г
РГАСНТИ 27.17.35 ISSN 0233—6723
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
всесоюзный институт научной и технической информации
(ВИНИТИ)
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том 20
Научный редактор и составитель
член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелндзе
Серия издается с 1985 г.
МОСКВА 1988
1-8731 7

УДК 512.81; 512.816
Главный редактор информационных изданий ВИНИТИ
профессор П. В. Нестеров
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: каид. физ.-мат. наук Д. Л. Келенджеридэе,
канд. физ.-мат. наук М. К- Керимов, академик А. Н. Колмогоров,
чл.-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
академик Е. Ф. Мищенко, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
академик Л. С. Понтрягин, профессор В. К. Саульев,
профессор А. Г. Свешников
Редакторы-составители серии
к. ф.-м. и. А. А. Аграчев, академик Е. Ф. Мищенко,
профессор Я. М. Остиану, академик Л. С. Понтрягин
Научный редактор серии В. П. Сахарова
Литературный редактор серии 3. А. Измайлова
Научный консультант по вопросам полиграфии
Заслуженный деятель культуры М. И. Левштейн
© ВИНИТИ, 1988
ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРЫ ЛИ-Г
Консультирующий редактор-составитель тома
А. Л. Онищик

Редактор-составитель тома В. В. Никулин
Авторы
Э. Б. Винберг, В. В. Горбацетч, А. Л. Онищик
УДК 512.81
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик
СОДЕРЖАНИЕ
Введение '
Глава 1. Первоначальные сведения 8
§ 1. Группы Ли, их подгруппы и гомоморфизмы 9
1.1. Определение группы Ли 9
1.2. Подгруппы Ли J0
1.3. Гомоморфизмы групп Ли 12
1.4. Линейные представления групп Ли 12
1.5. Локальные группы Ли .14
§ 2. Действия групп Ли 15
2.1. Определение действия 15
2.2. Орбиты и стабилизаторы 15
2.3. Образ и ядро гомоморфизма 17
2.4. Орбиты компактных групп Ли 18
§ 3. Многообразия смежных классов и факторгруппы групп Ли 18
3.1. Многообразие смежвых классов 18
3.2. Факторгруппа Ли 21
3.3. Теоремы о транзитивном действии и об эпиморфизме . . 21
3.4. Полный прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме ... 22
3.5. Полупрямые произведения групп Ли ....... 23
§ 4. Связвость и односвязность групп Ли 24
4.1. Связные компоневты групп Ли . 25
4.2. Исследование связности классических групп Ли .... 26
4.3. Накрывающие гомоморфизмы 28
4.4. Одиосвизиая накрывающая группа Ли 30
4.5. Исследовавие односвязности классических групп Ли 31
Глава 2. Связь между группами Ли и алгебрами Ли . . : . 33
§ 1. Функтор Ли 33
1.1. Касательная алгебра группы Ли 33
1.2. Векторные поля на группе Ли 35
1.3. Дифферевциал гомоморфизма групп Ли 36
1.4. Двффереициал действия группы Ли . 38
1.5. Касательная алгебра стабилизатора . - . ..... 39
1.6. Присоедииевиое представление 40
§ 2. Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр ... 41
2.1. Дифференциальное уравнение пути в группе Ли ... . 41
2.2. Теорема едииствеиности 42
2.3. Виртуальные подгруппы Ли 42
2.4. Соответствие между подгруппами Ли и подалгебрами
касательной алгебры 43
2.5. Деформация пути в группе Ли 45
i 2l6. Теорема существования . . . 45

2.7. Коммутативные группы Лн *о
•§ 3. Экспоиеициальиое отображение 2»
3.1. Однопараметрические подгруппы 48
3.2. Определение и основные свойства экспоненциального
отображения J?
3.3. Дифференциал экспоненциального отображения .... &и
3.4. Экспоиеициальиое отображение в полной линейной группе . 51
ЗА. Теорема Картаиа |~
3.6. Подгруппа неподвижных точек автоморфизма группы Ли . od
$ 4. Автоморфизмы н дифференцирования j**
4.1. Группа автоморфизмов 53
4.2. Алгебра дифференцирований *»
4.3. Касательная алгебра полупрямого произведения групп Ли . 55
§ 5. Коммутант и радикал ^
5.1. Коммутант |Ц
5.2. Замыкание Мальцева £°
5.3. Строение виртуальных подгрупп Ли 59
5.4. Взаимный коммутант "V
5.5. Разрешимые группы Ли «1
5.6. Радикал £2
5.7. Нильпотентиые группы Ли Ьл
Глава 3. Универсальная обертывающая алгебра «I
§ 1. Простейшие свойства универсальных обертывающих "алгебр 65
1.1. Определение и конструкция |*>
1.2. Теорема Пуаикаре-^Биркгофа—Витта ЬЬ
1.3. Симметризация 6°
1.4. Центр универсальной обертывающей алгебры о»
1.5. Тело частных универсальной обертывающей алгебры ... 70
§ 2. Биалгебры, связанные с алгебрами Ли и группами Ли 71
2.1. Биалгебры ''
2.2. Правоинвариаитиые дифференциальные операторы на
группе Ли ... ■. 1г
2.3. Биалгебра, связанная с группой Ли '*
§ 3. Формула Кэмпбелла—Хаусдорфа .• 75
3.1. Свободные алгебры Ли ^°
3.2. Ряд Кэмпбелла—Хаусдорфа ''
3.3. Сходимость ряда Кэмпбелла—Хйусдорфа ...... 78
Глава 4. Обобщения групп Ли 79
§ 1. Группы Ли над полными нормированными полями .... /У
1.1. Нормированные поля ^9
1.2. Основные определения и примеры °у
1.3. Действия групп Ли °j
1.4. Стандартные группы Ли над иеархимедовым полем ... 81
1.5. Касательная алгебра °2
§ 2. Формальные группы °3
2.1. Определение и простейшие свойства 8с5
2.2. Касательная алгебра формальной группы 84
2.3. Биалгебра, связанная с формальной группой 85
§ 3. Бесконечномерные группы Ли 86
3.1. Банаховы группы Ли 87
3.2. Соответствие между банаховыми группами Ли и банаховыми
алгебрами Ли °°
3.3. Действия банаховых групп Ли иа конечномерных
многообразиях °9
3.4. Группы Ли—Фреше .... w
3.5. ILB- и ILH-группы Ли 92
§ 4. Группы Ли и топологические группы •**
4.1. Непрерывные гомоморфизмы групп Ли 93
4.2. 5-я проблема Гильберта 94
§ 5. Аналитические лупы 9*
б
5.1. Основные определения и примеры 95
5.2. Касательная алгебра аналитической лупы 96
5.3. Касательная алгебра диассоциативиой лупы 97
5.4. Касательная алгебра лупы Боля 98
Литература 99
ВВЕДЕНИЕ
Теория групп Ли, которой посвящена настоящая статья,
относится к числу классических, хорошо разработанных
разделов математики. Ей посвящен целый ряд монографий (см.,
например, [16], [17], [24], [26], [34], [52], [53], [55]). Эта теория
возникла в конце прошлого века в работах С. Ли, ставившего
своей целью применение алгебраических методов в теории
дифференциальных уравнений и геометрии. За прошедшие сто
лет понятия и методы теории групп Ли проникли во многие
разделы математики и теоретической физики и стали их
неотъемлемой частью.
Первые три главы настоящей статьи содержат
систематическое изложение основ теории групп Ли. Здесь мы постарались
привести краткие доказательства большинства важнейших
теорем. Некоторые более сложные теоремы, не используемые в
тексте, приведены без доказательства. Особый характер носит
глава 4, в которой дан обзор некоторых современных
обобщений групп Ли.
Авторы сознательно не касались структурных вопросов
теории групп и алгебр Ли, в частности, теории полупростых
групп Ли. Этим вопросам будет посвящена отдельная статья в
одном из следующих томов настоящего издания.
На протяжении всей статьи группы Ли, как правило,
обозначаются заглавными латинскими буквами, а их касательные
алгебры — соответствующими строчными готическими буквами.
Используются также следующие обозначения:
G0 — связная компонента единицы группы Ли (или
топологической группы) G;
G'=(G, G)—коммутант группы G; G(p)=(G1p-1\ G**»-»);
Rad G — радикал группы Ли G;
radg — радикал алгебры Ли 8;
X]—полупрямое произведение групп (нормальная подгруп-
ла слева);
-Э— полупрямая сумма алгебр Ли (идеал слева);
Т —группа комплексных чисел, по модулю равных 1;
ехр — экспоненциальное отображение;
Ad — присоединенное представление группы Ли;
ad — присоединенное представление алгебры Ли;
7

Aut/4 — группа автоморфизмов группы или алгебры Л;
Int G — группа внутренних автоморфизмов группы G;
Der А — алгебра Ли дифференцирований алгебры А;
Int q—группа внутренних автоморфизмов алгебры Ли g;
GL(У)—группа всех автоморфизмов (обратимых линейных
преобразований) векторного пространства V;
Ln{K) — ассоциативная алгебра всех квадратных матриц
порядка п над полем К;
QLn(K) —группа всех невырожденных матриц порядка п
над К;
SLn(К) —группа всех матриц порядка п с определителем,
равным 1;
PGLn(K) =GL„(К)/№} — проективная линейная группа;
GLn+(R) —группа всех вещественных матриц порядка п с
положительным определителем;
0„(/С) — группа всех ортогональных матриц порядка п
над К;
SOn(/C)=On(/C)nSU(/C);
Sp„(/Q—группа всех симплектических матриц порядка п
над К (п четно);
Oh,i — группа псевдоортогональных вещественных матриц
сигнатуры (k, I);
SOw=OwnSLn(R);
О'ы — группа псевдоортогональных матриц сигнатуры
(k, l) с положительным левым верхним угловым минором
порядка k;
Un — группа унитарных комплексных матриц порядка п;
U/ы — группа псевдоунитарных комплексных матриц
сигнатуры (й, /);
SU„=UnnSLn(C); SUw=Uk,,nSLk+i(C).
Глава 1
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Мы предполагаем известными основные понятия теории
дифференцируемых многообразий. Однако во избежание
недоразумений определения некоторых из них даются в тексте.
Основное поле — поле R вещественных чисел или поле С
комплексных чисел — обозначается через К-
Дифференцируемость функций вещественных переменных,
если не оговорено противное, понимается таким образом, что
в каждом случае существует столько производных, сколько
требуется. Соответственно этому понимается
дифференцируемость многообразий и отображений.
8
Якобиева матрица системы дифференцируемых функций
/i»-.-t/m от переменных хи...,хп обозначается через
у* *т; . При т=п ее определитель (якобиан) обозна-
ч*е™ чеРез £&;:::;£!•
Касательное пространство многообразия X в точке х
обозначается через ТХ(Х), а дифференциал отображения f: X-*-Y
в точке х — через dxf. Во многих случаях, когда ясно, какая
точка имеется в виду, индекс в обозначениях касательного
пространства и дифференциала опускается.
Все дифференцируемые многообразия предполагаются
обладающими счетной базой открытых подмножеств.
§ 1. Группы Ли, их подгруппы и гомоморфизмы
1.1. Определение группы Ли. Группой Ли над полем К
называется группа G, снабженная структурой
дифференцируемого многообразия над К таким образом, что отображение
piGXG-+G, (x,y)>-*xy,
дифференцируемо. Иначе говоря, координаты произведения
двух элементов должны быть дифференцируемыми функциями
от координат множителей.
С помощью теоремы о неявных функциях легко получить,
что во всякой группе Ли инверсия
t:G-*G, x^x'1,
также является дифференцируемым отображением.
Группы Ли над С называются комплексными группами Ли,
группы Ли над R — вещественными группами Ли. Любая
комплексная группа Ли может рассматриваться как вещественная
группа Ли вдвое большей размерности.
Можно рассматривать также аналитические группы Ли,
считая, что многообразие G и отображение \i являются
аналитическими над полем К- Очевидно, всякая комплексная группа
Ли является аналитической, но и в вещественном случае
оказывается, что на любой группе Ли существует атлас с
аналитическими функциями перехода, в котором отображение [х
записывается аналитическими функциями (см. п. 3.3 главы 3).
Примеры. 1. Аддитивная группа прля К (мы будем ее
обозначать также через /С).
2. Мультипликативная группа К? поля К.
3. «Окружность» Т={геСх :' \z\ =1} есть вещественная
группа Ли.
4. Группа GLn(K) невырожденных матриц порядка п над
полем К, дифференцируемая структура на которой
определяется как на открытом подмножестве векторного пространства
9-

Ln(K) всех матриц, т. е. (глобальными) координатами служат
матричные элементы.
5. Группа GL(V) невырожденных линейных преобразований
л-мерного векторного пространства V над полем К может
рассматриваться как группа Ли в силу изоморфизма
<3L(V)^ GLn(/C), сопоставляющего каждому линейному
преобразованию его матрицу в фиксированном базисе.
6. Группа GA(S) (обратимых) аффинных преобразований
л-мерного аффинного пространства S над полем К также
естественным образом наделяется дифференцируемой структурой,
при которой она становится группой Ли. А именно, в
аффинной системе координат пространства S аффинные
преобразования записываются в виде X*-*- АХ-\-В, где X— столбец
координат точки, А — невырожденная квадратная матрица, В —
столбец. Элементы матрицы А и столбца В и могут служить
(глобальными) координатами на группе GA(S).
7. Любая конечная или счетная группа, снабженная
дискретной топологией и структурой нульмерного
дифференцируемого многообразия.
Прямое произведение групп Ли есть прямое произведение
абстрактных групп, наделенное дифференцируемой структурой
как прямое произведение дифференцируемых многообразий.
Группа Ли Кп (прямое произведение п экземпляров
аддитивной группы поля К) называется «-мерной векторной
группой Ли. Группа Ли Тп (прямое произведение п экземпляров
группы Т) называется n-мерным тором.
1.2. Подгруппы Ли. Подгруппа Я группы Ли G называется
подгруппой Ли, если она является подмногообразием
многообразия G.
Напомним, что m-мерным подмногообразием п-мерного
дифференцируемого многообразия X называется подмножество
YaX, для любой точки у которого выполнено одно из
следующих эквивалентных условий:
(1) в локальной системе координат в некоторой
окрестности U точки у подмножество Y(]U может быть задано
параметрически в виде
Xi—^i{ti,'...,tm) (1=1 П),
де qpi, ..., ф„ — дифференцируемые функции в некоторой области
пространства Кт и ранг матрицы А„' '"'^ в точках этой
О (ti, ..., tm)
области равен т;
(2) в локальной системе координат в некоторой
окрестности U точки у подмножество Y[\U может быть задано
уравнениями вида
U(хи ■ ■ ■,хп) =0 (£—1.... ,п—т),
где /м ..., /п_т — дифференцируемые функции и ранг матрицы
(/i. ■•■, fn-m) в точках окрестности U равен п—т;
О \-X\i • • •» Хп)
ю
(3) в подходящей локальной системе координат в
некоторой окрестности U точки у подмножество Y[]U задается
уравнениями
■£т+1 = • • • Хп У.
(Иногда термины «подмногообразие» и, соответственно,
«подгруппа Ли» понимают более широко. В настоящей книге
этому более широкому толкованию отвечает термин «виртуальная
подгруппа Ли»; см. п. 2.3 гл. 2. Подгруппы Ли в нашем смысле
называют также «замкнутыми подгруппами Ли».)
Всякое m-мерное подмногообразие дифференцируемого
многообразия несет структуру m-мерного дифференцируемого
многообразия, локальными координатами на котором могут
служить, например, параметры t\,...,tm из условия (1). Всякая
подгруппа Ли, снабженная этой дифференцируемой
структурой, сама является группой Ли.
С топологической и дифференцируемой точек зрения любая
подгруппа Я группы Ли G в любой точке ЫН устроена так же,
как в единице, так как она переходит в себя при сдвиге (левом
или правом) на h, который является диффеоморфизмом
многообразия G. Поэтому для проверки того, что подгруппа Я
является подгруппой Ли, достаточно установить, что она является
подмногообразием в некоторой окрестности единицы.
Примеры. 1. Любое подпространство векторного
пространства является подгруппой Ли векторной группы Ли.
2. Группа Т (см. пример 3 п. 1.1) является подгруппой
Ли группы Сх, рассматриваемой как вещественная группа Ли.
3. Любая дискретная подгруппа является подгруппой Ли.
4. Группа невырожденных диагональных матриц является
подгруппой Ли группы Ли GLn(/C).
5. Группа невырожденных треугольных матриц является
подгруппой Ли группы Ли GL„ (К) ■
6. Группа SLn(/C) унимодулярных матриц является
подгруппой Ли коразмерности 1 группы Ли GLn(/C).
7. Группа Оп(/С) ортогональных матриц является
подгруппой Ли размерности 2~ ГРУППЫ Ли GLn(/C).
8. Группа Spn(/C) (n четно) симплектических матриц
является подгруппой Ли размерности г-^—- группы Ли
GU(K).
9. Группа Un унитарных матриц является вещественной
подгруппой Ли размерности п2 группы Ли GL„(C).
Подгруппа Ли группы Ли GL(V) (в частности, группы Ли
ОЬ„(/С)=ОЬ(/Сп)) называется линейной группой Ли.
Как любое подмногообразие, подгруппа Ли открыта в своем
замыкании. Однако, всякая открытая подгруппа
топологической группы одновременно замкнута, так как она является
дополнением к объединению своих смежных классов, которые,
И

как и она сама, открыты. Поэтому всякая подгруппа Ли
замкнута. Для вещественных групп Ли верно и обратное: см.
теорему 3.6 гл. 2.
1.3. Гомоморфизмы групп Ли. Пусть G и Н — группы Ли.
Отображение /: G->~H называется гомоморфизмом, если оно
является одновременно гомоморфизмом абстрактных групп и
дифференцируемым отображением. Гомоморфизм / : G-+H
называется изоморфизмом, если существует обратный
гомоморфизм f~l: H-+-G, т. е. если f является одновременно
изоморфизмом абстрактных групп и диффеоморфизмом многообразий
(впрочем, см. по этому поводу следствие теоремы 3. 4).
Примеры. 1. Экспоненциальное отображение х**-е?
является гомоморфизмом аддитивной группы Ли К в
мультипликативную группу Ли Кх.
2. Отображение A^detA является гомоморфизмом группы
Ли GLn(/C) в группу Ли /Сх.
3. Для любого элемента g группы Ли G внутренний
автоморфизм a(g) : xi-> gxg~l является ее автоморфизмом как
группы Ли.
4. Отображение х>-+е'х является гомоморфизмом группы Ли
R в группу Ли Т.
5. Отображение, сопоставляющее каждому аффинному
преобразованию аффинного пространства его дифференциал
(линейную часть), есть гомоморфизм группы Ли GA(S) (см.
пример 6 п. 1.1) в группу Ли GL(V), где V — векторное
пространство, ассоциированное с S.
6. Любой гомоморфизм конечной или счетной группы в
группу Ли является гомоморфизмом в смысле теории групп Ли.
Очевидно, что композиция гомоморфизмов групп Ли также
является гомоморфизмом групп Ли.
1.4. Линейные представления групп Ли. Гомоморфизм
группы Ли G в группу Ли GL(V) называется ее линейным
представлением в пространстве V.
Например, если каждой матрице A£GLn{K) сопоставить
линейные преобразования Ad (Л) и Sq(/4) пространства Ln(K)r
определяемые по формулам
Ad{A)X=AXA~\ Sq(A)X=AXAT, (l)
то мы получим линейные представления Ad и Sq группы Ли
GL„(/C) в пространстве Ln(K)-
Иногда рассматривают комплексные линейные
представления вещественных групп Ли или вещественные линейные
представления комплексных групп Ли. В первом случае
подразумевают, что группа линейных преобразований комплексного
векторного пространства рассматривается как вещественная
группа Ли, во втором — что данная комплексная группа Ли
рассматривается как вещественная.
Пусть R и S — линейные представления некоторой группы G
в пространствах V и U соответственно. Напомним, что суммой
12
представлений R и S называется линейное представление
R-\-S группы G в пространстве V®U, определяемое по формуле
(R+S) (g) (v+u) = R (g) v+S (g) и; (2)
произведением представлений R и S называется линейное
представление RS группы G в пространстве V&U, определяемое на
разложимых элементах по формуле
(RS)(g)(v®u)=R(g)v®S(g)u. (3)
Аналогично определяется сумма и произведение любого
конечного числа представлений.
Представлением, сопряженным (контраградиентным) к
представлению /?, называется представление R* группы G в
пространстве V*, сопряженном к V, определяемое по формуле
(R*(g)f)(v)=f{R(g)-lv). (4)
Легко видеть, что если R и S — линейные представления
группы Ли G, то представления R-\-S, RS и R* также
являются ее линейными представлениями как группы Ли (т. е.
дифференцируемы) .
Для любых целых k, />0 тождественное линейное
представление Id группы Ли GL(V) в пространстве V порождает ее
линейное представление 7Y/ = Id*(Id*)' в пространстве
V®...®V®V*®-..®V* тензоров типа (k, l) на V. Приведем
% Г
удобные интерпретации представлений Ты в двух наиболее
часто встречающихся случаях: &=0 и k=\.
Тензоры типа (0, /) можно рассматривать как /-линейные
формы на V. Для такой формы f имеем
(T»,i(A)f) (vu ...,Vl) =f (Л-iy,,..., Л-Ч). (5)
Тензоры типа (1, /) можно рассматривать как /-линейные
отображения V X • • • УУ-+У. Для такого отображения F
имеем
(Ti.,{A)F)(vl о/) = Л^(Л-1г>1, ..., A~h>,). (6)
Представления Ad и Sq группы GLn(/C), рассмотренные
выше, суть не что иное, как ее представления в пространствах
тензоров (на пространстве /С") типов (1,1) и (2,0)
соответственно, записанных в матричной форме.
Если R — линейное представление какой-либо группы G в
пространстве V и UczV—инвариантное подпространство, то
естественным образом определены подпредставление Ru ■ G-*-
-+GL(U) и факторпредставление Rv/u ■ G->-GL(V/U).
Очевидно, что всякое подпредставление и всякое фактор-
представление линейного представления группы Ли G
являются ее линейными представлениями как группы Ли.
13

Особую роль в теории групп играют одномерные
представления, которые суть не что иное, как гомоморфизмы данной
группы G в мультипликативную группу основного поля. Они
называются характерами" группы G. Характеры образуют
группу относительно операции умножения представлений;
инверсией в этой группе служит переход к сопряженному
представлению. Мы будем обозначать группу характеров группы G
через S6{G). Она традиционно записывается аддитивно, так что
согласно определению
(XI+Ы (я) =xi(*)»(*) (xi. x»ea?((G)).
В контексте теории групп Ли характеры предполагаются
дифференцируемыми.
1.5. Локальные группы Ли. В некоторых случаях бывает
полезен локальный вариант понятия группы Ли. Локальной
группой Ли называется дифференцируемое многообразие U
вместе с отмеченной точкой е (единицей), ее окрестностью V и
дифференцируемым отображением (умножением)
(х: V X V -+ U, (х, у)~ху,
удовлетворяющим условиям ех=хе=х и (xy)z=z(yz) при
х, у, z, xy, yz&V. Из этих условий следует существование такой
окрестности единицы WcV и такого дифференцируемого
отображения (инверсии)
что хх~1 = х~1х—е при x£W. Всякую группу Ли G можно
рассматривать как локальную группу Ли, взяв V=U=G.
При замене U и V окрестностями единицы U{ и VicV{]Uu
удовлетворяющими условию ViViCzUi, получается также
локальная группа Ли, называемая ограничением исходной.
Понятие ограничения по транзитивности порождает некоторое
отношение эквивалентности локальных групп Ли. Строго говоря,
локальной группой Ли называют класс определенной таким
образом эквивалентности. Две локальные группы Ли
называются изоморфными, если для некоторых их ограничений (Uu eu
Vu \i{) и (U2, e2, V2, (х2) существует диффеоморфизм f : Ui-*-U2,
удовлетворяющий условиям f(e\)=e2, f(V{) = V2 и f(xy) =
=f(x)f(y) при x,y£Vy. Нетрудно видеть, что изоморфность
локальных групп Ли является отношением эквивалентности.
Понятия подгруппы Ли, гомоморфизма групп Ли и т. п.
имеют естественные локальные аналоги, и многие теоремы
теории групп Ли могут быть сформулированы и доказаны для
локальных групп Ли (некоторые из них при этом даже
упрощаются). Однако теория локальных групп Ли не имеет
самостоятельного статуса по той причине, что всякая локальная
'> В данном случае термин «характер» употреблен в узком смысле.
В более широком смысле характер понимается как след любого (не
обязательно одномерного) линейного представления.
14
группа Ли апостериори оказывается ограничением некоторой
группы Ли. (Это следствие теоремы существования группы Ли
с заданной касательной алгеброй: см. теорему 2.11 гл. 2.)
В рамках теории групп Ли значение понятия локальной
группы Ли состоит в основном в том, что оно дает
возможность употребления локальной терминологии. Например, две
группы Ли называются локально изоморфными, если они
изоморфны как локальные группы Ли. Это определение является
точным истолкованием интуитивно понимаемого высказывания
«данные группы Ли одинаково устроены в окрестности
единицы».
§ 2. Действия групп Ли
2.1. Определение действия. Гомоморфизм а группы Ли G в
группу DiffX диффеоморфизмов дифференцируемого
многообразия X называется ее действием на X, если отображение
GxX-»-X, (g,x)*+ a(g)x, дифференцируемо.
Примеры. 1. Для любой группы Ли G можно определить
следующие три ее действия /, г, а на самой себе:
Hg)*=gx, r(g)x=xg~\ a{g)x=gxg~l.
2. Естественное действие группы CjLn(K) в проективном
пространстве Р(/Сп) является действием в смысле теории
групп Ли.
3. Всякое линейное представление R: G->-GL(V) группы Ли
G можно рассматривать как ее действие в пространстве V,
Такое действие называется линейным.
4. Аналогично, всякий гомоморфизм f: G-^GA(S) можно
рассматривать как действие группы Ли G на аффинном
пространстве S. Такое действие называется аффинным.
Очевидно, что композиция действия а: G->-Diff X и
гомоморфизма f : H-+-G есть действие группы Ли Я на
многообразии X.
В тех случаях, когда будет ясно, о каком действии идет
речь, мы будем писать вместо a(g)x просто gx.
Действия групп Ли подробно рассматриваются во второй
статье настоящего тома. Мы будем пользоваться без особых
пояснений некоторыми общепринятыми терминами,
определяемыми в этой статье.
2.2. Орбиты и стабилизаторы. Пусть задано действие а
группы Ли G на многообразии X, и пусть х — точка этого
многообразия. Рассмотрим отображение ах: G-*-X, g^a(g)x. Его
образ есть не что иное, как орбита a(G)x точки х, а полный
прообраз точки х есть ее стабилизатор
Gx={gdG:a{g)x=x}.
Полные прообразы других точек орбиты суть смежные классы
по Gx-
15

Из определения действия группы Ли следует, что
отображение ах дифференцируемо, а из коммутативности диаграммы
'(*)! 1о(г)
«г
при любом g$G — что оно имеет постоянный ранг.
Известно (см., например, [27]), что дифференцируемое
отображение f : X-+-Y, имеющее постоянный ранг k, линеаризуемо
в окрестности любой точки многообразия X. Отсюда следует,
что
(1) полный прообраз любой точки y=f(x) есть
подмногообразие коразмерности k в X, причем Tx(f~l(у)) =Ker<£rf;
(2) для любой точки хЪХ образ некоторой ее окрестности
U есть подмногообразие размерности k в Y, причем
Tm(f(U))=dxf{Tx(X));
(3) если f(X) —подмногообразие в У, то &\mf(X)=k.
■^ Последнее доказывается следующим образом: если бы
было dimf(X)>kt то в силу (2) многообразие f(X) было бы
покрыто счетным числом подмногообразий меньшей
размерности, что невозможно.►
Применяя сказанное к построенному выше отображению ах,
получаем следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть задано действие а группы Ли G на
дифференцируемом многообразии X. Для любой точки хВХ
отображение а* имеет постоянный ранг и, если этот ранг равен
k, то
1) стабилизатор Gx есть подгруппа Ли коразмерности k в
G, причем Te(Gx) =Ker dBax;
2) для некоторой окрестности U единицы в группе G
множество a(U)X есть подмногообразие размерности k в X, причем
Tx(a(U)x)=deax(Te(G));
3) если орбита a(G)x является подмногообразием в X, то
dim a{G)x = k.
Отметим, что орбита не всегда является подмногообразием.
(Контрпример будет приведен в следующем пункте.)
Утверждение 1) теоремы может быть использовано для
доказательства того, что данная подгруппа Я группы Ли G
является подгруппой Ли. Для этого достаточно реализовать Я
как стабилизатор некоторой to4KH для некоторого действия
группы Ли G. Если при этом орбита данной точки является
подмногообразием известной размерности, то утверждение 3)
позволяет найти размерность подгруппы Я.
Применяя эти соображения к представлениям Th,i группы
GL(V) в пространствах тензоров (см. п. 1.4), мы получаем, в
частности, что группа невырожденных линейных преобразова-
16
ний, сохраняющих какой-либо заданный тензор, является
линейной группой Ли.
Примеры. 1. Рассматривая представление группы GL(V)
в пространстве B+(V) симметрических билинейных форм
(симметрических тензоров типа (0,2)), получаем, что группа 0(V, f)
невырожденных линейных преобразований, сохраняющих
заданную симметрическую билинейную форму f, является
линейной группой Ли. Если форма f невырожденна, то ее орбита
открыта в B+(V) и, следовательно,
dimO(l/,/)^dimGL(l/)-dlmg+(l/)^«2—n(n^1)=n(n^1),
где n = dim V.
2. Аналогично, рассматривая представление группы GL(V)
в пространстве 5-(V) кососимметрических билинейных форм,
получаем, что группа Sp(V, f) невырожденных линейных
преобразований, сохраняющих заданную кососимметрическую
билинейную форму f, является линейной группой Ли. Если форма /
невырожденна, то
dim Sp(V, f) =dim GL(V)— dim B_(V) = ^12.
3. Рассматривая представление группы GL(V) в
пространстве билинейных операций на V (тензоров типа (1, 2)), получаем,
что группа автоморфизмов любой алгебры является линейной
группой Ли.
2.3. Образ и ядро гомоморфизма. Пусть f :G-+H —
гомоморфизм групп Ли. Определим действие а группы Ли G на
многообразии Я формулой
<*{g)h = f(g)h,
где в правой части стоит произведение элементов в группе Я.
Иначе говоря, a — это композиция гомоморфизма / и действия
/ группы Я самой на себе левыми сдвигами.
Пусть е— единица группы Я. Тогда ae=f, a(G)e=f(G) и
стабилизатор точки е при действии а есть не что иное, как
ядро Кег/ гомоморфизма f. Применяя теорему 2.1 к действию
а и точке ебЯ, получаем следующую теорему.
Теорема 2.2. Пусть f : G-+H — гомоморфизм групп Ли.
Тогда f — отображение постоянного ранга и, если этот ранг
равен k, то
1) Kerf есть подгруппа Ли коразмерности k в G, причем
Te(Kerf)=Ker4f;
2) для некоторой окрестности U единицы в группе G
множество f(U) есть подмногообразие размерности k в Я, причем
re(f([/))=4f(W)); t „ и
3) если f(G) —подгруппа Ли в Я, то dimf(G)=R.
Пример. Рассмотрим гомоморфизм det: GLn(K)-+Kx-
Его ядро есть группа SLn(/() унимодулярных матриц. Так как
det GLTC (/С) =/Сх, то rkdet=l и, следовательно, SL„ {К) —
подгруппа Ли коразмерности 1 в GLn(/C).
2-8731 23 1?

