Text
                    М.И.Монастырский
ТОПОЛОГИЯ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ И КОНДЕНСИРОВАННЫХ
СРЕД
М.: ПАИМС, 1995. 478 с.
Систематически изложены современные применения топологии в физике
элементарных частиц и конденсированного состояния. Топологические методы
позволяют изучить с единых позиций такие различные физические эффекты, как
образование сингулярностей в жидких кристаллах и в сверхтекучем гелии,
появление экзотических решений типа монополей и инстантонов в уравнениях
калибровочных полей.
Для научных работников: физиков-теоретиков и математиков, а также
аспирантов и студентов старших курсов университетов.
Оглавление
Предисловие 9
Как пользоваться книгой 12
Глава I. Подготовительный математический материал. Общие 1 _
структуры
§1.1. Многообразия 13
1.1.1. Определение многообразия. Примеры. Основные свойства 13
1.1.2. Функции и векторные поля на многообразиях 24
1.1.2.1. Касательное пространство 25
1.1.2.2. Векторное поле 26
1.1.2.3. Дифференциальные формы 30
§1.2. Группы Ли 33
1.2.1. Группы Ли как группы преобразований многообразия М 34
1.2.2. Алгебры Ли 38
1.2.3. Связь алгебры Ли и группы Ли 41
1.2.4. Дифференциальные формы со значениями в алгебре Ли 45
§1.3. Действие групп 48
1.3.1. Орбиты групп 48
1.3.2. Кристаллографические группы 49
1.3.3. Когерентные состояния 51
1.3.4. Страты 54
1.3.5. Теорема Картана 5 8
§ 1.4. Расслоенные пространства 61
1.4.1. Определение расслоенного пространства. Примеры 61
1.4.2. Операции над расслоениями 67
§1.5. Связность в расслоении 72
1.5.1. Связность на двумерных многообразиях 72
1.5.2. Связность в главном расслоении 74
1.5.3. Форма связности 75
1.5.4. Параллельный перенос 76
1.5.5. Форма кривизны 77
1.5.6. Связность и кривизна в касательном расслоении. Локальные 78


координаты 1.5.7. Кривизна линейной связности 84 1.5.8. Связность и метрика 92 1.5.9. Геодезические линии 95 1.5.10. Группа голономии 98 Глава II. Элементы топологии. Как различить два заданных многообразия? §2.1. Теория гомотопий 100 2.1.1. Гомотопические группы 101 2.1.2. Гомотопические группы расслоенных пространств 107 2.1.3. Относительные гомотопические группы 112 2.1.4. Гомотопические группы накрывающих пространств 114 2.1.5. Действие фундаментальной группы ttj на высшие гомотопические группы 2.1.6. Произведение Уайтхеда 118 2.1.7. Обзор вычислений гомотопических групп, встречающихся в 191 физических приложениях §2.2. Теория гомологии 127 2.2.1. Клеточное разбиение 128 2.2.2. Операции в клеточных комплексах 129 2.2.3. Гомологии клеточных компактов 135 §2.3. Теория когомологий 146 2.3.1. Определение и основные свойства группы когомологий 146 2.3.2. Группы когомологий дифференцируемых многообразий 148 2.3.3. Интегрирование дифференциальных форм 149 2.3.4. Структура алгебры дифференциальных форм 152 §2.4. Соотношения между группами гомотопий и гомологии 160 §2.5. Степень отображения и индексы векторных полеМ 164 2.5.1. Определения степени отображения. Примеры 164 2.5.2. Индекс векторного поля 169 2.5.3. Эйлерова характеристика 171 §2.6. Инвариант Хопфа 177 2.6.1. Расслоение Хопфа 177 2.6.2. Инвариант Хопфа 181 2.6.3. Интегральное представление инварианта Хопфа 183 2.6.4. Применение инварианта Хопфа. Новые примеры 188 §2.7. Характеристические классы 199 2.7.1. Теорема Гаусса - Боннэ 199 2.7.2. Общая конструкция характеристических классов 202 2.7.3. Классы когомологий и формы связности 204 2.7.4. Гомоморфизм Вейля 206 2.7.5. Характеристические классы Черна 209 2.7.6. Характеристические классы Понтрягина 214
2.7.7. Характеристический класс Эйлера 216 2.7.8. Характеристические классы Штифеля - Уитни 220 2.7.9. Теория кобордизмов 225 Глава III. Физические принципы и структуры 232 §3.1. Калибровочная инвариантность 232 3.1.1. Поле Максвелла и Янга - Миллса 232 3.1.2. Геометрическая интерпретация полей Максвелла и Янга - Миллса 237 §3.2. Системы со спонтанным нарушением симметрии 241 3.2.1. Спонтанное нарушение дискретной симметрии 245 3.2.2. Спонтанное нарушение непрерывной группы симметрии 246 3.2.3. Групповая интерпретация голдстоуновских бозонов 247 3.2.4. Механизм Хиггса 249 3.2.5. Эффект Мейснера 251 3.2.6. Эффект Хиггса и поле Янга - Миллса 254 Глава IV. Топология калибровочных полей 257 §4.1. Монополи в калибровочных теориях поля 257 4.1.1. Монополь Дирака 257 4.1.2. Калибровочный монополь (монополь Хоофта - Полякова) 262 4.1.3. Топологический критерий существования решений типа монополя 264 4.1.4. Применение топологического критерия в различных физических моделях 4.1.5. 51/C)— монополи 268 4.1.6. Топология монополей, пересекающих границу фаз 278 §4.2. Инстантоны 281 4.2.1. Инстантоны в одномерных моделях 281 4.2.2. Гармонические отображения 287 4.2.3. Инстантоны в двумерных ферромагнетиках 294 4.2.4. Инстантоны в двумерных киральных моделях 297 4.2.5. Инстантоны в уравнениях Янга - Миллса 301 4.2.5.1. Инстантон БПТШ 304 4.2.5.2. Инстантонное решение Виттена 307 4.2.5.3. Пространство инстантонных решений 317 4.2.6. Топологические заряды в многомерных теориях поля 318 Глава V. Топология конденсированных сред 326 §5.1. Жидкие кристаллы 327 5.1.1. Классификация жидких кристаллов 327 5.1.1.1. Классификация особенностей в системах со спонтанным „ 9 Q нарушением симметрии 5.1.2. Линейные и точечные дефекты в нематике 331 5.1.3. Дефекты в холестерике 337 5.1.3.1. Инвариант Хопфа и дисклинационные петли 341 5.1.3.2. Метод Вольтерра и классификация линейных особенностей в „ ._ холестериках 5.1.4. Двумерные структуры в нематике 346
5.1.5. Поверхностные особенности в нематиках и холестериках 351 5.1.6. Топология зацепленных дефектов 353 5.1.6.1. Зацепленные линейные дефекты 353 5.1.6.2. Общая теория зацеплений 358 5.1.6.3. Гомотопические свойства отображений в пространство параметра порядка 5.1.6.4. Дифференциальные формы и высшие коэффициенты „,. зацеплений 5.1.6.5. Пересечение дефектов 370 5.1.6.6. Произведение Уайтхеда и пересечение многомерных „„ дефектов §5.2. Топология сверхтекучего 3Не 383 5.2.1. Уравнение Гинзбурга - Ландау 384 5.2.2. Структура фаз в 3Не и нейтронной звезде 387 5.2.2.1. Структура фаз в ъНе 387 5.2.2.2. Нейтронная звезда 396 5.2.3. А- и Я-фазы в Ще Ъ91 5.2.4. Линейные и точечные особенности в А- и 5-фазах 405 5.2.4.1. Линейные особенности в А-фазе 406 5.2.4.2. Точечные особенности в А-фазе 409 5.2.4.3. Линейные особенности в 5-фазе 410 5.2.4.4. Точечные особенности в 5-фазе 410 5.2.5. Поверхностные особенности 411 5.2.5.1. Поверхностные особенности в А-фазе 411 5.2.5.2. Бужумы 414 5.2.5.3. Острова на поверхности 416 5.2.5.4. Бужумы и затухание сверхтекучего тока 421 5.2.6. Доменная структура в 5-фазе ъНе 421 5.2.7. Одномерные текстуры в А- и 5-фазах 426 5.2.7.1. Одномерные текстуры в А-фазе 426 5.2.7.2. Одномерные текстуры в 5-фазе 434 5.2.8. Общая конструкция топологических зарядов. Новые примеры 436 5.2.8.1. Топологические заряды для сингулярностей в общей теории . _ , относительности 5.2.8.2. Спиноры и W2 439 5.2.8.3. Топологические заряды и теория кобордизмов 442 Глава VI. Заключение 447 §6.1. Топология калибровочных полей 444 6.1.1. Копии By - Янга 447 6.1.2. Пространство орбит 451 §6.2. Топология конденсированных сред 456 6.2.1. Жидкие кристаллы 456 6.2.2. ъНе 458
6.2.3. Теория зацеплений 458 §6.3. Исторические замечания 462 Список литературы 466
Предисловие 9 Длительное время книги по алгебраической топологии писались в одном из двух стилей. Или они заканчивались бутылкой Клейна, или же напоминали частное письмо к Норману Стинроду. Ж. К. Рота Предисловие Последние годы ознаменовались бурным проникновением новых, а точнее, нестандартных разделов математики в такие области те- теоретической физики, как теория поля, теория конденсированных сред и теория гравитации. Этот феномен связан не только с тра- традиционным взаимодействием математических и физических наук, но и имеет более глубокую причину, кроющуюся в современном состоянии физической теории. В настоящее время наметилась определенная общность при опи- описании различных физических явлений. Квантовые флуктуации ва- вакуума, вихри в сверхтекучем 3Не и нейтронных звездах, сингуляр- сингулярности в гравитации, теория струн - вот некоторые примеры. Все это огромное разнообразие фактов частично удается охва- охватить и понять, основываясь на небольшом числе фундаментальных принципов. Идеи калибровочной инвариантности, наличие скры- скрытой симметрии - только самые основные из этих унифицирующих идей. Другим определяющим моментом в новейших исследованиях является выход за рамки теории возмущений при получении ре- результатов, доведенных до числа и позволяющих сравнивать теорию с экспериментом. Все эти достижения потребовали привлечения более мощных и современных математических методов. Конечно, в ряде случаев физики владели отдельными элементами соответствующих матема- математических теорий и, по существу, неявно пользовались ими в своих исследованиях, но только в последнее десятилетие стала ясна необ- необходимость серьезно- го применения новейших математических тео- теорий в физике. Сейчас это осознано не только физиками с математи- математическим складом ума, но и большинством действующих теоретиков. Подобная ситуация требует создания литературы, позволяющей активно работающим физикам быстро войти в непривычные для них разделы математики. Появилась необходимость не только в об- обзорах, содержащих сводку готовых результатов, но и в книгах, по- позволяющих научиться работать с нужным аппаратом. Речь идет о некоторых разделах алгебраической топологии, дифференциаль- дифференциальной и алгебраической геометрии, теории групп. Они изложены в
10 Предисловие ряде книг разного уровня сложности, но почти всегда ориентиро- ориентированы на математике. Так уж сложилось, что стиль математической монографии сильно отличается от физической и затрудняет изуче- изучение физиками современной математики. Изложение часто ведется с излишней общностью, мотивировки и примеры появляются после доказательств общих теорем и т.д. Сейчас положение меняется, в частности, появление таких прекрасных книг, как "Дифференци- "Дифференциальные уравнения" В.И. Арнольда [4], "Современная геометрия" Б.А. Дубровина, СП. Новикова, А.Т. Фоменко [32], "Топология. для физиков" Ч. Неша и С. Сена [202], показывает, что "физи- "физический" стиль изложения математики имеет все права на суще- существование и особенно полезен при первоначальном ознакомлении с предметом. Настоящая книга построена на тех же принципах. В ней изло- изложено несколько разделов алгебраической топологии, теории групп и дифференциальной геометрии, которые оказались полезными в ряде современных исследований по теории поля и теории кон- конденсированных сред. Приложения концентрируются вокруг сле- следующих вопросов: топологическая структура монопольных и ин- стантонных решений уравнений Янга - Миллса, описание фаз в сверхтекучем 3Не, топология сингулярных решений в 3Не и жид- жидких кристаллах. За исключением конструкции топологического за- заряда опущены замечательные приложения топологии в теории гра- гравитации. Они прекрасно изложены в нескольких книгах (Хокинг, Эллис [102], Пенроуз [65]). В этой области применения топологии особенно впечатляющи, хотя сделаны только первые шаги. Подача материала, особенно вводного, представила наибольшие трудности. Строгое изложение любого раздела математики должно основываться на серьезном теоретико-множественном базисе. По- Последовательное изложение с "нуля" требует определения понятий, хорошо известных начинающему математику, но не всегда вклю- включаемых в математическое образование физика. Попытка дать со- содержательные применения вместе с замкнутым изложением курса топологии и теории групп в небольшой монографии представля- представляется совершенно безнадежной. Тем не менее книга не должна быть и простым путеводителем по литературе. Компромисс достигается следующим образом. Вводные главы, содержащие определения и примеры многообразий, групп Ли и т.д., включают мотивировки, небольшое число примеров, точные определения и ссылки на подхо- подходящую литературу в части доказательств и обоснований. Подробно излагаются результаты, отсутствующие в доступной литературе и важные для дальнейшего. Этот подход справедлив и для главы 3. Результаты же применений изложены значительно подробнее. Боль- Большинство из них содержится в оригинальных статьях и в обзорах. Часть из них получена совсем недавно.
Предисловие 11 Хочу подчеркнуть, что в книге.изложены лишь применения, тре- требующие сравнительно простых топологических средств. Современ- Современное развитие теории монополей, инстантонов и квантовых струн связано с последними достижениями математики (теорема Атьи - Зингера об индексе семейства операторов, характеристические классы Черна - Саймонса, твисторы). Оно стимулировало новые крупные продвижения в самой топологии (теорема Дональдсона о гладких структурах на четырехмерных многообразиях,- классифи- классификация расслоений над проективными пространствами CPN, кван- квантовые группы и др.). В этих областях ведется интенсивная работа, результаты которой станут ясны в ближайшие годы. С такой точки зрения настоящая книга может рассматриваться как первый шаг при изучении более сложных разделов топологии. Помимо читателей-физиков, книга рассчитана также и на ма- математиков. Надеясь сделать полезной книгу этой категории чита- читателей, я даю краткую постановку физических задач. Требования к подготовке читателя не превышают курса те- теоретической физики, читаемого на математических факультетах университетов. Более специальные сведения можно почерпнуть из вполне доступной для математиков литературы, которая приведена в книге. Замысел книги появился в 1977 году после чтения (по предло- предложению И.С. Шапиро) небольшого курса лекций по топологии для теоретиков Института теоретической и экспериментальной физики (Москва). Естественно, содержание книги существенно расширено и включает результаты, полученные в последнее время. План книги был подробно обсужден с И.М. Лифшицем и С.П. Новиковым. Их поддержка сыграла решающую роль при написании книги. При работе над книгой я пользовался советами ряда математи- математиков и физиков. Особо хочу отметить помощь Ф.А. Богомолова, К.Г. Борескова, В.Л. Голо, Е.И. Каца, Г.А. Маргулиса, СМ. Натан- Натансона, B.C. Ретаха, М.А. Соловьева, П.Л. Полякова, Ю.Б. Рудяка. Оформить книгу мне помогли В. Кирсанов, Ю. Калинина, И. Соло- духина, Е. Мещерякова, А. Невская, В. Санюк. Издание книги ока- оказалось возможным благодаря финансовой поддержке Фонда фунда- фундаментальных исследований Российской Академии Наук (грант 94- 01-21130). Я благодарю всех друзей и коллег за участие в моей работе, без которого эта книга не была бы написана и издана. 30 марта 1995 г. Москва М. Монастырский
12 Как пользоваться книгой Как пользоваться книгой Нумерация глав содержит несколько цифр; первая означает главу, вторая - параграф и т.п. Нумерация формул - по главам, первая цифра соответствует номеру главы. Теоремы, леммы, предложения, примеры, замечания и т.п. занумерованы так же. Некоторые тру- трудности с обозначениями возникают из-за того, что в математике и физике одни и те же буквы часто закреплены за совершенно разными понятиями. Впрочем, разнородность текста не даст воз- возникнуть путанице. Литературные указания Список литературы, учитывая разноплановость книги, мы были вынуждены сократить, исходя из следующих принципов. Из руко- руководств по современным разделам математики я отдаю предпочтение наиболее близким по стилю физикам и тем, по которым учился сам. Литература по физике включает монографии и обзоры, содержа- содержащие доступное введение в предмет. Ссылки на оригинальные ра- работы даются либо в случае прямого использования, либо когда из- изложение в оригинальной работе представляется мне наилучшим. В основном литературные ссылки преследуют образовательные цели.
Глава I. Подготовительный математический материал. Общие структуры §1.1. Многообразия 1.1.1. Определение многообразия. Примеры. Основные свойства Простейшими объектами, на которых можно определить функции, векторные и тензорные поля, являются n-мерные линейные вектор- векторные пространства Rn и области Ц ~ открытые множества в них. Основное свойство этих множеств заключается в возможности вве- ввести единую систему координат. Это позволяет представить, например, функции f(x) на про- пространстве Rn (х е Лп) или U как функции от п координат х1,...,хп. Аналогично можно поступить с векторными полями и т.п. Однако уже самые простые примеры показывают, что подоб- подобная ситуация может нарушаться. Например, на единичной сфере S™ С Rn, заданной уравнением i=\ невозможно ввести глобальную систему координат. Рассмотрим подробнее сферу S2. Пример 1.1. Сфера S2 С -R3 задается уравнением в сферической системе координат х1 = cos ?> sin в, х2 = sin Ч> sin в, z3 = cos#.
14 Подготовительный математический материал. Легко видеть, что сферическая система координат однозначна и не имеет особых точек при 0 < 0 < тг, 0 < У < 2тг. Но точки $ = 0, тг - особые точки. Это и означает, что в сферической системе координат нельзя задать функцию на сфере как' однозначную фун- функцию от координат в и У. Можно доказать, что на сфере не суще- существует ни одной глобальной системы координат. Однако если вы- выкинуть из сферы хотя бы одну точку, то такую систему координат уже можно построить. Рассмотрим множество S2 \ х\ = Ц\ (х\ - северный полюс). Область Ы\ гомеоморфна в евклидовой плоскости Л2. Это озна- означает, что ее можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на плоскость R2. Отобразим Ц\ на R2 с помощью стереографиче- стереографической проекции из точки xj - "северный полюс" S2 (в ='О). При стереографической проекции точка х сферы с координа- координатами в и ?> переходит в точку х € R2 с полярными координатами (г, V3) = B ctg 0/2, ?>). Аналогичной конструкцией можно полу- получить однозначную систему координат для области U2 = S2 \ Х2 (%2 - "южный полюс"). Таким образом, чтобы задать функцию на сфере S2 достаточно определить ее на двух областях Ы\ тя-Ui- При этом на пересече- пересечении двух областей Ы\^\Ы2, где действуют две системы координат (и\,и2,и\) и (m2)u2>u2)> переход от одной системы координат к другой и обратно задается гладкими (дифференцируемыми) фун- функциями. Это означает, что существует невырожденный якобиан Определение многообразия обобщает данную конструкцию. Определение 1.1. Множество М" называется п-мерным много- многообразием, если существуют такое покрытие областями Ui С Мп, U Ui — Мп и отображения <Pi ¦ Hi ->ViCRn такие, что если пересечения областей Ui^Uj ф 0 (ие пусто), то отображения Vi°?~l :v>i(t4inUj)-*V>i(Ui^Ui) A.1) являются гомеоморфизмом областей в Rn. Область в Rn вместе с отображением <Pi : Ui —> V{ С Rn назы- называется картой, а совокупность карт - атласом многообразия. Две
Многообразия 15 карты (Vi,Wi) и (Уг,^), Ы\ П?/г ф 0 называются согласован- согласованными, если для них выполняется условие A.1). В зависимости от условий, налагаемых на класс отображений и топологию пространства Мп, мы получим многообразия с различ- различными структурами и топологическими свойствами. Онределение 1.2. Дифференцируемые многообразия. Многооб- Многообразие Мп называется дифференцируемым, если отображения Viofj1 нал функции локальных координат иг,...,ип являются дифференцируемыми функциями. Рассматривают дифференциру- дифференцируемые многообразия класса Ск в зависимости от класса гладкости дифференцируемых функций. В данной книге вопросы гладкости не существенны и мы будем всегда подразумевать существование на многообразии подходящей гладкости, например, класса С00 или аналитической гладкости. В последнем случае многообразие называется аналитическим. Определение 1.3. Комплексные многообразия. Если отображе- отображения V,- задаются комплекснозяачными аналитическими функциями и отображения перехода <Pi о <pjl голоморфны, то многообразия на- называются комплексными. Введем еще несколько определений, связанных с топологией многообразий. Чтобы избежать различных математических пато- патологий, не возникающих в большинстве физических приложений, наложим два естественных ограничения на топологию Мп. 1. Отделимость. У любых двух точек х,у € М" есть непересе- непересекающиеся окрестности (хаусдорфовость пространства Мп). 2. Существует атлас для Мп из не более чем счетного числа карт. Определение 1.4. Многообразие Мп называется компактным, ес- если из всякого открытого покрытия М" можно выделить конечное. Пример 1.2. Сфера S2 очевидно компактна. Докажите компакт- компактность сферы S". Примером некомпактного многообразия является само пространство Rn. Рассмотрим еще один пример компактного многообразия - дву- двумерную проективную плоскость RP2. Множество RP2 можно опре- определить несколькими эквивалентными способами. Пример 1.3. Рассмотрим множество точек х = (х1,х2,х3) € R3 со следующими условиями эквивалентности: две точки х и х' ? R3 \ {0} {0} - начало координат {0} = @,0,0) определяют одну
16 Подготовительный математический материал. и ту же точку х € RP2, если существует ненулевой веществен- вещественный скаляр А такой, что х' — Ах : (х1 ,х2 ,х3 ) = (Ах1, Ах2, Ах3). Координаты х1,х2,хг точки х называются однородными коорди- координатами точки х € RP2. Пусть 14% ~ окрестность в RPn, состоя- состоящая из точек, г-я однородная координата которых не равна нулю: Hi — {х,хг ф 0}. Это открытое множество связно, и на нем можно задать карту. сопоставив точке х{хг,х2,х3) точку у = (х1 /х',х*/х'). Очевидно, что тремя картами можно покрыть всю проективную плоскость. Осталось доказать согласованность этого покрытия. Докажем, на- например, согласованность карт (Vi,Wi) и {4>2,U2)- Пусть х € U\ Г\Ы2 и определено отображение ?>i2(j/) == УгС^ГЧу)) области {у1, у2 '¦ у1 ф 0} в область 4>г\{г) = ViC^J1^)) = {zl,z2,zl ф 0}, где у — <px(x),z = 92(x)- Отображения ^п и V21 являются диффео- диффеоморфизмами на Hi Hi/2) действительно: Из формул A.2) следует, что преобразования V3» задают струк- структуру аналитического многообразия. Тем самым мы доказали, что вещественная проективная плоскость является компактным анали- аналитическим многообразием. Представление проективной плоскости в однородных координа- координатах имеет простую геометрическую интерпретацию: RP2 - набор неориентируемых прямых в трехмерном пространстве R3, прохо- проходящих через начало координат. Другое топологически эквивалентное представление. Рассмо- Рассмотрим единичную сферу S2 и отождествим диаметрально проти- противоположные точки. Еще одно представление RP2 получим, если отождествим точки граничной окружности полусферы 5^.. Легко перенести полученные результаты на пространство п измерений - n-мерное проективное пространство RP". Определение проективной плоскости как полусферы с отождес- отождествленными точками граничной окружности включает новый объект - многообразие с границей, или, как обычно говорят, многообразие с краем. Многообразия с краем естественно возникают в граничных за- задачах дифференциальных уравнений, например, в задачах Ди- Дирихле и Неймана. Простейший пример: круг, гомеоморфный по- полусфере. Определение многообразия с границей требует соответ- соответствующей модификации определения 1.1.
Многообразия 17 Обозначим через i?" полупространство в Rn - множество точек в Rn(x1, ...,xn), выделяемое условием х1 < 0. Краем R1 называется гиперплоскость Д" х1 = 0. Определение 1.5. Многообразие Мп называется многообразием с краем, если каждая точна х допускает окрестность Ц, гомео- морфную области V, лежащую в Д™. Множество точек, отобра- отображаемых в край, называется краевыми точками или точками гра- границы. Известно, что понятие границы топологически инвариан- инвариантно. Граница многообразия будет обозначаться через дМ. Размер- Размерность dim дМп = п — 1. Коштаятное многообразие Мп без края (дМп — 0) принято называть замкнутым многообразием. Условие гомеоморфности отображений в координатные про- пространства необходимо для придания смысла понятию размерности. Как следует из классической теоремы Брауэра, два топологиче- топологических пространства, гомеоморфные друг другу, имеют одинаковую размерность. Легко видеть, что при отказе от любого из свойств, входящих в определение гомеоморфизма, нельзя говорить о сохра- сохранении размерности при отображении. Например, можно отобразить квадрат на куб взаимно одно- однозначно или непрерывно отобразить квадрат на отрезок (проекти- (проектированием). Введем еще одно важное понятие, позволяющее разделить мно- многообразия на два класса. Ориентация многообразия. Определение 1.6. Пусть Мп - n-мерное многообразие без края с атласом UUi — Мп. На многообразии Мп определено понятие ориентации, если для любых согласованных карт (?3i,Wi),(V3j,W>), Ui^Uj ф 0 преобразование от одной карты к другой имеет положи- положительный якобиан. Если на многообразии Мп можно задать такой атлас, то многообразие называется ориентируемым. В противном случае - неориентируемым. Очевидно, что ориентируемое многообразие имеет две ориен- ориентации: sign det(u\/u2). Свойство ориентируемости является топо- топологическим инвариантом, т.е. не зависит от задания локального покрытия и от свойств объемлющего многообразия B.7.8).
18 Подготовительный математический материал. Для многообразий с краем понятие ориентации сохраняется. Покажем, что в этом случае ориентация границы дМп согласована с ориентацией самого многообразия Мп. Пусть Un ~ окрестность в Мп, пересечение которой с д Мп не пусто: Ып~1 = Ып С\дМп ф 0. В локальных координатах ура- уравнение окрестности Un~1 имеет вид г1 = 0. Поэтому координа- координатами 1Ап~1 будут х1,...,!™. Аналогично выберем другую область V" С Мп с координатами (у1,...,!/") так, что У" = Vn П дМп не пусто. Рассмотрим пересечение Цп OVn ф 0. В общей части окрестностей Цп Л V" имеем у>=у>(х\...,хя), J=l,...,n, при х1 = 0 yj =y>@,x2,...,xn), j=2,...,n, так как угA,х2,...,х") = 0, получаем (на Ып~7 д(у\...,уп) _ dyl д(у2;...,уп) д(х*,...,хп) { ; Так как якобиан в левой части A.3) не равен нулю, а ||г > 0, то знак якобиана | ^ | (i,j = 2, ...,п) совпадает со знаком | |2j-1 (г, j = 1,..., п), т.е. ориентация границы согласована с ори- ориентацией границы самого многообразия. Рассмотрим теперь несколько примеров. Прнмер 1.4. а) Пространство Rn ориентируемо. б) Пространство Sn ориентируемо (для доказательства восполь- воспользуйтесь заданием локальных координат с помощью стереографиче- стереографической проекции). в) Пространство Сп - комплексное n-мерное пространство, ориентируемо, так как каждое аналитическое отображение / : Сп —> Сп определяет отображение / : R2n -* R2n с положительным якобианом. г) Mq - n-мерное комплексное многообразие - ориентируемо. Это следует из в) и определения комплексного многообразия. д) Пример неориентируемого многообразия - RP2. Вычислим якобиан отображения для пересечения двух карт. Формулы перехода заданы в A.2). В области Hi : у1 = х2/я1, у2 = х3/х}. В области УЬ '• z1 = xl/x2,z2 = хг/х1. В области ?Л ГШ2 {х1 ф 0,а;2 ф 0) у1 = (г1), у2 = г2(г1)~1. Якобиан функций перехода равен
Многообразия 19 Таким образом, при переходе из области z1 > 0 в область zx < О якобиан меняет знак. Поэтому проективная плоскость - неориенти- руемое многообразие. Аналогичное вычисление для RPn дает яко- якобиан J = — (z*)~(n+1). Поэтому при нечетных п якобиан сохраняет знак при переходе из областей z' > 0 к z* < 0. Следовательно, при п = 2к + 1 многообразие RPn - ориентируемое (см. также стр. 216, упражнение 2.8). В частности, RP1 диффеоморфно окружно- окружности S1, а пространство RP3 - группе ортогональных матриц 3-го порядка с определителем 1. е) Комплексное пространство СРп. Определим комплексное n-мерное проективное пространство Как множество всех комплексных прямых, проходящих через ноль в Cn+1. Докажем, что СРп есть n-мерное комплексное многообра- многообразие. Заметим, что по аналогии с вещественным проективным про- пространством RPn можно определить СРп, задав соотношение экви- эквивалентности между парами точек в Cn+1. Две точки z и z' € Cn+1 называются эквивалентными z' ^ z, если существует комплексный скаляр А ф 0 такой, что z' = Az. Таким образом, точки z можно рассматривать как классы эквивалентности пропорциональных на- наборов из п + 1 комплексных чисел z(z1,..., zn+I). Совершенно ана- аналогично вещественному случаю можно ввести однородные коорди- координаты и атлас {fi^Ui) на СРп. Например, в окрестности U\, где z\ ф 0, координатами точки z(z1,...,zn+1) будут w' — z'/zl,i = l,...,n + 1. Легко видеть, что якобиан перехода от координат Ui к координатам Uj в области Ui П Uj задается комплексно аналитическими функциями. Т.е. СРп - n-мерное комплексное многообразие. Так как система окрестностей Ui является конечным открытым покрытием СРп, то мы заодно получаем доказательство компакт- п ности многообразия СРп, заметив, что СРп = (J Ki, где К{ = ^() Здесь К - полидиск в Сп : {ш € С, |и>'| < 1}, <Pi опреде- определяются аналогично случаю RPn. Это можно увидеть и используя следующее соображение: комплексные прямые пересекают единич- единичную сферу 52n+1 В Сп+1 (|гг|2 +...|zn+1|2 = l). Из условия экви- эквивалентности z ^ z' следует, что |А| = 1, т.е. СРп получается фак- факторизацией сферы S2n+1 по действию группы 17A) = {ехр(г?>)}. Определим понятие прямого произведения, позволяющее стро- строить примеры новых многообразий из уже имеющихся.
20 Подготовительный математический материал. Определение 1.7. Прямым произведением двух многообразий Mi и М? размерностей кип соответственно называется много- многообразие М* х М% размерности к + п, состоящее из пар (х,у), где х, у - точки мвогообразий М* и М" соответственно. Система нарт состоит из окрестностей Id х Vj Д Rk x Rn ~ Rk+n. Локальными координатами точки z — (х,у) будут наборы (х1,..., хп, у1,..., г/п) - локальные координаты точек х и. у. Если М* и M.f - ориентированные многообразия, то прямое произведение М* х М^ будет, очевидно, ориентированным многообразием; если же хотя бы один из сомножителей не ориентирован, то прямое про- произведение будет, очевидно, неориентированным. Если М* имеет край dM*, a M" - замкнутое многообразие, то краем М\ х М" будет д М* х М? ¦ Возможность представления многообразия в виде прямого произведения многообразий меньшего числа измерений позволяет сильно упростить изучение его свойств. Пример 1.5. 1. Тп - тг-мерный тор - ориентируемое много- многообразие. Доказательство немедленно вытекает из представления г" =?* х ... х S1 (S1 - окружность). п 2. Группа 50D) - ориентируемое многообразие. Пре- двари- тельно читатель должен показать, что группа SOD) является пря- прямым произведением 53 х 50C). Теперь ориентируемость SOD) следует из ориентируемости группы 50C) ~ RP3 и 53. В даль- дальнейшем (см. 1.2.3) буде показано, что все многообразия, наделенные структурой группы - группы Ли - ориентируемые. Естественная задача, возникающая при изучении многообра- многообразий, - классификация многообразий данной размерности. Под классификацией будем понимать введение наборов инвари- инвариантов (конечное или счетное), позволяющее решить, гомеоморфны (диффеоморфны) ли два многообразия М\ и Мг или нет. По су- существу, это основная задача топологии, все методы и усилия на- направлены на ее решение. В такой общей постановке ответ, к со- сожалению, отрицательный. Уже для четырехмерных многообразий нельзя без дополнительных ограничений решить, гомеоморфны два многообразия или нет. Если же ограничиться более узкими клас- классами многообразий, то ответ положительный (например, для всех односвязных многообразий Мп,п > 5, такая классификация полу- получена В.Враудером и С.П.Новиковым [17], а для п = 4 - Фридманом [146J. Простейшими многообразиями будут одномерные многообра- многообразия.
Многообразия 21 Упражнение 1.1. Докажите, что замкнутые связные одномерные многообразия диффеоморфны окружности, незамкнутые - прямой, а многообразия с краем - отрезку или полуинтервалу. Известна классификация всех двумерных многообразий. Дву- Двумерные многообразия возникают в различных задачах физики и представляют большой интерес. Дадим классификацию двумерных многообразий. 1. Рассмотрим сначала замкнутые многообразия. Выделим класс ориентируемых многообразий. Конструкция, позволяющая получить все замкнутые ориентируемые двумерные многообразия состоит в следующем. Возьмем сферу S2. Вырежем в сфере дырку - область, гомеоморфную кругу. Обозначим границу круга через S\. Заклеим эту область ручкой - объектом, имеющим топологиче- топологическую структуру тора с вырезанной в нем дыркой. Граница дырки - 91 - Л2. Операция заклеивания состоит в отождествлении граничной окружности S\ с Si- Получим фигуру, гомеоморфную тору. Про- Продолжим эту операцию. Общий вид многообразия, полученный по- после р-операций - сфера с р-ручками - гомеоморфна р-кренделю (Рис.1) Рис.1. Поверхность рода р (здесь р = 3) Число ручек является топологическим инвариантом поверхно- поверхности и называется родом поверхности. Читатель легко докажет негомеоморфность любых двух повер- поверхностей с различным числом ручек, используя топологический ма- материал Главы 2 (эйлерова характеристика). Упражнение 1.2. Доказать ориентируемость сферы с р-ручками.
22 Подготовительный математический материал. 2. Неориентируемые поверхности. Замкнутые неориентируемые многообразия строятся аналогичным методом, лишь роль ручки играет другое стандартное многообразие - любимый герой научно - популярной литературы - лист Мебиуса. Лист Мебиуса. Пусть ABCD - прямоугольник, у которого стороны АВ и CD отождествлены после поворота стороны АВ на 180°. Лист Мебиуса имеет край, гомеоморфный окружности Неориентируемые повер- поверхности получаются из сферы S2 последовательным вырезанием дырок и заклеиванием их листами Мебиуса. Число приклеиваемых листов Мебиуса является инвариантом поверхности. Упражнение 1.3. Покажите, что проективная плоскость RP2 го- меоморфна сфере с приклееным листом Мебиуса. Бутылка Клеёна. Бутылку Клейна можно определить следующим образом. Возь- Возьмем цилиндр и заклеим его края, отождествив граничные окруж- окружности S\ и 5г, отразив предварительно одну из окружностей отно- относительно диаметра. Упражнение 1.4. Докажите, что бутылка Клейна - неориентиру- емая поверхность. Какой поверхности в приведенной конструкции она гомеоморфна? Многообразие с краем получается следующей конструкцией. Вырежем в S2 q дырок и заклеим р их них листами Мебиуса. Полу- Получим многообразие М2 с границей д М2, состоящей из q — р окруж- окружностей. Упражнение 1.5. Докажите, что многообразие, получающееся приклеиванием р ручек и q (q > p) листов Мебиуса к сфере, гомеоморфно сфере с q + 2р принлееными листами Мебиуса. Полная классификация двумерных поверхностей включает до- доказательство двух утверждений. 1. Доказательство попарной негомеоморфности двумерных по- поверхностей весьма просто. Неориентируемые поверхности не го- меоморфны ориентируемым, так как свойство ориентируемости - топологический инвариант. Негомеоморфность внутри каждого класса следует из существования топологического инварианта - рода поверхности.
Многообразия 23 2. Значительно сложнее доказывается, что любое двумерное замкнутое многообразие гомеоморфно одному из вышеперечислен- вышеперечисленных. Доказательство приведено, например, в [49]. Двумерное ориентируемое многообразие М2 может быть реа- реализовано как поверхность в пространстве i?3 или как риманова поверхность алгебраической функции: w2 = /(z) = P2n{z), где P2n(z) - полином степени 2п. Связь между степенью п и родом поверхности дается формулой р = п — 1. Так как неориентируемые многообразия не имеют комплексной структуры, то их нельзя рассматривать как римановы поверхно- поверхности. Возникает естественная задача, можно ли рассматривать не- неориентируемые многообразия как поверхности в евклидовом про- пространстве. Она тесно связана с другим принципиальным вопросом. Мы дали определение многообразия, не связывая себя расположе- расположением его в фиксированном пространстве Rn. С другой стороны, мы всегда можем построить частный вид многообразия как пересе- пересечение линий уровня функции fi(x},...,xn) = с, (с,- = const), т.е. как поверхность в некотором пространстве Дп. Спрашивается, является ли понятие многообразия более общим, т.е. можно ли рассматривать многообразие как подмногообразие, вложенное в RN, где N достаточно велико. Ответ содержится в фундаментальной теореме Х.Уитни. Для формулировки теоремы нам понадобится точное определение понятий подмногообразия и вложения. Определение 1.8. Подмножество V С Мп называется подмного- подмногообразием, если каждая точка х ? V имеет такую окрестность W в Мп и такую карту Ч>: W —» К С Rn, что ?>(W П У) является обла- областью в подпространстве Rk С Rn ¦ V имеет структуру многообразия Мп - карты: Wf=WnV. Онределение 1.9. Многообразие Мк называется вложенным в пространство М'(к < /) с помощью гладкого отображения /, если ранг якобиана отображения / при любом х € Мк равен к и ото- отображение f взаимно однозначно отображает Мк на f(Mk). Теорема 1.1 (Унтни). Каждое гладкое многообразие Мп может быть вложено как подмногообразие в пространство RN, где N > 2п. В общем случае N = 2п + 1, но для конкретных пространств иногда можно доказать более точные оценки. Например, двумерные неори- неориентируемые поверхности можно вложить (без самопересечений) в 4
24 Подготовительный математический материал. Доказательство теоремы Уитни (сложность представляет дока- доказать, что N — 2га + 1) см. в [72]. Этот результат показывает, что абстрактное понятие многооб- многообразия принципиально не содержит объектов, отличных от повер- поверхностей, расположенных в евклидовом пространстве подходящего числа измерений. Но во многих случаях, особенно при изучении глобальных свойств, удобнее абстрактное определение многообра- многообразия, не привлекающее координат объемлющего пространства. Введенные понятия позволяют сильно расширить примеры мно- многообразий. Пример 1.6. Рассмотрим множество всех невырожденных ве- вещественных матриц GL(n,R). Легко видеть, что это простран- пространство имеет структуру iV-мерного многообразия. Размерность этого многообразия N = га2. Рассмотрим следующие подмножества в GL(n,R): 1) O(n,R)- группа всех ортогональных матриц. 2) SO(n, R) - группа всех ортогональных матриц А с det А = 1. 3J Множество симметрических матриц, с det А ф 0. 4) Группа диагональных матриц, с det А ф 0 Будет ли многообразием множество всех матриц порядка п (включая и вырожденные)? Показать, что 1), 2), 3), 4) будут подмногообразиями многооб- многообразия GL(n,R). Полезно рассмотреть также вложение GL(n, R) С GL(n, С), где GL(n, С) - группа всех невырожденных комплексных матриц. 1.1.2. Функции и векторные поля на многообразиях Изучим поведение функций и векторов при отображениях одного многообразия на другое. 1. Пусть М\ и М? - дифференцируемые многообразия, а <Р - дифференцируемое отображение: V : М\-* Щ. Тогда функция f(x),x € М" преобразуется как сложная функция, т.е. для любой функции /, определенной на подмножестве V в М% определено отображение V» такое, что Это определение показывает, что отображение V* действует в про- противоположном направлении отображению V : V» отображает про- пространство функций /(М?) в пространство f(M[). Пример 1.7. Кривой (параметризованной кривой) на многооб- многообразии М, выходящей из точки х0, называется дифференцируемое
Многообразия 25 отображение (функция) отрезка / = [0,1] такое, что /(to) = х0. Параметризованная кривая может не быть подмногообразием так как здесь допускаются пересечения кривой, точки возврата, клювы и т.п. 1.1.2.1. Касательное пространство Определим объект, обобщающий понятие касательного вектора к кривой. Мы дадим определение касательного пространства, не зависящее от выбора локальной системы координат. Определение 1.10. Пусть М - многообразие. Касательным к М в точке х вектором v называется класс эквивалентных кривых, вы- ходящих из точки х. При этом две кривые f\ : I —» М, 72 : I —* М, проходящие через точку х, эквивалентны, если они имеют одина- одинаковые производные в <Р(х) в какой-либо карте точки х, а следо- следовательно, и в любой другой карте, содержащей точку х, т.е. это определение не зависит от системы координат. Рассмотрим теперь пространство всех кривых, проходящих через точку х, профакто- ризованных по соотношению эквивалентности. Обозначим это про- пространство ТМХ. Элемент этого пространства и называется каса- касательным вектором в точке х. Это определение, кажущееся несколько абстрактным и непри- непривычным, полностью совпадает с обычным определением касатель- касательного вектора кривой. Условие эквивалентности означает, что для всех разложений в ряд Тейлора функций / в окрестности точки х у эквивалентных функций совпадают линейные части, т.е. коэф- коэффициенты dfIдх'\х. Поэтому касательный вектор определяется набором первых производных по своим локальным координатам. Условие эквивалентности показывает, что касательный вектор не зависит от выбора локальной системы координат.- Множество касательных векторов имеет структуру векторного пространства Rn и обозначается Мх или ТМХ Его размерность совпадает с dim Mn. Приведем формулу для касательного вектора в привычных ло- локальных координатах. Пусть х € W С Мп. Всякий вектор и, касательный к М в точке х, задается набором компонент в локальной системе коорди- координат. Если 7 : I —* Мп - кривая, выходящая из х по направлению v в момент to, то
26 Подготовительный математический материал. Рассмотрим, например, кривую j(t), выходящую из точки х = (х1, ...,х") вдоль координатной линии: ^'Gj@) = $j(x* + *)• То- Тогда касательный вектор и' = F},..., 8"). Касательные векторы vlx к координатным линиям, выходящим из точки х, обозначаются через дIдх*\х- Они образуют базис пространства TiWx. Многообразие касательных векторов. Рассмотрим теперь пространство ТМ" — (J ТМ" - объедине- х ние касательных пространств во всех точках х € М". Заметим, что касательные пространства, заданные в разных точках, не пе- пересекаются. Множество ТМ" имеет единственную структуру глад- гладкого многообразия; картами многообразия ТМ" будут окрестности W D V х U и отображения V : W —* Rn+n, где V - окрестность точки х, a U - окрестность вектора v € ТМХ: <P:TV-+R2", V{v) = (x,v). Различные карты ТМ, соответствующие различным картам атласа М, согласованы. Пусть у1,..., у" - другая локальная система коор- координат и т/1,..., т]" - компоненты вектора в этой системе, тогда Терминологическое замечание. Многообразие ТМ называется касательным расслоением (более точное определение - простран- пространство касательного расслоения), так как оно является одним из клю- ключевых примеров расслоенных пространств, играющих важную роль в топологии. Расслоенные пространства будут определены в §1.4. 1.1.2.2. Векторное поле Дадим определение векторного поля на многообразии, не зависящее от выбора системы локальных коорди- координат. Определение 1.11. Векторное поле v на М есть гладкое отобра- жевие v : М -* ТМ такое, что отображение р о х : М —> М - тождественное: р : ТМ ->М^ p(v(x)) = х. Легко видеть, что хорошо известное из курса обыкновенных дифференциальных уравнений определение векторного поля как поля скоростей фазовых потоков вполне эквивалентно, в случае об- областей евклидова пространства, данному абстрактному определе- определению.
Многообразия 27 Пусть х1, ...,хп - координаты в Rn, gt - фазовый поток, задан- заданный однопараметрической группой диффеоморфизмов простран- пространства Мп —* Un С Rn, вектор скорости г; потока gt определяется, как хорошо известно, по формуле v(x) = dt t=o т.е. каждой точке х сопоставляется вектор скорости, заданной на кривой, проходящей через ту же точку. Очевидно, что это соот- соответствие удовлетворяет определению 1.11. Так как через каждую точку можно провести (локально) единственную траекторию по- потока, то мы получим векторное поле на гладком многообразии Мп. Если выбрать в касательном пространстве ТМХ ортонормирован- ный базис е,- = д/дх1, то каждое векторное поле vx единственным образом представляется в виде где Ji{x) - функции локальных координат. Определение векторного поля в инвариантных терминах (не за- зависящее от выбора системы координат) позволяет немедленно пе- перенести на многообразия всю теорию обыкновенных дифференци- дифференциальных уравнений, построенную в областях евклидова простран- пространства. При этом отличие проявится лишь при изучении глобальных свойств. Посмотрим, как преобразуются векторные поля при отображе- отображениях многообразий. Пусть М и N -два гладких многообразия, а / - гладкое отображение. Так как при гладком отображении классы эквивалентности гладких кривых на М переходят в классы экви- эквивалентности гладких кривых на N, то возникает индуцированное отображение Отображение /* называется дифференциалом отображения / (обо- (обозначается также и df). Ленна 1.0. а) /* - линейное отображение пространств ТМХ —> TNy; б) если выбрать базис локальных координат д/ д х1 в ТМХ к д I ду' в TNy, то отображение /* записывается в виде дх' х у
28 Подготовительный математический материал. Доказательство. Так как каждый касательный вектор в ТМХ имеет вид Х'(х) д|т, а вектор в TNy : Y^y) -щт, то достаточно про- проверить линейность отображения /* на базисных векторах: -^ —+ у g~. Это преобразование очевидно линейно. Столь же просто доказывается и условие б). Якобиева матрица касательного расслоения имеет вид А 0\ , (дх и якобиан равен (det АJ > 0. Отсюда получаем: Следствие 1.1. Касательное расслоение - ориентируемое много- многообразие (даже если само многообразие было неориентируемым). Упражнение 1.6. Построить касательное расслоение к проекти- проективной плоскости, к бутылке Клейна. Каким многообразиям будут гомеоморфны касательные расслоения? Упражнение 1.7. Рассмотрим подмногообразие касательного рас- расслоения, образованное парами (я, е), где х - точка многообразия М", а е - единичный касательный вектор. Соответствующее рас- расслоение будет ориентируемым Bп — 1)-мерным многообразием. Та- Такое расслоение называется сферическим пучком. Найти сфериче- сферический пучок для S2 и RP2. Будут ли гомеоморфны соответствующие пучки? Операции над векторными поляыи. 1. Преобразование векторных полей. Пусть М[,М™ и М? - дифференцируемые многообразия; Ч>\ - дифференцируемое отображение М\ —* М% a V2 - дифференци- дифференцируемое отображение: М2 -> М3, ТМцр), ТМцч),ТМ2(ч),ТМ3{г) - касательные пространства в точках р G M\,q = ViCp) € Мг,г = ()М Тогда индуцированное отображение касательных пространств подчиняется следующему, так называемому цеп- ному правилу: (здесь о - знак композиции отображений). Это правило вытекает из определения <р* и известного правила дифференцирования слож- сложных функций: g^r = -g|j- -g^7 (по повторяющимся индексам прово- проводится суммирование).
Многообразия 29 На векторных полях помимо обычных операций, справедливых для векторных пространств, - сложение и умножение на скаляр - можно определить еще одну операцию - коммутирование вектор- векторных полей Хз = [Xi,X2]. Коммутатором двух векторных полей Х\ и Хг называется век- векторное поле Хз = Х\ о Х2 — Х2 о Х\ = [Xi,X2]. Если векторные поля задать в карте х = (я1,.••>?") в виде Xi = С(х) ^т,^2 = т,)(х) gfj-, то поле Хз = [ХЬХ2) имеет вид С(х) §? -^(х) g-. В классической механике поле Хз называется скобкой Пуассона двух векторных полей. Операция коммутирования характеризуется тремя свойствами: 1) антисимметричность, 2) билинейность и 3) справедливо следу- следующее соотношение для коммутаторов трех векторных полей, назы- называемое тождеством Якоби: [Х^Хз.Хз]] + [Х2[Хъ,Хх]] + [Х3[ХЬХ2]] - 0. Полезное свойство скобок Пуассона сформулируем в виде: Упражнение 1.8. Два фазовых потока gt и ht порожденные век- векторными полями, коммутируют тогда и только тогда, когда их скобка Пуассона равна нулю. Операция коммутирования двух векторных полей является ча- частным случаем операции Ли - дифференцирования тензорного поля по направлению векторного поля. Определим производную Ли в двух случаях. 1. Производная Ли функции / вдоль векторного поля v. Определение 1.12. Производной Ли функции, f : Ц —> R по на- направлению поля v в каждой точке х ? U С Мп называется новая функция Lvf : U —* R, значение которой в точке х равно произво- производной f по направлению v: т.е. если в координатах х = (х1,..., хп) векторное поле v имеет вид Оператор Lv обладает следующими свойствами: ) (f) (g); = f(x)Lvg + Lv(f)g(x); L
30 Подготовительный математический материал. 2. Пусть векторное поле X порождает однопараметрическую группу преобразований д%. Локально это всегда так (следствие те- теоремы существования и единственности решений системы обыкно- обыкновенных дифференциальных уравнений). Определим действие одно- параметрической группы 9t{p) на поле Y по формуле д;(р) : Y = g;(Y)p (здесь д* - дифференциал отображения д). Назовем производной Ли векторного поля Y вдоль X следующее инфинитезимальное преобразование: Можно показать, что оператор LxY совпадает с коммутато- коммутатором полей [Y, X] - скобкой Пуассона полей [У, X]. Доказательство можно найти в любой книге по дифференциальной геометрии, на- например в [40, т.1, 81], и мы его опускаем. 1.1.2.3. Дифференциальные формы Наряду с векторными полями на многообразии можно опреде- определить двойственный объект - дифференциальные формы 1-ой сте- степени, или просто дифференциальные 1-формы. Дифференциаль- Дифференциальные 1-формы представляются в виде gidf (здесь g>, и /' - про- производные функции). Если выбрать локальные координаты в карте многообразия М" : х*,...,хп, то 1-форму можно записать в виде ai(x) dx'. При переходе от одной локальной системы координат к другой, коэффициенты формы преобразуются как компоненты вектора: ai(x) dx' -» oj -x-rdyi, т.е. l-форма di(x) dx1 в координатах у1,..., уп имеет вид о,(у) dyl, где Если в пространстве 1-форм R*n ввести базис dx1, ...,dxn, опреде- определив значения векторов базиса на векторах векторного пространства
Многообразия 31 то из очевидных свойств линейности мы получим, что пространства R*n и R" сопряжены относительно скалярного произведения A.4), и пространство 1-форм - пространство линейных функционалов на касательном пространстве. По аналогии с касательным расслоением можно определить ко- касательное расслоение 1-форм как [JT*M = Т*М. Кокасательное расслоение, так же как и касательное расслоение ТМ, имеет структуру гладкого расслоения. В гамильтоновом фор- формализме классической механики касате- льное расслоение играет роль фазового пространства. Исходя из форм первой степени, с помощью операции внешнего умножения можно строить формы высших степеней - р-формы. Внешнее умножение форм. Определим операцию внешнего умножения на базисных фор- формах, так как на произвольные формы эта операция определяется по линейности. Внешнее умножение обозначается значком Л. Операция Л подчиняется правилам ассоциативности, дистри- дистрибутивности и антикоммутативности, присущим грассмановым ал- алгебрам: 1) dx% Л dx> = -dx> Л dx' => dx1 Л dxj = О, 2) а Л dxx = dxl Ла = a dxx, a - функция. Отсюда следует, что любую р-форму в данной локальной си- системе координат можно представить в виде w = ail...irdxil Л...Л<1х'>. A.5) Несложно доказать, что такое представление единственно. Из свой- свойства 1) также следует, что на многообразии Мп формы степени выше п равны нулю. Сформулируем ряд свойств дифференциальных форм и допол- дополнительных определений. Доказательства см., например, в [32, 72]. 1. Форма равна нулю в точке х, если в этой точке обращаются в нуль все коэффициенты формы. 2. Носитель формы. Носителем формы называется наименьшее замкнутое множество, вне которого ы = 0. 3. Если а и /3 - формы степени р и q соответственно, то
32 Подготовительный математический материал. 4. Удобно следующее представление формы ш. Определим ко- коэффициенты для произвольных систем значений индексов ix,...,ip и потребуем, чтобы выполнялось условие кососимметричности, т.е. положим «i!,...,!,, = 0, если не все г* различны, и otjXt...jr = ±<*п,...,1,,) если ji,--.,jp есть перестановка индексов ii,...,ip: знак " + " выбирается, если подстановка четная, " — ", если нечетная. Тогда форма U> = I —7 где все индексы независимо друг от друга пробегают значения от 1 до р. 5. Определим операцию внешнего дифференцирования формы u> : u> —> du>. Форма и> степени р переходит в форму степени р +1. В случае нульмерных форм — ш°— (функций) эта операция совпадает со взятием дифференциала функции. В общем случае операция d задается формулой dw = dai^.^dx'1 Л ... Adx*'. A.6) Оператор d, как легко видеть, удовлетворяет следующим свойствам: а) линейность d{u>\ + ш2) = dw\ + du2', б) d(u>i Ли>г) = du>i Ли;2 + (—1)ри>1 Adw2, где р - степень формы wj, и чрезвычайно важному свойству в) dodu> = 0. Из этих свойств следует, что операция внешнего дифференцирова- дифференцирования не зависит от выбора локальных координат. Свойство в) явля- является обобщением хорошо известных из векторного анализа резуль- результатов: rot gradv = 0, divrot A = 0. 6. Производная Ли дифференциальной формы Ьхш: где gt - локальная однопараметрическая группа, порожденная по- полем X. LxoJ обладает свойствами: а) Lx{<*>i Л Ш2) = Lx^\ Ли>2 + ш\ Л б) Lxdw = () в) Lxu> = ) где Jx - операция внутреннего умножения, отображающая форму ш степени р : wp —» шр~г. На базисной форме ш = a(x)dx1 A ... Л dxp Jx действует по формуле
Группы Ли 33 x Lx{xl) dx1 A.-Adx* A...Adxp, где крышечка обозначает пропуск соответствующего дифферен- дифференциала. Используя формализм дифференциальных форм, покажем, как записываются уравнения Гамильтона на многообразии М. Вве- Введем еще одно важное определение. Определение 1.13. Многообразие М называется симп- лектиче- ским, если на нем существует невырожденная 2-форма ш такая, что du = 0 (такая форма называется замкнутой). Пример симплектического многообразия доставляет простран- пространство кокасательного расслоения Т*М. Замкнутая 2-форма пред- представляется в виде ш = dpi Л dq'. Векторное поле X на М называется гамильтоновым, если Lxw = О (здесь ш - замкнутая 2-форма). Перейдем к ковекторному полю W = Jx&, из свойства 6) сле- следует, что поле X гамильтоново тогда и только тогда, когда форма W замкнута. Так как форма W замкнута, то локально она предста- вима в виде dF, где F - гладкая функция. Функция F - гамильто- гамильтониан системы. Функция F только локально является однозначной. Условие, когда F можно выбрать глобально однозначной функцией на многообразии М, определяется топологией фазового многооб- многообразия. Соответствующие результаты будут изложены в Главе 2. В теории калибровочных полей оказывается удобным форма- формализм дифференциальных форм со значениями в векторных про- пространствах, в частности, в алгебрах Ли калибровочных групп. §1.2. Группы Ли В этом параграфе вводятся основные факты из теории групп Ли. Теории групп Ли посвящено огромное количество книг. Я рекомен- рекомендую книги [34, 90, 100]. В них содержится рассчитанное на любые вкусы детальное изложение предмета. Определение 1.14. Многообразие G, снабженное структурой группы, называется группой Ли, если операция д\ о д% —* gg^1 9i,92 € G дифференцируема.
