/
Tags: головоломки игры, требующие терпения и ловкости собирание пазлов математика
ISBN: 978-5-93700-363-8
Similar
Text
Эрика Садун
Числовые
Эрика Садун
Числовые головоломки
Numerical Brain Teasers
Exercise Your Mind
Erica Sadun
Pragmatic
Rookshelf
Числовые головоломки
Тренируйте свой ум
Эрика Садун
Под редакцией Брайана Макдональда
Пз зд а т ельс те?
Москва, 2025
УДК 794.5:51
ББК 22.1
С14
Эрика Садун
С14 Числовые головоломки. Тренируйте свой ум / пер. с англ. И. Л. Люско. -
М.: ДМК Пресс, 2025. - 176 с.: ил.
ISBN 978-5-93700-363-8
В этой книге собраны чистовые головоломки разного уровня слож-
ности. Одни пригодятся для развлечения в обеденный перерыв, а дру-
гие потребуют от читателя нестандартного мышления и вниматель-
ных рассуждений. Каждая головоломка сопровождается пояснения-
ми и интересными фактами. Основная цель этой книги - позабавить
читателя и доставить ему интеллектуальное удовольствие. Но даже за
простыми математическими развлечениями скрывается тренировка
остроты ума и широты кругозора.
Издание предназначено широкому кругу любителей математиче-
ского досуга. Какие-либо специальные знания в области математики
не требуются.
УДК 794.5:51
ББК 22.1
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизве-
дена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без
письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN (анг.) 978-1-68050-974-8 Copyright © 2023 The Pragmatic Programmers, LLC.
ISBN (pyc.) 978-5-93700-363-8 © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2025
Оглавление
Отзывы о книге «Числовые головоломки»..................6
Благодарности..........................................8
Введение...............................................9
Головоломки...........................................11
Головоломка 1. Комбинации чисел....................13
Головоломка 2. Таблицы с суммированием.............27
Головоломка 3 Блуждающие цифры...... 43
Головоломка 4. Пропуски....................... ...49
Головоломка 5.Сбалансированные группы..............65
Головоломка 6. Магические треугольники............ 71
Головоломка 7. Магические квадраты................ 87
Головоломка 8.Таблицы с группами................. 103
Головоломка 9. Ведра с водой......................113
Головоломка 10 Кгадраты с суммами чисел...........133
Головоломка 11. Математические спички ............147
Головоломка 12. Битовые головоломки...............161
Предметный указатель.................................175
Отзывы о книге
«Числовые головоломки»
Совершенствуйте свои математические навыки, наслаждаясь соб-
ственной смекалкой, решая обманчиво простые головоломки. Мне
нравятся краткие описания того, как возникли головоломки, и слу-
чайные намеки на более глубокую математику, скрывающуюся пря-
мо под поверхностью. Увлекательно, привлекательно и очень весе-
ло. И полезно в плане образования!
О Ян Стюарт,
почетный профессор математики Уорикского университета
Было интересно решать их одну за другой, но самое интересное
заключалось в написании решений для каждого класса задач.
О Рикардо Сигнес,
технический директор, Фастмейл
Приятный способ времяпрепровождения, совсем не пустая трата
времени.
О Джон Скит,
международный автор и спикер
Сначала я был настроен скептически, но в этой книге действи-
тельно есть номер для меня.
О Джилл Руло,
облачный архитектор Ansible
Через тридцать секунд после того, как я открыл эту книгу, я начал
делать пометки в своем блокноте, чтобы решить эти «хрустящие» го-
ловоломки. Неотразимо!
Э Майк Поуп,
технический писатель и редактор
Это замечательная коллекция математических головоломок, как
традиционных, так и новых. Она способна бросить вызов самому
опытному любителю головоломок.
□ Уолт Манковски,
старший аналитик данных, Пенсильванский университет
Благодарности
Спасибо всем подписчикам аккаунта @pragprog в Твиттере’, кото-
рые сделали эту книгу возможной благодаря просмотру, лайкам и
взаимодействию с моими твитами-пазлами. Было очень весело соз-
давать и делиться с вами этими пазлами, и я благодарна за то, что у
меня есть аудитория, которая в восторге от них так же, как и я.
Спасибо также моему редактору по разработке Брайану Макдо-
нальду, который знает разницу между Spidermen и Spider-Men и го-
тов мириться с моим причудливым авторским стилем.
Спасибо моим техническим рецензентам, которые любезно по-
тратили время на работу над моими пазлами, моей логикой и моим
повествованием, чтобы убедиться, что я была максимально точ-
на. Все ошибки - мои собственные. Многие из моих правильных
утверждений принадлежат Фрэнсис Буонтемпо, Тревору Бернему,
Зульфикару Дхармавану, Майклу Фацио, Дереку Грэму, Энди Лесте-
ру, Дэйвиду Моргану, Джейсону Пайку, Карлу Стояли и Роману За-
бицки.
Дополнительная благодарность Дейву Ранкину, генеральному ди-
ректору Pragmatic, и тому, кто сказал: «Почему бы вам не собрать все
эти головоломки вместе в книге?» Я это сделала, и именно поэтому
эта книга существует.
Моего мужа и детей я могу упомянуть потому, что они сделали
это возможным. Спасибо всем вам за то, что вы остаетесь собой и
обогащаете мою жизнь.
1 Сейчас это сеть «X». - Прим. ред.
Введение
Я всегда любила головоломки. С тех пор как я была ребенком, моя
большая семья окружала меня ими. Родители откладывали для нас,
детей, вырезки из газет и баловали нас маленькими собранными из
них книжечками с пазлами. Недавно мой папа был не в духе. Я от-
правила ему набор для семейного ухода: кое-что перекусить и книгу
с пазлами.
Есть что-то замечательное, когда приводишь свой ум в действие.
Каждое решение вызывает удовлетворение и, возможно, выраба-
тывает эндорфины или какие-то другие химические вещества для
мозга, что поднимает ваше настроение, когда вы преодолеваете все
трудности. Это прекрасный способ заставить ваш мозг включиться
в начале рабочего дня, развлечь вас во время короткого обеденного
перерыва или помочь вам вернуться в нормальное состояние, когда
ваш рабочий день закончится.
В хорошей головоломке есть что-то особенное. Она бросает вам
вызов, вознаграждает, а затем позволяет двигаться дальше по жиз-
ни. Вы прекрасно провели время и, возможно, чему-то научились.
Пазлы - это сиюминутное удовольствие. Мои самые продаваемые
приложения для iOS были построены на пазлах с числами, словами
и логикой.
В этой книге собраны числовые головоломки разных стилей. Здесь
много легких головоломок, есть и посложнее. Эта книга - смесь паз-
лов и повествования, поэтому я могу поделиться с вами своим вос-
торгом от них.
Каждая глава посвящена отдельному стилю. Вы найдете смесь
традиционных и новых головоломок, объединенных акцентом на
арифметике, геометрии и логике. Эти головоломки позволят вам
сначала изучить их стиль, а затем проверить свои навыки в реаль-
ных задачах.
Спасибо, что выбрали эту книгу. Я так рада, что могу разделить с
вами эти маленькие удовольствия.
Об авторе
Эрика Садун любит глубоко погружаться в технологии и является
автором и соавтором десятков книг о компьютерах и цифровых ме-
диа. Садун вела блоги в TUAW, Ars Technica, O’Reilly и Lifehacker. Она
также активно занимается программированием, преподаванием и
повышением квалификации разработчиков программного обеспе-
чения. Она провела годы, бродя по коридорам академических цен-
тров, собирая степени по математике и информатике. Она также
воспитала несколько детей. Садун любит читать книги так же, как и
писать их.
О ВАС
В этой книге предполагается, что вы любите играть с числами и го-
ловоломки. Ничего более не требуется. «Числовые головоломки*
созданы для того, чтобы занять вас и доставить вам удовольствие.
Возможно, по ходу дела вы чему-то научитесь, но основная цель
этой книги - увлечь и развлечь вас. Надеюсь, вам будет так же весело
разгадывать эти головоломки, как и мне, когда я собирала их вместе.
Головоломки
Головоломка 1
Комбинации чисел
Как играть
Решите эту головоломку, объединив числа 3,6,5 и 5, что-
бы получить 23. Используйте только базовые математи-
ческие операторы.
Помните об этих правилах:
• используйте каждую цифру ровно один раз в лю-
бом порядке;
• вы можете только складывать, вычитать, умножать
или делить;
• если необходимо, добавьте круглые скобки;
• только математика начальной школы, только
арифметика. Вам не нужны логарифмы, фактори-
алы, десятичные дроби, возведение в степень или
любые другие причудливые математические функ-
ции;
• не разворачивайте числа. Например, 9 - это не 6;
• не группируйте цифры вместе; 1 и 4 не дают 14;
• программисты, помните, что 3 разделить на 2 - это
I* 1/,, а не 1.
Чтобы получить дополнительную информацию об
этой головоломке и ее решении, переверните страницу.
Когда вы будете готовы к новым головоломкам, подоб-
ным этой, перейдите к разделу «Получите удовольствие
от новых головоломок».
Об этой головоломке
Вот мой ответ на головоломку в математической форме:
5*5-6^3 = 23.
Это соответствует вашему ответу? Может быть да, а может, и
нот. Любое уравнение, которое приведет вас к правильной цели,
подойдет1. Читайте дальше, чтобы узнать, как я решила эту голо-
воломку.
Создайте решение
Любите возиться с арифметикой? Комбинации чисел - отличный
выбор. Учитывая набор чисел, можете ли вы объединить их, исполь-
зуя только основные математические операторы? Мне нравятся эти
головоломки; они одни из моих любимых.
В этом примере головоломки я использовала умножение, чтобы
получить 25. Это потому, что 25 довольно близко к 23, целевому чис-
лу. Это позволило достичь первого приближения. Затем посмотрите,
сможете ли вы скорректировать полученный результат с помощью
оставшихся чисел. Следующим действием я уменьшила результат
на 2, выполнив действие 6^3, чтобы достичь 23, моего целевого
значения.
Двигайтесь сумело, и иногда вы сможете одержать легкую победу.
«Приближение» - отличная стратегия, во многих случаях она сра-
батывает. Не увлекайтесь мышлением, основанным только на ум-
ножении/делении. Попробуйте вычесть и сложить каждое число из
целевого. Посмотрите, появится ли свободный путь. Когда этот под-
ход работает, он может переформулировать решение головоломки с
меньшим количеством чисел.
Некоторые головоломки с комбинациями чисел имеют только
один или два способа решения. Другие предлагают множество ре-
шений, как в следующем примере. Задача немного похожа на пре-
дыдущий пример, но, как вы увидите, существует гораздо больше
способов ее решения.
1 При решении числовых головоломок следует учитывать силу арифметических
операций, в частности порядок их выполнения: умножение и деление - в порядке
следования слева направо, сложение и вычитание - в порядке следования слева
направо. При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках, а затем
все остальные действия вне скобок. - Прим. ред.
Этот пазл имеет десятки решений. Я думаю, что существует бо-
лее пятидесяти правильных способов арифметической комбинации
этих чисел. Вот несколько ответов, которые можно предложить:
(2 + 5) х 6 + 9;
Зх(6-2 + 9);
3+ (6-2) х 9;
Зх(6-(2-9));
(Зх(9 + 2)) + 6;
3 х 9 + 2 х 6.
Наличие такого большого количества возможных ответов не де-
лает эту головоломку менее увлекательной. Во всяком случае, мне
нравится испытать себя, смогу ли я придумать «еше одно» решение.
Множество ответов означает, что есть больше способов добраться
до конца пути. Эти «свободные» головоломки отлично подходят для
групп, где люди могут продолжать добавлять новые решения. Да, не-
которые головоломки предлагают только одно решение. Чаще всего
вам приходится работать с теми, которые предполагают несколько.
Даже если вы меняете условия, обычно существует более одного воз-
можного ответа.
Делится ли ваше целевое число на 3? Если да, то посмотрите, смо-
жете ли вы получить числа, кратные 3, путем сложения или вычита-
ния пар чисел. Это поможет вам найти еще больше решений!
Предыстория
В 1963 г. компания Parker Brothers опубликовала игру с комбинацией
чисел под названием Krypto1. В ней используется колода из пятиде-
сяти шести карт. В каждом раунде дилер сдает целевую карту и пять
карт с числами от 1 до 25. Игроки комбинируют числовые карты,
чтобы достичь цели. Поскольку7 количество карточек с числами до-
1 https://en.wikipedia.org/wiki/Kiypio_(game).
стигает 25, а сдается всего пять, раунды могут быть довольно слож-
ными. Загадки с однозначными числами, подобные тем, что описа-
ны в этой главе, решаются гораздо быстрее.
Другая версия комбинации чисел была популярна в Шанхае в
1960-х гг1. Целью для каждой руки всегда было число 24. Игроки ис-
пользуют со]юк карт с числами от туза (1) до 10, раздаваемых стопка-
ми. Игроки вытаскивают игральные карты из своей стопки, чтобы со-
брать головоломку. Первый правильный ответ «выигрывает» раздачу.
Используя игральные карты, создайте несложную игру. Вы може-
те добавить фишки, например кубик для ролевых игр D201 2, чтобы
создать цели, отличные от 24. Помните, что для каждой цели и каж-
дого набора из четырех карт решение есть не всегда.
Впервые с пазлами с комбинациями я познакомилась в началь-
ной школе. Эти или другие головоломки каждый день ждали нас на
классной доске. Они заставили нас, учеников, успокоиться и занять-
ся делом с самого утра, пока учитель еще не пришел, чтобы мы мог-
ли размяться перед началом урока.
Как и в карточной игре, мои учителя всегда использовали четы-
рехзначные головоломки. Я считаю, что у них был какой-то источник
способов занять нас делом, например рабочие листы или учебные
пособия, в которых использовался этот стиль. Со временем я виде-
ла много вариаций этого. Сейчас в математическом обучении часто
можно увидеть головоломки с тремя числами одновременно. В ин-
формационных бюллетенях и журналах я видела головоломки с ком-
бинациями, состоящими из шести или восьми чисел одновременно.
Добавляя дополнительные условия, как в Krypto, вы добавляете
сложность. Я предпочитаю меньше цифр и более короткое время ре-
шения. Четыре кажется идеальным числом для решения головоло-
мок. Это создает быструю, целенаправленную и веселую головолом-
ку, на решение которой обычно уходит меньше минуты или двух.
Кроме того, я ограничиваю свои головоломки однозначными чис-
лами. Есть достаточно способов, как сделать вещи интересными, не
делая их утомительными. Головоломки не должны восприниматься
как работа. Хорошо продуманные головоломки, короткие или длин-
ные, должны быть интересными для решения и приносить удовлет-
ворение посте завершения.
1 https ://www.pagat.com/adders/24.html.
2 Система d20 - ролевая игровая система, опубликованная в 2000 г., Wizards of the
Coast. Изначально она была разработана для третьей редакции Dungeons & Drag-
ons. Система названа по 20-гранному кубику, который является центральным для
внутренней механики и многих действий в игре. - Прим. ред.
Стратегии
Головоломки, состоящие только из сложения и вычитания, решают-
ся проще всего. Подсчитайте числа и посмотрите, промахнулись ли
вы, и если да, то насколько далеко. В более сложных пазлах исполь-
зуются умножение и деление. Стратегии помогут вам атаковать и
эти комбинации.
