В. В. Балашов, В. К. Долинов
КУРС КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Издание второе
R&C
‘DtfHMuiM, Москва • Ижевск
2001
УДК 530.145.1 (075.8)
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
•	физика
•	математика
•	биология
•	техника
Внимание!
Новые проекты издательства РХД
•	Электронная библиотека на компакт-дисках
http://shop.rcd.ru/cdbooks
•	Эксклюзивные книги — специально для Вас любая книга может
быть отпечатана в одном экземпляре
http://shop.rcd.ru/exclusive
Балашов В. В., Долинов В. К.
Курс квантовой механики. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаоти-
ческая динамика», 2001, 336 стр.
Пособие охватывает материал первой половины годового курса
квантовой механики, читаемого студентам отделения ядерной физики фи-
зического факультета МГУ. Отличительной особенностью курса является
органическая связь основных элементов обучения: лекций, семинаров и
самостоятельной работы. В конце каждой лекции даны упражнения, по-
добранные так, чтобы каждое из них при условии последовательного
освоения материала студент мог сделать без «подсказки». В то же вре-
мя умение решить все задачи, относящиеся к данной лекции, является
необходимым условием перехода к следующей лекции.
ISBN 5-93972-077-3
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http://rcd.ru
Содержание
Предисловие ко второму изданию....................... 4
Предисловие к первому изданию........................ 5
Раздел 1. Основные положения квантовой механики . .	7
Лекция 1	  7
§ 1.	Вероятностное описание состояний физических си-
стем. Волновая функция.......................... 7
§ 2.	Физические величины в квантовой механике	....	9
§ 3.	Операторы важнейших физических величин	....	14
§ 4.	Состояния с определенными значениями физиче-
ских величин................................... 17
§5.	Соотношение неопределенностей .............. 19
Упражнения к лекции 1............................ 21
Лекция 2	  23
§ 6.	Уравнение Шредингера........................ 23
§ 7.	Уравнение Шредингера для одной частицы. Урав-
нение непрерывности............................ 24
§ 8.	Изменение средних значений физических величин
со временем. Интегралы движения................ 25
§ 9.	Стационарные состояния...................... 27
§ 10.	О нахождении волновых функций нестационарных
состояний...................................... 29
Упражнения к лекции 2............................ 31
Лекция 3	  32
§ 11.	Линейный гармонический осциллятор. Стационар-
ные состояния ................................. 33
§ 12.	Четность состояния......................... 40
§ 13.	Осциллирующий волновой пакет............... 42
Упражнения к лекции 3............................ 45
4
Содержание
Лекция 4	........................................ 48
§ 14.	Прямоугольная потенциальная яма (стационарные
состояния)....................................... 48
§ 15.	Импульсное распределение................... 55
§ 16.	Свободное движение частицы ................ 59
§ 17.	Инфинитное движение в поле прямоугольной по-
тенциальной ямы.................................. 64
§ 18.	Импульсное представление. Эквивалентность им-
пульсного и координатного представлений. Урав-
нение Шредингера в импульсном представлении . . 66
Упражнения к лекции 4............................ 72
Лекция 5	  73
§ 19.	Эквивалентные представления................ 73
§ 20.	Преобразования числовых функций и операторов
при сдвиге и повороте системы отсчета............ 76
§ 21.	Представление Шредингера и представление Гей-
зенберга ........................................ 79
§ 22.	Свободное движение и линейный гармонический
осциллятор в представлении Гейзенберга........... 83
§23.	Понятие вектора состояния. Обозначения Дирака
«бра» и «кет».................................... 86
Упражнения к лекции 5............................ 93
Лекция 6	  94
§ 24.	Матричная формулировка квантовой механики ... 94
§25.	Матрицы операторов физических величин для ли-
нейного гармонического осциллятора. Операторы
рождения и уничтожения квантов колебаний .... 102
§ 26.	Когерентные состояния линейного гармонического
осциллятора......................................104
Упражнения к лекции 6.............................ПО
Лекция 7	 112
§ 27.	Чистые и смешанные состояния...............112
§ 28.	Понятие матрицы плотности и статистического
оператора (случай чистого состояния).............113
§ 29.	Статистический оператор и матрица плотности для
описания смешанного состояния....................115
§ 30.	Матрица плотности составной системы........120
§ 31.	Квантовая система в термостате.............123
Упражнения к лекции 7............................131
Содержание
5
Раздел 2. Движение в сферически симметричном поле.
Математический аппарат теории момента количества
движения.........................................132
Лекция 8	 132
§ 32.	Движение частицы в сферически-симметричном
поле (дискретный спектр)........................132
§ 33.	Стационарные состояния для потенциалов притя-
жения с быстрым затуханием. Пример: сфериче-
ски-симметричная прямоугольная потенциальная яма 141
Упражнения к лекции 8...........................145
Лекция 9	 147
§ 34.	Представление о «квантовых орбитах» ......147
§ 35.	Движение частицы в кулоновском поле (дискрет-
ный спектр).....................................151
§ 36.	Трехмерный изотропный гармонический осциллятор 155
Упражнения к лекции 9...........................160
Лекция 10 .........................................161
§ 37.	Квантование момента количества движения с помо-
щью перестановочных соотношений.................161
§ 38.	Матрицы операторов момента количества движения 166
§ 39.	Спиновая волновая функция частицы.........169
§40.	Спин i ...................................175
5	2
Упражнения к лекции 10..........................180
Лекция И ..........................................181
§41.	Сложение моментов количества движения ....181
§ 42.	Оператор магнитного момента частицы.......189
§ 43.	Прецессия спина электрона в постоянном однород-
ном магнитном поле..............................192
Упражнения к лекции 11 .........................194
Лекция 12 .........................................196
§ 44.	Опыт Штерна и Герлаха.....................196
§45.	Спиновая матрица плотности................200
Упражнения к лекции 12 .........................209
6
Содержание
Раздел 3. Приближенные методы решения стационарных
задач квантовой механики ......................210
Лекция 13 ........................................210
§ 46.	Вариационный метод ......................210
§ 47.	Адиабатическое приближение ..............216
§ 48.	Квазиклассическое приближение............218
Упражнения к лекции 13 ........................226
Лекция 14 ........................................227
§ 49.	Теория возмущений для стационарного уравнения
Шредингера.....................................227
§ 50.	Теория возмущений для матрицы плотности .... 236
Упражнения к лекции 14.........................242
Лекция 15 ........................................244
§51.	Некоторые применения теории возмущений в зада-
чах атомной физики.............................244
§ 52.	Магнитные и электрические свойства вещества . . 253
Упражнения к лекции 15 ........................257
Раздел 4. Теория симметрии........................259
Лекция 16 ........................................259
§ 53.	Понятие симметрии в квантовой механике...259
§ 54.	Применение теории групп в квантовой механике . . 269
Упражнения к лекции 16 ........................277
Лекция 17 ........................................277
§ 55.	Группа трехмерных вращений и ее представления . 277
§ 56.	Теорема Вигнера-Эккарта..................280
Упражнения к лекции 17 ........................286
Лекция 18 ........................................287
§ 57.	Симметрия молекул и твердого тела........287
§ 58.	Обращение времени........................300
Упражнения к лекции 18 ........................306
Содержание
7
Дополнения.........................................307
1.	Пространство квадратично-интегрируемых функ-
ции L2 .........................................307
2.	Линейные операторы..........................309
3.	Операторные функции ........................312
4.	Дельта-функция Дирака.......................313
5.	Теорема о коммутирующих операторах..........315
6.	Полиномы Эрмита.............................317
7.	Сферические функции и полиномы Лежандра. Ин-
тегралы со сферическими функциями...............318
8.	Цилиндрические функции полуцелого порядка . . 320
9.	Разложение плоской волны по сферическим функ-
циям ...........................................323
10.	Вырожденная гипергеометрическая функция. Обоб-
щенные полиномы Лагерра.........................323
11.	Коэффициенты векторного сложения............325
12.	Матрицы конечных поворотов..................326
Дополнительная литература..........................330
Предисловие ко второму изданию
Мы благодарны издательству РХД за инициативу переизда-
ния нашего учебника и рады встрече с его новыми читателями.
Книга выходит в полном соответствии с первым изданием, без
каких-либо изменений в ее тексте или расположении материала.
Как и раньше, она соответствует первой половине полной про-
граммы годового курса квантовой механики (к сожалению, мы
еще не выполнили своих планов, относящихся ко второй части
книги, но не отказались от них). Общение с большим числом
студентов и работающих физиков, хорошо знакомых с книгой по
ее первому изданию, позволяет нам сделать вывод о правильно-
сти ее общей ориентации. В частности, сейчас, когда широкий
общий интерес, как многие годы назад, вызывают принципиаль-
ные вопросы квантовой механики, нам важно повторить слова из
первого издания: суждение о квантовой механике в целом может
быть самостоятельным и глубоким только в том случае, когда оно
основано на хорошем знании ее аппарата и умении применять
его для рассмотрения широкого круга физических явлений (в том
числе тех, которые являются объектом современного научного ис-
следования). Студентам, которые выберут нашу книгу в качестве
пособия в своей работе по освоению квантовой механики, мы
желаем успеха.
В. В. Балашов
В. К. Долинов
Предисловие к первому изданию
Предлагаемое учебное пособие основано на опыте препо-
давания курса квантовой механики студентам отделения ядерной
физики физического факультета МГУ в 1969-1980 гг. Курс рассчи-
тан на студентов-физиков, имеющих подготовку по общей физи-
ке и математике в объеме обычной университетской программы.
В частности, предполагается, что студент, приступающий к изу-
чению курса, уже знаком с качественным описанием отдельных
квантовых явлений из области атомной физики, оптики, физики
твердого тела и ядерной физики, а также с основными вехами
истории возникновения квантовой механики.
Мы начинаем сразу с постулатов квантовой механики, за-
ботясь о том, чтобы изучение студентом ее математического ап-
парата шло параллельно с анализом ее конкретных приложений.
Важно, чтобы в процессе прохождения курса студент мог само-
стоятельно оценить мощь этих постулатов. Мы придаем принци-
пиальное значение вопросам о соотношении между квантовой ме-
ханикой и классической механикой, однако с нашей точки зрения
начинать курс с этого нерационально, и мы считаем более эффек-
тивным постепенно готовить студента к специальному, итоговому
обсуждению этих вопросов, которое проводим в конце курса. То
же относится к общим философским вопросам квантовой меха-
ники. При этом мы исходим из того, что суждение о квантовой
механике в целом может быть самостоятельным и глубоким толь-
ко в том случае, если оно основано на хорошем знании ее аппа-
рата и умении применять его для рассмотрения широкого круга
физических явлений (в том числе тех, которые служат объектом
современного научного исследования).
Известен ряд хороших книг, которые очень широко охватыва-
ют самые различные — принципиальные и прикладные — вопросы
квантовой механики и поэтому используются не только в качестве
учебника студентами, но и аспирантами при подготовке к канди-
датским экзаменам. Мы видели свою задачу в ином: так отобрать
и преподнести материал, чтобы все, что включено в курс, можно
было хорошо усвоить в течение двух семестров, отводимых на
квантовую механику университетской учебной программой. Дру-
гое отличие предлагаемого курса состоит в том, что он предусмат-
10
Предисловие к первому изданию
ривает органическую связь трех основных элементов обучения:
лекций, семинаров и самостоятельной работы. Имеющиеся в по-
собии упражнения ни в коем случае нельзя рассматривать просто
как дополнение к лекциям. Порою в них вынесен материал, столь
же важный с точки зрения «вживания» в систему понятий и ме-
тодов квантовой механики, как и материал лекций. По трудности
упражнения подобраны так, чтобы каждое из них при условии
последовательного освоения материала студент мог сделать без
всякой «подсказки». В то же время студент должен знать, что уме-
ние решить все задачи, относящиеся к данной лекции, является
необходимым условием перехода к материалу следующей лекции.
Таким образом, предлагаемое учебное пособие можно рас-
сматривать как опыт построения курса по принципу програм-
мированного обучения. Разбиение материала пособия на лекции
и упражнения к ним отражает сложившийся в процессе препода-
вания ритм занятий: 2 часа в неделю — лекция, 2 часа — семинар,
4-6 часов — самостоятельная работа. При этом мы, однако, сочли
излишним указывать, как делить теоретический материал, прихо-
дящийся на каждую неделю, между лекцией, семинаром и само-
стоятельной работой.
Данная книга соответствует первой половине полной про-
граммы курса (1-й семестр). Пособие по второй половине курса,
куда входят разделы «Тождественные частицы», «Теория кван-
товых переходов», «Теория столкновений», «Введение в реляти-
вистскую квантовую теорию» и «Принципиальные вопросы кван-
товой механики», готовится к печати.
В формировании структуры курса активное участие прини-
мали преподаватели физического факультета и сотрудники Ин-
ститута ядерной физики МГУ, проводившие семинарские заня-
тия по данному курсу: Н. Г. Гончарова, А. Н. Грум-Гржимайло,
Н.М. Кабачник, Г.Я. Коренман, В.Л. Коротких, Ю.Н. Кременцова,
А. И. Магунов, В. С. Сенашенко, Ю. Ф. Смирнов, С. И. Страхова,
О. Д. Тимофеевская, О. А. Хрусталев, Н. П. Юдин. На разных эта-
пах работы над пособием нам очень помогли замечания В. Б. Бе-
ляева, В. Г. Зелевинского, Б. А. Лысова. Всем указанным товари-
щам мы приносим глубокую благодарность. Мы очень благодарны
Н. Д. Долаберидзе за помощь при подготовке рукописи к изданию.
Раздел 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ЛЕКЦИЯ 1
§ 1. Вероятностное описание состояний
физических систем. Волновая функция
В классической механике состояние физической системы
в произвольный момент времени t полностью определяется зна-
чениями п обобщенных координат и п обобщенных скоростей,
где п — количество степеней свободы системы. При этом предпо-
лагается, что все эти 2п динамических переменных могут быть
одновременно и точно измерены.
В квантовой механике описание состояний физических си-
стем носит вероятностный характер. Мы не можем, вообще го-
воря, указать в момент времени t точных значений обобщенных
координат £ = {£i, ^2, • • •, £,п} = характеризующих си-
стему, а имеем дело лишь с плотностью их распределения р(£, 4).
Зная р(£, 4), мы знаем вероятность того, что, измеряя в момент
времени 4 переменную £ в нашем состоянии, получим значение
в интервале (£, £ + <4£):
4) = р(е, №.	(i.i)
Состояния физических систем делятся на смешанные и чи-
стые, причем последние можно рассматривать как частный случай
смешанных состояний. Все свойства чистого состояния можно
описать, задав некоторую комплексную функцию ^(£, 4) — волно-
вую функцию, зависящую от п обобщенных координат (динами-
ческих переменных) |£j } и времени 4, которое не является дина-
мической переменной и рассматривается как параметр. Волновая
12
Раздел 1
функция (ее называют также амплитудой вероятности) опреде-
ляет плотность распределения динамических переменных £:
ж i) = iv>(€, <•	(i-2)
Описание смешанных состояний сложнее, но мы пока не будем
касаться этого вопроса, ограничившись в первых шести лекциях
рассмотрением только чистых состояний (не говоря всякий раз,
что выражение «состояние» подразумевает чистое состояние).
Полную вероятность принято нормировать на единицу:
ни2^/|Ж<^ = 1,	(1-з)
где интегрирование производится по всей области определения
функции ^(£, I). Следовательно, волновая функция должна быть
квадратично интегрируемой.
Положение о том, что только квадратично интегрируемые
функции описывают реальные состояния физических систем, яв-
ляется важнейшим исходным положением квантовой механики.
Однако в аппарате квантовой механики нередко используются
и такие состояния, которые не описываются квадратично инте-
грируемыми функциями. Эти состояния играют вспомогательную
роль, а их связь с реальными состояниями надо выяснять в каж-
дом случае специально.
Множество всех квадратично интегрируемых комплексных
функций вещественных переменных является линейным гильбер-
товым пространством, которое в математике обозначается сим-
волом L2. Таким образом, в квантовой механике постулируется,
что каждому состоянию системы сопоставляется некоторый эле-
мент (вектор) пространства L>. Скалярное произведение в этом
пространстве вводится с помощью соотношения
= У <(£,	t)d£,	(1.4)
где V’l, 1^2 — любые элементы звездочка обозначает комплекс-
ное сопряжение. Это определение удовлетворяет всем аксиомам
скалярного произведения, в частности
= O/Wi)*-	С1-5)
Другие важные свойства пространства приведены в Дополне-
нии 1.
Лекция 1
13
Рассмотрим некоторые примеры квантово-механических си-
стем.
1. Система к частиц. Эта система имеет Зк степеней свобо-
ды. В качестве обобщенных координат {& } можно выбрать про-
странственные координаты гу этих частиц, т. е. = {rj}i-
Волновая функция системы есть
t) = ’Я1’!, г2, ..., rfc, Д.
2. Твердое тело. Эта система имеет 6 степеней свободы.
В качестве обобщенных координат можно выбрать 3 координаты
центра масс твердого тела {жг}х и 3 угла Эйлера {aj}1, харак-
теризующих его ориентацию в пространстве. Волновая функция
системы принимает вид
Д(Д t) = ДД1, х2,	«1, «2, Ci3, t).
§ 2. Физические величины в квантовой механике
Полное описание состояния физической системы в момент
времени I состоит в указании вероятностей тех значений, которые
могут быть получены в результате измерения всех независимых
физических величин, характеризующих систему. В § 1 мы уже
рассмотрели этот вопрос в отношении тех физических величин,
которые являются аргументами волновой функции состояния. Те-
перь рассмотрим и другие физические величины.
В квантовой механике постулируются следующие положе-
ния.
Постулат 1. Каждой физической величине F сопостав-
ляется некоторый линейный эрмитов оператор F, действующий
в пространстве /.2 (или в более широком пространстве, включа-
ющем Т2)- Явный вид операторов основных физических величин
постулируется. Физической величине G, которая является функ-
цией другой физической величины F, сопоставляется оператор
G = |(G(F) + (G(P))+);	(2.1)
крест обозначает эрмитово сопряжение.
Условимся о терминах и обозначениях.
Пусть и Д2 ~ произвольные элементы (векторы) в £_>
Оператор F+ называется эрмитово сопряженным по отношению
14
Раздел 1
к оператору F, если выполняется равенство
(-0i|AM =	(2.2)
Скалярное произведение векторов и FY2 будем также записы-
вать в форме
ШАЫ = {Y1\F\Y2Y	(2.3)
О правой части этого соотношения мы говорим, что оператор F
взят «в обкладках» векторов Y1 и ^2- В новой форме условие (2.2)
переписывается следующим образом:
К-	(2.4)
Оператор F называется эрмитовым, или самосопряженным,
если в 1^2 выполняется соотношение
F = F+,	(2.5)
т. е. для любых и г[>2 из справедливо
= шЯ’Ы*.	(2.6)
Все необходимые сведения о линейных операторах и их свойствах
приведены в Дополнении 2.
Постулат 2. Физическая величина F в любом кванто-
во-механическом состоянии может принимать только те значения,
которые принадлежат спектру ее оператора F.
В общем случае спектр оператора F представляет собой со-
вокупность точечного (дискретного) спектра F±, F%, ..., Fn, ...
и непрерывного спектра {f}. Каждое значение физической вели-
чины представлено в состоянии ^>(£, t) с какой-то вероятностью,
которая, вообще говоря, меняется со временем. Пусть p(Fn) —
вероятность того, что в состоянии YYY £) в момент времени /
физическая величина F имеет значение Fn, пусть p(f) — со-
ответствующая плотность вероятности для окрестности точки f
непрерывного спектра. Мы будем говорить, что совокупность зна-
чений p(Fn) и р(/) дает распределение физической величины F
в состоянии ^(£, t). Очевидно условие, которому удовлетворяет
это распределение:
£p(Fn) + [p(f)df = l.	(2.7)
Лекция 1
15
Важнейшими характеристиками распределения физической вели-
чины в состоянии t) являются ее среднее значение (матема-
тическое ожидание)
F = ^2 FnP(Fn) + i fp(J) df	(2.8)
п
и дисперсия (второй центральный момент)
Df = 52(F„ - F)2p(Fn) + А/ - F)2p(f) df.	(2.9)
n
Как распределение p(Fn), так и его моменты с течением времени,
вообще говоря, изменяются.
Постулат 3. Среднее значение физической величины F
в состоянии if(f, t) вычисляется по формуле
Если волновая функция нормирована на единицу, то получаем
=	(2.И)
Мы видим, что зависимость F от t определяется временной зави-
симостью волновой функции и оператора F.
Рассмотрим постулаты 1-3 подробнее.
1.	Покажем, что из эрмитово сти F следует, что среднее зна-
чение F вещественно. Действительно, из (2.11) имеем
(F)* = (if\F\ify = (if\F+\if) = {if\F\f>},
т. е.	_	_
(F)* = F.	(2.12)
Отметим также, что построение (2.1) обеспечивает эрмитовость
оператора (2.1).
2.	Напомним, что число F называется собственным значени-
ем оператора F, если в области определения оператора Dp суще-
ствует функция (вектор) if 0, принадлежащая 1.^, для которой
выполняется равенство
Fif = Fif.
(2-13)
16
Раздел 1
Функция ф в таком случае называется собственной функци-
ей (собственным вектором) оператора F, соответствующей соб-
ственному значению F. Как показывается в математике, совокуп-
ность всех собственных значений оператора образует дискретный
спектр. Множество всех собственных функций эрмитова операто-
ра F обозначим через {рп}, а множество собственных значений —
через {Fn}:
Fpn(£) = Fnpn(£).	(2.14)
Если уравнению (2.13) удовлетворяет ограниченная функция у/ (С),
не принадлежащая пространству L%,
РхШ = fXftt),	(2-15)
то в этом случае, как показывается в математике, число f при-
надлежит непрерывному спектру оператора F. Соответствующая
функция Xf называется обобщенной собственной функцией, или
функцией непрерывного спектра. Множество всех обобщенных
собственных функций оператора F обозначим через {у/}, а мно-
жество точек непрерывного спектра — через {/}. Совокупность
точечного и непрерывного спектров называется полным спектром
оператора. В функциональном анализе доказывается, что полный
спектр {.Fn}, {/} эрмитова оператора лежит на вещественной оси.
Вещественность спектра оператора любой физической величины
находится в соответствии с требованием вещественности резуль-
тата любого ее измерения.
Может оказаться, что различным собственным функциям рп
соответствует одно и то же собственное значение. Такое соб-
ственное значение называется вырожденным, а количество со-
ответствующих линейно независимых собственных функций на-
зывается кратностью вырождения этого собственного значения.
Аналогичное положение может быть и в случае непрерывного
спектра.
Всегда можно считать (см. Дополнение 2), что собственные
функции образуют ортонормированный набор
(<Pk\pi) = $ki-	(2.16)
В функциональном анализе показывается, что функции непрерыв-
ного спектра всегда можно считать удовлетворяющими условию
f Xf($Xf'(t№ = 6(J- f),	(2.17)
Лекция 1
17
которое аналогично условию (2.16) ортонормированности соб-
ственных функций. (Свойства дельта-функции Дирака <5(х) приве-
дены в Дополнении 4.) Кроме того, любая обобщенная собствен-
ная функция х f ортогональна любой собственной функции срп:
<^п|х/>=0.	(2.18)
Важной особенностью оператора физической величины по
сравнению с произвольным эрмитовым оператором является то,
что множество всех его собственных функций {<£„} и обобщен-
ных собственных функций { \/} удовлетворяет равенству
Е Ы£)<(О + / dfxf&xHn = < - П (2.19)
которое аналогично условию (Д1.6), выражающему полноту на-
бора векторов в Ь2. Соотношение (2.19) является критерием пол-
ноты набора векторов {у,,}. {X/} в ^2- Любую функцию G L2
можно однозначно представить в виде
Ж) = Е + / dfafxf^, (2-20)
где суммирование производится по всем точкам дискретного спек-
тра, а интегрирование — по всем точкам непрерывного спектра,
причем в силу условий ортонормированности (2.16) и (2.17)
ап = ^п\ф\ af = {xfWl-	(2-21)
В формулах (2.19) и (2.20) подразумевается, что каждому значе-
нию Fn или / может соответствовать несколько линейно незави-
симых функций <у?п(С) и Х/(£)- Соответствующие дополнитель-
ные индексы суммирования и интегрирования опущены, чтобы
не загромождать формулы. Отметим, что ап и af удовлетворяют
условию нормировки
E|an|2+ [\af\2df = l.	(2.22)
п	d
3.	Третий постулат позволяет найти распределение вероят-
ностей различных результатов измерений. Подставляя разложе-
ние (2.20) в (2.11), получаем
F= Е Fn\an\2+ [ f\af\2df.	(2.23)
18
Раздел 1
Из (2.23) следует, что если Fn — невырожденное собственное
значение, то \ап |2 есть p(Fn) — вероятность того, что в результате
измерения физической величины F в состоянии f) будет по-
лучено значение Fn. Если же Fn — вырожденное собственное зна-
чение с кратностью вырождения N, то в сумме (2.23) имеется N
слагаемых с одним и тем же значением Fn. Тогда вероятность
того, что в результате измерения будет получено значение Fn,
есть
p(Fn) = Ki2 = Е imv#, (2-24)
где суммирование производится по всем тем значениям п, для ко-
торых Fn одинаково. Аналогично из (2.23) следует, что плотность
вероятности получить в результате измерения значение, лежащее
в окрестности точки непрерывного спектра /, есть
р(/) = Е|й/|2^Е1Ы^|2,	(2-25)
где, как и в (2.24), суммирование учитывает вырождение. Таким
образом, из постулата о среднем значении физической величины
следует, что распределение вероятностей результатов измерений
этой величины в некотором состоянии ip определяется коэффици-
ентами (2.21) разложения гр по собственным функциям оператора
этой физической величины.
Из определения среднего значения (2.10) следует, что сред-
нее значение не изменяется при умножении вектора состояния ip
на любое комплексное число с единичным модулем вида ег6 (6 —
любое действительное число). Эта неоднозначность имеет прин-
ципиальный характер и не может быть устранена. Однако она
несущественна, потому что, как следует из (1.1), (2.24) и (2.25),
не отражается на распределениях физических величин в этом со-
стоянии.
Таким образом, волновая функция состояния физической си-
стемы полностью характеризует результаты измерений всевоз-
можных физических величин, т. е. дает полное описание со-
стояния. Вероятностный характер этого описания отражает су-
щество физических законов, которым подчиняются квантово-
механические системы.
§ 3. Операторы важнейших физических величин
В квантовой механике постулируется, что оператором про-
странственной координаты частицы г = {ж, у, z} является one-
Лекция 1
19
ратор умножения на г, т. е.
г = г.	(3.1)
Оператором импульса частицы р = {рх, ру, pz} является опера-
тор
р = -ihV,	(3.2)
где V = {д/дх, д/ду, d/dz}, а константа h выражается через
постоянную Планка h:
h = Ь/2тг = 1,054 х 10 27 эрг • с.	(3.3)
Оператор АВ называется произведением операторов А и В.
Его областью определения является совокупность всех тех
G Dp, для которых Bt[) G D^. Оператор АВ переводит век-
тор "0 в вектор
АГА- = А(В-ф).
Операторы АВ и В А, вообще говоря, различны, так как может не
иметь место равенство
ABv = ВА'ф.
Более того, вообще говоря, операторы АВ и В А могут иметь
различные области определения.
Назовем оператор
[А, В] = АВ - В А	(3.4)
коммутатором, если области определения операторов АВ и В А
совпадают. Если [А, В] = 0, то говорят, что операторы А и В
коммутируют. Как мы увидим дальше, коммутаторы операторов
физических величин играют важную роль в математическом ап-
парате квантовой механики.
Легко проверить, что коммутатор операторов г и р имеет
следующее значение:
[и, Pk] = ih5ik, I, к = (1, 2, 3).	(3.5)
Покажем, например, что
[ж, рх] = ih.	(3.6)
20
Раздел 1
Для произвольной дифференцируемой функции ^(r) G Lz имеем
• •	( д	д	\
[ж, рсс]'гД(г) = — ih\x—у, z) — —х'ф(х, у, z)j =
= —ih(x^~ — гЬ(х. у, z) — х-^—У = ihib(r),
X ох	ох/
т. е.
[а:, рж]'0(г) = —Ит/ф^г),
что эквивалентно соотношению (3.6).
В качестве оператора физической величины /(г, р) прини-
мается согласно (2.1) оператор
7 = |(Ж р) + /+(г, р)).	(3.7)
Например, оператор кинетической энергии частицы с мас-
сой у есть
Т = — = - — V2 =	-I- d2 | Э2 \ /п m
2М 2дv Ъ^дх2 ду2 dz2)'
Оператор потенциальной энергии частицы есть
V = y(r, t).	(3.9)
Тогда для оператора полной энергии частицы в потенциальном
поле получаем
H = T + V = -^V2 + V(r, t).	(3.10)
Оператор полной энергии системы называется гамильтонианом.
Легко видеть, что моменту импульса частицы L = [г х р] =
= {Lx, Ly, Lz} следует сопоставить оператор
Lx = ypz ~ zPv = ~гп\у------z— ,
Ly = zpx - xpv = Lz = хру -уру =	\ dz dyJ (ЗЛ1) • £ / д	д \ —гп\ х—	у— . \ ду	дх)
Лекция 1
21
Эти соотношения можно записать более компактно в следующем
виде:
3 3
Li =	' ^ikl^kPl ~	' ^-ikl^k~Q j (3-12)
к,1=1	к,1=1	1
где {х, у, z} = {a?i, я?2, хз}, eiki — антисимметричный единич-
ный тензор третьего ранга с компонентой 6123 = 1.
Все введенные операторы эрмитовы в пространстве /<>. Про-
верим, например, эрмитовость оператора импульса:
{ф1\рх\-ф2) = У ^1(19(-^^)^2(г)й!3г =
=	ipi(x, у, z)[i/i2(x, у, z^+^-^dy dz—
— У г/Дж, У, -г)^“^’1*(а;> .'/ dx dy dzI =
= (У ^2*(г)(-^|^)^(г)с?31У = <V’2|^r|'01>*,
так как lim -0(ж, у, z) = 0, если ip Е L?. Мы получили
{^l\Px\^2) = {^2\Рх[Ф1У,
откуда в соответствии с определением (2.6) следует, что рх —
эрмитов оператор.
§ 4. Состояния с определенными значениями
физических величин
В § 2 было показано, как находится распределение физиче-
ской величины F в произвольном состоянии ф. А существуют ли
такие состояния, для которых распределение стягивается в одну
точку, и результат измерения величины может быть предсказан
с достоверностью? Очевидно, что это те и только те состояния
для которых дисперсия величины F равна нулю.
Дисперсия есть среднее значение величины (F — F)2, кото-
рой в соответствии с общим правилом (2.1) следует сопоставить
оператор
Df = (Р-Р)2.
(4-1)
22
Раздел 1
Среднее значение этой величины в искомом состоянии есть
Df = «F-F)2|^ = 0,
т. е.
||(F-F)V-||2 = 0.
Отсюда получаем
(P-F)V’ = 0,
т. е. искомыми являются состояния, которые описываются соб-
ственными векторами оператора F. Естественно, что в таких со-
стояниях среднее значение равняется одному из собственных зна-
чений:
F = Fn.
Существуют ли состояния, в которых несколько физических
величин имеют определенные значения? Для ответа на этот во-
прос важное значение имеет следующая теорема (Дополнение 5):
необходимым и достаточным условием существования в 1.‘> об-
щего полного набора собственных функций двух эрмитовых опе-
раторов А и В с чисто дискретными спектрами является коммута-
тивность этих операторов. Следовательно, если операторы неко-
торых физических величин Ли В с чисто дискретными спектрами
коммутируют друг с другом, то в L-2 существует бесконечное мно-
жество линейно-независимых состояний <у?п, в каждом из которых
обе эти величины имеют определенные значения:
Афп = А-пРт	= Bnipn.	(4.2)
Что можно сказать о состояниях, в которых более двух физи-
ческих величин имеют определенные значения? Сколько таких ве-
личин? Очевидно, что, вообще говоря, их столько, сколько суще-
ствует взаимно коммутирующих операторов физических величин.
Однако не все эти величины будут независимыми: может оказать-
ся, что некоторые из них будут функциями других. Будем называть
набор независимых физических величин полным для данной си-
стемы, если операторы всех этих величин коммутируют между
собой, и этот набор не может быть расширен. Соответствующий
набор эрмитовых операторов также называется полным.
Лекция 1
23
§ 5. Соотношение неопределенностей
Обратимся теперь к случаю, когда два оператора физических
величин не коммутируют между собой:
[А, В] АО.	(5.1)
Из теоремы, изложенной в предыдущем параграфе, следует, что
состояний, в которых каждая из этих физических величин име-
ет какое-то определенное значение, нет; лишь как исключение
такие состояния могут встретиться в результате «пересечения»
бесконечных полных наборов собственных функций каждого из
операторов А и В. Другими словами, в любом состоянии по край-
ней мере одна из величин А и В имеет ненулевую дисперсию.
В квантовой механике большое значение имеют соотношения,
строго ограничивающие снизу произведения дисперсий физиче-
ских величин, которым соответствуют некоммутирующие опера-
торы. Примером такого соотношения является хорошо известное
соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса частицы:
Да: • Др > h/2.	(5.2)
Сейчас мы выведем соотношение неопределенностей в общем
случае для двух произвольных некоммутирующих операторов,
а затем получим из него соотношение (5.2).
Пусть А и В — две физические величины. Коммутатор их
операторов всегда можно представить в виде (см. упражнение 1.4)
[А, В] = iC,	(5.3)
где С — некоторый эрмитов оператор (С'+ = С). Введем операто-
ры
ДА = А —А, ДВ = В-В,	(5.4)
где А, В — средние значения А и В в состоянии -ф. Эти операторы
удовлетворяют перестановочному соотношению:
[ДА, ДВ] = iC.	(5.5)
Дисперсии величин А и В в состоянии представим в виде
Ва = ^1(Д^2И) = ЦАА.^||2,
DB = ЦДВ-V-II2.
(5.6)
24
Раздел 1
Покажем, что нормы векторов ДА • ф и ДВ • удовлетворяют
следующему неравенству:
ЦДЛ-^Ц X ||ДВ-^|| > jlW’IWI- (5.7)
Действительно, для любых двух векторов выполняются соотно-
шения
X 1Ы1 > к/|р>1,
|</|р>| > |Im|</|p)|.	1	}
С другой стороны, имеем
Тт^А-ффАВ-ф') = ^(АА-'ф^В-ф^-^А-ф^В-'ф)*) =
= ^((V’lAA • ДВ|^ - фф\ЛВ  АА\фУ) = Уф\С\ф} = |с,
где С — вещественное число, так как оператор С эрмитов.
Таким образом,
Da • DB > (C/2)2,	(5.9)
т. е. произведение дисперсий любых двух физических величин А
и В в произвольном состоянии в любой момент времени ограни-
чено снизу числом (С)2/4. Неравенство (5.9) называется соотно-
шением неопределенностей для величин А и В.
Особенно интересны случаи, когда коммутатор есть некото-
рая (чисто мнимая) константа, отличная от нуля:
[A, B]=iK, К^О;	(5.10)
тогда
Da-Db^ |т<2 > 0, т. е. Da >0, DB > 0.	(5.11)
Следовательно, в этом случае в не только не существует состо-
яний, в которых величины А и В имели бы одновременно опре-
деленные значения, но даже не существует состояний, в которых
хотя бы одна из них имела определенное значение.
Примером таких величин являются координата х и им-
пульс рх частицы. Согласно (3.6), коммутатор операторов х и рх
есть
[ж, рх] = ih.	(5.12)
Лекция 1
25
Следовательно,
Dx • DP:r |/г > 0,	(5.13)
т. е. в 1.‘> не существует состояний, в которых координата частицы
и соответствующая компонента ее импульса могут иметь одновре-
менно исчезающие дисперсии. При этом чем точнее локализована
некоторая координата частицы, тем больше минимальная неопре-
деленность соответствующей компоненты ее импульса, и наобо-
рот.
Вводя обозначения
Дж = (£>ж)1/2, Др = (£>Ра.)1/2,
можем записать (5.13) в форме (5.2).
Упражнения к лекции 1
1.1.	Пусть А, В, С, ..., F — некоторые линейные операто-
ры.
Доказать соотношение (Д2.8)
(АВС... F)+ = F+ ...С+В+А+.
1.2.	Найти операторы, эрмитово сопряженные следующим
операторам:
a) d/dx, б) xd/dx, в) p^d/dx, г) хрх.
1.3.	Доказать унитарность оператора егА, если А — эрмитов
оператор.
1.4.	Показать, что коммутатор любых двух эрмитовых опе-
раторов А и В всегда может быть представлен в виде
[А, В] = iC,
где С — некоторый эрмитов оператор.
1.5.	Показать, что произведение двух эрмитовых операто-
ров Ли В всегда можно представить в виде
АВ = С + D,
где С — эрмитов оператор, a D удовлетворяет соотношению D+ =
= — D. Найти С и D.
26
Раздел 1
1.6.	Волновая функция основного состояния атома водорода
имеет вид
0(г) = Аехр(—г/а),
где а = Й2/це2, у — масса электрона, е — его заряд, А — нор-
мировочная константа. Определить А и найти среднее значение
потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром
V = —е2/г
в этом состоянии.
1.7.	Доказать перестановочные соотношения:
a)	[Lx, Ly] = ifiLz,
б)	^iklLj,
в)	[Lt, L2] = 0,
г) [Ц, rk] =
д)	[Li, Pk] = ih^etkiPi,
e)	[L2, n] = 2zfi.[(rp)n - r2pi],
ж)	[L2, р{] = 2ih[p2ri - (рг)й].
1.8.	Упростить следующие коммутаторы:
а) [рх, f(x, у, г)], б) [рх, хп], в) [х, Т], г) [рх, [f(x, у, z), рх]].
1.9.	Показать, что операторы квадрата момента количества
движения L2 и его проекции на оси х, у, z в сферических коор-
динатах имеют вид
Лекция 2
27
1.10.	Показать, что собственные значения и собственные
функции оператора Lz в сферических координатах имеют вид
Lz = rnh,
’фгп(л) = Аехрфтр),
где т = 0, ±1, ±2, ... Найти нормировочную константу.
1.11.	Найти собственные значения и собственные функции
оператора L2.
ЛЕКЦИЯ 2
§ 6. Уравнение Шредингера
Мы выяснили, как, зная волновую функцию состояния
?/>(£, t), определить распределения различных физических вели-
чин в этом состоянии. Однако до сих пор остался открытым во-
прос о том, в каких же состояниях ф Е может находиться
данная физическая система. В квантовой механике постулиру-
ется, что она может находиться в тех и только тех состояниях,
волновые функции которых удовлетворяют условию
дф^, t)
ih——— =	t),	(6.1)
где Н — гамильтониан данной системы. Это условие представ-
ляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение
относительно волновой функции ф(1ф i). Оно называется уравне-
нием Шредингера, или волновым уравнением. Вместе с начальным
условием уравнение Шредингера однозначно определяет состоя-
ние системы в любой момент времени.
Пусть V’i(^ t) и "02 i) Два произвольных уравнения
Шредингера. Ввиду его линейности и однородности любая ли-
нейная комбинация этих функций
i) = аффф Ф) + /Зф2(ф, t)
является решением. Следовательно, произвольная линейная ком-
бинация волновых функций любых состояний системы является
волновой функцией некоторого возможного состояния этой систе-
мы. Это утверждение называется принципом суперпозиции состо-
яний.
28
Раздел 1
Если гамильтониан системы Н не зависит от времени, фор-
мально можно записать решение уравнения Шредингера в виде
t) = U(t, t0)^, i0),	(6.2)
где
t?(i, to)=exp(-|#-(i-io)) =	(6.3)
\ I V	/	ГЬ • \ CV •	/
fe=0
есть оператор эволюции системы, а ^(£, io) — волновая функция
при t = io, играющая роль начального условия. Однако обычно
вычисление правой части выражения (6.2) является более слож-
ной задачей, чем решение дифференциального уравнения (6.1).
§ 7. Уравнение Шредингера для одной частицы.
Уравнение непрерывности
Гамильтониан системы, состоящей из одной частицы с мас-
сой д, которая движется в некотором постоянном потенциальном
поле У(г), имеет вид
Я = -^У2 + У(г).	(7.1)
В этом случае уравнение Шредингера представляет собой
дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка по времени и второго порядка по пространственным ко-
ординатам:
zft———=	V + V(r)j-0(r, i).	(7.2)
Поскольку это уравнение содержит вторые производные по ко-
ординатам и должно выполняться во всех точках пространства,
волновая функция ?Дг, t) и ее первые производные по координа-
там должны быть непрерывны во всем пространстве, включая все
поверхности разрыва потенциала У(г), если таковые имеются.
Волновая функция тДг, i) однозначно определяется уравне-
нием Шредингера, если она задана во всем пространстве при i = О
и является квадратично интегрируемой:
/ Иг, t)|2rf3r = 1.	(7.2а)
Лекция 2
29
Покажем, что все решения уравнения (7.2) удовлетворяют некото-
рому другому уравнению, которое аналогично уравнению непре-
рывности в электродинамике или механике сплошных сред.
Проводя комплексное сопряжение уравнения (7.2), получаем
.ЖМ / ^2	\
-гП----—---=	+V(r)^ (г, t).	(7.3)
Умножим уравнение (7.2) на -0*(r, t), а (7.3) — на -0(r, t) и вычтем
из первого результата второй:
V ~dt + ^~dt J = ~ 2/z v ~	> =
/,2
Введем сюда плотность распределения координат
p(r, t) = |^(г, <)|2	(7.4)
и некоторый вектор
j(M) =	(7.5)
Получаем искомое уравнение
——------Н divj(r, t) = 0.	(7.6)
Поскольку др(г, t)/dt есть скорость изменения вероятности об-
наружить частицу в окрестности точки г, то из уравнения (7.6)
следует, что вектор j (г, t) имеет смысл плотности тока вероятно-
сти.
Уравнение (7.6) по аналогии с соответствующим классиче-
ским уравнением называется уравнением непрерывности.
§ 8. Изменение средних значений физических
величин со временем. Интегралы движения
Пусть F(t) есть среднее значение некоторой физической ве-
личины F в состоянии t):
F(i)= [ Г (6 t)F(t)^, t) <
30
Раздел 1
Эта величина зависит от времени t по двум причинам: 1) волно-
вая функция состояния 'iptg, t) изменяется со временем в соот-
ветствии с уравнением Шредингера; 2) оператор F может явно
зависеть от времени.
Найдем скорость изменения среднего значения F(t):
dF(t)
-dT = J	И+
+ Ф (£, t)—gj— "Ж t)d£+ -ф (£, t)F(t)———d£.
Из уравнения Шредингера имеем
dt гп
Используя это значение производной, получаем
Мы видим, что скорость изменения среднего значения F(t)
можно вычислить по общей формуле (2.11) для среднего значения
с помощью оператора
| = Й +	<81)
который мы назовем оператором скорости изменения физической
величины F.
Тогда получаем
f = 6/,lfl4	(8-2)
Если F не зависит явно от времени и коммутирует с гамиль-
тонианом системы Н, то среднее значение величины F сохраняет-
ся во времени в любом состоянии ‘ф. Такие величины называются
сохраняющимися, или интегралами движения для данной систе-
мы.
Нам редко придется иметь дело с физическими величинами,
операторы которых явно зависят от времени. Операторы таких
величин, как координата, импульс, момент количества движения,
Лекция 2
31
энергия, не зависят, как мы видели, от времени. Для таких опе-
раторов условие сохранения физической величины F сводится
к требованию коммутативности ее оператора с гамильтонианом
системы:
[F, Н] = 0.	(8.3)
Подчеркнем, что, как и в классической механике, одна и та же фи-
зическая величина F в одних условиях может быть интегралом
движения, а в других — нет. Например, если частица движет-
ся в сферически симметричном потенциальном поле, то квадрат
ее момента количества движения и все три компоненты вектора
момента сохраняются. Если же эта частица движется в поле, обла-
дающем лишь осевой симметрией, то из всех названных величин
сохраняется только проекция момента на ось симметрии поля (см.
упражнения 2.5 и 2.6).
При свободном движении частицы, т. е. когда потенциаль-
ная энергия постоянна, сохраняются все три компоненты импуль-
са. В то же время координата частицы никогда не сохраняется
(упр. 1.8, в).
Можно доказать, что в любом состоянии распределение лю-
бой сохраняющейся величины не меняется со временем (упр. 2.9).
§ 9. Стационарные состояния
Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, то
из (8.3) следует, что полная энергия является интегралом дви-
жения. Состояния, в которых энергия имеет определенное значе-
ние, называются стационарными. Следовательно, стационарные
состояния системы описываются собственными функциями опе-
ратора полной энергии (гамильтониана):
«) =	i).	(9.i)
Тогда уравнение Шредингера (6.1) для фвфф t) принимает вид
д-фЕ(£., t)
th---—-----= Е^е^, £).
Определяя константу интегрирования из начального условия, по-
лучаем решение этого уравнения:
Фе^, t) = Фе(Я, t = 0) ехр(-г/ЙЕ'4).	(9.2)
32
Раздел 1
Введем новую функцию
VMO = t = °),
которая не зависит от времени и удовлетворяет уравнению (9.1):
Ws(e) = wE(e).	(9.з)
Это уравнение для волновой функции стационарного состояния
называют иногда стационарным уравнением Шредингера.
Мы видим, что волновая функция любого стационарного со-
стояния зависит от времени по гармоническому закону, причем
частота осцилляций однозначно определяется энергией состоя-
ния:
i) = ^(С)ехр^-^«У	(9.4)
Стационарные состояния обладают рядом важных свойств, отли-
чающих их от других возможных состояний квантовых систем.
Например, плотность распределения обобщенных координат не
зависит от времени:
Ре(С = Це(С *)|2 = \Фе{С t = о)|2 = IVM0I2- (9.5)
Также не зависит от времени распределение (и, конечно, сред-
нее значение) любой физической величины, оператор которой не
зависит явно от времени. Действительно, пусть {у/.} 7^ есть пол-
ный набор собственных функций оператора некоторой физиче-
ской величины F. Тогда плотность распределения этой величины
в стационарном состоянии t) в соответствии с (2.24) есть
pe(F) = £ |Ы^(ел))|2,
Fk=F
где суммирование производится по всем тем собственным функ-
циям для которых Fk имеет заданное значение F. Подставляя
сюда -^е(С t) из (9.2):
mf)= 521ы^о12,	(9.6)
Fk=F
видим, что зависимость от времени отсутствует.
Подчеркнем, что задача нахождения волновых функций ста-
ционарных состояний системы относится к классу задач на соб-
ственные значения. Уравнение (9.3) имеет решения лишь при
Лекция 2
33
определенных значениях Е, образующих спектр гамильтониа-
на Н, или энергетический спектр системы.
Совокупность всех собственных функций и обобщенных соб-
ственных функций гамильтониана образует полный набор, по ко-
торому может быть разложена произвольная функция из Lz.
§ 10. О нахождении волновых функций
нестационарных состояний
Пусть в момент времени t = 0 система находится в состо-
янии, которое описывается волновой функцией Ф(£). Если эта
функция совпадает с одной из собственных функций га-
мильтониана системы, то это значит, что система находится в
стационарном состоянии с энергией Е. При этом изменение вол-
новой функции со временем определяется уже известным гармо-
ническим законом (9.2).
Пусть теперь Ф(£) не есть собственная функция гамильтони-
ана. Как в этом случае найти волновую функцию системы t)
при t > 0?
Функция -0(£, I) должна удовлетворять как уравнению Шре-
дингера (6.1), так и начальному условию:
=	(юл)
Ж 0) = Ф(£).	(10.2)
Воспользуемся тем, что множество всех функций стационарных
состояний системы вместе со всеми обобщенными собственны-
ми функциями гамильтониана системы (как множество всех соб-
ственных и обобщенных собственных функций эрмитова опера-
тора) представляет собой полный набор. Поэтому любое решение
уравнения Шредингера можно представить в виде разложения по
этому набору:
t) =	+ [	(10.3)
М„(е)=£п^„.(0,	(10.4)
Ж(е) = ^Е(е),	(ю.5)
а сп и C(s) — некоторые числа. В справедливости разложе-
ния (10.3) легко убедиться, подставив его в (10.1).
34
Раздел 1
Потребуем, чтобы функция (10.3) удовлетворяла начальному
условию (10.2):
Есжж) + [	= $(<).	(Ю.6)
n	J
Отсюда находим коэффициенты разложения сп и С(е):
Сп =	|ф) = у с (<)Ф(е) de,	(ю.7)
с(£) = шф> = у с (еже) <%.	(ю.8)
Таким образом, соотношения (10.3), (10.7) и (10.8) дают решение
уравнения (10.1) с начальным условием (10.2).
Иногда оказывается удобным представить решение этой за-
дачи в несколько ином виде. Для этого подставим (10.7) и (10.8)
в (10.3) и поменяем местами интегрирование по е и суммирование
(интегрирование) по энергетическому спектру:
' п
(Ю.9)
Введем новую функцию:
же, е, t) Еж(еж„(е> + ужеше'К^Ж
(10.10)
Эта функция называется функцией Грина для уравнения (10.1).
Она не зависит от начального состояния системы и определяется
только ее гамильтонианом. С помощью функции Грина решение
уравнения Шредингера (10.1) с начальным условием (10.2) пред-
ставляется в соответствии с (10.9) в виде
жеж = / же,ежжеж-
(10.11)
Легко проверить, что функция Грина (10.10) удовлетворяет
Лекция 2
35
соотношениям
ihdG^df ’	£'> *)’	(10.12)
G(£X0) = <-£').	(10.13)
В § 8 мы отметили, что в любом состоянии распределение
любой сохраняющейся величины не меняется со временем. Сей-
час мы можем легко доказать это утверждение для распределения
энергии. Действительно, согласно (10.3) вероятность того, что в
произвольном состоянии ^(£, t) энергия имеет значение е„, в со-
ответствии с (2.24) есть:
_1, +|2
р(£п) = \спе п ”	= |сп|2,	(10.14)
т. е. не зависит от времени. Неопределенность энергии в нестаци-
онарном состоянии не означает, конечно, что энергия в этом со-
стоянии не сохраняется. Она сохраняется в среднем; кроме того,
как мы только что показали, сохраняется распределение энергии.
Упражнения к лекции 2
2.1.	Показать, что нормировка волновой функции, удовле-
творяющей уравнению Шредингера, не изменяется со временем.
2.2.	Показать, что операторы скорости и ускорения частицы,
движущейся в поле с потенциальной энергией У(г), могут быть
представлены в виде
v = р/р, а = — grad П(г)/д,
где р — масса частицы, р — оператор ее импульса.
2.3.	Показать, что гамильтониан свободной частицы в сфе-
рических координатах имеет вид
н =	/<2 д (г2 д } - /<2 Л
2рг2 дг\ дг/ 2рг2 ’
где
д — масса частицы.
36
Раздел 1
2.4.	Показать, что вектор плотности тока вероятности в сфе-
рических координатах имеет следующие компоненты:
Зк 2/ri V dr dr )’
3e 2pir V dd dO)'
 n ( ;*chp ,d^*\
3v 2pirsm0\ dp dp)
2.5.	Частица движется в сферически симметричном поле.
Из приведенных ниже физических величин выбрать интегралы
движения:
п2
Р, т=2^’ L L2’ Л (рр)-
2.6.	Частица движется в поле с осевой симметрией. Из при-
веденных в упражнении 2.5 физических величин выбрать инте-
гралы движения.
2.7.	Частица находится в состоянии, описываемом в сфери-
ческих координатах волновой функцией
= Жр) cos2 р,
где R(r) — некоторая квадратично интегрируемая функция. Найти
распределение проекции момента количества движения на ось z.
2.8.	Используя волновую функцию из упражнения 1.6, найти
среднее значение кинетической энергии электрона в основном
состоянии атома водорода (движением ядра пренебречь).
2.9.	Доказать, что в любом состоянии распределение любой
сохраняющейся величины не меняется со временем.
2.10.	Построить оператор плотности распределения коорди-
наты частицы, движущейся в заданном поле.
2.11.	То же для оператора плотности тока.
Лекция 3
ЛЕКЦИЯ 3
§11. Линейный гармонический осциллятор.
Стационарные состояния
Рассмотрим одну из простейших механических систем — ча-
стицу с массой д, движущуюся в одномерном поле с потенциаль-
ной энергией
V(x) = ^kx2.	(11.1)
Из классической механики известно, что частица, находящаяся
в таком поле, совершает гармоническое колебательное движение
вдоль оси х относительно точки х = 0 с частотой
ce = (k/ii)1/2,	(11.2)
т. е. координата частицы в момент времени t есть
х = a cos(wi + </?),	(11-3)
где а — амплитуда колебаний, ср — фаза колебаний при t = 0. При
этом полная энергия частицы есть
Е=|^2а2,	(11.4)
т. е. при фиксированных // и к она определяется амплитудой а
и не зависит от начальной фазы ср.
Решение этой же задачи в квантовой механике состоит в на-
хождении всех функций, удовлетворяющих уравнению Шредин-
гера (6.1) и соответствующим начальным условиям.
Начнем с нахождения тех решений уравнения Шредингера,
которые описывают стационарные состояния. В общем случае для
этого надо найти все решения стационарного уравнения Шредин-
гера (9.1), принадлежащие области определения гамильтониана Н
в пространстве /<>. В нашем случае волновые функции ip(x) за-
висят только от переменной х, а гамильтониан Н согласно (3.10),
(11.1) и (11.2) имеет вид
Н = Т + V = -^^ + ±pw2x2.	(11.5)
38
Раздел 1
Отметим, что уравнение (9.1) инвариантно относительно из-
менения начала отсчета полной и потенциальной энергии. Поэто-
му начало отсчета энергии можно выбирать исходя из соображе-
ний математического удобства. Мы совместим его с минимумом
потенциальной энергии V(0) = 0.
Таким образом, наша задача сводится к решению одномер-
ного уравнения
+ I2 (Е |дО2)0) = °-	(И-6)
dx' /г '	2	/
Для этого удобно ввести безразмерные величины
е = ^, £ =	а1-?)
о
где
‘О О-
Будем искать решение уравнения (11.6) в виде
О) = v(0exp(-|£2),	(И.9)
где v(£) — некоторая непрерывная функция, имеющая непрерыв-
ную производную и удовлетворяющая условию квадратичной ин-
тегрируемости 'ф^х). Подставляя (11.9) в (11.6), получаем для v(£)
уравнение
Г'(£) - 2£Г(£) + (е - 1)0 = 0.	(И.Ю)
Будем искать решение этого уравнения в виде полинома
<е) = Ь^.	(н.п)
к=0
Подставляя (11.11)в(11.10), получаем
______ 2fc + 1 — е	/11ю\
(',;2 (fc + l)(fc + 2)afe-	(	}
Это есть рекуррентное соотношение для коэффициентов искомого
многочлена ц(£). Задавая произвольно значения ао и ai, получаем
все остальные коэффициенты а%, аз, ..., ап. Величины ао и ai
Лекция 3
39
здесь играют роль констант интегрирования дифференциального
уравнения 2-го порядка (11.10). Определим их из условий, кото-
рым должна удовлетворять функция ^(x), следовательно, и v(£).
Одним из них является квадратичная интегрируемость функ-
ции ip(x):
|-гД (re) |2 dx = 1.	(И-13)
Покажем, что это условие выполняется только в том случае, ко-
гда ряд (11.11) содержит конечное количество членов. Для до-
казательства от противного предположим, что ряд (11.11) с ко-
эффициентами, удовлетворяющими условию (11.12), бесконечен.
Поскольку е есть некоторое конечное число, то остаток ряда бу-
дет знакопостоянным и при больших значениях к будет сходиться
к остатку степенного ряда функции
Z =	V	1
Действительно, из (11.12) имеем
afe+2	2	,
—------> — при к оо,
ак к Р
(И-14)
что совпадает с отношением соответствующих коэффициентов ря-
да (11.14). Следовательно,
ц(£)	ехр(£2) при С
/’((j <'xp( -(2J	-<'хр( -( —J J при X ~^> ±00,
т. е. ^(х) не является квадратично интегрируемой. Поэтому кон-
станты интегрирования ад и а\ должны быть выбраны такими,
чтобы ряд (11.11) содержал конечное количество членов.
Пусть ап£п будет последним членом ряда, т. е.
ап 0, ak = 0 при к > п.
(11.15)
В частности, для к = п ± 2 получаем
Пп+2 —
2п + 1 — £
(п ± 1)(п ± 2)а'
40
Раздел 1
откуда
2п + 1 — г = 0,
т. е. для того, чтобы ряд (11.11) был полиномом степени п, необхо-
димо, чтобы собственное значение е удовлетворяло соотношению
£ = 2п + 1.	(11.16)
Согласно (11.15) для к = п + 1 имеем
Пп + 1 = 0*
Отсюда в соответствии с (11.12) и (11.16) следует, что
Пн—1 = 0*
Используя рекуррентное соотношение (11.12), последовательно
получаем: я„_з = 0, ап~5 = 0, ..., яц =0 при нечетном п или
ап_з = 0, ап-5 = 0, ..., ai =0 при четном п. Следовательно,
другим необходимым условием конечности ряда (11.11) является:
ап = 0, если п нечетно,
’	(И-17)
«1 = 0, если п четно.
Нетрудно видеть, что совокупность условий (11.16)и(11.17)
является достаточным условием конечности ряда (11.11), т. е.
квадратичной интегрируемости функции (11.9). Таким образом,
остается одна произвольная константа (яо при четном п и Я1 при
нечетном п). Это находится в соответствии с инвариантностью
решений однородного уравнения (11.6) относительно операции
умножения на произвольное число. Если выбрать ап = 2", то
полином
п
к=0
коэффициенты которого удовлетворяют всем наложенным выше
условиям, совпадает с полиномом Эрмита Нп(£) (см. Дополне-
ние 6).
Итак, наша задача на собственные значения (11.6) имеет ре-
шения
фп(х) = спНп(^} ехр(-Y (11.18)
\Ь/	\ 2\Ь/ /
соответствующие собственным значениям
En = hw(n+^, п = 0, 1, 2, ...	(11.19)
Лекция 3
41
Таким образом, спектр гамильтониана линейного гармониче-
ского осциллятора представляет собой эквидистантную систему
энергетических уровней, причем минимальное значение энергии
есть Eq = hw/2, а расстояние между соседними уровнями рав-
няется Ьш. Нормируя собственные функции Tpn(x/b) на единицу,
получим
сп = (2"//!тг|/26) |/2.	(11.20)
Теперь видно, что, получив уравнение (11.10), мы могли бы
и не проводить дальнейших выкладок, а, сославшись на матема-
тику, сразу записать условие (11.16) и выразить решение этого
хорошо известного в теории специальных функций уравнения че-
рез полиномы Эрмита. В дальнейшем всякий раз, решая задачу на
собственные значения гамильтониана, подобную рассмотренной
сейчас, мы так и будем поступать.
Нормированные волновые функции первых трех стационар-
ных состояний линейного гармонического осциллятора имеют
вид:
’фо(х') = J ехр(—а;2/(2&2)),
V’iW =	ехр(-ж2/(2&2)),
^2(ж) = J—- 1) exp(—ж2/(2&2)).
(И.21)
(11.22)
(11.23)
Отметим, что количество узлов функции ipn (£) есть п, т. е. чем
больше энергия состояния, тем сильнее осциллирует волновая
функция. Графики первых трех функций приведены на рис. 1.
Плотность распределения вероятности обнаружить частицу
в окрестности точки х в соответствии с (1.2) есть рп(х) =
= НпО)|2.
На рис. 2 представлены графики этой функции для п =
= 0, 1, 2, 10.
Найденный набор функций {-фп (х)}g° является ортонорми-
рованным:
(V’nIV’m) = / Фп^Фиг^х) dx = 6пт,
(11.24)
42
Раздел 1
Рис. 1. Волновая функция V’n(C) линейного гармонического осциллятора
при п = 0, 1, 2
Рис. 2. Плотность рп(£) координатного распределения линейного гармо-
нического осциллятора при п = 0, 1, 2, 10
как этого требует общая теорема, доказанная в Дополнении 2.
Правильность этого соотношения легко проверить непосредствен-
но, используя ортонормированность полиномов Эрмита (6). Так-
Лекция 3
43
же можно доказать, что этот набор является полным в простран-
стве 1.‘>, т. е. мы нашли все собственные векторы оператора Н,
а его непрерывный спектр пуст. Условие полноты набора 7'
в соответствии с (1) можно записать в виде
'^^г^п(х)г^г(х/') = 6(х — х').	(11.25)
п=0
Теперь подведем итоги и сравним полученные результаты
с теми, которые были приведены в начале параграфа для класси-
ческого линейного гармонического осциллятора.
1.	В стационарном состоянии полная энергия квантового ос-
циллятора в отличие от классического не может быть произ-
вольной, а «квантуется»; она должна удовлетворять соотноше-
нию (11.19). Энергию hw можно рассматривать как величину
кванта колебаний и считать, что в состоянии с энергией Еп име-
ется п квантов.
2.	Минимальное значение Eq = hw/2 лежит выше минимума
потенциальной энергии V = 0 («нулевые колебания» осциллято-
ра).
3.	Квантовая частица может заходить за классические «точки
поворота» х = ±хп, определяемые условием У(жга) = Еп, т. е.
находиться в тех областях пространства, где движение класси-
ческой частицы с такой же полной энергией запрещено. Однако
вероятность пребывания частицы в этих областях очень быстро
убывает по мере удаления от области, разрешенной для классиче-
ского движения. Классическое движение строго финитно. Что же
касается квантового осциллятора, то его движение можно считать
финитным только условно.
4.	Каждому энергетическому уровню Еп соответствует толь-
ко одно состояние (11.18), т. е. спектр гармонического осциллято-
ра невырожден.
5.	Полином Эрмита Нп (£) при четном значении п содержит
только четные степени аргумента, а при нечетном п — только
нечетные степени. Поэтому все состояния с четными (нечетны-
ми) п описываются четными (нечетными) волновыми функциями.
В следующем параграфе мы специально рассмотрим вопрос
о четности волновой функции. А сейчас остановимся на заключе-
нии, которое сформулировано в пункте 4. Мы покажем, что этот
результат не случаен и в то же время не связан с какими-либо спе-
цифическими особенностями осциллятора. Оказывается, что при
одномерном движении частицы собственные значения гамильто-
ниана невырождены всегда, независимо от вида потенциала V(ж).
44
Раздел 1
Докажем это утверждение от противного.
Допустим, что некоторое собственное значение Е являет-
ся вырожденным и ему соответствуют две линейно независимые
функции Д1(ж) и Д2 (ж):
Д" (яО +	~	= О,
' //- /
Умножим первое уравнение на Д2, второе — на t/Д и из первого
результата вычтем второй; тогда получим
- Д1Д2 = о,
т. е.
d /	d^2\ „
------------^i~T~ = °-
ax \ ax ax /
Следовательно,
- ДхДа = с,
где С — некоторая константа. Для ее определения рассмотрим
предел левой части равенства при |х| —> оо. Поскольку по усло-
вию Е есть точка дискретного спектра, то lim Дх12 = 0, т. е.
С = 0. Следовательно,	|Д->оо
Д2 = Дх ,
откуда
= аД2,
где а — некоторая константа.
Таким образом, t/Д и Д2 линейно зависимы, что противоречит
исходному предположению.
§ 12. Четность состояния
В § 11 мы видели, что волновые функции всех стационарных
состояний линейного гармонического осциллятора имеют опреде-
ленную четность. Покажем, что это свойство присуще всем ста-
ционарным состояниям дискретного спектра любого одномерного
четного гамильтониана
Н(—х) = Н(х).
Лекция 3
45
Введем новый оператор Р — оператор пространственной инвер-
сии, который определен во всем пространстве L> и действует по
правилу
Pt)’(r) =	г),	(12-1)
т. е. он реализует преобразование инверсии (или пространствен-
ного отражения):
х —х, у —у, z —z.
В результате этого преобразования правая переходит в левую и на-
оборот.
Если гамильтониан системы инвариантен относительно этого
преобразования, то
РЯ(г)^(г) = Я(-г)^(-г) = Я(г)^(-г) = Я(г)ЯДг),
т. е.
PH = HP.
Следовательно, в этом случае гамильтониан коммутирует с опе-
ратором инверсии.
Таким образом, если гамильтониан является четной функци-
ей пространственных координат
Я(-г) = Я(г),	(12.2)
то в системе, описываемой этим гамильтонианом, имеется спе-
цифический для квантовой механики интеграл движения — чет-
ность. В дальнейшем мы увидим, что инвариантность гамильто-
ниана системы относительно какого-либо преобразования обоб-
щенных координат всегда связана с существованием для этой си-
стемы некоторого интеграла движения.