Ясно, что если /(G)—подмногообразие, то
/(G)—подгруппа Ли в Я. Следующий пример показывает, что / (G) не всегда
является подмногообразием.
Пусть / : R-VT71 — гомоморфизм, определяемый формулой
/(jc)-{eiaiX, ..., еia"x) (oi, ..., a„6R).
Известно (см., например, [22]), что если числа аи ..., ап
линейно независимы над Q, то множество /(R) плотно в Тп (это
так называемая плотная обмотка тора) и, следовательно, при.
п>\ не является подмногообразием. Для того чтобы
множество / (R) было подмногообразием, необходимо и достаточно,
чтобы числа аи ... ,ап были соизмеримы.
2.4. Орбиты компактных групп Ли. Ввиду предыдущего
примера представляет интерес следующее утверждение.
Теорема 2.3. Любая орбита действия компактной группы
Ли является подмногообразием.
Л Пусть задано действие а компактной группы Ли G на
многообразии X и пусть хЪХ. Докажем, что орбита a(G)x—
подмногообразие в X. Для этого достаточно проверить, что она
является подмногообразием в окрестности точки х. Пусть U —
такая окрестность единицы в группе G, что a(U)x—
подмногообразие в X. Орбита a(G)x есть объединение
непересекающихся множеств a(U)x и а(С)х, где C=G\UGX. Так как
множество UGX открыто в G, то его дополнение С замкнуто и,
значит, компактно; но тогда множество а(С)х = ах(С) также
компактно и, значит, замкнуто в X. Таким образом,
пересечение орбиты a(G)x с открытым множеством Х\а(С)х,
содержащим точку х, является подмногообразием. ►
Следствие. Образ компактной группы Ли при
гомоморфизме является подгруппой Ли.
Важнейшие примеры компактных групп Ли (помимо
конечных) — п-мерный тор Т", ортогональная группа On(=On(R))
и унитарная группа Un. Чтобы доказать компактность группы
Оп, заметим, что она выделяется в пространстве Ln(R) всех
вещественных матриц алгебраическими уравнениями
2а4ьа,-й='64}, и, следовательно, замкнута в Ln(R). Из этих же
k
уравнений вытекают неравенства |а^|^1, показывающие, что
группа Оп ограниченна в Ln(R). Аналогично доказывается
компактность группы Un.
§ 3. Многообразия смежных классов
и факторгруппы групп Ли
3.1. Многообразие смежных классов. На множестве
смежных классов группы Ли по подгруппе Ли можно естественным
образом ввести дифференцируемую структуру. Для того чтобы
дать аксиоматическое описание этой структуры, нам
понадобятся некоторые определения.
18
Пусть X и Y — дифференцируемые многообразия и р—
дифференцируемое отображение X на Y. Для любой функции /,.
заданной на подмножестве Uc:Y, определим функцию p*f на
p~l(U) формулой
{p*f)(x)=f(p{x)).
Отображение р называется факторизацией, если
1) подмножество UczY открыто тогда и только тогда, когда
p~l{U) открыто в X;
2) функция /, заданная на открытом подмножестве UczY,.
дифференцируема тогда и только тогда, когда
дифференцируема функция p*f.
Отображение р называется тривиальным, расслоением со
слоем Z (где Z— также дифференцируемое многообразие),
если существует диффеоморфизм v : YY^Z^X, удовлетворяющий
условию p{v(y,z))=y.
Отображение р называется локально тривиальным
расслоением со слоем Z, если многообразие Y можно покрыть
открытыми подмножествами, над каждым из которых
отображение р является тривиальным расслоением со слоем Z.
Всякое локально тривиальное расслоение является
факторизацией. (Достаточно проверить это для тривиальных
расслоений.) Примером факторизации, ие являющейся
расслоением, может служить отображение z^z2 комплексной
плоскости С на себя.
Факторизация обладает следующим свойством
универсальности: если имеется коммутативный треугольник
Z
в котором р — факторизация, a q — дифференцируемое
отображение, то отображение ф дифференцируемо. Если q — также
факторизация и ф биективно, то ф — диффеоморфизм.
Последнее можно интерпретировать следующим образом: если задана
отображение р дифференцируемого многообразия X на
множество Y, то на Y существует не более одной дифференцируемой
структуры, при которой р является факторизацией.
Теорема 3.1. Пусть G — группа Ли и Я — ее подгруппа
Ли. На множестве G/H левых смежных классов G по Я
существует единственная дифференцируемая структура, при
которой каноническое отображение
р : G-+G/H, g~ gH,
является факторизацией. При этом
1) отображение р является локально тривиальным
расслоением;
2) каноническое действие группы G на G/H (левыми
сдвигами) дифференцируемо.
2»
13

\
•^Введем в множество G/H топологию, считая, что
подмножество UczG/H открыто тогда и только тогда, когда p~l(U)
открыто в С?. Легко видеть, что при этом отображение р будет
непрерывно и открыто, а пространство G/H — хаусдорфово.
Пусть теперь SaG— подмногообразие, трансверсальное к
И в точке е. Рассмотрим отображение
\:SXH-+G, (s,h)»sh.
Так как v(s, e) =s и v(e, h) =&, то
d(e,e)v(ds,dh)>=ds-\-dh,
так что d(W)V — изоморфизм касательных пространств.
Следовательно, существуют такие окрестности Si и У точки е в S и Н
соответственно, что v диффеоморфно отображает SiXV на
открытое подмножество группы G. Так как v(s, hh')— v(s, h)h',
то отображение v является локальным диффеоморфизмом
всюду на S\Y,H. Пусть S2 — такая окрестность точки е в Sb что
52-152П#<=У. Тогда v инъективно на S2X#- Выбрав с самого
начала сечение S подходящим образом, мы, таким образом,
можем считать, что v диффеоморфно отображает SX# на
открытое подмножество группы G.
При отображении р сечение S биективно отображается на
некоторую окрестность U точки р(е) в пространстве G/H.
Перенесем с помощью этого отображения дифференцируемую
структуру с 5 на U. Тогда отображение р будет тривиальным
расслоением над U.
Далее, для любого g£G перенесем дифференцируемую
структуру с U на gU при помощи левого сдвига l{g). Так как
отображение р перестановочно с левыми сдвигами, то при
таком определении дифференцируемой структуры на gU
отображение р над gU будет тривиальным расслоением и,
следовательно, факторизацией. При gi, g^G дифференцируемые
структуры, определенные на gxU и g^U, будут совпадать на
пересечении g\U{\g2U, так как над ним отображение р является
факторизацией в смысле любой из этих структур. Тем самым,
определена дифференцируемая структура на G/H, при которой
отображение р является локально тривиальным расслоением
(и, тем более, факторизацией).
Естественное действие группы G на G/H определяется
отображением
X : GX G/H-+G/H, (g', gH)~ g'gH,
которое включается в коммутативную диаграмму
И-
&»& »&
20
где ц — умножение в группе G: Отображение idXp является
локально тривиальным расслоением и, следовательно, —
факторизацией. Свойство универсальности факторизации
показывает, что к — дифференцируемое отображение.^
Из утверждения 1) теоремы следует, что отображение
dep:Te{G)-+-Tm(G/H)
сюрьективно и имеет своим ядром Те(Н). Поэтому
пространство Tp(e)(G/H) каноническим образом отождествляется с
Te(G)/Te(H).
3.2. Факторгруппа Ли.
Теорема 3.2. Пусть N — нормальная подгруппа Ли
группы Ли G. Тогда факторгруппа G/N, снабженная
дифференцируемой структурой как в теореме 3.1, является группой Ли.
4 Дифференцируемость умножения \iN в G/N
доказывается аналогично утверждению 2) теоремы 3.1 с помощью
коммутативной диаграммы
&*&—^—~ &
PXPI \JP •►
При естественной биекции между подгруппами группы G,
содержащими N, и подгруппами группы G/N подгруппам Ли в
G отвечают подгруппы Ли в G/N, и наоборот.
Если группа G действует на дифференцируемом
многообразии X таким образом, что N содержится в ядре
неэффективности, то индуцированное действие на X факторгруппы GJN
дифференцируемо.
3.3. Теоремы о транзитивном действии и об эпиморфизме.
Теорема 3.3. Пусть а — транзитивное действие группы Ли
G на дифференцируемом многообразии X. Тогда для любого
х&Х отображение
fe-.G/Gr+X, gGx~u(g)x,
является диффеоморфизмом, перестановочным с действием
группы G. (Подразумевается, что группа G действует на
G/Gx левыми сдвигами.)
Ч Имеем коммутативный треугольник
о/С*
где <x.x(g)=gx. Так как р — факторизация, то отображение 0Х
дифференцируемо. Согласно теореме 2.1
21

rka*=dim'.X=dim G/Gx,
так что d</ax(Te(G)) = Tx{X) и rfp<e)p\* — изоморфизм
касательных пространств. Следовательно, (5Я — диффеоморфизм. ►
Теорема 3.4. Пусть f : G-+H— эпиморфизм групп Ли и
JV=Ker/. Тогда отображение
qr.G/W-W/, gN^f(g),
является изоморфизмом групп Ли.
•Ч Достаточно применить теорему 3.3 к действию а
группы G на Я, построенному в п. 2.3. ►
Следствие. Биективный гомоморфизм групп Ли
является изоморфизмом.
3.4. Полный прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме.
Теорема 3.5. Пусть f : G-^-H — гомоморфизм групп Ли и
Я! —подгруппа Ли в Я. Тогда Gi>—f_1(#i) —подгруппа Ли
в G и
Тт(0,)^Щ)-'{Те{Нх)).
•^ Рассмотрим композицию a=§ ° f гомоморфизма f и
канонического действия р группы Ли Я на Н/Н\. Подгруппа Gx
будет стабилизатором точки р(е)£Н/Н\ (где р— каноническое
отображение Я на Н/Н\) при действии а. По теореме 2.1 она
является подгруппой Ли и
re(Gi)=Kerrfeap(e)=K€r (dep d4).
Так как Ker dep=TeXHi), то
Te(Gl) = (def)-HTe(Hl)).^
Следствие 1. Пусть Яь Яг — подгруппы Ли в группе
Ли G. Тогда Hif\H2 — также подгруппа Ли и
Ге(Я1ПЯ2)=Те(Я1)ПГе(Я2).
•^ Доказательство получается применением теоремы к
тождественному вложению H\dG и подгруппе Я2с:С?. ►
(Отметим, что пересечение подмногообразий, вообще
говоря, не является подмногообразием.)
Следствие 1 тривиально обобщается на любое конечное
число подгрупп. Оно справедливо и для бесконечного
семейства подгрупп (см. теорему 4.2).
Следствие 2. Пусть R : G-^GL(V)—линейное
представление группы Ли G и UczV — какое-либо подпространство.
Тогда
G(U)={g*G:R(g)UczU}
— подгруппа Ли в G и
Te(G(U))={ieTe(G) : (dtf)(£)£/c:£/}.
•^Доказательство получается применением теоремы к
гомоморфизму R и подгруппе
22
GL(V; U)={AeGL(V): AUczU)
группы GL(V), являющейся открытым подмножеством
пространства
L{V; U)={XeL(V) :XUczU}.>
Следствие 3. Пусть в условиях следствия 2 WczV —
какое-либо подпространство, содержащееся в U.
Тогда
G(U, W)={gdG : {R(g)-E)UzzW}
— подгруппа Ли в G и
Te{G(U, W))={ieTe(G) : (dR)&UczW}.
•^ Доказательство получается применением теоремы к
гомоморфизму R и подгруппе
GL(V; U, W)={AeGL(V) : (A-E)UczW)
группы GL(V), являющейся открытым подмножеством
подпространства
L(V; U, W) ={XeL(V) : XUcrW}. ►
3.5. Полупрямые произведения групп Ли. Во многих
случаях строение групп Ли удобно описывается с помощью
понятия полупрямого произведения.
Напомним, что полупрямым произведением абстрактных
групп G\ и G2 называется прямое произведение множеств G\ и
G2, снабженное групповой операцией по формуле
(gu g2)(ftl, h2) = (g1b{g2) А„ g2h2), (7)
где b — некоторый гомоморфизм группы G2 в группу Aut C?i
автоморфизмов группы Qx. Мы будем обозначать полупрямое
произведение через C?iXG2 или, более точно, через C?iX]C?2.
ь
Элементы вида (gu e) (соответственно (е, g2)) образуют
в GiX\G2 подгруппу, изоморфную G\ (соответственно С?2).
Обычно эту подгруппу отождествляют с G\ (соответственно с С?2).
Подгруппа G] нормальна, причем
f2gig-2-1 = 6(g-2)g1. (8)
Подгруппа G2 нормальна тогда и только тогда, когда
гомоморфизм b тривиален; в этом случае GiXG2 совпадает с
прямым произведением GiXG2.
Говорят, что группа G разлагается в полупрямое
произведение подгрупп G\ и G2 (обозначение: G = GlX\G2 или G=G20<Gi),
если
1) подгруппа G\ нормальна;
2) G,G2=G;
3) Gx{\Go={el
23

В этом случае имеет1 место изоморфизм
GiXG2^.G, (gu g2)»gig2, (9)
b
где Ъ : Gr->-Aut G\— гомоморфизм, определяемый формулой
(8).
Полупрямое произведение групп Ли определяется как
полупрямое произведение абстрактных групп, снабженное
дифференцируемой структурой как прямое произведение
дифференцируемых многообразий. При этом требуется, чтобы
гомоморфизм Ь задавал дифференцируемое действие группы G2 на G\.
(В частности, автоморфизм b(g2) группы G\ должен быть
дифференцируемым при любом g2GG2.) Это обеспечивает диффе-
ренцируемость операции (7).
Говорят, что группа Ли G разлагается в полупрямое
произведение подгрупп Ли G\ и G2, если она разлагается в их
полупрямое произведение как абстрактная группа. В этом случае
действие Ъ группы G2 на Gb определяемое формулой (8),
дифференцируемо и абстрактный изоморфизм (9) согласно
следствию теоремы 3.4 является изоморфизмом групп Ли.
Примеры. 1. Пусть /?:G->GL(V) — линейное представление
группы Ли G. Тогда можно образовать полупрямое произведение
1/XlG, где V рассматривается как векторная группа Ли.
R
2. Пусть Id — тождественное линейное представление группы
GL(V) в пространстве V. Тогда имеется изоморфизм
VXGLOO^GA(V),
Id
при котором каждому вектору vdV соответствует
параллельный перенос tv : х >-+ x-\-v пространства V.
3. Всякая подгруппа Ли Gc:GA(V), содержащая все
параллельные переносы, разлагается в полупрямое произведение
группы параллельных переносов и линейной группы Ли Н=
=dGczQL(V). В частности, группа движений евклидова
пространства Еп разлагается в полупрямое произведение группы
параллельных переносов и ортогональной группы Оп.
4. Группа Ли невырожденных треугольных матриц
разлагается в полупрямое произведение нормальной подгруппы Ли
унитреугольных (треугольных с единицами на диагонали)
матриц и подгруппы Ли невырожденных диагональных матриц..
§ 4. Связность и односвязность групп Ли
Свойства связности и односвязности играют важную роль
уже в самых основах теории групп Ли (см. теоремы 2.2 и 2.10
гл. 2). Поэтому мы посвящаем им отдельный параграф.
Определение фундаментальной группы и доказательство
используемых в этой главе топологических теорем
(существование односвязного накрывающего пространства, точность гомо-
24
топической последовательности локально травиального
расслоения) можно найти, например, в [54].
4.1. Связные компоненты групп Ли. Топологическое про^
странство называется связным, если его нельзя разбить на два
непустых открытых подмножества, и линейно связным, если
любые две его точки можно соединить (непрерывным) путем.
Для дифференцируемого многообразия эти понятия совпадают.
Более того, любые две точки связного дифференцируемого
многообразия можно соединить дифференцируемым путем.
Связные компоненты дифференцируемого многообразия открыты и
замкнуты. Из предположения о наличии счетной базы следует,
что дифференцируемое многообразие имеет не более чем
счетное число связных компонент.
Теорема 4.1. Связная компонента G0 группы Ли G,
содержащая единицу, является нормальной подгруппой Ли.
Прочие связные компоненты суть смежные классы по G0. Всякая
открытая подгруппа группы G содержит G0.
Ч Так как левые и правые сдвиги являются
автоморфизмами группового многообразия, то они могут лишь переставлять
его связные компоненты. Отсюда следует, что разложение на
связные компоненты есть разложение на смежные классы по
нормальной подгруппе, каковой, очевидно, является связная
компонента, содержащая единицу. Последнее утверждение
теоремы вытекает из того, что всякая открытая подгруппа
замкнута (см. п. 1.2).^
Заметим, что подгруппа Ли Ясб открыта тогда и только'
тогда, когда dim #=dimG или, что равносильно, Ге(Я) =
= П(0).
Следствие. Связная группа Ли порождается (как
абстрактная группа) любой окрестностью единицы.
Ч В самом деле, подгруппа, порожденная любой
окрестностью единицы, открыта и, следовательно, совпадает со всей
группой. ►
Факторгруппа G/G0, очевидно, дискретна. Она называется
группой компонент группы G.
В п. 3.5 мы доказали, что пересечение конечного числа
подгрупп Ли является подгруппой Ли. Теперь мы можем
обобщить это утверждение.
Теорема 4.2. Пересечение Н= f)Hv произвольного се-
V
мейства {//v} подгрупп Ли является подгруппой Ли, причем
Te(H)=nTe{Hv).
V
■4 Подпространство n Te (Hv) совпадает с пересечением конеч-
ного числа подпространств Te(Hv), скажем Te(Hvl), ..., 7% (#Vft)>
и согласно следствию 1 теоремы 3.5 является касательным прост-
ранством подгруппы Ли Н HVl П • • • П Hvk- Для любого v подгруп-
25

па Ли Hr\Hv имеет то же касательное пространство, что и Н,
и, следовательно, заключена между Н° и Я. Поэтому и группа Н
•Ч /Ч
заключена между Я0 и Н. Следовательно, она является
подгруппой Ли и Т,(Н)=>ПТ,(НЧ)>
4.2. Исследование связности классических групп Ли. Для
исследования связности конкретных групп Ли обычно
используется следующая теорема.
Теорема 4.3. Пусть задано транзитивное действие а
группы Лн G на связном дифференцируемом многообразии X.
Тогда
1) группа G0 также транзитивно действует на X;
2) G/G°^Gx/{Gxf\G°) для любой точки х&Х;
3) .если стабилизатор Gx точки х&Х связен, то и группа G
связна.
•^ Согласно теореме 2.1 rkax=dimX для любой точки
х&Х. Применяя ту же теорему к ограничению действия а на
подгруппу G0, находим, что орбита a(G°)x содержит
окрестность точки х. Следовательно, все орбиты группы G° открыты
в X. Так как X связно, то на самом деле имеется только одна
орбита. Отсюда легко выводятся остальные утверждения
теоремы. ►
Обозначим через GLn+(R) группу вещественных матриц с
положительным определителем, через SOn — группу
ортогональных матриц с определителем 1 н через SU„ — группу
унитарных матриц с определителем 1.
Предложение 4.4. Группы SL„(/C), GL„(C), GL„+(R),
Spn(/C), SOn(К), U„ и SUn связны.
•^ Докажем индукцией по п связность группы SLn(/C).npn
п=1 доказывать' нечего, так как группа SLi(/C) тривиальна.
При /г=2 рассмотрим естественное действие SLn(/C) : Кп. Оно
транзитивно на открытом подмножестве /Сп\{0}, которое
связно. Стабилизатор точки этого подмножества изоморфен
полупрямому произведению /Cn_,XlSLn_i(/C) и в силу
предположения индукции связен. Согласно теореме 4.3 отсюда следует, что
и группа SLn(/C) связна.
. Аналогично доказывается связность групп GLn(C),
GLn+(R) HSp„(X).
Докажем, также индукцией по п, связность группы
SOn(K). При п=\ доказывать нечего. При га=2 рассмотрим
естественное действие SO„(/C) : Sn~l(K), где Sn-'(К)
—единичная сфера в пространстве /С". Это действие транзитивно,
причем стабилизатор точки сферы изоморфен группе SOn-i(/C),
которая по предположению индукции связна. Сфера Sn~l (К)
также связна: связность вещественной сферы Sn_,(R)=Sn_1
очевидна, а комплексная сфера Sn_1(C) диффеоморфна каса-
26
тельному расслоению над 5n_1. Следовательно, группа
SOn (К) связна.
Аналогично доказывается связность групп Un и SUn. ^
Следствие. Группы GL„(R) и 0„(/С) состоят из двух
связных компонент, различающихся знаком определителя.
Рассмотрит» более сложные примеры. Пусть k, />0, k-\-
-\-1=п. Вещественная матрица порядка п называется
псевдоортогональной матрицей сигнатуры (k, I), если
соответствующее линейное преобразование сохраняет квадратичную
форму
q{x)=x\+...+xl-xl^t-...-x*.
Группа псевдоортогональных матриц сигнатуры (k, l)
обозначается через Оы- Это группа Ли размерности -—^— (см.
пример в п. 2.2). Очевидно, что Оы—Ог,ь.
Определитель псевдоортогональной матрицы равен ±1.Как
и в случае ортогональных матриц, подгруппа SOh,i
псевдоортогональных матриц с определителем 1 является открытой
подгруппой индекса 2 группы Оы- Однако мы сейчас увидим, что
она не связна.
Пусть {еи ..., еп} — стандартный базис пространства Rn.
Положим
R^= < e»...,ek), Ri= < ек+и ...,«„>•
Так как форма q положительно определенна на R" и
отрицательно определенна на R", то для любого ЛбОы имеем
■AR"nR" = 0. Это означает, что угловой минор Aft (Л)
порядка k матрицы А отличен от нуля. Нетрудно показать, что для
матриц ЛбЭОы (даже диагональных) знак Дь(Л) может быть
любым. Следовательно, группа БОы имеет не менее двух
связных компонент, различающихся знаком Aft.
Аналогично, комплексная матрица порядка п называется
псевдоунитарной матрицей сигнатуры (&,/), если
соответствующее линейное преобразование сохраняет квадратичную
эрмитову форму
q(X) = \Xl\*+...+\xk\*-\xh+l\*-...-\xn\*.
Группа псевдоунитарных матриц сигнатуры (k, l)
обозначается через ил,г. Это вещественная группа Ли размерности га2.
Ее подгруппа унимодулярных матриц обозначается через
SUk>i.
Предложение 4.5. Группа БОы состоит из двух связных
компонент, различающихся знаком углового минора &-го
порядка. Группа Oft,; состоит из четырех связных компонент,
различающихся знаками определителя и углового минора fe-ro
порядка, причем группа ее компонент изоморфна Z2XZ2.
Группы Ufe,i и SUft,; связны.
27

-^Докажем индукцией по п, что группа SOfc, , имеет не более
двух связных компонент. При я = 2 (и £ = /=1) в базисе прост'
ранства R2, в котором форма q имеет вид уху2, преобразования
из SO,,! записываются матрицами (q ^-Л XGR*. Следовательно,
группа SOli состоит из двух связных компонент (различающихся
знаком X).
При п>3 либо &>2, либо />2. Считая, что &^2,
рассмотрим действие группы SCW на гиперболоиде
Sk-hl={xdRn:q(x)=\l}.
Это действие транзитивно, причем стабилизатор точки
гиперболоида изоморфен группе SOfe7-bi, которая по предположению
индукции имеет не более двух связных компонент. Так как
гиперболоид Sh~hl связен (он диффеоморфен Sft_1XR!)> то п0
теореме 4.3 группа SOft); также имеет не более двух связных
компонент.
Аналогичным образом доказывается связность групп \Jk,i и
SUfeli.
Следствие. Множество
о;,,={лесу /:дй(Л)>о}
является подгруппой индекса 2 группы Ой,;.
4.3. Накрывающие гомоморфизмы. Некоторые группы Ли,,
будучи локально изоморфны, тем не иенее не изоморфны в
целом. Примером могут служить одномерные коммутативные
группы Ли R и Т. Гомоморфизм x-*-+eix, связывающий эти
группы, является локальным изоморфизмом, так как его ядро
2nZ дискретно. Такие гомоморфизмы называются
накрывающими.
Более точно, гомоморфизм / группы Ли G на группу Ли Я
называется накрывающим, если он удовлетворяет любому из
следующих эквивалентных условий:
1) f диффеоморфно отображает некоторую окрестность
единицы группы G на некоторую окрестность единицы группы Н;
2) ядро f дискретно;
3) / является накрытием в топологическом смысле (т. е.
локально тривиальным расслоением с дискретным слоем);
4) del является изоморфизмом касательных пространств.
Эквивалентность этих условий следует из теорем 3.4, 3.1
и 2.2.
Примеры. 1. Гомоморфизм
/:С-*СХ, jcwe2*",
является накрывающим гомоморфизмом с ядром Z, причем
f(R) =Т, так что ограничение / на R определяет накрывающий
гомоморфизм
/о: R^T.
28
2. Существует накрывающий гомоморфизм
/:SL2(C)^S03(C)
с ядром {Е, —£}, ограничение которого на SU2 определяет
накрывающий гомоморфизм
/о: SlV^S03.
Л Для построения этого гомоморфизма рассмотрим линейное
представление Ad группы SL2(C) в 3-мерном пространстве L°(C)
матриц с нулевым следом, определяемое по формуле
М{А)Х = АХА~1.
Операторы Ad (А) сохраняют в пространстве Z.°(C)
невырожденную квадратичную форму q(X)=detX и, поскольку группа
SL2(C) связна, они все имеют определитель 1. Тем самым
определяется гомоморфизм f: SL2(C)->-SOa(C). Непосредственно
проверяется, что Ker f={E, —E}. Так как dimSL2(C) =
= dim S03 (C)=3, то f—накрывающий гомоморфизм.
При ЛбБи2 оператор Ай(А) сохраняет вещественную форму
пространства L2°(C), состоящую из косоэрмитовых матриц (с
нулевым следом), на которой квадратичная форма q
вещественна и положительно определенна. В базисе этой вещественной
формы имеем f(SU2) =S03. ►
3. Существует накрывающий гомоморфизм
/:SL2(C)XSL2(C)-+S04(C)
с ядром {(Е,Е), (—Е,—Е)}, ограничение которого на SU2X
XSU2 определяет накрывающий гомоморфизм
/0:SU2xSUr^SO4.
•^ Этот гомоморфизм строится аналогично предыдущему,
исходя из линейного представления R группы SL2(C)XSL2(C) в 4
мерном пространстве Z.2(C) всех матриц, определяемого по
формуле
R{A, В)Х=АХВ~К
При Л, 5gSU2 оператор /?(Л, В) сохраняет вещественную форму
пространства Z.2(C), состоящую из матриц вида ( --)>
Предложение 4.6. Всякая дискретная нормальная
подгруппа N связной группы Ли С? содержится в ее центре.
-4 Для любого neN рассмотрим отображение
G-+N, g~-gng~l.
Его образ связен и, следовательно, состоит из одной точки п,
а это и означает, что п принадлежит центру группы G>
29

Таким образом, для заданной связной группы Ли G
описание накрывающих гомоморфизмов G->-# сводится к описанию
дискретных центральных подгрупп группы G.
4.4. Односвязная накрывающая группа Ли. Топологическое
пространство называется односвязиым, если оно связно и всякий
замкнутый пут*, в нем можно стянуть в точку. Известно, что для
всякого связного дифференцируемого многообразия X существует
односвязиое дифференцируемое многообразие X и
(дифференцируемое) накрытие р:Х->-Х. Такое накрытие называют одно-
связным.. Имеет место следующее функториальное свойство:
(F) Пусть X и К —связные дифференцируемые многообразия,
р:Х -+Х и q:Y->Y — их односвязные накрытия. Для любых точек
Хо£Х и у^У, удовлетворяющих условию f (р(х0)) = р(у0),
существует единственное дифференцируемое отображение f:X->Y
такое, что диаграмма
xUy
'k'J
коммутативна и f(x0)=y0. (В этой ситуации говорят, что /
накрывает /.)
Пусть р:Х-^-Х — односвязное накрытие. Автоморфизмы
многообразия X, накрывающие тождественный автоморфизм
многообразия X, образуют группу Г (р), называемую группой накрытия
р. Согласно свойству (F), для любых точек хх, х2£Х,
удовлетворяющих условию р(хх) = р(х2), существует единственный эле
мент группы Т(р), переводящий хх в х2.
Группа Г (р) изоморфна фундаментальной группе щ (X)
многообразия X, причем изоморфизм осуществляется следующим
образом. Пусть х0~фиксированная точка многообразия X и
х0 = р(х0). Тогда каждому элементу \бГ(р) сопоставляется
класс замкнутых путей на X с началом в х0, которые являются
образами путей на X, соединяющих х0 с Y (■*<>)•
Если р:G ->G — накрывающий гомоморфизм групп Ли и
группа G односвязна, то группа Г (/?) совпадает с ядром N
гомоморфизма р, действующим на G посредством сдвигов, и
следовательно, я, (G)^N.
Теорема 4.7. Всякая связная группа Ли. G изоморфна
факторгруппе G/N, где G — односвязная группа Ли, a N — ее
дискретная центральная подгруппа. Пара (G, N) определена
30
этими условиями однозначно с точностью до изоморфизма, т. е.
если (G, Ni) и (С?2, N2) —две такие пары, то существует
изоморфизм Gi^iO, переводящий 7V, в N2.
А Пусть p'.G-t-G — односвязное накрытие группового
многообразия G и eQG—какой-либо прообраз единицы е группы G.
Отображение pxp-GXG-+G X G является односвязиым
накрытием многообразия GX.G. Определим умножение \i:GxG~^G
как накрывающее отображение для умножения ц в группе G,
переводящее точку (е, ё) в е, и инверсию v:G->~G как
накрывающее отображение для инверсии i в группе G, переводящее точку
е в себя. '
Так как каждое из отображений
GXGXG-+G, (х, ~у, ~z)~~\i(у.(х, ~у), г),
(х, ~у, z)*+\i (х, \х (у, 2»,
является накрывающим для отображения
GXGXG-^G, (x, у, z)~xyz,
и переводит точку (е, е, е) в е, то умножение \х ассоциативно.
Аналогично проверяются остальные групповые аксиомы. Из
определения ц следует, что р—гомоморфизм. Его ядро N есть
дискретная центральная подгруппа группы G (предложение 4.6)
и G^G/N.
Пусть теперь (7, и G2 — односвязные группы Ли, Л^ и N2 —
их дискретные центральные подгруппы и f:Gxl NX->G2I N2 —
изоморфизм групп Ли. Тогда диффеоморфизм /:G1-^-G2,
накрывающий / и переводящий единицу группы Gx в единицу груп-
ны С?2> является групповым изоморфизмом и переводит Nx в N2. ►
Группа G, удовлетворяющая условиям теоремы, называется
односвязной накрывающей группой Ли для группы Ли G.
Например, группы Ли С и R являются односвязными
накрывающими для С* и Т соответственно; см. пример 1 п. 4.3. (Как
мы увидим в п. 4.5, накрывающие группы из других примеров
п. 4.3 также односвязны.)
Следствие. Фундаментальная группа связной группы Ли
G коммутативна.
Кроме того, можно доказать, что группа nx(G) имеет
конечное число образующих.
4.5. Исследование односвязности классических групп Ли.
Для исследования односвязности конкретных групп Ли обычно
31

