Text
                    М А ЛАВРЕНТЬЕВ, Б В.ШАЕАТ
ПРОБЛЕМЫ ГИДРОДИНАМИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ, В. В. ШАБАТ ПРОБЛЕМЫ ГИДРОДИНАМИКИ и их МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1973
532 Л 13 УДК 532.5 Проблемы гидродинамики и их матема- тические модели. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», 1973 г. Основная цель книги—описание различ- ных гидродинамических эффектов, а также их качественное и количественное объясне- ние при помощи соответствующих матема- тических моделей. Имеется много постано- вок задач, еще не получивших решения. Большое место уделено различным прило- жениям (кумуляция, направленный взрыв, сварка металлов взрывом, проблема цуна- ми, принципы движения рыб и др.). Илл. — 160. Библ. НО назв. Михаил Алексеевич Лаврентьев, Борис Владимирович Шабат Проблемы гидродинамики и их математические модели М., 1973 г., 416 стр. с илл. Редакторы П. П. Мосолов, Ф. И. Кизнер Техи. редактор И. Ш. Аксельрод Корректоры О. А. Бутусова, Л. Н. Боровика Сдано в набор 1/Х 1972 г. Подписано к печати 14/11 1973 г. Бумага 84Х1081/32, тип. № 1. Физ. печ. л. 13. Условн. печ. л. 21,84. Уч.-изд. л. 19,95. Тираж 10 000 экз. Т-00760. Цена книги 1 р. 50 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении. Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 Л 0223 — 1719 042(02)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .................................................. 6 Глава I. Математические модели жидкой среды................... 9 § 1. Несжимаемая невязкая жидкость....................... 10 Основные уравнения. Потенциальность. Установившиеся дви- жения. Плоское движение. Осесимметрическое движение. Дви- жение с заданной завихренностью. Граничные условия. § 2. Сжимаемость...........;............................ 21 Основные уравнения. Упрощающие предположения. Плоские установившиеся течения. Уравнение для потенциала. Звуковой барьер. Характеристики. Мелкая вода. § 3. Вязкая несжимаемая жидкость......................... 35 Уравнения Навье — Стокса. Диссипация энергии. Граничные условия. Учет вязкости. Уравнение Гельмгольца. § 4. Размерностный подход................................ 41 Размерности, л-теорема. Автомодельность. Удар струи о пло- скость. Сфера в вязкой жидкости. Диффузия вихревой нити. Литература................................................ 49 Глава II. Основной математический аппарат.................... 50 § 5. Комплексные числа и их обобщения.................... 50 Плоские векторы. Три типа комплексных чисел. Модуль и аргу- мент. Многомерный случай. § 6. Дифференцирование комплексных функций............... 56 Производная. Аналитичность. Примеры. Особые точки. § 7. Физический и геометрический смысл аналитичности 61 Комплексный потенциал. Физический смысл особых точек. Кон- формные отображения. Квазиконформные отображения. Интер- претация /i-аналитичности. § 8. Свойства аналитических функций...................... 71 Степенные ряды. Свойство открытости. Интегрирование. Физи- ческая интерпретация. Интегральная формула Коши. § 9. Гармонические функции................................80 Связь с аналитическими функциями. Задача Дирихле. Связь с конформными отображениями. Литература ............................................... 87 Глава III. Конформные и квазиконформные отображения 88 § 10. Задача Римана....................................... 88 Существование и единственность. Примеры. Течение в канале. Обтекание тел. § 11. Нелинейные квазиконформные отображения.............. 96 Обобщение понятия квазиконформности. Производные системы. § 12. Вариационные принципы...............................104 Основной принцип. Количественные уточнения. Другие области. Граничные производные. Узкие полосы. Сильно эллиптические .системы. 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 13. Приближенные методы.................................115 Численные методы. Вариационные методы. Пристрелочный метод. Обобщения. Литература ...............................................125 Глава IV. Качественные модели сверхзвуковых течений 127 § 14. Гиперболические конформные отображения.............127 Условия отобразнмостн. Области типа полуплоскости. Области типа полосы. Влияние вариации границы. § 15. Модель уравнений газовой динамики...................136 Классические уравнения. Выбор модели. Геометрия модели. § 16. Примеры сверхзвуковых задач.........................145 Течение в канале. Обтекание угла. § 17. Задачи с переходом через скорость звука............149 Задача о сопле. Сверхзвуковые включения. Задача о склейке. Литература ...............................................161 Глава V. Плоские задачи......................................162 § 18 Парадоксы в схеме идеальной жидкости.............162 Парадокс подъемной силы. Условие Чаплыгина. Пространст- венный случай. § 19. Течения с постоянной завихренностью.................167 Движения с точечными вихрями. Постоянная завихренность. Свойства течений. § 20. Задачи со свободными границами......................173 Задача Кирхгофа. Волны в тяжелой жидкости. Учет нелиней- ности. Волна Стокса. § 21. Модель Кирхгофа и другие модели.....................182 Классические модели. Новые модели. § 22. Склеивание вихревых и потенциальных течений . . . 187 Обтекание пластинки. Задача о склейке. Обтекание выпуклых тел. Обтекание траншеи. Заключительное замечание. Литература ...............................................199 Глава VI. Пространственные задачи ...........................200 § 23. Движения с осевой симметрией........................200 Общие замечания. Метод источников. Задачи обтекания. Узкие трубы. § 24. Пространственные движения...........................209 Трудности пространственного случая. Элементарные решения. Метод источников. § 25. Модельные задачи.................................. 215 Вариационные принципы. Узкие слои. Гармонические отобра- жения. Системы из трех уравнений. § 26. Гидродинамические задачи............................224 Течения, близкие к плоским. Вариационные принципы. Течения в узких слоях. Задачи со свободной границей. Две задачи. Литература.............................................. 234 Глава VII. Струи........................................... 235 § 27. Струи конечной ширины.............................235 Струи с завихренными зонами. Косой удар струи о прямую. Обтекание тел струями. Задача о затопленной струе. Два гид- родинамических эффекта. § 28. Пространственные задачи о струях....................247 Задача о встречных струях. Задача о вихрях. Вращение жидко- сти в сосуде. Пространственные задачи. § 29. Кумулятивные струи..................................257 Опыт Покровского. Кумулятивные заряды. Физические предпо- сылки. Расчетная схема. Теория пробивания. Формирование кумулятивной струи. Пределы применимости теории. Литература................................................270
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава VIII. Неустановившиеся движения.......................271 § 30. Постановка задачи..................................271 Потенциальные движения. Задачи со свободными границами. Устойчивость. § 31. Подводный взрыв....................................279 Схлопывание пузыря. Шары Бьёркнесов. Парадокс при подвод- ном взрыве. Сферическая кумуляция. Проблема султана. Взрыв в воздухе. § 32. Пробивание при космических скоростях...............293 Одномерный случай. Пространственный случай. Обобщение ме- тода. § 33. Загадки движения рыб...............................302 Качественная картина движения. Движение в твердом канале. Движение в воде. § 34. Распространение волн и проблема цунами.............309 Влияние рельефа дна. Общая характеристика волноводов. До- статочные условия. Асимптотика волн. Простейшая модель цу- нами. Задача краткосрочного прогноза. Однозначное предсказа- ние. Распознавание цунами. Литература...............................................333 Глава IX. Вихри.............................................334 § 35. Кольцевые вихри....................................334 Вихри в идеальной жидкости. Влияние вязкости. Турбулентная вязкость. Уравнения Гельмгольца. Автомодельная задача. Модельная задача. Сравнение с экспериментом. § 36. Перенос примесей...................................348 Турбулентная диффузия. Автомодельная задача. Дымовые кольца. § 37. Формирование и движение вихрей ......... 