/
Author: Сян У.И.
Tags: математика алгебра топология точные науки история естественные науки
Year: 1979
Text
у и сян
КОГОМОЛ ОГИ Ч ЕСК АЯ
ТЕОРИЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ-
ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Перевод с английского
Д. А. ЛЕЙТЕСА
под редакцией'v
А. Л. ОНИЩИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1979
Ergebnlsse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
Band 86
WU Yl HSIANQ
Department of Mathematics,
University of California, Berkeley
COHOMOLOGY THEORY
OF TOPOLOGICAL
TRANSFORMATION GROUPS
Springer- Verlag
Berlin Heidelberg New York 1975
УДК 519.4
Книга посвящена интенсивно развивающемуся направлению
математики, лежащему на границе топологии и алгебры — кого-
когомологическим методам теории компактных групп преобразований.
Это единственная в мировой литературе монография по данному
вопросу. Автором обнаружена аналогия между топологическими
действиями компактных групп Ли и их линейными представле-
представлениями, которая позволяет распространить методы теории линей-
линейных представлений на нелинейные. В качестве основного тополо-
топологического аппарата использована эквивариантная теория когомо-
логий, развитая А. Борелем.
Книга предназначена для математиков — алгебраистов и то-
топологов. Она заинтересует как специалистов, так и аспирантов и
студентов университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1975
All Rights Reserved
m ЛЛЛЛЛЛ Authorized translation from English language
1702030000 edition published by Springer-Verlag Berlin —
20203-009 Heidelberg — New York
041 @1)-79 © Перевод на русский язык, «Мир», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Представление о той роли, которую должны играть гомо-
гомологические методы в теории групп преобразований, возникло
среди топологов еще в 20-е годы нашего столетия в связи
с замечательными открытиями Брауэра и Лефшеца. Даль-
Дальнейшее развитие этой теории в 30—40-е годы привело, с од-
одной стороны, к работам Смита по периодическим преобра-
преобразованиям, а с другой — к классификации Самельсоном и
Монтгомери компактных групп, транзитивных на сферах. Од-
Однако гомологическая теория компактных групп преобразова-
преобразований смогла развиться в самостоятельную ветвь математики
только после того «извержения» гомологических (или, скорее,"
когомологических) идей и понятий, которое началось в конце
40-х годов после опубликования работ Лере и А. Картана о
спектральных последовательностях и пучках. Создателем тео-
теории следует считать А. Бореля, который разработал для
компактных групп преобразований адекватный когомологи-
когомологический аппарат, в результате чего, как это часто случается,
доказательства многих классических теорем приобрели ха-
характер тривиальных упражнений.
Предлагаемая книга является первой в мировой литера-
литературе монографией, посвященной когомологической теории
компактных групп преобразований. Аппарат, введенный
А. Борелем, и его приложения к изучению неподвижных точек
и орбит элементарных компактных групп Ли (т. е. торов и
р-торов) излагаются в ее 3-й и 4-й главах. Главы 5 и 6 посвя-
посвящены геометрической теории весов, наиболее существенный
вклад в которую внес автор книги. Исходным пунктом этой
теории является глубокое геометрическое переосмысление
классической теории весов линейных представлений, позво-
позволившее естественно обобщить ее (в когомологических терми-
терминах) на нелинейные действия компактных групп Ли. В гл. 7
весь этот арсенал используется для изучения действий (не
обязательно транзитивных) на некоторых классических одно-
однородных пространствах, таких, как многообразия Штифеля.
Заметим, что автор совершенно не касается приложений
к группам преобразований экстраординарных теорий гомоло-1
гий (бордизмов и К-теории). См. по этому поводу соответ-
соответственно [К 8] и [А 8].
6 Предисловие редактора перевода
Первые две главы книги содержат предварительный ма-
материал, изложенный в обзорном порядке. Сюда относятся:
геометрическая теория компактных групп преобразований
(существование срезов, теорема о главных орбитах и т. п.I),
теория компактных связных групп Ли и теория их линейных
представлений2). Заметим, что многие теоремы снабжены
здесь краткими и не всегда стандартными доказательствами.
Книга написана весьма сжато, что можно счесть ее до-
достоинством, поскольку автор сумел изложить большой и
сложный материал в сравнительно небольшом объеме и по-
поскольку идейная сторона дела, которую автор неустанно под-
подчеркивает, выступает тем самым на первый план. В то же
время эта сжатость может сильно затруднить чтение, осо-
особенно если учесть, что от читателя и без того требуется весь-
весьма солидная алгебраическая и топологическая подготовка
(включающая группы и алгебры Ли, расслоенные простран-
пространства, полиномиальные идеалы, спектральные последователь-
последовательности, а а последней главе — и квадраты Стинрода). Все же
мы уверены, что красота и изящество изложенной в^ книге
теории заставит читателя, преодолевшего все эти трудности,
забыть о затраченных им усилиях.
А. Л. Онищик
х) Подробное изложение геометрической теории компактных групп пре-
преобразований можно найти в книге [Б 23*]:
2) По поводу компактных групп и алгебр Ли и их линейных представ-
представлений см. [ПЗ], [Ж1], [A3*], [Д1].
ВВЕДЕНИЕ
Применения алгебраической топологии к изучению топо-
топологических групп преобразований начались исторически с
работы Брауэра по периодическим преобразованиям и с до-
доказанной чуть позже красивой теоремы Смита о неподвиж-
неподвижных точках отображений гомологических сфер с простым
периодом. Сравнивая теорему Смита о неподвижных точках
с ее предшественницами — теоремами Брауэра и Лефшеца,
мы видим, что по крайней мере в случае гомологических
сфер можно подняться от простых утверждений о суще-
существовании (или несуществовании) неподвижных точек до
действительного определения гомологического типа множе-
множества таких точек в предположении, что отображение имеет
простой период. Этот результат Смита ясно подсказывает
общее плодотворное направление изучения топологических
групп преобразований в рамках алгебраической топологии.
Естественно, что немедленно вслед за теоремой Смита о не-
неподвижных точках возникает задача ее обобщения как в на-
направлении замены гомологических сфер топологическими
пространствами более общего типа, так и в сторону замены
группы Ър более общими компактными группами. Аналогич-
Аналогичные теоремы о неподвижных точках для действий р-примар-
ных групп (или расширений торов при помощи р-примарных
групп) обычно без большого труда выводятся непосредствен-
непосредственно из соответствующих теорем для действий группы Zp. Од-
Однако разнообразные усилия расширить область действия та-
таких теорем о неподвижных точках за пределы р-примарных
групп (или расширений торов" при помощи р-примарных
групп) кончались обычно озадачивающими контрпримерами.
С другой стороны, если группа является элементарной
р-группой (т. е. Zp или Гг, если^? = 0), то в рамках эквива-
риантных когомологий можно сформулировать и доказать
далеко- идущие обобщения теоремы Смита о неподвижных
точках, справедливые для всех конечномерных локально ком-
компактных пространств (см. теорему IV. 1 § 1 гл. IV).
Основу нашего подхода к использованию теории когомо-
когомологий для изучения компактных топологических групп преоб-
преобразований составляет следующая эквивариантная теория ког
гомологии, предложенная А. Борелем [Б 5]. Пусть G — ком-
компактная группа Ли, а X — данное G-пространство. Тогда по
Введение
определению эквивариантные когомологии G-пространства
X —это обычные когомологии тотального пространства Ха
универсального расслоения X —>XG->BG, типичным слоем
которого является данное G-пространство. Выбор такой экви-
эквивариантной теории когомологии, основанной на конструкции
универсального расслоения, опирается, грубо говоря, на сле-
следующие соображения:
A) Интуиция и опыт подсказывают, что сложность дей-
действия группы G на пространстве X отражается в сложности
ассоциированного универсального расслоения X —► Xg -> Ва-
Классическая теория характеристических классов ясно пока-
показывает, что теорию когомологии можно использовать для
выяснения степени сложности расслоения, что в свою очередь
определяет сложность действия группы G на самом простран-
пространстве X. Приведенное выше определение эквивариантных ко-
когомологии является простой формализацией, а также обоб-
обобщением классической теории характеристических классов,
предназначенным для изучения топологии общих расслоений.
B) С технических позиций указанная выше эквивариант-
ная теория когомологии естественно и успешно объединяет
современные теории расслоенных пространств, спектральных
последовательностей и пучков. Поэтому эквивариантная тео-
теория когомологии не только обладает всеми хорошими фор-
формальными свойствами, которых можно ожидать, но также
является эффективно вычислимой.
Основные свойства этой эквивариантной теории когомоло-
когомологии, а также некоторые фундаментальные общие теоремы, та-
такие, как теорема локализации в духе Бореля — Атьи — Си-
Сигала, сформулированы и доказаны в гл. III.
В гл. IV мы переходим к исследованию связи между гео-
геометрическими структурами на данном G-пространстве Х и
алгебраическими структурами в кольце его эквивариантных
когомологии. С точки зрения групп преобразований эти струк-
структуры, объединяемые обычно под общим названием структуры
орбит, являются несомненно наиболее важными геометриче-
геометрическими структурами данного G-пространства Х. Поэтому почти
обязательной для нас задачей является исследование того,
как много информации о структуре орбит пространства X
можно в действительности почерпнуть из алгебраического
строения эквивариантных когомологии НЬ {X). Следующие
примеры показывают, какие именно проблемы здесь возни-
возникают. Как много можно узнать о когомологиях H*(F) мно-
множества неподвижных точек, исходя из алгебраического строе-
строения эквивариантных когомологии НЬ{ХO Можно ли дать
критерий существования неподвижных точек только в терми-
терминах эквивариантных когомологии НЬ{Х)? Предположим, что
Введение
множество неподвижных точек F = F(Gy X) пусто. Как опре-
определить множество максимальных стационарных подгрупп по
эквивариантным когомологиям НЬ(Х)? В частном случае
элементарных р-групп мы определим в терминах коммутатив-
коммутативной алгебры различные инварианты эквивариантных когомо-
когомологий НЬ(Х), которые, как будет затем доказано, тесно свя-
связаны со структурой орбит G-пространства Х. Заметим, что
почти для всех не р-примарных групп имеются достаточно об-
общие контрпримеры, которые ясно указывают на отсутствие
общего вида связей между структурой орбит топологического
пространства X и алгебраическим строением кольца НЬ {X).
Такой разительный контраст между действиями элементар-
элементарных р-групп и действиями групп, не являющихся р-примар-
нымиу оказывается, вероятно, одним из наиболее глубоких и
наиболее захватывающих фактов в теории когомологий групп
преобразований. Оглядываясь назад, мы находим здесь и
объяснение той центральной роли, которую играют торы в
теории представлений компактных связных групп Ли, имею-
имеющей дело в конечном счете с частным случаем линейных
групп преобразований.
С методической точки зрения один из центральных момен-
моментов подхода, принятого в настоящей книге, заключается в
том, что теорию когомологий топологических групп преобра-
преобразований можно развивать приблизительно по тому же пути,
что и классическую теориюлинейных представлений компакт-
компактных связных групп Ли. Сжатое изложение теории компас-
компасных групп Ли и их линейных представлений дано в гл. II,
Для того чтобы представить теорию линейных групп преоб-
преобразований в качестве прототипа для. теории когомологий
топологических групп преобразований, мы намеренно исполь-
используем геометрический подход, в котором структура орбит
присоединенного представления играет центральную роль.
Более того, из такого изложения ясно видно, что основание
теории линейных представлений компактных связных групп
Ли составляют следующие две теоремы:
(i) Структурная теорема о расщеплении для линейных
действий торов: каждое комплексное линейное представление
тора разлагается в сумму одномерных представлений.
(ii) Теорема Э. Картана о максимальных торах: множе-
множество максимальных торов образует единственный класс со-
сопряженности, и G= U gTg~l.
gs=G
Первый результат классифицирует линейные действия то-
торов в терминах крайне простого инварианта, называемого
системой весов, а второй результат сводит классификацию
действий компактной связной группы Ли G к
10 Введение
классификации ограничений этих действий на ее максималь-
максимальные торы. В рамках теории когомологий топологических групп
преобразований приведенную выше структурную теорему о
расщеплении для линейных действий' торов можно соответ-
соответственно обобщить до различных структурных теорем о рас-
расщеплении в эквивариантных когомологиях (cw. гл. IV). Эти
теоремы можно рассматривать как обобщенный принцип^
расщепления в геометрической теории обобщенных характе-
характеристических классов. Аналогично линейному случаю можно
также скомбинировать структурные теоремы о расщеплении
с теоремой о максимальных торах для того, чтобы опреде-
определить (геометрическую) систему весов для топологических
групп преобразований. Эта программа явно проведейа в част-
частных случаях ациклических многообразий и когомологических
сфер в гл. V и для когомологических проективных про-
пространств в гл. VI. Хотя геометрические системы весов уже не
являются для топологических групп преобразований «полной
системой инвариантов», они тем не менее в большой степени.
определяют когомологические свойства структуры орбит огра-
ограниченного действия максимальных торов, а следовательно* и
структуру орбит самого G-действия.
В гл. VII мы применяем когомологический метод к изу-
изучению групп преобразований на компактных однородных про-
пространствах. Благодаря тому что компактные однородные про-
пространства включают в себя большое разнообразие топологи-
топологических типов, а изучение групп преобразований на них только
начинается, в этой области имеется изобилие естественных
задач. Однако до сих пор было успешно разобрано только
небольшое число пробных случаев и многое еще не опубли-
опубликовано. Поэтому результаты в этой главе довольно неполные,
и их нужно рассматривать лишь как первые пробные случаи,
которые служат указанием на существование в этой области
интересных задач и глубоких результатов. В работе, которая
скоро будет опубликована, я надеюсь дать более система-
систематическое изложение применений когомологического метода к
изучению групп преобразований на' компактных однородных
пространствах.
Эта книга основана на курсе лекций, прочитанном в Кали-
Калифорнийском университете в Беркли. Я многим обязан слуша-
слушателям этого курса, и в особенности доктору Т. Шельбреду,
который помог мне приготовить предварительный набросок
глав III и IV.
У И Сян
Веркли, весна 1975 г,
Глава I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ
И G-ПРОСТРАНСТВАХ
J
В этой главе дан краткий обзор необходимых в дальней-
дальнейшем фактов о компактных топологических группах, расслоен-
расслоенных пространствах, топологических G-пространствах и ком-
компактных группах Ли. Основные понятия и определения мы
тщательно разъясняем. Приводятся также доказательства
некоторых основополагающих теорем — в тех случаях, когда
мы располагали коротким и ясным доказательством.
§ 1. Основные свойства компактных топологических групп
Топологической группой называется множество G, наде-
наделенное как топологической структурой, так и структурой
группы, причем эти структуры, согласованы в том смысле, что
структура группы непрерывна в заданной топологии. Более
точно, и умножение GXG->Gy (gu £2) h-* g\-g2, и переход
к обратному элементу G-+G, g\—>g~l, — непрерывные ото-
отображения. Аналогично группа Ли (или дифференцируемая
группа) обладает структурой дифференцируемого многообра-
многообразия и структурой группы, которые согласованы в том смысле,
что умножение и переход к обратному элементу — дифферен-
дифференцируемые отображения. Во многих задачах важную роль
играет подкласс компактных топологических групп или более
узкий подкласс компактных групп Ли. В этом параграфе
мы приведем сводку основных свойств компактных топологи-
топологических групп.
(А) Усреднение и мера Хаара
Конечная группа G (с дискретной топологией) является,
очевидно, довольно специфическим примером компактной то-
топологической группы. * Предположим, что ср: G—>GL(V) —
представление группы G линейными преобразованиями век-
векторного пространства V. Следующий хорошо известный «ме-
«метод усреднения» — естественный и простой способ доказатель-
доказательства существования инвариантного (относительно действия
группы G) скалярного произведения на V. Пусть на V задано
12 Гл. L Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
какое-то скалярное произведение (х,у){). Тогда ясно, что
следующее «усредненное скалярное произведение»
будет скалярным произведением на V, инвариантным относи-
относительно действия группы G. Этот метод является также до сих
пор единственным эффективным орудием для доказательства
полной приводимости представлений конечных групп.
Рассмотрим теперь группу комплексных чисел, по модулю
равных единице, 51 = {2gC; \z\ = 1}. Топологически она
представляет собой окружность и служит одним из простей-
простейших примеров компактной топологической группы с бесконеч-
бесконечным числом элементов. Если обычным образом параметризо-
параметризовать окружность, т. е. положить S1 = {е2лШ; О^0^1}, и
если /—непрерывная функция на S1, то ясно, что интеграл
от функции f
является обобщенным средним значением функции /. Анало-
Аналогично, если заданы линейное представление qr. S1->GLA/)
и скалярное произведение <#, у} на У, то (обобщенное) усред-
усредненное скалярное произведение
(х, у)= \
о
также инвариантно относительно, заданного действия группы
S1 на V.
Если G — произвольная компактная группа, то естественно
объединить оба способа «усреднения». Именно* определим
для конечного подмножества А = {aj) £= G и непрерывной
функции на G усреднение A-f функции / по Л, положив
Естественно ожидать, что, когда множество А становится
все более и более плотным в G, функция A-f стремится к не-
') Автор, очевидно, рассматривает случай представления в веществен-
вещественном векторном пространстве V. Аналогичное рассуждение проходит для
эрмитова произведения в комплексном векторном пространстве. Заметим
также, что всюду в дальнейшем рассматриваются конечномерные представ-
представления. — Прим. ред.
§ 1. Основные свойства компактных топологических групп п<[
которой постоянной функции /(/). В этом именно и заклю-
заключается идея фон Неймана, как определить (лнвариантйый)
интеграл Хаара на компактной группе G. Мы сформулируем
результат в виде следующей терремы, за подробным доказа-
доказательством которой отсылаем читателя к книге Л. С. Понтря-
гина [ПЗ].
Теорема 1.1 (существование и единственность интеграла
Хаара). Пусть G — компактная топологическая группа и
C(G)— пространство непрерывных вещественнозначных функ-
функций на ней. Тогда существует единственный непрерывный ли-
линейный функционал I: C(G)->R, удовлетворяющий условиям
(\) (левоинвариантность) I(fa(g)) = I(f) для всех a^G,
где h(g) = f(ag)\
(ii) (положительность и нормцрованность) f ^ 0=ф/(/) ^
^Ои /A)= 1.
Определенный выше линейный функционал / можно рас-
рассматривать как интеграл по инвариантной мере — мере Ха-
Хаара— на группе G, полный объем которой равен 1, т. е.
= \f(g)dg.
. G
Следствие 1.1.1. Каждое комплексное (соотв. веществен-
вещественное) представление компактной группы G эквивалентно уни-
унитарному (соотв. ортогональному) представлению.
Следствие 1.1.2. Каждое комплексное (соотв. веществен-
вещественное) представление ф компактной группы G вполне приво-
приводимо. Следовательно, оно однозначно разлагается в прямую
сумму неприводимых представлений.
(В) Лемма Шура и соотношения ортогональности Шура
Лемма Шура является просто изящной переформулиров-
переформулировкой понятия неприводимости в терминах операторов. Однако
она исключительно полезна и имеет важное значение.
Лемма Шура. Пусть Si, S2 — неприводимые подмножества
линейных преобразований пространств V\ и Уг соответственно
и A: V1-+V2 — такое линейное отображение, что A-S\ =
= S2-A (как множества). Тогда либо Л=«0, либо А обра-
обратимо.
Доказательство. Из равенства A-S\ = S2-A лег-
легко следует, что КегЛ и 1mA — инвариантные подпростран-
подпространства пространств V\ и У2 соответственно. Следовательно,
14 Гл. 1. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах,
неприводимость множеств Si и S2 дает, что либо Ker A = V\y
т.е. А = О, либо Ker A = {0} и Im A = 1/2, т. е. А обратимо. □
Следующий вариант леммы Шура часто бывает полезен и
заслуживает особого внимания.
Вариант лелгмы Шура. Если S\ = S2 (и, разумеется,
V\ = F2), я основное поле F алгебраически замкнуто, то су-
существует такой элемент Ко е F, что А = Х,о- I-
Доказательство. Для всех X е F имеем А • S\ =
== Si-Л =Ф(Л — XI) -Si = Sr (А — XI). С другой стороны, по-
поскольку поле F алгебраически замкнуто, А имеет собственное
значение Xq е F, т.е. А — Х01 необратимо. Значит, по преды-
предыдущей лемме А — Х01 = 0, т. е. А = Х01. О
Непосредственно из этой леммы вытекает следующая про-
простая, но основополагающая теорема о представлениях ком-
компактных коммутативных групп.
Теорема 1.2. Каждое неприводимое комплексное пред-
представление ф компактной коммутативной группы G одномерно.
Доказательство. Из коммутативности группы G и
неприводимости множества операторов <p(G) следует, что
ф(£) = М&) •! Для любого g&G при некотором i(g)sC.
Итак, cp(G) содержится в множестве {X-I} скалярных
операторов. Следовательно, каждое подпространство инва-
инвариантно и qp(G) неприводимо, только когда dim qp =1. □
Следствие 1.2.1 (классификация неприводимых представ-
представлений тора). Множество классов эквивалентности неприводи-
неприводимых комплексных представлений k-мерного тора Tk эё R*/Z*
находится в естественном взаимно однозначном соответствии
с множеством целочисленных линейных функционалов на R*.
Следовательно, оно также находится во взаимно однозначном
соответствии с элементами группы Hx(Tk\ Z), а именно
{ф: Т*^ 51}^{Ф*: W (Sl; Z) -> W (Tk; Z)} ^ {Ф* (/) е Я1 {Tk; Z)},
где i^Hl(Sl;Z)—фундаментальный класс когомологий, от-
отвечающий положительной ориентации.
Определение. Пусть унитарное представление ф: G-> V (n)
задано в матричной форме cp(g) = ((pj/(g)) относительно фик-
фиксированного ортонормированного базиса. Тогда функции
4u(g) называются представляющими (или матричными)
функциями представления ф.
Пример. В хорошо известном классическом случае
G = S1 представляющая функция, соответствующая неприво-
§ 1. Основные свойства компактных топологических групп 15
димому представлению ср: 51 -> S1 с числом вращения п, есть
е2шпвш Один из основных фактов анализа Фурье состоит в
том, что множество таких функций {е2ШпВ\ AzeZ}, соответ-
соответствующих всем неприводимым представлениям группы S1,
образует ортонормированный базис в пространстве L2(Sl).
Комбинируя лемму Шура с инвариантным интегрирова-
интегрированием, можно получить следующие соотношения ортогональ-
ортогональности для представляющих функций на произвольной ком-
компактной группе G.
Теорема 1.3 (соотношения ортогональности Шура). Пусть
G — компактная группа, а ф и г|) — два ее неэквивалентных
неприводимых комплексных представления. Тогда
(О \ %i (g)^ktig)dg = {%i(g),
G
(g) ф*
Доказательство. Пусть V и ^—пространства пред-
представлений ф и ф, и пусть i?(V, WJ* F*® W7 — пространство
всех линейных отображений из У в IF. Определим представ-
представление группы G в пространстве i?(V, W), положив
Тогда ясно, что А= \ (g • Л) dg — инвариантный элемент,
т. е. g-A = ф(§) -A-ty(g)-1 = А при всех g e G. Следова-
Следовательно, из леммы Шура вытекает, что оператор А или равен
О, или обратим., Но представления ф и г|) неэквивалентны, по-
поэтому А = 0 для всех /4ei?(V, IF). Если выписать равен-
равенство £/* == 0 для обычного базиса £/* пространства ^(V, IF),
отвечающего базисам, выбранным в У и IF, то получим, что
Аналогично из сформулированного выше варианта леммы
Шура следует, что
В = \ (g • B)dg=
G
G
для В s & (IF, IF) и подходящего ЬеС. С другой стороны,
инвариантность следа относительно сопряжения позволяет
16 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и G'-пространствах
вычислить %в с помощью следующего равенства:
dim Ф • Кв = tr (В) = \ tr (gB) dg = J tr (В) dg = tr (B).
Q G
Отсюда мы снова получаем, что
D
(С) Характеры: Полный инвариант линейного представления
Определение. Функция хФ (g)= tr (ф (g)) = £ ца [g) назы-
называется характером комплексного представления ф группы G.
Замечания, (i) Так как tr(9(g)) равен сумме собствен-
собственных значений оператора ф(#), то функцию хФ(&) можно рас-
рассматривать как линейный инвариант оператора
,00 Хф+ф (ё) = tr «Ф + *) (g)) = tr (ф (g)) + tr («(g)) = Хф (яг) +
tr (^ (£))=Х
(iv) Хф (g{ggTl) = tr (ф (#i) Ф (ff) Ф (^i)) = tr (ф (g)) = хф (в).
Одним из наиболее важных следствий теоремы 1.3 яв-
является то, что характер Хф(£) полностью классифицирует
представления.
Теорема 1.3'. (i) Характеры двух неэквивалентных непри-
неприводимых комплексных представлений ф и $ ортогональны
друг другу: <ь, х^> = 0.
(ii) Комплексное представление ф неприводимо тогда и
только тогда, когда норма характера %ф равна 1, т. е. когда
ИХфИ = <Хф> ХФ)= \
G
(iii) Два комплексных (не обязательно неприводимых)
представления ц>\ и фг эквивалентны тогда и только тогда,
когда
§ 1. Основные свойства компактных топологических групп 17
Доказательство непосредственно следует из теоре-
теоремы 1.3 и полной приводимости представлений компактных
групп.
* Замечания, (i) Так как характер %ф принимает одина-
одинаковые значения на сопряженных элементах, то его можно
рассматривать как функцию на множестве классов сопряжен-
сопряженных элементов группы G. Более того, если Н — замкнутая
подгруппа группы G, пересекающаяся с каждым классом
сопряженных элементов группы G, то
(и) Из компактности группы G следует,, что оператор
p(g) унитарен (следствие 1.1.1) 'и, следовательно, его мат-
матрица приводится к диагональному виду. Поэтому класс экви-
эквивалентности оператора (p(g) полностью определяется элемен-
элементарными симметрическими многочленами {а*} от собственных
значений {к}}. С другой стороны, так как множество <p(G)
замкнуто относительно умножения, то знание характера
Xq>(g) = trcp(g) = ai(hi, ..., Ял) дает нам не только
п
oi(*a, ...> Ю, но также и Хф(g*) = tr (ф (g)k) = Z Л/, что
в свою очередь определяет набор {о}(Х\, ..., %п), / = 1, ...
...,га}. Грубо говоря, это и является основной причиной
того, что такого простого линейного инварианта, как харак-
характер, достаточно для классификации представлений. Мы видим
также, что как компактность, так и групповая структура-
играют здесь существенную роль.
(D) Теорема Петера — Вейля о полноте
Теорема 1.4. (Петер — Вейль). Пусть G — компактная то-
топологическая группа, а Г — полный набор ее неэквивалентных
неприводимых представлений. Тогда линейные комбинации
функций {ер*-/ (g); фЕ Г} всюду плотны в равномерной топо-
топологии в пространстве C(G) непрерывных функций на G, или,
что эквивалентно, {ф//(#); Ф ^ Г} составляет базис в гиль-
гильбертовом пространстве L2(G) функций на G, интегрируемых
с квадратом.
Мы отсылаем читателя к книге Л. С. Понтрягина [П 3],
содержащей стандартное доказательство этой теоремы.
Определение. Представление ф называется точным, если
оно инъективно.
Следствие 1.4.1, Каждая компактная группа Ли допускает
представление,
18 Гл. L Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
Доказательство. Так как пространство C(G) натя-
натянуто на {ф|/(§);феГ}, то они, очевидно, разделяют точки.
Поэтому непосредственным следствием теоремы Петера —
Вейля является тот факт, что #
П ker ф = {е} = (единичная подгруппа).
Г
Следовательно,
П
ф€=Г
для любой окрестности U единичного элемента, и из компакт-
компактности группы G (точнее, из компактности множества G — U)
следует, что существует такой конечный набор представлений
Фь ..., фа е Г, что П (ker ф£ — U) = 0, т. е.
k
П ker ф* = ker (ф! + ... + ф*) g= U.
С другой стороны, легко показать, что если U — малая
окрестность в группе Ли, то единственной содержащейся в
ней подгруппой группы G является единичная подгруппа.
Следовательно,
• ker (ф! + .. .^ + щ) s f/^ ker (ф! + ... ф*) = {е}>
т. е. ф1 + ... +q>k — точное представление группы G. □
Замечание, (i) Так как каждая замкнутая подгруппа
группы Ли есть также группа Ли, то компактная топологиче-
топологическая группа допускает точное представление тогда и только
Тогда, когда она является группой Ли.
(п) Если заданы компактная группа G и ее точное пред-
представление, то нетрудно получить теорему Петера — Вейля для
группы G с помощью аппроксимационной теоремы Стоуна —
Вейерштрасса. Следовательно, для компактных групп Ли
теорема Петера —Вейля эквивалентна теореме о существова-
существовании точного представления.
§ 2. Общие сведения о расслоенных пространствах
и свободных G-пространствах
[А) Понятия G-пространства и расслоенного пространства
Определение. Топологическая группа преобразований со-
состоит из топологического пространства Ху топологической
группы G и действия группы G на пространстве X (т. е. та-
такого отображения GXX->J, (g, x) ь->- g-x, что е:х = х,
g\ * (g2 • *) = (g\ • £2) • х), которое непрерывно в том смысле,
что отображение GY^X—>X, (g, х) *—> g*x, непрерывно.
§ 2. Общие сведения о расслоенных пространствах 19
Иногда мы называем такую структуру также топологическим
(левым) G-действием на пространстве X или просто тополо-
топологическим G-пространством.
Примеры, (i) Линейные группы преобразований
GL (n, R) пространства R* и GL (/г, С) пространства Сп
и их ограничения, полученные с помощью некоторого линей-
линейного представления
G -^ GL (л, R) (или GL (/г, С)),
— все это, очевидно, тополбгические группы преобразований,
(и) Группа изометрий риманова многообразия (снабжен-
(снабженная компактно-открытой топологией) является топологиче-
топологической группой преобразований.
Расслоенное пространство с интуитивной точки зрения
представляет собой проекцию р: В-+Х пространства расслое-
расслоения В на базу Ху причем пространство расслоения локально
является прямым произведением, а в целом скручено. Один
из простейших примеров — лист Мёбиуса, который представ-
представляет собой скрученное произведение окружности S1 и интер-
интервала /, причем скручивание осуществляется группой Z2, дей-
действующей на / с помощью обращения ориентации. С техни-
технической и теоретической точек зрения важно точно ограничить
область допустимых скручиваний. Именно здесь в формаль-
формальном определении расслоенного пространства появляются так
называемая структурная группа G и структура G-простран-
ства на слое У.
Определение. Расслоенное пространство или, короче, рас-
расслоение состоит уиз пространства расслоения В, базы Ху слоя
У с заданным топологическим G-действием, проекции р: В-+Х
и согласованных структур локальных прямых произведений.
Именно, существует открытое покрытие {V,} пространства X
и гомеоморфизмы fa: У/X У-*/Н(У/)£5 (локальные струк-
структуры прямого произведения), такие, что скручивание между
двумя пересекающимися локальными структурами прямого
произведения осуществляется заданным G-действием на У,
т. е.
Фх
20 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и 0-пространствах
где <t>Jl<t>t (х9 у) = gn (x) -у, xezViOVj, ys=Y и отображе-
отображение gjt: Vi(]Vj-+G непрерывно.
Замечание. Приведенное выше определение включает
выбор координатных окрестностей {Vi} и локальных структур
прямого произведения {£,}, следовательно, оно не является
внутренним. Имеется очевидное отношение эквивалентности
между двумя такими структурами расслоения. За подробным
обсуждением этого предмета мы отсылаем читателя к § 2, 3
книги Стинрода [С 10].
(В) Главное расслоение и главное отображение
Определение (отображения расслоений). Пусть В, В'—
два расслоения, слоем которых служит одно и то же G-npo-
странство У. Тогда непрерывное отображение ft: В-+В' назы-
называется отображением расслоений, если
(i) отображение А гомеоморфно переводит каждый слой
Yx расслоения В на слой Y х* расслоения В\ индуцируя таким
образом отображение Я: Х-> Х\ где p'h = hp.
(ii) отображение h согласовано со скручиванием в том
смысле, что
где ф/}~1/гф1 (х, у) = gn (х) • у и отображение g}.: Vt ft ft (Uf) -> Q
непрерывно.
Замечания, (i) В простейшем случае расслоения
y-*{pt} над точкой действие элемента g^G, g: У->К,
y^-^g-y, является, очевидно, отображением расслоений и,
наоборот, каждое отображение расслоений Y-+Y совпадает
с действием некоторого элемента из группы G. Следовательно,
имеется взаимно однозначное соответствие' между множест-
множеством отображений расслоения Y на себя и группой G = G/Ko,
где /Со = {g e G;g-y = у для всех j/gF}—ядро неэффек-
неэффективности.
(ii) Очевидно, что композиция двух отображений расслое-
расслоений есть отображение расслоении.
Главное расслоение. Пусть В -> X — данное расслоение,
типичным слоем которого является G-пространство К. Мно-
§ 2 Общие сведения о расслоенных пространствах 21
жество В всех отображений расслоений простейшего расслое-
расслоения y->{pt} в В -> X является, естественно, важным струк-
структурным инвариантом. Как обычно, мы сначала постараемся
снабдить множество В как можно большим набором есте-
естественных структур. Так как композиция двух отображений
расслоений есть отображение расслоений, то имеется есте-
естественное _ (правое) действие группы G на Б, а именно
BXG-+B, E, g) н-> Ь og, _т. е. bo (gu g2) = (b о gi) °g2. Да-
Далее, имеется проекция р: В-+Х, переводящая_ отображение
расслоений Б в его образ в базе, т. е. р{Б) = рБ(у)^Х, и не-
нетрудно показать, что X ^ Б/G (т. е. X гомеоморфно простран-
пространству орбит).
Определение (главного расслоения). Главным расслое-
р
ниему ассоциированным с расслоением В —> X, называется
множество В всех отображений расслоений из У —* {pt} в
В—>Х, снабженное правым б-действием и проекцией
В —> X ^ B/G, описанными выше.
Замечание. Из существования локальной структуры
р
прямого произведения на расслоении В —> X легко следует,
что В -> X локально также является прямым произведением.
Исходя из этого, легко снабдить пространство В единственной
топологией, такой, что биекция X ^ Б/G является гомеомор-
гомеоморфизмом.
Определение. Отображение В X Y -> В, действующее по
формуле (Бу у) »—>5(#), называется главным отображением.
Замечания, (i) Если G действует на У эффективно, т. е.
Ко={е}у то G = G и В — свободное (правое) G-простран-
ство, а построенное выше главное отображение р: БУ^У->В
отождествляет В с факторпространством 5ХоУ=5Х У/~,
где (б, у) ~E-g~\ g-y). В общем случае В есть свободное1)
(правое) G-пространство, которое можно также естественно
рассматривать как (правое) G-пространство. Тогда отобра-
отображение р также приводит к отождествлению SX gY ^ё В.
(и) Главное отображение р показывает, как восстано-
восстановить расслоение В -> X по главному расслоению В и данному
G-пространству У. Следовательно, для фиксированного G-npo-
странства У главное расслоение В составляет полный ин-
инвариант.
1) G-пространство Х называется свободным, если ни один элемент
группы G, кроме единицы е, не имеет на X неподвижных точек, т. е. если
стационарная подгруппа Gx равна {е} для всех хеХ-Прим. ред.
22 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и G'-пространствах
(С) Внутреннее определение расслоений и лемма Глисона
Пространство XX G снабжено очевидным (правым)
-{/-действием: (х, g)-g{ = (x,g-g\). Свободное (правое)
G-пространство Е называется локально тривиальным, если у
каждой точки х е E/G пространства орбит на Е имеется та-
такая окрестность U, что прообраз p~l(U)f где р: E-+E/G—
естественная проекция, изоморфен тривиальному (правому)
G-пространству UXG. Имея в виду главное расслоение и
главное отображение, естественно дать следующее внутрен-
внутреннее определение расслоений.
Определение. Расслоение состоит из локально тривиаль-
тривиального свободного (правого) G-пространства В (называемого
пространством главного расслоения) и (левого) G-простран-
G-пространства Y (называемого слоем). Пространство орбит X = B/G
называется базойТ факторпространство В = БХоК=ЛХ
X Yf~9 где (Б9у) ~ (Bg~l9gy)t называется пространством
расслоения (или тотальным пространством), а проекцией на-
называется отображение р из следующей коммутативной диа-
диаграммы:
BxY —*-♦ В
где р\ — проекция на первый сомножитель, а вертикальные
стрелки обозначают проекции на соответствующие «простран-
«пространства орбит».
Структурная группа G во многих полезных случаях либо
является компактной группой Ли, либо сужается до ком"-
пактной группы Ли (см. (Е)I). В этих случаях приведенное
выше определение удачно дополняется следующей леммой
Глисона, утверждающей, что условие локальной тривиально-
тривиальности выполняется автоматически для всех свободных G-npo-
странств, если G — компактная группа Ли.
Лемма Глисона. Если G — компактная группа Ли, то лю-
любое свободное G-пространство локально тривиально.
(В § 3 мы докажем эту лемму в более общем виде.)
}) Например, если структурная группа G является связной группой
Ли, то G сужается до своей максимальной компактной подгруппы (дока-
(доказательство, использующее приведенное ниже в п. (Е) предложение, см. в
[С 10, § \2]). — Прим. ред.
§ 2. Общие сведения о расслоенных пространствах 23
(D) Свойство накрывающей гомотопии, индуцированные
расслоения и классифицирующие расслоения
Для гомотопических исследований исключительно важно
следующее свойство расслоений, непосредственно вытекаю-
вытекающее из их локальной структуры прямого произведения.
Свойство накрывающей гомотопии. Пусть В -> X — рас-
расслоение, а К — конечный полиэдр. Пусть fQ: /С—►£— непре-
непрерывное отображение и f: /( X I -*X — гомотопия отображения
p.fo = Jo. Тогда существует гомотопия f: /СХ !-** В, накры^
вающая f (т. е. такая, что pf = /), причем f стационарна вме-
вместе с fl).
Доказательство этого свойства непосредственно сле-
следует из наличия локальной структуры прямого произведения
в расслоении р: В-*Х. Однако это свойство имеет настолько
важное значение, что оно побудило Серра положить его в
основу аксиоматического определения более общего класса
расслоенных пространств [С 3].
Индуцированное расслоение. Пусть В -> X — расслоение,
Х'Х б Р S'fiX
уцр у р
а /: Х'-*Х — отображение. Рассмотрим множество S's
Х^, состоящее цз точек (&, xf), для которых рF) = /()
Пусть f, // — ограничения на В' проекций на прямые сомно-
сомножители, т. е.
Легко убедиться, что морфизм В' -> Хг — расслоение, и f —
отображение расслоений. Расслоение/^ -> Хг называется рас-
расслоением, индуцированным расслоением В ^> X ПРИ отобра-
отображении f.
1) Гомотопия / называется стационарной .вместе с f, если для каждого
у е К и каждого такого интервала [t\t У, что f (у, t) постоянно при U ^
^ t ^ t2, образ f(y,t) постоянен при tx ^ t ^ t2, см. [С 10, 11.7]. — Прцм.
перее.
24 Га
i 1. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
Р
Теорема классификации. Пусть Eq -* Bg — главное G-pac-
слоение, причем nt (Eg) = 0 для О ^ i ^ п, а К — конечный
полиэдр размерности ^.п. Тогда операция, которая ставит
в соответствие каждому отображению f: K->Bq индуцирован-
индуцированное расслоение, осуществляет биекцию между мно-
множеством классов гомотопных отображений из К в Bg
и множеством классов эквивалентности главных G-расслое-
ний над К.
Мы отсылаем за доказательством этой теоремы и за кон-
конструкцией такого классифицирующего (универсального) рас-
расслоения к § 19 книги [С 10] или к [МЗ]1).
(Е) Сужение и расширение структурной группы
Пусть Н s G — замкнутая подгруппа группы G, а
В —> X и В'-* X — соответственно Я-расслоение и G-расслое-
ние над X (т.е. свободные Я-пространство и G-пространство
с общим пространством орбит X). Если существует эквива-
риантное отображение г: В -> В', коммутирующее с проек-
проекциями, т. е. такое, что диаграмма
X
коммутативна и r(b-h) — r(b) -h, то говорят, что расслоение
В -> X — сужение расслоения В' —> X или что расслоение
В' ^> X — расширение расслоения В -^> X.
Заметим, что B' = B'XgG и потому В*/Н = B'XgG/H.
Следовательно, сужение г: fi~>S/ определяет отображения
Br/H=>B'xGG/H
которые задают сечение r-p-1: X-»В'У( GG/H. Обратно,
пусть задано сечение s: X-> В'Х gG/H = В'Щ. Тогда ясно,
4) См. также [Х6*]. — Прим. перев.
§ 3. Существование cpeaa , 25
что прообраз множества s(X) относительно проекции ро*
В'->В'/Н, т. е. В = р~{ (s {X))y — свободное //-пространство,
пространство орбит которого есть s(X)^Xf и что вложение
В = р~[ (s (X)) s В' эквивариантно. Поэтому верно следую-
следующее
Предложение. Для данной замкнутой подгруппы Н ^ G
имеется взаимно однозначное соответствие между сужениями
G-расслоения В' ->Х до Н-расслоений и сечениями ассоцииро-
ассоциированного расслоения В'/Н = Br X gG/H-^X со слоем G/H.
§ 3. Существование среза и вытекающие из этого
следствия для произвольных G-пространств
В дальнейшем мы будем считать G компактной группой
Ли. Следующий простой и полезный факт был впервые обна-
обнаружен Косзюлем [К?Ф]. Позже он обобщался и использовался
в работах Монтгомери — Яна, Мостова и Пале [М7], [М9]
и [П1].
(А) Дифференцируемый срез
Теорема 1.5. Пусть М — дифференцируемое G-простран-
ство (т. е. М — дифференцируемое многообразие и действие
группы Ли G гладко), Н = Gx — стационарная группа точки
х^ Му а ух — локальное представление группы Н в простран-
пространстве векторов, нормальных {относительно данной инвариант-
инвариантной римановой метрики) к орбите G(x)^G/H в точке х.
Тогда нормальное расслоение v(G(x)) орбиты G(x) эквива-
риантно изоморфно расслоению
где группа Н действует на G правыми сдвигами, а на Rk —
посредством представления ср*. Более того, при достаточно
малом е > 0 экспоненциальное отображение (относительно
данной инвариантной римановой метрики) является эквива-
риантным диффеоморфизмом расслоения на г-шары, ассоции-
ассоциированного с расслоением а (уху. GX^g-^С/Я, на инвари-
инвариантную трубчатую окрестность орбиты G (х).
Доказательство. Пусть R£ — множество N векторов,
ортогональных к G(x) в точке х (относительно некоторой
инвариантной метрики, которую всегда можно получить
26 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
с помощью усреднения1)). Тогда индуцированное G-действие
переводит^ в R*#JC. Легко проверить, что gvai=g2-^2 тогда
и только тогда, когда (g\t V\) и (g2, и2) e G X R£ эквивалент-
эквивалентны в обычном смысле, т. е.
GxR* с G х
Утверждения теоремы устанавливаются теперь непосредст-
непосредственно. □
(В) Лемма Глисона и существование топологического
среза
Лемма 3.1. Если Н — замкнутая подгруппа группы G {ком-
пактной группы Ли), то существует конечномерное линейное
G-действие, обладающее таким вектором vy для которого
Н = Gv — стационарная подгруппа.
Доказательство непосредственно следует из теоре-
теоремы Петера — Вейля и условия обрыва убывающих цепей замк-
замкнутых подгрупп в компактной группе Ли. Мы отсылаем за по-
подробным доказательством к работам Мостова [М 10] и Пале
[П1]. □
Лемма Глисона (обобщенная форма). Если К — компакт*
ное инвариантное подпространство G-пространства X и f: /(->-
—► V — эквивариантное отображение К в линейное G-простран-
ствоу то f допускает эквивариантное продолжение f :X-+V.
Доказательство. По теореме Титце о продолжении
[A3*] существует непрерывное продолжение f*:X-+V ото-
отображения f. Положим f(x) = \ g~l f*(gx) dg. Нетрудно провё-
G
рить, что f — эквивариантное продолжение отображения /. □
4) Если (и, v) х (хеМ) — произвольная риманова метрика на Мг то
усредненная метрика
(и, v)x= ^ (dSg-ixu, dgg_lxv}xdg
является, как легко проверить,- G-инвариантной. — Прим. ред.
§ 3. Существование среза . 27
Теорема 1.5' (существование среза). Пусть X — топологи-
топологическое G-пространство и Н = Gx. Тогда в пространстве X су-
существует такое подмножество 5, что (i) 5 инвариантно отно-
относительно Я, (и) G-пространство G(S) изоморфно бХя5 и
представляет собой инвариантную окрестность множества
G (х) в пространстве X.
Такое подмножество называется срезом в точке х.
Доказательство. В частном случае, когда X — диф-
дифференцируемое G-пространство, маленький нормальный шар
D*(e), очевидно, есть срез в точке х. В общем топологиче-
топологическом случае эквивариантно вложим сначала .орбиту G(x)^
£ё G/H в подходящее линейное G-пространство V с помощью
отображения /: G(x)^G/H -> G (v) г V (по лемме 3.1). За-
Затем продолжим / до эквивариантного отображения J :X-+V.
Пусть S'— срез в точке v (существующий, поскольку V —
линейное пространство). Положим 5 = fE/). Легко про-
проверить, что 5 — срез. П
Из приведенной теоремы о срезе можно сделать следую-
следующие два исключительно важных вывода:
(C) Эквивариантное вложение
Теорема 1.6 (Мостов — Пале)..Ес/ш G — компактная груп-
группа Ли, а X сепарабельное метризуемое конечномерное G-про-
G-пространство с конечным числом типов орбит1), то X допускает
эквивариантное вложение в линейное G-пространство.
Так как мы не собираемся на самом деле использовать
эту теорему, мы отсылаем за доказательством к [М 10] или
к гл. VIII книги [Б 10].
(D) Теорема о г'Лавном типе орбит
Для данного G-пространства Х множество {Gx\ x^X) ста-
стационарных подгрупп очевидным образом разбивается на
классы сопряженности, соответствующие разным типам ор-
орбит в X:
{Gx\ jcgX} = U (Ht) (классы сопряженности).
Заметим, что однородное пространство G/K может быть
эквивариантно отображено на G/H в том и только том слу-
случае, когда группа К сопряжена некоторой подгруппе груп-
группы Я, т. е. когда gKg~l ^ Н при подходящем g e G. Поэтому
1) Типом орбит на G-пространстве Х называется класс сопряженных в
G стационарных подгрупп Gx = {g gG; gx = x\ (см. п. F)). — Прцм.
ред.
28 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и G'-пространствах
естественно ввести следующее отношение частичного порядка
на множестве типов орбит:
{Hi)^(Hj), если Ht сопряжена подгруппе группы Я/.
Теорема 1.7 (Монтгомери — Самельсон — Ян). Пусть М —
связное многообразие, на котором задано дифференцируемое
G-действие. Тогда в множестве типов орбит О(М)= {(Ht)}
имеется единственный такой максимальный тип орбит (#i),
что
(i) (Hi)^(Gx) для всех хеМ,
(и) объединение M{Hl) = {х\ Gx e (Н\)} всех орбит типа
(Hi) открыто и плотно в М и коразмерность множества
М — М{н{) не меньше 1,
(ш) множество F(HU M) пересекается с каждой орбитой,
(iv) пространство орбит M^JG связно.
(Здесь и в дальнейшем через F(G> X) обозначается*мно-
обозначается*множество неподвижных точек группы G на G-пространстве X.)
Доказательство. Пусть М' = M/G — пространство
орбит, а 0(М) — множество типов орбит (снабженное дис-
дискретной топологией и частичным порядком). Рассмотрим
функцию типа орбиты Q: М'-+(У(М) (т.е. функцию, ставя-
ставящую в соответствие каждой орбите ее тип). Из теоремы о
дифференцируемом срезе следует, что x' = G(x) есть точка
локального максимума тогда и только тогда, когда ер* — три-
тривиальное представление (т. е. когда Gx тривиально действует
на срезе 5* = £)£). Отображение Q локально постоянно в
окрестности этих точек локального максимума х\ С другой
стороны, пусть y/ = G(y) не есть точка локального макси-
максимума. Тогда возможны следующие два случая:
A) codim(F(G^, Sy)) ^2; тогда множество Sy — F(Gyi Sy)
является связным. Если выбросить орбиты того же типа, что
и у у\ из окрестности Sy/Gy точки у\ то остающееся множе-
множество (Sy — F(Gy, Sy))/Gy тоже связно.
B) codimF(Gу/Sy)= 1; тогда ср^: Gy->O(l)^Z2 и груп-
группа Z2 действует на 5^ с помощью отражения относительно
гиперплоскости F(Gy, Sy). Следовательно, пространство ор-
орбит Sy/Gy представляет собой полуплоскость с образом мно-
множества F(Gy, Sy) в качестве границы. Значит, множество
(Sy — F(Gyf Sy))/Gy снова связно.
Так как пространство М предполагалось связным, то про-
пространство M' = M/G также должно быть связным. Выше мы
показали, что удаление всех точек у\ на которых не дости*
гается локальный максимум, даже локально не разбивает М\
Следовательно, множество Mi точек локального максимума
§ 4. Общая теория компактных связных групп Ли 29
связно. Но отображение Q локально постоянно на М[ и, зна-
значит, на самом деле постоянно на М[. Иначе говоря, имеется
единственный (локально) максимальный тип орбит (Н\) и
М[ = MtfJG — связное открытое и плотное в Мг множество.
Утверждения (и), (iii) выводятся отсюда непосред-
непосредственно. □
Замечания, (i) Доказанная теорема сохраняет силу
для топологического G-действия на когомологическом над Z
многообразии. Она верна также для связных типов орбит (т.е.
классов сопряженных связных стационарных подгрупп Gty l)
топологического G-действи-я на когомологическом над Q мно-
многообразии. Эти обобщения могут быть доказаны, если мы бу-
будем в состоянии доказать факты, связанные с codim F(Gy, Sy),
когомологическими методами, см. статью Монтгомери «Orbits
of highest dimension» в [Б 10].
(ii) Единственный максимальный тип орбит называется
главным типом орбит, а соответствующие стационарные под-
подгруппы называются главными стационарными подгруппами.
§ 4. Общая теория компактных связных групп Ли
(А) Присоединенное действие и присоединенное %
представление
Однопараметрической подгруппой группы Ли G называет-
называется (дифференцируемый) гомоморфизм £ простейшей группы
Ли R1 в G. Ясно, что правые сдвиги на элементы множества
{£(/); t e R1} задают левоинвариантное (в силу ассоциатив-
ассоциативности группы G) ^-действие на G. Следовательно, соответ-
соответствующие векторы скорости в каждой точке образуют лево-
инвариантное векторное поле X на G. Обратно, если проинте-
проинтегрировать некоторое левоинвариантное векторное поле X, то
нетрудно показать (пользуясь теоремой единственности и ле-
.воинвариантностью интегральных кривых)*, что интегральная
кривая, проходящая через единицу, является однопараметри-
однопараметрической подгруппой. Итак, имеются следующие биекции:
f однопараметрические | ^ ( левоинвариантные 1
I подгруппы J I ^-действия J
■ I I
f касательные векторы | ^ ( левоинвариантные V
1 в единице / I векторные поля i
1) Здесь и в дальнейшем через Н° обозначается связная компонента
единицы в группе Я. — Прим. ред. -
30 Гл. I. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
Мы отождествляем эти множества посредством указанных
биекций и называем полученный объект алгеброй Ли g груп-
группы Ли G. Алгебра Ли g является векторным пространством
с билинейной операцией коммутирования [X, У] (векторных
полей), удовлетворяющей следующему тождеству Якоби:
[[X, У], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, XI У]^0.
Далее, удобно и полезно собрать все однопараметрические
подгруппы в (универсальное) отображение
Ехр: g->G,
при котором Ехр(/Х): R1—►g—>G задает однопараметриче-
скую подгруппу с вектором скорости X в единице е.
Замечания, (i) Напомним, что коммутатор [X, Y] двух
векторных полей X, Y имеет следующий геометрический
смысл. Если «плыть» последовательно по потокам, задавае-
задаваемым полями X, У, —X, а затем —Y в течение времени t вдоль,
каждого, то результирующее перемещение будет приблизи-
приблизительно равно t2* [X, Y]. Следовательно, в нашем случае лево-
инвариантных векторных полей вектор [Ху Y]e есть вектор
скорости (в точке е) кривой
Y@ = Ехр л/ГХ • Ехр УГУ • Ехр (- У?"*) • Ехр (- У*».
(и) Если h: Gi->G2 — гомоморфизм групп Ли, то диффе-
дифференциал отображения h в точке е очевидным образом инду-
индуцирует гомоморфизм соответствующих алгебр Ли dhe: gi-^дг,
dhe
9i Й2
JExp J
JExp
► G2
Определение. Сопряжения задают представление группы
дифференцируемыми преобразованиями на себе самой:
GXG-+G, (gp g2) i-> gxg2gfl. Мы будем называть это пред-
представление присоединенным G-действием на самой группе G.
§ 4. Общая теория компактных связных групп Ли 31
Это присоединённое действие на G индуцирует другое при-
присоединенное действие, действие на ее алгебре Ли д, которое
является линейным представлением Ad: G-^GL(g) группы G
(линейными преобразованиями пространства д), называемым
присоединенным представлением группы G. Далее, дифферен-
дифференциал ad = d(Ad)*: g —>-gX(g) гомоморфизма Ad в единице е
называется присоединенным представлением алгебры Ли д.
В терминах экспоненциальных отображений построенные два
присоединенных представления группы G и алгебры Ли g ха-
характеризуются следующими тождествами соответственно:
(г) Ехр / • [Ad (Exp sX) • У] = Exp sX • Exp tY • Ехр (- sX),
(ii) Ad (Exp tX)-Y = Exp (t • ad (X)) • Y.
предложение 4.1. Имеет место равенство (adX) • У = [X, У]
для всех X, У е д. .
Доказательство. Из геометрической интерпретации
коммутатора следует, что
Ехр sX • Ехр tY • Ехр (- sX) • Ехр (- tY) = Ехр st. [X, У] + о (sf).
С другой стороны, согласно приведенному определению, имеем
Ехр [(Ехр s ad (X) - /) • tY] = Exp (st • ad (X) -Y) + o (st)
II
Exp (/ Exp s ad (X) • У) • Exp (- tY) + о (st)
Цввиду (ii)
Exp f [Ad (Exp sX) • У] Exp (- ЯГ)вви^A)
= Exp sX • Exp /У . Exp (- sX) • Exp (- tY) =
-[Xt Y] + o(st).
Переходя к пределу при s, /->0, мы получим отсюда, что
(dX)y=[X,y]. □ .
(В) Теорема Картана о максимальных торах и ее следствия
Теорема 1.8 (Э. Картан). Пусть G — компактная связная
группа'Ли, а Т — некоторый максимальный тор в ней. Тогда
(i) все максимальные торы в G попарно сопряжены; их
совокупность исчерпывает главные связные стационарные
подгруппы присоединенного действия на G;
(ii) тор Т пересекается с каждым классом сопряженности
(т. е. орбитой присоединенного действия) или, что эквива-
эквивалентно, G= U gTg~l.
Q
32 Гл. 1. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствах
Доказательство. Эта теорема непосредственно сле-
следует из теоремы I. 7 и того факта, что максимальные торы —
это в точности главные связные стационарные подгруппы при-
присоединенного действия на G. Так как главные орбиты всюду
плотны и присоединенное действие на алгебре Ли g есть в
точности локальное линейное действие в единице е е G, до-
достаточно доказать эквивалентное, но технически более про-
простое утверждение о том, что максимальные торы —связные
главные стационарные подгруппы присоединенного действия
на д. Следующая лемма дает эффективный способ вычисле-
вычисления главных стационарных подгрупп линейного действия.
Лемма 4.1. Пусть г|? — линейное G-действие, а ф*— пред-
представление группы Gx на срезе в точке х (ср. § 3, п. (А)).
Тогда
Доказательство. Ясно, что локальное представление
группы Gx в точке 0 совпадает с i|?|G^, а локальное представ-
представление группы Gx в точке х равно сумме представления
(нормальная составляющая) и представления Ado | Gx — A^
(касательная составляющая). Но множество неподвижных
точек F(GX, V) есть линейное пространство и потому связно.
Таким образом, локальные представления группы Gx в точке
О и в точке х должны быть эквивалентны *). □
Пусть X—произвольный элемент алгебры Ли g, G°x —
связная стационарная подгруппа Элемента X, а д* — алгебра
Ли группы Gx. Легко показать, что существует по крайней
мере один максимальный тор Г, содержащий группу Exp tX.
Следовательно, группа Gx содержит по крайней мере один
максимальный тор для каждого Х^д. С другой стороны, из
доказанной леммы следует, что G°x — связная главная ста-
стационарная подгруппа в том и только том случае, когда
Фа = Ad0 \ G°x - (Ad0 | О» - Adoo) = АсЦ
является тривиальным представлением. Это свойство (ввиду
того, что группа Gx содержит по крайней мере один макси-
максимальный тор) эквивалентно тому, что сама группа Gx — мак-
максимальный тор. О
1) Это утверждение непосредственно вытекает также из линейности
представления г|з. Действительно, локальное представление группы Gx в
точке х имеет вид g\—> (dty(g))x = ty(g). —Прим. ред.
§ 4. Общая теория компактных связных групп Ли 33
Следствие 1.8.1. Отображение Exp: g~^G, где G— ком-
компактная связная группа Ли, сюръективно.
Доказательство. Для произвольного элемента g e G
существует такой элемент giGG, что g{gg^1 ^Ту т. е.
g^g{~lTgv и, следовательно, наше утверждение вытекает из
того очевидного факта, что для тора экспоненциальное ото-
отображение сюръективно.
Следствие 1.8.2. Группы Gx (относительно присоединен-
присоединенного действия на д) связны для всех Xej.
Доказательство. Заметим, что группа Gx совпадает
с централизатором тора Т(Х), порожденного подгруппой
{Exp(tX)}. Мы утверждаем, что группа Gx совпадает с объ-
объединением всех максимальных торов, содержащих Т(Х) и
потому связна. Пусть g— произвольный элемент из Gx. Тогда
g и Т(Х) порождают компактную абелеву подгруппу, кото-
которая, вообще говоря, представляет собой произведение цикли-
циклической группы на тор, т. е. (g, T(X)} = Z/2X7V Легко пока-
показать, что ZhXT\ = <gi> — циклическая в топологическом
смысле группа1). Следовательно, по доказанной теореме су-
существует максимальный тор Г, содержащий <gi>=<g, Т(Х))У
т.е. £€=ГэГ(Л). □
Следствие 1.8.3. Путь Т — максимальный тор компактной
связной группы Ли G. Тогда два представления ф и г|э этой
группы эквивалентны в том и только том случае, когда экви-
эквивалентны их ограничения ф | Т и г|? | Т на Т.
Доказательство. ф^
(так как характеры постоянны на классах сопряженности, а
тор Т пересекается с каждым классом сопряженности). □
Определение. Размерность максимального тора компакт-
компактной группы Ли G называется рангом этой группы.
(С) Система корней и система весов
Определение. Пусть дано комплексное представление г|)
связной компактной группы Ли, в которой фиксирован
максимальный тор Т. Из последнего следствия и леммы Шура
1) См. [А 3*, предложение 4.4] — Прим. ред.
34 Гл. 1. Сведения о компактных группах Ли и G-пространствйх
вытекает что ограничение ^\Т есть полный инвариант и что
представление ip\T единственным образом разлагается в сум-
сумму одномерных представлений, т. е.
Следовательно, набор целочисленных линейных функциона-
функционалов Wi&Hl(T> Z), соответствующих представлениям г|?/,
образует полный инвариант представления г|). Он называется
системой весов представления if> и обозначается через Й(ф).
Определение. Система ненулевых весов комплексификации
присоединенного представления компактной связной группы
Ли называется системой корней группы G и обозначается
через A(G), т. е.
A (G) = Q (AdG ® С) — {нулевые веса}.
Замечание. Нулевые веса не включаются в A(G) ис-'
ключительно для удобства записи.
Глава II
СТРУКТУРНАЯ И КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Глава содержит сжатое изложение структурной и класси-
классификационной теории компактных групп Ли и их представле-
представлений с геометрической точки зрения групп преобразований.
Полное и ясное понимание структуры присоединенного дей-
действия компактной группы Ли G играет центральную роль в
классификационной теории, развитой Э. Картаном и Г. Вейлем.
Этот более геометрический подход на самом деле более есте-
естествен и прям, чем традиционный, связанный с алгебрами Ли.
Далее, этот подход обеспечит нас полезными примерами и
укажет путь дальнейшего исследования топологических групп
преобразований.
§ 1. Структура орбит и присоединенное действие
(А) Простейшие основные примеры: группы SUB) и SOC)
Группа SUB) (специальная унитарная группа ранга 2)
состоит из комплексных квадратных матриц порядка 2
(а —Ъ\
а = 1 _ I» ^удовлетворяющих условию deta=|a|2+
-|-|6|2= 1. Ее можно отождествить также с группой кватер-
кватернионов, по модулю равных единице, SpA) = {q = a -f- /•&;
| q 12= | a 12_}_ j ^ 12_ jj которая геометрически представляет
собой единичную сферу 53A)^R4. Центр группы Sp A) есть
{dzl}, и ее присоединенное представление отображает
Sp(l)/{±1} изоморфно на SOC), группу вращений трехмер-
трехмерного евклидова пространства. Присоединенное действие на
Sp(l) = S3(l) представляет собой геометрически действие
группы SOC) с помощью вращений вокруг вещественной оси
(здесь R4 интерпретируется как алгебра кватернионов, см.
[ПЗ]). Так как полный объем трехмерной единичной сферы
равен 2л2, то нормализованная мера Хаара на группе Sp A)
представляет собой обычную меру на единичной сфере, умно-
умноженную на 1/2я2.
36 * Гл. И. Структурная и классификационная теория
Применим теперь эти соображения о геометрическом стро-
строении Ргр?Х Sp(l)- SUB) к классификации ее неприводи-
неприводимых комплексных представлении.
(i) Пусть г^: Sp(l)-^ SUB) — обычное комплексное ли-
линейное действие группы SUB) на С2 = {(zu z2)}. Эти линей-
линейные преобразования определяют для каждого k ^ О действие
г|)А. группы Sp(l)^SUB) на пространстве P*sC[2i, г2] од-
однородных многочленов степени k.
(и) Пусть Г1 = {а = е2ше} = (комплексные числа, по
модулю равные единице) ^Sp(l) (кватернионы, по модулю
равные 1). Тогда Г1 — максимальный тор в группе Sp A) и
/а 0 \
Ф1 (а) • гх = а • 2Ь ф! (а) • z2 = a • г2.
Следовательно, взяв в пространстве Pk базис iz\, ...
, z\~lzlv ..., zJJ, получаем
♦Л (а) • (г*-^) = (агху-* • (а"^)' = а*^ (*?-
т. е. %(a) = diag(afe, afe, ..., afe/, ..., a~k) и
Теорема II. 1. Совокупность {г^; & ^ 0} образует полный
набор (неэквивалентных) неприводимых представлений груп-
группы Sp(l)=SUB).
Доказательство. Пусть do—обычная мера на 53A),
a f—функция на G = Sp(l), постоянная на классах сопря-
сопряженности (центральная функция). Тогда мы имеем следую-
следующую интегральную формулу:
J / (ё) dg = ^г J f (в) rf* = -^г \ / (е2я£е) • 4я sin2 Bяв) • 2я d0=
G S3 0
1
= j\ f (e2*1*) • I е**'в - в-2"'6 Р • d8 = 1 J / @ • | Q @ I2 Л,
0 fl
где dg и dt— нормализованные меры Хаара на G = Sp A) и
на Т1 соответственно, a Q(t)— t — t для / = е2шв е Т\
§ I. Структура орбит и присоединенное действие 37
(i) Применяя эту формулу к f(g)=xk(g) -Xfc(g), получаем
о г1
Следовательно, по теореме 1.3/ представления г|)£ неприво-
димы при всех k ^ 0.
(п) Заметим, что числа dim г|)/е = & + 1 разные при раз-
разных ky так что {г|)л; & ^ 0}, очевидно, образует семейство не-
неэквивалентных представлений. С другой стороны, из теории
рядов Фурье хорошо известно, что функции
{(в2я* (Л + 1) е __ е-2я* (Л + 1) в) == Xfe (в2я/9 _ 0-2яЮ). fe ^ 0}
образуют базис в подпространстве нечетных функций из
L2(Tl). Следовательно, {г|)^; k^O} уже составляет полное
семейство неприводимых представлений в том смысле, что
всякое неприводимое комплексное представление г|) группы
Sp(l) должно быть эквивалентно одному из представлений
г|)£. Действительно, в противном случае из теоремы 1.3/ сле-
следовало бы, что
<ХФ, %k)L4G)= \ Х^ • Xkdg =у J
G T
для всех k. Так как хф@ *Q@ — непрерывная нечетная функ-
функция, то, применив эти соотношения ортогональности ко всем
элементам базиса {%k{t) -Q@}, получаем ц (t) -Q(t)= 0, что,
очевидно, приводит к противоречию, поскольку Хф(^)==
= dim \рфО. П
Замечания, (i) Система весов представления г|)£ обра-
образует цепочку, которая идет от вектора старшего веса £9 к
вектору —feO, т. е.
ЩФ*) = {£9, (*-2)9, ..., (А-2/) 9, ..., -feB}.