34 Подготовительный математический материал. Оказывается, что достаточно потребовать непрерывности груп- групповой операции, чтобы многообразие G было наделено структурой бесконечно дифференцируемой и даже аналитической группы Ли. Это очень трудная теорема - решение 5-й проблемы Гильберта - доказана А.Глисоном, Д. Монтгомери и Л. Зишганым в 1952 г. Основными примерами групп Ли будут: 1) Полная группа всех невырожденных линейных преобразова- преобразований пространства Rn : GL(n,R). Групповые операции задаются рациональными функциями координат. 2) замкнутые подгруппы группы Ли являются также группами Ли. Таким образом мы получаем серии примеров групп Ли: 0(п), SO(n) - группу ортогональных матриц и группу ортогональных матриц с определителем, равным 1, соответственно. 3) Физический пример - группа изоспина - SUB). Определение 1.15. Подгруппа Ли - это лодгрулла, которая яв- является одновременно группой Ли и подмногообразием. Упражнение 1.8.. Пусть G = Т2 = 51 х 51. Рассмотрим траек- траекторию на торе с иррациональным числом вращения. Соответству- Соответствующая траектория плотна в торе и поэтому не является подгруппой Ли. Предложение 1.1.. Пусть G - группа Ли, Н - нормальный дели- делитель группы G. Факторгруппа G/H будет также группой Ли. Бели Н является лишь подгруппой G, то можно образовать фак- торпространство G/H - множество смежных классов (например, левых) группы G по подгруппе Н : {gH},g ? G. Пространство G/H имеет интересную геометрическую интерпретацию. 1.2.1. Группы Ли как группы преобразований многообразия М Пусть G - группа Ли и М - многообразие класса С°°. Группа G действует слева на М, если существует отображение (C°°)V : G х М —> М, т.е. паре точек (д,т),д € G,m ? М ставится в со- соответствие движение f(g, т) = д • т, удовлетворяющее следующим условиям: а) при любом д € G отображение д : М —» М : (д,т) —* дт является диффеоморфизмом (гомеоморфизмом); б) (дд\)™ = g(gi,m) для всех д,дг G G,m G M. Группа G действует справа на М : т —* тд, если вместо б) имеет место б'): m(g,gi) = (m,gi)g. Если задать правое действие д : т —* тд'1, то будет выполняться условие (тд ¦ gi) =
Группы Ли jo Группа G действует транзитивно на М, если для любой пары точек mi и тг, существует преобразование из G, переводящее mi В ТП2- Группа G действует эффективно на М, если единственный эле- элемент из G, оставляющий все точки т на месте, т.е. {д ? G\gm — m}, есть единица е € G. Группа G действует свободно (без не- неподвижных точек) на М, если для каждого т ? М подгруппа {д € G,gm = т} тривиальна - {е}. Упражнение 1.9.. Каждая группа Ли является группой преобра- преобразований самой себя (относительно правого или левого сдвига). Предложение 1.2.. Пусть G действует транзитивно на М, тогда М ~ G/H, где Н - группа изотропии некоторой точки т0 (группа изотропии точки то - множество всех элементов из G, оставляю- оставляющих то на месте). Группа изотропии называется также стационар- стационарной группой или стабилизатором точки то. Доказательство. Пусть mi и тг - две точки в М и тз = дтп\. Поставим в соответствие точке тг класс смежности дН при ото- отображении G/H —> М (здесь Н - группа изотропии точки mi). Из транзитивности действия G на М следует, что отображение G/H —> М является отображением на О. Для широкого класса пространств, например, если G/H ком- компактно, это отображение является гомеоморфизмом. Пространства, на которых транзитивно действуют группы Ли, называются одно- однородными пространствами. Упражнение 1.10.. 1. G — SOC). Пусть m - северный полюс. Группа изотропии - группа вращений ~ SO{2) вокруг вектора п = @,0,1). Простран- Пространство М ~ S0(Z)/S0B). 2. Проективная плоскость RP2 = 5ОC)/5ОB) x Z2. 3. Комплексное проективное пространство СРп ~ S'2n+1/51. 4. Многообразия Штифеля. а) Зададим в Rn ортонормированный fc-penep @ < к < п), т.е. множество в Rn, состоящее из к единичных, попарно орто- ортогональных векторов. Множество всех таких fc-реперов образует пространство, называемое многообразием Штифеля Vn,k- Пока- Покажем, что это пространство является однородным пространством как группы О(п), так и SO(n). Очевидно, что О(п) действует транзитивно на множестве fc-реперов, так как О(п) сохраняет длины векторов и их попарную ортогональность. Выберем фик- фиксированный fc-репер Vq. Группа, оставляющая vfi неподвижным,
36 Подготовительный математический материал. есть группа ортогональных вращений в подпространстве, ортого- ортогональном всем векторам в и*, т.е. группа О(п — к). Мы можем ото- отождествить Vn,* с О(п)/О(п — к). Если перейти к подгруппе вра- вращений SO(n) ~ 0(n)/Z2, то мы получим, как нетрудно видеть, то же самое многообразие Штифеля: Vn,k = SO(n)/SO(n — к). Про- Пространство Vntk, можно реализовать и как пространство п х к матриц А, таких, что АА1 —1A- единичная матрица, А1 - транспони- транспонированная к А матрица). Это условие выделяет в пространстве всех п х к матриц подмногообразие Vn,jt, размерность которого равна пк — к(к + 1)/2. Из представления Vn,t = SO(n)/SO(n — к) сразу же следует, что Vn,k - ориентируемое многообразие. Другие свой- свойства многообразия Штифеля будут изучены позже. б) По аналогии с вещественным пространством Штифеля можно рассмотреть комплексное многообразие Штифеля V^k. Многообра- Многообразие V^k есть набор ортонормированных Аг-реперов в комплексном пространстве С". Совершенно аналогично вещественному случаю можно показать, что Vn^ = U(n)/U(n — к), где U(n) - группа уни- унитарных преобразований пространства С". Группа U(n) как топо- топологическое многообразие диффеоморфна 17A) х SU\n\ SU(n) - унитарная группа с det — 1. Диффеоморфизм ф : SUrn) X U(l) —» U(n) сопоставляет паре матриц (u,exp(if)) € SU(n) x U(l) ма- матрицу й ? U(n);u получается из и умножением ее первой строки на ехр(г'?>)). Этот диффеоморфизм не является, конечно, групповым изомор- изоморфизмом групп SU(n) х U(l) и U(n), так как U(n) не есть пря- прямое произведение (а лишь полупрямое) ! групп SU(n) и U(l). Так же как и в вещественном случае, можно показать, что V?k — SU(n)/S{n - к). Многообразие V^k можно реализовать в виде пространства п х к комплексных матриц с дополнительным условием АА+ = / (А — п х к - комплексная матрица, А+ - эрмитово сопряженная матрица). Это условие выделяет гиперповерхность в пространстве С ~ Д2, dim RV%k =2nk-k2. Важно подчеркнуть, что комплексное многообразие Штифеля, вообще говоря, не является комплексным многообразием с точки зрения существования на нем комплексной структуры. Очевидно, например, что при нечетных к и четных п многообразия Штифеля нечетномерны и заведомо не могут иметь комплексной структуры. Тем не менее укоренившаяся терминология имеет право на суще- существование, так как отражает тот факт, что У^к определяется над 1 Полупрямое произведение обозначается символом х.
Группы Ли 37 полем комплексных чисел. Совершенно аналогично можно рассмо- рассмотреть кватернионные многообразия Штифеля. 5. Многообразия (пространства) Грассмана а)Вещественные многообразия Грассмана. Рассмотрим все к- мерные линейные подпространства (к-мерные линейные плоскости, проходящие через нуль) пространства Rn. Обозначим простран- пространство всех fc-плоскостей в К" через GUik. Определение 1.16. Пространство Gn>fc называется вещественным многообразием Грассмана. Для обоснования этого определения покажем, что Gn<k явля- является не только многообразием, но и однородным пространством. Заметим, что любой элемент группы О(п) переводит fc-мерную плоскость в ^-мерную так, что О{п) естественно действует, на Gn,k- Очевидно, что это действие транзитивно. Найдем стацио- стационарную подгруппу фиксированной точки х € Gn,fc. Пусть х - ,фиксированная точка в (?П]*, т. е. фиксированная ^-плоскость R С Rn. Стационарная подгруппа Н точки есть прямое произ- произведение групп О(п — к) X О(к). Действительно, группа 0{п — к) оставляет неподвижным каждый вектор из Rk, а группа 0(к) пе- переводит плоскость Rk в себя. Отсюда следует, что пространство Gn,fc ~ О(п)/О(п - к) х ад- Читатель в виде упражнения может явно построить систему окрестностей на Gn,fc, и доказать, что Gn<k является дифферен- дифференцируемым многообразием, dim Gn^k = nk — к2. При к — 1 мы по- получаем многообразие Gn>i = RPn~l. Из этого примера видно, что Gn:k, вообще говоря, во является ориентируемым многообразием. Естественно рассмотреть пространство Gn,k - прост- ранство ориентированных ^-мерных плоскостей в n-мер- ном простран- пространстве @ < к < п). Многообразие Gn,fc есть однородное простран- пространство SO(n)/SO(k) х SO(n — к), его также называют многообра- многообразием Грассмана. В 1.4.1 будет показано, что пространство Gnik двулистно накрывает пространство Gn^. б) Комплексное многообразие Грассмана. Обозначим через G^ к пространство fc-мерных комплексных плоскостей в п-мерном комплексном пространстве С". Это пространство называется ком- комплексным пространством Грассмана. По аналогии с вещественным случаем нетрудно показать, что пространство G^ k = U(n)/U(n — к) х U(k). При к = 1 получаем комплексное проективное про- пространство СРп~1. Многообразие G% k ориентируемо, четномерно
38 Подготовительный математический материал. (в смысле вещественной размерности) и, более того, допускает ком- комплексную структуру. Многообразия Штифеля и Грассмана играют ключевую роль в теории расслоений и в дальнейших главах мы будем рассматривать их с различных точек зрения. Многочисленные примеры однородных пространств будут появ- появляться на протяжении всей книги. В физике однородные простран- пространства появляются в основном либо как множества экстремумов по- потенциалов, либо как фазовые и конфигурационные пространства механических систем. 1.2.2. Алгебры Ли Рассмотрим на группе Ли векторное поле X. Вообще говоря, если рассматривать все векторные поля на группе Ли, то очевидно, что пространство всех таних полей бесконечномерно и слабо связано со структурой группы Ли. Введем класс векторных полей, инвариан- инвариантных относительно сдвигов группы G по себе. Для определенности рассмотрим векторные поля X на G, инвариантные относительно левых сдвигов. (Очевидно, что все дальнейшее справедливо для правых сдвигов, так как преобразование д —» д~х переводит левое действие в правое: дх —* хд~г. Определение 1.17. Левоинвариаитшш векторным полем на G на- называется векторное поле, инвариантное относительно дифференди- алов левых сдвигов, т.е. если Lg : G —* G действует по формуле L,(h) = gh, то поле X будет левоинвариавтным при условии, что dLgX(h) = X(gh) для любых g,h € G. Из левоинвариантности следует, что поле X глобально опреде- определено на G. Легко проверить, что сумма левоинвариантных полей является левоинвариантным полем. Левоинвариантное по- ле остается та- таковым при умножении на число, и скобка Пуассона левоинвари- левоинвариантных полей является левоинвариантным полем и удовлетворяет тождеству Якоби. Из инвариантности относительно сдвигов следует, что поле X определяется своим значением в точке е. Легко видеть, что левоин- левоинвариантное векторное поле задается касательным вектором в точке е € G к однопараметрической группе <7<(е),<7о(е) = е. Число ли- линейно независимых касательных векторов совпадает с размерно- размерностью группы Ли. Таким образом пространство всех лево— (право)
Группы Ли 39 инвариантных векторных полей в группе Ли образует конечномер- конечномерное векторное пространство Q с дополнительной операцией - скоб- скобкой Пуассона или коммутатором, удовлетворяющим уже известным свойствам: а) \xi у] = ~[у»я] (кососимметричность), б) [х, [у, z]] + [y,\z, x]] + [г, [г, у]] = 0 (тождество Якоби). Определение 1.18. Векторное пространство, снабженное струк- структурой коммутатора [, }G, называется алгеброй Ли. Для определения структуры алгебры Ли на n-мерном линей- линейном пространстве Rn достаточно знать попарные коммутаторы ба- базисных векторов ej,ej, т.е. коэффициенты c|j в разложении е«> ej\ = cijek- A-°J Коэффициенты с*- называются структурными константами алгеб- алгебры Ли. Из условия а) следует, что c*j+cj^ = 0. Поэтому достаточно знать п2(п — 1)/2 структурных констант c*y(z < j). Замечание 1.1. Тождество Якоби в терминах структурных кон- констант записывается в виде с? с* + <?¦ с" ¦ + <? с"- = 0 A9) Таким образом, многообразие алгебр Ли размерности п можно рас- рассматривать как многообразие, задаваемое п2(п — 1)(п — 2)/6 ква- квадратными уравнениями A.9) от п2(п — 1)/2 независимых перемен- переменных. Очевидно, что алгебры Ли можно рассматривать совершенно независимо от групп Ли. Однако для нас будут интересны именно связи алгебр и групп Ли. Рассмотрим некоторые примеры. Упражнение 1.11. 1) Полная матричная группа Ли - множество всех невыро- невырожденных матриц порядка п — GL(n, R). Алгебра Ли - QL(n, R) - множество всех матриц порядка п. Коммутатор матриц А,В? GL(n, R) определяется как [А, В] = А В — В ¦ А. 2) Ортогональная группа О(п, R) - множество всех матриц, действующих в Rn и сохраняющих скалярное произведение. Ма- Матрицы из О(п, R) удовлетворяют условию АА* — А1 А — I. Алгебра
40 Подготовительный математический материал. а есть алгебра всех кососимметрических матриц а : а* = —а. Ком- Коммутатор определяется как в 1). У группы О(п) имеется подгруппа SO(n) ортогональных матриц с det = 1. Алгебра Ли SO(n) группы SO(n) совпадает с О(п). Этот результат является частным случаем общего факта, кото- который мы рассмотрим позднее (две группы, изоморфные в окрестно- окрестности единицы, т.е. локально изоморфные группы имеют одинаковые алгебры Ли). 3) Унитарная группа U(n) - группа комплексных матриц с условием_ЛЛ+ = А+А = I,A,A+ ? U(n), U(n) С GL(n,C) (А+ = А* - эрмитово сопряженная матрица к А). Алгебра Ли U{n) есть алгебра всех косоэрмитовых матриц а : а = —а+. В этой группе существует непрерывная подгруппа SU(n) унитарных матриц с det Л = 1. Очевидно, что последнее условие приводит к выделению в алгебре и(п) подалгебры SU(n) - косоэрмитовых матриц с tr a = 0. 4) Коммутативная (абелева) группа ~ Rd х Тч (здесь Тч - q- мерный тор). Алгебра Ли будет также абелевой алгеброй. Она изо- изоморфна пространству Rd x R9 с коммутатором [А, В] = 0. Очеви- Очевидно, что эта алгебра изоморфна алгебре Ли группы Rd+4. 5) Группа верхних (нижних) треугольных матриц порядка п с единицами на диагонали, N .Эта группа является примером нильпотентных групп. Г * \ Пусть -А = I 1 ' •. j ? N, тогда элемент а алгебры Ли \0 - ( \ п представим в виде а = I о '' ¦ \ ¦> т-е- алгебра п состоит о о) из верхних (нижних) треугольных матриц с нулями на главной ди- диагонали. Эта алгебра (и группа) называется алгеброй (группой) Гейзенберга - Вей- ля. Ее неприводимые представления называ- называются коммутационными соотношениями и играют важную роль в метода вторичного квантования и теории когерентных состояний A.3.3). В заключение этого пункта сформулируем понятие подалгебры Ли, идеала и гомоморфизма алгебр Ли. Эти определения парал- параллельны соответствующим определениям для групп Ли. Определение 1.19. Подалгеброй Ли Q\ алгебры Ли Q называется множество элементов g € G, образующих подпространство Q\ в Q, причем такое, что для любых #i, g<i € G\ будет [gi, g2] € Q\.
Группы Ли 41 Идеалом X называется подалгебра в Q, такая, что для любых 9i &G,j &I будет [gi,j]Cl. Определение 1.20. Гомоморфизмом Нот : Q -Н называется ли- линейное преобразование f :Q —*Ti, сохраняющее коммутаторы. 1.2.3. Связь алгебры Ли и группы Ли Рассмотрим две группы Ли: группу 50C) и группу SU{2). По- Построим гомоморфизм SUB) —> 50C). Зададим группу SUB) как множество матриц вида и = I \ _ с det и — 1. Отсюда сле- V-/? а) дует, что SUB) ~ 53 С R4 ~ С2. Группу 50C) будем рассма- рассматривать как группу вращений двумерной сферы 52. Мы не будем выписывать ее явной параметризации (например, через углы Эй- Эйлера). Рассмотрим сферу 52 с радиусом г — | : х2 + у2 + z2 = j. Отобразим ее с помощью стереографической проекции из север- северного полюса @,0, |) на плоскость W, касательную в южном по- полюсе @,0,—|). Введем на плоскости W комплексные координаты w — W\ + iw2. Легко видеть, что каждой точке (х, у, z) на 52 со- соответствуют точки w = (wi,u>2) с координатами ( _Г+г1 _iy+z )• Каждое дробно-линейное преобразование и на пополненной пло- плоскости W, соответствующее группе 517B) задается в виде aw + /3 и : w = —Cw + a Этому преобразованию соответствует вращение g € 50C) сферы 52. Очевидно, что каждому вращению отвечают две матрицы и и —и. Таким образом, группа 50C) ~ SUB)/Z2, где Zi = o l)H\0 -1 ) Г ^Руппа ^B) изоморфна группе 50C) в достаточно малой окрестности единицы. Поэтому эти группы называются локально изоморфными. Глобально они не изо- изоморфны. Однако их алгебры Ли изоморфны, что отражает тот факт, что алгебры Ли определяются лишь в окрестности единицы группы Ли. Сформулируем соответствующую теорему, показывающую в ка- каких отношениях находятся группы Ли и их алгебры Ли.
42 Подготовительный математический материал Теорема 1.2. Пусть G - группа Ли. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между связными подгруппами группы G и подалгебрами алгебры Ли. Изучим теперь более подробно связь алгебры Ли с ее группой Ли. Рассмотрим уже встречавшееся нам пространство матриц QL{n, R) и определим операцию ехр А: Этот ряд сходится по норме в пространстве Rn , с которым ото- отождествляется пространство матриц п х п. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу exptA. Очеви- Очевидно, что exp(t + s)A = exptA-ехр s А, ехр А-ехр(—А) = I, поэтому кривая s —* exp(sA) - однопараметрическая подгруппа в GL(n, R). Левоинвариантное векторное поле определяется касательным век- вектором в единице группы G, т.е. в точке / : ~2»~L—о = А. Отсюда видно, что в случае группы матриц экспоненциальное отображение задает отображение алгебры Ли в группу Ли. Общее определение моделирует эту ситуацию. Определение 1.21. Пусть G - труппа Ли, X € Q, 7X ~ интеграль- интегральная кривая поля X, начинающаяся в единичном элементе группы Ли. Тогда экспоненциальным отображением Q —> G называется ото- отображение, переводящее X в точку 7хA) = ехрХ. Это отображение совпадает с t —* exptX. Из этого определения легко видеть, что группы G\ и G% такие, что G\ 1С ~ Gi {С - дискретный нормальный делитель в G\) имеют одинаковые алгебры Ли. Замечание 1.2. Экспоненциальное отображение, вообще говоря, не отображает алгебру Ли на всю группу Ли. Это свойство ха- характерно только для специальных классов групп, так называемых экспоненциальных. В этот класс входят, в частности, нильпотен- тные и компактные группы Ли. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать компактные группы Ли. Закончим этот пункт двумя простыми, но важными характери- характеристиками групп Ли. 1. Группа Ли - ориентируемое многообразие. Доказательство очевидно.
Группы Ли 43 2. Группа Ли - параллелизуема. Это свойство означает, что на п—мерной группе Ли можно выбрать п линейно независимых векторных полей. Доказательство крайне простое. Пусть Q - алгебра Ли группы G, т.е. касательное пространство в е € G. Оно порождает репер п векторных полей в точке е. Рассмотрим преобразование G —* G с помощью левых сдвигов д : х —» дх. Векторное поле в е левоинва- риантно, и при преобразовании е —* х в касательное поле в точке е перейдет в касательное поле в точке х. Так как операция умно- умножения непрерывна, то мы получаем непрерывное поле реперов. Свойство параллелизуемости многообразий является весьма жестким и выполняется далеко не всегда. Например, среди сфер 5" параллелизуемы только S1^3^7 и 515. В дальнейшем мы пока- покажем, что параллелизуемость означает тривиальность касательного расслоения. Представление группы Ли. Определение 1.22. Представлением группы Ли называется гомо- ¦ морфизм G в матричную группу GL{n,R). Представлением ал- алгебры Ли G называется гомоморфизм Q в алгебру Ли матричной группы GL(n, R). Для нас представляют особый интерес два представления: ре- регулярное и присоединенное. I. Регулярное представление, т.е. представление с помощью сдвигов на G: Tg:f(h)^f(g-lh), g,heG. П. Присоединенное представление. Для определения присое- присоединенного представления нам понадобится общее понятие автомор- автоморфизма группы и алгебры Ли. Автоморфизмом группы Ли G называется непрерывный изомор- изоморфизм группы G на себя. Множество всех автоморфизмов группы G образует группу aut G, которая является группой Ли. Каждое j € aut (G) порождает автоморфизм dj алгебры Ли, и диаграмма ехр коммутативна. Так как dj - невырожденное линейное преобразо- преобразование алгебры Ли G, то отображение j —> dj переводит aut (G) в группу линейных преобразований Q и, очевидно, является гомо- гомоморфизмом, так как d(jok) = djodk, т.е. получается представление G ^ 1 G Л G .1 ехр G
44 Подготовительный математический материал aut (С?), на линейном пространстве Q. Когда группа G связна, то такое представление точно, т.е. ядро представления тривиально. Определение 1.23. Множество внутренних автоморфизмов груп- группы G является подгруппой в aut (G). Каждый элемент х G G пере- переводит у в : хух~1 : jx : у —> хух~1. Отображение Ad G —»• GL(Q), определенное как Ad (x) = djx, называется присоединенным пред- представлением. Предложение 1.3. Ad является представлением G на линейном пространстве Q. Доказательство см., например, в [13]. Дифференциал присое- присоединенного представления rf(Ad) = ad является присоединенным представлением алгебры Q и задается в виде ad(X):Y = [X,Y}, X,YeQ. Ядро присоединенного представления Q т.е. множество элемен- элементов X G Q таких, что [X, У] = 0 для всех Y, называется центром алгебры Q. Рассмотрим множество элементов с из G, перестановочных со всеми элементами из G. Очевидно, что это множество С, называ- называемое центром группы G, есть нормальный делитель в G и, если G связана, является ядром присоединенного представления. Та- Таким образом, присоединенное представление индуцирует точное представление группы G/C (если G связна). В частности, группы 5GB) и 50C) имеют изоморфные присоединенные представления. Группы SUB) и 50C) принадлежат к классу полупростых групп Ли. В теории калибровочных полей полупростые группы воз- возникают в основном как группы внутренних симметрии. Определение 1.24. Алгебра Ли Q называется полупростой, если она не цмеет абелевых идеалов, отличных от {0}. Определение полупростой группы Ли следует из естественной связи алгебры и группы Ли. Определение 1.25. Группа Ли G называется полупростой, если она не содержит нетривиальных связных коммутативных нормаль- нормальных делителей. Так же как и для абстрактных групп, можно опре- определить простую группу Ли как не содержащую нетривиальных связных нормальных делителей. Соответственно простая алгебра Ли Q - это алгебра Ли, не имеющая идеалов, отличных от {0} и Q. Можно доказать, что полупростая алгебра Ли разлагается в прямую сумму простых алгебр Ли. Соответствующее утверждение
Группы Ли 45 верно (с точностью до конечного центра) и для групп Ли. Отсюда следует, что изучение полупростых алгебр (групп) Ли сводится к изучению простых алгебр (групп) Ли. Из полупростоты алгебры Ли следует важное свойство: Предложение 1.4. Полупростая алгебра Ли имеет тривиальный дентр {0}. Соответственно полупростая группа Ли имеет дискрет- дискретный центр. Выделим среди полупростых (простых) групп Ли G подкласс компактных полупростых (простых) групп Ли А", т.е. предполагая К компактным многообразием. Полупростая компактная группа имеет конечный центр. Топологическая структура компактной по- полупростой группы особенно важна, так как с топологической точки зрения нетривиальная структура произвольной группы Ли опреде- определяется своей максимальной компактной полупростой подгруппой [90]. 1.2.4. Дифференциальные формы со значениями в алгебре Ли Дифференциальные формы со значениями в векторном простран- пространстве V являются естественным обобщением вещественнозначных и комплекснозначных форм. F-значные формы оказываются удобным аппаратом для изучения глобальных свойств калибровочных полей. В частности, как будет видно далее, в терминах дифференциаль- дифференциальных форм записываются основные структурные уравнения связно- связности и кривизны многообразий. Нас будут в основном интересовать формы со значением в ал- алгебре Ли. Определение 1.26. Пусть М" - п-мерное многообразие, V-знач- ной дифференциальной формой Q степени к называется линейное отображение пространства ЛкТхМ —> V, определенное при ка- каждом х G М" (и дифференцируемо зависящее от х). Другими сло- словами, П - элемент пространства V ® ЛкТ*М для каждого х € М. Множество всех V-значных k-форм образует модуль над кольцом дифференцируемых функций - Лу(М). Пространство всех форм Лу(М) является прямой суммой пространств F-значных форм всех степеней; V-значные дифференциальные формы можно определить, выбрав некоторый базис в пространстве V = (е1,...^™), как дифферен- дифференциальные формы с коэффициентами - векторами пространства V, те т.е.
46 Подготовительный математический материал П = Wj ® е\ где и, - обычвые дифферевциальвые формы. Соответствующие операции на У-значных формах в данном ба- базисе выглядят следующим образом. 1} du = dui ® е\ 2) Пусть I: V\ —» V2 - линейное отображение; тогда существует линейное отображение пространств 1# : Л\гх(М) —> Лу2(М). Не- Несложно проверить, что все операции не зависят от выбора базиса. 3) Отображение /# коммутирует со всеми операциями на фор- формах, например: 2 1#{ЬХП) = ЬХ{1#П) и т.д. Пусть V\,V-i,Vz - три векторных пространства, ар- билиней- билинейное отображение V\ х К2 —* Уз- Определим билинейное отображе- отображение рфЛух(М) х Лу2(М) —> Лу3{М) следующим образом: выберем базис е1,...,ек в Vj, Z1,...,/" в V2. Форма ш = w,e' G Л^ДМ), а форма п = i^i^* G Лк2(М). Положим p#(ui,fl) = ui,-Afli®p(e',/>). A.10) Нетрудно проверить, что это определение не зависит от выбора базисов (координат). Из формулы A.10) следует, что dp#(v, П) = р#(<1ш, п) + (-1)V#(«, d«), A-И) если форма и> - степени q, и , П) для любого векторного поля X на М. Если <? : М -* N - отображение многообразий, то В теории калибровочных полей роль пространств У, играют ал- алгебры Ли калибровочных групп. Пусть У = Vi = У2 = Уз - алгебра Ли G. В этом случае р - коммутатор (скобка Ли). Будем обозна- обозначать p#(u>i,u>2) через [и>\ Ли>2]- Если ш\ и ь)% - формы степени, соответственно, р и q, то [u>i Ашъ] — (~l)pt}+1[oJ2 Awi] (множитель ( —1)рг возникает из закона умножения форм в Л^(М), а ( — 1) - из-за антикоммутативности скобки Ли). Тождество Якоби записывается в виде
Группы Ли 47 A[w2 Л«8]] + (-1)"[«а A[w3 Awi]]+ 0 где wi - форма степени р, а>2 —> ?, а шз —* г. В терминах векторнозначных дифференциальных форм очень удобно записываются уравнения Маурера - Картана для групп Ли. На группе Ли G определим (лево) инвариантную ?-значную фундаментальную формул, сопоставляющую каждому вектору v G TgG элемент из Q (рассматриваемый как (лево)инвариантное поле), принимающий в точке д значение v/ Если ei,..., е„ - базис алгебры Ли группы G, то и> представля- представляется в виде где ш* - базис левоинвариантных 1-форм. Для форм из1 спра- справедливо соотношение ^' = ]<кс)кш} Лик, так что u>j Лшк ®е{. A.13) С другой стороны, так как [е*,е,-] = с^е,, то, комбинируя с фор- формулой A.10), получаем: [wAw]=w'Awj®4yCi. A-14) Сравнивая формулы A.13), A.14) и учитывая, что в формуле A.14) суммирование ведется по всем i,j,k, a j и к меняются местами, получаем уравнение Маурера - Картана du= ~-[и>Ли>]. A.15) Внешнее дифференцирование A-15) приводит к тождеству Якоби =0. Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для пра- воинвариантных (у-значных форм а. Рассмотрим действие группы G по себе с помощью правых сдвигов. Заметим, что при отобра- отображении д —» g~l, g G G левоинвариантная форма ш переходит в правоинвариантную форму —а. Поэтому соотношение A.15) пере- переходит в
48 Подготовительный математический материал da = haAa]. A.16) В дальнейшем при описании форм связности и калибровочных полей будет удобно использовать следующую специальную запись G-инвариантных форм. Обозначим через dg тождественный эндо- эндоморфизм в касательном пространстве Тд и будем рассматривать его как элемент пространства Тд ®Т*; тогда имеем bj={Lg-,)Jg = g-4g. A.17) Здесь (l/j-1) действует лишь на первом сомножителе Тд в Тд ® Т*. Запись и> в форме A.17) лишь удобное сокращение для записи левоинвариатной формы. Аналогично, правоинвариантная форма записывается в виде а = dg д~г. Если же группа G реализуется в матричном виде, то выражение и) = g~1dg имеет точный смысл. Упражнение 1.12.. Пусть G = GL(n, R), Q - множество всех ма- матриц п х п; и> — A~xdA, где А ? GL(n,R), а произведение - обычное матричное произведение. 1.3. Действие групп 1.3.1. Орбиты групп В 1.2.1 было дано определение группы Ли как группы транзити- транзитивных преобразований многообразий. Для физики представляется весьма важным изучение действия групп в самых различных про- пространствах - пространствах состояний физических систем. На- Например, действие группы Лоренца в релятивистски-инвариантных уравнениях, группы движений кристаллографических групп и т.д. В этом пункте будут даны общие определения действия групп, которые найдут приложение в связи с термодинамическими фазами 3Не, калибровочными полями и т.д. Определение 1.27. Пусть М - пространство, на котором дей- действует группа Ли G, я х ? М. Подпространство G(x) = \gx ? М, g пробегает все элементы из G} называется орбитой точки х от- относительно действия группы G. Если g ¦ х = h ¦ у для некоторых g,h ? G,x,y ? М, то для любого g\g'x = g'g~1gx = g'g~^hy, т.е. G(x) С G(y). Обратное включение также очевидно.
Действие групп 49 Тем самым доказано, что любые две орбиты либо не пересека- пересекаются, либо совпадают. Можно определить пространство орбит fi = M/G, элементами которого являются орбиты х* = G(x). Две точки х* и у* из про- пространства Q совпадают тогда а только тогда, когда они лежат на одной орбите. Определим отображение ж : М -* M/G, сопоставляющее каждой точке х ее орбиту. Пространство J? наделяется единственной топологией {U С Q открыто тогда и только тогда, когда ж~1(К) открыто в М). В слу- случае некомпактных групп G возможна ситуация, когда пространство орбит имеет тривиальную недискретную топологию. Пример - ир- иррациональная обмотка тора. Однако, в случае компактной группы G, пространство орбит устроено "лучше". Сформулируем основные свойства пространства орбит компакт- компактной группы G в виде: Предложение 1.5.. Для компактной группы G отображение V : G/Gx —> G(x) является гомеоморфизмом для любого х (здесь Gx - стационарная подгруппа точки х). Доказательство см. в [18]. Очевидно, что для определения орбиты является обобщением определения транзитивного действия группы Ли G на М. Дей- Действительно, в этом случае группа Ли G действует левыми сдвигами на пространстве G/H. Транзитивное действие, по определению, - действие с одной орбитой. 1.3.2. Кристаллографические группы Замечательными примерами орбит, порожденных дискретными группами, являются кристаллографические решетки (области). Как известно, кристаллографическими областями в R" называются "правильные" множества в R", т.е. такие области U, имеющие ко- конечный объем, которыми можно "замостить" все Rn. Точный смысл последнего термина состоит в следующем. Пусть Ц - область в R", замыкание Ц в Rn компактно. Назовем U фундаментальной обла- областью в Rn, если все Rn можно получить с помощью сдвигов Г(Ц), где Г - дискретная подгруппа группы движений E(Rn). При этом множества 7«(W)n7j(W) не пересекаются, если fi ф jj, 7>>7> € Г. Напомним, что подгруппа Г группы G называется дискретной, если она является дискретным множеством в G. При действии G на многообразии М группа действует дискретно, т.е. множество точек fix G М образует дискретное множество в М. Теперь мы
50 Подготовительный математический материал можем дать математически строгое определение кристаллографи- кристаллографических групп. Определение 1.28. Кристаллографической группой Г на R" на- называется дискретная подгруппа в группе Е движений Rn с конеч- конечным объемом Е/Г. Чтобы связать это определение с геометрическим описанием кристаллографических решеток в R" зададим действие группы Г непосредственно в пространстве R". Заметим, что группа Е есть полупрямое произведение группы О(п) х А, где О(п) - группа ор- ортогональных преобразований, а А - группа сдвигов пространства Rn, группа А ~ R". Такое представление Е следует из известной теоремы, что всякое евклидово движение Rn может быть получено комбинацией ортогонального преобразования и сдвига. Группа А является нормальным делителем Е, а группа О(п) - нет. Простран- Пространство Rn можно отождествить с однородным пространством Е/О(п). Здесь О(п) будет стационарной группой точки о. Группа Г дей- действует в пространстве Е/О\п) по формуле 7 : Hg -» 7Нд, 7€Г. A.18) Здесь Н ~ О(п), а д € Е. Такое действие можно задать в общем случае групп 6,Н,Г, где Н - замкнутая подгруппа в G, а Г - дискретная подгруппа. Получающееся факторпростран- ство Г \ G/H называется двойным факторпространством . Если подгруппа Н компактна, то пространство Г \ G компактно одно- одновременно с Г \ G/H. Подгруппа Н С G называется равномерной, если пространство G/H компактно. Теперь мы можем сформулировать утверждение, характеризу- характеризующее группы, действующие дискретно в Rn. Предложение 1.6. 1. Группа Г С Е будет дискретной и равномерной тогда и только тогда, когда Г действует на Rn дискретно с компактным факторпространством. 2. Группа Г действует свободно на Rn тогда и только тогда, ко- когда Г не имеет элементов конечного порядка (не имеет кручения). Основополагающие теоремы о строении кристаллографических групп принадлежат Л.Бибербаху [23]. Теорема 1.3. Если Г С Е кристаллографическая группа, то Г HR" = Г' является нормальным делителем в R", имеющим ко- конечный индекс в Г. Любой минимальный набор образующих Г' является базисом Rn. Относительно этого базиса О(п) компоненты элементов группы Г имеют целочисленные координаты.
Действие групп 51 Теорема 1.4. Для каждого целого п существует лишь конечное число классов изоморфных между собой кристаллографических групп, действующих на R". Две кристаллографические группы на Rn изоморфны тогда и только тогда, когда они сопряжены в аф- аффинной группе А". Напомним, что аффинная группа А" есть полупрямое произве- произведение GL(n, R) х А, где А - группа сдвигов пространства Rn. Из теоремы конечности нельзя получить точной оценки числа неизоморфных кристаллографических групп. В общем случае на- нахождение всех неизоморфных друг другу кристаллографических групп при п > 3 - трудная нерешенная задача. Однако в размерностях два и три, наиболее интересных для ре- реальной физики, ответ известен. Для п = 3 (настоящий кристалл) число различных классов кристаллографических групп равно 230. Этот классический результат принадлежит Е.С.Федорову и А.Шенфлису. Для п — 2 число различных кристаллографических групп равно 17 [41]. интересно отметить, что в жидких кристал- кристаллах дискотического типа реализуются некоторые их двумерных кристаллических решеток. Другой, очень интересный класс орбит в бесконечномерных пространствах в квантовой механике при построении систем ко- когерентных состояний. 1.3.3. Когерентные состояния Я начну с классического определения когерентных состояний для простейшей физической системы - гармонического осциллятора с одной степенью свободы. Пусть Q - эрмитов оператор координаты, а Р - оператор им- импульса, удовлетворяющий коммутационному соотношению где h = ^r, h - постоянная Планка. Введем операторы рождения а+ и уничтожения а: A.19) (для осциллятора ш - угловая частота). Выберем систему единиц, где и; = т = h = 1. Из A.19) следует соотношение [а,а+] = 1. A.20) Теперь можно дать первое определение.
52 Подготовительный математический материал Определение 1.29. Собственные векторы \а) 2 оператора уничто- уничтожения а называются когерентными состояниями: a\a) = a\a), a ? С. Спектр оператора а заполняет всю комплексную плоскость С. Можно показать, что система когерентных состояний образует пол- полную (и даже сверхполную) систему состояний, по которой можно разложить произвольное состояние \ф). Когерентные состояния обладают рядом полезных свойств, де- делающих их незаменимым орудием при исследовании статистиче- статистических свойств физических систем (например, многофотонных про- процессов в лазерах) [39]. Но нас интересуют сейчас математические аспекты. Продолжим изучение гармонического осциллятора. Пусть Н ~ гамильтониан осциллятора, у которого среднее по вакууму \ф) = |0) равно нулю, т.е. <0|Q|) = @|P|0) = 0. Введем унитарный оператор U(p, q) = expi(pQ — qP) (где р, q - с-числа). Действие оператора U на вакуум |0) равно \р,я) = Щр,я)Ю- A.21) Вектор [р, q) является основным состоянием осциллятора, у кото- которого координата смещена на q, а импульс - на р. Среднее, таким образом, есть Выразим оператор U через операторы рождения и уничтожения: U(a) — ехр(аа+ — aa). Действие на вакуум И- A-22) Закон умножения для операторов U(a) имеет вид U(a2)U(ai) = ехрг im (a^ai)U(a2 + «i) A-23) (im ai«i = \x - площадь ячейки в С, построенной на векторах а2 И OL\. Из соотношения A.23) следует, что операторы expBtrit)U(a) образуют группу W\. Эта группа - так называемая группа комму- коммутационных соотношений в представлении Г.Вейля. 2 Здесь используем общепринятые в квантовой механике обозначения векторов (состояний) и операторов, принадлежащие Дираку.
Действие групп 53 Операторы а,а~*~ и J образуют алгебру Ли с коммутационным соотношением A.20). Если записать общий ¦элемент алгебры Ли в виде tl + i(aa+ - аа), A.24) то, применяя экспоненциальное отображение, получим группу W\, где элемент д задается парой (t,a) (t - вещественное, а комплек- комплексное числа). Закон композиции имеет вид 9-9\= (*,o)(e,0) = (t+s + im a$,a + /?). A.25) Операторы exp(it)U(a) задают представление группы W\.. Группа W\ имеет матричную реализацию - уже известную нам нильпотен- тную группу Точно такую же конструкцию можно построить и для алгебры ком- коммутационных соотношений n-мерного осциллятора. Соответствую- Соответствующая нильпотентная группа Wn имеет 2п + 1 образующих. Классические когерентные состояния связаны с простейшей нильпотентной группой Ли - группой Wn. Так как группами ди- динамических симметрии могут быть самые различные группы Ли, то представляет интерес построение когерентных состояний для произвольных групп Ли. Соответствующие когерентные состояния были введены в ра- работе [215]. Общая конструкция, предложенная в [215], обобщает результаты работы [217], где были построены когерентные состо- состояния для групп вращения. Обобщение А.М.Переломова связано со следующим наблюдением: вернемся к представлению когерен- когерентных состояний с помощью операторов смещения U(a). В пред- представлении Вейля система когерентных состояний получается из вакуумного вектора |0) под действием операторов U(a), которые задают представление группы W. Из классической теоремы Сто- Стоуна - фон Неймана [66] следует, что это представление неприво- Димо. Пусть G - произвольная группа Ли, а Т(д) - неприводимое представление G в гильбертовом пространстве Wa \Фо) - некото- некоторый вектор в К. Орбита вектора |^о ) в Н, т.е. множество векторов ИФ)} = {Т(<7)</!о}, 9 € G, называется системой когерентных со- состояний типа {Т, \фо )} для группы G. Система обобщенных когерентных состояний {Г, \фо}} для группы G обладает всеми свойствами обычных когерентных состо- состояний и удобна при рассмотрении различных физических задач.
54 Подготовительный математический материал Рассмотрим несколько подробнее класс орбит, определяющих когерентные состояния. Пусть (I'/'s)} ~ множество векторов в fi, где \фд ) = Т(д)\фо ). Здесь Т(д) - неприводимое унитарное пред- представление группы G,g G G. Будем считать, что два вектора \фЯ1} и \фЯ2) определяют одно и то же состояние, если они отличаются на фазовый множитель ехр(г'7), т.е. ещ>{г^)\фд1 ) = \фд2). Это эк- эквивалентно условию Т(дг1 д\)\фо ) = \фо ). Множество элементов {д} € G, удовлетворяющих этому усло- условию, образуют замкнутую подгруппу Н. Назовем ее стационарной подгруппой вектора \фо ) (при 7 = 0 это определение совпадает с обычным определением стационарной подгруппы). Из определе- определения следует, что векторы {\фд )}, входящие в один смежный класс, отличаются лишь фазовым множителем и определяют одно состоя- состояние, т.е. {\фд)} зависит лишь от точки однородного пространства М = G/H, \фд ) = |х); здесь х G М. Из неприводимости представления Т(д) следует, что множество векторов {|Vv)} образует полную (сверхполную) систему векто- векторов в Л. Выделение полных подсистем, связанных с подгруппами группы G, приводит к ряду замечательных соотношений между ко- когерентными состояниями. Содержательные примеры возникают, ко- когда группы G, полупросты, а подгруппы Г дискретны и факторпро- странство Г/G компактно или имеет конечный объем [56, 66]. С этим заключительным замечанием мы и оставим эту тему. С современным состоянием этой области математической физики читатель может ознакомиться по работам [56,66]. Вернемся теперь к описанию пространства орбит. 1.3.4. Страты Все точки одной орбиты имеют очевидно сопряженные стационар- стационарные подгруппы. Однако обратное утверждение неверно. У действия группы G на многообразии М может существовать несколько ор- орбит одного типа, т.е. орбит, имеющих изоморфные стационарные группы. Такие орбиты принадлежат одному типу и образуют страт. Страт является объединением всех орбит одного типа. Возникает частичное упорядочение всех подгрупп данной группы по модулю сопряженности. Это, в свою очередь, соответствует упорядоченно- упорядоченности (обратной) в стратах. Множество неподвижных точек образует минимальный страт (максимальная стационарная группа). Если при действии G на М неподвижных точек нет, то может существо- существовать несколько минимальных стратов. Для физических приложений часто достаточно описания стратов действия групп или предъявле- предъявления представителей каждого страта. Пример 1.13.1) Группа SO(n) вращений n-мерного простран- пространства Rn. Действие - вращение. Относительно этого действия име-
n Действие групп 55 ются два страта: первый страт - сферы с ненулевым радиусом, второй страт - точка нуль. 2) Группа Лоренца 50C,1) - группа движений пространства Минковского. Страты: 1) пространственно-подобная область; времени-подобная область; световой конус t > 0; -световой конус t < 0; 5) точка нуль. 3) G = 50C), 52(i23)o - пространство вещественных симме- симметрических матриц 3 х 3 со следом 0, dim S2(R3)o — 5. Более слож- сложные ситуации возникают при изучении термодинамических фаз 3Не E.2.2). Действие группы G на S2(R3)o имеет вид д:т = д-тд-\ д G 50C), m G М. A.26) Тал как каждую симметрическую матрицу можно привести орто- ортогональным преобразованием A.26) к диагональному виду, то оче- очевидно, что две матрицы принадлежат одной орбите тогда и только тогда, когда у них одинаковые собственные значения А,-. Опишем соответствующие орбиты. Так как Х\ + А2 + Аз = 0, то имеются лишь два независимых собственных значения, для определенности А] и Аг. Упорядочим их: Ai > А2 > А30. 1. Пусть все Xi различны: А! > А2 > А3. Найдем стационарную группу Н точки т0 € М Группа Н состоит из матриц О Эта группа изоморфна группе Zi <Э Z2, так как det^ = 1. 2. Пусть А] = А2 > Аз. Стационарная подгруппа Я точки
56 Подготовительный математический материал mi = состоит из матриц * образующих нормализатор подгруппы 50B) в 50C). Орбита изо- изоморфна: G/H = SO{3)/SOB) xZ2~ RP2. Аналогично рассматривается случай Aj > Аг = ^з- Кроме того, имеется минимальный страт Ai = A2 = A3. У этой точки стацио- стационарная подгруппа совпадает со всей группой S0C). Приведем красивую геометрическую интерпретацию орбит, принадлежащую Лоусону [174], см. также [160]. Нам потребуется ввести несколько общих понятий, представляющих и самостоятель- самостоятельный интерес. Каждая орбита группы G имеет вполне определенный объем - объем соответствующего подмногообразия в индуцированной ме- метрике. Объем V данной орбиты п экстремален среди близких орбит данного типа (т.е. имеющих сопряженные стационарные подгруппы), если dV(Qt dt = 0 4=0 для всех гладких семейств орбит i?t(|?| < е, Q$ — fi) одного типа на М. Если П изолирована, т.е. в окрестности Q нет других орбит данного типа, то объем V(i2) очевидно экстремален. В.Ю.Сьяну принадлежит следующая теорема [174]. Теорема 1.5. Пусть G - компактная группа изометрий риманова пространства М. Тогда любая орбита П в М имеющая экстремаль- экстремальный объем в окрестности близких орбит того же типа, является ми- минимальным подмногообразием в М, т.е. имеем нулевую среднюю кривизну. Вернемся к реализации орбит в пространстве 52(Д3)о- Скаляр- Скалярное произведение в пространстве 52(i?3H ~ R5 определяется по формуле (А\В) = Tr AB (частный случай метрики Киллинга. Мы
Действие групп 57 учли, что матрицы А, В - симметрические). Общее определение ме- метрики Киллинга дано в 1.5.8. Вычисление функции объема V(Q) для орбиты общего положения дает V(A) = c(Ai — А2)(А2 — А3)(А3 — Ai), где А,- - собственные значения матрицы А. Если ограничить функцию V на единичную сферу S4 в S2(R3H : Aj + А| + A3 = 1, то V(^4) достигает максимума в точке (Ai,A2, A3) = (-4^, 0, — —^ J. Подмножество матриц А С S2(R3)q с \А\ = 1 и rank A — 2 об- образует гиперповерхность в единичной сфере S*. Орбита общего положения Q ~ SOC)/Z2 Ф Z2 и имеет восьмилистное накрытие сферой S3. Тем самым возникает вложение 53 в 54 с индуцирован- индуцированной на S3 метрикой непостоянной кривизны. Вырожденные орбиты (Ai = A2, или \2 = Аз) изолированы среди орбит одного типа, и, следовательно, по теореме Сьяна, ми- минимальны. Каждая вырожденная орбита является минимально вло- вложенной проективной плоскостью с постоянной гауссовой кривизной в54. Это вложение может быть задано в следующем явном виде. Рас- Рассмотрим вложение сферы 52 радиуса \/3, расположенной в й3, в единичную сферу S4 У : S\- —» 54: V = (xy,xz,yz, \{х2 - у2), ~{х2 +у2- 2z2)), A.27) где S2^ :x,y,z? R3,x2 + у2 + z2 = 3. Так как <P(—x,—y,—z) = °f>(x,y,z), то отображение V5 задает изометрическое минимальное вложение RP2 в S\. Кривизна RP2 в 54 при этом вложении равна Многообразие A-27) называется поверхностью Веронезе. В дальнейшем мы будем изучать действие групп в самых раз- различных ситуациях. Например действие калибровочных групп ура- уравнений Янга - Миллса, орбиты групп инвариантности потенциалов свободной энергии жидких кристаллов, 3Не и т.п. Группы внутренней симметрии, встречающиеся в физике, ком- компактны. Некомпактные группы в основном возникают как группы преобразований пространства - времени или в методе вторичного квантования. Компактность групп внутренней симметрии связана в основном с тем, что квантовые числа, характеризующие систему (спектр), обычно дискретны (т.е. собственные значения операторов Казимира порождают конечномерное пространство). В следующем примере будет доказана теорема Картана, дающая геометрическое описание орбит компактной группы. В физических задачах орбиты групп часто возникают как точки экстремумов G-инвариантных функций, например минимумы по-
58 Подготовительный математический материал тенциалов в уравнениях теории поля или потенциал Гинзбурга - Ландау в теории фазовых переходов. Сформулируем соответствующий результат [190]. Предложение 1.7. Пусть G - компактная группа, действующая гладко на вещественном компактном многообразии М, / - веще- ственнозначная гладкая G-инвариантная функция на М. Тогда / имеет по крайней мере одну критическую точку для каждой сзязной компоненты каждого минимального страта. Появление орбит при изучении экстремумов G-инвариантных функций совершенно ес- естественно. Действительно, пусть f(x) имеет экстремум в точке х. Очевидно, что /(я) принимает то же значение на многообразии G(x), т.е. на орбите точки х. 1.3.5. Теорема Картана В этом пункте будет изложена теорема Картана об орбитах ком- компактных групп Ли. Она находит применение при классификации термодинамических фаз. Доказательство этой теоремы использует ряд понятий дифференциальной геометрии и теории симметриче- симметрических пространств [100], [141] и может быть опущено при первом чтении. Начнем, как обычно, с примеров. Пусть G - группа SOC). Рассмотрим действие группы G на S2 С R3. Очевидно, S2 = G/H, где Я ~ 50B) - вращения во- вокруг оси z. Пространство 52 можно вложить в группу SOC) как подмногообразие. Спрашивается, можно ли вложить любую орбиту группы как подмногообразие. Ответ дает теорема Картана. Определение 1.30. Вполне геодезическим подмногообразием М в N называется многообразие М, удовлетворяющее следующему свойству: если геодезическая у в N имеет концы, принадлежащие М, то она целиком лежит в М. Теорема 1.6. Любую орбиту группы G можно вложить в G как вполне геодезическое подмногообразие. Доказательство. Рассмотрим отображение Ф: Ф : G/H -* G, где a - инволютивный автоморфизм группы G : <т2 = е, <т ф e,(G>)o С Я С Ga. Здесь Ga - множество неподвижных точек автоморфизма cr, (G>)o - компонента единицы Ga. Докажем, что
Действие групп 59 Ф есть диффеоморфизм G/H на замкнутое вполне геодезическое многообразие М„: ¦М* = У ? G\a(g)g = е) (' - единица G). Напомним необходимые для дальнейшего свойства автомор- автоморфизма а. Обозначим через dcre дифференциал а в точке е; dat - инво- лютивный автоморфизм алгебры Ли Q группы G. Оператор dae разбивает пространство Q на два подпространства hap, соответ- соответствующие собственным значениям dae : ±1: h = {X € ?|<М*) = *}, Р = {X € g|rfae(X) = -X). Можно показать, что h - алгебра Ли группы Н, а р - ортого- ортогональное (относительно скалярного произведения, существующего на Q) к h подпространство в Q. Подпространство р инвариантно относительно присоединенного представления Ad (H) [100]. Доказательство теоремы сводится к проверке трех утверждений. 1. Покажем, что М„ есть замкнутое подмногообразие в G и dim М„ — dim G/Н. Рассмотрим отображение ф : G —* G: д -* Ф(д) = а{д)д- Пространство Ма - ядро отображения "ф. Для нахождения dim М„ вычислим ядро касательного отображения Тдф : TgG —> TG в точке д: дф = дкд, где *, = {X е G\dae(X) + Ad (g)X = 0}, т.е. Кег Тдф = р, а ранг г/» равен dim Q — dim Кег г/» = dim h и не зависит от выбора точки д. Из теоремы об отображении с постоянным рангом следует, что М„ - замкнутое подмногообразие в G и dim М„ = dim G/H. 2. Докажем, что М„ - вполне геодезическое подмногообразие в G. Известно, что геодезические (относительно инвариантной ме- метрики) в пространстве G/H являются орбитами однопараметриче- ских подгрупп группы G [100]. Пусть j - геодезическая в группе G, касательная к М„ в точке д: 7 = gexptX, X eG,g-X G ТдМ„ = Кег Тдф = дкд. Имеем аЫ)ъ = (r(gexptX)gexptX = a(g)exip(tdae(X))gexptX.
60 Подготовительный математический материал Учитывая A.30), получаем a(g)exp(tdae(X))gexptX = <т(^)ехр(—Ad {g)tX)g exp tX. Так как exp(Ad (g)X)gexpXg~1, то окончательно <г(ъ)ъ = <r(g)gexp(-tX)g-1gexp(tX) = а(д)д = е. 3. Осталось доказать, что Ма — Im Ф. Включение Ма D Im Ф очевидно. Докажем, что М„ С Im Ф. Пусть до - некоторая точка в Ма. Существует конечное число точек <7,- в Ма и геодезических 7i в Af,,, соединяющих g;_i с g^, 1 < г < N, и таких, что дм — <f{gN)gJiX G Im Ф. Пусть sw-i == 9N ехр <Х, где J\T ? kgN для некоторого значения параметра t. Покажем, что gi^-i — а{д)я~л ¦ Имеем a{exp{-\tX)gN){exp{-\tX)gN)-1 = exp(--tdae(X))a(gN)g^ exp(-tX) = exp ( -tAd(gN)X I gNexp(-tX) = gNexptX = gx~\- Повторяя эту процедуру последовательно для </,•,() < г < N — Is получим, что до G Im Ф. Замечание 1.3. Так как для каждой компактной подгруппы Н С G существует инволютивный автоморфизм <т, оставляющий подгруп- подгруппу Н на месте, то отсюда следует, что все орбиты группы G можно реализовать как вполне геодезические многообразия.
Расслоенные пространства 61 §1.4. Расслоенные пространства В этом параграфе будут изложены основные сведения из теории расслоенных пространств - геометрическом языке теории калибро- калибровочных полей. Сопоставление теории расслоенных пространств с теорией калибровочных полей будет дано позднее в Главе 3 "Физи- "Физические принципы и структуры". 1.4.1. Определение расслоенного пространства. Примеры Чтобы были ясны идейные мотивы введения расслоенных про- пространств, начнем с сопоставления двух примеров. Рассмотрим лист Мебиуса и цилиндр. Мы уже видели, что эти два пространства негомеоморфны (лист Мебиуса неориентируем, а цилиндр ориентируем). Однако если выбрать маленькую окре- окрестность произвольной точки на цилиндре и листе Мебиуса, то легко увидеть, что локально они устроены одинаково. Такая окрестность допускает представление в виде объединения пар точек х,у, где х ? S\y € I (I - отрезок) (Рис. 2). 1 У Рис.2, а) Лист Мебиуса, 6) Цилиндр Если заставить точку х пробежать всю окружность S1 и про- проследить за отрезком I, зависящим от точки я, то оказывается, что в случае цилиндра отрезок I, возвратившись в начальную точку х, сохранит ориентацию, а в случае листа Мебиуса изменит ее на противоположную (повернется на 180°). Таким образом, хотя ло- локально цилиндр и лист Мебиуса устроены одинаково, глобально они отличаются. Топологи в этом случае говорят, что цилиндр - тривиальное, а лист Мебиуса - нетривиальное расслоение. Другой, встречавшийся ранее пример расслоения - множества касательных векторов к двумерной ориентированной поверхности.
62 Подготовительный математический материал Дадим теперь формальное определение расслоения (называе- (называемого также косым произведением, или расслоением Стинрода, или локально-тривиальным расслоением). Определение 1.31. Расслоенное пространство ? = (E,p,F,B) - составной объект, включающий следующие элементы. 1. Пространство Е - пространство расслоения. 2. Пространство В - база расслоения. 3. Непрерывное отображение р : Е —> В (на В), называемое проекцией отображения. 4. Пространство F - слой отображения. Над каждой точкой х € В можно определить полный прообраз Fx = р"(х) С Е. Мно- Множество Fx называется слоем над точкой х. В определение включается требование, чтобы слои над раз- различными точками были гомеоморфны друг другу. Таким образом, имеет смысл понятие слоя F, независимо от точки базы. Наконец, должно быть выполнено свойство 5, показывающее, что расслоенное пространство должно быть локально эквивалентным прямому произведению. 5. Для каждой точки х G В должна существовать окрестность V и гомеоморфизм ф :V x F —>p~1(V) так, что p<P(x',y) = xl, xeV,yeF. Наиболее интересные примеры связаны с расслоениями, у которых в слое действует некоторым фиксированным образом группа гоме- гомеоморфизмов слоя — G. Рассмотрим уже известный нам пример - лист Мебиуса. Базой расслоения является окружность 51, а слоем - отрезок I. Легко видеть, что в слое действует группа G = Zi'- g:y-* ехр(гтг)у, g ф е, еу ~ е. Уточним определение расслоенного пространства, включив в опре- определение свойства группы G, действующей в слое. Действие группы предполагается свободным (т.е. из ду = у, у € F следует, что 3 = е). 6. Зададим семейство открытых подмножеств Vj, покрывающих все В и.занумерованных индексом j. Такие окрестности называ- называются координатными. Определим гомеоморфизмы (координатные функции): Координатные функции должны удовлетворять следующим усло- условиям:
Расслоенные пространства 63 7. p<f>j(x,y) = х, где х е Vj,y e F. 8. Если отображение ф^х : F —> р~г(х) определено формулой то для любых двух элементов г, j € J и любого х € V,; П V, гомо- гомоморфизм порождается некоторым действием (элементом) группы G, един- единственным в силу свободы действия G. 9. Отображение дц : Vi П Vj —> G, где gij(x) — <p~lipi,x непре- непрерывно. Функции gij называются координатными преобразованиями. Из их определения вытекают следующие свойства: Ю. 9ij9jk = gik или gijgjkgki = е для х G Ц П Vj-Г\ Vk. 11 9j9j Аналогом понятия графика функции является сечение рассло- расслоения. Определение 1.32. Пусть задано расслоение р : Е —> В. Сече- Сечением s расслоения Е зазывается такое непрерывное отображение s : В —> Е, что ps(b) = b для любого b € В. Существование глобальных сечений накладывает жесткие огра- ограничения на тип расслоений (см. 2.7.5). Важным примером расслоений являются так называемые гла- главные расслоения (P,G,B). Определение 1.33. Расслоеняе зазывается главным, если слоем является группа G. Группа G действует по себе с помощью сдвигов. Для определенности будем использовать левые сдвиги. Главные расслоения (P,G,B) связаны со свободными действи- действиями групп на многообразиях. Справедливо следующее точное ут- утверждение, эквивалентное определению главного расслоения. Предложение 1.8. Группа G действует свободно (правыми сдви- сдвигами) на пространстве Р. Орбиты действия группы G в Р нахо- находятся во взаимно однозначном соответствии с точками базы В. Т.е. если qi и <?2 - любые точки из Р, то p(qi) = р(<?2) в том и только в том случае, когда qig = q% для g € G. Доказательство этого утвер- утверждения несложно и предоставляется читателю (см. также [32, 82]). Примеры главных расслоений будут неоднократно встречаться в Дальнейшем.
