1
ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМ
ЕРЕНИЙ
При математической обработке результатов
n
прямых измерений
физическ
ой
величин
ы
a
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,…,
a
n
−
результаты отдельных измерений
)
рекомендуется соблюдать следующую последовательность действий:
1.
Найти среднее значени
е величины
а
:
n
a
a
a
a
a
n
+
+
+
+
=
...
3
2
1
2.
Найти
абсолютные погрешности отдельных измерений (
отклонение
от среднего значения
)
:
i
i
a
a
a
-
=
D
;
3
2,
,
1
=
i
,…,
n
,
где
i
–
номер эксперимента.
3.
Найти среднюю квадратичную погрешность:
(
)
1
...
2
2
3
2
2
2
1
-
D
+
+
D
+
D
+
D
=
n
n
a
a
a
a
S
n
4.
Найти случайную погрешность:
n
A
t
S
a
a
ￗ
=
D
;
n
t
a
–
коэффициент Стьюдента (смотрим по таблице),

–
доверительная в
е
роятность,
n
–
число экспериментов.
5.
Определить приборную погрешность
(
см. примечание 1)
6.
Определить
абсолютную погрешность
серии измерений
:
2
2
?
A
a
a
a
D
+
D
=
D
.
7.
На
йти
относительную погрешность:
%
100
a
a
D
=
e
.
8.
Округл
ить
погрешность и среднее зна
чение (см. примечание 2)
.
9.
Запис
ать
ответ в виде:
(
)
￯
￮
￯
￭
￬
=
=
D
ﾱ
=
a
e
.
.
87
5
a
a
a
Примеч
ание
1
:
а
)
если на приборе или в паспорте прибора не указан класс точности, то
приборную п
о
грешность
оценим
по форм
у
ле:
2
45;5
F5
=08<5
=
D
?
a

2
б) если у прибора указан класс точности
K
или максимальная приборная
погрешность

, то необходимо воспользоватьс
я рекомендациями §
3
пособия
[1].
с) если используется цифровой (электронный) измерительный прибор, то
приборную погрешность
следует брать равной точности прибора.
Примечание
2
:
а)
о
кругление начинаем с абсолютной погрешности
(
)
a
D
.
Если
первая
значащая цифра в абсолютной погрешности 1, 2 или 3, то округ
ляем до
двух
зн
а
чащих цифр, в противном случае до одной.
Округление
абсолютной погрешности производим всегда в сторону её увеличения
;
Пример
ы
:
22
.
0
211
.
0
ﾻ
=
D
a
;
30
.
0
296
.
0
ﾻ
=
D
a
;
5
.
0
491
.
0
ﾻ
=
D
a
;
9
.
0
811
.
0
ﾻ
=
D
a
.
б)
с
реднее значение
(
)
a
округл
ить
до разряда последней значащей
цифры
абсолютной погрешности по мат
ематическим правилам
округления;
с)
о
тносительную погрешность
(
)
e
округляем до двух знач
а
щих цифр
.
Примечание
3
:
Погр
ешность заранее заданного числа
Если в расчетную формулу вход
и
т
величина, измеренная заранее
(
то есть
в данном эксперименте она
не измеря
е
тся)
и для неё
не
указано значение погрешности,
то
абсолютную
погрешность
, с
которой определена эта величина,
принимают
равной
5
,
0
ﾱ
единицы
наименьшего разряда, представленного в числе.
Пример
ы
:
7
21
.
0
=
a
Наименьший
представленный
разряд
данного
числа
–
тысячные
доли
единицы
. Следовате
льно,
абсолютная погрешность данного
числа будет определяться так:
0.0005
/2
001
.
0
=
=
D
a
.
3
2
.
0
=
a
Наименьший
представленный
разряд
–
сотые
доли единицы,
следовательно
,
0.005
/2
01
.
0
=
=
D
a
.
0
2
.
0
=
a
Наименьший
представл
енный
разряд
–
сотые
доли единицы,
следовательно
,
0.005
/2
01
.
0
=
=
D
a
.
2
.
0
=
a
Наименьший
представленный
разряд
–
десятые
доли единицы,
следовательно
,
0.05
/2
1
.
0
=
=
D
a
.
1
4
=
a
Наименьший
представленный
разряд
–
единицы, следовательно
,
0.5
/2
1
=
=
D
a
.

