускорения движения корпуса. Но
в этих случаях для построения
амплитудно-частотных характе-
ристик по выражению (8) и фазо-
частотных характеристик по вы-
ражению (7) необходимо знать
зависимости b = Ь(а>) и тс =
= тс(т).
Плоско-параллельное движе-
ние корпуса глубинного вибрато-
ра обычно бывает неприемлемым,
поскольку место крепления руко-
яти вибратора должно иметь достаточно малую (в идеальном
случае — нулевую) амплитуду колебаний. Точку на оси корпуса,
амплитуда колебаний которой равна нулю, называют нулевой
точкой. С целью получения нулевой точки центр тяжести деба-
ланса располагают ниже центра тяжести всего вибратора.
В этом случае при движении корпуса вибратора реализуются
четыре степени свободы, если корпус удерживается таким обра-
зом, что исключается его вращение вокруг своей геометрической
оси и перемещение вдоль этой оси.
Движение корпуса вибратора при такой схематизации будет
также осесимметричным. Все точки, расположенные на его
геометрической оси, будут описывать окружности вокруг
какой-то общей неподвижной оси. Вокруг той же оси будет
описывать окружность центр тяжести дебаланса. Возьмем непо-
движную декартову систему координат, совместив ось z с ука-
занной неподвижной осью. Оси х и у могут быть выбраны про-
извольно. На рис. 73 показана проекция на плоскость zx гео-
метрической оси ии корпуса вибратора, которая является также
14 Заказ 150 ОЛО
осью собственного вращения дебаланса. В точке А располагает-
ся центр тяжести дебаланса. Точка А' представляет собой про-
екцию точки А на ось и. Полагая малыми угол между осями z
и и, а также эксцентриситет массы дебаланса г = А'А по срав-
нению с продольными размерами вибратора, будем считать, что
центр тяжести всего вибратора располагается на оси и в точке
Е (с учетом приведенной к оси вибратора соколеблющейся массы
бетонной смеси). Равнодействующая сил диссипативного сопро-
тивления бетонной смеси приложена в точке D.
На рис. 73 справа показана проекция той же фигуры на плос-
кость zy, а внизу — на плоскость ху. Три проекции каждой из от-
меченных точек обозначены одинаковыми буквами. В качестве
обобщенных координат выберем абсциссу х и ординату у точки Е
центра тяжести вибратора и углы ф и е между осью z и проек-
циями оси и соответственно на плоскости zx и zy. Обозначим
п = ЕА' — расстояние от центра тяжести вибратора до проек-
ции на ось и центра тяжести дебаланса; п' = ED — расстояние
от центра тяжести вибратора до точки приложения диссипатив-
ной силы и п" — EG — расстояние от центра тяжести всего виб-
ратора до центра тяжести корпуса вибратора с учетом соколеб-
лющейся бетонной смеси.
Имея в виду малость углов ф и е, можно записать следую-
щие выражения кинетической энергии и диссипативной функции
нашей системы:
Т = -j- Ji. (Ф2 + е2) + -|- (mj + mc) [(х —
— п"Ф)2 + (У — »"е)21 + ~~ т0 [(х +
+- пф — /со sin со/)2 ф- (у -J- пе ф-rco cos оз/)2]; (17)
Ф~- -у й[(х + н'Ф)2 + (у + п'е)2], (18)
где 71 — центральный момент инерции всего вибратора с де-
балансом относительно оси, перпендикулярной к
оси и.
Теперь могут быть написаны дифференциальные уравнения
движения корпуса вибратора
(т1 + тс ф-т0) х. + У (х + п'ф) =и?огсо2 cos со/; (19)
71ф ф- Ьп' (х + п'ф) = nm0ra2 cos (20)
(т1 -г тс ф- и?0) у + Ь{у Ц- п'е) = morco2 sin со/; (21)
JjE + bn’ (у + пе) = птогы2 sin со/, (22)
210
Эти уравнения распадаются на две подсистемы: (19), (20) и
(21), (22). Левые части уравнений (19) и (21) аналогичны, так
лее как левые части уравнений (20) и (22). Соответствующие
правые части различаются только по фазе на угол
л
2
равный
углу между осями х и у. Все это закономерно, учитывая осевую
симметрию задачи. Поэтому достаточно рассмотреть первую под-
систему.
Условием наличия нулевой точки на оси и является синфаз-
ность колебаний х и ф, т. е. их пропорциональность, в соответ-
ствии с чем
х — аф,
(23)
где коэффициент пропорциональности а представляет собой рас-
стояние от центра тяжести всего вибратора Е до нулевой точки.
Подставим в уравнения (19) и (20) значение ф согласно равен-
ству (23) и разделим второе уравнение на п:
(тх + тс + m0) х + b (1 4- ~~ ) х = tnor(£>2 cos
«/1 , I « / 1 . « \ 9 j.
—— х + b------------- 1 -|----------x = cos (dt.
na n \ a j
(24)
Чтобы интегралы первого и второго уравнений были равны,
необходимо и достаточно, чтобы были соответственно равны
коэффициенты в левых частях уравнений при х и при х. Первое
равенство приводит к соотношению
п' = п, (25)
а второе равенство дает зависимость
п =----------------------------------. (26)
(тх -р тс + т0) а
Соотношение (25) показывает, что для получения нулевой
точки равнодействующая сил диссипативного сопротивления
должна быть приложена к оси корпуса в том же его поперечном
сечении, в котором расположен центр тяжести дебаланса. Зави-
симость (26) представляет собой второе условие, требующееся
Для получения нулевой точки. Эта зависимость легко приводится
к виду
I" , I I J
(mt + тс + т0) а
где I = п + а — расстояние от поперечного сечения вибратора,
в котором расположен центр тяжести дебаланса, до ну-
левой точки;
I — Л + (mi + тс + т0)а2 — момент инерции вибратора
относительно нулевой точки.
14*
211
Выражение (27) аналогично равенству (17) § 31 для маятни-
кового вибратора. Действительно, если в нулевой точке располо-
жить идеальный шаровой шарнир, то он не будет испытывать
усилий в направлениях, перпендикулярных к оси вибратора.
Обозначив расстояние от нулевой точки до точки приложе-
ния диссипативной силы
k — а + п', (28)
перепишем первое уравнение (24):
(т1 + mc + m0) х + b —х — тога2 cos со/.
а
Его интеграл, отвечающий стационарному движению,
х — ха cos (со/ — Ф1), (29)
где
tg Ф1 =------------; (30)
а (тг + тс + т0) со
таг атага>
Ха =-----------2-----COS ф, =----2---Sin ф. —
mi + тс + т0 kb
= а№вГЮ . (31)
1 а2 (mx + тс + то)2<о2 + /г2/>2
’ Эти выражения несколько отличаются от равенств (7) и (8),
полученных для плоско-параллельного движения.
На основании изложенного легко составить следующее выра-
жение мощности, необходимой для поддержания колебаний, имея
й виду, что уа = ха, Еа = фа и что у и в отстают по фазе на —
от х и ф:
( Ьк2х2ы2
Ni =------— ,
1 а2
Откуда на основании равенств (31)
,, fe(mor)2to3 . о ,оо,
Л\ =---------——---------З1п2ф1. (32)
2а (mt + тс + т0)
При наличии нулевой точки ось корпуса вибратора описывает
поверхность кругового конуса. Если же нулевой точки нет, то ось
корпуса вибратора описывает линейчатую поверхность — одно-
полостный гиперболоид вращения. В этом случае мощность, не-
обходимая для поддержания колебаний,
= b (ха + п'фс)2со2, (33)
где для определения ха, фа, а также соответственных углов сдви-
га фаз <pi и Ф2 нужно проинтегрировать подсистему дифференци-
альных уравнений (19) и (20).
212
г л а В a VI ------------------------------------—
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
§ 33. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ДЕБАЛАНСОВ
В гл. V рассматривались вопросы динамики центробежных
вибровозбудителей в предположении, что их дебалансы враща-
ются с постоянной угловой скоростью со. Это приводило к опи-
санию движения неавтономными дифференциальными уравне-
ниями. В действительности же центробежные вибровозбудители,
как правило, представляют собой автономные системы, так как
вращение дебалансов не поддерживается извне жесткими связя-
ми, обеспечивающими заданный закон изменения угловой скоро-
сти от времени, в частности, постоянство угловой скорости. В ре-
альных условиях угловая скорость вращения дебалансов далеко
не всегда остается постоянной.
Обычно колебания угловой скорости дебалансов малы, но
имеются практически важные задачи динамики центробежных
вибровозбудителей, которые принципиально не могут быть реше-
ны без учета степеней свободы, соответствующих вращению де-
балансов. В гл. V эти дополнительные степени свободы были ис-
ключены наложением условия постоянства угловой скорости вра-
щения дебалансов. С другой стороны, крутильные колебания
дебалансов после надлежащего их увеличения при помощи спе-
циальных конструктивных приемов могут быть практически ис-
пользованы.
Неравномерность вращения дебаланса может быть вызвана:
непостоянством момента силы тяжести дебаланса относитель-
но оси вращения, если эта ось не вертикальна;
ускорениями движения оси вращения дебаланса, за исключе-
нием случаев, когда центр тяжести дебаланса в своем абсолют-
ном движении описывает окружность, перемещаясь по ней рав-
номерно с угловой скоростью собственного вращения дебаланса;
. изменениями сопротивления вращению дебаланса, порожден-
ными перечисленными двумя причинами или конструктивными и
эксплуатационными факторами.
Рассмотрим влияние непостоянства момента силы тяжести
дебаланса относительно оси вращения в простейшем случае, ког-
да корпус 1 вибровозбудителя (рис. 74) неподвижен и ось вра-
щения О дебаланса 2 горизонтальна. В положении устойчивого
213
равновесия центр тяжести А дебаланса находится на вертикали
Ох ниже оси вращения О. Положение дебаланса будем опреде-
лять углом ф отклонения радиуса-вектора г = ОА центра тяже-
сти дебаланса от положения устойчивого равновесия. Система
обладает одной степенью свободы и описывается дифференци-
альным уравнением
/ф + mogr sin ф = М, (1)
V \ /х\э.
х
где J — момент инерции дебаланса относительно оси вращения;
т0— масса дебаланса,
g — ускорение свободного падения;
М — разность момента, развиваемого двигателем на валу де-
баланса, и момента сил сопротивления вращению
Полагая М = 0, получим дифферен-
1 циальное уравнение свободного движе-
ния физического маятника:
Ф ф Q2 sin ф = 0, (2)
где
й = у/ (3)
в соответствии с формулой (19) § 6
Рис. 74 представляет собой собственную частоту
малых колебаний дебаланса около поло-
жения устойчивого равновесия. В этом случае точки, располо-
женные на дебалансе, совершают не колебательное, а циркуля-
ционное движение.
Взяв начальные условия ф = 0, ф = ф0 при t = 0, запишем
первый интеграл дифференциального уравнения (2):
Ф = |/ фо — 2П2 (1 — cos ф);
(4)
отсюда следует, что угловая скорость колеблется между фюах =
= ф при ф = 2пл и фт1П = ф01^ 1—при ф = (2п + 1)л; здесь
л = 0, 1, 2, ...;
k = -2Й- . (5)
фо
Всегда выполняется условие k < 1 и почти всегда k2 1.
Из уравнения (4) получаем в виде квадратуры функцию, об-
ратную второму интегралу уравнения (2):
t = f dQ =, (6)
j V Фо— 2Q2(1 —cos 0)
214
которую тождественным преобразованием приводим к нормаль-
ной лежандровой форме неполного эллиптического интеграла
первого рода
Т
f_____2 С dQ
<Ро J /l — k2 sin2 0
о
Второй интеграл <р дифференциального уравнения (2)
может быть выражен при помощи функции, называемой
тудой Якоби.
(7)
теперь
ампли-
(8)
может
Амплитуда Якоби, являющаяся нечетной функцией,
быть представлена в виде суммы линейной пропорциональной
аргументу функции и периодической функции, разлагаемой в ряд
Фурье по синусам
ОО
<р = + 4 ----------sin na>t, (9)
п(1 + Х2П) 4
П=1
где средняя угловая скорость вращения дебаланса
<о= ,
2Д (fe)
. / пК (/1 — k2 ) \
X, = ехр (----------—---------- .
\ К (fe) )
(10)
(11)
Полные эллиптические интегралы первого рода
—
2
f —
J y 1 — k2 sin2 0
о
2
К (VT^k2) = f (12)
J У 1 — (1 — k2) sin2 0
o
можно взять по справочным таблицам или разложить в следую-
щие ряды по четным степеням k\
— ( 1 + —Й2 + — &4+ -^-k'
2 k 4 64 256
— 1
К(^) =
ксгт^р)=in 4-+4
k 4
64 \. k 6 ) 256
37 \
30 /
(13)
215
Продифференцировав по времени равенство (9), получим вы-
ражение угловой скорости дебаланса в виде ряда Фурье:
\
----— cosruo/i.
1 + Х2П )
Ф = со
(И)
Рис. 75
n=l
Следовательно, на среднюю угловую скорость вращения де-
балансов накладывается ряд Фурье, содержащий все гармоники.
Эти наложенные колебания обычно малы. Так, при k = 0,1 (по-
рядок этой величины соответствует реальным ее значениям у
многих центробежных вибровозбудителей) амплитуда наиболь-
шей первой гармоники составляет около 0,25% среднего значе-
ния угловой скорости. При уменьшении ф0 в 5 раз отношение ам-
плитуды первой гармоники к средней угловой скорости возрастет
в 28 раз и составит около
7%- При уменьшении ф0 в
8 раз отношение амплитуды
первой гармоники к сред-
ней угловой скорости воз-
растет в 100 раз и составит
около 25%.
На рис. 75, а изображе-
на круговая эпюра угловых
скоростей дебаланса, по-
строенная по формуле (4).
Здесь штриховая окруж-
ность представляет собой уровень средней угловой скорости, а
сплошная кривая —- текущие значения угловой скорости. Для
наглядности колебания резко преувеличены.
Влияние ускорений движения оси вращения дебаланса на его
угловую скорость также рассмотрим на простейшем примере,
когда показанный на рис. 74 корпус 1 вибровозбудителя благо-
даря наложенным идеальным связям имеет одну степень свобо-
ды — поступательное перемещение вдоль оси Ох при отсутствии
силы тяжести, упругих и диссипативных связей корпуса с внеш-
ней средой. Приняв в качестве обобщенных координат смещение
корпуса х относительно среднего положения и угол поворота де-
баланса ф от положительного направления оси Ох, получим сле-
дующее выражение кинетической энергии системы:
Т — — (тг + т0) %2 + — Лф2 — тогхф sin ф.
Используя эту зависимость, напишем дифференциальные
уравнения движения системы:
(т1 + ш0) х — тог (ф sin ф + ф2 cos ф) = 0;
\ /ф — morx sin ф = М.
(15)
(16)
215
Полагая, как и в предыдущем случае, М = 0 и исключив из
уравнений (16) х, получим
ср — а2 (ср sin ср + ср2 cos ср) = О,
(17)
где
Всегда а
Примем
ция центра
при t = О
(fflpc)'2
J (тг 4- тв)
< 1. Обычно а2< 1.
следующие начальные условия, при которых проек-
тяжести системы на ось Ох остается неподвижной:
<Р = 0, <р = <р0,
х = — х0, х = 0.
интеграл дифференциального уравнения (17), отве-
Первый
чающий этим условиям, может быть представлен в виде
(18)
(19)
отсюда можно получить в виде квадратуры функцию, обратную
второму интегралу уравнения (17):
t = 4- ( /1 — a2sin26de. (21)
Фо J
о
Квадратура в правой части представляет собой нормальную
лежандрову форму неполного эллиптического интеграла второго
рода £(а, <р). По справочным таблицам и кривым можно найти
значения <р для любого значения аргумента <р0^ = ср).
Разложим правую часть равенства (20) в ряд Фурье:
ср = <р0 (о0 — о2 cos 2<р 4- а4 cos 4<р —
1225
— a6cos 6<р + о8 cos 8<р — ...). (22)
Коэффициенты этого ряда могут быть представлены в форме
следующих степенных рядов:
_ 1 I I 2 I 9 4 I 25
°о = 1 + — а Ч------а Ч—- - .
4 64 256 16 384
' I о । 3 4 75 в 245 .
о2 = — а2 Ч-----а4 Ч------а8 Ч------
4 16 512 2048
• 3 4 । 15 61 245 8
а4 =----а4 4------а6 4-------а8 + .
64 256 4096
* 5 6 1 55 о .
о6 =-----сс 4------- а + ...;
512 2048
35 к ,
(23)
О8 =
16 384
а =
217
Поскольку движение стационарно, постоянная составляющая
в разложении (22) должна быть равна средней угловой скоро-
сти <о, откуда
Фо = — (24)
° О
Следовательно, ряд (22) можно записать следующим образом:
Ф = со — а2 cos 2<р + а4 cos 4ф — а6 cos 6ф + cos 8<p — ..., (25)
где
соа2 ыа4 ыа6 а>а8
6^2 '—~ j ^4 —’ » ^6 ’— ’ ^8 ?
а0 ао а0 «О
(26)
Имея в виду, что амплитуды гармоник невелики, воспользу-
емся приближенным равенством
Ф = <о/ (27)
и представим выражение (25) в следующем виде:
Ф — со — а2 cos 2со/ + а4 cos 4о>/ — ав cos бсо/ + as cos 8 со/ — ... (28)
Таким образом, угловая скорость вращения дебаланса пред-
ставляет собой периодическую функцию, содержащую только
четные гармоники. Как правило, у центробежных вибровозбуди-
телей а значительно больше, чем k. Поэтому крутильные колеба-
ния дебалансов, вызванные ускорениями движения их оси вра-
щения, несколько больше, чем возбужденные силой тяжести. Од-
нако эти колебания обычно малы: отношение амплитуды наи-
большей второй гармоники к средней угловой скорости вращения
дебалансов лежит в пределах от 0,2 до 4%. В отличие от пре-
дыдущего случая, это отношение не изменяется с изменением
средней скорости вращения, поскольку а от этой величины не за-
висит. На рис. 75, б представлена эпюра колебаний угловой ско-
рости дебалансного вала с учетом второй гармоники. Обозначе-
ния те же, что и на рис. 75, а.
Хотя размахи крутильных колебаний дебалансного вала
обычно невелики, для полного устранения этих колебаний к валу
пришлось бы приложить знакопеременный крутящий момент
большой амплитуды. Действительно, если ф = со = const, то ср =
= 0 и ф = со/. Подставив эти значения в первое уравнение (16),
найдем известную нам из гл. V зависимость:
х - —------cos at.
"ф + т0
Подставив ее во второе уравнение (16), получим
М = —
(m0r)2«>2
2 + m0)
sin 2со/,
218
что соответствует знакопеременной реактивной мощности на ва-
лу дебаланса
, , (/ипг)2ю3 - г, .
N —------——--------sin 2о>/.
2 (яц 4- т0)
Амплитуда этой мощности в ряде случаев превышала бы
в несколько раз номинальную мощность двигателя вибрационной
машины. Следовательно, подавить небольшие крутильные коле-
бания дебаланса весьма нелегко.
Посмотрим теперь, какое влияние на движение корпуса виб-
ровозбудителя оказывают колебания угловой скорости дебалан-
са. С этой целью из первого уравнения (16) найдем
х = ——— (<р sin <р + q>2 cos ф). (29)
mt + т0
Подставив сюда вместо ф ряд (28) и вместо ф производную
этого ряда по времени и приняв приближенно 8Шф = $ш<о/,
cos ф = cos о>/, получим зависимость вида
х = —т°гю— |(1 + + р2а^ + • .)C0SCl^ +
mj + /по
+ q2 cos Зо>/ + q3 cos 5a>t + ... ]. (30)
Следовательно, колебания корпуса помимо основного тона
содержат бесконечный ряд нечетных гармоник. Правда, обычно
амплитуды этих гармоник невелики. Так, амплитуда наибольшей
третьей гармоники ускорения обычно лежит в пределах от деся-
тых долей процента до нескольких процентов амплитуды основ-
ного тона.
§ 34. УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ
Интересный пример практического использования неравно-
мерности вращения дебалансов представляет супергармо-
нический вибрационный привод. Как показала формула (30)
§ 33, колебания рабочего органа содержат высшие нечетные гар-
моники. Фактически они содержат и четные гармоники, возбуж-
даемые колебаниями момента силы тяжести дебаланса относи-
тельно его оси вращения. Одна из гармоник может быть резко
усилена до практически необходимой величины. Легче всего уси-
лить третью гармонику колебаний рабочего органа.
Генерирование колебаний высокой частоты центробежными
вибровозбудителями, дебалансы которых вращаются сравнитель-
но медленно, имеет ряд преимуществ по сравнению с их генери-
рованием высокооборотпыми возбудителями. В частности, может
быть повышена надежность вибровозбудителя, снижаются
219
потери мощности в подшипниках дебалансов и шум возбудителя,
повышается безопасность работы.
Задача создания супергармонического вибропривода требует
осуществления ряда конструктивных мероприятий. Для выясне-
ния подходов к этому обследуем несколько схем с последователь-
но увеличивающейся сложностью. Сначала обратимся к схеме,
представленной на рис. 76. Здесь рабочий орган 4 соединен с не-
х
Рис. 76
подвижной стойкой 1 пружиной 3 и дем-
пфером 2. Рабочий орган, ограниченный
идеальными связями 6, приводится в ко-
лебательное движение дебалансом 5.
Остальные обозначения такие же, как
на рис. 74.
Примем в качестве обобщенных коор-
динат смещение рабочего органа х от
положения равновесия и угол поворота
дебаланса ф и запишем дифференциаль-
ные уравнения движения (пренебрегая
силой тяжести, которая несущественна,
поскольку в дальнейшем нас будет инте-
ресовать задача усиления третьей гармоники колебаний рабочего
органа):
{т1 + т0) х + Ьх + сх — тог (ср sin <р + <р2 cos ср) = О,
/ф — morx sin ф = М;
здесь b — коэффициент сопротивления демпфера 2;
с — коэффициент жесткости пружины <3;
М — постоянный момент на валу дебаланса.
Введем следующие безразмерные величины:
, f. т, + та М
х = со/; £ = — х\ р =------------;
Ш0Г /со2
с .а b . „ . тог
, и —— , СХ — ~з9
(m, -I- т0) со2 2у (т, + т0) со V J ("Ч + т0)
где
(1)
(2)
(3)
представляет собой среднюю угловую скорость вращения деба-
ланса (7 — время одного оборота дебаланса). Обозначая в даль-
нейшем точками над £ и ф дифференцирование по т и подставив
величины (2) в уравнения (1), получим
t -ф у2£ — ф sin ф — ср2 cos ср — О,
Ф — cc2£sin ф = р.
(4)
220
Представим угол <р как сумму линейной и колеблющейся ча-
стей:
Ч> = т + тр; (5)
отсюда следует:
ср = 1 ф, ср = ф. (6)
Подставим равенства (5) и (6) в уравнения (4):
£4-2Pyt + T2£= ^sin(? + i|0 + (l + 4')2cos(x + ф), 1
ф — сс2£ sin (т + ф) = р.
Далее будем полагать, что угол ф и его производные ф, ф и
параметр а2 малы по сравнению с единицей. Перепишем уравне-
ния (7), сохраняя члены только до первого порядка малости
включительно:
В + + у2В = cos т + (ф — ф) sin т + 2ф cos т,
ф = a2g sin т + р.
В дальнейшем будем пользоваться методом последователь-
ных приближений. Для первого приближения примем
ф* = 0 (9)
и, подставив первое приближение ф в первое уравнение (8), по-
лучим первое приближение £:
= Bu cos (т — Т*), (10)
где
~ ° /(у2 — I)2 + 4PV ’
И = arctg -^L. (11)
у2 — 1
Нижние цифровые индексы амплитуды и начальной фазы
здесь и далее обозначают номер гармоники. Верхний индекс
«звездочка» обозначает первое приближение; второе приближе-
ние записывается без этого индекса.
Для получения второго приближения ф подставим во второе
уравнение (8) результат (10):
ф =----у a2Bu sin (2т — Ti)--Х- a2l\a sin tJ + p. (12)
Условием периодичности решения (12) является равенство
р* = sin Tj, (13)
221
которое в безразмерной форме дает баланс мощности, поскольку
величина ц пропорциональна средней мощности, необходимой
для поддержания колебаний.
На основании этого условия уравнение (12) получает вид
ф = -—a2Eio sin (2т — т1), (14)
откуда
ф = -^-cc2Hiacos(2T—т1), (15)
ф = — a2E]O sin (2т — ту).
8
Для отыскания второго приближения £ подставим в первое
уравнение (8) соотношения (14) и (15), отбросив величины выше
первого порядка малости относительно а2:
/ а2?* Л
t + 2|3у£ + у2? = ( 1-cos Ti I cos (т — у) +
у 16 /
+ -^“2^ac°S(3T —т1), (16)
16
ГДе 2 *
х = arctg ( а ^1Д sin<Y (17)
Второе приближение £ дается интегралом дифференциального
уравнения (16):
£ = cos (т — тО 4-Eafl cos (Зт — т3), (18)
где
£]п = £*о( 1 —-77-cosn); t^ti+x; (19)
Е3„ = — - ^1а — ; т3 = ti + arctg —(20)
16 K(Y2— 9)2+ 360V у2 —9
Подставив во второе уравнение (8) интеграл (18), найдем
второе приближение баланса мощности:
и = Y sin Tj. (21)
Проанализируем полученные результаты. Выражения (18),
(19) и (21) показывают, что амплитуда основного (первого) то-
на, его начальная фаза и баланс мощности мало отличаются
от случая, когда ср = const. Частотные характеристики первой
гармоники близки к рассмотренным в § 13 частотным характе-
ристикам при возбуждении центробежной силой постоянного мо-
дуля Особенностью фазо-частотной характеристики Ti (у) яв-
1 Отношение частот у идентично отношению у* в § 13-
222
ляется то обстоятельство, что при у = 1 начальная фаза
л
Т1 > Т‘
Амплитуда третьей гармоники £3и пропорциональна величине
а1 2 и амплитуде первой гармоники g*a. Третья гармоника испыты-
вает два резонанса: вместе с первой гармоникой в окрестности
у = 1 и, помимо этого, в окрестности у = 3. Начальная фаза
третьей гармоники тз изменяется в пределах 0 тз 2л, пре-
терпевая быстрые изменения в зоне каждого из резонансов, при-
чем при у = 1 начальная фаза т3 < л, а при у = 3 начальная
фаза Тз > — •
Поскольку в окрестности у = 1 испытывают резонанс одно-
временно первая и третья гармоники, отношение |3a : gJa остается
почти неизменным. Но в окрестности у = 3 резонирует только
третья гармоника, что приводит к возрастанию отношения
Вза • Bia- Итак, увеличение отношения амплитуды третьей гармо-
ники колебаний рабочего органа к амплитуде первой гармоники
может быть достигнуто путем увеличения параметра а или при-
ближения к резонансу третьей гармоники в окрестности у = 3, а
также путем увеличения коэффициента усиления при этом резо-
нансе, т. е. снижения относительного затухания fl
На рис. 77, а — г показаны соответственно амплитудо-частот-
ные характеристики первой и третьей гармоник и фазо-частотные
характеристики тех же гармоник.
Схема, изображенная на рис. 76, не обеспечивает виброизоля-
цию стойки при значительных размахах колебаний в окрестно-
сти у = 3, т. е. при большой жесткости пружины, которая, со-
гласно четвертому равенству (2), равна
с — у2 (Ш! + Шо) со2.
Второй существенный недостаток этой схемы состоит в том,
что резонанс третьей гармоники в окрестности у = 3 выражен
гораздо слабее, чем в окрестности у — 1, поскольку амплитуда
£за пропорциональна амплитуде g(a, а последняя из-за высокой
жесткости пружины в окрестности у = 3 становится весьма
малой.
Выгоднее оказывается схема, изображенная на рис. 78. Здесь
корпус вибровозбудителя 4 соединен с неподвижным основани-
ем 1 весьма податливой пружиной 7. Пружина 3 и демпфер 2
соединяют корпус со вторым телом 8, которое мы условно назо-
вем рабочим органом '. Корпус и рабочий орган благодаря
1 Фактически рабочим органом может быть сам корпус, а второе тело бу-
дет представлять собой реактивный элемент; возможны случаи, когда оба
тела 4 и 8 будут рабочими органами
223
идеальным связям 6 и 9 могут перемещаться только поступатель-
но вдоль оси х. Дебаланс 5 вращается вокруг оси О, жестко
связанной с корпусом.
В качестве обобщенных координат возьмем отклонения %й) и
х<2) от своих положений равновесия соответственно корпуса и ра-
бочего органа и угол поворота <р дебаланса, отсчитываемый от
положительного направления оси х. Кинетическая энергия си-
стемы
Т = ~т2 (Д2>)2 4- -±- (пг, + т0) (х(1>)2 +
4- -у- 4<р2 — morx(l,<p sin <р; (22)
потенциальная энергия (пренебрегаем силой тяжести и жест-
костью опорной пружины 7)
П = _1-C(X(1)_X(2))2; (23)
функция рассеяния
ф = Ь(х^ — х^)2, (24)
где nil — масса корпуса вибровозбудителя;
т2 — масса рабочего органа;
с — коэффициент жесткости пружины 3;
Ъ — коэффициент сопротивления демпфера 2; остальные
обозначения такие же, как в зависимости (15) § 33.
224
Составим на основании равенств (22) — (24) дифференциаль-
ные уравнения движения:
т2х™ — Ь(х^ — х<2>) — с (лД> — х<2>) = 0;
(щг -ф т2) Д1' + 6(х(1’— х<2>)+ с(хО> — Д2’) —
I
— mor (<р sin ср + <pz cos ф) = 0;
J'-f — morx^ sin ср = М. )
Воспользуемся следующими безразмерными величинами:
Х = + ; р = —А—; у=-|/—°—-
т2 + mi + то 2уЛ./п2<о у Кт2а>2 (26)
£(1; __ mi + тв ^(1)_ £(2) _ nij + тв ^2)
твг ’ тйг
а также т, р, а, ф, определяемыми равенствами (2), (3), (5), и
переменной величиной
I = В'1» - В(2>, (27)
чтобы переписать уравнения (25) в следующей форме (точками
обозначено дифференцирование по т), сохранив члены только до
первого порядка малости:
ф = а2£(1) sinx -ф р,
£ + 2руЕ + y2g = cos т -|- (ф — ф) sin т + 2ф cos т,
В'1’ =f + 2pTlt+v2^.
(28)
Взяв в качестве первого приближения ф выражение (9), по-
лучим первое приближение g, определяемое равенствами (10) и
(11). Далее из третьего уравнения (28) найдем первое прибли-
жение
E(I'’ = ^’cos(x-tV>’), (29)
где
^'а’’ = В;оГ(т2Х- 1)2+4р2Т2Х2;
(1)* * . , 2руХ (80)
т) = Т] + л — arctg----—— .
у3Х— 1
Второе приближение ф определяется из первого уравнения
(28) равенством
Ф = "Т sin(2т — т(1”*) (31)
О
При условии периодичности
В* = -у- tx^la’si'n?!1’’.
(32)
15 Заказ 150
225
Второе приближение g определяется выражением (18), где
*. I, а2 (О*
11а — Ila I 1 ' 11а ) COS Т] ",
\ 1Ь /
* , . ( а2 <-(1)» . (1)»\
Tj = Т1 + arctg — I’lJ sin т(1 ;
\ 16 j
£ (33>
Sa 16 У (у2 — 9)2 + 36р2у2 ’
* । 6₽У
т3 = т, + arctg —.
у2 — 9
Второе приближение g(1) выражается равенством
1(1) = Ila COS(t — т’]1’) + 1!/а COS(3t —Т3’), (34)
где
11’2 = lln V(Vb~l)2+'40W; т?’ = Т1 + л - arctg ;
т Х 1 (35)
1& = U /(Т^ - 9)2 + 36PY%2; = Т3 + л- arctg .
у2А. — 9 '
Второе приближение Е(2> в соответствии с соотношением (27)
будет представлено равенством
1<2) = Ila cos (т — Т(12)) 4- 1за COS (Зт — Тз’), (36)
где
Ina = V (Ina cos т!,1’—E,I(! cos T^+Q^sin^,1’—1„а sin т„)2;
, 4asln,rn — ^aSinTn
т„ = arctg——------------------, (п = 1, 3).
1Па С05Тл — ^па COS Хп
(37)
Существенным недостатком рассмотренное! схемы, так же
как и предыдущей, являются ограниченные возможности повы-
шения коэффициента а, особенно в случае необходимости виб-
рирования больших масс. Правда, схема, представленная на
рис. 78, дает возможность получить большую величину отноше-
ния амплитуды третьей гармоники вибросмещения рабочего
органа к амплитуде первой гармоники и большее усиление амп-
литуды третьей гармоники в окрестности у = 3. Значительно
большие возможности предоставляет схема, показанная на
рис. 79. Здесь изображена центрированная система с маятнико-
вым вибровозбудителем, параметры которого подобраны в соот-
ветствии с рекомендациями § 31 таким образом, что в шарнире
О маятника 2 не возникают реакции, перпендикулярные к цент-
ральной оси х. Маятник шарнирно соединен с рамой 6, которая
опирается на неподвижное основание 4 при помощи весьма по-
226
датливых пружин 5. Ось А дебаланса 3 жестко связана с маят-
ником. Рама соединена с рабочим органом 8 при помощи пру-
жин 7 и демпфера 1. Поскольку система центрирована, центры
тяжести рабочего органа, рамы, маятника и дебаланса в поло-
жении равновесия располагаются на центральной оси х. На
этой же оси лежат равнодействующая реакций пружин 7 и ре-
акция демпфера 1.
Маятник под действием вращения дебалапса совершает ма-
лые колебания, рама и рабочий орган колеблются поступатель-
но в направлении оси х. В качестве обобщенных координат
возьмем смещения рабочего органа х^ и
рамы х*1’ относительно среднего положения
при установившихся колебаниях, угол от-
клонения маятника о и угол поворота деба-
ланса <р, отсчитываемые от. положения рав-
новесия.
Если обозначить через: т\ —- массу ма-
ятника; т"—массу рамы; Jj -—момент
инерции маятника относительно оси кача-
ния с учетом момента инерции дебаланса
как точечной массы, расположенной на оси
вращения; а — расстояние от оси качания
маятника до его центра тяжести; / — рас-
стояние от оси качания маятника до оси
вращения дебаланса, а остальные обозна-
чения принять такими же, как для схемы
на рис. 78, и если пренебречь силой тяжести
и реакцией пружин 5, то можно записать
следующие дифференциальные уравнения движения системы:
/ " . * . . d2x^ , / dx*1) dx*21 \ ...
("б +mi +m0)—— + b ---------— \ + c(x*‘> —x*2’) —
, ’ . ,, Г d2o . / do \2
— (mia + m0Z)——sincrcoso
[ dt2 \ dt /
— mor
d2<p
—— sin®
dt2
2
COScp
, d2x*2) , / dx*1J dx*2) \ , n
:2-----------b-----------------------— c (x*1’ — x*2>) — 0;
dt2 \ dt dt J v '
d2a . , ,.d2x(1) . .
— — (mxa + mol) —— sin о +
at* at*
+ mtfl I—2<p cos (<p — о) — ( 'l2 sin (cp — o)l = 0;
L dt2 VT ' \ dt J VT
15*
227
<Pq> (Px^ . ,
—mor~4^~sln'p +
d/- Ш2
s (<p — a) + ('j2 sin (<p — о) = M.
Принимаем в качестве безразмерных параметров
m"4-r< + "го
л = — -----------— ; а =
Illnr
g(l) =
т2 -I- «j 4- /и, 4- '«о е J ("г1 + "Ч + то)
т, 4- т, + Шп т, 4- tn, 4- /Пп
. 1 ______LZ_____£ X(D; g(2) __________‘.Z 1_________£ x(2);
rnbr
mBr
oi(,r
/ tllorl
J
(39)
£ = --; i =-----------
nifti + mol J i
а также т, ц, гр в соответствии с зависимостями (2),
р, у, g согласно равенствам (26) и (27).
Считая с целью упрощения гр, гр, гр, о, о, о, a2, I,
)
(3), (5) ii
e малыми
величинами одинакового порядка и сохраняя члены до первого
порядка малости включительно, получим
гр = — p2ocos т + “2£(1> sinr + р,
о — р2 i sin т,
t’+2₽yg 4- y2g = cos т 4- (ip — гр) sin т 4- 2гр cos т -|-
4- — (сто 4- о2,),
е
(40)
P =
E(1) = g 4- 2pTg + y2Zg.
В качестве первого приближения гр снова принимаем выра-
жение (9). Находим о из второго уравнения (40):
о = —p2isinx. (41)
Теперь третье уравнение (40) получит вид
g 4- 2[tyg 4- Т25 = cos т-cos 2-r, (42)
e
откуда первое приближение
= giccos(T —Ti) 4- %2a COS (2т — Тг), (43)
где g *Q , т* определяются равенством (11):
1,2a = --7 P * - ; T2 = arctg . (44)
e /(у3 — 4)2 4- 16p3y3 6 y3 — 4
228
Из четвертого уравнения (40) определяем первое приближе-
ние:
В(1>* = Bia cos (т — 4‘г) + £2'0 "cos (2т—41’’), (45)
где BiV*’Ti1)* подсчитываются по формулам (30),
&Г = B2a V (T2k - 4)2 + 1602у2Х2;
(1)* * j + 4руХ (46)
41 = т2 + л — arctg .
у2/. — 4
Второе приближение ф находим из первого уравнения (40),
подставив в него значения (41) и (43):
ф = ф2п sin (2т — е2), (47)
где
ф2й = + к4$“’)2;
о
02 = arctg
а2!;)У* cos т p* — p4t
(48)
Баланс мощности можно подсчитать по формуле (32). Теперь
находим второе приближение £ из третьего уравнения (40), ис-
пользуя зависимости (41) и (47):
£ = llacos(т — тх) + cos(2т — т2) + £3йcos(Зт — т3), (49)
где gi„, Т], ^2а. т2 можно определить равенствами (11) и (44), а
Ьа, т3 — равенствами (33). Далее из четвертого уравнения (40)
получаем
В( 1У — l\'a cos (т — Т(1‘’) 4- 4 <7 COS (2т — '4'’) + 4aCOS (Зт — 4°), (50)
где
№ = 5„с/(у2Ь-и2)2 + 4n2pvz2;
(1) । 4. 2пВуХ , 1 о ( (51)
4 = т„ + л — arctg (n == 1, 2, 3).