64 Подготовительный математический материал Пополним набор примеров расслоений. Большая часть из них нам уже встречалась ранее. Пример 1.14. а) Координатные функции листа Мебиуса. По- Покроем базу В = S1 двумя открытыми множествами V\ и V2. Пере- Пересечение множеств Vi Л \\ состоит из двух компонент V и W. По- Положим #12 = h (нетривиальный элемент группы 2г), <7н — е!<?22 = е,921 = [дп]'1 = h. б) Накрытия. Накрытиями или накрывающими расслоениями называются расслоения с дискретными слоями. Простейшим при- примером является накрытие окружности S1 вещественной прямой R1. Соответствующее отображение р : R1 —> S1 - экспоненци- экспоненциальное отображение. Слоем является множество целых чисел Z; S1 ~ R1 /Z. Образуем прямое произведение п-окружностей - п- мерный тор Тп. Накрывающим пространством для Т" служит Rn. Накрытием вещественной проективной плоскости RP2 будет S2 (слой состоит из двух точек). Это следует непосредственно из по- построения RP2. Аналогичный результат справедлив и для RPn. На- Накрывающим пространством будет Sn. Классическими примерами накрывающих пространств являются n-листные накрытия рима- новых поверхностей. Однако такие накрытия не являются рассло- расслоенными пространствами из-за существования точек ветвления. Пе- Переход к накрывающим пространствам во многих случаях упрощает исследование топологии исходного пространства. Классификация накрытий приведена в 2.1.4. Пример 1.15. Пусть G -- группа Ли, Н - замкнутая подгруппа. Рассмотрим факторпространство G/H. При каких условиях трой- тройка (G, H, G/H) образует расслоение? Ответ сформулируем в виде теоремы. Теорема 1.7. Тройку G, Я, G/H можно всегда превратить в рас- расслоение G Д G/H с базой G/H и слоем Н. Проекция р относит любому элементу д ? G его смежный класс дН. Группа слоя Н действует левыми сдвигами. Эта теорема допускает следующее полезное обобщение: Пусть в группе Ли G вложены замкнутые подгруппы И та. К так, что G Э Н Э К. Рассмотрим два факторпространства: G/K vlG/H. Теорема 1.8. Пространство G/K является расслоением над ба- базой G/H со слоем Н/К и группой слоя Н/Ко, действующей как
Расслоенные пространства 65 группа левых сдвигов. Здесь Ко - наибольший нормальный дели- делитель группы Н, принадлежащий К. Эти теоремы исключительно важны для приложений, так как большинство расслоений, появляющихся в физических задачах, принадлежат к подобному типу. Возможность расслоить однородные пространства позволяет вы- вычислить их топологические инварианты, используя алгебраическую технику точных последовательностей (см. 2.1.1). Рассмотрим некоторые частные случаи. а) G = SU(n), Н = SU{n - 1), G/H = SU(n)/SU(n - 1). Бели каждой унитарной матрице А порядка п с det A = 1 по- поставить в соответствие первую строчку, то мы получим расслоение SU(n) —> S2", слоем которого будет группа SU(n — 1). Ана- Аналогично можно рассмотреть случай G = SO(n), H = SO(n-l), B = G/H~Sn-\ G = Sp(n), # = Sp(n-l), B = G/H ~S4n~1. Здесь Sp - стандартное обозначение вещественной компактной сим- плектической группы [100]. б) G = SU(n), Н = SU(n - 1), К = SU(n - к). Vfk = G/K = SU(n)/SU(n -к)- многообразие Штифеля. Имеем расслоение SU{n)/SU(n - к) sc/(n-12/*c/<"-*> sU(n)/SU(n - 1). A.31) Мы видим, что многообразие Штифеля V?k является расслоением над S2n~1 со слоем - многообразием Штифеля меньшей размерно- размерности. Можно рассмотреть последовательность расслоений SU(n) -> V^., ->...->*? = S2"-1. A.32) При этом слоем каждого расслоения типа V?n_k —* V?n_k_1 будет сфера S2", а группой слоя - SU(n). Расслоение, у которого слой - сфера S2n~1, а группа слоя - унитарная группа SU(n), называ- называется пучком Bп — 1)-мерных сфер. в) G = О(п), Н = О(п- 1), К = О{п - к). В вещественном случае ситуация совершенно аналогичная. Имеется расслоение Vn,* = О(п)/О(п -к) —> ^ 33^ —+ О(п)/О(п - 1) = Sn~\
66 Подготовительный математический материал Здесь VUtk - вещественное многообразие Штифеля. Аналогично A.3.2) можно рассмотреть последовательность рас- расслоений Vn,n = О(п) -» Vn,n-i -»... -» Vn,x = 5"-1. Соответствующее расслоение У„)Т1_к —» Vn,n-*-i называется пуч- пучком (п — 1)-мерных сфер. В вещественном случае естественно рассмотреть и расслоение SO(n)/SO(n - к) -* SO(n)/SO(n - 1). Однако это расслоение совпадает с A.33). Действительно, рас- расслоение V,,,,, —> Vnjn_i имеет слой - нульмерную сферу S0. Это расслоение не есть двулистное накрытие, хотя УП]П и состоит из двух компонент (только одна из них - SO(n) - подгруппа О(п), вторая компонента с det = — 1 не образует группу). Но так как <7i ± е 6 0A), det ^i = — l,Vn,n —» Vnn-i топологически отобра- отображает каждую компоненту из О(п) на Vnin_i. Поэтому мы можем отождествить Vn,k с Vn,k = SO(n)/SO(n — к), т.е. многообразия Штифеля ориентируемы. Если перейти к многообразиям Грассмана, то тут ситуация из- изменится. Вещественные многообразия Грассмана определялись как пространства fc-мерных плоскостей в n-мерном пространстве или как однородные пространства: Gn,k = 0(п)/0(п -к)х 0(к). Так как одна из подгрупп 0(п — к), 0(к) содержит преобразование с отрицательным определителем, то проекция 0(п) —> Gn<k отобра- отображает SO(n) на Gn к- Рассмотрим подгруппы вращений SO(n — к) и SO{k). Ориентированным многообразием Грассмана будет Gn,k = SO(n)/SO(n -k)x SO{k). Легко видеть, что GHtk является двулистным накрытием Gn,k (так как оба пространства связны, а слоем является нульмерная сфера).
Расслоенные пространства 67 1.4.2. Операции над расслоениями В этом пункте будут введены основные операции над расслоениями, позволяющие строить новые расслоения, связанные с данным. Пусть задано главное расслоение Р —> В. Спрашивается, какие существуют расслоения с той же базой В и структурной группой G. Очевидно, что такие расслоения можно определить заданием слоя F и действия группы G в слое. Соответствующие расслоения называются ассоциированными с данным расслоением Р. Например, все вещественные многообразия Штифеля VU}k (см. пример 1.11) ассоциированы с главным расслоением Введем определение эквивалентных расслоений. Определение 1.34. Два расслоения ? и хг' с одинаковой базой, слоем и группой называются эквивалентными, если соответствую- соответствующее отображение h: а) h : Е —> Е' сохраняет слои, б) координатные преобразования сопряжены. Точный смысл условия а) таков: если h гомеоморфно отобра- отображает слой Fx на слой Fxi, то 1) диаграмма Е -^ Е' Pi iP1 в Л в коммутативна. Здесь h - индуцированное h отображение базы В на себя. 2) Отображение hx : Fx —> Fx, порожденное h, x' = h(x), индуцирует групповое преобразование §kj, х € UjDh'1 (U'k) слоя в себя: 9kj(x) = 4>k~\<hx4>j,x = p'k~h*Vi,x- A-34) Преобразование A.34) порождается некоторым элементом g груп- группы G и непрерывно. в) Координатные преобразования g,g называются сопряжен- сопряженными, если они удовлетворяют соотношениям 9к^х)дц(х) = gki(x), xeUiHUjn /Г1 (U'k), A.35) 9ik(h(x))9kj(x) = дф), xeUj^h-'iU'.nU1,). A.36)
68 Подготовительный математический материал Отметим, что отображение h можно считать тождественным, а эквивалентные расслоения отличаются только координатными пре- преобразованиями A.35, 1.36), опуская h (доказательство см. в [82]). Используя понятие эквивалентности, можно сформулировать понятие ассоциированного расслоения. Нам понадобится предва- предварительно определение присоединенного расслоения. Присоединен- Присоединенным расслоением к ? = (E,p,B,F) (с группой G) называется гла- главное расслоение Р с базой В и слоем G. Группа G действует сдви- сдвигами: G —> G,д{до) = ддо, до фиксировано. Определение 1.35. Два расслоения ( и (' с одной и той же ба- базой В называются ассоциированными, если присоединенные к ним главные расслоения эквивалентны. Сечения расслоенных пространств. Существование нетривиальных сечений в расслоенном прост- пространстве является важной глобальной характеристикой расслоений. Например, среди двумерных замкнутых ориентируемых многооб- многообразий только касательное расслоение над тором имеет нетриви- нетривиальное сечение. Для вычисления соответствующих топологических инвариантов в Главе 2 будет развита топологическая техника. Здесь мы рассмотрим лишь следующий вопрос. Пусть расслое- расслоение р : Е —> В имеет нетривиальное сечение. Можно ли так преоб- преобразовать координатные функции, чтобы расслоение стало эквива- эквивалентно прямому произведению? Ответ сформулируем в виде сле- следующей теоремы. Теорема 1.9. Главное расслоение с группой G эквивалентно пря-, мому произведению тогда и только тогда, когда оно имеет сечение. Доказательство. Пусть дано сечение s : В —+ Е, для х € Uj положим \i(x) = Pis(x). Из соотношения gji{p(x))pi(x) = pj(x) следует, что 9ji{*) = Aj(*)A,rl(*), * € Щ П Uh A.37) что и означает - расслоение эквивалентно прямому произведению. Обратно, если Е эквивалентно прямому произведению, то ко- координатные преобразования имеют вид A.37). Положим з,(х) = У,(з;,Л,(а;)), тогда Si(x) = Sj(x), если х ? G,Пиу, и, следовательно, з, определенное на Ui как Si - сечение над В. Ассоциированное расслоение эквивалентно прямому произве- произведению, если его присоединенное главное расслоение эквивалентно
Расслоенные пространства 69 Прямому произведению. Однако из существования сечения у гла- вного расслоения не следует, вообще говоря, существование сече- сечения у ассоциированного расслоения. У ассоциированного расслое- расслоения существует лишь семейство сечений с попарно непересекающи- непересекающимися областями значений, заполняющее пространство расслоений. Индуцированные расслоения. Определим понятие индуцированного расслоения, т.е. рассло- расслоения, определяемого отображением двух топологических прост- пространств / : N —> N. Предложение 1.9. Пусть задано главное расслоение Р(М, G) и отображение /. Существует единственное (с точностью до изомор- изоморфизма) главное расслоение Q(N,G) с отображением / : Q —> Р, индуцированное /, и соответствующим тождественному автомор- автоморфизмом G. Доказательство этого утверждения будет вытекать из следую- следующей конструкции. Рассмотрим прямое произведение N х Р и в нем выделим подмножество Q, состоящее из точек (у, и) € N х Р таких, что /(у) = р(и). Проекция р\ : Q —> N определяется равенством рг(у,и) = у. Таким образом, диаграмма Q М р Pii iP N -U M коммутативна. G действует на Q: д(у,и)^> (у,ди), д eG,(y,u)eQ. Зададим на P(M,G) локальное покрытие (Ui,fi). Положим Ui = f~1{Ui) и определим координатные функции на Q(N,G) Vi : Ui x G -» p-\Ui) формулой 4>\у,и) = (y,V»(/(y),u)). То- Тогда A/tjVi) будут образовывать локальное покрытие расслоения Q — /Р. Отсюда следует, что индуцированное расслоение будет также локально тривиальным, то и индуцированное расслоение будет тривиальным. Заметим, что точно такая же конструкция справедлива и для векторных расслоений, и для произвольных ас- ассоциированных расслоений. Конструкция индуцированного расслоения чрезвычайно важна, так как при индуцировании сохраняются основные свойства исхо- исходного расслоения. Перечислим некоторые свойства индуцирован- йых расслоений (доказательства их просты и оставляются чита- читателю).
70 Подготовительный математический материал 1. Расслоения, индуцированные эквивалентными расслоениями, эквивалентны. 2. Расслоения, индуцированные ассоциированными расслоени- расслоениями, ассоциированы. 3. Если пространство В может быть непрерывно стянуто в точку хо, тогда расслоение над В индуцированное отображением / : В —> хо, эквивалентно прямому произведению. В виде след- следствия немедленно получаем, что расслоение над Rn или диском D" : {X ? Дп,|ж| < а} тривиальны. Этим результатом мы вос- воспользуемся в 2.6.4 (лемма 2.10). Индуцированные расслоения будут использоваться при постро- построении характеристических классов расслоений B.7). Оказывается, что для каждого класса главных расслоений с компактной про- простой группой Ли существуют некоторые универсальные расслоения EG —> BG. Остальные расслоения получаются операцией индуци- индуцирования. Помимо главных расслоений существенную роль играет специ- специальный класс ассоциированных расслоений - векторные расслое- расслоения ? = (E,F,B), т.е. расслоения со слоем Rn. Эти расслоения, включая уже встречавшееся касательное расслоение ТМ, допу- допускают ряд алгебраических операций, которые позволяют размно- размножать расслоения. 1. Прямое произведение. Пусть ?i и f2 - векторные расслоения с проекциями pi : Ei —> Bi, i = 1,2. Прямым произведением d x f2 называется расслоение с пространством Е\ х Ei, базой В\ х Bi и проекцией р = р\ х pi : Е\ х Ег —» В\ х i?2, где каждый слой (pi x p2)—1(bi, 62) = •?*i х Fb2, bi 6 Bi, Ьг 6 B% также наделен структурой векторного пространства. Пример 1.16. Касательное расслоение Т(Т2) к тору Т2 есть прямое произведение T^S1) x T(S1). Очевидно, что по индукции этот результат распространяется и на Тп. 2. Сумма Уихни. Определим аналог прямой суммы векторных расслоений ? и т\ над одной базой В. Рассмотрим диагональное вложение d : В —> ВхВ :Ь —у (Ь, Ь). Индуцированное вложением dрасслоение d(? x77) над В называется суммой Уитни расслоений ? и ц и обозначается ? ф г}. Каждый слой Fb(? @ tj) расслоения ? ф rf канонически изо- изоморфен прямой сумме пространств Fb(() ф Fb(t)). Операция Уитни позволяет перенести на пространство рассло- расслоения понятия подпространства и ортогонального дополнения к под- подпространству. Сформулируем соответствующие определения.
Расслоенные пространства 71 Определение 1.36. Пусть ? и rj - два векторных расслоения над В такие, что пространство расслоения Е(?) С E(j)). Тогда рас- расслоение ? называется подрасслоением т), если каждый слой Рь(?) является векторным подпространством Fb(i]). Справедливо следующее, легко доказываемое предложение. Предложение 1.10. Пусть ?i и ?г - подрасслоения расслоения г/ такие, что каждый слой Fb(r)) равен прямой сумме подпространств F(?) Ф Fb(&), тогда т\ изоморфна сумме Уитни ?i ®vv &• Бели база расслоения является многообразием (не обязательно компактным), то всякое векторное расслоение может быть снабжено евклидовой метрикой. В этом случае можно ввести понятие ортого- ортогонального дополнения к подрассдоению ? в г/. Для этого достаточно в каждом слое Fb{q) выбрать подпространство Д(?±), ортогональ- ортогональное к подпространству Fb((). Построим расслоение ?х склеим все слои F(,(?-L), когда точка b пробегает базу В. Получаем расслоение ?"*" С г}. Расслоение т\ изоморфно сумме Уитни ? ®w ?x- Доказа- Доказательство несложно и приведено, например, в [54]. Важность понятия - сумма Уитни - станет ясной при изучении характеристических классов. 3. Тензорное нроизведение расслоений. Так как для векторных пространств Rn и Rm определено их тензорное произведение, то можно попытаться построить тензорное произведение расслоений ? и г) над одной и той же базой В. Простейший путь построения тензорного произведения следую- следующий. Определим тензорное произведение F/* ® FV" двух векторных пространств: слоев F6n и F6m в точке базы о € В. Затем построим пространство расслоения, склеив (объединив) все пространства F6n ® Fbm, b пробегает все В. Получим расслоение ? ® г). Доказа- Доказательство локальной тривиальности расслоения проводится по стан- стандартной схеме [54]. Заметим, что в слое тензорного произведения действует группа GL(n,R) ® GL(m,R) - тензорное произведение групп, действующих в Rn и Rm. Ее можно продолжить до полной линейной группы GL(mn,R) пространства F" ® Fm ~ Rmn. Если на векторных пространствах R" существуют дополнитель- дополнительные структуры, то их можно перенести на соответствующие рассло- расслоения. 1. На R2n можно ввести структуру комплексного пространства С" и рассмотреть комплексное га-мерное векторное расслоение (с со слоем С". 2. На комплексном пространстве С" действует автоморфизм z —» г, z 6 С". Соответствующее расслоение ? называется сопря- сопряженным к расслоению (.
72 Подготовительный математический материал 3. На комплексном пространстве Сп можно ввести эрмитову метрику и перенести ее на комплексные расслоения над многооб- многообразиями (для существования метрики достаточно потребовать па- паракомпактности многообразия). 4. Аналогичные определение можно дать и для кватернионных расслоений со слоем Я" ~ Я4", вводя на Я4 структуру алгебры кватернионов. Топология расслоенных пространств будет изучаться в Главе 2, а пока мы перейдем к дифференциально-геометрическим характе- характеристикам многообразий и расслоений над ними. §1.5. Связность в расслоении Связность в расслоениях вводится для определения таких важных геометрических понятий, как перенос вектора вдоль пути, кривизна -многообразия и т.п. С другой стороны, как будет показано в Главе 3 (§3.1), введение связности эквивалентно заданию калибровочного поля, а тензор напряженности совпадает с тензором кривизны со- соответствующей связности. В 1.5.1 напоминается классическое определение связности в двумерном случае. В следующих пунктах дано краткое изложение основных определений теории связности в расслоениях в инвариан- инвариантной форме. Помимо обычных преимуществ инвариантной формы записи изложение, основанное на дифференциальных формах, не- необходимо при изучении соотношений между дифференциально- геометрическими и топологическими свойствами многообразий (те- (теория характеристических классов), см. §2.7. 1.5.1. Связность на двумерных многообразиях Пусть х - некоторая точка в М2 С R3 и v(x) - вектор, касательный к М2 в точке х. Рассмотрим сдвиг вектора v(x) вдоль кривой u(t) с координатами uy(t),u2(t); v(x(t0)) = u(u1(to),«2(*o)) = v(x). При переходе v из точки x(to) в бесконечно близкую точку x(to + dt) касательный вектор v перейдет в вектор v + dv, который, вообще говоря, не будет уже касательным вектором в точке x(to + dt). Сне- Снесем вектор v + dv в точку х и разложим его на составляющие: одну лежащую в касательной плоскости, а другую - нормальную к по- поверхности. Нормальная составляющая равна (n\v + dv)\n). A.38) Здесь п - единичный вектор нормали. Так как вектор v касателен к М2 в точке х, то (n\v) = 0 и, следовательно, A.38) равно
Связность в расслоении 73 (n\dv)\n). A.39) Тангенциальная составляющая равна -( n\dv) \п). A.40) Этот вектор уже является касательным в точке х. Разность между вектором \v + dv )tan и вектором v называется абсолютным диффе- дифференциалом вектора v при переходе из точки х в точку х' и обозна- обозначается через Dv = \dv)-{n\dv)\n). " A.41) Сопоставление каждому вектору v(x) вектора Dv(x) называ- называется заданием связности на многообразии. Так как векторное поле определяет касательное расслоение на М2, то фактически задание связности на М2 есть задание связности в расслоении ТМ2 или, если ограничиваться единичными векторами, заданием расслоения касательного пучка, т.е. расслоения со слоем 51. Посмотрим, что означает условие Dv = 0. В этом случае при проектировании на касательную плоскость вектора v + dv его зна- значение в точке х' равно его значению в точке х. То есть вектор v + dv получается из вектора v параллельным переносом в беско- бесконечно близкую точку х'. Уравнения для ковариантного дифференцирования могут быть представлены в следующем виде. Пусть v(t) = {г>г(<),u2(t)}; в каждой точке t вектор v(t) может быть разложен по векторам г\ и r2: v = v1n + v2r2. Здесь т\ и гг координатные векторы поверхности в той же точке t. Опуская промежуточные выкладки, известные из курса клас- классической дифференциальной геометрии, приведем окончательный ответ: Dv1 = dv1 + n0vd, Dv2 = dv2 + r20vadu^, l ' здесь Г^0 - символы Кристоффеля. Мы рассмотрели понятие параллельного переноса для беско- бесконечно малого сдвига вектора. Аналогичную операцию можно про- проделать для параллельного переноса вектора вдоль некоторого пути. Здесь результат параллельного переноса будет зависеть не только от коэффициента Г2д, но и от выбора пути.
74 Подготовительный математический материал Возможность параллельного переноса вектора v вдоль пути r(t), выходящего из точки х, легко следует из разрешимости системы дифференциальных уравнений dv1 . ~df-J dv2 Ht Г1 va — Of P Jj. at Г2 У Of Д J j. at Ясно, однако, что значение вектора v в точке х' может быть со- совершенно различным в зависимости от пути т, соединяющего эти точки. Существуют примеры многообразий, для которых парал- параллельный перенос не зависит от пути. В двумерном случае такими примерами служат развертывающиеся поверхности. В следующих пунктах мы дадим инвариантное определение связности в главном и ассоциированных с ним расслоениях. 1.5.2. Связность в главном расслоении Пусть Р - главное расслоение с базой М, структурной группой G и проекцией р : Р —> М. Обозначим через Рх касательное пространство к Р в точке х € Р, через Vx - подпространство пространства Рх, касательное к слою, проходящему через точку х. Это подпространство можно отождествить с алгеброй Ли Q группы G. Определение 1.37. Связностью Г на (P,G,M) называется соот- соответствие, сопоставляющее каждой точке х € Р некоторое касатель- касательное подпространство Нх, если выполнены следующие условия: 1) Рх есть пряная сумма Vz и Нх; 2) Для любых элементов д,х, д € G,x € Р, подпространство Нх инвариантно относительно правых сдвигов: dRgHx = Hxg\ 3) Поле Нх гладко (С°°) зависит от х. Последнее условие означает, что если поле X, заданное на Р, в каждой точке х ? Р допускает разложение 1) и является гладким (дифференцируемым), то соответствующая составляющая поля Нх тоже должна быть гладкой. В этом случае и Vx будет гладким полем. Если связность Г задана, то Vx называется вертикальным под- подпространством (этим объясняется и обозначение - vertical) в точке х, а Нх - горизонтальным (horisontal) подпространством в точке х. Соответственно вертикальная составляющая поля X обозначается через vX, а горизонтальная - через hX.
Связность в расслоении 75 Проекция р пространства расслоения Р порождает линейное отображение dp : Рх —> -Мр(х) (касательное пространство базы). Из существования связности Г следует, что пространство Мр(х) изоморфно Нх при отображении dp и, следовательно, dim Hx = dim Mp(x). Для данного векторного поля X на М можно определить его поднятие и расслоение Р, называемое горизонтальным лифтом или просто лифтом X и обозначаемое через X. Определение 1.38. Лифтом X поля X называется единственное горизонтальное поле X на Р, накрывающее X, т.е. рХ = X. Существование и единственность лифта X следует из написан- написанного двумя строками выше, а для доказательства дифференцируе- мости лифта X достаточно заметить, что его можно провести в не- некоторой окрестности точки х ? М, над которой расслоение можно считать прямым произведением. Для лифта X справедливы следующие свойства: а) dRgX = X,^_j e G; б) X + У = X + Y; )[] [,} Понятие лифта векторного поля нам пригодится в пункте 1.5.6 для определения переноса вектора вдоль слоев, а сейчас дадим двойственное определение связности через дифференциальные формы. 1.5.3. Форма связности Ш Пусть задана связность Г на Р. Отождествим алгебру Ли Q, группы G с алгеброй Ли Qv (лево)инвариантных векторных по- полей на Р следующим образом. В точке х рассмотрим разложение Рх = Нх + Vx и положим Qv равным касательному пространству к группе G в точке х. Так как в главном расслоении группа G действует свободно, то алгебра Q ~ Qv. 1-форму связности ч> со значением в алгебре Ли Q определим как линейное отображение, при котором образом элемента а* € Qv = Vx служит соответствую- соответствующий элемент а 6 Q, a образом элемента h* ? Нх - нуль в Q. Форма ш равна нулю на горизонтальных векторах. Такая форма назы- называется вертикальной. Если форма ш\ равна нулю на вертикаль- вертикальных векторах, то она называется горизонтальной. Сформулируем следующее предложение, показывающее, что определение связно- связности с помощью распределения горизонтальных пространств и форм связности эквивалентны.
76 Подготовительный математический материал Предложение 1.11.1) Форма ш дифференцируема. 2) Форма ш эквивариантна, т.е. ЩшХ = Ad (д~г)ш(Х) для любого векторного поля X на Р. Свойство 1) вытекает из аналогичного свойства горизонтальных распределений. Свойство 2) достаточно доказать для вертикаль- вертикального поля, так как для горизонтального поля также горизонтальное поле и на нем ш равно нулю. Если X - вертикальное поле, то вос- воспользуемся соотношением dgX = Ad g~*X. Имеем (л;«) X = ш (Л, • X) = Ad ((Г1 )Х = Ad g'^X) D. 1.5.4. Параллельный перенос В этом пункте мы покажем, что связность позволяет ввести в рас- расслоение понятие параллельного переноса вектора вдоль некоторых кривых. По существу эти понятия эквивалентны. Пусть у ~ ломаная кривая (С°°) в М, тогда (горизонтальным) подъемом (лифтом) кривой у называется кривая у ъ Р такая, что: 1. 7 ~ горизонтальна, т.е. ее касательный вектор горизонтален и 2. р7 = 7- Справедлива основная теорема существования и единственно- единственности лифта кривой. Теорема 1.10. Пусть 7 - кривая в М, у : I —» М, I = [0,1]. Пусть х 6 р~1G@))- Тогда существует единственный подъем у кривой 7 такой, что 7@) = х- Доказательство теоремы см., например, в [13]. Из этой теоремы вытекает важное следствие. Следствие 1.1. Пусть Г - связность на (P,M,G). Тогда можно определить параллельный перенос слоя Fy над точкой р~1(у@)) —* р-1GA)) вдоль кривой у. Преобразования F7 очевидно коммути- коммутируют с правыми сдвигами Rg : FyRg = RpFy,n являются гомомор- гомоморфизмами группы путей, т.е. Fya = Fy о Fa, если кривые у, а такие, что <т@) = у(Х). Доказательство следствия оставляем читателю (см. также [13]). Несложно вывести из возможности параллельного переноса слоя вдоль кривой 7 существование связности. Действительно, пусть за- задан параллельный перенос, коммутирующий с правыми сдвигами
Связность в расслоении 77 слоя р-1G@)) вдоль кривой 7- Тогда можно определить горизон- горизонтальное подпространство Нх в Рх (где х = р~1@)) как касательное пространство в точке 0 кривой 7 —» F^x, где и - параметр на кри- кривой 7 от 7@) до 7(<)-Связность, порождаемая инфинитезимальным параллельным переносом, выраженная в локальных координатах, совпадает с классическим определением связности через коэффи- коэффициенты Кристоффеля. Мы отложим соответствующие вычисления до пункта 1.5.8 и перейдем к инвариантному изложению формы кривизны. 1.5.5. Форма кривизны По каждой 1-форме связности ш можно определить (?-значную 1- форму Ф по следующему правилу. Положим Ф = Dw, где Du = duoH. A.43) Здесь Н - горизонтальное поле. Оператор D называется ковариан- тным дифференциалом формы и>. Формула A.43) означает, что Du(tl,t2) = du>(hh,ht2), A.44) где (i и t2 - векторы из Рх, а Ы - горизонтальная составляющая вектора t. Очевидно, что форма Ф горизонтальна. Легко проверяется, что форма Ф эквивариантна и поэтому определена на всем расслоении. Основным результатом, связывающим форму связности и форму кривизны, является следующее структурное уравнение, принадле- принадлежащее Э.Картану. Предложение 1.12. Пусть ш - форма связности, а Ф - форма кривизны, тогда du= -\[ш,ш]+Ф. A.45) Доказательство приводится во всех книгах дифференциальной ге- геометрии [13, 32, 81, 40 т.1]. Из формулы A-45) следует классическое тождество: Тождество Бианки: Доказательство. Применим оператор D к обеим частям соотно- соотношения A.45)
78 Подготовительный математический материал Ddu> = - -D[u, ш] + БФ. Имеем d<kj(hti,ht2, ht3) — 0, так как d2 = 0, a D[w,ш] = 0, так как [и>, ш] - вертикальная форма. Получаем ВФ = О D. 1.5.6. Связность и кривизна в касательном расслоении. Локальные координаты Введение ковариантной производной векторного поля вдоль кривой позволяет наиболее прямым способом установить эквивалентность определения связности через символы Кристоффеля Pt* и инвари- инвариантным подходом предыдущего пункта. Предварительно заметим, что классическое понятие связности, или линейной связности, связано с введением касательного рассло- расслоения ТМ, ассоциированного к главному расслоению (Р, G, М), где G - группа всех невырожденных линейных преобразований про- пространства Rn :G = GL(n,R). Главное расслоение (Р, GL(n, R), Мп) называется расслоением реперов и имеет следующую структуру. Пусть и - репер в точке х € Мп. Множество реперов {и} во всех точках х € Мп образует расслоение Р. Зададим Р в локальных координатах. Репер и = {Y\,..., Yn), где Yi - базис касательных векторов в точке х. Каждый элемент д € GL(n,R) представляется неособой матрицей gl(i,j = 1, ...,п) и действует на Р (справа): т.е. и ¦ д есть новый репер в той же точке х. Проекция р : Р —» Мп определяется как р(и) = х. Если а;1,...,!1* - локальные координаты точки х ? \> С Мп, то каждый репер и € р-1(У) записывается в виде ^ A.46) где Yjk - неособая матрица. Каждая неособая матрица Yf опре- определяет репер и по формуле A.46). Тем самым х',У{к определяют локальные координаты в расслоении Pgl- Нетрудно проверить, что (P,GL(n,R),M) является гладким многообразием. Пусть F - n-мерное векторное пространство с фиксированным базисом f = (f1, ...,?"), F ~ Rn. Группа G действует в слое F по формуле
Связность в расслоении 79 я ¦ е = 9)V- Рассмотрим касательное расслоение ТМ со слоем ТХМ ~ F. Это расслоение и будет ассоциированным к главному расслоению Pgl ¦ Каждый репер и = (Yi,...,Yn) можно рассматривать как линейное отображение F на Тх, х = р(и), такое, что и ¦ ?* = У*, г = 1,..., п. Связность Р в главном расслоении Р определяет связность в ассоциированном расслоении ТМ по следующему правилу. Если т = xt(a <t<b)~ кривая в М и f = u( - лифт в Р, то для каждого фиксированного ? € Л" кривая г' = и<? есть по определению лифт г вТМ. Пусть <Р - сечение в ТМ, определенное над кривой т так, что po<p(xt) = xt для всех t (здесь р - проекция ТМ —> М). Обозначим через it вектор, касательный к т = xt в точке t. Определение 1.39. Ковариантной производной векторного поля (сечения) ? вдоль направления xt (для каждого фиксированного t называется предел = lim ^ [r'+*(v(*,+,) - V(x,))] , A-47) где т<+? : p~1(it+e —> p-1(a;t) есть параллельный перенос слоя p~1(xt+e) вдоль т из Xt+e в i(. Тем самым поле V для каждого t и определяет сечение в ТМ вдоль т. it Сечение V параллельно, т.е. кривая ^(^t) горизонтальна в ТМ тогда и только тогда, когда Vj, Ч> — 0 для всех t. Ковариантная производная Vj, V5 удовлетворяет следующим свойствам: ), где А - вещественная функция, определенная на г. Определим ковариантную производную поля V для любого век- вектора X С ТХМ. Пусть т = xt - кривая в М, —e<t<e, такая, что X = х0- Положим Vx V = Vi0 <?. Ясно, что Vx Ч> не зависит от выбора кривой т Пусть X, Y € ТХМ, а. <р,ф - сечения в ТМ, определенные в окрестности х ? М. Справедливы следующие соотношения: a) Vx+y Ч> = Vx ? +Vy v, б) в) V(Av) AVV+(*A)?> г)
80 Подготовительный математический материал Л - вещественная функция, определенная в окрестности точки х. Доказательства этих соотношений (по существу, только свой- свойство а) представляет небольшие трудности) читатель может про- провести сам или найти в любом руководстве по дифференциальной геометрии (см., например, [40 т.1]). Свойства а) - г) однозначно характеризуют связность и могут быть приняты за определение связности. Классическое определение связности теперь легко, получить, записав соотношения а) - г) в локальных координатах. Пусть xl,...,xn - локальные координаты, определенные в окрестности точки х ? U С Мп. Обозначим через дк координатные векторные поля дк = дI дхк. Тогда каждое векторное поле X на К записыва- записывается единственным образом в виде X = vkdk, где vk - действительные функции яъ.Ц. В-частности, поле Функции 7,ч полностью определяют связность. Действительно, для любых полей X и Y : X = v' di, У = w} dj, поле VхУ задается согласно правилам а) - г) ^ A.50) где символом to* обозначается функция (Напоминаем, что здесь используются тензорные обозначения: сум- суммирование по повторяющимся индексам.) Обратно, если для любых гладких функций Г1^ определить поле VxF по формуле A.50), то выполнение свойств A.48) очевидно. Тем самым доказана эквива- эквивалентность задания связности с помощью ковариантной производной V и функций Fjj - символов Кристоффеля. Замечание 1.4. В классической литературе часто используется термин аффинная связность вместо линейной связности. Суть дела в том, что на касательном расслоении может действовать не только группа GL(n, R), но и более широкая группа G = GL(n,R)xL(n), где L(n) - группа сдвигов Rn, изоморфная Rn. Связность в ка- касательном расслоении, где каждый слой изоморфен R", наделен структурой аффинного пространства, соответствует аффинной
Связность в расслоении 81 связности. Нетрудно видеть, что между линейной связностью и аф- аффинной связностью существует естественное соответствие, поро- порожденное гомоморфизмом групп G —> G. Подробности см., напри- например, в [40 т.1]. В дальнейшем мы ограничимся линейной связно- связностью. Перейдем к изучению форм связности ш в главном расслоенном пространстве Р = (Р, G, М). Так как Р локально тривиально, то для каждой окрестности U покрытия М существует отображение Фи '• P-1(W) -*U xG. Пусть z - координата в р (К) Фи(*) = {p(z) = Группа действует свободно в Р (выбираем для определенности левое действие), и, следовательно, *и(9 ¦ *) = 9 ¦ *ui*h z?p-\U),geG. A.51) Если z ? P~l{U<~\V), то из A.51) следует, что Su{gz)~1sv(gz) = su(z)~1sv(z) = диу и guV зависит лишь от р(г) но не зависит от д € G. Координатные функции ди у ¦ U HF —> G удовлетворяют усло- условиям 10), 11), включенным в определение расслоенного простран- пространства A.4.1). Таким образом, в расслоении над окрестностями Ui можно ввести координаты z = (х,д). Зададим формы связности w, на Р сначала в каждой локальной окрестности ?/i, а затем, опреде- определив правило склейки на пересечении окрестностей UiMji получим форму связности, определенную глобально на Р. Пусть Hz С Тг. Форма и> по определению принадлежит V* - вертикальному подпространству кокасательного пространства Т*. Это равносильно заданию ?-значной формы и>, ограничение кото- которой на слой есть dsus^x (так как действие G - левое, то формы w правоинвариантны). Локально ш задается в виде u(z) = dsusul + 6u(x, su, dx). A.52) Условие эквивариантности (см. предложение 1.10) для A.52) имеет вид uj(gz) = Ad (g)u(z). A.53) Из него следует, что u>{z) локально представима в виде w(z) = dsus-1 + Ad (зи)ви(х, dx). A.54) Здесь ви(х, dx) есть ^-значная 1-форма на Ц.
82 Подготовительный математический материал Из формулы A.53) следует правило склейки форм ви, которое может служить еще одним определением связности. Пусть Ц и V ~ две окрестности в базе M.U f)V ф 0. Формы шц. и и>у, определенные в р~1{Ы) и p~l{V) соответственно, должны со- совпадать на p~l(U DV). Используя соотношение suguy(z) ¦= sv(z), из A-54) простой выкладкой получаем правило преобразования форм в: Ои = dguv9uv + Ad (gu vHv{z, dx). A.55) Преобразование ви —> ву A-54) в дифференциальной геометрии называется локальным преобразованием связности. В теории поля оно соответствует калибровочному преобразованию (см. 3.1.1). Перейдем к определению формы связности w на векторных рас- расслоениях, ассоциированных к главному. Пусть ? — (E,p,F,G,M) - расслоение, ассоциированное к главному расслоению (P,G,M). Форма ассоциированной связности we однозначно строится по форме связности w. Приведем соответствующую конструкцию. Так как G действует в слое F, то каждый элемент д € G определяет век- векторное поле на F, порожденное алгеброй Ли Q. Пусть задана точка у € F и касательный вектор т в у. Определим аналог A.52). До- Достаточно получить формулу для we- в окрестности точки (ре(у), у). Определим w°F на слое F, положив ее значение w°F{y, т) = г. Огра- Ограничение формы u>e на каждом слое должно совпадать со значением ш°р. На прямом произведении pE*(Ui) = Ui xF с координатами (х, у) форма u>e должна иметь вид we = w°F + 0(x,y,dx), х=Ре(у)- A.56) Форму &(х, у, dx) в координатной окрестности точки (х, у) можно представить в виде в = 6ll(x,y)dxli, в^(х,у) - касательный век- вектор к слою в точке у € Е. Элемент алгебры Ли Q, совпадающий с &м(х,у) в в, определяет векторное поле т\ на слое F. Выберем значение этого поля в точке у : 0м(х,у) = г/(у),х = р(у)- Это и есть касательный вектор к слою в точке у. Формы diM по определению обращаются в нуль на любом векторе г, касательном к слою jP. Поэтому ограничение формы we на слой есть waF. Уравнение we = 0 задает горизонтальное направление К1* для точек х € Е в ассоциированном расслоении. Формула A.56) опре- определяет we инвариантно. Для расслоения, ассоциированного к главному расслоению Р С G = GL(n,R), формулы A.56) имеют простой явный вид. Пусть F - векторное пространство Rn и группа GL(n,R) действует в F линейно, тогда элементы ц алгебры Ли Ql(n, R) можно считать
Связность в расслоении 83 матрицами Av : Rn -+ Rn. Введем в Rn координаты ?'(г = 1,..., п); если Ап = (а'), то поле ^@ = т}% = а)^. Поле вц{х) имеет матричный вид: 0м(х) = FM(a:)J-) = 0J,7 - матрица, действующая в Л". Т.е. в векторном расслоении со слоем Rn связность задается локально матрицей в'^ (i,j = l,...,n)(/z = 1, ...,m, m = dim M) или матричнозначной формой в = 0J dxM. Для касательного расслоения ТМ коэффициенты 0J,-) совпа- совпадают с Fjp - символами Кристоффеля. Тем самым мы установили полную эквивалентность задания связности с помощью формы, параллельного переноса и ковари- антного дифференцирования вдоль пути. Пример 1.17 [105]. Вычислим связность еще в одном важном случае - в расслоении Штифеля - главном расслоении с группой O(q) Это расслоение является универсальным для расслоений со структурной группой O(q) (см. 2.6.4). Пусть R4+N - евклидово пространство. Выберем базис е' = (е„,...,е<[+п), 1 < а < q + N, такой, что матрица X = е* ортогональна; O(q + N) можно отождествить с пространством всех ортогональных реперов е? (или всех ортогональных матриц). Положим dea = авЬе6; A.57). тогда при а = (а„б) имеем а = dXX~1 = —а' (а* — транспонированная матрица). Как уже отмечалось в 1.2.2, многообразие Штифеля Vjv+»,» = O(N + q)/O(q) можно отождествить с многообразием всех ортонор- мальных g-реперов, а многообразие Грассмана Gpi+q,q = O(q + N)/O(N) x O(q) - с g-плоскостями, порожденными e\,...,eq. Ма- Матрицы as = (<*„*), 1 < а, Ь < N, определяют связность в расслое- нииг O(N) q > Действительно, эти формы определяют форму со значениями в ал- алгебре Ли O(N) Они определены на O(q + N), но получены из форм на O(q + N)/O(q), так как они инвариантны относительно Ad g, g 6 O(q). При умножении слева формы ад? преобразу- преобразуются по присоединенному представлению группы O(N) и, следо- следовательно, определяют связность в Vn+4i4. Аналогичной формулой задается связность и для комплексного расслоения
84 Подготовительный математический материал V VN+q, q 1.5.7. Кривизна линейной связности Получим явные формулы для кривизны линейной связности. Будем использовать два параллельных и эквивалентных подхода. Первый подход использует понятие ковариантной производной, а второй, двойственный к первому, - уже определенную 2-форму кривизны Ф. Начнем со второго подхода. Покажем, что форма кривизны ло- локально выражается в виде Ф = Ad(s^)i2u, A.58) где пи — ddu + \\вц,ви), а ви - форма на базе, определенная в A.54). Доказательство A.58) основано на следующей лемме. Леииа 1.1. Пусть в - (/-значная 1-форма на U € Mn,s € G, а а — s~xds - левоинвариантная (/-значная 1-форма на G. Тогда на d(Ad(s-l)e) =Ad(s-1)d$+ Доказательство этой леммы для матричнозначной формы а не- несложно: d(s~l6s) = ds~*es + s^dOs + s~r6ds = = Ad(s~l)de + a~x9s ¦ s'Us - s^dss'^s = = Ad(s-1)d6+ [Ad (в)*, а]. Читателю предоставляется доказать лемму в общем случае или по- посмотреть доказательство, например, в [105]. Применим оператор D к и> и используем лемму. Получим Ф = Dш = du + -[ш,ш]=zAd(s-^)fi|i. A.59) На пересечении двух областей базы Ц и V, как следует из A.51), A.59), формы Г2ц и Qv связаны соотношением A.60)
Связность в расслоении 85 Так как формы в определены на базе, то формы кривизны локально можно записать, учитывая A.58), в виде П = n^dx» Л cb", где п^ = дцв*- див» + [в„,в„], а в = в^х". Форма кривизны связности Ф определена непосредственно на главном расслоении Р. Фиксируем главное расслоение Pgl — (Р, GL{n, K)M). Можно было бы надеяться, что построение формы кривизны Ф линейной связности должно проходить по следующей схеме. Рассмотрим форму ш - линейную связность в ассоциирован- ассоциированном к Pgl расслоении Т*М. Применив оператор D к Q, получим форму кривизны Ф линейной связности. Однако непосредственно эту процедуру провести нельзя. Формы ш определены в Q L(n,R), имеющем размерность п2, а расслоение Т*М имеет размерность слоя F, равную п. Тем не менее мы получим структурные уравне- уравнения для форм, порожденных связностью, аналогичные A.45), введя дополнительную 1-форму в, принимающую значения в F ~ Rn. Зададим формы связности ш для расслоения Pgl в виде матрич- нозначной формы u>j со значениями в пространстве п х п матриц (алгебра Ли QL(n,R)). Введем 1-форму в = (б1,...,*?11)', прини- принимающую значения в множестве векторов-столбцов (n x 1)-матриц. Форма в определяется равенством р*(их) = в\их)щ, A.61) где их € Pr, Ui - репер {iti,...,un} в точке р(и) = х, в локальных координатах A.46): В1 = Zjdxi, где матрица Z) = (Y>) . Заметим, что форма в горизонтальна и, следовательно, не за- зависит от выбора связности. Форма в иногда называется формой смещения [13]. Форма в задает двойственную структуру на Р, на- называемую горизонтальным (или базисным) векторным полем А* на Р. Поле А* определяется как (единственное) горизонтальное поле на Р такое, что в(А*(Х)) = X в каждой точке пространства Р. Ба- Базис в пространстве горизонтальных полей образует поля А*, прини- принимающие на репере {Xi,...,Х„} значения, совпадающие с вектором Xi при "проектировании" рх на базу М". Поля А* очевидно зави- зависят от связности в Р. Фундаментальные векторные поля А} и горизонтальные поля А* образуют базис в касательном пространстве ТР. Аналогично формы u*j и вг образуют базис в Т*Р. При этом пары ш),А*
86 Подготовительный математический материал и в',А', образуют взаимно дополнительные пары в следующем смысле: wj(A't) = 0, если (i,j) ф A,к) и ш^(А)) = 1, wj(AJ) = 0,вк(А)) = О,0'(Лр = 6), А) действует на вектор fr € F : Л}?* = #*¦ С формой б связана важная характеристика расслоения репе- реперов и касательного расслоения - форма кручения Q. Определение 1.40. Формой кручения & данной линейной связно- связности называется 2-форма DO = d6{hX, hY). Форма кручения 0 задана на Р и принимает значение в слое F. Она обладает следующим, легко проверяемым свойством: Rge = 9-1е. Оно следует из аналогичного свойства для формы в. Форма 0 удо- удовлетворяет структурному уравнению сЮ(Х,?) = ±{ч,(?)-0(Х)-ш(Х)-в(?)} + в(Х,?), A.62) где ш • в - результат действия ш € Q на в € F. В компонентной записи уравнение A.62) записывается в виде A6* = -ш)Ав> +в\ где в = (в\...,впУ, в = (в\...,впу. Рассмотрим наряду с уравнением A.62) структурное уравнение для формы кривизны: du(X,Y) = ^{ш{Х) ¦ u(Y) -ш(Х) ¦ ш(Х)} + П. A.63) Здесь • означает матричное умножение. В компонентной записи оно выглядит так: <Ць = -и;]-л? + Я?. A.64) Доказательство этих соотношений состоит в проверке спра- справедливости формул A.62), A.63) в частных случаях: (X, Y) - гори- горизонтальные поля, (X,Y) - вертикальные поля, X - горизонтальное поле, a Y - вертикальное поле. Доказательства приведены в [40 т.1]. Покажем, что вертикальная компонента поля [У, Z], где Y,Z- горизонтальные поля, удовлетворяет соотношению
Связность в расслоении 87 u(v[Y, Z]) = -2Л(К, Z). A.65) Бели в постоянна на Y и Z, т.е. поля Y та. Z являются линейными комбинациями базисных полей А*, то 0([У,2]) = -2в(У,2). A.66) Доказательство. а) Формула A.65) немедленно следует из формулы Маурера - Картана и структурного уравнения A.63), которое в данном случае эквивалентно определению формы Q: 2du(Y, Z) = Y ¦ u(Z) - Z ¦ u(Y) - Ц[У, Z}), так как w(Y) = w(Z) = 0, то 2tb(Y, Z) = 2Q(Y, Z) = -w([y, Z\). б) Используя структурное уравнение A.62) и формулу Маурера - Картана, получаем 2d6(Y, Z) = -6([Y, Z\) = 20(У, Z). A.67) Сопоставим подход с помощью форм с классическим тензорным изложением. Напомним определение тензорного поля. Пусть F - векторное пространство над полем R, dim F = n, a F* - сопряжен- сопряженное пространство. Тензором типа (s, г) на F, s раз контравариан- тным, г раз ковариантным, называется полилинейное отображение F х F х ... х F х F* х ... х F*-> R. Множество всех тензоров (s,r) образует векторное пространство на R, обозначаемое Т*. Если каждой точке х многообразия Мп сопоставить тензор типа (s, г), определенный на TZM, то мы полу- получим тензорное поле на Мп. Будем обозначать тензорное поле типа (s,r) через t* С Г*. Определение гладкой структуры на простран- пространстве всех тензорных полей не представляет никаких затруднений. Тем самым множество тензорных полей превращается в гладкое расслоение над Мп. Важными частными случаями тензоров будут векторы - элементы пространства Гох, дифференциальные формы - элементы Т° и метрики - тензоры типа @,2) С Г2°. Покажем, что существует взаимно однозначное соответствие между 2-формами Q и Q на Р и тензорными полями кручения Т и кривизны R на базе М". Начнем со следующей леммы.
88 Подготовительный математический материал Лемма 1.2. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторных полей X на М" и множеством дифферен- дифференцируемых функций / на Р, принимающих значение в векторном пространстве F, таких, что /(" ¦ 9) = g^fiv), для любого ы € Р,д € G. Это соответствие устанавливается так: /(«) = «„(*), где X - лифт поля X относительно произвольной линейной связно- связности. Доказательство. Если X - лифт поля X, то по определению формы смещения в: т.е. f(u) = и~1-Хр^) - произвольная дифференцируемая функция. Свойство эквивалентности очевидно выполняется: вид ¦ (X) = (ug так как В.*(в) = д~х ¦ 6,RgX = X. Обратно, любая функция / : Р —» F порождает векторное поле X на М, если f(ug) = д~г/(и). Поле X определяется равенством Хх — и ' f(u) и не зависит от выбора точки и, если р(и) = х. Это соответствие взаимно однозначно D Аналогично лемме 1.2 мы сформулируем лемму 1.3, устанавли- устанавливающую соответствие между горизонтальными 1-формами а на Р и тензорными полями типа A,1) на базе М. Лемма 1.3. Существует взаимно однозначное соответствие между тензорными полями t\ на М и множеством эквивариантных 1-форм а на Р: R*a = g~l ¦ а для любого д ? G. Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы| 1.2. Заметим лишь, что форма а определяется как
Связность в расслоении 89 Форма в удовлетворяет условиям леммы 1.2. Соответствующее тензорное поле t\{X) = иви(Х) = и ¦ (и-'р{Х)) = X, т.е. t}(Jf) есть тензорное поле тождественных преобразований ка- касательного пространства в каждой точке многообразия М. По аналогии с леммами 1.2 и 1.3 сформулируем соответствую- соответствующее утверждение для горизонтальных эквивариантных 2-форм /3. Лемма 1.4. Существует взаимно однозначное соответствие между ^-формами на Р и тензорными полями t\ на М t\{X,Y) = -tl2{Y,X). A.68) Поле t\{X, Y) определяется как t\(X,Y) = u/3u(X,Y). Выберем в качестве формы /3 форму 20. Соответствующее поле t\(X, Y) = Т(Х, Y) называется полем тензора кручения. Лемма 1.5. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством тензорных полей t\ таких, что tl(X,Y) = -t\(Y,X), A.69) и множеством ?-значных горизонтальных 2-форм 7 на Р, удовле- удовлетворяющих условию Тензорное поле t\, определенное для любых 2-х векторных полей (X,Y) имеет тип A,1). Тензорное поле t\, соответствую- соответствующее 2-форме кривизны 2/2, называется полем тензора кривизны: RR(XY) R(YX) Покажем, что тензорные поля кручения Г и кривизны R опре- определяются с помощью операции ковариантного дифференцирования ^ как а) T(X,Y) = VXY-VYX-[X,Y}, A.70) б) R(X,Y) = VxVy-VyVx-Vix,y]- A-71)
90 Подготовительный математический материал Доказательство, а) Пусть X и Y - лифты векторных полей X и Y соответственно (УхУ)х = и{Хив{?)), р(и) = х. Заметим, что h[X, Y] = [X, Y]. Воспользуемся структурным ура- уравнением A.62) и определением Т(Х, Y): ТХ(Х, Y) = u- 2вп(Х, Y) = u-B <1в(Х, Y)) =. = и ¦ (xJ{Y) - ?„ • в(Х) - ви[Х, ?]) = = VxYx-VYXt-[X,Y]x. D б) Выберем произвольное векторное поле Z на М и рассмотрим функцию / = 9{Z). Так как то, применяя A.71) к полю Z, получаем ([Vx,Vy]Z - V[X(y1Z)i = и ¦ (xSf-Y^Xf - (h[XYU)) = u-(y[XY]u)-f. Выберем такой элемент А ? Q, для которого фундаментальное поле А„ = (y[X,Y]j . Согласно A.67) 2Q {X,Y) = -ши (v[X,Y)) = -A. Для окончания доказательства формулы A.71) остается вспомнить, что функция / = 6{Z) удовлепъофяеп условиям леммы 1.2 и следу- следующему свойству: Auf = -A ¦/(«), A.72) где левая часть есть результат применения касательного вектора Л„ к /, а правая часть - результат применения элемента А ? Q к /(и) € F. Действительно, пусть gt - однопараметрическая подгруппа в G, порожденная А. Тогда л./ - to Лч» - Я"> _ «"УМ - /М . Л/ Aя) to
Связность в расслоении 91 В локальных координатах точки х = (я',...,х") многообразия М компоненты тензоров кручения Т и кривизны R имеют следую- следующий вид: A-74) }т - Г]?Г1кт. Эти формулы легко следуют из A.70), A.71), если их расписать в базисе (<?,). Напишем теперь структурные уравнения A.62), A.63) в компо- компонентах тензоров Т и R. Зададим линейные формы u>j,0k и V С М" так, что <5j =<r.w}, 6k=<rJk, A.75) где Uj, вк определены на с. 85, а а - сечение в расслоении реперов Так как формы Q и & тензорные формы, то они могут быть выражены через 1-формы вк и функции T*t, R)^- Положим & = \т}к6^вк, r;k = -Tki A.76) О) = \ЩнвкАв\ Щы = -Ц1к. A.77) Формы /?!• и 0' сносятся на базу М" с помощью сечения <т: Щ = o.Q) и & = *,&'. Структурные уравнения Картана записываются в координатах wj-, вк на базе М" так: Si = -uijhP+e\ A.78) Щ = -пк Л пк + й{. A.79) Если выбрать локальные координаты в окрестности точки а; € У С Мп,х — (х1,.~,хп), и векторные поля Xi = di, то базис в' = dx\u>i = rjkdxk.
92 Подготовительный математический материал Уравнения A.78) записываются в виде & = п) Л V = Г}кс1хк Л dxj = \T)kdx> Л dxk, т.е., учитывая A.76), Tjk = Г}к — Гк^, аналогично из A.79) полу- получаем соотношение A.74) для R[jk. В общем случае для полей X{,Xj с соотношением [Xi,Xj] = ckjXk в формулах A.74) появляются дополнительные члены. Например, Т}к = Г'к - Г'к, - с)к. Нетрудно видеть, что пары: форма кривизны п и тензор кри- кривизны R, так же как форма кручения 0 и тензор кручения Г, полностью определяют друг друга. Несколько сложнее доказать, что кривизна и кручение определяют связность (см., например, [40 т.1]). Замечание 2.5. Интересно поставить следующий вопрос. Каков произвол в выборе связности в главном расслоении Р, если фикси- фиксирована форма кривизны Ф? Решение этой задачи подучено совсем недавно. Мы вернемся к этому вопросу в главе 6 F.1.1). 1.5.8. Связность и метрика Рассмотрим многообразие М, на котором задана метрика gik и связность Гк-. В общем случае связность и метрика являются раз- разными структурами, не связанными между собой. Однако существует важный класс связностей, согласованных с метрикой, - римановы связности. В этом пункте мы ограничимся изучением многообразий с ри- мановой метрикой gik- Напомним определение римановой метрики. Определение 1.41. Метрика <?ti называется римановой, если она задается положительно определенной симметрической квадратич- квадратичной формой gikdxldxk, где gik - тензор @, 2), det(<j) > 0. Риманова метрика порождает скалярное произведение (X, Y) в каждом касательном пространстве ТХМ, х € М;Х, Y С ТХМ. Риманова метрика существует на любом дифференцируемом многообразии со счетным базисом [82]. Наряду с положительно определенной римановой метрикой ин- интересно исследовать и пространства с псевдоримановой метрикой. В определении псевдоримановой метрики отброшено условие по- положительной определенности. Такова, например, метрика Минко- вского на Д4:
Связность в расслоении 93 ds2 = dt2 - {(dx1J + (dx2J + (dx3J}, или ее обобщение на пространство R": ds2 = ?(<и2 - Е (<*о2- »=1 |=н-1 Другим примером служит каноническая метрика на некомпакт- некомпактной полупростой группе Ли - метрика Киллинга. Пркмер 1.18. Метрика Киллинга на группе G. Пусть Q - алгебра Ли группы .G Для любых двух элементов X,Y e G определим форму (X,Y) = TV (ad Л" о ad Y). Форма {X, Y) называется формой Киллинга на Q. Очевидно, что (X, Y) - билинейная симметрическая форма на Q. Нетрудно проверить, что (X, Y) инвариантна относительно Ad G. Теорема Картана [90] дает критерий невырожденности формы Киллинга. Теорема 1.11. Форма (X, Y) не вырождена, если и только если алгебра Q полупроста. Пусть Q - полупростая алгебра. Реализуем Q как касательное пространство TeG в единице группы G. Зададим скалярное произ- произведение ge{X,Y) в TtG: д,(Х, Y) = (X, Y) = -Тг (ad X о ad Y), X, Y € Q . A.80) Скалярное произведение в произвольной точке х ? G опреде- определяется левыми сдвигами группы G: gt(X,Y) = (L,-xX,L,-xY). A.81) Метрика (,) - двусторонне инвариантная метрика на группе G. Левоинвариантность метрики следует из определения, а инвариан- инвариантность относительно правых сдвигов метрики {,) следует из инва- инвариантности формы Киллинга относительно присоединенного пред- представления Ad G. Действительно, требуется доказать, что дх (RXX,RXY) = ge (X,Y) для всех X,Y ? Q и х € G. Но {R,-xX,R,-iY) = {LxRx-rX,LxRx-iY), a LxRx-i = Ad х. Из инвариантности (X, Y) относительно Ad G и следует наше утверждение. Продифференцировав тождество (Ad(g)X,Ad(g)Y) = (X,Y): ±(Ad(g)X,Ad(g)Y ) =±(X,Y), dt t-0 dt
94 Подготовительный математический материал получим ((ad Z)X,Y) + (X, ad Z)Y) = 0, A.82) me Z = g(t)\t=0- Бели ограничиться классом компактных полупростых групп Ли, то в этом случае метрика Киллинга Будет положительно опре- определенной. Этот результат принадлежит Г.Вейлю [90]. Для группы О(п) это следует из явного вычисления —Тг (ad X о ad Y). В об- общем случае доказывается, что всякая компактная группа Ли содер- содержится в О(п) при подходящем выборе положительной инвариантной формы на пространстве V, где задано представление группы G. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать только ри- мановы метрики, хотя большинство результатов справедливо и в псевдоримановом случае. Определение 1.42. Линейная связность Vz называется согласо- согласованной с метрикой д, если параллельный перенос касательных век- векторов вдоль любой кривой на М сохраняет их скалярное произве- произведение. Если при этом тензор кручения Т = 0 (т.е. Гк- = Г^), то та- такая связность называется симметрической или связностью Леви - Чивита. Теорема 1.12 (Основная теорема рнманоаоМ геометрии). Симме- Симметрическая линейная связность, согласованная с римановой метри- метрикой, единственна. Доказательство теоремы имеется во всех книгах по дифферен- дифференциальной геометрии. Особо рекомендуем простое изложение в [52]. Приведем окончательное выражение для коэффициентов Крис- тоффеля F-j через метрику дне'. Fij = у (digjk + djgik — dkgij)g , где gkl - матрица, обратная к ды.