Одна из хороших стратегий - поиск факторов цели. Факторы - это
числа, на которые другие числа делятся без остатка. Поиск факторов
помогает разбить головоломку на более простые задачи. Постарай-
тесь найти эти факторы для ваших чисел.
Благодаря факторам пазл «Составьте 39 из 2, 3, 6 и 9» из начала
этой главы - свободен и гибок. Числа 3 и 2 являются делителями
9 и 6. Дополнительные множители дают больше чисел при делении.
Эти дополнительные числа можно объединить для получения боль-
шего количества результатов.
Вы можете использовать числа, преобразовав их в 1 или 0. Затем,
достигнув цели, вы можете умножить/разделить на 1 или приба-
вить/вычесть 0. Например, рассмотрим числа в этой головоломке:
Умножение 5 на 3 приведет вас прямо к решению. Итак, что же
делать с лишними четверками? Если преобразовать их в 1 или 0, то
их можно вырезать из головоломки, например: (4 -г 4) * 5 х 3.
Попробуйте использовать небольшие значения для сложения или
вычитания по мере приближения к целевому числу. Проверьте, на-
сколько близко вы сможете подобраться, а затем используйте остав-
шиеся чиста, чтобы все встало на место. Именно это я сделала с при-
мером в начале главы.
Решив много головоломок, вы начнете распознавать общие зако-
номерности. Многие задачи похожи друг на друга в том, как вы их
решаете. Вы боитесь, что станет скучно? Я играла с этими пазлами
десятилетиями. Они до сих пор вызывают у меня радость. Надеюсь,
они вам тоже понравятся.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-30
Теперь, когда вы увидели, как выглядят комбинационные пазлы,
и изучили правила, пришло время погрузиться в них и попробо-
вать решить некоторые головоломки самостоятельно. Решение -
в следующем за пазлами разделе.
Пазл 6
Пазл 7
Пазл 8
Пазл 9
Пазл 10
Пазл 11
Пазл 12
Пазл 13
Пазл 14
Пазл 16
Пазл 17
Пазл 18
Пазл 19
Пазл 20
Пазл 21
Пазл 22
Пазл 23
Пазл 24
Пазл 26
Пазл 27
Пазл 28
Пазл 29
Пазл 30
Решения
Вот решение для каждой головоломки. Помните: большинство ре-
шений не являются единственно возможными. Это часть радости и
удовольствия от комбинированных головоломок. Ваш правильный
ответ может отличаться от тех, которые я включила в следующий пе-
речень.
Пазл 1: 9 + (7 - 1) х 6 = 45.
Пазл 2: 5 х 8 - (8 + 2) = 30.
Пазл 3: (5 + 2) х 6 х 1 = 42.
Пазл 4: (4 + 4) х (8 - 1) = 56.
Пазл 5: (6 + 4) + (1 + 1) = 5.
Пазл 6: ОО 1 ОО Ъ 1 II Ch
Пазл 7: 3 х (7 + 4 + 4) = 45.
Пазл 8; <о и ГЧ X ’-"1 X ~ч + п
Пазл 9: (7 + 7) х 4 - 5 = 51.
Пазл 10: (3 + 1) х 9 - 8 = 28.
Пазл 11: 2 х (9 - 4) + 5 = 15.
Пазл 12: 7x5 + 8^2 = 39.
Пазл 13: 2 х 3 + 6 - 6 = 7.
Пазл 14: (2 + 5) х 4 - 4 = 24.
Пазл 15: 8 + (6 - 6) + 3 = 8.
Пазл 16: 7 + 4x9 + 3 = 19.
Пазл 17: 6 х (1 + 3)+ 2 = 26.
Пазл 18: 7 + 6 + 1-3 = 11.
Пазл 19: 7x5-3x4=23.
Пазл 70: (2 + 3) х 8 + 1 = 41.
Пазл 21: 8 х (7 + 1) - 5 = 59.
Пазл 22: 1 х (6 + 7) х 2 = 26
Пазл 23: (8 + 6) х 4 - 7 = 49.
Пазл 24: 7x3 + 9 + 8 = 38.
Пазл 25: 4 х (6 + 3 - 1) = 32.
Пазл 26: 4 х (7 + 2) + 6 = 42.
Пазл 27: 3 х (9 - 5) + 2 = 6.
Пазл 28: 9 х (9 - 4) -8 = 37.
Пазл 29 5 х (7 + 4 + 4) = 40
Пазл 30: О' II О' 1 ОО X гч 1 со
Головоломка 2
Таблицы с суммированием
2 12
6 2 12
5 1 13
3 5 15
4 17
6 2 3 15
Как играть
Добавьте цифры от 1 до 6 в каждую белую незаполнен-
ную ячейку. Серый столбец справа содержит сумму ка-
ждой строки. Заполните пустые ячейки так, чтобы сум-
мы были правильными и каждая цифра от 1 до 6 появля -
лась в каждом белом столбце только один раз.
Помните об этих правилах:
• каждая цифра в каждом белом столбце должна по-
явиться ровно один раз;
• сумма для каждой строки должна соответствовать
числу в серой ячейке справа;
• числа в строках могут повторяться. Одна строка
может содержать, наприхмер, пару двоек или пяте-
рок или вообще не содержать повторов.
Чтобы получить дополнительную информацию об этой
головоломке и ее решении, переверните страницу7. Когда вы
будете готовы к новым пазлам, подобным этому, см. раздел
«Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Головоломки с суммированием - это быстрое задание, основанное
на суммах и небольшой логике. Каждый пазл представляет собой
20-таблицу. Таблица содержит ячейки с цифрами и ячейки с про-
белами. в ее правой части есть специальный столбец с суммами. Вы
заполняете все пустые места недостающим числом, которое должно
там находиться.
Загадки с таблицей суммирования включают в себя .математику
и логику. Начните с поиска легких побед. Если в какой-либо стро-
ке или столбце только одна пустая ячейка, сразу заполните ее. Для
строк просуммируйте появившиеся числа и вычтите их из общей
суммы. Для столбцов выясните, какая цифра пропущена, и заполни-
те соответствующую ячейку. Продолжайте заполнять ячейки, пока
нс исчерпаете все легкие победы.
В этой головоломке и в первом столбце, и в последней строке есть
по одному пустому квадрату. Цифра в первом столбце должна быть 1.
Это единственная цифра, отсутствующая в наборе от 1 до 6 в первом
столбце. Вычтем 11 из 15 (сумма шестой строки 6 + 2 + 3= 11), полу-
чим 4.
Легкие победы могут существовать, а могут и не существовать в
любой данной головоломке. Они зависят от размещения чисел, раз-
мера и сложности. Больше строк и столбцов может означать больше
пустых мест. Количество подсказок влияет на сложность головолом-
ки.
Решение первого столбца открывает вторую строку, в которой
остается только одно место. Поскольку сумма 1, 6 и 2 равна 9, а сум-
ма строки равна 12, оставшаяся цифра в этой строке должна быть 3.
Затем рассмотрим оставшиеся числа каждого столбца. Вы всегда
знаете неиспользуемые числа для любого столбца. Если вы работае-
те на бумаге, напишите недостающие числа каждого столбца выше
или в первом поле столбца. Позже вы сможете стереть или вычер-
кнуть их. На компьютере или планшете используйте стилус или
программу для рисования. Это часто позволяет вам переместить эти
числа позже; очень удобно!
2 4 6 14 2 5 3 1 6 5 12
1 3 6 2 12
5 1 13
3 5 15
4 17
6 2 3 4 15
В этом примере для второго столбца в первой и пятой строках
остается два варианта: 4 и 6. Сумма пятой строки большая (17). По-
пробуйте выбрать большую цифру для этой строки. Это не всегда
срабатывает, но это разумный подход.
Теперь найдите строки, в которых пропущено только два числа.
В третьей и четвертой строках в пустых ячейках должна быть сум-
ма 7, чтобы достичь целевых сумм этих строк. (И то же самое отно-
сится и к пятой строке, если во вторую ячейку поставить цифру 6.)
Подумайте, как можно получить сумму 7. Вы можете составить
7 из 1 и 6, 2 и 5 или из 3 и 4.
Используйте эту информацию, чтобы поставить свои цифры. Сде-
лайте грубое приближение и постарайтесь запомнить пробелы. Это
становится сложнее, когда у вас есть больше квадратов, над которы-
ми нужно работать. Вам нужно будет рассмотреть другие способы
суммирования цифр.
2 4 5 3 (12)
1 3 6 2 12
5 1 4 1 (13)
3 5 1 6 15
4 6 2 5 17
6 2 3 4 15
Изложив приблизительное решение, посчитайте суммы и отметь-
те все неправильные строки. Два кружка показывают строки с не-
правильными суммами. В обоих случаях суммы отличаются на 2.
2 4 5 1 12
1 3 6 2 12
5 1 4 3 13
3 5 1 6 15
4 6 2 5 17
6 2 3 4 15
Вы можете перевернуть две пары: 5 и 4 в третьем столбце и 3 и 1
в четвертом столоне. Из них только 3 и 1 отличаются от 2. Переста-
новка 3 и 1 завершает и решает эту головоломку. В собранной го-
ловоломке цифры в каждой строке соответствуют сумме справа, а
каждый столбец содержит все цифры от 1 до 6.
Эти стратегии легких побед, уменьшенных сумм, разбивки сче-
та и грубых приближений должны помочь вам справиться со всеми
пазлами, кроме самых сложных.
Предыстория
Суммирование таблиц - популярная задача. Варианты включают
вертикальное расположение с суммами сбоку, как здесь, и горизон-
тальное расположение с суммами внизу. Я видела головоломки все-
го с тремя или четырьмя наборами чисел и целыми семью или восе-
мью. Больше наборов увеличивает сложность каждой головоломки.
Решать их немного сложнее.
В предыдущем примере я использовала шесть цифр (от 1 до 6) в
каждом наборе. В самых больших пазлах в каждом наборе может ис-
пользоваться девять или десять чисел. Самый известный стиль сум-
мирования таблиц, который я нашла, - это Zehnergitter, также на-
зываемый Giid Ten, Tenner Grid, From 1 to 10, Числобус. Они обычно
используются в математическом обучении, а также для отдыха.
В этих пазлах используются цифры от Одо 9, расположенные ряда-
ми над суммами внизу. В некоторых вариантах используются первые
десять чисел числового ряда, а не однозначные цифры. Головоломки,
предназначенные для юных решателей, часто содержат больше под-
сказок. Это уменьшает разочарование и облегчает путь к победе.
Вот пример, с которым вы можете попробовать справиться. Я по-
местила решение этой задачи в ответах к данной главе. Стратегии и
подход такие же, как и в любой другой головоломке с суммирующей
таблицей.
Заполните таблицу
Используйте цифры 0-9, чтобы заполнить пробелы в
каждом ряду. Суммы столбцов представлены в серой
строке.
2 4 7 6 0
5 7 0 6 4 2 9
3 5 7 4 2
7 9 1 6 0 2 5
20 23 20 15 15 26 17 8 14 22
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-15
Теперь, когда вы увидели примеры и прочитали о стратегии, по-
пробуйте новые пазлы. Наслаждайтесь решением задач по сумми-
рованию на следующих нескольких страницах. Ответы следуют за
пазлами.
Пазл 3
6 2 5 16
5 1 4 12
14
3 12
4 1 16
4 6 14
Пазл 4 18
1 13
2 1 4 13
6 1 2 13
5 3 16
3 5 11
Пазл 5 2 11
5 12
1 5 15
1 6 4 16
3 6 2 15
4 15
Пазл 6
Пазл 7
1 6 1 L5
2 4 1 L2
5 2 L4
1 L4
2 4 L7
1 L2
Пазл 8
Пазл 11 1 3 4 9
3 1 9 7 0 4 8 6 2
1 8 2 4 3 9 0
1 3 5 6
12 16 26 17 9 12 27 32 18 11
Пазл 12
4 1 5 8 6
4 2 0 8 5
6 2 0 9 8 1 5 4 7
7 1 3 0 8
24 9 16 23 18 12 9 21 25 23
Пазл 13 0 7 5 8
8 0 9 1 5 6
3 0 1 2 8 9 6
6 8 7 5 0 2 1
20 14 18 11 22 22 24 11 20 18
Пазл 14
1 9 8 4 3 6
9 0 6 2 3 4
7 4 8 3 9 0 5
7 4 8 6 1
16 22 21 19 18 20 11 19 14 20
Пазл 15
7 2 3 4 5 9
4 5 1 6 8 3
2 7 8 5 1 4
4 2 7 5 3 0
18 14 9 23 22 25 28 22 12 7
Решения
Решения головоломки с суммирующей таблицей не всегда уникаль-
ны. Ваши ответы могут отличаться от предоставленных. Иногда две
пары чисел в четырех ячейках сетки взаимозаменяемы.
Решение пазла Zehnergitter из начала главы:
2 4 5 7 1 8 6 3 9 0
8 5 7 0 1 6 4 3 2 9
3 5 7 0 9 6 4 2 1 8
7 9 1 8 4 6 3 0 2 5
20 23 20 15 15 26 17 8 14 22
Пазл 1
Пазл 2
5 1 2 3 11
4 6 5 1 16
1 2 3 6 12
2 5 6 4 17
3 4 1 2 10
6 3 4 5 18
4 1 5 2 12
6 2 1 3 12
3 6 2 1 12
1 4 6 5 16
2 5 3 4 14
5 3 4 6 18
Пазл 3 Пазл 4
6 2 3 5 16
5 1 2 4 12
3 4 5 2 14
2 6 1 3 12
4 5 6 1 16
1 3 4 6 14
4 3 5 6 1 .8
1 4 3 5 1 .3
2 6 1 4 1 .3
6 1 4 2 1 .3
5 2 6 3 1 .6
3 5 2 1 1 .1
Пазл 5 Пазл 6
5 3 2 1 L1
4 2 1 5 L2
6 1 5 3 L5
1 5 6 4 L6
3 6 4 2 L5
2 4 3 6 1 L5
3 4 6 1 14
2 5 1 4 12
6 2 3 5 16
4 1 5 2 12
6 4 3 18
1 3 2 6 12
Пазл 7
Пазл 8
1 5 3 6 15
2 4 1 5 12
5 3 4 2 14
4 1 6 3 14
6 2 5 4 17
3 6 2 1 12
4 3 2 5 14
5 4 3 2 14
3 1 6 4 14
1 6 5 3 15
2 5 1 6 14
6 2 4 1 13
Пазл 9
Пазл 10
3 5 7 1 2 4 22
2 8 3 4 7 5 29
1 3 4 6 8 7 29
8 2 6 3 4 1 24
6 4 5 2 1 3 21
5 1 8 7 6 2 29
7 6 1 5 3 8 30
4 7 2 8 5 6 32
6 1 7 2 9 3 28
8 5 4 7 2 1 27
2 8 5 3 4 7 29
1 6 3 8 5 4 27
9 2 1 6 8 5 31
4 7 2 5 6 9 33
7 4 9 1 3 2 26
3 9 8 4 1 6 31
5 3 6 9 7 8 38
Пазл 11
6 7 1 2 3 4 9 8 5 0
3 1 9 7 0 4 8 6 2 5
1 7 8 5 2 4 3 9 6 0
2 1 8 3 4 0 7 9 5 6
12 16 26 17 9 12 27 32 18 11
Пазл 12
2 4 3 1 7 5 0 8 9 6
9 1 4 7 2 3 6 0 8 5
6 2 0 9 8 1 3 5 4 7
7 2 9 6 1 3 0 8 4 5
24 9 16 23 18 12 9 21 25 23
Пазл 13 2 0 7 4 3 6 5 1 9 8
4 8 7 0 9 1 5 6 3 2
5 Ъ 0 1 2 8 9 4 6 7
9 3 4 6 8 7 5 0 2 1
20 14 18 11 22 22 24 11 20 18
Пазл 14 1 7 9 8 4 3 0 5 6 2
8 9 1 5 0 6 2 3 7 4
7 1 4 2 6 8 3 9 0 5
0 5 7 4 8 3 6 2 1 9
16 22 21 19 18 20 11 19 14 20
Пазл 15 7 2 0 3 6 4 5 9 8 1
4 9 7 5 1 6 8 3 0 2
3 2 0 9 7 6 8 5 1 4
4 1 2 6 8 9 7 5 3 0
18 14 9 23 22 25 28 22 12 7
Головоломка 3
Блуждающие цифры
5920 + 894 = 146 614
Как играть
Цифра сошла со своего обычного места, возможно, на-
мереваясь начать новую жизнь, полную приключений.