, — п2
Наконец, в соответствии с равенством (27)
^(2) = Bia COS (т — Т(12)) + Йа COS (2т — Т^’) + ^За COS (Зт — Т32)), (52)
где ^па’ (п = 1> 2, 3) определяются по формулам (37).
Итак, рабочий орган совершает колебания, содержащие во
втором приближении первые три гармоники. Остальные гармо-
ники вне зон своих резонансов представляют собой малые вели-
чины высших порядков. Полученные зависимости показывают,
что в области своих резонансов амплитуды второй и третьей
гармоник могут стать большими величинами.
229
§ 35. ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ДВИГАТЕЛЕМ.
СТАЦИОНАРНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ
В предыдущих параграфах движение колеблющихся систем
рассматривалось без учета ограниченности возможностей дви-
гателя как источника энергии, необходимой для поддержания
колебаний. Если же момент, развиваемый двигателем на валу
дебаланса, включался в дифференциальные уравнения движе-
ния (например, при рассмотрении вопросов умножения колеба-
ний в § 34), то предполагалось, что величина этого момента
в точности соответствует получаемым условиям периодичности
при заданной средней угловой скорости дебаланса. В действи-
тельности средняя угловая скорость не может быть задана про-
извольно. Она устанавливается строго определенной величины,
зависящей от свойств колеблющейся системы, возможностей
двигателя и условий вывода системы на рабочий режим.
Вопросы взаимодействия колеблющейся системы с двигате-
лем изучались многими исследователями. Наиболее полное и
последовательное рассмотрение ограничений, налагаемых дви-
гателем, произвел В. О. Коноценко. Если говорить о стационар-
ных режимах движения, которые рассматриваются в настоящем
параграфе, то с наибольшей остротой и практическим значени-
ем вопросы взаимодействия двигателя с колеблющейся системой
ставятся при разработке резонансных вибрационных машин.
Мы будем рассматривать наиболее простую схему, показан-
ную на рис. 76, полагая, что вал приводного двигателя жестко
связан с валом дебаланса. Движение этой системы описывается
дифференциальными уравнениями (1) § 34. Стоящий в правой
части второго уравнения (1) § 34 момент, развиваемый двигате-
лем на валу дебаланса ’, был принят постоянным; в действи-
тельности же этот момент зависит от условий движения системы.
Известны статические характеристики двигателей, которые
представляют собой зависимости крутящего момента двигателя
(или развиваемой им мощности) от угловой скорости. Характе-
ристики эти устанавливаются при постоянных значениях угло-
вых скоростей, и поэтому они называются статическими. Итак,
статическая характеристика двигателя может быть представле-
на одной из зависимостей
М = М(ы), А’А'(со) ыЛ4 (со), (1)
где М — крутящий момент двигателя на валу дебаланса за вы-
четом момента сил сопротивления вращению деба-
ланса;
1 Точнее, разность момента, развиваемого двигателем, и момента сил
сопротивления вращению дебаланса.
230
N — мощность, развиваемая двигателем, за вычетом мощ-
ности, необходимой для преодоления сопротивлений
вращению дебаланса;
со — угловая скорость (постоянная) вращения дебаланса.
С другой стороны, может быть построена статическая харак-
теристика сопротивления колеблющейся системы, представля-
ющая собой зависимость активной мощности (см. § 23), т. е.
среднего значения мощности Ncp, необходимой для поддержа-
ния колебаний системы, или зависимость соответствующего этой
мощности среднего значения момента Мср на валу дебаланса от
«го угловой скорости:
Мср = Мср (со), Ncp = Ncp (со) = соМер (со), (2)
причем эти зависимости должны быть построены при постоян-
ных угловых скоростях.
Для обеспечения стационарного режима колебаний при по-
стоянной угловой скорости дебалансов необходимо выполнение
баланса мощности
юЛ1 (со) = ыМСр (со). (3)
Угловая скорость, при которой может быть осуществлен ста-
ционарный режим колебаний, определяется путем решения
уравнения (3). Однако следует заметить, что условие (3) не яв-
ляется достаточным. Прежде всего уравнение (3) может иметь
больше чем один действительный положительный корень, и ос-
танется не выясненным, какая же из найденных при решении
уравнения угловых скоростей будет реализована. С другой сто-
роны, не каждое положение динамического равновесия системы,
характеризуемое балансом мощности, является устойчивым.
На рис. 80, а сплошная кривая представляет собой статиче-
скую характеристику двигателя Л4(ю), а штриховая кривая —
статическую характеристику сопротивления колеблющейся си-
стемы Мср(со). Эти кривые пересекаются в точках 1, 2, 3, где
выполняется условие (3). Абсциссы этих точек юц юг, юз явля-
ются корнями уравнения (3).
Положим, что система находится в состоянии, отвечающем
точке 1. Дадим угловой скорости coi малое положительное при-
ращение Дю. В этом состоянии момент двигателя Л4(ю1 + Дю)
равен ординате точки 1'+, т. е. отрезку а+1'+ , а момент сил со-
противления Мер(ю1 + Дю) равен ординате точки Г^_, т. е. от-
резку al". Поскольку Л4(ю1 + Дю) <./Иср(ю1 +Дю), вращение
будет замедляться и система вернется в точку 1. Если дать уг-
ловой скорости Ю] малое отрицательное приращение — Дю, то,
как показано на рис. 80, а, будем иметь Л4(ю1 — Дю) >
А1ср(соj — Дю), что вызовет ускорение вращения, и система
тоже вернется в точку 1. Следовательно, динамическое равно-
весие, определяемое точкой 1, является устойчивым.
231
Аналогичным образом определяем, что динамическое равно-
весие в точке 3 тоже устойчиво. Точка 2 неустойчива, так как
при увеличении угловой скорости разность M(ui + Ди) —
—Alcp (hj — Ди) > 0, что вызывает дальнейшее увеличение угло-
вой скорости и уход от точки 2. При уменьшении угловой ско-
рости имеем Л4(со1 — Ди)—A4cp(ni— Ди) < 0, что вызывает
дальнейшее уменьшение угловой скорости и уход от точки 2.
Нетрудно видеть, что условие устойчивости динамического
равновесия системы может быть выражено неравенством
/ X < / dMcp \ > (4)
\ d(o \ da> )ч>=<л, ’
где И{ — корень уравнения (3) *.
Какая из устойчивых точек будет реализована, зависит от
условий вывода системы в рабочий режим. Так, если каким-то
путем системе, соответствующей рис. 80, а, была сообщена угло-
вая скорость и > н2, то она выйдет на равновесную точку <3;
если же системе была сообщена угловая скорость и < и2, то
она выйдет на равновесную точку 1.
Рассматривая и как параметр, можно неравенство (4) пред-
ставить в виде
На рис. 80,6 изображена кривая зависимости М = М(Мср).
Штриховая прямая представляет собой биссектрису коорди-
натного угла, которой отвечает равенство
dM _ ]
dMCp
Точки 1 и 3 устойчивы, поскольку в них выполняется усло-
вие (5); наоборот, точка 2 неустойчива.
Когда выше шла речь об изменении состояния системы, име
лось в виду достаточно медленное изменение угловой скорости
* Имеется в виду, что статические характеристики двигателя и колеблю-
щейся системы пересекаются без касания.
232
(6)
при котором еще можно пользоваться статическими характери-
стиками.
Вернемся к системе, изображенной на рис. 76. При условии
ф = о = const и с учетом первого равенства (1) дифференциаль-
ные уравнения (1) § 34 движения этой системы получат вид
{ту + т0) х + Ьх + сх — m0m2 cos со/,
— тйгх sin со/ = М (со) + М' (/),
где M'(t)—знакопеременный реактивный момент, необходи-
мый для поддержания постоянства угловой скоро-
сти (см. § 33).
Проинтегрируем первое уравнение (6) и полученное решение
подставим во второе уравнение. Приравняв затем постоянные
составляющие левой и правой частей, запишем уравнение ба-
ланса мощности, соответствующее зависимости (3):
(m0r)2 Ьаъ — 2 [(с — та>2)2 + b2a2| М (со) — 0. (7)
Решив это уравнение одним из приближенных методов, най-
дем его действительные положительные корни со,. Статическая
характеристика сопротивления колеблющейся системы в нашем
случае будет
М =________М2ь^_________ 8
ср 2 [(с — тсо2)2 + />2со2]
При помощи условия (4) определяем устойчивые точки.
Запуск двигателей как прави-
ло производится от со = 0. В си-
стеме, отвечающей рис. 80, это
приведет к тому, что установится
режим, соответствующий точке 1.
Двигатель неспособен (по край-
ней мере при медленном нара-
стании угловой скорости) выве-
сти систему в точку 3. Чтобы до-
стичь этой точки, необходимо
каким-то способом сообщить де-
балансу угловую скорость С01 >
> сй2. Нередко двигатели имеют регулировочные устройства, при
помощи которых можно изменять их статические характеристи-
ки. Чаще всего такими устройствами пользуются при за-
пуске.
На рис. 81 приведено семейство статических характеристик
Двигателя (сплошные кривые). Нижняя из них 1 соответствует
рабочему режиму, верхние 2 и 3 могут осуществляться кратко-
временно. Штриховой кривой изображена статическая характе-
ристика сопротивления системы. Для выхода на рабочую точку
233
-4 необходимо перейти на статическую характеристик}' двигате-
ля <3, разогнать на ней систему до точки А', а затем, переключив
двигатель на рабочий режим, снизить обороты и выйти на точ-
ку А.
Обычно рабочая точка находится на падающем участке ста-
тической характеристики двигателя. В окрестности рабочей точ-
ки часто прибегают к линейному представлению статической
характеристики:
М = Л10 —/г/(о, (9)
где
Л40 = ЛД + ki = —{—) ; (10)
1 ' \ do /<о=и£. v ’
Mt, ©г — значения момента двигателя и угловой скорости в ра-
бочей точке.
Взаимодействие двигателя с колеблющейся системой приво-
дит к появлению нелинейных эффектов в системах, которые бы-
ли бы линейными при наличии двигателя неограниченной мощ-
ности с абсолютно жесткой характеристикой, для которой
— = —оо и <в = const. Одним из таких нелинейных эффектов
d <о
является эффект Зоммерфельда, сущность которого заключает-
ся в скачкообразном изменении угловой скорости дебаланса
при плавном регулировании двигателя. Если регулировать на
увеличение оборотов, то рабочая точка плавно перемещается
от начального положения К вдоль статической характеристики
сопротивления (сплошная линия на рис. 82, а), поскольку ста-
тические характеристики двигателя (штриховые линии) посте-
пенно занимают положения 1, 2, 3. При достижении точки Дн
соответствующей характеристике 3, угловая скорость возрастет
скачкообразно и рабочая точка перейдет в Л2- Далее угловая
скорость снова будет плавно возрастать при переходе к харак-
234
теристике 4 и рабочая точка будет скользить вдоль участка ха-
рактеристики сопротивления A2L.
Если затем регулировать двигатель на снижение оборотов,
то рабочая точка будет плавно скользить вдоль характеристики
сопротивления на участке LA2BX. При достижении точки Вь со-
ответствующей характеристике 2, угловая скорость скачкооб-
разно снизится и рабочая точка перейдет в В2. Далее угловая
скорость будет плавно снижаться при плавном переходе к ха-
рактеристике / и рабочая точка будет плавно скользить вдоль
участка характеристики сопротивления В2/(.
Чем круче характеристики двигателя, тем меньше описанные
скачки угловой скорости (см. рис. 82,6). При достаточно крутых
характеристиках двигателя, когда в интервале регулирования
угловой скорости
dM _ . dMcp ,. ..
—— < min------— , (11)
do dm
скачков угловой скорости вообще не будет.
Другим нелинейным эффектом является постепенное замед-
ление нарастания размаха колебаний при резонансе. Рассмот-
рим схематически это явление на примере резонансных колеба-
ний простейшей консервативной системы, показанной на рис. 7,
лод действием синусоидальной силы. В соответствии с форму-
лой (14) § 7 интеграл этой системы может быть записан в сле-
дующем виде:
х = t sin at, (12)
2mco
где Fa — амплитуда синусоидальной вынуждающей силы
Fa cos at;
т—масса колеблющегося тела;
со — частота резонансных колебаний.
Положим, что двигатель обладает статической характерис-
тикой, абсолютно жесткой при N No, причем No — предельное
среднее значение мощности источника энергии. Положим, да-
лее, что система вне зависимости от скорости нарастания раз-
махов колебания имеет неизменную частоту о» синусоидального
возмущения.
Дифференцируя-по времени выражение (12), получаем
х = (sin at + ta cos at). (13)
2mo
В моменты времени
2тП
/ = —, (n= 1, 2, ...) (14)
СО
полная энергия системы составит
235
В соответствии с этим равенством средняя мощность, погло-
щаемая системой за период от (п—1)-го до (п + 1)-го цикла,
будет
7'2
Ncp = (Еп+1 -Еп^) = , (16)
4л 2т(о
т. е. при Fa = const мощность растет неограниченно. Это равен-
ство возможно при условии NCp No, т. е. до «i-го цикла, опре-
деляемого зависимостью *
. nFa
что на основании равенства (14) соответствует моменту вре-
мени
При t > t\ «амплитуда» вынуждающей силы начнет убывать,
так как при принятых условиях это единственный путь сохра-
нения баланса мощности. Обозначив эту переменную «ампли-
туду» F * , запишем условие баланса мощности **
= (19)
2пг<о
откуда
F* = 1 / (20)
I' ЯП
или с учетом равенства (14)
^ = 2|/(21)
Уравнения огибающей колебаний
где с — жесткость пружины.
Следовательно, при t~^t\ размах резонансных колебаний
возрастает не по линейному закону, как это должно быть в ли-
нейных системах без затухания, а по параболическому закону,
т. е. гораздо медленнее. Это иллюстрируется рис. 83.
* Выражение [4] обозначает максимальное целое число, не превосходя-
щее А.
** Предполагается, что F* изменяется достаточно медленно.
236
Мы рассмотрели простейший случай нестационарных коле-
баний, но качественно результат остается таким же при иных
характеристиках двигателя и в более сложных системах.
При нестационарных процессах, характеризующихся доста-
точно быстрыми изменениями угловой скорости вращения деба-
лансов, нельзя пользоваться статическими характеристиками.
Поведение колеблющейся системы характеризуется нередуци-
рованными дифференциальными уравнениями, например, для
системы, показанной на рис. 76, уравнениями (1) § 34, в кото-
рых М — переменный момент двигате-
ля, определяемый дифференциальны- х
ми или интегро-дифференциальны- х,
мн уравнениями, описывающими дина- \ \ \
мические процессы в двигателе. В за- 0 —-/ \ \ \ \—
висимости от типа двигателя эти про- \ \ \ I *
цессы могут быть электродинамически- \/ \ I
ми, гидродинамическими и т. д. Если
исключить из этих уравнений все пере-
менные, характеризующие электриче- Рис. 83
ские, или гидравлические, или иные
процессы в двигателе, получится зависимость
\ dt dt2 dtn )
из которой иногда можно найти в явном виде
V dt dt* dtn J
(23)
(24)
Если при нестационарном процессе осуществляется регули-
рование двигателя по заданной программе (т. е. по программе,
которая полностью или частично не зависит от поведения ко-
леблющейся системы и процессов в системе двигателя), то по-
следнее уравнение станет неавтономным:
М = М 11, ф, ..............-^-1. (25)
k ; dt dt* dtn
С учетом выражения (24) дифференциальные уравнения
(1) § 34 получат вид
(ту + т0) х -f- Ьх + сх = mor (ф sin ф + ф2 cos ф),
...
Jcp — morx sin ф = М (ф, ф, ф,.. ., ф(,,)).
Таким образом, для изучения переходных (а также стацио-
нарных) процессов, характеризующихся значительными вели-
чинами производных угла поворота по времени, приходится ин-
тегрировать усложненную систему уравнений, порядок которой,
237
вообще говоря, выше порядка исходной системы уравнений (1)
§ 34. Это интегрирование обычно производят при помощи вы-
числительных машин, реже численными и приближенными мето-
дами.
Иногда выражение (24) можно упростить. Так, для асин-
хронных и коллекторных электродвигателей переменного тока,
электродвигателей постоянного тока, паротурбинных и других
двигателей в ряде случаев допустимо принятие зависимости
М = Л4 (ф, ф) (27)
в широком диапазоне <р и <р и
М = М' — &хф 4- k2tf (28)
в окрестности рабочей точки.
§ 36. САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ И ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ
ВРАЩЕНИЯ
Колебания рабочих органов многих вибрационных машин
возбуждаются несколькими, чаще всего двумя, совместно рабо-
тающими центробежными вибровозбудителямн (дебаланса-
ми),—-например схемы на рис. 58, г — з, к — м. о, р. Для обес-
печения правильной работы машины необходимо согласованное
вращение вибровозбудителей, т. е. выполнение определенных,
заданных соотношений между средними скоростями и фазами
их вращения (обычно требуется равенство модулей средних уг-
ловых скоростей и вращение дебалансов в фазе или в противо-
фазе).
Характеристики реальных вибровозбудителей не бывают
строго одинаковыми. Поэтому частоты, с которыми вращались,
бы отдельные вибровозбудители, жестко закрепленные на не-
подвижном основании, в общем случае различны.
Согласованность вращения вибровозбудителей, установлен-
ных на общем рабочем органе, может быть достигнута принуди-
тельной кинематической или электрической синхронизацией.
При определенных условиях центробежные вибровозбудителп
с приводом несинхронного типа работают синхронно, несмотря
на различие в параметрах и отсутствие непосредственных свя-
зей между ними. Колебания рабочего органа (несущего тела)
служат тем каналом, по которому происходит перераспределе-
ние энергии между вибровозбудителями, приводящее к согласо-
ванию их вращения, или, как говорят, к их самосинхронизации.
Использование этого явления позволяет существенно упростить
конструкцию машины.
Самосинхронизация не может быть изучена в рамках линей-
ной теории в предположении, что вибровозбудители вращают-
ся равномерно и синхронно. Она относится к числу типично не-
238
линейных явлений, родственных захватыванию (см. § 21). Это
явление свойственно не только совместно работающим вибровоз-
будителям, но и многим другим динамическим системам, обла-
дающим близкими собственными частотами колебаний или вра-
щения, при условии, что на эти системы наложены некоторые,
подчас весьма слабые, связи. Общая теория синхронизации раз-
вита в работах И. И. Блехмана и других исследователей.
Мы ограничимся рассмотрением частного примера, сохраня-
ющего, несмотря на свою простоту, характерные черты общей
задачи о самосинхронизации. На рис. 84 изображена динамиче-
ская модель вибрационной ма-
шины с двумя вибровозбуди-
телями 1 и 2, рабочий орган 3
которой массы обладает од-
ной степенью свободы и под-
вешен на идеальных пружи-
нах 4 общей жесткостью с2.
Пусть mh, Гц, Jk — соответ-
ственно масса, эксцентриси-
тет массы и момент инерции
/г-го дебаланса (k = 1,2). Обо-
значим перемещение рабочего
Рис. 84
органа, отсчитываемое от по-
ложения равновесия, через z, угол поворота k-ro дебаланса, от-
считываемый от положительного направления оси z против ча-
совой стрелки,— через «р*. Введем также число ей, равное +1,
если /г-й дебаланс вращается в положительном направлении,
и —1 в противном случае. Коэффициент вязкого сопротивления
вращению А-го дебаланса обозначим через bk, а момент двига-
теля зададим прямолинейным участком его статической харак-
теристики еа£й — bjfh, где Lh и b*—постоянные.
Будем рассматривать только нерезонансный случай и в со-
ответствии с этим пренебрегать диссипативным сопротивлением
движению корпуса. Будем также пренебрегать несущественным
для дальнейшего моментом собственного веса дебалансов. Тогда
уравнения движения запишутся в виде
d2z Г, ricpi \2 rf2(p _ 1 4
т-------\-c,z — m,r, —— coscp, 4----------— sirup, -)- i
dt2 z 1 1 U dt ) V1 dt2 41J
, Г ( d<p2 \2 . d2<p2 . ]
4- m2r2 —— cos <r2 + -—— sm <p, ,
2 2 L\ dt ) V2 dt2 ^2] !
jk^ + bk-^= EkLk—b*k +
dt2 k dt h k dt
+ sin Ф*’ = !’ 2)>
(1)
где tn = tn* + ni\ + m2.
239
Задача состоит в отыскании решения системы (1), имеющего
вид
z = z (at), ср* = е* 1 at + gk (at)], (k = 1, 2), (2)
где z и gk — периодические функции своего аргумента at с пе-
риодом 2л:
со — неизвестная синхронная частота, также подлежа-
щая определению.
Члены, входящие в уравнения (1), отличаются по порядку
величины. Проще всего это можно показать путем надлежаще-
го выбора масштабов переменных. Обозначим
С = , X = at, (3)
но-
где И имеет размерность длины. В дальнейшем величины £ и
at будем называть для краткости безразмерными перемещени-
ем и временем. Вместо фаз cpi и ср2 удобно ввести в качестве
вых переменных их комбинации:
<Р = у- (81^1 + е2ф2), Ф = — (е1Ф1 — е2ср2).
Если, кроме того, обозначить
Н __ mxri + mar2 _ g (т1Г1)2 + ("^П»)2
ССС(Л "Ь А)
Lk
ь + ьк
(4)
9 ^Z
т
<оо
<40 = + co2), cofe =
1 + НРА
ш0
(5)
а ---------,
1 -J- р/г
•^7 = Ml + К*), Ь=
(^ = 1,2),
то уравнения (1) примут вид
t т Т1Ч = 1(<Р2 + Ф2) COS ср + ср sin ср] cos ф +
4- (ф cos ср — 2срф sin ср) sin ф,
<р 4- 7ир = л р sin ср cos ф 4- 2лЛ — Мгер — X (г 4- р) фJ,
ф 4- Хф = р [£ cos ср sin ф 4- лг — л (г 4- р) ср — л/гф].
Точками обозначено дифференцирование по т.
Отметим, что члены, содержащие безразмерное ускорение
рабочего органа входят во второе и третье уравнения только
с множителем р. Поскольку именно эти члены определяют связь
240
Р1 = — Рг = Р,
1
2too
(6)
К
к —
между движением рабочего органа и вращением дебалансов,
можно сказать, что множитель р служит мерой силы этой связи.
Для вибрационных машин рассматриваемого типа множитель
ц мал по сравнению с единицей, поэтому для решения задачи
о самосинхронизации можно воспользоваться методом малого
параметра. Заметим, что параметр р аналогичен величине а2,
определяемой формулой (18) § 33.
Малость р нашла отражение и в обозначениях (5). Считая
вибровозбудители почти одинаковыми, мы записываем различия
в параметрах в виде членов порядка р. Выбор неизвестной син-
хронной частоты со в качестве масштаба времени привел к то-
му, что эта частота не входит явным образом в уравнения дви-
жения. Задача сводится, следовательно, к построению решения
системы уравнений (6), имеющего вид
£ = £(т), ф = т + g(4 ф = ф(т) (7)
и определению поправки р/i к частоте.
Воспользовавшись методом малого параметра (§ 19), будем
искать решение в виде рядов по степени р, т. е.
ср (т) = ср<°) (т) + р<рО> (т) + .. ., )
ф (т) = ф<0) (т) + рфО> (т) + . . ., j
причем, как будет ясно из дальнейшего, для наших целей доста-
точно ограничиться нулевым приближением для В соответст-
вии с этим будем везде писать £(т) вместо £<0)(т). Уравнения
нулевого приближения для ср и найдем, полагая во втором и
третьем уравнениях (6) р = 0:
Ф<0) + Х<р(0> = К j
I v-v
ф(0> + Хф(0) = 0.'
Таким образом, в нулевом приближении уравнения для <р и
ф оказываются независимыми и не связанными с первым урав-
нением (6). Этим уравнениям удовлетворяет решение вида
<р(0) (т) = т 4- <pS0>, Ф<(” (т) = фо”, (10)
где <pW иф<0)—постоянные.
Ясно, что это решение одновременно удовлетворяет и усло-
виям (7), поскольку постоянную можно рассматривать как част-
ный случай периодической функции.
Подставляя решение (10) в первое уравнение (6), получаем
t + Vi С = c°s фо” cos (т + фо0)), (11)
т- е. хорошо известное уравнение колебаний линейной системы
с одной степенью свободы.
Решение нулевого приближения (10) зависит от двух произ-
вольных постоянных. Одну из них, а именно ср О”, можно
16 Заказ 150
сделать равной нулю надлежащим выбором начала отсчета вре-
мени. Поэтому в дальнейшем будем полагать <p*0) = 0. Вторая
же постоянная ф(00) , равная, согласно формуле (4), половине
разности фаз вибровозбудителей, остается неопределенной.
Для определения ф(00) и h обратимся к членам первого по-
рядка в разложениях (8). Подставим эти разложения во второе
и третье уравнения (6), заменяя и найденными
выражениями (10). Члены нулевого порядка в силу уравнений
(9) взаимно уничтожаются; отбрасывая члены второго и более
высоких порядков по ц, получаем уравнения первого приближе-
ния:
ф(1> + Ц>(1) = £ (?) sin т cos ф(00> + ХЛ, |
ф(1) + Хф(1> = £ (т) cos т sin — Хр. I
где, согласно уравнению (11),
cos ф<°>
----------cos т.
(13)
Таким образом, правые части уравнений (12) являются из-
вестными функциями т.
Обозначим
С (т) sin т cos ф()0> Ф (т, ip(00)), 1
t, (т) cos т sin — Хр = V (т, фо0’). I
Первые интегралы уравнений (12) можно записать в виде
ф(1)(т) [ j ф (6, ф!)0>) e 'edQ + Сх] -г- h,
0 X
ф(1) (т) = е~,х [ [ ¥ (0, <’) ewde + С2].
Повторное интегрирование с применением интегрирования
по частям приводит к следующему виду общего решения урав
нений первого приближения:
<р(1)(т) = С3+Лт + -£- (1 - е-Лт) -
Л
_ е-?т Сф (0, ф(,0>) e ed6 ф — С Ф (0, 4°*) de,
X J X J
(16)
242
ф(1> (т) = с4 + -^ (1 - е-?т)-----4 е~’т ( Т (6, <>) e~™de +
Л X ь
, г
+ — f Y(6, 40)Ж
о
В уравнениях (15) и (16) Сь С2, С3, С4— постоянные, число-
вые значения которых несущественны. Разложения (8) должны
удовлетворять, согласно равенствам (7), определенным услови-
ям, а именно: <р(т) —т и ф(т) должны быть периодическими
функциями с периодом 2л. Поскольку нулевое приближение (10)
удовлетворяет этим условиям, то и функции <р0)(т) и фФ(т) дол-
жны быть периодическими:
Ф(1>(2л) = (р(,>(0), )
ф(1)(2л) = ф(1)(0). )
Разумеется, такие же условия наложены на производные фФ
. и фФ.
Подставляя решения (16) и (15) в условия периодичности,
убеждаемся, что фазовый сдвиг и поправка к частоте h
должны определяться из соотношений
Р, (<) = -1- f Y (т, <>) dx = 0, (18)
о
Р2 (ф(оО)) = —- \ Ф(т, фо0))^т =—2лй. (19)
Уравнения типа (18) называются в теории колебаний опре-
деляющими, или- бифуркационными уравнениями. Уравнение же
(19) выражает баланс мощности в первом приближении. По-
скольку диссипативное сопротивление вращению вибровозбу-
дителей включено, по существу, в характеристики двигателей,
а диссипативным сопротивлением движению корпуса мы пре-
небрегаем, активная мощность должна равняться нулю. Следо-
вательно, h = 0. Этот же результат получается и непосредствен-
ным вычислением. Действительно, согласно формулам (13) и
(14), интеграл, входящий в уравнение (19), равен
2л
_ cos2xb(n0> Г
Ф (т, фо° ) dx =------ I sin х cos xdx = 0.
1-T2 .1
Таким образом, поправка первого приближения к частоте
оказывается равной нулю.
Подставляя выражение для Y (т, ф (0П) ), согласно тождеству
(14) в формулу (18), получаем уравнение для ф<0>:
<пх л / sin ib (п0> cos ib<0> \
= - 7 -------2Хр =0. (20 >
1 \ 1-т? /
Если параметры вибровозбудителей в первом приближении
одинаковы, т. е. р = 0, то уравнение (20) имеет два решения,
ф(о> = 0 и Из них первое соответствует синфазному,
а второе — противофазному вращению вибровозбудителей. При
достаточно малых р получаем два решения, близкие соот-
ветственно к 0 и —.
2
Формально всем условиям задачи удовлетворяют оба полу
ченных решения. Фактически же реализуется только одно из
них, устойчивое по отношению к малым возмущениям, неизбеж-
но имеющим место в каждой реальной системе.
Рассмотрим функцию Хф(т) + ф(т), записав ее с точностью
до членов первого порядка по р. Согласно выражениям (10),
(15) и (16) имеем
М,(т) + ф(т) = М/00> + р(ХС4 + С2) + р | Т(6, ф(00>)<Ю (21)
о
(можно было бы рассмотреть и функцию ф(т), но это приводит
к более длинным выкладкам). Пусть ф<0°> = + Дф*, где
Ф(.0) —одно из решений определяющего уравнения (18), Дф* —
малое возмущение; тогда функцию (21) с точностью до членов
первого порядка относительно Дф* можно представить в виде
>-ф (т) + ф (т) = Хф*0) + ХДф, + р (ХС4 + С2) +
Т д т
+ И Т (0, ф<°>) м + рДф* f Т (6, ф1°>) de. (22)
о * о
Принимая во внимание условие (18), можем записать:
Хф (0) + ф (0) = Хф'0) 4- ТхДф* 4- р (ХС4 + С2),
Ьф (2л) + ф (2л) = Хф(.0> + X /1+ р. Дф* 4-
rfip<0> у
(23)
+ р(?.С4 + С2).
Сравнивая эти два выражения, находим, что если в началь-
ный момент возмущение равнялось Дф* , то при т = 2л оно со-
244
/, , dPx \
ставляет / 1 + p ----]Дф.- если стоящее в скобках число
\ '*
меньше единицы, то можно заключить, что возникшее в системе
возмущение фазы со временем убывает и, следовательно, син-
хронное движение, соответствующее фазе <]40), устойчиво.
В противном случае возмущение возрастает и соответствующее
синхронное движение неустойчиво.
Таким образом, условие устойчивости синхронного движения,
соответствующего фазе '1ф0), имеет вид
Подставляя сюда левую часть уравнения (20), получаем
—-—cos2ip<0><0. (25)
1
Отсюда находим, что синхронно-синфазное движение (i<°> =
= 0) устойчиво при у! > 1, т. е. в дорезонансной области, син-
хронно-противофазное— при у’1 < 1, т. е. в зарезонансной об-
ласти. Эти выводы справедливы только для значений уь доста-
точно отличающихся от единицы, когда систему можно рассмат-
ривать как нерезонансную.
Задача о самосинхронизации п вибровозбудителей, установ-
ленных на системе несущих тел с f степенями свободы, решается
аналогичным образом. Если в качестве координат, описываю-
щих вращение дебалансов, ввести функции
Ф = — V esq)s, ф,-= — ф (/=1, 2,..., и—1), (26)
S- 1
то величины 6(°> в нулевом приближении снова оказываются
постоянными и их значения, соответствующие синхронным дви-
жениям, находятся из системы трансцендентных определяющих
уравнений:
Ф‘?’, • • Л,.) = 0 (/ = 1, 2......n— 1), (27)
а поправка к частоте — из уравнения
С.......ф‘°11..) = -2л/г. (28)
Структура этих уравнений отчасти может быть уяснена из
сравнения с формулами (18) и (19). Условие устойчивости син-
хронного движения, соответствующего некоторому решению си-
стемы (27), является обобщением условия (24) и заключается
245
в следуй степени идем. Все дРг корни алгебраического , дР, уравн ения (п — 1) -й
дР2 ^<°> • 2* дРг • п‘ 1 * дР2
№<°> т 2* = 0
дРп-Х дРп-Х дРп-! — Z
• 2* <2, л
или, в сокращенной записи,
дР<’ х
а<.> 6/feZ
= о
(29)
Рис. 85
должны иметь отрицательные действительные части.
Итак, для решения задачи о самосинхронизации требуется
построить приближенное решение полной системы уравнений
с учетом воздействия, оказываемого колебаниями несущего
тела на вращение дебалан-
сов, и исследовать устойчи-
вость этого решения.
II. II. Блехман и Б. П. Лав-
ров сформулировали инте-
гральный критерий устойчи-
вости синхронных движе-
ний, позволяющий суще-
ственно упростить эту про-
цедуру. Применимость инте-
грального критерия ограни
чивается системами, консер-
вативными в нулевом при-
ближении.
Сущность интегрального критерия устойчивости синхронных
движений сводится к следующему. Рассмотрим уравнения нуле-
вого приближения для несущего тела. Как явствует из рассмот-
ренного примера, они описывают движение так называемого
вспомогательного тела 1 под действием синусоидальных вынуж-
дающих сил с произвольными фазовыми сдвигами. Оказывается
что фазовые сдвиги, которым формально могут отвечать син-
хронные движения, определяются из условий стационарности
среднего за период значения функции Лагранжа для установив-
шегося движения несущего тела. При этом фактически реали-
1 Вспомогательным телом называется несущее тело с присоединенными
к нему массами дебалансов, сосредоточенными на их осях.
246
зуются, т. е. устойчивы, лишь те движения, которым отвечает
минимум этого среднего значения.
Проиллюстрируем применение интегрального критерия не-
сколько более сложным примером. Рассмотрим динамическую
модель вибрационной машины, рабочий орган 1 которой обла-
дает теперь не одной, а тремя степенями свободы в плоском
движении (рис. 85). Пусть х — горизонтальное смещение рабо-
чего органа; а — угол поворота рабочего органа. Будем считать,
что пружинная подвеска 2, помимо жесткости cz, обладает жест-
костью сх в горизонтальном направлении и крутильной жестко-
стью са . Расстояние между осями вращения дебалансов обо-
значим через 2а, момент инерции рабочего органа — через J*;
остальные обозначения те же, что и в предыдущем примере.
Верхний индекс <°) у величин нулевого приближения для упро-
щения записи будет всюду опущен, поскольку дальнейшие при-
ближения вообще не рассматриваются.
Полагая постоянную <р0 равной нулю, чего, как было указано
выше, можно добиться соответствующим выбором начала от-
счета времени, из формул (4) и (10) находим
Ф1 = ei (ю</ + Фо), Фг = ®2 (®</ — Фо) • (30)
Уравнения движения вспомогательного тела имеют вид
d^z Г
т [cos Bj (w0^ + ф0) 4- cos е2 (ю0/ — ф0)], 1
d?x F
щ —- 4- схх =--------[sin Ej (ц/ 4- Фо) 4- Sin е2 (woi—ф0)],
J fcos ei И/ + Фо) ~ cos е2 Фо)];
(31)
здесь J ~ J... 4- 2«2mI; Fa = 2ш|г|ы-;.
В нулевом приближении мы считаем вибровозбудители оди-
наковыми (/7?1 = т2, г\ =г2).
Уравнения (31) можно переписать следующим образом:
т------ 4- c,z ±= F„ cos cos
d.t^ ‘А и I и и ’
(Рх , „ f cos Фо sin
т---------J- схх = —е.У, ( ™ °
dF- | sin ф0 cos и0/
J 4- caa = — aFa sin ф0 sin coo/;
здесь и далее верхний элемент столбца, заключенного в фигур-
ные скобки, соответствует случаю eie2 = 4-1, нижний — случаю
eie2 = —1, т. е. вращению вибровозбудителей в противополож-
ных направлениях.
247
Запишем периодическое решение уравнений (32):
z = — а cos cos соп t, х =--— I cos s‘n ю</ 1
сг — та>() сх — тю0 | sln cos И(/ |
a==aFaSin4osin(0oZ_
ca —/ю0
Функция Лагранжа рассматриваемой системы имеет вид
Подставляя сюда решение
находим
2л
(34)
(33)
(33) и вычисляя среднее значение
С>0
ЛоОМ = -М Lodt =
2л J
о
2mw2
1 2 , ,
------- COS2 ф0 +
1 — Т?
, 1 ( cos2il‘0 ) . а2т 1 . „ , \
н-------Г < И ~~Г ’ -----------------Г sin ^0 > (35)
1 — Т2 ( Sin2 4'0 J J 1 - Тз I
где введены квадраты безразмерных собственных частот
»,2 _ Cg 2 __ С% 2 _ ca /QC\
Yi =------Г > ?2 = ----- , Уз =-------— (36)
m(i)Q mcOg J(Oq
Искомые значения фазы синхронного движения определя-
ются, согласно интегральному критерию, из уравнения —° =
= 0 или
1
I-у2
^1^2
1 — Т2
----sin ф0 cos ф0 = 0. (37)
‘-Тз /
Это уравнение имеет два решения: = 0 и ,
возможно либо синфазное, либо противофазное вращение,
выяснения устойчивости этих решений вычислим вторую
d2A0
изводную тту, что приводит к условию устойчивости
т. е.
Для
про-
1 . EjE-2 а2т
i-т! г
-------]cos 2фФ < 0.
1-т| /
(38)
Таким образом, устойчивость синхронного движения, соот-
ветствующего какому-либо из решений уравнения (37), опре-
деляется знаком выражения, заключенного в скобки: синфазно1
движение устойчиво, если это выражение отрицательно, и не-
248
продолжать вра-
устойчиво, если оно положительно; наоборот, противофазное
вращение устойчиво, если множитель при cosStp* в неравенстве
(38) положителен.
При у2 -> оо, уз —>• оо, что формально соответствует системе
с одной степенью свободы, мы приходим к результатам, полу-
ченным в предыдущем примере.