(ii) Для того чтобы представление яр* пропускалось через
SOC), т. е. чтобы Ker tyk — {=Ы}, необходимо и достаточно,
чтобы k было четным. Эти представления образуют йолный
набор неприводимых представлений группы SOC).
(iii) Как в случае группы Sp(l), так и в случае группы
SOC), система весов любого представления содержит по
крайней мере один неотрицательный вес, который меньше
положительного корня 1), т. е. 0 ^ со < а. *
*) Легко видеть, что присоединенное представление группы G = Sp A)
или SOC) эквивалентно ty2. Поэтому A(G) = {±а}, где а, = 2д П
ред.
38 Гл. Л. Структурная и классификационная теория
Следствие П. 1.1. Всякая некоммутативная компактная
связная группа Ли ранга 1 изоморфна либо Sp(l), либо
S0C).
Доказательство. Заметим, что алгебры Ли групп Ли
SpA) и SOC) изоморфны, и в fli существует базис {//, X, У},
в котором [//, X] = У, [Я, Y] = -X и [X, Y] = Н. Предпо-
Предположим теперь, что G — некоммутативная компактная связная
группа Ли ранга 1, а д — ее алгебра Ли. Пуст> Р cz G — про-
произвольный фиксированный максимальный тор в G, a Ad | Г1 —
ограничение на Р присоединенного представления. Тогда
= l + t<*i и g = RI
где R1 — алгебра Ли тора Г1, а а/: Г1 -* SO B) — гомомор-
гомоморфизм, число вращения которого равно nj > О, R^ — соответ-
соответствующие инвариантные плоскости; П\ ^ ... ^ ns. Пусть
9j = R1 + R^, а Я' — целочисленный базисный вектор про-
Ехр
странства R1, т. е. Z^/ = Ker(R1 —^Г), а Х\ Г —ортого-
—ортогональный базис в R^. Тогда по определению
/ cos 2nnxt — sin 2nnxt \
а1(Ехр/-Я/)= . o \ о J-
1 v к V sin 2ml!/ cos 2n/Zi/ /
Следовательно, согласно предложению 4.1 из гл. I, § 4, п. (А),
[Н\Х'\=*пхГ и [Я', Y'] = -nxX'.
Так как группа G имеет ранг 1, то [Л, В] = 0 в том и только
том случае, когда элементы Л и В линейно зависимы в алге-
алгебре Ли д. Следовательно, [Х\ У')Ф 0, и из равенства
[#', [Х\ Г]] [Х\ [Г, Н']]-[Г, [Я', Г]] =
следует, что [X7, У^яг^-Я7 для некоторого Х=^0. Умножая
элементы базиса {Я', X7, У7} на подходящие константы, легко
получить новый базис (Н\9 Х\, Y\) алгебры Ли gj, в котором
[Ни Х\]= Yu [Н\у Ух] ===== —Xj, [X\f ¥\]^яН\. Следовательно,
$[& д{ как алгебры Ли, и, значит, подгруппа G7, алгеброй Ли
которой является д7, изоморфна либо Sp A), либо SOC) !),
!) Здесь используется, что SpA) и SOC) — единственные связные
группы Ли, имеющие алгебру Ли fii. Это легко следует из сказанного в на-
начале данного пункта. Действительно, Sp(l) односвязна (так как гомео-
морфна S3), и любая связная группа Ли с алгеброй Ли gi должна полу-
получаться из нее путем факторизации по подгруппе центра, который имеет
порядок 2. — Прим. ред.
§ 1. Структура орбит и присоединенное действие 39
Мы утверждаем, что G\ = G. Действительно, в противном
случае, применяя доказанную выше теорему к представлению
изотропии группы G{, действующему на касательных векто-
векторах к многообразию G/G[, мы получим, что его система весов
Q = {а2, ..., as} должна содержать по крайней мере один
вес а/, удовлетворяющий условиям 0 ^ а/ <С ai (см. замеча-
замечание (Hi)). Это противоречит тому, что o&i ^ а/ для всех
2 < / < s в силу выбора весов. □
(В) Элементарная структурная теорема для групп,
порожденных отражениями
Пусть М — связное дифференцируемое многообразие.
Диффеоморфизм г многообразия М на себя называется отра-
отражением, если г2 есть тождественное преобразование, множе*
ство F(r) неподвижных точек диффеоморфизма г имеет ко-
коразмерность 1, а М — F(r) состоит из двух связных компо-
компонент, переставляемых преобразованием г.
Теорема II. 2. Пусть Г — конечная группа, порожденная
отражениями, а 52 = {г/}—множество всех отражений из Г.
Тогда Г действует на связных компонентах множества
М — U F(rj) (называемых камерами) просто транзитивно.
г I e 5?
Замыкание Со произвольной камеры является фундаменталь-
фундаментальной областью для Г, т. е. каждая точка х е М сопряжена не-
некоторой точке Хо = у-х ^ Со, причем никакие две точки из
Cq не сопряжены между собой.
Доказательство. Заметим, что y-F(r) = F(y-r-y~l)
и поэтому множество (J F(rf) инвариантно относительно Г.
Следовательно, множество М — \J F(ry) тоже инвариантно.
Пусть d и С/ — две камеры, причем множество Ci(]F(r)(]Cf
имеет коразмерность 1. Тогда очевидно, что r(Ci)=Cj. Так
как объединение всех пересечений различных гиперповерхно-
гиперповерхностей {F(ri)[\F(rj)\ Г[Ф г/, Г{, г/е 52} (имеющее коразмер-
коразмерность ^ 2) не разбивает М, то нетрудно показать, что груп-
группа Г действует транзитивно на множестве камер, т. е.
r-C0 = Af— U F (П)- Следовательно, T-C0=M—UF(ri)=M.
Мы отсылаем к [С 33] за подробным доказательством того,
что Со пересекается с каждой Г-орбитой не более чем в одной
точке, т. е. что Со — фундаментальная область. D
40 Гл. II. Структурная и классификационная теория
Следствие II.2.1. Пусть &q — множество тех отражений из
группы Г, для которых гиперплоскости F(r) пересекаются с
Со по множеству коразмерности 1. Тогда группа Г порож-
порождается отражениями {г е 52о} и множество 9t,§ называется
простой системой образующих группы Г.
(С) Группа Вейля и основная редукция
Определение. В силу того что все максимальные торы в
компактной связной группе Ли G сопряжены, мы можем про-
произвольно выбрать максимальный тор Т ^ G и определить
группу Вейля W(G) группы G, положив W{G) = N(T)/T, где
N(T)=N(T, G)—нормализатор тора Т в G. Ясно, что сопря-
сопряжения определяют действие группы W(G) на Т и, следова-
следовательно, также на ее алгебре Ли ft, которая называется под-
подалгеброй Картана. Значение группы Вейля видно из следую-
следующей основной редукции.
Теорема II. 3. Пусть G — компактная связная группа Лиу
Т — максимальный тор в G, A(G)— система корней группы G,
a W — группа Вейля группы G. Тогда
(i) кратность каждого корня аЕА(С) равна 1 и k-a^
е A(G) в том и только том случае, когда & = ± 1,
(и) группа Вейля W действует на алгебре Ли Ь (соотв. на
группе Ли Т) как группа, порожденная отражениями {га;
A(G)}, где га — отражение относительно гиперплоскости
>^>R0 {соотв. Та = Кет°(т-^>и(\)У\
(Hi) Wx = W(Gx) (X е Ь) и следующие включения инду-
индуцируют биекции на соответствующих пространствах орбит:
g/Ad
T —»
I
TIW—>
■ Q
1
■G/Ad
(Здесь через Ad обозначается как присоединенное действие
группы G на себе, так и присоединенное представление груп-
группы G в д.)
Доказательство, (i) Пусть Га = Кег° (г -^ £/A)),
Ga = №(Та) — связный нормализатор тор£ Га и Cja = Ga/71a.
Ясно тогда, что ранг группы Ga равен 1, причем система кор-
корней A(Ga) состоит в точности из всех тех корней системы
A(G), которые пропорциональны а. Однако из след-
1) Автор отождествляет здесь корень а с соответствующим гомомор-
гомоморфизмом ExpXy->e2nia{X) (Хе=$) тора Т в U(\) (ср. следствие 1.2.1).
Группа Та = Ехр §а есть подтор в Т, отвечающий гиперплоскости ¥)а. —
Прим. ред.
§ 1. Структура орбит и присоединенное действие 41
ствия II. 1.1 § 1, п. (А), вытекает, что А(&а) — {=Ьа}. Следо-
Следовательно, кратность корня а должна быть равна 1 и teG
gA|G) тогда и только тогда, когда k = ±1.
(ii) Ясно, что F(Ta, g) = ga (где ga — алгебра Ли группы
Ga = №(Та.)I) и что индуцированное действие группы бана
да совпадает с присоединенным представлением AdGa, которое
в действительности есть представление группы Ga вращения-
вращениями в пространстве ga, причем подпространство I)a (имеющее
коразмерность 3 в ga и коразмерность 1 в |)) совпадает с мно-
множеством неподвижных точек. Отсюда нетрудно вывести, что
F(Ga, Q)=F{ra, F(T9 j}))=F(ra, Ь) — Ьа9 где га —отражение,
порождающее группу \^(Ga)= Z2.
Рассмотрим группу Вейля W как (эффективную) группу
преобразований пространства T) = F(T, g). Группа IF содер-
содержит определенные выше отражения га для каждой пары кор-
корней +aGA(G). Мы утверждаем, что W на самом деле
порождается этими отражениями. Чтобы показать это, обозна-
обозначим через W подгруппу, порожденную множеством отраже-
отражений {ra\ ±ае A(G)}. Так как множество A(G) инвариантно
относительно W, то ясно, что множество |) — U Ъа тоже W-ин-
вариантно. Следовательно, группа W переставляет связные
компоненты последнего, т. е. камеры Вейля. Заметим, что
группа W действует на камерах просто транзитивно. Следо-
Следовательно, нам осталось показать, что группа W также дей-
действует на камерах просто транзитивно (поскольку в этом
случае ord W = ord W = (число камер)). Предположим про-
противное. Тогда существует такой элемент oelt^ (простого) по-
порядка р, что а(Со)=Со. Значит, из теоремы Смита и (аци-
(ацикличности камеры СоJ) вытекает, что существует элемент
X е Со, неподвижный относительно а. Следовательно, группа
Gx несвязна (так как G°x = Т и Gx/G°x 2 {а}), что противоречит
1) Действительно, группа Ga порождает связную группу автоморфиз-
автоморфизмов тора Та. Но группа автоморфизмов тора дискретна, так что G^ лежит
в централизаторе тора Та и совпадает на самом деле со связной компо-
компонентой этого централизатора. Значит, ее алгебра Ли ga совпадает с
F(Ta, Ъ).-Прим. ред.
2) См. гл. IV, § 1, п. (D), пример 1. Утверждение автора вытекает
также из следующего элементарного рассуждения. Пусть существует такой
иеН^, что а Ф е и а(С0) = Со. Группа Вейля W конечна (как компакт-
компактная подгруппа дискретной группы автоморфизмов тора Т). Поэтому а
имеет конечный порядок т. С другой стороны, легко видеть, что Со пред-
представляет собой выпуклый многогранный угол в \) (см. § 2, п. (В)). Значит,
m-i
если У — произвольный элемент из Со, то X = — V^ okY е Со. Ясно,
что оХ = X; это, как показывает далее автор, приводит к протпворе;
чию. — Прим. ред.
42 Гл. //. Структурная и классификационная теория
следствию 1.8.2, п. (В) § 1.4. Поэтому W = W и группа W
порождена отражениями {га}.
(iii) Из теоремы о главном типе орбит непосредствен-
непосредственно следует, что множество неподвижных точек F(T, $)=$
(соотв. F{T, G)=T) главной стационарной подгруппы при-
присоединенного представления (соотв. присоединенного дей-
действия) пересекается с каждой орбитой. Именно, следующие
вложения индуцируют сюръективные отображения соответ-
соответствующих пространств орбит:
W "^ 9/Ad T/W -^ G/Ad
С другой стороны, инъективность этих отображений означает
просто, что F(T,G(X))=N(TfG)/N(TfGx)=W(G)/W{Gx) —
это непосредственно следует из теоремы о максимальных
торах. Наконец, заметим, что
1еЯа} и WX = W(GX) для *«=$. □
Определение. Пространство орбит g/Ad ^ Ъ/W называется
камерой Вейля алгебры Ли д, а пространство орбит G/Ad ^
& Г/В7 называется многогранником Картана. В силу теоре-
;мы II. 2 эти пространства орбит обычно отождествляют с со-
соответствующими фундаментальными областями.
(D) Функция объема и формула интегрирования Вейля
Если снабдить группу G двусторонне инвариантной рима-
новой метрикой1), относительно которой полный объем груп-
группы G равен 1, то для центральной функции f, т. е. функции,
постоянной на классах сопряженных элементов на G, инте-
интеграл по мере Хаара \f(g)dg можно свести к следующему
G
]) Существование такой метрики видно, например, из того, что левые
и правые сдвиги порождают действие компактной группы Ли G X G на
многообразии G (см. примечание на стр. 26). Другой способ введения дву-
двусторонне инвариантной римановой метрики состоит в следующем. Согласно
следствию I. 1.1, в алгебре Ли g, которую можно считать касательным про-
пространством Te(G) в точке е, существует скалярное произведение, инва-
инвариантное относительно представления Ad. Перенеся это скалярное произве-
произведение в касательное пространство Tg(G) в произвольной точке g с по-
помощью левого (или правого) сдвига на g, мы.получим искомую метрику.—
Прим. ред.
§ 1. Структура орбит и присоединенное действие 43
интегралу по многограннику Картана Р:
Р Т
(N = ord (W (G)), Т состоит из множеств wP),
здесь p(t) есть ^-мерный объем класса сопряженных элемен-
элементов G(t), q = dim G/T. Теперь вычислим функцию объема
р(/): T-+R следующим образом. Снабдим G/T такой G-инва-
риантной римановой метрикой, чтобы на касательном про-
пространстве в отмеченной точке е^Т она совпадала с ограни-
ограничением метрики на алгебре Ли g на пространство fI. Для
фиксированного /еГ имеем
Ul
где i @ {gT)= gtg~l и аналогично определяется ia@- Ясно,
что1) p@ = vol(G@) = vol(G/r).|det(di(Ob|- Касательное
пространство в отмеченной точке е е G/T, совпадающее с &х,
разлагается в сумму корневых пространств, инвариантных
относительно (di(t))e:
где Д+—-система положительных корней (см. § 2, п. (В)).
Отсюда мы получаем, что det(di(t))e= Д det (dia (/))<>. Про-
as A+
водя вычисление в случае ранга 1, нетрудно убедиться в том,
что det(dia(Exp#))= const• sin2(na(Я)) (Яе|) и, следо-
следовательно,
р(Ехр Я) = с0- det(di(Exp Н)е) = с Д sin2 я-а (Я)
osA+
ИЛИ
1) Если t — внутренняя точка многогранника Картана, то касательное
пространство Tt(G{t)) можно отождествить с б1 при помощи правого
сдвига на I-1. Тогда (di(t))e будет линейным преобразованием простран-
пространства 1Л-,-ш-Прим. ред.
44 Гл. II. Структурная и классификационная теория
где с' = с/2", /> = |Л+1 и Q(Exp Д)-П (е^<»>-е)
(Яе|)'). оеЛ
Замечание. Полезно отметить, что функция Q(t) анти-
антисимметрична относительно группы W, т. е. Q(o(t)) =
= deto-Q(t). Тогда легко показать, что2)
где б = 7г 2 а« Используя полученное выражение для
оеА+
функции Q(t), мы легко вычислим константу с'\
Тем самым мы получили следующую важную формулу.
Формула интегрирования Вейля. Для центральной функ-
функции / на группе G выполняется равенство
где Q(Exp#)
оеА+
*) Функция Q корректно определена на торе Т в случае, когда G одно-
гвязна (что можно предположить без ограничения общности). Действи-
Действительно,
ТТ (еп1а (Я) _ e-nia (Я)) ^ g-2jif6 (Я) ТТ ^2nia (Я) __ j)
osA+ oeA+
где 6 = y V а. Далее, 6(Я/) = 1 для всех / (см. § 2, п. (С)), откуда
ае=д+
следует, что функция е2л^ определена на Т, если G односвязна
[ДЗ*,АЗ*]. — Прим. ред.
2) Здесь используется естественное действие группы W в сопряжен-
сопряженном пространстве $*. А именно, для а е f Д е f имеем
— Прим. ред.
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли 4й
&»■... , . , . i. .,. . -—™____^»_ч——
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли
(А) Форма Картана — Киллинга и характеризация
компактных алгебр Ли
Определение. (Вещественная) алгебра Ли g называется
компактной, если она является алгеброй Ли некоторой ком-
компактной группы Ли G.
Очевидно, что на компактной алгебре Ли g имеется ска-
скалярное произведение, инвариантное относительно присоеди-
присоединенного представления группы G. Именно,
(Ad(Exp/X).y, Ad(Exp/X)-Z)s3(y, Z) для всех X, У, Z е= д.
Это тождество, очевидно, эквивалентно своему инфините-
зимальному варианту:
£ (Ad (Exp tX) • У, Ad (Exp tX) • Z)M =
= {[Х, У], Z) + {Y,[X
Следующее важное и простое следствие вытекает из это-
этого факта.
Теорема II. 4. Компактная алгебра Ли g единственным об-
образом разлагается в сумму своего центра до и простых идеа-
идеалов, д = до+Ез/.
Доказательство. Из приведенного тождества легко
вытекает, что пространство f1, ортогональное к произвольно-
произвольному идеалу I, также является идеалом и что g = I + f1 (пря-
(прямая сумма алгебр Ли). Действительно, если Хед, У е I,
Ze=f\ то
[X, Y]€=t--=>(Y;\X, Z]) = -([X, У], Z) = 0=KX, Z]s!-l. п
Имея в виду теорему II. 4, мы будем предполагать в даль-
дальнейшем, что сама алгебра Ли g проста, хотя большая часть
того, что говорится ниже, остается верной (с некоторыми оче-
очевидными изменениями) для произвольных или по крайней
мере для полупростых компактных алгебр Ли.
В силу того что линейное подпространство I алгебры Ли g
является Ad-инвариантным в том и только том случае, когда
f — идеал, присоединенное представление группы G в ее алге-
алгебре Ли g неприводимо тогда и только тогда, когда G (соотв.
9) проста. Следовательно, на простой компактной алгебре Ли
g две инвариантные симметрические билинейные формы про-
пропорциональны, т. е. В\(Х, У)= kB2(X, У). С другой стороны,
46 Гл II. Структурная и классификационная теория
следующая форма Картана — Киллинеа
В(Х, y) = Tr(adX-ad У)
есть, очевидно, симметрическая билинейная форма, инвариант-
инвариантная относительно внутренних автоморфизмов алгебры Ли fl.
Значит, форма Картана — Киллинга пропорциональна не-
некоторому инвариантному скалярному произведению на д. За-
Заметим, что оператор ad X (Хед) кососимметричен и имеет
чисто мнимые собственные значения. Следовательно, соб-
собственные значения оператора (adXJ отрицательны и
В(Х, X) = tr(ad ХJ<0. Поэтому форма В(Х, У) отрица-
отрицательно определена, и естественно рассмотреть билинейную
форму (X, Y)= — В(Х, Y) как инвариантное скалярное про-
произведение на д. На самом деле нетрудно доказать, что ком-
компактные алгебры Ли можно охарактеризовать следующим об-
образом:
Теорема П. 5. Простая (или полупростая) алгебра Ли ком-
пактна тогда и только тогда, когда форма Картана — Кил-
Киллинга В (X, У) отрицательно определена.
(В) Система простых корней и диаграммы Дынкина
Пусть g — простая компактная алгебра Ли, %—ее произ-
произвольно выбранная, но фиксированная подалгебра Картана,
а А£|* (|)* — пространство, сопряженное к &)—система кор-
корней алгебры Лид. Пусть {X, Y) = —В (X, Y) = —tr (ad X • ad У)—
скалярное произведение на д. Тем же символом обозначим ин-
индуцированные скалярные произведения на $ и &*. Тогда груп-
группа Вейля W действует на $ (соотв. на |)*) как группа орто-
ортогональных преобразований, порожденная отражениями {га;
±«gA}. Заметим, что, так как группа W действует на ка-
камерах просто транзитивно, то удобно выбрать произвольную,
но фиксированную камеру Со, а потом определить упорядоче-
упорядочение в множестве корней так:
а > 0<=>а(Со) > 0, asA (положительность относительно Со).
Ясно, что тогда А распадается в объединение двух непересе-
непересекающихся множеств — множества положительных корней Д+
и множества отрицательных корней Д~, т. е. Д = Д+иД~ и
Со« П $а={Ле=&; а(А)>0}, СО- П fa.
as Д"** as Д"+
Определение. Пусть ясД+ — множество таких положи-
положительных корней, что их гиперплоскости пересекаются с Со по
множеству коразмерности 1, Ясно тогда, что п — минималь*
$ 2. Классификация компактных связных групп Ли 47
ное подмножество в Д+, такое, что Со= П §<!*• Множество л
называется системой простых корней (относительно Со).
Теорема II.6. (i) Пусть а, р е Д и р, 9^0 — наиболь-
наибольшие целые числа, такие, что р + Ра, Р — ?а е Д соответ-
соответственно. Тогда Р+/а е Д мри —? </<р и 2(р, а) /(а, а) =
(ii) Я*/сть яеД+ — система простых корней. Тогда из
того, что а/ ф а/, а/, а/-ел, следует, что (а*, а/) ^ 0. Мяо-
жество л образует такой базис пространства |)*, «/то каждый
корень реД представляется целочисленной линейной комби-
комбинацией простых корней с коэффициентами одинакового зна-
знака, т. е.
Р = Z kph где 4/GZ и Л/ >0,
+ (соотв. &/<0, если ре Л").
(iii) Я*/сть йь дг — <5в^ простые компактные алгебры Ли, а
Ai, Д2 t/ 3x1, JX2 — w# системы корней и простых корней соот-
соответственно. Тогда из изоморфизма gi ^ g2 следует, что систе-
системы п\ и Ji2 изометричны. Любая изометрия между щ и лг мо-
может быть единственным образом продолжена до изометрии
между Ai и Дг.
Доказательство, (i) Так как множество А инвари-
инвариантно относительно группы Вейля W, то очевидно, что
МР + ра) = (р + ра)-2(р + ра, а)/(а, а) -а =(р - )
Следовательно, 2(р, а)/(а, а)= q — р. Тот факт, что
еД при — q ^ j ^ Р> непосредственно следует из теоремы
II. 1 п. (А) § 1, примененной к AdG\Gal).
(ii) Заметиод, что если положительный корень а можно
разложить в сумму двух других положительных корней а =
= ai + «2, то условие a(h)^0 вытекает из- условий a\(h)^0
и аг(й)^0, и, следовательно, в приведенном выше выраже-
выражении для Со как пересечения полупространств его можно опу-
опустить. Отсюда легко понять, что п ^ Д+ — это в точности мно-
множество неразложимых положительных корней. Пусть а/ ф а/,
а/, а/ е л — два простых корня. Тогда а/ — а/ ^ А, так как в
противном случае либо он — а/ еД+ и а/ = (а/ — а/) + о&/
разложим, либо а/ — а/ G А+ и а/ =(а/ — а*)+ сс£ разложим.
Следовательно, из (i) получаем, что ^=0 и 2(а«, ау-)/(а/, а*) =
= 9 — р = — р ^ 0, т.е. (а*, а/)^0. Далее, из положитель»
ности а/ и условия (а/, а/) ^ 0 при 1 ^ / < / ^ г следует, что
система л= {ai, ..., ar} линейно независима — это простой
4) См. замечание (i) на стр. 37. — Прим. ред.
48 Г л II Структурная и классификационная теория
факт из линейной алгебры. Следовательно, всякий положи-
положительный (соотв. отрицательный) корень pGA+ может быть
единственным образом представлен как линейная комбинация
корней о,-е я с неотрицательными (соотв. неположительны-
неположительными) целыми коэффициентами. Тот факт, что множество п по-
порождает !)*, легко следует из того, что алгебра Ли g не имеет
центра.
(iii) Поскольку все подалгебры Картана компактной алге-
алгебры Ли сопряжены друг другу, то можно так подправить про-
произвольный изоморфизм i: gi->92 подходящим внутренним ав-
автоморфизмом, чтобы i(fh)=fJ. Поэтому из определения си-
системы корней и из инвариантности скалярного произведения
непосредственно следует, что изоморфизм i определяет изо-
метрию системы А\ на Д2. Далее, так как группа W действует
просто транзитивно на множестве камер, а выбор системы
простых корней равносилен выбору камеры, то ясно, что W
действует просто транзитивно также на множестве различных
систем простых корней. Следовательно, после подходящего
сопряжения элементом из W мы получаем индуцированную
изометрию системы щ на я2. Наконец, из (i) легко следует,
что система Д полностью определяется метрическими свой-
свойствами системы зт, и, следовательно, изометрия между jxi и я2
единственным образом продолжается до изометрии между Ai
и Д2. □
Диаграммы Дынкина
2 (а., а.-) 2 (а,, а,-)
Заметим, что из неравенства -j—1—^- • —А-=—~ < 4 сле-
(<х., а.) (ау, а.)
дует, что целое число 2(а/, а/)/(а*, а*-) принимает одно из
значений 0, —1, —2 или —3; геометрически это соответствует
случаям, когда углы между щ и а/ равны соответственно 90°,
120°, 135° и 150°. Поэтому метрические свойства системы про-
простых корней я удобно отобразить при помощи описанной
ниже диаграммы.
Мы будем символически изображать корни точками; две
точки будут соединяться простой, двойной или тройной чер-
чертой, если угол между соответствующими простыми корнями
равен 120°, 135° или 150°. Далее, в случаях двойной и тройной
черты, т. е. случаях, когда 2(а,-,а/)/(а/, а/) = —2 или —3 и
2(а*,а/)/(а/,а/) = —1, два простых корня имеют разные
длины, и мы будем использовать направленные отрезки (=Ф
или ^ ), указывающие на более короткий корень. Такая
диаграмма называется диаграммой Дынкина системы про-
простых корней я (или алгебры Ли д).
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли 49
Предложение. Диаграмма Дынкина простой компактной
алгебры Ли связна. Для произвольной компактной алгебры
Ли g существует взаимно однозначное соответствие между
связными компонентами ее диаграммы Дынкина и ее про-
простыми идеалами.
Доказательство. Пусть я'—связная компонента си-
системы я и я = я' U я". Тогда по определению я' 1 я". Зна-
Значит, (а', а")=0, если а', а"— линейные комбинации корней
из я', я" соответственно, и, следовательно, по теореме II. 6
а'+а"£-Д (так как 2 (а', а")/(а'> «') = q — Р = - Р = 0),
откуда, в свою очередь, вытекает, что [Х^, Ха"] = 0. Теперь
легко показать, что подалгебра, порожденная всеми Ха', где
а' выражается через я', является идеалом, откуда и следует
доказываемое предложение. □
Связная диаграмма Дынкина называется геометрически
допустимой, если существует множество векторов с метриче-
метрическими свойствами, отвечающими этой диаграмме. Разумеется,
для такого чисто геометрического рассмотрения играют роль
лишь углы, и нетрудно видеть, что необходимое и достаточное
условие того, что множество {ai, ..., аг} векторов с предпи-
предписанными углами реализуется геометрически, состоит в том,
чтобы | 2'/а/|2 = {YaUal> 2^/а/) ^0 Для всех tj^R (и = 0,
лишь когда 2-» hai ~ 0)«
Пользуясь этим, нетрудно доказать следующее предлож-
предложение.
Теорема II.7. Геометрически допустимые связные диа-
диаграммы Дынкинп чгчггываются следующим списком:
\ о—о—о • • • о о
2\ о—о--о • • . о=>о
о-о—о-
о; £7: о
Мы отсылаем читателя к § 5 гл. IV книги [Д1] за стан-
стандартным доказательством этой элементарной теоремы,
50 Гл. II. Структурная и классификационная теория
(С) Базис Шевалле и теорема классификации
В случае компактных алгебр Ли теорема классификации
Картана — Киллинга может быть просто сформулирована
следующим образом:
Теорема II.8 (Картан — Киллинг). Отображение, ставящее
в соответствие полупростой компактной алгебре Ли g ее диа-
диаграмму Дынкина Z)(g), является биективным отображением
множества классов изоморфных полупростых компактных ал-
алгебр Ли на мнооюество геометрически допустимых диаграмм
Дынкина (см. теорему II. 6).
Мы будем доказывать эту теорему следующим образом.
Пусть g — полупростая компактная алгебра Ли и дс =
==g<S>C — бе комплексификация. Пусть |) — подалгебра Кар-
Картана, а А — система корней алгебры g (точнее, некоторой ком-
компактной связной группы Ли G с алгеброй Ли д). Тогда по
определению имеем следующее разложение алгебры Ли дс
относительно представления Ad\T (или ad||)):
9С = Ъ ® С + Yj Ca,
аеА
где корневые пространства Са = {Хе #с; [Я, X] = /а (Я) • X
для Я е Ц одномерны. Если ограничить теперь присоеди-
присоединенное представление на подгруппы {Ga; a e А+}, то слагае-
слагаемые этого разложения на корневые пространства группи-
группируются в инвариантные относительно Ad|Ga ("соотв. ad|ga)
пространства следующим образом:
ч/£,СР+/в)'
Далее, легко произвести непосредственную проверку следую-
следующих свойств корневого разложения:
(i) [Ca, Cp] = Ca+p для a, p e А, если положить Ca+p=0
в случае, когда a + Р ф А.
Доказательство. Имеет место равенство [Я, [Ха, Х^]]—
VI VI 1 Г V г г_т V" 1 1 / (п _| о\ ( Т-Т\ Г V" VI гт ттст
Л д J, Л о J ~|~ [у\д, lily Л. о J j £ ^(Х ~j~ р^ x^/'L^ct» ^fiJ ДЛЯ
IaeCa, Xp s Сэ. Тот факт, что [Ха, Х$] ф 0, если
следует из неприводимости пространства /^ Ср+/а
относительно ad|ga.
(ii) Для каждого корня аеД пусть Яа^*)— такой эле-
элемент, что (Н'п, Я) = а(Я) для всех Яе^} и Я^ = 2Яа/(а, а).
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли 51
Тогда каждый На является целочисленной линейной комби-
нацией элементов Н( = Наг где {аь ..., аг} = я — система
простых корней.
Доказательство. Будем писать Г/ вместо ra e W.
Тогда
riHt = Я, - ^ a^ Hf
и, следовательно,
2(агау)
Так как отражения {г/} порождают tt^ и a=»te;*a/ при под-
подходящих w ^W и а^Ея, то отсюда следует (и).
(ш) Если рассмотреть подалгебру ga® С = tya® С + ga ®
® С = ^а ® С + ({Яа} ® С + Са + С_а), то становится очевид-
очевидным, что [Ха, Х_а] = X • На Ф 0, когда Za> X.a — ненулевые
векторы из Са и С_а соответственно. Более того, из тожде-
тождества
.а, Ха), ЯеГ
следует, что [Ха, Х_а] = / (Ха, Х_а) • Н'а = j (Xa, Х_а) (а, а) /Яа,
(Ха, Х_а) =^= 0. На самом деле нетрудно показать, что суще-
существуют такие элементы Ха, Х_а, что Ха = Х__а и (Ха, Х^а) =
==2/| ар, т. е. [Xai X_a] = iHa. (Другая такая пара может
отличаться от {Ха, Х_а} лишь множителем eib, т. е. должна
иметь вид {eieXat е~шХ_а}.)
(iv) Пусть {Ха; абА} выбраны так, что Ха = Х_а и [Ха,
Х„а] = Ша. Определим числа Nat p равенством [Za, Яр] =
=^a>pZa+p, если a + peA, и ЛГа§р = О, если а + Р^А.
Тогда получаем следующие свойства структурных кон-
констант Na, p:
(a) Л^-в,-рвЛГа.р и Маэ3 = — Л^з^, Очевидно из опреде-
определения.
(b) Для тройки корней, связанных соотношением a-J-
0
_ _ у
lYl2 "" let]2 "IF
52 Гл. //. Структурнйя и классификациднная теория
N
= — {Хр> [Ха, Xу]) = vvY>а(ар, А_р) = 2 | ',2 ■.
(с) Пусть а,р,у, й^А и а + Р + Y + S = 0, причем никакие
два из этих корней не пропорциональны. Тогда [Ха, [Х»> Ху]] =
I Л |2
= N^y[Xa, Х^+у] = N^yNa, £+уХ__ь = N^ уЛ/"в, a |p^_ Y|2 ^-б-
Следовательно, из тождества Якоби имеем
(d) l^pP^p^+D'^^'^Cy+D2, (где a,
Дока зательство.
(применим (Ь) к (— а), (— 0), (а + Р)) =
IPI2 у _
I ft |2
= ~1^з|2 |а + В12 ХР (вследствие (а)).
С другой стороны, простым свойством представления группы Ga
(или, скорее, алгебры ga) в пространстве ( 2 Cp+/aJ
является соотношение [Х_а, [Xat Y^\] = — p{q + 1) Y^ для
всех Ур е Ср. Следовательно,
Далее, положим Гар = Та П Гр, ^ = № (TaJ и Ga3 =
Ясно, что (Зар имеет ранг 2 и Gap состоит из всех тех кор-
корней из А, которые являются __линейными комбинациями
корней аир. Так как а + Р^Д(Оар), то диаграмма Дынкина
группы G должна быть связна и, значит, имеет вид либо о—ot
либо °=>°, либо о^о. Просто (хотя несколько утомительно)
проверить, что в этих трех случаях р (q -f- 1) 1 r 12 = (9 + IJ.
Теорема И.8' (Шевалле). Пусть g—• компактная полупро-
полупростая алгебра Ли> а 9с = 9® С— ее комплексификация, дс =
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли ? 53
® С + Ya Ca. Т°гда можно так выбрать Ха е Са, что
ае &
Ла = Л_а,
[Ха> Х_а] = iHa =
= (целочисленная линейная комбинация элементов iHa\
Значит, семейство {Ха; аеА} вместе с семейством
п] е п) образуют такой базис алгебры Ли дс, что все струк-
структурные константы целочисленны. Он называется базисом
Шевалле алгебры Ли tfc.
Замечания, (i) Множество |Яа ; ау- е л} U |Za + X__at
i{Xa — X_a)\ a£A+} образует базис в алгебре Ли g.
(ii) Из сформулированной теоремы, очевидно, следует
одно из утверждений теоремы классификации, а именно
Д1^Д2=^д1^д2 (или СООТВ. 31С ^ 92С).
(iii) Так как существование алгебр Ли классических ти-
типов, т. е. Ап, Bni Cny Dn — хорошо известный факт, остается
только доказать существование простых алгебр Ли для
каждого из пяти исключительных типов. Пользуясь явно
выписанными выше базисом и структурными константами,
можно свести доказательство к простой проверке.
Доказательство теоремы Шевалле. Так как
I ^a, р 12== (я + О2» то надо только показать, что можно так
выбрать Ха, чтобы все Nata были вещественными числами.
Заметим, что две_пары {Х^ Х_а) и {Ха, Х'-а}, удовлетво-
удовлетворяющие УСЛОВИЯМ "Ха=Х_а, Ха=Х-а И (Ха, Х-а) = (Х'а, Х-а) =
= 2/| а|2, различаются множителем eiQ, т. е. X'a = eiQ • Ха и
XLa = e~iQ • Х-а* Естественно начать с произвольного базиса
{Ха, Х_а\ а£Д+}, удовлетворяющего условиям Ха = Х_а
и (Ха, Х_а) = 2/| а |2, а затем последовательно подправлять
каждую пару подходящим множителем eiQ, чтобы сделать
все iVa, р вещественными числами. Пусть Др = {аеА; — р<
< а < р}, ре А+. Можно предположить, что JVaipGR при а,
Р, а + Р^Ар и в качестве шага индукции доказать, что
Afa>p^R при а, р, а+Р^ ApU {±р}. Если р не может быть
выражен как сумма двух векторов из Ар, то пара {XQi Х„9)
не нуждается в подправке. В противном случае, пусть р =
= а + Р ~ такое выражение с наименьшим а. Мы просто,
54 tл. //. Структурная и классификационная теория
подправим {Хр, Х_о} так, чтобы коэффициент Afa,fl стал
вещественным (это можно сделать в точности двумя спосо-
способами, чтобы Na,{, оказался больше или меньше нуля соот-
соответственно). Пусть А + М"=^а + Р = Р — Другое такое выра-
выражение. Тогда <х+р + (— АL-(— Ц) = 0, и из утверждения (с)
п. (iv) следует, что коэффициент Мк^ тоже веществен. Это
завершает шаг индукции, и теорема доказана. Q
(D) Теорема Вейля и определение центра Z(G)
простой связной группы G
Теорема II.9 (Вейль). Пусть G — полупростая компакт-
компактная связная группа Ли. Тогда ее односвязная (или универ-
универсальная) накрывающая группа G тоже компактна.
Доказательство. Предположим противное. Тогда
Ker(<3->t?) gZ(E)-бесконечная дискретная абелева под-
подгруппа в G. Отсюда легко вывести, что существуют компакт-
ные накрывающие группы Gu <3-->Gi—*G, у которых центр
Z(d) имеет произвольно большой конечный порядок. Это,
очевидно, противоречит тому, что |Z(Gi)| не превосходит чи-
числа вершин в многограннике Картана группы G\ (каждый
элемент центра группы является вершиной ее многогранника
Картана), которое, очевидно, конечно. D
Наконец, для удобства ссылок перечислим диаграммы
Дынкина многогранников Картана, а также центры простых
компактных односвязных групп Ли:
Замечание, (i) В этой диаграмме каждая точка отве-
отвечает «стенке» многогранник^ Картана, имеющей соответ-
§ 3. Классификация неприводимых представлений 55
ственно вид а/(Я)^0, а/ея, и Р(#Х 1, где $ —старший
корень. Черная точка на диаграмме изображает корень —р.
(И) Пусть х — вершина многогранника Картана, а х—
стенка, противоположная вершине х. Тогда диаграмма Дын-
кина D(Gx) централизатора Gx элемента х получается из
приведенной выше диаграммы многогранника Картана уда-
удалением точки, соответствующей х. Значит, элементы группы
Z(G) находятся во взаимно однозначном соответствии с теми
вершинами х, для которых C(G)— {х} = D(G).
§ 3. Классификация неприводимых представлений
(А) Теорема классификации НЛО (Картан — Вейль). Пусть
G — односвязная полупростая компактная группа Ли, $ — ее
алгебра Ли, $ —подалгебра Картана, a W — группа Вейля
группы G. Пусть А — система корней, an — система простых
корней (относительно фиксированного упорядочения). Пусть
г|) — неприводимое комплексное представление группы Ли G
uQ(ty) — система весов представления г|). Обозначим через Дф
наибольший вектор системы й(\|?) (относительно фиксирован-
фиксированного порядка) и назовем его старшим весом представления
г|). Тогда
(\) Кратность веса А$ равна 1, и два неприводимых ком-
комплексных представления эквивалентны тогда и только тогда,
когда их старшие веса совпадают, т. е. г|) ~ ф <=> Лф = Лф.
(п) Характер представления $ может быть выражен в
терминах старшего веса Лф следующей формулой Вейля:
где д — -^ 2J a*
О6А +
(iii) Вектор Ле|* может быть реализован как старший
вес неприводимого комплексного представления тогда и толь-
только тогда, когда 2(Л, a/)/(a/, a/) = q\ — неотрицательные це-
целые числа при а/ е п.
Доказательство. Пусть %ф (g) — характер представле-
представления г|), а хф(О — его ограничение на максимальный тор Т (ал-
(алгеброй Ли которого служит $). Пусть m(w) — кратность веса
w в системе Q(\f>). Тогда по определению
56 Гл. П. Структурная и классификационная теория
Ввиду формулы интегрирования Вейля (см. п. (D) § 1),
естественно попытаться вычислить функцию Xi>@'Q@—
= yu(t)-( Z det(a)£?2ju4j6(/f)Y где t = Ехр Н. Заметим, что
функция Хф @ симметрична, а функция Q(t) антисимметрич-
антисимметрична и, следовательно, функция %^(t)-Q(t) антисимметрична
(относительно действия группы W). Если разложить антисим-
антисимметричную функцию / по /Лбазису в L2(T)y состоящему из
представляющих функций, то, как легко видеть,
/(ЕхрЯ)= Z со-( Z det(a)e2«/a"°
где v пробегает веса, лежащие в положительной камере Вей-
Вейля Со. В частности,
+ другие возможные слагаемые.
Теперь из неприводимости представления г|) (см. теорему i.3/
из п. (С) § 1 гл. I) следует, что
1 =
G
oef L2(T)
(соотношения ортогональности Шура) =
Следовательно, должно быть m (Л^)= 1 и %^ (Ехр Н) • Q (Ехр #)=
= Yj det(a) • e2ntG(A$+6)(H\ а это есть в точности формула
W
характеров Вейля. Так как характер представляет собой пол-
полный инвариант, а формула характеров Вейля дает явное вы-
выражение характера %^(t) через старший вес Л^, то очевидно,
что ф ~ ср ФФ Л^ = Лф. Таким образом, (i) и (ii) доказаны.
§ 3. Классификация неприводимых представлений 57
Утверждение (ill) непосредственно следует из теоремы пол-
полноты Петера — Вейля. П
Следствие II. 10.1. (Ит-ф= Д * ф+ ' ^ .
Доказательство. Заметим, что dim г|? = ^^(^) =
= Хф(ЕхрО). Однако формула Вейля сводится к неопреде-
неопределенности 0/0, если просто подставить в нее нуль. Поэтому мы
используем формулу Вейля для вычисления предела
Я->0
Удобно отождествить |)* с \ посредством скалярного произве-
произведения и переписать формулу Вейля в виде
У беНа)е2ш'(а(Л+б)'Я)
Х(ЕХРЯ)= Е^(д).2яМа6>Я)
Заметим, что
= Q (Exp E (Л + 6)) = П 21 sin (я (a, s(A + б)))
(см. п. (D) § 1). Следовательно,
dim of - lim x (Exp s . 6) = lim
0 0
s->0
Пп sin я (a, s(A + fi)) _ TT (a, Л + 6)
*"" sin я (a, s6) ~ 11 (a, 6) * U
Глава III
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИИ,
СВЯЗАННАЯ С ТЕОРИЕЙ
РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
Для приложения теории когомологии к исследованию то-
топологических групп преобразований естественно и удобно
определить эквивариантную теорию когомологии для катего-
категории G-лространств. Этот формализм должен эффективно от-
отражать когомологические свойства как пространств, так и
G-действий. Следуя идее Бореля (см. [Б 10]), мы определим
эквивариантные когомологии G-пространства Х как обычные
когомологии тотального пространства Xg универсального рас-
расслоения X~+XG-* Ва с G-пространством Х в качестве типич-
типичного слоя, а именно
НЬ(Х) = 1Г(Ха), где XG = EQ X gX = (EqXX)/G.
Целесообразность выбора именно этой эквивариантной тео-
теории когомологии, основанной на конструкции универсального
расслоения, можно грубо объяснить следующим образом:
(i) Интуиция и эвристические соображения указывают на
то, что сложность G-действия на X отразится в сложности
ассоциированного с ним универсального расслоения Х~>
->XG-^BG; например, такое ассоциированное универсальное
расслоение тривиально в том и только том случае, когда три-
тривиально G-действие на X. Классическая же теория препят-
препятствий, в частности теория характеристических классов, ясно
показывает, что теория когомологии может быть применена
для выявления сложности расслоения XG->J3G, которая в
свою очередь отражает сложность самого G-действия.
(И) С технической точки зрения нетрудно видеть, что та-
такая эквивариантная теория когомологии не только обладает
удобными формальными свойствами, но и эффективно вычис-
вычислима.
§ 1. Конструкция эквивариантных когомологии НЪ {X)
и их формальные свойства
(А) Конструкция Бореля
Пусть X — данное G-пространство, a Eq-^Bq — универ-
универсальное G-расслоение, т. е. главное расслоение со структур-
структурной группой G, для которого верна теорема классификации
§ 1. Конструкция эквивариантных когомологий
59
из гл. I, п. (D) § 2. Тогда тотальное пространство Хо ассоци-
ассоциированного с ним универсального расслоения со слоем X мо-
может рассматриваться как пространство орбит пространства
ЕоХХ,
где G-действие определяется формулой g*{e, x) = (eg~lt gx).
Поскольку обе проекции, очевидно, эквивариантны, имеем
следующую коммутативную диаграмму:
о
Во'
■ЕаХХ-
я.
X
I
X/G
Далее предположим, что У есть /(-пространство, h: G-v/f —
гомоморфизм, a f: X -> Y — некоторое /t-эквивариантное ото-
отображение, т. е. f(g%x)= h(g) *f(x) Тогда легко проверить,
что имеется следующая коммутативная диаграмма:
Поэтому ясно, что построенная конструкция функториальна.
Отсюда сразу сле'Дует, что ее композиция с обычной теорией
когомологий даст эквивариантную теорию когомологий.
Определение. Пусть <5 — эквивариантная категория про-
пространств с топологическими действиями и эквивариантных
отображений. Тогда функтор
(G-пространство X) »-* НЪ {X) = Н* (Xq),
(ft-эквивариантное отображение X -* Y) н-*Д: ## (К) -> Hq (X)
называется функтором эквивариантных когомологий.
В) Система коэффициентов для НЪ
Очевидно, что для фиксированной группы G все G-npo-
странства и G-эквивариантные отображения образуют
60 Гл. 111. Эквивариантная теория когомологий
подкатегорию <8g категории <g\ Ограничение определенной
выше теории на категорию <§g будет называться просто Hq-
теорией. Так как множество {G/H\ H — замкнутая подгруппа
в G} однородных G-пространств совпадает с множеством
G-пространств-атомов, из которых склеены произвольные
G-пространства, то значения, которые принимает на нем
НЪ -функтор, можно рассматривать как систему коэффициен-
коэффициентов //g-теории. Заметим, что
(GJH)Q = EG XQ(G/H) =f (Eg Xg G)/H = EQ/H = BHf
а эквивариантные отображения однородных G-пространств —
это просто естественные проекции
G/H->G/K для пары групп Н s Д\
Следовательно, система коэффициентов //^-теории состоит
из следующих алгебр и морфизмов:
H*o(G/H) = Н*(Вн) для всех замкнутых подгрупп H^G,
для всех пар Н^К,
где морфизм Н*(ВК)-+Н*(ВН) индуцирован проекцией
Вн = Eq/H ->• EG/К = Вк.
Примеры. В качестве примера, важного для дальней-
дальнейшего развития теории, вычислим систему коэффициентов ра-
рациональной /Уо-теории, где G — компактная группа Ли.
Редукция 1. Пусть G — компактная группа Ли, a G0 — ее
связная компонента единицы. Тогда Г = G/G0 — конечная
группа и
— накрытие с группой накрывающих преобразований
F=G/G°.
Теперь из простой теоремы о когомологиях конечных по-
покрытий [Г 5], [СЗ] следует, что р* — изоморфизм алгебры
H*(BQ\ Q) на подалгебру H*(BG*\ Q)r элементов, неподвиж-
неподвижных относительно индуцированного действия группы Г.
Лемма 1.1. Пусть G — компактная связная группа Ли,
Т — максимальный тор, N(T)—нормализатор тора Т в груп-
группе G и W = N(Т)/Т — группа Вейля группы G. Тогда
Я(О/Л^(Г) Q)^H*(G/T; Q)^//*({pt}; Q), т. е. G/N(T)~
* (через {pt} обозначается пространство, состоящее
из одной точки).
§ 1. Конструкция эквивариантных когомологий 61
Доказательство. Из того, что W-+ G/T -> G/N(T)—
конечное накрытие, следует, что
Я* (G/N (Г); Q) gg Я* (G/T\ Q)w
и
С другой стороны, хорошо известное разложение Брюа инду-
индуцирует клеточное разбиение многообразия G/T, в которое
входит ровно \W\ клеток четной размерности ([В 7,
стр. 347]). Отсюда
Янеч (G/T; Q) = О и dimQ Я* (G/T; Q) = Х (G/Г) = | Щ
и, следовательно,
Янеч (GIN (Т)\ Q) ^ Янеч (G/Г; Q)* = О,
dimQ Я* (G/ЛГ (Г); Q) = % (G/N (Т)) = 1щ'% (G/T) = 1,
т. е. G/N{T) ~Q{pt). D
Редукция 2. Пусть G — компактная связная группа Ли,
Т — максимальный тор, a W—группа Вейля, рассматривае-
рассматриваемая как группа автоморфизмов тора Т. Тогда
H*(BG\ Q) ^ Н*(Вм{Т); Q) «
Доказательство. Так как слои расслоения G/N(T)->
->B.v(d—> Bg Q-ацикличны, то из спектральной последова-
последовательности Серра для этого расслоения (см. п. (С)) легко вы-
вытекает, что л*: H*(BG\ Q)-* Н*(Вм (ту, Q)—изоморфизм. Сле-
Следовательно,
. Я* (Bq\ Q) ~ Я* (BN (Г); Q) ^ Я* (Вг; Q)^. П
Пример 1. Пусть G=U{n). Тогда 7"={diag(£?2jt'i , ...
..., £2:гиея}—максимальный тор, и W действует на Г, пере-
переставляя координаты Э/. Имеем Н*(Втп\ Q)^Q[xp ..., хп~\,
где {*!, ..., Хп} — образы при трансгрессии базиса простран-
пространства Hl(Tn\ Q), соответствующего {9ь ..., Qn} l). Следова-
Следовательно, W действует на Я* (Втп\ Q) перестановками элемен-
элементов хи ..., хп и
c2> ..., сп]
1) См. [Б 2]. Этот факт следует также из явной конструкции простран-
пространства ВТх как индуктивного предела СР°°= \J CPn комплексных проек-
я> 1
тивных пространств (см. [X 6*, гл. 7]). — Прим. ред.
62 Гл. 111. Эквивариантная теория когомологий
есть в точности кольцо симметрических многочленов, причем
универсальные классы Чжэня С\, ..., сп — это элементарные
симметрические многочлены.
Пример 2. Пусть G = SOBn + 1). Тогда
cos 6j-sin 6, I
sin6j cos6, I
I
I cos©,,-sin 0n I
О } sine,, cos0n I
w | ■
— максимальный тор, и группа W действует на горе Тп, пере-
переставляя 0i и меняя знаки. Следовательно,
есть кольцо симметрических многочленов от x2jy а универсаль-
универсальные классы Понтрягина ри ..., рп — это элементарные сим-
симметрические многочлены от х2г
Пример 2'. Пусть G = SOBn). Тогда группа W дей-
действует на торе Тпу переставляя 9* и меняя четное число знаков.
Следовательно, элемент е = хгх2 ••• хп тоже инвариантен от-
относительно W и
е2 = рп, ^ — универсальный класс Эйлера.
(С) Спектральные последовательности,
связанные с эквивариантной теорией когомологий
В приведенной только что конструкции Бореля простран-
пространство Хо строилось вместе с двумя каноническими проекция-
проекциями, а именно щ\ Xq-+Bq и П2- Xq-^X/G. Поэтому в рамках
теории когомологий имеются спектральная последователь-
последовательность Серра расслоения jxi и спектральная последователь-
последовательность Лере отображения п2. Эти последовательности являют-
являются полезным средством для изучения эквивариантных когомо-
когомологий НЬ(Х) = Н*
Спектральная последовательность Серра расслоения щ.
Если дано расслоение X—►AI-^B над клеточным комплек-
комплексом S, то фильтрация остовами {Вр = р-остов В} базы под-
поднимается до фильтрации {Мр = лг1 (Вр)} тотального про-
§ 1. Конструкция жвивариантных когомологий 63
странства М. Следуя обычной процедуре построения спек-
спектральной последовательности по пространству с фильтрацией,
мы получаем спектральную последовательность Серра нашего
расслоения, которая является основным орудием исследова-
исследования когомологических или гомологических связей между ба-
базой, слоем и пространством расслоения. Приведем некоторые
основные факты, полезные для явного вычисления колец
НЬ(Х). (За подробным обсуждением спектральных последо-
последовательностей мы отсылаем к [ЭЗ], [М 2], [СЗ], [Х5*].)
Спектральная последовательность Серра состоит из после-
последовательности биградуированных дифференциальных алгебр
{{Ерп\ dn)\ /i>l}, таких, что
(i) дифференциал dn: Epn'q ->Epn+n'q~n+l имеет бистепень
(пу — п-\-\)у d~=0, а группа гомологии дифференциальной
алгебры (EntQ, dn) есть в точности (Epn'+i).
(И) £Г = СР(В; Hq(X)\ a Ep2'q = Hp(B; НЦХ)), где
Hq (X) — локальная система когомологий слоев.
(и') В частном случае расслоения XG—>BG со связной
группой G и рациональными коэффициентами из односвяз-
односвязности пространства BG и из формулы Кюннета легко следует,
что Ep2>q=Hp(B;Q)®Hq(X; Q).
(iii) Epniq==0 при р<0 или q < 0 и Ер'д = Ер'+\ при п >
> р + <7+1. Поэтому корректно определена группа Е%> q=EPl1 q
при n>p-\-q-\-\. Более того, (££q) есть градуированная
алгебра, присоединенная к Н*(М) относительно фильтрации
FPH* (М) = Кег {Н* (М) ^ Я* {Мр~1)},
т. е.
EPJ * = FpHp+q (M)/Fp+lHp+q (M).
(iv) Следующие краевые гомоморфизмы являются соот-
соответственно индуцированными гомоморфизмами i* и п\
а именно
Г: Н*(М)-££' s Я*(X); Е^ = Im (Г),
Спектральная последовательность Лере отображения я^.
Спектральная последовательность Лере [Б 2] отображения л:
K->Z представляет собой спектральную последовательность
{ЕПу dn}, т. е. Еп+\ = Н(Еп, dn), которая начинается с Е2 =
*=Н*B\ 9>), где ^ — пучок коэффициентов над Z со слоем
Я*(д-1 (г)) над точкой 2SZ, и сходится к Я*(К). В случае
64 Гл. 111. Вквивараантная теория когомологий
отображения п2ГХ0 -~ X/G прообраз п~1{х') точки х' — G (х) е
е X/G может быть легко вычислен:
я-' (хО = Е0Х0 (G/Gx) - (Еа Хв G)jGx = EojGx = Во/
Следовательно, член Е2 спектральной последовательности
Лере отображения п2 равен H*(X/G, &), где слой пучка 9*
над точкой хг есть H*(Bqx)- Вообще говоря, следующие за Е2
члены спектральной последовательности Лере исключительно
трудно вычислять. Однако уже член Е2 дает точное описание
роли, которую играет система коэффициентов Я^-теории, и,
следовательно, одно только знание члена Е2 оказывается
весьма полезным.
Рассмотрим далее следующую задачу.
Задача. Пусть X есть G-пространство, а К — замкнутая
подгруппа в G. Тогда ограничение G-действия на К превра-
превращает X в /(-пространство. Какова связь междуНЬ(Х) и Н*к(Х)?
Ясно, что в качестве Ек можно взять EG с ограниченным
/(-действием. Тогда имеем следующую коммутативную диа-
диаграмму расслоений:
X ->Х
I \
G/K->XK-+XQ
I I I
G/K->BK->BG
Для этой же геометрической ситуации Эйленберг и Мур
[ЭЗ] построили такую спектральную последовательность
{£„, dn}, что
= Тог&.'(во) (Я* (Вк), Я* (Xq)).
Вот несколько простых важных случаев, заслуживающих спе-
специального внимания.
Пример 1. Пусть К—{е}. Тогда наша спектральная
последовательность сводится к
fif • * = ТотЬ\ва) (Я* ({pt}), Я* (Ха))9 Еп => Я* (X).
Пример 2. Пусть X, Y — два (/-пространства. Тогда
XY.Y есть (G X G)-пространство, а ограничивая действие
-**" диагональную подгруппу G —► G X G, мы превращаем
§ L Конструкция эквивариантных когомологий 65
XX У в G-пространство. Следовательно, имеем спектральную
последовательность со вторым членом
ЕР2 q = Тогрн*\во х bq) (Я* (BQ), H* (Xg X Yq))
Это — спектральная последовательность Кюннета для Я&-тео-
рии.
Пример 3. Пусть K=G°— связная компонента едини-
единицы группы G; тогда r=G/G°— конечная группа. Из суще-
существования расслоения Г ->Xg*-+Xg легко следует, что
НЪ(Х;й)&НЪ*(Х; Q)r.
Предложение 1. Пусть G — компактная связная группа Ли,
Т — максимальный тор в G, W = N(T)/T — группа Вейля
группы G, а X есть G-пространство. Тогда
(i) НЬ (X; Q) <* Нм «и (X; Q)
(И) #*Г(Х; О)а/Го№ 0)®
Доказательство, (i) следует из Q-ацикличности про-
пространства G/N(T) и спектральной последовательности Серра
расслоения G/N(T)-^Xm(t)-^- Xq.
(ii) следует из спектральной последовательности Эйлен-
берга — Мура и из того факта, что H*(Bf, Q)^
^Я*(В0; Q)®QH*(G/T\ Q) есть свободный H*(BG\ Q)-/w>-
!). Поэтому член Е2 сводится к одной строке;
j$-* = 0 при
Q) (Я* (Дг; Q), Я*, (
). D
!) Поскольку во втором члене спектральной последовательности над Q
расслоения G/T ->• Вт-+ d'q все элементы имеют четные степени, эта после-
последовательность тривиальна, т. е. все дифференциалы в ней равны 0 (см.
[Б 2, § 27]). Вообще, если для расслоения К—>Х—>Всо связным слоем
У когомологии слоев над полем k образуют постоянный пучок и спектраль-
спектральная последовательность тривиальна, то гомоморфизм /*: Н*(Х\ k) -*-H*(Y\
k) сюръективен и Кет i* порожден элементами положительных степеней
образа Imp* [Б 2]. Если ии ..., us — такие однородные элементы из
H*(X;k), что i*tii} ..., i*us — базис пространства #*(Y; k), то Wi, ...
..., ив — базис Н*(B\k)-модуля H*(X\k)t который, таким образом, свобо-
свободен [Х6*, гл. 16, § 1]. — Прим, ред.
66 Гл. III. Эквивариантная теория когомологий
Замечание. Ввиду теоремы о максимальном торе и той
исключительной центральной роли, которую торы играют в ко-
когомологической теории групп преобразований, этот простой и
изящный результат представляет собой факт первостепенной
важности.
§ 2. Теоремы локализации в духе Бореля — Атьи — Сигала
# Пусть R = Н* (Bq) = H*G ({pt}). Ясно, что все группы 1)
НЬ(Х; Y) являются /^-модулями и что все индуцированные
#с?-морфизмы представляют собой морфизмы /?-модулей. На-
Напомним, что элемент m из /?-модуля М называется R-nepuo-
дическим, если существует такой элемент г Ф О, г е R, что
г-га = 0.
Следующий простой факт сыграл исторически решающую
роль в подходе Бореля [Б 10] к теории когомологий групп
преобразований.
Предложение 2 (Борель). Пусть G— окружность, X — ко-
конечномерное G-пространство, F = F(G, X) — множество непо-
неподвижных точек пространства X. Тогда
(i) На (X - F; Q) = # * ({X - F)IG\ Q) - периодический R-mo-
дуль.
i*
(ii) Ядро и коядро морфизма НЪ (Х\ Q) —► НЬ (F\ Q) ==
= R<8> H*(F\ Q), где i: F->X — вложение, суть периодические
R-мод у ли.
Доказательство. В силу того что Gx— конечные груп-
группы для всех xgX—F, имеем Я* {Bgx\ Q) = Q для всех хе
бХ — F. Поэтому член Еч спектральной последовательности
Лере отображения л^: (X — F)g~*(X — F)/G сводится к од-
одной строке, а именно
£?•* = (), если дфО и' Е$>° = Hv((X-F)/G; Q). .
1) £сли У—-инвариантное подпространство G-пространства Х, то q
и определены относительные эквивариантные когомологий H*G (X, Y)
s= Я* {XG, YGy В дальнейшем автор неоднократно пользуется тем, что
эквивариантные когомологий удовлетворяют всем аксиомам теории когомо-
когомологий Стинрода — Эйленберга [С 11*], [С 9], кроме аксиомы о когомологиях
точки. При этом следует рассматривать пары G-пространств (Х, К), допу-
допустимые с точки зрения избранной обычной теории когомологий (например,
произвольные пары, если пользоваться сингулярными когомологиями). Да-
Далее, все H*(X,Y) являются алгебрами над кольцом H*G ({pt}) = Я* (BG)t
эквивариантные отображения пар индуцируют гомоморфизмы алгебр, а ко-
граничный гомоморфизм д: HPQ (Y) ->Я£+1(^> Y) есть гомоморфизм моду-
модулей над Hq ({pt}). — Прим. ред.
§ 2. Теоремы локализации в духе Бореля — Атьи—Сигала 67
Следовательно, модуль НЬ (X — F\ Q) изоморфен модулю
#*((Х— F)/G;Q), который конечномерен и, очевидно, /?-пе-
риодичен. Ясно, что (И) непосредственно следует из (i) и из
точной последовательности пары (X, F) в Я^-теории (равен-
(равенство НЬ (F\ Q) = /? ® Н* [F\ Q) вытекает из тривиальности рас-
расслоения F' -> Fq->- Bq) . П
Используя алгебраический аппарат, доказанное предложе-
предложение можно переформулировать в следующее, формально бо-
более изящное, утверждение: отображение
#*с (X; Q) ®R R '^Л. Н*а (F; Q)®RR = Я* (F; Q) ®Q ^
является изоморфизмом, где R — поле частных кольца R. Это
первоначальный вариант теорем локализации типа теорем
Атьи — Сигала [А 8]. Напомним, что мультипликативная по-
полугруппа 5^{1}, содержащаяся в центре кольца R, назы-
называется мультипликативной системой. Модуль частных S~lM
/?-модуля М состоит из дробей {mjs, m^My sgS}, причем,
как обычно, m\/s\ отождествляется с m2/s2 в том и только
том случае, когда ssim2 = ss2mi Для некоторого £ е 5.
Тогда S~lM есть (S~lR) -модуль и M*->S~{M—точный функ-
функтор. (Эти свойства кольца частных S~lR и модулей частных
S~lM, хорошо известные в случае коммутативного кольца R
(Б 24*, гл. II, § 2], легко переносятся ла рассматриваемый
случай.)
Рассмотрим теперь случай R = Н* (Bq) = НЬ ({pt}) и
М = Н*(Х, У).
Для данной мультипликативной системы S s= R положим
Xs = {x^X\ никакой элемент из S не переходит в нуль при
естественном гомоморфизме R-> H* (Bqx)\.
Теорема III.1 (локализации). Пусть G — компактная груп-
группа Ли, а X — компактное G-прост ранет во. Тогда локализован-
локализованный гомоморфизм ограничения
S~lH*G(X)->S-lH*G(Xs)
является изоморфизмом.
Доказательство, (i) Докажем сначала это утвержде-
утверждение в частном случае Xs = 0. Здесь нам нужно только пока-
показать, что существует такой элемент s^S* что я*($) = 0 в
H*G(X). По теореме о срезе (см. теорему 1.5 § 3 гл. I) у каж-
каждой орбиты G(x) есть такая инвариантная открытая окрест-
окрестность С/, что G(x) представляет собой эквивариантный
68 Гл. III. Эквивариантнаятеория когомологий
ретракт этой окрестности. В силу компактности пространства
X конечная система таких окрестностей {£/ь ..., Uq) покры-
покрывает Х\ здесь Ui ретрагируется на G(xi). В силу того что мно-
множество Xs предполагается пустым, найдется такой элемент
s*eS, который отображается в нуль кольца Я* (Bgx\ —
= НЬ(G(**)), а значит, и в нуль кольца Hb{Ui). Тогда ясно,
что
(ii) В общем случае наше утверждение эквивалентно ра-
равенству S~1H*g (X9 Xs) = 0. Последнее означает, что для каж-
каждого х^ НЬ (X, Xs) существует такой элемент seS, что
s-x == 0. Мы можем предположить, что
х с= НЪ (X, Xs) = Hn{XG, Xl) =
= ///J(*T1(fia), XsG[)K-l(BkG)) для k>n.
Поскольку пространство я" (Bg) компактно, а окрестности
множества Ха()п~1(Ва) в я" (Во) вида {VG П л" (flo); V —
инвариантная окрестность множества Xs} конфинальны, из
непрерывности когомологий Чехах) следует существование
такой инвариантной окрестности V множества Xs, что
х ев Im {ЯЬ (Z, V) -+ НЬ (X, Xs)}.
С другой стороны, существует такое инвариантное компакт-
компактное подпространство Y^(X— Xs), что V^ U int (У) = X По-
Поэтому из (i) и из того, что Ys = 0, следует, что найдется
элемент sgS, для которого я* (s) e Im {Я^ (X, У) -> Я^ (X,
int У) -> Я^ (Х)}« Следовательно, элемент s-x лежит в об-
образе гомоморфизма
0 = НЬ (X, V U int У) -► НЬ (X, Xs),
т. е. sx ===== 0. □
Теорема III. Г. Пусть G — компактная группа Ли, а X —
паракомпактное G-пространство конечной когомологической
размерности. Пусть S s H*(BG) — мультипликативная систе-
система и s ^ S. Тогда локализованный гомоморфизм ограничения
См. [СИ*, гл. Х], — Прим. ред.
§ 2. Теоремы локализации в духе Бореля — Атьи— Сигала 69
является изоморфизмом. Если X состоит из орбит лишь ко-
конечного числа типов, то гомоморфизм
также является изоморфизмом.
