МАТЕМАТИКА
В ШНОПЕ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
5-1971
СОДЕРЖАНИЕ
Научно-техническая революция и школа
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
О роли математики в ускорении темпов научно-технического прогресса К двум лекциям А. Н. Колмогорова из цикла «Научные основы школьной
математики»
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ В помощь учителям IV—VI классов
О преподавании математики в V классе по новой программе О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса
О первых доказательствах К доказательству теорем о равенстве треугольников Уроки на тему «Числовой луч»
Заметки с уроков
, Мы это с успехом применяли!
В помощь учителям вечерних (сменных) школ
Планирование уроков математики в VI—XI классах на II полугодие
1971/72 уч. года
Технические средства обучения. Наглядные пособия
Таблицы для V класса
Об итогах Всесоюзного конкурса на лучшие учебно*наглядные пособия и
учебное оборудование по математике
Внеклассная работа
V Всесоюзная математическая олимпиада О задачах, предлагавшихся на Всесоюзной олимпиаде 1971 г. Решение уравнений методом последовательных приближений
Задачи
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
Николай Федорович Четверухин Владимир Львович Минковский
Математический календарь на 1971/72 учебный род
ЗА РУБЕЖОМ
О преподавании математики в школах ЧССР Школьному математическому образованию МНР 50 лет
ХРОНИКА
Всесоюзная конференция по факультативным занятиям В комиссии по математике Ученого методического совета Министерства
просвещения СССР
О работе научно-практического семинара «Методы преподавания геометрических и графических дисциплин»
4
11
15
25
39
41
44
Б. В. Гнеденко П. М. Олоничвв
А. Н. Колмогоров, А. Ф.,Семенович, Ф. Ф. Нагибин,
Р. С. Черкасов С. Г. Туба 3. Н. Костина Е. С. Канин
Т. С. Яцгнко,
Г. А. Ястребипецкий
50 Г. Д. Глейзер,
С. М. Саакян
58 М. Б. Воловин,
Г. Г. Левит ас
68 В. Г. Болтянский
тЮ Л. М. Пашкова
72 Н. В. Васильев
77 М. М. Рассудовская
81
90 А. Д. Семушин
93 Б. В. Болгарский,
В. В. Ветров
92 А. И. Бородин
93 Золтан Залабаи
95 X. Дугэр, Н. Г. Килгспа
96 В. В. Фирсов
49 Л. М. Пашкова
89 В» Ю. Гуревич


Научно-техническая революция и школа
Крупнейшие научные открытия и технические достижения, происходящие на наших глазах, вызвали невиданную по своим масштабам и размаху научно-техническую революцию. Она качественно преобразует технику и технологию производства, коренным образом изменяет содержание и условия человеческого труда. Поэтому естественно, что между научно-технической революцией и развитием образования существует самая тесная взаимосвязь.
Всему миру известны выдающиеся достижения наших ученых в развитии математики, физики, химии, геологии, биологии и во многих других областях естественных и технических наук. Блестящих успехов добились наши ученые в покорении космоса, в изучении Вселенной. В условиях социализма научно-техническая революция является общенародным делом, предметом постоянной заботы йартий и правительства, одним из решающих участков борьбы за коммунизм. В нашей стране наука все более входит в процесс труда как важнейшая производительная сила. «Если производственный процесс становится сферой применения науки,— писал К. Маркс,— to й, наоборот, наука! становится фактором, так сказать, функцией производственного процесса» 1.
В разработанной XXIV съездом КПСС программе продвижения советского общества по пути к коммунизму важная роль отводится дальнейшему развитию образования в нашей стране. В документах и решениях съезда всесторонне обосновано^ значение образования как могучего фактора социального и научно- технического прогресса.
' «Великое дело— строительство коммунизма,— говорил тов. Л. И. Брежнев в Отчетном докладе ЦК КПСС XXIV съезду партии,— невозможно двигать вперед без всестороннего развития самого человека. Без высокого уровня культуры, образования, общественной сознательности, внутренней зрелости людей коммунизм невозможен, как невозможен он и без соответствующей материально-технической базы»2.
1 «Из рукописного наследства К. Маркса», «Коммунист», 1958, № 7, стр. 22.
2 Л. И. Брежнев. Отчетный доклад Центрального Комитета КПСС XXIV съезду Коммунистической партии Советского Союза. М., 1971, стр. 101—102.
2
Научно-технический прогресс немыслим без существенного и постоянного роста общего и профессионального образования, удовлетворения потребности общества в научных, ин- жейбрно-технических и квалифицированных рабочих кадрах, способных привести в действие новую технику, управлять сложнейшими Технологическими процессами.
За минувшую пятилетку в развитии народного Образования в СССР произошли значительные сдвили. Была существенно расширена сеть средних учебных заведений: открыто более 12 тыс. новых средних общеобразовательных школ и 400 техникумов, появились новые профессионально-технические училища, которые наряду с профессией дают полное среднее образование.
XXIV съезд КПСС дал директиву обеспечить в новом пятилетии полный переход к всеобщему среднему образованию Молодежи, что имеет огромное политическое, экономическое и социальное значение. Осуществление всеобщего среднего образования предоставит каждому советскому человеку широкие возможности избирать 'профессию по призванию, наилучшим образом применять свои способности, развивать творческую активность. Оно явится новым шагом вперед по пути повышения коммунистической сознательности всех трудящихся.
В 1970 г. 3,2 млн. юношей и девушек получили законченное среднее образование — это более двух третей из числа тех, кто десять лет назад был принят в I класс. Восьмилетнюю школу в том же году окончили 4,2 млн. Человек. Из них 3,4 млн., или более 80%, продолжают учиться с целью получения полного Среднего образования. Сейчас задача состоит в том, чтобы увеличить выпуск из учебных заведений, дающих среднее образование, до 4,5—4,7 млн. человек в 1975 г. Более 70% этого числа должна обеспечить дневная и вечерняя общеобразовательная школа.
Огромное значение приобретает расширение сети профессионально-технических училищ, которые готовят квалифицированных рабочих по наиболее сложным профессиям и дают одновременно среднее образование. В 1975 г. в них будет принято 300—400 тыс. человек.
Необходимым условием успешного осуществления всеобщего среднего образования является совершенствование вечернего и заоч¬


ного обучения. О его значении и масштабах
свидетельствует следующее: ежегодно более 600 тыс. выпускников вечерних (сменных) школ получают аттестат о среднем образовании.*
Значение математического образования общеизвестно, так же как и роль математики в научно-технической революции. Перестройка среднего образования, приведение его в соответствие с повышенными требованиями сегодняшнего дня повлекло за собой внедрение новых программ по математике в IV—X классах, Первоочередной Задачей учителей было и остается глубокое овладение новым содержанием школьных курсов и свободное владение новыми учебными пособиями.
Серьезным тормозом йа йути всеобщего среднего образования остается второгодничество и его следствие — отсев из школ. Это препятствие может быть устранено только подъемом качества преподавания и повышением методического мастерства учителей-ма- тематйков. Необходимость работать со всеми, учить всех подростков страны требует овладений самой передовой методикой* расширения и обновления своего педагогического и методического арсенала.
Поэтому особую важность приобретает проблема развития у учеников субъективного стремления полнее использовать все возможности, чтобы повысить свой интеллектуальный потенциал и максимально попоЛйить свои зйания.
Надо шире развернуть факультативные занятий по математике, вовлечь в них как можно больше учащихся, вести эту работу увлекательно. Тяга учащихся, стремление к углублению математических знаний проверены жизнью. Новый размах этой работы позволит не только выявить одаренных подростков, но и поднять специальную подготовку широкого круга старшеклассников.
За минувшие пять лет подготовлено 2,6 млн. специалистов с высшим образованием. В нынешнем году на дневйые, вечерние и заочные отделения высших учебных заведений принято более 900 тыс. человек. На первом курсе Дневных отделений будет учиться немногим более полумиллиона студентов.
При большинстве вузов созданы подготовительные отделения, готовящие для поступления в университеты и институты молодых
рабочих и тружеников села, хорошо зарекомендовавших себя на производстве. Как известно, выпускники подготовительных отделений, успешно сдавшие экзамены, зачисляются в свои вузы без вступительных экзаменов, вне конкурса. В нынешнем приеме на дневные отделения выпуск подготовительных отделений составил примерно 10% всех зачисленных студентов,
Научно-техническая революция в известном отношении является стержнем борьбы между двумя мирами, двумя противоположными системами —социалистической и капиталистической. В современных условиях ее результаты и выводы становятся обоюдоострым оружием и могут использоваться как силами прогресса в интересах цивилизации и дальнейшего процветания человечества, так и силами реакции в целях насилия и разрушения. Научно-техническая революция — это такая сфера, где особенно явственно и убедительно проявляется преимущество социалистического общественного строя перед капиталистическим. «Перед нами, товарищи,— сказал на XXIV съезде КПСС тов. JI. И. Брежнев,— задача исторической важности: органически соединить достижения научно-техниче- ской революции с преимуществами социалистической системы хозяйства, шире развить свои, присущие социализму, формы соединения науки с производством»3.
Как ни велики достижения советской науки и техники, как ни прочны ее ключевые позиций в ряде важнейших областей современной мировой науки, нашей стране еще предстоит решать новые громадные задачи в осуществлении научно-технической революции.
Решения XXIV съезда Коммунистической партии Советского Союза возложили на среднюю общеобразовательную школу, на советское учительство в целом и на каждого педагога в отдельности задачи огромной государственной важности. Каждый из нас должен проникнуться чувством глубокой ответственности перед партией и народом и все свои силы и знания, опыт и энергию отдать благородному делу воспитайия человека коммунистического общества.
3 Л. И. Брежнев. Отчетный доклад Центрального Комитета КПСС XXIV съезду Коммунистической партии Советского Союза. М., 1971, стр. 70.
1*


НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Москва)
О роди математики в ускорении темпов научно- технического прогресса
В Директивах XXIV съезда КПСС особое внимание уделено проблеме ускорения научно-технического прогресса, указаны пути его реализации и условия осуществления. Особое значение при этом получили вычислительные системы, процессы обработки информации и вопросы управления. Все это, вместе взятое, должно помочь обеспечить выполнение советским народом той обширной программы экономического, научного и культурного прогресса, который намечен решениями съезда. Но как бы велико ни было значение вычислительной, информационной и управляющей техники в наши дни, сама по себе, без хорошо подготовленных людей, способных использовать ее по назначению и с большой эффективностью, она мертва. Вот почему в нашей стране такое внимание уделяется подготовке специалистов, не только наделенных навыками эксплуатации уже готовой техники, но способных творчески развивать достигнутое и переходить во всех областях деятельности на новые, высшие ступени прогресса.
В настоящее время уже недостаточно только овладеть навыками традиционных опера¬
ций, необходимо научиться систематически думать й искать лучшее. И это требование относится ко всем советским гражданам, где бы им ни приходилось трудиться. Сотни тысяч рационализаторов и изобретателей работают на заводах, транспорте, в сельском хозяйстве* учреждениях и в армейских подразделениях. Своим трудом они ускоряют технический прогресс нашей ' страны, позволяют сделать труд более эффективным. Десятки тысяч ученых ищут решение множества актуальных проблем физики и химии, экономики и производства, медицины и педагогики. Это исключительно важно не только потому, что уменьшает область нашего незнания, но и потому, что наука превратилась в движущую силу производства, стала производительной силой, без нее невозможен общественный прогресс. Задача школы теперь уже не ограничивается тем, чтобы наделить каждого школьника основами научных знаний и научного мировоззрения, но состоит и в том, чтобы привить стремление к поискам нового, лучшего, любовь к познанию, искру творчества, привычку выполнять порученное дело с полным сознанием личной ответственности за сроки и качество его выполнения. В связи с тем что фундаментальные научные открытия, доведенные до практического применения, приводят к отмиранию многих прежних профессий и одновременно — к появлению ряда новых массовых видов деятельности, появляется необходимость в том, чтобы члены нашего общества привыкли к самообразованию, к самостоятельному приобретению знаний, получили бы навык чтения серьезных научных книг.
Особую роль при этом приобретает привычка разбираться в математическом оформлении; теорий и правил действия, поскольку в наше время математика более чем когда бы то ни было раньше становится методом и языком современного познания.
Роль математики и математического мышления увеличивается в связи с проникновением во все стороны жизни общества современных быстродействующих вычислительных машин, информационных систем, управляющих устройств. Машины сами по себе не могут решать новых проблем, их действие должен запрограммировать человек. А чтобы создать программу действия машины, необходимо иметь количественную модель изучаемого явления. А для того чтобы создать такую модель, необходимо владеть математическими средствами исследования. Так в нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сей¬
4


час обязательным и для инженера, и для биолога.
Современный период в истории человеческого общества правильно характеризуется как период научно-техническоц революции, когда происходит качественный скачок в развитии производительных сил, наука превращается в ведущую силу производства, осуществляется комплексная автоматизация производственных процессов, систем связи и управления сложными системами. Человечество получило в свои руки огромные возможности в деле изучения окружающей нас природы в целом и в ее элементах, в том числе и тех глубоких процессов, которые связаны с тайнами жизни. На этой базе оно выдвигает перед собой грандиозные по смелости замыслов и ожидаемым последствиям проблемы.
Достигнуты изумительные успехи, в исследовании космоса. Теперь становится зримой та минута, когда жители Земли получат образцы грунта со всех планет солнечной системы и можно будет построить теорию происхождения солнечной системы, исходящую не только из наблюдений за движением составляющих ее небесных тел, но и из точных данных об их физико-химическом строении.
В этом победном шествии человеческого разума огромная роль принадлежит тесному взаимодействию различных направлений научной мысли, методов научного исследования, научных дисциплин. В силу того что многие актуальные научные и практические вопросы сейчас связаны либо с изучением элементов мироздания, либо же с изучением больших систем, отличающихся не только большим числом составляющих их элементов, но еще большим числом связей между ними, возможности одного экспериментального метода исследования оказываются весьма ограниченными. Зачастую до проведения экспериментального исследования целесообразно создавать теорию изучаемого явления, получать из нее следствия и на базе этих следствий судить о правильности теоретических концепций. Позднее об этом будет сказано подробнее. Сейчас же ограничимся приведением непосредственно вытекающего отсюда вывода: в науке и практической деятельности математический метод исследования неизбежно должен завоевывать все более широкие и прочные позиции. Месту математики в переживаемой нами научно-технической революции и посвящена настоящая статья.
О необходимости математизации знаний. Общепризнано, что широкое использование математических методов исследования во всех областях знания позволяет проникать в сущ¬
ность явлений глубже и тем самым дальше продвигаться на пути выявления законов природы и практического их использования. Это действительно так, но сам только что высказанный тезис требует подтверждения, показа таких достаточно типичных ситуаций, в которых отсутствие математической теории изучаемого явления фактически означает отказ от его серьезного изучения и от практического его использования. Приведем примеры.
Одним из наиболее волнующих событий последнего времени необходимо считать, конечно, первые шаги в освоении человечеством космоса. Все мы с волнением следили аа первым полетом в* космосе человека, за фотографированием невидимой части Луны, за высадкой космонавтов на Луне, за автоматической доставкой лунного грунта на Землю, за созданием первой пилотируемой орбитальной станции, за длительной успешной работой «Лунохода-1». Это грандиозные по своей значимости, но начальные этапы завоевания космического пространства. Могли ли они быть сделаны без разработанной математической теории движения тел переменной массы, без небесной механики, теории оптимального управления и многих других научных дисциплин, поставленных на математическую основу? Коснемся лишь одного из многочисленных, возникавших при практическом осуществлении полетов, вопросов. С какой скоростью следует послать ракету, чтобы о«а начала двигаться как искусственный спутник Земли? Можно ли ответить на этот вопрос с помощью одного лишь эксперимента? Совершенно очевидно, что нет. И дело не только в том, что такое экспериментальное исследование непосильно по своим затратам ни одной стране мира. Другая сторона вопроса состоит в том, что при экспериментальном исследовании мы должны учитывать огромное количество факторов, влияющих на полет: угол наклона к горизонту, направление полета, расположение масс в ракете, ее форму и т. д. Далее необходимы точные методы экспериментального измерения достигнутых начальных скоростей, а также наблюдения за полетом. И это лишь часть тех трудностей, которые необходимо преодолеть при осуществлении экспериментов.
Сказанное ни в коем случае ве означает умаления значения экспериментального метода. Его значение всегда будет оставаться огромным. Речь идет о другом — о том, что разумное содружество теории и эксперимента неизмеримо усиливает оба орудия исследования, открывает перед исследователем многочисленные возможности.


Я вспоминаю недавнюю мою встречу с одним из крупных инженеров, с которым я имел ранее научный контакт в связи с решением ряда математических задач, связанных с организацией производства. Он мне сообщил о весьма важных и интересных экспериментах в производственном масштабе, которые он по^ лучил возможность выполнять на протяжении нескольких месяцев, Я позволил себе задать ему три следующих вопроса: Какова стоимость эксперимента? Как долго длился эксперимент? Какие выводы были получены в результате проведенного эксперимента? На первые два вопроса были даны исчерпывающие и краткие ответы. Эксперимент оказался достаточно дорогим, длился он не очень долго, но все же около трех месяцев; Третий же вопрос потребовал более пространного ответа, в котором говорилось о необходимости длительного времени для научного исследования, а также о том, что пока выводов еще не получено, но что он и его помощники начали понимать, как следует ставить эксперимент.
Мой собеседник является увлеченным исследователем, отличным инженером, стремящимся к совершенствованию как производства, так и методов исследования. Вот почему он был не обижен, а обрадован тем, что в наше время подобные сложные задачи изучаются предварительно иным путем, а именно имитированием производственного процесса на электронных вычислительных машинах: составляется логико-математическое описание процесса, а затем на машине имитируется реальный процесс. Затем, путем введения в программу работы ЭВМ можно создать всевозможные условия работы и получить необходимые выводы.
Отрицается ли этим необходимость и полезность производства натурного эксперимента? Отнюдь нет* Такой эксперимент нужен для проверки качества предложенной модели, для выявления ее соответствия природе вещей. Модель же позволяет заранее, до осуществления экспериментального исследования, найти те особенности, которые затем следует проверить и в эксперименте. Иными словами, речь идет о том, чтобы сначала спланировать эксперимент, предусмотреть, хотя бы в общих чертах, его рациональную организацию, а также те узловые вопросы, которые следует специально выяснить и изучить. Нет нужды говорить о том, что приведенный пример является совершенно общим и относится буквально ко всем областям деятельности. Необходимость предварительного логического анализа предстоящего эксперимента увеличивается во много крат, если он требует больших материаль¬
ных затрат или же связан с опасностью для здоровья и жизни экспериментаторов.
Передача функций управления сложными процессами автоматам неизбежно приводит к необходимости построения математической теории управления и математизации теорий тех явлений, к которым относится управление. Действительно, само по себе управляющее устройство не может мыслить и принимать необходимое решение. Оно нуждается в предварительном введении программы действий, которая определяла бы характер его действий и поступков в разных условиях. Программа должна учитывать все возможные ситуации и соответствующие решения, которые при этом должны возникать. Сказанное относится ко всем автоматам, в том числе и к тем, которые способны «самообучаться», поскольку и для самообучения в них должна быть вложена соответствующая программа. Техническим устройствам недостаточно указаний чисто качественного характера, которыми так пестрит производственная речь: «варить сталь до готовности», «закручивать гайки до отказа», «прекращать технологический процесс немедленно после его завершения» и т. д. Им необходимы точные количественные указания, способные обеспечить четкость их действий. Но это возможно лишь в том случае, когда разработана математическая теория управления процессами. Но этого мало. Нужно построить такую теорию управления, которая позволяла бы иметь общие принципы, пригодные во всех случаях, а не для каждого частного случая.
Необходимость автоматического управления в настоящее время является абсолютной необходимостью, а не прихотью людей, желающих сложить с себя утомительные обязанности. При огромном объеме получаемой информации человек не в состоянии принимать решения достаточно быстро, а это требуется, поскольку отсрочка в принятии решения или грозит значительными материальными потерями, или же содержит угрозу здоровью и даже жизни людей. Достаточно вспомнить, что скорости прокатки стального листа на современных металлургических заводах доведены до 40 м/сек, т. е. почти до 150 км/час. В ряде областей современной техники обойтись без автоматического управления совершенно немыслимо. Достаточно вспомнить крупные энергетические системы, атомные электростанции, космические полеты и т. д.
Само собой разумеется, что в настоящем параграфе были затронуты лишь некоторые моменты, которые приводят к неизбежности математизации знаний.
£


Язык и знаки науки. Для выражения своих
мыслей и в целях общения люди выработали величайший инструмент — разговорный язык. Язык не остается неизменным, он непрерывно пополняется словарным запасом, приспосабливаясь к изменяющимся особенностям общественной жизни. Более того, внутри одного языка образуются своеобразнее частные языки, приспособленные к нуждам различных областей человеческой деятельности. Известно, что обыденная речь моряка й художника, монтера и писателя резко различна, изобилует своеобразными оборотами, Словами, ма-, нерой беседы. Это своеобразие —- результат привычки использовать тё частные языки, которые кратко, точно и выразительно Позволяют Сформулировать и передать информацию партнеру. Достаточно Прислушаться к деловой речй работников речного или морского порта, чтобы заметить в ней маССу слов, отсутствующих в обычном русском языке, но свойственных именно это® области деятельности.
Но разговорный яЗык, при всех его достоинствах, обладает и Серьезными недостатками. В первую бчередь он обладает далеко не полной определенностью. Были проведены интересные психологические опыты, когда учащимся ремесленных училищ давались словесным путем задания на сложные токарные работы. Неуловимые оттенки, которые слышали исполнители, приводили их к разному исполнению, и что удивительно — все ошибки и отклонения от заданий достаточно убедительно мотивировались. Вот почему в технике давно разработан особый язык общения, уже недопускающий разночтений — язык чертежей. Этот язык понятен рабочему, технику и инженеру любой национальности, и, получив задание на этом языке, он выполнит требуемую работу вполне однозначно. Но язык чертежей обладает еще одним огромным достоинством: он краток и предельно сжимает передаваемую информацию, позволяет в наглядной и недопускающей различные толкования форме сообщать огромное количество сведений, необходимых для успешного выполнения работы. Нет сомнений, что такая форма общения гораздо удобнее, чем словесная. Представим себе, что мы захотели в словесной форме дать достаточно сложное производственное задание. Легко понять, что из этого получилось бы: изложение стало бы настолько длинным и запутанным, что в нем не смог бы разобраться и сам автор.
Наука и техника нуждаются в точном, ясном, недопускающем различных толкований языке более чем какая бы то ни было другая
область деятельности. Законы природы, правила расчетов, описания наблюдаемых явлений должны быть выражены так, чтобы любые специалисты воспринимали их одинаково. Без этого не может быть единой науки, не может быть однозначного понимания в любом еиде ответственной деятельности. Необходимы также краткость и ясность изложения, уверенность в Том, что предусмотрены все возможные исходы и все необходимые предпосылка Вот почему каждая наука вынуждена вырабатывать свой собственный язык, способный наиболее точно и адекватно передавать особенности ее явлений. Для записи же необходимы соответствующие символы. Мы уже говорили о символическом языке чертежей. Подобные же символические запией имеются в химии, медицине, генетике, музыке и т. д. Особенно далеко продвинуто развитие символического языка в математике. Мы увидим, сколь большой силой обладает этот язык и насколько широка область его применения. Почти 500 лет назад относительно математического языка символов великий мыслитель и естествоиспытатель Галилео Галилей сказал, что вся природа написана на математическом языке. Мы только теперь начинаем понимать, как близок к истине был Г. Галилей. В связи с этим стоит лишь сказать, что современные техника и организация производства более 4 чем когда бы то ни было раньше требуют логической дисциплины мышления, которая свойственна именно математике.
Но удачная математическая символика не только позволяет записывать необходимую информацию кратко и без неопределенности. Это лишь одна сторона дела. Не менее важна другая ее особенность: способность автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов. Эта особенность может быть проиллюстрирована на любой ветви математики. Но, учитывая особенность настоящей статьи, приведем лишь следующий пример.
Нередко теоретические и практические вопросы приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Классическим примером большой области исследований, в которой постоянно приходится иметь дело с такими системами, является геодезия. Привычная алгебраическая символика, если уравнений не очень много, позволяет, осуществить необходимые действия очень просто. При этом нет нужды в каких-либо дополнительных логических рассуждениях: они проведены раз и навсегда для всех таких зада**. Применение, стандартных правил позволяет
7


довести решение до конца без каких бы то ни было затруднений.
Вообразим себе теперь, что мы лишены алгебраической символики и в нашем распоряжении имеется лишь обычный разговорный язык. При необходимости решения системы двух или трех алгебраических уравнений мы сразу сталкиваемся с огромными сложностями. Каждая задача превращается в специальную проблему, требующую особых рассуждений. В памяти необходимо держать множество данных. Решение простейших для нас вопросов начинает требовать огромного умственного напряжения. Вспомним на минуту, как много трудностей доставляло в детстве решение арифметических задач арифметическими методами. А ведь они, как правило, сводятся к решению одного уравнения первой степени.
Прогресс современной техники предъявил к математике новое требование — выработать символические языки, приспособленные для решения массовых специфических задач и в первую очередь для общения человека с машиной. В том, что эта задача с успехом разрешается, можно убедиться хотя бы на примерах существования электронных . вычислительных и управляющих устройств. Разработанные языки оказались настолько удачными, что машины «понимают» не только простейшие требования человека, но и весьма сложные задания логического характера, в которых требуется «принимать решение» в зависимости от создавшейся обстановки.
О прикладной математике. Современная научно-техническая революция резко изменила наши представления о смысле, который вкладывается в слова «прикладная математика». Сейчас все более и более зреет убеждение, что вся математика может быть прикладной, что нет областей математической науки, которые не могли бы быть использованы для изучения явлений природы, экономических процессов или технических устройств. Каких-нибудь 30 лет назад математическая логика считалась наукой абстрактной, навечно лишенной возможности практических приложений вне математики. Однако за короткий срок этот взгляд пришлось пересмотреть полностью. Задачи автоматического управления и электронной вычислительной техники сделали математическую логику прикладной наукой.
Окружающие нас явления настолько разнообразны и сложны, что строго ограниченные математические средства описания их недостаточны. Жизнь непрерывно толкает исследователей на рассмотрение новых вопросов, которые не укладываются в старые научные
модели и схемы. Возникает потребность в создании новых научных направлений. Этот процесс бесконечен. Последние десятилетия вызвали в математике интенсивное зарождение новых математических теорий на базе практических запросов. Цель новых ветвей математики, порожденных научно-техническим прогрессом, состоит в том, чтобы наиболее полно отразить существенные особенности изучаемых явлений, получить возможность прогнозирования их развития и найти тот вычислительный аппарат, который позволял бы предвычислять их будущее поведение по их настоящему и известному прошлому.
Перечислю ряд новых областей математики, вызванных к жизни в наше время практическими задачами. Об одной из них уже говорилось. Это теория оптимального управления процессами. Решение об изменении режима управления должно приниматься на основе сведений о протекании процесса. Для этого управляющее устройство накапливает информацию о ходе процесса, об изменении внешних условий его развития. Возникла на этой базе огромная увлекательная область математических исследований — теория информации, исследующая вопросы хранения, переработки и передачи информации по каналам связи. Эта теория, зародившись в недрах теории связи, получила широкий спектр применений — в биологии, теории управляющих систем, в математической статистике, психологии. (Как всегда при этом в отдельных работах наблюдается налет моды, когда новое понятие, выработанное для одних типов явлений, некритически используется в других ситуациях.) Идеи теории информации оказались необходимы не только для прикладных целей, но и для развития самой математики.
Стремление использовать наилучшим образом имеющиеся ресурсы (сырье, машины, транспорт и пр.) привело к своеобразным задачам на разыскание минимальных и максимальных значений, которые не укладывались в классическую схему разыскания максимума и минимума функций. В результате появилась интересная область математических и прикладных исследований — линейное и нелинейное программирование. Перечисление вновь родившихся математических дисциплин можно продолжать длительное время и при этом все же не получить уверенность в том, что названы все даже наиболее значительные. Я упомяну только о большом направлении в математике — программировании для цифровых вычислительных машин.
Несколько подробнее я хотел бы остановиться на так называемой теории массового
8


обслуживания, в странах английского языка именуемой теорией очередей. Эта область прикладной математики появилась почти 60 лет назад и с каждым годом расширяет области применений. Родилась теория массового обслуживания на основе задач телефонной связи, затем ее методы были перенесены на задачи ядерной физики и организации производства. Теперь же трудно указать область деятельности, где бы не приходилось иметь дело, с изучаемыми ею ситуациями.
В наше время постоянно приходится сталкиваться с вопросами очередей. В морских портах время от времени появляются очереди судов, ожидающих разгрузки или погрузки. Перед шлюзами возникают очереди судов и барж как в нижнем, так и в верхнем бьефе. У железнодорожных переездов при закрытых семафорах растут очереди автомобилей. Над аэропортами возникают своеобразные очереди самолетов, ожидающих освобождения посадочной полосы. В очередях приходится стоять в ожидании автобуса или лифта, при переходе улиц или в кассе кинотеатра. Очереди нередко крадут наше время, силы и средства. Я назвал только некоторые из задач, с которыми сталкивались почти все читатели. Но подобная же обстановка складывается на линиях связи, в ремонтных бригадах, в памяти электронной вычислительной машины и пр. Вот почему так важно изучить закономерности образования очередей, причины, их вызывающие, и меры, способные если не ликвидировать вовсё, то уменьшить потери, которые они с собой приносят.
Впервые с математическими задачами теории очередей я столкнулся лет 30 назад, когда изучал вопросы, связанные с потерями, вызываемыми простоями оборудования ткацких фабрик при переходе на обслуживание нескольких ткацких станков ткачихами. Вторая задача была связана с исследованием ошибок в показаниях счетчиков Гейгера — Мюллера, используемых для исследования потоков космических частиц или же ядерного излучения.
Первой и очень важной задачей теории массового обслуживания следует считать изучение закономерностей образования потока требований на обслуживание (потока судов* в порт назначения, потока автомобилей на дороге, потока космических частиц и т. д.). В настоящее время удалось создать ряд общих моделей, которые вполне удовлетворительно описывают реальные потоки и позволяют из структуры явления делать прогнозы об ожидаемых особенностях поступления требований на обслуживание.
^Вторая задача состоит в изучении длительности обслуживания в системе. Оказывается, что, как правило, она является случайной величиной со значительным разбросом. Вспомним, как сильно меняется длительность телефонного разговора. Основная же задача расчета эффективности работы систем массового обслуживания должна состоять в вычислении характеристик их работы (средней длительности ожидания, вероятности потери требования, средней длительности периода занятости системы и т. д.), а также в отыскании оптимальных условий (например, числа приборов обслуживания).
К настоящему времени в теории массового обслуживания решено огромное число частных задач, имеющих большое практическое значение, а также разработаны общие математические методы, позволяющие к конкретным вопросам практики подходить с общих позиций: Вместе с тем возникли новые вопросы общего характера, решение которых представляет принципиальное значение для всей теории и ее применений. В качестве примера такого нового вопроса я позволю себе привести в чисто описательной форме следующий. В связи с появлением электронных вычислительных машин многие практические задачи, особенно сложные, решают не аналитически, а путем моделирования на ЭВМ. При этом исходные данные, в том числе и распределения вероятностей длительности обслуживания, а также длительности промежутков между поступлением последовательных требований, вводятся в машину не абсолютно точно, а с некоторыми искажениями. Спрашивается, не могут ли эти искажения привести к существенному расхождению результатов расчетов с истинным значением интересующих нас характеристик? Оказывается, что при существующей практике моделирования на машинах такие возможности имеются. В частности, такая опасность особенно велика, когда при обслуживании очень редко может потребоваться большое время. Указанные вопросы устойчивости решений до сих пор еще не затрагивались в теории массового обслуживания. Они стоят на очереди.
В заключение этого параграфа мне хотелось бы сказать, что сама по себе математика едина и нет особой прикладной математики. Скорее нужно говорить о склонностях математиков к чисто теоретической и прикладной работе. Но чтобы математика была способна охватить своими методами все расширяющееся поле задач, поставляемых ей практикой, она должна непрерывно совершенствовать и оттачивать свои методы. Кроме того, необхо¬
9


димо, чтобы среди молодых математиков воспитывался интерес не только к абстрактной математической задаче, но и к математике как к орудию прикладных исследований. Этого требует научно-технический прогресс в целом, в том числе и прогресс самой математики.
О теории надежности. Прогресс науки и техники приводит к тому, что технические системы усложняются и им поручаются все более ответственные функции, нередко связанные с сохранением здоровья и жизни людей. Вспомним, что современные самолеты перевозят гёногие десятки пассажиров. Вспомним, что во время медицинских операций разного рода приборам поручаются ответственнейшие функции (например, искусственным почкам или искусственному сердцу — поддержание жизнедеятельности организма больного на послеоперационный или же операционный период). Нарушение их работы может привести к непоправимому исходу. Вот почему в настоящее время так много усилий направлено на то, чтобы обеспечить надежность изделий в работе, их безупречную безотказность. С этой целью в последние годы создается новая научная дисциплина, получившая название теории надежности..
Какие же задачи ставит перед собой теория надежности? Они весьма разнообразны. Прежде всего она занята разработкой тех приемов и правил, которых следует придерживаться при проектировании испытаний опытных образцов, изготовлении и испытании больших партий изделий, хранении, транспортировке и эксплуатации технических изделий, чтобы обеспечить максимальную эффективность их в процессе работы. Далее в теории надежности разрабатываются методы расчета сложных изделий по известным надежностям составляющих ее компонент.
Несомненно, что теория надежности является инженерной наукой, но она опирается на закономерности физики, химии, механики, электродинамики, экономики. Уже одно это обстоятельство отводит математике видную роль в решении задач теории надежности. Ее роль в действительности еще больше, поскольку она служит не только и не столько для расчета по трафарету, сколько для выработки количественно измеримых характеристик надежности и для построения моделей потери надежности изделиями в их работе, для выбора оптимальных режимов, для разработки планов испытаний.
Последние годы мне в содружестве с инженерами, математиками и экономистами приходится принимать участие в разработке основ
теории надежности. Уже первичные подходы потребовали от нас широкого использования современных концепций теоретико-множественной математики, привлечения методов теории случайных процессов и математической статистики. Роль этих двух ветвей математики в теории надежности фундаментальна. Попытаюсь это проиллюстрировать.
При построении математической теории надежности, как, впрочем, и любой другой теории, мы вынуждены прибегать к схематизации тех явлений, с которыми она связана. Кроме того, мы должны считать, что используемый математический арсенал средств способен описать состояния, в которых находится (или может находиться) исследуемый объект.
Мы исходим из того, что в каждый момент времени t техническая система находится в определенном состоянии x(t). Множество всех возможных состояний образует ее фазовое пространство X. Для различных технических систем приходится рассматривать разные (связанные с системой) фазовые пространства. С течением времени состояние системы изменяется и, следовательно, являтся функцией времени (и тех условий, в которых она находится). Согласно только что сказанному мы считаем, что эволюция технической системы полностью описывается ее траекторией, т. е. функцией x(t), в фазовом пространстве. Огромный экспериментальный материал, накопленный в различных областях техники, показывает, что x(t) обладает не строго детерминированным характером. Траектории x(t) ведут себя, как случайные функции, Именно это предположение и кладется в основу теории.
В силу соображений, связанных с требованиями к технической системе, в пространстве X выделяется множество Л, попадание в которое считается нежелательным, поскольку система при этом теряет свою способность удовлетворительно справляться с возложенными на нее функциями. Это множество состояний считается отказовым. Управление работой системы с целью сохранить ее надежность должно быть направлено на то, чтобы предупредить возможность попадания траектории в область А. С этой целью при приближении траектории к области А нужно изменить условия работы системы (изменить нагрузку, заменить ненадежные элементы), Наше вмешательство скачком изменяет состояние системы (см. скачок траектории на рис.).
Здесь нет необходимости подробнее рассказывать о дальнейшем развитии теории. Возможно, все же имеет смысл сказать несколько слов о причинах недостаточно определенного
10


понятия отказа. Нередко считают, что само слово «отказ» означает такое состояние системы, что она неспособна выполнять свою роль. В действительности же дело обстоит
сложнее. Электрическая лампочка заслуживает замены не только потому, что у нее перегорел волосок, но также потому, что ее свойства изменились настолько, что излучаемый
ею поток света дает уже недостаточное освещение. Еще пример. Полупроводниковые элементы используются и в системах управления, и в медицинских приборах, и в бытовых радиоприемниках. Изменение характеристик диода в схеме искусственного сердца может изменить режим работы прибора и непоправимым образом повлиять на здоровье больного. Изменение же характеристик такого же диода даже на 80% в бытовом радиоприемнике вызовет лишь искажение звука, но не приведет к каким-либо катастрофическим последствиям. Вот почему области А в последнем примере нужно выбирать различными для этих двух назначений диода.
Заключение. Математизация знаний в период научно-технической революций не дань моде, а неизбежность. Задачи всемерного содействия научному и техническому прогрессу требуют ставить наши знания на количественную основу. А там, где речь идет о количестве, не обойтись без математики, без привлечения ее понятий и методов.
П. м. ОЛОНИЧЕВ
(г. Винница)
К двум лекциям А. Н. Колмогорова из цикла «Научные основы школьной математики»
В 3-м и 5-м номерах журнала «Математика в школе» за 1969 г. опубликованы две первые лекции А. Н. Колмогорова из обещанных десяти и составляющих цикл лекций под названием «Научные основы школьной математики», которые автор прочитал в Центральном лектории общества «Знание» в 1968/69 учебном году.
Имя Андрея Николаевича Колмогорова не требует рекомендаций и известно каждому, кто в какой-то степени интересуется математикой. Естественно, что выступления А. Н. Колмогорова по различным проблемам преподавания, математики в нашей школе вызывают особый интерес в педагогических кругах средйей и высшей школы.
Опубликованные лекции произвели на автора настоящей заметки сильное впечатление. А. Н. Колмогорову удается выделить самую сердцевину ряда тонких и сложных вопросов оснований математики и в нескольких фразах дать новое освещение тому, чему р других источниках обычно посвящается десятки страниц убористого текста.
Лекции построены по хорошо продуманному плану, хорошо просматриваемой общей структуре. Но они не для легкого чтения даже для читателя с высшим педагогическим образованием.
В первой лекции под названием «Современные взгляды на природу математики» автор знакомит с теоретико-множественным строением математической теории, выделяя два этапа: первый, более ранний этап — математическая теория как теория структур определенного типа в смысле Бурбаки и второй этап — математическая теория как формализованная теория в смысле Гильберта. При этом особенно интересен данный автором анализ отношений между «финитной» математикой, просто математикой и метаматематикой. В конце лекции подведены итоги, высказаны общие рекомендации, какие из разделов современной математики могут найти место в школе.
11


Во второй лекции «Натуральные числа» автор вначале знакомит с .построением теории натуральных чисел по Дедекинду и Кантору, обращая особое внимание на то, как при том и другом подходах определяется кардинал конечного множества. Затем обсуждается вопрос формирования у детей представления о натуральном числе и предлагается система изучения натурального числа в школе. В начальных классах эта система сводится к следующему:
1. Порядок.
2. Натуральные числа.
3. Численность множества.
4. Сложение.
* 5. Умножение.
Как можно заключить из уже опубликованных лекций, автор предполагает обсудить в своих лекциях современные аспекты построения основных разделов школьной математики, возможности и способы их внесения в школу. Методисты найдут в лекциях богатую пищу для размышлений и темы для исследований.
Теперь выскажем несколько соображений и замечаний, относящихся к рассматриваемым лекциям.
1. Надо, к сожалению, констатировать, что между школьной математикой и современной математикой воздвигнут психологический барьер несовместимости, который не так-то легко разрушить. Определенный шаг в этом направлении предпринят автором лекций, соединившим накоротко современную и школьную математику, и нет сомнения, что в этом отношении лекции А. Н. Колмогорова окажут оздоравливающее влияние на нашу методику математики. С этой же целью, наверное, целесообразно отказаться от термина «современная математика» (в том смысле, в каком им принято пользоваться), заменив его термином «математика».
2. О терминологии. В лекциях автор пользуется безукоризненными в научном отношении терминами Н. Бурбаки «структура» и «род структуры». Но принимая во внимание интересы читателей (студентов пединститутов и учителей), нельзя ли ограничиться более привычными терминами «аксиоматическая теория» и «модель аксиоматической теории»? Некоторые потери при этой подмене будут, так как термины Н. Бурбаки относятся к тео- ретико-множественному языку, которого придерживается автор, а вторые — скорее к логическому. Поэтому предлагаемая подмена несколько портит стиль изложения. Кроме того, в понятии структуры уже произведена абстракция, отвлечение от способов ее.задания
в виде различных, но эквивалентных систем аксиом, а в понятии рода структуры — от выбора базисных множеств. Но вместе с тем использование первой терминологической пары связано и с определенными неудобствами, так как, во-первых, при содержательном истолковании ее терминов трудно не прибегнуть к услугам второй терминологической пары, во- вторых, термины «структура» и «род структуры» в смысле Бурбаки не получили в математике такого распространения, как термины Еторой пары (с последними начинается знакомство уже со школьной скамьи), и, в-тре- тьих, термин «структура» употребляется в самых различных смыслах (схема, устройство, алгебраическая система, решетка), что, естественно, компрометирует его. Наконец, надо заметить, что мы оставили в стороне еще одну терминологическую пару, которая может конкурировать с рассмотренными. Эта пара состоит из терминов «алгебраическая система» и «аксиоматизируемый класс алгебраических систем».
Автор отказался от рассмотрения порядка как не имеющего распространения в школе, но сам термин сохранил для названия порядка, который теперь называют чаще линейным порядком. Эта подмена путает особенно тех читателей, которые приступили к чтению второй лекции не сразу после первой или,' тем более, не знакомясь с ней. Поэтому в начале второй лекции полезно было бы напомнить о принятой автором терминологической особенности. Еще заметим, что порядок позволяет дать интересное определение кардинала вообще как порядкового типа вполне неупорядоченного множества.
3. 	В пункте, входящем в характеристику математики, называемой «современной», А. Н. Колмогоров пишет: «Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом, выраженной на языке теории множеств. Математика интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, т. е. изучает структуры с точностью до изоморфизма».
Мы разъясним здесь так лаконично сформулированную мысль автора, надеясь, что разъяснение окажется полезным для некоторой группы читателей журнала.
Если рассматривать свойства, логически вытекающие только из одних аксиом данного рода структур, то эти свойства будут справедливы для всех, вообще говоря, неизоморфных, структур данного рода (изоморфизм структур имеет место для категоричных или, как их называет автор, мономорфных теорий). Значит, следствия из системы аксиом рода структур
12


не позволяют отличить изоморфные структуры от неизоморфных. Но автор лекций имел в виду не такие следствия, а следствия, вытекающие для данной структуры не только из аксиом рода структуры, но и из специфики данной структуры, в которую, в частности, включается и мощность базисного множества структуры. Именно такие следствия и выделяют из рода структуры класс структур, изоморфных данной структуре.
4. В первой лекции («Математика в школе», 1969, № 4, стр. 14) автор подчеркивает, что без метаматематики формализованная математика не представляет никакого интереса, так как лишь метаматематика позволяет семантически истолковать формализованную математическую теорию. Нам хотелось бы подчеркнуть и другую важную сторону метаматематики, связанную с исследованием синтаксиса формализованной теории. Учитывая эту сторону, можно заключить, что без метаматематики формализованная теория не может быть и описана.
5. Полностью поддерживаем предложение автора об изучении моделей некоторых простых аксиоматических теорий в качестве вводных упражнений в систематический курс геометрии. Действительно, для выработки навыков в дедуктивном мышлении и понимания аксиоматического метода такие упражнения, вместе с тренировкой в получении следствий из простых наборов аксиом, очень полезны. Для этой цели удобно использовать конечные проективные плоскости.
6. В последнем абзаце первой лекции автор предостерегает от преждевременных разговоров в школе о различных логиках. Действительно, для таких разговоров в настоящее время нет никаких оснований. Школьная математика развертывается в рамках той логики, на которую можно сослаться как на классическую или двузначную логику. Но вот упомянутая автором в последней фразе «единая логика в собственном смысле слова», наверное, нуждается в разъяснениях.
7. Во второй лекции автор высказал твердое убеждение в том, что «при овладении общим понятием «числа элементов множества» люди поступают по Дедекинду, а не по Кантору» («Математика в школе», 1969, № 5, стр. 14). При этом, по автору, первый подход базируется на счете—сравнении всех множеств со стандартной последовательностью слов или знаков (натуральным рядом), а второй — на непосредственном сравнении множеств, минуя натуральный ряд как промежуточное звено. Соглашаясь по существу с высказанным утверждением, мы тем не менее хотели бы об¬
ратить внимание на одно обстоятельство: теории натурального числа, предложенные Деде- киндом и Кантором, могут находиться в самых различных отношениях с принятой нами версией формирования понятия числа у человека. Какую же из них посчитать лучше согласующейся с этой версией, как нам представляется, зависит от позиции, занятой автором. Если он будет обращать внимание на средства и метод ознакомления с кардиналом, то он назовет теорию Дедекинда, если же при анализе формирования понятия числа он отведет последнему лишь вспомогательную роль при сравнении множеств, то предпочтение будет, пожалуй, оказано теории Кантора.
Конечно, при рассмотрении этого вопроса следует принимать во внимание исторический аспект возникновения понятия числа. Мы приведем такую, достаточно правдоподобную, версию возникновения понятия числа у человека (очевидно, более устраивающую сторонника теории Кантора).
Надо думать, человек в первую очередь столкнулся с необходимостью сравнивать численность конечных множеств. Как же это сделать? Если бы множества всегда были под руками, то, наверное, не возникла бы необходимость открывать натуральный ряд чисел, пересчитывать одно множество, затем другое и уж по этим знакам сравнивать их численность. Совсем нет. Человек просто догадался бы сопоставить элементы одного множества с элементами другого. Во всяком случае, так бы поступил вождь племени, если бы хотел сравнить число копий с числом своих воинов.
Если бы нас интересовала численность множеств в данном месте и в данное время, то вряд ли бы мы открыли натуральный ряд.
Теперь откажемся от этих умозрительных ограничений и перейдем к реальным условиям; которые вынудили человека запоминать численность множеств для сравнения их в разных местах и в разное время. Очень естественно, что для этой цели люди воспользовались руками и пальцами, которые имелись у каждого. Очевидно, в это время и появились первые имена числительные как имена множеств— эталонов для сравнения численности. Xopoiho известный факт из грамматики, что ряд числительных обладает свойствами существительных, делает более вероятной эту догадку. И вполне возможно, что «пять» обозначало вначале взятые вместе пальцы правой руки. Если не хватало пальцев, то для передачи числа использовались прутья, камешки и другие предметы. Но вскоре все более и более обнаруживались недостатки такого «вещного» хранения\ числа. Люди стали сопоставлять


конечные множества с определенными словами и знаками и уже в них хранить кардиналы. Возникло натуральное число. Естественно, что далее различные операции над кардиналами стали подменяться манипуляциями со знаками. Так образовался числовой язык.
Очевидно, невозможно придумать более разумный и более простой язык для кардиналов, чем натуральный ряд (разумеется, с точностью до обозначений).
Что касается использования натурального ряда для нумерации, т. е. для указания линейного порядка, то такое использование натурального ряда, как нам представляется, по значимости стоит на втором месте и появилось, вероятно, где-то рядом с операциями над натуральными числами.
При ответе же на вопрос, какой должна быть методика обучения счету в дошкольный период и в начальных классах, решающая роль принадлежит эксперименту. В общих чертах она как будто состоит в следующем: ребенка обучают числу так же, как обучают новому слову. Мы, например, указываем на огонь и произносим «огонь», приучая тем самым ребейка произносить определенные слова или фразы при определенной обстановке или при определенных ощущениях. Аналогично мы учим ребенка произносить «один», «два», «три», ..., загибая пальцы, прикладывая камешки. Далее, указывая на набор одинаковых предметов, заставляем произносить: «три яблока», «три спички», ..., приучаем отвечать на вопросы типа «Сколько яблок?» После этого начинается обучение сравнению численности множеств, порядку, операциям. Данная здесь нами грубая схема обучения счету, в основном, согласуется с учебником М. И. Моро и других для I класса.
Таким образом, мы руководим процессом абстракции, который осуществляется ребенком при познании числа. При этом мы, естественно, и не пытаемся знакомить с числом отдельно, как с определенного рода абстракцией, вне предметного контекста.
Программа дальнейшего развития представлений о числе в средних и старших клас¬
сах, предложенная А. Н. Колмогоровым, кажется нам очень естественной и убедительной.
8. В связи со второй лекцией уместно обратить внимание читателей на еще встречающуюся у учителей и в учебниках подмену терминов «число» и «знак числа». (Заметим, что в третьей лекции А. Н. Колмогоров как раз и подчеркивает недопустимость такого смешения.) Вообще говоря, теоретически вполне возможно рассматривать число просто как знак или слово. Но, разумеется, в школе этого делать нельзя. И хотя в младших и, наверное, средних классах нецелесообразно обсуждать с учениками разницу между числом и его обозначением, но учитель должен всегда занимать твердую позицию1 в этом вопросе, и она должна находить соответствующее отражение в самом процессе обучения, и в частности в языке. К примеру, надо избегать такие выражения, как: «Подставим число в выражение», «Измените знак у числа», «Периодическая дробь — рациональное число» и т. д.
9. Одно мелкое замечание. В примерах, связанных с порядковыми типами («Математика в школе», 1969, № 5, стр. 10, 16), автор прибегает к схемам для наглядного задания множеств и отношений порядка на них. Но в одних примерах (относящихся к числам) схемы позволяют сразу увидеть (по индукции), о каких упорядоченных множествах идет речь, а в других (относящихся к кружочкам) они играют только роль указаний для подбора подходящего множества. К тому же читателю надо понять, что геометрически равные кружочки отождествлять не следует.
В заключение остается пожелать редакции журнала поскорее опубликовать все лекции, а автору издать их отдельно, что облегчило бы организацию в пединститутах спецкурсов и спецсеминаров по такой тематике.
Наконец, можно надеяться, что в недалеком будущем мы увидим книгу того же автора и под тем же названием, за которую, в этом можно не сомневаться, были бы благодарны автору все заинтересованные в том, какою будет школьная математика в последние десятилетия XX в.