Моменты инерционных сил (так называемые синхронизи-
рующие моменты), побуждающие два или несколько совместно
работающих центробежных вибровозбудителей вращаться син-
хронно с определенной взаимной фазировкой, могут оказаться
настолько значительными, что даже после выключения двига-
теля одного из возбудителей последний будет
щение, синхронное с остальными вибровозбу-
дителями. Если здесь можно пренебречь обрат-
ным воздействием возбудителя с выключенным
двигателем на движение несущего тела, мы бу-
дем иметь пример вибрационного поддержания
вращения.
Задача вибрационного поддержания вра-
щения, в отличие от задачи самосинхрониза-
ции, является неавтономной. Ее можно сфор-
мулировать, в частности, следующим образом.
Пусть ось А дебаланса на плоской схеме,
изображенной на рис. 86, совершает заданное
(т. е. не зависящее от вращения дебаланса) периодическое дви-
жение, которое может быть колебательным или циркуляцион-
ным. Требуется установить возможность поддержания враще-
ния дебаланса со средней угловой скоростью, равной или крат-
ной угловой частоте вынуждающего движения его оси, и взаим-
ную фазировку вращения дебаланса и вынуждающего движе-
ния оси.
Возьмем простой случай, когда ось дебаланса описывает
эллиптическую траекторию, уравнения которой в параметриче-
ской форме имеют вид
х — a cos at, у = b sin со/ (b а). (39)
Это — уравнения эллипса с началом координат в его центре.
Положение дебаланса будем определять углом ср между поло-
жительным направлением оси х и радиусом-вектором г = АС
его центра тяжести С относительно оси вращения А.
Кинетическая энергия дебаланса
'г 1. Г / • г । dtp . \2 ,
1 — — тп асо sin со/ -I- г —— sin ср 4-
2 |Д dt J
Ц-(ftco cos со/гcos <р'У |J() у , (40)
где т0 и /о — масса и центральный момент инерции дебаланса.
249
Рис. 86
Пусть момент сопротивления вращению дебаланса равен
—, где k — коэффициент сопротивления. Обозначив 7=/0+
dt
+ т0г2, получаем дифференциальное уравнение движения де-
баланса:
J mor®2(a sin ср coscot — b cos q> sin cot) = 0 (41)
или в безразмерных величинах
<р 4- Х«р + р (sin ср cos т — в cos <р sin т) = 0, (42)
где точками над ср обозначено дифференцирование по т,
, mnra b - k ,. _.
т = со/, р = —5— , е = — , X =---- . (43)
J a .fa
Будем искать решение уравнения (42), отвечающее син-
хронному вращению дебаланса в направлении циркуляционно-
/d Ф\ п
го движения оси, при котором / —- = со. В соответствии с
\ dt ] ср
этим, положим
ср = т + ф (т), (44)
где ф(т)—периодическая функция с частотой, равной или
кратной 1.
Уравнение (42) приобретает вид
ф + + Н [sin (т + ф) cos т — в cos (т + ф) sin т] + X = 0, (45)
Полагая величину р малым параметром, представим реше-
ние этого уравнения в виде ряда по степеням р:
Ф (т) = ф(0) (т) + рф(1> (т) + ргф(2) (т) + . .. (46)
Для дальнейшего достаточно ограничиться первыми двумя
членами разложения (46). Подставляя ф = ф<°> + рфП> в урав-
нение (45) и снова ограничиваясь членами первого порядка,
после простого преобразования получаем
ф<0> + Х,ф(0) + р Гф(1) Ц- Хф(1> 4—1 2 F sin (2т 4- ф(С>) 4-
4- - + е - sin ф(0)^ + = 0. (47)
Уравнение нулевого приближения получается отбрасывани-
ем члена, пропорционального р. Согласно принятому выше ус-
ловию ф<°> есть периодическая функция. Отсюда ясно, что по-
стоянный член Z должен быть отнесен к уравнению первого
приближения. Таким образом,
ф(0> 4- Уф(0> = 0. (48)
250
Периодическим решением уравнения (48) может быть толь-
ко постоянная
ф(0) = ф0 = const, (49)
значение которой в этом приближении остается произвольным.
Для ее определения рассмотрим следующее приближение.
Уравнение первого приближения, согласно выражению (47),
имеет вид
^,’ + Й<,) = Ф(т, ф0), (5°)
где обозначено
Ф(т, фи) = — sin (2т + %)----------Ц-^-sin ф0 — — . (51)
z Л р.
Теперь можно воспользоваться полученными в этом пара-
графе результатами. Условие периодичности функции фй) запи-
шется, аналогично соотношению (18), в виде
Р(Фо) = 4~ f ф(г’ dx = sin^o) = °- (52)
Л J Л \ u z /
0
Таким .образом, фаза ф0 в установившемся движении опре-
деляется из уравнения
Переходя к размерным обозначениям, находим, что необхо-
димым условием вибрационного поддержания вращения яв-
ляется соблюдение неравенства
(1 -|- е) (лтвга
Обозначим решение уравнения (53) через ф#; тогда перио-
дическое решение уравнения (50) с точностью до членов по-
рядка ц имеет вид
ф(1)(т) = 1 ~Е sin(2т + фД (55)
1 о
а искомое решение (46) с точностью до членов первого поряд-
ка можно записать следующим образом:
I _ <? -
Ф (Т) = Ф* + И —-— sin (2т + ф*). (56)
О
Уравнение (53) имеет два существенно различных решения
ф„, = — arcsin ——— , ф,, = л + arcsin ———- . (57)
|Л (1 + s) Н (1 -J- е)
Каждому значению ф* соответствует решение уравнения
(45), но устойчивым будет только одно из этих решений. Для
251
выяснения условий устойчивости предположим, что в момент
т = 0 фаза ф* получила малое приращение Лф*, т. е. что ф0 =
= ф* + Дф*. Аналогично тому, как это было сделано при изу-
чении условий самосинхронизации, рассмотрим функцию ?.ф +
+ ф. Согласно выражению (22) эта функция с точностью до
несущественного постоянного слагаемого может быть записана
в виде
X
Хф + ф = И* + ^ДФ* + и ('ф (6. Ф*) ^6 +
О
+р ДФ* I ф (6, Ф*) de. (58)
<ЭФ» j;'
Таким образом.
W) + Ф(0) = Лф* + W*.
. dP \ (59
Хф (2л) 4- ф(2л) = Хф* + К 14- р —---1 Дф*.
\ <*Ф* /
Следовательно, если в момент т = 0 возмущение равнялось
/ dP \
Дф*, то при т = 2л оно равняется ( 1 ж п — )Аф*. Как и вы-
\ гйф*/
ше, заключаем, что условие устойчивого вращения дебаланса
с фазой ф * имеет вид
J^ = _2L(1+e)cos^<0. (60)
«Ф* А
Отсюда видно, что вращение с фазой ф#1 устойчиво, с фазой
ф*2 неустойчиво. Заметим, что при л->0, ф*! = 0, ф*2 = л.
Поэтому движение с фазой ф 41 естественно называть синфаз-
ным, а движение с фазой ф *2 — противофазным.
§ 37. ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА ДЕБАЛАНСОВ
Вопрос нахождения наивыгоднейшей формы дебалансов
возникает при решении ряда задач динамики и конструирова-
ния центробежных вибровозбудителей. Иногда необходимо
обеспечить минимальные габариты или вес вибрационной ма-
шины. В других случаях стремятся ускорить переходные про-
цессы запуска и выбега вибрационной машины, например, с
целью снижения раскачиваний при переходе через промежу-
точные резонансы или обеспечения выхода на рабочий режим
при помощи двигателя, не обладающего большой избыточной
мощностью. Встречаются случаи, когда следует усилить или.
наоборот, ослабить неравномерность вращения дебалансов при
стационарных режимах. Усиление неравномерности требуется,
например, при создании супергармонических центробежных
вибровозбудителей, а ее ослабление может оказаться полезным
252
у ударно-вибрационных машин, где ухудшаются условия рабо-
ты двигателей из-за скачков угловой скорости дебалансов при
ударах (см. § 42).
Подобные задачи встречаются и при конструировании про-
тивовесов, представляющих собой несбалансированные массы,
вращение которых порождает центробежные силы, используе-
мые для уравновешивания других вредных инерционных сил,
вызванных работой машин.
При решении конкретных задач оптимизации формы деба-
лансов могут предъявляться разные требования и ставиться
различные дополнительные условия. Но, как правило, все они
являются вариационными изопериметрическими задачами. Для
определенности мы будем здесь иметь в виду следующие три
задачи:
1. Обеспечение минимального (максимального) веса деба-
ланса при заданном статическом моменте массы дебаланса от-
носительно оси его вращения. Это эквивалентно обеспечению
максимального (минимального) статического момента массы
дебаланса при заданном его весе.
2. Обеспечение минимального (максимального) момента
инерции дебаланса относительно оси вращения при заданном
статическом моменте его массы относительно той же оси. Это
эквивалентно обеспечению максимального (минимального)
статического момента при заданном моменте инерции.
3. Обеспечение минимизации (максимизации) критерия а2,
определяемого одним из равенств (2) § 34, от которого зависит
степень неравномерности вращения дебаланса.
Отношения, минимизация или максимизация которых ста-
вится перечисленными задачами, существенно зависят от дли-
ны дебаланса и его плотности. Здесь мы будем считать эти ве-
личины установленными, плотность материала дебаланса во
всех точках одинаковой и форму дебаланса призматической.
Последнее позволяет перейти к плоской задаче и вместо мас-
сы, статического момента массы и момента инерции массы рас-
сматривать площадь, статический момент площади и момент
инерции площади. Поэтому критерии, минимизация или макси-
мизация которых требуется сформулированными тремя зада-
чами, могут быть соответственно записаны следующим образом:
1 = F±F°., (1)
И = (2)
1 __ (^ + Л)) (^ + Л1 + Гп) zg\
а2 К2 ’ '
где F и Fo — площади соответственно неуравновешенной и
уравновешенной частей дебаланса;
253
Ьп — площадь, соответствующая массе прямолинейно
колеблющихся частей вибромашины;
J и /о — моменты инерции площади относительно оси вра-
щения соответственно неуравновешенной н урав-
новешенной частей дебаланса;
К — статический момент площади дебаланса относи-
тельно оси, проходящей через ось вращения п
перпендикулярной к линии, соединяющей ось
вращения с центром тяжести площади деба-
ланса.
Оптимальная по любому из перечисленных критериев форма
дебаланса (рис. 87, а) должна быть
Рис. 87
симметричной относитель-
но прямой Оу, проходя-
щей через ось вращения
О и центр тяжести С де-
баланса 1234561. Поэто-
му будем рассматривать
только правую половину
дебаланса, полагая, что
она целиком располага-
ется выше оси х, т. е.
имея в виду очертания
только неуравновешен-
ной части несбалансиро-
ванного ротора (деба-
ланса).
Сформулируем зада-
чу следующим образом.
Пусть часть контура де-
баланса, например участ-
ки ab и cd (рис. 87. б).
ределить форму недостающей части
представлена заданными
кривыми. Необходимо оп-
контура, которая обеспечи-
ла бы минимизацию или максимизацию одного из критериев
X, ц,-j-. Возьмем случай минимизации критерия ц.
Проведем прямые bb' и сс', параллельные оси х, и запишем
выражения момента инерции и статического момента деба-
ланса:
J = Jj + J2 + j Ц- x3 4- xtA dy;
'уь
yc
К = Kl + Л'2 + J xydy,
yb
(4)
254
где /1 и Л1 — момент инерции “й статический момент заданной
фигуры 2 (Oabb'y,
J2 и Kz — момент инерции и статический момент заданной
фигуры 1 (с'cd).
Необходимо разыскать min
. Мы имеем вариацион-
ную изопериметрическую задачу, которая сводится к нахожде-
нию tnin (7 — рК), т. е. к решению уравнения
6 (7-?/<) = О, (5)
где 6 — символ операции варьирования;
р— параметр, определяемый из дополнительного условия.
Воспользовавшись уравнением Эйлера — Лагранжа, запи-
шем искомое уравнение экстремали:
X2 + у2 — ру = о
или
х2 -ф (у — г)2 = г2, (6)
где
г = ±р. (7)
Таким образом, искомый участок контура состоит из части ду-
ги Ь"с" полуокружности ОЬ"с"е, касающейся оси х в точке О,
и отрезков прямых с'с, с'Ь' и Ь'Ь". Параметр г может быть опре-
делен, например, заданной величиной статического момента К.
Разрывы абсциссы ЬЬ" и сс", вообще говоря, неизбежны. Более
того, не при всяких заданных участках 1 и 2 и величине К зада-
ча имеет решение.
Если задаются не ординаты, а абсциссы конечных точек ис-
комого участка контура, то разрыв будет претерпевать орди-
ната. Пусть, например, задана верхняя часть ab контура деба-
ланса (рис. 87, в) и требуется найти очертание нижней части
контура. В этом случае при подсчете величин 7 и К производим
интегрирование по х:
(8>
й(х) и z/i(x)—соответственно уравнения заданной верх-
ней и искомой нижней частей контура де-
баланса.
Для минимизации критерия р в этом случае необходимо, что-
бы искомая часть контура дебаланса ОЬ' очерчивалась кривой
255
(6) и имела в общем случае разрыв ординаты b'b. В этом легко
убедиться, решив задачу указанным выше способом.
Найденный результат, заключающийся в том, что искомый
участок контура, минимизирующий критерий ц, представляет
собой часть дуги полуокружности, касающейся оси х в точке О,
остается справедливым при рассмотрении задачи в других си-
стемах координат, включая криволинейные. Так, в полярной
системе координат искомый участок контура может быть пред-
ставлен, например, участками ЬЬ'с (рис. 87, г) или аа'Ь'Ь
(рис. 87, д).
При заданном статическом моменте К из всех форм дебалан-
са самой выгодной для минимизации критерия р будет форма
полного круга, касающегося оси абсцисс (рис. 87, е). Действи-
тельно, подставив в интеграл правой части первого равенства
(4) значение К, выраженное через г при помощи уравнения
(6), и приравняв нулю производные этого интеграла по верхне-
му и нижнему пределам, находим наивыгоднейшие пределы
интегрирования:
Ус = 2г, Уъ = О. (9)
Ясно, что этот же результат определяет и наивыгоднейший
вариант максимизации критерия р при том же, что и в преды-
дущем случае, наружном радиусе дебаланса. Форма дебалан-
са представляет здесь заштрихованную часть фигуры, изобра-
женной на рис. 87, ж.
Чтобы найти условие минимизации критерия — при сфор-
а2
мулированной выше постановке задачи, запишем в дополнение
к равенствам (4) выражение площади дебаланса:
ус
F = F1 + F2 + j’ xdy, (
ч
где Ft и F2 — площади заданных фигур 1 и 2 на рис. 88, а.
Необходимо отыскать
min
(J Jol (F 4~ fp 4~
(10)
L № J
что сводится к решению уравнения
6(J — pK + qF) = 0, (11)
где р, q — параметры, определяемые из дополнительных усло-
вий.
Уравнение экстремали имеет в этом случае вид
Х2 + у2 _ ру + q = о,
откуда, обозначив
, 1
I = — р, г =
2
'2 — q,
(12)
256
получим
X2 + (t/ — /)2 = г2.
(13)
Следовательно, здесь, как и в случае минимизации критерия
g, искомый участок контура дебаланса состоит из части дуги
Ь"с" полуокружности fb"c"e, опирающейся на ось у, и отрезков
bb" и сс". Отличием данного случая является удаление центра
указанной полуокружности от начала координат на расстоя-
ние I, большее ее радиуса г.
Подставив в интеграл правой части первого равенства (4)
значение х из уравнения (13) и приравняв нулю производные
этого интеграла по его пределам, находим, что при заданных
р и К самым выгодным будет
дебаланс в форме полного кру-
га. Действительно, наивыгод-
нейшими пределами интегриро-
вания оказываются
Ус = 1 + г, Уь / —/' (14)
На рис. 88, б показана наи-
выгоднейшая форма дебаланса
для минимизации критерия
_1_
а2 ’
а на рис. 88, в — для его макси-
мизации при том же наружном
радиусе дебаланса.
Остановимся коротко на минимизации критерия %. Эта за-
дача тривиальна. В самом деле, статический момент
K = Fy,
где у — ордината центра тяжести площади F.
Поэтому
7. -L,
У
следовательно, какой бы заданной кривой ни описывалась на-
ружная (более удаленная от оси х) часть контура дебаланса
Для минимизации критерия 7. необходимо, чтобы ближняя к
оси х часть контура представляла собой прямую, параллель-
ную оси абсцисс, так как это обеспечивает наибольшее удале-
ние центра тяжести дебаланса от оси абсцисс.
§ 38. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФРИКЦИОННО-
ПЛАНЕТАРНЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
У фрикционно-планетарного вибровозбудителя, схема кото-
рого изображена на рис. 68, в или г, связь бегуна с беговой
Дорожкой корпуса возбудителя является односторонней (не-
Удерживающей).
17 Заказ 150
В месте контакта бегуна с дорожкой, как отмечалось в § 30,
на корпус передается как нормальная, так и тангенциальная со-
ставляющие реакции бегуна. Следовательно, для обеспечения
нормальной работы фрикционно-планетарного вибровозбудптеля
без отрыва бегуна от беговой дорожки и без проскальзывания
его при обкатке необходимо выполнение двух условий: нормаль-
ная реакция должна быть знакопостоянной; коэффициент трения
скольжения бегуна по дорожке должен быть не меньше максиму-
ма абсолютного значения отношения тангенциальной составляю-
щей реакции к нормальной составляющей.
Находят применение фрикцион-
но-планетарные вибровозбудители с
разбалансированным бегунком,обес-
печивающим быстрое возбуждение
режима обкатки и неодночастотные
колебания рабочего органа. Схема
такого возбудителя показана на
рис. 89. Здесь бегун / обкатывается
по беговой дорожке 2 корпу-
са 3.
Собственное вращение бегуна
обеспечивается двигателем, не пред-
ставленным на схеме. Геометриче-
ский центр бегуна А не совпадает с
его центром тяжести G.
бегуна относительно оси его собст-
Несбалансированность
венного вращения вызывает колебания нормальной и танген-
циальной составляющих реакции и может вызвать заметную
неравномерность вращения бегуна. В связи с этим представ-
ляется полезным рассмотреть движение такой системы. Мы
будем полагать, что система центрирована, т. е. центр массы
рабочего органа (корпуса) совпадает с центром О беговой до-
рожки, и равнодействующая реакции среды проходит через
точку О. Будем также полагать, что рабочий орган погружен в
вязкую изотропную среду, что обкатка бегуна не сопровождает-
ся диссипацией энергии и что корпус может двигаться только
поступательно.
Рассматриваемая система обладает тремя степенями свобо-
ды при условии непрерывного сохранения контакта бегуна с
дорожкой и отсутствия проскальзывания. Расположим начало
декартовых координат xOitj в точке Оь представляющей собой
среднюю точку, около которой колеблется центр О рабочего
органа.
Кинетическая энергия системы
258
2
(г COS ф — р cos
(1)
, 1 tf dx dtp , , . , ,12 , Г du ,
+ "Tmo H;--------^-(/-sinq) + psin^cp) + -7- +
2 IL at dt 1 I. a*
I dtp
' dt
> x, у — координаты центра тяжести рабочего органа
(т. с. точки О);
г = ОА — модуль радиуса-вектора геометрического центра
бегуна относительно центра беговой дорожки;
р = AG — модуль радиуса-вектора центра тяжести бегуна
относительно его геометрического центра;
ф — угол поворота радиуса-вектора г, отсчитываемый
от положительного направления оси х против
часовой стрелки;
/др — угол поворота радиуса-вектора р, отсчитываемый
от положительного направления оси х по часо-
вой стрелке;
k — отношение модулей угловой скорости обкатки и
угловой скорости собственного вращения бегуна,
т. е. величина, обратная передаточному отноше-
нию i, определяемому формулой (19) §30;
mi и т0 — массы рабочего органа и бегуна;
/о — центральный момент инерции бегуна.
Характеристика двигателя задается формулой (28) § 33:
М = М' — .
1 dt 2 dr-
Если принять в качестве безразмерных переменных
т = со/; | +х-, S = ^1+2^ у, (2)
тог тог
где со = f——среднее значение угловой скорости обкатки,
\ dt /ср
и ввести безразмерные параметры
е = 2_, |з = 1—2------,
г 2 (fflj + m0) со
а2=____________(тв02______________
(rrii + m0)[J0 + т0(Г + p2) — k2] ’
X = _______тогР______, „ = М’_________
+ то (г2 + р2) — k2 ’ ° [J0 + m0(r2 + p2) —A^Jco2’
T] =-------------1----,
Jo + m0 (г2 + р2) — k2
где Ь — коэффициент диссипативного сопротивления колебани-
м корпуса, то дифференциальные уравнения движения системы
17*
259
могут быть записаны в виде
Е, + 2[’>Е — <р (sin ф + е sin /е<р) — ф2 (cos ф + е/г cos k<p) — 0;
£ + 2р£ + ф (cos ф—е cos kq>) — ф2 (sin ф — Ek sin &ф) = 0;
Ф [ 1 — 2л cos (1 4- k) ф] + т]ф 4- (1 + k) Хф2 sin (1 + k) ф —
— а2£ (sin ф 4- е sin /гф) + а2£ (cos ф — е cos /гф) = р0;
точками над переменными обозначено дифференцирование по т.
Введем новую переменную
ф = Ф — т. (5)
Полагая, что величина ф и ее производные малы по срав-
нению с единицей, перепишем уравнения (4), удерживая лишь
члены не выше первого порядка относительно ф и ее произ-
водных:
£ 4~ 2(4 = cos т + Ek cos kt 4- (ф — ф) sin т +
4~ е (ф — /4ф) sin kt + 2ф cos t 4- 2еЛф cos kf,
t. + 2(J£ = sin t — Ek sin kt — (ф — ф) cos т 4~
4- e (ф — k2 ф) cos kt 4- 2ф sin t — 2е/гф sin kt;
ф 4- т]ф = p0 — t] —(1 4- k) Xsin(l + k)t 4- X {2ф —
— (1 + k)2 ф] cos (1 + k) t — 2(1 + k) X ф sin (1 + k) t +
+ a2£ (sin t + e sin kt) — a2£ (cos t — e cos kt).
В качестве нулевого приближения ф возьмем периодическое
решение укороченного третьего уравнения (6):
ф + т]ф = — (1 + k) X sin (1 + k) t, (7)
которое имеет вид (нулевое приближение обозначаем звез-
дочкой)
ф* = — фа sin [(1 + k)t — 6*], (8)
где фа = — ; 0* = — arctg —-— . (9)
4 ] (1 + fe)2 + n2 1 + k
Подставив решение (8) в первые два уравнения (6) и про-
интегрировав их, получим первые приближения:
5 = «1 cos (т + т^) 4- а2 cos (for 4~ г2) —
— a3cos[(l + 2/г)т—т3] — п4cos|(2 4-X)t — tJ;
t sin (т 4- tJ — а2 sin (kt + т2) +
4- а3 sin [(1 4- 2/г) т — т3| — at sin [(2 + k) t — т4],
260
где
Cl
е + -у /гф* cos 0* ) + /гф* sin 0*
/г2 + 4р2
+ 2^еф* ^2 + 2/г + /г2) ф*
(1 + 2/г) |/(1 + 2/г)2 + 4ф~ ’ * ~~ (2 + /г) V(2 + /г)2 + 4₽2 ’
— Eib* sin 6*
2 ‘а
Tj = arctg------т-------------1- arctg 2|3;
1 + “M’qCOS 6*
(И)
1
-----/г-ф- sin О*
, 2 “ , , 26
т2 = arctg-----------------------------h arctg -J- ;
1 » /г
e +-----/гФ„ cos 0*
2 “
т, = e* — arctg ——— ; t4 = 0* — arctg -
3 S 1 + 2/г 4 S 2 + k
Выражения (10) показывают, что уже в первом приближении
выявляются четыре частоты колебаний рабочего органа.
Подставив в правую часть третьего уравнения (6) решения
(10) и нулевое приближение (8), получим линейное дифферен-
циальное уравнение с постоянными коэффициентами. С целью
обеспечения периодичности его решения приравняем нулю по-
стоянные слагаемые его правой части. В результате получим
уравнение баланса мощности:
Ио — Ц — «2г/1 sin --^-(1 + fe)2 Tessin 0* = 0. (12)
Решая это уравнение (после перехода к размерным парамет-
рам), находим среднюю угловую частоту ш обегания.
Проинтегрировав указанное дифференциальное уравнение,
полученное из третьего уравнения (6), найдем первое приближе-
ние ф. Мы его не приводим из-за громоздкости выкладок, кото-
рая объясняется наличием большого числа синусоидальных со-
ставляющих с безразмерными частотами fe, 1 — fe, 1, 1 + fe,
I + 2fe, 1 + 3fe, 2k, 2, 2 + fe, 2 + 2fe, 3 + fe, 3 + 2k.
В точке контакта В бегуна с дорожкой бегун воспринимает
реакцию корпуса, которая равна произведению массы бегуна на
абсолютное ускорение его центра тяжести. Обозначив проекции
261
этой реакции на оси х и у соответственными прописными буквами
X и Y, запишем их выражения:
X = т0 [х — ф(г sin ср + р sin /?ф) — ср2 (г cos ср + kp cos /гср)], 1
.... . с (1“)
У = тй [у + ср (/• cos ф + р cos Лф) — ф2 (г sin ф — kp sin йф)]. I
Возьмем теперь новую декартову систему координат tiBs
с началом в точке контакта В. Ось п направлена по нормали
в сторону геометрических центров бегуна и дорожки; ось s на-
правлена в сторону обкатки. Спроектировав X и ¥ на эти оси, по-
лучим нормальную N и тангенциальную S составляющие реак-
ции, передаваемой рабочим органом на бегун в точке контакта:
N = — X cos ф — Y sin ср, )
(14)
S = — X sin ср + У cos ср. I
Подставив сюда первые приближения х, у, ф, можем прове-
рить, выполняется ли все время условие сохранения контакта с
беговой дорожкой
Х>0 (15)
и условие отсутствия проскальзывания бегуна
|5|<Ж (16)
где f — коэффициент трения скольжения.
Глава VII
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ УДАРНО-ВИБРАЦИОННОГО
ПРИВОДА
§ 39. ПРОСТЕЙШАЯ УДАРНО-КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Колебания машин и приборов нередко сопровождаются уда-
рами, возникающими из-за наличия люфтов и односторонних
связен между их элементами и вызывающими преждевременный
выход машины или прибора из строя. С другой стороны, в ряде
машин ударно-колебательный режим представляет собой основу
рабочего процесса.
Ударно-колебательные системы существенно нелинейны ’. Их
изучение осложняется разрывным характером движения. Однако
некоторые задачи динамики ударно-колебательных систем могут
решаться приближенными методами, разработанными для иссле-
дования непрерывных нелинейных систем. В ряде случаев диффе-
ренциальные уравнения движения ударно-колебательных систем
могут быть эффективно проинтегрированы при помощи метода
припасовывания. Наиболее глубокие результаты дает исследо-
вание устойчивости решений дифференциальных уравнений, т. е.
устойчивости режимов движения. Весьма общим методом такого
исследования, пригодным, в частности, для изучения разрывных
систем, является метод точечных отображений, изложенный
в § 40.
Представляя удары в качестве мгновенных явлений, их можно
подразделить на роды. При ударе первого рода первая производ-
ная перемещения по времени (скорость) претерпевает разрыв
ограниченного размаха (разрыв первого рода); при ударе вто-
рого рода вторая производная перемещения по времени (ускоре-
ние) претерпевает разрыв первого рода и т. д. В узком смысле
нередко под ударом подразумевают удар первого рода.
В числе ранних работ по исследованию механических удар-
но-колебательных систем можно назвать публикации И. Г. Руса-
1 Само по себе наличие ударов, испытываемых системой, не определяет ее
нелинейности. Если по линейной системе извне наносятся удары, импульсы и
моменты нанесения которых не зависят от состояния системы, такая система
продолжает оставаться линейной. Нелинейность возникает-, если величины
Ударных импульсов и моменты времени, когда наносятся удары, или хотя бы
один из этих двух факточо.з, зависят от состояния системы, т. е. от ее фазо-
вых координат.
263
идеальным связям
Рис. 90
кова и А. А. Харкевича, где применен метод припасовывания для
исследования колебаний системы с ударами первого рода, и
Ю. И. Иориша, где рассматривались субгармонические резонан-
сы в системе с ударами третьего рода.
В настоящей главе будут рассмотрены вопросы динамики си-
стем, совершающих вынужденные колебания, сопровождающие-
ся ударами первого рода. Предварительно представляется целе-
сообразным обследовать свободные колебания простейшей систе-
мы такого рода, представленной на рис. 90. Здесь тело 1 массы
т подвешено на линейной пружине 2 жесткости с и благодаря
может двигаться только поступательно
вдоль оси х. При своем движении тело 1
может ударяться о неподвижный ограни-
читель 4.
Отсчет перемещения тела 1 будем
производить от положения равновесия.
Расстояние, которое проходит тело 1 от
положения равновесия без ограничителя
до встречи с ограничителем, обозначим х0.
Это расстояние может быть положитель-
ным (зазор между ограничителем и поло-
жением равновесия) или отрицательным
(натяг, т. е. положение равновесия без
ограничителя находится за ограничите-
лем). В последнем случае начало отсчета
соответствует равновесному положению, которое заняло бы тело 1
при отсутствии ограничителя.
Если в промежутках между ударами не происходит диссипа-
ции энергии, движение описывается дифференциальным уравне-
нием
х ф- а»ох = 0, (1)
где
представляет собой угловую частоту системы без ограничителя.
За начало отсчета времени t = 0 примем момент отделения
тела 1 от ограничителя. В этом момент
Х+ = Хо, х+ = — Vt.
(3)
Индекс « + » обозначает величины х, х непосредственно после
удара; индексом «—» будем обозначать те же величины непо-
средственно перед ударом.
Интеграл уравнения (1) при начальных условиях (3) можно
записать в форме
х = AL cos (j»ot -J- Х1), (4)
264
где _________
Л = Т/ хо + 4-; tg*i =-------— (5)
F хо®о
Продифференцировав равенство (4), получаем
х = — Д<оо sin (uot + xi) (6)
В момент времени t = fb когда тело 1 снова соприкоснется с
ограничителем, состояние системы определится условиями
х_ = х0, х_ = . (7)
Подставив условия (7) в равенства (4) и (6) и разделив вто-
рое из этих равенств на первое, будем иметь
1g(<Vi + Xi) =----— • (8)
Сопоставление выражения (8) со вторым равенством (5) при-
водит к зависимости
<*>оД + 'Xi = 2л — xv
откуда
, 2 (л — у,) 2 / хп \
tx = —----— —------I л — arccos —— ). (9;
<оо <оо \ 4, /
Начальные условия следующего (второго) цикла при t =t\
будут
х+ = х0, х+ = — Rvv (10)
где R — ньютонов коэффициент восстановления скорости при
ударе, характеризующий скачок скорости и определяемый зави-
симостью
R = — (0<7?<1). (И)
х_
Для второго цикла получаем
л 1 / 2 , ^2i’i 2 / л'й \
А2 =1/ Хо 4-----к— ; /2 =---( л — arccos —— ), (12)
г «о <оо \ А., /
где t2 — продолжительность второго цикла.
Аналогично для п-го цикла 1
^п = 1/ -----г-5- > =----( л — arccos-^2- ). (13)
» «о “о \ Ап /
1 Полагаем R = const.
265
Продолжительность цикла tn можно выразить через размах
колебания Dn:
/ Dn . V л — arcsec ( 1 ) (14)
<00 \ -Ч /.
где
Dn=-An + x0. (15)
Анализ полученных зависимостей показывает, что при R < 1
lirnD„ = П-+СО ’ 2x0 при 0 при x0< 0 :o ' (16)
lim/n = 2л при x0 > <b0 0 при x0 < 0 0 (17)
при Л'о = 0 / — — СГ)ПЧ1' (18)
ln — <00
lim vn = n->oo lim Rn~l = n-^-oo 0. (19)
Следовательно, при х0 > 0 в рассматриваемой системе с
уменьшением размахов колебаний увеличивается продолжитель-
ность циклов, что характерно для систем с жесткой характери-
стикой восстанавливающей силы (см. § 21). Наоборот, при Л'о < О
с уменьшением размахов уменьшается продолжительность цик-
лов, что характерно для систем с мягкой характеристикой вос-
станавливающей силы. При Л'о = 0 система становится изо-
хронной.
Если R = 1, система превращается в консервативную и выра-
жение (9) дает период колебаний. Если R = 0, то размах коле-
баний и продолжительность цикла (в данном случае периода)
после первого удара принимают предельные значения, указанные
в формулах (16), (17).
Введя «безразмерную продолжительность» хп цикла и «без-
размерный зазор» бп при свободных колебаниях, определяемые
зависимостями
т„ = ®Л, 6„ = ^, (20)
Ап
получим на основании равенства (9)
т„ = 2 (л — arccos 6,().
(21)
«Безразмерный зазор» может изменяться в пределах —1
^6^1, причем при нижнем пределе колебания прекращаются,
а при верхнем — колебания становятся безударными. На рис. 91
показана зависимость ти от 6П.
2С6
Ударно-колебательная система, даже в простейшем случае
синусоидального возбуждения, может иметь множество качест-
венно различных режимов движения. Их исследование, особенно
установление условий, при которых обеспечивается устойчивость
того или иного режима, требует применения достаточно мощных
методов. В § 41 такое исследование
производится с использованием метода
точечных отображений.
В ударно-колебательной системе,
совершающей периодические вынуж-
денные колебания, период этих колеба-
ний, который всегда кратен (в частно-
сти, равен) периоду вынуждающей си-
лы, будет более или менее близок к
продолжительности цикла свободных
колебаний этой системы при размахе,
равном размаху вынужденных колебаний. Это является следст-
вием эффекта захватывания, ярко выраженного у ударно-коле-
бательных систем.
§ 40. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В предшествующих главах показано, что исследование ли-
нейных колебательных систем целиком укладывается в детально
разработанную общую схему. Чрезвычайное многообразие нели-
нейных колебательных систем исключает возможность разработ-
ки аналогичной подробной схемы их исследования. Тем не менее
существует общий и весьма плодотворный подход к этим систе-
мам, опирающийся на ряд фундаментальных теорем качествен-
ной теории дифференциальных уравнений,— так называемый ме-
тод точечных отображений. В сочетании с различными аналити-
ческими и численными методами интегрирования этот метод по-
зволяет изучить характерные особенности рассматриваемой не-
линейной системы и, что очень важно, дает общую картину ее по-
ведения.
Основная идея метода точечных отображений принадлежит
А. Пуанкаре. В работах А. А. Андронова и его сотрудников этот
метод получил последовательное развитие и с успехом применя-
ется при решении сложных задач теории нелинейных колебаний
и автоматического регулирования. Стройное изложение и обо-
снование метода точечных отображений, включая его примене-
ние для многомерных систем, выполнено Ю. И. Неймарком.
Мы продемонстрируем применение этого метода к изучению
автономной системы с одной степенью свободы и приведем ряд
общих результатов для систем со многими степенями свободы.
Рассмотрим автономную систему с одной степенью свободы,
не делая пока никаких специальных предположений о ее кон-
267
кретных свойствах. Как показано в § 16, через каждую обыкно-
венную точку ее фазовой плоскости проходит только одна фазо-
вая траектория. Проведем на фазовой плоскости произвольный
отрезок L, обладающий тем свойством, что фазовые траектории
системы пересекают его, не касаясь (рис. 92). Обозначим коор-
динату точки отрезка L, отсчитываемую от его начала А, через s.
Пусть при t — t0 фазовая траектория С пересекает отрезок L
в точке М с координатой s. Если при t > t0 траектория С больше
не пересекает отрезок L, то говорят, что точка М не имеет после-
дующей на этом отрезке. Если же при некотором t > t0 траекто-
рии 92
рня С снова пересекает отрезок L
в точке М с координатой $, то эта
точка называется последующей
для М. Можно показать, что если
точка М. имеет последующую, то
этим свойством обладают и все
достаточно близкие к ней точки
отрезка L.
Таким образом, каждая фазо-
вая траектория С устанавливает
некоторое соответствие между
точками Л'1 и Л'1 отрезка L. Можно
сказать, что фазовые траектории
рассматриваемой системы порождают точечное отображение от-
резка L в себя. Символическая запись этого отображения имеет
вид
М = ТМ, (1)
причем ясно, что вид отображения Т определяется характером
фазовых траекторий, т. е. конкретными свойствами системы.
Соответствие, устанавливаемое формулой (1), однозначно;
это утверждение вытекает из того факта, что через каждую не-
особую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая
траектория.
Периодическому движению системы отвечает замкнутая фа-
зовая траектория — предельный цикл. Для такой траектории
точки М и М совпадают. Точки, которые преобразованием Т пе-
реводятся сами в себя, называются неподвижными точками это-
го преобразования. Они удовлетворяют символическому урав-
нению
ЛД ТМ*. (2)
Аналитическая запись соотношения (1) выражает связь меж-
ду координатами точек М и М:
s = f(s),
(3)
268
причем координаты неподвижной точки, отвечающей замкнутой
фазовой траектории, удовлетворяют уравнению
= (4)
Функция f(s) называется функцией последования. Таким об-
разом, если известна функция последования, то задача отыска-
ния предельных циклов сводится к нахождению неподвижных то-
чек отображения, иначе говоря, к решению уравнения (4).
Функция последования позволяет также решить вопрос об ус-
тойчивости найденного предельного цикла. Все незамкнутые тра-
ектории, проходящие вблизи предельного цикла, имеют вид спи-
ралей, которые «раскручиваются» или «навиваются» на предель-
ный цикл при /-э- оо (рис. 92). В первом случае предельный цикл
является неустойчивым, во втором — устойчивым.
Каждой незамкнутой фазовой траектории соответствует неко-
торая последовательность точек отрезка L. Если любая такая
последовательность сходится к неподвижной точке М*, то непо-
движная точка устойчива, в противном случае — неустойчива.
Таким образом, существует однозначное соответствие между ус-
тойчивостью предельного цикла и устойчивостью неподвижной
точки.
