/
Author: Кузнецов В.М.
Tags: горные работы при разработке месторождений полезных ископаемых взрывное дело
Year: 1977
Text
64529Р
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА
ИМ.КУЗНЕЦОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
ВЗРЫВНОГО ДЕЛА
< )тпотствеыный редактор
чл.пор. АН СССР Е. И. Шемякин
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск • 1977
УДК 622.235.5+622.236.4
В монографии рассматриваются математи¬
ческие модели традиционных проблем взрывно¬
го дела: камуфлетный взрыв, взрыв на выброс,
разрушение горных пород вврывом.
Книга предназначена для научных работни¬
ков, инженеров, преподавателей, аспирантов и
студентов, занимающихся проблемами действия
взрыва в грунтах и твердых средах.
„30705—766 735 77 © Издательство «Наука», 197'
055(02)—77
ВВЕДЕНИЕ
II тынное дело ото раздел техники, охватывающий
<1,1,1.1 и'IПI.!(' процессы, связанные с применением взрыва
н иршмылнлошгости, сельском хозяйстве и строительстве.
11 *' е г г ни о и твердых толах, лежащее в основе всех
м иогочисл он ных практических задан взрывного дела,
првдгтаиляот собой весьма сложное явление, включающее
и смОм разнообразные физические процессы, такие как
оиоппции .нарывчатых веществ, распространение удар-
"мч волн, разрушение материалов, леустановившееся дви-
*""ии" среды• I* нпотолщоо время все эти процессы иэу-
'"'ны еще недостаточно. Поэтому до последнего времени
"рмнное дело продетивляло собой в основном эмпириче-
•'111 '"'УИУ, ониравицу|(Мн| на люковой опыт применения
'"'||"И| 11 |"1ж"Аобы паю щей промышленности, а также
" I* • ичи«и 11 роди земляных работах.
• техиичесщцл ,ре,1юлюция ставит перед взрыв-
||1М |011Д Новых задач. Мнедрение поточно-непре-
1 еч пологи и на подземных и открытых взрывных
они, механизации ,, автоматизация производства не-
1'ымм" ' ми тн 1.1 исследованием процесса разрушения
'" и Пород, 101И1'|1а,а,1н»нпы1м на улучшение качества дроб¬
им, * Вив печен на необходимой кондиционности кусков
I'V зп1 I•н|ц,||ц,| М|| нмброс успешно применяются
|ро|ехнине ю Мелиорации: .при строительстве плотин
"и ■ • >и т1муфлнП|,,|н взрывы используются в нефте-
примышлен ногти для создания подземных храни-
' п" '1'1" интенсификации добычи нефти и газа.
' ионные проблемы связаны с увеличением масш-
" 111 ил|1ыаои и намечающейся перспективой мирного
' "•овантн нода((М|||,|Х ядерных взрывов. Сфера при¬
он ИНРЫ1Ш1 в народном хозяйстве непрерывно раепш-
3
ряется, и всякий раз открытие новых или усовершенство¬
вание старых «.профессий» взрыва сопровождается откры¬
тием новых физических или механических эффектов, воз¬
никновением новых научных проблем,
Современное развитие взрывного дела основывается на
использовании достижений и методов математики, физи¬
ки, механики сплошных сред и других фундаментальных
наук. Вместе с тем для взрывного дела как раздела тех¬
ники требуются инженерные расчеты максимальной про¬
стоты, допускающие в то же время возможность доста¬
точно широких эмпирических вариаций.
В предлагаемой монографии изложены простойною
математические модели некоторых проблем взрывного
дела: камуфлетного взрыва, взрыва на выброс, разрушаю¬
щего действия взрыва. Схема построения каждой модели
примерно такова. На основании качественного анализа
рассматриваемого явления сложный процесс расчленяется
на отдельные предельно простые «блоки», учитывающие
только самые основные черты явления. При этом''жела¬
тельно, строго сформулировав сделанные предположения,
свести описание отдельного «блока» или явления «в це¬
лом» к задаче, не вызывающей затруднений с чисто ма¬
тематической стороны.
Неосновные, второстепенные, черты явления учитыва¬
ются как поправки к полученным решениям на основе
опытных данных. В окончательных результатах, естест¬
венно, будет содержаться известное количество эмпириче¬
ских коэффициентов, причем чем меньше, тем лучше.
В известном смысле, такой подход к рассмотрению взрыв¬
ных задач является переходным от чисто эмпирического
метода к полному теоретическому расчету на ЭВМ. В на¬
стоящее время, однако, такой расчет неосуществим, и не
только в силу ограниченных возможностей современных
ЭВМ, но также и потому, что физико-механическая приро¬
да многих процессов, происходящих при взрыве, недоста¬
точно ясна.
Метод 'математического моделирования взрывных проб¬
лем уже достаточно апробирован. Например, модель не¬
сжимаемой невязкой жидкости применительно к явлению
кумуляции дает очень хорошее совпадение с эксперимен¬
тами. С другой стороны, на основе той же модели были
предложены принципиально новые схемы взрывания, та¬
кие как абсолютно направленный взрыв в грунте.
4
Книга содержит семь глав. В главе I, вводного харак¬
тера, описываются основные модели сплошной среды,
В главе II приводятся некоторые сведения из теории
детонации взрывчатых веществ, а также рассматриваются
некоторые модели взрывных источников. Глава III по¬
священа моделям взрыта в неограниченной среде — так
называемым камуфлетным взрывам.
Взрыв на выброс в гидродинамической постановке ис¬
следуется в главе IV. В этой главе приводятся также
теоретические основы и экспериментальные данные по
абсолютно направленному взрыву в грунте. Основы тео¬
рии хрупкого разрушения изложены в главе V. Здесь же
рассматриваются модельные задачи о равновесии и рас¬
пространении системы трещин. Глава VI посвящена ста¬
тистико-вероятностному подходу к проблеме взрывного
разрушения и анализу экспериментальных опытно-про¬
мышленных данных, глава VII — некоторым вопросам
устойчивости движения и разрушения материалов в пла¬
стическом состоянии. Здесь рассматриваются так назы¬
ваемые детерминированные модели разрушения, в част¬
ности принципиальная схема равномерного дробления
горных пород при помощи взрыва.
Глава I
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Напомним вкратце некоторые основные положения ме¬
ханики сплошной среды, отсылая читателя за подробным
изложением к более компетентным источникам [103, 64].
1. Тензор деформации
Положение каждой точки тела определяется ее ради-
уеом-вектором г с компонентами х\=х, Х2~у, хз—г
в некоторой системе координат. Под действием прило¬
женных сил всякое твердое тело в той или иной степени
деформируется, т, ©, меняет свою форму и -объем. Если
положение какой-либо точки тела до деформирований оп¬
ределялось радиусом-вектором г, то в д еформир ованном
теле та же точка будет иметь другое значение радиуса-
вектора гВектор ш~г—г
называется
смещением. Его
компоненты их — х' — х, иу =
У, их -
**> г’ — г, или со-
кращенно
Иь = х% х^ ?
1 =
1,2,3
(1.П
Рассмотрим две бесконечно близкие друг другу точки.
Квадрат расстояния между ними до деформации был
равен
(112 = <1х\ + йт| + йжз = йх\
(здесь мы воспользовались и будем пользоваться в даль¬
нейшем правилом суммировании, по/которому знак суммы
у векторных и тензорных величин ^пускается, а по всем
6
повторяющимся индексам подразумевается суммирование
по значениям 1, 2, 3). После деформации квадрат рассто¬
яния между теми же точками равняется
й1'г — (йх'г)2 — (Лхг + йиг)2,
(ди(/дхк)(1хк.
После некоторых преобразований [103] можно записать:
дХ'2—й12-{-2щкд,Х1д,хк, ( 1.2)
где тензор, определяемый равенством
и%=1/2[ди(1дхк-^-диК1дХг-\- (дщ1дХг) (дщ/дхн) ], (1.3)
называется тензором деформации.
По определению, это тензор симметричный, т. е.
щк—им, и поэтому может быть приведет к главным осям.
Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать
такую систему координат — главные оси тензора — в кото¬
рых из всех компонент ил отличны от нуля только диа¬
гональные компоненты е1 = Иц, 62 = 1*22, 83 = 1*33. Эти
компоненты называются главными значениями тензора
деформации или главными удлинениями. Это означает,
что всякая деформация в каждой точке тела может быть
осуществлена простыми растяжениями в трех взаимно
перпендикулярных направлениях. В случае малых дефор¬
маций в выражении (1.3) можно пренебречь квадратич¬
ными членами, следовательно
1/2 (ди.г/дхк-\-дик/ Эт.). (1.4)
Здесь
пц=ди\1дх1—дпх1дх; и^=дщ!ду\ изг=диг1дг
представляют относительные удлинения соответственно
в направлении осей х, у иг, а 2ка при гфк — относи¬
тельные сдвиги. Сумма диагональных элементов равна
относительному изменению объема:
г=АУ1У={У' — V) /У= в„=<Иу и. (1.5)
7
Эта величина, очевидно, не зависит от выбора системы
координат или, как говорят, является инвариантом.
В механике сплошной среды принято различать де¬
формации, связанные с изменением объема, и деформации
формоизменения или сдвига. С этой целью тензор дефор¬
мации удобно представить в виде
Щк = 1/Зи^8гь + и№, (1.6)
где бЛ — единичный тензор, компоненты которого равны 1
при г=/с и нулю при 1фк. Шаровой тензор 1/Зидбу, со¬
ответствует объемному расширению или сжатию. Тензор
щи. называется девиатором деформации. Он характеризу¬
ет изменение формы элемента среды вследствие сдвигов.
На площадках, расположенных под углом 45° к главным
осям тензора деформаций, среда подвержена максималь¬
ным (главным) сдвигам: *
41 = 82— 63, 42=83—81, 4=81 — 82, . (1.7)
где 81, 82, 83 — главные удлинения. Д
Для любого симметричного тензора и* (ж, у, г) сущест¬
вуют три величины, которые не меняется яри преобразо¬
вании координат [77]:
7] (1%) = Вн=иц + Ц22+Изз=е1 + в2+8з, (1-8)
4(И{ь) = 81 • 82+82 • 63+81-83, (1-6)
4(щЛ) =81 • 82-83, (1.10)
они называются соответственно' линейным, квадратичным
и кубическим инвариантами тензора (или первым, вторым
и третьим). Любые комбинации из этих трех величин
также будут инвариантны по отношению к произвольно¬
му преобразованию координат. Инварианты девиатора
легко получить из (1.8) — (1.10), если заменить 81, 82 й ез
на 81 — е/3, 82 — е/3, 83 — е/3, (1.11)
404) = 0,
7а(и{й) = 1/6 . [(&! — е2)а + (е2 — 83)а + (е3 вД8],
(1.12)
4 04) = (ех — е2)(82 — е3)(б3 — %). (1.13)
8
Величина
Г ЩЩУ/а (щк) *. у 2/31/(ех—е2)2+(82—8з)а+(ез - Е1)а =
= у2/ 3 (ц1г М22)2 ~Н {Щц ^зз)2 ""Ь (%з ^и)2 “Ь
-г О (и?2 -г 5§ ~Ь М31) (1.14)
называется интенсивностью деформации сдвига. В случае
чистого сдвига
И11 = И22=Изз = И23 = И13 = 0, Щ2=^12. (1.15)
Подставляя эти значения в (1.14), получаем Г~|^|.
2. Тензор скоростей деформации
Пусть частицы среды движутся со скоростью
*->■ —>-
к=йв/ей, V^=6и^/6^. (1.16)
В течение бесконечно малого промежутка времени 61
среда испытывает бесконечно малую деформацию, опре¬
деляемую вектором перемещения Компоненты
тензора деформации, вычисленные по (1.4), имеют общий
множитель щ разделив аа который получаем компонен¬
ты тензора скоростей деформации
(1.17)
Скорость относительного объемного расширения
Vц=дVx/дx-^-дVу/ду-\:дVг/дг—А^УV. (1.18)
Аналогично (1.6) тензор скоростей деформации можно
представить в виде
р1к = 4- р*к, ' (1.19)
где — шаровой тензор, характеризующий скорость
растяжения (сжатия), — девиатор скорости деформа¬
ции, инварианты тензора скоростей деформации и девиа-
торы скорости деформации определяются по формулам,
аналогичным (1.8) — (1.13). Аналогично (1.14) имеет ме¬
9
сто следующее выражение для интенсивности скоростей
деформации сдвига.
Н =У2 [(ужж — иуу)* + (р#в — Уггу + (игг— ужа.)2+
+ 6 (^яу + Ууг + У**)]/3 . (1.20)
Кроме скорости деформации, характеризующейся тензо¬
ром (1.17), элементарный объем сплошной среды испьгты-
->
вает жесткое смещение # иоступательной скоростью V
и вращение с угловой скоростью [78]
ю = (го! V) /2. (1.21)
Ускорение движущейся частицы среды определяется
полной производной скорости [78]
щ=дщ/(Э*+щдщ/0а:ь. (1-22)
Первый член этого выражения характеризует локальные
изменения скорости,—остальные представляют трансля¬
ционную часть,/выражающую изменение вследствие пе¬
реноса частицы в соседнюю точку пространства.
3. Тензор напряжений
В каждой точке сплошной среды напряженное состоя¬
ние характеризуется симметричным тензором напряжений
Ощ. В расписанном по компонентам виде он представляет
собой таблицу
&XX
°хУ
а.
ахУ
°УУ
а
&хг
°Уг
а
где Цщ, аж, 0ш — нормальные, а а*и ан2, ахг — касательные
напряжения, действующие на площадках, перпендикуляр¬
ных к координатным осям х, у, г. На единичной площад-
—V
ке с нормалью п действует сила /, имеющая компоненты
/;=0Л С08 (ге, хк), (1.23>
10
где оов (п, хк) есть косинус угла между нормалью и осью
хк. Проектируя этот вектор на направление нормали, по¬
лучаем нормальное напряжение оп, действующее на шщ-
щадке,
оп=<Уг/1соз(п, хк)соз(п, Х{). (1.24)
Касательное напряжение определяется из соотношения
Тп *** /| о». (1.25)
В каждой точке среды существуют такие три .взаимно
перпендикулярные площадки, на которых касательные
напряжения равны нулю. Направления нормалей к этим
площадкам образуют главные оси тензора а&. Нормаль¬
ные напряжения, действующие на этих площадках, на¬
зываются главными. Они обозначаются через щ, Ог, Оз,
причем обычно обуславливается, что
01^02^03. (1-26)
В сечениях, делящих пополам утлы между главными
плоскостями, действуют главные касательные напряжения
Т1=(02 —03)/2, Т2= (а3 — 01)/2, т3= (щ — Ог)/2. (1.27)
Величина
р=—о=—ац/3—— (01+О2+0з)/3 (1.28)
называется средним давлением.
Тензор
Сгй =оа ®1к + Р&1к (1.29)
Называется девиатором напряжений. Выражения для
инвариантов тензора напряжений и девиатора напряже¬
ний имеют вид, аналогичный (1.8) — (1.13). В частности,
/1=(0а)=о«=-3р, (1.30)
1г (<4) = [(<К ~ <г2)2 + (<?2 — <*з)2 + (<*з — «Л)2]/6 •
(1.31)
11
Величина
Т - V 1{вхх — оуу)2 -1- {ауу — а„)® -|- (о22. — ахх)2 +
+ б(азд + (Ту2-1-а|г)]/6 Щ (1.32)
[(01 — в а)2 + (<?2 — <*з)2 + (ог8 — Ох)2]/6
носит название интенсивности касательных напряжений.
В случае чистого сдвига, три 01 ——оз~т,
02=0, Т— |х|.
4. Уравнение движения
Обозначим через р плотность среды, через Р% — ком¬
поненты вектора массовой силы. Движение элемента сре¬
ды определяется приложенными к нему силами. Рассмат¬
ривая такой элемент как твердую частицу и подсчитав
силы, получаем дифференциальные уравнения движения
сплошной среды:
да{к1дхк+р(Р1 — а() =0, {ъ, к = 1,2,3)
(1.33)
а4=д1;г/д^+г?ДЬ*/<Зя;!1 (ем. (1. 22))
(напоминаем, что по повторяющемуся индексу к подра¬
зумевается суммирование). Кроме уравнений движения
(1.33), должны быть выполнены граничные условия, ко¬
торые могут иметь разнообразный характер. На границе
тела могут быть заданы нагрузки, связанные с тензором
напряжений соотношением (1.23). Могут быть заданы
смещения или скорости точек границы тела. Наконец,
встречаются смещенные граничные условия, когда на од¬
ной части границы заданы нагрузки, а на другой — сме¬
щение или скорости.
Динамические (сила, напряжение) и кинематические
(перенос, вращение, деформация, 'скорость деформации)
характеристики среды образуют совокупность механиче¬
ских переменных, связанных между собой только тремя
уравнениями движения (1.31). Для яосдроСния замкнутой
феноменологической теории движения сплошной среды
должна быть известна связь между динамическими и ки¬
нематическими переменными. Совокупность таких соот-
12
ношений называется [64] «механическими уравнениями
состояния». По конкретному виду уравнений состояния и
различаются основные модели сплошной среды.
§ 2. МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА
1. Закон Гука
Если тело, 'подвергнутое деформации под воздействием
внешних нагрузок, после снятия их возвращается к ис¬
ходному виду, то деформации такого вида называются
упругими. Многочисленные опытные данные говорят
о том, что напряжения и деформации при этом связаны
лилейной зависимостью. Уравнением состояния упругого
тела является закон Гука:
а=К&, или Оц=ЗКиц; (2.1)
Щ ~ 2рн^, (2*2)
где К — модуль объемного сжатия; р — модуль сдвига.
Первое из этих выражений описывает связь между от¬
носительным изменением объема и всесторонним сжа¬
тием (гидростатическим давлением). Второе — связь меж¬
ду деформациями сдвига и касательными напряжениями.
Приведем эти уравнения в развернутом виде:
Кх*= [ох* — ч{ат-\-а„)}/Е; ...,
иХу (1 )сТд;^//^, ...
(2.3)
(точками обозначены соотношения для других компонент,
получающиеся круговой заменой индексов х, у, г), где
Е — модуль Юнга иг — коэффициент Пуассона, связан¬
ные с К и р формулами
Л>-/;/3(1- 2 V), \1—Е/2(1 +г). (2.4)
Можно сказать, что модель упругого тела полностью опи¬
сывается уравнениями движения (1.33) и законом Гука
(2.1), (2.2) иля (2.3). Закон Гука (2.2), связывающий
13
касательные напряжения, можно так же, как и (2.1),
представить в инвариантном виде
Г=р,Г, (2.5)
где Г и Г выражаются формулами (1.14) и (1.32).
Выражение для упругой энергии можно записать по
аналогии с выражением для удельной работы, которое
имеется в теории сопротивления материалов. Обозначим
эту величину через
юе=р212К+Т212\1. (2.6)
2. Уравнение движения
и равновесия упругого тела
Предположим, что на тело не действуют массовые си¬
лы (Р{—0), тогда уравнение движения (1.33) имеет вид
доъ1дхк—ра(=0. (2.7)
Подставляя сюда о» из (2.3) и а{=й{ (точки над буквой
обозначают дифференцирование по времени), получаем
после некоторых преобразований (см. [104])
рн==[Е/2(1+у)]Ди-(-[Я/2(1+у) (1—2у)] §габ(Иуц. (2.8)
Здесь .применены следующие обозначения:
%х&й.=У—1д1дх-\-]д1ду-\-кд1дъ (г, /, к — единичные векто¬
ра, направленные по осям х, у, г);
(Ну ц=V ц=дих1 дх-\~дщ1ду-\-диг/дг, (2.9)
А=У2=д2/дх2-{-д21ду2-\-д21д22 — оператор Лапласа. Рас-
смотрим сначала случай, когда деформация и является
функцией только от одной из координат, например от х,
и от времени. Все производные по у и г в уравнении (2.7)
исчезают, и для компонент их и иу (или их) вектора сме¬
щения получаются уравнения:
14
С1д2их/дх2 — д2их/д12=0, с\д2иу1дх2— д2иу!д12 = 0> (2.10)
где
С!=[Е(1-^)/р(1+у)(1^)]’л, 0«=даР(1-И)]%.
(2.11)
Уравнение (2.10) представляет собой волновые уравнения
в одном измерении, а величины ъ и с{ есть скорости рас¬
пространения волн. Скорости С; и Сг называются продоль¬
ной и поперечной скоростями звука.
Если в рассматриваемом упругом теле все элементы
его покоятся, т. е. а4==0, то из (2.7) и (2.8) получаются
уравнения равновесия:
двш1дхк=0, (2.12)
(1 — 2 у)Ди+§га(1<11уи=0. (2.13)
Применяя в последнем уравнении известную формулу
векторного анализа [77]
—V —► —>■ “► —►
§га<1 <Иу и=Да+пЛпЛв (го1и=^Хв),
получаем другую формулу уравнения равновесия
2(1 — у)§гас!сИуи— (1 — у)го1го1в=0. (2.14)
Здесь го! го1н=^Х^Хи (знак X обозначает векторное
произведение.
Применяя к уравнению (2.14) операцию сЦу и учиты¬
вая, что (11у§гаД=А, находим
Д(Нув=0. (2.15) |
Согласно (1.5), гНуи=е есть относительное изменение
объема; таким образом е удовлетворяет уравнению Лапла¬
са, т. е. является гармонической функцией. Применяя же
к уравнению (2.13) оператор Лапласа А, получаем
Д(Ди)=^%=0, (2.16)
т. е. вектор деформации удовлетворяет так называемому
бигармоническому уравнению.
15
3. Плоская задача теории упругости
Если в упругом теле всюду одна из компонент вектора
смещения равна нулю (иг—0), а все остальные величины
зависят только от х, у, то этот частный случай называется
плоской деформацией. Он соответствует деформации бес¬
конечно! длинного цилиндра под действием нагрузок, при¬
ложенных к боковой поверхности и лежащих в плоскостях,
перпендикулярных образующей цилиндра. При этом тож¬
дественно обращаются в нуль компоненты н22, иуг, ихг тен¬
зора деформации, а также компоненты о„, оуг тензора на¬
пряжений. Продольное напряжение Огг ОТЛИШЫО ОТ Ну«ЛЯ|
из (2.3) при игг~0 получаем
02г V (Охх I ®уу) • (2.17)
Уравнения (2.3) в случае плоской деформации имеют вид
Еи„= (1 — у2)охх — у( 1+у)ото;
Еиуу—(1 — у2)Оуу — т(1+т)оет; (2.18)
Еиху— (1 +у)оху.
Отсюда получаем
ата4-(7т,=:[^/(1+V) (1 — 2т)] {и^+Щу). (2.19)
Уравнения равновесия (2.12) в рассматриваемом случае:
дохх1дх-\-даху1ду—0, доху1 дх~\-даУУ1ду—(). (2.20)
Наиболее общим видом функций ахх, оуу, оху, удовлетво¬
ряющих этим уравнениям, являются
вхх—д2Т7/ду2; Оуу—д2171дх2, ач/=—д211/дху, (2.21)
где С/ — произвольная функция от х, у1 так называемая
функция напряжений.
Подставляя (2.21) в (2.19) и имея в виду, что ихх~\-
-\-иуу=(\\\ и, получаем
АП=[Д/(1+у)(1—2у)] Ами. (2.22)
16
Применяя к этому уравнению оператор Лапласа, помучаем
вследствие (2.15)
А ( АС/) =0, (2.23)
т. е. ' функция напряжений является бигармонической
функцией. )
Рассмотрим случай плоского напряженного состояния.
Здесь предполагается, что на элементарных площадках,
параллельных данной плоскости {Оху), все компоненты
тензора напряжений равны нулю, т. е.
оад=о1,г=агг=0. (2.24)
Плоское напряженное состояние описывает деформацию
тонкой нлйстинки, подверженной напряжениям, прило¬
женным к ее периметру и лежащим в плоскости пластин¬
ки. В этом случае из (2.3) и (2.24) получим:
Е и>хх‘ ОзаС V О уу,
Е—оуу 'Vохх, (2.25)
Еи^~ (1-Н)аад,
отсюда
вхх-\-Оуу= (ихх-\-щу)Е/(1—V). (2.26)
В дальнейшем все так же, как и в случае плоской
деформации. Таким образом, изучение плоской задачи те¬
ории упругости сводится к исследованию бигармоническо^
го уравнения (2.23). Эффективные методы решения этого
уравнения связаны с применением теории функций комп¬
лексного переменного. К этому вопросу мы вернемся
при рассмотрении трещин в упруго-хрупком материале.
§ 3. ПЛАСТИЧНОСТЬ
1. Условие пластичности
"Если деформированное тело после снятия внешней
нагрузки це возвращается в исходное состояние, а имеет
остаточные деформации, то говорят, что имела место пла¬
стическая деформация. Поскольку до наступления пла-
64529В
17
стической деформации преобладает упругое состояние,
деформация в момент начала (пластической деформации
определяется только величиной соответствующего напря¬
жения. Следовательно, условие пластичности (критерий
текучести) можно выразить математически с помощью
компонент напряжения:
/(Фь) = 0. (3.1)
Для изотропного тела, механические свойства которото
не зависят от направления, / является инвариантом тен¬
зора напряжений. Для очень многих материалов всесто¬
роннее (гидростатическое) сжатие не влияет на пластич¬
ность; поэтому вместо тензора напряжений можно вос¬
пользоваться девиатором напряжений (1.29).
Инварианты девиатора
I* (<4) -» [(о1! — О'з)2 + (а, — а8)2 + (сг3 — Сх)2]/6, д»
/д (с4) щ [(<тх + Р)3 + (а2 + Р)3 + (а3 + Р)3]/3.
Условие пластичности можно тогда записать в виде
/ [/2 («4). /д (<Т*й)1 **= 0. (3.3)
Одна из форм записи этого условия носит название усло¬
вия Мизееа:
/2 (аш) = сопз!. (3.4)
Если обозначить через Оо напряжение текучести при од¬
ноосном растяжении, то условие Мизееа можно перепи¬
сать в виде
(01 — сг2)2 + (а2 — а3)2 + (а3 — ах)2 = 2а2. (3.5)
Условие Мизееа довольно хорошо подтверждается экспе¬
риментом с металлическими материалами [64]. Хроно¬
логически раньше было предложено для тех же материа¬
лов условие пластичности Сен-Венана — Треска:
2Ттах = 03—01 = 00, (о3>(Й>01). (3.6)
48
Если ввести, согласно (1.32), интенсивность касатель¬
ных напряжений Г, то условие (3.5) можно* перепи¬
сать в виде
Г=Оо/У3 = т8. (3.7)
Можно показать [64], что т3 незначительно отличается
от Тщах, в именно
1^27|ттах|<2/1/3; или Гт 1,08ттах. (3.8)
Отсюда вытекает, что формально условия пластичности
Треска — Сен-Венана и Мизеса различаются, незначи¬
тельно. Для описания пластической деформации грунтов
и разрушенных горных пород более подходящем оказы¬
вается закон Кулона
| Тшах 1 —~ С % (6*9)
где т, оп — касательное и нормальное напряжения, дей¬
ствующие на данной площадке; с — сцепление; ср — угол
внутреннего трения.
Записанный в главных напряжениях закон Кулона
имеет вид [150]:
Оз — щ —2с-созср — (03+01) зтср. (3.10)
Некоторые авторы [42, 43] используют условие пластич¬
ности Мизеса — Шлейхера:
12=Т216=к'+т'р (3.11)
или Прандтля [67]:
Оз—01 = &+тр, (3.12)
где &, к\ т, т'— константы. Нетрудно убедиться в том,
что выражения (3.10) —(3.12) формально эквивалентны
при соответствующем подборе констант.
2. Математические теории пластичности
В основу математических теорий пластичности поло¬
жены представления о материалах с определенными ги¬
потетическими свойствами. К ним относятся так называе-
19
а
б
б
/
/
о
Рис. 1. Модели деформируемого твердого тела:
а — жесткопластическое тело; б — упругопластическое тело, в —
жесткопластическое тело с упрочнением.
мые идеальные ж ест кол л астиноски е, угфутопластичеекие
и упрочняющиеся твердые тела, для каждого Щ которых
характерна свой функциональная зависимость между на¬
пряжением и деформацией (рис. 1, а, б, в).
Кроме того, необходимы еще другие постулаты, так
как в отличие от теории упругости теория пластичности
должна учитывать необратимые или гистерезисные про¬
цессы, а также структурно-чувствителыную природу ме
ханических свойств материалов в условиях пластичности.
Существуют два типа указанных теорий. В деформа¬
ционных теориях необратимые эффекты усредняются,
и полную деформацию, т. е. деформацию к моменту заверА
шения деформирования, непосредственно связывают с со¬
ответствующим напряженным состоянием. В теориях те¬
чения мгновенные значения напряжений связывают с при¬
ращением пластических деформаций или со скоростями
деформаций. Тензор приращения деформации определяет¬
ся аналогично (1.4) о заменой щ на йцс
При построении теорий пластического течении исходят
из Следующих основных положений.
1. Тело изотропно (т, е. обладает одинаковыми меха¬
ническими свойствами во всех направлениях).
2. Относительное изменение объема пропорционально
среднему давлению
(3.13)
а=еК (см. (2.1)).
(3.14)
20
3. Подлые приращения составляющих деформации
(<1и.ц,) складываются ив приращений составляющих уп¬
ругой деформации (Ли1к) и пластической деформации
(&&) I
Ли1к — йи\к + йи\к. (3.15)
*
4. Девиатор напряжения 0р и девиатор прираще¬
ний пластической деформации (йк]ь) подобны и коак-
сиальны (т. е. имеют одни и те же главные направления):
(&4Г - ЛК • (4. (3.16)
1)ти положения обобщают результаты, опытов по сложно¬
му нагружению, в которых направление главных осей и
главные напряжения изменялись. Согласно эксперимен¬
там, приращения составляющих пластической деформации,
а не сами пластические деформации, пропорциональны
напряжениям в данный момент времени. Множитель ЛК
слизан с величиной приращения работы пластической де¬
формации [64]
ЛАР = а1П ■ йи?к т 2ЛК • Г2. (3.17)
Так как в процессе пластической деформации не проис¬
ходит изменения объема, т. е. Лии *** 0, то девиатор при¬
ращений пластической деформации совпадает с тензором
приращений пластической деформации ( (Ли^к) = Ли^)-
Комбинируя (3.15) и (3.16), получаем уравнения Прандт-
ля — Рейса:
Ли1к = Ли\к + ЛК ■ а*к. (3.18)
Упругие составляющие деформации определяются .из за¬
кона Гука (2.3); подставляя их в (3.18), имеем
Лихх— [Лахх—V {Лвуу+ЛОгг) ] 1Е-\-ЛК (о**— а), ...
Лиху?=ЛохУ12\х,+<1Х-оХу, ... (3.19)
(точками обозначены два аналогичных соотношения для
других компонент тензоров, получающиеся круговой за¬
меной индексов х, у, г). После деления на Л из (3.19)
УXX [Одаг V ( Зуу | О22) ] /Е “|“ Я (Охж О) , • . .
Уху @Х у/2р | 7\*Оху! ... (3.20)
где ул — тензор скоростей деформации (1.17). Если в
этих уравнениях пренебречь упругими составляющими
скоростей деформации (что допустимо при развитой пла¬
стической деформации), то получаются уравнения Сен-
Венана — Мизеса:
у*ж=Я(а„—а), ... (3.21)
Уху ...
В этих уравнениях множитель
к=с1А р/2Т2й1—алу^2Т2 (3.22)
пропорционален скорости диссипации энергии. Из форму¬
лы (3.22) следует, что компоненты девиатора напряжений
можно представить в виде ,
в*к^дТ*/дв1к. рЩ
Тогда для пластических составляющих скоростей дефор¬
мации получаем
»Ъ = кдТ*/до1к. (3.24)
Это выражение есть частный случай так называемого ас¬
социированного закона течения [64]: пусть /(а*)— функ¬
ция пластичности (или текучести) такая, что /<0 для
напряженных состояний ниже текучести и /=0 для на¬
пряженных состояний в условиях текучести, тогда
уЪ~Щ/до1к. . (3.25)
Для условия пластичности Сен-Венана — Мизеса
/ = Г2- т82
и, следовательно, (3.25) совпадаете (3.24).
(3.26)
Для главных значений девиатора напряжений
<т 1,02*03 и тензора скоростей пластической деформации
'’и, ^22) озз из (3.21) вытекает выражение
щ/уи — О2/У22 = О3/У33. (3.27)
Отсюда для главных касательных напряжений тх =(02—
-Оз)/2, ... и главных скоростей деформации сдвига
У1 = (н22 — Vзз)|2 получаем
Г11у1 = Г2Н2 = Гз1уз. (3.28)
Соотношения (3.27), (3.28) называются уравнениями Ле¬
ни —- Мизеса. Они имеют такую же форму, как уравнения,
описывающие течение несжимаемой вязкой жидкости.
Только в случае жидкости коэффициент пропорциональ¬
ности есть константа вещества, коэффициент вязкости,
тогда как для пластических твердых тел этот коэффици¬
ент, равный 1/к, является функцией напряжения и де¬
формации. Не останавливаясь подробно на деформацион¬
ных теориях пластичности, отметим только, что они ос¬
нованы на тех же предположениях, что и теории течений,
кроме четвертого, вместо которого принимается условие
<4 = К • <4, (3.29)
означающее, что компоненты девиатора деформации (а не
приращения деформации) пропорциональны компонентам
девиатора напряжений.
В приложениях, связанных с теорией действия взры¬
ва в грунтах и горных породах, используются в основ¬
ном уравнения упругопластического течения (3.20)
ухх = 4" [ ~ 'у ( °уу + <***)] + Мож — а), ...
(3.30)
V Ху Сху/2 [Л [ кОхуч
к—аать12Т2.
Для определения функций к нужно иметь дополнитель¬
ное условие, например условие пластичности. (Для уело-
23
вия пластичности Мизеса Я, = о'гьугь/2т8) .Полная система
уравнений состоит из уравнений (3.30) совместно с урав¬
нениями движения (1.33)
р{ди{/^{^-ркдО{/6»к)=да(к1дхк-{-рР( (3.31)
и уравнением неразрывности
др/д^-\-д(рV^)|дx^=0. (3.32)
Последнее выражает закон сохранения массы. Оно по¬
лучается из рассмотрения изменения массы в элементар¬
ном объеме с использованием формулы (1.18) для ско¬
рости относительной) объемисто расширения.
§ 4. МОДЕЛЬ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1. Вязкая жидкость, идеальные среды
Как уже упоминалось, уравнения (3.27), (3.28) опи¬
сывают деформацию вязкой жидкости, для которой мож¬
но написать
о*к—'п4» (4.1)
*
где г) — коэффициент вязкости, ащ — девиатор напряже¬
ний, нц — девиатор скоростей деформации.
Более точное соотношение имеет вид [103]
4 - т* + (Т}/3 + Б) /Э*„ ^ (4.2)
где ^ — так называемый второй коэффициент вязкости.
В гидродинамике [78] обычно полагают (; =—ц/3, тог¬
да (4.2) и (4.1) совпадают. Если сплошная среда не об¬
ладает трением, то касательные напряжения в такой
идеальной среде отсутствуют,
4-0 (4.3)
и тензор напряжений имеет вид
а.ь= — рб». (4.4)
Уравнение движения (1.33) в этом случае упрощается:
9г;/^-(-(ну)н:= — (1/р) §гайр+/. (4.5)
24
;) I и уравнения называются уравнениями Эйлера. К ним
нужно присоединить уравнение неразрывности
Зр/дН-<Цу(р1;) =0. (4-6)
Четыре уравнения (4.5), (4.6) содержат пять неизвест¬
ных: давление р, плотность р и три компоненты вектора
скорости V. Для замыкания системы уравнений исполь¬
зуются термодинамическое уравнение состояния
/(р, р, Г)=0, (4.7)
где Т — температура, и закон сохранения энергии, имею¬
щий различную запись в зависимости от конкретного про¬
цесса. Если процесс изотермический, а температура во
всех точках среды постоянна, то Т является параметром
и уравнении (4.7); система (4.5) — (4.7) в этом случае
замкнута. Если подойти к определению идеальной жид¬
кости (газа) более строго, то, пренебрегая в такой среде
трением, необходимо исключить и другие диссипативные
процессы, в частности теплообмен. Иными словами, любые
точения идеальной жидкости должны быть адиабатически¬
ми. Вводя в рассмотрение энтропию 8, можно вместо
(4.7) для непрерывных течений записать
^(Р) р) — сопя!. (4.8)
Для идеального газа это уравнение имеет вид
р/р1,=сопз1, (4.9)
оде ч = сР1>с„ — отношение удельных теплоемкостей — тер¬
модинамическая характеристика газа.
2. Идеальная несжимаемая жидкость
Если плотность постоянна, то уравнения, описываю¬
щие движение сплошной среды, максимально упрощаются;
из (4.6) в этом случае вытекает, что
(Ну у=0. (4.10)
25
Очевидно, что для несжимаемой жидкости ото уравнение
непосредственно следует из (1.18).
Важным классом движения идеальной несжимаемой
жидкости является безвихревое течение, когда (см. [78])
го!у=0. (4.11)
В этом случае скорость V, вследствие (4.11),, является
градиентом некоторой функции <р, называемой потен¬
циалом
у=§га<1 ф.
(4.12)
Подставляя (4.12) в (4.10), получаем
о
"0
II
О
(4.13)
т. е. потенциал ф является гармонической функцией. Под¬
ставляя (4.12) в уравнение движения (4.5) и предпола¬
гая, что внешние силы также имеют потенциал
.Р=—§дас10,
(4.14)
получаем после преобразований, использующих
ное равенство,
вектор-
(уУ) у=§гас1 у2/2+у го1 и
и уравнение (4.11),
Зф 1д1+ (§гай ф) 2/2+р/р-)-1Й=7?,(г),
(4.15)
где Р(1)— произвольная функция от времени. Это урав¬
нение носит название интеграла Коши — Лагранжа.
Важное значение для приложений имеет так называе¬
мая импульсная постановка задач гидродинамшш. До¬
пустим, что к жидкости прилагаются мгновенные по¬
верхностные силы, действующие в течение короткого
промежутка времени т, но достигающие очень больших
величин. Рассмотрим уравнение движения (4.5)
-—>
Ли 1(11= — (ряй р) /р-\-Р.
Проинтегрируем обе части этого уравнения по I от нуля
до т, предполагая, что вначале при 0 частицы жид-
26
ногти покоились. Ветчина массовой силы конечна, и ин-
нчрмл от нее по малому промежутку времени пренебре¬
жимо мал; поэтому после интегрировании получаем
V=ё^ай(—Р|р),
(4.16)
X
Р = [ р • сМ,
0
(4.17)
тик называемое импульсное давление. Можно считать,
что за малое время т частицы жидкости почти не изме¬
нили своего первоначального положения. Таким обра-
,юм, под действием мгновенных (импульсных) нагрузок
и жидкости возникает безвихревое поле 'скоростей с по¬
тенциалом
ф=_р/р. (4.18)
Подсчитаем кинетическую энергию IV,, безвихревого дви¬
жения идеальной несжимаемой жидкости. По определе¬
нию
И'к « р | (о212) йу, (4.19)
где интеграл берется по всему объему, занимаемому жид¬
костью. Этот интеграл преобразуется но формуле Грина
[ 78] к поверхностному:
ТГк = -^Ф^-^)/2, (4.20)
ще п есть внутренняя нормаль к поверхности 5, в ко¬
торой заключен рассматриваемый объем жидкости.
Движение жидкости называется плоским, если все ча¬
стицы, лежащие на перпендикуляре к некоторой плоско¬
сти, имеют одинаковые скорости, параллельные этой
плоскости. Очевидно1, что в этом случае достаточно рас¬
смотреть движение в этой плоскости, принимаемой за
плоскость Оху. Вектор скорости V имеет в общем случае
плоского движения две составляющих н* и н„, щ=0.
Уравнение неразрынвости (4.10) для плоского движения
дV^дx-^-дVу|ду=0 (4.21)
27
допускает решение
вх=дт!р/ду, Т1У~—д^/дх, (4.22):
где я|>(х, у) —так называемая функция тока. Функция;
тюка обладает следующими свойствами. Во-первых, на ли-'
ниже тока юна постоянна. Действительно, уравнение ли¬
ний тока по определению есть
дх1вх—д,у1ву или —иу-(^x^^Vx^(1у = 0. (4.23) ■
Подставляя сюда и уу из (4.22), получаем Й1|5=0,
г(з==сопй1. Во-вторых, поток жидкости через любую кри¬
вую, соединяющую две точки А(х\, у\) и В(х2, г/г), равен
разности значений функции тока в этих точках [78]:
в , ,
Г шМ = *ф‘(х2, у2) — Я|) (х^Уг). (4-24)
А
—> —^
В плоском движении вихрь скорости и ш го1 V имеет
только' одну составляющую
(Вг=д11у1дх—двх/ду ——д2ер/дх2—д2^>/ду2. (4.25)
-►
В случае плоского безвихревого движения со=0 и, сле¬
довательно,
ди„1дх — д1'х/ду, Аф=д2ф/дх2+д2ф/5г/2—О, (4.26)
т. е. функция тока является гармонической функцией.
В том же случае компоненты вектора скорости выража¬
ются через потенциал следующим образом:
Vx=д^)|дx, иу=дер/ду. (4.27)
Сравнивая это выражение с (4.22), приходим .к следую¬
щим соотношениям:
дер/дх—ду\>/ду, дер/ду——д^/дх. (4.28)
Они называются уравнениями Коши — Римана [78, 100].
Эти уравнения выражают тот факт, <что комплексная ве-
28
женила ф+гф является аналитической функцией комплекс-
нот аргумента г=х-\-1у:
ш(2)=у(х, у)+1^(х, у), (4.29)
т, е. что функция и)(г,) имеет определенную производ¬
ную
Аш/дя=дк$(дх -ф- гд^/вх *= дф/Зж—Ьд^1ду=ух—1иу. (4.30)
'функция и;(г) называется комплексным потенциалом, а
<1ш1й& — комплексной скоростью. Из • (4.30) видно, что
(1ш/й2 есть величина комплексная, сопряженная с век¬
тором скорости
йш1йг=у. (4-31)
Комплексная скорость также является аналитической
функцией от 2, так как в силу (4.21) и первого из урав¬
нений (4.26) ее действительная и мнимая части удовлет-
норяют уравнениям Коши — Римана (4.28). Следователь¬
но, существует определенная вторая производная
д?и)1й$—д'1}х1дх—1диу/дх=дих/дх-\-1дт)х/ду. (4.32)
Рассмотрим тензор скоростей деформации V^к
плоском случае:
дих!дх, (дих/ду + диу/ду)12
[дих!ду + диу/дх)12, доу]ду
(1.17) в
(4.33)
Как видно, компоненты тензора скоростей деформации
определяются действительной и мнимой частью сРгр/Зг2.
В частности, максимальная скорость деформации сдви¬
га равна модулю второй производной
| с12т/с1 г2| = [(дих/дх)2-\- ^х/ду)2]',г. (4.34)
Соотношение (4.29) показывает, что каждая определен¬
ная аналитическая функция и) (г) соответствует опре¬
деленному полю скоростей. Таким образом, исследование
плоского движения идеальной несжимаемой жидкости
теснейшим образом связывается с теорией функции ко!мп-
29
лемсного переменного — глубоко развитой ветви матема- |
тичсского анализа.
Заканчивая обзор основных моделей сплошного тела, 1
следует еще раз подчеркнуть, что применение той или I
иной модели для описания конкретного взрывного про-1
цеоса должно быть основано на тщательном анализе экс-1
периментальных данных. Важнейшее значение имеют I
сведения о величине напряжений, возникающих в сплош- I
ной среде при взрыве, и о прочностных свойствах самой 1
среды. Под последними понимается обычно предел теку- I
чести а3 при различных способах статического нагруже- Я
ния. Иногда говоря!' о динамической прочности, понимая I
под этим прочность при различной скорости возрастания 1
нагрузки или при циклическом нагружении. Применение ]
этого понятия к взрывным процессам нуждается в уточ- 1
нении. Тем не менее, если взрывные нагрузки в данном 1
исследуемом процессе существенно превышают все ироч- I
ностные характеристики среды, то допустимо применение ]
модели идеальной жидкости (газа). Если к тому же ока- 1
зывается, что и сжимаемость среды несущественна для ]
рассматриваемого процесса, то таким образом приходим к I
модели идеальной несжимаемой жидкости.
Для описания камуфлетного взрыва в грунтах по 1
многим причинам более предпочтительной оказывается
модель упругопластичного или жесткопластичного тела.
Целесообразнее исследовать разрушения прочных горных
пород в рамках теории упругости. Очень часто в одном и
том же процессе среда может деформироваться пластиче¬
ски в ближней зове (взрыва и упруго — в дальней. Кроме I
того, разрушенный материал в зависимости от характера ;
разрушения ведет себя как сыпучая среда или как сово- !
купность упругих стержней. В этих случаях применяют- ;
ся более сложные, зонные модели. Область, занимаемая
сплошной средой, разбивается на несколько зон, внутри
которых движение описывается в рамках одной из моде¬
лей сплошной среды, а на границах выполняются соот¬
ветствующие условия сопряжения.
Глава II
ВЗРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ.
МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ ВЗРЫВА
Взрывом, в широком смысле этого слова, называется
любой 'процесс быстрого превращения одного вида энер¬
гии в другой, сопровождающийся выделением тепла, воз¬
никновением больших напряжений в среде, разрушением
материала и неустанояиипшмея движением среды.
Механизм энергетического превращения различен в
(Каждом конкретном случае, иногда весьма сложен или
малоизучен. Поэтому при постановке задач о действии
взрыва в сплошных средах часто используется прибли¬
женное, модельное представление об источнике возмуще¬
ния. Например, в задаче о «сильном взрыве» [138] рас¬
сматривается мгновенное выделение энергии в точке,
в задаче о направленном выбросе грунта предполагается,
что взрыв создает на поверхности выбрасываемого объема
импульсивное давление. В задаче о камуфлетном под¬
земном взрыве пренебрегают отражением детонационных
волн от 1поверхности взрывной полости и рассматривают
квазистатическое расширение этой полости, принимая,
что давление внутри нее изменяется адиабатически.
В конечном счете, однако, полученные расчетные ре¬
зультаты должны быть связаны с физико-химическими
параметрами В В (взрывчатых веществ). Для этого ис¬
пользуются в основном экспериментальные данные, а так¬
же теоретические представления о некоторых видах
взрывных превращений. Из них наиболее изучен процесс
детонации химических ВВ.
§ 1. ГАЗОВАЯ ДЕТОНАЦИЯ
Независимо от фазового состояния исходных веществ
(газообразных или конденсированных) физическая при¬
рода тепловыделения, происходящего при взрыве химиче-
31
4 2
Рис. 2. Контрольные поверхности в детонацион¬
ной волне.
„о” ских ВВ, одна и та же. В результате хи¬
мической реакции происходит перестройка
атомов в молекулах, изменяется величина
I I I энергии связи: неустойчивые исходные ве¬
щества превращаются в более устойчивые
продукты реакции. Избыток химической энергии выделя-Ш
ется в виде тепла. Исходные молекулы, чтобы вступить ]
в реакцию, должны иметь достаточно большую Скорость,
иными словами, исходная смесь должна быть нагрета до
определенной температуры. Одна и та же химическая ре¬
акция с выделением тепла может быть осуществлена дву¬
мя различными способами: горением и детонацией. В пер¬
вом случае нагрев исходной смеси происходит при помо¬
щи процесса теплопроводности, во втором — при сжатии
вещества за фронтом ударной волны.
Не останавливаясь на подробностях, укажем только,
что горение происходит со скоростью, меньшей чем ско¬
рость звука, а детонация — со сверхзвуковой скоростью.
Ссылаясь на фундаментальные работы по теории го¬
рения и детонации [51, 47], рассмотрим простейшую мо¬
дель детонации — плоскую стационарную детонационную
волну ш идеальном газе. Структура этой воины такова.
По покоящемуся газу (или смеси газов) распространяется
ударная волна. За фронтам ударной волны следует зона
химической реакции, имеющая конечную ширину. Обозна¬
чим индексом «О» параметры состояния газа перед удар¬
ным фронтом, индексом «1» — параметры состояния пос¬
ле завершения химической реакции. Проведем три плос¬
кости: Ео — совпадающую с ударным франтом, Е — внутри
зоны реакции, Е1 — ограничивающую зону реакции
(рис. 2). Запишем законы сохранения количества веще¬
ства для плоскостей Ео и Е:
р0П=р(/?—у) =/;
(1.1)
количества движения
и энергии
Р—Р о=/г>
ри=](1У-УГ0+Р2/2).
(1.2)
(1.3)
32
\цес:ь р — илстность, V — массовая скорость, В— вяк-
рос гь детонации, р — давление, \У — внутренняя энергия,
и | ш ходящаяея на единицу массы, внутри зоны химиче¬
ской реакции.
I Гредположим, что исходная среда и продукты реак¬
ции являются идеальным газом с одним и тем же показа¬
телем адиабаты. В этом случае
Ж=С/+р/р('у—1). (1.4)
Поличина II равна разности энергий связей в промежу¬
точных и исходных веществах, отнесенная ■ единице мас¬
сы. Таким образом, для конечных веществ 17=0, а в зо¬
не реакции
И =№о, (1.5)
еде р — весовая концентрация нанрорвагировавших моле¬
кул. Из (1.1) и (1.2) следует, что
] = [(Р~Ро) (1/Ро-1/р)],/1=[(р-ро)/(Ио-7,)],/‘, (1.6)
где V =1/р — удельный объем.
Исключая 1) и О ш (1.1) —^ (1.3), получаем
ТР_ТИ0=(р+р0)(Ио-У1)/2 (1.7)
щ подставляя сюда
2 (у— 1)(1 -
Р =
(1.4) и (1.5),
1 Р) Уд ~Ь До [(У 1) Т0 ■
м^жш
(1.8)
(Т + 1)Т-(у-1)70
При р = 1 это уравнение определяет давление непосред
ственно за фронтом ударной
волны. Это — ударная адиабата,
или адиабата Гюгонио, При
Р=0 уравнение (1.8) опреде¬
ляет равновесную детонацион¬
ную адиабату. Эти кривые изо¬
бражены на рис. 3. Кривая
ОМА — ударная адиабата ис¬
ходных продуктов, кривая
О'В'В — равновесная детона¬
ционная адиабата, отвечающая
полному выделению теплоты Рис_ 3_ р_у-диаграмма де-
химической реакции, штриховая нотационной волны.
2 В. М. Кузнецов
33
кривая соответствует промежуточному состоянию
0<Ср<С 1. Если процессы, происходящие в детонационной!
волне, изобразить на плоскости (р, V), то все они вслед-!
ствие (1.6) будут представлены точками, лежащими!
на прямой
р=р0+/2(Ео-У), (1.9)1
которая называется прямой Михельсона. Состояние не-|
посредственно за фронтом ударной волны, соответствую-!
щее точке А (или А'), достигается из состояния 0 скач-1
ком. Затем начинается химическая реакция и точка, опи-1
свевающая состояние газа, скользит вниз по прямой АВО\
(или А'В'О) до точки В (или В'), лежащей на детона!
ционной адиабате. Таким образом, вследствие выделения]
тепла за фронтом ударной волны уменьшается давления
и увеличивается удельный объем.
Как видно, скорость детонации не может быть меньше
величины, соответствующей наклону прямой ОВ'А', кан]
сающейся адиабаты продуктов детонации.
В теории детонации [51] доказывается, что при само!
произвольном распространении детонационной волны без]
принудительного сжатия или поджигания впереди фронта]
прямая Михельсона касается равновесной детонационной]
адиабаты. Иными словами, осуществляется режим дето-]
нации, раснространяющийся с минимальной возможной]
'скоростью. Этот режим называется детонацией Чепмена —]
Жуге, а точка касания В — точкой Жуге.
Предположим, что давление в точке Жуге много боль-]
ше начального давления ро. Тогда, полагая в формулах]
(1.6) и (1.8) ро=0, У—Уи Ро'—О, получаем:
(1.10)1
р2=2г70/[(т+1)У1-(Ч-1)Уо]. (1.11)1
Отсюда для р\ запишем уравнение
р\ ~ о (V + 1) + 2С/0Д2 (У ~ 1)/У0 (у + 1) - 0 ,
решение которого есть
Р1=[1=Ы/1-2(т2-1)С70/П2]П2/7о(т+1). (1.12)1
Наличие двух знаков перед радикалом соответствует!
двум точкам пересечения прямой Михельсона с детона-1
34
цнипной адиабатой. Единственное решение, соответствую¬
щие минимальному значению скорости детонации, полу-
Нйнтоя при
Д=у 2(у2—1) С/о.
(1.13)
р1=Д7(т + 1)70.
(1.14)
11 идотавляя это выражение в (1.10), получаем формулу,
'щроделяющую максимальное сжатие за фронтом детона¬
ционной волны:
Р1/ро=(Т+1)/т. (1-15)
||ц уравнений (1.1) и (1.2) при ро—0:
и=Б(1 — ро/р 1), Р1—ро02('1 — ро/рО. (1.16)
Отсюда и из (1.15) следует, что
В—н=с=(чр1/р1)'/2. (1.17)
Таким образом, в режиме самопроизвольной детонации
скорость распространения детонационной волны равна
относительной скорости звука в продуктах детонации.
!)тот результат может быть получен и в более общем слу¬
чае, непосредственно из уравнения детонационной адиа¬
баты в виде (1.7) (см. [51]). Покажем качественно, поче¬
му должно выполняться равенство (1.17) для случая ста¬
ционарной детонации. Из рис. 3 ясно, что фактически осу¬
ществимой является та часть детонационной адиабаты,
которая лежит выше точки В'. Точка В' есть предельное
положение точки 5, а ниже точки В' конечного состояния
быть не может просто по определению — реакция заканчи¬
вается в точке В'. Всюду выше точки В' наклон касатель-
кой к детонационной адиабате больше, чем наклон кривой
Михельсона. Таким образом,
И—§вв.
С другой стороны, если детонация не поддерживается за
зоной реакции дополнительным сжатием, то вследствие
2*
35
разлета продуктов реакции возникает волна раареже-1
вин, догоняющая фронт со скоростью с+гл Если с-\-V>^л
то волна разрежения догонит ударный фронт и процесс]
не будет стационарным. Отсюда, для стационарности рас-1
пространения детонаций, необходимо выполнение нера-1
венства
Одновременное выполнение этих двух неравенств Шщ
можно только при условии (1.17). Все предыдущие рас!
суждения и вычисления щредшнииш? что химическая
реакция о самого начала идет с выделением тепла, т. е|
является экзотермической. Возможен такой (случай, когда
за фронтом ударной етда вначале происходит логяо*
щение тепла, а затем начинается тепловыделение. В ртом
случае условие Чепмена -** Жуге не выполняется.
§ 2. ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВВ
Конденсированные ВВ имеют начальную плотность
порядка 1 т/см3. При детонации таких ВВ образуется ве|
щество я плотностью больше единицы. Природа тепло)
выделения в конденсированных ВВ примерно та же, чтс
и при детонации в газах. Единственная разница состой']
в том, что большинство конденсированных ВВ в исходном
состоянии представляет одно вещество, которое в резулы
тате реакции разлагается на несколько соединений <|
ббльшей энергией связи. Механизм детонации конденсиро]
ванных ВВ также аналогичен механизму газовой дстопа:
ции. Впереди идет ударная волна, которая дробит части!