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ 1V-VI КЛАССОВ
О преподавании математики в V классе по новой программе
(Из методического письма Главного управления школ Министерства просвещения СССР и НИИ содержания и методов обучения АПН СССР)
Курс V класса является непосредственным продолжением курса IV класса. Это отражено в содержании и характере изложения материала учебника математики V ю*асса, методического пособия к нему и в дидактических материалах.
Изучение курса математики V класса строится в предположении, что материал IV класса прочно усвоен учащимися. Повторение необходимых сведений органически включается в изучение новых вопросов. Исключение составляет пункт «Построение равных фигур», который носит в основном повторительный
характер и имеет целью познакомить учащихся с упрощенными приемами построения отрезков, многоугольников и окружностей, равных данным. Знакомство с этими приемами необходимо для последующего изучения геометрических преобразований.
В курсе V класса изучаются положительные и отрицательные числа, делимость натуральных чисел, действия над обыкновенными дробями, геометрические построения. Как и в
IV классе, геометрический материал изучается распределенно, в течение всего учебного года. Однако в отличие от IV класса этот раздел в учебнике печатается отдельной главой, так как изучение его в V классе не представляется возможным органически связать с арифметико-алгебраическими разделами программы. Последовательность рассмотрения геометрического материала определяется примерным тематическим планом. Он приведен в методическом пособии «Математика в
V классе» и в журнале «Математика в школе», 1971, № 4.
Объединяющим началом всего материала, изучаемого в V классе, является ряд важных в математическом отношении идей (линий): теоретико-множественная, функциональная (подготовка к введению понятия функции), линия уравнений и неравенств, учения о числе, линия геометрических преобразований, формирования навыков геометрических построений (обеспечивающая необходимую подготовку для изучения черчения).
Развитие теоретико-множественных представлений учащихся было начато еще в IV классе. В V классе систематически продолжается использование теоретико-множественных понятий и соответствующей терминологии при решении уравнений и неравенств. При изучении геометрического материала продолжается подготовка школьников к восприятию ими геометрической фигуры как множества точек.
Новые теоретико-множественные понятия, как и в IV классе, вводятся, как правило, по мере необходимости их использования при изучении соответствующих разделов программы. Так, например, понятие о пересечении и объединении множеств рассматривается в связи с изучением делителей и кратного. Изучение понятия общего делителя связывается с изучением пересечения множеств делителей данных чисел, наибольший общий делитель рассматривается как наибольшее число из множества общих делителей.
Практика показывает, что усвоение теоре- тико-множественных понятий детьми во многом зависит от того, насколько хорошо вла¬
15


деет ими сам учитель. Поэтому при подготовке к работе в IV и V классах учителю следует уделить самое серьезное внимание этим вопросам.
В V классе значительно усилена подготовка учащихся к введению в VI классе понятия функции — продолжается установление связей между величинами при решении текстовых задач, проводится анализ характера изменений величин; большие возможности для этого представляются при вычислении числовых значений выражений, содержащих переменные. Важную роль играет и раннее ознакомление учащихся с понятиями координаты на числовой прямой и координатной плоскости, диаграммами, графиками.
Рассмотрение графиков до введения понятия функции позволяет значительно облегчить в дальнейшем изучение функций и их графиков. В V классе проводится работа по изучению «свойств» графиков — перед учащимися ставятся вопросы, связанные с определением участков возрастания и убывания, определения значения функции по заданному значению ее аргумента (но термины «функция» и «аргумент» не используются). Как правило, строятся графики зависимостей конкретных величин, отражающих знакомые учащимся жизненные ситуации. Задания на изучение свойств графиков даются в различной форме. Живой интерес учащихся вызывает составление рассказов по заданному графи-ку. Это позволяет давать разные интерпретации одним и тем же графикам, что имеет большое образовательное значение, содействует активизации детей.
Для облегчения работы большинство графиков в учебнике построены на миллиметровой бумаге; желательно, чтобы такая бумага была у всех учащихся.
В какойгто. мере формированию функциональных представлений содействует и изучение геометрических преобразований.
Дальнейшее развитие в V классе получает система обучения решению уравнений и неравенств. После изучения сложения и вычитания отрицательных чисел учащиеся фактически знакомятся с решением уравнений на основе свойств равенств (понятие равносильности уравнений будет введено в VII—VIII классах). Рассматривается прибавление к обеим частям одного и того же числа или выражения и перенос членов уравнения из одной части в другую. Изучение этих свойств равенств проводится на наглядно-интуитивной основе. Правила решений уравнений формулируются в такрм виде:
«Любое уравнение вида х 4- а = b или —х + а = b можно решить прибавлением к правой и левой частям этого уравнения одного и того же числа —а» (стр. 55).
^ Это позволяет решать уравнения, у которых неизвестное находится в обеих частях уравнения. Заметим, что в IV классе решались уравнения, содержащие, неизвестное только в одной его части.
Решение уравнений вида ах = b в начале года проводится на основе свойств равенств.
В пункте, посвященном делению обыкновенных дробей, на конкретном примере рассматривается решение уравнения вида ах = Ь умножением обеих частей уравнений на число, обратное числу а.
В V классе решение уравнений, в которых неизвестные находятся в знаменателе, не рассматривается, не выводятся и соответствующие свойства об умножении обеих частей уравнений на число.
Что касается неравенств, то их решение проводится приемами, изученными в IV классе.
Особенностью новой программы по математике является введение отрицательных чисел почти на полтора года ранее, чем при традиционном обучении, до систематического изучения обыкновенных дробей. Это позволяет значительно обогатить систему упражнений и расширить класс решаемых с учащимися уравнений, шире использовать алгебраический метод при решении задач.
Отрицательные числа вводятся на наглядно-геометрической основе, как способ обозначения положения точки на прямой относительно начала отсчета. С этой целью на прямой фактически строятся две шкалы с одним и тем же началом и с одним и тем же единичным отрезком Это позволяет установить на прямой два направления, ввести понятие положительного и отрицательного направления и положительных и отрицательных чисел. Такой прямой дается название: числовая прямая (или числовая ось).
Введение первых четырех действий над отрицательными числами проводится с опорой на числовую прямую (все эти понятия уже подготовлены в IV классе введением там числового луча).
Важную роль при этом играет понятие об изменении величины, с которым учащиеся знакомятся сразу после введения отрицательных чисел. По сути, формирование этого понятия также начинается задолго до введения отрицательных чисел (первое знакомство с этим понятием происходит в IV классе при изучении сложения натуральных чисел),
16


Сложение определяется как результат двух последовательных изменений, и для вывода правил сложения важно научить учащихся находить сумму двух последовательных изменений для различных их «направлений».
Вначале рассматривается сложение с помощью числовой прямой, а затем выводятся правила для сложения отрицательных чисел и для сложения чисел с разными знаками без использования числовой прямой.
Понятие умножения вводится на основе рассмотрения содержательных задач. Важную роль в обучении пятиклассников выполнению действий над отрицательными числами играет усвоение понятия модуля числа, так как в формулировки правил действий входят понятия знака и модуля числа.
' Вычитание и деление рассматриваются как операции, обратные сложению и умножению.
Следующим шагом в развитии понятия числа является изучение обыкновенных дробей. Надо иметь в виду, что понятие обыкновенной дроби было введено еще в IV классе перед изучением десятичных дробей. Здесь оно расширяется. Изучается изображение дробей на числовой прямой, сравнение дробей, сокращение дробей и т. д.
Сложение дробей, их вычитание и умножение смешанного числа на натуральное вводится обычным способом, хорошо известным учителю по ранее действовавшим учебникам.
Умножение дроби на дробь вводится на основе решения содержательных задач.
Деление дроби на дробь рассматривается как действие, обратное умножению.
Заключительным шагом в формировании понятия числа в V классе служит обучение выполнению совместных действий над обыкновенными и десятичными дробями.
При оценке роли и места десятичных и обыкновенных дробей в развитии вычислительных навыков следует больше уделять внимания изучению десятичных дробей, которые широко используются в быту и на производстве. Поэтому при выполнении упражнений на совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями следует чаще пользоваться переводом обыкновенных дробей в десятичные. Не следует считать недостатком, когда учащиеся переходят от обыкновенных дробей к десятичным даже в том случае, когда обыкновенные дроби выражаются бесконечной десятичной дробью и для вычисления приходится округлять десятичные дроби, фактически переходить к приближенным вычислениям.
В V классе учащиеся впервые знакомятся ( с геометрическими преобразованиями. Им не
дается ни общего определения геометрического преобразования, ни отдельных его видов. С учащимися изучаются параллельный перенос, осевая симметрия и поворот фигур. Вместе с тем у них формируются и некоторые общие представления о геометрических преобразованиях. Прежде всего это достигается через знакомство с инвариантами преобразований (свойствами фигур, которые сохраняются при преобразованиях) У.
Первая тема V класса «Положительные и отрицательные числа» начинается с вопроса о формулах, который не имеет отношения к положительным и Отрицательным числам. Это сделано с той целью,,чтобы дать возможность повторить изученные в IV классе действия над десятичными дробями и завершить изучение основных задач на проценты. В IV классе на основании определения процента и понимания смысла обыкновенной дроби ученики научились решать задачи на нахождение нескольких процентов числа, решали некоторые задачи на нахождение числа по его проценту, но этот материал не был ими достаточно усвоен. Совершенно не решались задачи (за исключением нескольких простейших примеров) на нахождение процентного отношения. Решать эти две последние задачи учащиеся должны научиться в V классе.
Решение задач на проценты вызывает у учащихся значительные трудности. Поэтому учитель должен четко представлять задачи, которые должны научиться решать все без исключения ученики. К ним относятся три простейшие задачи: нахождение нескольких процентов числа, нахождение числа по процентам, нахождение процентного отношение и задачи вида «Телевизор стоил 150 рублей Вскоре цена была снижена на 12%. Найдите новую цену телевизора». Решение более сложных задач на проценты в V классе не следует считать обязательным для всех учащихся. Цель их иная — развитие учащихся. Подбор более сложных задач на проценты должен осуществляться учителем в зависимости от степени подготовленности и развития класса.
Термин «формула» уже использовался в IV классе, где учащиеся познакомились с формулами площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Никакой попытки определения формулы ни в IV, ни в V классе не дается. Каждый раз учащиеся записывают какое-то правило в виде равенства с переменными, и это равенство называют формулой.
1 Подробные методические рекомендации к изучению в V классе геометрического материала даны в JSfe 4 нашего журнала за 1971 г., стр. 13—23. Редакция.
17


По старой программе на положительные и отрицательные числа (Рациональные числа. Уравнения) отводилось 24 часа, по новой — 70 часов. Это объясняется не только тем, что указанная тема перенесена из VI класса в V, а и тем, что ее содержание значительно изменилось. Теперь вместе с вычислительными навыками учащиеся получают знания о координатной плоскости, о диаграммах и графиках, о новом способе решения уравнений, основанном на свойствах отношения равенства. Кроме того, много внимания и времени уделяется тождественным преобразованиям выражений: раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых. Все эти преобразования находят применение при решении уравнений. И снова следует иметь в виду, что эти преобразования по старой программе относились к VI классу и не легко усваивались учащимися, так как сразу применялись к довольно громоздким выражениям. В V классе при приведении подобных слагаемых ограничиваются лишь простейшими случаями, вида 4х — 6х + 7, что дает возможность учащимся сосредоточить основное внимание не на технике тождественного преобразования, а на его смысле. При таком подходе учитель получает возможность подкрепить любое тождественное преобразование числовыми подстановками. Это делает не только более доходчивым и убедительным для учащихся правило преобразования, но и позволяет лучше осмыслить использование тождественных преобразований для рационализации вычислений. Необходимо иметь в виду, что работа над тождественными преобразованиями была начата в IV классе и будет продолжена в VI. В IV классе учащиеся научились раскрывать скобки, применяя распределительный закон умножения. В V классе следует ограничиться лишь теми упражнениями, которые содержатся в учебнике, они подготовят почву для выработки осознанных навыков в VI классе. Эти упражнения помогут серьезнее разобраться в смысле приведения подобных слагаемых.
С уравнениями учащиеся знакомы с I класса. Однако до V класса уравнения решались на основе зависимости между компонентами и результатами действий. В V классе учащиеся изучают новый более простой способ решения уравнений, основанный на прибавлении к правой и левой частям равенства одного и того же числа, на умножении и делении частей равенства на одно и то же число. Учитель не должен спешить с переходом эт прибавления к обеим частям уравнения
18
одного и того же числа к переносу слагаемого из одной части уравнения в другую. Этот формальный способ — перенос одного слагаемого из одной части в другую — должен быть хорошо осознан. Новый способ решения уравнений дает возможность решать такие уравнения, в обеих частях которых содержится переменная. Это принципиально новый вид уравнений, на их особенность надо обратить внимание учащихся.
От умения решать уравнения некоторым образом зависит умение решать при помощи уравнений задачи. Чрезвычайно важно при решении задач сочетание устных и письменных рассуждений. Увеличение устной работы повышает производительность труда учащихся и содействует развитию их устной речи.
Координатная плоскость вводится после большой работы со шкалами и освоения учащимися понятия числовой прямой. Учащиеся должны свободно решать две задачи: строить, точку по ее координатам и определять координаты точки. Их не должны затруднять те случаи, когда точка лежит на оси. Чрезвычайно полезно при построении точки по ее координатам использовать движение в направлении осей координат сначала вправо или влево, а затем вверх или вниз. Стандартное расположение системы координат (ось Ох направлена вправо, а ось Од — вверх) помогает учащимся на первых порах обучения. В дальнейшем учащиеся в состоянии будут справиться с работой в системе координат и при других расположениях осей координат.
Работа с графиками является подготовительной для изучения функций в VI классе. Поэтому в основном рассматриваются графики конкретных зависимостей: график пути, график температуры и др. Работа с этими графиками является серьезной подготовкой для исследования в дальнейшем функции. Как при работе с координатной плоскостью, так и при построении графиков нельзя ограничиться лишь целочисленными координатами. Наоборот, использование дробных чисел'— более действенный способ для создания интуитивного представления о действительном числе. Большую помощь во всей этой работе может оказать использование миллиметровой бумаги.
Важнейшими навыками, которые должны приобрести учащиеся при изучении темы «Положительные и отрицательные числа», остаются вычислительные навыки. По новой программе все правила порядка выполнения действий в выражении с четырьмя арифметическими действиями учащиеся будут основательно и в течение длительного срока изучать


в III классе. Если же учащиеся, обучающиеся в V классе, в трех первых классах обучались по старой программе, то с порядком выполнения действий они знакомились лишь в IV классе и поэтому располагали значительно меньшим временем. Естественно, что учитель возможно раньше должен выяснить вопрос о том, как обстоят в его классе дела с порядком выполнения действий, и в случае обнаружения пробелов или в случае отсутствия твердых навыков принять необходимые меры по организации серьезного повторения этого вопроса. Можно использовать устные и дополнительные упражнения, содержащиеся в книге «Математика в V классе. В помощь учителю».
Изучая сложение положительных и отрицательных чисел, учащиеся должны сначала усвоить смысл сложения как действия, с помощью которого находится результат двух последовательных изменений величин, и научиться с помощью числовой прямой складывать любые числа. Только после этого следует заняться изучением правил сложения. Правило сложения для каждого случая состоит из двух частей: в первой части определяется знак суммы, а во второй — ее модуль. Не следует стремиться к тому, чтобы на первых уроках учащиеся воспроизводили все правила сложения. Гораздо важнее сначала научить их отвечать на два вопроса: «Каким числом, положительным или отрицательным, будет сумма?», «Чему равен модуль суммы?», а затем приучить их при выполнении действий задавать себе эти вопросы и отвечать на них. При этом ученик сначала определяет знак суммы и пишет его, затем определяет модуль и пишет его. Ученику приходится записывать по порядку слева направо, а не наоборот (написать модуль или абсолютное значение числа и перед ним поставить знак). Как видно, порядок выполнения этапов получается более естественным.
Очень важно, чтобы учитель видел две задачи, при решении которых применяют вычитание. Первая задача — нахождение одного изменения величины по результату двух последовательных изменений и второму изменению. Вторая — нахождение приращения величины при ее изменении. Задачи обоих видов без такой обобщенной формулировки имеются в учебнике.
Умножение и деление усваиваются более просто. Упражнения, связанные с ними, дают возможность повторить умножение и деление десятичных дробей. Ошибки, встречающиеся у учащихся, в основном сводятся к пропуску знака в произведении или к неверной постановке запятой. Их причина состоит в от¬
сутствии достаточно устойчивого внимания учащихся.
Нахождение значений различных выражений с переменной имеет некоторое самостоятельное значение, но в большей мере оно служит развитию вычислительных навыков. Такие упражнения вызывают некоторые затруднения у учащихся. Чтобы предупредить или облегчить трудности, нужно соблюдать некоторую последовательность в способах их выполнения. Во-первых, сложность выражений должна возрастать очень медленно. Во-вторых, не следует сразу подставлять все значения переменных, так как в результате подстановки получается часто более громоздкое выражение.
Если же в выражении имеются кроме сложения умножение или деление, то можно разрешить выполнять работу по действиям и лишь постепенно приучать к подстановкам. Не следует при подстановке значений использовать привычные учителю фигурные и квадратные скобки.-Надо обходиться только круглыми скобками. Фигурные скобки еще в IV классе были заняты для обозначения множеств, а квадратные будут использоваться в VI классе для обозначения отрезков. В отдельных случаях учитель может использовать цветной мел или применить другой какой-нибудь способ, чтобы выделить пары круглых скобок.
В новой программе введение показателя степени оказалось отделенным довольно большим интервалом времени от введения коэффициента, что фактически (без использования термина) было сделано в IV классе. Благодаря этому стали реже встречаться ошибки при нахождении значения степени. В V классе степень будет использоваться при разложении чисел на простые множители. Изучение степени будет продолжено в VI классе. В V классе учащиеся прочно и с полным пониманием должны усвоить только определение степени.
Вторая тема V класса — «Делимость натуральных чисел». Несмотря на то что отрицательные числа уже введены, делимость рассматривается на множестве натуральных чисел. Во всей теме речь идет лишь о натуральных делителях и кратных натуральных чисел.
При изучении учащимися вопросов о делителе и кратном учитель в первую очередь должен стремиться к глубокому усвоению ими понятий «делитель» и «кратное». В начале изучения ученики должны внимательнее относиться к определению этих понятий. Дело в том, что в дальнейшем и учитель и ученики^ будут говорить, например, что 6 есть
19


делитель 18, так как 18 делится на 6, вместо более точного «делится нацело на 6». И даже в учебнике это сокращение будет использовано при формулировании признаков делимости. В начале изучения вопроса такие сокращения недопустимы, так как во множестве десятичных дробей 2 делится на 4 (частное равно 0,5), во множестве обыкновенных дробей, а с ними учащиеся познакомились уже в IV классе, делится любое натуральное на любое натуральное. Большую пользу принесет обобщение, для которого должен найти место учитель. Обобщение состоит в том, что одна и та же мысль может быть выражена несколькими различными способами: 12 делится нацело на 3; 3 делитель 12; 12 кратно 3; 12 равно произведению 3 и натурального числа. Особого внимания заслуживает последний способ и его краткая запись:
12 = 3п, где N.
Если учащиеся хорошо разберутся в этом способе, то перед ними откроется возможность к пониманию доказательств в общем виде всех теорем, встречающихся в этой теме (делимость суммы, делимость произведения, признаки делимости и др.).
Для успешного изучения дальнейшего курса математики важно усвоение учащимися понятий «общий делитель» и «общее кратное». Если учащиеся хорошо усвоят эти понятия на простых примерах, то они лучше разберутся в вопросах об общем знаменателе двух дробей, о решении системы уравнений и неравенств, о пересечении фигур и др. Кроме тоге,4' усвоение понятий «общий делитель» дает возможность ввести пересечение - множеств, вместе с которым вводится и объединение множеств. Эти две операции над множествами пересечение и объединение — легко усваиваются учащимися, если сначала применяются к конечным множествам с небольшим числом элементов.
Еще до разложения чисел на простые множители учащиеся познакомятся с понятиями наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Однако было бы неправильным нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного производить лишь с помощью разложения чисел на простые множители. В наиболее простых случаях учащиеся должны научиться это делать по соображению (видеть!). Разложение чисел на простые множители при этом должно применяться лишь в исключительных случаях.
При изучении признаков делимости по старой программе у учащихся возникало два затруднения.. Первое было связано с понима¬
нием теоремы, обратной теореме о делимости суммы, а второе — с довольно сложной формулировкой самих признаков делимости чисел. Оборот речи «те и только те» многие учащиеся усваивают механически. В новый курс внесены некоторые упрощения./ В теоремах о делимости суммы и произведения формулируются лишь достаточные условия (если каждое слагаемое делится на какое-то число, то этого достаточно, чтобы сумма делилась на то же число; если один из множителей делится на какое-то число, то этого достаточно, чтобы произведение делилось на то же число). Необходимые условия вовсе не формулируются. Таким же образом поступили и с признаками делимости, благодаря чему их формулировки стали более простыми. Однако формулировки, выражающие необходимые признаки, сообщаются учащимся, но не предназначаются для запоминания. Они будут использованы при выполнении некоторых упражнений.
Основное применение признаки делимости найдут при разложении чисел на простые множители. Но там будут применяться лишь признаки делимости на простые числа. По этим соображениям из курса исключен признак делимости на 9.
Несмотря на то что учащиеся в основном подготовлены к доказательству теорем в общем виде, доказательство проводится на числовых примерах.
Разложение чисел на простые множители находит в курсе V класса серьезные применения при сокращении дробей и при приведении дробей к общему знаменателю. Подготовка учащихся к осознанному изучению этого вопроса была начата еще в IV классе. И все же в V классе учителю придется применить значительное усилие, чтобы учащиеся усвоили смысл разложения, как произведения степеней простых чисел, и очень важную мысль о единственности этого разложения: при любом способе разложения числа на простые множители получается <?дин и тот же результат. Значение этого предложения видно хотя бы из того, что в теоретической арифметике его называют основной теоремой арифметики. Формулировка теоремы в тексте учебника не выделена для того, чтобы учащиеся не занимались ее разучиванием. Однако учитель найдет возможность привлечь к ней внимание учащихся и подчеркнуть ее важность.
Учителя также знают, что после изучения вопросов делимости ученики часто забывают определения простого и составного чисел, если эти определения регулярно не будут повторяться, поэтому в дальнейшем надо поль¬
20


зоваться предоставляющимися возможностями, чтобы предложить учащимся привести примеры простых и составных чисел, сформулировать их определения.
Наиболее трудным из применений разложения чисел на простые множители оказывается нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Сначала у некоторых учащихся вызывают затруднения объяснения при выполнении соответствующих операций. Для ускорения работы можно в части упражнений на нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного ограничиться нахождением их разложений. Это поможет предупредить ошибку в. смешении приемов нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. С этой же целью следует возвращаться изредка к аналогичным упражнениям и при изучении обыкновенных дробей.
Третья тема V класса—«Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными и десятичными дробями». Она по-прежнему остается одной из самых трудных тем как в теоретическом отношении (умножение дробей, конечные и бесконечные десятичные дроби), так и в Практическом (сложение и вычитание дробей, сложение и вычитание смешанных чисел). Кроме того, в этой теме рассматриваются действия не только над положительными дробными числами, но и над отрицательными. Осложняет работу и обилие различных видов записи чисел: десятичная дробь, обыкновенная дробь, смешанное число, причем для каждого вида записи приходится пользоваться особыми правилами выполнения действий. Нередко возникают вопросы о наиболее целесообразной для данного случая форме записи. Это многообразие правил и случаев, естественно, вызывает затруднение у некоторых учащихся. С целью уменьшения трудностей в новом курсе математики при изучении действий над положительными дробными числами постепенно включаются и отрицательные числа. Действия над смешанными числами распределены по всей теме. Благодаря этому выработка наиболее трудоемких навыков распределяется на длительный срок. Работа оказывается более легкой и более продуктивной. Увеличивается прочность приобретаемых учащимися вычислительных навыков. И все же следует иметь в виду, что основу получаемых при изучении этой темы навыков составляют навыки в действиях над положительными дробными числами.
Успех изучения учащимися обыкновенных дробей во многом зависит от того, насколько отчетливо они будут представлять обыкновен¬
ную дробь. Работа по формированию понятия обыкновенной дроби начата еще в IV классе. Несмотря на это третья тема начинается с упражнений, дающих возможность привести в порядок представление учащихся об обыкновенной дроби. С этой целью рассматриваются круговые диаграммы, изображение дробей отрезками, точками на луче, задачи на нахождение части числа и числа по его части.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и соответствующие случаи действий над смешанными числами затруднений не вызывают, если учителя не осложняют их лишними записями. Так, нет нужды в тренировочных упражнениях делать такую запись
_3_, 4 __ 3 + 4 _ _7
11 + И 11 11
вместо более короткой, более понятной и более выразительной записи
Учитель должен постоянно помнить, что одна из целей, которую он преследует при изло/ жении обыкновенных дробей, состоит в том, чтобы подготовить учащихся к усвоению в VII классе действий над алгебраическими
дробями. Поэтому надо уделить некоторое внимание преобразованию суммы или разности дробей с буквенными числителями или
знаменателями в дробь. Например,
х . 2 *4-2.6 3_Зв
7 7 7 ; а а а ’
а Ь а — b X Г 5 “
Параллельно с изучением сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями отрабатываются навыки в сложении и вычитании смешанных чисел. При этом, естественно, ограничиваемся простейшими случаями:
Q _J I о JL • 4.-5 9 Л-
6 ' 6 ’ 7 7 е
При решении задач на дроби учащиеся испытывают затруднение при формулировке таких вопросов, как «Какую часть груза перевезли на станцию?». Поэтому еще при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями надо решать не только такие задачи, в которых величины выражаются
в общепризнанных единицах измерения кг\
3 \
г но и в таких «единицах», как огород, цистерна и др. Например: «В первый день со
21


4 „ 7
станиии вывезли -yg- груза, а во второй -yg*
груза. Какую часть груза вывезли со станции?».
Трудоемким и довольно сложным для учащихся является вопрос о приведении дробей к наименьшему общему знаменателю. Для облегчения усвоения его следует разбить на части и научить учащихся сначала приводить дробь к заданному знаменателю. В наиболее простых случаях следует выработать у учащихся навыки «свернутого» решения: «В ~ со-
2 3 9 ~
держится -у; в -g- содержится -j§»- Эти навыки позволят ускорить и облегчить сложение и вычитание дробей в наиболее часто применяемых на практике случаях. Например, в
3 1 2
содержится -g-, в -у- содержится -g-, поэтому:
1 , 1 5
Или еще более короткое и точное объяснение:
1 3 1 2
2 это 6 * 3 это 6 •
Значит-,
Как правило, результат вычисления должен доводиться учащимися до несократимой дроби. Однако требование доводить результат до несократимой дроби не обязательно при получении промежуточных результатов. Более того, его пунктуальное выполнение иногда оказывается нерациональным. Например, при нахождении значения выражения ("4" +
* 10 17
дробь -rjj, получившуюся при сложении-^ и -J2- ,
10
лучше не сокращать, так как проще умно-
1 5 1
жить на -до-, чем -g- умножить на .
Отметим, кстати, что сокращение дробей в большинстве случаев должны проводить по соображению, без нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя. Даже тогда, когда числитель и знаменатель «громоздкие» числа, при сокращении дроби не следует находить наибольший общий делитель, а следует применять разложение числителя й знаменателя на простые множители. Например:
360 23-32‘5 2*5 10
756 22'33 7 ” 3-7 “ 21
Навыки в сложении и вычитании обыкновенных дробей и смешанных чисел можно выработать лишь в результате длительных и целенаправленных упражнений.
В новом курсе математики умножение числа на дробь не определяется как нахождение дроби числа. Лишь некоторые учащиеся, и то с большим трудом, понимают по существу это определение. Для большинства учащихся умножение числа на дробь и нахождение дроби числа остаются различными операциями. Гораздо естественнее принятый в учебнике подход. Умножение на дробь вводится как действие, с помощью которого решаются те же задачи, которые решались умножением на натуральное число или десятичную дробь. Ряд таких задач, из которых наиболее простыми и наглядными являются задачи на нахождение площади прямоугольника, решается по соображению. Полученные результаты дают возможность сформулировать правила умножения.
Если умножение дробей сложнее, чем сложение, в теоретическом отношении, то оно проще с точки зрения выработки навыков. Научиться быстро и безошибочно выполнять Умножение дробей, наиболее часто встречающихся на практике, мешают излишние записи, на которых настаивают учителя. Многие промежуточные операции ученики должны выполнять устно.
Выработке прочного навыка в умножении дробей помогает то обстоятельство, что деление дробей сводится к умножению делимого на число, обратное делителю. По традиции некоторые учителя разучивают специальное правило деления дробей (числитель первой дроби на знаменатель второй, знаменатель первой дроби на числитель второй...). Они тем самым создают возможности появления лишних ошибок. Практически всегда деление будем заменять умножением, проводить, если возможно, сокращение и писать результат: 7.3 7 4 7 t 1
8 * 4 8*3 6 “ 1 6 *
При выполнении действий над обыкновенными дробями и смешанными числами учащиеся найдут много рациональных приемов вычислений, основанных на законах арифметических действий. Однако обязательным следует считать лишь особый прием умножения смешанного числа на натуральное число.
Задачи нахождения дроби числа и числа по дроби должны быть рассмотрены после изучения вопросов об умножении и делении на дробь. Учащиеся должны знать, что первая из них решается умножением. Что касается второй задачи, то обязательным требованием
22


является научить учащихся решать эту задачу с помощью составления уравнения. Весьма полезно применить эти задачи к решению простейших задач на проценты.
Приведенная характеристика содержания образования в известной мере раскрывает и методические особенности изучения математики в V классе. Характерным для изложения программного материала является широкая опора на наглядность, частое обращение к измерениям, построениям и вычислениям. Числовая прямая, например, используется для сравнения чисел (без такого обращения к наглядности этот материал был бы недоступен учащимся V класса) и изучения действий над отрицательными числами; применение рычажных весов создает благоприятные условия для уяснения новых правил в решении уравнений. Обращение к моделям способствует лучшему пониманию свойств преобразований (параллельный перенос, осевая симметрия, поворот).
В учебнике V класса несколько увеличено по сравнению с IV классом число формулировок определений и правил. Но все же их число не очень велико. Во многих случаях определения заменены их описанием.
Объяснительный текст составлен так, что к нему трудно поставить вопрос «Что называется...?» или «Что такое...?». В некоторых случаях такой вопрос и нельзя поставить («Что такое дробь?», «Что такое число?», «Что такое множество?»). В других случаях над текстом проведена специальная работа с тем, чтобы предложения в тексте учебника не могли пониматься как определения (координатная плоскость, график и т. д.). Эти понятия разъясняются на большом числе упражнений, и их содержание пятикласснику становится совершенно ясным.
В ходе экспериментальной работы по новому учебнику наблюдалось, что некоторые учителя неоправданно увеличивали число определений, изучаемых в V классе, и даже диктовали ученикам «недостающие» или «пропущенные» определения. Этого ни в коем случае допускать нельзя. Учителю следует избегать пространных объяснений.
Доступность материала обеспечивается переносом центра тяжести с объяснений учителя на выполнение тщательно отобранных упражнений, несущих дидактические, познавательные и обучающие функции (см. статью К. И. Нешкова, А. Д. Семушина «Функции задач в обучении». «Математика в школе», 1971, № 3).
Значительная часть упражнений имеет большую смысловую нагрузку, они «незаметно»
готовят пятиклассников к усвоению важнейших понятий в последующих классах (взаимно однозначное соответствие, функция, область определения функции и т. д.)*
Изучение отдельных вопросов не замыкается в том или ином пункте или параграфе — з систему упражнений все время включаются упражнения на повторение ранее введенных понятий, на закрепление приемов вычислений и преобразований.
Очень важно, чтобы учитель хорошо представлял себе всю систему упражнений и роль каждого упражнения в этой системе.
Как и в IV классе, большое внимание должно быть уделено развитию учащихся. Материал для такой работы достаточно полно представлен в учебнике и пособии для учителя. Одним из путей такой работы является поиск различных способов решения задачи, отыскание рациональных приемов вычисления.
Новая программа предполагает отказ от разучивания решения типовых задач. Такой подход обеспечивает большую самостоятельность детей —при решении задач они не стремятся вспомнить, к какому типу относится данная задача, а исходят из самого условия задачи. Именно поэтому однотипные задачи не выделяются в отдельные разделы, а распределены по всему тексту. Надо сказать, что результаты такого подхода при правильной постановке обучения сказываются довольно скоро — от учащихся редко услышишь: «Таких задач мы не решали».
К сожалению, некоторые учителя, находясь под влиянием традиции, после решения одной из задач учебника сами составляют несколько задач такого же типа, и, по существу, разучивают с детьми типовые задачи.
В связи с этим возникает мнение, что в учебнике мало задач. Это неверно. В старых задачниках много однотипных задач. В новом учебнике много разных задач. И это дает возможность подготовить ученика к решению любой задачи (конечно, доступной учащимся этого возраста и в рамках программы).
Новая программа предусматривает обучение учащихся решать текстовые задачи разными способами. Ребята самостоятельно должны выбирать удобный для них метод — арифметический или алгебраический — и постепенно убеждаться в преимуществах последнего.
Целесообразность такого подхода ясна. Однако еще не у всех выработалось убеждение, что он даст хорошие результаты. Нередки случаи, когда в классе не только увеличивают число «типовых» задач, но и разучивают решение задач каждого типа с помощью уравнений.
23


Тесно связан с этим вопрос об оформлении решения задач и рациональном использовании времени урока. Нередко еще можно наблюдать, как на уроках дети занимаются как будто бы и необходимой, а, по существу, бесполезной для изучения математики работой.
Большая экономия времени может быть достигнута при умелом сочетании устных и письменных работ. Ученики даже в V классе пишут с неодинаковой скоростью. Решение задачи нередко занимает 1—2 минуты, запись решения отнимает 8—10 минут, а то и больше. Это создает не только разнобой в классе, но и отвлекает учеников от занятий собственно математикой. Тот, кто быстрее написал, сидит без дела (так как учителю трудно давать дополнительные задания на 1—2 минуты), тот, кто еще пишет, по сути, тоже не занимается математикой — задача давно уже решена, идет оформление решения. При решении задач в классе основное внимание следует уделить обучению учеников точно и кратко устно формулировать вопросы к решению задач и устно описывать составление уравнения по условию задачи. Обязательно и умение ученика устно объяснить решение домашнего задания (по вопросам или в виде связного рассказа). Не нужно длинных пояснений к составлению уравнений. Ответ дается в краткой форме — число и, если надо, наименование 2.
Все это дает существенную экономию времени и создает условия для занятий собственно матехматикой. Вместе с тем внимание к краткости записей при решении задач имеет и большое воспитательное значение — дети приучаются к точности, выделению существенного. А это весьма важные качества и взрослого человека.
Как видно из проведенного выше анализа, курс математики V класса по новой программе значительно отличается от того курса V класса, который преподавался по старым программам. Эти основные отличия важно иметь в виду особенно тем учителям, которые проработали несколько лет по старым программам или совсем недавно окончили педагогический институт, при обучении в котором были ориентированы на старые программы. Знание существенных различий в содержании даст возможность избежать механического переноса как содержания, так и методики преподавания из старого курса в новый. Надо понять, что учителю не всегда легко будет отказаться от сложившегося десятилетиями кур¬
2 В домашних заданиях — вопросы к решению задач, краткое объяснение к составлению уравнений, проверка (иногда)., ответ к задаче.
са математики, в котором каждое понятие и каждое его свойство кажутся важными. И наоборот, некоторое время будет казаться,, что вновь вводимые понятия, не привычные для многих учителей, не очень важны и даже не заслуживают внимания. Учитель должен постараться выработать у себя критический взгляд по отношению не только к новому, но и к старому курсам.
При подготовке к уроку кроме учебника, пособия по V классу и дидактических материалов может быть использован ряд статей из журнала «Математика в школе», раскрывающих общие и конкретные цели преподавания математики в IV—V классах, освещающие первый опыт работы по новым программам.
Важным является тщательный учет знаний учащихся, приобретенных ими в IV классе. Особенно большое значение это имеет для тех, кто принял пятые классы от другого учителя. Поэтому первым и необходимым условием успешной работы в V классе является внимательное изучение учебника и методического пособия к нему для IV класса.
Учитель должен внимательно учитывать и пропедевтику новых понятий, проводящуюся в IV и V классах.
Большую помощь в этом окажет пособие «Математика в V классе», где представлен дополнительно к учебнику большой набор упражнений, расположенный в тщательно продуманной системе.
Одним из важных элементов подготовки к уроку является отбор учебного материала и планирование работы учащихся с учетом рационального использования времени урока. К каждому пункту учебника в методическом пособии указываются знания и навыки учащихся, содержание пункта, разбор упражнений, решаемых в классе, ответы к домашним упражнениям, содержание устных и дополнительных упражнений.
Но весь этот материал нельзя механически переносить в класс. Его надо внимательно изучить и отобрать тот, который наиболее подходит к конкретным условиям работы в данном классе.
Особенно внимательно следует подойти к устным упражнениям. Традиционно в школе большое внимание уделяется устному счету. Однако, несмотря на относительно большие затраты времени на упражнения учащихся в проведении устных вычислений, в старших классах эти умения теряются. Учащиеся затрудняются выполнять «в уме» простейшие вычисления при решении уравнений вида
~ —а = 15, приводят леаую и правую части
24