351 Вихри в воздухе. Вихри в воде. Падение капель. Вихревое облако атомного взрыва. Вихревая модель турбулентности. Снижение сопротивления. Литература ..............................................362 Глава X. Динамическая неустойчивость..................... . 363 § 38. Неустойчивость стержней............................364 Статическая и динамическая потери устойчивости. Задача Эйлера. Динамическая постановка. § 39. Механизм разрушения . . . .........................371 Вероятностный подход. Модельные задачи. Задача о трещинах. Устойчивость. Влияние масштаба взрыва на размер осколков. § 40. Равновесия в жидких средах.........................378 Ртуть над водой. Образование волн. Устойчивость струй. Взрыв в воде. Литература...............................................386 Глава XI. Взрыв.............................................387 § 41. Взрыв в грунте.....................................387 Импульсная постановка. Сосредоточенный заряд. Шнуровые заряды. § 42. Направленный взрыв.................................392 Расположение зарядов. Закон подобия. § 43. Камуфлетный взрыв................................ 397 Паковка. Задача о расширении полости. Приближенное ре- шение. Замечания. § 44. Сварка взрывом.....................................401 Простейшая схема. Соударение струй под малым углом. Вол- нообразование. Форма колебаний. Выделение энергии. Затоп- ленная струя. Литература . ............................................416
ПРЕДИСЛОВИЕ Гидродинамика—одна из древнейших наук, снова (в который уже раз!) переживающая сейчас свою мо- лодость. Причин этому немало. Первой и главной при- чиной является использование возможностей, которые открылись в связи с развитием электронных вычисли- тельных машин. Стали доступными не только расчеты, ранее немыслимые из-за их сложности, но и экспери- менты нового типа — эксперименты на вычислительных машинах, имеющие ряд преимуществ по сравнению с натурными. Второй причиной служит значительное расширение арсенала математических средств, применяемых в гид- родинамике. Наряду с усовершенствованием старых ме- тодов появились новые методы теории функций комп- лексного переменного и теории уравнений с частными производными, рассчитанные на гидродинамические приложения. Все более и более широкое применение на- ходят методы функционального анализа и современной дифференциальной геометрии. Третья причина — научно-техническая революция на- ших дней, бурное развитие техники, широкий размах ис- следований в изучении макро- и микромира. В резуль- тате сейчас перед гидродинамикой встает много новых задач. В обширной литературе по гидродинамике эта кни- га занимает особое место. Ее нельзя рассматривать ни как учебник для начинающих, ни как монографию для специалистов. В первых главах книги коротко изла- гаются физические основы гидродинамики и элементы математических методов, в ней применяемых. Изложе- ние здесь часто имеет характер обзора, за доказатель- ствами следует обращаться к курсам гидродинамики и уравнений с частными производными, цитируемым в
Предисловие 1 списках литературы в конце глав. Особенно часты ссыл- ки на книгу авторов «Методы теории функций комплексного переменного», изд. 3-е, «Наука», М, 1965, которая сокращенно обозначается буквами Л. и Ш. Ос- тальную часть книги составляет описание отдельных за- дач из разных разделов гидродинамики, нисколько не претендующее на полноту охвата этих разделов. В прошлом веке и начале нашего трактаты по гид- родинамике в основном состояли из длинных выкладок с использованием элементарных и специальных функ- ций. По образному выражению одного из современных американских гидродинамиков С. Голдстайна, за этими выкладками никак нельзя было увидеть саму воду, нельзя представить, что она мокрая. Да и сейчас пи- шется немало работ, содержащих сложные и простран- ные результаты точной теории решений дифференциаль- ных уравнений гидродинамики, весьма далекие от дей- ствительности. На наш взгляд, практическая ценность этих работ существенно снижается простым замеча- нием, что сами-то уравнения гидродинамики лишь весь- ма приближенно отражают многие важные физические явления. Поэтому некоторые результаты так называе- мой точной теории по бессмысленности напоминают выкладки с огромным числом знаков над величинами, только очень грубо приближающими точные. В этой книге нет длинных выкладок и громоздких теорий. Основная ее установка такова: большинство ин- тересных физических процессов столь сложно, что при современном состоянии науки очень редко удается со- здавать их универсальную теорию, действующую во все время и на всех участках рассматриваемого процесса. Вместо этого нужно посредством экспериментов и на- блюдений постараться понять ведущие факторы, кото- рые в тот или иной отрезок времени управляют про- цессом на том или ином участке. Выделив эти факторы, следует абстрагироваться от других, менее существен- ных, и для данного участка и данного отрезка времени построить возможно более простую математическую схе- му (модель процесса), которая учитывает лишь выде- ленные факторы. В ряде случаев в решения таких локальных задач нужно ввести поправки, учитывающие второстепенные,
предисловий S но также существенные факторы. Этот учет производится при помощи дополнительных алгоритмов, действую- щих на решения модельных задач. Для получения об- щей картины процесса теперь остается только склеить решения отдельных локальных задач. Эта склейка про- изводится при помощи достаточно общих соображений, таких, как непрерывность поля скоростей и др. Сле- дует отметить, что описанная общая схема решения за- дач гидродинамики достаточно хорошо приспособлена для организации машинного счета. Цель книги — познакомить научную молодежь, начи- нающую заниматься гидродинамикой, с некоторыми ин- тересными и еще мало изученными явлениями из не- объятного запаса, которым располагает эта наука. Для некоторых из этих явлений удается построить математи- ческие модели, объясняющие их и качественно и коли- чественно, другие еще ждут объяснения. Поэтому наря- ду с законченными результатами в книге много гипотез и постановок проблем. Авторы считают, что их цель уда- лась, если эти проблемы заинтересуют читателей и ка- кие-либо из них будут решены. Некоторые из новых рассматриваемых в книге ре- зультатов получены научными сотрудниками Института гидродинамики Сибирского отделения АН СССР. При написании § 34 были существенно использованы мате- риалы, подготовленные Р. М. Г а р и п о в ы м, § 44 — А. А. Д е р и б а с о м, §§ 38—43 — В. М. Кузнецовым и гл. I и IX — Б. А. Луговцовым. Этим лицам ав- торы выражают свою глубокую благодарность. Мы весьма благодарны Л. И. Седову, который внимательно просмотрел рукопись и сделал существен- ные замечания, учет которых позволил улучшить изло- жение ряда мест. Мы благодарны также редактору кни- ги П. П. М о с о л о в у за его труд и сделанные им за- мечания. Новосибирск—Москва М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат
Глава! МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ Напомним некоторые основные понятия динамики непрерывной среды. Движение среды, заполняющей не- который объем, считается заданным, если в любой мо- мент времени t можно определить (т. е. вычислить с любой заданной точностью) поле скоростей частиц сре- ды V(x,f) в любой точке х объема. В ряде случаев это общее определение нуждается в некоторых уточнениях. Границы области, занятой движущейся средой, могут меняться со временем; они могут быть неизвестны за- ранее и должны определяться вместе с полем скоро- стей по некоторым условиям; границы могут появлять- ся в процессе движения, когда, например, внутри среды образуются каверны или возникают ударные волны. Кроме поля скоростей должны, вообще говоря, оп- ределяться также и другие величины, характеризующие состояние среды: плотность р(х,0, давление P(x,t), температура Т(х, t) и т. д., в зависимости от конкрет- ной задачи. Для математического описания движения сплошной среды необходимо создать подходящую математическую модель явления. При этом, как правило, учитывают только самые необходимые свойства среды и пренебре- гают остальными, ибо чем шире постановка, тем труд- нее построить математическую модель, поддающуюся изучению, тем меньше получается конкретных результа- тов и тем труднее сопоставить теорию с экспериментом. Правильный выбор модели часто обеспечивает успех решения задачи,