Доказательство. Докажем сначала утверждение в
случае Xs = 0. Так как предполагается, что X имеет конеч-
конечную когомологическую размерность, то нетрудно показать,
что когомологическая размерность cd(X/G)^cd(X) также
конечна (см. [К 2]). Следовательно, член £2 спектральной
последовательности Лере отображения л^: XG — X/G ограни-
ограничен справа, т. е. Е^я=0 при р, превосходящих достаточно
большое фиксированное число N. Поэтому
££* = 0 при p>N.
Это значит, что имеется убывающая фильтрация FpH*q(X),
причем Fn+{H*q(X) = О, обладающая следующими свойствами:
(i) если aEfp,6EFp',Toa.ie Fp+P',
(ii) E**
Предположение Xs =*= 0 означает просто, что элемент 5
отображается в нуль в каждый слой Ух* = Н* (SoJ. Следова-
Следовательно, элемент s отображается в нуль в
а также в £"«*. Поэтому из точности последовательности
07T>Fl-+F°=H*Q(X)-+Ey-+0
вытекает, что n*(s) e FlH*Q(X). Отсюда легко выводится, что
я*х (sN+t) е= Р»+ЧГ0 (X) = 0, т. е. п\ (sN^) = О,
и ясно, что отсюда следует равенство S~1H*g(X) = 0 (так как
S"*1 €= S).
Переход от случая Xs = 0 к случаю Xs Ф 0 — тот же, что
и в компактном случае. Покажем, что гомоморфизм
— также изоморфизм в предположении конечности числа ти-
типов орбит. Пусть Gi, G2, ..., Gn — типы орбит в X — Xs и
Si^ S отображается в нуль в Н* (Вог)- Тогда ясно, что
Xs = Xs для s == Si • s2 • ... • 5Д>
70 Гл. III. Эквивариантная теория когомологип
и, следовательно, применимо проведенное выше рассужде-
рассуждение. □
Замечания, (i) Это доказательство по существу пока-
показывает, что
s"+1/&(*. Xs) = 0 при N^cd{X).
Этот факт иногда бывает полезен.
(И) К доказанной теореме локализации приводят эвристи-
эвристические соображения, сводящиеся к применению функтора
локализации 5 к спектральной последовательности Лере
отображения Яг. Так ка«к функтор локализации S~l точен, тр
естественно ожидать, что
SV), где (Sl9>)x> = Sl(yx>) = SlH*(BQx)
и что {S-lEn}=>S-lH*G(X).
Отсюда S~V^ = 0 при x^X — Xs, и мы легко получаем,
что S~{H*G(X, Xs) = 0.
Глава IV
СТРУКТУРА ОРБИТ G-ПРОСТРАНСТВА Х
И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
КОГОМОЛОГИЙ НЬ(Х)
В этой главе мы продолжим исследование соотношений
между геометрическими структурами данного G-пространства
X и алгебраическим строением его эквивариантных когомо-
когомологий НЬ {X). С точки зрения групп преобразований те струк^
туры, которые обычно объединяют выражением «структура
орбит», являются наиболее важными геометрическими струк*
турами данного G-пространства. Поэтому мы почти неизбеж-
неизбежно приходим к вопросу о том, в какой мере структуру орбит
данного G-пространства. можно определить по алгебраиче*
скому строению его эквивариантных когомологий НЬ (X). Что*
бы уточнить постановку задачи, сформулируем для примера
несколько более конкретных вопросов.
Вопрос 1. Насколько кольцо когомологий H*(F) множе*
ства неподвижных точек F определяется эквивариантными
когомологиями H*q (X)?
Вопрос 2. Можно ли дать критерий существования непо-
движных точек исключительно с помощью эквивариантных
когомологий НЬ {X)}
Вопрос 3. Предположим, что F(GtX) = 0. Как по алге-
алгебраическому строению эквивариантных когомологий Н*а{Х)
определить множество максимальных стационарных подгрупп
{Hi<=: G\ Hi — максимальные среди тех подгрупп Я, для кото-
которых Р(Я, Х)Ф 0}?
Одним из наиболее глубоких и интересных фактов когомо*
логической теории групп преобразований является объясняе-
объясняемое ниже резкое различие в поведении элементарных абеле-
вых групп, т. е. тора Tk и р-тора Zp, и остальных компактных
групп Ли. Например, в случае тора или р-тора имеются силь-
сильные теоремы регулярности, которые дают ясные и оконча-
окончательные ответы на сформулированные выше вопросы [С 24J^
Однако для всех остальных компактных групп. Ли G имеются
убедительные контрпримеры, ясно указывающие на отсут-
отсутствие общей связи между структурой орбит пространства X
и алгебраическим строением эквивариантных когомологий
.. Гл. IV. Структура орбит 6-пространства X
НЬ (X). Задним числом этим объясняется также, почему торы
играют такую важную роль в теории представлений компакт-
компактных связных групп Ли (см. гл. II), которая, как бы то ни
было, занимается частным случаем линейных групп преобра-
преобразований.
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках
В этом параграфе мы считаем заданным алгебраическое
строение эквивариантных когомологий НЬ(Х) и постараемся
определить, в какой мере кольцо когомологий H*(F) множе-
множества неподвижных точек можно описать с помощью эквива-
эквивариантных когомологий. Прежде всего, упомянем следующий
«контрпример» из [С 23, § 1], ясно указывающий на отсут-
отсутствие какой бы то ни было общей связи между когомология-
Ми H*(F) и H*q(X)9 если G— не тор и не р-группа.
(А) Важный пример
Пусть G — компактная связная неабелева группа Ли, а
К — произвольный конечный комплекс. Тогда существует ком-
компактное конечномерное и ациклическое G-пространство Х,
множество неподвижных точек F(Gy X) которого есть в точ-
точности этот произвольный наперед заданный комплекс К.
В частности, его эквивариантные когомологий НЬ{Х) такие
же, как у точки, т. е.
но кольцо когомологий H*(F)^H*(K) множества неподвиж-
неподвижных точек абсолютно произвольно.
Построение такого G-пространства состоит из следующих
шагов:
A) Пусть R2/l2+3/l —пространство симметрических матриц
порядка 2п+1 с нулевым следом и с обычным SOBai+1)-
действием посредством сопряжения. Пусть SNy N = 2п?-\-
-f-3/г—1, — единичная сфера в этом пространстве с ограни?
ченным SO B/г+1)-действием. Структура орбит такого G-про-
G-пространства весьма проста, и можно явно построить эквивари-
антное отображение степени нуль f: SN-+SN. Мы отсылаем
к стр. 717 работы [С 30,1] за явным вычислением структуры
орбит и построением такого эквивариантного отображения
нулевой степени.
B) Нетрудно доказать следующее утверждение. .
Предложение [С 30,1, стр. 715]. Компактная связная груп-
группа Ли G неабелева в том и только в том случае, когда суще-
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках 73
ствует по крайней мере одно нечетномерное неприводимое не*
тривиальное вещественное представление этой группы.
Пусть G— компактная связная неабелева группа Ли, а
г|) — ее неприводимое (нетривиальное) вещественное пред-
представление размерности 2п+1. Тогда ограничение на G опи-
описанного выше SOBn+\)-действия на SN (посредством пред-
ставления G—► SOBn+ 1) превращает SN в G-пространство
без неподвижных точек (в силу того, что все связные стацио-
стационарные подгруппы описанного SOBn+l)-действия на S" при-
приводимы) .
C) Отправляясь от построенных выше G-пространства SN
без неподвижных точек и эквивариантного отображения /:
SN -+SN нулевой степени, определим У как обратный предел
последовательности
... -^> sN -1* sN 4* s» -^
Пусть Х= YoK — джойн1) пространств У и К с индуциро-
индуцированным G-действием. Тогда легко проверить, что простран-
пространство X компактно, конечномерно и ациклично, a F(G, Х) = К.
(В) Основная теорема о неподвижных точках
Приведенные выше примеры показывают, что. единствен-
единственная остающаяся возможность существования жесткой связи
между НЪ(Х) и H*(F) относится к случаю, когда G = Тг или
G = Zp. На самом деле^в этом случае имеется изложенный
ниже основополагающий результат Бореля (переформулиро-
(переформулированный здесь в терминах локализации).
Пусть G = Tr (соотв. Zp) и & == Q (соотв. Zp). Тогда хо-
хорошо известно, что2)
H*(BG; k)c*k[tu ..., tn], deg/, = 2 (соотв. 1),
если G = Tr (соотв. Z2), a &=Q (соотв. Z2);
H*(BQ] k)<*k[tu ..., tn]® A[vb ..., vr], degv/=l, // = ppv/t
"" если G = Zp, k = Zp и р Ф 2,
!) Определение см. в [Р 2*]. — Прим. ред.
2) В случае G = Г см. гл. III, § 1, п. (В). Если G = Zp, то алгебра
Я* (Яо; Zp) = Я* (Zj; Zp) вычислена в [К 1*, гл. XII]. В частности,
Я1 (z£; Zp) = Horn (z^,; Zp) = Zj^, и в качестве vr ..., vr при р Ф 2 и
/ь ..., tr при р = 2 можно взять стандартный базис этого пространства
вычисления Я*/В г; Z\ можно также использовать тот факт, что
V Z2 V
Л7 = #р* » М ^р« ([X 6*, гл. 7]). - Прим. ред,
74 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
(где рр — гомоморфизм Бокштейна по модулю р). В обоих
случаях мы обозначим полиномиальную часть через R, т. е.
R = k[t\, ..., tr]y и положим S = R— {0}; ясно, что это
мультипликативная система, лежащая в центре кольца
H*(BG\ k).
Предложение 1 (Борель). Пусть G = Тг или Zrp, X — пара-
компактное G-пространства конечной когомологической раз-
размерности, a F=F(G, X) — множество его неподвижных то-
чек. Тогда следующий локализованный гомоморфизм огра-
ограничения
S'1Hq(X; k)->S~lH*G(F; k) = H*(F; k) ®k(S~lH*(BG; k))
есть изоморфизм.
Доказательство. Заметим, что в случае, когда
G = V или G = Zp,
5 П Кег {Я* (BG) k) -> Н* (Вк; Щ Ф 0
для любой собственной подгруппы KaG. Следовательно, в
терминологии § 2 гл. III мы имеем Xs = F, и предложение
представляет собой просто частный случай теоремы локали-
локализации (см. § 2 гл. III). □
Из доказанного предложения получаем
Следствие 1 (критерий существования неподвижной точ-
точки). В случае когда G = V или G = Zrp, a k = Q или k = Zp
соответственно, множество неподвижных точек F(GtX) непу-
непусто тогда и только тогда, когда естественный гомоморфизм
есть мономорфизм, т. е. когда элемент 1 е НЬ (Х\ k) не перио-
периодичен.
Доказательство. Предположим, что РФ0 и что
q e F. Тогда естественное отображение fiG-> {q}Q ^ Ха пред-
представляет собой, очевидно, сечение расслоения XQ-~*BG и,
Следовательно, гомоморфизм
#c?({pt}; k) = H*(BG\ k)->H*G(X; k)
обязан быть мономорфизмом. С другой стороны, если это ото-
отображение— мономорфизм, то элемент 1 е НЬ(Х\ k) не перио-
периодичен и, значит, S~1H*g(X; 1г)ф0. Поэтому из доказанного
предложения следует, что
S~lH*G{F\ k)^S~lH*G(X\ k)¥=0,
откуда, очевидно, вытекает, что F Ф 0. Ц
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках 75
Следствие 2. Имеет место неравенство dim*H*(F; k)^
^dim*/f*(X; k), причем равенство достигается тогда и
только тогда, когда в спектральной последовательности Сер-
ра £"г= £<».
Замечания, (i) Пусть Ro — поле частных кольца R, т. е.
Яо = k(t\t ..., tr). Тогда ясно, что
* Rq = S-1R = S-{H*(Bq, k)/S~lN,
где N — множество нильпотентных элементов кольца
H*(Bg\ k). Следовательно, доказанное предложение можно
переформулировать следующим образом:
(И) В силу того что все элементы мультипликативной си-
системы S = R— {0} имеют четную степень (при рф2), лока-
локализованная алгебра S~xHq{X\ k) или Hg(X) ®ял({рф^о на"
следует 22-градуировку и, если р Ф 2, то и антикоммутатив-
антикоммутативность.
(Ш) При алгебраическом подходе можно #о-алгебру
(^» *) ®tfk({pt})^o рассматривать просто как неперио-
непериодическую часть алгебры НЬ (Х\ k). Поэтому, грубо говоря,
доказанное предложение утверждает, что множество непо-
неподвижных точек F является геометрическим носителем непе-
непериодической части алгебры НЬ(Х; k).
С алгебраической точки зрения обычно /?о-алгебра
H*G(X\ k) ®я* ({pt})^o задается образующими и определяю-
определяющими соотношениями. С другой стороны, удобнее с гео-
геометрической точки зрения получить кольца когомологий
H*(FJ\ k) каждой связной компоненты Fj множества непо-
неподвижных точек в отдельности, чем иметь дело с их суммой
H*(F\ k)^Y,H*{Fi\ k). Более точно, пусть
— свободная антикоммутативная алгебра (с 22-градуиров-
кой), порожденная четными образующими {х\, ..., xi) и не-
нечетными образующими {v\f ...> Vm). Тогда представление
/?о-алгебры H*G{X\ k) ®я* ({Pt})^o образующими и соотноше-
соотношениями состоит из следующего эпиморфизма р и его ядра /:
/ -= Кег р£Л^
?б ' Гл. IV. Структура орбит G-прОстранства Х
где р переводит образующие xi в четные образующие, at)/ —
в нечетные образующие. Рассмотрим следующую коммута-
коммутативную диаграмму:
Пусть / = Кег р, // = Кег р/, 7 = я(/), 7/ = я(//). Тогда наша
задача состоит в том, чтобы понять, как вычислить //, зная /.
Мы формулируем ответ следующим образом.
Теорема IV.1 [С24]. Пусть Ци ..., Ь\ vi, . ., vm} — си-
система образующих Ro-алгебры H*Q(X; k)(&H* {{pi])RQ, a I —
идеал определяющих соотношений, т. е. I = Кег р для эпи-
эпиморфизма
(i) радикал <\Jl идеала I разлагается в пересечение s
максимальных идеалов M/ = Af(a/), многообразиями кото-
которых являются рациональные точки а} = (а}, а;, ..., аЛ е i?J,
т. е.
(ii) Имеется взаимно однозначное соответствие между
связными компонентами множества неподвижных точек F =
= ^i U • • • U Fs и точками множества {аь ..., as}, причем гомо-
гомоморфизм ограничения, определенный произвольной точкой
q\ e F! ^ X, отображает образующий lt еЯ*0Ц; k) в afi s
в^;(Ы;*)').
(Hi) Имеет место изоморфизм H*(F!\ k)®kRo = A/Ij, где
1\ = /м, П А* 1м* — локализация идеала I относительно Mj
(г. е. по мультипликативной системе А — Af/).
(iv) / == Ii П ... f]/s = /r/2- ... •/,.
l) Этот гомоморфизм есть не что иное, как гомоморфизм ij: H*(XQ\ k)~*
-► Н* (BQ; ky индуцированный сечением Во -** X, которое определяется
точкой Ц]. Для того, чтобы формулировка теоремы имела смысл, необхо-
необходимо потребовать, чтобы ац е R. Из того, что i*j сюръективен (поскольку
lyojtjs*» 1), легко вывести, что этого можно добиться, изменяя надлежащим
образом систему образующих. — Прим. ред.
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках 77
Доказательство. Пусть / = Кег р, // = Кег ру. Тогда
из изоморфизма
Я*о(X; k)®Hh{{pl))R0^®H*(F'; k)®kRo
следует разложение
/=/,n... n/*
причем
// + ЛП •••
Отсюда легко вытекает, что / = /р/г* ... •/$.
Конечно, можно считать, что образующие gi, ..., £/;
vi v^ на самом деле принадлежат кольцу НЬ(Х; k).
Пусть qi — произвольная неподвижная точка, лежащая в /-й
компоненте F1 множества неподвижных точек, и пусть i/ —
гомоморфизм ограничения, индуцированный вложением q\ e
е F1' s X. Положим ij (gf) = а/г Тогда
Р/(**-«,<)€= Я* (F7
здесь Н* (Ff\ k)=YjHd (^7; k) — приведенное кольцо кого-
d>0
мологий. Из того факта, что каждый элемент приведенного
кольца когомологий #*(Fy"; k) нильпотентен, следует, что
(xi — a//)J^e // для достаточно большого N. Другими сло-
словами, л/1]=М(а;) есть идеал, порожденный множествами
{(xi — a/t)} и {vi}y который, очевидно, максимален. Далее, из
равенства
следует, что идеалы Mi Ms попарно различны. Поэтому
Поскольку А — Mj не содержит делителей нуля кольца Л,
ясно, что А может рассматриваться как подмножество в AMj.
Мы утверждаем, что
Так как очевидно, что (Ih)Mj = 1 при h Ф /, то
1щ = (ЛЦ Л • • • П (/,)Afy = (//)Af/
Далее, докажем обратное включение I}^IMj(]A. Заметим,
что найдется достаточно большое N, при котором Mf г //
78 Гл. IV. Структура орбит G-пространства Х
(так как кольцо А нётерово). Пусть а — произвольный эле-
элемент из ЛиуЛА Тогда по определению локализации суще-
существует элемент Ь е А — Л1/, для которого J-flG //. Поскольку
А/М] ^ /?о — поле, то мы можем без потери общности пред-
предположить, что
6=1 — Ь0 + Ьи bQ) bi^Mj,
где элемент bo четен, а Ь\ нечетен. Тогда
но bo ЕМ? s //, и мы имеем а£//, т. е. 1м [\A^Ij. Дока-
Доказательство теоремы закончено. □
(С) Некоторые элементарные преобразования
Доказанная теорема дает ясный и законченный метод для
представления образующими и соотношениями /?0-алгебры
H*(Ff\ k)(g)kRo для каждой связной компоненты Fj множества
неподвижных точек F. Однако на самом деле нас интересует
представление образующими и соотношениями самой &-алге-
бры H*(F}\ k). Простейший подход к алгебраическим задачам
такого рода состоит в том, чтобы попытаться преобразовать
данную систему образующих {г]/} /?о-алгебры H*(F}\ k)(g)kRo
при помощи некоторых «элементарных преобразований» с
тем, чтобы в конце концов получить новую систему {fj/} обра-
образующих (/?0-алгебры), целиком лежащую в Я* (Я; k). Тогда
ясно, что элементы {fjj будут составлять также систему об-
образующих алгебры H*(F}', k). Мы покажем, что достаточно
следующих двух типов элементарных преобразований:
(i) Умножение образующего на обратимый элемент, т. е.
т]/ь-^т)^ = аг]р где элемент а обратим.
(и) Замена образующего, скажем, rjj на rj^ = тг|х —|—
•••> Л/), где f(rJ, ..., т]/) многочлен от rj2, ..., Л/-
Предложение 2. Пусть {ц\, ..., v\i} — система образующих
Ro-алгебры H*(F}'\ k)(g)kRo. Тогда существует последователь-
последовательность подходящих элементарных преобразований двух ука-
указанных типов, которая переводит систему {г|*} в новую систе-
систему образующих {fjj, целиком лежащую в H*(FJ', k).
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках 79
Доказательство. Учитывая важную роль, которую
играют градуировка в H*(Ff\k) и нильпотентность в Я* (Ff\ k),
мы разложим элемент
Л, €=#•(/?'; k)®kR0= ф Hd{F'; k)®kR0
d>0
по возрастающим степеням следующим образом:
r\i = Т,К,к® aitk\ degЯ£,k < degЯ£, Л+ь
Xitks=H*(F}; k), auE%.
Более того, мы можем предположить, что
и что элементы {Х\,\, ..., Л,,-ь i} линейно независимы в про-
пространстве Hd{ (Ff\ k\ так как в противном случае мы могли
бы просто применить преобразование второго типа и полу-
получить другую систему образующих с меньшим i\. Выразим К\, \
через образующие {r\i}. Нетрудно видеть, что
Л-i. 1 = Л1 (а + fiTi (Л)) + /i (Л2, •••, Л/),
где ое]?о и gi(r))—многочлен от ц без свободного члена.
Заметим, что элемент g\{r\) нильпотентен и, следовательно,
элемент a + gi (т]) обратим. Поэтому можно сначала заменить
ц{ на y\/l = y\l(a + gl{r\))t а затем на A,11 = tj1==ti{ +
Подобным же образом заменим г]2,. ..., г).( на fj2 =
= \ р • • •, r\tl = \и г Далее, используем Хи р ..., Я£ь р чтобы
отсечь возможно большее число членов низших степеней в
элементах тц, /> r'i, при помощи преобразований второго
типа. Теперь мы4 можем снова предположить, что
где
и элементы Я{1+1, ь ..., Я/1+£2I линейно независимы по модулю
(Я1,ь ..., %iui). Потом та же процедура переведет элемент
^,+1 в Л/1+1 = Ч+1,р •••• а ^м+г2-в Л/1+<| = Ч+«,.г Ясно»
что, продолжая действовать таким образом, мы в конце
концов получим требуемую систему {%}, целиком лежащую
BH*(Ff;k). □
Следствие. Пусть G = Tr или Zrp и k = Q или Zp соответ-
соответственно. Если H*G{X\ k) ®я* Ro порождена I элементами
80 Гл. IV, Структура орбит G-пространства Х
как Ro-алгебра, то кольцо когомологий H*{FLt k) каждой
связной компоненты множества неподвижных точек также
порождено не более чем I элементами как k-алгебра.
Доказательство. Это непосредственно следует из тео-
теоремы IV. 1 и из только что доказанного предложения.
(D) Примеры и первые приложения
Ниже мы всегда будем предполагать, что G = Т (соотв.
Zp)y а кольцо коэффициентов k равно Q (соотв. Zp). Далее,
мы примем следующие обозначения: X ~ kY будет означать,
что Н*{Х\ k)^H*(Y; k).
Пример 1. Простейшие пробные пространства — это, ко-
конечно, ациклические пространства X~*{pt}, Для них из спек-
спектральной последовательности Серра немедленно следует, что
НЬ(Х\ k)£*Hb({pt}; k). Следовательно, из теоремы IV. 1 лег-
легко вытекает, что F(G, X) ~*{pt}.
Пример 2. Разберем теперь случай ~X~kSn.
*1лен Е2 спектральной последовательности Серра расслое-
расслоения Xq-+Bq состоит из двух строк, т.е. E*iQ = H* (Bg\ k)<8>
<8>Hq(X;k)=0npH цФ 0, п. Поэтому образующий х^ Нп(Х\ k)
трансгрессивен и £п+2 = Е<х> Так как ядро гомоморфизма
Н*(В0\ &)-> Я*(Х0; .&) в точности совпадает с идеалом, по-
порожденным образом dn+\(x) элемента х при трансгрессии, то
из следствия 1 вытекает, что F ф 0 тогда и только тогда,
когда drt+i(A:) = 0, или, что эквивалентно, тогда и только
тогда, когда Е2 = Еоо. Значит, если F Ф 0, то H*q(X\ k)££
&Н {Bq\ k) <8>kH*(X; k) (как #*(Б0; £)-модули) и, следова-
следовательно,
где f(x)=x2 при нечетном п и р Ф 2; в противном случае
f(x) = х2 + ах + Ь. Опять же из теоремы IV. 1 легко следует,
что в кольце Ro[x] многочлен х2+ах-\-Ь можно разложить
на множители (л: — а\) (х — а2) и что когомологий множе-
множества F имеют вид
F ~fcS° (две точки), если а! Ф а2,
F ~kSr(r > 0) в противном случае.
Это в точности знаменитая теорема Смита о неподвижных
точках.
Теорема IV.2 (Смит). Если X ~ tSnt то F ~ HSn и п^
;== г mod 2 при р Ф 2,
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках 81
Пример 3. Х~kCPny рф2.
Это значит, что Н* {Х\ k) ^ ^[1о]/(?о+1)* Заметим> чт0
Ра'*Ео = О (рр — гомоморфизм Бокштейна по модулю р) и что
рр коммутирует с дифференциалами спектральной последова-
последовательности Серра. Нетрудно показать, что Е% = Ею для рас-
расслоения X-+XG->BGi где X~kCPn. Поэтому1)
НЬ(Х; k)^H*(BG; k)®kH {X\ k)
как H*(BQ\ k)-модули, и элементы {1, g, g2, ..., £*} образуют
базис модуля ЯЬ()С; й), где \ — произвольный прообраз эле-
элемента go- Поэтому
H*G{X\ k)**H*(BG; Л)[g]/(f О)(как H*(BG\ ^-алгебры),
где f(|) = r+1+C1|rt + C2|rt-1+ ...
Следовательно,
Теорема IV. 1 утверждает, что в кольце Ro[l] элемент /(|)
можно.разложить на линейные множители; однако по лемме
Гаусса элемент /(£) можно разложить на линейные множи-
множители уже в кольце Я* (Во; k) [|], а именно
/(!) = (£-а/1' ... (g-а/Ч a, em (Ва; k).
Соответственно множество F состоит из s связных компонент,
F = Fl U ... U F8, где F; ^ СР^/.
Мы сформулируем этот результат в виде следующей тео-
теоремы, которая фактически послужила прототипом теоре-
теоремы IV. 1.
Теорема IV. $ [С 21].- Пусть G = Tr (соотв. Z£, р ф 2), k = Q
{соотв. Zp), а X есть G-пространетво, для которого Я* (Х\ k) ss
fe+I>
(«мс
% — произвольный фиксированный прообраз элемента
и соответственно F ~kCPm^l\) ... LJCP^1 (8ge F —мно-
—множество неподвижных точек).
Замечания, (i) В случае когда Х'= СР?, а G-действие
индуцируется некоторым линейным действием ср в прострац*
*) См. примечание на стр. 65. — Прим. ред,
82 Гл. IV. Структура орбит G'-пространства X
стве С1*1, можно так выбрать прообраз £, что система весов
(соотв. система р-весов) представления ср имеет в точности
вид {а* с кратностью me, i = 1, ..., s] l).
(ii) Как мы увидим ниже (см. § 1 гл. VI), эту систему
{a*, rrti} можно также рассматривать как топологическую си-
систему весов данного топологического действия на X. Она не
только сообщает, как выглядит множество неподвижных то-
точек, но и вообще описывает когомологическое поведение дан-
данного G-действия на X.
(iii) Интересно отметить, что доказанный результат пока-
показывает в полной мере решающую роль мультипликативной
структуры в алгебре НЬ(Х\ k), поскольку ее аддитивная
структура не отличает даже нетривиального G-действия от
тривиального G-действия на X.
Пример 4. X~kSmXSn, m, п четны и р Ф2.
В этом случае в спектральной последовательности Серра
опять нет ненулевых дифференциалов, что видно просто из
соображений размерности. Значит, Е2 = £«> и
НЪ (Х\ k) <* Н* (BQ\ k) ®k H* (X\ k)
как H*(BG\ &)-модули, причем {1, ху уу х-у\ degx = m,
degr/ = n} есть базис модуля H*q{X\ k). Поэтому имеет место
изоморфизм колец
НЪ(Х\ k)^H*(BG\ k)[x% y]/(f(x, y)t g(x, y%
где f{x, у) и g(x, у) — уравнения типа параболы. Теоре-
Теорема IV. 1 утверждает, что две параболы f(xy y)=0 и g(x, y)=.
= 0 в Rl пересекаются в «рациональных точках». Значит, пе-
переходя на геометрический язык, получаем следующие воз-
возможности:
(i) две пересекающиеся двойные прямые:
1) Пусть ф: Z£ -> GL (m, С) — комплексное линейное представление.
Согласно теореме 1.2 и следствию 1.1.2, представление ф разлагается в пря-
прямую сумму одномерных представлений, т. е. гомоморфизмов wt: 2rp ->
->Zp(/=l, ..., m). Элементы wt s Н1{ггр;Ъ^) o*Hl(B r; Zp\ или соответ-
Z
Z
P
p\ ил
ствующие им $pwt e H2 (B r; Zp\ составляют систему р-весов пр (ф) пред-
ставления ср. — Прим. ред.
§ 1. Некоторые основные теоремы о неподвижных точках $3
(И) двойная прямая, пересекающая параболу или пару
параллельных прямых:
или
(Hi) двойная прямая, касающаяся параболы:
(iv) две параболы, пересекающиеся в четырех точках.
или
или
7 /
(v) две параболы, пересекающиеся в двух точках и ка-
касающиеся в одной точке:
или
(vi) две параболы, пересекающиеся в одной точке и ка-
касающиеся в другой:
Непосредственное вычисление, проделанное согласно тео-
теореме IV. 1, показывает, что с точки зрения когомологий мно-
множество неподвижных точек будет иметь соответственно сле-
следующий вид:
(i) F~k (произведение двух четномерных сфер),
(\\)F~k (объединение двух четномерных сфер (вообще
говоря, разных размерностей)),
(iii) H*(F\ k)**k[I]/a4), degl четна,
(iv) F~k (четыре точки (или5°Х50)),
84 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
(v) F~k (две точки и четномерная сфера (или 5° и чет-
номерная сфера)),
(vi) H*(F;k)&
Теорема IV. 4 [С 24]. Пусть G = Тг (соотв. Zrp, рф2),
k = Q (соотв. Zp) и X есть G-пространство, причем X~kSm X
X Sn, тип четны. Тогда с когомологической точки зрения
множество неподвижных точек F может иметь следующий
вид:
(i) F~k (произведение двух четномерных сфер (вклю-
(включая S°X50)),
(ii) F~k (сумма двух четномерных сфер (вообще гово-
говоря^ разных размерностей)),
(iii) H*(F'9k)&k[l]/W)9 degl четна,
(iv) H*(F\k)^k®k[i]/(i*)y degg четна.
Замечания, (i) В случае G = Zs> спектральная последо-
последовательность Серра может иметь ненулевые дифференциалы.
Если, однако, предположить, что Е2 = £«>, то предыдущий
результат остается в силе, кроме утверждения о четности сте-
степени. Мы отсылаем к работе Су [С 13] за подробным обсуж-
обсуждением этого случая.
(ii) Томтер в своей недавней работе [Т 1] строит приме-
примеры, реализующие все четыре возможности.
Мы закончим этот раздел одним полезным следствием из
теоремы IV. 1.
Теорема IV. 5 [ШЗ]. Пусть G = Гг, а X есть клеточное
G-пространство со счетной базой и нулевыми в четных раз-
мерностях рациональными гомотопическими группами. Тогда
множество неподвижных точек F связно (если оно непусто).
Доказательство. Пусть q\ и #2 — произвольные непо-
неподвижные точки, а ^еH*q(X\ Q) — произвольный элемент. Мы
покажем, что ограничения элемента I в H}}({q\}\ Q) и в
H*G({q*}\ Q) обязаны совпадать, и поэтому из теоремы IV. 1
следует, что точки q\ и <7г принадлежат одной и той же связ-
связной компоненте множества F. Значит, F связно (так как точ-
точки <7i, ?2 произвольны). В целях технического"упрощения мы
можем свести доказательство к частному случаю, когда
Q — 71 — окружность, поскольку всегда можно подобрать та-
такую окружность Slsr, что F(S\ X)=F(Try XI). Пусть
1) Пусть Ф — пространство всех комплекснозначных непрерывных
функций на Ху снабженное топологией компактной сходимости. В простран-
пространстве Ф действует естественное непрерывное линейное представление группы
G: (£(<р))(*) ^cpfgT1*) (феФ, #е(?, хеХ), Известно, что пбдпрб-
странство Фа тех ср е Ф, орбиты которых натягивают конечномерные пол-
§ 2. Кручение в эквивариантных кбгомологиях 65
g£ = ft, тогда достаточно показать, что следующие два се-
сечения а\9 Q2 в некотором смысле «Q-гомотопны»:
2 {qzfQ
Так как проективное пространство СРп состоит лишь из четно-
мерных клеток, а четномерные гомотопические группы про-
пространства X периодичны, то непосредственные рассуждения,
использующие теорию препятствий (см. [С 10, гл. III]), пока-
показывают, что существует такое Л/, что сечения р (aj и р^1 (<т2)
по-настоящему гомотопны, где отображение
индуцировано гомоморфизмом gt—^g1*. Поэтому
откуда следует равенство а*(£) = <т*(£), поскольку р^ есть,
очевидно, мономорфизм. □
§ 2. Кручение в эквивариантных когомологиях и
F-многообразия в С-пространствах
В этом параграфе мы всегда будем предполагать, что G =
= ГГ (соотв. Zp), а кольцо коэффициентов k равно Q (соотв.
Zp), поскольку лишь в этих обстоятельствах вообще возмож-
возможно. установить тесную связь между алгебраическими инва-
инвариантами эквивариантных когомологий и структурой орбит
G-пространств. В предыдущем параграфе нам удалось уста-
установить четкую связь между непериодической частью алгебры
пространства, плотно в Ф и что представление группы G в Ф разлагается
в счетную прямую сумму неприводимых одномерных представлений Я*. По-
Покажем, что существует такая окружность 5дГ, что если fa Ф 1, то
Мг Действительно, если Т = Rn/Znt то в Rrt— U KerdX* суще-
А^1
ствует вектор с рациональными координатами, который и порождает S.
Очевидно, S обладает следующим свойством: пространства Фг и Os инва-
инвариантных функций совпадают. Пусть теперь хо& F(S, X)—F(T,X). Тогда
Т (хо) S F(S, X). Пользуясь усреднением по S, легко построить функцию
феФ5, не постоянную на Т(Х)Л что, очевидно, противоречит выбору
окружности S. — Прим. ред.
$6 Гл. IV. Структура орбит G-пространства Х
НЬ{Х; k) и алгеброй H*(F\ k). Теперь разумно предполо-
предположить, что периодическая часть алгебры HG(X; k) связана со
структурами орбит, отличных от F(G> X), например, таких,
как множества неподвижных точек F(KtX) относительно
подгрупп K^G и т. п. Более точно, введем следующие спе-
специфические понятия, связанные со структурами орбит.
(А) Типы орбит и F-многообразия
В данном G-пространстве Х тип орбиты G(x) определяет-
определяется классом сопряженности стационарной подгруппы Gx. По-
Поэтому удобно определить типы орбит G-пространства Х сле-
следующим образом.
Определение. Обозначим через С(Х) множество классов
сопряженности подгрупп {Gx\ xg!}, а через 0°(Х)—мно-
0°(Х)—множество классов сопряженности подгрупп {G°x; x^X}. Мы
будем называть элементы множества О(Х) типами орбит
пространства X, а элементы множества С0(X) — связными
типами орбит пространства X.
Замечание. В частном случае, когда G — абелева
группа, каждый класс сопряженности подгрупп состоит из
единственной подгруппы, и поэтому С(Х) и О°(Х) представ-
представляют собой просто множества стационарных подгрупп и
связных компонент единицы стационарных подгрупп соот-
соответственно.
Теория G-пространств во многом аналогична теории алгеб-
алгебраических многообразий. В частности, в G-пространствах
можно следующим образом определить аналог замыкания по
Зарискому.
Определение. Пусть х — точка данного G-пространства Х.
Назовем F-многообразием точки х инвариантное подпрост-
подпространство F(x)t равное связной компоненте точки х в множе-
множестве XG*= U F(K, Х)у где К сопряжена с Gx.
к
В случае когда G — компактная связная группа Ли, по-
полезно также рассмотреть следующий вариант этого понятия.
Определим /^-многообразие F°(x) точки х следующим обра-
образом: ^(л:) есть связная компонента точки х в множестве
()
Q* *=[JF(K, X), где К сопряжена с G°x.
Замечания, (i) В важном частном случае G = Tr или
Zp стационарные подгруппы Gx автоматически нормальны.
Поэтому F(x) и F°(x) представляют собой просто связные
§ 2. Кручение в эквивариантных когомологиях 87
компоненты точки х в множествах F(GX, X) и F(G0Xt X) соот-
соответственно.
(И) На интуитивном уровне Х°х= (J F(K, X), где К ~ Gx>
представляет собой просто множество точек, орбиты которых
имеют ту же или большую особенность по сравнению с орби-
орбитой точки х. Причина, по которой в качестве связной компо-
компоненты точки х в Х°х берется множество F(x)t а не все мно-
множество Х°ХУ—это убежденность топологов в том, что «замы-
«замыкание» единственной точки должно быть связным.
(iii) Семейство /^многообразий в данном G-пространстве
X представляет собой канонически определенный набор отме-
отмеченных инвариантных подпространств этого пространства.
В когомологической теории групп преобразований общее по-
понятие «структуры орбит» можно интерпретировать как кого-
когомологическое строение «сети /^многообразий».
(iv) Пусть Y=F(xo) —данное /^многообразие в X. Точка
//еУ называется общей точкой многообразия У, если Gy ~
~ Gjc0; стационарные подгруппы общих точек называются
общими стационарными подгруппами многообразия У. В ча-
частном случае, когда G — абелева группа, существует единст-
единственная общая стационарная подгруппа многообразия У,- и
удобно обозначать ее просто через GY. По аналогии с алгеб-
алгебраической геометрией можно также ввести понятие неприво-
неприводимого G-пространства Х — это значит, что X представляет
собой /^многообразие некоторой общей точки хОу т. е. X =
= F(xo).
Примеры. A) В случае когда X — когомологическое
многообразие над Q (соотв. над Zp), а б = Г (соотв. Zp),
всякое /^-многообразие (соотв. /^-многообразие) У в X также
представляет собой связное когомологическое многообразие
над Q '(соотв. Zp)> а само X неприводимо тогда и только тог-
тогда, когда связно. (Последнее утверждение эквивалентно тео-
теореме Монтгомери — Самельсона — Яна о главном типе орбит,
см. теорему I. 7 гл. I, § 3, п. (D)).
B) ПустГ X = Rn, G = Т7, а G-действие задается линей-
линейным представлением ф. Пусть система ненулевых весов пред-
представления ф имеет вид
где rrii — кратность веса ±Wi (заметим, что веса веществен-
вещественного представления разбиваются на пары противоположных
эесов), и пусть г = dim F(G,X)—кратность нулевого веса.
88 Гл. IV, Структура орбит G-пространства X
Тогда
(i) подгруппа К лежит в О°(Х) тогда и только тогда, ког-
когда она имеет вид •
K=*wj-{\wj-{) ... [)wf- (/( = G при s = 0),
где wf- = Кег° wt —- подтор коранга 1, алгебра Ли которого
представляет собой гиперплоскость, перпендикулярную к wi.
(Здесь вес представления рассматривается то как гомомор-
гомоморфизм G-+S1, то как соответствующая линейная функция на
алгебре Ли тора G.)
(ii) F0-MHoroo6pa3He F°(x) точки х представляет собой
линейное подпространство размерности
dimF°(x) = r + £ 2m£.
B') Пусть X' = 5"-1 — единичная сфера в R" из предыду-
предыдущего примера. Тогда пересечение описанного выше ^-много-
^-многообразия с Sn~l является ^-многообразием в Sn~l, т. е. F°(x)
-представляет собой сферу размерности г + 2 2/п* — 1.
wj- a
C) Пусть X = СРп, G = Тп, а G-действие индуцировано
комплексным линейным представлением ф с системой весов
Й(ф) = {wi,mi}. Тогда
(i) Множество неподвижных точек есть F(G, X) =
= CPmi"l(J ... \JCPms~l, где слагаемые соответствуют раз-
различным весам w\f ...,ws-
(ii) Пусть Fw , ..., Fw — связные компоненты множе-
ства F(G, X), лежащие в F°(x). Тогда алгебра Ли группы G£
задается уравнениями
a F°(x) есть CPk, где k = (mil + пц2 + ... + пца) — 1.
D) Пусть четномерные рациональные гомотопические
группы пространства X тривиальны и G = ТГ. Тогда ^-мно-
^-многообразия в X взаимно однозначно соответствуют элементам
множества С0(X) (теорема IV. 5).
*(В) Важный пробный случай
Из § 1 мы знаем, что множество F неподвижных точек
является геометрическим носителем непериодической части
fj*q (X\ k). Поэтому для простоты мы начнем лсследо
§ 2. Кручение в вквивариантных когомдлбгилх 89
вание периодической части с того, что полностью уничтожим
непериодическую часть, предположив, что F = 0. Тогда
из следствия 1 § 1 вытекает, что ядро гомоморфизма
#c({pt}; k)—► НЪ (X; k) отлично от нуля. Его можно рассмат-
рассматривать как аннулятор единицы 1 е НЬ (Х\ k). Геометриче-
Геометрический смысл этого идеала / = Кегя! ^ H*(BG; k) проясняется
следующей теоремой из [С 24], которая служит прототипом
для дальнейших результатов о кручении в эквивариантных
когомологиях. Мы сформулируем и докажем ее в случае G=
== Гг, k = Q; случай G = Zrp исследуется аналогично.
Теорема IV. в. Пусть G = Try а X — компактное G-прост-
ранство без неподвижных точек. Пусть J — ядро гомоморфиз-
гомоморфизма л*: H*(BG\ Q)->H*g{X\ Q), ^J —радикал идеала J и
— неприводимое разложение идеала У/ на простые компо-
компоненты.
(i) Имеет место естественное взаимно однозначное соот-
соответствие между этцми простыми компонентами Р/ и макси-
максимальными элементами Hf множества С°(Х) (соотв. 0(Х))\
при этом соответствии многообразие V(P])> определенное
идеалом Р/, есть в точности алгебра Ли1) группы Я/.
(И) Пусть V = F(Hf\ X); / = 1, ..., а. Тогда
H*Q (X; Q)Pj а /Го (Y'i Q)Pj ж Я* (Yf/G; Q) ® k H* (ВЯ/; Q)p .
Замечание. Скомбинировав (Н) с теоремой IV. 1, мы
получим мощное средство для исследования строения про-
пространства H*(Yi/G; Q).
Доказательство.
(i) Обозначим для данной точки х&Х через Рх ядро го-
гомоморфизма Я* (Во; 0)->Я*^Б0 ; QY которое, очевидно, пред-
представляет собой простой идеал. Определяемое им многообра-
многообразие есть алгебра Ли группы Gx. Для данного простого идеа-
идеала P<=:H*(BG\ Q) положим
4) Пусть G = Tr = Rr/Zr и х\, ..., хг — стандартная система коорди-
координат в R'. Тогда H*(BQ\Q) = Q[flf ..., t,], где U (i = 1, ..., г) —образ
при трансгрессии элемента xi, рассматриваемого как элемент группы Hl(G;
Q) (см. гл. III, § 1, п. (В) и следствие 1.2.1). Поэтому H*(BQ;Q) можно
отождествить с алгеброй рациональных полиномиальных функций на ал-
алгебре Ли Rr тора G. — I7ptiMt ред4
90 Гл. IV. Структура орбит G'-пространства X
Заметим, что при локализации относительно Р получаем
•H*{Bgx\ Q)p = 0 для всех хфХр. Поэтому H*G(X; Q)p9*
o*H*Q(Xp; Q)p. Действительно, рассмотрим локализованную
относительно Р спектральную последовательность Лере ото-
отображения Л2 :Ха — X/G (см. гл. III, § 1, п. (С)). Поскольку
носитель пучка 9>р лежит в Xp/G, вложение Хр -+Х индуци-
индуцирует изоморфизм H*(X/G; 9>р) -*H*(Xp/G; 9*p) вторых чле-
членов спектральных последовательностей ([Г2], гл. II) и, сле-
следовательно, изоморфизм H*(Xg\ Q)p-> Н* {XPg\ Q)p-
Заметим, что Pi, ..., Ра — это в точности те минимальные
простые идеалы, которые содержат идеал /, а из включения
/ ^ Р/, очевидно, следует, что Jpf cz H*(Bg\ Q)pf- Поэтому ло-
локализованный морфизм
Н* (Во; Q)pj «> H*G (X; Q)Pj ~ H*G (XPf; Q)Pj
нетривиален и, следовательно, ХР1ф0. Пусть x^XPf
hHj = G°x. Тогда имеем следующую коммутативную диа-
диаграмму точных последовательностей:
о->/-►#• (в0; Q)-►#&(*; Q)
0-+H*(BHj;Q.)->H*Hi(X;Ct)
о
Отсюда
и из минимальности идеала Р/, очевидно, следует, что Рх.=*
s= Р/, и это доказывает (i). П
(и) Пусть Yi = F(Hi\ X)f j= I, 2, ..., а. Так как Н,есть
максимальный элемент в 0°(Х), то легко видеть, что индуци-
индуцированное действие группы Я/ = G/Hj на Yj почти свободно,
т.е. имеет конечные стационарные подгруппы. Следовательно,
¥{, = Ев Хо У = (EHf X ЕЙ{) Х(Я/ х н,) У - ВЯ/ X ^
и из спектральной последовательности Лере отображения
щ: YHl -> У//Яу получаем
§ 2. Кручение в эквивариантуых когомологиях 91
Поэтому
Я*с (X; Q)P/ a H*Q (У; Q)P/ ~ Я* {Y^G; Q) ®, Я* (ВЯ/; Q) [J
Примеры. A) В качестве простого применения дока-
доказанной теоремы разберем случай G = Tr, X ~QSn и F=0.
Так как член Е2 спектральной последовательности Серра
расслоения Xq-^-Bg состоит всего из двух строк £2'° =
= Я*(В0; А)® 1 и E*2n = H*(BG; k)®{x}, то ясно, что обра-
образующий х^Нп(Х\ k) трансгрессивен и что Еп+ъ = £«>. Сле-
Следовательно, ядро / граничного гомоморфизма H*(BG\ k) ->
->Я*(Х0; k) есть идеал, порожденный образом dn+\(x) &
е=Яп+1(В0; fe) элемента л: при трансгрессии. Тогда из дока-
доказанной теоремы вытекает, что элемент
разлагается в кольце H*(BG\ Q) ^Q[^i, ..., tr] в произведе-
произведение «линейных многочленов», причем [Hj = wj-, /=1, 2, ...
..., а} состоит в точности из максимальных элементов мно-
множества С°(Х) и, кроме того,
F (Я/, X)/G ~Q CPkr\ F (Hh X) -Q S2kr\
B) Далее, рассмотрим случай, когда X^Q5n, но F^
В этом случае модуль НЬ {X; F) периодичен. Снова второй
член спектральной последовательности Серра Е2=Н* (SG; Q)(g)
(£)Я*(Х, F\ Q) состоит из двух строк. Поэтому нетрудно ви-
видеть, что
dn-r (*) = a (df) ФО, а е Яп-Г (Во; Q),
— единственный ненулевой дифференциал; здесь х и df — об-
образующие пространств Hn(Xf F\ Q) и ЯГ+1(Х, F; Q) соответ-
соответственно. Отсюда мы получаем, что Я*(Х, F\. Q) порожден как
H*(BG\ Q)-модуль элементом (9/, а аннулятор элемента df есть
в точности главный идеал (а)9=Я*(В0; Q). Далее, почти
такое же рассуждение показывает, что образующий а снова
разлагается на линейные множители, а именно f
а = w\lwl2 ... wkaa,
где \Hj = wj-\ /=1, 2, ..., а} суть максимальные элементы
в (f{X — F), причем F(Hb X)~QS2k!+r.
Объединяя результаты рассмотренных двух случаев, мы
получаем, в частности, важную формулу Бореля для тополо-
92 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
гического действия элементарных абелевых групп на тополо-
топологических сферах.
Теорема IV. 7 (Борель). Пусть G— тор (соотв. р-тор) и
X ~kSn. Пусть п(Н)—такое натуральное число, что
F(HtX) ~kS«(»\ ar = n(G). Тогда
п-г=Т,(п(Н)-г),
где Н пробегает подторы (соотв. р-подторы) коранга 1.
Теорема IV. 7'. Пусть G — тор (соотв. р-тор), а X —неко-
—некоторое ^когомологическое многообразие размерности п. Пусть
хб! — неподвижная точка\ предположим, что х обладает
счетной фундаментальной системой окрестностей. Пусть п(Н)
есть когомологическая размерность множества F(#, X) в точ-
точке х и г = n(G). Тогда
н
где Н пробегает подторы (соотв. р-подторы) коранга 1.
Замечания, (i) Теорема IV. 7 попросту представляет
собой следующее утверждение о степенях:
degа = п - г = deg (а>Х2 • • • К?) = £ Щ = Е (л (Яу) - г).
(п) Геометрически теорему IV. Т можно трактовать как
своего рода утверждение о «трансверсальности» F-многооб-
разий в случае, когда G-пространство Х есть когомологиче-
когомологическое многообразие. Мы займемся выяснением геометрическо-
геометрического смысла теоремы IV. 7', а также некоторыми ее приложе-
. ниями в следующей главе.
(С) Алгебраические инварианты эквивариантных
когомологий
Используя в качестве образца полученные выше резуль-
результаты, перейдем к общему исследованию геометрического смы-
смысла аннулирующих идеалов в структуре эквивариантных ко-
когомологий. Для начала введем следующие обозначения:
Rq = H*(Bg', k), если G = Xr или Ъгъ
V? RG = k [tu ..., tr] s H* (BQ\ k), если G = Z£, p Ф 2.
(ii) Для замкнутой подгруппы K^G обозначим через Р*
ядро гомоморфизма /?о->/?/с, являющееся, очевидно, простым
идеалом, многообразие которого есть алгебра Ли группы /С.
§ 2. Кручение в эквивариантных когомологиях 93
Для данной замкнутой подгруппы К s G положим
X* = F (Ку G) = {x<= X; Gx э *}.
' Для данного простого идеала P^RQ положим
{XPP}
(iv) Аннулятором /?о-подмодуля М ^ H*G (X, У; k) назы-
называется arm М ={а е Rq\ а«Л1 = 0}. В случае когда модуль М
порожден элементами {mi, ..., m/}, можно вместо annAf пи-
писать ann (mi, ..., mi).
(v) Для данной замкнутой подгруппы К ^ G й /?о-модуля
М^НЪ(ХУ У; й) мы будем обозначать через КМ образ мо-
модуля М в Я&(^,У^; А).
(vi) Пусть Y — замкнутое инвариантное подпространство
G-пространства Х, а т) —некоторый элемент из НЪ(У).
Пусть
/ч (X, Г) = {a s /?а; ач е Im (НЬ (X) -^ Я*о (У))}.
Из рассмотрения точной Яс?-последовательности пары (X, Y)
вытекает, что
In(X,Y) = ann (дг\)у где di\*=Hb(X,Y).
В теореме IV. 6 мы изучали* идеал / = ann A) = ann Hq\X)
и сумели выяснить геометрический смысл его простых компо-
компонент. Поэтому разумно обратиться к разложению Нётер —
Ласкера определенных выше идеалов annAf и /л и попытать-
попытаться определить геометрический смысл их примарных компо-
компонент. Прежде всего, укажем несколько простых основных
фактов, играющих решающую роль в доказательстве как тео-
теоремы IV. 6, так и различных ее обобщений, которые будут
обсуждаться в этом параграфе.
Предложение 3. В случае когда G — тор (соотв. р-тор),
отображение, ставящее & соответствие каждому подтору (со-
(соотв. р-подтору) K^G идеал Рк — Кег(Во-*Вк), устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством
торов в G и множеством линейных (т. е. порожденных много-
многочленами степени 1) идеалов в Rq. Более того, для всякого
простого идеала Р ^Ro существует единственный минималь-
минимальный тор К s G, удовлетворяющий условию Р% s P.
Доказательство. Первое утверждение является не*
посредственным следствием того факта, что определенное
идеалом Рк многообразие V(Pk) есть в точности-алгебра Ли
группы К и что имеется очевидная биекция между линейны-
линейными подпространствами в (J, т. е. подалгебрами Ли алгебры
94 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
Ли д, определенными системами линейных уравнений с ра«
циональными коэффициентами, и подторами тора G. Второе
утверждение следует из того факта, что существует единст-
единственное линейное подпространство, натянутое на многообра-
многообразие V(P)y и К представляет собой просто подтор, алгеброй
Ли которого служит это подпространство 1).
Предложение 4. Гомоморфизм
НЪ(Хр,Ур)->НЪ{Хр,Ур)р
инъективен для любого простого идеала Р ^ RQ.
Доказательство. Пусть К — минимальный тор, удов-
удовлетворяющий условию РК^Р. Ясно, что ХР=ХКУ YP = YK.
Поэтому нам остается показать, что следующая композиция
инъективна:
НЬ (X*, Y*) -> НЬ (X*, УК)Р -> НЬ (X*, Y«)pK.
Так как G — тор, а К — его подтор, то существует такой
подтор К', что G = KXK' и Ед = ЕкХЕк>. Отсюда
X*h = (Ек X £/c) X gXk = Вк X {ЕК X к'Хк) =ВКХ Х$
и Уо = 5/сХ^'» где на пространствах Хк, YK рассматри-
рассматриваются индуцированные действия группы К'. Следовательно,
по формуле Кюннета имеем коммутативную диаграмму
НЬ (Х«у К*) ~ Н* (Вк) ® Н*к
~ Я*
где правая вертикальная стрелка обозначает тензорное про-
произведение гомоморфизма Н* (Вк)-> Н* (Вк)рк и тождествен-
тождественного отображения; это произведение, очевидно, инъектив-
но. □
Объединяя доказанные предложения с теоремой локали-
локализации, получаем
Предложение б. Пусть Р^Ro — простой идеал, а К^ G —
минимальный подтор, удовлетворяющий условию Рк = Р.
*) См. примечание *) на стр. 89. Приведенное рассуждение относится
к случаю G = Тт, k =» Q. В случае, когда G == Z£,k == Zp, подторы в G-
это не что иное, как подпространства пространства Zrp над полем Zp.
С другой стороны, Rq можно отождествить с алгеброй полиномиальных
функций на Zj^ (см. примечание на стр. 73), причем Рк отвечает идеалу
функций, обращающихся в 0 на К- — Прим, ред.
§ 2. Кручение в жвивариантных кбгомологиях
Тогда
(ami M)p [}RG = arm* M.
Доказательство. Из следующей коммутативной диа-
диаграммы вытекает, что МР как (/?<?)р-модуль порожден подмо-
подмодулем КМ:
Поэтому
Ht(X,Y)P
Щ{Х\Гк)Р
(arm М)Р П RG = arm (MP) f| RG = ann* M.
Далее, напомним следующие основные свойства примар-
ного разложения Нётер — Ласкера в терминах локализации:
Пусть R=k[tu ..., tr] —кольцо многочленов над полемk.
Тогда для каждого идеала / ^ R существует приведенное
примарное разложение
/ = ^7i П ••• П?т Di — примарные идеалы).
Пусть Р — произвольный простой идеал и Pt = V?f •
Тогда
IP{]R= fl ^.
Следовательно, простые идеалы Pi, ..., Pm, принадлежащие
идеалу /, могут б*>иъ охарактеризованы"условием
P = Pi> если и только если Ipf\Rcz f| h'(]R,
Р'аР
а примарная компонента q% с минимальным Pi задается фор-
формулой
В качестве прямого обобщения теоремы IV. 6 докажем те-
теперь следующее предложение.
Теорема IV. 8 [Ш 3]. Пусть М — конечно порожденный
Ro-подмодуль модуля НЬ (X, У), и пусть
•— приведенное примарное разложение идеала ann Af. Тогда
Гл. IV. Структура орбит G-прост ранет в а X
(i) все простые идеалы {л/qi, ..., V?m }» принадлежа-
принадлежащие идеалу аппМ, линейны и ^/qt = Ркг г&е Ki — подторы,
характеризуемые следующим условием:
ann*Me П arm*' M.
(И) Идеал PKi минимален в множестве -{vVi, ..., V?m }
тогда и только тогда, когда тор Kt максимален среди всех
подторов К, для которых КМ Ф О, и в этом случае
qt = ann*i M.
Доказательство, (i) Пусть annM = q\f] ... f] Цт —
приведенное примарное разложение идеала ann M, а {Л ==
= л/Яг ; /= 1, ..., т} — простые идеалы, принадлежащие
идеалу аппЛ! Тогда идеалы ,Pi характеризуются условием
P = Pi<=>(!mnM)PnRGcz fl (annM)p/{)RG.
Р'аР
Из предложения 5, однако, непосредственно следует, что
(ann М)Р (]RG = (ann М)Рк П RG = ann^ M,
где /С — минимальный подтор, удовлетворяющий условию
Р/с ^ Р. Поэтому мы можем заменить в написанном выше
условии все простые идеалы линейными, откуда сразу сле-
следует (i).
(ii) Предположим, теперь, что Pi, ..., Р/ — минимальные
простые идеалы из совокупности {Pi, ..., Pm}. Тогда Pi, ...
,.., Pi — это в точности минимальные простые идеалы, содер-
содержащие аппМ, или, что равносильно, обладающие свойством
(аппМ)р [\Rg Ф Rq. Следовательно, опять по предложению 5
множество {Pt = PKi; /=1, ..., /} состоит в точности из тех
простых идеалов, которые минимальны среди идеалов, удов-
удовлетворяющих условию (ann M)?K flRG = ann* M Ф RG, или,
что эквивалентно, условию кМф0. Поэтому Ки •••» Ki —
максимальные подтощ>1, для которых КМ Ф 0. П
Примеры и первые приложения. A) Пусть У^
^Х — инвариантное подпространство и т] ^ H*G{X). Тогда
/ч(X, Г) = {ае RG\ ац е Im(НЬ(X)~>HG(У)} = ann(дц)9
и можно, применив доказанную теорему к /^(Х, У), получить
такое следствие:
Следствие. Пусть /л (X, У) = q\ f| .. ._J1 Qm — приведенное
примарное разложение. Тогда Pi = л/qt = Р/с^ "" линейные
§ 2. Кручение в эквивариантных когомдлогиях
простые идеалы, и торы Ki характеризуются следующими ус-
условиями:
Далее, идеал Рць минимален в множестве {Ри..., Рт) тогда
и только тогда, когда тор Ki максимален среди всех подто-
ров, для которых 1ц (X, Y) Ф Rq. В этом случае
Доказательство. Напомним, что 1ц (X, Y) •
In(XK[)Y, У), и из коммутативной диаграммы
Щ(Х)
H*(XK[}Y) U Щ(У) —^ H%(XK\)Y,Y) —£-+ Щ{Х\УК)
легко следует, что 1ц{Х, У) = arm (дх\) и I*(X9 Y) = annK(dx\).
Поэтому следствие непосредственно вытекает из теоре-
теоремы IV. 8. □
B) В приложениях часто бывает полезен следующий
факт.
Предложение 6. Предположим, что фактормодуль модуля
НЬ{Х) по его Ro-периодической части Ro-свободен. Тогда
1Г, (X, F) — главный идеал при каждом т] е Hh (F) (здесь F=*
= F(G, X)) и его образующий элемент разлагается на ли-
линейные множители.
Доказательство. Пусть N есть /Со-периодическая
часть модуля НЬ (X), а М — подмодуль в НЬ (X), изоморфно
проектирующийся на свободный модуль НЬ (X)/N. Тогда.
(как ^-модули)
и гомоморфизм М s НЪ (X) -> НЬ (F) отображает модуль М
в НЬ (F) инъективно. Так как
где S*=RQ-{0},
то ясно, что всякий элемент ц s НЬ (F) можно выразить че«
рез базис {mi} свободного модуля М с дробными коэффици*
е^тами, а именно
4
98 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
где аи bi, С/, а е /?g, а элементы набора {d} не имеют общих
делителей. Теперь из однозначности разложения на множи-
множители в кольце Rg следует, что Iy\(X, F) = (а) — главный
идеал, порожденный элементом а.
Тот факт, что элемент а разлагается на линейные множи-
множители, непосредственно вытекает из полученного выше след-
следствия теоремы IV. 8.
Следствие. Пусть Х\={х&Х\ коранг Gx ^ 1}. Если
H*G (X) — свободный Ra-модуль, то отображение
Hh(XyF)->H*G(XuF)
инъективно.
( Доказательство. В силу того что модуль НЪ (F)
свободен, а модуль НЪ(Х, F) периодичен, длинная точная
последовательность пары (Xf F) оказывается короткой, а
именно
О -> На (X) -► На (F) ^> НЪ (X, F) -> 0.
Для произвольного элемента I e H*G (X, F) существует такой
элемент г] е НЬ (F)> что g = бт]. Поэтому из предложения 6
следует, что апп(^) = /n(^, F) — главный идеал и что сущест-
существует такой подтор коранга 1, что | не переходит в нуль модуля
H*a{XK,F). Из-за того что Хк^Хи элемент £ не переходит
также и в нуль модуля Н*о(Х\, F). Но I — произвольный эле-
элемент, поэтому гомоморфизм H*q(X, F)-> H*g(Xi> F) должен
быть инъективным. □
Замечание. Позже мы применим этот результат для
вывода формулы Гольбера [Г 4], представляющей собой фор-
формулу второго порядка типа Бореля (см. § 1 гл. VIII).
C) Пусть X есть G-пространство с несвязным множеством
неподвижных точек F\ пусть Я, F2 — две связные компонен-
компоненты множества F и х\ е F\ x2 e F2. Пусть Y = {хи х2} и
ц е Я0(Y) ^НЪ(Y)—элемент, принимающий значение Сточ-
Сточке х\ и значение 0 в точке х2. Тогда нетрудно видеть, что
минимальные простые идеалы, принадлежащие I^(X, F), со-
соответствуют в точности общим стационарным подгруппам тех
минимальных /^-многообразий (соотв. /^-многообразий), ко*
торые соединяют F1 и F2.
Аналогично пусть У = F = F1 [} F2 [} ... (J Fs, и пусть
f,* (Fl) s Z
-l i-l
§ 2. Кручение в эквивариантных когомологиях 99
Тогда нетрудно видеть, что минимальные простые идеалы,
принадлежащие идеалу 7^, (X, F)> соответствуют общим ста-
стационарным подгруппам тех минимальных /^-многообразий
(соотв. ^-многообразий), которые соединяют F1 с другими
компонентами. Предположим, в частности, что фактормодуль
модуля H*g (X) по его /^-периодической части — свободный
/^-модуль. Тогда из предложения 6 следует, что идеал
/п, (X, F) главный и поэтому общие стационарные подгруппы
минимальных ^-многообразий (соотв. ^-многообразий), сое-
соединяющих F{ с другими, компонентами, должны иметь ко-
ранг 1 (т.е. образующий идеала /ть(х\ F) разлагается на ли-
линейные множители).
Пример. В качестве простого конкретного приложения
введенных выше алгебраических инвариантов и теоремы IV. 8,
рассмотрим случай
т.е. #*(Х; k) ~ Q[6o]/(Eo+1).
Снова в спектральной последовательности Серра рас-
расслоения X-*XG-+ BG все дифференциалы равны 0, так как
в члене Е^ = H*(BG) ®q#*(X) нет элементов нечетных степе-
степеней. Поэтому £2 = £оо и Hq(X)9*H*(Bq)&qH*(X) как
Н* (BG) -модули. Пусть £ — некоторый прообраз элемента £0^
еЯ^1) в Hq(X), тогда множество {1, £, £2, ..., £"} образует
базис Rg-модуля H*g (X) и
Hb(X)9*Ra[l]l(f(l)) (как ^-алгебры),
где f(l) = ^+1 + cig" + саб" + • • • + Сп+и ct e Я4^^а). Из
теоремы IV. 1 следует, что элемент f(|) разлагается в произ-
произведение «линейных» множителей в /?о(£), а именно
/ (|) = ft - сц)*' (| - а/' ... (| - <zsL
Соответственно множество неподвижных точек F состоит в
точности из s связных компонент F\ F2, ..., Fs> таких, что
Я* {F>; Q) e& Q|>1/]/№), degr1/ = 2 или 4.
Пусть Ф/: Н*в (X) -* Н*а (F1) и <р: Н*а (X) -> Н*а (F) = Е Н*а (F>) -
гомоморфизм ограничения. Тогда ясно, что
ф/(|) = а/, если /?/~q{pt}, т. е. kt=l, i
Ф/A) = Л/ + а/, если F1 ~QQPkrl, т. е. k, > 1 и
если F>~QCPkr\ T.e. fey > 1 и
100 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
<РA)-(¥ 1 (I), Ф2(I),..., fЛЮ) е Н%(F)- t fi
Пусть /' - (о, .,., 0, х\)г\ 0 0)e^(f)c H*Q (F). Мы
явно вычислим идеал Ifj(X>F) следующим образом.
Так как H*G (X) —■ свободный /?о-модуль, то I} = Ifj (X, F)-~
главный идеал, порожденный, скажем, элементом а. Пусть
g (I) е НЬ (X) — элемент, для которого qp* (g (g)) = 0 при всех
1Ф\ и ф/ (g (D) = а • /7. Из условия Ф/(#(£)) = 0 следует, что
g(l) должен делиться на Ц — а^*, а из условия q>j(g(l)) =
= а • /у = ат]^ следует равенство ср7 (g (|) (g — ау.)) = 0, т. е.
делится на (g — а/)*/. Поэтому
fif (I) = ( Пу F - а/)^) (S -
Пусть go(g) = f П (E-a,)*^(g —а,)*/. Легко видеть, что
9(ffo(g))-@ 0, afff, 0, ...,0),
где а/ = П («/ — а,)*', если degr)/ = 4, и а/=П(а/-^
— а*)*'?^", если deg'n/ = 2. Кроме того, a = aj* [свободный
член элемента <p./(£(g))]. Как прямое следствие проведенного
вычисления и теоремы IV. 8 мы получаем, что элемент щ — ее/
разлагается в произведение двух «линейных» множителей
для всех i Ф /. Полное определение когомологических инва-
инвариантов действия тора на пространствах типа QPn было про-
ведено в работе Сяна и Су [С 28]. Мы обсудим их результат
в гл. VI.