к общему знаменателю, все вычисления, как правило, выполняют письменно.
Новая методика работы с учащимися предполагает расширить цель устных упражнений. В поле зрения учителя должен быть не только устный счет, но и развитие детей, повторение ранее изученного, подготовка к усвоению нового материала. Этому способствует и значительное обогащение устных упражнений в связи с переходом школы на новую программу по математике.
Устные упражнения рекомендуется проводить обычно в начале урока в течение 5—7 минут. Это позволит организовать учащихся, создать в классе рабочее настроение,
С целью экономии времени, выделенного на устные упражнения, все записи и тексты следует заранее готовить на доске или плакатах. Это позволит ученику все внимание сосредоточить на решении задачи, не отвлекаться на запоминание чисел.
А. Н. КОЛМОГОРОВ, А. Ф. СЕМЕНОВИЧ, Ф. Ф. НАГИБИН, Р. С. ЧЕРКАСОВ
О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса
Краткие общие сведения о характере переработки первого издания пробного учебника геометрии для VI класса были даны ранее (см.: «Математика в школе», 1971, № 4, стр. 23).
§ 2 переработанного учебника отличается от соответствующих ему § 4 и 5 первого издания в двух отношениях:
1. 	В первом издании не было единого подхода к понятию перемещения и к специальным видам перемещений: повороту и осевой симметрии. В п. 17 говорилось о перемещениях фигур, лежащих на плоскости, а в п. 24 и 26 поворот и осевая симметрия, по существу, трактовались уже как отображения всей плоскости на себя. В новом варианте учебника в п. 16 поворот сразу определяется как отображение всей плоскости на себя и формулируется общее понятие перемещения. Это делает все построение курса более логичным, но требует от учителя большого внимания к выра- / ботке наглядных представлений, позволяющих свободно обращаться с отображениями всей плоскости на себя. Такие изменения в тексте учебника стали возможными в связи с тем, что из нового учебника математики для V класса учащиеся уже получат первые сведения о геометрических преобразованиях.
Так как отображения изучаются в VI классе и в курсе алгебры, то в учебнике геометрии мы ограничились необходимым. В частности,
сказанное в п. 14, 16 и 18 об обратимости отображений и обратных отображениях само по себе слишком кратко и отрывочно. Очень важно, чтобы эти вопросы нашли должное место и в курсе алгебры, по возможности уже при изучении прямой и обратной пропорциональности.
2. 	В соответствии с общей тенденцией переработки первого издания полностью сохранено настояние на важности точного определения понятий, но сделаны существенные «послабления» в отношении полноты доказательств и перечисления допущений, принимаемых без доказательства.
В связи с внесением в учебник сведений о величинах представилось возможным значительно упростить пункт об измерении углов.
Что касается полноты определений производных понятий через основные, то п. 15 дает лишь приблизительное представление о возможности логического определения понятия «величина угла». К измерению углов учащиеся еще вернутся в VII классе в теме «Геометрические величины».
В целях лучшей ориентировки учителя в использовании задачного материала задачи (вопросы), предназначенные для устного решения, отмечены «нуликами». Сложные и не обязательные для решения задачи отмечены «звездочками».
Текст, набранный петитом, и пункты, отмеченные «звездочками», для изучения в VI классе не обязательны.
§ 2. КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
13. 	Отображения фигур
На рисунке 31 даны две окружности с общим центром. Точке X первой окружности поставим в соответствие ту точку Х\ второй окружности, которая лежит на луче ОХ. Точ¬
25


ке А соответствует точка Аи точке В — точка В1 и т. д. Каждой точке X первой окружности поставлена в соответствие одна вполне определенная точка Х\ второй окружности. При этом точка Х\ называется образом точки X. Каждая точка второй окружности является образом какой-либо точки первой окружности. Мы получили отображение Х-*~Х\ первой окружности на вторую.
Отображения одной фигуры на другую играют большую роль в геометрии. Само понятие отображения является одним ^из основных математических понятий.
Рассмотрим другой пример (рис. 32). Каждой точке X окружности поставлена в соответствие точка Х\ диаметра АВ такая, что пря-
чать здесь употребление предлогов «на» и «в*, Наше
отображение является отображением отрезка АВ на отрезок А\В\У но не отображением на прямую р.
Вопросы и задачи
1°. На рисунке 34 стрелками показаны отображения множества квадратиков. Про какие из этих отображений можно сказать, что они отображают множество квадратиков на все множество кружочков, и про какие нельзя? Какие из этих отображений обратимы?
2°. Задано отображение фигуры Ф на фигу- РУ Фь
Произвольной точке X соответствует симметричная точка Х\ относительно оси s (рис. 35).
а) 	Назовите образы точек А, В, С.
Л
Л/ в,
Рис. 33
мая XXi перпендикулярна диаметру. При этом каждая точка диаметра АВ будет образом хотя бы одной точки окружности. Значит, здесь задано отображение окружности на диаметр.
Между этими примерами есть важное отличие. Во втором из них точка Е является образом двух различных точек С и D окружности. В первом же примере каждая точка Х^второй окружности была образом ровно одной точки первой окружности. Поэтому по точке Х\ можно было обратно найти ту точку X, из которой она получилась. Отображение Х-*~Х\ в эТом примере обратимо. Для него имеется обратное отображение Х\-+Х, которое отображает вторую окружность обратно на первую.
Отображение же во втором примере необратимо. Зная образ точки, еще нельзя уЗйать точно, какова сама эта точка. Для этого отображения не существует обратного, которое отображает диаметр АВ на окружность.
Рассмотрим еще прймер отображения. Каждой точке X отрезка АВ (рис. 33) поставим в соответствие основание перпендикуляра Хи опущенного из точки X на прямую р. При этом точка А отобразится на точку А1, точка В—н?а точку В\. Любая точка X отрезка АВ отобразится на точку отрезка А\В\. Точка У прямой р не является образом никакой точки X отрезка АВ. Поэтому наше отображение нельзя назвать отображением отрезка АВ «на прямую р». Говорят, что это отображение отрезка АВ «в прямую р». Надо строго разли-
б) 	Какой точке соответствует точка Q? Какому отрезку соответствует отрезок КМ? Отрезок КХ\?
ООО
t 11 □□□
□□□ 1 М о о
ООО
11
□□
*)
Рис. 34
в) 	На какую точку отображается точка Р? На какую фигуру отображается отрезок РА? На какую фигуру отображается ломаная РАВС?
26


г) 	Будет ли верным равенство: | ХР | =
= UiQ |?
3. 	Задано отображение круга F на круг F\. Произвольной точке X соответствует точка Х\, полученная при параллельном переносе в заданном направлении на заданный отрезок (рис. 36).
а) Какая точка соответствует точке К?
б) На какую точку отображается центр круга — точка О?
в) На какую фигуру отображается радиус OQ? Дуга AM?
г) Образом какой фигуры будет треугольник OiRP?
В чем неправильность высказывания: треугольник OQM отображается на фигуру F!?
Рис. 36
д) 	Будет ли верным равенство: | ХА | = = | ХхК I (гдеХ-vZb А-+К)?
4. 	Соответствие между точками двух отрезков АВ и DC установлено так, как показано на рисунке 37, где В-*-С, A-+-D, X-*-Xi и т. д.
а) 	Отображение какого отрезка на другой здесь задано?
г) Какая фигура отображается на отрезок DX1?
д) Выполняется ли при этом отображении равенство:
| XY\ = \XxZ I?
5. Между точками сторон ОМ и ON угла MON установлено соответствие так, что соответствующие точки лежат на дуге окружности, описанной из точки О как из центра, т. е. Х-+Хх, У->-У! и т. д. Вершина угла соответствует сама себе (рис. 38).
а) Отображение какой фигуры на какую здесь задано?
б) Будет ли правильным высказывание: отрезок О У отображается на отрезок OL?
в) На какой отрезок отображается отрезок О У? Какой отрезок отображается на отрезок OL?
г) Будет ли выполняться при рассматриваемом отображении равенство: | XY | = | XiYi |?
6. Между точками полуокружности и ее диаметра установлено соответствие, как показано на рисунке 39, где Х^-Хи У-»- У, и т. д. Точки Л и В соответствуют сами себе.
а) Отображение какой фигуры на какую здесь задано?
б) На какую фигуру отображается дуга^ГУ?
Какая фигура отображается на отрезок
ВД?
в) Выполняется ли при этом отображении равенство: | XY \ — l.-Xi/i |?
14. 	Конгруэнтные фигуры
В младших классах вы говорили, что две фигуры равны, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
б) Какая точка соответствует точке У? На Геометрическая ' фигура есть множество какой отрезок отображается отрезок ХУ> точек. Два множества называются равными
в) На какую фигуру отображается отре- лишь в том случае, когда они состоят из одних
зок Л У? и тех же элементов или оба не имеют элемен-
27


тов. Например, множество М = {а, 7, 1, 6} равно множеству М = {а, 6, 1, 7}. Иначе говоря, равные множества—это одно и то же множество К Но треугольники ABC и А{В{Сь изображенные на рисунке 40, а, не являются равными множествами. Они не состоят из одних и тех же точек. Поэтому сказать, что такие «треугольники равны» было бы не точно. Мы будем говорить «треугольник ABC конгруэнтен треугольнику ^ifiiCi» и записывать: Л ABC AiBiCi.
C=Ci
*)
.S)
Рис. 40
Дадим определение конгруэнтных фигур. Для этого выясним, какими свойствами обладают фигуры, которые «можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали».
Пусть, например, треугольник ABC наложили на треугольник AiBiCi так, что они совпали (рис. 40,6). При этом точка А перейдет в точку Аь точка В — в точку Вi, точка С — в точку С1. Каждая точка М треугольника ABC перейдет в одну определенную точку М\ треугольника A\B\Ci. Можно сказать, что множество точек треугольника ABC отобразилось на множество точек треугольника А\ВгС\. Посмотрим, каким свойством обладает это отображение. Возьмем две произвольные точки М и N треугольника ABC, они перейдут в определенные точки Мi и треугольника AiBiCi. При этом расстояния | MN | и | MiNi | окажутся равными, т. е. при рассматриваемом отображении расстояния между точками не изменяются.
1 В этом же смысле и употребляется выражение «рав-
1 2
ные числа». Когда пишут 0,25 = ^ = -gr, то этим ука- 1 2
зывают, что 0,25,"4*и-£- являются разными обозначениями одного и того я&е числа,
Итак, если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику А\ВхСи то его Шожпо отобразить на этот треугольник так, что расстояние между любыми двумя точками треугольника ABC не изменится. Следовательно, понятие конгруэнтных фигур можно определить с помощью понятия «отображение».
Определение: Если фигуру Ф можно
отобразить на фигуру Ф1 так, что расстояние между любыми двумя точками фигуры Ф равно расстоянию между соответствующими точками фигуры Фь то говорят, что фигура Ф конгруэнтна фигуре Ф\.
Ясно, что при отображении, сохраняющем расстояния, две различные точки не могут отобразиться в одну и ту же; расстояние между отличными друг от друга точками положительно, значит, и расстояние между образами таких точек положительно, расстояние же от точки до самой себя было бы равно нулю. Поэтому, отображение фигуры Ф на фигуру Фь сохраняющее расстояния, обратимо. Обратное для него отображение тоже сохраняет расстояния. Поэтому если фигура Ф конгруэнтна фигуре Ф[, то и обратно фигура CDi конгруэнтна фигуре Ф. Говорят просто, что фигуры Ф и Ф1 конгруэнтны друг другу.
Приведем несколько примеров конгруэнтных фигур.
а) Две пары точек {А, В} и {С, D} конгруэнтны в том и только в том случае, когда | ЛВ | = \CD \.
б) Два отрезка конгруэнтны в том и только в том случае, когда их длины равны.
в) Все лучи конгруэнтны.
г) Все прямые конгруэнтны.
д) Две окружности конгруэнтны в том и только в том случае, когда их радиусы равны.
Из высказанных сейчас предложений вы легко можете доказать предложение а). Пользуясь свойствами расстояний 1—6, можно было бы доказать предложения б), в) иг). Предложение д) можно будет доказать после того, как в пункте 18 будет установлена теорема?.
Вопросы и задачи
1°. Объясните, почему две прямые конгруэнтны?
2. Постройте конгруэнтные отрезки АВ и
CD. Возьмите несколько внутренних точек
отрезка АВ. Постройте их образы в таком отображении отрезка АВ на CD, которое сохраняет расстояние и переводит точку А в точку С.
3. Постройте два конгруэнтных треугольника ЛВС и А\В\Си в которых \АВ\ = |i4ifii|, |ВС| = IfijCil, \АС\ = \A\Ci\. Возьмите произвольную точку X треугольника ABC. Постройте точку Хи в которую перейдет точка X, если треугольники совместить.
28


4. Даны два конгруэнтных квадрата и точка X, лежащая внутри одного из них. Найти во втором квадрате точку, соответственную точке X.
5. Даны два конгруэнтных круга и отмечена точка X, лежащая внутри одного из них. Найти во втором круге точку, соответственную точке X.
6. Будут ли конгруэнтны фигуры, составленные из полукругов конгруэнтных диаметров
значения Z АОВ для самого угла. На рис. 43 изображены два конгруэнтных угла Z АОВ д* Z DEFm Они имеют общую величину /\ /\
АОВ = DEF = 30°.
Вообще:
1. 	Два угла конгруэнтны в том и только в том случае, когда они имеют одну и ту же величину.
Рис 41
Рис. 42
АВ и А{Ви где А-+А\ и В-*Ви и двух лучей— \АВ) и \А\ВХ) (рис. 41)?
7. Будут ли конгруэнтны две фигуры, если каждая из них состоит из квадрата (квадраты конгруэнтны) и двух лучей, как показано на рисунке 42?
8. Построить две конгруэнтных фигуры, составленных: а) из отрезков и лучей, б) кругов и отрезков, в) из четырех точек.
15. 	Измерение углов
Два конгруэнтных угла имеют одну и ту же величину. Вы уже умеете при помощи транспортира измерять величину угла в градусах.
Постройте луч ОА. С помощью транспортира постройте угол в 80° со стороной ОА. Сколько решений имеет задача?
Постройте луч ОХ. С помощью транспортира постройте угол в 230° со стороной ОХ. Сколько решений имеет задача?
В той и другой задаче вы получили два решения (рис. 44, а, б):
/V- /\
АОВ = АОВх = 80°,
/\ /\
XOY = X OY ^230°.
2. Существует два угла заданной величины, для которых данный луч является их общей стороной (иначе это выражают так: от любого данного луча можно отложить два-угла заданной величины).
Рис. 44
Более обстоятельно мы займемся измерением углов позднее. Пока ограничимся немногими величин. замечаниями.
/\ Например, на рис. 45 АО Величину угла АОВ будем обозначать АОВ. у\
Заметьте отличие этого обозначения от обо- = 70°, АОВ = 270°,
3. Величина суммы углов равна сумме их
(ос =
/\ 200°, СОВ =
29


Можно представлять углы в виде суммы трех, четырех и большего числа углов.
4. 	Любой угол можно представить в виде суммы заданного числа п конгруэнтных углов (п — натуральное число).
Иначе говоря: любой угол можно разделить на любое заданное число равновеликих углов. Разделим развернутый угол на 180 равновеликих углов. Получим углы, величина каждого из которых и есть один градус. Градус принимается за единицу измерения величины угла. Величина развернутого угла равна 180°.
Деля развернутый угол на два конгруэнтных угла, получим два прямых угла. Величина прямого угла есть 90°.
Из курса IV класса вы знаете, что если при пересечении двух прямых образуются прямые углы, то эти прямые называются взаимно перпендикулярными. Каждая из двух взаимно перпендикулярных прямых называется перпендикуляром к другой из них. Если прямая АВ перпендикулярна прямой CDy то пишут: (AB)±(CD).
Вы знаете, что два луча с общим началом ограничивают два угла. Сумма величйй этих углов равна 360°. Поэтому либо каждый из этих углов имеет величину 180°, иЛй же один из них имеет величину мейьше 180°. Для краткости в первом случае говорят, что угол между лучами равен 180°. Во втором случае «углом между лучами» называют величину меньшего из двух образуемых ими углов.
Значит, вместо выражения «величина меньшего. из двух углов, образованных двумя лучами» будем говорить короче: «угол между двумя лучами».
Заметьте, что в этом понимании «угол между двумя лучами» не есть геометрическая
Таким образом, угол между двумя лучами
/\
всегда заключен в пределах 0° ^ АО В ^ 180 .
Именно так мы будем понимать угол между лучами в следующем пункте.
Вопросы и задачи
1°. При пересечении двух прямых образовались углы, один из которых прямой. Каковы остальные три угла?
2. 	Запишите в обозначениях, что величина угла ABC не превышает 90°.
3°. Сформулируйте определения прямого, острого, тупого углов.
4. Т1ри помощи транспортира и линейки построить углы в 70° и 120° так, чтобы одна из сторон построенного угла лежала на данной прямой, а другая проходила через данную вне этой прямой точку.
5. Используя транспортир и линейку, построить угол, конгруэнтный данному углу а, так, чтобы одной из его сторон был заданный луч ОЛ. Сколько решений имеет эта задача?
6. Построить угол, больший развернутого, и йайти его градусную меру.
7. При помощи транспортира построить углы: а) 110°, б) 220°, в) 330°.
8. Запишите следующие величины в порядке
их возрастания: а) 67°, 6, б)-^ d, в) 67°45/.
16. 	Поворот плоскости вокруг точки
В V классе вы познакомились с поворотом фигуры вокруг точки (центра поворота). Нарисуем на листе бумаги какую-либо фугуруФ и отметим точку О (рис. 46). Положим на
о)
б)
Рис. 46
фигура. Угол между двумя лучами *есть величина, выражающаяся в градусах.
Угол между двумя совпадающими лучами принимают равным нулю.
лист бумаги лист кальки и проколем оба листа булавкой в точке О. Скопируем на лист кальки фигуру Ф. Повернем кальку на какой- либо угол. Копия фигуры Ф займет на пло¬
30


скости новое положение Фь Говорят, что фигура Ф1 получена из фигуры Ф поворотом вокруг центра О. Конечно, фигура Ф1 конгруэнтна фигуре Ф.
Будем мысленно представлять себе лист кальки бесконечным и покрывающим всю плоскость. Тогда можно будет до поворота кальки отметить н^а ней любую точку X плоскости. После поворота эта точка займет вполне определенное новое положение Х\ (рис. 46, б). Значит, каждой точке X плоскости будет соответствовать одна определенная точка Х\ этой же плоскости. Верно и другое: для любой точки Х\ можно найти ту точку X, из которой она получается при нашем повороте. Для' этого надо отметить точку Х\ на листе бумаги и на кальке. А потом повернуть кальку в обратном направлении на тот же угол, на который мы поворачивали ее первоначально.
Таким образом, поворот вокруг центра О можно рассматривать как отображение всей плоскости на себя.
При повороте сохраняются расстояния между точками. В следующих пунктах мы займемся и другими отображениями плоскости на себя, которые сохраняют расстояния. Следует иметь общее название для всех таких отображений.
Определение. Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называется перемещением.
Каждая фигура при перемещении отображается на конгруэнтную ей фигуру. Поэтому при повороте каждый луч переходит в конгруэнтную ему фигуру, т. е. в луч. Пусть при повороте вокруг центра О луч ОА переходит в луч ОА 1, а луч ОВ — в луч ОВх (рис. 47). Что можно сказать об углах между лучами О А и ОАи ОВ и ОВх?
/V /\
Эти углы равны: АОА\ = ВОВи Этим свойством поворота вы пользовались в курсе V класса при построении фигур, повернутых на заданный угол. Теперь оно послужит для определения самого понятия «поворот».
Определение. Поворотом вокруг йент- ра О называется такое перемещение плоскости, при котором: 1) точка О отображается сама на себя и 2) угол между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом ОХх имеет одну и ту же величину а. Величина а называется углом поворота.
Обратите внимание на то, что угол поворота есть угол между лучами, т. е. величина меньшего из двух углов, образованных этими лучами.
Угол поворота всегда заключается в пределах 0° < а ^ 180°.
При повороте на 0° все точки плоскости остаются на месте. Такой поворот на 0° только один. А сколько существует поворотов вокруг заданного центра О на 45°? Таких поворотов два: один «по часовой стрелке» и второй «против часовой стрелки». Так будет при любом заданном угле поворота а.
Без доказательства примем следующее предложение: каждые два луча ОХ и ОХх с общим началом задают один и только один поворот, который отображает луч ОХ на луч ОХ\.
В пункте 14 было уже объяснено, что каждое отображение, сохраняющее расстояния, обратимо. Значит, у каждого перемещения есть обратное отображение. Это обратное отображение тоже сохраняет расстояния, т. е. тоже является перемещением.
Отображение, обратное повороту вокруг центра О, тоже является поворотом вокруг центра О. Например, для поворота против часовой стрелки на 30° обратным является поворот тоже на 30°, но по часовой стрелке (рис. 48).
К изучению поворотов мы еще вернемся в VII классе. Сейчас же рассмотрим повороты на 180°. Им посвящен следующий пункт.
Вопросы и задачи
1°. Какими свойствами обладает образ точки А при повороте вокруг точки О на угол а?
2°. На какую фигуру отображается при повороте прямая, проходящая через центр поворота?
3°. Откуда следует, что при повороте квадрат переходит в квадрат?
4. 	Практические работы.
а) Начертите отрезок и выполните поворот этого отрезка на 70° по часовой стрелке около выбранной вне отрезка точки.
б) Выполните поворот заданного квадрата около одной из его вершин на угол в 90°.
31


в)-Выполните поворот на заданный угол данного равностороннего треугольника около точки, лежащей вне треугольника.
г) Выполните поворот данного круга около точки, лежащей на его окружности, на угол в 90°.
*5. Начертите прямой угол и выполните его поворот на угол в 45° против часовой стрелки около вершины угла.
Покажите на чертеже а) объединение этих углов, б) пересечение ах.
6. Укажите возможные центры поворота, при которых: а) данный отрезок переходит в этот же отрезок, б) данная прямая переходит в эту же прямую, в) квадрат переходит сам в себя (укажите центры и углы поворотов).
7. Построить центр поворота, при котором данная точка А отобразится на другую данную точку В. Сколько решений имеет задача?
8. Даны две концентрические окружности с центром О и отрезок АВ, концы которого лежат на этих окружностях (рис. 49). Луч О А повернут на 120° по .часовой стрелке, и построен образ точки А — точка Аг.
Рис. 50
а) Как, пользуясь только одним циркулем, построить образ точки В при этом же повороте?
б) Выполните такой же чертеж в тетрадях и постройте отрезок, соответственный отрезку
АВ при повороте вокруг центра О на 120° против часовой стрелки.
9. Даны два параллельных отрезка равной длины. Каким поворотом один из этих отрезков можно совместить с другим?
10. Нарисуйте несколько фигур, каждая из которых при некотором повороте переходит сама в себя. Для каждой из фигур укажите центр поворота и возможные углы поворота.
11. Все ли фигуры, составленные из конгруэнтных полукругов и изображенные^ на рис. 50, могут при некотором повороте перейти сами в себя?
17. 	Центральная симметрия
Задание 1. Возьмите две точки А и О. Постройте образ точки А при повороте вокруг центра О на 180°. Какие особенности поворота на 180° вы заметили?
Образ точки А при повороте вокруг точки О
/\
на 180° лежит на прямой О А (АОАг = 180°). Отрезок О А отображается на отрезок ОА\. Поэтому расстояния \ОА\ \\ \ОАх\ равны.
'»■ #■■■»■■■ Рис. 51
А, О А
Значит, центр поворота О является серединой отрезка, соединяющего соответственные точки (рис. 51).
Точка А называется симметричной точке Ах относительно центра О. Построить ее очень просто: на прямой ОА откладывается отрезок ОА\, конгруэнтный отрезку О А, но расположенный по другую сторону от точки О.
Точки А и А\ симметричны друг другу относительно центра О: точка А отображается на точку Аи а точка А\ отображается на точку А.
Поворот вокруг центра О на 180° называется симметрией с центром О. Центр поворота при этом называется центром симметрии. Такой поворот при заданном центре О только один.
Центральная симметрия, как и всякий поворот, является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояния, т. е. перемещением.
Для задания центральной симметрии достаточно задать ее центр.
На рис. 52, а построен отрезок А\В\, симметричный относительно центра О отрезку АВ. На рисунке 52, б построен треугольник, симметричный-данному относительно центра О.
Задание 2. Возьмите несколько точек на прямой р, проходящей через точку О. По-
32


стройте симметричные им точки относительно центра О (рис. 53).
При центральной симметрии любая прямая, проходящая через центр симметрии, отобра-
Возьмем окружность с центром О (рис. 55). Выберем на ней произвольную точку А. Где лежит точка, симметричная ей относительно центра О? На той же окружности. Значит, окружность симметрична относительно своего центра.
Если фигура отображается сама на себя при центральной симметрии с центром О, то говорят, что фигура центрально-симметрична (или — имет центр симметрии О).
Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии. Постройте какую-либо фигуру, имеющую центр симметрии.
Вопросы и задачи
1°. Задает ли центральную симметрию одна пара соответственных точек? Как найти в этом случае центр симметрии?
2°. Какие прямые при центральной симметрии отображаются сами на себя?
3°. Имеет ли центр симметрии: а) отрезок,
б) 	прямая, в) луч, г) пара пересекающихся прямых?
4°. Существуют - ли фигуры, имеющие несколько центров симметрии?
5. Прямые а и b пересекаются в точке С. Пересекаются ли центрально-симметричные им прямые? Если да, то в какой точке?
6. Какие из фигур, изображенных на рис. 50, имеют центр симметрии?
7. Нарисуйте несколько фигур, каждая из которых имеет центр симметрии. Отметьте на этих фигурах центр симметрии и пару соответствующих точек.
жается на самое себя. Поэтому любой угол при центральной симметрии отно'сительно его вершины отображается на вертикальный к нему угол (рис. 54). Мы пришли к знакомой вам теореме о вертикальных углах: верти¬
кальные углы конгруэнтны.
8. 	Построить фигуры, центрально-симметричные фигурам, данным на рисунке 56. В каждом случае центр симметрии выбрать по своему усмотрению.
18. 	Осевая симметрия
В V классе вы уже имели дело с фигурами, симметричными относительно прямой. Теперь мы считаем геометрические фигуры множеством точек. Поэтому можно сказать: фигура,
Рис. 57
симметричная фигуре Ф относительно оси /, есть множество всех точек, симметричных точкам фигуры ф относительно этой оси.. Например, на рис. 57 множество точек, симметричных точкам отрезка АВ, есть отрезок
2 Математика в школе № 5
33


A\Bi, симметричный отрезку АВ, отрезок C\DX симметричен отрезку CD,
Точку, симметричную точке X относительно оси /, будем обозначать Si(X), или более коротко (когда ось симметрии указана заранее) — просто 5 (X).
Расстояние между точками Х\ == S(X) и У1==5(У) равно расстоянию между точками X и Y: \XxYx \ = \XY\. Значит, осевая симметрия есть перемещение.
Как наглядно представить себе это отображение всей плоскости на себя?
На рис. 58 ось I разбивает плоскость а на две полуплоскости Рх и /V Если повернуть плоскость а в пространстве вокруг оси / на 180°, то полуплоскость Р\ наложится на полуплоскость Р2, а полуплоскость Рг наложится на полуплоскость Рх. Каждая фигура плоскости а при таком повороте займет новое положение в той же плоскости — наложится на фигуру, ей конгруэнтную (на рис. 58,6 изображено промежуточное положение плоскости а).
г''
в*'
►X'
ь
f
X
в
Рис. 58
Замечание. В учебнике. для V класса вы имели дело в основном с фигурами, расположенными с одной стороны от оси. Такие фигуры можно совмещать с симметричными фигурами при помощи «перегибания листа бумаги». Но обратите внимание, что на рис. 57 отрезок CD при «перегибании плоскости по оси Ь превратится в ломаную.
Дадим теперь определение осевой симметрии.
Определение. Осевой симметрией с осью / называется такое перемещение, при котором: 1) точки прямой I остаются на месте, 2) полуплоскости с границей / отображаются одна на другую.
Примем без доказательства:
О Каждая лежащая на плоскости прямая / определяет одну и только одну осевую симметрию с осью /.
Теорема 6 (об оси симметрии отрезка). Ось симметрии перпендикулярна отрезку, сое-
зд
диняющему симметричные точки, и делит его пополам.
Дано: 5/(Л) = Ах (рис. 59).
Доказать: 1) I ± [AAi\; 2) /П [АА\] =0;
[ОА]&[дАх].
Доказательство. 1) Так как точки А и А] лежат в разных полуплоскостях с границей /, то прямая I пересекает отрезок АА{ во внутренней его точке. Обозначим ее через О.
Так как точка О лежит на оси /, то она при осевой симметрии соответствует сама себе (остается на месте). Точка же А по условию переходит в точку Ах. Поэтому луч ОА переходит в луч ОЛь
Луч ОМ отображается сам на себя, так как все его точки лежат на оси симметрии.
Следовательно, угол АОМ переходит в угол А\ОМ. Значит, Z АОМ ^ Z АхОМ.
Углы АОМ и А\ОМ — смежные и, по доказанному, конгруэнтны между собой. Значит, они — прямые, т. е. l± [ААХ].
2) 	Точки О и А отображаются на точки О и Ль Поэтому отрезки ОА и ОЛ1 симметричны. Следовательно, [ОА] ^ [ОАх\. Теорема доказана.
Вы уже умеете строить (рис. 60) перпендикуляр к прямой (из курса V класса). Это построение позволяет предположить, что через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой. Сейчас мы докажем, что это действительно так.
Теорема 7 (о единственности препендику- ляра). Через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой.
Дано: (MN) и Л.
Доказать: через точку Л проходит только один перпендикуляр к прямой MN.
Для доказательства теоремы придется рассмотреть два возможных случая.
1. 	Если точка Л лежит на прямой MN (рис. 61, а), то утверждение теоремы следует из второго свойства величины угла: or луча


AM в данную полуплоскость можно отложить только один прямой угол (пункт 15).
2. 	Пусть точка А не лежит на прямой MN (рис. 61,6). Обозначим через Ai точку, симметричную точке Л относительно оси МЛ/.
N Г
N N
А А<
М N
\В м
А
/
/
й)
б)
6)
Рис. 61
Тогда по предыдущей теореме прямая АА\ перпендикулярна прямой MN: Требуется доказать, что любая другая прямая, проходящая через точку А, не может быть перпендикулярна прямой MN. Предположим противное тому, что требуется доказать: пусть суще¬
ствует вторая прямая— (АВ), перпендикулярная прямой MN (рис. 61, в). Тогда для прямой АВ, симметричной относительно оси MN, будет прямая А\В. Она будет также перпендикулярна прямой MN. Прямые АВ и А\В различны, так как прямая АВ не может проходить через точку Ах. Получилось, что через точку В прямой MN проходят две прямые АВ и А\В, перпендикулярные этой прямой MN. Но это противоречит предложению, доказанному в первом случае. Значит, предположение неверно. Поэтому через точку А проходит единственная прямая, перпендикулярная прямой MN. Теорема доказана.
Доказанные теоремы обосновывают известный вам способ построения точки, симметричной данной точке А относительно оси /. Для
построения такой точки А\ надо через точку А провести перпендикуляр к оси /. На этом перпендикуляре нужно отложить отрезок ОАх, конгруэнтный отрезку ОА, но лежащий в другой полуплоскости (рис. 62).
Из этого построения следует, что если при осевой симметрии с осью I точка X переходит
в точку Х\, то точка Хх переходит в точку X (если Si(X) = Х\, то Sj(^i) — т- е- отображение, обратное осевой симметрии, есть та же самая осевая симметрия. Поэтому и говорят, что точки X к Х\ симметричны друг другу.
Если фигура Ф отображается при осевой симметрии с осью I сама на себя, то Прямая / называется также осью симметрии фигуры Ф. Фигура Ф при этом называется симметричной относительно оси /. На рис. 63 даны фигуры, симметричные относительно оси. Окружность
симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр. Действительно, пусть прямая р проходит через центр О данной
X
окружности (рис. 64). Возьмем произвольную точку X окружности. Построим симметричную ей точку Х\ относительно прямой р. Точка О при этой осевой симметрии отображается на себя, точка X — на точку Х\. Поэтому | ОАГ | =» = | OXi|, т. е. Ху принадлежит этой же окружности.
2*
35


Вопросы и задачи
1°. Откуда следует, что любая точка оси симметрии одинаково удалена от двух точек, симметричных относительной этой оси?
2°. Как можно задать осевую симметрию?
3°. Какие прямые., при осевой симметрии отображаются сами на себя?
4°. Сколько осей симметрии и какие имеет:
а) отрезок, б) луч, в) прямая, г) круг?
5. Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, проходящей через центры этих окружностей.
6. Даны прямая / и точка Л вне ее. Построить Л1 = 5/(Л), пользуясь только цирку- лек.
7. Построить ось симметрии двух данных точек.
8°. Прямая а перпендикулярна прямой Ь. Какая прямая будет соответствовать прямой а при симметрии относительно оси Ь?
9. Концы отрезка АВ являются точками, симметричными относительно оси /. Как расположен отрезок АВ относительно этой оси?
10. Внутри прямого угла BOD взята точка X и построены точки:
5во(^0 = Sod(X) = Х2.
Доказать, что точки Х\9 О и Х2 лежат на одной прямой. •
11. По одну сторону от оси симметрии I даны точки X и У.
а) Построить точки 5/ (X) = Хх и S*(y) =
= У ь
б) Будут ли симметричны относительно оси / отрезки: [XY] и [XJ^; [XX,] и [УУ|]; [XY{] и [YX\] ? Ответы обосновать.
12. Построить фигуры, симметричные данному равностороннему треугольнику ABC относительно осей: (Л5); (АС); (ВС). Какую фигуру образует объединение данной и построенных фигур?
13. Даны прямые I к р. Постройте Av — = 5г(Л), Л2==5Р(Л), где Л—данная точка.
14. Даны три точки: Л, В и С. Как, пользуясь одним циркулем, проверить, лежат ли они на одной прямой?
15. Как с помощью ножниц вырезать из бумаги (без предварительного вычерчивания) фигуру, имеющую: а) одну ось симметрии;
б) две; в) четыре?
16. Какая фигура получи?ся, если данную фигуру (рис. 65) дополнить фигурой, симметричной ей относительно оси ЛВ?
17*. Даны прямая МК и две точки Л и В, лежащие по одну сторону от нее. Найдите кратчайший путь из Л к В с заходом на прямую.
18*. Даны прямая МКи две точки Л и В, лежащие по одну сторону от нее. Найдите на прямой МК такую точку С, чтобы лучи СЛ и СВ составляли с ней конгруэнтные углы.
19. 	Расстояние от точки до прямой
Пусть точка Л лежит вне прямой р. Проведем через точку Л перпендикуляр к прямой р. Обозначим через О точку их пересечения (рис. 66). Точка О называется основанием этого перпендикуляра. Отрезок АО называется отрезком перпендикуляра, проведенного через точку Л к прямой р.
Рис. 65
Рис. 66
Прямая, пересекающая другую прямую под углом, отличным от прямого, называется наклонной к этой прямой.
Проведем наклонную к прямой р через точку Л. Обозйачим точку их пересечения через В (рис. 67). Отрезок АВ называется отрезком наклонной, проведенной через точку Л к прямой р.
Теорема 8 (об отрезке перпендикуляра). Если через одну и ту же точку проведены, к данной прямой перпендикуляр и наклонная, то длина отрезка перпендикуляра меньше дли- ны отрезка наклонной.
Дано: (АО) _L Р> (АВ) — наклонная к прямой р (рис. 68).
36


Доказать: |ЛО| < |AS|.
Доказательство. Возьмем точку Аь симметричную точке А относительно прямой р. По теореме о длине ломаной имеем | i I = = |ЛО| + |Л,01 < \АВ\ + \АгВ\. Но |ЛО[ = = IЛiO| и |Л£|==|Л1Я|, так как осевая симметрия не изменяет расстояния. Поэтому 21Л О | <2|Л5| и | Л О | < |ЛВ|. Что и требовалось доказать.
Длина отрезка перпендикуляра, проведенного через точку Л к прямой р, называется расстоянием от тонки А до прямой р. Это, как мы только что установили, наименьшее из всех расстояний от точки Л до всевозможных точек прямой р. Точка О на прямой р является самой близкой ее точкой к точке Л.
Если точка Л принадлежит прямой ру то ее расстояние до прямой р считается равным нулю.
Вообще, если фигура содержит точку, самую близкую к данной точке Л, то расстояние от этой точки до точки Л называется расстоянием от точки Л до этой фигуры. Например, расстоянием от точки М до отрезка АВ будет длина отрезка перпендикуляра МО (рис. 69). Расстоянием от точки N до этого отрезка будет длина отрезка NA, так как точка Л — самая близкая к точке N из всех точек отрезка АВ.
Вопросы и задачи
1°. Что принимается за расстояние: а) от точки до прямой, б) от точки до луча, в) от точки до отрезка, г) от точки до окружности,
д) 	от точки до круга?
2°. Где расположена точка Л, если ее расстояние до прямой равно нулю?
3. Через точку 5 проведены две прямые, пересекающие данную прямую р в точках М и L. Оказалось, что |5Л1| = \SL\. Возможен ли такой случай, что: a) (SM) !_/?? б) (SL) ±р? Ответ обосновать.
4. На рис. 70 дана схематическая зарисовка части территории пионерского лагеря. В точке
О
Рис. 70
Л находится мачта с флагом, цифрами обозначены: 1 — беговая дорожка, 2 — главная аллея, 3 — бассейн с фонтаном, 4 —волейбольная площадка, 5 — бревно, 6 — турник, 7 й 8 — скамейки. Найти кратчайшие расстояния от точки Л до каждого названного объекта.
5. Даны две параллельные прямые m и I и точка Р, не лежащая на этих прямых. Найти кратчайшие расстояния от точки Р до прямых m и /.
6. Вне прямого угла дана точка М. Найти кратчайшее расстояние от точки М до сторон угла.
7. Найти кратчайшее расстояние от точки М до сторон данного тупого угла (рассмотреть различные случаи расположения точки М внутри и вне данного угла).
20 * Общие свойства перемещений
Мы рассмотрели два вида перемещений: повороты и осевые симметрии. В V классе вы получили представление еще и о параллельном переносе.
Перемещениями мы будем заниматься еще не раз. В частности, параллельным переносам посвящена значительная часть § 4. Сейчас же сформулируем без доказательства два общих свойства перемещений.
Перемещение полностью определяется, если для каждой точки X на плоскости указан ее образ Х\ — F(X). А сколько найдется перемещений, если указать образы только для двух точек? Ответ на этот вопрос примем без доказательства.
о 1 Если расстояния \АВ\ и |Л| равны, то существует ровно два перемещения, которые отображают точку Л в точку Ль а точку В в точку В\.
Чтобы понять наглядное содержание этого утверждения, рассмотрите модель.
Возьмите на листе бумаги четыре точки А, В, Л!, В1, чтобы \АВ\ = \AiB{\ (рис. 71,а). Скопируйте точки Л и В на лист кальки. Теперь наложите кальку на неподвижный лист бумаги так, чтобы копия точки А легла
37


на точку А1 и копия точки В — на точку В\ (рис. 71,6). Не переворачивая кальку, это удается сделать лишь одним способом. Вторым способом это можно сделать, лишь перевернув кальку «на левую сторону» (рис. 71,в). Других способов наложения кальки на лист бумаги, чтобы копии точек А и В совместились соответственно с точками А\ и В\, не существует.
Рассмотрим второе свойство перемещений. Наглядное содержание этого свойства перемещений состоит в том, что любые две конгруэнтные фигуры на плоскости можно совместить наложением всей плоскости на самое себя (рассмотрите примеры на моделях).
2. 	Любое сохраняющее расстояния отображение плоской фигуры Ф на лежащую в тойл же плоскости фигуру Oi можно выполнить при помощи перемещения, т. е. при помощи отображения всей плоскости на себя, сохраняющего расстояния.
Из сказанного вытекает, что конгруэнтность фигур, лежащих в одной плоскости, можно определять двумя способами: 1) фигура Ф1 называется конгруэнтной фигуре Ф, если Ф можно отобразить на Ф1 с сохранением расстояний; 2) фигура Ф1 называется конгруэнтной фигуре Ф, если существует перемещение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Фь Эти два определения равносильны.
Заметим, что одно и то же отображение фигуры Ф на конгруэнтную ей фигуру Ф1 может получиться в результате различных перемещений. Рассмотрим пример. На рис. 72 изображен квадрат ABCD.
Существуют два способа отобразить отрезок АВ на отрезок CD с сохранением расстояний между точками. При первом способе точка А отображается на точку D, а точка В — на точку С, любая точка [Л£] отображается на точку Х\ £ [CD], находящуюся на расстоянии \АХ\ от точки D (рис. 72, а).
При втором способе (рис. 72, б) точка А отображается на точку С, а точка В — на точку Д любая точка X
отрезка АВ отображается на точку Яь находящуюся на расстоянии | от точки С.
При помощи каких перемещений всей плоскости можно выполнить эти два отображения отрезка АВ на отрезок C^D? Первое отображение можно осуществить при помощи параллельного переноса (рис. 72, в) или при помощи симметрии относительно оси р (рис. 72, г).
S(A) = B T(S(A))**D
$(в)=А T(S(B))=C
Рис. 72
Второе отображение тоже можно осуществить при помощи двух различных перемещений. Первое — центральная симметрия относительно центра квадрата (рис. 72,<3). Второе — произведение симметрии относительно оси q (рис* 72, е) и параллельного переноса (рис. 72, ж).
Вопросы и задачи
1. С помощью листа бумаги и булавки постройте образы нескольких данных точек в каком-нибудь перемещении.
2. Постройте два конгруэнтных треугольника— /\АВС и /\A\BiCu Возьмите произвольную точку X. Пбстройте ее образ в том перемещении, которое треугольник ABC отображает на треугольник А\ВХС\,
3. С помощью моделей выясните, сколько существует перемещений отображающих:
а) данную прямую I на другую данную прямую /?,
б) данный луч ОА на другой данный луч 0\Аи
в) 	данный отрезок АВ на конгруэнтный ему отрезок CD,
г) данную окружность на конгруэнтную ей окружность,
д) данный разносторонний треугольник на другой конгруэнтный ему треугольник.