цы ВВ (если оно твердое), сжимает и нагревает ВВ д1
высокой температуры. За ударным фронтом происходи"]
химическая реакция, сопровождающаяся понижением дай
лен л я и плотности (так называемый «химпик»). Труд
паств количественного 'описания; детонации твердых и
жидких ВВ состоит главным образом в том, что в общез
случае неизвестно уравнение состояния продуктов взрыве
(сокращенно ПВ). За фронтом детонационной волны ва
щсст-во имеет плотность больше 1 г/ем3 и находится по|
давлением порядка нескольких килобар (105 кг/см2). Ясно
что такое состояние не может быть опщСано в рамка!
36
модели идеального газа. В газах скорость детонации:
0=У2(у2—1)?7о,
т. е. зависит только от теплового эффекта и молекулярных
констант ПВ.
Для конденсированных ВВ эта зависимость сохраняет¬
ся только с точностью до У17о. Оказывается, что скорость
детонации конденсированных ВВ существенно зависит от
начальной плотности ВВ. Эксперименты показали, что эта
зависимость может быть приближенно описана формулой
Б=А- р. (2.1)
Величина А для наиболее распространенных ВВ поряд¬
ка 4,5 • 10б см/г-с, что соответствует скоростям 4,5 км/с
при ро=1 г/см3 и 7,2 нм/с для ро= 1,(3 г/см3, близким к
экспериментальным данным для тротила, гексогена н ни¬
троглицерина. Из (1.1) и (1.2) при ро=0 следует, что
Р=РоОД1-Ро/Р1); (2.2)
предположим, что р( пропорционально ро:
Р1=*ро. (2.3)
Из этих трех выражений получаем
р = А*9\(к~\)1к*. (2.4)
Этот несложный вывод «уравнения состояния» конденси¬
рованных ВВ заимствован из [51]. Более точный расчет
можно найти в [47] и [51]. Из (2.2) и (2.4)
Я2 = сопз! р!/р0 (Р1 — р0). (2.5)
Потребуем, так же как и в газовой детонации, чтобы ско¬
рость имела минимальное из возможных значений. Вы¬
ражение (2.5) имеет минимум при Р1/ро=4/3. Таким об¬
разом, для детонации конденсированных ВВ имеют место
следующие соотношения:
рг/ро=4/3; р==р07)2/4, и=Ы4. (2.6)
37
Ниже приведены детонационные параметры, получен¬
ные экспериментально для некоторых видов твердых ВВ:
ВВ
Ро»
п,
V,
р*103,
Рг,
П--1/
г/см3
км/с
км/с
кг/см2
т/см11
(А — 1)
Тротил
1,00
5
1,32
66
1,36
2,8
1,59
6,91
1,61
178
20,8
3,3
Лито ТНТ
1,62
6,98
1,12
183,2
2,11
8,3
Гексоген
1,60
. 8,13
2
260
2,12
3,06
ТГ 50/50
1,68
7,65
1,93
248
2,25
2,96
Тротил
1,68
7,50
1,87
235,6
2,24
3,0
Отметим в заключение этого параграфа, что мы не ка¬
сались таких вопросов, как влияние на процесс детонации
размеров частиц твердых ВВ, времени реакции, диаметра
заряда и т. д. Исследование этих вопросов хорошо описа¬
но, например, в [47].
§ 3. ГАЗОВЫЙ ПУЗЫРЬ
Пусть заряд ВВ, имеющий, «кажем, форму шара, по¬
мещен внутри некоторой области, заполненной средой
значительной плотности (вода, грунт, металл и т. и.), до¬
статочно далеко от границ этой области. Пусть далее ини¬
циирование заряда производится в его центре. Тогда из
центра начнет распространяться сферическая детонацион¬
ная волна. Процесс детонации всего заряда заканчивается,
когда волна достигает поверхности раздела ВВ и среды.
При этом по среде распространяется ударная волна, а по
продуктам взрыва — отраженная волна сжатия или раз¬
режения, в,зависимости от соотношения плотностей и
сжимаемостей материала среды и ПВ. Сходящаяся волна,
достигнув центра полости, снова отражается и т. д.
Упростить описание этого довольно сложного процесса
помогает следующее обстоятельство. Скорость расшире¬
ния стенок полости, как правило, весьма мала по срав¬
нению со скоростью детонационной волны и скоростью
звука в продуктах взрыва. Поэтому волновые процессы
внутри газовой полости успевают затухать за время, в те¬
чение которого объем полости изменяется на относительно
малую величину. Упрощающая постановка задачи сводит¬
ся к следующему. В области, занимаемой взрывчатым
веществом, мгновенно возникает высокое давление, по-
38
стоянное во всей области. В дальнейшем происходит рас¬
ширение образовавшейся полости, или, как говорят, газо¬
вого пузыря. В тех случаях, когда процессы теплопровод¬
ности или лучистого теплообмена не играют существенной
роли, давление газов в полости падает по адиабатическому
закону. Это условие обычно выполняется при взрывах
химических ВВ. Тепло при помощи механизма теплопро¬
водности передается слишком медленно по сравнению с
быстрым расширением пузыря, а лучистый теплообмен
несуществен, так как температура продуктов детонации
для этого недостаточно1 велика.
Установим величину первоначального давления, возни¬
кающего в газовом пузыре. Обозначим его через рн, а дав¬
ление в детонационной волне — через рп. В силу сделан¬
ных предположений плотность газа в полости остается
равной ро, а за фронтом волны —фи Показатель адиабаты
для продуктов взрыва приближенно равен трем. Имеем
рн/рх>=(ро/р1)3= (3/4)3=27/64.
Обычно принимают, что
Рн:==Ро12-
В дальнейшем газы расширяются по адиабатическому за¬
кону с тем же показателем, равным трем.
Однако этот закон применим только для больших
плотностей продуктов взрыва. В дальнейшем показатель
адиабаты уменьшается, приближаясь я величине, равной
1,25. Простейший способ построения приближенного за¬
кона расширения ПВ состоит в следующем [51, 130].
Предполжим, что
р=рн(Ун/У)3 при <рв, (3.1)
Р=Р*1У*1УУ'2Ъ ПРИ Р<Р*- (3.2)
Величины р* и И* вычисляются из энергетических сообра¬
жений. Внутренняя энергия газа равна работе адиабати¬
ческого расширения от начального объема до бесконечно¬
сти. Интегрируя по участкам адиабат (3.1) и (3.2), имеем
оо V* °о
1У Г рЛУ т ^ р„(ув/у)3<гу+ (* Р*{У*1У)и2ьдУ =
ун Ун у,
= 0,5рнУн + 3,5р*У*. (3.3)
39
Поделив обе части этого уравнения на )цассу взрыв¬
чатого вещества и обозначив через удельную
энергию ВВ, получаем
ц> = 0,5рнрн+3,5р.|сР*. (3.4)
В точке сопряжения двух адиабат вследствие (3.1) имеем
Р*=Р*(Р*1р*У- (3.5)
Исключая из этих выражений р* получаем
Р*=Рн[(2ггрн/Рв—1)/7]3/4. (3.6)
Рассмотрим, к примеру, гексоген. В данное случае удель¬
ная энергия й>=1500 кал/г=6,3-1010 эрг/г рд^-1,6 г/см3,
рн = 13(М03 атм. Подставляя эти данные в (3.6), получа¬
ем —3700 кг/см2. При этом давлении в продуктах де¬
тонации еще остается болей 20% всей энергии.
§ 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ СХрмы ВЗРЫВА.
ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗРЫВОВ
Для любой сплошной среды можно па)ТИСать уравне¬
ние движения и уравнение неразрывности в виде (1.33),
(1.4.6)
р(ди{1д1+пфр4дхк) = рР^дал1дХк, (4.1)
др1д1-)гд(рук)1дхк=0, (4.2)
где Ош — тензор напряжений, Р — массовая сила.
Если массовая сила отсутствует То нетрудно
видеть, что эти уравнения допускают ирео^разованис по¬
добия вида:
г'—кг. (4.3)
Пусть имеются две области В и ТУ, ограниченные гео¬
метрически подобными поверхностями, и пусть краевые
и начальные условия, .заданные на этих (поверхностях,
одинаковы. Обозначим «на I и V характ%рНЫе размеры
областей, так что . Тогда можно утверждать, что
40
» области 2) и I)' картина движения (поля скоростей,
теноор напряжений) будет одна и та же, ©ели наблюдение
производится в моменты времени и в точках, связанных
соотношением (4.3). Это утверждение носит название
■—> ■>
принципа геометрического подобия. Точки 2 и I', г и г' из
(4.3) называются сходственными точками. Рассмотрим,
например, взрыв двух сферических зарядов одного и того
же ВВ в изотропной оплошной среде. Пусть «о и а0 — ра¬
диусы зарядов и «о ^ к • а0. В схеме «газового пузыря» за¬
дача формулируется следующим образом: на поверхности
сферы радиуса ао (или а0) в начальный момент времени
заданы давление р„ и скорость расширения (из условия
распада произвольного разрыва).
Требуется определить дальнейшее движение пузыря,
если известны термодинамические и механические свой¬
ства среды. Не решая конкретную задачу, можно утверж¬
дать, что скорость и давление будут одинаковы в точ-
—♦ —V ■ ►
ках г и г'—к-го в моменты времени I и I' ==к-1, Так как
суммарная энергия взрыва пропорциональна объему, за¬
нимаемому ВВ, то
к = ао/а (№7№)1/3, (4.4)
где В7 и IV' — энергия взрыва.
На этом принципе основано лабораторное моделирова¬
ние взрывных процессов. Вместо измерений скоростей и
напряжений в натурных условиях производится взрыв
с относительно небольшой энергией, а затем производится
пересчет на натуру в соответствии с принципом геомет¬
рического подобия.
Заметим, что законы сохранения (1.1) —(1.3), выпол¬
няющиеся на ударном фронте, не зависят от масштаба и
времени. Таким образом, все сказанное выше относится
и к параметрам ударных волн. Принцип геометрического
подобия существенно облегчает и упрощает обработку
экспериментальных данных. В качестве .примера приведем
формулу М. А. Садовского для величины максимального
давления на фронте воздушной ударной волны в зависи¬
мости от веса заряда и расстояния (ВВ — ТГ 50/50):
Др=0,85 (?'Чг+3((2Гг)2-\~8((2''’1г)\ (4.5)
41
где Ар — избыточное давление, кг/см2; 0 —* вес заряда, кг;
г ф- расстояние от центра взрыва, м.
Как бедно из изложенного выше, для 1приме:нимо'Сти
принципа геометрического подобия существенно выпол¬
нение следующих условий: 1) отсутствие (массовых сил;
2) идентичность начальных и граничных условий; 3) изо¬
тропность сплошной среды и «одинаковость» механических
и термодинамических свойств материала среды в рассмат¬
риваемых случаях.
Если сравнить взрывы различных ВВ, например ТНТ
и гексогена, то строго говоря, второе из этих условий не
будет выполнено. Однако эксперименты показывают, что
отступление от геометрического подобия будет не очень
существенным, если различие в свойствах ВВ учитывать
только энергетически, т. е. принять коэффициент подобия
к в виде (4.4). Гораздо более существенным фактором
является условие 1: при наличии массовых сил, например,
при учете силы тяжести, принцип геометрического подо¬
бия не выполняется. 1
Рассмотрим, например, один из центральных вопросов
теории и практики взрыва в грунте на выброс: если в дан¬
ной породе для получения воронки размером Во, объемом
Го требуется сосредоточенный заряд весом (?о, то какой
заряд потребуется для получения воронки размером
к-Во? Предположим, что действие взрыва определяется
одной величиной — энергией взрыва ТГ, а среда обладает
прочностью, характеризующейся некоторой величиной а,
имеющей размерность давления. Пусть ко — глубина за¬
ложения заряда, а Во— радиус воронки выброса. Отноше¬
ние п=Во/ко, называемое показателем выброса, может
зависеть только от безразмерной величины. Из величин ТГ,
а, ко, по можно составить только две таких комбинации:
ТГ/аА3 или IV/оВо- В любом случае можно написать
И7ай3=/(гс). (4.6)
Так как V ~ 0, то
<?=Кк*1(п). (4.7)
Величина К зависит от свойств грунта (а) и ВВ. В прак¬
тическом взрывном деле для расчетов взрывов на выброс
применяется формула Борескова:
()=7Ш(0,4+0,6 п3). (4.8)
42
Конкретный вид функции $(п) определен эмпирическим
путем.
Ответ на поставленный вопрос таков: если для полу¬
чения воронки радиуса Но требуется заряд (?о, то для
получения геометрически подобной воронки радиуса кН0
потребуется заряд весом
Сравнительно недавно было обнаружено, что этот закон
справедлив для относительно «небольших» зарядов весом
до нескольких десятков тонн ТНТ. Для зарядов весом
в сотни и тысячи тонн ТНТ расчеты по формуле (4.9)
давали завышенные по сравнению с практикой значения
размеров воронки выброса. Причина такого несоответст¬
вия состоит в том, что при увеличении масштаба взрыва
возрастает роль силы тяжести. Качественно это объясня¬
ется довольно просто. Представим себе два заряда, «ма¬
ленький» и «большой», заложенные геометрически
подобно
После детонации зарядов ударная волна, распростра¬
няясь по грунту и отражаясь от свободной поверхности,
разрушит грунт и создаст поле скоростей такое, что ско¬
рости будут одинаковы в сходственных точках. Для «ма¬
ленького» взрыва величина скорости достаточна, чтобы
выбросить весь разрушенный грунт за пределы зоны раз¬
рушения, и размер воронки определится размерами зоны
разрушения — существенна величина о. Для «большого»
взрыва при одной и той же скорости в сходственных точ¬
ках масштаб взрыва слишком велик, и часть грунта из
разрушенной зоны не может вылететь за пределы этой
зоны — существенно' ускорение силы тяжести. Для про¬
стоты можно в этом случае пренебречь прочностью грунта.
Тоща определяющими параметрами взрыва будут ТУ, к, В,
ускорение силы тяжести # и плотность грунта р.
Повторяя предыдущие рассуждения, получим
(?=к*(1о.
(4.9)
ык=тоУк.
(4.10)
И7р*А4=/(в).
(4.11)
43
(4.12)
Тогда вместо формулы (4.5) будем иметь
<?=к4(±0.
Практически для зарядов с энергией порядка нескольких
килотонн ТНТ существенны оба фактора: и прочность,
и сила тяжести. Эмпирически это учитывалось формула¬
ми типа
()=Ак3’5/(п) (4.13)
или
()=(АЪ?-\-А\}1*)1{п) (А, А\) =сопв1;.
Интересно, что зависимость этого вида можно получить из
соображений теории размерностей точно, если действие
взрыва характеризовать не энергией, а импульсом. Дейст¬
вительно, в этом случае из набора определяющих пара¬
метров: импульса I, р, к, Н — можно организовать без¬
размерную комбинацию вида
1/р§Чт=/(п). (4.14)
Если дополнительно предположить, что I ~ (), то от¬
сюда получится первая из формул (4.13). Вопрос о фор¬
муле подобия и моделирования крупномасштабных взры¬
вов на выброс нельзя считать окончательно выясненным в
настоящее время. С увеличением глубины заложения заря¬
дов ВВ меняются также свойства грунта — нарушается
третье условие, необходимое для соблюдения геометричес¬
кого подобия. С другой стороны, если сравнивать взрывы на
выброс химических и ядерных ВВ, то начальные и гра¬
ничные условия будут существенно различными, так как
величины давлений и температур отличаются на несколь¬
ко порядков.
Очевидно, что при исследовании подземных ядерных
взрывов нельзя пренебрегать процессами теплопередачи
и фазовыми переходами (плавление, испарение, кристал¬
лические модификации и т. д.).
Глава 111
КАМУФЛЕГНЫЙ ВЗРЫВ
Камуфлетным взрывом называется взрыв на большой
глубине, когда отсутствуют видимые разрушения свобод¬
ной (дневной) поверхности. Теоретически это означает,
что можно рассматривать взрыв в неограниченном прост¬
ранстве, заполненном средой е определенными гипотети¬
ческими свойствами. Глубина реального взрыва в такой
постановке учитывается тем, что «давление на бесконеч¬
ности» принимается равным гидростатическому, или ли¬
гостатическому, давлению на данной глубине. Рассмат¬
ривая при этом заряды простейшей конфигурации: сфе¬
рические, цилиндрические неограниченной длины или
плоские бесконечной протяженности, мы приходим таким
образом и к простейшим, одноразмерным, уравнениям
той или иной модели сплошной среды. Понятно поэтому,
что теоретических работ, посвященных исследованию ка-
муфлетных взрывов (в основном сферических), значи-1
тельно больше, чем тех, в которых рассматриваются су¬
щественно двумерные или трехмерные задачи.
Камуфлетные взрывы сферических и цилиндрических
зарядов широко применяются непосредственно в практике
взрывного дела, например гари создании полостей и ко¬
лодцев различного назначения или с целью разрушения
и образования системы трещин в окрестности взрыва.
При этом также имеются в виду и такие задачи, как
прострелка взрывных скважин гари методе котловых заря¬
дов, торпедирование нефтяных скважин и т. п.
Полный обзор теоретических и экспериментальных ис¬
следований камуфлетного взрыва выходит за рамки этой
книги, тем более, что уже имеются монографии, посвящен¬
ные этому вопросу [131, 150], а также статьи постановоч¬
ного и обзорного характера [43, 53, 155].
В этой главе излагаются простейшие из 'Основных мо¬
делей камуфлетногр взрыва для получения качественных
и количественных/результатов, характеризующих это яв¬
ление само аго /себе и необходимых для исследования
взрыва на выброс и решения других вопросов, рассматри¬
ваемых в следующих главах.
§ 1. ВЗРЫВ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ УПЛОТНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ.
СФЕРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ.
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим вначале камуфлетпый взрыв в мягких
связных грунтах. Одной из первых и основополагающих
работ, посвященных теоретическому исследованию ка¬
муфлетного взрыва, является работа А. С. Компаней-
ца [67].
Грунту приписываются следующие гипотетические
свойства. При давлениях, не превышающих некоторое
критическое значение р*, это абсолютно твердое тело, при
Р~^-Р* происходит необратимая
деформация сжатия, так называе¬
мая «упаковка», при которой плот¬
ность грунта скачком меняется
от величины ро до р1 (рис. 4). При
дальнейшем движении среда не¬
сжимаема и удовлетворяет услови¬
ям пластичности (1.3.10), (1.3.11)
или (1.3.12).
Упаковка является модельным
изображением реальной диаграмм ]
мы всестороннего сжатия некото¬
рых грунтов (ем. рис. 4). Дейст¬
вие продуктов взрыва рассматри¬
вается в «поршневом» приближе¬
нии: на границе расширяющейся полости действует дав¬
ление р (а), изменяющееся по закону:
р(а)~ро(ао/а)3'1 (1.1)
или (см, § 3 гл. II)
Рис. 4. Условная диа¬
грамма деформации
грунта.
[Л Ыа)9
р(а)=| й0 < а < % (1.2)
[р0(а01а1)3(а1/а)3,и а>ах
46
Здесь а — радиус полости, «о — его начальное значение,
ро — начальное давление, 7 — средний показатель адиаба¬
ты продувов детонации, ау — условное значение радиуса
полости, при котором адиабата с ^1 = 3 переходит в диа-
бату о '^2=1,25.
По грунту распространяется ударная волна упаковки
с радиусом Л({). В области между взрывной полостью и
ударным фронтом, т. е. при движение среды
описывается уравнением (1.3.33), имеющим в данном
случае (сферическая симметрия) вид
р\{дV|д^-\-VдV|д^) —даг1дг-\-2(аг — а0)/г, (1.3)
где V — радиальная скорость, о, — радиальное напряже¬
ние, Ое — азимутальное напряжение.
Напряженное состояние является главным (оси коор¬
динат г, 0 совпадают с главными осями тензора напряже¬
ний). Условие .пластичности в работе [67] принимается
в виде
щ — Ов = А-}-т(аг+2ав), /с<0, пг>0. (1.4)
В силу несжимаемости среды уравнение иеразрывности
имеет вид
9п/9г+2п/г=0, ’(1.5)
отсюда
р=1(г)1г2, (1.6)
где ^({) — функция времени, подлежащая определению,
причем
Ц1)=а2-а=К2^{к) (1.7)
(точка обозначает дифференцирование по времени). На
фронте ударной волны при г=Я выполняют следующие
условия (см. (II.1.1), (П.1.2)): закон сохранения потока
массы
р0Т?=р1 [й—у(Л)] (1.8)
и закон сохранения потока импульса
—аг{К)+р,=роки{К). (1.9)
47
Из (1.8) массовая скорость у (Л) на фронте ударной вол¬
ны выражается через ее скорость Л(^)
у{Н) =,(1 — ро/р1)Л=е-Л, (1.10)
где е=1— шЩ §§■ относительная объемная деформация
грунта. В рассматриваемой модели е='сопз1. Подставим
(1.10) в правую часть (1.7) и произведем интегрирование:
о3 — = е (Л3 — ао). (1.11)
Используя выражение для е, преобразуем это выражение
к виду
р1 (Л3 — а8) = р0 (Л3 — аЦ), (1.12)
имеющему наглядный физич!еский смысл: весь грунт с
плотностью ро, находившийся в сферическом кольце от
ао до Л, в рассматриваемый момент времени имеет (плот¬
ность р1 и находится в сферическом слое радиусом от
а до Л.
Таким образом, окончательно приходим к следующей
постановке задачи: в начальный момент времени 1=0
в полости радиусом а о возникает высокое давление ро,
превосходящее давление упаковки р*. Требуется опреде¬
лить движение полости и волны упаковки вплоть до их
остановки.
Приведенных выше соотношений (1.1) — (1.12) доста¬
точно для решения поставленной задачи. В данном случае
не требуется применения уравнений теории пластичности
типа (Т.3.28), связывающих скорости сдвига с касатель¬
ными напряжениями, Эти уравнения определяют расход
энергии на пластическое деформирование грунта и в ко¬
нечном ©чете на нагрев грунта [76].
Из условия пластичности (1.4) получаем
Ое—[1(1 — т)аг — &]/(1+2т), ог — ое =
== (Ътаг-\-к) / ({+2т), (1-13)
что позволяет исключить о* из уравнения (1.3). Затем
подставляем (1.6) в (1.3) и интегрируем но г от а до Л.
48
В зависимости от того, в каком виде берется }(1) из (1.7),
получается дифференциальное уравнение для а{1) или
7» (0. Из (1.11) следует, что а ж В связаны зависимостью
6= [,е+(1 ~ Е) (ао/й)з]7.=е-/а/[1 _ (1 _ е) (ао/а)з]%
(1.16)
Выполняя указанное вьппе интегрирование уравнения
(1.2), получаем после преобразования дифференциальное
уравнение, описывающее расширение полости:
а-а+А{а)-а2=В{а) [р(а)+С(а)], (1.17)
где
А (а) ~2+63 (ос — 1) (1 |1 е)/е(1 — б01-1)- 2 (а — 1)Х
Х(б4-« — 1)/(ос — 4) (б1' 1),
В(а) = (а — 1)/р! (б1-а 1), С(а) =к(8~а - 1)/3/га -
Уравнение для В получается из (1.17) заменой а на В
при помощи формул (1.14), (1.15):
В-В+[2+,е(А-2)/ч3]В2^В8[р(а)+С(а)]1е. (1.19)
Величина б, как видно из (1,16), зависит, вообще говоря,
от а или В. Однако для мягких грунтов в течение боль¬
шей части времени расширение (ао/7?)3<С1. Предположим
портому, что выполняется неравенство
а— [е+(1 — е) (а0/ВУ]ъВ=6В,
а—Вг/82,
(1.14)
(1.15)
где введено обозначение
р*б~“, а— $т/(1-\-2т).
(1.18)
(1-е)(а0/Д)3«е.
Тогда из (1.16) приближенно имеем
(1.20)
б=®1/'.
(1.21)
49
В этом случае .коэффициенты уравнений А, В, С суть
постоянные:
А =А'=2+ (а—1) (1-е)/[1-е<“-1)/3]-2Х
Х[е(4-а,/3—1] (а—1)/[еп~“)/3—1] (а-4), (1.22)
В—В'— (а—1) /р1 [е(1~“>/3—1],
С—С'=к (е-“/3-1) /Зтп-р *е-“/3.
Такой вид имеют коэффициенты при р*—0 в работе
А. С. Компанейца [67]. Уравнение для В, приведенное
там же, получается из (1.19):
В ■ Я+А'-В.2—В' [р (а) +С'] /е2/3. (1.23)
Несколько ранее была предложена модель камуфлетного
взрыва в грунте А. Ю. Ишлинским, Н. В. Зволинским,
И. 3. Степаненко [62]. Они предполагали, что за волной
упаковки грунт ведет себя как идеальная несжимаемая
жидкость. Из предыдущего рассмотрения уравнение, со¬
ответствующее этой модели, получается предельным пере¬
ходом:
&-»-0, т—>-0, а-»-0, к/Зпг—»-0. (1-24)
Коэффициенты А', В', С' при этом (приобретают следую¬
щий вид:
А'->А//=3/2+(1-Е)е1/3/2(1-е1/3), (1.25)
Я'^Я"=1/р,(1-е1/3), С'^-С"=-р*.
Уравнения (1.17) и (1.23) сохраняют свой вид с заменой
коэффициентов на их новые значения.
В схеме А. Ю. Ишлинского, Н. В. Зволинского,
И. 3. Степаненко учитываются только такие свойства
грунта, как упаковка, прочность и инерционность. При
этом прочность характеризуется величиной р*, которая не
является давлением перед фронтом ударной волны в обыч¬
ном смысле [44]. Подвидимому, это следует понимать так,
что перед фронтом упаковки в условиях, приближающих¬
ся к реальным, распространяется волна сжатия, в которой
давление повышается от величины, действующей на дан¬
ной глубине до значения р*. В работе [62], где рассматри-
50
кается цилиндрический случай, принимается, что для сов¬
падения расчетных и экспериментальных данных следует
положить при е—0,2 р*=1000 атм.
Формально при выполнении условия (1.20) уравнения
расширения полости в схеме А. С. Компанейца и в схеме
А. Ю. Ишлинского, Н. В. Зволинекого, И. 3. Степаненко
совпадают при надлежащем выборе параметров, описы¬
вающих свойства грунта.
Уравнение (1.17) при постоянных коэффициентах А'
или А", а также при использовании формулы (1.1) может
быть проинтегрировано в элементарных функциях:
а2 = В'С'[ 1 - (<а0/а)гА']/А' + 2р0В' [(а0/а)3у -
- (а0/а)2А']/(2А' - Зт) + е(р0 - Р*)(а0/а)2А'/р0, (1.26)
(а2) а=О0 = в (р0 — Р*)/Ро [из (1-8), (1.9)].
Максимальный радиус полости определяется условием
а=0 при а—ак. В работе [67] предполагается, что
2А' > 3-г, (1.27)
вследствие чего можно пренебречь всеми членами, содер¬
жащими (а0/а)2 • Нетрудно убедиться, что из (1.26)
при этом получается
ак—ав[—С'(2А' — 3^)/2 А'(р0 — р*) ]_1т. (1.28)
Подставляя сюда С' из (1.22) и полагая р*=0, получаем
формулу А. С. Компанейца:
ак—ао[6тАгра/(2А'—Зу) (е~а/3—1) |А:|]1/Зт. (1.29)
§ 2. РАСШИРЕНИЕ ВЗРЫВНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
В ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Возможно и еще одно упрощение задачи, приводящее
•к уравнению для расширения полости в идеальной не¬
сжимаемой среде. Положим е = 0. Тогда
А"=3/2, В" = 1/р, С"=-р*, (2.1)
51
(2.2)
а уравнение (1.17) превращается в уравнение
а-а+3а2/2==[р(а)—р*]/р,
описывающее пульсации газового пузыря при подводном
взрыве [74].
Имея в виду, что а=й(а)212с1а, нетрудно убедиться,
что это уравнение преобразуется к виду
с1{а?-а2)1<1а—2а2\р(а) —р,]/р. (2.3)
Физический смысл этого уравнения становится ясным
если подсчитать кинетическую энергию жидкости:
оо
]Ук = Г рп2 • 2лгЧг. (2.4)
а
Подставляя сюда у=а-а2/г2 из (1.6) и (1.7), получаем
после вычислений
1ИА=2яра3а2. (2.5)
Таким образом, левая часть (2.3) с точностью до множи¬
теля 2яр есть производная от кинетической энергии жид¬
кости.
Запишем интеграл уравнения (2.3) в виде
а а
( р (а) • 4яг2йг = ]Ук + Г р% • 4лг2йг. (2-6)
Й0 О®
Левая часть этого уравнения есть работа сил давления
газов-продуктов детонации, правая — сумма кинетической
энергии и работы против гидростатического давления. Та¬
ким образом, уравнение (2.6) выражает закон сохране¬
ния энергии.
В момент максимального расширения а=0, 1^=0. Из
(2.6) получаем
>о-1Ит=р47т-Ио), (2.7)
где ТИо — энергия продуктов детонации в начальный мо¬
мент времени; \Ут — энергия продуктов детонации в мо¬
мент максимального расширения; То — объем ВВ; Ут —
максимальный объем полости. Обычно рассматривается
случай, когда 7т»Ио, И/0>'И^т, что соответствует взры¬
вам на относительно небольшой глубине. В этом случае
Ут=\Уо1р*, ат={Ш01Ьпр*)из=ао[ро1р*{ч—1)]т. (2.8)
1'1 ели принять адиабатический закон расширения продук¬
тов детонации ВВ в виде (1.1), то из уравнения (2.6) или
(2.3) после несложных преобразований получается
6яра3а2 = 4яа„рД1 — (а0/а)3(т—4)] — 4яа3Р* [(а/а0)3 — 1] •
(2.9)
В теории подводного взрыва [74] обычно предполагается,
что на протяжении большей части движения справедливы
неравенства
ао/а<1, (оо/а)3(1'-1)<1. (2.10)
Тогда из (2.9) приближенно получаем
а=У2р*[(ат/а)3— 1]/Зр, (2.11)
отсюда имеем следующее выражение для времени расши¬
рения (первой пульсации)
ат
Т = уЗр/2р* | 1{ат/а)3 — 1 \~тйа. (2.12)
а„
После преобразований, полагая ао—0, получаем
Т =
Интеграл
2-1/2(4я)-1/33-1/6 [ Г'<\\
о
х р1/2^0-1/3р,-5/0.
X
(2.13)
1
Г с4* (1 - г)-{/2сИ * р (5/6,1/2)
о
представляет собой числовое значение бэта-функции
[159].
В окончательном виде результаты расчетов можно
представить в виде двух формул (юр. [123]):
«Шах 4 0,6Т = 0,9р (2.14)
В [123] отмечается, что значение постоянных коэф¬
фициентов в этих формулах лишь незначительно изменяет¬
ся при изменении мощности взрыва и свойств газа (т. е.
показателя адиабаты у) при гидростатических давлениях
порядка 1—100 атм. Энергия газов —-продуктов детонации
IVо составляет при первом цикле расширения пример¬
но половину полной энергии взрыва. Другая половина
связана с распространением по воде ударной волны. После
достижения пузырем максимальных размеров начинается
второй цикл движения — возвратное движение, охлопыва¬
ние. В той или иной степени это явление наблюдается и
при взрывах в грунтах и твердых средах [1, 150]. В воде
может наблюдаться две или три пульсации пузыря. Охло¬
пывание происходит довольно интенсивно, В момент мини¬
мума пузыря в силу неустойчивости границы полости
струй воды могут проникать в полость, движение жид¬
кости становится турбулентным, что приводит к большим
потерям энергии. Это и другие явления приводят к тому,
что энергия, соответствующая второму циклу расширения,
составляет лишь малую долю энергии первого цикла
[74, 123].
Исходное уравнение (2.2), описывающее расширение
полости в ,врде, было получено как частный случай урав¬
нения (1.17), соответствующего взрыву в мягком пласти- ■
песком грунте. Анализ подводного взрыва, приведенный
здесь с формальной точки зрения, может оказаться полез- ;
ным при описании подземного камуфлетнюго взрыва. При
этом в основном имеются в виду энергетические аспекты
исследования, связанные с предположениями (2.10) и
приближенными вычислениями, Конечно, уравнение
(1.17) не представляет трудностей для численного счета
(см., например, [76]). Не следует, однако, забывать, что
речь идет о модели явления. Поэтому почти все параметры
среды и В В имеют услов ный смысл и их фактическое оп¬
ределение иногда затруднительно.
54
§ 3. О ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
РЕАЛЬНЫХ ГРУНТОВ
Рассмотрим сначала пластические свойства грунтов.
И работе [150] условие пластичности принято1 в виде за¬
кона Кулона (1.3.10):
(Те — (Гг — 2с-СОЭ р — (Ог+Ов) 81П р.
Нетрудно убедиться, что это условие сводится к условию
пластичности Прандтля (1.4), если положить
/и=2(ат Р)/(3—ат (5), |/с| = 6с(соз Р)/(3—зт Р). (3.1)
В [150] мягкие грунты условно разбиты на четыре
группы: 8 — полностью насыщенная глина без трения,
Р — частично насыщенная глина или смешанный грунт,
% — сухой грунт без сцепления, М8 — глина со слабым
Т а б лиц а 1
Грунт
Плот¬
ность,
г/см8
с,
кгс/см2
Р, град
Ш
1*1,
кгс/см2
5
2
0,14
0
0
0,28
Р
2
0,105
10
0 123
0,22
Ъ
1,6
0
30
0,40
0
М8
2
0,14
1
0,012
0,28
трением. В табл. 1 приведены параметры с и р, взятые
для этих грунтов из [150], и \к\, т, рассчитанные по
(1.25). Экспериментальное исследование пластических
свойств различных грунтов в лабораторных и нолевых ус¬
ловиях проводилось группой авторов иод руководством
С. С. Григоряна [3, 42, 111, 134, 135, 116]. Условие пла¬
стичности записывалось в форме Мизеса — Шлейхера
(1.3.11):
]/6 Т=к'+т'р, (3.2)
где Т — интенсивность касательных напряжений (1.1.32);
р — среднее давление.
В случае сферической симметрии
Т= (а9—аг)/]/3, р—-~ (аг+2а0)/3.
55
Таблица 2
Грунт
Плотность, г/см3
Влажность, %
т
\к\у кг с/см*
Песок
1,5—1,52
' 15—17
0,45—0,46
0,35 ;
1,5—1,52
10—12
0,43—0,45
0,28
1,35—1,40
15—17
0,29—0,30
0
1,25—1,30
15—17
0,29—0,30
0
Лесс
1,34—1,38
18—20
0,425
О
00
о
Глина
2—2,15
19—24
0,23
1,41
Мерзлый су¬
глинок
3°С
1,87
22,5
0,53
1,02
Следовательно, в условии пластичности (1.4) следует при¬
нять
\к \ —к'1~У2, т—т'13~]/2. (3.3)
Значения | к | и т для различных грунтов, взятые из
диссертации С. С. Григоряна (номевые эксперименты)
приведены в табл, 2.
В этой таблице влажность грунта есть отношение мас¬
сы воды к массе минеральных частиц в исследуемом образ¬
це. Влажность грунта су¬
щественно влияет на его
пластические свойства, о
чем свидетельствует табл.
3, заимствованная из того
же источника. В ней при¬
ведены величины | к | и
т для лесса, полученные
в лабораторных усло¬
виях.
Сравнивая данные
табл. 1 и 3, можно заме¬
тить, что, несмотря на не¬
которые расхождения, они
неплохо согласуются друг 1Таблица 3
Плот¬
ность,
г/см3
Влаж¬
ность, %
т
Ж*
кг/см2
1,5—1,55
3,50
0,71
0,57
6,33
0,47
0,43
10,60
0,41
0,36
12,00
0,38
0,28
1,60—1,65
1,53
0,73
0,85
3,50
0,67
0,64
6,33
0,56
0,57
10,60
0,48
0,43
1
12,60
0,43
0,35
1 С. С. Григорян. Исследования по механике грунтов. Докт. дис.
М., НИИ механики МГУ, 1965.
56
с другом. Расхождения могут быть отнесены за счет
различной влажности, начальной плотности, различного
гранулометрического состава и т. п. Данные, приве¬
денные в табл. 2 и 3, получены в экспериментах в диа¬
пазоне давлений 1—50 атм. В литературе высказыва¬
лись предположения об ограниченности условия пластич¬
ности (3.2) при высоких давлениях (порядка 103 атм)
[43] и вырождении условия (3.2 )в условие пластичности
Мизеса (1.3.6): Г=сопз1 Это предположение основано на
том, что при величине среднего порядка прочности зерен
грунта [131] должно происходить их разрушение. Э. А. Ко¬
шелев провел эксперименты по статическому сжатию об¬
разцов грунта (песок, глина) до давления 1500 атм2. Бы¬
ло обнаружено, что, несмотря на раздавливание зерен
грунта (для песка), формула (3.2) сохраняется, т. е.
внутреннее трение в среде существенно и при давлениях
порядка тысяч атмосфер.
Рассмотрим сжимаемость грунтов. Прежде всего сле¬
дует отметить, что «упаковка», схематически изображен¬
ная на рис. 4, сильно утрирует реальное положение дела.
Для примера на рис. 5 изображены диаграммы всесто¬
роннего сжатия песка (рис. 5, а) и суглинка (рис. 5, б)
в статических условиях. Эти кривые свидетельствуют, во-
первых, о Существенной необратимости процесса сжатия
грунтов и, во-вторых, о зависимости диаграммы сжатия от
предыстории деформации. Кроме того, оказывается, что
все явления также существенно зависят от скорости де¬
формирования. На рис. 6 изображены кривые одноосного
(сжатия лесса ненарушенной структуры -с плотностью
1,44—1,47 г/см3, влажностью 3,4—3,6 % при различных
скоростях нагружения.
При сжатии грунта в ударной волне скорость деформа¬
ции очень велика (теоретически стремится к бесконеч¬
ности) . Эксперименты показывают, что при лабораторных
испытаниях диаграммы сжатия асимптотически прибли¬
жаются к одной кривой. Например, при взрывах в лессе
кривые давление—деформация были близки к кривой 1,
изображенной ва рис. 6. Все это показывает, что описа¬
ние сжимаемости грунтов но* схеме рис. 4 весьма условно,
2 Э. А. Кошелев. Исследование теплового н разрушающего дей¬
ствия подземного взрыва. Канд. дне. Новосибирск, Ин-т гидродина¬
мики СО АН СССР, 1974.
57
Пренебрегая начальной стадией расширения (аа==0),
подучаем после преобразований
{т= (а№-А'В'С') -$[1/2^+112, 1/2], (4.11)
оде р — бэта-функция [159].
Нетрудно убедиться в том, что при значениях пара¬
метров, определяемых (4.2), выражения (4,8) и (4.11)
совпадают с формулами для подводного взрыва.
В работе 9. А. Кошелева3 приведены результаты чис¬
ленного расчета па ЭВМ точного уравнения (1.17). Рас?
ширение продуктов детонации описывалось уравнением
(1.2), причем склейка адиабат у1=3 и уг= 1,25 проис¬
ходила при а1/йо=1,53. В нашем решении газы расширя¬
лись по одной адиабате, показатель которой можно вы¬
числить из энергетических соображений. В главе II для
случая (1.2) получено выражение для удельной энер¬
гии ВВ: 0,5 До/ро+3,5р1/р1. Приравнивая это выражение
величин ро/ро (у—1), получаем для у выражение
у = 1 + [0,5+3,5 (яо/аО ] -> = 2,32. (4.12)
В расчетах Э. А. Кошелева для суглинка принимает¬
ся ро=8-104 кг/см2, рц,—6 кг/см2, (Аг] = 1,4 кг/см2, ро=
— 2 г/см3. Параметры вито меняются. В табл. 4 пред- 1
Таблица 4
т
А'
В'
—С',
кг/см2
ак/а0
по(4.8)
а /а®
но (*)
Г
/Фт)
11
*тп/а®,
с/см
0,1
2,27
0,63
13
7,9
9,6
2,45
3,5-10—3
0,233
2,34
0,50
19
7,0
7,7
2,46
СО
1
О
ОО
0,5
2,54
0,39
30
5,8
6,2
2,50
1,3 10~3
0,7
2,30
0,34
38
4,9
5,6
2,57
1,0-10~3
ставлены результаты расчетов по приближенным форму¬
лам (1.22), (4.8) и (4.11) при е = 0,05. Для сравнения
в пятом столбце приведены результаты В. А. Кошелева.
3 Э. А. Кошелев. Исследование теплового и разрушающего дей¬
ствия подземного взрыва. Каид. дне, Новосибирск, Ин-т гидродина¬
мики СО АН СССР, 1974.
60
В воде при тех же условиях (ро—8-К)4 кг/см2, %=
=2,32, р*=6 кг/см2) получается щ/ао—21,6, а в схеме
Ншлинското — Зволинсжого — Степаненко (е—0,05),
пк/ао= 14,6. Таким образом, учет пластических свойств
грунта существенно влияет на конечные результаты. При¬
ближенная формула (4.8) дает значения ак/ао, отличаю¬
щиеся от точных расчетных на 6—18% (причем, как и
следовало ожидать, всюду в сторону уменьшения).
В работах [79, 32] приведены экспериментальные ре¬
зультаты по исследованию развития камуфлетной полости
в (Песчаном грунте при взрыве заряда весом 1 г. Соот¬
ветствующие кривые (1 и 2) (показаны на рис. 7. Для
песка ив табл. 2 можно взять: |7с|=0,4, яг—0,5. Прини¬
мая также следующие значения параметров: ро=
= 8-104 кг/см2, р0=1,6 г/см3, е —10^3, ао=0,62 см, по¬
лучаем из (4.8) и (4.11):
щ=4,1 см, 1т= 2 • 10~3 с. (4.13)
Как видно, совпадение расчетных и эксперименталь¬
ных данных по величине ак/ао довольно хорошее, а по вре¬
мени расширения — опытные результаты примерно на
порядок превышают расчетные. Причем это обстоятель¬
ство не есть следствие приближенности формулы (4.11) —-
численный расчет точного уравнения (1.17) (см. цитиро¬
ванную работу Э. А. Кошелева) дает такой же результат.
Как видно из рис. 7, конец расширения полости изобра¬
жается графически очень поло¬
гой кривой, так что точное оп¬
ределение величины 1т из экс¬
периментов довольно затрудни-
тельнд. Тем не менее качест¬
венно ясно, что рассматривае¬
мая модель камуфлетного взры¬
ва не описывает все явления,
сопровождающие камуфлет-
ный взрыв в грунте. В цитируе¬
мой работе Э. А. Кошелева де¬
лается попытка поправить дело
при помощи введения вязкости.
Расчет для песка при тех же
параметрах, что и выше, и при Рис_ 7, Развитие взрывной
значении коэффициента вязко- полости со временем.
61
сти /х=3 -105 пауз дает кривую расширения полости (3),
изображенную на рис. 7. Несмотря на удовлетворительное
описание эксперимента, вопрос о влиянии вязкости при
взрыве в грунте нельзя считать решенным, так как при
этом, очевидно, нарушается принцип геометрического по¬
добия (см. гл. II). Можно назвать несколько причин, ко¬
торые в принципе могут привести к увеличению времени
расширения без существенного изменения величины а^а^.
В § 3 отмечался формальный «модельный» характер
величины упаковки е. Можно рассматривать е как {пара¬
метр, характеризующий усредненную величину объемного
сжатия во всей возмущенной области. Тогда яри вычисле¬
ниях имеет смысл рассматривать и весьма малые значе¬
ния е, порядка 10~4-М0-6.
При таких (значениях § время расширения увеличи¬
вается, приближаясь к экспериментальным значениям.
§ 5. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим Камуфлетный взрыв очень длинного ци¬
линдрического заряда ВВ в грунте. Если пренебречь
влиянием концов заряда на общую картину движения, то
теоретически можно рассматривать заряд бесконечной
длины. Пусть ось заряда совпадает с осью г, Две Другие
координаты: г — расстояние от оси и 0 — угол поворота
относительно оси г. Если все величины, входящие в за¬
дачу, зависят только от г и не зависят от г и 0, то такой
случай называется цилиндрической симметрией (в отли¬
чие от осевой симметрии, когда величины зависят от г,
2 и зависят от 0).
■Задача о подземном камуфлетом взрыве в случае ци¬
линдрической симметрии решается аналогично, как в пре¬
дыдущем случае сферического взрыва. Имеются, однако,
два обстоятельства, отличающие эти два случая. Первое
относится к условию пластичности. В рассматриваемой
задаче — три главных напряжения щ, 0в, о2. В уравнение
движения
дV|д^-\-VдV|д^—да^|д^-\- (ог—а6) [г (5.1)
входят два из них: аг и вв. Если принять в качестве усло¬
вия пластичности закон Кулона (1.3.10), то вследствие
очевидного неравенства
ог<ог<о е (5.2)
62
■получаем
ог—ов=А:+7?г(ав+Ог).
(5.3)
Тогда из (5.1) и (5.3) можно исключить Се, и дальше все
идет аналогично сферическому (Случаю. Если же условие
пластичности принять в виде условия Миасса — Шлейхе-
ра (1.3.11)
(Ог—ов)21+(<1г—о*)2+(ае—0г)2=6[&'— жДог+Се+оД/З]2,
(5.4)
то, очевидно, требуется еще одно дополнительное условие,
связывающее компоненты тензора напряжений. Это усло¬
вие можно получить, если воспользоваться одним из основ¬
ных предположений теории пластического течения (см.
гл. I, § 3): девиатор напряжений и девиатор при¬
ращений пластической деформации имеют одни и те же
главные оси:
(<й4й)* = д!к ■ а*к.
Запишем это соотношение для оси г:
= йЯ. (ог — р), (о2 т агг). (5.5)
Имеем . _ ?'.?•
(«?*)* = 1- Пц . (5.6)
Для цилиндрической симметрии очевидно и**. Кроме то¬
го, предположим, что среда несжимаема: ий=0. Следова¬
тельно, ог—р=0. Подставляя сюда р= — (Ог+О0+ог)/3,
получаем.
ог= (ог+Ое)/2. (5.7)
Из (6.1) и (6.7)
Ог—Ое=У2/3 [к'-\-т'/2(аг-]-Ов) ]. (5-8);
Сравнивая это выражение с (5.3), приходим к выводу,
что и в случае цилиндрической симметрии условие ила-
63
стичности МиассаШлейхера формально эквивалентно
условию Кулона, если положить
к—~]/2/Зк', т=т' 1~1§. (5.9)
Некоторые трудности возникают при пересчете коэффи¬
циентов в условии пластичности для сферического и ци¬
линдрического случаев. Если принять, что в обоих слу¬
чаях справедливо условие Мизеса — Шлейхера с одинако¬
выми к', т', то, учитывая (1.4), получаем следующие
формулы перехода;
кц—1/4/3 кт, тц==у37Нсф. (5.10)
Если же считать, что 'Справедливо условие пластичности
Кулона с одинаковыми коэффициентами, то из (3.1)
и (5.3) получаем соотношения:
кц—2кСф/(2-\-тСф), тц—Зтсф/(2+тСф). (5.11)
Расчеты, однако, показывают, что в практически важных
случаях (тОф=0,1—0,4) формулы (5.10) и (5.11) дают
примерно одинаковые результаты. В дальнейшем будем
считать выполненными условие пластичности (5.3) и фор¬
мулы перехода (5.10).
Второе замечание связано с цилиндрическим взрывом
в несжимаемой среде. Для несжимаемой среды уравнение
неразрывности имеет вид
с?у/дг—у/г=0,
откуда
у=/(*)/г=а-а/г
(5.12)
(5.13)
(обозначения те же, что в предыдущих параграфах). Ки¬
нетическая энергия, приходящаяся на единицу длины за¬
ряда, выражается интегралом
оо
Р Г лг/ (1)2с1г/г* (5.14)
и, как видно, стремится к бесконечности.
64
Таким образом, расширение бесконечно длинной ци¬
линдрической полости в несжимаемой среде невозможно,
■и» как требует бесконечно больших затрат анергии.
Учитывая сделанные замечания, приступим к построе¬
нию решения. Исходная система уравнений состоит из
уравнения движения (5.1), уравнения неразрывности
(5.13), условия пластичности (5.3):
—Со) /г;
Ог—Ое = А-Ь^(Ог+Ов);
у=а-а/г
граничных условий на фронте волны упаковки
(5.15)
—Ог(В) — р*=р0р(В) ■ А;
(5.16)
на границе расширяющейся полости
р(а) —ро(а01а)2'!
(5.17)
или
р (а) = К («о/«)27\ «<«1,
а>а1.
Из уравнения неразрывности следует, что
(5.18)
а—8К, б=е1/2/[1 — (1 — е) (а0/а)2],/2. (5.19)
Повторяя процедуру, описанную в § 1 слой главы, по¬
лучаем дифференциальное уравнение расширения цилинд¬
рической полости со временем:
а-а-\-А(а) -а2=В(а) [р(й)+С(а)], (5.20)
А (а) = 1+«|(1—«) 62/е (1;-6“) +а(62-6“) /(2-а) (1-^“),
Д(«)= а/Р1(6-“- 1), С (а) ~к(8~а — 1)/2т -
а~2т/(1-\~т).
(5.21)
- Р *б_а,
65
3 В. М. Кузнецов
Вводя новую переменную х=а2, перепишем это уравне¬
ние в виде
айх!2йа-\-А(а)
• х=В(а) [р(а) -\-С(а)].
(5.22)
Уравнение, соответствующее схеме Ишлинекого ■
линокого —Степаненко, получается при прадельнс
** Зво-
)М цЦ
реходе:
т1-*- 0,
«->•0, к/т-+- 0.
(5.23)
При этом коэффициенты А (а), В {а), С (а) принимают
следующие значения:
А (а) (а) =1- (1-е) б2/е 1н б- (6*—1)721п б,
(5.24)
В(а)^В\{а) =— 1/р1 1пб, С(а)^-С1(а)=—р*.
Если подставить значение б из (5.13), уравнение
(5.23) нетрудно преобразовать к виду, приведенному в
работе [62]:
йхЦа — (21а) {[2 (р (а) — р*)/рх + р0 (а2 -ф а1)ж/^а2 —
— р0а§)] : 1п[(р! — р) а2/(р1а2 — р0а^)] — ж). (5.25)
Если, так же как и в случае сферического взрыва, пре¬
небречь начальной стадией развития полости, т. е. при¬
нять, что из (5.19) при (ао/а) -С 1 вытекает приближенно
б=е1/2, (5.26)
то коэффициенты А (а), В (а), С (а) становятся постоян¬
ными:
А-+А'— 1+а(1—е)/(1—е“/2) +
+а(е-ея/2)/(2-а) (1—е“/2);
(5.27)
В~*~В'=а/р1 (е-а/2~ 1), С-+С'=к(е~“/2-1)/2т-р*е-“/2.
66
Примем, кроме того, что расширение газов-продуктов дето-
нация происходит по одной адиабате (5.17) # показателем
адиабаты (4.12) ^=2,32. В этом случае уравнение (5.22)
имеет вид
1/2- ас1х[(1а-\-А'х=В'[ро{ао1а)2'‘-{-С'], (5.28)
и его решение при начальном условии (х)а==0о = г {р0 —
—р*)/р0> вытекающем из (5.16),
* =^В'р0 [(а0/а)2А’ - {а01а)2Ц (2у-2А')-'+ В'С' [1 -
—(а0/а)2^]/А' + е (р0 — р*)(а01а)2А'/р0. (5.29)
По аналогии со сферическим случаем предположим, что
2"/>2/4/, так что величиной (яо/а)2т можно пренебречь по
<■ равнению с (а0/а)2А , а величиной (о0/о) А по сравнению
о единицей. Тогда уравнение (5.29) упрощается:
«* = [Я'р0/2 <Д* - у) - е (р0 - р,)!р0] («о 1а)2А' + В'С'/А'.
(5.30)
Отсюда конечный радиус полости (а=0 при а=а„)
ак * а0{~А'(В'С')-ЧВ'Рв12 (у -А')-г (р0 - рф)/р 0]}Ь2А'.
(5.31)
При помощи решения (5.31) уравнение (5.30) записы¬
вается в виде
а2 = - В'С' [(ак/а0)2А' - 1 ]/А'. (5.32)
Время расширения полости определяется как
%
1п ш, (- А'1В'С')т | [К/а)2А' - 1 \~и2йа (5.33)
а0
или приближенно
67
У — А'В'С'
±2А’ 2
(1-0
<Й
(5.34)
а.
К К
( 1
, 1 \
1 '
'-А'В'С Р
*■ 2 /
2 .
2 У=
где р — бэта-функция.
Приведем пример распета па формулам (5 31) Г5 33^
—юрыв ■ ™в■в я
глиие .соответствуют значения /г=1,4 «гс/,см2 *Л
По формулам (перехода (5.10) или 11^ -п тттгт ’
ском случае имеем /5=1,6 кгс/см2 т- и к? ДР'1е'
= 0 03 о аг\л , 0,4. Возьмем е =
Тогда Н'-Т? ^ кгс/см2 /?^=1о Кгс/см2, р0 = 2 г/см3.
,Ш /г’ С =-34 К1'с/ом2, И форму¬
лы (5.31) и (5.34) приводят к следующим выражениям:
щ/«о= 12,3, 1т/а0—3,7 ■10_3 с/см. (5 35)
А. Л. Исаков4 решил точ
следующих значениях ларамет
•Г/СМ3, 7[ =
Ро=3-104 кгс/см2, р0—1 <11^ш >
(рис. 8). При этих значениях
чение показателя адиабаты в
Рис. 8. Зависимость конечного ра¬
диуса полости от величины упа¬
ковки (цифры обозначают время
расширения, с/м).
ное уравнение (5.20) при
ров: к= 1,4кгс/см2, т=0,3,
У! = 3, 72=1,25, в*/ао—1,4
параметров (среднее зна-
данном случае равно у—
— 1,71) расчеты по при¬
ближенным формулам
(5.31) и (5.34) дают при
Г10-4щЯ,=цд и«о=
0,3 с/м, что явно зани¬
жено по сравнению с точ¬
ными результатами. При¬
чина расхождения состоит
в том, что в данном при¬
мере 7=1,71, А'(=4,5, и
рассматриваемое прибли¬
жение является весьма
грубым. Поэтому формулы
(5.31) , (5.34) следует рас¬
сматривать как оценочные.
4 А- Л> Исаков. Исследование вопроса о трещинообразовании
горного дела^ С™ АН^СС]^* ^ ВйвЕ Ии-т
68
Как видно из рас. 8, результаты расчетов существен¬
ным образом зависят от величины упаковки е. Выше (см.
В' \ц § 3) уже отмечался условный, модельный характер
итой величины. Это, ко существу, некоторая интегральная
мфактеристика необратимой объемной деформации грун-
тн, описывающая упаковку, усредненную по1 некоторому,
может быть, довольно большому объему. Поэтому для сов¬
падения расчетных и экспериментальных данных можно
принимать и такие малые значения е,как 10“4 -Р 10-5. Тем
1И' менее существенная зависимость конечных результатов
от е является явным недостатком рассматриваемых моде¬
лей. Некоторого улучшения можно добиться, если рас¬
сматривать переменную упаковку [3]. Однако и этот
(прием не снимает полностью недостатков «жесткопласти-
ческих» моделей, не учитывающих излучения упругих
жыщ при подземном взрыве и ряда других эффектов.