§ 3. Теорема о расщеплении для пространств с
двойственностью Пуанкаре
Напомним, что пространством с двойственностью Пуанка-
Пуанкаре формальной размерности п над полем k называется про-
пространство Ху удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Hn{X\ k) = k и Н*(Х\ k) = 0 при i > п\
(п) умножение W {Х\ К) X № № k)— +k — невырож^
денное спаривание при всех 0 ^ / ^ п.
Любой образующий элемент пространства Нп{Х\ k) назы-
называется фундаментальным классом когомологий пространст-
пространства X.
§ 3. Теорема о расщеплении 101
Су предположил, что каждая связная компонента множе-
множества неподвижных точек при действии тора (соотв. р-тора)
на пространстве с двойственностью Пуанкаре над Q (соотв.
Zp) сама будет пространством с двойственностью Пуанкаре
над Q (соотв. Zp). Бридон [Б 16] доказал эту гипотезу при
очень ограничительном предположении, что X вполне негомо-
негомологично нулю в расслоении X-*~Xq-+- Bq. Недавно Чан и
Шельбред в своих диссертациях [4 1], [ШЗ] доказали эту
гипотезу в полной общности. Кроме того, в их диссертациях
доказана также сформулированная ниже гипотеза Сяна.
• Пусть G — тор (соотв. р-тор), а X есть G-пространство с
двойственностью Пуанкаре над Q (соотв. Zp) с непустым мно-
множеством неподвижных точек F. Если F1 — связная компонен-
компонента множества F, то в ней с помощью структуры /^-многооб-
/^-многообразий (соотв. /^многообразий) в окрестности множества F1
следующим образом вводится локальная геометрическая си-
система весов.
Пусть Yi суть /^-многообразия, содержащие F1 и имеющие
общие стационарные подгруппы коранга 1, обозначаемые,
скажем, через wf-, где wi — многочлен степени 1 из /?<?, обра-
обращающийся в 0 на wf-. Под dim Yi, dimF1 будет пониматься
формальная размерность пространств с двойственностью Пу-
Пуанкаре Yit F1 соответственно. Тогда локальная геометрическая
система весов в F1 определяется формулой
где кратность веса wt равна пц = dim Yi—dim F1.
Гипотеза. Обозначим через х и f1 фундаментальные
классы соответственно пространства X и связной компоненты
F* множества неподвижных точек F. Тогда идеал Ifj(X, F) —
главный и порожден произведением локальных весов, а имен-
именно
at — w\x ... wdtl,
причем локальная система весов в F1 равна £^/ =
= {wit mt\ i= 1, ...,/}, где пц = 2di при р Ф 2 и пц = di при
р=з2. Кроме того, существует такой прообраз xj элемента х
в кольце НЬ(Х), что ограничение элемента х\ на Hh(Ff) равно
в точности uffi, а ограничения элемента xj на Hh(Fl) равны
нулю при / ф /.
В этом параграфе мы приведем доказательства этих ги-
гипотез, принадлежащие упомянутым авторам.
Теорема IV.9. [4 2] Пусть G — тор (соотв. р-тор), а X
есть 6-пространство с двойственностью Пуанкаре над Q
102 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
(соотв. Zp). Тогда связные компоненты множества F непод-
неподвижных точек также представляют собой пространства с двой-
двойственностью Пуанкаре над Q (соотв. Zp).
Теорема IV. 10 [4 2]. Пусть G — тор (соотв. р-тор), а X
есть G-пространство с двойственностью Пуанкаре над Q (со-
(соотв. Zp). Пусть QFj = {wiy m.} — локальная система весов в
связной компоненте yFi множества F неподвижных точек и
fj — фундаментальный класс компоненты F1'. Тогда I^j (X, F)
есть главный идеал, порожденный элементом
aj = Д w** [di = m. при р = 2 и di = -±- при р Ф2).
i
Доказательство. Мы приведем полное доказатель-
доказательство лишь для случаев р = 0, 2, отсылая читателя к [4 2, §4]
за необходимыми незначительными изменениями, связанны-
связанными с тем, что в случае нечетных простых р имеет место вклю-
включение RG a H*(BG\ k). Нам понадобятся следующие две про-
простые леммы.
Лемма 1. Пусть Х-+М-+ В— расслоение, в котором В —
замкнутое ориентируемое кусочно линейное многообразие
размерности Ьу а X — пространство с двойственностью Пуан-
Пуанкаре (над k) формальной размерности п. Пусть локальная
система {Нп(Х\ k)} постоянна над В. Тогда М — тоже прост-
пространство с двойственностью Пуанкаре (над k) формальной
размерности п-\-Ъ.
Доказательство. Обычное доказательство того, что
для пространства В имеет место двойственность Пуанкаре,
использующее открытые клетки в Б и последовательн9сть
Майера — Виеториса, даст с незначительными изменениями
также и доказательство того, что для пространства М имеет
место двойственность Пуанкаре1).
Лемма 2. Предположим, что Нп(Х\ k) = k и W(X\ k)=0
при q > п. Тогда X представляет собой пространство с двой-
двойственностью Пуанкаре формальной размерности п тогда и
только тогда, когда для каждого с^Н^(Х\ k), q < n, сфО,
существует такой с\ е НР(Х; k)y где р > 0, что с-с\ Ф0.
Перейдем теперь к доказательству теорем IV. 9 и IV. 10.
Основная идея доказательства, грубо говоря, такова. Можно
заменить базу Ва ее приближением достаточно высокой раз-
размерности, являющимся многообразием, например (CPNy s
1) См. [Р 3]. — Прим, ред.
§ 3. Теорема о расщеплении 1C3
cz (СР°°)Г = Втг или (RPN)r s (/?P°°)r = Szr. Пусть f/ - связная
компонента множества неподвижных точек F, a qf— точка в
FL Пусть М(Х), M(F!)y M(qf) — ограничения расслоений Хо,
Fg и {<7;}g соответственно на такое приближение B^BQ. Те-
Теперь по лемме 1 М(Х) является пространством с двойствен-
двойственностью Пуанкаре формальной размерности dimM(X)==
= dimZ + dim В. Пусть g/ e Hn{M (X))—элемент, двойст-
двойственный к определенному ниже фундаментальному классу го-
гомологии [M(qj)]. Мы покажем, что |/—-прообраз фундамен-
фундаментального класса когомологий ^еЯп(Х) в Нп(М(Х)), причем
где ф*—гомоморфизм ограничения, индуцированный вложе-
вложением М(Р1)^М(Х), и, кроме того, р — фундаментальный
класс когомологий пространства Ff, а а7-— образующий
идеала /f/(X, F).
(i) Для пространства М с двойственностью Пуанкаре над
k мы будем обозначать через [М] фундаментальный класс
гомологии, т.е. выбранный некоторым образом образующий
элемент пространства Нот(Нп(М, k), k). В силу двойствен-
двойственности Пуанкаре в М(Х) существует единственный элемент
1}<=Нп(М(Х)), такой, что
<xlh [М (X)] > = (х, [М (qf)]) для всех х<=Н*(М (X)),
где < , > — спаривание между когомологиями и гомология-
ми. Поскольку M(qi)^ М(Х) — сечение расслоения X—►
-+М(Х)->В, нетрудно видеть, что If ^ Нп(М(Х))—прооб-
Нп(М(Х))—прообраз фундаментального класса £е Нп(Х). Поэтому элемент {■/
порождает свободный Н*(В)-подмодуль в Н*(М(Х)).
(ii) Напомним, что НЬ {X, F) — конечно порожденный пе-
периодический /?о-модуль. Поэтому найдется такой элемент ае
^ Ro — {0}, что а • НЬ (X, F) = 0. Для данного элемента
0 Ф се№(Я) определим такой гомоморфизм у : Я*(М(/7/))->
-*ft, что у(Н1(В) XHl(Ff)) =0, если (/, /) ф (dimВ, q)t и
Y(&X^)=1, где 6 —выбранный фундаментальный класс
когомологий пространства В. Теперь по двойственности Пу-
Пуанкаре в М(Х) существует единственный элемент D(c) e
^(JH(Jf)), такой, что
{x-D(c),[M(X)]) = y(x\M{F!)) для всех х е Я*
Будем считать с элементом модуля Hq{F), используя вклю-
включения сеЯ* (f) е Я* (Т7) s Яо (Т7). Из того факта, что
а • Яс? (ЛГ, F) = 0, следует существование элемента с&НЬ W»
104 Гл. IV. Структура орбит G-пространства X
для которого ф*(с) =а-с (здесь qp* — гомоморфизм ограниче-
ограничения, индуцированный вложением М (F) ^М (X)). Поэтому
(хс • D (с), [М (X)] ) = у{хс\М (F1)) = у (хае \ М {F1)) =
= (ха, [М (q})] > = (xatfi [M (X)]) для всех х е= Я* (М (X))
и, следовательно, по двойственности Пуанкаре в М(Х)
Ъ . D (с) = а • alf.
(iii) Возьмем с0 =1еЯ*(F1). Тогда ф(с0) = @, ..., а, ..., 0),
т. е. ф*^)^0 Для is£i и Ф/^о)™^ Поэтому из равенства
( alf следует, что
и ф* (|7) =#= 0, поскольку элемент £/ не периодичен над коль-
кольцом /?g. Пусть теперь H^F1)—ненулевая группа когомоло-
гий наивысшей размерности, а С\ — ненулевой элемент
из Hl(Fj). Тогда из равенства C\-D{c{) = a-g/ следует,
что ф* (Zfj • D (сх)) = @, ..., 0, Ф; (gt • D (с,)), 0, .... 0) и
Ф* (?! • D (cj)) = а • c^J (D (Cj)) = a • ф} (gy). Поэтому, из того,
что элемент с\ имеет наивысшую размерность, мы получаем
соотношения
V ФНЯ (с0) = V Я/= Ф*/&)>
где а/еЯ*(Во) —ограничение элемента D(cx) на M(qf). Сле-
Следовательно, пространство Hl(Ft, k) изоморфно k и порождено
элементом Сь Далее, пусть с — произвольный ненулевой эле-
элемент из кольца Я*(/7/)- Тогда снова из равенства c-D(c)=s
— a%j следует, что
а это в силу леммы 2 показывает, что f — пространство с
двойственностью Пуанкаре, фундаментальным классом кого-
МОЛОГИЙ КОТОРОГО СЛуЖИТ С\ =5* fj.
(iv) Пусть я|): Н*о(Х)->Е%оП — проекция на первый под-
фактор фильтрованного /^-модуля НЬ(Х). Здесь £&п — сво^
бодный ^о-модуль, порожденный элементом ф(|/). Пусть а7—-
произвольный элемент из /^/ (X, Р). Тогда по определению су-
существует такой элемент Ъ'<=НЪ(Х), что ф*(^/)=?/-//. Из
равенства
Ф* (а% - а£!) - (a'a, - ар') • /;« 0
следует, что элемент a'g/ — a/£; периодичен»
§ 3. Теорема е расщеплении 105
Но Е&п — свободный /?о-модуль, порожденный элементом
ф (£/), поэтому г|) (а7|/ — а/£') = 0, откуда.
«'♦ F/) = <*/♦ A0 = <*/«♦ (£/) => а7 — atu.
Следовательно, Iff (Xt F) -— главный идеал, порожденный эле-
элементом а/.
(v) Из теоремы IV. 8 следует, что образующая а/ идеала
tft(Xt F) разлагается на линейные множители, скажем
где (rf*)*=If,(x\ F) и Я,
Пусть Yi — связная компонента множества Хн*> содержа*
щая FK Тогда очевидно, что
IfI(x\F)=Iff(YitYi(]F).
Но по доказанному выше Yi является пространством с двой-
двойственностью Пуанкаре. В частном случае X = Yi из доказан-
доказанного выше, очевидно, следует, что /f/(}j, Yif|F) = {wdii>j и
deg (t^f*) = dim Yt — dim Ff. Это завершает доказательство
теорем IV. 9 и IV. 10.
Заключительные замечания к гл. IV
Заканчивая эту главу, добавим несколько замечаний, ко-
которые, как мы надеемся, помогут прояснить общую перспек-
перспективу полученных в ней результатов.
(i) Почти все утверждения теорем этой главы справедли-
справедливы лишь для элементарных компактных абелевых групп (т.е.
торов и р-торов) и, к несчастью, неверны для всех остальных
компактных групп. Если проанализировать доказательства
теорем этой главы, то станет достаточно ясным, что основная
причина такого резкого различия в геометрических свойствах
действий элементарных абелевых групп и остальных компакт-
компактных групп лежит в следующем фундаментальном свойстве,
однозначно выделяющем элементарные абелевы группы из
остальных компактных. Для тора (соотв. р-тора) G суще-
существует каноническое взаимно однозначное соответствие меж-
между множеством его связных подгрупп (соотв. р-подгрупп) и
множеством линейных идеалов в H*(BG; k), & = Q (соотв.
Zp), относящее каждому подтору KsG линейный идеал
Рк - Кег {Я* (% k) -> Я* (В& Щ.
106 Гл. IV, Структура орбит G-пространства Х
(Заметим, что многообразие, определяемое идеалом Р#,— это
в точности алгебра Ли группы К.)
Теорема локализации дает нам затем удобное техниче-
техническое средство для установления тесной связи между стацио-
стационарными подгруппами и аннулирующими идеалами.
(ii) Важным следствием леммы Шура является тот осно-
основополагающий факт, что каждое комплексное представление
элементарной абелевой группы разлагается в прямую сумму
одномерных комплексных представлений. В теории характери-
характеристических классов векторных расслоений, структурную груп-
группу которых можно сузить до элементарной абелевой группы,
это расщепление на геометрическом уровне даст, очевидно,
расщепление характеристических классов. Как указывалось
в гл. III, на эквивариантную теорию когомологий можно смо-
смотреть как на обобщенный вариант теории характеристических
классов для расслоений с G-пространствами общего вида
в качестве слоя. Поэтому геометрическое значение теорем
этой главы состоит в следующем. Для произвольного (не обя-
обязательно линейного) топологического действия элементарной
абелевой группы не существует, вообще говоря, никакого рас-
расщепления на геометрическом уровне. Однако все же можно
обнаружить некоторые виды расщепления на уровне харак-
характеристических классов. Это обстоятельство кажется нам наи-
наиболее существенным и привлекательным во всей теории топо-
топологических групп преобразований. На самом деле линейность
различных идеалов, а также расщепимость различных струк-
структурных данных, установленные на протяжении этой главы,
должны рассматриваться как когомологическая замена лем-
леммы Шура, и мы увидим позже, что в когомологической теории
топологических групп преобразований они играют роль, по-
похожую на ту, которую лемма Шура играет в теории линейных
групп преобразований.
(Hi) В рассуждениях этой главы мы пользовались коль-
кольцом коэффициентов Q в случае G = Т и кольцом коэффи-
коэффициентов 1Р в случае G = Zp. Этот выбор связан не только
с техническими удобствами, скорее, это единственный выбор,
подходящий для теорем типа тех, которые рассматривались
в этой главе. Однако в случаев = Г' иногда можно выве-
вывести из результатов для случая, когда коэффициенты берутся
из поля Q, аналогичные результаты для случая, когда коэф-
коэффициенты берутсй из кольца Z, непосредственно применяя
лемму Гаусса.
Глава V
ПРИНЦИП РАСЩЕПЛЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ ВЕСОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
НА АЦИКЛИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ
МНОГООБРАЗИЯХ И КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ СФЕРАХ
В этой главе мы применим общие теоремы гл. IV к важ-
важным пробным пространствам — ациклическим * когомологиче-
когомологическим многообразиям и когомологическим сферам. Заметим,
что в рамках теории топологических групп преобразований
имеется простая связь между действиями на ациклических
когомологических многообразиях и действиями на когомоло-
когомологических сферах, которую можно объяснить следующим об-
образом. Для каждого данного действия на когомологической
сфере X существует естественное индуцированное действие
на конусе СХ пространства Ху который является ацикличе-
ациклическим когомологическим многообразием. С другой стороны,
ограничение действия на ациклическом многообразии X на
дополнение к неподвижной точке х (если такая существует)
задает действие на когомологической сфере X—{х}. Следом
вательно, нужно изучить только один случай, а соответствую-
соответствующий результат для другого случая будет следовать отсюда
автоматически. В этой главе мы предпочитаем формулиро-
формулировать результаты чдля случая ациклических когомологических
многообразий, потому что этот случай можно непосредствен-
непосредственно применить к изучению локальной теории.
По традиции ациклические когомологические многообра-
многообразия и когомологические сферы (например, R" и Sn) всегда
рассматривались как наиболее важные пробные пространства
при изучении групп преобразований. Вот некоторые специфи-
специфические особенности, которые выделяют эти пространства
с точки зрения групп преобразований, (i) С одной стороны,
как евклидовы пространства, так и сферы имеют простое то-
топологическое строение, а, с другой стороны, наличие боль-
большого запаса примеров линейных действий на них и теорема
Мостова — Пале [М9], [П 1] об эквивариантном вложении
показывают, что группы преобразований на этих пространст-
пространствах весьма разнообразны и достаточно сложно устроены.
tO§ Гл. V. принцип расщепления
(ii) С технической стороны обилие линейных примеров дзет
нам неоценимое руководство как для того, чтобы правильно
ставить задачи, так и для угадывания правильных ответов,
а простота топологического строения этих пространств дает
возможность легко применять любую топологическую техни-
технику, например теорию когомологий или теорию расслоений,
(ш) Существование срезов (см, § 3 гл, I) сводит в тео-
теоретическом плане локальную теорию компактных групп
преобразований к изучению действий групп преобразований
на ациклических когомологических многообразиях с непустым
множеством неподвижных точек.
Напомним, что геометрическое поведение групп преобра-
преобразований изучается в рамках современной топологии в сле-
следующих двух естественных ситуациях: (i) топологические
действия групп Ли (или, более общо, топологических групп)
на топологических многообразиях (соотв. топологических
пространствах), (ii) дифференцируемые действия групп Ли
на дифференцируемых многообразиях. Как обычно, и в топо-
топологическом, и в дифференцируемом вариантах, имеются как
локальная, так и глобальная теория. В локальной теории изу-
изучается геометрическое поведение топологического (соотв. диф-
дифференцируемого) дейстйия в инвариантной окрестности дан-
данной орбиты. В случае компактных дифференцируемых групп
преобразований теорема о дифференцируемом срезе (см. тео-
теорему 1.5) показывает, что локальную теорию можно пол-
полностью свести к изучению представления группы Gx в прост-
пространстве нормальных векторов. Эта локальная линейность дей-
действия и есть как раз главная причина того, что компактные
дифференцируемые группы преобразований гораздо правиль-
правильнее устроены и технически более доступны для изучения, чем
некомпактные или топологические группы. В случае тополо-
топологических действий компактных групп Ли у нас есть еще тео-
теорема о топологическом срезе (см. теорему 1.5'). Но в топо-
топологическом случае нет, к сожалению, никакой линейности
действия. Это обстоятельство значительно усложняет локаль-
локальную теорию топологических компактных групп преобразова-
преобразований. В § 1 мы интерпретируем результаты гл*. IV (применен-
(примененные к когомологическим сферам и ациклическим многообра-
многообразиям) как некоторый принцип расщепления. Затем мы введем
геометрическое обобщение системы весов, которое во многих
отношениях служит действенной заменой локальной линей-
линейности при изучении топологических компактных групп пре-
преобразований. Результаты этой главы взяты в основном из
статьи автора [С 23].
§ 1. Принцип расщеплений и геометрическая система весов 109
§ 1. Принцип расщепления и геометрическая система весов
для действий на ациклических когомологических
многообразиях
Прежде чем начинать систематическое исследование то-
топологических действий компактных связных групп Ли на
ациклических когомологических многообразиях с точки зре-
зрения теории когомологий, естественно философски осмыслить
и проанализировать с технической точки зрения классиче-
классическую теорию линейных представлений компактных связных
групп Ли, созданную в прекрасных и глубоких работах И. Шу-
Шура, Э. Картана и Г. Вейля. По существу в основе всей теории
линейных представлений компактных связных групп Ли ле-
лежат следующие два фундаментальных факта: (i) расщепле-
расщепление комплексного линейного представления тора в прямую
сумму одномерных представлений, (И) теорема Э. Картана
о максимальных торах, которая позволяет свести классифи-
классификацию линейных представлений компактных связных групп
Ли к аналогичной задаче для их максимальных торов. Если
мы захотим теперь применить опыт, приобретенный при изу-
изучении линейного случая, в^ более общей ситуации топологиче-
топологических групп преобразований, то решающий шаг будет состоять
в том, чтобы заменить расщепление линейных действий торов
каким-то видом расщепления для топологических действий.
Интересно отметить, что так называемый принцип расщепле-
расщепления в теории характеристических классов векторных расслое-
расслоений использует как раз указанное выше линейное расщепле-
расщепление для получения важного расщепления характеристических
классов. В этом параграфе мы покажем, что, хотя о расщеп-
расщеплении топологических действий тора на ациклических много-
многообразиях на геометрическом уровне не может быть и речи,
наличие расщепления на уровне характеристических классов
действительно можно доказать.
(А) Эквивариантные расслоения и эквивариантные
характеристические^классы
Определение. Эквивариантным расслоением называется
такое расслоение X">Z, что и пространство расслоения X,
и база Z суть G-пространства, а проекция р — эквивариант-
ное отображение.
Применяя конструкцию Бореля к заданному эквивариант-
р
ному расслоению X->Z, мы получаем «ассоциированное» рас-
PQ
слоение XQ—*ZG. Теперь довольно естественно рассматри-
PQ
вать характеристические классы расслоения XQ—>ZQ как
110 Гл. V. Принцип расщеплений
эквивариантные характеристические классы эквивариантного
расслоения X->Z. Например, если X-+Z — эквивариантное
векторное расслоение, то класс Эйлера (соотв. классы Понт-
PG
рягина) расслоения XG—> ZG рассматривается как эквива-
риантный класс Эйлера (соотв. классы Понтрягина) расслое-
расслоения X^G.
Пример. Пусть G — трр и R* = Rm©Rr — линейное
G-пространство, множеством неподвижных точек которого
является Rr = F, и пусть
Qo={±a>b kx\ ...; ±wSi ks)
— соответствующая система ненулевых весов. Тогда проекция
R/l->Rr = F представляет собой эквивариантное нормальное
расслоение над множеством неподвижных точек F в R", и не-
нетрудно видеть, что его эквивариантный класс Эйлера1) —
это в точности произведение ненулевых весов, а именно %G =
= (w\i ..... wk/) €= Hm (BQ) s Hm {BG X F). Приведенный
выТие эквивариантный класс Эйлера можно когомологически
охарактеризовать также следующим образом.
Пусть 5m-1 — единичная сфера в Rm. Тогда очевидно, что
вложение 5m-1 ^ Rn — F индуцирует изоморфизм когомоло-
гий. Следовательно, в члене Е2 спектральной последователь-
последовательности Серра расслоения
имеются только две строчки, а именно
E$'q = Hp(BG)®HQ(Rn-F)=£Q только при <7 = 0,/п--1.
Более того, образ цри трансгрессии образующего х е
€= Hm~l (Rm - F) ^ Hm~l (Sm~l) в точности совпадает с экви-
вариантным классом Эйлера %G'=w\l* ... - wkss ^ Hm (BG).
Следовательно, элемент %G = w\x • ... • wk/ служит также
образующим аннулятора модуля НЬ {Rn — F).
!) Всюду на протяжении этой главы рассматриваются, если не ого-
оговорено противное, когомологии с коэффициентами в поле Q. Веса представ-
представления ф тора G рассматриваются здесь как элементы группы H2(BG\ Z) с:
a H2{BG;Q). Вообще элементы пространства H2(BG\Q) часто называются
в дальнейшем весами. — Прим. ред.
§ 1. Принцип расщепления и геометрическая система весов 111
(В) Эквивариантный класс Эйлера и геометрическая
система весов
Пусть X — ациклическое когомологическое многообразие1)
размерности п, на котором задано действие тора G. Тогда
множество неподвижных точек F — тоже ациклическое кого-
когомологическое подмногообразие, размерность которого равна,
скажем, г, а множество X — F имеет тот же когомологический
тип, что и Sn-r~l. Следовательно, из того же самого рассуж-
рассуждения, использующего спектральную последовательность, вы-
вытекает, что аннулятор А модуля Н*сЛХ — F) является глав-
главным идеалом, порожденным образом %а при трансгрессии об-
образующего х ^ Нп~г-1 (X — F). Тогда по тебреме IV. 6 указан-
указанный выше эквивариантный класс Эйлера %g тоже разлагается
в произведение линейных множителей, а именно можно счи-
считать, что
где wi e H2(BG) попарно не пропорциональны.
Замечание. Пусть X является ациклическим когомоло-
когомологическим многообразием над Z (а не над Q). Тогда все упо-
упомянутые выше алгебры Q-когомологий можно заменить алгеб-
алгебрами Z-когомологий.- Наконец, %а — целочисленный класс ко-
гомологий, который по лемме Гаусса также разлагается в
произведение линейных форм с целыми коэффициентами, т. е.
где cgZ, a o^e#2(flo; Z) попарно не пропорциональны.
Определение. ч Пусть G — тор, а X — ациклическое когомо-
когомологическое многообразие размерности п с заданным G-дей-
ствием. Тогда аннулятор модуля H*o{X — F) есть главный
идеал, а его образующий %G разлагается в произведение
*) Локально компактное хаусдорфово пространство X называется
/г-мерным когомологическим многообразием над полем k, если
1) Hlc (U; k) = 0 для всех открытых U а X и i > п\
2) для любой точки хе! проективный предел lim Hlc (U; k) по системе
открытых окрестностей С/эл; тривиален при / < п и одномерен при / = п.
Аналогично (но несколько сложнее) определяются когомологические
многообразия над Z (см. [Б 10], гл. I).
Если G = ТГ или Zp действует на я-мерном когомологическом многооб-
многообразии X над k = Q или Ър соответственно, то множество F(G,X) является
5-мерным когомологическим многообразием, причем s=s=rt(mod2) при
k = Q или Zp, р Ф 2 ([Б 10], гл. V). Поэтому этим свойством обладают .все
/^-многообразия (соответственно ^-многообразия). — Прим. ред,
Гл. V. Принцип расщепления
линейных форм, т. е. xQ=sw*1 • ... • wkss. Система весов
с кратностями ki (i = 1, ..., 5) называется системой ненуле-
ненулевых весов G-пространства X и обозначается через Q'(X) ==
= {±©1, k\\ ...; zkwSi ks). Геометрическая система весов
Q(X) пространства X определяется как система Q'(X), к ко-
которой присоединен нулевой вес кратности г = dim F.
Следующая теорема объясняет геометрическое значение
определенной выше системы весов.
Теорема V. 1 [С 23]. Пусть G— гор, а X — ациклическое
когомологическое многообразие размерности п с заданным
G-действием. Предположим, что геометрическая система ве-
весов пространства X имеет вид
0(Л)«{±о>ь kx\...\ ±ws, ks; О, г}.
Тогда
(i) подгруппа К принадлежит 0°(Х) в том и только том
случае, когда К имеет вид
K^wjrx П ••• uwfk {K = G, если k~0).
(ii) F°-многообразие F°(x) точки х есть ациклическое ко-
когомологическое многообразие, размерность которого задается
формулой
dimF°(x) = r+ £ 2А,.
Замечания, (i) Приведенная выше теорема показы-
показывает, что множество и°(Х) связных типов орбит пространства
X и структура ^-многообразия на X совпадают с точки зре-
зрения когомологий с соответствующими объектами для линей-
линейного представления qp, имеющего ту же систему весов, т. е.
удовлетворяющего условиям Q(cp) = Q(X).
(ii) Так как в приведенной выше теореме мы исследовали
рациональные коэффициенты, то мы можем выделить только
связные стационарные подгруппы. Однако если пользовать-
пользоваться целыми коэффициентами, то можно получить некоторую
информацию о группах Gx/G°x. Например, Гольбер в недав-
недавней работе [Г 3] дал изящную геометрическую интерпрета-
интерпретацию целочисленного коэффициента с в разложении %G =
= с • w\l • ... • wks».
(Hi) Приведенная выше теорема — это, в сущности, усо-
усовершенствование формулы Бореля, которая связывает раз-
размерность F0-MHoroo6pa3im коранга ^1 с размерностью про-
пространства X.
§ 1. Принцип расщепления и геометрическая система весов ИЗ
Доказательство. Пусть /С£ G — подгруппа в торе
G, и пусть Рк — ядро гомоморфизма H*(Bq) ->#*(/?*). Тогда
Хк — F(K, X) — инвариантное ациклическое когомологиче-
когомологическое подмногообразие в пространстве X, и из теоремы лока-
локализации легко следует, что
arm (НЬ (X - F))Pk = ann (Hh (X« - F))Pk.
Следовательно, идеал ann (Hh (XK — F)) порожден элементом
= П w)i
j
2*,.
Заметим, что подмногообразие наивысшей размерности
в когомологическом многообразии X автоматически открыто,
а подмногообразие Хк всегда замкнуто. Следовательно, из
связности подмногообразия Хк (которое всегда ациклично)
легко следует, что Хк — Хк' тогда и только тогда, когда
wf-^K<=>wf^K' для всех l<i<s.
Отсюда непосредственно следуют оба утверждения теоремы.
D
Определение. Пусть G — компактная связная группа Ли
и Г — ее максимальный тор. Пусть X—ациклическое когомо-
когомологическое многообразие с данным G-действием. Тогда систе-
система весов G-пространства Х определяется просто как система
весов Г-пространства X, полученного ограничением действия
группы.
(С) Система локальных весов
Рассмотрим теперь, что делается в окрестности неподвиж-
неподвижной точки х когомологического G-многообразия Х. Нетрудно
показать, что семейство инвариантных окрестностей точки х
является конфинальным подмножеством' в множестве всех
окрестностей точки х. Следовательно, переходя к пределу по
направленной системе инвариантных окрестностей U точки я,
получаем, что lim H*(U— {x}) ^ H*(Sn~l). Йе составляет
большого труда изменить приведенные выше рассуждения
с тем, чтобы определить систему локальных весов в непод-
неподвижной точке х так, как если бы действительно существовала
ациклическая инвариантная окрестность U точки х, Более
114 Гл. V. Принцип расщепления
того, имеется локальный вариант теоремы (V. 1), который
объясняет геометрический смысл системы локальных весов.
Теорема V. 1'. Пусть G — тор, X — когомологическое
G-многообразие размерности п, х — неподвижная точка мно-
многообразия X. Предположим, что система локальных весов
в точке х имеет следующий вид:
Qx (X) = {± wu h\ ...; ± wst ks\ О, г}.
Тогда (i) группа К в том и только том случае является об-
общей связной стационарной подгруппой F0-многообразия У,
содержащего точку х, когда она имеет вид
wi[(] ... f\wj-k (K = G, если k = 0),
(ii) размерность F°-многообразия Y, содержащего точку х,
задается Формулой
Следствие 1. Пусть X — когомологическое G-многообра-
зие, ахи у —две его неподвижные точки. Если точки х и у
лежат в одной связной компоненте множества F = F(G, X)
неподвижных точек, то системы локальных весов в точках х
и у совпадают, т. е. QX(X) = Qy(X) l).
Доказательство. Так как точки х я у принадлежат
одной и той же связной компоненте множества неподвижных
точек, то из определения ^-многообразия следует, что мно-
множество /^-многообразий, содержащих точку х, совпадает с
множеством /^-многообразий, содержащих точку у. Следова-
Следовательно, из приведенной выше теоремы вытекает, что QX(X) =
*=Qy(X). D
Следствие 2. Система весов QX(X) (соотв. Q{X), если само
пространство X ациклично) инвариантна относительно дейст-
действия группы Вейля W(G).
Доказательство. Рассмотрим случай, когда X —
ациклическое многообразие. Тогда F(T, X) —тоже ацикличе-
ациклическое и, следовательно, связное многообразие. Заметим, что
на F(T,X) очевидным образом действует группа Вейля W(G),
причём oQx(X) =QO{X)(X) для а е= W(G) и xe=F{T, X). По-
1) Если X компактно, /^-—связная компонента точки х в F(G,X) и
Qx(X) имеет вид, указанный в теореме V. Г, то локальная геометрическая
система весов Q у, определенная автором в § 3 гл. IV, имеет вид {wt,
Щ. — Прим. ре$.
§ 2. Геометрическая система весов и структура орбит 118
этому следствие 2 непосредственно вытекает из следствия 1
и связности множества F(T, X). О
§ 2. Геометрическая система весов и структура орбит
В этом параграфе мы будем предполагать, что G— ком-
компактная связная группа Ли, Т — максимальный тор группы G,
а X — ациклическое когомологическое G-многообразие. В пре-
предыдущем параграфе был определен простой инвариант, кото-
который называется геометрической системой весов G-многообра-
G-многообразия X. Эта система весов была определена в терминах
индуцированного Г-действия на многообразии X. Более того,
теорема V. 1 показывает, что когомологические свойства
структуры орбит индуцированного Г-действия можно вывести
из системы весов Q{X). Следовательно, естественно исследо-
исследовать, в какой мере структуру орбит самого G-действия можно
определить по системе весов Q(X).
(А) Теорема о топологическом срезе и система весов
Теорема о топологическом срезе (см. § 3 гл. I) утвер-
утверждает, что для каждой точки х G-пространства Х существует
срез SXy обладающий следующими двумя свойствами: (i) про-
пространство Sx инвариантно относительно действия группы Gx,
(и) множество GEx) = GXg $x есть инвариантная окрест-
окрестность орбиты G{x). В частном случае, когда X — когомологи-
когомологическое многообразие, очевидно, что Sx — тоже когомологиче-
когомологическое многообразие, причем dim Sx = dim X — dimG(x).
Определение. Система весов среза в точке х, обозначаемая
через Q(Sx), определяется как система локальных весов
GSx в точке х, т. е. Q{SX) = QX(SX).
Предложение 1. Пусть G\, G2 — компактные связные груп-
группы Ли, h : G\ -> G2 — гомоморфизм групп Ли, а Т\у Т2 — такие
максимальные торы групп G\ и G2 соответственно, что
h(T\) ^ 7Y Пусть X — заданное ациклическое когомологиче-
когомологическое О2-многообразие и h*(X)—структура Gi-пространства
на X, индуцированная гомоморфизмом h. Тогда
Q (h* (X)) = h*Q (X) = {h*wh ki),
если Й(Х)= {wiy ki} u \)*Wi —образ элемента wt при индуци-
индуцированном отображении h*: Н2{ВТ9)-^Н2(ВтХ В частности,
если G\ — подгруппа группы G% и h : G\ -> G2 — гомоморфизм
вложения, то мы будем обозначать Q{h*(X)) =A*Q(X) про-
просто через Q {X) | Gx или Q (X) | Т1%
116 Гл. V. Принцип расщепления
Доказательство. Непосредственная проверка.
Предложение 2. Пусть X — данное ациклическое когомо-
когомологическое G-многообразие с системой весов Q(X). Для за-
заданной точки jtel можно предположить, что максимальный
тор Т\ группы Gx содержится в максимальном торе. Т груп-
группы G. Тогда существует подходящий набор весов w/l9 ...
..., wjt e Q (Х)у такой, что
и что система весов Q(SX) среза в точке х определяется из
равенства
Доказательство. Так как Т\ = Г*, то из теоремы V. 1
непосредственно вытекает, что существуют подходящие веса
{wfl$ ..., wjt] в системе Q {X), такие, что Тх = wj- f| ... П wj-.
Пусть q — неподвижная точка для максимального тора Т
группы G. Тогда ясно, что Q(X)\T\ — система локальных ве-
весов в точке q для ^-пространства X и что
— система локальных весов в точке х для ^-пространства X.
Следовательно, доказываемое равенство вытекает из связно-
связности множества F(T\9 X), которое в действительности являет-
является ациклическим, и из следствия 1 теоремы V. 1. □
Следствие 1. Пусть (Я)—главный тип орбит ацикличе-
ациклического когомологического G-многообразия Х. Тогда приведен-
приведенное выше равенство сводится к следующему простому срав-
сравнению:
Q {X) | Я эз Q (Ad01 Я — Ad#) (no модулю нулевых весов)
Следствие 2. Пусть A(G) и A(G*) —системы корней групп
G и Gx соответственно, хе^(ГД). Тогда
A (Gx) 2A(G)-Q {X) (теоретико-множественная разность)
Определение. Подгруппа Я s G{ X G2 X •. • X Gk назы-
называется расщепляемой подгруппой (относительно заданного
разложения группы G), если
Я = (ЯПО1)Х(ЯПО2)Х ... X(H(]Gk).
Определение. Система весов Q(X) ациклического когомо-
когомологического G-многообразия Х называется расщепляемой от-
§ 2. Геометрическая Система весов и структура орбит 11?
носительно разложения G *= G\ X G2 X • • • X Gk> если Я (X) sub
esQ(X)| GiUQWl G2U ... UOWl Gk (по модулю нулевых
весов)
Предложение 3. Если система весов Q(X) Q-ацикличвско-
го когомологического Q-многообразия X расщепляема отно-
относительно разложения G = G\ X G2 X • • • X б*, го связные
стационарные подгруппы G°x расщепляемы для всех хе!
Доказательство. Пусть Г, Гь ..., Tk — максимальные
торы групп G, Gi, ..., Gfc соответственно, и пусть Г = 7\ X • • •
... X ?V Рассмотрим индуцированное Г-действие на прост-
пространстве X Так как п(Х) —расщепляемая система весов, то
из утверждения (i) теоремы V. 1 следует, что{Гх} — расщеп-
расщепляемые подгруппы при всех х^Х. Тогда предложение выте-
вытекает из следующей леммы (см. [С 21]). □
Лемма. Связная подгруппа Н ^ G = G\ X ... X Gk рас-
расщепляема тогда и только тогда, когда все ее максимальные
торы V ^ Я ^ G — тоже расщепляемые подгруппы.
Доказательство. Пусть h^H — произвольный эле-
элемент группы Н и я/ — проекция группы G на /-й сомножи-
сомножитель G/. Тогда легко видеть, что Я — расщепляемая подгруп-
подгруппа тогда и только тогда, когда элементы я/(А) также принад-.
лежат группе Я для /= 1, ..., k. Пусть V — максимальный
тор в группе Я, содержащий элемент А. Так как по предполо-
предположению тор V расщепляем, то я/(А) е V е Я. □
Гипотеза. В случае когда группа G = Gi X •.. X Gk
связна, X является Z-ациклическим когомологическим много-
многообразием, а система Q(X) расщепляема; тогда сами стацио-
стационарные подгруппы Gx должны быть расщепляемыми подгруп-
подгруппами. (В дифференцируемом случае эта гипотеза доказана
в [С21].)
(В) Действия классических групп с несложными
системами весов
Пусть G = SO(n) (соотв. SU(az), Sp(fl))—классическая
группа и рп (соотв. (яп, vn) — стандартное линейное представ-
представление группы G в пространстве R* (соотв. Сл, Н"I). Мы
1) При этом [1п и vn рассматриваются как вещественные линейные
представления в пространствах R™ и R4" соответственно. Таким образом,
рассматриваемые ниже системы весов представлений ря, ця, v^ — это на
самом деле системы весов комплексификаций этих представлений. — Прим,
ред.
118 Гл. V. Принцип расщеплений
изучим структуры орбит ациклических когомологических
(/-многообразий X, системы весов Q(X) которых скопированы
с суммы нескольких экземпляров таких стандартных линей-
линейных действий, а именно
Q (X) = Q (/ • ря) (соотв. Q (I • |ijf Q (/ • vn))
(по модулю нулевых весов)
• Пусть @i, Э2, ..., 0т)—обычные координаты на макси-
максимальном торе Т группы G, где
если G = SO(n),
.. + 0„ = О, если G = SU(/z),
если G= Sp(/i).
Тогда
Г{±еь /}, если G = SO(ai), SU(nU ,
^< > (по модулю ну-
1{±6„ 2/}, если G = Sp(M) J ^евых ;есов)/
Теорема V.2 Пусть G = SO(n) (соотв. SU(ai), Sp(n)), a
у X — ациклическое когомологическое G-многообразие,
система ненулевых весов которого есть й/(Х)={±0/, /}.
Тогда
(i) всякая связная стационарная подгруппа G°x сопря-
сопряд д SO(&) ( SU(&) S(fe))
() цр ру
жена стандартной подгруппе SO(&) (соотв. SU(&),
при подходящем k ^ п\
(и) главный связный тип (Н) стационарных подгрупп не-
нетривиален тогда и только тогда, когда 1^п — 2 (соотв.
1^п — 2, 1^2(п— 1)) и # = SO(m-/) (соотв. SU(n — /),
Sp(n — '/2)); ' должно быть четным в случае, когда
G = Sp(Ai).
Доказательство. Пусть xgI — произвольная точка
пространства X. С точностью до сопряжения мы можем пред-
предположить, что (GX[)T)° — максимальный тор в группе G°x.
Из утверждения (i) теоремы V. 1 следует, что
Так как существует элемент группы Вейля W(G)f который
переводит элементы 8^, ..., 0/^ в элементы 0i, ..., 0/ соот-
соответственно, то мы можем предположить, что максимальный
тор группы G°x равен 0/" П . •. П ®t~- Тогда из следствия 2
предложения 2 вытекает, что
b(G°x)=>MG)\Ti-Q{X)\Ti.
§ 2. Геометрическая система весов и структура орбит 119
Теперь доказательство того, что
G°x = SO (*), [4] = m - / (соотв. SU (л - /), Sp (n - t))
— легкое упражнение по теории алгебр Ли. Аналогично из
следствия 1 предложения 2 вытекает, что главные связные
стационарные подгруппы Н — это SO (я — /) (соотв.
SU (п —/), Sp (п — A/2)); / четно, е£ли G = Sp (п), и
2 □
Замечание. Приведенная выше теорема — это «тополо-
«топологический вариант» теоремы 2 из [С 21] о дифференцируемых
действиях классических групп на ациклических многообра-
многообразиях. Однако вследствие того, что топологическая система ве-
весов учитывает только направление весов, приведенная выше
теорема определяет только связную компоненту стационар-
стационарных подгрупп. Если аналогичным образом ввести понятие
системы р-весов QP(X) и предположить также, что Q'P(X) =
= Qp(l • р„) (соотв. Qp(l • цл), Qp(l • vn)) для всех простых р,
то можно доказать, что группа Gx на самом деле связна.
Рассмотрим теперь следующие два случая:
0) G = SU(n), Q'(X)==Q'(A2^) = {±(ei + e/); *</},
(ii) G = Sp(n), Q'(X) = Q'(A2vn) ={±(8, ±6;); i<j}.
Теорема V. 3 Пусть G = SU(n) (соотв. Sp(n)), и пусть
X — ациклическое когомологическое G-многообразие. Если
Q'(X)=Q'(A2\xn) (соотв. Q/(A2v«)), то множество связных
типов орбит О°(Х) пространства X совпадает с аналогичным
множеством для представления *Л2\хп (соотв. A2vn). В част-
частности, главный связный тип орбит (Н) равен (SU B)[n/2])
(соотв. (Sp(l)'*)). Далее F(G°x,X)—тоже ациклическое кого-
когомологическое мйогообразие t/codim F(GX, X) = codim F(GX> V),
где V — пространство 'представления А2\хп (соотв. ]A2vn).
Теорема V. 4 Пусть G — компактная связная группа Ли и
X — ациклическое когомологическое G-многообразие с систе-
системой весов Q'(X)= A(G). Тогда
(i) главный тип орбит — это класс сопряженных макси-
максимальных торов\
(ii) группа Вейля W(G) действует на множестве У =
=-F(Ty X) как группа, порожденная (топологическими) отра-
отражениями',
(ш) естественное отображение Y/W -> X/G, индуцирован-
индуцированное вложением Уд1, биективно.
Доказательство. За доказательством этих двух тео-
теорем мы отсылаем к статье [С 23].
120 Гл. V. Принцип расщепления
(С) Описание главного типа орбит в терминах
системы весов Q(X)
Пусть G — компактная связная группа Ли, и пусть X —
ациклическое когомологическое G-многообразие. Так как
главный тип орбит (Нх) пространства X — это основная гео-
геометрическая характеристика G-многообразия Ху то естествен-
естественно постараться определить главный тип орбит {Нх) простран-.
ства X по системе весов Q(X) пространства X. Основной ре-
результат этого пункта — следующий алгоритм, позволяющий
вычислить главный связный тип орбит (#х) по системе нену-
ненулевых весов Q'(X).
Теорема V. 5 Пусть Т ^ G — максимальный тор, с по-
помощью которого определена система весов Q(X), и пусть
{Н°х) — главный связный тип орбит G-многообразия X. С точ-
точностью до сопряжения можно предположить, что S =
К = (НХ(]ТH— максимальный тор группы Нх- Тогда суще-
существуют последовательность ненулевых весов W\, ..., Wk e
ей7A) и последовательность уменьшающихся подторов
Т = So^>S\ZD ... zdSk = S, удовлетворяющие следующим
рекуррентным соотношениям:
So = Г, wx e {Q' (X) - Q' (AdG)} Ф 0,
S{ = <, w2 €= {Q' (X) | Sx- Q' (AdG | Sx)} Ф 0,
St = Simm[f] '4. 4+i e {Q/W ti-V (Ad01 St)}^ 0,
Обратно, предположим, что существуют последовательность
ненулевых весов и последовательность уменьшающихся под-
торов, идущая от тора Т к тору 5, которые удовлетворяют
рекуррентным соотношениям, указанным выше. Тогда S —
максимальный тор в подходящей главной связной стационар-
ной подгруппе Н\, а система корней Л(Я^) группы Н°х за-
задается- следующим равенством:
А (Н°х) = Q' (Ada 15,) - Q' (X) \ Sk.
Замечание. Если £У(Х)— Q/(Ado) = 0, то k = 0 и
Sk = Г. Под разностью Q' (X) \ Si — £У (Ad01 Si) подразуме-
подразумевается теоретико-множественная разность с кратностями, т. е.
кратность Btca w в этой разности равна разности его кратно-
стей, если эта разность положительна, и равна нулю в про-
тивцом случае,
§ 2, Геометрическая система весов и структура орбит 121
У приведенной выше теоремы есть такие полезные след-
следствия:
Следствие 1. Пусть Х\ и Х2 — два ациклических когомоло-
когомологических G-многообразия с одинаковыми системами ненулевых
весов, т. е. £У(Х1)"= Q'(X2). Тогда главные связные типы ор-
орбит у этих пространств тоже совпадают, т. е. (#*,) = {Н°х2).
Следствие 2. Пусть X, Хи Х2 — ациклические когомологи-
когомологические G-многообразия. Если Q'{X)—Q'{Xi)\J Q'(X2) {сумма
множеств с кратностями), то главный связный тип орбит
(н°х) есть пересечение типов (#Ю и (#я2) в общем положе-
положении, а именно тип (Нох) есть класс сопряженности наимень-
наименьших возможных пересечений вида (^1) (Щ1)
Доказательство следствия 2. Пусть Х\ X Х2 —
произведение G-пространств Х\ и Х2, т. е. g\(x\, x2) =
= {gx\, gx2) при всех g e G, х\ е Х\ и х2 е Х2. Тогда ясно,
что Q/(XiXX2)=Q/(Xl)[}Q/(X2) и что тип (H°Xlxxd есть пе-
пересечение типов (Я^,) и (#*2) в общем положении. Поэтому
следствие 2 вытекает из следствия 1 и предположения о том,
что Q' (X) = Q/ (Xi) U Q' (Х2) = п' {Х{ ХХ2). П
Следствие 3. Пусть Х\ и Х2 — ациклические когомологиче-
когомологические G-многообразия, и пусть
Q' {Х\) з Q' (Х2) {как множества с кратностями).
Тогда (нОх)^(Нх^) в том смысле, что группа #*, сопряжена
некоторой подгруппе группы Н\2.
Доказательство следствия 3. С точностью до
сопряженности мы можем предположить, 4to(H°x2()T) = S" ~
максимальный тор в группе Н\%. По теореме V. 5 существуют
последовательность весов и убывающая последовательность
подторов, идущая от тора Т к тору S", удовлетворяющие ре-
рекуррентным соотношениям
S, - Simml П <; wM е ОТ (Х2) | Sf - Q' (AdG | St).
Так как мы предположили, что Й'^ОэО'^), то ясно, что
включение
Q' (Хх) \Sr-Q' (AdQ \ S) a Q7 (X2) |5 —Qr (Ad0 | S)
имеет место для всех подторов SsT. Следовательно, если
множество £У(Х1)|5" —Q^AdolS") также пусто, то S" —
122 Гл. V. Принцип расщепления
тоже максимальный тор в подходящей группе Н\х. В против-
противном случае мы можем продолжить последовательности для
{wv w2i .... ttv}, {Г-SoZdS^ ... =>S,,, = S"}
и получить соответствующие последовательности для Q'(X\),
т. е.
К-.-. ^ ."»*-}. {2'=-So=>---=>5ik.=.... = Sv = S'},
где 5' — максимальный тор в группе #£,. Заметим, что
S' Е 5" и что
Л (tf J,) = Q' (AdG | S') - Q' (X,) | S' s 0' (AdG | S') - Q' (X2) 15' «
= A(H°X)\S',
откуда, очевидно, следует, что (Я^)^(я^2).
При доказательстве теоремы V. 5 нам потребуются сле-
следующие две леммы.
Лемма 1. Если Q'{X) — A(G) = 0, то главные связные
стационарные подгруппы Н°х имеют максимальный ранг.
Так как Q'(X)^ A(G), а система корней A(G) вполне рас-
расщепляема (т. е. расщепляема по отношению к любому разло-
разложению группы G), то ясно, что система Q'(X) тоже вполне рас-
расщепляема. Поэтому с помощью предложения 3 легко свести,
доказательство леммы 1 к частному случаю, когда группа G
проста. Однако в случае, когда группа G проста, мы полу-
получаем следующий более точный результат.
Лемма Г. Пусть G — простая компактная связная группа
Ли, и пусть X — ациклическое когомологическое G-многооб-
разие, причем Q'(X)^ A(G). Тогда либо
(i) Q' (X) =т= Д (G) и (Н°х) = (Т) (максимальные торы), либо
(ii) Q'(X) есть множество коротких корней группы G и
главный связный тип орбит имеет соответственно вид
{(Dn) / Вп
(span . Г
(Spin (8))' еде GH
(SUC))
Доказательство леммы V. Случай Q'(X) = A((j>
покрывается теоремой V. 4. Мы рассмотрим только случай
0 Ф Q'flJcAfG). Так как и система весов пг(Х), и система
корней A(G) инвариантны относительно группы Вейля W(G)
и хорошо известно, что система корней A(G) простой ком*
§ 2. Геометрическая система весов и структура орбит 123
пактной связной группы Ли G состоит самое большее из двух
орбит группы Вейля W(G)y то рассмотренный выше случай
возможен только тогда, когда A(G) состоит ровно из двух
орбит группы W(G)y a Q'(X) равна одной из них. Следова-
Следовательно, G = Вп, Спу Ра или G2 и
Л (G) = {длинные корни} (J {короткие корни}.
Пусть а е Q'(X)^A(G)— корень из Q'_(X)f и пусть Ga —
связный нормализатор тора Та = a1, a Ga = Ga/7a. Пусть
ya = F(ra, X). Тогда у индуцированного действия группы Ga
на Уа система весов равна Q'(Ya)— A(Ga)= {zba}. Это про-
простейший и наиболее важный случай ситуации, рассмотренной
в теореме (V. 4). Нетрудно доказать (см. лемму 1 § 5 гл. V),
что множество
F(Oa9 X) = F(Gaf Ya) = F(oa, F(T9 X))
— когомологическое подмногообразие в F(T, X) коразмерно-
коразмерности 1, т.е. что индуцированное действие образующего aae
е= W(G) порядка 2 на многообразии F(T, X) есть топологиче-
топологическое отражение. Следовательно, существует такая точка
y^F(T9X)9 что Т^ Gyd G. С другой стороны, мы утверж-
утверждаем, что множество A(G)—Д(/С) содержит по крайней мере
один короткий корень для каждой собственной подгруппы
/С cz G максимального, ранга. Конечно, нам нужно только про-
проверить это утверждение для максимальных подгрупп группы
G, имеющих максимальный ранг (см. [Б 12], где подробно
описаны такие подгруппы). Так как диаграммы Дынкина та-
таких подгрупп К являются подграфами в диаграмме много-
многогранника Картана группы G, т. е. в одной из диаграмм
О2:
то нетрудно проверить, что множество А (К) не содержит всех
коротких корней группы G. Из предложения 2 вытекает, что
и поэтому система весов Q'(X) содержит некоторые короткие
корни. Таким образом, Q'(X) есть множество коротких кор-
корней и лемма легко следует из непосредственных вычислений
с использованием равенства из следствия 1 предложения 2.
124 Гл. V. Принцип расщепления
Лемма 2. Предположим, что множество Q'(X) — A(G) не-
непусто. Тогда для каждого веса w e Q'(X)— A(G) существует
такая тонка х (= X, что Тх == яг1" = Gx f] T — максимальный тор
группы G%.
Доказательство леммы 2. Пусть К = G*/, где
y&F(T, X), — минимальный элемент в множестве всех ста-
стационарных подгрупп максимального ранга, и пусть Sy — срез
в точке у, являющийся /(-пространством. Тогда
Q' (X) = (Д (G) - А (К)) U &' (Sy) =>- Q' (X) - A (G) = Q' (Sy)- A (/().
С другой стороны, из теоремы V. 1, примененной к /(-про-
/(-пространству Syf следует, что для каждого веса w^Q'(Sy) —
—A(K) = Q'(X) — A(G) существует такая точка x^Sy, что
T°x = wL. Так как группа К= Gy выбрана минимальной среди
всех стационарных подгрупп максимального ранга, то
rkG— l=rkr^<rkG^
Следовательно, rk (Gx) = rk (G) — 1 = rk (fx)y и Т°х = or1 —
максимальный тор в группе G°x. □
Доказательство теоремы V.5. Мы докажем тео-
теорему V. 5 индукцией по размерности компактной связной
группы Ли G.
A) Если G = T —тор, то &{О)ф0 и #°=Кег°(Х) —
связная компонента ядра неэффективности G-действия на X
С другой стороны, из теоремы V. 1 следует, что
H° = G°X= Г) w\
Поэтому теорема V.S справедлива в случае G = Т.
B) Теперь предположим, что теорема V. 5 справедлива
для всех компактных связных собственных подгрупп груп-
группы G, и покажем, что она верна и для самой группы G.
Если Q'(X) — A(G)=0, то из леммы 1 следует, что под-
подгруппы из (Нх) имеют максимальный ранг. Из равенства
вытекает, что. А (Н°х) =A(G) — Q'(X). Следовательно, тео-
теорема V.5 справедлива, когда множество £У(Х)— A(G) пусто.
Рассмотрим теперь случай, когда множество Q'(X)— А (У7)
непусто. Тогда по лемме12 существует такая точка у ^ X, что
Sl = o;IL — максимальный тор в группе #£, где ayieQ'(X)
— A(G), По предложению 2 мы получаем, что
' £У (X) |Sx = (£У (Ad0 ISO —A (Gy)) U &(Sy).
§ S. Классификация главных типов орбит !25
Поэтому
Q' (X) 15 - Q' (Ad0 |S) = Q' (S,,) |S~QX (Ad0|f 15)
для любого тора S s «Si. С другой стороны, так как объеди-
объединение главных орбит всюду плотно, то ясно, что главные ста-
стационарные подгруппы б^-пространства StJ являются также
главными стационарными подгруппами пространства X. По-
Поэтому теорема V. 5 вытекает из предположения индукции,
примененного к б^-пространству Sy. □
§ 3. Классификация главных типов орбит для действий
простых компактных групп Ли на ациклических
когомологических многообразиях
В силу теоремы Монтгомери — Самельсона — Яна о глав-
главных типах орбит [Мб] главные орбиты расположены всюду
плотно, и поэтому главный тип орбит представляет собой гео-
геометрическую характеристику важнейшего значения. С другой
стороны, для пространств заданного специального вида воз-
возможности для главных орбит обычно довольно ограничены.
Поэтому при изучении топологических действий данной ком-
компактной группы Ли на пространствах определенного типа (на-
(например, на ациклических когомологических многообразиях,
которые мы рассматриваем в этой главе) одной из естествен-
естественных задач первостепенной важности является классификация
главных типов орбит относительно всех топологических G-дей-
ствий на пространствах данного типа. В этом параграфе мы
получим классификацию главных типов орбит для топологи-
топологических действий простых компактных связных групп Ли на
ациклических многообразиях.
Так как множество линейных действий представляет собой
одну из наиболее'стоящих серий типичных примеров, то есте-
естественно сначала решить гораздо более легкую задачу клас-
классификации главных типов орбит для линейных действий про-
простых компактных связных групп Ли. ч
(А) Классификация главных связных стационарных подгрупп
для линейных действий простых компактных
связных групп Ли
Классификация линейных действий простых компактных
связных групп Ли с нетривиальными главными связными
стационарными подгруппами, т.е. таких, что #S> = {e}, была
проведена независимо в работах [С 30] и [К 11] 1). Резуль-
Результатом является следующая таблица:
1) См. также [Э 4*]. — I7puMt ред.
126 Гл. V. Принцип расщепления
Таблица А: Вещественные неприводимые представления про-
простых компактных связных групп Ли с нетриви-
нетривиальными главными связными стационарными
подгруппами
Обозначения. Мы будем пользоваться обычной тер-
терминологией алгебр Ли. Пусть ([ — простая компактная
алгебра Ли ранга г, и пусть U(G) = {au ..., аг} -система
ее простых корней. Мы будем отождествлять вещественное
представление ф с его комплексификацией и обозначать г
фундаментальных представлений, соответствующих корням аь
а, ап через Фь Фг, ..., Фг соответственно.
<*i сиг аг-| аг
I. а — /L: о-о о—о
ранг г
г>\
г>2
г>4
г = 3
Ad
Ф1 + Фг
ф2 + фг-1
ф2
А (8)
{±е(;/=1,
{± (8( + в/);
{(9, + в/); / <
...,г+1}
К)
(Г); максимальные торы
Иг-,)
(SUB)«'+1>/2')
()X
XSUC)sSUF)
П. a = B>,
ранг г ф
r>3 Ad
г>3 ф!
г==3 фз
Г = 4 ф4
Q'rt)
A(ff)
1±в,;.
{j(±
{т(±
!= 1, .
9i d=e2
e,±e2
±e3)}
±e3±
e4)}
«)
(Г); максимальные торы
Фг)
(Ga); SpinG)/G2 = S7
(Spin G)); Spin(9)/SpinG) = 515
§ 3. Классификация главных типов орбит
12?
IV, g = £)r
«1 0.1 Лг - 1 *V
: о-о о=о
ранг г \|з
r>2 Ad
г>2 2ф,
г>2 *
о(*)-
А (9)
2-{±е,-; »=1, ..., г}
{±9г±9/; г<Л
D)
(Г); максимальные торы
(С-,)
(Sp(i)O
ранг г
г>4
Г>4
♦
Ad
Ф1
А (9)
{±е,-, 1
= 1,...,
г)
(Г)
(В,
; максимальные
-о
торы
Г = 5 ф4 + ф5
|у(±в1±в2±в8± (SUD))
±в4±вБ)]
-=6 2ф5или2фб I —(±6i ± ... ±66) (SUB)XSUB)XSUB))
с четным или соотв.
нечетным числом •
,-■}
V. Исключительные группы Ли
Для каждой из пяти исключительных групп Ли главный
связный тип орбит присоединенного представления — это
класс (Г) максимальных торов. Кроме того, имеются следую-
следующие неприводимые представления с нетривиальными глав-
главными связными стационарными подгруппами:
128
G
i*
J£7: с
8
«I «2
2 * ,
*1 «2 ОГЗ «Ч
о-о-о-о~о
ai «2 «3 <*4 «5
П «^ аз #4 *5 <*б
Гл. V.
ф!
Ф1
ф1 + фб
Принцип
„,,
расщепления
± 8г, ± 0з}
е„е,±е,±„,±
К)
(SU C))
:в,} (Spin (8))
(Spin (8))
(Spin (8))
Замечание. Заметим, что если if> = ifi + i|>2, то соответ-
соответствующие главные стационарные подгруппы представлений
г|з, -фх и i|J связаны следующим образом:
= (Я^) П (#ii>2) (пересечение в'общем положении).
Исходя из этого, нетрудно распространить приведенный
выше список для неприводимых линейных представлений на
произвольные линейные действия простых групп Ли.
(В) G-допустимые и G-неразложимые системы весов
Определение. Пусть G — компактная связная группа Ли
ранга ky и пусть Q' — система ненулевых весов, определенная
на ее торе Т ранга k. Система весов Q' называется G-dony-
стимой, если существует ациклическое когомологическое
G-многообразие Ху такое, что Q/(X)=Q/. Далее, система ве-
весов Q' называется G-разложимой, если существуют два не-
нетривиальных ациклических когомологических G-многообра-
зия Х\ и Хг, такие, что п' = &'{Х\)\} Q'^); G-допустимая
система весов Q' называется G-неразложимой, если невоз-
невозможно разложить систему весов Q' в сумму двух нетривиаль*
ных G-допустимых систем весов.
Очевидным необходимым условием для того, чтобы си-
система весов Q' была G-допустимой, является ее инвариант-
инвариантность относительно группы Вейля W(G). Однако в общем
§ 3. Классификация главных* типов орбит 129
случае этого далеко не достаточно. Следующая лемма слегка
уточняет это необходимое условие.
Лемма 1. Если система весов Q' G-допустима, то Q' инва-
инвариантна относительно действия группы W(G). Кроме того,
для любых веса w е Q' — A(G) и корня aeA(G), таких, что
(wy а) ф О, существует по крайней мере один вес ш'бЙ',
такой, что
а — о/===0 (mod до).
Доказательство. Пусть X — ациклическое G-много-
образие и Q'(X) = Q'. (Такое G-пространство Х существует
по предположению о G-допустимости системы Q'.) Пусть w —
произвольный вес из множества Q'— A(G). Из леммы 2 § 2
следует, что существует такая точка х е X, что
T°x = G°x П Т = w1-— максимальный тор группы G°x.
Пусть аЕД(б) — такой корень, что (w, а)Ф0. Мы утверж-
утверждаем, что (alw1)^ A(G)\w1 — А(Ох). Так как случай
а|ш1==0 очевиден, то мы докажем указанное утверждение в
случае а|ш±=^=0 следующим образом. Если кратность веса
a\wL в множестве A(G) l^1 больше 1, то очевидно, что а|шь
принадлежит также множеству A(G) [w1 — A(GX), так как
кратность каждого корня в A(G*) равна 1. Если кратность
веса al^1 в множестве A(G) l^1 равна 1, то (alw1)^ A(GX)
тогда и только тогда, когда комплексифицированная алгебра
Ли д£ группы Ли Gx содержит собственное подпространство,
отвечающее корню а. Это, очевидно, невозможно, потому что
(w, a)=7^=0. Следовательно, либо (а|дох)^= A(GX), либо
|(G)|x(G)
(|)()|()
Далее, из следующего равенства теоремы V. 1
Q' I w± - Q' (Sx) U (Д (G) \w±-A (Gx))
вытекает, что существует по крайней мере один такой вес
w' e Q', что
wr\w^^^w^ e A (G) |a>J- - А (О,)
или, что то же самое, wr — а ^з 0 (mod w). □
Примеры. A) Пусть G = SU(r+ 1), и пусть {0Ь 92, ,..
...,6r+i}—система весов обычного представления группы
SU(r+l) в пространстве Cr+1 (r ^2). Предположим, что
Q' есть G-допустимая система весов, содержащая
±(a0i + &02), где a> 1 и (а, &)= 1. Тогда по предыдущей
лемме и вследствие того, что (aQ\ + bQ2, 0i — бзK02 а Ф 0? су*
ществует такой вес w' e Q\ что
wr — a ss 0 (mod w),
130 Гл. V. Принцип расщепления
или, что то же самое, существует подходящее целое число k,
для которого
Следовательно, множество {±(а9* + &8/)} не образует, в
частности, G-допустимую систему весов.
B) Пусть G = Вг (соотв. CV, Dr), г ^ 3, и пусть {9Ь 02, ...
..., 9Г} — обычные прямоугольные координаты в подалгебре
Картана алгебры Ли группы G. Пусть Q' есть G-допустимая
система весов, содержащая ±(a9i + &92), где a > & > 0 и
(a, b)=l. Тогда снова по предыдущей лемме и вследствие
того, что (a9i + bQ2, 9i — дг)фО существует такое число k,
что вес w' =(ka + l)9i + k-bQ2 — 9з тоже принадлежит си-
системе £У.
(С) Классификация связных главных типов орбит
для топологических действий простых компактных
групп Ли на ациклических когомологических
многообразиях
Мы сформулируем основной результат § 3 следующим об-
образом.
Теорема V. 6. Пусть G — простая компактная связная
группа Ли. Пусть X — данное ациклическое когомологическое
G-многообразие с неразложимой системой ненулевых весов
Q'(X). Если главный связный тип орбит (#х) пространства X
нетривиален, то существует единственное неприводимое ли-
линейное G-действие \|з с той же самой системой ненулевых ве-
весов и тем же самым главным связным типом орбит, г. е.
£У (г|)) = Q'(X) и (Hi) = (#jc), за исключением следующих не-
невыясненных случаев:
Лемма 2. Пусть G — простая связная компактная группа
Ли, а X — ациклическое когомологическое
то главные связные стационарные подгруппы тривиальны, г. е.
(Н°х) = {е}.
§ 3. Классификация главных типов орбит 131
Доказательство леммы 2. Пусть S s H\ — макси-
максимальный тор в главной стационарной подгруппе Н°х. Тогда из
следствия 1 предложения 2 из § 2 вытекает, что
Q'(X) | Ss=A(G) |S —Д (Нх) (по модулю нулевых весов).