10 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I § 1. Несжимаемая невязкая жидкость Основные уравнения. В некоторых вопросах сжи- маемость среды оказывается несущественной, и ею мож- но пренебречь. В этом случае движение невязкой жид- кости в отсутствии внешних сил описывается следую- щими уравнениями Эйлера: divV = 0, (1) ^ + (V, V)V = -lgrad'P + F. (2) Первое из этих уравнений представляет собой ма- тематическую запись условия несжимаемости, а второе является собственно уравнением движения: в левой его dV части стоит ускорение wдвижущихся частиц, а в правой — действующие на них силы: гидродинамиче- ские ygradPj и внешние (F). Система (1) — (2) уравнений с частными производ- ными имеет еще весьма общий характер, и в силу это- го ее применения ограничиваются сравнительно узким кругом задач гидродинамики. Более содержательные приложения мы получим, если наложим на рассматри- ваемые движения некоторые дополнительные условия. Перечислим несколько таких условий. Потенциальность. Предположим, что жидкость нахо- дится в потенциальном силовом поле, т. е. действующие на нее внешние силы F имеют потенциал U: F = grad(7 (3) (например, жидкость находится в поле тяжести, на- правленном по оси z — тогда U =—gz). Тогда оказы- вается справедливой теорема, согласно которой цирку- ляция Г вектора скорости по произвольному замкнутому «жидкому» контуру (т. е. замкнутой линии, состоящей из одних и тех же частиц жидкости; при фиксированном t любой контур в пространстве является жидким кон- туром) в процессе движения остается постоянной: I
* n НЕСЖИМАЕМАЯ НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ It Из этого следует, что если движение возникает из со- стояния покоя, то циркуляция по произвольному замк- нутому «жидкому» контуру тождественно равна нулю. Отсюда в силу формулы Стокса, по которой cf (V, dx) = _[ (rotv, ri)dS, i s где S — поверхность, натянутая на контур I, и в силу произвольности поверхности S можно заключить, что во все время движения го1У = 0. (4) Величина <в = rot V называется завихренностью и оп- ределяет угловую скорость вращения элементарного объема жидкости. Уравнение (4) есть, таким образом, условие отсутствия вращения. Как известно, (4) представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности поля скоро- стей1), т. е. существования скалярной функции <р(х,/) — потенциала скоростей, такой, что V = grad <р (5) (здесь, как ив (3), градиент берется только по про- странственным координатам х). Условие потенциальности приводит к значительным упрощениям. Прежде всего, из (5) видно, что скорость вполне определяется потенциалом, так что вместо век- торной искомой функции V нам достаточно найти ска- лярную <р. Далее, подставляя (5) в (1), мы видим, что <р по пространственным переменным удовлетворяет уравнению Лапласа-. * ___а2<р । <92<р । <э2<р _ ,й. Аср дх2 “I" ду2 “I" дг2 “°’ т. е. является гармонической функцией. Свойства гар- монических функций хорошо изучены и широко ис- пользуются в гидродинамике. ’) Условие (4) является необходимым и достаточным только в односвязных областях; для произвольных областей это верно только локально, в окрестности каждой точки.
12 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1 Роль уравнения (2) сводится теперь к определению зависимости функции <р от времени и определению дав- ления Р. Но условие потенциальности позволяет упро- стить и это уравнение. В самом деле, пользуясь извест- ной из векторного анализа формулой „2 (V, V)V = [®, V] + grad-y- (7) (в которой у нас сейчас <в = 0), где v = | V| —величи- на вектора скорости, а также формулами (3) и (5), мы можем записать уравнение (2) в виде ^О+4+7-Ф=0- Отсюда получается так называемый интеграл Коши — Лагранжа-. 4r+4+4-с/=ф^ (8) С/ь £/ Р где Ф — некоторая функция времени; он заменяет урав- нение движения (2). Установившиеся движения. Однако и упрощения, обусловленные предположением о потенциальности, ока- зываются еще недостаточными, особенно если нужно получить не только качественные, но и количественные результаты. Дальнейшее упрощение мы получим, если предположим, что движение установившееся, т. е. что поле скоростей не зависит от времени. Тогда уравнение Лапласа (6) полностью описывает скорости, а соотно- шение (8) примет вид + —— U — const, (9) 2 1 р ' ' в котором оно называется интегралом Бернулли. Таким образом, задача полностью свелась к отыска- нию той гармонической функции, которая соответствует условиям задачи. Интеграл Бернулли является теперь конечным (а не дифференциальным) соотношением, ко- торое связывает величину скорости с давлением; потен- циал U внешнего поля сил в обычных задачах известен. Плоское движение. И все же запас гармонических функций столь велик, что отыскание той из них, кото- рая отвечает условиям задачи, обычно бывает затруд-
§ I] НЕСЖИМАЕМАЯ НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 13 нительным. Поэтому лишь очень немногие простран- ственные задачи гидродинамики удается решить до конца. Значительно легче решаются плоские задачи, к ко- торым приходят, делая дополнительное предположение о том, что поле скоростей плоскопараллельно. Это оз- начает, что существует направление 2V такое, что все скорости поля ему перпендикулярны, причем во всех плоскостях, перпендикулярных N, картина поля одина- кова (так что при сдвиге в направлении 2V поля совпа- дают, рис. 1). Такое поле полностью описывается полем скоростей в одной из плоскостей, перпендикулярных N. Будем считать, что направление N совпадает с направ- лением оси z и обозначим через Vx и Vy соответственно компоненты вектора скорости V по осям х и у. Тогда условия несжимаемости и потенциальности, т. е. уравне- ния (1) и (4), примут вид дУх dVy dV* dVy _n дх ' ду ' ду дх ' (Ю) Потенциал скоростей <р будет гармонической функ- цией двух переменных, т. е. будет удовлетворять дву- мерному уравнению Лапласа Aqp д2Ф дх2 = 0, (Н) <Э2<р
14 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I и компоненты скорости будут выражаться через него так: Vx = ^, Vy=^. (12) х дх ’ V ду ' ' Первое уравнение (10) показывает, что выражение — Vy dx + Vx dy является (локально) точным диффе- ренциалом некоторой функции ф(х, у), так что -^ = 4L> vx=^T- (13) у дх х ду х ’ Очевидно, направление касательной к линии ф(х, у) — = const, которое определяется из равенства d\[- — = —Vydx + Vxdy = 0, совпадает с направлением век- ldy v у Л тора скорости 1-^- = —, см- рис. 1/> П0ЭТ0МУ линии уровня ф = const являются векторными линиями поля скоростей. При установившемся движении эти линии совпадают с траекториями движущихся частиц, т. е. с линиями тока, и потому ф называется функцией тока. Из второго уравнения (10) видно, что ф, как и ф, является гармонической функцией, а сравнение (12) и (13) показывает, что эти функции связаны соотноше- ниями /14\ дх ду ’ ду дх ' ' ' Функции, связанные такими соотношениями, называют- ся сопряженными гармоническими1). Существенные упрощения, вносимые предположе- нием о том, что движение-—плоское, объясняются сле- дующими двумя обстоятельствами: 1) функция тока, в терминах которой формулируются многие задачи, есте- ственно вводится в плоском случае, а в пространствен- ном ее введение' затруднительно; 2) потенциал и функ- ция тока в плоских задачах образуют в совокупности аналитическую функцию2), а теория таких функций ’) Гармоничность каждой из функций ср и ф автоматически сле- дует из (14): продифференцируйте первое уравнение по %, второе по у и сложите — получите Дер — 0; продифференцируйте первое по у, второе по х и вычтите — получите Дф = 0. 2) Читатель, незнакомый с этим понятием, может узнать о нем в следующей главе.