§ 6. ВЗРЫВ
В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
Теоретический анализ излучения упругой волны при
подземном сферическом взрыве содержится в работах
|8, 43, 54, 131, 150]. Качественно развитие процесса вы¬
глядит следующим образом. В начальной стадии развития
полости, когда давление в ней достаточно велико, непо¬
средственна к полости примыкает зона пластического те¬
чения, ограниченная спереди ударной волной, распрост¬
раняющейся с большей скоростью, чем скорость звука
и среде. Скорость ударной волны с течением времени
убывает и, наконец, становится равной скорости звука.
15перед уходит акустическая волна, и, начиная с этого
момента, возникают две зоны течения: внутренняя — пла¬
стическая и внешняя — упругая. Эти области разделены
ударной волной. Постепенно ослабевая, ударная волна,
наконец, исчезает. В дальнейшем развитие пластической
зоны или прекращается вовсе («жесткая» разгрузка), или
происходит ее уменьшение (возвратное, движение, пуль¬
сация) . Упругая волна отрывается и уходит на бесконеч¬
ность. Схематически такая картина течения изображена
и плоскости г, I на рис. 9. Среди довольно1 большого коли¬
чества работ, посвященных исследованию упругопласти¬
ческих моделей взрыва в грунте, в настоящее время наи-
более обстоятельными, не¬
видимому, являются работы
С. С. Григоряна [41, 44],
В них в качестве модели
грунта принимается упруго¬
пластическая среда Прандт]
ля — Рейса с необратимым
законом объемного сжатия.
Математическая постановка
задачи приводит при этом в
системе уравнений довольно
сложного вида. С самого на¬
чала исследований камуфлет-
ного подземного взрыва по-]
явились работы, в который
делались попытки упростить!
решение задачи при помощи]
дополнительных приближен¬
ных представлений о характере решения. Одним из таких
предположений, существенно упрощающих решение за¬
дачи, является гипотеза о несжимаемости среды как в уп~]
ругой, так и в пластической зонах. Первыми работами в]
этом приближении были работа Е. И. Шемякина [155] 1
и так называемая теория Пенни-Тейлора, изложенная в!
монографии [150]. В последней также рассматривается !
случай, когда в упругой зоне пренебрегается инерционны-1
ми членами, но учитывается сжимаемость.
Рассмотрим здесь задачу о камуфлетном подземном ]
взрыве в несжимаемой упругопластической среде. Обо-1
значим через а(1) границу полости, В(1) —границу упру-!
гой и пластической зон. Предполагая, что среда всюду не-1
сжимаема,
р==Ро—1СОП81, (6.1)
и используя уравнение неразрывности (1.5), получаем]
для скорости, как и выше, выражение
р=а?а/г2=%(1;)/г2. (6.2)1
Уравнение движения имеет вид
дог/дг-\-2(ог — ае)/г—др/д1:-{-гду/дг. (6.3) I
Так как предположение (6.1) введено как для упругой, I
так и для пластической деформации, необходимо, во-пер- 1
Рис. 9. Зоны движения при
подземном взрыве в упруго-
плаетичееком грунте:
1 — полость; 2 — пластическая зо¬
на; з — зона восстановленного по¬
коя; 4 — упругая зона; 5 — невоз¬
мущенная зона.
70
пых, 'вследствие (1.2.4), чтобы коэффициент Пуассона
V -1/2, а, во-вторых, положить (1=0 в условия пластично¬
сти Кулона (3.1) или т — 0 .в условии Прандтля (1.4)
| I !>()]. Иными словами, в области а^г^!Д движение сре¬
ды происходит при соблюдения условия Треска:
Ое — ог — 2т„. (6.4)
И другой области напряжение и деформации связаны за¬
коном Гука, имеющим вид (при V==1/2):
Еди/дг=оТ — ое, (6.5)
Еи/г=1/2(ав — ог), (6.6)
причем скорость V связана со смещением и соотношением:
у=(ди!д1)[\ —ди!д1\~у. (6.7)
Па бесконечности давление пред полагается равным нулю:
Ог, По -э-0, г-
(6.8)
11а границе упругой и пластической зон, на «пластиче¬
ской волне», напряжение и скорости непрерывны:
о, (К — 0) =ог (Я+0), о(Д-0)=1;(Д+0). (6.9)
Па границе полости радиальное напряжение с обратным
имаком равно давлению в полости:
—аг(а)=р(а)=р<),(ао/а)3'1 (6.10)
или в виде (II.3.2).
Заметим, что, строго говоря, формулы (6.5), (6.6)
мротиворечат соотношению (6.7) и имеют место только
для случая малых деформаций, когда в (6.7) можно пре¬
небречь в знаменателе величиной ди/дг. Для более точной
наиисц Закона Гука нужно, как в [150], ввести в рассмот¬
рение истинную, или логарифмическую, деформацию.
Тогда соотношение (6.6) примет вид (ср. [150], с, 80):
Ое—0Г=—22Пн [1—и/г]. (6.11)
71
Будем, однако, в дальнейшем рассматривать, так же ка«
в [155], в упругой области малые деформации и, в наст
ноют, положим
г=ди/д1. (6.12
Если текущая координата есть г, то первоначальное поло!
жение точки при 1=0 было г — и, и, следовательно, ус!
ловив несжимаемости можно ташке записать в виде
г3— а3 = (г— и)3 — До. (6.1з||
откуда приближенно при и/г-С 1 получаем
и = (а3 — ао)/Зг2, (6-14'
где ао — начальный радиус полости.
Отсюда, дифференцируя по I, приходим к соотношении
(6.2).
В пластической зоне уравнение движения (6.3) пр®
помощи условия пластичности (6.4) может быть проии
тегрировано аналогично тому, как это делалось выпи
(см. § 5):
<тг=4т81пг—р^/г+рА,2/2г4+С(1а), (6.15)
В упругой зоне уравнение (6.3) можно проинтегрироватт
следующим образом (см. [155]). Введем среднее дав;
ление
р= —1/3(ог+2а0) (6.16)1
и воспользуемся соотношениями (6.5) и (6.6). Тогда ле¬
вая часть (6.3), как нетрудно убедиться, может быть за]
др
писапа в виде — -* и интеграл этого уравнения легко вы¬
числяется:
р=рЯ/г - рЯ2/2г4+С1 (*). (6.17)
Постоянная С\ вследствие условия (6.8) обращается я
нуль, а С{1) определяется из условия непрерывности ог на
границе упругой и пластической зон:
—р=а,-|-4/Зт.„ (6.18*
72
Далее, .приравнивая —ог из (6.15) давлению «а границе
н;||п,1В1гой полости (6.10), получаем уравнение
п н |-3/2а2= (ро/р) (а0М3т-4/3(т,/р) [1п(Л/а)8+1]. (6.19)
Интересно сравнить это выражение с уравнением (2.2),
описывающим расширение взрывной полости в идеальной
несжимаемой жидкости. Как видно, роль «противодавле¬
нии» в данном случае играет величина 4/Зт8[1п(Л/а)3+1].
Проделав преобразования, описанные в § 2, можно из
(6.19) получить закон сохранения энергии:
\УН = Г р{а) ■ 4ла?д.а — | 4/Зт8 [1п (Л/а)3 + 1] ■ 4я(гЛа,
в| о, о
(6.20)
пдс. И^=2я;ра2а3 —кинетическая энергия среды. В момент
остановки полости, очевидно, ^,,=0, и уравнение для
максимального радиуса полости ат имеет вид
ат
И70 - ф» =* | 4/Зт, [1п (Л/а)3 + 1] 4ла2йа, (6.21)
а
где ТКо — энергия продуктов взрыва в начальный момент
времени; И7™ — энергия продуктов взрыва в момент мак¬
симального расширения.
Определим теперь связь между радиусом «пластиче¬
ской волны» Л(*) и радиусом полости а(1). Из формул
((>.5) и (6.6) для сдвигов в упругой зоне имеем соотноше-
I пение
у = и/г — ди/дг=3/2(09 — ог)/Л. (6.22)
С другой стороны, нз (6.14) имеем
у = (а3—оо)/г3. (6.23)
11а упругопластической границе
Се — 0Г == 2т,5 при г—К. (6.24)
Из этих трех соотношений получаем
(о8 — Оо)/Л8 = Зт„/Л. (6.25)
73
или аз приближении «о'Сй
(Д/а)3=#/3 т,. (6.261
В этом ж© приближении можно1 пренебречь в (6.21) п<и
тенциальной энергией газов в стадии максимального рая
ширения (Ио^ТЕт) и единицей по сравнению с 1п(7?/а)*
в подынтегральном выражении. Окончательно получаем
простую формулу для определения максимального размш
ра полости в рассматриваемом случае
ат= [Ш0/16пг. 1и (Е/Зт»)]1/3. (6.27)1
Вычисления показывают, что расчеты, проведенные па
этой фромуле для мягких грунтов, рассмотренных в пре-]
дыдущих параграфах этой главы, дают значения отноч
шения ат/а®7 превышающие экспериментальные зна¬
чения. Например, для глины (грунт типа 8, табл. 1),
до данным работы [150], модуль Юнга Е=
= 1,05 • 103 кг/см2, т8=0,14 кг/см2. Полагая, что в качест-|
ве ВВ используется тротил с удельной энергией!
ю—1 ккал/г и плотностью р'= 1 г/см3, из формулы (6.27)1
имеем
ат/а0— [Зр'и?/4т8 1п (Е/Зхв) ]1/3 |
Подставляя сюда значения величин, получаем а^а^—14,6,1
что превышает экспериментальные данные.
Интересно сравнить формулу (6.27) с данными по иод-1
земным ядерньш взрывам, опу б дико в а иными в [131].
Если в (6.27) выразить энергию ВВ в килотоннах тро-|
тила, то»
ат—196[т81п (Е/3т.) ]“1/3(?1/3, (6.28)
где х3, кг/см2; ат, м, () — тротиловый эквивалент, кт.
По данным, приведенным в [131], для каменной соли ]
т8=260 кг/см2, Е—3,2-105 кг/см2 и из (6.28)
ат=18(1т, (6.29)
что неплохо согласуется с измеренными величинами мак- I
симального значения радиуса полости (для взрыва «Сал- 1
мон» при (7=5,3, ат=28 м по формуле получаем 31 м). |
74
§ 7. МОДЕЛИ КАМУФЛЕТНОГО ВЗРЫВА
С РАЗРУШЕНИЕМ СРЕДЫ
Любой реальный взрыв в твердой среде вызывает в
Ги и жней :зон.е те или иные структурные изменения ма¬
териала. В рассмотренных выше .моделях камуфлетного
н.11)|>г.в.а в какой-то мере это обстоятельство учитывалось,
тик как в них рассматривался переход материала в пла¬
стическое состояние, а также аедбратимое уплотнение
СП). Более существенные структурные изменения твердое
тело испытывает, 'когда в нем нарушается сплошность
иследетвне образования трещин, разрывов, последующего
излома и перелома элементов, отсеченных трещинами и
1>пзры<вами. Образование трещин особенно характерно для
порывов в хрупких горных породах. Однако и при взрыве
ш некоторых видах пластических грунтов также наблю¬
дается растрескивание грунта полости [36]. Как показа¬
ли. первые ок'шеришнталвньт и теоретические исследо¬
вания [1, 131], необходимо учитывать характер разруше¬
ния в расчРтВых схемах,, иначе (если, например, разру¬
шение рассматривать после расчета в рамках сплошной
среды) можно получить неверный результат. Разрушение,
очевидно, определяется напряженным состоянием среды.
I [оскольку в процессе расширения взрывной полости дав¬
ление в ней изменяется от очень больших величин, зна¬
чительно превосходящих любые прочностные характери¬
стики материала, до* почти первоначальных давлений в
среде, движение ее можно разделить на несколько этапов:
газодинамический, гидродинамический, пластический,
хрупкий и т. д. до упругости. На каждом этапе движение
среды описывается уравнениями динамики сплошной
среды в рамках известных моделей (см. гл. I). При этом,
как правило, предполагается, что разрушение носит мно¬
жественный характер (количество трещин очень велико),
так что в зо!не нарушения сплошности движение среды
описывают все-таки в рамках уравнений сплошной среды
с некоторыми дополнительными допущениями. Весьма
обстоятельный анализ различных этапов движения среды
при взрыве в рамках различных моделей дан в моногра¬
фии [131]. Остановимся только на квазистатической мо¬
дели В. Н. Родионова [130, 131], дающей наглядное пред¬
ставление о влиянии изменения свойств среды при разру-
75
Рис, 10. Зоны разрушения при взрыве:
в скальном грунте.
шении на напряженное состояний
вне зоны разрушения и на размеры]
взрывной полости.
В этой модели предполагается,]
что в твердой среде медленно рас-]
ширяется сферическая полость под действием газов —3
продуктов детонации. Расширение полости прекращается]
тогда, когда статическое напряженное состояние среды,!
обусловленное ее прочностными свойствами, может удер-]
жать давление продуктов взрыва. Если конечное давлё-1
ние рк известно, То конечный объем полости определится !
из соотношения
(7.1)1
или ,при помощи соотношений (1.2).
Для определения рк рассматривается следующая стати-1
ческая задача (рис. 10). В неразрушенной зоне I при!
Г^>Я] среда идеально упруга. Уравнение равновесия для 1
случая сферической симметрии (го1н==0), записанное
в смещениях, имеет вид (см. 1.2.14):
отсюда
цгай <Цуи=0,
(Ну и=г! (г2 и) /г2йг,
и— С1Г+С&-2,
(7.2)
(7.3)
(7.4)
гДб С\, Со — константы, подлежащие определению.
Если давление на бесконечности отсутствует, то и сме¬
щение равно нулю:
в(оо)=0, С 1=0. (7.5)
На внутренней границе при г=Д предполагается задан¬
ным азимутальное напряжение:
<т,.(Д,)=о,. (7.6)
76
Решение в упругой зоне имеет вид:
н=(1 +у)(о,Д’)К1(Я,/г)2, (7.7)
0,= [7?/(1 1 V) (1 — 2-у) ] [(1 — V) (ди/дг)-{-2т1г] =
■=-201 сад3,
сто = [/'"/(1 г' ) (1 2г) ] [(1 — Л') (и/г) \л’(ди1дг \ и/г)] ■—
=2о1(/г,/г)3.
Перемещение 77 х на границе упругой зоны г=7?х
н1=(1+г)(а1Й1/5). (7.8)
Азимутальное напряжение о0 — растягивающее и достига¬
ет $ш границе г=Т?1 майснмальной величины. Таким об¬
разом, 01 есть прочность материала на растяжение. Об¬
ласть разрушенного материала состоит из двух зон: зоны
И радиальных трещин и зоны Ш раздавленного матери¬
ала (зона дробления).
Поведение среды в зоне радиальных трещин описыва-
вается обычно в так называемом приближении. Полагает¬
ся, что овйг=!оч,=0, а радиальное напряжение связано е
деформацией законом Гука аг=Еди/дг. На границе г—Я2
задано напряжение а2-
Ог №) — —02, (7.9)
представляющее собой прочность материала на раздав¬
ливание.
Распределение напряжений и деформаций в этой об¬
ласти имеет вид:
0г=-а2(ВД2, ди1дг=-~(о2/Е) (Н2/г)2, В2<г<Пи (7.10)
На внешней границе зоны II три г=Н\ радиальное на¬
пряжение недрсрызшо*:
ап—я^Увд*. (7Л1)
Перемещение щ (внутренней границы зоны радиальных
трещин
н,
щ = щ 4- | (ди(вг) дг ^ (1 + г) ахКх/Е +
Ж*
+ (<ыЛ2/#)( 1 — В^ВХ) (7.12)
77
(7.13)
или, с учетом (7.12),
п2^(а2/Е)Е2[1 - (1 - V) 772/27?!].
Если Дг'С/?!, то приближенно
(7.14)
Для большинства горных огород прочность на сжатие
значительно выше прочности на растяжение (иногда на
несколько порядков) и рассматриваемое приближение вы¬
полняется с большой степенью точности.
В зоне II 1приа<г<7?2 раздробленная порода ведет се¬
бя подобно сыпучей среде. Напряжения связаны условием
пластичности Кулона, которое можно 'записать в виде
(см. (1.4))
ог — Ое—к-{-т(ог-{-2вв), 0. (7.15)
Уравнение равновесия
даТ/дг-{-2(Сг—ав)/г—0 (7.16)
может быть проинтегрировано с использованием (7.15)
и граничного условия сД-Кг) =—-о,-:
ог=—о2 (Кг/г) “—(к/Зт) [1— (К2/г) “],
а=6лг/1+2ти.
В работе [181] рассматривается частный случай к—О,
т—1/4, что соответствует решению:
аг=-а2№/п). (7.17)
Формулы (7.7), (7.10) и (7.17) имеют довольно ясный
физический смысл и показывают необходимость учета
разрушения среды в расчетных схемах. Неразрушенная
упругая среда «хорошо держит» оказываемое на нее дав¬
ление, радиальное напряжение в ней изменяется по за¬
кону:
аг~гЛ (7.18)
Разрушенная среда передает оказываемое на нее давле¬
ние на большие расстояния, причем чем сильнее разрушен
материал, тем он «хуже держит» давление. В зоне ра¬
диальных трещин напряжение ог изменяется по закону
а в зоне дробления
ог ~ г~2,
Ог/~Г~1.
(7.19)
(7.20)
Если давление во взрывной полости настолько велико1,
что в области, непосредственно примыкающей к полости,
можно пренебречь касательными напряжениями по срав¬
нению л нормальными, то можно ввести еще одну зону
IV, где поведение среды описывается уравнениями идеаль¬
ной несжимаемой жидкости. Тогда в этой зоне, в рассмат¬
риваемой квазистатической постановке, давление должно
быть постоянно:
а г=сопз1.
(7.21)
Короче говоря, введение в рассмотрение зон разрушения
должно приводить к увеличению конечных размеров
взрывной полости.
Для того чтобы определить смещение на границе по¬
лости г—а, требуется знать зависимость плотности от дав¬
ления в зоне дробления. Вместо этого в [131] использует¬
ся следующий прием. Представляется довольно очевидным,
что в результате дробления прочная горная порода долж¬
на быть разрыхлена. Очевидно также, что реализация
этого явления возможна только при наличии сдвиговых
деформаций. Многочисленные опыты показывают, что при
определенных условиях (уменьшение давления, 0)
скорость объемной деформации пропорциональна скорости
сдвига. В случае сферической симметрии это утвержде¬
ние математически записывается в виде
дV|д^-\-2V|^=А(дV|д^—V|^).
Разрыхление среды при сдвигах носит название дилатан-
сии. Величина Л носит название скорости дилатансиж и
в общем случае представляет собою функцию плотности и
давления. В [131] показано, что при движении раздроб¬
ленной среды в условиях спада давления можно принять
79
Л—сопзЬ. Тогда из (7.22) сразу получается кинематиче¬
ский интеграл движения (у/г) <'<1и/дг:
У=Л (*)/,•", 7г== (2—Л)/(1+Л). (7.22)
Случай несжимаемой среды, рассмотренный, в частности,
в предыдущем параграфе, соответствует значениям Л=0,
/г=2.
По экспериментальным данным при подземном каму-
флетном взрыве величина п меняется в диапазоне от 1,5
до 1,8. Если принять, что выражение (7.22) справедливо
в области дробления, то можно записать
V=V(Вг над». (7.23)
Перемещение на границе г—11-2 можно определить из
приближенного соотношения
I
иг = Г »(Д8) • Щ ■ ацп% (7.24)
6
Приравнивая это выражение величине и<2 из (7.14), по¬
лучаем
Г у (Д.) -Вп2. л = (в2/Е) Д|Ч (7-25)
о
Наконец, продифференцировав это выражение по при¬
ходим к выражению для массовой скорости на границе
г—В2:
»(Да) = (тг+1) (оа/Д) (т®*/ЛЬ (7.26)
Подставляя это выражение в (7.23) и учитывая, что
о(Л)~4а/Щ получаем уравнение, описывающее расши¬
рение газовой полости:
й«М= (77+1) (о8/Е) (Да/а) "(®2/Й), (7.27)
откуда
ап+1 = (77 + 1)(<уД) Д?+1 + сонз*. (7.28)
80
Попа дробления возникает вначале на границе полости
ч -ат. с. В.2—апри а=а*. Поэтому
Л2/а=[^/а2(п+1)]1/п+1[1-(1-а2/й)(а*/а)’‘+1]1/"+>.
(7.29)
При условии аа* это выражение принимает вид
Д2/а=[Е/о2(ге+1)],/п+1. (7.30)
Это соотношение, так же как и (6.20), показывает, что в
процессе расширения выполняется условие геометрическо¬
го подобия: отношение радиуса зоны дробления (радиуса
пластической волны) к радиусу полости равно константе
среды. Давление в полости (при а^а*) определяется из
(7.17) или (7.1). Следуя [131], воспользуемся выраже¬
нием (7.17), тогда
р*=а2[Е/а2(И-1)]1/п+1’. (7.31)
Конечный объем полости определяется из (7.1)
Ук/У0 = |р0 [(« + 1) <т2]1/п+1 о^Е~1,п+х] 1/т. (7.32)
Если ввести энергию ВВ соотношением Иго=р«Ео/'у — 1»
то этому выражению можно придать следующий вид:
Ун = {(? - 1) К7» К» + 1) (Т2],/п+1П-1 /ст251/п+1}1/7 •
(7.33)
Учитывая, что1 Уо=В7о/р/е, где е — удельная энергия ВВ,
приходим окончательно к формуле, аналогичной (6.27)
Ук= {(т - 1) [(га+1)а2] 1/п+7<Ыр'е)т-1Е1/"+1} -ТУ0. (7.34)
Положим, здесь п—2 (несжимаемость), 7~2, р'=1 г/см3,
е — 1 ккал/г (тротил). Тогда после вычислений из (7.34)
получаем
= 18 (<т1#)-18 <?1/3> (7.35)
где о2, Е — в кг/см2, () — энергия ВВ в килотоннах ТНТ,
ак— в метрах.
81
Для каменной соли 02=500 кгс/см2, 2?=3,2-105 кг/см2,
что явно занижено по сравнению с опытными данными,
а также с результатами, полученными :в рамках несжима¬
емой упругопластической модели (см. (6.28), (6.29)). За¬
метим, что, вводя в рассмотрение зоны радиальных тре¬
щин, мы ожидали увеличения размеров полости. (Усло¬
вия для напряжений на внешней границе зоны дробления
и пластической зоны примерно одинаковы.) В [131] ко¬
нечная стадия расширения рассматривается в существен¬
но динамической постановке: полость достигает сначала
максимального размера ат, затем сжимается до конечного
размера ак. Предлагается для оценки конечного давления
в полости использовать
Повторяя сделанные выше вычисления, в этом случае
придем к формуле
В [131] также отмечается, что оценка дробления по]
формуле (7.30) не дает удовлетворительного согласия
с экспериментальными данными.
Тем не менее модель квавдстатического расширения
взрывной полости в силу своей физической ясности и
простоты может быть использована для качественного!
анализа явлений, происходящих при камуфдетяом взрыве
в горных породах.
Дальнейшее развитие зонных моделей камуфлетногр
взрыва было получено в работах [10, 41, 152] на основа¬
нии точных постановок динамических задач. Следует,
однако, отметить, что иногда эти постановки весьма про¬
тиворечивы. Так, в работе [152] предполагается, что нор¬
мальные напряжения непрерывны на внешней границе
зоны радиальных трещин, а в работе [41], что эти нап¬
ряжения терпят разрыв. В настоящее время не сущест¬
вует общепринятой единой точки зрения на механизм
взрывного разрушения горных пород, даже если речь
идет о породах с одинаковыми физико-механически¬
ми свойствами. Если к тому же принять во внимание гро-
(7.36)
р^ш.0,.4 о2.
ак= 19 (?1/3.
(7.38)
82
медное разнообразие последних, станет очевидной вся
сложность данной проблемы.
Еще раз подчеркнем условность математических мо¬
делей. В действительности не существует четкой границы
■между вонами. В особой степени это относится к воне
радиальных трещин: все трещины имеют на практике
различную длину, причем отдельные «одиночные» трещи¬
ны могут во много раз превышать среднюю длину боль¬
шей части трещин. Таким образом, естественно возникает
вопрос о (количестве трещин. Для зоны дробления, или
«перемола» этот вопрос, очевидно, тоже имеет весьма важ¬
ное значение, так как от размеров «песчинок» зависит,
например, условие пластичности. Однако во всех имею¬
щихся моделях камуфлетного взрыва в разрушающихся
горных породах размеры частиц, образованных трещина¬
ми, не принимаются во внимание. Это, по-видимому, наи¬
более существенный дефект таких моделей.
Глава IV
МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. ОБОСНОВАНИЕ МОД ЕЛИ
В технических приложениях для определения полей
скоростей и напряжений, обусловленных взрывом, полу¬
чил широкое распространение приближенный метод, ос¬
нованный на гипотезах несжимаемости и идеальности
среды, который иногда для краткости называют также
«схемой несжимаемости» [53].
•Эксперименты показывают, что движение среды, со¬
путствующее взрыву, можно разделить на два этапа.
Первый, кратковременный, характеризуется расцростра-
яением волны Напряжения и сравнительно1 небольшим на¬
растанием смещений и скоростей частиц. На атом первом
этапе могут возникать отражения и появляться разруше¬
ния. На втором этапе движение частиц существенно раз¬
вивается. Это — баллистическая стадия взрыва; на этой
стадии происходит выброс при некамуфлетном взрыве или
метание отдельных блоков при направленном: взрыве.
В конце перв ого эта па вырабатывается нол е скоростей,
„начальное11 для баллистической стадии. Интуиция под¬
сказывает, что на первом этапе поля напряжений и ско¬
ростей определяются главным образом инерционным со¬
противлением среды, так что сжимаемость при этом игра¬
ет второстепенную роль* Так как давление в яачадьной.
етадии взрыва очень велико, то естественно' сделать и
второе предположение — считать прочностные эффекты
(т. е, касательные напряжения) также 1Второстепенными
и описывать состояние шаровым тензором давления. Та¬
ким образом, для описания начальной стадии действия
взрыва в сплошной среде следует предположить, что
а) среда несжимаема, б) среда идеальна (т. е. в ней нет
касательных напряжений), в) деформация и смещения
остаются малыми.
84
В рамках этой модели М. А. Лаврентьев [100] решил
задачу о формировании и действии струй камуфлетного
заряда. При этом рассматривалось установившееся тече¬
ние жидкости. О. Е. Власов [33] воспользовался моделью
идеальной несжимаемой жидкости для расчета размера
воронки при подземном взрыве на выброс. Здесь была при¬
менена импульсная постановка задачи и введена допол¬
нительная прочностная характеристика грунта — крити¬
ческая скорость. Идеи М. А. Лаврентьева в дальнейшем
были развиты в работах о форме воронки выброса [56—60,
85], о принципах абсолютно направленного взрыва [81—
84, 101], о разрушающем действии взрыва [35] и принци¬
пе равномерного дробления горных пород [93].
При этом обычно используется импульсная постановка
задач гидродинамики [78], суть которой состоит в следу¬
ющем (см. § 4 гл. I). Пусть имеется область С с грани¬
цей Г, заполненная идеальной несжимаемой жидкостью.
В точках границы задано давление р (А, I), А&Г, дейст¬
вующее в течение малого промежутка времени т. Требует¬
ся определить в области С поля давлений р(М, I) и ско¬
ростей Щ& {), М<=С. Для решения этой задачи предла¬
гается следующая процедура. Введем импульс давления
Т
Р(М)= \р(М, г) И. (1.1)
о
Тогда нетрудно показать [78] (ем. также § 4 гл. I), что
при условии кратковременности действия давления
у=(1/р) дгаЗР(М). (1.2)
Величина Р/р является, таким образом, потенциалом ско^-
роетей. Из условия несжимаемости (Му у = 0 получаем, что
импульс давления Р(М) удовлетворяет уравнению Лап¬
ласа. Таким образом, надо решить задачу Дирихле для
уравнения Лапласа при граничном условии (1.1). Давле¬
ние и скорости, рассчитанные по этой схеме, не щависят
от времени, что соответствует представлению о кратко¬
временности процесса установления полей давления и
скоростей на начальном этапе движения, возникающего
при взрыве.
С физической точки зрения создание начального ноля
скоростей есть результат распространения:, отражения и
8!
взаимодействия волн напряжения в среде, окружающей
ВВ. Поэтому для уточнения схемы идеальной несжимае¬
мой жидкости желательно установить ее связь с точ¬
ными решениями задач распространения волн в сжима¬
емой среде.
В акустическом приближении основной результат по¬
жучен Н. В. Зво линек им, который показал, что1 модель
идеальной несжимаемой жидкости «можно интерпретиро¬
вать как некоторую интегральную асимптотику при 4-*-оо
задачи о сжимаемой среде» [58].
Имеются две разновидности этой модели. В одной из
них (назовем ©е «жидкостной моделью») [33] грунт рас¬
сматривается как идеальная несжимаемая жидкость во
всей занимаемой им области. В другой, «твердо-жидкост¬
ной», модели грунт описывается уравнениями идеальной
несжимаемой жидкости, только в некоторой области вбли¬
зи заряда. Вне этой области грунт ведет себя как абсо¬
лютно жесткое тело, а граница, отделяющая жидкость,
является твердой стенкой, которая находится из условия,
что на Ией модуль скорости равен критической величине
[85]. Аналогичные задачи встречаются в теории струй¬
ных течений идеальной несжимаемой жидкости. Поэтому
«твердо-жидкостную» модель иногда называют струйной
постановкой задачи о взрыве.
В конце 40-х — начале 50-х годов на Украине под ру¬
ководством М. А. Лаврентьева впервые начали успешно
применяться для различного вида земляных работ заряды
В В, имевшие сильно удлиненную форму, названные шну¬
ровыми зарядами, или сокращенно' ШЗ. Большую часть
этих работ, а именно образование колодцев, устройство
осушительных каналов, проводил в то время Н. М. Сы¬
тый [142].
Если при помощи ВВ требуется построить в грунте
траншею с весьма большим отношением длины к ширине
или, например, создать ударную волну, имеющую на зна¬
чительном расстоянии цилиндрический фронт и большую
длительность, то часто поступают так: большое количест¬
во зарядов сосредоточенной формы соединяют детониру¬
ющим шнуром или в каждый заряд вставляют капсюль,
после чего взрывают.
Гораздо проще было предложение М. А. Лаврентьева
и Н. М. Сытого: проделать в грунте (если речь идет о
траншее) узенькую канавку, в которую непрерывным об¬
разом уложить заряд ВВ и произвести подрыв при помо¬
щи одного единственного детонатора.
В настоящее время шнуровые заряды получили чрез¬
вычайно широкое распространение: лД выпускает про¬
мышленность, их производят самостоятельно как в лабо¬
раторных, так и в полевых условиях.
С математической точки зрения расчет действия шну¬
ровых зарядов в «схеме несжимаемое™» представляет
собой более простую задачу, чем расчет сосредоточенных
зарядов. Если провести сечение, перпендикулярное оси
шнурового заряда, то частицы среды будут двигаться в
плоскости, лежащей в этом сечении.
Здесь идет речь о плоской задаче гидродинамики
(см. главу I, § 4), для решения которой имеется хорошо
разработанный аппарат теории функций комплексного
переменного, в частности теория конформных отображе¬
ний [100].
§ 2. ВЗРЫВ 11А ВЫБРОС
СФЕРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА КВ
Рассмотрим сначала расширение сферической полости
в неограниченной идеальной несжимаемой жидкости. По¬
пе скоростей в этом случае в силу условия несжимаемчВ-
сти имеет вид (ем. III. 1.6, III. 1.7)
Я9М Я*)=а2-а’
где а — радиус полости, а — скорость в» ее границе. Такое
же поле скоростей создает гидродинамический источник
[78] мощностью 4л/(7), помещенный в начале координат.
Потенциал скоростей
Ф——Щ)1г. (2.2)
С другой стороны, из соотношения (1.2) имеем на грани¬
це полости при г=а
Ф=-Р/р. (2.3)
Импульсное давление на границе полости выражается
через ее размеры и скорость расширения:
Р=р-а-а=р}(1)1а. (2.4)
87
Динамика расширения сферической взрывной полости в
идеальной несжимаемой жидкости рассматривалась в § 2
предыдущей главы. Кинетическая энергия жидкости
(см. Ш.2.5)
1Ук=2лра3-'а2. (2.5)
В отсутствие противодавления закон сохранения энергии
можно записать в виде
2яр а%2=ИДа0)-Щ«), (2.6)
где IV(а) —энергия продуктов детонации, «о—начальное
значение радиуса полости.
Очевидно* что в начальный момент времени при а=ао
скорость полости равна нулю: а—0 ж, следовательно,
Р'(оо) =0. Импульс давления на границе полости, вообще
говоря, создается за некоторый конечный, но неопределен¬
ный, интервал времени. Можно, однако, показать, что этот
интервал времени весьма мал. Действительно, если при¬
нять, что продукты детонации представляют собой иде¬
альный газ, расширяющийся Щ адиабате, то
Ш(а0)~ Ща) = (р0Кв- рУ)/(ч-1) = 1Уа[1-(а01а)3«-"\.
(2.7)
Так как в начальной стадии расширения, при большой
величине давления, показатель адиабаты близок к трем,
то энергия продуктов детонации быстро падает с возра¬
станием а. Так, при увеличении радиуса полости в два
раза, 88,4% всей энергии газов передается жидкости. По¬
этому приближенно можно считать, что на поверхности
сферы радиуса а о действует импульсное давление Р, соз¬
дающее потенциал (2.3). Соотношение между величиной
Р и энергией ВВ находится при этом следующим обра¬
зом. Из (2.4) и (2.5) получаем
1Ук=2лР2а/р. (2.8)
Будем считать, что кинетическая энергия жидкости со¬
ставляет ос-го часть всей энергии ВВ
№к=аШ0,
,(2.9)
88
отсюда
Р= (арТ^о/2я а)1/2.
(2.10)
Этот прием был предложен О. Е. Власовым [33].
Величина а представляет собой .своего рода КПД
взрыва. При подводном взрыве на большой глубине
а=0,5, вторая половина энергии связана с ударной вол¬
ной, ушедшей на бесконечность [74].
Таким образом, взрыв сферического заряда ВВ в «не¬
сжимаемой схеме» моделируется источником с потен¬
циалом:
Рассмотрим теперь задачу о взрыве на выброс. Пусть
сферический заряд ВВ находится на глубине к от свобод¬
ной поверхности. Заряд будем рассматривать как источ¬
ник. На свободной поверхности ср=0, так как давление
конечно (одна атмосфера), а время бесконечно мало.
В этом случае известно [78], что потенциал течения оп¬
ределяется комбинацией источника и стока, расположен¬
ных в точках, симметричных относительно свободной по¬
верхности. Пусть (0,0,— к) — точка, в которой располо¬
жен источник; тогда потенциал скоростей имеет вид
Ф=лг[ж2+*/2+ (г-рй)2]-172— т[х2-\-у2(г — й)2]~1/2. (2.12)
Для получения связи между т и энергией взрыва, вообще
говоря, следует вычислить значение кинетической энер¬
гии, определяемое этим потенциалом. Для этого1 восполь¬
зуемся формулой (1.4.20):
Интеграл (2.13) берется на поверхности $, заключающей
рассматриваемый объем жидкости. В данном случае она
состоит из свободной поверхности и поверхности, ограни¬
чивающей заряд ВВ. На свободной поверхности ф=0,
и интеграл обращается в нуль. Для вычисления интегра¬
ла (2.13) по поверхности заряда положили
Ф=7п/г, т——аР1р= — (аУУоа12пр)и2. (2.11)
(2.13)
г~^-к-}-р ■ сов 0, Ух2-|-г/2 = а-з1г10,
Тогда из (2.12) получаем
ср —(т/а) {1—[$т20~(2й—йсоз 0)2/а2]-1/2}. (2.14)
Предположим, что глубина заложения заряда во много
раз превосходит его радиус к/аУ$> 1. Тогда вторым членом
в этом (выражении можно пренебречь: сршт/а. Производя
вычисления, аналогичны© проведенным в случае взрыва
в неограниченной среде, снова приходим к форму¬
лам (2.11).
Определим скорости на свободной поверхности
^|*=о=5ф/Й2|г=0=-2тА/(Л2+А2)3/2, Н*=х2+у2. (2.15)
Радиус видимой воронки выброса /?о можно определить,
если предположить, что на краю воронки скорость дости¬
гает некоторой критической величины, характерной для
данного вида грунта [33]:
Тодда из выражений (2.11), (2.15) и (2.16) легко полу¬
чить
где п — показатель выброса.
Интересно отметить, что при фиксированном радиусе
заряда и изменяющейся энергии взрыва геометрически
подобные воронки выброса получаются, если энергия про¬
порциональна четвертой степени глубины (см. (4.11),
гл. II).
Для обычных взрывчатых веществ энергия взрыва за¬
висит от радиуса заряда. Если шо — удельная энергия,
приходящаяся на единицу массы данного типа ВВ, р" —
плотность заряжения, то
»(Яо) =
(2.16)
РЕ0=ярс2Л4(1+/г2) 3/2а а0,
(2.17)
\У0 = 4яаор,и>0/3.
(2.18)
В этом случае получаем
Ж0 = 1Г (4Г (Р'Р8^8 (! + и2)374- (2.19)
90
Сравним это выражение с формулой Борескова (II.5.8)
[9]
(/—д/г3 (0,4+0,6и3), (2.20)
где () — вес ВВ, кг; Ь, — глубина заложения, ж; ^ — коэф¬
фициент, зависящий от свойств ВВ и грунта. Коэффици¬
ент ^ есть приблизительно удельный расход ВВ (кг/м3)
при образовании воронки нормального выброса, т. е. при
п~ 1. В этих же обозначениях формулу (2.19) можно
переписать в виде
<2 = д.2-3/4.й3(1+га2)9М. (2.21)
При 1 формула (2.21) даст несколько завышенные по
сравнению с (2.20) значения веса ВВ (при п—2 в 1,4 ра¬
за, при п=3 в 2,2 раза).
§ 3. ЗАДАЧА О ВЗРЫВЕ НА ВЫБРОС ШЗ
КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ В ЖИДКОСТНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Пусть заряд радиуса ап расположен па расстоянии 1ь
от свободной поверхности (рис. 11). На поверхности за¬
ряда потенциал <р=
= —Р/р, на свободной
поверхности <р=0. Тре¬
буется найти потенци¬
ал течения и поле ско¬
ростей. Введем комп¬
лексный потенциал те¬
чения (см. гл. I, § 4):
ш(2)=ф(ж, у) +
+*ф(а:, У), 2—х+гу.
(3.1)
Отобразим конформ¬
но область течения в
плоскости г на круговое кольцо 1 ^ | © | в плоскости со
(рис. 11, б). Это отображение осуществляется следующи¬
ми формулами:
(о = 7? (2 + гЬ)/(г — 1Ъ), Ъ = (к2 — во)1/2! (3.2)
Н== (У/г+до+У/г—®о) / (У/г+во—УЛ—во) • (3.3)
Рис. 11. Области течения для задачи
о подземном взрыве в жидкостной
постановке.
91
Граничные условия для функций «^(м) —и;[г(со)]
имеют вид:
Кеи>1 = -Р/р, | со | — 1; Вею^О, |©|=Я. (3.4)
При этих условиях функция ю 1 однозначна:
и’1 (о>) ~ (Р/р) (1п 11)/1п В 1]. (3-5)
Поле скоростей в плоскости г
йш[йг— (б-шу/^а) (йш/йг) ш
— — [2Ы1(г2-\-Ъ2)] (Р/р 1пЯ). (3.6)
В частности, на свободной поверхности при у—-О
\йи;1<1г\=Ру=[2Ъ!{х24-Ъ2)]-[Р1р\пВ]. (3.7)
Ширина воронки выброса 21 в данной постановке опреде¬
ляется равенством скорости частиц грунта величине с*.
Обозначая через п==1]к показатель выброса, из (3.7) с
учетом (3.2) получаем
Р=1/2-рс А1пЯ - (1 — к~2+п2) (1 - к~2)~г'2, (3.8)
где через к=к/ао обозначена относительная глубина за¬
ложения заряда ВВ. Вычислим кинетическую энергию
жидкости (2.13).
В плоскости и потенциал ф=—Р/р на поверхности еди-
ничной окружности, на ней же дц)/дп=Р/р ]п В. Интеграл
по окружности радиуса В равен нулю. Поэтому
ГГ,,—лР2/р 1п В. (3.9)
Далее предполагаем, что кинетическая энергия жидкости
составляет а-ю часть энергии ВВ. Из (3.3) и (3.8)
Ш,= аИ7о=[(лрс21пЯ)/4]Ш -Р2+к2)2/(1 —'к~2)]-к2.
(3.10)
Обозначив через р' плотность ВВ, и?о — удельную энергию
ВВ, имеем
Ш0 = яао • р'ю0.
92
Подставляя это
выражение
в (3.10), получаем
тга зз п\ |/ 1 — к Щ
1к2У1пК-1+к~2,
(3.11)
где
п\ -=2\~
<хр'и>0 /У рс2.
(3.12)
Рассмотрим
Два предельных случая. Пусть к —
1 (но-
верхностный взрыв). Тогда, раскрывая неопределенность
в первом слагаемом правой части (3.11), имеем п—п\.
Таким образом, п\ — показатель выброса для заряда, за¬
глубленного на один радиус. В другом предельном случае,
когда 1»!* имеем из (3.3)
1пПж\п2к, (3.13)
а из (3.11)
п? = п\/к2 ]Лп 2Ь — 1. (3.14)
При пш0 отсюда образуется уравнение, определяющее
минимальную глубину заложения заряда ВВ, при которой
образуется камуфлет
кк ]/ 1п 2кк = щ. (3.15)
В том же продельном случае к^> 1 из (3.10) получает¬
ся выражение, в каком-то смысле аналогичное формуле
Борсскова для взрыва на выброс сосредоточенного заряда:
(^д&г(1+н2)Мп(2&/ао), (3.16)
где () — вес заряда ВВ на единицу длины; дг=яс^р/4а«70 —
коэффициент, зависящий от свойств грунта (р, с*) и ВВ
(шо, а). Формулы содержат два эмпирических параметра
а и с* , подбором которых можно добиться неплохого сов¬
падения экспериментальных и расчетных данных в опре¬
деленных диапазонах изменения величины к. На рис. 12
Рис. 12. Сравнение расчетных и'
экспериментальных данных при
взрыве на выброс шнурового
заряда.
(<Э//12)о=8,9 при По=3,84 — точки [991;
(0/Д2)о = 63,5 при «о = 3,68 — крести¬
ки [36]; эмпирическая кривая (штри¬
ховая) аналогично обработанная [8Ц.
Сплошная кривая соответствует тео¬
ретической формуле (346).
т'
1 $ 5 п
93
показана зависимость величины 01 показа-
теля выброса п, полученная при обработке эксперимен¬
тальных данных из работ [99, 36]. Величина (()/к2) о вы¬
биралась такой, чтобы уложить данные из разных серий
экспериментов на одну теоретическую кривую наилуч¬
шим образом:
= = + ”"=3'86'
Коэффициент д для каждой серии экспериментов опреде¬
ляется из равенства
(рг)о = й (1 + поУ ■ 1п (2к/а0).
Положив р= 1,9 г/см®, дао.==4,2> 1010 эрг/г, к~60 см, а,о—
==3,5 см, получим с, = 3,75 .м/с для серии из [99] и е# =
= 12,15 м/с для серии из [36].
§ 4. ЗАДАЧА О ВЗРЫВЕ
НА ВЫБРОС В ЖИДКОСТНО-ТВЕРДОЙ СХЕМЕ
При относительно больших глубинах заложения за¬
ряда его действие можно описать как действие гидроди¬
намического источника. В самом деле, при к~^> 1 из (3.2)
и (3.3) следует, что имеет место приближенное соотно¬
шение
и)(г) —,[Р/р \п(2к/ао) ]1п[ (г-\-Ы)/(г—Ы) ]. (4-1)
Это совпадает с потенциалом, создаваемым источником и
стоком, расположенными в точках %=±Ы, мощность ко¬
торых т—2лР/р1п(2к/а0). В данном параграфе будем
рассматривать заряд ВВ как источник. Сформулируем
постановку задачи. На расстоянии к от свободной поверх¬
ности расположен источник мощностью т (рис. 13, а).
Требуется найти комплексный потенциал течения и
неизвестную границу области по следующим граничным
условиям (в силу симметрии рассматриваем половину об¬
ласти) :
АО: Кеж=|ф=0, аг§(Й1г/йг) =—я/2,
ПС: 1щн’='ф=0, |$й/с/г| ==<?,,
94
А
ц=о
в
в■
1©/
Гп/
г
с
у>-С/
= с
О
йг I
В
Рп
,А
*
/ /V /У///
в Т
6
с в
'//77 ’ш
В Ф
Ь (иь)
А^ В
сНяф0 -1
1 -«>4
92
С
В
А а
+1
сь$д Дг
а
Рис. 13. Области течения и вспомогательные пло¬
скости комплексных переменных для задачи о плос¬
ком точечном взрыве в струйной постановке.
ВС: 1т и;=ф=0, аг§(йы;/йг) — я/2,
ВА: Iгп и>=Ф=т/2=ч|>о, аг§($&г/$2) =—я/2.
Эти условия означают следующее: отрезок АБ является
свободной поверхностью, и скорость на этом участке гра¬
ницы направлена вертикально вверх (комплексная ско¬
рость есть величина, сопряженная вектору скорости). Ли¬
ния БСВ является линией тока, на которой значение
функции тока ф принимается равным нулю. Причем ВС
есть линия тока в силу сделанных выше предположений;
кроме того, на этой линии модуль скорости имеет посто¬
янную величину, равную с..
Отрезки ВС и АВ являются линиями тока вследствие
симметрии задачи. Направления скоростей определяют
значение аргументов комплексной скорости, а значение
г|)=г|)о на АВ определяет расход жидкости. Поскольку
рассматривается половина течения, та это (значение долж¬
но составлять половину мощности источника.
|
Задача успешно решается методом конформных отоб¬
ражений, Вводятся безразмерные величины
3-г/к, ш—ш/%|1ц, с, —с.А./’фо (4.3);
я рассматриваются области течения в плоскостях: комли
лексного потенциала ц»==ф+й|) (рис. 13, 6) .и вспомога-|
тельной переменной 1п(с^.йз/йг^) (рис. 13, в). Задача
сводится к нахождению конформного отображения полу-
толосы в плоскости ^ на полуполосу в плоскости г» с со¬
ответствием точек, показанным на рис. 13. После того как
отображающая функция %=Р(ю) найдена, решается
обыкновенное дифференциальное уравнение
с,йз/г1ш==е^ (4.4)
с граничным условием
Кеш->-—оо при 1«*—1, (4.5)
что дает окончательное решение задачи.
Функция Р{ю), осуществляющая искомое конформное
отображение, строится следующим образом. Сначала ото¬
бразим область С2 на верхнюю полуплоскость (рис, 13, г):
и>2=—ей пт, .(4.6)
затем область Сз — на верхнюю полуплоскость (рис, 13, д):
§*«—(4.7)
Затем сдвигом и растяжением совмещаем соответствую¬
щие точки:
—гзй [2/(сЬ я фо—1) ] [1/2- (1-)-с1г я фо) —сЬ. я к»]. (4.8)
При этом должно также выполняться равенство
сЪ (ей яфо+3)/(сй яфо—1), (4.9)
где — действительная координата точки А в плоскости
& (рис. 13, в).
Из (4.8) после некоторых преобразований получаем
йш/йг— [ас*г'/(1—а) ] [ (сЪ пи>—1) 1/2+ (сЪ пЬо—1/й)1/12]2,
(4.10)
где
а ш 1 /V I ! я ь
На Линии АВ ф.== 1 и
(1и;/(1:— — [гас] (1— а) ] ] (I -)-со8 лер) 1/2+ (1/а+сЬ лф),/2]2.
Проинтегрировав по у в пределах от —1 до 0 и по ср от
— оо до 0, получим связь между параметрами -с* и а:
пс.~ [ (1+а)/(1—а) ] -1п[ (1+а)/2а] — 1. (4.11)
На линии АО ф=0 и, следо-вателыю,
йш/Аг= — [йс#/(1—а) ] • [ (1+сов яг])) 1/2-|- (1/а+сов яг|))1/2]2.
Интегрируя по г]) от 1 до 0, а л о х — от 0 до хо, находим
ширину воронагй выброса:
(2/лс) • {[ (аЬ Щштт — I) ] X
Хагс1§ |1/2- (ей жр0 — I) ]1/2 — [2/(сК л<ра- 1)р2}. (4.12)
Параметр фо связан с величиной с* формулой (4.11). Пе¬
реходя к размерным переменным, получаем
яс^/г])о=/1(ф0), л = Жв~№“%/2(фо)/иСф/г, (4.13)
где через /1 (фо) и /г(фо) обозначены правые части ра¬
венств (4.11) и (4,12) соответственно. Если полученную
систему равенств преобразовать
фо//,2 - я2с^//а (Фо)2, шЩь (ф0)//х (ф0)
и исключить параметр фд, то получим
ФаА2 = н2с* Р(п), (4.14)
4 В. М. Кузнецов
97
где Р{п)— некоторая функция. Вследствие (3.9) имеет
место приближенное соотношение
Шк=аШ0==пР21р\п(2Мао), 1В0=и>о-<?,
отсюда получаем
д=К-к2 Ы{2к1го)Р(г), К = лрс*/шн0.
График функции
№№2): {(21И3)о—Р(п)1Р(Пс) при п0=3,8б, й=1,5
практически не отличается от теоретической кривой (см.
рис. 12).
Для больших значений можно воспользоваться при¬
ближением с#=с%к1'фо-С'1, которое в данной модели мож¬
но назвать случаем «сильного взрыва». Разложение фор¬
мул (4.11) и (4.12) по малому параметру с* приводит
к простому выражению
Эта формула по структуре похожа на (3.16), но несколь¬
ко отличается коэффициентом. Однако результат физи¬
чески легко объясним. Дело в том, что в данном случае
вся энергия взрыва расходуется на выброс, тогда как
в жидкостной модели на выброс расходуется лишь часть
энергии, а остальная часть идет на сообщение кинетиче¬
ской энергии среде за пределами воронки выброса.
В заключение этого параграфа следует заметить, что
реальная форма воронки выброса отличается от «теоре¬
тической», так как в завершение баллистической стадии
взрыва происходит засыпание воронки выбрасываемым
грунтом, особенно с краев. Это приводит к тому, что ре¬
альная форма воронки близка к треугольной (в прост¬
ранственном случае — конической).
п—4/3- (2троЫс^кур.
Отсюда получаем при больших п
(4.15)
Р(п) я* и4/3,16.
(4.17)
98
§ 5. ВЗРЫВ НА ВЫБРОС
ПРИ НАЛИЧИИ ТВЕРДОГО ДНА
В твердо-жидкостной постановке картина течения по¬
казана на рис. 14. Задача решается, как и в предыдущем
параграфе, методом конформных отображений, в резуль¬
тате чего получается дифференциальное уравнение
у (й—сйяц?)(с — сЬяш) —
— ]Л(/— еЬ яц>)(1 — сЬ. ят) ], (5.1)
где /, й, с — параметры, связанные соотношениями:
/>й>с, /+1 = й+с (5.2)
и соответствующие значениям потенциала в точках Р, О,
С. Интегрирование этого уравнения проводилось числен¬
но, и на рис. 15 показана зависимость
(фо/яс*&)2=/(га, I), (5.3)
где через % обозначено отношение глубины заложения
заряда к глубине дна. Для каждого значения | существу¬
ет некоторое значение п=п', начиная с которого сказы¬
вается наличие твердого дна. При п<.п' зависимость
(5.2) совпадает с зави¬
симостью (4.9). При
^=0 (бесконечно глу¬
бокое дно) п=оо. Сле¬
довательно, кривая
/(н, 0) является графи-
Рис. 14. Взрыв над твердым Рас. 15. Зависимость функции /(п,
дном. от показателя выброса п.
4*
99
ком зависимости (4.9). При $ = 1, что соответствует зна-
чениям параметров
/=й=сх>, с=сЬясрс^1,
решение уравнения (5.1) дается формулами:
Нс^
Фо
1с%
Ф^
где К, Е-
с —1, что
— ]/—
я г с -
ИМУЩ)-
ЛУШ) 1
, (5.4)
Я V
т\ЛУшЛ
*• УЖ
(5.5)
-эллиптические интегралы X я II рода. При
соответствует «сильному взрыву», из (5.2) и
(5.3) получим
/(/•г, 1) ^елп“74л2. (5.6)
Заметим также, что наличие дна (см. графики) сущест¬
венно уменьшает показатель действия взрыва, особенно
при /г, близких к 1.
§ 6 ВЗРЫВ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО
ВЕРТИКАЛЬНОГО ПЛОСКОГО ЗАРЯДА
Вначале рассмотрим задачу в жидкостной постановке.
Пусть заряд расположен на отрезке х=0, —
(рис. 16). Введем безразмерные переменные:
х--х!к, у=у/к, ф=ф)р/Р, ф — $р/Р, с.—срк/Р (6.1)
и комплексный потенциал
Й2)=ф+1^, г=х+гу. (6.2)
Вследствие симметрии можно рассмотреть одну поло¬
вину области течения в плоскости %:х>0, у<С0. Для оп¬
ределения комплексного потенциала имеем следующие
граничные условия:
Ко и; = 0, у=0, #>0;
Ке ю = — 1, —1^у^0, ж=0;
(6.3)
А
(р »о с
1
(р~-1 /
В
/
о
Рис. 16. Взрыв на выброс
щелевого заряда в жидко¬
стной постановке: а — об¬
ласть течения в физиче¬
ской плоскости; б — в плос¬
кости комплексного потен¬
циала.
Область течения в плоскости ш есть полуполоса: г|>;>0,
— 1 <Сф<С0. Нетрудно убедиться, что конформное отобра¬
жение одной области на другую определяется уравнением
соз яш = 1+2/г2. (6.4)
Отсюда поле скоростей и, в частности, скорости на свобод¬
ной поверхности
(йш/Й2)у=0= —(4г/я#3) [(1+2/#2)2—1]""1/2. (6.5)
Пользуясь условием (2.16), получаем
4/лхо[(1 + 2Аго)2— 1]—1/2= с*. (6.6)
Переходя к размерным переменным, имеем
2Р/ярс#/г= (хо/Н) [1 + (#о/А)2]1/2‘. (6.7)
Рассмотрим ту же задачу в твердо-жидкостной постанов¬
ке. Области течения в плоскостях переменных 2, ш и ^
показаны на рис. 17. Безразмерные величины выбраны
в виде (6.1).
Выполняя конформное отображение области Сг-полу-
полосы на область Сз-пюлуполосу с бесконечным вырезом,
соблюдая соответствие точек, указанных на рис. 17, при¬
дем к уравнению
[(со-^1)1/2/(со—1)1/2 — 1/2] [((0-[-1) 1/2/(со—1>1/2— 1/д1/2]
[(о)+1)1/2/(со+п)1/2 + 1/2 /(а+1)1/2] [(со+1)1/2/(со—1)1/2+1/а1/2]’
(6.8)
где со = —зес яш, а=8еслфо*
101
в
///////Уу у у у у / /у У у
9
ф
у /у у у у у у у у у у
'г
г
/
■г у у ГГ7. .-ГГГД
у
,1
Т7777777777Т7Т77Т
С
в
Рис. 17. Взрыв на вы¬
брос щелевого заряда
в струйной постановке:
а — физическая плос¬
кость; б — плоскость
комплексного потенциа¬
ла; в — плоскость вспо¬
могательной перемен¬
ной.