Теперь она находится в уравнении не на своем месте.
Это грустно и печально, уравнение нарушено. Помогите
идентифицировать ее и вернуть ее домой, чтобы испра-
вить уравнение и снова сделать цифру счастливой.
Чтобы получить дополнительную информацию об
этой головоломке и ее решении, переверните страницу.
Когда вы будете готовы к новым пазлам, подобным это-
му, см. раздел «Получите удовольствие от новых голово-
ломок».
Об этой головоломке
Представьте себе, если хотите, число с беспокойными цифрами.
Иногда одна из них срывается со своего места в уравнении и обо-
сновывается где-то в новом месте. Это повод для разгадки быстрой
и веселой маленькой головоломки.
Рассмотрим пример такого пазла. Странная сумма говорит о том,
что что то пошло не так. В этОхМ уравнении вы ожидаете увидеть
сумму ближе к 6000, чем к 146 000. Причина, конечно, в блуждающей
цифре. Одна из цифр этого уравнения убежала со своего правильно-
го места и засела где-то в другом месте.
Так что же сломалось? Ответ очевиден сразу? Baivi предстоит спа-
сти положение, решить уравнение и вернуть блуждающую цифру
домой, на свое место.
Решение примера
В этом примере уравнение нарушила цифра 6 в правой его части.
Возврат ее на свое место исправляет уравнение.
5920 + 894= 146 614
5920 + 8694 = 14 614
С такими пазлами надо начинать работать справа налево. Пока
суммы и цифры остаются верными, исключаем их из рассмотрения.
Например, последние цифры чисел уравнения 0 и 4. В сумме полу-
чается 4. Верно. Далее, 2 плюс 9 равно 11. Тоже верно, с переносом 1.
59@)+ 8@)= 146 6@
Далее, 9 плюс 8 равно 17. Если взять 1, это в сумме даст 18. Эта ча-
стичная сумма определенно не оканчивается на 6, даже если вы при-
щуритесь. Судя по величине, второе число, скорее всего, потеряло
свою цифру. Именно здесь вам следует подумать о вставке текущей
цифры из шестизначной суммы. Третья справа кажется подходящей.
5(9)20 +(8)94 = 146(6)14
Перемещение 6 из суммы во второе число меняет текущее урав-
нение с 9 плюс 8 на 9 плюс 6 или 15. Добавьте перенос, и вы получите
16 - совпало. Пазл решен.
5920 + 894 = 146 614
Загадки с блуждающими цифрами становятся сложнее, если коли-
чество цифр не меняется. В этом примере по величине можно было
определить, что цифру нужно переместить во второе число. Если ко-
личество цифр не меняется, используйте математические операции
справа налево и сравните сумму или разность. Решить, какую циф-
ру переместить, становится немного сложнее. Будем надеяться, что
пазл по-прежнему будет таким же увлекательным.
Далее вы найдете головоломки, над которыми стоит поработать.
Ответы следуют за пазлами.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-24
Пазл 1: Пазл 2:
716 - 5905 = 16 263. 3863 - 5655 = -2470.
Пазл 3: Пазл 4:
65 408 + 2525 = 971. 7440 + 2869 = 7539.
Пазл 5: Пазл 6:
490- 37 264= -1274. 356 + 6706 = 101 462.
Пазл 7: Пазл 8:
558 + 73 953 = 11 471. 57 442 + 4129 = 1171.
Пазл 9: Пазл 10:
862 + 3875 = 142 517. 3568 - 57 745 = -217.
Пазл 11: 3735 - 386 = -7141. Пазл 12: 5893 -901 = 9942.
Пазл 13: Пазл 14:
22 059 - 89 755 =-76 696. 39 324 + 35 375 = 72 899
Пазл 15: Пазл 16:
11 505 -43 875 =-62 880. 69 411 + 8787 = 6 138 198.
Пазл 17: Пазл 18:
636 611 - 52 115 = 1149. 234 760 + 145 964 = 419 424.
Пазл 19: Пазл 20:
770 064-491 942 = 278 698. 280 004 - 402 466 = -212 462.
Пазл 21: Пазл 22:
115 991 -421 052 =-301 461. 136 901 + 140 476 = 277 737.
Пазл 23: Пазл 24:
41 111 - 74 464 = 3 367 077. 79 685 - 368 592 = 4 123 093.
Решения
Пазл 1: 7166 - 5903 = 1263.
Пазл 2: 3863 - 6333 = -2470,
Пазл 3: 6548 + 2523 = 9071.
Пазл 4: 4470 + 2869 = 7339.
Пазл 5: 2490- 3764 = -1274.
Пазл 6: 3456+ 6706 = 10 162
Пазл 7: 3538 + 7933 = 11 471.
Пазл 8: 7442 + 4129 = 11 571.
Пазл 9: 8642 + 3875 = 12 517.
Пазл 10: 3568 - 5745 = -2177.
Пазл 11: 3735 - 3876 = -141.
Пазл 12: 5893 -4901 = 992.
Пазл 13: 22 059 - 89 755 = -67 696.
Пазл 14: 39 324 + 33 575 = 72 899.
Пазл 15: 11 505 - 74 385 = -62 880.
Пазл 16: 69 411 + 68 787= 138 198.
Пазл 17: 63 611 - 52 115 = 11 496
Пазл 18: 273 460 + 145 964 = 419 424.
Пазл 19: 770 640-491 942 = 278 698.
Пазл 20: 280 004-402 466 = -122 462.
Пазл 21: 119 591 -421 052 = -301 461.
Пазл 22: 136 901 + 140 476 = 277 377.
Пазл 23: 411 171 - 74 464 = 336 707.
Пазл 24: 791 685 - 368 592 = 423 093.
Головоломка 4
Как играть
Поместите числа от 1 до 4 в белые ячейки головоломки.
Число может появляться только один раз в любой строке
или столбце. Серая рамка, окружающая таблицу (игро-
вую доску), содержит подсказки. Подсказка показывает
ближайшее число в своей строке или столбце. Но есть
один нюанс. Пропуск, записанный как тире (-), перено-
сит подсказку через поле, и она относится уже к следу-
ющему числу. В этой головоломке один пропуск появля-
ется в каждой строке и столбце.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим пазлам, подобным этому, см.
раздел «Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Пропуски - это замечательные головоломки, которые принадлежат
к семейству судоку. Как и в судоку, в строке или столбце может по-
являться только одно число из набора чисел. Тем не менее голово-
ломки с пропусками проще, чем судоку, и их легче решать. В них
используется меньше чисел, а вокруг каждой игровой доски есть
подсказки, помогающие вам заполнять клетки. У них также есть за-
мечательная особенность пропуска.
В игре вам дается диапазон чисел, например от 1 до 5, и доска.
Каждый пазл также включает один или несколько пропусков, пока-
занных как тире (-). Пропуски следуют тем же ограничениям, что и
числа. Если в головоломке используются два пропуска, каждый стол-
бец и строка содержат ровно два пропуска.
Вот типичный пазл с пропусками. На этой доске используются
числа от 1 до 3 плюс два пропуска для каждой строки и столбца. Не-
которые числа и пропуски предварительно заполнены. Я называю
это подсказками. Они уменьшают количество вариантов для строк
и столбцов вокруг них. Серые подсказки появляются по бокам. Под-
сказки сообшают вам о близлежащих числах. Вы решаете задачу, за-
полняя пустые клетки.
Это тот же самый пазл с решенной таблицей. Я заполнила все под-
сказки около серых краев, чтобы показать, как работает эта необыч-
ная функция головоломки.
В пазлах с пропусками подсказки описывают ближайшее число
вдоль столбца или строки. «Ближайший» не всегда означает ближай-
ший пустой квадрат. Это потому, что подсказки проходят через про-
пуски (-) квадратов, чтобы достичь первого числа. Это делает голо-
воломку более сложной, потому что подсказки не просто сообщают
вам ответ. Они дают направление и значение, но ничего больше.
Вам решать, находится ли ближайшее число прямо рядом с под-
сказкой или отделено одним или несколькими пропусками. На-
пример, подсказки слева для второй и третьей строк - 2. Во второй
строке 2 находится в третьем столбце, в третьей строке - в первом.
Подсказка второй строки подразумевает двойной пропуск до числа.
Осмотрите доску. Вы увидите примеры без пропусков, с одним про-
пуском и двойными пропусками, как эта двойка во второй строке.
Пропуск представляет собой сердце этой головоломки. Это то, что
делает эти пазлы такими интересными. Вы не всегда можете быть
уверены, где именно приземлится эта подсказка. Так что используй-
те свой мозг, чтобы понять это! Подсказки, разбросанные по цен-
тральной части доски, дают вам направление для поиска решений.
Решение примера
Вот ответ на головоломку в начале главы и пошаговое руководство,
объясняющее шаги для достижения ее решения. Решив пазл, вы мо-
жете заметить, что не было никакой двусмысленности. Это было
сделано намеренно. Не все головоломки с пропуском настолько по-
нятны. По мере того как они становятся больше и с меньшим коли-
чеством подсказок и ключей их сложность растет.
Поиск РЕШЕНИЯ
Начните решение с поиска самых простых ответов. Легкое число в
пустом квадрате - такое, которое вы можете определить без дву-
смысленности, однозначно. Подсказки и ключи на доске помогают
вам. Они ограничивают возможности для других квадратов, поэто-
му вы можете напрямую вывести значения. После завершения лег-
ких побед используйте логику, чтобы подумать о других оставшихся
квадратах.
Вот как я решала эту головоломку.
О Второй ряд начинается с пробела и пропуска. Подсказка гово-
рит 2, поэтому первое число также должно быть 2. Головолом-
ки более чем с одним пропуском не будут такими простыми.
О Размещение этой двойки означает, что число над ней должно
быть 4. Эта информация взята из подсказки верхнего столбца
один.
О Теперь в обеих строках заполнено четыре элемента. Исклю-
чение их из набора (1, 2, 3, 4, -) оставляет только одну воз-
можность. Единственное число, оставшееся для строки один,
должно быть 3, а для строки два - 4. Введите значения в стол-
бец пять.
О Вам не обязательно это делать, но я заполняю подсказки, а
также числа сетки. Это кажется более понятным и закончен-
ным. Левая подсказка строки один - 4, а строки три - 1. Правая
подсказка строки два - 4.
О Первое число в пятой строке должно быть 1. Две подсказки и
эти 3 не дают другого выбора.
О Остается 4 для пятой строки, столбца четыре, как оставшийся
вариант. Если вы заполняете подсказки, добавьте и их.
□ Теперь достаточно информации, чтобы завершить подсказки
в нижней строке: 1, 3, 2,4,1.
□ Посмотрите на пятый столбец. Все значения там, кроме стро-
ки три. Введите 2.
О Завершите четвертый ряд. Числа от 1 до 4 уже используются,
поэтохму пропущенное значение - это пропуск (-) в третьем
столбце.
О Завершите головоломку, добавив 3 в строку три - столбец че-
тыре.
На этом вы завершили головоломку. Этот пазл продемонстриро-
вал использование подсказок, ключей и пропусков. Многие голово-
ломки с пропуском более сложные. В них хменыне подсказок, и их
решения не всегда единственные.
Предыстория
Впервые я обнаружила понятие «подсказка и пропуск» в головолом-
ке из одной из видеоигр моей дочери. Потом я видела похожие го-
ловоломки в сети. Они используют маленькие доски и один пропуск.
При разработке головоломок для себя я обнаружила, что предпочи-
таю гораздо большие доски, такие как 8*8. Я придумала дополни-
тельные пропуски, чтобы добавить еще один уровень сложности.
Головоломки, которые я составляю для себя, как правило, большие
и запутанные.
Головоломки с пропусками - одно из моих любимых занятий, на
которые я трачу время. Эта книга содержит смесь быстрых головоло-
мок и более длинных игр. Большая их часть попадает в последнюю
категорию. Выбирая пазлы для этой главы, я решила кроме несколь-
ких коротких и простых дать и более сложные.
Решения не всегда единственные. Нередко четыре квадрата в
двух рядах (например, 2,4 и 4, 2) взаимозаменяемы. В больших паз-
лах это случается чаще.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-12
Далее следует набор головоломок с пропусками. В каждой из них
вы ищете решения, размещая цифры и пропуски. Каждая строка и
столбец имеют ровно по одному экземпляру каждого числа плюс
указанное количество пропусков. Подсказки по бокам показывают
ближайшее число. Они проходят через пропуски, чтобы добраться
до этого числа. Используйте логику и смекалку, чтобы заполнить
сетку7 и решить каждую игру.
Пазл 1.
Заполните доску циф-
рами от 1 до 3 и одним
знаком пропуска (-).
о 2 1 о
1 2 -
2 - 1 1
3 3 2
- 3
о 2 3 о
Пазл 2.
Используйте цифры от 1 до 3 и знак пропуска (-), чтобы заполнить эту доску. о 1 1 2 о
2 2
2
2 3 1 1
1 — 2 3 3
о 2 3 о
Пазл 5.
Решите эту голово-
ломку, используя цифры
от 1 до 4 и знак пропу-
ска (-).
о 2 о
1 4 2 3
3 - 3 1
4 —
2 4 3 1 1
3 1 -
о 3 1 4 о
Пазл 4.
Заполните эту доску,
используя цифры от 1
до 4 и знак пропуска (-)
о 4 3 1 3 о
4 4 3 1 — 2
2 3 1
3 2 4
3
— 3 2 4
о 1 3 2 о
Пазл 5.
Решите эту голово-
ломку с пропуском, ис-
пользуя цифры от 1 до
3 и два пропуска (-).