§ 11 НЕСЖИМАЕМАЯ НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 15 очень хорошо развита как с качественной, так и с ко- личественной стороны. Применение схемы плоского движения далеко не ог- раничивается плоскопараллельными полями скоро- стей — она применяется для приближенного описания существенно более общих ситуаций. Например, ей мож- но пользоваться при изучении обтекании крыла само- лета на значительной части его длины (теория крыла бесконечного размаха), лишь у концов крыла эта схема перестает действовать и нуждается в уточнениях. :— Осесимметрическое дви- Д жение. Движение на- 2 зывается осесимметриче- \\ ским, если все векторы \ скорости лежат в полу- — плоскостях, проходящих через некоторую прямую, называемую осью симметрии, причем во всех таких по- луплоскостях картина поля одинакова (рис. 2). Поле скоростей осесимметрического движения полностью опи- сывается плоским полем в любой из таких полуплоско- стей. Ось симметрии мы примем за ось х, а расстояние до оси обозначим через у, через Vx и Vy обозначим, соот- ветственно, координаты вектора скорости в этой систе- ме. Условия несжимаемости и потенциальности имеют в ней вид d(yVy) dVx dVy --5 А-= 0, “5 5— = 0- (15) дх---------------------------------------ду ’ ду-дх ' ' Из второго уравнения следует, что выражение dx-\- Vv dy является (локально) точным дифференциа- лом функции (р, которая называется потенциалом скоро- стей. Мы имеем Vy=^-, (16) х дх Уду ' ' причем из первого уравнения (15) видно, что ср удовлет- воряет соотношению ^ + ^.+1^ = 0> (17) дх2 ду‘ ‘ у ду ' '
16 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1 которое представляет собой уравнение Лапласа, запи- санное в цилиндрических координатах1), так что ср яв- ляется гармонической функцией декартовых координат. Согласно первому уравнению (15) выражение —- у Vy dx + у Vx dy (также локально) является точным дифференциалом функции ф, которая называется функ- цией тока. Мы имеем V =1^1, у = (18) У ду у у дх ' ' откуда, как и в плоском случае, получается, что линии уровня ф = const являются линиями тока. Функция ф удовлетворяет уравнению + (19) дх* ду* у ду 4 ' которое уже не является уравнением Лапласа, так что ф в декартовых координатах — не гармоническая функ- ция. Функция тока и потенциал связаны соотношениями У дх ду ' У ду дх ' Таким образом, осесимметрические движения во многом аналогичны плоским. Из отмеченных выше двух преимуществ плоского движения первое сохраняется для них полностью, а второе только частично: качествен- ную теорию решений системы дифференциальных урав- нений (20) построить удается довольно полно, а коли- чественная теория далеко не так развита, как для решений системы (14), т. е. аналитических функций. Движение с заданной завихренностью. Как мы ви- дели, существование потенциала скоростей ф является следствием предположения об отсутствии завихрен- ности, т. е. о том, что to = rot V = 0. В силу известного тождества rot grad ф==0 справедливо и обратное — для потенциальных течений завихренность равна 0. При изучении ряда важных гидродинамических яв- лений схема потенциальных движений оказывается не- применимой и ее заменяют схемой движения с заданной завихренностью ®. Предполагая по-прежнему, что жид- ’) См., например, В. С. Владимиров [2], стр. 53.
'§ П НЕСЖИМАЕМАЯ НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 17 кость несжимаема, а внешние силы, на нее действую- щие, имеют потенциал U, мы вводим так называемую функцию Лэмба т»2 р + (21) z р (п = | V| — величина скорости, Р—давление, р — плот- ность). Тогда, применяя к уравнению движения (2) формулу (7), мы можем переписать это уравнение в виде _ [а, V] = _ grad Н, (22) в котором оно называется уравнением в форме Лэмба. В такой форме уравнение движения удобно применять к движениям с заданной завихренностью. Остановимся на случае плоского движения. Здесь вектор завихренности i i k rot У = д д д дх ду дг Vx Уу 0 дУу дх ду / k направлен перпендикулярно к не характеризуется скалярной дУу (й = ---- дх плоскости течения и впол- величиной дУх ~ду~' которую в этом случае мы и будем называть завихрен- ностью. Предположим еще, что движение установив- шееся, тогда, подставив <о = ak в уравнение Лэмба (22), мы можем переписать его в виде двух скалярных равенств (23) 17 дН 17 дН х дх ’ у ду Если ввести функцию тока ф по формулам (13) и при- равнять смешанные производные функции Н, то полу- чится тождество dw__o4L _ —о дх ду ду дх ~ ' УЧ
18 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I из которого видно, что величина со должна принимать постоянные значения на линиях уровня ф = const, т. е. зависеть только от ф: со = <й('ф). (25) В приложениях вид этой зависимости обычно считается известным. Вводя функцию тока в (23), мы получим, что эта функция удовлетворяет уравнению с частными производ- ными (26) Если функция м(ф) не линейна, то уравнение (26) так- же является нелинейным и в силу этого оно весьма трудно для исследования. В случае постоянной правой части это уравнение легко сводится к уравнению Лап- ласа (см. гл. V этой книги). Аналогичную ситуацию мы имеем и в случае движе- ний с осевой симметрией. И здесь завихренность харак- теризуется скалярной величиной со, которая в принятых выше обозначениях (х — координата вдоль оси симмет- рии, у — расстояние до этой оси) имеет вид (23). Тож- дество (24) заменяется тождеством О S /«.А «ф дх \ у ) ду ду \ у ) дх 1 v 1 из которого ВИДНО, что ® = г/®! (ф), (25') где «1 — некоторая функция. Функция тока удовлетво- ряет уравнению <?2ф , д2ф 1 дф р / , \ /ллг, + (26) Граничные условия. Вернемся к схеме потенциаль- ного движения. Решение задач гидродинамики в этой схеме сводится к отысканию решения уравнения с ча- стными производными (6), удовлетворяющего некото- рым дополнительным условиям, которые и отражают специфику задачи. Изучение свойств решений этого уравнения, не связанных с такими дополнительными