С. Г. ГУБА
(г. Вологда)
О первых доказательствах
Общеизвестны трудности, связанные с усвоением школьниками первых доказательств. Часто учащиеся не только плохо справляются с отысканием необходимых звеньев доказательства, но и не видят надобности в самом логическом доказательстве, не понимают сущности дедуктивного метода.
В настоящее время с доказательством учащиеся впервые встречаются при изучении теоремы о равенстве вертикальных углов. Можно ли считать ее удачной для указанной цели? Думается, что нет. Не подлежит сомнению, что для первого знакомства с доказательствами следует отобрать такие утверждения, которые представлялись бы учащимся близкими и жизненными и не имели бы бросающейся в глаза очевидности. В статье «О пробном учебнике геометрии для VI класса» А. Н. Кол м ого ров и А. Ф. Семенович подчеркивают, что перед изучением систематического курса геометрии должны быть «выделены теоремы, способные заинтересовать учащихся и показать им, что при помощи логических рассуждений можно доказать правильность таких утверждений, которые интересны и важны, но без доказательства неубедительны» («Математика в школе», 1970 №4, стр. 22). Много полезных советов относительно пропедевтики доказательств содержится в статье И. С. Со ми некого «О работе учащихся VI класса в связи с изучением первых теорем геометрии» («Математика в школе», 1947, №4).
Естественно поставить вопрос об использовании в I—V классах достаточного количества специальных логических упражнений, предназначенных для подготовки учащихся к систематическому употреблению доказательств при изучении математики в последующих классах. Эти упражнения должны быть направлены прежде всего на выработку у школьников навыков логической обоснованности и последовательности мышления.
Опытная проверка доступности и эффективности подобного рода упражнений была проведена нами в 1965—1968 гг. посредством кружковых занятий с группой учащихся на протяжении их обучения в III—V классах. Как показала последующая учеба этих ребят в VI классе, такая подготовительная работа достаточно хорошо себя оправдывает.
Ниже приведена часть использованных нами
упражнений, оформленных в виде вопросов и задач, в том числе и задач на доказательство. Некоторые из этих упражнений вполне доступны даже учащимся I—II классов.
1. Дедушку зовут Иван Павлович, а его внука — Владимир Николаевич. Как зовут сына дедушки (отца внука)?
2. Во встрече по футболу команд «Стрела» и «Метеор» после первого тайма счет был 3:1 в пользу «Метеора». Окончательный счет матча — 2 : 4. Какая команда победила?
3. Четыре мальчика хотят поделить между собой четыре цветных мячика: красный, синий, желтый и зеленый. Первый мальчик согласен только на синий или зеленый мячики, второй—на красный или желтый, третий — лишь на синий, а четвертый — на любой, кроме желтого. Доказать, что можно так поделить мячики, что будут довольны все мальчики.
4. Разность трехзначного и четного двузначного числа равна 3. Найти эти числа.
5. Во сколько раз лестница на шестой этаж дома длиннее лестницы на второй этаж этого же дома?
6. Мржно ли из 62 спичек сложить квадрат, используя при этом все спички и не ломая их?
7. Из спичек сложены два равных квадрата, имеющих одну общую сторону. Доказать, что число потребовавшихся для этого спичек делится на 7.
8. Три ломтика хлеба требуется поджарить с двух сторон на сковородке, вмещающей всего лишь два ломтика. Известно, что поджаривание ломтика с одной стороны длится одну минуту. Доказать, что в течение трех минут можно поджарить все три ломтика.
9. Бревна различной длины распиливают произвольным образом на части. Доказать, что число получившихся частей всегда равно числу произведенных распиливаний, сложенному с числом распиленных бревен.
10. Какие цифры зашифрованы под буквами А, В, С, если известно, что АА + В = ВСС?
11. Какие цифры зашифрованы под буквами А, В, С, если известно, что АА + АВ == ССС?
12. В классе 37 учащихся. Доказать, что хотя бы в один из месяцев не менее четырех человек отмечают свой день рождения.
13. В одном из месяцев некоторого года первое и последнее числа пришлись на одинаковый день недели. Сколько дней было в указанном году?
14. Аня, Таня, Люся и Дуся живут в одном доме. Известно, что две из них ровесницы. И еще известно, что Аня старше Тани, а Таня моложе Люси; Люся моложе Дуси, а Дуся старше Ани. Как зовут ровесниц?
39


15. Трем мальчикам показали три карандаша: красный, синий и желтый. Затем, взяв у мальчиков их пеналы и спрятав туда по карандашу, предложили каждому отгадать, какого цвета карандаш спрятан в его пенале. Первый мальчик назвал красный карандаш, второй — желтый, а третий лишь сказал, что в его пенале не должен быть желтый карандаш. Когда открыли пеналы, то оказалось, что только один ответ был ошибочным. Какого цвета карандаш был спрятан в пенале каждого мальчика?
16. На столе разложены 25 палочек. Игра состоит в том, что двое играющих попеременно берут палочки со стола. За один раз можно взять не более трех палочек. Выигрывает тот, кто возьмет со стола последним. Доказать, что начинающий игру всегда может выиграть.
17. После окончания шахматного турнира все. пять его участников А, Б, В, Г и Д перечисленные здесь в порядке занятых ими мест, вместе возвращались домой. Между ними произошел следующий разговор:
А. На этот раз я не сделал ни одной ничьей.
Б. А я очень рад, что не потерпел ни одного поражения.
Г. А вот мне, к сожалению, не удалось одержать ни одной победы.
Как сыграли между собой В и Д?
Перечень подобных упражнений можно было бы продолжать и далее. Многие задачи такого рода получили широкую известность (например, задачи на взвешивание, переливание жидкостей, переправу через реку и др.).
Рассмотрим более подробно некоторые из задач 1 —17. Прежде всего хотелось бы отметить, что задача 1 может быть использована как исключительно доступный для учащихся' пример приобретения новых знаний посредством мышления. На основе этой задачи школьники получат также первое представление о сущности дедуктивного метода. При дальнейшем изучении математики встретится немало случаев, когда будет уместно сослаться на аналогию с задачей 1.
Решив задачу, часто бывает полезно несколько видоизменить ее условие, проследить установленную математическую закономерность в новых ситуациях, рассмотреть отдельные частные случаи, обобщения, аналогии. Нужно стремиться, чтобы актуализация знаний, вызванная решением той или иной задачи, сразу же оптимально использовалась для активизации процесса обучения.
Так, после решения задачи 2 перед учащимися надо поставить вопрос: «Можно ли с
определенностью назвать победителя в том
случае, если бы окончательный счет матча был 3:4?» .
Когда будет решена задача 3, следует предложить учащимся самостоятельно составить аналогичную задачу. Как правило, среди составленных задач^оказываются и такие, которые имеют несколько решений или же не имеют их вовсе. Рассмотрение указанных случаев представляет важное значение для развития мышления школьников.
Задачу 8 целесообразно обобщить на случай большего числа ломтиков, при этом нужно отдельно рассмотреть случаи четного и нечетного их числа. Что касается задачи 9, то она уже является обобщением более простой задачи, получающейся в том случае, когда распиливается всего одно бревно. Решение задачи 9 и следует начинать с указанного частного случая.
При решении задачи 12 представляется возможность познакомить учащихся с методом доказательства от противного. Этот же метод целесообразно применить и для решения помещенной ниже задачи 21.
Много доступных пятиклассникам задач на доказательство можно получить на основе свойств четных и нечетных чисел. Вот несколько примеров таких задач:
18. Сумма двух натуральных чисел оказалась четным числом. Доказать, что разность этих чисел также будет четным числом.
19. Доказать, что из любых трех натуральных чисел всегда можно выбрать два таких, разность которых была бы четным числом.
20. У мальчика было 20 монет достоинством в 1 и 3 копейки. Когда он сосчитал все свои деньги, то насчитал 47 копеек. Доказать, что мальчик ошибся при подсчете.
21. В соревнованиях по футболу участвуют 15 команд. Победа дает команде 2 очка, ничья—1 очко, поражение — 0 очков. Доказать, что в течение соревнований не может быть такого момента, когда у всех 15 команд будет набрано по нечетному числу очков.
22. Имеется 25 предметов. Доказать, что из них четное число предметов можно выбрать столькими же способами, сколькими и нечетное.
Нередко при решении некоторых из этих задач (например, ' задач 18 и 19) учащиеся в качестве «доказательства» приводят лишь несколько подтверждающих примеров. Ясно, что учитель должен убедительным образом показать несостоятельность такого рода «доказательств». Для этих целей можно использовать хотя бы следующее «свойство» обыкновенных дробей;
40


Если числитель и знаменатель дроби содержат одинаковую цифру, то на эту цифру их «можно» сократить.
Например:
5 ^5 __ ^8 __ 8 . 3^2 _ 32 _
16' *2&~2' ~2» lXtd*~16~Z-
Это «доказательство» производит на учащихся достаточно сильное впечатление и заставляет их более критически относиться к заключениям, основанным на неполной индукции.
3. Н. КОСТИНА
(Москва)
К доказательству теорем о равенстве треугольников
В начале курса геометрии VI класса учащиеся еще не владеют «языком» геометрии, еще не приобрели навыков в построении логической цепи умозаключений, ведущей к доказательству теоремы С другой стороны, самый метод доказательства часто представляет комплекс последовательных элементарных процессов. Оба эти обстоятельства выдвигают требование — расчленение доказательства, постепенный подход к нему путем последовательных специально подобранных упражнений и выделение тех процессов, которые наблюдаются при доказательстве целого ряда теорем.
Рассмотрим с этой точки зрения некоторые вопросы.
I. О применении признаков равенства треугольников для доказательства теорем и решения задач1
1. 	Интересно отметить, что вначале учащиеся не отделяют задачу «доказать признак» от задачи «применить признак». Только через упражнения они приходят к пониманию, что, зная признак, можно установить равенство треугольников по данным элементам, не прибегая к наложению. Например, после доказательства первого признака для устных упражнений используются чертежи нескольких пар треугольников: в одних парах имеется достаточное количество равных элементов для установления равенства треугольников по первому признаку, а в других парах равных элементов
1 По этому вопросу имеется статья 3. Н. Костино й «Изучение процессов доказательства теорем по курсу VI класса». Сб. «Пути повышения, успеваемости по математике». М., Изд-во АПН РСФСР, 1955.
указано недостаточно. Перед учащимися ставится задача: указать, какого условия недостает для того, чтобы установить равенство треугольников по этому признаку. Обращается также внимание учащихся на то, как недостающее равенство углов можно получить, анализируя чертеж (например, используя теорему о вертикальных углах на рис. 1), а также на то, что наличие общей стороны у двух треугольников означает равенство этих сторон. На наглядном пособии можно показать эти треугольники взятыми раздельно.
Часть таких задач на применение признаков равенства треугольников может быть решена
устно, но лучше на первых же уроках дать образец записи, чтобы у учащегося ярче запечатлелось доказательство и чтобы при выполнении домашнего задания он мог лучше его продумать.
Запись к рис. 1
Доказательство В ААОС и ABOD:
AO- OD по условию,
ВО = ОС по условию, Z1^=Z2 как вертикальные.
ААОС=ABOD по двум сторонам и углу, за г ключенному между ними.
Примечание. Вначале при записи в заключительной строке целесообразно требовать
Дано: AD и ВС — отрезки; О — точка их пересечения;
AO = OD\
ВО = ОС.
Тр. док.: AAOC—ABOD.
41


от учащихся формулировку полного текста теоремы, в дальнейшем можно ограничиться схематической записью без пояснений.
Для подготовки учащихся к решению разнообразных задач на доказательство наряду с указанными упражнениями имеет значение усвоение ряда специфических выражений, которые часто встречаются в условии задач. Так, учащиеся часто не могут без помощи учителя дать математическую запись условия: «Точка О — середина АВ»; не могут выразить равенством КО = ОР условие: «Прямая MN делит отрезок КР в точке О пополам». Точно так же наличие биссектрисы угла не всегда ведет к записи: Z 1 = Z 2, наличие перпендикулярности АВ и CD не говорит учащимся о наличии равных прямых углов и т. д.
Для усвоения указанных выражений и перехода от одного выражения к другому полезны упражнения, в которых к одному чертежу даются словесные варианты одного и того же условия и требуется перевести их на язык математики. Так, к рис. 1 можно вместо данных АО = OD и ВО = ОС дать следующие:
1) 	АО = OD и AD делит ВС в точке О пополам, или 2) точка О—середина ВС, и ВС делит AD в точке О пополам, или 3) отрезки AD и ВС в точке пересечения взаимно делятся пополам.
Можно записать условие задачи в математических терминах, а ученик должен дать соответствующую словесную формулировку.
Однако в начале работы приходится уделять больше внимания задачам, в которых к чертежу дается символическая запись условия и заключения.
Наиболее часто признаки равенства треугольников применяются при доказательстве равенства сторон или углов треугольников.
Это доказательство сводится к двум процессам: 1. Доказательство равенства треугольников на основании признаков равенства. 2. Доказательство равенства сторон (или углов) этих треугольников на основании высказывания: в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (или обратного данному.). Но в некоторых случаях можно использовать второе высказывание: если в равных треугольниках равны две пары сторон (углов), то равна и третья пара сторон (углов), например, при доказательстве равенства сторон АС и BD ААОС и ABOD (рис. 1).
При переходе от 1-го процесса ко 2-му учащиеся иногда допускают следующую ошибку: установив равенство некоторых элементов треугольников, они пропускают заключение о равенстве самих треугольников. При выполнении
2-го процесса они часто ссылаются на предложение «В треугольниках против равных углов лежат равные стороны» или на предложение, ему. обратное, пропуская слово «равные». С этим недочетом приходится вести борьбу. Кроме того, необходимо требовать, особенно в начале работы, чтобы учащиеся указывали, против какой стороны лежит данный угол (или против какого угла лежит данная сторона).
Например, если в задаче к рис. 1 дать заключение: тр. док.: Z.C = ZB, то после доказательства равенства А АОС и A BOD делается вывод:
ZС= ZB — в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.
Против стороны АО лежит Z С,
против стороны 0D лежит Z В.
Стороны равны, следовательно, и углы равны.
Четкость в данном вопросе может предупредить неправильные заключения и будет способствовать сознательному усвоению доказательств.
Вообще доказательство равенства сторон и углов треугольников, включающее два процесса, сначала не так легко усваивается учащимися. Поэтому при первом ознакомлении с этим доказательством целесообразно ограничиться применением одного признака равенства треугольников и все .внимание сосредоточить на втором процессе^Шрш^нение других признаков равенства треугольников будет включаться в доказательства по мере ознакомления учащихся с этими признаками.
Решения задач с применением признаков равенства треугольников наиболее доступны учащимся, помогают развитию их устной математической речи, ^ а при надлежащем использовании записей приучают к схематическим записям.
Овладение учащимися этими процессами имеет значение и для усвоения ими дальнейшего курса геометрии.
Учитывая все сказанное о значении упомянутых выше процессов доказательства, можно поставить вопрос о расширении границ их использования. Например, для доказательства свойств равнобедренного треугольника можно выделить три задачи и решать их, применяя признаки равенства треугольников.
Эти задачи имеют одинаковые условия:
Дано: AABC; АВ = ВС; BD — биссектриса Z_B.
Тр. док.: 1) AD = DC;
2) Z- ADB = Z BDC-
3) ZA-Z.C,
42


Варианты заключений:
тр. док.: 1) BD — медиана ААВС;
2) BD — высота A ABC;
3) углы при основании равнобедренного треугольника равны.
II. О третьем признаке равенства треугольников
При изучении третьего признака равенства треугольников требуются отдельные доказательства к каждому из трех вариантов чертежей (см. рис. 146, а, б, в из учебника Н. Н. Никитина «Геометрия», 1970). Но даже, если ограничиться вариантом рис. 146, а, доказательство этой теоремы чрезвычайно сложно для учащихся, начинающих изучать геометрию. Поэтому оно требует расчленения и подготовительных упражнений, которые и предлагаются далее вниманию учителя.
Задача 1. Изготовить из картона или бумаги различной окраски два неравных равнобедренных треугольника с равными основаниями. Приложить эти треугольники один к другому, совместив равные основания. Доказать, что в полученном четырехугольнике ABCD Z В = Z-D (рис. 2).
В
если к равным углам (Z 1 и Z.2) прибавили равные (Z 3 и Z.4), то получатся равные углы. С этим свойством учащиеся должны быть ознакомлены в начале курса геометрии.
В следующих подготовительных упражнениях используется свойство разности: если от равных углов вычесть равные, то получатся равные углы.
Задача 4. Дано: АВ = AD, ВС = CD
(рис. 4). Доказать, что Z-ABC — Z ADC.
Задача 5. Дано: АВ = AD, ВС = CD
(рис. 5). Доказать, что Z ABC = A. ADC.
Предварительное решение задач 1—5 поможет учащимся в дальнейшем усвоить доказательство равенства углов В и В" (см. рис. 146, а) и Z.1 и Z2 (рис. 146,6). Но необходимость рассмотрения трех вариантов рис. 146 требует и другой дополнительной работы. Следует предложить учащимся изготовить наглядное пособие — четырехугольник ABCD (рис. 3), выполненный из палочек или полосок со сторонами, соединенными шарнирно в точках А, В, С и D2. В четырехугольнике AB=AD, CB = CD, диагонали не показаны. Вращая стороны четырехугольника и изменяя
Рис. 2
Рис. 3
а)
Рис. 146
Задача 2. На одном основании BD по разные стороны от него построить два равнобедренных треугольника Л BCD и A BAD и доказать, что в полученном четырехугольнике ABCD Z- B = Z D.
Задача 3. На рис. 3 дан четырехугольник ABCD\ АВ = AD, ВС = CD. Доказать, что АВ= Z D.
Решение этих задач требует применения по отношению к углам одного из свойств суммы:
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
В д‘
углы между ними, можно получить различные фигуры, которые сводятся к трем указанным выше вариантам на рис. 146.
Кроме того, можно приготовить плакат (рис. 6), на котором полезно обратить внимание учеников на положение отрезков BD и B'D\ B"D". Углы A ABC и A ADC при точках С и Л острые — отрезок BD проходит внутри четырехугольника ABCD. В ДЛБ"С и ДЛ£)"С углы при точке С тупые — отрезок B"D" проходит вне фигуры AB"CD". В Д А СВ' и ДЛС/)' углы при точке С прямые. В этом случае при точке С получается развернутый угол, стороны В'С и D'C прямоугольных треугольников совпадают с отрезком B'D', который является стороной равнобедренного тре¬
2 Для изготовления такого пособия можно использовать складной метр.
43


угольника AB'D\ a /LB' — D\ как углы при основании этого треугольника.
Исследование рис. 6 может послужить подготовкой к доказательству третьего признака равенства треугольников.
Перейдем к доказательству этой теоремы.
1. Предыдущие упражнения и анализ данных приводят учащихся к мысли, во-первых, использовать для доказательства первый признак равенства треугольников, во-вторых, для получения недостающего равенства двух углов (например, Z.B и Z В') объединить их в одной фигуре, приложив А А'В'С' к A ABC. При этом совмещаются стороны А'С' и АС так, чтобы точка А' совпала с точкой А и точка С'—с точкой С. В результате приложения, ДА'В'С' займет положение Д АВ"С (рис. 146, a), a Z В' — положение ZLB", поэтому можно сказать, что Z_B" = Z В', и вместо равенства Z В и Z. В' будем доказывать равенство Z-В и Z В".
2. Доказательство равенства Z_B и Z В" учащимся известно (см. задачи 1—3).
3. Дается заключение: если ZB = Z. В", a Z_ В" = Z В', то Z В = Z В' (на основании свойства транзитивности).
4. ДЛВС = ДЛ'В'С' по первому признаку равенства треугольников.
В приведенном здесь доказательстве пункт 4 изложен несколько иначе, чем в учебникё
Н. 	Н. Никитина. (Когда конец доказательства предлагается учащимся по учебнику, они часто ограничиваются доказательством равенства A ABC и А ЛВ"С, не делая перехода к А Л'В'С'.)
В заключение заметим, что, встречаясь с отношениями транзитивности, учащиеся, как правило, делают верные выводы, когда речь идет о сравнении числа книг на каждой из трех полок, веса каждого из трех ящиков и т. п. Но они не умеют (вернее, не догадываются) применить эти отношения в геометрии. Поэтому еще до доказательства третьего признака равенства треугольников надо показать учащимся, как применяется отношение транзитивности, указанное в п. 3, при решении простейших геометрических задач.
Указанные выше подготовительные упражнения помогают учащимся выполнить еще одну трудную для них задачу: дать связное, последовательное изложение доказательства теоремы.
На простых упражнениях вместе с развитием мысли будет шлифоваться и совершенствоваться речь учащихся.
Е. С. КАНИН
(г. Киров)
Уроки но тему «Числовой луч»
Три урока в трех четвертых классах на одну тему «Числовой луч». У разных учителей, в разных школах г. Кирова. Поразительно похожие по схеме уроки: одинаковые устные фронтальные упражнения (в течение 10—15 минут); повторение изображения натуральных чисел на числовом луче (5 минут); изображение правильных обыкновенных дробей на числовом луче. Упражнения 725, 726, 721х. Упражнение № 728 не успели выполнить из-за недостатка времени.
И на всех трех уроках фронтальные устные упражнения в начале урока никак не были
1 Здесь и далее приводятся номера упражнений и цитаты из учебника «Математика. 4» под редакцией А. И. Марку шеви ча, изд. 3.
связаны далее с понятием числового луча. А это были упражнения в отыскании частей рубля, метра,4года и выражении их в более мелких единицах, задача о части книги, которую осталось прочитать ученику. Благодатный материал для перехода к изображению дробных чисел точками числового луча! Одна й та же операция выполняется при отыскании дроби рубля, метра, года, наконец, единичного отрезка: сначала находится одна часть рассматриваемого объекта (делением этого объекта на равные части, число которых равно знаменателю дроби), затем искомое число равных частей объекта (умножением на число, равное числителю дроби). К сожалению, такого перехода от конкретных объектов к абстрактному единичному отрезку ни на одном уроке не было.
Уроки-близнецы. С одной стороны, это по* нятно: новая программа, новый учебник, новое пособие к нему, в котором даны методические комментарии к упражнениям, как бы обязывают учителя учить учеников одному и тому же во всех параллельных классах. Так и должно быть. К тому же новизна застав¬
44


ляет учителя быть осторожным, следовать только учебнику и пособию. С другой стороны, учить одному и тому же —не означает учить одинаковыми методами. В методах обучения, в структуре урока должна сказываться индивидуальность учителя.
Конечно, в этих уроках имелись и отличия. Так, на одном уроке учитель рассказал, как найти Vs единичного отрезка; на двух других уроках учителя не проводили никакого объяснения, сразу вызывали к доске ученика, который должен был изобразить заданную дробь на числовом луче. А объяснение учителя всегда полезно ученикам. Были и другие несущественные отличия.
Разумеется, не все уроки по одной теме IV класса стереотипны. И не надо агитировать учителей четвертых классов за1 повсеместные отступления от учебника и пособия. Есть учителя, которым даже необходимо указать, что и как должно быть сделано на уроке, а что задано для домашней работы. Но есть учителя математики, многие годы творчески подходившие к обучению своих учеников, пусть и по старым программам. Нельзя не учитывать этого, инструктируя учителей для работы по новым программам и учебникам. Положительный опыт прошлых лет надо использовать. Такая мысль возникает при размышлениях над посещенными уроками математики в четвертых классах.
Возникли и другие соображения об изучении числового луча в IV классе.
Приведенный выше пример обобщения при построении отрезков и точек, соответствующих положительным обыкновенным дробям, следует, конечно (как это и.сделано в учебнике), завершить изучением того факта, что построение на числовом луче отрезка (точки), соответствующего данной дроби, не сводится к отысканию части единичного отрезка: найденная его часть обязательно откладывается от начала числового луча вправо. Конец полученного отрезка (точка) и изображает заданное дробное число. Такого акцента, к сожалению, тоже не было на посещенных уроках.
Вообще, надо учитывать, какое значение имеет понятие «числовой луч» для дальнейшего курса математики. Это понятие далее обобщается до числовой прямой. Значит, оно лежит в основе изучения системы координат, построения графиков функций, геометрического изображения действительных и комплексных чисел. Именно поэтому решению обратной задачи: поставить в соответствие данной на*числовом луче точке обыкновенную дробь — надо было уделить внимание на уроке. В учебнике такая задача неявно предлагается в уп¬
ражнении № 728. Но только неявно. Явно она формулируется лишь при изучении десятичных дробей в упражнении № 876.
Осторожными надо быть и при выборе единичного отрезка на числовом луче. Такой отрезок не должен быть мелким, чтобы можно было наглядно изображать дроби. Он должен быть удобным для быстрого изображения многих обыкновенных дробей (например, содержать 12 или 24 клеточки в тетради) на одном числовом луче. Еще лучше, если этот отрезок будет равен 10 см при изображении числового луча на миллиметровой бумаге (почему-то ее используют далеко не все учителя; не была она применена и на рассматриваемых уроках). На уроке должно * быть оговорено, что при выбранном единичном отрезке на числовом луче можно изобразить точку, соответствующую любой обыкновенной дроби. Иначе у учеников создается ошибочное представление о том, что для изображения дробей с различными знаменателями нужно каждый раз брать другой числовой луч с удобным единичным отрезком. Но это же не так!
Яркой иллюстрацией последнего являются эпизоды, имевшие место на одном из уроков. Выполняя упражнение № 725 а), ученики выбирают «удобный» единичный отрезок для изображения дробей со знаменателем 6, а затем, в № 725 б), —другой «удобный» единичный отрезок для изображения дробей со знаменателем 4 (4, 8 или 12 клеточек). Следует вопрос учителя: «Как на числовом луче изобразить дробь 3/4?» Ответ ученицы кажется неожиданным: «Отложить на луче 4 см и взять 3 из них». А такой ли уж это неожиданный ответ? Не является ли он следствием психологического воздействия на учащихся задания к упражнению № 725? Но, может быть, это единичный случай? Оказывается, нет. Вскоре, при сравнении дробей и Ую (упражнение
№ 727 в) другой ученик так объясняет свои действия: «Мы взяли один единичный отрезок, разделили его на 4 равные части и взяли одну такую часть. Затем взяли другой единичный отрезок, разделили его на 10 равных частей и взяли опять одну часть». А ведь геометрическое сравнение чисел можно производить лишь при условии, что они изображены на одном числовом луче или на числовых лучах с одинаковыми единичными отрезками. Похожая ситуация была и на двух других уроках. Конечно, учителя правильно реагировали на ошибки учеников, но ведь ошибок могло и не быть. И в методическом пособии для учителей следует предусмотреть такое психологическое воздействие упражнения № 725. Поэтому
*
45


надо учить школьников изображать дроби не только при «удобном» единичном отрезке, но и при произвольном единичном отрезке — хотя бы приближенно. Графические методы — методы приближенные. При таком подходе к изучению числового луча четвероклассникам становится понятно, почему точка, изображающая большую дробь, лежит на числовом луче правее точки, изображающей меньшую дробь: большей дроби соответствует и больший отрезок числового луча, считая от начала луча. Конечно, одного упражнения № 726 для усвоения этого факта недостаточно. В упражнении № 727 сравнение дробей предлагается уже без рисунка.
Далее в учебнике упражнения с числовым лучом помещены лишь дважды: в § 7 № 764 и 813, в § 8 № 875—877 (при изучении десятичных дробей). Возникает опасение: достаточно ли этих упражнений для формирования хотя бы умений пользоваться числовым лучом? Вероятнее всего, недостаточно. Но окончательный ответ на этот вопрос может дать лишь практика, опыт учительства.
Тревожит еще вот что. На всех трех уроках от учеников требовалось знание фактов, ученикам сообщались факты. А объяснения? А су¬
щество рассматриваемых фактов? На вопрос «Сколько месяцев -в 2/з* года?» следует ответ ученика: «8 месяцев». «Объясни, как счи¬
тал», — говорит учитель. Ученик отвечает: «В году 12 месяцев. Разделим их на 3, получим 4 месяца. Умножим 4 месяца на 2, получим 8 месяцев». Здесь приведен лучший вариант вопросов учителя и ответов ученика. А почему надо делить на 3, а затем умножать на 2? Эти вопросы, конечно же, надо выяснить, спрашивая время от времени учеников. При выполнении упражнение № 727 ученики достаточно быстро отвечают на вопрос «...какая из дробей лежит правее на числовом луче?» (цитируется по учебнику, стр. 135) и затрудняются объяснить свой ответ. А ведь в этом упражнении сказано «сообразите»! Необходимо, когда это доступно^ ученикам, вскрывать существо и смысл изучаемых математических фактов. Это поможет четвероклассникам лучше изучить математику. Надо обучать не только фактам, не только способам вычислений. Очень важно вскрывать причины, происхождение, генезис изучаемых фактов и способов. Лишь тогда математика становится «прозрачной» для понимания ученика, лишь тогда достигается отчетливое понимание и прочное усвоение предмета,
ЗАМЕТКИ С УРОКОВ
Мы это с успехом применяли!
К методике формирования геометрических понятий у учащихся младших классов
Изображение геометрической фигуры представляет собой комплекс раздражителей. Значение его различных компонентов в восприятии фигуры неодинаково. Часто одни признаки выступают как ведущие и вуалируют собой другие. Отсюда у учащихся могут возникать неправильные представления о фигуре.
При изучении геометрического материала в IV классе рассматриваемые фигуры не определяются. Поэтому большую роль должно играть выделение всех существенных призна¬
ков этих фигур. Наш опыт показал, что даже формирование таких, казалось бы, простых понятий, как «отрезок» и «луч», вызывает у учащихся определенные трудности.
Отрезок и луч имеют два признака, по которым учащиеся должны их узнать среди других фигур. Для отрезка — это прямолинейность и ограниченность. Для луча — прямолинейность а ограниченность с одной стороны.
В 1969/70 учебном году мы провели наблюдение за усвоением этих понятий в четвертых классах экспериментальных школ г. Киева.
При формировании понятий «отрезок» и «луч» учителя акцентировали внимание учащихся на признаке ограниченности. В результате имело место неправомерное расширение объема этих понятий. Так, фигуру, изображенную на рисунке 1, учащиеся называли отрезком, фигуру на рисунке 2 — лучом. Это отрицательно влияло также на усвоение последую-
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
46


щих геометрических понятий. Например, фигуру, изображенную на рисунке 3, учащиеся называли ломаной, фигуры на рисунке 4 — углами.,
Каковы причины указанных ошибок? Насколько действенным является каждый из существенных признаков указанных понятий при узнавании этих фигур среди других?
Рис. 4
Чтобы ответить на эти вопросы, мы выяснили, насколько хорошо узнают отрезок и луч учащиеся до изучения геометрического материала в IV классе. Для этого в начале 1970/71 учебного года с учащимися IV класса была проведена следующая работа. Предъявлялась карточка с изображением отрезка (рис. 5), и задавался вопрос: что здесь изображено? Если ученик не мог ответить на вопрос, то ему говорили, что это — отрезок. Затем ученику прёдъ-
Рие. 5 Рис. 6 Рис. 7
являлись карточки, на которых были изображены фигуры, отличные от отрезка (рис. 6 и 7). При этом предлагалось сказать, отрезок это или нет.
Правильные ответы дали 70% учащихся от всего числа охваченных экспериментом (210 человек). Эти учащиеся не назвали отрезком ни одну из фигур, изображенных на рисунках 6 и 7.
Обоснование ответов такими учащимися свидетельствует, что они фактически пользовались обоими существенными признаками отрезка, не осознавая этого. Сравнивая рисунки 6 и 7 с рисунком 5, они подмечали их различия. Мышление происходило лишь в плане сравнения по наглядности.
Аналогичную работу мы повторили после изучения учениками понятий отрезка и луча в IV классе. Выявилось/что после ©бучения число учащихся, назвавших фигуру рисунка 7 отрезком, увеличилось на 60%. Это свидетельствует о том, что увеличилась активность компонента, соответствующего существенному признаку «ограниченность». Подтверждением правильности этого вывода является тот факт, что никто из учеников не назвал отрез¬
ком фигуру рисунка 6, у которой отсутствовал этот компонент.
По ответам учеников можно предположить, что происходит маскировка существенного компонента, «прямолинейность» вследствие отрицательной индукции со стороны более сильного компонента, каким стал в результате обучения компонент «ограниченность».
Можно было также предположить, что активность компонентов, соответствующих существенным признакам отрезка, различна по самой своей природе. Но, как выяснилось, это предположение неверно. Его отрицает эксперимент, проведенный в I классе.
Таким образом, новое соотношение активности компонентов, которое выявилось у учащихся IV класса, установилось в результате неправильной методики обучения, при которой дифференцирование геометрических фигур (отрезок, прямая, луч) производилось только по одному из существенных признаков —« «ограниченность». В результате такой методики этот признак и был доминирующим при распознавании соответствующих фигур.
Мы провели также и обучающий эксперимент, целью которого было научить детей выделять существенные признаки геометрических фигур. Расскажем вкратце его ход на примере изучения понятия «отрезок».
Используя конкретный жизненный опыт детей, мы разъяснили учащимся понятие «признак». На конкретных примерах мы учили их выделять признаки объектов. Они получили также представление о том, как нужно действовать с признаками объекта, который им необходимо распознать среди других.
Учащиеся с большим интересом называли признаки различных предметов, животных, явлений природы и придумывали различные примеры, в которых объекты не обладали всеми заданными признаками. После этого мы приступили к формированию понятия «отрезок». После коротких теоретических выкладок соответственно учебнику под ред. А. И. М а р- кушевича с учащимися проводилась работа по выделению признаков отрезка. Они сумели самостоятельно выделить оба его признака.
Затем учащимся предлагались различные линии (рис. 8), среди которых они должны были распознать отрезок. Нужно отметить, что это учащиеся выполняли с большим интересом. А то, что они каждый раз могли сознательно ответить на вопрос, почему та или иная геометрическая фигура не относилась к данному понятию, и указывали признак, который там не выполнялся, является свидетельством того, что проделанная нами работа
47


способствовала развитию логического мышления учеников.
Самостоятельные задания для учащихся готовились экспериментатором в специально для этого отведенных тетрадях. Фигуры, ко-
Рис. 8
торые предлагались учащимся для распознавания, подбирались так, чтобы дифференцирование изучаемых объектов учащиеся проводили по всем наличным у них признакам. На-
Рис. 9
пример, при изучении темы «Луч» ученикам предлагалось распознать луч не только среди линий, где не выполнялся признак ограниченности с одной стороны (прямая, отрезок), но и среди таких, где бы не выполнялся признак прямолинейности. Такие упражнения способствовали осознанию учащимися обоих признаков и активному использованию их при распознавании соответствующих фигур. ,
При изучении понятия «ломаная» учащимся для распознавания предлагались фигуры, изображенные на рис. 9.
Т. С. ЯЦЕНКО
(г. Киев)
Повторение основных свойств тригонометрических функций на первых уроках в X классе
Прежде чем приступать к изучению в X классе тригонометрических теорем сложения, мы в своей практике проводили на 2—3 уроках повторение определений и основных свойств тригонометрических функций по следующему плану.
1. Градусная и радианная мера дуг и углов; углы и дуги любой величины.
2. Числовая ось и числовая окружность.
3. Определение тригонометрической функции z=sin а.
4. Свойства функции z=sin а.
а) Область определения. Здесь мы доказывали (напоминали), что областью определения данной функции служит множество всех действительных чисел (каждому действительному числу а соответствует точка на числовой окружности, а отношение ординаты этой точки к длине радиуса равно sin а).
б) 	Периодичность. Учитель напоминает, что sin а — функция периодическая и доказывает, что Т=2я — наименьший положительный период.
в) Корни функции. Непосредственно из определения выводится, что sina = 0 при a = тс п. После этого мы повторяли решение уравнений вида sin [ / (jc)J = 0. Найример:
sin 2х = 0, sin ^х —= 0, sin (2х + 3) = 0,
sin \х — 5| =0, sin jAx: — 1=0, sin (jc2+2jc)==0 и т. д. Последние оказывались весьма полезными для выработки навыков исследования решений.
г) Промежутки знакопостоянства. Записывали утверждения: sina>0 на каждом промежутке вида Ът < a < тс -f 2тс/г, sin a < 0 на каждом промежутке вида — tc + 2it£<[ <^a<^ 2nk.
д) Промежутки монотонности. Исходя из определения и ссылаясь на периодичность функции sin а, легко заметить, что sin а возрастает от —I до I на каждом промежутке
вида —y + 2кп <С а <С + 2я/г и убывает
от Ч до —1 на каждом промежутке вида
тс 3
4- <С a < — тс + 2it£. (Во всех случаях
п и k — целые числа.)
Для закрепления свойств г) и д) решали (как правило, устно) упражнения: сравнить числа: sin 1 и sin 1,3, sin 2,3 и sin 3,4, sin( —1,5) и sin 3,2, sin те и sin 3,15 и т. п.; указать знаки чисел: sin 27°; sin 1,3; sin 2,7; sin 2,3 — — sin 3 и т. п.
е) Максимальное и минимальное значения функции. zmax = 1 при a = 2tert,
zmin = — 1 при a = —-f 2-кп. Здесь удобно
повторить решение уравнений вида sin [/(л:)] =■
= + 1.
ж) 	Нечетность функции sin о.
48


5. 	Построение угла, соответствующего данному значению sin a = m, где и реше¬
ние уравнений вида sin[f(x)] *=m и неравенств вида sin x>m, sinA: <m.
Обзорное повторение проводилось при активном использовании круга с подвижной стрелкой и делениями (см.: К- С. Богушев- с к и й и К. П. С и к о р с к и й, Методические указания к преподаванию математики в IX классе, Учпедгиз, 1959 и А. И. Худобин и др. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям, «Просвещение», 1970, стр. 131) и начерченного предварительно на отдельном листе графика г=sin а.
Свойства остальных тригонометрических функций учащиеся успешно повторяли самостоятельно по тому же плану.
Некоторые учителя (в том числе и автор этих строк) начинают изучение «Тригонометрических функций любого аргумента» в IX классе также по приведенному выше плану.
Такое компактное изучение свойств тригонометрических функций способствовало лучшему пониманию функционального содержания всех тригонометрических тем.
Г. А. ЯСТРЕБИНЕЦКИЙ
(Москва)
Л. М. ПАШКОВА
(Москва)
В КОМИССИИ ПО МАТЕМАТИКЕ УЧЕНОГО МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕТА МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР
23—24 июня 1971 г. состоялось очередное заседание комиссии по математике Ученого методического совета.
На комиссии был рассмотрен переработанный текст учебника «Геометрия» для VI класса А. Н. Колмогорова, А. Ф. Семеновича, Ф. Ф. Нагибина, Р. С. Черкасова под редакцией А. Н. Колмогорова. Комиссия отметила, что на основе опыта, полученного путем экспериментальной проверки, авторы сумели значительно переработать первое издание пробного учебника. Книга стала доступнее для учащихся, упрощено изложение ряда вопросов, система упражнений тесно связана с теорией. Комиссия вынесла решение рекомендовать ее к изданию в качестве учебного пособия для VI класса.
На комиссии была рассмотрена работа В. Г. Болтянского, М. Б. Воловича, А. Д, С е м у ш и* на «Геометрия» для VI класса, которая представляет собой проект учебника, составленного в целом в соответствии с новой программой. Комиссия отметила, что
рукопись интересна методическим подходом к изложению программных тем, набором задач, и рекомендоваг ла ее к изданию как пособие для учителя.
Комиссия обсудила рукопись пробного учебника «Алгебра» для VIII класса Ю. Н. Макар ы ч е в а,
Н. 	Г. М и н д ю к, К. С. М у р а в и н а, С. Б. Суворовой, В. М. Монахова под редакцией А. И. М а р- кушевича и вынесла решение рекомендовать ее к изданию в качестве пробного учебника для экспериментальной проверки программы и самого учебника с предварительной доработкой и сокращением внепрограммного материала.
Четвертым вопросом заседания комиссии было об- 4 суждение программы по математике для I—XI классов эстонских школ. Комиссия высказала некоторые рекомендации для доработки программы с целью дальнейшего улучшения ее качества.
24 июня рабочая группа комиссии рассмотрела переработанный на основе замечаний комиссии вариант рукописи учебника «Алгебра» для VI класса Ю. Н. М а- кар ычев а, Н. Г. М и н д ю к, К. С. М у р а в и я а, С. Б. Суворовой под редакцией А. И. Маркуше* вича и отметила, что все рекомендации комиссии, высказанные при обсуждении рукописи на заседании комиссий от 28 мая 1971 г., авторы выполнили. В рукопись внесены необходимые изменения, и комиссия вынесла решение рекомендовать рукопись к изданию в качестве учебного пособия по алгебре по новой программе для VI класса общеобразовательной школы.
49


В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ ВЕЧЕРНИХ (СМЕННЫХ) ШКОЛ
Г. Д. ГЛЕЙЗЕР, С. М. СААКЯН
(Москва)
ПЛАНИРОВАНИЕ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ В VI—XI КЛАССАХ ВЕЧЕРНЕЙ (СМЕННОЙ) ШКОЛЫ НА II ПОЛУГОДИЕ 1971/72 УЧЕБНОГО ГОДА
Предлагаемое планирование является продолжением планирования, опубликованного в журнале «Математика в школе», № 3 за 1971 г. Там же даны все ссылки на официальные документы (программы, учебные планы), учебники и учебные пособия.
VI класс Арифметика
Содержание учебного материала
Число
уроков
Номера упражнений для классной и домашней работы
1
2
3
Проценты
Определение процента числа.
2(2)'
1564—1615;
Нахождение процентов числа
§ 144, 145
Нахождение числа по данным
3(3)
1616*— 1686
его процентам
§ 146
Нахождение процентного отно¬
4(5)
1687—1732;
шения двух чисел. Относитель¬
§ 147, 148
ная погрешность
Решение задач всех типов на
5(6)
1733—1768
процентные вычисления'
Чтение и построение круговых
2(2)
1769—1775;
(секторных) диаграмм
§ 114
Контрольная работа № 3
1 (1)
Анализ контрольной работы
КО
Пропорции
Отношение двух чисел. Пропорция. Основные свойства пропорции. Нахождение неизвестного члена пропорции
3(4)
1776—1804; § 149—151
1805—1860; § 152, 153, 155
Прямая и обратная пропорцио- 6 (8)
нальность величин. Решение задач на прямую и обратную пропорциональность величин приведением к единице
Деление числа на части пропор- 3 (4) 1861—1897;
ционально данным числам § 156, 157
Повторение 2 (2) 1898—2013
Контрольная работа № 4 1 (1)
Анализ контрольной работы 1 (1)
Повторение
Решение основных типов задач 2 (6)
на процентные вычисления Решение задач на прямую и об- 2 (4)
ратную пропорциональность величин и на пропорциональное деление
Алгебра
Действия над целыми алгебраическими выражениями (окончание темы)
Умножение по формулам:
(а ± Ь)2, (д — Ъ)(а+Ь)\
(а ± 6)3, (а ± Ь) (a2 =F ab + Ь2)
Контрольная работа № 7 Анализ контрольной работы Деление одночленов
Деление многочлена на одночлен
Деление многочленов с использованием формул сокращенного умножения Повторение. Решение примеров Контрольная работа № 8 Анализ контрольной работы
11 (8)
476—492,
496—507,
509—511,
520—522,
533—542,
547—550
§ 41 и
стр. 120, 121
I (1)
1 (1)
2(2)
565—576;
579—582
§ 42, 43
2(2)
591—606;
§ 44
5(4)
938-946;
§ 57
4(2)
1 (1)
1 (1)
Уравнения Уравнение. Корень
1 Здесь и в дальнейшем перед скобками указано число уроков в школах с продолжительностью учетного года 36 недель, а в скобках — число уроков в школах с продолжительностью учебного то да 28 недель. В V— VIII классах школ с продолжительностью учебного года 28 недель кроме указанного времени отводится по 14 часов в каждом классе на проведение консультаций и зачетов по математике.
Тождество. Уравнение. Корень 2 (2) уравнения Основные свойства уравнения 3 (2) (на примерах)
Решение уравнений первой сте- Щ7) пени с одним неизвестным (с числовыми коэффициентами). Контрольная работа № 9 (на 15—
20 мин.)
Составление уравнений по уело.- 12 (10) виям задач
179-190;
§ 24, 46, 47 712—725;
§ 48 241—245, 726—739, 1043—1054; § 49—51
187, 189, 191—203, 287—290,
50


Составление уравнений по усло¬
виям задач
Повторение
Контрольная работа № 10 Анализ контрольной работы
Повторение Действия над рациональными
числами
Действия над целыми алгебраическими выражениями Упражнения в решении уравнений первой степени с одним неизвестным и составлении уравнений по* условиям задач Решение задач и примеров
VII класс Алгебра
1 (1) 1 (1) 1 (1)
4(3)
5(3)
8(6)
3 (2)
356—360, 407—410, 413—457, 661—670, 750—813; § 52
Содержание учебного материала
Номера упражнений для классной и домашней работы
Простейшие функции и их графики. Уравнения первой степени с одним неизвестным с числовыми коэффициентами (окончание темы)
Повторение основных сведений 2 (2) об уравнении (числовое равенство и его свойства, тождество и уравнение, корень уравнения, равносильность уравнений)
Решение уравнений первой сте- 3 (4) пени с одним неизвестным с числовыми коэффициентами. Контрольная работа N° 7 (на 15—
20 мин.)
Решение уравнений, содержа- 2 (2) щих неизвестное в знаменателе дроби
Решение задач с помощью со- 5 (6) ставления уравнений
Примеры решения уравнений 2 (2) первой степени с одним неизвестным с буквенными коэффициентами
Контрольная работа № 8 1(1)
179—197, 204, 206, 339, 341, 401, 405
448,, 628, 735, 736, 1043—1054
1161—1168
Ю94— 1181, 1185, 1190, 1196— 1206- 1213, 997- 1121^ 1169-—
1097, 1182, 1187, И 92, 1202, •1210, 1214 1001, 1131, 1174
нии первой степени с двумя неизвестными с числовыми коэффициентами и понятие о ее решении Решение системы уравнений спо- 2 (5) собом подстановки Решение системы уравнений спо- 3 (3) собом алгебраического сложения. Контрольная работа № 9 (на 15—
20 мин.)
Графическое решение системы 3 (3) двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (три случая). Контрольная работа № 10 (на 15—20. мин.)
Решение задач с помощью си- 5 (4). стемы уравнений
Контрольная работа № 11 1 (1)
Повторение
Приемы составления уравнений 8 (8) и систем уравнений первой степени по условиям задач
Геометрия
Треугольник (окончание темы)
Свойства’ биссектрисы равнобед- 2 (—) 2 ренного треугольника. Свойства диаметра, перпендикулярного к хорде
Равенство дуг, заключенных 2 (—) между параллельными хордами Правильный треугольник. Свой- 1 (—) ство катета, лежащего против угла в 30°
Решение задач
3 (—)
Контрольная работа №5 1 (—)
Равенство треугольников. По- 4 (4) строение треугольников, по основным элементам и признаки равенства треугольников Признаки равенства прямо- 2 (2) угольных треугольников Проведение перпендикуляра к 1 (1) прямой через данную точку. Деление отрезка на две равные части Построение угла, равного дан- 1 (1) ному углу. Деление угла на две равные части
Проведение касательной к ок- 1(1) ружности через данную точку на ней и вне ее Решение задач на построение 3 (2) с помощью циркуля, линейки и чертёжного треугольника
Контрольная работа № 6 1 (1)
1333—1339,
1371—1374
1340—1346,
1363—1366
1331, 1332, 1347—1352
1386—1414 1429, 1430
1455—1457, 1461, 1472, 1473
150—154, 162, 163
Ч етырехугольники
Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными Одно уравнение первой степени 1 (1) 1322—1329
с двумя неизвестными и его график. Бесконечное множество его решений. Система двух уравне-
Многоугольник. Выпуклый многоугольник и его элементы. Четырехугольники Определение , параллелограмма. Виды параллелограммов, их свойства и признаки
1 (О
164, 165
152, 155, 156
153, 154 157—160
166—168, 172—179, 181, 182, 187—194 174, 180, 183—186 195, 196, 199, 206, 210 (1), 211 197, 198, 200, 210 (2), 212 207
202, 205, 208
213—217
2 (2) 218—227,
233—242, 247—251,
255, 257
2 В школа.% с продолжительностью учебного года 28 не¬
дель указанный материал изучен в I полугодии
51