о 1 1 о
— — 2 3
1 — 3 3
1 — - 2 2
3
— 3 2 — 1
о 3 1 о
Пазл 6. В этой головоломке ис- пользуйте цифры от 1 до 4 и два знака пропу- ска (-). О 2 1 4 1 о
2 3 1 1
2 1 4
4 3
3 1 4 2
1 1 4 3 —
1 — 2 — 3
о 4 1 2 3 3 о
Пазл 7. Решите эту голово- ломку с цифрами от 1 до 4 и двумн знаками пропуска (-).
о 3 2 о
4 — 1 3
2 — 4 1 — 1
1 1 3 — -
1 — 1 2 3 —
— -
3 — 2 - 4
О 3 1 о
Пазл 8.
Используйте цифры
от 1 до 4 и два знака
пропуска (-), чтобы ре-
шить эту головоломку.
О 1 2 1 О
3 2 - — 4
4 — 4 3 1
1 3 — 4 —
2 — 4 4
4 1 2
2 1 3
О 4 4 1 ом о
Пазл 9.
Заполните доску, ис-
пользуя цифры от 1 до
5 и один пропуск (-).
о 1 4 2 3 5 о
1 - см 5 5
см 4
1 3 2 4
4 — 5 1 2
2 2 5 4 1 1
2 3 см
О 1 4 2 4 5 3 о
Пазл 10.
Введите цифры от 1
до 5 и один пропуск (-)
в сетку, чтобы решить
эту головоломку.
О 2 4 3 4 5 О
3 1 5 5
— 4 1
— 4 3 2
2 СМ
1 — 5 3
1 2 - 4 4
о 3 2 5 О
Пазл 11.
Заполните эту доску,
используя цифры от 1
до 6 и два пропуска (-).
о 4 5 2 3 6 6 <>
1 4 2 3 —
5 4 — 4
5 — 1 4 3
2 4 — 5 1
— 4 6 2
- см 6 4 1 1
6 6 4
4 2
О 4 1 3 6 2 О
Пазл 12.
Используйте цифры
от 1 до 6 и два знака
пропуска (-), чтобы ре-
шить эту головоломку
Решения
Вот решения для каждой из головоломок. Не забывайте: некоторые
решения не являются единственными, поэтому ваши ответы могут
отличаться от моих.
Пазл 1
Пазл 2
Пазл 3 Пазл 4
Пазл 5 Пазл 6
Пазл 7 Пазл 8
Пазл 9 Пазл 10
Пазл 11 Пазл 12
Головоломка 5
Сбалансированные группы
О нет! Наши хорошо сгруппированные числа случайно попали в
функцию сортировки. Разделите их обратно на пять групп с равны-
ми суммами, чтобы мы могли справедливо разделить их с друзьями:
1,3, 3,4,4,4,4,6, 7, 8,9, 11,17, 23, 24 и 27.
Как играть
Разделите числа в головоломке на группы с равной сум-
мой.
Правила:
• разделите числа на пять групп;
• сбалансируйте суммы так, чтобы ни в одной группе
они не были слишком большими или слишком ма-
ленькими;
• сумма в каждой группе чисел одинакова.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим пазлам, см. раздел «Получите
удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Эта головоломка - отличное времяпровождение. Вам дан список от-
сортированных по величине чисел. Некоторые из них большие, дру-
гие маленькие. Разделите их так, чтобы они поместились в группы
равной суммы. Сумма каждой группы должна быть одинакова. Вам
может потребоваться перемещать числа между наборами, пока все
группы не будут иметь одинаковую сумму. Это забавная маленькая
математическая головоломка, решение которой не займет много
времени и в которой есть некоторая изюминка, она вам понравится.
Решение примера
Сложите все числа предоставленного вам ряда. Их сумма составля-
ет 155. Разделив это на пять групп, получаем целевое значение 31 на
каждую группу. Теперь вы готовы приступить к работе.
Сумма: 31
Если какие-либо числа слишком велики для объединения, и их
сложение приведет к сумме, превышающей целевую, разместите их
Единственное число, которое будет сочетаться с 27, - это 4. 24 -
это разница между 31 и 7. Вам нужно добавить (3,4) или (6,1) к груп-
пе. Решения не являются уникальными, поэтому’ подойдет любое из
них. Аналогично для 23 нужно (8), (7,1) или (4, 4).
Сумма: 31 27 4 24 3 4 23 4 4 17
После чернового решения наступает самое интересное. Переби-
райте оставшиеся числа, пока ваши суммы не станут правильными.
Это не займет много времени. Как только вы решите все группы,
кроме одной, считайте, головоломка уже решена - у вас не осталось
вариантов, все однозначно. Заполните ее оставшимися числами.
Сумма: 31 27 4 24 3 4 23 4 4 17 16 7 3 8 9 11
Предыстория
Этот пазл пришел ко мне прямо из моей аспирантуры. Это была за-
дача на курсе алгоритмов, где вы изучаете, как вычислять ответы
на поставленную задачу. Каждый метод может занять больше или
меньше времени. Они также требуют разных вычислительных ре-
сурсов компьютера. Это важные уроки, которые нужно усвоить пе-
ред работой программистом. Классические задачи, подобные этим,
помогают студентам понять, как сделать программы более эффек-
тивными. Они также интересны сами по себе.
Я видела похожие головоломки в книгах, газетах и журналах со
хмножеством приложенных историй. Некоторые истории-голово-
ломки заставляют вас делить деньги внутри группы. Вы ограничены
счетами и монетами на руках. В других есть ценные минералы или
продукты, которыми можно поделиться. Вы не можете разделить
предметы (например, нельзя разрезать кокосы), но раздел должен
быть справедливым для всех. Под историями скрываются голово-
ломки для заполнения группы, такие как в этой главе.
Мне нравятся эти головоломки. Они берут что-то неструктуриро-
ванное и упаковывают в аккуратные маленькие пачки. Это так при-
ятно.
Вы готовы поработать над головоломками с ведрами? Перевер-
ните страницу, чтобы начать. Я в одном месте немного усложнила,
не сказав вам, сколько должно быть групп, но это должно быть не
слишком сложно определить... Развлекайтесь!
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-8
Пазл 1.
Разделите эти числа на три
группы с равными суммами:
3.11,21,26,36,44.
Пазл 2.
Разделите эти числа на три
группы с равными суммами:
2,3,3,6,7,9,10,11,13,17.
Пазл 3.
Разделите эти числа на не-
сколько групп с равными сум-
мами:
4,4,13,15,17,19, 30.
Пазл 7.
Разделите эти числа на не-
сколько групп с равными сум-
мами:
4, 6, 6, 11, 11, 14, 16, 17, 20,
23,27,29,31.
Пазл 8.
Разделите эти числа на три
группы с равными суммами:
13,16,18,18,22,25,49,61
Решения
Головоломки со сбалансированными группами могут иметь не-
сколько решений. Вот ответы на каждую задачу, которые могут со-
впадать или не совпадать с вашими ответами.
Пазл 1
Пазл 2
Сумма 47 11, 36 3,44 21,26
Сумма: 27 3,7,17 2,6,9,10 3,11,13
Пазл 3 Пазл 4
4,13,17 15,19 4, 30
Сумма: 37 3, 5,12,17 9,11,17 2,5,15.15 1,15, 21
Пазл 5 Пазл 6
Сумма 39 1X28 3.8,14,14 4.7,9,19
Сумма: 50 7,15, 28 21,29 3, 9 12, 26 2,15,16,17
Пазл 7 Пазл 8
Сумма: 43 4,11,11,17 16,27 6,6,31 14,29 20,23
Сумма: 74 25. ч9 13,61 16,18,18 22
Головоломка 6
Цель: 84.
Значения: [44,40,16, 24].
Как играть
Каждая сторона этого треугольника имеет одинаковую
сумму. Вставьте четыре числа так, чтобы каждая сторо-
на треугольника дала в сумме 84.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к большему количеству головоломок,
подобных этой, см. раздел «Получите удовольствие от
новых головоломок».
Об этой головоломке
Магические треугольники - это числа, выложенные в форме пери-
метра треугольника. Сумма каждой из сторон треугольника оди-
накова. Это равенство делает треугольник «магическим». В пазлах
с волшебными треугольниками некоторые значения опущены или
намеренно размещены неправильно. Вам нужно определить, куда
поместить числа, чтобы они образовали одинаковые суммы на раз-
ных сторонах треугольника и треугольник остался магическим.
Решение примера
Давайте решим такой треугольник. В нижнем ряду уже есть два чис-
ла, поэтому закончите этот ряд. Вычитая их сумму (12 + 28 = 40) из
цели 84, получим 44. Вы можете вычеркивать числа по мере их ис-
пользования.
Вторая строка сложнее. Не осталось простой математики, только
логика. Посмотрите на оставшиеся числа. Два значения довольно
близки к тем, что в нижних углах: 40 и 44,24 и 28. Переверните их на
противоположную сторону и добавьте. Балансировка сторон - всег-
да хорошая стратегия, которую стоит попробовать.
Закончите с последним числом 16 и проверьте свои суммы. Сум-
ма каждой стороны должна быть одинаковой. Если нет, вернитесь и
внесите изменения.
Этот пазл простой. В нем всего шесть чисел, и вы знаете все не-
достающие значения и магическую сумму. Головоломки могут ис-
пользовать больший треугольник, неизвестную сумму или недоста-
ющие или неправильно расположенные числа. Уменьшенная версия
головоломок с магическими треугольниками напоминает закутку на
один укус. Более сложные головоломки могут быть настоящим обе-
дом.
Интересные факты
Один магический треугольник предоставляет бесконечное количе-
ство своих вариаций. Вы можете складывать, вычитать, умножать
или делить числа, не нарушая симметрию. Вы можете вращать и
зеркально отображать, как вам нравится.
Попробуйте сами. Все исходные числа кратны 4. Деление на 4
создает еще один магический треугольник. Новое магическое чис-
ло-цель - 21, что равно 84, деленным на 4.
Следующий треугольник вычитает числа образца головоломки
из 45 (45 на единицу больше, чем самое большое число в оригинале).
После вычитания это все еще магический треугольник. Новое маги-
ческое число равно 51.
Любая математика, которая сохраняет симметрию в значениях
треугольника, также сохраняет «магию» в треугольнике. Отлично!
Другие фигуры
Любой многоугольник, будь то квадрат, пятиугольник, шестиуголь-
ник и т. д., может быть магическим. Возможности магического мно-
гоугольника бесконечны, с таким количеством сторон и чисел на
стороне, как вЭхМ захочется. Например, следующий магический вось-
миугольник содержит группы из трех чисел на восьми сторонах. Его
магическое число равно 79.
Вы также не ограничены тремя или четырьмя значениями на сто-
рону. Включите столько элементов, сколько захотите (или сколько
позволяет ваша программа для рисования). Посмотрите, например,
на этот следующий квадрат. Его периметр включает девять значе-
ний на каждой из его четырех сторон. Его магическое число - 369. Я
не думаю, что это был бы очень хороший пазл с таким количеством
чисел, но, как и восьмиугольник, это красивая вещь, на которую
приятно смотреть.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-16
Попробуйте решить головоломки с магическими треугольниками.
Я собрала для вас три вида головоломок:
О маленькие треугольники, как тот, который вы уже видели;
О большие треугольники с четырьмя числами на каждой стороне;
О смешанные треугольники, в которых два числа поменяны ме-
стами.
Пазл 1.
Введите недостающие значе-
ния так, чтобы суммы каждой
из сторон треугольника были
равны.
Цель: 60.
Значения: [19,17,24.20].
Пазл 2.
Введите недостающие значе-
ния так, чтобы суммы каждой
из сторон треугольника были
равны.
Цель: 83.
Значения: [29,30,24,31].
Пазл 3.
Введите недостающие значе-
ния так, чтобы суммы каждой
из сторон треугольника были
равны.
Цель: 47.
Значения: [14,17,13,18].
Пазл 4.
Введите недостающие значе-
ния так, чтобы суммы каждой
из сторон треугольника были
равны.
55
49
Цель: 162.
Значения: [64, 52,46, 61].
Пазл 5.
Два значения в этом магиче-
ском треугольнике поменяли
местами. Верните их в исход-
ные положения, чтобы суммы
каждой из сторон треугольни-
ка были равны.
Пазл 6.
Два значения в этом магиче-
ском треугольнике поменяли
местами. Верните их в исход-
ные позиции, чтобы суммы ка-
ждой из сторон треугольника
были равны.
Пазл 7.
Два значения в этом магиче-
ском треугольнике поменяли
местами. Верните их в исход-
ные положения, чтобы суммы
каждой из сторон треугольни-
ка были равны.
Пазл 8.
Два значения в этом магиче-
ском треугольнике поменяли
местами. Верните их в исход-
ные положения, чтобы суммы
каждой из сторон треугольни-
ка были равны.
Пазл 9.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки, что-
бы суммы каждой из сторон
треугольника были равны.
Цель: 164.
Значения: [38,42, 37, 40, 39,43].
Пазл 10.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки, что-
бы суммы каждой из сторон
треугольника были равны
Цель: 31.
Значения: [5,10,6,7, 3,8].
Пазл 11.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки, что-
бы суммы каждой из сторон
треугольника были равны
Целы 102
Значения: [19.27, 29.23, 2 5, 31].
Пазл 12.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки так,
чтобы суммы каждой из сто-
рон треугольника были равны.
Цель: 148.
Значения: [41, 37, 34,39, 35,40].
Пазл 13.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки так,
чтобы суммы каждой из сто-
рон треугольника были равны.
Цель: 84.
Значения: [34,22,18, 26,10].
Пазл 14.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки так,
чтобы суммы каждой из сто-
рон треугольника были равны.
Цель: 146
Значения: [36,42, 34,28,40].
Пазл 15.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки так,
чтобы суммы каждой из сто-
рон треугольника были равны.
Цель: 98
Значения: [21, 33,27,25,19,29].
Пазл 16.
Введите недостающие значе-
ния в ячейки головоломки так,
чтобы суммы каждой из сто-
рон треугольника были равны.
Цель: 141.
Значения: [33,32,31,38,35].
Решения
Ваши ответы могут немного отличаться от этих. Это нормально.
Если ваши суммы магических треугольников верны, вы правильно
решили головоломку.
Пазл 1 Пазл 2
Пазл 3
Пазл 4
Пазл 9 Пазл 10
Пазл 11 Пазл 12
Пазл 13 Пазл 14
Пазл 15 Пазл 16
Головоломка 7
Магические квадраты
22
16 24
Как играть
В магическом квадрате каждая строка, столбец и каж-
дая длинная диагональ в сумме дают одно и то же чис-
ло. Чтобы решить эту головоломку, введите значения в
пустые места. Магическое число для этой головоломки,
сумма в каждом направлении, составляет 54.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим пазлам, подобным этому, см.
раздел «Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Магический квадрат - это таблица чисел, строки, столбцы и длин-
ные диагонали которой в сумме дают определенное число. Напри-
мер, основная сумма этого магического квадрата (называемая его
магической константой) равна 15.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Сложите каждую строку, столбец и длинную диагональ этой та-
блицы. Убедитесь, что независимо от направления сумма остает-
ся 15. Эти суммы по всем многочисленным направлениям добавля-
ют сложности магическим квадратам. Сравните их с многоугольни-
ками, которые вы видели в головоломке 6, «Магические треуголь-
ники». 'Гам суммы были ограничены числами вдоль сторон каждой
фигуры. Здесь суммы вписываются в два направления, а не только в
граничные линии. Поддержание этих сумм последовательными, не-
зависимо от размера квадрата, является как вызовом, так и красотой
того, что делает эти квадраты магическими.