§ П НЕСЖИМАЕМАЯ' НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 19 условиями, может лишь прояснить общие свойства по- тенциальных течений, а вся тяжесть решения конкрет- ных задач падает на формулировку этих условий и построение решения, которое им удовлетворяет. Дополнительные условия бывают двух родов: началь- ные и граничные; причем начальные условия нужно ста- вить только при изучении неустановившихся движений, для установившихся они не ставятся. Начальные условия сводятся к заданию в исходный момент вре- мени (обычно t — 0) области Do, занятой жидкостью, и распределения потенциала в этой области ф(х, O) = f(x). (27) Заданная функция f должна в Do удовлетворять уравне- нию Лапласа, т. е. быть гармонической в Do. Дальнейшее движение определяется гранич- ными условиями, которые задаются на границе Г* области течения Dt для любого момента t 0. Во многих задачах Г/ делится на три части (см. рис. 3): твердая неподвижная граница Г|, подвижная твердая граница Гг и свободная гра- ница Г3. Выпишем гранич- ные условия, которые соот- ветствуют этим частям. а) Твердые подвиж- ные границы. Пусть уравнение такой границы будет F(x ,t) = 0; функция F считается заданной. Ско- Рис. з. рость движения границы в направлении нормали к ней равна дР и =______ZL_ п | grad F | ’ где градиент, как всегда у нас, берется по пространст- венным переменным. Для твердых границ принимается еще условие непроницаемости, согласно которому Un должна совпадать с нормальной (по отношению к гра- нице) составляющей скорости движения жидкости, т. е. с величиной gradcp, grad F \ I grad F | ) •
20 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Таким образом, граничное условие в рассматривае- мом случае имеет вид: для всех х и t, удовлетворяю- щих уравнению F(x, f) =0, где F— заданная функция, должно выполняться соотношение 4^- + (grad<p, gradF) —0. (28) б) Твердые неподвижные границы мож- но рассматривать как частный случай подвижных, ког- да функция F не зависит от t. Соответствующее гранич- ное условие имеет, следовательно, вид: для всех х, удовлетворяющих уравнению F(x) =0, и для всех t должно выполняться соотношение (grad <р, gradF) = 0 или -|2-=0, (29) д где — производная в направлении нормали к гра- нице. в) Свободные границы. Форма таких границ заранее не задается, условие же (28) (или (29), если рассматриваемая граница неподвижна) сохраняется как кинематическое условие с неизвестной функцией F. Зато обычно считают, что на свободной поверхности постоян- но давление Р (равное атмосферному, если речь идет об открытых водоемах). На основании интеграла Ко- ши— Лагранжа (8) это приводит к дополнительному соотношению, выполняемому на свободной границе: ^ + 4l g^d ф|2-^ = const; (30) здесь U — потенциал внешних сил, действующих на границу (функцию Ф из правой части (8) можно вклю- чить в ф как несущественное слагаемое). В случае установившегося движения границы не за- висят от t, поэтому на твердых (известных) участках должно выполняться граничное условие (29), а на сво- бодных участках — то же условие (29) с неизвестной функцией F и еще условие (30), в котором отсутствует dtp член с . Для плоского или осесимметрического установивше- гося движения граничные условия особенно хорошо
§ 21 СЖИМАЕМОСТЬ 21 формулируются в терминах функции тока. В самом деле, для таких движений линии тока ф = const и ли- нии <р = const взаимно ортогональны1), и кроме того, . dq> , из равенства нулю производной по какому-либо направлению I следует, что равна нулю производная в направлении т, перпендикулярном I 2). Поэто- му вдоль всей границы течения условие — 0 мож- но заменить условием = 0, где производная берет- ся в направлении границы. Но последнее условие экви- валентно тому, что вдоль всей границы ф = const, т. е. что граница является одной из линий тока. Такая простая формулировка граничных условий в плоских и осесимметрических задачах и составляет од- но из тех двух упрощающих обстоятельств, о которых говорилось выше. § 2. Сжимаемость При движениях жидкости с большими скоростями, сравнимыми со скоростью распространения звука в этой жидкости, становится существенной ее сжимаемость. Плотность жидкости р уже не является постоянной и ее следует считать одной из искомых функций. Задача су- щественно усложняется, появляются принципиально но- вые явления, отсутствующие в случае несжимаемости. Основные уравнения. Условие несжимаемости div V = 0 заменяется теперь более общим уравнением + div (pV) = 0, (1) ') Действительно, и из (14) и из (20) следует, что . , , ,, дф дф дф дф (grad ф, grad ф) = -- + = 0. дх дх ду ду 2) Действительно, если а — угол направления I с осью х, то дф дф , дф . дф дф . , Эф — -S— cos а + -г— sin а, а =--------sin а + —— cos а; теперь д1 дх ду dm дх ду F утверждение получается сразу, если использовать (14) или (20).
22 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ. I уравнение движения пишется по-старому: 1L + (V, V)V 4-1 grad Р = 0 (2) и появляется новое, термодинамическое уравнение 4г=4г+(У’v)s=0- (з) Последнее уравнение выражает условие отсутствия теп- лообмена между частицами среды: энтропия S каждой частицы постоянна, т. е. полная производная энтропии по времени (равная 4- (V, V)S^ равна 0. Однако система (1) — (3) еще недостаточна для описания процессов, происходящих в сжимаемых сре- дах. К ней нужно добавить соотношение, связывающее величины Р, р и S, которое называется уравнением со- стояния среды P = P(p,S). (4) Это соотношение является следствием общих законов термодинамики, а конкретный вид зависимости опреде- ляется свойствами среды. Например, для среды, назы- ваемой идеальным газом, эта зависимость имеет вид з Р = е р\ (5) Ср где постоянная у= — (отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме) назы- вается показателем адиабаты Пуассона. Упрощающие предположения. Одним из таких пред- положений является условие изэнтропичности— движе- ние таково, что во всем объеме, занятом средой, эн- тропия S = const. Для изэнтропических движений урав- нение (3) выполняется автоматически, а из (4) следует, что давление зависит только от плотности. Процессы, об- ладающие последним свойством, называются баротроп- ными. Для изэнтропических течений, как и для течений не- сжимаемой жидкости, оказывается справедливой теоре- ма о постоянстве циркуляции скорости по произвольно- му замкнутому жидкому контуру. Из нее следует, что
§ 2] СЖИМАЕМОСТЬ 23 имеет смысл рассматривать изэнтропические потен- циальные течения сжимаемой жидкости. Следует, однако, отметить, что в определенных ус- ловиях в сжимаемых жидкостях, в отличие от несжи- маемых, даже при гладких начальных условиях могут образоваться так называемые сильные разрывы — по- верхности, на которых гидродинамические величины (например, плотности и давления) меняются скачком. Из термодинамических соображений, а также из зако- нов сохранения импульса и энергии следует, что при прохождении частицы через такой разрыв ее энтропия меняется скачком и изэнтропичность нарушается. При возникновении сильных разрывов перестает быть спра- ведливой и теорема о сохранении циркуляции, в которой условие изэнтропичности является существенным. Та- ким образом, появление сильных разрывов нарушает наши упрощающие предположения. Тем не менее класс изэнтропических потенциальных течений сжимаемой жидкости достаточно широк и час- то встречается в приложениях. Плоские установившиеся течения. Теория существен- но упрощается, если в дополнение к предположениям об изэнтропичности и потенциальности предположить, что движение является плоским и установившимся. Тогда уравнение неразрывности (1) примет вид д(РУх) <?(р^) дх + ду ~U’ W добавится условие отсутствия завихренности а уравнение движения (2) заменится интегралом Бер- нулли р у(/х + Vy) + J-y- = const (8; ₽0 (мы пренебрегаем внешними силами — при больших скоростях они несущественны). Второе слагаемое р , Г dP Q(p) = J — р«