Пусть точки М и М близки к неподвижной точке Л4*. т. е. раз-
ности s— s* и s— s:> малы по абсолютной величине. Разложим
правую часть уравнения (3) в ряд по степеням разности s— s*.
Мы получим
S = f (S*) + (S — s*) (-У-+ [члены порядка (s — s*)2]. (5)
\ ds /s=s.
Обозначим s— s* через As, s — s*— через As. Эти величины
представляют собой расстояния от уочки М и ее последующей до
неподвижной точки Af*. Если As достаточно мало, то квадратич-
ными членами можно пренебречь и, воспользовавшись уравнени-
ем (4), написать:
As=f-^-^ As. (6)
\ ds Js=s, ’
Выражение (6) называется линеаризованной функцией после-
дования. Смысл этого названия ясен.
Если
1, то расстояние между Л4 и AI* мень-
ше, чем расстояние между и AI*. Построив последующую для
точки М и продолжив этот процесс, находим, что последователь-
ность точек
М\ М = ТМ- М = ТМ = Т^М-, ... (7)
неограниченно приближается к Af^.. Таким образом, неподвиж-
ная точка оказывается устойчивой. Напротив, при
269
последовательные образы точки удаляются от неподвижной
точки М*, которая в этом случае неустойчива.
Эти результаты, полученные путем не вполне строгих рассуж-
дений, составляют содержание теоремы Кенигса. Они допускают
простую и наглядную геометрическую интерпретацию с помощью
так называемой диаграммы Кенигса — Ламерея (рис. 93), пред-
ставляющей собой график функции s = f(s). Ясно, что точки пе-
ресечения этого графика с прямой s = s являются неподвижными
точками отображения. Из приведенного на рис. 93 построения
последовательности (7) видно, что любая такая последователь-
ность, начинающаяся справа или слева от неподвижной точки
Л1^2 (но не слева от точки М^), сходится к точке Л1*2. Таким об-
разом, неподвижная точка Л1^2, в которой выполняется условие
/ df \ |
( ) < 1, устойчива, тогда как точка AfSil неустойчива.
Примерный фазовый портрет такой системы изображен на
рис. 92.
Проведенные рассуждения в одинаковой степени приложимы
к любым динамическим системам, в том числе и к ударно-коле-
бательным. Пусть система в различных областях фазовой плос-
кости описывается различными дифференциальными уравнения-
ми; пусть также переход из одной области в другую сопровож-
дается скачкообразным изменением состояния. Фазовые траек-
тории системы такого вида изображены на рис. 94. Описания
системы при х > х0 и при х < х0 различны; при х = х0 скорость
х меняется скачком. Геометрически ясно, что даже в этом слу-
чае функция последования непрерывна. Это обстоятельство су-
щественно облегчает исследование.
Заметим, что для фактического построения функции последо-
вания требуется тем или иным способом проинтегрировать урав-
нения движения. В этом смысле метод точечных отображении не
может привести к каким-либо новым результатам. Однако он
служит идейной основой и эффективным средством изучения
270
общего характера движения динамической системы, которое едва
ли может быть выполнено иным образом.
В приложениях точечное отображение часто бывает задано
параметрически, т. е. в виде
s = <р (и), s = -ф (и). (8)
Исключая параметр и, снова получаем отображение вида (3).
фактически в таком исключении нет необходимости. Действи-
тельно, все результаты, касающиеся характерных свойств ото-
бражения, можно получить и в параметрической форме. Значе-
ние параметра и, соответствующее неподвижной точке, определя-
ется уравнением
<Р («*) = ф («*)• (9}
О df
Замечая, что производную —- можно, согласно выражению
ds
(3), записать в виде и дифференцируя формулу (8), полу-
' ds
чаем условие устойчивости неподвижной точки в виде
|_*L| <1-^1. (10}
| du l* | du I*
Индекс * означает, что производные берутся в неподвижной
точке. Наконец, вместо диаграммы Кенигса — Ламерея мы при-
ходим к построению, показанному на рис. 95.
В качестве примера рассмотрим ударно-колебательную систе-
му, изображенную на рис. 96. Тело массы т подвешено на пру-
жине жесткости с. В момент прохождения системой положения
равновесия слева направо тело испытывает удар, приводящий к
мгновенному изменению скорости. Предположим, что при каж-
дом ударе тело получает неизменное приращение кинетической
энергии. Эта система является максимально упрощенной мо-
делью часового механизма. Принимая, что диссипативное сопро-
тивление пропорционально скорости, запишем уравнение дви-
жения в промежутке между ударами:
тх ф- bx -J- сх = 0. (11)
Если X-— скорость непосредственно перед ударом, х+-— ско-
рость непосредственно после удара, а К — приращение кинети-
ческой энергии при ударе, то
' 2 -9
тх, тх
при х = 0, х > 0, —— -------— ----- к. (12)
Поскольку время t не входит явным образом ни в уравнение
(И), ни в дополнительное условие (12), рассматриваемая си-
стема автономна. В качестве отрезка L возьмем участок положи-
тельной полуоси Ох от начала координат. Тогда роль $
271
будет играть скорость х при х = 0. Рассмотрим фазовую траек-
торию, выходящую из точки М (0, х0) этой оси. Интегрируя урав-
нение (11), получим параметрические уравнения фазовой траек-
тории в промежутке между ударами:
Xq —hl • 1
X = —е Sin (Of,
(О
х = хое~‘ht (cos®/-----------— sin ®/Y
\ ® /
(13)
Где > Ь 1/2,2 2 с
Л /г —---; ® = г ®0 — h ; ®0 = —
2m т
За начало отсчета времени принят момент, непосредственно
следующий за ударом.
2 vt
При t =—- изображающая точка переходит из левой полу-
плоскости в правую. В этот момент наносится очередной удар.
Перед ударом скорость имеет значение
х_= хое~®. (14)
Через О обозначен логарифмический декремент колебаний
О _ 2л/г в0сп0ЛЬз0вавш11сь условием (9), найдем координату Xi
со
последующей для точки М:
х1 = \/ лов-20 + — К. (15)
1 т
Непрерывность функции последования (15) очевидна.
Приравнивая X] и х0, найдем координату единственной непод-
вижной точки:
/ 2
<16>
272
„ dx.
Производная — в неподвижной точке имеет значение
<а0
(17)
модель не отражает
механизма. Согласно
следовательно, система обладает единственным устойчивым пре-
дельным циклом, изображенным на рис. 97, б. Диаграмма Ке-
нигса — Ламерея для этой задачи представлена на рис. 97, а.
Следует отметить, что рассмот
ряда существенных особенностей 1
рис. 97, а при любой начальной
скорости, в том числе и при сколь
угодно малой, фазовая траектория
со временем приближается к пре-
дельному циклу. Иначе говоря, си-
стеме присуще свойство мягкого
самовозбуждения. Реальные ча-
совые механизмы этим свойством
не обладают: чтобы механизм
пришел в движение, ему нужно
сообщить некоторый отличный от
нуля начальный импульс. Более
правдоподобной является модель с сухим трением.
Перейдем к изложению некоторых результатов, относящихся
к системам со многими степенями свободы. Эти результаты
в одинаковой степени приложимы к автономным и неавтоном-
ным системам, с той лишь разницей, что в первом случае рас-
сматривается фазовое пространство, а во втором — так называе-
мое расширенное фазовое пространство. Оно отличается от фазо-
вого пространства наличием дополнительной координаты — вре-
мени. Для неавтономных колеблющихся систем характерна
периодическая зависимость от времени с некоторым перио-
дом Т. Поэтому целесообразно вводить эту дополнительную
координату таким образом, чтобы моменты времени, отличаю-
щиеся на величины, кратные Т, совпадали. В случае неавтоном-
ной колеблющейся системы с одной степенью свободы мы при-
ходим к цилиндрическому расширенному фазовому простран-
ству. По аналогии, расширенное фазовое пространство неавто-
номной колеблющейся системы со многими степенями свободы
также называется цилиндрическим, хотя в этом случае, разу-
меется, отсутствует наглядное представление. В цилиндриче-
ском расширенном фазовом пространстве, как и в фазовом
пространстве автономной колеблющейся системы, периодиче-
скому движению отвечает замкнутый предельный цикл.
18 Заказ 150 974
В дальнейшем для краткости мы будем говорить только
о фазовом пространстве.
Пусть движение изображающей точки в фазовом простран-
стве описывается системой дифференциальных уравнений
Ну.
= х2, . . хп, t), (t= 1, 2, ..., п); (18)
здесь Xi, х2,..., хп — фазовые координаты.
Относительно функций Х{ мы предполагаем лишь, что они
обеспечивают единственность траектории, проходящей через
любую точку фазового пространства, а также, что они периодич-
ны по t с периодом Т.
Проведем в фазовом пространстве некоторую поверхность S
и обозначим через х10, х20,..., х„0 координаты некоторой точки Л1
этой поверхности. Пусть фазовая траектория, выходящая из Л1,
снова пересекает поверхность S в точке XI с координатами л,.
х2,...,х„. Как и выше, будем говорить, что фазовые траектории
системы (18) осуществляют точечное отображение поверхности
5> в себя и записывать это отображение в виде (1). Связь между
координатами точек XI и М дается выражениями
х, = f,(х'1О, х20, > -^ло)» (i = 1, 2, .... л), (19)
причем вид функции f, определяется дифференциальными урав-
нениями (18). За совокупностью функций ft(i = 1, 2,..., п) со-
храняется наименование функции последования.
Если фазовая траектория представляет собой предельный
цикл, то точка XI, обозначаемая в этом случае посредством Л1*,
совпадает со своим образом и называется неподвижной точкой
отображения. Ее координаты определяются из уравнений
х2*.....х„*), (i = 1, 2, .. ., п). (20)
Исследование устойчивости неподвижной точки выполняется,
аналогично предыдущему, путем линеаризации отображения в
окрестности неподвижной точки. Обобщение теоремы Кенигса
формулируется в этом случае следующим образом.
Неподвижная точка устойчива, если все корни характеристи
по модулю строго меньше единицы.
274
Параметрическая форма точечного отображения, чаще встре-
чающаяся в конкретных задачах, имеет вид
<Ре(-Ч> *2’ • - •> ХП1 Л10’ Х20’ • • •> Хп0 Ul’ W2> • • •> Он) =
(i = 1, 2, ..., п ф т). (22)
Сюда входят параметры uh, (ft = 1, 2, ;?г), которые могут
не поддаваться исключению в общем виде. В число уравне-
ний (22) входит также уравнение поверхности S
S(x1, х2, ..л„) = 0. (23)
Координаты неподвижной точки определяются из системы
уравнений
^2*’ • • ч Х2*’ • • •> Хп*' Oi*’
(i := 1, 2, . . ., п 4- т). (24)
Условие устойчивости неподвижной точки остается прежним,
а характеристическое уравнение имеет следующий вид:
Таким образом, если точечное отображение построено, то
для отыскания периодических решений системы (18) следует
найти неподвижные точки, т. е. решить систему трансцендент-
ных уравнений (20) или (24). Обычно получить это решение в
общем виде невозможно, исключая ряд простейших частных
случаев, и приходится пользоваться тем или иным численным
методом.
Затем по формулам (21) или (25) составляется характери-
стическое уравнение и оцениваются его корни. При этом полез-
но иметь в виду следующее.
Раскрывая определитель (21) или (25), мы получаем харак-
теристическое уравнение
а0 + arz + .,. + anz'1 = 0. (26)
Его коэффициенты и0, ait..., ап являются функциями пара-
метров системы. Если мы хотим исследовать поведение системы
в некотором диапазоне ее параметров, то мы должны изучить
зависимость корней ее характеристического уравнения от этих
параметров.
Введем в рассмотрение так называемое пространство пара-
метров, на осях координат которого будем откладывать значе-
ния параметров системы (это могут быть, например, собствен-
ные частоты, отношения масс, коэффициент восстановления
скорости при ударе и т. д.). Пусть найдена неподвижная точка
отображения (19) или (22). Эта неподвижная точка устойчива,
вообще говоря, в некоторой области пространства параметров.
Поскольку все элементы определителя (21) или (25) веществен-
ны, выход из этой области возможен в трех случаях:
1) когда при изменении параметров системы один из корней
характеристического уравнения становится равным +1;
2) когда один из корней обращается в •—1;
3) когда появляются два комплексно-сопряженных корня,
по модулю равных единице.
Поэтому, подставляя в характеристическое уравнение z— + 1,
z =—1 и z = cos ф + i sin ф, мы получим уравнения трех по-
верхностей, которые ограничивают в пространстве параметров
область устойчивости неподвижной точки данного вида. Эти
границы обозначаются соответственно посредством 7V+b и
Nv .
Поверхность 2V+1, (z = +1)
ао + ai + • • - + °/i = 0. (27)
Поверхность N-i, (z = —1)
п0 — Oi + ... + (— 1)"с„ = 0- (28)
Поверхность ZV<p, (z = cos ф + i sin ф)
a0 + аг cos ф + ... + an cos /?ф = 0; 1
ar sin ф + a2 sin 2ф + ... + an sin пф = 0. |
Можно показать, что граница N+ является одновременно
границей существования данной неподвижной точки. Иначе
говоря, при z = +1 система уравнений (20) или (24) становит-
ся неразрешимой. Поэтому область, ограниченную поверхностя-
ми М+1, N-i и N?, называют областью существования и устой-
чивости неподвижной точки.
Заметим, что на движение системы могут быть наложены
некоторые естественные ограничения, которые приводят к появ-
276
пению дополнительных граничных поверхностей в пространстве
параметров. В следующем параграфе рассматривается пример
ограничения такого типа.
§ 41. ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ ВИБРОМОЛОТОВ
И ВИБРОТРАМБОВОК
На рис. 98 изображена динамическая модель неавтономной
ударно-колебательной системы с одной степенью свободы, кото-
рая служит идеализацией пружинных вибромолотов и некото-
рых других ударно-вибрационных машин. К массе т, опираю-
щейся на идеальные пружины жесткости с, приложены синусо-
идальная вынуждающая сила F=Facos6)Z и постоянная силаР,
которая в частном случае совпадает
с весом mg. Колебательное движе-
ние массы т сопровождается удара-
ми о неподвижный недеформируе-
мый ограничитель.
Различные вопросы динамики
этой системы рассматривались мно-
гими авторами. Наиболее полное ис-
следование выполнено Л. В. Беспа-
ловой. Мы изучим некоторые перио-
дические движения этой системы,
основываясь на результатах преды-
Рис. 98
дущего параграфа.
Обозначим перемещение массы т через х. Обычно начало
отсчета х выбирается в положении статического равновесия,
что приводит к незначительному упрощению формул. Здесь бу-
дем вести отсчет перемещения от положения, в котором пружи-
на не деформирована. Это позволит в дальнейшем непосред-
ственно получить результаты, относящиеся к беспружинной
ударно-колебательной системе, не решая задачи заново.
Полагая, что рассеяние энергии имеет место только при уда-
ре, запишем уравнение движения в промежутке между ударами
в виде • ’
т---------'г сх — F„ cos Mt — Р.
dt2 а
(1)
Удар будем считать мгновенным и характеризовать его ко-
эффициентом восстановления скорости R, который определяется
зависимостью (11) § 39. Пусть ограничитель расположен на
высоте х = х0. В момент удара, т. е. при х = х0, скорость —
dt
массы т меняется скачком
(2)
277
Ясно, что движение системы происходит только выше огра
ничителя. Поэтому решение, отвечающее истинному движению,
должно удовлетворять условию
х > х0. (3)
Это ограничение того типа, о котором мы говорили в конце
§ 40
Введя безразмерные переменные
? = —— X, r = at, (4)
‘а
запишем уравнение (1) и условие (2) в виде
£ + = cos т — р. (5)
tf = — Rt- при £ = t0- (6)
Таким образом, систему можно характеризовать следующи-
ми четырьмя безразмерными параметрами:
Р г, т<°2
Р — — I So — р ха-
* а * а
(7)
Будем рассматривать движение изображающей точки в
трехмерном цилиндрическом фазовом пространстве системы
(рис. 99). Введем в этом пространстве цилиндрические коорди-
наты
г = S + г0\ z = £; Ф = т, (8)
где г0 — произвольная постоянная, которая во всем диапазоне
изменения £0 удовлетворяет соотношению to + /д > 0.
Каждая интегральная кривая в этом пространстве состоит
из участков двух типов. Первый — спиралевидные кривые, выхо-
дящие из какой-либо точки верхней половины цилиндра
г = to + го, (t>0) и приходящие в некоторую точку его нижней
половины (t < 0). Эти участки удовлетворяют уравнению (5).
Второй тип участков траектории — отрезки образующих этого
цилиндра, идущие снизу вверх, причем вертикальные координа-
ты начала и конца каждого отрезка связаны условием (6).
Периодическим движениям отвечают замкнутые интеграль
ные кривые, состоящие из чередующихся участков обоих типов
Ясно, что число участков первого или второго типа есть просто
число ударов за период движения, которое мы обозначим через s.
Ударно-колебательным системам присуще свойство, харак-
терное и для других нелинейных систем: период движения
может быть не только равен, но и кратен периоду изменения
вынуждающей силы. В обозначениях (4) период вынуждающей
278
силы равен 2л, период движения 2лп, (п = 1, 2,...). При n> 1
движение называется субгармоническим порядка —.
Периодическое движение характеризуется двумя целыми
числами s, п. Область значений параметров, которым отвечают
периодические движения с одними и теми же s, п, обозначим
через Оя,7. Наибольший практический интерес представляют
движения с одним ударом за период, т. е. области Din. Пред-
ставленные на рис. 100 осциллограммы скорости £ соответству-
ют различным одноударным периодическим движениям: кри-
вая а — режиму £>и, кривая б — режиму £>1Z, кривая в — режи-
му Dl3. Там же изображена вынуждающая сила cos т (кривая г).
Построим точечное отображение цилиндра L в себя, осуще-
ствляемое фазовыми траекториями, близкими к одноударному
периодическому движению периода 2лп. Пусть М — точка верх-
ней половины цилиндра с координатами £о, £0, т0. Выходящая
из этой точки интегральная кривая описывается параметриче-
скими уравнениями
= - V- + 4- cosy (т - т0) +
+ у( )sin v - TZ7-cos т’
(9)
279
£ (т) = — T ( + -т + -7~°ST°2 'Isin V (T — To) +
\ “у2 1 — y2 /
, / 2 sin t0 \ . 4 . 1
+ ?o-------:---T cos T (T — To) + --------- sin t,
\ * — Y2 / 1 — Y
которые получены интегрированием уравнения (5). Пусть при
т = Ti > То интегральная- кривая пересекает цилиндр L в точ-
ке N. Значение ti определяется из первого уравнения (9).
если подставить в него S(ti) = So. после чего из второго урав-
нения (9) находится значение S в этот момент, которое мы обо-
значим через S-- Условие (6) переводит точку М в точку М с
координатами
ТГ, t (Ю)
Выполняя указанные действия, представим точечное ото-
бражение, переводящее М в М, в виде
Фх (£1» Тх; ?о. %) — (?о 4“ 2 +
\ Y /
+ k + -V + cos^-t,,) +
\ Y2 1 — у2 }
1 /Л sinx0 \ , 1 п
+v (5° —гтф-)sin y cos Ti=0;
«Mt, v. U т0)=-^-т(?0 + ^+-^)х
х зтуСч + То)-!- (?о—p^)cost(t! —То) +
+ , 1 2 sinTx = 0.
1 — Y I
(11)
Функция последования представлена в неявном виде, соот-
ветствующем формулам (22) § 40. Параметры иг в нашем слу-
чае отсутствуют. Рассматривая s-ударные движения, мы по-
лучили бы 2s уравнений с координатами s — 1 промежуточных
точек, лежащих на цилиндре L, в качестве параметров
Найдем теперь координаты неподвижной точки отображе-
ния (11), для чего подставим в равенства (И) Si = So =
То = т«, Ti = т*+ 2лп. Прежде всего, из полученных уравнений
выразим sin т4 и cos т*. Это дает
sin % _ _ tjl —R) .
1 — Т2 27?
cost* _ _ j._______P . L I1 — R)
1—y2 bo y2 2R
(12)
280
где
1 4- R ctg япу
1 — R у
о - ?Д1—R) - п
Временно оохэзначим —- через g. Возведя соотношения
(12) в квадрат и складывая, получаем квадратное уравнение:
(1 + -2fk + -Ме + (Чо —J-Y- —-Ц- = 0. (13)
\ у2 ) \ у2 / (1 —у)
Ниже будет показано, что из двух решений уравнения (13)
следует выбрать решение со знаком плюс перед корнем. Следо-
вательно, при периодическом движении безразмерная скорость
непосредственно после удара следующим образом выражается
через параметры системы:
1 / '+f2 (г + -р-]2
• _ 2R ф°+ У2 (1-У2)2 Г+ У2/
“ 1 — R ’ 1 + f2 • (14)
Заменяя в первом уравнении (9) фазовые координаты точ-
ки М координатами неподвижной точки М*, полученными из
соотношений (12) и (14), представим уравнение, описывающее
периодическое движение в промежутке между ударами, в виде
£ (т) =---—A cos у (т — т* — лп)----------cos т, (15)
у2 1 — -у2
где
д _ + R)
2Ry sin лпу
Заметим, что обычно вместо £$в формулах фигурирует рав-
ная ей величина Ru, где через и обозначена абсолютная вели-
чина скорости непосредственно перед ударом. В этом случае
все формулы остаются пригодными и при R — 0, так как величи-
на и не равна нулю, хотя естественно, обращается в нуль.
Следующий шаг состоит в проверке устойчивости формаль-
ного решения (15). Характеристическое уравнение (25) имеет в
данном случае вид
= 0. (16)
Для вычисления элементов этого определителя
ния частных производных от функций (11) в
точке.
найдем значе-
неподвижной
281
— (to — cos T(T1 — %) — tS№ *°2 cos T (Ti — 4) —
cos т0 sinyfTj—т0) 1 U(i + R) ,
1 —у2 2R / дфг \ 1 . \ dit )* ' R ’ У ’» 7?) о cos т~ —- cos 2л/гу 1-У2 =[cosY(T1- \ С'Ьо /* 2R sin 2лпу 1 У - т0) |* = cos 2 л/ту;
(17)
/4 sinrn \ . cost.
— T Ko--------;-----Г sln T Ti - 4 + ------------7
\ 1 — r / 1 — yl
__ T2^(l R)f | COST,, .
2 1—V2 ’
C: (1 — R) y- si.n2.Tny
2R {' у
COS T*
1-Y2
cos 2л/ту.
Подставляя найденные выражения в определитель (16) и
раскрывая его, приходим к следующему характеристическому
уравнению:
uz>- + [и (1 — R)2 sin2 лпу + (1 + R)2 cos2 — (1 + Я2) --
I У2 _
- 0+Я) ^^|z + «/?2 = 0. (18)
\ У / У J
282
Решение (15) устойчиво, если оба корня квадратного урав-
нения (18) по модулю меньше единицы. Это условие легко вы-
разить через коэффициенты квадратного уравнения:
az2 + bz + с = О
с корнями __________ ____________________________
b / b \2 с _______ Ь _____ / / Ь \2__с_
21 2а | \ 2а ) а ’ 2 2а | \ 2а ) а ’
считая без уменьшения общности, что а > 0. Найдем условия,
при которых |zi | < 1, | z21 < 1- Здесь необходимо различать
три случая:
1) b < 0, Ь2 > 4 ас. В этом случае |zj| > |z2| и, поскольку
Z\ > 0, искомое условие сводится к требованию
—Ц + I pZyZZ<i,
2а f \ 2а J а
откуда получаем
а + b + с > 0. (19)
2) b > 0, Ь2 > 4 ас. Здесь имеем 1z21 > |zi|, z2 < 0. Анало-
гично предыдущему, находим требуемое условие:
а — b + с > 0. (20)
3) Ь2 < 4 ас. Модули обоих корней в этом случае равны.
Они меньше единицы, если
а — с > 0. (21)
Заменяя знак неравенства в условиях (19) — (21) знаком
равенства, мы получим разумеется уравнения (27) — (29) § 40
для границ М+1, Л’-] и NФ. Однако условия, найденные здесь
прямым путем, содержат некоторую дополнительную инфор-
мацию.
Возвращаясь к уравнению (18) и подставляя его коэффици-
енты в условие (19), находим
1/1 Г>\2 • 2 ,/11 Г>\2 cos2 лиу 1 К р \ sin2nn-y п
и (1 — R)2 sin2лпу + (1 + R)2-— Ко н-------- -------L > и.
L Y J \ Y / Y
(22)
Выражение, стоящее в левой стороне неравенства (22),
представляет собой, как легко убедиться непосредственной под-
становкой, квадратный корень, фигурирующий в выраже-
нии (14). Мы убеждаемся таким образом, что знак плюс перед
корнем в выражении (14) выбран правильно.
В § 40 отмечалось, что граница M+i является одновременно
границей существования решения. В нашем случае условие
существования решения (15) состоит в вещественности выра-
283
жения (14) для Поэтому уравнение границы существования
имеет вид
1-М2
(1-Y2)2 ’
(23)
То же самое, в согласии с высказанным утверждением, дает
и условие (22) при подстановке в него знака равенства.
Уравнение границы N-i, получаемое из условия (20), запи-
сывается следующим образом:
и Г(1 — R)2 sin2 лпу + (1 -|-/?)2 cos2jw? — 2(1 +Я2) =
Т2
= + + (24)
\ У2 ) У
Наконец, условие (21) дает
1 — R2 > 0. (25)
Следовательно, в данном случае граница Л/Ф, Д=1 совпада-
ет с ограничением, вытекающим из физического смысла коэф-
фициента восстановления.
До сих пор никак не было при-
нято во внимание условие (3), в
новых обозначениях имеющее вид
Z < £о- Нарушение этого условия
имеет место, если в промежутке
между ударами масса т касается
ограничителя. Эта возможность
иллюстрируется рис. 101, где изо-
бражены графики одного периода
перемещения для различных точек
области Dtl. Совокупность пара-
метров, соответствующая кри-
вой 3, является граничной, так
как в этом случае происходит нарушение условия (3). Таким
образом, это условие определяет еще одну границу в простран-
стве параметров. Ее иногда называют границей определения ре-
шения рассматриваемого типа и обозначают посредством Ст . Из
рис. 101 ясно, что Ст определяется из совместного решения урав-
нений
Uf3) = ?0; t(₽) = o,
(26)
определяющих момент т = р + т*, когда происходит нарушение
условия (3) *. Поскольку обычно исключить р не удается, урав-
* Необходимым и достаточным условием существования границы Ст
является наличие корней, лежащих в интервале 0<Р<2лп.
284
нения
нения
вид:
(26) следует рассматривать как параметрические урав-
границы Ст. Для нашей задачи они имеют следующий
A cos Y(P — ПЛ) — -j—!—^cos(P Ч- Ч) = £0 + -~
— у A sin Y (р — лп) Ч- —sin (Р Ч- тД = 0.
(27)
Практические вычисления по этим формулам оказываются
весьма трудоемкими. Значительное упрощение достигается в ча-
сто встречающемся случае, когда to Ч—— = 0. Путем простых
Y2
преобразований уравнения (27) приводятся к виду
(sin р — у s*n ТР) ’•
1 + 7?
1-7?
1+7?
1
COS Р
1
„ . ctgnny
cos yP Ч---6—L
У
„ . ctg ппу
Sin уР ч-----------L
sin р | у
(COS yP — cos P) .
(28)
1 — R
Рис. 102
Пространство параметров системы, как это следует из вы-
ражений (7), четырехмерно, поэтому для выяснения структуры
пространства приходится рас-
сматривать различные его сече-
ния. Заметим, что параметры £0
и р входят во все формулы
только в виде комбинации £о +
+ — (при выборе начала ко-
ординат в положении статическо-
го равновесия именно эту величи;
ну обычно называют зазором).
Поэтому прежде всего рассмот-
рим сечение пространства пара-
метров поверхностью to +~ = 0.
На рис. 102 представлены по-
лучающиеся при этом на плоско-
сти параметров у> R области существования и устойчивости
одноударных периодических движений с периодами 2л, 4л и 6л,
т. е. области Оц, D\z и £>i3. Все эти области однотипны. При
R = 1 они ограничены общей для них границей Nv. Правая
граница каждой области состоит из двух частей. При R — 0 из
точек у = выходят кривые Ст, которые при некотором
значении R пересекаются с ветвью границы N-i. Особенно от-
четливо эти две части границы видны у области £>ц. Левой
границей каждой области служит вторая ветвь кривой N-i.
285
Граница Л^+1, как это следует из ее уравнения (23), в данном
случае просто не существует. Отметим, что с ростом п размеры
областей сильно уменьшаются; это обстоятельство характерно
для нелинейных систем, обладающих субгармоническими ре-
шениями.
Практически важна зависимость режима движения от зазо-
ра, поскольку в реальных машинах настройка на нужный режим
в известных пределах осуществляется именно изменением зазо-
ра. На рис. 103 показано пересечение тех же самых областей
Dn, О12, Dl3 с плоскостью параметров у, £0 4- -у- при 7? = 0.
На этом графике выделены также следующие области, пока-
занные штриховкой вдоль границы:
1) область Do, для которой у2 ( £0 4—— ) > 1. В этой сбла-
\ Y2 /
сти усилие, с которым пружины прижимают массу к ограничи-
телю, превосходит амплитудное значение вынуждающей силы, и
движение вообще отсутствует;
2) область DOn, в которой амплитуда безударных периоди-
, 1 р
ческих колеоании, равная --------, меньше величины l0 4- —.
|1—у2| ' у2
В этой области в зависимости от начальных условий возможны
как ударные, так и безударные движения.
Между областями Do и Dn при /? = 0 располагается область
D°t , в которой имеет место движение с остановками. Действи-
тельно, скорость у* непосредственно после удара равна нулю;
, "о
фазу вынуждающей силы в этот момент ооозначим через
4-у ), то масса будет при-
Если окажется, что cos т ° < у2
* 1
286
(29)
жата к ограничителю вплоть до момента т*, когда
cos т* = у2 (Со +
К каждой из областей Dln справа прилегает аналогичная
область D^n движений с остановками. Остальное пространство
заполнено областями более сложных, многоударных движений
и движений более высокой кратности. На исследовании харак-
тера чередования этих областей и отыскании их границ мы не
останавливается, тем более, что параметры машин выбираются
в пределах областей Dln, где достигаются максимальные удар-
ные скорости.
, р
, Со + при
Т2
Картина распределения областей в плоскости у
R =# 0 остается в качественном отношении той же самой. По-
скольку в этом случае движения с остановками отсутствуют,
место области D,0, занимает область Dsl, в которой на протяже-
нии периода 2л происходят один сильный и один или несколько
слабых ударов. Такие же изменения претерпевают области D^n
Об изменении размеров и расположения областей Dln при
R =/= О можно составить частичное представление путем сопо-
ставления с рис. 102.
При создании ударно-вибрационной машины ее параметры
нужно выбирать таким образом, чтобы обеспечить максималь-
ные ударные скорости. Выше говорилось, что в этом смысле
наиболее благоприятными являются одноударные режимы типа
О1П. Возникает вопрос о выборе оптимальных значений пара-
метров в пределах данной области. Этот вопрос легко решается,
если принять во внимание, что зазор является тем конструктив-
ным параметром, изменение которого осуществляется наиболее
просто и не влияет на другие параметры. Найдем величину за-
зора (Со) опт, которой при одноударном движении периода 2лп
£
отвечает максимум ударной скорости и = — . Дифференцируя
R
выражение (14) по Со и приравнивая результат нулю, находим
Таким образом, мы получаем два значения оптимального за-
зора, равные
г =______Р + f
° у2 1 - у2
Вычисляя вторую производную, легко показать, что макси-
мум ударной скорости имеет место при
(?o)onm =----V + Д-Ц ’ <30>
у2 1 — у2
287
служит динамической
Рис. 104
Разумеется, при этом необходимо, чтобы совокупность пара-
метров, удовлетворяющая соотношению (30), находилась в
пределах области Dln. При малой жесткости пружинной под-
вески, т. е. при малых у, которым, как видно из рис. 103, отве-
чают большие п, может оказаться, что точка, отвечающая опти-
мальной скорости, лежит вне области существования и устой-
чивости соответствующего режима.
Наконец, рассмотрим еще один частный случай, соответ-
ствующий у = 0. Мы получаем беспружинную ударно-колеба-
тельную систему, схематически представленную на рис. 104. Она
юдолью простейшей вибротрамбов-
ки и беспружинного вибромолота. Схе-
ма, близкая к этой, находит примене-
ние при рассмотрении некоторых задач
вибрационного транспортирования.
Уравнение движения массы т в про-
межутках между ударами получается
из уравнения (5), если в последнем
принять у = 0:
£ = cost — р. (31)
Условие при ударе (6) сохраняется
неизменным. Можно было бы повторить
все рассуждения применительно к
уравнению (31): построить точечное
отображение, найти его неподвижные точки и т. д. Мы поступим
иначе, последовательно получив все интересующие нас результа-
ты путем предельного перехода.
Прежде всего, ясно, что понятие зазора в данном случае не
имеет смысла и во всех формулах следует положить £0 = 0.
Далее, при малых у имеем
* _ 1 + R ctg лпу ~ 1 + R_________1_______
\-R' у ~ 1-R , 1 , 2 2\ ’
зтпу2 I 1 + — л2п2у2 I
В выражении 1 4- f2, входящем в формулу (14), при малых у
можно пренебречь единицей по сравнению с f2. В результате
получаем выражение
дУ1 + ппр + |/ 1 “ (тЙ лпр)2-
(32)
Таким образом, при у = 0 послеударная скорость
L = Ru = лпр. (33)
288
(34)
Из первой формулы (12) получаем
1 —7?
sin т* =-------------------j—- лпр.
Для преобразования второй формулы (12) в нее нужно под-
ставить выражение (32) для Д с сохраненным вторым членом.
Это дает
COS т*
(35)
1—7? 2
—r’'"pP
Сразу получить этот результат из формулы (34) нельзя, так
как при этом остается неопределенным знак перед корнем.
Уравнение, описывающее периодическое движение в проме-
жутке между ударами, также можно получить путем предельно-
го перехода из уравнения (15). Снова воспользовавшись соотно-
шением (32), записываем:
++*) а_е_ + 1 Д
27?у sin Tiny y2 Г
cos у (t — — nn) ~ 1 —
2 рл2П2
(1+7?
T2 (т — — mi)2
2
Подставив эти выражения в формулу (15), получим
\ Р (т — т*— лп)2
£ (т) — — —------------ — cos т
1—7?
2 pjT2/!2
1+7?
2
(36)
Далее преобразуем характеристическое уравнение (18), при-
нимая во внимание, что согласно выражению (32)
т2
П 1
Члены порядка — взаимно уничтожаются, и мы приходим
к следующему характеристическому уравнению:
(1 + R)2
2
\ 1 + 7?
1—7?
1+7?
\2
rrnpj — p(l + R2)
z + pF? = 0.
(37)
На основании формул (27) — (29) и уравнения (37) получа-
ем уравнения границ областей одноударных периодических
Движений в плоскости параметров р, R:
1 1 + 7? , ,
Р =----- ------ , (граница 7V+1);
ПН 1 — К
(1 +7?)2
(38)
P = ^г. V ' v - (граница N_ j);
/4(1+ 7?2)2 + n2n2 (1 — /?2)2 v F
R = 1, (граница Nv).
(39)
19 Заказ 150
(40)
289
Запишем также уравнения границы Ct, на которой перестает
выполняться условие £ > 0. Дифференцируя зависимость (36) и
полагая £(|3) = 0, £(р) = 0, где, как и выше, [1 = т — т*, после
ряда преобразований приводим параметрические уравнения
границы С т к виду
р = sin (т* + Р) .
ЯП — Р
Р sin (т* + Р) — cos (т* + Р) + cos т* = 0.
(40
На рис. 105 изображены построенные в соответствии с урав
нениями (38) — (41) области существования и устойчивости
движений для п = 1, 2, 3. Верти-
кальная линия р = 1 также пред-
ставляет собой границу: при р>1
сила Р превосходит амплитудное
значение вынуждающей силы и
движение отсутствует. Области
D\n одноударных движений огра-
ничены справа кривой N+\ и сле-
ва кривой 7V-1. Граница Сх отсе-
кает от области Ди лишь незна-
чительный ее участок вблизи оси
R = 0, что показано на той же фи-
гуре в увеличенной части графи-
ка. Изменения областей Dlz
и Д13 вследствие ограничения
£ > 0 оказываются еще мень-
шими.
Отметим следующие характерные особенности беспружинноп
ударно-колебательной системы. Области существования п ус-
тойчивости одноударных периодических движений без остановок
конечной длительности весьма узки. Их протяженность увели-
чивается с ростом р и R, однако реальным системам присуши
именно небольшие значения этих параметров. Далее при р и R.
близких к единице, области частично перекрываются. Иными
словами, при одних и тех же значениях параметров, в зависимо-
сти от начальных условий, в системе устанавливаются различ-
ные одноударные периодические движения. Этим же свойством
при больших р и Я обладают системы с малыми у. Характер
заполнения оставшейся части плоскости параметров в общих
чертах тот же, что и для системы с у =# 0. Правее границы N+i
области Дц расположена область Dsl, которая при R = 0 пере-
ходит в область D °j движения с остановками. Аналогичная об-
ласть примыкает справа к каждой из областей Din. Имеются
290
также области многоударных периодических движений, протя-
женность которых убывает по мере усложнения режима, т. е.
при росте s и п.
§ 42. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ УДАРНО-ВИБРАЦИОННОГО
ПРИВОДА С ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯМИ
В §§ 39 и 41 рассматривались неавтономные задачи, где
вынуждающее воздействие представлено функцией времени,
т. е. не зависит от поведения колеблющейся системы. Системы
с центробежными возбудителями колебаний допускают такую
схематизацию ценой постулирования равномерности вращения
дебалансов (см. § 27). В гл. VI мы имели дело с существенны-
ми задачами, которые в принципе не
могут быть решены без учета дополни-,,
тельных степеней свободы дебалансов,
т. е. без учета неравномерности их вра-
щения. В ударно-вибрационных систе-
мах мы встречаем такие же особенно-
сти, иногда в резко подчеркнутом :
виде.