Легко проверить, что оператор Р эрмитов. Поэтому его соб-
ственные значения должны быть вещественными. Найдем их:
P^ir) = P^ir),
т. е.
"0( —г) = Р"0(г).
Подействуем на обе части этого равенства оператором Р:
Р'0( —г) = РР"0(г),	"0(г) = Р2,0(г),
т. е. Р2 = 1, Р = ±1.
46
Раздел 1
Таким образом, оператор инверсии имеет два собственных
значения (±1), а все его собственные функции распадаются на
два класса:
1) четные функции c'(r) = ^(r), Р = 1,
2) нечетные функции c'(rj = — V’(r), Р = —1.
Собственные значения оператора инверсии (Р = ±1) называ-
ются четностью. Состояния, описываемые четными (нечетными)
функциями, называются четными (нечетными).
Если гамильтониан системы коммутирует с оператором ин-
версии, то в соответствии с теоремой, приведенной в § 4, суще-
ствует общий полный набор собственных функций этих двух опе-
раторов. Каждое из состояний, описываемых этими функциями,
является либо четным, либо нечетным.
Пусть Е — невырожденное собственное значение четного
гамильтониана:
= Б-0в(г).
Тогда	— тоже собственная функция этого гамильтониана,
принадлежащая тому же собственному значению
Р^Е(г) = PV’e(i’)-
Следовательно, -0в(г) ~ собственная функция оператора инвер-
сии, т. е. она обладает определенной четностью.
§ 13. Осциллирующий волновой пакет
Вернемся к линейному гармоническому осциллятору. В § 11
мы установили свойства его стационарных состояний и обна-
ружили, что, несмотря на принципиальные отличия квантово-
механического описания от классического (квантование энергии
колебаний, возможность проникновения в область, где полная
энергия меньше потенциальной и т. д.), в то же время существует
и определенное сходство в движении квантового и классического
осцилляторов. Продолжим это сопоставление.
В классической механике мы обычно имеем дело со сле-
дующей задачей: в момент времени t = 0 задаются отклонение
ж(0)	./'о и начальный импульс р(0) = ро; требуется найти откло-
нение rc(i) и импульс p(i) в произвольный момент времени t > 0.
Как в квантовой механике сформулировать задачу, аналогичную
этой задаче классической механики?
В силу соотношения неопределенностей задать в начальный
момент определенные значения координаты и импульса нельзя.
Лекция 3
47
В квантовой механике роль начального условия играет задание
волновой функции системы в момент t = 0. Подберем эту волно-
вую функцию таким образом, чтобы при t = 0 средние значения
координаты и импульса осциллятора равнялись заданным значе-
ниям я? о и ро:
x(t = 0) = xq, p(t = 0) = ро,	(13.1)
а неопределенности координаты и импульса были бы минималь-
ными. Возьмем для этого, например, функцию вида
0(ж, t = 0) = — expf— (———'j expf-|poaA, (13.2)
где
b = y/h/pw.	(13.3)
Она нормирована в соответствии с общим правилом (1.3) и, как
легко проверить, удовлетворяет условиям (13.1). Легко вычисля-
ются также дисперсии координаты и импульса:
Dx(t = 0) = b2/2, Dp(t = 0) = rf/Zb2. (13.4)
Отсюда видно, что выбранная волновая функция (13.2) обла-
дает уникальным свойством — она минимизирует соотношение
неопределенностей (5.2):
Дж  Држ = П/2.	(13.5)
Заметим, что это свойство не связано со специальным выбором
параметра в виде (13.3).
Если io 0 или ро 0, состояние с волновой функци-
ей (13.2) не является стационарным и энергия не имеет опреде-
ленного значения (см. упр. 3.11). Такое нестационарное состояние
частицы, довольно четко локализованное в пространстве, являет-
ся примером пространственного волнового пакета.
Как ведет себя с течением времени осциллятор, который в
начальный момент находится в состоянии с волновой функци-
ей (13.2)? Для ответа на этот вопрос надо решить уравнение
Шредингера (6.1) с начальным условием (13.2). Для простоты
положим ро = 0.
В соответствии с (10.3) ищем 'iptx, i) в виде суперпозиции
волновых функций стационарных состояний:
ф(х, t) = y^arat/lra(a;)expf-|Era^,	(13.6)
48
Раздел 1
где согласно (11.18) и (11.20)
сп = (2nn!v^6)“1/2
(13-7)
(13.8)
собственные функции гамильтониана линейного гармонического
осциллятора.
Согласно (10.7) имеем
(13-9)
Для вычисления этого интеграла удобно воспользоваться свой-
ством (Д6.3) производящей функции полиномов Эрмита:
(13.10)
Умножим обе части этого равенства на ехр
1 (х\2_ 1 ( ж—ж0\2\
2\b) 2\ b J J
и проинтегрируем по х. Используя (13.9), получаем
ехр!2А—— А )ехр(—-I —I
\ О /	\	£ \ и /
1 /ж - ж0
2 \ b
dx =
(13.И)
Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, имеет значение
Гк ( 1 (хо\2 , \хо\
V^exp^-^-J +ЛТ/
Разлагая в ряд ехр(Ажр/&) и сравнивая с правой частью равен-
ства (13.11), получаем
(13.12)
Лекция 3
49
Подставляя (13.12)в(13.6)и учитывая, что
с помощью (13.10) окончательно получаем
./1 . . х -'о . ipoV  о Д\
— г + —  — sinwf — - — sm2w£ . (13.13)
\2 b b	4\о /	)J
Найдем средние значения координаты и импульса в этом со-
стоянии:
х(£) = ./'о cosui, p(t) = — xq/jw sinwi.
(13.14)
Мы видим, что в среднем рассматриваемый волновой пакет дви-
жется так же, как классический осциллятор, начинающий движе-
ние из точки х = ;/'о с нулевой скоростью. В отличие от класси-
ческого осциллятора в квантовом случае координата и импульс
в любой момент времени не имеют определенных значений: они
«размазаны» относительно средних значений (13.14) с дисперси-
ями, для которых легко получить следующие значения:
(13.15)
Сравнивая их с (13.4), видим, что дисперсии координаты и им-
пульса осциллятора не зависят от времени. При этом плотность
координатного распределения дается формулой
р(х, t) = //(х, i)|2 = ~у= ехр(— (-—Y (13.16)
Упражнения к лекции 3
3.1.	Сформулировать краевую задачу о нахождении стаци-
онарных состояний дискретного спектра частицы, движущейся в
одномерной потенциальной яме следующего вида:
а)	прямоугольная яма бесконечной глубины,
0 при ж < а/2,
оо при |а; > а/2;
50
Раздел 1
б)	прямоугольная яма с одной бесконечно высокой стенкой,
{сю	при х < 0,
—Vo < 0 при 0 < х < а,
0	при х > а;
в)	«усеченный» гармонический осциллятор с бесконечно вы-
сокой стенкой,
VW = (пр"15
v ' I ах при х > 0;
г) несимметричная прямоугольная яма,
{Vi > 0 при х < 0,
0 при 0 < х < а,
14 > 0 при х > а;
3.2.	В случае (в) упражнения 3.1 найти все стационарные
состояния, воспользовавшись известным решением задачи о ли-
нейном гармоническом осцилляторе.
3.3.	Частица находится в основном состоянии линейно-
го гармонического осциллятора. Найти вероятность пребывания
этой частицы в области, запрещенной для классического движе-
ния.
3.4.	Заряженная частица с зарядом е и массой ц соверша-
ет гармонические колебания вдоль оси х с частотой х>. Найти
стационарные состояния этой системы при наложении внешнего
электростатического поля, имеющего напряженность S и направ-
ленного вдоль оси ж. Сравнить результат с решением соответству-
ющей классической задачи.
3.5.	Используя рекуррентные соотношения (Дополнение 6)
для полиномов Эрмита, вычислить интегралы
У ^(x^XA^mkx^dx, У -0*(ж)рж-0т(ж)^Ж,
где { < ’/.- } о° — волновые функции стационарных состояний линей-
ного гармонического осциллятора.
3.6.	То же для интегралов
Лекция 3
51
3.7.	Вычислить средние значения потенциальной и кинети-
ческой энергий в п-м стационарном состоянии линейного гармо-
нического осциллятора.
3.8.	Проверить выполнение соотношения неопределенно-
стей для координаты и импульса частицы, совершающей линей-
ные гармонические колебания (стационарные состояния).
3.9.	Найти энергетический спектр системы, состоящей из
двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потен-
циальная энергия взаимодействия которых есть V — ах^Х2 (а —
некоторая константа, х± и х? — координаты осцилляторов).
Указание: в уравнении Шредингера разделить перемен-
ные, описывающие относительное движение частиц и движение
их центра масс.
3.10.	Линейный гармонический осциллятор находится при
t = 0 в состоянии 1/(х, 4 = 0) = 2 1 /2(^0 + "01 ) Вычислить ж(4).
3.11.	Найти среднее значение и дисперсию энергии ли-
нейного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
У(л?) =	в состоянии (13.2).
3.12.	Найти среднее значение и дисперсию энергии свобод-
ной частицы в состоянии (13.2).
3.13.	Рассмотреть движение линейного гармонического ос-
циллятора, находящегося при 4 = 0 в состоянии
it \	1	(г п А ( 1 (х ~ жо
wtx) = —, ехр — Рх ехр — - —- 
U } к &
где хо, b, Р — некоторые константы; принять b = у/К/цы. Срав-
нить полученные результаты с аналогичными результатами клас-
сической механики.
3.14.	Доказать соотношение
d^n(x)/dx =	- л/п-йТ'0п+1(^)),
= '/h/‘2pw(Xn + 1-0п+1 (ж) + ynV’n-i^)),
где {V’aJq0 — волновые функции стационарных состояний линей-
ного гармонического осциллятора.
52
Раздел 1
ЛЕКЦИЯ 4
§ 14. Прямоугольная потенциальная яма
(стационарные состояния)
Рассмотрим одномерное движение частицы с массой ц в поле
с потенциальной энергией (рис. 3):
{О	при х < —а/2,	(I)
— Vo < 0 при — а/2 < х < а/2, (II)
О	при х > а/2.	(III)
Здесь за начало отсчета энергии принято значение потенциальной
энергии на бесконечности. Такое поле принято называть прямо-
угольной потенциальной ямой. Одномерная прямоугольная потен-
циальная яма часто используется в качестве первого приближения
Рис. 3. Одномерная прямо-
угольная потенциальная яма
для описания движения частицы в
реальных полях с большим гра-
диентом в отдельных малых обла-
стях пространства. Примером та-
кой ситуации может служить дви-
жение электрона в металлической
пластинке, поскольку внутри метал-
ла движение в первом приближении
может считаться свободным, а на
поверхности металла за счет конеч-
ной работы выхода электрона име-
ется скачок потенциала.
Хорошо видно, что общий ха-
рактер движения классической ча-
стицы в прямоугольной яме суще-
ственно отличается от характера движения классического гар-
монического осциллятора. Движение классического осциллятора
всегда финитно, поскольку при любой полной энергии Е конечны
размеры той области, где Е больше потенциальной энергии. В то
же время характер движения классической частицы в прямоуголь-
ной потенциальной яме (рис. 3) существенно зависит от величины
полной энергии: при Е < 0 движение финитно, а при Е 0 ин-
финитно. Говорят, что при Е < 0 частица находится в связанном
состоянии с энергией связи е = — Е. Энергия связи представляет
Лекция 4
53
собой ту минимальную энергию, которую надо передать частице
для того, чтобы она перешла в состояние инфинитного движения.
Переходя к квантовой механике, сначала рассмотрим стаци-
онарное движение квантовой частицы в прямоугольной потенци-
альной яме, т. е. свойства стационарных состояний.
Итак, наша задача состоит в нахождении решений одномер-
ного стационарного уравнения Шредингера, которые удовлетво-
ряют требованиям квадратичной интегрируемости, непрерывно-
сти и непрерывности производной на всей вещественной оси.
Поскольку гамильтониан нашей задачи является четным,
можно утверждать, что все стационарные состояния дискретно-
го спектра обладают определенной четностью. Используем эту
информацию для упрощения решения задачи.
Ищем решения в интервале энергии — Vq < Е 0. В про-
странственной области (I) стационарное уравнение Шредингера
принимает вид
(12гф(х) 2ц , ,
, 2 7 +	= 0.	(14.1)
Введем обозначение
^Е = —х2 < 0,	(14.2)
/г
тогда
X = |у/2м|^| > Cl-
Общее решение уравнения (14.1) есть
-0(т)(ж) = Ае^х +De~"x.
Для обеспечения квадратичной интегрируемости этой функции во
всей области (I) (—оо < х < —а/2) следует положить D = 0, т. е.
^)И=Ае*х.	(14.3)
Аналогично в области (III) получим
= Се*х.	(14.4)
В области (II) уравнение Шредингера принимает вид
сРгЬ(х) о z ,
—-А- + &2-0(ж) = 0,	(14.5)
ах-
54
Раздел 1
к2 = ^(E + Vo) >0,	(14.6)
/г
т. е.	1 .----------
к = -^\/2ц(Е + Vq) > 0.
Общее решение уравнения (14.5) есть
V’(n)(a;) = cos(fcr) + В2 sin(kx).	(14.7)
Поскольку каждая собственная функция должна быть либо чет-
ной, либо нечетной, только одна из констант Ij\. IE может быть
отлична от нуля в данном состоянии. Таким образом, все стацио-
нарные состояния нашего гамильтониана могут быть разбиты на
два класса:
(А)	состояния положительной четности, для которых IE = 0,
А = С;
(В)	состояния отрицательной четности, для которых В\ = 0,
А = -С.
Теперь мы должны наложить требования непрерывности
функций и их производных в точках разрыва потенциальной энер-
гии х = ±а/2. Эти условия позволяют определить константы
интегрирования.
Произведем «сшивание» для состояний класса (А).
В	точке х = —а/2 получаем
1 ,
Ае 2'a = Bicos^,
и Ае	= кВг sin^.
Отсюда имеем
А = Bie2"acos^,	(14.8)
Bi(fcsin^ - xcos-y) = 0.	(14.9)
Легко проверить, что сшивание в точке х = а/2 с учетом того,
что А = С, приводит к этому же результату.
Мы видим, что система уравнений (14.8) и (14.9) имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда, когда к и и удо-
влетворяют уравнению
к  tg(fca/2) =
(14.10)
Лекция 4
55
Для исследования уравнения (14.10) можно использовать графи-
ческий метод, если заметить, что условие
к2 + х2 = К2,
К = у/2/rVo > о
(14.11)
представляет собой уравнение окружности с центром в точке
(к = 0, и = 0) и с радиусом К. Поскольку нас интересует толь-
ко одна четверть этой окружности (к > 0, х > 0), то уравне-
нию (14.10) соответствует следующий график (рис. 4).
Рис. 4. Графический анализ урав- Рис. 5. Графический анализ уравнения
нения к • tg(fca/2) = х	— к  ctg(fca/2) = х
Мы видим, что уравнение (14.10) имеет хотя бы одно реше-
ние при любых значениях параметров потенциала То и а.
Теперь рассмотрим состояния класса (В). Сшивание в точках
х = =<'/2 приводит к системе уравнений:
1 ,
Ае	= -B2sin^,
хАе	= кВ-2 cos
из которой получаем
7-> I j ка ।	 ка \
_с>2 I к cos — + xsm — 1=0,
a хз	к уса \ 7э  ка
А = -С = —expl — IB2sm—.
56
Раздел 1
Нетривиальное решение этой системы существует тогда и только
тогда, когда выполняется условие
—к  ctg = и.	(14.12)
Уравнению (14.12) соответствует график рис. 5. Видим, что урав-
нение (14.12) имеет решение только при к %/а.
Итак, в каждом интервале (п — 1)тг/а к < птг/а, где п = 1,
2, ..., N, только одно из уравнений (14.10) и (14.12) может иметь
корень, притом единственный. Следовательно, все корни можно
пронумеровать в порядке возрастания их величины:
< к2 ... < kN.
Как было отмечено выше, корень к\ существует всегда. Мак-
симальное количество корней N при данном значении К а опре-
деляется из неравенств
(N - 1)тг/а < К <Nir/a,	(14.13)
т. е.
Ка/-к < N < Ка^ + 1.
Каждому корню кп соответствует, как это видно из (14.6), соб-
ственное значение гамильтониана
Еп = (к?I^k^-V^ п = 1, 2, 3, ..., N. (14.14)
Другими словами, энергия связи частицы в яме принимает лишь
определенные дискретные значения:
£„ = —Еп = Ко - (Й2/2ц)С П = 1,2,3,..., N. (14.15)
Таким образом, все собственные функции, принадлежащие соб-
ственным значениям из интервала
—То < Еп < 0,
могут быть разбиты на два класса:
(А) Собственные функции, принадлежащие собственным
значениям Е\, Е$, Е§, ...:
{Апе*пХ при х < —а/2,
Впcosкпх при — а/2 < ж < а/2,
при х > а/1!,
п = 1, 3, 5, ...,
— Сп — Вп ехр
COS 2
у/ -I1 Ец |.
Лекция 4
57
Все эти функции имеют положительную четность.
(В) Собственные функции, принадлежащие собственным
значениям Е%, Е4, Eq, ..
{Ап(Е"х при х > —а/2,
Вп sin кпх при — а/2 < ж < а/2,
при х > а/2,
п = 2, 4, 6, ...,
Ап = ~Сп = -Впех\)[^ипа,
к
sl" ПГ'
— д ^/2ц|7?п |.
Все эти функции имеют положительную четность.
Заметим, что по мере увеличения энергии состояния увели-
чивается количество узлов волновой функции (можно показать,
что г1>п(х) имеет п — 1 узел).
Естественно, что во всех этих функциях, являющихся реше-
ниями однородного уравнения, остался неопределенным множи-
тель Вп, который получает фиксированное значение, если вос-
пользоваться условием нормировки
|^п(ж)|2 dx = 1.
Нетрудно проверить, что при Е < — Vq наша задача на собствен-
ные значения нетривиальных решений не имеет.
Пусть теперь Е > 0. Тогда во всех трех пространственных
областях получаем в качестве линейно независимых решений си-
нусы и косинусы, которые не являются квадратично интегрируе-
мыми функциями на всей оси х. Такие решения существуют при
любом значении энергии Е > 0. Действительно, в каждой из 3-х
пространственных областей в данном случае имеем по 2 констан-
ты интегрирования, т. е. всего 6 констант. Сшивание функций и
их производных на двух границах накладывает только 4 усло-
вия, и оказывается, что требование непрерывности функции и ее
производной может быть выполнено без ограничения на величи-
ну энергии Е. Следовательно, каждая точка Е > 0 принадлежит
непрерывному спектру нашего гамильтониана; стационарных со-
стояний при Е > 0 нет.
Мы видим, что множество квадратично интегрируемых соб-
ственных функций нашего гамильтониана конечно (в частном
58
Раздел 1
случае оно может сводиться всего к одной функции), а поэто-
му не может быть полным набором в L-j (для получения на-
бора, полного в смысле (2.20), это множество должно быть до-
полнено всеми линейно независимыми функциями непрерывного
спектра).
Сравним результаты квантово-механического рассмотрения
стационарного движения частицы в прямоугольной потенциаль-
ной яме с соответствующими результатами классического рас-
смотрения.
Ясно, что классическая частица с полной энергией — Vq С
Е < 0 может находиться только в области (II) (—а/2 <	а/2),
поскольку в областях (I) и (III) ее полная энергия была бы меньше
потенциальной, что в классической механике невозможно. В обла-
сти (II) классическая частица может двигаться с любым значением
энергии из интервала (—Vb, 0).
Квантовое стационарное дви-
натного распределения для ста-
ционарных состояний частицы в
одномерной прямоугольной по-
тенциальной яме при и = 1, 2, 3
жение частицы в тех же условиях
имеет совершенно другой харак-
тер. Энергия частицы может при-
нимать лишь дискретный ряд зна-
чений (14.14), причем минималь-
ное значение всегда больше ми-
нимума потенциальной энергии
(£11 > — Vo). Волновая функция
любого стационарного состояния
отлична от нуля в областях (I)
и (III), т. е. частица с конечной ве-
роятностью может находиться в
области, запрещенной для класси-
ческого движения. Плотность рас-
пределения координаты частицы
для некоторых стационарных со-
стояний представлена на рис. 6.
Поскольку вероятность нахождения частицы в области, за-
прещенной для классического движения, экспоненциально умень-
шается при |ж| —>• оо, можно условно считать, что частица, находя-
щаяся в стационарном состоянии, совершает финитное движение.
Нетрудно проверить, что вероятность нахождения частицы
в области, запрещенной для классического движения, стремится
к нулю при увеличении энергии связи частицы. Поэтому на грани-
це S бесконечно глубокой потенциальной ямы волновая функция
обращается в нуль:
-0|я = 0.
(14.16)
Лекция 4
59
§15. Импульсное распределение
Пусть Ф (г, 4) — волновая функция некоторого состояния ча-
стицы. Согласно (1.2) она однозначно определяет плотность рас-
пределения координаты частицы в любой момент времени:
р(г, 4) = |Ф(г, 4)|2.	(15.1)
А что можно сказать о других физических величинах в этом со-
стоянии, например, об импульсе частицы? Общее рассмотрение
этого вопроса было проведено в лекции 1. Здесь мы воспользу-
емся полученными там результатами.
В классической механике в любой момент времени 4 мож-
но указать как координату частицы г(4), так и ее импульс р(4).
В квантовой же механике, как мы видели в §§4,5, такое опи-
сание состояния принципиально невозможно. Действительно, из
соотношения неопределенностей (5.2) для координаты и импульса
непосредственно видно, что не существует состояний, в которых
координата или импульс имели бы определенные значения. Более
того, не существует и таких состояний, в которых неопределенно-
сти координаты и импульса одновременно были бы сколь угодно
малы. Поэтому в квантовой механике даже невозможно ввести
понятие совместного распределения г и р, поскольку операто-
ры этих величин не коммутируют. Следовательно, в квантовой
механике не имеет смысла вопрос о вероятности того, что им-
пульс частицы примет значение из бесконечно малой окрестности
некоторой точки р при условии, что координата имеет значение,
лежащее в бесконечно малой окрестности точки г. Можно гово-
рить только о вероятностях тех или иных значений координаты
(импульса) безотносительно к тому, каковы значения импульса
(координаты).
Координатное распределение дается формулой (15.1). Най-
дем импульсное распределение в том же состоянии Ф(г, 4).
Для этого мы можем воспользоваться основными соотношени-
ями (2.24) и (2.25), но сперва надо найти собственные функции
(обобщенные собственные функции) оператора импульса р.
Поскольку состояний с определенным значением импульса
не существует, сразу можно утверждать, что дискретный спектр
оператора импульса пуст. Для нахождения непрерывного спектра
и обобщенных собственных функций надо в соответствии с (2.15)
найти все решения уравнения
Р^р(г) = pV’p(r),
(15.2)
60
Раздел 1
где
р = —ihV.	(15-3)
Нетрудно проверить, что это уравнение имеет при любом
вещественном значении р одно и только одно решение
V’p(r) = Сехр^рг),	(15.4)
где С — произвольная константа. Это значит, что спектр оператора
импульса частицы занимает всю вещественную ось.
Функция V’p(r) не является квадратично интегрируемой и
согласно § 1 не может описывать какое-либо реальное состояние
частицы. Действительно,
IV’p(r)!2 = |С|2,
т. е. плотность вероятности обнаружить частицу в окрестности
любой точки бесконечного пространства имела бы в этом состоя-
нии одно и то же значение. Нелепость этого свойства с физической
точки зрения указывает на невозможность реализации такого со-
стояния. Однако совокупность функций {'.’p(rj} для всевозмож-
ных значений р является полным набором и может быть исполь-
зована для разложения произвольной квадратично интегрируемой
функции.
Воспользуемся критерием полноты (2.19) для определения
нормировочной константы С функции с’р(г):
У ^р(г)^р(г')^3Р = <Нг-р')-	(15-5)
Подставляя сюда (15.4), получаем
С|2 У ехр(^р(г — г')) d3p = 5(г — г'),
откуда, воспользовавшись равенством (Д4.6)
5(г — г') = (2tt/z) 3 у ехр(^р(г — г')) с!3р,
находим
С = (2тгЙ)~3/2.
Таким образом,
V’p(r) = (2тг/а) 3/2<'xp^prj	(15.6)
Лекция 4
61
есть обобщенная собственная функция оператора импульса ча-
стицы, нормировка которой определяется соотношением (15.5).
Легко видеть, что эта функция удовлетворяет также обобщенно-
му условию ортонормированности (2.17)
У'с(г)^р'(г)сг3г = <5(р_р/)-	(15-7)
Найденные обобщенные собственные функции {t/lp(r)} позво-
ляют найти распределение импульса частицы в любом состоя-
нии Ф(г, t). Согласно (2.25) плотность импульсного распределе-
ния в точке р в момент времени t есть
р(р, t) = |«(Р, i)|2,	(15.8)
где
а(р, £) = (-0Р|Ф) = (2тгЙ)~3/2 У е ^рГф(г, t) d.3r.	(15.9)
Функция а(р, t) полностью определяет импульсное распреде-
ление в данном состоянии. Ее можно назвать амплитудой им-
пульсного распределения аналогично тому, что волновую функ-
цию Ф(г, t) называют амплитудой координатного распределения
в данном состоянии.
Поскольку координатное распределение нормировано на еди-
ницу (||Ф|| = 1), то, как легко проверить,
У р(р, t) d3p = У а(р, 7)|2 d3p = 1,	(15.10)
т. е. импульсное распределение тоже нормировано на единицу.
В частном случае, когда Ф(г, t) есть волновая функция ста-
ционарного состояния, согласно (9.4) и (15.9) имеем
p(p,t) = p(p,t = 0),	(15.11)
т. е. плотность импульсного распределения не зависит от време-
ни, что находится в полном соответствии с общим утверждени-
ем (9.6) о сохранении в стационарном состоянии распределения
любой физической величины, оператор которой не зависит явно
от времени.
Отметим, что при |р| оо плотность импульсного распре-
деления в любом состоянии стремится к нулю, потому что в ин-
теграле (15.9) имеется осциллирующая знакопеременная функция
62
Раздел 1
ехр(—j^pr), период осцилляций которой стремится к нулю при
увеличении |р|.
В качестве примера рассмотрим импульсное распределение
в стационарном состоянии движения частицы в одномерной пря-
моугольной потенциальной яме, причем для простоты будем счи-
тать, что глубина ямы бесконечна:
{оо
О
оо
при х О,
при 0 < х < а,
при х а.
(15.12)
Е > О,
Для нахождения стационарных состояний надо решить кра-
евую задачу:
Я2 d2tb(x) , ,
~х~ , 2 = Е'ф(х), 0 <х
dx
^(0) = V’(a) = 0.
Здесь было использовано граничное условие (14.16). Решение
этой задачи (см. упражнение 4.7) имеет вид
= О	sin//,,.г:	кп =
(15.13)
(15.14)
Z/2//2
Е,,-—^: п = 1, 2, 3, ...
2р
Для амплитуды импульсного распределения в стационарном со-
стоянии фп согласно (15.9) получаем
а
ап(р) = (27г/1)_1/2 е ^PX/i^n{x)dx =
о
а
= (тгйа)-1/2 У е ^-РХ sin(jE^x^ dx. (15.15)
о
В частности, для основного состояния т/д имеем
щ(р) =
sj'nal’h
тг2—a2p2/7z2
ар	ар\
1+ cos — —г sin — ,
п	nJ
4тга со82(ар/2П)
П (тг2 — а2р2/К2У
(15.16)
(15.17)
I«i(p)|2
Лекция 4
63
Сравним форму импульсно-
го распределения (15.17) с фор-
мой координатного распределе-
ния в этом же состоянии:
I’M23) а sin ах, (Is is)
О < х < а.
К(р)]2
2тгН 0 2тгЬ
а а
Рис. 7. Импульсное и координат-
ное распределения для основного
состояния частицы в бесконечно
глубокой прямоугольной яме ши-
риной а (сплошные кривые) и а/2
(пунктирные кривые)
Оба распределения изображены
на рис. 7. Мы видим, что ши-
рина координатного распреде-
ления характеризуется величи-
ной а, а ширина импульсно-
го — величиной h/a. Поэтому
при уменьшении ширины ямы а координатное распределение ста-
новится уже, а импульсное — шире. Этот результат, конечно, со-
гласуется с соотношением неопределенностей (5.2) для координа-
ты и импульса.
§ 16. Свободное движение частицы
Свободная частица, движущаяся в отсутствие каких-либо
внешних полей, является простейшей физической системой. Од-
нако в математическом отношении задача о движении квантовой
свободной частицы несколько сложнее, чем рассмотренные выше
задачи о движении частицы в поле гармонического осциллятора
и прямоугольной потенциальной ямы.
В классической механике частица, на которую не действуют
внешние силы, движется с постоянной скоростью, а ее траектория
представляет собой прямую линию. В квантовой механике дви-
жение свободной частицы описывается уравнением Шредингера
с гамильтонианом, который сводится к оператору кинетической
энергии частицы
(16.1)
Начнем со стационарного уравнения Шредингера для свободной
частицы
-(|) VM(r) = Е^е^-
(16.2)
64
Раздел 1
Прежде чем решать это уравнение, рассмотрим вопрос об инте-
гралах движения в рассматриваемой системе. Легко проверить,
что оператор импульса частицы р, оператор квадрата ее момента
количества движения L2 и все три оператора проекций момен-
та {Ьг}1 коммутируют с гамильтонианом (16.1):
[рг, Но] = 0; [Ьг, Но] = 0; [L2, Но] = 0.
Следовательно, каждая из этих физических величин сохраня-
ется при свободном движении частицы. Согласно теореме о ком-
мутирующих операторах (§ 4) коммутативность некоторого опера-
тора с гамильтонианом Н означает, что существует общий полный
набор собственных функций и обобщенных собственных функций
гамильтониана Н и этого оператора. Заметим, однако, что не все
эти операторы р, L, L2 коммутируют друг с другом:
[рг, Lk] ф 0 при г к, [pt, L2]	0
(см. упражнение 1.7).
Следовательно, не существует совместного распределения
Е, р и L или Е, р и L2. Наоборот, для Е, L2 и Li существу-
ет общий полный набор собственных состояний, но они не яв-
ляются собственными состояниями оператора импульса р. Таким
образом, существует несколько различных полных наборов соб-
ственных функций и обобщенных собственных функций гамиль-
тониана, описывающего свободное движение частицы: а) Е, р,
б) Е, pz, Lz и т. д.
Начнем с нахождения общих собственных функций Но и р.
Эти функции "0е,р(г) должны одновременно удовлетворять сле-
дующим уравнениям:
-(l0V2^’P(r) = ^,р(г),	(16-3)
-г^^в,р(г) = Р^в,р(г),	(16.4)
где Е и р = {рх, ру, pz} — точки спектров операторов энергии и
импульса.
Решение уравнения (16.4) согласно (15.6) есть
^Чр(г) = ('2тг//) :!/2<'xpQprj.	(16.5)
Лекция 4
65
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет также уравне-
нию (16.3), если положить
Е = р2/2ц.	(16.6)
Следовательно, общее решение уравнений (16.3) и (16.4) суще-
ствует при любом значении р и дается формулой (16.5). Соответ-
ствующее значение энергии Е однозначно определяется импуль-
сом р по формуле (16.6), а поэтому энергия и импульс при сво-
бодном движении не являются независимыми величинами. В § 4
было введено понятие полного набора физических величин. Мы
видим, что при свободном движении частицы одним из возмож-
ных полных наборов является совокупность трех компонент им-
пульса р = {рх, ру, pz}. В дальнейшем индекс Е в формуле (16.5)
будем опускать, поскольку он является лишним.
Итак, уравнения (16.3) и (16.4) имеют решение в виде функ-
ции (16.5), которая не является квадратично интегрируемой. Дис-
кретный спектр операторов EIq и р пуст, и не существует ни
одного состояния свободного движения, в котором энергия и им-
пульс имели бы определенные значения. Другими словами, стаци-
онарных состояний свободного движения нет. Подставляя (16.5)
в (9.4), получаем решение временного уравнения Шрединге-
ра (6.1) в виде
Фр(г, t) = ^р(г)е ^/;/	(27г/а) 3/2<'xp^j-(pr E/jj. (16.7)
Если ввести обозначения
1 Р	Е
к=й,	(16.8)
то (16.7) примет вид
Фр(г, t) = Сехр(г(кг — cut)).	(16.9)
Такая функция широко используется в классической физике для
описания монохроматической плоской волны с частотой <д, рас-
пространяющейся в направлении волнового вектора к. По ана-
логии функция (16.7), соответствующая движению свободной ча-
стицы, называется плоской волной, а величины к их называются
волновым вектором и частотой этой плоской волны. Соотноше-
ния (16.8), устанавливающие связь между волновыми и корпус-
кулярными характеристиками частицы, называются соотношени-
ями де Бройля.
66
Раздел 1
Теперь рассмотрим задачу о свободном движении частицы в
той же постановке, в которой мы рассмотрели в § 13 движение
квантового осциллятора. Для этого необходимо задать волновую
функцию частицы в начальный момент времени, а дальнейшая
эволюция состояния определяется временным уравнением Шре-
дингера (6.1). Для простоты рассмотрим одномерное движение
вдоль оси х с начальным условием
^(a:, t = 0) =
(ж-ж0)2\
-^^)ехЛьРоХ.
(16.10)
Согласно (13.1) и (13.4) средние значения и дисперсии координаты
и импульса в этом состоянии есть
X = Xq,
Dx
Р = Ро,
D =^~
Р 2Ь2'
(16.11)
(16.12)
&
2 ’
Для нахождения функции ф(х, I) при t > 0 воспользуемся
методом функции Грина, изложенным в § 10. В нашем случае
согласно (16.6)
а функция Грина (10.10) принимает вид
G(x, х',
 п2 
где согласно (15.6)
0р(а:) = (2тгЙ) х^2ехр
(16.13)
В результате интегрирования получаем
с-х')2
2ht
G(x, х', i) =
(16.14)
Согласно (10.11) волновая функция рассматриваемого состояния
при t > 0 есть
^(х, i) = / G(x, х', t)iKx'0) dx'.
Лекция 4
67
Подставляя сюда (16.14) и (16.10), получаем
тДх, t) = [7Г&2(1 + h2t2/д2&4)]~1/4х
г (х-х0-p0t/p)2	2 ip& i I
Х eXPl~2^(l + tf^W)(1 M/t‘b 1 -2/Л + лЧ 
(16.15)
Найдем средние значения координаты и импульса в этом состоя-
x(t)=x0 + ^t,	p(t)=p0.	(16.16)
Мы видим, что «в среднем» свободная квантовая частица
движется так же, как классическая, начинающая движение из точ-
ки х = ./'о с импульсом ро. Однако в квантовом случае в заданный
момент t координата частицы не имеет определенного значения:
она «размазана» вокруг точки x(t) с дисперсией
г.2 /	г.2.2 х
4 V	/Гб4/
(16.17)
которая с течением времени увеличивается. При этом плотность
координатного распределения есть
4) =	i)|2 = (27ГДД4)) 1/2 ехр), (16.18)
т. е. волновой пакет (16.15), описывающий состояние свободного
движения частицы, «расплывается» с течением времени. Скорость
этого расплывания можно характеризовать временем т, в течение
которого первоначальная (при 4 = 0) дисперсия координаты Dx =
= b2/2 удваивается:
pb2
h
(16.19)
Мы видим, что чем меньше первоначальная неопределенность
координаты, тем быстрее происходит расплывание пакета. Это
явление не имеет аналога в классической механике, поскольку
размеры области локализации классической корпускулы в дан-
ный момент времени полностью определяются ее собственными
размерами и не зависят от времени.
Дисперсия импульса в состоянии (16.15) есть
D - 2d
Р~ 2Ь2'
(16.20)
68
Раздел 1
Она, как и р, не зависит от времени, что и должно быть для
интеграла движения.
Если область первоначальной локализации частицы очень ве-
лика (Ь —> оо), расплывание пакета происходит настолько медлен-
но, что в течение большого промежутка времени не происходит
заметного изменения дисперсии Dx, причем Dp 0. Следова-
тельно, в этом случае свободное движение частицы очень похоже
на распространение монохроматической плоской волны. Увели-
чивая Ь, можно сколь угодно приближаться к состоянию плоской
волны, однако состояние с Dp = 0 не может быть реализовано ни-
когда. Заметим, что дисперсия координаты Dx(t) согласно (16.17)
не зависит от среднего импульса частицы ро. Поэтому рассмот-
ренная картина расплывания пакета имеет место и в том случае,
когда частица в среднем покоится (p(t) = 0, x(t) = жо).
§17. Инфинитное движение в поле прямоугольной
потенциальной ямы
В § 14 мы показали, что стационарное движение квантовой
частицы в прямоугольной потенциальной яме возможно только
в некоторых специальных состояниях при определенных отрица-
тельных значениях полной энергии. При этом движение всегда
финитно.
Все другие состояния являются нестационарными. В зави-
симости от начальных условий движение может быть как фи-
нитным, так и инфинитным. В качестве примера инфинитного
движения рассмотрим движение частицы, начальное состояние
которой при t = 0 задается волновой функцией (16.10), причем
будем считать, что координата xq, определяющая исходное поло-
жение частицы, лежит далеко вне ямы слева от нее.
Эволюция состояния полностью определяется уравнением
Шредингера и начальным условием:
dt^(x, t)
ih----------
ti2 д2ф
дх2
0) =
/ (ж-я;о)2\ /i
eXPV-----У?---' ехр(^-рож
(17.1)
+ V(x)t^,
В данном случае задача оказывается достаточно сложной и не
может быть решена аналитически. Поэтому мы рассмотрим ре-
зультаты численного решения задачи (17.1) для некоторых харак-
Лекция 4
69
терных моментов времени. На рис. 8 изображена плотность коор-
динатного распределения р(х, t) =	i)|2 для этих моментов
времени.
Рис. 8. Инфинитное движение частицы в поле прямоугольной потенци-
альной ямы
При ро > 0 частица начинает двигаться, приближаясь к по-
тенциальной яме. В интервале 0 < t < Н происходит свободное
движение волнового пакета. При этом в соответствии с § 16 про-
исходит его «расплывание». При t = И пакет входит в область
взаимодействия. В результате взаимодействия к моменту t =
пакет «раздваивается»: одна его часть продолжает движение в
первоначальном направлении, а другая испытывает «отражение».
Подчеркнем, что как прошедший, так и отраженный пакеты соот-
ветствуют состоянию одной и той же частицы, т. е. частица как бы
«размазывается» по обоим пакетам. К моменту t = t$ оба пакета
настолько далеко находятся от области взаимодействия, что могут
считаться свободными.
Вероятность того, что частица окажется в отраженном паке-
те, называется коэффициентом отражения R. Вероятность ока-
заться в другом пакете называется коэффициентом прохожде-
70
Раздел 1
ния Т. Из условия нормировки волновой функции на единицу
имеем
R + T = l.	(17.2)
При фиксированной ширине ямы соотношение между R и Т за-
висит от отношения средней энергии частицы к глубине ямы:
при возрастании этого отношения коэффициент Т увеличивается,
стремясь к единице. Отметим, что при движении классической
частицы с положительной энергией всегда Т = 1, т. е. нет класси-
ческого аналога явлению отражения квантовой частицы.
§ 18. Импульсное представление. Эквивалентность
импульсного и координатного представлений.
Уравнение Шредингера в импульсном
представлении
В § 15 при нахождении импульсного распределения в состо-
янии Ф(г, t) мы ввели функцию а(р, t), которую назвали ампли-
тудой импульсного распределения. Согласно (15.9) она связана
с функцией Ф(г, t) преобразованием Фурье, которое устанавли-
вает взаимно однозначное соответствие этих двух функций. При
этом в силу (15.10) обе функции нормированы на единицу. Сле-
довательно, а(р, i) и Ф(г, t) дают эквивалентное описание за-
данного состояния физической системы. Поэтому а(р, t) назы-
вают волновой функцией состояния в импульсном представлении
(р-представление), а Ф(г, t) — волновой функцией того же состо-
яния в координатном представлении (^-представление).
Итак, с помощью преобразования Фурье мы можем все функ-
ции пространства состояний L?, заданные в координатном пред-
ставлении, перевести в импульсное представление. При этом пре-
образовании сохраняется квадратичная интегрируемость функ-
ций. Поэтому множество всех функций в р-представлении тоже
является пространством L^,- Действительно, изменение представ-
ления эквивалентно использованию другого набора динамических
переменных, а их явный вид при определении пространства 1.л
не существен.
При изменении представления изменяется вид операторов.
Обозначим через эрмитов оператор некоторой физической
величины F в координатном представлении, а через F''1’1 — опе-
ратор этой же величины в импульсном представлении. Найдем
связь между ними.
Лекция 4
71
Согласно (15.9) волновой функции Ф(г, 4) некоторого состоя-
ния в ^-представлении ставится в соответствие волновая функция
в р-представлении:
«(р, t) = (-0р(г)|Ф(г, 4)),	(18.1)
где согласно (15.6)
t/lp(r) = (2тгЙ)-3/2 ехр(-|рг)	(18.2)
есть нормированная в соответствии с условием полноты обобщен-
ная собственная функция оператора импульса частицы в ж-пред-
ставлении. Теперь рассмотрим функцию тДж)ф(г, 4), заданную в
ж-представлении. В р-представлении ей соответствует некоторая
функция
А(р, 4) = (1)р(г)|.Г(з:1Ф(г, £)) = (-^(а:)^р(г)|Ф(г, £))• (18.3)
Мы воспользовались здесь общим определением (18.1) и свой-
ством (Д2.6) эрмитова оператора. В силу взаимно однозначной
связи функций одного и того же состояния в х- и р-представлени-
ях действие оператора F^ на функцию а(р, 4) должно приводить
к той же функции А(р, 4), т. е.
F(p)a(p, 4) = А(р, 4).	(18.4)
Подставляя сюда (18.1) и (18.3), получаем соотношение
Г^Р(г)|Ф(г, 4)) = (Г^Р(г)|Ф(г, t\),	(18.5)
устанавливающее связь между операторами F^ и Гь-'.
Найдем явный вид оператора pf/'’ импульса в импульсном
представлении. В координатном представлении для оператора им-
пульса имеем
р^^р(г) = — 4/jVr(27r7z)-3/2 ехр(^рг) = р^р(г).
Подставляя это соотношение в (18.5) и используя (18.1), получаем
р^а(р, 4) = ра(р, 4).	(18.6)
72
Раздел 1
Поскольку это равенство выполняется для произвольной функ-
ции а(р, 4), получаем
р(р)=р,	(18.7)
т. е. действие оператора импульса на любую функцию в р-пред-
ставлении сводится к умножению ее на независимую переменную
в этом представлении р.
Далее найдем явный вид оператора координаты в им-
пульсном представлении. В координатном представлении для опе-
ратора координаты имеем
3	3
г^^р(г) = г(2тг/г) 2 exp^prj = —z/zVp(27r/z) 2 exp^prj,
т. е.
r(l)!)p(r) = -'iWpV’p(r).
Подставим это соотношение в (18.5), используя (18.1):
r^a(p, 4) = ((—гЙ\7р'г/’р(г))|Ф(г, 4)) = гЙХ7ра(р, 4),	(18.8)
откуда находим
iWp.	(18.9)
Следовательно, действие оператора координаты на любую функ-
цию в р-представлении сводится к дифференцированию по неза-
висимой переменной р и умножению на константу ih.
Легко проверить, что найденные операторы pf/'> и rf/;l удо-
влетворяют перестановочному соотношению (3.5).
Теперь рассмотрим важный вопрос о соотношении импульс-
ного и координатного представлений. На первый взгляд кажет-
ся, что имеется асимметрия во введении понятий х- и р-пред-
ставлений. Действительно, согласно (18.1) волновая функция в
р-представлении вводится через скалярное произведение волно-
вой функции состояния (в координатном представлении) и обоб-
щенной собственной функции оператора импульса ^>р(г) (тоже
в координатном представлении). В то же время волновая функ-
ция состояния в ^-представлении вводилась у нас как первичное
понятие. На самом деле никакой асимметрии нет, поскольку вол-
новая функция в ^-представлении тоже может быть представлена
в виде скалярного произведения, содержащего обобщенную соб-
ственную функцию оператора координаты.
Найдем обобщенные собственные функции оператора коор-
динаты:
эде) = Р^(е)	(18.Ю)
Лекция 4
73
Проще всего это уравнение решается в импульсном представле-
нии. Используя (18.9), записываем его в виде
iWpV’p(p) = pV’p(p)-	(18.11)
Сравнивая это уравнение с уравнением (15.2), видим, что они от-
личаются только обозначением независимой переменной и знаком
перед мнимой единицей. Поэтому аналогично (15.6) получаем
^р(р) = (2тгЛ) 3/2 ехр(-|рр).	(18.12)
Это есть нормированная в соответствии с условием полноты обоб-
щенная собственная функция оператора координаты в импульс-
ном представлении, соответствующая точке непрерывного спек-
тра г = р. Конечно, найденное решение не может описывать
какое-либо реальное состояние, что находится в полном соответ-
ствии с тем, что не существует ни одного состояния с определен-
ным значением координаты (см. § 5).
С помощью (18.1) можно легко перевести функцию (18.12)
в координатное представление:
^р(г) = J(r-p).	(18.13)
Это есть нормированная в соответствии с условием полноты обоб-
щенная собственная функция оператора координаты в координат-
ном представлении. Нетрудно видеть, что она удовлетворяет усло-
вию (2.17) ортонормированности функций непрерывного спектра:
У	= <5(Р~р')-	(18.14)
Согласно (Д4.12) для произвольной функции Ф(г, 4) можем на-
писать
Ф(р, 4) = У ?/4*(г)Ф(г, 4) <43г.	(18.15)
Это значит, что любая волновая функция в координатном
представлении всегда может быть представлена в виде скалярно-
го произведения типа (18.1) с обобщенной собственной функцией
оператора координаты.
Конечно, в этом скалярном произведении обе функции долж-
ны быть взяты в одном и том же представлении. В данном случае
это ^-представление. Покажем, что при переходе к импульсному
74
Раздел 1
представлению результат не изменится. Волновая функция со-
стояния в р-представлении дается формулой (18.1). Найдем ска-
лярное произведение этой функции с обобщенной собственной
функцией оператора координаты в р-представлении:
Щр)|а(р, t)) = у ^(рПр, i)d3p.
Подставляя сюда (18.12) и (18.1), находим
(V’p(p)la(p, Z)) = Ф(р, Z).	(18.16)
Сравнивая этот результат с (18.15), видим, что скалярное произ-
ведение действительно не зависит от выбора представления.
Таким образом, координатное и импульсное представления
эквивалентны как с точки зрения описания состояний физических
систем, так и в отношении структуры соответствующих матема-
тических выражений.
Теперь займемся важной задачей преобразования уравнения
Шредингера из координатного представления в импульсное. Ес-
ли гамильтониан частицы в координатном представлении имеет
ВИД (8.1)
=р2/2ц + У(г), p = -?/lVr,	(18.17)
то в импульсном представлении согласно (18.7) и (18.9) он может
быть записан так:
Я(р) = р2/2ц + Н(Т^),	= ifiVp. (18.18)
Здесь V (г) является операторной функцией, и ее действие
на произвольную волновую функцию а(р, i) в импульсном пред-
ставлении определяется соотношением (Д3.6). Для записи его в
явном виде мы должны взять в качестве функций Х/(С) обоб-
щенные собственные функции V’p(p) оператора координаты
в импульсном представлении. Тогда получаем
У(?(р))а(р, i) = У^ЫрЭНр', i))V(p)-0p(p)d3p.
Подставляя сюда V’p(p) из (18.12), находим
V(r^)a(p, t) = [ ИДр' - р)а(р', t) d3p',	(18.19)
Лекция 4
75
где
ТП(р'-р) = (27ГЙ)~3У V(r)expQ(p' -p)r) d3r (18.20)
есть оператор потенциальной энергии в импульсном представле-
нии. Он получается из оператора V (г) потенциальной энергии в
координатном представлении с помощью преобразования Фурье.
Мы видим, что этот оператор является линейным интегральным
оператором. Он зависит от двух независимых переменных р и р7.
Такие потенциалы называются нелокальными в отличие от локаль-
ных потенциалов, являющихся функциями одной независимой пе-
ременной.
Мы видим, что в ж-представлении оператор потенциальной
энергии V(г) является локальным, а в импульсном представлении
становится нелокальным.
Рассмотрим сферически симметричный потенциал У (г) =
= V( |г |). В этом случае интегрирование по угловым переменным
в (18.20) легко выполняется, если полярную ось сферической си-
стемы координат направить по вектору
q = j(p'- р)-	<18-21)
Получаем
W-P) = HZ3 Jv^^rdr,	(18.22)
о
т. е. в этом случае W не зависит от направления вектора q.
Важный частный случай:
V(r) = Ал Л.	(18.23)
где А и и — некоторые константы, причем х 0. Подстав-
ляя (18.23) в (18.22), получаем
W - р) = А.2 о --------------Л- (18.24)
2тГЙ hA + (р7 - р)2
Если потенциал V(r) представим в виде ряда Тейлора, то
нет необходимости пользоваться общей формулой (18.20). Зна-
чительно проще воспользоваться формулой (3) для операторной
76
Раздел 1
функции и записать потенциал в ^-представлении. Сделаем это
для частного случая потенциала осциллятора:
V(г) = const г2.
(18.25)
В ^-представлении он принимает вид
У(г(р)) = const (р(р))2; r^=ihVp. (18.26)
Таким образом, если потенциал в ^-представлении может быть
разложен в ряд Тейлора, то в р-представлении он может быть
представлен в виде дифференциального оператора.
В общем случае потенциал взаимодействия в импульсном
представлении дается формулой (18.20), а уравнение Шрединге-
ра (7.1) в этом представлении принимает вид
Эа(р, t)	р2
in—
dt	2/г
— р)а(р', t) d3p'.	(18.27)
Следовательно, в импульсном представлении уравнение Шредин-
гера в общем случае является интегродифференциальным урав-
нением. В частном случае потенциала (18.25) оно может быть
представлено в виде дифференциального уравнения.
Уравнение Шредингера в р-представлении, конечно, экви-
валентно уравнению Шредингера в ^-представлении, поскольку
одно получается из другого преобразованием Фурье. Однако в
некоторых случаях уравнение в р-представлении решается про-
ще, и этим широко пользуются в практических расчетах.
Упражнения к лекции 4
4.1.	Найти распределение импульса частицы в основном
состоянии линейного гармонического осциллятора.
4.2.	Найти распределение импульса электрона в основном
состоянии атома водорода (см. упражнение 1.6).
4.3.	Записать гамильтониан линейного гармонического ос-
циллятора в импульсном представлении.
4.4.	Найти общее решение стационарного уравнения Шре-
дингера для линейного гармонического осциллятора в импульс-
ном представлении, воспользовавшись известным решением в ко-
ординатном представлении. Получить тот же результат, решая
непосредственно уравнение Шредингера в импульсном представ-
лении.
Лекция 5
77
4.5.	Записать волновую функцию свободной частицы в им-
пульсном представлении.
4.6.	Получить приближенное выражение для энергии свя-
зи частицы с массой ц в одномерной прямоугольной яме конеч-
ной глубины Vq, если ширина ямы а удовлетворяет соотношению
а //(2//li| )-1/2. Оценить вероятность пребывания частицы вну-
три и вне ямы.
4.7.	Проверить выполнение соотношения неопределенно-
стей для координаты и импульса частицы, движущейся в одно-
мерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.
4.8.	Показать, что все точки непрерывного спектра при дви-
жении частицы в одномерной прямоугольной яме с одной беско-
нечно высокой стенкой невырождены.
4.9.	Показать, что плоская волна (16.5) является обобщенной
собственной функцией оператора Lz и принадлежит собственно-
му значению Lz = 0, если ось z направлена по вектору р.
4.10.	Записать кулоновский потенциал V(r) = в им-
пульсном представлении.
ЛЕКЦИЯ 5
§ 19. Эквивалентные представления
В § 18 мы показали, как преобразуются волновые функции
и операторы, если вместо пространственной координаты части-
цы г взять в качестве независимой переменной ее импульс р. Мы
видели, что волновые функции подвергаются при этом преобра-
зованию Фурье (18.1), которое является линейным и сохраняет
нормировку волновой функции (см. (15.10)).
Теперь рассмотрим случай перехода от исходного к некоторо-
му произвольному представлению. Обозначим через S линейный
оператор соответствующего преобразования волновых функций.
Пусть — волновая функция некоторого состояния в исходном
представлении, тогда волновая функция этого же состояния в дру-
гом представлении есть
= S-ф.
(19.1)
78
Раздел 1
Нормировка волновой функции не должна зависеть от выбора
представления, т. е.
(S^) = Ш),	(19.2)
ИЛИ
(s+S0|0) = И#
Отсюда следует, что оператор S должен удовлетворять усло-
вию
S + S = I,	(19.3)
т. е. должен быть унитарным (2).
Покажем, что скалярное произведение любых двух векто-
ров 01 и 02 является инвариантом при изменении представления.
Имеем
01 = S01, -02 = S02,
<01102> = (S01|S02) = (01|S+S02) = (00 020
t. e.
МШ = (00020	(19.4)
Пусть теперь F — некоторый линейный оператор в исходном пред-
ставлении, a F' — соответствующий оператор в новом представ-
лении. Выразим их друг через друга. Для этого допустим, что
оператор F переводит произвольную функцию 01 в функцию 02,
т. е.
02 = W1-	(19.5)
Тогда F' должен переводить 0( в 00 т. е.
01=^00	(19.6)
Используя (19.1), получаем
S02 = P'S01.
Умножим обе части этого равенства слева на S+ и учтем условие
унитарности (19.3); тогда получим
02 = S + F'S0i.
Лекция 5
79
Сравнивая это выражение с (19.5), получаем
F = S + F'S.	(19.7)
Умножая обе части этого равенства слева на S, а справа на S+,
получаем
F' = SFS+.	(19.8)
Формулы (19.7) и (19.8) устанавливают связь между различными
представлениями оператора некоторой физической величины F.
Итак, при изменении представления волновые функции, опи-
сывающие различные состояния системы, подвергаются унитар-
ному преобразованию (19.1). Одновременно по закону (19.7) пре-
образуются операторы всех физических величин.
Важно отметить, что при изменении представления все ал-
гебраические соотношения между операторами остаются неиз-
менными. Пусть, например, в одном представлении имеет место
равенство
АВ = С.
Тогда в другом представлении левая часть принимает вид
А'В' = SAS+  SBS+ = SA(S+S')BS+ = S(AB')S+ = SCS+,
что равно правой части в этом же представлении, т. е.
А'В' = С'.
Поэтому, например, все коммутационные соотношения име-
ют один и тот же вид во всех представлениях.
Теперь убедимся в том, что все физические характеристики
состояний инвариантны относительно любого унитарного преоб-
разования векторов и операторов. Действительно, все физические
величины и их распределения могут быть представлены в ви-
де скалярных произведений некоторых векторов, которые в си-
лу (19.4) не зависят от выбора представления.
В качестве примера рассмотрим среднее значение некоторой
величины F в состоянии ip:
F = {ip'\F'\iP') = {Sip\SFS+\Sip) =
= {Sip\SFip) = (ifpS+SFip') = {ip\F\ip),
t. e.

80
Раздел 1
Следовательно, все представления, связанные друг с другом уни-
тарными преобразованиями, являются эквивалентными. Так мы
их и будем называть.
§ 20. Преобразования числовых функций
и операторов при сдвиге и повороте системы
отсчета
Как в классической, так и в квантовой механике часто прихо-
дится преобразовывать числовые функции из одной системы от-
счета в другую. По существу это преобразование является чисто
геометрическим и никак не связано с физическими особенностя-
ми системы. Рассмотрим этот математический вопрос на примере
перехода в систему отсчета, которая сдвинута или повернута от-
носительно исходной системы отсчета.
При сдвиге или повороте системы отсчета происходит пре-
образование координат точек пространства. Пусть Р есть неко-
торая точка физического пространства, г = {х, у, z} — коорди-
наты ее радиус-вектора в исходной системе отсчета К, а г' =
= {х', yr, z'} — координаты радиус-вектора этой же точки Р
в системе К', которая получилась из К в результате сдвига или
поворота координатных осей. Тогда
r' = g(r/)r,	(20.1)
где — оператор преобразования, зависящий от неокторых
параметров г/, определяющих величину и направление сдвига или
поворота.
При сдвиге системы отсчета на вектор а преобразова-
ние (20.1) имеет вид
г = г — а.	(20.2)
При повороте осей системы отсчета на бесконечно малый
угол 5а вокруг оси, проходящей через начало координат парал-
лельно единичному вектору п, преобразование (20.1), как нетруд-
но непосредственно проверить, можно записать в виде
г' = г — 5а[п х г],	(20.3)
где [п х г] есть векторное произведение векторов п и г.
Найдем закон преобразования числовой функции при пере-
ходе от одной системы отсчета к другой. Пусть </?(г) есть неко-
торая функция, заданная в системе отсчета К. Это значит, что
точке Р физического пространства, имеющей в системе отсче-
та К координаты г = {х, у, z], сопоставляется некоторое число
Лекция 5
81
с = В системе отсчета К' та же точка Р будет иметь другие
координаты г' = {хг, у', z'}, которые связаны с координатами г
формулой (20.1). Нам надо найти закон преобразования задан-
ной функции ip (г) при переходе из системы отсчета К в систе-
му К'. Это значит, что мы должны найти такую функцию ip'(г'),
которая сопоставляет точке Р физического пространства то же
число с, которое ей сопоставляет функция </?(г). Следовательно,
функция <//(г') определяется соотношением
</(г') = <^(г),	(20.4)
где гиг' связаны условием (20.1), а г пробегает все значения из
области определения функции <у?(г).
Используя (20.1), перепишем (20.4) в виде
</(г') =	(20.5)
так как
r = g-1(?7)r/.	(20.6)
Следовательно, для нахождения функции <//(г') в системе отсче-
та К' надо в функции ip (г), заданной в системе К, произвести
замену независимой переменной по формуле (20.6) и рассматри-
вать полученную функцию как функцию новой переменной г'.
Поскольку обозначение аргумента функции может быть про-
извольным, соотношение (20.5) можно, в частности, записать
и в таком виде:
9?'(г) = у(д-\г])г).	(20.7)
Введем оператор S(rj), преобразующий функцию р в функцию ip':
</(r) = S(7?)^(r).	(20.8)
Сравнивая (20.8) с (20.7), получаем следующую формулу для опе-
ратора преобразования S(yj)-
S^ipH =ip(g~1(y)r).	(20.9)
В случае преобразования сдвига (20.2) оператор S определяется
вектором сдвига а и называется оператором трансляции. Будем
его обозначать символом Т(а). Следовательно,
Т(а)<у?(г) = <y?(r + а).
(20.10)
82
Раздел 1
Разложим правую часть этого равенства в ряд Тейлора относи-
тельно точки г:
00 (aVr)fc
<^>(г + а) = ^2 —= exP(aVr)</?(r).
к=0
Сравнивая с (20.10), получаем
Т (а) = exp(aVr),	(20.11)
так как ip (г) — произвольная функция.
Итак, при сдвиге системы отсчета на вектор а любая число-
вая функция преобразуется по закону (20.8), а оператор преобра-
зования дается формулой (20.11).
Для преобразования поворота (20.3) на бесконечно малый
угол 5а вокруг оси п совершенно аналогично найдем оператор
поворота
R(n, 5а) = exp(5a[n х r]Vr).	(20.12)
Нетрудно проверить, что два последовательных поворота вокруг
некоторой оси эквивалентны повороту на угол, равный сумме уг-
лов последовательных поворотов. Поэтому для нахождения опе-
ратора поворота вокруг оси п на конечный угол а представим
этот поворот в виде последовательности поворотов вокруг этой
оси на малые углы Aot:
т
а = Act».
i=l
Используя (20.12), получаем
Я(п, а) = exp(a[n х r]Vr).	(20.13)
Рассмотренные нами преобразования числовых функций яв-
ляются простыми следствиями геометрических свойств физиче-
ского пространства, а поэтому имеют универсальный характер и
широко используются в теоретической физике. В квантовой ме-
ханике они применяются к волновым функциям, описывающим
состояния квантовой системы.
Поскольку операторы импульса и момента импульса частицы
согласно (3.2) и (3.12) есть
р = —гй\7г и L = — ih[r х Vr],
Лекция 5
83
операторы (20.11) и (20.13) можно переписать в виде
Т(а) = ехр^ар
7?(n, а) = exp^a(nL)
(20.14)
(20.15)
Следовательно, операторы импульса и момента импульса непо-
средственно связаны с преобразованиями сдвига и поворота.
Легко проверить, что найденные операторы трансляции Т(а)
и поворота /?(п. а) унитарны. Поэтому для нахождения закона
преобразования операторов F физических величин можно вос-
пользоваться результатом (19.8) из предыдущего параграфа. Сле-
довательно,
F' = SFS+,	(20.16)
где F' — оператор в преобразованной системе отсчета.
Частным случаем преобразования сдвига является переход
из одной инерциальной системы отсчета К в другую К', движу-
щуюся относительно первой системы со скоростью v, а частным
случаем преобразования поворота — переход во вращающуюся
систему отсчета.
§ 21. Представление Шредингера и представление
Гейзенберга
В § 1 мы ввели волновую функцию t) для описания со-
стояния системы в произвольный момент времени t. При этом
распределение вероятностей физической величины F в этом со-
стоянии в момент t согласно (2.24) и (2.25) определяется скаляр-
ным произведением функции t) и собственной функции у.,,
или обобщенной собственной функции Xf оператора F:
p(Fn,t) = KwlW))l2, = |<хуП(^))12-	(2i.i)
Поскольку оператор F обычно не зависит от времени, функция у.,,
и Xf тоже не зависят от t.
Временная зависимость волновой функции задается уравне-
нием Шредингера
гП——— = Н-ф(£, t).	(21.2)
84
Раздел 1
Если гамильтониан Н не зависит от времени, то согласно (6.2)
его решение можно записать в виде
4) = U(t, t0 = 0)^(6 t0 = 0),	(21.3)
где	U(t, t0~) = ехр(-^Я  (4 - 40)}	(21.4)
есть оператор эволюции системы.
Мы видим, что изменение волновой функции с течением вре-
мени может быть представлено как результат унитарного преоб-
разования, оператор которого U зависит от времени.
В § 19 было показано, что производя унитарное преобразова-
ние всех векторов пространства состояний !.> и всех операторов,
действующих в этом пространстве, можно получить новое опи-
сание физических свойств системы, совершенно эквивалентное
исходному. В § 18 мы уже познакомились с двумя эквивалент-
ными представлениями — координатным и импульсным. Харак-
терной особенностью унитарного преобразования, связывающего
эти представления, является его независимость от времени. Мы
видели, что в этом случае изменение представления сводится к
замене независимой переменной волновой функции, а эволюция
волновой функции во времени по-прежнему описывается уравне-
нием Шредингера (21.2).
Если же оператор унитарного преобразования зависит от вре-
мени, изменяется сам закон временной эволюции волновой функ-
ции состояния. Представление, в котором волновая функция из-
меняется во времени в соответствии с уравнением Шредингера,
называется представлением Шредингера.
Сейчас мы рассмотрим другой способ описания временной
эволюции системы, который называется представлением Гейзен-
берга. Оно получается из представления Шредингера с помощью
унитарного преобразования
s = U+(t, 0) = ехр(2-Я.4).	(21.5)
Будем обозначать через фщ и волновые функции и операторы
в представлении Шредингера, а через фо и F[— те же величины
в представлении Гейзенберга. Тогда согласно (19.1) и (19.8) имеем
^г(6 4) = W t) = ехр(2-Я • 4^ш(6 t),	(21.6)
Я =	-expf|Я t\Fmexp(-^H -t\.	(21.7)
\п /	\ п /
Лекция 5
85
Подставляя (21.3) в (21.6), получаем
= ^ш(е, t = 0),	(21.8)
т. е. в представлении Гейзенберга волновая функция состояния от
времени не зависит и совпадает с волновой функцией в представ-
лении Шредингера при t = 0. С другой стороны, согласно (21.7)
операторы в этом представлении, вообще говоря, являются функ-
циями времени, причем их вид существенно зависит от гамиль-
тониана системы.
Исключением являются операторы интегралов движения.
Действительно, для них согласно (8.3) имеем
[Fin, Яш] = 0.
Поэтому из (21.7) получаем
Я = Яп,	(21.9)
т. е. гейзенберговские операторы интегралов движения не зависят
от времени и совпадают с соответствующими шредингеровскими
операторами. В частности, это относится к гамильтониану систе-
мы
НГ = НШ = Н.	(21.10)
Переходим к нахождению распределений физических вели-
чин в представлении Гейзенберга. Как мы видели в § 19, скалярное
произведение двух векторов не зависит от выбора представления.