В правильном магическом квадрате нет повторяющихся чисел.
Его порядок относится к размеру квадрата вдоль любой стороны.
Этот пример - магический квадрат порядка 3. Магические квадраты
могут быть практически любого размера.
Числа в этом примере идут от 1 до 9. Вы можете заменить эти
числа любой последовательностью чисел (например, 4, 5, 6, ...) или
аддитивной последовательностью чисел (например, 4, 6, 8,...). Пока
вы сохраняете тот же порядок чисел, квадрат остается магическим.
Например, вот тот же квадрат с числами от 578 до 586. Если у вас есть
калькулятор под рукой, можете подтвердить, что магическая кон-
станта этого квадрата равна 1746.
581 586 579
580 582 584
585 578 583
Следующая таблица 4*4 содержит числа 2,4,6,8 и т. д. до 32. Одна-
ко это не магический квадрат. Все строки и столбцы в сумме дают 68,
но его длинные диагонали - нет (48 и 56). Чтобы создать этот почти
магический пример, я «разрушила» существующий магический ква-
драт. Я переместила то, что сейчас является строкой два, вверх из
нижней строки правильного магического квадрата. Это сохранило
все горизонтальные и вертикальные суммы, но я разрушила диаго-
нали.
Если бы я отразила или повернула магический квадрат, магия бы
осталась. Так же было бы, если бы я добавила число к каждой записи
или умножила его на константу. Магические квадраты суперкрутые,
но они не неразрушимы. Когда я сломала симметрию, я разрушила
магию. Сильные правила магических квадратов делают их забав-
ным началом для головоломок. Как вы видели, вам нужно следить за
близкими промахами. Всегда проверяйте все направления, прежде
чем закончить свои решения.
Решение примера
В этом примере дано, что магическая константа равна 54. В третьей
строке уже есть два числа. Используйте вычитание
(54-(16+ 24)= 14),
чтобы определить значение пустой ячейки. Любая строка, столбец
или длинная диагональ со всеми числами, кроме одного, может про-
двинуть вас на следующий шаг. Введите 14 в центральный квадрат
нижней строки. Это разблокирует средний столбец.
22
16 14 24
Завершите средний столбец. Сложите 22 и 14 (получится 36) и
вычтите 36 из 54 (получаем 18). Введите 18 в средний квадрат.
22
18
16 14 24
Далее, закончите диагонали.
54-(24 + 18)= 12.
54-(16+ 18) = 20.
Введите эти числа.
22
18
16 14 24
Завершите два левых и правых столбца.
54-(12 + 16) = 26.
54 - (20 + 24) = 10.
12 22 20
26 18 10
16 14 24
Проверьте свое решение, сложив каждую строку, столбец и длин-
ную диагональ. Каждое направление должно давать в сумме 54.
О Верхняя диагональ: 12 + 18 + 24.
О Нижняя диагональ: 16 + 18 + 20.
О Первая строка: 12 + 22 г 20.
О Вторая строка: 26+18 + 10.
О Третья строка: 16 + 14 + 24.
О Первая колонка: 12 + 26 + 16.
О Вторая колонка: 22 + 18+14.
О Третья колонка: 20+ 10 + 24.
Существует восемь различных способов получить 54 с помощью
магического квадрата 3*3! По мере увеличения размера каждого
магического квадрата растет и количество сумм. Например, маги-
ческий квадрат 4*4 имеет десять сумм, количество его строк (4), его
столбцов (4) и длинных диагоналей (2).
Предыстория
Магические квадраты существуют уже давно. Имеются археологи-
ческие свидетельства их использования в Китае* около четырех ты-
сяч лет назад. Магические квадраты также были найдены в Древней
Индии, Европе и Аравии - квадраты древности, сосредоточенные на
простых последовательностях, например числах от 1 до 9 или от 1
до 16. Есть что-то радостное и - да -магическое в том, чтобы урав-
новесить числа, сохранив при этом их идентичность.
Статья «Википедии»1 2 о магических квадратах содержит множе-
ство фактов по этой теме, а также помещает их в легенды, историю
и популярное искусство. «Радость математики» Т. Паппаса также
является отличным источником для того, чтобы узнать о них боль-
ше.
Магические квадраты занимают особое место в моем сердце.
Я использовала их в одной из работ по обработке изображений мно-
го лет назад для своей первой опубликованной статьи. Возвращение
к магическим квадратам и использование их в качестве основы для
разработки головоломок стало неожиданным удовольствием.
Магические квадраты похожи на магические многоугольники,
о которых вы читали в предыдущей главе. Магические квадраты
не теряют своих особых качеств, если вы их зеркально отражаете
или вращаете. Вы можете умножать и делить каждое значение на
то же число или смешать их значения, и они остаются магически-
ми. Это еще одна очаровательная вещь в этих чудесных числовых
узорах.
1 https .//www.theguardion.com/science/alexs-aciventures-in-numberland/2G14/nov/04/mo-
caus-magic-square- stamps-just-made-philately-eyen-more-nerdy.
2 https://en.wikipedia.org/vviki/Mcigic_square.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-16
Проверьте себя с помощью следующих головоломок с магическими
квадратами, используя несколько стилей головоломок. Они будут
становиться все сложнее по мере того, как вы будете продолжать.
Завершите эти магические квадраты. Введите каждое значение
в одну из пустых ячеек. Горизонтальные, вертикальные и длинные
диагональные суммы являются магической константой справа от
каждой сетки.
Пазл 1
Числа: [11,15,19, 23,25, 27]
Пазл 2
Числа: [22,24, 32, 34, 36, 38].
Пазл 3
Числа: [16,18,20,22, 28].
Пазл 4
25
13 34 19
Числа: [10,16,22,28, 31].
Заполните эти магические квадраты. Используйте числа в табли-
це как подсказки для решения каждой головоломки.
Пазл 5
18 10
8 16 24
14
Пазл 6
Пазл 7
25 16
34 49
43
61 19 52
Пазл 8
31 46 34 67
61 40
64
55 43 58
Наши магические квадраты испортились, и два числа случайно
поменялись местами. Помогите исправить квадраты, вернув сме-
щенные числа на их правильные позиции!
Пазл 9
19 39 41 13
29 25 23 35
17 33 31 27
43 15 21 37
Пазл 10
33 12 27
18 30 24
21 36 15
Пазл 11
Пазл 12
33 37 29 39
43 25 15 19
41 27 35 17
21 31 23 45
Заполните эти магические квадраты. Введите каждое число из
списка в пустую ячейку.
Пазл 13
21 54 57
63 36
39
30 33 66
Числа: [24,27,42,45,48,51,60].
Пазл 14
16 28 26
24 30
34 8
Числа: [10,12,14,18, 20,22, 32, 36,38],
Пазл 15
Числа: [18.20, 22, 26,28, 34,40.42,44].
Пазл 16
Числа: [10,16, 20, 22,24, 26, 34, 38, 42,44,46, 54, 58].
Решения
Хотя ваши ответы, вероятно, совпадают с моими, такие вещи, как
симметрия, могут допускать небольшие изменения, которые также
являются правильными.
Пазл 1
Пазл 2
17 15 25
27 19 11
13 23 21
36 22 32
26 30 34
28 38 24
Пазл 3 Пазл 4
26 16 30
28 24 20
18 32 22
34 24 26
28 22 16
13 34 19
Пазл 5
Пазл 6
18 20 10
8 16 24
22 12 14
34 24 26
20 28 36
30 32 22
Пазл 7 Пазл 8
25 55 58 16
40 34 31 49
28 46 43 37
61 19 22 52
31 46 34 67
61 40 52 25
64 37 49 28
22 55 43 58
Пазл 9 Пазл 10
19 39 41 13
29 25 23 35
21 33 31 27
43 15 17 37
33 12 27
18 24 30
21 36 15
Пазл 11 Пазл 12
20 35 32
41 29 17
26 23 38
15 37 29 39
43 25 33 19
41 27 35 17
21 31 23 45
Пазл 13
Пазл 14
21 54 42 57
63 36 48 27
60 39 51 24
30 45 33 66
38 10 12 32
16 28 26 22
24 20 18 30
14 34 36 8
Пазл 15
Пазл 16
20 40 42 14
30 26 24 36
22 34 32 28
44 16 18 38
30 28 16 54 42
44 32 20 18 56
58 46 34 22 10
12 50 48 36 24
26 14 52 40 38
Головоломка 8
Таблицы с группами
Как играть
Впишите число в каждое поле. Каждое чисто - это раз-
мер группы ячеек. Например, число 3 означает, что три
ячейки соединяются вместе вдоль плоских краев, обра-
зуя группу. При построении групп диагонали не учиты-
ваются.
Группы одинакового размера никогда не должны со-
прикасаться вдоль плоских краев. Если группа из 2 каса-
ется другой группы из 2 таким образом, она становится
группой из 4.
По мере заполнения головоломки может быть полез-
но обвести каждую группу линиями. Это поможет вам
лучше увидеть каждую группу.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим пазлам, подобным этому, см.
раздел «Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Достаньте карандаш. Пришло время сыграть в головоломку в стиле
игровой доски. Групповые таблицы - это головоломки, состоящие
из чисел и пустых мест в двумерной матрице. Вы пишете числа в
каждом пустом месте. Подсказки разбросаны по всему полю голово-
ломки, чтобы помочь вам. Повторим правила:
О каждое число показывает размер группы клеток. Число 3 оз-
начает, что три клетки соединяются вместе, образуя группу;
О группы соединяются по сторонам, но не по диагоналям;
О группы одинакового размера никогда не соприкасаются.
Решение примера
Работая над этими пазлами, ищите небольшие группы с небольшим
выбором. Например, обратите внимание на 3 справа. Единственный
способ двигаться - вверх. После этого вы не можете двигаться по ди-
агоналям, поэтому единственный выбор для группы из 3 клеток -
прямо вверх, создавая небольшую линию.
Теперь рассмотрим шестерки. Они по всей доске, так что, веро-
ятно, их не одна группа. Скорее всего, то, как расположены шестер-
ки, означает, что будут две отдельные группы, которые не могут со-
прикасаться. Шестерка на полпути вниз во втором столбце может
принадлежать к верхней или нижней группе. Также похоже, что есть
одна группа из четверок и одна из пятерок.
Большинство головоломок имеют более одного решения. Если вы
сдвинете 4 влево, то верхние левые 6 должны будут заполнить пер-
вый ряд. Если вы сдвинете 4 вверх, то 6 втиснется в пробелы рядом
с 4. Выбирайте, как вам нравится.
Пятерки могут заполнить только оставшиеся первые два столбца.
Это оставляет все остальное как 6. Пазл решен.
Теперь, когда доска заполнена, посмотрите на группы из 4 и 6
в верхней половине. Обратите внимание на это: вы не можете пере-
вернуть 6 в правом верхнем углу, когда 4 находится в центре. Если
бы вы это сделали, две группы из 6 соединились бы. Это дает группу
из 12, а не две группы по 6. Следите за тем, чтобы группы с одина-
ковым количеством не соприкасались. (Однако вы можете перевер-
нуть эту 6 с 4 во втором ряду.)
Это был небольшой пазл, всего 5*5. По мере увеличения разме-
ра групповые головоломки становятся более сложными с большим
количеством вариантов действий, и вам может потребоваться вер-
нуться назад. Маленькие головоломки решаются быстрее, в то время
как большие намного сложнее и интереснее.
Мне нравится удовлетворение от раздумий над этими пазлами.
Я заполняю пробелы, где, как я знаю, должны быть определенные
числа, а затем сосредотачиваюсь на «что, если». Я считаю, что это
помогает работать от краев, двигаясь внутрь. Так вы не окажетесь с
бесхозными пробелами, которые не можете заполнить.
Предыстория
Эти головоломки начались с моей работы по созданию игровых
карт. Удивительно сложно заполнять пробелы интересными форма-
ми. Вам нужно больше, чем квадраты, и вы не хотите, чтобы первые
несколько форм заняли все пространство.
Я обнаружила, что создала гораздо более красивые карты с не-
большими группами, отличающимися от их соседей. То же самое
применялось, когда я делала карты все меньше и меньше. Вот откуда
появилось правило «не касаться» для этих головоломок.
Для тех из вас, кто интересуется такими вещами, вот небольшая
предыстория. Чтобы сделать каждую головоломку, я выбираю слу-
чайную точку и втискиваю каждую новую группу в свою сетку, как в
глазурь. По мере этой «инъекции» я выбираю случайные ребра для
роста. Я также бросаю кубик D20 для числа от 1 до 20. Кубики D201
используются в ролевых играх. Они обеспечивают большее разно-
образие выпавших чисел, чем шестигранные кубики. Если выпав-
шее число больше 15, я останавливаюсь. Это позволяет мне строить
группы разных размеров, одну за другой. Это ключ к данной голо-
воломке. Стишком много групп одного размера не делают хорошие
головоломки или хорошие карты.
Я также проверяю, чтобы каждая новая группа соответствовала
моим правилам. Касается ли она другой группы того же размера?
Для карт, где это важно, достаточно ли она компактна? Если группа
не проходит мои тесты, я стираю ее и пробую снова.
Эти головоломки пользуются определенной популярностью.
Я видела головоломки с заполнением в интернете и журналах. Попу-
лярные версии похожих игр появляются под названиями Fillomino
и Allied Occupation. Правила различаются. Некоторые фокусируют-
ся на границах, разделяющих каждую группу. Некоторые сообщают
вам площадь группы, но ограничивают вас работой с прямоуголь-
1 httpsy/en.wikipedia.org/\viki/D20_System.
никами. Другие не позволяют группам соприкасаться независимо
от размера. Вместо этого вы должны оставлять пространство между
ними на карте.
Я предпочитаю свой стиль, которым я делюсь с вами в этой гла-
ве. Эти головоломки быстро решать, но они все равно создают про-
блему. Я предпочитаю разрабатывать головоломки, которые проще,
чем, скажем, кроссворды или судоку размером 9*9. Они требуют
меньше времени, но все равно дают чувство умственного удовлет-
ворения.
Я думаю, что то, что делает групповые головоломки с таблицами
хорошими, - это баланс. Хорошие пазлы имеют достаточно правил,
чтобы вы могли их решить, но достаточно мало подсказок, чтобы
они продолжали оставаться интересными.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-8
Теперь, когда вы увидели, как работают пазлы с группами, попро-
буйте их сами. Они варьируются от маленьких и простых до боль-
ших и более сложных.
Ключ к ответам следует за пазлами.
Решения
Вот ответы на головоломки этой главы. Групповые головоломки
иногда могут иметь более одного решения.
Пазл 1 Пазл 2
Пазл 3
Пазл 4
Пазл 5 Пазл 6
Пазл 7 Пазл 8
Головоломка 9
Ведра с водой
Вам дано ведро на 5 л, ведро на 8 л и неограниченный источник
воды. Начиная с пустых ведер, отмерьте ровно 2 л воды.
Как играть
Используя ведра и водопровод, отмерьте определенное
количество воды.