Прежде всего, подсчитаем прибли-
женно величину скачка угловой скоро- 7?//?//////
сти дебаланса 1 (рис. 106), вращение
которого вызывает колебания вдоль л
оси х рабочего органа 2, ударяющегося Рис. 106
об ограничитель 3.
Приняв, что Jo, то, г обозначают соответственно центральный
момент инерции, массу и эксцентрицитет массы дебаланса отно-
сительно оси вращения; v — скорость рабочего органа; их, иу —
проекции скорости центра массы дебаланса на осн координат;
ф-—угол поворота радиуса-вектора г, отсчитываемый от поло-
жительного направления оси х, запишем приращения кинетиче-
ского момента и проекций Lx, Ly импульса дебаланса при ударе
в предположении, что трение в подшипнике дебаланса отсут-
ствует:
Jо (Ф+ + Ф-) = Lxr sin Фо — Lur cos ф0;
т0(их uxJ = Lx\
т0(иу —uv_) = Ly-,
(1)
здесь ф0 представляет собой угол ф в момент удара.
Обозначим
Дих = и, — их ; Ди,, = и„ — и„ ;
х Л_|_ Л ’ У I/т У_?
kv — v—- и_; Дф = Ф+ — Ф_
(2)
19*
29J
(3)
и учтем, что в соответствии с условием (10) § 39
До = —(1-|- R)v_,
где R — коэффициент восстановления скорости при ударе.
Приняв во внимание также очевидные кинематические соот-
ношения
Лих = До — г Дф sin ф0,
Дц^ = гДф cos фо,
(4)
получим следующее выражение для скачка угловой скорости
дсбаланса в момент удара:
Дф =
т0 (1 + R) v_r sin ф0
Jo + m0r2
(5)
Максимальная скорость рабочего органа v у пружинного
вибромолота с синусоидальным возбуждением при нулевом
начальном зазоре х0 для одноударных колебаний без остановок
конечной длительности в соответствии с результатами § 41 мо-
жет быть представлена выражением
2т,,га>
Цпзх = -------------------------——
("г! + '«<•) 11 - •
(1- R)
(6)
где 7711 — масса рабочего органа;
со — частота вынуждающей силы;
1 « -
— — порядок субгармонических колеоанпи.
п
Максимальная скорость отах
имеет место при ф0 = —. При-
няв это выражение в качестве подходящего приближения и под-
ставив его в правую часть равенства (5), получим
(A<PUx
2(mor)2(l + R)qel)
J ("h + m0) (1 — —Ц-) (1 — R)
(7)
где J = Jo + mor2 — момент инерции дебаланса относительно
оси вращения, а фср— средняя скорость вращения дебаланса, эк-
вивалентная угловой частоте со при синусоидальном возбуждении.
В соответствии с этим для относительного скачка угловой
скорости получаем выражение
(Аф)тах _2а2 (1 Р R) (g)
292
где в соответствии с формулой (18) § 33
а2 =--------------------------. (9)
J (тг + т0)
При п = 1 и R = 0 получается простое соотношение:
(Atp)niax =;_Аа2- (Ю)
<Рср
Зависимости (7), (8) и (10) приближенные. Для получения
более точных результатов необходимо было бы интегрировать
систему совокупных дифференциальных уравнений движения
рабочего органа и дебаланса. После удара дебаланс под дей-
ствием двигателя ускоряет свое вращение, совершая, кроме
того, колебания, подобные описанным в § 33.
Другой важной проблемой, требующей учета вращения де-
балансов, является задача самосинхронизации. Самосинхрони-
зирующиеся центробежные вибровозбудители с успехом приме-
няются в качестве привода ударно-вибрационных машин. Тео-
ретическое определение условий самосинхронизации для таких
машин отличается некоторыми особенностями от рассмотрен-
ных в § 36 случаев, когда рабочий орган машины находится в
состоянии чисто колебательного движения.
Сама постановка задачи о самосинхронизации остается в
принципе такой же, как и для безударных систем. Уравнения,
описывающие движение системы, распадаются на две группы:
первая описывает движение не.сущего тела — рабочего органа
машины, вторая — вращение дебалансов. Члены, отражающие
влияние движения рабочего органа на вращение дебалансов,
содержат малый множитель р, зависящий от параметров систе-
мы и характеризующий силу связи между вибровозбудителями
и несущим телом. Задача заключается в построении решений
вида (18), (19) § 36 и определении условий их существования и
устойчивости. В § 36 для решений этой задачи мы пользовались
методом малого параметра Пуанкаре — Ляпунова. Для ударно-
колебательных систем скорости колебаний рабочего органа и
угловые скорости дебалансОв являются разрывными функциями
времени. Поэтому метод малого параметра в его обычной фор-
ме, опирающийся на аналитичность правых частей дифферен-
циальных уравнений, оказывается здесь неприменимым.
Ю. II. Пеймарком разработано обобщение метода малого
параметра для уравнений с разрывными правыми частями, осно-
ванное на методе точечных отображений. С его помощью удается
распространить все выводы теории самосинхронизации на си-
стемы с разрывными характеристиками, в том числе и на удар-
но-колебательные системы. Более того, путем применения спе-
циальных разрывных функций удается формально привести
293
определяющие уравнения и условия устойчивости синхронных
движений к тому же виду, что и для безударных систем, т е. со-
ответственно к формулам (18) и (25) § 36.
Предварительно введем в рассмотрение разрывную функцию
Хевисайда, определяемую соотношениями
6(т) =
О при т
1 при т
< о,
>0.
(Н)
Пусть а > [S. Ясно, что разность 0(т—а) —0(т—р) пред-
ставляет собой функцию, равную единице в интервале а < т < р
и нулю — вне этого интервала. Умножение произвольной функ-
ции на эту разность «обрезает» функцию вне интервала а <
< т < р. Если некоторая функция £(т) задана в интервале
то < т < Ti выражением ш(т), в интервале тд < т < тг— выра-
жением 7(т) и т. д., то се можно формально представить в виде
суммы
£ (т) = [0 (т — т0) — 0 (т — тх)] (т) +
+ [0(т — тх) — 0 (т — т2)Н2(т)+ ..., (12)
причем выражение (12) будет справедливо уже при всех т.
Далее, найдем производную функции 0 (т), которую обозна-
чим посредством б(т). Поскольку, согласно определению
-^1 = 6(т), (13)
то для произвольных а > 0, р > 0 должно выполняться соот-
ношение
[ 6(т)Л =0(р) — 0 (— а) = 1. (14)
—а
При т < 0 и т > 0 функция 0(т) постоянна, поэтому б(т) при
этих значениях т равна нулю. В точке т = 0 функция б(т)
должна обращаться в бесконечность, причем так, чтобы инте-
грал (14) был равен единице. Определенная таким способом
функция б(т) называется дельта-функцией Дирака.
Функции 0(т) и б(т) позволяют формально обращаться
с разрывными функциями так же, как и с непрерывными, и
применяются при решении разнообразных физических и техни-
ческих задач. Отметим, что в этих задачах дельта-функция,
обладающая столь странными, на первый взгляд, свойствами,
фигурирует только на промежуточных этапах вычислений, но
никогда не входит в окончательный результат.
Полезное представление о характере дельта-функции можно
получить, рассматривая ее как предел некоторой последователь-
ности «обычных» непрерывных функций. Пусть, например,
МО = --—(15)
Л 1 + И2Т2
294
тогда limfn(T) = 0 при т #= 0; limfn(0) = lim — = оо; для лю-
П—*00 П->ОО П-ЮО 51
бых положительных а. В имеем
3
fn (т) d% = — (arctg n[3 + arctg па).
л.
—а
При и . —> оо правая часть стремится к единице. Таким обра-
зом, ИшЦт) = б(т). На рис. 107 изображены функции Д(т) для
п->со
п = 2; 5; 10. Можно построить бесчисленное множество после-
довательностей функций, приводящих в пределе к дельта-
функции.
Отметим следующие свойства дельта-функции, вытекающие
из ее определения:
j f(T)6(T)dT = f(0); (16)
—а
Р
[ /(t)S(t —= f(Ti), — а < Т] < |3; (17)
—а
/(т)6(т — Ti) = f(Tx)6(T — Tj); (18)
здесь f(x) — произвольная непрерывная функция.
Рис. 107 Рис. 108
Доказательство этих формул весьма просто. Левая часть со-
отношения (16) может зависеть только от тех значений f(x), для
которых т близко к нулю; без существенной погрешности можно
заменить f(x) ее значением в нуле f(0), после чего приходим к
основной формуле (14). Аналогичным образом доказывается и
формула (17). Справедливость соотношения (18) вытекает из
формулы (17).
Функции 6(х) и б(х) хорошо приспособлены для формально-
го описания движения, сопровождающегося ударами. Действи-
тельно, ударная сила, фигурирующая в классической теории
295
даа, ооладает всеми характерными свойствами дельта-функ-
ции: она отлична от нуля только в момент удара, когда она обра-
щается в бесконечность, причем интеграл от нее, равный прира-
щению импульса, конечен.
После этого отступления вернемся снова к задаче о само-
синхронизации. Рассмотрим ударно-вибрационную систему с
одной степенью свободы корпуса, схематически представленную
на рис. 108. В отличие от системы, рассмотренной в начале § 36.
ее движение сопровождается мгновенными ударами об ограни-
читель с коэффициентом восстановления R. Так как в промежут-
ках между ударами эта система в точности совпадает с первым
примером § 36, то ее движение описывается теми же самыми
уравнениями, которые после перехода к безразмерным перемен
ным по формулам (5) § 36 имеют вид
С + T2S = [(<Р2 + Ф2) cos + <р sin <р ] cos ф +
+ (ф cos <р — 2<рф sin <р) sin ф;
<р ф- = X + р [ £ sin <р cos ф -|- 2Х/г —
— X/i<p — X (г + р) ф];
ф -р Хф = р [g cos <р sin ф 4- Хг — X (г 4- р) <р — Х/гф].
К этим уравнениям присоединяется условие при ударе:
t+ = — Rt- при t, = U
(20)
причем поскольку начало отсчета перемещения корпуса здесь
выбрано в положении статического равновесия, фигурирующий
в выражении (20) безразмерный зазор £0 совпадает с величиной
£° + -у
Т2
предыдущего параграфа.
Выше мы видели, что для ударно-колебательных систем
характерно наличие субгармонических решений. Поэтому есте-
ственно отразить эту возможность и в решении задачи о само-
синхронизации, т. е. искать его в виде
Y ф = т4-тГ—\ ф = ф(,—Y (21)
\ п / \ п / \ п /
где £, у и ф — функции периода 2л, n = 1, 2, 3,...
Приближение нулевого порядка по р для функций ср и ф
снова имеет вид
<р(0) (т) — <р(ф0) 4- т> Ф<0> (т) = ф(,0>. (22)
Движение рабочего органа в этом же приближении описы-
вается, следовательно, уравнением
t + Y2£ = cos ф^0> cos (<р° 4- т) (23)
296
с дополнительным условием(20). Будем рассматривать одно-
ударное движение корпуса с периодом 2лп. Если совместить
начало отсчета времени с моментом удара, то, используя резуль-
таты предыдущего параграфа, мы найдем, что решение уравне-
ния (23) есть
cos ,n,
=-------— cos (ср. + т) A cos у (т — ли), (24)
где
ctg<р(0) = f- А = “(1 + 7?) ; f = l+R . ctganv •
* u(l — R) ’ 27 sin л/г7 ’ 1—R у
] / (1 + f2) cos2i|:<D)
2 '+ k (1 — T2)2 —
“ 1 — R ' 1 + f2
(25)
Исследование устойчивости полученного решения проводится
совершенно так же, как в § 41. Подчеркнем, что этот этап — ис-
следование устойчивости нулевого приближения — является
обязательным. В § 36 он был опущен, поскольку в рассмотрен-
ных там примерах устойчивость нулевого приближения была
очевидна. Далее необходимо найти значение фазы ф<0) , которой
отвечает устойчивое синхронное вращение дебалансов. Оказы-
вается, что для этой цели можно использовать введенные в § 36
функции Р,(ф(0>) и Р2(ф<0)). Нужно лишь соответствующим об-
разом видоизменить запись нулевого приближения (24), с тем
чтобы включить в рассмотрение ударные силы.
Решение (24) справедливо лишь в интервале 0 < т < 2л.п.
В следующем интервале длины 2лл первый член выражения
(24) остается неизменным, а второй, отвечающий собственным
колебаниям, примет вид Лсоэу(т— Зли). Воспользовавшись
функцией Хевисайда, представим решение в виде, справедливом
при всех т > 0:
cos чЬ°
£ (т) =---------- cos( т + <р ) + [ 1 — 6 (т — 2лл)] A cos у (т — лп) 4-
1 — т’2
+ [6 (т — 2лп) — 6 (т — 4лн) ] A cos у (т — Зла) ф-
4- [6 (т — 4лп) — 0 (т — 6лп)] A cos у (т — 5лп) ... (26)
В первой квадратной скобке вместо 6(т) записана единица.
Тем самым подчеркивается, что движение рассматривается с
момента, следующего непосредственно за ударом; начальный
удар из рассмотрения исключается. Каждый период состоит из
интервала безударного движения и заключительного удара.
297
Вычислим безразмерную скорость £(т). Дифференцируя вы-
ражение (26), получаем
Ё, (т) =-—— sin (т ф- ф*0') — [1 — 6 (т — 2лп)] Ay sin у (т — лп) —
1 — Y2
— [6 (т — 2лп) — 6 (т — 4лп)] Ay sin (т — Злп) — ... ф-
ф-[—б(т—2лп)] Л cos у (т— лп) ф-
ф- [6 (т — 2лп) — 6 (т — 4лп)] A cos у (т — Зли) ф- ... (27)
Воспользовавшись свойством (18), перепишем входящую сю-
да сумму, содержащую дельта-функции, в виде
— 6 (т — 2тт/?) A cos у (2лп — лп) ф-
ф- 6 (т — 2лп) A cos у (2лп — Злп) — 6 (т — 4лп) A cos (4лп — Злп) ф-
ф- 6 (т — 4лп) Д cos (4лл — 5лп) — ...
Отсюда следует, что эта сумма равна нулю при всех т. Та-
ким образом, выражение для скорости имеет вид
S(t) =
COS
1 — у2
зш(тф-<р*0>) — Ay sin у (т — лп) ф- 0 (т — 2лп) X
X [ А у sin у (т — лп) — Ay sin (т — Злп)] ф-
ф- 6 (т — 4лп) [Ду sin (т — Злп) — Ay sin (т — 5лп)] ф- ... (28)
Легко подсчитать, что в моменты времени т = 2лп/г, k = 1,
2,..., множитель при 6(т — 2лп1г) равен u(l + R). Следователь-
но, в моменты ударов скорость скачком возрастает на величину
л(1 + R) в согласии с условием (20).
Дифференцируя равенство (28), найдем обобщенное выраже-
ние для ускорения:
COS
1 — у2
W =
cos (т ф- гр<°>) — Ay2 cos у (т — лп) ф-
+ 0 (т — 2лп) [ Ay2 cos у (т — лп) — Ay2 cos у (т — Злп)] ф-
ф- 6 (т — 4лп) [Ay2 cos (т — Злп) — Ay2 cos у(т — 5лп)] ф-
ф- ... ф- п(1 ф- R) [6 (т — 2~п)ф- 6 (т — 4лп) ф- ... ]; (29)
здесь мы снова воспользовались свойством (18) дельта-функ-
ции.
Подставляя выражение (29) для £ в уравнения первого при-
ближения для <р и ф и дословно повторяя все соответственные
рассуждения § 36, получаем, что значения фазы ф<0> и поправки
/г к синхронной частоте определяются из уравнений (18), (19)
$ 36. Для фактического вычисления функций Р](фт) и РДф*0*)
заметим, что в этих формулах интегрирование выполняется по
298
одному периоду. Ь интервале от U до 2 л», включая момент
удара т = 2лн, »(т) согласно формуле (29), задано выражением
COS ф(0)
1 — у2
cos (т ф- ср*0>) — Ay2 cos у (т — кп) +
+ и(1 +/?)б(т — 2т).
(30)
Подставим это выражение в формулы (18), (19) § 36. При-
нимая во внимание свойство (17) дельта-функции, находим
2ЛЛ
УР|(фГ”)= j‘ £(t)cos(t I- <р<0)) sin ф*°Ф/т = sin ф<0) cos ф*0> —
*0
—»2(1-/?2) ctg ф(0)^ ^(0) = 0. (31)
2 лп
лР2 (ф*0))= | s (т) sin (т + фУ’) cos Ф»0)<К — Jill—A.L = 2лпМг.
о
(32)
Мы ограничились случаем одинаковых дебалансов и приняли
параметр р, определенный в § 36, равным нулю.
Уравнение (31) определяет порождающую фазу ф <0) • Оно
имеет решение ф (0) = 0. Второй его корень, который при малых
_ л
т0 близок к — , не отвечает условиям существования одноудар-
ного режима, при < 0 этому корню соответствует безударное
движение, при со > 0 корпус прижат пружинами к ограничите-
лю и движение вообще отсутствует. Исключение составляет
система с нулевым зазором, £0 = 0. Уравнение (31) принимает
и этом случае вид
/ 1 . 2 1 jR f 1\ • . (0) . (0) f\ /О9\
1 -I--- Ф---D тту2 ;-2 sin Ф. cos ф! = 0, (33)
\ лп 1—1? 1 + /2 1 — у2/
следовательно, в этом частном случае синхронному решению
отвечают два значения: ф<0) = 0 и ф1°> = причем оба они
удовлетворяют условиям существования одноударного режима.
Уравнение (32) определяет поправку к синхронной частоте.
Как говорилось в § 36, оно является уравнением баланса мощ-
ности, причем в данном случае это достаточно наглядно, по-
IZ2 (1 —Р2\
скольку выражение —— есть не что иное, как записанная
в безразмерной форме величина потери кинетической энергии
при ударе.
Устойчивость синхронных решений, соответствующих най-
денным значениям фазы ф (0> , определяется, согласно сказан-
299
dPi (Ф<0>)
ному в § 36, знаком производной ——~Дифференцируя
левую часть уравнения (31) по ф(0) и подставляя в результат
С/о> = 0, получаем условие устойчивости синфазного вращения
дебалансов в виде
I
1 — у2
“2(1~/?2) ctg<₽l0) < 0;
2пп
(34)
при 10 = 0 в соответствии с уравнением
условие
I Л , 2 1 +/? f
1 — у2 \ лп 1 — R \ + f2
(33) оно переходит в
(35)
Противофазный режим устойчив при обратном знаке нера-
венства (35).
Рис. 109 представляет собой знакомый нам по предыдущему
параграфу график областей существования и устойчивости од-
ноударных периодических движе-
ний для системы с £0 = 0. На нем
показаны также области сущест-
вования и устойчивости синхрон-
но-синфазных режимов для обла-
стей Dti и П12, построенные в со-
ответствии с неравенством 135)
(заштрихованы). Характерно, что
для безударной вибрационной си-
стемы с одной степенью свободы
корпуса при у < 1 синхронизация
вообще отсутствует, тогда как на-
личие ударов приводит к появле-
нию областей синфазной синхро-
низации. Протяженность этих об-
ластей, в соответствии с общими
свойствами нелинейных колеба-
тельных систем, уменьшается с ростом п.
Как видно из графика, синфазная синхронизация возможна
лишь при достаточно больших значениях коэффициента восста-
новления, тогда как при работе реальных машин R обычно ле-
жит в пределах 0—0,2. Поэтому ударно-вибрационная машина
с одной степенью свободы рабочего органа, выполненная по
рассматриваемой схеме, будет неработоспособна из-за неустой-
чивости рабочего синфазного режима.
Аналогичным образом проводятся вычисления и для более
общего случая, когда рабочий орган машины обладает несколь-
кими степенями свободы, а число дебалансов больше двух.
Отметим, что если сравнивать ударно-колебательную и соответ-
ствующую ей безударную системы, то оказывается, что уравне
300
лия для фазы ф(0) и условия устойчивости совпадают, отлича-
ясь только наличием ударного слагаемого в первом случае. Это
подтверждается сопоставлением выражений (31) и (34) соот-
ветственно с формулами (20) и (25) § 36. Поэтому для системы,
изображенной на рис. 110, мы можем сразу написать уравнение
для фазы синхронизации ф<0):
(1 , е,е2 а'-т 1 \ . . (0) . (0)
------ 4--— ) sin ф, cos ф' —
1-Т? 1-т| 1 1-tV
- (36)
и условие устойчивости его решения ф(0> = 0:
1 _ + Е^. _ __1______ц2 (L- R2L сtg ф‘0) < о, (37)
1— Т1 1—т! J 1— ч1 2пп
примера § 36. Значе-
выполненных по схеме на
воспользовавшись результатами второго
ния параметров реальных машин,
рис. 110, практически всегда
удовлетворяют неравенству
Рис. 110
(37).
Подчеркнем, что критерий
устойчивости синхронных дви-
жений, сформулированный в
конце § 36, неприменим при
рассмотрении ударно-колеба-
тельных систем.
Значительный практический
интерес представляет подсчет
минимальной величины пуско-
вого момента двигателя, доста-
точной для обеспечения начала запуска центробежного вибро-
возбудителя. Начало запуска будем считать обеспеченным, если
двигатель прокрутит дебаланс на пол-оборота от крайнего ниж-
него положения и дебаланс при этом будет иметь угловую ско-
рость <р > 0. Полагая крутящие моменты двигателя Мд и сил
сопротивления Мс постоянными и пренебрегая перемещением кор-
пуса вибровозбудителя в начале запуска (это перемещение кор-
пуса облегчает запуск), можно написать следующее дифферен-
циальное уравнение запуска:
•^Ф + "WsintpА4г) — Мс, (Мд-~ Мс>0), (38)
где (р, т0, г — те же обозначения, что и при рассмотрении
схемы на рис. 106;
g — ускорение свободного падения.
301
Первый интеграл этого уравнения
• * 2
ф2 Ф О I тоЁг / > I . /ог>ч
-у- = — + —y-(cos<p — cos<p0) + —----------(ф —ф0). (39)
Пусть запуск производится от нижнего положения дебалан-
са, когда фо = 0. Тогда при достаточно малой разности АД— Л1,
первоначальное возрастание угловой скорости ф сменится ее
убыванием, вследствие того что момент веса дебаланса будет
превышать разность Мо — Мс. Для обеспечения начала запуска
необходимо, чтобы в конце убывания угловой скорости ее ми-
нимальное значение
Tmin >
(40)
Когда угловая скорость <р достигает минимума,
угловое
ускорение ф равно нулю, вследствие чего из уравнения (38)
получаем
Мд — Мс
sin <рт= —------,
где фт — угол поворота дебаланса, при котором достигается
л
Фт1П; этот угол должен лежать в интервале у
(41)
ф,п < л, так
как условием минимума ф является выполнение неравенства
<Рт =-------у- фmin COS ф;п > Q-
(42)
Подставив в интеграл
фо = 0, получим
(39) начальные значения ф0 = 0,
2mogr ср„
или, принимая во внимание равенство (41),
<Pm=tg-^L. (44)
Интересующее нас решение уравнения (44)
Фт = 2,33. (45)
Теперь из выражения (41) с учетом неравенства (40) по-
лучаем
Л4а >/Ис + sin фт, (46)
пли, поскольку sin фт = 0,725,
> Л1С + O,725mo^r. (J7)
302
;( Если полученная из этого неравенства величина Mg значи-
тельно превосходит пусковой момент двигателя, способного,
поддерживать установившиеся колебания машины, можно об-
легчить запуск, начиная его от верхнего положения дебалансов
или сбрасывая дебалансы от положения, близкого к верхнему,
и включая двигатель в нижнем положении дебаланса, когда он
под действием момента силы тяжести приобретает определен-
ную угловую скорость.
В последнем случае начальными условиями при запуске
будут ____________
Л / 2m0gr лМс
. Фо = О, Фо = у —j-------—
Подставив эти условия в интеграл (39) и учтя равенство (44),.
получим трансцендентное уравнение:
Решив это уравнение относительно g>m, можно установить Mg
по соотношению (46). Это значение пускового крутящего мо-
мента двигателя может быть заметно меньше, чем подсчитанное
по неравенству (47).
Наиболее легким является запуск с верхнего положения
дебалансов, когда <рт определяется уравнением
Фт + ctg-^-= л, (49)
корень которого, соответствующий минимуму угловой скорости,
фт = л; (50)
отсюда, на основании неравенства (46), условие запуска приоб-
ретает вид
Мд>Мс. (51)
§ 43. БАЛАНС МОЩНОСТИ УДАРНО-ВИБРАЦИОННОЙ МАШИНЫ
Анализ энергетического баланса произведем на примере
электрического вибромолота (рис. 111), который состоит из
ударной части /, подвешенной к наголовнику 4 при помощи
пружин 7, расположенных симметрично относительно осп х.
В ударную часть встроены два одинаковых симметрично распо-
ложенных асинхронных электродвигателя 8 с параллельными
осями. На концах валов роторов насажены дебалансы 2. Си-
стема центрирована, и самосинхронизация дебалансов обеспе-
чивает поступательные колебания ударной части вдоль оси х.
Эти колебания перемежаются ударами бойка 3 о наковальню 5
наголовника, который жестко прикреплен к погружаемой свае 6.
Мощность Najl, потребляемая электродвигателями вибромо-
лота из сети, идет на покрытие: потерь кинетической энергии
303
поступательного движения корпуса при ударах (мощность ,¥() и
движения дебалансов при ударах (мощность N[ )*; диссипатив-
ных сопротивлений колебаниям корпуса (мощность Лг2); дисси-
пативных сопротивлений вращению дебалансов (мощность Лг3);
дополнительных электрических потерь, вызванных скачками
угловой скорости вращения дебалансов при ударах (мощность
N'4 ); дополнительных электрических потерь, вызванных коле-
баниями угловой скорости вращения дебалансов в промежутках
между ударами (мощность N4)~, нор-
мальных электрических потерь (мощ-
ность N5).
Мощность N[ при одноударных ре-
жимах определяется выражением
(и2 —со
Ni =— -
Рис. Ill
(1)
4лп
где /71] — масса корпуса;
v — скорость его движения;
1 й
— — порядок субгармонических
п
колебаний корпуса.
Пренебрегая диссипативными со-
противлениями колебаниям, подвиж-
ностью сван и неравномерностью вра-
щения дебалансов и принимая равным
нулю начальный зазор х0 между бойком и наковальней, а также
используя соотношение при ударе
v+ = —
(2)
где R — коэффициент восстановления абсолютной скорости при
ударе **, получим для наибольшей скорости перед ударом V-
выражение (6) § 42
2m„rco
(1 — R) ("71-1- '"о) ( 1 — )
где т0—масса дебалансов;
со — средняя угловая скорость их вращения;
г — эксцентриситет масс дебалансов относительно осей
вращения.
* Корпусом будем называть все жестко связанные элементы ударной
части, движущиеся поступательно, дебалансом — вращающиеся элементы
(собственно дебалансы с роторами).
** Этот коэффициент совпадает с ньютоновым коэффициентом в случае
неподвижного ограничителя.
304
Подставив выражения (2), (3) в равенство (1), получаем
д^ __________________(1 + R) mx (mor)2co3_
л (1 — R) п [ 1 — -±- ] (ту + т0)2
Мощность 2V" определяется выражением
N"x = [т° ~ “*+*+ т° ~ ии+* + 7,1 ~ “+^’
где их и tiy — проекции скоростей дебалансов на ось х и пер-
пендикулярную к ней ось у;
Jo — центральный момент инерции дебаланса.
При наиболее сильных ударах радиусы-векторы г дебалансов
направлены вдоль оси у, и поэтому иу_ — иу+ — 0.
Разность можно приближенно представить выра-
жением
о>£_ — = — 2соДо>,
где Ло> — скачок угловой скорости дебалансов при ударе.
Отсюда на основании формулы (8) § 42 находим
со2 -со2 =. ^2(1+*)“2 , (6)
(*-к) р-тт
\ 4п2 /
гДе а2 =--------. (7)
Но + mcr2)(mx + т0)
На основании этого, а также первого равенства (4) § 42 мо-
жем записать:
дГ" ______________(1 + R) т0 (mor)2co3_______
л (1 — R) п — —Ь-(тх + га,,)2 Л + \
\ 4п2 } . \ Jo ]
Складывая равенства (4) и (8), получаем
jVx = jVj + N'i = (1 +7?) (mi + Hmo)(mor)2<o3 f (g)
л(1—R)n^l — (mi + mo)2
где
Ц =---------------------. (10)
Мощность M2 подсчитаем, полагая диссипативное сопротив-
ление колебаниям пропорциональным абсолютной скорости
корпуса:
2г.п
h “
N2=-^-\v*dt, (11)
2пп J
о
где Ь — коэффициент сопротивления.
20 Заказ 150 205
Отсюда находим
Л'2 = kv2 b.
(12)
В последнем выражении kv2 представляет собой среднее
значение квадрата скорости корпуса.
При малых затуханиях можно в соответствии с табл. 1 и фор-
мулами (29), (43) § 6 принимать
b = fl (тг + т„) (О
2лп
(13)
где fl — логарифмический декремент колебаний.
На основании этого, а также равенства (3), получаем
N ___ 2ЛА (т0г)2ы3
2 — / 1 \2
л (1 — R) п 1 — —- («! + /По)
\ 4п2 /
(14)
Мощность Л\3 можно определить по формуле
Ла = (15)
где f— условный коэффициент трения в подшипниках деба-
лансов;
Г1 — условный радиус цапф подшипников.
/Мощность NMex, идущая на покрытие механических потерь,
представляет собой сумму
^ = ^i+^2 + M3. (16)
Мощность рекомендуется подсчитывать по формуле
й.Аы
Л4 —--------1— NMex,
П(х)
(17)
откуда на основании равенства (8) § 42
2a2^(l+R) ..
4 = -------------j— ™мех.
(l-R)n 1- —
\ 4n2 )
(18)
Поскольку вибромолот в промежутках между ударами пред-
ставляет собой систему, находящуюся в зарезонансной области
(обычно далеко за безударным резонансом), рекомендуется
мощность N” подсчитывать по формуле
N; = NMext
(О
(19)
где (р2а — амплитуда второй гармоники крутильных колебаний
дебаланса.
306
В соответствии с формулой (22) § 33 можно принять
N<^±-tfk2NMex. (20)
4
Мощность М4, идущая на покрытие дополнительных электри-
ческих потерь,
М4 = М4 + М4. (21)
Номинальная мощность двигателя определяется суммой
= + (22)
Мощность N5 подсчитывается по формуле
(23)
П
где т] — номинальный коэффициент полезного действия дви-
гателя.
Рис. 112
Суммарная активная электрическая мощность N3Jl, потреб-
ляемая двигателем из сети,
Мэл — ^ном + -^5 (24)
или на основании формулы (23)
= (25)
Значения коэффициентов k, f, k}, k2 берутся на основании
опыта.
На рис. 112 приведен примерный баланс мощности вибро-
молота.
2о*
Глава VIII
ВИБРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 44. ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИИ НА ДИССИПАТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ОБРАБАТЫВАЕМОЙ СРЕДЫ
Наложение вибрации часто вызывает изменения характера
взаимодействия рабочего органа машины с внешней средой и
поведения этой среды. Эти изменения могут возникать как из-за
кажущихся, так и из-за истинных на-
рушений свойств системы, вызван-
ных вибрацией.
Рассмотрим прежде всего влия-
ние вибрации на трение рабочего
органа машины о среду. Давно из-
вестно видимое снижение трения под
действием вибрации или скольжения
одного тела по другому. Достаточно
назвать такие явления, как самоот-
вннчнвание гаек на вибрирующих
частях различных машин и занос ав-
томобилей при торможении, чтобы
оценить серьезность вредного аспек-
та этой проблемы. Указанные эффек-
ты нашли полезное использование не
только в вибрационных машинах, по
и в некоторых измерительных, испы-
тательных и регулирующих устройствах, где, например, для сни-
жения трения вала о подшипники в его медленных рабочих дви-
жениях подшипники приводятся в быстрое вращательное движе-
ние. Наиболее полное теоретическое исследование коэффициен-
тов трения при вибрации выполнено II. И. Блехманом и
Г. 10. Джанелидзе.
Обследуем влияние относительного движения двух трущихся
друг о друга тел на видимый (иногда его называют кажущимся
или эффективным) коэффициент трения. Пусть тело, обозначен-
ное точкой А, скользит по другому телу в плоскости рис. 113,
имея в данный момент скорость v. Это движение может поддер-
живаться действием какой-то не интересующей нас активной
308
силы или происходит по инерции. Сообщим телу А мгновенный
импульс в положительном направлении осп х, который вызовет
приращение скорости и тела А, и в это же мгновение t = 0 при-
ложим к телу А такую силу Q в направлении и (т. е. в положи-
тельном направлении оси х), которая в окрестности t = 0 обес-
печивает постоянство и. Следовательно, необходимо, чтобы
Q = F*, где F* — модуль видимой силы трения, которую должна
преодолевать сила Q.
На рис. 113 и= AC, v — АВ,^ С АВ = ф. Проведем вектор
результирующей скорости w = AD. Действительная сила тре-
ния F, приложенная к телу А, направлена вдоль этого вектора
навстречу ему.
Разложив силу F на две составляющие F* и F**, направлен-
ные соответственно вдоль и и v, получаем следующее соотно-
шение:
F* = —F. (1)
w
Поскольку
w = У V2 + и2 + 2vu cos ф, (2)
можем записать:
F* = и --------------F. (3)
У v2 + и2 + 2vu cos <р
Так как сила трения пропорциональна коэффициенту трения,
F = fN, F* = ДМ (4)
где f, Д—действительный и видимый (кажущийся, эффектив-
ный) коэффициенты трения скольжения;
N — сила нормального давления.
С учетом равенств (4) выражение (3) получает вид
У V2 + и2 + 2ш cos <р
Угол ф может быть любь!м, но поскольку косинус — четнйя
функция, достаточно рассматривать пределы О Ф л.
При следующих характерных значениях угла ф коэффици-
ент Д выражается особенно просто:
Г = -7-А (Ф = 0);
V + и
Г И г / Л \
/ = г— f’ ф = — ;
У>-|-и2 \ 2 д
Д /, (ф = л, U<o).
V — и j
(6)
309
При — <С 1 для любых углов <р имеем
f* —- 11 f-
(7)
v
здесь видимый коэффициент трения, а следовательно, и видимая
сила трения, становятся пропорциональными скорости и. Сухое
трение как бы становится линейно вязким. Вот почему в таких
случаях нередко применяют термин «линеаризация трения».
В диапазоне 0 Q sC F будет поддерживаться равномерное
du п
движение в том смысле, что — =0, причем каждому значе-
dt
нию Q будет соответствовать определенная скорость и согласно
формуле (3). Если же Q > F, движение будет ускоренным.
du „
т. е. — > 0.
dt
Предположим теперь, что на том же рис. 113 тело А, масса
которого пренебрежимо мала, совершает синусоидальные коле-
бания в направлении v, и скорость его изменяется по закону
v = va sin ©/,
причем положительное направление колебаний выбираем
образом, чтобы угол лежал в пределах 0 гС ф
в соответствии с равенством (3)
Q = Ftl =.
у и2 sin2coZ + и2 + 2vau cos <р sin со/
(8)
таким
Тогда
(9)
Решая это уравнение относительно скорости и, находим
и =
o„Q2 I / , , A2 — Q2 . . ,
——— 1 / cos2 ф -4-------------------sin at + cos w sin at
F2 — Q2 \ T V Q2
(10)
Следовательно, под действием силы Q тело А совершает
в направлении оси х движение, скорость которого состоит из
пульсирующей и колеблющейся составляющих. Поскольку
Q < F, «амплитуду» пульсирующей составляющей больше ам-
плитуды колеблющейся составляющей, вследствие чего скорость
„ гг 2 л
и все время остается неотрицательной. Два раза за период —
скорость и становится равной нулю. При выводе зависимости
(10) предполагается равенство коэффициентов трения скольже-
ния и трения покоя. Средняя скорость иср движения тела А под
действием силы Q
2к
СО
ucp = — f iidt.
ср 2я J
о
310
В результате интегрирования этого выражения получаем
_ 2vaQ2
ср л (f2 — Q2)
Для характерных значений угла <р
2t>aQ/'
и,„ =---------- при
р л(Р2—Q2)
2t>aQ
Ucn =----, при
ср л VР — Q2
cos2 <р
f2 — Q2 .
Q2
находим
<р = О,
л
<р = —
2
(Н)
(12)
В последнем случае колебательная составляющая отсут-
ствует.
Интересно отметить, что, как показывают зависимости (12),
в случае продольной наложенной вибрации средняя скорость
иср при прочих равных условиях
больше, чем в случае попе-
речной вибрации, в отношении
F : V F2 — Q2.
Если к телу 1 (рис. 114), на-
ходящемуся на плоскости 2, при-
ложены сила нормального давле-
ния N и колеблющаяся в том же ''///7/////////777/7777
направлении сила Фа cos со/, то
При УСЛОВИИ Фа гС N ВИДИМЫЙ КО- рнс J J4
эффицпент трения покоя (равный
отношению минимальной нару-
шающей покой силы, параллельной плоскости 2, к среднему
нормальному давлению N) определится выражением
^ = f.(‘--V-)- <‘3)
где f] — действительный коэффициент трения покоя.
В рассмотренных случаях действительный коэффициент тре-
ния скольжения оставался постоянным. Поэтому энергия, рас-
сеиваемая при безотрывном поступательном движении тела по
плоскости при любой форме траектории, общая длина которой s,
определяется зависимостью
£= Jf Assign sds, (14)
о
где f — действительный коэффициент трения скольжения;
NM — мгновенное значение равнодействующей сил нормаль-
ного давления.
Встречаются случаи, когда под действием вибрации изме-
няется действительный коэффициент трения вследствие вызы-
311
ваемых вибрацией физико-механических или физико-химиче-
ских процессов, например, вследствие выделения жидкой фазы
на трущихся поверхностях.