Связность в расслоении 95 1.5.9. Геодезические линии Существование линейной связности позволяет дать определение ге- геодезической (геодезической линии) на многообразии. Определение 1.43. Пусть xt,t ? (а,6) — оо < а,6 < оо - кривая класса С°° на М". Кривая х< называется геодезической, если век- векторное поле скорости X = it переносится параллельно по кривой, т.е. xt - геодезическая, если V\X = 0 для всех t ? (a, b). Если записать уравнение Vx-X = 0 в локальных координатах, то получится следующее классическое уравнение для геодезиче- геодезических: сРх" _ ^хЫх> dt2 ij dt dt Отметим, что определение геодезической существенно зависит от параметризации. Легко видеть, что допустимы лишь аффинные преобразования параметра t —* at+/3, оставляющие геодезическую инвариантной. Установим связь между геодезическими на многооб- многообразии М и кривыми в расслоенном пространстве реперов Р над М. Теорема 1.13. Проекция на М любой интегральной кривой стан- стандартного базисного поля, заданного на Р, является геодезической в М. Любая геодезическая в М может быть получена таким образом. Эта теорема показывает, в частности, что нахождение геодези- геодезической в М (уравнения 2-го порядка) может быть сведено к опре- определению векторного поля на Р, т.е. к решению системы уравнений первого порядка. Геодезические определены с точностью до аффинных преобра- преобразований параметра t. Естественный параметр t - "время" - назы- называется каноническим. Определение 1.44. Линейная связность на М называется полной, если любая геодезическая xt может быть продолжена на всю область изменения параметра t. Определение 1.45. Геодезическая -у : [а, Ь] —> М называется ми- минимальной, если она не длиннее никакого кусочно гладкого пути, соединяющего ее концы. Несложно показать, что каждый достаточно малый отрезок гео- геодезической минимален. Однако в целом геодезическая может и не
96 Подготовительный математический материал быть минимальной. Например, все дуги большого круга на сфере являются геодезическими, однако длина дуги большей irR, очеви- очевидно, не является минимальной. Минимальных геодезических, как показывает пример сферы, может быть бесконечно много. Однако можно доказать, что две точки, лежащие на одной малой окрестно- окрестности, соединяются единственной минимальной геодезической. Если ввести расстояние между двумя точками р(р,q), p,q Е М, как точную нижнюю грань длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих р и q, то пространство М становится метрическим пространством. Важная теорема, принадлежащая Хопфу и Ринову [13], утверждает, что геодезическая полнота многообразия М экви- эквивалентна его метрической полноте (т.е. каждая фундаментальная последовательность точек в М сходится). Тривиальными примерами полных пространств служат R'1, псе- вдориманово пространство Минковского М4, сферы 5". Из красивой теории геодезических на многообразиях я выберу лишь два результата, существенные для дальнейшего изложения. Первый из них связан с широко известным свойством геодезической как кратчайшей линии между двумя точками. Второй - с опреде- определением геодезических на группах Ли. Будем предполагать, что многообразие М риманово. Длину век- вектора v ? ТМХ обозначим через |и| = {v,vM. Для пути 7 из точки а в Ь, а, Ь € М, определим действие пути -у от а до Ь как dt. Действие 5 является функцией на пространстве Q(p, q, M) всех кусочно-гладких путей f, соединяющих а с Ь. Предложение 1.13. (Принцип наименьшею действия). Пусть М - полное пространство и расстояние р(р, q) = d. Тогда функция действия 5 : П(р, q, М) —> R достигает минимума = d2 в точности на множестве минимальных геодезических, соединяющих р с q. Геодезические на группе Ли могут быть определены как одно- параметрические траектории на G. Для групп Ли это определение и определение 1.43 совпадают. Докажем более общее утверждение. Теорема 1.14. Однопараметрические подгруппы g(t) группы Ли G, и только они, являются геодезическими на G. Существует един- единственная связность, согласованная с римановой метрикой на группе G - метрикой Киллинга (,). Подгруппы g(t) - геодезические в ме- метрике (,).
Связность в расслоении 97 Доказательство. Будем рассматривать группы Ли G с двусто- ронне инвариантной метрикой. Пусть X, Y - левоинвариантные векторные поля на G. Построим связность на G, согласованную с метрикой. Заметим, что VXX = 0 для любого левоинвариантного поля X на G, так как интегральные кривые поля являются сдви- сдвигами однопараметрических групп и, следовательно, геодезическим. Отсюда Y) = VX+YX = VYX + VXY = 0, С другой стороны T(X,Y) = VXY - VyX = 0, откуда VyX + [X, Y], т.е. связность VXY на С, согласованная с метрикой, имеет вид VxY=l-[X,Y]=l-LYX. Здесь Ly - производная Ли. Отсюда немедленно следует, что однопараметрические группы на G, порожденные полем X : g(i) = exp(tJf) являются геодезиче- геодезическими: Так как из единицы группы G можно выпустить однопараметриче- скую кривую, то из локального совпадения геодезической и одно- параметрической групп, в силу теоремы единственности, следует, что геодезическая является однопараметрической подгруппой в G. U Замечание 1.6 При доказательстве теоремы мы неявно использо- использовали метрику Киллинга. Покажем, что связность VXY = |[-Y, Y] согласована с метрикой Киллинга (X,Y) = —Тг (ad А" о ad У), т.е. дх (Y,Z) = (VXY,Z) + (Y,VXZ), или dx(Y,Z) = {±[X,nZ) + (Y,±[X,Z]). A.83) Так как (Y,Z) инвариантно при сдвигах по кривой, то дХ (Y,Z) = 0. Докажем, что и правая часть A.83) равна нулю.
98 Подготовительный математический материал Это следует из соотношения ((ad X)Y,Z) = —(У,ad X)Z), так как ad X - линейный оператор, кососимметрический относительно метрики Киллинга. Перейдем к последнему пункту краткого дайджеста по диффе- дифференциальной геометрии - группе голономии. 1.5.10. Группа голономии Как мы знаем, существование связности в главном расслоении Р позволяет ввести понятие параллельного переноса слоя вдоль кри- кривой xt € М. Выберем некоторую фиксированную точку х0 в базе М и рассмотрим все замкнутые пути ?j(t), начинающиеся и конча- кончающиеся в xq. Будем называть такие пути петлями с базисной точкой хо- Рассмотрим множество С(х) всех таких кривых. В множестве С(х) естественно определена операция умножения (композиция) двух кривых. Произведением двух петель xi и x<i будет петля хз, по- полученная последовательным прохождением петель xi и х2. Обрат- Обратный элемент определяется очевидным образом, движением по пе- петле в противоположном направлении. Параллельный перенос слоя р~1 (х) вдоль петли х-[ индуцирует изоморфизм слоя на себя, т.е. су- существует элемент д € G такой, что Xq = #xj, где xj,x§ - элементы слоя р~г(хо). Определение 1.46. Множество всех изоморфизмов Н слоя р~г(х0) на себя образует группу - группу голономии связности и> на Р. Как легко видеть, группа голономии есть естественное обоб- обобщение группы монодромии векторного поля (дифференциального уравнения). Определение 1.47. Подгруппа Я0 группы голономии Н, поро- порожденная петлями, гомотопными нулю, 3 называется суженной груп- группой голономии. Группа голономии Н естественно вкладывается как подгруппа в структурную группу расслоения G. Действительно, будем считать две точки и и и\ эквивалентными u ~ и\, если их можно соеди- соединить горизонтальной кривой. Тогда группа Н(и) (с фиксирован- фиксированной базисной точкой и) совпадает с множеством таких элементов g € G, что и ~ ди. Так как ди ~ дщ, если и ~ и\ для любых и,щ € Р, д € G, то Н(и) образует подгруппу в G. Можно показать, что для широкого класса многообразий М группы Н,Н° являются группами Ли. Доказательство см., напри- например, в [40 т.1]. 3 Определение гомотопии дано в §2.1.
Связность в расслоении 99 Важность изучения группы голономии расслоений со связно- связностью определяется несколькими обстоятельствами. Во-первых, существование определенной группы голономии по- позволяет редуцировать связности с более широкой структурной группой к более узкой группе и тем самым получать информа- информацию и существовании (или несуществовании) таких дополнитель- дополнительных структур в расслоении или базе, как метрика, спинорная, ком- комплексная и др. структуры. Во-вторых, знание группы голономии позволяет (по аналогии с группой монодромии) глобализовать некоторые локальные свойства многообразий. На этом пути Эли Картан впервые получил класси- классификацию глобально симметрических пространств [100]. Одна из основных теорем, связанных с понятием голономии, принадлежит Амброузу и Сингеру [40 т.1]. Теорема 1.15. Пусть (Р, G, М) - главное расслоение. Пусть ш - связность на Р, а П - форма кривизны связности ш. Алгебра Ли И группы голономии Н совпадает с подпространством V С Q, по- порожденным всеми элементами f2v(X, Y), где v €Е Р, X, Y - произ- произвольные горизонтальные векторы в точке v. Определим линейную группу голономии HL(M) многообразия М как группу голономии касательного расслоения ТМ. Из теоремы 1.15 как простое следствие получаем характери- характеристику плоских многообразий. Многообразие М - плоское, если его линейная группа голономии дискретна. Для компактных многооб- многообразий можно доказать более точное утверждение. Предложение 1.14. Компактное связное риманово многообра- многообразие М является плоским тогда и только тогда, когда группа НЦМ) конечна. Интересно заметить, что согласно теореме Ауслендера - Кура- ниши [23] каждая конечная группа может быть группой голономии компактного плоского многообразия. Этим результатом мы заканчиваем краткое ознакомление со свойствами групп голономии. Приложение групп голономии в те- теории поля (задача о существовании глобальной калибровки) будет дано в 6.1.2.
Глава II. Элементы топологии. Как различить два заданных многообразия? В этой главе мы кратко изложим две топологические теории - тео- теорию гомотопий и теорию гомологии, позволяющие в принципе ре- решить эту фундаментальную задачу. Основной прием состоит в построении системы инвариантов ал- алгебраической и аналитической природы, которые можно вычислить, следуя определенным рецептам. Два многообразия М\ и Mi него- меоморфны (недиффеоморфны) друг другу, если хотя бы один из инвариантов принимает различные значения на М\ и Мг • Инвари- Инварианты могут быть дискретными или непрерывными. С простейшими из них, например, размерностью или ориентацией многообразия, мы уже встречались. Гомотопические и гомологические методы соотносятся между собой, если воспользоваться физической аналогией, приблизитель- приблизительно так же, как два способа изучения электрических полей - вне- внешний и внутренний. Например, распределение поля заряженного шара можно определить как из взаимодействия с известным проб- пробным (эталонным) телом, так и независимо, изучая структуру (поле) самого шара. Аналогом первого из этих методов служит теория гомотопий, а второго - теория гомологии. Между двумя теориями существуют различные нетривиальные соотношения. §2.1. Теория гомотопий Теория гомотопий моделирует первый из методов: изучение много- многообразий с помощью внесения (отображения) в него пробного тела. Роль пробного тела играет n-мерная сфера. Перейдем к точным формулировкам. Возьмем единичный n-мерный куб 1п со стянутой в точку грани- границей dln = Uln~l (здесь 1п~1 - п — 1-мерные грани куба) - получим
Теория гомотопий 101 единичную n-мерную сферу 5". Рассмотрим все отображения Sn в многообразии Мк. Множество всех отображений 5" в Мк образует бесконечно- бесконечномерную группу, по существу мало связанную со структурой Мк. Совершенно другое значение приобретает множество классов гомо- топически эквивалентных отображений. Понятие гомотопий интуитивно можно представлять в одномер- одномерном случае следующим наглядным образом. Возьмем две резино- резиновые нити, закрепленные в двух точках и расположенные на какой- нибудь области, например на квадрате. Говорят, что две кривые - "нити" - гомотопны друг другу, если одну из них можно перетянуть в другую. Легко видеть, что на множестве гомотопных друг другу кривых можно ввести соотношение эквивалентности. Если заменить "рези- "резиновые нити" на "пленки" - образы n-куба и вместо перетягивания нитей говорить о перетягивании пленок, то мы получим гомотопию n-мерных объектов. 2.1.1. Гомотопические группы Определение 2.1. Пусть Мп - связное многообразие. Два ото- отображение /i и /г: I" —> Мп называются гомотопными друг другу (/i ~ /г)> если существует непрерывное отображение т: I" x /, такое, что т(/",0) = fi(x), т(/п,1) = /г(а;), х € 1П (собственно в определении гомотопий куб I" можно заменить на любое топологи- топологическое пространство Nk и говорить о гомотопий двух отображений пространства Nk в Мп). Очевидно, что отношение гомотопий яв- является отношением эквивалентности. Определим важное понятие гомотопической группы. Для этого надо определить на множестве гомотопически экви- эквивалентных отображений Sn —> Mk групповую операцию сложения (умножения) любых двух элементов, единичный элемент и обрат- обратных элемент. Определение 2.2. Множество гомотопически эквивалентных ото- отображений f: Sn —* Mk, снабженное групповой операцией, назы- называется n-мерной гомотопической группой и обозначается символом тг„(М*), а класс, содержащий отображение f, - символом {/}. 1. Единичный элемент. Единичным элементом е группы тг„(М) будет класс отображений в фиксированную точку х € М. Этот элемент будем обозначать нулем для п > 2, если считать групповой операцией сложение.
102 Элементы топологии... 2. Операция сложения. Определим операцию сложения для двух представителей классов {/i} и {/г}: (Л +Л)(*) = /1B*ь*2,..,*„), если*, € [0,1/2]; (/i + /г)(*) = /2B*1 - 1,*2, ..,*»), если*2 € [1/2,1]; где t = (ti,..,tn) - произвольная точка куба. Геометрически это определение означает, что мы делим куб на два множества t\ € [0,1/2], t\ € [1/2,1] и проходим сначала образ отображения /i, растягивая отрезок [0,1/2] в [0,1], а затем образ отображения /г- Подразумевается, что рассматриваются отображе- отображения с фиксированной точкой, т.е. /<@) = х, х G М для всех f{. Легко видеть, что гомотопический класс {/, +/г } зависит только от классов {/i} и {/г}, и поэтому формула определяет в множестве тг„(М) сложение. 3- Обратный элемент {/}-1. Обратным элементом к отображе- отображению / будет отображение Г1 =/A-*,,*2, ..,*„). Все свойства группы проверяются достаточно просто. Чуть слож- сложнее доказывается коммутативность тг„(М) при п > 2 (см. стр. 102). Покажем, например, что нуль группы я"„ обладает определяющим свойством {/} + {0} = {/}• Достаточно построить гомотопию, переводящую отображение / + 0 в /. Отобразим отрезок [0,1/2] в [0,1], а отрезок [1/2,1] в точку и зададим отображение / + 0 формулами , , n f/B*i,..,*„), <><*,< 1/2, /+U \0B*1-1, ..,*„), 1/2 <*, < 1, так как отображение 0 стягивается в точку, то отображение / + 0 ~ 4. Ассоциативность: {Fi{F2,F3}} = {{FUF2}F3}. Прежде чем переходить к изучению свойств гомотопических групп, сделаем два замечания. Замечание 2.1. При определении гомотопических групп с по- помощью отображения n-мерного куба со стянутой в точку границей
Теория гомотетий 103 в образе возникает некоторая фиксированная точка хо- Поэтому часто обозначают гомотопическую группу как тгп(М, х0). Легко показать, что гомотопические группы связных пространств с раз- различными отмеченными точками изоморфны. Доказательство. Пусть тг„(М,хо) и тгп(М,х\) - две n-мерные го- гомотопические группы с различными отмеченными точками х0 и х\. Так как пространство М связно, то точки хо я х\ можно соединить путем 7- Поставим в соответствие каждому элементу / группы тг„(М, xq ) элемент j ¦ f € пп(М,ху). Этим и устанавливается искомый изо- изоморфизм. Отображение 7/т является автоморфизмом группы тг„(М, хо) на себя. D В дальнейшем будем опускать базисную точку при написании группы тгп(М, хо) за исключением случаев ее явного использова- использования. Замечание 2.2. Первая гомотопическая группа пг(М) - группа классов гомотопически эквивалентных путей или петель. Она на- называется фундаментальной группой или группой Пуанкаре. Мы будем иногда пользоваться первым названием. Второе также упо- употребляется в математической литературе, но в книге, адресован- адресованной физикам, может вызвать путаницу. В физике, как известно, группой Пуанкаре называется полная группа движений четырех- четырехмерного пространства-времени - пространства Минковского. Основные свойства гомотопических групп: 1. тг„(М) при п > 2 коммутативна. Доказательство. Пусть /i и /г - два отображения sn —> М и точка so —» хо принадлежит экватору 5п~г С 5n = EZo(*'J = -0- Докажем, что произведение отображений /i -/г гомотопно /2 -/i • Определим отображение f\ на верхней полусфере D+: t° > 0, а /2 - на нижней: D~: t° < 0. Выберем точку so с координатами t° = 0, i1 = 1, t2 = ... = t" — 0 и рассмотрим отображение у», переводящее верхнюю полусферу в нижнюю. Это отображение получается вращением 5" на угол тг вокруг ортогонального дополнения к плоскости (t° = 0). Рассмотрим гомотопию /i • /2'fit, где <pt - повороты на углы 0 ^ У> ^ ""• При t — 0 мы получим отображение f\ • /2, а при t = 1 получим /г/i. Так как при этой гомотопии точка s0 остается неподвижной, то класс отображения {/i • /2} гомотопен {/г • /i} • D Фундаментальная группа я-](М) не обязана быть коммутати- коммутативной. Например, ?ri(M2) (где М2 - двумерная поверхность рода д > 1) - некоммутативная группа и имеет следующую структуру.
104 Элементы топологии... Пусть <zi,..,а„, &!,..,Ь„, п = 2д, - образующие группы Г с со- соотношением a1h...agbga;l1b;l,...a^b^ = 1. B.1) Можно показать, что группа Г с 4д элементами и одним соотноше- соотношением B.1) будет фундаментальной группой двумерной поверхно- поверхности. Эта группа при д > 1 не коммутативна [49]. 2. tti(M, хо) коммутативна, если М - группа Ли G. Очевидно, что достаточно рассмотреть группу tti(G, e), где е - единица группы. Определим умножение в wi(G, е) в случае топо- топологической группы: где /i -/2 - групповое умножение в G. Обозначим через Horn (M, N) множество всех непрерывных отображений топологического про- пространства М в топологическое пространство N. Справедливо сле- следующее утверждение. Предложение 2.1. Для любых отображений f\ и /2 из Hom(M, N) отображение f\ * /2 гомотопно в Hom(M, N) отобра- отображению /i х /2. Этот результат справедлив, в частности, для ото- отображений S1 -> М, S" -* М. Пусть с - петля с началом в точке е € G. Рассмотрим индуци- индуцированное отображение с&. с*: T1(G,e)-*ir1{G,e) где с*7 7\ 7(,) Докажем, что автоморфизм группы 7Ti(G,e), индуцированный петлей с, тождественный. Для этого достаточно доказать, что путь cfc~l гомотопен у. Этот результат автоматически следует из сле- следующей леммы. Лемма 2.1. Пусть с - путь в G, соединяющей е и д, д € G. Тогда изоморфизм с*: 7rn(G,e) = 7rn(G,fl), где действие ttj на тг„ есть d^f = С7С1, 7 G ""n(G, e), совпа- совпадает и изоморфизмом, индуцированным левым или правым сдвигом группы G на д.
Теория гомотопий 105 .Из леммы 2.1 следует, что действие ж\ на себя, задаваемое вну- внутренними автоморфизмами, тривиально, т.е. сус~1 ~ у и, следова- следовательно, су = ус. Из нее следует также, что для топологических групп действие фундаментальной группы ж\ на тг„ тривиально. Для произвольных многообразий это уже не так. Действие фун- фундаментальных групп на высшие гомотопические группы мы рас- рассмотрим в 2.1.5. 3. Гомотопические группы прямых произведений 7Tj(Mi X М2) = TTi(Ml) + 7Ti(M2). Доказательство простое и оставляется читателю. Основным приемом при вычислении гомотопических групп яв- является следующая конструкция: представляем исследуемое про- пространство в виде произведения, естественно не обязательно пря- прямого, двух других пространств, гомотопические группы которых нам известны, и с помощью алгебраических соотношений между этими группами находим гомотопическую группу более сложного пространства. Соответствующим алгебраическим аппаратом служат точные последовательно сти. Алгебраическое отступление. Точные последователшосш групп. Пусть А\ и А^ - абстрактные группы и ц>\ - гомоморфизм' группы А\ в Л2. Ядром гомоморфизма А\ -^l Ai называется мно- множество элементов {х} € А\ таких, что при гомоморфизме ц>\ они отображаются в нуль группы Ai (мы пользуемся аддитивной тер- терминологией). Ядро гомоморфизма у является группой и обозна- обозначается как kery. Образом гомоморфизма ц>: А\ —> А?, называется множество элементов {у} € А2 таких, что {у} = {(р(А\)}. Этот об- образ обозначается так lm у. Понятие образа и ядра формулируется для любых групп. Теперь определим понятие точной последовательности групп. Аналогичное понятие справедливо и для векторных пространств. Определеппе 2.3. Пусть задано множество групп А{ и отображе- отображений ifi: Ai —> Ai+\. Последовательность групп называется точкой в членах Ai, Л;+1, Ai+2'. если ker ?>,-+i = На языке точных последовательностей можно сформулировать ряд свойств групп и отображений:
106 Элементы топологии... а) 0 -» А -» 0. Точность этой последовательности, очевидно, означает, что группа А равна 0. б) 0 -> А -> В -» 0. Упражнение 2.1. Показать, что точность этой последовательности эквивалентна условию изоморфизма групп А к В. в) 0 -+ А -»J3 -» С -» 0. B.2) Докажите, что точность последовательности B.2) означает, что с « В/1т(Л). Вычисления с точными последовательностями ока- оказываются полезными, так как, зная часть членов точной последова- последовательности, мы зачастую можем сделать заключение и о других ее членах. Замечание 2.3. Надо помнить, что в определение точной после- последовательности входят свойства не только групп, но и отображений. Пусть задана последовательность групп 0 -> Z2 -»• В -» Z2 -> 0. Что можно сказать, предполагая, что эта последовательность точ- точна? Легко видеть, что существует по крайней мере две, если огра- ограничиться коммутативными группами, точные последовательности 0 -»• Z2 -> Z* -»• Zi -»• 0, B.3) 0 _> Z-г -+ Z2 4- Z2 -»• Zi -»• 0. Поэтому для получения правильных ответов надо знать структуру не только соседних групп, но и соответствующих отображений. Упражнение 2.2. Рассмотрите группы всех целых чисел Z и всех четных чисел 1Z. Очевидно, что существует гомоморфизм <р: Z -> 2Z. Ядро этого гомоморфизма ker у> & Z2. Таким образом, группы Z и 2Z можно включить в точную по- последовательность: (группа 2Z также изоморфна группе Z). С другой стороны, можно построить точную последовательность
Теория гомотопий 107 Отображение у> будет отображением проектирования на первый сомножитель группы Z + Z2, a i есть вложение группы Z% в группу Z Z 2.1.2. Гомотопические группы расслоенных пространств Нам понадобится одно дополнительное свойство расслоений. Предложен ве 2.2. Пусть р: Е —> В - расслоение со слоем F = р~г(Ь), X - топологическое пространство и /о: X —> Е - отобра- отображение, а до = р/о : X —* В - его проекция. Пусть до X —» В, t € [0,1] - гомотопия, начинающаяся в ^о- Тогда существует го- мотопия ft'. X —¦» Е, начинающаяся в /о и накрывающая до, т.е. pft = 9t- Доказательство см. в [82]. Это важное свойство расслоений, определенных в 1.4.1, назы- называется леммой о накрывающей гомотопий. Если заменить условие локальной тривиальности расслоений условием леммы о накрываю- накрывающей гомотопий, то соответствующий класс расслоений называется расслоениями Серра. Расслоения в смысле Серра являются, во- вообще говоря, более широким классом расслоений (например, они могут иметь негомеоморфные слои), но для "хороших" пространств X (например, полиэдров) эти понятия совпадают. Точные условия, налагаемые на топологию пространств X, см. в [82]. Основным результатом этого пункта будет доказательство сле- следующего предложения. Теорема 2.1. Последовательность гомотопических групп ->nk(F)hnk(E)birk(B)^irk-1(F)^...^7r0(B) B.4) точна. Начнем с определения отображений. Отображение г» определяется как индуцированное отображе- отображением вложения г слоя F в расслоенное пространство Е.* Отображе- Отображение р» индуцируется отображением проектирования р-пространст- ва расслоения Е —> В. Менее тривиально определение оператора 9 4 Отображение f:A—*B индуцирует отображение /»: »тц(Л) —> тг^(В), т.е. отображение д: Sk —» А =*• gi = f ¦ д: Sk —> В.
108 Элементы топологии... д.: Этот оператор называется граничным. Граничный оператор д. Пусть /* есть ^-мерный единичный куб и /: 1к —> В. Рассмо- Рассмотрим фиксированную грань I*. Граница куба dlk = Ik~l U J*"'" (здесь Jk~1 - объединение всех остальных граней куба). Рассмо- Рассмотрим границу dlk~l = Ik~l Л Jk~x. Покажем, что каждому отобра- отображению f:Ik—*B такому, что /: д1к —> Ьо € В можно сопоставить отображение д: 1к~1 —> F = р~1(Ь0) такое, что g: dlk~1 —> ео, (ео - отмеченная точка в .F, Ьо = р(^о))- Если перейти к соответ- соответствующим гомотопическим классам, то мы и получим требуемое отображение. Для доказательства нам понадобится лемма. Лемма 2.2. Пусть р: Е —> В - расслоение, е0 € Е, Ьо € В - отмеченные точки, причем р(ео) = Ьо и отображение /: 1к —* В переводит 5/* в Ьо. 7* - fc-мерная фиксированная грань. Существует отображение /: /* —> Е, накрывающее /, т.е. pf = f такое, что f/dlk \ 1к~1 = е0. dlk\lk" Рис. 3. Определение гоиотопии /,. Жирной линией обозначена часть границы куба /* (здесь к = 2) Ык 1к~1 Заметим, что из определения расслоения (в смысле Серра) сразу же следует, что f/dlk С p~l(b0) = F.
Теория гомотопий 109 Доказательство. Отображение f: Ik —* В определим как гомото- пию ft, определенную на Ik~l, заполняющих /* (рис. 3) так, что /о: dlk \ Ik~l —» bo, a f\ : /fc-1 —> Ьо- Накроем эту гомотопию с помощью /t, /о: dlk \ 1к~г —> е0. Гомотопию ft отождествим с искомым отображением /. Так как д/*-1 = J* П J*, то при отображении /: д1к~г -> е0. D Таким образом, каждому отображению д: 1к —> В с отображе- отображением границы 5/fc в точку5 мы можем сопоставить гомотопию /: 1к~1 —> F с отображением границы в точку. Переходя теперь к классам эквивалентности гомотопных друг другу отображений мы и получим гомоморфизм Перейдем к доказательству точности последовательности B.4). Доказательство разбивается на несколько этапов. 1. Imi» = kerp». Доказательство этого равенства тривиально. 2. kerc?» — Imp». а) kerd* D Imp». Множество Imp» состоит из fc-мерных "сфе- "сфероидов" в В, полученных из сфероидов в Е при проектировании (т.е. слой F отображается в точку Ьо € В), а множество кегЭ» со- состоит из к — 1-мерных сфероидов, стягиваемых в F в точку. Из конструкции оператора д* следует, что kerd» Э Imp». б) Для доказательства обратного включения надо доказать, что сфероиды в В, стягиваемые в F в точку, содержатся в множестве, получающемся из сфероидов в Е при проектировании р: Е —> В, что очевидно. 3. кегг» = Imd». Доказательство. 1. Покажем, что кегг» Э Imd», т.е. если da € TTk-i(F), то i»(da) ~ 0. Действительно, из определения операции д следует, что отображению /: 1к —» В из Як{В,Ьо) можно сопоставить ото- отображение g: I* —> F — р~г(Ьо) такое, что д : 1к~1 перейдет в отмеченную точку ео, р(ео) = Ьо. Ясно, что при отображении г соответствующей гомотопией элемент д будет стянут по Е в точку е0. 2. Обратно, пусть а ? кегг», т.е. является элементом irk-i(F), который может быть стянут в точку в расслоении Е. Фиксируя точку ео и обратив рассуждение предыдущего пункта, мы видим, что элемент а ~ 0C, где /? ? Як(В). D 5 lmg называется fc-мерным сфероидом в В, так как д отображает S* —г В.
110 Элементы топологии... Замечание 2.4. Если пространство В связно, то по(В) равно нулю (одна компонента связности) и точная последовательность B.4) за- заканчивается нулем (напоминаем, что мы пользуемся аддитивной записью). Используя свойства точных последовательностей и зная гомото- гомотопические группы простейших пространств, можно вычислить гомо- гомотопические группы значительно более сложных и интересных объ- объектов. Пример 2.1. 1. Гомотопические группы тг*(г > 1) накрывающего простран- пространства М совпадают с гомотопическими группами самого простран- пространства М. Доказательство. По определению накрывающего пространства М = М/Г, где Г - дискретная группа, действующая на М. Так ~ г как тройка М —* М является расслоением, то из точной последова- последовательности тг,-(Г) -+ щ{М) -+ *i(M) -> ъ-1(Г) получаем 7Г,(М) = Ж{(М) для i > 1, так как я^(.Г) = 0 при г > 0. 2. 7TjE1). Универсальным накрывающем пространством для 51 будет R1, следовательно, ^E2) = 0 при г > 1. 3. 7Г;(М2), М2 - двумерная ориентируемая поверхность рода д > 1. Так как накрывающим пространством для двумерного ори- ориентируемого многообразия (универсальной накрывающей) будет плоскость, то отсюда следует, что тг*(М2) = 0 при i > 1. 4. Неориентируемая поверхность рода д > 1, JV* Неориентиру- емые поверхности двулистно накрываются соответствующими ори- ориентируемыми поверхностями - дублями веориентируемых повер- поверхностей (см. соответствующую конструкцию в примере 2.16 и [55]). Таким образом, поверхность N2 ~ M%+1/Z2- Из этого представле- представления следует, что щ(^) = 0 при г > 1, iri(A^2) = tti(M9+i) + Z2- 5. xiE1). Вычисление фундаментальной группы окружности требует непосредственных рассуждений. Покажем, что ttiE1)=Z. Действительно, рассмотрим отобра- отображения /: S1 —у S1 вида zn. Мы реализуем обе окружности как множества комплексных чисел {z; \z\ = 1}, очевидно, что ответ не зависит от представления окружности. Докажем, что два отобра- отображения /i и /2 с различными степенями п\ и пг не гомотопны. Для этого достаточно доказать, что степень отображения /: deg/ = п, является топологическим инвариантом. Оставляя до §2.5 деталь- детальное обсуждение понятия степени отображения, мы воспользуемся
Теория гомотопий 111 хорошо известным определением степени отображения окружности как индекса аналитической функции: Два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы. Таким образом группа ¦k\(S1) = Z. 6. iri(Tn), фундаментальная группа тора равна 7. TTi(Sn) = 0 при г < п. 8. жг(Т\М2) и tti(Ti./V2), где 7W2, TXN2 - многообразие еди- единичных касательных векторов к поверхности М2, N2 (М2 - ори- ориентируемая поверхность, Лг2 - неориентируемая). 9. Букет сфер. Пусть 5f и 5| - две сферы размерности р и q соответственно. Фиксируем в сфере 5j точку sq и в сфере S% точку 5j. Рассмотрим формальное объединение двух сфер 5{" и 5|, отождествив (склеив) две точки «о и «i. Получим новый топологи- топологический объект, называемый букетом двух сфер 5{" и 5|- Общепри- Общепринятое обозначение для букета S\° V 5|. Очевидно, что совершенно аналогично можно определить букет п сфер: Sf V S\* V ... V SJJ", а также вообще букет п топологических пространств: Хх V Х2 V ... V Хп. Букет пространств можно отождествить с подпространством прямого произведения следующим образом. Возьмем для простоты два пространства X и У. Тогда букет X V У отождествляется с подпространством (X х уо) U (У х х0) прямого произведения X х У посредством отображения fc : (X V У, и0) —> (X х У, w0), uo - точка из X V У, полученная отождествлением хо и уо, и>о = (хо,Уо), к определено по формуле *(«) = Легко видеть, что iri(Sf V S|) = Z * Z при р = q = 1, при p,5 > 1 7nEf V S42) = 0. При p = 1, q = 0, ni(S\ V S?) = Z. Здесь * обозначает свободное произведение групп Z * Z.
112 Элементы топологии... Упражнение 2.3. ¦ 1. Доказать, что irnEf V 5|) = i"n(ST) + *n(Sl) для любого n < p + q — 1. 2.6 Для п > 1 irn(X V У, ио) = тг„(Х, х0) + тг„(У, Уо) + тг„+1 (X х Y,XVY,v>0). Конструкция букетов пространств имеет важные приложения в топологии. Нам она вскоре понадобится при определении произве- произведения Уайтхеда. 2.1.3. Относительные гомотопические группы Гомотопические инварианты многообразий можно ввести и в слу- случае многообразий с краем. Соответствующими инвариантами будут относительные гомотопические группы тг;(М,дМ,х0). Идея опре- определения Ж{(М,дМ,хо) проста. Будем изучать отображения, гомо- гомотопные друг другу с точностью до элементов границы многообра- многообразия. Рассмотрим несколько более общее определение, удобное не только для многообразий с краем. Определение 2.4. Пусть М - топологическое пространство, А - подмножество в М, а хо - отмеченная точка. Элементы a ? Ki(M,A,xo) - классы эквивалентности гомотопных отображений D' —» М, при которых граница dDx = S" —> А, а выбран-' ная точка s0 —> х0, s0 € S1. Это определение эквивалентно следующему: рассмотрим отображение f: Iх —> М с отмеченной точкой х0 и отображающее дГ —> х0. Пусть f - ограничение на Г'1 отображения f. Так как дГ~* = Г'1 П J'~l и при ото- отображении f: dV~x переходит в ту же точку х0, то отображение f: P~l —> А. Таким образом, имеем множество отображений ?: (P,P~1,so) —¦ (М, A,xq). Множество гомотопических классов та- таких отображений, 7Г,(М, А, хо), при г > 2 является группой. Перечислим основные свойства относительных гомотопических групп. I) тг;(М, А,хо) при г > 2 - коммутативная группа, Ж2(М, А,х0) может быть некоммутативна (например, она может быть изоморфна абсолютной фундаментальной группе Ж\(М,х0)). * Доказательство аналогично случаю абсолютных групп и оста- оставляется читателю. II) 1Г,(М, А, х0) при А —» хо совпадают с абсолютными гомото- гомотопическими группами. Доказательство очевидно. 6 Определение относительной гомотопической группы тгп^1 дано в B.1.3).
Теория гомотетий 113 III) При непрерывных отображениях многообразий м n А n Хо -» ЛГ П -» J3. п -» Уо Получаются естественные отображения гомотопических групп /„ : щ(М,А,х0) -> m(N,B,y0), где [?>' -» Af-^AT]. Эти гомоморфизмы не меняются при гомотопиях отображения /. при которых А —> В, хо —* Уо- Для относительных гомотопических групп можно определить граничный оператор 9»: Так как каждое отображение /:?)'—> М определяет отображение /': 51 = 9D1 —» Л, поставим в соответствие / —> /'|92Э\ При гомотопиях отображения / в классе a G 7Г,(М, Л,хо) отображение границы меняется в классе 7Tj_i(A,хо). Легко проверить, что ото- отображение д* является гомоморфизмом (при t > 1), т.е. переводит произведение в произведение. Основная информация об относительных гомотопических груп- группах заключена в теореме. Теорема 2.2. Последовательность гомотопических групп точна. Здесь г* индуцировано вложением А С X, j»: (M,xq) С (М,А,х0). Доказательство этой теоремы аналогично доказательству тео- теоремы 2.1. Из этой теоремы легко получить следующие следствия: I. Бели М стягиваемо, т.е. 7Г,(М) = 0, i > 0, то II. Пусть М = Dn, A = 5". Тогда 7rn(D",5n-1,x0) = Z, iri(Dn,Sn~1,x0) = 0 при t < п.
114 Элементы топологии... Упражнение 2.4. Вычислите щ(М2, А), где М2 - двумерная ори- ориентируемая поверхность, а А - край М, А ~ дМ. Физические примеры применений относительных гомотопиче- гомотопических групп приведены в параграфе, посвященном классификации поверхностных дефектов в жидких кристаллах и сверхтекучих фа- фазах в 3Яе. 2.1.4. Гомотопические группы накрывающих пространств Напомним, что накрывающим пространством М пространства М называется расслоение над М с дискретным слоем. Определение 2.5. Накрывающее пространство, у которого tti(M) = 0, называется универсальным накрывающим простран- пространством. Дадим классификацию накрытий с помощью группы ж\ (М, х0). Теорема 2.3. Каждое связное накрытие М определяет класс по- попарно сопряженных групп 7Ti(M,x0), являющихся образами групп жх(М,х0), р(х0) = х0. Если дискретную группу Г отождествить со слоем F, то такие накрытия называются регулярными. Регулярные накрытия М про- пространства М соответствуют нормальным делителям группы it\ (M). Доказательство. Пусть ?\ ? Р~г(хо) - точка слоя, отличная, во- вообще говоря, от точки хо. Пусть f. I -* М - путь, соединяющий хо и Xi. Каждый такой путь индуцирует изоморфизм 7*: tti(M,xi) -> 7Ti(M,Xo). С другой стороны, отображение накрытия ру является петлей в точке 10 и, следовательно, определяет элемент a ? iri(M,x0). Из определений гомоморфизмов р» и 7* следует, что для любого элемента a € tti(M,xi) имеет место равенство т.е. группа р^ж\{М,х\) совпадает с группой apt7Ti(M,xo)cr~1, со- сопряженной группе p»[7Ti(M,x0)] € тп(М,хо). С другой стороны, пусть а - произвольный элемент группы щ(М, хо), а т:. / —> М
Теория гомотопий 115 - произвольная петля из класса а. Согласно свойству накрываю- накрывающей гомотопий, существует путь у. I —* М такой, что 7@) = ху и Р7 = т. При этом точка х\ = 7A) слоя р~1(х0) зависит только от элемента а. Легко проверить, что равенство х\ = хо имеет место тогда и только тогда, когда а € p*[ni(M,хо)]. Тем самым мы показали, что каждому правому смежному классу группы п\(М,xq) по подгруппе p»[tti(M,xo)] соответствует точка Х\ = р-1(хо)) Для которой каждый путь у: I —> М соединяющий ее с точкой xq, накрывает петлю а € ж\(М,хо), содержащуюся в данном смежном классе. Класс х(М,х0) — {р*[к\(М,х0)]}, х0 € р~1(х0), сопряженных подгрупп группы 7Ti (М, хо) называется характеристическим клас- классом накрытия М в точке xq. Каждая подгруппа характеристиче- характеристического класса \{M,xq) изоморфна П\{М). Класс х{М) тогда и только тогда состоит лишь из одной группы, когда подгруппа p»7Ti(M, xq) является нормальным делителем в тс\{М). Этот результат, очевидно, не зависит от точки базы. В этом случае накрытие будет регулярным. Это свойство регулярного на- накрытия можно взять и за определение. Суммировать результаты этого пункта можно в следующем предложении. Предложенае 2.3. Линейно-связные накрытия являются частным случаем расслоенных пространств, где накрывающее пространство М - расслоение со структурной группой п\(М) и слоем - дис- дискретным однородным пространством iri{M)/р*к\(М). Регулярные накрывающие пространства соответствуют главным расслоениям. Првмер 2.2. 1. R} является универсальным накрытием для 51. Накрываю- Накрывающее отображение строится с помощью экспоненциального отобра- отображения ехрх —> ехрB7ггх), х € R1. 2. Накрывающие отображения 51 —> 51: z —> z". 3. Проективное пространство RPn двулистно накрывается сфе- сферой 5"". Легко вычислить гомотопические группы RP": тп(ДР") = Z2, тг,(ДРп) = 0, г < п, жп{ЯРп) = Z. 4. Универсальная накрывающая замкнутой неориентируемой поверхности: М2 = R2. 5. Линзовые пространства L". Пространством накрытия является S2n~l. Рассмотрим действие группы Zn на 52" С С". Реализуем сферу S2n~l уравнением
116 Элементы топологии... а действие группы Zn на 52п ' зададим как действие группы кор- корней гс-й степени из единицы: / 27rmi 2тгг'о;п \ ( ехр(—— )zi,...,exp(—— )znJ . Пространства L" ~ S2n~l]Zn, откуда сразу же получаем 7ri(In) = Zn, *i{Ln) = 0 для г < 2n - 1. 6. Букеты сфер. а) Накрывающее пространство для букета М — S\ V S%. Букет S\ V S% гомотопически эквивалентен восьмерке на пло- плоскости. Накрытие М над восьмеркой строится, например, так.'Рас- так.'Рассмотрим универсальное накрытие Я1 над одной из окружностей S\. Представим ее как винтовую линию и подклеим в точках х\,..,хп (я,- - целые числа), лежащих над точкой s = (s0 ~ si), s0 € Sj, Si G S2, окружности Slx,..,Sln. Мы получили накрытие М над S{ V Si- Очевидно, что универсальное накрытие М ~ R1 * R1. Поэтому tti(M) = 0. Геометрически М можно рассматривать как не имеющий циклов граф на плоскости Я2. Действительно, пусть точка О есть прообраз точки 5. Из точки О как вершины выходят 4 ребра (крест), так что два ребра переходят в цикл а, порождаю- порождающий окружность S], а два других ребра - в цикл 6, порождающий окружность S^. Каждая следующая вершина любого ребра поро- порождает новый крест и т.д. Соответствующий бесконечный граф В Г является универсальной накрывающей восьмерки. Граф Г не имеет циклов и, следовательно, стягиваем. б) Накрывающее пространство для букета М = S\ V 5|. Нетрудно видеть, что универсальной накрывающей для М будет пространство М, полученное подклейкой сфер S2 в целых точках xi,..,xn, лежащих над 5 на винтовой линии / ~ R1. Отсюда сле- следует, что ni(Sl V 5|) = тг,(...52 V 52... V 52...) при i > 1 (сравни с упражнением 2.3). В этом пункте мы рассматривали накрытия, предполагая изо- изоморфизм слоев. Существуют, однако, более сложные ситуации, на- например, римановы поверхности алгебраических функций, где име- имеются точки ветвления. Такие накрытия называются разветвлен- разветвленными и здесь специально не рассматриваются.
Теория гоиотопий 117 2.1*5. Действие фундаментальной группы "К\ на высшие гомотопические группы Мы уже видели, что для линейно-связных пространств гомотопи- гомотопические группы 7Tfc(M, хо) изоморфны при различном выборе точек Хо- Однако было показано на примере группы ¦к^М, хо), что изо- изоморфизм устанавливается с помощью преобразования 7Ti(M,io) Э 7 -> <**7 € tti(M,xi), где а* индуцируется путем а, соединяющим точки хо и zj. В ча- частности, для односвязных многообразий этот изоморфизм не зави- зависит от пути. Для замкнутого пути -у € к\ (М, xq ) сопоставление /3 —> 7*(/3) определяет действие группы tti(M,хо) на 7г*(М,хо) групповыми изоморфизмами. Если f:M—*M- универсальное накрытие, определяемое сво- свободным действием дискретной группы Г на М, то: 1) Г ~ Ki(M,хо) и группа Г действует на М движениями: М —» М. Это действие совпадает с действием группы я^ГМ.хо) на 1Гк(М,х0) как группы операторов. При этом группа тгДМ) не зависит от точки хо (так как М односвязно). 2) Классы свободной гомотетии отображений S' —> М, не фик- фиксируя соответствия точек sq ,—> хо € М, находятся в естествен- естественном взаимооднозначном соответствии с орбитами операторов из tti(M, хо), действующих на я>(М, хо). Этот результат применяется при исследовании дефектов в жи- жидких кристаллах (см. 5.1.2). Пример 2.3. Действие тп(ДР2) на тг,(ДР2). 7Г!(ДР2) = Z2, тг,(ДР2) = ttjE2) при i > 1. Пусть д - элемент тг^ДР2), д ф е. Действие р: 52 —> 52 меняет ориентацию д(х) = —х. Поэтому действие д на элементе a G тг2(ДР2) будет у(а) = -а. Определим действие tc\{RP2) на тгДДР2) для г > 2. Гомотопи- Гомотопические группы тг<(ДР2) = Ki(S2) известны. Сформулируем следу- следующий результат, справедливый для гомотопических групп четно- мерных сфер. Предложен не 2.4. Для любой четномерной сферы S" группа ТтE"*) при любом т > п, отличном от т = 2п — 1, конечна. Группа 7T2n_i(Sn) есть прямая сумма группы Z и некоторой ко- конечной группы.
118 Элементы топологии... Для п = 2 7Г3E2) = Z, а остальные группы конечны. Так как тг,- абелевы, то группа 7Г,- может быть разложена в прямую сумму циклических групп. Нетрудно видеть, что действие 7Ti на я^ (при г > 3) сводится к действию на образующей а € Zk- Если да = —а, то (—а)* = е. Отсюда следует, что для групп Zk с нечетным к существует нетривиальное действие ж\ на 7г<, а для групп с к четным - нет. Как следует из таблицы 3, первая нетривиальная гомотопическая группа нечетного порядка есть тг9E2) = Zz- Так как пространство RP3 ~ 50C) - группа Ли, то действие tti(RP3) на Ki(RP3) будет тривиальным. Пример действия ( на TTi(M), когда ttj не коммутативна, будет рассмотрен в 5.1.2. 2.1.6. Произведение Уайтхеда На множестве гомотопических групп можно определить еще одну операцию, вводящую структуру градуированной алгебры - супе- супералгебры Ли в современной физической терминологии. Эта опера- операция, называемая операцией Уайтхеда, имеет интересные приложе- приложения в теории дефектов в жидких кристаллах E.1.6.6). Пусть М - прямое произведение сфер S' x SJ и А - букет сфер 5' V S-7 с отождествленными отмеченными точками з0 и $\, $q € S', s\ € S*. В произведении S* x 5J отмечена точка 5 = (so,Si). Определено отображение / граница дисков dSl и dD* стягивается в точку: dD' —* so, dD> —* s\ Di+j = D{ x Dj -Д 5' x Sj. Отображение / переводит границу dDi+j = (dD' U D>) U {dD' U D') в букет сфер, так как a G 7Г,E',50) ~ образующий элемент - переводит dD% в з0, а /3 ? Kj(S',si) переводит dD* в з\. Таким образом, отображение / представляет элемент группы 7r»+jE" x S^&VS^s). Для этой группы определен граничный гомоморфизм Э : in+jiS* х Sj, S{ V 5>, s) - *i+i-i(S{ V Sj,s). С помощью элемента d(/) в группе 7Tj+j_i(S' V5j, 5) определим произведение элементов о Е тг»(-У, яо) и 6 G ^'(-^j хо)- Конструкция. Пусть а и Ь - элементы, представляющие классы гомотопических групп. Определение 2.6. Произведением Уайтхеда элементов а и Ь, или суперпроизведением, называется элемент [a, b] ? 7r,+;_i(X, xo), по- полученный следующим образом. Пусть
Теория гомотопий 119 а : S{ -» X, Ъ; S' -> X, я букет S' V S* склеен в точке s = «о = s\. Рассмотрим последовательность отображений Композиция отображений d f о (а о Ь) и определяет элемент Основные свойства произведения Уайтхеда. (здесь i,j - размерности сфер 5' и 5J соответственно). Доказательство. Ориентация в диске ?>' х D-7 с репером (с1, eJ) отличается от ориентации в диске DJ x D% с репером (eJ, е1) знаком (-1)«. D 2. Произведение [а,Ь] в группе iri(X,x0) {hj) = 1 совпадает с коммутатором aba~lb~1 в 7Ti(X,xo). Дояазательство.Пусть а, Ь € 7Ti(Jf,«o)- Рассмотрим отображе- отображение диска .D2 = D1 х D1 -* X, реализованного как квадрат на плоскости R2. Граница диска dD2 совпадает с границей квадрата, ориентированного по часовой стрелке. Отмеченная точка з совпа- совпадает с началом координат. Отображение / переводит dD2 в букет двух окружностей (одномерные сферы). При этом граничное ото- отображение d f переводит 3D2 в элемент aba~1b~l (Рис. 4). Л rue. 4. Произведение Уайтхеда (i,j =1)
120 Элементы топологии... 3. Если a G щ(Х,х0), Ьежч(Х,х0), q > 1, то [Ь,а] = Ь-а(Ь) и [а, Ь] = (—1)'(Ь — а(Ь)), а(Ь) обозначает действие элемента а на Ь. 4. Тождество Якоби. Пусть р, q, г > 1 и Ьел-,(Х,хо), с?пг(Х,хо). Справедливо следующее соотношение: (-1)"- [а[Ь, с]} + (-l)" [Ь[с,а]] + (-1)"' [ф,а]) = 0. Градуированное тождество Якоби наряду с очевидным свойством билинейности скобки [а, Ь] позволяет определить градуированную абелеву группу p=i где Мр = 7гр+\(Х,х0). Градуировка задается операцией Уайтхеда: Мр 0 Mq —» Мр+д. 5. Для любого пути у: I —> X, соединяющего точки хо и хь и любых элементов а 6 1ГР(Х,Хо), Ь G 7г?(Х,хо) Здесь 7р+«-1 обозначает гомоморфизм элемента a G G тгр(Х, х0) при движении вдоль пути j. 6. Если ip - непрерывное отображение X —» У, то где a G я>(Х), 6 € т,() 7. Произведение Уайтхеда для групп Ли тривиально. Доказательство. Пусть G - группа Ли, а отмеченная точка е - единица группы. Бели а, 6 € tti(G), to доказательство следует из коммутативности iri(G), т.е. [a,b] = aba~1b~i — e. Для а 6 iri(G) и 6 € T|(G), г > 1, тривиальность [а,Ь] вытекает из тривиально- тривиальности действия фундаментальной группы на высших гомотопических группах группы Ли. D Пусть *', j > 2. Элементы а и Ь представлены отображениями a: D'-jr, 91>'^е, Ь: Dj-+X, dDj-+е. Рассмотрим отображение
Теория гомотопий 121 ab : ?>< х ?>> -» X, полагая аЬ — а{х)Ь{у). На границе d(Dl x D') = 5|+-'~1 отображе- отображение аЬ индуцирует элемент [а, Ь], и так как он гомотопен элементу с ? S1 V S}, то отсюда следует, что [а, Ь] = 0. 2.1.7. Обзор вычислений гомотопических групп, встречающихся в физических приложениях В этом пункте приведены для справочных целей результаты вычи- вычислений гомотопических групп нескольких классов многообразий, встречающихся в физических задачах. Часть вычислений проведена в соответствующих местах книги, другие могут быть получены читателем в виде упражнений, однако большинство результатов требует значительно более сложной те- техники, чем приведенная в книге. В скобках я указываю физиче- физические задачи и некоторые оригинальные работы, где используются соответствующие группы. 1. Гомотопические труппы трупп Ли. 1) Т2((?) = 0 (доказательство см. в §2.4, приложения в теории монополей в 4.1.З.). 2) T3(G) ф. 0 (для полупростых групп Ли, доказательство см. в §2.4, приложения в теории инстантонов в 4.2.5). 3) 7г,(бг), i > 3. В теории гомотопических групп классических групп Ли имеется замечательная теорема периодичности Ботта (см. [52]), позволяющая вычислить все "стабильные" гомотопиче- гомотопические группы. Этот результат требует некоторых предварительных пояснений. Как известно, классические группы Ли распадаются на три се- серии: ортогональные группы О(п), унитарные группы U(n) и сим- плектические группы Sp(n). Рассмотрим последовательно каждую из них. а) О(п). Достаточно ограничиться группой SO(n). Предложение 2.5. Гомоморфизм включения m(SO(n)) С 7n(SO(n + 1)) является изоморфизмом при г < п—2 и эпиморфизмом при i = п—1. Группа ir\(SO(n)) = Z при п = 2 и Z2 при п > 3. тг2EО(п)) = 0, тг3EОB)) = 0, тг3EОC)) = Z, тг3EОD)) = Z + Z, тг3EО(п)) = Z при п > 5.
122 Элементы топологии... б) U(n). Гомоморфизм включения щA1(п)) С щA1(п+1)) является изоморфизмом при t < 2п — 1 и эпиморфизмом при i = 2п. Этот результат следует из точности гомотопической последовательности расслоения: U(n + 1) —> 52n+1 + 1)) -+ 7г<E2п+1) .r. Группы 7г<({/(п)) ~ 7r,(C/(n 4- 1)) ~ щ{и(п + 2)) изоморфны при i < 2n. Изоморфные друг другу группы тг<({/(оо)) A7(оо) = lim?7(l) С 17B) С ... С С(м)) называются стабильными гомотопи- гомотопическими группами и обозначаются тг;(С/). Можно рассмотреть непосредственно гомотопическую группу ttj({7), где U = lim?7(n) (n —¦• оо) - прямой предел вложений U(l)C.CU(n)...[83]. Теорема 2.4. Стабильные гомотопические группы тг,(С7) перио- периодичны с периодом 2. При этом - 7Го(G) = 7ГгA7) = тг4({7) = О, a ir,(?0 = тгз([/) = тг5([/) = ... = Z. Ki(U) возникают в моделях l/N (N —у оо) разложений в теории поля (см. работы [161, 212]). в) Гомотопические группы стабильных ортогональных групп тг*@). Аналогично ситуации для унитарных групп гомотопические группы стабильных ортогональных групп также обладают свой- свойством периодичности Ботта: 7Tj(O(n)), п —* оо, ttj@) = 7г<+8@). Вычисления тг,(О) для г < 7 вместе с аналогичными вычислениями для симплектических групп сведены в Табл. 1. Таблица 1. (щ(О), 7rj(Sp), 1 < г < 7) i 7T<(Sp) 1 z2 0 2 0 0 3 Z Z 4 0 z2 5 0 z2 6 0 0 7 Z z Приложения. Стабильные гомотопические группы тгДО) появля- появляются аналогично унитарному случаю в моделях l/iV-разложения. В зависимости от размерности гомотопической группу, а по су- существу - от размерности "физического" пространства, в моделях существуют или не существуют инстантоны. г) Гомотопические группы симплектических групп Sp (n). Гомоморфизм включения 7Tj(Sp(n)) —> 7r,(Sp(n + 1)) является изоморфизмом при i < 4п + 1 и эпиморфизмом при i = 4n + 2.
Теория гомотопий 123 Этот результат вытекает из точности гомотопической последова- последовательности расслоений: Sp(n + 1) —> 54п+3, (S4n+3) -»iri(SP(n)) - m(Sp(n + 1)) - 1г4E*в+3). *i+i Гомотопические группы 7Tj(Sp(n)) стабилизируются при п > (t + 2)/4. Стабильную симплектическую группу определим анало- аналогично унитарным и ортогональным группам как прямой предел по вложению Sp(l) С SpB) С ... Sp(n). Обозначим г-ую гомотопиче- гомотопическую группу стабильной симплектической группы через 7Ti(Sp). Соответствующая теорема периодичности Ботта дает: Теорема 2.5. 7T,(Sp) = 7Tj+8(Sp). 2. Однородные пространства, а) Вещественные многообразия Штифеля Уп>*. Предложение 2.6. Многообразие Vn,k связно, 7rt(Vn,t) = 0 при i < п — к ', если п — к четно или к = 1, 'г, если п — к нечетно и к > 1. Образующая группы nn-k(Vn,k) порояадается отображением /: Sn~fc —* Vn>k, которое задается следующим образом. Пусть «о - фиксированный ортогональный {к — 1)-репер n-мерного простран- пространства, a Sn~k - единичная сфера Д"~*+1-мерного пространства, ортогонального к vq. Отображение / сопоставляет точке х € Sn~k ортогональный fc-penep, получающийся из vq добавлением в каче- качестве первого вектора радиуса-вектора точки х. Доказательство этого предложения содержится в книге [82]. Ча- Часть утверждений легко следует из рассмотрения точной гомотопи- гомотопической последовательности расслоения: cn(n\soimk)i/ ЬО(п) —> Vn,*. Определение 2.7. Многообразие Мп называется к-связным, если т*(М") = 0 для всех i < к.