Параметр а связан с безразмерной скоростью с# соотно¬
шением
1/2 -по —I — 1/2 [1п 2а1(а-\~1) ]/{[У2а/(а+1)— 1]}. (6.9)
Интегрируя уравнение (6.8), можно получить форму
профиля воронки. В частности, координата края воронки
имеет вид
ж0== (2/да;*) {(я — 1)1/2/(«+1)1/2 — агс1^ ['(я — 1 )]1/2/
/(«+1)1/2]}/{№/(а+1)1/2]-1}- (6.10)
В случае «сильного» взрыва:
,то=41/2/3/ (зге*)1/2 (6.11)
или в размерных величинах
ьто/А=4]/2Р/ЗУлсн./г. р. (6.12)
Сравнивая это выражение с (6.7), нетрудно видеть,
что и в этом случае, как и в предыдущем, размеры во¬
ронки несколько больше, чем в схеме «неограниченной»
жидкости.
102
В рассматриваемой
У
и
У
задаче имеется одно
А
-~Тх
~А
тривиальное решение —
это вихревая точка
д
В'
в начале координат
(рис. 18, а)
а
ь
И) — —с I Ш 2 Рис. 18. Частые случаи взрыва ще¬
левого заряда: а — критическая
1/2-яс—1. (6.13) длина; б — больше критической.
Это решение определяет критическую длину, при ко¬
торой заряд целиком работает «на выброс». Из второго
соотношения (6.13) при переходе к размерным величи¬
нам по (6.1) эта длина определяется как
ккр = 2Р/пс*р. (6.1-4)
Если длина заряда превышает эту величину, если
2, то «на выброс» работает только верхняя часть
заряда (рис. 18, б).
Это обстоятельство имеет также отношение к другой
практической проблеме —созданию в грунте вертикаль¬
ных цилиндрических полостей, или колодцев. Известно,
что колодцы образуются только в том случае, когда дли¬
на применяемого шнурового заряда к много больше его
диаметра й, примерно при условии /г/й> 200 [142]. Если
длина заряда недостаточно велика, колодец оказывается
заваленным грунтом, обрушившимся из его устьевой ча¬
сти, или выемка вообще имеет коническую форму ворон¬
ки выброса.
Таким образом, создание с помощью взрыва верти¬
кальных цилиндрических выемок с отношением длины к
диаметру порядка единицы представляет довольно слож¬
ную технологическую задачу.
Представляет интерес в плоской задаче оценить кри¬
тическое отношение длины заряда к его ширине, так как,
несмотря на возможные количественные расхождения,
плоское и осесимметричное течения имеют, очевидно, об¬
щие качественные черты.
103
Если ширина полости увеличилась в три раза, то почти
90% всей энергии продуктов.взрыва уже передано грунту
(см. § 2 этой главы). Для оценки величины Р положим
а/а0 = 3, е = 0,1. Тогда из (7.9) и (7.11)
(7.12)
Из этой формулы и из (6.14) получается критическое
отношение длины заряда к его ширине:
^1ф/«о=8Ур1р0/Зяр1С+. (7.13)
При р = 2 г/см3, /?о = 5-104 кг/см2 и с*=10 м/с эта вели¬
чина равна 140, что неплохо согласуется с эксперимен¬
тальной величиной, приведенной выше.
Для случая цилиндрического заряда ВВ Е. Н. Шер
получил выражение, е точностью до числового коэффици¬
ента совпадающее с (7.12), если в последнем под ао по¬
нимать радиус заряда. Расчет размеров воронки выброса
по этой схеме дал результаты, совпадающие с результа¬
тами, приведенными в' § 2 и 3 этой главы.
§ 8. ВЗРЫВ ПЛОСКОГО НАКЛАДНОГО ЗАРЯДА
Сначала рассмотрим задачу в жидкостной схеме. Об¬
ласть течения в плоскостях % Ж Ш ш безразмерных пере¬
менных (6.1) показана на рис. 19. Функция 2^(2), осу-
У
V- О
1
И
(р=. О
Пт- Т
/
щ ■
/
/
А,
-1VI
/ Ш щ
/
/
В
$=0
/
/
У
1
-1
11
I
1
I
/■
1а
I
а б
Рас. 19. Взрыв плоского накладного заряда в жид¬
костной постановке: а — физическая плоскость; 0
плоскость комплексного потенциала,
щес^вляюгцая конформной •отображение ооластеи на
рис. 19, удовлетворяет соотношению ■
соз пгд— (г2+1 )1{г2 — 1)^ (8*1)
Отсюда
блд/йх— —2ъ!л (г2 — 1). (^-2)
Координата края воронки определяется аналогично пре¬
дыдущему из условия V§§1 0) =с*:
.х’о — 1 — 2/яс„. (8*3)
Переходя к размерным переменным, получаем
2Р/лрс*/= (х0 II)2 — 1. (8.4)
Рассмотрим ту же задачу в твердо-жидкостной схеме.
Математическая постановка задачи выглядит так, как
изображено на рис. 20. Требуется найти комплексный по¬
тенциал течения ю(т.) в области С, ограниченной отрез¬
ком действительной оси (—хо, +#о) и неизвестной гра¬
ницей Г (ВС) при следующих граничных условиях:
К ею
( - /’ р, М</, !/- 0
10, г < | а: | < а:0> у == О
1т 1/^ = ар=0 на АВ-\-Т.
(8.5)
— с* на Г.
Требуется также определить кривую В, в частности поло¬
жение точек В и С. Так же, как в § 4—6, задача решает-
Рис. 20. Взрыв плоского накладного заряда в струйной по¬
становке: а — физическая плоскость; б — плоскость комплек¬
сного потенциала; в — плоскость вспомогательной перемен¬
ной.
107
Ся методом конформных отображений* аналогичным ис¬
пользуемым в классической гидродинамике при решений
струйных задач.
Сначала изобразим область О в плоскости комплексно¬
го потенциала ш (рис. 20, б). Затем введем вспомогатель¬
ную переменную
1=1-\-щ=1п[с^с1г/Ли;]. (8.6)
Для этой переменной имеют место следующие условия на
границе:
|1/2я, у = 0, 1<\х\<х0 (8_7)
1— 1/2я, р = 0*|ж|<;^а:() = 0, —
|=0 на Г,
Вследствие этого область течения в плоскости Е; представ¬
ляется также полуполосой, но с другим соответствием то¬
чек (рис. 20, в).
Таким образом, задача сводится к отображению обла¬
сти О2 на область 0\. Пусть такое отображение известно:
&=*»•
Тогда вследствие (8.6) получаем дифференциальное урав¬
нение
йш/Й2=се_,'(ш>
для окончательного решения поставленной задачи.
В [61] предлагается другой способ решения этой за¬
дачи. Область С\ отображается на полуплоскость, на ко¬
торой ставится смешанная задача для функции $(и>),
решаемая формулой Келдыша — Седова. В результате по¬
лучается уравнение (в безразмерных переменных '(6.1))
Йш/Й2 =—су [(сов яш— 1)1/2+(сов яш+1/а)1/2]/
/[(сов яш—1)1/2—(сов яш+1/а)1/2], (8.8)
а——вес ЯфС
Интегрируя это выражение, получаем решение, задачи
в виде
2= — [2а* вт яш/яс*(а-(-1) ] ~Н(а—1) ш/с. (а+1) +
+ [2а(сов яш-|-1) 1/2/яс*(а-|-1) ] • (сов яш-(-1 /а)1/2—
108
--2[(а—1)/яс*(а+1)] 1п.[(соз ша-И/а) 1/2+
+ (сов ягя+1)1/2] -\-К. (8-9)
Постоянную интегрирования К находим из условия на
краю заряда
го -у- оо при 2—>-1, (8.10)
отсюда
/С==1-|-(в—1)1п 2/ясл,(а+1) — 1/яс*. (8.11)
Параметр а——8ес зхср' определяется из условия
и? — 1 при 2=0, (8.12)
которое при подстановке в (8.9) с учетом (8.10) Дает
связь между а и с.,.
лсф=1 + [ (а—1)/ (я.-|-1) ]1п [ (я—1)/2а]. (8.13)
Здесь гр' обозначает потенциал в точке В. Рассмотрим три
случая.
Первый случай: яс*<1. Для определения профи¬
ля воронки следует в (8.9) положить я|>=0. Затем, выде¬
ляя в полученном выражении слева и справа действи¬
тельную и мнимую части, приходим к параметрическому
представлению кривой:
.г=2а (сов жр+1) 1/2/яс*(а-|-1) — (соз Яф+1/а)1/2—
—[2(а — 1)/яс*(а+1)] 1п [ (соз яф+1) 1/2/У2 —
- (сов гар+1/а) 1/2Д2] +1-1/ящ (8.14)
у=—2 [а/яс* (а+1) ] вт яф+ (а— 1) ф/с * (а+1).
Здесь ф является параметром, изменяющимся от 0 до
ф'=агс соз(—1/а). На рис. 21 изображен профиль ворон¬
ки значений яс*=0,3.
Рассмотрим случай «сильного» взрыва, когда безраз¬
мерная критическая скорость с^<С1. Положим а=1 — е,
е<С'1. Тогда из (8.13) следует с точностью до членов вто¬
109
рого порядка малости, что
яс*=е/4. Так как ф'=
=агссоз(а-1) при а— 1—е,
8<С 1 есть также малая величи¬
на порядка У8, то в выражени¬
ях (8.14) можно считать ф ма¬
лой величиной* найболынее
значение которой порядка Уе.
Учитывая вСе это й разлагая по
степеням е и ф, получаем с
точностью до членов высшего порядка
х= (2е — я2ф2)3/2/2яс*е, у*= — 4ф/е. (8.15)
При я2ф2/е«С1, т. е. вблизи края воронки, эти выражения
еще более упрощаются
х= (4У2/Уе) (1—Зл2ф2/4е), у — —4ф/е.
Отсюда, исключая ф, получаем
х=4уГ(1-3/64ер2)/у! (8.16)
Следовательно, при малых значениях критической
скорости форма воронки близка к параболе.
При у — 0 из этой формулы координата края воронки
хо=4у2/Уе
или, возвращаясь к размерным переменным по (6.1)
и обозначая через Ь половину ширины воронки выброса,
Ь=2^2РЩпрс^. (8.17)
Интересно сравнить это выражение с аналогичным вы¬
ражением, получающимся в том случае, если всю среду
считать идеальной несжимаемой жидкостью. Из (8.4) при
хо/1^>1 получаем
Ь^Ш/УщГсг (8.18)
Из сравнения (8.17) и (8.18) видно, что во втором
случае радиус воронки получается вдвое меньшим, чем в
У
-3 -2 -1
1 2 3 ас
\
Ш
V
N
Г
у
г
Рис. 21. Расчет траншеи
выброса при взрыве плос¬
кого Накладного зарйда.
110
первом. Это объясняется тем, что в первом случае вся
анергия взрыва расходуется на выброс, тогда как во вто¬
ром на выброс расходуется лишь часть энергии, а осталь¬
ная часть идет на сообщение кинетической энергии среде
за пределами воронки выброса.
Второй случай: пс#— 1. Имеем а— 1. Подставляя
значение а=1 в (8.9) и (8.11), получаем
г — — (&/яс*) 5ш пю-\- (г/яс*) соз пгд+1 = 1 + (1/яс*)е-(лм
отсюда
й={Цл) ]п(7—1), (8.19)
т. е. течение представляет собой вихрь с центром в точке
г=1 и радиусом | г — 11 = 1, яс*=1. Форма воронки для
данного случая изображена на рис. 22.
Рис. 22. Предельный случай
взрыва на выброс плоского
накладного заряда.
-1
У
+1
О
О *
Рис. 23. Неполный выброс при
взрыве плоского накладного за¬
ряда.
Третий случай: ясйс>1.В этом случае форма во¬
ронки имеет вид, изображенный на рис. 23. Некоторая
область среды оказывается невозмущенной, Воронки об¬
разуются на краях заряда и представляют собой окруж¬
ности
|г — 1|=1/яс*(<1). (8.20)
Отсюда вытекает важный для практических приложений
вывод: для получения максимального выброса грунта при
поверхностном взрыве не следует применять очень широ¬
кие заряды. Ширина заряда не должна превышать вели¬
чину 2/яс*. В размерных величинах критическая ширина
заряда 21Щ] определяется равенством
2гкр=2Р/ярс*. (8.21)
111
Легко понять физический смысл этого условия. Допус¬
тим, что заряд покрывает все полупространство. Тогда
в Схеме Идеальной несжимаемой жидкости никакого выб¬
роса не произойдет, так как выброс обусловлен существо¬
ванием свободной поверхности. Если заряд имеет конеч¬
ные, по очень большие размеры, то выброс произойдет
только на краях заряда.. Средняя часть заряда сработает
впустую. Максимальный кпд взрыва, выброса обеспечи¬
вается при выполнении равенства (8.21)
Если накладной заряд работает о забойкой достаточ¬
ной толщины, то величина импульсного давления может
быть оценена но формуле (7.12). Если забойка отсутству¬
ет, то Для оценки можно принять следующие соображе¬
ния. Пусть детонация ВВ происходит мгновенно. Тогда
в Одре ВВ устанавливается давление рп~Рг>/2 (рп — дав¬
ление на фронте детонационной волны, см. гл. II). Это
давление действует, пока со стороны свободной поверх¬
ности слоя ВВ не придет волна разгрузки. Таким обра¬
зом, получаем
Р~Роаф, (8.22)
где Оо — толщина слоя ВВ, Г) —скорость детонаций.
В Этом случае, так же как и при наличии забойки,
импульсное давление пропорционально толщине слоя ВВ.
В рассмотренном случае «сильного» взрыва в форму¬
лы (8.17) л (8.18) входит произведение Р1. Если размеры
воронки во много раз превосходят размеры заряда (что
встречается на практике довольно часто), то размерами
заряда с самого начала можно пренебречь. Для этого
нужно сделать предельный переход:
Р —> оо, г—^ 0, Р/-з-М=сопз1. (8.23)
Тогда возникающее при взрыве течение описывается по¬
тенциалом: диполя [78]:
и'(г) ==—ДП/г, Йи?/Й2=—Мг/г2. (8,24)
Размер воронки в жидкостной модели определяется ра¬
венством
(&ш1 с^г) х=*ъ — ,
112
откуда
^ = У2М/Ус*. (8.25)
Сравнивая это выражение с (8.18), приходим к 'следую¬
щему выражению для момента диполя:
М=РЦпр, (8.26)
Так как в описанных случаях импульсное давление про¬
порционально толхцине слоя ВВ, то М, следовательно,
пропорционально объему (весу) ВВ или его энергии.
§ 9. ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ
Вопрос о взаимодействии двух или более зарядов ВВ
при их взрыве в грунте имеет важное практическое зна¬
чение. Во взрывном деле системы зарядов встречаются
чаще, чем одиночные заряды. Имеются сведения, что при
камуфлетиом подземном взрыве двух сферических заря¬
дов на близком расстоянии друг от друга объем полости
больше, чем сумма объемов полостей, образующихся при
взрывании каждого из зарядов (А. Н. Козаков, частное
сообщение). При взрыве на выброс этот эффект может
быть нейтрализован гидродинамическим взаимодействием
зарядов, которое, как показывают расчеты, приводит к
уменьшению площади (объема) воронки выброса [94].
В целях упрощения выкладок рассмотрим случай взаимо¬
действия бесконечной цепочки плоских зарядов, располо¬
женных на поверхности грунта.
Пусть область С представляет собой нижнюю полу¬
плоскость. Пусть далее на поверхности у=0 расположен
бесконечный ряд плоских зарядов длиной 21 на расстоя¬
нии 2т друг от друга. Действие каждого заряда в силу
сказанного выше определяется импульсным давлением Р,
так что на каждом из отрезков задало значение действи¬
тельного потенциала
ф==—|ф0=— Р/р.
В силу симметрии ограничимся рассмотрением области,
образованной двумя вертикальными прямыми, проходя¬
113
щими через середину одного из зарядов и через середину
расстояния между ними. Введем безразмерные перемен¬
ные:
г=ъс*/уо
(в дальнейшем черточки опускаются). Область течения
в физической плоскости показана на рис. 24, а. На отрез¬
ке СО (свободная граница) ср = 0. Неизвестная граница
АВ является участком линии тока, на которой примем
значение функции тока тр = 0. Кро1ме того, на границе АВ
модуль скорости постоянен и равен единице. По этим
данным следует найти аналитическую функцию ю{ъ) —
=:1ф+^'ф, комплексный потенциал течения, а также опре¬
делить линию АВ. В плоскости комплексного потенциала
область течения представляется полуполосой (рис. 24, б).
Введем в рассмотрение функцию % — \п(йъ1Лш). В плос¬
кости ^ область течения также представляется полуполо¬
сой (рис. 24, в). Задача сводится к конформно му отобра¬
жению полулолос, изображенных на рис. 24, б, в с ука¬
занным соответствием точек. Это отображение (оно легко
получается при помощи промежуточного отображения на
полуплоскость) имеет вид
соз лю= (а—р—-21 зЬ. Е;)/(а+РЬ (9.1)
где а, р — параметры задачи, имеющие следующий физи¬
ческий смысл:
а —1/2{и-\~и~{), (5=1/2(у+*> *),
Рис. 24. Взаимодействие системы плоских накладных за¬
рядов: а — физическая плоскость; б — плоскость комплек¬
сного потенциала; в — вспомогательная плоскость.
114
и — скорость в точке Е и V — скорость в точке С. Йз (9.1)
получим обыкновенное дифференциальное уравнение, ин¬
тегрирование которого дает искомое решение.
2(оН~Р) -йг1йш=г[соз пи?—(а—Р)/(ой+р)] +
-|-[ (а+сов пи?) (Ъ—соз пи?) ]% (9.2)
а= (2-&+р)/(а+РЬ Ь= (2+а-р)/(а+Р).
Интегралы по отрезкам ЕЕ и ЕС дадут связь парамет¬
ров а, р с исходными данными /, Ш, а вдоль кривой АВ —
границу воронки. На рис. 24 показана форма воронки
выброса при /==0,1, т=0,095.
При р = 1 (г7=1, точки В и С совладают) заряды не
взаимодействуют и найденное решение совпадает с по¬
лученным выше.
При а=1 (и— 1) совладают точки Е и Л, и на выброс
будет работать только некоторая, зависящая от величины
параметра с*, часть заряда. Интересно отметить, что если
теперь обратить течение (т. е. считать, что зарядом яв¬
ляется отрезок ЕС, а АБ — свободная поверхность), то
наше решение снова совпадает с полученным выше.
Для оценки эффективности работы системы зарядов
была вычислена площадь воронок выброса 5 при различ¬
ных расстояниях между зарядами постоянной длины. Эта
зависимость показана на рис. 25. Видно, что взаимодей¬
ствие зарядов, рассмотренное в данной постановке, умень¬
шает площадь воронки. Особен¬
ностью рассмотренной задачи
является то, что при т —>■ 0 вся
система зарядов сводится к од¬
ному бесконечно длинному,
и никакого выброса вообще не
происходит. Другое получается,
если вместо бесконечной систе¬
мы взять два заряда. В этом слу¬
чае при их полном сближении
воронка выброса не исчезает.
Рассмотрим взаимодействие
двух сосредоточенных поверх¬
ностных зарядов, действие ко¬
торых в гидродинамической
Рис. 25. Численный расчет
площади выемки при взры¬
ве ряда плоских зарядов.
115
а
% *
\ччч\\чЧч\
(Ю)
е
^в %
~7~7
77-,
ь
®
А4 А5
У У У > у;
ъ
*7 У ///У/ 7 / ■
?5
<?
Рис. 26. Задача о пробивании пластинки: а — физическая
плоскость; б — плоскость комплексного потенциала; в — вспо¬
могательная плоскость.
А\А& и ^42-^44 являются по условию линиями тока. Вы¬
бирая надлежащим образом постоянную, можно положить
^ = 0 ВДОЛЬ Л 1^6, 'ф = 1|/ = С0П81 ВДОЛЬ Л2Л3Л4. (10.4)
Легко видеть, что в плоскости комплексного потенци¬
ала область течения представляется нолуполосой —1^
^<р^0, ф>0 с поперечным вырезом ф=ф', 02^ф^=—ф'
(ф'— значение потенциала в точке Лз, рис. 26, а). Функ¬
ция
Е=соз пи?=1\+Щ1 (10.5)
преобразует эту полуполосу в верхнюю полуплоскость с
вырезанной дугой эллипса:
?1 = сЬ яф'соз яф, т| 1 = зЬ яф' з!п Яф; (10.6)
—ф'^ф<о.
Предположим, что 1. Тогда, пренебрегая е~л^ по
сравнению е~п^', получим
ей яф' ш зй яф' т 1/2 • > 1. (10.7)
118
г
Г; этой точностью можно заменить дугу эллипса дугой
окружности:
%1 = асозяср, т]1=—азтяср;
а^1/2еЯф',-ф'<ср<0. (10‘8)
Отображение верхней полуплоскости с вырезанной
дугой окружности известно [69]; оно имеет вид
?=[К.-я)7а.+а)2+&2]1/2=
= [ (соз ли?—а)2/(соз ли?+а)2+Ь2]1/2, Ъ — 1% 1/2» лер'. (10.9)
Соответствие точек представлено на рис. 26, в, где
= — [(1 я)2/(1 -\-а)2+ Ь2]1/2, ^5= (1+Ь2)1/2. (10.10)
Введем вместо /(и?) функцию
Г(и;)=1(ш)-1пс*- 1/2 • як (10.11)
Для функции Р[ш^)]=Р(%) имеются в плоскости 5
вследствие (10.3) следующие граничные условия:
Ке^=0 при — +
IигР== 0 при —&, &>У'1+Ь2, (10.12)
1ш Р=—л при Ь <И ^ <1У1+Ь2-
По этим условиям /^(^) определяется при помощи
формулы Келдыша — Седова [69], принимающей в дан¬
ном случае следующий вид:
V1 + Ь'
Р СО -»8~1 1 17 - Ъ)и2(! + ьут1{1 - 0]си+Р («О/я(0
(10.13)
*К) = К-Ь) 1/2/(^+Ь)1/2.
После вычисления интервала получаем
Р&) = ~-[(%+Ъ)''ЦЪ-Ь)~'/2]1п[{1+11+Ъ2)1Ъ]^
+1п[(СУТ+^~ьЧУ?^)/М&-У1+Т2)] +
(10Л4)
119
Значение функции Р(^) на бесконечности определяет¬
ся из условия Р(Ъ) ——я, которое следует из (10.12).
Таким образом,
Р(оо) =1п[ (1+У1+й^)/Ь2],
(10.15)
Р(Ь) =1п[ (^У1+&2 - Ъ2+%2 - Ъ2)1Ъ{1 ~ /1+Ъ2) ].
Из последые>го соотношения и из формул (10.2), (10.11)
^/&=с*г[Б(1 + Ь2)1/а - Ь2+(&2 - Ъ2)тЦЪ{1 - У1+&2),
(10.16)
где ^ определяется выражением (10.9)
Окончательно решение (с учетом условия 2=1 при
ю оо) имеет вид
2 — 1 = — Ъь/с% У1 + Ь2 X
^ I* [(соз пт —• а)2/(соз яг/; 4- а)2 + &2]^2 — (1 + 6а)1/2 ^
^1 (с08 пт—а)2/соз яш-|-а)2+ Ь3] ^—[(соз пт—а)2/(соз лш+а)2—
-> -—г ЙШ. (10.17)
Предположим, что &<С1. Рассмотрим переход от
точки А\ к точке А в вдоль отрезка А\Аб, т. е. при г|)=0.
При таком переходе ъ получает приращение АШЯШгк. При
этом вследствие (10.7) имеем | (соз пю—а)/(соз лш+а) | »
Ш1, так что под интегралом можно пренебречь величи¬
ной Ъ2. Таким образом, имеем
1
гк^—ЪЦс*' | [($—1)/2^] Ар ж Ы/с% или Ь^с^к.
(10.18)
Второе необходимое соотношение получается из усло¬
вия перехода от А$ к Ав вдоль отрезка АвА6, т. е. при
Ф= — 1; при этом | (сЬя'ф+^)/(сЬяг|)~ а) | ^1, так что
по-прежнему можно пренебречь величиной Ь2 под кор-
120
пом. Из (10.17) имеем
( [а/(сЬ Щ|) + я)] = с*!Ъ = {/к, (10.19)
о
Отсюда, пренебрегая единицей по сравнению с а2, полу¬
чаем
(10.20)
Рассмотрим далее интеграл (10.17) вдоль границы
А2А3А4. Положим ,ф='ф/. Тогда из (10.11) имеем
Ь2-1§2^. (10.21)
Вдоль А2-4зП4 потенциал ср меняется в пределах от 0
до ф', так что ^ меняется от 0 до Ъ на участке И3Л4 и от
0 до — Ь на участке А2А4 (рис. 26, в). Величину ^ мож¬
но считать соответственно (10.17) малой. Пренебрегая
этой величиной, а также Ъ и Ь2 но сравнению с едини¬
цей, получаем
т
Д*! = (2Ы!пся?) ^ I {Р - Г-)',/2 - И]--гП, (10.22)
0
Т— — 1/2-яф'
при переходе от А4 к Лз и
т
Аг2 = — (12Ы/ЛС*) Г [(Ь2 - г2)172 - и(10.23)
0
при переходе от А2 к А 3. После вычислений
А21 = —-Ь/яс*— Ы/2с%, А22— ~ Ъ/яс%— Ы/2с%. (10.24)
Отсюда, учитывая (10.18), заключаем, что точка Из
разветвления линий тока находится на половине толщи¬
ны пластинки и смещена относительно краев пробоины
на к/я влево. Отсюда также следует, что ширина верхней
части пробоины равна ширине нижней. Выражение, он-
121
ределяющее эту величину, получается йз (10.17), тдб
нужно полойсить ф=0, а верхний предел взять равным ф':
хх — 1 =
Ч>' ,
ь Г С-У1 + Ъ'-
с* Д + Ъ*
оо
(10.25)
7сЬ яф — ей яг|/ \2
(ей Я1|) -}- сЬ яф' I
+ Ь2
1/2
Вводя вместо 1|) новую переменную I
I= (сЬ яг|з—ей я,ф')/(с}1 яф+сй яг|/) (10.26)
и пренебрегая в подынтегральном выражении величиной
сЪ~2 я1р/=а~2
по сравнению с единицей, получим
1
*! - 1 -- (Ь/ПС*) | [(1 + ь2)1/2 - (г2 + 52)1/2] 0(1 - /2) X
I
X [г -И*2 + Ьа)1/2 - Ь*]Н (10.27)
При Ь^С-1, 0^/^1 имеем
1/2 ^ [ (1+ Ъ2)1/2 - (12+Ъ2)1/2] / (1- I2) ^ 1. (10.28)
Поэтому для оценки можно принять
*1 - 1«(Ь/яс*) | и + (*2 + ьг)1/2 - Ь2]-1 *.
(10,29)
Пренебрегая в последнем выражении величиной Ъ по
сравнению с единицей, получаем
XI — 1«(Л/я)1п(У2/й). (10.30)
Численное вычисление интеграла (10.27) дает
щ — 1 = 1,25(А/я)1п(У27й). (10.31)
122
Переходя к размерным величинам и пользуясь (10.18),
получаем
/,_г=0,4Мп(Р/рс*й). (10.32)
Сравним этот результат с результатом, полученным в
§ 8. В случае «сильного», почти точечного взрыва по фор¬
муле (8.17)
Ь=2уШ/-][прс^.
Таким образом, при взрыве на поверхности пластинки
ширина пробоины растет с увеличением импульса взры¬
ва медленнее, чем при взрыве на поверхности полупро¬
странства. Скорости определяются выражением (10.16).
Максимальная скорость на нижцей стороне пластинки
достигается в точке А\ и равна Р/р/г, что имеет, очевид¬
но, простой физический смысл,
§ 11. О ФОРМЕ ВОРОНКИ ВЫБРОСА
ПРИ ВЗРЫВЕ ШНУРОВОГО ЗАРЯДА
В ДВУХСЛОЙНОЙ среде
Эта задача возникла при проведении взрывных мелио¬
ративных работ в слое мерзлоты, образовавшейся да по¬
верхности сильно водонасыщенного грунта (болота). Что¬
бы получить траншею с максимальной площадью сече¬
ния, практически важно решить, где выгоднее распола¬
гать шнуровой заряд ВВ: в слое мерзлоты или под ней.
Опыты показали, что оптимальным вариантом является
расположение ВВ в мерзлом грунте вблизи его нижней
кромки.
Далее рассматривается теоретическое решение этой за¬
дачи в импульсной твердо-жиДкостной постановке, при¬
надлежащее Э. Б. Поляку и Е. Н. Шеру [125].
Рассмотрим плоскую задачу об определении формы
воронки выброса при взрыве шнурового заряда, поме¬
щенного на глубину к\ в грунт, который покрыт сверху
слоем более прочного вещества толщиной Т^. На рис. 27
показан разрез в плоскости, перпендикулярной заряду.
В силу симметрии можно ограничиться рассмотрением
области течения, лежащей в правой полуплоскости. За-
&2
9
©
А
Я
гнев
I I 1_ 1 „
1
О
Ъ с а 1 <р
б
Рис. 27. Задача о взрыве в двухслойной среде: а — физиче¬
ская плоскость; б — плоскость комплексного потенциала.
ряд, помещенный в точке (?, будем считать источником
мощностью 2д. Вдоль границы РО области модуль скоро¬
сти равен си а вдоль границы СВ — съ
Введем комплексный потенциал течения ы?=ф—{—г-ф и
безразмерные переменные:
г* = х*-{-1у* — с\21д, ш* = га/д,
С\ 1, Сч —
и сформулируем задачу в следующем виде (звездочки у
безразмерных величин для простоты опустим). Требуется
найти границу неизвестной области С, в которой опреде¬
лена аналитическая функция IV (г) со следующими гра¬
ничными условиями:
на АВ Не ю = 0, аг§ (йл/йи>)|=я/2;
на ВС 1т ш = 0, |<2л/йш| = 1;
на СИ 1т ш = 0, агд;|а!2/а!и?||=я/2;
на ИР 1т т = 0, | д,г / Лю | =
на РБ 1т т = 0, агц((1г!Лю) = —я/2;
на Я А 1т т = 1, аг§(йл/йш)|=я/2.
Видно, что в плоскости и> область течения представля¬
ется полуполосой (ф=0, ф=0, ф= 1), которая с по¬
мощью функции
оз= (сЬ та)~1
124
отображается на верхнюю полуплоскость (см. рис. 27).
I !удем искать в этой области функцию
Ф (<о) =/{«;(«>)] =1п(1Йг/йш), (11.1)
которая на вещественной оси принимает значения:
на В°°А 1т Ф = 0‘,
на А(? 1т Ф=0;
на (?Р 1т Ф=—л;
на РР> Не Ф = 1н
на ИС 1т Ф = я/2;
на СВ Не Ф = 0.
Таким образом, получили задачу Келдыша — Седова
[ 29]. Рассмотрим решение этой задачи в двух случаях.
Положим, С2==0 (это соответствует пренебрежимо малой
прочности нижнего грунта относительно слоя). Тогда гра¬
ница области Сг{ (рис. 27, а) стянется в бесконечно уда¬
ленную точку, а в области (рис. 27, б) точки Р и Б
совпадут (Ъ—с). Получается задача о пробивании слоя
толщиной К2, которым покрыта жидкость, занимающая
нижнее полупространство. В результате решения задачи
получим дифференциальное уравнение
1с12/с1ш= [ог1/2 — (со — 1) 1/2|((о — а)~1/2] [а-1/2+ (и —
— 1) |/2(со - а)-1/2]->Х[ (1 - Ъ)1/2(а - Ь)-,/2+ (со - 1) 1/2Х
Х(ю — а) —1/2]3/2 [ (1 — Ъ) 1/2 (а — Ъ)~1/2 — (со — 1)1/2Х
Х (ы-а)"1/2]г3/2 (11.3)
(постоянная Ф(оо) находится из условия, что в точке В
потенциал Ф = 0). В решение задачи входят два пара¬
метра а ж Ъ, зависимость которых от величин к\ и к^ по¬
лучится после интегрирования (11.3) от точки @ до А и
от С до В.
Рассмотрим теперь влияние значений параметров а и
1> на геометрию течения в плоскостях ^=1п(йг/йгу)
(рис. 28) и 2 (рис. 29). В плоскости 2; область течения
является четырехугольником (1ВСБ при б=б* =
=5а/(9 — 4а). На рис. 29 этому случаю соответствует
Рис. 28. Вспомогательная плоскость.
9С
А В
С
* в
э Е
9с/2\
К
)е'
0
В
-чк/2
кривая 2 (&1 = 3, /г-2=2,2); горизонталь¬
ный участок этой кривой соответствует
границе раздела между слоем и жид¬
костью. Отметим, что на поверхности
у—0 |Кривизна этой линии равна нулю.
При Ъ<СЪ% область течения становит¬
ся пятиугольником (/Е"ВСО— кривая 1 (61 = 3, /&2=0,8).
Горизонтальный вырез показывает, что во внутренних
точках скорость жидкости достигает величины, меньшей,
чем критическая скорость на границе. Граница воронки
при этом становится вогнутой относительно жидкости.
Если 6 >6*, имеем пятиугольник ()ВЕ'СО (вертикальный
вырез) —кривая 3 (/&1=3, /&2=3,7). При выходе на по¬
верхность граница воронки становится выпуклой относи¬
тельно жидкости. При 6, близких к а, течение жидкости
переходит частично на второй лист римановой поверхно¬
сти (на рис. 30 а=0,2, 6=0,1999, 6-1 = 0,68, й^=1Д|
пунктиром нанесены эквипотеициали). При а=Ъ реше¬
ние показано кривой 4 (Н\ = 3).
Рассмотрим случай, когда точки О и С совпадают
(это означает, что прочности верхнего и нижнего грунтов
есть величины одного порядка). В этом случае после
Рис. 29. Форма траншеи вы- Рис. 30. Частный случай формы
броса при различных значени- траншеи выброса,
ях параметров.
126
решения задачи (11.4), (11.2) с условием, что Ф(1)=0,
получим
гАк/йю — С2~г [ 1/УЬ + У® — 1/1/со — Ь] [ 1 /УЬ —
'-Усо — 1/Уи> — Ь]~~1 X ШУ® - 1/|/"со + 1 + г X
X ]/1 — а/]/а — Ь)/(]/со — 1 ]/ со — Ъ — I х
х уТ^;У7Г^)У1пМя1\
На рис. 31 изображена область течения в плоскости
5 = 1п(йъ/йю). Область является четырехугольником при
а=а*=Ъ(к2-\-1) / (Ьк2-{-1) (к~ — я 1п сг).
При а > а* появляется горизонтальный вырез {/)Е"ВОР
и при а —1 решение данной задачи стремится к решению
задачи с безразмерной критической скоростью,
равной С2.
На рис. 32, где показаны профили воронок при
/&1 = 0,2, с2 —0,5 и различных значениях й-2, этому слу¬
чаю соответствуют кривые 2 (й2=0,13) и 7 (/г2=0).
При а<С.а* появляется вертикальный вырез ОВВ'ОР и
при а—*~Ъ получаем решение задачи с критической ско¬
ростью, равной с\ (кривые 3 (й2=0,38), 4 (А2=0,5) и 5).
Заметим, что в точке О, где происходит скачок скоро¬
сти, граница воронки подходит с обеих сторон по лога¬
рифмическим спиралям [154]'.
А В
В
Г-%//
! е' е
7
0 */2 {
0
ът/с,
-91/2
Рис. 31. Вс
скость в ы
Р
помогательная пло
тучае, когда крити
ческие скорости слоев срав¬
нимы по величине.
Рис. 32. Форма траншеи выброса
в случаях, когда критические
скорости слоев близки по вели¬
чине.
§ 12. АБСОЛЮТНО НАПРАВЛЕННЫЙ ВЗРЫВ
В ГРУНТЕ
В этом параграфе дан весьма показательный пример
сочетания упрощенной теоретической модели и экспери
ментальных исследований, приводящий к построению
практической, реальной схемы взрывания со 100%-иым
односторонним выбросом.
Направленный выброс грунта при помощи взрыва
имеет большое практическое значение. При производстве
ряда взрывных работ (например, при создании взрывом
плотин) стоит задача перемещения некоторой массы грун¬
та в заданном направлении. Известно, что при обычном
подземном взрыве, когда свободная поверхность горизон¬
тальна, выброс грунта происходит равномерно относи¬
тельно оси воронки выброса. Если поверхность наклон¬
на, то большая часть грунта выбрасывается в направле¬
нии перпендикуляра, проведенного из центра взрыва к
поверхности. Этим обстоятельством на практике пользу¬
ются для усиления направленности выброса. Взрыв про¬
изводится в два приема. Сначала взрывают один неболь¬
шой заряд. При этом создается новая обнаженная поверх¬
ность, имеющая больший наклон к горизонту, чем перво¬
начальная. Затем взрывают основной заряд.
Однако этот способ и аналогичные ему не обеспечива¬
ют все же полной направленности взрыва. Несколько лет
назад был предложен принципиально новый способ на¬
правленного взрыва, обеспечивающий 100%-ну го направ¬
ленность выброса грунта [ 101]'.
Рассмотрим простой пример. Предположим, что име¬
ется цилиндр из грунта высотой вдвое больше, чем диа¬
метр. С одного торца цилиндра производится подрыв
взрывчатого вещества, изготовленного в виде диска диа¬
метром, равным диаметру цилиндра. Тогда почти вся мас¬
са грунта разлетается в плоскостях, перпендикулярных
оси цилиндра, причем чем ближе к ВВ, тем скорость раз¬
лета больше. Расчеты и опыты показывают, что при та¬
ком соотношении высоты ж диаметра цилиндра вперед
летит меньше одного процента грунта. Для того чтобы
воспрепятствовать боковому разлету грунта, естественно
обложить боковую поверхность цилиндра взрывчатым ве¬
ществом. Толщина этой обкладки, очевидно, не должна
быть постоянной вдоль оси цилиндра. Чтобы ответить на
128
вопрос о плотности расположения ВВ .с боков выбрасыва¬
емой массы грунта, перейдем к математической постанов¬
ке задачи.
11 римем следующие гипотезы.
1. Грунт есть идеальная несжимаемая жидкость.
2. Действие взрыва будем описывать только Как дей¬
ствие на каждую единицу площади импульса
Р— Г р({)<р,
О
где р{1) — давление продуктов детонации, т — время их
действия.
3. Импульс, сообщаемый взрывчатым веществом, про¬
порционален его толщине. Поэтому, если известно распре¬
деление импульса, то известно и распределение плотности
ВВ. Все эти предположения достаточно подробно были
обсуждены выше.
Сформулируем задачу. Требуется найти распределение
ВВ на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, за¬
нимающей произвольный объем, при котором в результа¬
те подрыва жидкость получит поступательное движение,
как твердое тело в заданном направлении.
Ответ находится сразу же. Известно, что поступатель¬
ному движению жидкости со скоростью V соответствует
потенциал
связанный с импульсом простым соотношением
Ф = — Р/р.
Так как импульс пропорционален толщине ВВ, то, сле¬
довательно, ВВ должно быть распределено на поверхности
выбрасываемого объема так, чтобы его толщина убывала
в направлении выброса по линейному закону, обращаясь
в нудь в точке области с наибольшим х.
Возвращаясь к примеру с цилиндром, мы должны, для
того чтобы бросить последний в направлении его оси, сде¬
лать заряд такой формы, какая показана на рис. 33. Та¬
кой опыт был произведен, и визуальные наблюдения по¬
казали, что цилиндр действительно летит как твердое
тело в направлении оси.
э В, М. Кузнецов
129
Рис. 33. Принципиальная схема расположения
ВВ при направленном метании цилиндра.
Этот метод может быть использован
при создании каналов, котлованов, воро¬
нок. Пусть, например, нужно удалить из
земли длинное тело с треугольным сече¬
нием так, чтобы тело легло рядом с соз¬
данной емкостью (рис. 34). В силу изло¬
женного скорость V, а следовательно, и положение тела
после взрыва, определится величиной ба.
На практике, конечно, трудно, да и нецелесообразно
обкладывать поверхность тела сплошным слоем ВВ. Для
этого по контуру тела бурят наклонные скважины и про¬
кладывают канавки (для верхнего заряда). Линейный за¬
кон распределения ВВ по длине
скважины осуществляется при помо¬
щи патронирования ВВ в 3—4 ступе¬
ни. Эти и другие практические детали
исследованы экспериментально при
взрывах в мягком и скальном грун¬
те. Проведение опытных взрывов
позволило также внести некоторые
поправки в первоначальную схему
с учетом сжимаемости и прочности
среды. Эти поправки, не меняя су¬
щества модельной задачи, уточняют расчет
а также последовательность их подрыва.
Теперь перейдем к описанию и анализу эксперимен¬
тов, позволивших довести теоретическую схему до прак¬
тических приложений.
Рис. 34. Расположе¬
ние ВВ при выбросе
треугольной призмы.
зарядов,
Эксперименты в мягком грунте [82, 84]
Работы проводились в глинистом грунте естественного
залегания. В качестве ВВ в заряда* применялся аммонит
№ 6ЖВ и 6.
Исследовались в основном две схемы расположения
ВВ: «Треугольник» (см. рис. 34) и «слой» (рис. 35). Для
предотвращения разлета грунта в стороны от основного
направления выброса объем грунта обкладывался ВВ с
торцов (рис. 36).
130
Рис. 35. Расположение
ВВ при выбросе парал¬
лелепипеда.
!
-Л
Рис. 36. Расположение
ВВ с боковых граней
выбрасываемого объема
грунта.
Линейные размеры во всех опытах были следующие:
I—2,8 м, Ь—12 м, 1\~2 м. Заряды (?ь (и распола¬
гались в шпурах, пробуренных под углам 45° к горизонту
(схема «треугольник») или горизонтально (заряд ()з в
схеме «слой»). Заряд располагался в канавках длиной
20 см с песчаной забивкой.
Расстояние между шпурами и канавками варьирова¬
лось от 0,5 до 1 м. Инициирование зарядов осуществля¬
лось при помощи детонирующего шнура. Порядок иници¬
ирования был произвольным. Соотношение между общими
весами зарядов рассчитывалось по формулам
= : ТГ : ^ (12Л>
для схемы «треугольник» и
<?г: (?2: <?3: <?4 = 1:
Ч . \ , к
21 * 21 ‘ з у 2 I
(12.2)
для схемы «слой».
Линейный закон распределения ВВ осуществлялся
патронированием зарядов в соответствии с формулой
д(=да(21-1), (1=1, 2, 3, ...), (12.3)
где д,— вес патрона на г-й ступени, до — вес патрона на
1-й ступени.
5*
131
Разлет грунта Изучал¬
ся при помощи Полых
металлических: банок
с удельным весом, рав¬
ным удельному ве¬
су грунта (примерно
2 г/см3), закладываемых
в различных частях выб¬
расываемого объема
грунта. После взрыва
эти банки разыскива¬
лись при помощи мино¬
искателя (рис. 37). По¬
перечный профиль нава¬
ла грунта показан на
рис. 38. Вес зарядов в
этом опыте был следую¬
щий: (?1==|-108 кт. (?2 —
= 30, (?з=80, $4—6 кг.
Удельный расход ВВ
3,4 йг/м3. Направлен¬
ность выброса 90% • Как
видно, при хорошей на¬
правленности выброса
■грунт все же разлетает¬
ся на весьма значитель¬
ное расстояние.
Кроме того, не весь
грунт выорасывается из
воронки. Для улучше¬
ния качества направ-
, |-и ленного выброса были
™ <*г2р2». Г Т сделаны следующие из¬
менения в расчетной
Рис. 38. Пыброс грунта при одном
случае направленного взрыва. слемс.
Из теории следует,
что при направленном
взрыве ВВ должно быть распределено так, чтобы на по¬
верхности выбрасываемого объема грунта был создан ли¬
нейный импульс в направлении метания. Если предполо¬
жить, что импульс, сообщаемый ВВ, 'пропорционален ето
толщине, то для получения поступательного движения
грунта толщина ВВ должна убывать по линейному закону
132
в направлении метания. Это предположение, однако, не все¬
гда справедливо. Рассмотрим одномерный случай. Пусть
слой ВВ толщиной а одной стороной соприкасается с твер¬
дой стенкой, а другой — с вакуумом. Обозначим через е
удельную внутреннюю энергию ВВ, р — плотность ВВ.
Тогда из соображений размерности для импульса I,
действующего на твердую стенку, получим
/=сопз1; «Уер. (12.4)
Точное решение задачи с ^—3 при условии мгновен¬
ной детонации дает для «ив$ значение "{/3/2. Таким обра¬
зом, в том случае, когда «носителем» импульса являются
продукты детонации, предположение о линейной зависи¬
мости импульса от толщины ВВ выполняется.
Иное дело, если ВВ работает с забивкой, масса кото¬
рой во много раз превышает массу продуктов детонации.
В этом случае можно считать, что вся энергия ВВ идет
на сообщение импульса забивке. Если материал забивки
несжимаем, то, обозначая через т массу забивки на еди¬
ницу площади, получим
1=УггП'а'\ (12.5)
Если масса забивки постоянна по длине, то для осу¬
ществления линейного импульса толщину ВВ следует из¬
менить по квадратичному закону. В наших эксперимен¬
тах все заряды работали с забивкой, причем заряд ()$
с забивкой постоянной длины. Что касается (^\ и ()%, то
импульс, сообщаемый ими, зависит от геометрии области
и свойств ВВ и среды. В общем случае задача о переда¬
че импульса взрывчатЫм веществом среде не отделима
от задачи о движении среды. Тем не менее был проделан
ряд опытов, в которых все заряды были распределены по
квадратичному закону. В этом случае для броска под уг¬
лом 45° вес зарядов
:"Т:]Т’:4Г- <42-6)
Патронировка зарядов производится по формуле (#< — вес
1-& ступени)
9»=?о[^3 — (г — I)3] (*=1, 2, 3). (12.7)
133
Выброс (производился
под углом 60°«горизонту,
для того чтобы грунт из
нижней части призмы
выброса был также выне¬
сен ;за пределы воронки.
Схема, расположения заря¬
дов показана на рис. 39.
Профиль воронки выброса
в одном из опытных взры¬
вов изображен на рис. 40.
Вес зарядов в этом опыте был такой: (?1 = 90кг, (?2=43,
(?з=28, ^4=7 кг, удельный расход ВВ 3,9 кг/м3.
Направленность выброса 98%, длина разлета грун¬
та 12 !м.
Следует отметить, что при обычном взрыве на выброс
удельный расход ВВ составляет для данного грунта
3 кг/м3. Для увеличения дальности броска расход следу¬
ет повысить. При этом, однако, разброс грунта возраста¬
ет, но направленность выброса во всех опытах не
ниже 90%. Например, в опыте, аналогичном описанному
выше, с удельным расходом 7 кг/м3 длина развала со¬
ставляет примерно 50 м.
Опыты по схеме «слой» для упрощения технологии
выполнялись без нижнего заряда (?2, но с усиленным
книзу зарядом (^\. Сначала был сделан взрыв по схеме
«треугольник», затем три последовательных взрыва по
схеме «слой». В резуль¬
тате была образована
выемка размерами 15Х
Х15Х2,5 м.
Этими опытами экс¬
периментально доказа¬
на возможность созда¬
ния выемок большой
протяженности и относительно малой глубины.
Этот метод может найти применение при вскрышных
работах. Кроме того, были опробованы несколько других
конфигураций земляных выемок. В частности — кольце¬
вой взрыв по схеме «треугольник» для сооружения искус¬
ственного холма или острова.
1М
Рис. 40. Навал грунта при направ¬
ленном взрыве с измененным зако¬
ном распределения ВВ.
Эксперименты в скальном грунте [83]
Экспериментальные взрывы производились в извест¬
няке 6-й категории прочности по схеме, изображенной на
рис. 39, при глубине по нормали, равной 2,1; 4,2; 5,7 м.
Удельный расход ВВ в первом опыте составлял 3 кг/м3.
Изменение общего количества ВВ при переходе к более
крупным масштабам показано на рис. 41, где две пря¬
мые ограничивают область изменения показателя моде¬
лирования. Результаты этих взрывов изображены на
рис. 42 в виде схематических профилей воронок и раз¬
валов грунта.
Опыты показали, что при взрывах в скальном грунте
с увеличением их масштаба резко возрастает расход ВВ.
Известно, что при обычных небольших взрывах на вы¬
брос имеет место закон геометрического подобия; если
масштабы двух воронок относятся как то энер¬
гия взрыва изменяется в отношении Еъ!Е\ = гР. В случае
направленного взрыва это правило не выполняется. Рас¬
смотрим этот вопрос более подробно.
Пусть выбрасываемая масса грунта ограничена произ¬
вольной поверхностью с характерным линейным разме¬
ром I. Пусть, далее, этот линейный размер увеличен в п
раз с сохранением (геометрического подобия областей. Тог¬
да при увеличении суммарного импульса /, сообщаемого
Рис. 41. Изменение энер¬
гии взрыва с изменени¬
ем масштаба направлен¬
ного взрыва.
Рис. 42. Профили навала
грунта при направленном
взрыве в известняке (1—
взрыве в извес
135
ВВ, в п3 раз скорость выбрасываемой массы грунта но
изменится. Поскольку дальность полета грунта пропор¬
циональна V2, то для получения геометрически подобного
выброса скорость V должна быть увеличена в пи раз.
Таким образом, Для получения геометрически подоб¬
ных воронок и развалов грунта при увеличении мает та-а
ба опыта в п раз имшульс, сообщаемый ВВ грунту, при
направленном взрыве должен быть увеличен в п3’5 раз.
Этот вывод следует, конечно, и из общих соображений
теории размерностей, поскольку определяющими парамет¬
рами в данном случае являются; импульс I, линейный
размер I, плотность среды р и ускорение силы тяжести %
(см. гл. II). Из этих параметров составляется только од¬
на безразмерная комбинация, представляющая собой фор¬
мулу моделирования при направленном взрыве
7/р^°'5135=соп81. (12.8)
Зависимость удельного импульса от веса ВВ на еди¬
ницу площади в различных условиях работы заряда мо- '
жет быть различной. Если метаемый общем грунта нахо¬
дится на воздухе или окружен сильно сжимаемой средой,, ■
то импульс пропорционален энергии (весу) ВВ. В этом .
случае формула моделирования направленного взрыва
совпадает с известной формулой для больших взрывов на
выброс (И.5,10). Если грунт выбрасывается из массива,
то, предполагая, что Масса грунта, вовлеченная в движе¬
ние за время Действия нагрузки, во много раз превосхо¬
дит массу продуктов детонации, получаем
1={2тЕ)\ * (12.9)
где Е — энергия ВВ, ш — масса грунта, вовлеченная в
движение.
Если в этом выражении т — вся выбрасываемая мас¬
са грунта, то т~13 и из (12.8) и (12.9) получаем дру¬
гую известную формулу для мощных взрывов На азы- •
брое (II.5.12)
Е/р^Е—тавЬ, (12.10)
которая также следует из общих соображений теории раз¬
мерностей в том случае, когда определяющим параметром
вместо импульса является энергия.
136
Однако практически величина т в выражении (12.9)
не равна всей выбрасываемой массе грунта, а определя¬
ется временем действия нагрузки, т. е. зависит от забив¬
ки скважин. Случай т ~ Р является в этом смысле пре¬
дельным и имеет место тогда, когда истечение газов-про¬
дуктов детонации через устье скважин отсутствует. Одна¬
ко на практике оно всегда имеется и может играть су¬
щественную роль, особенно при взрывах в скальном грун¬
те. Если, например, забивка остается постоянной при уве¬
личении масштаба, как это наблюдалось в описанных ни¬
же опытах, то естественно предположить, что масса т,
вовлеченная в Движение, пропорциональна толщине
слоя ВВ, или, приближенно, т~1. В этом случае из
(12.8) и (12.9) следует, что степень моделирования рав¬
на 6. Можно также представить себе случай, когда вели¬
чина т вообще не меняется при изменении масштаба
взрыва. Это, по-видимому, будет иметь место при взры¬
вах в очень твердых породах с постоянной цо величине
забивкой. Таким образом, в общем случае мы можем на¬
писать формулу моделирования для направленного взры¬
ва в виде
Ер/р2^"—сопз!, (12.11)
где р — величина, зависящая от свойств грунта и от ве¬
личины забивки, показатель моделирования п изменяется
в пределах
3,5^п<7. (12.12)
Сравнивая результаты экспериментов, видим, что, не¬
смотря на большие значения, показатели моделирования,
принятые нри расчете воронки и развала грунта, полу¬
чились неподобными: при увеличении масштаба взрыва
относительное количество грунта, выброшенного из во¬
ронки, уменьшается. При переходе от глубины 2,1 м
к глубине 5,7 м величина п была принята равной 4,8; из
этого следует, что в данном случае показатель моделиро¬
вания заключен в пределах
Столь большие значения показателя моделирования
приводят к резкому перерасходу ВВ при направленном
взрыве по сравнению с обычными взрывами на выброс.
137
Следует, однако, иметь в виду, что в мягком грунте роль
забивки менее существенна, поэтому меняется в более
узком интервале между 3,5 и 4. При взрывах же в скаль¬
ном грунте роль забивки очень важна, что необходимо
иметь в виду на практике вообще, а при направленном
взрыве — в особенности. При осуществлении достаточно
надежной забивки расход ВВ может быть значительно
снижен.
§ 13. О РАСШИРЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
В ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Для идеальной несжимаемой жидкости в условиях
цилиндрической симметрии и отсутствия движения вдоль
оси симметрии: ноле скоростей вследствие уравнения не¬
разрывности имеет вид
у=М!г, (13.1)
где г — расстояние от оси, /(^) —функция времени. Если
попытаться рассмотреть радиальное расширение газового
пузыря в жидкости, занимающей вею плоскость, то ока¬
зывается, что кинетическая энергия
оо
Ек ~ р Г Vй • яг • йг (13.2)
а
(а — радиус пузыря, р — плотность жидкости) равна бес¬
конечности, Это обстоятельство является причиной мно¬
гочисленных затруднений, связанных с применением мо¬
дели идеальной несжимаемой жидкости в различных при¬
кладных задачах и, в частности, в задачах, связанных с
исследованием взрыва бесконечно длинных (шнуровых)
зарядов ВВ. Известно, что теоретические решения для
случая сферической Симметрии Дают хорошее совпадение
с экспериментами. Поэтому невозможность распростране¬
ния результатов на случай цилиндрической симметрии
многим зкшеримеитаторам представляется парадоксаль¬
ной. В работе [65] задача о пульсации цилиндрической
газовой полости в безграничной жидкости решается с уче¬
том сжимаемости на основе теории Кирквуда — Бете [74].