Как правило, это изменение коэффициента трения направле-
но в сторону уменьшения. В таких случаях снижается рассеивае-
мая энергия и еще значительней уменьшаются видимые коэффи-
циенты трения.
Давно было замечено, что сыпучие среды, состоящие из
твердых зерен, пространство между которыми заполнено жид-
костью или газом, начинают течь под действием сотрясений или
толчков. Отмечались, например, катастрофические наруше-
ния устойчивости насыпных дамб при землетрясениях и
взрывах.
В определенных случаях сухая сыпучая среда, подвергаемая
вибрированию, приобретает свойства, подобные свойствам вяз-
кой жидкости. Иногда в этой связи говорят о псевдоожижении
сыпучей среды.
Такие эффекты легко объясняются сказанным выше о сниже-
нии видимых коэффициентов трения. Чем больше достигаемые
при вибрации относительные скорости проскальзывания зерен
среды, тем резче проявляются эффекты псевдоожижения.
Многие среды, которые при весьма малых скоростях дефор-
мации сдвига обладают только пластическими или упругими
свойствами (или теми и другими), при повышении скорости
сдвига начинают проявлять вязкие свойства, т. е. их сопротивле-
ние деформации начинает зависеть от скорости деформации.
Такого рода нелинейную вязкость, величина которой зависит от
скорости деформации (причем в общем случае эта вязкость не
равна нулю при нулевой скорости деформации), принято назы-
вать структурной вязкостью.
Структурная вязкость зависит только от скорости деформа-
ции в данный момент. Если же изменения вязкости запаздывают
по отношению к изменениям скорости деформации, принято го-
ворить не о структурной вязкости, а о тиксотропии.
Свойствами структурной вязкости или тиксотропии обладают
в той или иной степени такие среды, как коллоидные растворы,
грунтовые массы (в особенности глинистые, в которых частицы
диспергированы до коллоидных размеров), бетонные смеси
пластмассы.
Эффекты структурной вязкости и даже тиксотропии роднит
с рассмотренным выше эффектом снижения видимого коэффи-
циента трения скольжения то принципиальное обстоятельство,
что они порождаются проскальзыванием одного тела (или одно-
го слоя вещества) по другому. Для таких сред, как не очень
влажные грунты и не слишком подвижные бетонные смеси
главную роль играет, быть может, эффект снижения видимого
коэффициента трения при наложении вибрации.
312
§ 45. ВИБРОПОГРУЖЕНИЕ И ВИБРОТРАМБОВАНИЕ
Цели математического исследования вибрационного погру-
жения сваи в грунт или извлечения из грунта состоят в опреде-
лении максимальной глубины забивки сваи, времени погруже-
ния на заданную глубину и т. д. Процесс вибрационного
погружения определяется свойствами грунта как сыпучей или
многофазной сплошной среды. Математическое описание этих
свойств при больших деформациях, испытываемых грунтом
в процессе перемещения в нем сваи, и решение точных уравне-
ний, описывающих движение сваи и грунта вокруг нее, было
бы чрезвычайно сложным делом. Поэтому широко применяется
феноменологический подход к задачам вибрационного погруже-
ния- В динамической модели процесса свая рассматривается как
абсолютно жесткий стержень, а грунт заменяется некоторой
системой масс, пружин и демпферов сухого или вязкого трения,
подбираемых таким образом, чтобы модель удовлетворительно
описывала те или иные качественные особенности процесса и
обеспечивала количественное соответствие с известными экспе-
риментальными данными.
Разумеется, каждая из моделей может объяснить лишь
ограниченный круг явлений, происходящих при погружении.
Обычно чем шире этот круг, тем сложнее оказывается модель
Однако существенная неоднородность и большое разнообразие
свойств грунта приводят к тому, что экспериментальные данные
чаще всего носят весьма приближенный характер. В силу этого
и требования, предъявляемые к точности теоретических резуль-
татов, тоже не очень высоки. Это позволяет ограничиться доста-
точно простыми моделями, дающими обозримые резуль-
таты.
При вибрационном или ударно-вибрационном погружении
полная динамическая модель системы должна включать в себя
и динамическую модель машины. Однако фактически средняя
скорость погружения сваи мала по сравнению с пиковым значе-
нием колебательной скорости рабочего органа машины, когда он
жестко не соединен со сваей, и усложнение задачи за счет
объединенного рассмотрения машины со сваей, учитывая при-
ближенный характер теории, не является оправданным. В том.
же случае, когда корпус машины, например, вибропогружателя,
жестко соединяется со сваей, вопрос об усложнении расчетной
схемы вообще не возникает. Таким образом, в задачах вибра-
ционного погружения можно рассматривать движение сваи под
воздействием заданных внешних сил и сил сопротивления
грунта.
Силы сопротивления грунта перемещению сваи не являются
постоянными, а зависят от глубины, на которую погрузилась
свая. Поэтому и параметры модели, хорошо отображающей
313
реальный процесс, должны меняться по мере погружения. Реше-
ние можно сильно упростить, воспользовавшись тем обстоятель-
ством, что перемещение сван за цикл намного меньше тех
расстояний, на протяжении которых становится заметным изме-
нение сил сопротивления.
Обозначим глубину погружения сваи через х, параметры
модели, являющиеся функциями х,— через Д., (s = 1, 2,..., п).
Определим для точки х — х0 интервал Дх0, для которого выпол-
няются соотношения
« I (*о) |. (S
1,2,.. ,,п).
(1)
.т. ~ Дх.,
Тогда в интервале х0----~ < х < хо ч—
шой погрешности заменить параметры fs их
ке х0 и, решив полученные уравнения, найти
можно без боль-
значениями в точ-
среднюю скорость
или среднее ускорение погружения в этом интервале. Такое уп-
рощение допустимо, если абсолютная величина перемещения
сваи за цикл не превосходит интервала Ах0, что выполняется
практически всегда.
Авторы большинства работ, посвященных теории вибрацион-
ного погружения, обычно исходят из перечисленных допущении.
II. И. Блехман и Г. Ю. Джанелидзе привели краткий обзор
наиболее важных работ и рассмотрели две модели сопротивле-
ния грунта — упруго-пластическую и чисто пластическую.
В зависимости от значений параметров в системе могут уста
новиться три типа движения: ускоренное — со средним ускоре-
нием, отличным от нуля; регулярное, происходящее с некоторой
средней скоростью, и чисто колебательное, без погружения.
Обычно первый режим имеет место только в начале погружения,
когда силы сопротивления сравнительно невелики. Среднюю
скорость, характеризующую второй режим при глубине погру-
жения, близкой к х, обозначим через о(х). Пусть Хтш— мини-
мальное значение глубины погружения, при которой начинается
регулярный режим; хтах — значение, при котором скорость о(х)
обращается в нуль. Ясно, что хтах есть максимальная глубина,
на которую может быть погружена свая при заданных значениях
вынуждающих сил. Если Q(x)—максимальное значение сум-
марной силы сопротивления при данном х, a Fmax — максималь-
ное значение вынуждающей силы F(t), включая постоянную
составляющую, то величина хтах может быть определена из
уравнения
QUmax) = Fmax. (2)
Пусть зависимость средней скорости погружения от глубины
уже известна. Тогда время to, в течение которого осуществляет -
314
ся погружение от х = Xmin до предельной глубины хтах, дается
выражением
*min
Заметим, что величина максимальной вынуждающей силы
Fmax должна назначаться исходя из несущей способности сваи,
т- е. из предельной нагрузки, которую может выдержать свая.
При забивке сваи с помощью вибропогружателя сила F(t)
имеет вид
F(0 = A1g + P0 + Facos©Z, (4)
где М — масса сваи с вибропогружателем;
Ро — величина статического пригруза;
Fa и co — соответственно амплитуда и частота вынуждающей
силы, развиваемой вибропогружателем.
Пусть забивка осуществляется пружинным вибромолотом.
В соответствии с принятыми допущениями будем считать, что
движение сваи не влияет на движение ударной части. Если с —
жесткость пружинной подвески, a z(t) —перемещение ударной
части, отсчитываемое от ее положения равновесия, то сила F(t)
в промежутке между ударами имеет вид
F(t) = Mg + P0 + cz(t). (5)
Третий член, представляющий собой вибрационное воздей-
ствие, передаваемое свае через пружины в промежутке между
ударами, согласно результатам § 41 можно записать как
с-^
тсо2
— A cos у (соГ — пп) ----—- cos со/ .
1 — у2
В моменты ударов t = — (k = 1, 2,...) свая получает мгно-
СО
венные приращения импульса, величина которых приближенно
определяется выражением
М (%+ — х_) = т--^- и (1 R).
ты
(6)
(7)
Воспользовавшись введенной в § 42 дельта-функцией, запи-
шем выражение для F (t) в случае ударно-вибрационного
погружения в виде
F(t) = Mg + P0 + cz(t) + ^(1 + /?) Tg Л +
СО |_ \ <0 /
\ <0 )
(8)
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных моделей грун-
та. На рис. 115 показана динамическая модель, отражающая
основные особенности процесса погружения. Свая 1, представ-
315
ляющая собой абсолютно жесткий стержень, зажата колодка-
ми 2, подвешенными на пружинах 3 жесткости с,. Между сваей
и колодками действует сила сухого трения, абсолютная величи-
на которой равна . ЛАасса колодок принимается равной нулю.
Таким способом моделируются силы, приложенные к боковой
поверхности сваи. Сила лобового сопротивления, имеющая ана-
логичный характер, имитирует-
ся пружиной 4 жесткости с%,
расположенной под торцом
сваи и опирающейся на колод-
ку 5, которая скользит по шеро-
ховатой поверхности, преодо-
левая силу сухого трения, по
абсолютной величине рав-
ную Q°.
Обозначим силу бокового
сопротивления через Qt, силу
лобового сопротивления — через Q2. На рис. 116 представлено их
изменение при движении сваи, начиная с того момента, когда
все пружины находятся в нейтральном положении, а торец сваи
соприкасается с нижней пружиной. Пружина с2 работает только
на сжатие, в соответствии с тем, что лобовое сопротивление всег-
да отрицательно. Поэтому на графике перемещения можно отме-
тить интервалы (^i < t < /2, 4 < ^ < h}, в которых лобовое со-
противление отсутствует.
316
Уравнение движения сваи можно записать следующим
разом:
где
Мх — Qx -j- Qa + F (/),
<2?
— c, (x — at) при | x — d, | <-------------,
__ ci
Q°i
— Q°. sign x при | x — a* | >-----------;
Cl
<2°
— c2(x — x2) при 0 < x — bj <-----------------,
c2
i /nO i . ^2
Q2 при x — b:> —,
c2
О при x — bj < 0.
об-
(9)
(10)
(И)
Через щ обозначена координата очередного положения сван,
в котором сила Qt равна нулю, после того как скорость сваи
обратилась в нуль на горизонтальном участке силы Qj. Анало-
гичный смысл имеет и величина bj, входящая в определение си-
лы Q2. В такой форме уравнение (9) приведено II. И. Блехма-
ном и Г. 10. Джанелидзе. За чередованием точек аг- и bj можно
проследить по графикам на рис. 116.
Таким образом, движение распадается на ряд этапов, при
переходах между которыми меняется конкретный вид уравне-
ния (9). Метод припасовывания сводит задачу к решению си-
стем сложных трансцендентных уравнений. Весьма сложным
оказывается и определение условий существования и устойчиво-
сти решений. В рассматриваемой модели даже простейшие
режимы движения с трудом поддаются аналитическому иссле-
дованию. Эффективным средством изучения этой системы ока-
зывается прямое интегрирование уравнения (9) с помощью
вычислительных машин.
Задача вибровыдергивания отличается, во-первых, измене-
нием знака усилия пригрузки Ро; кроме того, меняется знак
ударного импульса в формуле (8); во-вторых, в уравнении (9)
отсутствует сила лобового сопротивления Q2.
Некоторые данные о характере движения сваи могут быть
получены и без интегрирования уравнения (9). II. II. Блехман
и Г. 10. Джанелидзе приводят достаточные, а в ряде случаев
необходимые и достаточные условия существования ускорен-
ных. регулярных и колебательных режимов движения, для ви-
брационного погружения и выдергивания. Так, установлено, что
в случае вибровыдергивания статическое усилие—Ро должно
удовлетворять неравенству
Po>Q? + Mg- (12)
11Иа2— Су |
317
тогда как при чисто статическом извлечении должно быть
Л) > Q? + Mg. Следовательно, наличие достаточно интенсив-
ных вибраций приводит к существенному уменьшению необходи-
мого статического усилия.
Значительно более простой оказывается модель, в которой
упругие участки сил сопротивления отсутствуют. В этом случае
выражения (10) и (11) для сил сопротивления заменяются
следующими:
Qi = — Qi sign х,
— Q2 при х > 0, х > хт,
0 при х < 0 или х < хт,
(13)
где хт — наибольшее значение х, достигнутое до рассматривае-
мого момента времени.
Такое упрощение применимо во многих случаях, в особенно-
сти для несвязных грунтов.
Эта модель также рассмотрена II. II. Блехманом и
Г. Ю. Джанелидзе. Ими получены необходимые и достаточные
условия существования и устойчивости различных режимов дви-
жения. Установлено, что погружение сваи возможно только при
условии, что вес установки вместе со статическим пригрузом
превосходит половину силы лобового сопротивления Q°,
Если в выражении (8) для силы F(I) при ударно-вибрацион-
ном погружении пренебречь членом cz(t), что вполне допустимо
при малых жесткостях пружинной подвески, то задача о погру-
жении в грунт с чисто пластическим сопротивлением становится
элементарной. Действительно, в этом случае возможно движе-
ние лишь в одном направлении, х 0, и уравнение (9) прини-
мает вид
= + (14)
Приращение импульса сваи при ударе дается выражени-
ем (7). Обозначим __— через —чеРез ^Хг--
„ . соДхп
Если а > ------то погружение происходит с остановками,
2лп
и его средняя скорость равна
у = (°(Дхо)г. (15)
2лпа
„ соАл'о
При а < -—— имеет место ускоренный режим со средним
2лп
ускорением, равным
16)
2лп v ’
318
В ряде работ изучено ударно-вибрационное погружение в.
грунт с упруго-пластическим сопротивлением при наличии толь-
ко бокового или только лобового сопротивления. Рассмотрение
обычно проводится на основе метода точечных отображений с
использованием аналоговых или цифровых вычислительных
машин. Практическое использование результатов, полученных'
на основе той или иной модели сопротивления грунта, обуслов-
лено наличием надежных экспериментальных данных. В ряде
случаев, особенно при погружении длинных свай, существенную
роль начинает играть волновой характер распространения де-
формаций по свае и рассмотренные выше модели оказываются
неприменимыми.
Необходимо подчеркнуть принципиальное различие между
вибрационным и ударно-вибрационным погружением (или вы-
дергиванием). Вибрационное погружение при помощи жестко
прикрепляемого к свае вибровозбудителя возможно только в
тех случаях, когда имеется достаточная постоянная составляю-
щая приложенных к свае сил в направлении погружения. Такая
постоянная составляющая может появиться даже при отсут
ствии веса или иных статических сил. Тогда ее возникновение
является следствием анизотропии сил сопротивления, когда со-
противления при движении в одну сторону превышают в сред-
нем сопротивления при движении в противоположную сторону.
По существу, при вибрационном погружении (или выдергива-
нии) направленное перемещение достигается действием указан-
ной постоянной составляющей. Вибрация же только снижает
видимые или действительные сопротивления движению или реа-
лизует упомянутую анизотропию сил сопротивления.
Ударно-вибрационное погружение при помощи вибровозбу-
дителя, соединенного со сваей пружинами и наносящего по ней
удары своим корпусом, возможно при отсутствии постоянной
составляющей сил, приложенных к системе вибровозбудитель —
свая, и даже в направлении, противоположном постоянной со-
ставляющей (если она не слишком велика). Необходимым ус-
ловием ударно-вибрационного погружения является наличие
достаточных сил трения сваи о грунт. По существу при ударно-
вибрационном погружении (и выдергивании) движущей силой
является указанная сила трения. Ударно-колебательное движе-
ние вибровозбудителя, приводящее к асимметрии равнодей-
ствующей сил, приложенных к свае, дает возможность силе-
трения стать движущей силой. К подобным результатам мог бы
привести жестко связанный со сваей возбудитель, генерирую-
щий несинусоидальную силу, у которой разность модулей мак-
симума и минимума достаточно велика.
Задача схематизации процесса вибротрамбования имеет
много общего с задачей схематизации процессов вибрационного
и ударно-вибрационного погружения, поскольку во всех этих
319
случаях речь идет о взаимодействии абсолютно твердого тела со
сплошной средой — грунтом. Чисто вибрационный способ уплот-
нения, при котором рабочий орган грунтоуплотняющей машины
непрерывно находится в контакте с грунтом, сравнительно
малоэффективен. Поэтому в дальнейшем будет идти речь только
об ударно-вибрационном способе уплотнения.
Движение рабочего органа ударно-вибрационной грунтоуп-
лотняющей машины состоит из двух этапов: движения в воздухе
и движения на грунте. Самая простая идеализация второго эта-
па уже была по существу использована в § 41, где мы рассмот-
рели движение ударно-вибрационной трамбовки с мгновенными
ударами о недеформируемый ограничитель. Такая схема при-
годна лишь при описании работы машины на чрезвычайно
жестких основаниях. В общем же случае предположение о мгно-
венности взаимодействия с грунтом оказывается слишком
грубым и приводит к значительным расхождениям с экспери-
ментом.
Схема процесса уплотнения грунта должна, во-первых, опи-
сывать изменение физических свойств грунта в течение трамбо-
вания и давать объективную оценку качества уплотнения.
Во-вторых, она должна обеспечить получение правильных урав-
нений движения трамбующей машины.
Первое требование может быть последовательно удовлетво-
рено путем рассмотрения грунта как сплошной среды, обладаю-
щей упруго-пластическими свойствами. Такой подход позволяет
найти изменение плотности грунта после прохождения по нему
ударной волны, оценить размеры области, в которой происходит
уплотнение, и количество ударов, необходимое для достижения
нужного эффекта. Пример такого подхода, согласованного с
опытными данными, можно найти в работе С. С. Григоряна.
Однако при изучении динамики трамбующей машины такой
подход приводит к значительным трудностям: во время контак-
та уравнение движения машины служит граничным условием
для уравнения, описывающего распространение волн в грунте.
В этом случае гораздо удобнее описать грунт посредством
какой-либо динамической модели, подобно тому, как это было
сделано при рассмотрении вибропогружения. Разумеется, вид
модели и ее параметры должны быть согласованы с картиной
процесса уплотнения, полученной путем точного рассмотрения
и экспериментально.
Схематически вибрационную трамбовку можно представить
в виде твердого тела, которое совершает колебательное движе-
ние под действием приложенной к нему синусоидальной вынуж-
дающей силы. Колебательное двгокение трамбовки в вертикаль-
ном направлении обычно сопровождается перемещением в
горизонтальном направлении,с не равной нулю средней скоро-
стью. Для простоты мы рассматриваем уплотнение горизонталь-
320
ных поверхностей; переход к рассмотрению уплотнения откосов
не вносит ничего принципиально нового. Трамбование происхо-
дит примерно так, как показано на рис. 117; перед каждым
ударом рабочий орган несколько смещается в сторону неуплот-
ненного грунта и потому всегда оказывается в одних и тех же
условиях при неизменных свойствах грунта.
Динамическая модель, достаточно хорошо отображающая
такой процесс, представлена на рис. 118. Поскольку размеры
рабочего органа 1 трамбовки в плане во много раз превосходят
величину осадки грунта за удар, естественно пренебречь силами
бокового сопротивления грунта и принимать во внимание толь-
ко силы лобового сопротивления. Лобовое сопротивление моде-
Рис. 117 Рис. 118
лпруется пружиной 3 жесткости с2, которая опирается на колод-
ку 4, удерживаемую силой сухого трения на направляющих
поверхностях. Обозначим массу рабочего органа через М и на-
правим ось х вертикально вверх; тогда движение рабочего орга-
на будет описываться уравнением
Мх = —; Mg Q2 + Fa cos at,
(17)
которое отличается от уравнения (9) направлением осп х, а
также тем, что Ро= 0, Qj = 0. Сила Q2 дается выражением
— с2(х — 6.) при 0 > х — Ь=>------------—
Ci
по ,
Q‘2 при X ------------ Ь:<_---------
Ci
(18)
0 при
х — Ь}> 0,
отличающимся от (И) только знаками. Величина bj принимает
здесь два значения: Ьо = 0 перед началом контакта и на первом
Q°
участке совместного движения; bi = хт + — после остановки
Ci
на пластическом участке силы сопротивления, где хт — макси-
21 Заказ 150
321
мальная величина смещения рабочего органа вниз. После каж-
дого удара система, моделирующая грунт, возвращается в на-
чальное состояние, что схематически показано на рис. 118.
Примерный график перемещения трамбовки изображен на
рис. 119, где жирной линией изображено движение в грунте,
тонкой — в воздухе.
В ряде случаев делаются попытки учесть вовлеченную в
движение массу грунта. С этой целью площадке 2 (рис. 118).
присоединенной к верхнему концу пружины 3, приписывается
переменная масса, пропорциональная величине смещения рабо
чего органа вниз от поверхности х = 0, называемая приведенной
массой. Такое видоизменение схемы делает уравнения движения
• в контакте с грунтом нелинейны-
х ми и сильно усложняет решение.
~Х /^~\ Существуют другие динамические
\ / \ модели, имитирующие свойства
\ / \ / грунта. Ясно, однако, что надле-
\ / \ / жащпм выбором параметров
______I /_________\ / можно добиться совпадения ре-
t зультатов, даваемых любой прав-
доподобной схемой, с опытными
Рис. 119 данными.
Поэтому можно предложить
следующий способ учета влияния свойств грунта на движение
трамбовки. Будем интересоваться только конечным результатом
взаимодействия рабочего органа с грунтом, не рассматривая сам
процесс взаимодействия. Этот результат можно охарактеризо-
вать одновременным заданием трех величин: продолжительности
взаимодействия А/, а также положения и скорости рабочего орга-
на в момент отрыва. Все эти параметры легко поддаются экспе-
риментальному определению. Заметим, что координата рабочего
органа в момент отрыва есть Ь\. Эта величина обычно мала по
сравнению с размахом колебаний рабочего органа при движении
в воздухе, и ее без большой погрешности можно положить рав-
ной нулю. Скорость после отрыва удобно задавать, выражая ее
через скорость в момент начала взаимодействия. Если /0 — мо-
мент начала взаимодействия, то положим
+А/) = — Rx(t0).
(19)
Поскольку всегда x(C) С 0, x(t0 + \t) > 0, то коэффициент
R неотрицателен. Он подобен ньютонову коэффициенту восста-
новления скорости классической теории удара и переходит в
него при V->0. Эта аналогия не является исчерпывающей.
Действительно, ограничение R 1 в данном случае не представ
ляется логически необходимым. Однако экспериментальные
значения R всегда удовлетворяют этому условию.
322
Итак, мы пришли к следующей идеализации рабочего про-
цесса трамбующей машины. При х > 0 ее движение описывается
уравнением
Мх = — Mg + Fa cos со/. (20)
Попав в некоторый момент времени t = to на поверхность
ограничителя х = 0 со скоростью х(/0), она отрывается от этой
поверхности через промежуток времени Д/ со скоростью, зада-
ваемой соотношением (19). В безразмерных переменных (4)
§ 41 уравнение (20) совпадает с уравнением (31) § 41, а усло-
вие (19) принимает вид
+ (21)
где Дт = <»Д/.
Динамика этой системы изуче-
на А. Д. Дороховой и С. И. Лу-
комским. Характер периодических
движений и картина их чередова-
ния в пространстве параметров
остается той же, что и для систе-
мы с мгновенными ударами, одна-
ко размеры и расположение обла-
стей существования и устойчиво-
сти меняются. На рис. 120 приве-
дены области £)и, £)|2, £>1з в пло-
скости параметров р, R для
Дт = -—. Сопоставление этого графика
с рис. 105 для Дт = 0 по-
казывает, что учет продолжительности взаимодействия приводит
к смещению границ и общему расширению областей существова-
ния и устойчивости.
При условии, что коэффициенты и Дт выбраны правильно,
результаты такого рассмотрения позволяют произвести обосно-
ванный выбор параметров трамбующей машины. В других
схемах ударно-вибрационных машин учет продолжительности
взаимодействия приводит к аналогичным результатам. Приме-
ром может служить исследование ударно-колебательной систе-
мы, изображенной на рис. 98, выполненное для случая Дт 0.
Рабочий режим трамбующей машины должен обеспечивать
большие ударные скорости и обладать известным запасом
устойчивости по отношению к изменениям параметров рабочей
среды — грунта, поскольку эти изменения могут быть велики.
В этом смысле простейшая схема на рис. 104 не является наи-
лучшей: области существования субгармонических режимов
оказываются слишком узкими. Более благоприятные результаты
обеспечивает схема обычного вибромолота на рис. 98, исполь-
зуемого в качестве трамбовки.
21* 323
Мы не рассматриваем здесь вопроса о самопередвижении
Трамбующей машины вдоль уплотняемой поверхности. Между
этой задачей и задачей о движении материальной частицы по
Шероховатой вибрирующей плоскости существует отмеченная
И. И. Блехманом и Г. 10. Джанелидзе аналогия, позволяющая
использовать результаты теории вибротранспортирования для
описания движения трамбовки.
§ 46. ВИБРАЦИОННОЕ ТРАНСПОРТИРОВАНИЕ
Г1з всех технологических процессов, основанных на примене-
нии вибрации, наибольшее теоретическое освещение получил
транспортирования, что в известной
процесс вибрационного
Рис. 121
степени объясняется сравни-
тельной простотой математиче-
ской модели явления. Вместе с
тем идеализация процесса
транспортирования имеет мно-
го общего с описанием других
процессов, где направленное в
среднем движение возникает
или поддерживается за счет
вибрационных воздействий.
Современное состояние тео-
рии вибрационного транспорти-
рования обстоятельным обра-
зом отражено в книге
И. II. Блехмана и Г. Ю. Джанелидзе «Вибрационное перемеще-
ние». В этой книге изложена также теория рабочих процессов не-
торых вибрационных машин, в основе которых лежит процесс
вибрационного перемещения. Имея это в виду, рассмотрим здесь
лишь постановку задачи и приведем ряд практически важных ре-
зультатов теории.
Динамическая модель процесса представлена на рис. 121.
Плоскость А наклонена к горизонту под углом —— < а < .
Ось OY неподвижной системы координат OXY перпендикулярна
плоскости А; ось ОХ проходит в плоскости А, когда последняя
неподвижна. С плоскостью А, совершающей поступательные
колебания в плоскости OXY по закону X = х0(/), Y = уо(О,
связана подвижная система координат Охху, оси которой парал-
лельны осям неподвижной системы. Рассмотрим тяжелую мате-
риальную частицу В массы т, поступательно движущуюся в
плоскости OXY. Ее абсолютные координаты X, Y связаны с отно-
сительными координатами х, у соотношениями
Х = х4-хо(0, Y = у + у<А*)-
(1)
324
Если частица не соприкасается с плоскостью А, на нее
действует только сила тяжести, составляющие которой по осям
ОХ и OY равны соответственно —ms’sin а и —mg cos а.
В периоды контакта с плоскостью к частице В приложена также
сила реакции, нормальную составляющую которой обозначим
через N. Относительно касательной составляющей F будем
предполагать, что она носит характер сухого трения. Именно та-
ким характером трения и обусловлено наличие направленного
в среднем перемещения частицы. Следовательно, уравнения
движения частицы имеют вид
тХ = — mg sin а + F, 1
.. Z х~)
тУ = — mg cos а + N. |
Подставляя сюда соотношения (1), получим уравнения дви-
жения частицы относительно вибрирующей плоскости А:
тх — — тх0 (t) — mg sin а + F,
Р)
ту — -— туй (/) — mg cos a + N,
причем, разумеется, последние члены присутствуют только в том
случае, когда у = 0. Из этого условия находим
N = ту (t0) Ц mg cos а. (4)
Сила сухого трения в этом случае задается выражением
F = — fN sign х, (5)
где f — коэффициент трения скольжения.
Частица может находиться на плоскости и в состоянии отно-
сительного покоя, когда х = 0. Из первого уравнения (3) нахо-
дим, что при этом
F = Fo = тх0 (/) 4- mg sin а. (6)
Сила трения покоя Fo не может быть произвольной. Она ог-
раничена условием
1^оКЛМ (7)
где fi — коэффициент трения покоя. При нарушении этого усло-
вия начинается проскальзывание частицы.
Таким образом, мы установили, что частица может находить-
ся в трех состояниях относительного движения:
1) в состоянии полета, описываемом уравнениями
х = — хо(0 — gsin ос,
У — —y0(t) — gcosa\
325
2) в состоянии относительного проскальзывания, уравнение
которого получается путем подстановки соотношений (4) и (5)
в первое уравнение (3)
х = — х0 СО — g sin а — f [у0 (t) 4- g cos a] sign x; (9)
3) в. состоянии относительного покоя.
Будем считать, что при переходе от полета к относительному
скольжению нормальная составляющая относительной скорости
у изменяется согласно ньютоновой теории удара,
У+ = — %У-> (10)
а ее касательная составляющая изменяется только по величине,
но не по направлению, причем ее значения до и после удара свя-
заны соотношением
х+ = (1— %)х_; (11)
здесь 1 — так называемый коэффициент мгновенного трения при
ударе; его значения лежат в пределах 0 Л 1.
Соотношения (6) — (11) полностью, определяют движение час-
тицы. На каждом этапе движение описывается дифференциаль-
ными уравнениями простого вида [напомним, что функции x0(i)
и yo(t) заданы]. Чередование этих этапов в различной последо-
вательности приводит к большому разнообразию возможных ре-
жимов движения. С течением времени в системе устанавливается
некоторый определенный вид движения, не зависящий от на-
чальных условий. Изучение таких установившихся движений и
составляет главным образом предмет теории.
Все установившиеся режимы движения можно разбить на
две группы: регулярные режимы, при которых скорость частицы
вдоль плоскости является периодической функцией времени, и
ускоренные режимы, характеризующиеся постоянным средним
ускорением вдоль плоскости. Таким образом, регулярные режи-
мы описываются соотношениями вида
x(t)=.Vt + q(t), z/— ф (/), (.12)
тогда как решение уравнений движения, соответствующее уско-
ренным режимам, можно представить в виде
117/2
X (П = -^ + v*t + <Рх (П, у = Фг (О- (13)
Величины V, W, V* — постоянные, функции <р, <рь фиф] —
периодические, с периодом, равным пли кратным периоду функ-
ций хо(О и y0(t).
В наиболее важных для практических приложений случаях
плоскость А колеблется по гармоническому закону
х0 (t) — a cos со/,
Уо (0 = bcos (tot — е)-
(14)
326
При е = 0 все точки плоскости совершают прямолинейные
колебания под углом В — arctg— к оси Otx с амплитудой До =
а
=]/а2-\-Ь2. При е = и а = b каждая точка плоскости дви»
жется по круговым, во всех остальных случаях — по эллиптичес-
ким траекториям.
Рассмотрим прежде всего движение без отрыва от колеблю-
щейся плоскости. Для его реализации необходимо, чтобы нор-
мальная реакция N всегда была положительной. Подставляя
y0(t) из второго равенства (14) в выражение (4), находим, что
условие безотрывного движения имеет вид
^^>1. (15)
to2 г
Введением безразмерных переменных
В — —, 1 = <ot (16)
а
и подстановкой соотношений (14) в уравнение безотрывного дви-
жения (9) последнее преобразуется к виду
j = cos т — G + ц [cos (т — е) — Г) sign |. (17)
, Входящие сюда безразмерные параметры имеют следующие
значения:
G = gsina . r = gcos^ n = (18)
aa>2 few2 a
Точкой, в отличие от предыдущего, обозначено дифференци-
рование по безразмерному времени т.
Путем простых рассуждений можно установить, что ускорен-
ный режим возможен лишь при | G | > цГ или, возвращаясь к
прежним обозначениям, при
|tga|>f. ~ (19)
Так, на горизонтальной плоскости вообще невозможно уско-
ренное в среднем движение. Этот факт достаточно очевиден сам
по себе.
В зависимости от значений параметров в системе могут уста-
навливаться регулярные режимы различных типов. Все они под-
робно изучены в упомянутой выше книге И. И. Блехмана и
Г. Ю. Джанелидзе для случая е = 0. Мы ограничимся частичным
рассмотрением лишь одного из возможных регулярных режи-
мов — с двумя мгновенными остановками за период, равный
в безразмерных единицах 2л. Двигаясь в этом режиме, частица
часть периода скользит в положительном направлении оси Охх,
часть — в противоположном направлении. Интервалы относи-
тельного покоя в этом случае отсутствуют.
327
Обозначим моменты начала движения «вперед» и «назад» со-
ответственно через то и ть Тогда при т0 < т < ть £ > О, при
Ti < т < 2л + то, Е < 0. В моменты времени то, Ti и 2л + т0 ско-
рость В обращается в нуль.
В интервале т0 < т < Ti движение описывается уравнением
£ = cos т + р cos (т — е) — G — рГ. (20)
Запишем его решение, образующееся в нуль при т = то:
В = sin т — sin т0 + В sin (т — е) — р sin (т0 — е) —
_(6 + рГ)(т-т0). (21)
Это выражение должно обратиться в нуль также и при т = г,:
sin тх — sin т0 Ч- р sin (Tj — е) — р sin (т0 — е) —
—- (G 4-рГ) (тх — т0) = 0. (22)
Аналогично, уравнение движения в интервале Ti < т < 2л +
+ т0 есть
Ё = cos т — р cos (т — е) — G + рГ; (23)
его решение имеет вид
Ё = sin т — sin тх — р sin (т — е) + р sin (т, — е) —
— (G — рГ) (т — тг); (24)
оно обращается в нуль при т = 2л + то:
sin т0 — sin Tj — р sin (т0 — 8) + Р sin (т; — е) —
— (G — рГ) (2л + т0 — тг) = 0. (25)
Уравнения (22) и (25) определяют моменты перехода от од-
ного этапа движения к другому. Введя обозначения
~ т° = у; Т1 + т° = 6, (26)
2 2
путем простых преобразований приведем эти уравнения к виду
sin у cos 6 = Gy — -у (G — рГ),
р sin у cos (6 — е) = рГу + у (G — рГ).
При в = 0 эти уравнения легко решаются:
л (1 + Р) рГ —G 1
У 2р Г — G ’ |
л
COS 6 =---------------.
sin у
(27)
(28>
328
В частности, для движения по горизонтальной плоскости
(15)]:
Y = f (1 + р),
£ лцГ
cos о =-----------------;
о . л (1 + И)
2 sin ---------
2
(29)
отсюда вытекает условие существования рассматриваемого ре-
жима при G = 0[левое неравенство представляет собой условие
(15)]:
.___ул 2 л(1 + р)
—sin —-------—.
пр, 2
(30)
В общем случае (е =# 0, G =£= 0) решение уравнений (27) и
условие существования режима имеют несколько менее простой
вид.
Еще одно ограничение вытекает из условия отсутствия оста-
новок конечной длительности. Рассматривая уравнение (9), на-
ходим, что в моменты перехода должно выполняться неравен-
ство
I*о (0 + g sin а | > f [у0 (0 + g cos а]
или, в принятых здесь обозначениях,
[cos (6 — у) — G| [Г — cos (6 — у — е)], (31)
|cos(6 + у) — G| > р[Г — cos (6 + у — е)]. (32)
Наша основная задача состоит в определении средней скоро-
сти транспортирования частицы. Ее можно выразить следующим
образом:
т, гл-Но
^-•£-(5*+ f (33>
То Т,
В первый интеграл правой части следует подставить выраже-
ние (21), во второй — выражение (24). Выполняя вычисления, с
учетом соотношений (27), находим среднюю скорость транспор-
тирования:
t - с 2ц
= — cos у sin о----—
” ЧТ
cosy — sin у sin (6 — в), (34)
где величины т0 и ti заменены выражениями (26).
В большинстве применяемых в настоящее время вибротран-
спортирующих устройств рабочий орган совершает прямолиней-
ные колебания (е = 0), что отчасти объясняется простотой при-
вода, обеспечивающего такое движение. Как показали исследо-
вания В. И. Якубовича и Р. М. Брумберга, при эллиптических
колебаниях рабочего органа транспортера может быть достигнуто
329
существенное увеличение скорости по сравнению со случаем
прямолинейных колебаний. Действительно, из выражения (34)
для средней скорости, если рассматривать его как функцию е,
отнюдь не следует, что оно имеет экстремум при е = 0. Прямое
отыскание экстремума функции (34) довольно затруднительно,
поскольку ее аргументы у, б и е не независимы, а связаны соот-
ношениями (27). Зависимость средней скорости от угла едля
р = 0,05; Г = 1 иллюстрирует график на рис. 122, полученный
с помощью электронной вычислительной машины непрерывного
.действия путем моделирования уравнения (17).
Исследование зависимости скоро-
сти транспортирования от угла е
представляет собой по существу
частный случай задачи об отыскании
оптимального закона колебаний ра-
бочего органа, обеспечивающего
максимальную скорость транспорти-
рования. Иными словами, она сво-
дится к отысканию функции x0(t) и
z/o(/) надлежащего вида.
Такая постановку задачи нуж-
дается в ряде уточнений. Прежде всего, для того чтобы различ-
ные законы колебаний можно было сравнивать между собой, бу-
дем искать функции x0(t) и y0(t) в виде
х0 (0 = аФх (со/), у0 (/) = 6Ф2 (со/); (35)
здесь ФДсо/) и Ф2(со/)— безразмерные периодические функции
своего аргумента, нормированные условиями
I Ф1 И) |max = 1, I Ф2 И) Imax = 1 •
(36)
Предположим, что нам удалось получить решение системы
(3), полностью описывающей движение, с функциями x0(t) и
£o(t), заданными в общем виде (35). Построим выражение для
вредней скорости транспортирования, аналогичное выражению
(34). Оно будет зависеть от вида функцй Ф, и Ф2, т. е. оно будет
функционалом от Ф] и Ф2. Отыскание таких функций Ф1 и Ф2,
при которых этот функционал достигает максимального значе-
ния, представляет собой типичную задачу вариационного исчис-
ления.