124 Элементы топологии... Из предложения 2.6 следует, что многообразие Vn,k является (га — к — 1)-связным. По аналогии со стабильными классическими группами можно определить стабильные многообразия Штифеля Уоо,к- Соответствующие гомотопические группы Vi(Voo,k) = 0 при всех г. Поэтому пространства К»,* бесконечно связны. б) Комплексные пространства Штифеля Vn°k. Аналогично предложению 2.6 имеет место Предложение 2.7. , (Vе Л - / ° Л п'к) ~\Z ПРИ » < 2п - 2А: + 1, (а) при * = 2п - 2к + 1. (Ь) В случае (Ь) любой слой проекции V?k —» Vjffc_j является представителем образующей группы Z. Можно было бы по аналогии построить кватернионные про- пространства Штифеля, заменяя поле комплексных чисел телом ква- кватернионов. (Читатель при необходимости проделает соответствую- соответствующие построения. См. также [82].) Стабильные комплексные пространства Штифеля определяют- определяются как V?k = U(oo)/U{oo - It). в) Вещественные ориентированные многообразия Грассмана Gn.k Гомотопические группы т< (?„,*) легко найти, если заметить, что Gn,k можно рассматривать как базу в расслоении Штифеля Vn<k со слоем SO{k). Тогда из точности гомотопической последо- последовательности расслоения Vn,k получим Предложение 2.8. T:(Gn>fc) = 7Tj_i (SO(Jfc)) при i < n - к - 1. Из изоморфизма двойственности Gn,k ~ Gn,n-k следует *,•(<?„,*) = *,¦_, (S0(n-*)). Аналогично универсальному пространству Штифеля строится универсальное пространство Грассмана Goo * = SO(oo)/SO(oo — it) x SO(k).
Теория гомотопий 125 Уиражшешше 2.5. Вычислите ni(Goo,k)- г) Комплексные пространства Грассмана G% k. Уиражшение 2.6. Вычислите ^i(G^k). д) Гомотопические группы симметрических пространств. Симметрические пространства Mi = SU(n)/SO(n) и Mi = S77Bn)/Sp(n) появляются в задаче об образовании барионов из со- литонов (см. работы [246, 247]). С помощью гомотопических групп пространств М\ и М% можно классифицировать классические ре- решения соответсвующего лагранжиана. Приведем результаты вычислений К{{М\) и тг^Мг) для i < 5. (Табл. 2). i "i(Ml) "<M!> Таблица 2. тг<(М,), j = 1 1 0 0 2 n>3 0 3 n >4 0 2, i<5 4 0 n >4 0 5 Z n >3 z Комментарий к таблице 2. Пространства Mi и Мг являются примерами неприводимых глобально симметрических римановых пространств, классифици- fioBaHHbix Э.Картаном. Подробнее изложение теории Картана см. в 100]. Результаты таблицы 2 могут быть получены из анализа точной последовательности гомотопических групп расслоений SU(n)S^}Мг и SUBn)S^M2. Для вычисления группы тг4(М) надо использовать теорему Гуревича (теорема 2.15) и результаты Бореля о когомологиях пространств Mj(j = 1,2) [16]. 7r4n+r(Afi), г < 5 вычислены в работе Харриса [159], а 7Г4„+Г(М2), г < 5 - в работе Мимуры [195]. Задача о вычислении всех ni(Mj) не решена, так как по существу эквивалентна задаче о нахождении гомотопи- гомотопических групп сфер. е) Гомотопические группы сфер. Вычисление гомотопических групп сфер является сложнейшей задачей топологии, до сих пор полностью не решенной. Однако для
126 Элементы топологии... физических приложений достаточно знания гомотопических групп относительно небольших размерностей. Начнем с общей конструкции, необходимой для вычислений тг,. Надстройка Фреиденталя. Пусть / - отображение S' —> 5". Рассмотрим сферы S' и 5" как экваторы сфер St+i и Sn+1 соответственно. Надстройкой над отображением, обозначаемой Ef (по терми- терминологии Фреиденталя Einhangung), называется отображение Ef : Si+i -» 5n+1, совпадающее с / на экваторе и отображающее верхнюю (ниж- (нижнюю) полусферу Dl^'1(Dlj!rl) на верхнюю (нижнюю) полусферу D^+1(D"+1) сферы 5"+1. Ef отображает центр каждой полусферы в центр соответствующей полусферы и линейно на радиусах. Го- мотопия отображения / в отображение /' может быть достроена до гомотопии отображения Ef в Ef. Тем самым каждому гомото- гомотопическому классу отображения /: S' —> Sn сопоставляется гомо- гомотопический класс отображения Ef: 5I+1 —> Sn+1, т.е. определено отображение Е: m(Sn) - называемое отображением надстройки или надстройкой Фреиден- Фреиденталя. Теорему Фреиденталя о надстройке сформулируем в следу- следующей форме. Предложение 2.9. Пусть Е: Vi(Sn) -> 7ri+1(Sn+1). Тогда 1) Если г < 2га — 1, то Е - изоморфизм, 2) Если г = 2га — 1, то Е - эпиморфизм. Доказательство случая 1) "легкой" части теоремы Фреиденталя см. в [81], а "трудной" второй части - в [103]. Стабильная гомотопическая группа сферы 5°° Из теоремы Фреиденталя о надстройке следует, что группы Ki(Sn) ~ ?r,+iE"+I) изоморфны при i < 2п — 1. Поэтому в се- сериях Trn+k(Sn) надстроечный изоморфизм позволяет отождествить группы я-„+*E") при п > к + 2 в одну. Эта группа и называется стабильной гомотопической группой вида noo+iclS°°).
Теория гомологии Таблица 3. Гомотопические группы сфер *n+k(Sn), 2 < п < 7, 1 < * < 7 127 п к 1 2 3 4 5 6 7 2 Z Z2 Z2 Z\2 z2 z2 Zz 3 z2 Z2 Z\i z2 z2 Zz ZXb 4 Z2 z2 z + zl2 z2 + z2 z2 + z2 Z2 + Z24 5 z2 z2 Z24 z2 z2 z2 Zzo 6 z2 z2 Z24 0 z z2 Zeo 7 z2 z2 Z24 0 0 z2 Zno Комментарии к таблице 3 В настоящей момент известны гомотопические группы тг„+*E") к < 30, а также ttoo+^S00) [92]. Здесь Troo+^S00) - стабильная гомотопическая группа, определяемая следующим образом. Замечание 2.5. Наиболее интересные приложения в физике име- имеют пока гомотопические группы низших размерностей, в частности Kz(S2). С этой группой связан инвариант Хопфа, который будет не- неоднократно появляться на страницах книги. Двузначность группы тг4E3) = Z2 позволяет строить фермионные состояния из бозонов в рамках солитонной модели Скирма (см. [246, 247, 258]). §2.2. Теория гомологии Теория гомологии вводит новый набор инвариантов многообразий. Продолжая грубую "физическую" аналогию, можно сказать, что те- теория гомологии изучает внутреннюю структуру многообразия, раз- разбивая его на определенную систему кусков, устроенных уже про- просто, или, точнее сказать, стандартно, и, вводя определенные пра- правила склейки кусков, получает уже все многообразие. При этом воз- возникает ряд геометрических величин, и основная задача состоит в доказательстве независимости этих величин от разбиения и склейки (топологической инвариантности данных характеристик).
128 Элементы топологии... Мы будем пользоваться различными подходами, так как одни из них удобнее при формулировке и доказательстве теорем, а другие - при практических вычислениях. Мы ограничимся в основном фор- формулировками и иллюстрациями основных понятий на примерах. После чтения этой главы желающие ознакомиться со строгими до- доказательствами могут найти их в рекомендуемой литературе. 2.2.1. Клеточное разбиение Клеточное разбиение - разбиение на клетки, каждая из которых го- меоморфна шару какой-либо размерности. Прежде чем переходить к точным определениям, рассмотрим три примера. Пример 2.4. 1) Сфера S". Выберем точку г°. Тогда множество т" = 5"/т° будет гомеоморфно n-мерному шару. 2) Тор Т2. т° - некоторая точка, 1\ и 12 - меридиан и параллель: т1 = 1г\т\ т}=12\т°, T2=T2\(hl)l2). Клеточное разбиение тора содержит одну нульмерную клетку, две одномерных и одну двумерную. 3) Проективная плоскость RP2. Выберем в RP2 проективную прямую RP1. Имеем RP2 D ДР1 Э р° (р° - точка). Положим г° = рР, т1 = ДР1 \ р°, т2 = RP2 \ ЯР1. Клеточное разбиение проективной плоскости состоит из трех клеток: т°, т1, т2. Дадим теперь точное определение клеточного разбиения топо- топологического пространства К. Будем считать пространство К ха- усдорфовым, т.е. наложим на К следующее условие отделимости. Для любых двух различных точек х\, %i € К существуют непе- непересекающиеся окрестности U\ Э х\, Ui Э хг, U\ Г\Ы2 = 0- Это условие является весьма слабым ограничением на топологию про- пространства, но позволяет избежать появления различных патологий. О пределен не 2.8. Разбиение пространства К на попарно непере- непересекающиеся клетки {та} называется клеточным разбиением (а К - СW-комплексом), если выполнены следующие три условия: А. Каждая клетка та гомеоморфна шару некоторого числа из- измерений. Размерность шара называется размерностью клетки. Для любой клетки га существует непрерывное отображение ip: Da —* К замкнутого шара Da(a = dimre) в пространство К такое, что у гомеоморфно отображает внутренность шара на та. Такое отобра- отображение называется характеристическим отображением, соответству-
Теория гомологии 129 Б. Для любой клетки г°, имеющей dimra > 0, ее граница дта = f a \ra содержится в объединении конечного числа клеток меньшей размерности. Если многообразие некомпактно, то требу- требуется выполнение дополнительного свойства. В. Всякое множество N С К, для которого пересечение N Пт" замкнуто (для любой клетки т"), замкнуто. Пространства, которые допускают клеточные разбиения, называются клеточными комплек- комплексами. Клеточными комплексами являются многообразия компакт- компактного и некомпактного типа (со счетной базой). Частным случаем клеточных разбиений являются симплициальные разбиения (разби- (разбиения на симплексы). 2.2.2. Операции в клеточных комплексах В клеточных комплексах можно ввести ряд операций, позволяюще переходить к подмножествам и фактормножествам клеточных ком- комплексов. А. Подразбиение комплекса. Определение 2.9. Пусть {г0} - клеточное разбиение простран- пространства К. Замкнутое подмножество L С К, состоящее из целых кле- клеток, называется подкомплексом комплекса, а соответствующее L разбиение - подразбиением К. Определение 2.10. Объединение всех клеток размерности < п клеточного комплекса К называется его n-мерным остовом и обо- обозначается через Кп. Очевидно, что каждый остов Кп клеточного разбиения К является его подразбиением. А'0 - нульмерный остов не пуст и дискретен. Б. Факторизация клеточного комплекса. Пусть К - клеточное разбиение и L - его подразбиение. Обозна- Обозначим через К/ L подпространство, получающееся из К отождествле- отождествлением подпространства L в одну точку и, а через ip: К —> L - ото- отображение отождествления. Тогда множества v?(r)> гДе т пробегает клетки, не входящие в L, дают, как нетрудно видеть, клеточное раз- разбиение пространства K/L. Переход от клеточного разбиения К к клеточному разбиению K/L называется факторизацией К по под- подразбиению L. Пример 2.5. Пусть К - клеточный комплекс и п - целое чи- число. Клеточное разбиение Kn/Kn~l состоит из одной нульмерной клетки а0 и нескольких n-мерных клеток (находящихся во взаимно
130 Элементы топологии... однозначном соответствии с n-мерными клетками К). Из опреде- определения клеточного комплекса следует, что пространство Кп/Кп~1 является уже известным букетом n-мерных сфер. В. Приклеивание п -мерной клетки. Операция приклеивания клетки позволяет индуктивным обра- образом строить клеточное разбиение комплекса. Пусть К - клеточный комплекс и 1?п-мерная клетка, /- отображение д Dn — Sn-1 —> К. Пространство К О/ Dn называется пространством с приклеенной клеткой (при помощи /), если оно получается из непересекающе- непересекающегося объединения К и Dn отождествлением каждой точки х G Sn-1 с точкой f{x) ? К. Для нульмерного случая: п — 0, D0 - точка, S"" считаем пустым множеством и К с приклеенной точкой есть объединение К с отдельно лежащей точкой. На пространстве К = К U/ Dn можно ввести топологию, ко- которая определяет клеточное разбиение на К. Здесь опущено не- несколько тонкостей. Произвольное отображение /: Sn~l —> К может не входить в Кп~*, но можно доказать, что найдется гомотопное отображение, уже обладающее этим свойством. При этом гомото- гомотопический тип пространства К U/ Пп не изменится. С помощью операции приклеивания клеток можно построить клеточное разбиение любого пространства, так как последователь- последовательное приклеивание клеток к Кп~1 дает Кп, а объединение всех осто- остовов дает К. Г. Клеточные отображения. Необходимый инструмент при изучении клеточных разбиений произвольных многообразий - клеточные отображения. Определение 2.11. Пусть К и L - два клеточных разбиения. Не- Непрерывное отображение f: К —> L называется клеточным, если для любого n f(Kn) С Ln. Теорема 2.6. Любое непрерывное отображение /: A''—* L гомо- гомотопно клеточному, причем если / уже было клеточным на подраз- подразбиении К* С К, то гомотопию можно считать постоянной на К*. Доказательство проводится в несколько этапов. Мы наметим его лишь эскизно. Подробности см. в [103]. Сначала рассмотрим случай приклеивания одной дополнитель- дополнительной клетки. Пусть К получается из подразбиения К' приклеива- приклеиванием одной п-мерной клетки г", a L получается из подразбиения V приклеиванием одной m-мерной клетки am(m > n). Пусть ото- отображение /0: К —> L удовлетворяет условию fo(K') С L'. Тогда
Теория гомологии 131 существует гомотопия ft- К —* L @ < t < 1) отображения /0, постоянная на К', для которой выполнено условие fi{K') С V. Для доказательства этого частного случая состроим гомотопию (постоянную на К'), которая переводит /о в такое отображение /*, что в клетке ат найдутся точки, не принадлежащие образу Д(А'). Этого можно добиться, вводя в клетки г и а координаты (при помощи характеристических отображений) и аппроксимируя /* дифференцируемыми функциями (теорема Вейерштрасса). Пусть отображение /* построено. Тогда найдется точка уо € ат, уо & f*(K)- Обозначим через h: Dm —> L характеристическое отображение, соответствующее клетке от и положим Xq = h~1(y0). Далее, обозначим через Wj такую деформацию множества Dm \ Хо по себе, которая постоянна на границе д Dm и удовлетворяет условию uii(Dm \ х0) С dDm. Положим Получаем непрерывную деформацию // отображения /«: К —> i в отображение //: К —+ ?, удовлетворяющее условию /j (К) С i' и постоянное на К'. О Общий случай вытекает отсюда с помощью следующих простых рассуждений. Будем приклеивать к множеству К* последовательно нульмерные клетки, одномерные и т.п. клетки, не принадлежащие к К*, и, учитывая свойство f(K) С L', снижать постепенно раз- размерность образа в L, пользуясь доказанным частным случаем. Эта процедура корректна, так как при непрерывном отображении /: К —* L образ любой клетки пересекается лишь с конечным числом клеток. D Эта теорема позволяет в дальнейшем не делать различия между непрерывными и клеточными отображениями. Для изучения кле- клеточных отображений и их образов удобно ввести координаты в клетки и рассматривать отображения клеток в координатных фун- функциях. Пусть Х>о ~ единичный шар в Rn(?l,.., ?"), т.е. множество точек, удовлетворяющих неравенству Единичная сфера 5^-1 - граница шара, n-мерная клетка г" кле- клеточного разбиения К называется координатной клеткой, если фик- фиксировано характеристическое отображение ip: T)q —> К, соот- соответствующее этой клетке. Отображение ip называется координат- координатным отображением. В координатной клетке г" введем координаты
132 Элементы топологии... f1, ...,fn, считая, что у точки х € г" те же координаты, что и у ее прообраза v?~4x) € Х>? \ Sq'1 . Предположим, что все клеточные разбиения заданы с помощью фиксированного координатного отображения (во все клетки вве- введены координаты). Пусть /: К —> L есть клеточное отображение. Выберем не- некоторую точку х е Кп \ Д'п~1(п > 1), образ которой у = f(x) принадлежит множеству Ln \ Ln~l. Пусть тп -тг-мерная клетка, содержащая х, а ап - п-мерная клетка, содержащая у. Введем ко- координаты ?1,..,?|* в клетке тп и координаты гI,..,г)п в клетке <хп. Вблизи точки х отображение / задается в координатах в виде Определение 2.12. Отображение / называется регулярным, если функции fi имеют непрерывные частные производные первого по- порядка и определитель якобиана det J = |-gh~\z ф 0. Если определитель det J в точке х положителен, то точку х будем считать положительной, а если det J < 0, то точка х будет считаться отрицательной. В случае п = 0, если i g K°, то любое клеточное отображение /: К —> L регулярно в точке х, а любая точка х € К0 по определению считается положительной. Клеточное отображение f:K—>L называется регулярным в точке у € ?n \ Ln~1(n > 1), если отображение регулярно в каждой точке прообраза х (Е f~l(y) Л Кп. Прообраз точки у имеет в каждой n-мерной клетке разбиения К лишь конечное число точек. Если у €. L0, то любое клеточное отображение /: К —» L является регулярным в точке у. Клеточ- Клеточное отображение f:K—>L называется регулярным, если в любой клетке ап С L найдется точка у, в которой отображение регу- регулярно. Оказывается, что всякое клеточное отображение гомотопно регулярному. Более точный результат сформулируем в виде следу- следующего предложения. Предложение 2.10. Пусть /о: К —» L - клеточное отображе- отображение. Существует такая деформация /< отображения /о, что каждое /<@ < t < 1) является клеточным, а отображение Д регулярно. (Доказательство использует приближение непрерывных функций дифференцируемыми; см., например, [26]).
Теория гомологии 133 Д. Степень отображения. Введем понятие степени отображения, которое позволяет при- придать смысл понятию примыкания двух клеток. Сформулируем не- необходимые результаты в виде теоремы. Теорема 2.7. Предположим, что для каждой клетки каждого кле- клеточного разбиения фиксировано координатное отображение. Тогда каждому клеточному отображению /: К —> L и каждым двум п- мерным клеткам тп С К, а" С L можно сопоставить некоторое целое число [/г : а], называемое степенью отображения /7 клетки тп на клетку ап и обладающее следующими свойствами. 1. Если ft: К —> L - такая деформация, что для любого t, О < t < 1, отображение /( является клеточным, то степени отображений /о и /j одинаковы: [/от : <т] = [/]Т : а] для любых n-мерных клеток тп С К, а" С L (постоянство степени при гомотопии). 2. Пусть /: К —> L регулярно в некоторой точке у € Ln\ Ln~1. и пусть а" - клетка разбиения L, содержащая точку у, а тп - про- произвольная n-мерная клетка в К. Обозначим через р число положи- положительных точек прообразов f~1(y), лежащих в тп, а через q - число отрицательных точек, тогда [/г : а] = р — q. Степень отображе- отображения определяется однозначно. Для построения степени отображе- отображения воспользуемся теоремой 2.7. Пусть / - клеточное отображение. Продеформируем его в регу- регулярное отображение f\. Выберем точку уо в клетке а С L, в которой отображение fx регулярно. На основании свойства 2 теоремы 2.7 однозначно определим степень отображения [f\T : а] как разность соответствующих чисел р и q. Но тогда на основании свойства 1 степень отображения deg / совпадает с deg f\. Доказательство кор- корректности этого определения, т.е. независимость чисел deg / от вы- выбора регулярных значений у0, читатель может выполнить самосто- самостоятельно (см. также [55]). Степень отображения является одним из важнейших топологических понятий, и мы подробнее рассмотрим различные приложения этой характеристики в дальнейшем. Сформулируем теперь свойство степени отображения для по- последовательности отображений. Лемма 2.3. Пусть /: К —» L и д: L —> М - два клеточных ото- отображения. Тогда для любых n-мерных клеток тп С К и рп С М 7 Мы будем также пользоваться общепринятым обозначением степени отобра- отображения deg/, если из текста ясно, об отображении каких множеств идет речь.
134 Элементы топологии. справедливо соотношение где суммирование идет по всем n-мерным клеткам а" из L. Доказательство легко следует из определения степени отобра- отображения и свойств якобианов композиции отображения.
Теория гомологии 135 2.2.3. Гомологии клеточных комплексов В этом пункте будут построены группы гомологии многообразий, допускающих клеточное разбиение. Для этого необходимо ввести несколько алгебраических объектов, связанных с нашим многооб- многообразием. Предполагаем далее, что у нас задано клеточное разбиение и в каждой клетке фиксирована координатная система. А. Цепи. Группа цепей. Определение 2.13. Формальные (конечные) суммы вида где т",..., т? - некоторые n-мерные клетки, a ki - целые числа, на- называются n-мерными цепями клеточного разбиения К, т.е. цепями называются элементы n-мерного векторного пространства. На про- пространстве цепей можно задать операцию сложения, сводящуюся к приведению подобных членов: превращающую пространство цепей в абелеву группу, обозначае- обозначаемую СП(К). Пусть f:K—>L- клеточное отображение. Если клетка тп С Л' отображается на клетки а",..., а" С L со степенями l\,...,la (т.е. [/тп : CTi] = li т.п.), а остальные n-мерные клетки разбиения L не содержат точек из /(тп), то считают, что клетка тп перешла в цепь /icr" + ... + /асг". Вообще, если имеется п-мерная цепь х„ — kiт" +... + кпт? разбиения К, то при отображении / она переходит в цепь: /#(*»)= где суммирование ведется по индексам г и по всем n-мерным клет- клеткам разбиения L. Очевидно, что /# есть гомоморфизм СП(К) —> Cn(L). Б. Граница цепи. Определим сначала границу клетки. Единичный шар DJ до- допускает клеточное разбиение: сто € Sn~1, an~1 — Sn~l \ сто, an - PJ \ 5". При п > 2 в клетках стп и ст"-1 фиксируем координаты и будем считать оп~х границей клетки а" (это очеви- очевидно совпадает с определением границы шара Т>^ как множества
136 Элементы топологии... 5") я записывать в виде ап~г = дап. При п = 1 единичный шар Т>\ состоит из отрезка [—1,1], граница которого 5° состоит из двух точек: 1 и —1; первую обозначим через а+, а вторую через ст°. Положим 9 а1 — а^_—а° (ориентированная граница). Таким обра- образом граница клетки ап =X>o\Sn~1 определена для всех п > 1. Если тп - произвольная n-мерная клетка разбиения К (п > 1), а X'- 2? о —* К ~ соответствующее ей координатное отображение, то естественно считать, что при отображении \ клетка ап переходит в клетку тп, а ее граница дап —> дтп, т.е. по определению Коэффициент, с которым заданная г"" клетка входит в цепь дт", называется коэффициентом инцидентности клеток тп и т" и обозначается [г" : г"]. Таким образом, Теперь мы определим границу цепи, используя свойства аддити- аддитивности и учитывая, что д - гомоморфизм: 3 : (klT? + ... + кпт?) = Ьдт? + к2дт? + ...+ кпдт?. Таким образом, мы ввели операцию взятия границы д „: Сп(К) —> Cn-i(K). Ядро этого отображения, т.^. множество цепей {с„}, у которых и„с„ = 0, называется циклами. Множество циклов, оче- очевидно, образует группу, обозначаемую Zn(K). Оператор д обладает фундаментальным свойствам: Лемма 2.4. д„_1од„ = 0. B.5) Это свойство позволяет определить новую группу Нп(К) - группу гомологии комплекса К. Действительно, из B.5) следует, что Im9n С кегдп_ь тогда Нп{К) = Zn(K)/Bn(K), где Вп(К) С Zn(K): Вп{К) = {Ъп(К) е Сп-^К)}, где Ьп{К) - 1тдп(Сп(К)). Докажем теперь лемму 2.4. Воспользуемся определением гра- границы:
Теория гомологии 137 так как граница т" 1 n-мерных клеток входит дважды с противопо- противоположными знаками. Для произвольной цепи эти свойства вытекают из того, что операция - гомоморфизм. В. Свойства групп гомологии. Для групп гомологии клеточного комплекса справедлива следу- следующая теорема. Теорема 2.8. Пусть К - клеточный комплекс и L - подкомплекс. Тогда последовательность Hn(L) Ь НП(К) Ь Hn(K/L) U Яп_! (L) -> .., B.7) точна. Доказательство теоремы вполне аналогично соответствующему доказательству теоремы о точности последовательности гомотопи- гомотопических групп с некоторыми изменениями, которые будут указаны. Определим соответствующие гомоморфизмы. 1. Пусть /: К —» L - клеточное отображение. Легко видеть, что гомоморфизмы /* и д перестановочны, т.е. диаграмма СП{К) ±+ Cn-iiK), /4 | /. Cn(L) -i- Cn-i(L) коммутативна. Отсюда сразу же следуют включения MZn(K)) С Zn(L), MBn(K)) С Bn(L). Поэтому определен гомоморфизм факторгрупп frHn(K) —> Hn[L) 2. Определение отображений г» и j#. Рассмотрим тройку пространств К, L, K/L (L С А') и отобра- отображений
138 Элементы топологии... Здесь г - отображение вложения, a j - отображение отождествления (факторизации). Этим отображениям соответствуют гомоморфизмы групп эту последовательность можно включить в точную последователь- последовательность O^Cn(L)bCn{K)hCn{K/L)-+0, B.8) что следует из определения соответствующих цепей. Однако при переходе к группам гомологии точность последовательности B.8) нарушается. Возникает нетривиальный гомоморфизм группы Hn(K/L) —+ Hn-.i(L), который будем обозначать д«. Построение д«. Рассмотрим коммутативную диаграмму, строки которой точны: 0 - 0 - 0 - -> Cn(L) I a - Cn-i(L) I a -> Cn-2(L) Cn+i(K) ± Cn{K) la -^ Cn-i{K) la ^ Cn-2(K). '+ Cn(K/L) la Ь Cn-^K/L) -> 0 -» 0 -» 0 Выберем элемент ^ € Hn(K/L); ему соответствует цикл г G Zn(K/L) - представитель ?. Так как jt ~ эпиморфизм, то суще- существует элемент х € С „(К), удовлетворяющий условию j*(x) = Z, d(j*(x)) = 0, так как г - цикл. Так как (jtx) принадлежит ядру д, то в силу коммутативности диаграммы j*(dx) = 0, т.е. дх G kerj» = 1тг* и, следовательно, существует элемент у € Cn_i(Z) такой, что г«(у) = дх. Из условия d(i*y) = д(дх) = 0 в силу коммутативности ди- диаграммы г*(9у) = 0, но г* - мономорфизм, поэтому ду = 0, т.е. у € Zn-\{L). Обозначим через г) G Hn^i(L) класс, определяе- определяемый циклом у, и положим г) = д*(. Аналогичными рассуждени- рассуждениями, путешествуя по диаграмме, можно показать, что определение г] не зависит от выбора представителя класса грмологий. Тем самым доказана корректность построения оператора 9». Эти же постро- построения доказывают точность последовательности гомологии, так как
Теория гомологии 139 при построении д * были вычислены ядро и образ отображения д,. D Заметим, что в отличие от последовательности гомотопических групп левый конец гомологической последовательности B.7) заве- заведомо, начиная с некоторого п (п = dim А' +1), обращается в нуль, так как в клеточном разбиении многообразия А' нет клеток размер- размерности, большей, чем размерность многообразия. Сформулируем теперь ряд свойств групп гомологии многообра- многообразий М без доказательств: I. Группа H0(S°) = Z. Группы Н-к(М) — О (по определению). И. Группа Hn(S°) — О при п ф О (свойство размерности). III. Пусть даны два отображения пространств /: М\ —» Л/г и д: М2 -> М3, тогда (д о /)» = gt о /». IV. Если /, д: Mi —+ М^ гомотопны, то соответствующие ото- отображения /* = д*. V. Многообразия одного и того же гомотопического типа имеют изоморфные группы гомологии. В частности, если /: Mi —> М2 - гомеоморфизм, то /» - изоморфизм, т.е. группу гомологии совпа- совпадают. Замечание 2.6. При рассмотрении групп гомологии мы исполь- использовали клеточные разбиения и клеточные отображения. Используя лемму об аппроксимации непрерывных отображений клеточными, можно во всех утверждениях об отображениях заменить клеточное отображение на непрерывное. Замечание 2.7. В определении групп гомологии использовались целые коэффициенты. Можно рассмотреть любую группу коэффи- коэффициентов G. Тогда цепи &;ту с коэффициентом из G можно рассма- рассматривать как группу цепей вида C(K)<g>G. Соответствующие группы гомологии обозначаются Hi(K, G). У нас будут встречаться помимо группы Z, группы G = Z2, R, С. Все свойства групп гомологии со- сохраняются с заменой группы H0(K,Z) = Z на H0(K,G) — G. Определение 2.14. Группы гомологии являются конечномерными векторными пространствами Hi(M,G). Ранги соответствующих групп (размерности) пространств называются числами Бетти: bi = dim H,(M,G). Г. Вычисление групп гомологии простейших пространств. 1) Сфера Sn. Группы Hi(Sn,Z).
140 Элементы топологии... Так как клеточное разбиение сферы состоит из двух клеток х0 и Sn\x0, то очевидно, что Я,E") = 0 при 0 < i < п-1, H0(S°) = Z, Hn(Sn) = Z, так как n-мерная клетка порождает цикл. 2)Букет сфер М = V5? Hi{M,Z), j = l,..,g. Букет п-мерных сфер, соединенных в точке хо, имеет следую- следующее клеточное разбиение: одну нульмерную клетку хо и q п-мерных клеток. Соответственно группы гомологии имеют вид H0{M,Z) = Z, 3)Тор T\Hi(T\Z). Разбиение тора на клетки нам известно (см. п. 2.2.1, Рис. о) Осталось найти границы клеток a1- (i = 0,1,2). Имеем даг =<т\<тЦа\)-х{*\Т1 =0, д<т\=да12=0, да°=0. Отсюда сразу следует, что Hi(T2) имеют вид Я0(Т2) = Z, Hi(T2) = Z + Z, Н2{Т2) = Z. Рис. 5. Клеточное разбиение тора
Теория гомологии 141 4)Бутнлта Клейна Н{(К2). Клеточное разбиение бутылки Клейна, так же как и у тора, со- содержит одну нульмерную, две одномерные и одну 2-мерную клетки. Однако границы цепей имеют другие коэффициенты инцидентно- инцидентности (Рис. 6): да0 =д<т\=д(т1=0, да2 =2а\. Отсюда следует, что H2(K2) = 0, H1 H0{K2) = Рис. 6. Клеточное разбиение бутылки Клейна 5)Проективное вещественное пространство RPn. Клеточное разбиение RPn было построено в 2.2.1. Для нахо- нахождения групп гомологии необходимо найти границы клеток. Пусть клеточное разбиение состоит из клеток ст°, ..,ст". Несложно видеть, что д<т°=0, 5а1 = 0, да2=2а\... ...d*2k+i=0, d*2k+2 = 2<r2k+1. Отсюда следует, что H0(RPn,Z) = Z, Hk(RPn,Z) = 0 приА = 2г, Hk(RPn, Z) = Z2 при Jfc = 2r + 1, Hn(RPn,Z) = 0 (при n = 2r) и Hn(RPn, Z) = Z при п нечетном. Последний результат дает еще одно определение ориентируемости
142 Элементы топологии... многообразия (как показано в §1.1 проективное пространство RPn ориентируемо при нечетном и неориентируемо при четном п). 6)Комплексное проективное пространство СРп. Каноническое клеточное разбиение СРп состоит из клеток ат = СРГ \ СРГ~1, diir^ = 2г, 0 < г < п. Характеристическое отображение для клетки определяется ком- композицией отображений р о i: R2r ~Сг1+СРг^>СРп. Здесь i - отображение вложения СРГ —> СРп, а р - фактор - отображение пространства Сг —> СРГ. Легко видеть, что СРГ мо- может быть представлено как фактор пространство единичного шара Vо" С С по разбиения, элементами которого являются внутрен- внутренние точки Х>о" и окружности, высекаемые на границе дТ>2" = 52п~1прямыми пространства С", проходящими через точку 0. Теперь легко вычислить гомологии пространства СРп. Клеточное разбиение СРп состоит из четномерных клеток, гра- граница которых д <у2т — 0. Поэтому Hi(CPn, Z) = Z при i = 2г, Hi{CPn,Z) = 0 пРиг=2г + 1. Д. Относительные группы гомологии. Аналогично построению относительных гомотопических групп, можно построить и относительные группы гомологии. По существу, группы гомологии - пары К, L, К D L, уже были введены как гомологии пространства K/L. Не меньший интерес представляет построение групп гомологии для тройки пространств X Э А Э В. К таким задачам приводит вычисление групп гомологии пространств X, где X = Xi U X2 таких, что Х\ П X? ф 0. Гомологическая последовательность тройки Пусть X D A D В и заданы отображения вложения *: (А,В)С(Х,В), j: (X,B)C(X,A).
Теория гомологии 143 Эти отображения предполагаются допустимыми (т.е. на отобра- отображениях определена операция произведения, относительно которой отображения образуют группу). Отображения вложения и гранич- операторы определяют следующим образом (см. [83]): г: А-+Х j:X->(X,A) д : НЧ(Х,А) - Я,_,(Л), > (Х,Я) 5' : Я,(Х,В) -> Я,_,(Д), >(A,.B) Э" : Hq(A,B) ^ Hq Еще один граничный оператор В вводится как композиция ото- отображений ]'\д. Здесь j» - индуцированное вложением j отобра- отображение групп гомологии. Отображение В: Hq(X,A) —> Н1-\(А,В) называется граничным оператором тройки. Аналогично последовательности B.7) можно построить после- последовательность Н„{А, В) - Hq(X, В) -» Я,(Х, А) -> Я,_! (А) -> ... B.9) Теорема 2-9. Последовательность B.9) точна. Доказательство этой теоремы является утомительным повторе- повторением с соответствующими модификациями теоремы B.8) (см., на- например, [83]). Другая тройка пространств, полезная при вычислении групп гомологии сложных многообразий, называется триадой (X, Х\, Х%) и состоит по определению из пространства X и двух его под- подпространств Х\ и Х2 таких, что для пространств X, Х\, Хг, Х\ U Х2, Х\ П Х2, и всех составленных из них пар определены отображения вложения. На триаду накладываются некоторые те- технические ограничения, которые всегда выполняются, например, для многообразий с краем и соответствующих подмногообразий. Приведем формулировку теоремы о точности последователь- последовательности гомологии триады (X,Х\,Х2) в случае, когда X — Х\ U Х2, А = ХХ Г)Х2. Теорема 2.10. Последовательность точна. Здесь ?/>,</?, Д определены формулами: фи = (hitu, —h2*u), и G Hq(A), <p(vi,v2) = mXtvi +m2tv2, vx G Hq{X\), v2 G Hq{X2), Aw - -dik^luw = d2k^ll2,w, w G Hq(X),
144 Элементы топологии... где все гомоморфизмы ft,», &,¦*, /i», m,-» (г = 1,2) индуцированы ото- отображениями вложения и изображены на следующей диаграмме: НЯ(А) \ mi* Hq{X) НЧ(Х,Х2) \ ii» / is. НЯ(Х,А) \ Нд-г(А) Вычислений групп гомологии. С помощью точной последовательности B.9), называемой после- последовательностью Майера - Вьеториса (в русской литературе - ад- диционной последовательностью), можно вычислить гомологии раз- различных пространств, представляя юс как склейку уже известных. Упражнение 2.7. Вычислите: а) Гомологии поверхности рода д. б) Гомологии ручки = гомологии тора с вырезанной дыркой. в) Гомологии двумерной неориентируемой поверхности. г) Гомологии сферы с вырезанной дыркой и заклеенной листом Мёбиуса. д) Гомологии расслоенных пространств. Для вычисления групп гомологии (и когомологий) расслоенных пространств Ж.Лере был разработан мощный метод спектральных последовательностей. Изложение этого метода выходит за рамки
Теория гомологии 145 этой книги (доступное изложение см. в [103]). С помощью спек- спектральных последовательностей можно вычислить гомологии рас- расслоенного пространства, зная гомологии базы и слоя. В частности, метод спектральных последовательностей удобен для нахождения гомологии классических групп Ли, многообразий Штифеля, Грас- смана и т.п. Приведем для справочных целей точные последовательности групп гомологии в двух частных случаях (доказательство см. в [104]). Предложение 2.11. Пусть задано расслоение р: Е —> В, слоем ко- которого является п-мерная сфера, а база В односвязна. Тогда после- последовательность групп гомологии, индуцируемая этим расслоением, -¦ Нт+г(В) -+ Ят_„E) -¦ Нт(Е) -+ Нт{В) -л Нт-п+^В) точна. Эта последовательность называется последовательностью Ги- зина. Пусть задано расслоение над n-мерной сферой р: Е —> 5" со слоем F; справедливо следующее предложение. Предложение 2.12. Последовательность групп гомологии Нт(Е) -> Hm-n(F) -+ Hm^(F)^Hm^(E) -> Ят_„_, точна. Здесь отображение г, индуцировано вложением слоя F С Е. Эта последовательность называется последовательностью Вана. Пример 2.6. Найдем с помощью последовательности Вана Hi(SUC)). Имеется расслоение SUC) —> S5, и соответствующая последов ательность: Hm(SUB)) - Hm(SUC)) - Hm-5(SUB)) -+ так как SUB) ~ S3, то ЯоE3) = Я3E3) = Z, Я;E3) = 0 (t = 1,2). Из точности этой последовательности сразу же следует, что Hm(SUC)) = Z при т = 0,3,5,8; Hm(SUC)) = 0 при т= 1,2,4,6,7.
146 Элементы топологии... Замечание 2.8. Первоначально гомологии строились для симпли- циальных разбиений, т.е. разбиений на симплексы (одномерный отрезок, двумерный треугольник и т.д.). Соответственно теории гомологии (с отображением симплексов в многообразия) называ- называются симплициальными. Основная теорема теории гомологии о не- независимости групп гомологии от вида разбиений показывает, что безразлично, какое из разбиений многообразий следует выбирать. Однако при практических вычислениях удобнее клеточные разби- разбиения. Например, клеточное разбиение Т2 содержит одну нульмер- нульмерную, две одномерных и одну двумерную клетку. Соответственно симплициальное разбиение содержит минимальное число симплек- симплексов - 42 (см.[49]). Читатель может в виде упражнения построить симплициальную теорию гомологии. Свойства гомологических инвариантов и связь с дифферен- дифференциально геометрическим свойством многообразий мы рассмотрим позднее, а пока введем еще один важный инвариант, двойствен- двойственный группе гомологии - группу когомологий. В случае многообра- многообразий группа когомологий допускает замечательную формулировку в терминах дифференциальных форм. ^2.3. Теория когомологий 2.3.1. Определение и основные свойства групп когомологий В этом параграфе будет дана краткая формулировка двойственного объекта к группам гомологии Hi(K) - групп когомологий Нг(К). Учитывая определенный параллелизм с теорией гомологии, сфор- сформулируем кратко основные свойства групп когомологий. А) Группа коцепей. Пусть К - клеточный комплекс. Группой n-коцепей Сп(К, G) называется множество Hom(Cn(/C),Gr), где Сп(К) - группа n-цепей с коэффициентами в группе G. Множество коцепей - это множество линейных функционалов на пространстве цепей. Если определить значение коцепи с1 на цепи С\: {cl\c\), то можно задать оператор S, сопряженный к оператору д, и соответ- соответственно групп коциклов, кограниц и когомологий. Предварительно введем следующее общее обозначение. Пусть ip - гомоморфизм групп: А —» В. Можно рассмотреть двойственный гомоморфизм у>#: Нот (В, G) —* Нот (A, G), определяемый равен- равенством ip*(b) = Ь о ip для любого Ь ? HomE,G). Гомоморфизм <^>#
Теория когомологий 147 обладает следующим очевидным свойством. Пусть заданы гомомор- гомоморфизмы А^ В -4 С, тогда для сопряженных гомоморфизмов у* : Нош (В, G) -> Нот (A, G), vf: Hom(C,G)->HomE,G), О2 ° Vi )# : Нот (С, G) -* Нот (A, G), справедливо соотношение Если гомоморфизм </?: Л —* 5 тривиален, то и у* : Нот E, G) —» Нот (Л, G) тривиален. Вернемся теперь к определению групп когомологий. Б) Группы когомологий. Определим оператор кограницы 6п как оператор df, сопряженный к9„, где дп: cn(K,G)-* cn-i(K,G). Рассмотрим последовательность гомоморфизмов cn-\K,G)hcn(K,GN"-$1cn+\K,G). Композиция отображений <Sn+i ° $п тривиальна, так как 8о8 = д* од* =0. B.10) Теперь можно сразу же определить группы коциклов и когранип как двойственные объекты на группах циклов и границ. Определение 2.15. Коцепь cn(K,G) называется коциклом, если 6cn(K,G) = 0, и обозначается zn(K,G), т.е. коцикл - это ядро (кет) отображения f: cn~\K,G) -> cn(A',G). Определение 2.16. Кограницей bn(K,G), n > 1, называется об- образ коцепи сп~1(АГ, G) при гомоморфизме 6n: cn~1(A, G) —> -> cn(K,G). При п = 0 множество 5°(A',G) = {6°} по опреде- определению есть множество таких гомоморфизмов cq{K) —* G, которые принимают одно и то же значение на всех вершинах из К. Из свой- свойства B.10) сразу же следует, что группы Zn(K,G) D Bn(K, G) и, следовательно, можно образовать факторгруппы Zn(K,G)/Bn(K,G).
148 Элементы топологии... Определение 2.17. Группы Hn(K, G) = Zn(K, G)/Bn(K, G) на- называются n-мерными группами когомологий пространства К с ко- коэффициентами в G. Для групп когомологий справедливы с очевидными модифика- модификациями те же аксиомы, что и для групп гомологии. В следующем пункте мы докажем справедливость этих аксиом при реализации групп когомологий как пространства дифференциальных форм. 2.3.2. Группы когомологий дифференцируемых многообразий Группы когомологий дифференцируемых многообразий с коэффи- коэффициентами из поля вещественных или комплексных чисел можно вве- ввести с помощью внешних дифференциальных форм. Этот глубокий результат принадлежит де Раму [72]. Рассмотрим замкнутые дифференциальные степени к формы шк на многообразии Мп. Обозначим пространство замкнутых форм через Zk. Подпространство форм {шк} С Вк: ш = dr, где d - оператор внешнего дифференцирования, г принадлежит простран- пространству всех форм степени к — 1, называется пространством точных форм. Так как для оператора d выполняется свойство do d =.O, то можно образовать факторгруппу Нк = Zk/Bk, называемую группой когомологий де Рама многообразия М". Основная теорема де Рама утверждает, что группы де Рама Нк изоморфны группам когомологий клеточного разбиения многообразия М". Теорема де Рама позволяет сильно упростить вычисления групп когомологий многообразий, формулировки свойств групп когомологий и доказа- доказательства ряда классических теорем. Здесь мы должны отметить существенные различия между ко- гомологиями компактных и некомпактных многообразий М. Хотя основные определения формулируются независимо от того, ком- компактно М или нет, некоторые результаты, например конечномер- конечномерность пространства Hl(M,R), справедливы только для компакт- компактных многообразий. Природа этих различий читателю станет ясной, если он сравнит свойства гармонических функций на плоскости и сфере. Само понятие групп когомологий для некомпактных много- многообразий требует уточнения. Можно рассматривать как когомологий Н'(М), так и когомологий с компактным носителем Н'к(М). Если в определении групп когомолоий всюду подразумевать формы с ком- компактным носителем, то мы получим определение Н'к(М). Группы Нгк(М) нам понадобятся при формулировке теоремы двойственно- двойственности Александера (теорема 2.14), необходимой в теории зацеплений дефектов E.1.6). В остальном тексте используются обычные кого- когомологий, и, по существу, возникающие многообразия М компактны.
Теория когомологий 149 Теорию де Рама для некомпактных многообразий читатель найдет в [72]. Свойства групп когомологий Группы когомологий можно превратить в кольцо, если ввести операцию умножения на коциклах с помощью внешнего умножения форм: Определение с помощью форм позволяет легко проверить осно- основные свойства кольца когомологий. 1. Для любого многообразия Мп группа H°(Mn,R) есть линей- линейное пространство размерности q, где q - число связных компонент пространства Мп. Доказательство. Группа H°(Mn,R) есть по определению {f\df — 0}, т.е. / локально постоянна на каждом связном куске. Точных форм нет. ? 2. Используя известные свойства форм, легко доказать, что если задано отображение /: Mi —> М2, то определено отображение форм ш —» /*(w) такое, что диаграмма Id id wi —^ /*(wi) коммутативна. Отсюда следует, что определены отображения /»: Hk(M2,R) —* Hk(Mi,R), так как классы эквивалентности перехо- переходят друг в друга (замкнутые формы переходят в замкнутые, точные - в точные). 3. Пусть /х: Mi -» М2, /2: Mi -+ М2. Если отображения f\ и /г гомотопны, то отображения групп когомологий совпадают. Доказательство этого результата можно найти, например, в [32]. 2.3.3. Интегрирование дифференциальных форм С помощью интегрирования дифференциальных форм мочою уста- установить наиболее быстрым и естественным способом связь между группами когомологий и гомологии дифференцируемых многооб- многообразий, ввести глобальные топологические характеристики много- многообразия (характеристические классы) и т.п. Интегрирование дифференциальных форм с подробными до- доказательствами изложено в ряде книг (особенно подробно в [96] и [72]). Мы приведем лишь основные понятия и результаты, которые будут использованы в дальнейших главах.
150 Элементы топологии... Пусть qF - куб в евклидовом пространстве RF с длиной ребра е, т.е. qp = (t\...,tp) 0 < V < е, г = 1,..,р. Построим куб ф* в многообразии М. Пусть / - гладкое отображение f:qF—>U С М, где ?/ - координатная окрестность на М. Тогда фр'равен по опре- определению образу f(qp)- Локальные координаты точек из Qp будут функциями от t = (t1,...,tp). Рассмотрим цепь ср = J^ o,iQv (a, - вещественные числа),8 где QF - различные кубы в М. Определим границу цепи дср. Для этого достаточно опреде- определить границу отдельного куба QF —* dQp. Границей dQp будет по определению образ f(d qp). Граница же стандартного куба qp € № определяется естественно как Суммирование распространяется по всем граням куба. (Здесь qFo - грань ti = 0, qPc - грань t{ — ?.) Очевидно, что д о d{qp) = 0 (заметим, что определение ф-цепей с помощью кубов f(q) - один из вариантов построения теории когомологий). Так как доказано, что для многообразий все теории (клеточная, симплициальная и кубическая) эквивалентны, то ясно, что все кого- когомологические операции справедливы и для кубических разбиений. В частности, операция взятия границы переносится на цепи. Теперь рассмотрим компактные ориентируемые многообразия. Для неориентируемых многообразий этот метод не пригоден, а для некомпактных многообразий он требует некоторых дополнительных рассмотрений. Многообразие Мп можно разбить на кубы так, что оно превра- превратится в n-мерный цикл. Пусть ш{х) = ail...ip = dx'x Л.. .Adx'r - внешняя форма степени р, определенная в координатной окрестности U С Мп, содержащей Qp. Отображение /: qp —> Qp позволяет сопоставить форме ш(х) индуцированную форму (ftu>)(t), получающуюся при замене х на x(t), заданную на ^ С й'. Положим / ш= I Дш. B.11) JQP JqP Этот интеграл не зависит от выбора параметров t и поэтому кор- корректно определен. 8 Тем самым рассматриваются когомологий с вещественными коэффициен- коэффициентами. О соотношении между группами когомологий над различными обла- областями коэффициентов см. в [83].
Теория когомологий 151 Таким образом, каждая форма ш задает с помощью формулы B.11) линейный функционал - значение ш на р-мерном кубе, т.е. определяет коцепь. Интеграл B.11) по произвольной цепи ср = 2 aiQVi определим по линейности: Основная формула в теории интегрирования дифференциаль- дифференциальных форм - обобщенная формула Стокса, включающая все класси- классические варианты: формулы Грина, Гаусса - Остроградского, Сто- Стокса и т.п. Предложение 2.13. Формула Стокса. Пусть ш - форма степени р — 1, ср - р-мерная цепь. Тогда и). ЭсР Доказательство см. в [96]. Пример 2.7. (Формула Грина). Пусть U - область в R2, дЫ - граница, а и - 1-форма: и> = a(x,y)dx + b(x,y)dy, f J da дъ эй и Из формулы Стокса сразу же следует, что Hn{Mn,R) = R. Действительно, пусть и>п - замкнутая n-форма на Мп. Такая форма ш всегда существует: и> - элемент объема М". Так как М" является циклом, то класс когомологий порождается значением ш на Мп. С другой стороны, никакая n-форма и>п не когомологична нулю. Предположим противное, т.е. и>п = с/г", тп~1 - форма степени п — 1. Имеем j drn~l — j r" = 0 и, следовательно, Мп д Мп dr"'1 =0. О
152 Элементы топологии... 2.3.4. Структура алгебры дифференциальных форм На пространстве дифференциальных форм можно ввести различ- различные операции, позволяющие перенести всю теорию дифференци- дифференциальных операторов, заданных на Rn, на произвольные римановы многообразия. С другой стороны, с помощью форм можно дать ана- аналитическое изложение характеристических классов (§2.7). А) Скалярное произведение в пространстве форм. Пусть Мп - n-мерное вещественное ориентируемое компактное многообразие с римановой метрикой ds1 — gncdx'dxk. С помощью метрики дне можно ввести скалярное произведе- произведение для векторов ?, г/, принадлежащих касательному пространству ТМХ в точке х. Скалярное произведение определяется как Шп)=9гЛУ. B.12) Так как касательные векторы меняются как контравариантные тензоры, a gij - ковариантный тензор, то выражение B.12) не за- зависит от выбора системы координат на Мп. Определим теперь скалярное произведение для дифференци- дифференциальных форм. Начнем с форм первого порядка. Пусть ш = a.kdxk: a ip = bjdx3. Скалярное произведение форм (w|y>) определяется как Hv>=0*Wj, B.13) где дк* - обратная матрица к gjk- Коэффициенты форм и> и у являются ковариантными тензо- тензорами, и выражение B.13), аналогично B.12), не зависит от системы координат на Мп. Так как матрица </1J положительно определена и симметрична, то (oj\uj) > 0. Если метрика М" - евклидова (например, Мп - тор Т"), то Скалярное произведение двух однородных форм и>р И <рр сте- степени р определяется следующим образом. Пусть и>р = -7<V.i pdxil Л... Adi'', d! 1 B-14) <РР = —bj1..},dx31 Л ... Л dx>', тогда
Теория когомологий 153 (и>'№) = ^д^9{2}2...9^аг1..1рЬ}1..1р. B.15) Легко проверить, что форма {up\ipp) положительно определена (привести дх] к главным осям). Если степени форм ш и (р неравны, то положим (ш\<р)х = 0. Теперь скалярное произведение неоднородных форм определяется по линейности. Скалярное произведение двух форм, заданное в некоторой точ- точке х ? Мп, можно проинтегрировать по всему Мп и тем самым ввести скалярное произведение в пространство всех дифференци- дифференциальных форм ЛМ. Скалярное произведение в ЛМ определим как интеграл J\Ux\Vx)dV, B.16) м где dV - элемент объема, определяемый римановой метрикой: dV = Gdx1 Л ... Л dxn. Функция G выражается через определи- определитель метрического тензора по известной формуле = yjdet\\9ij\ Формула B.16) обладает всеми свойствами скалярного произ- произведения. Пополнение пространства ЛМ по этой норме превращает его в полное гильбертово пространство. Б) Операторы в ЛМ. В гильбертовом пространстве ЛМ можно ввести три пары со- сопряженных операторов, позволяющих задавать операторы, действу- действующие на формах, в инвариантном виде. I. Оператор *. Определим сначала действие оператора на так называемых базисных формах, т.е. формах ш, представимых в виде и> = dxl А ... Л dxp. Здесь dxx ... dxp - базис р-мерного подпространства Тр (М") в кокасательном пространстве Т*(Мп). Оператор * определяется следующими свойствами, задающими его однозначно. Пусть ш - базисная форма степени р; *и> - базисная форма степени п — р (п - размерность многообразия Мп). Тогда: а) пространство формы *и> ортогонально пространству формы
154 Элементы топологии... б\ п — р-мерный объем *и> равен р-мерному объему ш; в) ш Л *ш > О для выбранной ориентации М". Прииер 2.8. Оператор * обобщает свойство векторного произве- произведения. Если в трехмерном евклидовом пространстве R3 задать би- билинейную форму ш = dx1 Adx2, то *ш есть векторное произведение векторов формы и. Для произвольных форм и> форма *ш определяется в каждой точке многообразия Мп как (*и>х) — *(шх). Перечислим основные свойства оператора *. 1) * *и = (-1У{п~р)ш, B.17) где и> - однородная форма степени р. Доказательство. В силу линейности операции * достаточно до- доказать формулу B.17) для базисной формы w, представимой в виде ш — dx} Л ... Л dxp. Форма *ш записывается в виде dxp+l Л ... Л dxn, * * и = (~\ydxx Л ... Л dxp. Коэффициент 7 определяется из следующего соотношения: dV = dx1 Л ... Л dx11 = (*w) Л *(*ш) = = (~iydxp+x Л ... Л dx11 Л dx1 Л ... Л dxp = = (-ij^Pl-'-rt^i A...Adx'\ т.е. -у = р(п-р). Этот результат справедлив, естественно, и для любых форм, задан- заданных на Мп. О 2. Скалярное произведение двух форм и> и у можно записать в виде = / >Л*<р. B.18) Доказательство. Достаточно доказать равенство (и>х\(рх) ¦ dV = шх Л *<рх в любой точке х € Мп. Обе части равенства линейны по шх, v'i0) следовательно, достаточно проверить его для базисных форм ш — sxn Л ... Л dx'p, (р = da?''1 Л ... Л <fxJp, выбранных в точке
Теория когомологий 155 Имеем (u>\ip) = 1, если (iu...,ip) = (ji,...,jp), и (ш\<р) = 0 в противном случае. Если форма (р содержит хотя бы один дифференциал, входящий в и>, то {ш\(р} — 0. Если же ip = ш, то {и)\и>) — и> Л *ш = <fV. К разобранному случаю легко свести общий, заметив, что в про- произвольной точке многообразия риманову метрику gij можно приве- привести линейным преобразованием к главным осям. Детали читатель восстановит сам или же найдет в обширной литературе [105]. 3. Оператор * унитарен. Доказательство: (*и>\ *<р)= I *шЛ**<р = (-1)р("-р) J *w Л ip = — I ip Л *ш = (<р\ш) — (u>\ip). Так как * унитарен, то оператор *~1 сопряжен к *. 4. Оператор 6. С помощью оператора * можно построить оператор 6, сопря- сопряженный оператору внешнего дифференцирования d. Пусть шр~1 - форма степени р — 1, а <рр - форма степени р. Тогда имеем {(kj\ip) = Idu; A*ip. B.19) Преобразуем подинтегральное выражение, используя формулу дифференцирования внешнего произведения (см. 1.1.2.3): duf\*ip = d(u>/\*4>) + {-\)vuj f\d*y. B.20) Форма d(*ip) имеет степень n — р + 1; используя соотношение B.17), получаем d(*tp) = (-^("-p+D^-D * *d * <f. . B.21) Положим 6 = (-l)nr+n+1*d*<p. B.22) Тогда выражение B.19) переписывается в виде (du!\ip) = / d(u Л *ф) I /шЛ *6<р = (w\6ip), М М
156 Элементы топологии... так как интеграл от d(u> Л *<?>) равен нулю по формуле Стокса. Тем самым доказано, что оператор 6 сопряжен к оператору d и понижает степень формы на единицу: 6: Л*М-> Л*" А/. Основное свойство оператора 6: 6 о S = 0. Действительно, 8 о Sip = ± * d(*d*)tp = *(d о d) * ip ~ 0, т.к. d2 = 0. D Замечание 2.9. Из формулы B.22) следует, что если п четно, то S — — *d*nd= *E*. Если п нечетно, то 6 = (—1)р * d*. Пример 2.9. Вычислим оператор 6 в простейшем случае евкли- евклидовой метрики. Соответствующее компактное многообразие - тор а) Пусть ш - 1-форма: ш = didx1, тогда 6ш — — * с/* w = — * d(ui * dx') — — * ——-dx} Л *dx' = = - * I -тс-1 }dxl Л .. . Л <fa:n = - ( —- ) = divw. 6) u> ~ р-форма. u = a(x1,...,xn)dx1 Л... Adx", с/хр+1 Л ... Л dx" = j л ^p+i л ... Л da;" = их3 л ... Л dx1 Л ... Л dxp. II. Оператор внутреннего умножения. Третьей парой сопря- сопряженных операторов относительно скалярного произведения B.16), B.18) являются операторы внешнего Л и внутреннего J умноже- умножения форм. Оператор внешнего умножения Л - хорошо знакомый
Теория когомологий 157 оператор внешнего умножения дифференциальных форм: форма ш действует на форму <р как ш Л у; обозначим действие ш на <р как е(и)<р. Найдем оператор, сопряженный к е(ш). Пусть ш - форма степени s, а у - форма степени р. Имеем е(ш)ч> Л *ф = (-1)PV Л е(и>) *ф = (-1)PV А * *"* е(ш) * ф, т.е. оператор ( — 1)ря *~г е(ш)* на формах степени р + s есть со- сопряженный оператор к е(и>) на формах р + s. Положим q = р + s и определим оператор внутреннего умножения J(w) = ( — l)s'?+s' *-1 е(ш)* на формах степени q, J(u>) - сопряженный к е(ш) оператор. Оператор внешнего умножения степени s повышает степень формы на s, а оператор внутреннего умножения понижает ее на s. В ча- частном случае 5 = 1 оператор J был введен в 1.1.2.3. Оператор J(w) можно переписать в более удобном виде: На формах степени q: J(u>) = ( — l)'?+s'3 *-' е(ш)*. Мы заме- заменили оператор *-1 на (—1)(»+1)(п~»~1)* и отбросили в показателе степени четные числа. Мы привели операторы внутреннего умножения для полноты картины. Они важны при рассмотрении дифференциальных опе- операторов на многообразиях. В частности, связь операторов Ли с внешним и внутренним ум- умножением приведена в 1.2.2.3. III. Лапласиан. С помощью операторов d и 6 можно построить самосопряженный оператор второго порядка Л, действующий на формах ш, Д = (d + 6f = do6 + 6od. B.23) Этот оператор называется лапласианом, так как для многообра- многообразий с евклидовой метрикой на функциях он действует как обычный лапласиан: А = д(х1J д{хпJ' Этот результат сразу же следует из простой выкладки. Пусть ш = f(x\...,xn),d6 + 6d = 6d, Оператор Л обладает свойствами перестановочности, следующими из определения: Д<5 = ?Л, *Д = Л*, Ad = dA.