используется фрагмент точной гомотопической
последовательности локально тривиального расслоения р : G-*-G/H (см.
теорему 3.1).
Теорема 4.8. Пусть G — связная группа Ли, Я — ее
подгруппа Ли. Тогда имеет место следующая точная
последовательность групп и гомоморфизмов:
n7{G/H)-+nx{H)-*nx(G)-+ni{G/H)-+H/№^Q. (10)
Гомоморфизм jti (G/#)->-#/#0 в последовательности (10)
определяется следующим образом. Пусть р"— замкнутый путь
в G/H с началом в точке р(е). Существует такой путь а в G с
началом в точке е, что р(ос)=^. Связная компонента С группы
Н, в которой лежит конец пути а, зависит только от класса
гомотопна пути р\ Этому классу сопоставляется элемент С~'б
Следствие. Если n\(G/H) = я2((?/^0 =0, то it\(G)=*
Заметим, что условие «я2(.Х) =0» для какого-либо линейно
связного топологического пространства X означает, что всякое
непрерывное отображение двумерной сферы в X стягивается в
точку.
Приведем теперь таблицу фундаментальных групп
некоторых классических групп Ли
я, (О)
SL„(C), SU„, Spn(C)
GL„(C), U„, Sp„(R)
SO„(C), SO„,
GL„+(R), SL„(R)
Z2 при n>3, Z при л=2
■^Для групп GL„(C), SL„(C) и Spn(C) рассмотрим, как и
при доказательстве предложения 4,4, их действие на О\{0}.
Учитывая, что ni(O\{0}) = я2(О\{0}) =0 при п>2,
получаем при помощи следствия теоремы 4.8, что
я1(Си(С))=я1(СЬ1(С))=я,(Сх)^2;,
n,(SLn(C))=n,(SL,(C))=n,({e»=0,'
ni(Spn(C))=ni({e})=0.
Для группы SOn(/C) при /г^З рассмотрим ее действие на
-сфере S"-1 {К). Учитывая, что щ($п~х{К)) =n2(S"-1(/C)) =0
при /г^4, получаем, что
n,(SOn(/C))=n,(SO8(i0).
Аналогичным образом доказывается, что
n,(U»)=n,(U,)=flii(T)*Z,
.32
Я! (SUn) =Я! (SUi) =Я1({е» =0.
Далее, так как группы SL2(C) и SU2 односвязны, то из
примера 2 п. 4.3 следует, что
n,(SOs(/C))^Z2.
Рассмотрим теперь действие группы GL + (R) на
многообразии Рп положительно определенных симметричных матриц,
определяемое линейным представлением Sq (см. п. 1.4). Это
действие транзитивно, причем стабилизатором единичной
матрицы служит группа SOn. Так как многообразие Рп является
(открытым) выпуклым конусом в векторном пространстве всех
п(п+1)
симметричных матриц, то оно диффеоморфно R 2 .
Следовательно,
nl(GL-(R)) = nl(SO;!)-{fnnpPHfte23'
Далее, так как GL+ (R) = SL„(R) X {kE : Х>0}, то
n,(SU(R))=n,(GL+(R)).
Наконец, рассмотрим действие группы Sp„(R) на Rn\{0}.
Так как Я!(Н"\{0}) = n2(Rn\{0}) =0 при п>4, то
n,(Sp„(R))=ni(Sp2(R))=ni(SL2(R))^Z.
Глава 2
СВЯЗЬ МЕЖДУ ГРУППАМИ ЛИ И АЛГЕБРАМИ ЛИ
Основной метод теории групп Ли, позволяющий
поразительно просто получать глубокие результаты, состоит в
сведении вопросов о группах Ли к некоторым вопросам линейной
алгебры. Это достигается путем сопоставления каждой группе
Ли G ее «касательной алгебры Ли» g, в значительной мере
определяющей группу G, и каждому гомоморфизму f: G->-#
групп Ли гомоморфизма df : g-»-J) их касательных алгебр, в
значительной мере определяющего гомоморфизм /. Выражаясь на
языке теории категорий, мы располагаем функтором из
категории групп Ли в категорию алгебр Ли, весьма близким по
своим свойствам к эквивалентности этих двух категорий. Отдавая
дань основоположнику теории групп Ли, мы называем этот
функтор (вслед за М. М. Постниковым [17]) функтором Ли.
§ 1. Функтор Ли
1.1. Касательная алгебра группы Ли. Наиболее
непосредственный способ определения касательной алгебры группы Ли G
состоит в следующем.
3—8731
23
33

Выберем систему координат в окрестности единицы е группы
G так, чтобы точка е имела нулевые координаты. Столбец
координат точки х будем обозначать через х. Рассмотрим
разложение Тейлора координат произведения ху. Так как еу—у и
хе—х, то
Х~у=х+у+а{х, у)+0(\х\3 + \у\% (1)
где а—билинейная векторнозначная функция.
Меняя местами хну, получаем
^ = Й-*+«(У, х)+0(Й3 + |у!3). (2)
Мы видим, что некоммутативность умножения в группе G
может проявляться только в членах степени ^2. Мерой
некоммутативности служит групповой коммутатор (х, у) =х«/лг'{Г1.
Члены второй степени в разложении Тейлора координат
коммутатора (х, у) легко находятся с помощью соотношения ]
(х,у)ух=ху. Сравнивая (1) и (2), получаем j
0Гу)==Ч{х,-у~)+О(\х? + \у\% (3)
где 1
у (х, у)=а (х, у)—а (у, х). (4)
Определим теперь в касательном пространстве Te(G)
билинейную операцию «коммутирования» (|, tj) •-* [|, tj] формулой
[TnbYd,^ (5)|
где £ обозначает столбец координат касательного вектора Ц
в системе координат пространства Te(G), ассоциированной с
выбранной локальной системой координат на G. \
Данному определению можно придать бескоординатную!
форму. Пусть g(t) и h(s)—такие дифференцируемые пути в
G, что
йГ(0)-Л(0)=в, йГ(0)=6, (6).
Тогда
&ЛН-Я5Г (S(<). A (s))|i-.-o. (7>
(Правая часть этого равенства имеет инвариантный смысл, так
как при дифференцировании по t мы получаем при любом s
элемент касательного пространства Te(G) и последующее
дифференцирование по s есть дифференцирование пути в Te(G).)
Пространство Te(G), снабженное таким образом операцией
коммутирования, называется касательной алгеброй группы Ли
G и обозначается через ц. Вообще, касательная алгебра группы
Ли, обозначенной какой-либо прописной латинской буквой,
обозначается соответствующей строчной готической буквой.
Из определения ясно, что касательная алгебра антикомму-
тативиа, т. е. удовлетворяет тождеству
34
[l,ri].+Ttn,6]=o.
(8)
Касательная алгебра коммутативной группы Ли есть алгебра
с нулевым умножением.
Пусть А — (конечномерная) ассоциативная алгебра с
единицей е и G=A* — группа ее обратимых элементов. Группа G
имеет естественную дифференцируемую структуру как открытое
подмножество векторного пространства А. При этом она
является группой Ли и ее касательное пространство в любой точке
естественным образом отождествляется с А. Тождество
(е-\-а) [е-\-Ь) =e-\-a-\-b-\-ab
показывает, что а (а, 6)=а6. Следовательно, операция
коммутирования в алгебре g имеет вид
[а, Ь\=аЬ—Ьа.
В частности, если A — L(V) — алгебра линейных операторов
в пространстве V, то A*=GL(V). Таким образом, касательная
алгебра группы Ли GL(V) есть пространство L(V) с операцией
коммутирования
[X,Y]=XY—YX. (9)
Она обозначается через gl (V).
В матричном варианте получаем, что касательная алгебра
группы Ли GLn(/C) есть пространство Ln(K) матриц с
операцией коммутирования (9). Она обозначается через Qln(K).
Очевидно, что касательная алгебра подгруппы Ли группы
Ли G есть подалгебра алгебры д. В частности, операция
коммутирования в касательной алгебре любой линейной группы
Ли задается формулой (9).
1.2. Векторные поля на группе Ли. Возможно такое
определение касательной алгебры группы Ли, при котором операция
коммутирования возникает из коммутирования (скобки Ли)
векторных полей.
С помощью левых или правых сдвигов можно установить
естественные изоморфизмы между касательными
пространствами группы Ли G в различных точках. Пусть 1(g) обозначает
левый сдвиг на g, a r'{g) —правый сдвиг на g. Для любого
%£Th(G) положим
gl-(dl(g))(t)*Tgh(G), %g=(dr'(g))(t)eThg(G).
Из ассоциативности умножения в группе вытекают следующие
тождества:
(gh)l=g№, ($%)h=g&h), (%g)h=l(gh)
для любых g, MG, %tT(G).
Если, в частности, G=A* — группа обратимых элементов
ассоциативной алгебры А, то «произведения» g% и |g
совпадают с произведениями в смысле алгебры А.
3*
35

В локальной системе координат в окрестности единицы
формула (1) после дифференцирования по первому или второму
множителю в точке е дает
1£=1+а(ЬЙ + 0(|у|*) (We (О)), (Ю)
^^ц+а(х,ц) + 0(\х\2) (1\еТе(0)). (И)
Для каждого lf<Te(G) рассмотрим правоинварианщное
векторное поле gs на G, определяемое формулой
&*■&) = &• (12)
Очевидно, что отображение £<->-|.,. является изоморфизмом
векторного пространства Te(G) на векторное пространство Т ^ (О)
всех правоинвариантных векторных полей на группе G,
причем | = 1»(е).
Так как операция коммутирования векторных полей
инвариантна относительно любых диффеоморфизмов, то коммутатор
правоинвариантных векторных полей также правоинвариан-
тен. Таким образом, T^G) — алгебра относительно операции
коммутирования векторных полей1'. Эту алгебру можно
считать, по определению, касательной алгеброй группы G.
■4 Докажем, что отображение | >-»■ |„. является изоморфизмом
алгебр. В локальной системе координат в окрестности единицы
группы G имеем согласно (10):
ёЛ5Т=1+а(£ ij-r-0(|z|2). (13)
Следовательно,
[ё*> 4*J(e) = 0l*I* — 6*Л*)(е) = «(С Л) — а(*Ь Г) = [1Гп],
а это и означает, что [|#) Л*] = [1. л]*- ^
Известно, что операция коммутирования векторных полей
удовлетворяет тождеству Якоби. Следовательно, и операция
коммутирования в касательной алгебре g группы Ли G
удовлетворяет тождеству Якоби:
[01, л], 1]+[[цЛ), !]+[[£,6], л]=0. (И)
Всякая алгебра с операцией [ , ], удовлетворяющей
тождествам антикоммутативности (8) и Якоби (14), называется
алгеброй Ли. Таким образом, касательная алгебра любой группы Ли
является алгеброй Ли.
1.3. Дифференциал гомоморфизма групп Ли. Пусть
f : G-*-H—гомоморфизм групп Ли. Из любого определения
касательной алгебры легко следует, что отображение def : g-Ч)
является гомоморфизмом касательных алгебр. В тех случаях,
': Ч Определения коммутатора (скобки Ли) векторных полей в разных
руководствах отличаются знаком. Мы принимаем следующее определение:
[£, т1Ь=2(тъд,6,-Б,д,т)0,.т. е- &' Ч1'-Лб-6П-
36
когда это не может привести к недоразумению, мы будем
обозначать его просто через df.
Пусть N — ядро гомоморфизма / и nc=g — его касательная
алгебра. Согласно теореме 2.2 гл. 1 п есть ядро гомоморфизма
df и, следовательно, — идеал алгебры g.
Любая нормальная подгруппа Ли N группы Ли G является
ядром канонического гомоморфизма р : G-+G/N. Поэтому ее
касательная алгебра п является идеалом алгебры g. Рассматривая
гомоморфизм dp, находим, что касательная алгебра
факторгруппы Ли G/N канонически изоморфна факторалгебре g/tu
Гомоморфизм какой-либо алгебры Ли g в алгебру Ли gl(V)
называется ее линейным представлением в пространстве V.
Дифференциал линейного представления группы Ли является
линейным представлением ее касательной алгебры в том же
пространстве.
Примеры. 1. Рассмотрим гомоморфизм
det: GL„ (К)-+Кх.
Пользуясь явным выражением определителя, находим, что
(dEdet) (X) =tr X.
Следовательно, касательная алгебра sln(K) группы SLn(K)
состоит из всех матриц с нулевым следом.
2. Дифференциалы линейных представлений Ad и Sq группы
GLn(K), определенных в п. 1.4 гл. 1, имеют вид
(dAd(X)) Y = XY—YX, (d Sq(X)) Y=XY+YXt.
•^Для доказательства, скажем первой из этих формул,
рассмотрим путь E-\-tX в группе GLn(/(). Имеем
(E+tX)~l = E—tX+0(t2),
так что
(Ad (E+tX)) Y = (E+tX) Y (E—tX+O (t2)) =
= Y.+t(XY— YX)+0(t2). ►
Пусть R и S — линейные представления группы Ли G в
пространствах V и U соответственно. Тогда
d(R+S) (I) (v+u) =dR(l)v+dS(l)u, (15)
d(RS)(%)(v®u) = (dR(l)v)®u+v®(dS(l)u), (16)
(<*K*(Sm И = -/(<*«(!)»)•. (17)
•^ Докажем, например, формулу (16). Пусть
g(t)—дифференцируемый путь в группе G, удовлетворяющий условиям
g(0)=e,g'(0)=£. Тогда
d (RS) (g) (v®u) = ± (RS) (g (t)) \t=0(v®u) =
= J;(RS)[g(*))(v®«)ko= -ji (R(g(0)v9S(g(t))a) |,-o=
= (dR(Z)v)®u-\-v®(dS(l)u). ►
37

С помощью этих формул можно вычислить дифференциал
произведения любого числа заданных линейных представлений
и сопряженных к ним представлений и, в частности,
дифференциал хил естественного линейного представления Th)l группы
GL(V) в пространстве тензоров типа {k,l) (см. п. 1.4 гл. 1).
Приведем интерпретации представлений т0,г и ты,
получающиеся дифференцированием формул (5) и (6) гл. 1:
(x0il(X)f){vu ...,vt) = — 2/fa. ••;Xvh ...,vt), (18)
(t,., (X)F)(vu . ..,vt) = XF (o„ . ..,*>,)-
-2iF(vi *Oi, ...,»,)■ (19)
i
1.4. Дифференциал действия группы Ли. Хотя группа
диффеоморфизмов и не является группой Ли, но она, несомненно,
имеет касательную алгебру, каковой является алгебра
векторных полей. Соответственно этому дифференциал действия
группы Ли G на многообразии X должен быть гомоморфизмом
алгебры g в алгебру векторных полей на X. Его точное
определение дается ниже.
Пусть задано действие а группы Ли G на дифференцируемом
многообразии X. Каждому элементу £68 сопоставим векторное
поле da(Q = i на X, определяемое формулой
g(*>=<fa*(g)==-^ff(<)x|«-o. (20)
гДе g{t) — любой дифференцируемый путь в G,
удовлетворяющий условиям g-(0) = e, g-7 (0) = g. Поле | называется полем
скоростей действия а, отвечающим элементу |бд. Отображение
da является гомоморфизмом алгебры д в алгебру векторных
полей на X.
■4 Пусть g(t) и h(s)— дифференцируемые пути в G,
удовлетворяющие условиям (6). Тогда в силу (7)
ЦГп1 (■*)—д£г(*(0. A(s))jc|,_„o.
Дифференцируя по t, получаем вектор
i(x)-dh{s){i(h{srixMTx{X).
Дифференцируя по s, получаем
[Сц] (*)== (л I-1 п) (х) = [£, л] (X). ►
Примеры. 1. Если а = /? — линейное действие группы О
в векторном пространстве V, то
i(v) = dR{l)v,
28
где dR в правой части понимается как дифференциал
линейного представления.
2. Группа SL2(/C) действует естественным образом на
проективной прямой КР1=К\}{°°}'-
(ab\ а* + ь
\cd)x~ cx + d (2l)
Алгебра $h{K) имеет базис
£+=(о о)' я=(о-1)' £-=(i of
Дифференцируя (21) по а, Ь, с, d, находим:
£+(л:) = 1, Я (я) = 2.x, Е_(х)=~х2.
1.5. Касательная алгебра стабилизатора. Следующая
теорема является переформулировкой одного из утверждений
теоремы 2.1 гл. 1.
Теорема 1.1. Пусть задано действие а группы Ли G на
дифференцируемом многообразии X, и пусть Qx—касательная
алгебра стабилизатора Gx точки х£Х. Тогда
fix={!e9:da(!)(*)=0}.
Эта теорема весьма эффективна для нахождения
касательных алгебр подгрупп Ли. В частности, с помощью нее можно
найти касательную алгебру линейной группы Ли, выделяемой
условием сохранения какого-либо тензора.
Примеры. 1. Группа G невырожденных линейных
преобразований пространства V, сохраняющих заданную билинейную
форму f, есть стабилизатор формы / при линейном
представлении 7о,2 группы GL(V). Применяя формулу (18), находим, что
касательная алгебра группы G состоит из всех линейных
преобразований пространства V, кососимметрических относительно f.
2. В случае, когда V—комплексное векторное пространство,
аналогичное утверждение справедливо и для любой полу-
торалинейной формы f. В частности, касательная алгебра
группы Un унитарных матриц состоит из всех косоэрмитовых
матриц.
3. Группа Aut St автоморфизмов конечномерной алгебры St
есть стабилизатор структурного тензора алгебры St при
линейном представлении Ти2 группы GL(St). Применяя формулу
(19), находим, что касательная алгебра группы Aut St состоит
из всех линейных преобразований D пространства St,
удовлетворяющих условию
D(ab) = (Da)b+a(Db).
Такие преобразования называются дифференцированиями
алгебры St. Они, стало быть, образуют алгебру относительно
операции коммутирования (что, конечно, можно проверить и
непосредственно). Эта алгебра обозначается через DerSt.
39

1.6. Присоединенное представление. Каждая группа и G
имеет естественное линейное представление в своей
касательной алгебре д. А именно, для любого элемента g£G рассмотрим
определяемый им внутренний автоморфизм
группы G. Его дифференциал в точке е обозначим через
Ad(g). Это автоморфизм алгебры д. Так как a (gigi)= ;
=a(gi)a(g2), то отображение
Ad:G-*GL(g), g~Ad(g),
является линейным представлением группы G. Оно и
называется присоединенным представлением.
В обозначениях п. 1.2 можно написать
Au(g)l=g^K (22)
В частности, если G=AX — группа обратимых элементов
ассоциативной алгебры А, то Ad(g) есть просто сопряжение
посредством элемента g в алгебре А.
Дифференциал присоединенного представления группы Ли G
есть линейное представление ее касательной алгебры g в
пространстве д. Оно называется присоединенным представлением
алгебры д и обозначается через ad. Из формул (10) и (И)
следует, что
ad (6) л='[6. Л] • С23)
Так как Ad(G)<=Airt g, то ad(g)<=Derg (см. пример 3 п. 1.5).
С другой стороны, для всякой алгебры g с операцией [ , ]
можно по формуле (23) определить линейное отображение
ad:g->fll(g). Легко видеть, что при наличии
антикоммутативности тождество Якоби в g эквивалентно любому из следующих
свойств
1) отображение ad является гомоморфизмом алгебр;
2) ad(g)cDerg.
Тем самым мы получаем еще два доказательства (и два
толкования) тождества Якоби в касательной алгебре группы
Ли.
С присоединенным представлением связаны следующие
стандартные факты о централизаторах и нормализаторах.
Предложение 1.2. Для любого элемента g£G его
централизатор Z[g) является подгруппой Ли с касательной
алгеброй
8(g) ={Pfl: Ad (£)£=!} (24)
(называемой централизатором элемента g в алгебре д).
•^Подгруппа Z(g) есть не что иное, как стабилизатор
точки g при действии а группы G на себе внутренними
автоморфизмами. Следовательно, это подгруппа Ли. По теореме 1.1 ее
касательная алгебра состоит из таких £% что da(l) (g)=0; но
легко видеть, что
40
da(l)(g)=lg-g^&-M{g)l)g. ►
Предложение 1.3. Для любого элемента |бд его
централизатор Z(|) в группе G, определяемый формулой
Z(g)={geG: Ad(g)g=g}, (25)
является подгруппой Ли с касательной алгеброй
8(?)={лед:[|,л]=0} (26)
(называемой централизатором элемента £ в алгебре д).
Предложение 1.4. Для любого подпространства 1)<=д;
его нормализатор N(1)) в группе G, определяемый равенством
N(b) = {g&G:Ad(gnczb}, (27)
является подгруппой Ли с касательной алгеброй
n($) = {|eg:[g,J,]^} (28)
(называемой нормализатором подпространства I) в алгебре д).
А Утверждение получается применением к
присоединенному представлению группы G следствия 2 теоремы 3.5 гл. !.►
§ 2. Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр
В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать
пути в дифференцируемых многообразиях. Путь будет
пониматься как дифференцируемое отображение в данное
многообразие (вещественное или комплексное) связного
подмножества вещественной прямой, не сводящегося к точке. В
большинстве случаев это подмножество (область определения пути)
явно указываться не будет.
2.1. Дифференциальное уравнение пути в группе Ли. Для
любого пути g(t) в группе Ли G согласно п. 1.2 имеем
g'(t)=$(t)g(t)> (29)
где £(/)% Путь l(t) в алгебре g называется скоростью
пути g(t).
На равенство (29) можно смотреть как на уравнение для
определения пути g(t) по его скорости £(/). В локальной
системе координат оно представляет собой систему обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
координат g(t). Поэтому путь g(t) однозначно определяется
своей скоростью %(t) и начальным условием g(to)=go- С
другой стороны, путь g(t)h при любом fteG также удовлетворяет
уравнению (29). Поэтому все решения этого уравнения
получаются друг из друга правыми сдвигами.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании решения
уравнения (29).
Предложение 2.1. Пусть задано дифференцируемое
отображение ty+\(t) связного подмножества TczR в алгебру д.
41

Тогда существует решение уравнения (29), определенное при
всех /6Г.
•^ Достаточно доказать утверждение для случая, когда Т —
отрезок. Далее, достаточно доказать, что существует такое
е>0, что для любого /оУ существует решение уравнения (29),
определенное при |/—/о|<в. При этом ввиду инвариантности
множества решений относительно правых сдвигов можно
считать, что g{to)=e.
В системе координат в окрестности единицы группы G
уравнение (29) записывается в виде
g'(t) = F$(t),g{t% (30)
где F — дифференцируемая векторнозначная функция,
зависящая лишь от выбранной локальной системы координат.
Считая, что единица е имеет нулевые координаты, обозначим
через R такое положительное число, что выбранная координатная
окрестность содержит шар |Х|^7?. Положим, кроме того,
С=шах|1(<)|, М= max \F{X,Y)\.
/gr \X\<C,\Y\<R
Тогда в силу известной теоремы о существовании решения
системы дифференциальных уравнений (см., например, [27]) урав-
р
нение (30) имеет решение, определенное при \t — 'о|<"тр *&.
р
Так как -jt не зависит от t0, то его и можно взять в качестве
искомого е. ^
2.2. Теорема единственности.
Теорема 2.2. Гомоморфизм f связной группы Ли G в
группу Ли Н однозначно определяется своим дифференциалом.
А Любой элемент g&G можно соединить с единицей путем
g(t), O^t^.1. Путь g(t) удовлетворяет уравнению (29) с
начальным условием g(0) —е. Применяя к этому уравнению
гомоморфизм f, находим, что путь h(t)=f(g(t)) в группе Я
удовлетворяет уравнению
h'(t)=df{Ut))h(t)
с начальным условием h(0)=e. Тем самым определяется и
элемент f{g)—h(l).h-
2.3. Виртуальные подгруппы Ли. Как мы видели в п. 2.3
гл. 1, образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является
подгруппой Ли. Получаемые таким способом более общие
подгруппы в некоторых случаях могут служить суррогатом
подгрупп Ли.
Назовем виртуальной подгруппой Ли группы Ли G
подгруппу Н, наделенную структурой группы Ли таким образом,
что тождественное вложение i: H-*~G является гомоморфизмом
групп Ли. При этом будем считать, что алгебра I) вложена в
алгебру g посредством гомоморфизма di.
42
Очевидно, что всякая подгруппа Ли (наделенная
индуцированной структурой группы Ли) является виртуальной подгруп-
лой Лн. Если f:H~*-G — произвольный гомоморфизм групп Ли,
то группа f(H), наделенная структурой группы Ли как
факторгруппа Я/Kerf, является виртуальной подгруппой Ли
группы G с касательной алгеброй df(f)).
Топология виртуальной подгруппы Ли может быть отлична
от топологии, индуцированной с объемлющей группы Ли. Это
хорошо видно на примере плотной обмотки тора Тп, которая
несет структуру (и, в частности, топологию) группы Ли R, но с
любым непустым открытым подмножеством тора пересекается
по неограниченному в R подмножеству.
Однако из теоремы 2.2 гл. 1 следует, что в любой
виртуальной подгруппе Ли Н существует окрестность V единицы,
являющаяся подмногообразием объемлющей группы Ли (и, в
частности, имеющая индуцированную топологию), причем
Te(V)=\ Топологию виртуальных подгрупп Ли в целом
проясняет следующее
Предложение 2.3. Пусть Н — виртуальная подгруппа
Ли группы Ли G. Существует такая окрестность V единицы в
группе Яи такое подмногообразие SaG, содержащее единицу,
что отображение v .Sy^V>->-G, (s,h)i-±sh, является
диффеоморфизмом прямого произведения SXF на некоторую окрестность
V единицы в группе G. При этом H()U=TV, где T=Hf[S — не
более чем счетное множество. Если окрестность V связна, то
она является связной компонентой пересечения Hf\U в
индуцированной топологии.
•4 Окрестность V и подмногообразие S строятся так же,
как при доказательстве теоремы 3.1 гл. 1. Счетность Т
вытекает из того, что в группе Н не может быть более чем счетного
семейства попарно не пересекающихся открытых подмножеств.
Для доказательства последнего утверждения следует
воспользоваться тем, что всякое счетное подмножество пространства
Rn вполне несвязно.^
Следующая теорема позволяет получить характеризацию
виртуальных подгрупп Ли вещественных групп Ли в
топологических терминах.
Теорема 2.4 ([56]). Всякая линейно связная подгруппа
вещественной группы Ли является виртуальной подгруппой Ли.
Следствие. Виртуальные подгруппы Ли вещественных
групп Ли — это то же, что подгруппы, имеющие (в
индуцированной топологии) не более чем счетное число компонент
линейной связности.
2.4. Соответствие между подгруппами Ли и подалгебрами
касательной алгебры.
Теорема 2.5. Пусть G\ и G2 — виртуальные подгруппы
Ли группы Ли G. Если GicG2, то Gx — виртуальная
подгруппа Ли группы Ли G2 и fliers Обратно, если gic
сгдг и группа G\ связна, то G1CG2.
43

-^ Для доказательства первого утверждения теоремы
нужно доказать, что тождественное вложение G\ в G2
дифференцируемо. С помощью предложения 2.3, примененного к подгруппе
G2, показывается, что достаточно малая связная окрестность
единицы группы G\ содержится в окрестности единицы группы
•</2, являющейся подмногообразием в G. Отсюда и вытекает
требуемая дифференцируемость.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим путь
g(t) в группе G] со скоростью |(£) и начальным условием
g(0)=e. Так как g(£)<=gi<=g2, Т0 В гРУппе ^2 существует путь
с такой же скоростью и таким же начальным условием
(предложение 2.1). Как путь в группе G он должен совпадать с
g(t). Следовательно, g(t)£G2. ►
Следствие 1. Если виртуальные подгруппы Ли
совпадают как подмножества, то они несут одну и ту же структуру
группы Ли.
Следствие 2. Связная виртуальная подгруппа Ли
однозначно определяется своей касательной алгеброй (как
подалгеброй касательной алгебры объемлющей группы Ли).
Не всякая подалгебра касательной алгебры является
касательной алгеброй какой-либо подгруппы Ли. Однако
рассмотрение виртуальных подгрупп Ли делает картину соответствия
между подгруппами Ли и подалгебрами касательной алгебры
более законченной.
Теорема 2.6. Всякая подалгебра касательной алгебры
группы Ли является касательной алгеброй некоторой
(однозначно определенной) связной виртуальной подгруппы Ли.
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 5.3.
Теорема 2.7. Нормализатор N(#) связной виртуальной
подгруппы Ли Я в группе Ли G есть подгруппа Ли,
касательная алгебра которой совпадает с нормализатором n(J))
подалгебры I) в алгебре д.
А Так как gHg-1 (g&G) есть связная виртуальная
подгруппа Ли с касательной алгеброй Ad(g)J), то N(#)=N(I)) и
утверждение теоремы вытекает из предложения 1.4. ►
Следствие. Связная виртуальная подгруппа Ли Н
связной группы Ли G нормальна тогда и только тогда, когда
подалгебра I) является идеалом алгебры д.
Теорема 2.8. Централизатор Z(#) связной виртуальной
подгруппы Ли Н в группе Ли G есть подгруппа Ли,
касательная алгебра которой совпадает с централизатором з(1))
подалгебры I) в алгебре д.
•4 Заменив G на N(#), можно считать, что Я —нормальная
подгруппа. Ввиду теоремы 2.2 внутренний автоморфизм a(g)
группы G тождествен на Н тогда и только тогда, когда его
дифференциал Ad(g) тождествен на I). Таким образом, 1(H)
есть ядро линейного представления AdJ) группы G.
Следовательно, это подгруппа Ли, а ее касательная алгебра совпадает
44
с ядром линейного представления adj алгебры д, т. е. с
3(D). ►
Следствие. Центр Z(G) связной группы Ли G есть
(нормальная) подгруппа Ли, касательная алгебра которой
совпадает с центром з(д) алгебры д.
(Центром алгебры Ли называется совокупность элементов,
коммутатор которых со всеми элементами алгебры равен
нулю.)
2.5. Деформация пути в группе Ли. Будем называть
деформацией пути в дифференцируемом многообразии X
дифференцируемое отображение
TXS-+X, (t,s)^x(t,s),
где Т, Sc:R —связные подмножества, не сводящиеся к точке.
При этом будем считать, что s — параметр деформации, а
отображение t>-+x(t,s) при фиксированном s — деформируемый
путь.
Предложение 2.9. Пусть (t, s)<-+g(t, s)—деформация
пути в группе Ли О. Определим элементы § (t, s), v\ (i, s)6g из
равенств
■«г£Л-Ч(*.,),(«. s). <31)
Тогда
^jL-3^Jl-\ms),M^s)}. (32)
■4 Дифференцируя в координатах первое из равенств (31)
по s, а второе — по t, и приравнивая результаты, получаем:
dl(td'sS)* +Ч(*' S)*U*, s),= *y* +IV, s),n(t, s)„ (33)
где sff, s)j и t\(t, s)* — правоинвариантные векторные поля,
соответствующие l(t, s) и v\(t, s) (см. п. 1.2). Так как при |, т)бд
т1*?*-|*т1* = 1?*. Т1*1 = [|. Л]*>
то (33) эквивалентно (32). ►
Элементы |(^,s) и y\{t,s) имеют следующий смысл: t,(t, s)
при фиксированном s есть скорость деформируемого пути, а
ti(^s) есть скорость деформации. Равенство (32) можно
рассматривать как дифференциальное уравнение по t для
скорости деформации, позволяющее определить ее по скорости пути
при заданном начальном условии v\(t0, s)—r\o(s),
2.6. Теорема существования.
Теорема 2.10. Пусть G и Я — группы Ли, причем
группа G односвязна. Тогда для всякого гомоморфизма <р : д->ф
существует такой гомоморфизм / : G-*~H, что d/=<p.
45