24 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I называется энтальпией среды; так как gradQ(p) = = grad р = -^-grad Р, то интеграл (8) получается из уравнения движения (12) точно так же, как и в слу- чае несжимаемой жидкости. Для идеального газа (при постоянной энтропии 5) <г(р)=-^=^т. \Г/ у — 1 у — 1 ’ S л dP \> 1 где = — =уе у pv-* — квадрат скорости распро- странения звука в этом газе, и интеграл Бернулли при- нимает вид п2 г2 у + yzy — const; (9) скорость звука, таким образом, оказывается функцией от скорости v движения газа. Отсюда сразу получается вывод, принципиально отличающий движения идеально- го газа от движений несжимаемой жидкости, — в слу- чае газа скорость движения не может превышать неко- торой величины vm, зависящей от свойств этого газа, при которой скорость звука оказывается равной нулю. ^9 Постоянная в правой части (9) равна, очевидно, (максимальная скорость достигается при с = 0), и если теперь в это соотношение подставить выражение с2 че- рез р, то после простых преобразований мы получим Р = Ро а2 (10) 1 Это соотношение можно рассматривать как интеграл Бернулли для идеального газа; постоянная ро равна плотности неподвижного газа (при к=0), она, как и ит, зависит от свойств этого газа. Очевидно, что и в общем случае установившихся по- тенциальных течений в баротропных средах из интегра- ла Бернулли (8) можно найти р как известную функцию от v = V V2X -ф V2y . Если подставить эту зависимость в (6), то все сведется к решению системы двух дифферен-
§2] СЖИМАЕМОСТЬ 25 циальных уравнений первого порядка (6) и (7) отно- сительно двух неизвестных функций Vx и Vy. В отли- чие от случая несжимаемой жидкости эта система нелинейна1), что и является главной причиной дополни- тельных’ затруднений, возникающих при отказе от не- сжимаемости. Уравнение для потенциала. Продолжаем описание плоских движений, сохранив сделанные выше предпо- ложения. Из соотношения (7) следует существование потенциала скоростей ср, так что у у —дф. цп v х дх ’ v и ду' 44 а из (6) —существование функции тока ф, для которой = (12) дх г у ду r х v ' Линии уровня ф = const по-прежнему служат ли- ниями тока, и эти линии по-прежнему ортогональны линиям равного потенциала <р = const. Сравнивая (11) и (12), мы получаем систему дифференциальных урав- нений дф 1 <Эг|? дф _______1 дф дх р ду ’ ду р дх ’ ' ' в которой р есть известная функция скорости v — = у ’ Если положить она перейдет в систему (14) предыдущего параграфа, описывающую плоские движения несжимаемой жидкости. Из системы (13) можно исключить функцию ф, по- лучится уравнение дх у дх / 1 ду v ду / ’ или ( д2ф . д2ф\ . дф др др дф др др______п ... Р \ дх2 ' ду2 ) дх dv дх ' ду dv ду \ > ’) Нелинейность системы (6) —(7) вызвана тем, что в нее входит зависимость р = р
26 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1 Далее, дифференцируя по р интеграл Бернулли (8), мы найдем rfP _ _ РР_______РР /1 dv Р' (р) с2 ’ ' ' а из формулы Ц = Уф2+ф2 *) получим, что = ~ (фхФхх“1“Ф//Ф1/1/) И = ~ (фхфху "Ь фуфуг/)- ПОДСТЭВ- ляя это в уравнение (14), мы после простых преобразо- ваний приведем его к виду (с2 - ф2) - 2фх(ру(ред + (с2 - ф2) фга = 0. (16) В случае несжимаемой жидкости ему соответствует уравнение Лапласа, которое получается из (16), если в последнем положить скорость звука с = оо (для этого надо разделить обе части уравнения на с2 и положить всюду-^-=0^. Уравнение (16) относится к так назы- ваемым квазилинейным уравнениям второго порядка — линейным относительно старших производных, т. е. про- изводных второго порядка. Звуковой барьер. Очень существенным обстоятельст- вом является то, что уравнение (16) может менять тип. Тип квазилинейного дифференциального уравнения Л^+2В-^- + С^|=0 (17) дх2 1 дх ду * ду2 у > (Л, В, С — известные функции х, у, ф, фх и ф^) опре- деляется квадратической формой ЛЛ2-2В^ + а2 (18) — если эта форма сохраняет знак, то говорят, что урав- нение (17)—эллиптического типа, а если она меняет знак, то (17) называют уравнением гиперболического типа. Но форма (18), очевидно, имеет тот же знак, что и квадратный трехчлен Ak2~2Bk-\-C ^мы положили Л I.) — «р а последний меняет или сохраняет знак в ') Здесь и далее мы пользуемся сокращенными обозначениями для частных производных.
СЖИМАЕМОСТЬ 27 § 2J зависимости от того, есть у него действительные корни или их нет. Таким образом, тип уравнения (17) опре- деляется знаком дискриминанта Д = АС — В2: при Д > 0 оно эллиптического типа, а при Д < 0 — гипер- болического. Для уравнения (16) дискриминант Д = (с2 — ф2) (С2 — ф2) — ф2ф2 = С2 (с2 — V2), следовательно, оно эллиптическое при дозвуковых ско- ростях (v < с) и гиперболическое при сверхзвуковых (v > с) — переход через скорость звука сопровождает- ся переменой типа этого уравнения. Перемена типа дифференциального уравнения прин- ципиально меняет свойство его решений и это отражает тот факт, что характер движения в сжимаемых средах резко меняется при переходе через скорость звука. Не- которые явления при этом заменяются прямо противо- положными. Рассмотрим, например, так называемый расход W ~ pv — произведение плотности среды на ско- рость. В силу интеграла Бернулли плотность среды яв- ляется функцией от скорости, значит, и расход тоже; пользуясь формулой (15), мы находим Отсюда видно, что при дозвуковых режимах расход растет при увеличении скорости, а при сверхзвуковых, наоборот, падает. Можно указать и другие явления, резко меняющиеся при переходе через скорость звука,- Легко понять, как важно это обстоятельство для пило- та, ведущего самолет со скоростью, близкой к звуко- вой,— ведь одно и то же его действие при дозвуковых и сверхзвуковых режимах может привести к прямо про- тивоположным результатам! Характеристики. Одно из наиболее существенных от личий сверхзвуковых и дозвуковых режимов среды свя- зано с различным характером распространений в них локальных возмущений. Именно, при дозвуковых ско- ростях возмущения распространяются по всему прост-, ранству, а при сверхзвуковых — лишь внутри некоторо- го сектора.