Этот прямой путь неосуществим из-за неразрешимости в об-
щем виде трансцендентных уравнений, определяющих моменты
переходов между различными этапами движения, а также из-за
необходимости принимать во внимание условия существования и
устойчивости различных режимов. Кроме того, на разыскивае-
мый результат часто налагаются очень жесткие требования, не
вытекающие из математической сущности задачи. Например, од-
330
но из весьма существенных требований состоит в том, что функ-
ции x0(t) и y0(t) должны быть достаточно просто и экономично
реализуемы с помощью современных технических средств. Огра-
ничениям подвергается и самый вид рабочего режима. Так, если
требуется, чтобы процесс был как можно менее шумным, движе-
ние должно происходить только в безотрывном режиме. В этих
условиях задача приобретает гораздо большую определенность.
В рассмотренной выше задаче мы как раз и имели дело с огра-
ничениями такого вида: роль функций ФДсо/) и Ф2(со/) выпол-
няли функции cos со/ и cos (со/ — е). Поскольку вид функций был
задан заранее, вариационная задача свелась просто к отыска-
нию экстремума.
Обычно при отыскании оптимального закона колебаний ра-
бочего органа вибротранспортера задаются классом допустимых
функций Ф1 и Ф2 и видом режима. Даже и в этом случае реше-
ние чисто аналитическим способом оказывается затруднитель-
ным или невозможным. Поэтому для решения пользуются гра-
фическими или графо-аналитическими методами, а также вычи-
слительными машинами. Последний способ особенно удобен, так
как решение уравнений движения получается прямым путем, и
не приходится задаваться видом режима и учитывать условия
•его существования и устойчивости. Решение вариационной зада-
чи осуществляется путем перебора вариантов.
Вернемся снова к процессу безотрывного транспортирования
по горизонтальной плоскости. Ясно, что если колебания плоско-
сти симметричны относительно вертикальной оси, то направлен-
ного в среднем движения не будет *. В рассмотренном выше слу-
чае колебаний точек плоскости по эллиптическим траекториям
асимметрия достигалась наклоном осей эллипсов по отношению
к осям координат; при прямолинейных колебаниях направление
колебаний составляло с плоскостью угол р. Возможен иной спо-
соб возбуждения направленного движения частиц: вертикальные
колебания отсутствуют, а в горизонтальном направлении плос-
кость колеблется по несимметричному закону. Согласно введен-
ным выше обозначениям,
b = О, G = 0, х0 (/) = аФ> (со/). (37)
Здесь возникает вопрос об отыскании оптимального закона
ФДсо/). Э. А. Аграновская и И. И. Блехман решили эту задачу
в следующей постановке.
Зададимся классом допустимых функций вида
1
Ат
cos со/ — cos (2со/ + в)]; (38)
1 За исключением случая анизотропии трения, о котором говорилось
в § 44.
331
здесь р — отношение амплитуд ускорений второй и первой гар-
моник;
е — сдвиг фаз между гармониками;
Лт > О — нормировочный коэффициент, обеспечивающий выпол-
нение условия (36).
Такой закон колебаний может быть осуществлен, например, с
помощью специального четырехвального вибровозбудителя. Вве-
дем также величину
ао>21Ф" (о>/) [
'Ч —
|max
gf
(39>
представляющую собой отношение максимального ускорения
плоскости к ускорению силы тяжести, умноженному на коэффи-
циент трения. Эта величина характеризует динамические на-
грузки в приводе вибротранспортера. Требуется подобрать такие
значения параметров р и е, которые обеспечивают максималь-
ную скорость транспортирования при заданном значении коэф-
фициента перегрузки kf.
Решение было выполнено на аналоговой вычислительной ма-
шине методом перебора. Результаты решения получены в виде
графика зависимостей рОПт и еОпт от kt, который мы воспроизво-
дим на рис. 123.
Эта же задача была решена В. А. Троицким, но для другого
класса допустимых функций. Ограничившись кусочно-непрерыв-
ными законами изменения ускорения плоскости, В. А. Троицкий
показал, что оптимальный закон, обеспечивающий максимум
332
средней скорости частицы при заданном коэффициенте перегруз-
ки, определяется соотношениями
^'тах При
Ц(02Ф1 (©/) = УЕтах при
gf при
(40)
На рис. 124 показана зависимость средней скорости транспор-
тирования от коэффициента перегрузки kf для различных зако-
нов колебаний рабочего органа. Кривые 1 и 2 относятся к двум
реально существующим вибрационным транспортерам с бигар-
моническими законами колебаний рабочего органа; кривая 3 со-
ответствует оптимальному бигармоническому закону колебаний;
наконец, кривая 4 отвечает кусочно-непрерывному зако-
ну (40).
Рассмотрение этого графика показывает, что использование
оптимальных форм колебаний приводит к существенному увели-
чению средней скорости, тем большему, чем выше заданный ко-
эффициент перегрузки.
Установлено, что оптимальный бигармонический закон близок
к первым двум гармоникам разложения кусочно-непрерывного
закона (40) в ряд Фурье. Таким образом, значительное увеличе-
ние средней скорости, даваемое кусочно-непрерывным законом
колебаний по сравнению с оптимальным бигармоническим, объ-
ясняется ролью высших гармоник. Однако фактическая реализа-
ция закона колебаний (40) сопряжена со значительными техни-
ческими трудностями.
До сих пор мы рассматривали только безотрывные движения,
связанные с выполнением условия (15). Если это условие не вы-
полняется, т. е. Г < 1, то движение частицы происходит с отры-
вом от вибрирующей плоскости. Здесь необходимо различать два
случая. При R — 0 возможны все три типа движения: полет час-
тицы, относительное скольжение и относительный покой. При
R 0 теоретически возможен только один тип движения — по-
лет частицы, причем этапы полета перемежаются мгновенными
ударами о вибрирующую плоскость. Характерной особенностью
движений с подбрасыванием является исключительное многооб-
разие установившихся режимов. Важнейшие из них также рас-
смотрены в книге И. И. Блехмана и Г. Ю. Джанелидзе.
При R #= 0 задача о транспортировании сводится к рассмот-
ренной в § 41 задаче о движении беспружинной ударно-колеба-
тельной системы с одной степенью свободы. Действительно,
333
зададим функции x0(t) и y0(t) в виде (35) и введем безразмер-
ные переменные:
(Гт* II О | X <Г* II о- Jis; т = <о/. (41)
Уравнения полета (8) принимают вид
с = 4I 2Ф] (?) dx2 — G, (42)
£ = _ 42Ф2(т) Ь dx2 — Г. (43)
К ним нужно добавить еще условия при ударе:
U = (1-X)U (44)
и = (45)
Если Ф2(т) = cost, то уравнение (43) совпадает с уравнени-
ем (33), где параметр р следует заменить на Г. Уравнение (42)
связано с уравнением (43) только граничными условиями при
ударе. Такая задача может быть решена полностью, по крайней
мере для случая, когда имеет место одно соударение за один или
несколько периодов вынуждающей силы. Соответствующее реше-
ние уравнения (43) имеет вид
(т) = - - Ф2(т) + Ф2 (т„) + ллГ (т - т0), (46)
причем фаза удара т0 определяется соотношением
= —— ллГ. (47).
dx 1 + R ' '
При Ф2(т) = cost эти два выражения совпадают соответст-
венно с выражениями (36) и (34) § 41. Предполагая, что условия
существования и устойчивости решения уравнения (46) выполне-
ны (а их всегда можно установить, пользуясь методикой, изло-
женной в § 40 и 41), найдем величину средней скорости транспор-
тирования.
Запишем решение уравнения (42) в виде
I = _ G (Т - т0) + С\, (48)
dx
где С\ — постоянная.
Подставляя его в условие при ударе (44), которое в силу пе-
риодичности решения имеет вид
?(т0) = (1-Х)|(2л + т0),
находим
= £Ф,(т01 2nnG _ (49)
1 dx X v
334
Вычислим теперь среднее значение безразмерной скорости
транспортирования:
2лп
tcp = — С Ых = —](То)------nnG . (50>
ср 2лп J dx X
о
Пусть вибрирующая плоскость совершает прямолинейные ко-
лебания, т. е. Ф[(т) = Ф2(т). Тогда с помощью выражения (47)
находим
Ы = - лпГ _2zz£„rtG. (51 >
ср Ц-R К '
Таким образом, средняя скорость транспортирования в режи-
ме непрерывного подбрасывания при прямолинейных колебаниях
рабочего органа не зависит явным образом от закона колебаний
и при выполнении условий существования и устойчивости реше-
ний определяется только параметром Г. Эта оговорка существен-
на, так как расположение областей существования и устойчиво-
сти одноударных режимов вдоль оси Г в пространстве парамет-
ров сильно зависит от закона колебаний.
Заметим, что при = 0 также существуют области движений
с непрерывным подбрасыванием. Только внутри этих областей
справедливы все формулы, полученные выше для случая 0.
Поставим задачу об отыскании оптимального закона колеба-
ний рабочего органа в рассмотренном только что случае движе-
ния с непрерывным перебрасыванием частицы. Ограничимся слу-
чаем прямолинейных колебаний горизонтальной плоскости, т. е.
положим
х0 (0 = (со/), у0 (/) = ЬФг (coZ), 1 (52^
а = Ао cos |3, b = Ао sin (3, G = 0. ]
Согласно формуле (51) и обозначениям (18) средняя размер-
ная скорость транспортирования имеет значение
у = = L. (5з>
1 + R 1 + R о)
Таким образом, если Г] и Г2 — два значения параметра Г, при
которых осуществляется режим с одним и тем же п, a Vi и V2 —
соответствующие значения средней скорости, то при постоян-
ном Ао
Vi Гд
v2 У г/
Поэтому для увеличения скорости транспортирования необ-
ходимо искать такой закон колебаний, при котором параметр Г
достигает наибольшего значения.
335
К такому же выводу мы приходим, поставив задачу макси-
мального снижения динамических нагрузок при заданной средней
скорости транспортирования. Будем считать, в отличие от (36),
что функция Ф1(ю'/) нормирована условием
тогда максимальные динамические нагрузки пропорциональ-
ны Д0<02.
Поскольку при У = const должно быть (о = const, уменьше-
ние нагрузок будет происхо-
дить за счет уменьшения
амплитуды До, пли, так как
параметр Г обратно пропор-
ционален До, за счет увели-
чения Г при сохранении ре-
жима движения.
Мы пришли к своеобраз-
ной вариационной задаче:
функционал, подлежащий
максимизации, вообще не за-
висит явным образом от за-
кона колебаний.
Рис. 125 Ясно, что максимальное
значение параметра Г, соот-
ветствующее режиму с заданным п, достигается на границе обла-
сти существования и устойчивости этого режима. Так, для сину-
соидального закона колебаний оптимальные значения Г лежат
на правых границах областей Dln (рис. 105).
Будем искать оптимальный закон в классе функций вида
Ф"(т) = —J— [cos т 4- pcos(3r 4- е)], (56)
Ат
где Ат —- нормировочный коэффициент;
р — отношение амплитуды третьей гармоники к амплитуде
первой гармоники.
Закон колебаний такого вида может быть реализован либо с
помощью специального вибратора, либо путем умножения часто-
ты по способу, описанному в § 34. Аналитическое отыскание гра-
ниц областей существования и устойчивости для произвольных
р и е оказывается весьма затруднительным. Как и в предыдущих
случаях, требуемый результат быстро достигается с помощью
аналоговой вычислительной машины.
На рис. 125 показана полученная таким способом зависи-
мость максимального значения параметра Гтах, соответствующе-
го п = 1 и R = 0, от р и в. Сплошная горизонтальная линия со-
ответствует значению Гтах для чисто синусоидальных колеба-
ний, равному 0,303. Как и следовало ожидать, при возрастании-
336
все кривые стремятся к этому значению независимо от е. Мак-
симум, и притом достаточно резкий, достигается при е = — и
—= Зн-4. В этом случае Гтах = 0,4, т. е. возможное уменьшение
Р
динамических нагрузок при постоянной скорости транспортиро-
вания по сравнению со случаем чисто синусоидальных колебаний
составляет 25%.
Заметим, что соответствующее найденным выше значениям е
и р выражение
cos т----— cos Зт
3
представляет собой с точностью до постоянного множителя пер-
вые две гармоники разложения в ряд Фурье кусочно-постоянной
функции:
ф;'(т)=
л 3
1 при 0 < т < — и — л < т < 2л,
г 2 2
л 3
— 1 при — < т < — л.
2 2
(57)
Как показала проверка, выполненная с помощью аналоговой
вычислительной машины, при колебаниях по закону (57) может
быть достигнуто двукратное уменьшение нагрузок по сравнению
со случаем чисто синусоидальных колебаний. Значение Гтах, со-
ответствующее закону (57), изображено на рис. 125 пунктирной
линией.
Таким образом, кусочно-постоянный закон колебаний оказы-
вается значительно выгоднее, чем его бигармоническая аппрок-
симация. Аналогичное обстоятельство было отмечено выше при
рассмотрении оптимального закона" продольных колебаний.
В заключение подчеркнем, что выводы изложенной теории
вибротранспортирования применимы при не слишком больших
скоростях, когда сопротивление воздуха не оказывает существен-
ного воздействия на движение. Отметим также, что все резуль-
таты, справедливые для движения единичных частиц, не следует
автоматически распространять на транспортирование сыпучих
грузов. Теория этого важного для практики процесса в настоящее
время находится лишь в стадии начальной разработки.
§ 47. ЭФФЕКТИВНАЯ ЧАСТОТА ВИБРИРОВАНИЯ СМЕСЕЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ЗЕРНИСТЫЙ ЗАПОЛНИТЕЛЬ
Воспользуемся следующей простейшей моделью: частица зер-
нистого заполнителя находится в непосредственном контакте с
другими твердыми частицами, а в общем случае также с жидко-
стью (представляемой, например, у бетонной смеси цементным
тестом) и пузырьками воздуха. Если эта частица движется
22 Заказ 150 337
относительно указанной окружающей ее среды, к ней, помимо>
иных воздействий, оказываются приложенными силы типа сухо-
го трения, поскольку имеются скользящие контакты с другими
твердыми частицами. Чем больше уплотняется смесь и теснее
укладываются частицы заполнителя, тем больше эти силы тре-
ния. Частично силы типа сухого трения могут порождаться пла-
стическими свойствами жидкой фазы, например цементного
теста. Могут появляться также силы вязкого сопротивления, уп-
ругости, сцепления.
Если смесь подвергается действию синусоидальной вибрации,
то различные ее частицы совершают колебания, у которых ам-
плитуды и фазы основного тона, вообще говоря, различны, а
спектр обогащен из-за наличия нелинейностей. Движение какой-
либо выбранной частицы заполнителя, порождаемое движением
окружающей среды, в свою очередь, влияет на движение этой
среды в окрестности данной частицы. Следовательно, картина
движения частицы в принятой простейшей модели довольно-
сложна. Для приближенного исследования будем считать дви-
жение всех элементов среды, окружающей рассматриваемую ча-
стицу, одинаковым и не зависящим от движения этой частицы.
Уплотнение смесей с зернистым заполнителем под действием
вибрации в значительной мере объясняется явлением псевдо-
ожижения, о котором говорилось в § 44. Когда вибрация вызы-
вает проскальзывание одних твердых частиц относительно дру-
гих, такая небольшая постоянная сила, как вес, оказывается
в состоянии перемещать частицы смеси, защемленные между со-
седними частицами, в результате чего достигается более плот-
ная укладка их. Это осуществляется вследствие снижения види-
мого (а иногда и действительного) коэффициента трения, выз-
ванного вибрацией.
Согласно результатам, изложенным в § 44, сопротивление
среды движению частицы под действием небольшой постоянной
силы будет тем меньше, чем больше размах колебаний скорости
частицы относительно среды. Поэтому займемся установлением
зависимости полуразмаха скорости ит относительных колебаний
частицы от ее размера и частоты колебаний со, а также от ампли-
туды скорости va абсолютных колебаний среды, заданных за-
коном
V = Va COS (<0/ + ср). (1)
Будем рассматривать одномерную задачу. Полагая, что един-
ственным видом сопротивления движению нашей частицы явля-
ется сухое трение, запишем дифференциальное уравнение ее от-
носительных колебаний:
— n.co sin (со/ + ср) — — sign и, (2)
dt т
где F — постоянный модуль силы трения;
338
т — масса частицы;
Ф — начальная фаза колебаний среды в момент времени t =
= 0, когда частица имеет относительную скорость и = О
du. _
и ускорение —> 0.
dt
Введем безразмерные параметры:
а = -^—;т] = —• (3)
mva<£> va
В связи со сказанным выше величину т] при заданной ампли-
туде скорости возбуждения va можно считать мерой эффектив-
ности процесса.
Далее будем иметь в виду только колебания частицы с часто-
той возбуждения. Исследование уравнения (2) показывает, что
такого рода непрерывные колебания осуществляются в проме-
жутке
2
1<л2 -|-4
0
0,573,
(4)
в то время как в промежутке
_ <а<1 (5)
/л2+ 4 ' ’
у зх
частица в своем относительном движении дважды за период —
со
делает остановки конечной длительности в крайних положениях.
При а 1 относительное движение отсутствует.
Из решения уравнения (2) § 20 устанавливаем, что в проме-
жутке (4) зависимость г] от а имеет вид
1 Г -j о [ ЗТ зтос
ri = I/ 1 — а/ — а--arccos а — arccos-
\ 2 2
а в промежутке (5)
т] = 2 |/1—а2 — а (л — 2 arcsin а). (7)
Построенный на основании равенств (6) и (7) график зави-
симости т) от а приведен на рис. 126. Он показывает, что на всем
диапазоне 0 а < 1 функция т] (а) монотонно убывает.
Если г — характерный линейный размер частицы, то ее масса
пропорциональна кубу этого размера:
т = V3, (8)
где ki — коэффициент, пропорциональный плотности частицы и
учитывающий ее форму.
Силу сопротивления F естественно считать пропорциональной
поверхности частицы, поскольку этим определяется в среднем
количество соседних частиц, с которыми она контактирует.
22* Заказ 150 339
Поверхность частицы пропорциональна квадрату характерного
размера, а поэтому
F = k2r2, (9)
где k2—-коэффициент, зависящий от формы и расположения
частицы.
Подставив равенства (8) и (9) в первую формулу (3), полу-
чим зависимость а от характерного размера г:
vaor ’
(10)
Если считать все частицы геометрически подобными, одина-
ково ориентированными в пространстве и обладающими одина-
ковой плотностью, то коэффициент k будет постоянным для час-
тиц всех размеров. Тогда на основании зависимости (10), учиты-
вая монотонно убывающий характер функции ц(-а), приходим к
выводу, что эффективность, мерой которой является ц, возраста-
ет с увеличением амплитуды возбуждающего ускорения t’o<0 и
размера частиц г. В случае постоянства амплитуды скорости
возбуждения для достижения одинаковой эффективности вибри-
рования необходимо при уменьшении размера частиц заполни-
теля повысить частоту колебаний.
Для наглядности на рис. 127 приведены кривые зависимости
ц от частоты вибрирования со при постоянной va для пяти значе-
ний г, причем Г] : г2 : Гз : : г5 = 1:2:5:10: 20. Угловая частота
«> приведена в условных единицах. Проведя прямую, параллель-
ную оси co, на уровне необходимой эффективности ц (на
рис. 127 — штриховая линия), находим минимальные частоты,
необходимые для поддержания колебаний частиц разных разме-
ров с требуемой интенсивностью при одинаковой амплитуде ско-
рости возбуждения. Если какая-то частота обеспечивает необхо-
340
димые колебания частиц данного размера, она заведомо обеспе-
чивает эффективные колебания частиц больших размеров.
Качественно приведенные результаты не изменятся при учете
вязкости среды и консервативных сил, развивающихся при взаи-
модействии частицы со средой.
Установление зависимости эффективной частоты вибрирова-
ния от размеров частиц заполнителя не потребовало привлечения
гипотезы о различных резонансных частотах у частиц разного
размера. Такого рода гипотеза многократно упоминалась в зару-
бежных и отечественных публикациях применительно к вибра-
ционному уплотнению бетонных смесей, грунтов, порошков, зер-
нистых материалов. С этой гипотезой нельзя согласиться по сле-
дующим трем причинам.
Во-первых, в упомянутых средах (может быть, за исключе-
нием тонкоизмельченных порошков) отсутствует возможность
развития восстанавливающих сил, которые обеспечили бы вели-
чины собственных частот частиц заполнителя, сколько-нибудь
близкие к частотам, развиваемым вибрационными машинами.
Ни упругие силы деформации твердых и жидких ингредиентов
среды, ни силы давления пузырьков воздуха, ни силы поверхно-
стного натяжения жидкости, находящейся в капиллярных про-
межутках, ни силы зарядов статического электричества, вызван-
ного вибрацией, не обеспечивают получения указанных собствен-
ных частот.
Во-вторых, эффект видимого снижения коэффициентов тре-
ния, способствующий уплотнению, возникает в результате вибра-
ционного проскальзывания частиц, сопровождающегося значи-
тельной диссипацией энергии. Это исключает возможность появ-
ления заметного резонансного пика -на амплитудно-частотной
кривой относительных колебаний частицы с проскальзываниями
даже в том случае, если бы появилась необходимая восстанавли-
вающая сила.
В-третьих, резонанс есть явление избирательное. Если при
данной частоте благодаря резонансу обеспечиваются эффектив-
ные колебания частиц одного размера, то большие и меньшие
частицы этой смеси должны колебаться со значительно меньшей
интенсивностью, что исключало бы возможность уплотнения. Мо-
ногармоническая вибрация в таком случае была бы неэффектив-
ной. Это опровергается практикой. С другой стороны, опыты виб-
рирования сред, содержащих зерна одинакового размера, не
показали наличия какой-то исключительной частоты, при кото-
рой уплотнение было эффективнее, чем при частотах несколько
высших и несколько низших.
Глава IX
ВОПРОСЫ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ
§ 48. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
При рассмотрении прикладных задач виброизоляции их часто
делят на две категории. Задачи первой категории касаются за-
щиты опорных или примыкающих конструкций или сооружений
от действия связанного с ними вибрирующего устройства, содер-
жащего в себе возбудитель колебаний. Задачи второй категории
касаются защиты объектов от действия вибрирующей опорной
или примыкающей конструкции. Существует неудачная термино-
логия, согласно которой вопросы первой категории называются
задачами активной виброизоляции, а вопросы второй катего-
рии — задачами пассивной виброизоляции.
Такое подразделение задач неоправдано. В обоих случаях
речь идет о защите пассивных объектов, не содержащих в себе
генераторов колебаний, от действия вибрирующих объектов, при-
мыкающих к ним. Обычно имеется в виду, что в задачах пер-
вой категории имеет место силовое возбуждение колебаний, а
в задачах второй категории — кинематическое возбуждение.
В действительности же в задачах обеих категорий могут встре-
чаться случаи как кинематического, так и силового возбуждения
колебаний.
Имеется достаточно много практически важных примеров, на
которых резко подчеркивается неоправданность подразделения
задач виброизоляции на две категории. Назовем два примера:
защита тягача от действия прицепного вибрационного катка и за-
щита руки человека от действия вибрирующего рычага управ-
ления.
Сказанное не исключает целесообразности использования
в качестве критериев коэффициента передачи вибрационной си-
лы и коэффициента передачи вибросмещения в зависимости от
удобства рассмотрения и особенностей решаемой конкретной за-
дачи, но вне связи с указанным подразделением на две катего-
рии. Далее будет показано, что оба указанных критерия матема-
тически идентичны.
Когда ставится задача защиты от действия вибрации или уда-
ров, естественно прежде всего попытаться, если это возможно и
342
допустимо, снизить интенсивность движения вибрирующего или
ударяющего объекта. Интенсивность вибрации в некоторых слу-
чаях может быть существенно снижена надлежащей статической
и динамической балансировкой механизма; в других случаях мо-
гут оказаться эффективными динамические гасители (поглоти-
тели) колебаний, теоретическая основа работы которых изложе-
на в § 14.
Когда дальнейшее снижение интенсивности движения колеб-
лющегося объекта становится невозможным или нецелесообраз-
ным, необходимо подобрать виброизоляторы (амортизаторы) для
защиты соприкасающихся с ним объектов. Возьмем случай, схе-
матически представленный на рис. 7. Пусть к телу 1 приложена
синусоидальная вынуждающая сила (1) § 7. Необходимо, чтобы
на неподвижную стенку 3 передавалась достаточно малая вибра-
ционная сила. Пружина 2 в этом случае схематизирует виброизо-
лятор. Сила Q, передаваемая на стенку виброизолятором, в со-
ответствии с формулой (2) § 6 определяется соотношением
Q = cx, (1)
где с — коэффициент жесткости виброизолятора;
х — вибросмещение тела 1.
Введем коэффициент передачи вибрационной силы, равный
отношению амплитудного значения Qa силы Q к амплитуде Fa
вынуждающей силы:
(2)
Взяв выражение для амплитуды смещения (6) § 7, находим
ц =-------------------------—------. (3)
I \ «о ) I
где <в0— собственная частота.
Воспользовавшись безразмерным параметром у, введенным
вторым равенством (3) § 13, получим
П = .. 1 (4)
| 1 — у2 |
Условием снижения передачи силы, т. е. условием выполнения
неравенства т] < 1, является неравенство у > г 2. Это условие
сохраняет силу и при наличии затухания. Обычно величина ц за-
дается; тогда
Если амортизатор 3 обладает не только упругими, но и демп-
фирующими свойствами, то мы приходим к схеме на рис. 10.
343
В этом случае сила Q определится выражением
Q = сх Ц- Ьх, (6)
где b — коэффициент линейного сопротивления. На основании
этого и с учетом выражения (20) § 7 для амплитуды вибросме-
щения получим
ц =
1 + 4ft2?2
(1 — у2)2 + 4р2у2
где р определяется зависимостью (43) § 6.
Представим силу Q как функцию времени:
Q = Qttcos(ro/ —х);
здесь начальная фаза
(7)
(8)
(9)
х = arctg
— arctg 2ру.
Сравнив формулы (7) и (9) с формулами (33) § 33, устанав-
ливаем, что
П = X = фоб. (U= 1,0=1), (10)
т. е. коэффициент передачи силы и начальная фаза этой силы
соответственно равны безразмерной амплитуде колебаний при
кинематическом возбуждении и начальной их фазе при условии,
что в схеме на рис. 19 С] = 0 и bi = 0 *. Это превращает данную
схему в схему 13 на рис. 35, б. Следовательно, коэффициент пе-
редачи силы г] можно определять по рис. 36, а, а начальную фа-
зу х передаваемой силы — по рис. 37, а.
Задача защиты объекта от действия вибрации опорной или
примыкающей конструкции, совершающей заданное движение,
‘тоже укладывается в рамки схемы 13 на рис. 35,6. Следователь-
но, ёка представляет собою коэффициент передачи вибросмеще-
ния, а ц>аб — начальную фазу вибросмещения защищаемого объ-
екта. Таким образом, оба рассмотренных критерия виброизоля-
ции определяются идентичными выражениями.
При р = 0 зависимость (7) принимает вид (3), который явля-
ется ее частным случаем. Рассмотрение зависимости (7) и пост-
роенного на основании ее семейства графиков на рис. 36, а пока-
зывает, что виброизоляция улучшается с увеличением у и с умень-
шением р. Следовательно, для хорошей изоляции периодических
колебаний амортизаторы должны обеспечивать достаточно низ-
кую собственную частоту и малое затухание. Однако практически
оказывается целесообразным введение некоторого затухания
для ускорения гашения переходных процессов и предотвращения
чрезмерных раскачиваний на переходных процессах, в особенно-
* См. равенства (31) § 13.
344
сти, когда система переходит через резонанс или подвергается
сильным толчкам.
При изоляции низкочастотных колебаний встречаются серьез-
ные практические трудности в связи с тем, что амортизаторы
должны иметь весьма малую жесткость. Последнее делает си-
стему очень чувствительной к действию различных статических
сил, которые при малой жесткости амортизаторов вызывают зна-
чительные изменения равновесного положения системы. Если
при этом амортизаторы являются опорами, несущими вес конст-
рукции, их статическая деформация под действием силы тяжести
конструкции, определяемая равенством (16) § 6, может оказать-
ся недопустимо большой. Одним из способов уменьшения такого
рода трудностей может быть применение нелинейных виброизо-
ляторов с мягкой характеристикой восстанавливающей упругой
силы.
Интересные особенности представляет защита объектов от
действия единичных сильных импульсов, например при падении
с большой высоты или при взрыве. В таких случаях обычно за-
даются величиной допустимой перегрузки (ускорения, выражен-
ного в единицах ускорения свободного падения), которую спосо-
бен выдержать объект. Деформация защитного устройства будет
минимальной, когда сопротивление, оказываемое им, постоянно
и равно произведению массы объекта на допустимое ускорение.
Постоянное сопротивление характерно для пластической де-
формации и сухого трения. Защитное устройство, основанное на
использовании одного из этих факторов, будет испытывать необ-
ратимую деформацию. В качестве защитного устройства, восста-
навливающего первоначальное состояние, что важно при много-
кратных импульсных воздействиях, можно применять амортиза-
торы с линейным предварительно напряженным упругим
элементом. Когда предварительное напряжение достаточно вели-
ко, а жесткость мала, амортизатор будет оказывать почти по-
стоянное сопротивление деформации. Другим решением может
быть применение амортизаторов с мягкой характеристикой вос-
станавливающей силы.
§ 49. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Статическая деформация линейного упругого элемента или
обладающего линейными свойствами сочетания таких элементов,
входящих в систему, лишь в двух случаях может рассматривать-
ся элементарно, как частное от деления приложенной статичес-
кой силы на жесткость упругого элемента (или сочетания эле-
ментов), причем статическая деформация направлена вдоль дей-
ствия силы. Первый случай имеет место, когда перемещение
возможно только в одном направлении (системы с числом степе-
ней свободы, не большим единицы). Со вторым случаем мы ветре-
345
чаемся, когда сила действует вдоль одной из главных осей жест-
кости упругого элемента (или сочетания упругих элементов),
о которых шла речь в § 28.
С целью выяснения деформационных свойств упругого эле-
мента (амортизатора) в случае, когда направление силы не сов-
падает с главной осью жесткости, возьмем плоскую схему на
рис. 128, где р и q — главные оси жесткости упругого элемента 1,
Прикрепленного к основанию 2. Сила F приложена к свободной
поверхности АВ амортизатора вдоль
оси у, наклоненной к оси q под уг-
лом 6. При деформации амортиза-
тора линия АВ, оставаясь прямой,
совершает только поступательные
перемещения.
Обозначив главные жесткости
через ср и сд и спроектировав си-
лу F на оси р и q, получим деформа-
ции упругого элемента вдоль этих
осей:
легко наити
F sin 0 F cos 0
P = —_—, <7 =-----------
C<7
СР
составляющие деформации в направлении
Теперь
(Сей у и х:
у = р sin 6 + q cos 6, х — р cos 0 — q sin О,
откуда
/ sin2 0
\ Ср Cq /
Из первого равенства получаем
Су \ Cq Ср j .
(О
(2)
Q иР
где cv — жесткость амортизатора в направлении действия силы.
Согласно зависимости (2) жесткость су имеет экстремумы cq
1ри 6 = 0 и Ср при 6= — , а в промежутке 0^6 жесткость
L представляет собой монотонную функцию 6. Второе равенство
(1) показывает, что в общем случае имеет место смещение в на-
правлении оси х, хотя сила в этом направлении не действует. Де-
Ьормация х = 0 только при 6 = 0 и 6 = —, что соответствует
Совпадению направления силы F с одной из главных осей, или
при ср = Сд, когда любое направление может рассматриваться
как главная ось жесткости.
Решение задачи пространственной виброизоляции объекта,
хаже в простейшем случае, когда он может идеализироваться
146
в виде твердого тела, т. е. без учета его сложной внутренней
структуры, требует учета шести степеней свободы. Это, вообще
говоря, связано с необходимостью выполнения достаточно гро-
моздких вычислений, начиная с составления дифференциальных
уравнений и решения характеристического уравнения двенадца-
той степени. Задача была бы решительно упрощена, если бы сво-
бодные колебания каждой из шести координат системы не были
связаны с колебаниями остальных координат, т. е. если бы были
известны нормальные координаты. Однако отыскание нормаль-
ных координат может оказаться, как это было отмечено в § 11,
не менее трудоемким, чем непосредственное решение в исходной
системе координат. В общем случае трудоемко также и опреде-
ление направления главных осей жесткости (и главных осей демп-
фирования — в диссипативных си-
стемах).
Задача значительно облегчается,
если система обладает симметрией
относительно координатных осей и
плоскостей. Тогда дифференциаль-
ные уравнения распадаются по мень-
шей мере на две несвязанные груп-
пы. Чем выше симметрия системы,
тем больше независимых групп диф-
ференциальных уравнений (имеется
в виду как симметрия расположения
положения упругих и диссипативных элементов).
Вопросы развязки, т. е. устранения связанности, колебаний
имеют и чисто практическое значение. В § 48 было показано, что
виброизоляция улучшается с понижением отношения собственной
частоты к частоте вынуждающего воздействия. Практически не-
редко бывает затруднительным или просто невозможным полу-
чение достаточно низкими всех шести собственных частот. Поэто-
4 2 1 2 4
Рис. 129
масс, так и симметрия рас-
му, принимая меры по обеспечению достаточно низкой жестко-
сти в направлении одной координатной оси (или угловой
жесткости относительно этой оси) и направляя вибрационное
воздействие вдоль (или относительно) этой оси, необходимо до-
биваться, чтобы колебания соответствующей координаты не были
связаны с колебаниями других координат и не вовлекали в дей-
ствие остальные упругие силы, которые не удается сделать до-
статочно малыми.
Если перемещения виброизолируемого объекта 1 (см. рис. 129)
должны быть лимитированы, иногда помимо весьма податливых
изоляторов 2 устанавливают дополнительно упругие ограничители
большей жесткости, односторонние 3 или двусторонние 4. Меж-
ду изолируемым объектом и упругими ограничителями имеются
зазоры. Обычно при стационарных колебаниях амплитуды отно-
сительного вибросмещения меньше зазоров и ограничители не
347
работают. Они вступают в действие при переходных режимах.
Применение упругих ограничителей может привести к неже-
лательным последствиям. Так, начавшиеся при запуске удары об
ограничители могут сохраниться и при установившемся колеба-
тельном возбуждении, что грозит быстрым выходом из строя за-
щищаемого объекта. Это отражает одну из характерных особен-
ностей нелинейных систем: наличие ряда качественно различных
периодических режимов и зависимость установления того или
иного режима от начальных условий.
Установившийся ударно-вибрационный режим может быть
гармоническим (т. е. с частотой вынуждающего воздействия) и
субгармоническим. Субгармонические режимы такого рода у си-
стем с одной степенью свободы были впервые рассмотрены
Ю. И. Иоришем. При наличии односторонних ограничителей суб-
гармонические режимы могут привести к резко увеличенным
размахам колебаний. Следовательно, вместо удержания разма-
хов колебаний в узких пределах ограничители могут привести
к их резкому увеличению.
В системе с несколькими степенями свободы могут устано-
виться ударно-вибрационные режимы с формами движения, не
свойственными системе без упругих ограничителей (например,
вместо поступательных колебаний могут возникнуть пово-
ротные) .
Указанные обстоятельства должны быть учтены на стадии
расчета виброизоляции путем обследования поведения нелиней-
ной системы с упругими ограничителями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ SO. РАЗВИТИЕ ВИБРАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ И ЗАДАЧИ
НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ
Количество областей применения вибрационной техники все
время растет. Все большее число процессов основывается на ис-
пользовании вибрации.
Назовем наиболее важные из них:
а) вибрационное формование железобетонных изделий на
виброплощадках, виброустановках, в кассетных установках;
б) вибрационное уплотнение бетонной смеси в монолитных
сооружениях при помощи глубинных и поверхностных вибра-
торов;
в) уплотнение грунтов и оснований дорог вибротрамбовками,
уплотнение асфальтобетонных дорожных покрытий виброкатка-
ми, уплотнение и заглаживание цементобетонных дорожных по-
крытий виброфшшшерами;
г) вибрационное и ударно-вибрационное бурение инженерно-
геологических скважин;
д) транспортирование сыпучих и кусковых материалов на
вибрационных конвейерах;
е) питание автоматических станков ориентированными в про-
странстве деталями при помощи вибрационных бункеров;
ж) разделение материалов по размерам, плотности, форме,
коэффициенту трения на вибрационных ситах, грохотах, сепара-
торах, концентрационных столах;
з) изготовление литейных форм и стержней на вибропрессо-
вых формовочных машинах;
и) выбивка литейных опок на вибрационных решетках;
к) вибрационная галтовка поковок, штамповок, отливок;
л) вибрационная полировка и доводка деталей машин и при-
боров;
м) интенсификация экстракционных процессов на пульсаци-
онных установках.
Последнее время намечаются тенденции к укрупнению вибра-
ционного оборудования, повышению его мощности и эффектив-
23 Заказ 150 34g
ности, улучшению качественных показателей. Вибрационная тех-
ника и технология являются сравнительно молодыми отраслями,
в которых не решены еще существенные вопросы. Для их реше-
ния и обеспечения должного прогресса нужны теоретические и
экспериментальные исследования в широком диапазоне. Перечис-
лим ряд проблем и задач, на которые представляется полезным
обратить внимание исследователей.
Первая группа проблем связана с изучением процессов гене-
рирования механических колебаний. К ней можно отнести:
а) исследование вибровозбудителя, как преобразователя энер-
гии источника в энергию механических колебаний;
б) задачи построения генераторов механических колебаний
заданной формы и спектрального состава, в том числе генерато-
ров случайных колебаний;
в) разработка методов умножения и деления частоты механи-
ческих колебаний.