158 Элементы топологии... Определение 2.18. Форма и> называется гармонической, если A Предложение 2.14. Форма ш гармоническая тогда и только тогда, когда dui — Su> = 0. Если du> — 8ш — 0, то, очевидно, До; = 0. Обратное следует из соотношения 0 = (Аш\ш) = (dSu + Sdoj\oj) = (8ш\8ш) + (cLo\dw). Скалярное произведение положительно определено, поэтому 6ш — doj = 0. Столь же просто доказывается следующее предложение. Предложение 2.15. Пусть Hi С ЛМ - подпространство гармо- гармонических форм, Я2 - подпространство форм вида da и Н3 - под- подпространство форм вида 8C. Тогда: 1) Hi LHj приг-^j; 2) если ш ± Hi для всех i = 1,2,3, то ш = 0. Основной результат о пространстве форм на компактном мно- многообразии состоит в следующем утверждении. Предложение 2.16. Пространство /\М однозначно разлагается в прямую сумму пространств Hi(i = 1,2,3): ЛЛ/ = Я! + Я2+Я3. B.24) Доказательство см. в [72]. Существование ортогонального разло- разложения форм позволяет получить в виде следствия важное утвержде- утверждение о конечномерности групп когомологий компактных многооб- многообразий. Соответствующая фундаментальная теорема принадлежит Ходжу. Теорема 2.11. Каждая замкнутая форма ш когомологична един- единственной гармонической форме. Сопоставив этот результат с теоремой де Рама о когомологиях дифференцируемых многообразий, мы получаем, что пространства Hp(Mn,R)~Hf. Здесь Н\ - пространство гармонических форм степени р. В виде следствия сформулируем теорему двойственности Пуан- Пуанкаре. Теорема 2.12. Пространство когомологий компактного многооб- многообразия Мп -» Hp(Mn,R) изоморфно Hn-P(Mn,R).
Теория когомологий 159 Доказательство. Пространство р-мерных когомологий многооб- многообразия Мп порождается гармоническими формами степени р. Опе- Оператор * переводит формы и>р —» шп~р. Так как оператор Л комму- коммутирует с оператором *, то гармонические формы шч переходят при отображении * в гармонические формы шп~ч. ? Положим dimHp(Mn,R) — V. Числа V называются числами Бетти. Из теоремы 2.12 следует, что У — Ьп~р. Числа У совпадают с введенными ранее числами Бетти групп гомологии V. Это сле- следует из другой формулировки теоремы двойственности Пуанкаре. Теорема 2.13. Существует изоморфизм D: Нп~\Мп,Щ-> Hi{Mn,R). Доказательство теоремы см. в [105]. Я дам лишь набросок по- построения оператора D. Удобно определить действие D сразу на пространствах Я, = ?Я,-(МП,Я) и Я* = ?Я1(М*\Я). Про- i г странства Н# и Н* сопряжены относительно естественного скаляр- скалярного произведения (х|о/), где (х\и>) есть /и/ для и/ Е Нг(Мп, Д), z € Hi(Mn,R). Пусть wi G ЯП~!(М",Я). Определим линейный оператор D: wi —> г/ G Н{(Мп,К) по формуле / w = / W) Л « = (wi |w), где (wi |w) - скалярное произведение в пространстве форм. Тем самым мы построили отображение D: Hn~'(Mn,R) —> Hi(Mn,R). Теорему двойственности Пуанкаре можно сформули- сформулировать в следующем виде: Предложение 2.17. Диаграмма Hl(Mn,R) —v Я"-'(МП,Я), I I Hi(Mn,R) —> Hn-i{Mn,R) коммутативна. Замечание 2.10. а) Теорема двойственности Пуанкаре остается верной, если за- заменить поле коэффициентов Я любой областью коэффициентов Z, С.
160 Элементы топологии... б) В теоремах 2.12, 2.13 предполагалось, что М - компактное ориентируемое многообразие. Если же М неориентируема, то спра- справедлива следующая формулировка теоремы двойственности: В заключение мы сформулируем еще одно соотношение двой- двойственности, принадлежащее Дж.Александеру [54]. Оно понадо- понадобится при изучении зацеплений дефектов E.1.6.4). Сформулируем его в упрощенном виде. Пусть К - компактное подмножество сферы Sn. Теорема 2.14. (Александер) Hi-1{K,Z)*Hn-i(Sn\K,Z). ¦ B.25) Ограничения, налагаемые на множество К, довольно слабые. Например, К может быть конечным клеточным комплексом, dim К < п. Точные формулировки читатель найдет в [54]. §2.4. Соотношения между группами гомотопий и гомологии Группы гомотопий и группы гомологии и когомологий имеют как довольно разнообразные связи й соотношения, так и, естественно, принципиальные различия. (Например, группы гомотопий зависят, вообще говоря, от точки.) Начнем с отличий. 1. Первое и совершенно очевидное различие состоит в том, что с ростом размерности гомотопической группы по сравнению с раз- размерностью многообразия группы тг,(Мп) при i > п не тривиа- лизуются. Их вычисление становится все более сложной задачей. Напротив, группы Н{{Мп) и Н'(Мп) при г > п равны нулю. 2. Для гомотопических групп нарушается аксиома вырезания: Hq{X,A) ~ Hq{X\U ,A\U). Приведем простой пример, иллюстрирующий этот эффект. Пример 2.10. В качестве пространства X выберем сферу S2. Ра- Разобьем ее экватором S1 на две полусферы 5+ и S2. Выберем неко- некоторую фиксированную точку х и рассмотрим отображение гомото- гомотопических групп, отнесенное к этой точке:
Соотношения между группами гомотетий и гомологии 161 *,($?, S1)-*,^2, Si). Это отображение, индуцированное соответствующими вложениями, и есть отображение вырезания. Однако, как нетрудно видеть, это отображение изоморфно надстроечному отображению Фрейден- таля (см. 2.1.7), которое индуцирует гомоморфизм Е: Е: tt^S1) - тг?E2). Гомоморфизм Е в данном случае, очевидно, не является- изомор- изоморфизмом. Перейдем теперь к соотношениям между группами гомотопий и группами гомологии. 1. Пусть tti(M) - фундаментальная группа и Н\(М) - группа гомологии многообразия М. Тогда Н\(М) = 7ri(Af)/[7ri,7ri], где [^l»""г] ~ коммутатор группы ж\. Как мы видели, группа ttj(M) в общем случае не абелева, а группа Н\, как и все Hi, абелева. Если я"! абелева, то ttj — Н\. 2. Теорема Гуревича [103]. Знаменитая теорема Гуревича со- состоит в следующем. Теорема 2.15. Пусть ^i(X) — 0 для всех г < п, тогда пп(Х) = Нп(Х). Соотношения между гомотопическими группами и группами го- гомологии позволяют иногда сводить вычисления групп гомотопий к группам гомологии, которые вычисляются проще. Приведем теоремы о гомотопических группах групп Ли, иллю- иллюстрирующие это утверждение. Теорема 2.16. Фундаментальная группа полупростой компактной группы Ли G конечна. Так как tti(G) абелева, то tti(G) = #i(G). Достаточно доказать, что H1(G) = 0. Покажем, что на G не существует нетривиальной гармониче- гармонической 1-формы ш1. Воспользуемся следующим вспомогательным ре- результатом, представляющим самостоятельный интерес. Лемма 2.5. [105]. Пусть G - компактная группа Ли и Н - зам- замкнутая подгруппа, такая, что пространство G/H симметрическое. Тогда всякая дифференциальная 1-форма ш1, инвариантная отно- относительно действия G, - гармоническая (по отношению к инвариан- инвариантной метрике на G/H).
162 Элементы топологии... Компактная группа Ли G, естественно, является симметриче- симметрическим пространством. Используя лемму 2.5, достаточно доказать, что на G не существует двусторонне инвариантной ненулевой 1- формы ш1. Предположим, что форма и1 существует. Инвариантная 1-фор- ма ш1 ф 0 принимает ненулевое значение на некотором векторе v € TGe (е - единица в G), ш1 — 0 на п — 1-мерном подпростран- подпространстве V С Rn ~ TeG, dimG = п. Подпространство V инвариан- инвариантно относительно присоединенного представления Ad(G). Ортого- Ортогональное дополнение V1" одномерно и, следовательно, неподвижно относительно Ad(G). Рассмотрим отображение expF" —¦ G. Это отображение задает однопараметрическую группу, лежащую в цен- центре, что противоречит полупростоте группы G. ? Замечание 2.11. Полупростота группы G существенна, так как для компактных неполупростых групп (например, торов, нильпо- тентных групп и т.д.) 7Ti(G) может быть прямой суммой цикличе- циклических групп. Теорема 2.17. Пусть G - произвольная группа Ли: 7Г2(С) = 0. Здесь требование полупростоты уже не обязательно. Однако доказательство легко сводится к случаю компактной полупростой группы Ли G. Действительно, справедливо следующее утверждение, прина- принадлежащее Ивасаве [90]. Всякая односвязная группа Ли G раз- разлагается в произведение К AN, где К - компактная подгруп- подгруппа, А - односвязная коммутативная подгруппа, N - разрешимая подгруппа, гомеоморфная евклидову пространству. Отсюда сле- следует, что 7r2(G) = п2(К). Универсальная накрывающая компактной разрешимой группы Кг гомеоморфна евклидову пространству. Отсюда следует, что тг2(.К") = ттг(К\ х йг) = "^(Ai)) гДе К\ - компактная полупростая группа. Заметим, что для неполупростых компактных групп (например, торов) группы гомотопий не совпадают с группами гомологии. На- Например, я-,(Тп) = 0 при г > 1, в то время как Я,(ТП) ф 0 при всех i < п. Еще один пример различия этих групп. Переходим к доказательству теоремы 2.17, предполагая, что G - компактная полупростая группа. Так как я((?) = 7Г2(<5), где G - универсальная накрывающая группы G, то, воспользовавшись теоремой Гуревича, достаточно доказать, что H2(G) = 0.
Соотношения между группами гомотопий и гомологии 163 Из теоремы 2.16 следует, что G полупроста и компактна. Так как H2(G) = H2(G), то покажем, что на G нет замкнутых инвари- инвариантных 2-форм иJ, т.е. H2(G) = 0. Доказательство. Введем на группе G форму fi2 — X\u>2 + А25Г, где д — симметрическая положительно определенная форма, поро- порожденная киллинговой формой на G, а и2 - произвольная кососим- метрическая 2-форма. Форма д - риманова метрика на G. Пусть V - касательное пространство к G в точке е. 2-форма /22 задает отображение V —> V* (V* - сопряженное к V пространство), т.е. определяет линейный функционал l(v), где v € V. Рассмотрим подпространство Vi, на котором этот функци- функционал обращается в нуль. Так как форма ft2 инвариантна относи- относительно присоединенного представления AdG, то подпространство V\ также инвариантно относительно AdG; так как группа G по- полупроста, то представление группы G неприводимо. Поэтому про- пространство V\ либо нуль, либо - все пространство. Последнее исклю- исключено, так как форма ш2 кососимметрична, а д симметрична. Если /22 = 0, то ш2 — -уд, что невозможно. Полученное противоречие и доказывает теорему. Так как для полупростых односвязных компактных групп Ли (G) {G) 0, то k3(G) = H3(G). Теорема 2.18. ф 0. Доказательство. Так как Hs(G, R) = H3(G, R), то достаточно по- построить замкнутую инвариантную 3-форму, не равную нулю. По- Положим и>3(Х,У, Z) = ([X,Y]\Z). Здесь X,Y - левоинвариантные векторные поля на G. (X\Y) - двусторонне инвариантная рима- риманова метрика на G, [X, Y] - коммутатор векторных полей. Легко видеть, что форма и>3 двусторонне инвариантна и, сле- следовательно, замкнута и кососимметрична по всем трем перемен- переменным. Тем самым она определяет не равный нулю элемент группы H3(G,R). О Можно показать, что для простых групп n3(G) = Z.
164 Элементы топологии... §2.5. Степень отображения и индексы векторных полей Мы уже встречались эпизодически с понятием степени отображе- отображения (в примере 2.1) при вычислении фундаментальной группы окружности. Определение степени отображения было дано в 2.2.2 (гомологии). Здесь мы изучим это понятие более подробно. В ча- частности, установим связь степени отображения с основными гомо- гомологическими и гомотопическими характеристиками многообразия и дадим различные способы вычисления степени отображения. 2.5.1. Определения степени отображения. Примеры 1. Рассмотрим модельный пример: непрерывное отображение f -.S1 -*Sl Sl С С. Основные свойства отображений / : S1 —> S1 можно суммировать следующим образом. 1. Отображение / имеет степень deg / (число вращения), число оборотов, которое описывает кривая вокруг начала координат. 2. deg / - является инвариантом непрерывных деформаций. 3. deg / - является единственным инвариантом деформаций; если два отображения /i и /г имеют одинаковую степень, то они гомотопны между собой. 4. Существуют отображения с данной степенью. Можно дать несколько способов вычисления степени отображе- отображения. Одно из них, называемое дифференциальным, уже упомина- упоминалось. Это хорошо известное из курса комплексного анализа пред- представление 2m J /' Это определение справедливо для дифференцируемых фун- функций, но так как каждую непрерывную функцию можно аппрок- аппроксимировать дифференцируемыми (теорема Вейерштрасса), то это справедливо и в непрерывном случае. Второе определение состоит в следующем: рассмотрим отобра- отображение д — //|/| : S1 —> S1, аппроксимируем д дифференцируемым отображением и подсчитаем (алгебраически) число точек в прооб- прообразе точки общего положения. Оба эти определения допускают обобщение на отображения тг- мерных многообразий.
Степень отображения и индексы ... 165 Мы начнем со второго определения. Оно использовалось в §2.2 при определении отображения клетки а в клеточный комплекс. Определение 2.19. Степенью гладкого отображения связных ори- ориентированных замкнутых многообразий f : М -+ N называется = J>gndet IM j , уо € N,x3 ? MJ(xj) = yQ. B.26) Корректность этого определения следует из теоремы. Теорема 2.19. Степень отображения не зависит от выбора регу- регулярного значения точки у0 и не меняется при гомотопиях. Доказательство. 1. Докажем сначала, что если отображение / : М —> N гомотопно д : М —> N, то deg / = deg д для любого общего регулярного значения у ? N. Рассмотрим гомотопию Ft = М х [0,1] —> N такую, что Fq(x) = f(x),F\(x) = g(x). Пусть у - общая регулярная точка, у € N, отображения Ft (такая точка всегда существует по тео- теореме Сарда [26]). Ее прообраз F~1(y) состоит из конечного чи- числа гладких кривых, часть из которых кончается на "сторонах" М х О, М х 1, а остальные замкнуты. Прообразом окрестности точки у будут трубчатые окрестности прообраза точки у. Так как вклад в степень отображения дают только кривые, кончающиеся на сто- сторонах М хО и М х1, то рассмотрим только охватывающие их трубки. Эти трубки можно разбить на диски, нормальные к осевой кривой. Выберем одну из трубок с основанием на М х 0 и "пой- "пойдем" по ней. Основание трубки - диск D - отображается с некото- некоторую окрестность U С М с определенной ориентацией, например, положительной. Так как ориентация дискретна, а отображение не- непрерывно и кривая 7 состоит из регулярных точек, а трубчатая окрестность достаточно мала, то ориентация на дисках не может измениться при движении по кривой. Если эта кривая вернется на М х 0 при значении параметра t = 1, то соответствующий диск приклеится к диску основания с противоположной ориентацией, а если кривая ~у кончается на М х 1, то - с той же ориентацией. Аналогичная картина получается и для кривых, начинающихся на М х 1. Таким образом, число дисков с положительной ориента- ориентацией и число дисков с отрицательной ориентацией на основаниях М х 0 и М х 1 одно и то же и равно числу трубок, идущих отМхО ¦ц?Й х 1 (учитывая знаки). Это и означает, что deg / = deg g, 2. Если у и z - две различные регулярные точки € N отобра- отображения / : М —+ N, то построим изотопный тождественному диф- диффеоморфизм h : N —+ N, переводящий у —> z. Тогда h сохраняет
166 Элементы топологии... ориентацию и deg(/, у) = deg(/i о /, z). Отображения / и h о / гомотопны и, следовательно, deg(/, у) = deg(/, z). Замечание 2.12. Для неориентируемых многообразий понятие знака якобиана нельзя инвариантно определить в окрестности ре- регулярной точки. Степень отображения определена лишь как вычет по mod 2. Определение степени отображения для многообразий с краем. Предположим, что даны отображения (М, д М) —+ (N,dN) так, что граница дМ переходит в границу ON. Справедлива Теорема 2.20. Степень отображения края совпадает со степенью отображения самого многообразия: Доказательство основано на следующем наблюдении. Можно построить гладкую гомотопию отображения / : М —> N таким образом, чтобы ни одна внутренняя точка из М не отображалась в край ON. Выберем теперь регулярную точку у на dN и рассмо- рассмотрим ее полный прообраз /-1(у), лежащий в дМ. Если сдвинуть точку у в малую трубчатую окрестность dN, то соответствующие точки прообраза будут лежать в трубчатой окрестности дМ. Так как число прообразов и их знаки не меняются при этой деформа- деформации, то deg / и deg // QM совпадают. Детали доказательства см. в [32]. Перейдем теперь к обобщению на n-мерный случай второго определения степени отображения. Пусть Мп и Nn - замкнутые ориентируемые многообразия размерности п, а / : Мп —» ./V" - гладкое отображение сте- степени q: deg g = q. Выберем на Л^" дифференциальную форму Q ранга п. Эта дифференциальная форма в локальных координатах Уа 6 Nn, уа = (у'а) представима в виде П = Va{y) dyla Л ... Л dy%. Определены интегралы f J? и //*(i^) от формы /»(J?), имеющей N N (локально) вид: /,(/?)= ^«(/(а:)) dx\ Л ... Л dxn0 ¦ det ( Jjff ) в об- ласти координат аг^(хд) такой, что f(xL) С (у'а)- Справедливо следующее предложение.
Степень отображения и индексы ... 167 Предложение 2.18. J f.{n)=degfjn. B.27) М N Доказательство оставляем читателю, см. также [32]. Рассмотрим конкретные вычисления степени отображения в не- некоторых интересных частных случаях. Степень векторного поля на поверхности. Пусть Мп - компактное n-мерное многообразие с краем д М. Определение 2.20. Гауссовым, сферическим или нормальным отображением называется отображение f:dM-*Sn-\ которое получается из следующей конструкции: каждой точке х € д М поставим в соответствие единичный вектор, нормальный к <9 М в точке х и направленный наружу многообразия М. Вычислим степень гауссова отображения для замкнутой гипер- гиперповерхности Q, лежащей в R3. Зададим поверхность Q локально,в параметрическом виде: xa =xa{u\u2). На сфере S2 определена замкнутая 2-форма Q - элемент площади S2 (в n-мерном случае - форма объема Sn): 1 хЧх2 Л dx3 - x2dx1 Л dx3 + x3dx2 Л dx1 ~ 47Г ((Х1J+(Х2J+(Х3J)! ¦ • ¦ • * > Множитель — получается из условия нормировки площади сферы ! = 1. B.29) Из предложения B.18) и вида формы п B.28), B.29) следует, что для любого векторного поля ? на замкнутой гиперповерхности Q степень гауссова отображения / равна J/»(J?).
168 Элементы топологии... Так как степень гауссова отображения не зависит от вида поля (существенно лишь предположение невырожденности), то доста- достаточно вычислить интеграл //»(J?) для нормального единичного поля п(х), направленного во внешнюю сторону от Q. Эту выкладку (в локальных координатах) читатель может про- проделать самостоятельно или найти в [32]. Заметим, что соответству- соответствующий результат можно получить, воспользовавшись общими свой- свойствами риманова многообразия, специализированного для двумер- двумерной поверхности. Так как на двумерной поверхности всегда суще- существует риманова метрика и соответственно только одна, согласован- согласованная с ней симметрическая связность, то форма кривизны- Qi2 ра- равна du>i2, где ш\2 - форма связности. При гауссовом отображении / форма J? переходит в форму {2\2- Эта форма очевидно пропор- пропорциональна элементу площади поверхности Q : fi\2 — К dS, где К - скалярная функция. Коэффициент А' есть гауссова кривизна поверхности Q. На двумерной поверхности Q можно выбрать геодезическую си- систему координат: ds2 — dx2 + д(х, у) dy2, Полагая сечения в кока- сательном расслоении в\ = dx и 92 = 9 dy, получаем ортонорми- рованный базис в окрестности любой точки х € Q. Уравнения Картана для форм связности d0i =ш12Л02, de2 - -ш12/\вг B.30) имеют единственное решение: u>i2 = ( g?J dy = gxdy, (-^ — gx\. Отсюда следует, что п\2 = |^f dx/\dy = -{gZx/g)dS. Гауссова кривизна К выражается формулой К =- —. B.31) 9 Окончательный результат суммируем в следующе утверждении. Предложение 2.19. Интеграл от гауссовой кривизны по замкну- замкнутой поверхности равен, с точностью до нормировочного множителя, степени гауссова отображения поверхности. Этот результат обобщается на n-мерный случай, лишь вмести гауссовой кривизны вычисляется скалярная кривизна К многооб- многообразия.
Степень отображения и индексы ... 169 2.5.2. Индекс векторного поля Понятие степени отображения находит замечательные приложения при изучении особых точек векторных полей на многообразии. Пусть ?(х) - векторное поле, заданное на многообразии М в окрестности некоторой точки Xq. Точка хо называется особой точ- точкой, если ?(хо) = 0. Точка Xq называется изолированной осо- особой точкой, если в некоторой малой ее окрестности ?(х) ф 0 при х ф хо, и невырожденной, если в окрестности Хо якобиан J =det (J&) L ф о- Следующее утверждение вытекает из теоремы о неявных фун- функциях. Если хо не вырождена, то она изолирована. Определение 2.21. Индексом невырожденности особой точки хо называется знак Ind х0 = sgn det Ai,..., An - собственные значения якобиевой матрицы. Для градиентного векторного поля v = grad /, Indu = ( — ] где /(хо) равняется числу отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы d?f\Xo. Это число называется индексом Морса функции / в невырожденной критической точке Xq, Индекс Морса будет обсуждаться в пункте 2.5.3. Дадим определение индекса, применимое и для вырожденных особых точек. Пусть Q? = S" - сфера малого радиуса ? > 0 окружающая особую точку хо так, что векторное поле не обращается на сфере в нуль. Для Qe (сферическое) гауссово отображение Г . /~\ СП —1 Определение 2.22. Индексом изолированной особой точки хо век- векторного поля ? называется степень гауссова отображения f B.32) Для невырожденных точек это определение совпадает с преды- предыдущим. Набросок доказательства.
170 Элементы топологии... Достаточно заметить, что в малой окрестности точки ю поле ? гомотопно линейному векторному полю х = Ах, причем в процессе гомотопии все поля ?(x,t) обращаются в нуль только в точке х0. Предположим, что такая гомотопия построена. Тогда достаточно вычислить степень отображения / = deg А. Степень отображения A,degA, на единичной сфере равна ±1 и определяется знаком det А: если det А > 0 (т.е. сохраняется ориентация), то deg A = 1, и det А = — 1, если det А < 0. Детали доказательства см. в [4]. Классификация особых точек по собственным числам матрицы А = J|j- приводит к хорошо известной классификации особых точек векторных полей, известных из курса дифференциальных уравнений (см., например, [4]). Основная теорема, характеризующая глубокую связь индексов особых точек векторных полей с топологией многообразий, была открыта А.Пуанкаре для двумерных многообразий и Х.Хопфом в n-мерном случае. Мы сформулируем несколько вариантов соответствующих тео- теорем. Теорема 2.21. Пусть ? - векторное поле на n-мерной замкнутой гиперповерхности Q, направленное наружу, и х\,...,Хк - изоли- изолированные особенности поля ? внутри Q. Тогда сумма индексов этих особенностей, ^Inda;,-, равна степени гауссова отображения Доказательство. Вырежем шар радиуса ?, вокруг каждого нуля поля ? получим новое многообразие с краем. Отображение ? = |||д\| переводит это многообразие в Sn~i. Сумма степеней ограни- ограничений отображения ? на различные компоненты края равна нулю. Но ?|q гомотопно /е. Действительно, рассмотрим поле inZtu+tfi ¦ Знаменатель ни- нигде не обращается в нуль, так как ни в одной точке х 6 Q напра- направление одного из этих двух полей не противоположно направлению другого. С другой стороны, сумма степеней ограничений на дру- другие компоненты края равна — ^Indxi. Знак минус стоит перед суммой потому, что ориентация маленькой сферы S" как гра- границы многообразия D"(x) в X\D"{x) противоположна ориентации S"~l(x) как края D"(x). Таким образом, имеем Топологическая природа теоремы об индексе векторных полей станет явной после введения нового топологического инварианта
Степень отображения и индексы ... 171 - эйлеровой характеристики многообразия и суммы индексов век- векторных полей. Введем несколькими способами эйлерову характеристику. 2.5.3. Эйлерова характеристика Эйлеровой характеристикой многообразия Мп называется вели- величина (М) х(Мп) = ]Г(-1){гапк ЩМп), i = 0,...,n,n = dim Af. Геометрическое определение эйлеровой характеристики тре- требует некоторых фактов из теории пересечений. Пусть Рг и Qs - два замкнутых подмногообразия Мп размер- размерности г и з соответственно. Согласно теореме 1.1 (Уитни) можно всегда считать М евклидовым пространством достаточно большой размерности. Подмногообразия Рт и Qs называются трансверсально пересе- пересекающимися (или находящимися в общем положении), если в любой точке х € Рт П Q9 касательные пространства ТХРГ и TXQS поро- порождают касательное пространство к М. Отсюда, в частности, следует, что в общем положении пересе- пересечение Рг П Q3 есть гладкое (г -f s — п)-мерное подмногообразие. Пример 2.11. Прямая Р1 и плоскость Q2 в трехмерном про- пространстве пересекаются трансверсально, если прямая Р1 пересе- пересекает плоскость Q2 не под нулевым углом, т.е. не лежит в плоскости Q2- Если сумма размерностей двух подмногообразий Рт и Q3 есть г + s = п, то в общем положении они пересекаются по точкам. Если М, Р, Q ориентированы, то каждой точке пересечения а;, приписы- приписывается знак по следующему правилу. Пусть rf - ориентирующий касательные репер к Рг в точке Xj\ а т? - ориентирующий репер к Q' в точке Xj\ точке Xj приписывается знак плюс, если объе- объединяющий репер г = (rj, т?) является ориентирующим для Мп в точке Xj. В противном случае приписывается знак минус. Этот знак обозначается через sgn x}{P о Q). Определение 2.23. Индексом пересечения многообразий Pr,Q" называется целое число
172 Элементы топологии... где т равно числу точек пересечения. В неориентируемом случае Ind(P о Q) определяется как вычет по mod 2 числа точек пересечения. Свойства индекса пересечения. 1. Ind(Q о Р) = (-l)"Ind(P о Q). Доказательство очевидно.- 2. Если подмногообразия Q\ и Q2 гомотопны, то их индексы пересечений с любым Р совпадают: Ind(Qi oP) = Ind(Q2oP). Доказательство этого результата весьма близко к доказательству те- теоремы об инвариантности степени отображения при гомотопных преобразованиях (см. [32]). Мы получим этот результат в как след- следствие более общей теоремы. Простым следствием этой теоремы будет Предложение 2.20. Индекс пересечения двух замкнутых подмно- подмногообразий Р и Q евклидова пространства равен нулю. Доказательство. Сдвинем Q на вектор а так, чтобы Q + а не пересекалось с Р. Это возможно, так как Q компактно Q + а гомо- гомотопно Q, a Ind(Q + а) о Р = 0. Суммарная особенность векторного поля. Пусть задано касательное векторное поле ? на многообразии Рг. Рассмотрим пространство линейных элементов N = (л:,?), где х - точка Рг, а ? - вектор в точке х. Векторное поле определяет вложение / : Рг —+ N по правилу f^(x) — (x,?(x)). Обозначим образ этого вложения через Р(?). Многообразие Р@), отвечающее нулевому векторному полю, будем отождествлять с Р. Векторное поле ? называется полем общего положения, если многообразия Р и Р(?) находятся в общем положении. Векторное поле имеет в этом случае лишь изолированные особые точки (t - регулярность). Если многообразие Р ориентировано с помощью ре- репера тт в точке х, то N также ориентировано с помощью репера (тг,тг) в точках (х,?). Лемма 2.6. Все особые точки Xj поля общего положения ? невыро- невырождены. Знак особой точки Xj как точки пересечения Р@) П P(Q, входящей в определение индекса пересечения, совпадает с индек- индексом особой точки векторного поля ? : Ind ? = sgn det
Степень отображения и индексы ... 173 Доказательство см. в [32]. Из леммы следует, что сумма ин- индексов касательного векторного поля равна индексу пересечений многообразий Р и Р(?). Чтобы доказать аналогичное утвержде- утверждение для произвольного векторного поля общего положения rj до- достаточно доказать, что rj можно гомотопировать в ?. Это легко по- показать, так как любое поле можно гомотопировать в нулевое поле ?0) A Ж) ?0) ( Ж) Отсюда следует, что вложения Р С Р(?) и Р С P(v) гомо- гомотопны, и поэтому из теоремы (об индексе,пересечения) вытекает, что индексы Ind(P о Р(?) и Ind(P о Р(г?) равны. Из этого результата можно получить ряд интересных следствий. Предложение 2.21. Если dim Рг нечетно, то сумма индексов век- векторного поля на замкнутом ориентируемом многообразии Рг равна нулю. Доказательство. Из свойства 1) следует, что Ind(P@)oP(?)) = (-l)r2 Ind(P(?) о Р@)) = -Ind(P(O о Р@)). С другой стороны, так как векторные поля 0 и ? гомотопны, то Ind(P@) о Р(?)) = Ind(P(OoP@)).D Следствие 2.1. Для любой гладкой функции / с невырожденными особыми точками Xj на замкнутом ориентируемом многообразии Мп выражение ^2(—1)'^-х^ не зависит от выбора / и равно нулю, х> если dim М нечетно. Здесь i(xj) - индекс особой точки Xj, т.е. чи- число отрицательных квадратов формы d2/| . Это вытекает из опре- определения индекса особых точек поля grad /. Изучим теперь свойства функций с невырожденными критиче- критическими точками - функций Морса. Важное свойство функций Морса, указывающее на связь инг дексов векторных полей с топологией многообразия, заключено в равенстве '() B.33) где Cj(Im) - число критических точек индекса г(хт). Доказательство этого утверждения сводится к установлению эк- эквивалентности определения эйлеровой характеристики через груп- группы гомологии и следующего определения. Определение 2.24. Пусть Рг С N - подмногообразие, вложенное в пространство линейных элементов как нулевое поле, и Ре - сдви-
174 Элементы топологии... . нутое подмногообразие, так что Р и Ре пересекаются трансвер- сально. Эйлеровой характеристикой многообразия Р называется индекс самопересечения диагонали А{х, х) в прямом произведе- произведении Р х Р : х(Р) = Ind(A о А). Доказательство равенства B.33) разбивается на два этапа. 1-й этап. Требуется доказать, что определение эйлеровой ха- характеристики х(М) как индекса пересечения диагонали эквива- эквивалентно определению индекса касательного поля. 2-й этап. Эйлерова характеристика x(-^Oi определенная как альтернированная сумма рангов групп гомологии, совпадает с х(М), вычисленной через индексы Морса. Доказательство первого утверждения. Пусть ? - касательное поле, заданное в точке х € М. Определим с помощью ? малый сдвиг диагонали А в М х М : (а;, х) —> (х,х'), где х' = х + f dt. Точки самопересечения диагонали А и есть особые точки век- векторного поля ?. Теперь легко найти индекс А. Он равен пересече- пересечению многообразий у = хсу = х + Ах. С другой стороны, Ind A равен Ind ? = Ind ? поля ? = х' = Ах, Индекс векторного поля ? равен 1, если det А > 0 и — 1, если det A < 0. Но это и есть индекс поля ?. Теорема 2.22 (Морс). Пусть /(х) - функция на М с невырожден- невырожденными критическими точками. Число критических точек /(х) ин- индекса i равно С|. Тогда Доказательство. Рассмотрим градиентное поле grad / на М в окрестности точки х = х0 : /(х) = Дх0) — (а:1J — ... — (х1J + (хг+1J + ... + (хпJ, Ind grad/ = (—1)', где Хо - критическая точка индекса г. Но сумма индексов критических точек поля v = grad / равна х{М). D При доказательстве теоремы Морса заранее предполагалось су- существование функции / с невырожденными критическим точками. Доказательство существования на каждом компактном многообра- многообразии такой функции также принадлежит Морсу [52]. Обычно эйлерову характеристику х{М) определяют как (-lI dim Я<(М,Д). B.34) Доказательство равенства
Степень отображения и индексы ... 175 -!)* dim Hi(M, R) = ]Г(-1Ус; следует из замечательной теоремы Морса о перестройках. Мы при- приведем только формулировку этой теоремы. Доказательство и раз- различные топологические следствия из этой теоремы см. в книге Мил- нора [52]. Для формулировки теоремы нам понадобится одно понятие: Пусть / - действительная функция на М. Обозначим через Ма множество f~1[—oo,a] = {х € М : f(x) < а}. Теорема 2.23 (теорема Морса о перестройках). Пусть / - фун- функция Морса на М. Если каждое из Ма компактно, то имеет гомото- гомотопический тип клеточного комплекса, в котором каждой критической точке с индексом г соответствует одна клетка размерности i. Результаты предыдущего пункта допускают различные прило- приложения и обобщения. Мы приведем несколько примеров. Некоторые их них используются в дальнейших главах, и мы рассмотрим их более подробно. Пример 2.12. Начнем с классического результата. Основная те- теорема алгебры: а) всякое алгебраическое уравнение P{z) = 0, z ? С, имеет по крайней мере один корень; б) уравнение P(z) = anzn + ...+aiz+ao — 0 имеет п корней. (Покажите, что отображение S2 —» S2, задаваемое многочленом P{z), гомотопно: Pi(z) = anzn, и найдите его степень). Пример 2.13. Эйлерова характеристика двумерной замкнутой ориентируемой поверхности х{М2) =2 — 2д, где д - род поверхно- поверхности. Отсюда сразу же следует, что на любой поверхности, отличной от тора Т2, касательное векторное поле имеет по крайней мере идну особую точку. Аналогичные соображения позволяют доказать следующий факт. Пример 2.24. Внутри предельного цикла на плоскости всегда есть положение равновесия. Пример 2.15. На замкнутом нечетномерном многообразии М2к+1 всегда существует поле без особенностей. Докажем сначала, что х(М2к+1) = 0. Пусть / - функция Морса на М2к+1. Тогда х{М2к+1) = cq — с\ + ... + C2fc+i. Но для функции —/ имеем c2t_i — ... — с0 = -х(М2к+1), т.е. x(M2fc+1) = 0. Следовательно, на М2к+1 суще- существует по крайней мере одно невырожденное поле grad /.
176 ¦ Элементы топологии... Пример 2.16. Векторное поле на многообразии с краем. Пусть Мт Сйп- гладкое многообразие с границей (краем) дМ. Рас- Рассмотрим на М касательные векторные поля со следующими свой- свойствами (*): Поле имеет конечное число нулей, и на границе оно направлено наружу. Мы хотим найти аналог теоремы Пуанкаре - Хопфа для многообразий М с QM j^0- Для этого полезно ввести дубль М многообразия М. Дубль М получается из М приклеи- приклеиванием второго экземпляра многообразия М по краю дМ. При приклеивании копии М по границе д М каждая точка QM ото- отождествляется со своей копией на краю второго экземпляра. При этой склейке получится m-мерное многообразие М без края. Построим на М поле v со свойствами (*). Тогда ясно, что х(М) — 2 2~\ In(i vi если dim M четна, = 2 5, Incl v ~~ х(д М) = 0, если dim M нечетна. Прежде чем переходить к следующему примеру, нам следует ввести два определения (впрочем, достаточно известные [99]). Пусть 7 - замкнутая кривая, ограничивающая область Ы € R2, и ? - векторное поле в Ы- Пусть в области U нет особых точек поля ? и поле ? не обращается в нуль на -). Определение 2.25. Индексом Ind ? доля ? на -у называется сте- степень гауссова отображения degn(x) : п(х) = ?(х)/\?(х)\. Этот ин- индекс совпадает со степенью отображения S1 —> S1, где Ind ? = deg n о 7. Если в области Ц есть особые точки, то определение требует естественной модификации: надо выкинуть особые точки поля ? и рассмотреть область Ц\е(х{), где ?(х{) диски радиуса ?, окружа- окружающие особые точки. Определение 2.26. Пусть -у - замкнутая гладкая кривая, окружа- окружающая односвязную область U, и поле ? касается границы -у только в конечном числе точек yi,...,yn- Точка г/; называется точкой вну- внутреннего (внешнего) касания траектории y(t), если решение ура- уравнения У = ?, 2/@) = Ух для ? > \t\ > 0 расположено в U или в R2 \ Ц соответственно.
Инвариант Хопфа 177 Теорема 2.24. Пусть ? - гладкое векторное поле на плоскости В?, L - гладкий контур в R2, J - число точек внутреннего касания поля ? и контура L, Е - число точек внешнего касания. Тогда Из этого результата вытекает интересное следствие. Следствие 2.2. Пусть х0 - единственная особая точка градиен- градиентного поля grad / (точка xq изолирована, но может быть вырожден- вырожденной). Тогда Ind grad / < 1. Доказательство теоремы содержится, например, в книге [99], по- поэтому мы его опускаем. Для доказательства следствия достаточно заметить, что у градиентного поля Е > J. Этот результат находит применение при описании особенностей жидких кристаллов смек- тического типа [207]. Степени отображения и индексы векторных полей допускают различные нетривиальные многомерные обобщения. С ними мы встретимся в следующих параграфах. Сейчас перейдем к одному их ключевых примеров в топологии многообразий, иллюстрирующему силу и разнообразие топологи- топологических применений, - расслоению Хопфа. §2.6. Инвариант Хопфа В этом параграфе будут изучены инварианты отображений сферы 52„-1 ^ 5п B 35) 2.6.1. Расслоение Хопфа Первым нетривиальным примером является отображение S3^ S2. B.36) Доказательство нетривиальности группы 7ГзE2), принадлежа- принадлежащее Х.Хопфу, было первым крупным успехом теории гомотопий. В
178 Элементы топологии... дальнейшем многочисленные обобщения и углубления этого откры- открытия стали основой многих современных достижений топологии. Учитывая исключительную важность расслоения B.36), мы рассмотрим его с различных точек зрения и посмотрим, как те- техника, развитая в предыдущих главах, работает здесь. В виде фи- физического примера рассмотрим появление этого расслоения в не- нескольких задачах механики. Приложения к физике конденсирован- конденсированных сред и теории поля см. в главах 4, 5. Докажем, что 7ГзE2) = Z. Доказательство сразу же следует из точности последовательно- последовательности гомотопических групп: ж^1) -> 7n(S3) -> in(S2) - n-tiS1), для г > 3 имеем О -* 7r,-(S3) -> тг,-E2) -+ 0, в частности, it3(S2) = Z. Построение расслоения Хопфа. Гомотопические классы отображений S3 —> S2 характеризу- характеризуются группой целых чисел Z. Каков геометрический смысл этих отображений? Покажем, что все расслоения S3 —+ S2 можно получить ком- комбинацией отображений / : S3 -+ S2 и специального отображения р : S3 —+ S2, называемого расслоением Хопфа. Представим S3 как пару комплексных чисел B1,22) так, что l2i|2 + 1^212 = 1- Поставим в соответствие паре B1,22) точку z\/z2 — w, где w - точка комплексной плоскости. Отображение B1,22) —* w продолжается на пополнение плоскости С бесконечно удаленной точкой оо(г2 = 0); таким образом получаем отображение S3 —> S2 - сферу Римана. Очевидно, что при этом отображении точки вида exp(i(f'Ji,exp(iV'J2 переходят в одну и ту же точку w. Поэтому слоем отображения S3 —> 52 будет множество точек А = ехр(г V5) - единичная окружность S1. Мы получили расслоение р : S3 —* S2 со слоем S1. Легко ви- видеть, что это расслоение не тривиально, т.е. не эквивалентно пря- прямому произведению: Простейший способ в этом убедиться - вычислить гомотопическую группу, например tti или тгг от обеих частей : тг2E3) = 0, tt2(S2 xSl) = Z.
Инвариант Хопфа 179 Второе доказательство геометрически иллюстрирует вычисление 7TiE3) и ir\{S2 х S1). Любую окружность в S3 можно стянуть в точку S3, а в S1 х S2 - нельзя. Предложение 2.22. Множество классов гомотопических отображе- отображений S3 —* S2 является композицией отображений / : S3 —» S3 и отображений Хопфа р : S3 -+ S2. Доказательство следует из теоремы 2.1, примененной к рассло- расслоению S3 -* S2 (см. 2.1.2). Теперь мы изучим различные свойства расслоения Хопфа. Коэффициенты зацепления. Пусть / - гладкое отображение S3 —» S2, а уо и у\ - регулярные точки S2, и Mq,M\ --прообразы точек г/о и гц, равные f~l(yo) и f~1(yi)- Определим число Я(/) = {M0,Mi} - коэффициент зацепления прообразов. Из определения регулярности следует, что /-1B/i) ~ S1. Дадим определения коэффициентов зацепления (или индексов зацепления). Определение 2.27. Коэффициентом зацепления двух кривых -yi(t),i = 1,2, лежащих в евклидовом пространстве R3 и не пе- пересекающихся друг с другом: ~yi(t) = r{(t),0 < t < 2тг (г - радиус - вектор точки в R3), называется число {7ь72} * /|([^Ыпр) 4тг J J \Г r2 \ 71 72 Следующее свойство коэффициента зацепления, сформулиро- сформулированное в виде теоремы, дает эквивалентное гомологическое опре- определение индекса зацепления. Теорема 2.25. а) Коэффициент зацепления является целым чи- числом. Он не меняется при непересекающихся деформациях зам- замкнутых кривых 71 и 72- б) Пусть F : D2 —» R3, совпадающее с 71 на границе S1 = QD2 и находящееся в общем положении (t - регулярность) на кривой 72 • Тогда индекс пересечения Iad(F(D2) П72) равен {7ь7г}- Набросок доказательства. Замкнутые кривые 71W и 72 W определяют двумерную ориен- ориентированную поверхность 71 х 72 : C*i>*2J —> (''l(*i),^2(^2)) в R6. Пусть кривые 71 и 72 не пересекаются. Тогда определено отобра- отображение
180 Элементы топологии... B-38) Степень этого отображения и задается интегралом B.37). Следо- Следовательно deg V - целое число. Так как deg У не меняется при гомо- топиях, то а) доказано. Для доказательства пункта б) достаточно вычислить интеграл B.37), когда 71 и 72 ~ окружности, зацеплен- зацепленные ортогонально (т.е. 71 лежит в плоскости (а;, у), а 72 в плоскости (у, z)). Детали см. в [32]. Из теоремы 2.25 следует, что по аналогии с коэффициентом зацепления двух кривых можно определить коэффициент зацепле- зацепления двух многообразий Мк и N1. Пусть Мк и N1 - два замкнутых гладких многообразия (dim Мк = к и dim JV' = /), а / и д - их не- непрерывные отображения в евклидово пространство Д*+'+1, причем множества f(Mk) и g(N') не пересекаются. Пусть Sk+I - единич- единичная сфера в Rk+l+l с центром в нуле и ориентацией, которую она имеет как граница шара. На Мк х JV' зададим также ориентацию. Тогда можно определить коэффициент зацепления многообразий f(Mk) и l Определение 2.28. Коэффициентом зацепления k(f(Mk),g(N1)) многообразий Мк и N1 называется степень гауссова отображения MkN'-+ Sk+l. Для построения отображения х(я,г/),х € Мк,у € N1, по ана- аналогии с формулой B.38) надо взять отрезок, идущий из точки f(x) в <?(у)> f{x):9{y) € Rk+l+1, снести его параллельно самому себе в точку 0 и взять точку пересечения этого отрезка с 5*"*"'. Если многообразия Мк и N1 являются подмногообразиями Л*+'+1 и отображения / и д - тождественные, то коэффициент зацепления обозначается k(M,N). Следующие свойства коэффи- коэффициента зацепления очевидны: 1. Если многообразия f(M) и g(N) не пересекаются при гомо- топии ft и gt, то коэффициент зацепления не меняется. 2. Косая коммутативность коэффициента зацепления k{g{Nl)J{Mk)) = (-l)(k+1W+1h(f(Mk),g(N1)). B.33) Для доказательства B.39) рассмотрим отображение г) : М х N —> N х М, переводящее точку (х,у) —»• (у,х). Легко видеть, что ото- отображение х' '¦ N х М —* Sk+l есть композиция отображений : т], антиподального отображения е сферы Sk+l в себя (каждая точка
Инвариант Хопфа 181 сферы переходит в диаметрально противоположную), и гауссова отображения х : -W х N —> 5*+': B-40) cleg rj = (—1)*', a deg е равна (—l)k+l+1, откуда и следует B.39). Упражнение 2.8. Покажите, что ориентируемость RP" опреде- определяется степенью антиподального отображения ? : S" —> S". Коэффициенты зацепления играют важную роль при изучении дефектов в жидких кристаллах и сверхтекучих жидкостях. Не ме- менее интересные приложения существуют и в физике полимеров и в теории ДНК [98]. Соответствующие результаты будут упомянуты в главах 5,6. Перейдем теперь к изучению инварианта Хопфа, тесно связан- связанного с понятием зацепления. 2.6.2. Инвариант Хопфа Пусть задано расслоение Хопфа / : S3 —» S2. Рассмотрим две регулярные точки а и 6 на сфере S2 и возьмем их прообразы 1\ — Г\а) и Рь = Г\Ь). Многообразия 1\ и /J - одномерные замкнутые кривые в S3. Рассмотрим коэффициент зацепления &(/?,/?)• Определение 2.29. инвариантом Холфа h(f) отображения f на- называется коэффициент зацепления ?(/',/?). Теорема 2.26. Инвариант Хопфа h(f) - гомотопический инвари- инвариант отображения /, не зависящий от выбора точек а, Ь. Эта теорема справедлива в значительно более общей ситуации In — 1-мерного расслоения Хопфа: / : S2n~l —+ S", которое будет рассмотрено ниже. Замечание 2.13. Коэффициент зацепления к(Мк, N1) в предыду- предыдущем пункте вводился для многообразий, расположенных в евклидо- евклидовом пространстве Rk+I+1. Легко видеть, что аналогичное определе- определение справедливо и для многообразий, расположенных в S*+'+1. До- Достаточно рассмотреть стереографическую проекцию Sk+l+1 \s0 —> R , so G 5fc"*"'+1. Очевидно, что точку so можно выбрать так, что /-1Eо) не принадлежит прообразам f~1(a),f'1(b).
182 Элементы топологии... Замечание 2.14. Инвариант Хопфа h(f) для 2п — 1-мерного рас- расслоения Хопфа определяется совершенно аналогично расслоению S3 —* S2. Надо лишь заметить, что прообразами двух точек п- мерной сферы будут п — 1-мерные замкнутые подмногообразия Набросок доказательства теоремы 2.26. Покажем, что инвариант Хопфа не меняется при гомотопии ото- отображения /. 1. Пусть /о и /i - два гомотопных между собой отображения ?2n-i _^ gn^ & ft - гомотопия, связывающая их. Для доказатель- доказательства утверждения h(fo) = h(fi) достаточно доказать, что можно построить деформацию ft : 52n-1 х / —» Sn, связывающую /0 с /i и не проходящую через точки а и 6. Тогда подмногообразия /t~1(a) и /е-1(Ь) не будут пересекаться друг с другом при гомотопии и поэтому коэффициент зацепления не изменится. 2. Независимость инварианта h(f) от выбора регулярных значе- значений a, b в 5" доказывается совсем просто. Пусть а\ и Ь\ - две дру- другие регулярные точки в Sn. Существует отображение -у : S" —> S™ сферы на себя, гомотопное тождественному (так как tti(S") = 0), такое, что 7(a) = fli и ~у(Ь) = Ь\. Тогда отображения / и 7/ гомо- гомотопны между собой и, следовательно, h(f) = h(-yf). Сформулируем следующий общий результат, вытекающий из свойства косой коммутативности коэффициента зацеплений и тео- теоремы 2.25. Замечание 2.3. Пусть 52n-1 —¦ S" - расслоение Хопфа. Если п нечетно, то h(f) = 0. Так как /г(/) не зависит от выбора точек а и Ь € S", поменяем их местами. При этом к{М?-х,М"~1) = к(М?~1 ,М?~1). Но ко- коэффициент зацепления в силу B.39) Посмотрим, как ведет себя инвариант Хопфа при отображении д сферы 52" в себя со степенью а и отображении j сферы S" в себя со степенью т. Пусть / - отображение 52n-1 —> 5",/' = jfg. Предложение 2.23 h(f') = <rr2h(f). Доказательство см. в [55].
Инвариант Хопфа 183 2.6.3. Интегральное представление инварианта Хопфа. Инвариант Хопфа h(f) допускает интересное интегральное пред- представление, принадлежащее Уайтхеду [96, 242]. Этот результат имеет приложения в магнитной гидродинамике, киральных полях, жидких кристаллах и других разделах физики. Инвариант Хопфа играет роль топологического закона сохранения (см. главы 4, 5 и цитируемую там литературу). Сформулируем сначала результат Уайтхеда в случае классиче- классического расслоения Хопфа. Теорема 2.27 (Уайтхед). Пусть и>2 - нормированная 2-форма на S2, т.е. интеграл J ш2 — 1 и / : S3 —+ S2 - гладкое отображение. Рассмотрим 2-форму на S3, индуцированную отображением /, п2 — /»(ш2). Форма на S3 является точной, т.е. /»(ш2) = <kjl где ш1 есть 1-форма. Тогда B.41) Многомерное обобщение формулы Уайтхеда для расслоения Хопфа S2" —» S" содержится в теореме 2.28. Теорема 2.28 (Уайтхед). Пусть шп - нормированная n-форма на S", т.е. J ш" = 1. На S2n~1 существует индуцированная / п- 5П форма /»шп. Форма /*u;n точна, т.е. /»oin = d?n~l, где ?n-1 - форма на 52n-1. Тогда интеграл Мы приведем основные моменты доказательства, следуя Х.Уит- ни, опуская доказательства ряда обосновательских утверждений. Читатель найдет их в [96]. Доказательство разобьем на ряд пунктов. 1. Докажем, что /»ain замкнута. Это очевидно, так как df+ш" = f*du>n = 0 (шп - форма на 5"). Точность n-формы frdwn следует из тривиальности групп когомологий H%(S2n~1 ,R), при 1 < г < 2п - 2. 2. Покажем, что число q(f) целое. а) Докажем сначала, что q(f) не зависит от выбора ?n-1.