С другой стороны, мы предполагаем, что Q'(X):dA(G), сле-
следовательно,
(Q' (X) — A (G)) | S в 0 (по модулю нулевых весов)
Однако множество Q'(X) — A(G) по предположению непусто
и инвариантно относительно группы Вейля W(G). Поэтому
нетрудно видеть, что Q'(X) — A(G) порождает подалгебру
Картана группы G. Значит, сравнение (Q'(X)—A(G))|S==
= O(modO) выполняется только в случае, когда S— {е}, и,
следовательно, группа Н\ должна быть тривиальной. □
Набросок доказательства теоремы V. б.
Основная идея доказательства теоремы V. 6 довольно проста.
Оно состоит из следующих шагов:
(i) Мы можем предположить, что система весов Q'(X) не
содержит систему корней A(G), так как в противном случае
из приведенной выше леммы 2 следует, что либо Нх = {е),
либо Q'(X)= A(G) и (Нх) = (Т). С другой стороны, из след-
следствия 1 предложения 2 из § 2 вытекает, что
Q' (X) | Н°х = Q' (Ad0 | Н\) - А {Н°х).
Отсюда легко вывести необходимость для нетривиальности
типа (Нх) следующего условия:
(*) существует такая окружность S s Г, что
Q'(X\S)czQ'(AdG\S).
Необходимым является и несколько более слабый вариант
этого условия, который к тому же легче проверять:
(*7) Существует такая окружность S ^Т, что
dim (Q' (X | S)) < dim (Q' (AdG | S)).
Здесь через dim Q обозначается число весов системы с учетом
их кратностей.
Обычно порядок группы Вейля W(G) гораздо больше чи-
числа корней группы G (например, | W(An) \ = (п + 1)! гораздо
больше, чем |Д(ЛЛ) |=/i(n-f 1)). Отсюда с помощью лем-
леммы 1 нетрудно вывести, что почти все неразложенные си-
системы весов п'(Х)у за исключением немногих простых слу-
случаев, содержат слишком большое число весов, чтобы удовле-
удовлетворять условию (•) или даже (V). Таким образом, нужно
132 Гл. V. Принцип расщепления
исследовать только»оставшиеся немногие простые возможно-
возможности.
(и) Среди этих оставшихся нескольких неразложимы? си-
систем весов Q'(X) самое большее две или три не реализуются
с помощью линейных действий и заслуживают специального
исследования. К таким нелинейным неразложимым системам
весов Q'{X) можно применить алгоритм теоремы V. 5 для вы-
вычисления их главных связных типов стационарных подгрупп
(#*)• Если некоторые из них окажутся тривиальными, то их
тоже можно исключить из рассмотрения.
(ш) После этих двух шагов остается всего 15 возможно-
возможностей нелинейных систем весов, которые нельзя исключить, ис-
используя одни только свойства весов. В этих 15 случаях мы
детально изучаем структуру орбит, а потом стараемся про-
проверить с помощью когомологических методов, можно ли на
самом деле построить ациклические когомологические много-
многообразия с такими специальными структурами орбит. Един-
Единственные невыясненные случаи — это те, которые отмечены в
теореме V. 6.
Доказательство теоремы V. 6 для G = Ап. В слу-
случае G = Ап мы обычно параметризуем подалгебру Картана с
помощью п + 1 координат (8i, 62, ..., бл+i), подчиненных со-
соотношению 6i + 02 + ... + 6/4-1 = 0. Тогда группа Вейля
W(An) этой группы Ли действует как полная группа переста*
новок п + 1 координат и каждый вес есть целочисленная ли-
линейная комбинация весов {6,}. Предположим, что Q'(X) — не-
неразложимая система весов. Так как система Q'(X) инвари-
инвариантна относительно группы Вейля W, то можно следующим
образом представить ее в виде суммы орбит группы W:
Q'(X) = W(±wl)[)W(±w2)[)
Мы можем предположить, что W(±w\) есть одна из орбит,
состоящих из наибольшего количества весов, и что вес W\ ле-
лежит в фиксированной камере Вейля, т. е.
Щ = Mi + ... + dkQkf где ai > ..
(/=1, ..., k).
Далее, поскольку топологические веса определяются только
ортогональными к ним гиперплоскостями, мы можем предпо-
предположить, что
(аи ..., afe) = l и ах^\ак\.
Согласно лемме 2, можно считать, что Q'(X)f\ A(G) = 0, так
как в противном случае й'(Х)зА(й) и тогда тип (Я^) либо
тривиален, либо равен (Т). Предположим, что #i > 1 и что
§ 3. Классификация главных типо$ орбит 133
кфп + 1. Тогда (w\t 0i — 9a+i)=t^= 0, и из леммы 1 следует,
что существует такой вес w[ e Q' (X)t что
для подходящего целого L В большинстве случаев, например
когда k^.(n+1)/2, мощность множества W (р'х) больше
мощности множества W(w\), что противоречит выбору веса
W\. Следовательно, либо уже множество W(w{) содержит
слишком много весов, из-за чего система весов Q'(X) не мо-
может удовлетворять условию (*'), либо а\ = | а2 \ =... = | а* | =
= 1. Таким образом, из условия (Н°х) ф {е} следует, что
|| || l
|| ||
(i) Если а\ = а2 = ... =ak = 1, то можно (воспользовав-
(воспользовавшись соотношением 8i + 02 + ... +0«+i = 0) предположить,
что k ^(п-\-1)/2. Заметим, что системы весов базисных ве-
вещественных представлений имеют следующий вид:
если
' Bщ) = W{±(Qx+...+ 9,)}, если
k «=^±1^0 (mod 2),
^{в1+ ... +6,}, если
Поэтому из теоремы V. 5, следствия 3 теоремы V. 5 и п. 1 таб-
таблицы А вытекает, что (Нх) Ф {е} только в том случае, когда
система Q'(X) фактически совпадает с одной из систем весов,
перечисленных в п. I таблицы А, за следующим возможным
исключением: ,ч
G = A5 и Qf(X) = W{(Ql + Q2 + Q3)}[)m'{±Qi}
(m = 0 или 1).
Однако в любом из случаев m =*= 0 или m = 1 детальное вы-
вычисление соответствующей структуры орбит показывает, что
однородное пространство SUF)/(SUC)X SUC)) имеет та-
такие же рациональные когомологии, как и сфера S19, а этого не
может быть1). Следовательно, на самом деле системы весов
Q7 = W{Q{ + е2 + 0з} U rn {±0*j, m = 0, 1, не являются до-
допустимыми для Л5.
1) Если однородное пространство G/U, где G и V — связные компакт
ные группы Ли, имеет такие же рациональные когомологии, как нечетно-
мерная сфера, то многочлены Пуанкаре групп G и U должны делиться
друг на друга [О 4], что в данном случае неверно. Это же соображение не-
несколько раз используется в дальнейшем. — Прим. ред.
134 Гл. V. Принцип расщепления
(И) Оставшиеся возможные случаи отвечают весам вида
wx =(9i + ... +G/ — 9/+1 — ... — 8*). Так как п'{Х)[\
Р Д(О)= 0, то мы можем предположить, что k >2 и / ^£/2.
Снова нетрудно показать, что множество U?(±i0i) содержит
слишком много весов, благодаря чему система Q'(X) не мо-
может удовлетворять условию (* ). П
Доказательство теоремы V.6 для G = Вп, СЛ,
Dn и исключительных групп Ли. Доказательство
теоремы V. 6 для простых групп Ли, отличных от Ап, в сущ-
сущности такое же, как и в случае Ап. На первом шаге мы ис-
используем условие (*) и лемму 1, чтобы свести список воз-
возможных неразложимых систем весов Q'(X) с нетривиальным
главным типом связных стационарных подгрупп (Нх) ф {е}
к горстке конкретных систем весов. Среди немногих остав-
оставшихся систем весов различаются следующие.три группы:
(i) Системы весов, которые можно реализовать с по-
помощью линейных действий. Тогда непосредственно из след-
следствия 1 теоремы V. 5 вытекает, что их главные связные типы
орбит \Нх) такие же, как у соответствующих линейных дей-
действий.
(И) Те системы весов, которые нельзя реализовать с по-
помощью линейных действий, но для которых алгоритм тео-
теоремы V.5 приводит к тривиальному главному типу связных
стационарных подгрупп. Следовательно, такие системы весов
не помешают нам в доказательстве теоремы V. 6, даже если
какие-то из них окажутся допустимыми.
(iii) Наконец, остаются следующие возможные кандида-
кандидатуры систем весов, которые нелинейны и у которых главный
тип связных стационарных подгрупп будет нетривиален, т. е.
(Н°х)¥={е}, если некоторые из них окажутся допустимыми:
A) G = SUF), Qi^{Bi + Bl + Qk)[}m{±ei}9 m-0, 1,
B) G = Spin A1), Q' = {j(±Qx± ...±95)} Um{±e,},
m = 0, 1, 2, 3,
C) g = spinA3), Q/={{(±e1±...±e6)Jum{±8a,
m = 0, 1,
D) G = Sp C), Q' = {(± 9j ± 92 ± 93)} U (m + 1) {± 9,},
m=-0, 1,
E) G = SpinA2), Q/ = Q/(9s)Um{±9/}, 0<m<4.
(iv) В приведенных выше пяти типах нелинейных систем
весов при m = Q нетрудно определить детальное когомоло-
§ 3. Классификация главных типов орбит 135
гическое строение «структуры орбит», если какая-то из этих
систем весов окажется допустимой. Например, в случае гп=0
главные типы орбит имеют соответственно следующий вид,
что на самом деле противоречит предположению об ациклич-
ацикличности пространства X:
A) G = SU F), Q' = {6,- + 9/ + 0,} => Н°х = SU C) X SUC),
множество F(G) = F(T) ациклическое и dim(SUF)/(SUC)X
XSUC))) = 19 = dimX —dimf(G) — 1, откуда следует,
что пространство SUF)/(SUC) XSUC)) есть рациональная
когомологическая сфера — противоречие.
B) G = Spin(ll), Q' = {l(±01=h...±0}
Множество F(G)=F{T) ациклично и dim(Spin(ll)/SUE))
= 31 = dimX — dimF(G)—■ 1, откуда следует, что простран-
пространство Spin-(ll)/SUE) есть рациональная когомологическая
сфера — снова противоречие.
C) G= Spin A3), Й/ = |у(±91± ... ±96)|. В этом случае
существует орбита типа SpinA3)/SUF) и система весов дей-
действия группы SUF) на срезе равна Q'(SX)= {0* + 0/ + 0&}>
что невозможно по доказанному в A). Следовательно, систе-
система весов {у(±01± ... ± 06)| не является SpinA3)-допусти-
SpinA3)-допустимой.
D) G = SpC), Q/ = {±0i±02±03}U {±0*}=>#х = SUC).
Множество F(G) = F(T) ациклическое, dim(SpC)/SUC)) =
= 13 = dimJ — dim F(G) — 1, откуда следует, что простран-
пространство SpC)/SUC) есть рациональная когомологическая сфе-
сфера — очевидное противоречие.
E) G= Spin A2), Q^Q^cp^tf^SU^). Множество
F(G) =F(T)i ациклическое и dim(SpinA2)/SUF)) = 31 =
= dimX — dim F(G) — 1, что снова невозможно, так как про-
пространство SpinA2)/SUF) не является рациональной кого-
когомологической сферой.
(v) Более тщательное применение того же самого, в сущ-
сущности, метода показывает, что при m = 1 приведенные выше
пять случаев систем весов тоже недопустимы. Следовательно,
единственные оставшиеся невыясненные случаи следующие:
в5)}
т = 2 или 3,
G = Spin A2), Q' — Q' (ф5) U m {± в,}, 2 < m < 4.
Итак, доказательство теоремы V. 6 закончено. □
136 Гл. V. Принцип расщепления
Из теоремы V. 6 и следствия 2 теоремы V. 5 мы получаем
такую классификационную теорему.
Теорема V. 6. Пусть G — простая компактная связная
группа Ли, и пусть X— ациклическое когомологическое G-mho-
гообразие. Если главный связный тип орбит (#х) простран-
пространства X нетривиален в том смысле, что Н°х ф {e}t то сущест-
существует единственное линейное G-действие ф с той же самой си-
системой весов, г. е. Q(X) = Q(cp), и с тем же самым главным
связным типом орбит, г. е. (#х) = (#£), кроме, возможно,
следующих невыясненных случаев (если окажется, что они
допустимы):
(О g = Spin (И), Q'(*) = {y(±ei± ...zbe5)} um{±e,},
2<m<3,
(ii) G = Spin A2), Q' (X) = Q'(<p5) [) m{± 9,}, 2 < m < 4.
Гипотеза. Эти две возможности не допустимы.
4. Классификация главных связных типов орбит
относительно действий произвольных компактных
связных групп Ли на ациклических когомологических
многообразиях
Пусть G — произвольная компактная связная группа Ли,
и пусть g — алгебра Ли группы Ли О. Из хорошо известной
структурной теоремы^ для компактных алгебр Ли следует,
что алгебра Ли g единственным образом разлагается в пря-
прямую сумму своего центра go и простых идеалов gi, g2, ..., g/,
т. е.
Э^ЗоФй!© ... Фй/ (центр до может быть тривиальным).
Следовательно, существует подходящее конечнолистное на-
накрытие G группы G, та^ое, что
O-GoXGiX: ... XG/
(группа Go может быть тривиальной, т. е. Go=={e}),
где Go — тор, a G\, ..., Gi — простые компактные группы Ли,
алгебры Ли которых суть gi, ..., g* соответственно. Следо-
Следовательно, при изучении главных связных типов орбит \Н°х)
мы можем без потери общности предположить, что сама груп-
группа G равна произведению связного центра Go и простых нор-
нормальных сомножителей G\, ... Gi, т. е. что
§ 4. Классификация главных связных типов орбит 137
(А) Несколько упрощений
(i) Предположим, что связная компонента центра Go груп-
группы G не тривиальна, т.е. что группа G не полупроста, и
пусть Ч? — почти эффективное (т.е. с конечным ядром неэф-
неэффективности) G-действие на ациклическом когомологическом
многообразии X. Пусть Qo = £2(xP|Go)—система весов огра-
ограничения действия Ф на группу Go, и пусть Хо, Xw, где w e
е Qq •— следующие подпространства:
Xo = /7(GO, X), XW = F(G$,X),
где G™ — ядро веса w0 е Qo. Тогда Хо и Xw суть, очевидно,
ациклические когомологические подмногообразия в Х> инва-
инвариантные относительно G, и, кроме того, первоначальное
G-действие W в значительной мере определяется ограниче-
ограничением G-действия на Хо и Xw> шЕЙд, соответственно. Напри-
Например, если dim Хо = 0, то
U
и непосредственно из следствия 2 теоремы V. 5 вытекает, что
(Н°х) = П Hw (пересечение в общем положении),
где (Яву)—главный связный тип орбит действия I
Общую ситуацию, т. е. случай dimX0>0, можно изучить
с помощью такого обобщения следствия 2 теоремы V. 5:
Лемма. Пусть G — заданная связная группа Ли, и пусть
(X, У), (Xi,Y\), (X2, Y2)—пары ациклических когомологи-
когомологических G-многообразий (т. е. У, Y\ и Y2 — инвариантные ацик-
ациклические подмногообразия многообразий X, Х\ и Х2 соответ-
соответственно). Если соответствующие системы ненулевых весов
удовлетворяют равенствам
& (X) - Q' (Y) = (Q' (Хх) - Q' (УО) U (Q7 (Х2) - Q' (Г2)),
то соответствующие главные связные типы орбит находятся
в следующем соотношении: пусть (К) —главный связный тип
орбит пространства Y или Y\, или Y2 (эти типы совпадают по
следствию 1 из теоремы V. 5). Тогда
где f|(/c) означает пересечение в общем положении в группе
138 Гл. V. Принцип расщепления
Доказательство. По предположению существуют та-
такие точки */, уи У2 в пространствах У, Y\ и Y2 соответственно,
что
п0 п0 п0 ^
иУ = иУ1 = Uy2 = Д .
Пусть Syy Syif Sy2 — срезы в1 точках у, у\, у2 соответствен-
соответственно. Тогда из приведенного выше условия следует, что
Q/(Sy) = Q/(Syi)UQ/(Sy1). Поэтому лемма вытекает из следст-
следствия 2 теоремы V. 5. III
Теперь предположим, что (Но), (Hw) —главные связные
типы орбит пространств Хо и Xw соответственно. Тогда
(н°х)= nw(Hw).
Следовательно, с точки зрения главных типов орбит, можно
свести общий случай к случаю, когда dim Go ^ 1.
(ii) Предположим, что главные связные стационарные
подгруппы пространства X содержатся в нормальной под-
подгруппе К s G, т. е.
H°x^K^G и К — нормальная подгруппа.
Тогда главные связные стационарные подгруппы /(-простран-
/(-пространства X такие же, как и у G-пространства Х. Следовательно,
изучение главных типов стационарных подгрупп топологиче-
топологических G-действий сводится к изучению тех случаев, когда глав-
главные связные стационарные подгруппы Н°х не содержатся ни
в какой собственной нормальной подгруппе группы G, т. е.
когда из условия Н\ ^ К ^ G и нормальности К следует, что
(Hi) Наконец, ввиду следствия 2 теоремы V. 5 можно пред-
предположить, что система ненулевых весов Q'(X) неразложима.
Более того, в случае, когда группа G непроста, из определе-
определения легко следует, что расщепляемая система весов автомати-
автоматически разложима. Следовательно, неразложимая система ве-
весов обязательно расщепляема.
(В) Случай, когда G = G\ X G2 — произведение
двух простых групп Ли
Пусть G = GiXG2 — произведение двух простых групп
Ли Gi, G2 и $ = Ji®$2 — подалгебра Картана для G, где
1)ь 1J — подалгебры Картана для групп Gi, G2 соответственно.
Ясно, что классификацию возможных главных связных типов
орбит произвольного топологического G-действия на ацикли-
ациклическом многообразии можно свести к классификации глазных
§ 4. Классификация главных связных типов орбит 139
связных типов орбит G-действий с неразложимыми система-
системами весов Q'(X) и нерасщепляемыми главными связными ста-
стационарными подгруппами Н\.
Теорема V. 7. Пусть G = G\ X G2 — произведение двух
простых групп Ли G\ и G2, а X — ациклическое когомологи-
когомологическое G-многообразие. Если система весов Q'(X) простран-
пространства X неразложима, а главная связная стационарная под-
подгруппа Н°х этого пространства не содержится ни в G\9 ни в
62> то либо
(i) G = SU(M)XSU(m),
(
либо
(ii) G = Sp (n) X Sp (m), Q' (V) = Q' (vn ® H vm),
где \хщ vn — стандартные представления групп SU(az), Sp (лг)
в пространствах Сп и Нп соответственно.
В качестве непосредственного следствия из теоремы V. 7,
следствия 2 теоремы V. 5 и предложения 3 § 2 мы получаем
следующую теорему, классифицирующую возможные глав-
главные типы орбит топологического G-действия на ациклических
многообразиях, где13 — произведение двух простых групп Ли.
Теорема V. Т. Пусть G = G\ X G2— произведение двух
простых групп Ли G\ и G2, а X — ациклическое когомологи-
когомологическое G-многообразие. Если главный тип связных стацио-
стационарных подгрупп (Н°х) пространства X нетривиален, то име-
имеются только следующие возможности:
(i) система-весов Q'(X) расщепима, т.е.
Q'{Х) = п'{X)\GX\}U''(X)\G2.
Тогда из предложения 3 § 2 следует, что
(Н°х) = (Н°х П <?,) X (Н°х П G2) = {HX{Ql) X (ЯМ.
(Этот случай разобран в теореме V. 6.)
(И) Hx^Gi или H0x<=G2, и тогда (Нх) = (Нх\о) или
iG,). (Этот случай разобран в теореме V.6.)
(ii) Gti = SU(«)XSU(m) (соотв. Sp(rc) X Sp(/n)), Q'(Z) =
= Q'([nn®c(xm]R) (соотв. Q'U) = Q'(vn®Hvm)),
(H°x) = (SU (n - m) X T1"-1) (соотв. (Н°х) =
= (Sp(«-m)XSp(l)m)).
140 Гл. V. Принцип расщепления
Доказательство теоремы (V. V). Для удобства
предположим, что rk(Gi)^ rk(G2), и представим систему ве-
весов Q'(X) в виде суммы трех множеств:
где Qi и Q2 — подмножества тех весов, которые лежат в ал-
алгебрах Ли tyi и fa соответственно, а Й — множество весов сме-
смешанного вида. Так как система Q'(X) по предположению не-
неразложима, то она также и нерасщепляема, поэтому Q Ф 0.
Предположим, что W\ + w2 е Q — смешанный вес, w\ e ^ и
w2 e %2. Тогда вся «орбита» веса w\ + w2 тоже состоит из
весов, принадлежащих множеству Q, а именно
W(G)-(wl+w2)^{al(wl) + a2(w2)t al^W(Gl\ o2s=W(G2)}.
Мы утверждаем, что, кроме двух возможностей, упомянутых
в теореме (V. 7) (т. е. случаев G = SU (п) X SU (m), £У (X) =
— Q = Q'([|1Я ®с ^m]R) и G = Sp (я) X Sp (m), Q' (J) = Q =
«=Q7 (vrt®H vm)), главные связные стационарные подгруппы
#jr пространства X лежат в группе Gu что противоречит
предположению. о том, что группа Н\ не содержится ни
в G\t ни в G2. Детальное доказательство этого утверждения
довольно утомительно, и, по-видимому, здесь нельзя избе-
избежать проверки всех возможных случаев. Однако в принципе
это просто непосредственное применение алгоритма теоре-
теоремы V. 5.
Заметим, что для данной простой группы Ли имеется
только небольшое число орбит (относительно действия груп-
группы Вейля), количество весов в которых не превосходит числа
положительных корней. Следовательно, за исключением не-
немногих особенно простых случаев, которые легко проверить
с помощью алгоритма теоремы V. 5, система весов Q содер-
содержит по меньшей мере одну такую орбиту W(G) - (w\ + w2)t
что либо число весов в орбите W(G\) *w\ больше числа поло-
положительных корней группы Gi, либо число весов в орбите
Vr(G2)'a>2 больше числа положительных корней группы G2.
Покажем в качестве типичного примера, что в последнем слу-
случае i pvnna Н°х должна содержаться в G\. Положим k =
«=гк@2). Тогда можно следующим образом выбрать 2k ве-
весов, участвующих в алгоритме теоремы V. 5, среди весов
§ 4. Классификация главных связных типов орбит 141
орбиты W(Q) • (w\ + w2):
vi = «i Ы + Pi К), y[ =- о, (w{) + p; (ш2)
Y2 = <*2 Ы + P2 W> ?2 = «2 Ol) + К W>
где a£ e W (Gj), P£, ^gH^ (G2), причем удовлетворяются сле-
следующие условия:
веса ai(w\), a2(^i), ..., ak(w{) линейно независимы;
веса р2 (ш2) - р; (ш2), Р2 (w2) - ft (ш2), ..., р, (ю2) - ft (ш2)
также линейно независимы.
Тогда нетрудно видеть, что максимальный тор 5 группы
#х, определенный этим алгоритмом, содержится в торе Т\ s
^ G\, а именно
Детали доказательства теоремы V. Т мы оставляем читателю.
(С) Случай, когда G — произвольная полупростая
компактная группа Ли
В случае когда G — произвольная полупростая компакт-
компактная группа 71и, мы сформулируем без доказательства сле-
следующее обобщение теоремы V. Т. На самом деле ее доказа-
доказательство является лишь небольшим изменением доказатель-
доказательства теоремы V. Т.
Теорема V. 7". Пусть G — полупростая компактная связ-
связная группа Ли и Ч? — почти эффективное топологическое
G-действие hq ациклическом когомологическом многообразии.
Если система весов Q^^) действия Ч? неразложима и глав-
главная связная стационарная подгруппа Н\? действия Ч? не со-
содержится ни в какой собственной нормальной подгруппе
группы G, то имеются только следующие две возможности:
(i) G
(ii) G-Sp(/i)XSp(m), Q/
142 , Гл. V. Принцип расщепления
Замечание. Используя эту иаящную и сильную георе-
георему для неразложимой системы весов и следствие 2 теоре-
теоремы V. 5, нетрудно выписать полную классификацию главных
типов орбит всех возможных G-действий на ациклических
многообразиях для заданной компактной связной полупро-,
стой группы Ли G. Однако общее утверждение такого типа
для всех связных компактных полупростых групп Ли выгля-
выглядит не слишком красиво, и, по-видимому, не стоит его фор-
формулировать в качестве теоремы.
§ 5. Основная теорема о неподвижных точках
При изучении топологических (или дифференцируемых)
групп преобразований на ациклических многообразиях суще-
существование действий неабелевых компактных связных групп
Ли на евклидовых пространствах, не имеющих неподвижных
точек, представляет собой основную черту, которой произ-
произвольные топологические действия отличаются от линейных
действий. Однако если система весов топологического дейст-
действия удовлетворяет некоторым простым условиям, то можно
изменить доказательство, приведенное в [С 30], чтобы полу-
получить следующую полезную теорему о неподвижных точках
топологических действий на ациклических многообразиях, ко-
которая чуть слабее соответствующей теоремы для дифференци-
дифференцируемого случая (см. часть III из [С 30]).
Теорема V. 8. Пусть G — компактная связная группа Ли и
X — ациклическое Ъ-когомологическое G-многообразие. Пусть
Q (X) — система весов пространства X, и пусть
2, = {а; аЕД(б) и aeQ(I) с кратностью 1}.
Тогда существует такая подгруппа К^ G максимального
ранга, что Д(/С) ^ 2oU Si, a F(K, X) —ациклическое когомо-
когомологическое многообразие.
Чтобы применить доказательство из [С 30] в топологиче-*
ской ситуации, нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть X — когомологическое Ъ-ациклическое
многообразие размерности п с заданным топологическим
SO C) -действием. Если Q'(X) состоит только из одной пары
ненулевых весов, то
F(SO(S), X) = F(Z2, F(SOB), X))t
и это пространство есть когомологическое Ъ-ациклическое
многообразие размерности п — 3,
§ 5. Основная теорема о неподвижных точках 143
Доказательство. Пусть У ■■ /7(SOB), X). Так как
Q'(X) состоит только из одной пары ненулевых весов, то
ясно что У есть Z-ациклическое когомологическое многообра-
многообразие размерности п — 2. Мы утверждаем, что группа SO B)
свободно действует на X—У. Так как в группе SOC) нет
нормальных подгрупп (за исключением единичной группы),
мы видим, что ограниченное SO B)-действие должно быть эф-
эффективным. С другой стороны, из того, что dim У = я — 2,
легко следует, что группа SO B) свободно действует в окре-
окрестности множества неподвижных точек У. Теперь предполо-
предположим, что существует такая точка х^Х— У, что S©B)* = Zm,
m > 1. Пусть р — простой делитель числа т. Тогда .множе-
.множество F(ZPf X) з У U \х} состоит по крайней мере из двухсвяз-
двухсвязных компонент, что противоречит теореме Смита о том, что
F(ZpiX)~z {pt}. Следовательно, группа SO B) свободно
действует на X—У. Следствием этого факта является то, что
SO C)-действие имеет только два типа орбит, а именно
<?(X) = {SOC), (SO B))}.
Теперь пусть # = Z2 + Z2 — максимальный 2-тор группы
SOC), скажем
H = \ I 82 Г, Bj = ± 1, 6j • 82 • 83 =
Тогда нетрудно видеть, что
F(H, X) = F(Z2i F(SOB), X)) = F(SOC), X),
и размерность-этого пространства равна п — 3. Так как про-
пространство У Z-ациклическое, а коразмерность множества
F(Z2f У) в пространстве У равна 1, то легко показать, что на
самом деле F(Z2f У) является Z-ациклическим множеством,
а не только г2-ациклическим. □
Ниже мы даем набросок доказательства теоремы V. 8.
Пусть Т s G — максимальный тор группы G, и пусть У=
= F(T9 X). Очевидно, что группа Вейля W(G) = N{T)/T
естественно действует на пространстве У. Для данного корня
aGA(G) положим Та = a1, Ga = N(Ta), a 0a = Ga/Ta.
Тогда нетрудно видеть, что система весов, индуцированная
Ga-действием на пространстве Ya — F(Ta, X), имеет следую-
следующий вид:
Q' (уа) = {± а с той же кратностью, что и в £
144 Гл. V. Принцип расщепления
Следовательно, если aeZi, то Оа-действие на пространстве
У а имеет только одну пару ненулевых весов и применение
леммы 1 показывает, что
~ F (Ga, X) = F (Ga, Ya) = F(W (Ga), У) = #a,
где W(Ga) =Z2 и Har=F(W(Ga), Y) —подпространство ко-
коразмерности 1 в пространстве У. Таким образом, подгруппа
W группы W(G), порожденная множеством {W(Ga)\ a^
gSi}, действует как группа, порожденная топологическими
отражениями в пространстве У. Модификация доказатель-
доказательства теоремы о неподвижной точке для групп, порожденных
дифференцируемыми отражениями, из [С 30, III], [0 33] по-
показывает, что пространство
Y)=* П На
тоже Z-ациклично. Пусть /С== П G2. Тогда ясно, что
zsF(F, У)
Я э 7\ Д (К) =2 {So.U 2i} и что пространство F (Kt X) = F (W, У)
является Z-ациклическим.
§ 6. Топологические представления малых размерностей
компактных связных групп Ли
В этом параграфе мы будем рассматривать топологиче-
топологические G-действия W на ациклическом когомологическом мно-
многообразии X как представления группы G в виде топологиче-
топологических Групп преобразований и будем называть их просто то-
топологическими представлениями группы G. Тогда довольно
естественно заняться отысканием топологических представле-
представлений заданной группы G, имеющих наименьшую размерность,
где размерность представления dim W определяется, конечно,
как dim X. С этой целью введем следующие обозначения.
Определение. Для данной компактной алгебры Ли g поло-
положим
где 4я пробегает все эффективные топологические группы пре-
преобразований с алгеброй Ли g на когомологических ацикличе-
ациклических многообразиях. Для данной компактной группы Ли G-
положим
LtOp(G) = min(dim40,
где Ч пробегает всевозможные эффективные топологические
G-действия на когомологических ациклических многообра-
многообразиях,
§ 6. Топологические представления малых размерностей 145
Замечание. Ясно, что аналогично можно определить
(g) ^diff(G) и Liin(e), Lun(G) в терминах дифференци-
дифференцируемых действий и линейных действий соответственно. Тогда
очевидно, что
Поэтому интересная задача состоит здесь в том, чтобы оце-
оценить Ltop(g) и ^top(G) снизу. В качестве примера мы дадим
следующее обобщение оценки числа Ldiff (Spin (k)) из [С 21]
на топологический случай.
Теорема V.9. Пусть G = Spin(£) и г = [k/2]. Тогда
2Г, если �(mod4),
Ltop(G)>"' "'"' ■ - если fc = 0(mod.4).
Доказательство. Пусть Z2 — ядро накрывающего го-
гомоморфизма
и jT^Spin(&) —максимальный тор. Пусть (8i, 82, ..., 0г) —
обычные координаты для подалгебры Картана группы
Spin(&), r = [k/2]. Хорошо известно, что все (целочислен-
(целочисленные) веса группы Spin (k) имеют вид
" О
w == kfii + ... + krQn где kx = ... = kr = I,. I (mod 1).
Пусть Ч* — эффективное действие группы Spin (k). Тогда
ограничение Ч?\ У тоже эффективно. Пусть п'^Ч?)—система
ненулевых весов действия V. Мы утверждаем, что система
Q^^) должна содержать некоторые веса вида t0=£1.8i+...
... -\-kr-Qr> где kf^-^(mod 1), т.е. k\ полуцёлые. Действи-
Действительно, в противном случае можно показать, что простран-
пространство Y' = F(Z2, X) будет Q-ациклическим многообразием той
же размерности, что и само пространство X, и, следователь-
следовательно, F(Z2, X) =Х, т.е. -действие \Р не эффективно. Так как
система бУСФ1), очевидно, инвариантна относительно сопря-
сопряжений элементами группы Вейля, то Q'^) должна содер-
содержать целиком «орбиту» W(w) такого веса, которая содержит
по крайней мере 2Г элементов, если k = 2r + 1, и по крайней
мере 2г-! элементов, если k = 2r. В случае k = 2 (mod 4) вес
—w не сопряжен весу w и, значит, система ^(Ч*") должна со-
содержать также «орбиту» W(—w) веса —w. Таким образом,
146 Гл. V. Принцип расщепления
для случая k Ф 0 (mod 4)
dim^^faH^o весов в Q/Dr))>2r.
В случае & = 0(mod4) центр группы Spin (k) изоморфен
Z2 + Z2. В этой группе есть три подгруппы^, изоморфных
группе Z2. Предположим, что система Q'^) содержит только
одну орбиту W(w) указанного типа, состоящую ровно из
2Г~1 элементов. Тогда те же рассуждения показывают, что
KerW — снова подгруппа, изоморфная группе Z2, что проти-
противоречит предположению о том, что действие Ч? эффективно.
Следовательно, либо система Q'^) содержит еще одну ор-
орбиту, либо орбита W(w) состоит более чем из 2Г~1 элементов.
Тогда легко видеть, что в случае k = 0 (mod 4)
dim0?)>(число элементов в Q/Dr))>2r + 2г. □
Замечание. Нетрудно видеть, что
2Г, k = ±l, ±2, 4(mod8),
Lita(Spin(ft)) =
Следовательно, предыдущие оценки являются наилучшими
из возможных в случаях k == 0, ± 1, ±2 (mod 8), т. е.
Lt0P (Spin (k)) = Lim (Spin (k))'
прий = 0, ±1, db2(mod8).
В качестве предварительного шага для полного вычисле-
вычисления Ltop(fl) мы сначала разберем случай простых алгебр Ли.
Для удобства мы введем следующие обозначения:
dim Q OP) = dim W = (число весов, взятых с их кратностями),
dim Q' (Ч?) = (число ненулевых весов, взятых с их кратностями).
Теорема V. 10. Пусть g — простая компактная алгебра Ли
и W — топологическое G-действие на ациклическом когомоло-
когомологическом многообразии X размерности п; причем g — алгебра
Ли группы G. Если
то множество неподвижных точек F(Gy X) —также ацикличе-
ациклическое когомологическое многообразие. Более того, за исклю-
исключением единственного случая g = Л2, Q'^) = А (Л2),
codim F(GyX) =8, мы имеем
codimf(G, J) = Llin(g),
§ 5. Топологические представления малых размерностей 147
где ф — единственное вещественное линейное представление
наименьшей размерности алгебры Ли д, указанное в следую-
11101*1 ФП&Л11110»
9
Ап, п ф 1, 3
D «/• "*^. 1
#П, П <^ 1
с„, «>з
Dn, п>Ъ
Е6
Е7
ЕЙ
G2
Ft
2(я+1)
2м + 1
4м
2м
54
112
248
7
26
{± ег,
{±9£;
2-{±
<±9£;
{±(Я
2-{±
А (Я.)
{±ег
Q'
i = l, ..
/ = 1, ..
9гГ i —1>
<=1,..
+ 9;), ±
(в| + в/);
1=1, 2,
(Ф)
., п)
.... я}.
., п)
(в/ + в/); i <
< < Л
3}
± е2 ± е3 ±'
:л
Следствие. Если g — простая компактная алгебра Ли, то
из теоремы V. 10 легко следует, что
Lt0P (9) =
Доказательство теоремы V. 10. Мы разделим до-
доказательство на следующие пять случаев:
(i) Случай f=An (n^3), Dn (п^З) или Е6. В этом
случае представление ф наименьшей размерности не имеет
нулевых весов и система й'(ф) представляет собой одну ор-
орбиту группы W(G), которая является единственной орбитой
с наименьшим числом элементов. Отсюда ясно, что £У(Ч;)==
= £У(ф) и что пространство F(G, X) = F(Tt X)—также
ациклическое когомологическое подмногообразие, причем
codim F (G, X) = dim ф = Lym (g).
(ii) Случай $ = Bn (az^I), Es. В этом случае система
£У(ф) снова состоит из одной орбиты группы W(G)f которая
является единственной орбитой с наименьшим числом эле-
элементов. Однако Й7(ф) дД(д) и система Й(ф) содержит нуле-
нулевой вес с кратностью 1 и 8 соответственно. Отсюда легко вьн
вести, что £i'{W) =£У(ф), Далее, из теоремы V48 следует,
148 Гл. V. Принцип расщепления
что пространство F{Gy X) = F(W(G), F(T, X)) — также
ациклическое когомологическое многообразие, причем
codim/7(G, X)= dimq) = Lim(g).
(iii) Случай $ = Сп (я^З), Е7. В этом случае система
£У(ф) представляет собой наименьшую орбиту группы W(G)
с кратностью 2. Так как все другие орбиты группы W(G) со-
состоят из слишком большого количества весов, то ясно, что
еСЛИ 8 = С„,
если g==£7
Мы покажем, что / должно быть равно 2. Так как доказа-
доказательства в случаях Сп и Е7, в сущности, одинаковы, мы про-
проведем доказательство только в случае Сп. Из того что для
любой точки j/s F(T, X)
Д(Gy) 2A(G)~ Q'pP) = {± 9, ± 9/},
следует, что группа Gy должна на самом деле совпадать с
самой группой G. Пусть х^Х — неподвижная точка относи-
относительно подтора Q"t коранга 1. Тогда из предложения 2 § 2
легко следует, что Gx = Sp(n— 1), и / должно быть равно 2.
(iv) Случай g=G2, /ч В этом случае система Q'(cp) со-
состоит из коротких корней алгебры Ли д, а система Д(д) раз-
разбивается на две орбиты равной мощности, а именно на мно-
множество длинных корней и множество коротких корней. Сле-
Следовательно, из условия dim Q^Y) ^ Liin(fl) легко следует,
что либо
Q' (*Р) ■= {длинные корни}, либо Q7 (\Р) = {короткие корни}.
Рассуждения, аналогичные проведенным в случае (iii), пока-
показывают, что случай Q;(W) = {длинные корни} невозможен.
Затем из теоремы V. 8 снова следует, что пространство
F(G, X)=F(W(G)y F(T, X))—также ациклическое много-
многообразие и что codim/7(G, X) = dimqp = Lnn(g).
(v) Случай д = Л2. В этом случае LiIn(g) =6 и имеется
только две орбиты группы №(G), содержащие лишь по три
пары весов, а именно А(д) и {±0;}. Как и в предыдущих слу-
случаях, ясно, что пространство F(G, X) тоже ациклично и
codim/7(G, X) равна 8 или 6 соответственно. □
Имея для случая простых групп Ли такую сильную тео-
теорему, как теорема V. 10, нетрудно перейти к доказательству
следующей теоремы, относящейся к случаю произвольных
компактных связных групп Ли.
Теорема V. 10'. Для любой компактной алгебры Ли g
имеет место равенство Ltop (g) = Ьцп (g) *
§ 7. Заключительные замечания 149
Мы отсылаем читателя к стр. 362—366 работы [С 23] за
доказательством этой теоремы.
§ 7. Заключительные замечания, относящиеся
к геометрической системе весов
(А) Локальная теория топологических групп
преобразований
Параллельно большинству результатов этой главы, отно-
относящихся к глобальному геометрическому поведению действий
на ациклических когомологических многообразиях, сущест-
существуют соответствующие результаты в локальной теории топо-
топологических групп преобразований. Вообще говоря, для каж-
каждой теоремы, устанавливающей некоторую определенную
связь между (глобальными) геометрическими свойствами
ациклического когомологического G-многообразия Х и его си-
системой весов Q(X), имеется соответствующая локальная
теорема, устанавливающая связь аналогичного типа между
локальными геометрическими свойствами вблизи орбиты G(x)
и системой локальных весов £2E*) б^-действия на срезе S*.
С технической точки зрения такие локальные теоремы можно
получить из соответствующих глобальных теорем (для дей-
действий на ациклических когомологических многообразиях) при
помощи систематической локализации всех данных, приме-
примененной к бл:-действию на срезе 5* в точке х. Для иллюстра-
иллюстрации сформулируем следующие локальные варианты теорем
V.2,V.5,V.6hV.9.
Теорема V. 2. Пусть X — когомологическое G-многообра-
зие, и пусть хеД — точка, для которой G°x=SO(n) (соотв.
SU(az), Sp(ft)). Пусть система локальных весов Q(SX) в точ-
точке х такова, что
^ (S*) = {± 9* с кратностью /}.
Тогда существует такая инвариантная окрестность N орбиты
G(x), что
(i) все связные стационарные подгруппы точек из множе-
множества N сопряжены стандартной подгруппе SO(&) (соотв.
SU(&), Sp(&)) при подходящем k^n\
(ii) главный связный тип (Н) стационарной подгруппы
нетривиален тогда и только тогда, когда 1^п — 2 (соотв.
I <. п — 2, I ^2(п— 1)), и в этом случае Н = SO(n — /) (со-
(соотв. SU(n — /), Sp (лг —1/2), причем I должно быть четным,
если G S())
150 Гл. V. Принцип расщепления
Теорема V. 5.1) Пусть X — связное когомологическое
G-многообразие, и пусть (#*) — главный связный тип орбит
пространства X. Пусть Т ^Gx — максимальный тор связной
стационарной подгруппы точки хе! и Q'(SX) —система не-
ненулевых локальных весов в точке х. С точностью до сопря-
сопряженности можно предположить, что S = (НХ(]Т)°—макси-
(НХ(]Т)°—максимальный тор группы Н°х. Тогда существуют последователь-
последовательность ненулевых весов W\, ...', Wk^£l'{Sx) и последователь-
последовательность уменьшающихся подторов Т = Sq^d S\ZD ... :э Sk=Sf
удовлетворяющие следующим рекуррентным условиям:
50 = Г, wx €= {Q' (Sx) - Q' (AdGJ} ф 0,
Sx = wt w2 €= {£' (Sx) 15i - Q' (AdGj
{Q'{SX) \St - Q'(AdojS,)} Ф 0,
S^ = 5^_i П wt {Q(Sx) \Sk-Q' (AdGjc15^)} Ф 0.
Обратно, предположим, что существуют последовательность
ненулевых весов и последовательность уменьшающихся под-
подторов, ведущая от Т к S, удовлетворяющие приведенным вы*
ше рекуррентным условиям. Тогда S — максимальный тор в
Н\. Более того, система корней А (Н°х) группы Н°х задается
следующим равенством:
Л (Н°х) = Q' (AdGjc 15,) - Q' (Sx) \ S*.
Теорема V. 6. Пусть X — компактное когомологическое
G-многообразие, и пусть х^Х — такая точка, что G°x— про-
простая компактная группа Ли. Если система ненулевых локаль-
локальных весов Q'(Sx) в точке х неразложима, а главный связный
тип орбит (Нх) пространства X нетривиален, то существует
единственное неприводимое линейное представление г|? группы
Gx с той же системой ненулевых весов и тем же главным
связным типом орбит, T.e/Qf{Sx) =Q/(i|)) и (#х) = (#ф), за
исключением следующих невыясненных возможностей:
A) g° = spin (I l), Q' (sx) = {j (±e,±... ±e5)} и m {±e j,
2<m<3,
(ii) G°x = SpinA2), Q'(Sx) = Q'(<ps) U/n{± 9,}, 2<m<4.
l) Подробное доказательство этой теоремы содержится в [XI*].—
Прим. ред.
§ 7. Заключительные замечания 151
Теорема V. 9. Пусть X — когомологическое многообразие
с заданным эффективным топологическим G-действием. Пусть
существует такая точка хеХ, что Gx = Spin(k). Тогда
( 2Г, если 1гФ0(mod4),
dmi X ^ \ _ ,
K2r l + 2г, если k = 0 (mod 4),
где r = [k/2] =
Замечание. Локальная линейность, которая обнаружи-
обнаруживается в теореме о дифференцируемом срезе, сразу же дает
возможность использовать для изучения структуры орбит
дифференцируемых действий такие мощные средства, как
теории векторных расслоений, характеристических классов и
линейных йредставлений. За применениями этих теорий мы
отсылаем читателя к [С 17], [С 30, I, II], [С 25], [Г 6]. Те-
Теперь, имея систему локальных весов в качестве функциональ-
функциональной замены «локальной линейности», можно сделать теорему
о топологическом срезе более эффективным рабочим инстру-
инструментом, чем раньше.
(В) Принцип расщепления и обобщения геометрической
системы весов
В теории характеристических классов линейное расщепле-
расщепление комплексных представлений тора используется для рас-
расщепления характеристических классов. В случае топологиче-
топологических действий торов о расщеплении на геометрическом уров-
уровне не может быть и речи. Однако результаты гл. IV показы-
показывают, что различные варианты расщепления имеют место на
уровне обобщенных характеристических классов. (Такне^ рас-
расщепления на самом деле формулируются в терминах линей-
линейности структурных идеалов алгебр эквивариантных когомо-
логий.) С помощью таких теорем расщепления для алгебр
эквивариантных когомологий иногда бывает возможным со-
собрать данные о когомологическом строении топологических
действий тора на пространствах данного типа в некоторое по-
подобие генетического кода. Например, геометрическая система
весов Q(X) представляет собой в точности такой генетиче-
генетический код для ациклического когомологического многообразия
X с данным действием тора G. Теорема V. 1 как раз является
центральной структурной теоремой, позволяющей нам соб-
собрать данные о когомологическом строении ациклического ко-
когомологического G-многообразия Х (G — тор) в генетический
код пространства X — систему весов Q{X). В следующих
главах мы докажем аналогичные структурные теоремы для
152 Гл. V. Принцип расщепления
топологических действий торов на многообразиях различных
когомологических типов, что позволит нам определить гео-
геометрические, системы весов для таких действий. В качестве
примера упомянем здесь следующее непосредственное обоб-
обобщение теоремы V. 1.
Теорема V. 1". Пусть G — тор, а X—когомологическое
многообразие с заданным G-действием. Предположим, что
множество неподвижных точек F(G, X) непусто и что
nq (X) (g> Q = 0 при всех q>0. Тогда из теоремы IV. 5 сле-
следует, что множества F(K, X)—связные когомологические
подмногообразия для всех подторов К^ G. Значит, в частно-
частности, множество F(G, X) связно и система локальных весов
QX(X) не зависит от выбора точки х^ F{Gy X). Поэтому мы
назовем ее просто системой весов пространства X и обозна-
обозначим через Q(X). Далее, структура орбит пространства X мо-
может быть найдена по системе весов п (X) следующим обра-
образом:
(i) Подгруппа К принадлежит О°(Х) тогда и только тог-
тогда, когда она имеет вид
= wf-(] ...
1
= G, если k =
для подходящего набора весов из Q (X),
(и) имеется взаимно однозначное соответствие между се-
семейством F^-многообразий {Y} и множеством связных стацио-
стационарных подгрупп (У°(Х), заданное формулой Y*^Gy, причем
dimK= 2 {кратность веса w).
Заметим, что для большей части результатов этой главы
нужна не столько ацикличность пространства F(K> X), сколь-
сколько значение его размерности и его связность. Поэтому, в сущ-
сущности, те же доказательства показывают, что такие результа-
результаты, как предложения 1, 2 и 3 из § 2, теоремы V. 2, V. 5, V. 6,
V. 6', V. 7, V. V и V. 9 непосредственно обобщаются на случай
когомологического G-многообразия Х, удовлетворяющего ус-
условию
nq(X)<8>Q = 0 для всех четных q > О
и такого, что F(T, X) Ф0 для максимального тора Т груп-
группы G.
На интуитивном уровне геометрическая система весов
данного G-пространства Х — это просто хороший способ ре-
регистрации когомологических свойств структуры орбит для
ограничения действия группы G ца максимальный тор Т с= Q,
§ 7. Заключительные замечания 153
Чтобы можно было пользоваться таким способом регистра-
регистрации, бывает обычно необходима довольно сильная структур-
структурная теорема о действиях торов. После того как доказано, что
структура орбит индуцированного Г-действия на заданном
G-пространстве Х достаточно проста, так что ее можно опи-
описать с помощью хорошего способа регистрации, который и
называется геометрической системой весов пространства X,
центральная задача, касающаяся геометрической системы
весов, состоит в том, чтобы восстановить как можно больше
информации о структуре орбит G-действия на пространствеX
по структуре орбит ограниченного Т-действия на X.
(С) Группы преобразований на ациклических когомологи-
когомологических многообразиях с простой структурой орбит
Вообще говоря, структура орбит топологического G-дей-
G-действия на ациклических многообразиях часто бывает очень
сложной. Например, теорема Мостова — Пале об эквивари-
антном вложении показывает, что все топологические G-дей-
G-действия, которые можно себе представить, являются в действи-
действительности G-подпространствами некоторых линейных G-npo-
странств, откуда хорошо видно, что уже строение линейных
G-пространств настолько сложно, насколько это только воз-
возможно. Поэтому разумно начать исследование структуры
орбит топологических G-действий на ациклических многооб-
многообразиях с предварительного изучения специальных G-дейст-
G-действий на ациклических многообразиях, структура орбит кото-
которых проста. Например, довольно естественно рассмотреть в
качестве пробных случаи со следующими тремя упрощающи-
упрощающими предположениями о структуре орбит:
(i) число типов орбит невелико по сравнению с рангом
группы G,
(ii) размерность G-многообразия Х невелика по сравне-
сравнению с размерностью группы G,
(Ш) размерность пространства орбит X/G (или, что рав-
равносильно, коразмерность главных орбит) мала.
Естественный подход к задачам такого типа включает
следующие шаги:
A) Найти в явном виде линейные действия, удовлетво*
ряющие заданному геометрическому условию. Они будут слу-
служить в качестве линейных моделей для дальнейшего иссле-
исследования.
B) Проанализировать связь между заданным геометри*
ческим условием и специальным видом системы весов линей-
линейных моделей.
164 Гл. V. Принцип расщепления
C) Постараться показать, что система весов топологиче-
топологических действий на ациклических многообразиях, удовлетво-
удовлетворяющих заданному геометрическому условию, должна иметь
специальный вид, аналогичный специальному виду соответ-
соответствующей линейной модели (или совпадающий с ним).
D) Использовать системы весов как «замену» линейных
моделей и постараться вывести другие геометрические харак-
характеристики, которые вытекают из заданного геометрического
условия.
Мы отсылаем читателей к работе [С 23] за более подроб-
подробным обсуждением топологических групп преобразований с
простыми структурами орбит. Интересно, однако, заметить,
что большая часть групп преобразований на ациклических
многообразиях с простыми структурами орбит автоматически
имеет нетривиальные главные связные стационарные под-
подгруппы и, следовательно, классификационные результаты § 3
и 4 будут хорошим подспорьем в изучении действий таких
групп.
Глава VI
ТЕОРЕМЫ О РАСЩЕПЛЕНИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА ВЕСОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В этой главе мы возьмем в качестве пробных пространств
для изучения топологических групп преобразований многооб-
многообразия, имеющие когомологический тип проективных прост-
пространств. С когомологической точки зрения проективные прост-
пространства имеют, несомненно, простейшие, но все же нетри-
нетривиальные алгебры когомологий, а именно срезанные кольца
многочленов. Так называемые проективные группы преобра-
преобразований, индуцированные линейными группами преобразова-
преобразований, дают и здесь большое количество интересных примеров,
которые мы снова будем называть линейными моделями. Дру-
Другими словами, проективные пространства, обладающие
простым когомологическим строением и изобилием групп пре-
преобразований, представляют собой идеальную ситуацию для
изучения когомологической теории групп преобразований.
При изучении групп преобразований на когомологических
проективных пространствах элементарные абелевы группы
(т.е. тор и р-тор) снова играют решающую роль. Централь-
Центральными результатами этой главы являются структурные теоре-
теоремы, которые утверждают, что структуры орбит элементарных
абелевых групп преобразований на когомологических проек-
проективных пространствах обладают теми же когомологическими
свойствами, чтош структуры орбит подходящих линейных
моделей. Интересно отметить, что такие структурные теоремы
формулируются и доказываются с помощью теорем расщеп-
расщепления для эквивариантных когомологий. В случае линейных
моделей расщепление на уровне эквивариантных когомоло-
когомологий является следствием расщепления на геометрическом
уровне, которое само является хорошо известным следствием
леммы Шура. Поэтому структурные теоремы этой главы мо-
могут рассматриваться как обобщения леммы Шура для топо-
топологических групп преобразований на когомологических про-
проективных пространствах. В теории линейных групп преобра-
преобразований именно лемма Шура является основой для введения
хорошо известного инварианта, который называется системой
весов. Соответственно структурные теоремы также состав-
составляют основу для введения аналогичного инварианта, который
мы будем называть геометрической системой весов.
156 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
В § 1 мы рассмотрим случай действий тора на когомоло-
когомологических комплексных проективных пространствах. Резуль-
Результаты до сих пор не были опубликованы, но уже давно исполь-
использовались в качестве прототипа при дальнейших исследова-
исследованиях в когомологической теории групп преобразований, см.,
например, [С 22], [С 24], [С 27]. С технической точки зрения
структурная теорема для этого случая — теорема VI. 1 — есть
не что иное, как непосредственная специализация общих тео-
теорем расщепления из гл. IV. Новизна этой теоремы заключа-
заключается только в ее формулировке, которая фактически и при-
привела к открытию этих общих теорем расщепления.
В § 2 мы исследуем случай действий тора на когомологи-
когомологических кватернионных проективных пространствах. Резуль-
Результаты взяты в основном из совместной статьи автора с Су
[С 27]. Занятно, что такая незначительная разница в степени
образующей ,D, а не 2) не только делает соответствующую
структурную теорему — теорему VI. 6 — значительно более
трудной для доказательства, но и отвечает за некоторые ин-
интересные новые свойства и примеры (см. § 2).
Случай р-торов (р — нечетное простое число), действую-
действующих на Zp-когомологических комплексных (соотв. кватерни-
кватернионных) проективных пространствах, коротко обсуждается
, в § 3. Результаты аналогичны соответствующим результатам
для случая характеристики 0 из § 1 и 2, а доказательства
нуждаются лишь в небольших изменениях. Однако случай
2-торов, действующих на 22-когомологических вещественных,
комплексных или кватернионных проективных пространствах,
сильно отличается от других. Этот случай не только обладает
интересными новыми чертами (см. теоремы VI. 7, VI. 8 и
VI. 9), но также требует новых доказательств, использующих
квадраты Стинрода. В § 4 мы обсудим результаты статьи
[С 26], касающиеся действий 2-торов на когомологических
проективных пространствах.
§ 1. Группы преобразований на когомологических
комплексных проективных пространствах
В этом параграфе мы возьмем в качестве пробного прост-
пространства для изучения групп преобразований когомологиче-
когомологическое многообразие X, имеющее рациональный когомологиче-
когомологический тип комплексного проективного пространства. Мы будем
называть такие пространства когомологическими комплекс-
комплексными проективными пространствами (сокращенно ССР-про-
ССР-пространствами или пространствами ССР-типа) и будем в этом
параграфе использовать поле Q рациональных чисел в каче-
качестве поля коэффициентов в алгебрах когомологий, если не
§ 1. Группы преобразований 157
оговорено противное. Под ССРп-пространством мы будем по-
понимать ССР-пространство размерности 2/г. Су [С 14] первым
доказал, что связные компоненты множества неподвижных
точек действия окружности на ССР-пространстве снова яв-
являются ССР-пространствами. Для того чтобы ввести геомет-
геометрическую систему весов для ССР-пространств, аналогичную
геометрической системе весов в случае ациклических много-
многообразий из гл. V, потребуется следующая структурная тео-
теорема для действий тора на ССР-пространствах.
(А) Структурная теорема о расщеплении для действий тора
на ССР-пространствах
Теорема VI. 1. Пусть G— тор, а X — некоторое ССРп-про-
странство с заданным G-действием. Пусть | — произвольный
прообраз образующей |0 алгебры Н*(Х) в алгебре НЬ(Х).
Тогда Н*о (X) о* R [Щ! {&), где многочлен
f(I) = (g-w{p ...(I-ws)\ w,^H2(BQ),
разлагается в произведение линейных множителей. Соответ-
Соответственно множество неподвижных точек F(G,X) состоит из Is
связных компонент FJ\ 1 ^ / ^ s, таких, что
(i) Fi ~СРкГ1 и гомоморфизм i*: H*G(X)-+H*Q(qf),
qi e F!, переводит % в Wj&R,
(ii) система Q/ локальных весов на F! задается формулой
QI = {±(wJ-wi)y kt AФ1); 0, 2(fe,-l)},
(iii) для заданной точки х^Х, такой, что F°(x)(\F{Gt X) =
= р!1+ ... + Fh9'%связная стационарная подгруппа G0 выде-
выделяется условием Wfx = ... = wjv a F°(x)~ CPm, m = kix-\- ...
Доказательство. Так.как когомологии пространства
X равны #*(X) = Q[£o]/(£o+l)> deggo = 2, и состоят только из
элементов четных степеней, то легко видеть, что в спектраль-
спектральной последовательности Серра расслоения X->Xg—+Bg нет
ненулевых дифференциалов. Следовательно, Е2 = £«> =
= Я* (BG) (8) Н* (X) и гомоморфизм НЬ (X) -> Н* (X) сюръек-
тивен. Пусть £ — произвольный прообраз элемента |о в алгеб-
алгебре НЬ(Х). Тогда элементы 1, g, |2, ..., 1п образуют базис
«-модуля НЬ(Х) и Яоф«ЯШ(Э), где
/ (I) = Г+1 + сх\п + c2in~{ + ... + ся+1 - О
158 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
— определяющее структурное уравнение алгебры НЬ(Х). Не-
Непосредственно применяя теорему IV. 1, мы получаем, что
все корни уравнения /(£) = 0 «рациональны», т. е. /F) =
■= F — wx)k* • (g — w2p ... (I — ws)k*y w, €= Я2 (BQ), и соответст-
соответственно множество неподвижных точек F(G, X) состоит из s
связных компонент F1', 1 ^ / ^ s, таких, что I \ H*G (<7;) = wf
для <гу е Т7'.
Пусть ^ — образующий алгебры Н* (F1) ^ Q[£/]/(£/')' a
I*—гомоморфизм ограничения i*: /Ас?(X) -> Яс? (Z7) ^ X H*g{Fj)=
S
= Y*R*®H*{FI). Тогда нетрудно видеть, что гомоморфизм
I* инъективен и
I*(I) = (Si + wu %2 + Щ, ..., L + w8).
Пусть /у= @, ..., О, lkff~l, 0, ..., О)— фундаментальный
класс когомологий пространства F1, и пусть I(fj) = If (X, F) —
идеал, состоящий из таких а е /?, что а® /^ elmi* (см. п. (С)
§ 2 гл. IV). Предположим, что а — произвольный элемент
идеала I{f}) и i* (g (I)) = а ® /у. Тогда i* (£(&)•(&-«>/)) =
= (а® //) • A ®£/) = 0, и из инъективности гомоморфизма i*
следует, что элемент g (£) • Ц — Ш/) делится на / (£); поэтому
g(l) делится на fiD/il — Wj). С другой стороны, легко видеть,
что 1*(/(Ш-^/)) = а/®//,где Я/ = .П (wy-o;,)*'f и
t* (А F) • / F)/(| - W/)) = (А F) | Я
Следовательно, идеал /(//) порожден элементом а/=
= П (wi"~ я>*)\ и непосредственно из теоремы IV. 10 еле-
дует, что система £2/ локальных весов в точках множества F*
задается равенством
Q/ = {± (wr- wt)9 kt (i Ф /); 0, 2 (k} - 1)}.
Пусть Y= F°(x) есть /^-многообразие точки х, и пусть
Y[\F(G, X) = Fil U .-• U F\ a | — ограничение элемента £
на Я&(У). Тогда ясно, что У~СРШ, m = kIl+ ffy1
и что ^(y)s/?[g]/(F(I)), где
§ 1. tpt/ппы преобразований 1б9
С другой стороны, ясно, что общая стационарная подгруппа
Gox==Kev°(X) пространства X задается, когда мы приравни-
приравниваем нулю веса системы Qi, т. е. определяется уравнениями
w\ — w2 = W\ — Доз = ... =W\ — ws = 0 или, что равно-
равносильно,
W\
Если мы применим этот результат к пространству Y = F°(x)
вместо X, то получим, что группа G°x = Gy задается уравне-
уравнениями Wfl= ... =t^/. Таким образом, доказательство за-
закончено. П
Замечания, (i) В случае когда X есть ССРЛ-простран-
ство над Z (а не над полем Q), можно использовать целые
коэффициенты и H*G(X)^H*(BG; Z) [£]/(/(£)). где /(£) =
= ln+l + Ciln + ...+cn+ie=H*{BG\ Z)[g]. Приведенная вы-
выше теорема утверждает, что /(£) разлагается на линейные
множители в кольце H*(BG\ Q)[£]. Следовательно, по изве-
известной лемме Гаусса /(£) разлагается на линейные множи-
множители также и в кольце Я* (Bg\ Z) [g], т. е.
(ii) Заметим, что системы Q/ локальных весов на f
в приведенной выше теореме состоят по определению (см.
п. (С) § 1 гл. У) из рациональных весов, у которых опреде-
определено только направление, но нет определенной длины. Одна-
Однако в частном случае, когда X — дифференцируемое G-много-
образие, кольцо Н*(Х\ Z) когомологий которого изоморфно
Z[£ol/(£o+1)> элементы ш/еЯ2(В0;2) являются целочислен-
целочисленными весами и определены целочисленные системы весов ло-
локальных (линейных) представлений группы G в точках мно-
множества FL Поэтому интересно выяснить, выражается ли це-
целочисленная система весов локального представления группы
G в точках множества F1 через целочисленные веса
Wj e H2(BQ\ Z) при помощи формулы из теоремы VI. 1,
Во многих случаях можно доказать, что это так, но су-
существует также несколько контрпримеров в случае, когда
группа G — окружность. Кажется правдоподобным, что это
так, если rk G ^ 2 или 3,
160 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
(В) Линейные модели и геометрическая система весов для
действий на ССР-пространствах
Линейные модели. Пусть X = СРп есть я-мерное комплекс-
комплексное проективное пространство, и пусть G— тор, действующий
на Cn+1 при помощи представления G -> U (п + 1) с системой
весов й(ф) = {wjt k\\ I ^ / ^ s). Тогда на пространстве X за-
задано индуцированное G-действие, причем H*G{X) = R[l]/(f (£)),
где f(l) = (l — w{)kl ... (£ — ws)ks и g — образ при трансгрес-
трансгрессии образующего из Я1E1) в расслоении 51 —>52/г+1 -> СРп.
Эти линейные модели показывают, что не только все воз-
возможности, определенные структурной теоремой VI. 1, геомет-
геометрически реализуются на линейных моделях, но и что когомо-
когомологические свойства структуры орбит произвольных действий
тора на ССР^-пространстве совпадают с аналогичными свой-
свойствами подходящих линейных моделей. Естественно, нто та-
такого рода структурная теорема заставляет нас определить
систему весов следующим образом.
Определение. Пусть G — компактная связная группа Ли,
Т — ее максимальный тор, а X — ССРл-пространство с задан-
заданным G-действием. Тогда индуцированное Г-действие на про-
пространстве X и алгебра Щ (X) определяют систему весов с
кратностями {wj, k\\ 1 ^ / ^ 5} как систему корней струк-
структурного уравнения /(£) =0 алгебры Н\(Х). Мы будем назы-
называть ее системой весов пространства X и обозначать через
Й(Х). Заметим, что структурное уравнение /(£) =0 зависит,
от выбора прообраза |, и поэтому система весов Q(X) опре-
определена с точностью до сдвига в векторном пространстве
Н2(Вт) над полем Q.
Следующие общие свойства системы весов непосредствен*
но вытекают из теоремы VI. 1 и определения.
Лемма 1.1. Пусть G\ и G% — компактные связные группы
Ли, h:G\-*G2 — гомоморфизм групп Ли, а Т\ и Т2 — макси-
максимальные торы в группах G\ и G2 соответственно, такие, что
h(T\)^T2. Предположим, что X есть О2-пространство
ССР-типа и что h*(X)—структура G^-пространства на X,
индуцированная гомоморфизмом h. Тогда Q(h*(X)) =
«= h*(Q(X)) = {h*Wj\ Wf^Q(X)}. В частности, если G\ —
подгруппа в G2 и h — вложение, то мы будем обозначать
Q(h*(X))=h*(Q(X)) просто через Q(X)\Gi или Q(X)\TU
Лемма 1.2. Пусть X есть ССРп-пространство с заданным
G-действием, и пусть хе! — данная точка. Предположил^
что максимальный тор V группы G°x содержится в макси-
§ 1. Группы преобразований 161
мальном торе Т группы G. Тогда суще^вует такое подмно-
подмножество весов в системе Q{X), скажем {wjv ..., ад/J, что тор
V выделяется уравнениями Wjl= ... = w\. Кроме того,
Qh | Г = Q (Ada | Г - Ad^ | Г) + Q (S*),
где Q/t — система локальных весов на F*1, a Q {Sx) — система
локальных весов Т'-действия на срезе Sx в точке х.
Лемма 1.3. Всегда возможно выбрать подходящий прооб-
прообраз £ так, чтобы система Q (X) была инвариантна относитель-
относительно действия группы Вейля W(G) в пространстве Н2(Вт).
Доказательство этих лемм заключается в непосредствен-
непосредственной проверке.
(С) Геометрическая система весов и главный тип орбит
Так же, как в случае групп преобразований на ацикличе-
ациклических многообразиях, который обсуждался в предыдущей гла«
ве, система весов Q(X) G-пространства Х ССР-типа пред-
представляет собой несложную систему инвариантов, по которой
легко определить структуру орбит Г-действия на простран-
пространстве X. Поэтому можно снова ожидать, что структура орбит
первоначального G-действия на пространстве X также может
быть в значительной степени определена по системе Q(X).