■^Для определения образа элемента gbG соединим его с
единицей путем g{t), O^f^l, и найдем скорость £(£) этого
пути. Далее, рассмотрим в группе Я путь h(t), 0<^1, со
скоростью <р(|(0) н начальным условием h(0)=e. Элемент
f(g) будем считать по определению равным ft(-l).
Поскольку в выборе пути g(t) имеется произвол,
необходимо доказать корректность данного определения. Это наиболее
трудная часть доказательства теоремы.
Пусть ga{t) и gi(t)—два пути в группе G, соединяющих
е с g. Обозначим через ho(t) и hi(t) соответствующие им пути
в группе Н. Нужно показать, что Ао(1) == Ai (1) -
Ввиду односвязности группы G существует деформация пу>
ти go{t) в путь gi{t), т. е. дифференцируемое отображение
{t, s) *+ g(t, s) квадрата Q=[0, 1]X[0, 1) в группу G,
обладающее следующими свойствами:
1) g{t,0)=go{t),g(t,l)'=gi{t);
2) g(0,s)=e, g{l,s)=g.
Определим элементы l(t,s), r\(t,s)6g из равенств (31).
Согласно предложению 2.9 они связаны соотношением (32).
Кроме того, из свойства 2) следует, что
ri(0,s)=ti(lts)-0.
Определим теперь дифференцируемое отображение (t, s)i->-
>-*h(t, s) квадрата Q в группу Н как решение
дифференциального уравнения по t
£££- = <*№, s))k(t,s)
с начальным условием h(0,s)=e. Это будет деформация пути
ho(t) в путь h\(t). Пусть %{t, s)€l)— скорость этой
деформации, т. е.
.dJL^Il^Ut,s)h{t,s).
Согласно предложению 2.9 имеем
g^-^'^-W. *)>. ЕС *)]• •
Будем рассматривать последнее равенство как
дифференциальное уравнение по t для t,(t,s). Применив гомоморфизм <р
к (32), мы обнаружим, что этому уравнению удовлетворяет
Ф (т) (t, s)). Так как
E(0,s)=«p(ti(0,s))=0,
то £;(*, s)=<p(ti(f, sj). В частности, g(l,«X=<p(tj(1,s)) =0. Это
означает, что ft(l,s)=const и, следовательно, fto(l)=Ai(l).
Итак, мы определили отображение f:G-*-H. Докажем, что
/ — гомоморфизм.
46
Пусть gi(t) и gz{t), O^t^l, — пути в группе G,
соединяющие е с gi и g2 соответственно, li(t) и |2(£)—их скорости.
Путь, соединяющий е с gig2, может быть определен
равенствами
(ft(2*), 0<*<1
ki(2«-l)g2, у<«1.
(При подходящем выборе путей gt(t) и g2{t) отображение
t>-+g(t) будет дифференцируемым.) Его скорость %(t)
определяется равенствами
ш-=
2g2 (20. 0<*.<1,
2|i(2*-l), у<*<1.
Следовательно, если h\(f), h2(t) и h(t)— пути в группе //,
соответствующие путям gi(t), g2(t) и g(t), то
'Аа(И), 0</< j,
h1{2t — \)h2, \<t<l.
А(0 =
В частности,
f (gig*) =ft(i) =fti(i)Mi) ЧШШ-
С помощью замены параметра получается, что любой путь
g(t)bG со скоростью %(t) и начальным условием g(0)=e
переходит при отображении f в путь h(t)£H со скоростью <р(|(0)
и начальным условием и(0)=е. Следовательно, отображение f
дифференцируемо и def=y. ►•
Следствие. Односвязная группа Ли определяется с
точностью до изоморфизма своей касательной алгеброй.
Справедлива также следующая теорема, различные
доказательства которой будут даны в одном из следующих томов
настоящей серии (см. также [17]).
Теорема 2.11. Всякая конечномерная вещественная
(комплексная) алгебра Ли является касательной алгеброй некоторой
вещественной (комплексной) группы Ли.
2.7. Коммутативные группы Ли. Векторная группа Ли Кп
является той единственной односвязной группой Ли,
касательная алгебра которой коммутативна". Следовательно, любая
связная коммутативная группа Ли изоморфна группе Ли
вида Кп/Т, где Г — дискретная подгруппа группы Кп (см.
теорему 4.7 гл. 1). Если Ti и Гг—две дискретные подгруппы
группы Кп, то группы Ли Kn/Yi и /Сп/Гг изоморфны тогда и только
тогда, когда существует автоморфизм группы Ли Кп (т. е. не-
»> Коммутативная алгебра Лн — это алгебра с нулевым умножением.
47

вырожденным линейное преобразование векторного
пространства Кп), переводящий Г\ в Гг.
Всякая дискретная подгруппа группы Rn с помощью
подходящего автоморфизма переводится в одну из подгрупп
ГЛ= {(хь • ■ •, xh, О,..., 0)GR«: хи ..., ХиЩ,
где k—0, \,...,n, [J22]. Отсюда получается следующая
классификация связных коммутативных вещественных групп Ли.
Теорема 2.12. Всякая связная коммутативная
вещественная группа Ли изоморфна группе Ли вида TfeXR*.
Классификация коммутативных комплексных групп Ли
значительно сложнее. Например, всякая связная одномерная
комплексная группа Ли изоморфна одной из групп Ли
С, C/Z~C* и ;4(u)=C/(Z+Zu),
где ибС, lmu>0, причем группы Ли А(и) и A(v) изоморфны
(как комплексные группы Ли) тогда и только тогда, когда
v=7U+d> (crf)6SL2(Z).
Таким образом, связные компактные одномерные комплексные
группы Ли параметризуются точками фактормножества
верхней полуплоскости комплексного переменного по модулярной
группе Клейна, которое, как известно, наделяется естественным
образом структурой комплексной плоскости С.
§ 3. Экспоненциальное отображение
3.1. Однопараметрические подгруппы. Путь g(t) в группе
-Ли G, определенный при всех ^6R, называется однопараметри-
ческой подгруппой, если
g(t+s)=g(t)g(s)
(и тогда автоматически g(0)=e, g(—t)=g(t)~i). Иначе
говоря, однопараметрическая подгруппа — это гомоморфизм в G
группы Ли R. Иногда, однако, однопараметрической подгруппой
называют образ такого гомоморфизма. Однопараметрическая
подгруппа в этом смысле является виртуальной подгруппой Ли
(но может не быть настоящей подгруппой Ли).
Предложение 3.1. Путь g(t) в группе Ли G является
однопараметрической подгруппой тогда и только тогда, когда
его скорость%(t) постоянна и g(0)=e.
Л Пусть g(t) —путь со скоростью 1(0 и начальным
условием g(0)=e. При любом sGR путь gs(t)=g(t-\-s) имеет скорость
ls(0=l(*+s) и удовлетворяет начальному условию gs(0) =
=g(s). Отсюда следует, что если 1(0 = const, то gs(t) =
=g(t)g(s)- Обратно, если ga[t)=g[t)g(s) при всех seR, то
ls(t) =1(0 при всех S6R..T. е. 1(0= const. ►
48
Для всякого ££д обозначим через gi(t) однопараметричес-
кую подгруппу со скоростью 1(0 = 1- Вектор 1 будем называть
ее направляющим вектором.
Если G=A* — группа обратимых элементов ассоциативной
алгебры Л, то ... ,,,
go(0=exp*a,
где экспонента понимается как сумма ряда:
оо
71=0
(В случае, когда А —алгебра матриц, этот факт составляет
содержание теории систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.)
Однопараметрические подгруппы векторной группы Ли
Кп — это одномерные подпространства векторного
пространства Кп. Бйлее точно, gv(t)=tv (при обычном отождествлении
Т0(Кп) сКп).
3.2. Определение и основные свойства экспоненциального
отображения. Для произвольной группы Ли G положим по
определению
ехр l=gi(l) (See).
Определенное таким образом отображение ехр : g-»-G
называется экспоненциальным отображением. В случае, когда О —
группа обратимых элементов ассоциативной алгебры, оно совпадает
с отображением, определенным с помощью ряда (34). В случае,
когда G — векторная группа Ли, экспоненциальное
отображение тождественно.
Путем линейной- замены параметра t получаем, что
&(0=expf|. (35)
Теорема о дифференцируемой зависимости решений
системы дифференциальных уравнений от параметров показывает,
что отображение ехр дифференцируемо, а из (35) следует, что
его дифференциал в нуле есть тождественное отображение.
Отсюда, в свою очередь, вытекает
Предложение 3.2. При экспоненциальном отображении
ехр : g-»-G некоторая окрестность нуля алгебры g диффеоморфно
отображается на окрестность единицы группы G.
Аналогичным образом доказывается следующее более общее
утверждение.
Предложение 3.3. Пусть g = ai®...®afc—разложение
алгебры g в прямую сумму подпространств. Тогда при
отображении
ii+ ... +1ь-* ехр li ... ехр 1ь (iieaf)
некоторая окрестность нуля алгебры g диффеоморфно
отображается на окрестность единицы группы G.
4—8731 23 49

Указанные свойства экспоненциального отображения
позволяют выделить некоторые специальные системы координат в
окрестности единицы группы G. А именно, пусть {еи ..., еп} —
базис алгебры д. Тогда каждое из отображений
(/lf ..., tn)>-+exp (tiei-\- ... +^я),
(*i, .... *„)►-*exphex ... expt^n
задает диффеоморфизм некоторой окрестности нуля простран-
'ства Кп на окрестность единицы группы G. Определяемые
таким образом координаты, в окрестности единицы группы G
называются каноническими координатами первого и второго рода
соответственно.
В целом экспоненциальное отображение не обладает, вооб-
. ще говоря, никакими хорошими свойствами. Как мы увидим
в следующих пунктах, оно может не быть сюръективным,
инъективным, открытым и т. д.
При гомоморфизме / групп Ли однопараметрическая
подгруппа с направляющим вектором | переходит в однопарамет-
рическую подгруппу с направляющим вектором df(l).
Следовательно,
f(exp6)=expdf(l). (36)
(Это означает, что в канонических координатах первого рода
всякий гомоморфизм групп Ли записывается как линейное
отображение.) В частности
Ad(exp|)=expad(|). (37)
Пример. Рассмотрим гомоморфизм det: GLn{K)-*-K*- Так
KaK^det=tr (пример 1 п. 1.3), то
detexpX=etrX (Хе1„(Я)).
Свойство мультипликативности, характеризующее обычную
экспоненту, для экспоненциального отображения в группах Ли
выполняется лишь в ограниченном виде.
Предложение 3.4. Если [!, г]] =0, то
ехр(|+т))=ехр|ехрт).
■^Если [%, т)]=0, то существует гомоморфизм f : №-*-G, для
которого df(a,b)=a%4-bi\ (теорема 2Л0). Поэтому
утверждение достаточно доказать для векторной группы; но в этом
случае оно очевидно. ►
В частности, если группа G коммутативна, то отображение
ехр является гомоморфизмом векторной группы g в группу G.
3.3. Дифференциал экспоненциального отображения. Для
вычисления дифференциала отображения ехр: g-vG в точке
|6д рассмотрим деформацию пути в группе G, определяемую
формулой
*(*,*)-ехр *(S+sti) (38)
(так что при любом s деформируемый путь является однопа-
раметрической подгруппой). Имеем (d5exp) (r)) =rt(l)exp !, где
50
ц (0 = Л (*, 0) —скорость деформации (38) при s=0. Так как
скорость деформируемого пути равна |(/,s) = !+st], то
согласно предложению 2.9 имеем v
Л'(0=* [6, 4(01+4 (39).-
при начальном условии tj (0) =0.
Решение уравнения (39) может быть записано в виде
ой-•"££"'м.
ехр А—1 . .
где ^— для линейного оператора А понимается как сумма;
ряда
со
ехр Л — 1 "V* Ап
В частности, при t = \ получаем
(<*6 ехр) (г)) = GXPfd%~1 (Л) ехр £. (40>
(Эта формула является частным случаем формулы Хелгасона
[34] для дифференциала экспоненциального отображения в
произвольном пространстве линейной связности.)
Из формулы (40) следует, что ядро линейного отображения
d5exp в случае /С=С есть сумма собственных подпространств
оператора ad(|), отвечающих собственным значениям вида
2nik, где &6Z, k=£0, а в случае /C=R — вещественная часть
этой суммы. Размерность этой суммы обозначим через v(|).
Теорема 3.5 ([48]). Отображение ехр : g-»-G является
локальным диффеоморфизмом в точке |Сд тогда и только тогда,
когда оператор ad(|) не имеет собственных значений вида
2nik, где &GZ, кф§. Если это условие не выполнено, то
отображение ехр не только не является локальным диффеоморфизмом,,
но и не открыто в точке |. Множество ехр-1 (ехр!) есть
замкнутое подмногообразие1' алгебры д. Его связная компонента,
содержащая |, совпадает со связной компонентой множества
Ad (Z(ехр!))| и имеет размерность v(!).
3.4. Экспоненциальное отображение в полной линейной
группе. Легко видеть, что экспонента жордановой клетки с
собственным значением % подобна жордановой клетке с собственным
значением е\ Поэтому экспоненциальное отображение в
группе GL„(C) сюръективно. Экспоненциальное отбражение в
группе GL„(R) не сюръективно; его образ состоит из матриц, для
каждого отрицательного собственного значения которых числа
жордановых клеток каждого порядка четно. Этот образ не
ОТМЫТ И HP: ттплтен в GL«(R).
'> Это подмногообразие может быть смешанным, т. е. иметь связные
компоненты разных размерностей.
4*
51

Экспоненциальное отображение в группе SL„(C) не сюръ-
ективно. Его образ плотен, но он не содержит, например, жор- ;
дановой клетки с собственным значением, отличным от 1 (но ■■
являющимся корнем n-ой степени из 1). Однако в группе '■
PSL„(C) =PGL„(C) экспоненциальное отображение сюръектив-
но, как и в GL„(C). Образ экспоненциального отображения в'
труппе SLn(R) описывается так же, как в GL„(R).
В каждой из групп GL„(C), GL„(R), SL„(R)
экспоненциальное отображение задает диффеоморфизм открытого подмно- \
жества касательной алгебры, состоящего из матриц, все собст-1
венные значения X которых удовлетворяют условию |ImA,|<|
<я, на открытое подмножество группы, состоящее из матриц, j
ле имеющих отрицательных собственных значений [47]. 1
3.5. Теорема Картана. Одним из применений экспоненциаль- j
ного отображения является доказательство следующей теоре- \
мы, дающей топологическую характеризацию подгрупп Ли
вещественных групп Ли.
Теорема 3.6 (Теорема Э. Картана). Всякая замкнутая
подгруппа вещественной группы Ли является подгруппой Ли.
•4Пусть Я— замкнутая подгруппа вещественной группы
Ли G. Обозначим через Т совокупность элементов £бд, для ко^
торых существуют такие последовательности £п£д и c„6R, что
^„->0, сп|п->| и ехр |„6Я. Легко видеть, что числа с„ можно
считать целыми. При этом условии получаем:
ехр £ = lim (ехр £„) с„бЯ.
Кроме того, для любого aGR имеем acni,n-*~ai„ так что а%аТ.
Пусть |, г\ б Т. Рассмотрим путь
h{t) =exp t\ ехр /т)бЯ.
Для достаточно малых t имеем h(t) =exp %(t), где t,(t) —путь
в алгебре д, причем
t(0) =0, t'(0) =Л'(0)
Следовательно,
Таким образом, Т—подпространство в алгебре g и ехр ТаН.
Пусть S<=g — дополнительное подпространство. Рассмотрим
отображение
<p:g-»G, |+т)'-*ехР?ехРт1 (|67\ rieS).
Согласно предложению 3.3 оно задает диффеоморфизм
некоторой окрестности U нуля алгебры g на окрестность единицы
группы G. Докажем, что если окрестность U выбрана
достаточно малой, то
ЯПф(£/)=ч>(ГП£/) (=ехр(ТГ|1/))'. (41)
Предположим, что равенство (41) ле имеет места ни при
каком выборе окрестности U. Тогда существует такая последо-
52
вательность T)n6S\{0}, что г)п-*-0 и ехр т)пеЯ. Перейдя к
подпоследовательности, можно добиться того, чтобы c„Tin-»-r)e'S4
\{0} для некоторых c„6R; но тогда т)бГ, что невозможно. ►
Комплексный аналог теоремы Картана неверен, поскольку
любая вещественная подгруппа Ли комплексной группы Ли
замкнута, но не обязательно является комплексной подгруппой
Ли.
3.6. Подгруппа неподвижных точек автоморфизма группы
Ли. В специальной ситуации, когда Я есть подгруппа
неподвижных точек какого-либо автоморфизма, экспоненциальное
отображение позволяет не только доказать, что Я — подгруппа
Ли, но и найти ее касательную алгебру, причем это в равной
мере применимо к вещественным и комплексным группам Ли.
Теорема 3.7. Пусть a — автоморфизм группы Ли G.
Тогда
— подгруппа Ли с касательной алгеброй
g"={geg: do(!)=!}.
•4 Утверждения теоремы непосредственно следуют из
перестановочности автоморфизма а с экспоненциальным
отображением (формула (36)). ►
§ 4. Автоморфизмы и дифференцирования
4.1. Группа автоморфизмов. Пусть G — группа Ли, AutG —
группа ее автоморфизмов (как группы Ли), Autg — группа
автоморфизмов ее касательной алгебры.
Если группа G связна, то отображение d : Aut G-»-Aut g,
сопоставляющее каждому автоморфизму группы G его
дифференциал, является вложением (теорема 2.2), а если G одно-
связна,— то и изоморфизмом (теорема 2.10). Группа Autg
является линейной группой Ли (пример 3 п. 2.2 гл. 1).
Пользуясь этим, можно в случае односвязной группы G перенести
структуру группы Ли с Aut g на Aut G. При этом действие
группы Aut G на G будет дифференцируемым. В общем случае
имеет место
Предложение 4.1. Для любой связной группы Ли G
группа dAutG является подгруппой Ли группы Autg.
•4 По теореме 4.7 гл. 1 имеем 0 = QjN, где G — односвяз-
ная группа Ли с той же касательной алгеброй, а N—ее
дискретная центральная подгруппа. Группа AutG
отождествляется естественным образом с подгруппой группы Aut G, состоящей
из автоморфизмов, переводящих N в себя. Она содержит
подгруппу Н, состоящую из автоморфизмов, тождественных на N.
По теореме 4.2 гл. 1 Н является подгруппой Ли группы
AutG (как пересечение стабилизаторов точек из N), а из
53

дискретности N следует, что в некоторой окрестности едини
группы AutG подгруппы AutG и Я совпадают. ►
Тем самым, для любой связной группы Ли G групп
Aut G наделяется естественной структурой группы Ли.
Внутренние автоморфизмы группы G образуют в Aut
нормальную подгруппу, изоморфную G/Z, где Z — центр груп,
пы G, и обозначаемую через Int G.
Если группа G связна, то группа d Int G=Ad(G) зависи
только от алгебры g (см. п. 4.2) и является нормальной под
группой группы Aut g. Она называется группой внутренни
автоморфизмов алгебры д и обозначается через Int д. Ка~
образ группы G при ее присоединенном представлении, групп
Int g является виртуальной подгруппой Ли (но может не быт
настоящей подгруппой Ли) группы Aut g. Соответственно этом
группа Int G является виртуальной подгруппой Ли групп
AutG.
Факторгруппу Aut G/Int G (которую можно наделить есте
ственной структурой группы Ли, если Int G является подгруп
пой Ли в AutG), допуская вольность речи, называют группа
внешних автоморфизмов группы Ли G. Аналогично, фактор
группу Aut g/Init g называют группой внешних автоморфизме
алгебры д. В случае односвязной группы G имеется естествен
ный изоморфизм Aut G/Int G^Autg/Intg.
Примеры. 1. Пусть G — связная коммутативная групп"
Ли. Тогда Autg=GL(g), Intg={£}, а группа dAutG состой
из автоморфизмов алгебры д, сохраняющих ядро экспоненци
ального отображения (каковым может быть любая дискретна
лодгруппа векторной группы д).
2. Пусть G — группа Ли, образованная матрицами вид
Ее касательная алгебра g имеет базис {А\,..., Хп, У\, ■ ■ ■, Уп,
2), для которого [Хг, YY1=Z, а остальные коммутаторы базис
ных векторов равны 0. (Такая алгебра Ли называете
алгеброй Гейзенберга.) Подпространство й=<2> являете
центром алгебры д. Любой автоморфизм должен переводить ег
в себя, т. е. умножать Z на число с^О, и индуцировать в д/
линейное преобразование, умножающее на с~' кососимметриче
скую билинейную форму I, определяемую по следующему пра
вилу: f(Xi,Yt) = l, а значения f на остальных парах базисны
векторов равны 0. Обратно, всякое линейное преобразование
54
алгебры g с этими свойствами является автоморфизмом. Что
касается внутренних • автоморфизмов, то они имеют вид
- Xt^Xi + UtZ, Y^Yi + biZ, Z»Z.
Группа Intg является подгруппой Ли группы Autg и
изоморфна векторной группе К2п- Факторгруппа Autg/Intg есть
расширение группы Sp2n(K) посредством группы К*.
3. Пусть О — группа аффинных преобразований прямой. Эта
группа Ли изоморфна группе матриц вида (q Л (где а^О),
базис касательной алгебры которой составляют матрицы
X = (q q) и ^ = (о о)' удовлетворяющие соотношению [X, Г]=К.
Непосредственно проверяется, что Autg=Ad(G)^G. В
комплексном случае группа G связна и Intg=Ad(G)=Aut g.
В вещественном случае группа G состоит из двух связных
компонент (различающихся знаком а) и
Intg=Ad(G°)—подгруппа индекса 2 в Autg. В обоих случаях Aut G=Int G.
4.2. Алгебра дифференцирований. Касательной алгеброй
группы Auitg является алгебра Derg дифференцирований
алгебры g (пример 3 п. 1.5). Касательной алгеброй группы Intg
является образ алгебры g при гомоморфизме ad=dAd. Это, в
частности, показывает (см. следствие 2 теоремы 2.5), что
группа Intg не зависит от выбора группы G среди связных групп
Ли, имеющих g своей касательной алгеброй.
Дифференцирования вида ad(|), |6g, называются
внутренними дифференцированиями алгебры д. Они образуют идеал
в алгебре Der g. Более точно,
[Д ad(6)] = ad фб) (42)
для любых DGDer g, |6g.
4.3. Касательная алгебра полупрямого произведения групп
Ли. Полупрямым произведениям групп Ли (см. п. 3.5 гл. 1)
отвечают полупрямые суммы" алгебр Ли.
Полупрямой суммой алгебр Ли gi и д2 называется прямая
сумма векторных пространств gi и дг, наделенная структурой
алгебры Ли по формуле
К?1. Ы. (Пи rfe)I = (I6i, ThJ + PteOih-POteHi. fe. »fe]),
где р—некоторый гомоморфизм алгебры Ли д2 в алгебру Ли Dergi.
Мы будем обозначать ее через З1-Э32 или, точнее, через 8i-&g2.
Р
Элементы вица (£ь 0) (соответственно *(0, |2)) образуют
gi-Bg2 подалгебру, изоморфную & (соответственно д2), которую
') Впрочем, с одинаковым успехом их можно называть н полупрямыми
произведениями.
55

мы будем отождествлять с 3i (соответственно с д2). Подалгебра
Qx является идеалом, причем
[ЬьЫ=?(&)!!• (43>
Подалгебра д2 является идеалом тогда и только тогда, когда}
8=0; в этом случае полупрямая сумма совпадает с прямой'
СуММОй Qi@&2-
Пример. Пусть К —некоторое векторное пространство,.,
рассматриваемое как коммутативная алгебра Ли. Тогда
DerV=gI(V). Для любого линейного представления р:д->
-»-gl(V) алгебры Ли g можно образовать полупрямую сумму
V-эд, в которой V будет коммутативным идеалом.
р
Говорят, что алгебра Ли g разлагается в полупрямую сумму
подалгебр gi и д2, если
1) подалгебра gi является идеалом:
2) алгебра g как векторное пространство является прямой
суммой подпространств gi и д2.
В этом случае имеет место изоморфизм
8i-B02^g. (in Ы^Ь + Ь,
Р
где 8:g2->Dergi —гомоморфизм, определяемый формулой (43).
В этой ситуации мы будем писать g=gi-Bg2 или g = g29-gi-
Предложение 4.2. Касательная алгебра полупрямого
произведения Gi><lG2 групп Ли 0\ и G2 есть полупрямая
ь
сумма 01-В02 их касательных алгебр gi и д2- При этом 6=dS,
где B:G2-»Autg,— гомоморфизм групп Ли, определяемый
условиям B{g2) = d(b(g2))-
Примеры. 1. Пусть /?:G->-OL{V) — линейное
представление группы Ли G. Касательной алгеброй полупрямого
произведения V><\G является полупрямая сумма 1/-эд, где p = dR.
R Р
2. Группа Ли GA(V) аффинных преобразований векторного
пространства V изоморфна полупрямому произведению-
V><]OL(V) (пример 2 п. 3.6 гл. 1). Соответственно этому ее
Id
касательная алгебра изоморфна полупрямой сумме V-&$(]/)*
ld
где id — тождественное линейное представление алгебры ${V}
в пространстве V-
Предложение 4.3. Пусть 0Y и G2 — бдносвязные группы
Ли. Для любого гомоморфизма B:g2-»Dergi существует такой,
гомоморфизм 6:G2->AutGi, что определяемое им действие
группы G2 на Gi дифференцируемо и касательная алгебра
полупрямого произведения Gi><]G2 есть Й1-ЭЙ2-
ь Р
4 Искомый гомоморфизм b получается из В
«интегрированием»—процедурой, обратной к той, которая описана в
формулировке предложения 4.2. ►
56
§ 5. Коммутант и радикал
5.1. Коммутант. Напомним, что коммутантом группы G
называется подгруппа (G, G) — G', порожденная всеми
коммутаторами (g,h)—ghg-lk~l(g,h£G). Эта подгруппа нормальна и
является наименьшей нормальной подгруппой, факторгрупна по
которой коммутативна.
Коммутантом алгебры Ли g называется подпространство
{(J.fil^fl'» порожденное всеми коммутаторами [£, ti](£, ле
Gg). Это наименьший идеал, факторалгебра по которому
коммутативна:
Теорема 5.1. Коммутант G' связной группы Ли G
является связной виртуальной подгруппой Ли с ' касательной
алгеброй д'. Если группа G односвязна, то G' — настоящая
подгруппа Ли.
•^ Пусть вначале G — односвязная группа Ли. Рассмотрим
факторалгебру g/g'. Она коммутативна и потому является
касательной алгеброй некоторой векторной группы Ли V. По
теореме 2.10 канонический гомоморфизм <р : g-»-g/g' является
дифференциалом некоторого гомоморфизма f: G-+-V. Ядро
гомоморфизма / обозначим через Н. Это нормальная подгруппа Ли,
касательная алгебра которой совпадает с ядром гомоморфизма <р,
т. е. с fl'. Так как факторгруппа G/H^V коммутативна, то
#=dG'. Из точной последовательности (10) гл. 1 следует, что
подгруппа Н связна. Покажем, что некоторая ее окрестность
единицы содержится в G'; отсюда будет следовать, что #=G'
(см. следствие теоремы 4.1 гл. 1).
Лемма 5.2. Для любых g, TjCg существует путь g(t)
класса С1 в группе G, определенный в некоторой окрестности нуля
и обладающий следующими свойствами:
1) *(0)~е,£'(0)=&л];
2) при любом t элемент g(t) является коммутатором в
группе G.
•4Пусть x(t) и y(t) (0</<e) —такие пути в группе G, что
x(0)=#(0) = e, д^(0)=|, г/'(0)=т). Тогда можно взять
^-/(•«(VlL^VT)) при t>0,
g (I> \{x {V-1), у (V^i))-1 при t < 0.
Выберем теперь базис {£ь ..., £п} пространства %' над R,
состоящий из коммутаторов. Пусть gi{t), \t\ <е(, — путь,
удовлетворяющий условиям леммы для [|, т)}=£(. Обозначим
через U окрестность нуля в пространстве R™, выделяемую
неравенствами |^|<е4, и рассмотрим отображение
f:U-+H, (*i,...,/„)-*! (/,)... *„('»)■
Из свойств путей gi(t) вытекает, что dtf есть изоморфизм
касательных пространств над R. Следовательно, f(U) и, тем
более, G' содержит некоторую окрестность единицы группы Я.
57

Для произвольной связной группы Ли G утверждение теорем
вытекает из существования односвязного накрытия /?:(?-»
и того уже доказанного факта, что G' —подгруппа Ли группы G.
Следствие. Если G— связная группа Ли и g'—fl, т
G' = G.
Примеры. 1. Пусть £^(1^1,j^n)—матричные единицы
Соотношения
[Ett—Ejj, Ец]=2Ец, [EiS, Ец\—Ец—Ец показывают, что
5ln(K)'=5l„(/C). Так как tr[X, У]=0 для любых матриц X, Y,т
$1п(К)'=з1п(К). Следовательно, коммутант группы GLn(/C)
равен SL„(#), а коммутант группы SLn(/() совпадает с ней
самой. !
2. Пусть Я — группа унитреугольных вещественных матриц
3-го порядка. Коммутант ее касательной алгебры одномерен-.'
он порождается матричной единицей £13. Рассмотрим групп
Ли G=(#XT) /N, где N — циклическая подгруппа,
порожденная элементом (exp £i3, с) 6#ХТ. Если с — элемент
бесконечного порядка в группе Т, то коммутант группы G является
плотной обмоткой двумерного тора ({exp /£i3}XT) /N. Этот
пример показывает, что коммутант неодносвязной группы Ли
может не быть настоящей подгруппой Ли.
5.2. Замыкание Мальцева. В касательной алгебре группы
Ли могут существовать подалгебры, не отвечающие никаким
подгруппам Ли. Например, одномерная подалгебра
касательной алгебры группы Т™, натянутая на элемент (iau ..., ian),
где аь ..., an6R, является касательной алгеброй некоторой
подгруппы Ли тогда и только тогда, когда числа аи ..., ап
соизмеримы. Тем не менее, как мы сейчас увидим, всегда
существует подгруппа Ли, касательная алгебра которой лишь
«ненамного больше» заданной подалгебры.
Пусть 1) — произвольная подалгебра касательной алгебры
группы Ли G. В силу теоремы 4.2 гл. 1 существует
наименьшая подгруппа Ли группы G, касательная алгебра которой;
содержит Ъ). Эту касательную алгебру мы будем называть
замыканием Мальцева подалгебры & и обозначать через 1)м.
Теорема 5.3 (А. И. Мальцев [12]). Пусть 1) — подалгебра
касательной алгебры группы Ли и \м — ее замыкание
Мальцева. Тогда (1)м)'-=!)'.
•^Применим следствие 3 теоремы 3.5 гл. 1 к
присоединенному представлению группы G, взяв в качестве U и W
подпространства $ и У соответственно. Мы получим, что
H^{geG: (Ad(g)-E)bc:V}
есть подгруппа Ли с касательной алгеброй
Так как bczfa, то и &McIh, т. е. ![1>м, Ъ]аЪ'. Взяв теперь в
качестве U подпространство Ъм, мы аналогичным образом получим,
что [Ьм, $M]czY>
58
Операция перехода к замыканию Мальцева, очевидно,
инвариантна относительно группы d Aut G. В частности, она
инвариантна относительно внутренних автоморфизмов алгебры д,
откуда следует, что замыкание Мальцева идеала есть идеал.
5.3. Строение виртуальных подгрупп Ли. В этом пункте мы
докажем, используя замыкание Мальцева, теорему о
существовании виртуальной подгруппы Ли с заданной касательной
алгеброй (теорема 2.6) и одновременно получим некоторое
описание всех виртуальных подгрупп Ли.
•Ч Пусть 1)—подалгебра касательной алгебры группы Ли Q.
Докажем, что существует связная виртуальная подгруппа Ли
HczG, имеющая & своей касательной алгеброй. Положим f=tyH«
По теореме 5.3 V = Y- Пусть FcG—связная подгруппа Л,
имеющая f своейз касательной алгеброй, и F — ее односвязная
накрывающая группа Ли. Так как FjF' есть векторная группа,
то в ней существует связная подгруппа Ли (подпространство
векторного пространства) с касательной алгеброй &/$'cf/f.
Следовательно, в самой группе F существует связная подгруппа
Ли Я с касательной алгеброй 1). Образ этой подгруппы в F
и будет искомой виртуальной подгруппой Ли группы G. ►
В ходе доказательства фактически получено следующее
описание связных виртуальных подгрупп Ли.
Теорема 5.4. Для всякой связной виртуальной подгруппы
Ли Н группы Ли G существует такая связная подгруппа Ли F
группы G и такая связная подгруппа Ли Н односвязной^
накрывающей группы Ли F, содержащая ее коммутант F', что
//=/?(//), где p:F-*F — накрывающий гомоморфизм.
(Легко видеть, что // — односвязная накрывающая группа
Ли для //.)
Пользуясь этим описанием, нетрудно доказать следующий
аналог теоремы 4.2 гл. 1 для виртуальных подгрупп Ли.
Теорема 5.5. Пересечение Н—{\Н^ произвольного
V
семейства {//v} виртуальных подгрупп Ли является виртуальной
подгруппой Ли с касательной алгеброй J)=flJ)v
v
< Доказательство сводится к случаю двух подгрупп
совершенно так же, как доказательство теоремы 4.2 гл. 1. Кроме
того, если одна из двух подгрупп является настоящей
подгруппой Ли, то утверждение теоремы вытекает из теоремы 3".5
гл. 1 (ср. доказательство следствия 1 этой теоремы). ►
Для полноты картины приведем также следующую теорему.
Теорема 5.6. Подгруппа //, порожденная произвольным
семейством {//v} связных виртуальных подгрупп Ли, является
связной виртуальной подгруппой Ли, причем ее касательная
59