Поэтому формулы (21.1), записанные в представлении Шредин-
гера, мы можем сразу переписать в представлении Гейзенберга:
p(Fn, t) = |(^nr(£)|?M|2, P(J, = I<Х/г(*)|"0г)|2,	(21.11)
где {9?nr(i)} и	являются собственными функциями и
обобщенными собственными функциями гейзенберговского опе-
ратора Fr(t). Эти функции зависят от времени, поскольку таковым
является оператор F[-(t), если только F не есть интеграл движе-
ния.
В § 6 мы отмечали, что, несмотря на эквивалентность соотно-
шения (21.3) уравнению Шредингера (21.2), обычно для нахожде-
ния волновой функции ?/>(£, t) в произвольный момент времени t
бывает проще решить дифференциальное уравнение, чем найти
результат действия эволюционного оператора U(£, 0) на волновую
86
Раздел 1
функцию 0). Аналогично этому в представлении Гейзенбер-
га вычисление оператора по формуле (21.7) обычно бывает более
сложной задачей, чем решение дифференциального уравнения,
которое легко получается путем дифференцирования по времени
равенства (21.7):
dFr(t) j	.
= ^[я, Fr(t)].	(2М2)
При этом начальное условие есть
Fr(i = 0)=Fm;	(21.13)
здесь предполагается, что Гш не зависит от времени.
Уравнение (21.12) называется «уравнением движения» для
гейзенберговского оператора Гг(^). Оно вместе с начальным усло-
вием (21.13) эквивалентно соотношению (21.7). Уравнение (21.12)
очень похоже на соотношение (8.1). Однако заметим, что тогда
как (8.1) представляет собой определение оператора скорости из-
менения физической величины в представлении Шредингера, со-
отношение (21.12) есть уравнение для гейзенберговского опера-
тора.
Нахождение собственных функций и обобщенных собствен-
ных функций оператора F[-(t), необходимых для вычисления рас-
пределения (21.11) физической величины F, может оказаться
непростой задачей. Значительно легче обычно найти низшие мо-
менты распределения:
F(t) = (V’rlFrWIM	(21.14)
DF(t) = (Ш2(» - (W))2-	(21.15)
Описание эволюции системы в представлении Гейзенберга физи-
чески совершенно эквивалентно описанию в представлении Шре-
дингера, так как эти представления связаны унитарным преобра-
зованием. Однако конкретные вычисления для определенной за-
дачи в одном представлении могут оказаться значительно проще,
чем в другом.
Отметим, что в представлении Гейзенберга так же, как
и в представлении Шредингера, остается полная свобода выбо-
ра обобщенных координат системы. В обоих случаях существу-
ют координатное, импульсное и множество других представлений
в том смысле, что в качестве независимых переменных волновых
функций могут быть выбраны г, р и другие физические величи-
ны.
Лекция 5
87
В заключение заметим, что наряду с представлениями Шре-
дингера и Гейзенберга возможны другие способы описания эво-
люции системы, которые определяются выбором унитарного пре-
образования, зависящего от времени. Наиболее распространен-
ным из них является представление взаимодействия (см. упр. 5.3).
§ 22. Свободное движение и линейный
гармонический осциллятор в представлении
Гейзенберга
В качестве примера использования представления Гейзенбер-
га рассмотрим одномерное движение частицы с массой р в поле
с потенциальной энергией V(x). Найдем гейзенберговские опе-
раторы координаты и импульса частицы. Для этого можно вос-
пользоваться общей формулой (21.7), но проще решить уравнения
движения (21.12) для этих операторов:
где
dxr(t) dt	= {[Нт,	(22.1)
dpr(t) dt	= ^[Яг,	(22.2)
Hv =		(22.3)
Для вычисления содержащихся в этих уравнениях коммутаторов
воспользуемся инвариантностью всех операторных соотношений
относительно изменения представления и известными значения-
ми этих коммутаторов в представлении Шредингера. Получаем
[Яг, £г] = 2^[Рг, £г] = ~^Pr,
[Яг, Рг] = [Г(жг), рг] =	|
Подставляя эти выражения в (22.1) и (22.2), получаем
dxr(t)
dt
dpr(t)
dt
Pr(t)
P ’
dV(x) I
дх I x=xY
(22.4)
(22.5)
88
Раздел 1
Это есть система двух операторных дифференциальных уравне-
ний относительно неизвестных функций х^(1) и pr(t), причем
начальные условия согласно (21.13) имеют вид
£г(0)=хш,	Рг(0)=рш-	(22.6)
Решим эту систему уравнений в случае свободного движения
(V = 0):
dxr(t) Pr(t)
~dt = ~ТР-	<22'7’
<2->
Поскольку эти уравнения линейны относительно неизвестных
операторов, их можно решать так, как если бы вместо операторов
стояли обычные функции. Получаем
Pr(t) = рш, xr(t) =	+ (£)рш.	(22.9)
Мы видим, что гейзенберговский оператор импульса свобод-
ной частицы не зависит от времени и совпадает со шредингеров-
ским оператором импульса. Это находится в соответствии с (21.9),
поскольку при свободном движении импульс сохраняется. Гей-
зенберговский оператор координаты свободной частицы линейно
зависит от времени.
Теперь рассмотрим уравнения движения для гейзенбергов-
ских операторов координаты и импульса частицы, находящейся
в поле линейного гармонического осциллятора:
И(ж) = ^//ж2./'2.	(22.10)
Имеем	Л
dxy(t) Рги)
= <22Л1)
——— = — рх Xr(t).	(22.12)
Решая эти линейные уравнения с начальными условиями
(22.6), получаем
Xr(t) =	• coscji + sin ixt,	(22.13)
Pr(t) = рш • cos ж/ — /гсэжш sinwi.	(22.14)
В этом случае оба оператора периодически зависят от времени.
Лекция 5
89
В § 13 было рассмотрено одномерное движение волнового
пакета в поле гармонического осциллятора, а в § 16 — свободное
движение того же пакета. При этом использовалось представление
Шредингера. Сейчас мы рассмотрим те же задачи в представлении
Гейзенберга.
Итак, волновая функция рассматриваемого состояния в пред-
ставлении Шредингера при t = 0 согласно (16.10) имеет вид
^ш(ж, t = 0) = (6уУ)~1/2ехрГ-^
\ 2	1,-	/	' п /
(22.15)
где b — некоторая константа, которая согласно (16.12) опреде-
ляет дисперсии координатного и импульсного распределений в
этом состоянии. В соответствии с (21.8) волновая функция состоя-
ния в представлении Гейзенберга совпадает с волновой функцией
в представлении Шредингера при t = 0, т. е.
11л(%) = t = 0).	(22.16)
Используя (21.14) и (21.15), можно легко найти среднее значе-
ние и дисперсию произвольной физической величины в любой
момент времени, если известен оператор этой величины в гейзен-
берговском представлении.
Начнем со свободного движения. Для операторов координаты
и импульса свободной частицы согласно (22.9) имеем следующие
выражения в гейзенберговском координатном представлении:
Рг(4) = —жгИ) = х —	(22.17)
dx	М ах
Подставляя (22.17) и (22.15) в (21.14) и (21.15), находим:
p(t) = ро, ж(£) = я?о +	(22.18)
= §>. с-И = т(1 + ^д)-	<22Л’>
Эти результаты совпадают с полученными в § 16.
Для операторов координаты и импульса линейного гармони-
ческого осциллятора согласно (22.13) и (22.14) в гейзенберговском
90
Раздел 1
координатном представлении имеем
—	, sincoi / -t d \ xr(t) = х cos ait H —— —ih— . \ ax/	(22.20)
Pr(t) = cos	— pwxsinwt.	(22.21)
Подставляя (22.20), (22.21) и (22.15) в (21.14) и (21.15), находим
p(t) = po coswt — xq/jw sin wt, = x0cosxit+p0	, Dp(t) = cos2 wt + ^ц2ш2 sin2 wt, 2b2	2 n	b2 2 , , b2 sin2 cat n,(t)= 2c»s ^+2ба	.	(22.22) (22.23) (22.24) (22.25)
Здесь Ь, ро, х — произвольные параметры.
В § 13 рассматривалось движение осциллятора со специально
выбранными значениями параметров
ро = °, ь = УД. Подставляя эти значения в (22.22)-(22.25), получаем:	(22.26)
p(t) = —хо/гсо sincoi, x(t) = xiyeosxl. ^<0 = ^, ВД4	(22.27) (22.28)
Мы видим, что в частном случае b = (Й/дсо)1/2 дисперсии им-
пульса и координаты сохраняются во времени. Эти результаты
совпадают с полученными в § 13.
Таким образом, переход к представлению Гейзенберга поз-
воляет значительно упростить нахождение низших моментов рас-
пределений физических величин.
§ 23. Понятие вектора состояния. Обозначения
Дирака «бра» и «кет»
В § 18 мы показали, что одно и то же состояние может опи-
сываться различными волновыми функциями в зависимости от
Лекция 5
91
выбранного представления. Так, например, в координатном пред-
ставлении это может быть некоторая функция Ф(г, 4), а в им-
пульсном представлении это же состояние в тот же момент време-
ни t будет описываться совершенно другой функцией а(р, 4). При
этом знание волновой функции в каком-нибудь одном представле-
нии однозначно определяет ее вид в любом другом представлении.
Например, зная Ф(г, 4), можно по формуле (18.1) найти а(р, 4).
Особенностью координатного и импульсного представлений
является то, что спектры операторов координаты и импульса
непрерывны. Сейчас мы рассмотрим представление, задаваемое
некоторым эрмитовым оператором G с чисто дискретным спек-
тром:
Кп(С) =	WM = К (23.1)
Совокупность всех его собственных функций {у,>}7" образует
полный набор в L2, по которому можно однозначно разложить
произвольную волновую функцию 4):
M,i) = E«n(4)w(0,	(23.2)
П = 1
где
«nW = КОЖ t)}.	(23.3)
Совокупность коэффициентов разложения {«n(4)}i° полностью
определяет рассматриваемое состояние и называется волновой
функцией этого состояния в представлении собственных функ-
ций оператора G, или в G-представлении. Совокупность чи-
сел {«n(i)}i° удобно представлять в виде одно столбцовой мат-
рицы с бесконечным количеством элементов:
{«п(^)}х —
(23.4)
Таким образом, в G-представлении каждому состоянию од-
нозначно сопоставляется последовательность комплексных чи-
сел	которая удовлетворяет уравнению замкнутости (Д1.5):
52 ia"i2 = ни2 = L
п=1
(23.5)
92
Раздел 1
Множество всех числовых последовательностей
/={ж„}“, д={уп}^°,
для которых
£Ы2<«, Е^12 <оо, ...
П=1	П=1
представляет собой бесконечномерное линейное пространство со
следующими определениями операций сложения и умножения на
число:
f + 9 = {хп +Уп}™, af = {ож„}“,
где а — произвольное комплексное число. Скалярное произведе-
ние в этом пространстве можно ввести с помощью соотношения
ш = Е
(23.6)
Тогда норма вектора / может быть определена с помощью ска-
лярного произведения:
11/11 = +vWy =
П=1
(23.7)
Это нормированное пространство в математике обозначается сим-
волом ?2- Оно является бесконечномерным аналогом конечномер-
ного евклидова пространства.
Мы видим, что каждому элементу пространства по фор-
муле (23.3) можно поставить в соответствие один и только один
элемент пространства 1^ и наоборот, причем алгебраическим опе-
рациям над элементами из соответствуют те же операции над
их образами в 1%, а нормы соответствующих друг другу элементов
из L-2 и 1-2 равны в силу (23.5). Следовательно, пространства /-2
и 1% алгебраически изоморфны и изометричны. Поэтому для опи-
сания квантово-механических состояний мы можем использовать
векторы как из L%, так и из М.
В §§18, 19 мы показали, что все представления, связанные
унитарными преобразованиями, эквивалентны, потому что рас-
пределения всех физических величин одинаковы во всех пред-
ставлениях. Действительно, как мы видели, скалярное произве-
дение любых двух векторов является инвариантом унитарного
Лекция 5
93
преобразования, а все распределения физических величин всегда
можно представить в виде соответствующих скалярных произве-
дений.
Эта ситуация совершенно аналогична той, которая имеет ме-
сто в конечномерном линейном пространстве при переходе от
одного ортонормированного базиса к другому. Если вектор а ха-
рактеризовать совокупностью его проекций на базисные орты
{ai, Я2, •  •, ап}, то эта совокупность чисел является определен-
ной только в том случае, если базис фиксирован. При переходе
к другому базису координаты вектора изменяются. Однако это
преобразование унитарно, а поэтому сохраняет значение скаляр-
ного произведения любой пары векторов.
Так, мы видим, что одно и то же состояние в зависимости
от выбранного представления может характеризоваться тем или
иным множеством чисел. Если представление задается операто-
ром с чисто дискретным спектром, это множество дискретное.
Если представление задается оператором с чисто непрерывным
спектром, множество тоже непрерывное. Возможен и смешанный
случай.
Для описания состояния системы безотносительно к выбран-
ному представлению в квантовой механике вводится понятие век-
тора состояния, который является элементом абстрактного гиль-
бертова пространства  '/('. Для обозначения вектора состояния Ди-
раком был предложен специальный символ
о),	(23.8)
где а играет роль идентификатора состояния. Вектор состояния |а)
не является числом; он аналогичен введенному выше вектору а
конечномерного линейного пространства. В математике показы-
вается, что все гильбертовы пространства изоморфны друг другу.
Поэтому пространства L%, I?, Ж эквивалентны с точки зрения их
использования для описания состояний.
Обозначим через {|Fn)} совокупность собственных векторов
оператора F физической величины F в пространстве и рас-
смотрим множество скалярных произведений {(Fra|a)}. Это мно-
жество чисел является волновой функцией
<(Fn) = (F„|a)	(23.9)
состояния а) в представлении физической величины F. Символ а
называется индексом состояния, а символ Fn — индексом пред-
ставления. Например, в рассмотренном выше G-представлении
94
Раздел 1
роль |Fn) играют собственные векторы оператора G с чисто дис-
кретным спектром, а соотношение (23.9) имеет вид (23.3). В ко-
ординатном представлении роль \Fn') играют обобщенные соб-
ственные векторы оператора координаты г, а соотношение (23.9)
записывается в виде (18.15) или (18.16). В импульсном представ-
лении роль Fn) играют обобщенные собственные векторы опера-
тора импульса р, а соотношение (23.9) записывается в виде (18.1).
Множество чисел (Fn\a), т. е. числовая функция ipa(Fn), анало-
гично введенному выше множеству чисел {<zi, a-j. ..., ап}, яв-
ляющихся координатами вектора а в конечномерном линейном
пространстве.
Итак, в квантовой механике роль базисных ортов играют соб-
ственные векторы и обобщенные собственные векторы операто-
ров физических величин некоторого полного набора. В представ-
лении Шредингера базисные орты остаются постоянными во вре-
мени, а эволюция состояния описывается изменением со време-
нем вектора состояния. Этому соответствует изменение значений
проекций вектора состояния на базисные орты, что изображает-
ся зависящей от времени волновой функцией. В представлении
Гейзенберга операторы физических величин зависят от времени,
а поэтому зависят от времени соответствующие базисные орты.
Следовательно, представлению Гейзенберга отвечает выбор такой
системы базисных ортов, которая непрерывно изменяет свое по-
ложение в гильбертовом пространстве с течением времени. При
этом закон движения базиса определяется гамильтонианом систе-
мы. Вектор состояния в представлении Гейзенберга от времени
не зависит, что изображается постоянной во времени волновой
функцией.
Мы видим, что в квантовой механике все распределения
физических величин выражаются через скалярные произведения
(6|а) векторов \а) и \Ь) абстрактного гильбертова пространства -Ж.
Самостоятельный смысл можно придать не только правой ча-
сти |а) этого скобочного обозначения, но и его левой части (Ь\.
Для этого надо рассмотреть множество всех линейных непрерыв-
ных функционалов (числовых функций), которые можно постро-
ить в абстрактном гильбертовом пространстве FP. Это множество
называется в математике сопряженным пространством и обозна-
чается символом РР. Замечательной особенностью пары про-
странств -Ж и -Ж* является то, что любой элемент </? простран-
ства '/f ‘ можно представить в виде
</?(а) = (&|а),	(23.10)
т. е. каждому элементу <у? G -'/Р можно поставить во взаимно одно-
Лекция 5
95
значное соответствие вектор \b) G -УТ; это соответствие является
изоморфизмом. Следовательно, символ (Ь\ можно рассматривать
как обозначение некоторого линейного непрерывного функциона-
ла в пространстве состояний гИ?.
Обозначения \а) и (Ь\ были введены Дираком. Он же предло-
жил специальные названия для этих объектов: «бра» (bra) для (Ь\
и «кет» (ket) для |а). Эти термины являются частями английского
слова bracket (скобка) и соответствуют тому, что значение функ-
ционала (&| на векторе \а) дается полным скобочным символом
(&|а). Поскольку согласно (1.5)
(&|а) = (а|&)*,	(23.11)
значение функционала (Ь\ на векторе \а) совпадает с комплекс-
но-сопряженным значением функционала (а| на векторе |&).
В качестве примера, иллюстрирующего удобства обозначе-
ний Дирака, найдем обобщенную собственную функцию опера-
тора координаты по известной обобщенной собственной функции
оператора импульса. Согласно (15.6) для последней функции име-
ем
V’p(r) = (г|р) = (2тгЙ)-3/2 expQpr).	(23.12)
Используя (23.11), отсюда получаем
(р|г) = (г|р)*,
т. е. обобщенная собственная функция оператора координаты
в импульсном представлении есть
^г(р) = (р|г) = (2тгЙ)’3/2 охр (-|рг).	(23.13)
Этот результат, конечно, совпадает с (18.12) (см. также упр. 4.6).
Итак, сочетание бра (Ь\ с кет \а), стоящим справа от него, есть
скалярное произведение (&|а), т. е. число. Определенный смысл
имеет также сочетание бра с кет, стоящим слева от него:
Р=\Ь}{а\.	(23.14)
Пусть |£) есть некоторый кет, тогда
F|e) = \b}(a\£),	(23.15)
т. е. по отношению к любому кет |£), стоящему справа, Р есть
линейный оператор, переводящий в кет 6), умноженный на ком-
плексное число (а|£). Теперь пусть (£| есть некоторый бра, тогда
(£\Р = Жа\,	(23.16)
96
Раздел 1
т. е. по отношению к любому бра (£|, стоящему слева, Р есть
антилинейный оператор, переводящий его в бра (а|, умноженный
на комплексное число (£|6).
Рассмотрим частный случай:
An = I'AnX'Anb	(23.17)
где {| tpm)} J0 — некоторый полный ортонормированный набор век-
торов. Пусть |£) — некоторый произвольный вектор, тогда
Рт\^ =	(23.18)
Легко видеть, что это есть кет, который является проекцией век-
тора |£) на базисный вектор т. е. Рт есть оператор проекти-
рования произвольного вектора |0 на базисный вектор
Далее рассмотрим оператор
А = An =	(23.19)
m=l	m=l
Согласно (23.18) получаем
Аа = £ Aja = f>™x<Ania (23.20)
т=1	т=1
Поскольку набор {|срт)}по условию является полным, это вы-
ражение имеет смысл разложения вектора |£) по ортонормирован-
ному базису. Поэтому
АЮ = IA,
т. е.
р = Т.
Итак,
£|<Ап)Ш=Л	(23.21)
т=1
т. е. единичный оператор всегда может быть представлен в виде
суммы операторов проектирования на каждый из векторов любого
полного набора.
Предположим, что векторы {|ут)}| являются собственны-
ми векторами некоторого оператора F, т. е.
F\<pm) =	(23.22)
Лекция 5
97
Действуя оператором F на обе части равенства (23.21) и принимая
во внимание (23.22), получаем
F = £ FmPm.	(23.23)
m=l
Это разложение оператора F по операторам Рт проектирования
на его собственные векторы называется спектральным представ-
лением оператора F.
Упражнения к лекции 5
5.1.	Построить в импульсном представлении гейзенбергов-
ский оператор координаты x(t) для свободного движения части-
цы.
5.2.	Построить в импульсном представлении гейзенбергов-
ские операторы x(i) и p(t) для линейного гармонического осцил-
лятора.
5.3.	Найти уравнение движения для операторов в так на-
зываемом «представлении взаимодействия». Волновые функции
в этом представлении получаются из волновых функций в пред-
ставлении Шредингера с помощью унитарного преобразования:
= ехр^Ло^^ш, гДе Но — часть полного гамильтониана
Н = //(| + V, V — оператор «взаимодействия».
5.4.	Найти среднее значение и дисперсию энергии ли-
нейного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
У(ж) = <ji/2)x2x2 в состоянии (22.15).
5.5.	Найти среднее значение и дисперсию энергии свобод-
ной частицы в состоянии (22.15).
5.6.	Оценить скорость расплывания волновых пакетов, опи-
сывающих свободное движение следующих частиц:
а)	электрон, первоначально локализованный в области диа-
метром ~ 10-8 см;
б)	нейтрон, первоначально локализованный в области диа-
метром ~ 10 13 см;
в)	макроскопическая частица с массой 1 мг, первоначально
локализованная в области диаметром 1 мм.
5.7.	Найти импульсное распределение в состоянии (22.15).
98
Раздел 1
5.8.	Показать, что матрица оператора преобразования (20.1)
для поворота на бесконечно малый угол 5а вокруг направления
п = {пх, Пу, nz} имеет вид
Cl nz5a —пу5а\
—nz5a 1 пх5а
пу5а —пх5а 1 /
5.9.	Показать, что оператор р(п, 5а) из упражнения 5.8 удо-
влетворяет коммутационному соотношению
ff(x, 5<px)g(y, 5<Ру) -g(y, 5^pv)g(x, 5рх) =I-g(z, 5pz),
где = 5^рх5уЗу.
ЛЕКЦИЯ 6
§ 24. Матричная формулировка квантовой
механики
1. Общие положения
В § 23 было показано, что произвольному состоянию кван-
товой системы можно поставить в соответствие элемент гильбер-
това пространства I2, т. е. некоторую бесконечную последователь-
ность комплексных чисел. Пусть t/l(^) — волновая функция состо-
яния в пространстве L^- В пространстве О этому состоянию со-
ответствует вектор {an}i°, компоненты которого согласно (23.3)
имеют вид
ап = WOHO,	(24.1)
где {<y?n($)}i° — некоторый базис в £2- В качестве элементов
этого базиса мы взяли собственные функции некоторого эрмитова
оператора G с чисто дискретным спектром.
Теперь установим соответствие операторов, действующих
в пространствах L2 и О. Пусть F есть некоторый линейный опе-
ратор, определенный в L2, а ф(£) — произвольный вектор из его
области определения. Образом вектора ф G L2 в пространстве 1з
является вектор (24.1), а образом вектора Рф 6 /.-> является век-
тор {{<рпИспользуя (23.2) и (23.3), находим:
(<Рп\Рф) = {<Pn\F )Рт\Ф)Рт) = ^2
m—1	т—1
(24.2)
Лекция 6
99
Следовательно, оператору F, действующему в L3, соответствует
в пространстве /2 матрица с элементами
Fnm — {1рп\Р\'Фт):
(24.3)
имеющая бесконечное количество строк и столбцов:
{Fnm}
п.т=1
11 <12 F13
F21 F22 F23
F
Fin
Fni Fn2 Fn3
(24.4)
x nn
/
Первый индекс элемента Fnm мы используем для обозначе-
ния номера строки, а второй — для обозначения номера столбца,
на пересечении которых находится элемент. Элементы этой мат-
рицы называются матричными элементами оператора F и пол-
ностью определяются его видом в и полным набором собствен-
ных функций {</?n}i° оператора G, также заданных в L>. Поэтому
говорят, что матрица (24.4) есть оператор F в G-представлении.
Выразим среднее значение физической величины F в неко-
тором состоянии ‘ф G L2 через матрицы оператора F и вектора ф
в G-представлении:
F = ОЖН} = ^^n\^y{Vn\F^ =
п
= ^{Fn\yy Рпт{рт\ф) = У^у-ф\рп)Рпт{рт\ф),
п	т	пт
Т. е.
F = anFnmam.	(24.5)
пт
Здесь мы последовательно воспользовались формулами (23.6),
(24.1), (24.2). Вектор удобно представлять в виде одно-
строчной матрицы с бесконечным количеством элементов:
{<}Г =	, а*п ..(24.6)
Представляя вектор	в виде одностолбцовой матрицы, мы
можем записать (24.5) в виде произведения трех матриц, исполь-
зуя обычное определение матричного произведения («строка на
100
Раздел 1
столбец»):
F — (ага2, ..., ап ...)
/ Fn F12 -F13 • • • Fln
F21 F22 F23    F2n
Fni Fn2 Fn3 ... Fnn
\........................
MA
^2
(2n
(24.7)
Рассмотрим некоторые свойства матричного представления
/
операторов.
1) W(0=E(^n|W)^n(^)= Е	(24.8)
п	пт
Здесь мы воспользовались формулой (24.2). В частности, при 'ф =
= срт получаем
Fpm(£) = ^Fnm<pn(g).	(24.9)
п
2) Ы^Рт) = К^+Ы*>	(24.10)
так как
(А' /1' АА = (spn^Fcpm) = (F+ А/ АА =
= (апРа^Г = ЬНаЕ
Если F = F+, то отсюда получаем
(АгЙАп} = {pm\F\<pny,	(24.11)
т. е.
тд ___ тр*
-Г ПШ — ^тп'
Следовательно, эрмитову оператору, заданному в соответству-
ет в пространстве I2 эрмитова матрица.
3) (Аг|ЯЯ|Ап} = Е(А1|Я|аХа|Я|АтЕ (24.12)
I
Для доказательства этого соотношения используем формулу (24.9)
<Аг|ЯЯ|Ап} = {Pn\Fl\F2<Pm) =
= (Аг|Я| ^2(а|Я|Ап)аО = ^(Аг|ЯЫ(А|Я|АтЕ
Лекция 6
101
Таким образом, произведению двух линейных операторов в L>
соответствует в /2 произведение их матриц.
4)	= GmSnm,	(24.13)
если Gtpm = Gmipm. Следовательно, матрица оператора в пред-
ставлении его собственных функций диагональна, а диагональны-
ми элементами являются собственные значения оператора.
Используя эти свойства матричных элементов, можно любое
операторное выражение, заданное в L^, записать в матричной
форме, т. е. преобразовать в пространство /2- Пусть, например,
имеем в L>
С= [А, В].
Образ этого соотношения в 1% есть
{(fn |с|'((уга | А|у;) (у; |В|ут)	(<^n |В|<^/)	1 А|<^т));
I
здесь мы воспользовались соотношением (24.12).
Теперь рассмотрим вопрос о преобразовании матриц векто-
ров и матриц операторов при переходе от одного представления
к другому.
Пусть В и G — два эрмитовых оператора с чисто дискретны-
ми спектрами:
G''Pn(£,') = Gnipn{^), (VnWrn) = $nm-
Базисы {"0п}1° и {ipn}J0 определяют два матричных представле-
ния (В-представление и G-представление соответственно). Каж-
дый вектор В-базиса можно разложить по векторам G-базиса:
ДЖ) =	(24.15)
т=1
Введем обозначение:
Smn = (лт[Фп)-	(24.16)
Тогда (24.15) принимает вид
V’n — Smn<pm^	(24.17)
т
102
Раздел 1
i.e.S = {Smn}“n=1 есть матрица линейного преобразования
набора в набор }7^ - Поскольку оба этих базиса орто-
нормированье матрица S унитарна:
SS+ = Т.	(24.18)
Пусть 7(£) есть вектор некоторого состояния в простран-
стве Ь2. В В-представлении в пространстве 1-> ему соответствует
вектор
Ф = {Ш7)}1°,	(24.19)
а в G-представлении — вектор
*' = «)}?•	(24.20)
Найдем связь между этими двумя векторами в 12. Используя опре-
деление (24.16), получаем:
{Рп[Ф") = (<^п|	=
m
= 5	17m) (7m 17) = 5 $пт (“Фт 17),
m	m
т. е.
(^n|7) = 52 ^nm (7m 17);	(24.21)
m
или
Ф' = 5Ф.	(24.22)
Таким образом, и в матричной формулировке квантовой ме-
ханики преобразование вектора состояния при переходе от одного
представления к другому является унитарным. Поэтому для по-
лучения закона преобразования операторов мы можем воспользо-
ваться теми результатами, которые были получены в § 19, где рас-
сматривались произвольные унитарные преобразования линей-
ного пространства. Пусть F есть оператор в £>-представлении,
a F' — соответствующий оператор в G-представлении. Соглас-
но (19.8) они связаны соотношением
F' = SFS+.	(24.23)
Отсюда получаем соотношение между матрицами оператора в
этих представлениях:
Fnm = Е SnkFkpS+m = ^2 SnkFkpS*mp, (24.24)
кр	кр
Лекция 6
103
или
(<yjn|F'|^m) = 52(y»IV,feXV;fe|-^IV;p)(V;p|ym)- (24.25)
kp
Преобразования из G-представления в В-представление сразу по-
лучаются из (24.22) и (24.23):
Ф = 5+Ф',	(24.26)
F = S+F'S.	(24.27)
Заметим, что, используя разложение (23.21) единичного опе-
ратора, можно сразу получить любую из выведенных в этом па-
раграфе формул перехода от одного представления к другому. По-
лучим, например, формулу (24.25):
= (wl(52 WW)  f-	=
k=l	р=1
=
kp
Отметим одну важную особенность матричного представле-
ния операторов: при изменении представления след матрицы опе-
ратора не изменяется. Действительно,
Sp F' = Sp(SFS+) = Sp(S+SF) = Sp F. (24.28)
Мы воспользовались здесь унитарностью матрицы S и тем, что
след произведения матриц не изменяется при циклической пере-
становке сомножителей.
Оператор F в представлении своих собственных функций
|К имеет диагональный вид
{-фп\Р\^т) = FmSnm,	(24.29)
где {Fm}^° — множество всех собственных значений оператора F.
Поэтому из (24.28) получаем
Sp F' = Sp F = 52 Fn-	(24.30)
п
104
Раздел 1
2. Задача на собственные значения
В пространстве L> уравнение на собственные значения опе-
ратора F имеет вид
Wn(0 =^п(£)-	(24.31)
Сведем эту задачу к задаче на собственные значения соответству-
ющей матрицы.
Выбирая в качестве базиса в Ь2 множество собственных век-
торов некоторого эрмитова оператора G, имеющего чисто
дискретный спектр, получим образ этого уравнения в простран-
стве 12.
Fkma^ = Fna(f>,	(24.32)
m=l
где
= {Рт[Фп), Fkm = {Рк\Р\'Фт')-	(24.33)
В этом уравнении неизвестными являются собственные зна-
чения Fn и {а,т^}^=2 — компоненты собственного вектора <.„
в G-представлении.
Представим (24.32) в виде
£ (Fkm - FnSkm)a^ =0, к = 1, 2, 3, ...	(24.34)
m=l
Это есть бесконечная система алгебраических линейных однород-
ных уравнений относительно величин {а^}“=1. Система имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель
матрицы ее коэффициентов равен нулю:
det \\Fkm - Fn3km\\ = 0,	(24.35)
т. е.
Fn — Fn F12	F13
^21	F-22 — Fn F23
-F31	F32	F33 — Fn
= 0.
(24.36)
Это есть алгебраическое уравнение бесконечного порядка относи-
тельно Fn. Оно называется секулярным, или вековым, уравнением
(название заимствовано из астрономии).
Лекция 6
105
Корни этого уравнения F±, F^, F3, ... являются собственны-
ми значениями оператора F. Поскольку F — эрмитов оператор,
можно утверждать, что все эти корни вещественные. Каждому
корню Fn соответствует один или (в случае вырождения) несколь-
ко собственных векторов а(п) =	}£?=1, каждый из которых
является решением системы уравнений (24.34) при данном значе-
нии Fn. Если спектр оператора F чисто дискретный, то множество
всех собственных векторов {а(п)} бесконечно и образует полный
набор в 1-2-
Оператор F в представлении своих собственных векторов
имеет диагональный вид (24.29). Поэтому о решении си-
стемы уравнений (24.34) говорят как о приведении оператора F
к диагональному виду, или о диагонализации этого оператора.
Мы видим также, что решение этой системы эквивалентно на-
хождению такого унитарного преобразования базиса } что
в представлении векторов нового базиса оператор F при-
нимает диагональный вид. Таким образом, задача решения урав-
нения (обычно дифференциального) на собственные значения эр-
митова оператора в пространстве L-2 путем использования мат-
ричной формы векторов и операторов может быть сведена к реше-
нию бесконечной системы алгебраических линейных однородных
уравнений.
3. Энергетическое представление
Особое значение в квантовой механике имеет представле-
ние, задаваемое полным набором	собственных функций
гамильтониана системы:
= Ет<рт(£).	(6.24.36а)
Это представление называется энергетическим, или Л-предстап-
лением. В £?-представлении можно установить некоторые специ-
фические соотношения между матричными элементами операто-
ров, которых нет в других представлениях.
Запишем в ^-представлении оператор скорости изменения
некоторой физической величины F в системе, которая описыва-
ется гамильтонианом Н. В соответствии с формулой (8.1) имеем
f =	(24.37)
106
Раздел 1
если оператор F не зависит явно от времени. В ^-представлении
получаем
Hf М = ("If W==
=	- ^(n\H\k)(k\F\m^ =
I	I
т. е.
(п|^\т) = ^(Еп - ЕтЦп\Р\т).
(24.38)
Применим полученное соотношение для вычисления матри-
цы оператора импульса частицы, движущейся в некотором потен-
циальном поле V(r). Согласно упражнению 2.2 оператор импуль-
са частицы следующим образом связан с оператором координаты:
dr
Р = ^-
В .^-представлении получаем
(24.39)
§ 25. Матрицы операторов физических величин
для линейного гармонического осциллятора.
Операторы рождения и уничтожения квантов
колебаний
Найдем матрицы операторов координаты, импульса и энер-
гии для линейного гармонического осциллятора. Проще всего
найти эти матрицы в представлении собственных функций га-
мильтониана осциллятора, т. е. в энергетическом представлении.
Используя функции (11.18) и рекуррентные соотношения
(Д6.6), (Д6.7) для полиномов Эрмита с учетом условия ортонор-
Лекция 6
107
мированности (11.24), непосредственно получаем:
i
(25.1)
(25.2)
где {V>n} — собственные функции гамильтониана осциллятора.
Таким образом, искомые матрицы имеют следующий вид:
Замечательной особенностью этих матриц является то, что отлич-
ны от нуля только те элементы, которые соответствуют соседним
стационарным состояниям осциллятора.
Матрицу оператора энергии мы можем найти без всяких вы-
числений, так как знаем его собственные значения (11.19):
(V’nl-H'IV’m) = haj
(25.5)
Далее рассмотрим оператор
uee i
_—х ~|___ р
27г.	у/2/j.hw
(25.6)
являющийся линейной комбинацией операторов координаты и
импульса. Подействуем этим оператором на собственную функ-
цию фп гамильтониана осциллятора. Согласно (24.9) имеем

/-—г—Ртп ) V’j
т
108
Раздел 1
Подставляя сюда (25.1) и (25.2), получаем
а/фп = у/п-фп-ъ	(25.7)
В § 11 мы видели, что в состоянии имеется п квантов
колебаний с энергией hw. Следовательно, действие оператора а
на произвольное стационарное состояние осциллятора приводит
к уменьшению энергии на один квант. Поэтому оператор и назы-
вают оператором уничтожения кванта колебаний.
Далее рассмотрим действие оператора а+. Совершенно ана-
логично получим
а+гфп = у/п + lt/’n+i-	(25.8)
Этот оператор приводит к увеличению энергии на один квант и
называется оператором рождения кванта колебаний.
Из (25.7) и (25.8) имеем
а+отК = пфп.	(25.9)
Следовательно, фп является собственным состоянием оператора
а+а, принадлежащим собственному значению п. Поэтому опера-
тор а+а называется оператором количества квантов колебаний
с энергией twj.
Операторы а, а+ широко используются в квантовой элек-
тродинамике для описания процессов взаимодействия фотонов
с электронами.
§ 26. Когерентные состояния линейного
гармонического осциллятора
В квантовой оптике, а также в некоторых других разделах
физики широко используются так называемые когерентные со-
стояния, которые можно определить как собственные состояния
оператора уничтожения (25.6) кванта колебаний:
а|г) = z\z~),	(26.1)
где z есть соответствующее собственное значение.
Будем искать вектор |г) в виде разложения по векторам |п)
стационарных состояний (11.18) линейного гармонического ос-
циллятора:
к) =	к)-	(26.2)
п=0
Лекция 6
109
Для определения коэффициентов разложения (п|г) составим ска-
лярное произведение левой и правой частей уравнения (26.1)
с вектором |п):
(n|a|z) = z(n|z).	(26.3)
Используя (2.2) и (25.8), находим
(n|a|z) = yn+T(n + l|z).
(26.4)
Подставляя это выражение в (26.3), получаем
(п + ф) = [z/\/n + 1] (гф).
(26.5)
Это рекуррентное соотношение позволяет выразить (тф) через
(Оф:
(тф) = -^=(0|ф	(26.6)
у/п\
Теперь (26.2) принимает вид
И = (0|ф £ -^=ф.	(26.7)
«=о v п!
Из условия нормировки
(ф) = 1	(26.8)
находим
(ОН = ехр(—Н|2/2),	(26.9)
ф = ехрф|ф/2) |ф	(26.10)
и=о vn!
Вектор (26.10) удовлетворяет уравнению (26.1) при любом
комплексном значении z. Следовательно, спектр оператора а уни-
чтожения кванта занимает всю комплексную плоскость. В этом
нет ничего удивительного, поскольку оператор а, как это следует
из его определения (25.6), не является эрмитовым. С этим же об-
стоятельством связано отсутствие ортогональности собственных
векторов ф принадлежащих различным собственным значени-
ям. Действительно, из (26.10) получаем
(фф = ехр(-|фх |2 + |z2|2) +z^z2y (26.11)
КФФ = ехр(-|ф - г2|2
(26.12)
110
Раздел 1
Отсюда видно, что только при
I-Z1 - z2| » 1
(26.13)
векторы |zi) и \zf) приближенно ортогональны.
Заметим, что в отличие от собственных векторов эрмито-
вых операторов собственные векторы оператора а, принадлежа-
щие непрерывному спектру, имеют конечную норму.
Далее рассмотрим вопрос о полноте набора когерентных со-
стояний \z). Для этого надо проверить выполнение условия (2.19),
в котором надо положить
df = d2z = c?(Rez)c?(Imz).
(26.14)
Переходя от комплексной переменной z к двум вещественным
переменным р и р
z = peiv,	(26.15)
получаем
d2 z = р dp d<p.	(26.16)
Подставляя (26.15) в (26.10), находим
2тГ	ОО
f	f pn+me-P2pdp = 77^2^n^n^y
A	A	n=0
Принимая во внимание полноту множества стационарных со-
стояний осциллятора, получаем
= <-<')•	(26.17)
Следовательно, множество когерентных состояний осциллятора
является полным набором, а любой вектор пространства состо-
яний может быть представлен в виде разложения по векторам
когерентных состояний.
Рассмотрим некоторые физические свойства когерентных со-
стояний. Как видно из (26.10), любое когерентное состояние явля-
ется линейной комбинацией стационарных состояний, а поэтому
Лекция 6
111
энергия осциллятора в когерентном состоянии не имеет опреде-
ленного значения. Из (26.10) непосредственно следует, что ве-
роятность того, что энергия осциллятора в состоянии z) имеет
значение
En=tuv(n+^j	(26.18)
(это есть энергия стационарного состояния |z)), дается выраже-
нием
I ~|2п
/>(£„)= (И_)е-|г|2.	(26.19)
Это распределение можно рассматривать также как распределе-
ние количества п квантов колебаний в данном когерентном со-
стоянии. Легко видеть, что это есть распределение Пуассона со
средним значением
n=\z\2.	(26.20)
Следовательно, среднее значение энергии согласно (26.18) и (26.20)
есть
Е = Ее (п +	= hx ^|z|2 +	(26.21)
Мы видим, что параметр z однозначно определяет среднюю энер-
гию когерентного состояния |г).
Далее найдем средние значения координаты х и импульса р
в этом состоянии. Используя (26.10) и матрицы (25.1) и (25.2)
операторов координаты и импульса осциллятора в энергетическом
представлении, получаем
х = (z|5?|z) = yjRez,	(26.22)
р = (z\p\z) = Im г,	(26.23)
т. e. средние значения координаты и импульса определяются веще-
ственной и мнимой частями z соответственно. Подставляя (26.22)
и (26.23) в (26.21), находим
Ё =	+ |щ<?ж2 + Ьы.	(26.24)
Z LL	Z	Z
Следовательно, в когерентном состоянии средние значения энер-
гии, импульса и координаты связаны друг с другом так же, как
при движении классического осциллятора (с точностью до энер-
гии нулевых колебаний Йсэ/2).
112
Раздел 1
Теперь рассмотрим изменение когерентного состояния со
временем. Согласно (6.2) и (6.3) имеем
\z, t) = U(t, to)\z, t0),
(26.25)
где
U(t, to) = exp• (t — 4q))	(26.26)
есть оператор эволюция системы.
Полагая, что при 4q = 0 вектор \z, to) = |zq) имеет
вид (26.10), и принимая во внимание, что
Н\п) = Еп\п),
(26.27)
из (26.25) получаем
|z, t) =
e-iwt/2e-|«o|2/2
n=0
(zoe~^)
т. e.
\z,t) =e-iuJt/2\zoe-iut).	(26.28)
Это есть закон эволюции когерентного состояния. Отсюда вид-
но, что если в начальный момент времени состояние осциллятора
было когерентным, т. е. описывалось собственным вектором опе-
ратора уничтожения а, то с течением времени оно продолжает
оставаться когерентным, а его параметр зависит от времени по
гармоническому закону
z(t) = zoe~iut.	(26.29)
Используя (26.21), (26.22), (26.23) и (26.28), легко проследить за
изменением во времени средних значений физических величин.
Поскольку
k(i)| = |го|,	(26.30)
то, как и следовало ожидать, среднее значение энергии не изме-
няется. Более того, из (26.19) непосредственно видно, что рас-
пределение энергии тоже не изменяется, как это и должно быть
для интеграла движения. Для средних значений координаты и им-
пульса получаем
x(t) = ж0 cos x>t + (p0/pw) sinwi,
p(i) = р0 cos wt — p<jjxo sinwi,
(26.31)
(26.32)
Лекция 6
ИЗ
где
3?о = х(4 = 0), Po=p(t = ty- (26.33)
В §§ 13 и 22 мы рассматривали движение осциллирующего вол-
нового пакета вида (13.2). Сравнивая (26.31) и (26.32) с (22.23)
и (22.22), видим, что законы движения средних значений коорди-
наты и импульса осциллирующего пакета и когерентного состоя-
ния одинаковы. Более того, сейчас мы покажем, что эти состояния
совпадают. Для этого вычислим волновую функцию когерентно-
го состояния (26.10) в координатном представлении, используя
выражения (11.18) и (11.20) для волновой функции (ж|п) стацио-
нарного состояния осциллятора. Получаем
где сумма легко вычисляется с помощью производящей функ-
ции (13.10) полиномов Эрмита. Окончательно имеем
exp f—i Re z-Im z+iV“2 Im	— V2 Re z
X	b 2\b	/
(26.34)
где
6=vt
(26.35)
Подставляя сюда Rez и Imz из (26.22) и (26.23), получаем
(26.36)
Это выражение с точностью до несущественного постоянного фа-
зового множителя ехр(—ixp/2K) совпадает с волновой функци-
ей (13.2) волнового пакета при t = 0.
Далее найдем волновую функцию когерентного состояния
при t > 0. Используя (26.28) и (26.34), находим
, ,	,	ехр(—wt/2)	(	т
(x|z, i) = ---=—- expf— «Rez(i) -Imz(7) +
1 /	\ 2\
+ гл/21тг(4) • £ -	- V2Rez(t)\ ), (26.37)
О £ \ 0	/ /
114
Раздел 1
где z(t) определяется формулой (26.29). Окончательно получаем
, । exp(-jwf/2) гг /7^о\2	(Роъ\2\  о ,
{х г, t) =----,	— exp -	—	—	sin 2x)t—
,/ь^ L4VV b) k h n
- cos 2ixt - sinwi + coswi—
2h	b2	h
1 (X Xq	Pob .	\2-|
— - -----—cosut-----— smwt . (26.38)
2\b b	n. J J
Этот результат согласуется с решением (13.13) для движения ос-
циллирующего волнового пакета при р0 = 0.
Следовательно, рассмотренный раньше осциллирующий вол-
новой пакет представляет собой когерентное состояние. В § 13
мы показали, что замечательной особенностью этого состояния
является то, что оно минимизирует соотношение неопределен-
ностей (13.5) для координаты и импульса. В этом смысле коге-
рентные состояния в наибольшей степени соответствуют движе-
нию классического осциллятора по траектории. При этом степень
«классичности» движения тем больше, чем больше энергия ос-
циллятора, определяемая согласно (26.21) параметром z.
Упражнения к лекции 6
6.1.	В ^-представлении найти матричные элементы коор-
динаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямо-
угольной яме с бесконечно высокими стенками.
6.2.	Выполнить упражнение 3.7, используя выражения (25.1)
и (25.2) для матричных элементов координаты и импульса.
6.3.	В представлении собственных функций гамильтониана
линейного гармонического осциллятора построить матрицы опе-
раторов а, а+ и а+а, где а задается формулой 25.6.
6.4.	Используя явный вид оператора а, найти в ж-представ-
лении волновую функцию -0о (ж) основного состояния линейного
гармонического осциллятора.
6.5.	То же для волновых функций -01 (ж) и -02 (ж) первого и
второго возбужденных состояний линейного гармонического ос-
циллятора. Сравнить результат с (11.22) и (11.23).
Лекция 6
115
6.6.	Указать, при каких соотношениях между п и п' об-
ращаются в нуль матричные элементы (п\F|п') оператора F в
представлении собственных функций гамильтониана линейного
гармонического осциллятора:
a) F = х2, б) F = хрх, в) F = х3, г) F = sin ах, д) F =
= cosax.
6.7.	Вычислить сумму
ElM2fc|0)|2,
п=1
где (п|ег/сж|0) — матричный элемент оператора (г/'х, связываю-
щий основное (п = 0) и n-е состояния линейного гармонического
осциллятора.
6.8.	Вычислить сумму
£|Мх|1)|2,
п=1
где (п|х|1) — матричный элемент оператора х, связывающий
основное (п = 1) и п-е состояния частицы в одномерной пря-
моугольной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь х — рас-
стояние от середины ямы.
6.9.	Найти собственные значения и собственные векторы
следующих операторов:
где А, а — некоторые вещественные константы.
6.10.	Найти вещественные собственные функции операто-
ра L2. Построить матрицы преобразования, связывающего эти
функции с собственными функциями оператора Lz (см. упр. 1.10).
Проверить унитарность этих матриц.
6.11. Показать, что следующие матрицы являются эрмито-
выми и унитарными:
116
Раздел 1
ЛЕКЦИЯ 7
§ 27.	Чистые и смешанные состояния
До сих пор мы исходили из положения о том, что каждому
состоянию квантовой системы может быть сопоставлен элемент
гильбертова пространства — вектор состояния. Однако нетрудно
привести пример ситуации, когда такое сопоставление невозмож-
но.
Для этого рассмотрим систему, состоящую из двух подси-
стем 1 и 2 и находящуюся в состоянии с волновой функцией
0(£i, G)> где G — динамические переменные первой и вто-
рой подсистем. Если эта функция может быть представлена в виде
произведения
Ж&ЬШШ),	(27.1)
то "01(G) и "02(G) имеют смысл волновых функций, описываю-
щих состояния каждой из подсистем. Если же такая факторизация
волновой функции системы невозможна, индивидуальные состо-
яния подсистем не могут быть описаны волновыми функциями.
Другими словами, в этом случае не существует элемента гиль-
бертова пространства одной подсистемы, который позволил бы
найти распределения всевозможных физических величин, харак-
теризующих эту подсистему.
Нетрудно проверить, что факторизация (27.1) всегда име-
ет место, если подсистемы не взаимодействуют друг с другом.
В противном же случае волновая функция системы, вообще го-
воря, не представляется в виде произведения волновых функций
подсистем. Поскольку, строго говоря, изолированных подсистем
в природе не существует, в общем случае физические свойства
подсистемы не могут быть описаны какой-либо волновой функ-
цией. Отсюда следует, что сопоставление состояниям подсистемы
отдельных векторов гильбертова пространства является идеали-
зацией, применимой в тех случаях, когда можно пренебречь вза-
имодействием рассматриваемой подсистемы с другими телами.
Так, например, сопоставляя волновую функцию 0(G, G) нашей
системе, мы пренебрегаем взаимодействием этой системы со все-
ми другими. Считая, что 0(G, G) имеет вид произведения (27.1),
мы пренебрегаем взаимодействием подсистем друг с другом.
Состояние, которое с хорошей степенью точности может
быть описано вектором гильбертова пространства, называется чи-
Лекция 7
117
стым состоянием. В противном случае состояние называется сме-
шанным. В дальнейшем мы увидим, что смешанному состоянию
ставится в соответствие сразу несколько векторов гильбертова
пространства. Следовательно, чистое состояние является частным
случаем смешанного состояния.
Для описания смешанных состояний используется аппарат
матрицы плотности, к рассмотрению которого мы и переходим.
§ 28.	Понятие матрицы плотности
и статистического оператора (случай чистого
состояния)
Пусть система находится в чистом состоянии и характеризу-
ется вектором [ф). Согласно (24.5) среднее значение физической
величины F в этом состоянии можно представить в виде
F =	(28.1)
пп'
где {<у?„} — некоторый базис пространства состояний. Легко ви-
деть, что это соотношение можно записать и так:
пп'	П
т. е.
F = Sp(Fp),	(28.2)
где
{рп'\р\Рп) = (<Av|V’XWn)	(28.3)
есть матрица, полностью определяемая состоянием системы |^)
и выбранным базисом {<£„}. Эта матрица называется матрицей
плотности состояния.
Из определения (28.3) следует, что
Р = [ФНЩ	(28.4)
есть оператор проектирования на вектор состояния |^). Этот опе-
ратор называется статистическим оператором состояния. Та-
ким образом, матрица плотности есть матрица статистического
оператора состояния.
Матрица плотности состояния зависит от того, какое выбрано
представление, т. е. базис {<у?„}. Точно так же матрица оператора
118
Раздел 1
физической величины F зависит от выбора представления. Од-
нако среднее значение F, даваемое формулой (28.2), от выбора
представления, конечно, не зависит, так как согласно (24.28) след
матрицы во всех представлениях имеет одно и то же значение.
Из определения (28.3) непосредственно вытекают следую-
щие свойства статистического оператора и матрицы плотности.
1)	Р~ = Р,	Q.&.5)
{<Рп'\р\Рп)	=	(<р„|р|<ри')*.	(28.6)
Это значит, что статистический оператор эрмитов.
2)	(рп\р\рп)	о,	(28.7)
т. е. диагональные элементы матрицы плотности всегда неотрица-
тельны. Это значит, что статистический оператор является поло-
жительно определенным.
3)	Spp=(V#) = l>	(28.8)
т. е. статистический оператор имеет единичный след.
4)	р2 = р.	(28.9)
5)	0 <	1.	(28.10)
Это соотношение является прямым следствием (28.7) и (28.8).
Теперь предположим, что оператор F имеет чисто дискрет-
ный спектр, а {рп} ~ множество его собственных функций:
Ftpn=Fncpn.	(28.11)
В представлении этих функций соотношение (28.2) принимает
вид	_
F = ^Fn{<pn\p\<pn).	(28.12)
п
Сравнивая это выражение с (2.8), видим, что
W(Fn) = ЫрЮ	(28.13)
есть вероятность того, что физическая величина F в данном со-
стоянии примет значение Fn, если Fn невырождено. В случае вы-
рождения для получения этой вероятности надо аналогично (2.24)
произвести суммирование W(Fn) по всем тем значениям п, для
Лекция 7
119
которых Fn одинаково. Заметим, что свойство (28.10) находится
в полном согласии с вероятностным смыслом W(Fn).
Эволюция во времени вектора состояния [ф) определяет-
ся уравнением Шредингера (6.1). Поэтому статистический опе-
ратор (28.4) этого состояния, как легко проверить подстанов-
кой (28.4) в (6.1), удовлетворяет уравнению
ih^ = [Я, р],	(28.14)
которое можно назвать уравнением движения для статистического
оператора.
Описание чистого состояния с помощью введенного стати-
стического оператора совершенно эквивалентно описанию с по-
мощью вектора состояния. Однако эта новая форма старого со-
держания позволяет сделать важное обобщение на случай произ-
вольного смешанного состояния.
§ 29.	Статистический оператор и матрица
плотности для описания смешанного
состояния
Для описания смешанного состояния надо сформулировать
новую систему постулатов, которая в частном случае чистого со-
стояния должна переходить в те постулаты, которые были рас-
смотрены в лекции 1 и переформулированы в § 28.
Каждому состоянию квантовой системы поставим в соответ-
ствие некоторый положительно определенный эрмитов оператор р
с единичным следом, действующий в абстрактном гильбертовом
пространстве. Он называется статистическим оператором дан-
ного состояния. Матрица статистического оператора называется
матрицей плотности состояния.
В функциональном анализе доказывается, что любой поло-
жительно определенный эрмитов оператор с конечным следом
имеет чисто дискретный спектр. Обозначим через {/>,> } и {V’n}
множество собственных значений и собственных векторов стати-
стического оператора данного состояния:
р\Фп) = Рп\Фп)1 (V’nIV’m} = $пт-	(29.1)
Из положительной определенности р следует
рп Ф 0,
(29.2)
120
Раздел 1
а из условия
Spp=l	(29.3)
имеем
= о < рп < 1,	(29.4)
где суммирование проводится по всем собственным значениям
статистического оператора.
Множество собственных векторов { < } оператора р как мно-
жество собственных векторов эрмитова оператора с чисто дис-
кретным спектром является полным набором. Поэтому в соответ-
ствии с (23.21) имеем
= Т,	(29.5)
где	_ ”
= \-фп){-фп\	(29.6)
есть оператор проектирования на собственный вектор операто-
ра р. Действуя оператором р на обе части равенства (29.5), полу-
чаем
Р =	(29.7)
Это есть разложение статистического оператора по операто-
рам проектирования на его собственные векторы.
Далее постулируется, что среднее значение физической вели-
чины F в состоянии, описываемом статистическим оператором р,
дается формулой
F = Sp(pF).	(29.8)
Подставляя сюда разложение (29.7), получаем
F = ]TpnSp(^nF).	(29.9)
п
Предположим, что оператор F имеет чисто дискретный
спектр:	-,	,
=Fn\pn}.	(29.10)
Тогда аналогично (29.7) имеем
F = ^FnPn,	(29.11)
где	_
Рп =	(29.12)
Лекция 7
121
есть оператор проектирования на собственный вектор операто-
ра F. Подставляя разложение (29.11) в (29.8), получаем
F = Y^FnW{Fn),	(29.13)
п
где
W(Fn) = SpGoFj = {pn\p\pn).	(29.14)
Сравнивая (29.13) с (2.8), видим, что W(Fn) есть вероятность то-
го, что физическая величина F в состоянии р примет значение Fn,
если Fn — невырожденное собственное значение. Если же Fn —
вырожденное собственное значение, для получения этой вероят-
ности надо аналогично (2.24) произвести суммирование IE(F,,J
по всем тем значениям п, для которых Fn одинаково. Следова-
тельно, статистический оператор состояния позволяет по форму-
ле (29.14) получить распределения любых физических величин,
характеризующих систему, т. е. дает полное описание состояния.
Теперь рассмотрим частный случай, когда только одно соб-
ственное значение pj статистического оператора отлично от нуля.
Принимая во внимание условие (29.4), в этом случае можем за-
писать
Рп = 5nj.	(29.15)
Подставляя (29.15) в (29.7), получаем
МЯ’МШ	(29.16)
т. е. статистический оператор сводится к оператору проектирова-
ния (28.4) и полностью определяется одним вектором |^-) гиль-
бертова пространства. Таким образом, условие (29.15) является
необходимым и достаточным условием превращения смешанно-
го состояния 'р в чистое состояние т/г,). Легко видеть, что в этом
случае формула (29.14) переходит в (28.13). Следовательно, посту-
лат (29.8) в частном случае чистого состояния дает то же распреде-
ление вероятностей любой физической величины, что и постулат
о среднем (2.11), введенный в лекции 1.
Заметим, что свойства (29.2), (29.3), (29.4) статистического
оператора произвольного смешанного состояния совпадают со
свойствами (28.7), (28.8), (28.10) статистического оператора чи-
стого состояния, введенного в § 28. Таким образом, описание сме-
шанного состояния с помощью статистического оператора можно
рассматривать как обобщение описания чистого состояния с по-
мощью вектора гильбертова пространства.
122
Раздел 1
Обращаясь к (29.7), мы видим, что произвольное смешан-
ное состояние в определенном смысле является «смесью» чистых
состояний (0П), причем роль статистических весов играют соб-
ственные значения рп статистического оператора р данного сме-
шанного состояния (согласно (29.2) все {рп} неотрицательны).
При этом соотношение (29.4) играет роль нормировочного усло-
вия.
Подставляя (29.7) в (29.14), получаем
Ж) = J>mSp(^mFn).
т
Используя (29.6), находим
Sp(^mF„) = (V’ml-PnlVU-
Следовательно,
W(Fn) = ]ГртЖпЖ),	(29.17)
т
где
Wm(Fn) =	(29.18)
согласно (28.13) есть функция распределения физической вели-
чины F в чистом состоянии IV’m). Мы видим, что функция рас-
пределения в смешанном состоянии является взвешенной суммой
функций распределения в чистых состояниях, образующих дан-
ное смешанное состояние. При этом весами являются собствен-
ные значения статистического оператора данного смешанного со-
стояния.
Интересно сравнить полученный закон композиции распре-
делений с тем, который имеет место для чистого состояния сле-
дующего особого вида:
н =	<29-19)
т
Это состояние построено из тех же чистых состояний и с теми
же весами, что и смешанное состояние (29.7). Статистический
оператор этого состояния есть
р = iV’XV’i = (^2	(52 vW’/M) =
т	k
= Рт | Фт'^'Фт | “И	\/ РтРк^т} {'Фк | • (29.20)
т	гп=£к
Лекция 7
123
Подставляя этот оператор в общую формулу (29.14), получаем
W{Fn) = ^pmWm{Fn) + ^2 \/PmPk^kWn^m) 	(29.21)
т	m^k
Сравнивая это выражение с (29.17), видим, что они отличаются
членом	л
д/PmPkfyk\Pn\^rn) 	(29.22)
птл£к
Этот член зависит от относительного фазового сдвига функ-
ций {V>fe}. Его можно назвать интерференционным в отличие от
первого члена в (29.21), который от этих фазовых сдвигов не зави-
сит. Поэтому говорят, что чистое состояние (29.19) является коге-
рентной смесью чистых состояний IV’m) в отличие от смешанного
состояния (29.7), которое можно рассматривать как некогерент-
ную смесь тех же чистых состояний.
Таким образом, статистический оператор может быть исполь-
зован для описания как смешанных состояний, так и чистых. От-
метим, что он всегда определяется для данного состояния един-
ственным образом в отличие от вектора состояния, который опре-
деляется с точностью до произвольного комплексного множителя
с единичным модулем (§ 2).
Существует простой критерий, позволяющий легко опреде-
лить, чистое или смешанное состояние описывает данный стати-
стический оператор или матрица плотности: в смешанном состо-
янии всегда
Sp(/32) < 1	(29.23)
(упражнение 7.1), а в чистом
Sp(p2) = 1.	(29.24)
Согласно (28.9) в чистом состоянии выполняется более сильное
соотношение
р2 = р.	(29.25)
До сих пор мы рассматривали описание и свойства смешан-
ного состояния в некоторый фиксированный момент времени.
С течением времени состояние, вообще говоря, изменяется. В
квантовой механике постулируется, что эволюция произвольного
смешанного состояния в представлении Шредингера определяет-
ся введенным в § 6 оператором эволюции
U(t, to) = ехр(— • (t — to)),	(29.26)
124
Раздел 1
где Н — гамильтониан системы. Следовательно, статистический
оператор состояния pt в момент времени t следующим образом
связан со статистическим оператором того же состояния pta, в мо-
мент to'.
pt = U(t, to)ptoU+(t, to).	(29.27)
Дифференцируя это равенство по времени и принимая во
внимание (29.26), получаем дифференциальное уравнение для
оператора pt в представлении Шредингера:
= [Я, pt],	(29.28)
Это уравнение вместе с начальным условием
Pt=t0 = Pt0	(29.29)
эквивалентно соотношению (29.27).
В частном случае чистого состояния это уравнение движения
для статистического оператора уже было получено в (28.14).
§ 30.	Матрица плотности составной системы
В § 27 мы рассматривали систему, состоящую из двух подси-
стем 1 и 2. Предполагалось, что вся система (1 + 2) находится в
чистом состоянии, а мы интересовались возможностью описания
каждой из подсистем волновой функцией. Было показано, что это
возможно только в некоторых специальных случаях, когда волно-
вая функция всей системы ^(£1, £2) представляется в виде (27.1)
произведения функций ^1(^1) и ^2(^2), каждая из которых зави-
сит от динамических переменных какой-либо одной подсистемы.
Если же такой факторизации нет, подсистемы могут описываться
соответствующими статистическими операторами р№ и р<Р) или
матрицами плотности. Найдем их в общем случае, когда вся си-
стема (1 + 2) находится в произвольном смешанном состоянии,
описываемом статистическим оператором р.
Для этого рассмотрим произвольную физическую величи-
ну F, которая может характеризовать состояние подсистемы 1.
Будем исходить из того, что среднее значение величины F в со-
стоянии pt1') подсистемы 1 должно, конечно, совпадать со средним
значением этой величины в состоянии /5 всей системы. Согласно
постулату (29.8) это равенство можно записать в виде
F = Sp^F) = Sp(pF).
(30.1)
Лекция 7
125
Для вычисления следов этих операторов введем некоторый базис
(£i)}i° в гильбертовом пространстве подсистемы 1 и
некоторый базис {Ц2)}1° в гильбертовом пространстве ЛС'1'
подсистемы 2. Тогда множество функций
9Wei,e) = 4P(eiH2)(e2)	(30.2)
будет базисом в пространстве Л€ состояний всей системы (1 + 2).
Оператор F по условию действует в пространстве Поэтому
£2) = (F+W(G))42)(£2).	(30.3)
Согласно (24.9) имеем
т'
Ftp
тп (G, в) = Е ^т/п/ ^тп^т'п' (G, g),	(30.5)
т'п'
где
41 = ^\F\p^>	(30.6)
—	матрица оператора F в
Fm'n'mn = (tPm'n1	(30.7)
—	матрица оператора F в гильбертовом пространстве ЛС всей
системы. Подставляя (30.3) в (30.7) с учетом (30.2) и (30.6), полу-
чаем
Fm.n.mn = ^F\p^p^\p^\
Fm'n'mn = F^)m = §п>п.	(30.8)
Теперь можно записать (30.1) в матричной форме
F- V о(1) F(1) - V о , ,F , ,
г —	—	, 1->тп,т' п' т' п' ,тп,
шт'	™'„/
где
4^ = Ш4|4Ь	(30.9)
—	матрица плотности состояния подсистемы 1,
Ртп^т'п' = (imn	)	(30.10)
126
Раздел 1
—	матрица плотности состояния всей системы (1+2). Подставляя
сюда (30.8), получаем
V «(1) F(1) =	, V(1)
/ j Ртт'г m'm / j ( / > Ртп,т п j 1т'т'
mm'	mm' n
Ввиду произвольности оператора F отсюда следует равенство
р\пт' = у Ртп,т'п-	(30.11)
п
Оно устанавливает связь между матрицей плотности состояния
подсистемы и матрицей плотности состояния всей системы. Вви-
ду произвольности базиса это матричное равенство можно пере-
писать в операторной форме
рО) = Sp(2) р.
(30.12)
где символ в правой части означает след по тем индексам матри-
цы, которые не относятся к подсистеме 1.
Рассмотрим частный случай, когда система (1 + 2) находит-
ся в чистом состоянии с волновой функцией -0(£i, £з)- Соглас-
но (29.16) статистический оператор этого состояния есть
Р = IV^XV’I,
(30.13)
т. е. является оператором проектирования на вектор Подстав-
ляя (30.13) в (30.11), получаем
Ртт' ~	('01+m'n) 
п
(30.14)
Это состояние, вообще говоря, является смешанным.