Как результаты в этом направлении, так и их доказатель-
доказательства аналогичны случаю ациклических многообразий, рас-
рассмотренных в § 2 предыдущей главы. В качестве примера
такого результата упомянем здесь следующий алгоритм для
вычисления главного типа орбит (ср. теорему V. 5).
Теорема VI. 2. Пусть G — компактная связная группа Ли,
и пусть X есть G-пространство ССР-типа. Пусть Т — макси-
максимальный тор группы G, Q(X)—система весов пространства
X и (Н°х) — главный связный тип орбит пространства X.
Тогда для каждого /, 1 ^ / ^ s, существуют последователь-
последовательность ненулевых весов ai, ..., аи и последовательность умень-
уменьшающихся подторов Т = So ^ S\ :=> ... Sk, удовлетворяющие
следующим рекуррентным соотношениям, где £2/ (X) — систе-
система локальных весов на FJ'(T> X) и Sk — максимальный тор
подходящей подгруппы Н°х:
50 = T, ах — произвольный ненулевой вес в Q/(X) —A(G),
51 = Si_l(]aj-, ai+l—произвольный ненулевой вес в Qy(X) \St—
-A(G)|S,,
5ft = Sft_inaJ-, в {Qy (X) | Sk - Л (О) | Sk] нет ненулевых весов.
162 Гл. VI. Теоремы о расщеплений
Далее, система корней А (Н°х) группы Н°х совпадает с си-
системой ненулевых весов в A(G) \Sk— Q/W \Sk.
Обратно, предположим, что существуют такие рекуррент-
но определенные последовательность весов ai,..., а* и после-
последовательность подторов, ведущая от Т к Sk (no крайней мере
для одной системы Qj(X)). Тогда Sk— максимальный тор
в подходящей главной стационарной подгруппе Н°х и
А (Н°х) — система ненулевых весов в A (G) \Sk — &j(X) |S*.
Следствие 1. Предположим, что Х\ и Х2 — два G-простран-
ства ССР-типа и Q(Xx)sQ(X2). Тогда (Я*)<(Я*). Следо-
Следовательно, в частности, из равенства Q(X\) =Q(X2) следует,
что (Н°Х1) (°)
Следствие 2. Класс сопряженности подтора Sk (относи-
(относительно действия группы Вейля W(G)) не зависит от выбора
системы Qj(X) и выбора весов ее*.
Доказательство теоремы VI.2. Пусть q\ e Fj —
произвольная точка в пространстве F1 и Gj = G°q., G^G^ T.
Тогда Qf(X) = (A(G) —A(GJ))\JQ(9?I), где Qj(X) —система
локальных весов в точке q\, a &(&])—система весов среза
9*\ в точке <7/. Из этого равенства следует, что
Q/tff) |S, - А (О) IS, -0(^) IS, - A (G/) IS,
для всех подторов Si s Г. Следовательно, теорема VI. 2 выте-
вытекает из теоремы V. 5, если применить последнюю к Gy-дей-
ствию на срезе ^/. Заметим, что объединение главных орбит
всюду плотно и что главные стационарные подгруппы Gy-дей-
ствия на срезе 9*\ являются также и главными стационарны-
стационарными подгруппами G-действия на X.
(D) Классификация главных типов орбит для действий
простых компактных групп Ли
на ССР-пространствах
Заметим, что главные орбиты расположены всюду плот*
но и, следовательно, главный тип орбит является геометриче*
ской характеристикой наибольшей важности. С другой сто-
стороны, для пространств заданного типа, таких, например, как;
пространства ССР-типа, рассматриваемые в этом параграфе,,
возможности для главных типов орбит обычно довольно огра-
ограничены и их классификация естественно приводит к изящным
результатам, которые полезны при изучении других геометри-
геометрических характеристик групп преобразований на ССР-про*
§ 1. Группы преобразований • 163
странствах. Прототипом такой классификации послужила
классификация, успешно проведенная для дифференцируемых
действий на ациклических многообразиях в [С 30, I, III] и
для топологических действий на ациклических когомологиче-
когомологических многообразиях в [С 23] (см. § 3 и § 4 гл. V). Следуя об-
общей идее и методу работы [С 23] и вооружившись эффектив-
эффективным алгоритмом теоремы VI. 2 в качестве основного инстру-
инструмента, можно, не встречая принципиальных трудностей, но
приложив некоторые усилия, вывести классификацию глав-
главных типов орбит для действий компактных связных групп Ли
на пространствах CQP-типа. Однако мы рассмотрим здесь
только основной случай действия простых компактных групп
Ли. Этот случай дает представление о том, как выглядит
окончательное решение этой классификационной задачи.
Теорема VI. 3, Пусть G — простая компактная связная
группа Ли и X —некоторое пространство ССР-типа. Предпо-
Предположим, что главные связные стационарные подгруппы из (Н°х)
нетривиальны. Тогда существует такое комплексное линейное
представление qp, что Q (у) = п'(Х) (т.е. qp имеет ту же си-
систему ненулевых весов) и что индуцированное представле-
представлением ф действие на соответствующем комплексном проектив-
проективном пространстве имеет те же главные связные стационарные
подгруппы.
Набросок доказательства1). Подробное доказа-
доказательство теоремы VI. 3 в принципе очень похоже на доказа-
доказательство теоремы V. 6, относящейся к случаю ациклических
многообразий. Для каждой данной простой компактной связ-
связной группы Ли G орбиты W{G)-действия на пространстве ве-
весов Н2(В0) обычно состоят из довольно большого количества
весов, за исключением немногих специальных орбит. Рассмот-
Рассмотрим, например, случай G = SU(r + l) = Ar. Пространство ве-
весов Н2(Ва) натянуто на систему (8ь 82, ..., 8r+i) весов,
связанных соотношением 8i + 02 + ... + Qr+\ = 0. Группа
Вейля W(G) действует как группа перестановок весов 8*, а
специальные орбиты —это W(G){k-Qx}, W(G) {k(Q{ + 02)} и
^(G){^(8 + e + e)}
){( + )}
Так как система весов Q(X) инвариантна относительно
действия группы W(G), то Q(X) разлагается в сумму орбит
группы W(G). Нетрудно показать с помощью теоремы VI.2,
что из условия Н°х ф {е} следует, что п(Х) состоит только из
этих специальных орбит, содержащих небольшое число весов.
К счастью, эти специальные орбиты с небольшим числом
4) Подробное доказательство см. в [X 1*]. — Прим. ред<
164 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
весов фактически являются системами весов комплексных
представлений малых размерностей группы G. Поэтому тео-
теорема VI. 3 вытекает из следствия 1 теоремы VI. 2.
(Е) Топологические представления малых размерностей
компактных групп Ли
В качестве другого пробного результата упомянем следую-
следующую теорему.
Теорема VI. 4. Пусть X — некоторое ССРп-пространство с
эффективным действием группы G = Spin (/г). Тогда
2Г, если k*=2r+l нечетно,
п>
2, если & = 2r#0(mod4),
2rl + ry если k = 2r = 0 (mod 4),
и приведенные оценки — лучшие из возможных.
Доказательство. Доказательства теоремы VI. 4 снова
очень напоминает доказательство теоремы V. 9, относящейся
к случаю ациклических многообразий. Так как Г-действие на
пространстве X эффективно, то система весов Q(X) должна
содержать по крайней мере один вес
w = kfil + ... +krQn
где kt ssyCmod 1). С другой стороны, предположим, что си-
система Q(X) содержит такой вес w, что Q(X)^W(G)-w со-
состоит по крайней мере из 2Г весов, если k = 2г + 1 — нечет-
нечетное число, и по крайней мере из 2Г~1 весов, если k = 2r — чет-
четное число. Следовательно, в случае, когда k = 2r-\- 1, число
весов в системе Q (X) есть п + 1 ^ 2Г. Но из равенства
я+1=2г следует, что п(Х) = {ydt^ ± 92 ± ... ±9Г)},
и теорема VI. 1 показывает, что
Кег(X) э Ker Q(X) = {аеГ; w{ (а) = ... = w2r(а)} = Z2,
а это противоречит предположению Кег(Х)= {е}. Поэтому
п + 1 > 2Г, т. е. п ^ 2Г. Ясно, что это наилучшая оценка, по-
потому что линейнбе действие группы SpinBr + 1) на про-
пространстве СР2\ индуцированное представлением qp==<pr4-l,
где Q (ф) = (у (±0i ± ... ± 9г), 0|, эффективно. Доказа-
Доказательство в случае, когда & = 2r#0(mod4) такое же, как и
выше, за тем лишь исключением, что число весов в орбите
^(G){y(9i+ ... +9Г)| равно 2Г~1 вместо 2Г. В случае
k = %r ss 0(mod 4) центр группы Spin(£) равен Z2 + Z2, и,
§ I. Группы преобразований
0}
... +9r_1-ef)}, W(G)(Ql)f 0}.
следовательно, для равенства KerQ(X)={£} необходимо,
чтобы в системе Q(X) была еще одна орбита, кроме
W(G)l-j{Qi+ ... +9Г)|. Система весов £2(Х), содержащая
наименьшее число весбв и такая, что KerQ(X)= {e}t HMeet
вид
или
Следовательно, п + 1 ^ 2Г~1 + 2г + 1 или п ^ 2Г~! + 2л и
доказательство теоремы VI. 4 закончено. □
(F) G-допустимые системы весов для пространств
ССР-типа
Определение. Пусть G — компактная связная группа Ли и
Т — содержащийся в ней максимальный тор. Система Q весов
из пространства Н2(ВТ) с кратцостями называется G-допусти-
мой для пространств ССР-типа, если существует G-дейстгвие
на некотором пространстве X ССР-типа, такое, что Й(Х)=Й.
Одной из наиболее важных задач в изучении действий
компактных связных групп Ли на ССР-пространствах яв-
является определение G-допустимых систем весов для таких
пространств.
Пока что имеется лишь небольшое число предварительных
результатов в этом направлении. Упомянем здесь следующий
простой результат.
Теорема VI. 5. Если Qi, Q2 — допустимые системы весов
для пространств кССР-типа, a G — полупростая компактная
связная группа Ли, то Q\ U й2 — тоже допустимая система ве-
весов для пространств ССР-типа.
Доказательство. Пусть Х\, Х2 суть G-пространства
ССР-типа, причем Q(Xi) = Qi и Q(X2) = Q2. Пусть |i, g2 —
образующие алгебр H*(Xi) и Н*(Х2) соответственно, и пусть
t — образующий алгебры Н*(Bsi) — k[t]. Пусть ft: Xt->Bslt
где f* (/) = lif и пусть S1 -> Yt -> Xi — расслоение, индуциро-
индуцированное универсальным З^расслоением Sl->Es*-+Bsi при ото-
отображении ft. Легко видеть, что Y\ и У2—когомологические
сферы. Так как G — полупростая группа и Yi есть 5!-расслое-
ние над пространством Хи то из теоремы Стюарта [С 16]
следует, что G-действия на пространствах Xi можно поднять
До G-действий на пространствах Yi. Поэтому группа 51 X G
166 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
действует на пространствах Y\> ^2, а следовательно, и на их
джойне Y\ о Y2. Тогда легко видеть, что индуцированное
G-действие на пространстве Y\ о Уг/51 дает G-пространство
ССР-типа, причем Q (Yx о Y2/Sl) = Q (Xx) U Й (Х2) = Qi U &2.
Значит, Qi U ^2 — также G-допустимая система весов для
пространств ССР-типа.
§ 2. Группы преобразований на когомологических
кватернионных проективных пространствах
В этом параграфе мы суммируем результаты совместной
работы автора и Су [С 27], в которой в качестве пробных
пространств берутся когомологические многообразия, имею-
имеющие рациональный когомологический тип кватернионных про-
проективных пространств. Мы будем называть их когомологиче-
когомологическими кватернионными проективными пространствами (со-
(сокращенно CQP-пространствами) и, если не оговорено про-
противное, будем использовать поле рациональных чисел Q в
качестве поля коэффициентов во всех алгебрах когомологий,
которые встречаются в этом параграфе. С алгебраической
точки зрения между ССР-пространствами и CQP-простран-
CQP-пространствами имеется только небольшое различие в степенях об-
образующих алгебр когомологий, а именно эта степень равна 2
для ССР-пространств и 4 для CQP-пространств. Однако эго
небольшое различие приводит не только к тому, что соответ-
соответствующая структурная теорема VI. 6 доказывается гораздо
труднее, но' и к некоторым интересным новым свойствам и
примерам. Центральным результатом этого параграфа яв-
является следующая структурная теорема.
(А) Структурная теорема о расщеплении для действий
торов на CQP-пространствах
Теорема VI. 6. Пусть G — тор и X — некоторое CQPn-npo-
странство с заданным эффективным G-действием. Предполо-
Предположим, что rk(G)^3, если множество неподвижных точек F
состоит из п+1 изолированных точек, и что rk(G)^2 в
противном случае. Тогда
(i) Существует единственный прообраз £ образующего |о
алгебры Н*(О), такой, что корни структурного уравнения
/(£)= 0 алгебры НЬ(Х)о* R[l]/(f (Q) являются точными ква-
квадратами, т. е. что
(ii) Соответственно имеется в точности s связных компо-,
нент F1, 1 ^ / ^ 5, множества неподвижных точек F, причем
§ 2. Группы преобразований 167
F1 ~QQPkrl, если wf = 0, и Ff ~QCPkrl в противном слу-
случае (следовательно, имеется не. более одной компоненты
CQP-Tuna).
(Hi) Система £ij(X) локальных весов на F! определяется
следующим образом:
QJ(X) = {±wi±wf, кгAф})\ ±wh 6,-1; 0,2(^-1)}.
(iv) Индуцированный гомоморфизм i*f: H*G (X) -> H*G (FJ)»
= R ® H* (Ff) задается формулой
( rff + 2wfr\f + w2fi если Ff -* пространство ССР-типа,
7 \ g/, если Ff — пространство CQP-Tunat
где Tj7 (соотв. lf) — образующий алгебры Н* )
(v) Пусть Y = F° (x) — F-многообразие точки х в простран-
пространстве X9 K = G°X, и пусть F(]Y==F^[) ..\ [)F!t. Тогда
[CPm\u группа К onpede-(±wh I *e• • • =±wh I K=^°>
I QPm У ляется уравнениями^^ I /( = # # # — Wj | /( = o.
при подходящем выборе знаков в верхних равенствах, причем
m = kfl+ ... +£//~-?1- Обратно, все подторы К^6У за-
заданные уравнениями этих двух типов, являются элементами
множества 0°(Х).
Примеры линейных моделей. Пусть О — тор,
действующий на Hrt+! с помощью кватернионного линейного
представления <р: G ->- Гп+1 £ Sp (п + 1), причем Q (ф) =■
= iwh */J"l ^ / ^ s) —система весов этого действия. Тогда
на пространстве QPn имеется индуцированное G-действие.
Пусть | — образ при трансгрессии образующего элемента
пространства Я3E3) в спектральной последовательности рас-
расслоения S3->S4<?+3->QPg. Тогда H*Q (QPn) s* R [|]/(/ (g)), где
/Й) = (^ — w2\)kl ••• F — ^)*5 =P — определяющее струк-
структурное уравнение. Соответственно множество неподвижных
точек F состоит из s связных компонент F1, 1 ^ / ^ s, где
F! = QPkr\ если wf = 0, и F7 =CPkrl в противном случае.
Система весов локального представления группы G на Ff за«
дается формулой
О/ = {± ^ ± ш7, Л^ (/ ^= /); ± wi9 k, - 1; 0, 2 (*у - 1)}.
168 Гл. VI% Теоремы о расщеплении
Индуцированный гомоморфизм ij: H*G (QPn) -* H*G (F}) =
<8>H*{FJ) задается равенством
r\j + 2йУ/т)/ + w)9 если Fj = CPki~\
li, если Ff = QPkfl (т.е. w} = 0).
Замечания. A) Приведенные выше линейные модели
показывают, что, с одной стороны, все возможности, перечис-
перечисленные теоремой VI. 6, могут быть геометрически реализова-
реализованы с помощью линейных моделей. С другой стороны, из струк-
структурной теоремы VI. 6 видно, что когомологические свойства
структуры орбит произвольного G-пространства Х CQP-типа
(rk(G) ^ 2 или 3) должны быть такими же, как и у подходя-
подходящей линейной модели.
B) Существуют примеры Я-действий на многообразиях
X~dQPn, у которых множество неподвижных точек имеет
две связные компоненты CQP-типа [ШЗ]. Поэтому ограниче-
ограничение rk(G)^2 в приведенной выше теореме в самом деле не-
необходимо.
C) В предположении, что X ~zQPn (а не только
X~ciQPn) Бридон [Б 16] доказал, что любое Я-действие
на пространстве X может иметь в множестве неподвижных
точек не больше одной связной компоненты CQP-типа, по-
поэтому интересно выяснить, будет ли верна приведенная выше
теорема, если заменить предположение rk(G)^2 на X~ZQP*
(В) Доказательство теоремы VI. 6.
Начало доказательства теоремы VI. 6 совпадает с началом
доказательства теоремы VI. 1. Снова из четности степеней в
Н*(Х) и основной теоремы IV. 1 о неподвижных точках сле-
следует, что
Hh{X)9*R[l]/{f{l)) (где g — произвольный прообраз эле-
элемента £о)>
/ F) = F - <*i)*1 • • • F - а,)Ч где а, <= Я4 (Ва),
и соответственно
F!~QCPkrl или QPkr\
Тонкая часть доказательства состоит в том, чтобы показать
существование единственного прообраза |, такого, что все
корни "{а/} структурного уравнения /(£) = 0 — точные квад-
квадраты. Именно в этой части доказательства нам нужно пред-
предположение о том, что rk(G)^2 или-3, и следующие леммы.
§ 2. Группы преобразований 169
Лемма 2.1. Пусть F]' — пространство ССР-типа и г]/ — об-
разующий алгебры Н*(Р!), degrj/ = 2. Тогда в выражении
(i7: F1 S X)
коэффициент Р/ отличен от 0.
Доказательство. Если Р/ = 0, то легко показать что
алгебра H*(F!) будет порождена элементом т\2г Это противо-
противоречит предположению, согласно которому алгебра H*(Fl) по-
порождена элементом г|/.
Лемма 2.2. Пусть // — фундаментальный класс когомоло-
гий пространства Т7', т. е.
@, ..., 0, 1,0, ..., 0), если F1 — изолированная точка,
ff= @, ..., 09х\I-\0, ..., 0), если F/-QCP*/-!>degTi/=2,
@, ..., 0, g*/-1, 0, ..., 0), если ^-QQ^^.degg^l
Тогда идеал I (Jj) = L (X, F) (определение этого идеала см.
в /г. (С) § 2 гл. IV) — главный идеал, порожденный следую-
щим элементом ар
«/ = Р//МП(а,-а/)Ч если F1 ~ CPkr\
af = Ц (а£ — а/)** в противном случае. *
Доказательство следует непосредственно из тех же
вычислений, которые были проведены в доказательстве тео-
теоремы VI. 1.
Лемма 2.3. Для каждой пары 1 ^ /, / ^ s элемент ш — а/
разлагается в произведение двух линейных множителей, ска-
скажем at — aj = w-w\ где w,wf e H2(BG). Кроме того,
(i) Если wy wr — линейно независимые элементы, то и *Fl,
и F3' — пространства ССР-типа и имеется ровно два Р^-много-
образия ССР-типа коранга 1!), соединяющих F1 и F!, причем
w1 и w'1 — их общие связные стационарные подгруппы со-
соответственно.
(и) Если элементы wy wr линейно зависимы, то существует
только одно F^-многообразие CQP-типа коранга 1, соединяю-
соединяющее пространства F1 и Fft причем wL = w'L — его общая
связная стационарная подгруппа.
1) То есть такие, что соответствующая общая связная стационарная
подгруппа есть подтор коранга 1. — Прим. ред.
170 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
(ill) Если Ff — пространство ССР-типа, то существует
F0-MHoeoo6pa3ue CQP-типа коранга 1, содержащее FJ, общей
связной стационарной подгруппой которого является $f.
Доказательство следует из леммы 2,2 и тео-
теоремы IV. 10.
Лемма 2.4. Если существует подтор до1 = К ^ G коранга
1, который тривиально действует на всем пространстве X, г. е.
Р(К,Х)=Х,то
щ — a/ ess 0 (mod до2) для всех 1 ^ /, / ^ s
и
Р/£== 0 (mod до) для всех пространств F1 ССР-типа.
Доказательство. По предположению само простран-
пространство X является /^-многообразием коранга 1, и, следователь-
следовательно, вс^линейные множители элемента а/ в лемме 2.2 пропор-
пропорциональны w, т. е. а/ — а/ еэ 0(mod до2) ир/s 0(mod до).
Лемма 2.5. Предположим, что G-действие на пространстве
X эффективно и rk(G)^ 2. ££«/ш f — пространство ССР-типа
; () + 2Р ?
Доказательство. Предположим, напротив, что yj=O.
Тогда мы утверждаем, что
а£ — а7^0(modР/) для всех
По лемме 2.3 всегда существует /^-многообразие У коранга 1,
соединяющее F1 и F1. Если У — пространство CQP-типа, то из
леммы 2.4, примененной к пространству У вместо простран-
пространства X, следует, что at — a^O^modpj). Если У — простран-
пространство ССР-типа, то существует такой элемент r\^ H*G (У), что
I'/OD — n/. iJfo)=*4, + 6. Отсюда 1#ф=а/ + 2Р/т| и
i* (g) = i*i* (I) = ay + 2py (ri£ + б), значит, a/ = a/ + 2P/6 или
щ — a/ = 2P/6 = 0(mod Р/). Поэтому снова по лемме 3 ^-мно-
^-многообразие коранга 1, общей связной стационарной подгруппой
которого является Pj/-, должно быть пространством CQP-типа.
Оно должно соединять все компоненты F'1 с Fj и, следователь-
следовательно, совпадать со всем пространством X. Итак, группа pf дей-
действует тривиально на пространстве X, что противоречит пред-
предположению rk(G)^2 и эффективности G-действия. Противо-
Противоречие доказывает, что yj Ф 0.
Теперь мы готовы доказать саму теорему VI. 6. Мы разде-
разделим доказательство на 3 случая: A) имеется связная компо-
компонента ССР-типа, B) имеется связная компонента CQP-типэ,
C) множество F состоит из п + 1 изолированных точек,
§ 2. Группы преобразований 171
A) Предположим, что существует связная компонента, ска-
скажем Я, ССР-типа. Во-первых, нетрудно выбрать подходящие
образующие |, y|i в алгебрах НЬ(Х) и H*(F*) соответственно
так, чтобы t* (^) = р^ + SPji^j -j- г]|. Тогда мы покажем, что кор-
корни {а/} определяющего уравнения f(g)=O для выбранного
образующего g алгебры НЬ(Х) должны быть точными квад-
квадратами. Если линейные множители элемента а{ — <Ху=«=р^— о^
линейно независимы, то по лемме 2.3 имеется два ^-много-
^-многообразия коранга 1 ССР-типа, соединяющие F1 и FK Пусть
У— одно" из них, и пусть г) — такой образующий алгебры
H*G(Y), что t*(n) = Tli. 1/(т1) = 'П/ + й- Тогда ясно, что i*(S) =
=з р^ + 2Р1т| + т]2. Следовательно,
ij ft) = i>* ft) = i] (PJ + 2pi4 + л2) -
= P? + 2Pl (Л/ + б) + (ч, + бJ - (р, + бJ + 2 (ft+б) 4/+4J,
т. е. a, = (Pj + бJ = ш]и ij (Б) =
В случае когда линейные множители элемента оы—-а* =
= Р2 — а( линейно зависимы, снова по лемме 3 имеется одно
/^-многообразие У CQP-типа, соединяющее F1 и Я. Из лем-
леммы 2.4, примененной к пространству У, следует, что
ai ~~ ai== Pi"" ai ^ ^ (mod до2) и Pj sse 0 (mod w),
откуда, очевидно, вытекает, что а. = а • PJ, где asQ — рацио-
рациональное число. Мы утверждаем, что л/а — тоже рациональ-
рациональное число. Действительно, в противном случае элементарное
рассуждение показывает, что многочлен а( — а; = ар2 — w2f
неприводим в кольце R « Q [^, ..., ir\ для любого до/, ли-
линейно независимого с Pi. Следовательно, а, = (У# Р,J»3^ —
снова точный квадрат.
Теперь мы покажем, что из соотношения F ~qQP i~~ сле-
следует, что до2, = 0^ = 0. Предположим, что Я — пространство
CQP-типа. Тогда все /^-многообразия коранга 1, содержащие
F!\ тоже должны быть пространствами CQP-типа. Следова-
Следовательно, из леммы 2.3 вытекает, что элементы до/ — wi и
До/ + Wi линейно зависимы при 1 ^ i ^ s, откуда, очевидно,
следует, что До/ == 0.
B) Предположим, что существует связная компонента,
CQP-типа, скажем Я. Для простоты мы можем предполо-
предположить в этом случае, что все компоненты являются либо изо-
изолированными точками, либо пространствами CQP-типа. Вы«
берем сперва прообраз g так, чтобы 1^A)=^. Тогда из лемм
172 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
2.3 и 2.4 легко следует, что
a^aflyf при 2^/^s,
где Wf примитивны в том смысле, что являются линейными
формами от (t\9 ..., tr) с взаимно простыми в совокупности
целыми коэффициентами. Снова элементарно показывается,
что из разложимости элемента с^ — с^ = ар\ — алю^ при всех
2 ^ /, / ^ 5 вытекает, что все числа д/я*/а/ рациональны при
2 ^ i, j ^ s. Следовательно, можно так подправить элемент {■
рациональным множителем, чтобы все а/ стали точными ква-
квадратами. Оставшаяся часть доказательства идентична слу*
чаю A).
C) Множество F состоит из п + 1 изолированных точек и
rk(G)^3. (i) Предположим, что существует такая точка f1,
что два линейных множителя элемента <%i — а/ линейно за-
висимы при всех 2^/^ft+l. Тогда, изменив прообраз g,
мы можем предположить для начала, что ai = 0. Отсюда
а^а^ при
и можно применить то же доказательство, что и в случае B).
(В некотором смысле это тот случай, когда пространство F1
следует рассматривать как QP0.)
(и) Предположим, что два линейных множителя элемента
ai — <%2 линейно независимы. Пусть У, У — два ^-многооб-
^-многообразия коранга 1, соединяющие пространства F1 и F2. Можно
выбрать образующие g, y\ алгебр НЬ(Х) и H*G(Y) соответ-
соответственно так, чтобы i*(£)= Р2 + 2рг) + Л2- (Заметим, что мы
предположили, что rk G ^ 3.) Пусть i* (ц) = бр i* (г\) = б2. Лег-
Легко видеть, что
т,2) =
Пусть /С = (од — ШгI. Тогда из доказательства в случае A),
примененного к индуцированному /(-действию на простран-
пространстве X, следует, что при подходящем w^ e #2(J3O)
Uy es ©2 m0(j (a^ — W2)f 3 ^ / ^ Л + 1.
Применяя те же рассуждения к другому /^-многообразию
У7 коранга 1, такому, что GY, = K'= (wl-\-w2I; мы полу-
получаем, что
ajB*#'*mod (wx + w2), 3</<n+l
при подходящем й»уеЯ2(В0). Так как элементы Ш1 — w^ н
ил + ^2 линейно независимы, то легко скомбинировать два
§ 3. Структурные теоремы для действий р-торов 173
приведенных выше сравнения и показать, что существуют
подходящие wj e H2(Bq) и c/gQ, такие, что
при всех З^/^/г+1. Предположим, что для данного /,
3 ^ / ^ п + 1, элементы о>/, w{9 W2 линейно независимы (та-
(такое / существует, когда rk G ^ 3). Тогда из разложимости на
линейные множители элементов
ai ~~ а/= w\ ~~ w)~~ а/ (Ш1 ~~ ^1)
и
а2 — ау = tiy2 — w2j —
следует, что а/ должно быть нулем, т. е. ау. = te^. Наконец, мы
покажем, что ai — точный квадрат, даже когда ai = aw\ +
+ bwyw2 + cw\. Это является легким следствием разложения
ai ~~ a/s== at "" w/ ПРИ подходящем / и линейной независи-
независимости ^/, t^i, о>2. Итак, мы доказали, что все а/ — точные
квадраты, т. е.
Объединяя эти случаи, получаем, что доказательство теоре-
теоремы VI. 6 закончено.
Замечание. Рассмотренные выше веса wu ..., ws e
^H2(BGt Q) — это рациональные веса. Однако, изменяя про-
прообраз I с помощью подходящего рационального множителя,
мы можем добиться того, чтобы W\, ..., ws ^ Я2(So, Z) были
целочисленными весами и, более того, чтобы коэффициенты
каждого веса w\ в координатной записи не имели общих дели-
делителей. Далее мьГ всегда будем предполагать, что система ве-
весов пространства X состоит из таких целочисленных" весов.
§ 3. Структурные теоремы для действий р-торов
на Zp-когомологических проективных
пространствах (р — нечетное простое число)
В этом параграфе мы коротко обсудим, как приспособить
структурные теоремы § 1 и 2 для действий тора на ССРЛ- и
С0Рл-пространствах к случаю, когда рассматриваются дей-
действия р-торов на Zp-CCPrt- и Zp-CQP^-npocTpaHCTBax, где р~-
нечетное простое число. г2-случай имеет ряд особенностей и
будет рассмотрен в § 4. В этом параграфе мы используем ко-
коэффициенты из поля Ър для всех рассматриваемых алгебр
когомологий, если не оговорено противное. Пусть G есть
174 Га V7, Теоремы о расщеплении
р-тор ранга /, где р — нечетное простое число. Тогда
где deg(y/)= I, deg(f/) = 2 и Рр(&/)—// (Рр— гомоморфизм
Бокштейна). Мы будем обозначать полиномиальную часть ал-
алгебры H*(Bq) через Ro или просто через 7?, когда нет опас-
опасности путаницы. Предположим, что X есть 2р-ССРл-простран-
ство (соотв. Zp-CQPrt-npocTpaHCTBo), т. е. Н*(Х)я*2р[10]/(^+{),
deg(£o) = 2, с заданным G-действием. Тогда член Е2 спек-
спектральной последовательности Серра расслоения Х->Х0-+ Во
имеет вид
E2 = H*(BG)®zH*(X),
р
и образующий 1о алгебры Н*(Х) трансгрессивен. Так как
Pj,(£0)= О и гомоморфизм Бокштейна рр коммутирует с транс-
трансгрессией, то образ т(|о) элемента go при трансгрессии должен
лежать в Кегрр. В большинстве случаев нетрудно показать,
что т(£о) = 0 и, следовательно, Е2 = £«>, F ф 0.
Определение. Факторалгебра алгебры НЬ {Х\ Zp) по идеалу,
порожденному образами элементов Vj, называется %-приее-
денной алгеброй эквивариантных когомологий пространства
X и обозначается через НЬ (X) в отличие от самой алгебры
когомологий НЬ{Х). Например, из равенства Е2 = Еоо сле-
следует, что Hb(X) = R[l]/(f(l))i где g — произвольный прообраз
образующего Ъо алгебры Я* (X) и /(£) = %n+l + C\in + ...
... + Cn+i = 0 --^определяющее структурное уравнение.
В частности, НЬ ({pt}) = Я* (Bg) ^ Rg- Тогда справедливы
следующие Zp-варианты структурных теорем VI. 1 и VL6, до-
доказательства которых почти идентичны доказательствам этих
теорем.
Теорема VI. 1Р. Пусть G есть р-тор (р — нечетное простое
число), а X есть 1р-ССРп-пространство с заданным G-дей-
G-действием, причем F Ф 0. Пусть I — произвольный прообраз Об-
Образующего 1о алгебры Я* (X) в алгебре НЬ {X). Тогда НЬ (X) ^
= ЯШ/(Ш)> где многочлен
разлагается в произведение линейных множителей. Соответ-
Соответственно множество неподвижных точек F(G, X) состоит из s
связных компонент /^, 1 ^ / ^ s, так что
(О F1 - zCPkrl и ij: H*Q (X) -+ Н*о fa) = /?, где qt € Fl%
переводит элемент | в wJt
§ 3. Структурные теоремы для действий р-торов 175
(И) система локальных р-весов {) на Fi определяется ра-
равенством
-Wi)t кь{1ф})\ О,
(Ш) для данной точки ^gI, такой, что F(x)[\F(G, X) —
= Ffl U ... U FfK стационарная подгруппа Gx задается урав-
уравнением Wf{-= ... =wjt и F (x) ~ zp CPm, где /гс = &/1 + ...
... + */,-1.
Теорема VI. 6р. Пусть G есть р-тор, р — нечетное простое
число, и пусть X есть Zp-CQPn~npocTpaHCTeo с заданным эф-
эффективным G-действием, причем F Ф 0. Предположим, что
rk(G)^3, если множество неподвижных точек F состоит из
п+ 1 изолированных точек, и rk(G)^2 в противном случае.
Тогда
(i) Существует единственный прообраз | образующего go
алгебры Н*(Х), такой, что все корни структурного уравнения
f (|)== О алгебры H*g (X) ^ R [£]/(/ (|)) являются точными квад-
квадратами, т. е.
f (I) = (l- w^ ...(I- wl)k*t w, e Я2 (BQ).
(ii) Соответственно имеется в точности s связных компо-
компонент Ff, I ^ / ^ s ' множества неподвижных точек F и
Ff ~z QPk*~\ если Wj = 0, и Ff ~ZpCPkrl в противном слу-
случае {следовательно, имеется не более одной связной компо-
компоненты CQP-типа).
(Hi) Система Q/ локальных р-весов па FI имеет следую-
следующий вид:
О, = {± wt ± w), kt (i ф /); ± wh 2 (kj - 1); 0,2 (kf - 1)}.
(iv) Индуцированный гомоморфизм i): НЬ (X) -> НЬ (Ff) =
= R<g>H*(Ff) задается формулой
( rfj + 2^/т]/ + w2j, если F1 — пространство ССР-типа,
I lj, . если Ff — пространство CQP-типа,
где т)/ (соотв. If)—образующий алгебры H*(Ff).
1) Рассматриваемая автором здесь система локальных р-весов Q/ от-
отличается от локальной геометрической системы весов Q , из § 3 гл. IV тем,
F1'
что каждый вес из Q , раздваивается на два веса противоположных зна-
F'
ков и добавляется нулевой вес кратности dim Я. — Прим. ред..
176 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
(v) Пусть Y = F(x) есть F-многообразие точки х в про-
пространстве X, K = GX и F[]Y = Ffl[) ... UFfi. Тогда
Y ~г < > и К задается
РIQpmJ
уравнениями
( ±w,l\K= ... =±ге,1\К
при подходящем выборе знаков в верхних уравнениях; при
этом m = kf{+ ... + kjt — 1. Обратноу все подторы К^ G,
заданные уравнением двух указанных типов, являются эле-
элементами множества О (X).
Доказательства этих Zp-вариантов структурных тео-
теорем параллельны доказательствам соответствующих теорем в
случае характеристики нуль. Мы оставляем их читателю.
В качестве одного из простейших следствий наличия взаимно
однозначного соответствия между различными корнями
структурного уравнения f(|) = 0 и связными компонентами
множества неподвижных точек мы получаем следующую
оценку числа компонент.
Следствие 3.1. Если X есть Ър-ССРп-пространство (со-
(соотв. Zp-CQPn-npocTpancTeo), то число s связных компонент
множества неподвижных точек не превосходит ртк0 (соотв.
Доказательство. Так как, связные компоненты F1
нумеруются различными корнями шДсоотв.ш^) в случае
Х~г СРп (соотв. X ~ъ QPn)t то число 5, очевидно, ограни-
ограничено сверху числом элементов пространства П2(Ва) (соотв. эле-
элементов вида &2 пространства Я4(В0)). Следовательно, s ^
^prk0 (соотв. s<-iprkG). □
Замечания. Приведенное выше следствие йо существу
содержится в теоремах 3.1 и 4.4 работы [Б 16]. Однако дан-
данное выше доказательство является более прямым и прозрач-
прозрачным.
Аналогично случаю компактных связных групп Ли, дейст-
действующих на ССР-пространствах, можно применить изложен-
изложенные выше Zp-варианты структурных теорем к действиям мак-
максимальных Zp-торов, чтобы определить систему р-весов для
компактных групп преобразований на Zp-CCP-пространствах
И Zp-CQP-пространствах следующим образом.
§ 3. Структурные теоремы для действий р-торов 177
Определение. Пусть G — йомпактная группа Ли, а X есть
Zp-когомологическое проективное пространство с заданным
G-действием. Предположим, что {#*; 1 ^ I ^ А} — полный
набор представителей каждого из А классов сопряженных
максимальных р-торов группы G. Тогда, применяя приведен-
приведенные выше структурные теоремы к каждому индуцированному
Я/-действию на пространстве X, мы получим систему р-весов
Q(X\Ht) для каждого t, I ^ i ^ А. Совокупность {п{Х\Н{)\
1 ^ i ^ А} этих А систем называется системой р-весов G-npo-
странства X.
С геометрической точки зрения (связная) система весов
Q(X\T), определенная с помощью ограничения действия на
максимальный тор Г, определяет связные стационарные под-
подгруппы, в то время как система р-весов, определенная с по-
помощью ограничения действия на А представителей макси-
максимальных р-торов, т. е. QP(X)= {Q(X\Hi)\ l^t'^A}, выде-
выделяет р-компоненты стационарных подгрупп. Фактически, для
того чтобы полностью учесть р-примарные компоненты ста-
стационарных подгрупп, необходимо и полезно ввести вторичную
систему р-весов следующим образом.
Для данного максимального р-тора Н\ группы G обозна-
обозначим через N(H\) нормализатор подгруппы Н\ в группе G и
положим W(H\)= N(H\)/H\. Для данного бтпространства X
имеется индуцированное действие группы W(H\) на прост-
пространстве F(H\yX). В случае когда X есть Zp-когомологическое
проективное пространство и Н\ — максимальный р-тор в
группе W(H\), пространство F(G,X) тоже является суммой
Zp-когомологических проективных пространств с индуциро-
индуцированным Ярдействием, и из структурных теорем следует, что
это Ягдействиче на пространстве F(G,X) снова определяет
систему р-весов, которую мы назовем вторичной системой
р-весов G-пространства Х относительно пары (Н\УП\). Возь-
Возьмем в качестве примера простой случай G = Zp,® ... ®Zpt =
= Z'p2, Тогда имеется единственный максимальный р-тор
H==Zlpi и группа G/H^Zlp сама есть р-тор. Предположим,
что заданное G-пространство Х когомологически эквивалент-
эквивалентно над Ър проективному пространству. Тогда F(H,X)— сумма
Z^-когомологических проективных пространств, ' скажем
F(Hy Х)==/71 U ... U^s, которые занумерованы различными
корнями oti, ..., as структурного уравнения f(|) = 0. Так как
индуцированное действие (с помощью сопряжения) группы
Я = G/H на группе Я, а следовательно, также и на алгебре
Н*(ВН) тривиально, то каждая связная компонента FJ инва-
инвариантна относительно группы Я. Отсюда, применяя
178 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
структурные теоремы к Я-действию на каждой компоненте,
получаем все s вторичных систем р-весов Q(Fj), l^Zj^.s.
" Теперь рассмотрим случай произвольной конечной груп-
группы G. Тогда для данного простого числа р имеется единствен-
единственный класс сопряженности максимальных р-примарных под-
подгрупп— силовских р-групп группы G. Заметим, что любая
р-примарнай конечная группа разрешима. Предположим, что
X есть G-пространство, Ъ-когомологически эквивалентное
проективному пространству. Тогда X является Zp-когомологи-
ческим проективным пространством для каждого простого р
и Zp-вариант структурных теорем позволяет нам определить
иерархию систем р-весов с помощью ограничения G-действия
на пространстве X на силовскую р-подгруппу Gp группы G.
§ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов
на 22-когомологических проективных пространствах
В этом параграфе мы рассмотрим особый 22-случай. Ос-
Основные результаты — это следующие структурные теоремы из
[С 26] для действий 2-торов на пространстбах, г2-когомоло-
гически эквивалентных вещественным^ комплексным или ква-
тернионным проективным пространствам соответственно. Так
же как в гл. IV, через R = Rq в этом параграфе обозна-
обозначается кольцо H*(Bq\ Z2).
Теорема VI. 7. Пусть G есть 2-тор и X~z2RPn с заданным
G-дейс'твием, причем F(G,X) = 0. Тогда алгебра эквивари-
антных 22-когомологий пространства X изоморфна как R-ал-
6R[l)/(f(l))dl ld
— разложимый многочлен степени п-\- 1 со старшим коэффи-
коэффициентом 1, a Wj e HX(BQ\ Z2) — его различные корни. Соот-
Соответственно множество неподвижных точек F состоит из s
связных компонент {Fj\ 1 ^ / ^ s}, s ^ 2гк0, таких, что
(i) F! ~Z2RPkl~l и гомоморфизм i*: H*G (X) -> H*G (qf) = Ry
где qj&F1, переводит g в Wj.
(ii) Система 2-весов l) Qf на F1 задается равенством
Qj={Wi + wh ktii^j); 0, kj — 1}.
(iii) Для данной точки jcsI, такойу что F(x)f)F(G, X) =
= Fil U ... U F!l, стационарная подгруппа Gx задается урав-
4) Система Q/ отличается от локальной геометрической системы весов
Qpj из § 3, гл. IV добавлением нулевого веса кратности dimFL — Прим.
§ 4t Структурные теоремы для действий 2-торов 179
нениями Wfl= ... =и;//> причем F(x)~z2RPm, m — kjl-\- • .♦
1
Теорема VI. 8. Яустб G — 2-тор, и лустб X — G-пространство,
22-когомологически эквивалентное СРп, причем F(G> Х)Ф0.
Тогда H*G {X) 9ё R [г]]/(/ (г))), где г] — подходящий прообраз обра-
образующего % алгебры Н*(Х), такой, что Sq1(r]) = p*Y) t/ /(r]) =
= (л + ar)fel • • • (Л + as)ks — разложимый многочлен, а а/
Я2 (B) Дд
(л + r) (Л ) р , /
Я2 (BG) — ^го различные корни. Далее, имеются следующие
два случая: $ = 0 и $фО.
(a) Случай р = 0. Тогда все связные компоненты мно-
множества F(G, X) являются пространствами ССР-тшга, т. е.
F1 ~г%СРк1~\ и ^е корни ау — точные , квадраты, скажем
а. = до?. Кроме того, система локальных весов Qy яа F' за-
задается равенством
Q/ - {^^ + wh 2kt (i Ф /); 0, 2 (ft, - 1)},
и для данной точки х е X, такой, что F(x)[\F (G, X) =
= Flx (J • • • U ^Ч стационарная подгруппа Gx задается у рае-
нениями Wj{= ... = Wjv причем F (x) ~z2 CPm9 т = к\х-\- ...
... + kjt — 1.
(b) Случай $Ф0. Тогда все связные компоненты множе-
множества F(G, X) являются пространствами CRP-ггша, т. е.
Ff ~z2RPk!~l и корни а/ имеют вид $Wj-\-w2f Кроме того,
система локальных весов Q/ на F1 задается равенством
&t = {wt + wh wt + wi + b кгAФ1)\ Р, 0, ki-\)
и F(x)-— пространство ССР-типа тогда и только тогда, когда
РЮ 0
Теорема VI. 9. Пусть G есть 2-тор, и пусть X — это G-npo-
странство, 22'Когомологически эквивалентное QPn, причем
F(G, X)=0. Тогда в алгебра H*G(X) существует прообраз £
образующего & алгебры Н*(Х), такой, что Sq1(O = 0, Sq2(£) =
«Y-Си НЪЩаЯШШ где
рущ & р (),
Y-Си НЪЩаЯШШ где
— разложимый многочлен, различными корнями которого слу-
служат cty e Я4 (BQ). Далее, имеются следующие три случая:
(a) Sq2 (£) = y • £ = 0- Тогда все связные компоненты множе-
множества F(G, X) суть пространства CQP-типа, т. е. /7//^z2Q^~1,
и корни ау совпадают с w) при подходящих Wj e H{ (BG)t
180 /*A VI. Теоремы о расщеплении
Кроме того, система локальных весов Q/ на F1 задается
равенством
Q} = {Wi + Wj, Ак{AФ'\)\ 0, 4F,-1)},
и для заданной точки х^Х, такой, что F(x)(]F (G, X) =
= F!l[) ... [)Fil, стационарная подгруппа Gx задается равен-
равенствами wj{= ...= Wjv причем F(х) ~г%QPmt m = kjl+ ...
(b) Sq2(£) = Y-£^0 и Sq1(Y) = O. Тогда все связные
компоненты множества F(G, X) являются пространствами
ССР-типа, т. е. F1 ~z2CPki~l и корни af имеют вид cty =
=v2w2j + ш}, где у = v2, ш/, .v e Я1 (BG). Кроме того, система
локальных весов Qf на F1 задается равенством
- 0}
« пространство F(x) является пространством ССР-типа
(соотв. CQP-Tuna), если v\Gx=£0 (соотв. v\Gx = 0):
(с) Sq2 (£) = у • g =т^= 0 и Sq1 (y) =t^= 0. Тогда все связные ком-
компоненты множества F(G, X) являются пространствами CRP-
типа, т. е. /7/~z2/?^/"~\ и существуют такие wiy vu v2e
е Я1 (Во),
— д»2 -J— v v -4— v ct — foj (то) -4— v i i т&) -4— v i (tcj —I— v 1 v ^
vl * 12 * yV **/ wi V / ' 1/ \ / "^ 2>/ V / ' 1 ~ 2/
t;(?) = g/ + Yg2/ + (Sq1Y)g/ + a/, ^e ij: H*a(X)-> H*G(FJ)
— гомоморфизм ограничения. Кроме того, система локальных
весов Q/ на Fi задается равенством
СЩ>-типа, если V\\GX и v2\Gx линейно
независимы,
ССР-типа, если v{\Gx и v2\Gx линейно
зависимы, но не равны одновре-
одновременно нулю9
CQP-типа, если v41 Gx = v21 Gx = 0.
Доказательство теоремы VI. 7 параллельно доказательству
теоремы VI. 1. Однако доказательства теорем VI. 8 и VI. 9
имеют особенность, состоящую в использовании квадратов
Стинрода4
F {x) — пространство -
$ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов 181
(А). Примеры линейных моделей
Пример 1. Пусть G есть 2-тор, действующий на R"+1
с помощью линейного представления ф: G->O(n-f- 1). Пред-
Предположим, что система 2-весов1) представления qp равна
Q(cp) = {wh kj\ 1 ^ / ^ s}, и пусть X = RPn снабжено G-дей-.
ствием, которое индуцируется заданным G-действием на R"+1.
Пусть ^еЯ1 (Xq) — характеристический класс расслоения
Z2 -> SnG -> RPg . Тогда нетрудно видеть что На {X) = R [g]/(/ (£)),
где p k
Пример 2а. Пусть G есть 2-тор, действующий на про-
пространстве Cn+l с помощью линейного представления qp: G->
[/(д+1)» Предположим, что система 2-весов представления
ф: G-*Z2+1<=t/(/z+ 1) равна Q(q>) = {«;,, fy; 1</<s},
и пусть Х = СРп снабжено G-действием, которое индуци-
индуцируется заданным G-действием на Cn+l. Тогда легко показать,
что НЬ (X) ^ R [r\]/(f (т])), где т) — характеристический класс
расслоения S1 -* S2n+l -> CPrt и определяющее уравнение
имеет вид / (г)) = (т) + r*yf)fel • ... • (ц + wl)ks.
Пример 2Ь. Пусть G = Z2XG7 есть 2-тор, действующий
на пространстве СЛ+1 = С 0 Rw+1 с помощью вещественного
линейного представления Ф = Р ® ф7» гДе Р — комплексное
сопряжение вСиф' — вещественное линейное представление
G'->Z2+1 S О (п+1), причем Q{y') = {wh kf\ I </ < s]. Тог-
Тогда на пространстве СРп имеется индуцированное G-действие,
и нетрудно показать, что НЬ (X) = R [т]]/(/ (л))» гДе
причем ц — характеристический класс расслоения Sl-*S%+ ->
->СРо, а р — это 2-вес, соответствующий комплексному сопря-
сопряжению в С.
Пример За. Пусть G есть 2-тор, действующий на про-
пространстве Н"+1 с помощью кватернионного представления
ф: G->Z2+1 £ Sp(/z+ 1), системой 2-весов которого является
&) { k 1} й
p ) р
= {до/, k\\ 1^/^s}. Пусть £ — характеристический класс
!) Пусть ф — вещественное, комплексное или кватернионное линейное
представление 2-тора G. Из теоремы 1.2 и следствия I. 1.2 легко вытекает,
что оно разлагается в прямую сумму одномерных (вещественных, комп-
комплексных или кватернионных) представлений, т. е. гомоморфизмов wr. G^-Ъг.
Элементы wi e H] (G; Z2) ^ Я1 (BG; Z2) и составляют систему 2-весов
& (у). —Прим. ред.
182 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
расслоения S3->S4n+3->QPnG. Тогда H*G (X) s* R [£]/(/ (£)), где
Пример ЗЬ. Пусть G = Z2XG/ есть 2-тор, действующий
на пространстве H"+1 = Н ® R"+1 с помощью вещественного
представления ф = v 0 ф', где v — инволютивный автомор-
автоморфизм тела Н, меняющий знаки у / и k, а ф'— вещественное
представление G'->Z2+1 s О (я+ 1)» причем £2(ф')={до/, &/;
l=^_/=^s}. Тогда имеется индуцированное G-действие на
пространстве X=QPn, и нетрудно показать, что Hq(X)&
^ R [t]/{f (£)), гДе £~~ характеристический класс расслоения
S -+Sq ->QPq, Sq (g) = v •£ и
. / (о=(с+vV+«о*1... (с+vW+»:)*•.
Пример Зс. Заметим, что эффективная группа изомет-
рий симметрического пространства QPn есть Sp(/z+ 1)/{±1}
и что SOC)=Sp(l)/{±l} вложена в Sp(/i+1)/{±1>
как группа диагональных кватернионов, по модулю
равных 1. Пусть G есть 2-тор и Sp (лг + 1)/{±1}, содержащий
максимальный 2-тор группы SOC). Тогда индуцированное
G-действие на пространстве QPn относится к типу, рассмот-
рассмотренному в случае 3.
Приведенные выше «линейные модели» показывают, что
все возможности, предусмотренные структурными теоремами,
геометрически реализуются, из них вддно также, что когомо-
когомологические свойства структуры орбит произвольных G-дей-
ствий на когомологических проективных пространствах сов-
совпадают с аналогичными свойствами подходящих линейных,
моделей.
(В) Доказательства структурных теорем
Так как доказательство теоремы VI. 7 параллельно дока-
доказательству теоремы VI. 1, а доказательство теоремы VI. 8
аналогично доказательству теоремы VI. 9, но является более
простым, мы докажем только теорему VI. 9, а доказательства
теорем VI. 7 и VI. 8 оставим читателю. •
Доказательство теоремы 'VI, 9. Мы выберем про-
прообраз £ степени 4 образующего £о алгебры Н*(Х) в алгебре
H*G(X) таким образом, чтобы ограничение ai элемента % на
H*G(q^ было равно нулю. Тогда легко видеть, что Sq1(£)= C£
и Sq2(£) = v£, где ре= Я1 (So), yt=H2(BG). Действительно,
элементы Sq1 (S) и Sq2(£) переходят в нуль в алгебре H*G(q{).
(i) Мы утверждаем, что Sq1(^)= p-£ = 0. Предположим,
напротив, что Sq!(£) = £•£ ф 0, т. е. что $=£0Hl(B)
n
§ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов 183
Тогда существует 2-подтор К ранга 1 в группе G, т,акой, что
$\КФО. Пусть t — образующий алгебры Н*(ВК), и пусть % —
образ элемента £ в алгебре Н\{Х). В силу естественности опе-
операции Sq1 мы имеем Sq1(£) = t-t, Ф 0.
Мы утверждаем,^ что пространство F(K>X) должно быть
связным. Действительно, в противном случае Н*к (X) о*
= Z2 И [£]/(/ (£)) и определяющее уравнение f (I) = 0 должно
иметь по крайней мере два различных корня aj ^ НА(ВК).
Однако группа Н*(ВК) состоит только из двух элементов, а
именно 0 и tA. Мы видим, что d i = 0 и п2 = Ь должны быть
двумя различными корнями уравнения /(£) = 0. Тогда
0= Sq' (а2) - Sq' (g | Н*к (q2)) = Sq' (?) | Н*к (q2) -^ | Я^ (<?2) -/»,
что, очевидно, дает противоречие. Следовательно, F(K,X)
должно быть связным, и мы можем предположить, что си=0.
Тогда имеются следующие три возможности: F(K> X)~ztQPn,
или СРп, или RPn. В случае F(K, X)~z2QPn или СРп легко
показать, что i*Sq1(g)= Sq1(i*(^)) = 0 и значит, Sq1(f) = O
в силу инъективности гомоморфизма i*: Н\(Х)-> Н*к{Р(К, Х))>
что противоречит предположению. В случае F(K, X) ~z2RPn
имеем i* (I) = t% + а2Щ + аД + a4|jf где li — образующий ал-
алгебры H*(F(K9 X)). Тогда
Sq1 (i* (t)) = ^4It + (t3 + Sql.(a2)) %*+...,
и из равенства SqI(a2) = 0 вне зависимости от того, чему
равно а2 @ щш /2), следует, что а2 = /2. Заметим, что
Sq2(£) = 0 или t% откуда следует, что Sq2(i*(£)) — 0 или
t2(i*&)). Однако Sq2(i*(S)) = Sq2(/3I1 + /2I2+ ..0-^ +
+ 0«|i+ ,.., что не равно ни нулю, ни t2 (i* (^)) = /5^ +
+1%\ + ... . Отсюда мы получаем противоречие. Все эти
противоречия доказывают, что предположение Sq1 (£) = р • £>Ф0
невозможно, т. е. что SqI(£) = O.
(ii) Случай Sq2(^) = v6= 0. Мы утверждаем, что в этом
случае не имеется компонент ни CRP-типа, ни ССР-типа.
Действительно, легко показать, что из существования компо-
компоненты CRP-типа следует, что Sq1 (£)=#=(), а из существования
компоненты ССР-типа следует, что Sq2(£)=#=0. Более того, из
равенств Sq^EJ^O, Sq2(£) = 0 следует, что
Sq^a^BsO и Sq2(ay) = 0 для всех
184 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
Нетрудно показать, что такие элементы степени 4 должны
иметь вид af = w4p w}^ H{ (BG). Поэтому
@ =
П
1Ф1
и те же вычисления, что и в доказательстве теоремы VI. 1,
показывают, что идеал /*(//) порожден элементом
1Ф1
Конец доказательства в этом случае снова такой же, как и
в теореме VI. 1.
(Hi) Случай, когда Sq2(£) = у - £ Ф О и Sq4Y) = O. В этом
случае легко показать, что все связные компоненты суть
пространства ССР-типа. Пусть rj/ — образующий алгебры
H*(F!), i/ — гомоморфизм ограничения алгебры НЬ(Х) в H*G{FJ')9
и пусть i*(O = <Vl/ + br\j + af. Тогда из равенства
следует, что
а/ = 1, &у = y и Sq2а/ = Y •«/.
Значит, 7=Л?2 — точный квадрат. Теперь выберем базис в
группе H4(BG) так, чтобы \ был первым базисным элемен-
элементом, и выразим а/ в виде многочлена от v с коэффициентами,
зависящими от других «неизвестных». Тогда нетрудно пока-
показать, что из равенств Sq1(a/) = 0 и Sq2(ot/) = v2-a/ следует,
что а. = v2 • ха& + w\ при подходящем wj e Я1 (fiG). Поэтому
и конец доказательства в этом случае легко проводится с
помощью вычислений, аналогичных вычислениям теоре-
теоремы VI. 1.
В случае когда и Sq2(£) = v£ =т^0 и Sq1 (у) = б Ф 0, не-
нетрудно показать, что все связные компоненты множества
F(G,X) суть пространства CRP-типа. Пусть £/ — образующий
алгебры Я*(//),1/~ гомоморфизм ограничения алгебры
ЯЬ(Х) в #о(Я). Тогда из равенств
SqI(i/(£)) = i7SrqI(O = 0 и Sq^iJO) = i/(Sq2g) = Y •
следует, что
Пусть f. = (p, ..., 0, £y/~\ 0, ..., 0)—■ фундаментальный
класс когомологий пространства FK Тогда простые вычисле-
§ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов 185
ния показывают, что идеал /*(//) порожден элементом а (//) =
= б*/"~1Ц (сс^ + а/) (см. доказательство теоремы VI. 1). Для
простоты мы можем без потери общности предположить, что
оы =0.
A) Предположим, что по крайней мере одно kj> 1.
Тогда из теоремы IV. 8 следует, что элемент б разлагается
в произведение линейных множителей, скажем 6 = vpV2'V3.
Заметим, что из равенства Sq1F) = (vi + v2 + V3) -б = 0 сле-
следует, ЧТО Vi+V2 + V3=0, Т.е. ИЗ ТОГО, ЧТО б = ViV2(Vi + V2)
и Sq2F) = Y-6, следует, что у = v2 + v{v2 + v2. Снова из тео-
теоремы IV. 8 вытекает, что a (Jj) = б Z Ц ak^ — разложимый мно-
многочлен и, значит, все а/, /=И=1, разлагаются в произведение
линейных множителей, скажем
af = wt (wf + |i/t x) (Wf + |i/t 2) {wj + \xJ% 3).
С другой стороны, из равенства
Sq1 (a/) = (|i/t! + |i7,2 + [if, 3) а7 = 0
получаем, что \х}1 + \xJ2 + ji/3 = 0, а из равенства
Sq2 (а}) = {\Xfi\ij2
— что
как множества, т. е.
a, = wj {Wj + vj) (wt + v2) (©/ + V! + v2).
B) Предположим, что все kj равны 1.
Тогда s = n+ 1 > 1, #(/i) = Ha/. Следовательно, элемен-
\ф\
ты а/ снова разлагаются, и предыдущее доказательство по-
показывает, что
а/ = wi (w! + И-/0 (w, + fA/2) (ш, + jx/3), |i71 + ^ + \ij3 = 0
и
ВСеХ / > ^
откуда легко следует утверждение теоремы. □
(С) Система 2-весов для групп преобразований
22-когомологических проективных пространств
Определение 1 (/?Р-случай). Пусть X—G-пространство,
Х~гДРп> а G есть 2-тор, тогда система 2-весов &2{Х) про-
пространства X — это просто множество корней структурного
186 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
уравнения /(£) = 0 из теоремы VI. 7 с их кратностями, т, е,
Q2(X) =
Заметим, что структурное уравнение /(|)=х=0 зависит от вы-
выбора прообраза |. Следовательно, приведенная выше система
2-весов определена с точностью до сдвига в пространстве
W{BG).
Вообще, предположим, что X есть Z2-CRP-npocTpaHCTBo с
заданным действием компактной группы Ли G. Пусть {Я,-;
1 ^ I ^ h) — полный набор ' представителей по одному из
всех h классов сопряженных максимальных 2-торов группы G.
Тогда система 2-весов Q2(X) пространства X состоит из h
подсистем, а именно
Определение 2 (СР-случай). , Пусть X—G-пространство,
Х~ггСРп, a G есть 2-тор, тогда имеется два типа действий
в соответствии с тем, равен нулю элемент Sq1(r))=P'T] или
нет. В случае р =0 положим Q2(X) = {Wf, kj\ I ^ / ^ s}, где
w2j — корни уравнения f(r]) = O. В случае когда PV=0, корни
уравнения f(r]) = O имеют вид $wf-\-w2f. Заметим, что Ршу +
+ w2f = Р (Р + wj) + (Р + wjf, так что Wj определены только
по модулю р. Следовательно, можно представить группу G
в виде G = Ker p X G/Ker p = G1 X %2 и предположить, что
все Wj принадлежат группе Я1 (Бе») ^ Я1 (Bg). Тогда мы запи-
запишем систему 2-весов пространства X в следующем виде:
чтобы подчеркнуть, что линейная модель пространства X по-
получается тензорным перемножением представлений р и ф, где
Q (ф) == {ш/, ft/; 1 ^ / ^ s) (см. пример 2Ь). Снова определим
систему 2-весов 22-ССР"-пространства X с заданным дейст-
действием компактной группы Ли G как набор h подсистем по
одной для каждого класса сопряженных максимальных 2-то-
2-торов, т. е.
где {Я,-; 1 ^ i ^ К) — полный набор представителей макси-
максимальных 2-торов.
Определение 3 (QP-случай). Пусть X—G-пространство,
X~z2QPn, a G есть 2-тор, тогда мы определим систему &{Я)
§ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов 187
ПОЛОЖИВ
{wp kf; 1</<s}, если Sq2(£) = 0 и twj — корни
уравнения /(£) = 0,
v<g>{Wjt kj\ l^/^s}, если Sq2(g) = v2£ Ф 0
Q2 (X) =\ и v2w) + twj — корни уравнения / (g) = 0,
{vv v2}®{wr ki> K^'O}» если Sq2(g)=(v2 +
— корни уравнения f(^) = 0.
В общем случае, когда G — компактная группа Ли, положим
Замечания (i). Заметим, что система 2-весов вЧГР-слу-
чае и в QP-случае снова определена с точностью до сдвига
в пространстве Н1{Ва), если действие имеет тип (а), и с точ-
точностью до сдвигов в пространстве Я1 (ficr), где G' = Ker p
(соотв. Kerv), если действие имеет тип (Ь).
(ii) В случае когда G — компактная группа Ли, пусть
N(Ht)—нормализатор тора Я/ в группе G, и пусть
W(Ht) = N(Hi)/Hi. Тогда группа W(Hi) естественно дейст-
действует с помощью сопряжений на пространстве Я1 (Бя.), и не-
нетрудно показать, что i-ю подсистему Q2(-^| Я/) можно выбрать
инвариантной относительно действия группы W(Hi).
(Hi) Аналогично случаю нечетного простого числа можно
также определить вторичные системы 2-весов.
Заключительные замечания.
В предыдущих параграфах были доказаны структурные
теоремы для действий торов (соотв. р-торов) на когомологи-
когомологических проективных пространствах над соответствующим по-
полем коэффициентов). Формально такие структурные теоремы
формулируются в терминах расщепления алгебр эквива-
риантных когомологий, и «линейные структурные константы»,
участвующие в расщеплении алгебр эквивариантных кого-
когомологий, позволяют нам определить так называемую гео-
геометрическую систему весов (соотв. систему р-весов). С гео-
геометрической точки зрения структурные теоремы доказывают,
что геометрические свойства структуры орбит произвольных
действий тора (соотв. р-тора) на когомологическом проек-
проективном пространстве X совпадают с аналогичными свойства-
мц подходящей линейной модели. Следовательно, пока
188 Гл. VI. Теоремы о расщеплении
рассматриваются действия элементарных абелевых групп на
когомологических проективных пространствах, структурные
теоремы предыдущих параграфов как раз и являются теми
когомологическими теоремами линеаризации, к которым мы
стремились. Однако вопрос о действиях произвольных ком-
компактных групп Ли на когомологических проективных про*
странствах гораздо более сложен и заслуживает более глу-
глубокого исследования. Как уже было замечено в гл. IV и V,
аналогичные общие структурные теоремы о когомологической
линеаризации в общем случае не верны. Однако в гл. V и § 1
настоящей главы на различных пробных задачах было пока-
показано, что различные частные структурные теоремы (при соот-
соответствующих предположениях о геометрической простоте)
можно в действительности доказать с помощью теоремы о
максимальных торах и структурных теорем для действий то-
торов. Грубо говоря, из теоремы о максимальных торах следует,
что структура орбит действий компактной связной группы
Ли G на пространстве X и структура орбит ограничения дей-
действия на максимальный тор Т группы G тесно связаны между
собой. Поэтому из когомологической теоремы линеаризации
для действий тора будет, конечно, следовать, что структура
орбит первоначального G-действия очень напоминает струк-
структуру орбит подходящей линейной модели. В этом заклю-
заключается основная идея метода геометрической системы весов,
который позволяет сформулировать и решить много интерес-
интересных задач.
Глава VII
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА КОМПАКТНЫХ
ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
При изучении групп преобразований евклидовы простран-
пространства, шары, сферы и проективные пространства являются наи-
наилучшими пробными пространствами. Это обусловлено иде-
идеальной комбинацией большого запаса линейных действий и
простоты топологического строения. Большая часть глубоких
результатов теории топологических групп преобразований
сосредоточена пока вокруг изучения перечисленных выше
пробных пространств. Вообще говоря, идеальное сочетание
простого топологического строения и большого Запаса линей-
линейных действий на пробных пространствах очень полезно внача-
вначале для выяснения некоторых основных закономерностей. На-
Например, классическая теория линейных представлений, а так-
также результаты гл. V и VI, относящиеся к таким пробным
пространствам, привели нас как к пониманию особой важ-
важности элементарных абелевых групп во всей теории топологи-
топологических групп преобразований, так и к формулировке важных
теорем о расщеплении в гл. IV (для действий элементарных
абелевых групп) в терминах эквивариантной теории когомо-
логий. Однако мц сузим перспективу нежелательным образом,
если будем некритически настаивать на когомологической
простоте пробных пространств. В этой главе мы начинаем
расширять совокупность пробных пространств^ рассматривая
группы преобразований на компактных однородных про-
пространствах. Так как компактные однородные пространства
покрывают обширную область топологических типов, но все
же допускают большое разнообразие естественных действий,
то они особенно подходят для изучения групп преобразова-
преобразований. Однако, строго говоря, систематическое изучение групп
преобразований на компактных однородных пространствах
еще не началось. По этой причине те немногочисленные про-
простые результаты, которые мы изложим в этой главе, находят-
находятся в довольно неудовлетворительной форме. На самом деле
их следует считать не более чем предварительным указанием
на обилие интересных естественных задач в этой области.