243, 244, 252
274—277
260—268, 280, 286
228—231, 269—273, 278, 279, 287—289
290—338,
361 (1),
362 (1), 370 (1), 374 Cl), 377 (i)
339—348 727 (1), 730 (2) 349, 350
351—359
360,
361 (2, 3), 363—366 ( 1,2), 367, 368( 2, 3), 369. 370 (2),
371 (2, 3)
372 (2, 3),
373 (1, 2), 376 (1, 3), 377
Контрольная работа № 10 1 (1)
Повторение Основные теоремы о треуголь- 2(1) никах
Основные теоремы о четырех- 3 (1) угольниках, решение задач
VIII класс
Алгебра
Номера
упражнения
Содержание учебного материала
Ч а
для классной
и домашней
'У >>
работы
1
2 1
! 3
Квадратные корни и квадратные уравнения (окончание темы)
Решение задач с помощью квад- — (2) 3 ратных уравнений
Контрольная работа № 5 — (1)
Анализ контрольной работы. — (1)
Решение примеров и задач
3 В школах с продолжительностью учебного года 36 не¬
дель указанный материал изучен в I полугодии.
52
Построение параллелограммов 3 (3) по данным их элементам и решение задач. Контрольная работа № 7 (на 15—20 мин.)
Средняя линия треугольника. 2 (2) Свойство медиан треугольника Трапеция. Равнобедренная тра- 2 (2) пеция. Построение трапеции. Средняя линия трапеции Решение задач. Контрольная 2 (2) работа № 8 (на 15—20 мин.)
Измерение площадей. Площадь 2 (2) квадрата и треугольника Площадь параллелограмма и 3 (3) треугольника
, Площадь трапеции 2(2)
Решение задач. Контрольная 4 (3) работа № 9 Центральная симметрия. По- 1 (1) строение точки (прямой), симметричной с данной точкой (прямой) относительно точки (центра) Центральная симметрия данной 2 (2) фигуры. Центральная и осевая симметрия параллелограмма Решение задач 3 (2)
Теорема Виета. Составление 3 (2) квадратного уравнения по его корням
Разложение квадратного трех- 3 (3) члена на линейные множители (применение к сокращению алгебраических дробей)
Контрольная работа № 6 l (1)
Понятие о системе уравнений з (3)
второй степени. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными (с числовыми коэффициентами), из которых одно — второй степени и одно — первой степени. Контрольная работа N° 7 (на 15—20 мин.)
Решение задач с помощью урав- 4 (3) нений
Контрольная работа № 8 1 (1)
Обобщающий урок по теме 1 (1)
Квадратная функция и ее график
Постоянные и переменные вели- 4 (4) чины. Аргумент и функция. Прямоугольная система координат.
а
Функции у — ах + 6, у = — и их графики
Графики функций у = ах2, у = 3 (3)
= ах2 + b
График функции у — а(х + т)? 1(1)
Выделение квадрата из трехчле- 6 (5) на второй степени. График функции у = ах2 + bx -f с. Наименьшее или наибольшее значение квгадратной функции. Промежутки убывания и возрастания и знак квадратной функции. Повторение: примеры на все действия над целыми алгебраическими выражениями и дробями
Контрольная работа № 9 1 (1)
Графическое решение квадрат- 2 (2) кого уравнения. Повторение: решение задач с помощью уравнений и систем уравнений
Графическое решение простей- 6 (6) ших систем уравнений второй степени (прямая и гипербола, прямая и парабола и др.)
Контрольная работа № 10 1 (1)
Обобщающий урок по теме 1 (1)
Повторение
Действия над целыми и дроб- 4 (4) ными алгебраическими выражениями. Действия над обыкновенными и десятичными дробями Уравнения и системы уравнений 2 (2) первой степени с числовыми коэффициентами
Уравнения и системы уравнений 2 (2) второй степени с числовыми коэффициентами Функции и их графики. Графи- 3 (2) ческое решение уравнений и систем уравнений первой и второй степени
1647-г—1656
1657—1661
1673—1683
1706, 1734, 1740, 1741
1749—1765
1258—1267,
1282—1285,
1296—1299,
1300—1303
1766—1791
1793—1798, 1800—1803. 1805—1808 1817—1820, 1823, 1824, 1827
1610, 1645, 1874—1876
1670—1672, 1686, 1877
1911—1915
1904, 1905, 1439—1448
1472—1474, 1246, 1049
1924, 1925, 1684, 1685
1475, 1830, 1877


Приемы составления уравнений 5 (4) 1926—1941
по условиям задач
Геометрия
Тригонометрические функции острого угла (окончание темы)
Соотношения между сторонами 1 (—) 4 509,
и углами в прямоугольном тре- 511—514,
угольнике 516—520
Решение задач, сводящихся к 4 (—) 475, 476,.
вычислению элементов прямо- 478—489
угольного треугольника Контрольная работа № 4 1 (—)
Многоугольники и окружность
1 (-)
1 (-)
2 (—)
2(2)
2 (2)
Выпуклый многоугольник. Сумма внутренних и внешних углов его. Повторение: свойства и признаки параллелограммов Теоремы: около всякого тре;
угольника можно описать окружность; в.о всякий треугольник можно вписать окружность Свойства вписанных и описанных четырехугольников. Задачи: около треугольника или равнобедренной трапеции описать окружность; в ромб вписать окружность Правильные многоугольники. Вписанные и описанные правильные многоугольники. Повторение: построение касательной к окружности
Построение правильных многоугольников путем деления окружности на равные части. Определение стороны правильного многоугольника по радиусу описанной около него окружности и центральному углу. Повторение: построение треугольников ’Площадь правильного многоугольника Решение задач. (по готовым формулам) на вычисление длины окружности и ее дуги с использованием таблиц и логарифмической линейки. Повторение: построение параллелограммов и трапеций Решение задач на вычисление площади круга по его диаметру, диаметра круга по его площади, площади сектора и сегмента (с использованием таблиц й логарифмической линейки).
Контрольная работа № 5
Вычисление площади поверхно- 2 (2) стей и объема прямой призмы и прямого кругового цилиндра. Повторение: вычисления с помощью логарифмической линейки
.10)
2(1)
546—550
551—558
559—564.
565--583
584—589
584—589
590—616
Вычисление площади поверхно- 2 (2) стей и объема правильной пирамиды и прямого кругового конуса
Практическая работа на вычис-; 1(1) ление площади поверхностей, объема, веса технических деталей, имеющих формы изученных геометрических тел, на ос.нове непосредственных измерений Вычисление площади поверхно- 1 (1) сти и объема шара Решение задач на вычисление 1 (1) площади поверхностей и объема тел (с учетом производственного опыта учащихся)
Понятие о кубическом корне из 3 (2) числа. Вычисление ребра куба и диаметра шара по заданным объемам этих тел при помощи таблиц и логарифмической линейки. Вычисление кубов чисел и кубических корней из чисел по таблицам
Практическая работа на вычис- 1 (1) ление площади поверхностей, объема, веса технических деталей, имеющих формы изученных геометрических тел, на основе непосредственных измерений
Повторение Основные понятия геометрии. 1 (1) Аксиомы, теоремы. Структура теоремы. Прямая и обратная теоремы
Параллельность прямых. Сумма 1 (1) внутренних и сумма внешних углов треугольника и многоугольника
Признаки равенства и признаки 2 (1) подобия треугольников. Подобие многоугольников. Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого угла Свойства и признаки пареллело- 1 (1) граммов
Площадь плоских фигур. Пло- 2 (1) щадь поверхностей и объем тел
IX класс Алгебра и элементарные функции
690—693,
696—699,
702—705,
708—713
718—726
648 из задачника П. А. Ларичева 1847—1852 (1), 1853—1864, 1867, 1871
2(1) 617—639
Число
уроков
1(1)
Содержание учебного материала
по типовому уч. плану
по уч. плану МП РСФСР на 1971/72 уч. год
Параграфы
объем тел
1
2
3
4
640—647,
649—689
Действительные числа. Квадратные уравнения (окончание темы) 5
2 (2) 3 (3) 50, 53, 56
4 В школах с продолжительностью учебного года 28 не¬
дель указанный материал изучен в I полугодии.
Решение квадратных уравнений с числовыми и бук-
5 Во II полугодии рекомендуется параллельно с изучением этой темы изучать тему «Тригонометрические функции любого аргумента».
53


венными коэффициентами, их исследование. Примеры решения биквадратных уравнений Решение систем уравнений второй степени. Повторение: графики функций в
связи с графическим решением систем уравнений Контрольная работа № 5
3 (2) 4 (4) 63, 64
1 (1) 1 (1)
Неравенства второй степени
Построение графика квад- 1 (1) 1 (2)
ратного трехчлена Решение неравенств вто- 2 (2) 2 (2) 61, 62
рой степени при £)> О,
D=0, D<0 Решение неравенств. При- 2 (2) 2 (2)
меры исследования корней квадратного уравнения по его дискриминанту. Контрольная работа № 6 (на 15—20 мин.)
Консультации и прием зачета № 3 (2 часа)
57—60
62
2 (2) 3 (3)
1 (1)
2(2)
2(2)
2(2)
1 (О 2(2)
Степень с рациональным показателем.
Степенная функция
Свойства степени с нату- 1 (1) 1 (1)
ральным показателем Определение степени с показателем нуль и целым отрицательным. Действия над степенями с произвольными целыми показателями Степенная функция у=хп для /1=1, 2, 3, —1, —2 Определение корня п-й степени. Арифметическое значение корня. Извлечение корня степени п из произведения, дроби и степени.
Повторение: абсолютная величина числа Контрольная работа № 7 Примеры преобразования радикалов. Приведение к рациональному виду знаменателей и числителей, содержащих квадратные радикалы Примеры решения иррациональных уравнений. Повторение: системы ' линейных неравенств Определение степени с дробным показателем. Умножение и деление степеней с рациональными показателями. Возведение степени в степень с рациональным показателем Степенная функция у =
«= хг(х > 0) для г = —,
—U. Общие свойства сте-
68, 69 71, 72
73, 74 75—80
1 (1) 2(2)
81—83
2 (2) 3 (3) 65, 66
2 (2) 2 (3) 84—86
1 (1) 1 (2) 87, 88
пенных функций. Диафильм «Степенная функция с рациональным показателем»
Решение примеров на все 2 (2) 3 (4) 88
действия над степенями с рациональными показателями. Повторение: арифметическое значение корня Контрольная работа № 8 1 (1) 1 (1)
Консультации и прием зачета № 4 по теме (8 час.)
Повторение: исследование 1 (1) 4 (4)
линейных уравнений и систем линейных уравнений.
Решение систем неравенств
Тригонометрические функции любого аргумента
Углы произвольной величины. Дуги окружности произвольной величины. Повторение: векторы; проекция вектора на ось; координаты вектора на плоскости
Радианное измерение углов и дуг,
Определение тригонометрических функций любого угла. Нахождение тригонометрических функций любого угла и нахождение угла по данному значению одной из его тригонометрических функций путем построения и при помощи таблиц. Изменение тригонометрических функций Знаки тригонометрических функций Значения тригонометрических функций углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°
Четность и нечетность тригонометрических функций. Повторение: определение
осевой и центральной симметрии точек Повторение теории и решение примеров Контрольная работа № 9 Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. Контрольная работа № 10 (на 15—20 мин.)
Периодичность тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Повторение: значения тригонометрических функций некоторых углов. Четность и не-
1 (1) 1 (1) 93
2(2)
2(2)
1 (О 1 (1)
1 О)
3(3)
2(2)
2(2) 107
3(2) 94—97,
103, 104
1 (1)
1(1) 98
1 (1) 1 (1) 99
1(1) 1(1)
1 (1)
4 (3) 109, 116
2(2) 2(2) 110
4 (2) 100,
101, 111
54


четность тригонометрических функций Определение тригономет- 2(2) 3(2) 108,
рических функций действи- 113—115
тельного числа. Таблицы значений тригонометрических функций углов, выраженных в радианах. Свойства тригонометрических функций и их графики. Диафильм «Графики тригонометрических функций»
Контрольная работа № 11 1 (1) 1 (1)
Консультации и прием зачета № 5 по теме (7 час.)
Общее выражение тех 3(3) 4(3) 117—122
значений аргумента, которым соответствует данное значение тригонометрической функции; обозначения arcsin m, arccos m, arctg m, arcctg m. Решение простейших тригонометрических уравнений. Повторение: определение уравнения; корень уравнения; равносильность уравнений Доказательство тождеств и решение уравнений Контрольная работа № 12 1 (1) 1 (1)
Повторение: алгебраиче- 1 (1) 4 (1)
ские соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента; формулы приведения, тригонометрические уравнения Консультации и прием зачета № 6 по теме (2 часа)
X к л а с с Алгебра и элементарные функции
3 (3) 4 (3) 123, 124
Число уроков
>>
Содержание
I-
«си
2
учебного материала
§1
о
bL ^ и
О,
и
«
а,
о э* в
о5 ев 3*
X >>
ев
С
1
2
3
4
Числовые последовательности
Числовая последователь- — (—-) 1 (—-)в
ность. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. Повторение: линейная функция Свойства членов арифме- — (—) тической прогрессии. Формула суммы членов
127, 142
2 (—) 143,144
Решение, примеров и задач. Контрольная работа № 4 (на 15—20 мин.)
Геометрическая прогрессия. Формула общего члена Свойства членов геометрической прогрессии. Формула суммы членов геометрической прогрессии Решение задач на прогрессии Контрольная работа № 5 Понятие о пределе числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности (без доказательства)
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного (без доказательства) Применение пределов к вычислению длины окружности и площади круга Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную Контрольная работа № 6 Консультации и прием зачета № 3 по теме (4 часа)
- (-) 3 (-)
1 (1) 1 (1)
1 (1) 1 (1)
2 (2) 3 (3)
1 (1) 1 (1)
1 (1) 2 (2)
2(2)
2(1)
2(2)
1 (1) 1 (1)
145 146, 147
2(2)
2(1)
3(3)
128—131,
133
136
138—141
148
2 (2) 3 (2) 180—182
3(2) 3(2)
6 В школах, работающих по типовому учебному плану,
и в школах РСФСР с продолжительностью учебного го¬
да 48 недель указанный материал изучен в I -полугодии.
Показательная и логарифмическая функции
Понятие степени с ирра- 2 (2) 2 (2)
циональным показателем.
Показательная функция, ее свойства и график. Повторение: рациональные и иррациональные числа, степени с рациональными показателями Логарифм числа по данному основанию. Логарифмическая функция, ее свойства и . график. Диафильм «Логарифмическая функция и ее свойства>
Равенство Ъ — alogab. Простейшие показательные и логарифмические уравнения.
Контрольная работа № 7 (на 15—20 мин.)
Логарифм произведения, 1 (1)
частного, степени и корня Логарифмирование и по- 2 (2)
тенцирование алгебраических выражений Свойства десятичных логарифмов. Таблицы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций
Преобразование отрица- 1 (1)
тельных логарифмов
Обоснование действий на 1 (1)
логарифмической линейке
175, 178, 179
1 (1) 2(2)
183, 184 186
1 (1) 2 (2) 188—191
1 (1) 1(1)
192
195
55


Вычисления с помощью таблиц десятичных логарифмов и логарифмической линейки
Контрольная работа N° 8
Консультации и прием зачета № 4 по теме (4 часа)
Показательные уравнения
Логарифмические уравнения. Примеры графического решения уравнений ах = = kx н- by logaJC = kx+b и др. Повторение: графики показательной и логарифмической функций
Контрольная работа № 9
Консультации и прием зачета № 5 по теме (2 часа)
Повторение: тригономет¬
рические теоремы сложения и их следствия, прогрессии, логарифмы
3 (3) 5 (4) 193
1 (О 1 (1)
2(2)
3(2)
3 (3) 196
4 (3) 197, 198
1 (1)
2(2)
1 (1) 6(2)
Геометрия
Многогранники и круглые тела
Многогранники. Призмы. Параллелепипеды. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Повторение: теорема косинусов
Пирамида. Свойства параллельных селений пирамиды. Усеченная пирамида
Понятие о правильных многогранниках. Диафильм «Правильные многогранники»
Решение задач
Контрольная работа № 4
Цилиндрическая поверхность. Понятие о поверхности вращения. Цилиндр вращения; его развертка
Коническая поверхность. Конусы вращения: полный
и усеченный, их развертки
Сфера w шар. Взаимное положение плоскости и сферы. Плоскость, касательная к сфере
Контрольная работа № 5
Консультации и прием зачета № 3 по теме (9 час.)
Повторение, теории и решение задач
56
3 (3) 3 (4) 54—56
3 (3) 3 (4) 57—59
1(1)' 1 (О
1 (2) 1 (О 2(2)
1 (2) 1 (1) 2(3)
60
61
з (3) 3 (4) 63, 64
2 (3) 2 (4) 66—68
1(1) 1(1)
2 (2) 2 (4)
XI класс Алгебра и элементарные функции
Чис.ло уроков
Содержание учебного материала
по типовому уч. плану
по уч. плану МП РСФСР на 1971/72 уч.' год
Параграфы:
1
2
...3
. 4
Обобщение понятия числа Комплексные числа
Расширение понятия чис- 1(1) 1 (—)7
242 \
ла: натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Законы сложения и умножения Расширение множества
1 (1)
1 (-)
243
действительных чисел. Мни-
мые числа, комплексные чи- слд и их геометрическая интерпретация. Повторение: геометрическая интерпретация действительного числа
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Повторение: системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными Контрольная работа N° 4 Двучленные уравнения третьей и четвертой степени. Основная теорема алгебры (без доказательства) Метод математической индукции. Повторение: арифметическая и геометрическая прогрессии
Контрольная работа № 5 Консультации и прием зачета № 2 по теме (4 часа)
4 (5) 5 (—) 244^253
1 (1)
3(3)
1 (-)
3 (-)
254, 255, 259
3 (4) 4 (—) 261—264
1 (1) 1 (-)
Повторение курса «Алгебра и элементарнььг функции», решение задач и примеров
Квадратные уравнения (вывод формул корней). Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Исследование корней квадратного уравнения Числовые неравенства. Неравенства первой и второй степени Исследование линейных уравнений. Исследование систем линейных уравнений Тригонометрические функции любого аргумента. Тригонометрические теоремы сложения и их следствия
1 (2) 2 (3)
1 (2) 2 (3)
2 (2) 2 (3)
2 (4) 4 (4)
7 В школах РСФСР с продолжительностью учебного го¬
да 28 недель эта тема изучена в I полугодии.


Свойства тригонометриче- 1 (1) ских функций и их графики Контрольная работа № б 1 (1)
Свойства степенной функ- 2 (2) ции. = Действия над радикалами. Действия над степенями с дробными и отрицательными показателями Арифметическая и гео- 2 (2) метрическая прогрессии Логарифмы. Теоремы о 2 (3) логарифмах. Десятичные логарифмы. Показательная и логарифмическая функции.
Решение показательных и логарифмических уравнений (и простейших неравенств) Консультации по теме (6 час.)
Геометрия
Площади поверхностей и объемы круглых тел
Площадь боковой и полной поверхности цилиндра.
Повторение: понятие предела; основные теоремы о пределах; длина окружности; площадь круга Площадь боковой и полной поверхности конуса Площадь боковой и полной . поверхности усеченного конуса
Площадь поверхности тел вращения. Контрольная работа № 5 Площадь сферы и ее частей
Консультации и прием зачета № 2 по теме (3 часа)
Объем цилиндра. Повторение: объем призмы Объем конуса. Повторение: объем пирамиды
1 (2)
Объем усеченного конуса.
2(2)
2(2)
88
1 (1)
Повторение: объем усечен¬
ной пирамиды
3(4)
Контрольная работа № 6
1 (1)
1(1)
Объем шара. Диафильм
1 (2)
2(2)
89
«Проекции и построения
пространственных фигур»
Объем шарового сегмента
2(2)
2(2)
90
3(4)
Объем шарового сектора
2 (2)
2(3)
91
Контрольная работа № 7
1 (1)
1 (1)
4(4)
Консультации и прием зачета № 3 по теме (3 часа)
1 (2)
2 (2)
81
1 (2)
2(2)
82
2(2)
2(3)
83
2(2)
2(2)
84
2(2)
3(3)
85
1 (2)
2(2)
86
1 (2)
2(2)
87
Повторение и по курсу IX
Взаимное положение двух прямых. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямой к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах Двугранные и многогранные углы Длина окружности и площадь круга. Площадь правильного многоугольника. Площадь параллелограмма и треугольника Теоремы синусов и косинусов. Теорема Пифагора Параллелепипеды. Свойства граней и диагоналей, параллелепипеда Свойства параллельных сечений пирамиды
Площадь поверхности призмы и пирамиды (полной и усеченной)
Объем призмы. Объем пирамиды (полной и усеченной)
Площади поверхностей и объемы круглых тел Консультация по теме (3 часа.)
решение задач '—XI классов
1(1) 2(2)
1(1) 1(1)
1 (D 1 (О 1(1) 2(2)
1 (О 1 (1)
1 (1) 1-0)
1 (1)
1 (2)
1 (1) 1 (О
1 (1) 1 (1>
1 (2)
2(3)
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
На журнал «Математика в школе» принимается подлиска на 1972 г. В год выходит 6 номеров журнала. Цена одного номера — 45 коп. Стоимость годовой подписки — 2 р. 70 к. Индекс 70557.
Подписка принимается в пунктах «Союзпечати», отделениях связи, городских и районных узлах связи, почтамтах, а также общественными распространителями печати на предприятиях, в школах, учреждениях и организациях.
Р е дакция


ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ
М. Б. ВОЛОВИЧ, Г. Г. ЛЕСИТАС
(Москва)
Таблицы для V класса
Издательство «Просвещение» приступило к работе над серией таблиц по математике для V класса под редакцией В. Г. Болтянского (в авторский коллектив входят также С. А. Пономарев и авторы заметки). К таблицам будет приложена брошюра с подробными методическими указаниями.
Цель заметки — дать учителям представление об этой серии таблиц и обеспечить возможность заранее подготовиться к использованию их в классе, а возможно, и к самостоятельному изготовлению.
В серии 24 таблицы. Так же как и ранее выпущенные таблицы для IV класса, они могут быть разделены на рабочие и справочные таблицы (см.: «Математика в школе», 1971, №2).
На таблице «Модуль числа» в верхней ее части изображена числовая прямая, на которой отмечены все целые числа от —9 до 9. Точки, обозначающие числа —5; 0 и 5, выделены цветом. Под осью: 151=5, |0|=0,
| 51 — 5,
Г л, если х !> О,
'х \ — х, если *<0.
Далее перечислены свойства модуля:
| х | = | —х | и | х | ^ 0 при всех х.
В нижней части таблицы размещены такие тексты: «Неравенство | д: | •< а означает: — а<л:<а; неравенство | х |< а означает: — а<^х<С.
<а; |*у| — |д:|-М;
= }т|при у^0»-
Эта . таблица рабочая и справочная.
Ее рабочая часть — это прежде всего числовая ось. Ис¬
пользовать числовую ось нужно для отработки понятия модуля как расстояния точки, соответствующей данному числу, от начала: объяснить, почему |3| = 3. |—2| =2; почему 181 = | —81; почему |0| =0; назвать все числа, модуль которых равен 5, 3, 0, —1; решить уравнение |*|=5, неравенство |л:|^5, неравенство \х\<—5 и т. д. Если ученик ошибается при ответе на эти вопросы, то надо обратиться к таблице. Аналогично используются и остальные данные таблицы. Та же таблица может служить и для справок.
Таблица «Сложение» (рис. 1) справочная. На ней представлены примеры на правила сложения чисел с теми или иными знаками, примеры сложения с уже раскрытыми скоб- кахми и геометрическая интерпретация сложения. Мы рекомендуем при всех затруднениях обращать внимание на центральную часть таблицы — на шкалы. Пусть, например, ученик затрудняется выполнить действие 13—95. Учитель может поставить перед ним такие вопросы: назвать первое слагаемое (13); назвать второе слагаемое (—95); найти в таблице похожий пример (2—5=—3) и объяснить его решение (продвижение от числа 2 на —5); объяснить, как действовать в данном примере (продвинуться от 13 на —95); указать направление движения (влево); указать, через сколько шагов будет достигнут нуль
Рис. 1
(+5)+(+2) -7 (+2)+(*Ь1 = 7
{+5)+(~2)=3
(~2)+(+5)=3
(~5)+(+2)=-3
(+2)+(-5)=-3
(-5М-2)=-7
(~2)+(~5)--7
СЛОЖЕНИЕ
+2
5+2=7
-7 -6 -5 ~4 -3 -2-10 1
2 3 4 ,i *5
S 6
7 2+5=7
-2
-7 -6 -5 -4 "3
-2 -7 0 1 2
3 4 -
5 6 7
+2
+5
-7 -6 -5 -2 .
-3 -2-1 0
2 3 4 5 6 7
-5
7 -6 -5 -4 -3 -
-5
2-10
2 3 4 5 6 7
5-2=3
-2+5=3
2-5=-J
-2-5=-7
58


(через 13); узнать, сколько шагов еще останется сделать (95—13=82); указать, в какой точке мы окажемся, пройдя от нуля влево 82 шага (в точке —82). Поэтому 13—95 = —82.
Замечание. Пример (+5) + ( + 2) показан в центральной части таблицы с помощью стрелки. Показан и пример ( + 2)+ (+5) (стрелкой другого цвета). Целесообразно предложить ученикам сравнить геометрические изображения этих примеров.
Таблица «Раскрытие скобок» справочная. В правой ее части содержатся примеры:
+ (+2) =2; +(-2) =-2; _(+2)—2; -(-2) =2;
в левой части — правила раскрытия скобок в общем виде:
+ (а+Ь—с)—а+Ь—с; +(—о,—Ь+с) =
— ■—а—Ь -|" ci — (а + b—с) =—а—Ь + с; —(—а—Ь + с) =
= а-\-Ь—с.
Буква Ь вместе со скобками и знаками, к ней относящимися, выделяется цветом. Но нужна работа и с другими буквами, особенно с буквой а, перед которой в двух случаях стоит минус, не обозначающий вычитания.
Все сказанное относится и к таблице «Правила знаков при умножении и делении». Эта таблица состоит из 8 строк. В первых двух строках примеры умножения: 2-3=6; (—2) -З—б; 2- (-3) =—6; (-2) • (-3) =6. В следующих четырех строках общие случаи: (a+b+c)(+y)=ay + by+cy\ (a+b—c)(—y)=—ay—by+cy,
(—a—b + c) (+у) =—ay—by+су; (a—b—c)(—y)=—ay+by+cy.
В последних двух строках примеры деления: 6:2=3; 6: (—2) = —3; (—6):2 = —3; (-6) : (-2) =3.
Буквы b и у и относящиеся к ним знаки в таблице выделены с помощью цвета.
Изображение таблицы «Простые числа» здесь не приводится. На ней выписаны все простые числа от 1 до 1000.
Основное применение этой таблицы в V классе связано с разложением чисел на простые множители и с последующим отысканием их наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. Последнему вопросу посвящена специальная справочная таблица «Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное». В ней приведено разложение на множители чисел 3150 и 5544. Причем общие простые делители 2, 3, 3 и 7 выделены одним цветом. Правее
Д(3150, 5544) =2-3-3-7 = 126,
К{3150, 5544) =! 2-3-3-7-5-5-2-2-11 = =3150-2-2.11 = 138 600.
Ниже то же самое в другой форме:
3150 = 2-32-52-7; 5544 = 23-32-7-И;
Д(3150, 5544) = 2-32-7 = 126;
К (3150, 5544) = 23 • З2 • 52 • 7 • 11 = 138 600.
Учащимся на уроке может быть предложено, например, рассмотреть таблицу и рассказать, как получен наибольший общий делитель чисел 3150 и 5544 одним и другим способами, почему полученное число является общим делителем данных чисел, почему этот делитель наибольший, объяснить смысл выделения тех или иных делителей в таблице.
Таблица, изображенная на рис. 2, справочная. Она содержит примеры на все основные случаи сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Поэтому ' ее следует использовать после того, как ученики познакомятся со всеми этими случаями.
ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ
(ТАБЛИЦА 1)
Одинакобые
знаменатели
Взаимно
простые
знаменатели
Общий
случай
7 7 7 *
_27+Ю_37
5 9 45 "45
v9 v5
2 _ 27-10_ 17
5 9 45 ~~ 45
\3 ,2
aV jL_
Ю 15 50
v3 v2
3 4 _ 9-8 _ 1
30
10 15
_9+8 17
30
J_ z 30
А _ JL -JL
7 7 7
D(5,9)=f К (5,9) =45
10=2-5 15=3-5 K( 10,15) =30
3_
5
3-2
L = Л
5*7 35 ’ 9'7 9*3 27
Рис. 2
Каждую ошибку ученика полезно разбирать с привлечением таблицы. Это относится и к нерациональным вычислениям.
Есть в серии и еще одна таблица «Действия с дробями». Она посвящена действиям с такими дробями, у которых выделена ненулевая целая часть (смешанные числа). В таблице четыре примера (каждый на отдельной строке) . Вот эти примеры:
а о _А а -9 + 20 с 29 т 5
6 24 124 ~ ' 24“;
,9-
8
2 JL z 6
.24- =
24 -20 24 35-17
__ л 33 — 20 1 13
24 1 “24
4. JL 8
2 5 OU в 1/ оо и
8*6 _17___ JS5 6 — 8
595
48
J>_
17
12
105
68
19
48
37
Ь8
59


Примеры в этой таблице должны служить ученику опорой при выполнении вычислений. В таблице учтены все узловые моменты таких вычислений: запись смешанного числа в виде неправильной дроби, превращение единицы в
дробь вида-—- при вычитании и обратная операция при записи суммы, сокращение дроби.
В таблице «Формулы» собраны все основные формулы, которые должны усвоить учащиеся в IV — V классах: 5 = <vt (рядом изображение летящей ракеты), S = ab (рядом чертеж прямоугольника со сторонами а и b), S = а2 (рядом квадрат со стороной a), S =ab (рядом прямоугольный треугольник с катетами а и b), V === abc (рядом прямоугольный параллелепипед с измерениями а, b, с), V — а3 (рядом куб с ребром а), С = тед?, С = 2тег, S = = тег2, те = 3,14... (рядом круг радиуса г). Пользование этой таблицей приучает работать со справочным материалом. Отметим необходимость научить , школьника обращать имеющиеся в таблице формулы: из формулы sw vt
получать v = — и t = и т. п. Следующая часть этой таблицы состоит из текста: «1% числа Л—это ~ А ^ или . Предложение «Число k составляет р% от А» означает:
к-Р- т>-
Если учащийся затрудняется решить задачу с процентами, он должен по этой таблице представить себе, как будет выглядеть та же задача, записанная без употребления процентов— с помощью дробей. Например, если ученик затрудняется найти 20% от числа 545, можно обратить его внимание на таблицу и предложить сформулировать ту же задачу так;
20
найти от числа 545. (Известно, что основные трудности при изучении процентов связаны с неумением соотнести новый материал — проценты — с ранее изученным материалом — дробями.)
Две таблицы (рис. 3 и 4) посвящены теме «Множества». Первая из них справочная. По ней учащийся должен найти новые для него знаки объединения, пересечения и включения множеств. В этой таблице множество А обозначено одним цветом, множество В—другим. Важно подчеркнуть, что пересечение двух множеств является подмножеством каждого из них (Д есть подмнол^ество множества А и множества В). В то же время каждое из множеств является подмножеством их объеди¬
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ /ТАБЛИЦА
AU В — С {Т}2Л4}\* {2,3,5} =(12,3^)
А^С, В <= С
н*-#-
0 1 2 3 4 5 6 7 в
АПВ =D [1.2.3А} U {2,3,5} ={2,3} D<=A, 2<=8
Рис. 3
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ /ТАБЛИЦА 2)
(гмз)
С = {3,7} D={12,3,5,7,9,11}
H =0
Рис. 4
Рис. 5
60


нения (А и В являются подмножествами множества С).
Вторая таблица рабочая. По ней можно дать задание указать пересечение или объединение двух данных множеств (фигур и числовых множеств); указать их общее подмножество; указать, подмножествами какого множества они являются; как связаны между собой Л, В и С. Последний вопрос допускает достаточное разнообразие вариантов, так как в этой таблице АГ\В — С, AUC = Л, Л ПС = С, ВГ\С — С и т. д.
Три таблицы серии посвящены графикам. Две из них изображены на рис. 5 и 6. Методика работы с этими двумя таблицами очевидна, поскольку аналогичные чертежи имеются в учебном пособии по математике для V класса.
Третья таблица представляет собой расчерченный на клетки лист бумаги с нанесенными осями координат х, у и обозначениями на них начала координат О, единицы масштаба. Эта таблица может заменять координатную доску.
Рис. 7
Рис. б
ГРАФИК И
Р= Ux 5 =л*


Рис. 8
В частности, если в классе есть магнитная доска, то пользоваться таблицей особенно удобно: точки на ней обозначаются малыми .магнитами, прямые — резиновыми шнурами, натянутыми на магнитах. Если магнитной доски нет, то приходится отмечать точки просто указкой. По этой таблице можно спросить, где расположена точка с названными координатами, каковы координаты указанной точки, где расположено то или иное множество точек (например, множество точек с абсциссой 2, множество точек с отрицательной ординатой и др.).
Основное содержание геометрического материала в V классе — построения, в' частности, построение взаимно перпендикулярных и параллельных прямых. Упор при этом должен делаться на фактическое выполнение построений. Однако немалую роль в формировании навыка играет умение рассказать, как следует выполнить построения, мысленно провести перпендикуляры к прямой и параллельные прямые. Для этого удобно иметь специальным образом подготовленные чертежи, например таблицы, изображенные на рис. 7. и 8.
Правые части этих таблиц справочные. Здесь показаны основные способы построения перпендикуляра к прямой и проведения парал¬
лельной. Если ученик, выполняя построение, ошибся, то в таблице он сможет найти «подсказку»: глядя на соответствующий рисунок, ему нетрудно будет рассказать и показать, каким образом следует выполнять построения.
Рис. 9
ПОСТРОЕНИЕ с помощью ЦИРКУЛЯ
ЦИРКУЛЬ ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ. С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ можно РЕШАТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ: ДАНЫ ФИГУРА Г, ТОЧКА О И ОТРЕЗОК Г ;
НАЙТИ ВСЕ ТОЧКИ ФИГУРЫ F, НАХОДЯЩИЕСЯ ОТ О
т$7
.ft
1) НА РАССТОЯНИИ Г;
2) НА РАССТОЯНИИ МЕНЬШЕМ Г,
3) НА РАССТОЯНИИ БОЛЬШЕМ Г.
%
н V
Ч
• в<
в,
•

•0
Г—У—--*
\
г '
•В,
•в, ■
Вз к
V ы
ПК
Хъ
•
4
А«
*3
AS N. Гък:
Л/'"
•Ог
•С,
%
w
62


Рассказ может быть организован еще до начала выполнения соответствующих построений. Это поможет ученику вспомнить, что и как надо делать, и предотвратит возможные ошибки.
В левой (рабочей) части каждой из таблиц точки и прямые расположены таким образом, чтобы было удобно проконтролировать правильность построения на глаз. Например, проведя мысленно перпендикуляр из точки О к прямой АЕ (рис. 7), ученик установит, что он проходит через точку Я: проведя мысленно через точку К прямую, параллельную прямой CD (рис. 8), ученик установит, что она проходит через точки М, Е, Q; и т. д.
Таблица на рис. 9 справочная, при первоначальном знакомстве она используется как рабочая.
Учащиеся V класса должны усвоить, что с помощью циркуля можно строить множество точек, удаленных от данной точки на данное расстояние. При этом нас может интересовать
63


Рис. 13
либо само это множество — окружность, либр пересечение данного множествах множеством точек какой-либо фигуры. Например: множество точек луча, удаленных от его. начала на данное расстояние; множество точек угла, удаленных от данного центра на данное расстояние и т. д. Столь же важно выделение циркулем множества точек, удаленных от центра окружности менее чем на радиус; не более чем на радиус; более чем на радиус.
Приведем' в качестве примера несколько заданий, которые могут быть выполнены с помощью помещенных в таблице (рис. 9) фигур.
Покажите точки ломаной DHVQD много* угольника DHVQ, отстоящие от точки L на расстояние LU\ (большее LUb меньшее LU\). Скажите, с помощью какого инструмента и каким образом можно найти все такие точки.
Найдите множество точек плоскости: а) отстоящих на расстояние КХх от точки К; б) отстоящих на расстояние WX2 от точки W;
в) 	отстоящих одновременно на расстояние WX2 от точки W и на расстояние КХх от точки К.
Окружности с центрами в точках К М, N, L имеют радиусы, равные г. Перечислить, ка-
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (таблица 2/
в
и
R
С
м
N
К/
5
D
Q
L
0
г
А
1
64


кие из построенных на таблице отрезков обязательно равны. (Решение этой задачи лежит в основе построения равных отрезков с помощью циркуля.)
Справочные таблицы «Параллельный перенос», «Осевая симметрия», «Поворот» (рис. 10, 12, 14) предназначены преимущественно для отработки определений соответствующих понятий. При работе с этими таблицами полезно иметь лист прозрачного материала (целлофана, кальки и т. п.). Фигура перечерчивается на лист и совмещается с изображением на таблице, при этом плоскость предлагается считать как бы двухслойной. Переместив один из слоев, мы фиксируем и то положение, которое занимала фигура до перемещения, и новое положение фигуры. Такая модель позволяет показать, каким образохм идет перемещение плоскости: либо на прозрачном листе прочерчивается прямая, которая скользит сама по
себе при параллельном переносе; либо прямая, относительно которой осуществляется поворот при осевой симметрии; либо лист фиксируется в центре поворота и поворачивается на нужный угол. В ходе таких перемещений могут быт1? «открыты» такие инварианты преобразований, как конгруэнтность получившихся в результате преобразования фигур (в частности, отрезков, углов и т. д.).
Эти таблицы позволяют предложить ряд заданий: отыскивать точки, в которые переходят указанные точки; точки, которые перешли в данные точки, и т. д.
Рабочие таблицы, относящиеся к рассматриваемым преобразованиям (рис. 11, 13 и 15), прежде всего должны помочь учителю акцентировать внимание на том, что пересечение множеств переходит в пересечение преобразованных множеств. Учащиеся должны решить большое число задач на отыскание точек, в
3 Математика а школе МЪ 5
65


которые перешли данные точки. При этом основное внимание необходимо уделить тому, что точку следует искать на том множестве, в которое перешло данное множество.
Следует оговориться, что лучи, например Q'N' и QN (рис. 11), изображены на таблице в виде отрезков различной длины. Сделано это с целью подчеркнуть, что лучи бесконечны. И хотя точка, соответствующая точке Е', на таблице не обозначена, ее можно отыскать: она обязательно лежит на луче QN.
С помощью рассматриваемых таблиц могут быть повторены уже «открытые» свойства и «открыты» новые. Рассмотрим, например, один из вариантов использования таблицы «Осевая симметрия» (рис. 13). Учитель указывает, что точки В и А симметричны относительно оси МО, и предлагает установить, равенство каких обозначенных на таблице отрезков отсюда вытекает. В результате учащиеся устанавливают важное свойство: расстояние от любой точки оси до двух симметричных точек одинаково. Одинаково и расстояние от симметричных точек до оси. Можно предложить найти равные между собой углы и установить, что обязательно получается пара
Рис. 15
равных смежных углов, а следовательно, прямая, на которой лежат симметричные точки, обязательно перпендикулярна оси симметрии. Здесь же могут быть поставлены вопросы: Справедливы ли обратные утверждения? Можно ли говорить о симметричности точек, если они обладают одним из перечисленных выше свойств? На таблице (рис. 13) имеются примеры, показывающие, что это не так. Например, точк^ С и U находятся на одинаковом расстоянии от точки О, принадлежащей оси, но несимметричны. А вот если точки находятся на одинаковом расстоянии одновременно от двух точек оси, то они симметричны.
Таблица «Виды треугольников» (рис. 16) и справочная и рабочая. Основное назначение таблицы — привести в систему уже усвоенные учащимися сведения о видах треугольников.
Рассмотрим некоторые типы заданий, которые можно выполнить с помощью этой таблицы (эти задания относятся к треугольникам правой, рабочей части таблицы).
Установите, в какой столбец и строку таблицы может быть помещен данный треугольник; назовите номера разносторонних тупоугольных треугольников, равнобедренных прямо-
66


ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Остроугольные
^А<90;±В<9(Т ^С<90°
Прямоугольные =909
Тупоугольные *lA >90°
Разносторонние
а фб; а=*с, в =f=C
Равнобедренные
неравносторонние в=с; аФв
<L—,c
с -в
равносторонние а=в=с
Рис. 16
угольных, равнобедренных остроугольных и т. д. (среди заданий может быть, например, и требование отыскать равносторонние прямоугольные треугольники, на что ученик должен сразу же ответить, что таких треугольников не бывает); относится ли к множеству
равнобедренных (равносторонних, неравносторонних и т. д.) треугольников данный треугольник; укажите треугольники, которые относятся к пересечению данных множеств (например, равнобедренных и тупоугольных).
3*


В. 	Г. БОЛТЯНСКИЙ
(Москва)
Об итогах Всесоюзного конкурса на лучшие учебнонаглядные пособия и учебное оборудование по математике
Всесоюзный конкурс на лучшие учебно-наглядные пособия и учебное оборудование проводился с 1 января по 1 марта 1971 г. с целью широкого привлечения научно-педагогической, инженерно-технической общественности и творческих организаций к разработке новых и модернизации существующих учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ всех типов, а также с целью отбора лучших образцов оборудования для массового производства и оснащения школ согласно новым программам и перечням учебного оборудования, утвержденным ‘Министерством^ просвещения СССР.
Всего на конкурс поступило 197 предметов учебного оборудования по математике, из них 131 прибор, 7 моделей, 24 пособия с печатной основой, 23 экранных средства обучения, 12 наборов и комплексов учебного оборудования. Среди пособий 52 обучающих, контролирующих устройства, устройства типа «тренажер», «репетитор», а также устройства обратной связи. Представленное оборудование по математике сравнительно равномерно распределено по темам программы. Так, было представлено 18 предметов учебного оборудования, связанных с темой «Функции и графики», 23 предмета, связанных с темой «Многогранники», 5 предметов, связанных с темой «Доли и дроби», 4 предмета, связанных с геометрическими преобразованиями, 3 предмета, связанных с рассмотрением операций над множествами, 4 предмета, относящихся к вопросу о равновеликости и равносоставленности фигур и т. д.
По классам присланное оборудование распределялось таким образом: для использования в IV классе предназначено 50 предметов, вУ —25, в VI —34, в VII —21, в VIII —31, в IX — 62, в X—18. Некоторые средства обучения предназначены для использования в нескольких классах (например, стереометрические наборы).
Большинство предметов оборудования (82) поступило из РСФСР, 64 прислано из УССР, 12 предметов пришло из Молдавии, 9—из Латвии, 8 — из Белоруссии, по 4 — из Эстонии и Туркмении, по 3 — из Армении и Азербайджана, по 2 — из Киргизии, Казахстана и Литвы, по одному — из Грузии и Узбекистана.
Характерной чертой конкурса является широкое участие в нем учителей: ими создано
165 присланных на конкурс предметов учебного оборудования. Научно-исследовательскими учреждениями создано 22, различными вузами— 8; наконец, 2 предмета учебного оборудования присланы фабриками.
К рецензированию присланных на конкурс предметов учебного оборудования были привлечены 12 учителей и 14 научных работников.
Анализ присланного на конкурс учебного оборудования велся по следующим направлениям: ,
1) научный уровень представленного оборудования;/
2) методическая ценность;
3) соответствие школьной программе;
4) эргономические характеристики и требования НОТ;
5) эстетические, экономические, гигиенические и другие характеристики учебного оборудования.
Для основной части присланного на конкурс оборудования характерен высокий научный уровень. Это проявляется в использовании передовых педагогических идей (например, в «Приборе для преобразования графиков функций», присланном В. Е. Федотовым), в грамотном подборе заданий, включенных в диафильмы и диапозитивы (например, работы А. С. Чеснокова, Г. Г. Левита с а, Э. Ю. Красса, В. Н. Маранько- ва).
Подавляющее большинство присланного на конкурс оборудования содержит интересные методические находки. Например, приставка к диапроектору С. М. Кушуля позволяет показать динамику в преобразовании графиков, прибор «Числовая ось» (авторы Н. А. Бойчук и Л. С. Середнюк) снабжен интересной системой крепления знаков и т. д.
Вместе с тем следует отметить, что некоторые из методических идей, положенных в основу при конструировании присланных на конкурс предметов учебного оборудования, не оправдали себя в практике школьного преподавания. Например, не всегда оправдано использование в школе всевозможных викторин, в том числе и поступивших на конкурс.
В некоторых случаях, даже если научный уровень присланного средства обучения был
68