184 Элементы топологии... Пусть существует такое , что d?n 1 = /*шп. Тогда d(?n 1 — ?"-*) = 0 и I" - f = drj"'2 (r)n-2 - п - 2-форма). Так как dS2n~l = 0 и d(ftu>n) = 0, то, используя формулу для d(r}n~2 Л /*шп), получаем = Jd(r,n-2Aftun)-Vn-2 г)"'2 Л /,u" = 0. as2"-1 б) Докажем, что q(f) не зависит от шп. Пусть й" когомологично S" шп т.е. / (а>" - шп) = 0 ий>п -шп = dvn~l, vn~x - форма на 5". Пусть, например, df*'1 = /*w". Так как и"'1 Л w" и И Л шп = 0 на 5пBп - 1 > п), то с?^" ЛZ*^" = /.(ш'Л/) = 0. Имеем (Г + /.И) л /.«" - С'1 л /.«" = Г л(Л(п>" - w")+ и, следовательно, интегралы п= / 52П-1 НО "-1 М.й" = 0, следовательно,
Инвариант Хопфа 185 Г Л/*<*>"= I r^A/.w". B.42) S2"~1 Так как d^1 + f*""'1) = d?n~l + /.(wB -w") = /*(wn), то инте- интегралы B.42) определяют д(/) с помощью шп и п)" соответственно и эти определения совпадают. в) Докажем, что q(fo) = <z(/i)t если /о и /i гомотопны. Доказательство. Пусть / - единичный отрезок @,1). Суще- Существует такое непрерывное отображение F прямого произведения I х S2n~1 (являющегося многообразием с краем) в сферу 5", что F(O) f()F(l) M) ,) f(),(,) M) Предположим, что F - гладкое отображение. Выберем на 5" форму ш", для которой f ш" ~ 1. Так как dF*u>n = 0, то можно найти такую форму ?"~: на 1х 52п~1, для которой о^" = F*wn (существование ?"-1 следует из тривиальности ff^S2")). Так как дA х 52"-1) = 1 х 52"-1 -Ox S2n~\ имеем Г Л iW - / С~* Л Ftu:n = df" Л /xS2"-1 = / F*u;n Л F,u" = / F»(w" Л u") = 0. Форма F»wn, рассматриваемая только на 0 x S2n~l, совпадает с формой /o*wn на 52", а форма ^"-1 на 0 х S2n~l дает форму Q~l для которой <Ц?~Х = /o*w". Аналогично и для d?"~x = /i,w". Поэтому / s3n-} а Случай, когда F непрерывно, следует из леммы. Леииа 2.7. Если гладкие отображения /о и f\ гладкого много- многообразия М в гладкое многообразие N гомотопны, то они гладко гомотопны
186 Элементы топологии... Доказательство см. в [96]. Покажем теперь, что величина, за- задаваемая интегралом B.41), совпадает с ранее введенным через коэффициент зацепления инвариантом Хопфа. Для этого нам понадобятся предварительные сведения о глад- гладких отображениях многообразий. 1. Определение нормального отображения. Отображение / : Nn —> Мт называется нормальным, если для каждой точки а € N и точки Ь = /(а) отображение касательных пространств TaN —» ТьМ - отображение на все ТьМ. Для любой точки х € М отображение / нормально над х, если / нормально в каждой точке прообраза f~1(x) = у. Точки х, в которых отобра- отображение / нормально, называются правильными точками. Лемма 2.8. Пусть задано гладкое отображение / : N —> М и хо € М (dim TV > dim M). Тогда существует произвольно близкое к / гладкое отображение /, гомотопное / и нормальное в точке хо (доказательство используют лемму Сарда или теорему Морса [26,52]). Лемма 2.9. Пусть / - гладкое отображение многообразия JV" —> Mm. Предположим, что / нормально в точке хо ? М. Тогда N^o = /-1 (xo) - гладкое п—m-мерное многообразие в Nn (доказательство можно провести локально в окрестности точек z0 ? R" и /(го) € Rm, а затем применить теорему о неявной функции). Подробности см. в [96]. Вернемся к доказательству эквивалентности двух определений инварианта Хопфа. Выберем в базе 5" расслоения Хопфа / : 52" —* Sn правильную точку Ь. Пусть / нормально над Ь. Тогда в силу леммы 2.9 многообразие N^- = f~l(b) - гладкое п — 1-мерное подмногообразие (не обязательно связное) в 52"". Ориентируем N^~ следующим образом. Выберем в окрестно- окрестности точки а в пространстве R2n, содержащем сферу S2n~1, где b — f(a), базис ej,..., e^^j, определяющий положительную ориен- ориентацию S2" так,, что grad f(a, e[) = 0 при г < п — 1 и векторы ег =grad/(a,e'n),...,en = grad f(a, e^^) определяют положительную ориентацию сферы 5", тогда векторы е'1,...,е'п_1 определяют положительную ориентацию многообразия Покажем, что если шп - n-форма на 5" такая, что J шп — 1, и если с??"-1 = f*u>" в S2n~1 и отображение / нормально над точкой 6, то
Инвариант Хопфа 187 B.43) 52—1 Из определения нормальности следует существование такой окрестности U точки Ь, что отображение / нормально над каждой точкой Ь' 6 U- Тогда каждое N^r(b' ? U) является гладким мно- многообразием и эти многообразия образуют "расслоение" прообраза Г\и). Выберем окрестность U связной. Предположим сначала, что шп = О вне Ц. Если дана точка V G U, то пусть А - гладкая дуга в U, соединяющая b с Ь'. Множество f~1{A) является гладким n-мерным многообразием Na с краем Nb> - Nb. Если положить /а = /\na , то /а : ЛГд —* -А- При п > 1 якобиан отображения /а равен нулю во всех точках Na и поэтому /а»ы" на Na- Следовательно С~1 = / ^Г = / = 0.B.44) Если дана точка а € Nb, то, как и выше, выберем базисы, е1,е'2,...,е'2п_г и ei,...,en. Так как grad/(а, е';) = 0 при г < п, то /*а;"(а) • e'n___2n_j = wn(/(a))ei...n - единственная, отличная от нуля компонента формы /»w"(a). Следовательно, в силу известного соотношения [ш\ Лс^г] • t\...n = (wi|ei...m ) (w2|em+i...n ) получаем Поэтому из представления интеграла B.42) в виде повторного ин- интеграла и учитывая B.43), получаем = [ ш{Ь') I Ца) da db' = / // что и доказывает формулу для q(f) в случае w = 0 на S2n~1 \ Ы- Общий случай сводится к предыдущему, если заметить, что с по- помощью подходящего разбиения единицы (см. [72]) форму шп можно сделать когомологичной форме шп, равной нулю вне Ц-
188 Элементы топологии... Для окончания доказательства осталось показать, что интеграл J ?"~1 = q есть степень отображения / и, следовательно, q - целое число. Выберем / нормальным над точкой Ь. Пусть с" - гладкая цепь, ограниченная Nq. Это означает, что существует клеточный комплекс К, n-мерная цепь Сд в К и гладкое клеточное отображе- отображение 9 : К -» S2n~l такое, что ?>(с?) = cn,N? = V(d<#). Такое отображение всегда существует для отображений в сферу. Тогда (по двойственности) B.45) N$ V(dc% с" /(с") Так как / отображает f(dco) — Njf- в точку, то /(с") есть п- мерный цикл на 5", он и равен степени отображения /, заданного на 5". Тогда из B.46) следует, что «(/) = deg S" Sn Из леммы 2.9 и свойств степени отображений следует, что этот результат справедлив для любого непрерывного отображения /. ? Многие классические задачи математики приводят к изучению расслоений Хопфа. 2.6.4. Применение инварианта Хопфа. Новые примеры К изучению инварианта Хопфа приводят две эквивалентные клас- классические проблемы математики: построение алгебр с делением и нахождение всех параллелизуемых сфер 5". Последняя задача яв- является частным случаем следующей: найти максимальное число линейно независимых полей на сфере S". Оказывается, что решение этих проблем связано со следующим свойством инварианта Хопфа. Предложение 2.24. Сферы 52" - параллелизуемы тогда и только тогда, когда существует^расслоение Хопфа р : 52" —* Sn с инва- инвариантом Хопфа h(f) = 1. Дж.Адамсом было доказано, что предложение 2.24 справедливо только в трех классических случаях: п = 2,4,8 (и, конечно, при
Инвариант Хопфа 189 п = 1). Доказательство этой, исключительно сложной теоремы ис- использует всю мощь современной алгебраической топологии (К- теория, когомологические операции и т.п.). Наиболее доступное изложение содержится в [5, 106]. Дж.Адамсом была решена и за- задача отыскания максимального числа линейно независимых полей на произвольной нечетномерной сфере [1, 5]. Поясним, ограничиваясь в основном случаем сферы S3, чем выделены многообразия S1^3^7 и S15 из остального набора сфер. 1. Существование отображения Хопфа h(f) = 1 для S3 —» 52. В пункте 2.6.1 было построено расслоение Хопфа, реализованное с помощью пары комплексных чисел (z\,z2) и |гх|2 + \z2\2 = 1. Из построения видно, что прообразами точек сферы 52 являются еди- единичные окружности S} и S2. Эти окружности зацеплены и можно показать, что k(S\,S2) = 1. Покажем, что существование расслоения Хопфа с h(f) = 1 эк- эквивалентно существованию трех линейно независимых полей на S3, что и означает параллелизуемость S3. Выберем точку z — (z\,z2) € S3 и построим поле vn на S3 в точке z : vn = i{z\,z2). Простая выкладка показывает, что vn - касательный вектор к53в точке z. Это поле можно назвать полем Хопфа, так как интегральные кривые этого поля z(t) — {z\e%t, z2ext) - замкнутые периодические кривые - образуют слои расслоения Хопфа. 3-репер на S3 мы получим с помощью двух полей, ортого- ортогональных vn. Заметим, что параллелизуемость сферы S3 следует и из изомор- изоморфизма 53 ~ SUB), так как все группы Ли параллелизуемы (см. 1.2.2). Замечание 2.15. Все траектории поля vn замкнуты. Долгое время существовала гипотеза Зейферта, что у всякого невырожденного поля v на S3 класса С > 1 существует замкнутая (периодиче- (периодическая) траектория. В 1972 году Швейцер [224, 86] построил на S3 векторное поле класса С1, у которого нет ни одной периодической траектории. Для полей класса С, г > 1, эта проблема остается открытой. Замечание 2.18. Векторное поле vn возникает при рассмотрении следующей механической задачи. Рассмотрим движение простран- пространственного маятника с двумя степенями свободы. Функция Гамильтона имеет вид
190 Элементы топологии... Уравнение Гамильтона Из закона сохранения энергии Н(р, q) = с = const следует, что движение происходит по сфере 53 в фазовом пространстве () Уравнения Гамильтона задают на этой сфере касательное поле v (скорость в фазовом пространстве). Оно, естественно, не выро- вырождено (так как с -ф 0). Поле v совпадает с полем Хопфа vn, постро- построенным выше. Кватеряиояяое расслоение Хопфа. По аналогии с расслоением S3 —» S2 можно построить расслое- расслоение Хопфа S7 —* S4. Это расслоение связано с телом кватернионов. Алгебра (тело) кватернионов наряду с полями вещественных и комплексных чисел является единственной ассоциативной ал- алгеброй с делением (этот классический результат принадлежит Фро- бениусу). Кватернионы возникают в физике пока лишь эпизодически. Их, впрочем, наряду с вещественными и комплексными числами, можно рассматривать как область коэффициентов. Другие применения кватернионов связаны с включением их как подалгебры в алгебру Клиффорда [34]. В настоящей книге кватернионы появятся при вы- вычислении фундаментальной группы двух видов жидких кристаллов: холестерина биаксиального нематика (см. §5.1). Напомним осно- основные операции с кватернионами. Определение 2.30. Кватернионами называются элементы мно- множества Н, представимые в виде q — ao ¦ 1 + a\ii + 02j + (*зк. Здесь a, - вещественные числа, а l,i,j,k - образующие - единицы Н, удовлетворяющие следующим соотношениям:. 1 • г = г; 1 • j — j'; 1 • к = к; ij — —ji — к, ik = —кг — —j, jk = — kj = г, г2 = j2 = к2 — —1. ,2 _ ,2 ,2 , B-46) Символика для обозначения кватернионных единиц принадле- принадлежит английскому математику В.Р. Гамильтону (W.R.Hamilton), от- открывшему кватернионы в 1843 г. В его честь для обозначения мно- множества всех кватернионов употребляется буква Н. В современной символике соотношение B.46). можно записать в более компактной форме. Пусть ео, ei, ег, ез - кватернионные единицы. Тогда соотно- соотношение B.46) имеет вид eg = 1, е? = -1 (i = 1,2,3), е^- = eijkek B.47)
Инвариант Хопфа 191 (^ijk - единичный антисимметричный тензор). Умножение кватерниона q на скаляр а и сложение кватернио- кватернионов определяются аналогично сложению обычных векторов. Можно определить произведение двух кватернионов q = а,-е,-,д' = fijtj по формуле qq' = aifijtitj. B.48) Тем самым множество Я превращается в алгебру - алгебру кватер- кватернионов. Из соотношений B.46) следует, что Я - некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра Я содержит в виде подалгебры поле вещественных чисел R = {с*оео} и поле комплексных чисел С = {ого^о "Ь c*iei}- Алгебра Я допускает изоморфное матричное представление с помощью матриц Паули crx,ay,az: (I 0\ ./О „ . х „ Л х B-49) (здесь г = \/^Т). Для каждого кватерниона q = аоео + aiej + аге2 + азез опре- определен сопряженный кватернион q = «обо — <*ie-i — #2е2 ~ <*зез и норма q = N(q) = qq = \q\2 = «о + «i + «2 + «з- B-50) Обратным к § кватернионом является q~1 = q/N(q). Из фор- формулы B.50) вытекает, что множество кватернионов с нормой N(q) — 1 изоморфно S3. Обозначим это множество через \Н. Каждый ненулевой кватернион имеет обратный. Алгебра с та- таким свойством называется алгеброй с делением. Алгебра Н, наряду с полями R и С, является единственной ассоциативной алгеброй с делением (теорема Фробениуса). Из те- теоремы Фробениуса следует, что, наряду с вещественными и ком- комплексными числами в различных вопросах теории представлений групп, топологии и физики, кватернионы можно рассматривать как область коэффициентов. Вернемся теперь к кватернионному расслоению Хопфа р : S7 —> 54. Рассмотрим двумерное кватернионное пространство Я2(dim Я = 8). Реализуем единичную сферу 57 С Я2 как про- пространство кватернионов с единичной нормой. Расслоение Хопфа реализуется как
192 Элементы топологии... p:S7-+HP\ B.51) где HP1 - кватернионная проективная прямая - аналог комплек- комплексной проективной прямой СР1 ~ 52 (сфера Римана). Кватернионное проективное пространство HP", соответствую- соответствующее пространствуН"+15 определяется совершенно аналогично ве- вещественному RP" и комплексному СР" проективным простран- пространствам. Введем соотношение эквивалентности между элементами пространства i/"+1. Пусть h\ и hi - ненулевые элементы про- пространства H"+l,h\ ~ /»2> если существует скаляр А € Н, такой, что h2 = AAi. Это соотношение рефлективно, симметрично дтран- зитивно и, следовательно, разбивает множество отличных от нуля элементов Н"+1 на классы эквивалентности, которые и будут точ- точками нового пространства НРп. Рассмотрим отображение / : 54" -> НРп, B.52) относящее каждой точке сферы s0 ? 54" ее класс эквивален- эквивалентности. Так как любой ненулевой вектор можно отнормировать на единицу, то / есть эпиморфизм (отображение на НРп). Прооб- Прообразом точки hi ? НРп является, очевидно, множество кватерни- кватернионов с нормой N = 1. Так как это множество изоморфно трех- трехмерной сфере 53, то мы получаем отображение 54" —» HP" со слоем 53. Несложно показать (читатель может провести соответ- соответствующие рассуждения самостоятельно, см. также [82]),что отобра- отображение B.52) есть расслоение с базой HP" и слоем \Н. Группой G, действующей транзитивно на 54", будет симплектическая группа Sp(n). Стационарной подгруппой Go точки Л, € HP будет Sp(l) х Sp(n — 1). Тогда расслоение B.52) можно представить в виде 54„-1 SpU) Sp(n)/ sp(l) x Sp(n - 1) ¦ или B.53) Sp(n)/Sp(n-l)S^1)Sp(n)/Sp(l) xSp(n-l). B.54) В этой реализации видно, что пространства HP" можно рас- рассматривать как частный случай кватернионных пространств Грас- смана G^jк — Sp(n)/Sp(fc) x Sp(n — к). Из представления B.53) видно, что расслоение E4",/,Sp(l),ЯР") - главное. Вернемся теперь к кватернионному расслоению Хопфа B.51). Пространство HP1 можно отождествить со сферой S4, пополняя пространство кватернионов Н бесконечно удаленной точкой. Таким образом по- получаем, что расслоение Хопфа
Инвариант Хопфа 193 эквивалентно B.51). Более сложным образом можно получить реализацию расслое- расслоения Хопфа с п = 8, ассоциированного с алгеброй Кэли. Эта ал- алгебра не ассоциативна, и образовать аналоги проективного про- пространства над числами Кэли уже нельзя. Тем не менее сферу 515 можно вложить в пространство пар (а, Ь) чисел Кзли образовать по- пополнение восьмимерного пространства чисел Кэли - Са, превратив его в сферу 58. Подробности читатель может найти в [82]. Расслоения Хопфа характеризуются еще одним важным свой- свойством - универсальностью. л1 1. Расслоение 53 —» S2. Расслоение Хопфа является главным с группой слоя G = S1. Так как тг,E3) = 0 для 0 < г < 3, то расслоение S3 —» S2 - 3-универсально для расслоения с группой 1 2. Аналогично, расслоение S7 —¦ S4 — 7 универсально для рас- расслоения с группой SUB). Универсальное расслоенное пространство является чрезвычай- чрезвычайно важным объектом, так как сводит изучение расслоений над фик- фиксированной базой В и группой слоя G к одному универсальному расслоению U. Остальные расслоения получаются при некоторой факторизации U под действием подгруппы Н группы G. Простей- Простейшим примером универсального расслоения является универсаль- универсальная накрывающая многообразия М — М - 2-универсальное рас- расслоение. Дадим точные определения. If"* I Определение 2.31. Главное расслоение Е —> В называется п- универсальным, если и только если iti{E) = 0 для всех 0 < i < п. База этого расслоения называется п-классифицирующим про- пространством и обозначается BG. Если можно положить п = со, то говорят просто об универсаль- универсальных и классифицирующих пространствах. Свойство универсаль- универсальности уже встречалось нам в 2.1.7, где определялась п-связность пространства Е. Примерами универсальных и классифицирующих пространств являются соответственно вещественные, комплексные и кватернионные пространства Штифеля и Грассмана. Ограни- Ограничимся рассмотрением вещественных и комплексных пространств. 1. Вещественный случай. Расслоение является (п — к — 1)-универсальным.
194 Элементы топологии... 2. Комплексный случай. Vе 4^1 Гс Расслоение является Bп — 2к + 1)-универсальным. Очевидно, что если рассматривать пространства Voo,Jt и V^ д., то они будут универсальными пространствами. Сформулируем основную классификационную теорему. Теорема 2.29. Для любого многообразия М, допускающего ко- конечное клеточное разбиение (например, компактного), множество Map [M, BG] гомотопических классов отображений М —> BG на- находится во взаимно однозначном соответствии с классами экви- эквивалентности главных расслоений над М с группой G. Из этой теоремы, в частности, и следует, что классическое расслоение Хопфа является п-универсальным для расслоений над сферой S2 со слоем S1. Так как Мар[52,52] характеризуется одним параме- параметром (группой Z), то все расслоения над S2 со слоем S1 характе- характеризуются целыми числами - характеристическими числами. Если ni Ф П2,пп 1,7*2 € Z, то соответствующие расслоения не эквива- эквивалентны. Покажем, что пространством расслоения для характеристиче- характеристического числа п будет линзовое пространство L2E3,n). Рассмотрим следующее главное расслоение: где действие задано формулой /О 1 2 3\ V { 2ii о — 1 — 2 — 3\ (ш ,ш ,ш ,ш )—>(е " ш ,е » ш , е » ш ,е " w ), w' - координаты точки ш ? 53. Это расслоение , очевидно, является главным со слоем Zn Пространство L2(S3) является универсальным для G — Zn. Поэтому линзовое пространство L2(S3,n) можно рассматривать как классифицирующее для группы Zn. С другой стороны, его можно получить из расслоения Хопфа. Действительно, рассмотрим степенное отображение двумерной сферы 52, реализованной как сфера Римана - в себя: ?>о — и —* ип. Пусть р - отображение
Инвариант Хопфа 195 Хопфа. Если каждой точке и ? S2 поставить в соответствие точку й = р~1(Р, то мы получим линзовое многообразие L2(S3,n). Так как два отображения и —> и и и —* и не гомотопны при щ ф п2 (имеют разные степени отображения), пространства L2(S3,ni) и Х2E3,П2) не изоморфны. Наши рассуждения можно суммировать в виде утверждения о коммутативности диаграммы s3 -s pi s2 ± '-* S3/Zn Pi 2» S2 Линзовые пространства возникают при изучении геометриче- геометрических свойств монополя Дирака (см. 4.1.1). Если известны главные расслоения над М с группой G, то можно построить и ассоциированные расслоения. Приведем соот- соответствующую конструкцию. Пусть Е -» М B.55) - расслоение со слоем F, a G - структурная группа слоя. Это рас- слоение ассоциировано с некоторым главным расслоением Р -—> М при помощи действия группы G в слое: G xF -*F. B.56) Главное расслоение индуцировано отображением / : М —» BG и Р = f'EG. Построим теперь расслоение E'G -у BG со слоем F и структурной группой G, ассоциированное к универ- универсальному главному расслоению при помощи действия B.56). Тогда расслоение B.55) индуцировано отображением / и расслоением E'G -н. BG. Мы получили, таким образом, соответствие между гомотопи- гомотопическими классами отображений М —* BG и классами эквивален- эквивалентности расслоений над М со слоем F и группой G, действующей фиксированным образом в F B.56).
196 Элементы топологии... В общем случае это соответствие не взаимно однозначно: не- негомотопным отображениям М в BG могут соответствовать экви- эквивалентные расслоения (например, если F состоит из одной точки). Однако это соответствие будет взаимно однозначным, если действие G в F (согласно B.56)) свободно. Например, это условие выпол- выполняется для векторных расслоений со слоем Rn, если структурная группа G — GL(n, к) или какая-нибудь ее подгруппа, действующая по тождественному представлению. Важность введения универсальных пространств становится оче- очевидной при решении задачи о классификации всех расслоений над некоторой базой и слоем G. Другое важное применение универ- универсальных расслоений будет дано в Следующем пункте, где будет показано, что изучение особенностей векторных полей и других структур в расслоениях может быть сведено к изучению несколь- нескольких серий универсальных расслоений. В заключение этого пункта рассмотрим важную в приложениях (§4.2) задачу о классификации расслоений над сферой 54. Этот пример является весьма типичным, поэтому мы изучим его с раз- разных точек зрения. Попутно будут упомянуты некоторые факты, ха- характерные для расслоений над произвольной базой. 1. Заметим, что для произвольного универсального п^расслое- ния ^ B.58) (где i < п — 1). Этот результат немедленно следует точности последовательности гомотопических групп для B.58). Согласно теореме 2.29 задача о классификации главных расслоений над сферами Sk сводится к вычислению множества Map (Sk,BG), т.е. к вычислению tt^BG). Как мы знаем, для ка- каждой серии классических групп Ли О(п), SO(n), U(n), Sp(n) соот- соответствующими универсальными и классифицирующими простран- пространствами будут следующие многообразия: Штифеля (EG) и Грас- смана (BG) (табл.4).
Инвариант Хопфа 197 Таблица 4 G О(п) SO(n) U(n) Sp(n) EG * oo,n Vе oo,n Vй oo,n BG Goo,n Goo,n Gc GH " oo,n Ко,п, Goo.n, ••• были введены в 2.1.7. Отсюда сразу же следует, что соответствующие расслоения над сферой 54 классифицируются группой тг3((?)- В общем случае Например, универсальное расслоение Хопфа 57 —> 54 реали- реализуется как универсальное расслоение: (? = Sp(l) ~ SUB),EG = 57 С Я2, a BG = ЯР1 ~ 54. Это расслоение характеризуется це- целым числом n3(SUB)) = Z. Так как гомотопические группы клас- классических групп Ли известны (соответствующая сводка результатов приведена в табл.1), то можно расклассифицировать все главные расслоения над сферами. В гл.4 мы'будем использовать соответ- соответствующие результаты для расслоений над сферой S4. Стоит отметить, что классификацию главных расслоений над сферой 5" можно получить прямым путем, не используя конструк- конструкции универсальных расслоений. Леима 2.10. Главное расслоение Р над диском D" и ассоцииро- ассоциированные к нему расслоения эквивалентны прямому произведению.
198 Элементы топологии... Доказательство. Пусть хо ~ центр Dn. Диск Dn может быть стянут в точку xq вдоль радиусов. Выберем произвольную точку х и рассмотрим отрезок [хо,х]. Пусть Gx - слой расслоения Р. Отображение f прямого произведения Dn xGz —* Р, определенное для д € Gx, по формуле <Р(х,д) =ip[xOtS]g вводит в Р структуру прямого произведения. Замечание 2.17. Справедлив общий факт: если пространство базы В стягиваемо в точку, то расслоение над В тривиально. Так как тривиальность расслоения эквивалентна условию существования секущей поверхности s, а при стягивании базы s деформируется в секущую поверхность s' над точкой. Расслоение над точкой три- тривиально. Так как сфера 5" покрывается двумя дисками ?>" и D", пе- пересекающимися по экватору Sn~1, то расслоение над 5" опреде- определяется двумя координатными окрестностями .D™ и Z?" с функцией склейки Ai2 : -D+ ^ ^- ~~* @. Функция Ai2 определяет отображение : 5" —* G по формуле Ai2(*,y) = (х,<р12(х)у), х € Sn~\y € G. Справедлива лемма 2.11. Леима 2.11. При гомотопии функции <Pi2 класс эквивалентности расслоения не меняется. Доказательство. Построим цилиндрическую полоску Sn~1 x [—е,е] продолжив диски ?>" и D1 соответственно ниже и выше экватора. Рассмотрим гомотопию Очевидно, что расслоение, построенное со склейкой по отобра- отображению %f>ti эквивалентно исходному расслоению. ? Из лемм 2.10 и 2.11 следует утверждение теоремы. Все гла- главные расслоение над сферой Sn с группой G классифицируются ГруППОЙ 7Tn_](G).
Характеристические классы 199 Перейдем теперь к изучению топологических инвариантов, свя- связанных с более тонкими свойствами многообразий. 2.7. Характеристические классы Существование комплексных и спинорных структур на многообра- многообразиях, обобщение теорем об особенностях векторных полей, возмож- возможность вложения одного многообразия в другое, различные связи между дифференциально - геометрическими и топологическими свойствами многообразий - все эти вопросы так или иначе связаны с важнейшими топологическими инвариантами - характеристиче- характеристическими классами. В этом параграфе мы дадим краткое аналитиче- аналитическое изложение некоторых фактов из этой основополагающей топо- топологической теории. Начнем с классического примера - теоремы Гаусса - Боннэ A848). 2.7.1. Теорема Гаусса - Боннэ Пусть М2 - замкнутое ориентируемое двумерное многообразие, А' - гауссова кривизна поверхности. Теорема 2.30. Гаусса - Боннэ. ±J К ds = X(M2). B.59) м7 Этот результат можно получить, используя формулу для сте- степени отображения поверхности и формулу Морса по следующей схеме (детали см., например, в [32]). а) Вложим многообразие М2 - крендель с д дырами - в R3 (см. рис. 1) и рассмотрим функцию высоты /. Индексы критических точек / имеют вид: один минимум xo(Ind f\xo = —2), 2<?-седел Ind f\xi = — 1 и один максимум Ind F\x2g+i = 0. Для любой фун- функции Морса справедлива следующая формула:
200 Элементы топологии... где ct(xj) = 0 для минимума и максимума f,a(xj) = 1 для седел. Для функции высоты / : deg / = 2 — 2д. С другой стороны, сте- степень отображения, задаваемая функцией /, равна ^ / К ds (см. предложение 2.19); j^ возникает из нормировки на единицу объема сферы 52. Отсюда получаем B.59). Формула B.60) справедлива для любой функции Морса, а гаус- гауссова кривизна не зависит от вложения М2 в R3. Остается заметить, что для любого многообразия М2 существует функция Морса, и воспользоваться равенством Морса deg / = х(М). П Приведем теперь другое доказательство этой теоремы, которое допускает многомерное обобщение и подводит нас к понятию ха- характеристического класса [54]. Зададим на М2 расслоение единичных векторов ?2 со струк- структурной группой 50B). Пусть 9\ и #2 - локальный, ортонормиро- ванный базис. Матрица связности ^задается 1-формами, опреде- определяемыми условием B-61) Матрица кривизны П, определяемая как Бш, состоит из 2-форм где du>i2 = ^12- Напомним, что матрицы связности и> и кривизны ?1 являются векторнозначными формами. В случае главных расслоений со структурной группой - группой Ли - и ассоциированных к ним расслоений матрицы ш и Q принимают значения в алгебре Ли структурной группы расслоения. В данном случае группа G = 50B) и можно было бы рассматривать просто вещественнознач- ные формы. Однако, учитывая дальнейшие обобщения, будем пред- представлять фор- мы ш и Q как матрицы 2x2. Очевидно, что матрица ?2 B.62) инвариантна относительно дей- действия /? —* дПд~г, где д € 50B). Поэтому /?i2 не зависит от выбора ориентированного ортонормированного базиса и, следова- следовательно, определяет глобальную 2-форму на М2. На поверхности можно задать форму dS = 0j Л 02 - элемент площади поверхности. Форма Пи должна быть пропорциональна dS : /?i2 = К dS. Здесь К - скалярная функция, которая, как
Характеристические классы 201 было показано в B.30), B.31) есть гауссова кривизна поверхности, а форма Q12 = gxxdxAdy = -gXx/g dS. Перейдем к доказательству теоремы Гаусса - Боннэ J J П12 = JК dS = 2*X{M2). B.63) Доказательство [54]. Рассмотрим произвольное вещественное двумерное векторное расслоение на М2 - с евклидовой метрикой. Заметим, что ?2 можно превратить в одномерное комплексное рас- расслоение ?, введя каноническую комплексную структуру в слой R2 стандартным способом. Пусть si(x),S2(x) - ориентированный ло- локальный ортонормированный базис. Оператор комплексной струк- структуры J : R2 —* R2 определяется как Js\ = S2 и вектор е есть Si -f- Js2 (J2 = —1), (оператор J поворачивает каждый вектор на угол тг/2 против часовой стрелки). Выберем согласованную с метрикой связность V на ?2 : Vsi = wi2<8>S2, Vs2 = — wi(g)si. Связность Vзадает, естественно, связность V,si = Ш12 <2) is\ = iui2 <8> -Si и на ( и, следовательно, V(«\si) = г V(si) = — u>i2<8)si. Матрицей этой комплексной связности будет 1 х 1-матрица, а матрицей кривизны будет [Ш12]. Так как Тг [гпи] = ifl\2i то форма г/?12 инвариантна и, следовательно, замкнута. По теореме де Рама каждая замкнутая 2-форма определяет класс ко- гомологий € Н2(М2, С). В данном случае двумерный класс ко- гомологий задан на двумерном многообразии - цикле. Этот класс когомологий называется характеристическим классом М2. Как будет ясно из дальнейшего изложения теории характери- характеристических классов, у комплексного одномерного многообразия су- существует только один характеристический класс ci(C) G Н2(М, С), и все характеристические классы определяются классом ci(Q или его кратными. Класс ci(?) определяет класс вещественного расслоения е(?д),, комплексификацией которого он является. Следовательно, Ш12 = асх(С) = ае(&), ' B.64) где а - некоторое комплексное число. Для нахождения а достаточно вычислить обе части равенства для конкретного расслоения. Выберем кокасательное расслоение Т*(М2) к двумерному многообразию М2. Имеем [ fw12 = ае(Т*М2) = ае(М2), B.65)
202 Элементы топологии... или i I IK dS=ae(M2). . B.66) Значение класса-е(М2) равно эйлеровой характеристике \(М2). Это утверждение мы примем без доказательства. (Доказательство см. в [54].) Вычислим обе части равенства B.66) для М2, равного единичной сфере S2. Так как Ks* = 1, V(S2) = 4тг,хE2) = 2, то а = 2тгг. 2.7.2. Общая конструкция характеристических классов Характеристические классы - основные топологические инвари- инварианты расслоений, непосредственно связанные с дифференциально- геометрическими и аналитическими структурами расслоений. По существу, характеристические классы являются далеко идущими обобщениями двух классических теорем топологии: теоремы Га- Гаусса - Боннэ и теоремы Пуанкаре об индексе векторного поля на поверхности. Первый пример характеристического класса - эйлерова харак- характеристика многообразия. Пусть ? - гладкое векторное поле на М" с изолированными ну- нулями. Кратность нуля поля ? равна Ind ?. Многомерное обобщение теоремы Пуанкаре, принадлежащее Х.Хопфу, гласит Теорема 2.31. х(М") = Ind ?. Если х(М) = 0, то существует поле ? на Мп без особенностей. Таким образом условие х(М) ф О есть препятствие к построению поля ? без особенностей. С другой стороны, формула Гаусса - Боннэ выражает х(М) через гауссову кривизну. Многомерные обобщения этих результатов и приводят к теории характеристических классов. Рассмотрим вместо одного поля ? к векторных полей ?i,...,f*. В общем положении множество точек, в которых внешнее произве- произведение ?х Л ?г Л ... Л ?* = 0, т.е. векторы линейно зависимы, образует (к — 1)-мерное многообразие Nk~1. В зависимости от четности
Характеристические классы 203 п — к, Nk~1 определяет либо к — 1 - целочисленный цикл, либо цикл с коэффициентами в Z2. Можно доказать (см. [54], [82]), что класс гомологии этого цикла не зависит от выбора векторных полей. Так как линейная зависимость векторных полей может быть двой- двойственным образом определена через формы, то получаются условия когомологического характера. 9 В частности, можно определить ха- характеристические классы W* ? Нг(М,Z2), 1 < i < п — 1,г = п — к, классы Штифеля - Уитни или, например, n-ый класс Эйлера е(М") С Hn(Mn,Z). Класс Эйлера е(М") связан с эйлеровой характеристикой. J е(Мп) = Х(Мп). B-67) М" Аналитический подход к теории характеристических классов основан на двух ключевых идеях. Первая - использование универ- универсальных расслоений для классических групп Ли, вторая - постро- построение классов когомологий через формы связности. Техническим средством, реализующим этот замысел, является так называемый гомоморфизм А.Вейля, который позволяет пред- представить характеристические классы через формы кривизны. Как было показано в 2.6.4, для каждой серии классических групп Ли O(n), f/(n),Sp(n) существуют универсальные расслое- расслоения: вещественные, комплексные и кватернионные пространства Штифеля. Важность универсальных расслоений определяется классификационной теоремой Уитни - Понтрягина (теоремой 2.24). В частности, для наших целей существенно следующее след- следствие этой теоремы. Следствие 2.4. Пусть и 6 Я'((?лг,?,-А) - класс когомологий с ко- коэффициентами в группе А. Тогда элемент f*u ? Нг(М,А) зави- зависит только от расслоения. Этот элемент называется характеристи- характеристическим классом, соответствующим универсальному классу. С ка- каждой серией универсальных расслоений можно связать определен- определенный характеристический класс. Чтобы осуществить эту операцию, нам понадобятся явные выражения классов когомологий через диф- дифференциальные формы и описание отображения /*. Определение непосредственно в терминах групп когомологий является бо- более общим, так как некоторые характеристические классы, например прина- принадлежащие Н'(М, Z?), не выражаются непосредственно через дифференци- дифференциальные формы.
204 Элементы топологии... 2.7.3. Классы когомологий и формы связности Основная цель этого пункта - доказать, что формы кривизны в гла- главном расслоении, соответствующие различным свдзностям когомо- логичны. Отвечающая им скалярная замкнутая 2-форма Q\ опре- определяет двумерный коцикл на базе и классы когомологий Н'(М, R) задаются внешними произведениями форм Q\. Перейдем к точным формулировкам. Пусть (P,G,M) - главное расслоение над базой Мп, Q - Q- значная локальная форма кривизны в Р для связности ш. В каждой координатной окрестности U С М" на ш связность в определена так, что на пересечении двух окрестностей U и У при переходе от одной системы координат к другой в преобразуется по формуле A.55): ®и - 9и v^v9u\> + dgu vff^v B.68) (правое действие группы G в слое). При этом матрица форм кри- кривизны fiu преобразуется как - B-69) Рассмотрим скалярную форму Q\ = Tr Q, где след берется в алгебре Ли Q группы G. При "калибровочных преобразованиях" из группы G : Тг {д^пд^) = Tr (Q) = Qux G М" форма п\ не меняется, и, следовательно, она определена глобально на всем М". Сформулируем свойства формы в виде теоремы. Теорема 2.32. 1) fii замкнута. 2) При замене связности 9ц —> 0J, форма Q\ меняется на точную форму. Доказательство. 1) Форма Q удовлетворяет тождеству Бьянки: DQ = dQ + [в,Щ = 0, т.е. dii - -[6,Щ и dTv П = Тг (<Ш) - —Тг [б, Г}\ = 0, так как след коммутатора двух матриц равен нулю. 2) Пусть и> и и>' две 1-формы связности на Р. Распишем раз- разность ш — ш' с помощью структурного уравнения A.45) и учитывая A.58): d(w-w') = d{u)-d{u') =Ф-Ф'-±[io,lj}-[io',u>'}. Локально: de-dO' = П~П' - \[в,в}-\[в',в'\, B.70) где Ф, Ф' - формы кривизны расслоения, соответствующие связно- стям ш и ш'. Беря следы от обеих частей равенства B.70) и учи- учитывая Тг [9,9] = Тг [в', в'] = 0, получаем
Характеристические классы 205 <f(Tr в - Тг 9') = Тг Q - Тг П1 = р» Тг Ф - Тг Ф') B.71) (р* - отображение форм, индуцированное проекцией р : Р —> М); из B.71) окончательно получаем Тг П - Тг П' = du (на М"). B.72) Таким образом по формам кривизны построены скалярные 2-фор- мы. Из B.72) и формулы Стокса следует, что интегралы от Тг Q по двумерным циклам в М являются топологическими инвариантами. Определим i-e характеристические классы с;: где внешнее произведение форм со значениями в алгебре Ли опре- определено в 1.2.4. Напомним, что в матричной реализации алгебры Ли произведение ш = шр Ашя есть форма с матричными коэф- коэффициентами, равными матричному произведению коэффициентов форм шр и шч. Теорема 2.33. 1) Формы Ci замкнуты. 2) Формы Ci при замене связности изменяются на точную фор- форму. Доказательство. 1) Замкнутость форм с, = Тг(/2') следует из тождества Бьянки: t <f(Tr Пг) = Тг(<Ш!) = У^Тг(/2-7~1(^)Л/?1) = 0, так как dii = -[9,B] и Тг(/?>-г [6>, J7]J?1) - Тт[в,B] = 0. 2) При замене формы связности ш другой связностью и> форма Ci изменяется на точную форму dui, где прообраз и; при индуци- индуцированном проекцией р : Р —> М отображении р» определен как -в) A 9,9 - связности, соответствующие формам связности шиш. Эта выкладка проводится аналогично формуле B.71) и предо- предоставляется читателю.
206 Элементы топологии... Таким образом, интегралы J с; по замкнутым ориентирован- ным 2г-мерным подмногообразиям N2' С М являются топологиче- топологическими инвариантами. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных характе- характеристических классов, связанных со специальным выбором струк- структурных групп G и расслоений, изложим принадлежащий А.Вейлю и Черну подход, позволяющий для компактных групп дать полное описание характеристических классов. 2.7.4. Гомоморфизм Вейля Условие B.69) преобразования формы кривизны Q при переходе от одной окрестности на базе к другой показывает, что для любого инвариантного относительно присоединенного представления по- полинома степени к можно определить глобальную форму степени 2к па М : f(Q). Цель этого пункта показать, что алгебра Ad G инвариантных полиномов на Q описывает характеристические классы на Мп. Рассмотрим кольцо п линейных функций (вещественных или комплексных) F(Xi,X2,...,Х„), где Х{ € Q (здесь Q -алгебра Ли группы G), удовлетворяющих следующим условиям: 1) F — п линейна и не меняется при перестановках аргументов. 2) F — G инвариантна, т.е. для всех д ? G. Каждой такой функции F соответствует полином степени п: F Х,Х, ...,Х, для которого функция F(X-[ ,...,Хп) будет полной поляризацией. 10 Полином F называется G-инвариантным полиномом. Все инва- инвариантные полиномы образуют кольцо I(G). Приведем еще одно свойство полиномов и функций F, следую- следующее из 2). 2') Инфинитезимальная инвариантность: 10 Поляризацией в алгебре называется восстановление полилинейной функции от п аргументов по ее значению на совпадающих аргументах. Например, по квадратичной форме F(x,x) можно однозначно восстановить билинейную форму.
Характеристические классы 207 Условие 2') легко обобщается. Пусть Y - (?-значная 1-форма, a Xi - G-значная форма степени га*A < i < n); тогда Y^(-l)m>+"+m'->F(Xi,...,[Y,Xi},...,Xn) = 0. B.73) Как уже отмечалось в начале этого пункта, если F - инвари- инвариантный полином степени п, то определена глобальная форма, ин- индуцированная формой связности на М: F{$) = F(iiu), B.74) где Ф - (?-значная 2-форма на главном расслоении Р, локально представимая в виде Ф = Ad (sw)/?w. Из тождества Бьянки и B.73) следует, что сЩФ) = пР{[ш,Ф],Ф,...,Ф) = 0, B.75) где и> - 1-форма связности. Поэтому форма Р{Ф) замкнута и по теореме де Рама ее класс когомологий {.Р(Ф)} определяет элемент в H2n(M,R) или Н2п(М,С). Нам осталось показать, что соответствующий класс когомологий не зависит от выбора связности. Леииа 2.12 (Черн). Пусть wo и ш\ - (/-значные формы связности, a F G I{G) - инвариантный полином степени п. Положим u>t = wo 4~ toe, a = ш\ — wo, B.76) 1 Фг = Aш1 [ut,(jjt]. B.77) Тогда .,Ф<) dt } . B.78) Доказательство. Из структурного уравнения B.77) следует, что Фг = Ф0+г{Aа-1шо,ос})--12[а,а}. B.79)
208 Элементы топологии... Подставим Фг в F и продифференцируем по t п) ) С другой стороны, Из инвариантности F B.73) следует т.е. ,*«,...,*t). B.80) Проинтегрировав по t выражение B.80), получаем B.78). В виде следствия леммы Черна сразу же получаем Следствие 2.5. Формы .F(<?o) и F(<?i), соответствующие связно- стям uiq и«1, замкнуты, когомологичны друг другу на М". Следствие 2.6. Пусть ш - связность в расслоении Р —* М и Р ? /(G); тогда F($) - кограница в Р. Положим wt = &ь>, тогда t2[} г t[u,Lo} =гФ + ht - t2)[io,u>] B.81) B.82) F(u>,4>, ...,Ф) - форма степени 2п — 1. Из следствия 2.6 вытекает, что Р(Ф) проектируется в единствен- единственную форму на М. Обозначим через H*(Mn,R) градуированное кольцо когомоло- гий многообразия М": Я*(М",Д) = ё Н\М",Я). i
Характеристические классы 209 Зададим отображение колец W:/(<?)-» Я*(М",Д) B.83) по формуле W(F) -+ F{Q). B.84) Очевидно, что W - гомоморфизм колец. Определение 2.32. Гомоморфизм колец W называется гомомор- гомоморфизмом А.Вейля. Если G - компактная связная группа Ли, гомоморфизм Вейля допускает следующую интерпретацию (доказательство см. в [105]). Пусть EG - универсальное главное расслоение с группой G EG -» BG, база расслоения BG - классифицирующее пространство. Тогда кольцо I{G) изоморфно кольцу когомологий классифицирующего пространства H*(BG,R). Изоморфизм Wo между кольцом I(G) и H*(BG, R) задается го- гомоморфизмом Вейля W. Соотношения между когомологиями гла- главного расслоения Р —> М кольцом I(G) и кольцом H*(BG,R), характеризуются коммутативной диаграммой: -^ H*(M»,R) H*{BG,R) Отображение /» индуцируется отображением f : М —> BG: вхо- входящим в определение универсального расслоения EG —+ BG для Р-^М B.57). Перейдем теперь к построению характеристических классов расслоений, связанных с классическими группами Ли. 2.7.5. Характеристические классы Черна Посмотрим к чему приводит общая конструкция характеристиче- характеристических классов для главных расслоений над компактными комплек- комплексными многообразиями со структурной группой U(n). Начнем с описания кольца инвариантных полиномов I(G) для G = U(n). Группа Щп) состоит из унитарных матриц, (п - порядок матрицы), а алгебра Ли и(п) - из косоэрмитовых матриц В*"'. и Так как порядок матриц фиксирован, то ниже он будет опущен.
210 Элементы топологии... Пусть Е* ~ матрица, в которой на (^Д)-месте стоит 1, а на остальных нули. Тогда связность ш записывается в виде и> = Е^ш]к, где шк - линейные формы, определенные в М". Ясно, что р B.86) Используя тождество [Е$,ЕЯ = б!Е<-6<Е!, B.87) получаем , . (/.об) = 2е)ш'р Лшрк=2и>Лш. Для формы кривизны Ф имеем Ф = <Ь}+ -[ш,ш] = dui+uAu. B.89) Если В ? и(п), то (Ad А)В = АВА~Х. Выберем характеристический полином F = det(A/ + 2?). Коэф- Коэффициенты F при различных степенях Л : det(A/ + В) = Л" + bi{B)Xn~1 + ... + Ь„(В), B.90) являются инвариантными полилинейными функциями от В. Если матрицу В заменить на форму кривизны j^, то получим гомоморфизм Вейля кольца I(G) —» H*(Mn,R). Множитель -~^-{ выбирается из условия нормировки я—1 B.91) СР1 и условия вещественности форм С{. Если рассмотреть универсальное расслоение для группы U(n) V^q —* G% д и явно вычислить формы кривизны Q для G%' , то го- гомоморфизм Вейля определяет изоморфизм кольца I{U{n)) и кольца когомологий H*(G%g,R). При определении кольца I(G) для произвольных компактных групп G нам будет полезно следующее утверждение. Пусть Т - максимальный тор группы G. Множество элементов д € G таких, что дТд~* = Т, называется нормализатором тора и обозначается
Характеристические классы 211 через N(T). В теории групп Ли (см., например, [90]) доказывается, что группа W = N(T)/T конечна. Эта группа называется группой Вейля. Группа Вейля является группой автоморфизмов, сохраня- сохраняющих алгебру Ли группы Т - картановскую подалгебру t С Q- Очевидно, что алгебра I(G) может быть ограничена на картано- картановскую подалгебру: I(N(T)). Существенно, что верно более сильное обратное утверждение: всякий Ad G - инвариантный полином F - однозначно определяется своим значением на картановской подал- подалгебре t. Другими словами: Предложение 2.25. I(G) изоморфно I(N(T)). Подчеркнем, что G предполагается компактной. Доказательство см., например, в [40, т.2]. Предложение 2.25 сильно упрощает нахождение алгебры I(G) в интересующих нас конкретных случаях классических групп Ли и тем самым дает явное описание характеристических классов. Группа U(n). Картановская подалгебра t С и(п) состоит в этом случае из диагональных косоэрмитовых матриц. Если выбрать ба- базис в t в виде *о»--»*о> где (*o)jj = *(* = \/~1) (единственный ненулевой элемент диагонали равен г), то нетрудно проверить, что группа W действует как группа всех перестановок этого базиса: W ~ 5(п). Введем базисные линейные формы lj ? Q*, полагая /j(<q) = 6ij. Тогда ограничение симметрических Ad G инвариан- инвариантных полиномов F на картановскую подалгебру t состоит из симме- симметрических полиномов от lj. Базис в алгебре I(N(T)) можно выбрать в виде элементарных симметрических функций от /7: Из предложения 2.25 следует, что алгебра I(G) порождается клас- классами B.92). Учитывая формулы B.90) и продолжая формы Fk на всю алгебру Ли Q, согласно B.73) мы получаем явное описание характеристических классов для группы U(n). В физических при- приложениях группы U(n), а чаще SU(n), возникают как группы вну- внутренних симметрии калибровочных теорий поля. В следующих главах характеристические классы будут появ- появляться как топологические сохраняющиеся величины полевых кон- конфигураций - топологические заряды. Существенный интерес пред- представляют уже теории с простейшими группами симметрии, в ча- частности SUB). Пример 2.17. Группа SUB). Посмотрим, как выглядят характеристические классы с,- для группы SUB). Алгебра Ли suB) есть пространство 2x2 косо- эрмитовых матриц А, Тг А = 0. Характеристический полином
212 Элементы топологии... det \XI + A\ = X2 + X Tr A + det A = X2 + cx(A)X + c2(A), так как Tr Л = 0, то единственным ненулевым классом будет с\. Найдем явное выражение для с2 через формы кривизны Q. B — ||i^tJ|| = W^F^dx^ A<fx"||. B.93) Здесь верхние индексы нумеруют элементы алгебры Ли suB), а нижние индексы соответствуют пространственным координатам (координатам базы). Вычислим с2(Л) = det А: det А = Bй = о11 а22 - п21 пп = Л dx" Л F%dx> Л Л dx" Л Л dx7 } = - F F 4- F F ) > х dx" Л dxp Л dx. Вспомним, что Fl^l+F2l=0, a F? = -F?. Получаем 1 ~2 B.94) B.95) Проинтегрировав Сг(/2) по четырехмерному циклу, получаем чи- число С: С= I с2{П) dV. м* Можно доказать, что при нормировке B.96) СРг
Характеристические классы 213 величина С будет принимать целые значения. Отложим обсуждение приложений формул типа B.95) к теории поля до §4.2 и вернемся к теории характеристических классов для расслоений с группой U(n). Каждое главное расслоение Р над М с группой G ассоции- ассоциировано с векторным расслоением Ес над М. Рассмотрим комплек- комплексное векторное расслоение Ес над М, Главное расслоение Рс над М, ассоциированное с Ес, имеет структурную группу GL(n,C). Докажем, что главное расслоение Рс с G — GL(n, С), редуци- редуцируется к расслоению Р с G = U(n). Группа U(n) является ком- компактной формой группы GL(n, С). Тем самым будет доказано, что характеристические классы с* главного расслоения определяют ха- характеристические классы векторного расслоения Ес'. Действительно, стягивая группу GL(n,C) к U{n) мы редуци- редуцируем расслоение Рс к главному расслоению Р (с G = U(n)). Вы- Выберем форму связности ынаРи соответствующую ей форму кри- кривизны ?2. Пусть шс - форма связности на Рс, продолжающая и>, а Q - ее форма кривизны. Если fc — Ad GL(n, С) - полилинейная инвариантная функция на QL(n,C), то ее сужение на и(п) — /,, очевидно, будет [/(п)-инвариантно. Так как сужение fc(fic ) на Р равно f(fi), то характеристический класс для Рс, определяемый /с, совпадает с характеристическим классом для Р, определяе- определяемым /. Так как в B.90) мы описали все Ad U(n) - инвариантные полиномы на м(п), то тем самым описаны все характеристические классы расслоений Ес. Характеристические классы расслоения с некомпактной струк- структурной группой G всегда совпадают с характеристическими клас- классами расслоения с максимальной компактной подгруппой К С G. Определение 2.33. Характеристическими классами Черна Ci(Mn) комплексного n-мерного многообразия М называются ха- характеристические классы касательного расслоения С{(ТС М"). Как следует из построений характеристических классов, Ci(M) € H2'(M,R), и если учесть условие нормировки B.91), то d(M)eH2i(M,Z). B.97) п Определим полный класс Черна С(Е) = ^3 ci{E)- 1=1 Полный класс Черна удовлетворяет следующему соотношению:
214 Элементы топологии... Здесь Е\ (Bw E2 - сумма Уитни комплексных расслоений над М. 2.7.6. Характеристические классы Понтрягина С вещественными расслоениями связаны два типа характеристиче- характеристических классов. В этом пункте изложим теорию характеристических классов Понтрягина, определяемых для векторных расслоений над 4п-мерными многообразиями. Пусть Е - вещественное векторное расслоение над М со слоем R". Комплексифицируем R", т.е. построим расслоение Ес над М, комплексифицируя каждый слой : R" —> С". Введем также главные расслоения Р и Рс', ассоциированные с векторными расслоениями Е и Ес соответственно. Расслоение Р будет подрасслоением Рс, а структурными группами Р и Рс будут GL(n, R) и GL(n, С). Определение 2.34. г-ялассом Понтрягина pi(E) называется класс Черна: Pi(E) = (-iyC2i(Ec) G H4i(M, R). B.98) Полным классом Понтрягина р(Е) будет соответственно i=0 Классами Понтрягина многообразия М4п называются классы Pi(TMin). Классы Понтрягина можно описать совершенно анало- аналогично классам Черна, учитывая очевидные модификации, возника- возникающие из замены структурной группы GL(n, С) на GL(n, R) и со- соответственно максимальной компактной подгруппы U(n) на 0(п). Приведем соответствующие результаты. Алгебра 1@(п)). Алгебра Ad O(n) инвариантных полиномов на о(п) определяется из разложения det(A(/("> - (i-)Jf) = ? h{X)Xn~\ x ? о(п). B.100) Здесь /q.../п - базис алгебры /(О(п)),/'"' - единичная матрица. Замечание 2.18. В разложении B.100) полиномы fk{X) с нечет- нечетными к равны нулю. Действительно, так как X - кососимметриче- ская матрица, то
Характеристические классы 215 det(A/(n) - Л72тг) = det(A/(n) - ХПче)* = У ' , » B.Ю1) = det(A/(n) + Х/2*). Отсюда получаем ^2fk(X)Xn~k = ?(-1)*/* W"* для Х€о(п) B.102) и, следовательно, /гр+1 = 0. В полной аналогии с построением классов Черна построим pi по формам кривизны. Пусть ш - связность на Р, Q - ее форма кривизны. Существует единственная замкнутая 4А:-форма /J* на М такая, что ?¦(&) = /г*(Л)- BЛ03) Замкнутая 4А:-форма ^t на М представляет fc-й класс Пон- трягина векторного расслоения. Действительно, продолжим форму связности ш до формы связности и> на Рс и так же поступим с формами кривизны fi —> Bе. Классы Черна с; строятся по Qc согласно B.90): det(A/<"> -(l.)X) = Y, fk(X)Xn'k, X € и(п). Отсюда получаем при замене X на X k X€o(n), B.104) и, следовательно, сужение (—l)*/2t(J2c) на Р совпадает с / Наше утверждение следует из представления /г*(^С) для класса Черна. Замечание 2.J9. Если задать форму Q в матричнозначном виде Q = Q*j, то форма /г*(^) имеет явное представление: где $1[ 1ъ обозначает знак перестановки (i'i,...,»*) —» (ji,---,jk)- Суммирование идет по всем упорядоченным подмножествам (j'i, ...,:'г«) из 2А; элементов С A,...,га). В частности, pi(E) = (?) и на М4 мы еще раз получаем формулу B.95):
216 Элементы топологии... 2.7.7. Характеристический класс Эйлера С веществершым расслоением Е над М" можно связать еще один тип характеристических классов - класс Эйлера (Е). Класс Эйлера определен для ориентируемых расслоений. С по- помощью е(Е') можно обобщить двумерные теоремы Пуанкаре о век- векторных полях и теорему Гаусса - Боннэ. Напомним, что векторное вещественное расслоение Е над Мп со слоем Rn называется ориентируемым, если структурная группа GL(n, R), действующая в слое, может быть редуцирована до под- подгруппы GL*(n,R), (GL*(n,R) - подгруппа в GL(n,R) матриц с det > 0). Определение 2.35. Римановым векторным расслоением называ- называется расслоение Е, на котором задана послойная риманова метрика дк в R", т.е. определено скалярное произведение дх в слое R" над точкой х в семейство метрик дх дифференцируемо зависит от х. Если задано ориентируемое векторное расслоение Е над М", то задание послойной метрики редуцирует ассоциированное с Е главное расслоение к расслоению со структурной группой SO(n). Заметим, что комплексное расслоение Ес со слоем С" всегда ориентируемо как вещественное расслоение, так как слой С" имеет структуру R2n, а группа слоя GL(n,C) С GL+Bn,R). Определим эйлеров класс е(Е) € Hn(Mn,R), используя гомо- гомоморфизм Вейля W : I(G) —* H*(BG,R). Для этого нам потре- потребуется описание кольца I(SO(n)). Приведем соответствующие ре- результаты. Доказательство пропущенных утверждений читатель вос- восстановит сам или найдет, например в [40, т.2]. Теорема 2.34. 1) Алгебра Ad SO(n) инвариантных полиномов при нечетных п = 2га-f-1 совпадает с алгеброй Ad O(n) инвариан- инвариантных полиномов. Базис IS0{2m +1)) состоит из функций /i,..., /„,, где /i,..., fmопределяются из разложения det(A/(n) - X) = X" + fiX"'2 + /2A'-4 + ... + /[n/2](X) B.105) для X G о{п).
Характеристические классы 217 2) Если п = 2га, то существует полиномиальная функция h, единственная с точностью до знака, такая, что /m = h2 и фун- функции /i, ...,/„,_!, h алгебраически независимы и порождают ал- алгебру Ad SO(n) инвариантных функций на о(п). Доказательство утверждения 1) совершенно аналогично доказа- доказательству теоремы о строении кольца I(U(n)). Из кососимметрич- кососимметричности матриц, принадлежащих алгебре о(п), следует, что функции fi с нечетными i равны нулю. Соответствующее доказательство со- содержится в формулах B.102), B.103). Для нас существенно, что /„-0. Перейдем к случаю четных п. Воспользуемся следующей вспо- вспомогательной конструкцией. Пфаффиав (Pf). Существует один и с точностью до знака только один полином с целыми коэффициентами, сопоставляющий каждой кососимметри- ческой 2п х 2п-матрице А над коммутативным кольцом Q элемент Pf (А) этого кольца, квадрат которого равен определителю матрицы А. При этом Pf(BAB') = Pf detS B.106) для любой 2п х 2п-матрицы В. Доказательство этого утверждения см., например, в [54]. Замечание 2.20. В топологических приложениях кольцо Q - это или поля R, С, или же, например, кольцо целых чисел Z. Пример 2.18. Из B.106) следует, что Pf инвариантен относительно Ad В, где В € SO(n). Поэтому Pf(A) принадлежит кольцу I(SO(n)). Так как полином /т при старшей степени в разложении B.105) равен detX, то из определения Pf(^4) следует, что fm(X) = [Pf (Л")]2 = h2(X). Таким образом мы определили инвариантный полином h2l(X), равный старшей степени на алгебре Ли О(п). Если вспомнить, что Ad(S'O(n) - инвариантные полиномы - одно- однозначно определяются своими значениями на картановской подал- подалгебре t С so(n), которая может быть представлена в виде
218 Элементы топологии... 1{ ( "О! О О -а2 т{ t = Q(SOB) x ... х 50B)). О 7 B.107) На подалгебре t,h(X) — а,\...ат- Если X С so(n), т.е. то положим 2m •m!"'2"'2"-1'2" B.108) где суммирование идет по всем перестановкам чисел A,...,2т), ?u...i2m ~ антисимметрический тензор: ?M...i2m = 1, если переста- перестановка чисел четная, и ?j,...j2m = —1, если перестановка нечетная, ?l...2m = 1. Прямая проверка B.108) показывает, что h(X) - пфаффиан. Теперь мы можем, так же как и в случае классов Черна и Пон- трягина, выразить класс Эйлера через замкнутую 2п-форму на М2п. Выберем послойную метрику в Е и построим главное расслое- расслоение Р со слоем 5ОBп), ассоциированное с Е. Пусть uij - формы связности, согласованные с послойной ме- метрикой, a /?j - формы кривизны. Определим замкнутую 2п-форму, подставляя в пфаффиан формы кривизны: B.109) Справедливо следующее предложение. Предложение 2.26. Класс Эйлера е(Е) ориентированного веще- вещественного расслоения Е над М2" со слоем R2n представляется замкнутой 2п-формой е({2). Собственно в доказательстве нуждается только независимость класса Эйлера от выбора послойной римановой метрики, Пусть дх - метрика в слое - евклидова метрика в R2n. Любая другая риманова метрика в слое получается ортогональным преоб- преобразованием А с det А = 1. Так как Pf (AQA%) = Pf (АПА~1) =
Характеристические классы 219 = Pf (/?), то класс Эйлера не зависит от выбора римановой метрики в расслоении Е. Замечание 2.21. При вычислении классов Черна и Понтрягина через замкнутые формы можно выбирать любую связность в рас- расслоении. Для класса Эйлера связность должна быть согласована с послойной метрикой на Е. Исключением является лишь случай п — 1. В этом случае класс Эйлера е(Е2) совпадает с с\(Е2). В книге [54] приведен пример Милнора A958) ориентированного векторного расслоения с плоской связностью (нулевой тензор кри- кривизны), для которого класс Эйлера с вещественными коэффициен- коэффициентами ненулевой. Замечание 2.22. Обычно класс Эйлера е(М) с вещественными ко- коэффициентами определяется аксиоматически. Аксиома 1. Для каждого ориентируемого расслоения Е над М" со слоем R" задан класс Эйлера е(М) G Hn(M,R),e(M) = О для нечетных п. Аксиома 2 (естественность). Если Е - ориентированное рас- расслоение над М", а / - отображение М' -+ М, то где f~l{E) - векторное расслоение над М', индуцированное ото- отображением /. Аксиома 3. Пусть Е^, ...,ЕГ - расслоения над М со слоем Д2., тогда 2 8w ...0w Er) = e(?,) • e(E2)...e(Er). Аксиома 4. Если Е1 - одномерное комплексное расслоение над 11 ,(I() Несложно проверить, что если определить е(Е) через 2п-фор- му, то все аксиомы удовлетворяются. В заключение сформулируем многомерный аналог формулы Га- Гаусса - Боннэ, принадлежащий Черну. Теорема 2.35. Пусть М - ориентируемое компактное риманово многообразие:сЦт М = 2п, ТМ - касательное расслоение над М; положим е(М) = е(ТМ) - замкнутая 2п-форма, определенная в B.109). Тогда Je(M) dV м
220 Элементы топологии... где х(М) ~ Эйлерова характеристика многообразия М. 2.7.8. Характеристические классы Штифеля - Уитни В начале этого параграфа уже упоминались характеристические классы Штифеля - Уитни и>,- вещественных расслоений как эле- элементы групп когомологий H'(M,Z2). Здесь мы дадим более под- подробное изложение классов Штифеля - Уитни. Классы Штифеля - Уитни, к сожалению, нельзя строить кон- конструктивно через формы кривизны, по аналогии с классами Черна, так как элементы iuj принадлежат циклической группе Z2 ¦ Однако можно задать классы iu» аксиоматически. Существование и един- единственность когомологических классов, удовлетворяющих этим ак- аксиомам, доказана в [54]. Аксиомы, которые положены в основу опре- определения классов, параллельны соответствующим утверждениям для классов Черна. Пусть ? - векторное расслоение над Мп, а Н'(М, Z2) - группа когомологий с коэффициентами в Z2. Аксиома 1. Для каждого векторного расслоения ? существует последовательность классов когомологий называемых классами Штифеля - Уитни расслоения ?. Класс w0 равен единице группы H°(M,Z2) и классы и>*(?) — 0 для г > п, если ? - re-мерное расслоение. Аксиома 2 (естественность). Если отображение / : М —> Mj, накрывается послойным отображением ? —> г], то *Ф - f*Mv)- B.110) Аксиома 3. Если ? и г) - векторные расслоения над одной и той же базой М, то m(t @w v) - Yj w№ U wk-iM- B-111) Операция U здесь означает когомологическое умножение. На- Например: Удобно определить полный класс Штифеля - Уитни п = 53 «>,-(?). Для полного класса Штифеля - Уитни, так же о
Характеристические классы 221 как для полного класса Черна, аксиома 3 записывается в удобном виде V) = W@ ¦ W{r)). B.112) Аксиома 4 (нормировка). Для линейного расслоения ?2 над S1 cz RP1 класс tvi({1) = H\RP\Z2)?0. B.113) Определение 2.36. Классами Штифеля - Уитни многообразия Мп называются классы wi(TM), где - ТМ - касательное расслое- расслоение к М". Классы Штифеля - Уитни и>, определены для вещественных расслоений со структурной группой GL(n,R), редуцируемой к группе 0(п). База расслоения не предполагается ориентируемой. Интересно сформулировать условие ориентируемости расслоения в терминах классов Штифеля - Уитни. Теорема 2.36. Расслоение ? ориентируемо, если и только если Щ(О - 0. Доказательство. Рассмотрим точную последовательность групп 1 -> SO(p) -* 0{p) -» Z2 -» 1. Ей соответствует точная последовательность когомологий H\M,SO(p)) -> Н'(М,О(р)) -» H\M,Z2) - Условие ориентируемости эквивалентно условию изоморфизма: H\M,SO{p))->H\M,O{p)), и, следЬвательно, образ V : Н1(М,О(р)) —> H1(M,Z2) — Wi равен нулю. Сформулируем ряд простейших, но весьма полезных свойств классов Wi, непосредственно следующих из аксиом. Предложение 2.27. Если расслоение ? изоморфно rj, то и>,(е) = Wi(ri). Предложение 2.28. Если е - тривиальное расслоение, то Wi(e) = 0 для всех г.