Теперь дополнительно предположим, что волновая функция
факторизуется в виде (27.1):
ФЫ2Ы1Ш&	(30.15)
Тогда (30.14) принимает вид
Ртт' =	^2|^п2)Н2)|2-	(30.16)
п
Лекция 7
127
Поскольку набор {у»/1} является полным в пространстве .7Е-1,
в силу (Д1.5) имеем
52к<42)Ш12 = 1.
Поэтому из (30.16) следует
Ртт' = (Pm I V’l KV’l |	(30-17)
т. е.
=	(30.18)
а это есть оператор проектирования на |V1)- Следовательно, ес-
ли волновая функция системы представляется в факторизованном
виде (30.15), каждая из подсистем находится в чистом состоянии.
Этот вывод совпадает с тем, который был сделан в § 27.
§ 31. Квантовая система в термостате
1. Общие положения
В физике очень часто возникает необходимость в рассмот-
рении поведения системы, которая сама является малой частью
некоторой большой макроскопической системы. Примерами та-
ких систем могут служить молекула газа, атом в кристаллической
решетке, фотон в электромагнитном поле и т. д. Поскольку рас-
сматриваемая система взаимодействует со своим окружением, ей
нельзя сопоставить никакого вектора гильбертова пространства,
как мы это выяснили в §§27 и 30. Для описания движения такой
системы необходимо использовать статистический оператор.
Одним из самых важных частных случаев этой задачи явля-
ется тот, когда система находится в статистическом равновесии
со средой, а ее взаимодействие с макроскопическим окружением
является слабым. Согласно статистической физике в этом случае
все свойства системы определяются распределением ее энергии,
причем статистический вес состояния с энергией Е дается рас-
пределением Гиббса (каноническим распределением):
w(E) = Aex.p(—E/kT),	(31.1)
где Т — абсолютная температура макроскопической системы, к —
постоянная Больцмана, А — нормировочная константа, не зави-
сящая от Е. Распределение Гиббса не зависит от конкретных
128
Раздел 1
свойств взаимодействия системы с макроскопическим окружени-
ем и полностью определяется температурой; принято говорить,
что система находится в термодинамическом равновесии с неким
термостатом, характеризующимся температурой Т.
В квантовой механике состояние системы в термостате опи-
сывается статистическим оператором
p = e-^/Z^\	(31.2)
где Н — гамильтониан системы,
(3 = \/кТ,	(31.3)
Z(/3) = Spc я//	(31.4)
называется статистической суммой состояния, которая играет
роль нормировочного множителя. Легко видеть, что (31.2) с уче-
том (31.4) удовлетворяет условию нормировки (29.3).
Состояние квантовой системы, находящейся в термодина-
мическом равновесии с термостатом, полностью определяется
ее гамильтонианом Н и температурой термостата Т. Посколь-
ку [р, Н] = 0, это состояние согласно (29.28) не изменяется со
временем, что очевидно и из физических соображений.
Рассмотрим матрицу плотности состояния (31.2). Начнем с
энергетического представления. Для этого введем собственные
векторы (обобщенные собственные векторы) |^п) гамильтониана
системы Н:
H\ipn) = En\ipn).	(31.5)
В представлении этих собственных векторов оператор (31.2) име-
ет матрицу:
ЫрЫ = (е~13Еп/Z{(3))6nni.	(31.6)
Согласно (29.14) энергетическое распределение в состоянии (31.2)
дается диагональными элементами матрицы плотности:
W(En) = e-^/Z^).	(31.7)
Это распределение, конечно, совпадает с распределением Гибб-
са (31.1). Статистическая сумма Z(/3) не зависит от выбора пред-
ставления для оператора ехр(—/ЗН), но в энергетическом пред-
ставлении ее вычислить проще всего. Имеем
Z(/3) = ^п\е-рЙ\рп) = ^е-^.	(31.8)
Лекция 7
129
Теперь нетрудно выразить среднее значение и дисперсию энергии
в этом состоянии через Z(/3):
E = ^EnW{En)	(31.9)
РВ=Ё2-(Ё)2, Ё2 =(d^hz-1([3).	(31.10)
V д.1 >
Далее найдем координатное распределение. Для этого рас-
смотрим матрицу плотности состояния в координатном представ-
лении. Проще всего это сделать, переводя матрицу (31.6) операто-
ра р из энергетического представления в координатное. Используя
общее правило (24.25), имеем
СФЮ =
пп'
Подставляя сюда (31.6), находим искомую матрицу плотности:
Шг') = z-1(/3)£e-^"p„(rM(r0,	(3i.li)
п
где <рп(г) есть согласно (31.5) собственная функция гамильтони-
ана системы Н в координатном представлении. Следовательно,
координатное распределение в рассматриваемом состоянии со-
гласно (29.14) есть
VC(r) = Z-1(/3)^e-'3B"|pn(r)|2.	(31.12)
Совершенно аналогично найдем импульсное распределение:
ТУ(р) = Z-1(/3)^e-'3B”#n(p)|2,	(31.13)
где Рп(р) — собственная функция гамильтониана Н, в импульс-
ном представлении.
Теперь выясним вопрос о том, смесью каких чистых состоя-
ний является рассматриваемое смешанное состояние.
Как было выяснено в § 29, компонентами смеси являются
чистые состояния, описываемые собственными векторами стати-
стического оператора р данного смешанного состояния. При этом
130
Раздел 1
статистические веса компонент смеси равны собственным значе-
ниям р. Из (31.2) видно, что в нашем случае собственные векторы
оператора р совпадают с собственными векторами </?п) гамиль-
тониана системы Н, а собственные значения оператора р есть
Pn=e-^"/Z(/3).
(31.14)
2. Пример: линейный гармонический осциллятор
в термостате
Гамильтониан системы есть
Я=^ + |цЛ2.	(31.15)
Начнем с вычисления статистической суммы Z(/3). Соглас-
но (11.19) энергия стационарного состояния осциллятора есть
En = hw(n+^.	(31.16)
Подставляя это значение в (31.8), находим
Z(/3) = е-2^ £е-^п =	(31.17)
п=0	6
Подставляя это выражение в (31.9) и (31.10), получаем среднее
значение и дисперсию энергии осциллятора в рассматриваемом
смешанном состоянии:
hca ।________hiv_______
2 exp(/kj/fcT) — 1 ’
n Z/kjA2/ 4.1,2/ lix \ -Л
(cth
(31.18)
(31.19)
Соотношение (31.18) есть формула Планка (с точностью до энер-
гии нулевых колебаний hw/2).
Далее найдем матрицу плотности состояния (31.2) в коорди-
натном представлении. Согласно (31.11) имеем
Р(х, х') = {х\р\х') = Z-\/3) £	(31.20)
n=0
Лекция 7
131
где {<£„} — собственные функции гамильтониана (31.15) в коор-
динатном представлении. Поскольку они согласно (11.18) могут
считаться вещественными, из (31.20) следует
р(ж, х') = р(х', х),
(31.21)
т. е. матрица плотности симметрична.
Для вычисления (31.20) воспользуемся искусственным прие-
мом: получим дифференциальное уравнение для р(х, х') и решим
его. Дифференцируя (31.20) по х, находим
=	(31.22)
п=0
Используем известную формулу (см. упр. 3.14)
(ЛуД-г) / рх . ,—	. .	!  —	. ..
—~дх~ = V	~ vn + l^+i(i)).	(31.23)
Подставляя это выражение в (31.22) и принимая во внимание, что
99—1(ге) = 0,	En+1=En + hw,
получаем
х")	f(x', х)), (31.24)
где
/(ж, ж') = У2е (ЗЕ"л/п + 1</?п(ж>п+1(ж').	(31.25)
п=0
Далее рассмотрим произведение
хр(х, х') = Z х(/3)У2е ^"'^n^ipn^x'Y	(31.26)
п=0
Подставляя в (31.26) известную формулу (см. упр. 3.14)
хлрп(х} =
(31.27)
132
Раздел 1
получаем
2-\!3)(е-рГшf(x, х') + f(x', хУ). (31.28)
Учитывая симметрию (31.21) функции р(ж, х'\ можем также на-
писать
Х-1(/3)(е-/3аш/(х/, ж) + f(x, х'У). (31.29)
Из уравнений (31.28) и (31.29) находим
f(x, х'
Z(/3)(l-e
Подставляя (31.30) в (31.24), получаем
- e-^x'jptx, х').
(31.30)
др(х, х') = № / х . х' \ /
дх h \ th(/3Scj) sh(/37zo>)/
(31.31)
Это и есть искомое уравнение для функции р(х, ж'). Интегрируя
его по х, находим
„(.г. «') = С(а-')ехр(-2Д(^)а-2 +
(31.32)
где С(х') — пока произвольная функция х'. Согласно (31.21) функ-
ция (31.32) должна быть симметричной относительно своих ар-
гументов. Отсюда следует, что С(ж') имеет вид
С (ж') = Cq ехр f-—-(ж')2\
(31.33)
где Cq — некоторая константа. Находя ее из условия нормиров-
ки (29.3)
Spp =
= 1,
Лекция 7
133
окончательно получаем
р(х, х') =
J^th(|/3^)x
у 7г/г \2	/
х ехр
(х2 + х’2\ J хх'
2Й • th(/3/kj)	h  sh(/3/kj)
(31.34)
Это — матрица плотности в шредингеровском координатном пред-
ставлении линейного гармонического осциллятора, находящегося
в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре
Т = 1/к/З.
Диагональные элементы этой матрицы согласно (29.14) дают
плотность координатного распределения осциллятора:
W(х) = р(х, х) =
//Ж , /1	\	, /1	\
th - Jhx х ехр —— th - Jhx ж .
тгп \ 2	)	\ п \2	)	)
(31.35)
Это — нормальное (гауссово) распределение с нулевым средним
значением и дисперсией
cthf|/3ftcA
£f-lW \Z /
(31.36)
Зная матрицу плотности в координатном представлении, нетруд-
но найти матрицу плотности этого же состояния в импульсном
представлении. Согласно (24.25) имеем
(р|р|т/) = I (р\х'){х\р\х''){х'\р'') dx dx'.	(31.37)
Подставляя сюда одномерные обобщенные собственные функции
оператора импульса, получаем
р(р, р') = (р|р|р') = (2тг/г) 1 j р(х, x')eti<'P Х РХ> dxdx'.
(31.38)
Вычисляя этот интеграл с функцией р(ж, х') в виде (31.34), нахо-
дим
/ th(/3fiw/2)	/
“р(.
2 ।	/2	/
р +р + рр \
2hpw th(j3hx>') hpce sh(j3hw) /
(31.39)
134
Раздел 1
Конечно, эту формулу можно получить, отправляясь от выраже-
ния, аналогичного (31.20):
W\p')=z
п=0
(31.40)
где {<у?„(р)} — волновые функции стационарных состояний ос-
циллятора в импульсном представлении.
Следовательно, импульсное распределение имеет вид
и (₽| = = \ ехр(-----------------------)- <31Л1)
Это нормальное распределение с нулевым средним значением и
дисперсией
Dp =
(31.42)
Очень поучительно проанализировать зависимость получен-
ных распределений от температуры термостата?1, которая соглас-
но (31.14) определяет статистические веса чистых состояний (ста-
ционарных состояний осциллятора) в рассматриваемом смешан-
ном состоянии. При малых Т основной вклад в смешанное состо-
яние дают стационарные состояния осциллятора с малыми энер-
гиями. При Т 0 из (31.18), (31.19) и (31.35) получаем
Е ~ tujj/Q,, De ~ 0,
V г I Uy 1 Г'-' 4 /	- СЛ IJ I	л_	I •
у тт \ h J
(31.43)
(31.44)
Сравнивая эти выражения с(11.19)и(11.21), видим, что они сов-
падают с соответствующими выражениями для основного состо-
яния осциллятора. Это значит, что при Т —> 0 смешанное состо-
яние асимптотически переходит в чистое состояние. Однако при
любом Т 0 имеется примесь возбужденных состояний.
С ростом температуры вклад состояний с большими энерги-
ями растет. При Т - ос (фактически при кТ Нш) из (31.18),
Лекция 7
135
(31.19), (31.35) и (31.41) получаем
E^kT, DE^(kT)2,	(31.45)
w = ехр (" ’	(31 '46)
у Z /I l\j±	\ Dj± /
~	1	/ К(р)\
w(x) = (31'47)
л/2тф/и v &1 /
где
V(x) = |дщ2х2	(31.48)
—	потенциальная энергия осциллятора,
К(р)=р2/2р	(31.49)
—	кинетическая энергия осциллятора.
Распределение (31.47) есть распределение Максвелла. Его ха-
рактерной особенностью является независимость от вида потен-
циальной энергии V(x).
Мы видим, что при Т оо все распределения не содержат
постоянной Планка И. Это указывает на то, что движение стано-
вится классическим.
Упражнения к лекции 7
7.1.	Доказать соотношения (29.23) и (29.24).
7.2.	Найти матрицу плотности линейного гармонического
осциллятора в энергетическом представлении для произвольного
момента времени, если при t = 0 его состояние описывается
волновой функцией из упражнения 3.10.
7.3.	Найти матрицу плотности линейного гармонического
осциллятора для произвольного момента времени, если при t = О
его состояние является некогерентной смесью основного и пер-
вого возбужденного стационарных состояний с весами р\ и р%.
Рассмотреть энергетическое, импульсное и координатное пред-
ставления. Найти средние значения и дисперсии соответствую-
щих распределений.
7.4.	Получить формулу (31.39), отправляясь от (31.40).
7.5.	Найти матрицу плотности свободной частицы в термо-
стате. Получить ее координатное и импульсное распределения.
Раздел 2
ДВИЖЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКИ
СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ТЕОРИИ МОМЕНТА
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ 8
В разделе 1 были рассмотрены основные положения кванто-
вой механики и приведены примеры их использования для реше-
ния некоторых простейших одномерных задач. В данном разделе
будет рассмотрена одна из наиболее важных трехмерных задач —
движение частицы в сферически-симметричном поле. Кроме того,
будет рассмотрен математический аппарат теории момента коли-
чества движения, который позволит нам естественным образом
ввести понятие спина.
§ 32. Движение частицы
в сферически-симметричном поле
(дискретный спектр)
Найдем стационарные состояния движения частицы в сфе-
рически-симметричном поле с потенциальной энергией
V(r)=V(|r|).
Для этого надо найти решения стационарного уравнения Шре-
дингера

(32.1)
Лекция 8
137
удовлетворяющие во всем пространстве требованиям непрерыв-
ности, квадратичной интегрируемости и непрерывности градиен-
та.
Ввиду сферической симметрии поля задачу удобно решать в
сферической системе координат (г, 0, ср), начало которой совпа-
дает с центром симметрии поля, а полярная ось имеет некоторое
произвольное направление:
х = г sin 0 cos ср, у = г sin# sin z = rcos0,
(32.2)
О < г < оо, 0 < 0 < тг, 0<(^< 2тг.
В этой системе координат имеем
V(|r|) = V(r), ф(г) = ф(г, 0, ср),
Х72 = — — (г2 — I
г2 дг\ дг) г2'	(32.3)
Л = 1^0 {д0 (81п619ё) +
(см. упр. 2.3).
Как мы отмечали в § 16, знание интегралов движения систе-
мы обычно позволяет упростить решение уравнения Шредингера.
Поэтому и в данном случае начнем с выявления сохраняющихся
физических величин.
Легко видеть, что гамильтониан системы (32.1) инвариантен
относительно операции Р инверсии пространства (см. § 12), а по-
этому четность есть интеграл движения.
Интегралами движения являются также квадрат момента ко-
личества движения L2 и любая его проекция Li(i = х, у, z) (см.
упражнение 2.5). Кроме того, легко проверить (см. упр. 1.7), что
[L2, Li] = 0, но [Li, Lk] 0 при i к,
а также
[L2, Р] = 0,	\1г, Р\ = 0.
Таким образом, все четыре оператора
Н, Р, L2, Li,	(32.4)
где г имеет какое-нибудь одно из трех возможных значений
х, у, z, коммутируют друг с другом. Подчеркнем, что в этот на-
бор может быть включена только одна компонента оператора L =
= {Lx, Ly, Lz}, так как различные компоненты этого оператора
не коммутируют между собой.
138
Раздел 2
Поскольку все направления в сферически симметричном по-
ле равноправны, то в дальнейшем будем рассматривать следую-
щий набор взаимно коммутирующих операторов:
Я, Р, L2, Lz,
(32.5)
т. е. будем искать такие решения уравнения Шредингера, ко-
торые являются собственными функциями всех этих операторов.
В сферической системе координат соответствующие уравнения
имеют вид:
г2 Or \ ОГ /	fir
L2-0 = L2^,
Lz^ = Lz^,
Рф = Рф,
(32.6)
(32.7)
(32.8)
(32.9)
где
T 2 fc2 A	/Z ( C) ( • /1 Q \ I 1	A /"2 П 1 A\
L — —h A —---------;—- I ТГТ? I SHI и I H-:—   I ,	(32.10)
sin0W\ dOJ sinflfy2/
Lz = -ih^~.	(32.11)
dtp
(см. ynp. 1.9).
Собственные значения и собственные функции оператора Lz
есть (см. упр. 1.10)
Lz = hm, т = 0, ±1, ±2, ±3, ...,	(32.12)
^т(г) = #)Фт(И	(32.13)
где
Фт(<у?) = (2тг)-1/2е™^, т = 0, ±1, ±2, ±3, ...,	(32.14)
причем	2тг У Ф^(^)Фш/(^)^ = 5тш/,	(32.15) 0
a F(r, 0) есть произвольная квадратично-интегрируемая функция.
Лекция 8
139
Из математики известно, что собственные значения операто-
ра L2 даются формулой
L2 = 1(1 + Г)П2, 1 = 0, 1, 2, 3,	(32.16)
а каждому собственному значению соответствуют собственные
функции:
Ytm(0, р), т = О, ±1, ±2,	±1-	(32.17)
это сферические функции (см. Дополнение 7), удовлетворяющие
условию ортонормированности на сфере
7Г 2тг
Y^to, p)Yi’m>(0, р) sin7 d0 dp = 5w8mm'.
(32.18)
О О
Сферические функции Y[m (0, р) всегда могут быть представ-
лены в виде
Yim(0, р) = 6/т(6»)Фт(Д,	(32.19)
где 0;т(0) — некоторые ограниченные функции (см. (Д7.5)). Сле-
довательно, каждая функция Yim(0, р) является также собствен-
ной функцией оператора Lz, принадлежащей собственному зна-
чению mh:	л
LzYim(0, р) = mhYim(0, р).	(32.20)
Сферические функции при I = 0, 1, 2 имеют следующий явный
вид:
I = 0, т = 0
I = 1, т = ±1
т = 0
Уо,о = I/VItt,
У1Д1 = Tx/3/87rsin0-e±^,
У),о = а/3/4 cos 6*,
I = 2, т = ±2 : У2.±2 = ± vsin2 0  e±2l\	(32.21)
4 у Z7T
т = ±1 : У2 ±i =	cos^sin#  е±гу,
’	2 у 2%
т = 0 : У2,о = |а/|(3 cos2 0 - 1).
В математике показывается, что каждая сферическая функ-
ция Yim(0, р) удовлетворяет соотношению
PYlm(0, р) = Ylm(pr - 0, р + л) = (-1)гУгт(0, р),	(32.22)
140
Раздел 2
т. е. Yim(9, </?) есть собственная функция оператора инверсии, при-
надлежащая собственному значению ( 1/.
Итак, мы видим, что функции
V-/m(r)=7?(r)yZm(0,	1 = 0, 1, 2, 3, ...,
т = 0, ±1, ±2,	±1,	(	’
где R(r) — некоторая функция г, являются общими собственными
функциями операторов L2, La, Р. Подставляя V’Zm(r) в уравнение
Шредингера (32.6), получаем
1 d ( 2dR(r)\ Kl + l) . . 2/J.	/ЭЭОЛА
----^RH + — (E-V(r))R(r) = 0, (32.24)
т. е. ^7т(г) есть собственная функция гамильтониана (32.1), ес-
ли R(r) удовлетворяет уравнению (32.24) и является непрерыв-
ной квадратично-интегрируемой функцией с непрерывной пер-
вой производной. Уравнение (32.24) иногда называют радиальным
уравнением Шредингера.
Введем новую функцию
u(r) = rR(r),	(32.25)
для которой из (32.24) получаем уравнение
^^ + ‘^(E-Vl(r))u(r) = 0,	(32.26)
dr h
где
И(г) =	+	1 = 0, 1, 2, 3, ...	(32.27)
Уравнение (32.26) внешне совпадает с уравнением Шредингера
для одномерного движения частицы в поле с потенциальной энер-
гией У (г).
Пусть Eni (п = 1, 2, 3, ...) есть п-е собственное значение
уравнения (32.26) при фиксированном I. Аналогично тому, как
в § 12 было доказано, что все дискретные энергетические уровни
частицы в произвольном одномерном потенциальном поле невы-
рождены, легко показать, что каждому значению Eni соответству-
ет только одно линейно независимое решение уравнения (32.26):
и(г) = uni(r).
Лекция 8
141
Таким образом, искомые общие собственные функции опе-
раторов Н, Р, L2, Lz имеют вид
Vwm(r) = Rni(r)Yim(0, р),	(32.28)
где
/ х Unl(r)
Rnl(r) =
Мы видим, что каждому собственному значению гамильтони-
ана Eni соответствует (2Z +1) линейно независимых собственных
функций, отличающихся значениями т (т = 0, ±1, ±2, ..., ±Z).
Такое вырождение имеется в любом сферически-симметричном
поле. Это «обязательное» вырождение можно было предвидеть
еще до решения уравнения Шредингера. Действительно, в сфе-
рически-симметричном поле все направления равноправны, а по-
этому энергия системы не может зависеть от ориентации в про-
странстве вектора момента количества движения, в частности от
величины его проекции на ось z.
Пусть ipm и ipm/ — волновые функции двух состояний, отли-
чающихся только значениями т. Тогда любая линейная комбина-
ция этих функций
ф =	,
является собственной функцией гамильтониана, принадлежащей
тому же энергетическому уровню, которому принадлежат ipm
и грт>, но в отличие от них функция гр не является собствен-
ной функцией оператора Lz. Поэтому в состоянии гр проекция
момента количества движения на ось z не имеет определенного
значения. Таким образом, частица, движущаяся в любом сфери-
чески-симметричном поле с некоторым определенным значением
энергии, может находиться не только в состояниях с определен-
ным значением проекции момента на некоторое направление, но и
в бесчисленном множестве таких состояний, в которых проекция
момента не имеет определенного значения (исключением являет-
ся случай I = 0, когда проекция момента может иметь только одно
значение т = 0).
В некоторых сферически-симметричных полях одному и то-
му же значению энергии системы может соответствовать несколь-
ко различных значений I, т. е. несколько линейно-независимых
функций 1рп1т. Это вырождение по I в отличие от «обязательно-
го» вырождения по т иногда называется «случайным». Ниже мы
встретимся с примерами такого «случайного» вырождения.
142
Раздел 2
Поскольку согласно Дополнению 2 собственные функции эр-
митова оператора, принадлежащие различным собственным зна-
чениям, ортогональны, для всех функций {^Wm} имеем
fynlm I tpn'l'm') = ^nn'^W &ттп' •	(32.29)
Отсюда, в частности, получаем
(VWm | VW/m) =
т. е.
У	dr = 5пп>.	(32.30)
о
Таким образом, функции Rni удовлетворяют условию нормиров-
ки:
У \Rnl(r)\2r2 dr = 1.	(32.31)
о
Итак, стационарное состояние движения в сферически-симмет-
ричном поле однозначно определяется тремя числами п, I, т, для
которых приняты следующие названия:
п — главное квантовое число,
I — орбитальное квантовое число,
т — магнитное квантовое число.
Совокупность состояний, отличающихся друг от друга только
значениями т, принято объединять в одно состояние и обозначать
его символом (n, I) (иногда вместо п используется какой-либо
другой индекс, характеризующий энергию состояния). При этом
вместо значений орбитального квантового числа (/ = 0,1,2,...)
обычно используются буквы латинского алфавита со следующим
соответствием:
/ = 0, 1,2,	3,4,	5,6,...;
’	;	’	(32.32)
з,	р, а,	/, g,	п, г,...
Например, символ 3d обозначает состояние с квантовыми числа-
ми п = 3, I = 2 (точнее, совокупность состояний с п = 3, I = 2,
т = 0, ±1, ±2).
Мы видим, что стационарные состояния в сферически-сим-
метричном поле задаются тремя квантовыми числами (n, I, т),
хотя мы их искали как собственные функции четырех коммути-
рующих операторов (32.5). Очевидно, это «несоответствие» объ-
ясняется тем, что не все четыре интеграла движения независимы.
Лекция 8
143
Действительно, из (32.22) следует, что четность состояния од-
нозначно определяется квадратом момента количества движения,
т. е. орбитальным квантовым числом
Р =(-!)'•	(32.33)
В то же время три других интеграла движения (£?, L2, Lz) об-
разуют полный набор физических величин для данной системы
(см. § 4), так как каждой совокупности значений этих величин со-
ответствует одно и только одно линейно независимое состояние.
Этот полный набор не является единственным, поскольку наборы
(£?, L2, Lx), (Е, L2, Ly) тоже являются полными и не сводятся
к набору (£?, L2, Lz).
Энергетический спектр системы определяется видом потен-
циальной энергии V(r). В дальнейшем мы будем в основном рас-
сматривать движение в таких полях, потенциальная энергия в ко-
торых ограничена или в начале координат обращается в бесконеч-
ность не быстрее, чем 1/г2, т. е. V(r) удовлетворяет условию
lim V(r)r2 = 0.	(32.34)
i—»о
Примерами таких полей являются следующие:
1)	прямоугольная яма
v(r\ = Г-И) при 0 < г < а,
' '	10 при г > а;
2)	гармонический изотропный осциллятор
V(r) = дш?2г2/2;
3)	кулоновское поле
V(r) = —Ze^v,
4)	экранированное кулоновское поле
V(r) = —(Ze2/r)e-r/a,	а = const.
Выясним поведение «радиальной» функции и (г) при • 0
для таких систем. Уравнение (32.26) принимает вид
9d2u(r)	,	. , ,
г2--------1(1 + l)w(r) = 0.
dr2
144
Раздел 2
Легко проверить, что его решениями являются функции
Ml (г) = Crl+1, U2(r) = Cr~l.
Как видно из (32.25) и (32.31), второе решение при / > 1 не
удовлетворяет условию нормировки, так как интеграл расходит-
ся на нижнем пределе. Это значит, что соответствующая волно-
вая функция не является квадратично-интегрируемой и не может
описывать какое-либо физическое состояние. При I = 0 функция
R(r) = м2 (г)/г = С/г не приводит к расходимости нормировоч-
ного интеграла (32.31), но не удовлетворяет уравнению Шредин-
гера в точке г = 0, так как
Д(1/г) = — 4тг<5(г).
Следовательно, решение Мг(г) при любом I 0 должно быть
отброшено.
Итак, в окрестности начала координат радиальная функция
имеет вид
м(г) = С'г/+1.	(32.35)
Отсюда следует, что она удовлетворяет граничному условию
м(0) = 0.	(32.36)
Таким образом,
7?„z(r) = Сг1 при /- -О.	(32.37)
При этом плотность вероятности нахождения частицы в окрест-
ности точки г = 0 есть
PnZm(r) = |V’n/m(r)|2 = C2r21 \Yim(0,	(32.38)
т. е. она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем
больше величина момента количества движения в данном состо-
янии.
В уравнении (32.26) для радиальной функции роль эффек-
тивной потенциальной энергии играет величина
H(r)=V(r) + g^4^,	(32.39)
графики которой для некоторого V (г) и различных значений I
приведены на рис. 9.
Лекция 8
145
Мы видим, что при увеличении I усиливается отталкивание
в окрестности центра поля. Именно с этим обстоятельством связа-
но уменьшение вероятности пребывания частицы вблизи центра
поля. Член
/г Ф + 1)
2 дл
называют «центробежной потенциальной энергией».
§ 33. Стационарные состояния для потенциалов
притяжения с быстрым затуханием. Пример:
сферически-симметричная прямоугольная
потенциальная яма
Большинство встречающихся в природе взаимодействий
между частицами описывается потенциалами, абсолютная вели-
чина которых достаточно быстро (быстрее, чем 1/г) уменьшает-
ся при г оо (исключением является кулоновский потенциал и
некоторые другие). Кроме того, во многих случаях можно считать,
что на некотором расстоянии R взаимодействием можно совсем
пренебречь, т. е. положить У(г) = 0 при г > R. Такие потенциалы
называются короткодействующими, a R — радиусом их действия.
Примером быстро затухающего потенциала притяжения яв-
ляется потенциал Вудса-Саксона
V(r) = -К0(1 + ехр(Цг^))”1,	(33.1)
где Vo, R и а — некоторые положительные константы. Этот потен-
циал широко используется в ядерной физике для описания взаи-
модействия нейтронов с атомными ядрами. Параметр R определя-
ет размеры области локализации взаимодействия, а параметр а —
размеры той области, где происходит наиболее быстрое измене-
ние потенциала. При <7 -0 потенциал (33.1) переходит в потенци-
ал сферически-симметричной прямоугольной потенциальной ямы
радиуса R (рис. 10).
Для нахождения стационарных состояний надо решить урав-
нение (32.26). В общем случае это можно сделать только числен-
но. Исключением являются кулоновский потенциал, потенциалы
гармонического осциллятора, прямоугольной ямы (они будут рас-
смотрены ниже) и некоторые другие. Важной особенностью всех
потенциалов, спадающих быстрее, чем 1 /г, является универсаль-
ный вид волновой функции при г R, поскольку в этой области
146
Раздел 2
Рис. 9. Эффективная потенци-
альная энергия И(г) части-
цы в сферически-симметрич-
ном потенциальном поле при
различных значениях орбиталь-
ного квантового числа I
взаимодействие пренебрежимо мало. Поэтому численное инте-
грирование уравнения для радиальной части волновой функции
достаточно провести только во внутренней области, а затем к най-
денной функции надо «пришить» стандартный «хвост».
В этом параграфе мы найдем энергии и волновые функ-
ции стационарных состояний в сферически-симметричной пря-
моугольной потенциальной яме, когда в аналитическом виде мо-
жет быть представлена не только асимптотика волновой функции,
но и ее внутренняя часть.
Итак, найдем стационарные состояния движения в поле с
потенциальной энергией:
( — Vo < 0 при 0 < г < R,	(I)
И(г) = <
I 0 при г > R.	(II)
Пусть I = 0. В этом случае уравнение (32.26) для радиальной
функции принимает вид:
vU(r) + (В - V(r))w(r) = 0.	(33.2)
dr2 h
Ищем его решения, удовлетворяющие требованиям непрерыв-
ности, квадратичной интегрируемости, непрерывности производ-
ной. В частности, они должны удовлетворять граничному усло-
вию (32.36)
ц(0) = 0.
Лекция 8
147
Ищем Е в интервале —Vo < Е < 0. В пространственной
области (I) имеем
d2U . ; 2 t \ п
—- + к и\т) = 0,
dr1
= Asin(fcr) + В cos(fcr),
где
|vWo-|£|)-	(33.3)
Из граничного условия (32.36) получаем В = 0, т. е.
W(i)(r) = Asin(fcr).	(33.4)
В пространственной области (II) имеем
d2U 2 ( \ Г,
—- — х и(г) = 0,
dr2 V 7
w(11)(r) = Ce*r + De~xr,
где
и=^2ц\Е\.	(33.5)
Из условия квадратичной интегрируемости функции ц(г) получа-
ем С = 0, т. е.
W(ii)(r) = De~*r.	(33.6)
Производя сшивание функций и^^(г) и Ufir^r) в точке г =
= R, приходим к трансцендентному уравнению
—к  ctg(kR) = х,	(33.7)
которому должна удовлетворять величина к, т. е. энергия систе-
мы. Графический анализ этого уравнения был произведен в § 14.
Обращаясь к рис. 5, мы видим, что решения уравнения (33.7)
существуют только при условии
К > тг/2Л, К = |д/2мК),
т. е.
Пой2 > Й27г2/8д.	(33.8)
148
Раздел 2
Полное количество решений N определяется неравенствами
fKR --}< N < (KR +	(33 9)
\ 7Г 2/	\7Г	2/
Поскольку в каждом интервале
(1 + 2(п - 1))|Л < к < (1 + 2n)^R, п = 1, 2, ..., N,
существует только одно решение уравнения (33.7), все его корни
можно перенумеровать в порядке возрастания их величины
О < к± < к-2 < ... < км.
Каждому корню кп соответствует значение энергии
Еп= (^)кп-уо	(33.10)
и собственная функция
{Ап sin(knr) при 0 < г < R,
_	Г>	(33.11)
Dne " при г > R,
где
= д -у/^р\Еп\,
Dn = Ane*nR sin(knR~),
а константа Ап определяется из условия нормировки
y'|w„(r)|2dr = l.	(33.12)
О
При этом для собственной функции гамильтониана получаем
фп1т(Е) = -0поо(г) = Rno(r)Yoo(e, (р) =	,	(33.13)
л/4тгг
так как УОо($, Д = 1/д/4тг.
При I = 0 все решения стационарного уравнения Шрединге-
ра сферически-симметричны, и вероятность пребывания частицы
Лекция 8
149
Rn0(r) —
в любой точке пространства зависит только от расстояния до цен-
тра поля.
Заметим, что функцию Rni(r) при I = 0 можно представить
в виде
Bnjo(knr) при 0 < г < R,
Cnh^tittn'r') при г > R,
где jo(p), — сферические функции Бесселя и Ханкеля (см.
Дополнение 8). Нетрудно проверить, что при I > 0 радиальная
функция Rni(r) аналогичным образом выражается через сфери-
ческие функции Бесселя и Ханкеля порядка I:
( Bniji(knir) при 0 < г < R,
Ли/(г)=	(33.14)
[Cnihl \гяП1Г) при г > R,
причем kni (и определяются из условия сшивания в точке
г = R:
knij'i(kniR) _ i^nih^ (inniR')
ji(kniR) h^\inniR')
(штрих означает дифференцирование по аргументу).
Решения этого уравнения определяют дискретный спектр
гамильтониана. В соответствии с общими свойствами решений
уравнения (32.26) каждому собственному значению Еп[ (п =
= 1, 2, ..., N) принадлежит только одна радиальная функ-
ция Rni(r) и (21 + 1) собственных функций VWm(r) вида (32.28).
Упражнения к лекции 8
8.1.	Частица с массой /г находится в s-состоянии в сфериче-
ски-симметричной прямоугольной потенциальной яме. Получить
приближенное выражение для энергии связи частицы, если глу-
бина Vq и радиус а ямы удовлетворяют соотношению
VW2

Оценить вероятность пребывания частицы внутри и вне ямы.
150
Раздел 2
8.2.	Найти энергии стационарных состояний нейтрона в
ядрах 16О и 208РЬ, считая, что он движется в сферически-сим-
метричной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками,
а радиус ямы равен радиусу ядра
Я = г0А1/3, г0 = 1,3  10“13см,
где А — массовое число ядра.
8.3.	Частица с массой /г находится в основном состоянии
в сферически-симметричной прямоугольной потенциальной яме
с радиусом а и бесконечно высокими стенками. Найти средне-
квадратичное расстояние частицы от центра ямы.
8.4.	В условиях задачи 8.3 найти импульсное распределение.
8.5.	Классифицировать состояния частицы в двумерной ак-
сиально-симметричной прямоугольной потенциальной яме с бес-
конечно высокими стенками.
8.6.	Рассмотрим линейное пространство, образованное соб-
ственными функциями операторов Lz и L2, принадлежащими
собственному значению I = 1 оператора L2.
В этом пространстве:
а)	найти матрицы операторов Lx, Ly, Lz, L2 в представле-
нии собственных функций операторов Lz и L2, воспользовавшись
явным видом этих функций и операторов;
б)	найти собственные значения и собственные функции опе-
ратора Lx в представлении собственных функций оператора Lz,
в)	найти матрицы операторов
Lx -|-	LT — iL?i
L+ = -А------L_ = _А----------у
а/2	V2
в представлении собственных функций оператора Lz; выяснить
физический смысл этих операторов, воспользовавшись аналогией
с операторами а и а+ из § 25.
8.7.	Частица находится в сферически-симметричном поле в
состоянии с I = 1, 1Х = 0 (1Х — проекция момента количества
движения на ось х). Найти распределение проекции момента на
ось z.
Лекция 9
151
8.8.	Две частицы с массами mi и m2 связаны между собой
центральным взаимодействием V(|r2 — ri|). Показать, что урав-
нение Шредингера, описывающее эту систему, распадается на два
независимых уравнения, одно из которых описывает относитель-
ное движение частиц, а другое — движение их центра масс.
ЛЕКЦИЯ 9
§ 34. Представление о «квантовых орбитах»
В классической механике орбитой частицы называется тра-
ектория ее движения. В квантовой механике термин «орбита» ис-
пользуется для обозначения стационарного состояния |nZm) дви-
жения частицы в сферически-симметричном поле. Каждому энер-
гетическому уровню Eni соответствуют 2/1 «квантовых орбит».
Плотность пространственного распределения частицы, нахо-
дящейся на орбите |nZm), есть
PnZm(r, t) = |VWm(r, t)|2 = |Rni(,r)Ytm(0, ip)e h ,a | =
= |J?n/(r)|2(27r)-1|eZm(0)|2, (34.1)
т. e. она не зависит от азимутального угла (здесь мы исполь-
зовали формулы (Д7.4) и (Д7.7)). Отсюда видно, что |Rni (г) |2
есть плотность радиального распределения, а 0/т (0) |2 — плот-
ность распределения полярного угла частицы, движущейся по ор-
бите \nlrn).
Учитывая (32.22), получаем
Pnlm(r, 0) = Pnlm(r, 7Г - 0).	(34.2)
Мы видим, что плотность пространственного распределения сим-
метрична относительно плоскости 0 = тг/2. Кроме того, из (Д7.12)
следует, что она не зависит от знака, магнитного квантового чис-
ла т:
Pnlm(r, 0) = рп,1 -т(г, О').	(34.3)
Для наглядного представления угловой зависимости этой величи-
ны удобно использовать полярные диаграммы
Pnlmir = const, 0) ~ |О/т(0)|2.	(34.4)
152
Раздел 2
Например, в случае I = 0 полярная диаграмма представляет собой
окружность, а при I = 1 имеем
|@1о(0)|2 ~ cos2 0; |0i,±i(6>)|2 ~ sin2 9
(рис. И).
Рис. 11. Полярные диаграммы пространственного распределения части-
цы в «- и р-состояниях
Теперь найдем плотность тока вероятности (7.5), соответ-
ствующего движению частицы по орбите |nZm):
jnlm =	~ Фп1тп^Фп1т)
В сферической системе координат оператор градиента есть
V — ег ——h eg - — + ev —;,
Or ' 09 г sin 9 д<р
где er, eg, ev — соответствующие орты. Поскольку функции
Rni(r) и G>im(9) вещественны, то
jnim(r)	--^IVWm(r)|2,
М г sin у
т. е.
jnZm(r) =	Дрп1т(г, 0).	(34.5)
prsmu
Таким образом, плотность тока вероятности не зависит от ази-
мутального угла <у? и всегда имеет направление ev. При т = О
имеем j = 0, при //t/О абсолютная величина плотности тока не
Лекция 9
153
зависит от знака т, а направление тока при изменении знака т
изменяется на противоположное:
jnim(r, е) = -jn,i-m(r, е).	(34.6)
Пусть по каждой из 2/ + 1 орбит, принадлежащих уровню Еп[,
движется по одной частице (взаимодействием частиц друг с дру-
гом мы пренебрегаем). Тогда плотность пространственного рас-
пределения этих частиц есть
1 1
Е Pnim(r, в) = |7?п/(г)|2 £ \Ylm(0, ^ = ^±l\Rnl(r)\2,
m= — l	m= — l
(34.7)
т. e. она изотропна (здесь мы воспользовались формулой (Д7.15)).
Используя (34.3), получаем
I	I
У2 0) =	У2 mpnim(r, 3) = 0,	(34.8)
/zr sine/
т= — 1	т= — 1
т. е. плотность полного тока вероятности в этом случае равна ну-
лю.
Дополним представление о «квантовых орбитах» рассмотре-
нием импульсного распределения частицы. В общем случае этот
вопрос был разобран в § 15. Согласно (15.8) и (15.9) плотность им-
пульсного распределения частицы, находящейся в стационарном
состоянии |nZm), не зависит от времени и может быть вычислена
по формуле
(34.9)
Мы видим отсюда, что pnim(p) зависит не только от величины, но
и от направления импульса, т. е. разные направления импульса р
представлены в состоянии \nlrn) с разной вероятностью.
Будем характеризовать вектор р сферическими координата-
ми:
р = {р, 9Р, <рр}.	(34.10)
Покажем, что в стационарном состоянии |nZm) плотность им-
пульсного распределения не зависит от азимутального угла срр,
154
Раздел 2
а зависимость от полярного угла 0р имеет универсальный харак-
тер. Для этого удобно воспользоваться разложением экспонен-
ты, стоящей под интегралом в (34.9), по сферическим функциям
(см. (Д9.1)):
егаг = 47г^г^А(аг)УА*м(0о, ^)УАд(0г, ^г);	(34.11)
здесь jx (ж) — сферические функции Бесселя, с которыми мы уже
встречались в §33. Подставляя (34.11) в (34.9) и учитывая орто-
нормированность функций У/То($, </?), получаем
Pnlm (р) —
1
(2тгП)3
4тг(—г)гУ/то(0р, cpp)JRni(r)ri 2 dr
о
= 4ilW)l2
(34.12)
Отсюда видно, что зависимость плотности pnim(p) от абсолют-
ной величины импульса р одна и та же для всех (21 +1) квантовых
орбит, соответствующих уровню Eni, и определяется видом ра-
диальной волновой функции Rni(r).
В частном случае, когда I = 0, распределение импульса ча-
стицы сферически симметрично и вычисляется по формуле
Рп00(р) = 2з
2тг/г
sin(pr/7z)
(рг / Й)
Rno(r)r2 dr
(34.13)
i
здесь мы воспользовались соотношениями ©оо=2 2 (см. (Д7.18))
и jo (ж) = (sina;)/# (см. (Д8.6)). Разумеется, формулу (34.13) легко
получить, и не прибегая к разложению (34.11), а вычисляя инте-
грал, стоящий в (34.9), по углам непосредственно. Однако если
I 0, то такое прямое вычисление оказывается очень громоздким
и более сложным, нежели использование разложения (34.11).
Лекция 9
155
§ 35. Движение частицы в кулоновском поле
(дискретный спектр)
Найдем стационарные состояния дискретного спектра части-
цы в кулоновском поле с потенциальной энергией:
V(r) = -Ze2jr, Z > 0.	(35.1)
Ищем решение уравнения (32.26) для радиальной функ-
ции ц(г) при фиксированном значении I в виде
И/(г) = r^e-^Witr),	(35.2)
где
х= |У2ц|Б|,	(35.3)
Wi (г) — некоторый полином. Решением соответствующего урав-
нения для Wi (г) является вырожденная гипергеометрическая
функция:
(35.4)
причем квадратичная интегрируемость функции ui(r) имеет ме-
сто только в том случае, когда F сводится к полиному конечной
степени. Это, в свою очередь, осуществляется тогда и только то-
гда, когда первый аргумент вырожденной гипергеометрической
функции есть целое отрицательное число или нуль:
це4г2
2П2|Е|
+ I + 1 = —пг,
(35.5)
где
пг = 0, 1, 2, 3, ...	(35.6)
Отсюда получаем энергетический спектр системы:
Еп = -Е0Я2/2п2,	(35.7)
п = / + 1, 1 + 2, 1 + 3, ...
(35.8)
где
156
Раздел 2
для выбранного значения I. Величина
<0 =	~ 27.21эВ	(35.9)
называется атомной единицей энергии.
Из (35.8) следует, что если фиксировать не I, а п, то I может
принимать следующие значения:
I = 0, 1, 2, ..., п — 1.	(35.10)
Квантовое число п может принимать только целые положитель-
ные значения:
п = 1,2,3,...	(35.11)
и согласно (35.7) играет роль главного квантового числа.
Радиальные функции, соответствующие паре квантовых чи-
сел п, I, имеют вид
Rni{r)=Nnlrle ™ F(l + l-n,2l + 2;	(35.12)
где
а =	« 5.29 х 10“9 см	(35.13)
де2
называется атомной единицей длины. Заметим, что вырожденная
гипергеометрическая функция в (35.12) сводится к обобщенному
полиному Лагерра (см. Дополнение 10):
T(i + l-»,2i + 2; gr) =	(35.14)
а нормировочный множитель Nni определяется из условия нор-
мировки (32.31).
Мы видим, что дискретный энергетический спектр частицы
в кулоновском поле (35.7) представляет собой систему уровней,
сгущающихся к точке Е = 0, которая дискретному спектру не
принадлежит. Энергия каждого стационарного состояния одно-
значно определяется главным квантовым числом п и не зависит
от орбитального квантового числа I.
При данном значении энергии Еп, т. е. при фиксированном
значении главного квантового числа п, орбитальное квантовое
Лекция 9
157
Таблица 1. Низшие стационарные состояния в кулоновском поле
п	1	Символ состояния	Rni(r)	Nn
1	0	1s	( 7\ 3/2 (к) 2ехр(—Zr/a)	1
2	0	2s	(Z/2a)3/2(2 - Zr/a) exp(-Zr/2a)	4
	1	2р	(Z/2a)3,/2(Zr/v/3a) exp(—Zr/2a)	
3	0	3s		
	1	Зр	(Z/3a)3/29V2Z«’’(1 1^)еХр(	9
	2	3d	(Z/3a)3/2—^^exp(-Zr/3a) 27д/1б a2	
число I принимает п различных значений (35.10), каждому из
которых соответствует 21 + 1 линейно независимых функций
1pnlm(+) =	+)•
Следовательно, помимо вырождения по магнитному квантовому
числу т, обязательного для любого сферически-симметричного
поля (см. § 32), в кулоновском поле для всех уровней, кроме основ-
ного, имеет место дополнительное вырождение по орбитальному
квантовому числу I, которое было названо в § 32 «случайным».
Нетрудно проверить, что кратность вырождения каждого энерге-
тического уровня есть
Nn = n2.	(35.15)
В табл. 1 приведены квантовые числа низших стационарных
состояний частицы в кулоновском поле и указана кратность вы-
рождения Nn каждого энергетического уровня.
Отметим, что каждому энергетическому уровню, кроме
основного, принадлежат состояния как с положительной (I — чет-
ное), так и с отрицательной (I — нечетное) четностью.
Рассмотрим линейную комбинацию ip собственных функций,
принадлежащих некоторому энергетическому уровню:
гр = aipni + (3ipnV.
158
Раздел 2
(35.16)
(35.17)
(9.35.17а)
(9.35.176)
Пусть при этом четности чисел I и I' противоположны. Функция
является собственной функцией, принадлежащей тому же энерге-
тическому уровню, но она не обладает определенной четностью.
Поэтому частица, движущаяся в кулоновском поле с некоторым
определенным значением энергии, может находиться не только в
состояниях с определенной четностью, но и в таких состояниях,
в которых четность не имеет определенного значения (исключе-
нием является низший энергетический уровень, которому соот-
ветствует только четное состояние). Так, например, в состоянии
= (^2s + ^2р)/21/2 четность не имеет определенного значения.
Эта ситуация аналогична той, которая была рассмотрена в § 32
в связи с вырождением по т в произвольном сферически-сим-
метричном поле.
Укажем средние значения и г±2 в произвольном стацио-
нарном состоянии (п/):
г = (nl\r\nl) = ^(Зп2 — 1(1 + 1)),
г2 = (nl\r2\nl) = а п2 (5n2 + 1 — 31(1 + 1)),
2Z
— 1	Z/a
г =
п
__2 Z2/а2
Г ~п3(/ + 1/2)’
Эти формулы можно получить с помощью соотношений, приве-
денных в Дополнении 10.
С помощью (35.16) и (35.17) можно найти дисперсию коор-
динаты г в произвольном состоянии (пГ):
(nl\(r-rf\nl) = |(|^2{n2(n2 + 2)-/2(Z + l)2}.	(35.18)
Отсюда видно, что при фиксированном п координата г имеет ми-
нимальный разброс, если I имеет максимальное возможное зна-
чение I = п — 1. Такие кулоновские орбиты называются «круго-
выми».
В заключение отметим, что волновые функции (35.12), вы-
численные при произвольном Z, называются водородоподобны-
ми. При Z = 1 они описывают стационарные состояния ато-
ма водорода. Надо помнить (см. упр. 8.8), что в этом случае в
уравнение Шредингера, а следовательно и в соотношения (35.9)
Лекция 9
159
и (35.13), входит не масса электрона, а приведенная масса атома
водорода
(35.19)
Поскольку те тр, то возникающая при этом поправка к спек-
тру (35.7) и к волновым функциям (35.12) невелика. Однако ино-
гда ее необходимо учитывать (см. упр. 9.8).
§ 36. Трехмерный изотропный гармонический
осциллятор
Найдем стационарные состояния движения частицы с массой
[1 в поле с потенциальной энергией:
V(r) = ^цш2г2.	(36.1)
Ищем решение уравнения (32.26) для радиальной функции w(r)
при фиксированном значении I в виде
ui(r) = r/+1exp(-|(^)	(36.2)
где
/ ь ч1/2
ГО = (Д) ,	(36.3)
Wi (г) — некоторый полином. Решением соответствующего урав-
нения для Wi (г) является вырожденная гипергеометрическая
функция:
W) = r(l(f + |-£p + 3; (£)’),	(36.4)
причем квадратичная интегрируемость функции ui(r) имеет ме-
сто только в том случае, когда F сводится к полиному конечной
степени, т. е. тогда и только тогда, когда первый аргумент выро-
жденной гипергеометрической функции есть целое отрицатель-
ное число или нуль:
где
п = 0, 1, 2, 3, ...
(36.6)
160
Раздел 2
Отсюда получаем энергетический спектр трехмерного изотропно-
го гармонического осциллятора:
Ед = МЛ+ 3/2),	(36.7)
где
А = 2п + 1 = 1, 1 + 2, 1 + 4, ...	(36.8)
для выбранного значения I.
Из (36.8) следует, что Л может принимать только целые
неотрицательные значения:
Л = 0, 1, 2, 3, ...	(36.9)
и играет роль главного квантового числа.
Для обозначения стационарных состояний трехмерного гар-
монического изотропного осциллятора принято использовать вме-
сто пары квантовых чисел (Л, I) символ (1/2(Л — Z) + 1, I):
Is, Ip, 2s, Id и т. д. Комбинация квантовых чисел 1/2(Л—Z) имеет
простой смысл: она указывает, в который раз состояние с данным
значением I появляется в этой последовательности. При фиксиро-
ванном Л орбитальное квантовое число I может принимать сле-
дующие значения:
{0,2,4, ..., Л — 2, Л, если Л четное;
1, 3, 5, ..., Л — 2, Л, если Л нечетное,
(36.10)
причем каждому значению I соответствует одно значение п:
п=|(Л-/)
(36.11)
и 2Z+1 значений магнитного квантового числа т. Нетрудно прове-
рить, что кратность вырождения каждого энергетического уровня
есть
Ж = |(Л + 1)(Л + 2).	(36.12)
Радиальные функции имеют вид
MW = Nnlrle-X^r/^F^-n, I + |;	(36.13)
где
р(-п /_|_3- (=	Г(/ + 3/2) /-г+1/2/г2\
I ’ + 2’ W ) Г(п + / + 3/2) п V2J’
(36.14)
Лекция 9
161
Таблица 2. Низшие стационарные состояния трехмерного изотропного
гармонического осциллятора.
Г (ж) — гамма-функция, L^(x) — обобщенный полином Лагерра,
Nni — нормировочный множитель, определяемый условием нор-
мировки (32.31).
В табл. 2 приведены квантовые числа и радиальные функ-
ции Rni(r) низших стационарных состояний осциллятора и ука-
зана кратность вырождения ТУд каждого энергетического уровня.
Итак, мы видим, что энергетический спектр трехмерного гар-
монического изотропного осциллятора представляет собой экви-
дистантную систему уровней с расстоянием между ними hw, при-
О
чем минимальное значение энергии есть Все уровни с Л > 2
имеют «случайное вырождение» по орбитальному квантовому
числу I, которое обусловлено спецификой взаимодействия. От-
метим, что в отличие от движения в кулоновском поле здесь каж-
дому собственному значению гамильтониана принадлежат только
такие собственные функции, которые имеют одинаковую четность
(см. (36.10)). Поэтому любое стационарное состояние осциллято-
ра обладает определенной четностью, которая однозначно опре-
деляется энергией состояния:
Р=(-1)Л.	(36.15)
Теперь рассмотрим задачу о движении гармонического ос-
циллятора в декартовых координатах. Для этого представим по-
162
Раздел 2
тенциальную энергию (36.1) в виде
У(г) = |ди2(х2 + у2 + z2)
(36.16)
и заметим, что при этом гамильтониан системы принимает вид
(36.17)
где
ft2 д2 ,	2
2М дх2 2	'
(36.18)
Тогда любое решение стационарного уравнения Шредингера
Н'ф^г') = В-0(г)
представляется в виде
-0(г) =	(36.19)
причем каждая функция	(xt) удовлетворяет одномерному урав-
нению
а
Щ(хг)1/>г(х1) = Ег^г(х^,
i = 1, 2, 3,
(36.20)
Е — Ei + Е% + Е3.
(36.21)
Таким образом, в декартовых координатах наша задача сво-
дится к задаче о линейном гармоническом осцилляторе, которая
была рассмотрена в § 11. Используя полученные там результаты,
имеем
(ж, у, Z) =	(х)-^ (у)-фПг (z),	(36.22)
фщ(хг') = ^2п'"щ\г0у1/2Нп.	2 г" ,
Го = у/ h/yw,	(36.23)
Eni = fuv(nt + 1/2), rti = 0, 1, 2, 3, ...;
E = ЕП1г + ЕПу + Enz = fia;(3/2 + nx + ny + nz).
Таким образом, каждое стационарное состояние однозначно
определяется тремя квантовыми числами \пх, пу, nz),a его энер-
гия есть
Ад — hx(а т 2)’
(36.24)
Лекция 9
163
где
Л = пх + riy + nz.	(36.25)
Мы видим, что каждому энергетическому уровню Ед принадле-
жит столько линейно независимых состояний ЛГд, сколько суще-
ствует различных троек чисел пх, пу, nz, удовлетворяющих ра-
венству (36.25). Возможные значения этих чисел для Л = 0, 1, 2
представлены в табл. 3.
Таблица 3. Низшие стационарные состояния трех-
мерного изотропного гармонического осциллятора
(декартовы координаты).
Л	0	1	2
пх	0	1 00	200110
Пу	0	0 1 0	020101
nz	0	0 0 1	0 02 0 1 1
Na	1	3	6
Нетрудно проверить, что при любом Л кратность вырожде-
ния Na совпадает с той, которая дается формулой (36.12). По-
скольку четность полинома Эрмита Нп(£) есть (—1)", для четно-
сти функции 'фп^п.цп.г (х, у, z) (см. (36.22)) получаем
Р =
что совпадает с результатом (36.15), полученным при решении
задачи в сферических координатах.
Таким образом, мы нашли два полных ортонормированных
набора собственных функций гамильтониана трехмерного гармо-
нического изотропного осциллятора:
1) VWm(r) = Rni (,ryYlm ($, <р),
(36.26)
где Rni(r) дается формулой (36.13);
2) -фпгПуПг (х, у, z) = (х)-фПу (г),
(36.27)
где дается формулой (36.23).
Каждое состояние первого набора (36.26) задается значения-
ми трех физических величин: полной энергии, квадрата момента
количества движения и его проекции на ось z. Каждое состояние
второго набора (36.27) задается значениями трех квантовых чи-
сел: пх, riy, nz. Эти числа определяют энергию состояния (36.24)
164
Раздел 2
и могут рассматриваться как количества квантов колебаний (фо-
нонов) с энергией Йщ вдоль осей х, у, z соответственно. Наборы
|nZm) и \пхпуПх) дают эквивалентные описания стационарных
состояний трехмерного осциллятора, а переход от одного описа-
ния к другому осуществляется с помощью унитарного преобра-
зования (см. § 24).
Упражнения к лекции 9
9.1.	Найти импульсное распределение трехмерного гармо-
нического осциллятора, находящегося в состояниях 1р.
9.2.	Найти матрицы преобразования волновых функций ста-
ционарных состояний трехмерного гармонического осциллятора
соответствующих энергетическим уровням сЛ = 1иЛ = 2
и заданных в представлении |nZm), к представлению \пх, пу, nz).
Проверить унитарность найденных матриц.
9.3.	Показать, что в представлении волновых функций ста-
ционарных состояний трехмерного гармонического осциллятора
матричные элементы оператора координаты г отличны от нуля
только для состояний, соответствующих соседним энергетиче-
ским уровням.
9.4.	Найти энергетический спектр анизотропного гармони-
ческого осциллятора с потенциальной энергией
V(r, 0) = |/zw2r2(l + pPz^cosO)),
где Р-2 (cos 0) — полином Лежандра, (3 — некоторый вещественный
параметр.
Нарисовать схему расположения первых десяти энергетиче-
ских уровней для значений параметра (3 в интервале — 1 < (3 < 1.
Указать кратности вырождения всех уровней.
9.5.	Выразить гамильтониан трехмерного гармонического
осциллятора через операторы рождения и уничтожения квантов
колебаний вдоль осей х, у, z.
9.6.	Найти импульсное распределение электрона, находяще-
гося в основном состоянии атома водорода.
9.7.	Вычислить средний электростатический потенциал,
создаваемый в пространстве атомом водорода, находящимся в
основном состоянии. То же для иона гелия Не+.
Лекция 10
165
9.8.	Вычислить разность потенциалов ионизации атомов во-
дорода и тяжелого водорода.
9.9.	Вычислить потенциал ионизации мезоатома водорода,
находящегося в основном состоянии (масса -мезона превышает
массу электрона в 207 раз).
9.10.	Оценить зависимость вероятности захвата ядром
-мезона, находящегося в основном состоянии мезоатома, от
заряда ядра Ze (захват обусловлен реакцией + р = п + и).
9.11.	Согласно классической механике при движении части-
цы с массой р и зарядом (—е) в кулоновском поле заряда Ze
сохраняется следующая векторная величина:
А = —Ze2^ + J[PxL],
которая называется вектором Рунге-Ленца. Построить кванто-
во-механический оператор, соответствующий этой физической
величине, и показать, что он коммутирует с гамильтонианом си-
стемы.
9.12.	Определить плотность распределения координаты z
трехмерного изотропного гармонического осциллятора, находя-
щегося в каждом из состояний \nlm) с Л = 1.
9.13.	Вычислить матричные элементы (2р, m^2s). Что
можно было бы сказать о результате на основании соображений
о размерности?
ЛЕКЦИЯ 10
§ 37. Квантование момента количества движения
с помощью перестановочных соотношений
В § 32 мы нашли спектры и общие собственные функции
операторов L2 и Lz. При этом использовались явные выраже-
ния для этих операторов в координатном представлении и реша-
лись соответствующие уравнения на собственные значения в про-
странстве Ь2. Сейчас мы покажем, что эти же результаты можно
получить, исходя только из коммутационных соотношений для
операторов проекций момента на оси координат:
з
[bi, Lk] =	(37.1)
Z=1
166
Раздел 2
Эти перестановочные соотношения легко получить (см. упраж-
нение 1.7), воспользовавшись явным видом операторов. Одна-
ко вскоре мы увидим, что физическое содержание соотноше-
ний (37.1) значительно богаче тех непосредственных следствий,
которые вытекают из явного вида операторов момента.
Введем безразмерные операторы момента:
(37.2)
(37.3)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
з
['Л? Jk\ =
1 = 1
[J2, Л] =0.
(37.4)
(37.5)
С их помощью определим два новых неэрмитовых оператора:
J+ =2-1/2(Jx+iJy),
j = 2-х/2(Л - iJy),
(37.6)
(37.7)
которые удовлетворяют следующим соотношениям:
(J±)+ =
J+J- = |(J2-J^ +Л),
[J2, J±] = 0,
[Jz, J±] = ±J±,
[J+,J-]=Jz.
(37.8)
(37.9)
(37.10)
(37.11)
(37.12)
(37.13)
Допустим, что мы нашли полный набор собственных функ-
ций коммутирующих операторов J2 и Jz. Обозначим его через
{| J2, т)}. В представлении этих функций имеем
(J2, m|J2 — J%\J2, т) = J2 — т2.
(37.14)
Лекция 10
167
С другой стороны,
(J2, m|J2 - J2Z\J2, т) = (J2, m\J% + J2\J2, m) > 0. (37.15)
Следовательно,
J2 — m2 > 0, t. e. m2 < J2.	(37.16)
Таким образом, при фиксированном значении J2 величина т
ограничена сверху и снизу:
mmin < т < mmax.	(37.17)
Теперь покажем, что | J2, т) удовлетворяет соотношению
,7 |./2. ж) = Л J2, ж 11).	(37.18)
где А — константа. Для этого подействуем оператором [Jz, .7 на
функцию | J2, т) и учтем (37.12):
(JZJ± - J±JZ)\J2, т) = ±J±|J2, т).	(37.19)
Отсюда получаем
X(J±|J2, m)) = (m± 1)(J±|J2, m)),	(37.20)
т. e. J± | J2, m) есть собственная функция оператора Jz, принад-
лежащая собственному значению Jz = т ± 1. Следовательно,
| J2, т) удовлетворяет соотношению (37.18).
Из (37.18) мы видим, что действие оператора J+ на волновую
функцию J2, т) приводит к увеличению проекции момента т на
единицу, а действие оператора .7 приводит к уменьшению т на
единицу. Поэтому оператор J+ можно назвать «повышающим»,
а оператор .7 — «понижающим».
Поскольку по определению величин тшах и mm;n состояний
с т > и т < mmin не существует, имеем
, пгтах) — 0,
J—\J , nimin) = 0.
(37.21)
Отсюда получаем:
, ПГтах) — 0, J -l \J , /^rriin) — 0*
168
Раздел 2
Используя (37.9) и (37.10), запишем эти равенства в виде
(J2 -	— Jz)\J2,	= 0,
(J2 -	+ Л)|<Л mmin) = 0,
ИЛИ
^max ^-max)|'^ , ^Gnax/1 — О,
^min ^min)|^ 7 ^-min) — 0-
Следовательно,
J — mmax — штах = 0,
0	9	.zzj
J 77lmjn “H nimin — 0.
Нетрудно проверить, что при естественном условии mmax > mm;n
эти два уравнения относительно пгтах и тш[п совместимы только
в том случае, когда
mmin < 0, mmax = -mmin.	(3/.23)
Введем обозначение
ТОтах = j-	(37.24)
Тогда из (37.23) получаем
Wnin = -j, j > 0.	(10.37.24а)
Из (37.22) следует
J2= J(J + 1).	(37.25)
Итак, при заданном значении j > 0 собственное значе-
ние оператора квадрата момента определяется формулой (37.25),
а проекция момента на ось z может принимать значения из ин-
тервала
-з < Ш < j.	(37.26)
Какие же значения может принимать j?
Выше было показано, что если | J2, т) есть собственная
функция операторов J2 и Jz, принадлежащая собственным зна-
чениям J2 = j(j + 1) и Jz = т, то функция | J2. т) есть соб-
ственная функция тех же операторов, принадлежащая собствен-
ным значениям J2 = j(j + 1) и Jz = т + 1. Поэтому при за-
данном значении j проекция момента может принимать только
следующие значения:
т = j, j - 1, j - 2, ..., -j.
(37.27)
Лекция 10
169
В свою очередь, это возможно только в том случае, если j имеет
целое или полуцелое значение:
j = 0,	1, |, 2, |, 3, ...	(37.28)
При каждом значении j из этой последовательности величина т
принимает (2j + 1) значение (37.27). Величина j обычно называ-
ется квантовым числом момента количества движения частицы.
Таким образом, исходя из перестановочных соотноше-
ний (37.1) для операторов проекций момента на оси координат, мы
нашли спектры операторов J2 и Jz. Важным свойством спектра
оператора квадрата момента является то, что квантовое число j
может принимать не только целые, но и полуцелые значения. Це-
лые значения мы уже получили в § 32 при решении задачи на
собственные значения для оператора L2, где использовался яв-
ный вид этого оператора. Сейчас мы видим, что при квантовании
момента с использованием лишь перестановочных соотношений
спектр получается богаче: наряду с целыми имеются и полуцелые
значения квантового числа j.