недостаточно высок, комиссия считала возможным отметить отдельные методические находки. Например, не одобрив программированные материалы, присланные А. Н. Вакуленко, комиссия признала ценной идею использования в учебных целях настольного механического алфавита.
К сожалению, следует констатировать, что значительная часть присланного оборудования не соответствует программе. Это не изучающиеся в школе номограммы, экзотические логарифмические линейки, не предназначенные для применения в школе, прибор для демонстрации прямолинейных образующих кривых второго порядка.
Значительная часть присланного оборудования представляет интерес с точки зрения организации учебного процесса. Например, представленный на конкурс комплект многогранников В. Е. Федотова позволяет гораздо эффективнее, чем с помощью ранее выпускавшихся стереометрических комплектов, конструировать основные геометрические тела и их сечения.
Большинство представленных предметов учебного оборудования созданы из недефицитных материалов, просто в изготовлении. К сожалению, эстетическое оформление во многих случаях оставляет желать лучшего. Тем не менее комиссия сочла возможным не учитывать дефекты исполнения образцов в тех случаях, когда доработка легко осуществима.
Особо следует отметить средства программированного обучения и контроля. Большинство присланных на конкурс обучающих и контролирующих устройств имеют ограниченную сферу применения и к тому же требуют специального составления программ. Однако среди присланных образцов имеются такие, которые по своим педагогическим качествам, эффективности и экономичности находятся на уровне лучших мировых образцов (контролирующее устройство «Моршанск-За» с «памятью», фиксирующей правильность ответов учащихся, Ю. В. Головина, а также обучающее устройство «Просвещение», позволяющее организовать программированное обучение по принципу максимального ветвления, созданное коллективом лаборатории математики и программированного обучения НИИ ШОТСО АПН СССР).
К сожалению, некоторые авторы присланного на конкурс учебного оборудования не учитывали требований НОТ и эргономики. Это проявилось прежде всего в создании громоздких учебно-наглядных пособий, предназначенных для решения узкой методической задачи.
Тем не менее конкурс сыграл большую роль в. деле создания учебного оборудования по математике. Мы получили ряд прекрасных средств обучения, обогатились новыми методическими приемами, передовыми идеями.
Экспертная комиссия подготовила предложения для жюри Всесоюзного конкурса, отметив те пособия, которые рекомендуются к внедрению в практику работы школ (путем тиражирования, выпуска экспериментальных серий или самооборудования).
Авторы лучших предложений были представлены экспертной комиссией по математике (одновременно с экспертными комиссиями по другим предметам) к премированию.
Доклады председателей экспертных комиссий (в том числе и по математике), сопровожу давшиеся демонстрацией рекомендуемых к премированию предметов учебного оборудования, были внимательно рассмотрены жюри конкурса. Жюри под председательством заместителя министра просвещения СССР К. Г. Ножко напряженно работало в течение недели.
По математике и программированному обучению получили премии следующие средства обучения.
Вторая премия
1. Универсальный преобразователь. Автор заведующий кабинетом Института усовершенствования учителей г. Витебска Е. Г. Михайловский.
2. Перфокассета для программированного обучения. Авторы сотрудники НИИ школ Латвийской ССР М. Пей рос и И. Я неон.
3. Новое оборудование по математике и программированному обучению (2 диафильма, 13 серий диапозитивов, 5 кинофрагментов, серия таблиц для IV класса, тетрадь на печатной основе для IV класса, объемные модели и наборы, обучающая машина «Просвещение»). Авторы сотрудники лаборатории математики НИИ ШОТСО АПН СССР В. Г. Болтянский, М. Б. Волович, Э. Ю. Крас с, Г. Г. Левитас.
Третья премия
1. Модели многогранников с сечениями. Автор учитель ШРМ № 143 Москвы В. Е. Федотов.
2. Приставка к диапроектору. Автор учитель школы № 706 Москвы С. М. Кушу ль.
Поощрительная премия
1. 	Контролирующая машина «Моршанск-За». Автор учитель школы № 140 г. Моршанска Ю. В.Тол овин.
69


2. 	Ученическая линейка с прорезями для вычерчивания фигур. Автор Д. Н. Ска ч ко (ст. Троицкая Крымского района Краснодарского края).
Грамота
1. Диафильм «Углы и их виды». Автор сотрудник НИИ содержания и методов обучения АПН СССР А. С. Ч е с н о к о в.
2. Универсальный стереоконструктор. Автор учитель школы № 139 г. Еревана А. Г. Бек- назарян.
3. Прибор «Квадрат, вписанный в треугольник». Автор ст. преподаватель Краснодарского университета М. М. J1 и м а н.
4. Диафильм «Комбинация геометрических тел с шаром». Автор учитель емильченской школы № 1 Житомирской обл. А. Я. Розенберг.
5. Серия диафильмов по стереометрии. Автор директор школы № 1 Ат-Башинского района Киргизской ССР К- Мамбеталиев. .
6. Прибор «Числовая ось». Авторы учителя Галичской школы Галичского района Ивано- Франковской обл. Н. А. Бойчук, JI. С. Сере д н ю к.
7. Кабинет математики (альбом). Автор
учитель школы № 39 г. Риги Э. В. Пека- ревич.
8. Прибор для демонстрации задач на движение. Автор учитель школы № 6 г. Бухары УзССР У. X. Юсупов.
9. Рисованные диапозитивы по математике. Автор преподаватель Ворошиловградского педагогического института В. Н. М а р а н ь к о в.
10. Устройство «Репетитор». Автор учитель школы-интерната № 6 г. Запорожья А. Н. В а- 'к у л е н к о.
11. Дифференциатор. Автор учитель школы №15 г. Винницы А. С. Трахтенберг.
12. Информационная карточка (линейка). Автор К. С. Горбатов (г. Никополь).
Премированное оборудование по согласованию с Министерством просвещения СССР будет выпускаться промышленностью. Описание лучших образцов оборудования по математике, поступившего на конкурс, будет дано на страницах ближайших номеров журнала «Математика в школе». *
В заключение хочется поздравить с успехом всех победителей конкурса и пожелать читателям журнала успехов в будущем: по решению Министерства просвещения СССР конкурс на лучшее оборудование будет продолжен.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Л. М. ПАШКОВА
(Москва)
У ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
С 15 по 21 апреля в г. Риге был проведен заключительный тур V Всесоюзной математической олимпиады школьников.
По итогам предыдущих туров право на участие в заключительном туре олимпиады получили 550 учащихся (171 команда). В состав каждой команды входило трое учащихся VIII—X(XI) классов. Среди участников олимпиады 487 членов ВЛКСМ, 79 девушек, 76 учащихся из школ сельской местности. 94 человека принимали участие в IV Всесоюзной олимпиаде, 9 человек — в III, 25 — и в III и в IV, т. е. почти каждый четвертый участник олимпиады 1971 г. уже принимал участие в предыдущих всесоюзных олимпиадах,
.. 15 апреля в Латвийском государственном университете имени П. Стучки состоялось торжественное открытие олимпиады. Перед участниками со словами приветствия выступили представители советских и партийных органов Латвии, директор Института физики АН Латвии академик Ю. А. Михайлов. Участники олимпиады заслушали приветствие министра просвещения СССР М. А. Прокофьева, председателя центрального оргкомитета академика И. К. Кикоина, вице-президента АПН СССР А. И. Маркушевича. 16—17 апреля проходили соревнования., В последующие дни участники олимпиады встретились с учеными, прослушали лекции о вступительных экзаменах в МГУ, о работе заочной математической школы и др. 28 школ г. Риги взяли шефство над командами, приехавшими из разных уголков Советского Союза. Шефы приглашали гостей к себе на «Огоньки», были их гидами во время экскурсий. Между учащимися школ Риги и участниками олимпиады установились тесные контакты, завязалась дружба, которая будет способствовать дальнейшему улучшению интернационального воспитания, укреплению дружбы между учащимися различных национальностей нашей страны. Участники олимпиады посетили Мемориальный ансамбль в Саласпилсе, где возложили цветы на могилу погибших в годы Великой Отечественной войны.
По мнению руководителей команд, членов оргкомитета и жюри, олимпиада прошла организованно, показала возросший интерес школьников к науке. Олимпиада явилась завершением большой работы юных любителей математики в кружках, факультативах, в учени¬
70


ческих научных обществах, 8 заочной математической школе. Готовясь к VI Всесоюзной олимпиаде школьников, органам народного образования, учителям и методистам необходимо шире пропагандировать результаты V олимпиады, улучшить организацию школьных, районных, областных олимпиад, сделать их более массовыми, более четко производить отбор победителей на последующие туры.
С чувством глубокой благодарности к оргкомитету, возглавляемому министром просвещения Латвийской ССР М. Я. К а р к л и н ь, школьникам и учителям Риги уезжали участники и руководители команд домой.
Большую роль в организации олимпиады сыграла методист учебно-методического кабинета Министерства просвещения Латвии И. А. Артемьева.
Много сделали для успешною проведения олимпиады ученые Латвийского университета: ректор
В. 	О. Миллер, заведующий кафедрой математического анализа А. П. Л и е п а и другие.
Жюри олимпиады, в которое входили математики из Риги, Москвы, Ленинграда и друтх городов, работало дружно и организованно. Председателем жюри был Я- М. Б а р з д и н ь, старший научный сотрудник Вычислительного центра Латвийского университета.
Жюри присудило 8 первых, 19 вторых и 28 третьих премий. 183 участника получили поощрительные грамоты. 19 участников были награждены специальными призами. Учащиеся X класса, занявшие I, II, III места, получили рекомендации в вузы.
Приводим список победителей олимпиады.
I место
X класс
Александров Алексей — ФМШ при ЛГУ (учитель Ю. И. Ионин); Гашков Сергей — ФМШ при МГУ (учитель В. Б. Алексеев); Ерохин Василий — школа № 30 Ленинграда (учитель Т. И. Курсиш); Логачев Дмитрий— школа N° 2 Москвы (учитель 3. М. Фотиева); Саллинен Евгений — ФМШ при ЛГУ (учитель
Ю. И. Ионин).
VIII класс
Гольцман Наум — школа № 207 Москвы (учитель
Т. М. Балаболина); Конягин Сергей — школа № 19
г. Саратова (учитель П. А. Ерохин); Севастьянов Константин — школа № 66 г. Астрахани (учитель Н. П. Ми- неева).
II место
X класс
Аникин Сергей — школа № 1 г. Владимира (учитель А. И. Никитин); Ляшко Олег — школа № 27 г. Харькова (учитель Ф. А. Вайнштейн); Пеллер Владимир ФМШ при ЛГУ (учитель В. М. Харламов); Переяславский Виталий — школа N° 17 г. Николаева (учитель
А. М. Шишинская); Рабин Игорь — школа № 145 г. Киева (учитель Я. Г. Габович); Цфасман Михаил — школа № 2 Москвы (учитель 3. М. Фотиева); Чистов Александр — школа № 239 Ленинграда (учитель Я. М. Кукса); Штейнберг Александр — школа № 31 г. Челябинска (учитель А. Я. Жилякова).
IX класс
Бурков Владимир — ФМШ при МГУ (учитель
А. 	А. Шершевский); Гольберг Андрей — школа N° 2 Москвы (учитель Я. Р. Кантор); Коган Андрей — ФМШ при МГУ (учитель А. Б. Сосинский); Матвеев Евгений — школа N° 91 Москвы (учитель В. М. Сапожников); Уфнаровский Виктор — школа N° 34 г. Кишинева (учитель Е. Б. Файнштейн); Шаповалов Александр — Че-
молганская школа Каскеленского района Алма-Атинской области (учитель Л. Я. Щматова); Шварц Владимир — ФМШ при ЛГУ (учитель А. Я. Плотин)*
VIII класс
Будаев Виктор — школа № 7 г. Смоленска (учитель
В. 	Н. Ольшевская); Гусаров Михаил — школа N° 188 Ленинграда (учитель Р. А. Богомолова); Николаев Владимир — школа N° 14 г. Львова (учитель Е. С. Бойкие)', Хухро Евгений — школа № 22 г. Новосибирска (учитель С. П. Сулина).
Ill место
X класс
Ахметшин Рауф — школа № 20 г. Ош Киргизской ССР (учитель А. Е. Мошина); Барсуков Сергей — школа № 53 г. Тулы (учитель 3. Д. Федоренко); Гришков Александр — школа № 8 г. Томска (учитель В. И. Ломова); Козлов Владимир — ФМШ при ЛГУ (учитель Ю. Я. Ионин); Крук Борис — школа N° 38 г. Киева (учитель Я. Л. Каплан); Муравлев Виктор — школа №1 г. Электростали Московской области (учитель Я. А. Фролова); Нетметдинов Искандер — школа N° 39 г. Казани (учитель А. А. Александров); Попов Александр — школа № 4 г. Мончегорска Мурманской области (учитель Е. В. Кочкина); Суменков Евгений — школа № 17 г. Петропавловска-Камчатского (учитель
А. П. Печковская); Фиготин Александр — школа № 27 г. Харькова (учитель Ф. А. Вайнштейн); ШайкевичАнатолий — школа № 80 Ленинграда (учитель Д. М. Нуз- ман).
IX класс
Боравлев Юрий — школа № 21 г. Житомира (учитель
А. 	,В. Андрощук); Гриценко Владимир — ФМШ при ЛГУ (учитель Г. В. Беркович); Гундарь Евгений — школа № 17 Ворошиловграда (учитель В. Е. Man- жула); Колупаев Михаил — ФМШ при МГУ (учитель
А. 	А. Шершевский); Куксин Сергей — школа № 27 г. Харькова (учитель А. П. Синайко); СтульпинасАлександр — школа N° I г. Стучка Латвийской ССР (учитель А. А. Стульпинас); Ушаков Владимир — ФМШ при МГУ (учитель В. Е. Гайдуков); Шварц Григорий — школа , № 77 Группы Советских войск (учитель
А. 	А. Тонконог); Шварцман Ефим — ФМШ при МГУ (учитель А. А. Шершевский).
VIII класс
Боровик Александр — Кабанская школа Бурятской АССР (учитель А. Ф. Лазуткина); Вайнтроб Аркадий— школа № 19 г. Калинина (учитель В. Я. Матросова); Дикелебойм Виктор — школа № 63 г. Караганды (учитель Б. Г. Щегай); Захаров Сергей — школа N° 4 г. Магнитогорска (учитель В. Г. Теплое); Кушнир Владимир — школа № 10 г. Астрахани (учитель
М. А. Зороастрова); Лещинер Дмитрий — школа № 2 Москвы (учитель Я. Я. Гурин); Рогинский Леонид — ФМШ при МГУ (учитель Б. М. Беккер); Юрша Константин — ФМШ при ЛГУ (учитель В. М. Харламов).
Специальные призы жюри
1. За решение самой трудной задачи.
Севастьянову Константину — ученику VIII класса
школы № 66 г. Астрахани; Гольбергу Андрею — ученику IX класса школы № 2 Москвы; Козлову Владимиру— ученику X класса ФМШ при ЛГУ.
2. За лучшее исследование по задачам второго тура.
Гашкову Сергею — ученику X класса ФМШ при МГУ;
Аникину Сергею — ученику X класса школы N° I
71
\


г. Владимира; Александрову Алексею — ученику X класса ФМШ при ЛГУ; Ерохину Василию — ученику X класса школы № 30 Ленинграда; Саллинену Евгению — ученику X класса ФМШ при Л ГУ.
3. За лучший результат на первом туре среди учеников X класса.
Логачеву Дмитрию — ученику X класса школы № 2 Москвы.
4. За наибольшее упорство, проявленное при решении трудной задачи.
Жумадилгаеву Аскару — ученику IX класса школы № 56 г. Алма-Аты.
Призы от организаций и учреждений Латвийской ССР
1. Приз газеты «Падомью Яунатне» — девочке, занявшей лучшее место в олимпиаде:
Прищепа Валерии — ученице VIII'класса школы № 7 г. Намангана Узбекской ССР.
2. Приз газеты «Советская молодежь» — самому молодому участнику олимпиады:
Гусарову Михаилу — ученику VII класса школы № 18& Ленинграда.
3. Приз физико-математического факультета Латвийского государственного университета — юному математику, который третий раз участвует во Всесоюзной олимпиаде и показал лучшие результаты на олимпиаде:
Александрову Алексею — ученику X класса ФМШ при ЛГУ.
4. Приз Рижского городского отдела народного образования — участнику самого отдаленного района страны:
Суменкову Евгению — ученику X класса школы № 17 г. Петропавловска-Камчатского.
5.ц Приз Института физики Академии наук Латвийской ССР — участнику олимпиады за самое рациональное решение задач:
Будаеву Виктору — ученику VIII класса школы №7 г. Смоленска.
6. Приз ЦК ЛКСМ Латвии — участнику олимпиады, секретарю или члену комитета комсомола школы, занявшему лучшее место в олимпиаде:
Захарову Сергею — ученику VIII класса школы №4 г. Магнитогорска.
7. От спортсменов школ республики — участнику олимпиады, мастеру или кандидату в мастера спорта, занявшему лучшее место в олимпиаде:
Козлову Владимиру — ученику X класса ФМШ при ЛГУ.
8. Приз газеты «Сколотаю Авизе» — сельскому учителю математики, лучше всех подготовившему своего воспитанника к олимпиаде:
Лазухкиной Александре Федоровне — учительнице Кабанской сельской школы Кабанского района Бурятской. АССР, подготовившей ученика VIII класса Боровика Александра.
9. Приз Рижского политехнического института — участнику олимпиады из сельской школы, занявшему лучшее место в олимпиаде:
Шаповалову Александру — ученику, IX класса школы Каскеленского района Алма-Атинской области Казахской ССР.
Н. 	Б. ВАСИЛЬЕВ
(Москва)
О ЗАДАЧАХ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ВСЕСОЮЗНОЙ ОЛИМПИАДЕ 1971 Г.
С каждым годом, с каждым новым конкурсом становится все труднее подбирать задачи, которые должны быть интересны большинству участников и неизвестны никому из них. Не удивительно поэтому, что олимпиад- ные задачи становятся часто все более изощренными и искусственными — прежде всего на тех олимпиадах, где .принцип «новизны» соблюдается особенно строго. Членам жюри очень хочется избежать возникновения стандартов «типично олимпиадных» задач — ведь именно элементы самостоятельного творчества, неожиданные открытия особенно ценятся на олимпиаде. Вместе с тем хочется, чтобы задачи были красивыми, т. е. естественными, как-то связанными с серьезными математическими идеями.
Эти проблемы возникают перед жюри каждый раз, и, пожалуй, в этом году они были решены довольно успешно; по-видимому, новые (или хорошо забытые старые) задачи еще не кончились. Что особенно важно, среди задач было мало искусственных; некоторые казались (или даже были) кусочками настоящих математических работ (например, задачи № 2, 3, 4, 8, 15).
Еще один шаг в том же направлении — «к настоящей математике» — более заметный внешне, представляла собой форма некоторых заданий. Часто, говоря об олимпиадах, подчеркивают, что для победы на них кроме способностей, знаний, опыта нужно особое качество: умение быстро переключаться с одной задачи на дру¬
гую, не слишком углубляться в одну тему — качество, которое ховсем не обязательно, если не вредно, для серьезной научной работы. Там приходится, как правило, долго и с разных сторон обдумывать одну задачу, постепенно продвигаясь в ее решении. Нельзя ли дать участникам олимпиады возможность проязить свои способности к такой более сосредоточенной, последовательной работе над одной задачей, сформулированной в виде серии постепенно усложняющихся вопросов, быть может, даже без точного указания окончательного результата? Эта идея в разных вариантах обсуждалась и заранее, и непосредственно перед олимпиадой в Риге — в те три дня, когда жюри занималось окончательным выбором и формулировками задач. В конце концов такие задачи «исследовательского характера» было решено дать во второй день во всех трех классах. А' в старшем — X классе, где одним из руководителей жюри был инициатор такого эксперимента М. И. Б а ць маков, дело пошло даже дальше: на втором туре участникам предлагалось выбрать одну задачу из трех и посвятить ей все пять часов. Вот как дословно выглядели странички с заданиями, розданные десятиклассникам:
«Вам предлагаются три задачи. Верное решение лю- бой из них представляет серьезные трудности и требует много. времени. Выберите одну из этих задач и постарайтесь продвинуться в ней как можно дальше.
Перед окончанием работы составьте <гсводку результатов» по задаче, которую вы решили: перечислите доказанные вами факты, укажите примеры, в которых вам, удалось разобраться, сформулируйте гипотезы, которые вам кажутся верными.
1.. Куб с ребром длины п разбит на п3 единичных кубиков. Выберем несколько кубиков и проведем через центр каждого из них три прямые, паралмлоные реб-
72


рам. Какое наименьшее число кубиков можно выбрать так, чтобы проведенные через них прямые перечеркнули все кубики?
а) Укажите ответ для маленьких значений п: для п — 2, 3, 4.
б) Попробуйте найти ответ при п = 10.
в) Решите общую задачу. Если вам не удастся найти точный ответ, докажите какие-либо неравенства, оценивающие сверху и снизу число отмеченных кубиков,
г) Заметьте, что эту задачу можно сформулировать так. Рассмотрим всевозможные наборы (.Х\, х2, *з)> где каждая из букв хи х2> хг принимает одно из п значений 1, 2, п. Какое наименьшее число наборов нужно выбрать, чтобы для каждого из остальных наборов среди выбранных нашелся такой, который отличается от него только в одном месте (значением только одной из координат Хи х2, х$)? Попробуйте найти оценка для более общей задачи, когда рассматриваются наборы не из трех, а из четырех или большего числа букв.
2. а) Рассмотрим функцию f (х, у) — х2 + ху + у2. Докажите, что для любой точки (х, у) найдутся такие целые числа (пг, п), что f(x—m, у — п) — (х — пг)2 + + (х— m)(y — n) + (у — п)2 < I
б) Обозначим через J{x> У) наименьшее из чисел }(х — т, у — п) при всех целых тип. Утверждение задачи а) состояло в том, что выполнено неравенство f(x, t/X£ для всех (х, у). ДокажитеL что на самом деле верно более сильное неравенство f (х, у) ^ Най- дите все точки, для которых имеет место равенство
Т(х, у) = 4-
в) Рассмотрим функцию fa(x, у) = х2 + ах у + у (а > 0). Найдите какое-либо число с (зависящее от а), такое, чтобы для всех (х, у) выполнялось неравенство | fa (х, у) | Постарайтесь найти точную оценку.
3. Переключатель (см. рис. 1) с двумя входами и двумя выходами может находиться в двух различных состояниях. На рис. 2 изображена схема телефонной связи с тремя входами и тремя выходами, которая обла-
7 2 3
Рис. 1
Рис. 2
дает таким свойством «универсальности»: меняя состояния переключателей, можно осуществить любое из шести соединений трех входов с тремя различными выходами, т. е.
12 3 12 3
^ ^ ^ ^ ^
1 2 3 3 1 2
1 2 3
Ф Ф Ф
2 3 1
1 2 3
Ф Ф Ф
2 1 3
1 2 3
Ф Ф Ф 3 2 1
1 2 3
Ф Ф Ф 1 3 2
.L. .L. .L, i-л,
(Проверьте это. Заметьте, что общее число различных состояний этой схемы равно 23 = 8, поскольку каждый из переключателей может находиться в двух состояниях.)
Рис. 3
а) Постройте схему с четырьмя входами и четырьмя выходами, которая была бы «универсальной», т. е. осуществляла бы любое из 24 возможных ' соединений входов и выходов.
б) Какое минимальное число переключателей нужно для такой схемы?
в) Назовем схему с п входами и п выходами п-универсальной, если она осуществляет любое из п\ = =■ 1 • 2 •• я возможных соединений п входов с п различными выходами. На рис. 3 изображена схема с восемью входами и восемью выходами, где А и В — А-уни- версальные схемы. Докажите, что она является 8-уни- версальной.
Оцените сверху и снизу число переключателей в минимальной п-универсальной схеме».
Конечно, выбирать одну из трех незнакомых задач значительно сложнее, чем одну из трех тем для сочинения по литературе, — ведь заранее не знаешь, что удастся сделать в каждой из задач, так что приходится пользоваться весьма неполной информацией о своих возможностях. Некоторые члены жюри высказывали опасения, что школьники будут «метаться» от одной задачи к другой и тем самым замысел жюри не будет выполнен. К счастью, этого не произошло. Судя по беседам с участниками (в этом году на такие беседы с членами жюри был выделен специальный день «индивидуального разбора задач»), большинству такая форма «исследовательских» задач понравилась, хотя, конечно, нашлись и такие, кто жалел, что взялся не за ту задачу.
Разумеется, такая форма конкурсного задания не является чем-то совершенно новым, и нельзя утверждать, что найдена наиболее удачная форма олимпиадных заданий. Да и сами задачи такого характера могли быть, вероятно, более удачными (с большим числом разнообразных возможных подходов и сравнительно простых «первоначальных» результатов). Во всяком случае, эта форма заданий кажется достойной внимания не только для олимпиад и конкурсов, но и в обычной учебной работе, прежде всего внеклассной и заочной.
Мы не будем здесь приводить решений этих трех задач. Каждая из них потребовала бы отдельной замет-
73


ки, и такие заметки предполагается опубликовать в первых номерах журнала «Квант» в 1972 г. Ограничимся только формулировками некоторых результатов, полученных участниками.
Задача 1. При п = 3 — 5 кубиков, при п = 4 — 8 кубиков, при п = 10 — 50 кубиков. В общем слу-
л2 л2 + 1
чае ~2“ при четном л и —^— ПРИ нечетном л.
Задача 2. Множество точек (х, у), для которых значение f(x, у) меньше значения f (х + т, у 4- л), в любой сдвинутой (на целочисленный вейтор (т, л)) точке — внутренность шестиугольника, изображенного
на рис. 4. Равенство f (х, у) = -g- достигается в вершинах этого шестиугольника (и в точках, получающихся из них сдвигом). Для каждого а, 0 < а < 2, точ-
_ 1 ная оценка fa(x, у) < *
Задача 3. В минимальной 4-универсальной схеме 5 элементов. Используя конструкцию, указанную в пункте в), можно доказать, что минимальное число ап элементов в л-универсальной схеме не превосходит 2л (Iog2 п -f- 1). Из обычных «мощностных» соображений (сравнения числа перестановок л! и числа возможных состояний схемы) следует, что ап > log2 л! > > n(\og2n — 2).
Перейдем к другим задачам второго дня. В каждой параллели их было три. Одной из задач в IX классе была (в несколько сокращенном виде) задача 1. Но тут, где не предлагалось решать одну из задач на выбор, полностью ее не решил никто.
Ниже, после формулировки задачи, в скобках указывается, кто ее предложил, класс, в котором предла¬
галась задача, и число решивших ее (полностью или с небольшими недочетами).
4. 	На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток выкрашено в черный цвет. Доказать, что из листа мож- но вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия: 1) все черные клетки будут лежать в вырезанных квадратах, 2) в любом вырезанном квадрате К площадь черных клеток составит не менее Vs и не более 4/s площади К (Г. В. Розен- блюм; IX — 20).
Решение. Выберем на плоскости квадрат 2n X 2П настолько большой, что он заключает внутри себя
все N черных клеток и имеет площадь больше SN. Разделим его на четыре квадрата 2n“1 X 2n_l. Ясно, что в каждом из этих квадратов черные клетки занимают не больше 4/s его площади — иначе в исходном кзадра-. те^ черные клетки занимали бы больше Vs его площади. Если в каких-то из этих четырех квадратов черные клетки занимают -больше Vs их площади, вырежем эти квадраты: они удовлетворяют условию (2) в формулировке задачи. Каждый из остальных квадратов, в которых есть черные места, разрежем на четыре квадрата 2п~2 X 2П-2, повторим то же рассуждение, и т. д.
Удобно с самого начала провести контур квадрата по линиям сетки и принять за единицу сторону клетки. Тогда, дойдя до квадратов 2x2, мы решим задачу полностью: ведь в квадрате 2 X 2, в которохм есть черные клетки, их площадь составляет не менее */4 площади квадрата.
5. а) Доказать, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Доказать аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность (Ю. И. Ионин; VIII; 5а)—42, 56) — 15).
Аналогичная, но несколько более трудная задача была в IX классе (здесь не говорилось, через какую именно точку проходят прямые):
Доказать, что все прямые, делящие одновременно и площадь, и <периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Решение. Нам достаточно решить задачу 56). Пусть О — центр вписанного круга. Если две точки А и В, лежащие на контуре многоугольника, делят его периметр пополам, то ломаная, состоящая из двух отрезков АО и ОВ, делит его площадь пополам (это доказывается так же, как то, что площадь равна половине произведения периметра на радиус вписанного круга). Поэтому если, кроме того, прямая АВ делит площадь пополам, то она должна проходить через центр вписанного круга О.
6. а) В вершине Ах правильного 12-угольника А1А2А3...А12 стоит знак минус, а в остальных — плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Доказать, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине Л2 оказался знак минус, а в остальных вершинах — плюсы.
б), Доказать то же утверждение, если разрешается менять знаки не в шести, а в четырех последовательных вершинах многоугольника.
в) Доказать то же утверждение, если разрешается одновременно менять знак в трех последовательных вершинах многоугольника (VIII; 6а) —13, 66) — 14, 6в) — 9).
Решение, а) Рассмотрим Еершины Ль Л4, Л7, Л10. При замене знаков (в шести вершинах подряд) ровно в двух из этих вершин знак меняется на противоположный. Таким образом, знак минус всегда стоит в нечетном числе из этих вершин, следовательно, во всех рассматриваемых вершинах может одновременно получиться знак плюс.
Для решения задач б) и в) достаточно заменить здесь первую фразу такими: «Рассмотрим вершинц Аи Л3, Л5, Л7, Л9, Ли» и, соответственно, «Рассмотрим вершины Ль Л3, Л4, Л6, Л7, Л9, Лю, Л12».
7. Доказать, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких числа, что ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности (между большим и меньшим) выбранных чисел (Г. А. Гальперин; VIII — 13).
Решение. Предположим, что существует 25 различных положительных чисел, таких* что сумма илн раз¬
74


ность любых двух из них содержится среди остальных 23 чисел.
Пусть а2, ..., а25— эти числа в порядке возрастания. Поскольку разности а2ъ— я* (*=1, 2, 24) об¬
разуют убывающую последовательность и должны содержаться среди данных чисел, то а25 — а» — flbs-f* В частности, а2б — 02 = агз. Поскольку разности «24 —
— я* (* = 2, ..., 23) образуют убывающую последовательность, содержатся в нашем наборе чисел и а24 —
— а2 < а2з, то а2А — щ = a2±_i. Но тогда, в частности, «24 — cl\z = ^12, т. е. разность а24 — а\2 не содержится среди остальных чисел. Получили противоречие. (Точно так же можно доказать, что условию задачи не может удовлетворять никакой набор из п чисел при я>3.)
в
V
Рис. 5
Перейдем теперь к задачам первого дня. Многие из них повторялись в разных классах, так что хотя в VIII классе было 4 задачи, в IX и в X — по 5, но всего существенно различных задач первого дня было семь.
8. В единичном квадрате расположено несколько кругов, диаметр каждого из которых меньше 0,001. Расстояние между любыми двумя точками любых двух кругов не равно 0,001. Доказать, что общая площадь, покрытая кругами, не превышает 0,34 (Г. В. Розен- блюм; VIII —1, IX— 1, X —1).
Решение. Пусть F — фигура, покрытая кругами, Р — фигура, получающаяся из F сдвигом на расстояние 0,001 параллельно одной из сторон квадрата, F" — фигура, получающаяся из F сдвигом на то же расстояние 0,001, но в другом направлении, образующем с направлением первого сдвига угол 60р (рис. 5). Эти три фигуры F, Р и F" не имеют общих точек (если бы Р и F" имели общую точку А, то и точка В, из которой получается А при первом сдвиге, и точка С, из которой получается А при втором сдвиге, должны были бы принадлежать фигуре F, но, поскольку при этом треугольник ABC равносторонний и ВС = 0,001, это невозможно). Площадь каждой из них равна площади F — обозначим ее через s. Все три фигуры, очевидно, расположены внутри квадрата со стороной 1,001. Поэтому
(1,001)2 S<.L—J <0,34,
9. Доказать, что для любого натурального п нцйдет- ся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на 2п (Б. М. Ивлев; VIII —30, IX — 56).
Решение. Построим это число индукцией по п. При п = 1 нужно взять число 2. Пусть А — п-значное число из цифр 1 и 2, делящееся на 2п: А = 2пВ. Тогда одно из чисел 1Л = 10п + А — 2п (5П + В) и 2А = = 2•10п 4- А — 2п (2 • 5П .+ В) будет делиться на 2n+1, поскольку одно из чисел 5п + В и 2 • 5П -f В четно. Эту индукцию многие объясняли неформально, «на пальцах».
Некоторые школьники доказывали сразу более общее утверждение: все 2п различных п-значных чисел, составленных из цифр 1 и 2, дают различные остатки при делении на 2п (поэтому среди этих остатков должен встречаться 0).
10. Дан треугольник А\А2АЪ (рис. 6). На его стороне А\А2 взяты точки Вх и Ь2, на стороне А2А3— точки В2
и D3, на стороне А$А\ — точки В3 и Dx так, что если построить параллелограммы A\BXCXDU A2B2C2D2 и AiBzCzDz, то прямые AiCi, А2С2 и Л3С3 пересекутся в одной точке. Доказать, что если АХВХ = A2D2 и А2В2 = AzDZy то AzBz — A\Di. (В. Л. Гутенмахер; VIII — 7. В X классе было обобщение этой задачи на произвольный выпуклый n-угольник А\А2Аъ. ..АПу а в
IX—обратная теорема для треугольника: если АХВХ — — A2D2, А2В2 = AzDz и Л3В3 = A\D\, то диагонали АХСХ, А2С2 и Л3С3 пересекаются в одной точке; IX — 31, X —43).
Решение. Изложим сначала идею решения задачи на «научном» языке, проясняющем, кстати, ее связь с механикой. Пусть О—точка пересечения прямых АгСъ А2С2, А3С3. Будем обозначать через М (PQ) момент вектора PQ относительно точки О. Тогда, поскольку А1В1 + AiDi = Afii и М (AiCi) = 0, то М (AiBf) =** = — M(AiDi) (i = 1, 2, 3). Теперь нетрудно получить такую цепочку равенств: М(А3В3) = —М (A3D3) »
— M{A^D2) =М(А^Щ = —М{А^7), откуда А3В3 = A3D3.
Нетрудно получить ту же цепочку равенств чисто геометрически (s — площадь треугольника): s (ОА3В3)= = 5 (OA3Dz) = 5 (1ОА2В2) = ... ==5 (OA2D2) —- или с помощью теоремы синусов: СМ3- А3В3 sin ^ ОА3В3 *=
= ОА3 • A3D3 sin ^ OA3D3 = ОА2 • Л2В2 sin ^ОА2В2=... (так поступило большинство десятиклассников). Обратная теорема доказывается аналогично, а также легко выводится из прямой.
11. 	В таблице пгХп записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме ' чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стерли, но по оставшимся можно восстановить стертые. Доказать, что осталось не меньше, чем (п + m—1) чисел (IX — 6; в VIII классе был сильно упрощенный вариант этой задачи с пг — 2, /2—10; VIII — 22).
А2
Решение. Пусть Xj (/=1, 2, ..п)—числа, стоящие в последней строке таблицы, yi (i—1, 2, . m — 1) — разность между числом в г-й строке и стоящим под ним числом в последней, т-й строке (по условию, эта разность не зависит от столбца). Заметим, что эти числа Хи •.хп, Уи *.Ут-1 можно выбрать произвольно: таблица
*1 + Уг + Ух
•*л +
■х 1 + Ут-1 *2 + Ут-х... Х„ + ут_,
X, Хг Хп
7€


будет удовлетворять условию задачи. Каждому «оставшемуся» числу соответствует одно линейное уравнение с неизвестными Хи Уз- Теперь задачу решает ссылка на теорему линейной алгебры, гласящую, что система менее чем N уравнений с N неизвестными (в данном случае N — n + m—1) не может иметь единственного решения.
Возможность использования «высшей математики», конечно, сильно ухудшает задачу, (Правда, только одному из участников удалось вполне грамотно записать именно это решение.) Ее включение оправдывалось тем, что имеется много самых разных вполне элементарных решений. Одно из самых коротких (но не самых простых логически) заключается в следующем.
Будем доказывать индукцией по т+п, что если осталось меньше чем т + п—Г число, то таблица восстанавливается неоднозначно. Можно считать, что п ^ т. Тогда найдется столбец, в котором осталось не более одного числа (в противном случае осталось больше 2п ^ т + п чисел). Если есть пустой столбец, то утверждение очевидно. Пусть в каком-то столбце только одно известное число. Если вычеркнуть этот столбец, то уменьшенную таблицу (п—1) Хт можно, по предположению индукции, восстановить разными способами. Но каждую таблицу (п— 1) X т можно, очевидно, продолжить, заполнив вычеркнутый столбец так, чтобы выполнялось условие (чтобы разности между числами в разных строках были в этом столбце такими же, как и в других). Следовательно, таблица т X п восстанавливается неоднозначно.
12. В три сосуда налито по целому числу литров во- ды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нем уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю имеющуюся воду.) (Г. А. Гальперин; IX—0.)
Решение. Докажем, что несколькими переливаниями можно добиться того, что наименьшее из трех количеств воды в сосудах уменьшится. Тем самым задача будет решена; поскольку количество воды в каждом сосуде всегда составляет целое число литров, то, повторяя такую процедуру, мы придем к тому, что наименьшее количество воды станет равно 0.
Пусть в сосудах Л, В и С соответственно а, Ъ и с литров, а ^ Ь ^ с. Разделим Ъ на а с остатком: Ь — = ad 4- г; 0 ^ г <а — и докажем, что можно переливать воду в сосуд Л из В и С (несколько раз) так, что в результате в В останется только г литров. Заметим, что при этих переливаниях количество воды в А все время удваивается: 2а, 22а, ..., 2ka и т. д. Пусть d — = -f 2е2 + 22е3 + ... + 2m-lem* где каждое е* равно 0 или 1; 8m = 1. Будем при /г-ом переливании выливать воду из В в Л, если = 1, и из С в Л, если еk — 0. Тогда после последнего m-го переливания (это будет наверняка переливание из В в Л) мы выльем аз В в общей сложности ad литров, т. е. там останется г литров. Ну^с- но только проверить, что вода в С не кончится раньше времени; это так, потому что даже если все переливания с 1-го по (т — 1)-е делались из С, все равно из С вылито не больше а-f 2а-К. .+2т—2а*<2т_1а^ ^ da ^ b ^ с литров.
В целом вариант IX класса, в отличие от VIII и X классов, был несколько перегруженным, а задача 12 требовала много времени для обдумывания; видимо, этим отчасти объясняется то, что эту задачу никто не решил — заранее она не считалась самой трудной.
13. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырех идущих подряд чисел а, Ь, с, d оказывается, что (a — d) (b — с) < 0, то числа b и с можно поменять местами. Доказать{ что эту операцию удастся
проделать лишь конечное число раз (В. Б. Алексее в; X—5).
Решение. Запишем неравенство (а — d) (b — с) <0 так: ab -f cd < ас + bd. Отсюда видно, что при разрешенных условием задачи перестановках сумма п попарных произведений соседних чисел (Х\Х2 4- х2х$ + ... + + хпхi) увеличивается. Но поскольку всего существует конечное число возможных перестановок чисел и, соответственно, конечное число возможных значений этой суммы, то увеличивать ее бесконечное число раз 'не удастся.
Другие решения, предложенные участниками, основывались на том наблюдении, что числа, соседние с наибольшим, должны увеличиваться. Но логически безупречное доказательство, основанное на этой идее, получить не так просто.
14. Проекции тела на две плоскости — круги. Доказать, что эти круги имеют равные радиусы (Г. А. Г а л fane р и н; X — 65).
Решение. В задаче речь идет об обычной «ортогональной» проекции: множестве оснований перпендикуляров, опущенных из точек тела на плоскость. Две плоскости могут быть расположены в пространстве под любым углом. (Эти объяснения давались во всех аудиториях, когда члены жюри обходили их после раздачи листков с задачами и отвечали на вопросы школьников.)
Рассмотрим круг — проекцию тела на первую плоскость р\ и проведем его диаметр А\В\ = du параллельный второй плоскости р2 (или лежащий в плоскости р2). Пусть а и b — плоскости, проведенные соответственно через Л и В и перпендикулярные к А\Ви а следовательно, к каждой из плоскостей рх и р2. Точка Л тела, которая проектируется в Ль и ее проекция Л2 на р2 лежат в плоскости а. Точно так же, точка В тела, соответствующая Вь и ее проекция В2 на р2 лежат в плоскости р2. Мы нашли две точки проекции тела на р2, расстояние между которыми не меньше d\ (расстояния между параллельными плоскостями а и Ь). Поэтому диаметр d2 круга в плоскости р2 не меньше d\. Точно так же доказывается, что d\ ^ d2, откуда d\ = d2.
Вот еще более короткое решение. Случай, когда плоскости параллельны, очевиден. Пусть плоскости р\ и р2 пересекаются по прямой /. Спроектируем сначала тело на плоскость ри а затем эту проекцию — на прямую /. По теореме о трех перпендикулярах мы получим таким образом его проекцию на прямую /. Ту же проекцию можно получить, спроектировав тело сначала на р2> а потом на I. Но проекция круга на прямую, лежащую в его плоскости, есть отрезок, равный его диаметру. Следовательно, диаметры кругов равны.
Есть и другие решения. Но, к сожалению, значительное большинство участников проявили беспомощность в этой сравнительно простой стереометрической задаче; многие допускали грубые логические ошибки, а некоторые просто писали, что данное тело — обязательно шар.
15. Доказать, что если для чисел pv р2, qv q2 выполнено неравенство (^, — q2)2 -f (/?, — p2) (pxq2 — — РгЧх) < то квадратные трехчлены х2 -|- Р\X+qt их 2+ p2x4-q2 имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень д ругого (X — 26).
Решение. Пусть ft (х) ==« х2 + рхх + qv /2 (х) — = х% 4- р2х -г #2* Если выполняется условие —
= (#i ~ qг)2 (Pi Р2)(Р$2 т0 Pi "Ф Рг
и уравнение (х) = /2 (*) имеет единственное реше-
q2 — q j
ние х0 =* — —, т. е. графики у = /, (х) и у =» f2 (jt)
Ра —* Pi
пересекаются только в одной точке (xQ, у0)> причем
76