Выберите одно из трех действий для каждого шага:
• наполните одно ведро водой доверху;
• вылейте все ведро на землю;
• перелейте одно ведро в другое, пока приемное ве-
дро не заполнится. После того как другое ведро за-
полнится, в сливном ведре может остаться вода.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим подобным пазлам, см. раздел
«Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Головоломки с ведрами для воды - это классическая математичес-
кая задача. Вам даются два ведра и неограниченный запас воды. Вы
должны выяснить, как получить заданное количество воды. Это ве-
село, но никогда не бывает так просто, как лишь наполнить одно или
другое ведро.
Используйте математические и дедуктивные навыки, чтобы най-
ти решение. Ключи - планирование, вычитание и пустые простран-
ства. Эти головоломки сложные, но увлекательные. По мере роста
объемов контейнеров вам нужно будет снова и снова использовать
пустое пространство и воду все более затейливыми способами.
Можете ли вы вычислить все необходимые количества, просто на-
ливая и заполняя ведра водой? Да, и ответы несложные. Выяснение
этих шагов - вот где все веселье.
Например, предположим, что одно ведро вмещает 5 л, а другое - 7.
Вы можете наполнить большее ведро и использовать его для напол-
нения хменьшего. Это оставит ровно 2 л в большем 7-литровом ведре.
Такая последовательность поможет ва.м двигаться к своей цели.
Решение примера
Вот способ, как отмерить 2 л с помощью 5-литрового и 8-литрово-
го ведер. Существует множество решений для каждой головолом-
ки. Лучшие ответы подразумевают наименьшее количество шагов.
Стремитесь к таким коротким решениЯхМ с меньшим количеством
работы.
Начните с пустого 5-литрового
и 8-литрового ведер.
Эти действия оставляют 2 л
в 5-литровом ведре. Отложите
8-литровое ведро. Имеем 2 л
в 5-литровом ведре.
Головоломка решена.
Как вы можете видеть из этого примера, нужно использовать и
думать об отрицательном объеме. После первого наливания в 8-лит-
ровом ведре остается 3 л пустого пространства. Это пространство
позволяет вам разделить содержимое полного 5-литрового ведра
на 3 и 2.
В этих пазлах вам не нужны никакие инструменты, кроме ваших
ведер или других емкостей. Вам никогда не придется делать ника -
кие действия и отмеривания, кроме наполнения и опорожнения.
Знание того, что «восемь минус пять равно трем» и «пять минус три
равно двум», дает вам всю необходимую математику.
Ведра с водой, состояние и математика
Все головоломки с заполнением вращаются вокруг размеров двух
емкостей. Это потому, что существует множество неразрешимых
сценариев головоломок. Например, если у вас есть 6-литровая банка
и 4-литровая банка, можете ли вы отмерить ровно 1 л? Ответ - нет,
но почему?
Головоломки с ведрами и водой основаны на наибольшем общем
знаменателе (НОД) емкостей. НОД - это наибольшее целое число,
на которое можно разделить любую пару из двух чисел. Это опре-
деляет наименьшую единицу, которую вы можете выделить. Для
6 и 4 НОД равен 2. С 6-литровым и 4-литровым ведрами вы можете
отмерить 2,4,6,8 и 10 л, но не 1. Вы найдете решение головоломки с
емкостями на 7 и 9 единиц (где НОД равен 1), но редко с 6 и 8 едини-
цами (НОД 2) или 6 и 9 единицами (НОД 3), потому что цель всегда
должна быть кратной НОД.
Вот еще одна вещь, о которой стоит подумать. Решения голово-
ломок с заполнением водой никогда не являются уникальными.
В любой момент решения вы можете переливать воду туда и обрат-
но, снова и снова. Это означает, что всегда существует бесконечное
количество возможных решений. Некоторые из них просто глупые.
Для получения лучших решений старайтесь обойтись без возвраще-
ний назад.
Все решения имеют простую математическую основу. С двумя ем-
костями и тремя правилами существует фиксированное количество
состояний. Состояние показывает значения головоломки по мере ее
решения. Для головоломок с заполнением водой ее состоянием яв-
ляется количество в каждом ведре в любой момент времени.
Например, если 6-литровое ведро содержит 4 л, а 4-литровое пус-
то, состоянием будет (4, 0). Порядок указывает, на то, какое это из
ведер (соответствует его объему), а числа указывают, сколько литров
воды содержится в каждом ведре. (Я поставила 6-литровое состоя-
ние первым, чтобы упростить рисование будущих диаграмм. Поря-
док не имеет значения. Просто будьте последовательны.)
Движение от начального состояния (пазл) к конечному (решение)
описывает шаги переливания и наполнения. Если хотите, вы можете
вычислить все возможные ходы и все распределения воды: все воз-
можные пути и все возможные состояния, которые существуют.
Я рассмотрю пример этого в следующем разделе, в котором есть
немного спойлеров.
Графы состояний
Один из способов показать состояния головоломки - нарисовать граф.
Д1Я головоломок с водой в двух ведрах хорошо подходит сетка. У меня
она наклонная, это сделано для красоты, но обычная миллиметровая
бумага тоже подойдет. Пары чисел по краям представляют состояния.
Это диаграмма состояний для головоломки на ведра 6 и 4 л.
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4 0) (5.0) (6,0)
На отметке каждого состояния в скобках указаны два числа. Пер-
вое число - содержимое 6-литрового ведра, второе - 4-литрового.
Начальная точка - состояние (0,0) в левом нижнем углу. Это означа-
ет два пустых ведра.
Для перемещения по этому графу есть два правила:
О нужно совершить полный переход от одного до другого узла
графа. Вы не можете остановиться на полпути. Это соответст-
вует опорожнению или наполнению ведра;
О не возвращайтесь. После того как вы сделали переход (запол-
нили линию), не повторяйте его. Решение уже есть на графе.
Вы можете пойти другим путем из любого достигнутого узла.
Эго другой выбор: наполнить или опорожнить ведро или пе-
релить одно ведро в другое.
Позвольте мне разобраться с этим вместе с вами, чтобы показать,
почему некоторые состояния недостижимы. Если вы заполните
4-литровое ведро, то окажетесь в верхнем левом углу, 6-литровое -
в нижнем правом углу. Оттуда вы можете:
О наполнить 6-литровое ведро из 4 (0,4) —► (4, 0);
О наполнить 4-литровое ведро из 6-литрового, оставив 2 л
в 6-литровом (6, 0) —» (2, 4);
О наполнить другое ведро, чтобы оба были полными (6,0) —► (6,4)
или (0,4) —> (6,4).
Есаи вместо этого вы опорожните любое из ведер, вы вернетесь
в нижний левый угол (0, 0). Это нарушает правило два. Я выделила
строки для каждого действия и обвела посещенные состояния.
Следуя этим двум правилам, вы можете переходить из одного со-
стояния в другое. Скоро вы завершите проход графа. Теперь вы мо-
жете лучше увидеть проблему, используя два ведра с одинаковыми
объемами:
Этот граф пройден. Вы никогда не посещали состояния с нечет-
ным числом. Эти состояния недостижимы с помощью этой пары ве-
дер. Для сравнения рассмотрим пазл 6 из этой главы. (Это спойлер.)
Условия пазла 6 гласят' «У вас есть ведро на 4 л и ведро на 7 л,
а также неограниченное количество воды. Отмерьте 9 л воды».
С НОД 1 она разрешима для любого значения от 1 до 11. Число 7 (л)
появляется первым в каждом состоянии. Это делает граф большим в
ширину, чем в высоту, что экономит печатную площадь книги - вы-
сокие изображения занимают слишком много вертикального про-
странства.
Для 9 л в общей сложности есть два возможных состояния реше-
ния: (5, 4) и (7, 2). Ключ к ответу использует состояние (5, 4), как и
этот граф. Он точно отражает шаги для этого решения.
(0.0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5.0) (6.0) (7,0)
Решение.
О Начните с пустого ведра на 4 л и пустого ведра на 7 л (0,0).
О Заполните ведро на 4 л (0,4).
О Вылейте всю воду из ведра на 4 л в ведро на 7 л (4, 0).
О Заполните ведро на 4 л (4,4).
О Вылейте 5 л из ведра на 4 л, чтобы заполнить ведро на 7 л.
В ведре на 4 л останется 1 л (7,1).
О Опорожните ведро на 7 л (0,1).
О В ведре на 4 л содержится 1 л. Вылейте ведро на 4 л в ведро
на 7 л (1,0).
О Зап олните ведро на 4 л (1,4).
О Вылейте всю воду из ведра на 4 л в ведро на 7 л. Семилитровое
ведро теперь содержит 5 л (5, 0).
О Заполните 4-литровое ведро (5,4).
Если вы хотите достичь состояния (7, 2), заполните 7-литровое ве-
дро из 4-литрового. Это оставит 2 л в 4-литровом ведре. В отличие
от состояния (6,4) продолжайте двигаться по графу, и вы в конечном
итоге достигнете каждого состояния.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-15
Вот несколько головолохмок, которые предлагают вам отмерить нуж-
ное количество воды. Они начинаются с простых, а затем усложня-
ются.
Пазл 1
Даны 5-литровое ведро, 8-лит-
ровое ведро и неограниченный
источник воды, отмерьте ров-
но Юл воды.
Пазл 2
Вам даны 4-литровое ведро,
9-литровое ведро и неограни-
ченный источник воды.
Отмерьте 1 л воды.
Пазл 3
У вас есть 4-литровое ведро,
9-литровое ведро и неограни-
ченный источник воды
Отмерьте ровно 10 л воды.
Пазл 4
Для 5-литрового и 7-литро-
вого ведра и неограниченно-
го источника воды отмерьте
ровно 4 л воды.
Пазл 5
Вам даны 4-литровая и 5-лит-
ровся банки и неограниченный
источник воды.
Отмерьте ровно 2 л воды.
Пазл 6
У вас есть 4-литровое ведро,
7-литровое ведро и неограни-
ченный источник воды.
Отмерьте ровно 9 л воды.
Пазл 7
Вам даны В-литровое и 8-лит-
ровое ведро и неограниченный
источник воды.
Отмерьте ровно 1 л воды.
Пазл 8
Для 3-литрового и 7-литро-
вого ведра и неограниченно-
го источника воды отмерьте
ровно 8 л воды.
Пазл 9
Вам даны 5-литровые и 9-лит-
ровые ведро и неограниченный
источник воды.
Отмерьте ровно 8 л воды.
Пазл 10
У вас есть одно ведро на 3 л
и одно ведро на 10 л плюс не-
ограниченное количество воды.
Отмерьте 11 л воды.
Пазл 11
С ведром но 5 л и ведром на 8 л
и неограниченным источником
воды отмерьте ровно 6 л воды.
Пазл 12
Вам даны емкости на 7 и на
Или неограниченный источ-
ник воды.
Отмерьте ровно 1 л воды.
Пазл 13
Используйте емкости на 8 и
15 л и неограниченное коли-
чество воды, чтобы отмерить
2 л воды
Пазл 14
С помощью емкостей на 7 и
на 15 л и неограниченного ко-
личества воды отмерьте ров-
но 18 л воды.
Пазл 15
Вам даны емкость на 7 л и ем-
кость на 15 л и неограничен-
ный источник воды.
Отмерьте ровно 12 л воды.
Решения
Здесь представлены решения для каждой задачи с ведром. Они мо-
гут не совпадать с вашими ответами, но они приводят к ответу про-
стым способом.
Пазл 1
Как отмерить 10 л с помощью 5-литрового и 8-литрового ведео.
• Начните с пустого 5-литрового ведра и пустого 8-литровогс ведра.
• Заполните 5-литровое ведро.
• Вылейте зсе 5-литрсвое ведро в 8-литрозое ведро
* Заполните 5-литровое ведро снова.
В двух ведрах имеем 19 л: 5 л в 5-литровом ведре и 5 в 8-литровом
ведре.
Пазл 2
Как отмерить 1 л с помощью 4-литрового и 9-литрового ведер.
• Начните с пустого 4-литрового и пустого 9-литрового ведра.
• Заполните 9-литровое ведро.
• Заполните 4-литроьое ведро, вылив 4 л из 9-литровиг о ведра,
оставив 5 л в 9-литровом ведре.
• Опорожните 4-литровое ведро.
• Заполните 4-литроьое ведро, вылив 4 л из 9-литрового ведра,
оставив 1 л в 9-литровом ведре.
Отложите 4-литровое ведро. В 9-литровом ведре у нас 1 л.
Пазл 3
Как отмерить 10 л с помощью 4-литрового и 9-литрового ведер.
• Начните с пустого 4-литрового ведра и пустого 9-литрового ведра.
• Заполните 9-литровое ведро.
• Вылейте 4 л из 9-литрового ведра, чтобы заполнить 4-литровое
ведро. Это оставит 5 л в 9-литровом ведре.
• Опорожните 4-литровое ведро.
• Заполните 4-литровое ведро, вылив 4 л из 9-литровою ведра.
В 9-литровом ведре останется 1 л.
• Опорожните 4-литроьое ведро.
• Б 9-лизровом ведре 1 л. Вылейте 9-лигровое ведро в 4-лигрозсе
ведро.
• Заполните 9-литровое ведро.
В двух ведрах содержится 10 л: 1 - в 4-литровом ведре и 9 - в
9-литровом ведре.
Пазл 4
Как отмерить 4 л с помощью 5-литрового и 7-литрового ведер,
• Начните с пустого 5-литрового и пустого 7-литрового ведра.
• Наполните 7-литровое ведро.
• Наполните 5-литровое ведро, вылив 5 л из 7-литрового ведра,
оставив 2 л в 7-литровом ведре.
• Опорожните 5-литровое ведро.
• В 7-литровом ведре 2 л. Вылейте 7-литровое ведро в 5-литровое
ведро.
• Наполните 7-литровое ведро.
• Наполните 5-литровое ведро, вылив 3 л из 7-литрового ведра,
оставив 4л в 7-литровом ведре.
Пазл 5
Как отмерить 2 л с помощью банок на 4 и на 5 л
• Начните с пустой банки на 4 л и пустой банки на 5 л.
• Наполните банку на 5 л.
• Наполните банку на 4 л, вылив 4 л из банки на 5 л, оставив 1 л l
банке на 5 л.
• Опорожните банку на 4 л.
• В банке на 5 л - 1 л. Вылейте банку на 5 л в банку на 4 л.
• Наполните банку на 5 л.
• Наполните банку на 4 л, вылив 3 л из банки на 5 л, оставив 2 л в
банке на 5 л.
Отставьте банку на 4 л. В 5-литровой банке - 2 л.
Пазл 6
Как отмерить 9 л с помощью 4-литрового и 7-литрс-вого ведер.
• Начните с пустого 4-литрового ведра и пустого 7-литрового ведра.
• Заполните 4-литровое ведро.
• Вылейте все 4-литровое ведро в 7-литрс-вое ведре..
• Заполните 4-литровое ведро.
• Наполните 7-литровое ведро 3 л из 4-литрового ведра, оставив 1 л
в 4-литровом ведре.
• Опорожните 7-литровое ведро
• В 4-литровом ведре сейчас 1 л Опорожните 4-литровое ведро
в 7-литровое ведро.