Опыт показывает, что полуцелые значения момента количе-
ства движения (в единицах /;), так же как и целые, реализуются в
природе в виде внутреннего момента частиц — спина. Электроны,
протоны, нейтроны, гипероны, ц-мезоны и нейтрино имеют спин
з = л-мезоны и К-мезоны имеют спин s = 0. Здесь и далее
мы будем пользоваться символом s для обозначения квантового
числа спинового момента:
S2 = s(s + 1).	(37.29)
Для квантового числа орбитального момента принято обозначе-
ние I. Итак, если I может принимать только целые, то s — как
целые, так и полуцелые значения.
§ 38. Матрицы операторов момента количества
движения
Возьмем совокупность 2J +1 векторов состояний |Jm), где т
пробегает, в зависимости от j, либо все целые, либо все полуце-
лые значения от j до —j. Здесь квантовое число j может обозна-
чать либо орбитальный момент частицы, либо ее спин, либо, как
170
Раздел 2
мы увидим, в § 41, ее полный момент количества движения, обра-
зующийся при сложении орбитального момента и спина. Векто-
ры |jm) были введены в § 37 как собственные векторы операторов
квадрата момента и его проекции на ось z:
J2|;m) = j(J+
~	(35.1)
Jz\jm) =
Найдем матрицы различных операторов, построенных из операто-
ров Jx, Jy, Jz, выбрав векторы \jrri) в качестве базиса. С задачей
такого типа мы уже имели дело в лекции 8 (упр. 8.6). Чтобы
решить ее, удобнее всего было задать операторы проекций орби-
тального момента частицы в сферических координатах и в соот-
ветствии с этим выбрать определенное представление базисных
векторов, а именно: Д. <p\lm) = Yim(0, ip). Конечно, наш резуль-
тат не изменился бы, если бы мы взяли и операторы, и базисные
векторы в других, скажем в декартовых, координатах. Подчерк-
нем, что независимо от того, возьмем ли мы сферические или де-
картовы координаты, в любом случае мы должны воспользоваться
конкретным представлением базисных векторов |Zm) и рассмат-
риваемых операторов, после чего дело сводится к вычислению
интегралов.
Представим теперь, что нам надо решить задачу типа
(упр. 8.6), но не для операторов орбитального момента, а для
оператора спина. Например, как выглядит матрица оператора s2
в представлении собственных функций операторов s2 и sz? Пы-
таясь решить эту задачу по тому же рецепту, что был изложен
выше, мы должны были бы первым делом задать явный вид или,
другими словами, конкретное представление векторов |sms), яв-
ляющихся собственными векторами операторов s2 n s,. Как это
сделать? От какой переменной зависит спиновая волновая функ-
ция |sms)? Каковы возможные значения этой переменной?
Аппарат, разработанный в предыдущем параграфе, позволя-
ет решить поставленную задачу в обход этих вопросов. Начнем
с вычисления матричных элементов операторов J+ и J_.
Для этого вычислим среднее от оператора J+ J_ в состоянии
\jrri), определенном соотношением (38.1). Согласно (37.9), имеем
{jm\J+J_ \jrn) = ^{j(j + 1) - m2 - m}.	(38.2)
С другой стороны,
(jm\J+J_\jm) =	(38.3)
j'm'
Лекция 10
171
Согласно (37.18) матричные элементы операторов J+ и .7 диа-
гональны по j, поэтому j' в (38.3) принимает единственное зна-
чение j' = j. Число т! тоже принимает единственное значение
т' = т — 1. Таким образом,
1|J_\jm) =
=	- 1)|2. (38.4)
Из (38.2) и (38.4) получаем
/• iT i- i\	+m)(J ~m + l)
= ewi/-------------------.	(38.5)
Воспользуемся свободой в выборе фазовых множителей волновых
функций \jm) и положим 5 = 0. Тогда получим
- 1) = (j,m-	\ ------------------.
(38.6)
Все другие матричные элементы операторов J+ и равны нулю.
Далее найдем матричные элементы операторов Jx и Jy.
Из (37.6) и (37.7) имеем
X = -)=(J+ + J), Jv = -^=(Х - J+).	(38.7)
Из (38.6) следует, что нетривиальные матричные элементы этих
операторов имеют вид
(jm\Jx\j, т л 1} = |У(7 ±m)(j =F^ + 1),	(38.8)
{jm\Jy\j,mT 1} = Х>\Х±т)(.Я»т1 + 1).	(38.9)
Матрицы операторов Jz и J2 в представлении \jm), очевидно,
диагональны:
= тЗтт>,
= j(j + 1)6тт'.
(38.10)
(38.11)
172
Раздел 2
Итак, мы получили формулы для вычисления диагональных
по j матричных элементов операторов J+, J_, Jx и др. Легко
показать, что недиагональные по j матричные элементы всех этих
операторов равны нулю.
Матрица каждого из операторов	и т. п. при фиксиро-
ванном j имеет размерность (2/ + 1) х (2/ + 1).
Построим, например, эти матрицы для j = 1. В этом случае
имеем
т = +1, 0, —1.
Нумеруя строки и столбцы матриц в указанной последовательно-
сти, получаем матрицы размерностью 3x3:
/О 1 0\	/0 0 0\
J+ = 0 0 1 , J_ = 1 о о ,
\0 0 0/	\0 1 о/
/О 1 0\	/О —i ° \
Jx = -р 1 0 1 , Jy = -р г 0 -г ,	(38.12)
V2 \0 1 0/	V2 \0 г 0 /
/1 0 0 \	/2 0 0\
Jz = 00 0	, J2 = 0 2 0 .
\0 0 -1/	\0 0 2/
Базисом для представления операторов (38.12) послужили
три вектора |/m): |1; 1), |1; 0) и |1;—1). Каждый из этих векто-
ров тоже удобно представить в виде матрицы (столбца) в том же
представлении:
/1\	/0\	/0\
|1 1) = 0 , |10) = 1 ,	1, —1> = 0 .	(38.13)
W	W	V/
Соответственно для бра-векторов (jm\ получаем
<1 1| = (1 0 0), <1 0| = (0 1 0), <1, —1| = (0 0 1). (38.14)
Рассмотрим примеры использования матриц (38.12) в про-
стейших расчетах.
П ример 1: разложить вектор Jx Л/1 1) по базису (38.13).
Лекция 10
173
Решение:
/О	1	0\	/О	—i	О\	/1\
ЛЛ|1 1) = 4= 1	о	1	г	О	—i	О =
V2 \О	1	О/	V2	\О	i	О /	\О/
/г/2\	.	/1\	.	/О\
=	°	=| О +| О .
М/2/ W U/
Итак,
Л4|11) = ||11) + ||1, -1}.
Пример 2: найти среднее значение величины в состо-
янии 1 0}. Решение:
§ 39. Спиновая волновая функция частицы
Волновая функция произвольного состояния бесспиновой ча-
стицы является, как мы знаем, функцией трех переменных. В ко-
ординатном представлении это компоненты радиус-вектора части-
цы г = {х, у, z}, или г = {г, 0, </>}, в импульсном — компоненты
импульса р = {рх, ру, pz} и т. п. Возьмем теперь частицу со спи-
ном я. В нерелятивистской квантовой теории величина спина s яв-
ляется вполне определенной характеристикой, присущей каждой
частице. Это значит, что оператор квадрата внутреннего момента
частицы s2 при всех обстоятельствах коммутирует с полным га-
мильтонианом системы, в которую входит частица (в том числе с
гамильтонианом свободной частицы), а также с операторами всех
динамических переменных, характеризующих движение частицы
как целого. Иными словами, спиновые операторы действуют в
совсем другом пространстве, нежели пространство переменных
{х, у, z} или эквивалентных им переменных, характеризующих
поступательное движение частицы.
174
Раздел 2
Пространство спиновой переменной частицы одномерно.
В общем случае будем обозначать эту переменную символом а.
Спиновую волновую функцию частицы будем записывать в ви-
де х(сг) или ys(cr); когда понадобится, будем также снабжать
символ Xs (<т) дополнительными индексами, характеризующими
спиновое состояние частицы. Частица со спином s может, на-
пример, находиться в одном из 2s + 1 состояний, где определена
проекция спина на ось г; согласно правилам § 38 мы обозначим
их |sms), где ms = s, s — 1, ..., — s. Соответствующую спиновую
волновую функцию будем записывать в виде
Xsms(o-) = (c|sms).	(39.1)
Сравним (39.1) с соответствующей записью пространственной
волновой функции частицы (например, для частицы, движущейся
по определенной «квантовой орбите» в сферически-симметрич-
ном поле):
VWm(r) = (r|n/m).	(39.2)
Таким образом, в соответствии с терминами, которые мы ввели
в §23, можно сказать, что в выражении (39.1) символ sms явля-
ется индексом состояния, а символ а — индексом представления.
Переменная а — это дискретная переменная. При фиксиро-
ванном s она принимает 2s + 1 различных значений. Можно, на-
пример, взять в качестве а значение проекции спина на ось z\
а = sz = s, s — 1, ..., —s.	(39.3)
При таком выборе спиновой переменной значения волновой функ-
ции (39.1) в точках (39.3) вычисляются по простой формуле:
(<r|sni5) — $атя-
(39.4)
Если расположить все 2s + 1 значений (39.4), отвечающих каж-
дому ms, в определенном порядке (скажем, в порядке следования
от sz = +s до sz = —s), то мы получим 2s + 1 столбцов по (2s +
+ 1) элемента в каждом. Каждый из таких столбцов — это вектор
состояния s:r;;; в представлении а = sz:
А
|s, т8 = s) =	.
s, ms = s — 1)
И т. д.
(39.5)
\о/
W
Лекция 10
175
Частным случаем такого представления является запись векторов
состояний (38.13) при s = 1.
Подчеркнем, что запись векторов состояний |sm0 в виде
столбцов (39.5) отнюдь не универсальна, а связана с выбором
определенного представления (39.3). Так, например, один и тот
же вектор 1 1) (описывающий состояние со спином, равным еди-
нице, и его проекцией на ось z, тоже равной единице) в представ-
лении (39.3) записывается согласно (39.4)
|11) =
(39.6)
а в другом представлении, где а = sy,
(39.7)
(см. упр. 10.10).
Спиновые волновые функции называются спинорами. Мы бу-
дем выбирать их ортонормированными согласно условию (2.16):
{Xsm„ IXsm's ) — Xsms((T)Xsm's — ^т.,т'я-	(39.8)
Большое значение имеет также условие полноты
52 WXm, (О’') =	,	С39-9)
которое можно также записать в виде
Xsms } (Xsms | —	(39.10)
Итак, полная волновая функция частицы со спином зависит
от четырех переменных, например:
Ф = Ф(г, а) = (г, <т Ф). Условие нормировки (1.3) имеет вид	(39.11)
52 1 |Ф(г, <5)|2d3r = l. а	(39.12)
176
Раздел 2
Пусть Ф(г, 6) — волновая функция какого-то состояния частицы
со спином в. В каждой точке г ее можно разложить по полному
набору спиноров (39.5):
S
m5. = — s
(39.13)
О каждой из (2s +1) функций (г) в разложении (39.13) можно
сказать, что она описывает движение частицы в состоянии, где
проекция ее спина на ось z равна ms. Выражение
/Эт.,(г) = |йп.,(г)|2
(39.14)
есть плотность распределения координаты частицы в этом состо-
янии, а сумма
P(r)=52^W	(39.15)
— плотность распределения координаты в состоянии с полной
волновой функцией (39.13) безотносительно к ориентации спина.
С другой стороны, величина
Pms (г) _ Pms (г)
Е Рт., (г) РИ
(39.16)
есть относительная вероятность того, что в точке г проекция спи-
на частицы на ось z равна т3 (заметим, что одновременное из-
мерение положения и проекции спина возможно ввиду коммута-
тивности соответствующих операторов). Наконец, интеграл
Рт„ (г) d3r = Wms
(39.17)
есть вероятность того, что в состоянии, описываемом полной вол-
новой функцией (39.13), проекция спина частицы на ось z рав-
на ms безотносительно к положению частицы в пространстве.
Из условия ортонормированности спиноров (39.8) и соотноше-
ния (39.12) следует:
!3г =
(3
(39.18)
Лекция 10
177
Выше мы рассмотрели волновую функцию частицы со спином в
координатном представлении. Переход к импульсному представ-
лению осуществляется по общим правилам:
Ф(г, О') = (г, ст|Ф) = У (г|р)(р, сг|ф) cZ3p;	(39.19)
каждый из (2s + 1) элементов спинора Ф(р, ст) выражается через
соответствующий элемент спинора Ф (г, а) с помощью унитарно-
го преобразования (р|г):
^т.,(р)= [	* 3/2е пРГ0т.,(гМ3г- (39.20)
Рассмотрим, как в общем случае вычисляются матричные эле-
менты операторов, действующих на пространственные и на спи-
новую переменные волновой функции частицы со спином. Пусть
F — такой оператор, а ф(А)(г, ст) и ф(в\г, ст) — две волновые
функции (которые мы взяли для определенности в координатном
представлении). В общем случае оператор F недиагонален по а:
Рф(г, а) = ^2Г(о-, ст')Ф(г, а'),	(39.21)
а'
здесь F(ct, ст') — оператор, действующий на переменную г. Таким
образом, матричный элемент (ф(л) |щ/гГ|ф(в)) вычисляется по
правилу
(ф(ур|ф(в)) = £ У Ф(л)*(г,ст)Р(ст,ст')Ф(в\г,ст')й3г.
<7 <У'
(39.22)
Представим волновые функции ф(А) и Ф(/;* в виде (39.13),
т. е. разложим их по спинорам Xsm, (с), описывающим состояния
с определенным значением проекции спина на ось z:
Ф(А)(г, ст) = У2^?(гМтв(о-),	(39.23)
ф(в)(г, ст) = ^^4r)Xsm's (ст).	(39.24)
178
Раздел 2
Тогда для (39.22) получаем
(Ф(л)*|и7гГ|Ф(в)) =
= 12 /	HxSmi(H}v2|)*(r)3r-
m5m's	аа'
(39.25)
В фигурных скобках стоят, как мы видим, матричные элементы
оператора F в обкладках спиновых состояний с определенными
значениями проекции спина на ось z\
(ms|F|m^ =	(Н-	(39.26)
сгсг'
В общем случае матричные элементы (39.26) — это операторы
в координатном пространстве, но в простейших частных случаях,
когда F представляет собой комбинацию операторов проекций
спина, (ms\F\mrs) — это числовая матрица.
Представим совокупность (2s+l) функций ^та (г), входящих
в (39.24) или (39.23), в виде спинора
(фт,=3(г) \
^т.,=8-1(г) _	(39.27)
Сопряженный ему спинор запишется в виде строки
|ф)+ = (Ф| = (C,=s(r), C^Jr), ..., C.,=_s(r)). (39.28)
Тогда видно, что матричный элемент (39.25) можно вычислять по
обычным правилам перемножения матриц («строка на столбец»).
(Ф(А)|Р|Ф(В)) = ^2 J (Ф(А)КХтоз|ЛЧКЧ|Ф(В)1М3г,
(39.29)
где (ф(А)|т<,) — строка функций	a (m's Ф(/>'1 |) — столбец
функций ^?*(г).
При выводе правила (39.29) нам нигде не потребовалось вы-
бирать спиновую переменную а в явном виде. Разумеется, ре-
зультат не зависит от выбора представления. В дальнейшем, если
только не будет сделано специальных оговорок, мы будем и спи-
норы, и матрицы спиновых операторов записывать в представле-
нии \sms), где ms — проекция спина на ось z, так, как это было
сделано в § 38.
Лекция 10
179
§40. Спин
»	2
Этот случай мы разберем подробнее.
При s = проекция спина на выделенное направление при-
нимает два значения:	и — Спиновые волновые функции
представляют собой двухкомпонентные спиноры, а спиновые опе-
раторы — матрицы размерности 2x2. Вычислим эти матрицы в
представлении |sms), где ms — проекция спина на ось z, пользу-
ясь общими формулами из § 38:
Sx
П /о 1\
2 V 0J ’
? W() -Л
11	2 \j 0 J ’
sz
h А о А
2 \° А
(40.1)
s2 = W
4
1 А
0 V
(здесь строки и столбцы идут в следующем порядке: ms = +
ms = — ^). Базисные векторы этого представления Xi/2m, =
= |i, ms} имеют вид:
Xi 1 —
2’2
= A -А =
|	2’ 2
(40.2)
Х1
2 ’
Операторы проекций спина удобно выразить через соответ-
ствующие три матрицы ах, ау, az (матрицы Паули):
К
2
i = х, у, z,
/о 1\ - _ <о -Л ~ _ Л о А
А оу ’ аУ ~ V 0 у ’ az ~ ^0 -1J ’
которые обладают следующими свойствами:
а)	все матрицы Паули эрмитовы:
А = А+;
б)	все матрицы Паули унитарны:
= CTj.CT.j’ = охсА = I;
ы у
(40.3)
(40.4)
(40.5)
(40.6)
180
Раздел 2
вместе с (40.5) это дает также
ст^ = ст^ = ст| = 7;	(40.7)
в)	различные матрицы Паули антикоммутируют между со-
бой:
aiaj = -а3аг, г j;	(40.8)
г)	произведение двух матриц Паули дает третью:
ахау = i&z, &y&z = *СТЖ, &z&x = l&y (40.9)
Все эти соотношения легко проверяются непосредственно,
используя вид матриц (40.4).
Соотношения (40.7) и (40.9) можно объединить в одно общее
соотношение:
ct/ctj = I§ij +i'^2eijkak.	(40.10)
к
Отсюда легко также получить общую формулу для коммутатора
двух матриц Паули:
j] 2z
к
(40.11)
Помимо матриц (40.4) часто используются (например, в теории
элементарных частиц в
еще две:
качестве оператора изоспина нуклона)
0\	,/()()/
0J ’	а~ ~ ^0 1) ’
(40.12)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что они име-
ют смысл проектирующих операторов да состояния |1/2, 1/2)
и |1/2, —1/2) соответственно:
1, I) = 11, I),
2 2'	2 2Л
М) = о,
2 2'	’
~	,1	1\	_	п
о + 12’	°’
-	,1	1 ч	_	11	1\
2	^2’	2 ’
(40.13)
Пусть у (ст) — спиновая волновая функция произвольного
состояния частицы со спином Используя волновые функ-
ции Xi в качестве базиса, разложим у(ст) по этому базису:
2m“
ХИ = aXi 1И + Ati _i (ст).	(40.14)
2’2	2’ 2
Лекция 10
181
В представлении, где а = sz, имеем
(40.15)
Коэффициенты а и Ь должны удовлетворять условию нормировки:
|а|2 + |&|2 = 1,	(40.16)
а поэтому их всегда можно представить в виде
а = eia cos 3, b = е13 sin 5,	(40.17)
где a, (3, 6 — вещественные параметры, принимающие значения
из интервалов 0 < а < 2тг, 0 < /3 < 2тг, 0 < 3 < тг/2. Тогда
спиновая функция (40.15) принимает вид
ега cos 3
(г3 sin 3
(40.18)
Выясним физические свойства состояния, описываемого вол-
новой функцией (40.18). Для этого вычислим сначала средние зна-
чения проекций спина на оси х, у, z. Используя (40.3) и (40.4),
получаем
Sx =	sin25cos(a! - /3),
sy = <x|sy|x> = (I) sin 23 sin(a - /3),
sz = <x|sz|x) = (I) cos23.
(40.19)
(40.20)
(40.21)
Отсюда видно, например, что при <5 = 0 или 3 = тг/2 среднее зна-
чение проекции спина на ось z достигает максимального значе-
ния У или — при этом средние значения зх и sy равны нулю.
При 3 = 7г/4 среднее значение вектора спина лежит в плоско-
сти ху, а соотношение средних значений sx и sy определяется
фазой а — /3 и т. д.
Сейчас мы покажем, что при любых а, (3 и 3 существует та-
кое направление, проекция спина на которое имеет максимальное
значение +|.
182
Раздел 2
Зададим произвольное направление в пространстве единич-
ным вектором п:
п = {пх, пу, nz} = {sin$cos(£, sin в sin р, cos 9}.	(40.22)
Оператор проекции спина на это направление есть
sn = (sri) = 'Sx'rix + 8~уПу + sznz.	(40.23)
Подставляя сюда (40.4), получаем
1 / cos0 sin0e
2 ycos 9elv — cos 9 J '
(40.24)
Пусть h,> = собственный вектор оператора (40.24), т. е.
sn|sn = l/2) = l/2|sn = l/2).
(40.25)
Нетрудно проверить прямой подстановкой в (40.25), что |sn =
= 1/2) имеет вид:
(40.26)
Сравним (40.26) с (40.18). Для этого слепка преобразуем (40.18),
выделив фазовый множитель, несущественный при сравнении
двух выражений для волновой функции:
ега cos <5\ _ ia / cos <5
ё1^ sin 6 /	6 \ sin
(40.27)
Сравнение показывает, что для произвольного состояния (40.18)
частицы со спином i, характеризуемого тремя параметрами а, /3
и 5, существует единственное направление п, проекция спина на
которое равна . Соответствующие значения углов 9 и р выража-
ются через а, /3, 5 по формулам
9 = 2<5,
р = (3 — а.
(40.28)
Лекция 10
183
С помощью (40.28) легко найти волновые функции состояний
с определенными значениями проекции спина на любые направ-
ления. В частности, отсюда получаем
<40-29)
is«==(5/а>	(40-30)
и, конечно,
Is-	= = О •	(40.31)
\ и /
Заметим, что векторы (40.29)-(40.31) неортогональны друг другу.
Напомним также, что мы выбрали представление |sms), где ms —
проекция спина на ось z; в другом представлении явный вид
спиноров (40.29)-(40.31), разумеется, изменится.
Совершенно условно принято говорить, что в состояниях
(40.29)-(40.31) спин частицы направлен по оси х, у или z со-
ответственно, равно как и в общем случае (40.18) спин направлен
по вектору п, ориентированному в пространстве согласно (40.28).
Условность этого выражения связана с тем, что в квантовой меха-
нике невозможно одновременно указать определенные значения
всех трех проекций момента количества движения на оси ж, у, z,
поскольку соответствующие операторы Jx, Jy, Jz (в частности,
спиновые операторы Sj, и s"z) не коммутируют между собой.
А это значит, что никогда невозможно указать и определенное на-
правление вектора момента. Пусть, например, частица находится
в состоянии (40.29). В соответствии с принятым условием мы ска-
жем: спин частицы направлен по оси х. Однако легко убедиться,
что хотя средние значения проекций спина на перпендикулярные
направления в этом состоянии равны нулю:
- _ h / 1	1 \ (о —Л /1/\/2\ _
Sy ~ 2 1^2’ \/2' V 0 / V/W ” ’	(40.32)
sz = 0,
соответствующие дисперсии не равны нулю:
(.sy-syy = (,sz-szy =	(40.33)
Таким образом, выражение «спин частицы направлен по оси х»
применительно к состоянию (40.29), действительно, условно.
184
Раздел 2
Мы рассмотрели случай з = Если спин частицы больше
половины, то в этом случае общее выражение спиновой волновой
функции не соответствует состоянию с определенным значением
проекции спина на какое-либо направление (см. упр. 10.11). Та-
ким образом, если s 1, то, не накладывая особых ограничений
на вид волновой функции, нельзя сказать о направлении спина
частицы даже в том узком смысле, как это принято для частиц со
спином з =
Упражнения к лекции 10
10.1	. Написать матрицы операторов J2, Jx, Jy, Jz, J+, J_
3
для случая j = -.
10.2	. Найти среднее значение проекции момента на направ-
ление п в состоянии \jm), где т есть проекция момента на ось z.
10.3	. Найти средние значения величин J2, Jy в следующих
состояниях:
a) j = i, т = б) j = 1, т = 0; в) j = 1, т = —1; г)
j = - т = -
J 2’	2’
10.4	. Найти дисперсии величин Jx и Jy в состояниях:
a) j = 1, т = 0; б) j = 1, т = 1; в) j = т =
10.5	. Доказать соотношения:
а)	(ста)2 = а2/,
б)	(ста)(стЬ) = (ab)T + г ([а х Ь]ст),
в)	8р(ст(ста)(стЬ)) = 2г[а х Ь],
где а, b произвольные трехмерные векторы; I — единичный
оператор; ст = {ах, ау, crz} — векторный оператор Паули, компо-
нентами которого являются матрицы Паули (40.4); Sp А — след
матрицы А.
10.6	. Упростить коммутатор [ста)(стЬ)].
10.7	. Доказать соотношение
ег“ст“ = I cos а + iay sin а,
где ау — матрица Паули, а — произвольный вещественный пара-
метр.
Лекция И
185
10.8	. Доказать соотношения
ега(п<т) _ JCQSa _|_ j(n^) sill О!,
еа(па) = fcha + (na)sha,
где п — произвольный единичный вектор; а, а — вещественные
параметры.
10.9	. Показать, что любую матрицу второго порядка можно
разложить по четырем линейно независимым матрицам: I (еди-
ничная матрица), ах, ау и az.
10.10	. Доказать соотношение (39.7).
10.11	. Частица со спином s = 1 находится в состоянии
X = 2-1/2(|1, 1) + |1, —1)). Существует ли направление, про-
екция спина на которое в данном состоянии имеет определен-
ное значение? То же, если частица находится в состоянии у =
= 3“1/2(|1, 1) + |1, 0) + |1, -1)).
10.12	. Частица имеет спин s = |. Убедиться в том, что
оператор
7?(п, а) = ехр^а:(п • s)|,
где п — произвольный единичный вектор, а — вещественный
параметр, есть оператор поворота на угол а вокруг оси п.
ЛЕКЦИЯ 11
§ 41.	Сложение моментов количества движения
1.	Коэффициенты векторного сложения
Правила квантования, которым подчиняются орбитальный и
внутренний моменты количества движения отдельной частицы,
оказываются справедливыми для полного момента частицы j =
N
= 1 + s, а также для суммарного орбитального L =	спи-
N	N	fe=l
НОВОГО s =	И ПОЛНОГО J =	+ s^) моментов
/с—1	/с—1
количества движения системы частиц. Докажем это утверждение.
186
Раздел 2
Пусть J есть сумма двух моментов количества движения
J = jC1) + j(2),	(41.1)
причем операторы jW и J12’ подчиняются перестановочным со-
отношениям (37.4), (37.5):
= *£«.j?’.	l(Jm)2, j?’l = О- <4L2)
I
Из этих соотношений, как было показано в § 37, вытекают правила
квантования:
(J(1))2 = j1(j1 + 1), jW = mi =	j1 _ 1, ..., _j1;
(J(2))2 =	+ 1),	=m2= j2, Ji - 1, ..., -j2-
Дополним (41.2) перестановочными соотношениями
[^1}, JJ2)] =0,	(41.4)
показывающими, что операторы jW и J12-1 действуют в разных
пространствах. Из (41.4) также следует
[jW, (J<2))2] = 0,	[J^2), (J(1))2] = 0.	(41.5)
Вводя оператор
J = J(1)+J(2),	(41.6)
мы непосредственно получаем из (41.2) и (41.4)-(41.6) следующие
перестановочные соотношения для этого оператора:
[Ji, Jk] = г eikiJi, [J2, Jk] = 0,	(41.7)
I
[J2, (JW)2]=o,	[Л, (J(1))2]=0,
[J2, (J(2))2] =0,	[Л, (J(2))2] = 0.
Заметим, что в то же время
[?2ЛХ)]^0,	[J2, Л2)]^0.	(41.9)
Лекция И
187
Из (41.7) следует, что суммарный момент (41.1) подчиняется
общим правилам квантования момента количества движения:
J2 = j(j + 1), Jz = т = j, j - 1, ..., -j.	(41.10)
Перестановочные соотношения (41.8) показывают, что указание
пары квантовых чисел j и т совместимо с указанием другой пары
чисел — Ji и j2- Это позволяет поставить вопрос: каковы возмож-
ные значения квантового числа j в (41.10) при фиксированных
значениях чисел .у) и j2? Рассмотрим его.
Пусть iJimi) и IJ2TO2} — собственные функции операторов
(jW)2, и (j(2))2, J^2-1 соответственно. Очевидно, что их про-
изведение
= \jirrt!, j2m2)	(41.11)
является собственной функцией оператора Jz =	+ J^:
Jz\jimi, j2m2) = m\jimi, j2m2),	(41.12)
причем соответствующее собственное значение этого оператора
связано с mi и m2 простейшим образом:
m = mi+m2.	(41.13)
Легко подсчитать, что полное число различных состояний
j2m2') при фиксированных ji и j2 равно (2ji + 1)(2J2 + 1).
Можно убедиться непосредственно (а кроме того, это сле-
дует из (41.9)), что |Jimi, ]2т-2) не описывает, вообще говоря,
состояния с определенным значением j. Введем еще один набор
состояний, которые обозначим	каждое из них есть одно-
временно собственное состояние операторов (J-1-1)2. (j(2))2, (J)2
и Jz, которые, как было показано выше, коммутируют меж-
ду собой. При фиксированных ji и j2 состояния 7'2^2)
и |71727Эп) представляют собой эквивалентные наборы; поэто-
му полное число различных состояний в каждом из этих на-
боров должно быть одним и тем же. Пусть -2m2 =
= (jimi, j2m2\jij2jm) — это коэффициенты, образующие мат-
рицу преобразования от одного набора к другому:
\j1j2jm} =	С^т1,]2т2\31т1, j2m2},	(41.14)
11111112
|Jimi, j2m2) = 52 ш2\jihjm)	(41.15)
188
Раздел 2
(мы будем всегда считать эту матрицу вещественной, определяя
из этого условия фазовые множители векторов \jij2jrrn'). Кванто-
вые числа т, т± и m2, входящие в коэффициенты j2ni2,
связаны между собой соотношением (41.13). Чтобы найти при
фиксированных Д и j2 возможные значения j, будем рассуждать
следующим образом.
Во-первых, убедимся в том, что j не может быть больше
арифметической суммы ji + Д. Действуя от противного, предпо-
ложим, что j > ji + j2- Тогда согласно (41.10) среди возможных
значений т будут такие, которые по абсолютной величине боль-
ше, чем Д +j2- Это требует соотношения |mi +rri2\ > ji +j2, что
противоречит (41.3). Во-вторых, легко видеть, что максимальное
значение j не может быть меньше, чем ji + Д. Действитель-
но, в противном случае нельзя было бы удовлетворить соотно-
шению (41.15), если в его левой части взять, например, макси-
мальные значения чисел т: и m2'. пц = Д и m2 = Д. Итак,
максимальное значение j равно ji + Д.
Полное число состояний \jij2jrrri'), соответствующих значе-
нию jmax = ji +Д и имеющих разные т, есть, очевидно, 2jmax +
+ 1 = 2(Д+Д)+1. Присоединяя к ним все состояния \j1j2jm'), со-
ответствующие значениям j = jmax — 1, j =	— 2 и т. д., и уста-
навливая их соответствие состояниям другого набора |Jimi7’2^2)
мы исчерпаем весь этот набор, когда пройдем весь ряд после-
довательных значений j от Jmax = Д + j2 до Jmin = |Д — Д |.
Действительно, полное число различных состояний |ДД^т), со-
ответствующих этому интервалу, есть
31 +32
£ (2J 4-1) = (2Д + 1)(2Д 4-1),	(41.16)
2=131 - h I
что равно числу различных состояний (ДтхДтД при тех же
значениях Д и Д.
Итак, при фиксированных Д и Д коэффициенты -2т2
подчиняются условию
j = ji + Д, Д + Д - 1, • ••, |Д — Д|, ТП = mi +т2 (41.17)
и образуют квадратную матрицу. Они называются коэффициента-
ми векторного сложения (коэффициентами Клебша -Гордана).
Для них существует много разных обозначений, в частности
следующее:
Cj^nihm2 = O’imb j2m2\jm}.	(41.18)
Лекция И
189
Из унитарности преобразования (41.14)-(41.15) вытекают соотно-
шения
Дт2|;т)(Дт1, j2m2\j'm') = 6ц'6тт>, (41.19)
Ш1Ш2
(41.20)
jm
выражающие свойства ортонормированиести и полноты коэффи-
циентов векторного сложения. Ряд других полезных соотношений
для этих коэффициентов, которые мы не будем выводить, приве-
ден в Дополнении 11. Имеются таблицы численных значений ко-
эффициентов Клебша-Гордана; существуют также простые фор-
мулы для их вычисления (Дополнение 11).
Коэффициенты векторного сложения имеют простой физи-
ческий смысл. Как видно из (41.14), величина j2m2)2 есть
вероятность того, что в состоянии |ДД7’т) (где суммарный мо-
мент двух подсистем равен j, а его проекция на ось z равна т)
проекция момента первой подсистемы на ось z имеет определен-
ное значение mi, а проекция момента второй — значение т2 =
= т — mi. Та же величина j2m2)2 есть согласно (41.15)
вероятность того, что в состоянии \jimi, ]2т-2) (где заданы значе-
ния проекций моментов каждой из подсистем) суммарный момент
системы равен j.
2.	«Правило треугольника»
Обратимся к соотношениям (41.17). Первое из них определя-
ет, при фиксированных значениях Ди j2, возможные значения j.
Однако его можно прочитать и по-другому. Пусть фиксированы,
например, Д и Д. Тогда согласно (41.17) число Д меняется в
пределах:
Д = Д +Д Д +j - I,	|Д -j\-	(41.21)
Наоборот, если фиксированы Д и Д то для Д имеем
Д =Д+Д Д+j-l,	|Д - Л-	(41.22)
Три соотношения (41.17), (41.21) и (41.22) выражают одно и то
же правило векторного сложения двух моментов количества дви-
жения в квантовой механике. Будем называть его «правилом тре-
угольника» и записывать в виде следующего символического ра-
венства:
jl + j2 + j3 = 0.
(41.23)
190
Раздел 2
3.	Векторное сложение спина si = |
со спином s2 = ±
Это очень важный частный случай сложения двух моментов
количества движения. С ним мы встречаемся, например, при опи-
сании спинового состояния протона и электрона в атоме водорода,
при сложении спинов или изоспинов двух нуклонов и т. д.
Возьмем систему, состоящую из двух частиц (подсистем)
со спинами si = | и s2 = Введем следующие сокращен-
ные обозначения для спиновых волновых функций
и Хз2тВ2 (од) каждой из частиц:
Х1 1Ы = Ха(1), Х1 _1(о-1) = Ы1)’
22	2 2	(41.24)
Xi 1Ы = Х«(2), Xi _ 1(0-2) = Хц(2),
2’2	2’ 2
а также спиновой волновой функции всей системы
ff2)) = \SMs).	(41.25)
В соответствии с «правилом треугольника» полный спин всей
системы может иметь два значения: S = 0 и S = 1. Вычисляя
с помощью таблицы (Д11.5) значения соответствующих коэффи-
циентов векторного сложения, получаем по формуле (41.14) для
триплетных состояний (S = 1, Ms = 1, 0, —1):
|1, 1) =Ха(1)Ха(2),	(41.26)
|1, 0) = 2-1/2{Ха(1)хД2)	+ Ха(2)хХ1)},	(41.27)
|1, -1) = Х/з(1)Ы2),	(41.28)
и для синглетного состояния (S = 0, Ms = 0):
|0, 0) = 2-1/2{Ха(1)Х/з(2) - Ха(2)ЫШ. (41.29)
Обратим внимание на следующую важную особенность: все три-
плетные состояния описываются симметричными, и синглетное —
антисимметричной относительно перестановок частиц 1 и 2 спи-
новой волновой функцией:
|SMS(<71, <т2)) = (-l)s+1|SMs(a2, од)).	(41.30)
Лекция И
191
4.	Векторное сложение орбитального момента
со спином s = |
и	1
Если частица со спином з = - находится в состоянии, где ее
орбитальный момент равен I, то согласно «правилу треугольника»
ее полный момент j = 1 + s может иметь два значения: j = I + i и
j = I — Пусть Фут(г, а) — волновая функция состояния, в ко-
тором полный момент частицы равен j, а его проекция на ось z
равна т. Согласно (41.14) эту волновую функцию можно предста-
вить в виде суммы произведений пространственной и спиновой
волновых функций частицы:
ФОт(г, <т) = V (Imi,	И- (41.31)
mims
В свою очередь, пространственная волновая функция ipijmi (г)
имеет вид произведения радиальной и угловой функции
(см. (32.23)):
^тг(г) = Rij(r)Yimi(9,	(41.32)
Числа mi = I, I — 1, ..., — I и т8 = в (41.31) — это проекции
орбитального момента и спина частицы на ту же ось квантова-
ния (ось z), относительно которой проекция полного момента j
равна т.
Вычислим коэффициенты векторного сложения (Imi, ^т8^т)
с помощью таблицы (ДИ .5). При фиксированных j и т квантовое
число т3 (а следовательно, и mi) принимает, вообще говоря, два
значения:
т8 = ±^, mi = т — т8 = т л	(41.33)
Таким образом, матрица коэффициентов (Imi, ^m8\jm) имеет
192
Раздел 2
размерность 2x2:
(r)Xi 1Н+
2 2
(41.34)
В представлении, где ст = sz, спиновые функции । (ст)
2!±2
имеют вид (40.2), и волновые функции (41.34), (41.35) удобно
записать в виде двурядных спиноров следующего вида:
(41.37)
В этом представлении операторы j2 и jz имеют вид:
(41.38)
(41.39)
Лекция И
193
Используя эти выражения, легко непосредственно убедиться
в том, что волновые функции (41.36) и (41.37) описывают со-
стояния с определенными значениями квадрата полного момента
и его проекции на ось z, т. е.
(41.40)
(41.41)
В § 32 мы условились пользоваться стандартными спектроско-
пическими обозначениями состояний с определенным значением
орбитального момента: s, р, d и т. д. Будем также пользоваться
символом lj для обозначения состояния частицы с орбитальным
моментом I и полным моментом j. Например, символ р1/2 обо-
1	3
значает состояние с I = 1, j =	р3/2 — I = 1, j =	— l = 2;
5
J = 2 и т-Д.
§ 42.	Оператор магнитного момента частицы
С внутренним механическим моментом частицы — спином —
связан ее внутренний (или «спиновый», «собственный») магнит-
ный момент. В нерелятивистской квантовой теории спиновый маг-
нитный момент рассматривается как особое свойство частицы,
о котором мы знаем из опыта. Построить оператор спинового
магнитного момента частицы в нерелятивистской теории — зна-
чит найти общее выражение для такого оператора, куда величина
магнитного момента входила бы как параметр, который не вы-
числяется теоретически, а подлежит определению на основании
опытных данных. Мы сначала найдем оператор магнитного мо-
мента бесспиновой заряженной частицы, а затем воспользуемся
полученным выражением для построения оператора спинового
магнитного момента.
В данном параграфе будем обозначать заряд частицы симво-
лом Ze, где е — абсолютная величина заряда электрона (е > 0);
таким образом, для электрона Z = — 1, для протона Z = +1 и т. и.
Пусть частица с массой т и зарядом Ze помещена в постоянное
однородное магнитное поле -Ж. Классическая функция Гамиль-
тона такой системы имеет вид
Я=^-(р-^а')2,	(42.1)
2m \ с /
194
Раздел 2
где с — скорость света, А — векторный потенциал электромагнит-
ного поля, который в нашем случае можно записать в виде
А=|[^хг].
(42.2)
Подставляя (42.2) в (42.1), получаем
Я	ф^ ^|^хг2.	(42.3)
2m	8тс2
где
М	(42.4)
2тс
— магнитный дипольный момент, a L = [г х р] — орбитальный
момент частицы.
В квантовой механике магнитному моменту (42.4) сопостав-
ляется оператор
р,( = (Zeh/2mc)\,	(42.5)
где 1 — оператор орбитального момента частицы, измеренный
в единицах И. Комбинация констант
до = eh/2mc	(42.6)
при т, равном массе электрона, называется магнетоном Бора
(рв = eh/2mec); при т, равном массе протона, — ядерным маг-
нетоном (pn = eh/2mpc). Оператор (42.5) будем также записы-
вать в виде
М/ =	(42.7)
где безразмерная константа gi называется орбитальным гиромаг-
нитным отношением (или орбитальным д-фактором). Как видно
из сравнения (42.7) и (42.5), орбитальное гиромагнитное отноше-
ние gi есть просто заряд частицы в единицах е, т. е.
{ — 1 для электрона,
+1 для протона,	(42.8)
О для нейтрона.
Построим оператор спинового магнитного момента частицы
по аналогии с (42.7):
Ms = SsMos,	(42.9)
Лекция И
195
где s — оператор вектора спина частицы. Безразмерная констан-
та gs, называется спиновым гиромагнитным отношением (или
спиновым 9-фактором). Она полностью определяет силу взаимо-
действия внутреннего магнитного момента частицы с внешним
однородным магнитным полем:
Явз =	• ^Y
(42.10)
Опыт дает следующие значения gs:
{—2 для электронг
5,586 для протона,
—3,826 для нейтрона
для электрона,
(42.11)
(заметим, что нейтральная частица — нейтрон — обладает нену-
левым внутренним магнитным моментом).
Векторная сумма орбитального и внутреннего магнитных мо-
ментов частицы есть ее полный магнитный момент. Этой вели-
чине соответствует оператор
М = Mz + Мз = ff/Mo1 + SsMoS-
(42.12)
Ни у одной из известных элементарных частиц орбитальное
и спиновое гиромагнитные отношения не равны друг другу:
gi 9s- Поэтому мы не можем написать соотношения пропор-
циональности типа (42.7) или (42.9), которое связывало бы век-
торные операторы полного магнитного и полного механического
моментов частицы:
р const • j.
(42.13)
Итак, оператор магнитного момента частицы — это вектор-
ный (точнее — псевдовекторный) оператор. В качестве табличного
значения внутреннего магнитного момента частицы ps принято
приводить среднее значение проекции вектора p,s на ось кванто-
вания в состоянии, где проекция спина на эту ось максимальна
(т. е. ms = s). Как следует из (42.9), параметры gs и /xs, кото-
рые совершенно эквивалентны друг другу, связаны между собой
простым соотношением
Ms — 9s9os-
(42.14)
Таким образом, табличные значения внутренних магнитных мо-
ментов частиц составляют:
Me = -Мв
Мр = 2, 793/1дг
М„ = —1,913/Тдг
для электрона,
для протона,
для нейтрона.
196
Раздел 2
Задавая параметр )is, мы полностью определяем оператор вну-
треннего магнитного момента частицы:
/+ = /+!•	(42.15)
§ 43. Прецессия спина электрона в постоянном
однородном магнитном поле
Пусть электрон находится в постоянном однородном магнит-
ном поле УС, направленном по оси z. Не будем интересоваться
поступательным движением электрона и проследим только за его
спином. Тогда гамильтониан системы можно взять в виде
Я = -(дв^),	(43.1)
где /2S — оператор спинового магнитного момента электро-
на (42.9). Вводя матрицы Паули <т, запишем его в виде
/+ = -Цв&,	(43-2)
где рв = eh/2mec — магнетон Бора.
Учитывая, что магнитное поле направлено по оси z, запишем:
Л=д;;.+ оу.	(43.3)
Стационарные состояния такой системы — это состояния
с определенными значениями проекции спина на ось z\
|1/2, 1/2) = Q ,	|1/2, -1/2) = Q) .	(43.4)
В этих состояниях энергия системы имеет определенные значе-
ния:
£(1/2) = »ВЖ.
В(-1/2) = -двЛ?,	'	1
а «направление» спина (см. § 40) не изменяется со временем.
Пусть, однако, в начальный момент времени t = 0 спин
электрона направлен не по оси z, а, скажем, по оси х. Другими
словами, пусть спиновая функция электрона при t = 0 является
собственной функцией оператора проекции спина на ось х, при-
надлежащей собственному значению sx = (формула (40.29)):
= 0) = К = +1/2) =	.	(43.6)
Лекция И
197
Это состояние не является стационарным. Как будет изменяться
направление спина электрона со временем?
Будем решать эту задачу следующим образом: сначала, поль-
зуясь общим методом § 10, решим уравнение Шредингера с га-
мильтонианом (43.1) и начальным условием (43.6), а затем, уже
зная волновую функцию системы ^(t) при t > 0, установим все
интересующие нас свойства системы в произвольный момент вре-
мени.
В соответствии с (10.3) имеем
"Ж t) = ^2cn<MC)e hEnt.	(43.7)
Поскольку в нашем случае полный набор состояний t.'n исчерпы-
вается двумя состояниями (43.4), ищем t/i(4) в виде
=а(	\ е k +&(1)е	.	(43.8)
Здесь а и b — комплексные числа, которые мы найдем из началь-
ного условия (43.6):
а = Ь = 2“1/2.	(43.9)
Таким образом, окончательно получаем:
(1 g — ZCc’tX
. I ,	(43.10)
1	I
\/2	/
где
_ с.Ж
h 2тес
(43.11)
есть ларморова частота, известная из классической теории пре-
цессии магнитного момента.
В § 40 было показано, что в состоянии
ега cos
ег/3 sin 5 J
(43.12)
спин имеет «направление», определяемое следующими полярным
и азимутальным углами (соотношение (40.28)):
9 = 25,
р = (3 — а.
(43.13)
198
Раздел 2
Сравнивая (43.10) и (43.12), получаем
6» = тг/2,	^ = 2аЭ,	(43.14)
т. е. спин «вращается» в плоскости (х, у) с постоянной угловой
скоростью 2ш.
Полученный результат аналогичен соответствующему клас-
сическому результату: магнитный момент во внешнем постоян-
ном однородном магнитном поле совершает прецессию вокруг
направления поля с постоянной частотой. Правда, в рассматри-
ваемом случае эта частота оказывается в два раза большей, чем
частота прецессии в классической механике — ларморова частота
ш = еЖ 1‘1тес. Это объясняется тем, что гиромагнитное отноше-
ние для электрона в два раза больше соответствующей классиче-
ской величины (см. (42.11)).
Упражнения к лекции 11
11.1. Найти плотность распределения заряда электрона в
следующих состояниях атома водорода:
a) 2pi, mj = б) 2р^, т, =
2	2
в) 2рз, т, = i; г) 3dg, mj = |.
2	2
11.2	. Пусть в каждом из состояний \nljmj) некоторого атома
при фиксированных п, /, j находится по одному электрону. По-
казать, что распределение заряда этой совокупности электронов
изотропно.
11.3	. Доказать, что для произвольной функции /(г) выпол-
няется соотношение
= J" R2nl{r)f(r)r2 dr 
о
11.4	. Атомный электрон находится в состоянии 2р3/2 с про-
екцией полного момента на ось z, равной mj = Что можно
сказать о направлении спина электрона, когда он оказывается на
оси z; в плоскости, проходящей через ядро атома перпендикуляр-
но оси z? Ответить на эти вопросы также в случае следующих
состояний: а) Зрз/2, mj = Г б) 3tZ3/2, mj =
Лекция И
199
11.5	. Две частицы со спинами si = 1 и s? = 2 находятся
в состояниях с нулевыми значениями проекции спина на ось z.
Найти распределение суммарного спина этих частиц.
11.6	. Найти распределение полного спина системы двух
электронов, спины которых антипараллельны.
11.7	. Спины двух электронов направлены под углом 60°
друг к другу. Найти вероятность того, что полный спин системы
равен единице.
11.8	. Найти среднее значение оператора (S1S2) в состояниях
с определенными значениями полного спина системы двух элек-
тронов; Si, S2 — операторы спинов этих электронов.
11.9	. Частица со спином 1/2 совершает гармонические ко-
лебания в состоянии 1рз/2, rrij = С какой вероятностью в этом
состоянии представлен квант колебаний частицы вдоль оси z?
11.10	. Частица со спином i движется в некотором сфери-
чески симметричном поле в состоянии \nljmj). Найти среднее
значение оператора (42.12) полного магнитного момента.
11.11	. Три частицы со спином s = 1 находятся в состоя-
ниях с нулевыми значениями проекции спина на ось z. Найти
распределение суммарного спина этих частиц.
11.12	. Найти средние значения проекций спина на оси ко-
ординат в состоянии (43.10).
11.13	. Рассмотреть задачу § 43 в представлении Гейзенберга.
11.14	. Рассмотреть прецессию магнитного момента электро-
на в постоянном однородном магнитном поле, если в начальный
момент времени спин электрона направлен под углом а к направ-
лению поля.
11.15	. В условиях упражнения 11.14 найти среднее значе-
ние и дисперсию энергии взаимодействия магнитного момента
электрона с магнитным полем.
11.16	. Нейтральная частица со спином s = 1 и магнитным
моментом находится при t = 0 в состоянии с проекцией спина
на некоторое направление, равной ms = +1. Рассмотреть прецес-
сию магнитного момента в постоянном однородном магнитном
поле, перпендикулярном этому направлению и имеющему напря-
женность Л?.
200
Раздел 2
11.17	. Частица имеет спин При каких соотношениях чи-
сел mi, ms и т{, m's, матричный элемент {mi, ms|sl|mj, m')
отличен от нуля?
11.18	. Доказать соотношение
1
2у + 1
^2(п/утпу |[а х r]2\nljmj)
mj
= ^а2 {nl\r2\nl),
О
где а — произвольный постоянный вектор, а г — радиус-вектор
частицы.
ЛЕКЦИЯ 12
§ 44.	Опыт Штерна и Герлаха
Среди экспериментов, сыгравших фундаментальную роль
в становлении квантовой физики, очень важное место занимает
опыт Штерна-Герлаха (1922 г.). Как известно из курса атомной
физики, в этом опыте узкий параллельный пучок частиц, обла-
дающих магнитным моментом, пропускался через неоднородное
магнитное поле -/Р. Согласно классической электродинамике в та-
ком поле на частицу действует отклоняющая сила
F = (//V)^.	(44.1)
Если конфигурация поля такова, что \-УРх\ <С \^CZ\ и <' \
то среднее значение вектора магнитного момента частицы ввиду
его прецессии вокруг -/Р направлено по оси z. В этом случае
отклоняющая сила F тоже в среднем направлена по z\
}’ (44-2)
а ее величина пропорциональна //г — проекции магнитного мо-
мента частицы на ось z. Таким образом, неоднородное магнитное
поле действует как анализатор, который сортирует попадающие
в прибор Штерна-Герлаха частицы по величине проекции их
магнитного момента на характерное для прибора направление —
«ось прибора». Историческое значение опыта Штерна-Герлаха
заключается в экспериментальном установлении эффекта «про-
странственного квантования»: пучок, в котором магнитные мо-
менты частиц ориентированы произвольно, расщепляется прибо-
ром на несколько отдельных пучков, количество которых строго
Лекция 12
201
определяется сортом частиц. Классическая физика не в состоянии
объяснить этот результат. Согласно же квантовой механике дело
в том, что проекция магнитного момента частицы на любое на-
правление (в том числе на ось прибора) может принимать лишь
определенные дискретные значения. В соответствии с (42.9)

(44.3)
где sz — проекция спина частицы на ось z:
sz = s, s — 1, ..., — s;
(44.4)
отсюда видно, что количество пучков на выходе из прибора
Штерна-Герлаха определяется величиной спина частицы и рав-
но (2s + 1).
В данном параграфе мы отвлечемся от многих физических
вопросов, относящихся к осуществлению опыта Штерна-Герла-
ха, и сосредоточим внимание лишь на одном пункте — способно-
сти прибора сортировать падающие частицы по величине проек-
ции их спина на некоторое направление.
Пусть в прибор с осью, совпадающей с направлением оси z,
попадают частицы со спином s, спиновое состояние которых опи-
сывается некоторой заданной волновой функцией уДсг). Мы мо-
жем разложить ее по полному набору спиноров (39.1), описыва-
ющих состояния с определенным значением проекции спина на
ось z. В § 39 мы обозначали эти базисные состояния |sms); сей-
час мы будем обозначать их |smz), поскольку нам потребуется
одновременно рассматривать еще и состояния с определенным
значением проекции спина на другие оси, в частности состояния
|5тж) и \зту). Итак,
S
Xs(o-) = 52	= ^amz\smz(<j)Y (44.5)
тг=—s	тг
В представлении, где а = sz, это есть разложение по столб-
цам (39.5):
(44.6)
202
Раздел 2
Коэффициенты разложения amz определяют вероятности различ-
ных значений mz и, следовательно, относительные интенсивности
пучков на выходе из прибора Штерна-Герлаха:
W(mz-) = \amf.	(44.7)
Разыграем несколько конкретных вариантов опыта Штерна-Гер-
лаха («мысленный эксперимент»). Для простоты возьмем пучок
частиц со спином s = В этом случае на выходе из прибора
имеется два пучка. В первом (его относительную интенсивность
обозначим И%) спины всех частиц направлены по оси z, во вто-
ром (соответствующая интенсивность И%) — против оси z. Наша
задача состоит в том, чтобы найти и W- в зависимости от
свойств падающего пучка.
Вариант 1. Начнем с простейшего случая, когда все ча-
стицы входного пучка находятся в состоянии |1/2, mz = 1/2),
т. е. проекция спина любой частицы на ось z с достоверностью
равна mz = 1/2. Очевидно, в этом случае на выходе из прибора
будет только один пучок: W+ = 100%, W- = 0.
Вариант 2. 50 % частиц падающего пучка находятся в со-
стоянии 1/2, mz = 1/2) и 50 % частиц — в состоянии |1/2, mz =
= —1/2). И в этом случае результат очевиден: W+ = W- = 50 %.
Вариант 3. Все 100 % частиц падающего пучка находятся
в состоянии 11/2, тх = 1/2), т. е. спины всех частиц направлены
по оси х. По условию наш прибор «не умеет» различать частицы
по тому, как ориентированы их спины относительно оси ж; он
«знает» только один признак: mz = +1/2 или mz = —1/2. Значит,
надо представить волновую функцию |1/2, тх = 1/2) в виде
суперпозиции соответствующих базисных функций |1/2, mz =
= 1/2) и 11/2, mz = —1/2). В § 40 мы эту задачу уже решали. По
формуле (40.29) имеем:
1/2, тх = 1/2) =
= 2^1/211/2, mz = 1/2) + 2^1/211/2, mz = -1/2). (44.8)
Отсюда согласно (44.7) получаем W+ = W- =50%.
Вариант 4. Спины всех частиц падающего пучка направ-
лены вдоль вектора n = {sin0cos<yj, sin0 sin </>, cos#}, т. e. все
частицы находятся в состоянии |1/2, тп = 1/2), углы 0 и ср —
любые. Такой вариант есть просто обобщение предыдущего слу-
чая, и способ решения здесь тот же: с помощью (40.26) разложим
Лекция 12
203
волновую функцию |1/2, mn = 1/2) по базисным
1/2, mn = l/2) =
= cos(6*/2)11/2, mz = l/2) + elv sin(0/2)|l/2, mz = —1/2)
(44.9)
и отсюда согласно (44.7) получим
W+ = cos2(0/2), ИС = sin2 (0/2).	(44.10)
Обратим внимание на то, что результаты нашего мысленного экс-
перимента в вариантах 2 и 3 совпали. Что это значит? Что сов-
падают начальные условия 2 и 3, или же что возможности проде-
ланного эксперимента недостаточны для обнаружения различия
между этими двумя начальными условиями?
Размышления показывают, что правилен второй ответ, и мож-
но предложить другой эксперимент, чувствительный к различию
между начальными условиями 2 и 3. Для этого, не меняя на-
чальных условий, заменим наш прибор Штерна-Герлаха другим,
у которого «ось прибора» направлена не по оси z, а по оси х
(образно говоря, повернем прибор на 90° вокруг оси у). Частицы,
попадающие в этот новый прибор, тоже всегда направляются им
по одному из двух характерных для него направлений, но здесь
сортировка частиц производится уже по другому признаку: тх =
= i или тх = — i. Обозначим соответствующие относительные
интенсивности W'+ и W'_. Найдем их значения в вариантах 2 и 3.
Сразу видно, что в варианте 3 новый прибор направляет
все частицы по одному направлению: W'+ = 100%, W'_ = 0.
Обратимся к варианту 2. Каждая из частиц падающего пучка,
находящаяся в состоянии |1/2, mz = 1/2), имеет одинаковую
вероятность выйти из прибора по направлению, соответствую-
щему mz = 1/2, и по направлению, соответствующему тх =
= —1/2. То же справедливо для падающих частиц, находящих-
ся в состоянии |1/2, mz = —1/2). По условию между части-
цами, находящимися в состоянии |1/2, mz = 1/2) и в состоя-
нии |1/2, mz = —1/2), нет никакой корреляции. Поэтому по-
лучаем Шф = W'_ = 50 %. Легко убедиться в том, что результат
= W- = 50% сохранится в варианте 2 при любой другой ори-
ентации оси прибора. Таким образом, начальные условия 2 харак-
теризуют неполяризованное состояние частиц во входном пучке;
мы не можем указать в этом случае никакого выделенного на-
правления в пространстве по отношению к спиновым свойствам
рассматриваемой системы.
204
Раздел 2
Итак, использование нескольких приборов Штерна-Герла-
ха с направленными по-разному осями показывает, что началь-
ные условия в вариантах 2 и 3 различны. Это различие имеет
очень глубокий характер. В варианте 3 состояние пучка на вхо-
де в прибор характеризуется некоторой определенной волновой
функцией. Неважно, что в разных представлениях ее можно за-
писать по-разному; мы подчеркиваем другое: в варианте 3 состо-
яние каждой частицы на входе в прибор характеризуется одним,
вполне определенным вектором состояния, здесь это |1/2, гпх =
= 1/2). В варианте 2 ситуация другая. Здесь начальные усло-
вия заданы так, что невозможно указать никакой одной волновой
функции, которая описывала бы состояние всех частиц, попадаю-
щих в прибор; какого-либо определенного, единственного вектора
начального состояния в варианте 2 нет.
§ 45.	Спиновая матрица плотности
В лекции 7 было показано, как описывается состояние физи-
ческой системы с помощью матрицы плотности. Частным случаем
такого подхода является использование так называемой спиновой
матрицы плотности, которая является матрицей по спиновым пе-
ременным или, вообще говоря, по переменным моментов коли-
чества движения системы. Ниже мы познакомимся с основными
положениями этой теории.
1.	Случай чистого состояния
Подобно тому как это было сделано в § 28, начнем со случая
чистого спинового состояния. Пусть (атп/у) — спиновая волно-
вая функция частицы (системы) со спином а. Спиновая матри-
ца плотности такого состояния есть матрица размерности (2а +
+ 1) х (2а + 1), а ее элементы вычисляются согласно (28.3) по
формуле	= (sms\x){x\sm's).	(45.1)
В случае а = спиновая матрица плотности есть матрица вто-
рого порядка. Построим ее для нескольких конкретных случаев
чистого спинового состояния, которые мы по другому поводу уже
рассматривали раньше. Пусть сначала проекция спина частицы
на ось z равна Такое состояние описывается волновой функ-
цией (40.2), и, следовательно, матрица плотности имеет вид
1 (П
0 0J ’
(45.2)
Лекция 12
205
Если проекция спина равна | по отношению к оси х, то анало-
гично предыдущему, используя (40.29), получаем
Р =
1 1\
2 2 I
1 1 I
2 2/
(45.3)
Наконец, если спин частицы направлен по вектору п, ориенти-
рованному произвольно, то, подставляя в (45.1) волновую функ-
цию (40.26), получаем
Р =
' C°S^ x
sin je1*3 j
cos2 |
sin | cos |ег¥3
cos sin
(45.4)
sin | cos je”1*3
sin2 |
здесь д и <у? — это полярный и азимутальный углы вектора п. Оче-
видно, (45.2) и (45.3) есть частные случаи этого выражения. Легко
проверить, что матрица плотности (45.4) удовлетворяет всем об-
щим требованиям (28.6)-(28.8) и, кроме того, условию (29.25),
которому должна удовлетворять матрица плотности чистого со-
стояния.
2.	Случай смешанного состояния
Построим спиновую матрицу плотности для специального
случая, рассмотренного в и. 4 §41. Волновая функция Фут(г, ст),
даваемая соотношением (41.31), описывает одновременно и дви-
жение частицы в пространстве, и ее спиновое состояние. Мы мо-
жем отнести этот случай к случаю, рассмотренному в § 30, ко-
гда волновая функция системы, состоящей из двух подсистем, не
разбивается на произведение волновых функций этих подсистем.
Роль обобщенной координаты £i первой подсистемы играет про-
странственная координата частицы г, роль обобщенной коорди-
наты второй подсистемы — спиновая переменная ст. Согласно
общему правилу (30.12) спиновая матрица плотности состояния,
описываемого волновой функцией (41.31), строится следующим
образом:
(ст|р|ст') = / Фут(г, ст)Ф/*7т(г, a')d3r.
(45.5)
206
Раздел 2
Учитывая ортонормированность пространственных волновых
функций	заметим, что спиновая матрица плотно-
сти (45.5) диагональна. Пользуясь (41.36) и (41.37), получим яв-
ные выражения спиновой матрицы плотности для соответствую-
щих состояний:
I + 1/2 - т	\
21 +1	j (45 7)
Z + l/2 + m '	1 Э J
2Z +1	/
Эти матрицы не удовлетворяют условию (29.25) р2 = р (исклю-
чение — случай j = I + |, , = ±J). Таким образом, состояние с
определенным орбитальным I и полным j моментами частицы,
а также с определенным значением проекции полного момента т
на выделенную ось не является, вообще говоря, чистым спиновым
состоянием.
3.	Параметризация спиновой матрицы плотности
Выше мы построили спиновую матрицу плотности для систе-
мы со спином в некоторых конкретных случаях. Как выглядит
такая матрица плотности
(45.8)
в самом общем случае? Воспользуемся тем (см. упр. 10.9), что
любую матрицу второго порядка можно разложить по четырем
линейно независимым матрицам: I (единичная матрица), <тж, ду
и dz (три матрицы Паули),
р = 0,(1 + Рхдх + Руду + РгСТг).
(45.9)
Лекция 12
207
Из условия Spp = 1 (соотношения (28.8), (29.3)) получаем а =
= |. Тогда, вводя вектор Р с компонентами Рх, 1>,/. Pz, запишем
спиновую матрицу плотности р в виде
р=|(7 + Ра) = |
1 + Pz
Рх + iPy
Рх ~ гРу\
1-Pz ) ’
(45.10)
Каков физический смысл вектора Р и какие ограничения на
его величину накладывают общие условия, предъявляемые к мат-
рице плотности? Для ответа на этот вопрос вычислим среднее
значение вектора спина: частицы (системы) в состоянии, описы-
ваемом матрицей плотности (45.10):
s = Sp{ps} = | Sp{ps} = |р.	(45.11)
Отсюда видно, что вектор Р указывает среднее направление спи-
на частицы, а его величина Р = |Р| есть степень поляризации
частицы. Из общих соображений ясно, что степень поляризации
не может выходить за пределы
0 < Р < 1.
(45.12)
Покажем, что только при этом условии матрица плотности (45.10)
удовлетворяет общему требованию (29.23). Действительно,
Р2
1 + Р2
4
7+ |Р<т
(45.13)
и соответственно
Spp2 = |(1 + Р2).
(45.14)
Условию Spp2 <1 отвечает неравенство (45.12).
Из (45.13) видно, что матрица плотности состояния, в кото-
ром степень поляризации частиц максимальна (Р = 1), удовле-
творяет соотношению р2 = р, которое есть критерий того, что
состояние является чистым (см. (28.9)). Если задать направление
вектора поляризации Р углами в и ср, то при |Р| = 1 из (45.10)
получаем
1 /1 + cos в sin0-e~lv
V 2 ysjn Q . егср 1 _ cos Q
(45.15)
что, естественно, совпадает с (45.4).
208
Раздел 2
В противоположном случае, когда Р = 0, спиновая матрица
плотности пропорциональна единичной матрице:
/1
Р = I 2
\ о
0
1
2
(45.16)
Такая матрица инвариантна относительно любых унитарных пре-
образований и, в частности, относительно любых поворотов
системы координат. Состояние, описываемое матрицей плотно-
сти (45.16), есть состояние неполяризованной системы: никакое
направление в пространстве не выделено по отношению к любым
спиновым характеристикам этого состояния. В промежуточном
случае, когда Р < 1, но Р > 0, говорят о частично поляризован-
ной системе.
Мы рассмотрели свойства спиновой матрицы плотности для
системы со спином (моментом) s = и видим, что они полностью
определяются вектором поляризации системы R. Если момент
системы больше i, то общая параметризация спиновой матрицы
плотности оказывается более сложной, чем (45.10). Легко подсчи-
тать, учитывая требование эрмитовости р и условие Sp р = 1, что
матрица р размерности (2s + 1) х (2s + 1) содержит 4s(s + 1)
независимых вещественных параметров. При з = это число
равно 3; здесь в качестве трех независимых параметров мы взяли
три компоненты вектора поляризации Рх, Ру, Pz или три эквива-
лентные	_ .	_	- _
матрица
величины Р, 0, ср. При s = 1 оно уже равно 8. Поэтому
плотности
р= \Т+ ips,
о Z
можно было бы построить по аналогии с (45.10), не
(45.17)
которую
соответствует при s = 1 самому общему случаю; в общем случае
для описания спинового состояния системы со спином s = 1
недостаточно задать только вектор поляризации Р.