3
ПРИМЕР
Задач
а 1.
При
измерении
времени свободного падения
шарика,
двигавшегося вертикально вниз без начальной скорости
с высоты 15.0
0
м,
были получены следующие значения:
c
t
77
,
1
1
=
;
c
t
69
,
1
2
=
;
c
t
75
,
1
3
=
.
Измерения проводились электронным секундомером, точность
которого
0.
01
с
. Оценить погрешность определения времени.
Обработка результатов измерени
й
1.
Находим среднее значение времени падения:
A
737
,
1
3
75
,
1
69
,
1
77
,
1
3
3
2
1
=
+
+
=
+
+
=
t
t
t
t
.
(
Расчет среднего значения производится с числом значащих цифр,
превышающих на единицу число значащих цифр в результатах измерений
)
2.
Находим
погрешност
и
отдельных измерений
:
i
i
t
t
t
-
=
D
;
3
2,
,
1
=
i
, где
i
–
номер эксперимента.
c
033
.
0
77
.
1
737
.
1
1
1
=
-
=
-
=
D
t
t
t
c
047
.
0
69
.
1
737
.
1
2
2
=
-
=
-
=
D
t
t
t
c
013
.
0
75
.
1
737
.
1
3
3
=
-
=
-
=
D
t
t
t
3.
Находим среднюю квадратичную погрешность:
(
)
A
0240
.
0
6
013
.
0
047
.
0
033
.
0
1
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
1
=
+
+
=
-
D
+
D
+
D
=
t
t
t
S
(В значении средней квадратичной погрешности оставляем три
значащих цифры.)
4.
Находим случайную погрешность:
n
A
St
t
a
=
D
;
П
о таблице определяем
коэффициент Стьюдента, для доверительной вероятности

=0.9 и числа
измерений
n
=3
:
92
.
2
=
a
n
t
;
01
A
07
.
0
92
.
2
0240
.
0
=
ￗ
=
D
A
t
.
(В значении
случайной
погрешности оставляем три значащих цифры.)
5.
Определяем приборную погрешн
ость:
01
.
0
A
?@81
B>G=
t
?
=
=
D
.
6.
Находим абсолютную погрешность:

4
A
0708
.
0
01
.
0
0701
.
0
2
2
2
2
=
+
=
D
+
D
=
D
?
A
t
t
t
.
(В значении
абсолютной
погрешности оставляем три значащих
цифры.)
7.
Находим относительную погрешность:
%
408
.
4
%
100
737
.
1
0708
.
0
%
100
=
=
D
=
t
t
e
.
8.
Округляем погрешнос
т
и
и среднее значение:
Первая значащая цифра в абсолютной погрешности
7
, поэтому
округляем до
одной
значащих цифр
ы
в сторону ее увеличения:
A
08
.
0
A
0708
.
0
ﾻ
=
D
t
.
Среднее значение округляем до
того же
знак
а
после запятой, что и в
абсолютной погрешности по математическим прави
лам округл
е
ния:
c
74
.
1
=
t
.
Относительную погрешность округляем до двух значащих цифр:
%
4
.
4
%
408
.
4
ﾻ
=
e
9.
Записываем ответ в виде:
(
)
￯
￮
￯
￭
￬
=
=
ﾱ
=
.
9
.
0
%,
4
.
4
A
08
.
0
74
.
1
a
e
t