222 Элементы топологии... Действительно, если расслоение тривиально, то его можно по- послойно отобразить в расслоение над точкой. Комбинируя этот ре- результат с аксиомой 3, получаем предложение 2.29. Предложение2.29. Если расслоение е тривиально, то и>,(е Фи/'/) = W,(T)). Предложение 2.30. Если ? - некоторое n-мерное расслоение с евклидовой метрикой, обладающее всюду ненулевым сечением, то wn@ = 0. Доказательство. Заметим, что если ? - некоторое подрасслоение ? и расслоение ? снабжено евклидовой метрикой, то можно опре- определить ортогональное дополнение С в ? такое, что ? = С © СХ- Доказательство этого факта очевидно, так как существование ев- евклидовой метрики позволяет ввести ортогональное дополнение в слоях расслоения ?. Теперь воспользуемся предложением 2.29. Так как существование сечения эквивалентно выделению одномерного тривиального подрасслоения е, то получаем l) = Wn(Cn-l) = 0. Предложение 2.30 немедленно обобщается. Предложение 2.31. Если ? обладает всюду линейно не зависимыми сечениями, то U>n-*+l(f) = Wn-k+i@ = • . . = 0. Заметим, что условие ю„(() — 0 является необходимым,, но не достаточным условием. Таким условием является обращение в нуль класса Эйлера е(?). Сформулируем соотношение между классом Эйлера и соответствующим классом Штифеля - Уитни wn(?). Предложение 2.32. Естественный гомоморфизм Hn(M,Z) —+ —> Н"(М, Z\) переводит класс Эйлера е(?) в старший класс wn(?). В физических приложениях особый интерес представляет класс w2 — H2(M, Z2). Равенство нулю w2 дает необходимое условие су- существования спинорной структуры на многообразии М. Этот ре- результат мы обсудим в 5.2.8.2. Вычисление классов Штифеля - Уитни для конкретных много- многообразий довольно сложная задача. Даже для простейших многооб- многообразий, типа Sn или RPn, вычисление и;, требует нетривиальных рассмотрений. Введем следующее общее понятие. Рассмотрим множество бес- бесконечных рядов {W} = A + u>i + ... + wn...) ? Н*(М, Z?), начина- начинающихся с единицы.
Характеристические классы 223 Лемма 2.13. Множество {W} образует коммутативное кольцо. Доказательство. Докажем, что каждому элементу И^можно по- построить обратный. Остальные утверждения леммы очевидны. Об- Обратный элемент W~l вычислим разложением в ряд: +W2 + ...J- i + {w\ - w2)+ — w3) (Знаки не имеют значения.) Коэффициент при w\l ...w'kk в разло- разложении W равен (ц + ... +г*)!/м !•••»'*! Зададим два расслоения ? и г/ над одним и тем же базисным пространством М. Из леммы 2.13 следует, что уравнение однозначно разрешимо: W(rj) = W(? фц/ г/) • W(?)~x. В частности, если расслоение (? Фи/ rj) тривиально, то W{ri) = W{?)-\ B.115) Например, если ? - касательное расслоение ТМ, а т/ - нормальное расслоение —N(M), получаем результат, принадлежащий Уитни: Wi(TM) = ш,~ '(-/V(M)). B.11C) Пример 2.19. ш,Eп) Теперь мы можем вычислить классы Шти- феля - Уитни для сферы Sn. Вложим S" стандартным образом в Rn+1. Нормальное расслоение тривиально и, следовательно, W(TSn) - W(N(Sn))-x = W{N{Sn)) = 1, т.е. Wi{S") = 0. Этот результат показывает, что классы Штифеля - Уитни не по- позволяют отличить тривиальное расслоение над Sn от касательного. Вычисление классов Штифеля - Уитни расслоений над RPn требует знания кольца когомологий проективного пространства RPn. Предложение 2.33. 1) Группа H{(RPn, Z2) = Z2 для 0 < i < п и H\RPn, Z2) = 0 для i > п. 2) Если а ф 0, a € H\RPn,Z2), то каждая группа Я'( порождается г'-кратным [^-произведением а.
224 Элементы топологии... Таким образом, кольцо H*(RPn,Z2) является алгеброй с еди- единицей над полем Zi с одной образующей а и одним соотношением ап+1 = 0. Доказательство см. в [54]. Пример 2.20. Полный класс W{~f\{RPn)), где 7n ~ линейное расслоение над RP", задается формулой W^^RP")) — 1 + а. Доказательство. Стандартное вложение j : ЛР1 С RPn накры- накрывается послойно расслоением -у} в 7^- Следовательно Так как класс u>iGn) Ф 0? т0 он должен быть равен а, а остальные классы гу^(-уД) = 0 по аксиоме 1. Пример 2.21. W(RPn). Приведем без доказательства резуль- результаты вычислений для касательного расслоения T(RPn): W(RPn) = A + a)"+1 = 1 + Cln+1a + ... + Cn"+1a", an+1 =0. { Доказательство см. в [54]. Биноминальные коэффициенты рассма- рассматриваются по модулю 2. Например: W{RP2) = l + a + a2, W(RP3) = l. Обратим внимание на интересное следствие из этих вычи- вычислений. Необходимым условием параллелизуемости многообразия RPn является равенство W(TRPn) = 1. Из формулы B.117) сле- следует, что W(RPn) = 1 только для п — 1 = 2Р. Этот результат принадлежит Штифелю. Справедлив, однако, значительно более сильный результат, при- принадлежащий Дж.Адамсу. Параллелизуемыми проективными мно- многообразиями являются лишь RP1 ~ 51, RP3 ~ SOC),RP7,RP15. Эти результаты следуют из условия параллелизуемости сфер 51, S3,S7,S15. Введем еще одно важное понятие, позволяющее сравнивать ¦ классы Штифеля - Уитни двух многообразий. Соответствующие результаты мы используем уже в следующем пункте. Числа Штифеля - Уитни. Пусть М - замкнутое, возможно, несвязное n-мерное многооб- многообразие. Существует единственный фундаментальный класс гомоло- гомологии цм € Hn(M,Z2). Если М" - компактное n-мерное многооб- многообразие, то фундаментальным классом гомологии можно считать все
Характеристические классы 225 Мп. Для любого класса n-мерных когомологий v € Hn(M,Z2) определен индекс Кронекера 6(М) - значение класса v на ц: Пусть г\,..., г„ - неотрицательные целые числа такие, что г\ + 2г2 + ... + пгп = п. Для любого векторного расслоения ? —> М можно образовать моном в группе когомологий Н*(М, Z2). Выберем касательное расслоение ТМ кМ. Определение 2.37. Индекс Кронекера - вычет по модулю 2 {w\l(TM)wr2*(TM)...wrn"(TM)\n), или, сокращенно w^w^2 ...w^n[M] - называется числом Штифеля - Уитни многооб- многообразия М, отвечающим классу w\l ...w1^. Два многообразия М и М\ имеют одинаковые числа Штифеля - Уитни, если w\l...w^n[M] = w^...w^n[Mi] для любого класса w^1 ...Wn" полной размерности п. Пример 2.22. Числа Штифеля - Уитни проективного простран- пространства RPn. 1) Рассмотрим сначала четномерные проективные простран- пространства RP2n. Классы w2n — Bп + 1)а2п и wi = Bn + 1)а ненулевые, и, следовательно, числа Штифеля - Уитни w2n = w2n[RPn] и w\n = \RP2n\ ненулевые. Если - степень двойки, то полный класс Штифеля - Уитни равен и, следовательно, остальные числа равны нулю. В общем случае числа вычисляются через биномиальные ко- коэффициенты. 2) ДР2"-1. W{TRP2n-1) = A + аJ" = A + а2)", поэтому Wi(TRP2n~1) = 0 для любого нечетного г. Так как каждый моном полной размерности 2п—1 должен содержать сомножитель Wi нечет- нечетной размерности г', то все числа Штифеля - Уитни Wi[RP2n~1] — 0. 2.7.9. Теория кобордизмов Начнем изложение с двух модельных примеров. Пример 2.23. Рассмотрим два многообразия: М1 = S\ и, М2, равное несвязному объединению 5^ и S] (здесь S] - окружности). Можно ли построить многообразие W2 с границей d W2 — UMi
226 Элементы топологии... Рис. 7. Кобордантное многообразие, построенное из трех окружностей (штаны) и Mil Ответ, очевидно, положителен, и многообразие W2 так называемые штаны (Рис.7). Менее очевидным является следующий пример. Пример 2.24. Существует ли трехмерное многообразие W3 с двумя границами Q W3 и д W^, одна из которых есть сфера S2, а другая - тор Т2 — 51 х 51. Многообразие W3 действительно су- существует, Выберем в R3 непересекающиеся двумерные поверхно- поверхности S2 и Т2, ограничивающие шар D3 и полноторий В3. Вырежем эти области и компактифицируем оставшуюся в R3 область беско- бесконечно удаленной точкой. Получим компактное ориентируемое мно- многообразие W3 с границами Т2 и 52. Очевидно, что этот результат справедлив для любых двумерных замкнутых ориентируемых по- поверхностей. Сформулируем обобщение этих задач, которое приведет нас к основным определениям теории кобордизмов. Пусть М" и М? - компактные многообразия. При каких условиях на М" и М^п су- существует (п + 1)-мерное многообразие W"+1) называемое пленкой, с краями М" и М?? Перейдем к точным формулировкам. Определение 2.38. Пусть М" - замкнутое многообразие. Мп на- называется кобордантным нулю, если существует компактное много- многообразие Wn+1, которое имеет границу, диффеоморфную М". Будем пока предполагать, что многообразие М" ориентируемо.
Характеристические классы 227 Определение 2.39. Два ориентируемых многообразия М" и М% называются кобордантными, если существует многообразие Wn+1 с границей dWn+1, равной несвязному объединению М" U — М? (где —М" есть М" с противоположной ориентацией). Нетрудно проверить, что множество всех ориентируемых ком- компактных n-мерных многообразий распадается на классы экви- эквивалентности относительно отношения кобордантности. Обозначим класс эквивалентности многообразия М через [М]. Для этих клас- классов можно определить операцию сложения: [М] +[Mi] = [MUM]]. Относительно этой операции классы эквивалентности образуют коммутативную группу. Обратный элемент классу [М] есть класс [—М]. Действительно, пространство М U — М является границей М х / и, следовательно, кобордантно нулю [М] + [-М] = 0. Эту группу называют группой кобордизмов размерности п и обозначают Qn. Если многообразие М кобордантно М\, то для любого ори- ориентированного многообразия V произведение Мху кобордантно Mi х у. Следовательно, для классов [М] можно определить умно- умножение. Это умножение антикоммутативно и дистрибутивно относи- относительно сложения. Тем самым прямая сумма п = ф/5" есть кольцо. Замечание 2.23. Кобордизм неориентируемых многообразий. Так как задание ориентации многообразия выделяет образующую в Hn(M,Z) то, перейдя к группе Н„(М, Z2), можно опустить упо- упоминание об ориентации и рассматривать кольцо ЛГ кобордантных многообразий по модулю 2. Условие кобордантности двух много- многообразий эквивалентно условию кобордантности нулю одного мно- многообразия М". Поэтому представляет большой интерес нахожде- нахождение необходимых и достаточных признаков кобордантности нулю данного многообразия М". Тем самым мы строим топологические инварианты классов кобордизмов. Приведем основную теорему Понтрягина - Тома. Теорема 2.37. Компактное многообразие М" является границей Wn+l, т.е. кобордантно нулю тогда и только тогда, когда все числа Штифеля - Уитни равны нулю. Необходимость этого условия доказана Понтрягиным (см. до- доказательство в [54]). Значительно более сложным является доказа- доказательство достаточности. Оно принадлежит Тому [93]. Пример 2.25. Как было показано в примере B.22), все числа Штифеля - Уитни RP2n+1 равны нулю. Следовательно, RP2n+l является границей In + 2-мерного компактного многообразия.
228 Элементы топологии... Приведем пример более простого условия на топологическую характеристику многообразия Мп кобордантного нулю. Предложение 2.33 Если [М"] ~ 0, то эйлерова характеристика х(Мп) - четная. Доказательство. Пусть Мп - граница многообразия Wn+i- Рас- Рассмотрим "дубль" многообразия VVn+ъ т-е- многообразие без края Wn+ь получающееся из Wn+i "склейкой" второго экземпляра Wn+i по границе М" (подробнее о "дублях" см. в примере 2.16). Тогда, используя клеточное разбиение многообразия Wn+i и опре- определение эйлеровой характеристики, получаем x(Wn+i) = x(W»+i) - Х(МП) + х( W )• B.118) п+1 Если п — 2k + 1, то x(-W) = 0, поэтому остается случай п — 2k. HoToroax(>Vn+i) = 0Hx(Mn) = 2x(Wn+i). ? Нахождение структуры колец Qn для различных классов п- мерных многообразий представляется весьма сложной задачей. По существу, ряд классических проблем топологии может быть сфор- сформулирован в терминах теории кобордизмов. В физических прило- приложениях пока наибольший интерес представляют многообразия раз- размерности п < 4. Приведем результаты вычислений колец Qn для размерности га <4. 1. i?°. Многообразие /2° состоит из конечного числа точек. Оче- Очевидно, что два набора точек кобордантны, если их число одинаково. Если снабдить точки знаками, то сумма этих знаков определяет единственный вариант /2°. Очевидно, что /2° ~ Z. 2. Qx ~ Q2 = 0. Очевидно, что каждое компактное одномерное или ориентируемое двумерное многообразие является границей. 2'. Л/'2. Для неориентируемых многообразий это уже не так. Как следует из теоремы 2.37, RP2 не является границей трехмерного многообразия. С другой стороны, бутылка Клейна К кобордантна нулю. Так как любая не ориентируемая поверхность является связной суммой fc-проективных плоскостей RP2 [49], то при k нечетном #kRP2 ^ Mlk-\)/2#Rp2 (где M(k-\)/2 ~ ориентируемая повер- поверхность рода (к — 1)/2, а при к четном #*ДР2 ~ М?к_1,/2#А' (А' - бутылка Клейна). Отсюда выводим, что группа Л/'2 ~ Zi- 3. /23. Кольцо S23 ~ 0, т.е. всякое трехмерное ориентируемое многообразие является границей четырехмерного. Этот в высшей степени нетривиальный результат был впервые доказан Рохлиным
Характеристические классы 229 геометрическими методами теории оснащенных многообразий Пон- Понтрягина. Позднее этот результат был получен Р.Томом как след- следствие его замечательной теории кобордизмов [93]. 4. О4. Кольцо Q4 ~ Z. Этот результат также был впервые по- получен Рохлиным. Разберем этот случай более подробно. Для на- нахождения инвариантов кобордизмов четырехмерных многообразий полезно рассмотреть по аналогии с характеристическими числами Штифеля - Уитни. Числа Понтрягина, определяемые через харак- характеристические классы Понтрягина четырехмерных многообразий. Числа Понтрягина. Пусть М4п - гладкое компактное ориентированное многообра- многообразие. Разбиением целого неотрицательного числа к называется вся- всякая неупорядоченная последовательность /= i\,...,ir положитель- положительных чисел, в сумме дающих к. Определение 2.40. Для каждого разбиения I = ii,...,ir числа к 1-ым числом Понтрягина называется целое число pi[M4n] = Pti...»r[M4n], равное индексу Кронекера: (Pil(TM4n)...pir(TMin)\n4n). Здесь ТМ4п - касательное расслоение к М4п, a fiin - фунда- фундаментальный гомологический класс М4п. Приведем без доказательства формулу для чисел Понтрягина многообразия СР2п (Доказательство см., например, в [54]): Ph...dCP2n) = C?n+1...C'2'n+l. B.119) При выяснении вопроса о кобордантности нулю четырехмер- четырехмерного многообразия М4п числа Понтрягина играют ту же роль, что и числа Штифеля - Уитни. Но, учитывая конструктивное вычисле- вычисление классов Понтрягина, они более удобны. Предложение 2.34. Если многообразие М4п является границей, то все числа Понтрягина р; равны нулю. Пример 2.26 Многообразие СР2. Существует одно число Пон- Понтрягина р\(СР2), равное 3. Следовательно, многообразие СР2 не может быть границей. Это же утверждение верно и для любого СР2-многообразия. Для многообразий Мп с п ф 4fc числа Понтрягина по опре- определению (так же как и классы Понтрягина) равны нулю. Такие многообразия могут быть границами.
230 Элементы топологии... Пример 2.27. СР2п+1. Комплексное нечетномерное многообра- многообразие СР2п+1 является границей многообразия УУдп+3- Справедлива более сильная теорема Уолла [84]. Теорема 2.38. Многообразие Мп является ориентируемой грани- границей тогда и только тогда, когда все его числа Понтрягина и все числа Штифеля - Уитни равны нулю. Вернемся к кольцу О4. Оказывается, что для кольца четырех- четырехмерных многообразий пространство СР2'играет роль образующей. Точный результат сформулируем в виде теоремы, принадлежащей Тому и Рохлину. Теорема 2.39. Произведение комплексных проективных прост- пространств СР2'1 х ... х СР2'Г где ii,...,ir пробегает множество всех разбиений числа к, определяет максимальное число линейно неза- независимых элементов в группе Г2*к. Следствие 2.7. Кольцо п4 изоморфно группе Z и порождено клас- классом СР2. Таким образом, из теорем Уолла и Рохлина - Тома следует, что группа кобордизмов пл всегда есть прямая сумма некоторого числа экземпляров Z2 и, если п — 0(mod 4), соответствующего числа экземпляров группы Z. Сигнатура многообразия. С числами Понтрягина связана еще одна важная топологиче- топологическая характеристика многообразия - сигнатура, или индекс мно- многообразия т(М). Мы будем использовать более современный термин "сигнатура". Определение 2.41. Сигнатура т компактного ориентируемого многообразия М" полагается равной нулю, если п ф 4fc. Пусть n = 4k. Рассмотрим пространство когомологий "средней" размер- размерности H2k(Mih,Q) (Q - поле рациональных чисел). Выберем в векторном пространстве H2k(M4k,Q) базис сч,...,аг, в котором матрица А — (a; U aj\fi) диагональна. (Здесь /л - фундаменталь- фундаментальный цикл М4к). Сигнатурой т(М4к) называется разность числа положительных и отрицательных собственных значений матрицы А. Это определение совпадает с определением сигнатуры квадра- квадратичной формы: a^(aUa\n), a € H2k(M4k,Q).
Характеристические классы 231 Отметим, что из определения следует, что т(М4к) - целое чи- число. Существование формы А следует из теоремы двойственности Пуанкаре. Из этой теоремы следует также, что форму А можно задать с помощью двойственной операции пересечения циклов ui, соответствующих коциклам а,-, (а,- П a,j ) = ind (a,i,a,j) — индексу пересечения hi, а,. Сигнатура т(М) обладает следующими свойствами. Теорема 2.40 (Том) 1) т([М] + \М'}) = т{М) + т(М'). 2) т([М] х [М'\) = т(М) ¦ (М'). 3) Если многообразие М является ориентированной границей, то т(М) = 0. Свойство 1) очевидно. Доказательство свойств 2) и 3) имеется в книгах [54, 101]. Из свойств 1) и 3) следует, что т(М) может быть представлена как полином L(p%, ...,pk), от чисел Понтрягина pi(M). Точный вид этих полиномов указан Хирцебрухом [101]. Зная полиномы Хир- цебруха и классы Понтрягина, можно вычислить т(М). Для мно- многообразий М4п при п = 1 и 2 полиномы Хирцебруха равны 1) 11(М4) = ^- B.120), 2) L2(M*) = ±Gр2 - pi). B.121). ( Из теоремы Хирцебруха следует, что значение полиномов Lk(pi,...,pk) на М4к равно т(М4к). Рассмотрим простейший пример явного вычисления сигнатуры т(СР2) = 1. Векторное пространство H2(CP2,Q) имеет един- единственную образующую а такую, что (aUa\fi)=l. Это следует из структуры кольца H*(CP2,Q) (см. [54]). Следо- Следовательно, т(СР2) = 1. Из формулы B.120) находим рг(СР2) = 3, что совпадает с вычислением pi(CP2) в примере 2.26. Совершенно аналогично вычисляется и сигнатура т(СР2п) : т = 1 Формулы Хирцебруха типа B.120, 2.121) обладают замечатель- замечательным свойством. Так как сигнатура многообразия т(М) - целое чи- число, то коэффициенты L* должны удовлетворять сильным условиям делимости. Например, из B.120, 2.121) следует, что pi(M4):3 и
Глава III. Физические принципы и структуры В этой главе будут изложены физические соображения, лежащие в основе современных представлений квантовой теории полей и ста- статической физики. К ним относятся свойства калибровочной инвариантности по- полевых уравнений Янга-Миллса, эффекты спонтанного нарушения симметрии в непрерывных и дискретных системах, возникнове- возникновения масс с помощью механизмов Хиггса и т.п. На самых простых модельных примерах я постараюсь объяснить, что скрывается за этими фундаментальными понятиями, лежащими в основе унифи- унифицирующих идей современной физики. Эффективность топологических методов в теории поля и теории конденсированных сред основана именно на этих идеях. Близость некоторых понятий топологии и теории поля будет видна из описа- описания одних и тех же объектов на двух различных языках. §3.1. Калибровочная инвариантность 3.1.1. Поля Максвелла и Янга-Миллса Современная теория элементарных частиц базируется на несколь- нескольких основных положениях. Переносчиком взаимодействия являются некоторые частицы, с которыми связываются поля. Лагранжианы полей инвариантны от- относительно группы преобразований, соответствующей сохраняю- сохраняющимся величинам модели. Рассмотрим в виде примера свободного поля классическую электродинамику Максвелла [43]. Уравнения свободного электромагнитного поля имеют вид d^F^v = 0, dpFvp — dvF^f, + dpF^ = О, C.1) где F,,.!, = дрА„ — di/Ap — тензор напряженности электромагнит- электромагнитного поля, а Ац — вектор-потенциал.
Калибровочная инвариантность 233 Написание первого уравнения в C.1) требует задания метрики. Мы выбираем псевдоевклидову метрику на пространстве Минко- вского М4, gij(+ + -\—). Геометрический смысл уравнений Мак- Максвелла мы выясним в пункте 3.1.2. Уравнения Максвелла обладают фундаментальным свойством инвариантности относительно преобразований: " ' * C.2) ОХр Преобразования C.2) произвольным образом зависят от (мировой) точки Хр. Такие преобразования называются локальными калибро- калибровочными преобразованиями. Они образуют группу — калибровоч- калибровочную группу G. С существованием группы симметрии всегда связано появление в теории сохраняющихся величин. Например, сохранений изос- пина в ядерных взаимодействиях означает инвариантность соот- соответствующего лагранжиана относительно группы вращения изото- изотопического пространства — группы SU{2). Здесь группа не зависит от координат пространства-времени. Такие группы симметрии на- называются глобальными. Рассмотрим с этой точки зрения лагранжиан квантовой элек- электродинамики, описывающий взаимодействие электронов и фотонов. Взаимодействие электронов осуществляется через излучение и по- поглощение фотонов. Лагранжиан 12 имеет вид - „ 1 С = фAд + еА - т)ф F^F^. C.3) 4 Здесь д = jpdp,A = -у^др ("fp — матрицы Дирака. См., напри- например, [38]. Этот лагранжиан инвариантен относительно локальной группы 17A): ф —>= ехр((а(х))ф = Бф, А Л' Л + ^ А ^ р С ОХ п С C.4) а(х) — параметр, зависящий от мировой точки х. Здесь константа взаимодействия е — электрический заряд. Мы выбираем систему единиц Ь = с = 1. 12 Более точно, лагранжева плотность. Настоящим лагранжианом является L = J C(x^,x°)dx. Однако в теории поля часто называют лагранжианом и С.
234 Физические принципы и структуры Напряженность поля F^,, инвариантна относительно этих пре- преобразований. Требование локальной инвариантности лагранжиана C.3) при- приводит к двум фундаментальным физическим следствиям: а) сохранение электрического заряда, б) взаимодействие задается безмассовым фотонным полем А^. Действительно, если бы фотон имел массу, то лагранжиан с добавочным членом т2А^А11 был бы уже не инвариантен относи- относительно калибровочных преобразований U(l) группы. Таким образом, для локальной инвариантности необходимо, чтобы сохраняющийся заряд был источником безмассового вектор- векторного поля. Современные теории сильных и слабых взаимодействий базиру- базируются на неабелевых обобщениях калибровочных теорий — теории Янга - Миллса. Теория Янга - Миллса первоначально предназначалась для описания сил, связывающих нуклоны — протоны и нейтроны. Про- Протоны и нейтроны обладают замечательной особенностью, позволя- позволяющей рассматривать их в процессах сильных взаимодействий как одинаковые частицы. Это свойство было замечено еще в рамках квантовой механики и называется изотопической инвариантностью. Изотопическая инвариантность является глобальной симметри- симметрией, действующей в пространстве внутренних степеней свободы нуклона и не затрагивающей пространственно-временной конти- континуум. Пусть ф — волновая функция нуклона, ф — изодублет: Изотопическая инвариантность означает инвариантность лагран- лагранжиана ядерных сил относительно преобразований ф^ф' = Бф, ф -уф' = S+ф, C.5) где S,S+ = S'1 € SUB),S = ехр(а.Т'), а* — параметры, не за- зависящие от х, Т' = —7^fTl, т' — матрицы Паули 13 тг = ах,т2 = Су, г3 = az в обозначениях B.49). Так как матрицы т' не комму- коммутируют между собой, то эта симметрия неабелева. Ч.Н.Янг и Р.М.Миллс предложили не только глобальный, но и локальный характер некоторых внутренних симметрии. В ра- работе [255] они постулировали, что свойства ядерных сил, связанные 13В физической литературе принято обозначать изоспиновые матрицы Паули через т1, а спиновые через с1.
Калибровочная инвариантность 235 с изотопической симметрией и, следовательно, неразличимостью нейтрона и протона, сохраняются и при значительно более общих преобразованиях. Преобразования вектора изоспина можно произ- производить независимо в каждой точке пространства-времени, т.е. а имеет вид а(х). Теперь схема построения модели сильных взаимодействий про- проводится на основе янг-миллсовских полей, моделируя идеи кван- квантовой электродинамики. Неабелевость калибровочной группы G (в данном случае SUB)) приводит к ряду новых физических след- следствий. Аналогом поля А^ будет поле Янга - Миллса W^, преобразую- преобразующееся под действием представления группы SUB). Аналогом сохраняющейся величины "е" "зарядом" будет опе- оператор изоспина Т, имеющий в данном случае три компоненты. Напишем теперь лагранжиан янг-миллсовского поля (в пустоте, т.е. без полей14 ф). Для этого надо написать аналог ковариантной производной поля Wf,. Ковариантная производная V^ имеет следующий вид: V, = д» - Д^), C.6) где r(W(L) — представление матрицы W^, соответствующее задан- заданному представлению группы G. Укажем вид преобразований полей W^ и тензора напряженно- напряженности Fp,,, требуя калибровочной инвариантности лагранжиана, ко- который должен быть квадратичным по F^. Преобразование полей ф(х), аналогичное локальному фазовому преобразованию в квантовой электродинамике, имеет вид ф(х) - фЦх) = Г[д(х))ф(х), C.7) где д(х) — функция от х со значениями в группе G; д(х) можно счи- считать матрицей в присоединенном представлении группы G. Про- Производная C.6) будет ковариантна по отношению к преобразованию C.7), если поле W^ преобразуется по закону Положим F^ = d^W, - dvW» + [TV?, Wv). C.8) Легко видеть, что F^» преобразуется как g(x)Ftlvg-\x), C.9) 14Такие поля называют чисто янг-миллсовскими.
236 Физические принципы и структуры и, следовательно, выражение Tr(FllvF11'') инвариантно относитель- относительно калибровочных преобразований. След берется в пространстве представления группы G (пространство внутренних степеней сво- свободы). Выражение cTr(F,lvF11'') является естественным обобщением лагранжиана электромагнитного поля на случай неабелевой кали- калибровочной группы. Это и есть лагранжиан чисто янг-миллсовского поля. Выбор константы с, пропорциональной константе взаимодей- взаимодействия, зависит от нормировки полей W^ и базиса в пространстве представления группы G. Пусть поля Wp и Fp,, принимают значения в алгебре Ли Q группы G, где G — компактная полупростая группа, или G — С/( 1). Обозначим через Т" генераторы Q (а = 1,...,N, N = dimQ). Ин- Инвариантная метрика на G — форма Киллинга В на Q. Нормируем B(X,Y) условием Тг(ТаТь) - \8аЬ. Выбор этой нормировки для Сум наиболее употребителен. Например, для группы SUB) он со- соответствует выбору генераторов в виде Т' = |гт'. В этом случае15 Сум = \д2Тг F^F*" = -\g2F%F^a. Для группы U(l) лагранжиан Янга - Миллса совпадает с лагран- лагранжианом электромагнитного поля. Коэффициент — | соответствует выбору системы единиц Хевисайда в теории электромагнетизма [43]. При записи тензора F^ в форме C.8) константа взаимодей- взаимодействия (связи) д входит только в коэффициент \д2¦ Ее можно убрать переопределением полей W^ —> gWp. Однако тогда она войдет в определение ковариантной производной: V^ —> VJ, = дц — gW^. Лагранжиан, описывающий взаимодействие поля Янга - Миллса с полями материи, имеет вид цФ), C.10) м описывает калибровочно инвариантное взаимодействие полей W,,, и ф(х) и получается из лагранжиана для полей ф заменой обыч- обычных производных на ковариантные. 15 Константу связи в теории Яига - Миллса традиционно обозначают через у (не путать с элементом группы д)
Калибровочная инвариантность 237 3.1.2. Геометрическая интерпретация полей Максвелла и Янга - Миллса В предыдущем пункте был дан набросок физических идей, подво- подводящих к концепции неабелевых калибровочных полей. Теперь мы рассмотрим геометрическую интерпретацию таких полей с точки зрения теории расслоений. 1. Поле Максвелла Пусть М4 — пространство-время Минковского. Рассмотрим гла- главное расслоение Р над М4 со структурной группой G = U(l). Формы связности ш, в принимают значения в алгебре Ли u(l) ~ R. Так как группа [/A) коммутативна, то структурное уравнение A.45) для формы кривизны Q A.58) превращается в П = de, C.11) или, в координатной записи, 1б dx H,v = 1,...,4. Тождество Бианки переходит в соотношение сШ = О, C.13) а уравнения Максвелла C.1) в сШ = 0, еП2 = 0. C.14) Уравнение d*fi — О записывается через тензор FpV в обычной форме (d^F^i, = 0), a dfi — через дуальный тензор *F(LV как d'F^,, = 0. Здесь *Г2 — дуальная относительно операции * форма, а *^„ — дуальный тензор: *^„ = ^?pvP-fFp~l. Форма кривизны инвариантна: —дпд~1 = Q, д ? U(l). Преобразование связно- связности в' = двд'1 + dgg-1 =в + dgg~\ 16Мы заменили в^ на А^ согласуясь с общеупотребительным в физике обозна- обозначением для вектор-потенциала.
238 Физические принципы и структуры Здесь dgg~l — элемент алгебры Ли группы [/A) : Q = U(l) = {iX} — R. Если положить д — exp(iX(x)), то d^gg~l = id^X. Сле- Следовательно мы получаем формулу калибровочных преобразований эквивалентную C.2). Поле Максвелла Ац — связность (калибровочное поле) на М4. Так как пространство М4 стягиваемо, то расслоение Р тривиально. Однако существуют важные примеры уравнений Максвелла с источниками (магнитные монополи Дирака), когда приходится рас- рассматривать (стационарные) решения, задеваемые на многообразии R3 \ хо- В точке xq расположен магнитный заряд. Многообразие R3 \ хо стягиваемо на двумерную сферу 52, и возникающее рассло- расслоение со слоем U(l) не тривиально. Магнитные монополи Дирака мы рассмотрим в 4.1.1. 2. Поле Янга - Миллса Геометрическая интерпретация свободных полей Янга - Миллса по существу та же, что и для полей Максвелла, однако некомму- некоммутативность калибровочной группы приводит к далеко идущим по- последствиям. Пусть калибровочная группа G - полупростая группа Ли. База расслоения — четырехмерное многообразие М4 с невырожденной метрикой д^и. Рассмотрим главное расслоение Р над М4 с группой G и ло- локальной формой связности 9 = W^dx^, со значениями в алгебре Ли Q группы G. Если мы определим форму кривизны Q = D6, то согласно C.8), получим П = -F^dx* ?\ dx", ц,и= 1,...,4. C.15) Так как на пространстве М4 задана метрика, то на формах кри- кривизны можно определить оператор *Q —» *п. Для формы Q справедливо тождество Бианки 0. C.16) Если перейти к форме *i?, то применение D дает D*Q = 0. C.17) Если записать C.16) и C.17) через ковариантные производные V^: VmF = ^F-[Wm,F],to [V^[V,, V,]] + [У„[У„ у„]] + [У„[У„, V,]] = 0, C.18)
Калибровочная инвариантность 239 ИЛИ ^^Fva + VvFap + V,,F^ = О, И V^V^V,,] = 0, C.19) или VF^ = 0. C.20) Уравнение C.20) и есть обычная запись уравнения Янга - Миллса. Теперь мы обсудим важный вопрос о связи уравнений Янга - Мил- Миллса с метрикой расслоения Р. Как мы знаем, выполнение тождества Бианки не требует введения метрики (нужна лишь связность), однако для перехода к дуальным формам, т.е. для задания опе- оператора *, требуется существование метрики д^и- Уравнения Янга - Миллса можно рассматривать на любом многообразии М с метри- метрикой, однако физический интерес представляют главным образом пространства Минковского М4, евклидово пространство Л4 и их компактификации. Уравнение C.20) выводится вариационным методом из действия 5, полученного интегрированием лагранжиевой плотности ? по пространству М4: 5 = / Tr (FnvF^dV. C.21) 2ff2 J Поднятие индексов в F*" осуществляется с помощью метрики <7М„ : F*" = gtiagv^Fap. След матриц F € Q определен в смысле формы Киллинга В, заданной в алгебре Ли. Напомним, что алгебра Ли предполагается полупростой и поэтому В невырождена. Пока мы предполагали выполнение двух требований для группы G и пространства М: полупростоты группы G,T.e. невырожденно- невырожденности формы Киллинга, и существования невырожденной метрики д^„. Разумные физические требования сильно сужают классы групп. Например, если считать группы внутренних симметрии компактными, а только такие ситуации пока встречаются, то есте- естественно ограничиться компактными полупростыми группами Ли. В реальных физических теориях рассматриваются лишь не- некоторые серии классических групп Ли, в основном это группы О(п), U(n) и SU(n) и их произведения. Симплектическая группа Sp(n) появляется крайне редко17. 17В последнее время [28] в теориях поля, основанных на моделях струн, ис- используются и исключительные группы Картана, например, группа Eg
240 Физические принципы и структуры Если ограничиться компактными простыми группами Ли, то для них форма Киллинга отрицательно определена. Знак в C.21) выбирается из условия положительности энергии. Укажем теперь на различия в записи уравнения Янга - Миллса в пространстве Минковского и в евклидовом пространстве R4. Так как все различия определяются метрикой д^ = (+ + Н—I8 и дв = (+ + ++), то соответствующие изменения возникают при действии оператора * на формах. Пусть i?? соответствует тензору F^ в R4, a Qfo — тензору F^b М4. Тогда **QE = OE, **Лй = -Лй. C-22) От М4 можно перейти к R4 с заменой координат х1 ,z2,x3,t 6 М4 на хх,...,х4 € R4, где х4 = it. Это преобразование, называ- называемое в физике поворотом Вика, позволяет переходить от вычисле- вычислений в пространстве Минковского к евклидову пространству. Точ- Точный смысл этого утверждения состоит в следующем. Если действи- действительное время t в системе координат в М4 продолжить на мнимые значения, то х4Е = it можно считать четвертой координатой R4, сохраняя неизменными остальные координаты хх,х2,хъ. После та- такого аналитического продолжения по t метрики д^ и gg совпадут. Оказывается, что многие вычисления можно провести в евклидовой области, получить конечные выражения, и затем аналитически про- продолжить их в физическую область — пространство Минковского. С другой стороны, существуют прямые физические интерпре- интерпретации движений по "траекториям" в евклидовой области — ана- аналоги подбарьерного туннелирования частиц, хорошо изученного эффекта квантовой механики. Классические решения уравнения Янга - Миллса ищутся именно в евклидовом пространстве. Соот- Соответствующие решения будут рассматриваться в §4.2. Лагранжианы янг-миллсовских полей, чистые и взаимодейству- взаимодействующие с другими полями, являются основой двух теорий: сильных взаимодействий, и единых теорий слабых и электромагнитных вза- взаимодействий. Теория слабых и электромагнитных взаимодействий представляется в настоящее время значительно более закончен- законченной. Блестящее подтверждение модели Вайнберга-Салама-Глешоу (открытие предсказанных теорией нейтральных токов и W- и Z- бозонов) заставляет думать, что эта теория в основе своей является истинной. Положение с сильными взаимодействиями не столь убе- убедительно, хотя квантовая хромодинамика представляется многим основой будущей теории. Помимо использования полей Янга - Миллса — переносчиков взаимодействия — в основе современных единых теорий поля лежит 18На М* часто используют и метрику д'- = ( *~)'9'м ~ ~9м
Системы со спонтанным нарушением симметрии 241 своеобразный способ введения масс частиц. Его истоки восходят к известному в теории фазовых переходов механизму спонтанного на- нарушения симметрии. Возникновение спонтанной намагниченности в ферромагнетике, возможно, является первым примером проявле- проявления этого эффекта. Привлечение идей статистической физики оказывается весьма плодотворным в теории элементарных частиц. §3.2. Системы со спонтанным нарушением симметрии Жидкие кристаллы, магнетики, сверхтекучий гелий — вот только некоторые из столь различных по своим свойствам сред, которые можно включить в широкий класс систем со спонтанным наруше- нарушением симметрии. Суть этого явления можно уяснить на конкретном модельном примере, взятом из теории магнетизма. Как известно, целый ряд кристаллов при достаточно низкой температуре обладает намагни- намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. Это явление называется ферромагнетизмом и объясняется существованием спе- специального обменного взаимодействия между атомами кристалличе- кристаллической решетки. Возникающая намагниченность называется спонтан- спонтанной (так как образуется без приложения внешнего поля) и харак- характеризуется вектором намагниченности М — магнитным моментом ферромагнетика. Не будем далее углубляться в дебри теории ферромагнетизма, а разберем на известной модели — изотропном ферромагнетике Гейзенберга — эффект спонтанного нарушения симметрии. Пред- Представим себе кристаллическую решетку, в узлах которой локализо- локализованы частицы с. полуцелым спином, например электроны. Взаимо- Взаимодействие между электронами, расположенными в соседних точках решетки, определяется через векторы спинов S(x). Для определен- определенности приведем вид гамильтониана (оператора энергии ) (x-x')S(x)-S(x').- C.23) Функции 1(х) = 0, если х ф а, где а — базис решетки, Да) = Л, Л < 0. Величина Д.т) называется обменным интегралом, а само взаимодействие — взаимодействием ближайших соседей, так как вклад в C.23) дают только взаимодействия между двумя соседними точками. Вектор намагниченности М имеет вид
242 Физические принципы и структуры М = ?>(*). C.24) Можно показать, что гамильтониан C.23) инвариантен относи- относительно вращения в спиновом пространстве; группа симметрии Н есть 50C). Состояние же с наименьшей энергией — основное со- состояние системы — соответствует наибольшему значению < М2 >. Вспомним, что / < 0. В этом состоянии все спины 5 ориентиро- ориентированы одинаково, вдоль некоторой фиксированной оси п, и обладают максимальным значением проекции вектора намагниченности М на эту ось. Отсюда с очевидностью следует, что основное состояние не ин- инвариантно относительно полной группы вращений спинового про- пространства, так как группа симметрии должна сохранять фиксиро- фиксированное направление вектора М, то она в данном случае совпадает с группой 50B) — вращений окружности вокруг вектора М. Теперь мы, наконец, можем дать определение спонтанного на- нарушения симметрии. Системы, у которых симметрия основного состояния не совпа- совпадает с симметрией гамильтониана, называются системами со спон- спонтанно нарушенной симметрией. Такое название уже устоялось, но было бы правильнее назвать подобные системы системами со скры- скрытой симметрией. По существу, симметрия гамильтониана не нару- нарушена, а всего лишь скрыта. В основном состоянии нельзя обнару- обнаружить более высокую симметрию системы. Примеры подобного нарушения симметрии встречаются в раз- различных задачах физики. Известно, например, что ядерные силы инвариантны относительно вращений, в то же время основное со- состояние ядра с ненулевым спином не инвариантно относительно группы вращений. Эффект спонтанного нарушении симметрии является одним из механизмов, объясняющих фазовые переходы в веществе. Известно, что одно и то же вещество в зависимости от внешних условий (температуры, давления и т.п.) может находиться в разных состояниях-фазах. Переход из одной фазы в другую называется фазовым переходом. Фазовые переходы возникают в самых различ- различных материалах, например, переход металла из нормального состо- состояния в сверхпроводящее возникает при достаточно низких темпера- температурах. Наши представления о природе сверхпроводимости сейчас претерпевают существенное изменение. Это связано с недавним по- поразительным открытием нового класса сверхпроводников с темпе- температурой фазового перехода вплоть до 90К. Другой замечательный пример — сверхтекучесть гелия при температурах порядка 2К. В последние годы был открыт фазовый переход в сверхтекучее со- состояние и у другого изотопа гелия — 3Не. Он происходит при сверхнизкой температуре 2,6 • 10~3К.
Системы со спонтанным нарушением симметрии 243 Плодотворный подход, лежащий в основе современной теории фазовых переходов, основан на изучении симметрии системы в раз- различных фазах. Эта фраза нуждается в определенном уточнении. Известно, что фазовые переходы бывают 1-го и 2-го рода. Класси- Классическими примерами переходов 1-го рода будут переходы жидкость — пар или твердое тело — жидкость. К таким переходам отно- относится процесс плавления льда при большом давлении. Переходами 2-го рода будут переход жидкого гелия из нормального состояния в сверхтекучее, переход металла в сверхпроводящее состояние. По своей природе фазовые переходы 1-го и 2-го рода суще- существенно различаются. Пояснить это различие можно, обратившись к классической работе Ландау 1937 г., лежащей в основе современ- современной теории фазовых переходов. Ландау рассматривал фазовые переходы как изменения симме- симметрии вещества при переходе из одного состояния в другое. Для количественного описания фазового перехода он ввел степень упо- упорядочивания, или параметр порядка. Параметр порядка определя- определяется по-разному для конкретных систем, но обладает важным об- общим свойством: он равен нулю в неупорядоченной фазе и отличен от нуля в упорядоченной. Фазовые переходы 1-го и 2-го рода отличаются поведением па- параметра порядка. При переходах 1-го рода параметр порядка ме- меняется скачком, а при переходах 2-го рода — непрерывно. Посмотрим с этой точки зрения на фазовый переход лед — вода (процесс плавления). Если выбрать параметр порядка г} как соот- соотношение числа атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, к числу всех атомов, то в "упорядоченной" фазе т] от- отлично от нуля, а в неупорядоченной — в воде т] — 0. При этом переходе г\ изменяется скачком, и, следовательно, процесс плавле- плавления — фазовый переход 1-го рода. Придадим теперь точный смысл терминам упорядоченная и не- неупорядоченная фазы. Рассмотрим симметрию двух состояний: льда и воды. Группой симметрии льда естественно считать группу сим- симметрии кристаллической решетки Г. Группа Г дискретна, ее эле- элементы: трансляции решетки, дискретные пространственные пово- повороты и отражения. Группа же симметрии воды Gh2o, a под ней подразумевается группа всех преобразований, сохраняющих инва- инвариантными уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости, зна- значительно шире. Группа G#20 — непрерывная бесконечномерная группа. В нашем примере группа симметрии Gh^o менее упорядочен- упорядоченной фазы — воды — содержит в виде подгруппы группу симметрии льда. Однако подобная ситуация справедлива в основном при фазо- фазовых переходах 2-го рода. В фазовых переходах 1-го рода возможна ситуация, когда симметрии обеих фаз не связаны никакими соот- соотношениями.
244 Физические принципы и структуры Разберем с точки зрения фазовых переходов уже знакомый нам ферромагнетик Гейзенберга. В основном состоянии ферромагне- ферромагнетика (при Т = 0) все спины направлены одинаково. Выше мы за- задали это направление вектором п, соответствующим максималь- максимальному значению < М2 >.19 При нагревании Т > 0 корреляция между спинами ослабляется, их ориентация становится хаотиче- хаотической и соответственно уменьшается среднее значение < М2 >. При определенной температуре Т = Тс, так называемой точке Кюри, значение < М2 > станет равным нулю. Ферромагнетик потеряет свои магнитные свойства — перейдет в парамагнитную фазу. Па^ раметром порядка, определяющим фазовый переход в данной си- системе, можно считать вектор намагниченности М. Еще раз уместно подчеркнуть связь симметрии со свойствами упорядоченной и неупорядоченной фаз. В упорядоченной ферро- ферромагнитной фазе система обладала симметрией основного состоя- состояния. Здесь группа симметрии совпадает с группой вращения, оста- оставляющей инвариантным направление намагниченности, вдоль ко- которого выстраивались спины. При переходе в парамагнитное со- состояние образовалась система с более широкой группой — группой всех вращений трехмерного пространства, так как в парамагнит- парамагнитной фазе нет выделенного направления. В этой фазе полная группа симметрии гамильтониана совпадает с симметрией основного со- состояния - как говорят физики, симметрия восстановилась. В этом примере видны все особенности общей схемы: упорядо- упорядоченной фазе соответствует меньшая группа симметрии, чем неупо- неупорядоченной. При этом группы симметрии неупорядоченной фазы содержит в качестве подгруппы группу симметрии упорядоченной фазы. Макроскопическая теория фазовых переходов Ландау позво- позволила описать очень широкий круг явлений. Все же остались не- нерешенными трудные проблемы детального описания фазовых пере- переходов вблизи критических точек. В этой области в последние годы произошел существенный прогресс, связанный с применением идей теории поля, но окончательно задача построения микроскопиче- микроскопической теории фазовых переходов еще не решена. Перейдем теперь к изучению эффектов спонтанного нарушения симметрии в теории поля. Эффект спонтанного нарушения симме- симметрии в теории поля проявляется так же, как и в задачах статисти- статистической физики. По существу, некоторые системы в теории твердого тела являются моделью теории поли на решетке. Посмотрим, как проявляется нарушение внутренней симметрии в простейшем случае скалярного поля в двумерном пространстве- 19 Точное определение фазового перехода в терминах параметра порядка тре- требует введение понятия локального намагничивания или соответствующего коррелятора. Подробности можно найти в книге [64].
Системы со спонтанным нарушением симметрии 245 -времени. Теория поля, которую мы будем изучать - предполага- предполагается в основном классической. Переход к квантовым полям - от- отдельный трудный вопрос. Тем не менее и в нашем случае удобно использовать квантово - механическую терминологию, поскольку она удобна при сравнении с реальными теориями. 3.2.1. Спонтанное нарушение дискретной симметрии Лагранжиан скалярного действительного поля имеет вид а гамильтониан H=±(dtVJ + \(dxVJ + U(V). C.25) Потенциал U(f) равен Здесь А > 0, а ц2 может быть как отрицательной, так и положи- положительной величиной. Состояние с наименьшей энергией назовем вакуумом системы и обозначим через < f >. Величина < f > определяется из усло- условия минимума потенциала UD>). Гамильтониан C.25) инвариантен относительно преобразований (р —» — V. Посмотрим, как устроены вакуумы в модели. Графики потен- потенциала в зависимости от знака /х2 видны на Рис. 8. Если a) /i2 > О, то < <р >= О, б) /х2 < 0. Минимумы потенциала расположены в точках Ч> >=± В этом случае вакуум вырожден, так как в двух различных точках его энергия одинакова. На квантовом языке массы частиц определяются как спектр ма- малых колебаний в окрестности положения равновесия - вакуума. В данном случае масса скалярной частицы, порожденной полем у (ее принято называть скалярным мезоном), определяется коэффициен- коэффициентом при <р2 в окрестности вакуума. Итак, в случае системы с нарушенной дискретной симметрией, переход к ненулевому вакууму приводит лишь к изменению значе- значения массы. Новый эффект проявляется, если уравнения поля имеют непрерывную группу симметрии.
246 Физические принципы и структуры V Рис. 8. График потенциала U(tp): а) /*2 > 0, б) /л2 < О 3.2.2. Спонтанное нарушение непрерывной группы симметрии Рассмотрим теорию с двумя скалярными полями А и В и потенци- потенциалом тт/ л п\ \/ л2 I т~»2 2 \2 /о ОСА (/(A,i>) = А(А -+¦ i> — а ) , (о.2о) Л - фиксированная константа. Потенциал U(A,B) инвариантен относительно группы 50B) - группы вращений поля V = (А,В): А —> А' = A cos u> + В sin w, В —* В' = —As'mu + Вcosw. Минимумы потенциала [/(А, В) лежат на окружности: А2+В2=а2. Как и в предыдущем случае, не существенно, какой минимум вы- выбран в качестве вакуума. Но как только вакуум фиксирован, вну- внутренняя симметрия спонтанно нарушается. Выберем <А>=а, <В>=0. Разлагая потенциал U(A, В) в окрестности вакуума по пере- переменным А' = А— < А >,В' = В, получим
Системы со спонтанным нарушением симметрии 247 U = X(A'2 +2аА' + В'2J. C.27) Отсюда видно, что Л-мезон приобрел массу, В-мезон стал безмас- безмассовым (отсутствуют квадратичные по В' члены). Этот результат не зависит от конкретного вида потенциала U и связан лишь с на- наличием группы симметрии 50B). Этот результат становится осо- особенно наглядным, если перейти к комплексному полю и лагранжи- лагранжиану, инвариантному относительно группы U(l) ~ 50B): ф = рехр(г<р), А = pcosV, В = ps'mV. Лагранжиан переходит в ? = \(д,рJ + \Р2(д, VJ - U(p). C.28) Инвариантность U относительно группы U(l) означает, что потен- потенциал U{p) не зависит от У. Если, как и ранее, ввести сдвинутые поля р' = р— < а >, V5' = <Р, в окрестности вакуума < р >= а, < f >= 0, то в новых пере- переменных лагранжиан C.28) будет иметь вид С = \{д»р'J + ^(р' + a)\d^'f - U(p' + а). Отсюда ясно, что у - мезон безмассовый, так как лагранжиан содер- содержит только производные от у-поля. Безмассовые частицы, появи- появившиеся при спонтанном нарушении непрерывной симметрии назы- называются голдстоуновскими бозонами (голдстоунами) по имени аме- американского физика Д.Голдстоуна. 3.2.3. Групповая интерпретация голдстоуновских бозонов Если рассмотреть лагранжиан общего вида с потенциалом Ufa), инвариантным относительно глобальной группы симметрии G (G предполагается компактной), то можно дать следующее описание голдстоуновских бозонов. Пусть имеется набор п действительных векторных полей 9 = {'Pi} такой, что соответствующий потенциал U инвариантен отно- относительно группы преобразований G : UlgV) = и(^),д G G. Выберем точку < ч> > - минимум потенциала U^) и рас- рассмотрим подгруппу Н группы G, оставляющую < V > на месте. Подгруппа Н есть стационарная подгруппа G. В зависимости от структуры потенциала U подгруппа Н может быть любой из подгрупп группы G (начиная с тривиальной и кончая всей группой G).
248 Физические принципы и структуры Пусть dim G = N, dim H = т. Если вложить группу Н в G так, что первые т генераторов группы G совпадают с генераторами Н, то соответствующие уравнения на вакуумное состояние примут вид Т{ < Ч> >= О, i < т. Множество вакуумов < <? > является орбитой группы G в про- пространстве полей; эта орбита - поверхность постоянного значения потенциала UD>), проходящего через точку <<р >,- имеет размер- размерность N — т. Если на (N — т)-мерной орбите Q ввести координаты с по- помощью однопараметрических групп gi(t),i = 1, ...,N — т, тх> гене- генераторы этих подгрупп - спонтанно нарушенные инфинитезималь- ной симметрии лагранжиана, Каждой из этих симметрии соответ- соответствуют безмассовые частицы (порожденные сдвигами вдоль соот- соответствующих траекторий). Число их очевидно совпадает с dim П. Появление безмассовых частиц - голдстоуновских бозонов - ха- характерно для локальных теорий поля с нарушением симметрии, подчиняющихся аксиомам Вайтмана (Лоренц-инвариантность, ло- локальность, существование гильбертова пространства состояний с положительной нормой, спектральность) [85]. В свое время результат Голдстоуна, доказанный на столь вы- высоком уровне строгости, что удостоился эпитета теорема, вызвал серьезную озабоченность. Наличие необычных безмассовых ча- частиц, не наблюдаемых в реальном мире, ставило под сомнение все теории поля, включавшие механизм спонтанного нарушения. Но, как это часто бывает со строгими теоремами в физике, чем более серьезные выводы следуют из доказанных утверждений, тем внимательнее надо присматриваться к исходным предпосыл- предпосылкам. Так случилось и с теоремой Голдстоуна. Как говорится, не было бы счастья, да несчастье помогло. Почти в то же самое время другая теория, теория калибровочных полей Янга - Миллса, испы- испытывала похожие затруднения. Калибровочное поле Янга - Миллса должно было порождать .безмассовые калибровочные векторные ча- частицы. С.Коулмен в лекции [42] так охарактеризовал создавшееся положение:"Сейчас вызывает улыбку воспоминание о том, что во времена их создания обе теории (теория неабелевых калибровоч- калибровочных полей и теория спонтанного нарушения симметрии) считались забавными в теоретическом отношении, но несостоятельными в фи- физическом, потому что обе они предсказывали безмассовые частицы - калибровочные мезоны и голдстоуновские бозоны. И лишь гораздо позже было обнаружено, что одна из этих болезней есть лекарство от другой". Лекарством от всех болезней оказался механизм Хиггса.
Системы со спонтанным нарушением симметрии 249 3.2.4. Механизм Хиггса Действие механизма Хиггса проявляется в технически наиболее простом случае - при взаимодействии комплексного поля <Р с вну- внутренней группой симметрии 50B) ~ U(l) и калибровочного элек- электромагнитного поля Ар. Лагранжиан, инвариантный относительной локальной группы U(l), имеет вид С = \(д -ieA) Ч>] ¦ [(a +ieA)V] - ^F2 - U, C.29) где Запишем поле <Р в полярных координатах: Инвариантность потенциала t/(V) относительно локальной группы 17A) означает независимость U от в. Вакуумы, т.е. минимумы по- потенциала U, лежат на окружности, р = а. Фиксируя точку на окружности, например, < р >= а, мы фиксируем вакуум. Ва- Вакуум не симметричен относительно группы U(l). Следствием такой асимметрии в чисто скалярной модели явилось появление безмас- безмассовой частицы, соответствующей компоненте в поля. При взаимодействии поля V с калибровочным полем возникает совершенно новый эффект. Из требования инвариан