алгебра \> совпадает с подалгеброй, порожденной семейством
подалгебр (Ц.
< Пусть $—подалгебра, порожденная семейством подалгебр
{^v}i и //—связная виртуальная подгруппа Ли, имеющая 1) своей
касательной алгеброй. Очевидно, что НаН. Далее, обобщив
лемму 5.2 на коммутаторы -произвольной длины, можно показать
так же, как и при доказательстве теоремы 5.1, что Н содержит
некоторую окрестность единицы группы Н. Отсюда следует*
что Я = #. ►
В силу теоремы Э. Картана (теорема 3.6) виртуальная
подгруппа Ли (как- в вещественной, так и в комплексной группе
Ли) является настоящей подгруппой Ли тогда и только тогда*
когда она замкнута. Отметим следующий результат [12]:
виртуальная подгруппа Ли замкнута тогда и только тогда, когда
содержит замыкание любой содержащейся в ней однопарамет-
рической подгруппы.
5.4. Взаимный коммутант. Взаимным коммутантом
нормальных подгрупп Gx и G2 группы G называется подгруппа (Gb G2),
порожденная всеми коммутаторами (gi, g2), где gi&Gu g2&G2-
Это — также нормальная подгруппа группы G.
Взаимным коммутантом идеалов gi и д2 алгебры Ли g
называется подпространство [gb g2], порожденное всеми
коммутаторами '[gi, £2], где \\Ц\, ЪНь Это также идеал алгебры д.
Теорема 5. Взаимный коммутант (G,, G2) связных
нормальных виртуальных подгрупп Ли Gx и G2 группы Ли G
является связной (нормальной) виртуальной подгруппой Ли с
касательной алгеброй [gi, g2].
Л Пусть Н — связная виртуальная подгруппа Ли с
касательной алгеброй Ь={йи 8г]- Докажем, что (Gb G2)c#.
Так как ad(gi)g2c{), то (следствие 3 теоремы 3.5 гл. 1)
(Ad(g,)-£)fec*
при всех gi^Gi.
Лемма 5.8. Пусть о —автоморфизм связной группы Ли G,
переводящий в себя ее нормальную виртуальную подгруппу Ли
Н. Если da тождествен на g/I), то о тождествен на G/H.
•^Пусть g(t)&G — путь со скоростью %(t) и начальным
условием g(0)=e, и пусть da(%(t)) =l(t)+r\(t), r\(t)ty.
Рассмотрим путь h(t)£H со скоростью Ad(g(t))~lr\(t) и начальным
условием h(0)=e. Непосредственно проверяется, что скорость
пути g(t)h(t) равна da(l(t)). Следовательно, a(g(t))-=
Применяя эту лемму к автоморфизму Ad(gi) группы G2,
получаем, что gigig^g^GH при всех giGGi, g26G2.
Из леммы 5.2 так же, как при доказательстве теоремы 5.1,
выводится, что (C?i, С?2) содержит некоторую окрестность
единицы группы Я. Следовательно, (C?i, Q2) = H. p.
60
Рассуждение, аналогичное доказательству теоремы 5.3,
показывает, что
[в?. в?Ыв1.в2] (44)
для любых идеалов fli, fl2 касательной алгебры группы Ли О.
5.5. Разрешимые группы Ли. Напомним, что кратные
коммутанты Q{k) (k—0, 1,2, ...) группы О определяются по
индуктивному правилу
О(0)=С?, G(ft+I) = (C?(*y.
Группа О называется разрешимой если существует такое т,
что G(m)—{e). Всякая подгруппа и всякая факторгруппа
разрешимой группы разрешимы. Обратно, если нормальная подгруппа
NdO и факторгруппа Q/N разрешимы, то и группа О
разрешима.
Аналогично, кратные коммутанты g<*> (&=0, 1, 2, .. .)
алгебры Ли fl определяются по индуктивному правилу
8<0)=8, j(Hl)s^))'.
Алгебра Ли g называется разрешимой, если существует такое
т, что д<т)=0. Всякая подалгебра и всякая факторалгебра
разрешимой алгебры Ли разрешимы. Обратно, если идеал ncrfl и
факторалгебра g/n разрешимы, то и алгебра g разрешима.
Индуктивное рассуждение показывает, что кратный
коммутант G(fe) связной группы Ли G является связной виртуальной
подгруппой Ли с касательной алгеброй $м. Отсюда вытекает
Теорема 5.9. Связная группа Ли G разрешима тогда и
только тогда, когда ее касательная алгебра д разрешима. Более
точно, G(m!={e} тогда и только тогда, когда g(m, = 0.
Пример. Важным и в некотором смысле основным
примером разрешимой группы Ли является группа Тп(К)
невырожденных треугольных матриц га-го порядка над полем К. Ее
касательная алгебра — это алгебра t„(/C) всех треугольных
матриц. Нетрудно видеть, что £-ый коммутант этой алгебры
состоит из матриц (Xij), удовлетворяющих условию хц=0 при
/—i<;2fe_1. Соответственно этому й-ый коммутант группы Тп(К)
состоит из матриц (ац), удовлетворяющих условию ajj = 6jj при
1—/<2fe-'.
Всякая нетривиальная разрешимая алгебра Ли g может
быть разложена в полупрямую сумму идеала п коразмерности
1 и одномерной подалгебры а. А именно, в качестве п можно
взять любое подпространство коразмерности 1, содержащее g',
а в качестве а—любое дополнительное подпространство.
Применяя предложение 4.3, индукцией по dimg получаем отсюда
следующую теорему.
Теорема 5.10. Для всякой разрешимой алгебры Ли g
существует группа Ли, имеющая g своей касательной алгеброй.
61

Одновременно устанавливается, что всякая нетривиальная
односвязная разрешимая группа Ли разлагается в полупрямое
произведение нормальной подгруппы Ли коразмерности 1 и
одномерной подгруппы Ли. В вещественном случае это
утверждение можно обобщить на любые связные разрешимые
группы Ли.
5.6. Радикал. Поскольку сумма разрешимых идеалов
алгебры Ли является разрешимым идеалом, во всякой алгебре
Ли в имеется наибольший разрешимый идеал. Он называется
радикалом алгебры g. Мы будем обозначать его через radg.
Аналогичная конструкция возможна и для групп Ли.
Теорема 5.11. Во всякой группе Ли G имеется
наибольшая связная разрешимая нормальная подгруппа Ли. Ее
касательная алгебра совпадает с radfl.
•4 Рассмотрим замыкание Мальцева t радикала алгебры д.
По теореме 5.3 т' = (radfl)'. Следовательно, t — разрешимая
алгебра Ли. В то же время это идеал алгебры g. Следовательно,
r=radfl, т. е. в'группе G существует связная нормальная
подгруппа Ли R, касательная алгебра которой совпадает с rad fl.
По теореме 5.9 она разрешима. С другой стороны, всякая
связная разрешимая нормальная подгруппа Ли группы G
содержится в R, поскольку ее касательная алгебра, будучи
разрешимым идеалом алгебры g, содержится в rad fl. Л
Подгруппа, удовлетворяющая условиям этой теоремы,
называется радикалом группы Ли G. Мы будем обозначать ее
через Rad G.
Группа Ли G (соответственно алгебра Ли g) называется
полупростой, если RadG={e} (соответственно radfl=0). Из
теоремы 5.11 следует, что группа Ли полупроста тогда и только
тогда, когда ее касательная алгебра полупроста. Для любой
•группы Ли G (соответственно алгебры Ли g) факторгруппа
G/Rad G (соответственно факторалгебра g/rad g) полупроста.
Для доказательства полупростоты групп и алгебр Ли часто
используется
Предложение 5.12. Алгебра Ли полупроста тогда и
только тогда, когда она не имеет ненулевых коммутативных
идеалов.
Л Если алгебра Ли не полупроста, то последний ненулевой
член ряда коммутантов ее радикала является ее
коммутативным идеалом. ►
Примеры. 1. Группа Ли SLn(/C) полупроста. Более того,
ее касательная алгебра з1„(/() проста, т. е. не имеет никаких
нетривиальных идеалов. В самом деле, пусть а — идеал
алгебры 9\п(К) и пусть Х=(Хц)£а, ХФО. При 1ф\ имеем:
[Е„, [X, Ег,}] =2Е„ХЕи='2хцЕ„*а.
Подействовав иа X подходящим внутренним автоморфизмом,
можно добиться того, чтобы х#Ф0. Следовательно, £,-}-£а. Так
как \}Ец, Ен] =ЕН—ЕИ, то а=з1„(/С).
62
2. Так как gIn(/C) =sl(K)®{kE}, то radgI„(/C) ={Щ.
Соответственно этому, радикал группы Ли GL„(/C) есть связная
компонента группы невырожденных скалярных матриц.
3. Рассмотрим группу Ли G, состоящую из матриц вида
( i%),A&SLn(K),B*SLm(K).
Ее подгруппа R, состоящая из матриц, у которых клетки А и
В единичны, есть связная коммутативная нормальная
подгруппа Ли. Так как G//?~SL„(/() xSLm(/C), то /? = Rad G.
5.7. Нильпотеитиые группы Ли. Напомним, что убывающий
(или нижний) центральный ряд
G= Go^>GiZdG2=> ...
группы G определяется по правилу Gft+1=(G, Gh). Группа G
называется нильпотентной, если существует такое гп, что Gm =
= {е}. Всякая подгруппа и всякая факторгруппа нильпотентной
группы нильпотентны. Очевидно, что G(fe)c=Gft; поэтому всякая
нильпотентная группа разрешима.
Аналогично, убывающий (или нижний) центральный ряд
9=flo=>fli=>82=> • • •
алгебры Ли g определяется по правилу g^+i = [g, gft]. Алгебра
Ли g называется нильпотентной, если существует такое т, что
gm = 0. Всякая подалгебра и всякая факторалгебра
нильпотентной алгебры Ли нильпотентны. Очевидно, что g(fe,c:gft; поэтому
всякая нильпотентная алгебра Ли разрешима.
Пусть G — связная группа Ли. Из теоремы 5.7 следует, что
Gh — связная виртуальная подгруппа Ли с касательной
алгеброй gft. Отсюда вытекает
Теорема 5.13. Связная группа Ли G нильпотентна тогда и
только тогда, когда ее касательная алгебра g нильпотентна.
Более точно, Gm={e} тогда и только тогда, когда gm=0.
Пример 1. Основным примером нильпотентной группы Ли
является группа UT„(/C) унитреугольных матриц n-го порядка
над полем К- Ее касательная алгебра — это алгебра titn (К)
нильтреугольных матриц. Легко видеть, что fe-ый член
убывающего центрального ряда алгебры Шп(К) состоит из матриц
(*а), удовлетворяющих условию Хц = 0 при /—i^k.
Соответственно этому fc-ый член убывающего центрального ряда группы
UT„(/C) состоит из матриц (ац), удовлетворяющих условию
Oij = 6ij при j—i^.k.
Свойство нильпотентности, как и свойство разрешимости,
приводит к некоторой конструкции «радикала».
Пользуясь тем, что члены убывающего центрального ряда
любого идеала алгебры Ли также являются идеалами этой
алгебры, нетрудно показать, что сумма нильпотентных идеалов
63

является нильпотентным идеалом. Отсюда следует, что во
всякой алгебре Ли g имеется наибольший нильпотентный идеал
(очевидно, содержащийся в rad g).
Для групп Ли справедлива следующая теорема,
доказываемая аналогично теореме 5. , .
Теорема 5.14. Во всякой группе Ли G имеется наибольшая
связная нильпотентная нормальная подгруппа Ли. Ее
касательная алгебра совпадает с наибольшим нильпотентным идеалом
алгебры д.
Пример 2. Рассмотрим группу Ли G, состоящую из
матриц вида
{ов\ А^К(К), BGGLm(K).
Ее радикал состоит из матриц, у которых клетки А и В ска-
лярны (в случае /C = R — с положительным коэффициентом), а
наибольшая связная нильпотентная нормальная подгруппа
Ли —из матриц, у которых клетки А и В единичны.
Глава 3
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
Как известно (см. § 19 т. 11), каждая ассоциативная ал-
тебра А превращается в алгебру Ли Ь(Л), если заменить в
ней операцию умножения (a, b)>-*ab операцией
коммутирования [a, b]=ab—ba. Очевидно, каждый гомоморфизм
ассоциативных алгебр автоматически является гомоморфизмом
соответствующих алгебр Ли, т. е. мы имеем функтор L из категории
ассоциативных алгебр в категорию алгебр Ли. В этой главе
мы рассмотрим функтор U, действующий в обратном
направлении. При этом алгебра Ли g вкладывается в
соответствующую ассоциативную алгебру U(g) в качестве подалгебры
(относительно коммутирования) и порождает U(g) как
ассоциативную алгебру. Алгебра U(g) называется универсальной
обертывающей алгеброй алгебры Ли g. Она была впервые
рассмотрена в 1899 г. Пуанкаре, который ввел ее как
некоторую алгебру дифференциальных операторов на
соответствующей группе Ли (см. ниже п. 2.2). \
Универсальная обертывающая алгебра позволяет взглянуть
с новой точки зрения на функтор Ли, рассмотренный в гл. 2.
В частности, на этом пути доказывается эквивалентность
категорий локальных аналитических групп Ли и конечномерных
алгебр Ли. Важную роль здесь играет формула Кэмпбелла—:
Хаусдорфа (см. §3).
■64
§ 1. Простейшие свойства
универсальных обертывающих алгебр
В этом параграфе мы рассмотрим определение и некоторые
алгебраические свойства универсальных обертывающих
алгебр. Подробности можно найти в [17], [24], [28], [35], [36],
[53],
1.1. Определение и конструкция. Пусть g — алгебра Ли иад
произвольным полем К. Ассоциативная алгебра U(g) с
единицей над К, снабженная отображением a:g-»-U(g), называется
универсальной обертывающей алгеброй, если выполнены
следующие условия:
1) а : g-»-L(U(g))—гомоморфизм алгебр;
2) если А — ассоциативная алгебра с единицей над К и
h:Q->~L(A) — гомоморфизм алгебр, то существует такой
гомоморфизм алгебр k : Щд)-»-Л, что &(1) = 1 и h=ka.
Пример 1. Пусть алгебра Ли g коммутативна. Тогда
симметрическая алгебра S(g) над пространством g (т. е.
алгебра коммутативных многочленов от элементов базиса
пространства g) вместе с естественным вложением а: g=S1(8)-*"
->-S(g) есть универсальная обертывающая алгебра для g.
В самом деле, любое линейное отображение h пространства g
в ассоциативную алгебру А с единицей над К такое, что
h(x)h(y)=h(y)h(x) для всех х, уЦ, однозначно продолжается
до гомоморфизма алгебр S(g)-^, переводящего единицу в
единицу.
Следующая теорема показывает существование и
единственность универсальной обертывающей алгебры. Заметим,
что гомоморфизм а из условия 1) на самом деле инъективен,
как будет установлено в п. 1.2.
Теорема 1.1. Для любой алгебры Ли g над К существует
универсальная обертывающая алгебра (U(g), а). Если
(Ui(g), «О—другая универсальная обертывающая алгебра
алгебры Ли g, то существует единственный изоморфизм
k : Ui(g)-*U(g) такой, что foxi=a.
•4 Единственность универсальной обертывающей алгебры
легко следует из ее определения. Для доказательства
существования можно использовать следующую конструкцию,
обобщающую конструкцию симметрической алгебры, в которую она
превращается в коммутативном случае (см. пример 1).
Рассмотрим в тензорной алгебре T(g) над пространством g (см.
стр. 79 т. 11) идеал Р, порожденный элементами вида
х®у—у®х—[х, у] (х, #eg). Положим U(g)=T(g)/P и
определим отображение a:g-»~U(g) формулой а(х)=х-{-Р.
Оказывается, что (U(g), a)—универсальная обертывающая алгебра
для g. ^.
Отметим следующие свойства универсальной обертывающей
алгебры, легко следующие из ее определения и конструкции.
5—8731 23 65

1. Пусть fl — алгебра Ли, V — некоторое векторное
пространство над полем К- Любая структура (j-модуля в V (т. е.
любое линейное представление алгебры Ли g в пространстве V)
однозначно определяет на V структуру U (8)-модуля такую,
что
a(x)v=xv (x€g, veV).
Обратно, любая структура U(g)-модуля на V получается этим
способом из некоторой (однозначно определенной) структуры
g-модуля.
Таким образом, универсальные обертывающие алгебры
играют в теории линейных представлений алгебр Ли роль,
аналогичную роли групповых алгебр в теории представлений
групп.
2. Любой гомоморфизм алгебр Ли ф: g-»-gi определяет
единственный гомоморфизм и(ф) : U(g)-»-U(fli) такой, что
Щф) (1) = 1 и коммутативна диаграмма
ф
9 -+ 9i
а Ф U(<p) \ <xi
Щй) -*ЩЙ1),
вертикальные стрелки которой—гомоморфизмы, входящие в
определение универсальной обертывающей алгебры. Соответствие fl»-»-(J(fl),
фн+Щф) есть ковариантный функтор из категории алгебр Ли в
категорию ассоциативных алгебр с единицами над К-
3. Алгебра U(g) порождается подпространством а (8)-
4. Существует единственный антиавтоморфизм u>-+ifl алгебры
Щв) такой, что xS = —x (лев)-
Заметим, что все определения и результаты этого пункта
легко переносятся на случай, когда К — произвольное
коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
1.2. Теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витта. При изучении
строения алгебры U(fl) возникает следующий вопрос: как
построить базис алгебры U(g), исходя из заданного базиса
алгебры fl? Ответ на него дает теорема Пуанкаре—Биркгофа—
Витта.
Мы можем считать, что и(8) = Т(8)//-*, где Р — идеал,
определенный в доказательстве теоремы 1. Пусть я: Т(я)-э-1Г(8) —
естественный гомоморфизм (совпадающий с а на Т!(8) = 8-)
Предположим, что в 8 выбран базис {et)t^ множество индексов
Т которого вполне упорядочено. Положим t/< = a(e<)6U(8).
Для любого упорядоченного набора индексов / = (i,, .., ir)QTr
такого, что ix < ... <.£r, положим y/ = yti • • • Hi (считается, что
У<2~ 0- Более привычна запись элементов у/ в виде Уь..-yi =
— У?1 • • • уТг • •.. где mt>0—целые числа, лишь конечное
число которых отлично от 0, 2/я<=:Г'
'6Г
66
Если fl — коммутативная алгебра Ли, то U(8)=S(8)—
алгебра многочленов от yt (см. пример 1), так что одночлены
Ух составляют базис в U(8). Оказывается, что это свойство,
сохраняется и в общем случае.
Теорема 1.2 (Пуанкаре—Биркгоф—Витт). Элементы у1у
где / пробегает все неубывающие упорядоченные наборы
индексов из Т, составляют базис алгебры U(8). Отображение
а : 8-^Щд) инъективно.
4 Поясним сначала, как доказывается линейная
независимость элементов у г, из которой следует также инъективность
отображения а. Рассмотрим алгебру S многочленов над К or
неизвестных zt(t£T). Ее базис составляют одночлены zi — zix...
...zif, где I==(ii, ■ ■.. ir)GTr, «', < ... < ir, причем z0=l.
С помощью индукции доказывается, что на 5 существует
структура 8-модуля, удовлетворяющая следующим условиям:
et(ztl... z-i ) = ztZi,... Zi, если *<i,< ... <ir; et-\—zt для*
всех t£T.
Ирюльзуя свойство 1 из п. 1.1, получаем такую структуру"
U (в)-модуля на S, что
ytiZb... Zir) = ztzil... zir (*<i,<...</,); ytl = zt (t£T).
Если £С/У/=0, где с&К, то, умножая обе части этого ра-
венства на 1&S, получаем £ CiZ/ — 0, откуда следует, что все
с/=0.
Для доказательства того, что U (в) есть линейная оболочка
элементов у/, полезно ввести возрастающую фильтрацию
алгебры (J (8) подпространствами
ЩвЬ,)=я(ф Т*(в)) (/7 = 0,1,...). (1>
Очевидно,
U (8)(0)CU (8)(i)C... cU (e)(pjc....
U(9b)U(9)(,)C:LJ(8)
(р+9)'
так что U (8) становится фильтрованной алгеброй: Ясно, что-
n,(x®y—y®x)QV(g)(1) для любых х, «/68- Отсюда выводится, что
если Q —идеал в Т(8), порожденный элементами вида х®у—
— у®х (х, «/68). то я(Q П Тр(8))c:U (e)(p_,) для всех р >0. По-:
скольку симметрическая алгебра S(8) = T(8)/Q есть алгебра
многочленов от e<6S1(8) = 8. отсюда легко вывести по индукции,
что Цв)(р) порождается элементами «// = «/,,.../ с г</?. ►
Утверждение теоремы 1.2 можно сформулировать также в.
инвариантной форме, не использующей базиса. Для этого
рассмотрим определенную выше фильтрацию алгебры U(8)
(см. (1)) и образуем соответствующую градуированную
алгебру
5»
67;

grU(e)=egr„U(fl), где grpU(9)=U(8)(p)/U(e)(^,).
Умножение в ней задается следующим образом: если абЩд)(/>).
66U (д)(,) и а, Ъ — соответствующие элементы из %хр U (д), gr9 U(g),
Как видно из намеченного выше доказательства теоремы 1.2,
я определяет гомоморфизм градуированных алгебр Jt:S(g)->-
-»-grU(fl), заданный формулой
«(«-bQ)=n(a)+U(e)(„-i) (иеТ"(8))-
Следствие 1. Гомоморфизм Jt:S(g)->grU(g) есть изомо-
морфизм градуированных алгебр.
Следствие 2. Алгебра и(д) не имеет делителей нуля.
Следствие 3. Если dim/r8<<», то алгебра (J(fl) нетерова
слева и справа.
В дальнейшем мы будем отождествлять д с
подпространством алгебры U (в) при помощи инъекции а. В частности, в
обозначениях теоремы 1.2 будем писать yt=et, y/—e/ — ell...eir.
Пусть fli, й2 — две алгебры Ли, g=gi©g2 — их прямая сумма.
Естественные вложения д4—>-д продолжаются до вложений
U(fli)-»-U(fl). Рассмотрим отображение ц: U(gi)®U(g2)-»-
-»-U(g), заданное формулой ^(щ®и^)=ихи2.
Следствие 4. Отображение \i является изоморфизмом
алгебр.
Остановимся коротко на случае, когда fl — алгебра Ли над
коммутативным кольцом К с единицей. Доказательство
теоремы 1.2 полностью проходит, если fl — свободный К-модуль.
В [40] доказано, что следствие 1 остается справедливым, если
К — кольцо главных идеалов. В общем случае оно неверно
[20].
1.3. Симметризация. Мы сохраняем обозначения п. 1.2.
Если К — поле характеристики 0, то симметрическая алгебра
S(g)=T(fl)/Q изоморфна алгебре симметрических тензоров
ST(g), которая вложена в T(fl) как подпространство,
дополнительное к Q. Это позволяет указать способ построения базиса
в U(fl), отличный от описанного в теореме 1.2.
Пусть ST^fl^ST^nT"»^). Тогда я изоморфно
отображает ST^fl) на некоторое подпространство U(fl)m. При этом
U(9)(m)==U(fl)(m_i)©U(fl)™ откуда U(fl)= Ф U(fl)™. Определим
изоморфизм векторных пространств
<Om=nam:S'»(fl)->-U(fl)'n,
где
*£sm
68
Тогда для любых ib ... im6T получим
sGsm
Пусть M = (mt)tcT — семейство целых чисел mt>0, лишь
конечное число которых отлично от 0. Обозначим | М | = £tnt. Поло-
жим
е(Л1) = ©ж(еГ1С-.-Л (2>
Из сказанного следует
Теорема 1.3. Пусть char/C=0. Определенные выше
отображения ©т определяют изоморфизм градуированных
пространств
©:S(fl)+U(g).
Элементы е(М) для всевозможных наборов М составляют
базис алгебры U(g).
Заметим, что отображение © является изоморфизмом
алгебр лишь в случае, когда g коммутативна.
1.4. Центр универсальной обертывающей алгебры. В
обозначениях п. 1.3 каждому элементу £6д соответствует
дифференцирование ad | алгебры U(g), заданное формулой
(ad l)U=\[l, u]= lu-ul (u6U (g)).
При этом ad есть линейное представление алгебры Ли g в
U(g). Пространство
U (д)й={иби (g)|(ad %) и=0 Пед}
инвариантов этого представления совпадает с центром Z(U(g))
алгебры U(g). Проверяется, что ad | (|6g) сохраняет
подпространства U(g)<m) и U(g)m. Отсюда следует, что ad индуцирует
линейное представление ad алгебры Ли g в grU(g), причем
(gr U(g))8 = gr Z(U(g)), где в правой части стоит
градуированная алгебра, связанная с фильтрацией центра Z(U(g))
подпространствами Z(U(g))(m)=Z(U(g))nU(g)(m). С другой стороны,
оператор ad | в алгебре g однозначно продолжается до
дифференцирования алгебры S(g), что приводит к линейному
представлению алгебры Ли g в S(g), которое определяет
подалгебру S(g)8 инвариантных элементов алгебры S(g).
Оказывается, что отображения я из п. 1.2 и © из п. 1.3 являются
изоморфизмами g-модулей. Отсюда следует
Теорема 1.4 (И. М. Гельфанд, см. [9]). Если charA'=0,
то отображение
©:S(g)8-*Z(U(g))
является изоморфизмом векторных пространств, а
*:S(g)8-*grZ(U(g))
— изоморфизмом алгебр.
69

Отображение © лишь в редких случаях бывает
изоморфизмом алгебр (например, если g нильпотентна, см. [28,
предложение 4.8.12]). В то же время, верна следующая
нетривиальная
Теорема 1.5 (Дюфло, см. [28]). Для любой
конечномерной алгебры Ли fl над полем характеристики 0 алгебры Z(U(fl))
и S (g)8 изоморфны.
1.5. Тело частных универсальной обертывающей алгебры.
Пусть fl— конечномерная алгебра Ли над полем К. Согласно
теореме Голди—Орэ (см. [36, гл. V, § 3]), следствия 2 и 3
теоремы 1.2 влекут за собой существование тела Р(в).
содержащего U(g) в качестве подкольца, всякий элемент которого
представим в виде u~lv (а также в виде vwx), где и, aeU(fl),
и^=0. Тело частных P(fl) называют обертывающим телом (или
телом Ли) алгебры д. Его центр C(fl)=Z(P(fl)) удовлетворяет
условию C(fl)nU(9)=Z(U(fl)). Имеется гипотеза Гельфанда—
Кириллова (см. [30], [9]) о строении тела P(fl) в случае, когда
Я—касательная алгебра некоторой комплексной линейной
алгебраической группы.
Чтобы сформулировать эту гипотезу, введем следующее
понятие. Пусть Л — ассоциативная алгебра с единицей над
полем К. Для любой конечной системы a,={ai,..., as}czA и
любого N>0 обозначим через d(a,N) размерность
подпространства в А, порожденного произведениями ^# элементов а*.
Размерностью Гельфанда—Кириллова алгебры А называется
-., , гг— logrf(a, N)
Dim* A = sup hm * * ',
О N-+oo '°ь п
где а пробегает все конечные подмножества в Л. Из теоремы
1.2 выводится
Теорема 1.6 ([30]). Для любой конечномерной алгебры
Ли д над К имеем DimKP(fl) = dimfl.
Заметим также, что если G — комплексная линейная
алгебраическая группа, то число DimKC(g) совпадает с
минимальной коразмерностью орбиты для представления Ad*
группы G в пространстве fl*, сопряженного с присоединенным
представлением.
Пусть Rn,k(K)—алгебра Вейля над полем К, связанная
с кососимметрической билинейной формой Ъ ранга 2л в
пространстве V над К размерности 2n-\-k, т. е. факторалгебра
тензорной алгебры T(V) по идеалу, порожденному элементами
вида х®у—у®х—Ь(х, у) -1, и пусть Dn,h(K) — ее тело частных.
Оказывается, что DimKbn,h{Ky=2n-{-k.
Гипотеза Гельфанда —Кириллова состоит в
следующем: Если fl —касательная алгебра комплексной линейной
алгебраической группы, то
P(e)~D„,ft(C), где 2/i+A: = dimfl, fe = DimC(fl).
70
Теорема 1.7. Гипотеза Гельфанда—Кириллова
справедлива в следующих случаях:
а) fl=fl!n(C) илиз1„(С) [30];
б) fl — разрешимая алгебраическая алгебра Ли [38], [44].
§ 2. Биалгебры, связанные с алгебрами Ли и группами Ли
По поводу материала этого параграфа см. [24], [53].
2.1. Биалгебры. Пусть А — векторное пространство над
полем К. Коумножением в А называется любое линейное
отображение Л-»-Л<8>Л. Как обычно, будем называть умножением в А
линейное отображение А®А-*-А, т. е. бинарную операцию в А,
превращающую это пространство в алгебру над К- Тройка
(А, ц, б), где \i — умножение, а б — коумножение, называется
биалгеброй, если б : Л-»-Л<8>Л — гомоморфизм алгебры Л с
умножением ц в тензорное произведение этой алгебры на
себя.
Иногда (обычно при некоторых дополнительных
предположениях) биалгебры называют алгебрами Хопфа. Это связано
с тем, что аналогичное понятие в категории градуированных
алгебр впервые рассмотрел Хопф на примере алгебры когомо-
логий группы Ли. Естественно определяются гомоморфизмы и
изоморфизмы биалгебр.
Пример 1. Пусть fl —алгебра Ли над полем К-
Рассмотрим диагональный гомоморфизм Л: х (х, х) алгебры fl в
fl®fl. В силу следствия 4 теоремы 1.2 мы можем отождествить
алгебру U(g®fl) с U(fl)<8>U(fl). Согласно свойству 2 из п. 1.1, А
продолжается до гомоморфизма А : U(g)-»-U(g)®U(fl), который
называется диагональным отображением. Коумножение А
превращает U(fl) в биалгебру.
В конечномерном случае между биалгебрами имеет место
замечательная двойственность: каждой конечномерной биал-
гебре (Л, ц, б) соответствует двойственная биалгебра
(Л*, бг, цг), где бг, цг — сопряженные гомоморфизмы. В общем
случае наличие естественного вложения Л*®Л*с=(Л®Л)*
позволяет утверждать, что если б — коумножение в
пространстве Л, то бг — умножение в Л*, но отображение цт : А*-*~
-»-(Л<8>Л)*, двойственное к умножению ц в Л, не всегда
определяет коумножение в Л*. Примером может служить
двойственный объект к биалгебре U(fl) из примера 1, который
будет рассмотрен в п. 2.3 (см. следствие 1 теоремы 2.3).
Пусть (Л, ц, б) — биалгебра, содержащая единицу 1
(относительно умножения ц). Элемент а&А называется
примитивным, если 6a=a<8>l + l<8>a. Легко доказать, что множество
П(Л) всех примитивных элементов биалгебры Л является
подалгеброй в А относительно операции коммутирования
{х, у]=ху—ух.
71