5
ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
При косвенных измерениях значение искомой величи
ны
y
находят по
некоторой известной зависимости
y
от параметров
a
,
b
,
c
,…
,
значения
которых можно определить в результате прямых измерений:
y
=
f
(
a
,
b
,
c
,…
).
Обработка косвенных измерений в случае
,
когда п
рямые
измерения величин
K
,
,
,
c
b
a
пр
оводятся в одних и тех же
условиях одними и теми же приборами
:
1.
Найти среднее значение величины
y
:
(
)
,...
,
,
c
b
a
f
y
=
, т.е. в
формулу для
y
подставить все средние значения величин
a
,
b
,
c
…;
2.
Получить формулу для о
предел
ения
абсолютн
ой
погрешност
и
:
...
2
2
2
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
=
D
c
c
f
b
b
f
a
a
f
y
,
где
a
f
ﾶ
ﾶ
,
b
f
ﾶ
ﾶ
,
c
f
ﾶ
ﾶ
,…
-
частные произво
д
ные функции
y
=
f
(
a
,
b
,
c
,…
)
по
соответствующей переменной.;

a
,

b
,

c
,…
–
абсолютные погрешности
величин
K
,
,
,
c
b
a
Пог
решности непосредственно измеряемых величин

a
,

b
,

c
,…
рассчитываются по правилам обработки прямых изм
е
рений.
3.
Вычислить абсолютную погрешность, подставив в полученную в
пункте 2 формулу средние значения величин
a
,
b
,
c
…
и их абсолютные
погрешности

a
,

b
,

c
,…
4.
Определить
относительную погрешность:
%
100
y
y
D
=
e
.
5.
Округлить погрешность и среднее значение.
6.
Записать ответ в виде:
(
)
￯
￮
￯
￭
￬
=
=
D
ﾱ
=
a
e
.
.
87
5
y
y
y
Примечание:
Если в формулу для
f
входит умножение, деление и
возведение в степень, то удобно сначала вычислить относительную
погр
ешность. Т.е. вместо пунктов 2
–
4
выполняем пункты 2
–
4
*
.
2
*
.
Получить формулу для о
предел
ения
относительной
погрешност
и
:

6
%
100
...
)
ln(
)
ln(
)
ln(
2
2
2
ￗ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
=
c
c
f
b
b
f
a
a
f
e
,
где
,
ln
a
f
ﾶ
ﾶ
b
f
ﾶ
ﾶ
ln
,…
ч
а
стные производные
f
ln
по соответствующим
переменным.
3
*
.
Вычислить абсолютную погрешность, подставив в полученную в
пункте 2 формулу средние значения величин
a
,
b
,
c
…
и их абсолютные
погрешности

a
,

b
,

c
,…
4
*
.
Определить
относительную
погрешность:
%
100
y
y
ￗ
=
D
e
.
ПРИМЕР
Задача
2.
По результатам измерения времени
свободного падения
шарика
(см. задачу 1)
, двигавшегося вертикально вниз без начальной
скорости
с высоты
0
,
15
=
h
м
, определи
ть ускорение свободного падения
и оценить погрешности измерений.
Величина ускорения свободного падения в данной задаче определяется
по формуле
2
2
2
t
h
g
=
. Для обработки результатов применяем
методику
косвенных измерений.
Обработка результатов измерени
й
(первый способ)
1.
Находим среднее значение ускорения свободного падения
g
:
2
2
2
</
9.943
737
.
1
0
.
15
2
2
=
ￗ
=
=
t
h
g
.
Поскольку найденное значение
g
не является окончательным
результатом, количе
ство значащих цифр
необходимо брать с запасом. По
правилам приближенных вычислений
при умножении и делении
приближенных чисел в результате оставляется столько значащих цифр,
сколько их имеет приближённое данное с наименьшим количеством
значащих цифр.
В
дан
ном примере
таким числом является число
15,0
(три
значащих цифры
)
. П
оэтому в
полученном числе
остается четыре
значащих цифры.