190 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Начнем с того, что сформулируем некоторые естественные
вопросы, относящиеся к области групп преобразований на
компактных однородных пространствах.
(А) Транзитивные действия и классификация компактных
однородных пространств в терминах их гладких
(соотв. топологических, гомотопических
или рациональных гомотопических) типов
Компактные однородные пространства — это по определе-
определению компактные многообразия с заданными гладкими тран-
транзитивными действиями компактных групп Ли. Поэтому есте-
естественно классифицировать такие транзитивные действия на
заданном компактном однородном многообразии М. Предпо-
Предположим, что М задано в виде пространства смежных классов
G/H. Заданное транзитивное G-действие (определенное с по-
помощью левых сдвигов) называется примитивным, если огра-
ограничение этого действия на любую собственную нормальную
подгруппу группы G не транзитивно. Очевидно, что класси-
классификация транзитивных действий на заданном компактном од-
однородном пространстве М легко сводится к классификации
примитивных транзитивных действий.
Проблема 1. Пусть М = G/H — пространство смежных
классов простой компактной группы Ли G. Классифицировать
примитивные транзитивные действия на М. В большинстве
случаев можно ожидать, что исходное G-действие — это един-
единственное примитивное транзитивное действие на М.
Замечания, (i) Классификация транзитивных . дейст-
действий на сферах (гомотопических сферах) была начата Монтго-
Монтгомери и Самельсоном [М 5] и позже завершена А. Борелем
[Б 9]. Результаты можно суммировать следующим образом:
однородная гомотопическая сфера должна быть стандартной,
и кроме хорошо известных транзитивных действий классиче-
классических групп на дферах имеются следующие дополнительные
случаи:
S6=G2/SUC), S7=SpinG)/G2 и 515 = Spin (9)/Spin G),
(ii) Транзитивные действия на целочисленных гомологи-
гомологических сферах были классифицированы Бридоном [Б 19].
Сфера Пуанкаре 8ОC)/Лб— это единственная однородная
целочисленная гомологическая сфера, не являющаяся стан-
стандартной сферой.
(iii) Транзитивные действия на однородных пространствах
с ненулевой эйлеровой характеристикой были по существу
Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах 191
классифицированы Ваном [В 2] и Борелем и Зибенталем
[Б12]1).
(iv) Можно определить «ранг» топологического простран-
пространства X как сумму рангов нечетномерных гомотопических групп
£гк(я2б_1 {X)). В работе [0 4] А. Л. Онищик классифициро-
классифицировал транзитивные действия на однородных пространствах
«рангов» 1 и 2.
(v) Транзитивные действия на многих многообразиях Шти-
феля (вещественных, комплексных или кватернионных) были
классифицированы в [С 27]. Результат — ожидавшаяся един-
единственность действий2).
Классификация транзитивных (гладких или топологиче-
топологических) действий на компактных однородных пространствах по
существу сводится к классификации однородных пространств
с точностью до диффеоморфизма или гомеоморфизма. Для
того чтобы классифицировать однородные пространства в тер-
терминах их гладких или топологических типов, полезно техни-
технически и интересно в идейном отношении найти явные связи
между инфинитезимальными данными пары групп (G,H)
(или пары алгебр Ли (д, $)) и топологическими или гладкими
инвариантами пространства G/H. Вот примеры таких соотно-
соотношений (для простоты предположим, что Я связна):
(i) rk (G) - rk (Я) = - £ (- \? rk (я* (G/H)).
(и) В [О 4] доказано, что
Р (G, t)/P (Я, t) = П A + t2k-l)ru-i-ru,
■ k=*\
где P(G,t), P(HJ) — многочлены Пуанкаре групп G и Я
соответственно и г,- = vk(m(G/H)).
(Hi) Согласйо Борелю и Хирцебруху [Б 11], можно эф-
эффективно вычислить рациональные классы Понтрягина ком-
компактного однородного пространства G/H в терминах инфини-
тезимальных данных пары (G, Я). С. П. Новиков [Н1 *]
недавно показал, что рациональные классы Понтрягина —
топологические инварианты. Автору кажется, .что значение ра-
рациональных классов Понтрягина в топологической классифи-
классификации однородных пространств будет в дальнейшем возрастать.
1) На самом деле в указанных работах только перечислены все пары
Gzd H компактных групп Ли, для которых G/H имеет ненулевую эйлерову
характеристику. Задача классификации этих многообразий с точностью до
диффеоморфизма (или гомеоморфизма, или гомотопической эквивалентно-
эквивалентности) до сих пор не решена до конца. — Прим. ред.
2) См. также [Ш 4*], где классифицируются транзитивные действия на
многообразиях, имеющих рациональный гомотопический тип произведения
нечетномерных сфер, и [О 5*]. — Прим. ред.
192 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Проблема 2. Верно ли, что два гомеоморфных ком-
компактных однородных пространства обязательно диффеоморф-
ны? (В очень частном случае сфер положительный ответ на
этот вопрос означает, что только на стандартных сферах су-
существуют однородные гладкие структуры.)
Замечание* Для большинства классических однород-
однородных пространств, таких, как многообразия Штифеля или мно-
многообразия Грассмана, нетрудно показать в действительности,
что уже их гомотопический тип однозначно выделяет их среди
однородных пространств. Интересная часть приведенной вы-
выше задачи состоит в том, чтобы дать систематическое доказа-
доказательство, пригодное для широкой области однородных прост-
пространств.
Проблема 3. При изучении компактных групп преоб-
преобразований довольно естественно и полезно определить тори-
ческий ранг пространства X как максимальную размерность
торов, почти свободно действующих на X. Верно ли, что то-
рический ранг пространства G/H равен rk G — rk#? (В ча-
частном случае rk# = 0 это доказано Олдеем в его диссер-
диссертации [0 1]).
(В) Степень симметричности компактного однородного
пространства
Следующее определение степени симметричности было
впервые дано в [С 18] при изучении степени симметричности
экзотических сфер.
Определение. Пусть М — гладкое многообразие и Diff(M) —
группа всех диффеоморфизмов многообразия М на себя. Диф-
Дифференцируемая степень симметричности пространства М, обо-
обозначаемая через Nd{M), определяется формулой
Nd(M) = max{dimG по всем компактным подгруппам Gs
<= Diff
Аналогично можно определить топологическую степень сим-
симметричности пространства X, обозначаемую через Nt(X),
формулой
Nt (X) = max {dim G по всем компактным подгруппам G
Т(Х
где Тор (X)—группа всех гомеоморфизмов пространства X
на себя. Очевидно, что Na{M)^ Nt{M),
Гл. Vtt. Группы преобразований на компактных пространствдх 103
Примеры, (i) Для экзотических сфер Sm в [С 1.8] >
[С 13] было доказано, что
и что Nd Bm) = -g- (m2 + 7) тогда и только тогда, когда 2т —
сфера Кервэра. В случае когда Ете&Р4*> т. е. m = 4&—1
и 2т ограничивает параллелизуемое многообразие, известно,
что Л^ Bm) =-g-(m2 — 4т + 11). Мы отсылаем читателя к
[С 34], [С 25] за многочисленными интересными улучшениями
оценок степени NaBim) для тех экзотических сфер Sm, ко-
которые не ограничивают параллелизуемое многообразие, т. е.
тех Бт, для которых Е^ &Рт4-ь
(И) Пусть X—топологическое многообразие, допускаю^
щее гладкую структуру. Тогда очевидно, что
Nt (X) > max {Nd (М); M — гладкая структура на X),
а равенство достигается для большинства топологических
многообразий, имеющих гладкие структуры достаточно, высо-
высокой степени симметричности. Однако следующий пример под-
подсказывает, что должно существовать много примеров, когда
Nt (X) > max {Nd {M); | М \ = X}, где | М \ — топологическое
многообразие, получающееся из М, если «пренебречь» струк-
структурой гладкого многообразия.
Пусть Ей Е2 — два экземпляра касательного расслоения на
шары над S2*+1. Действие ортогональной группы ОB&+1)
на S2k+l индуцирует естественные действия на Е\ и Е2 соот-
соответственно. Выберем инвариантный шар D2k+l вокруг одной
из двух неподвижных точек р е 52Л+1. Тогда пространство
nrl(D2k+l)^Eit очевидно, эквивариантно диффеоморфно про-
пространству D2k+l X D2k+l с обычным диагональным ОB&+ 1)-
действием: g- (x> y) = (g-x, g-y): Поэтому отображение
i(x,y) = (у, х), очевидно, эквивариантно. Рассмотрим связную
сумму многообразий £i и Е2, которая представляет собой
Dfe + 2)-мерное многообразие М, полученное отождествле-
отождествлением области D2k+lXD2k+l из Е\ с областью D2k+lXD2k+l
из Е2 при помощи отображения i(x,y) — (ytx). Пусть
С(дМ) — конус над дМ, и пусть
где отображение / отождествляет основание конуса С(дМ)
с дМ^М. Тогда X—топологическое многообразие, на кото-
котором действует группа ОB&+1)> оставляя вершину конуса
194 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
С(дМ) неподвижной. Хорошо известно, что для большинства
значений k топологическое многообразие X не допускает глад-
гладкой структуры* С другой стороны, не слишком трудно пока-
показать, что Nt(X)=&\mOBk+\)=kBk+\).
(Hi) Предположим, что первый рациональный класс Понт-
рягина многообразия М равен нулю, т. е. Р\(М)=0. Полез-
Полезным орудием при изучении степени симметричности таких
многообразий является один из результатов работы [С 30].
Например, в [С 25] было доказано,, что Nd (ЛГ1 X М™2 X ...
..♦ хлг*)<#d(smiхs™2х ... sm*)=^
= y J](/w? -f mi) в предположении, что Px (MmiX • •. XMmk)=Q.
Заметим, что рациональные классы Понтрягина — топологи-
топологические инварианты. Следовательно, указанное выше условие
Р{ (А!™1 X ... X Mmk) =0— топологическое условие, и есте-
естественно поставить следующую задачу.
Проблема 4. Верно ли, что
Nt (ЛГ'Х ... X Mmk) < Nt Em0 X ... X Smk) =
в предположении, что Px (Mm* X ... Afm*) = 0?
Проблема 5. Пусть М = G/Я — компактное однород-
однородное пространство и G — одна из эффективных транзитивных
групп преобразований на М9 имеющих наибольшую размер-
размерность. Верно ли, что Nt(M) = Nd(M) = dim G?
Имеются следующие варианты понятия степени симмет-
симметричности, которые тесно связаны с первоначальным опреде-
определением, но с которыми технически проще иметь дело.
Определение. Гладкой торической степенью симметрично-
симметричности пространства М назовем Td(M) = max {dim T по всем под-
торам rsDiff(-M)}. Аналогично топологической торической
степенью симметричности пространства X назовем
Tt (X) —i max {dim T по всем подторам Г
Определение. Рассмотрим вместо действий произвольных
компактных групп Ли действия простых компактных групп
Гл. VI Г. Группы преобразований на компактных пространствах 195
Ли. Естественно положить
SNd (М) = max {dim G; С —
простая компактная подгруппа Ли в Diff (M)},
SNt (ХУ= Max {dim G; G —
простая компактная подгруппа Ли в Тор (X)}.
Проблема 5'. Предположим, что М = G/H, где G —
эффективная транзитивная группа преобразований простран-
пространства М максимального ранга. Верно ли, что Та(М) = Tt(M) =
= rk(G)?
Проблема 5". Предположим, что АГ = G/Я, где G —
эффективная транзитивная группа преобразований простран-
пространства М максимальной размерности и G\ — простой сомножи-
сомножитель группы G, имеющий максимальную размерность. Верно
ли, что SNd(M) = SNt(M) = dim Gi?
Замечания. Проблемы 5' и 5" технически более до-
доступны по сравнению с проблемой бив действительности
являются ступеньками на пути к ее окончательному решению.
(С) Действия «больших» компактных групп Ли
на однородных пространствах
Грубо говоря, мы считаем эффективную группу преобра-
преобразований К компактного однородного пространства М = G/H
«большой» группой преобразований этого пространства, если
dim К не слишком мала по сравнению с dim G. Например,
группы SO(k) при k> -т-п считаются большими группами
преобразований многообразий Штифеля Vn,i = О(п)/ОA).
Еще со времён Э. Картана известно, что для неприводи-
неприводимых компактных симметрических пространств M~=G/K
структура орбит стационарной подгруппы К группы изомет-
рий на М достаточно проста и полезна для приложений. На-
Например, рассмотрим случай группового пространства М =
= G = (GXG)/G простой компактной связной группы Ли G.
Тогда изометрические преобразования стационарной под-
подгруппы G на групповом пространстве G — это просто сопря-
сопряжения, и структура орбит этого действия — разложение
группы G на классы сопряженных элементов, описанное в
§ 1 гл. II и являющееся важной геометрической характери-
характеристикой группы.
Проблема 6. Пусть M^&GIK—неприводимое ком-
компактное симметрическое пространство. Верно ли, что все
дифференцируемые действия группы К на М должны иметь
196 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
когомологически ту же структуру орбит, что и действие ста*
ционарной группы изометрий? Конечно, в частном случае, ко*
гда М = G = (G*XG)/G — групповое многообразие простой
компактной связной группы Ли G, нужно предположить, что
дифференцируемое G-действие не транзитивно.
Проблема 7. Пусть М = G/H и G == SO(n) (соотв.
SU(/z) или Sp (/г)) — классическая группа. Пусть /C = SO(&)
(соотв, SU(&) или Sp(&)), k > -^ п, и в централизаторе
Z(HyG) подгруппы Н в G нет подгрупп, изоморфных груп-
группе /С. Верно ли/что структура орбит любого /(-действия на
М должна быть в основном такой же, как и структура орбит
при ограничении действия левыми сдвигами на К^ G?
В этой главе мы будем применять когомологические мето-
методы, развитые в предыдущих главах, в качестве главного ин-
инструмента для исследования этих задач в немногих сравни-
сравнительно простых случаях. Результаты довольно примитивны и
далеко не удовлетворительны. Однако, по-видимому, они ука-
указывают на существование большого количества естественных
и глубоких проблем и служат оправданием тому, что мы взя-
взяли компактные однородные пространства в качестве основно-
основного семейства пробных пространств для изучения групп преоб-
преобразований. Более того, эти результаты, по-видимому, под*
тверждают общее ощущение, что когомологическая теория
групп преобразований (в особенности теоремы о расщепле-
расщеплении из гл. IV) является пока что одним из наиболее мощных
средств для изучения структуры орбит групп преобразований
на пространствах заданного типа.
§ 1. Топологические группы преобразований
на пространствах, имеющих рациональный
гомотопический тип произведения нечетномерных сфер
В этом параграфе мы будем изучать действия компакт-*
ных связных групп Ли G на когомологических многообразиях
X, имеющих рациональный гомотопический тип произведения
нечетномерных сфер1). Кроме обычных примеров произведе-
произведений нечетномерных сфер с «линейными» G-действиями имеет-
имеется еще много интересных примеров таких G-пространств. На-
Например, сами пространства компактных связных групп Ли,
многообразия Штифеля, SUBn)/Sp(n) и т. п. — все это мно*
*) Как известно, для того, чтобы пространство X относилось к этому
типу необходимо, а в случае односвязности — достаточно, чтобы
■X~QSmiX ... Х$М\ где m/ —нечетные числа. Для таких пространств
п2} (X) ® Q = 0 для всех / > 0. — Прим. ред.
§ 1. Топологические группы преобразований 197
гообразия, имеющие рациональный гомотопический тип
произведения нечетномерных сфер и допускающие различные
интересные группы преобразований. Так как когомологиче-
когомологическая техника, развитая в предыдущих главах, будет основ*
ным орудием в дальнейшем исследовании, то мы начнем с
простых вычислений возможных алгебр эквивариантных ко-
гомологий.
(А) Вычисление алгебры Hq(X\ Q)
Пусть G — компактная связная группа Ли, а X есть G-npo-
странство, имеющее рациональный гомотопический тип про-
произведения нечетномерных сфер. Пусть ~{xi, ..., xt)— (одно-
(однородный) базис пространства n*(J)(g)Q и {уи...,уг} —
(однородный) базис пространства Jx*(B0)(g) Q,dim xt = т( —-
нечетные Числа, dim*// = щ — четные числа, a r = rkG. Тогда
хорошо известно,, что RQ = H*(BQ;Q)^ Q[yu .. .ууг) и что
существует ассоциированная градуированная дифференциаль-
дифференциальная алгебра пространства Xq, скажем {L(XQ)y d}> удовлетво-
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) L(Xq)£e Л{х\> ...» Xi)(£)qRq (как градуированные
алгебры),
(ii) d — антидифференцирование степени 1, d|/?o=0,
d2xt = 0 и проекция элемента dxt в A[x](g> qRg= Л[х] рав-
равна нулю при 1 ^ / ^ /,
(iii) имеет место изоморфизм /?о-алгебр H(L(XG),d)^
Ь(Х
(iv) для любой связной подгруппы К^ G индуцирован-
индуцированный гомоморфизм
I*:
коммутирует с дифференциалами и индуцирует на уровне го-
гомологии обычный гомоморфизм Н*о (X) -> Н\ (X).
Градуированная дифференциальная алгебра {L(XG),d} —
это одно из основных технических средств для вычисления
алгебры НЪ(Х). «Коэффициенты» в выражении элемента dxi
через внешние произведения элементов хи имеющие меньшие
размерности, являются элементами из Rq, зависящими от го-
гомотопического типа пространства Xq.
Пример 1.1. В очень частном случае, когда X=G, a
группа G транзитивно действует левыми сдвигами, мы полу-
получаем, что XG =EG и
198 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
причем dxi = tji. Это в точности хорошо известная теорема
Бореля о трансгрессии [Б 2]. Теперь предположим, что К —
связная подгруппа группы G. Тогда имеется расслоение Ек->
-*Хк-*Х/К— G/K со стягиваемым слоем Ек. Следовательно,
Хк имеет тот же гомотопический тип, что и G//C, и его ассо-
ассоциированная градуированная дифференциальная алгебра
L (Хк) = Л [хи .. • • хя] ® RK, d'xt = i* (dxt) = i* (yt) €= Дк>
— это в точности хорошо известный комплекс Косзюля, при-
причем H{L{XK)yd')^H*{XK)^H*{GIK).
Пример 1.2. Предположим, что X = Хп> n-i =
== Sp (/z)/Sp (лг — /)—кватернионное многообразие Штифеля
и что группа G =Sp(n) действует на пространстве X левыми
сдвигами. Тогда XG = 5sp(*-o, и ассоциированная градуиро-
градуированная дифференциальная алгебра определяется следующим
образом:
L(XQ)= Л[хи ..«, xi]®Q[t/u ..., уп], dxi=yit
где dimxi = 4(n — 0+3, dimyf =4 (/г — /+1). Снова, если
мы ограничим G-действие на пространстве Хп, i на связную
подгруппу К^ G, то получим, что
L (Хк) = Л [хи ..., xt]®RK* d'xt = i* (yt) e /?^.
Например, если K=Sp(k), k > -^п, то i*(^) = 0 при 1^/^
<«-* и i>i) = /*-«+,e=*K = Q|>;, .... /J.
Пример 1.3. Предположим, что X — пространство,
имеющее рациональный гомотопический тип произведения
двух нечетномерных сфер. Тогда L(XQ)= Л [хъ х2](& Rq и
dXi = ai^RG. Пусть Ъ — наибольший общий делитель эле-
элементов аи а2. Тогда b«a{ = ai, Ь*а2 — п2. Легкое вычисление
дает, что Hq (X) ^ Н (L (XQ), d) & RG Шаи a2i Ы), где эле-
элемент £ представляется «циклом» а[х2 — а2х\. Следовательно,
аннуляторы элемецтов 1 и I в алгебре НЬ(Х) суть (аь а2) и (Ь)
соответственно. Пусть Т^G — максимальный тор группы G.
Так как индуцированный гомоморфизм i*: RG->RT инъекти-
вен, то ясно, что НТ(Х) о* Rrffl/iau a2, &g). Поэтому из тео-
теоремы IV. 8 следует, что элемент Ь разлагается в алгебре RT
в произведение линейных множителей и что простые идеалы
в RT> принадлежащие идеалу / = Ann A)= (а1э а2), должны
быть линейными.
Замечания. A). Вообще говоря, дифференциальная
градуированная алгебра {L(X0)yd} является удобным техни-
техническим средством для того, чтобы сделать начальный шаг
§ 1. Топологические группы преобразований 199
при вычислении алгебры НЬ(Х). Однако структурные инва-
инварианты алгебры Hq(X) (такие, как идеалы (Ь) и (а\, аг)
в предыдущем примере 1.3), получающиеся из {L(XG),d}>
обычно слишком общи. Важное уточнение, которое наклады-
накладывает сильное ограничение на эти структурные инварианты,
можно получить, применяя теоремы о расщеплении из гл. IV
к алгебре Н*Т(Х) (заметим, что H*g(X) = Ht(X)w и Н*т{Х)^
= Н*о(Х)'<8rgRt (см. предложение 1 из § 1 гл. Ilf)).
(ii) При изучении групп преобразований на заданном про-
пространстве X с помощью теории когомологий самым важным
является определение возможных типов алгебры НЬ (Х)> ко-
которое обычно включает в себя несколько шагов, последова-
последовательно уточняющих структурные константы алгебры
{L(Xc),d}.
(Ill) В случае когда X имеет рациональный гомотопиче-
гомотопический тип произведения нечетномерных сфер, ассоциированная
градуированная дифференциальная алгебра {L(XG),d} про-
пространства XG представляет собой просто внешнюю алгебру
над Ro, снабженную дифференциалом. Поэтому вычисление
алгебры НЪ(Х) = H{L{Xg), d) выглядит как простая алге-
алгебраическая задача, которую можно решить непосредственно.
Однако пока что для общего понимания этой задачи сделано
очень мало. Ниже приводится несколько простых общих фак-
фактов, касающихся алгебры H(L(XG),d).
Лемма 1.1. Пусть L(XG) = А [х\,.. .,х/]®/?о — внешняя
алгебра над RG с заданным дифференциалом. Пусть а,е
s Rg — постоянный член элемента dxt, т.е. dxi = at-\- (чле-
(члены, зависящие от Xf A ^ i ^ /)). Тогда аннулятор элемента
1 е H(L(XG),d) и идеал, порожденный системой {аи ..., щ},
имеют один и тот же радикал в алгебре Rg.
Доказательство. Пусть / = Ann A) — аннулятсф
элемента 1 е H(L(XG),d). Мы покажем, что
К •••> а|)=/ = К .... а,),
откуда, очевидно, следует, что д// =У(аь ..., at). Второе
включение /^(аь ..., а/) довольно очевидно. Докажем пер-
первое включение следующим образом. Пусть
gi (x) — элементы положительной „внешней степени" и,
следовательно, [g( (х)]1 = 0. Тогда из равенства d (g{ (x)) =
= d2xt — da( = 0 следует, что d [а\~х — а\~2 • gt (х) + .. w
200 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Поэтому
Замечание. Из этой леммы следует, что идеалы / и
(аь ..., щ) обладают одним и тем же набором минимальных
простых идеалов. Рассмотрим вместо действия группы G его
ограничение на максимальный тор Т a G. Как было доказано
в теореме IV. 6, соответствующие простые идеалы в RT явля-
являются линейными идеалами и соответствуют максимальным
связным стационарным подгруппам индуцированного дейст-
действия максимального тора Т. Поэтому как следствие из теоре-
теоремы IV. 6 и леммы 1.1 мы гголучаем следующий результат.
Олдея [0 1].
Теорема VII. 1. Пусть X есть G-пространство, имеющее ра-
рациональный гомотопический тип произведения I нечетномер-
ных сфер. Тогда
max {rk Gx\ х е= X} > rk (G) -- I.
Доказательство. Так как идеал (аи ..., ш) порож-
порожден / элементами, то коразмерности многообразий, которые
ему соответствуют (и которые автоматически линейны), не
превосходят /. Поэтому доказываемая теорема непосред*
ственно вытекает из теоремы IV. 6. □
Лемма 1.2. Предположим, что X ~QSmi X ... X Sm* —
пространство, имеющее рациональный гомотопический тип
произведения нечетномерных сфер, причем
max{(mt + 1); 1 <*'</}< min {(m* + mj)\ 1 </</</}.
Тогда L(XG)= A[xu ... ,#/]® Rg и dxi= ai^ RG.
Доказательство. Из ограничения на размерности не-
немедленно следует, что все элементы размерности mf + l»
имеющие нулевую проекцию в Л [*ь ...» #/]®/?<з> например
dxi, должны принадлежать алгебре RG. Следовательно,
dxi = at e RQ. О
(В) Связность пространства F(TtX) и следствия
из нее
Для пространств X, четномерные рациональные гомотопи-
гомотопические группы которых тривиальны, т. е. n2t(X)®Q = 0>
имеется следующая полезная теорема о связности простран-
пространства F{T9X)9 см. § 1 гл. IV,
§ 1. Топологические группы преобразований 201
Теорема IV. 5. Пусть Т — тор, и пусть X есть Т-простран-
ство, четномерные рациональные гомотопические группы кото-
которого тривиальны. Тогда множество неподвижных точек F
всегда связно, (если оно непусто).
В этой части параграфа мы выведем несколько интерес-
интересных следствий из этой теоремы.
Теорема VII.2. Пусть G = SO(n) (соотв. SU(az), Spf/i)),
и пусть X — когомологическое G-многообразие, четномерные
рациональные гомотопические группы которого тривиальны.
Предположим, что F(TfX)=£0 и что система «локальных ве-
весов» на F(T,X) определяется равенством Q/?(X) = {±0r, /}.
Тогда все связные стационарные подгруппы Gx имеют вид
SO(пх) (соотв. SU(пх), Sp(nx)), где п^пх^ п — 1.
Доказательство. Доказательство этой теоремы в
сущности такое же, как и доказательство теоремы V. 2 (см.
п. (В) § 2, гл. V). Пусть Т—максимальный тор группы G и
@i, ..., 0г)—обычные координаты в Т. Из теоремы IV. 5
следует, что пространство Р(Т,Х) связно и, следовательно,
система локальных весов Qf(X) определена однозначно. Бо-
Более того, множества неподвижных точек Р(8,Х) подторов
S^T тоже связны. Пусть хе X — произвольная точка, и
пусть F (х) = F (Т°х, х) есть ^-многообразие точки х в прост-
пространстве X. С точностью до сопряжения мы можем предполо-
предположить, что (GX{]T)° =Т°Х — максимальный тор в группе G*.
Так как F(x) ^ F(T,X)f то из теоремы V. V следует, что
и с точностью до сопряжения элементом из группы Вейля
W(G) мы можем предположить, что 7^ = 01ХГ|02"П •.. П0*1-
Теперь из локального варианта следствия 2 предложения 2
п. (А) § 2 гл. V вытекает, что . %
^(Gx)=>^(G)\Tx-QF(X)\тi
Доказательство равенства
G°x = SO (пх\ \*f\ = r-t (соотв.- SU (n -1), Sp (n -1))
является теперь легким упражнением по теории алгебр Ли.
□
Следствие 1. Пусть G = SO(n) (соотв. SU(az), p()),
п ^ 10, и пусть X —топологическое G-многообразие, пер-
первый рациональный класс Понтрягина которого равен нулю и
202 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
все четномерные рациональные гомотопические группы кото-
которого тривиальны. Предположим, что
dim Нх > -g- dim G,
где (Нх)—главный тип стационарных подгрупп простран-
пространства X. Тогда все связные стационарные подгруппы Gx будут
того же типа, что и SO(nx) (соотв. S\J(nx)t SpGzx)).
Доказательство. Из теоремы о срезе следует, что
главная орбита G (xQ) = G/Hx погружается в X с тривиальным
нормальным микрорасслоением. Следовательно, из равенства
Рх(Х]О) = 0 вытекает, что Рх (G/Hx\ Q) = 0. Тогда нетрудно
улучшить доказательство из [С 30] с тем, чтобы показать, что
из условий Рх (G/Hx\ Q) = 0 и dim Hx>-^ dim G следует, что
Н\ = SO(/) (соотв. SU(/), Sp(/)), где l>jn. Тогда, при-
применяя теорему VII. 2 к индуцированному действию группы
SO (/) (соотв. SU (/), Sp (/)) на пространстве X, мы получаем, что
G£nSO(/) = SO(/*) (соотв. G°nSU(/) = St/(«, G°nSp(/) =
= Sp (lx)). Поскольку / > -g- n доказательство того, что един-
единственными подгруппами группы G, обладающими такими пере-
пересечениями, являются подгруппы вида SO(n^) (соотв. SU(m^),
Sp(ttjt)) — это снова легкое упражнение по теории алгебр Ли.
Как приложение этого следствия мы получаем такой то-
топологический вариант теоремы 2 из [С 25] (которая была
доказана там при условии дифференцируемости):
Теорема VII. 3. Пусть X~QSmiX ... X Sm* - замкну-
замкнутое топологическое многообразие, имеющее рациональный го-
гомотопический тип произведения нечетномерных сфер размер-
размерностей m/ ^ 5. Тогда
причем равенство выполняется только в случае, когда X =
= G/#, где G = SO (mi + 1)Х •♦. X SO(m/+ 1) ' и Я° =
= SO(m1)X...XSO(m/).
Доказательство. В доказательстве теоремы 2 из
[С 25] для дифференцируемого случая единственной частью,
которая опирается на дифференцируемость действия, являет-
является лемма 2 (стр. 11 из [С 25]). Однако в доказанном выше
следствии 1 как раз и содержится для топологического слу-
случая утверждение леммы 2 из [С 25]. Следовательно, нужно
§ 1. Топологические группы преобразований 203
просто заменить лемму 2 из [С 25] упомянутым следствием 1,
и тогда оставшаяся часть доказательства теоремы совпадает
с соответствующей частью доказательства теоремы 2 из [С 25].
Мы отсылаем читателя к стр. 12—15 из [С 25] за этим дока-
доказательством.
Теперь рассмотрим более частный случай, когда простран-
пространство X ~ъ S™1 X ... X Sm/ имеет целочисленный когомологи-
когомологический тип произведения нечетномерных сфер, удовлетворяю-
удовлетворяющих следующему ограничению на размерности:
max
1; 1 < / < k) < min {mt + my; 1 < i < / < k).
При этих более ограничительных условиях можно усилить за-
заключение теоремы VII. 2, распространив его на сами стацио-
стационарные подгруппы вместо их связных компонент. А именно
верна
Теорема VII. 2'. Пусть G = SO(n) (соотв. SU(/z), Sp(/z))
и пусть X — дифференцируемое многообразие, причем X ~
~zSmiX -•• XSmbu max{(mf + 1)}*^ mm {(nii + mj), 1Ф j}.
Предположим, что группа G дифференцируемо действует на
X и F(T, Х)= 0, где Т — максимальный тор в группе СЕсли
система локальных весов определена равенством QF{X) =
= {±Э*, /}, то все стационарные подгруппы Gx имеют вид
SO(nx) (соотв. SU(/zx), Sp{nx)).
Доказательство. Из ограничения на размерности и
леммы 1.2 следует, что L(XG)=A [xu ...» xk] ® Rg и dxi =
=ai^Ro. Так как Р(Т,Х)Ф0, то гомоморфизм я*: #*(BG)->
-+H*(XG) инъективен и, значит, dxi = a,- =t) при всех 1^
^ i ^ k. ОтсЮХа вытекает, что d s= 0 и Н*о (X) ^ L (Xg)>
Тогда из теоремы IV. 1 легко следует, что пространство
F(T,X) тоже имеет целочисленный когомологический тип
произведения k нечетномерных сфер. В теореме VII. 2 уже
было показано, что F(T,X) = F(GyX) (или что F(T,X) =
= F{SO(n—1)Д), если G = SO(n) и п — нечетное число),
а все группы Gx имеют вид SO (л*) (соотв. ЭЩ/г*), Sp(n*)).
Мы используем дополнительное предположение о дифферен-
цируемости действия и соотношение X~zSmiX ••• Х^^Ч
чтобы доказать, что все стационарные подгруппы Gx на са-
самом деле связны. Из дифференцируемости действия и равен-
равенства Qf(^) = {±Э/, /} следует, что группы Gx связны для то-
точек х из малой инвариантной окрестности множества F(T,X),
скажем N(F(T,X)). Теперь предположим, что имеется по
крайней мере одна точка Х\^Х с несвязной стационарной
204 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
подгруппой GXl Ф G°Xr Пусть К — такая подгруппа группы
GXl, что
GXl 3 К э GXl и K/GX[ Q*ZPi p~ простое число.
Ограничивая действие в случае необходимости на SO (я')
(соотв. SU(n'), Sp(/z')) для меньших п', можно предполо-
предположить без потери общности, что не существует собственных
подгрупп типа SO(&) (соотв. SU(&), Sp(&)), содержащих
группу /С. Пусть КР — максимальный р-тор в К. Тогда нетруд-
нетрудно видеть, что
F(KP, N(F(T, X))) = F(T, X).
Следовательно, пространство F(KP,X) ^F(T,X) (J {x\} долж-
должно быть несвязным. Поэтому
dimZ/? tT(F(KP, X); Zp) > dimZp Я* (F (Г, X); Zp) =
что противоречит теореме Бореля [Б 10] (см. следствие 2 из
п. (В) § 1 гл. IV). Следовательно, все стационарные под-
подгруппы Gx должны быть связны. О
Замечание. Приведенное доказательство в сущности
совпадает с доказательствами теорем 3.1, 3.2 и 3.3 из [С 30].
Автору кажется, что предыдущая теорема должна быть вер-
верной также и без предположения о дифференцируемости.
Следствие Г. Пусть G = SO(/z) (соотв. SU(n), Sp(n)),
где п ^ 10, и пусть X — дифференцируемое G-многообразие,
имеющее целочисленный когомологический тип произведения
нечетномерных сфер, причем Pi(X;Q) = 0. Предположим, что
dim flx>{dimG,
где (Нх) — главный тип стационарных подгрупп пространства
X. Тогда все стационарные подгруппы Gx связны и имеют вид
$О(пх) (соотв. SU(nx),Sp(nx)).
(С) Действия больших компактных групп Ли
на многообразиях Штифеля
С топологической точки зрения многообразия Штифеля яв-
являются пространствами, имеющими рациональный гомотопи-
гомотопический тип произведения сфер, но в действительности
де гомотопически эквивалентными произведению сфер (за
S 1. Топологические группы преобразований 205
исключением весьма частных случаев, таких, как
у8 6 = SO(8)/SOF) = 57X56). В большинстве случаев раз-
ницу между многообразиями^ Штифеля и произведением сфер
можно заметить с помощью квадратов Стинрода. Поэтому
интересно исследовать, как разница в действии квадратов
Стинрода проявляется в геометрическом поведении групп пре-
преобразований на этих многообразиях. Это естественная проб*
ная задача теории групп преобразований, в которой когомо-
когомологические операции, несомненно, играют существенную роль.
Пока что результаты в этом направлении еще довольно не-
неудовлетворительны и большей частью не опубликованы. Од-
Однако для того, чтобы дать хотя бы частичное указание на об-
общий тип результатов в этом направлении, мы включим здесь
в качестве примеров некоторые теоремы попроще.
Для начала напомним следующий хорошо иззестный факт
о действии квадратов Стинрода на характеристических клас-
классах по модулю 2 и когомологиях по модулю 2 многообразий
Штифеля.
Пусть ZfeO (n) — максимальный 2-тор группы О (п). Тогда
Н*(В0{п); Z2) = Z2[t0i, W2,...,Wn]<^Z2[tu...,tn] = H*(Bzp Z2),
где Wj есть /-й универсальный класс Штифеля — Уитни, отож-
отождествляемый с /-м элементарным симметрическим многочле-
многочленом от t\y ..., tn, deg//=l. Аналогично имеем (см. [Б 2])
Н*(Ви{П)\ Z2) = Z2[ci, C2, ..., cn]s=Z2[tu ..., /„] =
где Cj есть /-й универсальный класс Чжэня по модулю 2, ото-
отождествляемый с /-м элементарным симметрическим многочле-
многочле2
/
ном от 7i, /2, ..., t2n, и
/p tv ..., /J
где qi есть /-й универсальный кватернионный класс по мо-
модулю 2, отождествляемый с /-м элементарным симметриче-
симметрическим многочленом от t\, t\> ..., t4n.
206 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Предложение 1.1. Квадраты Стинрода в алгебрах Н*(ВО{п)\
Z2), H (Ви{пу> Z2), tf*(fisp(rt); Z2) задаются формулами
(i) SqiwI
(ii) 'Sq2/+1ty = 0 при всех /, / и
, (KJ),
а=-0 \ а
(iii) SqkqJ = O, если �(mod4), и
Кроме того, равенства (i) ^ (ii) выполняются также для алгебр
H*(Bso(nyy Z2) и H*(Bsv(n)\ Z2) соответственно, если положить
в huxwi = 0 и сх ==0.
Доказательство. Так как элемент Wj ^zLhh • • • Ц
есть /-й элементарный симметрический многочлен от (t\, ...
..., tn), то ясно, что
— симметрический многочлен, порожденный t\ ... /^+1 ... /у.
С помощью непосредственной индукции по п доказывается,
что
Sq^/ = Е f; "" 1 п ~ ) Wi-aWl+a-
a=0 V a /
Та же самая формула с заменой символа tj на /^ или на /j
доказывает также утверждения (ii) и (iii) для классов Чжэ-
ня по модулю 2 и кватернионных классов по модулю 2 соот-
соответственно. В случае алгебр H*(Bso(n)\ Z2) и #*(Bsu(n); Z2)
нужно просто заметить, что гомоморфизм
Н*(ВО(П)\ Z2)->Я*(Bso(я); Z2)
переводит элемент W\ в 0, а Wf в гед/ при /> 1, а гомомор-
гомоморфизм
Я* (Bv (лM Z2) -► Я* (Bsu (л)'> Z2)
переводит Ci с 0 и С/ в с/ при / > 1.
Предложение 1.2. /7#сгб Fn> л = О (п) /О (А), №„,*«»
= U (дг) /U (^) м Хл, л = Sp (n) /Sp (й) — вещественные, ком-
$ /. Топологические группы преобразований 207
плексные и кватернионные многообразия Штифеля. Тогда
(i) H*(Wnk; Z2)-AZ2[W,+1, ...,^-i])degx/ = 2/ + l,
и
Sq2' */ = ( . J^z+i ярм /^/, / + ^^—1 "Об противном случае,
(ii) Я* (*«.*'■ Z2)s Al2[xk, xk+v..., xn_xl degxf = 4j + 3t
и
Sqi{ Xj = l . \xj+t при i^j, i + j^n—I uO в противном случае.
(Hi) Если k>\> ™H*(Vntk;Z2)^AZ2[xk, xk+v ...,хп_х]
n—l и О в противном случае.
Утверждения пунктов (i) и (ii) доказаны в [Б 2]. Утверж-
Утверждение пункта (iii) можно доказать с помощью теоремы Бореля
о трансгрессии с использованием формул из предложения 1.1.
Мы отсылаем за этим доказательством к [Б 4]. Это утверж-
утверждение можно также доказать, используя изящное клеточное
разложение многообразий Штифеля, данное Миллер. Мы от-
отсылаем к гл. IV из [С 12], где приведено второе доказатель-
доказательство !).
Графически эти алгебры когомологий по модулю 2 вместе
с действием квадратов Стинрода можно следующим образом
изобразить диаграммой. Диаграмма пространства Vn,k, обо-
обозначаемая через D(Vn,k) (диаграммы пространств Wn,ky Xn,k
обозначаются софтветственно через D(Wn, k), D(Xn>k)), со-
состоит из п — k точек, занумерованных числами k, k+ I, •••
..., п—1, и ребер, соединяющих те пары точек (*,/), i<j,
для которых I . .I#0mod2. В качестве предваритель-
ного указания на тип результатов, которых можно ожидать
для групп преобразований на многообразиях Штифеля, дока-
докажем следующую теорему. Условие на размерность излишне
ограничительно, но это значительно упростит доказательство.
Теорема VII.4. Пусть Wn,k (соотв. Xn,k) — комплексное
(соотв. кватернионное) многообразие Штифеля, где^^п—Ъ)
и диаграмма D(Wn,k) (соотв. D(Xn,k)) связна. Пусть G —
1) См. также [МИ*, гл. 5]. —Прим. ред.
208 Рл. VtL Группы преобразований на компактных пространствах
— SODm), SUBm) или Sp(m), где
т = 2&>-~-(>г —£) {соотв. ^n — k).
Предположим, что группа G действует на пространстве Wnfn
(соотв. Хп, к) так, что множество неподвижных точек F не-
непусто и Qf= {±6i с кратностью /}. Тогда
(i) / — кратное числа п — &, если G = SODm) или
SUB/n); / — кратное числа 2(п — k), если G = Sp(/n).
(ii) Множество неподвижных точек F имеет тот же Z2-ko-
гомологический тип, что и подходящее комплексное (соотв.
кватернионное) подмногообразие Штифеля и, кроме того,
D(F)&D(Wn.t) (соотв. D(Xa,k)),
Доказательство. Так как доказательства в шести
случаях (которые получаются из двух возможностей для про-
пространства и трех возможностей для группы G), в сущности,
однотипны, то мы проведем доказательство только для груп-
группы SUBm), действующей на пространстве Wn, k-
(i) Из условия k > -j (n -— 3) следует, что Wn, и удовлетво-
удовлетворяет ограничению на размерности из теоремы VII. 2', т. е.
max{trtj + 1} ^ min{m; + /л/} 1). Поэтому из теоремы VII. 2'
вытекает, что стационарные подгруппы Gx имеют вид SU(mx)
и, следовательно,
F (Г, X) = F {ЪТ~\ X) = F (G, X) = F9
где Т — максимальный тор, a Zlm~l — максимальный 2-тор
группы G. Кроме того, из теоремы IV. I легко следует, что
пространство F тоже имеет целочисленный когомологический
тип произведения п — k нечетномерных сфер, т. е.
; Z)« Лх [/„..., /„.J.
A1) Поскольку F = F(G, X) = F(l\m-\ X) и Н* (F; Z2) ~
— Az,|7i> •••» fn-k]> To ясно, что спектральная последова-
последовательность Серра расслоения Хо -*- Во по модулю 2 тривиаль-
тривиальна (следствие 2 из п. (В) § 1 гл. IV) и что
О -> НЬ (X; Z2) -^ На {F; Z2) -► На (X, F; Z2) -* О
*) Отметим, что, как показано в [Б 2],
wn,k~zs2k+lxs2k+*x...x
Хп> k ~z 54^+3 X S4k+7 X ... X
— Прим. ред.
§ 1. Топологические группы преобразований 209^
— короткая точная последовательность (предложение 6 из
п. (С) § 2 гл. IV). Пусть х\, Л'2, ..., xn-k— внешние образую-
образующие алгебры #*(J;Z2), deg xj = 2 (k + /) —- 1 и x\— прообраз
элемента х\ в НЬ(Х\ Z2). Пусть
n-k
С (х^ = 2 daft + (элементы более высоких внешних
ых степеней из H*Q(F\ Z2)),
где a,i^H*(BG\ Z2)=Z2[c2, ..., c2m]. Тогда /i/2 ... fn-л: —
фундаментальный класс когомологий пространства F, а~
Х\Х2 ... xn-k — прообраз фундаментального класса когомоло-
когомологий пространства Х= Wn,k, и из равенства
I* (х{х2 ... xn_k) =
и теоремы IV. 10 следует, 4TO*det (a;.) = cl2m. Заметим, что эле-
элементы с2, Сз, ..., С2т алгебраически независимы. Следова-
Следовательно, при вычислении det (а/г) можно положить элементы
^2, ^з, •••, С2т-\ равными 0. Пусть йц — многочлен от одного
с2т, полученный подстановкой 0 вместо с2, с3, • • •» с2т-\ в а\и
Тогда det (а;..) = с£т. Так как а// по определению — однород-
однородный элемент, то а/; есть либо 0, либо степень элемента с2т.
Таким образом, из того, что а^ФО, следует, что degxj =
s= deg ft (mod 4m). С другой стороны, из того, что det(a/;) =
= с!2т Ф 0, следует, что для каждого /, 1 ^ / ^ п — k>
имеется по крайней мере одно i, такое, что йц Ф 0, т. е.
degx/= deg/*(mod 4m). Поскольку мы предположили, чта
4m^2(n — /е), и поскольку degx/= 2(£ +/)—1 для 1^
^ / ^ п — k, ясно, что вычеты {deg x\ (mod 4m); 1^/^n—k)
различны. Поэтому должно иметь место такое взаимно одно-
однозначное соответствие между множествами {£/} и {//}, что
deg Xj ^ deg /. (lViod 4m). Мы будем считать, что deg x\ ^
= deg //(mod 4m), т. е. что ?{xj) = u\\]\ по модулю (с2, ...
..., С2т-\) и членов высших внешних степеней, где ^/у==^24 к
n-k
(Ill) Теперь мы покажем, что h = l2= ... = ln-k и что
Sq2t* Xj = Xj+i тогда и только тогда, когда Sq2^// = //+f.
Заметим, что из равенства 2m = 2&+1 следует, что
Sq2*'с/Е= 0 (mod (с2, ..., c2m_i))
для всех / и i<2m. Кроме того, из условия &>у(п —3)
легко следует, что прообраз Xj элемента Xj в алгебре:
*210 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
НЪ (Х\ Z2) единствен по модулю (с2, ..., с2т-.\). Следовательно,
S([2iXj = Х/+/ тогда и только тогда,
когда Sq2ixj = x!+imod(c2, ..., с2т-\)9
ш поэтому
Sq2i xj = Xj+i тогда и только тогда,
когда I* Sq2i xi = i*Xf+imod(c2, ..., с2т-\)>
т. е.
Sq2< Cxl в Sq« a,,// = б,, Sq« // = i*x/ + / =
= а/+Л /+;//+* (mod (c2, ..., c2m.i)).
Таким образом,
Sq2i Xf = Xj+i тогда и только тогда,
когда й//= £/+/./+< и Sq2ifj = ff+i.
Наконец, из предположения, что диаграмма D(Wntk) связна
и аи1=п2,2= .-• =un-k.n-k> следует, что
det(a//) = Kmrfe = 4m, т. е. / = /1(п~^).
Тогда нетрудно проверить, что Н* (F\ Z2)^H*(Wn^ Z2) как
алгебры над алгеброй Стинрода, где n = n — 2lltn и k =
k 2l U
Замечание. Если ограничить действие группы SU(n)
на Wn,k на подгруппу G = SUBm), вложенную с помощью
представления /г|л2т +(п — 2/im)8, где 8 — тривиальное од-
одномерное представление, то множество неподвижных точек F
действительно является подмногообразием Штифеля Wn %, где
п = п — 21\т и k = k — 2/im.
Следствие 1. Пусть X=Wn,k (соотв. Xn,k), причем
Л >у(п — 3) и диаграмма D(Wn,k) (соотв. D(Xn,k)) связна.
Пусть G = SO(m), SU(m) или Sp(m), где
[f ]>2&> 1 (м - А) (соотв. >(л - ft)),
d = 4, 2, 1 соответственно. Предположим, что группа G дей-
действует на пространстве X так, что множество F неподвижных
точек непусто и Йр={±8/ с кратностью /}. Тогда I — крат-
кратное числа п — k, если G = SO(m) или SU(m), и кратное чи-
числа 2 (п — k), если G = Sp (m).
§ 1. Топологические группы преобразований 21 f
Доказательство. Это следствие вытекает из теоремы
VII. 4, примененной к индуцированному действию группы
SOB*+2), SU^1) или SpB*) соответственно. □
Теперь мы рассмотрим следующую проблему классифи-
классификации.
Проблема 8. Пусть М = G/H — заданное компактное
однородное пространство, где G транзитивно и эффективна-
действует на М. Классифицировать все эффективные диффе-
дифференцируемые G-действия на пространстве М с точностью до
сопряженности в группе Diff(M).
В большинстве случаев кажется разумным ожидать, что
окончательное решение поставленной проблемы классифика-
классификации состоит в том, что первоначально заданное транзитивное
G-действие есть единственное возможное эффективное G-дей-
ствие на пространстве М. В качестве пробных пространств
для этой задачи мы используем многообразия Штифеля.
Теорема VII.5. Пусть М — многообразие, гомотопичесш
эквивалентное пространству Wn,k (соотв. Xn,k), где-
k ^ у (п — 3) ^ 3, с заданным (нетривиальным) дифферен-
дифференцируемым действием группы G = SU(n) (соотв. Sp(n)). То-
Тогда все орбиты имеют один и тот же тип и изоморфны подхо-
подходящему многообразию Штифеля^ Wn, i (соотв. Хп, i), где I ^ ky
а пространство орбит M/G гомотопически эквивалентно про-
пространству Wi,k (соотв. Xi,k). На самом деле М — простран-
пространство расслоения для расслоения Wn,i"^M-^M/G « Witk
(соотв. Хп, i -> М -> M/G &Xlik).
Следствие 1. Предположим, кроме того, что диаграмму-
D(Wn,k) (соотв..D(Xn,k)) нельзя разложить в несвязное объ-
объединение диаграмм D(Wn,i) и D(Wi,k) (соотв. D(Xn,i) и
D(Xi)k)) при некотором /, k < I < п. Тогда само многообра-
многообразие М должно быть пространством Wn,k (соотв. Xnik), и един-
единственное нетривиальное G-действие на М — это обычное тран-
транзитивное действие.
Следствие 2. Предположим, что М — многообразие, гомо-
гомотопически эквивалентное пространству Wn,k (соотв. Xn,k), где
k > ~ (п — 3) > 3, и пусть G = SU (пг) (соотв. Sp (m)). Если
m > п, то не существует нетривиальных G-действий на мно-
многообразии М.
Замечания, (i) Приведенные выше теорема и след-
следствие верны в случае SO-действий на пространствах
212 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Vn,k> &^"(ft"~ 3)^3. Однако в вещественном случае дока-
доказательство является несколько более сложным ввиду наличия
2-кручения.
(п) Ограничение на размерность k >тг(га—-3) можно зна-
значительно ослабить, используя более сильные средства, чем то
простое доказательство, которое здесь приведено.
Доказательство теоремы VII. 5. A) Пусть G/H—
главный тип орбит1) заданного G-действия на простран-
пространстве М. Тогда dim Н ^ dim SU(£) (соотв. Sp(&)),
&^у(/г — 3)^3 и многообразие G/H должно быть ста-
стабильно параллелизуемым2). Используя знания о подгруп-
подгруппах большой размерности классических групп [Д 2] и эф-
эффективное вычисление характеристических классов однород-
однородных пространств в терминах корней и весов [Б И], [С 30],
можно показать с помощью довольно утомительных, но
несложных рассуждений, что многообразия Штифеля — един-
единственные однородные пространства, которые удовлетворяют
этим двум условиям. Поэтому главный тип орбит G/H = Wn,i
(соотв. Хп, i)y l^k. (За доказательством мы отсылаем чита-
читателя к работам [С 30], [Г 6].
B) Применяя теорему VII. 2' к индуцированному SU(/)-
(соотв. Sp(/)-) действию на многообразии М, нетрудно убе-
убедиться, что все орбиты также являются многообразиями Шти-
Штихеля, а именно G(х) = Wn, ix (соотв. %n,fx), U^-U Для всех
х <= М. Мы утверждаем, что все орбиты на самом деле яв-
являются главными орбитами, т. е. 1Х = / для всех х ^ М. Пред-
Предположим, напротив, что существует некоторая точка х е Л1,
такая, что G* = SU(/*), 1Х > /• Тогда легко видеть, что пред-
представление <рх группы SU(/X) на срезе в точке х задается фор-
!) На протяжении гл. VII автор называет главным типом орбит не
класс сопряженных стационарных подгрупп (Я) в G, а пространство смеж-
смежных классов G/H. — Прим. ред.
2) Дифференцируемое многообразие М называется стабильно паралле-
.лизуемым, если его касательное расслоение Т(М) стабильно тривиально,
т. е. если Т(М) -|- т0 тривиально для некоторого натурального т. Автор
-неоднократно использует следующий факт: если компактная группа Ли G
дифференцируемо действует на стабильно параллелизуемом многообра-
многообразии М, то главная орбита группы G также стабильно параллелизуема. Это
легко следует из того, что, как видно из теоремы A.5), нормальное рас-
расслоение над главной орбитой тривиально. Многообразия Штифеля Vn, ь
Wn, ft, Xn k являются стабильно параллелизуемыми, что видно, например, из
того, что они служат главными орбитами для линейных представлений
{n — k)pn, (n — k)iin, (n — k)vn групп SO (л), SU(rt),'Sp(tt) соответствен-
соответственно.— Прим. ред.
§ 1. Топологические группы преобразований 213
мулой фд. = AХ — I) [ilx + шО, где \ilx — стандартное представ-
представление группы SU(/a:) в пространстве j^2^ a 6 — тривиальное
одномерное представление. Поэтому на пространстве орбит
M/G естественным образом определен^ структура многооб-
многообразия, внутренними точками которого являются образы глав-
главных орбит, а краем —образы сингулярных орбит; по предпо-
предположению край не пуст. Кроме того, dim M/G = dim M —
— dim Wn, i = dim Wi, * (соотв. = dim Xit k). Так как
H!(G(x)\ Q) = 0 для /<2/ (соотв. 4/+ 2)) и всех х<==М,
то из теоремы Вьеториса — Бигля об отображении ([С9,
стр. 445]) следует, что отображение
я: M-+M/G
индуцирует изоморфизм когомологийЯ^М/б; Q)-^> Hf (M; Q)
для / ^ 2/ (соотв. / ^ 4/ + 2). Следовательно, существуют
классы когомологий
(M/G\ Q) (соотв. уАМ е Я«+з (Af/G; Q)),
такие, что элементы л*(у2ж) (соотв. я*(у4/+з)) не равны 0 и
составляют часть внешних образующих алгебры Н* (М\ Q).
В частности,
(СООТВ. Я*(у4*+3 • • • 4?4/-l) = #4fe+3 • • • У4/-1 Ф 0),
что приводит к противоречию, поскольку M/G — компактное
многообразие с непустым краем и, следовательно, его когомо-
логии максимальной размерности равны нулю. (Заметим, что
*/2fe+i ... p2i-\ (соотв. y4fe+3 .-. Sai-i) — класс когомологий мак-
максимальной размерности пространства M/G). Это противоре-
противоречие доказывает, что все орбиты в М принадлежат типу Wn,i
(соотв. Xn,i).
C) Следовательно, М — пространство расслоения следую-
следующего расслоения:
Wn>k->M->MIG (соотв. Xn,k->M->MIG).
Мы покажем, что пространство M/G гомотопически эквива-
эквивалентно пространству Wi, ъ (соотв. Xiyk). Так как простран-
пространство М односвязно, а слой связен, то ясно, что пространство
M/G тоже односвязно. Рассмотрим теперь следующие отобра-
отображения:
214 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Нетрудно видеть, что композиция этих отображений индуци-
индуцирует изоморфизм алгебр когомологий #*(M/G;Z)->
->#*(№/, k\ Z). Поэтому из теоремы Уайтхеда следует, что
Wik-^M/G — гомотопическая эквивалентность, см. [С 9,
стр.514], [Р2*,стр. 440]. D
В крайнем случае k = 0 многообразия W/WH==SU(n) и
XAi)o==Sp(ft) совпадают с самими групповыми пространства-
пространствами и имеется возможность присоединенного действия группы.
В действительности в некоторых случаях можно доказать, что
по существу единственными возможными нетривиальными
действиями простой компактной связной группы Ли на себе
являются присоединенное действие и транзитивное действие.
Гипотеза. Пусть G— компактная связная простая
группа Ли, и пусть Ф — нетранзитивное нетривиальное дей-
действие группы G на многообразии М, гомотопически эквива-
эквивалентном пространству группы G. Тогда структура орбит дей-
действия Ф когомологически должна совпадать со структурой
орбит присоединенного действия, т. е.
(i) главный тип орбит действия Ф есть многообразие
флагов G/T,
(и) F(T, M)~zT, и система локальных весов тора Т на
F(T, X) задается равенством Й^(Ф)=Д(О) (система корней
группы G),
(Hi) группа Вейля W действует на пространстве F(T, M)
как группа дифференцируемых преобразований, порожденная
отражениями; пространство орбит M/G = F(T, M)/W имеет
тот же когомологический тип, что и многогранник Картана
G/Ad.
(D) Формулы Боре ля высших порядков
Для топологических действий элементарных абелевых
групп на гомологических сферах справедлива следующая
важная формула Бореля (см. теорему IV. 7):
dim X — dim F = £ (dim Y{ — dim F),
где Yi пробегает все /^-многообразия (соотв. F-многообра-
зия) коранга 1 в пространстве X. В частности, если F =
— F(T, Х) = 0, то эта формула принимает вид dimX-f 1 =
= £(dimy£ + 1)- В диссертации Гольбера [Г 4] была дока-
доказана следующая формула второго порядка для действий эле-
элементарных абелевых групп на произведении двух нечетномер-
ных сфер.
§ 1. Топологические группы преобразований 215
Теорема VII. 6 (Гольбер). Предположим, что тор Т дей-
действует топологически на пространстве X ~QSpXSq, где р и
q — нечетные числа, и предположим, что F(T, Х)=0. Тогда
е{Х)-е (F (T)) -Z[e(F (Я)) - е (F (Т))] =
= TLU(F(Ki)-e(F(T))- £ [e(F(H))-e(F(T))]]9
где Н пробегает все подторы коранга 1, а К пробегает все
подторы коранга 2 в торе Т и где e(Y)*=(m + 1) (п + 1), если
Y -qS^XS".
Замечание. Предположение F(T, X)'= 0 излишне. Та
же формула была доказана позднее Чаном и Шельбредом
[4 2] в случае, когда F(T, Х)Ф0.
Предположим вообще, что тор Т топологически действует
на пространстве X, имеющем рациональный гомотопический
тип произведения / нечетномерных сфер. Тогда из теоремы
VII. 1 следует, что всегда существует некоторое F°-MHoroo6-
разие коранга не больше чем I. В простейшем крайнем слу-
случае, когда все /^-многообразия пространства X имеют коранг
не меньше чем /, мы получаем следующую формулу /-го по-
порядка типа формул Бореля — Гольбера.
Теорема VII. 7. Пусть X — пространство, имеющее рацио-
рациональный гомотопический тип произведения I нечетномерных
сфер с заданным действием тора Т. Предположим, что ко-
ранги всех F0-многообразий пространства X не меньше чем /,
т. е. corank Тх ^ I для всех х^Х. Тогда все F^-многообразия
пространства X снова имеют рациональный гомотопический
тип произведения I нечетномерных сфер и
еде Yi пробегает все F^-многообразия коранга 1 в простран-
пространстве X, a e(Z) определено формулой e(Z) = Д (п/ + 1), если
Доказательство теоремы VII. 7. A) Пусть
{L(XT)> d)—ассоциированная градуированная дифференци-
дифференциальная алгебра пространства Хт, т. е. L(XT)= Л[х\, ...
..., xi] (g) Rt — внешняя алгебра над RT, и дифференциал
определен равенством
dxi = ui + (члены, содержащие хг),
216 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Ввиду предположения, что согапк Тх ^ / для всех xeI, из
леммы 1.1 и теоремы IV. 6 следует, что все многообразия, от-
отвечающие идеалу /= (аь ..., а/), линейны и что их коразмер-
коразмерности в точности равны /. Поэтому из теоремы Маколея [3 1,
стр.237] следует, что codim (aiv air ..., ai}) = j из всех на-
наборов (tv ..., /у) и (щ{9 щ2, ..., щ}) : (aif+l) = (aili ..., af/)
для всех (iv ..., //+1).
B) Предположим, что dim х\ ^ dim х2 ^ ... ^ dim хи
Пусть FlL(XT)—внешняя подалгебра (над /?г), порожден-
порожденная системой {х\, ..., Xi). Тогда
О £ FlL (XT) s F2L (XT) s...sFlL (XT) <=...<=FlL (XT) =
— возрастающая фильтрация алгебры L(XT) градуированны-
градуированными дифференциальными подалгебрами над Rr. Поэтому име-
имеется ассоциированная спектральная последовательность, схо-
сходящаяся к H(L{XT),d)= Н*(ХТ). Непосредственное вычисле-
вычисление, учитывающее сформулированные выше исключительно
благоприятные условия на идеалы, показывает, что Н*(ХТ) =
^Rt/I как /?г-алгебра. Более того, систему внешних обра-
образующих {хиХ2у.. .,#/} алгебры L(XT) можно заменить такой
системой {х\9 х2,..., xi}, что dxt = а{ е Rt для всех 1 ^ i ^ I.
Это утверждение доказывается следующим образом. Предпо-
Предположим, что i — наименьшее такое число, что dxt = cti + gt(x),
где gi(x)=£0. Тогда dgi{x) = d2xi — dat = 0. Но мы уже до-
доказали, что H*(Xt) = Rt/I, поэтому все циклы ненулевых
внешних степеней в алгебре L(XT) должны быть границами,
т.е. gi(x)=dfi(x). Следовательно, мы можем просто заме-
заменить Xi на Xi = Xi — ft(x). Продолжая действовать аналогич-
аналогично, мы получим новую систему внешних образующих {х\,
#2, ..., xi}, такую, что dxt = at.
C) Как следствие равенств dxt = щ из теоремы локали-
локализации и теоремы IV. 1 легко вытекает, что все /^-многообра-
/^-многообразия в пространстве X снова имеют рациональный гомотопи-
гомотопический тип произведения/нечётномерных сфер. Пусть PxT(t) —
ряд Пуанкаре алгебры //*(Xr;Q). Используя благоприятные
условия на идеалы из A), нетрудно показать, что
г0 ГП
гдег==гк(Г) и X^qS^X-
§ 2. Степень симметричности 217
То же вычисление, примененное к /^-многообразию У/ ко*
ранга /, приведет к формуле
где Yf ~qS ■ X • • • X S *. Следовательно,
i
Jim A - t)r~' PXt @ = -5Г П
i
П {q + !)
J
Поэтому формула
вытекает непосредственно из предложения 1 § 2 работы
[С 24]. □
Ввиду излрженных выше результатов естественно за*
даться следующим вопросом.
Проблема 9. Каков общий вид формул Бореля 1-го по-
порядка для действий тора на произведении / нечетномерных
сфер? Точнее, мы хотели бы получить формулу, которая вы-
выражает е(Х) через числа e(Y) для F0-MHoroo6pa3HU Y ко-
ранга ^ /.
§ 2. Степень симметричности компактных однородных
пространств
Для заданного дифференцируемого многообразия М диф-
дифференцируемая степень симметричности пространства М, обо-
обозначаемая через Na(M), определяется формулой
Nd(M) = max {dimG; все компактные подгруппы G s Diff (M)}t
В случае компактных многообразий это понятие степени сим-
симметричности совпадает со следующим инвариантом, который
определяется в терминах Симметрии всех римановых метрик,
совместимых с дифференцируемой структурой. А именно
N'd(M) = max {dim ISO (v)},
где v пробегает все римановы метрики на пространстве /И,
совместимые с дифференцируемой структурой,
218 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
Равенство Na (М) = N'd (M) вытекает из следующих хорошо
известных результатов: (i) полная группа изометрий ISO(v)
римановой метрики v на компактном многообразии М всегда
есть компактная группа Ли, (ii) каждая компактная под-
подгруппа G^Diff(Af) может быть реализована как группа изо-
изометрий подходящей римановой метрики на М. В этом пара-
параграфе мы исследуем степень симметричности компактных
однородных многообразий и несколько связанных с этим
задач. Наша центральная тема — проверка в ряде пробных
случаев следующей общей гипотезы.
Гипотеза. Предположим, что М=О/Н — компактное
однородное пространство, а О — одна из эффективных и тран-
транзитивных компактных групп преобразований максимальной
размерности на М. Тогда Nd(Af) = dim G.
Заметим, что, с одной стороны, совокупность компактных
однородных пространств включает в себя большое многооб-
многообразие топологических типов, а с другой стороны, поведение
групп преобразований на данном пространстве, очевидно,
сильно зависит от топологического типа данного простран-
пространства. Поэтому непохоже, чтобы эта гипотеза была когда-либо
доказана единым методом. Необходимость изучать простран-
пространства различных топологических типов по отдельности являет-
является, вероятно, одной из характеристик, внутренне присущих
предмету топологических групп преобразований. Грубо гово-
говоря, трудность доказательства этой гипотезы пропорциональна
сложности топологического строения пространства О/Н и об*
ратно пропорциональна числу dim G/dim(G/#j. Технически
одна из главных трудностей в вычислении степени симметрич-
симметричности Nd{M) данного многообразия М заключена в том, что
тип групп преобразований G максимальной размерности на
многообразии М, т. е. таких групп G, что dim G = Nd(M),
остается неопределенным вплоть до самого конца доказатель*
ства. Одним из способов избежать этой трудности является
рассмотрение простой степени симметричности, обозначаемой
через SNd(M), которая по определению равна
SNd{M) = max {dim G}9
где 0 пробегает все простые компактные подгруппы Ли груп-
группы Diff(Af),
(А) Степень симметричности компактных неприводимых
симметрических пространств малых рангов
С геометрической точки зрения компактные симметриче*
ские пространства ранга 1 являются наиболее однородными
геометрическими структурами, Их можно охарактеризовать
§ 2t Степень симметричности - $19
также как так называемые двухточечные крмпактные одно-
однородные пространства [В1], [XI]. Следовательно, естествен-
естественно ожидать, что естественная однородная метрика на таких
пространствах есть на самом деле наиболее симметричная
метрика. В классических случаях М = Sr или М = RPn это
хорошо известно (теорема Фубини — Биркгофа). Оставшиеся
случаи CPnt QPn и F4/Spin(9) могут быть разобраны когомо-
когомологическими методами. Мы сформулируем результат следую-
следующим образом. }
Теорема VII.8 [С25]. Пусть (M,vo)—компактное рима-
ново симметрическое пространство ранга 1 и М — дифферен-
дифференцируемое многообразие. Если v'— другая риманова метрика
на М, то
dim ISO (v') < dim ISO (v0) = Nd (Af),
причем равенство выполняется только в случае, когда мет*
рики v' и vo пропорциональны.