эта точка, как легко проверить, лежит ниже оси абсцисс:
R
Уо “ Л (хо) = f 2 (Хо) = (pg ^ ® •
Отсюда уже следуют все утверждения задачи: корни обоих трехчленов вещественны и «перемежаются» (последнее очевидно из расположения графиков (рис. 7); участникам, решавшим задачу таким способом, не ставилось в вину отсутствие более строгого доказательства; его нетрудно получить, пользуясь тем, что разность fi(x)—f2(x) меняет знак в точке *о).
X
Рис. 7
Эта задача, безусловно, относится к числу «хорошо забытых» (вернее, малоизвестных) старых. Выражение R есть просто результант двух квадратных трехчленов, т. е. /?= (ai —a2)(ai —p2)(Pi —a2) (Pi —р2), где ai и pi — корни fь a2 и р2 — корни /2. Используя этот факт, можно получить другое решение задачи. Вообще по
числу различных решений, предложенных участниками, эта задача явно занимает первое место. Но рассказанное выше, видимо, самое рациональное.
Подводя итоги олимпиады, хочется отметить, что неудачное выступление многих команд (в таблице приведена статистика неофициального командного зачета «по олимпийской системе») связано не с тем, что в некоторых областях нет достаточно способных школьников, а скорее с тем, что не везде районные и областные олимпиады проводятся достаточно t качественно и охватывают всех талантливых ребят. Эти первые и более массовые звенья Всесоюзной олимпиады являются, конечно, более важными, чем торжественные заключительные соревнования 500 «самых лучших математиков».
п | 0
l| 2
3
4
5 | 6
7 J 8 | 9 110—211 Всего
kn | 47
36128
18
7
7 j 7
0 | 5 | 1 | 8 j 171
kn — число команд, три участника которых набрали в сумме п очков (I премия — 7 очков, II — 5, III—4, похвальный отзыв первой степени — 2 очка, второй — 1 очко). '
В заключение я хотел бы поблагодарить многих членов жюри, предоставивших полезные материалы и подавших ценные советы, в особенности Г. А. Гальперина, В. JI. Гутенмахера, Ю. И. Ионин а,
А. 	П. Савина, Р. Фрейвальда.
М. М. РАССУДОВСКАЯ
(Москва)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Для решения уравнения F(x) =0 можно построить в прямоугольной системе координат график функции у = F(x) и найти точки пересечения графика с осью х. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения F(x) = 0.
Иногда задача упрощается, если предварительно привести уравнение F(x) = 0 к виду /, (jc) = /2 (л:) и построить в одной и той же системе координат графики двух функций У — f iW и У = /г (•*)• Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения fi(x) = f2(x), а также и корнями уравнения /7(л:) = 0.
Применим этот метод к уравнениям, с которыми учащиеся уже знакомы. Пусть уравнение х2 + рх + q = 0 имеет действительные корни. Преобразуем уравнение следующим образом:
x{x + p) + q = 0, х=__£_. Построим графики функций
График первой функции представляет собой биссектрису координатных углов I и III четверти, а график второй функции представляет собой равностороннюю гиперболу, смещенную по горизонтали на расстояние, равное — р. В зависимости от знаков р и q здесь возможны четыре случая: 1) р^>0, q^>0; 2) р<^0, д>0; 3) /?>0, <7 <0; 4) р<0, ?<0.
Рассмотрим один из этих случаев. Пусть р < 0 и q < 0. Тогда, если уравнение имеет действительные корни, получим следующий чертеж (рис. 1). Прямая и гипербола пересе¬
77


каются в точках А и В. Остается найти по графику Х\ и Х2. В этот момент обнаружится наиболее слабая сторона графического метода решения уравнений. Точность, с которой удастся получить значения Xi и х2, будет невелика.
Рис. 2
лить
Ч
в,4- р
и получить еще более
точное значение Хи Повторяя такие вычисления достаточное количество раз, можно получить значение xi с любой степенью точности. Последовательность чисел ао, аь «г» аз, ••• будет стремиться к пределу, равному х\. В этом случае говорят, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения. После того, как Xi будет найден с достаточной с; v!пенью точности, можно до теореме Виета
найти и х2 = —р — Х\. Если же попытаться найти методом последовательных приближений х2, где х2 — больший по модулю корень квадратного уравнения, то мы обнаружим, что последовательные приближения не будут сходиться к х2, что легко видеть из рисунка 3.
Задача. Найти с точностью до 0,0001 корни уравнения х2 — 4,3 х ^ 1 =0, где 4,3 и 1 — числа точные.
Решение. Дискриминант уравнения — положительное число, корни уравнения числа действительные, причем 0 < лг, < 1 и4< х2<5. Для вычисления хг преобразуем уравнение к виду
1
Оказывается,
1
и у
4,3—* *
что графики функций у = х можно не строить, а в качестве
Этот недостаток может быть устранен, если воспользоваться методом последовательных приближений, или иначе: методом итераций. Для выяснения сущности этого метода мы начали с его применения для вычисления корней квадратного уравнения. Поскольку учащиеся умеют решать квадратные уравнения по известной формуле, они могли легко установить, что и метод последовательных приближений дает в пределах требуемой точности такой же результат, что и формула.
Начнем с вычисления х\ — меньшего по модулю корня квадратного уравнения.
Допустим, что нам удалось найти по графику приближенное значение Xi ~ ао, точность которого недостаточна (рис. 2). Тогда можно будет получить более точное значение для Xi, если воспользоваться формулой
q
а, .
1 <*о + Р
На рисунке 2 видно, что at является более точным значением Х\, чем ао. Если точность а\ окажется недостаточной, то можно вычис-
4,3— 	х
приближенного значения ху можно взять любое число 0<^а0<]1. Возьмем а0 = 0,5. Тогда
aj = ^ = 0,2632 ^вычисления производим по таблицам дробей вида .
1 =0,2477:
а, =
4,3—0,2468
1
.0,2468 = 0,2467 .0,2467.
5 ~ 4,3 — 0,2467
Значения а начали повторяться в пределах требуемой точности; следовательно, нужная
Рис. 3
степень точности достигнута. Теперь найдем
х2 = 4,3 — 0,2467 = 4,0533.
Приведем решение того же уравнения по формуле:
78


х = 2,15 +j/4,6225 — 1 —
= 2,15 + V3,6225 ^2,15 + 1,9033; *^0,2467; х2 ^ 4,0533.
Результаты совпадают с предыдущими вычислениями.
Из рассмотренного примера видно, что метод последовательных приближений для решений квадратных уравнений не представляет особой выгоды. Однако, если коэффициенты квадратного уравнения — числа многозначные й в распоряжении вычислителя имеются соответствующие математические таблицы и арифмометр, то метод последовательных приближений оказывается несколько проще. Самое же главное в том, что этот метод можно применить к решению таких уравнений, для решения которых нет соответствующих алгоритмов или использование такого алгоритма приводит к достаточно сложным вычислениям.
Методом последовательных приближений можно вычислять корни кубического уравнения x3 + px+q = 0 или х3 + ах2+Ьх + с = 0, а также корни трансцендентных уравнений.
Условие сходимости последовательных приближений к корню уравнения можно установить методами математического анализа. Это условие для уравнения, приведенного к виду * = ф(л:), состоит в том, чтобы |ф'(;с)|<1 для всех значений х, достаточно близких к значению искомого корня.
Использование метода последовательных ^приближений значительно расширяет возможности учащихся при решении уравнений. Рассмотрим некоторые задачи.
Задача. 1. Из квадратного листа железа размерами 6X6 дм нужно сделать открытый ящик вместимостью 8 ли высотой не более 1 дм.
Решение. Для этого по углам листа нужно вырезать квадраты, отогнуть образовавшиеся выступы и сварить края выступов. Если длину стороны каждого из вырезанных квадратов обозначить через х, то длина стороны квадрата, представляющего дно ящика, будет равна (6 — 2х) дм. Объем ящика будет равен х(6 — 2х)2 дм3. Теперь можно составить уравнение х(6 — 2х)2 — 8. После преобразования получим полное кубическое уравнение х3 — 6х2 + 9я — 2 = 0. Нас интересует действительный корень этого уравнения, удовлетворяющий условию 0 < х < 1. Такой корень существует, так как при х = 0 левая часть уравнения принимает отрицательное значение, а при х = 1 — положительное значение. Вычислим этот корень с точностью до 0,001 дм. Для этого приведем уравнение к виду;
(З-*)2 •
В качестве начального приближения возьмем а0 = 0,5.
2
корня
ai =
а0 =
(3-
-0,5)2
2
<3-
«о =
ССл =
-0,320)2
2
(3-
-0,2784)2 2
(3 — 0,2699)2 2
0,320;
= 0,2784 = 0,2699
(3-
-0,2683)2
2
= 0,2683 = 0,2680 0,2680,
” (3 — 0,2680)2
Последовательные приближения стали повторяться, поэтому х = 0,268 дм.
Проверка:
V = 0,268 (6—2.0,268)2 = 0,268.5,4642 =
= 0,268• 29,85 = 8,00 дм3.
Задача 2. Из круга диаметром 4 &м нужно вырезать сектор, а из оставшейся части получить конус, объем которого составит 3 дм3. Найти величину центрального угла, соответствующего вырезанному из круга сектору.
Решение. Обозначим через х высоту конуса. Тогда квадрат радиуса основания этого конуса будет равен 4 — х2. Объем конуса
будет равен -|-(4 — х2)х дм3. По условию задачи* объем конуса равен 3 дм3. Получим уравнение -у-(4 — х2) х = 3, после преобразования х3 — 4х + 2,865 = 0. Это уравнение имеет корни: 0<X!<1, 1<х2<2, — 4<
<ха< — 3. Для вычисления первого корня
2,865
(рис. 4)
преобразуем уравнение к виду х=
и в качестве начального приближения возьмем а0 = 0,5. Тогда-
2,865 п _ 2,865
а, =
3,75
0,7640; а2 = 2,865
а9 “ 4 — 0,89542
2,865
10 4 — 0.89582'
4 — 0.76402 0,8958;
: 0,8960.
Следует заметить, что при вычислении первого корня процесс последовательных приближений сходился очень медленно. Итак, = 0,896. Вычислим радиус основания конуса
/4 - 0,8962 = УЗ, 197 » 1,79.
79


Длина окружности основания конуса равна длине дуги того-сектора, из которого образован конус, т. е. 2я-1,79=ф-2. Откуда <р= = я-1,79 = 5,62 радиана. При переводе в градусную меру получим 322°. Вырезать и удалить нужно , сектор в 38°.
3,201
0,895+ 1,388
= 1,402.
Рис. 4
Вычислить второй корень методом последовательных приближений не удастся, но, зная один из корней кубического уравнения, можно понизить степень уравнения и после этого вычислить и второй корень. Для этого используем зависимости между корнями кубического уравнения и его коэффициентами:
ххх2х3 = — 2,865; xt + х2 + х3 = 0.
а, =
ад —
а* =
v 9 *
0,895+ 1,5
1,2
3,201
0,895 + 1,336
3,201
0,895+ 1,434
3,201
0,895+ 1,374
3,201
1,374;
После замены хх его числовым значением из первого равенства получим х2х3 = — 3,201, а из второго х2 х3 = — 0,895. По сумме и произведению х2 и х3 можно составить квадратное уравнение х2 + 0,895л: — 3,201 = 0 и найти положительный корень этого уравнения методом последовательных приближений. Преобра-
3,201
зуем уравнение к виду х = д-8Э5 х~.
Положительный корень уравнения заключен между 1 и 2, и в качестве начального приближения можно взять а0 = 1,5. Тогда
0,895 + 1,410
= 1,388;
Вычисления закончены, в качестве приближенного значения х можно взять 1,40. Вычислим радиус основания конуса V 4—1,402^;
1,43. Найдем дугу сектора <р = it -1,43=4,49. При переводе в градусную меру получим 257°. Вырезать и удалить нужно сектор в 103°. Таким образом, можно получить два различных конуса с объемом 3 дм3. Соображения практического характера могут послужить основанием того, что одному из возможных решений будет отдано предпочтение.
Задача 3. Из точки. А, лежащей на окружности, провести две хорды, делящие круг на три равновеликие части.
Обозначим через х радианную меру дуги каждого из получившихся сегментов. Площадь сегмента равна
R2x y R2 sin х,
а площадь круга равна it/?2. Если принять радиус круга за единицу, то получим уравнение
1 1 . ГС
~ х 2~ П X = “з~ •
Приведем уравнение к виду х = sin х + 2,0944, Это уравнение имеет положительный корень, заключенный между 2 и 3. В качестве начального значения возьмем а0 = 2,5. Методом последовательных приближений получим а =2,603 или в градусах —149°.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике из вершины острого угла, как из центра, радиусом, равным катету, проведена дуга окружности. Площадь сектора, отсеченного этой дугой, составляет половину площади треугольника. Найти острые углы треугольника.
Решение. Обозначим величину угла, из которого проведена дуга окружности через х, радиус окружности через R. Тогда площадь
треугольника будет равна -j- R2 tg х, а площадь сектора — -^-R2x. По условию задачи
можно составить уравнение -i- R2 tg х = у R2x.
Преобразуем уравнение следующим образом:
-j- tg х — х, или х = arctg 2х. Положительный
корень этого уравнения удовлетворяет неравенству 1<л:<1,4. В качестве начального приближения возьмем а0 = 1,2. Методом последовательных приближений получим а = = 1,166 или 66°48\
8»


ЗАДАНИ
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
956. Из трех цифр, среди которых нет нуля, образовали все возможные трехзначные числа с различными цифрами. При этом оказалось, что сумма двух самых больших из этих чисел равна 1444. Каковы взятые цифры?
Н. 	К. Антонович (г. Новосибирск)
957. В комнате находится несколько мужчин. Все они близкие родственники: двое имеют среди присутствующих внуков, трое — сыновей, четверо — отцов, и трое имеют дедов. Сколько из них имеют в этой комнате братьев?
958. У мальчика было 20 монет достоинством в 1 и в 3 копейки. Когда он сосчитал свои деньги, то насчитал 41 копеек. Доказать, что мальчик ошибся при подсчете. Можно ли было бы сделать такой вывод, если бы он насчитал 49 копеек? 48 копеек? При какой названной мальчиком сумме такой вывод можно сделать? (Найти все такие суммы.)
С. 	Г. Губа (г. Вологда)
959. В одной банке находится виноградный сок, в другой — яблочный. Из первой банки стакан соку перелили во вторую, а затем из второй банки стакан получившейся в ней смеси перелили в первую. Чего будет больше: виноградного соку во второй банке или яблочного в первой?
С. 	Г. Губа (г. Вологда)
960. Члены математического кружка решали две задачи. В конце занятия руководитель составил четыре списка: 1) решивших первую задачу, 2) решивших только одну задачу, 3) решивших хотя бы одну задачу, 4) решивших обе задачи. Какой из списков самый длинный? Могут ли два списка совпадать по количеству учащихся, по составу? Если да, то какие?
С. 	Г. Губа (г. Вологда)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI-^VIII КЛАССОВ
961. Найти все такие числа xtt х2,..., х173, кто сумма
х\ + х\ “Ь • • • + *173
делится на 5, а произведение хгх2... х17Я не делится на 5.
962. Даны две пары точек А, В и С9 D. Провести через эти точки параллельные прямые а, Ь и с. d так, чтобы полосы (а, Ь) и (с. d) имели одинаковую ширину.
Р, Г. Носик (Оренбург)
963. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь. Найти геометрическое место точек М, таких, чтобы расстояние между основаниями А и В перпендикуляров МА и MB, опущенных соответственно на эти прямые, было постоянным.
Э. 	Г, Готман (г. Арзамас)
964. Через точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проведены две тройки параллельных прямых а, Ъ, с и аи bu Ci (a\\b\\cy aill&ilki). Среди образовавшихся параллелограммов есть три таких, в которых АВ, ВС и С А — диагонали. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов (или продолжения этих диагоналей) пересекаются в одной точке или параллельны.
Н. 	Л. Рыбакова (г. Ярославль)
965. Привести примеры различных графиков А и В, для которых А о В = В ©Д.
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
966. Доказать неравенство
а+b
2 Vа?» 62а<дг + 6а,
где а, b — натуральные числа.
Математический кружок 178-й школы г. Киева (рук. И. А. Кушнир).
967. Решить систему уравнений
sin2 х sin у, sin2 у = sin £, sin2 z «■* sin x% если 0<*<rc, 0<y<rc,
Математический кружок 178-й школы г. Киева (рук. И. А. Кушнир).
968. Найти наименьшее значение суммы
abed b -f с + d ^ а с + d^ а + 6-Ьd a -f Ь + с
b "4“ с d а 4- с 4* d а 4~ b 4* d + ___+____+__—+
а 4- b 4- с + ~-La—&.ь,с, d > 0).
В. 	М. Розентуллер (Ленинград)
969. Доказать, что если трехзначное число abc простое, то Ь% — 4ас не является полным квадратом.
(Из задач, рекомендованных для областных олимпиад 1971 г.)
970. Доказать, что сумма кубов корней уравнения
хь 4- рх 4- q — 0
с целыми коэффициентами есть целое число и делится на 3.
Ю. И. Герасимов (Иркутская обл., с. Качуг)
971. Из точки О внутри треугольника ABC опущены перпендикуляры: ОМ на АВ, ON на АС, ОР на ВС. Доказать, что АО В ^ ВОС « «*<^ССМ то2да и только тогда, когда MN*ОР *» -NP-OM-PM-ON.
А. 	Ю. Сойфер, Л. М. Столяр (Москва)


972. 	В треугольнике ABC площади S проведены медианы AAV BBlt CCV Доказать, что
-g- (ctg ^ BAAt -f с tg СВВ1 +
а2 + Ь2 + с2 + ctg ^ АССХ) - \ST—-
Э. 	А. Лаудыня (г. Даугавпилс)
Графики
980. 	Первой проекцией графика А называется множество, состоящее из всех первых элементов пар, входящих в А. Аналогично определяется вторая проекция графика. Как связаны между собой проекции графиков А и Л”"1? Как связаны проекции пересечения графиков с пересечением проекций, проекции объединения с объединением проекций?
973. В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Биссектрисы углов А, В, С пересекают окружность соответственно в точках Аи Вь С\\ в треугольнике А\В\С\ биссектрисы углов Аи Вь С\ пересекают окружность соответственно в точках А2, В2, С2 и т. д. Найти предел последовательности площадей треугольников ABC, А\В\Си А2В2С2, ....
Математический кружок 173-й школы г. Киева (рук. Р. П. Шейнцвит)
974. Из квадратного листа со стороной а вырезали развертку правильной четырехугольной пирамиды так, что вершины квадрата склеиваются в вершину пирамиды. Как следовало выбрать сторону основания пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
Б. Н. Шнипор (Винницкая обл., г. Литин)
975. Пусть графики F и G состоят из точек (х, у), для которых х = у2 и у = х2 соответственно. Изобразить на плоскости множества F°G и GoF.
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Векторы
976. Основания трапеций ABCD и AB\C\Di пропорциональны: АВ : CD = АВ\ : C\D\. Доказать, что прямые BBh CCuDDi параллельны некоторой плоскости.
В. 	М. Майоров (г. Ярославль)
Преобразования
977. Доказать, что произведение четырех центральных симметрий, выполненных последовательно относительно четырех вершин параллелограмма, есть тождественное преобразование. Пользуясь этим, найти произведение пяти центральных симметрий относительно вершин правильного пятиугольника, вписанного в окружность. Сформулировать и решить аналогичную задачу для правильного многоугольника с нечетным числом сторон.
3. 	А. Скопец (г. Ярославль)
Конечные геометрии
978. Пусть F2 — плоскость над полем F вычетов по модулю р (см. задачи: 803, 903, 928, 953) и (а, Ь) — произвольная точка этой плоскости. Доказать, что отображение, которое каждой точке (х, у) е F2 ставит в соответствие точку (х + а, у + Ь) е/72, является взаимно однозначным и всякую коллинеарную тройку точек (лежащих на одной прямой) переводит в коллинеарную тройку.
Симметрические многочлены
979. В задаче 876 получено рекуррентное соотношение pn — pfpn-1 + P2P71-2 4- ... + pn-ipu п ^ 3 с начальными условиями Pi=P2=l. Решить это соотношение.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1971 Г.
856. Для окраски кубика с ребром 2 см требуется 1 г краски. Сколько краски потребуется для кубика с ребром 6 см?
Решение. На одной грани большего кубика можно уложить ровно 9 граней ^меньшего кубика. Поэтому для одной грани большего кубика потребуется в 9 раз больше краски, чем для одной грани меньшего кубика, а следовательно, и для окраски всех граней большего кубика потребуется в 9 раз больше краски, чем для окраски всех граней меньшего кубика, т. е. 9 г.
857. Имеются 4 палочки длиной в 1 см, 4 палочки длиной в 2 см, 7 палочек длиной в 3 см, 5 палочек длиной в 4 см. Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?
Решение. Если а и Ь — длины сторон прямоугольника, то его периметр равен 2(а + 6), а следовательно, в случае целых а и Ь, периметр есть четное число. Но сумма длин всех палочек данного набора равна 53 см, и это число нечетное. Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.
858. Сложить наибольший квадрат, используя палочки из задачи 857.
Решение. Если а — длина стороны квадрата, то его периметр равен 4 а, т. е. делится на 4. Наибольшее число, не превосходящее 53 (длину всех палочек), и делящееся на 4, равно 52. Следовательно, если мы сможем выбрать четыре набора из палочек задачи 857, в каждом из которых сумма длин равна 13 см, то у искомого квадрата длина стороны будет равна 13 см. Такими наборами являются, например, следующие: 4, 4, 3, 2; 4, 4, 3, 1, 1; 4, 3, 3, 2,-1; 3, 3, 3, 2, 2.
859. Пусть каждая буква обозначает некоторую цифру. Какие цифры обозначены буквами х, у, z, если:
а) произведение числа ху на х равно zzz,
б) произведение числа ху на ху равно xzz?
Решение, а) Число zzz делится на 111, а следовательно, на 37 и на 3; так как число *37 — простое, то ху равно либо 37, либо 74. Но 74*7 = 518, что не удовлетворяет условию, а 37 • 3 = 111 удовлетворяет условию. Итак, х = 3, у = 7, 2=1.
б) Из условия следует, что х—\у так как при *>1 произведение ху на ху начинается с цифры, большей чем х. Цифра у не может быть больше 4, так как число сотен в произведении равно 1. Из оставшихся значений для у только 0 и 2 удовлетворяют условию задачи (10*10=100 и 12*12=144). Следовательно, задача имеет два решения: х — 1, у = 0, z = 0 и х= 1, у — 2, 2 = 4.
860. Длина дороги от А до F, изображенной на рис. 1, равна 53 км. Расстояние от А до В больше, чем от В до С, расстояние от В до С больше, чем от С до D и т. д., т. е. каждый предыдущий участок больше последующего. Найти длины пяти участков дороги, если известно, что каждый из них содержит целое число километров и расстояние от А до В в два раза больше расстояния от Е до F.
82


Решение. Длина дороги от А до F меньше 2EF + + 3 • 2EF + EF — 9EF, но больше 2EF + 3EF + EF =
53 53
= 6EF, откуда -у < EF < -у. Этому неравенству удовлетворяют три значения: 6, 7 и 8.
Рис. 1
Если EF = б км, то АВ = 12 /слс и на оставшиеся три участка придется 35 км, но длины этих участков меньше АВ = 12 /сл« и, следовательно, сумма их длин не может равняться 35 км.
Если EF = S км, то АВ = 16 км и на оставшиеся три участка придется 29 км. Наименьшие возможные длины этих трех участков равны 11, 10, 9 км, и поэтому сумма их не меньше 30 км.
Если EF = 7 км, то АВ = 14 км и на оставшиеся три участка придется 32 км, которые могут распределиться между ними следующими тремя способами: 13, 12, 8; 12, 11, 9; 13, 10, 9.
Итак, задача имеет три решения: 14, 13, 12, 8, 7; 14, 12, 11, 9, 7; 14, 13, 10, 9, 7.
861. Найти все такие треугольники, которые можно разрезать на два подобных между собой треугольника«
Решение. Линия разреза треугольника ABC должна проходить через вершину. Пусть BD — линия разреза (D—точка пересечения BD с АС). Тогда BD ± Л С, ибо в противном случае или ZADB, или ZBDC тупой и не может быть равен ни одному углу того треугольника, для которого он является внешним. Из подобия треугольников ABD и BCD вытекает, что или ZABD = = ZCBD, тогда A ABC равнобедренный, или ZBAD = = ZCBD, тогда угол В прямой и А ЛВС прямоугольный.
Следовательно, только равнобедренные и прямоугольные треугольники можно разрезать на два подобных между собой треугольника.
862. Найти все такие треугольники, которые можно разрезать на три равных между собой треугольника.
Решение. Нетрудно видеть, что при разрезании треугольника на три (каких угодно) треугольника, по крайней мере, один разрез должен проходить через вершину треугольника. Этот разрез (пусть он проходит че-
В
В
/ТУ
О)
в 6)
Рис. 2
8)
рез вершину В данного 'Треугольника ABC) может либо дойти до точки D противоположной стороны Л С, либо закончиться вну'пм треугольника ABC. В первом случае треугольник ABC разбивается на два треуголь¬
ника ABD и BCD, и теперь надо один из этих треугольников разрезать на два треугольника—это можно сделать тремя способами (рис. 2). Во втором случае (рис. 3) дальнейшее разрезание треугольника ABC проводится единственным способом — по отрезкам AD и CD.
Рассмотрим поочередно все описанные случаи. Оче^ видно следующее утверждение: если два равны* треугольника имеют общую боковую сторону, а их основания лежат на одной прямой по разные стороны от нее, то эти треугольники представляют собой две «половинки» равнобедренного треугольника, т. е. являются прямоугольным^.
Из этого утверждения сразу же следует, что на рис. 2, а углы BDA, BDE, BED и ВЕС прямые, чего не может быть, и, следовательно, этим способом ни один треугольник нельзя разрезать на три равных. На рис. 2, б прямыми являются углы ВЕС и CED. Но тогда угол ADB тупой, а тупоугольный треугольник не может быть равен прямоугольному, так что и этим способом разрезание треугольника на три равных невозможно.
На рис. 2, в прямыми являются углы BED и CED, следовательно, треугольник ABD прямоугольный, причем, поскольку он равен треугольнику BDE, его гипотенузой является BD, а угол BAD прямой. Используя далее равенство треугольников ABD, BDE и DEC, получаем, что углы ADB, BDE и EDC равны между собой и каждый равен 60°. Отсюда следует, что ABC прямоугольный треугольник с острым углом в 30°.
Наконец, на рис. 3 угол BDC больше внешнего угла треугольника ABD и, следовательно, больше углов BAD и ABD; поэтому угол BDC равен углу ADB и аналогично равен углу ADC. Отсюда следует, что треугольник ABC равносторонний,
В
Рис. 3
Таким образом, на три равных треугольника можно разрезать только равносторонний треугольник и прямоугольный треугольник с острым углом в 30°, причем разрезание возможно только способами, указанными в приведенном решении.
Заметим б заключение, что решение можно сократить, если воспользоваться результатом предыдущей задачи; однако мы предпочли дать независимое доказательство, 863. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + г2 — ху — уг — глс = 3,5 а2
не имеет решений в рациональных числах, если а — целое, отличное от нуля число*
Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде
(х — у)*+ (у - z)2+ (г — х)2=7а\ (1)
Уравнение (1) имеет решение в рациональных числах только тогда, когда уравнение
m2+n2+pP~7q2
(2)
разрешимо относительно m, п, р, q в целых числах, причем *7=7^0. Мы докажем, что уравнение (2) не имеет таких решений. ,
Пусть взаимно простые числа т, п, р и q образуют решение уравнения (2). При четном q из соотношения (2) следует четкость т, пир, а это противоречит
83


взаимной простоте данных чисел. Если же q нечетно, то q2 при делении на 8'дает в остатке 1 и остаток при делении правой части соотношения (2) на 8 равен 7,
С другой стороны, числа т2, /г2, р2 при делении на 8 могут дать остатки 0,1 или 4, а из трех слагаемых такого вида нельзя, как легко убедиться, составить сумму 7.
Таким образом, уравнение (2) не имеет взаимно простых решений, а следовательно, оно вообще не имеет решений (с дфО).
864. 	В окружность вписан правильный девятиуголь- ник Аи Л2,..., Ад. Доказать, что последовательное выполнение центральных симметрий относительно вершин Ль Л2, ..., Лэ можно заменить одной симметрией, центр которой совпадает с точкой пересечения касательных к окружности в точках А\ и Л9. Обобщить задачу для правильного (2п + 1) -угольника.
Решение. Заметим, что последовательное выполнение симметрий относительно точек Л, В, и С можно заменить одной симметрией относительно точки D такой, что ABCD — параллелограмм (быть может и вырожденный). Символически С • В • A = D.
В нашем случае
А7-Р-А3 = Q, AB-Q'AZ = R, A9RAt *=* 5, (1)
*де Л4Л5Л6Р, Л4РЛ7Q, A2QAsRt AlRA9S — ромбы см. рис. 4). Итак, согласно (1) получаем
5 — AQ-R-At — Aq*A^*Q• A%m А\ *=»
*= A$ • А6 • A<2 * P • As • A% • A\ =
— Aq' Ag • A7 • Л| • A g • A^ • A j * A2 * A^.
Для (2n + 1)-угольника следует начать с ромба 1 n+2An+1AnPt и продолжить построение, как выше дя девятиугольника. Последним будет ромб 1 tPn-iA2n+iPп- Искомый центр симметрии — точка уп, являющаяся пересечением касательных к окруж- ости в точках Аг и A2n+V
865. 	Множество С, определенное по правилу, ука^ анному в задаче 815, обозначается через АоВ. Со тгавить множество Во А для множеств А а В за- ачи 815 и сравнить множества АоВ и Во А. Решение. Множество АоВ найдено при решении 1дачи 815, множество ВоА находится аналогично; результате получается:
АоВ - {(- 1, - 1), (0, 0), (1, - 1)}.
ВоА - {{—4, 1), (0, Щ, (1, 1)}.
Таким образом, АоВф ВоА и, следовательно, бинар- я операция о некоммутативна*
866. Доказать, что из всех четырехугольников с данными сторонами а, Ъ, с, d наибольшую площадь имеет вписанный.
Решение. По теореме косинусов из треугольников ABC и ADC получим равенство
АС2 = а2 + Ь2 — 2ab cos В *= с2 -f d2 — 2cd cos Д
или
2 (ab cos В — cd cos D) = a2 + b2 — с2 — d1.
Теперь имеем
(2S)2 = (ab sin В -f cd sin Df = a2b2 -f- c2d2 —
— a2b2 cos2 В — c2d2 соs2 D + 2abed sin В sin D «
— a2b2 -f c2d2 — (ab cos В — cd cos D)2 —
— 2abed cos (B + D).
По доказанному выше, разность в скобках не зависит от углов В и D и, следовательно, выражение 4S2, а значит, и площадь S имеет наибольшее значение при cos (В + D) = — 1. Иными словами, В 4- D « = 180°, а в этом случае вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
Решение этой задачи можно получить так же, как непосредственное следствие формулы 69 из книги
3. 	А. Скопеца и В. А. Жарова «Задачи и теоремы по геометрии». М., 1962.
867. На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на ней. Найти множество третьих вершин правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая — на данной прямой.
Решение. Пусть Л — данная точка, I — данная прямая, Л' — точка, симметричная Л относительно /, и m — прямая, проходящая через Л' к параллельная / (рис. 5). Легко видеть, что искомое множество F точек симметрично относительно прямой ЛЛ', и поэтому достаточно рассмотреть лишь полуплоскость, лежащую справа от этой прямой (включая эту прямую).
Пусть С — точка, принадлежащая множеству F и лежащая выше прямой т, В — вторая вершина правильного треугольника ABC. Тогда окружность радиуса АВ с центром в точке В проходит через точки Л, Л' и С. Отсюда сразу же следует, что ZЛЛ/C = 30°. Если же точка С лежит ниже прямой т, то Z-AA'C= 150°. Ясно также, что на прямой m множеству F принадлежит только точка Л'.
Таким образом, точки множества F, находящиеся в правой (от прямой ЛЛ') полуплоскости, лежат на двух лучах, выходящих из точки Л' и составляющих с ЛЛ' углы 30° и 150°. Очевидно, верно и обратное утверждение: любая точка этой пары лучей принадлежит F.
Окончательно получаем, что множество F представляет собой две прямые, проходящие через точку А' под углами 30° и 150° к Л Л', или, что то же самое, под углами 60° и 120° к данной прямой I.
Требуемое множество находится более просто с помощью идеи преобразований: достаточно заметать, что


точка С этого множества получается из точки В вращением прямой I вокруг точки А в положительном или отрицательном направлении на угол в 60° (рис. 6).
ка М получается из точки В вращением прямой I на угол в 30 (в положительном или отрицательном направлении) вокруг точки А и последующей гомотетией
с центром А и коэффициентом (рис, 8),
3
Рис. 8
868. 	На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на ней. Найти множество центров правильных треугольников, одна вершина которых находится в данной точке, а другая — на данной прямой.
Решение. Пусть А — данная точка, I — данная прямая а АО 11 (рис. 7). Легко видеть, что искомое множество F симметрично относительно АО, и достаточно поэтому рассмотреть лишь правую от АО полуплоскость, включая и прямую АО.
Множеству F принадлежит, очевидно, точка К, такая, что АК — 2КО. Через точку К проведем прямую т, параллельную прямой I.
Пусть точка М является центром правильного треугольника АБС и лежит выше прямой m и AD — высота А АБС. Так как углы АО В и ADB прямые, то точки О и D лежат на окружности с диаметром АВ, и поэтому ZAOD = Z ABD — 60°. Но треугольники OAD и КАМ. подобны (их сходственные стороны пропорциональны), так что г^АКМ = 60°. Если точка М лежит ниже прямой т, то получаем аналогично, что ZAKM = 120°.
Нетрудно убедиться в обратном: всякая точка М такая, что угол АКМ равен 60° или 120°, принадлежит искомому множеству F. Окончательно получаем, что множество F представляет собой две прямые, проходящие через точку К под углами 60° и 120° к прямой Л О, или, что то же самое, под углами 30° и 150° к данной прямой I.
Требуемое множество находится более просто с помощью преобразований: достаточно заметить, что точ-
869. Доказать неравенство
9Я .0П . 0я—1
« + ^ + л > iflby +
-}- ([ab)^ -}- ab -f* a -f- bt
где а и Ь действительные числа.
Решение. Индукция по п. При п =* 1 данное неравенство принимает вид
a2 -j- b2 + 1 > ab + а + Ь, (1)
или
(а — Ь)2 + (а — I)2 + (b - I)2 >0.
Допустим, что при п =» k данное неравенство верно, тогда, используя формулу (1) и предположение индукции, получаем
аз*+‘ + Pk+l + k -ь 1 - (л2*)2 + (62*)2 + 1 + k >
> {abfk + a*k + 6s* + k > (abfk + (аб)2*-1 + ... +
-{- ab -|- a + b,
что и требовалось доказать.
870. Доказать, что если (<а — 1) (Ь — 1) 0, то
Оab)'
у»-1 + 2» > 2я-1 (а + Ь) + 1.
Решение. Индукция по л. При п = 1 данное неравенство принимает вид
ab 2 ^ я -}- b ~\- 1,
или
(а —1)(*-1)>0.
Пусть при п — k данное неравенство справедливо» покажем, что оно верно тогда и при п = k -f 1, т. е.
(аЬ)г* + 2*+> > 2й (а + b) + 1. Действительно,
или
откуда
(аЬук>2(аЬу
(flby — 2 (aby + 1 >■ 0,
- 1 > 2 [2*—* (а + b) + 1 —2й] — 1
-2* (а+ 6)+ 1 — 2*+*,
что и требовалось доказать.


871. 	Известно_ что ctg а « 2 4- f/\z + УЬ 4- Vс и ctg 2а «*** 2 4- У а , где д, Ь, с — положительные целые числа, не делящиеся на 4, Y а и Y Ьс — иррациональные числа. Найти угол а.
Решение. Подставляя данные выражения для ctg а и ctg 2а в тождество
(ctg а,— ctg2а)2 = 1 4-ctg2 2а,
получаем
(/ь + /с)2 = 1 + (2 + Vaf,
откуда
b с —— а— 5 = 2 (2 Уа — УЬс).
Правая часть последнего равенства является рациональным числом лишь при условии 2Уа = Ьс. Следовательно,
b -f- с = а + 5, Ьс = 4а.
Исключая а из этой системы, находим, что (Ь — 4) (4 — с) = 4, откуда (так как Ь и с не кратны 4)
Ь = б, с «= 2; или b = 2, с = б.
В обоих случаях а = 3, т. е. ctg 2а = 2 -}- j/3, а тогда ctg 4а *= у^ 3, откуда а = — (6k 4- 1), где k = 0, ±1, fh 2, ....
Из условий ctg а > 0, ctg 2 а > 0 получаем, что чис¬
ло k должно иметь вид 4/и, так что а
24
4- тп, где
т — целое число.
Проверка, которая при проведенном рассуждении обязательна, показывает, что
ctgae=>2+yr3+yr2+fr6, ctg2 а *= 2 4- у^З, так что углы а ~ .JL- 4- тп являются решениями задачи.
872. 	Решить в целых числах уравнение
3 4
■/2х— 1 + /Чу — 2+ /4г— 3 = 10.
Решение. Извлечение корней в области целых чисел не меняет их четность. Поэтому можно ввести следующие обозначения
У 2х — 1 = 2/п — 1,
3
/2у —2 = 21,
 4
/ 4z-
0)
-3 = 2 п — 1,
где т и я —целые положительные числа, а £ —целое число. Подставив выражения (1) в данное уравнение, получим
(2т — 1) 4- 2t 4- (2 п — 1) = 10,
или
т + t + п = б,
откуда
t = б — т — п. (2)
Выражая х, у, из соотношений (1) и учитывая (2)>
находим
х = 2/и2 — 2т 4- 1,
у *=4 (6 — т — п)* + 1,
г = (л2 — п) (4пг — 4л -f 2) 4-1,
где тип — любыё целые положительные числа.
873. 	Стороны треугольника ABC равны У2, Уз, У4. Доказать, что уравнения
а) х sin А 4- у sin В 4- г sin С = 0,
б) х cos А 4- у cos В 4- г cos С = 0
имеют в целых числах единственное решение х = у = 2? = 0. )
Решение. Пусть >^2, Уз и У4 — длины сторон, лежащих против углов А, В и С соответственно. Применяя теоремы синусов и косинусов, находим
sin А
У з
, sin В = ‘2/^’» sin С =
2R
где R — радиус описанной окружности для Л ABC, и , 5/2 „ 3 /З „ 2
со!В"77Г' cosC“77f-
Тогда данные уравнения принимают вид
Х-/2 + у/3 4- 2г = 0, (1)
5л: /2 4- Зу /3 +2г = 0. (2)
Первое уравнение перепишем следующим образом:
х У2 + уУз = —• 2г.
Возведя обе части в квадрат, получим
2ху У 6 = 4z2 — 2jc2 — Зу2,
откуда следует, что либо х, либо у равен 0, так как
х, у и г —целые числа. В том и другом случаях из
(1> получаем, что и остальные два неизвестных равны $0. Аналогично показываем, что и уравнение (2) имеет единственное решение в целых числах х = v = = 2 = 0.
874. 	Доказать, что последовательность {ял}, где = У 1 + V%+ •■■ + УГ~п,
имеет предел.
Решение. Последовательность {#„} — возрастающая; в самом деле,
Уп + Уп + \ > у/ nt п — \ + У п + У п + \ > >К« — 1 4- Vn, о- Л+1 = V\ + V2+ ...+Vn + -f п + \>
> У1 4- VЪ 4- • • • 4- Y п =аП.
Докажем, что эта последовательность ограничена сверху. Для этого п раз применим неравенство 14-Ь
У Ь <-^—(Ь> 0):
an = ”\f 1 4" 1^'2 4" V3 4- • • • 4- Уи ^
1 4" 1 4- ^2 4- У3-} \~У п
86


2 . V 2 + Уз-\ + V п ,2
! 2 + 2 < 2 +
, - 1Ц-2 + У 3 + V п _
+ Z <
о + '
• +
1 + 3 + У 4-j 1- / п
8
, 3 _ 4 _ 1 -f- 4 У 5 + • • • + У п + 4 + Т" + 16
2 3 4 5 У 5+ ... + Vn
2 + 4 + 8+ 16+ 16 <•"<
2 3 4 5 п—1
'^2 + 4 + 8+ Ш'1 ^ 2П~! +
1 + (п— \) + УИ 2_3 4 5
+ 2л-1 ^ 2 + 4 + 8 + 16 ^
+
п— 1
~¥~-
+ 2П—1 +
п + 1
2п
Итак,
Но
1=1
1-1
2*
i=zl
2L
v 1 JL 1 1
<2 + 4 + 8“l =1*
l=i
Кроме того, по индукции легко доказать неравенство
J— /jLY 2' ^ \ 4 / ’
так что
2it<2(4)'<4-+
i= 1 /=1
+(4.у+(4.у+.„_ А
‘-х
Таким образом, лл<4.
Итак, данная последовательность возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.
875. Пусть А —график (определения см. в задачах 850 и 865). График, состоящий из таких пар (х, у), что пара (у, х) входит в А, называется инверсией графика А и обозначается через Л-1. Доказать, что для любых графиков А и В
(ЛоВ)-1 - В-1оА-К
Решение. В левой и правой частях равенства стоят множества, и мы докажем, что левое множество является подмножеством правого, и наоборот.
Пусть (х, у) £ (ЛоВ)—1; это значит, что (у, х) £ А°В, и, следовательно, существует элемент г' такой, что (у, z) £ Л, (z, х) £ В. Тогда (х, z) £ В-1, (г, у) £ Л-1, и поэтому (л:, у) ^ В“*1оЛ'“|. Тем самым доказано включение (Л о В)-1 с В—1© Л—1.
Пусть (х, у)£ В^оЛ—1; это значит, что существует элемент z такой, что (лг, *) £ £—*, (*, у) £ Л*-1. Тогда СУ» *) € А (*. € £» и поэтому (у, х)£ А*В и
(•*■ У) € (Ло/?)-1, т. е. справедливо обратное включение.
876. Пусть для обозначения порядка действий в выражении
2:2:2:...:2 п раз
скобки можно расставить числом способов рп. Со- ставить рекуррентное соотношение для последовательности {рп} {считая рх = р2 = 1).
Решение. После расстановки скобок делимое мо^ жет состоять из 1, 2, 3,..., п — 1 двоек; если делимое состоит из i двоек, то в'нем можно расставить скобки pi способами, а в делителе п — i способами. Таким образом, в этом случае число способов расстановок скобок равно pi рп—1> а общее число способов расстановки получается суммированием таких произведений от 1 до п—1:
Рп = PiPn-t + РгРп-2 + • • • + Pn-iPv Это и есть искомое рекуррентное соотношение.
877. На сторонах АВ, CD и EF центрально симметричного шестиугольника построены одинаково ориентированные равносторонние треугольники АВР, CDQ и EFR. Доказать, что треугольник PRQ равносторонний (в частности, он может выродиться в точку).
Решение. Пусть вершинам шестиугольника соответствуют комплексные числа д, Ь, с, e,f. Если центр симметрии шестиугольника принять за начальную (нулевую) точку плоскости, то
d = — а, е = — b, / = — с.
Так как треугольники АВР, С/Х? и Е/7/? равносторонние, то, как известно, имеют место следующие соотношения:
где
а + Ьа + рь2 в 0, с — яа + qa2 =» 0,
—b— са -f га2 0,
2тс 2гс
а = cos —-j- £ sin -о-,
(1)
a р, q, г — комплексные числа, соответствующие точкам Р, Q, Р.
Если равенства (1) соответственно умножить на а, 1, а2 и почленно сложить, то получим
а (а + ba -f- pa2) -f- (с — яа + ^а2) -J- + а2 ( — b — са + га2) = 0.
Но а8 я- 1. Поэтому а* — а и после упрощений имеем
/? -f- га + qa2 =* 0.
Следовательно, треугольник PRQ правильный; он имеет ту же ориентацию, что и построенные равносторонние треугольники. В частности, точки Р, R, Q могут совпадать (получаем вырожденный равносторонний треугольник).
878. Вычислить отношение, в котором перпендикуляр, опущенный из ортоцентра Н треугольника ABC на его медиану ССг, делит сторону АВ.
Решение. Опишем около треугольника ABC окружность и примем ее центр за начало векторов. Имеем
Л2= В2 - С2 - R2, 77« Х+ В + С, CCt-4-(3 + 5) — с.
87