• Заполните 4-литровое ведро.
• Вылейте все 4-литровое ведро в 7-литровое ведро. Теперь 7-лит-
ровое ведро содержит 5 л
• Заполните 4-литровое ведро.
Пазл 7
Как отмерить 1 л с помощью 3-литрового и 8-литрового ведер.
• Начните с пустого 3-литрового и пустого 8-литрового ведра.
• Наполните 3-литровое ведро.
• Вылейте все 3-литровое ведро в 8-литровое ведро.
• Наполните 3-литровое ведро.
• Вылейте все 3-литровое ведро в 8-литрсвое ведро Теперь
8-литровое ведро содержит 6 л.
• Наполните 3-литровое ведро.
• Наполните 8-литровое ведро, вылив 2 л из 3-литрового ведра,
оставив 1 л в 3-литровом ведре.
Отложите 8-литрсвое ведре- В ведре на 3 л у вас 1 л.
Пазл 8
Как отмерить 8 л с помощью 3-литрового и 7-литрового ведер.
• Начните с пустого 3-литрового и пустого 7-литрового ведра.
• Наполните 7-литровое ведро.
* Наполните 3-литровое ведро, вылив 3 л из 7-литрового ведра,
оставив 4л в 7-литровом ведре.
• Опорожните 3-литровое ведро.
• Наполните 3-литровое ^едро, вылив 3 л из 7-литровоп- ведра,
оставив 1 л в 7-литровом ведре.
• Опорожните 3-литровое ведре
• В 7-литровом с;едре 1 л. Вылейте 7-литровое ведро в 3-литровое
ведро.
• Наполните 7-литровое ведро.
Б двух ведрах 8 л: 1 л в 3-литровом ведре и 7 в 7-литрс bgm ведре.
Пазл 9
Как отмерить 8 л с помощью 5-литрового и 9-литрового ведер.
• Начните с пустых 5-литрового и 9-литрового ведер.
• Наполните 9-литровое ведро.
• Наполните 5-литровое ведро, вылив 5 л из 9-литрового ведра,
оставив 4 л в 9-литровом ведре.
• Опорожните 5-литровое ведро.
• В 9-литровом ведре 4 л. Вылейте 9-литровое ведро в 5-литровое
ведро.
• Наполните 9-литровое ведро.
• Наполните 5-литровое ведро, вылив 1 л из 9-литрового ведра,
оставив 8 л в 9-литровом ведре.
Отложите 5-литровие ведро В 9-литровом ведре у вас 8 л.
Пазл 10
Как отмерить 11 л с помощью ведра на 3 л и ведра на 10 л.
• Начните с пустого ведра на 3 л и пустого ведра на 10 л.
• Наполните ведре, на 10 л.
• Наполните ведро на 3 л, вылив 3 л из ведра на 10 л, оставив 7 л
в 10-литровом ведре
• Опорожните ведро на 3 л.
• Наполните ведро на 3 л, вылив 3 л из ведра на 10 л, оставив 4 л
в 10-литровом ведре.
• Опорожните ведро на 3 л.
• Наполните ведро на 3 л, вылив 3 л из ведра на 10 л, оставив 1 л
в 10-литровом ведре.
• Опорожните ведро на 3 л.
• В 10-литровом ведре 1 л. Вылейте содержимое ведра на 10 л
в ведро на 3 л.
• Наполните ведро на 10 л.
В двух ведрах 11 л: 1 л в 3-литровом ведре и 10 в ведре на 10 л.
Пазл 11
Как отмерить 6 л с помощью 5-литрового и 8-литрового ведер.
• Начните с пустых 5- и 8-литрового ведер.
• Заполните 8-литровое ведро.
• Заполните 5-литровое ведро, вылив 5 л из 8-литрового ведра,
оставив 3 л в 8-литровом ведре.
• Опорожните 5-литровое ведро.
• В 8-литровом ведре 3 л. Вылейте 8-литровое ведро в 5-литровое
ведро.
• Заполните 8-литровое ведро.
• Заполните 5-литровое ведро, вылив 2 л из 8-литрового ведра,
оставив 6 л в 8-литровом ведре.
Пазл 12
Как отмерить 1 л с помощью 7-литровой и 11-литровой емкостей.
• Начните с пустых 7- и 11-литровой емкостей.
• Наполните 11-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, вылив 7л из 11.-литровой емкости,
оставив 4л в 11-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• В 11-литровой емкости 4 л. Вылейте 11-литровую емкость в 7-лит-
ровую емкость.
• Наполните 11-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, вылив 3 л из 11-литровой емкос-
ти, оставив 8 л в И-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• Заполните 7-литровую емкость, вылив 7 л из 11-литровой емкости,
оставив 1 л в 11-литровой емкости.
Отложите 7-литровую емкость. В 11-литровой емкости у вас 1 л.
Пазл 13
Как отмерить 2 л с помощью 8-литровой и 15-литровой емкостей.
• Начните с пустой 8-литровой емкости и пустой 15-литровой емкос-
ти.
• Заполните 8-литровую емкость
• Вылейте всю 8-литровую емкость в 15-литровую.
• Заполните 8-литровую емкость
• Заполните 15-литровую емкость, вылив 7 л из 8-литровой емкости,
оставив 1 л в 8-литровой емкости
• Опорожните 15 литровую емкость.
• В 8-литро.вой емкости 1 л. Вылейте содержимое 8-литровой емкос-
ти в 15-литровую емкость.
• Наполните 8-литровую емкость.
• Вылейте все содержимое 8-литровой емкости в 15-литровую
емкость.Теперь 15-литровая емкость содержит 9 л.
• Наполните 8-литровую емкость.
• Наполните 15-литровую емкость, вылив 6 л из 8-литровой емкос-
ти, оставив 2 л в 8-литровой емкости.
Огложите 15-литровую емкость. В 8-литровой емкости у вас 2 л.
Пазл 14
Как отмерить 18 л с помощью 7-литровой и 15-литровой емкостей.
• Начните с пустых 7- и 15-литровой емкостей.
• Наполните 15-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, налив 7 л из 15-литровой емкости,
оставив 8 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, налив 7 л из 15-литровой емкости,
оставив 1 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• В 15-литровой емкости 1 л. Е^ылейте 15-литровую емкость в 7-лит-
ровую.
• Наполните 15-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, налив 6 л из 15-литровой емкости,
оставив 9 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• Наполните 7-лигрсвую емкость, налив 7 л из 15-литровой емкости,
оставив 2 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• b 15-литровой емкости 2 л. Вылейте 15-литровую емкость в 7-лит-
ровую.
• Наполните 15-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, налив 5 л из 15-литровой емкости,
оставив 10 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• Наполните 7-литровую емкость, налив 7 л из 15-литровой емкости,
оставив 3 л в 15-литровой емкости.
• Опорожните 7-литровую емкость.
• В 15-литровой емкости 3 л. Вылейте 15-литровую емкость в 7-лит-
ровую.
• Наполните 15-литровую емкость.
В двух ведрах 18 л: 3 л в 7-литровой емкости и 15 в 15-литрозой.
Пазл 15
Как отмерить 12 л с помощью 7-литровой и 15-литровой емкостей.
• Начните с пустых 7- и 15-литровой емкостей.
• Наполните 7-литровую емкость.
• Вылейте всю 7-литровую емкость в 15-литровую.
• Наполните 7-литровую емкость.
• Вылейте всю 7-литровую емкость в 15-литровую.Теперь в 15-лит-
ровой емкости 14 л,
• Наполните 7-литровую емкость
• Наполните 15-литровую емкость, отлив 1 л из 7-литровой емкости,
оставив 6 л в 7-литровой емкости.
• Опорожните 15-литровую емкость.
* В 7-литровой емкости 6 л. Опорожните 7-литровую емкость
в 15-литровую.
• Наполните 7-литровую емкость.
• Вылейте всю 7-литровую емкость в 15-литровую. Теперь
15-литровая емкость содержит 13 л.
• Наполните 7-литровую емкость
• Наполните 15-литровую емкость, вылив 2 л из 7-литровой емкос-
ти, оставив в 7-литоовой емкости 5 л.
• Опорожните 15-литровую емкость.
• В 7-литровой емкости 5 л. Опорожните 7-литровую емкость
в 15-литровую.
• Наполните 7-литровую емкость
В двух ведрах 12 л: 7 - в 7-литровой емкости и 5 - в 15-литровой.
Головоломка 10
Квадраты с суммами чисел
19 27
Как играть
Впишите цифры от 1 до 9 в пустые квадраты. Между
каждой группой из четырех цифр находится сумма. Че-
тыре цифры, окружающие эти числа, должны в сумме
давать именно это значение.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим пазлам, подобным этому, см.
раздел «Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
Квадраты с суммами чисел предлагают быструю и увлекательную
задачу. Вы вводите цифры от 1 до 9 в пустые квадраты на доске ЗхЗ.
Пазл показывает суммы для каждого угла доски. Разместите цифры
так, чтобы они соответствовали этим суммам. Это забавная смесь
математики и дедукции.
Используйте каждую цифру один раз, включая любые предвари-
тельно заполненные подсказки в начале головоломки. Учитывая че-
тыре подсказки, как в следующем примере, у вас остается пять цифр
для определения. Каждая сумма складывает четыре числа, которые
ее окружают. Завершенная головоломка означает, что каждый ква-
драт заполнен четырьмя правильными числами, соответствующи-
ми суммам.
Решение примера
С меньшим количеством подсказок головоломки становятся слож-
нее. В этой головоломке их четыре, что оставляет пять пустых мест
для заполнения. Помимо предварительно заполненных цифр, вы
должны поместить [2, 3,4, 5, б] в оставшиеся квадраты.
Чисто 27 в правом верхнем углу уже окружено тремя цифрами. Вы-
полните математические действия, вычитая сумму 8 + 9 + 7 (т. е. 24)
из 27. Это дает цифру 3 для ввода в верхний центральный квадрат.
19 27
Затем заполнение 3 подается в верхний левый набор чисел, 1,
3 и 7. Еще немного математики: 15 - (1 + 5 г 1) = 4. Введите 4 в ле-
вое среднее поле. Два числа вы использовали, и три осталось. Ваши
оставшиеся числа - [2, 5, 6].
Подсказка к сумме в правом нижнем углу - число 27. Вам нужно
еше 11, так как 27 - (7 + 9) равно 11. Это означает, что оставшееся
поле в левом нижнем углу должно быть 2. Двойку нельзя исполь-
зовать для получения 11, так как 9 уже используется. Используйте
5 и 6, чтобы получить 11. Введите 2 в это поле.
19 27
Решите сумму 19, введя 6 в нижнее среднее поле, так как это 19 -
(2 + 7 + 4). Получаем 5 в качестве последней цифры для ввода - и вы
завершили головоломку.
19 27
Разложение сумм на их компоненты является ключом к решению
головоломок с числовыми суммами. Этот совет применим незави-
симо от того, дано ли вам больше подсказок, как в этом примере,
или меньше, как в некоторых из следующих головоломок. Я предпо-
читаю более разреженные головоломки. Я думаю, что они немного
веселее и требуют большего напряжения.
При небольшом количестве подсказок для работы используйте
больше логики. Вы можете сделать больше предположений, и вЭхМ
может потребоваться вернуться назад несколько раз. Основная ма-
тематика та же. У вас всегда есть «столько-то осталось» в вашей сум-
хме, и вам нужно объединить цифры, чтобы получить целевое число.
Предыстория
Какое-то время я была под впечатлением, что эти головоломки были
придуманы мной. Как выяснилось, одно из правил головоломок
заключается в том, что кто-то обычно придумал их до вас. Когда я
писала эту книгу, я нашла короткую запись в «Википедии» о пазлах
Судзико1.
Судзико были разработаны Джаем Гомером из Kobayaashi Studios.
Макет не такой, как у меня, - головоломки Судзико используют смесь
квадратов и кругов, - но идея и правила кажутся идентичными. Со-
гласно статье их можно встретить в британских газетах. Возможно,
поэтому я с ними не сталкивалась. Я построила много головоломок
и была удивлена, обнаружив другие вариации моих пазлов.
1 https://en.wikipedia.oi g/wiki/Sujiko.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-16
На следующих нескольких страницах вы найдете головоломки, ко-
торые различаются по количеству подсказок и размеру. Наслаждай-
тесь ими! Ответы - в следующем разделе.
17 23
28 19
17 15
15 18
17 19
Ъ
Пазл 13
18 20
18 18
Пазл 16
16
23
20
18
Решения
Некоторые головоломки могут допускать несколько ответов, в
основном из-за отражения или поворота. Этот раздел, содержит
один ответ для каждой головоломки. Некоторые правильные ре-
шения могут не совсем соответствовать этому ключу ответа. Если
математика верна, поздравляем! Неважно, совпадают ли наши
ответы.
Пазл 1 Пазл 2
17 25 25 20
2 6 5 5 5 6
Пазл 3 Пазл 4
Пазл 5 Пазл 6
14 13 15 18
Пазл 7 Пазл 8
16 26 15 25
Пазл 9 Пазл 10
12 21 24 24
Пазл 11 Пазл 12
22 25 13 20
Пазл 13 Пазл 14
Пазл 15 Пазл 16
17 23 20 18
Головоломка 11
Математические спички
Как играть
Вот уравнение, составленное с помощью римских цифр
и спичек. Уравнение неверное. Исправьте его, переме-
стив всего одну спичку, не кладя палочку на знак равен-
ства, чтобы превратить его в верное неравенство, 0.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Когда
вы будете готовы к другим подобным пазлам, см. раздел
«Получите удовольствие от новых головоломок».
Об этой головоломке
В древние времена, когда я была хмаленькой, а по земле еще бродили
динозавры, детское меню и мелки были редкостью. Сидя в ресто-
ранах, мы играли со странными предметами, которые можно было
найти в таких местах. В основном это были палочки и подставки, а
также иногда долька лимона. Игры с долькой лимона заканчивались
плохо, часто из-за непрекращающейся травли моих сестер. Я избав-
лю вас от этих подробностей.
Сейчас так много подставок для ресторанов стали круглыми и
хлипкими. Они утратили архитектурные возможности построения
многоэтажных зданий, которые мы тщательно строили тогда. По-
скольку они были достаточно тяжелыми, с ними также можно было
играть в игру «тиддливинкс». Но вы, вероятно, не знаете, что такое
«тиддливинкс»1. Представьте себе эту игру без монет, красных ча-
шек и с гораздо более злыми родителями.
Что касается палочек, мы играли с их смесью. Мы использовали
деревянные спички, так как люди тогда курили. Даже в самолетах!
У нас были зубочистки, некоторые разукрашенные, некоторые нет,
некоторые с маленькими зонтиками. Флажки для стейков были пло-
скими, деревянными. Они давали людям понять, чей стейк Солсбе-
ри был «с кровью*, так как в то время мясо с кровью в ресторанах
было распространенныхМ блюдом.
Взрослые, желая без помех выпить, покурить и пообщаться, пыта-
лись заставить нас, детей, перестать быть детьми. Конечно, это было
невозможно, даже если вы были готовы сесть в тюрыму или достаточ-
но долго ждать ужина. Однако, будучи всегда полными надежд, они
иногда создавали маленькие головоломки из палочек. Некоторые го-
ловоломки требовали переставлять квадраты и треугольники. Другие
были словесными пазлами. В зависимости от того или иного взросло-
го, мы часто видели одни и те же головоломки снова и снова. Взамен
мы удивляли их своей хорошо отработанной «гениальностью».