Доказательство. Случаи М = Sn или М = RPn хо-
хорошо известны1). Мы разберем оставшиеся случаи СРп, QPn
и FJSpin{9) по отдельности.
A) Случай М=СРп. Пусть G— компактная группа Ли,
эффективно действующая на пространстве СРп, и пусть
dim G ^ dim SU (п + 1) = п2 + 2л. Пусть T^G — макси-
максимальный тор группы G и Q = {wj, kj) — система весов инду-
индуцированного Г-действия на СРп. Так как G-действие по пред-
предположению эффективно, то из теоремы VI. 1 следует, что
KerQ= {te= T\ wx=w2= ... = ws} = {e}, и, значит, rk(!TX
^ s — 1 ^ п. Кроме того, система Q инвариантна относи-
относительно действия группы Вейля W(G).
Из следующей таблицы легко следует, что G=SU(n+l) —
единственная вбзможная компактная группа Ли, такая, что
dim G ^ п2 + 2дг, rk G ^ п, и обладающая инвариантной (от-
(относительно группы Вейля) системой весов Q, для которой
KerQ={e}.
B) Случай М = QPn. Пусть G — компактная группа Ли,
эффективно действующая на пространстве QPn, и пусть
dim G ^ dim Sp (n + 1) =2п2+ Ъп + 3. Снова из теоремы VI. 6
следует, что rk G ^ п + 1, а система весов Q должна состоять
из четного числа весов и быть инвариантной относительно
группы Вейля W(G). Из следующей таблицы нетрудно вы-
вычитать, что единственные возможные компактные группы Ли,
которые удовлетворяют условиям dim G ^ 2п2 + Ъп + 3,
rk G ^ п + 1 и обладают инвариантной системой весов Q,
состоящей из четного числа весов и такой, что KerQ = {0},—
l) См. [К5*, теорема З.Ц. — Прим. ред.
2?0: i
Гл. W/.
Группы преобразований на компактных
Таблица 1. Минимальное число весов и размерности
G
Аг
вг
Cr
Dr
*
я,
E7
*
rkG
г
г
г
г
2
4
6
7
8
dlmG
r> + 2r
2г2 + г
2г2-г
14
52
78
133
248
т]о — минимальное
число весов
в инвариантной системе
г+1
ъ
2г
2г
6
24
27
56
238
пространствах
простых групп
dim G/цо
<г+О-1/(г+1)
1
' + Т
1
14
6
13
6
78
27
133
56
248
238
это Сп+\ и Вя+ь Кроме того, легко также видеть, что G-дейст-
вие должно быть транзитивным. Однако группа Bn+i не мо-
может транзитивно действовать на пространс+ве QPn [О 2]. Сле-
Следовательно, G=-Sp(/i+ 1) и инвариантная метрика V долж-
должна быть пропорциональна симметричной метрике vo.
C) Случай /?4/Spin(9). Пусть G—=• любая компактная
группа Ли, эффективно действующая на многообразии, имею-
имеющем рациональный когомологический тип октавной проектив-
проективной плоскости. Мы утверждаем, что rk G ^ 4 и, следователь-
следовательно, dimG^dimF4 (так как FA имеет наибольшую размер-
размерность среди всех групп Ли ранга 4). Чтобы показать, что
rk G ^ 4, мы можем без потери общности предположить, что
G = Т- тор. Тогда Нт (X) = Rt Ш (£)), где /(£) =
==(£ — ai) (£ — a2) (I — a3), ai<=Hq(BT). Предположим, что
«i, a2, a3 — различные корни. Тогда пространство F(TfX)
состоит из трех изолированных неподвижных точек. Кроме
§ 2. Степень симметричности 221
того, простое вычисление показывает, что (cti — 0&2) (ai — аз)
разлагается в произведение локальных весов в неподвижной
точке р\ (соответствующей корню ai) (по теореме IV. 10).
Следовательно, существует подтор Т коранга 2, множество
неподвижных точек F(T'fX) которого связно и поэтому либо
имеет когомологический тип пространства СР2, либо имеет
когомологический тип пространства QP2, либо совпадает со
всем пространством. Предположим, что FG", X)~qCP2. Тог-
Тогда существует подтор коранга 1 в Т', скажем Г", такой, что
или F(T", X)~qCP2, или F(T'\X) совпадает со всем прост-
пространством. Предположим, что F(T", X)~qQP2. Тогда можно
снова ограничить действие на подходящий подтор коранга 1
в торе Г", скажем на тор Г", такой, что F(T"\X) = X. Та-
Таким образом, существует подтор V" коранга не больше 4,
тривиально действующий на пространстве X. Но по предпо-
предположению тор Т действует эффективно и rk T ^ 4. Другие воз-
возможности разбираются еще проще, и в некоторых случаях
можно доказать, что rk T < 4. □
Теперь рассмотрим неприводимые компактные симметри-
симметрические пространства ранга 2. Среди них групповые многооб-
многообразия простых компактных групп Ли ранга два, а именно А2>
В2 и G2i в топологическом смысле являются простейшими.
Теорема VII. 9. Пусть М — групповое многообразие про-
простой компактной группы Ли ранга два, т.е. М = А2, В2 или
G2. Тогда Nd (M) = 2 - dim M.
Доказательство во всех трех случаях А2, В2 и G2t
в сущности, аналогично. Среди них случай G2 наиболее сло-
сложен. Мы дадим доказательство только в случае G2 и оставим
два других более простых случая читателю. Нам требуется
следующее предложение 2.1, которое довольно интересно са-
само по себе.
Предложение 2.1. Имеется только два возможных (нетри-
(нетривиальных) дифференцируемых Содействия на самом группо-
групповом многообразии группы G2, а именно транзитивное дейст-
действие и присоединенное действие.
Доказательство. A) Пусть G2/H — главный тип
орбит заданного нетривиального бг-действия на себе. Если
dim Н = 0, то действие, очевидно, транзитивно и #={е}.
Если Н = Т — максимальный тор, то ясно, что F = F(T, G2) —
двумерный тор (как пространство) и что система ненулевых
локальных весов тора Т вблизи множества неподвижных то-
точек определяется равенством Qf=A (G2). Кроме того, нетрудно
показать, что группа Вейля W(G) действует на пространстве
222 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
F как группа, порожденная отражениями, и что пространство
орбит данного Содействия естественно отождествляется с про-
пространством F/W(G2), которое ^есть двумерный симплекс. От-
Отсюда легко видеть, что такое действие эквивалентно присое-
присоединенному.
B) Предположим, что dim # > О и Н ФТ*. Так как груп-
групповое многообразие G^, очевидно, является параллелизуемым
многообразием, то из теоремы о срезе легко следует, что мно-
многообразие Ог/Н стабильно параллелизуемо. Нетрудно прове-
проверить, что G2/SUC) = S6, G2/SUB)=y7M и G2/S (где S —
одномерная подгруппа в Т) —единственные стабильно парал-
лелизуемые однородные пространства группы G2, за исклю-
исключением случая G2/7\ который уже был рассмотрен в A). Мц^
покажем путем перебора, что все эти три случая невозмож-
невозможны. Случай G2/S легко исключается. Так как G2/S — орбита
коразмерности один, то пространство орбит должно быть ин-
интервалом. Довольно ясно, что многообразие G2 нельзя по-
построить таким образом. Затем предположим, что главный тип
орбит — это G2/SUB). Тогда нетрудно показать с помощью
теоремы о срезе, что G* = SUB), SUC) или G2, а простран-
пространство орбит — это трехмерное рациональное когомологическое
многообразие с непустым краем. Следовательно, HZ(X/G2\ Q) =
= 0. П другой стороны, из теоремы Вьеториса — Бигля об
отображении и того, что #'(G(x);Q) = 0 для /^4 и всех
xg=X, вытекает, что HZ{XIG\ Q)o*Hz(X; Q)^Q Ф 0. Это про-
противоречие доказывает, что главный тип орбит не может быть
равен G2/SUB).
C) Наконец, покажем, что S6 = G2/SUC) тоже не может
быть главным типом орбит. Предположим противное. Тогда
единственные возможные типы орбит — это либо точка, либо
RP6. Если орбит типа RP6 нет, то с помощью процедуры раз-
раздутия из [С 17] мы получаем, что пространство орбит X/G —
многообразие, край которого составляют образы неподвиж-
неподвижных точек. Кроме того, X = d[(XJQ)X^D7]. Простые тополо-
топологические соображения показывают, что пространство G2
нельзя получить таким образом (потому что G2^S8X«SU).
Предположим, что имеется по крайней мере одна орбита,
скажем G(#o), типа RP*. Пусть | — каноническое расслоение
на прямые над пространством RP*. Тогда из теоремы о срезе
следует, что нормальное расслоение v(G(xo)) имеет вид а| +
+ 68, где а + 6«= 14 —6 = 8 и 6 — тривиальное расслоение
на прямые. Более того,
Так как порядок расслоения I в группе КО (RP6) равен 8
[Хб*, гл, 16], то а должно быть равно 1. Следовательно,
2. Степень симметричности
/^-многообразие точки х0 имеет вид /?Р6ХМ7, где М7 — ком-
компактное многообразие без края. Если мы ограничим бг-дей-
ствие на один из максимальных 2-торов группы G2, скажем
на Q, то ясно, что
, X); Z2) > dimZ2#* (F (Q, #P6XM7); Z2)>
2=14>8 = dim^H*(X, Z2),
что противоречит результату Бореля [Б 4] (см. следствие 2
из п. (В) § 1 гл. IV.
Все эти противоречия доказывают, что транзитивное дей-
действие и присоединенное действие — единственные нетривиаль-
нетривиальные действия группы G2 fra себе.
Следствие 2.1. Все дифференцируемые действия группы
SO (л), п^7, на многообразии G2 должны быть тривиалъ*
ными.
Доказательство. Это легко получить из предложе-
предложения 2.1 путем ограничения данного SO (n) -действия на G2 s
SOG)SO() D
Доказательство теоремы VII. 9 в случае
группы <?2. Напомним, что
Я* (Оя; Z2) = 22
где индекс при каждом образующем означает степень, и
Sq2Ar3 = X5 в /f*(G2;Z2). Мы отсылаем за вычислением кого-
мологий исключительных групп Ли к работам Бореля [Б 4]
и Араки [А 5]. Основная трудность состоит в доказательстве
того, что не существует SO E)-действий на пространстве G2
с главным типом'орбит 54 = SO E) /SO D).
A) Предположим, напротив, что на пространстве G2 име-
имеется SO E)-действие с главным типом орбит S4. Тогда мы
утверждаем, что орбит типа RP4 нет. Доказательство, в сущ-
сущности, такое же, как и доказательство предложения 2.1. Дей-
Действительно, в противном случае F-многообразие точки Xq
с орбитой G (xq) = RP* должно иметь вид
где М1 — компактное многообразие без края, размерность /
которого райна 3 или 7. Поэтому, ограничивая действие на
максимальный 2-тор Q, получаем
H*(F(Q; Oj); Z2) > dimz, Я* (F (Q, RPXM7); Z2)>
2 = 10 > 8 = dimZj H* (G2; Z3),
224 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
что противоречит результату Бореля (см. выше). Следова^
тельно, орбит типа RP4 нет, и с помощью процедуры раздутий
из [С 17] мы получаем, что пространство G2 совпадает как
SO E)-пространство с пространством д(Х'Х^5)> где X'—
пространство орбит, край которого составляют образы непод-
неподвижных точек, a SO E)-действие на пространстве X'Y^D* за*
дается равенством g(x, d) = (x, g*d). Мы утверждаем, что
дХ' Ф 0. Действительно, в противном случае G2 = X' X 54,
а это, очевидно, невозможно. Пусть Т2^ SO D)^ SO E) —
максимальный тор группы SOE). Тогда F(T2t G2) =
= F(T2,d(X' XD*)) = д(Х' X D1)— дубль пространства X'
вдоль краядХ' и F(Q, G2) = F(Q,d(X'XD5)) = dX'. Заметим,
что X' 2-связно и Я3(Х'; Z)^ Я3(О2; Z)^ Z. Нетрудно пока-
показать, что F(P, G2) = F(S0D),G2) = <5(rX01)-Q53XS7.
Отсюда легко вывести, что пространство дХ' = F(Q, G2)
связно, и получить противоречие из рассмотрения когомоло-
когомологического строения пространства G2 по модулю 2 и следую-
следующего отображения:
#soE) (G2; Z2) -> Hlo E) (Л Z2) = Я* (дХ'\ Z2) ® Я* (Bso E>; Z2).
B) Из A) легко следует, что на пространстве G2 нет дей-
действий, все типы орбит которых имеют вид Sl, RP1 или являют-
являются точкой, если /^4. Аналогично на G2 нет SU(/) -действий
с главным типом орбит 52;~1,если /^4, и на G2HeT Sp (/) -дей-
-действий с главным типом орбит S4*-1, если / ^ 2. После всех
этих ограничений на возможные главные типы орбит дейст-
действий простых компактных групп Ли на пространстве G2 дока-
доказательство теоремы VII. 9 в случае G2 проводится непосред-
непосредственным перечислением. В действительности единственная
компактная группа Ли размерности ^28, которая может эф-
эффективно действовать на пространстве G2, — это группа G2X
X G2, действующая с помощью правых и левых сдвигов. D
Теперь рассмотрим вещественное многообразие Грассмана
двумерных подпространств Gn, 2= SO(n)/SO(n — 2)X SO B).
В случае когда п нечетно, пространство Grt, 2 имеет тот же
рациональный гомотопический тип, что и СРп~2.
Теорема VII. 10. Пусть Gn, 2 = SO(n)/SO{n — 2)XSOB),
и пусть п — нечетное число. Тогда
Замечание. Заметим, что пространства Gn,2 и СРп~2
имеют один и тот же рациональный гомотопический тип, но
Nd (О/г, 2) = y п (п ~~ П "" лишь близко к половине числа
§ 2. Степень симметричности 225
Доказательство. Напомним, что целочисленные ко-
гомологии и когомологии по модулю 2 пространства Gn, 2
имеют следующий вид (мы отсылаем к работе [Б 4] за их
фактическим вычислением):
Н* (Gn, » Ч = Z2[
где r=(n—1)/2, а индекс при каждом образующем озна-
означает степень.
A) Если / ^(п + 1)/2, то на пространстве Gn, 2 не суще-
существует нетривиального SU(/)-действия. Предположим против-
противное. Так как Gn> 2 ~q CPn~2, то из теоремы IV. 3 следует, что
где /(£) = (£—■ а^1 ... (g — asL 2*/ = ^—1, а система ве-
весов Q = {а/, &/} инвариантна относительно группы Вейля
группы SU(Z). В силу предположения 1^(п+1)/2 ясно,
что единственная инвариантная система весов, для которой
X kj — п — 1, — это следующая система:
Q = {9b ..., 9; с кратностью 1, 0 с кратностью лг — / — 1}.
Тогда нетрудно видеть, что имеется изолированная орбита
типа СР1~\ такая, что пространство F(T,CPl~l) состоит из I
изолированных точек пространства F(T,Gn,2), соответствую-
соответствующих весам 0iу..., 0/ соответственно. Если ограничить дейст-
действие на максимальный 2-тор Q группы SU(/), тЬ из коммута-
коммутативности следующей диаграммы вытекает, что гомоморфизм
I* : H*(Gn,2; Z2) -> H*(CPl~l; Z2) переводит образующий и%
в образующий г) е= H2(CPl~l; Z2):
H*(Gn>2; Z2)«-#Q(Gn,2; Z2) * H*Q(F; Z2)
Н*(СР1~Х; Z2)<~Hq(CP1-1; Z2) -> H*Q (F (Q, CP1'1); Z2).
Но это противоречие, поскольку 0 = i* (u!^) = i* (u2)r — г\гФ0.
B) Пусть G — эффективная дифференцируемая компакт-
компактная связная группа Ли преобразований на пространстве Gn,2,
и пусть Т — максимальный тор группы G. Пусть Q — система
весов, а G/H — главный тип орбит. Тогда система Q инва-
инвариантна относительно группы Вейля W(G) и главный тип
орбит G/H можно вычислить по системе Q (см. теорему VI. 2).
Отсюда и из очевидного факта rk(G)^/z — 2 нетрудно пока-
показать, что dim G^-^n(n— 1), используя оценки, аналогичные
примененным а доказательстве теоремы VI1.8 для случая.
226 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
пространства СРп. Единственная дополнительная информа-
информация, которая нужна теперь для доказательства теоремы, за-
заключается как раз в том, что в группе G нет, нормальных
подгрупп вида SU(/), l^z(n+l)/2. □
(В) Степень симметричности произведения сфер
Следующая теорема была доказана в [С 25]. За ее дока-
доказательством мы отсылаем читателя к этой работе.
Теорема VII. 11* [С 25]. Пусть М — ориентируемое много-
многообразие размерности m uH*c(M; Q} — алгебра рациональных
когомологий многообразия М с компактными носителями.
Если существует такое разбиение числа m, m = /ni+ Щ-{- • • •
... + Ши что trij ^ 5 для всех /, 1 ^ / ^ /, и существуют та-
такие элементы |/^#m/(M; Q), что
-.I/^O в #m(M;Q),
причем первый рациональный класс Понтрягина пространст-
пространства М равен нулю, то
Следствие 1. Если Мт — М? X М^Х ... ХМр - произ-
произведение I ориентируемых компактных многообразий, первый
класс Понтрягина которых равен нулю и m/ ^ 5, то
и равенство выполняется только тогда, когда М™1 X М™2 X • • •,
•.. X Мр -QSmi X 5"^ X • • • XSmt.
В [С 25] высказывалась гипотеза, что это следствие должно
быть справедливым без условий Р\(М) = 0 или ш\ ^б.
(О) Степень симметричности многообразий Штифеля
Хорошо известно, что многообразие Штифеля имеет ра-
рациональный гомотопический тип произведения сфер. Однако,
за исключением немногочисленных случаев, в которых они
действительно диффеоморфны произведению сфер, таких, как
1/86 = S7XS6, степень симметричности многообразий Шти-
Штифеля обычно гораздо меньше степени симметричности произ-
произведения сфер (того же рационального гомотопического типа).
Действительнг, если общая гипотеза относительно степени
симметричности компактных однородных пространств ока-
Ц. Степень Симметричности -— 22?
жется верной для многообразий Штифеля, то, за исключе-
исключением немногочисленных частных случаев, таких, как У8, в,
степень симметричности многообразий Штифеля должна за-
задаваться следующими равенствами *):
Nd {V» k) = dim (SO (n) X SO (/»- *)) =
= ^Л(Л_1) + ±(Л-Л)(Л-*-1),
#a 0Ря. *) = dim (S (U (я) X U (n - *))) = n2 + (я - £J - 1,
Nd (Xn, k) = dim (Sp (n) X Sp (я - *)) =
= 2az2 + az + 2 (/г - kJ + (n - A).
При подходящих ограничениях на размерности, таких, как
2
k^-^tiy и при условии связности ассоциированной диаграм*
мы (определенной при помощи квадратов Стинрода в кого-
мологиях этих пространств по модулю 2) эти равенства мож-
можно фактически проверить в большинстве случаев. (Пока что
доказательства весьма громоздки и малопоучительны и по-
поэтому до сих пор не опубликованы.) Мы приведем здесь до-
доказательство следующего технически более пррстого частного
случая:
Теорема VII.12. Если n=*2l + 2l-l — 2 и k = 2l— 1, то
и
Nd (Xnt k) = dim (Sp (я) X Sp (я - k)) =
= 2n2 + n + 2 (n - kf + (n - k).
Доказательство. Доказательства в случаях Wn,k и
X/i, k однотипны, чпоэтому мы приведем доказательство только
в случае Wn,k. Алгебры целочисленных когомологий и кого-
мологий по модулю 2 пространства Wn, н имеют следующий
вид:
(A[
l) Через S(U(n)XU(« — k)) обозначается подгруппа в U(n) X
XU(n — k), состоящая из такихч пар (Л, В), Леи (л), BeU(« — k)t
что det A = det В. Эта группа допускает следующее транзитивное и ло-
локально эффективное действие на Wn, *. Если рассматривать Wn, k как мно-
многообразие всех матриц с п строчками и n — k попарно ортонормирован-
ными столбцами, то
{А, В)Х=~ АХВ'1 (X €= Wn, k, (Л, B)sS(U (n) X U (п - k))
Аналогичным образом определяется действие групп SO (я) X SO (/г — k)
и Sp (п) X Sp (п — k) на Vn, к и Хп, к соответственно. — Прим. ред.
228 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
где dim*/= 2 (ft + Л — 1, 1^/^n—-ft. Далее, в силу пред-
предположения, что п = 21 + 21-1 — 2 и k = 2l—1, квадраты
Стинрода в алгебре H*(Wn>k', Z2) определяются следующим
образом (см. предложение 1.2 п. (С) § 1):
SqXxy = xi+l, 1< / < п — fe — 1 = 2^"J — 2
и
Sq2ixf = xi+}9 если у — 1 =0 (mod 2Г), 1 </ < 2Г и / + / < п — ft.
Заметим, что п — ft = 2l~l — 1, п = 3(п — ft) + 1 и* что
dim S (U (л) X U (л - ft)) = п2 + {п - ЛJ — 1 =
(J (
dim Wnt k = /г2 - ft2 = 5 (n - ftJ + 2 (n — ft).
Таким образом, отношение чисел dim(S(U(/z)XU(n— ft))) и
dim Wn, k немного больше чем 2.
A) Предположим, что G — компактная связная группа
Ли, почти эффективно действующая на пространстве М =
= Wn, k, и пусть dim G > dim S (U (n) X U (n — ft)) =
= 10(я — ftJ + 6(/г — ft). Пусть G/Я — главный тип орбит
такого действия. Тогда из теоремы о срезе и стабильной па-
параллелизуемости пространства М = Wn, k следует, что
(i) многообразие G/H стабильно параллелизуемо,
(ii) dim G = a-dim G/H = a- (dim G — dim Я), где а >
>2 + 4/E(n-ft)+2),
(iii) представление изотропии AdG|# — Adw почти точно.
Предположим, что группа G не проста и что G — G\ X G2.
Тогда группа Н локально изоморфна //i X ft X ^2, где Н\ =
= д\ П Я, Я2 = #2 A Я, a ft — произведение всех простых
нормальных подгрупп группы Я, таких, что оба гомоморфизма
N<=zHs=G->Gt, f=l, 2,
нетривиальны (грубо говоря, N диагонально вложена в G\ X
X G2)'. Из условия (ii), а именно из того, что а > 2, и из ра-
равенства '
dim G = dim G! + dim G2 = a (dim G — dim Я) =
= a (dim Gx + dim G2 — dim Hi — dim Я2 — dim Я^);
вытекает, что по крайней мере-для одного сомножителя вы-
выполняется следующее неравенство:
dim Gt + dim Hd> a (dim Gt — dim Ht), I = 1 или 2.
Заметим, что Hd по определению локально изоморфна под-
подгруппе группы N{HhGi)IHi (i— I, 2), откуда
(/=1,2).
§ 2. Степень симметричности * 229
Повторяя это рассуждение в случае необходимости, нетрудно
показать, что существует по крайней мере одна простая нор-
нормальная подгруппа группы G, которую мы снова обозначим
через Gu такая, что
dim G, + dim (N (Hu QX)IHX) > a (dim G{ - dim #,),
a>2 + 4/E(n-k) + 2)
где #i = G\(}H, a Gi/#i— главный тип орбит индуцирован-
индуцированного Gi-действия на пространстве М. Таким образом, мы сво-
сводим доказательство теоремы VII. 12 к доказательству того
факта, что не существует никаких нетривиальных действий
простой компактной группы Ли, удовлетворяющих указанно-
указанному неравенству. Мы разделим доказательство этого утвер-
утверждения на следующие случаи.
B) Случай, когда G\ — исключительная простая группа
Ли. Детальное доказательство в этом случае включает уто-
утомительный перебор подгрупп большой размерности в исклю-
исключительных группах Ли. В действительности такие подгруппы
довольно редки, и непосредственно проверяется, что единст-
единственные возможные кандидаты на главные типы орбит для
действий исключительных компактных групп Ли, удовлетво-
удовлетворяющие приведенным выше неравенствам для размерно-
размерностей,— это:
G2: S6 = G2/SUC),
F4: F4/Spin(9), F4/Spin(8),
E6: Eq/F4,
E7: E7/E6XT\ E7/E6, E7/D6XAU
E8: EJE7XAl9 EJE7.
Среди этих возможностей большую част^можно легко ис-
исключить или благодаря тому, что Н — максимальная под-
подгруппа группы G, или благодаря тому, что эти пространства
не являются стабильно параллелизуемыми. Единственные
случаи, которые нельзя исключить простым рассмотрением
срезов, — это G2/SUC) и F4/Spin(8). Однако G2-действие с
главным типом орбит 56 можно всегда продолжить до SOG)-
действия с той же самой структурой орбит, а /^-действие с
главным типом /74/Spin(8), конечно, ограничивается до
Spin (8)-действия с непустым множеством неподвижных то-
точек. Поэтому удобно рассмотреть эти два случая вместе с
классическими группами.
C) Случай G\ =Ащ-\. Пусть G\ =SU(m), и пусть группа
G\ действует на пространстве М = Wn> k с главным типом
230 Гл. VII. Группы преобразований на компасных пространствах
орбит G\/H\. Мы утверждаем, что невозможно неравенство
dim Gx + dim (N {Hu Gx)/Hx) > a (dim Gx — dim Hx),
Предположим противное. Из указанного ограничения на раз*
мерности и стабильной параллелизуемости пространства
G\/H\ следует, что Нх сопряжена SU(m'), гдет/>-^-т. При-
Применяя теорему VII. 2' к ограничению действия на SU(m'),
легко видеть, что F (SU (m'), Af) = F (£m'~\ M)~zSdi X ...
... XSdrt""ft, где — локальное представление группы SU(/n/)
в точках множества F(SU(m'),M) имеет вид(т — /яОГИюЛ ,а
[jxm/] — обычное представление группы SU(m/) в простран-
пространстве Ст', рассматриваемое как вещественное представление,
и что все стационарные подгруппы SU(m') -действия имеют
вид стандартно вложенных подгрупп SU(m*). Так как
m'>-gm, то ясно, что m'>2(/n — /n') и существует такая
степень 2, скажем 2Г, что
т" > 2Г > m — m'.
Теперь мы еще ограничим действие на подгруппу G'=SUBr).
Тогда снова все стационарные подгруппы имеют вид стан-
стандартно вложенных подгрупп SU(/n*). Пусть Q = Z| ""^ — мак-
максимальный 2-тор группы SUBr). Ясно, что F(Q,M) —
== F(SUBr), М) имеет тот же когомологический тип по мо*
дулю 2, что и произведение п — k нечетномерных сфер, а
НЬ (Af; Z2) -^ H*G, (F (G'9 M); Z2)
— мономорфизм. Пусть хх — единственный прообраз элемента
хх^H*(M;Z2) в алгебре H*G(M; Z2}9 который переходит в
нуль при ограничении на неподвижную точку. Тогда xj+x =
= Sq2/£i, очевидно, является прообразом элемента "
Имеем
', M); Z2) - ARG, [Д, /2, ..., /„_*],
где Rq' ш* Н* (Be; Za). Пусть i* {xj) — X а////. Тогда из теоремы
IV. 10 следует, что
det (a J = C2rm',
§ 2. Степень симметричности N 231
где С2т есть 2г-й класс Чжэня по модулю 2 из алгебры
/?O' = Z2[C2, ..., С2г]. Заметим, что элементы С2, С3, ..., С2г
алгебраически независимы. Поэтому при вычислении detfo/)
можно положить элементы С2, С3, . ..»C2r_j равными 0.
А именно, пусть aif — одночлен от С2г, полученный подстанов-
подстановкой 0 вместо С2, С3, ..., C2r-i в aif. Тогда имеем det(a//) =
= С™г~т'. Так как: для дальнейших вычислений нам потре-
потребуется только элемент С2г, то мы обозначим его просто
через С.
Если 2Г > п — k, то по теореме VII. 4 число т — т' —
кратное числа п — k и, следовательно, т — т'^п—k. Од-
Однако из неравенства т>3(т — т') следует, что т > п и,
значит, dim(Gi/#i) = m2 — /n'2 > dim Wn, k, что, очевидно,
дает противоречие. В случае когда 2Г < п — k = 2'-1 — 1, т. е.
г ^ I — 2, заметим, что djt*£O только когда dimx/se
es dimfy(mod2r). Пусть fv f2r+v f2.2r+v ... —внешние обра-
образующие алгебры H*(F(G',M)\ Z2), такие, что
dim fbt2r+\ss dim xx (mod 2r).
Тогда определитель подматрицы Лг матрицы {йц), выражаю-
выражающей элементы i*(^), l*(-V+i)> ••• чеРез элементы fp /2г+р •••
..., (mod (С2, ..., C2r_j)), должен быть отличен от нуля. Ана-
Аналогично пусть ff, f2r+fj ••• —такие внешние образующие
алгебры H*(F(G',M); Z2), что
dim/b2r+/=5dirn*/(mod2r), / = 2, 3, ..., 2Г,
и Л/-—подматрица матрицы (a/f), выражающая элементы
i*(jc;), i*(^2r+/), ... через элементы /у, /2г+у, ..., mod (C2,
Са, ..., С2г_!). Тогда
х 0
и det (dji) = Д det Л/,
Предположим, что 5n^0(modC) для всех L Тогда из ра-
равенства i*(Jc/+i) = Sq24*Xi легко следует, что a/fS=0(modC)
для всех / и i, и поэтому det (й//) = Ст~тГ ^ 0(mod Cn-k)>
т. е. т — т' ^ п — k, что, очевидно, дает противоречие. С дру«
гой стороны^ предположим, что все ненулевые элементы йц
232 Гл. VII. Группы преобразований на компактных пространствах
равны 1. Тогда легко видеть, что i*(£i) = /b и из инъектив-
ности гомоморфизма i* следует, что
t*jc/+1 = Sq2/i41 = Sq2//1^= 0 для всех 1 </<дг — k— 1.
Поэтому dim F(G\ M)= dimM, что, очевидно, дает противо-
противоречие, поскольку G'-действие нетривиально. Таким образом,
единственный оставшийся случай заключается в том, что
причем по крайней мере один элемент аи, i> 1, отличен он
нуля. Тогда из равенства
и простого подсчета размерностей следует, что
£ dim fb2r+l < (£ dim xMr+l) - 2 . 2\
Следовательно, det A\ ^ 0(mod С2). Более того, из равен-
равенства
5q2/ xb2r+l = xb2r+j+l для всех 1</<2г— 1
BbiTeKaef, что det Л/ = det Лх для всех l^j^2r—1. Таким
образом,
2Г
deHS/d^ndeM, —0 (modC2r+1~2),
что противоречит равенству d,et(%) = Cm""m', где m — m'<C
< 2Г. Все эти противоречия доказывают невозможность дей-
действия группы Gi = SU(m) на пространстве M = Wn,k так,
чтобы пространство G\/H\, удовлетворяющее условиям
dim Gx + dim (N (Hu Oi)/Hx) > a (dim G, - dim Hx)t
было главным типом его орбит.
Доказательство для случаев Gi=Sp(/n) и Gi = SO(/n)
по существу параллельно доказательству для случая группы
Gi==SU(m) и поэтому оставляется читателю. Наконец, за-
заметим, что приведенное выше доказательство показывает, что
единственная эффективная компактная группа преобразова-
преобразований пространства Wn,k, размерность которой равна размернд-
§ 2. Степень симметричности 233
сти группы S(U(rt)XU(n — £))> — это очевидное транзитив-
транзитивное действие самой группы S(U(/z)X U(n — й)).
Замечание. Небольшая модификация приведенного
выше доказательства показывает, что
Nd (Wn, k) = dim (S (U (n) XU(n- k)))t
Nd {Xn% k) = dim (Sp (n) X Sp (n - k))
в случае, когда k = 2l—1 и n<2/ + 2/~1 — 2. Аналогичные
доказательства работают также в случае вещественных мно-
многообразий Штифеля, причем весьма полезным оказывается
2-кручение в когомологиях этих многообразий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ')
А 1. Адаме (Adams F.)f On the non-existence of elements of Hopf inva-
invariant one, Ann. ot Math., 72 A960), 20—104. [Русский перевод: Ма-
Математика, 5:4, 1961, с. 3—86.1
А 2. Адаме (Adams F.), Vector fields on spheres, Ann. of Math., 75
A962), 603—632. [Русский перевод: Математика, 7:6, 1963, с. 49—
80.]
A3*. Адаме (Adams R), Lectures on Lie groups, Benjamin, N. Y., 1969.
[Готовится русский перевод].
A 4% Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую тополо-
топологию.—М.: Наука, 1977.
А 5. Араки (Araki SJ, Cohomology mod 2 of the compact exceptional
groups E6 and E7> J. Math. Osaka City Univ., 12 A961), 43—65.
A 6. Атья (Atiyah M.), Characters and cohomology of finite groups, Publ.
Math. Inst. Hautes Etudes Scient., 1961.
A 7. Атья, Хирцебрух (Atiyah M., Hirzebruch F.), Vector bundles and ho-
homogeneous spaces, Proc. of Symp. in Pure Math. 3, Amer. Math.
Soc, 1961.
A 8. Атья, Сигал (Atiyah M., Segal G.), Equivariant /(-theory. Lecture
Notes, Warwick, 1965. [Русский перевод в кн.: 'Атья М. Лекции по
/(-теории. — М.: Мир, 1967.]
Б 1. Борель (ВогеГА.), Some remarks on Lie groups transitive on sphe-
spheres and tori, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 580—587.
Б 2. Борель (Borel A.>, Sur la cohomologie des espaces fibres principaux •
et des espaces homogenes des groupes de Lie compacts, Ann. of
Math., 57 A953), 115—207. [Русский перевод в сб.: Расслоенные про-
пространства. — М.: ИЛ, 1958, с. 163—245.]
БЗ. Борель (Borel A.), Les bouts des espaces homogenes des groupes de
Lie, Ann. of Math., 58 A953), 443—457.
Б 4. Борель (Borel A.) La cohomologie mod 2 de certains espaces homo-
homogenes, Comment. Math. Helv., 27 A953), 165—197. [Русский перевод
в сб.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 282—292.]
Б 5. Борель (Borel A.), Nouvelle demonstration d'un theoreme de
P. A. Smith, Comment. Math. Helv., 29 A955), 27—39.
Б6. Борель (Borel A.), Transformation groups with two classes of orbits,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 43 A957), 983—985.
Б 7. Борель А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.
Б 8. Борель (Borel A.), Fixed points of elementary commutative groups,
Bull. Amer. Math. Soc, 65 A959), 322—326.
Б 9, Борель (Borel A.), Le plan projectif de octaves et les spheres comme
espaces homogenes, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 A960), 1378—1383.
Б 10. Борель и др. (Borel A. et al.), Seminar on Transformation Groups,
Ann. of Math. Studies, 46, Princeton, N. J.; Princeton Univ. Press,
1961.
l) ЗвезДочкой отмечены работы, добавленные при переводе,
Список литературы 538
Б11. Борель, Хирцебрух (Borel A., Hirzebruch F.), Characteristic clas-
classes and homogeneous spaces I, Amer. J. Math., 80 A958), 485—538;
II, 81 A959), 351—382; III, 82 A960), 491—504.
Б 12. Борель, Де Зибенталь (Borel A., De Siebenthal), Sur les sous-groupes
fe'rmes de rang maximum des groupes des Lie compacts connexes,
Comm. Math. Helv., 23 A949), 200—221.
Б 13. Борель, Cepp (Borel A., Serre J.-P.), Sur certains sous-groupes des
groupes de Lie compacts, Comm. Math. Helv., 27 A953), 128—139.
Б 14. Ботт (Bott R.), The stable homotopy of the classical groups. Ann. of
Math., 70 A959), 313—337.
Б 15. Ботт, Самельсон (Bott R., Samelson H.), Application of the theo-
theory of Morse to symmetric spaces, Amer. J. Math., 80 A958), 964—
1029.
Б 16. Браудер/Ливсей (Browder W., Livesay G. R.), Fixed point free in-
involutions on homotopy spheres, Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967),
242—245.
Б 17. Браун (Brown E., Jr.), Cohomology theories, Ann. of Math., 75
A962), 467—484.
Б 18. Бридон (Bredon G.), The cohomology ring structure of a fixed set,
Ann. of Math., 80 A964), 524—537.
Б 19, Бридон (Bredon G.), On homogeneous cohomology spheres, Ann. of
Math., 73 A961), 556—565.
Б 20. Бридон (Bredon G.), Transformation groups on spheres with two
types of orbits, Topology, 3 A965), 115—122.
Б 21. Бридон %(Bredon G.), Examples of differentiable group actions, To-
Topology, 3 A965), 103—113.
Б 22. Бридон (Bredon G.), Cohomological aspects of transformation groups,
In: Proc. Corif. on Transf. Groups, New Orleans, 1967, pp. 245—280,
Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1968.
Б 23*. Бридон (Bredon G.), Compact Lie transformation groups, N. Y.—
London, Academic Press, 1972.
Б 24, Брискорн (Brieskorn E.), Beispiele zur Differentialtopologie von
Singularitaten, Invent. Math., 2 A966), 1—14.
Б 25*. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
В 1. Ван (Wang H. С), Two-point homogeneous spaces, Arm. of Math.,
55 A952), 177—191.
В 2. Ван (Wang H. C), Homogeneous spaces with non-vanishing Euler
characteristics, Ann. of Math., 50 A949), 925—953.
ВЗ. Ван (Wang H) C), Compact transformation groups of Sn with
(я — 1) -dimensional orbit, Amer. J. Math., 82 A960), 698—
748.
В 4. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его приме-
применения.—М.: ИЛ, 1950.
В 5. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. —
М.: ИЛ, 1947.
В 6. Вейль Г. (Weyl H.), Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbein-
facher Gruppen durch lineare Transformationen. I, Math. Z., 23
A924), 271—304; II, III, Math. Z., 24 A925), 328—395. [Сокращен-
[Сокращенный перевод: УМН, 1937, вып. 4, с. 201—246.]
Г 1. Глисон (Gleason A.), Spaces with a compact Lie group of transfor-
transformations, Proc. Amer. Math. Soc., 1 A950), 35—43.
Г 2. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ,
1961.
ГЗ. Гольбер (Golber D.), Torus action on a product of two odd spheres,
Topology, 10 A971), 313—326.
Г 4. Гольбер (Golber D.), The cohomological description of a torus ao
tion, Pacif. J. Math., 46 A973), 149—154,
236 Список литературы
Г 5. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. — М.:
ИЛ, 1961.
Г 6. Гроув (Grove A.) SU(n) -actions on manifolds with vanishing first
and second integral Pontrjagin classes, In: Proc. 2nd Conf. on Compact
Transformation Groups, Amherst, Mass., 1971, Lecture Notes in Math.,
298, pp. 324—333, Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1972.
Д1. Джекобсон Н. Алгебры Ли. —М.: Мир, 1964.
Д2. Дынкин Е. Б. Максимальные подгруппы классических групп.—
Труды ММО, 1952, т. 1, с. 39—166.
Д 3*. Дынкин Е. Б., Ояищик А. Л. Компактные группы Ли в целом. —
УМН, 10 A955), Кя 4, с. 3—74.
Е 1. Ених (Janich К.), Differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand als
Orbitraume differenziebarer G-Mannigfaltigkeiten ohne Rand, Topo-
Topology, 5 A961), 301—320.
Ж 1*. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М.:
Наука, 1970.
3 1. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, 1, II — М.: ИЛ,
1963.
К 1*. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960.
К 2. Кервэр (Kervaire M.), A manifold which does not admit any diffe-
rentiable structure, Comment. Math. Helv., 34 A960), 257—270.
КЗ. Кервэр, Милнор (Kervaire M., Milnor J.), Groups of homotopy
spheres I, Ann. of Math., 77 A963), 504—537.
К 4*. Кёрби, Зибенман (Kirby R. С, Siebenmann L. C), Some theorems
on topological manifolds, Lecture Notes in Math., 197, pp. 1—7, Ber-
Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1971.
К 5*. Кобаяси (Kobayashi S.), Transformation groups in; differential geo-
geometry, Springer, Berlin —Heidelberg—N. Y, 1972.
К6. Коннер (Conner P.), Orbits of uniform dimension, Michigan Math.
J., 6 A959), 25—32.
К 7. Коннер, Монтгомери (Conner P., Montgomery D.), An example of
SO C)-action, Pros. Nat. Acad. Sci. USA, 48 A962), 1918—1922.
К 8. Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. — M.i
Мир, 1969.
К9. Коннер, Флойд (Conner P., Floyd E.), On construction of periodic
maps without fixed points, Proc. Amer. Math. Soc. A959), 354—360.
К 10. Косзюль (Koszul), Sur certains groupes de transformation deLie.
Strasbourg: Coll. de Geometrie Diff. 1953, С N. R. S., 137—141.
К И. Крамер (Kramer M.). Hauptisotropiegruppen bei endlich dimensiona-
len Darstellungen kompakter halbeinfacher Liegruppen, Diplomarbeit,
Bonn, 1966.
К 12. Куиллен (Quillen D.), The spectrum of an equivariant cohomology
ring I, II, Ann. of Math., 94 A971), 549—602.
Л 1. Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949.
Л 2. Ляо (Liao S. D.), A theorem on periodic transformations of homo-
logy spheres, Ann. of Math., 56, 68—83 A952).
M 1. Майерс, Стинрод (Myers S., Steenrod N.), The group of isometries
of a Riemannian manifold, Ann. of Math., 40 A939), 400—416.
M2. Масси (Massey W.), Exact couples in algebraic topology, I, II, Ann.
of Math, 56, 363—396 A952); HI, IV, V, Ann. of Math, 57 A953),
248—286.
МЗ. Милнор (Milnor J.), Construction of universal bundles I, Ann. of
Math, 63 A956), 272—284; II, Ann. of Math, 63, П956), 430—436.
M4. Монтгомери, Знппин (Montgomery D, Zippin D.), Topological
Transformation Groups, Interscience, 1955.
M5. Монтгомери, Самельсон (Montgomery D, Samelson H.), Transfor-
Transformation groups on spheres, Ann. of Math, 44 A943), 454—470.
Список AutepaTypk 237
Мб. Монтгомери, Самельсон, Ян (Montgomery D., Samelson H.,
Yang С. Т.), Exceptional orbits of highest dimensions, Ann. of Math.,
64 A956), 1—9.
M 7. Монтгомери, Ян (Montgomery D., Yang С. Т.), The existence of slice,
Ann. of Math., 65 A957), 108—116.
M8. Монтгомери, Ян (Montgomery D., Yang С. Т.), Differentiable ac-
action on seven homotopy spheres, Trans. Amer. Math. Soc, 122 A966),
480—498.
M9. Мостов (Mostow G. D.), On a conjecture of Montgomery, Ann. of
Math., 65 A957), 432—446.
M 10. Мостов (Mostow G. D.), Equivariant embedding in euclidean space,
Ann. of Math., 65 A957), 432—446.
МИ*. Мошер Р., Тангора М. Когомологические операции и их приложе-
приложения в теории гомотопий. — М.: Мир, 1970.
Н 1*. Новиков С. П. Топологическая инвариантность рациональных клас-
классов Понтрягина. —ДАН, 167, 1965, № 2, с. 298—300.
О 1. Олдей (Allday С), On the rank of a space, Trans. Amer. Math. Soc,
166 A972), 173—184.
0 2. Олдей (Allday C), The stratification of compact connected Lie group
actions by subtori, preprint, memeo. at Univ. Hawai.
ОЗ. Онищик А. Л. Отношения включения между транзитивными ком-
компактными группами преобразований. — Труды ММО, 1962, т. 11,
с. 199—242.
0 4. Онищик А. Л. О транзитивных компактных группах преобразова-
преобразований. — Матем. сб., 1960, 60 A02), с. 447—485.
0 5*. Онищик А. Л. Группы Ли, транзитивные на многообразиях Грасс-
мана и Штифеля. — Матем. сб., 1970, 83, № 3, с. 407—428.
П1. Пале (Palais R.), Embedding of compact differentiable transforma-
transformation groups in orthogonal representations, J. Math. Mech., 6 A957),
673—678.
П2. Петри (Petrie Т.), Sl-actions on homotopy complex projective spaces,
Bull. Amer. Math. Soc, 78 A972), 105—153.
ПЗ. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы — М.: Наука, 1973.
Р 1. Ричардсон, Смит (Richardson M., Smith P. A.), Periodic transforma-
transformations of complexes, Ann. of Math., 39 A938), 611—633.
P2*. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. — М.: Наука,
1977.
Р 3*. Рурк К., Сандерсон Т. Введение в кусочно-линейную топологию. —
М.: Мир, 1974/
С 1. Самельсон (Samelson H.), Topology of Lie groups, Bull. Amer. Math.
Soc, 58 A952), 2—37.
С 2. Самельсон (Samelson H.), Beitrage zur Topologie der Gruppenman-
nigfaltigkeiten, Ann. of Math., 42 A941), 1091—1137.
C3. Cepp (Serre J.-P.), Homologie singuliere des espaces fibres, Ann.
of Math., 54 A951), 425—505. [Русский перевод в сб.: Расслоенные
пространства. — М.: ИЛ, 1958, с. 9—114.]
С 4. Смит (Smith P. А.), Неподвижные точки периодических отображе-
отображений (Добавление В в Л 1).
С5. Смит (Smith P. A.), Fixed point theorems for periodic transforma-
transformations, Amer. J. Math., 63 A941), 1—8.
С 6. Смит (Smith P. A.), The topology of transformation groups, Bull.
Amer. Math. Soc, 44 A938), 497—514.
С7. Смит (Smith P. A.), Transformations of finite period II, Ann. of
Math., 40 A939), 690—711.
С8. Смит (Smith P. A.), New results and old problems in finite transfor-
transformation groups, Bull. Amer. Math. Soc, 66 A960), 401—415,
С 9. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
238 Список литературы
С 10. Стинрод Н. Топология косых произведений. — М.: ИЛ, 1953.
С 11*. Стинрод Н. Эйленберг С. Основания алгебраической топологии.—
М.: ИЛ, 1956.
С 12. Стинрод, Эпштейн (Steenrod N.. Epstein D. В. A.), Cohomology Ope-
Operations, Ann. of Math. Studies, № 50, 1962.
С 13. Су (Su J. C), Periodic transformations on the product of two sphe-
spheres, Trans. Amer. Math. Soc, 112 A964), 369—380.
С 14. Су (Su J. C), Transformation groups on cohomology project!ve spa-
spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 106 A963), 305—318.
С 15. Суон (Swan R. G.), A new method in fixed point theory, Comm.
Math. Helv., 34 A960), 1—16.
С 16. Стюарт (Stewart Т. Е.). Lifting group actions in fibre bondles, Ann,
of Math., 74 A961), 192—198.
С 17. Сян У И (Hsiang W. Y.), On classification of differential SO(n)
actions on simply connected я-manifolds, Amer. J. Math., 88 A966),
137—153.
С 18. Сян У И (Hsiang W. Y.), On the bound of the dimensions of the
isometry groups of all possible Riemannian metrics on an exotic
sphere, Ann. of Math., 85, 351—358.
С 19. Сян У И (Hsiang W. Y.), The natural metric on SO (я)/SO (я— 2)
is the most symmetric metric, Bull, of Math., 73 A967), 55—58.
С 20. Сян У И (Hsiang W. Y.), On generalizations of a theorem of A. Bo-
rel and their applications in the study of topological actions, Proc.
Topology Conf. Athens. Ga., 1969.
С 21. Сян У И (Hsiang W. Y.), On the geometric weight system of diffe-
rentiable compact transformation groups on acyclic manifolds, In-
Invent. Math., 12 A971), 35—47.
С 22. Сян У И (Hsiang W. Y.), On characteristic classes and the topolo-
topological Schur lemma from the topological transformation groups view-
viewpoint, Proc. Symposia in Pure Math. XXII, 105—112 A971).
С 23. Сян У И (Hsiang W. Y.), On the splitting principle and the geo-
geometric weight system of topological transformation groups I, In: Proc.
2nd Conf. on Compact Transf. Groups. Amherst. Mass., 1971, Lecture
Notes in Math., 298, pp. 334—402, Berlin—Heidelberg —New York,
Springer, 1972.
С 24. Сян У И (Hsiang W. Y.), On some fundamental theorems in coho-
cohomology theory of topological transformation groups, Taifa (Nat'l.
Taiwan Univ.) J. Math., 2, 66—87 A970), some of the results were
announced in Bull. Amer. Math. Soc, 77 A971), 1094—1098.
С 25. Сян У И (Hsiang W. Y.), On the degree of symmetry and the struc-
structure of highly symmetric manifolds, Tamkang J. of Math. (Taipei),
2 A971), 1—22.
С 26. Сян У И (Hsiang W. Y.), Structural theorems for topological ac-
actions of Z2-tori on real, complex and quaternionic projective spaces,
Comm. Math. Helv., 49 A974), 479—491.
С 27. Сян У И, Су (Hsiang W. Y., Su J. G), On the classification of transi-
transitive effective actions on Stiefel manifolds, Trans. Amer. Math. Soc,
- 130 A968), 322—336.
С 28. Сян У И, Су (Hsiang W. Y., Su J. C), On the geometric weight sys-
system of topological on cohomology quaternionic projective spaces, In-
Invent. Math., 28 A975), 107—127.
С 29. Сян У Ч., Сян У И (Hsing W. С, Hsiang W. Y.), Classification on
differentiable actions on Sn, Rn and Dn with S* as the principal or-
orbit type, Ann. of Math., 82 A965), 421—433.
С 30. Сян У Ч., Сян У И (Hsiang W. С, Hsiang W Y.), Differentiable ac-
actions of compact connected classical group I, Amer. J. Math., 89
A967), 705—786; II, Ann. of Math., 92 A970} 189—223,
Список литературы 239
С31. Сян У. Ч., Сян У И (Hsiang W. С, Hsiang W. Y.), On compact sub-
subgroups of diffeomorphism groups of Kervaire spheres, Ann. of Math.,
85 A967), 359—369.
С 32. Сян У. Ч., Сян У И (Hsiang W. С, Hsiang W. Y.), Some problems
in differentiable transformation groups, Proc. Conf. on Transf.
Groups. New Orleans, 1967, Berlin — Heidelberg — New York: Sprin-
Springer 1968.
С 33. Сян У Ч., Сян У И (Hsiang W. С, Hsiang W. Y.), A fixed point
theorem for finite diffeomorphism groups generated by reflections.
The Steenrod Algebra and Its Applications, Lecture Notes in Math.,
168, Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1970.
С 34. Сян УЧ., Сян У И (Hsiang W. С, Hsiang W. Y.), Degree of symmet-
symmetries of homotopy spheres, Ann. of Math., 89 A969), 52—67.
Tl. Томтер (Tomter P.), Transformation groups on cohomology product
of spheres, Invent. Math., 23 A974), 79—88.
Ф 1. Флойд (Floyd E. E.), On periodic maps and the Euler characteris-
characteristic of associated spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 72 A952), 138—
147.
Ф2. Флойд (Floyd E. E.), Examples of fixed point sets of periodic maps
I, Ann. of Math., 55 A952), 167—171; II, 64, 396—398.
ФЗ. Флойд (Floyd E. E.), Fixed point sets of compact abelian Lie groups
of transformation, Ann. of Math., 66 A957), 30—35.
Ф 4. Флойд, Ричардсон (Floyd E. E., Richarson R.), An action of a fi-
finite group on an /i-cell without stationary points, Bull. Amer. Math.
Soc, 65 A959), 73—76.
XI*. Хаушильд (Hauschild V.), Hauptorbiten bei topologicher Aktionen
kompakter Liegruppen, Bonner Math. Schr., Nb 92, 1976.
X2. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства.— М.: Мир, 1964.
ХЗ. Хирцебрух (Hirzebruch F.), Singularities and exotic spheres, Semi-
naire Bourbaki 19 A966/67).
X4. Хирцебрух (Hirzebruch F.)t The topology of normal sinigularies
of an algebraic surface (d'apre"s un article de D. Mumford), Seminaire
Bourbaki 15 A962/63).
X 5*. Xy Сы-цзян, Теория гомотопий. — M.: Мир, 1964.
Хб*. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. — М.: Мир, 1970.
Ч 1. Чан (Chang Т.), thesis, Univ. Calif. Berkley, 1972.
4 2. Чан, Шельбред (Chang Т., Skjelbred Т.), The topological Schur lem-
lemma and related4 results, Ann. of Math.; 100, 307—321 A974).
Ш 1. Шевалле К. Теория групп Ли, т. 1. —М.: ИЛ, 1948.
Ш2. Шевалле (Chevalley С), The Betti numbers of exceptional simple
Lie groups. Proc. of International Congress of Math., 2, 21—24, Cam-
Cambridge USA, 1950.
ШЗ. Шельбред (Skjelbred Т.), thesis, Univ. Calif. Berkley, 1972.
Hi 4*. Шерер (Scherer H.) Transitive action on Hopf homogeneous spaces,
Manuscr. Math? 4, № 2 A971), 99—134. [Русский перевод: Матема-
Математика, 17:6, 1973. с. 61—81.1
31. Эйзенхарт (Eelsenhart L. P.), Riemannian Geometry, Princeton, N. J.,
Princeton Univ. Press, 1948.
32. Эйзенхарт (Eisenhart L. P.), Continuous groups of transformations,
Princeton, Я J., Princeton Univ, Press, 1933.
Э.З. Эйленберг, Myp (Eilenberg $., Moore J. C), Homology and fibra-
tions, I, Comment. Math. Helv., 40 A966), 199—236.
Э 4*. Элашвили А. Г. Канонический вид и стационарные подалгебры то-
точек общего положения для простых линейных групп Ли. — Функц.
анализ, 6:1 A972), 61-62. *
предметный указатель
алгебра Ли компактная 45
простая 45
ациклическое простраство 80
Бореля конструкция 58
— формула 91, 92, 214
Вейля группа 40
— теорема 54
— формула интегрирования 42
характеров 55
!
геометрическая система весов 112,
161
главная стационарная подгруппа
29
главное отображение 20
— расслоение 20
главный связный тип* орбит 120,
130
— тип орбит 29, 161
Глисона лемма 22, 26
грассманово многообразие 224
группы, порожденные отражениями
39
двойственность Пуанкаре 100
действие примитивное 190
— присоединенное 29
— транзитивное 190
джойн 73
Дынкина диаграмма 48
индуцированное расслоение 23
камера 39
— Вейля 41
Картана многогранник 54
— подалгебра 40
— теорема 31
Картана — Киллинга форма 45
классифицирующее расслоение 23,
24
когомологическое кватернионное
проективное пространство 166
когомологическое комплексное про-
проективное пространство 156
— многообразие 111
компактная связная группа Ли 29
— топологическая группа 11
компактное однородное простран-
пространство 190
корень старший 55
лемма Глисона 22, 26
— Шура 13 -
максимальный тор 31
общая точка многообразия 87
— стационарная подгруппа 87
Петера — Вейля теорема 17
полная приводимость 12
представляющая функция 14
приведенные когомологии 17, 174
принцип расщепления 109, 151
присоединенное действие 29
— представление 29
произведение нечетномерных сфер
196
пространство с двойственностью
Пуанкаре 100
размерность формальная 111
ранг группы 33
— пространства 191
торический*192
расслоение 19
— главное 20
— индуцированное 23
— классифицирующее 23, 24
расширение структурной группы 24
расщепляемая подгруппа 116
Предметный указатель
241
свойство накрывающей гомотопии
23
система весов 33, 152, 160
вторичная 177
геометрическая 112
— — расщепляемая 116
— 2-весов 185, 186
— р-весов 177
— коэффициентов эквивариантных
когомологий 59
— корней 33
— локальных весов 113
— простых корней 46
спектральная последовательность
Лере 63
Серра 62
срез дифференцируемый 25
— топологический 26
стабильно параллелизуемое много-
многообразие 212
степень симметричности дифферен-
дифференцируемая 192
простая дифференцируемая
195
— топологическая 195
— — топологическая 192
торическая гладкая 194
топологическая 194
сужение структурной группы 24
теорема Вейля 54
— Картана 31
— локализации 66
— о главном типе орбит 161
максимальных торах 31
неподвижной точке 72, 142
— — расщеплении 100
топологическим срезе 115
— Петера —Вейля 17
тип орбит 27, 86
— главный 29, 161
связный 120, 130
связный 86
топологическая группа преобразо-
преобразований 18
топологическое G-действие 19
топологическое (/-пространство 19
тор максимальный 31
точное представление 17
фундаментальный класс 100
Хаара интеграл 13
— мера 13
Шевалле базис 53
Штифеля многообразие 204, 226
Шура лемма 13
— соотношения ортогональности
13
эквивариантное вложение 27
— расслоение 109
эквивариантный класс Эйлера 111
— характеристический класс 109
эквивариантные когомологий 58
эквивариантных когомологий алге-
алгебраические инварианты 92
(^-приведенная алгебра эквивари-
эквивариантных когомологий 174
ССР-пространство 157
CQP-пространство 166
F -многообразие 86
G-действие 19
•— присоединенное 30
(/-допустимая система весов 128,
165
(/-неразложимая система весов 128
(/-пространство 19
Ltop (б), L(G) 144
Z2-CCP-npocTpaHcTBO 178
Z2-CQP-npocTpaHCTBO 178
Zp-CCP-пространство 173
Zp-CQP-пространство 173
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода •••••.. 5
Введение 7
Глава I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ И
G-ПРОСТРАНСТВАХ 11
1. Основные свойства компактных топологических групп ... 11
2. Общие сведения о расслоенных пространствах и свободных
(/-пространствах 18
§ 3. Существование среза и вытекающие из этого следствия для
произвольных G-пространств 25
§ 4. Общая теория компактных связных групп Ли 9
Глава II. СТРУКТУРНАЯ И КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ . . 35
§ 1. Структура орбит и присоединенное действие . 35
§ 2. Классификация компактных связных групп Ли 45
§ 3. Классификация неприводимых представлений 55
Глава III. ЭКВИВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ, СВЯ-
СВЯЗАННАЯ С ТЕОРИЕЙ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 58
§ 1. Конструкция эквивариантных когомологий H*G (X) и их фор-
формальные свойства 58
§ 2. Теоремы локализации в духе Бореля — Атьи — Сигала ... 66
Глава IV. СТРУКТУРА ОРБИТ G-ПРОСТРАНСТВА Х И АЛГЕБРАИ-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ КОГОМОЛОГИЙ Н*о (X) ... 71
| 1. Некоторые основные, теоремы о неподвижных точках ... 72
| 2. Кручение в эквивариантных когомологиях и ^-многообразия
в (/-пространствах 85
§ 3. Теорема о расщеплейии для пространств с двойственностью
Пуанкаре 100
Глава V. ПРИНЦИП РАСЩЕПЛЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИ-
СИСТЕМЫ ВЕСОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ПРЕОБРА-
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА АЦИКЛИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ
МНОГООБРАЗИЯХ И КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ СФЕРАХ . 107
§ 1. Принцип расщепления и геометрическая система весов для
действий на ациклических когомологических многообразиях . 1
§ 2. Геометрическая система весов и структура орбит ..... 11
Оглавление 243
§ 3. Классификация главных типов орбит для действий простых
компактных групп Ли на ациклических когомологических мно-
многообразиях 125
§ 4. Классификация главных связных типов орбит относительно
действий произвольных компактных связных групп Ли на аци-
ациклических когомологических многообразиях 136
§ 5. Основная теорема о неподвижных точках 142
§ 6. Топологические представления малых размерностей компакт-
. ных связных групп Ли 144
§ 7. Заключительные замечания, относящиеся к геометрической си-
системе весов . 149
Глава VI. ТЕОРЕМЫ О РАСЩЕПЛЕНИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА ВЕСОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ПРЕ-
ПРЕОБРАЗОВАНИИ НА КОГОМОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЕКТИВ-
ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 155
§ 1. Группы преобразований на когомологических комплексных
проективных пространствах 156
§ 2. Группы преобразований на когомологических кватернионных
проективных пространствах 160
§ 3. Структурные теоремы для действий /?-торов на Zp-когомоло-
гических проективных пространствах (р — нечетное простое
число) 173
§ 4. Структурные теоремы для действий 2-торов на 22-когомологи-
ческих проективных пространствах 178
Глава VII. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ НА КОМПАКТНЫХ ОД-
ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 189
§ 1. Топологические группы преобразований на пространствах,
имеющих рациональный гомотопический тип произведения не-
четномерных сфер 196
§ 2. Степень симметричности компактных однородных пространств 217
Список литературы 234
Предметный указатель » 240
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д, 2, издательство «Мир».
У И Сян
КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Научный редактор Г. М. Цукерман
Мл. науч. редактор Э. Г. Иванова
Художник И. М. Пучков
Художественный редактор Г. В. Шотина
Технический редактор Н. И. Манохина
Корректор Е. Г. Литвак
ИБ № 1474
Сдано в набор 09.08.78. Подписано к печати 20.06.79.
Формат 60 X 9O'/i6« Бумага типографская № 3.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем
7,75. бум. л. Усл.-печ. л. 15,50. Уч.-изд. л. 13,52.
Изд. № 1/9741. Тираж 4700 экз. Зак. 1285.
Цена 1 р. 10 к.
Издательство «Мир>
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
«Союзполиграфпрома» при Государственном коми-
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измай-
Измайловский проспект, 29 -
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ
ЛИНДОН Р., ШУПП П. Комбинаторная теория групп:
Пер. с англ., Гейдельберг, 1977, 24 л. 2 р. 10 к.
Систематическое и современное изложение комбинаторной
теории групп. Значительная часть книги посвящена геометри-
геометрическим методам и теории «малых сокращений», представлены
разделы по биполярным структурам Столлингса, разрешимо-
разрешимости проблемы тождества слов и др. В книге отражены интен-
интенсивные исследования последнего десятилетия. От книги Маг-
Магнуса и др. с тем же названием, вышедшей в издательстве
«Наука» в 1975 г., оно выгодно отличается подбором мате-
материала и способом изложения.
Книга может служить как учебным пособием, так и источ-
источником информации для математика-специалиста. Она будет
полезна всем, кто занимается теорией групп и смежными
вопросами.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие
Вас книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих
научно-технической литературой.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
ГОТОВЯТСЯ К ВЫПУСКУ В 1980 г.
СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ:
Берг Й.. Лёфстрем И. Интерполяционные пространства. Вве-
Введение, пер. с англ., 12 л., 90 к.
Гийемин В., Стернберг Ш. Геометрические асимптотики, пер.
с англ., 28 л., 2 р. 40 к.
Девис М. Прикладной нестандартный анализ, пер. с англ.,
10 л., 80 к.
Каш Ф. Модули и кольца, пер. с нем., 18 л., 1 р. 70 к.
Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп, пер, с
англ., 24 л., 2 р. 10 к.
Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркации Хопфа и их при-
приложения, пер. с англ., 16 л., 1 р. 50 к.
Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально
компактных абелевых групп, пер. с англ., 5 л., 40 к.
Сибер Дж. Линейный регрессионный анализ, пер. с англ.,
29 л,. 2 р. 40 к.
Трибель Г. Теория интерполяций, функциональные простран-
пространства, дифференциальные операторы, пер. с англ., 35 л.,
2 р. 90 к.
Уэрмер Дж. Теория потенциала, пер. с англ., 6 л., 50 к.
Форстер О. Римановы поверхности, пер. с нем., 12 л., 90 к.
Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции, пер. с
англ., т. I, 14 л., 1 р. 40 к.
Эдварде Г. Последняя теория Ферма, Генетическое введение
в алгебраическую теорию чисел, пер. с англ., 30 л.,
2 р. 50 к.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие
Вас книги. Заказы принимаются в магазинах* торгующих на-
научно-технической литературой.
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ
Автоморфизмы классических групп. Сб. статей, пер. с англ. и
франц. Мир, 1976, 1 р. 42 к.
Бордман Дж., Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраи-
алгебраические структуры на топологических пространствах, пер.
с англ., Мир, 1977, 2 р. 30 к.
Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. Гл. 1—3, пер. с франц.,
Мир, 1976, 2 р. 48 к.
Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, пер. с
франц., Мир, 1976, 76 к.
Кон П. Свободные кольца и их связи, пер. с англ., Мир, 1975,
2 р. 39 к.
Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия,
пер. с англ., Мир, 1978, 1 р. 50 к.
Рагунатан М. Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ.,
Мир, 1977, 1 р. 52 к.
Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., Мир,
1975, 95 к.
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2, пер. с англ.. Мир,
1977, 2 р. 70 к.
Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, пер.
с англ., в 2-х томах:
т. 1, Наука, 1975, 3 р. 21 к.
т. 2, Мир, 1975, 3 р. 71 к.
Заказы направляйте по адресу:
191040, Ленинград, Пушкинская ул., 2.
Магазин «Техническая книга».