4.	Собственные значения спиновой матрицы
плотности
Согласно § 29 каждое смешанное состояние системы можно,
рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний, кото-
рые являются собственными состояниями статистического one-
Лекция 12
209
ратора; статистические веса этих чистых состояний равны соот-
ветствующим собственным значениям статистического оператора
(матрицы плотности).
Найдем собственные значения рп и соответствующие соб-
ственные функции фп операторов (45.10), (45.15):
Р1 = |(1 + П р2 = |(1-П	(45.18)
(Л \	/	л \
cos £	\	/ sin £	\
О ’	= -e~lv	0	]
sin | • elv I	у — cos | • elv I
(45.19)
(здесь 0 и p — углы вектора P). Сравнивая (45.19) с (40.26), ви-
дим, что собственные функции статистического оператора про-
извольного спинового состояния частицы со спином | являются
собственными функциями оператора проекции спина на вектор
поляризации состояния Р: = |1/2, s/> = 1/2),	= |1/2, s/> =
= -1/2).
В частном случае Р = 0 из (45.18) имеем
1
Р1 — Р2 — 2’
(45.20)
т. е. статистические веса обоих чистых состоянии одинаковы. Од-
нако в этом случае функции (45.19) не могут быть использованы
в качестве собственных функций р, поскольку углы 0 и ip не опре-
делены. Легко видеть, что любой нетривиальный спинор является
собственной функцией единичного оператора I. Поэтому в отсут-
ствие поляризации имеется полная неопределенность в выборе
тех чистых состояний, из которых построено смешанное состоя-
ние (р = 1/2/).
5.	Еще раз об опыте Штерна-Герлаха
С помощью спиновой матрицы плотности можно очень про-
сто описать всевозможные ситуации в опыте Штерна-Герлаха.
Пусть вектор п = (пж, пу, nz) = (sin0 cos Ф, sin0 sin Ф, cos#)
задает направление оси прибора. Найдем распределение Ш(з„)
проекции спина частицы на это направление при условии, что
210
Раздел 2
частицы, попадающие в прибор, описываются матрицей плотно-
сти р. Согласно (29.14) искомое распределение вероятностей да-
ется формулой
№„) = Sp(pPsJ,	(45.21)
где
Ps„. = |s, sn)(s, sn|	(45.22)
есть оператор проектирования на состояние |s, s„), являющееся
собственным состоянием оператора проекции спина на направле-
ние п.
Пусть s = . Тогда согласно (40.26) имеем
( cos д \
|1/2. S,, = 1/2) =	. /
\ sin /
|1/2. S,, = -1/2) =	2
1—	cos 2 • е1
(45.23)
Следовательно,
Р
( cos2 5
ycos | sin ^егФ
Л
cos sin
sin2
0„-гФ
2
е
2
( sin2 5
I • 0	0
\ — sin - cos -el
 0	0 — гф\
— sin - cos -e 1 \
cos2 | у
(45.24)
(45.25)
Подставляя (45.24) и (45.25), а также (45.10) в (45.21), находим
1У(±1/2) = |(1 ±Рп).
Рассмотрим частные случаи.
(А)	Р ± п. В этом случае
ТП(±1/2) = |
(45.26)
(45.27)
при любом Р (в частности, при Р ± п результат не зависит от
того, в чистом или смешанном состоянии находятся частицы).
Лекция 12
211
(Б) Р || п. В этом случае
Ш(±1/2) = |(1±Р).	(45.28)
При Р = 1, т. е. для чистого состояния, имеем
Ш(+1/2) = 1,	Ш(- 1/2) = 0,	(45.29)
т. е. на выходе имеется только один пучок.
(В)	Р = 0. Имеем для любого п
Ш(±1/2) =	(45.30)
Сравним полученные результаты с результатами мысленных
экспериментов, рассмотренных в § 44.
В варианте 1 рассматривался случай, когда все частицы име-
ли определенное значение mz = ± проекции спина на ось прибо-
ра. Это значит, что частицы находились в чистом состоянии; мо-
дуль вектора поляризации каждой из этих частиц есть Р = 1, при-
чем Р || п. Следовательно, это есть случай (Б). Результат (45.29),
конечно, совпадает с результатом варианта 1.
В варианте 2 рассматривался случай, когда половина частиц
находилась в чистом состоянии с mz = +^, а половина — в чи-
стом состоянии с mz = — ^. Поэтому результат опыта Штерна-
Герлаха Ш(+1/2) = Ш(—1/2) = i получался путем простого
сложения результатов двух последовательно проводимых опытов:
сперва с частицами, имеющими mz = +|, а затем с частицами,
имеющими mz = — |. Легко видеть, что тот же результат получа-
ется из (45.26), если для Р = 1 считать, что в первом случае Р
параллельно, а во втором — антипараллельно п.
Варианту 3 соответствует Р = 1, Р ± п. Результат совпадает
с (45.27).
Варианту 4 соответствует Р = 1, Рп = cos#, где в — угол
между «направлением» спина частицы и осью прибора. Соглас-
но (45.26) в этом случае имеем
П7 1/2) cos2|. W( 1/2) sln2|. (45.31)
что, конечно, совпадает с (44.10).
212
Раздел 2
Далее рассмотрим вариант, когда спин половины всех частиц
«направлен» под углом 0 к оси прибора, а спин другой половины
частиц имеет противоположное направление (это есть обобщение
варианта 2). Тогда из (45.31) получаем
тт// । т /о\ _ 1 (	2 0,	2	0 А __ 1
ГГ(+1/2) — - (^cos - + cos —-—J — -
ИД-1/2) = | (sin2 | + sin2
1
2’
т. е.
ИД+1/2) = ИД-1/2) = |.
(45.32)
Мы видим, что вне зависимости от направления 0 интенсивности
обоих выходных пучков одинаковы.
Этот вариант интересно сравнить со случаем (В), поскольку
в этом случае интенсивности пучков на выходе тоже одинаковы
при любой ориентации оси прибора Штерна-Герлаха. Смешан-
ное состояние частицы с Р = 0 экспериментально неотличимо от
ансамбля частиц, половина из которых находится в чистом состоя-
нии с определенным значением проекции спина на некоторое про-
извольное направление, а другая половина находится в чистом со-
стоянии с противоположным направлением спина. Следователь-
но, такой ансамбль частиц может служить моделью смешанного
состояния с Р = 0. Нетрудно видеть, что существует бесконеч-
ное множество таких моделей. Например 25 % частиц полностью
поляризовано по оси z, 25 % — против оси z, 25 % полностью по-
ляризовано по оси х, 25 % — против оси х. Все спиновые свойства
таких моделей исчерпывающим образом описываются матрицей
плотности смешанного состояния (45.16), а именно р = ^1.
Упражнения к лекции 12
12.1.	Пучок частиц со спином находящихся в состоя-
нии с проекцией спина на ось z, равной mz = +^, попадает
в анализатор, состоящий из двух последовательно расположен-
ных приборов Штерна-Герлаха. Первый из них пропускает толь-
ко те частицы, которые имеют проекцию спина на ось х, равную
тх = I /j, а второй сортирует их по величине проекции спи-
на на ось z. Сколько пучков будет на выходе из анализатора и
Лекция 12
213
каковы будут их интенсивности по отношению к интенсивности
входного пучка? Что изменится, если поменять местами приборы
анализатора?
12.2.	Две частицы со спином i находятся в состоянии
с определенными значениями суммарного спина и его про-
екции на ось z. Найти спиновую матрицу плотности первой ча-
стицы в каждом из состояний |SMs).
12.3.	Две частицы со спинами sj = 1 и 82 = находят-
ся в состоянии с определенными значениями суммарного
спина и его проекции на ось z. Найти спиновую матрицу плотно-
сти первой частицы в состоянии |SMs) = |3/2 1/2). При каких
значениях S и Ms спиновое состояние первой частицы является
чистым?
12.4.	Спины двух электронов антипараллельны. Найти мат-
рицу плотности суммарного спина системы.
12.5.	Рассмотреть прецессию собственного магнитного мо-
мента электрона в постоянном магнитном поле, если в начальный
момент состояние спина электрона описывается матрицей плот-
ности (45.10).
Раздел 3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
ЛЕКЦИЯ 13
Точное решение уравнения Шредингера возможно только для
некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих
идеализированным системам. При исследовании реальных атом-
ных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным
методам вычисления собственных значений и собственных функ-
ций гамильтониана. В последнее время большое значение при-
обретают численные методы решения задач квантовой механики
с использованием вычислительных машин. В этом же разделе
мы рассмотрим только некоторые аналитические методы прибли-
женного решения уравнения Шредингера, причем ограничимся
случаем гамильтонианов с чисто дискретным спектром.
§46. Вариационный метод
1.	Вариационный принцип
Рассмотрим функционал
ая= / лейкм
(46.1)
где Н — гамильтониан системы, c’('<J — произвольная функция
из пространства состояний L>. Покажем, что экстремали этого
Лекция 13
215
функционала при дополнительном условии нормировки
Урежем = i	(46.2)
совпадают с нормированными решениями стационарного уравне-
ния Шредингера
Нф = Еф.	(46.3)
Действительно, необходимым условием экстремальности функ-
ционала (46.1) при дополнительном условии (46.2) является ра-
венство нулю вариации:
<?( КФ, Г) - А У Ф*ЮФЮ К) = о, (46.4)
А — неопределенный множитель Лагранжа. Раскрывая это усло-
вие, получаем
18ффф)НфК)К + I фф^НЬфКФК-
-xj бф*{КФ{КК-х I ффКККФК = о.
Используя эрмитовость гамильтониана, приводим это уравнение
к виду
У 8ф*КфНф - Хф) dtp + У 6ф(Н*ф* - ХФК = 0.
Поскольку это равенство должно выполняться при произвольных
независимых вариациях 6ф* и 5ф, получаем
Нф = Хф, Н*ф*=Хф*.
Эти уравнения эквивалентны, так как А* = А в силу веществен-
ности всех собственных значений эрмитова оператора.
Вводя обозначение А = Е, получаем стационарное уравне-
ние Шредингера (46.3)
Нф = Еф.
Таким образом, решение поставленной вариационной задачи
на условный экстремум эквивалентно решению уравнения Шре-
дингера.
216
Раздел 3
Покажем, что абсолютный минимум функционала J(^,
при дополнительном условии (46.2) совпадает с энергией основ-
ного состояния системы Ед.
Выше мы предположили, что гамильтониан Н имеет чисто
дискретный спектр:
HVn = Enkpn,	= ^птп‘	(46.5)
Тогда множество собственных функций	является полным
набором, а поэтому любую функцию ф 6 1.-> можно представить
в виде
Ж) = ^2anipn^).	(46.6)
п=0
Из условия нормировки || 'ф ||= 1 следует, что
£ К|2 = 1.	(46.7)
п=0
Тогда Лфф, "0*) можно представить в виде
^*) = =
пт
= ^a*namEMSnm = ^En\an\\ (46.8)
пт	п=0
Поскольку Еп ф Ед (п = 0,1,2,...), получаем
Ж Г) > £ -Е’о|Я'п|2 = Ед,
п=0
т. е.
J^, Г) > Ед.	(46.9)
Следовательно, абсолютный минимум Jfy, гф*) совпадает с Ед.
Предположим, что собственная функция основного состоя-
ния ф = срд найдена. Тогда для определения Е± и уц надо найти
абсолютный минимум функционала Лрф, 'ф*) при двух дополни-
тельных условиях:
(V’H) = 1, {vo\f) = 0-
Лекция 13
217
Первое из них выражает требование нормировки, а второе — тре-
бование ортогональности к функции основного состояния. В си-
лу этого последнего условия в разложении (46.6) имеем ад = 0.
Поэтому условие нормировки (46.7) принимает вид
£ KI2 = !•
п=1
При этом для функционала ф*) в соответствии с (46.8) по-
лучаем
ж Г) = £ Еп\ап\2 > £ = Я1Ы2 = Еъ
п=1	п=1
т. е.
J(^, V’*) Е±.	(46.10)
Аналогичное рассмотрение показывает, что для определения
энергии n-го уровня Еп надо найти абсолютный минимум функ-
ционала (46.1) при (п + 1)-м дополнительном условии:
(Ж) = 1, (Ж=0 (г = 0, 1, 2, ..., п — 1).	(46.11)
2.	Вариационный метод Ритца
Решение поставленной вариационной задачи позволяет по-
лучить точное решение уравнения Шредингера. Для приближен-
ного решения уравнения вариационным методом минимум функ-
ционала J(^, Ф*) ищется не во всем пространстве L%, а только
в его некотором небольшом подпространстве. Например, в каче-
стве этого подпространства можно взять множество квадратич-
но-интегрируемых функций определенного аналитического вида
с несколькими параметрами а, (3,..., ц:
а, /3, ..., ц).
Тогда функционал 'ф*') превращается в функцию этих пара-
метров:
ЖЯ = ЖА--,4	(46.12)
и задача сводится к нахождению минимума этой функции при
дополнительном условии нормировки. Необходимое условие ми-
нимума приводит к системе уравнений:
dF/da = 0, dF/d(3 = 0, ..., dF/дц = 0,	(46.13)
218
Раздел 3
где
F(a, (3, ..., /г) = J(a, (3, .. ., ц) — Е(^\^}.	(46.14)
Этот метод приближенного решения вариационной задачи
называется прямым вариационным методом Ритца.
Выбор «пробной» функции а, (3, ..., ц) базируется на
качественном анализе с учетом симметрии задачи. В случае удач-
ного выбора этой функции хорошая точность окончательного ре-
зультата может быть получена при использовании небольшого
количества параметров.
3.	Пример: основное состояние атома гелия
В качестве примера использования вариационного метода
найдем энергию и волновую функцию основного состояния двух-
электронного атома, в частности атома гелия. Гамильтониан этой
системы, состоящей из двух электронов с зарядом е и массой ц
и ядра с зарядом Z | е |, запишем в виде
' Р? Р? 7,е2	7р2 р2
я 57 1 Й 4г	----1>	(46.15)
2/12/1	1 1 z 2	|Г1 — Г21
где Г1, 7*2 — координаты электронов относительно ядра, pi, р2 —
операторы их импульсов.
Пробную функцию возьмем в виде
^(?i, г2; (3) =	/3)V’2(r2; /3),	(46.16)
где
з
в2	д в \	й2
1рг(гр/3) = --ехр(-^п), а=—(46.17)
У~«3	'	7	Ре
волновая функция основного состояния одноэлектронного атома,
заряд ядра которого есть /3|е|, а (3 играет роль вариационного
параметра. Нетрудно видеть, что функция (46.16) при (3 = Z
является собственной функцией гамильтониана (46.15), если из
него исключить последний член, описывающий взаимодействие
электронов друг с другом. Энергия этого состояния есть
Ео = —Z2e0, Ео = де4/Й2.
(46.18)
Лекция 13
219
В нашей вариационной задаче параметр /3 эффективно учитывает
отталкивание электронов друг от друга, а поэтому следует ожи-
дать, что его значение должно быть меньше Z.
Функционал (46.14) в нашем случае принимает вид
F(J3) = Fi(/3)+F2(/3)+F3(/3) -Е,	(46.19)
где
= 2^|Р1 + рА) = (^1 |р? кД (46.20)
W) = -Ze2^\^ + ^) = -27е2^1|^р1), (46.21)
1	/)	(46.22)
|Г1 - Г2 /
Здесь мы воспользовались тем, что функции (46.17) нормированы
на единицу при любом положительном значении параметра (3.
Первый член Fi(/3) есть среднее значение кинетической
энергии электронов. Второй член F2(/3) является средним значе-
нием потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром,
а последний член У3(/3) — средним значением энергии взаимодей-
ствия электронов друг с другом.
Приступаем к вычислению матричных элементов. При вы-
числении Fi (/3) удобно воспользоваться соотношением
(V’i(r)|PilV’i(r)) = (piV’iIpiV’i) = Цд^/дг \ дг/^/дг).
Подставляя сюда (46.17), легко находим
Fx(/3) = Ао.
(46.23)
Используя (46.21), получим
F2(/3) = -2/3Z£o.
(46.24)
Для вычисления матричного элемента (46.22) разложим его
оператор по сферическим функциям (см. (Д7.20)):
1	прип>г2,
Г| Г2	А(6»1,^1)Угт(б»2,^2) прип<г2,
(46.25)
220
Раздел 3
где (0i, </?i) — направление вектора ri, (02, Р2) — направление
вектора г2, и воспользуемся ортонормированностью сферических
функций.
Окончательно получаем
^з(/3) = |/3£0.	(46.26)
Подставляя (46.23), (46.24), (46.26) в (46.19), находим
F(/3) = (/З2 - 2/3(Z - 5/16))е0 - Е. (46.27)
Из условия экстремума
9F(/3)/5/3 = О	(46.28)
получаем
/3 = (Z - 5/16).	(46.29)
Используя это значение вариационного параметра, находим со-
гласно (46.9) энергию основного состояния атома гелия
Е = (-ф\Н\^ = Щ/З) + F2(fi) + F3(J3) = -Ao. (46.30)
Мы видим, что, как и предполагалось, (3 < Z, а энергия
основного состояния атома гелия больше энергии, которая была
бы в отсутствие взаимодействия между электронами. Подстав-
ляя (46.29) в (46.16), найдем волновую функцию состояния. Заме-
тим, что параметр /3 играет роль эффективного заряда ядра.
§ 47. Адиабатическое приближение
Адиабатическое приближение используется при рассмотре-
нии физических систем, состоящих из двух подсистем 1 и 2, сред-
ние скорости движения которых существенно различны. Приме-
ром такой системы может служить молекула, состоящая из ядер и
электронов. Масса ядра в тысячи раз превосходит массу электро-
на, и ядра в среднем движутся значительно медленнее электронов.
Представим гамильтониан системы в виде
Я(£1, 6) = Я1Й) + Я2(6) + П(С1, 6),	(47.1)
где Я(^х) — гамильтониан медленной подсистемы 1, характери-
зующейся координатами £1, Я2(£2) — гамильтониан быстрой под-
системы 2, V(£i, £2) — потенциальная энергия взаимодействия
Лекция 13
221
подсистем. Стационарные состояния системы определяются урав-
нением Шредингера
ЯФ = ЯФ.	(47.2)
Рассмотрим уравнение
= еДЫ'/Мб;Ci), на = я2(б) +
(47.3)
в котором координаты £i медленной подсистемы играют роль па-
раметров. Это уравнение определяет энергии sn(£i) и волновые
функции С1) стационарных состояний быстрой подсисте-
мы при фиксированных значениях координат £i медленной под-
системы. Если решения этого уравнения найдены, решения урав-
нения (47.2) можно искать в виде
ф(£1, в) = £	<1).	(47.4)
п
Подставим (47.4) в уравнение (47.2), умножим обе части уравне-
ния на £i) и проинтегрируем по £2, принимая во внима-
ние (47.3) и ортонормированность функций </?п(£2; £1). В резуль-
тате приходим к системе уравнений
(Я1Й) + £m(G) - Я)Фт(£1) = Qrn, (47.5)
где
<Эт=Я1(^1)фт(С1)-^2 У
(47.6)
Система уравнений (47.5) эквивалентна исходному уравне-
нию Шредингера (47.2). Если правые части от этих уравнений
могут считаться малыми, систему можно решать методом после-
довательных приближений. В нулевом приближении, когда от по-
лагается равным нулю, получаем
(771 (£1) + £т(^1))Фтр(^1) = ЯтрФтр(^1). (47.7)
Это приближение называется адиабатическим. В этом приближе-
нии система уравнений (47.5) распадается на независимые урав-
нения, каждое из которых определяется каким-либо собственным
значением sm(£i) гамильтониана Hq. При этом волновая функция
системы согласно (47.4) есть
ФткЙ, в) = ФтгДЫ'АДв; £1)>	(47.8)
тп
Раздел 3
т. е. каждому состоянию движения <рт(£,2', £1) быстрой подсисте-
мы соответствуют состояния движения Ф,„,. (£i, £2) всей системы,
различающиеся квантовыми числами и. Уравнение (47.7) имеет
вид уравнения Шредингера для функции Фт1/(£х), причем eto(£i)
играет роль потенциальной энергии, а Ет1, есть энергия стацио-
нарного состояния всей системы.
В § 57 мы получим в адиабатическом приближении уравне-
ния для нахождения стационарных состояний простейшей моле-
кулы 1/2 
§ 48. Квазиклассическое приближение
Это приближение позволяет сформулировать метод прибли-
женного решения уравнения Шредингера, основанный на исполь-
зовании малости постоянной Планка И.
Рассмотрим одномерное движение частицы в поле с потен-
циальной энергией П(а:). Соответствующее стационарное урав-
нение Шредингера имеет вид
+ (2ц/Й2)(Б — П(ж))£’(а:) = 0.	(48.1)
Будем искать его решение в виде
if’(x') = ехр^сг(сс)^ ,	(48.2)
где а(х) — некоторая функция, имеющая размерность действия.
Будем ее называть фазовой функцией. Подставляя (48.2) в (48.1),
получаем для нее уравнение
(У)2 — ihcr" — р2(ж) = 0,	(48.3)
где
1
р(х) = [2р(Е — V(x))] 2	(48.4)
есть классический импульс частицы с массой ц, находящейся в
точке х. Это неоднородное нелинейное дифференциальное урав-
нение, конечно, эквивалентно исходному уравнению Шредингера.
Предположим, что в некоторой задаче фазовую функцию
можно представить в виде разложения по параметру h/i:
а(х) = ао(х) + (h/i)&i(x) + (h/i)2ij2(x) + . . .	(48.5)
Лекция 13
223
Подставляя это разложение в уравнение (48.3) и приравнивая ну-
лю коэффициенты при различных степенях К, получаем систему
уравнений для компонент фазовой функции
Ю2 =Р2(^),	(48.6)
2<Тосг1 +	= 0? 2(Tq(72 Н- (^i)2 + ^1 = 0 ....	(48.7)
Сравнивая (48.6) с (48.3), мы видим, что пренебрежение все-
ми компонентами фазовой функции, кроме сто (ж), соответствует
пренебрежению в уравнении (48.3) членом iha". В свою очередь,
это возможно, если выполняется неравенство
Й|ст"(ж)| < (ст'(ж))2.	(48.8)
В этом случае
а'(х) = (Tq(x) = ±р(х).	(48.9)
Подставляя это выражение в неравенство (48.8), приводим его к
виду
tydp(x)/d%l -С |р(ж)|2,	(48.10)
что с учетом (48.4) дает
ph\dV(x)/dx\ « |р(ж)|3.	(48.11)
Отсюда видно, что приближение (48.9) выполняется тем лучше,
чем больше классический импульс частицы и чем плавнее изме-
няется потенциальная энергия.
Для сто (ж) из (48.9) получаем
сто(ж) = ± У р(х) dx + Со,	(48.12)
где Со — константа интегрирования. Поскольку в этом прибли-
жении фазовая функция не зависит от К, можно сказать, что оно
соответствует переходу к пределу Л - 0, т. е. к классическому
пределу.
Следующая компонента фазовой функции легко находится
из (48.7) и (48.12):
стДж) =-|1п|р(ж)|+СЬ	(48.13)
где Ci — константа интегрирования.
224
Раздел 3
Приближение, в котором учитываются члены не выше пер-
вого порядка по h в разложении фазовой функции, называется
квазиклассическим. Подставляя (48.12) и (48.13) в (48.5), получа-
ем волновую функцию (48.2) в квазиклассическом приближении:
ib(x)=—ехр | 1 /р(х) dx ) 4 ехр (— 4 [р(х) dx ),
(48.14)
где .41 и _42 — произвольные комплексные константы.
Найденное решение справедливо только в тех областях, где
выполняется неравенство (48.11). В свою очередь, это неравен-
ство во всяком случае не выполняется в окрестностях тех точек,
в которых классический импульс частицы обращается в нуль:
1
р(х) = [2ц(Б - У(а:))] 2 = 0,	(48.15)
т. е. где полная энергия равняется потенциальной. Такие точки
траектории частицы в классической механике называются точ-
ками поворота. Они отделяют область, доступную для класси-
ческого движения, от области, где импульс р(х) имеет мнимые
значения и классическое движение невозможно. В этой послед-
ней области показатели экспонент квазиклассической волновой
функции (48.14) имеют вещественные значения.
Для определения констант интегрирования Ai и надо про-
извести сшивание всех ветвей функции ^(х), разделенных точка-
ми поворота. Поэтому необходимо иметь волновую функцию во
всех окрестностях точек поворота. Если эти окрестности невели-
ки, потенциальную энергию V(x) можно аппроксимировать ли-
нейной функцией и найти точное решение уравнения Шрединге-
ра, выражающееся через функции Эйри.
Однако в математике разработан и другой метод решения
уравнения Шредингера в случае, когда h может считаться малым
параметром. При этом отпадает необходимость по отдельности
решать уравнение в окрестностях точек поворота и вне их, а за-
тем сшивать полученные функции. Переходим к изложению этого
метода.
Рассмотрим уравнение
у"(х) 4- Аг(ж)у(ж) = 0	(48.16)
при больших положительных значениях параметра А. Пусть функ-
ция г(х) на некотором интервале может быть представлена в виде
(48.17)
Лекция 13
225
где I —2, а г(х) принимает либо только положительные, ли-
бо только отрицательные значения и имеет непрерывную вторую
производную. Тогда при А —> +оо решение уравнения (48.16)
можно приближенно представить в виде1
AJv(^(x)) + BJ-„(£:(x')') при г(х) О,
СВ^х)) + DK^x)) при г(ж) < О,
(48.18)
где А, В, С, D — произвольные комплексные константы,
(48.19)
J„(z) ~ цилиндрическая функция Бесселя первого рода, Iv(z) —
функция Бесселя мнимого аргумента, Kv(z) — функция Макдо-
нальда.
Применительно к нашему уравнению (48.1) имеем
А = 4-, г(х') = р2(х) = 2д(Е — V(x')'),	(48.20)
h2
(48.21)
Пусть х = а есть точка поворота:
E = V(a), V'(a)^0. (48.22)
В окрестности этой точки функция
г (х) имеет вид (48.17) с I = 1,чему
соответствует v =
Применим рассмотренный ме-
тод решения уравнения Шрединге-
ра для нахождения волновой функ-
ции связанного стационарного со-
стояния частицы, движущейся с
энергией Е в одномерной потен-
циальной яме П(ж) (рис. 12).
Рис. 12. Точки поворота при
движении в одномерной потен-
циальной яме.
*См.: Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической
физики. — М.: Наука, 1978, § 15.
226
Раздел 3
Поскольку в этом случае имеются две точки поворота Xi и х?,
разделим интервал (жх, Ж2) на два интервала точкой ./'о так, что-
бы в каждом интервале было по одной точке поворота и можно
было представить функцию г(ж) в виде (48.17). Конечно, оконча-
тельный результат не должен зависеть от того, где именно между
точками поворота находится точка xq, лишь бы она не лежала
слишком близко от них. Таким образом, получаем четыре интер-
вала: (I) — ОО < X < Х1, (II) ЖХ < X < Жо, (III) Жо С X Д Ж2,
(IV) Ж2 Ж < ОО.
Запишем решение (48.18) для каждой из этих областей и
найдем константы путем сшивания полученных функций на гра-
ницах.
Для области (I) имеем
а = жх, г(ж) < 0.	(48.23)
Используя (48.18), находим
= \	(48.24)
у IPWI/'1
Рассмотрим асимптотику этой функции при ж —> — оо. Для
этого воспользуемся известными асимптотиками функций Iv(z)
и Kv(z)-.
(48.25)
(48.26)
Поскольку при ж —> —оо имеем согласно (48.21) (Дж) —» +оо, для
обеспечения квадратичной интегрируемости функции Д1(ж) надо
положить
С = 0.
(48.27)
Следовательно,
I £ (х'}
''’1(1) = °У7даА'1/зК(1))'
(48.28)
При ж —> — оо получаем
t/Д (ж) = D
тг/г/2
|р(ж)|
ехр
(48.29)
Лекция 13
227
Сравнивая (48.29) с (48.14), видим, что асимптотика найденного
решения согласуется с квазиклассическим решением.
Теперь рассмотрим область (II):
а = Xi,
(48.30)
Согласно (48.17) получаем
г(ж) > 0.
(48.31)
Следовательно,
I £ (х'}
М = \	+ BJ_1/3^x))).	(48.32)
Произведем сшивание t/ji(x) и в точке поворота х = х3.
Поскольку p(a?i) = 0, удобно воспользоваться разложениями всех
функций в окрестности этой точки:
|р(ж) ~	 |ж — а|, х а,
. 2 72м|^(а)|	|3/2
~ з------д-----\х — а\ 1 .
Используя известные представления при - 0
(48.33)
(^/2)" т t А (г/2)^
(48.34)
а х < тц.
и определение
2ё1П7Г1У
(48.35)
при z —* 0 получаем
7Г ( (z/2)-1' (z/zr
2 sin 7TV \ Г(1 — i>)	Г(1 + р)
(48.36)
228
Раздел 3
Подставляя (48.33), (48.34), (48.36) в (48.28) и (48.32), находим
при ./' • «
тг/У/З / (а/З)-1/3 (а/З)1/3
2siii7r/3 I Г(2/3)	Г(4/3)
(48.37)
УузЫзу/3
Г(4/3)
у^оУЗ)-173
Г(2/3)
где
a=^2^V'(a)\.
Сшивая эти две функции в точке х = а, получаем
А = В = D-A-.
3!/2
(48.38)
Следовательно,
-г^п (%) = А
I ( Ц/ь C^i/з (€ (ж)) + -^—1/3 (£)))-
(48.39)
Асимптотика этой функции имеет вид
6Й/7Г
-—7~-Л sin
(48.40)
так как
г 2v
Этот результат согласуется с (48.14).
Производя аналогичные вычисления в областях (III) и (IV),
найдем
Уш(^) = А\ ^Г7т(Л/з(е(ж)) + J-1/з(£Сг)))	(48.41)
V \р\х)\/п
Предположим, что расстояние между точками поворота xi
и х-2 достаточно велико, так что в точке ./'о функции т/ц(я;) и
Лекция 13
229
выходят на асимптотику:
Ш « А—=
у/р(х)
(48.42)
Ж2
(48.43)
Сшивая эти функции в точке х = хц, получаем:
Хо	Хо
Asin^ У p(rf) г/ +	— Asin^ fp(r/) dr] +	= О,
Х1	х0
хо	хо
Acos^ У р(т]) г/ +	+ Acos^ У p(rf) dr] +	= 0.
Х1	Хо
Эта система однородных линейных уравнений имеет нетривиаль-
ные решения только в том случае, если ее определитель равен
нулю:	ж2
sin
(48.44)
Отсюда получаем
хо
п = 0, 1, 2, . ..
(48.45)
где согласно (48.4)
р(х) = [2р(Е- У(ж))]1/2.
Это условие определяет энергии стационарных состояний систе-
мы в квазиклассическом приближении.
Заметим, что полученный результат, как и следовало ожидать,
не зависит от xq.
Условие квантования (48.45) может быть распространено на
случай системы с произвольным количеством N степеней свобо-
ды и имеет вид
(48.46)
230
Раздел 3
где интегрирование проводится по замкнутому контуру в класси-
ческом фазовом пространстве системы. Это есть правило кванто-
вания Бора-Зоммерфельда, предложенное еще до создания кван-
товой механики.
Условие (48.45) является частным случаем (48.46), ко-
гда N = 1, а контур интегрирования соответствует одномерному
движению частицы с полной энергией Е от точки до .гз и
обратно. Так же как (48.45), условие квантования (48.46) справед-
ливо только в случае достаточно больших значений импульса, т. е.
при больших значениях квантового числа п.
Из (48.46) видно, что при переходе от одного стационарного
состояния к другому объем классического фазового пространства
увеличивается на (2тгЙ)лг. Отсюда можно сделать вывод о том,
что при больших значениях п количество связанных состояний
системы равно объему ее фазового пространства, измеренному в
единицах (2тгЙ)лг.
Упражнения к лекции 13
13.1.	Найти вариационным методом энергии и волновые
функции первых двух стационарных состояний частицы в одно-
мерной яме
У(ж) = С'|ж|,
где С — некоторая константа. В качестве пробной функции основ-
ного состояния использовать следующую:
^(ж) = Аехр!--	,
где А — нормировочная константа, а — вариационный параметр.
13.2.	Найти в квазиклассическом приближении волновую
функцию основного состояния линейного гармонического осцил-
лятора. Найти энергетический спектр.
13.3.	То же для частицы в одномерной прямоугольной яме.
13.4.	Молекулярный ион водорода представляет собой си-
стему из двух протонов и электрона. Написать уравнение для вол-
новой функции электрона при фиксированном расстоянии между
протонами, движением которых пренебрегается.
Лекция 14
231
ЛЕКЦИЯ 14
§ 49. Теория возмущений для стационарного
уравнения Шредингера
1. Общие уравнения
Предположим, что гамильтониан системы можно предста-
вить в виде суммы двух эрмитовых операторов
H = HQ + V,	(49.1)
причем Но имеет известный чисто дискретный спектр
-Но<Аг = епфп,	(49.2)
а V — оператор «малого» взаимодействия, который называется
оператором возмущения. Но обычно является гамильтонианом
некоторой идеализированной задачи, допускающей точное реше-
ние, а оператор возмущения V является частью гамильтониана
реальной системы, которая не учитывалась в идеализированной
задаче. Задача теории возмущений состоит в получении фор-
мул, определяющих собственные значения и собственные функ-
ции полного гамильтониана Н по известным собственным значе-
ниям и собственным функциям <Рп(£,) «невозмущенного» га-
мильтониана Но. При этом существенно используется «малость»
возмущения, и решение представляется в виде ряда по малому
параметру.
Введем вспомогательный оператор
Ж = Но + XV,	(49.3)
где А — некоторый безразмерный параметр, принимающий значе-
ния из интервала
О < А < 1.	(49.4)
Найдем собственные значения и собственные функции этого
оператора

(49.5)
Til
Раздел 3
которые, как показано в математике, являются дифференцируе-
мыми функциями параметра А. Тогда имеем
Пт Jtf?(A) = Но,	lim ipi(X) = tpi,	Нт <1>)(А) = si,	(49.6)
lim ^f(A) = H,	lim V’z(A) = Ф;,	lim $i(X) = Ei, (49.7)
A—>1	A—*1	A—*1
где Ф/ и Ei — собственные функции и собственные значения опе-
ратора Н:
ЯФ/=ЕгФг.	(49.8)
Представим функции <pi(X) и <1>)(А) в виде степенных рядов:
+ ЛМ2)	+	•	•	•	>	<49-9)
^(А)^ + A<g)(1) + А2<£г(2)	+	...,	(49.10)
где
£г(0) =^(0)=£/.	(49.11)
2. Невырожденные собственные значения
Предположим, что все собственные значения «невозмущен-
ного» гамильтониана Но невырождены (см. (49.2)). Разложим -0^
и Xi'2'1 по полному набору {у„}(г<, образованному собственными
функциями Но".
V)(1) = 52a/n<yj„, V’P = У^^пУп- (49.12)
n=0	n=0
Подставляя ряды (49.9), (49.10), (49.12) в уравнение Шрединге-
ра (49.5), получаем
(Но + AV) f Xi ) + А У^ ainSPn + А2 У~^ binipn + • • • ) =
'	п	п	'
= (£/+ А£г(1) + А2£г(2) + ...)х
х f ) + А ainPn + А2 У" binipn + ... j. (49.13)
Лекция 14
233
Мы имеем здесь равенство двух многочленов относитель-
но А, выполняющееся в интервале (49.4). Поэтому коэффициенты
при одинаковых степенях А слева и справа должны быть равны:
А°|Я0^(0)	(49.14)
A1! '^ainSnVn +	(49.15)
А | blnEntpn + V ' Cllnlpn =
= El blnipn + §1 ) O-lnSPn +	\   	(49.16)
п	п
Из (49.14) получаем
^(0) = ОТ,	(49.17)
так как по предположению все собственные значения «невозму-
щенного» гамильтониана Нц невырождены.
Составим скалярное произведение левой и правой частей
уравнения (49.15) сперва с ipi, а затем с ipm (m /):
аиЛ + (отМот) = Eiau +	(49.18)
aimEm + (<pm\V\tpi) = eiaim.	(49.19)
Отсюда получаем
= ЫШ),	(49.20)
«/>>, = с ------- (т Л Ч-	(49.21)
^1
Теперь составим скалярное произведение обеих частей урав-
нения (49.16) с функцией ipi
Ьц£1 + ^2 ain(OT IV\<Pn) = £ibu + g[ ац +	\	(49.22)
п
откуда получаем
) = У~^£4n(lPi|Vh„) + ац(ipi|П|от) — ^ап-
п^1
234
Раздел 3
Подставляя сюда (49.20) и (49.21), имеем
^,(2) =у	(4923)
п^1
Для функции на основании (49.9), (49.17), (49.12) и (49.21)
получаем
-0г = ^ + А > —-------—срп + Лац(р1 + . ..	(49.24)
£1 — Еп
п^1
Значение коэффициента ац определим из условия нормировки:
Ш ti) = 1,
т. е.
|1 + \ац |2 +
п^1
2
+ ... =1.
{^n\v\<pi)
£1 &П
С точностью до членов порядка А отсюда получаем
1 + 2A Red// = 1,
т. е.
Re ап = 0.
Выбирая соответствующим образом фазу функции tpi, можно сде-
лать ац действительным, а тогда
ац = 0.	(49.25)
Итак, получаем следующие выражения для собственных зна-
чений и собственных функций оператора Н:
Ei = <g)(A = 1) = <?г(0) +	+ ^(2) + ... =
, , iTzi \ । KwH^I2
= ei + {cpi\V\cpi) + У ———-------h-..,	(49.26)
-T,	/	, (0)	, (1)	{Pn | Rlw}
Фг =	= -0/ + w + • • • =	—<Pn+   
n^l
(49.27)
Лекция 14
235
Мы видим, что поправка 1-го порядка к энергии уровня
равна диагональному матричному элементу оператора возмуще-
ния V, т. е. среднему значению этого оператора в соответствую-
щем «невозмущенном» состоянии.
Поправка 2-го порядка к энергии основного состояния
(Z = 0), как это видно из (49.23), всегда отрицательна, так как
So — s-п < 0 при п > 0.
При вычислении энергии по теории возмущений часто огра-
ничиваются 1-м приближением. Для этого необходимо, чтобы по-
правка 2-го порядка была малой по сравнению с поправкой
1-го порядка , т. е.
< |ег - еп| при любом п 2 I. (49.28)
Это условие означает, что недиагональные матричные элемен-
ты оператора возмущения должны быть малыми по сравнению с
абсолютной величиной разности соответствующих собственных
значений «невозмущенного» гамильтониана. Будем называть это
условие необходимым условием применимости теории возмуще-
ний.
3. Вырожденные собственные значения
Формулы (49.26) и (49.27) получены в предположении отсут-
ствия вырождения всех собственных значений гамильтониана Hq.
Теперь откажемся от этого предположения. Начнем со случая, ко-
гда все уровни е„, кроме е/, вырождены с кратностью гп, т. е.
каждому е„ (n 2 I) соответствуют гп функций
(49.29)
Нетрудно проверить, что полученные формулы будут дей-
ствительны и в этом случае, если произвести замену
п п, ап
и при каждом значении п I суммировать по всем возможным
значениям ап:	_
El =Ei + ^1 Vpi + у ----------—--------+...,	(49.30)
El — En
n.^l
,T, —	, (CPn,a,i\V\ipi')	Z/loaiA
Ф/ — ‘rl + 2.	_ - К + • • •	(49.31)
n yt I
236
Раздел 3
Теперь предположим, что исходный уровень е/, поправки
к энергии которого вычисляются, тоже вырожден с кратностью s:

(49.32)
— S/J,w
Полученные выше формулы в этом случае неприменимы,
потому что при их выводе существенно использовалось усло-
вие (49.17):
^(0) = "0/
(о неприменимости полученных формул говорит также обраще-
ние в бесконечность некоторых членов рядов из-за деления на
нуль). В случае вырождения уровня ei функция нулевого прибли-
жения t/jj0'1 может быть некоторой линейной комбинацией функ-
ций { уз/р }, принадлежащих собственному значению е/ невозму-
щенного гамильтониана Нд:
л(0) = 52$^-
Д1=1
(49.33)
Для определения коэффициентов разложения {/Зщ} предста-
вим в виде ряда по собственным функциям оператора Нд:
S
^(1) = 52 а^п + 52	(49.34)
П^1	Ц=1
подставим (49.33) и (49.34) в уравнение Шредингера (49.5):
/ 5
(Но + АП) ) + А 52	+ А 52	+
'	/х=1
/ s	\
= (е/ + А<о)( + ...) f ) + А 52 o-in'pn + А 52	+ • • • j •
n^l	fl=l
(49.35)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А,
Лекция 14
237
получаем
А°|Яо^(О) =е/^(0),	(49.36)
S
^ainEnVn + Л aiuViu + W/0) =
n^l	fJ,= l
s
= Ei^a-in^n + £1 ^2 «/mWm +	(49.37)
n^l	/1=1
Уравнение (49.36) удовлетворяется функцией (49.33) при лю-
бых значениях коэффициентов {/3;м}.
Составим скалярное произведение обеих частей уравне-
ния (49.37) с функцией
(^1Ш(°Ь = <?г(1)(^|^(0)).	(49.38)
Подставляя сюда (49.33), получаем
3
£^|vkM(1K
М=1
т. е.
s
£(Ь>к) -	= 0,	(49.39)
м=1
где х = 1, 2, ..., s.
Это есть система линейных однородных уравнений относи-
тельно /3^ порядка s. Условием ее нетривиальной разрешимости
является равенство нулю определителя матрицы коэффициентов:
Det||(^|V|WM)-^(1)^M|| = 0,	(49.40)
X, Ц = 1, 2, . . . , 8.
Это уравнение представляет собой алгебраическое уравне-
ние степени з относительно  (Аналогичное уравнение мы
получили в § 24 при решении задачи диагонализации эрмитова
оператора и назвали его секулярным, или вековым.)
Таким образом, корни секулярного уравнения (49.40) дают
поправки первого порядка к энергии е/ невозмущенной системы.
Если все корни различны, исходный уровень с энергией Е; рас-
щепляется на з подуровней, т. е., как говорят, вырождение снима-
ется полностью. Если же имеются кратные корни, то некоторые
238
Раздел 3
подуровни остаются вырожденными и говорят, что вырождение
снимается лишь частично.
Уравнение (49.39) есть уравнение на собственные значения
оператора возмущения V в s-мерном линейном пространстве, эле-
ментами которого являются собственные функции невозмущен-
ного гамильтониана Нд, принадлежащие его собственному значе-
нию £/, т. е.
У^г(0) = ^(1)^г(0),	(49.41)
где
4
^(0) = £/W	(49.42)
М=1
Следовательно,
^г(1) = Е0)|Г|^(0)),	(49.43)
т. е. в случае вырождения поправка 1-го порядка к энергии уровня
дается диагональным матричным элементом оператора возмуще-
ния в представлении его собственных функций в линейном про-
странстве, элементами которого являются собственные функции
невозмущенного гамильтониана, принадлежащие некоторому его
собственному значению. При этом собственные функции опера-
тора возмущения являются функциями нулевого приближения.
Из (49.43) следует, что система уравнений (49.39) инвариант-
на относительно умножения оператора возмущения V на произ-
вольное число. Поэтому функции нулевого приближения (49.33)
не зависят от абсолютной величины возмущения, а зависят только
от его вида.
Отметим также, что функции конечно, не зависят от
того, как выбран исходный базис который используется
для диагонализации оператора возмущения.
В дальнейшем мы встретимся с рядом случаев, когда соб-
ственные функции невозмущенного гамильтониана Нд од-
новременно являются собственными функциями оператора воз-
мущения V. В этих случаях матрица	диагональна
и сразу можно написать решение секулярного уравнения (49.40)
в виде
(49.44)
Этот результат является частным случаем соотношения (49.43)
при = 5^ в (49.42).
Лекция 14
239
4. Пример: расщепление двукратно вырожденного
уровня
Проиллюстрируем полученные результаты на примере рас-
щепления двукратно вырожденного уровня невозмущенного га-
мильтониана. Опуская индекс I, запишем функцию нулевого при-
ближения (49.33) в виде
^(0) = /31 </31 + /32<у?2 •	(49.45)
Коэффициенты /31 и /32 определяются из системы
ний (49.39):
(V11 - <3«)/31 + Vi2/32 = о,
^21/31 + (V22 - <о’(1))/32 = О,
уравне-
(49.46)
где
Vik =
Секулярное уравнение (49.40) принимает вид
V11 -	V12
V2i V22 - £(1)
(49.47)
т. е.
(£(1))2 _ <g(1)(v11 + V22) + VnV22 - IV1212 = 0,
откуда получаем
<?(1) = |(Vn+V22 ± v/(^ii+^2)2-4VhV22+4|Vi2|2). (49.48)
Таким образом, исходный двукратно вырожденный уровень
с энергией s расщепляется на два подуровня с энергиями Е^
и Е^\
£(±) = Е + |(V11 + V22 ± у/(Г1 - V22)2 + 4|V1212).	(49.49)
Подставляя значения из (49.48) в систему уравнений (49.46),
получаем
/31 = -V12/3, /32 = (V11 -	(49.50)
где (3 — некоторая константа, которая определяется из условия
нормировки:
I/31I2 +1/32|2 = 1,
240
Раздел 3
|/3|2(|V12|2 + |V11 - <?W|2) = 1-
Следовательно,
VWl2 + |Vn -	’
где 8 — произвольное действительное число. Поскольку фаза вол-
новой функции может выбираться произвольно, положим 6 = 0.
Тогда получаем
/3 = (|Vi2|2 + |Vn-<?W|2)1/2,	(49.51)
т. е.
/31 = -	,	У12	-------
y/|V12|2 + |Vll-^1)|2
(49.52)
А = - , V"-gm -
\/|Г12|а + |И1-*1>Г
Отсюда видно, что /31 и /32 не зависят от абсолютной величины
возмущения, т. е. волновая функция (49.45) нулевого приближения
зависит только от вида оператора возмущения V.
§ 50. Теория возмущений для матрицы плотности
В этом параграфе мы рассмотрим лишь некоторые приме-
нения теории возмущений для вычисления матрицы плотности,
ограничиваясь, как и в предыдущем параграфе, стационарными
задачами квантовой механики.
1. Матрица плотности чистого стационарного
состояния возмущенной системы
Начнем с простейшего случая — чистого стационарного со-
стояния. Будем исходить из предположений (49.1) и (49.2). Для
определенности примем, что все уровни невозмущенной системы
невырождены. Пусть, как и в (49.8), Ф/ — волновая функция ста-
ционарного состояния возмущенной системы. Матрица плотно-
сти этого состояния в представлении собственных функций (49.2)
Лекция 14
241
невозмущенного гамильтониана согласно (28.3) есть
= (Vn\^ l\Vm} 	(50.1)
Для приближенного вычисления этой матрицы воспользуем-
ся разложением (49.27) функции Ф/, ограничиваясь членами пер-
вого порядка:
1Т,	/СО Э'!
Ф/ = VI + У. ——T—^k-	(50.2)
£l — Ek
k^=l
Подставляя (50.2) в (50.1), получаем
Й = ^(0)+рг(1),	(50.3)
где
(Vn\Pi°)\Vm') = (Vn\Vl) (Vl\Vm) = 5ln6nm	(50.4)
— матрица плотности невозмущенной системы,
\^п|Р I |^т/ — I _	“Ь  £>nl I (1 ^nm)
(50.5)
— поправка первого порядка к матрице плотности невозмущенной
системы. Условие ее малости имеет вид
(<^n|V|^)| < |е; - sn| при любом	(50.6)
что совпадает с условием (49.28) применимости теории возмуще-
ний к вычислению волновой функции.
Нетрудно видеть, что
Sppi = Spp;(0) = 1.	(50.7)
Это условие нормировки находится в соответствии с условием
нормировки на единицу волновой функции Ф/ с точностью до
членов первого порядка.
2. Теория возмущений для состояния системы
в термостате
В § 31 мы рассматривали квантовую систему, находящуюся
в статистическом равновесии со средой при температуре Т, и ви-
дели, что состояние системы является смешанным и описывается
242
Раздел 3
статистическим оператором (31.2)
p = e-^/Z(j3),	(50.8)
где Н — гамильтониан системы,
/3=1/кТ,	(50.9)
Z(J3) = Spc я//	(50.10)
— статистическая сумма состояния.
Представим гамильтониан Н в виде (49.1) и введем матрицу
плотности невозмущенной системы
р(0) =	е^0/Zo(fi),	(50.11)
Zo(/3)	=	Sp(e-^0).	(50.12)
Найдем поправки к	используя «малость» возмуще-
ния V. Будем искать решение этой задачи в виде
p	=	p^U,	(50.13)
где искомый оператор U в силу малости возмущения должен быть
близок к единичному оператору I. Подставляя (50.8) и (50.11)
в (50.13), получаем
ту _ zo(/3)	рй„ -рн
ZW
(50.14)
(Заметим, что показатели экспонент в этом операторе нельзя скла-
дывать, поскольку Но и V, вообще говоря, не коммутируют.) Рас-
смотрим вспомогательный оператор
5(A) = еХ13Й"е-Х13Й
(50.15)
где А — произвольный вещественный параметр. Легко видеть, что
(50.16)
(50.17)
p(°)S(l)
Р~ Z(/3)/Zo(/3)'
Лекция 14
243
Используя (50.10), (50.11) и (50.15), нетрудно проверить, что зна-
менатель этого выражения можно представить в виде среднего
значения оператора 5(1) в состоянии //°-1:
Z(/3)Ao(/3) = Sp(p (°)S(1)).	(50.18)
Следовательно, (50.17) можно записать в виде
p = p(°)S(l)/Sp(p(0)S(l)).	(50.19)
Такое представление статистического оператора возмущенной си-
стемы позволяет непосредственно видеть, что
Spp=l,	(50.20)
причем эта нормировка сохраняется в любом приближении для
оператора S.
Переходим к вычислению этого оператора. Дифференци-
руя (50.15) по параметру X, получаем уравнение для 5(A):
dS(X)/dX = -W(X)S(X),	(50.21)
где
ИДА) = еЛ/ЗЙо/ЗИе-Л/ЗЙо,	(50.22)
а дополнительное условие согласно (50.15) имеет вид
5(0) = Т.	(50.23)
Заметим, что «малость» оператора W (А) определяется «ма-
лостью» оператора (3V = V/kT. Дифференциальное уравне-
ние (50.21) с дополнительным условием (50.23) эквивалентно ин-
тегральному уравнению
А
S(A) = Т- I W(X')S(X,y) dX’.	(50.24)
о
Будем решать это уравнение методом последовательных при-
ближений (итераций). Если возмущение V мало, можно в нулевом
приближении считать, что интегральный член в (50.24) равен ну-
лю. Тогда получаем
S = I.
(50.25)
244
Раздел 3
Для получения первого приближения подставляем (50.25) в пра-
вую часть (50.24) и находим
А
S(X) = I- У W(X')dX'.
о
(50.26)
Для получения второго приближения надо в правую часть (50.24)
подставить (50.26). Получаем
S(A) = So + Si(A) + ЭД,	(50.27)
где
о
S0 = I,
dX'.
(50.28)
(50.29)
Подставляя (50.27) в (50.19), получаем статистический опе-
ратор системы во втором порядке теории возмущений. Найдем
соответствующую матрицу плотности в представлении собствен-
ных функций (49.2) невозмущенного гамильтониана Hq. Исполь-
зуя (50.28), (50.29) и (50.22), находим
n\So\m) = Snm,	(50.30)
—	3 С 0£п. __ £3 ~0ёгп,
n\S13')\m) = Vnme^e _е------------,	(50.31)
(n|S2(l)H = V VnkWm e'3g” х
&к
к
f р 0ёп _________ р 0^к. р 0&Ч ___ р 0^гг,. \
х -------—----------------, (50.32)
у £п &к	-т у
где
Vnm = (п|У|т),	(50.33)
а суммирование проводится по всем стационарным состояниям
гамильтониана Hq. Неопределенность при еп = ::,п раскрывается
Лекция 14
245
следующим образом:
g -/Зе„ _ е-‘ 0£т.
lim -----------------------
►б'т -п £т
= —(Зе 136 т.
(50.34)
Далее вычислим нормировочный множитель (50.18). Используя
матрицы (50.11), (50.30), (50.31), находим
Sp(p(°)S0) = 1,
Sp(p(°)s1(i)) = --^-£vnne-^
Zo(p) „
(50.35)
(50.36)
Аналогично с помощью (50.32) получаем
Sp(pWs2(l)) = -Z—
Zq((3)
\Упт\2
/з2
2Z0(/3)

(50.37)
Нетрудно проверить, что это выражение можно записать в более
компактном виде:
Sp(p(°)S2(l)) =
/з
2Z0(/3)
пт
__ g
-пи
(50.38)
Собирая вместе (50.35), (50.36) и (50.38), получаем нормировоч-
ный множитель (50.18) в виде
а	(0) _ (0)
z(/3)/z0(/3) = I	-|£|кт|2^ Рт ,
с-n :-т
п	пт
(50.39)
где
40) =е-/3£"До(/3)	(50.40)
— собственное значение статистического оператора (50.11) невоз-
мущенной системы.
Используя (50.11), (50.30)-(50.32), находим матрицу стати-
стического оператора (50.17), т. е. матрицу плотности возмущен-
246
Раздел 3
ной системы:
где множитель Zq(/3)/Z(/3) вычисляется согласно (50.39).
В заключение получим критерий применимости теории воз-
мущений. Для этого, используя (50.34), найдем поправку первого
(0)
порядка к диагональному элементу рп матрицы плотности невоз-
мущенной системы:
40) - РУппР(п}
1 - /3 Е VnnPn}
(50.42)
В качестве условия применимости теории возмущений можно
/ЗТ7 (0)	(0)
взять условие малости поправки — pvnnpn по сравнению с ,
т. е.
\Vnn\^kT.	(50.43)
Следовательно, средняя энергия возмущения для каждого чистого
стационарного состояния невозмущенной системы должна быть
малой по сравнению со средней кинетической энергией теплового
движения.
Упражнения к лекции 14
14.1.	Найти в низшем неисчезающем порядке теории воз-
мущений поправки к энергетическим уровням линейного гармо-
нического осциллятора, обусловленные возмущением вида
а) V = ах4, б) V = ах3,
где а — некоторая константа.
Получить условие малости поправок и сравнить его с клас-
сическим условием малости ангармоничности колебаний.
14.2.	Рассчитать расщепление энергетического уровня атома
водорода с п = 2, обусловленное неточечностью протона. Протон
считать равномерно заряженным шаром со среднеквадратичным
радиусом 0,8 • 10 13 см.
Лекция 14
247
14.3.	Рассчитать в первом порядке теории возмущений энер-
гию связи основного состояния атома гелия, считая возмущением
взаимодействие электронов друг с другом. Сравнить полученный
результат с (46.30).
14.4.	Показать, пользуясь теорией возмущений, что ангар-
монические добавки вида AV = аг4 к потенциалу трехмерного
изотропного гармонического осциллятора снимают вырождение
уровней по орбитальному моменту.
14.5.	Найти в первом порядке теории возмущений энергии
и волновые функции трех низших стационарных состояний си-
стемы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических
осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых
V = ах±Х2
считается малой. Здесь а — некоторая константа, х± и Х2 — коор-
динаты осцилляторов. Сравнить полученный результат с резуль-
татом упражнения 3.9.
14.6.	Взаимодействие электрона и протона, приводящее к
сверхтонкому расщеплению низшего энергетического уровня ато-
ма водорода, можно представить в виде
V = a(sesp),
где se, sp — операторы спина электрона и протона, а — некоторая
константа. Показать, что в этом случае полный спин является ин-
тегралом движения. Определить значение константы а, зная, что
длина волны радиоизлучения, испускаемого при переходе между
уровнями сверхтонкой структуры низшего энергетического уров-
ня атома водорода, равна 21 см, а триплетный уровень лежит
выше синглетного.
14.7.	Согласно одночастичной модели оболочек потенци-
альная энергия нуклона в ядре может быть представлена в виде
V = Vo (г) + a(ls),
где 1, s — операторы орбитального и спинового моментов нуклона,
а — некоторый параметр. Определить значение параметра а, если
известно, что уровень ld5/2 лежит на 5 МэВ ниже уровня lcJ3/2-
248
Раздел 3
ЛЕКЦИЯ 15
§ 51. Некоторые применения теории возмущений
в задачах атомной физики
Мы рассмотрим ряд простейших задач из области примене-
ния квантовой механики в теории атома; все они давно уже стали
«классическими», и физические результаты их решения обычно
излагаются в курсе общей физики. Наша цель заключается в том,
чтобы получить эти результаты в рамках последовательного кван-
тово-механического подхода, используя методы, знакомые по пре-
дыдущим разделам. В данном параграфе мы займемся свойства-
ми индивидуального атома, а в следующем перебросим «мост»
между квантовой механикой отдельного атома и описанием ма-
кроскопических свойств вещества.
Мы будем опираться на представление о том, что атом-
ный электрон находится на стационарной квантовой орбите в
сферически-симметричном электростатическом поле. Здесь надо
видеть два случая, которые существенно отличаются один от дру-
гого.
Первый — это атом водорода и водородоподобные ионы. За-
кон взаимодействия электрона с силовым центром здесь хорошо
известен, с точностью до эффектов конечных размеров ядра и
релятивистских эффектов (которые при не очень больших Z ма-
лы и учитываются по теории возмущений). Это — закон Кулона
V(г) = —Ze^fr. Отличительной особенностью такого взаимодей-
ствия является, как мы знаем, «случайное» вырождение уровней
частицы по Z; оказывается, что оно особым образом проявляется
при взаимодействии атома с внешними полями.
К другому случаю относятся задачи, где рассматривается
движение электрона в сферически-симметричном поле некуло-
новского типа V (г) const/r; такой потенциал передает суммар-
ный эффект взаимодействия электрона с ядром и другими элек-
тронами атома. В отличие от задач для атома водорода, имеющих
строгую теоретическую постановку, это — модельные задачи, так
как само представление о среднем поле в атоме носит модельный,
приближенный характер; конкретная форма потенциала V(г) за-
висит от варианта используемой модели. Тем не менее, такая од-
ночастичная модель играет в атомной физике очень важную роль.
Применяя ее, мы будем учитывать, что в поле некулоновского ти-
па «случайное» вырождение по I отсутствует. Из атомной физики
Лекция 15
249
известно, что в таких атомах, как Li, Na, Кит. п., где одночастич-
ная модель описывает состояния валентного электрона особенно
хорошо, расщепление уровней Eni по I велико, оно сравнимо
с расстояниями между уровнями, относящимися к разным п.
1.	Атом водорода с учетом релятивистских
поправок
В § 35 мы рассматривали движение заряженной частицы в
кулоновском поле. При этом в качестве гамильтониана использо-
вался оператор
Но = р2/2р — Ze2/г,	(51.1)
где р и е — масса и заряд частицы, Ze — заряд кулоновского
центра. Этот же гамильтониан может быть использован для при-
ближенного описания атома водорода. Однако при этом игнориру-
ются наличие у электрона спина и квазирелятивистский характер
его движения.
В релятивистской квантовой теории показывается, что со-
ответствующие поправки могут быть введены путем добавления
к гамильтониану (51.1) следующего члена:
W = W1+W2 + W3,	(51.2)
где
Wi =
Ze2h2 S(r)
2p2c2 r2
W2 = (e f/2^.
(51.3)
(51-4)
(51.5)
s, 1 — операторы спина и орбитального момента электрона (в еди-
ницах К), с — скорость света, W3 носит название поправки Дарви-
на, W2 — поправка к нерелятивистскому оператору кинетической
энергии электрона, W3 описывает релятивистское взаимодействие
магнитного момента электрона, обусловленного наличием у него
спина, с кулоновским полем ядра. Это взаимодействие называется
спин-орбитальным.
250
Раздел 3
Нетрудно проверить, что все три поправки имеют порядок
v2/с2, где V — скорость электрона. Ввиду малости этого парамет-
ра можно рассматривать W как оператор возмущения по отно-
шению к оператору 11g и воспользоваться стационарной теорией
возмущений для вычисления соответствующих поправок.
Пусть еп = — (Z2/2n2)Eg есть некоторое собственное значе-
ние невозмущенного гамильтониана Нд, а
О') = (Imi,	(ст) (51.6)
----'	0^5
пут.	z
— волновая функция электрона, находящегося на уровне еп, име-
ющего орбитальный момент I и полный момент j (см. (41.31)).
Операторы Hi и ИУ в представлении функций (51.6) имеют
диагональный вид.
,	(51.7)
где
.—.	V 2t2 о
Ж) = (nljm^nljm,) = f^C(O),	(51.8)
2дс
JRni(r)r dr -	1 H'iiiridr.
ucr J	2шУ J
о	0
(51-9)
Подставляя сюда из § 35 Rni(r) и E = e„, получаем
W2) =
{О	при
FZF „„„
— E„ при
I 0,
I = 0,
g2Z4
2n3
Eg
3
4n
1 \
I + 1/2/
(51.10)
(51.11)
где
a = e2/hc «
(51.12)
— константа, называемая постоянной тонкой структуры.
Лекция 15
251
Оператор W3 в представлении функций (51.6) также диаго-
налей:
W3 =
Ze2h2 1 Л2 _~2 72
2ц2с2г3 2 J
= {W3)8jjl8wSm]m^
(51.13)
(51.14)
где
(Ж}
a2Z4B + 1) ~ Щ + 1) ~ 3/4
2п3 °	Z(/ + l)(2/ + l)
2 71 Г (21 + 1) 4(Z + 1) 1 при;— I + 1/2,
Сх Zj р х J
2п3 °	\ z '<'2/ I 1) 1 при; = Z —1/2.
(51.15)
Складывая средние значения (TVi), (W2) и (Из), получаем сле-
дующую поправку первого порядка к энергетическому уровню еп
невозмущенного гамильтониана Hq:
Aenj = (nljrrij\W3 + W2 + W3\nljmj) =
= -^-^-Ей(-----(51.16)
2n3 Vj +1/2	4n/
здесь Eo = це4/Й2.
Итак, исходный уровень с энергией
72
еп = -^Е0,	(51.17)
2п
вырожденный с кратностью 2п2, за счет релятивистских эффектов
расщепляется, причем энергии расщепленных уровней определя-
ются главным квантовым числом п и квантовым числом полного
момента j. При этом вырождение не снимается полностью, по-
скольку состояния cl=j + ^nl=j — при данных j, п име-
ют одинаковую энергию. Рассмотренное расщепление называется
тонким, а его величина в соответствии с (51.16) пропорциональна
квадрату постоянной тонкой структуры (51.12).
Таким образом, атом водорода имеет следующие состояния:
lsi/2; 2s1/2, 2рх/2; 2рз/г; 3si/2, 3pi/25 Зрз/2, 3d3/2; 3^s/2> •••>
(51.18)
где состояния с одинаковой энергией объединены скобкой.
252
Раздел 3
2.	Расщепление атомных уровней в магнитном
поле (эффект Зеемана)
Рассмотрим влияние постоянного однородного магнитного
поля на спектр уровней одноэлектронного атома.
Если напряженность магнитного поля невелика, то соглас-
но § 42 оператор взаимодействия электрона с магнитным полем
имеет вид
Кати =	= -pz2№ =	+gs8z) (51.19)
(ось z мы направили по гИ?). Это выражение получается в пре-
небрежении квадратичным по Ж слагаемым в гамильтониане.
Основываясь на (42.3), легко получить приблизительную оценку
малости этого отброшенного слагаемого:
т.е.^«Ц,	(51.20)
8тс	а а
где а — боровский радиус, а — постоянная тонкой структуры.
Из атомной физики известно, что картина расщепления уров-
ней атомного электрона в магнитном поле зависит от соотноше-
ния между интенсивностью взаимодействия (51.19) и величиной
спин-орбитального расщепления дублета j = I ± . Предельные
случаи этой картины называют случаем «слабого поля» (взаи-
модействие с магнитным полем много слабее спин-орбитального
взаимодействия) и случаем «сильного поля» (взаимодействие с
магнитным полем много сильнее спин-орбитального взаимодей-
ствия). Мы начнем с рассмотрения произвольного промежуточно-
го случая.