Время от времени кто-нибудь из взрослых строил головоломку
со спичкахми в виде римских цифр. Вхместо того чтобы, например,
превратить четыре треугольника в шесть, можно было перехместить
одну спичку и исправить уравнение. Это было так весело. Я подсела
на них на всю жизнь.
Хотелось бы мне рассказать какую-нибудь историю о древних
играх со спичками. Как в подобные игры играли в средневековой
Японии. К сожалению, у меня ее нет. Во-первых, я не знаю, откуда
1 Русский вариант игры называется «Блошки». - Прим. ред.
взялись эти головоломки с палочками с исправлениями арифмети-
ки. Кроме того, я почти уверена, что римские цифры были хмалоиз-
вестными вне Европы. При подготовке этой книги я не смогла от-
следить их историю, поэтому я рассказываю вам о моих безумных
сестрах и зле, которое они совершили, положив конец миру, вместо
этого используя дольки лимона. Кажется, нет определенного «Ис-
кусства ри.мской математической головоломки со спичками», на
которое можно было бы сослаться. И все же я похмню, как играла
в игры со спичками с тех пор, как была маленькой. Они все еще
популярны.
Я играла в несколько вариантов этой игры. В некоторых нужно до-
бавить спичку, в других - убрать. В тех, которые мне нравятся боль-
ше всего, нужно переместить одну спичку, чтобы исправить невер-
ное уравнение. Ваша задача - исправить уравнение и восстановить
равенство с помощью этого единственного перемещения.
Решение примера
В этом примере уравнение неверное, потому что четыре минус два
равно двум, а не семи. Перемещение I из IV на знак минус решает
эту проблему. Теперь уравнение сбалансировано и правильно. Пять
плюс два - это действительно семь.
Решение головоломок
Существует множество головоломок с римскими цифрами. Измене-
ния ограничены: для каждого символа в вашем уравнении вы хможе-
те добавить или убрать спичку. Также вы можете переместить спич-
ку в новое положение или повернуть ее.
Таблица ниже показывает, как вы хМожете влиять на числа. Я соз-
дала эту таблицу, чтобы помочь себе разрабатывать свои головолом-
ки. Она не исчерпывающая, я остановилась на числе 20, что, как хмне
показалось, вполне хватает для моих нужд. Таблица показывает вам
все способы, которыми различные римские цифры соотносятся друг
с другом, предоставляя источник для головоломок в этой главе.
Скобки в таблице - это преобразования, которые немного сомни-
тельны. Может быть сложно превратить девятнадцать (XIX) в двад-
цать (XX). Это может оставить слишком много места между двумя X.
Изменение XVI на XIV требует места для этого дополнительного I.
При раскладке головоломок убедитесь, что пробелы допускают та-
кие перемещения.
В дополнение к числам есть три математических символа: плюс,
минус и равно. Все они могут трансформироваться друг в друга пу-
тем удаления, перемещения или добавления спички.
Символ Добавить Удалить Передвинуть Изменить
I П, + —
II III I +
III II
IV V VI IX
V IV, VI X
VI VII V IV XI
VII VIII VI XII
VIII VII XIII
IX X XI IV
X IX, XI V
XI XII X IX VI
XII XIII XI VII
XIII XII VIII
XIV (XV) (XVI) XIX
XV XVI, (XIV) (XIV) XX
XVI XVII XV (XIV) XXI
XVII XVIII XVI XXII
XVIII XVII XXIII
XIX (XX) (XXI) XIV
XX XXI (XIX) XV
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-28
Вы посмотрели пошаговое руководство и схему дизайна головоло-
мок. Вы готовы попробовать решить настоящие головоломки? При-
готовьтесь передвигать спички - но только по одной на пазл!
Пазл 3
Пазл 8
Пазл 9
Пазл 10
Пазл 16
VI+II
Пазл 17
Пазл 18
Пазл 19
Пазл 20
Пазл 21
VI- I
Пазл 22
Пазл 24
Пазл 25
Пазл 26
Пазл 27
Пазл 28
Решения
Многие из этих головоломок немеют несколько ответов. Вот как я их
придумала и решила. Ваш ответ может отличаться.
Пазл 1 Пазл 2
Оригинал: IX + V = III. Оригинал- X - V = X
Переместите вертикальную спичку в знаке +, поставьте ее после V Теперь уравнение выглядит так: Передвиньте / на самом правом X вправо, чтобы преобразовать X в V. Исправленное уравнение.
IX-VI = III. X - V = V.
Пазл Ъ Пазл 4
Оригинал: III - II = IV. Оригинал:У + II = XII.
Переместите самую правую спичку 1 из III на знак минус. Теперь уравнение выглядит так: Чтобы исправить это уравнение, преобразуйте X в V, переместив спичку\ влево’ V + II = VII.
11 + 11 = IV.
Пазл 5 Пазл 6
Оригинал: X - 1 = XI. Оригинал: XII + V = VI.
Переместите 1 из XI справа от уравнения в X слева. Уравнение теперь выглядит так: Переместите вертикальную спичку со знака плюс, изменив ее на знак минус. Добавьте эту спичку после VI, превратив
XI - 1 = X. шесть в семь XII - V = VII.
Пазл 7 Пазл 8
Оригинал: 11 + 1 = 1. Оригинал1 VI - IV = IX.
Переместите самую левую спичку 1 в правую часть уравнения: Переместите 1 е VI на знак минус, превратив его в плюс: V+ IV = IX.
I + I = II.
Пазл 9 Пазл 10
Оригинал: II + V = XII. Оригинал: V + 11 = IV.
Перетащите \ <- V на вторую спичку/, превратив V в X: Переместите вертикальную спичку в знаке плюс после
II + X = XII. первой V, чтобы получилось VI: VI - II = IV.
Пазл 11 Пазл 12
Оригинал: IV = IV - 1. Оригинал: XI - XX = IX.
Переместите 1 в первой IV на знак минус, чтобы получить сложение: Переместите верхнюю спичку со знака равенства в положение над знаком минус,
V = IV + 1. чтобы поменять местами два символа’
XI = XX- IX.
Пазл 13 Пазл 14
Оригинал: XIII = IV + IV. Оригинал: XII - V = II.
Переместите \ в любой IV, чтобы преобразовать V в X. Преобразуйте X в V, перетащив \ влево'
XIII = IX + IV. VII - V = II.
Пазл 15 Пазл 16
Оригинал: 1-111 = 11. Оригинал:^} + II = V
Переместите верхнюю спичку со знака равенства на знак минус. Это поменяет местами эти два символа: Переместите вертикаль со знака плюса и поставьте перед V, создав IV: VI - II = IV.
I = III - II.
Пазл 17 Пазл 18
Оригинал: VII + V = X. Оригинал: 1 X III = VII.
Переместите вторую 1 из VII в позицию после X Это единственный раз, когда я играла с X как
VI + V = XI. с символом умножения. Преобразуйте 1 в знак минус, повернув его вбок. Затем поместите его между Хи III, превратив X в десять. X- III = VII. Или переместите конечную 1 из VII к 1 в начале.
Пазл 19 Пазл 20
Оригинал: II + V = V. Оригинал: V = III - II.
Переместите 1 из II в позииию после конечной V: Переместите верхнюю спичку со знака равенства
1 + V = VI. на минус, поменяв два символа местами: V- III = II.
Пазл 21 Пазл 22
Оригинал' VI - 1 = VI. Оригинал: III + 1 = 1.
Переместите 1 из VI на знак минус, изменив его на плюс. Переместите вертикальную спичку с плюса в правую часть
V+ 1 =VI. уравнения III - 1 = II.
Пазл 23 Пазл 24
Оригинал' XX + 1 = XIX. Оригинал: IX + 1 = XII
Переместите 1 из XIX правее: Переместите самую
XX + 1 = XXI. правую 1 в XII в 1, получив два числа II и XI:
IX + II = XI.
Пазл 25 Пазл 26
Оригинал: XI - XX = IX. Оригинал: 1-11 = 11.
Переместите верхнюю спичку со знака равенства на знак минус, поменяв два символа местами: Переместите 1 из первого II на знак минус 1 + 1 = II
XI = XX-IX.
Пазл 27 Пазл 28
Оригинал: VIII + 1 = XI. Оригинал: XI + 1 = X
Переместите 1 в XI справа налево, получив IX: Переместите 1 в XI на X справа: Х + 1 = Х1.
VIII + I = IX.
Головоломка 12
Битовые головоломки
Как играть
Введите 1 или 0 в каждый пустой квадрат так, чтобы
сумма каждой группы из четырех квадратов была чис-
лом, показанным между ними.
Для получения дополнительной информации об этой
головоломке и ее решении переверните страницу. Ког-
да вы будете готовы к другим пазлам, подобным этому,
см. раздел «Получите удовольствие от новых головоло-
мок».
Об этой головоломке
Битовые головоломки просты, но я думаю, что они очень веселые.
Они названы в честь компьютерного бита, который может быть
только единицей или нулем. На доске есть серые подсказки и белые
квадраты. Введите 1 или 0 в каждый пустой квадрат, заполнив таб-
лицу.
Подсказка находится между каждой группой из четырех квадра-
тов. Она показывает сумму этих квадратов. Например, если подсказ-
ка - 2, то в двух квадратах есть 1, а в других - 0. Используйте логику
и математику, чтобы доискаться до скрытого шаблона и заполнить
каждый квадрат.
Решение примера
Как и в любой головоломке, ищите места, где вы можете взломать
эту' игровую доску. В этом примере есть предварительно заполнен-
ная 1 ячейка в верхнем левом углу. Это решает две суммы над ней.
Введите нули вокруг каждой суммы.
Заполнив их, вы можете решить сумму 2 в правом верхнем углу и
3 в середине. Введите недостающую 1, и доска приблизится к завер-
шению.
Теперь у вас есть информация, необходимая для заполнения до-
ски. Введите 0 в третьей строке и 0 и 1 в четвертой.
Это было быстрое решение. Доска была маленькой. Были предва-
рительно заполненные подсказки. Головоломки с битами становят-
ся сложнее но мере тою, как доска растет, а подсказок становится
меньше
Предыстория
На данный момент битовые головоломки - одно из моих любимых
занятий, чтобы убить время. Мне нравится их простота. Я нахожу
логические стратегии успокаиваюшими. Насколько мне известно,
эти головоломки оригинальны. Так что, вы знаете, все права защи-
щены и все такое. Похожие головоломки могут быть. Я их не видела,
но математика есть математика.
Как и название, я представляла себе головоломки как компьютер-
ные биты, единицы и нули, либо включенные, либо выключенные.
Мои предварительно заполненные подсказки либо заполнены чер-
ным, либо пусты. Это придает визуальный эффект стилю «включе-
но-выключено».
Вы найдете два варианта в следующих пазлах: суммы на сером
фоне, как в только что решенном примере, и подсказки, относящие-
ся к числу 2 в других пазлах. Суммы могут быть равны 2, превышать
2 (3 или 4) или быть меньше 2 (0 или 1). С немного меньшим количе-
ством информации они немного сложнее. Мне нравятся оба стиля.
Надеюсь, вам они понравятся тоже.
Как и в других главах, эти головоломки идут от простого к слож-
ному. Я предпочитаю большие доски с несколькими подсказками.
Я добавила пару больших головоломок в конец. Они быстрые и весе-
лые даже при их больших размерах.
Получите удовольствие от новых головоломок.
Пазлы 1-16.
В зависимости от конкретного случая ответы на головоломки не
всегда являются единственнььми.
Пазл 1
Пазл 2
=2 — =2 — <2 1
1 0
<2 <2 <2
— =2 — >2 — >2 —
Пазл 9
2 3 2 2
2 113
1
Пазл 12
3 2 2 2
4 3 2 2
Пазл 15
Пазл 16
О
3 2 2 1 2
2 3 2 0 2
2 3 3 1 1
3 2 2 1 2
1
Решения
Помните, что некоторые головоломки с битами имеют несколько
решений.
Пазл 1
Пазл 2
Пазл 3 Пазл 4
Пазл 5
Пазл 6
Пазл 7
Пазл 8
Пазл 9
Пазл 10
Пазл 11
Пазл 12
Пазл 13
Пазл 14
Пазл 15
Пазл 16
□ D ° □ И □
3 2 2 1 2
П Е П И Е П
2 3 2 0 2
И П П Е Е] П
2 3 3 1 1
Н Е П П Е Е
5 3 3 _ 1 1
D И Е Е П
3 2 2 1 2
П Е Е П Е И
Предметный указатель
Б
битовые головоломки 161,164
блуждающие цифры 45
В
ведра с водой 113
Г
головоломки с заполнением
водой 116
головоломки с пропусками 49, 50
головоломки с суммирующей
таблицей 38
графы состояний 117
К
квадраты с суммами чисел 133
комбинации чисел 13,14,16
кубик для ролевых игр D20 16
м
магические квадраты 87,93,94,
96, 98
магические многоугольники 75,92
магические треугольники 71
математические спички 147
н
НОД 116, 119
О
отрицательный объем 116
п
пазлы Судзико 136
С
сбалансированные группы 65
состояние 117
судоку 50,107
таблицы с группами 105
тиддливинкс 148
У
узел графа 118
Ф
факторы 17
ч
Числобус 31
А
Allied Occupation 106
F
Fillomino 106
К
Krypto 16
z
Zehnergitter 31,38
Книги издательства «ДМК Пресс» можно купить оптом и в розницу
на складе издательства по адресу:
г. Москва, ул. Электродная, д. 2, стр. 12, офис 7,
тел. +7 (499) 322-19-38,
а также заказать на сайте www.dmkpress.com
с доставкой в любой регион РФ.
Эрика Садун
Числовые головоломки
Тренируйте свой ум
Главный редактор
Зам. главного редактора
Мовчан Д. А.
Яценков В. С.
edilor@dmkpress.com
Перевод
Корректор
Верстка
Дизайн обложки
Люско И. Л.
Абросимова Л. А.
Паранская Н. В.
Мовчан А Г.
Формат 60х90 1/16.
Усл. печ. л. И.
Тираж 200 экз.
Ьеб-сайт издательства- www.dmkpress.com
В этой книге собраны короткие и увлекательные математические и ло-
гические головоломки разного уровня сложности. Одни пригодятся для
развлечения в обеденный перерыв, а другие потребуют от читателя
нестандартного мышления и внимательных рассуждений.
Каждая головоломка сопровождается пояснениями и интересными фак-
тами Основная цель этой книги - позабавить читателя и доставить ему
интеллектуальное удовольствие. Но даже за простыми математическими
развлечениями скрывается тренировка остроты ума и широты кругозора.
Основные темы:
• комбинации чисел;
• магические треугольники;
• магические квадраты;
• задачи со спичками.
Вы можете выполнять задания в качестве разминки перед началом рабо-
чего дня, во время перерыва на кофе или вечернего отдыха.
Все, что вам нужно, этологическое мышление, немного терпения и ясный ум.
jmatic
ookshell
WWW-ДМК.рф