Теорема 2.1. Пусть fl—алгебра Ли над полем К.
Рассмотрим U(g) как биалгебру с коумиожением А (см.
пример 1). Тогда 9<=П(и(8)), а если char /(=0, то 8=II(U(e)).
< Включение flc=II(U(fl)) очевидно. Обратное включение
легко проверяется в случае, когда fl — коммутативная алгебра
Ли, т. е. когда U(fl) = S(fl) (см. пример 1 п. 1.1). В общем
случае рассмотрим фильтрацию алгебры U(fl)
подпространствами (1). Оказывается, что А индуцирует гомоморфизм
А: grU(g)-»-grU(fl)®grU(fl), который при изоморфизме
я-1 : gr U(fl)-»-S(g) (см. следствие 1 теоремы 1.2) переходит в
описанное выше диагональное отображение для алгебры 5(g).
Отсюда легко выводится, что если #GU(8)(p) — примитивный
элемент, то р=\, т. е. лге/С®А- Поскольку ненулевые элементы
из К не примитивны, x&q. ►
2.2. Правоинвариантные дифференциальные операторы на
группе Ли. Пусть G — локальная аналитическая группа Ли
(вещественная или комплексная), д — ее касательная алгебра.
Мы будем рассматривать дифференциальные операторы с
аналитическими коэффициентами на группе G, действующие на
локальных аналитических функциях иа этой группе. Эти
операторы естественным образом составляют ассоциативную
алгебру с единицей над полем /C=R или С, в зависимости от
того, вещественную или комплексную группу Ли мы
рассматриваем. Обозначим через £D{G) ее подалгебру, состоящую из
правоинвариантных операторов, т. е. операторов,
перестановочных со всеми преобразованиями R(g)*, индуцированными
правыми сдвигами R{g) (g&G).
Каждому элементу и касательной алгебры Q=Te(G) группы
G отвечает правоинвариантное векторное поле и^ на G такое,
что и^.(е)=и. В свою очередь, полю и* отвечает оператор
LUi! (производная Ли), который принадлежит 3){G) (см.
п. 1.2 гл. 1 ст. II). При этом, соответствие u*-^LUsf есть инъек-
тивный гомоморфизм алгебры Ли д в 2)(G) (см. п. 1.2 гл. 2).
По определению универсальной обертывающей алгебры этот
гомоморфизм однозначно продолжается до гомоморфизма
алгебр р: U(g)-»-iZ)(G). Наша цель, в частности, состоит в
доказательстве того, что р — изоморфизм алгебр.
Рассмотрим алгебру О0 ростков аналитических функций в
точке е на группе Ли G. Пусть m={fG(?e|f(е)=0} —
максимальный идеал этой локальной алгебры. Обозначим через (Ое)с*
подпространство в О*, состоящее из всех линейных форм,
равных нулю на одном из идеалов mr. Определим линейное
отображение а : S>(G)-»-(<?<.) с* формулой
o(S)(4>)'=(Sq>)(e) (Sea>(G),q>etf,).
Полагая т=ар, получаем коммутативную диаграмму
2){G)
72
Теорема 2.2. Отображение р является изоморфизмом
алгебр, а а и т— изоморфизмами векторных пространств.
Пусть Xi,...,xn — локальная система координат в
окрестности точки е группы G (такая, что е= (0,..., 0)). Для
любого упорядоченного набора М= (ть ..., т„) неотрицательных
целых чисел т< определим линейную форму Ам£(Ое)с*
формулой
А (ф) = -jrr, i (e),
где M! = /TCi! ... m„\ Легко доказать, что элементы Ам для
всевозможных наборов М составляют базис пространства (0е)*с
над К = R или С. Очевидно, Аж(ф) — это коэффициент в ряде
Тейлора функции Фб<?е в точке е = 0, стоящий при хм —
■Л». ... ^V •
Элементы Ам зависят от выбора системы координат. Далее
мы будем считать, что Х\,,.., хп — каноническая система
координат 1-го рода. Это означает, что координаты хи...,хп
элемента x£G находятся из соотношения
•* = ехр 2 Xiei '
где ei,...,en — фиксированный базис пространства fl (см.
п. 3.2 гл. 2). Если ф — аналитическая функция в окрестности
точки g£G, то для достаточно малых |6д имеем
оо
Ф((ехР £)*)== 2 ^(бГчОФ (3)
(см. формулу (9) из п. 2.1 гл. 1 ст. II). В частности, при g—e
из (3) следует, что при достаточно малых х{
*w=2i((2 ■*«*«•) * и=^-^
Легко видеть, что
(п \т
где суммирование производится по всем упорядоченным наборам
M — (mi, ..., т„), а е(М) определяется формулой (2). Поэтому
разложение функции фб^Й* в ряд Тейлора будет иметь вид
*w=24Srr-W(M)).*",
м Ml
откуда x(e(Af)) = (—\ум\ М\АМ для любого М. Согласцо тео-
72

реме 1.3, элементы е{М) составляют базис алгебры U(g).
Следовательно, т — изоморфизм.
Для завершения доказательства теоремы достаточно
показать, что Кего=0. Но это легко следует из перестановочности
элементов алгебры 3){G) с правыми сдвигами. ^
Следствие. Если G— связная группа Ли, то
отображение р определяет изоморфизм центра Z(U(g)) на алгебру
инвариантных (т. е. перестановочных со всеми левыми и
правыми сдвигами) дифференциальных операторов на группе G.
2.3. Биалгебра, связанная с группой Ли. Мы сохраняем
обозначения предыдущего пункта. В этом пункте мы покажем,
что умножение в группе Ли G определяет в пространстве
(Се) с* некоторую естественную структуру биалгебры. Затем
будет построен изоморфизм биалгебр U(fl) и {<Уе)с*-
Для введения структуры биалгебры воспользуемся
соображениями двойственности. Пусть ц — умножение в алгебре <Уе.
Несложное вычисление показывает, что
/(дж)= 2 *%***• (4)
Таким образом, \ir определяет коумножение в пространстве
Обозначим через 0(е,е) алгебру ростков аналитических
функций в точке (е, е) на G X G. Эта алгебра содержит 01е®(Уе
в качестве подалгебры. Это позволяет построить линейное
отображение [С?(е,е))*->-(<УеУс®((Уе)*, которое оказывается
изоморфизмом (используется базис (Дж) в (Oefc, построенный в
доказательстве теоремы 2.2). Будем отождествлять (<У{е,е)Ус с (<?е)*®
®(Ое)*с. Умножение m:GXG-+G в группе Ли G порождает
гомоморфизм алгебр Ь = т*:<Уе-^<У(е,е). Таким образом, Ое
обладает структурой, близкой к структуре биалгебры. Поскольку
т* (т) содержится в максимальном идеале алгебры 0(е,е) (см.
п. 1.1 гл.2), бг((б?(в>в))*с(Св)с, т. е. бг определяет умножение
в пространстве (Ое)*с. Без труда проверяется, что ((<Уе)*с, б , цг)
есть биалгебра. Умножение бг часто называют сверткой.
Теорема 2.3. Отображение х':и^х(и^) (см. п. 1.1)
является изоморфизмом биалгебры 11(8) на би алгебру (<Уе)*с.
■4 Докажем, что т' сохраняет умножение, т. е. что
т'(яо) = 6г(т'(я)®т'(о)) (tt,oeU(e)). (5)
Для этого мы воспользуемся формулой
Ф((ехр|)(ехрг,))=2 ТшЫХ<р)(е), (6)
/,т=0
которая справедлива для Фб^е и достаточно малых £, Tjeg.
74
Ее легко вывести из формулы (3). Для я = ехр ( £ xfii I,
# = ехр 2^Viei 1 получаем из (6), что при достаточно малыхxt, yt
<Р i*y) = 2^ l\m\ х(е Wе Wх У •
Отсюда следует, что
(Д£® АМ) (да'ф)=ТШ! *' (е ^е (М)^ №)•
Это и есть соотношение (5) для и = е(£)Ч, v — e(Al)^.
Остается доказать, что т' сохраняет коумножение, т. е. что
(т'<8>т')Д = цгт'.
Поскольку левая и правая части этого равенства —
гомоморфизмы алгебр, достаточно проверить, что они совпадают на
элемента* подпространства дсгЩй). Эта проверка легко
выполняется с использованием (4). ►
Алгебра Се естественно изоморфна алгебре сходящихся
степенных рядов K{xv.. .,хп}. Вложим ее в алг.ебру Ое —
= К [[Xi,..., хп]] формальных степенных рядов. Гомоморфизм
6 =/я*, связанный с умножением в группе Ли, однозначно
продолжается до гомоморфизма 6: Ое -*-<У(е,е) = К [[xt,..., хп, yv...
...,«/„]]. Пространство б?е естественно отождествляется с
сопряженным пространством ((<?«>)*)* к (<Уе)*.
Следствие 1. Отображение (т')г• 0е-*■ U(fl)* есть
изоморфизм алгебры Се на алгебру Щд)* с умножением Дг, причем б
переходит в отображение, двойственное к умножению в U(fl).
Следствие 2. Существует биективное соответствие
между гомоморфизмами локальных аналитических групп Ли и
гомоморфизмами их касательных алгебр. Две локальные
аналитические группы Ли изоморфны тогда и только тогда, когда
изоморфны их касательные алгебры.
Это следствие другим способом было уже доказано в гл. 2
(см. теоремы 2.2 и 2.10). Заметим также, что с помощью
теоремы 2.3 можно дать доказательство существования виртуальной
подгруппы Ли с заданной касательной подалгеброй, отличное
от предложенного в гл. 2 (теорема 2.6), см. [34].
§ 3. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа
В этом параграфе центральное место занимает ряд
Кэмпбелла—Хаусдорфа, т. е. формальный ряд log(ex^) от неком-
мутирующих переменных х, у. Используя этот ряд, можно явно
75

выразить операцию умножения в группе Ли в канонических
координатах через операцию коммутирования в ее касательной
алгебре, а также доказать существование локальной группы Ли
с заданной касательной алгеброй. Подробности см. в [17], [!24],
[53].
3.1. Свободные алгебры Ли. Система образующих (х^г
алгебры Ли g над полем К называется свободной, если для
любой алгебры Ли \> над К и любого семейства элементов (yi)i^i
алгебры %, занумерованного тем же множеством /, существует
(единственный) гомоморфизм A:fl->I) такой, что k(xl) = yi (i<5/).
Алгебра Ли называется свободной, если она допускает
свободную систему образующих. Легко видеть, что две алгебры Ли»
допускающие свободные системы образующих одинаковой
мощности, изоморфны между собой. Далее, любая алгебра Ли с
системой образующих («Oig/ изоморфна фактора лгебре свободной
алгебры Ли со свободной системой образующих мощности | /1.
Свободную алгебру Ли со свободной системой образующих
любой мощности можно построить как факторалгебру алгебры
неассоциативных многочленов по некоторому идеалу, который
строится по тождествам, определяющим класс алгебр Ли..
Ниже дается другая конструкция свободной алгебры,
описывающая заодно ее универсальную обертывающую алгебру.
Пусть V—векторное пространство над К с базисом {xi)iQit
где /—произвольное множество. Рассмотрим алгебру Ли L(T(V))*
соответствующую тензорной алгебре T(V). Обозначим через
l(V) = l((Xt)iQi) подалгебру в L(T(V)), порожденную семейством
Теорема 3.1. Семейство (я;);р/ является свободной
системой образующих алгебры Ли I(V), a T(V) — ее универсальной
обертывающей алгеброй (относительно тождественного вложения
I(V)->T(V)). Алгебра l(V) обладает следующей градуировкой:
I(l/)= ®lp(V), где I (V)=1 (V)ПТ"{V)—подпространство,
р>0
натянутое на элементы вида
\xiv [х1г,... [xip t, xip)...]], isGl.
Если мощность d = |/| конечна, то размерность ld(p) = dim Ip(V)
удовлетворяет рекуррентному соотношению
т\п\
Следствие. Если d—\I\, то
M*)=42i*(»)diir'
т\п
где {а—функция Мёбиуса.
76
Рассмотрим линейное отображение 0:T(V)-*-I(V), заданное
формулой
<t>{xil...xip)=lx,l,{xt„...[xtp_i,xip]...\\ (р>0), Ф(1) =
Нетрудно проверить, что <D:I(V)->I(V) является
дифференцированием алгебры l(V). Отсюда следует, что
Ф(и) = ри (a&p(V)). (7)
3.2. Ряд Кэмпбелла — Хаусдорфа. Пусть А!"—поле
характеристики 0. Введем в рассмотрение алгебру некоммутативных
формальных рядов над К от переменных (.**)<£/• Мы определим
оо
ее как пополненную тензорную алгебру f (У) = 11тлУ, где
V—векторное пространство над К с базисом (.*«)«£/• Элементы
этой алгебры будем записывать как формальные ряды
оо
Определим подалгебру l(V) алгебры Ли L(7(V)) формулой-
оо
4V)=Uln(V).
Пустыв=Птп(К).
л=1
Теорема 3.2. Формулы
оо
оо
bg(l+x)=2(-1)n+,T
задают обратные друг другу биективные отображения ехр:т->-
->1+и и log:l + m->m.
Рассмотрим, в частности, случай, когда семейство (яг);р;/
состоит из двух элементов х и у. Тогда (exp jc)(exp«/)6l+ra,
так что определен элемент log ((exp x) (exp y))6m.
Теорема 3.3. (Кэмпбелл—Хаусдорф). Имеем
log((exp*)©(exp«/))ei(lO.
Ч Рассмотрим диагональное отображение A:T(V)->T(V)<8>
ОТ (V) для универсальной обертывающей алгебры Т (V) алгебры
Ли l(V)=^l(x, у). Оно'продолжается до гомоморфизма
А:Т (K)-vf (Кф10 = П (т" (V)®'?9 (V)).
Р.Ч
77

Из теоремы 2.1 следует, что
1(К) = {иеТ(К)|Аи=и®1 + 1®и}.
Легко проверяется, что и = log ((ехр .х) (ехр у)) удовлетворяет
последнему условию. ►
Из теоремы 3.3 и формулы (7) вытекает
Следствие. Имеем
log ((ехр л) (ехр у)) =
-1 2ГР/,-1ГРМф^- - *•*">■ <8>
m=l рг+7,->1
Формула (8) была впервые получена Е. Б. Дынкиным (см.
[7]). Запишем ее правую часть в виде
оо
D(x,y)=^Dp(x,y), (9)
p=i
где Dp(x, у)0,(х, у)р. Непосредственное вычисление
показывает, что
£>i (•*. У) = х +у, D2 (х, У) = ^ [Ъ У\' А> (х,«/) == 72" !■*' ^' уН +
+у [У. [У' •«]]> £>ч(-*. У)=ЗГ [■*» 1У' I*' У\]]- (10>
Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 и формула (8) остаются
верными над любым коммутативным кольцом К с единицей,
являющимся модулем над Q.
3.3. Сходимость ряда Кэмпбелла—Хаусдорфа. Пусть д—
алгебра Ли над полем К характеристики 0. Каждый член
&р (*> У) РяДа (9) определяет полиномиальное отображение
Dp : fl©g->-g, однородное степени р. Поэтому ряд (9) можно
рассматривать как fl-значный формальный степенной ряд на
векторном пространстве дФд с центром в точке (0,0).
Теорема 3.4. Пусть fl — конечномерная алгебра Ли над
/C=R или С. Тогда формальный степенной ряд D(x,y) на fl©9
имеет положительный радиус сходимости и определяет в
окрестности нуля пространства fl локальную аналитическую
группу Ли, касательная алгебра которой совпадает с д.
•^ Сходимость ряда доказывается с помощью несложных
оценок. Непосредственно проверяется, что операция
x»y=D(x,y) ■ (11)
определяет в д структуру локальной аналитической группы Ли
с единицей е=0. В силу (10)
х*у = х-\-у-\--^\х, у]-\- ...,
где точками обозначены члены степеней >2. По определению
касательной алгебры (см. п. 1.1, гл. 2) она совпадает с д. ►
7»
, Заметим, что изложенные здесь методы еще не позволяют
доказать существование глобальной группы Ли с заданной
касательной алгеброй.
Обозначим через СН(д) локальную группу Ли с
умножением (11), построенную по алгебре Ли д в теореме 3.4.
Проверяется, что ее однопараметрическая подгруппа с касательным
вектором |бд есть прямая t*+t%. Поэтому экспоненциальное
отображение ехр : д-»Те(СН(д)) ==д является тождественным.
Следствие 1. Для любой группы Ли G запись операции
умножения в канонических координатах первого рода имеет вид
(11). В частности, любая группа Ли является аналитической.
•^ Пусть g — касательная алгебра группы Ли G. По теореме
2.10 гл. 2 существует такой изоморфизм локальных групп Ли
h: CH(g)-»-G, что deh = id. Поскольку экспоненциальное
отображение для СН(б) тождественно, из формулы (36) гл. 2 следует,
что А совпадает с экспоненциальным отображением ехр для
группы G. Следовательно, exp(|*Ti) = (ехр \) (ехр г\) для всех
достаточно малых %, r\dG. p.
Нетрудно проверить, что соответствие flwCH(g) определяет
функтор из категории конечномерных алгебр Ли над К ( = R
или С) в категорию локальных групп Ли над К. Используя
следствие 1, получаем
Следствие 2. Категория локальных групп Ли над К ( = R
или С) эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли
над К.
Глава 4
ОБОБЩЕНИЯ ГРУПП ЛИ
Эта глава содержит краткий обзор некоторых теорий,
обобщающих классическую теорию групп Ли. Этот обзор не
претендует на полноту. В частности, мы не касаемся теории
алгебраических групп, а топологические группы рассматриваем
лишь в связи с 5-й проблемой Гильберта. Эти направления,
разумеется, нуждаются в отдельных обзорах. То же можно
сказать о «бесконечных» непрерывных группах (или
псевдогруппах Ли), исследовать которые начал еще С. Ли. За
рамками настоящего обзора остались алгебры Каца—Муди и
соответствующие им группы, а также супергруппы и
супералгебры Ли.
§ 1. Группы Ли над полными нормированными полями
По поводу материала этого параграфа см. [24], [42], [53].
1.1. Нормированные поля. Напомним (см. § 7 т. 11), что
нормой (или абсолютным значением) на поле К называется
79

вещественная функция а^\а\ на К, обладающая следующими Щ
свойствами: ■
1) |а|^0, причем |а|=0 тогда и только тогда, когда а=0, я
2) \аЬ\ = \а\\Ь\; I
3) |а+6|<|а| + |Ь|. 1
Обычно предполагается также, что норма нетривиальна, Щ
т. е. удовлетворяет условию щ
4) |а|=5^1 для некоторого ае/(\{0}.
Нормированным полем называется поле, снабженное
нормой.
Норма называется неархимедовой (или ультраметрической),
если вместо 3) выполняется следующее, более сильное условие:
3') |a+6|<sup{|a|, |ft|}.
В этом случае говорят также, что нормированное поле
неархимедово.
Наиболее известные примеры полных нормированных
полей — это классические поля R и С и поле р-адических чисел
Qp (р — простое число), которое получается из поля
рациональных чисел Q пополнением по так называемой р-адической
норме |a|p=pn, где р — фиксированное число, 0<:р<1, а n£L
определяется условием: а = рп-, где Ь, с — целые числа, не
делящиеся на р. Согласно теореме Островского (см. [23]), R и \
С — это единственные архимедовы полные нормированные
поля. J
Пусть К — неархимедово полное нормированное поле. Тогда \
j4 = {aG/C| |а|<1} есть подкольцо в К (называемое кольцом
нормирования),, а т= {аеЛ| |а|<1} — максимальный идеал в А. |
Например, если К — Qp, то A = ZP — кольцо целых р-адических
чисел и m=pZp.
1.2. Основные определения и примеры. Пусть К—полное
нормированное поле. Обычным образом (см. [63])
определяются аналитические функции на открытых множествах в Кп со
значениями в К, аналитические многообразия над К, а также
(аналитические) группы Ли над К- В частности, группы Ли над
R или С — это обычные вещественные или комплексные
группы Ли; группы Ли над Qp называются р-адическими
группами Ли.
На случай произвольного полного нормированного поля К *
буквально переносятся общие понятия, определенные в §1 гл. 1:
•прямое произведение групп Ли, подгруппа Ли, гомоморфизм
групп Ли, линейное представление, локальная группа Ли (при
этом подгруппы и гомоморфизмы предполагаются
аналитическими). Большая часть примеров групп Ли и подгрупп Ли,
приведенных в этом параграфе, также переносится на общий слу- ;
чай. В частности, группами Ли над К являются:
Аддитивная группа К и векторная группа Кп.
80
Группа невырожденных матриц GL„(/C) и изоморфная ей
группа GL(F) невырожденных линейных преобразований
л-мерного векторного пространства V.
Группа обратимых элементов конечномерной ассоциативной
алгебры с единицей над К-
Подгруппы диагональных и треугольных матриц в GLn(/C)
являются подгруппами Ли. Тем же свойством обладает
подгруппа SLn()<") матриц с определителем 1.
Приведем некоторые примеры, специфические для
неархимедова случая. Пусть К — неархимедово полное
нормированное поле, А — его кольцо нормирования.
Примеры. 1. Аддитивная группа А является открытой
подгруппой Ли в К; аналогично Ап — открытая подгруппа Ли в
Кп. Открытыми подгруппами Ли являются также taczA и
ш»сЛ".
2. Группа обратимых матриц GLn(A) над кольцом А
является открытой подгруппой Ли й GLn(K)-
3. Группа обратимых матриц над А, все элементы которых,
лежащие ниже главной диагонали, принадлежат т, есть
открытая подгруппа Ли в QLn(A).
Заметим, что, как и в случае /C = R, С, всякая подгруппа Ли
замкнута в объемлющей группе.
1.3. Действия групп Ли. Так же, как в § 2 главы 1,
определяются (аналитические) действия групп Ли над полным
нормированным полем К на аналитических многообразиях над К.
Теорема 2.1 гл. 1 не переносится на общий случай, но остается
верной, если char К = 0 (см. [53]). То же относится и к теореме
2.2, следующей из теоремы 2.1. В частности, если char/C=0, то
стабилизатор любой точки при действии группы Ли G
является подгруппой Ли в G и ядро любого гомоморфизма группы Ли
G является нормальной подгруппой Ли в G.
Пусть G — группа Ли над К, Н — ее подгруппа Ли. Тогда
справедлив следующий аналог теоремы 3.1 главы 1: на
множестве G/H существует единственная аналитическая структура,
при которой каноническое отображение р: G-+-G/H является
факторизацией. При этом р — локально тривиальное
расслоение и каноническое действие группы G на G/H аналитично.
Если Н нормальна, то группа G/H снабжается естественной
структурой группы Ли (см. теорему 3.2 главы 1). Наконец, если
char К — 0, то над полем К справедливы обобщения теорем 3.3
и 3.4 главы 1.
1.4. Стандартные группы Ли над неархимедовым полем.
Пусть К — неархимедово полное нормированное поле. Группа
Ли G над К называется стандартной, если G как многообразие
совпадает с шп, а умножение имеет вид
xtf=F {x,y),
где F— степенной ряд от хи ..., хп, уг,...,уп с
коэффициентами в Ап и нулевым свободным членом. Очевидно, единичный
6—8731
23
81

элемент е стандартной группы Ли совпадает с 0. Заметим, что»
любой формальный степенной ряд от zu ... ,zm с
коэффициентами в А сходится в тт, причем его сумма есть функция со-
значениями в т.
Теорема 1.1. Всякая локальная группа Ли G над
неархимедовым полным нормированным полем К содержит открытую
подгруппу Ли, изоморфную некоторой стандартной группе Ли.
•^ Мы можем считать, что Q — окрестность точки 0 в К"г
причем е = 0, а умножение в G имеет вид xy=F (х, у), где
F — сходящийся степенной ряд от хи ...,х„, уи ...,у„ с
коэффициентами в К" и нулевым свободным членом. Преобразование
х^х = Кх, где Я6АГ\{0}, пространства К" переводит G в
изоморфную ей группу G с умножением xy=F (x, у). Сравнивая
коэффициенты рядов F и F, видим, что если норма \Х\
достаточно велика, то все коэффициенты ряда F лежат в А" и ряд
сходится в т2". Таким образом, G содержит стандартную
открытую подгруппу Ли. ►
Следствие. Всякая локальная группа Ли над
неархимедовым полным нормированным полем изоморфна ограничению
некоторой группы Ли.
1.5. Касательная алгебра. Определение функтора Ли, данное
в § 1 гл. 2, буквально переносится на случай группы Ли над
произвольным полным нормированным полем К. Таким
образом, каждой группе Ли G над К соответствует алгебра Ли g
над К той же размернбсти (касательная алгебра), каждому
гомоморфизму групп Ли —гомоморфизм касательных алгебр. При
этом подгруппе Ли в G соответствует подалгебра в б,
являющаяся идеалом, если подгруппа нормальна.
Предположим теперь, что К неархимедово и что char/(=0.
Тогда справедливы следующие теоремы, доказательство
которых использует формулу Кэмпбелла—Хаусдорфа (см. [24]).
Теорема 1.2. Пусть G— группа Ли над К, Ъ — подалгебра
ее касательной алгебры д. Тогда в G существует подгруппа Ли
Я, касательной алгеброй которой служит fy. Если #i — другая
подгруппа Ли, обладающая тем же свойством, то Н и #i
совпадают в некоторой окрестности единицы.
Теорема 1.3. Пусть G и Я—группы Ли над К, <р:8-Н) —
гомоморфизм их касательных алгебр. Тогда существует
гомоморфизм /: G0-+H, определенный на некоторой открытой
подгруппе G0 группы G и такой, что def=cp. Если f^-.G^H —
другой гомоморфизм, определенный на открытой подгруппе
GicrG и такой, что defi = y, то f=U в некоторой окрестности
единицы.
Следствие. Если две группы Ли над К имеют
изоморфные касательные алгебры, то они содержат изоморфные
открытые подгруппы.
82
Замечание. Если char/(>0, то это утверждение неверно.
Например, аддитивная и мультипликативная группы К и
GLi(K) поля К имеют изоморфные касательные алгебры
(одномерные коммутативные алгебры Ли над К), но не содержат
изоморфных открытых подгрупп, поскольку соответствующие
им формальные группы не изоморфны (см. ниже пример
п. 2.2).
Теорема 1.4. Для любой конечномерной алгебры Ли g,
над К существует группа Ли G над К с касательной
алгеброй g.
•^ Рассмотрим степенной ряд D(x,y), введенный в п. 3.2
главы 3. Как и в архимедовом случае (см. теорему 3.4
главы 3), доказывается, что этот ряд имеет положительный
радиус сходимости и определяет в окрестности точки 0
пространства й локальную группу Ли СН(д) над К, касательная алгебра
которой совпадает с fl. Затем применяется следствие
теоремы 1.1. ►
Из конструкции группы СН(й) и следствия теоремы 1.3
вытекает
Следствие. Всякая группа Ли с коммутативной
касательной алгеброй содержит открытую подгруппу,
изоморфную Ап.
Пусть G—некоторая группа Ли над К, fl — ее касательная
алгебра, СН(д)—локальная группа Ли, определенная с
помощью ряда Кэмпбелла—Хаусдорфа. Из теоремы 1.3 вытекает
существование такого изоморфизма ехр : У-^-Сь где V и G\ —
открытые подгруппы Ли в СН {%) и G соответственно, что
deexp = id. Отображение ехр — это экспоненциальное
отображение; в неархимедовом случае оно определено лишь в
окрестности нуля касательной алгебры.
Отметим также следующее утверждение, которое
доказывается аналогично теореме 3.6 главы 2.
Теорема 1.5. Любая замкнутая подгруппа р-адической
группы Ли является подгруппой Ли.
§ 2. Формальные группы
По поводу материала этого параграфа см. [!24], [53].
2.1. Определение и простейшие свойства. Пусть К—
коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Формальной
группой (или формальным групповым законом) размерности п над,
К называется система F = (F{) l^,-^ формальных степенных ря- •
дов FiG/Cff^i,..., хп, уи ..., уп]] таких, что
1) F(x,Q)=x,F(0,y)=y;
2) F(u, F(v, w))=F(F(u, v),w).
Примеры. 1. Аддитивная группа F= (/ч)1=6гв;П, где
Fi^Xi+t/i (/=!,...,я).
6*
83

2. Мультипликативная группа (п=1):
3. Пусть G — n-мерная группа Ли над полным
нормированным полем К. Выберем в окрестности точки eGG такую
аналитическую систему координат, чтобы единица е имела
нулевые координаты. Если отождествить точку xQG с набором ее
координат Хи..., хп, то умножение в G запишется формулами
(xy)i = Fi(x,y) (i = l,...,n),
где F{ — сходящиеся степенные ряды. Тогда F = (Fi)i^i^n —
формальная группа над К, которую мы обозначим через FG.
4. Если поле К неархимедово, то стандартная группа Ли над
К определяет формальную группу над кольцом нормирования
А, и обратно (см. п. 1.4).
5. Пусть кольцо К является алгеброй над полем Q
(например, К—поле характеристики 0). Пусть g — алгебра Ли над
К, являющаяся свободным /(-модулем конечного ранга. Если
выбрать в g базис и записать в координатах степенной ряд
F=D из п. 3.2 главы 3, то получим формальную группу CH(g)
над К.
Гомоморфизмом формальной группы. F = (Fi)i<i<„ в
формальную группу F^<Fj)i<i<m называется набор Ф = (ф;)1<;<т,
где ffj4K[[xi, . ..,jcnJ], удовлетворяющий условиям:
Ф (0) = 0; F (<р (х), ф (у)) = ф (F (х, у)).
Формальные группы над К составляют категорию, в которой
морфизмами служат гомоморфизмы.
2.2. Касательная алгебра формальной группы. Для любой
формальной группы F— (F^i^i^n над кольцом К справедливо
следующее утверждение.
Теорема 2.1. Ряды Ft имеют вид
Fi(x, y) = Xi +уг+ 2 cMLXMyl, (l)
|Ж|>0
|£|>0
где СмсЪК и суммирование производится по всем
упорядоченным наборам М, L из п неотрицательных целых чисел.
Существует единственный набор Я = (#;)!<,<„, где #г6
£К[[хи ..., .*:„]], такой, что
F (х, Н {х)) = F (Я (х), х) = 0;
при этом
#1 (•*)= — х1+ 2 СМХМ,
|М|>0
где См^К.
Члены степени 2 в формуле (1) определяют некоторое
билинейное отображение b : KnXKn-**Kn. Полагая
84
[x,y]=b(x,y)—b(y,x),
получаем билинейную операцию в Кп, которая, как
оказывается, превращает Кп в алгебру Ли. Эта алгебра называется
касательной алгеброй формальной группы. Например, в случае,
когда формальная группа F=FG связана с группой Ли G,
касательная алгебра естественно отождествляется с касательной
алгеброй группы Ли G (см. п. 1.1, гл. 2). Касательная алгебра
формальной группы СН(д) (см. пример 5 п. 2.1) совпадает с j}.
Нетрудно проверить, что дифференциал в точке 0 (т. е.
линейная часть) гомоморфизма формальных групп является
гомоморфизмом их касательных алгебр. Поэтому получаем
функтор из категории формальных групп над кольцом К в категорию
алгебр Ли над К (функтор Ли). Если К—поле
характеристики 0, то этот функтор и функтор gw-CH(g) определяют
эквивалентность указанных категорий (см. ниже п. 2.3). В
частности, формальная группа над полем характеристики 0
определяется с точностью до изоморфизма своей касательной
алгеброй. В случае поля простой характеристики это неверно,
как показывает
Пример. Пусть К—поле характеристики р>0. Тогда
одномерные аддитивная и мультипликативная формальные
группы над К (см. примеры 1 и 2 п. 2.1) не изоморфны. В то же
время, они имеют одну и ту же касательную
алгебру—одномерную коммутативную алгебру Ли над К.
Другие примеры см. в [15], [41]. Работа [15] посвящена
классификации коммутативных формальных групп над полями
простой характеристики. Теория формальных групп изложена
также в книгах (Dieudonne J., Introduction to the theory of
formal groups. (Pure and Appl. Math., N 20). New York, Marcel
Dekker, 1973, 265 pp.; Hazewinket M., Formal groups and
applications. New York e. a., Acad. Press, 1978, 573 pp.).
2.3. Би алгебр а, связанная с формальной группой.
Аналогично тому, как это делается для групп Ли (см. § 2 гл. 3), с
каждой формальной группой можно связать некоторую биал-
гебру. Обозначим через U /(-подмодуль в (К[{хи ... ,хп]])*,
состоящий из линейных форм, равных 0 иа некоторых степенях
идеала шсЩ[хи ..., хп]\, порожденного элементами
Х\,...,хп. Модуль U свободен и обладает базисом (Дм),
двойственным к системе одночленов (хм):
А (*£)=(0 при M+L.
Далее, и*=Щхи..., хп]].
Операции в U вводятся из соображений двойственности.
Как и в п. 2.3 главы 3, оказывается, что умножение в алгебре
К[[хи ..., хп\] определяет коумножение б в U. Далее,
подстановка в ряды рядов F{ определяет отображение
Щ[хи ■ ■ ■ > хп]У+К[[хи ..., хп, у и ... ,#„]], порождающее ассо-
85