Ё идеальном случае бесконечно большой скорости звука
получено уравнение
а-а + *|-а2х;[р(а)-р00]/2р. (13.3)
где р (а) — давление газа в полости, — давление на
бесконечности. При этом оказалось, что эксперименталь¬
ные данные неплохо описываются этим уравнением. Мож¬
но, однако, получить аналогичное уравнение и из других
соображений. В реальности — ив экспериментах и в на¬
туре «— всегда имеется свободная поверхность. Попробуем
учесть наличие свободной Поверхности, оставаясь в рам¬
ках предположения о несжимаемости Жидкости. Будем
рассматривать движение газового пузыря на достаточно
большой глубине, когда отношение максимального радиу¬
са пузыря а к глубине к много меньше единицы. Сделаем
одно основное предположение: во все время движения
пузырь имеет форму кругового цилиндра, а свободная по¬
верхность горизонтальна. Тогда можно считать, что по¬
тенциал течения ср в каждый момент времени имеет сле¬
дующие граничные значения: <р=/(2) при \г — Ы\ —
±==а(1); ср—0 при у—0. Комплексный потенциал ш(г),
отвечающий этим граничным условиям, можно опреде¬
лить следующим способом. Найдем конформное отобра¬
жение области течения в плоскости г (нижняя полупло¬
скость с вырезанным кругом: |г — Ы\=а({)) на кольцо
в плоскости вспомогательной комплексной переменной ||
Это отображение определяется формулами
(3.2), (3.3)
1=Е(г+Ы)/(г~ Ы), Ъ=Ук2-а2, (13.4)
—а)/(УА+д —УА —а). (13.5)
Граничные условия для функции ГГ(5) —и?[г(Е,) ] имеют
вид:
КеРГ=/(0, |С1—4; Ёе IV—О, |?|=Л. (13.6)
При этих условиях функция ГГ определяется однозначно:
Ж(Ь)=!{1)[{-\п1)1(\пП)]. (13.7)
139
Поле скоростей в плоскости 2 имеет вид
у = йи'1сЫ= (с^/йг) — 2ЪЦ(/.)/(г2~|-Ь2) 1г
^0
СО
00
В предположении а/Н <С 1 имеем следующие
ные выражения:
приближен-
В « 2Н/а, Д«2/?-//(/) /(г2+к2) 1п (2Л/а
). (13.9)
В частности, на окружности 2= —Ы-\-ает
уа=— /(^) е_1°/я.]п (2к/а).
(13.10)
На этой же окружности, очевидно,
г;а=ае-,в.
(13.11)
Отсюда получаем
/(1) — — а-а-\п(2к/а).
(13.12)
Вычислим кинетическую энергию жидкости
Ей == (р/2) Ср <р (йф/Зп) йз.
(13.13)
Так как на свободной поверхности ф=0, то интеграл сле¬
дует брать только по окружности 2=—Ы-\-ае'в, где
ф=/((), а дц>1дп=а. Таким образом, получаем
Ен—пра2-а2]п(2к/а). (13.14)
Запишем закон сохранения энергии. Работа,
мая газом при увеличении радиуса полости
ны йо до величины а
производи-
от величи-
а
Г р (а) • 2ла • йа,
а0
(13.15)
равна кинетической энергии Ек плюс работа
ростатического давления:
против гнд-
р00(аай — шщ.
(13.16)
140
Таким образом, дифференциальное уравнение, описы¬
вающее расширение газового пузыря, в нашем случае
имеет вид
а
1/2а2 • о2 • 1п (2к(а) = (1/р) Ц [р (а) —* Роо1 а • Аа> (13.17).
«0
Продифференцируем обе части этого уравнения по а:
(а-а+а2)1п(2/г/а)^ а2/2= (р(а) — р*>)/р. (13.18)
Как показывают эксперименты, расширение газового пу¬
зыря при подводном взрыве происходит так, что большую
часть времени первой пульсации радиус пузыря близок к
максимальному. Поэтому приближенно можно считать в
уравнении (13.12) 1п(2к/а) постоянной величиной, рав¬
ной 1п(2к/ат). В частности, если положить \п(2Н1ат) =2,
то уравнение (13.18) совпадает с уравнением (13.3).
/
Глава V
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
§ 1. ФОРМУЛЫ КОЛОСОВА-МУСХЕЛИШВИЛИ
Плоская задача теории упругости применяется в двух
случаях ~ плоской деформации и плоского напряженно-
““У
го состояния. В первом -случае вектор смещения и всюду
параллелен одной плоскости, которую выбираем за пло¬
скость Оху
■-'У'
и=и(их, ит 0), их~их(х, у), иу^=щ(х, у). (1.1)
В плоском напряженном состоянии все три компоненты
напряжений на элементарной площадке, параллельной
данной плоскости (Оху), предполагаются равными нулю:
аХ2=а„2=а22—0. (1.2)
Случай плоской деформации соответствует деформации
бесконечно длинного цилиндра под действием напряже¬
ний, приложенных к его боковой поверхности и лежащих
в плоскости, перпендикулярной к образующим цилиндра.
Плоское напряженное состояние описывает . деформацию
тонкой пластинки, подверженной напряжениям, прило¬
женным к ее периметру и лежащим в плоскости пла¬
стинки.
В случае плоской деформации из (1.2.18) имеем;
йе*:8*=Щ (1 — у) йв+-^ст]/С1+У) (1 —
°т=Е[( 1 — ч)иуу+-уи„]/( 1-И) (1 — 2^), ^ щ
вгг=Еу (ихх-{-иуу) / (1+у) (1 — Яф,
аху—Еит1(\-{-\).
142
Введем объемную деформацию «4-1% и подставим
эти выражения в уравнение равновесия в виде (1.2.20)
доХх1дх-\-даХУ1ду=0, даУУ1ду-\- даху1 дх—0. (1.4)
Тогда
(Я,+р)9в/9х+р.Дцх=0,
(1.5)
(Я,-)-(л) дъ1&х-\-р,Ди1,='0,
где вместо Е и V введены постоянные Ляме:
МВД 1+у)(1-2у), р,=2?/2(1-}-^). (1.6)
В случае плоского напряженного .состояния из (1.2.3)
о22=0, (1 — м) и22+м (ига+и») =0,
откуда
м„= —V{иxx-\-иуУ)|(1^—V),
в=цк= (1 — 2'у)(нхх“4“,и^) / (1 V).
Вместо (1.3) в этом случае (см. (1.2.25))
0ХХ=Е (ихх-\-уиш) / (1 — V2),
вуу—Е (Щу+Шж) I {1 — V2), (1.7)
а*„=#их„/(1+'У).
Нетрудно удйбиться, что эти выражения получаются из
(1.3) путем формальной замены
V —> у/ (1 — V). (1.8)
Уравнения равновесия, аналогичные (1.4), в случае пло¬
ского напряженного состояния имеют вид
(^+р)д!е/дж+цДкх—0, (1.9)
(Х.'+р) д&/дх-{-\1Еиу—0,
где
Я'=Я(1_2г)/(1-^).
ща
щ
*Ж*'Я
Вследствие указанной аналогии двух случаев плоской За¬
дачи рассмотрим в дальнейшем уравнения (1.5). Диффе¬
ренцируя нервов из них по щ а второе по у и складывая
их, проходим к
Де —0. (1.10)
Из уравнений (1.3)
е = и№+щу ~ (1 +V) (1 — 2\-) Е-1 (охх+ат) (1.11)
и, следовательно,
А (Охл-НОй) =0. (1.12)
Уравнения равновесия (1.4) удовлетворяются, если по¬
ложить
ахх=дВ/ду, ам*=*дА/дх, Ощ,— — дВ[дх= — &А/ду, (1.13)
где А и В — некоторые функции, полные дифференциалы
которых вследствие (1.4) выражаются в виде
дА = — ахуйу\ йВ — — а^х+а^у. (1.14)
Из последнего равенства (1.13) следует, что выражение
й11=Айх-\~Вс1у (1.15)
является полным дифференциалом Некоторой функции
У(х> У), которая называется функцией напряжений, или
функцией Эри. Вследствие (1.13)~ (1.15) имеем:
охх=д21//ду2, оиу=д2111дх2, оху— — д211/дхду. (1.16)
Из (1.12) и (1.16) следует, что функция V удовлетворяет
уравнению
А {№)==дЩ1дх*+2д/ВЛдх2ду2+дЮ1дх*=0, (1.17)
т. е. является б «гармонической функцией.
Можно показать, что любая б ига рм о н и ч ее к а я функция
представляется е помощью аналитических функций ком¬
плексного переменного:
П—1/2 • (лф (г) +2Ф(2) +Х (х) +Х (г)}. (1.18)
144
Из &Т0ГО представления можно получить формулы Ко¬
лосова — Мусхелишвили:
и*+шй=1/2р{хф(2)+2ср'(г)— гр(г)}, (1.19)
+ Щ» = 2 1ф' (2) + Ф^2)) = 4Ке ф' (г). | (1 20)
9т — ахх 4- 21оху = 2 {гф" + ф' (г)}, |
где
и= (А+Зц)/(Н~ц) —з — #У| г|)(г) =х'(2).
Вывод этих формул можно найти в работах [100] и [114].
§ 2. ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ
С РАЗРЕЗОМ
Пусть в плоскости Оху, растягиваемой па бесконечно¬
сти равномерным напряжением ахх~<зУу=ро, оху—0, име¬
ется разрез: у—0, границы которого свободны от
напряжений. Требуется определить напряжения и дефор¬
мации. Наложим на всю область равномерное сжатие:
0хх=^=0т= — р0, а^=0. Тогда задача, сводится к следую¬
щей: на бесконечности напряжения отсутствуют, а внут¬
ри разреза действует постоянное по длине нормальное
Напряжение 0га= — До. бху—0. На продолжении разреза
вследствие симметрии задачи аХ!/=0. Рассмотрим аналй-
тичоскую функцию:
Р(г) =2[2ф//+ф/] • (2.1)
При у=~0 она совпадает с правой чайтью (1.20). Таким
образом, для Р(г) имеется граничное условие
1шР(я) =0 при у —0, — ОО<;.•*:■< +00•
Известно [100], что единственным решением данной
краевой задачи является Р(г)= 0 во всей плоскости.
В частности, на действительной оси
ВеН(2) |^,=0'=2Ке{2ф"-)-ф,} |1/=о=0«— о.*»=0.
Следовательно, на всей оси
(2.2)
145
упругую энергию тела, П — поверхностную энергию, I,—
полудлину трещины. Тогда условие Гриффитса можно за¬
писать в виде
д/дг(ИЧ-П-ЛХО. (3.1)
Знак равенства соответствует предельному, критическому
состоянию равновесия. При дальнейшем увеличении на¬
грузки наступает катастрофическое развитие трещины.
Теория Гриффитса предполагает, что в теле имеется
заранее некоторый дефект, рассматриваемый как трещина.
Все дальнейшее исследование ведется в рамках линейной
теории упругости (так называемое хрупкое разрушение).
Для иллюстрации сказанного выше рассмотрим сле¬
дующий простой пример. Пусть в бесконечном однородном
упругом теле имеется изолированная трещина длины 21,
расположенная на оси х симметрично относительно на¬
чала координат. Изнутри трещина растягивается однород¬
ным напряжением ро', на бесконечности напряжения от¬
сутствуют. Рассматривается случай плоской деформации,
когда смещения в направлении, перпендикулярном пло¬
скости ху, равны нулю. Пользуясь результатами предыду¬
щего параграфа, можно показать, что в данном случае
имеют место следующие соотношения: вертикальная ком¬
понента вектора смещений
щ—2 (1—■V2) Р(Д Р—х21Е,
упругая потенциальная энергия
-Н г2
|Г^'1 Ро11Уйх = л • 7Г- Р20Р,
работа внешних сил
I
А—2 ( р0ии(}х пт 21У.
—г
Для поверхностной энергии трещины длины 21 имеем оче¬
видное соотношение
П=41а, (3.5)
(3.3)
(3.4)
(3.2)
148
где в — удельная поверхностная анергия, приходящаяся
на единицу длины. Подставляя формулы (3.3) — (3.5)
в (3.1), получаем в случае равновесия известную формулу
Гриффитса:
р0=[2Еа/п(1-у2)1]1/2. (3.6)
Ото выражение определяет предельно допустимое растя¬
гивающее усилие ра для пластинки, содержащей трещину
длиной %1.
Перепишем энергетическое условие Гриффитса (3.1)
в несколько ином виде. А именно введем
С,=д1д1(А-1У). (3.7)
Эта величина характеризует скорость убывания полной
потенциальной энергии тела и носит название интенсив¬
ности освобождения энергии.
В теории упругости частная производная от упругой
энергии по перемещению может рассматриваться как сила.
С этой точки зрения величина есть сила, приходящаяся
на единицу длины края трещины, которая вызывает рас¬
пространение трещины.
Из решения сформулированной выше задачи можно
получить поле напряжений в окрестности кончика трещи¬
ны. При этом, в частности, получается, что главные нор¬
мальные напряжения о** и <% в носике трещины бесконеч¬
ны. При приближении извне к концам трещины вдоль
охх=Оцу—рй^1П2з. (3.8)
Величина Кг—роУ1/2 называется коэффициентом интен¬
сивности напряжений.
Покажем теперь, как связаны между собой величины
Ох и К,. Следуя работе Ирвина [162], рассмотрим два по¬
ложения кончика трещины. Если упругое тело нагружает¬
ся, а затем точки приложения нагрузки закрепляются, то
единственным вкладом в величину С/ является изменение
энергии деформации <9И71д1. Очевидно, что в этих условиях
работа, необходимая для смыкания небольшого участка
трещины а из раскрытого состояния в сомкнутое, равна
изменению энергии деформации. Эта работа равна полови¬
149
/
не произведения напряжений ауу на вертикальное сме*
Щение и,/.
а
(3.9)
о
Коэффициент перед интегралом учитывает, что работа
производится на двух берегах в обоих кончиках трещины.
Так как О есть изменение энергии, приходящейся на еди¬
ницу длины, то
ОI = Пт (4/а) Г ~ вууПуйх. (3.10)
а-»0 0 1
О
Выражение для смещения щ, которое нужно сюда подста¬
вить, подучается из (3.2) переносом начала координат
в кончиках трещины. При а <С I имеем
иу=2(1-у2)ра[21{1-х) ] Ш/Е. (3.11)
Подставляя (3.8) и (3.11) в (3.10), находим
а
<?г Щ* Пт (4/а) [(1 — V2) р\ЦЕ] \ [(а — я)1/2/.г1/2] Лх,
а-0 ]
откуда
^1 = 2п(1 ~у*)р11/Е. (3.12)
Нетрудно убедиться в том, что это выражение совпадает
с производной дШ/д1 из (3.3). Вводя коэффициент интен¬
сивности напряжений
=Ро(4')1/2’ - (ЗЛЗ)
получаем
= 4я(1 — ^2)Ж!/Я. (3.14)
При чисто хрупком разрушении, согласно гипотезе Гриф¬
фитса, трещина находится в равновесии, если
(Гг =(2,0=40 (3.15)
150
ж, следовательно,
Ж**ри [Еа/я (1 - г2)]1-"2. (3.16)
Силовой подход в теории хрупкого разрушения в ряде
случаев существенно упрощает решение конкретных задач.
Вместо того, чтобы вычислить упругую потенциальную
энергию в целом, достаточно исследовать поведение на¬
пряжений в малой окрестности носика трещины. Подсчи¬
тав коэффициент К при особенности ащ=К8~ш и прирав¬
няв его [Еа[я( 1—\>2)]ш, мы получаем связь между кри¬
тической длиной хрупкой трещины и другими параметра¬
ми задачи. При атом существенно, что упругие константы
материала (в рассматриваемом случае модуль Юнга Е
и коэффициент Пуассона •у) образуют одну комбинацию
с удельной поверхностной энергией [Еа/п( 1—у2)]172, име¬
ющую размерность МЬ~и2Т~2.
Теория Гриффитса сразу же после ее возникновения
получила экспериментальное подтверждение по разруше¬
нию таких хрупких материалов, как стекло и кварц.
В дальнейшем выяснилось, что она дает правильную функ¬
циональную связь между разрушающим напряжением
и размером дефекта и для таких материалов, которые
нельзя в обычном смысле назвать хрупкими. Оказалось,
в частности, что ряд металлов, обладающих значительны¬
ми пластическими свойствами, при наличии трещин раз¬
рушаются по схеме хрупкого разрушения. В 1948г. Ирвин
[161] и в 1952 г. Орован [163] высказали предположение
о том, что теория Гриффитса может быть использована
для описания разрушения материалов при наличии пла¬
стической деформации.
Дело в том, что во многих практически важных слу¬
чаях пластические деформации происходят лишь в тонком
слое у поверхности трещины. За пределами этой зоны ма¬
териал деформируется упруго. При разрушении тела его
упругая энергия расходуется не только на образование
новой поверхности, но и ва пластическую работу в при¬
поверхностном слое трещины. Формально это означает,
что величина а может быть представлена в виде суммы
0=00+01, (3.17)
где Оо — удельная поверхностная энергия, Я[ — удельная
работа пластической деформации. Соотношение между Оо
151
и 01 различно для разных материалов. Для мягкой стали,
например, 01 превышает Оо на три порядка, для высоко¬
углеродистой стали обе величины сравнимы.
Распространение теории Гриффитса на пластические
материалы получило название теории квазихрупкого раз¬
рушения. Вопросам пластичности в механике разрушения
в последнее время уделяется большое внимание. Однако
по-прежнему речь идет о статических испытаниях различ¬
ных конструкционных материалов. Экспериментальных
данных о возникновении и развитии трещин в горных по¬
родах почти нет. Наличие пластических деформаций в
окрестности трещины приводит к тому, что величина о
имеет значительный разброс. Можно ожидать, что при
больших скоростях распространения трещин роль пласти¬
ческих деформаций будет несущественна. Однако при этом
возникает целый ряд вопросов, связанных с динамикой
трещин.
Известно, например, что поверхность разрыва при
большой скорости трещины становится шероховатой, что
также может привести к возрастанию эффективной вели-
Рис. 43. Виды деформаций при образовании трещин:
растяжение, сдвиг, аитиплоская деформация.
чины о сравнительно с ао. Однако, прежде чем приступить
к более подробному обсуждению вопросов динамики тре¬
щин, остановимся на некоторых статических 'задачах,
представляющих определенный интерес с точки зрения
разрушающего действия взрыва.
Заметим, что в основном рассматриваются плоские тре¬
щины. В общем случае поле напряжений вблизи края
трещины может быть представлено как наложение трех
основных типов: разрывающего, связанного с оуу, попереч¬
ного, связанного с касательным напряжением оху, и про¬
дольного, связанного с оуг (рис. 43) [117]. Последний вид
деформации часто называется антиплоской деформацией.
Для каждого вида деформации коэффициент интенсивно¬
сти напряжений принято обозначать соответственно через
Кт, Ки и Кщ. Аналогично (3.14), в каждом случае имеем:
С1 =КЛл{1-ч2)1Е,
Сп=Ьп{\-у2)Ки1Е, (3.18)
Ош=4я(1+^ЛГш/Д.
§ 4. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРЕЩИН
При взрывном разрушении мы имеем дело с большим
количеством трещин. Поэтому первый вопрос, возникаю¬
щий в этой связи, это — вопрос о статическом взаимодей¬
ствии системы хрупких трещин. Простейшая из возмож¬
ных постановок задач состоит в следующем: в неограни¬
ченном упругом теле имеется бесконечный ряд параллель¬
ных трещин дайной 21 каждая, находящихся на расстоя¬
нии )г друг от друга. Внутри каждой трещины действует
постоянное давление Оуу (или т*у, ту2 для II и III типа де¬
формации). Требуется найти условие, при котором тре¬
щины находятся в критическом равновесии (т. е. таком,
когда при увеличении напряжения начинается их ката¬
строфический рост). Эта задача рассматривалась рядом
авторов [139, 104, 165], однако до настоящего времени не
найдено точного решения ее, выраженного в аналитиче¬
ском виде.
Условие Охх=вУУ на оси симметрии, как было показано,
выполняется точно для случая одной трещины. Предполо-
15з
У:
X
—
—
Рис. 44. Симметричная
система трещин двух
разных длин.
У
-т
а2
Л
+т
в2
~Ъ
+1 х
Рис. 45. Область решения
задачи о системе трещин.
жим, что это условие выполняется и для системы парал¬
лельных трещин, имея в виду, что расстояние между тре¬
щинами значительно больше их длины. Такое предполо¬
жение существенно упрощает задачу, сводя ее к краевой
задаче для одной аналитической функции. При этом мож¬
но рассмотреть систему параллельных трещин и разной
длины (рис. 44). Обозначим длину больших трещин через
21, малых — через 2т. Расстояние между трещинами
равно к. Внутри каждой трещины действует давление рп,
на бесконечности давление равно нулю. В силу симметрии
можно ограничиться рассмотрением полосы
—оо<ж<;оо (рис. 45). Аналогично изложенному в пре¬
дыдущем параграфе для функций ф'(г) на границах по¬
лосы должны быть выполнены следующие условия:
Ке ф'(2)=—ро/2; у=0; у=к,
1тф'(2)=0; у== 0, |я|>/!; у=к, \х\>т.
Эта краевая задача решается следующим образом.
Функция
Ц-гт1 = ^=сЯ2/'‘ (42)
отображает полосу на верхнюю полуплоскость с со¬
ответствием точек (рис. 46). Для функции /((0=ф'[2(^\1
Г
1ти>'=0 Яе<р'=-2 1т<р'=0 Iт/=о
К, В< А, Щ
К М 1-2 —-
Рис. 46. Вспомогательная плоскость.
154
имеются следующие граничные условия:
Ке/(С) = — Р0/2; — а1<К — сц *; < ? < «2 , 11 = 0,
(4.3)
1т /(?) = 0; — аТ1 < | < а2; $>»а4; |<— %; ц = 0
(4.4)
(а1 = еят/Л, а2—е-"г/Л).
Эта задача может быть решена при помощи формулы
Келдыша — Седова [100].
В классе функций, имеющих интегрируемые особенно¬
сти на концах отрезков Ли В\, Л г, В2 (см. рис. 46), это ре¬
шение определяется с точностью до двух произвольных
постоянных со, С( и имеет следующий вид:
/ (?) = ^[«Г1 (?) - 1] +(С„ + с& [(? + а,) (5 + «г1) X
X (? — я2) (? — а2~‘)]~1/2,
е(?) -1(5 +«Г1) (С-*Г1)/(С + «1)(С-о>)Г/2 (4.5)
Ветви радикалов выбраны таким образом, что они име¬
ют положительные значения при ^ > а-Г* • Значение /(^)
на бесконечности равно нулю. Исследуем особенности
в точках А\, Ви А2 и В2. Из (4.2) и (4.5) нетрудно вы¬
вести, что при подходе к этим точкам извне отрезков А\В\
и А2В2 действительная часть функции стремится к бес¬
конечности по закону сопз1- 5"1/2, где а — расстояние от
соответствующих точек, малое по сравнению с длиной раз¬
реза, а именно: в точке А2
оу = 2 Ке ср' = (с0 — с^) [ях (% — а\ ‘) (ах + а2) х
X («! + я2 *)] 1/2 \АН!п8 = Кг • 8
-1/2.
(4.6)
в точке В\
Ке ф' = р0
(а1 — а1 1) (а1 1 + а2 4)
а1 4е! ‘ + “2 ‘)
718 ■
ев — ь/щ
1(а1—а4 1)(в1 1 + а2)(а1 1 + а2 4)
(4.7)
■1АН/718=К[/'\А8 ;
155
в точке А г
2 Ке <р' = — — с,о + с1°2 х
у- (щ + а3) а4)(аг1 — о2) аг
X VЩёВ = К2/Уя ; (4.8)
в точке В2
2 Ке Ф'
_ \Г (а2 1+ д0(д2
0 V («Г1 —“г) “Г1
УЫпз +
Г0 +
]/"(«2 1_Г а0(я2 5 1 ~~аг)а2 1
- У Н/пз — К2: У5.
(4.9)
Для определения постоянных щ и ш потребуем выпол¬
нения равенств
Ку == К-, /С2 - - /^2, (4.10)
вытекающих из физически очевидного условия симметрии
относительно оси у. Из (4,6) — (4,9) и (4,10) получаем
со=р0а1/(аг-
-1),Щ!
=Ро(я2—а,),
(4.11)
<-г~ РйУЬ,:п [а2(а\ -
- 1) (а1
+ я,)-1 (1 + аха2)~
'П
= [й] (1 —
я|) (Я-1
+ а2)—1 (1 + а^з)-1
11/*
(4.12)
Согласно теории равновесных трещин, последние нахо¬
дятся в покое, если коэффициент интенсивности напря¬
жений равен модулю сцепления
Щ (4.13)
Подставляя сюда (4.12), находим
Я1 = 1/я2, 1=т, К1=К2=р0[(Щп)1к(п11к)]и2. (4.14)
Таким образом, рассматриваемая система трещин мо¬
жет находиться в равновесии, если трещины имеют одина¬
ковую длину, причем
(р1к/2л) 1Ь (я ЦК) = Кхс
(4.15)
при к/1 —> оо получается выражение
рЧ « 2к1, (4.16)
совпадающее с соответствующей формулой для изолиро¬
ванной трещины.
В другом предельном случае близко расположенных
трещин при к/1’-*-. О равновесное расстояние Между тре¬
щинами не зависит от их длины:
к == 2лК\с/р1. (4.17)
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ
До настоящего времени известно весьма небольшое
количество работ, в которых движение трещины исследу¬
ется при помощи точных решений динамических уравне¬
ний теории упругости. Ввиду больших математических
трудностей авторы этих исследований обычно рассматри¬
вают настолько искусственные постановки задач, что ре¬
зультаты их решений фактически не поддаются физиче¬
ской интерпретации. Естественны поэтому многочислен¬
ные попытки приближенного описания процесса развития1
трещин в постановках, более отвечающих реальным усло¬
виям. По-видимому, одной из первых работ в этом направ¬
лении была работа Мотта [166]'. Обычное энергетическое
условие равновесия трещины (3.1) при А—2ТЕ имеет вид
дТУ/д1=дП/Ж. (5.1)
Мотт дополнил это условие производной по длине трещи-
ны 1 от кинетической энергии Т
«НЕ/д1=дЩд1-
-нда,
(5.2)
и получил простую формулу
У=МЩ> (1-
-Шо) ш.
(5.3)
Здесь IV — потенциальная энергия деформации, П
поверхностная энергия, Е — модуль Юнга, р — плотность,
157
10 — длина равновесной трещины, к — эмпирическая кон¬
станта, V — скорость трещины. Мотт пользовался стати¬
ческим выражением для потенциальной энергии деформа¬
ции, что, цо-видимому, можно считать оправданный, так
как в более поздней работе Уэлса и Поста [167] было экс¬
периментально показано, что напряженное состояние в ок¬
рестности движущейся трещины несущественно отличает¬
ся от статического случая. В этой же работе было показа¬
но, что формула (5.3) качественно неплохо описывает
опытные данные, хотя и дает несколько завышенные зна¬
чения скорости (при /с == 0,38). Заметим, что работа Мотта
основана на приближенной постановке. Отметим также,
что уравнение (5.2) не соответствует закону сохранения
энергии.
Действитцйкно, если обозначить через А работу внеш¬
них сил, то должно иметь место равенство
дА1д1=д,]7\/'1д,1-\-(1Т1д1-\-дА\/й1. (5.4)
Так как граница области изменяется со временем, то
й1й1—д1д1-\-Уд1д1, где д/д1 означает производную по вре¬
мени при постоянной границе. Очевидно, что
дА1д1=д]У1д1+дТ1д1, Щ/<И=УдП/д1. (5.5)
С другой стороны, по теореме о потенциальной энергии
деформации [105] в плоском случае
А *** 2\У + ]" ]* Р (ид^и/дЬ2 + ид^а/дР) йхНу, (5.6)
где и и V — компоненты вектора смещений. Комбинируя
(5.4) — (5.6), получаем
д\У/д1 = дТ/д1 + дП/д1 - (д/д1) || р (идЧ!д13 +
-г удгоч'д(2) йх(1у. (5.7)
Как видно, это выражение отличается от (5.2) нали¬
чием добавочного члена в правой части.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в упругом ма¬
териале имеется равновесная трещина, длина которой
158
и растягивающее усилие на бесконечности удовлетворяют
следующему условию:
К,=Кг с. (5.8)
Здесь Кх — коэффициент интенсивности напряжений,
Кгс — коэффициент сцепления.
В начальный момент времени 1~10 растягивающее
усилие мгновенно возрастает до величины р>Ро. Требует¬
ся определить скорость трещины.
Примем следующие гипотезы. 1. Компоненты вектора
смещений в каждый момент времени определяются так
же, как в статической задаче 2. Разность между прило¬
женными внешними силами и силами сцепления в носике
трещины уравновешивается Силами инерции.
Рассмотрим частицу среды, прилегающую к внутрен¬
ней поверхности трещины в точке, находящейся на малом
расстоянии я от ее конца. Если скорость поступательного
движения концевой области есть V, то с точностью до ма¬
лых высшего порядка в этой точке
дV^д^=VдV|дз. (5.9)
Эта скорость приобретается частицей за время порядка
я/Р, так что ускорение
д2н/д12~ (Р2/я) (дп/дя), н=4(1—ч2)Кх8х,21Е.
Согласно первой гипотезе, получаем
д^/д12 ~ 2Р2 (1-г2) Кх/Ез3'2. (5.10)
Нетрудно убедиться в том, что производная д21}/дх2 есть
величина того же порядка. Действительно, по (2.11)
V=Ъ(1-V2)ро112^^2|Е. (5.11)
Таким образом, при \х \ ^1
д2и/дх2=2ро(1—м2) [х2/{12—х2) +1]/Е(12-х2)т. (5.12)
На расстоянии х=1—х<^1, от конца трещины д^/дх2 есть
величина порядка
Кг{ 1-^2)/Ея3/2. (5.13)
159
(5.14)
Чисто формально динамическое уравнение
(А,+р) дО/ду-\-цАи—рд2и/дР
в окрестности носика трещины превращается в статиче¬
ское, если вместо Кг взять
К^-кУ^р), (5.15)
где к — эмпирический множитель.
Используя вторую гипотезу, следует принять
Кг-^^к-К^р/р. (5.16)
Для определения неизвестной постоянной к .потребуется
априори, чтобы п ре дельна я скорость расширения трещины
была равна скорости распространения рэлеевских волн с.
Это предположение опирается на известные результаты
точных решений динамических задач [11, 12].
Таким образом,'из (5.16) получаем окончательное вы¬
ражение
• 7=с(1-ЛГ1е/^) V3. (5.17)
В том случае, если развитие трещины происходит под
действием постоянных растягивающих напряжений, фор¬
муле (5.17) можно придать следующий вид:
7-г(1-|Щ1/2, (5.18)
где 10 — длина равновесной трещины, а I — длина трещи¬
ны в данный момент времени.
Зависимость (5.18) графически изображена на рис. 47
(кривая 1) вместе с формулой (5.3) (кривая 2) и тремя
экспериментальными точками, полученными авторами
[167]. На рис. 48 приведены экспериментальные данные,
полученные в [89] при растяжении пластинки из плекси¬
гласа на специальной растягивающей машине, обеспечи¬
вающей с хорошей точностью условие сопя!.
В работах [14, 15] исследована задача о распростране¬
нии трещины е постоянной скоростью, начиная из состоя¬
ния покоя. В этом случае I—1й-\-У1, или, если пренебречь
начальной длиной трещины, 1—У1, так что коэффициент
интенсивности напряжений
Кг^р^т-УгУ'2. (5.19)
160
скорости трещины от ее
длины по литературным
источникам.
Рис. 48. Экспериментальная
зависимость скорости ‘трещи¬
ны от ее длины в плекси¬
гласе.
Из (5.17) следует, что модуль сцепления Ки также
Должен быть пропорционален В работе [15] показано,
что этот случай осуществляется, если концевая область
трещины увеличивается с постоянной для данного мате¬
риала скоростью. Тогда вместо модуля сцепления Кхс вво¬
дится новая характеристика материала Вс, связанная с Кг„
соотношением
к1с=вст. (5.20);
Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.17\, получаем
рЪ^рУс/В^ 2(У/с)~и2Х
X (1 - УЦс2) “И,
(5.21)
На рис. 49 изображен
график, взятый из работы
[15]1, на котором нижняя
кривая построена по фор¬
муле (5.21).
Рис. 49. Зависимость скорости
трещины от давления внутри
нее.
РЦ
6 В. М. Кузпецов
161
§ 6. РАЗВИТИЕ СИСТЕМЫ ТРЕЩИН
Рассмотрим е точки зрения развитой в § 5 приближен¬
ной теории Задачу о распространении системы трещин
двух различных длин, изображенной на рис. 44. Имеем
йт1М=с{\-К1с1К1у12, йЦй1^с{\-КгМ2у'\ (6.1)
где К\ и К% определяются соответственно формулами
(4.12), которые после преобразования могут быть записа¬
ны в виде
к,~Ро(ш
к \1/2
2я I
к \№
зЬ 31 зсй л{т0^1)- зсй
к 2 к 2 к
к 2к 2 к
1/2
1/2
(6.2)
Начал ьные значения длин трещины обозначим через
ото и 1а. Соответствующие им значения а\, щ, Кх и Хщ обо¬
значим индексом нуль. Из (6.2) следует, что
ё±
К-1
, л! .
(6.3)
так что при 1>т К^Ж\.
Если Кы=К2о—Кгс, то трещины не расширяются. При
Кю<.Кп<К2о короткие трещины схлапываются, длин¬
ные — расширяются. Наконец, при К\о>Ки, К2о>Ки
происходит расширение обеих трещин со скоростями, оп¬
ределяемыми уравнениями (6.1). Так как скорости рас¬
ширения не одинаковы, то с течением времени Кх может
стать меньше Ки, и развитие коротких трещин прекра¬
тится.
Действительно, рассмотрим случай трещин, располо¬
женных близко одна к другой
1/&»т?г/&»1. (6.4)
В этом случае уравнения (6.1) приближено Записывают¬
ся в виде
й?п1Ш= с [ 1— (/1':,Тл/рзТ Ъ) е*й-*>/л]
й!/й^=с[ 1—К1сУ п1 роУ к]1/2.
162
(6.5)
(6.6)
Таким образом, скорость длинных трещин постоянна,
а скорость коротких убывает, обращаясь в нуль в некото¬
рый момент времени, когда
I—т= (2к1п) 1п [ро'Уп/Кц.Т/Н]. (6.7)
Если трещины имеют одинаковые длины, то их рас¬
пространение описывается одним уравнением
д,Ц<М=с{\ — К1с1К),т, К—р$Щ2п• уТкяЩ. (6.8)
Исследуем это уравнение на устойчивость. Пусть
/=20+е, е<20, К^Ро[{П12п) Ш (л10/к)У/2. (6.9)
Подставляя (6.9) в (6.8) и производя соответствующие
разложения по малому в с точностью до членов первого
порядка, получаем
Зе/<И==[леК/(К0—К)2Ъ'ёЪ2 (пЫЩйШ, (6.10)
что с учетом (6.8) может быть проинтегрировано в виде
е= (е0/с) (^оДЙ), (6.11)
где бо — величина начального возмущения.
Таким образом, если в некоторый момент времени ско¬
рость системы одинаковых трещин возрастает, то будет
расти и малое возмущение — движение в этом случае не¬
устойчиво.. Наоборот, если трещины тормозятся — движе¬
ние устойчиво. Развитие системы одинаковых трещин об¬
ладает неустойчивостью и другого типа. Представим, что
все трещины через одну получили одинаковые прираще¬
ния длины, так что образовалась система, изображенная
на рис. 44. Распространение такой системы описывается
уравнением (6.1).
Нетрудно убедиться в том, что система уравнений (6.1)
неустойчива. Если обозначить через х ж у малые возму¬
щения величин т и I
т=1о—у, 1—10+х, х, г/<2д, (6.12)
то, производя разложение правых частей (6.1) в ряды
Тейлора до членов первого порядка, приходим к следую-
163
щей линейной системе дифференциальных уравнений:
йх/<И=А(ау+$х), Лу/<Н=—А(ах-{-$у), (6.13)
А ='(яе/4й) (К/К0) (1 - К1К0)~1'2,
а= 1/2-г/г. (п1о/Н), ^ = сШ (п10/Н)— 1/2 -1к (п1о/Ь).
Ее характеристическое уравнение имеет вид
$2—(^2—а2) =0, (6.14)
так как
Р2 — а2=сзсЬ. (п1о/к).
Отсюда следует неустойчивость уравнений (6.1).
§ 7. ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
ПРИ ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗКАХ
Математическая теория равновесных трещин не рас¬
сматривает вопросы, связанные с образованием трещины,
а лишь позволяет рассчитать прочность материала при на¬
личии в нем заданной конфигурации трещин. В связи
с этим возникают некоторые трудности в интерпретации
получающихся результатов. Действительно, в рассмотрен¬
ной выше задаче о равномерном растяжении упругохруп¬
кого тела, вообще говоря, возможны следующие четыре
варианта трещинообразования при одних и тех же нагруз¬
ках на бесконечности.
1. Возникает одна равновесная трещина, длина кото¬
рой определяется выражением (3.6).
2. Возникает система равновесных трещин, расстояние
между которыми и длина определяются выражением
(4.17).
3. Возникает одна движущаяся трещина, длина кото¬
рой больше равновесной, а скорость определяется форму¬
лой (5.18).
4. Возникает система трещин, движущихся со ско¬
ростью, определяемой по формулам (6.1), (6.2).
Для разрешения этих затруднений обратимся к экспе¬
рименту. Длина одной равновесной трещины связана
164
с прочностью материала. Если реальная прочность мате¬
риала есть о, то, согласно (3.6), по порядку величины
о*~УоЕ/10.
(7.1)
Известно [73], что теоретическая прочность ат
по порядку
величины есть
от~0,1Е.
(7.2)
Положим, следуя [73],
а ~ 0,161?,
(7.3)
где Ъ — межатомное расстояние.
Тогда, если обозначить через а число, показывающее,
во сколько раз реальная прочность материала меньше тео¬
ретической, то из (7.1) — (7.3) следует, что
10~Юа2Ь. (7.4)
Например, для мягкой стали и дюралюминия а~102,
так что
1о ~ 105Ь ~ 10-3 ом. (7.5)
Иногда говорят о динамической прочности материала,
которая превышает его прочность, получаемую при стати¬
ческих испытаниях. При этом имеется в виду разрыв об¬
разца в одном месте, т. е. образование и развитие одной
трещины. С точки зрения теории равновесных трещин это
означает, что длина микротрещин соответствующей дина¬
мической прочности меньше, чем для статической прочно¬
сти, По данным [140], для песчаника Е= (3,34-3,8) •1051
кг/см, о*= (5-7-8) • 10 кг/см, ат/а„=400-т-1300 и, следова¬
тельно, (84-90)-10-® см! Для гранита Е—6-105кг/см,
о*= (1,64-12)-10 кг/см, 1о~ (14-70) • 10-2 см. При напря¬
жениях, более чем вдвое превышающих прочность, вели¬
чина к порядка 1о. Иными словами, при больших разру¬
шающих напряжениях должны получаться очень мелкие
осколки.
Если материал подвержен одноосному сжатию, то наи¬
более опасные места находятся на площадках, располо¬
женных под углом 45° к направлению сжатия, где дей¬
ствуют максимальные сдвиговые напряжения. Анализ на¬
165
пряженного состояния в этом случае проводится анало¬
гично и формально сводится к замене величины К\ на К и
или Кщ.
Известно, что для большинства горных пород проч¬
ность на сжатие значительно превосходит прочность на
растяжение. С точки зрения теории Гриффитса, критиче¬
ская длина трещины в этом случае меньше, чем при рас¬
тяжении. Это означает, с другой стороны, что и расстоя¬
ние между ними также меньше, чем в случае растяжения.
Иными словами, если материал разрушается при сжатии,
то образуются осколки более мелкие, чем при растяжении.
При взрыве в горной породе разрушение сжатием проис¬
ходит в области, непосредственно примыкающей к взрыв¬
ной камере,— это так называемая зона «перемола». Объем
ее невелик по сравнению с объемом всей разрушаемой
породы, а количество частиц очень велико. С удалением от
центра взрыва напряжения уменьшаются — разрушение
сжатием становится невозможным. Здесь образуются тре¬
щины отрыва; эта зона называется зоной радиальных
трещин.
Самой простой моделью такой системы трещин являет¬
ся система параллельных одна другой трещин, рассмот¬
ренная в § 4 и 5. Если принять в качестве дополнитель¬
ной гипотезы, что длина каждой трещины определяется
только прочностью материала по формуле (7.4), то рас¬
стояние между первоначально возникшими микротрещи¬
нами определяется выражением
(ро/&/2я) Пг (п10/Н) а» к\с.
Как было выяснено в § 6, эта система трещин неустой¬
чива. В частности, если все трещины через одну получили
одинаковое приращение длины, то более длинные трещи¬
ны будут развиваться быстрее, а более короткие медлен¬
нее. Через некоторое время короткие трещины остановятся
и начнут схлапываться. Наличием коротких трещин мож¬
но пренебречь. Таким образом, образуется новая система
трещин с удвоенным расстоянием между ними. Обозначим
через К' коэффициент интенсивности напряжений для си¬
стемы трещин с расстоянием 2К между ними:
К'=Рй[(Н1л) Ш (я//27г)]|/2. (7.6)
166
Сравним К' с величиной К, определяемой первой фор¬
мулой (6.2). После некоторых преобразований отношение
К'/К можно представить в виде
К'/К= [ 1+8Й2 (ял»/2А) 8сЪ2(л1/2к) ]1/2. (7.7)
Если длина трещины в е раз больше первоначальной,
то это выражение отличается от единицы в пределах
1-М0% в зависимости от отношения 1а/к. Таким образом,
если длина трещины в данный момент времени есть I, то
число актов удвоения п равно 1п {111а), а расстояние меж¬
ду трещинами составляет Н=Но-2п, Отсюда
К=Н0{1Цйуа2, (7.8)
где Но —• первоначальное расстояние между трещинами.
Теория хрупкого разрушения Гриффитса — Ирвина в
своей основе имеет вероятностный, статистический харак¬
тер. В самом деле, если, согласно первой гипотезе этой тео¬
рии, в испытуемом образце хрупкого тела всегда найдется
хотя бы одна трещина, то в области больших размеров
таких трещин будет сколь угодно много. Под действием
внешней нагрузки в упругохрупком теле может образо¬
ваться, в принципе, любая система трещин. Развитие этой
системы, как показано выше, обладает динамической не¬
устойчивостью, что еще раз указывает на случайный ха¬
рактер конечных результатов разрушения. Построение де¬
терминированной, определенным образом организованной,
системы трещин должно привести к образованию осколка,
размеры которого следует рассматривать как средние, со¬
ответствующие какому-либо закону распределения.
Статистико-вероятностные подходы к описанию систе¬
мы осколков мы рассмотрим в следующей главе.
Глава VI
СТАТИСТИКА ОСКОЛКОВ
§ 1. АНАЛИЗ
НЕКОТОРЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В настоящее время известно большое число работ, по¬
священных вероятностному и детерминированному исследо¬
ванию процесса осколкообразования при разрушении
хрупких твердых тел. В предположении, что размер ос¬
колка является случайной величиной, получены функции
распределения осколков по размерам при некоторых гипо¬
тезах физического, механического и геометрического ха¬
рактера для случаев однократного или многократного раз¬
рушения. Вероятность попадания кусков в заданный ин¬
тервал изменения размеров рассматривается как доля по
объему кусков рассматриваемого интервала крупности.
Получена связь между распределением количества кусков
но размерам и распределением в долях объема
разрушенной массы как в общем случае, так и в случае,
геометрического подобия образовавшихся осколков [25 —
27]. В основу вероятностных схем осколкообразования
Изложены основные законы распределения вероятностей:
Пуассона [25*—28]|, логарифмически нормальный [66],
гамма [29, 30], Вейбулла [32], нормальный [18] и др.
При этом интегральной функции расиредедения соответ¬
ствует кумулятивная доля по объему осколков заданного
диапазона изменения линейных размеров. Обычно все
осколки считаются геометрически подобными. Имеются
попытки введения в структуру математической схемы
с немощью дополнительных параметров таких исходных
характеристик взрывного дробления породы, как физико-
механические свойства породы, трещиноватость, интен¬
сивность действующей нагрузки, а также технологические
особенности схем взрывания. Следует отметить, что экс¬
периментальная проверка рассматриваемых теоретических
схем весьма сложна, проверка согласованности теоретиче¬
168
ского и эмпирического распределения е помощью неко¬
торого критерия согласия в данном случае практически
неосуществима [142]. Оценки получают либо в модель¬
ной постановке, либо приближенно, либо косвенным пу¬
тем. Обычно применяется визуальное рассмотрение экспе¬
риментальных кумулятивных кривых в выравнивающих
координатах, соответствующих некоторому типу распре¬
деления [145]. Выравнивание экспериментальных точек
на соответствующей вероятностной бумаге, однако, не озна¬
чает, что фактическое распределение кусков по размерам
совпадает с теоретическим, так как в некоторых диапазо¬
нах изменения параметров различные типы распределе¬
ний трудно различимы [37, 32]. Попытка построения ве¬
роятностной модели осколкообравования для однократного
разрушения хрупкого твердого тела на основе закона Пу¬
ассона распределения вероятностей предпринята Гилл-
вари [171—174]. Автор исходит из гипотезы Гриффитса
о том, что дефекты или микротрещины, ответственные за
разрушение, существуют в хрупком твердом теле и до
приложения разрушающего напряжения. Предполагается,
что в оеколкообразовании принимает участие лишь неко¬
торая их доля, так называемые «активированные» дефек¬
ты, при этом в разрушении образца участвуют дефекты,
распределенные как по объему, так и на вновь образую¬
щихся поверхностях разрушения и ребрах осколков. По¬
следние два типа Дефектов названы поверхностными и
краевыми. Рассматривается бесконечное тело, влиянием
его границ на разрушение пренебрегается. Данная схема
учитывает лишь однократное разрушение, так что образо¬
вание осколков вполне определяется постулированными
случайными распределениями активных дефектов.
Сделаны следующие основные предположения при по¬
строении функции распределения осколков по размерам:
1. Образование осколков вызывается активацией объ¬
емных, поверхностных и краевых дефектов.
2. Активные дефекты трех типов распределены неза¬
висимо друг от друга.
3. Активные дефекты каждого из трех типов распреде¬
лены случайным образолг независимо от способа прило¬
жения разрушающего напряжения.
Первым допущением вводится новая гипотеза сущест¬
вования и, как утверждает далее автор, преобладающей
роли краевых дефектов в процессе оекоякообразования.
169
Второе допущение предполагает произвольность ориента¬
ции поверхностей разрушения и случайный характер на¬
пряжений, возникающих в процессе разрушения образца.
Существенным моментом этого подхода являются неис¬
черпаемость дефектов в ходе разрушения и исключения
какого-либо влияния трещин друг на друга в процессе
однократного разрушения. В результате Гиллвари полу¬
чает вероятность того, что осколок имеет полную длину
ребер, полную площадь граней и объем меньше, чем
/. 5 и V соответственно, в виде
7=1 — е~е, (1.1)
где V, -5-1-■у, - г; — линейная функция от I,
з, щ у„ — средние плотности объемных, поверх¬
ностных и краевых дефектов. Отмечается, что вероят¬
ность 7 может быть оценена экспериментально, как ку¬
мулятивная доля из объема, занятого осколками. Для
случая геометрического подобия осколков функция рас¬
пределения сводится к функции одной переменной
7=1 —ехр{— [х/к+(хЛ)2+(х/1)3]}, (1.2)
где константы г, /, к имеют размерность длины и могут
быть интерпретированы как средние расстояния между
дефектами объемного, поверхностного и краевого типов.
Рассматривается также двумерный случай. Автор от¬
мечает неудовлетворительность модели для случая малых
х, В терминах полученной функции распределения такие
величины, как число всех осколков, полная длина ребер
и полная площадь всех граней,—являющиеся по физиче¬
скому смыслу конечными,—выражаются расходящимися
в Нуле интегралами.
Следует отметить, что, несмотря на ясный механиче¬
ский смысл допущений Гиллвари, такие основные предпо¬
ложения, как существенная роль краевых дефектов в раз¬
рушении и исходный вид распределения дефектов но за¬
кону Пуассона в образце, являются спорными и не поду¬
чили экспериментального подтверждения [20].
Используя подход Гиллвари, В. А. Безматерных,
В. Г. Симанов и др. [25—28] сделали попытку связать
параметр распределения Пуассона с интенсивностью
взрывной нагрузки и исходной трещиноватостью массива.
Рассматривается случай краевых дефектов и вредно,тага-
170
ется, что разрушение горного массива обусловлено акти¬
вацией дефектов в двух независимо протекающих про¬
цессах: раскрытие естественных трещин и образование тре¬
щин в результате взрывной нагрузки. Приводится функ¬
ция распределения осколков по размерам в виде
Р{ж^а;4=:1 — ехр[—(ао+аО^л], (1-3)
где хк *— характерный размер куска; ао, пропорци¬
ональны среднему числу активируемых нарушений есте¬
ственного и взрывного происхождения соответственно.
Далее
а!=фо/, (1-4)
где ро — постоянная, I — удельный импульс взрыва. При¬
водится также формула для удельного импульса взрыва
в терминах взрывной отбойки при многорядном взрывании.
В работе [37] получена функция распределения осколков
по размерам в предположении, что пространственные ко¬
ординаты активных дефектов краевого типа распределе¬
ны нормально.
Считая, что образование трещин в массиве горных по¬
род обусловлено активацией дефектов краевого и по¬
верхностного типов, и используя различные комбинации
вероятностей, авторы работы [28] предлагают свести
классификацию массивов горных пород по типу трещино¬
ватости к четырем типам раелределшшя и их комбина¬
циям. Приведена методика проверки принадлежностей од-
но-двухмодальных распределений естественных отдельно¬
стей по размерам к указанным комбинациям распределе¬
ний четырех типов. Используя два указанных выше рас¬
пределения из четырех, авторы [27]1 предлагают описа¬
ние двухмодальпых распределений, полученных при
взрывном разрушении цилиндрических образцов горной
породы в виде их комбинаций.
Известны другие попытки построения функции рас¬
пределения кусков по размерам с учетом напряженного
состояния массива на основе закона Пуассона [80]!,
В практических приложениях для описания распреде¬
ления частиц по размерам, таких как геологические от¬
ложения и россыпи [126], частицы аэрозолей и пыли,
а также частицы дробленого продукта [175]', использу¬
ется логнормальное распределение. В известной работе
171
[66] А. Н. Колмогоров, применив предельную теорему
в вероятностной модели многократного дробления частиц
некоторой исходной совокупности, показал, что функция
распределения количества частиц по размерам асимптоти¬
чески стремится к логарифмически-нормальному закону.
Из предположений, сделанных в указанной работе, отме¬
тим следующие, имеющие ясный механический смысл.
1. В начальный момент времени имеется определенное
число частиц с произвольным распределением по раз¬
мерам.
2. Вероятность дробления каждой частицы и получен¬
ное в результате распределение по размерам осколков не
зависят от абсолютных размеров частицы, от ее истории
и от других частиц.
3. Число дроблений велико.
Таким образом, существенными допущениями при вы¬
воде логнормального закона распределения частиц по раз¬
мерам являются постоянство вероятности дробления в хо¬
де процесса и многократность дробления.
В работе [107]1 В. П. Макарьев и Ю. А. Коротков
предложили использовать логнормальный закон как до¬
статочно общую статистическую модель процесса дробле¬
ния к описанию грансостава взорванной массы горной
породы. Функция распределения для количества кусков
по размерам имеет вид
где I— (1п х—1пжо)/1па, хо, о — параметры распределения.
В ряде случаев грансостав описывается усеченным
логнормальным распределением. Физические свойства по¬
роды определяют дисперсию распределения, так что изме¬
нение технологии дробления изменяет лишь один пара¬
метр — средний размер .куска.
В работах А. В. Бирюкова, Н. Я. Репина и др.
[29—30] предложена методика расчета грансостава взор¬
ванной породы на основе гамма-распределения. Интерес¬
на мысль авторов о соответствии распределения количе¬
ства кусков цо размерам для взорванной породы рас¬
пределению естественных отдельностей для исходного
трещиноватого массива Опираясь на такие свойства
эмпирического распределения, как неотрицательность слу¬
(1.5)
чайной величины и положительная асимметрия плотности
распределения, авторы считают, что наиболее удобным
н гибким, хорошо аппроксимирующим экспериментальные
данные по естественной трещиноватости (с точностью
до 5%) является гамма-распределение. Получена функ¬
ция распределения для объема кусков по размерам в ви¬
де неполной гамма-функции в предположении геометри¬
ческого подобия кусков
Ф(и) = 1/Г(го) Г 1т-'е~г<И, (1.6)
о
где х~ри)М\ т—р-\-3; р=М21В\
М — математическое ожидание диаметра куска, численно
равное среднеарифметическому размеру последнего; О —
дисперсия распределения количества кусков по размерам;
Г(?п) — гамма-функция.
Используя эмпирическое соотношение между средним
и дисперсией, полученное при исследовании естественной
трещиноватости горных пород
М2/Я«3,
один параметр исключают, и функция распределения при¬
нимает следующий вид:
Ф (*) = 1 — е~3х/м 2 3кхк/Мкк\ С1*7)
к= О
Необходимо отметить, что соответствие грансостава взор¬
ванной массы и естественной трещиноватости массива мо¬
жет иметь место лишь для случая сильно трещиноватых
пород при неинтенсивном взрывном дроблении. Имеются
другие работы, посвященные исследованию применимости
гамма-распределения к описанию грансостава взорванной
массы горной породы [133].
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА
(ЗАКОН РОЗИНА-РАММЛЕРА)
Для аналитического описания грансостава взорванной
породы одним из первых было предложено соотношение
Розина-Раммлера, применявшееся ранее для описания
173
грапсоставд дробленого продукта в горно-обогатительной
промышленНосхи [д 176]'. При вероятностной интерпре¬
тации ко,мулятвноя доли кусков по размеру как интег-
ральной функции распределения соотношение Розина-
Раммлера [176] соответствует введенной позже Вейбул-
лом [179 182] функции распределения
Ф(ж)=1—-ехр[— (ж/жо)”], (2.1)
где х0, п Параметры распределения.
Покажел1) что закон Розина-Раммлера получается как
частный случавг из общих вероятностных представлений,
имеющих определенный физический смысл.
Пусть функция распределения (вероятность того, что
осколок имеет линейный размер меньше некоторого зна¬
чения х) ицеет вид:
Ф (х) =Д—е~г(щ>, Р(0)=0, Р(оо) = оо. (2.2)
Здесь Р {х)—положительно определенная функция,
производная; которой может иметь конечное число разры¬
вов первого рода на всем интервале изменения х.
Вероятнцсть Того, что осколок имеет длину в диапазо¬
не (ж, х-{-Лх^ определяется как
йр=
= Ф '{х)йх=Р'{х)е-^*\
(2.3)
Количество соколков в том же диапазоне
с1т=
Роф/у— {Уо!р)Р'&~1'Лх.
(2.4)
Здесь V некоторый средний объем частицы, имеющий
размеры в д%1а;зоне (х, х-Д-ёх), У»—общий объем.
Формула (2.4) проясняет понятие вероятности. В дан¬
ном случае
^^о=Vйт|V0=йV|Vо, Др* = ЛУ*/У0. (2.5)
Таким об(разом, вероятность того, что частица имеет
размер в диапазоне значений от х до ж+йж, есть отно¬
шение объему всех частиц, имеющих данные размеры,
ко всему оо'ьс?ЛГу анализируемой массы. Объем всех частиц,
размеры которых больше х, определяется из (2.3) и (2.4):
со
V (х) ж ( рйт Удв-^^. (2.6)
X
Закон Розпна-Раммдора получается отсюда, если по¬
ложить Р(х) =аХп. Условие нормировки
ос
{йр ~ 1,
В
которое выполнено вследствие ограничений, накладыва¬
емых на Р{х), определяет точность данного подхода.