Для этого возьмем в качестве невозмущенного гамильтониа-
на Hq оператор
H0 = T + V(r),	(51.21)
а в качестве оператора возмущения — сумму оператора (51.19)
и оператора спин-орбитального взаимодействия (51.5):
V = Умагн + Vsl, Vsl =	(st).	(51.22)
2д?с2 Г дг
Пусть eni — собственное значение невозмущенного гамиль-
тониана Hq. При V = 0 уровень вырожден с кратностью
Лекция 15
253
2(2/ ± 1). Для того чтобы найти, как расщепляется этот уровень
под влиянием возмущения, надо построить матрицу оператора V
в базисе 2(2/ ± 1) невозмущенных состояний и диагонализовать
ее. В § 49 подчеркивалось, что выбирать базис можно по-разному,
с точностью до произвольного унитарного преобразования; ре-
зультат от этого не зависит. В частности, можно взять в качестве
базиса 2(2/ ± 1) состояний \nlmims'); mi = /, ..., —/, т3 = ±1/2
или 2(2/ ± 1) состояний \nljm); j = / ± т = j, ..., — j.
Матрица оператора КшгН в базисе состояний	диа-
гональна
In/m/msIKarHln/mJm') = -g0,ff(gimi + gsms)Smim>6msm>s.
(51.23)
Оператор Vsi диагоналей по т = mi ± ms, но может смешивать
состояния с mi = m'i ± 1 (соответственно с ms = т!s ± 1):
/1 dV \
|n/m;ms|Vs/n/m(m(.) =	2 2 \7~dr /
(51.24)
Обозначая
(51.25)
2М2с2 \г дг /п1
и используя результаты упр. 11.17, получаем
{nlmims\Vsi\nlmims) = Xnimim8, (51.26)
(п/, mi = т-1, ms = 11Vai\nl, mt = m±|, ms = -|) = Xnt.
Наоборот, в базисе n//m) диагональна матрица операто-
ра Vst:
/ ! 17 I 1 ! !\ А /С? + 1) — Ф + 1) - 3/4
{nljm\Vsi\nlj т ) = Xni---------------------^гдтт1,
(51.27)
а матрица оператора 1\1Шн диагональна лишь по т, но имеет как
диагональные, так и недиагональные элементы по j. Вычислим
ее диагональные элементы. Для этого воспользуемся следующим
соотношением для произвольного векторного (псевдовекторного)
оператора А:
,	, ~	, (aJMIAJlaJM)
{aJM\Az\aJM) = М-----------1--Ц----(51.28)
J \J ± 1)
254
Раздел 3
(51.29)
(51.30)
(51.31)
которое мы выведем в § 56. Используя также очевидные тождества
О = 1(Г+Р-52),
(s j) = (.Г + s2 -T2),
получаем
(nljm^^nljm) = -p0^gm,
где g — следующая комбинация констант:
9s — gi + 1) + s(s + 1) — Щ + 1)
g = gi + —5-------------vn---------------
2	7U + 1)
Аналогичным способом можно вычислить и недиагональные эле-
менты
{nl, j = 1 + 1/2, m|VMarH|nZ, j = 1- 1/2, т).
Случай «слабого поля»'. //q-A4 \ni. В этом случае удоб-
но воспользоваться базисом \nljm), рассматривая взаимодействие
с магнитным полем 1\1аш как малое возмущение гамильтониана
Hq + Vsi. В низшем порядке теории возмущений расщепление
каждого из уровней дублета (nl, j = 1± 1/2) определяется диаго-
нальными элементами (51.30) оператора I4arH:
= li(!-/6gin. m =	(51.32)
Вырождение уровня eni снимается полностью. Расстояние меж-
ду уровнями Enz,j=z±i/2 в отсутствие магнитного поля гораздо
больше, чем расстояние между подуровнями каждого из них при
наложении поля. Если не учитывать влияние спин-орбитального
взаимодействия Vsi на радиальные волновые функции электро-
на Unity) (и следовательно, на величину Ащ), то по форму-
ле (51.27) получаем
£nl,j=l+l/2 — £nl,j=l-l/2 = ^п/(2/ + 1)/2.	(51.33)
Случай «сильного поля»: рогУС » X„i Здесь удобно воспользовать-
ся базисом | nlmims). Общую картину расщепления уровня еп/ по-
казывает формула (51.23), согласно которой орбитальный и спино-
вый магнитные моменты электрона взаимодействуют с внешним
полем независимо друг от друга:
= -Po^tgimi +gsms).	(51.34)
Небольшие сдвиги уровней enim[ms, обусловленные спин-орби-
тальным взаимодействием, можно рассчитать по формуле (51.26).
Лекция 15
255
3.	Расщепление атомных уровней в постоянном
однородном электрическом поле (эффект Штарка)
Взаимодействие атомного электрона с постоянным однород-
ным электрическим полем 8 определяется оператором
Уэл = d8 = —dz8,	(51.35)
где
d = er	(51.36)
оператор электрического дипольного момента атома. Это взаимо-
действие не зависит от спина электрона, поэтому мы рассмотрим
задачу об эффекте Штарка, отвлекаясь от наличия у электрона
спина.
Пусть eni — некоторый уровень электрона в невозмущенном
атоме, не вырожденный по I. Все (2Z + 1) состояний \nlrn), соот-
ветствующих этому уровню, имеют одинаковую четность (—1)г.
Поэтому любые матричные элементы оператора d в обкладках
этих состояний строго равны нулю:
(nlm\d\nlm') = 0.	(51.37)
Таким образом, влияние электрического поля на атом проявляется,
только начиная со второго порядка теории возмущений. Соглас-
но (49.26) имеем
У>‘> = 88	 <51-38>
Матричные элементы {n/l/m/\z\nlm') подчиняются правилам от-
бора:
a)l' = I ± 1, б)т' = т;	(51.39)
они непосредственно следуют из формулы (Д7.19) для интеграла
У у;т,(0, ^)Ую(0)У/т(0, p)sin0d0dp,
к которой сводится вычисление этих матричных элементов. Из
той же формулы (см. также (Д7.12)) следует, кроме того
{n'l,m\z\nlm') = (n'l', — m\z\nl, —т).	(51.40)
256
Раздел 3
Учитывая (51.39) и (51.40), окончательно получаем
Де^2 (|m|) = е2<?2 £		(51.41)
&П1	&п'1'
п' ,1'=Z±1
Таким образом, в отличие от эффекта Зеемана вырождение
уровня eni снимается не полностью: остается двукратное выро-
ждение подуровней с ж У 0 по знаку проекции орбитального
момента. Величина расщепления уровня, как видно из (51.41),
пропорциональна квадрату напряженности поля S. Это явление
принято называть квадратичным эффектом Штарка.
В атоме водорода расщепление уровней в однородном элек-
трическом поле пропорционально не квадрату, а первой степе-
ни <э — линейный эффект Штарка. Причиной такого исключи-
тельного поведения является «случайное» вырождение по I уров-
ня атома водорода, в результате которого электрон может нахо-
диться на определенном уровне в состоянии, четность которого
не определена (см. § 35). Это обстоятельство снимает запрет ти-
па (51.37) на матричные элементы оператора d между состояния-
ми, принадлежащими одному и тому же уровню. Следовательно,
при рассмотрении эффекта Штарка в атоме водорода (и, разуме-
ется, в водородоподобных ионах) надо пользоваться вариантом
теории возмущений для вырожденных уровней.
В качестве примера рассмотрим 1-й возбужденный уровень
(п = 2) атома водорода. Согласно § 35 ему соответствуют следу-
ющие четыре линейно независимых состояния:
\nlrn) = |200) = Я2о(г)Уоо,
|21О) = Л21(г)У1О(0),
|211) = Л21(г)У11(0, <р),	{	’
|21, -1> = 1?21(г)У1, _х(^, р).
Легко видеть, что секулярное уравнение (49.40) для операто-
ра возмущения (51.35) принимает вид
Де	V12	0	0		
V21 0	Де 0	0 Де	0 0	= 0.	(51.43)
0	0	0	Де		
Прямые вычисления недиагональных матричных элементов да-
ют (см. упр. 9.13)
V12 — V21 — — 3|е|а<оо,
(51.44)
Лекция 15
257
е — заряд электрона, а — атомная единица длины. Корнями секу-
лярного уравнения (51.43) являются
Aei = V12, Аеэ = —V12, Ае3 = 0, Аё4 = 0.	(51.45)
Следовательно, исходный уровень с энергией eq расщепляется в
электрическом поле на три уровня с энергиями:
£1 = Eq + Aei = Eq —3|e|a<f?o, Ё2 = £о + А£2 = Eq —3|е|а<эо, Ез = Eq.
(51.46)
Энергии Ei соответствует состояние
= 2~1/2(|200) + |210>),	(51.47)
энергии в2 соответствует состояние
= 2“1/2(|200> - |210>),	(51.48)
а уровень с энергией £3 двукратно вырожден — ему отвечают две
линейно независимые функции:
21 1) и |21, -1).	(51.49)
§ 52. Магнитные и электрические свойства
вещества
Главная цель данного параграфа — показать на конкретных
примерах, как «проявляется» квантовая механика отдельных ато-
мов в макроскопических свойствах вещества. При этом мы позна-
комимся с практическим применением теории возмущений для
описания смешанных состояний.
1. Магнитная восприимчивость парамагнетиков
и диамагнетиков
Как известно из электродинамики, магнитные свойства веще-
ства принято характеризовать магнитной восприимчивостью %,
которая определяется следующим образом:
= (52Л)
.// <).Л
где F — свободная энергия единицы объема вещества в магнитном
поле Л?. В статистической физике показывается, что свободная
258
Раздел 3
энергия просто связана со статистической суммой Z(J3) смешан-
ного состояния, в котором находятся атомы вещества:
F = -^lnZ(/3),	(52.2)
р
N — количество атомов в единице объема.
Рассматривая взаимодействие атомов с магнитным полем в
качестве возмущения, мы можем воспользоваться результатами
§ 50 для вычисления свободной энергии. Согласно (50.39) имеем
/	о	(0) _ (о) \
ZW = zo03) 1 -/з£40)Кп - j£pnJ2Z> Z) 
\	n	mn	£n £m )
(52.3)
Это есть статистическая сумма атома с точностью до чле-
нов /32П2. Подставляя ее в (52.2) и разлагая логарифм в ряд с
точностью до квадратичных членов, получаем
F = F0+N ^P^Vnn-
п
Я   „(°) _ „(°) /Q7V /   \ 2
-fEil"-i2£wz2w + ^fc'’"4"")  <52Л>
пт	?п &т	\ п	'
где
Fo = -^lnZ0(/3)	(52.5)
р
— свободная энергия единицы объема вещества при .//'О.
Найдем магнитную восприимчивость вещества в слабом маг-
нитном поле. Согласно (51.6) стационарные состояния изолиро-
ванного атома в отсутствие магнитного поля можно характери-
зовать квантовыми числами п, I, s, j, rrij, а энергия состояния
определяется квантовыми числами п, j по формуле (51.16).
Согласно (31.14) статистический вес чистого состояния в
смешанном состоянии определяется его энергией, причем с увели-
чением энергии он экспоненциально уменьшается. Поэтому при
небольших температурах основной вклад дают состояния с мини-
мальной энергией. Если ограничиться учетом вклада только этих
состояний, то для того, чтобы отличить одно состояние от другого,
достаточно указать значение квантового числа rrij проекции пол-
ного момента на ось квантования. Таким образом, низшему энер-
гетическому уровню изолированного атома соответствуют 2j + 1
Лекция 15
259
состояний \rrij}, каждое из которых имеет статистический вес
= 1/(2; + 1),	(52.6)
Согласно § 51 матрица оператора взаимодействия атома
с магнитным полем -Ж в линейном приближении по -Ж имеет
вид
.	(52.7)
Следовательно, в этом случае
52	= °>
(52.8)
га;} = -3
а свободная энергия (52.4) с учетом формулы (50.39) принимает
вид
Г Го
/33V (/7().9-7С)2	2
~2 2; + 1	2^ тЛ
mj=-j
т. е.
Г = Го-^(Мо5^)2;(; + 1).	(52.9)
Подставляя это значение F в (52.1), находим
ЦК
X =	3V3 + !)•
(52.10)
Следовательно, в линейном приближении по .77' магнитная вос-
приимчивость оказывается положительной, что свойственно па-
рамагнетикам. Заметим, что в этом случае у обратно пропорцио-
нально температуре Т.
Если j = 0, то магнитные свойства вещества связаны с чле-
ном в гамильтониане, пропорциональном .77'2. Рассмотрим вклад
этого члена в (52.4). Согласно (42.3) для него имеем
+	2l8mc2 АГ	| л
mj	г
e2^f2N у-/ 2
12тс2 “ 1
(52.11)
где (г2') — дисперсия координатного распределения г-го электрона
на низшем энергетическом уровне атома (здесь мы воспользова-
лись результатом упр. 11.18). Отсюда находим с точностью до
членов -77'2:
F = Fo +
ГуГ/Г Y^/ 2
12mc2	1
(52.12)
260
Раздел 3
Подставляя в (52.1), получаем
e2N
бтс2
(52.13)
Отрицательный знак % говорит о том, что квадратичный по -ЗР
член в гамильтониане ответствен за диамагнитные свойства ве-
щества. При этом -Р не зависит от температуры.
2. Теория диэлектрической восприимчивости
Теперь обратимся к электрическим свойствам диэлектри-
ков. Согласно электродинамике диэлектрическая восприимчи-
вость (коэффициент поляризации) вещества определяется соот-
ношением
1 дР
где F — свободная энергия единицы объема вещества в элек-
трическом поле S. Следовательно, мы опять можем воспользо-
ваться формулой (52.4) для нахождения свободной энергии, если
известна матрица оператора возмущения. Будем считать, что все
энергетические уровни атома имеют определенную четность. Как
было показано в § 51, в этом случае все диагональные элементы
матрицы оператора возмущения равны нулю, а поэтому диэлек-
трические свойства определяются недиагональными элементами.
В этом случае (52.4) принимает вид
(52.14)
г = г» - f Е |'~|2т?гЛ> •	(52Л5)
Еп ~ Ет
где
Vnm = -её{п\г\т).
(52.16)
Если температура такова, что заселено только основное (п = 0)
состояние, то
4О)=^пО	(52.17)
и (52.15) сводится к
F = F0 + Ne2S2 £	(52.18)
m=^0 е0 ~
Лекция 15
261
Подставляя это значение свободной энергии в (52.14), получаем
х = 2Л¥ v |(0|г|т>|
/Д (0)	((
m^O	~0
(52.19)
Поскольку Em > Eq°\ диэлектрическая восприимчивость всегда
положительна. Как и диамагнитная восприимчивость, х не зави-
сит от температуры.
Диэлектрическая восприимчивость вещества, отнесенная к
одному атому (х и/N) называется поляризуемостью атома
данного вещества.
Упражнения к лекции 15
15.1.	Показать, что суммарный полный момент количества
движения двух электронов в атоме гелия есть интеграл движения,
а суммарный орбитальный момент и суммарный спин, вообще го-
воря, не сохраняются. Взаимодействие каждого электрона с ядром
взять в виде
а взаимодействие электронов друг с другом — в виде
У12(Г1, Г2) = -— ----.
|Г1 - г2I
Движением ядра пренебречь.
15.2.	Бесспиновая частица движется в кулоновском поле.
Найти расщепление энергетического уровня с п = 2 при наложе-
нии слабых однородных взаимно перпендикулярных электриче-
ского и магнитного полей.
15.3.	Найти расщепление энергетического уровня атома во-
дорода с п = 3 при помещении его в однородное электрическое
поле. Тонкой структурой спектра пренебречь.
15.4.	Атом, находящийся внутри кристалла, испытывает
действие аксиально-симметричного электрического поля вида
ДУ = / (г) Р4 (cos 0). Как расщепится уровень атома с полным
моментом J за счет этого взаимодействия? Показать, что центр
тяжести новых уровней совпадает с положением невозмущенно-
го уровня (центр тяжести системы уровней определяется как их
262
Раздел 3
средняя энергия, причем статистический вес каждого уровня ра-
вен кратности его вырождения).
15.5.	Рассчитать расщепление уровней сверхтонкой струк-
туры низшего состояния атома водорода (см. упр. 14.6) при по-
мещении его в постоянное однородное магнитное поле Ж. При
каком значении напряженности -'/Р это поле можно считать сла-
бым (сильным)?
15.6.	Вычислить напряженность магнитного поля, создава-
емого в центре атома водорода при движении электрона в состо-
яниях 2р.
15.7.	Найти электрический квадрупольный момент основ-
ного состояния ядра 17F, считая, что (согласно одночастичной
модели оболочек) оно представляет собой «инертный» неподвиж-
ный остов с нулевым спином, образованный ядром 16О, в поле
которого движется протон в состоянии ld5/2- Потенциал взаимо-
действия протона с остовом считать осцилляторным с параметром
Пиз = 16 МэВ. Найти также квадрупольный момент возбужденно-
го СОСТОЯНИЯ 1<?з/2-
15.8.	Вычислить диамагнитную восприимчивость атома ге-
лия, используя волновую функцию основного состояния, найден-
ную в § 46.
15.9.	Оценить поляризуемость атома водорода, учитывая
только члены, отвечающие первому возбужденному уровню. По-
казать, что найденное значение является нижней оценкой поляри-
зуемости. Как получить верхнюю оценку?
Раздел 4
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ЛЕКЦИЯ 16
§ 53. Понятие симметрии в квантовой механике
Понятие симметрии играет исключительно важную роль и в
классической, и в квантовой физике. Как известно, в классиче-
ской механике знание свойств симметрии функции Лагранжа или
функции Гамильтона системы позволяет найти интегралы движе-
ния, не прибегая к решению уравнений движения. В квантовой
механике мы имеем дело с оператором Гамильтона — гамильто-
нианом, и свойства симметрии гамильтониана проявляются в раз-
нообразных физических свойствах системы. В предыдущих раз-
делах мы уже не раз встречались с примерами такого проявления.
Задача данного раздела — систематизировать этот материал, изло-
жить основные вопросы теории симметрии в квантовой механике
на единой математической основе, показать еще не встречавшиеся
нам типы симметрии и их следствия.
Говоря о свойствах симметрии гамильтониана, мы имеем
в виду инвариантность гамильтониана при тех или иных пре-
образованиях пространства динамических переменных £, харак-
теризующих систему. Так, гамильтониан частицы, движущейся
в сферически-симметричном поле V(г), инвариантен относитель-
но произвольных поворотов системы координат в трехмерном
пространстве; он инвариантен также относительно операции ин-
версии (г — г). Следствием сферической симметрии поля яв-
ляется сохранение момента количества движения частицы. Этот
результат известен и в классической механике (хотя его математи-
ческая формулировка в классической и в квантовой механике не
одна и та же). Однако в квантовой механике следствия сфериче-
ской симметрии гораздо богаче, чем в классической. Из § 32 мы
знаем, что к ним относится «обязательное» вырождение уровней
частицы по магнитному квантовому числу — свойство, не имею-
щее аналога в классической механике. Другим примером чисто
264
Раздел 4
квантово-механического следствия симметрии может служить со-
хранение четности состояния, когда гамильтониан системы инва-
риантен относительно инверсии (см. § 12). Ниже мы обсудим три
аспекта проблемы симметрии в квантовой механике: симметрия
и интегралы движения; симметрия и вырождение энергетических
уровней; симметрия и правила отбора. Проявления симметрии
при столкновениях частиц будут рассмотрены в соответствующем
разделе курса.
1. Симметрия и интегралы движения
Пусть £ — совокупность динамических переменных кван-
товой системы в некотором n-мерном пространстве (конфигура-
ционном пространстве). Введем оператор g невырожденного ли-
нейного преобразования пространства, который ставит в соответ-
ствие вектору £ другой вектор = д^. В общем случае оператор д
может зависеть от параметра или от нескольких параметров, ко-
торые мы обозначим символом г/. Итак,
=	(53.1)
Поскольку преобразование невырожденное, существует обратный
оператор д * (др осуществляющий соответствие:
^ = 9~Ч^'-	(53.2)
Примером рассматриваемого преобразования может служить по-
ворот исходной системы кординат (х, у, z) на некоторый заданный
угол вокруг заданной оси; например, поворот на угол а вокруг
оси z'.
х' = х cos а + у sin а,
у' = — я; sin о + у cos а,	(53.3)
z' = z.
Оператор gz (а) имеет в этом случае вид
Ceos a sin а 0\
— sin a cos а 0 .	(53.4)
О 0	1/
Преобразование динамических переменных (53.1) индуци-
рует преобразование всех векторов t/i(/) пространства состояний
Лекция 16
265
физической системы и соответствующее ему преобразование всех
операторов физических величин:
# = 8(г]Уф,	(53.5)
F F' = SFS-1.	(53.6)
В §20 было показано, что оператор S(rf) удовлетворяет в общем
случае уравнению
(53.7)
Отсюда мы получили, в частности, операторы трансляции Т(а)
и поворота /?(п. а), выразив их затем через операторы им-
пульса р и момента импульса частицы 1 (соотношения (20.14)
и (20.15)):
Т (а) = е^ар,	(53.8)
Я(п, а) =	(53.9)
Пусть некоторое преобразование динамических перемен-
ных оставляет без изменений гамильтониан системы Н.
Это означает, что оператор S(rj), соответствующий преобразова-
нию <7(77), коммутирует с FF.
[Н,	= 0.	(53.10)
Действительно, согласно (53.6) имеем
H = SHS~1=H, т.е. SH = HS. (53.11)
Из (53.10) следует, что если оператор 5(ту) можно выразить через
оператор какой-либо физической величины F, то этот оператор
также коммутирует с Н:
[Н, F] = 0,	(53.12)
а, следовательно, соответствующая физическая величина F явля-
ется интегралом движения для системы с гамильтонианом Н.
266
Раздел 4
В качестве примера рассмотрим изолированную систе-
му N бесспиновых частиц, которые могут быть связаны между
собой какими-то силами. Гамильтониан такой системы
D2
яЕй- + Еу(1г’-^|)	<53-13)
г	i<3
инвариантен относительно преобразования трансляции при лю-
бом сдвиге а; это есть следствие однородности нашего простран-
ства. Оператор трансляции Т(а) для системы N частиц есть про-
изведение соответствующих одночастичных операторов (53.8) и,
следовательно, выражается через оператор полного импульса си-
стемы	i ~
f(a)=enaP,	(53.14)
N
Р = Е₽-	(53.15)
г=1
Таким образом, из свойства однородности пространства вытекает
коммутационное соотношение
[Я, Р] = О	(53.16)
и, следовательно, закон сохранения полного импульса изолиро-
ванной физической системы.
Если же система находится в однородном поле, гамильтони-
ан инвариантен только относительно трансляций, перпендикуляр-
ных полю; значит, в этом случае сохраняется только поперечная
компонента полного импульса.
Аналогичным способом можно показать, что из свойства изо-
тропности пространства вытекает закон сохранения полного ор-
битального момента системы бесспиновых частиц:
[Я, L] = 0,	(53.17)
где
N
L = У^[гг х Р®]-	(53.18)
г=1
Для этого, отправляясь от (53.9), надо построить оператор пово-
рота для системы частиц
(53.19)
и воспользоваться соотношением (53.10).
Лекция 16
267
Сложнее обстоит дело с частицами, обладающими спином.
В лекции 10 мы сформулировали основные положения математи-
ческой теории спина в полной аналогии с теорией орбитального
момента. Продолжая эту аналогию, построим оператор поворота
для спиновой волновой функции в форме (53.9):
Я(п, а) = e^“(ns)	(53.20)
(в частном случае s = свойства этого оператора уже разби-
рались в упр. 10.12). Полный оператор поворота, трансформи-
рующий при повороте системы координат и пространственную,
и спиновую части волновой функции частиц, есть произведение
соответствующих операторов:
Л(п,	= Л“(п3); J =Т+s. (53.21)
Выражение (53.21) естественно обобщается на случай системы
многих частиц; в этом случае J — оператор полного момента
количества движения всей системы:
J = ^r(X + s2).	(53.22)
г=1
Гамильтониан изолированной системы частиц со спином
имеет более сложный вид, нежели (53.13). Однако независимо
от характера спиновых взаимодействий он, как и гамильтони-
ан (53.13), инвариантен относительно любых поворотов: это есть
следствие изотропности пространства. Значит, согласно (53.10) он
коммутирует с оператором (53.21):
[Я, e^“(nJ)] = 0,	(53.23)
откуда следует закон сохранения полного момента изолированной
системы'.
[Я, J] = 0.	(53.24)
Подчеркнем, что если частицы обладают спином, то ни сохра-
нение полного орбитального момента (соотношение (53.17)), ни
сохранение полного спина системы (соотношение [Я, S] = 0) не
вытекают из общих свойств симметрии пространства. Сохране-
ние этих величин может быть лишь следствием особых свойств
гамильтониана системы; например, орбитальный момент и спи-
новый момент системы сохраняются по отдельности, если отсут-
ствует спин-орбитальное взаимодействие.
268
Раздел 4
2. Симметрия и вырождение энергетических
уровней
Рассмотрение этого вопроса мы начнем с доказательства од-
ной важной теоремы: если среди интегралов движения некоторой
физической системы есть такие, что их операторы не коммутиру-
ют между собой, то энергетические уровни этой системы выро-
ждены.
Пусть А и В — два таких оператора. Согласно условию тео-
ремы, справедливы соотношения
[Н, А] = О, [Н, В] = 0,	(53.25)
[А, В] 0.	(53.26)
Последнее из них означает (см. § 4), что операторы А и В не
имеют общей полной системы собственных функций, т. е. могут
иметь какую-то общую собственную функцию лишь случайно.
С точностью до таких отдельных совпадений можно утверждать,
что если	л
Atpn = Anipn,	(53.27)
т. е. tpn — собственная функция оператора А, то
Btpn const • tpn.	(53.28)
Пусть срп — одновременно собственная функция оператора А и Н
(такой выбор обеспечивается первым соотношением (53.25)). Это
значит, что
= Entpn,	(53.29)
где Еп — энергия некоторого уровня системы. Подействуем на
правую и левую части этого равенства оператором В:
B(Htpn) = B(Entpn)	(53.30)
и переставим операторы В и Н, пользуясь вторым соотношени-
ем (53.25):
H(Bipn) = EnfBcpn).	(53.31)
Полученное соотношение показывает, что функция Btpn тоже яв-
ляется собственной функцией гамильтониана, соответствующей
собственному значению Еп. Однако согласно (53.28) она не сво-
дится к срп. Таким образом, уровню Еп соответствуют по крайней
Лекция 16
269
(53.32)
мере две разные волновые функции — ipn и Btpn, т. е. этот уровень
вырожден. Теорема доказана.
Легко увидеть связь доказанной теоремы с проблемой сим-
метрии: под А и В мы можем понимать операторы двух пре-
образований динамических переменных системы, оставляющих
неизменным гамильтониан системы и не коммутирующих между
собой; если такие преобразования симметрии существуют, уровни
системы вырождены.
Обратимся к хорошо известному примеру. Пусть бесспино-
вая частица находится в сферически-симметричном поле. Уровни
такой системы вырождены с кратностью 21 + 1. Проанализируем
причину вырождения с точки зрения доказанной выше теоремы.
Гамильтониан Н = Т + V(r) инвариантен относительно по-
воротов системы координат вокруг любой оси, проходящей через
силовой центр (начало координат). Рассмотрим поворот вокруг
осей х и у. Согласно (53.9) им соответствуют операторы
Яж(а)=е^“/а
Яу(/3) =
которые коммутируют с гамильтонианом
[Н, Rx(a)] = [Я, Яу(/3)] = 0,	(53.33)
что соответствует сохранению проекций момента частицы на
ОСИ X и у.
[Я, Гж] = [Я, Ту] = 0.	(53.34)
Однако операторы (53.32) не коммутируют между собой (см.
упр. 5.9):
[Rx(a), Ry(X] 0	(53.35)
(как не коммутируют между собой и операторы 1Х, 1у). Таким
образом, условие теоремы выполнено, и поэтому уровни системы
вырождены.
Итак, вырождение энергетических уровней физической си-
стемы всегда указывает на то, что гамильтониан системы обладает
какой-то совокупностью свойств симметрии, причем среди соот-
ветствующих операторов преобразования симметрии обязательно
есть не коммутирующие между собой. Используя теорию симмет-
рии на практике, мы будем придерживаться следующего нестро-
гого, но очень полезного правила: чем выше, полнее симметрия
270
Раздел 4
гамильтониана (т. е. чем большим количеством разных свойств
симметрии он обладает), тем больше степень вырождения энер-
гетических уровней системы, и наоборот.
Обратимся снова к примеру. Пусть заряженная бесспиновая
частица находится в поле со сферически-симметричным потенци-
алом V(г). Наложим на эту систему постоянное однородное маг-
нитное поле УС. Мы знаем из §51, что вырождение уровней по
магнитному квантовому числу т в таком поле снимается (эффект
Зеемана): каждый уровень Eni расщепляется на 21 +1 подуровней
Eni(m), т = I, I — 1,..., —I. Это связано с тем, что симметрия
гамильтониана возмущенной системы
Н = Т + V(r) -щЖ	(53.36)
беднее, чем симметрия невозмущенного гамильтониана. При на-
ложении магнитного поля сферическая симметрия исчезла, оста-
лась лишь аксиальная симметрия: гамильтониан (53.36) инвари-
антен относительно любых поворотов вокруг оси, направленной
по вектору УС. Однако повороты вокруг одной и той же оси ком-
мутируют между собой, поэтому вырождение уровней исчезло.
Продолжим рассмотрение выбранного примера. Пусть те-
перь на нашу систему наложено не магнитное, а постоянное од-
нородное электрическое поле ё. Мы знаем из теории эффекта
Штарка (§ 51), что и в этом случае вырождение уровней снима-
ется. Однако оно снимается не полностью, как при наложении
магнитного поля, а частично: остается вырождение уровней си-
стемы по знаку проекции момента на направление поля
Eni(m) = Eni(-m).	(53.37)
В чем дело? Ведь и в случае магнитного поля, и в случае электри-
ческого поля возмущение меняет сферическую симметрию га-
мильтониана на аксиальную. Почему же характер расщепления
уровней в этих двух случаях неодинаков?
Доказанная выше общая теорема подсказывает нам, что во
втором случае возмущенный гамильтониан обладает помимо ак-
сиальной симметрии еще какими-то свойствами симметрии, кото-
рые просто не видны с первого взгляда. Чтобы выявить их, срав-
ним внимательнее операторы взаимодействия частицы с внешним
полем в первом и во втором случаях (пусть при этом ось z на-
правлена по вектору -У или <?):
АЯмагн = -д1гУС = (хру - урх)УС, (53.38)
ДЯЭЛ = —ezS.	(53.39)
Лекция 16
271
Действительно, видно, что оператор ДЯЭЛ инвариантен относи-
тельно отражений в любой плоскости, проходящей через ось сим-
метрии (ось z), тогда как оператор Д//та1|| таким свойством сим-
метрии не обладает. Поскольку операции отражения в плоскости
и поворот вокруг оси, лежащей в ней, не коммутируют между
собой, вырождение уровней при наложении электрического поля
снимается не полностью.
Рассмотренный пример дает ключ к объяснению явления
«случайного» вырождения уровней, с которым мы встретились
в §§35 и 36. Напомним, что в двух случаях сферически-
симметричного поля — кулоновское поле и изотропный гармо-
нический осциллятор — уровни частицы оказываются вырожден-
ными не только по т («обязательное» вырождение), но и по ор-
битальному квантовому числу I. Сейчас становится понятным,
что «случайное» вырождение также должно иметь своей причи-
ной какую-то особую дополнительную симметрию гамильтониа-
на, которая просто оказывается «скрытой», незаметной для пер-
вого взгляда. Действительно, сферическая симметрия (вместе с
симметрией относительно инверсии системы координат) не ис-
черпывает всех свойств симметрии гамильтониана частицы в ку-
лоновском поле и гамильтониана сферически-симметричного гар-
монического осциллятора. Указать эти дополнительные свойства
симметрии и показать, что соответствующие операторы не ком-
мутируют с операторами поворотов, не просто, поскольку в обоих
случаях они связаны не с привычными геометрическими преобра-
зованиями, а с более сложными преобразованиями динамических
переменных системы.
Мы не будем разбирать этот вопрос до конца. Отметим лишь,
что в случае кулоновского поля полная симметрия гамильтониана
отчетливо видна в некотором абстрактном 4-мерном пространстве
и что «случайное» вырождение уровней связано в этом случае с
наличием специфического для кулоновского поля интеграла дви-
жения — вектора Рунге-Ленца (см. упр. 9.11); легко проверить
(упр. 16.5), что соответствующий оператор не коммутирует с опе-
ратором орбитального момента частицы. Для демонстрации бога-
той симметрии гармонического осциллятора удобно выразить его
гамильтониан через операторы рождения и уничтожения квантов
колебаний (см. §25):
Я = ^(^а+^ + |к	(53.40)
4=1	/
Легко видеть, что гамильтониан (53.40) инвариантен относитель-
272
Раздел 4
но произвольного унитарного преобразования динамических пе-
ременных a.i
з
а[ = ^игкак,	(53.41)
fe=i
где
ии+ = I.	(53.42)
Говорят, что «случайное» вырождение уровней сферического гар-
монического осциллятора отражает свойство унитарной симмет-
рии его гамильтониана.
3. Симметрия и правила отбора
В предыдущих разделах не раз возникала следующая ситу-
ация: рассматривая матричный элемент какой-то физической ве-
личины (a|F|/3), мы могли, не производя вычислений, точно ска-
зать, что он равен нулю. Делалось это всякий раз путем выявле-
ния какого-либо качественного несоответствия между свойствами
оператора F и квантовыми числами состояний |аг) и /3).
Вот простой пример: чему равен матричный элемент опе-
ратора х2 для состояний 1s) и |2р, тп) атома водорода? Ответ:
(1sж212р, т) =0. Объяснение: четность состояния частицы с мо-
ментом I есть (—1)г; таким образом, состояния |ls) и |2р, т)
имеют противоположную четность, однако оператор х2 четности
не меняет, поэтому интеграл равен нулю. Другой пример: найти
правило отбора по магнитному квантовому числу для матрич-
ных элементов (nxkw|z|n2^2W2). Ответ: т±=гп2. Объяснение:
будем вычислять интеграл в сферических координатах; опера-
тор z не содержит азимутального угла </?; интегрирование по ip
вводится к перекрыванию собственных функций оператора Lz,
т. е. (Фт1|Фт2) = Smini2.
Очень часто правило отбора формулируется как целая сово-
купность условий, налагаемых на квантовые числа состояний, для
которых вычисляется матричный элемент. Так, в последнем при-
мере мы можем учесть, что оператор 2" меняет четность состояния.
Это дает условие ( 1/ = —(—1)/2. Далее, вычисляя угловую
часть интеграла (//1 / i //> i |Д|) (при этом удобно воспользо-
ваться формулой (Д7.19)), мы видим, что этот интеграл пропор-
ционален коэффициенту Клебша-Гордана (10, (г^рхгох), кото-
рый отличен от нуля, только если выполнено «правило треуголь-
ника» (41.23): 1Х + 12 + 1 = 0 (заметим, что единица 1 входит
Лекция 16
273
в это символическое соотношение как некий момент количества
движения, присущий оператору z). Итак, полная совокупность
условий, выражающих правила отбора для матричных элементов
(ni/imi|z|n2Z2Tn.2), есть
mi=m2, (-1)'1 =-(-I)'2, li+l2 + l = 0,	(53.43)
или, более компактно,
mi = т2, Zi = Z2 ± 1.	(53.44)
Общую и строгую математическую основу получения пра-
вил отбора для всевозможных матричных элементов в квантовой
механике дает теория групп. К изложению ее применения в кван-
товой механике мы и перейдем.
§ 54.	Применение теории групп в квантовой
механике
В данном параграфе мы познакомимся с основными направ-
лениями применения теории групп в квантовой механике. При
этом общие положения абстрактной теории групп будут считать-
ся известными; мы лишь кратко напомним их, вводя нужные нам
обозначения.
1.	Некоторые общие положения абстрактной
теории групп
1. Группой называется конечная или бесконечная совокуп-
ность элементов а, Ь, с,..., удовлетворяющая следующим требо-
ваниям:
а) определена операция произведения элементов:
ab = с,
б) среди элементов группы есть единичный элемент Е, опре-
деленный соотношениями
Еа — аЕ = а,
в) справедлив ассоциативный закон перемножения элементов
группы:
(ab)c = а(Ьс),
274
Раздел 4
г) каждый элемент группы а имеет обратный </ :
ш/1 = «'о = Е.
Примеры.
1)	Группа инверсии, состоящая из двух элементов: i (оператор
инверсии) и единичного элемента Е, является примером группы
второго порядка. Обозначается I.
2)	Группа поворотов в 3-мерном пространстве относительно
произвольной оси на произвольный угол. Обозначается R%. Со-
держит бесконечное число элементов; является примером непре-
рывной группы.
3)	Группа поворотов на произвольный угол вокруг фиксиро-
ванной оси (группа поворотов в плоскости). Обозначается Ft?.
4)	Группа отражений в плоскости — группа второго порядка.
Обозначается аь- Содержит оператор отражения в плоскости ah
и единичный элемент Е.
5)	Группа поворотов на угол, кратный 2тг/п (где п — целое
число), вокруг фиксированной оси — группа n-го порядка. Обо-
значается Сп. Элемент группы, представляющий поворот на угол
2Tvk/n (к — целое число), обозначается С%.
2.	Подгруппой называется часть элементов группы, сама
образующая группу. Например, группа /?_> есть подгруппа груп-
пы /?3 (обозначаем ЛГ С /?з).
3.	Пусть две группы — G и G' — не имеют общих эле-
ментов (кроме единичного), и все элементы одной группы (а, Ь,
с,...) коммутируют с элементами другой (а', Ь', с',...). Тогда,
очевидно, совокупность элементов аа', ab',... тоже составляет
группу, порядок которой равен произведению порядков групп G
и G'. Эта новая группа называется прямым произведением групп
G и G' и обозначается G х G'.
Пример: прямое произведение группы инверсии и группы
трехмерных вращений. Обозначается Оз = 7?з х I.
4.	Пусть в некотором линейном пространстве L задано мно-
жество операторов Т(д), где g = а, Ь,..элементы некоторой
группы G. Если выполняется условие
Т (ab) = Т (а)Т (0,	(54.1)
то Т(д) — представление группы G. Общие свойства представле-
ний групп:
а) Т(Е)=1\ б) 7'(« ') = [7'(«j]	(54.2)
Пространство L называется пространством представления Т(д).
Лекция 16
275
5.	Если в L есть подпространства, инвариантные для всех
Т(д), то представление Т(д) называется приводимым. Пишем:
ь =	<54-3)
а
т. е. пространство L есть прямая сумма таких инвариантных под-
пространств LSaX Если L нельзя разложить на инвариантные
подпространства, то представление Т(р) называется неприводи-
мым.
6.	Совокупность линейно независимых элементов (векто-
ров)	принадлежащих инвариантному подпростран-
ству и удовлетворяющих соотношению
= T(p)V^ =	D^g)V^\	(54.4)
м'=1
называется базисом представления, а соответствующие матри-
цы	— матрицами представления. Как видно из (54.4)
и (54.1), матрицы представления группы удовлетворяют соотно-
шению
(54.5)
V=1
т. е. сами образуют представление группы. Число называется
размерностью представления.
7.	Матрицы приводимых представлений имеют квазидиаго-
нальный («ящичный») вид:
/ □	0\
5(g) =	° п •	(54.6)
\0	□ /
где отличные от нуля элементы находятся в квадратах, каждый
из которых соответствует одному неприводимому представлению.
Свойство (54.6) записывается также в виде формулы разложения
приводимого представления на неприводимые:
Ф
5(g)=£«(“)5M(S).	(54.7)
276
Раздел 4
8.	Базисные векторы разных неприводимых представлений
ортогональны друг другу:
=Х^5аР6^.	(54.7а)
Базисные векторы одного неприводимого представления норми-
рованы одинаково. Как следует из (54.7а),
(vW|VM(a)) = ЛИ	(54.8)
9.	Прямые произведения базисных векторов двух представ-
лений группы также образуют базис некоторого представления
группы:
fa f/3
T(g-)[v^-v^] = £ Е	(54.9)
/У=1 „'=1
Оно называется прямым произведением представлений
и № и обозначается х .
10.	Прямое произведение двух неприводимых представле-
ний группы является, вообще говоря, приводимым представлени-
ем и может быть разложено на неприводимые представления:
р(«) х д(/3) = £aWj>).	(54.10)
7
Базисные векторы неприводимых представлений имеют вид
линейных комбинаций прямых произведений базисных векторов
представлений и D^:
[у(а) • у(/3)]р =	(54.10а)
м,
Коэффициенты (ар, /Згу\'ур'), которые иногда называют обобщен-
ными коэффициентами Клебша--Гордана, образуют унитарную
матрицу. Из (16.54.10а) следует соотношение
. yJ/З) =	[у(“) .	(54.11)
7Р
Лекция 16
277
2.	Теоретико-групповая классификация
стационарных состояний квантовых систем
Пусть Т(д) — представление группы преобразований сим-
метрии гамильтониана системы Н. Это означает, что для всех д
(«на всей группе») выполняется соотношение (53.11):
Т(д)НТ~\д) = Н,	(54.12)
т. е.
[f(g), Я]=0.	(54.13)
Пусть далее	— совокупность линейно независимых ре-
шений стационарного уравнения Шредингера, соответствующих
уровню Еп\
Н^=Еп^™\ д, = 1, 2, ..., fn, (54.14)
fn — кратность вырождения уровня. Подействуем на обе части
соотношения (54.14) оператором T(g). С учетом (54.13) получаем
Н{Пд^} = Еп{Т\д^}.	(54.15)
Последнее соотношение показывает, что совокупность вол-
новых функций каждого уровня системы образует инвариантное
подпространство по отношению ко всей группе преобразований
симметрии гамильтониана:
= f(g)<) = £ D^g^-	(54.16)
м'=1
Это подпространство, а также соответствующие ему матрицы
представления (д) либо неприводимы, либо их можно разло-
жить на неприводимые части. Таким образом, совокупность кван-
товых чисел {п}, нумерующих уровень Еп, есть совокупность
индексов, характеризующих неприводимые представления соот-
ветствующей группы. Кратность этих неприводимых представле-
ний определяет кратность вырождения соответствующих уровней
системы.
Мы видим, что при «симметрийном» подходе к классифика-
ции уровней квантовых систем «динамическая» задача о нахожде-
нии всех решений стационарного уравнения Шредингера заменя-
ется задачей о нахождении всех неприводимых представлений
группы симметрии гамильтониана, которая является стандартной
задачей абстрактной теории групп.
278
Раздел 4
3.	Расщепление вырожденных уровней под
влиянием возмущения
Пусть {yffl}^'=i — волновые функции невозмущенной систе-
мы гамильтонианом Но, соответствующие вырожденному уров-
ню еп:
Я0^п) =£п^п);	(54.17)
fn — кратность вырождения уровня. Выше мы показали, что
эти функции образуют базис неприводимого представления
группы преобразований симметрии гамильтониана Но; назовем
эту группу G. В § 49 было показано, что если система подверга-
ется возмущению V, то расщепление уровня еп в низшем порядке
по V можно найти из решения секулярного уравнения (49.40):
Det	- ЛЕп  8^ = 0.	(54.18)
Каждый корень этого уравнения д дает поправку первого
порядка к энергии еп невозмущенной системы:
£п Еп, д = еп + ЕЕп д.	(54.19)
Если уравнение (54.18) имеет кратные корни, то некоторые из
подуровней Еп, д уровня еп оказываются вырожденными.
Теория групп позволяет установить характер расщепления
уровней под влиянием возмущения, не только не решая секуляр-
ного уравнения, но и не вычисляя матричных элементов возмуще-
ния, т. е. не обращаясь к конкретному виду базисных функций ipff1
и оператора возмущения V. Оказывается, все дело в соотношении
свойств симметрии возмущения V и невозмущенного гамильто-
ниана Но- Здесь имеют место два случая.
В первом случае симметрия возмущения выше (или по край-
ней мере не ниже), чем симметрия гамильтониана Но- Тогда сим-
метрия возмущенного гамильтониана Н = Hq + V определяется
по-прежнему группой G. Следовательно, классификация уровней
возмущенной системы остается такой же, как и в невозмущенной
системе. Возмущение приводит лишь к сдвигу каждого уровня еп,
но он не расщепляется, кратность его вырождения остается преж-
ней.
В другом случае симметрия возмущения V беднее, чем сим-
метрия гамильтониана Но; следовательно, и симметрия возму-
щенного гамильтониана Н беднее, чем симметрия Но- Пусть она
Лекция 16
279
характеризуется группой G, являющейся подгруппой группы G.
В этом случае представление D^n\ являющееся неприводимым
по отношению ко всем элементам группы G, оказывается, вооб-
ще говоря, приводимым по отношению к элементам, образующим
ее подгруппу G:
® л(А)
//"•'(//j =	(т?), T/eG; (54.20)
Л(А)	А
здесь D (rj) — неприводимые представления группы G. Иными
словами, пространство базисных векторов	разбивается
на инвариантные по отношению к преобразованиям подгруппы G
подпространства, суммарная размерность которых равна Каж-
х(А)
дому неприводимому представлению D подгруппы G соответ-
ствует согласно (54.15) свое собственное значение Еп,х гамиль-
тониана Н с кратностью вырождения Д. Число таких неприво-
димых представлений в разложении (54.20) дает число подуров-
ней Еп,х, на которые расщепляется уровень еп под влиянием
возмущения.
Мы снова видим, что при «симметрийном» подходе к задаче
о расщеплении уровней процедура решения уравнения Шрединге-
ра заменяется некоторой стандартной процедурой теории групп,
а именно процедурой (54.20) разложения неприводимого пред-
ставления группы на неприводимые представления ее подгруппы.
Такой подход, конечно, является более общим.
4.	Теория групп и правила отбора
Применяя теорию групп к установлению правил отбора для
квантово-механических матричных элементов, мы будем опирать-
ся на понятие неприводимого тензорного оператора. Совокуп-
ность fk операторов {F^}{k называется неприводимым тензор-
ным оператором по отношению к некоторой группе G, если она
удовлетворяет следующему соотношению:
~ (fc)
С, = ^D^Jg)F^k\	(54.21)
т. е. если в результате преобразований, образующих группу G,
компоненты тензора F^ преобразуются друг через друга по
неприводимым представлениям D^) этой группы.
280
Раздел 4
Рассмотрим матричный элемент неприводимого тензорно-
го оператора группы G в обкладках базисных векто-
ров двух произвольных неприводимых представлений
и этой группы:	\F^ Векторы \F^i[^}, где
х = 1, 2, . .., fk, 1з = 1, 2,	, fp, образуют базис представле-
ния х группы G, которое, вообще говоря, является при-
водимым. Согласно (54.11) их можно представить в виде линей-
ных комбинаций базисных векторов неприводимых представле-
ний , на которые разбивается прямое произведение представ-
лений £)« х £)(/3);
для этого надо воспользоваться коэффициен-
тами Клебша-Гордана группы G:
IFW^)) = ^(fcx,	(54.22)
Подставляя (54.22) в матричный элемент	\F^вос-
пользуемся свойством ортогональности базисных векторов раз-
ных неприводимых представлении группы (соотношение (54.7а)):
(54.23)
В итоге получаем
(3v\apY	(54.24)
Соотношение (54.24) может служить универсальной осно-
вой для получения правил отбора в квантовой механике. Оно по-
казывает, что необходимым условием существования ненулевого
матричного элемента	является требование, что-
бы неприводимое представление	содержалось в разложении
прямого произведения неприводимых представлений и :
£)(“) С х £>('3).	(54.25)
Практическое применение правила (54.25) к установлению пра-
вил отбора для произвольных операторов предполагает, что мы
умеем выразить любой оператор F через неприводимые тензор-
ные операторы F^ соответствующей группы. Мы познакомимся
с этой процедурой в следующей лекции на примере группы трех-
мерных вращений.
Лекция 17
281
Упражнения к лекции 16
16.1.	Указать все преобразования, образующие группу сим-
метрии куба.
16.2.	То же для тетраэдра.
16.3.	Показать, что компоненты радиус-вектора ж и у образу-
ют базис двумерного представления группы С4 (повороты вокруг
оси z). Найти матрицы этого представления.
16.4.	То же для группы С3.
16.5.	Найти коммутационное соотношение для оператора
вектора Рунге-Ленца (упр. 9.11) и оператора орбитального мо-
мента частицы в кулоновском поле.
ЛЕКЦИЯ 17
§ 55. Группа трехмерных вращений и ее
представления
Представление группы трехмерных вращений R3 (а также
более широкой группы О3 = R3 х Г) осуществляют операторы
поворота (53.21):
/?(п, а) =	(55.1)
В качестве базиса неприводимого представления этой группы
можно взять векторы состояний \jm), в которых определен пол-
ный момент системы и его проекция на ось z:
з
R(n, a)\jm} = Е Dm'm(n’	(55.2)
Матрицы неприводимых представлений группы R%
a) =	(55.3)
имеют размерность (2j + 1) x (2j + 1) и называются матрицами
конечных поворотов. Они обладают свойством унитарности:
з
Е	Q)-^m2m(n5	—	(55.4)
m=-j
282
Раздел 4
Имеются подробные таблицы матриц конечных поворотов,
дающие явные выражения их матричных элементов через пара-
метры поворота. Однако в некоторых особых случаях не состав-
ляет труда построить матрицы	ct) и непосредственно
по формуле (55.3), без каких-либо таблиц.
Пусть, например, ось п направлена по оси z. Тогда матри-
ца D^,m (nz, а) диагональна:
(п o') — PimaS
т. e. имеет вид приводимой матрицы. Это есть пример того, как
неприводимое представление некоторой группы (в данном случае
группы 7?з) оказывается приводимым по отношению к ее подгруп-
пе (в данном случае — подгруппе R-j всевозможных поворотов
вокруг оси z). В общем случае, когда а, п произвольны, матри-
ца	а) неприводима, а вычислить ее матричный элемент
гораздо сложнее, чем в рассмотренном выше примере.
Для вычисления матриц конечных поворотов в общем слу-
чае оказывается более удобным использовать вместо параметров
поворота (n, ct) другие эквивалентные параметры — три угла Эй-
лера ct, /3, Напомним, что оси исходной системы координат
можно совместить с осями любой повернутой системы с помо-
щью последовательности трех поворотов: на угол а (0 < а < 2тг)
вокруг оси z исходной системы; на угол (3 (0	(3	7г) вокруг
оси у новой системы; на угол 7 (0	7	2%) вокруг новой
оси z. Соответствующие элементы матрицы конечного поворота
вычисляются по формуле
-°т'т(а> А 7) = {jrn'\eh'lJzeKPJyeKaJz \ jrn) =
=	(55.6)
t. e. могут быть легко выражены через более простые матрицы
= {jm'\eKPJy\jm),	(55.7)
зависящие лишь от одного параметра — угла /3; углы ct и 7 входят
Лекция 17
283
лишь в экспоненциальные множители е™ 7 и егта:
7) =	(55.8)
Вычислим матрицы d11'1 для случая j' = i. Для этого вос-
пользуемся соотношением (упр. 10.7)
^/3sy	/3	. /3
е'1	= е 1	= 1 • cos — + iffy  sin — ,
где ffy — матрица Паули. Итак,
cos sin
• /3 р
— sin — cos —
(55.9)
(55.10)

Явный вид матриц d для J приведен в Дополнении 12.
С помощью матриц конечных поворотов можно рассмотреть
любые ситуации в опыте Штерна-Герлаха с частицами произ-
вольного спина. Действительно, пусть осью квантования при опи-
сании входного пучка является некоторая ось z', а осью прибора —
ось z, составляющая с осью z' угол /3. Соответствующим выбором
направления осей хну всегда можно совместить z и z' поворо-
том системы координат на угол /3 вокруг оси у. Поэтому, исполь-
зуя (55.2) и (55.8), мы получаем простую связь между базисными
векторами спинового состояния частицы в системе с осью z (на-
зовем их |sm)) и в системе с осью z' (назовем их |sm):
S
1^) =	(55.П)
т' = — s
Отсюда видно, например, что если спиновое состояние входно-
го пучка является чистым и все частицы имеют определенную
проекцию спина т на некоторую ось z1, то относительные интен-
сивности пучков на выходе из прибора определяются выражением
Ш(т') = |c?^m(/3)|2, m' = s, ..., -s,
(55.12)
где /3 — угол между осью z' и осью прибора z. Если спиновое
состояние входного пучка является смешанным и описывается
284
Раздел 4
спиновой матрицей плотности, то для перевода спиновой матрицы
плотности из одной системы в другую удобно воспользоваться
соотношением
(sm'\sm) = d^,m(j3),	(55.13)
которое есть просто иной способ записи соотношения (55.11).
§56. Теорема Вигнера-Эккарта
Теорема Вигнера-Эккарта представляет собой общую осно-
ву получения правил отбора по квантовым числам момента коли-
чества движения и его проекций для всевозможных операторов.
С математической точки зрения она является частным случаем
соотношения (54.24) применительно к группе трехмерных вра-
щении /?з.
Согласно общему определению (54.21) неприводимым тен-
зорным оператором группы 1к>, («неприводимым тензором») яв-
ляется совокупность (2fe+l) линейных операторов {Тр^}, преоб-
разующихся при повороте системы координат так же, как векторы
состояний с определенным моментом и его проекцией:
-(fe) к
ТР = Е <)(«,/?, 7)Т«;	(56.1)
q= — k
здесь (а, /3, 7) — матрицы конечных поворотов; число к на-
зывается рангом неприводимого тензора.
При к = 0 неприводимый тензор имеет единственную ком-
7?(о)
поненту 1 । , которая не изменяется при повороте системы коор-
динат. Это либо скаляр, либо псевдоскаляр в зависимости от того,
/7(0)
сохраняет или меняет 10 знак при инверсии системы координат.
При к = 1 неприводимый тензор содержит три компонен-
ты которые преобразуются при поворотах системы коорди-
нат так же, как три сферические функции У\т(9, ср), образующие
базис неприводимого представления Три декартовы компо-
ненты любого вектора или псевдовектора а = (ах, ау, az) можно
свести к трем компонентам неприводимого тензора 1-го ранга:
Г(1) = ^±2^5 T^=az, =	(56.2)
При к = 2 имеется уже пять независимых компонент и т. д.
Лекция 17
285
Пусть надо вычислить матричный элемент (jimi\Т^ \j2m2'),
где — неприводимый тензорный оператор относительно груп-
пы R3. Согласно (54.22) каждый вектор \j2m2') есть линейная
комбинация векторов, представляющих состояния с определенны-
ми моментом количества движения и его проекцией (обозначим
их \Т^ ® : jm)):
Т^\]2ТП2 =	® ]2- jrn), (56.3)
jm
где (кя, j2m2\jrn) — известные нам коэффициенты вектор-
ного сложения (коэффициенты Клебша-Гордана). Векторы
|T(fc) ®	: jm) могут служить базисом (вообще говоря, ненорми-
рованным) неприводимого представления Они ортогональ-
ны векторам при j д и т^. Если же j = ji,
m = mi, то согласно (54.8) скалярное произведение этих векто-
ров не зависит от т. Исходя из этого, определим приведенный
матричный элемент {ji \ || IJ2) оператора :
/	\ O'iF(fc)lbL А
(дицГ > ®j2’- jm) = -----—==—§jlj5mim	(56.4)
v 2.71 + 1
_ 1
(множитель (2Ji + 1) 2 введен ради технического удобства). Со-
ставляя скалярное произведение векторов	и IJ2W2)
и используя (56.4), получаем формулу, которая выражает теорему
Вигнера - Эккарта:
(56.5)
V 2,71 + 1
Легко показать, используя свойство ортогональности коэффици-
ентов Клебша-Гордана (41.19), что приведенный матричный эле-
мент удовлетворяет соотношению
O'i||?(fe)l|j2} = (2ji + 1) 2	j2m2\jim1'){j1m1\T^\j2m2').
(56.6)
Разберем смысл теоремы Вигнера-Эккарта. Соотношение
(56.5) показывает, что матричный элемент неприводимого тен-
зорного оператора всегда разбивается на произведение двух мно-
жителей. Первый — коэффициент Клебша-Гордана; он включает
286
Раздел 4
в себя все квантовые числа матричного элемента и не зависит ни
от каких других физических свойств ни рассматриваемой кван-
товой системы, ни оператора. Второй приведенный — матричный
элемент оператора; он не зависит от магнитных квантовых чисел
mi и т-2, а также индекса и, но зато несет всю информацию о
специфике квантовой системы и оператора.
Из свойств коэффициентов Клебша-Гордана следуют прави-
ла отбора для матричных элементов (56.5):
ji + j2 + k = О,
х + m2 = mi.
(56.7)
(56.8)
Это есть обобщение «правила треугольника» (41.23), в котором
роль одного из моментов и его проекции играют ранг оператора к
и нижний индекс неприводимого тензора и. Назовем соотноше-
ния (56.7), (56.8) «обобщенным правилом треугольника».
Рассмотрим примеры применения теоремы Вигнера-Эк-
карта.
1. Начнем с чисто технического упражнения на уста-
новление правил отбора для некоторых простых операторов:
пусть требуется найти правила отбора для матричных элемен-
тов (nlm\F\n,l,m'') операторов F = х, у, z, z1 — r2/3, z1 между
состояниями бесспиновой частицы в сферически-симметричной
потенциальной яме.
Оператор х есть согласно (56.2) суперпозиция двух компо-
нент неприводимого тензора 1-го ранга:
(56.9)
Поэтому на основании «обобщенного правила треугольника»
(56.7), (56.8) получаем
1 + 1' + 1 = 0, т. е. I = I' (кроме I = I' = 0); I' ± 1; т = т' ± 1.
Вместе с правилом отбора по четности (—1)( = —(—1/ оконча-
тельно имеем
Z = Z' ± 1;
(56.10)
т = т ±1.
Легко показать с помощью тех же соотношений (56.2), что таким
же правилам отбора удовлетворяет матричный элемент операто-
ра у и что оператору z отвечают правила отбора
1 = Г±1-,
т = т .
(56.11)
Лекция 17
287
Оператор F = z2 — |г2 пропорционален сферической функ-
ции У20($):
22-|r2 = |r2F2(cos0)~y2O(0),
О о
т. е. представляет собой компоненту неприводимого тензора 2-го
ранга:
z2-|r2~T0(2).	(56.12)
На основании «обобщенного правила треугольника» получаем
1 + Г + 2 = 0, т.е. I = I' (кроме 1 = 1' = 0), l'±l, I'±2; т = т'.
Вместе с правилом отбора по четности (—1)г = (—1)г оконча-
тельно имеем
I = I' (кроме I = I' = 0), I' ± 2; т = т!.	(56.13)
Итак, основная идея установления правил отбора заключает-
ся в том, чтобы разбить оператор на сумму неприводимых тен-
зорных операторов. Применительно к оператору z2 это означает,
что
z2 - (z2 -|r2)+|r2 ~Т0(2)Т0(0).	(56.14)
Правила отбора для такого оператора получаются наложением
правил отбора (56.13) для оператора Tq 7 и правил отбора для
скаляра :
1 = 1', т = т'.	(56.15)
В итоге для оператора z2 имеем
1 = 1', I' ± 2; т = т'.	(56.16)
2. В качестве второго примера рассмотрим вывод форму-
лы (51.28), которую мы уже использовали в § 51:
(JM\AZ\JM) =	(56.17)
Пусть А — произвольный псевдовектор (если А — вектор, диаго-
нальный матричный элемент равен нулю в силу правила отбора
288
Раздел 4
по четности). Запишем оператор AJ в виде свертки двух тензоров
1-го ранга
AJ = £ (-l)9AWj_Q,	(56.18)
9=0, ±1
где связь компонент и Jq с декартовыми компонентами опе-
раторов А и J дается формулами (56.2), и подставим (56.18) в пра-
вую часть соотношения (56.17):
{JM\AJ\.JM}= (-l')q^(JAI\A^\JAI/){JAI,\J_q\JAI).
Q=0, ±1 М'
(56.19)
Опираясь на теорему Вигнера-Эккарта (56.4), можем связать мат-
ричный элемент произвольного псевдовектора А с матричным
элементом оператора момента:
(56.20)
ит
Подставляя (56.20) в (56.19), получаем
(JM\AJ|JM) =	{JM\J2\JМ) = ^|УИЪ(7 + 1).
(J\\J\\J)	WWJ)
(56.21)
С другой стороны, применяя формулу (56.20) к левой части
соотношения (56.17), имеем
{JM\AZ\JM) =	{JAI\JZ\JAI) =
(56.22)
Теперь, исключая отношение (J\| А | J)/( J\| J\| J} из соотношений
(56.21) и (56.22), получаем формулу (56.17).
3. В качестве третьего примера применения теоремы Виг-
нера-Эккарта рассмотрим вопрос о квадрупольном моменте си-
стемы заряженных частиц.
Из классической электростатики мы знаем, что взаимодей-
ствие системы заряженных частиц с постоянным неоднородным
электрическим полем
y = -d<?-i	(56.23)
6 J \dxiJ о
гз
Лекция 17
289
определяется не только вектором электрического дипольного мо-
мента d этой системы, но и тензором электрического квадруполь-
ного момента
Qij = 52 еп(3ж-п)^п) - r^j);	(56.24)
П = 1
здесь п — номер частицы в системе, а еп — ее заряд; z, j = х9 у, z.
В квантовой теории квадрупольный момент Qij становится
оператором: Qij Q>j- Он не коммутирует с гамильтонианом
системы, и поэтому имеет смысл говорить лишь о среднем зна-
чении квадрупольного момента в различных состояниях системы.
Например,
Qtj\jM = {JM\QtJ\JM).	(56.25)
Из (56.24) видно, что тензор Qij симметричен = Qji), а его
след равен нулю	= о)- Таким образом, тензор электри-
ческого квадрупольного момента системы имеет в общем случае
пять независимых компонент. Их можно выразить через пять ком-
понент неприводимого тензорного оператора 2-го ранга
Q = o, ±1, ±2	(56.26)
п
(будем называть его неприводимым тензорным оператором элек-
трического квадрупольного момента). Например,
N
Qzz = 52 е»(3гп - гп) = <Эо	(56.27)
П = 1
(см. упр. 17.5).
Таким образом, среднее значение любой компоненты Qij тен-
зора квадрупольного момента выражается через средние значения
пяти операторов Qq. Из них в состоянии \JM) отлично от нуля
лишь одно:
Q^\jm = (JM\Q0\JM).	(56.28)
Поэтому для указания среднего значения электрического квадру-
польного момента системы в состоянии с определенным полным
290
Раздел 4
моментом J достаточно одного числа. В качестве такового при-
нято использовать среднее значение оператора Qq в состоянии с
максимальным значением проекции полного момента системы:
Q = {J, М = J\Q0\J, М = J} =
N
= ^J,M = J\^en(3zl-r^J,M = J^ (56.29)
n=l
(вспомним аналогичное определение численного значения маг-
нитного момента системы в § 42).
Применяя к (56.29) «обобщенное правило треугольника»
(56.7), получаем
J + J + 2 = 0.	(56.30)
Если j< 1, это правило не может быть выполнено. Таким обра-
зом, квантовая система с полным моментом J меньше единицы
не имеет квадрупольного момента. Этот результат имеет «симмет-
рийное» происхождение и справедлив для любых систем — для
атома, молекулы, атомного ядра, элементарной частицы.
Упражнения к лекции 17
17.1.	Частица со спином | находится в состоянии, описы-
ваемом матрицей плотности р = (7 + <тг/2)/2. Найти матрицу
плотности этого состояния в системе координат, повернутой от-
носительно исходной на угол (3 вокруг оси у.
17.2.	То же для состояния с матрицей плотности (45.10).
О
17.3.	Пучок частиц со спином и проекцией спина на им-
пульс, равной -, попадает в прибор Штерна-Герлаха, ось кото-
рого направлена под углом 60° к импульсу частиц. Определить
относительные интенсивности выходящих из прибора пучков.
17.4.	Частица со спином s = 1 находится в состоянии,
_ 1
описываемом волновой функцией у = 2 2 (|1, 1) + |1, — 1)), где
|ss^) — вектор состояния с определенным значением проекции
спина частицы на ось z. Существует ли направление, проекция
спина на которое в состоянии у имеет определенное значение?
Лекция 18
291
17.5.	Получить соотношения, связывающие компоненты
тензора электрического квадрупольного момента системы Q,/
с компонентами неприводимого тензорного оператора квадру-
польного момента Qq.
17.6.	Заряженная частица со спином s = находится в
состоянии 1с?5/2 в осцилляторном потенциале. Вычислить элек-
трический квадрупольный момент Q этой системы. То же для со-
стояния ld3/2- Сравнить полученные значения с квадрупольным
моментом аналогичной бесспиновой системы в состоянии Id.