циативное умножение в U. Доказывается, что U — биалгебра
относительно этих операций.
Пусть Q—Kn — касательная алгебра нашей формальной
группы. Определим отображение т : д->£/ формулой
п
nr(ai, ...,а„) = 2агдгг'
где е{= (0,..., 1,..., 0). Проверяется, что т — гомоморфизм
алгебры g в алгебру Ли L(U). Поэтому т продолжается до
томоморфизма алгебр U(g)->[/, который мы также обозначим
через т.
Теорема 2.2. Если К—алгебра над Q (например, поле
характеристики 0), то гомоморфизм t:U(g)->[/ является
изоморфизмом биалгебр.
Следствие. Если К—алгебра над Q, то функтор Ли и
функтор д^СЩд) определяют эквивалентность категории
формальных групп над К и категории алгебр Ли над /С,
являющихся свободными /(-модулями конечного ранга.
§ 3. Бесконечномерные группы Ли
Наиболее непосредственным бесконечномерным обобщением
групп Ли являются банаховы (в частности, гильбертовы)
группы Ли, на которые переносятся почти все основные
утверждения конечномерной теории. Однако банаховы группы Ли
имеют довольно ограниченную область приложений и, в
частности, весьма редко выступают как группы преобразований
конечномерных многообразий (например, неизвестны примеры
транзитивных и эффективных действий бесконечномерных
банаховых групп Ли на компактных многообразиях). Существенно
более широким (но зато и более трудным для изучения)
является класс групп Ли, моделированных на пространствах
Фреше, к которому, в частности, относится группа всех
диффеоморфизмов любого компактного многообразия класса С™.
Изучение групп диффеоморфизмов привело также к
определению ILB- (или ILH-) групп Ли, т. е. топологических групп,
представленных в виде предела обратного спектра банаховых
(или гильбертовых) групп Ли (см. [21], [49]).
По поводу бесконечномерных групп Ли и их физических
приложений см. [21], а также статью (Milnor J., Remarks on
infinite-dimensional Lie groups. Relativite, groupes et topol. II. Les
Houches, Ec. d'ete phys. theor. Sess. 40, 1983. Amsterdam e. a.,
1984, 1007—1058).
В этом обзоре мы не касаемся теории псевдогрупп Ли
преобразований (т. е. «бесконечных групп преобразований» в
смысле Ли и Картана) и связанной с ней теорией бесконечно-
.мерных фильтрованных алгебр Ли.
86
3.1. Банаховы группы Ли (см. [24], [32]). Пусть К — полное
нормированное поле. Определение банаховой (гильбертовой)
группы Ли G над К буквально повторяет определение обычной
группы Ли, с той только разницей, что на G должна быть
задана структура банахова (соответственно гильбертова)
многообразия (подробности см. в [24], где теория групп Ли
изложена именно в такой общности). Любая обычная группа Ли над
К является, разумеется, банаховой (и гильбертовой) группой
Ли. Приведем теперь некоторые бесконечномерные примеры.
Примеры. 1. Пусть М и N — вещественные многообразия
класса С™, причем М компактно. Тогда для любого k^0
множество Ch(M,N) всех отображений M-+-N класса Ск
снабжается структурой вещественного банахова многообразия
класса С™. Чтобы описать ее, зададим на N какую-нибудь римано-
ву структуру класса С°° и обозначим через Expj,
соответствующее экспоненциальное отображение в точке y^N. Пусть
<р : M-+N — некоторое отображение класса Ск. Рассмотрим
векторное расслоение <p*T(N) класса Ск над М — обратный
образ касательного расслоения над N при отображении <р; его
слоем в точке х&М является касательное пространство
T^X)(N). Тогда соответствие v^-<pv, где (fv{x)=Exp^x)v(x),
инъективно отображает достаточно малую окрестность нуля в
банаховом пространстве сечений класса Ск расслоения
*p*T(N) в множество Ck(M,N), причем <po=<p. Это и есть карта
на Ск(М, N), покрывающая точку <р.
Если iV=G— некоторая вещественная группа Ли, то в
многообразии Ск(М, N) = Ch(M, G) имеется естественная
структура группы. Оказывается, что Ck(M,G)—банахова группа
Ли.
Аналогично определяются гильбертовы группы Ли
BS(M,G) (s>-dimAf) всех отображений Af->-G Соболевского
класса Hs (см. [51]). Группы Ck(M,G) и HS(M,G) иногда
называют группами токов, а в случае M=S* — группами
петель на G.
2. Обобщая пример 1, можно определить банахово и
гильбертово многообразия Ск(Е) и HS(E), состоящие из сечений
классов Ch и Hs соответственно некоторого расслоения Е-*-М
класса С°° с компактной базой М. Если Е — расслоение на
группы Ли (т. е. его слоем является группа Ли G, а
структурной группой — группа ее автоморфизмов AutG), то Ск(Е) и
Н*(Е) (s>2"dimAl) являются банаховой (соответственно
гильбертовой) группами Ли.
Отметим следующий важный частный случай. Пусть
Р-*~М — главное расслоенное пространство класса С™ со
структурной группой G. Тогда можно построить расслоение
Е-*~М на группы Ли со слоем G. В качестве Е надо взять
ассоциированное с Р расслоение, соответствующее действию
87

группы G на себе при помощи внутренних автоморфизмов
(см. п. 3.2 гл. 1 ст. II). Сечения расслоения Е можно
рассматривать как автоморфизмы расслоения Р, переводящие в
себя каждый слой; они называются калибровочными
преобразованиями. В итоге получаем группы Ли калибровочных
преобразований Ch(E) и HS(E) (s>^dimM). В приложениях
обычно рассматривают естественное аффинное действие
группы калибровочных преобразований в пространстве связностей
расслоения Р.
3. Пусть М — компактное вещественное многообразие
класса С™. Тогда группа DiffftAf всех диффеоморфизмов класса
Ck(k^0) открыта в Ck(M,M) и, следовательно, обладает
структурой вещественного банахова многообразия класса С°°.
Однако умножение DiffftMXE>ifffe Af-*-Diffft M является лишь
непрерывным, но не дифференцируемым отображением. Таким
образом, Diffft M не есть банахова группой Ли (см. в связи с
этим п. 3.3).
4. Алгебра А над полным нормированным полем /С
называется банаховой, если А — банахово пространство над К,
норма которого связана с умножением в А условием
Нзд11<11*11№11 (х,уеА).
Если А — ассоциативная банахова алгебра с единицей над
К, то множество Лх ее обратимых элементов является
банаховой группой Ли над К. В частности, группа GL(#) всех
обратимых непрерывных операторов любого банахова
пространства Я есть банахова группа Ли.
3.2. Соответствие между банаховыми группами Ли и
банаховыми алгебрами Ли (см. [24], [32], [7]). Пусть G — банахова
группа Ли над полем К. Касательное пространство g=re(G)
есть банахово пространство над К- Как и в конечномерном
случае, в пространстве g вводится операция [ , ] превращающая
его в алгебру Ли. Эта алгебра Ли является банаховой. Если
char/C=0, то каждой банаховой алгебре Ли g над К
соответствует локальная банахова группа Ли СН(д), которая
определяется в окрестности точки 0 пространства g при помощи ряда
Кэмпбелла—Хаусдорфа (см. п. 3.3 гл. 3).
Теорема 3.1. Пусть char/(=0. Определенные выше
соответствия Gf-*flH д^СН(д) задают эквивалентность между
категориями локальных банаховых групп Ли и банаховых алгебр
Ли над полем К-
Если поле К неархимедово, то, как и в конечномерном
случае, каждая банахова алгебра Ли над К является касательной
алгеброй некоторой глобальной банаховой группы Ли. В
архимедовом случае это утверждение неверно, как показывает
следующий
Пример ([29]). Пусть G=SU2XSU2. Рассмотрим
вещественную банахову группу Ли Q(G)—Cl[Sl, G) (см. при-
88
мер 1 п. 3.1). Ее касательной алгеброй является банахова
алгебра Ли Q(fl) = C1(S1,g) где g=3tt2®5tt2. Очевидно, Щд) =
=Q (5tt2) ®Q (5tt2). Рассмотрим 2-коцикл алгебры Ли Q(5tt2) со-
значениями в R, заданный формулой
2я
26(q>,lW=ftr(q>'(*m<))<tt.
Jo
где ф и ф интерпретируются как функции класса С на R,
имеющие период 2л. Тогда билинейная функция z на Q(g),
заданная формулой
2(!ф1©ф2, г|)1®г|)2)=20(ф1, i|)i)+ezo(<p2, ifc) (фь it>,-6Q(5tt2)),
где 0 — фиксированное вещественное число, является 2-ко-
циклом алгебры Щд). Она определяет центральное расширение
0-*R->-Q(g)-*Q(g)->0
(см. т. 21). Легко видеть, что Q(g) — банахова алгебра Ли над
R. Оказывается, что банахова группа Ли с касательной
алгеброй Q(g) существует тогда и только тогда, когда 06Q. Таким
образом, если 8 иррационально, то локальная банахова группа
Ли CH(Q(g)) не является ростком никакой глобальной группы Ли.
Известны некоторые условия, достаточные для
существования глобальных групп Ли с заданной касательной алгеброй.
В частности, справедлива
Теорема 3.2 (см. [33]). Если д —банахова алгебра Ли с
тривиальным центром, то существует банахова группа Ли с
касательной алгеброй д.
Как и в конечномерном случае, определяется
экспоненциальное отображение ехр : g-*-G. Отметим следующий результат,
представляющий интерес и в конечномерном случае.
Теорема 3.3 ([43]). Пусть G — односвязная банахова
группа Ли над полем R или С, g — ее касательная алгебра,
|| || — норма, превращающая g в банахову алгебру Ли. Тогда
отображение ехр : g->-G инъективно и регулярно в открытом
шаре {*6д| ||*|| <2я}.
3.3. Действие банаховых групп Ли на конечномерных
многообразиях. Следующие результаты, полученные в [50],
показывают, что бесконечномерные вещественные банаховы группы
Ли лишь в редких случаях могут нетривиально действовать на
конечномерных многообразиях (все действия предполагаются
дифференцируемыми).
Теорема 3.4. Если связная вещественная банахова
группа Ли G эффективно и примитивно действует на
конечномерном дифференцируемом многообразии, то dim G<oo (О
понятии примитивности действия см. п. 1,4 гл. 2 ст. II.)
Теорема 3.5. Если касательная алгебра g вещественной
банаховой группы Ли G не содержит собственных замкнутых
идеалов конечной коразмерности, то g не содержит и
собственен

ных замкнутых подалгебр конечной коразмерности. В
частности, в этом случае любое действие группы G на конечномерном
дифференцируемом многообразии тривиально.
Можно проверить, что для группы GL(#), где
Н—бесконечномерное вещественное банахово пространство, условие
теоремы 3.4 выполнено. Поэтому имеем
Следствие. Если Н—бесконечномерное вещественное
банахово пространство, то группа GL(#) не допускает
нетривиального действия на конечномерном дифференцируемом
многообразии.
3.4. Группы Ли—Фреше (см. [32]). Напомним, что
пространством Фреше называется полное хаусдорфово локально
выпуклое топологическое векторное пространство, топология в
котором задается счетным семейством полунорм (последнее
условие равносильно метризуемости). Мы будем предполагать,
что основное поле есть поле R действительных чисел. Обобщая
классическое понятие производной по направлению, можно
развить дифференциальное исчисление для функций со значе- ■
ниями в пространстве Фреше, определенных в открытом
множестве другого пространства Фреше. Очевидным образом
определяются дифференцируемые (класса С°°) многообразия
Фреше и их дифференцируемые отображения, касательные
пространства к многообразиям Фреше, дифференциалы
отображений (см. [32]).
Группой Ли—Фреше называется многоообразие Фреше G,
снабженное структурой группы такой, что умножение
{§, h)r+gh и инверсия g^ir1 дифференцируемы. Касательное
пространство Te(G) в точке е группы Ли—Фреше G
превращается в алгебру Ли, например, при помощи естественного
изоморфизма между Te(G) и пространством правоинвариант-
ных векторных полей на G, которое является алгеброй Ли
относительно операции коммутирования (или скобки Ли) (ср.
п. 1.2 гл. 2). Эта алгебра Ли g называется касательной
алгеброй группы G.
Примеры. 1. Пусть М и N — вещественные многообразия
класса С°°, причем М компактно. Тогда множество С°° (М, N)
всех отображений M-+N класса С°° превращается в
многообразие Фреше, если определить на нем карты аналогично
примеру 1 п. 3.1. Многообразием Фреше является также множество
всех сечений С°°(£) класса С°° дифференцируемого расслоения
Е с компактной базой. Если М компактно и G —
(конечномерная) вещественная группа Ли, то группа С°°(М,6) является
группой Ли—Фреше. Ее Касательная алгебра — это алгебра Ли
С°°{М, д), где g — касательная алгебра труппы G. Группа
сечений С°°(Е) любого дифференцируемого расслоения на
группы Ли с компактной базой (см. пример 2 п. 3.1) есть группа
Ли—Фреше. Ее касательной алгеброй является алгебра Ли
С" (г) сечений соответствующего раселоеия е на алгебры Ли.
90
С любым главным расслоением класса С°° связывается группа
калибровочных преобразований класса С°°, являющаяся
группой Ли—Фреше.
2. Пусть М — компактное дифференцируемое многообразие.
Тогда группа Diff M всех его диффеоморфизмов обладает
естественной структурой группы Ли—Фреше (см. [32]).
Касательной алгеброй этой группы является алгебра Ли V(M) всех
векторных полей (класса С°°) на Мс операцией
коммутирования.
Трудность изучения групп Ли—Фреше связана, в частности,
с тем, что на дифференцируемые отображения многообразий
Фреше не распространяется теорема об обратной функции,
хорошо известная для банаховых пространств и многообразий.
Следующий пример показывает, что эта теорема не верна для
«экспоненциального отображения», связанного с группой
Diff M из примера 2.
Пример 3 (см. [32]). Пусть М — компактное
дифференцируемое многообразие. Каждое векторное поле vGV(M)
порождает поток a(t)=exptv на М с полем скоростей v (см.
п. 2.1 гл. 1 ст. II). Отображение ехр : yt->-exp у=а(1)
пространства V(M) в Diff M дифференцируемо и d0exp=id. Однако его
образ exp V(M), вообще говоря, не содержит окрестности
тождественного диффеоморфизма е в Diff M.
Действительно, пусть, например, M=S1. Пусть
диффеоморфизм / : S'-^-S1 имеет вид /=ехр ц, где yGl^S1). Если / не
имеет неподвижных точек, то v{x)¥=0 для всех xGS1. Поэтому у
переводится диффеоморфизмом окружности в векторное поле,
инвариантное относительно поворотов, а / сопряжен повороту
в группе DiffAf.'B то же время, легко построить
диффеоморфизмы окружности, сколь угодно близкие к тождественному
диффеоморфизму, но не сопряженные поворотам.
Несколько лет назад была выделена категория
многообразий Фреше и их дифференцируемых отображений, для которых
справедлив ослабленный вариант теоремы об обратной
функции. Эти многообразия, моделирующие их пространства Фреше
и допустимые отображения называются ручными. Не входя в
подробности (см. (32]), заметим лишь, что в ручном
пространстве Фреше F, кроме топологии, фиксируется также некоторое
определяющее ее семейство полунорм || ||ft (/f = 0, l, 2,...))
такое, что II х||о^ 11*11 l^ltall^ •• - Для любого x&F, а ручное
отображение /, начиная с некоторого п, удовлетворяет условию
ll/(*)lln^cn(l-r-lk||n+r) для некоторого r^sO. Группа
Ли—Фреше G называется ручной, если G — ручное многообразие и
отображения (g,h)>-+gh и g<-*g~l являются ручными.
Оказывается, что все многообразия и группы Ли—Фреше,
рассмотренные выше в примерах 1, 2, являются ручными. Отметим
некоторые результаты о группах диффеоморфизмов,
полученные этим методом [32].
91

Пусть М — компактное дифференцируемое многообразие,
D(M) —ручное многообразие Фреше, состоящее из всех
положительных плотностей ц класса С°° на М (см. пример 5 п. 3.2,
гл. 1 ст. II), удовлетворяющих условию /|х='!1. Группа DiffM
м
допускает естественное дифференцируемое действие на D(M),
причем стабилизатор точки ц,е£)(М) — это группа Diff„M
диффеоморфизмов, сохраняющих плотность ц (или
соответствующую меру на М).
Теорема 3.6. Группа DiffM действует на D(M) транзи-
тивно. Для любой nGD(M) подгруппа Diff„M является ручной
подгруппой Ли в DiffM и отображение ф-ир(и-) (<pGE>i-ffM)
есть проекция ручного дифференцируемого главного расслоения
с базой D(M) и структурной"группой Diff„Af.
Известно также, что группа (DiffM)0 транзитивно
действует на связных компонентах многообразия симплектических
структур и многообразия контактных структур на компактном
многообразии М, но, по-видимому, неизвестно, будут ли
стабилизаторы этих действий подгруппами Ли в Diff M.
3.5. ILB- и ILH-группы Ли. Попытки построить обобщение
теории групп Ли, влючающее бесконечномерные группы
автоморфизмов различных геометрических структур на
многообразиях, привело к следующему понятию, введению и изучению
которого посвящена книга [49]. Пусть дана
последовательность банаховых (или гильбертовых) пространств
Es (s = d, cf-j-1,...), причем £s+1 линейно и плотно вложено в
Es, и пусть пространство E = f|£s снабжено топологией предела
обратного спектра. Топологическая группа1! G называется
(сильной) ILB- (соответственно ILH-) группой Ли, если
существует последовательность топологических групп Gs (s^d),
удовлетворяющая следующим условиям: Gs — многообразие
класса С", моделированное на £>; Gs+1— плотная подгруппа в
Gs, причем вложение имеет класс С°°; G = f|Gs совпадает (как
топологическая группа) с пределом обратного спектра
топологических групп Gs; умножение GX.G-*-G и инверсия G-+G
продолжаются до отображений Gs+lX.Gs-+Ga и Gs+l-+-G'
класса С1; правые сдвиги в Gs суть преобразования класса С°° и
индуцируют отображение класса С1 многообразия Te(Gs+l)xGs
в касательное расслоение над Gs; локальные карты в
окрестностях точки е всех групп Gs можно согласованно задать с
помощью локальной карты на Gd со значениями в Te(Gd).
В окрестности единицы ILB- (или ILH-) группы Ли
существует карта со значениями в пространстве Фреше
9=n7'e(Gs)-E, превращающая G в группу Ли—Фреше. В про-
s>d
странстве g определяется операция, превращающая его в то-
" По поводу этого понятия см. § 4.
92
лологическую алгебру Ли, которая называется касательной
алгеброй группы G.
Оказывается, что в рассматриваемом случае справедливо
некоторое обобщение теоремы 2.10 гл. 2. Из него вытекает
Теорема 3.7. ([49]). Если касательные алгебры односвяз-
ных ILB-групп Ли G и Я топологически изоморфны, то G и Я
изоморфны как топологические группы.
В [49] доказано также, что для любого компактного
многообразия М класса С°° группа DiffM обладает естественными
структурами ILB-группы Ли и ILH-группы Ли. Далее,
структурой ILB-группы Ли обладают следующие подгруппы в
Diff M:
подгруппа всех диффеоморфизмов, сохраняющих некоторое
дифференцируемое расслоение многообразия М;
подгруппа всех диффеоморфизмов, переводящих в себя
заданное замкнутое подмногообразие;
подгруппа всех диффеоморфизмов, сохраняющих меру,
определяемую римановой метрикой, симплектическую или
контактную структуру на М.
§ 4. Группы Ли и топологические группы
Топологической группой называется группа G, снабженная
такой топологией, что умножение (g, h)*-+gh и инверсия
gv+IT1 являются непрерывными отображениями. Очевидно,
любая группа Ли (вещественная или комплексная) является
топологической группой. То же относится к группам Ли над
полными нормированными полями, к банаховым группам Ли
и группам Ли—Фреше. В то же время, легко привести
примеры топологических групп, не являющихся многообразиями в
том или ином смысле и потому не допускающих структуры
группы Ли.
В этом параграфе мы коротко остановимся на следующем
вопросе: какое место занимают группы Ли среди
топологических групп? Исследования в этом направлении в течение
многих лет стимулировались 5-й проблемой Гильберта, решенной
в 50-е годы нашего века (обзоры результатов, связанных с этой
проблемой, см. в [19] и [59]).
4.1. Непрерывные гомоморфизмы групп Ли. Следующая
теорема показывает, что вещественные и р-адические группы
Ли составляют полные подкатегории категории топологических
групп.
Теорема 4.1. Пусть f : G-*~H — непрерывный гомоморфизм
вещественных или р-адических групп Ли G, Я. Тогда f анали-
тичен.
4 Рассмотрим график T={g, /i)GGX^|/i=f (g)}
гомоморфизма /. Очевидно, Г — замкнутая подгруппа в GXH. В силу
теоремы 3.6 гл. 2 (Картана) и теоремы 1.5 Г —подгруппа Ли
93

в GxH. Соответствующая касательная подалгебра есть график
гомоморфизма df : fl-H). Поэтому проектирование (g, h)*+ g
определяет изоморфизм Y-*~G. Отсюда легко следует наше
утверждение. ►
Следствие. На вещественной (или р-адической) группе
Ли G существует единственная структура аналитического
многообразия над полем R (соответственно Qp), относительно
которой умножение в G аналитично.
•^Теорема 4.1 применяется к тождественному
изоморфизму группы G на ту же группу, снабженную другой
аналитической структурой. ►
Таким образом, вещественные и р-адические группы Ли
можно рассматривать как топологические группы
специального типа.
4.2. 5-я проблема Гильберта. В известном докладе
Гильберта «Математические проблемы» был поставлен следующий
вопрос. Предположим, что в определении конечной
непрерывной группы преобразований пространства R™, принадлежащем
С. Ли (см. п. 1.3 гл. 1, ст. II), мы заменим требование диффе-
ренцируемости или аналитичности функций требованием
непрерывности. Можно ли ввести новые (локальные)
координаты в Rn и новые локальные параметры в группе так, чтобы
функции, определяющие группу преобразований, стали
дифференцируемыми или аналитическими? Можно ли это сделать
при некоторых дополнительных предположениях?
В дальнейшем из этой 5-й проблемы Гильберта была
выделена следующая проблема, представляющая собой как раз
вопрос о характеризации групп Ли в классе всех
топологических групп: всякая ли локально евклидова топологическая
группа (т. е. топологическая группа, являющаяся
топологическим многообразием) является группой Ли? На этот вопрос в
1952 г. был получен утвердительный ответ.
Теорема 4.2. Всякая локально евклидова топологическая
группа допускает структуру дифференцируемого многообразия,
относительно который она является вещественной группой Ли.
Доказательство этой теоремы было дано Глисоном,
Монтгомери и Зиппином в работах [31], [45]; их метод был
усовершенствован в [57], [58] и [40] (изложение см. также в [46] и
[6]). При этом была получена также следующая характериза-
ция групп Ли: топологическая группа G является группой Ли
тогда и только тогда, когда она локально компактна и не
содержит малых подгрупп (т. е. существует окрестность
единицы е в G, не содержащая подгрупп, отличных от {е}).
Л. С. Понтрягин (см. [16]) доказал, что компактная
топологическая группа является группой Ли тогда и только тогда,
когда она конечномерна и локально связна.
Общую проблему Гильберта о группах преобразований
можно (в глобальной форме) сформулировать следующим об-
94
разом: всякое ли непрерывное действие локально евклидовой
топологической группы на топологическом многообразии М
является дифференцируемым относительно некоторой
дифференцируемой структуры на М? Ответ на этот вопрос,
отрицательный в общем случае, оказывается положительным для
транзитивных и эффективных действий. Справедлива более общая
Теорема 4.3 ([46]). Если локально компактная
топологическая группа G транзитивно и эффективно действует на
конечномерном локально компактном и локально связном
топологическом пространстве X, то G обладает структурой группы
Ли, а X — такой структурой вещественного аналитического
многообразия, что действие аналитично.
§ 5. Аналитические лупы
В этом параграфе речь пойдет о неассоциативных
обобщениях групп Ли, впервые рассмотренных А. И. Мальцевым
[14].
5.1. Основные определения и примеры (см. [25]).
Множество G с определенной на нем операцией умножения
(a, b)>-+ab называется лупой, если выполняются следующие
условия:
а) существует такой элемент eGG {единица лупы G), что
еа=ае=а для всех aGG;
б) для любых a, beG каждое из уравнений ах=Ь и уа=Ь
имеет единственное решение.
Условие б) позволяет ввести в лупе G операции левого
деления (a, b)i-+a\b и правого деления (a,b)^a/b,
обладающие следующими свойствами:
{a/b)b = (ab)/b=b(b\a)=b\(ba)=a.
Лупа G называется лупой Боля, если она удовлетворяет
условию
в) а (Ь (ас) ) = (а (Ьа)) с для всех a, b,ceG,
и лупой Муфанг, если выполнены в) и условие
г) ((ca)b)a=c((ab)a) для всех а, b, cGG.
Лупа G является лупой Муфанг тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет любому из следующих трех тождеств:
a(b(ac)) = ((ab)a)c; ((ca)b)a=c(a(ba)); (ab) (ca)=a((bc)a).
Лупа называется моноассоциативной, если любой ее элемент
порождает ассоциативную подлупу, и диассоциативной (или
альтернативной), если любая пара ее элементов порождает
ассоциативную подлупу. В частности, любая лупа Боля
моноассоциативна. Далее, лупа Боля диассоциативна тогда и только
тогда, когда является лупой Муфанг.
Аналитической лупой называется аналитическое
многообразие (над полем /C=R или С), снабженное структурой лупы
такой, что операция умножения является аналитической.
Естественно определяются локальные аналитические лупы.
95

Примеры..1. Если О — алгебра чисел Кэли (см. т. 11), то
множество G = O\{0} с операцией умножения чисел Кэли есть
диассоциативная аналитическая лупа.
2. Пусть М — аналитическое многообразие с заданной на
нем аналитической линейной связностью, е&М —
фиксированная точка. Обозначим через Ехра экспоненциальное
отображение в точке а&М, соответствующее данной связности (см. [34]).
В окрестности точки е на М определим умножение формулой
аЬ=Ехра {хе,а (Exp-1 (b))),
где %е,а — параллельный перенос касательных векторов вдоль
отрезка геодезической из точки е в а. Оказывается, что это
умножение определяет структуру локальной аналитической
лупы в окрестности точки е на М; она называется геодезической
лупой данной связности. Если связность локально симметрична,
то геодезическая лупа является лупой Боля. Всякая локальная
аналитическая лупа Боля является геодезической лупой
некоторой линейной связности [18].
5.2. Касательная алгебра аналитической лупы. Пусть G —
локальная аналитическая лупа и пусть jet..., хп — локальная
система координат на G в окрестности единицы е=(0, ...,0).
Пусть
Zi = ^t(Xi, ..., Хп, уи ...,У„) (t = l, ...,«)
— аналитические в точке (0, 0) функции, выражающие координаты
произведения z — xy через координаты сомножителей. В силу
условия а) в определении лупы, функции цг, как и в случае
групп Ли, обладают свойством ^ Щ— =5 £г— I =0.
Поэтому ряд Тейлора функции цг в точке (О, 0) имеет
следующий вид:
l*i {х, у) = xt -f yt -f 2 «}**#* + 2 ьтх1х»У1 +
i,k j.k.i
+ 2с»л^н—. о)
l.H.l
где b)ki = bkji, cljki — Ckji и многоточие заменяет члены порядка
^4. Напомним, что локальная групра Ли определяется, с
точностью до изоморфизма, членами порядка 2 в формуле (1).
Для произвольных луп это свойство, разумеется, ие имеет
места. Однако локальные лупы Боля, как мы увидим далее,
полностью определяются членами порядков 2 и 3 в
разложении (1).
Пусть g = re(G). Введем в g бинарную и тернарную
операции ■[!, ц] и <|, т), О следующим образом. Пусть а(/), ${t),
"Y (t) — дифференцируемые пути в G, удовлетворяющие
условиям а(0)=р(0)=т(0)=е, а'(0) = |, р'(0)=ть т'(0) =S- Тогда
•96
(P(0aW)\(a(9P('))=fl[fc.Ti]+<>('*).
(o(0(P(0Y(0))\((a(0P(0)Y(0)='8an.C>i+»(f8).
Если задавать вектор |GG его координатами 1,,
соответствующими выбранной выше локальной системе координат на G, то
II. ПЬ = 2ву*Бл*. < 6> Л> £ > i = 2°;*ДМ"
где
"У*/ = 2Ь;« — 2с;а/ + ^ ^ U%Ulmt 4" ^ UjmUki-
т т
Таким образом, введенные операции линейны по каждому
аргументу. Касательной алгеброй локальной аналитической лупы G
назовем бинарно-тернарную алгебру g с операциями [, ] и
<, , >. Заметим, что если G — локальная группа Ли, то
<?, Л. 5> = 0 Для всех |, т|, £6д. Далее, в общем случае
16,61 = 0(169). (2)
Пример ([2], см. также [18]). Пусть Q — геодезическая лупа
некоторой линейной связности (см. пример 2 п. 5.1). Тогда
структурные константы а' и vl]kl выражаются через тензоры
кривизны R и кручения Т связности следующим образом:
«/*==— \T)k{e),
4=y(4(«)-sA(4
5.3. Касательная алгебра диассоциативной лупы. Для диас-
социативных локальных аналитических луп тернарная операция
в касательной алгебре выражается через бинарную (см. ниже
формулу (4)). Пэтому в этом пункте касательная алгебра
рассматривается как обычная алгебра с одной операцией
умножения [,]. Алгебра называется бинарно лиевой, если любые два
ее элемента порождают подалгебру, являющуюся алгеброй Ли.
Теорема 5.1 ([14]). Если G — диассоциативная локальная
аналитическая лупа над полем & = R или С, то ее касательная
алгебра g является бинарно лиевой. При этом любая
конечномерная бинарно лиева алгебра над R изоморфна касательной
алгебре единственной (с точностью до изоморфизма) локальной
аналитической диассоциативной лупы.
Заметим, что на произвольные моноассоциативные
аналитические лупы переносится теорема о существовании и
единственности однопараметрической подгруппы с заданным
касательным вектором (см. п. 3.1 гл. 2), что позволяет определить
для такой лупы G экспоненциальное отображение g-*-G и
канонические координаты в окрестности единицы [11]. Если G
7—8731 23 97