Так как в действительности размер осколков меняется
ве от 0 до оо, а от некоторото минимального размера гтш
до максимального то точность должна определяться
выполнением неравенств
жтт со
( 1, | йр>с1. (2.6')
О ^пах
Покажем, как можно определить (2.1), исходя из
теоретико-вероятностных представлений. Сформулируем
гипотезы.
1. Предполагается, что все грани осколков плоские, при¬
чем всегда найдутся две параллельные грани. Это предпо¬
ложение позволяет свести «многомерную» задачу образова¬
ния осколка к «одномерной», а именно, рассмотреть про¬
цесс возникновения двух плоских трещин, находящихся
на некотором расстоянии х.
■ Так как возникновение трещины в некотором месте
сопровождается разгрузкой материала в ее окрестности,
то очевидно, что условная вероятность Р\ (с1х/х) появле¬
ния второй трещины на расстоянии х от первой в диапа¬
зоне с1х зависит от величины х. Кроме того, Р\ Ых/х) про¬
порциональна (1х:
Р\ {(1х!х) =ф(ж)йх.
Если рассматривать однородный материал, то ясно, что
чем больше расстояние х от первой трещины, тем более
г ероятно появление второй трещины.
2. Для данного напряженного состояния существует
характерный линейный размер такой, что вероятность
175
возникновения второй трещины на расстоянии хо больше,
чем на расстоянии а'<жо. Это предположение можно за¬
писать, например, в таком виде
1*1 (Ах/х) = (п/хо) (х/х0) п~1йх, (2.7)
где Же, п — некоторые параметры, причем п>I. Если
п— 1, то (2.7) приводит к основному соотношению, кото¬
рое делается при выводе закона Пуассона о распределе¬
нии точек на прямой. В этом случае вероятность попада¬
ния точки на отрезок Ах не зависит от наличия точек в
соседних отрезках.
3. Вероятность возникновения двух трещин на беско¬
нечно малом отрезке Ах равна нулю
Рг{Ах) = 0, Ро(Ах) = 1—Р\{Ах). (2.8)
Вычислим вероятность того, что на отрезке (х-\-Ах)
нет ни одной трещины. По формуле умножения вероят¬
ностей
Ро(х+Ах)=Ра(х)Ро(Ах1х). (2.9)
Подставляя сюда (2.7) и (2.8), получаем
Р0{х-\-Ах) —Р0(х) [1—(п/хо) (х/х0)п~1]Ах,
отсюда
АРо/Ах=—Ро(п/хо) (х/хо)п~\ Ро=сопз1-ехр[—(х1ха)п].
Постоянная определяется из условия Ро(0)=1. Таким
образом, получаем
Р0 {х) =ехр[—(х/хо)п].
Очевидно, что Ро (х) есть вероятность того, что ос¬
колок имеет длину большую х, т. е. функция распре¬
деления (2.2) связана с Ро соотношением
Ф (ж) =1—Р0(х).
Дифференциальная вероятность Ар есть вероятность
одновременного осуществления двух событий: ни одной
176
трещины на отрезке х и одна трещина на отрезке 6х:
6р=Ро(х)Р\(6х1х) = (п/хо) (х/хо)П_1 ехр[—(х/х0)п]<1х.
(2.10)
Это выражение естественно совпадает с (2.3), если в
последнем положить
Р(х) — (х/х0)п.
Подставляя это выражение в (2.6), получаем закон
Розина — Раммлера в виде
У(х) =Ргоехр [—(х/х0)п]. (2.11)
Средний размер осколков вычисляется обычным спо¬
собом:
ОО
<ж> = | хбр, (2.12)
о
отсюда после подстановки (2.10) и вычислений
ОО
<ж> = ж0Г (1 + 1/н); Г (1 + 1/л) = Г е~У/п 61. (2.13)
о
Дисперсия величины х вычисляется обычным способом
по формуле
ОО
Б — Г (х— <ж>)2 6р = <(ж>2 [(1 +2ге)/Т (1 + 1/га)].
о
(2.14)
Как отмечено выше, в рассматриваемом случае 1,
так что аргумент Г-фуикции в (2.13) и (2.14) изменяется
в диапазоне от единицы до двух. При этих значениях ар¬
гумента Г-функция будет порядка единицы. Имеют место
приближенные соотношения
(х)жхр, Бж(х)2/п, (2.15)
раскрывающие статистический смысл параметров п и х<?,
в законе Розина — Раммлера в форме (2.11). Средний
7 В. М. Кузнецов
177
размер осколка вследствие (2.5) понимается при этом как
«средневзвешенный». Экспериментальные величины бу¬
дем обозначать индексом 2. Экспериментальное определе-
ление среднего производится по формуле
<*г> - 2 »ьАл « (АГ^УД (2.16)
г=1 г=1
где Хи —средний размер г-й группы; АТ^»- — объем (вес)
1-й группы; Уо — общий объем (вес) анализируемой мас¬
сы, / <— число групп
Параметр п определяет равномерность дробления. Оче¬
видно, что чем меньше дисперсия, тем более «кучно» рас¬
положены все значения относительно точки х=(ж), т. е.
тем равномернее дробление. Из (2.15) .следует, что рав¬
номерность дробления увеличивается с ростом п. С этим
же параметром связан перерасход энергии на излишний
перемол породы.
Предположим, что все образующиеся после взрыва
осколки геометрически подобны. Тогда осколок, обладаю¬
щий характерным размером х, имеет поверхность а и
объем V, равные соответственно
Я -= ка • X2, Р—ка- X3,
Где К кь — постоянные коэффициенты. Общая поверх¬
ность всех осколков определяется выражением
со со
8 = Г зйт — У0 (к3/к„) | Ар!х = У0 (к8/к„)Т (1 — 1 /п).
6 6
(2.17)
Оптимальный вариант дробления осуществляется, ког¬
да весь объем Уо разрушается на одинаковые куски раз¬
мером (ж). При этом поверхность всех осколков
<5>=(Уа/<ж»(№). (2.18).
Относительная доля «лишней» поверхности
А8/8= (8 - <8))/8= (тАгй)Г(1-1/п)«
= Г(1-Н/н)Г(1-1//г).
(2.19)
Случай п—1, соответствующий пуассоновскому распре-
делению, в этом смысле самый невыгодный; общая поверх¬
ность всех частиц, а следовательно, и энергия, идущая на
се образование, стремятся к бесконечности. С увеличением
п эта величина убывает и при «=1,5 составляет 1,4. От¬
метим, что при больших значениях п (порядка 2—3) закон
распределения (2.10) весьма близок к нормальному (гаус¬
совскому ) распределению.
Рассмотрим действие сосредоточенного заряда в сплош¬
ном или ограниченном массиве горной породы. Физичес¬
кая картина разрушения примерно следующая. Волны
сжатия и растяжения, проходя по среде, вызывают рас¬
крытие микротрещин, распространение которых при по¬
следующем движении среды под действием продуктов де¬
тонации приводит к образованию осколков.
Так как интенсивность волн убывает с расстоянием от
заряда, то забывают и напряжения, приводящие к разру¬
шению.
Будем рассматривать образование осколков в каждом
элементарном сферическом слое с радиусом г и толщиной
йт. Очевидно, что средние размеры осколков в каждом
слое увеличиваются с удалением от центра взрыва. Сде¬
лаем следующие предположения.
1. В каждом элементарном слое распределение оскол¬
ков описывается фзшкцией (2.11)
Ут(х) =4лг2ехр[—(х/хо )"]йг. (2.20)
2. Величина п не меняется с расстоянием, а Хс, уве¬
личивается по закону
х0=Агш. (2.21)
Объем всех осколков, имеющих размер больший, чем х,
равен
Г ;
V (х)т ) 4яг2 ехр ]— (х/х0 (г))"] йг. (2.22)
Гь
Интегрирование производится в пределах от радиуса
полости го до* радиуса разрушения Но, в случае неограни¬
ченного массива. Если взрыв происходит в ограниченной
области, то под йе, следует понимать ее характерный раз-
7*
179
мер. Во всех практически важных случаях Про¬
интегрируем (2.22) ло частям
V (х) т (4я/3) • \К1 ехр [— (х/х (й0))п] — го ехр [— (х;Х0 X
До
X (г,))”]} — 4яиге/3) Г {х/хй)п ехр [— {х!х0)п] гЧг.
Тц
(2.23)
Проведенная оценка показывает, что величиной вто¬
рого слагаемого в правой части этого равенства можно
пренебречь по сравнению с первым, если выполняется ус¬
ловие сод>2. Так как здесь всюду 4, то такое пре¬
небрежение возможно, если ю>2.
Предположим, что такое неравенство имеет место.
Тогда из (2.23), принимая во внимание, что /?оЗ>Гд, по¬
лучаем
V (х) = У0 ехр [— (х/х0 (В0))п], У0 *ш 4лКо/3.
Таким образом, и в этом случае приходим к формуле
Розина — Раммлера.
§ 3. ФОРМУЛА
ДЛЯ СРЕДНЕГО РАЗМЕРА ОСКОЛКА
Как видно, средний размер куска определяется на¬
пряженным состоянием на границе зоны разрушения при
взрыве в неограниченной среде или на поверхности огра¬
ниченного массива. Результат этот следует понимать чи¬
сто условно, так как в первом случае пет четкого опреде¬
ления радиуса зоны разрушения, а во втором напряжен¬
но© состояние вблизи свободной границы, вообще говоря,
неизвестно. Обычно под границей зоны разрушения по¬
нимается такая поверхность, на которой выполняется не¬
кий статический критерий разрушения, например равен¬
ство растягивающего напряжения прочности на разрыв.
В теории хрупкого разрушения это означает, что имеется
одна предельная трещина, длина которой определяется
выражением (У.3.6). Ясно, что для статистического ана¬
лиза осколков, когда подразумевается наличие большого
180
количества трещин, такое определение не подходит. Тем
не менее выражение (2.23) может оказаться полезным
для построения эмпирической формулы с целью уменьше¬
ния числа параметров, которые надо находить экспери¬
ментально.
Предположим, что растягивающее напряжение о, воз¬
никающее в среде при взрыве заряда весом @ на расстоя¬
нии г от центра взрыва, определяется как
0=Я1(<21/3/г)5 {ЩщтщШ,}. (3.1)
Здесь константа зависит от свойств ВБ и среды.
Далее предположим, что хрупкие свойства среды описы¬
ваются только параметром Кс (см. (У.3.16)). Тоща из
соображений размерности имеем
х0 = В2К72/о2 (В2 т сопз!). (3.2)
Из этих выражений получаем при г—Во
• х0 ^ В3Кс(В0^1/зУг (2?3 = сопзЪ)
пли, вводя удельный расход ВВ!ф=О/Ео, имеем
*91 В,к1 (У0Л?)** т В^к1 ■ д-2т (Я4 = сопз!). (3.3)
В этом выражении хо не зависит от масштаба взрыва,
что в общем случае не соответствует опытным данным.
Дело в том, что рассуждения, приводящие к формуле
(3.3), по существу основаны на статических рассужде¬
ниях. Масштабный же фактор, оказывается, непосред¬
ственно связан с кинетикой трещин. Предположим, что
рассматриваются два взрыва сферических зарядов (} и
к'А() в неограниченном массиве или геометрически подоб¬
ных кусках. Тоща на подобных расстояниях: г в первом
случае п кг во втором — напряжения, возникающие при
прохождении волны в соответствующие моменты време¬
ни, будут просто одинаковыми. Согласно статическим
представлениям, первоначально создающаяся система
трещин должна быть одной и той же.
Однако время действия этих напряжений во втором
случае больше. Если грубо предположить, что длина вол-
181
ны во втором случае в к раз больше, чем в первом, и что
развитие трещин происходит на определенной постоянной
части длины волны, то возникающая сетка трещин во вто¬
ром случае развивается в течение времени в к раз боль¬
шем, чем в первом. В конце гл. V было показано, что
развитие системы трещин обладает неустойчивостью: если
какая-то трещина случайно стала больше соседних, то
ее скорость увеличивается, а скорость соседних убывает.
Для простейшей системы трещин расстояние между ними
при прохождении длины Ь увеличивается в отношении
(Ь/1о)1а 2, где 1о — первоначальная длина трещин.
В общем случае показатель степени может быть и дру¬
гим, так как первоначальная сетка трещин имеет более
сложную структуру.
Если иод величиной Ь понимать длину волны, Про¬
порциональную то, вводя дополнительный множи¬
тель в (3.3), получаем эмпирическую формулу
х0=В(Уо/О)2%/3Ош (В=СОП31). (3.4)
Здесь р — масштабный фактор, | — коэффициент за¬
тухания напряжений. Постоянную В на данном этапе
исследования вряд ли стоит конкретизировать на осно¬
вании формул (3.1) и (3.2) в силу их грубой приближен¬
ности. Кроме того, величина Кс, например, для большин¬
ства горных пород просто неизвестна, так как включает в
себя удельную работу пластических деформаций. Таким
образом, в формуле (3.4) подлежат определению пара¬
метры В, |, р. Экспериментальная проверка примени¬
мости закона Розина — Раммлера при статистическом ана¬
лизе гранулометрического состава взорванной массы гор- ,
ной породы была впервые проделана в работе [19].
На основе анализа большого количества промышлен¬
ных взрывов было показано', что формула (2.11) доволь¬
но хорошо описывает опытные данные. Однако при вы- |
числении среднего размера куска авторы работы [19]
не получили удовлетворительных результатов. Расхожде- I
ние между теоретическими и экспериментальными значе- |
ниями составляло 50—60%. Для уточнения этого обстоя- I
тельства нами были проведены дополнительные шестери- I
менты [75].
Опыты проводились в известняке восьмой категории 1
прочности. Было проведено две серии опытов. В одной из 1
182
них взрывы производились в отдельных камнях, в дру¬
гой на выброс из сплошного массива. Применялись заряды
гексогена. Вес заряда изменялся от 20 до 500 г. Каждый
\"« опыта (За, Вес
камня ^о^
кг
, Л’о,
п
КГ
СМ
1
0,5
538
6,36
1,92
2
0,5
4866
19,3
2,04
3
0,2
2353
26,6
1,73
4
0,2
1250
13,7
2,05
5
0,1
1727
23,3
1,8
6
0,1
1221
23,3
1,77
7
0,04
855
55
1,32
8
0,04
1388
52
1,52
9
0,02
859
39,6
1,68
10
0,0005
2,13
4,7
1,29
И
0,0005
0,8
1,5
1,28
опыта
Я,
Вес выброшен
- ха, СМ
Глубина
п
кг
ной массы Я<
>. заложен.
кг
Н
1
0,5
1711
28,2
87
1,5
2
0,5
1862
19,9
70
1,3
3
0,2
456
14,6
48
1,7
4
0,1
500
20.7
50
1,56
5
0,1
220
13,5
40
1,5
6
0,05
161
15,6
30
1,44
7
0,05
332
1(1,2
30
1,47
8
0,02
79
8
20
0,91
9
0,02
29
31,2
20
1,32
опыт с одним и тем же весом ВВ и приблизительно оди¬
наковыми размерами камней проводился 2—3 раза. Гра¬
нулометрический состав взорванной массы анализировал¬
ся при помощи ситового отсева и взвешивания соответ¬
ствующих фракций. Отношение этого веса к общему весу
собранных осколков определяет величину
Я(х)=У{х)/У0. (3.5)
Параметр х в данном случае есть диаметр отверстия
в соответствующем сите А. Аналогично обрабатывались
все эксперименты. Параметры взрывов и результаты об¬
работки приведены ниже, а также на рис. 50 и 51 соот¬
ветственно для взрывов в отдельных камнях и на выброс.
Прямые проводились через сильно разбросанные экс¬
периментальные точки по методу наименьших квадратов.
Номер прямой на фигурах соответствует номеру опыта.
18;
[даЧ]
Кроме того, определя¬
лось среднее значение
(хг), вычисленное не¬
посредственно из экс¬
периментов по форму¬
ле (2.16).
Максимальное рас¬
хождение между вели¬
чинами (хг) и (ж), вы¬
численное по формуле
(2.13), составляет не
более 15%, а в боль¬
шинстве случаев не бо¬
лее 4—6%.
Сравним данные для
двух взрывов в кам¬
нях (см. выше). Заряд
весом 500 г в камне весом 5000 кг дает средний оско¬
лок размером » 19 см.
При взрыве заряда весом 0,5 г в камне весом 2 130 кг
образуются осколки, средний размер которых ~ 50 см.
При возрастании масштаба примерно в 10 раз размер
осколка увеличивается в четыре раза. Можно считать,
что при увеличении масштаба взрыва в к раз средний
размер осколка растет как к'к. Таким образом, в формуле
(3.4) [1 = 1/2. Зависимость среднего размера осколка от
удельного расхода можно получить, если все данные, при¬
веденные выше, представить на графике в координатах
1п(<2/Ко), 1п(ж<>/(?1/б) (рис. 52).
Окончательный результат может быть представлен в
виде формулы
<ж>=10-<?1/6(ТУ<?)4/5. (3.6)
Здесь () — вес ВВ, ТНТ кг, У0 — объем разрушенного
грунта, м3; (ж)— средний размер куска, см.
§ 4. АНАЛИЗ ОПЫТНО-ПРОМЫШЛЕННЫХ ВЗРЫВОВ
Основные опытно-промышленные результаты по ана--
лизу гранулометрического состава были взяты из моно¬
графии Л. Н. Марченко [110]. Проанализированы массо¬
вые взрывы на карьерах Каракубского рудоуправления,
Рис. 52. Влияние масштаба взрыва
на грансостав.
7а в. М. Кузнецов
185
Сорского молибденового комбината, Норильского комби¬
ната им. А. Н. Завенягина и Оленегорского ГОК.
В качестве () принимался вес заряда в одной скважи¬
не. Величина ()/У0=д представляет удельный расход ВВ
в кг/м3. Каракубекое месторождение представлено сильно
трещиноватыми с в етл о -серы м и известняками с коэффи¬
циентом крепости /=8. В этом случае для расчета при¬
нята формула
г0=7(ГУ(>)4/5(Г/6. (4.1)
Результаты расчета по формуле (4.1) и эксперименталь¬
ные данные представлены в табл. 5. Нумерация серий
опытов дана в соответствии с работой [110]. Среднее от¬
клонение экспериментальных данных от расчетных со¬
ставляет ±15%. Соросов месторождение состоит из гор¬
ных пород средней крепости (для руды /— 10-т-15, для
породы /==8±12). Для оценки среднего размера куска
воспользуемся в данном случае формулой (3.6). Резуль¬
таты расчета и опытные данные приведены в табл. 6.
Средняя относительная ошибка в данном случае так¬
же составляет 15%, Карьеры Норильского горно-металлур¬
гического комбината и Оленегорского ГОК сложены из
крепких и весьма крепких горных пород с коэффициен¬
тами крепости /=12±16.
Опытные данные по этим/карьерам приведены соот¬
ветственно в табл. 7 и 8. Ио табл. 7 они в среднем на
30 % превышают длину среднего осколка, вычисленную по
формуле (3.6) со средним отклонением 12%. Для карьера
Т а б л и л а \5
Таблица С
я
* ъ
а 4
К
Длина сред-
Ю
Я Я
Длина сред
К и
Ло*
него
куска
К ю
$ ш
него
куска
к Я
с-о.
о со
сд (а
5 й-
НмМ
>> Щ
О т
« Св
ми
ва
<р со
сд «
Ц» И ..
опытн.
теор.
или
о а
ми
опытн..
теор.
(3.6)
1
0,37
390
37
42
1
0,31
260
34,7
60
3
5
0,38
0,38
400
480
40
55
41
48
2
0,34
285
58,4
56
7
0,47
350
46
34
3
0,37
352
57,6
59
9
17
0,36
0,30
320
410
59
45
41
38
4
0,39
320
62,9
56,6
5
0,39
270
55,5
55
7
0,32
293
63,9
64,5
136
Т аблица 7
Таблица 8
Серия
взрывов
удельный
расход
ВВ, кг/м3
Вес заря-
1 да, кг
Длина сред¬
него куска
Серия I
взрывов |
Удельный
расход
ВВ, кг/м3
Вес заря¬
да, кг
Длина сред¬
него куска
опытн.
теор.
(3.6)
опытн.
х-чН
со®
• о
З73
1
0,74
675
59
38
1
0,62
440
46,2
44,5
3
0,49
625
50
51,5
2
0,59
465
43,9
42,3
5
0,59
557
48
44,5
3
0,62
440
38,1
44,5
7
0,55
600
47
47
4
0,60
540
32,7
43
9
0,49
710
64
48
5
0,65
530
36
40
11
0,62
730
53
44
6
0,66
485
59
39
13
0,63
533
58
41
7
0,51
560
51,4
49
Оленегорского ГОК опытные данные отличаются от тео¬
ретических (по формуле (3.6)) да 15%.
Обобщая формулы (3.6). (4.1) и опытные данные,
приведенные в табл. 5—8, можно принять следующую
формулу для определения размера среднего куска:
<г>=4(Ко/<2)4/5е1/6, (4.2)
где
7 — для пород средней крепости, / =«8 4-10;
10 — для крепких, но сильно трещиноватых пород,
/ « 10 ч- 14;
13 — для весьма крепких, слабо трещиноватых
пород, / =* 12 -г-16.
Здесь ()— вес тротилового заряда в килограммах, эк¬
вивалентный по энергии данному заряду ВВ, располо¬
женному в одной скважине; (Ро/<?)—удельный расход
ВВ, кг/м3.
Рассмотрим еще два взрыва очень большого масштаба.
В. Н. Родионов [132] приводит американские данные,
полученные при подземном ядерном взрыве заряда с
энергией 60 <кт на глубине 400 м в гранодиоритах. Обра¬
зовавшаяся полость сверху частично обвалилась, и грану¬
7а
187
лометрический анализ обрушившейся массы породы дал
следующую картину распределения осколков.
Размер кусков, см 150—90 90—15 15—2,5 2,5—0
% от общего объема 3 34 42 21
Размер сита
Ч,
% просеивания
182
100
122
88
91
75
61
60
30,5
40
15,2
30
10,2
25
о,'
20
Средний размер куска, вычисленный по этим данным,
равен 25 см. Общий объем раздробленной массы оцени¬
вается в 107м3. Подставляя в формулу (4.2) Уо=107м3,
@=6-107кг, А = 7, получаем (ж)=33 см, что можно
считать неплохим совпадением, если учесть большую не¬
точность измерений. В. А. Адушкин сообщил данные по
гранулометрическому составу, полученные при взрыве на
выброс 20000 кг ТНТ. Размер среднего куска, вычислен¬
ный по этим данным, равен 56,4 см. Если принять, что
удельный расход при этом взрыве составлял 1 кг/м3 (точ¬
ных данных нет), по формуле (4.2) получаем величи¬
ну 52 см.
Таким образом, можно считать, что формула (4.2)
с достаточной точностью описывает экспериментальные
данные в широком диапазоне изменения масштаба взры¬
вов — при изменении линейных размеров примерно в
104 раз.
Отметим, что формулы (2.11) и (4.2) проверены для
интенсивного дробления при условиях, близких к опти¬
мальным. В критических условиях, когда количество кус¬
ков невелико или, наоборот, когда происходит многократ¬
ное измельчение породы взрывом или при помощи меха¬
низмов, применимость этих выражений сомнительна. Фор¬
мулы (2.11), (4.2) дозволяют более компактно описать
результаты опытношромышленных взрывов.
В работе Н. Г. Дубинина и Е. П. Рябченко [49] на
основе экспериментальных исследований по взрывной от¬
бойке крепкой руды предложена эмпирическая формула
для вычисления удельного расхода ВВ в зависимости от
выхода негабарита и диаметра скважин
д—гУй( 100 — к) /100, (4.3)
где д — удельный расход ВВ, кг/м3; й — диаметр сква¬
жин, м; к — выход негабарита, %.
Постоянная 2, зависящая от качества дробления гор¬
ной массы, дается авторами в виде таблицы в зависимо¬
сти от выхода негабарита. Из формулы (2.1) выход не¬
габарита определяется как
&/100=ехр[— (жи/жо)п], (4.4)
где ха — размер негабарита, см,
жо=<ж)/Г(1+1/га). (4.5)
Для величины среднего куска используем формулу (4.2).
Из (4.2), (4.4), (4.5) следует соотношение можду д и й,
хорошо согласующееся с выражением (4.3) (при н=1)
<7=21Й5/2(100 — Л)/100 (4.6)
100/ (100—к) '[А 1п (100/А) /хи]5/4 • [йдя/р о/4]^/24, (4.7)
где (?о — вес заряда ВВ в одной скважине;
() — тротиловый эквивалент последнего; I — длина заряда
в скважине, м; р — плотность ВВ, кг/м3. Формула (4.7)
определяет функциональную зависимость 21 от выхода
негабарита. Ниже приведено сравнение эмпирических
значений § со значениями щ вычисленными е помощью
формулы (4.7) при следующих исходных параметрах:
4 = 10, жн=30 см, ро=10 кг/м3, 1=35 м, к\ = 1 [49].
К, % о 3—4 5—10 10—15 15—20 30—25 25—30 30—35 35—40
г 25 11,5 7,6 6,3 5,7 5,0 4,1 3,5 3,0
г, — 10,0 7,6 6,1 5,2 4,5 4,1 3,6 3,3
Несмотря на хорошее соответствие формул (2.1) и
(4.2) результатам лабораторных экспериментов и опытно-
промышленных взрывов, они все-таки представляются не
совсем удовлетворительными по следующим причинам.
1. Физико-механические свойства горных пород учи¬
тываются в (2.1) весьма схематично.
2. В формулах (2.1), (4.2) не учитываются неодно¬
родность среды, такие разнородные включения, как тре¬
щиноватость, напластование и т. н.
3. Эти формулы проверены на простейших схемах
взрывания: одиночный заряд, порядное короткозамедлен-
иое или одновременное взрывание. Как видно из значе¬
189
ний коэффициента А в (4.2), размер среднего куска
растет с увеличением прочности материала. Если обра¬
титься снова к формулам (3.2), (3.3), а также вспомнить,
что прочность материала на разрыв а, связана с коэффи¬
циентом концентрации напряжений К формулой (У.3.6),
то можно предложить следующую запись формулы (4.2)
для среднего куска:
<т>=Л'а*<?1/6'Г4/5/Я. , (4.8)
Здесь Е — модуль Юнга; 0 — ввес заряда в одной скважи¬
не; д — удельный расход ВВ. Ниже покажем, что (4.8)
[толучается и из других, более строгих рассуждений. Что
касается практических схем взрывания, отличных от по¬
рядного (взрывания системы скважины, то от этого, оче¬
видно, зависит степень затухания напряжения с расстоя¬
нием, выражаемая формулой (3.1), и здесь возможны
различные варианты, однако, в принципе, не сильно от¬
личающиеся от этого общего выражения. Неоднородности
горных пород имеют явно выраженное статистическое
происхождение, и анализ их, хотя бы в общих чертах,
может быть произведен при помощи того же аппарата
теории вероятностей.
§ 5. КРЕПКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ В СЛАБЫЕ ПОРОДЫ
Рассмотрим для примера результаты одного нз опы¬
тов, приведенных в работе [17]. Взрывались образцы из
песчаника, состоящего, как известно, из очень прочных
Рис. 53. Грансостав при взрывании пес¬
чаника.
190
зерен, расположенных вну¬
три менее прочнлй скреп¬
ляющей массы. Обработ¬
ка данных работы [17] в
координатах 1п1п(1/Д) 1п х
приводит к графику, по¬
казанному на рис. 53. Если
же, как и в [17], по¬
строить графически зави¬
симость плотности рас¬
пределения от размеров
фракций, то получится
кривая с двумя максиму¬
мами (рис. 54). Один из
них соответствует средне¬
му размеру прочных зе-
Рис. 54. Плотность распределе¬
ния осколков при взрывании
песчаника.
рен, второй — среднему размеру осколков, образующихся
от внешнего воздействия.
Формально здесь два совокупных распределения: одно
задано структурой среды, другое вызвано взрывным воз¬
действием. Изложенный выше статистический подход
к определению гранулометрического состава взорванной
массы может быть распространен и на этот более слож¬
ный случай.
Рассмотрим функцию распределения 1 — Е (х) = Ф (х)
в виде (2.2), где Р{х) — произвольная функция.
Для случая, подобного изображенному на рис. 53,
когда график зависимости 1п1п(1/Л) от 1п х представлен
тремя прямыми, функцию Р (ж) можно представить в виде
,Е(ж) = ехр{а+;1/2- (П1-\-п2)Ых-\-1/2(п2 — щ) |1п Ь\х\-\-
+ 1/2- (п3~п2) |1и(ж/Ь2) |}, (5.1)
где а, Ъп, Щь щ, п2, пъ — параметры распределения. Под¬
ставляя Р{х) и в (2.2), получаем после двойного лога-
рифмиров ания
гп^пх + С^ при 1пж< — \пЪ1
1п1п(1/й) = |п21пж + С2 при — 1п61<1пж<1п Ъ2
[/гдЬж + Сз ири 1пж>1пЬ2.
Си С2, С3=соп81. (5.2)
191
Для дифференциала вероятности йр имеем
с1р—Р' (х) е~р(х)с1х—/(х) с1х. (5.3)
Функция Р[х) определяется следующими выражениями:
Р (х) = при 0<ж< 1 /ьх,
Р(х) ^еаЪ(?*~П1)/2Ъ%1з~п‘)/2хп‘ при 1/&! о<62, (5.4)
Р (X) = йаЪ^^Ъ\п,-п^хп, при Ъ*<Х<УО,
В соответствии с этим плотность распределения
Нх) - {щ!х01){х1хо1)п^ ехр [ — {яру^1*], р* 1,2,3)
(5.5)
где индексы 1, 2, 3 соответствуют интервалам измене¬
ния х:
(0,1/50; (1/5ь Ъ2), (Ъ2, ос).
Величины Хог имеют при этом следующие значения:
I" е—я^(«8—П1)/2^ , >/811/п,
^ е~(«1—«!).'Т^01г-)>«)/2|1/Пг
(5.6)
1" е~о^(В»~пЛ/2^(пз - Па)/211/п5
Средний размер осколка, вычисляемый по (2.12),
в данном случае представляется в виде следующей фор¬
мулы:
СГ) ~ ^01^1 [(5].Ж01) *> 1 4" ^/гех] ~Ь х02 {Гх [(Ъ2[хо2) *> 1 +
+ 1/гаД -—Гх [ (&1 ,^02) *» (5.7)
1 + 1/и2]} + Ж03Г2 [(Ъ2/х0 3)"а, 1 + 1/«8].
Здесь ГДж, а) и Г2 (х, а) — неполные Г-функции
X 00
Г* (ж, а) - Г е-Ча~'си, Г2 (ж, а) = | <ГЧа~-1<П.
192
Рассмотрим результаты трех экспериментов, взятые из
работы [17]. По этим данным построены графики, кожа*
панаш® на рис. 53. Определенные но этим графикам ве¬
личины параметров щ, щ, ?г3, 1п бь 1п Ъо, а также сред-
шю значения (ж), вычисленные по формуле (5.7) п (жа),
определенные непосредственно на опытных данных, при¬
ведены нише.
:<Ж|: >
V?
Пл
«а
Щ
!п %
!а
мяа
<мм)
1
1,26
0,2
0,7
0,5
2,6
132
12,9
2
1,05
1,125
0,78
0
1,9
169
125,9
3
1,7
0,3
1
Щ
2,8
193
183,2
К'ак видно, обобщенный закон Розина — Раммлера в фор*
ме (2,2) может быть с достаточной точностью применен
для анализа гранулометрического состава взорванной
массы и вычисления среднего размера осколка. Заметим,
что фракции, обязанные своим пр о с х о ж д ей и о м структур¬
ной неоднородности материала, описываются правой
частью графиков (рис. 53). При этом щ всегда меньше
единицы. Разрушение однородных материалов описыва¬
ется формулой (2.11) при п>'1. Это существенно при
теоретическом построении простой функции распределе¬
ния. В рассматриваемом случае величина щ должна быть
меньше единицы, что вытекает из следующих рассуж¬
дений.
Представим себе, что разрушаемый объект состоит из
очень прочных блоков со средним размером жоз, скреплен¬
ных между собой при помощи менее прочного материала.
Ясно, что образование осколка размером меньше, чем жоз,
будет менее вероятно, чем образование фрагмента, содер¬
жащего несколько прочных блоков. Иными словами, по¬
казатель степени в формуле (2.7) в данном случае дол¬
жен быть отрицательным, или я<.1.
§ 6. ЭНЕРГИЯ РАЗРУШЕНИЯ
Расчеты показывают [41], что поверхностная энергия
образовавшихся осколков, равная произведению суммар¬
ной площади повой поверхности на удельную поверхно¬
стную энергию 'При интенсивном динамическом разруше¬
нии, составляет весьма малую долю от общей энергии,
193
вкладываемой в этот процесс. Потенциальная энергия де¬
формирования, .кинетическая энергия разлетающихся
осколков и теплота во много раз превосходят поверхност¬
ную энергию. Однако природа явления такова, что без
этих «лишних» затрат анергии не происходит и самого
разрушения. Поэтому проще всего .под термином «энер¬
гия разрушения» понимать полную энергию, расходуемую
на образование осколков из одного целого куска или объе¬
ма, занятого совокупностью крупных кусков. Разумеется,
всякий раз надо иметь в виду, при каких условиях на¬
гружения происходит разрушение. Во взрывном деле, как
правило, имеет место множественное разрушение, когда
количество осколков велико. Этот процесс существенно
динамический. Тем не менее здесь целесообразно рассмот¬
реть некоторые известные закономерности, относящиеся
к квазистатике. Известна формула Р. Чарльза [112] для
энергии разрушения
где IV — энергия дробления, необходимая для измене¬
ния размера исходного куска х на величину с1х, А — так
называемая энергоемкость разрушения, 5 — постоянная.
Величина энергии дробления при уменьшении размера
куска от X до х определяется отсюда интегрированием в
соответствующих пределах:
Для разных значений постоянной 5 из (6.2) следуют:
5=2; 1У(х)=А(1/х—1/Х)—закон Риттингера (6.3)
5 = 1,5; IV(х)—2А (х~1/2—Х~1/2) — закон Бонда (6.4)
5 = 1; БДа;) —А 1п (Х/х) — закон Кирпичева—Кика (6.5)
Если гранулометрический состав разрушенной массы
объемом Ко характеризуется плотностью распределения
по размерам г{х), то можно записать закон сохранения
энергии в виде
йШ— — Айх/х1
(6.1)
(6.2)
1 IV (х) ■ К0 ■ г (х) с1г,
(6.6)
194
где 1Уо — полная энергия дробления, жт1п, хтяу, — мини¬
мальный и максимальный размеры осколков. Предполо¬
жим, нто г (х) есть распределение Вейбулла — Розина —
Раммлера (2.10):
г(х) = (пхп-\>хЪ)е-(хЫП.
Предположим также, что в (6.6) можно производить
интегрирование от 0 до оо. Тогда для случаев (6.3), (6.4) ,
(6.5) получим соответственно:
жо=^4ХГ(1 — 1 /н)/(Хд+4) п> 1, (6.7)
*0==442Г2(1 - 1/2н)Х/(2Л+Х1/2?)2, п> 1/2 >(6.8)
х0=Хв71/п-'1/л. (6.9)
Здесь д = — удельный расход ВВ на дробление,
и=0,5772 — постоянная Эйлера, Г — гамма-функция.
К аналогичному виду может быть приведена и фор¬
мула (4.2) для среднего куска, если учесть (2.13) и по¬
ложить
Ъго=К-Х3 (&ю=соп81). (6.10)
Тогда
х0 = Ак1/вХ1/21Т (1 + 1/п) • д_2/3. (6.11)
Интересно отметить, что в асимптотическом случае при
Х->оо наша формула дает показатель 1/2 при масштаб¬
ном множителе, что является промежуточным значением
между показателями 0 и 1 в формулах (6.7) и (6.9), со¬
ответствующих гипотезам Риттингера и Кика.
§ 7. РАЗРУШЕНИЕ БЛОЧНОГО МАССИВА 1
Результаты, полученные в предыдущем параграфе, по¬
надобятся нам при статистическом анализе разрушения
крупноблочных массивов. Рассматривается случай, когда
горная порода разделена естественными трещинами на
отдельные довольно большие куски. С практической точки
1 Н. Н. Фаддеенков. Вероятностно-статистическое исследование
осколкообразования при взрывном дроблении горной породы. Канд.
дис. Новосибирск, 1975.
зрения интересен случай, когда размеры блоков в сред¬
нем больше габаритных.
В работах Б. Н. Кутузова и В. К. Рубцова [98],
Л. И. Барона и Г. П. Личели [20] и др. отмечается, что
результат взрывного дробления трещиноватого массива
горной породы можно определить соотношением объемов
зон регулируемого (прямого) дробления и развала (рас¬
пада по естественным отдельностям). В работах Н. У. Ту-
руты я др. [143] отмечается, что практически весь не¬
габарит бывает представлен естественными отдельностя¬
ми. Экспериментальные исследования показывают, что1
для малого удельного расхода ВВ при взрывном дробле¬
нии трещиноватой породы эмпирические кривые по преи¬
муществу двухмодальны, т. е. имеют два максимума (см.
рис. 54). Формальное преобразование подобных кривых в
выравнивающих координатах, заключающееся в учете не¬
которой «добавки.» к теоретическому одномодальному рас¬
пределению (Вейбулла) улучшает аппроксимацию [145].
В § 5 этой главы двухвершинная кривая плотности ап¬
проксимируется с помощью распределения Вейбулла,
имеющего различные значения параметров на участках
изменения переменной, соответствующих двум вершинам
распределения и переходной зоне между ними. Известны
и другие попытки описания эмпирических бимодальных
кривых.
В работах В. А. Безматерных и др. [27] предлагается
аппроксимация двухвершинных распределений с помощью
комбинаций из четырех распределений специального вида.
В работах Б. Н. Кутузова и В. К. Рубцова [96, 97] на
основании некоторых предположений (геометрическое по¬
добие, равномерная исходная плотность и др.) получены
формулы для среднего куска и удельного расхода ВВ,
учитывающие содержание негабаритных отдельностей в
массиве.
Тем не менее до сих пор не получено! явной зависи¬
мости гранулометрического состава от вида исходного рас¬
пределения естественных отдельностей с учетом эффекта
взрывного дробления части отдельностей.
Существование бимодальных эмпирических распреде¬
лений при взрывном дроблении трещиноватой среды мож¬
но объяснить следующим образом. Часть распределения
естественных отдельностей в результате дробления пре¬
образуется по некоторому закону разрушения. В сумме с
196
оставшейся (неразрушенной) частью распределения она
образует смесь двух распределений, статистический вес
которых в общем объеме определяется долей раздроблен¬
ных отдельностей из исходной совокупности. Доля раз¬
дробленных блоков, в свою очередь, зависит от характера
трещиноватости, интенсивности нагрузки и физико-меха¬
нических свойств породы.
Рассмотрение экспериментальных значений параметров
распределения Вейбулла при взрывном дроблении образ¬
цов и блоков породы показывает, что для данной струк¬
туры исходного материала образцов параметр формы рас¬
пределения п с хорошей точностью можно считать по¬
стоянным (см., угловой коэффициент прямых на рис. 50,
51) в некотором диапазоне изменения остальных характе¬
ристик процесса. В то же время параметр масштаба хо
существенно зависит от интенсивности действующей на¬
грузки, особенностей схемы взрывания и изменяется в ши¬
роких пределах.
Следует отметить, что фактические кривые плотности
для разрушенной среды являются усеченными ло макси¬
мальному размеру кусков. (Пределы в интегралах (2.14),
(2.16) и т. п. конечны.) Приближенное описание кривых
гранулометрического состава с помощью обычных (неусе¬
ченных распределений) вполне оправдано вследствие удоб¬
ства и простоты получаемых соотношений и хорошей ап¬
проксимации кривых. Степень приближения определяется
Х1ШП °с
условиями: | йр <С1? \ йр 1 (см. (2.6').
® жтах
Рассмотрим взрывное разрушение блочного массива
горной породы с некоторым исходным распределением
естественных отдельностей но размерам (в долях объема)
/[(ж). Предполагается, что не все отдельности дробятся с
помощью взрыва, а лишь некоторая часть, а-я доля ис¬
ходного объема массива, 0г^а^1. Применим следующие
предположения.
1. Закон разрушения каждой отдельности размером ^
в зоне дробления задается с помощью усеченного но1 раз¬
меру отдельности распределения Вейбулла:
г (С, х) *= (пхп~11ха{) ехр [— (ф0г)п] X
X {1 — ехр [— аадЧГ1. (с1)
197
2. Параметр формы п считается постоянным для всех
блоков, находящихся в зоне дробления, масштабный па¬
раметр ЖоЁ есть некоторая функция размера разрушаемых
блоков.
Учитывая, что величина фракции результирующего
грансостава определяется остатком неразрушившейся ис¬
ходной фракции плюс результат разрушения более круп¬
ных исходных фракций, получаем выражение для ре¬
зультирующей плотности в некоторой точке хс
/(*;) = а 2 ЛФ) (1 ~~ а)№*§, (7.2)
г в?
где д,-— середина интервала ь-й фракции; 1 ; = 1, 2, ..
..., М; М — номер максимальной фракции. Уменьшая ин¬
тервалы фракций и переходя ,в (7.2) к интегрированию,,
получаем плотность распределения кусков взорванной мас¬
сы по размерам, в интегральном виде
хм
/ (х) = а | иЮг(Ъ,х)й% + ( 1 — сс) (х). (7.3)
Последняя представляет собой в общем случае двухмо¬
дальную плотность. Первая вершина обусловлена пре¬
обладающей фракцией в объеме образовавшихся осколков,
вторая — остаточной блочностью в развале разрушенной
породы. При значении постоянной а= 1 происходит дроб¬
ление всех естественных отдельностей, для а=0 имеем
просто развал породы по блокам в массиве.
В частном случае, когда массив сложен блоками оди¬
наковых размеров хт, исходная плотность имеет вид дель¬
та-функции:
/■[(ж) =6 (хт). (7.4)
В этом случае результат дробления описывает плотность
следующего вида:
/(я) =аг(хт, ж) + (1—а)8(хт), (7.5)
то есть а-я доля блоков переработана по закону разруше¬
ния г(хт, х), а остальные остались неразрушенными. Этот
198
результат соответствует интуитивному представлению о
разрушении массива скважинными (или минными) за¬
рядами с явно выраженными зонами [дробления в общем
объеме трещиноватого массива с несущественным влия¬
нием вторичного дробления при разлете кусков породы.
Величина среднего куска породы приближенно
хм
<ж> = ГзгКх)йх, (7.6)
О
для плотности (7.3)
хм »щ
<ж> = а | X | /1 {Ъ)г{1,х) й1йх + (1 — а) хт. (7.7)
О х
Отсутствие «переходной» зоны между оставшейся долей
распределения исходных блоков и результатом дробления
обусловливает двучленную форму выражения для сред¬
него куска (7.7).
Рассмотрим случай интенсивного разрушения крупно¬
блочного массива. Будем считать, что значение параметра
масштаба жое много меньше исходного размера блока.
Формально это предположение запишется в следующем
виде:
(7.8)
Тогда в формуле (7.3) можно фиксировать нижний пре¬
дел и положить его равным жт!п минимальному размеру
блоков. Нормирующий множитель также исчезает, так что
г Щ, х) является плотностью распределения Вейбулла с
переменным параметром масштаба
со
/(*) = « | Ш) г {Ъ, х) <1? + (I- а)1г(х). (7.9)
хпПп
Формула для среднего размера куска принимает вид
оо со
<ж; — а ^ х { /1 (0 г (?1 *) ЗЫх + (1 — ос) <з-1>,
** э:пПп
(7.10)
199
Последнюю можно упростить, используя равномерную I
сходимость второго интеграла для всех х, 0<.т-< ос. Ме-1
няя порядок интегрирования в (7.10) с улетом (2.13), I
имеем
(х)=ах0Г(1+1/п) + (1-а)(х1), (7.11) I
где
ОС
0ЛЖ
хт
есть определенное по распределению естественных отдель- I
ностей значение масштабного параметра хо$. В простей- I
шем случае исходная .плотность распределения может быть 1
аппроксимирована с помощью равномерного раслределе- Л
ния [121]
(х) *» I(Хм ххт^х^ хм (7.13)1
( 0 , х < хт, х > хм,
где хт, Хм — минимальный и максимальный размеры бло- I
ков в массиве. В этом случае выражение для результи- 1
рующей плотности упрощается
( хм
а
I г ($, х) с1^, ж <
/(*)-{
ХМ
г (^, х) дХ, 4-
1 — а
т
(7.14)
, хш <-7 х ■Гдт *
Плотность распределения естественных отдельностей
по размерам в долях объема /1 (х) может быть связана с
плотностью распределения расстояний между трещинами
в системах (если последние существуют в массиве) <р(х).
Пусть массив в форме куба рассечен тремя взаимно пер¬
пендикулярными системами трещин с одинаковым распре¬
делением ц>(х). Число естественных отдельностей, разме¬
ром меньше х, в этом случае будет равно
~ х ТЗ
N(x)^N3о
Ф (х) йх ,
(7.15)
о
200
где N0 — общее число слоев в каждой системе. Ин¬
тегральная функция распределения количества кусков по
размерам имеет следующий вид:
Г* "3
(7.16)
Ее плотность
/о §®1 =
= Зф (х)
1 щ 14
с1х
*
.0
Имеет место соотношение между плотностями распределе¬
ния количества кусков и долей объема по размерам в
предположении геометрического подобия кусков (2.17)
П(х)=х*и(х)1К, (7.18)
где — математическое ожидание случайной величины
ж3, распределенной по закону /о(ж). Из (7.17), (7.18) сле¬
дует искомое соотношение
1{(х)—х\{х)^2(х)1кщ (7.19)
0С
где ф (х) = Г ср (ж) йх — функция распределения расстоя-
о
гшй между трещинами. Следует отметить, что в общем
случае трещиноватого (массива имеется произвольное чис¬
ло систем трещин (или отсутствие системности) е произ¬
вольной ориентацией последних [23]; кроме того, харак¬
теристики трещиноватости разрушаемого уступа могут су¬
щественно зависеть от предыдущих взрывов [98].
Постоявшая а, определяющая долю исходных отдель¬
ностей в массиве, подвергшихся взрывному дроблению,
является существенной характеристикой предлагаемой
схемы. Указанную постоянную можно интерпретировать
как отношение суммарного объема зон дробления к обще¬
му объему разрушаемого массива. Из этого определения
вытекает возможность оценки размеров зоны разрушения
с помощью известных формул. Постоянную а можно оце¬
нить непосредственно, рассматривая куски породы в раз-
8 в. М. Кузнецов
201
ваге. В этом случае 01рш®й будет отношение площади
сшя граней осколков к общей площади граней рй|
сматриваемых кусков.
Но результатам дробления постоянную а можно оде¬
лить из вида кривой плотности распределения или куму¬
лятивной кривой в выравнивающих координатах. Как по¬
казывай® изучение эмпирических двухмо дальных кривых,
значение постоянной к для взрывов на рыхление трещино¬
ватого известняка находится в пределах а=0,14 Ч- 0,53.
Были вычислены значения результирующей плотно¬
сти (7.3) для некоторых вариантов исходных данных.
Вначения плотности определялись для размера кусков от
4 до 120 см с шагом 4 см, хм== 1000 см.
Исходное распределение блочности (в долях объема)
аппроксимировалось с помощью распределения Релея
!1(х)т=(2х/х (и)ехр(— х^/хог). (7.20)
В этом случае параметр масштаба Хо имеет смысл среД-|
него (средневзвешанного) размера естественной отдель¬
ности и принимался равным Ло=80 см. Масштабная за¬
висимость »ое (?) принималась в виде степенной зазиси-
Рис. 55. Бимодальное распределение
при различных долях раздробленных
блоков.
мости с помощью формулы для среднего размера куска
(6.11) с показателем степени 1/2. Значения остальных
постоянных формулы (6.11)
А —10; н=2,0; к„*= 1; д = 0-т-1 кГ/м3.
Результаты счета для значений постоянной а==0; 0,2; 0,4
приведены на рис. 55.
202
Глава VII
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СХЕМЫ РАЗРУШЕНИЯ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ
Существуют три вида детерминированных схем раз¬
рушения: 1) задачи, в которых размеры и количество
осколков не играют никакой роли (см. конец главы о
камуфлетном взрыве); 2) задачи, в которых размеры и
количество осколков определяются из дополнительных фи¬
зических соображений, не входящих в основную постано¬
вочную модель и, наконец, 3) задачи, в которых размеры
осколков или других «возмущений» задаются в виде ко¬
ночного или бесконечного набора величин и из которых
к результате решения выделяются возмущения, оптималь¬
ные по какому-либо признаку, это — 'задачи на устойчи¬
вость течения или деформирования определенного типа.
В задачах первого вида, по существу, предполагается
заранее, что осколков бесконечно много, а размеры их
равны нулю. В задачах двух других видов размер оскол¬
ка, определяемый в ходе решения как строго определен¬
ная, «детерминированная» величина дри практической ин¬
терпретации, следует рассматривать как средний в ста¬
тистическом смысле.
В простейших моделях разрушения, как правило, рас¬
сматриваются случаи простейшие также и в геометриче¬
ском отношении: разрушение полосы (плоский случай),
пли стержня (оеевая симметрия), тонкого кольца или
сферы и т. и.
Рассмотрим один элементарный пример. Пусть име¬
ется упруго-хрупкий стержень длины Ь и постоянного по
длине сечения 8. Пусть далее мгновенно к этому стержню
прикидывается растягивающее напряжение о, значитель¬
но превосходящее прочность материала на растяжение о,.
1Га сколько кусков распадется стержень? Тривиальную
модель, дающую ответ на этот вопрос, можно построить
203
следующим образом. Пусть разрушение происходит по¬
следовательно каждый раз, когда в стержнях, образую¬
щихся при разрушении, достигается предельное напряже¬
ние щ. При первом нагружении образуются два куска.
При этом потенциальная энергия деформирования
■IV = Е • 8а\12Е (Е — модуль Юнга) (1.1)
превращается в поверхностную энергию. При втором на¬
гружении каждого из двух кусков до напряжения о, за¬
трачивается такая же суммарная энергия и образуются
четыре куска. И так далее. При п-м нагружении обра¬
зуется
Я=2" (1.2)
кусков, а суммарная, затраченная за п раз энергия
Ь ■ 8о1/2Е.
(1.3)
При
равняем эт
у величину
энергии деформации
стержня
под
действием
напряжения
а
п • Ь • 3&Ш т 1- 8о212Е.
(1.4)
Отсюда и из (1
.2) следует,
что количество кусков
при та-
ком
процессе р.
азрушения
1Г*“
о(в/а*)е
(1.5)
Если еще предположить, что разрушение происходит рав¬
номерным образом, так что каждый раз Стержень разры¬
вается посередине, то отсюда получим выражение для
длины осколка
I« = 2~Ша*)г ‘Ь. (1.6)
Можно так же, как в § 6 предыдущей главы, считать, что
правая часть (1.4) есть полная энергия разрушения Шг,
а ее отношение к объему Е- 8 — удельная энергия дроб¬
ления тогда вместо (1.4) —- (4.6) получим
п = ЩЯ/щ,
. „ 2 аЕ/0
N = 2 *,
2«Л
-2? ЕМ
(1.7)
Последнее из этих выражений совпадает с точностью до
постоянного множителя с формулой (VI.6.9), получаю¬
щейся из гипотезы Кика — Кирпичева и распределения
Нейбуяла. При этом даже проясняется смысл величины
,1 — «энергоемкости разрушений#* это есть <уг/2Е.
Таким образом, использование тривиальных схем мо¬
жет быть весьма полезным с физической точки зрения.
В рассмотренном примере есть одна «вольность» в по¬
становке задачи. Предполагалось, что стержень мгновен¬
но нагружается растягивающим напряжением о, значи¬
тельно превышающим предел прочности о,. Как это мож¬
но осуществить практически? Оказывается, при динамиче-
еком, взрывном, разрушении это можно сделать с большой
•пучностью.
Рассмотрим второй пример. Пусть имеется тонкое коль¬
цо, внутри которого расположен заряд взрывчатого веще¬
ства. После взрыва все элементы кольца за очень малое
время приобретают скорости в радиальном направлении.
Это (Приводит в конечном счете к появлению растягиваю¬
щих напряжений в тангенциальном направлении, разрыву
а разрушению кольца на осколки. Вычислим размер ос¬
колка способом, аналогичным предыдущему. Обозначим
через го радиус кольца; о—его толщину, До — давле¬
ние, действующее внутри кольца; о, — прочность материа¬
ла на растяжение; фо ■— угловой размер осколка. Ширину
кольца примем равной единице. Составляющая сил дав¬
ления но оси симметрии кольцевого фрагмента уравнове¬
шивается силами инерции. Пе(рпендикулярные этому на¬
правлению составляющие определяют максимальное рас¬
тягивающее напряжение, которое должно быть равно сг*.
Элементарный расчет приводит к равенству
Фо/2
0*8 = Г р0г0 аш фйф т р0г0 (1 — соз 1/2 ф). (1.8)
о'
Линейный размер осколка определяется отсюда как
/=2г0агссо8 (1 — а^/р0г0). (1.9)
Для относительно1 малых осколков, образующихся при
давлении щШчв 6/2, приближенно получаем
§*“ (4о*6г0/ро)1/2. (1.10)
205
Эта формула имеет достаточно ясный физический смысл
и качественно соответствует экспериментам, хотя и име¬
ет существенные количественные расхождения с опыт¬
ными данными. Впрочем, вряд ли можно ожидать хоро¬
шего согласия с опытами формул, которые получаются
при столь сильно- упрощенных предположениях. Простей¬
шие модели разрушения нужны для качественной оценки
ожидаемых результатов, а также для удобной обработки
экспериментальных данных.
§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Простейшее представ донне об устойчивости и неустой¬
чивости механических систем дает пример е шариком и
сферой в поле силы, тяжести. Рассмотрим равновесие ша¬
рика, находящегося на гладкой сферической поверхности,
в пяти случаях (рис, 56). Если слегка отклонить шарик
от положения равновесия, не сообщая ему начальной ско¬
рости, то в каждом случае движение шарика будет раз¬
личным. В первом (рис. 56, а), когда поверхность обра¬
щена выпуклостью вниз, шарик будет совершать колеба¬
ния относительно равновесного положения. Во втором
(рис. 56, б) — удаляется от него.
Первое состояние называется устойчивым равновесием,
второе — неустойчивым. Если шарик находится на гори- ]
зонтальяой поверхности (рис. 56, в) (радиус сферы равен
бесконечности), то малое отклонение от равновесного 1
положения не вызовет дальнейшего его движения. Это — |
безразличное равновесие. Четвертый случай (рис. 56, а) |
иллюстрирует устойчивость в малом. На поверхности ;
сферы имеется круговая лунка (рис. 56, а). Если шарик'
смещается на расстояние, малое по сравнению с размера¬
ми лунки, то он займет устойчивое положение. Если же 1
рассматривать конечное смещение по величине, нревосхо- I
дящей размеры лунки, то равновесие — неустойчивое. В
первом случае мы имеем дело с линейной постановкой ]
а б в г в
Рис. 56. Иллюстрация, различных видов устойчивости.