28 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Качественную причину этого понять нетрудно, если учесть, что возмущения в среде распространяются со скоростью звука. Представим себе, что среда неподвиж- на, а источник возмущений прямолинейно движется со скоростью V. Если v < с, то источник двигается медлен- нее, чем производимые им возмущения, и картина воз- мущений будет такой, как изображено на рис. 4, а. Если же v > с, то источник будет опережать возму- л\\ / щения, и мы получим рЛуп I ( I (mVYtx картину- изображенную jyy// \ \ \ на Рис- 4, &• х. То же самое, конечно, 'S будет происходить, если _ источник возмущений не- а' * подвижен, а среда дви- Рис. 4. жется с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. Так как мы ограничиваемся установившимися движе- ниями, то мы должны предположить, что в дозвуковом Случае возмущения уже заняли все пространство, а в сверхзвуковом — весь сектор с вершиной в точке возму- щения; вне сектора движение не возмущено. Границы этого сектора — линии, отделяющие возмущенную зону от невозмущенной, называются характеристиками, они играют фундаментальную роль при изучении сверхзву- ковых течений. В дозвуковых течениях характеристик нет. Характеристики очень естественно появляются и в теории уравнений с частными производными. Для урав- нений эллиптического типа вида (17) оказывается спра- ведливой теорема единственности, по которой всякое их решение, обращающееся в нуль в каком-либо кружке, тождественно равно нулю. Но для гиперболических уравнений это не так: существуют решения, которые равны нулю в некоторой зоне и отличны от нуля в дру- гой. Оказывается, далее, что линия раздела этих двух зон не может быть произвольной. В самом деле (если ре- шение гладкое, что мы предполагаем), на этой линии должны обращаться в нуль и решение <р и обе его ча- стные производные фж и <ру. Вообще говоря, для урав- нений второго порядка задание на линии значений ре-
СЖИМАЕМОСТЬ 29 § 2] шения и его первых производных (так называемая за- дача Коши) однозначно определяет это решение. Но наша линия раздела является исключением: сущест- вуют по крайней мере два решения с теми же данными Ф = фж -- (fy = 0 — само решение ф и функция ф = 0. Таким образом, линии раздела надо искать среди тех кривых, на которых задача Коши имеет неединственное решение. Выясним, что это за кривые, в случае квазилиней- ного уравнения (17). Зададим на некоторой кривой у: х = х(т), у — у(х), где т — параметр, данные Коши: Ф = и(т), Фх = р(т), фу = 9(т). (19) Эти данные должны быть согласованы, т. е. удовлетво- рять соотношению, которое получается дифференциро- ванием по т тождества и(т) = ф [х(т), р(т)]: й = рх + q у (точкой обозначается дифференцирование по парамет- ру). Задача Коши (19) имеет единственное решение, если по заданным величинам (19) и по уравнению (17) вдоль у можно однозначно определить производные старших порядков решения ф. Посмотрим, как обстоит дело со вторыми производ- ными фхх, фхй и фуг,. Эти величины должны удовлетво- рять уравнению (17) и еще двум соотношениям, кото- рые получаются дифференцированием по т тождеств фх[х(т),г/(т)] =.р(т) и фу[х(т),у(т)] = <7(т): А<Рхх + 2Вфху + С(рУу — D, X(fxx + {Юху =Р, Х(рху + i/(fyy = q. Полученная система может оказаться неразрешимой или разрешимой неоднозначно лишь в случае, когда ее определитель равен 0, т. е. когда Ау2-2Вху + Сх2 = 0. (20) Нетрудно видеть, что если вдоль кривой у левая часть (20) не обращается в нуль, то вдоль этой кривой однозначно определяются не только вторые, но и все высшие производные решения ф, а тогда по формуле
30 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1 Тейлора в окрестности у однозначно определится и са- мо решение. Если же вдоль у удовлетворяется соотно- шение (20), то эта процедура либо невыполнима, либо неопределенна. В последнем случае мы получим, в ча- стности, линии раздела, отделяющие зоны, в которых ре- шение тождественно равно 0, от зон, в которых оно отлично от нуля (рис. 5). Кривые у, удовлетворяющие уравнению (20) в каждой своей точке, называются характерис- Рис 5 тиками уравнения (17). Если по- ложить у' =-т-, то (20) будет квадратным уравнением, определяющим наклон характе- ристики. Мы видим, что для уравнений эллиптического типа (АС — В2 > 0) действительных характеристик не существует, а для уравнений гиперболического типа (ДС — В2 < 0) через каждую точку проходят две ха- рактеристики *). Для уравнения потенциала (16), в частности, харак- теристики определяются уравнением (с2 - (-ВУ+2,w +(с2 - <₽*)=°> откуда dy —ФхФу ± С Ко2 — С2 " 9 9 dx с ~ фх (21) В соответствии с только что сказанным, при дозвуковых режимах (v < с) характеристик нет, а при сверхзвуко- вых режимах через каждую точку области течения про- ходит по. две характеристики (их наклон определяется компонентами скорости <рж и ф^). Если обозначить через 0 угол наклона вектора скорости к оси х, а через а — так ’) Сказанное нуждается в уточнении: для линейных уравнений, где А, В и С зависят лишь от х и у, направления характеристик дей- ствительно определяются точкой (х, у). Но для квазилинейных урав- нений, где коэффициенты могут зависеть еще от <р и фх> фц, харак- теристики зависят не только от точки, но и от рассматриваемого ре- шения ф.
§ 2} СЖИМАЕМОСТЬ 31 называемый угол Маха, который определяется соотно- шением sina=-^- (22) (он имеет смысл лишь при сверхзвуковых скоростях), то формулу (21) можно переписать в виде du — sin 0 cos 9 ± sin a cos а , -------FS---— = tg (0 + a). (23) dx sin2 a — cos2 9 & v ' Отсюда видно, что в каждой точке сверхзвуковой зоны вектор скорости служит биссектрисой угла между характеристиками, величина которого равна удвоенному углу Маха 2a (рис. 6). Отсюда и из формулы (22) видно также, что ско- рость движения каждой из характери- стик в направлении нормали к ней, Vn = v sin а, равна скорости звука с —это и понятно, ибо характеристи- ки представляют собой фронты рас- пространения возмущений, а возмуще- ния в среде распространяются со ско- ростью звука. Мелкая вода. Укажем еще задачу Рис. 6, на потенциальные течения несжимае- мой жидкости, в которой также появ- ляются уравнения гиперболического типа. Рассмотрим неустановившееся плоское движение в неглубоком во- доеме с твердым дном у = —h(x) и со свободной гра- ничной поверхностью у = ц(х, t)\ координаты вектора скорости = и Vy=-~ будем здесь обозначать через и и v соответственно. Отметим сначала, что имеет место соотношение ч (х, 9 4^ = -^ f u(x,y,t)dy. (24) -h(x) В самом деле, по правилам дифференцирования инте- гралов, зависящих от параметра Ч 1] J udy — u(x, 1), t)~^ + u(x,-h, t)h' + {-^dy. -h -ft
32 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Но на свободной поверхности и на дне выполняются, со- ответственно, граничные условия z/ = n(x, t); ^- + ^Lu-v=0, y = — h(x): uh'-s[-v=0. Подставляя это в предыдущее равенство, мы найдем Т| Т| 77 J udy = --^- + v(x, + j 77^== Л -л n = --^ + U*L+dv\dy. dt ' J \ дх ' ду ) —h последний интеграл равен нулю в силу условия несжи- маемости, и мы получаем (24). В теории мелкой воды делается предположение о том, что давление в жидкости совпадает с гидростати- ческим, т, е. что оно пропорционально глубине Р = gp h (X, t) — г/Ц- р0, (25) где ро — постоянное атмосферное давление. Подставляя это в уравнение движения, мы найдем для первой коор- динаты скорости dt p дх S дх ’ du n откуда видно, что не зависит от у. С учетом этого замечания из (24) мы получаем T = -W<4 + «“- <27> Введем величину л Р= J Pdy=^-(x] + h)2 -h (мы воспользовались формулой (25)) и обозначим р — = (ц -ф /г)р; тогда