Ко второй группе проблем относятся задачи исследования ди-
намики вибрационных и ударно-вибрационных машин, в том
числе:
а) изучение переходных процессов и разработка методов сни-
жения пусковой мощности; уменьшения веса элементов привода;
уменьшения раскачиваний при переходе через промежуточный
резонанс;
б) исследование динамики резонансных и околорезонансных
систем с одной и несколькими степенями свободы;
в) изучение динамики систем, для которых характерны суб-
гармонические режимы, в том числе ударно-колебательных си-
стем;
г) изучение динамики супергармонических систем;
д) исследование динамики систем с распределенными пара-
метрами и смешанных систем;
е) решение задач согласования совместной работы двух и не-
скольких вибровозбудителей.
В третью группу проблем входит исследование свойств раз-
личных сред, на которые воздействуют рабочие органы виброма-
шин, в том числе:
а) исследование динамики зернистых и порошковых сред
применительно к задачам вибросепарирования, вибротранспор-
тирования, виброперемешивания и виброуплотнения;
б) исследование динамики грунтов применительно к задачам
виброуплотнения, виброрезания, вибропогружения свай, вибро-
бурения;
в) исследование динамики бетонных смесей применительно к
задачам вибрационного перемешивания, транспортирования, ук-
ладки, уплотнения, формования;
г) исследование динамики пластического деформирования
металлов под действием вибрации и частых ударов применитель-
350
но к вибрационному и ударно-вибрационному прессованию,
штамповке, волочению, прокатке;
д) исследование динамики асфальтобетонов применительно к
задачам виброуплотнения;
е) исследование механизма влияния вибрации на физико-хи-
мические и физико-механические процессы в жидкой среде и на
ее границах с твердой фазой применительно к задачам примене-
ния вибрации в процессах растворения, экстракции, эмульгиро-
вания, осаждения, фильтрования, выщелачивания, травления,
электролиза, отмывки, окрашивания и т. д.;
ж) исследование процессов вибрационного резания металлов,
пластмасс и других машиностроительных материалов примени-
тельно к задачам вибрационного точения, фрезерования, шлифо-
вания, полирования, галтовки и т. д.
К четвертой группе проблем относятся вопросы изучения вза-
имодействия рабочих органов вибрационных и ударно-вибра-
ционных машин со средой, в особенности силового взаимодейст-
вия, в том числе:
а) исследование распределения сил и давлений, приложенных
к рабочему органу со стороны среды; раздельное изучение нор-
мальных и тангенциальных воздействий;
б) изучение физической природы сил воздействия, включая
диссипативные, позиционные, инерционные и смешанные силы;
в) исследование изменения сил взаимодействия под влияни-
ем колебаний рабочего органа и среды.
В пятую группу входят проблемы изучения энергетического
баланса вибромашины, циркуляции потоков энергии и характера
ее диссипации в системе, зависимости поведения вибромашины
от свойств источника энергии.
В шестую группу включаются проблемы поиска, разработки,
исследования методов и систем автоматизации работы виброма-
шин, их самонастройки, программирования, автоматизации кон-
троля качества работы средств вибрационной техники.
К седьмой группе проблем относятся задачи установления
оптимальных режимов работы вибромашин, исследование устой-
чивости этих режимов, разработка путей повышения стабильно-
сти работы вибромашин.
В восьмую группу входят научные проблемы снижения вред-
ного воздействия вибрационного и ударно-вибрационного обору-
дования на обслуживающий персонал и опорные конструкции.
В приведенном неполном перечне проблем мы не коснулись
чисто конструкторских и эмпирических направлений.
§ 51. О КЛАССИФИКАЦИИ ВИБРОМАШИН
Принципы классификации вибромашин, совпадающие в сво-
их основных чертах с формулируемыми ниже, были впервые из-
ложены в докладе, прочитанном И. И. Быховским на научно-тех-
23* 351
1нической конференции по вибростендам и виброизмерениям
в июле 1959 г. в Ленинграде. Очень трудно предложить универ-
сальную классификацию, пригодную в любых случаях и преду-
сматривающую все стороны построения и применения виброма-
шин. Обстоятельная классификация такого рода устарела бы
в короткие сроки, поскольку вибрационная техника развивается
достаточно быстро. Поэтому общий интерес представляет не сама
классификация, а основные ее принципы и направления, руко-
водствуясь которыми, можно составить подробные классифика-
ции для узких групп вибромашин.
Вибромашины рекомендуется подразделять по следующим
признакам.
1. По назначению. Такая классификация может производить-
ся по укрупненным широким группам машин или по узкому на-
значению. В широком плане вибромашины можно, например,
подразделить на уплотняющие, разрыхляющие, смешивающие,
сепарирующие, транспортирующие и т. д. В узком плане их мож-
но разделить на конкретные типы, например виброплощадки для
формования железобетонных изделий, вибрационные бункеры
для питания деталями автоматических станков, прикрепляемые
вибраторы общего назначения, глубинные вибраторы для уплот-
нения бетонных смесей, вибрационные решетки для выбивки
опок и т. д.
2. По типу привода: электрические, гидравлические пневма-
тические, внутреннего сгорания. Дальнейшие подразделения ка-
саются детализации видов привода.
3. По типу преобразования подводимой энергии в энергию ме-
ханических колебаний: центробежные, поршневые, кулачковые,
кривошипно-шатунные, электромагнитные, электродинамические,
магнитострикционные, пьезоэлектрические, пульсационные, авто-
колебательные, возбуждаемые кинематически и т. д. Таким обра-
зом, это подразделение является многоплановым.
4. По числу колеблющихся твердых тел: одномассные, двух-
массные, трехмассные и т. д.
5. По форме колебаний рабочего органа: с прямолинейно на-
правленными колебаниями, с эллиптическими колебаниями, с
винтовыми колебаниями, с различными комбинированными коле-
баниями и т. д.
6. По периодичности колебаний: с простыми периодическими
колебаниями, с модулированными колебаниями, с почти-перпо-
дическпми колебаниями, с непериодическими (хаотическими, слу-
чайными) колебаниями.
7. По спектральному составу периодических колебаний рабо-
чего органа: с синусоидальными колебаниями, с бигармоничес-
кими колебаниями, с полигармоническими колебаниями.
8. По наличию ударов: безударные, ударно-вибрационные с
ударами первого рода, второго рода, третьего рода.
352
9. По соотношению вынуждающей и собственных частот: до-
резонансные, зарезонансные, резонансные, околорезонансные,
межрезонансные.
10. По количеству вибровозбудителей на одном рабочем ор-
гане: с одним вибровозбудителем, с двумя и т. д.
11. По способу синхронизации работы вибровозбудителей:
с принудительной механической синхронизацией, с принудитель-
ной электрической синхронизацией, с самосинхронизацией, без
синхронизации.
12. По диапазону частот: высокочастотные, среднечастотные,
низкочастотные. Эти понятия относительны и зависят от вида
технологического процесса и типа вибромашины.
13. По методу регулирования: нерегулируемые, с ручным ре-
гулированием, с механическим регулированием, с автоматичес-
ким регулированием, с программным управлением, с самонаст-
ройкой на оптимальный режим.
14. По степени определенности кинематических параметров
рабочего органа: с полностью принудительным движением рабо-
чего органа (с принудительной кинематикой), с частично прину-
дительным движением рабочего органа, например вдоль опреде-
ленного направления (с полупринудительной кинематикой), без
принудительных жестких связей рабочего органа (динами-
ческие) .
Приведенный перечень признаков далеко не исчерпывает всех
возможных направлений классификации. Он мало затрагивает
некоторые конструктивные и эксплуатационные особенности виб-
ромашин. Однако многие из приведенных признаков являются
существенными для большого числа разновидностей виброма-
шин, и приведены они с целью унификации принципов классифи-
кации специализированных групп машин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аграновская Э. А. и Блехман И. И. Выбор оптимальных пара-
метров вибрационных транспортирующих машин с помощью электронной мо-
делирующей установки. «Обогащение руд», 1961, № 5.
1, а. А н а н ь е в И. В. Справочник по расчету собственных колебаний
упругих систем. М., Гостехиздат, 1946.
2. Андронов А. А., Витт А. А., X айкни С. Э. Теория колебаний.
Изд. 2-е. М., Физматгиз, 1959.
3. Б а б а к о в И. М. Теория колебаний. Изд. 2-е, М., «Наука», 1965.
4. Баркан Д. Д. Виброметод в строительстве. М., Госстройиздат, 1959.
5. Беспалова Л. В. К теории виброударного механизма. «Изв. АН
СССР, ОТН», 1957, № 5.
6. Беспалова Л. В., Н е й м а р к Ю. И., Ф е й г и н М. И. Динамические
системы с ударными взаимодействиями и теория нелинейных колебаний. «Ме-
ханика твердого тела», 1966, № 1.
6, а. Бессонов А. П. Исследование по динамике дебалансного вибра-
тора, «Acta technica», ЧССР, 1960, № 6.
7. Б л е х м а н И. И. Проблема синхронизации динамических систем. «При-
кладная математика и механика», 1964, т. 28, вып. 2.
8. Блехман И. И. Вращение неуравновешенного ротора, обусловленное
|гармоническнми колебаниями его оси. «Изв. АН СССР, ОТН», 1954, № 8.
9. Б л е х м а н И. И. Исследование процесса вибрационной забивки свай
и шпунтов. «Инженерный сборник», 1954, т. XIX.
10. Блехман И. И. Теория вибросепараторов и ее связь с теорией неко-
торых других видов вибрационных машин. Сб. «Механика и расчет машин ви-
брационного типа». М., Изд.-во АН СССР, 1957.
11. Блехман И. И., Лавров Б. П. Об одном интегральном признаке
устойчивости движения. «Прикладная математика и механика», 1960. т. 24,
вып. 5.
12. Блехман И. И. и Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемеще-
ние, М., «Наука», 1964.
13. Б л е х м а н И. И., Д ж а н е л и д з е Г. Ю. Об эффективных коэффици-
ентах трения при вибрациях. «Изв. АН СССР, ОТН», 1958, № 7.
14. Боголюбов Н. Н. и Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 3-е. М., Физматгиз, 1963.
15. Б р у м б е р г Р. М. Метод определения скорости безотрывного движе-
ния частицы по лотку инерционного транспортера с продольными колебаниями
(«Вибрационная техника». Материалы научно-технической конференции. М.,
НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1966.
354
16. Брумберг Р. М. Определение скорости частицы, движущейся по
инерционному транспортеру без отрыва. «Вибрационная техника», Материалы
научно-технической конференции. М., НИИИнфстройдоркоммунмаш. 1966.
17. Бы хов ск ий И. И. Вибратор с обкатывающимся шаром. «Вибраци-
онная техника». Материалы семинара. Сб. 1(8), М., МДНТП, 1963.
18. Быховский И. И. Зависимость эффективной частоты вибрирования
бетонной смеси от крупности заполнителя. «Вибрационная техника». Материа-
лы научно-технической конференции. М., НИИИинфстройдоркоммунмаш, 1966.
19. Быховский И. И. Некоторые вопросы измерений при исследовании
вибрационных и ударно-вибрационных машин. Тезисы докладов научно-техни-
ческой конференции по впбростендам и виброизмерениям. Л., ЛДНТП, 1959.
20. Б ы х о в с к и й И. И. Некоторые новые виды вибрационного и ударно-
вибрационного привода. Семинар «Вибрационная техника». Сб. 2. ,М., МДНТП,
1959.
21. Быховский И. И. О верхнем пределе мощности, необходимой для
поддержания колебаний «Вибрационная техника». Материалы семинара.
Сб. 2(6). М„ МДНТП, 1962.
22. Б ы х о в с к и й И. И. О неравномерности вращения валов колеблю-
щихся центробежных вибровозбудителей. «Вопросы расчета центробежных ви-
бровозбудителей и механизмов ударного действия». Вып. XXI. М., ВНИИСтрой-
дормаш, ЦБТИ, 1958.
23. Быховский И. И. Оптимальная форма дебалансов центробежных
вибровозбудителей «Вибрационная техника». Материалы научно-технической
конференции. М., НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1966.
24. Быховский И. И. О релаксационных колебаниях угловой скорости
эксцентриков колеблющихся центробежных вибровозбудителей, ударяющихся
об ограничитель. «Вопросы расчета центробежных вибровозбудителей и меха-
низмов ударного действия». Вып. XXI. М., ВНИИСтройдормаш. ЦБТИ, 1958.
25. Б ы х о в с к и й И. И. Прогресс вибрационной техники и задачи науч-
ных исследований. «Вибрационная техника». Материалы научно-технической
конференции. М., НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1966.
26. Быховский И. И. Расчет мощности электродвигателей вибромоло-
тов. Труды ВНИИСтройдормаша. XXIX «Исследования п расчеты вибрацион-
ных машин и механизмов». М., 1962.
27. Быховский И. И. Супергармонические резонансы в системах с
центробежным возбудителем колебаний. Сб. «Динамика машин». М., «Маши-
ностроение», 1966.
28. Быховский И. И., Дорохова А. Д., Зарецкий Л. Б., Яу-
ко м с к и й С. И. Исследование областей устойчивой работы ударно-вибраци-
онных машин с линейной восстанавливающей силой. Сб. «Исследование ви-
брационных машин». М., НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1965.
29. Б ы х о в с к и й И. И., Дорохова А. Д., 3 а р е ц к и й Л. Б., Л у-
к о м с к и й С. И. О некоторых периодических движениях и структуре фазо-
вого пространства ударно-колебательной системы с постоянной восстанавли-
вающей силой. «Изв. АЙ СССР, Механика и машиностроение», 1964, № 2.
30. Г о н ч а р е в и ч И. Ф., Земсков В. Д., Корешков В. И; Вибра-
ционные грохоты и конвейеры. М., Госгортехиздат, 1960.
31. I ригорян С. С. Об ударном уплотнении лессовых грунтов. «Изв.
АН СССР, Механика и машиностроение», 1964, № 6.
31. а. Д и м е н т б е р г Ф. М., Шаталов К. Т. и Гусаров А. А.
Колебания машин. М., «Машиностроение», 1964.
32. Дорохова А. Д_, Л у к о м с к и й С. И. Влияние продолжительности
удара на поведение ударноколебательной системы с постоянной восстанавли-
355
вающей силой. «Вибрационная техника». М., НИИИнфстройдоркоммунмаш,
1966.
33. 3 а р е ц к и й Л. Б. О самосинхронизации центробежных вибровозбуди-
телей впброударного механизма. «Машиноведение», 1967, № 1.
34. Зарецкий Л. Б. Синхронизация центробежных впбровозбудителей
в системах с разрывными характеристиками «Инженерный журнал. Механика
твердого тела», 1968, № 1
35. И о р и ш Ю. И., Виброметрпя, М., Машгиз, 1963.
36. И о р и ш Ю. И. Субгармонический резонанс в системе с упругим огра-
ничителем хода. «Журнал технической физики», 1946, т. XVI, вып. 6.
37. Канингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ.
М., Госэнергоиздат, 1962.
38. Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. М„ «Наука»,
1964.
38. а. К о л о в с к и й М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем.
М., «Наука», 1966.
39. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуж-
дением, М., «Наука», 1964.
40. К у ш у л ь М. Я., Ш л я х т и н А. В. К теории вибрационного погру-
жения цилиндрического стержня в упругопластическую среду. «Изв. АН СССР,
ОТН», 1954, № 1.
41. Л а вен дел Э. Э. Оптимальный закон движения лотка с заданными
пределами ускорения при вибротранспортировке в режиме с подбрасыванием.
«Изв. АН СССР, Механика и машиностроение», 1964, № 6.
42. Левенталь Е. Б. О некоторых явлениях трения при вибрации и
качаниях, влияющих на показания приборов. «Точная индустрия», 1937, № 4.
43. М а к-Л а х л а н Н. В. Теория и приложения функций Матье. Пер.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1953.
44. Малиновский Е. Ю., Зарецкий Л. Б. Математическое модели-
рование в исследовании строительных машин. М., НИИИнфстройдоркоммун-
маш, 1966.
45. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.,
Техтеориздат, 1956.
46. Малкин Д. Д. Некоторые вопросы теории дебалансных вибрацион-
ных обрабатывающих и загрузочных устройств. «Вибрационная техника». Ма-
териалы научно-технической конференции. М., НИИИнфстройдоркоммунмаш»,
1966.
47. Мандельштам Л. И. Лекции о колебаниях. Т. IV. Изд-во
АН СССР, 1955.
48. М и к л а ш е в с к и й Е. П. Определение сил трения, преодолеваемых
вибрирующим оборудованием. М., ВИА им. В. В. Куйбышева, 1964.
49. Н е й м а р к Ю. И., Метод точечных преобразований в теории нелиней-
ных колебаний. I—III «Изв. вузов, Радиофизика», 1958, № 1, 2, 5—6.
50. Ней м а р к Ю. И. Теория вибрационного погружения и впбровыдерги-
вания. «Инженерный сборник», 1953, т. XVI.
51. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.
Изд. 2-е М., «Машиностроение», 1967.
Вибрационные транспортирующие машины М., «Машиностроение,» 1964.
51, а. И о т у р а е в В. Н„ Ф р а н ч у к В. П. и Червоненко А. Г. Виб-
рационные транспортирующие машины. М., «Машиностроение», 1964.
52. П у а н к а р е А. О кривых, определяемых дифференциальными уравне-
ниями. М., Гостехпздат, 1947.
356
52, a. Pa тульские К. M. Механизмы на вибрирующем основании,
Каунас, изд-во АН Лит. ССР, 1963.
53. Р е б р и к Б. М. Величина усилий, возникающих между корпусом коле-
блющегося центробежного впбровозбудптеля и дебалансными валами. «Вибра-
ционная техника». М.. НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1966.
54. Райнер М. Реология. Пер. с англ. М„ «Наука», 1965.
55. Релей Дж. В. Теория звука. Т. I. Пер. с англ. М.—Л.’, Техтеорет-
пздат, 1940
56. Савинов О. А. и Л у с к и н А Я. Вибрационный метод погружения
свай п его применение в строительстве. Л., Госстройнздат, 1960.
56, а. С т о к е р Дж. Нелинейные колебания в механических и электри-
ческих системах. Пер. с англ. М., изд-во иностр, лит., 1953.
57. Тро и ц к и й В. А. Вибрационные задачи оптимизации процессов уп-
равления для уравнений с разрывными правыми частями. «Прикладная мате-
матика и механика», 1962, т. 24, вып. 2.
58. Якубович В. И. Вибрационное перемещение при колебаниях несу-
щей плоскости по произвольной эллиптической траектории. «Механизация и
автоматизация производства», 1966, № 8.
РЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
втоколебаиия*- 133, 152
ртом атиза ция
• контроля качества 351
- работы вибромашин 351
втономная система 22, 24
ктивная
виброизоляция 342
- мощность 161
мортизатор 343
мплитуда
вынуждающей силы 37
- колебаний 7
перемещения 9
скорости 10
ускорения 10
- Якоби 215
м пл итудно-частотная характеристика 40,
92
мплитудный спектр 18
нтирезонаис 72, 113
нтифазиые колебания 9
алане мощности 231
еговая дорожка 194, 257
егун 194, 257
езразличное равновесие 35, 59
еспружинный вибромолот 288
нения 15, 70
ифуркационные уравнения 243
ункер вибрационный 349
урение
Г вибрационное 349
- ударно-вибрационное 349
екторное представление колебаний 8
ибратор общего назначения 352
ибрационная
машина 3, 350
техника 3, 4, 349
технология 350
ибрационное
оборудование 349
поддержание вращения 249
транспортирование 324
формование 349
ибрационные процессы 4, 349
ибрация 7
рбровозбудитель 161, 171, 350
ибровыдергивание 317
иброизолятор 343
иброизоляция 342
иброкаток 349
бромол от 277, 288, 315
иброперемешиваиие 350
иброплощадка 349
ибропогружатель 315
ибропогружение 313, 350
дбропрессовые формовочные машины 349
иброрезание 350
Вибросепарироваиие 350
Виброскорость 10, 45
Вибросмещение 9
Вибротрамбование 313, 319
Вибротрамбовка 277, 349
Виброускорение Ю, 45
Виброустановка 349
Виброфииишер 349
Видимое снижение трения 308, 341
Видимый коэффициент трения 309
Внутренний вибратор 205
Возбуждающая сила 37
Возбужденные собственные колебания 38
Возмущающая сила 37
Волновое уравнение 78
Волны 76, 78
Волочение
— вибрационное 351
— ударио-вибрационное 351
Восстанавливающая сила 25
Вращающийся вынуждающий момент 174
Время релаксации 37
Вронскиан U7
Вронского определитель 117
Вспомогательное тело 246
Вынуждающая сила 37
Вынужденные колебания 37
Выщелачивание с применением вибрацп
351
Галтовка вибрационная 349
Гамма-функция Эйлера 168
Гармоника 17
Гармонические колебания 7
Гармонический анализ 17
Гармонического баланса метод 137
Генератор
— механических колебаний 171. 350
— случайных колебаний 350
Герц 9
Гиббса явление 17
Главные
— жесткости 346
— колебания 65
— оси демпфирования 186
— оси жесткости 184, 346
Глубинный вибратор 205
Голономная
— связь 22
— система 22
Границы области
— существования 276
— устойчивости 276
Грохот вибрационный 349
Даламбера
— интеграл 78
— метод 78
Дебаланс 46, 173
Дебалансный вибровозбудитель 194
Деление частоты колебаний 350
Дельта-функция Дирака 294, 315
Демпфер 28
Детерминированная система 23
Динамическая
— жесткость 45
— неуравновешенность 171
— система 23
— стабилизация колебаний 111
Динамическое
— возбуждение 37
— гашение колебаний 72, III
— поглощение колебаний 72
— управление колебаниями 111
Динамическое усиление колебаний 111
Диссипативная
— сила 24, 72
— система 24, 72
— функция 61, 72
Диссипация энергии 24, 28
Добротность 31
Дорезонансная настройка 189
Дорезонансные колебания 40
Дуффинга уравнение 135
Жесткая характеристика пружины 132,
150
Жесткость 24
Замедление нарастания колебаний при ре-
зонансе 235
Зарезонансная настройка 189
Зарезоиаисиые колебания 40
Затухающие колебания 29
Захватывание 152, 239, 267
Зоммерфельда эффект 234
Зубчато-плаиетарный вибровозбудитель 195
Идеальная связь 22
Изгибные колебания балки 86
Изображающая точка 122, 272
Изоклина 124
Изохронные колебания 26
Импеданс 45
— механический 45
Инерционная сила 24
Интегральная кривая 123, 279
Интегральный критерий устойчивости 246
Историческая система 23
Итерационный процесс 134
Кажущийся коэффициент трения 309
Кассетная установка 349
Катаракт 28
Кенигса-Лемерея — диаграмма 270
Кенигса теорема 270
Кинематическое возбуждение 37
Кинетическая энергия 58, 153 _
Классификация вибромашин 3о1
Колебательная система 24
Колебательное движение 6
Колебательный процесс 6 «
Коллинеарные колебания 12
Компланарные колебания 15
Комплексная
— жесткость 45
— масса 45
Комплексное
— представление колебаний И
— ‘ сопротивление 45
Конвейер вибрационный 349
Конический маятник 7
Консервативная система 24
Концентрационный стол 349
Косинусная компонента 20
Коэффициент
— восстановления скорости 265
— демпфирования 29
— динамичности 93
— жесткости 24
— затухания 29
— мгновенного трения 326
— передачи 99
— передачи вибрационной силы 342
— передачи вибросмещения 342
— поглощения 31
— резонансного усиления 94
— связи 67
— сопротивления 28
— усиления 93
Коэффициенты распределения 64
Критическое затухание 34
Круговая
— вынуждающая сила 172
— частота 9
Круговой вынуждающий момент 174
Круговые колебания 7, 187, 189
Кусочио-линейная система 144
Лагранжа - Дирихле — теорема 60
Лагранжа метод вариации 50
— функция 58
Линеаризация треиия ЗЮ
Линеаризованная функция последования
269
Линейная
— независимость 117
— система 22
— характеристика пружины 132
Линейчатый спектр 18
Лиссажу фигуры 15
Логарифмический декремент 30
Максимальная ударная скорость 287
Максимум средней мощности 161, 208
Малого параметра метод 140, 241, 293
Малый параметр 140
Матье
— уравнение 120
— функции 120
Маятник 26, 114, 116, 214
— математический 27, 114
— физический 116, 214
Маятниковый вибровозбудитель 196
Мгновенная мощность 159
Межрезоиансная настройка 189
Механическая система 22
Механические колебания 7
Минимизация
— веса дебаланса 253
— критерия неравномерности вращения 253
— момента инерции дебаланса 253
Момент на валу дебаланса 193
Мощность на валу дебаланса 194
Мягкая характеристика пружины 132. 150
Направленная вынуждающая сила 173
Наследственная система 23
Начальные собственные колебания 38
Неавтономная система 22
Неголономиая связь 22
Неколебательная система 24
Неколебательное движение 32
‘Неколебательный процесс 6
Неконсервативная система 24
Нелинейная система 23, 114
Непериодическое возбуждение 50
Неподвижная точка отображения 268
Непрерывный спектр 19
Неравномерность вращения дебалансов 213
Несинусоидальные колебания 7
Несинхронные колебания 13
Нестационарная связь 22
Неустойчивая неподвижная точка 270
Неустойчивое равновесие 59
Н еуетойчивы й
— предельный цикл 269
— узел 126
— фокус 126
Нормальные координаты 65
Нулевая точка 188, 209
359
Обертон 83
Область устойчивости 276
Обмен энергией 70
Обобщенная
— сила 58
— скорость 58
— координата 57
Одноударные периодические движения 279
Околорезонансная система 253
Окрашивание с применением вибрации 351
Оптимальная форма дебалансов 252
Осаждение с применением вибрации 351
Основной той 83
Особые точки 124
Осреднения метод 137
Осциллограмма 8
Отмывка с применением вибрации 351
Относительное затухание 31
Параметрическая
— система 23, 114
— форма точечного отображения 275
Параметрическое
— возбуждение 114
— задание точечного отображения 271
Пассивная виброизоляция 342
Период
— вращения 8
— колебаний 6
Периодические колебания 6
Пиковое значение 8
Планетарный вибровозбудитель 195
Плоскость
— параметров 285
— состояний 122
Плотность спектра 20
Поверхностный вибратор 349
Поводковый вибровозбудитель 194
Погружаемый вибратор 205
Податливость 175
Позиционная сила 24
Полигармоиическое возбуждение 59
Полная энергия 153
Положение
— равновесия устойчивого 24, 59
— системы 23
Полуразмах колебаний 8
Поперечные колебания балки 86
Порождающее решение 140
Последовательных приближений метод 134.
221
Постоянная времени 37
Потенциальная энергия 59, 153
Почти-период 21
— периодическая функция 21
— периодические колебания 21
— периодическое движение 16
Предельный цикл 134, 268
Представляющая точка 122
Преобразование энергии 153
Прессование
— вибрационное 351
— ударно-вибрациоииое 351
Приведение
— жесткостей 175
— масс 175, 178
— сопротивлений 175, 177
Принудительная синхронизация 238
Припасовывания метод 50, 144
Программирование работы вибромашин 351
Продольные колебания стержня 84
Прокатка
— вибрационная 351
— ударно-вибрационная 351
Пространство параметров 276, 285
Противовес 253
Противофазная синхронизация 244
Противофазные колебания 9, 12
Пружинный вибромолот 277, 315
360
Псевдоожижение 312
Пульсационная экстракторная установка
349
Разложение колебаний 16
Размах колебаний 7
Разность -фаз 8
Рассеяние энергии 24, 28, 153
Растворение с применением вибрации 351
Раушера метод 135
Расширенное фазовое пространство 273
Реактивная мощность 161
Реакции подшипников дебалансов 192
Резание вибрационное 351
Резонанс 40, 71
— вибросмещения 42
Резонансная
— амплитуда 42
— система 350
— частота 42
Резонансные колебания 40
Реономная связь 22
Решетка вибрационная 349
Ротационное движение 7
Самовозбуждающиеся колебания 133, 152»
273
Самонастройка вибромашин 351
Самосинхронизация 152, 238
Свободное движение 24
Свободные колебания 24
Связанные
— колебания 347
— координаты 65
Седло 125
Сепаратор вибрационный 349
Сепаратриса 125
Силовое возбуждение 37
Сильвестра критерий 60
Синусная компонента 20
Синусоидальная функция 7
Синусоидальные колебания 7
Синусоидальный
— вынуждающий момент 174
— динамический винт 175
Синфазная синхронизация 244
Синфазные колебания 9
Синхронизирующий момент 249
Синхронная частота 240
Синхронное движение 245
Синхронные колебания 9
Система 22
— с бесконечно большим числом степеней
свободы 23
— с двумя степенями свободы 62
— с несколькими степенями свободы 57, 62
— с ’/2 степени свободы 35
— с одной степенью свободы 24
— с распределенными параметрами 75
Сито вибрационное 349
Скачкообразное изменение состояния си-
стемы 270
Скачок угловой скорости дебаланса 291
Склерономная связь 22
Скорость распространения волны 79
Сложение колебаний 12
Собственная частота 26
Собственные
— колебания 26
— формы 65, 83
Соколеблющаяся масса 206
Сопротивление 28
Состояние системы 23
Сохранения энергии закон 153
Спектральная плотность 20
Сплошная среда 75
Сплошной спектр 19
Средняя мощность 158
Статическая неуравновешенность 17Г
Статический момент массы дсбаланса 173
Стационарная связь 22
Стационарные вынужденные колебания 42
Степени свободы 23
Стохастическая система 23
Стоячая волна 78
Структурная вязкость 312
Струна 76, 114
Субгармонические колебания 7, 152, 279,
296
Супергармоническая система 350
Супергармонические колебания 7
Супергармонический вибропривод 219
Суперпозиции принцип 150
Суперпозиция колебаний 13
Текущая мощность 159
Тиксотропия 312
Тон 17
Точение вибрационное 351
Точечное отображение
— отрезка в себя 268
— поверхности в себя 274
Точечных отображений метод 267, 277,
293
Травление с применением вибрации 351
Угловая частота колебаний 9
Угол потерь 30
Удар
— второго рода 263
— первого рода 263
— третьего рода 263
Ударио-вибрационная
— грунтоуплотняющая машина 320
— система 296
Ударно-вибрациоиное
— выдергивание 319
— погружение 313
— уплотнение 320
Ударно-колебательная
— машина 287, 293
— система 263, 277, 293
Ударно-вибрационный привод 263
Узел 126
Укладка вибрационная 350
Умножение частоты колебаний 219
Уплотнение вибрационное 349
Условие
— плавного регулирования 235
— устойчивости неподвижной точки в па-
раметрической форме 271
— устойчивости синхронного движения 245
— устойчивости стационарного режима 232
— устойчивости фазы вращения 252
Устойчивая неподвижная точка 269
Устойчивое
— равновесие 59
— решение дифференциального уравне-
ния 119
Устойчивость неподвижной точки 269
Устойчивый
— предельный цикл 269
— узел 126
— фокус 125
Фаза колебаний 8
— начальная 8
Фазовая
— плоскость 121
— скорость 122
- траектория 122
Фазовое пространство 121
Фазовые координаты 274
Фазовый
— портрет 129
— спектр 17
— угол 11
Фазо-частотиая характеристика 40, 92
Фильтрование с применением вибрации 351
Фокус 125
Фрезерование вибрационное 351
Фрикционно-планетарный вибровозбудитель
195, 257
Фундаментальная система решений 117
Фундаментальные функции 89
Функция
— последования 269
— распределения амплитуд 20
— распределения начальных фаз 20
— рассеяния 61
Фурье
— интеграл 19
— метод 78
— ряд 16
— усеченный ряд 17
Характеристический показатель 119
Характеристическое уравнение 63, 118,
274
Хевисайда функция 294
Хилла уравнение 119
Центр 124
— качаний 200
— колебаний 188
— удара 200
Центрированная система 183, 196
Центробежное возбуждение 46, 96
Центробежный вибровозбудитель 171, 213
Циклическая частота 9
Циклическое движение 7
Цилиндрическое фазовое пространство 273
Циркуляционное движение 7, 15
Циркуляция энергии 157
Частота колебаний 9
Частотные характеристики 90
Частотный анализ колебаний 16
Шлифование вибрационное 351
Штампование
— вибрационное 351
— ударно-вибрационное 351
Эквивалентной линеаризации метод 140
Экстракция с применением вибрации 351
Эксцентриситет массы дебаланса 181
Электролиз с применением вибрации 351
Эллиптическая
— вынуждающая сила 174
— поляризация 7
Эллиптические колебания 187, 189
Эллиптический интеграл
— второго рода 217
— первого рода 215
Эмульгирование с применением вибра-
ции 351
Эффективная частота вибрирования 337
Эффективный коэффициент трения 309
ГЛАВЛЕНИЕ
Эт автора......................... ........................... 3
введение......................................................... 4
"лава I. Колебательное движение .... 6
§ 1. Основные понятия и определения .... 6
§ 2. Кинематика синусоидальных колебаний . . 9
§ 3. Сложение колебаний......................... . . 12
§ 4. Понятие о частотном анализе колебаний .... .16
"лава II. Колебания линейных систем с постоянными параметрами 22
§ 5. Механические системы ......... .22
§ 6. Свободные движения системы с одной степенью свободы . 24
§ 7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
при синусоидальном силовом возбуждении ..... 37
§ 8. Центробежное и кинематическое возбуждение колебаний п сис-
тема с принудительным движением массивного элемента . 46
§ 9. Действие полигармонических и непериодических возбуждений 50
§ 10. Общий подход к составлению дифференциальных уравнений
движения . ................... . 57
§ 11. Системы с двумя и несколькими степенями свободы ... 62
§ 12. Системы с распределенными параметрами . . 75
§ 13. Частотные характеристики .... .90
§ 14. Динамическое управление колебаниями . .110
\лава III, Параметрические и нелинейные системы .114
§ 15. Параметрические системы ...... . .114
§ 16. Автономные нелинейные системы . . . 121
§ 17. Метод последовательных приближений . .134
§ 18. Метод гармонического баланса . . .137
§ 19. Метод малого параметра . . ... . 140
§ 20. Метод припасовывания........................ . 144
§ 21. Некоторые особенности нелинейных систем . 150
лава IV. Энергетические соотношения при колебаниях .153
§ 22. Преобразование и рассеяние энергии при свободных колебаниях 153
§ 23. Мощность, необходимая для поддержания вынужденных коле-
баний. Циркуляция энергии между ее источником и колеблю-
щейся системой.............................................. .157
§ 24. Максимум средней мощности вибровозбудителя . . . .161
52
Глава V. Основы динамики центробежных вибровозбудителей . . 171
§ 25. Схемы генерирования одночастотных вынуждающих воздействий 171
§ 26. Приведение жесткостей, коэффициентов сопротивления и масс 175
§ 27. Общие уравнения движения системы с центробежным вибро-
возбудителем ...................... ................... . 180
§ 28. Вибровозбудитель с направленной вынуждающей силой . 183
§ 29. Вибровозбудитель с круговой вынуждающей силой . .188
§ 30. Силовые взаимодействия и потребляемая мощность . . 191
§ 31. Маятниковый внбровозбудитель . ...... 196
§ 32. Глубинный вибратор........................ . . 205
Глава VI. Нелинейные задачи динамики центробежных вибровозбуди-
телей . ... . . 213
§ 33. Неравномерность вращения дебалансов .213
§ 34. Умножение частоты колебаний..............................219
§ 35. Ограничения, налагаемые двигателем. Стационарные и переход-
ные режимы .... . ... . 230
§ 36. Самосинхронизация и вибрационное поддержание вращения . 238
§ 37. Оптимальная форма дебалансов.............................252
§ 38. Некоторые особенности фрикционно-планетарных внбровозбу-
дителей . . . ..................................257
Глава VII. Основы динамики ударно-вибрационного привода . 263
§ 39. Простейшая ударно-колебательная система..................263
§ 40. Метод точечных отображений...............................267
§ 41. Вопросы динамики вибромолотов и вибротрамбовок . . . 277
§ 42. Некоторые особенности ударно-вибрационного привода с цент-
робежными впбровозбудителямп .... ... 291
§ 43. Баланс мощности ударно-вибрационной машины .... 303
Глава VIII. Вибрационные процессы ....................308
§ 44. Влияние вибрации на диссипативное сопротивление обрабаты-
ваемой среды...................................................308
§ 45. Вибропогружение и вибротрамбование . . ... 313
§ 46. Вибрационное транспортирование........................ . 324
§ 47. Эффективная частота вибрирования-смесей, содержащих зернис-
тый заполнитель.......................................... .... 337
Глава IX. Вопросы виброизоляции . . . 342
§ 48. Виброизоляция систем с одной степенью свободы .... 342
§ 49. Виброизоляция систем с несколькими степенями свободы . 345
Заключение . ... ... 349
§ 50. Развитие вибрационной техники и задачи научных исследований 349
§ 51. О классификации вибромашин ... . . 351
Литература . .................. ... 354
Предметный указатель......................................... ... 358
Исидор Иделевич Б ы х о в с к и й
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ
Редактор издательства А. П. Бирюков
Технический редактор В. Д. Элькинд
Корректор А. П. Кузнецова
Переплет художника Ю. И. Соколова
Сдано в производство 22/1II 1968 г.
Подписано к печати 14/XI 1968 г.
Т-17028 Тираж 5000 экз. Печ. л. 22,75
Бум. л. 11,38 Уч.-изд. л. 23,0
Формат 60 X 9О’/1б Цена 1 р. 42 к. Зак. № 150
Издательство «МАШИНОСТРОЕНИЕ»,
Москва, Б-66, I-й Басманный пер., 3
Экспериментальная типография ВНИИПП
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, К-51, Цветной бульвар, 30
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Страница Строка
17 1 - я снизу
61 Формула (22)
82 2-я сверху
119 17-я снизу
132 1-я снизу
158 Формула (3)
203 Рис. 70
339 16-я снизу
Напечатано
Должно быть
но{
d dL dL
dt dq; dq,
A cos сХГ
Cl
m
1
= —Faxasin<p -
cos 61 + cos (2<ot — 0t)
(2) § 20
f(0 = {
d dL dL
dt dq, dqt
A cos ckt
Imp
Cl
m
1
=» Faxa(t> sin <p
| cos 0г 4- cos (2otf — 0 j) |
(2) (cm. § 20)
И. И. Быховский, Зак. № 150.