Если перпендикуляр, опущенный на медиану СС„
_ Л - I+iB
пересекает прямую АВ в точке D, то D «— —Г+х— и
/_ - - А + 1В\ (А + В _Д Л , , ,
(^4 + В + С— ~Т+Т) 9 \—2—
Отсюда
(1 + С+ ХЛ" + ХС)-(Л + 5 — 2С) = о,
X (Та+ Зв — 2АС + СА + С В — 2С*) -  (В Л + В5 — 2В С + О + С В - 2С=),
или
X (Л в"— АС + С В- В*) -  (в А —В С+ АС — Л=).
Итак,
. (Л — с) (в — а)
А“ (в-с)(Л-в) “
—be cos a b cos а
в —ас cos р 3=8 acos p*
Окончательно
. ctga
ctgr
Заметим, что точка D и основание //, высоты СНЛ делит пару точек А, В гармонически. Построение точки D сводится, таким образом, к построению четвертой гармонической точки.
879. 	Какие последовательности обладают следующим свойством:
3а зЬ у/с > Оуп з/ 3 j (/ > n&j >
> п& | xi — а | < ck I Xj— b I < c),
гд# a, с — действительные числа, n, i, у — нату¬
ральные числа.
Решение. Если «снять» кванторы существования ‘на д и 6, то мы получим следующее утверждение: в любой окрестности точки а ив любой окрестности точки b найдутся члены последовательности {х со сколь угодно большими номерами; иначе говоря, в любой окрестности точки а ив любой окрестности точки b найдется бесконечно много членов последовательности {.*/}. Можно сказать и короче: точки а и b являются предельными точками последовательности {xi}.
Многие читатели, в принципе правильно разобравшись в данном утверждении, упустили одну тонкость:
именно, обозначение двух переменных разными буквами не запрещает им принимать, в частности, и одинаковые значения. Поэтому в данном утверждении не содержится ограничения а ф Ь, и нельзя утверждать, что последовательность {xi} имеет две предельные точки.
Таким образом, данное утверждение означает лишь, что последовательность {химеет, по крайней мере, одну предельную точку; в частности, она может иметь предел. Утверждение же, что последовательность {*/} имеет, по крайней мере, две предельные точки, можно записать так:
3036 {(а ф Ъ) &у с > Оулз/з/ (/ > h &j > п& \xi —
— a\<c&\xj — bl<c)}t
880. 	Доказать или опровергнуть утверждение: для любых трех графиков А, В, С справедливо равенство
(АпВ)оС = (ЛоС)п(ВоС)
(определения см. в задаче 825).
Решение. Пусть (х, у) £ (А П В)оС; это значит, что существует такой элемент z, что (х, z)£Af\B и Сг, у) £ С, т. е. (х, z) £ А и (л:, z) £ В; но тогда (х> У) € Л°С, (х, у) £ ВоС и, следовательно, Uy)€(>loC)n(BoC).
Таким образом,
(А п В)оСс (АоС)П(ВоС).
Пусть теперь (х, у)€ (АоС)С\(ВоС); т. е. (х, у)£АоС и (*> у)€ ВоС; это значит, что существует элемент z такой, что (л:, z)£ A, (z,y)£C, и что существует элемент £ такой, что (x,t)£ B,(t9y)£C. Однако мы не имеем никаких оснований утверждать, что элементы z и t совпадают, и наше доказательство на этом останавливается.
Естественно «заподозрить», что доказываемое равенство неверно, но для того чтобы в этом убедиться строго, следует привести пример графиков А, В> С, для которых правая часть не является подмножеством левой части; такими графиками являются, например,
А - {(1, 3)}, В ** {(1, 2)}, С - {(2, 1), (3,1)}.
Для этих графиков А(\В = 0, т. е. (Лп#) ° С = 0, в то время как правая часть состоит из одной точки (1,1).
Заметим, что из проведенного доказательства можно получить следующее утверждение: если график С инъективен (задача 850), то данное равенство выполняется при любых А и В. Более того, справедливо и обратное утверждение: если график С неинъекти- вен, то равенство выполняется не для любых А и В.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1971 Г.
Аляев А. В. (Пензенская обл., раб. пос. Пачелма) — 856—858, 860—863, 866, 867, 871, 873. Арутюнян А. (АрмССР, г. Камо) —856—860. Богомолов А. П. (КазССР, г. Петропавловск) — 861—867, 871—874,877, 879, 880. Богуславская Лм ученица IV класса (Куйбышевская обл.,- г. Октябрьск) — 856, 857, 859, 860. Вет¬
ров К. В. (г. Братск)—856, 857, 859—861, 863, 866, 869—874. Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест)— 856—861, 864—873, 876—879. Гегелиа Г., ученик III класса (г. Тбилиси) — 856—860. Гемуев А. А. (КиргССР) — 856—858, 860, 861, 863, 865, 869—871, 873—877. Гитровых М., ученик IV класса (Свердловская обл., г. Реж)—856—860. Головачев Е. А. (Белгородская обл., пос. Борисовка)—856, 857, 859—861,
863—873, 875—880. Горбатый Е. 3. (г. Одесса) —863— 866, 869—871, 873—876, 879, 880. Гот лер М. Ш.
(г. Вильнюс) — 856—858, 860, 861, 863, 864, 866—880. Давыдов У. С. (г. Гомель)—-856—859, 863, 864, 866,


867, 869, 870. 873. 878. До Ба Ханг (г. Ханой. ДРВ) — 863, 871, 877. Жохов Н. И. (Москва)—856—858, 860,
867, 868, 873, 874. Зубилин Н. И. (Орловская обл., раб. пос. Нарышкино)—856, 857, 859, 861, 870, 871, 873. Кадеев Ю. И. (Пензенская обл., г. Сердобск) — 856— 858, 860—863, 865, 869, 871, 873, 874, 876. Каминский К. П. (Киевская обл.)—856—858, 860, 861, 866,
868, 871, 873. Козаченко А. Н. и Мапукьян М. О. (КазССР, г. Петропавловск) — 856—858, 860—862, 864, 865, 867, 868, 870, 873, 874, 876, 877, 879, 880. Купра-
ва В. Л. (г. Сухуми) — 856, 857, 869, 870, 873. Куш-
нер Б. С. (Куйбышевская обл., г. Жигулевск) — 856— 858, 860, 861, 863—868, 870—873. Нагаев Н. Д. (Ленинградская обл., г. Кировск)—860, 862, 865, 867, 871, 873, 875, 877—880. Никитин В В. (Рязанская обл.) — 856—858 861—863, 867—873. Писаренко И. А.
(МолдССР) — 856—858, 860—862, 865—868, 871—873, 875, 876, 880. Полховский Н. Н. (г. Фергана) — 856—858, 860, 861, 866, 869—874. Рашидов X. Р. (г. Ош) — 856—
858, 860, 869, 871, 873. Симеонов А. А. (г. Бов, Болга¬
рия) — 865—868, 871, 873—878. Темралиев Я. Н. (Астра¬
ханская обл.)—856—858, 861, 865, 873. Тулеу О.
(г. Углей, МНР) —866, 8£9, 871—873. Уразалиев С, (Андижанская обл.)—856—860. Урбан Н. Т. (г. Наманган) — 856—863, 866, 867, 871, 873. Цхай Т. Т. (г Андижан) — 856—858, 860, 861, 863—874, 876—878. Шило А. В. (г. Брест) — 856—859, 861—863, 865—868, 871—875, 878.
Математические кружки: девятых кл. 10-й шк. г. Ангарска (рук. Васильева В. А.) — 856—865, 867—873, 875; восьмых кл. 53-й шк. г. Краснодара (рук. Ким Г. И.) — 856—864, 867, 868, 872; 178-й шк. г. Киева (рук. Кушиир И. А.) — 856—863, 865, 866, 869—873; школы-интерната при Ханойском пединституте (рук. Нгуен Конг Кви) — 856—862, 864, 866—869, 871, 873, 874, 876, 877; 2-й шк. с. Мархамат Андижанской обл. (рук. Саттаров О.)—869, 870, 872; 106-й шк. г. Киева (рук. Суконник Я. Н.)—857—859, 861, 866—871, 878; пятых кл. Аринской шк. Марийской АССР (рук. Руч-* кин Д. Д.) —856, 857, 859, 860; 173-й шк. г. Киева (рук. Шейнцвит Р. П.) — 856—862, 865—870, 873—875, 880.
В. 	Ю. ГУРЕВИЧ
(Москвд)
О РАБОТЕ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОГО СЕМИНАРА «МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ГРАФИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН»
В 1970/71 учебном году, как и в прошлые годы, при лаборатории обучения математике Института содержания и методов" обучения АПН СССР работал семинар «Методы преподавания геометрических и графических дисциплин» под руководством действительного члена АПН СССР профессора Н. Ф- Четверухина.
Большинство вопросов, обсуждавшихся на семинаре, касались преподавания математики в соответствии с содержанием и духом новых программ.
Проблемам обучения геометрического материала в IV и V классах было посвящено сообщение А. Д. С е м у- ш и и а. Участники семинара одобрили идею соединения индуктивных и дедуктивных методов с постепенным увеличением удельного веса последних при изучении геометрического материала. Особенно ценно то, что такой подход применим при изучении не только перво¬
начальных понятий, но и таких важных вопросов, как геометрические преобразования, построения.
Большой интерес участников семинара вызвало сообщение А. И, Фетисова «Многогранные углы». Обобщение свойств многогранных углов и введение их меры дало возможность автору найти простой и изящный способ доказательства теоремы Эйлера о многогранниках и существования пяти и только пяти видов правильных многогранников.
В сообщении В. Ю. Гуревича «Обобщение и конкретизация закономерностей в курсе геометрии VI класса» были рассмотрены задачи на обобщение и конкретизацию закономерностей, расширение и сужение множеств, показаны приемы поиска решения этих задач и даны методические рекомендации по обучению учащих.- ся поиску решения некоторых видов задач.
Один из возможных вариантов построения факультативного курса «Элементы топологии» был предложен
А. 	И б р а е в ы м.
Вопросам изображения и оформления чертежей были посвящены доклады профессора Н. Н. Рыжова «Определитель поверхности и вопросы изображения поверхностей на чертеже» и доцента Н. А. Бабулина «Основные изменения в построении и оформлении чертежей в связи с введением единой системы конструкторской документации».
С системой математического образования в ДРВ познакомил участников семинара А. Д. Семушин.


ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
НИКОЛАЙ ФЕДОРОВИЧ ЧЕТВЕРУХИН
(К 80-летию со дня рождения)
17 ноября 1971 г. заслуженному деятелю науки РСФСР, действительному члену Академии педагогических наук, доктору физико-математических наук, профессору Н. Ф. Четверухину исполняется 80 лет.
Имя и труды Николая Федоровича Четверухина хорошо известны преподавателям математики средних школ, ученым-математикам в СССР и за рубежом. Читатели журнала «Математика в школе» знакомы с биографией Н. Ф. Четверухина и анализом его научной деятельности по материалам, опубликовавым на стра¬
ницах журнала в 1952 г. (JSfb 2) и 1961 г. (№ 6). Факты, изложенные в этих статьях, говорят о серьезном вкладе профессора Н. Ф. Четверухина в педагогическую науку и в математику. Всего им опубликовано более 90 работ, 5 из которых написаны и подготовлены к печати в 1970—1971 гг.
В беседе, которая предшествовала написанию этой статьи, Николай Федорович рассказал о своих дальнейших планах, замыслах, поделился своими воспоминаниями. Делает это он увлеченно, обстоятельно, размеренно, как будто за плечами нет 80 прожитых лет, напряженного труда учен ого-математика и педагога.
В юношеские годы Н. Ф. Четверухину пришлось делать трудный выбор между занятиями медициной, музыкой и математикой. Особенно сильно при этом было увлечение медициной, с которой Николай Федорович имел возможность глубоко познакомиться по книгам из семейной библиотеки отца Федора Алексеевича Чет- верухииа, военного врача и доктора медицины.
Однако выбор пал на математику. При этом ие без влняния учителей математики. Николай Федорович с любовью и теплотой отзывается о своем школьном учителе в Ярославской классической гимназии.
— Он со вкусом преподавал математику, — говорит
Н. 	Ф. Четверухин,— ценил хорошие задачи, находил для каждого ученика свою задачу.
И в классе нередко можно было слышать: «Ну, а эта задача для Четверухина».
Интерес к математике, и в частности к геометрии, был поддержан у Николая Федоровича в Московском университете. Большое влияние на его формирование как ученого оказали такие видные математики своего времени, как профессора А. К. Власов, Б. К. Млодзеев- ский, Н. И. Мерцалов.
Портреты этих ученых и до настоящего времени стоят на письменном столе Николая Федоровича. Хранит он и свои конспекты университетских лекций.
Рано появился у Н. Ф. Четверухина интерес к творческой работе по математике. Будучи гимназистом, он завел толстую клеенчатую тетрадь, в которую заносил свои собственные соображения о математике. Тетрадь эта цела и сейчас. Она озаглавлена «Математический журнал». Именно в этом журнале, который велся
Н. 	Ф. Четверухиным только для себя, изложены первые самостоятельные результаты по математике. Например, задолго до того как Николам Федорович узнал
о. 	развернутой теории интегрального исчисления, он на примере приближенного вычисления плошадей фигур пришел к самостоятельному «открытию» интегрального исчисления. Интересны соображения, высказанные в этой тетради об изучении геометрии.
«Математически» журнал» велся Н. Ф. Четверухиным и позже, в университетские годы. Многие из заметок журнала потом были развиты и опубликованы в печати. Одной из первых таких работ стала статья «О многоугольниках, описанных около точечных множеств» («Математический сборник», т. XXXI, вып. 2, 1923). Первая же печатная работа была опубликована в 1917 г.
Как первой, так и последней из подготовленных к печати работ Н. Ф. Четверухина присуши тщательность и высокое педагогическое мастерство изложения. Высоко ценили его работы профессора Я- С. Дубнов,
Н. 	А. Глаголев. Успехи Н. Ф. Четверухина в исследовании аксиоматики геометрии отмечены немецким ученым М. Пашем в личной переписке.
Трудовая деятельность Николая Федоровича началась в 1915 г., сразу же после окончания университета, что засвидетельствовано выразительными архивными документами (цитируется по справке Московского областного государственного исторического архива);
90


«В деле о назначении, перемещении и увольнении преподавателей Реального училища имени Шелапутина за J9I5 г. значится: «Четверухину Н. Ф. разрешено временно преподавание из платы по найму уроков математики с 1 октября 1915 г.».
В списке лиц, служащих в Московском 3-м реальном училище имени Шелапутина, за 1916 г. значится: «Четверухин Николай состоит преподавателем математики».
В книге «Вся Москва» за 1917 г. Н. Ф. Четверухин значится в должности преподавателя Реального училища имени Шелапутина.
И с этого момента 54 лет непрерывного научно-педагогического труда в Институте народного образования в г. Иваново-Вознесенске, в Московском государственном университете, в Московском педагогическом институте имени В. И. Ленина, в Московском институте инженеров связи. В тяжелый 1941 г. Н. Ф. Четверухин связывает свою судьбу с Московским авиационным институтом, где он и работает по настоящее время.
Собранность и исключительная организованность — отличительные черты характера, стиля жизни и творческой деятельности профессора Н. Ф. Четверухина. Этот стиль работы он передает своим многочисленным ученикам. Все, кто слушал лекции Н. Ф. Чегверухииа, имел примеры их филигранной отточенности. Хорошую школу прошли у Н. Ф. Четверухина 30 аспирантов.
Все они с большой благодарностью вспоминают его высокую требовательность и принципиальный подход при оценке их первых самостоятельных шагов в научной работе.
Серьезной школой для многих преподавателей и научных работников явились научные семинары, которые длительное время ведет Н. Ф. Четверухин. С 1945 г. по настоящее время при Академии педагогических наук работает семинар по методике преподавания геометрии. Семинар по начертательной геометрии и инженерной графике начал свою работу в 1936 г. как семинар при Московском институте инженеров связи, а в настоящее время стал Московским научно-методическим семинаром при Министерстве высшего и специального среднего образования РСФСР.
Н. 	Ф. Четверухин — коммунист, ударник коммунистического труда. Он с большой ответственностью выполняет многочисленные общественные и производственные поручения.
Николай Федорович награжден орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом Красной Звезды и памятными медалями.
Желаем Николаю Федоровичу еще многих лет такой же деятельной и плодотворной жизни.
А. 	Д. СЕМУШИН
(Москва)
ВЛАДИМИР ЛЬВОВИЧ МИНКОВСКИЙ
(К 60-летию со дня рождения)
Имя кандидата педагогических наук, доценга Орловского пединститута, члена Советского национального объединения историков естествознания и техники, пе- дагога-математика коммуниста Владимира Львовича Минковского хорошо известно математической общественности.
В. 	Л. Мииковский родился 24 сентября 1911 г. в семье врача в г. Воронеже. Получив среднее образование в одной из школ г. Воронежа, он поступил в Воронежский пединститут и окончил его в 1933 г. по математическому отделению.
Научно-педагогическая деятельность Владимира Львовича началась в 1935 г. после окончания им аспирантуры при Ростовском пединституте. До 1950 г. он работал в Магнитогорском, Энгельсском и Шадрииском пединститутах.
В 1947 г. В. Л. Минковский зашнтил диссертацию на степень кандидата педагогических наук. С 1950 г. ои работает в Орловском пединституте сначала доцентом кафедры математики, а с 1966 г. по настоящее время заведует кафедрой элементарной математики и методики математики.
Научные интересы Владимира Львовича широки и разнообразны. Им написано свыше 40 работ, посвященных методике школьного курса математики, воспитанию у школьников логического мышления в процессе преподавания математики, истории математического образования, истории и методологии математики, мето- дико-математическим воззрениям и ■ педагогическим идеям академиков А. А. Маркова и Н. Н. Лузина, профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, писателя Л. Н.в Толстого и критика Д. И. Писарева, уральского педагога-математика и революционера В. И. Обреи- мова. Основные темы научных исследований Владимира Львовича — формирование логического мышления школьников в процессе обучения математике, на¬
учно-атеистическое и эстетическое воспитание учащихся на уроках математики, создание пособий для внеклассного чтения по математике, различные вопросы истории и методологии математики.
Большим вниманием школьных учителей пользуется книга В. Л. Минковского «За страницами учебника математики». Широко известна вышедшая несколькими
изданиями напясанная В. Л. Минковским совместно с В. М. Брадисом и А. К. Харчевой книга «Ошибки в математических рассуждениях».
В. 	Л. Минковский — участник многих математических конференций и симпозиумов, на которых он часто выступал с интересными докладами, посвященными актуальным вопросам методики и истории математики.
91


Наша характеристика многолетней иаучно-педагогиче-
ской деятельности Владимира Львовича была бы неполной, если бь* мы ие отметали его постоянной неутомимой помощи учителям школ г. Орла и Орловской области в деле перестройки преподавания математики, овладения ими содержанием и методикой преподавания новых тем и целых разделов модернизированного школьного курса математики. В течение нескольких лет он руководит факультетом повышения квалификации учителей математики, созданным прм Орловском пединституте.
Плодотворная научно-педагогическая деятельность
В. 	Л. Минковского получила высокую оценку. Он награжден орденом «Знак Почета», медалями и значком «Отличник народного образования».
Пожелаем же Владимиру Львовичу крепкого здоровья и новых творческих успехов в его плодотворной научно- педагогической деятельности.
Б. В. БОЛГАРСКИЙ (г. Казань),
В. 	В. ВЕТРОВ
(г. Орел)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1971/72 УЧЕБНЫЙ ГОД
НОЯБРЬ
10 ноября — 80 лет со дня рождения советского математика Михаила Павловича Черняева (1891— 1962). М. П. Черняев окончил Московский университет (1913), кандидат физико-математических наук (1938), профессор (1933). С 1922 г. работал в Ростовском университете; последние годы после ухода Д. Д. Морду- хая-Болтовского руководил кафедрой геометрии. М. П. Черцяев работал также в Ростовском педагогическом институте. Работы М. П. Черняева относятся к афинной дифференциальной геометрии, в частности, он занимался общими теоремами Паскаля, обобщил теорему Андреева—Шретера (см.: «История отечественной математики», т. 3. Киев, 1968).
12 ноября — 80 лет со дня рождения методиста- математика, старшего научного сотрудника АГ1Н СССР Антонина Ивановича Фетисова. А. И. Фетисов — автор «Геометрии» (учебного пособия по программе старших классов средней школы), многих научно-методических работ, кинофильмов и т. д. (см.: «Математика в школе», 1962, № 1).
17 ноября — 80 лет со дня рождения советского математика, действительного члена АПН, доктора физико-математических наук, профессора Николая Федоровича Четверухина.
19 ноября — 70 лет со дня рождения советского математика Нины Карловны Бари (см.: «Математика в школе», 1965, № 2).
22 ноября — 80 лет со дня рождения советского математика, член а-корреспондента АН СССР Родиона Осиевича Кузьмина (см.: «Математика в школе», 1961, № 6).
ДЕКАБРЬ
9декабря — 400 лет со дня рождения голландского математика и астронома Адриана Меция (младшего) (1571—1635), сына Адриана Меция (старшего) (1527— 1607). В своей работе «Новая арифметика и геометрия» (1625) он сообщает о результатах, полученных
355
его отцом, о приближении — к числу я. В этой же
Пи
работе есть и раздел о десятичных дробях (см.: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, т. 37).
17 декабря — 100 лет со дня рождения советского математика Николая Максимовича Г ю н т е р а (см.: «Математика в школе», 1966, № 2).
25 декабря — 50 лет со дня смерти латвийского математика Пирса Георгиевича Боля (см.: «Математика в школе», 1961, № 6; И. М. Рабинович. Памяти Пирса Георгиевича Боля, «Изв. АН ЛатвССР», 1965, №9; И. М. Рабинович. Математик Пирс Боль из Риги. Рига, 1965).
27 декабря — 400 лет со дня рождения знаменитого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (см.: «Математика в школе», 1961, № 6).
27 декабря — 200 лёт со дня смерти французского математика, физика, астронома и инженера-гидравлика, члена Парижской АН и Лондонского Королевского общества Анри Пито (1695—1771). Математические работы Пито относятся к геометрии. Им была предложена квадратура синусоиды и других кривых линий. Для обозначения рассматриваемой на цилиндре линии Пито впервые воспользовался вошедшйм впоследствии в употребление термином «кривая двоякой кривизны». Он же впервые применил пространственные координаты к винтовой линии (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966; «Реферативный журнал математики», 1954, № 11).
30 декабря — 75 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН УССР Вадима Евгеньевича Дьяченко (1896—1954). В. Е. Дьяченко родился в г. Горьком, окончил Морской корпус (1916), аспирантуру АН УССР (1927), был профессором Киевского университету. Его работы относятся к приближенным и численным методам решения дифференциальных уравнений (см.: «Украинский математический журнал», 1954, Ne 6:3).
А. 	И. БОРОДИН
(г. Донецк)
ЧЕСТВОВАНИЕ К. П. СИКОРСКОГО
Редакционная коллегия журнала «Математика в школе», представители Управления школ Министерства просвещений СССР, издательств «Педагогика» и «Просвещение» 9 августа отметили 75-летие со дня рождения заслуженного учителя школы РСФСР известного мето* диста-математика Сикорского Константина Петровича. Юбиляру были вручены приветственные адреса, отмечающие его заслуги в оказании методической помощи учителям математики и содержащие добрые пожелания.
92


ЗА РУБЕЖОМ
ЗОЛТАН ЗАЛАБАИ
(г. Нитра, ЧССР)
О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ ЧССР
1. 	Введение
В ЧССР введено обязательное девятилетнее образование. Дети начинают ходить в школу с шести лет. Девятилетние школы со всеми классами есть во всех городах и в больших деревнях. В маленьких деревнях, как правило, только начальная школа — с I по V класс, поэтому дети из этих деревень начиная с VI класса должны ездить в девятилетнюю школу. С I по IV класс все предметы преподает один учитель, в V классе некоторые предметы преподают уже разные учителя, специалисты по данным предметам, а в VI—IX классах все предметы ведут разные учителя-специалисты.
В VII—IX классах введены специальные школьные факультативы.
С введением пятидневной рабочей недели занятия в школе тоже проводятся в течение пяти дней — с понедельника по пятницу.
После окончания основной девятилетней школы часть учеников идет на заводы, часть поступает в среднюю школу (четырехлетняя гимназия, техникум, сельскохозяйственная средняя школа и т. д.). После окончания средней школы ученики могут поступать в вузы. Срок обучения в вузах, как правило, 5 лет.
Учителей для основной девятилетней школы готовят педагогические факультеты. Срок обучения на этих факультетах 4 года. Студенты на этих факультетах получают две специальности, например: математика — физика, словацкий язык — русский язык и др. Студенты, которые будут учителями начальной школы (I—V классы), кроме общей подготовки изучают один предмет как специальность. Например, если этим предметом является русский язык, то они изучают его вместе с группой словацкий язык — русский язык и т. д. Будущие учителя начальной школы, как правило, выбирают следующие специальности: русский язык, физкультуру, рисование, музыкальное воспитание.
Сейчас готовится школьная реформа, по которой в группах будущих преподавателей начальной школы предмет «Специальность» будет снят с преподавания и
они будут получать только общую подготовку для работы в I—V классах.
Учителей для гимназий готовят только .университеты.
2. 	Программа по математике в основной девятилетней школе
I КЛАСС (4 ч в неделю, 132 ч в год)
Натуральные числа до 20. Сложение и вычитание.
Разложение числа. Умножение и деление (наглядное). Измерение, взвешивание, денежное измерение, измерение времени. Понятия: квадрат, прямоугольник, тре¬
угольник, куб, окружность, шар, цилиндр.
II КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Нумерация до 100. Меры длины. Меры веса. Понятия: отрезок, призма, конус.
III КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
' Нумерация до 1000. Таблица умножения. Деление в пределах таблицы умножения. Изображение дробей: Половина, треть, четверть. Прямой угол. Грань и ребро тела. Решение задач.
IV КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Нумерация до 1 000 000. Сложение и вычитание в пределах 1000. Деление с остатком в пределах таблицы умножения. Письменное сложение и вычитание, умножение и деление. Дроби со знаменателями 2—10. Периметр фигур. Меры: кв.-см, а, га.
V КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Нумерация свыше 1 000 000. Десятичная система.
Письменное деление с двузначным делителем. Дроби со знаменателями от 2 до 10 и 100. Арифметические действия с десятичными дробями. Задачи на движение. Десятичная система мер. Площадь прямоугольника.
VI КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Арифметика (90 ч в год)
1. Натуральные числа (10 ч). Десятичная система, числовая прямая, сложение, вычитание, умножение, деление. Проверка правильности решения. Меры длины. Римские цифры.
2. Десятичные дроби (52 ч). Дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение, деление десятичных дробей. Меры длины. Среднее арифметическое.
3. Проценты (16 ч).
4. Диаграммы (6 ч)щ
5. Повторение (6 ч).
Геометрия (75 ч в год)
1. Прямая. Отрезок (15 ч). Сложение и вычитание отрезков. Расстояние точки от прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Окружность (8 ч). Круг, сектор круга. Касательная к окружности. Треугольники.
3. Угол (19 ч). Измерение углов. Сложение и вычитание углов (путем вычисления и графически). Внутренний и внешний угол треугольника. Топографические работы.
4. Прямоугольник и квадрат (14 ч). Свойства сторон. Периметр и площадь.
5. Прямоугольный параллелепипед и куб (14 ч). Поверхность и объем.
6. Повторение (5 ч).
VII КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Арифметика (90 ч)
1. Кратное и делитель (14 ч). Кратное и делитель. Простые числа. Разложение числа на простые множители.
2. Дробь (43 ч). Сокращение и расширение. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.
93


Выражение дробей с помощью десятичных дробей, и наоборот.
3. Пропорция. Проценты (28 ч). Прямая и обратная пропорциональность. Сложные задачи.
4. Повторение (5 ч).
Геометрия (75 ч)
1. Конгруэнтность треугольников. Осевая симметрия (26 ч). Признаки конгруэнтности треугольников. Построение треугольников. Топографические работы. Осевая симметрия. Равнобедренный треугольник. Ось отрезка и биссектриса угла.
2. Треугольник. Четырехугольник (22 ч). Равносторонний треугольник. Вписанная и описанная окружность. Высота треугольника. Сумма внутренних углов треугольника. Четырехугольники.
3. Периметр и площадь фигур (14 ч). Периметр и площадь параллелограмма, треугольника и трапеции. Длина окружности, площадь круга. Топографические работы.
4. Прямоугольная призма и конус вращения (8 ч). Поверхность и объем. Задачи.
5. Повторение (5 ч).
VIII КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год) Алгебра (99 ч)
1. Вторая степень и квадратный корень (15 ч). (С помощью таблиц.)
2. Рациональные числа (19 ч). Введение отрицательных чисел. Абсолютное значение. Арифметические действия с рациональными числами.
3. Буквенные выражения. Линейное уравнение (28 ч). Буквы как числа. Замена букв числами. Формулы. Равенство, уравнение. Линейное уравнение с одним неизвестным. Задачи.
4. Степени и многочлены (27 ч). Сложение, вычитание и умножение многочленов.
5. Третья степень и кубический корень (5 ч). (С помощью таблиц.)
6. Повторение (5 ч).
Геометрия (66 ч)
1. Теорема Пифагора (8 ч).
2. Другие свойства треугольника (8 ч). Отношения между сторонами и углами. Средняя линия треугольника.
3. Окружность (10 ч). Прямая и окружность. Взаимное расположение двух окружностей. Центральный угол. Длина дуги окружности. Сектор круга и его площадь.
4. Геометрическое место точек. Построения (8 ч).
5. Стереометрия. Поверхность и объем пирамиды и конуса (18 ч). Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Взаимно перпендикулярные плоскости. Поверхность и объем пирамиды и конуса.
6. Повторение (4 ч).
IX КЛАСС (5 ч в неделю, 165 ч в год)
Алгебра (99 ч)
1. Деление многочленов. Разложение многочленов (22 ч). Деление многочлена на многочлен. Разложение многочленов на множители с применением формул (а ± 6)2, а2—ь2. Кратное и общее кратное.
2. Дроби (18 ч). Расширение и сокращение дробей. Действия с дробями.
3. Линейные уравнения (15 ч). Решение линейных уравнений с одним неизвестным. Задачи.
4. Функции (20 ч). Фуякция. Выражение функции. Прямоугольная система координат на плоскости. Графическое изображение функций. Прямая пропорциональность. Линейная функция. Функция у = ах2 (аФ0). Обратная пропорциональность. Задачи.
5. Система линейных уравнений (14 ч). Линейное уравнение с двумя неизвестными. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение. Задачи.
6. Повторение (10 ч)„
Геометрия (66 ч)
1. Подобие геометрических фигур (40 ч). Подобие геометрических фигур. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Топографические работы. Синус, косинус и тангенс острого угла. Таблицы. Решение прямоугольных треугольников.
2. Поверхность и объем тел (21 ч). Поверхность и объем усеченной пирамиды и усеченного конуса. Поверхность и объем шара. Топографические работы.
3. Повторение (5 ч).
3. 	О математической программе четырехлетней гимназии
После окончания основной девятилетней школы часть учеников поступает в гимназию. Классы гимназии делятся на классы реальные и гуманитарные. В реальных классах увеличено количество уроков по математике, физике, химии и биологии по сравнению с классами гуманитарными.
Приведем программу по математике в реальных классах.
I КЛАСС (132 ч в год)
Теория множеств и основы математической логики (20 ч). Вещественные числа (5 ч). Линейные равенства и неравенства и их системы (20 ч). Введение в планиметрию (13 ч). Степень с вещественным показателем (15 ч). Аппроксимация (5 ч). Квадратное уравнение (16 ч). Конгруэнтные отображения (15 ч). Подобные отображения (15 ч). Письменные работы (8 ч).
II КЛАСС (132 ч в год)
Отображения (10 ч). Функции и их графики. Аналитическая геометрия линейных фигур (28 ч). Геометрия пространства (26 ч). Письменные работы (8 ч).
III КЛАСС (132 ч в год)
Гониометрия. Тригонометрия (40 ч). Комплексные
числа. Уравнения (20 ч). Математическая индукция (17 ч). Соединения (17 ч). Введение в дифференциальное исчисление (30 ч). Письменные работы (8 ч).
IV КЛАСС (120 ч в год)
Введение в интегральное исчисление. Теория мер (25 ч). Введение в вероятностное исчисление. Математическая статистика (30 ч). Аналитическая геометрия квадратических фигур (25 ч). Аксиоматическое строение математики (10 ч). Математические методы и их применение (22 ч). Письменные работы (8 ч).
4. 	Заключение
Как во всем мире, так и в ЧССР, научные работники и преподаватели занимаются вопросом модернизации преподавания математики. С этой целью в нескольких специально отобранных школах уже несколько лет работают по новой программе. Были изданы пробные учебники (для преподавателей и для учеников) и сборники задач. Основным в новой программе является введение основ теории множеств. .Пробные учебники
94


резко отличаются от учебников, по которым сейчас работают в школах.
Так, например, новая программа по математике для IV класса будет включать в себя следующие темы: Кратное и делитель. Нумерация до 1 ООО ООО. Десятичные дроби. Множества. Композиции (операции). Геометрия.
Надо отметить, что, например, в теме «Композиции» уже много теоретических элементов (свойства композиций).
В этой статье мы познакомили читателя с программой по математике. Чтобы иметь представление о преподавании математики в целом, необходимо было бы познакомиться с учебниками и пособиями для учителей, так как перечисление тем еще не дает возможности увидеть этот вопрос в полном объеме.
X. ДУГЭР, Н. Г. КИЛИНА
(г. Улан-Батор)
ШКОЛЬНОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ МНР 50 ЛЕТ
11 июля 1971 г. Монгольская Народная Республика отпраздновала свое пятидесятилетие.
Кратко проследим, каких успехов добилась МНР за 50 лет в области народного образования вообще, и школьного математического образования в частности.
В дореволюционной Монголии, сильно отсталой в экономическом и культурном отношении, не могло быть и речи о единой системе народного образования. Более 90% всего населения страны были неграмотными.
После победы народной революции одной из основных забот партии и правительства была забота об образовании. Были приняты меры для ликвидации неграмотности в стране. В 1921 г. была открыта первая начальная школа.
Ни с чем не сравнимы успехи, достигнутые в стране за 50 лет в области народного образования.
Создана единая система народного образования. В настоящее время Монголия — страна сплошной грамотности. На сегодня каждый пятый человек в стране учится. В 500 общеобразовательных школах МНР обучается свыше 230 000 детей, в 19 специальных средних учебных заведениях учатся 10 000 человек. В 5 вузах страны обучается около 8000 студентов. В 15 профтехучилищах страны юноши и девушки приобретают различные профессии.
С первых лет жизни молодой республики, с созданием первых школ встала проблема школьного математического образования. Необходимо было определить содержание математического образования, создать учебники и методические руководства по математике. Республика испытывала острую нужду в учительских математических кадрах, так как до революции их не было в стране.
Указанные проблемы решались вначале для начальных и семилетних школ, затем — для средних.
В 1942 г. был открыт государственный университет. Его открытие было большим событием в культурной жизни страны. Университет дал для Монголии первых учителей математики с высшим образованием. До этого времени учителя математики готовились на специальных курсах в самой Монголии, некоторые получали педагогическое образование в Советском Союзе.
Успехам математического образования в МНР способствовало и то, что страна имела возможность использовать соответствующий опыт Советского Союза. Все лучшее, передовое в области школьного матема- тического образования в СССР изучалось, обобщалось и творчески использовалось в работе монгольских школ.
В 40-х годах наблюдается бурный рост сети школ в МНР. Он требовал быстрого обеспечения школ учебниками, учебными пособиями. Было решено сделать перевод на монгольский язык некоторых стабильных советских учебников для средних школ. По математике были переведены и успешно использовались в работе учебники алгебры и геометрии А. П. Киселева, сборники задач по геометрии и тригонометрии Н. А. Р ы б к и н а и другие пособия. Одновременно с этим специалисты МНР создают свои учебники и методические руководства по математике.
С 1930 г. Министерством просвещения МНР начал издаваться научно-методический и общепедагогический журнал. В 1934 г. в двух номерах этого журнала публикуется работа Ц. Шаравнямбуу «О методике преподавания арифметики в средней школе». Это была первая работа по методике математики в МНР. В 40-е годы публикуются методические статьи, главным образом по вопросам обучения в начальной и семилетней школах. С 1953 по 1964 г. было написано 22 работы по методике математики (они выпущены отдельными книгами).
Период развернутого построения социализма в МНР, начавшийся в 60-е годы, язляется в то же время и периодом бурного развития школьного математического образования в стране. Совершенствуются программы по математике, создаются учебники и пособия. Учебники «Арифметика» (для V—VI кл.) Ц. Шаравнямбуу, «Геометрия» (для VI—VIII кл.) Га. Д а г в а, «Геометрия» (для IX—X кл.) X. Гэндэнжамц, У. Доёд, «Алгебра» (для VI—VIII кл.) Б. Даваасу- р э н, «Алгебра» (для IX—X кл.) JI. Шагдарсурэн и другие успешно используются сейчас для обучения монгольских школьников.
Средние школы МНР в настоящее время в основном обеспечены квалифицированными учителями математики. Кузницей педагогических кадров явился Государственный педагогический институт, который в этом году отмечает свое двадцатилетие.
Учителя математики работают над внедрением в практику новых методических идей. Их очень интере- oyioj вопросы проблемного обучения, внедрение технических средств обучения в школьную практику и др.
Научно-исследовательский институт педагогики большое внимание уделяет научному обобщению и распространению передевого опыта монгольских учителей.
В связи с экономическими и культурными запросами страны были созданы специальные математические классы при средней школе № 1 Улан-Батора. С 1964 г. монгольские школьники принимают участие в международных математических олимпиадах.
В 1966 г. создана государственная методическая комиссия по определению содержания математического образования в МНР. Одновременно были организованы авторские коллективы для написания новых учебников и методических пособий к ним. Под их руководством ведется экспериментальная работа по проверке новых учебников.
Следуя решению XV съезда МНРП, в Монголии ведется в настоящее время широкая подготовка к осуществлению всеобщего неполного среднего образования в стране.


ХРОНИКА
В. 	В. ФИРСОВ
(Москва)
ВСЕСОЮЗНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ФАКУЛЬТАТИВНЫМ ЗАНЯТИЯМ
15—17 июня 1971 г. в Черкассах проходила II Всесоюзная конференция по факультативным занятиям. В ее работе приняли участие работники Министерства просвещения СССР, Академии педагогических наук СССР, органов народного образования, научные сотрудники, учителя.
Конференция была призвана обобщить опыт факультативных занятий и на основе этого выработать практические рекомендации по основным вопросам организации, содержания и методики проведения этих занятий.
В работе секции математики, возглавляемой членом- корреспондентом АПН СССР С. И. Шварцбурдом, приняли участие 136 человек. На секцию было представлено 18 докладов.
В докладах приводились конкретные примеры внутренней связи между несколькими факультативными
курсами, между факультативным и основным курсами
математики, между различными предметами, выявлялась профориентационная направленность отдельных факультативных курсов, рассматривались связи математики со смежными областями, выявлялись пути органической связи теоретического и практического обучения.
По содержанию доклады подразделялись на три группы.
Специфика положения математики в ряду других школьных дисциплин заключается в том, что процесс перехода на новые программы только начинается и это позволяет ставить вопрос о будущем содержании факультативных занятий по математике. Поэтому большая группа докладов — зав! лабораторией обучения математике НИИ содержания и методов обучения АПН СССР Г. Г. Масловой, В. В. Ф и р с о в а, В. А. Гусева, В. М. Монахова (Москва), Д. И. Икра- мова (Ташкент)., И. В. Клевенского (Черкассы)— была посвящена проблеме совершенствования со* держания и методики проведения факультативов по математике.
Опыт работы на факультативных занятиях излагался в другой группе докладов В. М. Монахова и А. П. Ореховской, В. Н. Романова (Москва), Б. Г. Кудрина (Южно-Сахалинск), В. К. Смышляева и И. П. Бахтина (Йошкар-Ола), Т. А. Турчаниновой (Ленинград). Следует отметить, что два последних доклада посвящались использованию телевидения на факультативных занятиях.
Доклады третьей группы были докладами-предложениями о постановке новых факультативных курсов. Здесь общие вопросы, рассмотренные вначале, получали реальное воплощение в программах и методических рекомендациях, основанных на экспериментальной проверке. Новым факультативам посвящены доклады А. И. Фетисова, Ф. М. Р а ф и к о в о й, Г. В. Дорофеева и А. Я. Блоха, И. Л. Никольской, М. М. Хмелин ской (Москва), А. М. Гончаренко (Черкассы). Три последних доклада были посвящены включению элементов логики в содержание факультативных занятий.
В обсуждении докладов приняло участие много учителей и работников органов народного образования. На вопросы участников конференции ответила начальник отдела естественно-математических наук Главного управления школ Министерства просвещения СССР Н. А. Ермолаева.
Участники секции математики высказали ряд предложений, которые были учтены в решении конференции.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, н. Ф. Власик,
Б. в. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Масловаf
И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова,
П. В. Страт-илатов, 3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Н. И. Васильева Корректор Н. И. Липатова
Адрес издательства: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 247-03-74 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР
Сдано в набор 23/V1II 1971 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 11,68
Подп. к печати 24/IX 1971 г. Тираж 375 360 экз. Бумага 84X1081/ie Цена 45 коп. Заказ 450
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.


Набор «Доли и дроби»
При изучении обыкновенных дробей в четвертых и пятых классах нередко бывают полезны динамичные наглядные пособия, одним из примеров которых может служить предлагаемый набор.
Для изготовления набора необходимо вырезать из бархатной бумаги десять кругов диаметром 150 мм. Один из них разрезать на 2 равные части, три других — на 3 равные части каждый, еще три ■— на 4 равные части каждый, два круга — на 6 равных частей каждый. Оставшийся целым круг и полученные секторы необходимо оклеить (с гладкой стороны) цветной бумагой или окрасить так, чтобы разные доли были окрашены в разные цвета.
размером 40X40 мм, сделанных из бархатной бумаги с символами «+» — 2 шт., «—» — 1 шт., «=» — 3 шт. и «>>» — 1 шт., которые в необходимом порядке крепятся между окружностями на фланелеграфе.
Данный набор позволяет решать более 100 задач на сложение и вычитание дробей, объяснять равенство дробей с различными знаменателями, образование целого или смешанного числа в результате сложения нескольких дробей, основное свойство дроби и способ сложения дробей с различными знаменателями.
Приведем несколько примеров.
Сложение дробей. В первом круге крепятся 2 шестые доли, между первым и вторым кругами;— знак
Учителя часто пользуются на уроке аналогичным пособием, сделанным из обычной цветной бумаги. В этом случае доли круга крепятся к доске с помощью кнопок или пластилина, что нельзя признать удачным (портится доска, нет возможности быстро сменять изображение). Используемая нами в предлагаемом наборе бархатная бумага дает возможность применить для крепления секторов фланелеграф*. Однако использование обычного фланелеграфа не в каждом случае оказывается удачным. Было замечено, что детям трудно определить, какую долю круга представляет данный сектор (в особенности, если предложена пятая или шестая доля, не говоря уже о более мелких), если фоном для него не служит круг того же радиуса. Предлагаемый в наборе фланелеграф представляет удобный выход из этого затруднительного положения. Его вид и размеры показаны на рисунке.
Полоска однотонной фланели наклеивается на лист картона (для оклейки можно воспользоваться синтетическим клеем). После того как клей засохнет, на фланели проводят цветным карандашом окружности (их диаметр и расположение указаны на рисунке). Цвет линии и толщина ее таковы, чтобы ее можно было увидеть .с последней от доски парты.
В наборе необходимо иметь также семь квадратов
1 Фланелеграф — щит, обтянутый с лицевой стороны фланелью. На ворсистой поверхности фланели легко удерживаются простым трением небольшие бумажные детали (см.: Н. Е. Цейтлин. Изготовление учебных пособий в школе. М., «Просвещение», 1969, стр. 109).
«-{-», во втором круге — 3 шестые доли, между вторым и третьим кругами — знак «=». В третьем круге последовательно набираются сначала 2, а затем еще 3 шестые доли. Дети замечают, что их сумма — 5 шестых долей.
Можно было бы выполнить сложение и на одном круге. Однако выбор указанного выше пути удобнее в смысле возможности последовательного перехода к
2 3 5
символической записи ■g' + -g- = -g- (или подробнее 2 3 24- 3 5 .
6 + 6 " 6 “ 6>-
Основное свойство дроби. На фланелеграфе устанав-
1 2 3
ливаются последовательно: “?г; . Учащиеся за¬
мечают равенство получившихся частей круга и приходят к пониманию равенства соответствующих им дробей.
Смешанные числа. Возможен такой подход к объяснению. На фланелеграфе рассматривается пример сложения дробей (так же, как и в 1-м примере). Находят 3 4
сумму -g- и *g_. После того как в третьем круге набраны* 6 шестых долей, учитель заменяет их одним неразрезанным кругом. Тем самым учащиеся получают наглядное представление об образовании смешанного числа из неправильной дроби. Отметим, однако, что такой подход не исключаёт рассмотрения образования смешанного числа в результате деления двух натуральных чисел.
А. О. Антонов (Москва)