диассоциативна, то умножение в G выражается в
канонических координатах через операцию [, ] в алгебре g при помощи
обычной формулы Кэмпбелла—Хаусдорфа (см. [14]).
Пусть А — некоторая алгебра с операцией [ , ]* Положим
т, л,« -тъ л], t] =к. я, лМл, а, и «. л. &&*).
Алгебра Л называется алгеброй Мальцева (или муфанг-лиевой
алгеброй, см. [|14]), если выполнены условие (2) и условие
/(6,4, [6, «) = [/(!, Л, «.61- (3)!
Условие (3) можно заменить следующим:
Ш, л1, [6, Я=[[[|, л1. Я Я+Шл, 5J, Й, 11+1Ш, 6]. Е], л]-
Например к алгебре Мальцева приводит операция
коммутирования [|, л]—1л—т)! в любой альтернативной алгебре с
умножением (|, л)1-* |tj. Обзор результатов об алгебрах
Мальцева см. в [10].
Теорема 5.2 ([14], [И]). Локальная аналитическая лупа
является лупой Муфанг тогда и только тогда, когда ее
касательная алгебра есть алгебра Мальцева.
Заметим, что тернарная операция < , , > в касательной
алгебре к диассоциативной лупе выражается через бинарную по
формуле
<6.Tbt>=i/(6,»b&). (4)
5.4. Касательная алгебра лупы Боля. Бинарно-тернарная
алгебра А с операциями [, ] и < , > называется алгеброй Боля,
если выполнены следующие условия:
}{\, л- С) =2(а л, 5>+<л, £. £>+<£, £. л>);
[<б, л, &>, х]—Кб, л, «>, £].+ < [6, л], *, е>-
—<.[,6,л],£,и> + <6,Л, [х,5]>=0;
(X, х, (|, л, W) - ((X, х, |), л, W + (б, (X, х, л), I) +
-г-(|,Л, (X,x,t)),
где (|, л, » = -2<6, Л, Р+>[Т1, Л]. «■
Теорема 5.3 ([1], [18]). Бинарно-тернарная касательная
алгебра локальной аналитической лупы Боля является
алгеброй Боля. Всякая конечномерная алгебра Боля изоморфна
касательной алгебре единственной (с точностью до изоморфизма)
локальной аналитической лупы Боля.
Заметим, что в канонических координатах умножение в
аналитической лупе Боля выражается следующей формулой, где
многоточие заменяет члены порядка ^4:
ху=х + у + -^[х, у] +-jjU.*. У\,У]+ j2 1-М*»»]] —
— у < х, у, у > +т < у, х, х > -I-...
ЛИТЕРАТУРА
1. Акивис М. А., О локальных алгебрах многомерной трн-тканн. Свб. мат.
Ж., 1976, 17, № 1, 5—11
2. —, О геодезических лупах н локальных тройных системах пространства
аффинной связности. Снб. мат. ж., 1978, 19, № 2, 243—253
3. Алексеевский Д. В., Группы Ли и однородные пространства. Итоги науки
н техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия, 1974, 11, 37—123
4. —, Группы Ли. Итоги науки н техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология.
Геометрия, 1982, 20, 153—192
5. Винберг Э. Б., Группы Ли и однородные пространства. Итоги науки «
техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. 1962. М.: 1963, 5—32
6. Глушков В. М., Строение локально бикомпактных групп н пятая
проблема Гильберта. Успехи мат. наук, 1957, 12, № 2, 3—41
7. Дынкин Е. Б., Нормированные алгебры Лн и аналитические группы.
Успехи мат. наук, 1950, 5, № 1, 135—186
8. —, Теория групп Лн, Математика в СССР за сорок лет, 1917—1957».
т. 1. М.: Фнзматгнз, 1959, 213—227
9. Кириллов А. А-, Элементы теории представлений. 2-е нзд. М.: Наука,
1978, 343 с.
10. Кузьмин Е. Н., Алгебры Мальцева и нх представления. Алгебра и логика,
1968,.7, № 4,48—69
11. —, О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами
Муфанг. Алгебра н логика, 1971, 10, № 1, 3—22
12. Мальцев А. И., On the -theory of the Lie groups in the large. Мат. сб.,
1945, 16, № 2, 163—190; 1946, 19, № 3, 523—524 (Пер. на рус. яз.:
К теории групп Л и в целом. Избранные труды, т. 1. М.: Наука, 1976,
177—200)
13. —, Топологическая алгебра н группы Лн. Математика в СССР за
тридцать лет. М.—Л.: Гостехнздат, 1948, 134—159
14. —, Аналитические лупы. Мат. сб., 1955, 36, № 3, "569—573; Избранные
труды, т. 1. М.: Наука, 1976, 340—345
15. Манин Ю. И., Теория коммутативных формальных групп над полями
конечной характеристики. Успехи мат. наук, 1963, 18, № 6, 3—90
16. Понтрягин Л. С, Непрерывные группы. 4-е нзд. М.: Наука, 1984, 520 с.
17. Постников М. М., Группы и алгебры Лн. М.: Наука, 1982, 447 с.
18. Сабинин Л. В., Михеев П. О., Теория гладких луп Бола. М.: Изд. Ун-та
дружбы народов, 1985, 80 с.
19. Скляренко Е. Г., К пятой проблеме Гильберта. Проблемы Гильберта. М.г
Наука, 1969, 101—115
20. Ширшов А. И., О представлении лиевых колец в ассоциативных кольцах.
Успехи мат. наук, 1953, 8, № 5, 173—175
21. Adams M., Ratiu Т., Schmid R., The Lie group structure of diffeomorphism
groups and invertible Fourier integral operators, with applications. Infinite
dimensional groups with applications. New York e. a., 1985, 1—69
22. Bourbaki N. Topologie generate, ch. 5—8. Paris: Hermann, 1947, 132 pp.
(Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Общая топология. Топологические группы.
Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969,
392 с.)
23. —, Algebre commutative, ch. 5,, 6. Paris: Hermann, 1964, 207 pp. (Пер.
на рус. яз.: Бурбаки Н., Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971, 707 с.)
24. —, Groupes et algebres de Lie, ch. 1, 2, 3. Paris: Hermann, 1971, 146 pp.;
1972, 320 pp. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Группы и алгебры Лн.
Гл. 1—III. M.: Мнр, 1976, 496 с.)
25. Bruck R. ft., A survey of binary systems. Berlin e. a.: Springer, 1958,
185 pp.
26. Chevallty C, Theory of Lie groups, I. Princeton: Princeton Univ. Press,
1946, 220 pp. (Пер. на рус. яз.: Шевалле К-, Теория групп Лн, I. М.: ИЛ,
1948, 315 е.)
7*
99

27. Dieudonn? I., Foundations of modern analysis. New York, London:
Academic Press, i960, 361 pp. (Пер. на рус. яз.: Дьедонне Ж, Основы
современного анализа. М.: Мнр, 1964, 430 с.)
28. Dixmier /., Algebres enveloppantes. Paris е. a.: Gauthier-Villars, 1974,
349 pp. (Пер. на рус. яз.: Диксмье Ж-, Универсальные обертывающие ал-
- гебры. М.: Мнр, 1978, 407 с.)
29. Est W. Т. van, Korthagen Th. I., Nonenlargible Lie algebras. Proc. Kon.
ned. Akad. wetensch., 1964, A67, Na 1, 15—31
30. Gelfand I. M., Krillov A. A., Sur les corps lies aux algebres
enveloppantes des algebres de Lie. Publ. math. 1HES, 1966, 31, 5—19
31. Gleason A., Groups without small subgroups. Ann. Math., 1952, 56, № 2,
- 193—212
32. Hamilton R. S„ The inverse function theorem of Nash and Moser. Bull.
- Amer. Math. Soc., 1982, 7, № 1, 65—222
33. Натре P. de la, Classical Banach-Lie algebras and Banach-Lie groups of
operators in Hilbert space. Lect. Notes Math., 1972, 285, 160 pp.
34. Helgason S., Differential geometry and symmetric spaces. New York,
London: Academic Press, 1962, 486 pp. (Пер. на рус. яз.: Хелгасон С,
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мнр, 1964,
533 с.)
35. Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory.
• 2nd ed. New York e. a.: Springer, 1972, 171 pp.
36. Jacobson N., Lie algebras. New York, London: Interscience Publ., 1962,
■ 331 pp. (Пер. на рус. яз.: Джекобсон Н., Алгебры Лн. М.: Мнр, 1964,
355 с.)
37. Jantzen J. С, Einhfillende Algebren halbeinfacher Lie-Algebren. Berlin
e. a.: Springer, 1983, 298 S.
38. Joseph A., Proof of the Gelfand-Kirillov conjecture for solvable Lie
algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 45, № 1, 1—10
39. Kaplansky I., Lie algebras and locally compact groups. Chicago: Chicago
Univ. Press, 1971, 148 pp. (Пер. на рус. яз.: Капланский И., Алгебры Ли
н локально компактные группы. М.: Мнр, 1974, 148 с.)
40. hazard М-, Sur les algebres enveloppantes universelles de certaines
algebres de Lie. С r. Acad, sci., 1952, 234, № 8, 788—791
41. —, Sur les groupes de Lie formels a un parametre. Bull. Soc. Math. Fran-
■ ce, 1955, 83, № 3, 251—274
42. —, Groupes analytiques p-adiques. Publ. math. IHES, 1965, 26, 389—594
43. —, Tits J-, Domaines d'injectivite de l'application exponentielle. Topology,
1965/66, № 4, 315—322
44. McConnell J. C., Representations of solvable Lie algebras and the Gelfand-
Kirillov conjecture. Proc. London Math. Soc, 1974, 29, № 3, 453—484
45. Montgomery D., Zippin L., Small subgroups in finite dimensional groups.
Ann. Math., 1952, 56, № 2, 213—241
46. —, —, Topological transformation groups. New York: Wiley, 1955, 282 pp.
47. Morinaga K-, N6no Т., On the logarithmic functions of matrices; I, II.
J. Sci. Hiroshima Univ, 1950, A14, № 2, 107—114; № 3, 171—179
48. Ndno Т., Sur l'application exponentielle dans les groupes de Lie. J. Sci.
Hiroshima Univ., 1960, A23, 311—324
49. Omori H„ Infinite dimensional Lie transformation groups. Lect. Notes
Math., 1974, 427, 149 pp.
50. —, Harpe P. de la, About interaction between Banach-Lie groups and
finite dimensional manifolds. J. Math. Kyoto Univ., 1972, 12, № 3, 543—570
51. Palais R., Foundations of global non-linear .analysis. New
York-Amsterdam: Benjamin, 1968, 131 pp.
52. Sagle A. A., Walde R. E., Introduction to Lie groups and Lie algebras.
New York, London: Academic Press, 1973, 361 pp.
53. Serre I.-P., .Lie algebras and Lie groups. New York, Amsterdam: Benjamin,
* 1965, 247 pp. (Пер. на рус. из.: Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли.
М.: Мнр, 1969, 375 с.) - ' '
100
54. Spanier E. H<, Algebraic topology. New York e. a.: McGraw Hill Bool
Co., 1966, 528 pp. (Пер. на рус. яз.: Спеньер Э., Алгебраическая топо
логия. М.: Мир, 1971, 680 с.)
55. Warner P. W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
New York e. a.: Springer, 1983, 272 pp. (Пер. на рус. яз.: Уорнер Ф., Ос
новы теории гладких многообразий н групп Лн. М.: Мнр, 1987, 302 с.)
56. Yamabe H., On an arcwise connected subgroup of a Lie group. Osaka Math
J., 1950, 2, 13—14
57. —, On conjecture of Iwasawa and Gleason. Ann. Math., 1953, 58, № 1
48—54
58. —, A generalization of a theorem of Gleason. Ann. Math., 1953, 58, № 2
351—365
59. Yang С. Т., Hilbert's fifth problem and related problems on transforma^
tion groups. Mathematical developments arising from Hilbert problems
Proc. symp. in pure math., 28. Providence: Amer. Math. Soc, 1976, 142—146

расслоенных пространств. В кн.: Расслоенные пространства н нх
приложения. М.: ИЛ, 1958, 9—114)
119. —, Cohomologie des groupes discrete. Ann. Math. Stud., Princeton:
Princeton Univ. Press, 1971, № 70, 77—169 (Пер. на рус. яз.: Серр Ж.-П.,
Когомологнн дискретных групп. Математика. Сб. перев., 1974, 18, № 3,.
123—144; № 4, 3—33)
120. Steenrod N., The topology of fibre bundles. Princeton: Princeton Univ.
Press, 1951, 224 p. (Пер. на рус. яз.: Стинрод Н., Топология косых
произведений. М.: ИЛ, 1953, 275 с.)
121. Sternheimer D., Extensions et unifications d'algebres de Lie. J. math,
pures et appl., 1968, 47, № 3, 247—287
122. Sulanke R., Wintgen P., Differentialgeometrie und Faserbundel. Berlin:
DVW, 1972, 299 S. (Пер. на рус. яз.: Зуланке Р., Винтген П.,
Дифференциальная геометрия н расслоения. М.: Мнр, 1975, 348 с.)
123. Tits 1., Espaces homogenes complexes compacts. Comment, math, helv.,
1962, 37, № 2, 111—120
124. Wang H.-C, Closed manifolds with homogeneous complex structures.
Amer. J. Math., 1954, 76, № 1, 1—32
125. —, Discrete subgroups of solvable Lie groups. Ann. Math., 1956, 69,
№ 1, 1—19
126. Warner F. W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.
New .York! ej. a.: Springer, 1983, 272 p. (Пер. на рус. яз.: Уорнер Ф.,
Основы теории гладких многообразий н групп Ли. М.: Мнр, 1987, 302 с.)
127. Wasserman A., Equivariant differential topology. Topology, 1969, 8, № 2,
127—150
128. Wells R. O., Differential analysis on complex manifolds. Englewood Cliffs:
Prentice-Hall, 1973, 260 p. (Пер. на рус. яз.: Уэллс Р.,
Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976, 284 с.)
129. Wolf J. A., Spaces of constant curvature. Berkley: Univ. of California
Press, 1972, 408 p. (Пер. на рус. яз.: Вольф Дж., Пространства
постоянной кривизны. М.: Наука, 1982, 480 с.)
именной указатель
Ауслендер (Auslander L.) 178
Бетти (Betti E.) 175
Бнркгоф (Birkhoff G.) 67
Боль (Bol G.) 95, 98
Борель (Borel A.) 160
Бохнер (Bochner S.) 121, 122, 155
Ван (Wang H.-C.) 178
Вейль (Weyl H.) 70, 135, 165
Внтт (Witt E.) 67
Гейзенберг (Heisenberg W.) 54
Гельфанд И. М. 69, 70, 71
Гильберт (Hilbert D.) 79, 93, 94, 165
Глнсон (Gleason A.) 94
Голдн (Goldie A. W.) 70
Грассман (Grassmann H. G.) 128
Дынкин Е. Б. 78
Дюфло (Duflo M.) 70
Эиппнн (Zippin L.) 94
Ивасава (Iwasawa К.) 169
Карпелевич Ф. И. 145, 146
Картан (Cartan E.) 52, 93, 229
Киллинт (Killing W.) 192
Кириллов А. А. 70, 71
Клейн (Klein F.) 129, 179
Козюль (Koszul J.-L.) 158
Кокстер (Coxeter H.) 135
Крек (Kreck M.) 196, 204
Кэлн (Cayley A.) 96
Кэмпбелл (Campbell J. E.) 64, 77
Левн (Levi E. Е.) 147
Ли (Lie S.) 7, 9, 93, 106, 111, 119,
222, 224, 225
Лобачевский Н. И. 143
Майерс (Myers S. В.) 122
Мальцев А. И. 58, 95, 98, 170
Манн (Mann L. N.) 162
Мёбнус (Mobius A.) 173
Мн лова нов М. В. 179
Мнхайлнченко Г. Г. 228
Монтгомери (Montgomery D.) 94r
121, 122, 155, 157, 159, 161, 188
Мостов (Mostow G. D.) 145, 146,.
157, 175, 230
Муфанг (Moufang Ruth) 95, 98
Ope (Ore 0.) 70
Островский (Ostrowski A.) 80
Палейс (Palais R. S.) 157
Петер (Peter F.) 165
Понтрягнн Л. С. 94, 178
Постников М. М. 33, 203
Пуанкаре (Poincare H.) 64, 67
Самельсон (Samelson H.) 147, 157,
188
Сельберг (Selberg A.) 200
Серр (Serre J.-P.) 211
Стинрод (Steenrod N.) 122
Тейлор (Taylor В.) 73
Тите (Tits J.) 183, 209
Унтнн (Whitney H.) 175
Фрете (Frechet M.) 90, 144
Фробениус (Frobenius F.) 140
Хаусдорф (Hausdorff F.) 64, 77
Хелгасон (Helgason S.) 51
Хирш (Hirsch К. А.) 211
Хопф (Hopf H.) 130
Штейн (Stein К.) 168
Штнфель (Stiefel E.) 128, 175
Якобн (Jacobi С.) .36
Янг (Yang С.-Т.) 158
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное значение 79
Алгебра банахова 88
— Боля 98
— Вейля 70
— Гейэенберга 54
— Ли 36
ннльпотентная 63
полупростая 62
разрешимая 61
свободная 76
— Мальцева 98
— муфанг — лнева 98
— универсальная обертывающая 65
— Хопфа 71
Башня главных расслоений 172
Бналгебра 71
Векторное поле инвариантное 117
полное 116
— — цравоннвариантное 36, 120
— — /-проектируемое 117
— — фундаментальное 119
Включение между действиями 109
— несобственное 109
собственное 109
Глобализация локального действия
111, 112
Гомоморфизм групп Ли 12
накрывающий 28
— формальных групп 84
241

Гомотопическая характеристика 137
Группа Вана 178
— виртуально свободная от
кручения 2'11
— внешних автоморфизмов алгебры
Ли 54
группы Ли 54
— внутренних автоморфизмов
алгебры Ли 54
группы Ли 54
— изотропии 112
линейная 1,13
— компонент группы Ли 25
— Ли 9
р-адическая 80
асферичная 215
банахова (гильбертова) 87
— — векторная 10
вещественная 9
гильбертова (банахова) 87
коммутативная 47
вещественная 48
комплексная 48
комплексная 9
линейная 11
локальная 14
нильпотеитная 63
односвязная накрывающая 31
иодупростая 62
преобразований 108
— — разрешимая 61
стандартная 81
типа (I) 180
унимодулярная 144
— Л'И — Фреше 90
ручная 91
— накрытия 30 •
— петель 87
— полупростая 214
— преобразований 108
— токов 87
— топологическая 93
— формальная 83
ILB-группа (сильная) 92
ILH-группа (сильная) 92
Действие алгебры Ли 222
— — — локально примитивное 223
транзитивное 223
примитивное 223
■ транзитивное 223
< — эффективное 223
— группы 106
асистатическое 132
внутренними автоморфиамамн
ПО
— — двусторонними сдвигами 110
— — левое 107
левыми сдвигами 109
Ли 107
■ — асистатическое 132
аффинное 16
лннейиое 15
— ; компактное 115
— локально эффективное 108
локальное 111
глобализуемое 111
— — — минимальное 232
— неприводимое 149
— .правильное 206
примитивное 132, 133
— собственное 157
■ линейное 109
правое 107
правыми сдвигами 110
примитивное 132
просто транзитивное 113
свободное 113
—. — систатическое 132
транзитивное ПО
тривиальное 107
эффективное 108
Деформация пути 45
Диагональное отображение 71
Дифференциал гомоморфизма групп
Ля 36
— действие группы Ли 38
— экспоненциального отображения 51
Дифференциальный оператор право-
инвариантный 72
Дифференцирование алгебры 39
Ли внутреннее 55
Единица лупы 95
Замыкание Мальцева 58
Изоморфизм групп Лн 12
— действий групп 108
— однородных расслоений 139
Изоморфные действия 108
— локальные группы Ли 14
Калибровочное преобразование 88
Канонические координаты второго
рода 50
первого рода 50
Касательная алгебры группы Ли 34,
82, 92
локальной аналитической лупы
97
формальной группы 85
Кольцо нормирования 80
Коммутант алгебры Лн 57
— взаимный идеалов 60
• нормальных подгрупп 60
— группы Ли 57
— кратный алгебры Ли 61
группы Ли 61
Коммутирование 118
Компонента однородного
многообразия полупростая 213
242
почти односязная 213
: разрешимая 213
Кораиг многообразия 137
Ко умножение 71
Линеаризация действия 109
Линейное представление группы Ли
изотропии 113
Локализация действия 111
Локально изоморфные группы Ли 16
• действия алгебр Ли 223
локальные действия групп Ли
222
тройки групп Ли 150
— подобные действия алгебр Ли 223
локальные действия групп Лн
222
подалгебры алгебр Ли
векторных полей 223
Лупа 95
— альтернативная 95
— аналитическая 95
— — локальная 96
— Боля 95
— геодезическая 96
— диассоциативная 95
— ,моноаосоциативная 95
— Муфанг 95
Матрица псевдоортогональная 27
— псевдоуннтарная 27
Многообразие Ивасавы 169
— однородно разложимое 231
— однородное 131
— разложимое 231
— флаговое 155
Многочлен Пуанкаре 135
Модель групповая 129
— Клейна 129
G-Модуль топологический 144
Морфизм действий 108
— локальный действий 111
— однородных расслоений 139
Наибольшая нильпотеитная
нормальная подгруппа Ли 64
Наибольший нильпотентный идеал 63
Направляющий вектор ' однопарамет-
рнческой подгруппы 49
Неподвижная точка 107
Ннльмногообразие 169
Норма 79
— неархимедова 80
— ультраметрнческая 80
Нормализатор подпространства в
алгебре 41
Нормированное поле 80
— — иеархимедово 80
Ограничение действия 111
— локальной группы Лн 14
Однопараметрнческая подгруппа 48
Односвязное накрытне 30
Орбита 112
— главная 161
— исключительная 161
— особая 161
— сингулярная 161
Отображение эквиварнантное 108
Плотная обмотка тора 18
Подалгебра конечного порядка 122
— примитивная 133
—» равномерная 184
— редуктивная 168
— стационарная 223
— треугольная 182
— эллиптическая 122
^подалгебра 182
Подгруппа Ad-алгебр аичеокая 181
— арифметическая 170
— кокомпактная 181
— компактная в группе Ли 186
—Ли 10
— — виртуальная 42
— максимального показателя 136
— примитивная 133
— равномерная 181
—стационарная (изотропии) 112
— треугольная 182
G-подгрупла 191
f-подгруппа 182
Подобие действий групп 108
— локальных действий групп Ли 111
Подобные действия групп 108
Подъем действия 164
Показатель группы Ли 135
Поле скоростей действия 38
— f-проектируемое 117
Поток 109
— локальный 116
Представление индуцированное 140
■— присоединенное алгебры Ли 40
группы Ли 40
Преобразование бесконечно малое
116
—: ннфиннтезнмальное 116
Примитивный элемент биалгебры 71
Проекция расслоения 123
Произведение иолупрямое 24
— прямое групп Лн 10
— расслоенное 124
Производная Ли 116
Пространство Лобачевского 143
— однородное ПО
полупростое 214
' разрешимое 215
радуктнвное 141
: элементарное 220
— расслоения 123
— расслоенное 123
— Фреше 90
243

ручное 91
G-лространство 107
— — аналитическое 107
дифференцируемое 107
— — топологическое 107
эквиорбитное 159
Путь 41
Радикал алгебры Ли 62
— группы 210
Ли 62
Разложение алгебры Ли 150
— группы 148
— группы Ли 150
глобальное 151
— — — максимальное 187
неприводимое 153
тривиальное 153
Размерность Гельфанда—Кириллова
70
— когомологическая 211
виртуальная 211
Ранг компактной группы Лн 135
— многообразия 137
Расслоение 122
— ассоциированное 124
— борелевское 204
— 'главное 123
— индуцированное 127
— Карпелевича — Мостова 145
— локально тривиальное 19
— Мостова 177
— натуральное 200
— однородное 138
— положительных .плотностей 125
— реперов 124
— структурное 207
— Л-структур 126
— тавтологическое 128
— Титса 183
— тривиальное 19, 123
— универсальное 128
— Хопфа 130
G-расслоенне 126
■ однородное 138
тривиальное 127
Расширение действия 108
естественное 148
радикальное 187
типа I 155
— ~. типа II 155
— структурной группы 123
Редукция структурной группы 123
Ряд Пуанкаре 134
Свертка 74
Сечение расслоения 125
Система динамическая с
непрерывным временем 109
— образующих свободная 76
Скобка Ли 118
Скорость пути в группе Ли 41
Слой расслоения 123
Соизмеримость прупп 208
слабая 209
Сокращение структурной группы 123
Солвмиогообразие 169
— комплексное 180
Срез 158
Стабилизатор точки 112
•4-етруктура 121
Сужение действия 108
— структурной группы 123
Сумма полупрямая 55
— шрямая алгебр Ли 56
Тело Ли 70
— обертывающее 70
Теорема Картаиа 52
— Мостова структурная 176
Тнл орбит 113
— -г- главный 161 '
Тождество Якоби 36
Тор 10
Точка неподвижная 107
Умножение 71
Уяификацня 147
Факторгруппа Ли 21
Факторизации 19
— алгебры Ли 150
— группы 148
Ли 150
Формальный групповой закон 83
Функтор Лн 33, 85
Функция представляющая 114
— производящая 134
Центр алгебры Ли 45
— группы Ли 45
Централизатор подгруппы Ли 44
— подпространства в алгебре Ли 41
— элемента алгебры Лн 41
группы Ли в касательной
алгебре 40
Центральный ряд убывающий
алгебры Ли 63
группы Лн 63
Часть фундаментальной группы
полупростая 210
— разрешимая 210
Число Кокстера 135
— концов группы 213
Эйлерова характеристика группы 212
многообразия 138
Экспоненциальное отображение 49, 83
Элемент инвариантный 107
— почти инвариантный 109
—- представляющий 109
— регулярный касательной алгебры
161
= компактной группы Ли 161
— сингулярный 161
Ядро действия 107
— неэффективности 107
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Основы теорнн групп Ли (Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик) ... 5
II. Группы Лн преобразований (В. В. Горбацевич, А. Л. Онищик) . 103
Имеииой указатель •"!
Oil
Предметный указатель ^ii
Технический редактор 3. А. Прусакова
Сдано в набор 25.09.87 Подписано в печать 08.04.88
Формат бумаги бОХЭО'/ю. Бум. тип. № 2 Литературная гарнитура.
Высокая печать. Усл. печ. л. 15,5 Усл. кр.-отт. 15,5 Уч.-нзд. л. 15,83
Тираж 1200 экз. Заказ 8731 Цена 1 р. 80 к.
Адрес редакции: 125219, Москва. Балтийская ул., 14, Тел. 155-43-29
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл.. Октябрьский просп., 403
Индекс 56858
ISSN 0233—6723. ИНТ, Современные проблемы математики. Фундаментальные
направления, т. 20, 1988, 1—248

УДК 512.81
Э. Б. В и н б е р г, А. Л. О н н щ и к. Основы теории групп Ли.
«Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 20
(Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М.. 1988. 5—101
Излагаются основные понятия и результаты теории групп Ли, включая
соответствие между группами Ли и алгебрами Лн, универсальные
обертывающие алгебры алгебр Ли н их приложения. В порядке обзора
рассматриваются некоторые обобщения этой теории: группы Ли над полными
нормированными полями, бесконечномерные группы Ли, аналитические лупы.
Библ. 59.
УДК 512.816
В. В. Горбацевич, А. Л. О и и щ и к. Группы Ли
преобразований. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.
Т. 20 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М.. 1988. 103—240
Дается обзор общей теории групп Ли преобразований, теории
однородных пространств, основных фактов теории компактных- групп Ли
преобразований. Изложены результаты о транзитивных действиях разрешимых и
нильпотентиых групп Ли и о транзитивных действиях на компактных
однородных пространствах. Библ. 129.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
ВИНИТИ предлагает «Итоги науки и техники», серии
АЛГЕБРА. ТОПОЛОГИЯ. ГЕОМЕТРИЯ. Том 24 (32 экз.)
М., 1986. — 120 с. — 2543 библ. — 3 р.
Том содержит три обзорные статьи: к. ф.-м. н. А. С.
Кондратьев, к. ф.-м. и. А. А. Махнев, д. ф.-м. н. А. И.
Старостин «Конечные группы»; к. ф.-м. н. Ю. П. Соловьев
«Алгебраическая К-теория квадратичных форм»; к. ф.-м. н.
С. А. Богатый, д. ф.-м. н. В. В. Федор чу к «Теория ретрак-
тов и бесконечномерные многообразия».
Том 22 (19 экз.)
М., 1984. — 265 с. — 2145 библ. — 2 р. 80 к.
Содержит три обзорные статьи:
К. И. Бейдар, В. Н. Латышев, В. Т. Марков,
А. В. Михалев, Л. А. Скорняков, А. А. Туганбаев
«Ассоциативные кольца»;
Л. В. Кузьмин «Поля алгебраических чисел»;
И. В. Чередник «Эллиптические кривые и матричные
солитонные дифференциальные уравнения».
Тома высылаются наложенным платежом.
Заказы от организаций и индивидуальных подписчиков
направлять по адресу: 140010, г. Люберцы, 10,
Московской обл., Октябрьский просп., 403.
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, отдел распространения. Телефон
553-56-29.

ре
ги
COI
ва
ва;
poi
Би
НИ]
Т.
иы
зов
ИИ.
род
БЛАНК-ЗАКАЗ
Просим выслать наложенным платежом « » экз. иН|
формационного издания «Итоги науки и техники», сери{
АЛГЕБРА. ТОПОЛОГИЯ. ГЕОМЕТРИЯ. Том (вписат!
нужный том, на каждый номер тома просим оформлять отдель|
ный заказ)
Адрес заказчика
Куда
Кому
198—г.
ОПЕЧАТКИ
к ИНТ, «Совр. „робл. мат. ФунДам. направлю №
I граница
Ц
№
140010, Люберцы, 10]
Московской обл.
ЦЕННАЯ БАНДЕРОЛЬ
НАЛОЖЕННЫМ ПЛАТЕЖОМ
Наложенный
платеж
Ценная на
Адрес заказчика
Куда
руб.
руб.
■коп
-коп
Кому-
Вос . . .
Восовой . .
Страховой .
кг.
Р -
Р -
За иалож. платеж, р. -
Итого ... р.
- к. -
- к. -
■ к. -
- к. -
140010, г. Люберцы, 10
Московской обл.,
Октябрьский' проспект, 40^
Производствонно-издательа{
комбинат ВИНИТИ
25
56
100
167
14
214
222
20, И
Строка
Напечатано
1 снизу
14 снизу
9 сверху
8, 9 сверху
Следует читать
17
снизу
21 снизу
18 снизу
-в
Krillov
= SpecF(G, C)g. Тогда
G(C) является редук-
тнвной линейной алгебр
а: A-t-C такие, что
а(1) = 1. Положим
G(C)=...
классу компактных
однородных многообразий
с конечной фун-
Мв
/:
-В
. 3
Kirillov
,.а:^с такие,
г/г?*-}^'1- Положим
G(C)=Spec/-(G, С) 0
Тогда в (С) является
редуктнвиой линей.
ной...
классу асферичных ком-
алгебр
что
пактных
пространств.
У:
однородных
Об-
Зак. 8731