206
задачи о равновесии, во втором —с нелинейной. Послед¬
ний рисунок (рис. 56, д) дает представление о динамиче¬
ской потере устойчивости. Вдоль поверхности сферы от
полюса до ЯНК1ШЦ продавлен желобок. В предыдущих
случаях движения по различным меридианам сфер были
равнозначны. В каком же направлении будет окаты¬
ваться шарик -в последнем случае? Априори можно ска¬
пать, что наиболее вероятным направлением окажется ме¬
ридиан, проходящий по желобку.
Рассмотрим все эти случаи с энергетической точки
арония. В состоянии устойчивого равновесия (см. 56, а)
при смещении шарика его потенциальная энергия воз¬
растает. При неустойчивом равновесия (см. рис. 56, б)
убывает, при безразличном — не меняется. Случай г (см.
рис. 56)—промежуточный между а и б. В последнем
случае д, если шарик будет скатываться ш желобку, ско¬
рость убывания потенциальной энергии будет больше, Чем
при движении по всем другим возможным направлениям.
Рассмотрим теперь задачу из курса сопротивления
материалов. Пусть имеется упругая тонкая полоса (стер¬
жень), распрложшяая вертикально и закрепленная в
твердом основании (рис. 57). Сверху на стержень дей¬
ствует вертикальная сила Р. Если сила Р направлена
строго по средней линии пластинки, то при любых значе¬
ниях Р имеет место равновесие. Будем постоянно увели¬
чивать Р, а пластинку слегка отгибать, а затем отпускать.
Оказывается, что при малых значениях Р пластинка бу¬
дет возвращаться в положение равновесия и совершать
колебания относительного него. Это — устойчивое равно¬
весие. Частота колебаний уменьшается с ростом силы Р.
Когда сила Достигает некоторого критического значения
1'\ф, частота обращается в нуль: стержень находится в
состоянии безразличного равновесия. Если же Р^>РКр,
то равновесие становится неустойчивым: при любом воз¬
мущении полоса изогнется и не вернется в состояние рав¬
новесия. Величина критической силы Е1ф,
при которой начальная форма равновесия 1Р I
перестает быть устойчивой, может быть опре- п л
делена различными способами при решении А
№
\1
Я
1’ч.с. ЗУ. Изгиб стержня, жестко закрепленного на
одном конце.
'ТТ777т^777Г
\р
Рис. 58. К задаче о динамической неустойчивости
стержня.
соответствующей статической задачи. Она за¬
висит от формы, геометрических размеров, уш
ругих свойств материала и условий закреп-!
ления концов стержня, т. е. от граничны^
условий.
у Рассмотрим теперь другую задачу. Пусть
стержень в начальном состоянии имеет ма(
лое искривление и пусть в начальный момент времени
на стержень подействовала вертикальная сила
которая в дальнейшем остается постоянной. Требуется
определить, как будет изгибаться стержень в следующий
моменты времени. Такова простейшая постановка задачи
о динамической потере устойчивости.
В теории устойчивости наибольшее количество проб-1
л ем, рассмотренных в механике упругих тел, относится
к случаю статического нагружения. Первая из этих проб-1
лем, ставшая классической, была решена Эйлером в|
1744 г.
Пусть стержень имеет шарниро-закрапленные кон¬
цы, один из которых может свободно перемещаться вдоль;
оси стержня (рис. 58). При равновесии в каждом сечении
стержня должны быть одинаковы изгибающий момент от
упругих сил и момент силы Р относительно центра изогч
нутой оси балки. Момент упругих сил, как известно из
теории упругости, пропорционален кривизне балки]
х : М\ = ±Е- /*•%. Множитель Е13 называется изгибной]
жесткостью. Момент внешней силы в произвольной точ-1
ке х
Учитывая, что- в линейном приближении к—й2у1<1х2,\
получаем линейное уравнение, описывающее равновесие]
стержня:
где Е — модуль Юнга, 1а — момент инерции сечения.
1. Задача Эйлера
М2=±Ру.
(2.1)
208
Как видно из рисунка, при положительных значе¬
ниях у вторая производная №у\&х2 отрицательна, и на¬
оборот. Поэтому уравнение (2.1) имеет место при всех зна¬
чениях у. Решение этого уравнения есть
У = С\-8Щ цкс + Сг-соз сож, (2.2)
где С1 и С-2 — произвольные постоянные, а
со= (Р/Е1:,)1/2. (2.3)
То обстоятельство, что стержень имеет шарнирно-закреп¬
ленные концы, означает, что изгибающий (Момент на кон¬
цах обращается в нуль. Кроме того, в неподвижном шар¬
нире смещение равно нулю. Это приводит к следующим
граничным условиям:
у — 0, у"—0 при а;—0 (2.4)
у"=0 при х=1. (2-5)
I (следствие первого из них С%—0 и
У==С\ 8Ш(ОХ. (2.6)
Кторов граничное условие будет выполнено, если
Срзт <о^=0. (2.7)
Коли Р<Сп2Е1а112, то отсюда и из (7.3) следует, что С1=О,
и решение тривиально: у—0. Если Р>п2Е1в/12, то, кроме
тривиального решения, возможны решения вида (2.6) при
сйя, или Е=к2л2Е18/12, (2.8)
где к — произвольное целое число. Изменяя к, получаем
спектр собственных значений величины Е, которым соот¬
ветствуют различные искривленные равновесные формы
вида
у—С\зт.{кпхЦ). (2-9)
Выше мы назвали критической силой такую силу, при
которой первоначальная прямолинейная форма равновесия
стержня перестает быть устойчивой. Очевидно, это со¬
ответствует значению к—Л:
Это выражение носит название эйлеровой силы.
Интересно отметить, что величина С\, представляю¬
щая собой амплитуду прогиба, никак не определяется из
решения данной задачи и, в частности, может быть весь¬
ма большой. Но тогда приближения, принятые при вы¬
воде, основного уравнения (2.1), становятся несправедли-1
выми. Следует воспользоваться точным выражением для
кривизны:
В этом случае задача становится нелинейной. Решение:
нелинейной задачи дает вщлхне определенные значения
для величины прогибов.
Таким образом, исследование устойчивости не «в Шщ
лом», а «в большом» дает более конкретные результаты,
хотя основные выводы остаются прежними.
2. Динамические формы потери устойчивости
При исследовании действия взрыва на стержни и обо¬
лочки были обнаружены явления потери устойчивости,
которые не укладывались в статические схемы. Как уста¬
новлено выше, в статике устойчива лишь та искривлен¬
ная форма равновесия, которая получается при превыше¬
нии критической силы, минимальной из всех возможных
значений. Это дает некоторое основание предполагать,
что при внезапном приложении нагрузок, превышающих
критические, изменение формы стержня будет иметь один
и тот же характер, независимо от величины этих нагру¬
зок. Однако такое предположение неверно. Представим
себе следующий эксперимент.
Пусть имеется стержень из упругохрупкого материала.
Предположим, что разрушение наступает при малых де¬
формациях, когда еще применима линейная теория.
Пусть стержень расположен вертикально и закреп¬
лен так же, как в предыдущей задаче. Пусть сверху на
(2.10)
я
у"К^+уп)т.
(2.11)
10
стержень падает очень тяжелый груз, так что внезапно
прилагаемая нагрузка в несклько раз больше критической
•эйлеровой силы. Основываясь на статических представле¬
ниях, мы могли бы ожидать, что стержень разрушится
на два куска. На самом деле, как показывает опыт, стер¬
жень разрушается на несколько кусков, количество ко¬
торых зависит от отношения Р : Рк$ [102].
Рассмотрим эту задачу в той простейшей постановке,
которая была сформулирована выше. Пусть стержень
имеет те же параметры и условия закрепления, что и в
задаче Эйлера. Пусть к стержню мгновенно приложена
сила Е>Ркр. Требуется найти начальное движение
стержня.
Дифференциальное уравнение малых движений, как
н ншстно из курса сопротивления материалов, имеет вид
р 8д2у1дг2+Е1,д*у1дх*+Рд2у1дх2=}{х), (2.12)
нде р — наотноеть материала; 8 — площадь поперечного
сечения стержня, а /(а?) — функция, определяемая на¬
чальным искривлением, поперечной нагрузкой и т. п.
Имея в виду выполнение граничных условий (2.4),
(2.5), будем искать решение этого уравнения в виде
оо
(2ЛЗ)
к=1
I‘изложим ](х) в ряд Фурье:
оо 1
г / ч , . кмх , 2 Г* , / ч • кпх л
1 (*) = 2 Ь8Ш~г ’ г
й—1 3
(2.14)
Подставляя эти выражения в уравнение (2,12), получаем
Р8с1^к1М2+л*Е13к2(к2-п)дк1Р=1к, (2.15)
п=Р1РЩ), РКр—л2Е1а/12,
Сравнивая с (2.8), видим, что целая часть ]/п опре¬
деляет номер наивысшей возможной статической формы
потери устойчивости.
21
В зависимости от злака [к2—п) уравнение (2.15)
описывает движение различной) характера. Если к2—п^>
> 0, то дк(1) является гармонической функцией, и движе¬
ние представляет собой обычное колебание. При к2 — п=
=0 в состав функции дк входит сумма двух экспонент
разных знаков, во одного1 модуля: е±0“, где
а — [л4Е1ак2 (п—к2) 1р8Р],/2. (2.16)
Быстрее растут те формы смещений, которым, соответст¬
вует наибольший коэффициент в экспоненте. Начальные
возмущения, соответствующие различным формам, лред-,1
полагаются при этом имеющими один порядок малости.
Максимального значения коэффициент а достигает при
к—к*, равном одному из целых чисел, ближайших к ве¬
личине
(2.17) |
Частный случай к2 — п—0 также соответствует потере ;
устойчивости. Соответствующая функция времени,«у*(2) —
полином второй степени, старший член которого
ты-
Рассмотрим ту же проблему с энергетической точки •
зрения. Сначала сформулируем следующий принцип: если :
консервативная механическая система, находящаяся в не- |
устойчивом равновесии, может перейти в устойчивое
равновесие различными способами, то наиболее вероят¬
ным является такой, при котором полная потенциальная
энергия уменьшается с наибольшей скоростью [102].
В общем виде принцип этот не доказан. Однако для
нашего случая это — простое следствие из закона сохра¬
нения энергии. Действительно, для консервативной си¬
стемы сумма кинетической (1Ук) и потенциальной (РР„)
энергии постоянна:
ТР,+ РРр=сопз1.
Дифференцируя по вемени, имеем
Очевидно, что формы, развивающиеся с наибольшей ско¬
ростью, имеют максимальное значение йЦтк1с11 и, следова¬
тельно, максимальное значение йРР^Дй.
Рассмотрим одц,
неустойчивости в йз возможных развивающихся форм
чде
з1и{кях/1).
(2.18)
11 олвая потенциала,
ГИИ изгиба стержн>ая энергия есть сумма упругой энер-
„,лм сжатием стек * потенциала внешних сил. Продоль-
нзгиба стержня вы,1кш[ пренебрегаем. Энергия упругого
Сажается формулой
чвтная1*-
- ри <2лв)
о
I [отешшал внешних -
ли Р, взятая с «2 СИЛ в даНН0М случае °^гТЬ раб0Та еи:
педо:формг1рован1,ь1>гв01ГОЛОЖным знаком- Пусть прямой
вольный момент ц? стержень имеет длину 1а, а в произ-
ное направление немей,и проекция его на первоначаль¬
ным, имеем 1 Предполагая стержень нерастяжи-
I
о ^ 1/2 т * + тг | (дУ!дхУ йх-
Отсюда смещение ^
М
о
верхнего танца по вертикали
г
а потенциал силы ц.
РА1 = — (Р/2) Г (ду/дх)а йх. (2.20)
Складывая (2.19)
■М (2.20), получаем
УГр = К + Пш
р = (Е1г/2) ] {д^у'дх"-)" йх — (Р/2) X
о
X | (ду/дх)2 йх. (2.21)
213
Подставляя сюда (2.18), имеем
\УР = Е1ак4л^к№3 - Рк3пЦЬ41 = п*Е1вд1к2 {к3 - п)/413/
(2.22)
Нетрудно убедиться, что НУ имеет минимум для форм,
имеющих к==к,. Таким образом, энергетический принцип
дает такой же результат, который был получен из реше¬
ния уравнения движения и выражается формулами (2.16)
и (2.17).
Таким образом, в случае внезапно приложенной на¬
грузки Р, в п раз превышающей критическую силу Ркр,
происходит изгиб стержня но синусоиде с числом полу¬
волн, равном Ун/2 или ближайшему к этой величине це¬
лому числу. Если разрушение стержня происходит хруп¬
ким образом, т. е. в пределах упругого деформирования,
это число образующихся осколков должно быть равно
этой же величине.
Как видно из изложенного выше, проблема утойчиво-
сти тесно связана с вероятностно-статистическим харак¬
тером разрушения. Поэтому последнее утверждение сле¬
дует понимать в смысле «среднего®: п,ри проведении до¬
статочно большого количества опытов среднее число ос-
; колков будет равно УЕ/27УР. (Аналогичный результат мы
получим при мгновенном нагружении тонкостенной тру¬
бы, когда эта труба подвергнута внешнему давле¬
нию [102].)
Динамическая неустойчивость упрупохрупких стерж¬
ней— одна из причин, по которой при взрывном разруше¬
нии горных пород не получаются обычно осколки типа
«игла». Это оправдывает предположения, сделанные при
вероятностном подходе к задаче разрушения (§ 2, гл. VI).
§ 3. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛОСЕ И КОЛЬЦЕ
■Выше неоднократно говорилось о том, что поведение
широкого класса материалов при интенсивных динамиче¬
ских нагрузках можно рассматривать в рамках модели
идеальной несжимаемой жидкости. Разрыв материала и
образование трещин естественно ожидать при деформа¬
циях растяжения (или сдвига). Можно показать, что ра-
214
дпяльное расширение тонкого кольцевого1 элемента жид¬
кости в системе координат, связанной с этим элементом,
приводит к растяжению этого элемента в тангенциальном
направлении и сжатию — в радиальном. Каждый такой
элемент в малом можно1 рассматривать как отрезок поло¬
сы (в плоском случае). Таким образом, возникает вопрос
о принципиальной возможности и характере разрыва по¬
лосы из идеальной несжимаемой жидкости, равномерно
растягиваемой по длине. С другой стороны, начальное
движение, возникающее при взрыве,-—ускоренное. Тогда,
может быть, образование разрывов и в конечном итоге
осколков происходит или начинается на этой стадии- дви¬
жения? Все эти рассуждения приводят к необходимости
последования движения идеальной жидкости на устойчи¬
вость по отношению к возмущениям границ областей ука¬
занного тина (но л оса» кольцо).
Постановка задачи. Требуется найти решение урав¬
нения Лапласа
Ф**-Ьф»г~ 0 (3.1)
(нижние индексы обозначают дифференцирование) в об¬
ласти, ограниченной кривой у—ц (х, I) при начальном
условии
ср(«, у, 0)=ф(ж, у)
(3.2)
и граничь
[ых условиях при у=г\(х, 1):
Фг + — (фх + Фу) + = / {Ц,
(3.3)
Ф*' *п=в—1Фи+'П<=0
(3.4)
(р — плотность жидкости).
Назовем основным решением ср°(;г, у, I) — решение
уравнения (3.1), удовлетворяющее условию (3.2) и пер¬
вому условию (3.3) для области, ограниченной кривой
у = (,к, /.). Будем рассматривать такие решения, при
которых кривые у=ц(х, I) мало отличаются от кривых
у = ||° (х, $), а потенциал течения <р(ж, у, I) мало отлича¬
ется от ф°(.т, у, /,); положим
ц(ж, 1)—т1)й(х, ^)+ёТ1*(Ж, 1),
(3.5)
(е<1)
<р(®, у, *)=ф°(ж, у, 0+бф*(я, у. 0-
(3.6)
215
Подставим эти выражения в (3.1) — (3.3). С точностью!
до членов первого порядка малости относительно е полу!
чаем
(Рхх ~Г фуу — (3-7)
сР*(х, у, 0)=0, (3.8)
+ Ч>1 * ф® + фу ■ <Ри = Р 1Х> 'П* (ж, *)» (3.9)
ф* • П* + Фл-1к — фу -I-1)* = Ру [ж. 11* (ж, 0. ц, (3.10)
где Р[х, ц*(х, I), /] и Р\[х, 1]:|:(.г, /.), /.] — некоторые фун¬
кции, появляющиеся в результате переноса условий (3.3),
(3.4) для ф°(х-, у, I) на новую границу (3.5).
Будем считать, что условия (3.9) и (3.10) выполни- !
ются на старей границе, т. е. при у — т)° (х, I). Получен-^
ные таким образом линеаризованные отношения (3.7)—(
(3.10) рассматриваются ниже в случае, когда область
представляет собой полосу.
Пусть
ф(*, У) = 1/2а(.т2-—г/2), (3.11) 1
где а — некоторая постоянная с размерностью с-1. Давле¬
ние на поверхности полосы примем равным нулю. За ос¬
новное решение примем решение для прямолинейной по- 1
лосы
-Пв(*)«^Пв(*). (3.12)
Нетрудно убедиться, что оно имеет вид (для }(1;) —0)
Ф° (ж, У, I) = (а/2) (х2 — у2)/(а1 + 1) —
- (аНо/3) [1 - (а* + 1)~3], (3.13)
т]0'(Д = Ао/(а*+.1),
где 2ко — начальная ширина полосы.
Будем рассматривать два вида возмущений границы:
Р=±[т]0(0 +ет|*(,г-, I) ]— симметричное (3.14)
г/=±'П°(0 +«т)*(х, Ь),— антисимметричное (3.15)
В данном случае удобнее искать ц*(х, I) в виде
1)* (д:, 1)=у\°(1)3(х, I). (3.16)
216
Наедем безразмерные величины
.с, = х;п0, уг = у;Н0, = аI + 1, Фх == ф/«^о. 01 = Щ0‘
(3.17)
Подставляя (3.13) — (3.17) в (3.9), получаем (индек¬
сы у безразмерных величин для простоты опускаются):
и случае 'симметричных возмущений
ф* + «О фх — ($*/0 Фу = — 20/С при у = ± Ш, (3.18)
и случае антисимметричных возмущений
У( + (®/0 фх — (р/0 фу = =Р 20Д4 при г/ = ± 1/1. (3.19)
Кинематическое условие (3.10) в обоих случаях одно
и то же
(х/Р) 0* + (1/0 0* - Ф^ =0. (3.20)
Сделаем замену переменных
х'=х/1, у'=уЦ, 1'=1, ф'(.г', у', 1')=ср*(х, у, *), (3.21)
0'(*', С)=0(ж, г).
15 этих переменных уравнение (3.7) имеет вид
Фх’х’ + ^фу'у' = 0. (3.22)
Условия (3.18), (3.19) соответственно примут вид
ф1 = — 207С, ф( = Т 207С, фу — 0(/С при у = ± 1/1.
(3.23)
Решение уравнения (3.22) при условиях (3.23) приве¬
дено в [88]. Подставляя ц/(х', у', 0 в (3.26), получаем
уравнение для ®'(х', у', I), Для гармонических возму¬
щений
ОД*', г)=|(г)8щЪ:' (3.24)
получаем для |(0 следующие уравнения;
217
в случае симметричных возмущений
<121Ш2+4М1И3 вЬ (21ф2)АЬ+ [2к Ш (й/*2)/*4]| =0; (3.25)?
в случае антисимметричных возмущений
л2И(И2 — шцр вЬ(2 к/р) тм «а (&/*2) ] |*=о.
(3.26)
Рассмотрим асимптотическое поведение этих уравне¬
ний при Ь=оо. Полагая к/12<С1 и ограничиваясь в раз¬
ложениях коэффициентов членами первого1 порядка ма¬
лости, получаем из (3.25)
а2ЦШ2+241/ф+ 1 = 0, (4271
а из (3.26)
2йЦЫ1+2Ц12= 0. (3.28)|
Решение уравнения (3.28) элементарно;
| = С1^+С12^(С1, С2 = С0ПЗ{.). (3.29)
Принимая во внимание (3.13), (3,16) и (3.24), при¬
ходим к выводу, что амплитуда возмущения в этом слу¬
чае линейно увеличивается с ростом времени. Таким об¬
разом, рассматриваемое движение неустойчиво по отно-
шению к антисимметричным гармоническим возмущениям
границы.
Рассмотрим уравнение (3.27). Заменой ;
и — %,1 Iгриве-
дем его к нормальному виду
ОДВДЫДО-И&
(3.30)
При 1 -> сю
(3.31)
отсюда
Пш 1- 6': при I оо.
Вследствие (3.13), (3.16) и (3.24) амплитуда возму¬
щения при %—► оо стремится к нулю вместе с шириной
полосы
т)*(а:, I) — (С\11)ат{кх,1Ь)-\-§ (1/г2). (3.32)
218
Постоянная С1 в этом выражении зависит от волново¬
го1 числа к.
Полоса с постоянным поперечным градиентом давле¬
ния. Пусть теперь Ф (ж, у) = 0, давление на одной сторо¬
не полосы равно нулю, а на другой постоянно и равно ро.
!!а основное решение примем решение для полосы, имею¬
щей при 1=0 границы у—0 и у—-ко. Оно имеет вид
ф°(ж, у, I) —ау1, а—ро[рк0, у (!) =аЧ2. (3.33)
Границы полосы движутся по законам:
Я яя а$[2 (нижняя)
щ = кв-\- а12/2 (верхняя)
(3.34)
Уравнения (3.8) и (3.9) в данном случае Имеют вид
Фг + а1ц>1 ф = О,
Фи — (лО* = 0 ПРИ У — Ф (г = 1, 2)
Пведем вместо у новую переменную
у'—У — а12.
Тогда вместо (3.35) получим
(3.35)
6)
откуда
Фг + агу = 0 [ф' (ж, у', (ж, у, I)], (3.38)
I
ф' (ж, у', 2) = — а ^ Тр гЙ. (3.39)
о
Рассмотрим случай гармонического возмущения границ
тр = Е4 (4) 31п кх. (3.40)
Подставляя это выражение в (3.39), находим
ф'Х.ат/гж при у'—0
| Д
11 = —а ( 1г<и, 1=1,2
I /
ф/==)С= зш при у'—к о.
(3.41)
219
Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этим гра¬
ничным условиям, имеет вид
у', г) = [ъз\1к(кй— у')+%,аЪ.ку']/&.кН0. (3.42)1
Подставляя это выражение в (3.36) для 1г(^), получил!
систему уравнений:
й2|]/Л2— (ак/вЬ кко) сЬ кк&— |2).
(3.43)
<РУ<к2 = (а/с/вЬ кко) (Ь - ЬеЬ кЬ0).
Решение ее будет
|1 = .[С,Ь/{р-вЛ)]е,‘*+[С2Ь/(р+аА)]ем+[С'8Ь/(р-
-ак) ] е~*‘+ [С4Ь/ {$+ак) ]г**, (3.44)
Ь = С1еч1+С2еы+САе-^+С4е-Ш
(Р = а& сШ кко, Ъ = ак/в[\ кк0, ~л=^ак).
Коэффициенты С\, С?., С?, и С4 определяются из началь¬
ных условий:
1.—Ы й 1(/*=0 при г—0.
Нетрудно убедиться в том, что при :Этом 6\ =А0. При¬
сутствие члена с множителем е*‘ в этом решении показы¬
вает, что в данном случае движение неустойчиво1, причем
чем меньше длина волны возмущения, тем оно более не¬
устойчиво.
Аналогичный результат получается и для случая ра¬
диального расширения тонкого кольца из идеальной не¬
сжимаемой жидкости — инерционного и под действием
постоянного давления [88].
Возмущение произвольного типа всегда можно раз¬
ложить в ряд Фурье, так что найдется бесконечно много
гармоник как симметричных, так и антисимметричных.
Таким образом, во всех рассмотренных случаях течение
идеальной несжимаемой жидкости неустойчиво.
Рассмотрим, какое влияние оказывает на устойчи¬
вость движения учет прочностных сил. Введем поверх¬
ностное натяжение вР. В выражение (3.3) нужно добавит!,
давление поверхностного натяжения
Ро=—сггр-х. (3.45)
220
Иыно'лияя все преобразования, получаем уравнения:
для симметричных возмущений
й2|/Л2+[4Аг/г28Ь(2А:/^) ] (й&/<Й) +{2к^) (1+
+о7А2/2)Ш(А/12)1 = 0,
а' ш о/ра/^о (3.46)
для антисимметричных
&У<и2 - [4кЦ2 вк 2к/12] (<*$Ай) + {2кЦ*) (1 +
Н-о7А2/2)сЙ1(/с/^)1=0. (3.47)
При ^->-оо уравнения (3.46) и (3.47) можно записать
соответственно в виде
Й2§ДЙ2+ (2/<) ЩЩ+1ШЩ 1=0, (3.48)
а%/сН2- (2Ц) (Щ1Щ +а'к21=0,
откуда
—С\ 8111 (Ад//) -\~С2 С.ОЗ(/Т].7) И 1==/(<7| 3111 А^ + Сг СОЗ &1Й)
(3.49)
(*г = й2с'1/2).
Из (3.13), (3.16) и (3.24) следует, что амплитуда воз¬
мущения определяется величиной \11. Таким образом,
введение поверхностного натяжения в некотором смысле
стабилизирует течение, бывшее ранее неустойчивым по
отношению к антисимметричным возмущениям.
Рассмотрим теперь влияние поверхностного натяже¬
ния в случае равномерно ускоряющейся полосы.
Введем (3.45) в уравнение (3.33) —(3.43), тогда си-
стома (3.43) примет вид
й2||/^2=И,1,+Б,|о, й2Ы*2=И21,+52!2. (3.50)
Здесь
А ! = к (а — вк2/р) с1Ь кк0
В\ — — (к/зЬ кк0) (а-{-ск21р),
Л2= (к/зЪ кк0) (а - ак2/р), В2= -А: (а+оА:2/р) сОх М0.
221
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
54+[(2оА3/р)сЙ1 кко]82-{-к2(о2к*/р2—а2) =0, (3.51)
а решение
II
г—
2
г—1
(3.52)
где — корни характеристического уравнения.
При к -< (лр/о)1/2 уравнение (3.51) имеет положи¬
тельный вещественный корень, и, следовательно, движе¬
ние неустойчиво. При к > (ар/а)хп все корни мнимые, и
движение устойчиво. Интересно найти максймйДьное по¬
ложительное значение корни этого уравнения. Имеем
$2=!(а2&в/р2 ей2 ккс~\-а2к2)1/2 — (аХ-3/р) с!П Мо. (3.53)
Предположим, что Накко!^1. Тогда из (3.53) по¬
лучим приближенно
з2=ак—ак3/р, (3.54)
это выражение имеет максимум при А* щ 1/3(йр/о)1/2.
Таким образом, получаем в этом случае наиболее неустой¬
чивые гармоники с волновым числом
к<к = (ар/За) 1/2= (ро/Звко) Щ. (3.55)
Аналогичным способом может быть исследовано влияние,
которое оказывают упругие силы на движение полосы с
постоянным градиентом давления. Предположим, что тен¬
зоры деформаций статической и динамической задач, обес¬
печивающих одни и те же смещения границ, мало
отличаются друг от друга. Тогда уравнения движения не¬
сжимаемого упругого тела сводятся к уравнениям движе¬
ния идеальной несжимаемой Жидкости, а влияние упру¬
гости проявляется лишь в граничных условиях, где от
внешнего давления следует отнять давление, которое
удерживало бы тело в состоянии деформации. В случае
упругой балки последнее равно
РК=ЕМ\1йх\ (3.56)
222
Вводя это выражение в (3.33) — (3.43), как и в случае
поверхностного натяжения, получим
ЩШ - 4|* + а2ЫсН2 — 4& + . (3.57)
Здесь
4 — к (а — р/с4) с1Ь 7сй0; 4 = — (/ш + р/с4)/зЬ йй0;
4 — й (а — рй4)/зЬ йй0; В'2 = к(а + р/с4) сВт 7с7г-0 (р == Е1/р).
В дальнейшем все аналогично случаю с поверхност¬
ным натяжением, только вместо ак2/р следует писать
7Ше4/р. В частности, неустойчивы гармоники с к<С (а/р)1/4.
Если предположить, что рд/Е'СФ, то для наиболее не¬
устойчивой гармоники в данном случае получаем к, —
~(ак/8р)1/3 или, учитывая, что в данном случае I — ко/2,
к,= (Зро12Е)ш1Н0. (3.58)
В формулах (3.55) и (3.58) придем к длине наиболее
неустойчивой гармоники, которую можно отождествить с
длиной фрагмента разрушения (в смысле среднего)
А,. 1=2п (Зай0/ро)1 /2,
Х,2=2лко{2Е13р0)из.
(3.59)
Оба выражения имеют непротиворечивый физический
смысл, так как все параметры входят туда, куда «нужно».
В гидродинамике неустойчивость, связанная с уско¬
ренным движением, носит название тейлоровской неустой¬
чивости. Гармоники, определяемые первой из формул
(3.59), наблюдаются, например, при отражении ударной
волны от свободной поверхности при подводном взрыве
[102]. Метание тонких металлических пластин также мо¬
жет сопровождаться аналогичным явлением: поверхность
пластинки, противоположная слою ВВ, может быть суще¬
ственно искажена.
Формулы (3.59), однако, плохо согласуются с экспери¬
ментальными данными, приведенными в предыдущей гла¬
ве. Таким образом, гидродинамическая неустойчивость,
проявляющаяся при неустановивпшхся течениях жидкости
и газа, а также при взрывном деформировании металлов,
не решает проблемы осколкообразования применительно
к взрывному разрушению горных пород.
§ 4. О РАЗРУШЕНИИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОЛЕЦ
В ПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
Удобным объектом для изучения разрушения в про¬
стейшем виде являются конструкции, выполненные из
данного материала в виде тонкого кольца. Если сообщить
каким-либо способом (например, с помощью ВБ) радиаль¬
ные скорости всему кольцу, то это приведет к появлению
растягивающих напряжений и деформаций, так что «в
малом» каждый элемент тонкого кольца будет находиться
в состоянии, близком к простому растяжению. Таких экс¬
периментов за последнее время произведено различными
авторами достаточно много с различными целями. Неко¬
торые из них о'писаны в работах [75, 90]. Остановимся
на некоторых результатах, представляющих интерес с
точки зрения уточнения физико-механической природы
в з р ы в но го р а з р угле ния.
Пусть внутри плоского, кругового, металлического
кольца устанавливается соосно с ним круглая шашка
взрывчатого вещества. Высота шашки равна высоте коль¬
ца, диаметр ее меньше внутреннего диаметра кольца.
Инициирование заряда ВВ производится в центре. Под
действием высокого давления, возникающего в результа¬
те взрыва, кольцо с большой скоростью разрушается иа
осколки. При проведении таких экспериментов изменялся
диаметр шашки ВВ, начальные диаметр и толщина коль¬
ца, а также материал, из которого изготавливались опыт¬
ные образцы. Было произведено три серии опытов, в ко¬
торых все начальные геометрические размеры сохраня¬
лись одинаковыми, но менялся материал кольца: впервой
серии кольца были изготовлены из чистого алюминия, во
второй — из дюралюминия Д-16 ,отожженного1, в треть¬
ей—из Д-16 закаленного. Вес заряда ВВ (ТГ 50/50) был
равен 18 т, внутренний диаметр кольца 8 см, толщина
0,6, высота 1 см.
Плотность материала кольца примерно одинакова во
всех случаях (2,7-г*2,8 г/см3), модуль Юнга и, следова¬
тельно, скорость звука также изменяются незначительно
(с=6250-т-6570 м/с). Существенно изменяющимся пара-
метром является прочность, а точнее, предел текучести
материала. Для чистого алюминия предел текучести ра¬
вен 450 кг/см2, для Д-16 отожженного — 1600 кг/см2,
для Д-16 закаленного — 3000 кг/см2. Эти. же материалы
обладают различными предельными деформациями растя¬
жения, при достижении которых происходит разрушение
испытуемых образцов. Для чистого алюминия эта вели¬
чина равна примерно 45%, для Д-16 —13% (закален¬
ного и отожженного). Эти величины получены из стати¬
ческих испытаний.
Результаты трех серий экспериментов можно коротко
сформулировать так: кольцо из чистого алюминия раз¬
рушилось на 5 осколков, а из Д-46 — на 20 (как для отож¬
женного, так и для закаленного). Если же говорить бо¬
лее детально, то следует отметить, что это — средние вели¬
чины. Как обычно, в результате взрывного разрушения
образуется наряду с крупными осколками различной дли¬
ны большое количество мелочи много меньшего размера,
чем в основной группе осколков. Средняя длина осколка
вычислялась так, как описано в предыдущей главе.
Основное содержание парадокса можно сформулиро¬
вать так: менее прочный материал разрушается на мень¬
шее количество осколков, чем более прочный при сохране¬
нии всех остальных характеристик явления.
Для качественного объяснения и количественного ана¬
лиза описанного явления сформулируем следующие четы¬
ре гипотезы.
Действие взрыва состоит только в создании начально¬
го поля скоростей в кольце. При дальнейшем расширении
кольца давление на его поверхности равно нулю. Это
предположение основано на кратковременности воздейст¬
вия продуктов взрыва на кольцо. Действительно, напря¬
жения и скорости возникают в кольце в период обтека¬
ния его ударной волной и продуктами детонации. Ясно,
что скорости элементов в кольце будут значительно мень¬
ше скорости газа. Основное движение и разрушение про¬
исходит уже за фронтом ударной волны, где давление
мало. С другой стороны, время прохождения волн сжатия
но толщине кольца составляет менее 1 мс, а разрушение
наступает спустя 10 мс. При таких временных соотноше¬
ниях можно пренебречь волновыми процессами внутри
кольца. Во-вторых, по той же причине будем считать, что
6
материал кольца несжимаем и,
в-третьих, поведение материа¬
ла при растяжении описывает¬
ся диаграммой идеальной плас¬
тичности (рис, 59, см. также
рис. 1, б). Предположим так¬
же, что существует предель¬
ная величина деформации е»,
при которой материал разруша¬
ется и его физико-механические
свойства изменяются. Это пред¬
положение формально совпа¬
дает с так называемой второй
теорией прочности [111]. Уравнения движения и нераз¬
рывности для случая осевой симметрии в лагранжевом
представлении имеют вид
р(-#/г) (д2г/д(2) —дат/дН-\-(ро/р) (аг—ое) дг/гдК, (4.1)
дг/аК=(ро/р)(Д/г), (4.2)
яде В — начальное положение частицы (лаграижева
Координата); г(В, I) =.й+и(/?, *) —текущее положение
частицы (эйлерова координата); I — время; аг, йа — ком¬
поненты тензора напряжений (й2=0) ; ро, р— начальная
и текущая плотность частицы; и(В, |) — радиальное пере¬
мещение.
К уравнбиням (4.1), (4.2) следует добавить условие
пластичности:
йа—йг=соп§1;. (4-3)
В силу нервого предположения аг=0 на внутренней и
внешней стороне кольца. Если кольцо тонкое, т. е.
——- < 1, то Можно приближенно положить йг = 0.
Тогда условие пластичности.примет тривиальный вид
о0 = о,. (4.4)
По второму предположению р=ро и уравнение (4.1)
сильно упрощается:
Рис. 59. Схема упругопла-
стпческого деформирования
кольца.
рд2г!д12——йа/г.
(4.5)
(4.6)
Первый интеграл этого уравнения есть
V2 = х| — (2о*/р) 1п (г/й),
где и—дг/д{, Vо — начальная скорость частицы.
Уравнение (4.6) выражает закон сохранения энергии.
Действительно, вследствие несжимаемости элементарные
деформации йед = — йег =—, а работа против внутрен¬
них сил, отнесенная к единице объема
С аг , г
V) = \ сг* — = <т* 1п -д-, (4.7)
К
и выражение (4.6) можно переписать в виде
2
РУ0 р«2 ,/ о\
(4-8)
Как видно из (4.6) и (4.7), в данном случае совер¬
шенно естественным образом возникает понятие о вели¬
чине логарифмической деформации [111]:
е = 1п == 1п [(гДф- и)/В] == 1п (1 4- е). (4.9)
Согласно четвертому предположению момент разрушения I.
определяется равенством 8=8* или
и {В, 1*)/Л=е.. (4.10)
Можно показать, что это условие впервые достигается на
внутренней стороне кольца, откуда о течением времени
разрушение распространится по всему радиальному сече¬
нию кольца. Если найдено решение г (В, I) уравнения
(4.6), то смещение и(В, ^)=^(В, I) —В можно считать
известной функцией В и I. Следовательно, уравне¬
ние (4.10) определяет В—/(1) как траекторию движения
поверхности, на которой деформации достигают критиче¬
ских значений. Назовем эту поверхность фронтом зоны
разрушения. Для определения скорости этого фронта'Про¬
дифференцируем (4.10) по времени:
[ {ШШ) (ЙДДЙ) +ди/д1] В~1 - .'(и/Лв)'(сШ/*).—0,
227
отсюда
(с1Н/сЧ)*= (ди/д1)/(и/Я — ди/дй). (4.11)
Из уравнения неразрывности (4.2) при р=ро имеем
аи/дй= - (и/Д)/(1+и/Д). (4.12)
Подставляя (4.10) и (4.12) в (4.11) и учитывая, что
ди/д1—у, получаем
(сШ/сЙ)*= (г/е.) [1+1/(1+8*)]'~1. . (4.13)
В терминах логарифмической деформации (4.9) это вы¬
ражение записывается более компактно:
(сШ/<И) , = 17/2 бЬ е" (4.14)
Величина у, входящая в эти формулы, определяется урав¬
нением (4.5) при 1п(г/Д) — в.:
V = $•$ — 2сГн=8*/р)1/2-
Таким; образом,
тштЩ ~ 2а„ё,/р)1/2.2 8Ъ(4,15)
Обозначим через /?; и внутренний и внешний ра¬
диусы кольца, через ®#яячДа — /<: — его начальную тол¬
щину. Из уравнения неразрывности (4.2)
и^й^-й^уо^-й. (4.16)
Количество движения всего кольца и начальный момент
времени будем считать заданным:
Пг
/0 = 2яр |' Не0 {Я) ЛЯ = 2лру0К1б0. (4.17)
Ш
Учитывая (4.16) и (4.17), перепишем (4.15) в виде
Ш
ЛЙ/(И т
А_
Я2
В
2 вЬ 8„.
228
х’де введены обозначения
А тт /о/4п2р2бо, в тт 20*в,/р. (4.19)
Проинтегрировав (4.18) по В от В\ до В-2, определяем
время разрушения кольца т=#2 — 1\'
х = 2 а11г\У~А-ВК\ <*» У А—ВЯЩВ. (4.20)
При А — ВВ\ 0 разрушения ш происходит вовсе, при
А — ВЛ\0 П — ВВ\ разрушение может начаться на
В\, но не достигнет внешней стороны кольца.
Рассмотрим случай А ^ВВъ, В2 — В1 — 8а<^.В\. То¬
гда из (4.20) с точностью до членов первого порядка
малости .получаем
т ~ 26 ай е*/у. (4.21)
Эту формулу можно использовать для оценки времени
разрушения тонкого кольца в случае, если это разруше¬
ние происходит весьма интенсивно: образовавшиеся
осколки разлетаются с большими скоростями. Тот же ре¬
зультат получается непосредственно из формулы (4.15),
если под V понимать величину скорости, соответствующую
началу разрушения.
До сих пор характер разрушения но конкретизировал¬
ся. Предположим теперь, что разрушение кольца проис¬
ходит при помощи образования радиальных трещин. Раз¬
витие каждой трещины сопровождается разгрузкой вдоль
окружности, распространяющейся со скоростью звука (в
соответствии ю диаграммой рис. 59). Рассмотрим две тре¬
щины, находящиеся ,на расстоянии I друг от друга. Появ¬
ление еще одной трещины будет маловероятно, если за
время т материал между трещинами полностью разгру¬
зится. Иными словами, для оценки длины осколка можно
воспользоваться соотношением
Цс = х, (4.22)
отсюда и (4,21)
I ~ 2бс-зЬе*/у. (4.23)
229
Количество осколков п, очевидно, оценивается как
п—2пВ/1~пВу/с8 зЬ е„. (4.24)
По данным экспериментов, описанных выше, к моменту
разрушения скорость кольца у»500 м/с. Скорость раз¬
грузки ,в данном случае целесообразно принять «стержне¬
вой» скорости звука с=у/?/р=5000 м/с.
Для чистого алюминия ей 8.=0,38, для Д-16 —
йЬ е* = 0,12. Подставляя эти числа, а также В=4 см,
бо=0,6 см, получаем для чистого алюминия п—5,
Д-16 — п=17. Совпадение опытных и расчетных данных
получается весьма хорошим.
§ 5. СТРУКТУРА ВОЛНЫ РАЗРУШЕНИЯ
И ВОЗДУШНЫЕ ПРОМЕЖУТКИ
Во многих случаях при исследовании динамического
разрушения твердых тел, в том числе при взрыве, вво¬
дится в рассмотрение волна разрушения [47]'. Под этим
понимается следующее: по телу распространяется поверх¬
ность, отделяющая неразрушенный материал от разру¬
шенного. Поскольку, вообще говоря, разрушение происхо¬
дит за конечное время, нужно рассматривать не по¬
верхность, а слой некоторой толщины. Выделив участок
размером много меньше радиуса кривизны, можно счи¬
тать его плоским. Ограничимся в дальнейшем случаем,
разрушения путем отрыва. Полученная таким образом
локальная картина волны разрушения изображена на
рис. 60. Здесь 21 — по¬
верхность, на которой
начинается разрушение,
2г — поверхность, за
которой дальнейшего
разрушения не происхо¬
дит. Предполагается,
что перед поверхностью
2( материал подвергнут
растяжению, а за по¬
верхностью 2г — растя¬
гивающие напряжения
Рис. 60. Структура волны разруше¬
ния.
230
полностью сняты. Выделив осколок СД сечением 5г. мож¬
но найти соответствующий ему фрагмент АВ неразрушен¬
ного материала сечением 51. Рассмотрим случай, когда
поверхности Е[ и Ег распространяются с одной и той же
скоростью сг. Обозначим через р — плотность, V — мас¬
совую скорость, р — напряжение, нормальное поверхно¬
сти Е, и запишем законы сохранения потоков вещества
и импульса на поверхностях Е1 и Ег для области АВСД:
р1$1 (сг — Уг) — р2&(сг — Ы =/\ (5.1)
Р282 — Р181=Ни2 — и1). (5.2)
Здесь / — поток вещества, а индексы 1 и 2 относятся
соответственно к поверхностям Е1 и Ег. Если ввести
обозначения ■,
р5=р', р8~р', (5.3)
то соотношения (5.1) и (5.2) примут обычную для газо¬
вой динамики формулу, и, в частности, из них получается
уравнение прямой Михельсона (см. гл. И):
Рг — р\ = 72 (1/р* — 1/рг). (5.4)
В газовой динамике, как известно, всегда Рг > Рь и
Ар' = р2 — р! > 0. В данном же случае возможно, что
Рг <• Р*1 и Ар'<^.0 [47]. Действительно, это может быть,
если материал несжимаем, а как в рассматривае¬
мом случае.
В предыдущем параграфе рассмотрен случай, когда
первоначальный импульс для кольца создавался при по¬
мощи подрыва заряда ВВ, а разрушение происходило тог¬
да, когда давление продуктов детонации было практиче¬
ски равно нулю. Очевидно, что здесь напряжения, нор¬
мальные поверхности разрушения, равны нулю.
Таким образом, возникает парадокс, заключающийся
в том, что уравнение (5.2), представляющее собой закон
сохранения импульса, учитывает не все его компоненты.
Выход из затруднения в данном случае может быть
найден, если обратиться к рассмотрению внутренней
структуры волны разрушения. На образование трещины
затрачивается энергия П, включающая в себя эяергйго.Л
разрыва мйлек^лярно-Еристаяличевких связей, работу.»
пластической деформации и некоторые другие видыэнер~И
гки (см. гл. V). Если длина трещины изменяется на щщШ
личину М, то производную ОИ/дь можно рассматривать*
как обобщенную силу. Обозначив через у удельную по- 1
верзшоетную энергию, имеем
дП/д1=д(2у1)/д1*=2у. (5.5)
Эту величину следует прибавить к первой части уравне- Я
ния (5.2), если рассматривается плоский случай (тогда 5
имеет размерность длины). В пространственном случае Я
к правой части (5.2) нужно прибавить величину 2у, по- I
множенную на периметр сечения 8\. Ограничимся рас- |
смотрением плоского случая. Тогда вместо (5.2)
Р282 — Р\8)=Нр2— щИ-24, (5.6) |
■
а вместо (5.4)
#К “ #1 “ / (Ш — ^Рз) + 2у. (5.7) |
Если разрушение происходит без перепада давлений, то
Рг = Р1 и, подставляя в (5.7) выражения из (5.1) и
(5.3), получаем
рЛ (р^./р,^ - 1) =2у/{сг - щ)2. (5.8)
Для веейкижаемого материала это выражение прими*
мает вид
р81(81/82-1)^2у/(сг~и,у. (5.9) ]
Предположим, что деформация материала описывается ]
упругопластичоской моделью с модулем Юнга Е и пре- |
делом текучести сь. Предельная деформация растяже- Я
ния е*, остаточная деформация е/ (см. рис. 59). Тогда '
51=50(1 + в,); 82=8,(\ Ег'), (5.10) \
где 8о — размер рассматриваемого элемента в ненапря¬
женном состоянии. Подставляя эти выражения в (5.9) и
предполагая деформации е„, е' малыми, получаем, огра¬
ничиваясь главными членами.
82=24/9 (Сг —VI)2 (г, — г')
Из рис,’® видно, что
е. —е.'=в./Е,
и выражение (5.11) можно переписать в виде
<$'2=2рЕ/ра*(сг — щ)2. (5.13)
Эта формула определяет размер осколка, если извест¬
на относительная скорость сг волны разрушения. На по¬
верхности 2) волны разрушения деформация материала,
очевидно, достигает предельной величины е». Поэтому
скорость распространения волны разрушения должна
определяться геометрией и кинематикой движения. Рас¬
смотрим случай радиального движения с осевой сим¬
метрией.
В предыдущем параграфе было показано, что скорость
фронта волны разрушения в лагранжевом представлении
йПШ***Ш вЬё.ж »/&,. (5.14)
Нетрудно убедиться в том, что
д,Щд,1=сг — щ. (5.15)
Из (5.13) с учетом (5.14) и (5.15) следует
8* = • у2. (5.16)
Рассмотрим эти результаты применительно к расчету
разрушающего действия цилиндрического (скважинного)
заряда ВВ. Проводя сечение, перпендикулярное оси заряда,
приходим к плоской картине течения с круговым фронтом
разрушения, малый элемент которого показан на рис. 60.
Таким образом, все рассуждения, приведенные выше,
вполне приложимы к данному случаю. В частности, фор¬
мула (5.16) определяет поперечный размер осколков в
зависимости от величины массовой скорости V. Обычно
длина осколка по образующей и по радиусу не сильно
(5.11)
(5.12)
9 В. М. Кузнецов
233
отличается от поперечного размера. Поэтому можно ска¬
зать, что формула (5.16) определяет вообще характерный
размер осколка. Величина массовой скорости для длинных
зарядов ВВ обычно определяется экспериментально в виде
(5.17)
где @ — вес заряда, приходящийся на единицу длины;
Я — расстояние от центра заряда; А, а — эмпирические
коэффициенты.
Подставим (5.17) в (5.16):
5а = (8уЕе>ЛХ)(^/^1/2)а. (5.18)
Эта формула определяет характерный размер осколков в
зависимости от веса заряда и расстояния от центра
заряда.
Пусть объем разрушаемого тела ограничен некоторым
характерным радиусом Ни а радиус заряда равен Но.
Средний размер осколка для всей взорванной массы оп¬
ределим соотношением
н.
<5я> = [л/(Д?-Ло)] Г Я2 • 2лЯ ■ ОН. (5.19)
Но
Подставляя сюда 82 из (5.18), производя интегрирование
в предположении Но<^.Н1, получаем
<<$2> = [8уЕг1/рА* (а + 1) а*] Д?°7<?“ (5.20)
Введем V = лВ\ — объем разрушенной массы, приходя¬
щийся на единицу длины заряда. Объединяя несколько
постоянных в одну, перепишем (5.20) в виде
<Я2> = сонз1 (^/ц*) (™?)“< (5.21)
Для абсолютно хрупких тел а%=Ее%, и это выражение
еще более упрощается
<$2>=сопз1(а*/Е) (У/<2)“. .(5.22)
234
По своей структуре формулы (5.21) и (5.22) совпадают
с точностью до масштабного множителя с аналогичными
выражениями, полученными в гл. VI, если в них поло¬
жить а=0,8.
Рассмотрим теперь закон сохранения энергии на фрон¬
те волны разрушения:
Ю2 - », = 1/2 • (Р1 +р2) (1/р, - 1/ря) • (5.23)
Здесь через юо обозначена внутренняя энергия единицы
массы, так что для неразрушенного материала [48]':
ю=р2/2Кр 1+П2/2рр1-Ьшо(Г,),
Р=|(°*1+а»1+0л)/3, (5.24)
В2 — ['(о*1 — 01/1)2+:(0!/1 — Ог1)2+(°*1 Ог1)2]'/6,
где К — модуль всестороннего сжатия: р — модуль сдвига;
ы0{Т\) —с-Т\1рй с — теплоемкость.
Для разрушенного материала за фронтом волны раз¬
рушения
и>2 = о*2/2Я р2 + ^0(^2) + (5.25)
где Е\=Е,1(1 — V2) (см. [48]), юв — поверхностная
энергия.
Выполняя вычисления с учетом соотношений о„1=0.,
ог1=т(а„1+ах1), получаем [48](
Щ + с(Га — Тг) = (о1/2Е) [1 ^ V (р2 — р^К 1 — V) о*].
(5.26)
В случае непрерывной волны разрушения р\ =р2- Кроме
того, имеем
н>»=2Т/Я2, (5.27)
где определяется выражением (5.16).
Тогда уравнение (5.26) определяет тепловые потери
при разрушении
Д<? = о\/2Е1 - 2у]8г (5.28)
235
9*
(5.29)
или с учетом (5.16) (для осевой симметрии)
Д<? - («т 1/2Ех) [1 - V2 - рн2/е*<т*],
(р1>2/е,а»< 1 — V2).
Отсюда, в частности, следует, что тепловые потери тем
больше, чем меньше величина <$2, т. е. чем более интен¬
сивно происходит дробление, примерно в соотношении
А(? ~ 8*2 ~ <х>~2, (5.30)
где (ж) — средний размер осколка.
Эти соотношения качественным образом объясняют
роль воздушных промежутков, применяемых для увели¬
чения объема и улучшения качества дробления горных
пород взрывом [110]'. Как видно из (5.30), потери энер¬
гии на нагревание породы тем больше, чем сильнее раз¬
дроблена среда. Это приводит к быстрому затуханию
волны. Если речь идет о взрыве на выброс или сброс, то
к моменту выхода волны на свободную поверхность она
может оказаться настолько ослабленной, что могут раз¬
виваться трещины, находящиеся далеко одна от другой —
это приводит к увеличению количества негабаритных
кусков. Если же при прочих равных условиях начальное
давление в зарядной камере уменьшено, то вблизи нее
дробление происходит менее интенсивно, тепловые поте¬
ри меньше и к моменту окончания процесса (выход вол¬
ны на свободные поверхности) напряжения еще настоль¬
ко велики, что может образоваться более густая сетка
трещин, чем в первом случае,— выход негабарита умень¬
шается. Оптимальный случай теоретически следует из
(5.28) при Д()=0:
5»опт =о2/2Е1у. (5.31)
Взрыв нужно «организовать» таким образом, чтобы в каж¬
дой точке разрушаемого объема выполнялось это соотно¬
шение. Вопрос состоит в том, можно ли вообще достичь
этого в реальных условиях? Таким образом, (5.31) можно
рассматривать как теоретический предел, к которому сле¬
дует стремиться.
Проблема воздушных промежутков представляет зна¬
чительный интерес не только с практической, но и с чи¬
сто теоретической точки зрения. Оказывается, что дело
здесь не только в уменьшении начальной плотности энер¬
гии, как это рассматривается в [130]'. Конкретный вид
устройства воздушных промежутков также имеет суще¬
ственное значение. Приведем пример. Можно рассредото¬
чить воздушные промежутки по всему объему взрывной
камеры при помощи добавления к ВВ шариков из вспе¬
ненного полистирола (пенопласта). Можно также распо¬
ложить эти шарики дискретным образом. Эффект взрыва
будет различным. Введение в практику взрывных работ
воздушных промежутков заставляет пересмотреть привыч¬
ные представления о бризантном и фугасном действии
взрыва. Физико-механический смысл явлений, происхо¬
дящих при взрыве с воздушными промежутками, в на¬
стоящее время полностью не выяснен. Понятно только,
и это, в частности, следует из (5.28), что для каждой
конкретцой породы и условий взрывания должен суще¬
ствовать свой оптимальный размер промежутка.
§ 6. ПРОБЛЕМА РАВНОМЕРНОГО ДРОБЛЕНИЯ
Одной из центральных проблем практического взрыв¬
ного дела является следующая. Возможно ли, и если
возможно, то как расположить в твердом теле заряды ВВ,
чтобы в результате взрыва некоторый заданный объем
оказался разрушенным на куски одинакового размера?
Эта задача в принципе может быть решена в рамках мо¬
дели идеальной несжимаемой среды (см. гл. I, IV). При¬
нимаются следующие предположения.
1. Среда является идеальной и несжимаемой.
2. Действие взрыва характеризуется только импуль¬
сивным давлением
где р (1) —давление.
•*►
Мгновенное поле скоростей V определяется как
(6.1)
о
Р=$гай(— Р/р).
(6.2)
237
Таким образом, величина
ф ==—Р/р (6.3)'
есть потенциал ноля скоростей.
Ограничиваясь рассмотрением плоской задачи, можно
вывести комплексный потенциал
№(2) —ф(а:, у)+^{х, У), г=х+гу. (6.4)
Первая производная комплексного потенциала определяет
комплексно-сопряженную скорость
йш/йг—их — шу, (6.5)
а вторая. — компоненты тензора скоростей деформации
(см. гл. Т, § 4)
й2т! йг2 == дих/дх — 1дпх!ду~ —<3г,,/<9у — гдг^у/дх—
= б2ф /дх2 — 1д2ср/дхду. (6.6)
В частности, максимальная скорость сдвига
т]та*=11/2 [ (дих/дх — дуУ1ду)2-\- (дVx/ду^^дVу/дx)2] 1/2~
- • : . • - ■ »■ = |А^УУ81. (6.7)
Можно предположить, что если в каждой точке области
максимальная деформация сдвига одинакова, то разруше¬
ние будет иметь равномерный характер. Время разруше¬
ния примерно одинаково во всей рассматриваемой обла¬
сти. Поэтому условие равномерного разрушения имеет
вид
й2га/й 22=сопз1;. (6.8)
В горном деле известна теория О. Е. Власова и
С. А. Смирнова [34]( разрушения горных пород взрывом.
Введенный этими авторами «критерий дробимости» Б
связан с г]шах соотношением
О = 2т)тах. (6.9)
Полученный результат следует трактовать так. Для рав¬
номерного дробления среды следует на поверхности обла-
238
г
сти таким образом распределить ВВ, чтобы создаваемый
взрывом потенциал удовлетворял такому решению зада¬
чи Дирихле, при котором выполняется условие (6.8).