7
2.
Выводим формулу для
абсолютн
ой
погрешност
и
, учитывая, что
g
в
данной задаче является функцией двух переменн
ых (
h
и
t
)
:
2
2
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
=
D
t
t
g
h
h
g
g
,
где
2
2
t
h
g
=
ﾶ
ﾶ
и
3
3
4
2
2
t
h
t
h
t
g
-
=
ￗ
-
=
ﾶ
ﾶ
–
частные производн
ые
функции
2
2
)
,
(
t
h
t
h
g
=
по пер
е
менным
h
и
t
, с
оответственно;
2
3
2
2
4
2
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
-
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
=
D
t
t
h
h
t
g
.
В
полученную
формулу подставляем
:
A
t
c
t
708
.
0
,
737
.
1
=
D
=
(берем
неокругленные значения)
,
<
h
0
.
15
=
,
<
h
05
.
0
=
D
(погрешность заранее
заданного числа)
:
2
2
3
2
2
2
3
2
2
</
834
,
0
0708
.
0
737
,
1
0
.
15
4
05
.
0
737
,
1
2
4
2
=
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
ￗ
ￗ
-
+
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
ￗ
=
=
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
D
-
+
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
D
=
D
t
t
h
h
t
g
3.
Находим относ
ительную погрешность:
%
39
,
8
%
100
943
,
9
834
,
0
%
100
=
=
D
=
g
g
e
(В значениях погрешностей оставили по три значащих цифры.)
4.
Округляем погрешности
и среднее значение:
Первая значащая цифра в абсолютной погрешности
8
, поэтому
округляем до
одной
значащ
ей
цифр
ы
в сторону ее увел
ичения
:
2
</
9
.
0
834
,
0
ﾻ
=
D
g
.
Среднее значение округляем до
того же
знак
а
после запятой, что и в
абсолютной погрешности по математическим правилам округл
е
ния:
2
2
</
9
,
9
</
943
,
9
ﾻ
=
g
.
Относительную погрешность округляем до двух зн
а
чащих цифр:

8
%
4
,
8
%
39
,
8
ﾻ
=
e
.
5.
Записываем ответ в виде:
(
)
￯
￮
￯
￭
￬
=
=
ﾱ
=
.
9
,
0
%,
4
,
8
,
</
9
,
0
9
,
9
2
a
e
g
Обработка результатов измерени
й (второй способ)
Внимание:
В формулу для
g
входит только умножение, деление и
возведение в ст
е
пень, т.е. после пункта 1 алгоритма вычи
с
лен
ия
погрешности косвенных измерений можно в
ы
полнить пункты 2
*
и 3
*
:
2
*
.
Выводим формулу для относительной погрешности.
2
2
)
ln(
)
ln(
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
ﾶ
ﾶ
=
t
t
g
h
h
g
e
.
Т.к.
)
ln(
2
)
ln(
)
2
ln(
2
ln
)
ln(
2
t
h
t
h
g
-
+
=
￷
￸
￶
￧
￨
￦
=
,
частные производные
от
)
ln(
g
по
h
и
t
примут, соотве
т
ственно, вид:
h
h
g
1
)
ln(
=
ﾶ
ﾶ
;
t
t
g
2
)
ln(
-
=
ﾶ
ﾶ
; =>
2
2
2
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
-
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
=
t
t
h
h
e
В полученную
формулу подстав
и
м вместо
t
его среднее значение
A
t
c
t
708
.
0
,
737
.
1
=
D
=
(берем неокругленные знач
ения),
<
h
0
.
15
=
,
<
h
05
.
0
=
D
(погрешность заранее заданного числа):
%
39
,
8
54
>B
0839
.
0
737
,
1
0708
,
0
2
0
,
15
05
,
0
2
2
2
2
2
=
=
￷
￸
￶
￧
￨
￦
ￗ
-
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
=
￷
￷
￸
￶
￧
￧
￨
￦
D
-
+
￷
￸
￶
￧
￨
￦
D
=
e
e
t
t
h
h
.
3
*
. Найти абсолютную погрешность:
2
</
834
,
0
%
100
943
,
9
%
39
,
8
%
100
=
ￗ
=
ￗ
=
D
g
g
e
.
Значения абсолютной и относительной погрешности, полученные по
разным форм
у
ла
м, совпали.