17.7.	Доказать, что в любом состоянии среднее значение
любого псевдовекторного оператора совпадает по направлению
со средним значением вектора полного момента системы.
17.8.	Вычислить средние значения z2 и в состоянии 2ру2,
rrij = | атома водорода.
17.9.	Найти правила отбора для матричных элементов опе-
ратора (56.26) между состояниям |nZm) бесспиновой частицы,
движущейся в сферически-симметричной потенциальной яме.
17.10.	То же для оператора электрического октупольного
момента частицы:
^(октуполь) = er3y3Q(6l, ^), Q = o, ±1, ±2, ±3.
17.11.	Вычислить все матричные элементы (lp, mi\pi\ld, т2)
оператора импульса частицы (г = х, у, z) между состояниями 1р
и 1с! сферически-симметричного гармонического осциллятора.
ЛЕКЦИЯ 18
§ 57. Симметрия молекул и твердого тела
На практике симметрийный и динамический подходы к ис-
следованию квантовых систем применяются в тесной связи между
собой, дополняя и усиливая возможности друг друга. Часто оказы-
вается, что и возможности симметрийного подхода, и даже сами
свойства симметрии квантовых систем проявляются особенно от-
четливо лишь после того, как при их описании сделаны какие-то
упрощения, приближения, касающиеся динамики происходящих
292
Раздел 4
в них процессов. В данном параграфе мы познакомимся с таким
взаимопроникновением симметрийного и динамического подхо-
дов на примере некоторых простейших задач из физики молекул
и твердого тела.
1. Элементарная теория молекулярного иона
водорода
Молекулярный ион водорода — это простейшее молеку-
лярное образование. Он состоят из трех частиц — двух протонов
и электрона, между которыми действуют кулоновские силы.
Классическая физика не может объяснить, почему при взаи-
модействии атома водорода со вторым протоном возможно обра-
зование связанного состояния трех частиц. Этого нельзя сделать,
даже если воспользоваться всеми результатами квантовой теории
для изолированного атома. Действительно, пусть атом водорода
находится в основном состоянии. Волновая функция электрона,
находящегося на ls-орбите в поле протона А, известна:
^(гд) =
1 р-тл/а.
л/тга3
(57.1)
здесь Г | — координата электрона относительно протона А. Вычис-
лим потенциал взаимодействия протона В с этим атомом, усред-
нив энергию взаимодействия между протоном В и электроном по
состоянию (57.1):
m = f+1 \мга)\2(-^)<1т=
— е2 _ е2 1 _ Л I R\ —2R/a _ fP_(, , R\ -2R/a.
~ R R I + aJ6	~ R\ + а)е
здесь г в — координаты электрона относительно протона В; R —
расстояние между протонами. Мы видим, что потенциал соответ-
ствует отталкиванию между атомом водорода и вторым протоном
на всех расстояниях R: V(R) > 0.
Обратимся к последовательной квантовой теории молекуляр-
ного иона водорода. Разобьем полный гамильтониан Н всей си-
стемы на ядерную часть, куда включим операторы кинетической
энергии протонов и их взаимодействия между собой, и часть,
Лекция 18
293
связанную с движением электрона:
Н = Яяд + Яэл,	(57.3)
Яяд = Тяд + е2/R,	(57.4)
Яэл = ?эл - е2/гд - е2/гв.	(57.5)
Задача заключается в том, чтобы решить стационарное уравне-
ние Шредингера с гамильтонианом (57.3) для волновой функции
^(R, г), описывающей связанное состояние трех частиц. Сде-
лать это точно невозможно, поскольку ядерные и электронные
переменные в гамильтониане Я не разделяются. Воспользуемся
адиабатическим приближением (см. § 47).
В этом приближении волновая функция г) записывается
в виде
-0(R, г) = ^яд(К)^эл(Л, г),	(57.6)
где расстояние между ядрами R входит в электронную волновую
функцию i/>3„(R, г) как параметр. От этого же параметра зави-
сят гамильтониан Яэл = //,,(/’) и, соответственно, собственное
значение e3„(R) этого гамильтониана:
H3n(R)^31,(R, г) = еэл(Я)-0эл(Л, г).	(57.7)
В свою очередь, полная энергия электрона £Эл(й) в поле двух
протонов, находящихся на фиксированном расстоянии R друг от-
носительно друга, определяет эффективный гамильтониан ядер
Я:дфф = ЯЯд + £эл(Я)	(57.8)
и, следовательно, волновую функцию движения протонов:
(57.9)
Для дальнейшего удобно перегруппировать слагаемые в (57.8),
выделив эффективную потенциальную энергию взаимодействия
ядер между собой:
С7эфф(Л) = ^+£эл(Л),
/г
я* = тяд + г7эфф(л).
(57.10)
(57.11)
294
Раздел 4
Уравнение (57.9) показывает, что в конечном счете именно свой-
ствами эффективной потенциальной энергии U3^(R) определя-
ется, существует в системе с гамильтонианом Лад* связанное со-
стояние или нет.
Приступим к анализу системы уравнений (57.7), (57.9).
Для приближенного решения уравнения (57.7) можно стро-
ить	г) в виде суперпозиции двух невозмущенных волно-
вых функций изолированного атома
фэл(К, г) = сг0о(гд) + /ДМ^в),	(57.12)
рассматривая коэффициенты а и (3 как вариационные параметры.
Далее вступают в игру соображения симметрийного характера:
|а|2 = |Д|2,	(57.12а)
т. е. вероятности найти электрон вблизи центра А или центра В
строго равны друг другу, поскольку эти центры одинаковы. Таким
образом, мы получаем два решения уравнения (57.7), выражаю-
щихся в виде симметричной и антисимметричной комбинаций
невозмущенных функций:
г) =
1 У’о(гд) ± У’о(гв)
V2 у/1 ± 5(7?)
(57.13)
Фактор (1 ± S(-R))1/2 в знаменателе возник в связи с тем, что
функции и г1>о(гв) не ортогональны друг другу:
(^о(гд)|^о(гв)} S(R) =
/	\ 2'
1 + Е +1 (Е )
1 + а + з I а 1
e-R/a
(57.14)
Симметричному и антисимметричному решениям /.’-.j11 (7?, г)
соответствуют свои зависимости энергии электронного уровня
от 7?:
£^(R) = (<)|ЯЭЛ(7?)|<)) = £ls +
[AV(7?) ± W(R)]
(1±S)
(57.15)
Лекция 18
295
где
ДУ(Л) =	=	(57.16)
= ^о(гв)|(-^)|^о(гв)}	(1 + |)е-2Я/а],
W) = ^оЫ| \Ытв)) =	(1 + f )е-й/а.
(57.17)
Величина ДУ(7?) имеет простой физический смысл — это
энергия взаимодействия атомного электрона с «чужим» протоном,
усредненная по соответствующей «квантовой орбите». Наоборот,
величина W(R) не имеет в классической физике никакого смысла.
В нашем рассмотрении она появилась в связи с тем, что волновые
функции (57.12) передают эффект «обобществления» электрона в
молекуле: электрон в равной мере принадлежит обоим протонам.
Знаки (±) в правой части (57.15) отражают то, что соответству-
ющие амплитуды вероятности по-разному интерферируют между
собой в состояниях с симметричной и антисимметричной волно-
вой функцией -0ЭЛ.
Рис. 13. Зависимость эффективной потенциальной энергии взаимодей-
ствия протонов в молекулярном ионе водорода от расстояния между ними
Итак, ход эффективной потенциальной энергии взаимодей-
ствия между протонами U3^{R) зависит от симметрии электрон-
296
Раздел 4
ной волновой функции:
^,фф (Я) - д ++	д^5)	(57Л8)
(рис. 13). В состоянии с антисимметричной волновой функцией
связанного уровня не существует, в состоянии с симметричной
волновой функцией он есть.
2. Расщепление электронного терма в простейших
многоатомных молекулах
В предыдущем примере мы видели, что обобществление
электрона в молекулярном ионе водорода сопровождается услож-
нением электронного энергетического спектра: при фиксирован-
ном расстоянии между ядрами электронный уровень 1s расщеп-
ляется на два, соответствующих симметричному и антисиммет-
ричному состояниям. Сейчас мы рассмотрим несколько сильно
упрощенных примеров других многоатомных молекул. Из них
мы увидим, в частности, что характер расщепления электронно-
го уровня (терма), происходящего в результате обобществления
электрона в молекуле, отражает симметрию расположения атомов
в ней.
Вначале рассмотрим, как расщепляется электронный уровень
в гипотетической жесткой трехатомной молекуле, состоящей из
одинаковых атомов, расположенных в вершинах равностороннего
треугольника. Пусть ri, Г2, гз — координаты атомов, г — коор-
дината электрона, a t/lo(r — iy) — волновая функция некоторого
состояния электрона с энергией eq в i-м изолированном атоме.
Для простоты будем считать, что соответствующий энергетиче-
ский уровень не вырожден. Если пренебречь взаимодействием
электрона, локализованного вблизи одного из атомов молекулы,
с двумя другими атомами, то энергия электрона в молекуле рав-
на Eq, причем этот уровень трехкратно вырожден: ему соответ-
ствуют состояния "0о(г — гх), "0о(г —г2), ^о(г—гз)- Если же учесть
взаимодействие электрона со всеми тремя атомами, то в нулевом
приближении волновую функцию электрона в молекуле следует
искать в виде
з
г,).	(57.19)
г=1
Для простоты будем считать, что размеры атомов малы по
Лекция 18
297
сравнению с расстояниями между ними в молекуле, и будем пре-
небрегать перекрыванием волновых функций различных атомов:
(^o(r - r^l^ofr - rj)) = sij-	(57.20)
Тогда коэффициенты аг должны удовлетворять условию норми-
ровки:
3
£№ = !•	(57.21)
г=1
Для нахождения их значений подставим (57.19) в стационарное
уравнение Шредингера (Н — E)i/i = 0 с гамильтонианом
з
Н = Т + У2Г(г-гг),	(57.22)
г=1
где Т — оператор кинетической энергии электрона, а У (г — гД —
оператор потенциальной энергии взаимодействия электрона с г-м
атомом. Учитывая (57.20), получаем следующую систему линей-
ных однородных уравнений для aj:
(so + 17 — E)oti — — Aak,
kyH
(57.23)
где через V и А обозначены матричные элементы:
V = (^o(r - Г1)|У(г - г2) + У(г - г3)|^о(г - и)),	(57.24)
А = (V»o(r - ri)|V(r - r2) + У(г - r3)|'0o(r - г2)).	(57.25)
Эти матричные элементы аналогичны матричным элементам
ДУ (Л) и W(R) в рассмотренной выше задаче о молекулярном
ионе водорода.
Корни секулярного уравнения
А
А
so У У — Е
А
А
А
£q У У — Е
А
ео + V — Е
= о,
(57.26)
соответствующего системе уравнений (57.23), дают уровни элек-
трона в молекуле:
— So + 17 + 2Д,
Е"2, з = ео + Г - А
(57.27)
298
Раздел 4
один из них простой, а другой двукратно вырожден. Подстав-
ляя (57.27) в (57.23), находим соответствующие наборы коэффи-
циентов {«г}?, т. е. волновые функции электрона:
v>(1)(r) =	= -^ofr - rl) + -Wo(r - г2) + -Wo(r - гз), уЗ	"у 3	у 3
?//2)(г) :	= -A/l^ofT - ri) +	- г2) +	- Гз), V 6	уб	V6
?М3)(Г) =	“ Г2) “ ^°(г - гз).
(57.28)
Заметим, что функции ф№ и ф(3\ относящиеся к двукратно
вырожденному уровню IA з, определены лишь с точностью до
циклической перестановки координат атомов г4 Г2 —> гз —> г4
или ri —> гз —> Г2 —» ri. Это связано с тем, что гамиль-
тониан (57.22) инвариантен относительно группы таких пере-
становок, которая изоморфна группе поворотов в плоскости Сз
(см. упр. 18.2).
Далее рассмотрим молекулы, в которых обобществленный
электрон принадлежит уже не трем, а четырем атомам. Мы сопо-
ставим здесь два случая: 1) четыре одинаковых атома молекулы
находятся в вершинах квадрата, 2) атомы находятся в вершинах
тетраэдра. Примем все те допущения и обозначения, которые мы
использовали при рассмотрении трехатомной молекулы. Правда,
в отличие от треугольника и тетраэдра при рассмотрении «квад-
ратной» молекулы надо ввести два отличных друг от друга недиа-
гональных матричных элемента:
А = (^о(г-Г1)|(^(г-Г2) + П(г-Гз) + V(r-r4))|V’o(r-r2)),
(57.29)
А' = (V’o(r-ri)l(V (r-r2) + V(r-r3) + П(г-г4))|^о(г-гз))-
(57.30)
Матричный элемент А «связывает» соседние атомы, а А' — наи-
более удаленные друг от друга атомы. Поскольку электронные
волновые функции атомов перекрываются тем слабее, чем боль-
ше расстояние между ними, следует ожидать, что А'| < |А|.
Матрица гамильтониана, определяющего движение электро-
на в четырехатомной молекуле, имеет в случае квадрата и в случае
Лекция 18
299
тетраэдра следующий вид:
	/ео + V	А	А'	А \
^-(квадрат) _	А А'	so + V А	А EO + V	Л ,	(57.31)
	\ А	А'	А	Ео + V/
	/Ao + V	А	А	А \
^(тетраэдр) 		А А	Ео + V А	А £о + V	А	•	(5732)
	\ А	А	А	£о + У/
Диагонализация этих матриц приводит к двум разным картинам
расщепления электронного уровня молекулы. Приведем эти ре-
зультаты, пренебрегая матричным элементом А1 по сравнению
с А, т. е. в обоих случаях будем учитывать взаимодействие лишь
ближайших соседних атомов:
1)	квадрат
£/i, 2 = со + V,
Е3 = so + V + 2А,	(57.33)
Е4 = Sq + V — 2А;
2)	тетраэдр
Е3 = Sq + V + ЗА,
£-2, 3,4 = £о + V — А.
В обоих случаях обобществление электрона в молекуле со-
провождается расщеплением электронного уровня, хотя и не пол-
ным: подуровни 2 в первом случае и £?2, з, 4 во втором остаются
вырожденными.
Рассмотренную задачу можно решить быстрее (и при этом
гораздо изящнее) с помощью стандартных методов теории групп.
В § 54 мы показали, что при теоретико-групповом подходе задача
о классификации уровней квантовой системы сводится к нахожде-
нию неприводимых представлений группы симметрии гамильто-
ниана этой системы. В данном случае мы имеем дело с группами
симметрии квадрата (группа С4) и тетраэдра (группа Т). Полу-
ченные нами «динамическим» путем решения (57.33) и (57.34)
как раз соответствуют неприводимым представлениям этих двух
групп.
Подчеркнем еще раз, что наше рассмотрение движения элек-
трона в молекуле является крайне упрощенным, схематичным.
Мы считаем ядерный «остов» молекулы абсолютно жестким и
неподвижным, пренебрегая, таким образом, колебаниями и вра-
щением молекулы. Мы отвлеклись также от того, что симметрия
300
Раздел 4
электронного состояния сказывается на равновесном расположе-
нии ядер; на самом деле следовало бы учитывать зависимость па-
раметров модельного гамильтониана (57.31) или (57.32) от энер-
гии электронного состояния. Мы считали движение одного элек-
трона независимым от движения других электронов в молекуле,
не учитывали возможного вырождения исходного уровня и т. Д-
Тем не менее проведенное рассмотрение раскрывает идею одного
из главных методов изучения структуры молекул: мы видим, что
изучение даже только относительного расположения электрон-
ных термов молекулы позволяет выяснить характер симметрии
ее ядерного остова.
3.	Простейшая модель движения электрона
в кристалле
Кристаллическое тело обладает особой, трансляционной
симметрией. Если в идеальном кристалле отвлечься от поверх-
ностных эффектов, то все его физические свойства изменяются
во всех направлениях строго периодически; период изменения
определяется постоянной решетки. Так ведет себя, в частности,
электронный гамильтониан Н(г), описывающий движение элек-
трона при фиксированном положении атомов кристалла:
Я(г) = Я(г + nibi + п2Ъ2 + п3Ь3).	(57.35)
Здесь {bi, Ъ2, Ь3{ — тройка векторов, определяющих элементар-
ную ячейку кристаллической решетки, a ni, п2, п3 — произволь-
ные целые числа. Будем пользоваться обозначением
Ьп = щЬх + п2Ъ2 + п3Ь3.	(57.36)
Введем оператор трансляции (см. (20.10)) на вектор Ьп:
Ть„Ф(г) = Ф(г + Ь„),	(57.37)
где Ф(г) — произвольная функция положения частицы. Примером
собственных функций (точнее, обобщенных собственных функ-
ций) оператора трансляции являются плоские волны:
7b„('kb = ('kb"('kr:	(57.38)
при этом каждое собственное значение определяется величиной
некоторого вектора к:
fb.„=eikb”.	(57.39)
Лекция 18
301
Легко видеть, что собственными функциями оператора Тщ явля-
ются также бесконечные линейные комбинации вида
Ыг) = ]ГегкхМг - х„),	(57.40)
где </?(х) — произвольная квадратично интегрируемая функция ко-
ординат, а суммирование производится по всем узлам, в которых
расположены одинаковые атомы решетки. Действительно,
Тъп'Й(г) = ^2 elfcErv(r + Ь„ - хп) =
= егк(ж”+ь"Мг - xn) = егкь”V’k(r)- (57.41)
п
Из (57.35) следует, что гамильтониан Н коммутирует с Ть„.:
[Я,Ть„]= 0.	(57.42)
Это значит, что состояние электрона в кристалле можно характе-
ризовать особой сохраняющейся величиной — собственным зна-
чением оператора трансляции (57.39). Мы будем использовать для
этого вектор к и называть его квазиимпульсом электрона в кри-
сталле.
Итак, сохранение квазиимпульса электрона есть следствие
трансляционной симметрии кристалла. Какие значения может
принимать квазиимпульс к? Как связаны эти значения с энергией
электрона и другими величинами, характеризующими состояние
электрона в кристалле? Для ответа на эти вопросы недостаточно
«симметрийного» подхода, для этого нужна «динамическая» те-
ория. Ниже мы рассмотрим простейшую модель движения элек-
трона в кристалле, близкую по духу к той, которую мы только что
использовали при рассмотрении молекул.
Представим себе идеальную бесконечную решетку, состав-
ленную из одинаковых жестко закрепленных атомов (ионов),
с элементарной ячейкой {bi, b2, Ьз}. Пусть V(г—хп) — потенци-
альная энергия взаимодействия электрона с ионом, находящимся
в узле решетки с координатой х„. Волновая функция электро-
на удовлетворяет уравнению Шредингера (Я — Я)^(г) = 0, где
гамильтониан
я = т+ £у(г_Хп)
(57.43)
302
Раздел 4
подобен гамильтониану (57.22) в задаче о молекуле. Пусть eq
и f)o - энергия и волновая функция некоторого состояния элек-
трона, взаимодействующего с одним изолированным ионом. Рас-
смотрим, что происходит с уровнем Eq (который для простоты
предполагается невырожденным), когда бесконечное множество
таких ионов образует кристаллическую решетку.
В нулевом приближении волновая функция электрона в кри-
сталле имеет вид, аналогичный (57.19):
V’(r) = 52 п" '-’о( г - хп)-	(57.44)
п
Пренебрежем перекрыванием волновых функций электронов, ло-
кализованных в разных узлах решетки:
(тМг - Х„)|^о(г - х„/)) = 0,	(57.45)
если хп хп'. Тогда бесконечная система уравнений для коэф-
фициентов ап принимает вид
(so 4“ Лот — Е)ап =	' Vnn'an', (57.46)
п'у^п
где Vnn> — матричный элемент взаимодействия электрона, лока-
лизованного у n-го атома, с другими атомами кристалла:
Vnn’ = ^о(г - xn) 52 У(г ~ xm)IV’o(r ~ хп')\	(57.47)
т^п
Среди недиагональных матричных элементов (57.47) основ-
ными являются те, которые соответствуют ближайшим соседним
атомам. Пренебрегая всеми остальными, мы можем значитель-
но упростить систему (57.46). Сделаем это для частного случая
кубической решетки:
(so + V — Е)ап =
= -4	_|_щ +«х„-Ь1	+ь2 4"ахп — Ь2 +о:х„.+Ьз +С1х„—Ь3) 
(57.48)
Здесь каждый атом имеет шесть ближайших соседей, находящих-
ся на одинаковых расстояниях от него:
|Ь11 = |Ь2| = |Ь3| = Ь.
(57.49)
Лекция 18
303
Через V и А обозначены диагональный и недиагональный мат-
ричные элементы взаимодействия:
V = Vnn,	(57.50)
А = ^Х„.Х„ Ь| = 1/х„,х„±Ь2 = ' х„ .х„ I Ь;-	(57.51)
Поскольку оператор ^2 соответствует силам притяжения меж-
т=£п
ду электроном и атомами решетки, матричные элементы V и А
имеют отрицательную величину.
Системе уравнений (57.48) удовлетворяет коэффициент аХп
в виде
«Х„. =г'кх".	(57.52)
где к — произвольный вектор. Таким образом, волновая функ-
ция (57.44), описывающая стационарное состояние электрона в
кристалле и полученная непосредственным решением уравнения
Шредингера, действительно задается значением вектора квазиим-
пульса электрона к:
^(г) = егкх"^о(г - хп) = #(г).	(57.53)
п
Подставляя (57.52) в (57.48), получаем связь между величиной
энергии электрона в кристалле Е и его квазиимпульсом к:
Е = E(k) = So + V + 2A(coskbi + coskb2 + coskb3) =
= So + V + 2A(cos kxb + cos kyb + cos kzb).
(57.54)
Соотношение (57.54) показывает, что уровень sq, который
в пренебрежении взаимодействием Vnn> имеет бесконечную крат-
ность вырождения, при учете этого взаимодействия превращается
в непрерывную полосу
eo + V-6|A| <Е<е0 + П + 6|А|.	(57.55)
До сих пор мы рассматривали бесконечный кристалл. В действи-
тельности количество атомов в любом реальном кристалле хотя и
очень велико, но конечно. Это число определяет кратность выро-
ждения уровня ео в пренебрежении взаимодействием Vnn>. В со-
ответствии с этим энергетический спектр электрона в кристал-
ле конечных размеров не является непрерывным, а представляет
собой набор огромного числа дискретных уровней. Однако эти
уровни расположены столь близко друг к другу, что проявляются
как непрерывная полоса.
304
Раздел 4
Энергетические полосы, в которые превращаются дискрет-
ные уровни отдельных атомов, образующих кристалл, часто на-
зывают энергетическими зонами. Используется и более широкое
понятие зоны, которое включает в себя не только разрешенную
область энергии электрона, но и ту минимальную область зна-
чений квазиимпульса, которая соответствует этой энергетической
области. В нашем примере кристалла с кубической решеткой ми-
нимальная область значений квазиимпульса определяется нера-
венствами
0 кх, ку, kz тг/6.	(57.56)
§ 58. Обращение времени
Уравнения классической механики не меняются при «обра-
щении времени», т. е. замене t —> —t; это связано с тем, что
функция Гамильтона макроскопической механической системы
инвариантна относительно такой замены. В классической элек-
тродинамике понятие обращения времени также играет важную
роль, но здесь условия обратимости движения сложнее, чем в ме-
ханике: как известно, инвариантность уравнений движения при
обращении времени имеет здесь место только в том случае, ес-
ли это преобразование сопровождается изменением направления
магнитного поля.
В данном разделе мы рассмотрим вопрос об обращении вре-
мени в квантовой механике. Точнее, это будет лишь начало его
рассмотрения, поскольку большая работа, относящаяся к этому
вопросу, еще предстоит нам во второй части книги, при исследо-
вании связи между прямыми и обратными процессами столкно-
вений.
Мы будем исходить из того, что гамильтониан нерелятивист-
ской квантовой системы, если только она не помещена в маг-
нитное поле, инвариантен относительно замены «прошлого» на
«будущее»: t —> — t (в этом особом случае будем учитывать, что
гамильтонианы исходной и «обращенной во времени» систем от-
личаются друг от друга направлением магнитного поля). Очевид-
но, инвариантность относительно обращения времени есть особое
свойство симметрии гамильтониана. Посмотрим, к каким физи-
ческим следствиям это приводит.
Начнем с выяснения того, как выглядит оператор обраще-
ния времени для волновой функции. На первый взгляд может
показаться, что для этого достаточно в самой волновой функции
сделать замену/: —> —t. Пусть t) удовлетворяет уравнению
Лекция 18
305
Шредингера с гамильтонианом Н:
гН——— = Н-ф(£, t).	(58.1)
Учитывая, что Н — инвариант относительно замены t —t,
получим отсюда, что функция —t) удовлетворяет уравнению
gt ’ = Я^(е, ~t),	(58.2)
которое не совпадает с уравнением Шредингера. Согласно основ-
ным постулатам квантовой механики это значит, что функция
?/>(£,	) не описывает, вообще говоря, состояния той же физиче-
ской системы, которой соответствует волновая функция ?/>(£, t).
Легко видеть, однако, что если Н = Н*, то уравнению Шре-
дингера удовлетворяет функция, получаемая из ?/>(£, —4) путем ее
комплексного сопряжения:
wy) = r(e, -t).	(58.з)
Действительно, производя комплексное сопряжение обеих частей
уравнения (58.2), получаем
9V’o6n(£, t)
ih	= Яубр(£,	(58.4)
Сравним при 4 = 0 физические характеристики двух состо-
яний физической системы, описываемых волновыми функциями
4 = 0) и т/’Обр(С, t = 0). Найдем для этого среднее значение
физической величины F в состоянии ^обр(£, t = 0):
Яобр = <V’o6p(€, t = 0)|Я|-0обр(^, 4 = 0)) =
= «(е, 4 = o)|Pir(e, i = o)) =
= ^(е,4 = о)|^|^(е,« = о))* =
= (Ж 4 = о)1ПЖ4 = о))
(последнее равенство мы записали, исходя из свойства эрмитово-
сти оператора физической величины F). В ж-представлении вы-
ражение для оператора координаты xt вещественно, тогда как вы-
ражения для операторов импульса pi и момента импульса Ц чисто
306
Раздел 4
мнимы. Поэтому по формуле (58.5) получаем
%i | обр —
Pi |обр = ~Pi7
li | обр ~ Ц 1
(58.6)
где слева приведены средние значения в состоянии л'0б । > (i), а спра-
ва — в состоянии t^(i) (все при t = 0). Отсюда видно, что фи-
зические характеристики состояний -0(£, t = 0) и ^обр(С>^ = 0),
получаемых одно из другого обращением времени, связаны меж-
ду собой так же, как соответствующие характеристики класси-
ческой частицы: координата, кинетическая энергия, полная энер-
гия частицы инвариантны относительно обращения времени; им-
пульс, момент импульса изменяют при обращении времени свой
знак. Заметим, что при использовании ^^-представления соотно-
шение (58.3) не дает такой же результат; это связано с тем, что
сама переменная волновой функции £ (импульс частицы) в этом
случае меняет знак при замене t —> —t.
Соотношение (58.5) можно рассматривать как определение
нового оператора F06p, который в обкладках волновой функции
исходного состояния -0(£, t = 0) дает среднее значение F06P в
состоянии <’обР((. t = 0):
F06p = t = 0)|F06P|V<, t = 0)).	(58.7)
Согласно (58.5) мы нашли Foqv в виде
Fo6p = K0FK0\	(58.8)
где символом Kq мы обозначили оператор комплексного сопря-
жения. Легко видеть, однако, что соотношения (58.6) допускают
гораздо более широкий класс преобразований
Fo6p = KFK~\
(58.9)
где оператор К отличается от оператора комплексного сопряже-
ния на произвольный унитарный оператор W, коммутирующий с
операторами координат и импульса:
К = WKq,
WW+ = W+W = I,
[VC, Xi] = 0, [TV, pi] = 0.
(58.10)
(58.11)
(58.12)
Лекция 18
307
Очевидно, что вместе с (58.9) мы можем расширить и класс пре-
образований (58.3):
^обр(е, t) = K^-t) = WK0^-t).	(58.13)
Существуют ли какие-нибудь ограничения на выбор операто-
ра W? Из (58.12) видно, что W не может содержать ни опера-
тора координаты, ни оператора импульса. Значит, при описании
бесспиновой частицы W может быть лишь числом, а следова-
тельно, оператор обращения времени К совпадает с оператором
комплексного сопряжения:
К = К0.	(58.14)
Если же частица обладает спином s, то W можно выразить через
спиновый оператор. Правда, в этом случае мы должны предъявить
дополнительное требование к преобразованию (58.9), аналогич-
ное требованию (58.6):
^г|обр —	(58.15)
Согласно (58.9) и (58.10) этому требованию соответствует опера-
торное соотношение
vizs* viz+ = -Si.	(58.16)
Вспомним, что в представлении, где оператор ~sz диагоналей, опе-
раторы Sx и sz изображаются чисто вещественными, а опера-
тор Sj, — чисто мнимой матрицами (см. (38.8)-(38.10)). Поэтому
(58.16) можно переписать в виде
WsxW+ = -sx, WsyW+ = syWszW+ = -sz. (58.17)
Отсюда видно, что унитарное преобразование W изменяет знаки
проекций спина на оси re и г, не затрагивая проекцию спина на
ось у. Ясно, что это есть преобразование поворота в спиновом
пространстве вокруг оси у на угол тг:
W = R(y, тг) = ехр(г7гзг/)	(58.18)
(см. (53.20)).
Для частицы со спином отсюда получаем
W = R(y, 7г) = iay,	(58.19)
308
Раздел 4
где ау — матрица Паули; здесь мы воспользовались соотношением
егаау _ [ QQS а	gjn &	(58.20)
(упр. 10.7). Таким образом, для частицы со спином оператор К
имеет вид
К = iayKo.	(58.21)
Итак, оператор обращения времени К не имеет в квантовой
механике универсального вида, а в зависимости от того, к какой
физической системе он применяется, описывается тем или иным
выражением.
Применим полученные общие результаты к рассмотрению
одноэлектронного атома, находящегося во внешнем электромаг-
нитном поле (без учета спина электрона).
Гамильтониан такой системы имеет вид
Я = fp - А? +	+ У(г),	(58.22)
\ L /
где А и 99 — векторный и скалярный потенциалы поля. Для га-
мильтониана, обращенного во времени, согласно (58.9) и (58.14)
получаем
ЯобрАоЯА,;1 = j- (-р - |А) + ер + П(г) =
(58.23)
= 2^(p+cAJ +e<^ + V(r).
Этот оператор отличается от оператора (58.22) направлением век-
тора А, т. е. направлением магнитного поля.
В заключение познакомимся с теоремой Крамерса, указыва-
ющей на интересные физические свойства стационарных состоя-
ний некоторых систем, «симметрийное» происхождение которых
связано с обращением времени.
Пусть n-электронный атом находится в произвольном по-
стоянном электрическом поле. Поле не предполагается однород-
ным или имеющим какую-либо другую пространственную сим-
метрию. Движение в такой системе обратимо (А = 0, ЯОбР = Я),
а оператор обращения времени К может быть записан в виде
К = inalya2y    апуК0,	(58.24)
где aiy, О2У, ••• — операторы Паули для отдельных электронов.
Лекция 18
309
Пусть ?/>(£) — волновая функция произвольного стационар-
ного состояния атома в заданном электрическом поле:
ЯМ)=Ят	(58.25)
Инвариантность гамильтониана рассматриваемой системы отно-
сительно обращения времени Яобр = K///V 1 = Н означает, что
операторы Н и К коммутируют между собой. Подействуем на
обе части уравнения (58.25) оператором К и, используя коммута-
тивность операторов Н и К, получим
Н(К'ф) = Е(Кф).	(58.26)
Таким образом, состояние Кф = ф' принадлежит тому же энерге-
тическому уровню, что и Покажем, что если атом имеет нечет-
ное число электронов, то состояние ф' ортогонально состоянию ф
вне зависимости от того, какой уровень рассматривается и каков
внутренний гамильтониан атома. Действительно,
{V#') =	=
= {KQW^\K0WK^y =	(58.27)
= (kQwk^\kowki = (к2ф\кф) = {к2ф\ф'\
Учитывая, далее, что согласно (58.24)
К2 = (-1)п1,	(58.28)
из (58.27) получаем
(58.29)
При нечетном п это означает, что
(кк) = о,
что и требовалось доказать. Таким образом, если энергетическому
уровню Е принадлежит волновая функция ^(£), то всегда можно
найти еще одну, ортогональную ей и принадлежащую тому же
уровню волновую функцию ф', которая получается из с помо-
щью оператора обращения времени. Это и есть теорема Крамерса.
Итак, любой энергетический уровень атома с нечетным чис-
лом электронов, находящегося в произвольном постоянном элек-
трическом поле, вырожден. Кратность вырождения равна четному
числу.
310
Раздел 4
Упражнения к лекции 18
18.1.	Вычислить интегралы (57.14), (57.16) и (57.17), ис-
пользуя эллиптические координаты
М = (гА + rB)/R, и = (гА - rByR, <Ру
где ср — угол поворота вокруг прямой, соединяющей ядра.
18.2.	Показать, что волновая функция pR (57.28) мо-
жет служить базисом одномерного неприводимого представления,
а волновые функции с12' и р3^ — базисом двумерного неприво-
димого представления группы симметрии гамильтониана (57.22).
Найти матрицы неприводимого представления, соответствующе-
го уровню Е?2;3.
18.3.	Как изменится картина расположения электронных
уровней в «квадратной» молекуле (соотношение (57.33)), если
учесть взаимодействие атомов, находящихся на одной диагона-
ли (матричный элемент А')? Воспользоваться теорией возмуще-
ний. Прокомментировать результат, опираясь на «симметрийные»
соображения.
18.4.	Найти энергии стационарных состояний молекулы, со-
стоящей из шести одинаковых атомов, расположенных в верши-
нах правильного шестиугольника. Считать, что обобществленный
электрон может перескакивать со «своего» атома только к ближай-
шему соседнему атому.
18.5.	Найти волновую функцию т/’обр, соответствующую вол-
новой функции (16.7), описывающей свободное движение части-
цы с определенным значением импульса. Сравнить физические
характеристики состояний, описываемых этими двумя волновы-
ми функциями, при t = 0 и при произвольном t.
18.6.	То же, отправляясь от волновой функции (16.15), опи-
сывающей свободное движение волнового пакета.
18.7.	Найти волновую функцию ^Обр, соответствующую вол-
новой функции, описывающей стационарное движение бесспино-
вой частицы в сферически-симметричном поле (воспользоваться
соотношением (Д7.12)).
18.8.	То же для частицы со спином (см. (41.31)).
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Пространство квадратично-интегрируемых
функции L2
В § 1 было введено линейное гильбертово пространство L^,
которое было определено как множество всех квадратично-инте-
грируемых комплексных функций п вещественных переменных.
Можно показать, что это пространство бесконечномерно, т. е. в
нем имеется бесконечно много линейно независимых векторов.
Важным свойством пространства £2 является существова-
ние в нем полных ортонормированных наборов векторов {у,} Д'
((<Уг|<уД = Как известно, ортонормированный набор векто-
ров называется полным в данном пространстве, если в нем нет ни
одного вектора, отличного от нуля и ортогонального всем векто-
рам этого набора. Таким образом, набор {у,} называется полным,
если из равенства = 0, где есть любой вектор набора,
следует, что = 0. Другими словами, ортонормированный набор
является полным, если он не может быть расширен путем вклю-
чения некоторых других векторов пространства. Полный набор
в Л2 всегда содержит бесконечное количество векторов.
В § 1 было введено скалярное произведение	опреде-
ленное для любых двух элементов ф^, i.'t из £2. Одним из свойств
скалярного произведения является следующее:
(Д1.1)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
Фн = о.
Это свойство скалярного произведения позволяет ввести в L-2
норму с помощью соотношения
1ИН = +У¥ЙУ-	(Д1-2)
Важным свойством пространства Л2 является то, что любой
полный ортонормированный набор векторов {уДД образует ор-
тонормированный базис пространства, т. е. любой вектор е г L>
312
Дополнения
можно однозначно представить в виде
•ф = Еа*^Ь	(Д1-3)
k=i
где
а-к = (Дк^)-
Написанное разложение понимается в смысле выполнения
соотношения
lim 11^ ~ 52amll = О,	(Д1-4)
fc=l
т. е.
/тт	2
|0(С) -	с?^ = 0.
fe=l
Легко проверить, что условие (Д1.4) эквивалентно соотноше-
нию
Лт^Ем2, (Д1-5)
•'	к=1
которое называется уравнением замкнутости.
Условия (ДЕЗ) или (Д1.5) являются не только необходимыми,
но и достаточными условиями полноты набора {pt}i°-
Покажем теперь, что условие (Д1.5) эквивалентно следую-
щему:
=	(Д1-6)
к=1
где 5(5 — СО — обобщенная функция, которая называется дельта-
функцией Дирака (см. Дополнение 4).
Действительно, пусть условие (Д1.6) выполнено. Тогда име-
ем
Е ы2 =Е 1Ы< =/'мж(оГЕ^(еы(е/й =
к=1	к=1	J	^fe=l	'
= I <ЖО(М')«' = У К)12С
т. е. из (Д1.6) следует (Д1.5).
Дополнения
313
Теперь пусть выполнено условие (Д1.5). Тогда имеем
Еь2 /	/ im2<
fe=i	J	\=i	'	J
Из этого равенства следует, что
/m Е<м') к'=т
J	\=к	'
т. е.
Е^(оыо = < -а
к=1
что и требовалось доказать.
Итак, условие (Д1.6) является необходимым и достаточным
условием полноты в L-j ортонормированного набора {у/,. }Д
2.	Линейные операторы
Оператор F называется линейным, если
Z к	X	к
=^aiF^i,	(Д2.1)
4=1	'	г=1
где {уг} — любые векторы из области определения Dp операто-
ра F, {йг}1 — любые комплексные числа.
Оператор F 1 называется обратным по отношению к опе-
ратору F, если он удовлетворяет соотношению
FF-1 = F^F = Т,	(Д2.2)
где I — единичный оператор.
Оператор F+ называется эрмитово сопряженным по отно-
шению к оператору F, если оба оператора имеют одну и ту же
область определения и выполняется соотношение
(W1H2) = (V’1|F+V’2).	(Д2.3)
В обозначениях
= ШкМ	(Д2.4)
314
Дополнения
условие сопряженности записывается в виде
Ш-Р+Ш =	(Д2.5)
Оператор F называется эрмитовым, или самосопряженным,
если F+ = F. Следовательно, эрмитов оператор удовлетворяет
соотношению
ШРШ = ^\F\^y,	(Д2.6)
где -02 — любые векторы из области определения F. Два
оператора А и В считаются равными
А = В,
если совпадают их области определения, и если на каждом эле-
менте ф из их области определения значения этих операторов
совпадают:
Аф = Вф.
Для любых операторов А и В справедливо соотношение
(АВ)+ = В+А+.	(Д2.7)
Отсюда вытекает более общее соотношение:
(ABC...F)+ =F+ ...С+В+А+.	(Д2.8)
Линейный оператор F называется унитарным, если
FF+ = F+F = I,	(Д2.9)
где I — единичный оператор. Таким образом, унитарный оператор
удовлетворяет соотношению
Р'=Р	(Д2.10)
Докажем вещественность дискретного спектра эрмитова опе-
ратора. Пусть срп — собственная функция эрмитова оператора F,
принадлежащая собственному значению Fn.
Fpn — Fnpn,
Ч>П Д О*
Дополнения
315
Отсюда получаем
Fn = {ipn\F\^n) / {‘PnWn') ,
Fn =	I= (</5n|F+|<yjn)/(^>n|<yjn),
т.е. F* = F„.
Здесь мы воспользовались свойством (Д2.6) эрмитова опера-
тора.
Покажем, что собственные функции, принадлежащие различ-
ным собственным значениям, взаимно ортогональны. Имеем
Fрп = Fnpn, Fрт = FmPm, Fn Fm>
Умножим первое уравнение скалярно на рт, второе уравнение —
на рп и вычтем из первого уравнения комплексно сопряженное
второе:
Fm(ipn\pni') =	IF | Ргп) •
Воспользовавшись эрмитовостью оператора F и вещественно-
стью его собственных значений, получаем
(Fn Fm){pm\Pn) = fl-
no скольку по условию Fn Fm, отсюда следует, что
(Рт\Рп) = О-
Собственное значение Fn, которому соответствует несколько
линейно независимых векторов рпа (а = 1,2, ..., N), называет-
ся вырожденным, а число N называется кратностью вырождения
этого собственного значения.
Векторы {</?па}^=1, вообще говоря, не являются взаимно ор-
тогональными, но, как известно из линейной алгебры, всегда су-
ществует такое линейное преобразование набора	что
новый набор векторов	будет принадлежать тому же соб-
ственному значению Fn, и все векторы набора {суд} взаимно ор-
тогональны. Таким образом, мы можем считать, что все собствен-
ные векторы эрмитова оператора взаимно ортогональны. Кроме
того, все векторы можно считать нормированными на единицу,
поскольку если | IV’fel |	1, то вместо V’fe можно рассматривать век-
тор ^’k = гфь/\\'Фк\\, который удовлетворяет условию ||^|| = 1.
316
Дополнения
В дальнейшем мы будем считать, что все собственные векторы
эрмитова оператора образуют ортонормированный набор:
(Ыот) = Ski-	(Д2.И)
В математике доказывается, что совокупность всех орто-
нормированных собственных векторов эрмитова оператора с чи-
сто дискретным спектром является полным набором в простран-
стве Ь2, а следовательно, ортонормированиям базисом этого про-
странства (см. Дополнение 1).
3.	Операторные функции
Пусть F — оператор некоторой физической величины, име-
ющий собственные функции {«/’ДО} и обобщенные собственные
функции
F^)=Fn^),	(Д3.1)
Fxt^ = /ЫО;	(Д3.2)
где {Д,} и {/} — точки спектра оператора F.
Пусть р(х) — некоторая однозначная функция переменной х.
Тогда по определению принимается, что результат действия опе-
раторной функции p(F) на собственные функции и обобщенные
собственные функции оператора F дается формулами:
=p(F„)^(e),	(дз.з)
=р(/)ЫО-	(ДЗ-4)
Поскольку согласно (2.20) любую функцию V’(C) из -^2 можно
представить в виде разложения по полному набору {дп},
в виде
ф(£.')= ^2 ап<Рп(£.) + [ afXf(£,)df, (Д3.5)
an = (ipn\i/Sx af = <Х/|-гД>,
получаем
р(Р)^(£) = ^2 anp(Fn)ipn(g) + [ afP(J)Xf(& df.	(Д3.6)
{Н,}	{Jf}
Дополнения
317
Это соотношение позволяет найти результат действия произволь-
ной операторной функции на любую функцию из L?,.
Особенно простой вид эта формула принимает в том случае,
когда функция р(х) может быть разложена в ряд Тейлора
(ДЗ-7)
В этом случае
ДЯДО = Е-»|Е amF™pn(£) + [
™=о	\{F„}	{^}	/
(ДЗ-8)
Используя (Д3.1, Д3.2, Д3.5), отсюда получаем
длдо = Е cmFm^.
т=0
Поскольку функция Д£) произвольная, отсюда следует
дл = Е с^т
т=0
(ДЗ-9)
4.	Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака (4-функция) является обобщенной
функцией и определяется как линейный функционал на множе-
стве непрерывных функций S. Пусть Д£) — произвольный эле-
мент множества S. Тогда <5-функция определяется как значение
функции Д£) в точке £ = 0, т. е.
ФО = ДО).	(Д4.1)
Это соотношение принято условно записывать в виде скалярного
произведения некоторой функции 5(£) и функции Д£):
ФО = ДО ДО = J Ф)Д£) Д = ДО), (Д4.2)
хотя легко показать, что не существует функции (5(£), которая
удовлетворяла бы этому равенству
318
Дополнения
В математике доказывается, что 5-функция может быть пред-
ставлена в виде предела последовательности функций
принадлежащих пространству к>.

(Д4-3)
причем этот предел понимается в следующем смысле:

(Д4-4)
где у(Д) произвольная функция из S.
Наиболее часто используются следующие представления 5-
функции:
г/ \	j- 1 sin vx 1* v -Дх2
д(х) = lim ——-— = lim —— е	=
lim
1 v
v2x‘i + 1
lim
i/^oo 'кх/'У
(Д4-5)
Используя первое из этих соотношений, легко показать, что
5(e) = Нт / elkxdk=^~ / егкх dk.
i/^oo 2тг 2тг /	2тг /
(Д4-6)
Дельта-функция удовлетворяет следующим соотношениям:
6(—х) = 5(ж),	(Д4-7)
х5(х) = 0,	(Д4.8)
6(ах) = -Ц5(х), а Д 0, R	(Д4-9)
f(x)5(x — а) = f(a)5(x — а),	(Д4.Ю)
у,	3(х-хг) ШИ] = X а , “Д df(x)	(Д4.И)
dx
где Xi — нули функции /(ж), п — количество нулей на всей оси х.
Дополнения
319
Все эти соотношения имеют только тот смысл, что левая и
правая части каждого равенства эквивалентны при использовании
их в «скалярных произведениях» типа (Д4.2).
Путем замены переменной легко показать, что
=	(Д4.12)
В приложениях часто используется формула
lim(x — ге)-1 = 5s + гтгДх),	(Д4.13)
где символ SP указывает на то, что вычисление интеграла надо
проводить в смысле главного значения.
5.	Теорема о коммутирующих операторах
Докажем теорему, сформулированную в § 4: два эрмитовых
оператора А и В с чисто дискретными спектрами имеют в L>
общий полный набор собственных функций тогда и только тогда,
когда их коммутатор равен нулю: [А, В] = 0.
Доказательство необходимости. Пусть fc/JA — общий
полный набор собственных функций операторов А и В, т. е.
= An</?n, Bipn = Bnipn.
Тогда произвольный вектор ф из общей области определения опе-
раторов АВ и В А можно представить в виде
Л =
fc=i
Поэтому
[А, В] А = (АВ - В А) ^2 akV>k = afc(AfcBfc - BkAk)ipk = 0,
к	к
т. е. [А, В] ф> = 0, что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности. Пусть [А, В]^ = 0, где
ф — любой вектор из общей области определения операторов АВ
и В А.
320
Дополнения
Рассмотрим множество Г всех собственных векторов, при-
надлежащих собственному значению А оператора А, т. е. если
ip 6 Г, то
Ар = Ар.
Легко проверить, что Г — линейное пространство, размерность
которого равна кратности вырождения собственного значения А.
Действительно, из того, что pi, р2 6 Г, следует
A(aipi + а2р2) = aiApi + а2Ар2 =
= aj-Api + a2Ap2 = A(a!p! + a2p2),
T.e. (ciipi + a2p2) G Г.
Так же легко проверить выполнение всех других аксиом ли-
нейного пространства.
Покажем теперь, что оператор В, коммутирующий с А, не
выводит векторы из Г. Пусть р 6 Г, тогда
А(Вр) = В(Ар) = В Ар = А(Вр),
т. е. А(Вр) = А(Вр).
Следовательно, Вр — собственный вектор оператора А, при-
надлежащий собственному значению А, т. е. Bp G Г.
Поэтому мы можем рассматривать оператор В как оператор,
действующий только в пространстве Г. Поскольку любой эрмитов
оператор в конечномерном пространстве имеет полный в этом
пространстве набор собственных векторов, можно утверждать,
что В имеет в Г полный набор собственных векторов
Следовательно, любой вектор р 6 Г можно представить в ви-
де разложения по этому набору:
= У^Дк'-'к-
к
где все являются собственными векторами В и одновремен-
но собственными векторами А, принадлежащими собственному
значению А. Таким образом, доказано, что в Г существует общий
полный набор собственных векторов операторов А и В.
Пусть {</?&}i° — полный набор собственных векторов А в про-
странстве Ь2. Тогда любой вектор с’ г 12 можно представить в
Дополнения
321
виде
k=l
а любой вектор можно представить, как только что доказа-
но, в виде линейной комбинации общих собственных векторов
операторов А и В.
Таким образом, доказано, что для двух коммутирующих эр-
митовых операторов А и В в L-2 существует общий полный набор
собственных векторов.
6.	Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита Нп (х) могут быть определены как такие
решения дифференциального уравнения
Н'^х) — 2хН'п(х) + 2пНп(х) = О, (Д6.1)
которые при |ж| -ос обращаются в бесконечность не быстрее
апхп, причем ап = 2".
Полиномы Эрмита могут быть представлены в виде
(д6.2)
где Ф(Ъ, t) =	— производящая функция этих полиномов,
которая выражается через эти же полиномы:
ФДд) = £япД)^.	(Дб.з)
п=0
Полиномы Эрмита образуют на вещественной оси ортого-
нальную систему функций с весом е~х :
у Н„Дх)Нп(х)е х dx = 2пп\у/тт8тп.	(Д6.4)
Имеют место следующие рекуррентные соотношения:
Яп+1(ж) = 2хНп(х) - 2пЯ„_1(а:),	(Д6.5)
ЯДД) = 2пЯп_1(х),	(Д6.6)
хНп(х) = пНп_Дх) + |я„+1(ж).	(Д6.7)
322
Дополнения
Первые пять полиномов Эрмита имеют вид:
Но(х) = 1, Hi(x') = 2х, НДх) = 4т:2 — 2,
Я3Д) = 8ж3 - 12х, Я4Д) = 16ж4 - 48х2 + 12.	(Д6.8)
7.	Сферические функции и полиномы Лежандра.
Интегралы со сферическими функциями
Сферические функции Yim(0, р) являются ограниченными
решениями уравнения
L2Ylm(0, = L2Ylm(0, Я	(Д7.1)
т. е.
+	^) + ЙуМ0, <р) = о,
\smO6>\ d0J sin20<9^2/	ti2
принадлежащими собственным значениям
Ь2 = 1(1 + Г)П2, Z = 0, 1, 2, 3,...,	(Д7.2)
причем
т = О, ±1, ±2,..., ±1.	(Д7.3)
Сферические функции можно представить в виде
Ylm(0, 9?) = е/т(0)ФтЫ,	(Д7.4)
где
= (-infe1 • fv^P™(cos0),	(Д7.5)
prW = (i-^2)m/2^7^^2-i)/,	(Д7-6)
24! dxL±m
Фты = d=elmv-	(Д7.7)
V 2тг
Полином Я/" (я?) называется присоединенной функцией или
присоединенным полиномом Лежандра. При т > 0 эта функция
выражается через полином Лежандра Pi (Д):
РЛ*)М1-*2)т/2£>гС4
(Д7.8)
Дополнения
323
где
2lll dx1
Легко проверить, что
ФтЫ =
откуда получаем
OM-inV-Ж <Я
(Д7.9)
(Д7.10)
(Д7.П)
(Д7-12)
Сферические функции образуют ортонормированный набор
7Г 2тг
У У У^(0, <p)Yi/m>(0, tp) sin 0 d0 d<p = 6ц/6mmi,	(Д7.13)
о о
который является полным в пространстве квадратично-интегри-
руемых функций, зависящих от 0 и ip.
Сферические функции удовлетворяют соотношению (теоре-
ма сложения сферических функций)
I
Л(пщ2) =	£ У^(П1)Угт(п2),	(Д7.14)
т= — 1
где ni, П2 — произвольные единичные векторы.
Отсюда легко получить соотношение
£ \Ylm(0, <Д|2 =	(Д7.15)
т= — I
Из (Д7.4)-(Д7.9) имеем
У1(М 9?) = У^1д(со80).	(Д7.16)
Явный вид сферических функций для I = 0, 1, 2 был приведен
в §32.
324
Дополнения
Укажем явный вид первых полиномов Лежандра и нормиро-
ванных присоединенных полиномов Лежандра
РДх) = 1, РДх) = х, РДх) = |(3ж2 - 1),
РДх) = ±(5ж3 - Зх), РДх) = |(35ж4 - ЗОх2 + 3); (Д7.17)
2	о
6°° =	0ю(ж) = У|х, 0i,±i(x) =	- х2),
(Д7.18)
©2,±2(я:) = УЦ(1 -х2).
Часто оказывается полезным значение следующего интегра-
ла:
У У Кт(0, ^YhrnAO,	^smOdOdcp =
о о
=	(Д7Л9)
V	+ 1)
где {limil2m2\1т) — коэффициент векторного сложения.
Отметим следующую важную формулу:
1	прип>г2,
1	_	1т 21 + 1 V 7
1Г1“Г21	ПрИП<Г2,
(Д7.20)
где (0i, <y?i) и (02, ср2) — полярный и азимутальный углы векторов
Г1 и г2.
8.	Цилиндрические функции полуцелого порядка
В квантовой механике широко используются следующие
функции, просто связанные с цилиндрическими функциями Бес-
Дополнения
325
селя Jv(p) полуцелого порядка:
!) J/О) Jl+i
(р) — сферическая функция Бесселя;
(Д8-1)
2) ni(.P) = (~
J_/_i/2(p) — сферическая функция
Неймана; I = 0, 1, 2, ...
(Д8.2)
Эти функции являются линейно независимыми решениями урав-
нения
d2 , 2	, А _ Ф + 1)
dp2 Pdp^\ f
Rp) = о
(Д8-3)
и имеют следующее поведение при р 0 и р оо:
Р1	Ы-З-б.. . (2/ —1)
1.3-5... (2/+1)’	"'(Р,Й=--------------- .Фир -О.
(Д8-4)
Jl(p) ~ ^cos(p-	~ ^sin(P“ прир^оо.
(Д8-5)
При любом значении I функции ji(p) и ni(p) выражаются
через sinp и cos р. Для I = 0, 1, 2 имеем
jo (?) =	sinp Р ’	, х	cos р по(.Р) = р ,
sin р	cos р	, ч	cos р sin р
л(р) =	- р	р ’	П1(р) - р2	р
31{p) =	( 3_ _ V3	1А . з - sin р		 cos р, р J	р
П2(р) = -	( 3_ _ V3	1А	3 • - - cos р		 sin р. р J	pz
(Д8-6)
Ниже приведены значения положительных корней уравнения
д(хк) =0, I = 0, 1, 3, 4, 5, 6,	(Д8.7)
326
Дополнения
расположенные в порядке возрастания их величины:
X	3,142 4,493	5,763	6,283	6,988 7,725
1	0	1	2	0	3	1
(Д8.8)
X	8,18 9,10 9,36 9,42 10,45 10,50 10,90
1	4	2	5	0	3	6	1
Часто используются линейные комбинации функций д(р)
и п;(р):
Ь^Чр) = ji(p) +ini(p), h^Xp) = ЛИ --ini(p),	(Д8.9)
которые называются сферическими функциями Ханкеля первого
и второго рода соответственно.
Асимптотики этих функций имеют вид
рЧр) ~
Ъ-ЧЧр) ~	2(Z+1)7r] при оо. (Д8.Ю)
Заметим, что в случае чисто мнимого значения аргумента
(р = i/Зг, (3 > 0) только Ip (р) стремится к нулю при г - ос
и является квадратично-интегрируемой функцией. Приведем яв-
ный вид этой функции при I — О, 1, 2:
h44^r) = -j-e-pr,
Р'
h{i4iPr)=i{j-r + ^)e^r,
h[ ЧгРг) = г( — +	/31
(Д8.И)
Дополнения
327
9.	Разложение плоской волны по сферическим
функциям
В различных приложениях широко используется следующее
разложение плоской волны по сферическим функциям:
е*кг = 4тг£ £ 6г(М^™(е,	(Д9.1)
где (-).<!> — полярный и азимутальный углы вектора к, а 0, у —
углы вектора г, ji (х) — сферическая функция Бесселя.
Если полярную ось направить по вектору к, то эта формула
принимает более простой вид:
eifcz =	ггу4тг(2/+1)л(М^о W= £ ^(2/ + 1)Л(МД(соз0),
1=0	1=0
(Д9.2)
где z = г cos 0.
10.	Вырожденная гипергеометрическая функция.
Обобщенные полиномы Лагерра
Вырожденная гипергеометрическая функция F(a, с; z) опре-
деляется рядом
х — , I a z_ . а(а+1) Z2 , а(а+1)(а+2) z3
a’c’z>- + с п + с(с+1) 2! + с(с+1)(с+2) 3!
где а, с — константы, причем
+
(ДЮ.1)
с^-к, к = 0, 1, 2, 3, .. .
Эта функция удовлетворяет уравнению
^ + (c-z^-aF(z) = 0.	(Д10.2)
dz
Если а = —п (п = 0, 1, 2, ...), то F(a, с; z) сводится к по-
328
Дополнения
линому степени п:
,	, п п(п — 1) Д
F(—n, с, z) = l-^z+ /fy-	(Д1О.З)
с clc + 1) 2!
_ п(п—1)(п—2) Д	__________1_________
с(с+1)(с+2) 3!	с(с+1)(с+2)... (с+п—1)
который можно представить в виде
Г (с)
F(-n, с; z) = —^-Lcn-\z),	(Д10.4)
1 (с + п)
где
(Д10.5)
есть обобщенный полином Лагерра, Г(ж) — гамма-функция.
Если а Д — п, то асимптотика вырожденной гипергеометри-
ческой функции имеет вид
Г (с)
F(a, с; z) «	' za~cez при z сю.	(Д10.6)
Если с Д —к (к = 0, 1, 2, 3,..то второе линейно незави-
симое решение уравнения (Д10.2) есть
Fi(z) = Д-ДДа_с+1, 2-с; Д.	(Д10.7)
Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют следующему
условию ортонормированности:
У Lcm{z')Lcn{z)e~zzc dz = п!Г(п + с +	(ДЮ.8)
о
Часто оказывается полезным значение интеграла
J^_^e-Zz^dz =
0	(ДЮ.9)
_ / ixo- А!<т!	-I с/з	(А+/ЗА /А+/3—/А
М } (А-Д)!Д( 1}	- Л - J’
где а Д 0, ( о I — число сочетаний из а по /3.
Дополнения
329
11.	Коэффициенты векторного сложения
Коэффициенты векторного сложения, или коэффициенты
Клебша-Гордана, обладают следующими важными свойствами:
= (-1У1+32 Ц^т^т^т),	(Д11.1)
^тД2т2\/т) = (-l)J1+-’2-J(Ji - mi, j2 - m2\j, -m),
(ДИ.2)
/ 2 7 + 1
(jirn^j2m2\jm) = (-1)J2+™2 J ———(J, -m, j2m2\jx,
у 471 + J-
(Д11.3)
O'imiJ2m2|ym) = (-1)J1 mi
2J + 1
2Д + 1
-m2).
(ДИ.4)
0'iWJ, -m|j2,
Коэффициенты векторного сложения произвольного момен-
та Д с моментом j2 = i могут быть вычислены по следующим
формулам:
O'imi|m2|jm) =	(ДИ-5)
т2	1 2	_1 2
Л +1	1 ji + т + 1/2 V 2Д + 1	ji - т + 1/2 V 2Д + 1
Л - 2	Iji - т + 1/2 V 2Д + 1	1 ji +т + 1/2 \ 2ji + 1
Коэффициенты векторного сложения произвольного момен-
та Д с моментом j2 = 1 могут быть вычислены по следующим
330
Дополнения
формулам:

(Д11.6)
\ Ш2	1	0	-1
л+1			
	/ (л+т)(л+т+1) V (2л+1)(2л+2)	/ (ji-m+l)(ji+m+l) V (2Ji+l)(h+l)	/ (21 - rn) (Ji - m+1)
			V (2h+l)(2h+2)
21		m v/JiGi+i)	
	/ (ji+m)(ji-m+l) V 2D(ji+l)		/ (2i-m)(ji+m+l) V 2D(ji+l)
21-1			
			/ (Ji+m+l)(D+™)
	V	2Ji(Ji+l)	V 21(221+1)	V 2л(2л+1)
12.	Матрицы конечных поворотов
Приведем некоторые важные свойства D-функций, не отме-
ченные в § 55.
1)	р, 7) = (-1)™-™'р, 7).	(Д12.1)
2)	Если j = I = 0, 1, 2, ..., то
/3, 0) =	Ч	(Д12.2)
3^0(0, /3, 7) =	7),	(Д12.3)
п')г0)(0,А0)=Д(со8Д).	(Д12.4)
Мы видим, что в частном случае D-функции сводятся к сфери-
ческим функциям. Поэтому их называют иногда обобщенными
сферическими функциями.
3)	С помощью коэффициентов векторного сложения (см. § 41)
произведение D-функций всегда можно представить в виде их
Дополнения
331
линейной комбинации:
Л(Л) , (w)D(j2) , (и) =
тдт' 1 V /	m2m'2 V >
J1+J2
= 52	(Д12.5)
3 = 31 - J2
где т = mi + т2, т' = m'i + т'2. Это соотношение называют
«теоремой сложения» D-функций.
4)	Соотношение, обратное (Д12.5), имеет вид
mi т'у
X	(Д12.6)
где m2 = т — mi, т2 = т' — mJ.
С помощью этой формулы можно из D-функций некоторого
порядка «строить» D-функции более высокого порядка. Так, на-
пример, положив ji = J2 = | и используя (55.8) и (55.10), можно
построить матрицу . Затем из D^1) и О 2 можно построить
D 2 и т. д. Таким образом, формула (Д 12.6) позволяет вычислить
D-функции произвольного порядка, исходя из Т/1/2).
5)	D-функции удовлетворяют следующему условию ортого-
нальности:
2-тг 7г	2-тг
У da У sin/зад у	!3,	{3, 7) =
0	0	о
— 9 - । dj1j26mim26mim'. (Д12.7)
+ 1 12
6)	Из (Д12.7) и (Д12.5) следует
2тг 7Г	2тг
У^Уsin Д d@Jd^D^m, (а, Д,	(а, Д, Ь Т') =
0	0 о
= о 87Г, . {ji'mij2m2\jm){jim'J^\jm').
231 + 1
(Д12.8)
332
Дополнения
7)	Используя (Д12.6), легко получить:
=	(Д12-9)
mf т	1	0	-1
1	1 + cos (3 2	sin (3 V2	1 — cos (3 2
0	sin (3 V2	cos/3	sin (3 V2
-1	1 — cos (3	sin /3	1 + cos (3
	2	V?	2
е>)=
(Д12.Ю)
(см. следующую страницу)
т' т	3/2	1/2	-1/2	-3/2
3/2	1 + cos (3	0 2 C0S 2	гг 1 + cos В . В V3 2 sin 2	ГТ 1 — COS 0	0 A/З 2	cos 2	1 — cos 0 . 0 2 Sm 2
1/2	гг 1 + cos В . В V3 2 Sin 2	3 cos 0—1	0 2	COS 2	1 + 3 cos 0 . 0 2	Sm 2	ГТ 1 — cos 0	0 ^3	2 cos 2
-1/2	гг 1 — cos В	В V3 2 COS 2	1 + 3 cos 0 . 0 2	Sm 2	3 cos 0—1	0 2	COS 2	ГТ 1 + cos 0 . 0 л/з 2 Sln 2
-3/2	1 — cos 0 . В 2 Sm 2	гг 1 — COS 0	0 V3 2 cos 2	ГТ 1 + COS 0 . 0 V3 2 sm 2	1 + cos 0	0 2 C0S 2
Дополнения	333
Дополнительная литература
[1]	Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: На-
ука, 1976.
[2]	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. —
М.: Наука, 1974.
[3]	Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
[4]	Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.
[5]	Месена А. Квантовая механика, т. 1. — М.: Наука, 1978;
т. 2. — М.: Наука, 1979.
[6]	Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957.
[7]	Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. — М.:
Физматгиз, 1960.
[8]	Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч.
Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.
[9]	Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механи-
ка. — М.: Наука, 1976.
[10]	Тимофеевская О. Д., Хрусталев О. А. Курс кван-
товой механики. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1978.
[11]	Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.:
ИЛ, 1963.
[12]	Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. За-
дачи по квантовой механике. — М.: Наука, 1981.
[13]	Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач
по квантовой механике. — М.: Гостехиздат, 1957.
[14]	Флюгге 3. Задачи по квантовой механике, т. 1,2. — М.:
Мир, 1974.
[15]	Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с
ответами и решениями. — М.: Мир, 1978, с. 155-186.
Дополнительная литература
335
[16]	Мин Чен. Задачи по физике с решениями. — М.:
Мир, 1978, с. 216-238.
[17]	Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник
задач по физике с решениями. — М.: Атомиздат, 1971, с. 40-
48.
[18]	Балашов В.В., Коренман Г.Я., Смирнов Ю.Ф.,
Юдин Н. П. Теоретический практикум по атомной и ядер-
ной физике, ч. 1. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1980.
Всеволод Вячеславович Балашов
Владислав Константинович Долинов
Курс квантовой механики
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 30.11.01. Формат 84 х ЮвУзг-
Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,64. Уч. изд. л. 17,34.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага газетная.
Тираж 1200 экз. Заказ №
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.