Решений уравнения (6.8) имеет в общем случае вид
1Р=Аг2+Вг+С, (6.10)
где А, В, С комплексные константы.
Отметим, что решение,, соответствующее второму сла¬
гаемому, используется в теории абсолютно направленного
взрыва (гл. IV, § 12). Практическую реализацию принци¬
па равномерного дробления можно проиллюстрировать на
следующих примерах. Пусть надо разрушить породу в
объеме призмы с равнобедренным прямоугольным тре¬
угольником в основании (рис. 61, а). Выберем действи¬
тельный потенциал в виде
Ф—аху (а=сопв1;). (6-11)
Начало координат и положение осей координат ука¬
заны на рис. 61, а. Такой потенциал является частным
случаем (6.10) и удовлетворяет условию равенства нулю
на свободной поверхности АВ. На боковых поверхностях
призмы распределение потенциала таково:
на грани АС: ф= —ах2,
„„ . (6.12)
на грани ВС: ф==аж- [АВ — х).
Другой пример, изображенный на рис. 61, б, относит¬
ся к случаю многорядного взрывания. Сначала взрывает¬
ся по описанной схеме центральная призма (так назы¬
ваемый вруб). Затем по аналогичной схеме взрываются
две соседние треугольные призмы, после чего последова¬
тельно взрываются четырехугольные призмы. Распреде¬
ление потенциала на поверхности последних показано на
рис. 61, в.
Переменное распределение потенциала (см. рис. 61, а
и в) можно создать, закладывая в скважины, пробурен¬
ные вдоль соответствующих граней, разное количество ВВ
подобно тому, как это делается при направленном взрыве.
Размер осколков в этой схеме определяется из допол¬
нительных физических предпосылок. Мы видели в § 3
этой главы, что растяжение полосы из идеальной жиДко-
239
Рис. 61. Схема равномерного дробления: а — треугольной
призмы, б — последовательность взрывания, в — прямоуголь¬
ной призмы.
сти устойчиво, если принять в расчет силы прочности хо¬
тя бы самого слабого происхождения (поверхностное
натяжение).
Для нахождения размера куска в этом случае можно
поступить следующим образом. Из элементарных сообра¬
жений ясно, что полоса из реального материала не мо¬
жет растягиваться до бесконечности. Введем, как и в § 4,
предельно допустимые деформации. Для полосы это усло¬
вие можно записать в виде
а- Ах-1=рг-1—сопз!, (6.13)
где Ах — длина растягиваемого отрезка, V, ■*- некоторая
постоянная с размерностью скорости.
В более общем случае это условие имеет вид
\Л2^V|(^22\Аx=V8, (6.14)
что совпадает с соотношением, приведенным в работе [34].
В той же работе величина V, связывается с прочностью
на сдвиг:
V^—Уа3|р. (6.15)
Величина т)шах= | с12ш!йт,21 связана с импульсом / всей
массы среды соотношением
1—кцтюУа (&=еоп81) (6.16)
В свою очередь, как и в направленном взрыве (см. § 12,
гл. IV), импульс связан с энергией и весом В В (} соот¬
ношением
240
[у ц , т = т0 = сопвС
Объединяя эти выражения, можно записать
1~0*, а<1.
(6.17)
(6.18)
Из этих соотношений формула для величины размера
куска при равномерном дроблении имеет вид
При а=4/5 эта формула качественно имеет тот же вид,
что и формула (У1.4.2).
Удивительно, что выражения (У1.4.2), (5.22) и (6.19),
выведенные на основе различных с'хем и моделей, в ос¬
новном хорошо согласуются друг с другом. По-видимому,
это свидетельствует о том, что основная идея явления
осколвообразования при взрыве описывается ими пра¬
вильно.
Эта идея во всех трех случаях состоит в том, что в
расчетную схему дополнительно в качестве прочностного
критерия вводятся или конечные деформации, или допол¬
нительный линейный размер (х<> в гл. VI). Очевидно, для
адекватного теоретического описания взрывного разруше¬
ния без этих параметров нельзя обойтись.
§ 7. АНАЛИЗ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД ВЗРЫВОМ
О. Е. Власов и С. А. Смирнов [34]! развили гидроди¬
намическую модель применительно к расчету дробления
горных пород взрывом, рассматривая процесс разрушения
с энергетических позиций. Кинетическая энергия жидко¬
сти, связанная с деформацией, в объеме куба с малым
ребром 2а в декартовой системе координат, как показано
в [34]’, имеет вид
Ах = сопз1 V, (У0/(?)а7о-а.
(6.19)
ТУА=4/3-р аЮ.
Здесь Г> — так называемый критерий дробимости:
С = {д2<$1дХхдХ))2
(7.2)
(7.1)
241
(по повторяющимся индексам производится суммиро¬
вание).
Рассмотрим, как связан критерий дроблмости с тен¬
зором скоростей деформации в пространственном случае.
Компоненты последнего, как известно [64, 77]',
(7.3)
-* дт}, дV^
В случае потенциального движения го! V — 0. = -~
’ ОХ] дх,
и, следовательно,
1>ц=д2Ц)/дХгдХ}.
(7.4)
Для несжимаемой среды др{/дх{=0. При этом условии де-
виатор тензора скоростей деформации совпадает ,с самим
Тензором. Интенсивность скоростей деформации сдвига Н
в общем случае определяется через второй инвариант де-
виатора скоростей деформации /2 (см. тл. I)
Я=211а, (7.5)
где
4 = 4" ~ ~ “ у**)2 +
'+6(V^V + V^I + VгX)]. (7,6)
В данном случае (потенциальное движение несжимаемой
среды)
1 / 32ф \2
2 ( дх^дх^ I
В=-±-И2 = 212.
(7.7)
В плоском л осесимметричном случае Н/2 совпадает со
значением максимальной скорости сдвига г]т!а
Лта* = У72 = УД72, (7-8)
242
а именно в плоском случае, как показано в § 6,
■Птах— [ (д2ф/да:2)2+ (<Э2ф/д.гд1/)2]|1/2, (7.9)
в осесимметричном
■Птах=1/2- [(д2ф/дг2 — 92ф/922)2+4(32ф/9г92)2]1/2, (7.40)
где г, г — цилиндрические координаты.
В плоском случае можно ввести в рассмотрение комп¬
лексный потенциал
Иа)=ф(®> У), 2=а:+й/,
и тогда (7.9) можно записать в виде (6.7).
Критерий дробимоети характеризует скорости сдвиго¬
вых деформаций в среде, и само установление этого фак¬
та уже позволяет сделать выводы, важные для приложе¬
ний. В современном взрывном деле есть две проблемы —
направленного выброса и равномерного дробления. Мож¬
но ли, а если можно, то как расположить во взрываемом
массиве заряды ВВ, чтобы в первом случае грунт (гор¬
ная порода) двигался как твердое 'тело, а во втором —
разрушался бы на куски одинакового размера? В рамках
гидродинамической модели ответ на оба вопроса получа¬
ется сразу.
Располагать заряды ВВ нужно так, чтобы в случае
направленного взрыва (см. гл. IV, § 12)
Б=0, (7.11)
а в случае размерного дробления
2)=соп51. (7-12)
Для практического использования этих принципиальных
утверждений нужно установить зависимость между им¬
пульсным давлением Р и количеством ВВ. В простейшем
варианте предполагается, что Р пропорционально толщи¬
не слоя ВВ. Таким образом, возникает схема расположе¬
ния ВВ при направленном взрыве (рис. 33—36) и для
равномерного дробления (рис. 61). В последнем случае
указана последовательность замедленного взрывания. Так
как располагать ВВ сплошным слоем практически крайне
неудобно, предполагается замена слоя скважинными или
243
шпуровыми зарядами различного диаметра. Разумеется,
это только принцип взрывания. Окончательная отра¬
ботка практической схемы производится при помощи це¬
ленаправленно поставленных экспериментов.
Так при помощи гидродинамической модели решаются
две обратные задачи теории взрыва. Сложнее обстоит
дело с решением прямых задач — определением размеров
осколков (гранулометрический состав) и границ зон раз¬
рушения.
Энергетический прием, предложенный О. Е. Власовым
и С. А. Смирновым, состоит в том, что кинетическая
энергия (7.1) приравнивается энергии упругого дефор¬
мирования
ра57) = 8ааа2/2Е, (7-13)
отсюда
п=щУЗ/УД щ==о3/УАр. (7-14)
Величина V, названа в [34] критической скоростью и ее
значения для различных пород аатабулированы в двух
вариантах, когда <% .есть прочность (предел текучести)
при сжатии и растяжении.
Очевидно, здесь рассматриваются случаи простого на¬
пряженного состояния. Естественно, обобщение получает'
ся, если в правой части (7.13) вместо а2/2Е подставить
выражение для плотности упругой энергии. Для несжи¬
маемого тела оно имеет вид
и>1=Т2! 2р, (7.15)
где \и=Е12{1-{-у) модуль сдвига; V — коэффициент
Пуассона; Т — интенсивность касательных напряжений
(см. гл. I):
<г3)а + (о, - <Т3)2 + (о, - а,)» , (7.16)
щ, а2, Оз — главные напряжения.
Обозначим через Т» значение Т, соответствующее раз¬
рушению (или началу пластического течения). Тогда вы¬
ражения для критической скорости и величины осколка
(7.14) примут вид
щ=*7УУрр, а=Тзуб/НУцр. (7.17)
244
В случае чистого сдвига щ — ~ 02—т, о,—0, Г=т, отсю¬
да получаем
а=т„уЗ./УррД Vа=Xз|^^xр, (7.18)
где т, — предел прочности на сдвиг.
Следует подчеркнуть, что (7.14) и (7.18) — прибли¬
женные формулы, имеющие характер оценки по порядку
величины, и применимость той или иной из них должна
быть обоснована экспериментально.
В качестве примера определения размера зоны разру¬
шения в [34] рассматривается взрыв сферического заря¬
да в неограниченной среде. Потенциал скоростей и кри¬
терий дробимости в этом случае имеют вид
ф= — т/г, 0 — 6т2/г0, г==)а.'2+г/2-)-22. (7.19)
Постоянная т вычисляется из энергетических соображе¬
ний. Кинетическая энергия, вычисляемая по формуле
\Ук = — (р/2) ф ср (дф/<Эп)й5 (7.20)
(8 — поверхность, ограничивающая рассматриваемую об¬
ласть, п — внутренняя нормаль), приравнивается а-й до¬
лге полной энергии ВВ:
Ц?к=а\У0. (7.21)
Из этих соотношений
га=[аТН0гс/2лр]1/2, (7.22)
где го — радиус заряда.
Из (7.14), (7.79) и (7.22), как и в [34], получаем
а=Vз^3[^^р/аЕо^оУ/2. (7.23)
Размеры осколков, как видно из этого выражения,
быстро растут с расстоянием от центра взрыва, так что,
начиная с некоторого расстояния, величина а может пре¬
высить г. Определим размер г, зоны разрушения, при ко¬
тором размер осколка равен расстоянию от центра взрыва:
а (г.) =г„ (7.24)
245
Это условие не противоречит [34] и совпадает с приве¬
денным там выражением, если г„^>го (/*о — радиус заря¬
да). Из (7.23) и (7.24)
га = (аЕ0г0/при*У/,к, (7.25)
или, вводя плотность энергии ВВ ш0 = ЗРУ/4яге, получим
г3 = г0(4аи;0/р1;*)1/4 = г0 (4сш0р/т2)|/4 (7.26)
(в последнем выражении использована формула (7.17)
для V,).
Обозначим через V(а) объем всех осколков размером
меньше а, через У0 = 4лг3/3—объем зоны разрушения.
Тогда из (7.23) — (7.25)
V (а)/У0 = а(при2а/аЕ0г0)1'\
Размер среднего куска определяется из выражения
о(г»)
<а> = | а-йУ/У0
О
(см. гл. VI). Производя вычисления, получаем
<Я> = га/2 = 1/2- (аЯ0г0/яр1^)1/4,
Введем удельный энергетический расход ВВ
Че = 1У0/У0 = 31У0/4л г\. (7.27)
Это выражение можно представить в виде
<а> = 1/2 • (3/4 л)5/6 (т8ш01/6/р,/2р,/2) 1У01/3/9е. (7.28)
Отсюда, в частности, следует, что образование осколков
при камуфлетном взрыве подчиняется принципу геомет¬
рического подобия
<а>~И^/3~г0. (7.29)
Анализ имеющихся экспериментальных данных приводит
246
к следующему выражению для среднего размера
(см. гл. VI):
осколков
<а> = соп51т,-И^/е/Яд4/5,
(7.30)
откуда
<й>^Т'У1/6^1/,~.
(7.31)
Таким образом, несмотря на неплохое качественное
согласие между (7.30) и (7.28), следует отметить, что
гидродинамическая теория не дает удовлетворительного
описания влияния масштабного фактора на характер раз¬
рушения.
Рассмотрим взрыв на выброс. Пусть сферический за¬
ряд расположен на глубине к от свободной поверхности,
за которую примем плоскость ху. Потенциал скоростей
имеет в этом случае вид
<р=-т {[гЧ- (*+к)2] - [гЦ- (*-к) 2У‘). (7.32)
При условии к^го величина т по-прежнему выражается
формулой (7.22). Из (7.10) находим, что на свободной
поверхности
1'1п1м|*=0 = 37ш71(г2-]-/12)~5/2. (7.33)
Радиус воронки выброса Н определим из условия
а(Н) —В. (7.34)
Проводя вычисления, аналогичные предыдущим, получа¬
ем для расчета воронки .выброса
ТУ0 = 4л/3-(рщ шо/3/а)4/3 (1 + и2)1574 п~3к\ (7.35)
где п=Н/к — показатель выброса.
Рассмотрим взрыв на выброс бесконечно длинного ци¬
линдрического заряда ВВ. В этом случае комплексный по¬
тенциал
ю (г) = (т.12п)\п[(г-{-Ы) / (г — Ы) ]» (7.36)
Здесь мощность источника т при условии к~Э>го прибли¬
247
женно выражается через энергию ВВ ю\, приходящуюся
на единицу длины:
т= [4ясш?1/р/г 1п (2Н/гс,) ] ’Л. (7.37)
Величина г|тах, вычисляемая по формуле (7.9), на сво¬
бодной поверхности
У]тах\у=о—2тНх1я(х2-\-к2)2. (7.38)
Полуширину траншей выброса х\ определим из условия
а\х\)—х\. (7.39)
После вычислений
= (Зя/8)(рУв/а)/12 (1 + п2)*п~61п (2к/г0). (7.40)
Формулы (7.35), (7.40) могут быть использованы для
расчета воронок и траншей выброса при взрыве на выб¬
рос в прочных горных породах, разрушаемых по сдвиго¬
вому механизму.
В заключение рассмотрим задачу об одновременном
взрыве системы скважинных зарядов. Пусть количество
зарядов бесконечно велико, все они расположены парал¬
лельно друг другу и свободной поверхности. Расстояние
от свободной поверхности — к, расстояние между скважи¬
нами — I. Потенциал поля скоростей определяется анало¬
гично тому, как это делается в гидродинамике для вихре¬
вой цепочки Кармана [78]:
п
= я > (7-41)
йпт <«-*.)
отсюда
й2и?/Й22= (пт/212) [зт_2я (г—к^/1—вт2я (г + Л() //]. (7.42)
На практике требуется так расположить заряды ВВ, что¬
бы после взрыва между ними не оставалось так называе¬
мых «целиков», т. е. неразрушенных участков среды.
Максимальная скорость сдвига на середине расстояния
между зарядами в соответствии с (6.7) есть
Т]тах= I Й2и?/Й22 |,~;/2-Ы = (пт/812) Ш (2яИЛ) ■ (7.43)
248
Пусть одиночный скважинный заряд создает траншею
нормального выброса. Положив в (7.38) х=Тг, получим в
этом случае на краю траншеи
Г|тах=2т/я/&2. (7.44)
Если между зарядами скорость сдвига такая же, как на
краю траншеи нормального выброса, то, очевидно, «цели¬
ков» не будет. Приравнивая друг другу два последних
выражения, получаем
4г/яА—(Ш2яЬДЛ (7.45)
Решение этого уравнения
г/й—1,3, (7.46)
что довольно близко к величине, принимаемой в практи¬
ческих расчетах.
Приведенные примеры показывают, что гидродинами¬
ческая теория разрушения горных пород взрывом может
быть с успехом использована для практических инженер¬
ных расчетов, если последние будут надлежащим образом
проанализированы на основе специально поставленных
экспериментов. _
В главе IV рассматривались задачи о взрыве в грунте
в струйной постановке. При построении модели предпо¬
лагалось, что граница области выброса является линией
тока, вдоль которой скорость частиц постоянна и равна
некоторой характерной для каждого грунта величине с,.
Такая постановка основана на представлении о тонком
слое скольжения, в котором скорости деформации сдвига
имеют критические значения. Если последние устремить
к бесконечности, а толщину слоя к нулю так, чтобы их
произведение было бы конечно, таким образом придем к
струйной постановке. Это наводит на мысль о том, что
величины с, и у, должны совпадать. Если для глинистого
грунта принять, как в главе III, модуль Юнга Е=
= 104' кГ/см2, плотность р=2 г/см3 и а,=50 кГ/см2, то
для V, получаем по (7.14) значение 3 м/с, что неплохо
согласуется со значением с*, принятым для аналогичных
грунтов в главе IV. Это замечание, по существу, замыка¬
ет различные гидродинамические модели, применяемые
для описания взрывных процессов.
249
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
их, иу, иг\ Щ — компоненты смещения
ух, иу, у*; V^ — компоненты скорости
Ох, оу, о2, Оху, Охх, оуг\ о,* — компоненты тензора напря¬
жений
ихх, и-уу, иХ1, иху, и12, иуг’, и,к — компоненты тензора дефор¬
маций
у„, VуV, Vгг, Уху, Vxг, VуX\ ул — компоненты тензора скорос¬
тей деформации
Т, Г, Н — интенсивности соответственно касательных на¬
пряжений, деформаций сдвига, скоростей
деформаций сдвига
б — объемная деформация
К — модуль объемного сжатия
Е — модуль Юнга
V —коэффициент Пуассона
р —модуль сдвига (вязкость в гл. III)
р — плотность
р —давление (плотность вероятности в гл. VI)
Р — импульсивное давление (вероятность в
гл. VI)
I — импульс
I, — момент инерции сечения
Р — сила
Кг, Кц, Кщ — коэффициенты интенсивности напряжений
Со, С/, си ср
с*
И>(2)
Ф
Ф
0
— скорости соответственно звука, продольных
волн, поперечных волн, волны разрушения
— критическая скорость
— комплексный потенциал
— действительный потенциал
— функция тока
— удельная поверхностная энергия, поверх¬
ностное натяжение
250
И'к
п
т
<?
АО
Ф
К
У
Щ
а{1)
ЯГО
I, Ь, к
V
8
а*, о,
в*
— кинетическая энергия
— потенциальная енергия, поверхностная
энергия
— упругая энергия
— вес заряда ВВ
— количество тепла
— функция распределения вероятностей
— кумулятивный (суммарный) выход сверху
— кумулятивный выход снизу
— средний размер осколка
— радиус взрывной полости
— радиус ударной волны
— длина
— объем
— поверхность
— прочность материала
— предельная деформация. Т / ...
ЛИТЕРАТУРА
1. Адушкии В. В., Сухотин А. П. О разрушении твердой среды
взрывом.— ПМТФ, 1961, № 4, с. 94—101.
2. Александров А. П., Жуков С. Н. Явление хрупкого взрыва. М.—
Л., Гостехиздат, 1933. 173 с.
3. Алексеенко В. Д., Григорян С. С., Кошелев Л. И., Новгоро-
дов А. Ф., Рыков Г. В. Измерение волн напряжения в мягких
грунтах.— ПМТФ, 1963, № 2, с. 29—37.
4. Алиев X. М. Ударная волна разрушения в хрупких средах.—
«Докл. АН СССР», 1963, т. 151, № 1, с. 138—142.
5. Андреев К. К., Беляев А. Ф. Теория взрывчатых веществ. М.,
Оборонгиз, 1960. 189 с.
6. Андреев С. Е., Товаров В. П., Петрова В. А. Закономерноость
измельчения и исчисление характеристик грансостава. М., Ме-
таллургиздат, 1959. 128 с.
7. Андрианкин Э. И., Корявов В. П. Ударная волна в переменно-
уплотняемой пластической среде,— «Докл. АН СССР», 1959,
т. 128, № 2, с. 251—256.
8. Альтшулер Л. В. О взрыве в сжимаемой пластической среде.—
«Докл. АН СССР», 1946, т. 52, № 3, с. 357—364.
9. Ассонов В. А. Взрывные работы. М., Углетехиздат, 1958. 452 с.
10. Багдасарян А. Б., Григорян С. С. О действии взрыва в органи¬
ческом стекле,— ПМТФ, 1967, № 3, с. 57—63.
11. Баранов Е. Г., Клаповский В. Е. Оценка энергоемкости горных
пород при взрыве.— ФТПРПИ, 1969, № 5, с. 89—94.
12. Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин,
образующихся при хрупком разрушении.— ПМТФ, 1964, № 4,
с. 3—56.
13. Баренблатт Г. И. О некоторых оценках для удельной поверх¬
ности трещин, образующихся при динамических воздействи¬
ях на твердое тело.— ПМТФ, 1964, № 4, с. 17—22.
14. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Салганик Р. М. О кинети¬
ке распространения трещин.— «Инж. МТТ», 1967, № 1,
с. 401—108.
15. Баренблатт Г. И., Салганик Р. М., Черепанов Г. П. О неустано-
вившемся распространении трещин.— ПММ, 1962, т. 26, № 2,
с. 328—334.
16. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах про¬
дольного сдвига.— ПММ, 1961, т. 25, № 6, с. 93—101.
252
17. Барон В. Л. Исследования по дроблению каменных блоков
действием взрыва в Англии,— В кн.: Взрывное дело, вын. 50/7.
М., Госгортехиздат, 1962, с. 109—ИЗ.
18. Барон Л. И. Кусковатоеть и методы ее измерения. М., Изд-во
АН СССР, 1960. 97 с.
19. Барон Л. И., Сиротюк Г. Н. Проверка применимости уравнения
Розина-Раммлера для исчисления диаметра среднего куска при
взрывной отбойке горных пород.— В кн.: Взрывное дело, вып.
62/19. М., «Недра», 1967, с. 111—121.
20. Барон Л. И., Личелн Г. П. Трещиноватость горных пород при
взрывной отбойке. М., «Недра», 1966. 126 с.
21. Барон Л. И., Хмельковский И. Е. Разрушаемость горных по¬
род свободным ударом. М., «Недра», 1969. 110 с,
22. Барон Л. И., Левчик С. П. О рационализации пробы для оцен¬
ки дробящей способности взрывчатых веществ.— В кн.: Взрыв¬
ное дело, вып. 53/10. «Недра»,! 1963, с. 43—47.
23. Батугин С. А. Анизотропия трещиноватости и ее проявление
в анизотропии физико-механических свойств горных пород
и массивов. Кемерово, 1973, с. 3—38. (Тр. КузПИ, вып. 48).
24. Баум Ф. А., Григорян С. С., Сакасарян Н. С. Определение им¬
пульса взрыва вдоль образующей скважины и оптимальных
параметров скважинного заряда.— В кн.: Взрывное дело,
вып. 54/11. М., «Недра», 1964, с. 5—16.
25. Безматерных В. А., Гилев Б. А. Распределение кусков взорван¬
ного горного массива по линейным размерам.— В кн.: Разру¬
шение горных пород взрывом. Свердловск, 1970, с. 101—109.
(Тр. ИГД МЧМ СССР, вып. 26).
26. Безматерных В. А., Симонов В. Г. Учет естественной трещино¬
ватости взрывного массива при расчете грансостава.— «Изв,
вузов. Горный жури.», 1974, № 9, с. 88—94.
27. Безматерных В. А., Симонов В. П., Лешуков М. Н. Оценка энер¬
гии разрушения хрупких тел при некоторых видах динамиче¬
ских воздействий.— «Изв. вузов. Горный журн.», 1972, № 4,
с. 76—81.
28. Безматерных В. А., Симонов В. П., Боровков В. Ф., Сисин А. Г.
Классификация массивов горных пород по типу распределения
размеров кусков.— «Изв. вузов. Горный журн.», 1973, № 10,
с. 29—35.
29. Бирюков А. В., Репин Н. Я. и др. Вероятностно-статистическое
исследование кусковатости горных пород. Кемерово, 1970,
с. 69—78. (Тр. КузПИ, вып. 28).
30. Бирюков А. В., Репин Н. Я. Анализ применимости некоторых
законов распределения при изучении кусковатых смесей. Ке¬
мерово, 1973, с. 39—47. (Тр. КузПИ, вып. 48).
31. Броберг К. Б. Ударные волны в упругопластической среде. М.,
Гостехиздат, 1959. 325 с.
32. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов.
М., «Машиностроение», 1964. 421 с.
33. Власов О. Е. Основы динамики взрыва. М., Изд-во Военно-ин¬
женерной академии. 1957. 377 с.
34. Власов О. Е., Смирнов С. А. О моделировании действия взры¬
ва.— В кн.: Взрывное дело, вып. 59/16. М., «Недра», 1966,
с. 109—117.
253
35. Власов О. Е., Смирнов С. А. Основы расчета дробления горных
пород действием взрыва. М., Изд-во АН СССР, 1962. 104 с.
36. Вовк А. А., Черный Г. И., Смирнов А. Г. Деформирование сжи¬
маемых сред при динамических нагрузках. Киев, «Наукова
думка», 1971. 176 с.
37. Володин И. Н. О различении распределений гамма и Вейбул-
ла.— В кн.: Теория вероятностей и ее применения. Вып. 2,
1974, с. 398—404.
38. Вычислительные методы в гидродинамике. Перевод с англ. М.,
«Мир», 1967. 266 с.
39. Галин Л. А., Черепанов Г. П. О самоподдерживающемся раз¬
рушении напряженного хрупкого тела.— «Докл. АН СССР»,
1966, т. 167, № 3, с. 692—703.
40. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, ря¬
дов и произведений. М., Физматгиз, 1962. 1100 с.
41. Григорян С. С. Некоторые ©опросы математической теории
деформирования и разрушения твердых горных пород.— ПММ,
1967, т. 31, № 4, с. 157—245.
42. Григорян С. С., Ляхов Г. М., Мельников В. В., Рыков Г. В.
Взрывные волны в лессовидном суглинке.— ПМТФ, 1963, № 4,
с. 121—126.
43. Григорян С. С. К решению задачи о подземном взрыве в мяг¬
ких грунтах.— НММ, 1964, т. 28, № 6, с. 75—83.
44. Григорян С. С. О постановке динамических задач для идеаль¬
но пластических сред.— ПММ, 1955, № 6, с. 27—33.
45. Демидов Г. П. О параметрах ВВ в связи с проектированием
взрывов с заданной степенью дробления.— В кн.: Взрывное
дело, вып. 65/22. М., «Недра», 1968, с. 151—154.
46. Докучев М. М., Ромашов А. Н., Родионов В. М. Взрыв на выб¬
рос. М., Изд-во АН СССР, 1963. 108 с.
47. Дремин А. Н., Савров С. Д., Трофимов В. С., Шведов К. К. Де¬
тонационные волны в конденсированных средах. М., «Наука»,
1971. 162 с.
48. Друкованный М. Ф., Комир В. М., Кузнецов В. М. Действие
взрыва в горных породах. Киев, «Наукова думка», 1973. 184 с.
49. Дубынин Н. Г., Рябченко Е. П. Отбойка руды зарядами сква¬
жин различного диаметра. Новосибирск, «Наука», 1972. 113 с.
50. Единые правила безопасности при взрывных работах М., «Нед¬
ра», 1968. 319 с.
51. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. Теория детонации. М., Гос-
техиздат, 1965. 268 с.
52. Зельманов Л. И., Колков О. С., Тихомиров А. М., Шацуке-
вич А. Ф. Движение песчаного грунта при камуфлетном взры¬
ве.— ФГВ, 1968, № 1, с. 93—99.
53. Зволинский Н. В., Подъяпольский Г. С., Флитман Л. М. Теоре¬
тические аспекты задачи о взрыве в грунте.— «Изв. АН СССР.
Физика Земли», 1973, № 1, с. 28—46.
54. Зволинский Н. В. Об излучении упругой волны при сфериче¬
ском взрыве в грунте.— ПМТФ, 1960, № 1, с. 84—86.
55. Ивлев Д. Д. О теории квазихрупкого разрушения.— ПМТФ,
1967, № 6, с. 88—128.
56. Ильинский Н. Б., Салимов Р. Б. Одна задача теории взрыва.
Труды семинара по краевым задачам. Казань, изд-во КГУ, 1974,
вып. И, с. 115—120.
254
57. Ильинский Н. Б., Хайруллин Э. Э. Об электромоделировании
краевых задач теории взрыва.— РЖ Механика, 1975, 4, Б 393,
ДЕП, с. 38—43.
58. Ильинский Н. Б., Лабуткин А. Г., Салимов Р. Б. Некоторые за¬
дачи о взрыве заглубленных зарядов. (Тр. семинара по крае-*
вым задачам, вып. 12). Казань, Изд-во КРУ, 1975, с. 21—31.
59. Ильинский Н. Б., Салимов Р. Б. Задача о взрыве поверхност¬
ного заряда переменной толщины. (Тр. семинара по краевым
задачам, вып. 127). Казань, изд-во КГУ, 1975, с. 67—69.
60. Ильинский Н. Б., Салимов Р. Б. К решению одной краевой за¬
дачи теории взрыва.— «Изв. вузов. Математика», 1975, № 6,
с. 111—116.
61. Исаков А. Л. К задаче о разрушающем действии взрыва в пла¬
стических средах.— ФТПРПИ, 1974, № 5, с. 29—31.
62. Ишлинский А. Ю., Зволинский Н. В., Степаненко И. 3. К дина¬
мике грунтовых масс.— «Докл. АН СССР», 1954, т. 95, № 4,
с. 729—731.
63. Камерон И. Г., Скорджи Г. К. Динамика сильных подземных
взрывов.— В ки.: Действие ядерного взрыва. М., «Мир», 1971,
с. 151—168.
64. Качанов А. М. Основы теории пластичности. М., «Наука»,
1969. 420 с.
65. Кедринский В. К. О пульсации цилиндрической газовой поло¬
сти в безграничной жидкости.— В кн.: Динамика сплошной
среды, вып. VIII. Новосибирск, 1971, с. 79—83.
66. Колмогоров А. Н. О логарифмически-нормальном распределе¬
нии размеров частиц при дроблении.—«Докл. АН СССР», т. 31,
№ 2, 1941, с. 103—106.
67. Компанеец А. С. Ударные волны в пластической уплотняю¬
щейся среде.—«Докл. АН СССР», 1956, т. 109, № 1, с. 68—76.
68. Кононов И. П. Анализ грансостава взорванной породы.—
В кн.: Проблемы управления горными предприятиями буду¬
щего, 1972, с. 173—184.
69. Корявов В. П. Некоторые представления о зоне и фронте тре¬
щин.—«Докл. АН СССР», 1962, т. 144, № 6, с. 421—423.
70. Корявов В. П. О зоне и фронте трещин в упругом теле под
действием давления.— ПМТФ, 1965, № 6, с. 109—114.
71. Костров Б. В. Неустановившееся распространение трещины
продольного сдвига.— ПММ, 1966, т. 30, № 6, с. 7—26.
72. Коттрел А. X. Теоретические аспекты процесса разрушения.—
В кн.: Атомный механизм разрушения. М., Металлургиздат,
1963, с. 239—243.
73. Коттрел А. X. Прочность материалов.— В кн.: Механические
свойства новых материалов. М., «Мир», 1966, с. 7—20.
74. Коул Р. Подводные взрывы. М., ИЛ, 1950. 425 с.
75. Кошелев Э. А., Кузнецов В. М., Софронов С. Т., Черников А. Г.
Статистика осколков, образующихся при разрушении твердых
тел взрывом.— ПМТФ, 1971, № 2, с. 87—100.
76. Кошелев Э. А. О диссипации энергии при подземном взрыве.—
ПМТФ, 1972, № 5, с. 184—187.
77. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчис¬
ления. М., Изд-во АН СССР, 1951. 426 с.
225
78. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеха¬
ника. М., Физматгиз, 1963, т. I. 528 с, т. II. 764 с.
79. Кривцов В. А., Семенова Л. А. О приближенном определении
развития полости при камуфлетном взрыве сферического за¬
ряда в грунте.— ПМ, 1967, т. 3, № 9, с. 110—113.
80. Крысин Р. С. Теоретические предпосылки к основам регули¬
руемого дробления взрывов.— В кн.: Взрывное дело, вып.
70/27. М., «Недра», 11971, с. 198—403.
81. Кузнецов В. А. Исследование линейно-распределенных заря¬
дов выброса применительно к практике открытых работ.—
В кн.: Взрывное дело, вып. 71/28, 1963, с. 139—143.
82. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. Экспериментальное исследование
направленного взрыва в грунте.— ПМТФ, 1960, № 3, с. 53—58.
83. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. Масштабный эффект и влияние
прочности при направленном взрыве.— ПМТФ, 1963, № 3,
с. 161—165.
84. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. О направленном взрыве в мягком
грунте.— В кн.: Взрывное дело, вып. 53/10. М., «Недра», 1963,
с. 179—190.
85. Кузнецов В. М. О форме воронки выброса при взрыве на по¬
верхности грунта.— ПМТФ, 1960, № 3, с. 152—257.
86. Кузнецов В. М. Об одном случае равновесия системы трещин
в упругохрупком материале.— ПМТФ, 1966, № 5, с. 161—163.
87. Кузнецов В. М. О стационарном распространении системы
трещин в упругохрупком материале.—ПМТФ, 1964, № 3,
с, 3—8.
88. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. Об устойчивости течения идеаль¬
ной жидкости в полосе и кольце.— ПМТФ, 1964, № 2, с. 66—73.
89. Кузнецов В. М., Мартышек П. А., Потылицын А. И. Экспери¬
ментальное исследование развития изолированной трещины.—
ПМТФ, 1969, № 4, с. 155—160.
90. Кузнецов В. М. О нестационарном распространении системы
трещин в хрупком материале.-— ПМТФ, 1968, № 2, с. 71—76.
91. Кузнецов В. М. О разрушении металлических колец в пласти¬
ческом состоянии.— ФГВ, 1973, № 3, с. 567—571.
92. Кузнецов В. М. О среднем размере кусков, образующихся при
дроблении горных пород взрывом. — ФТ11РПИ, 1973, № 2,
с. 39—43.
93. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. О принципе равномерного дробле¬
ния горных пород взрывом.— ПМТФ, 1975, № 3, с. 48—51.
94. Кузнецов В. М,, Поляк Э. Б., Шер Е. Н. О гидродинамическом
взаимодействии поверхностных зарядов ВВ.— ПМТФ, 1975,
№ 5, с. 137—147.
95. Кузнецов В. М. О плоской волне разрушения.— ФГВ, 1974,
Я 1, с. 124—127.
96. Кузнецов В. М., Поляк Э. Б. Гидродинамические модели взры¬
ва на выброс.— ФТПРПИ, 4973, № 4, с. 32—40.
97. Кутузов Б. Н. Взрывное и механическое разрушение горных
пород. М.. «Недра», 1973. 310 с.
98. Кутузов Б. Н., Рубцов В. К. Физика взрывного разрушения
горных пород. М., изд. Моек, горного института, 1970, разд. I.
120 с.
99. Кушнарев Д. М., Беликов М. П. Взрывные работы в гидроме¬
лиоративном и сельском строительстве. М., Стройиздат, 1972.
256
100. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы ТФКП. М.» «Наука»,
1973. 735 с.
101. Лаврентьев М. А., Кузнецов В. М., Шер Е. Н. О направленном
выбросе грунта при помощи ВВ.— ПМТФ, 1900, № 4, с. 5—6.
102. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их
математические модели. М., «Наука», 1973. 416 с.
103. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гос-
техиздат, 1954. 795 с.
104. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М., «Наука»,
1965. 280 с.
105. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935. 675 с.
106. Ляхов Г. М., Полякова Н. И. Волны в плотных средах и на¬
грузки на сооружения. М., «Недра», 1967. 226 с.
107. Макарьев В. П., Коротков Ю. А. К вопросу о законе распреде¬
ления дробленой руды по размерам.— «Горное оборудов.», Л.,
1970, с. 53—54. (Тр. Ин-та «Гипроникель», вып. 51).
108. Макклинток Ф. А., Ирвин Дж. Г. Вопросы пластичности в ме¬
ханике разрушения.— В кн.: Прикладные вопросы вязкого
разрушения. М., «Мир», 1968, с. 297—312.
109. Мартынюк П. А. Взаимодействие системы трещин Гриффитса
в упругохрупком материале.— ПМТФ, 1966, № 5, с. 120—123.
110. Марченко Л. Н. Увеличение эффективности взрыва при до-
бывании полезных ископаемых. М., «Наука», 1965. 238 с.
111. Мельников В. В., Рыков Г. В. О влиянии скорости деформиро¬
вания на сжимаемость лессовых грунтов.— ПМТФ, 1965, № 2,
с. 51—54.
112. Миндели Э. О. Разрушение горных пород. М., «Недра», 1974.
439 с.
ИЗ. Михайлов А. М. Динамические задачи теории трещин в балоч¬
ном приближении.— ПМТФ, 1966, № 5, с. 121—124.
114. Мусхелишвилли И. И. Некоторые основные задачи математиче¬
ской теории упругости. М., «Наука», 1966. 706 с.
115. Надан И. А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., ИЛ,
1954. 863 с.
116. Новгородов А. Ф. Измерение параметров взрывных волн в мяг¬
ком грунте. Новосибирск. Изд-во СО АН СССР, 1960, с. 44—59.
(Тр. Учен, совета по нар.-хоз. исп. взрыва, вып. 14).
117. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около тре¬
щин.— В кн.: Прикладные вопросы вязкого разрушения. М.,
«Мир», 1968, с. 87—101.
118. Партон В. 3., Черепанов Г. П. Механика разрушения.— В кн.:
Механика в СССР за 50 лет. Т. И. М., 1972, с. 363—395.
119. Пасечник И. П. Характеристика сейсмических волн при ядер-
ных взрывах и землетрясениях. М., «Наука», 1970. 176 с.
120. Подземные ядерные взрывы (сб.). М., ИЛ, 1962. 160 с.
121. Покровский Г. И. Действие взрыва в грунте и расчет зарядов.
М., Промстройиздат, 1954. 115 с.
122. Покровский Г. И., Федоров И. С. Действие удара и взрыва в
деформируемых средах. М., Промстройиздат, 1957. 176 с.
123. Притчетт Дж. Расчеты явлений при подводных взрывах в ус¬
ловиях несжимаемости.— В кн.: Подводные и подземные взры¬
вы. М., «Мир», 1974, с. 128—135.
124. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Физматгиз,
1962. 161 с.
257
125. Поляк Э. Б., Шер Е. II. О форме воронки выброса при взрыве
шнурового заряда в двухслойной среде.— ПМТФ, 1973, № 2,
с. 143-146.,
126. Разумовский Н. К. Характер распределения содержания ме¬
таллов в рудных месторождениях.— «Докл. АН СССР», т. 28,
№ 9, 1940, с. 591—592.
127. Разрушение. Под ред. Г. Либовица. М., «Мир», 1975. 763 с.
128. Рахматулин X. А., Демьянов 10. А. Прочность при интенсивных
кратковременных нагрузках. М., Физматгиз, 1961. 126 с.
129. Репин Н. Я., Бирюков А. В. О применении вероятностного мето¬
да при исследовании кусковатости горных пород.— «Изв. ву¬
зов. Горн, журн.», 1972, N° 7, с. 11—21.
130. Родионов В. Н. К вопросу о повышении эффективности взры¬
ва в твердой среде. Новосибирск, изд. ИГД АН СССР, 1962.
131. Родионов В. Н., Ромашов А. Н., Адушкин В. В., Сухотин А. П.,
Николаевский В. Н. Механический эффект подземного взрыва.
М., «Недра», 1971. 220 с.
132. Родионов В. II. О подобии процесса дробления при взрывах
разного масштаба.— В кн.: Механизм разрушения горных по¬
род взрывом. Киев, «Наукова думка», 1971, с. 107—112.
133. Родионов Л. Е. К вопросу о количественной оценке структу¬
ры массива и кусковатости отбитой породы на рудных карье¬
рах, 1970, с. 17—23. (Тр. Всесоюз. политехи, ин-та, вып. 58).
134. Рыков Г. В. Исследование модели мягкого грунта при дейст¬
вии взрыва. Новосибирск, изд. СО АН СССР, 1960, с. 24—43.
(Тр. Учен, совета по нар.-хоз. исп. взрыва, вып. 14).
135. Рыков Г. В. Влияние скорости деформирования на сжимае¬
мость и сдвиг песчаных и глинистых грунтов при кратковре¬
менных нагрузках.—ПМТФ, 1969, с. 114—118.
136. Садовский М. А., Родионов В. М., Адушкин В. В. Моделирова¬
ние крупных взрывов на выброс.— «Докл. АН СССР», 1966, т.
167, № 6, с. 688—691.
137. Садовский М. А., Родионов В. М., Адушкин В. В. Об одном спо¬
собе моделирования крупных взрывов на выброс.— ФГВ, 1967,
N° 1, с. 3—6.
138. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. Изд.
5-е. М., «Наука», 1965. 375 с.
139. Сметанин Б. И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и
слое.—«Инж. МТТ», 1968, N° 2, с. 127—134.
140. Спивак А. И. Механика горных пород. М., «Недра», 1967, 190 с.
141. Суханов А. Ф. Предпосылки теории дробления пород взры¬
вом.— В кн.: Вопросы теории разрушения горных пород дей¬
ствием взрыва. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 216—219.
142. Сытый Н. М., Устройство выработок в связных грунтах путем
расширения буровых скважин взрывом. Новосибирск, 1961,
с. 21 — 36. (Тр. Учен, совета по нар.-хоз. исп. взрыва,
вып. 17).
143. Турута Н. У., Бруякин А. В. Исследование влияния естествен¬
ной трещиноватости известняков на эффективность взрывных
работ.— В кн.: Взрывное дело, вып. 59/16. М., «Недра», 1966,
с. 23—25.
144. Уилкинс М. Л. Расчет упругопластических течений.— В кн.:
Вычислительные методы в гидродинамике, М., «Мир», 1967,
с. 171—176.
258
>145. Фаддеенков Н. Н. Об аналитическом описании грансостава
взорванной массы горной породы с учетом предварительной
трещиноватости.— ФТПРПИ, 1975, № 2, с. 37—41.
146. Фаддеенков Н. Н. О применимости закона Розина-Раммлера
к анализу грансостава взорванной массы горной породы.—
ФТПРПИ, 1974, № 6, с. 40—42.
147. Ханукаев А. Н. Энергия волн напряжения при разрушении
пород взрывом. М., Госгортехиздат, 1962. 128 с.
148. Христианович С. А., Шемякин Е. И. О динамической сжимае¬
мости прочных горных пород и металлов.— ПМТФ, 4964, № 3,
с. 5—10.
149. Христофоров Б. Д., Ромашов А. Н. Определение параметров
волны сжатия в скальном грунте. — ФГВ, 1967, № 1, с. 93—96.
150. Чедвик П., Кокс А., Гопкинс Г. Механика глубинных подзем¬
ных взрывов. М., «Мир», 1966. 188 с.
151. Черепанов Г. П. Некоторые задачи» теории трещин в гидроди¬
намической постановке.— ПММ, 1963, т. 27, № 6, с. 18—26.
152. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., «Наука»,
1974. 640 с.
153. Черри Дж, Машинный расчет воронок, образующихся при
взрыве.— В кн.: Механика № 6 (106). М., «Мир», 1967. 302 с.
154. Черноусько Ф. Л. О движении идеальной жидкости с разры¬
вом давления вдоль границы.— ПММ, 1962, т. 26, с. 177—181.
155. Шемякин Е. И. Расширение газовой полости в несжимаемой
упругопластической среде.— ПМТФ, 1961, № 5, с. 111—116.
156. Шер Е. Н. Об энергетическом условии в носике движущейся
трещины.— ПМТФ, 1969, № 3, с. 175—178.
157. Шер Е. Н. Оценка дробящего действия удлиненного заряда
в хрупкой среде.— ФТПРПИ, 1975, № 1, с. 88—92.
158. Яковлев Б. С. Гидродинамика взрыва. Л., Судпромгиз, 1961.
300 с.
159. Янке, Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука»,
1964. 310 с.
160. СгШНЪ А. А. ТЪе рЪепошепоп о! гир!иге ап<1 Нолу т зоМз.
РЫ1. Тгапз. Воу. 8ос. А221, 1920, р. 1201—1206.
161. Згтп О. К. Ргаскхге с!упатхсз.— “БгаеЪиге о! те1а1з”, А8М. С1е-
уег1ап<1, 1948, р. 324—397.
162. 1гтп О. К. АпаНзгз о! зВеззез апс1 з1га1п пеаг 1Ъе еп<1 о! а сгаск
1гауегзт^ а р1а!е.— и1. Арр1. МесЪ.1’, 1957, N 24, р. 24—35.
163. Оголуап Е. О. РипйатепШз о! ЪпШе ЪеЪаушиг о! те!а1з. Ра-
Нцие ап<11гас!пге о! те!а1з., МГШеу. N. У., 1952. 176 р.
164. Еп^1ап<1 А. И., Огееп А. Е. 8оте 1луо-<Итепзюпа1 рипсЪ ап<1
сгаск ргоЫетз т с1азз1са1 еТазИсВу.— Ргос. СатЬ. РЪПоз. 8ос.,
1963, V. 59, N 12, р. 11—17.
165. .Тс1калуа МазиЫго, ОЬазЫ Мазао, УокоЪоп Такео. 1п1егас1юп
Ье1луееп рагаИе! сгаск 1п ап еТазНс зоМз аш! Из еНес!з оп 1гас-
1иге Рер! Вез. 8!гепдЬЪ ап<1 Ргас!. Мо1ег. 11ту, 1965, V. 1,
р. 177—188.
166. МоВ N. Р. Ргас1иге о! те!а1з. ТЪеог. Соп^. Еп^дщ., 1948, V. 165,
N 16, р. 321—348.
167. \Уе11з А., Роз! Б. ТЪе йупаппс з!гезз сЬзНчЪиНоп зпггоипЙ1П^
а гиптп^ сгаск. 8ЕЗА Ргос., 1960, V. 16, N 1, р. 3-^15.
168. Уо11е Е. Н. ТЪе тоут^ СпНВЪ сгаск.— РЫ1. та^. 8ег. 7, 1951,
у. 42, N 330, р. 876—881.
259
169. Сгае$з I- М7. Он 1Ье ргорараВоп о! а сгаск 111 ап е1а.з11с— ЬгШ1б
та!епа1.— I. МесЬ. РЬуз. 8оПДв”, 1960, V. 8, N 1, р. 66—75.
170. ВгоЬег§ К. В. ТЬе ргора^аМоп а ЬйШе сгаск.— лЛг1а\у Ру5.”,
1960, Вс1 18, N 2, р. 159—192.
171. СПуаггу .1. 1. Ргайиге оЕ ЪйВТе воНДз.— “1. Арр1. РЬуз.”, I—II,
1961, V. 32, N 3, р. 391—410.
172. СПуаггу I. I., Вег§в1гот В. К. Ргас1иге о! ЬйШе воНпДв.— “I.
Арр1. РЬуз.”, IV, 1962, V. 33, N И, р. 3214—3217; “I. Арр1. РЬуз.”,
VI, 1964, V. 35, N 5, р. 1644—1646.
173. ОПуаггу I. I. Рга^пеп! з1ге т зш§1е 1гас1иге. А геу1е\у о! 1Ьео-
гу апД ехрейтепк— ‘ЧУеаг’, 1964, у. 7, N 3, р. 227—243.
174. Ьапдерогз V., КаЬМгот В. ТЬе тоДегп 1есЬт§-ие о! Воск В1а-
з1т§. А1тдУ1зЬ МТкзеП. 81оскЬо1т, 1963. 405 р.
175. ШпеЬай I. 8. Ргас1ипп§ РГпДег 1три1з1уе ЬоДДт^.— “ТЫгД
апп. вутр. гшшпд. гев. Ви11. Вшу. Шзвоий”, 1958, р. 46—83.
176. Ков1П Р., Катт1ег Е. 1^1е КогпгиваттепвеЕгип^ Дев МаЫурВез
1т ЫсМе Дег ТУаЬгзсЬетНсЬкеИвТеЬге. Ко11о1Д ХегЬвсЬгШ, 1934,
Н. 1, ВД 67, 8. 16—26.
177. Во Шго. Сотег сгаскв.— “I. Мт. апД Ме1. 1пД. .Тарап”, 1968,
у. 84, N 968, р. 1621—1627.
178. \УеНэи11 \У. А в1иОвЦса1 ДгзМЬийоп рнпеЦоп оГтДе аррПсаЫ-
Шу.— “I. Арр1. МесЬ.”, 1951, у. 18, N 293, р. 837—843.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава I. Основные модели сплошной среды
§ 1. Деформации и напряжения . 6
§ 2. Модель упругого тела 13
§ 3. Пластичность . . . . ...... 17
§ 4. Модели жидкости и газа ....... 24
Глава II. Взрывные процессы. Модели источников взрыва
| 1. Газовая детонация .... ■. 31
§ 2. Детонация конденсированных ВВ . . , . . 36
§ 3. Газовый пузырь -. . н . . . . 38
§ 4. Энергетические и импульсные схемы взрыва. По¬
добие и моделирование взрывов , .. . . . 40
Глава III. Камуфлетный взрыв
§ Ц§ Взрыв в пластической уплотняющейся среде. Сфе¬
рический случай. Простейшие модели ... 46
^ 2. Расширение взрывной сферической полости в иде¬
альной несжимаемой жидкости 51
§ 3. О физико-механических свойствах реальных грун¬
тов . . . . . . ... . . . . . 55
| 4. Приближенное решение задачи о камуфлетном
взрыве в грунте .... 58
§ 5. Цилиндрический случай . 62
§ 6. Взрыв в несжимаемой упругопластической среде 69
§ 7. Модели камуфлетного взрыва с разрушением сре¬
ды . . . . . . . 75
Глава IV. Модель идеальной несжимаемой жидкости
§ 1. Обоснование модели . ....... 84
§ 2. Взрыв на выброс сферического заряда ВВ . . 87
§ 3. Задача о взрыве на выброс ШЗ кругового сече¬
ния ' к жидкостной постановке 91
§ 4. Задача о взрыве на выброс в жидкостно-твердой
схеме 94
| 5. Взрыв на выброс при наличии твердого дна . 99
| 6. Взрыв бесконечно длинного вертикального плос¬
кого заряда 100
§ 7. Связь гидродинамических величин с физико-ме-
ханическими свойствами ВВ и грунта . , . 104
§ 8. Взрыв плоского накладного заряда .... 106
§ 9. Задача о взаимодействии бесконечной системы
плоских поверхностных зарядов ИЗ
§ 10. О взрыве на поверхности пластинки . . . 117
§ И. О форме воронки выброса при взрыве шнурового
заряда в двухслойной среде 123
§ 12. Абсолютно направленный взрыв в грунте . . 128
§ 13. О расширении цилиндрической полости в иде¬
альной несжимаемой жидкости 138
Глава V. Элементы механики хрупкого разрушения
§ 1. Формулы Колосова — Мусхелишвили .... 142
§ 2. Задача о равновесии упругой плоскости с разре¬
зом 145
§ 3. Основы механики хрупкого разрушения . . . 147
§ 4. Равновесие системы параллельных трещин . .153
§ 5. Приближенное уравнение распространения тре¬
щины ...... 157
§ 6. Развитие системы трещин 162
§ 7. Хрупкое разрушение при взрывных нагрузках . 164
Глава VI. Статистика осколков
§ 1. Анализ некоторых законов распределения . . 168
§ 2. Распределение Вейбулла (закон Розина — Рам-
млера) . 173
§ 3. Формула для среднего размера осколка . . . 180
§ 4. Анализ опытно-промышленных взрывов . „ . 185
§ 5. Крепкие включения в слабые породы . * . 190
§ 6. Энергия разрушения 193
§ 7. Разрушение блочного массива .... в . 195
Глава VII. Детерминированные схемы разрушения
§ 1. Простейшие модели 203
§ 2. Динамическая потеря устойчивости 206
§ 3. Об устойчивости течения идеальной- жидкости в
полосе и кольце . . . . ... . . . 214
§ 4. О разрушении металлических колец в пластиче¬
ском состоянии . 224
§ 5. Структура волны разрушения и воздушные про¬
межутки . . .... . 230
§ 6. Проблема равномерного дробления . . . . 237
§ 7. Анализ гидродинамической теории разрушения
горных пород взрывом 241
Основные обозначения 250
Литература . . . 252
Владимир Михайлович Кузнецов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ВЗРЫВНОГО ДЕЛА
Ответственный редактор
Евгений Иванович Шемякин
Редактор Л. В. Шалина
Художественный редактор Т. Ф. Каминина
Художник В. В. Растегаев
Технический редактор А. В. Семкова
Корректоры В. Е. Селянина, Р. В. Гераеимчук
Сдано в набор 17 сентября 1976 г. Подписано в печать 16 марта 1977 г.
МН 02023. Формат 84Х1081/з2. Бумага типографская ЭД 1. 8,25 печ. л.
13,9 уел. печ. л. 13,5 уч.-изд. л. Тираж 1400 экз. Заказ М 260. Цена 1 р. 71 коп.
Издательство «Паука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99, Со¬
ветская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станис¬
лавского, 25.
Для получения книг почтой: заказы просим направлять
спо адресу: 117464, Москва В — 464, Мичуринский про¬
спект, 12, магазин «Книга— почтой» Центральной конто¬
ры «Академкнига», 197110, Ленинград П — 110, Петроза¬
водская ул., 7, магазин «Книга— почтой» Северо-Запад¬
ной конторы «Академкнига» пли в ближайший магазин
« Академкнига ».
Адреса магазинов «Академкнига»:
480391 Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97;
370005 Баку, ул. Джапаридзе, 13;
320005 Днепропетровск, проспект Гагарина, 24;
734001 Душанбе, проспект Ленина, 95;
375009 Ереван, ул. Туманяна, 31;
664033 Иркутск, 33, ул. Лермонтова, 303;
252030 Киев, ул. Ленина, 42;
277012 Кишинев, ул. Пушкина, 31;
443002 Куйбышев, проспект Ленина, 2;
192104 Ленинград, Д-120, Литейный про¬
спект, 57;
199164 Ленинград, Менделеевская линия, 1;
199004 Ленинград, 9 линия, 16;
103009 Москва, ул. Горького, 8;
117312 Москва, ул. Вавилова, 55/7;
630076 Новосибирск, Красный проспект, 51;
630099 Новосибирск, Академгородок, Мор¬
ской проспект, 22;
620151 Свердловск, ул. Мамина-Сибиряка, 137;
700029 Ташкент, Л-29, ул. Ленина, 73;
700100 Ташкент, ул. Шота Руставели, 43;
634050 Уфа, наб. реки Ушайки, 18;
450075 Уфа, Коммунистическая ул., 49;
450075 Уфа, проспект Октября, 129;
720001 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42;
310003 Харьков, Уфимский пер., 4/6.