9
ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ
НЕ
ВОСПРОИЗВОДИМЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
Результаты косвенных невоспроизводимых измерений обрабатываются
по правилам обработки прямых измерений, без учета приборной
погрешности.
ПРИМЕР
Задача
3.
Для определения ускорения свободного па
дения
измеряется время
падения шарика с трех разных высот:
0
,
10
1
=
h
м,
5
,
12
2
=
h
м
0
,
15
3
=
h
м.
Получены следующие значения времени падения:
43
,
1
1
=
t
с,
59
,
1
2
=
t
с,
75
,
1
3
=
t
с.
По этим данным определ
ить
ускорение
свободного падения
и оценить погрешности.
Ускорение свободного падения определяется по формуле
2
2
t
h
g
=
.
Поскольку условия проведения опытов изменялись (менялась высота), для
обработки результато
в применяем методику
обработки
косвенных
невоспроизводимых измерений.
Обработка результатов измерени
й
1.
Для каждого опыта вычисляем значение ускорения свободного падения:
780
,
9
43
,
1
0
,
10
2
2
2
2
1
1
1
=
ￗ
=
=
t
h
g
м/с
2
,
889
,
9
59
,
1
5
,
12
2
2
2
2
2
2
2
=
ￗ
=
=
t
h
g
м/с
2
,
796
,
9
75
,
1
0
,
15
2
2
2
2
3
3
3
=
ￗ
=
=
t
h
g
м/с
2
.
2.
Находим среднее значение ускорения свободного падения:
2
3
2
1
</
822
.
9
3
796
,
9
889
,
9
780
,
9
3
=
+
+
=
+
+
=
g
g
g
g
;
3.
Находим отклонение от среднего значения:
i
i
g
g
g
-
=
D
;
3
2,
,
1
=
i
.
2
1
1
</
042
,
0
780
,
9
822
,
9
=
-
=
-
=
D
g
g
g
,
2
2
2
</
007
,
0
889
,
9
822
,
9
=
-
=
-
=
D
g
g
g
,

10
2
3
3
</
026
,
0
796
,
9
822
,
9
=
-
=
-
=
D
g
g
g
.
4.
Находим среднюю квадратичную погрешность:
(
)
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
</
0204
,
0
6
026
,
0
007
,
0
042
,
0
1
3
3
=
+
+
=
-
D
+
D
+
D
=
g
g
g
S
;
(В значении средней квадратичной погрешности оставляем три
значащих цифры.)
4.
Находим случайную погрешность:
n
A
t
S
t
a
ￗ
=
D
;
К
оэффициент
Стьюдента
n
t
a
определяем
п
о таблице
. Для
доверительной вероятности
9
,
0
=
a
и числа
опытов
3
=
n
92
,
2
=
n
t
a
;
2
0596
,
0
92
,
2
0204
,
0
A
<
g
A
=
ￗ
=
D
.
5.
Находим абсолютную погрешность:
2
0596
,
0
A
<
g
g
A
=
D
=
D
(приборную погрешность не учитыв
а
ем).
6.
Наход
им относительную погрешность:
%
607
,
0
%
100
822
,
9
0596
,
0
%
100
=
=
D
=
g
g
e
.
7.
Округляем погрешност
и
и среднее значение:
Первая значащая
цифра в абсолютной погрешности 5
, поэтому
округляем до одной значащей цифры
в сторону ее увеличения
:
2
</
06
,
0
0596
,
0
ﾻ
=
D
g
.
Среднее значение
округляем до
того же
знак
а
после запятой, что и в
абсолютной погрешности
,
по математическим правилам округл
е
ния:
2
82
,
9
822
,
9
A
<
g
ﾻ
=
.
Относительную погре
ш
ность округляем до двух значащих цифр:
%
61
,
0
%
607
,
0
ﾻ
=
e
8.
Записываем ответ в виде:
(
)
￯
￮
￯
￭
￬
=
=
ﾱ
=
.
9
.
0
%,
61
,
0
,
</
06
,
0
82
,
9
2
a
e
g