5 21 СЖИМАЕМОСТЬ 33 где k — постоянная для данной жидкости. Это соотно- шение формально можно рассматривать как уравнение адиабаты с показателем у_= 2 (ср. с формулой (5)). Если подставить величины Р и р в уравнения (26) и (27) du ди , ди и учесть еще, что + и , то эти уравнения перепишутся в виде + 4 + 2^-=о. (28) dt * дх о дх ' di ' дх ' ' По форме они совпадают с уравнениями неустановивше- гося одномерного движения газа. Скорость распростра- нения возмущений в нашей среде — это будут волны на поверхности водоема — определяется, как «скорость звука» с=/4г==^(т|+/гЬ (29) Возвращаясь к переменным т) и и, мы можем записать систему (26) — (27) в виде и । 1 Лх — g их + g ut- В теории уравнений с частными производными доказы- вается (см., например, [3]), что тип системы т), = аих + but-\- ..., — Т|х = dux + cut+ ... (многоточие означает члены, не содержащие производ- ных) определяется знаком дискриминанта л ( b + d V Д == ас — —й— . Для системы (30) этот дискриминант отрицателен: л I / г/2 , \ иг л + /г Д = —--------п — h]-----=-----——. g \ g 1 ) g g Следовательно, эта система — гиперболического типа. Система (30) нелинейна и потому не очень проста Для исследования. .Существенно упрощает (линеаризи- рует) ее предположение о том, что величины и и т] малы 2 М, А. Лаврентьев, Б. В, Шабат
34 Математический модели жидкой среды [Гл. 1 вместе с производными. Тогда можно пренебречь чле- нами второго порядка малости (такими, как и2, т]Иж и т. д.) и система приближенно заменится такой линей- ной системой: dr) ______. ди _____ ,, ________ д (hu) <Эт| ________ 1 ди dt дх дх ’ дх g dt ' (31) Из этой системы легко исключается функция и и для высоты слоя жидкости г] получается уравнение (32) dt2 ь дх \ дх / ' ' Если дно водоема ровное (Л = const), то (32) сведется к простейшему уравнению гиперболического типа 4>-«Л-Й-=0. (33) dt2 дх2- х 1 Общее решение этого уравнения очень легко выписы- вается через две произвольные функции П = fi (х — cot) + f2 (х 4- cot), (34) где с0 = У gh\ функции fi и f2 определяются через на- чальные и граничные условия. Формула (34) дает решение в виде суммы двух волн, движущихся со скоростью ±с0, а функции ft и f2 опре- деляют форму этой волны. Характеристиками системы (31) служат прямые х + cot = const; они определяют фронт волны (и, в частности, отделяют зону покоя от возмущенной зоны, если функции ft и /2 отличны от нуля только на конечном интервале, как это обычно бывает). Каждый читатель, несомненно, видел такие характери- стики на мелкой воде — когда поливают асфальт, по ним распространяются возмущения от маленьких бугорков. Более подробно о свойствах решений уравнения (33) бу- дет говориться в следующей главе. В заключение отметим еще одно обстоятельство. Гру- бое приближение (линеаризация), которое мы приме- нили к системе (30), привело нас к выводу, что волны распространяются с постоянной скоростью сй = У gh. Более тонкий анализ показал бы, однако, что для этой скорости справедлива формула (29), с = Yg (h + ц), из которой предыдущая получается при т] = 0. А из фор-
§ 31 ВЯЗКАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ 35 мулы (29) следует такой важный вывод — в мелкой воде верхние участки волны, для которых возвышение т] больше, движутся с большей скоростью, чем нижние. Этот вывод объясняет явление опрокидывания волн при набегании их на берег (рис. 7), его наблюдал каждый, кто был на море. Математически явление опрокидывания волн дает пример решения уравнения с частными производными, которое имеет особенности. В теории уравнений доказы------______ вается, что линейные эллип- тические уравнения с глад- =*” кими коэффициентами мо- гут иметь лишь гладкие ре- га- шения. Поэтому появление Рис. 7. негладких (разрывных или с разрывными производными) решений наблюдается лишь у гиперболических или нелинейных уравнений. Ре- шения с особенностями, аналогичные опрокидыванию волн, играют большую роль в сверхзвуковой газовой динамике (ударные волны, скачки уплотнения). О них мы немного поговорим в гл. IV; при дозвуковых скоро- стях такие решения невозможны. В заключение отметим, что если от рассмотренной здесь плоской задачи перейти к пространственной, то в тех же упрощающих (линеаризирующих) предполо- жениях для высоты слоя жидкости £ = £(х, у, t) вместо (32) мы получим уравнение д2т1 a J _А_ (h ——_| (L ( A \ I — Q /ot-ч <ЭР дх \П дх ду \П ду ) / — и‘ Это приближенное уравнение называют акустическим. § 3. Вязкая несжимаемая жидкость Очень многие практические задачи, связанные с дви- жением жидкости в трубах и каналах или с движением твердых тел в жидкости, нельзя решить без учета вяз- кости жидкости. Здесь мы очень коротко коснемся не- которых вопросов, связанных с вязкостью. Уравнения Навье — Стокса. Уравнения движения вяз- кой несжимаемой жидкости (в отсутствии внешних 2*
36 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I массовых сил) имеют вид divV = 0, (1) 4г s 4г+V>V = ~ Г Srad Р + v АУ’ <2> где v — коэффициент кинематической вязкости — по- ^2 ^2 стоянная, характеризующая среду, а Д = + д2 + — оператор Лапласа. Уравнение (1)—обычное условие несжимаемости, а уравнение (2) следует из ос- , dV 1 ,. „ новного закона динамики, по которому -ц- = — div Т, где Т = (Тц) —так называемый тензор напряжений1), и из закона Стокса, согласно которому тензор напряже- ний выражается через тензор скоростей деформации 1 (dV, dVA D = l\-d^ + -dt7) по Ф°РмУле /<ЭУ, dV а r„ = -P6„ + pv(^- + ^-); (3) здесь i, j — 1, 2, 3, координаты х, у, z обозначаются со- ответственно через xt, х2, х3, а компоненты скорости — через Vi, V2, V3, символ Кронеккера, равный 1 при i = j и 0 при i ф j (подробности можно найти, напри- мер, в книге С е р р и н а [4], стр. 222). Таким образом, уравнение Навье—Стокса (2) отли- чается от соответствующего ему в случае невязкой жид- кости уравнения Эйлера (2) из § 1 членом vAV, содер- жащим вторые производные вектора скорости. Диссипация энергии. Выясним, как меняется с тече- нием времени кинетическая энергия объема V, движу- щегося вместе с вязкой жидкостью. Скорость изменения этой энергии, дифференцируя под знаком интеграла и ’) Симметрия тензора напряжений следует из закона изменения момента количества движения сплошной среды; div Т представляет v'' дТii собой вектор с координатами (div Г), = V -j* --. 1
J3J ВЯЗКАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ 37 пользуясь основным законом динамики, можно записать в виде =k- ""’i*' <4> V V V Воспользуемся теперь соотношением div(V-T) = T-£> + (V, div Г), справедливым для произвольного симметричного тен- з зора Г; в нем Т D = У, ТцО{1 означает свертку тен- Л /=1 зоров Т и D. Пользуясь им и применяя формулу Гаус- са — Остроградского, мы можем переписать (4) в виде ^==^iy(V-T)dv-^T-Ddv==^V, Tn)dS- J T-Ddv, V VS V (5) где n — единичный вектор внешней нормали к границе S объема V. Так как T-n = t — вектор напряжений, дей- ствующих на S, то первый член в правой части (5) пред- ставляет собой суммарную мощность поверхностных сил. Второй член дает величину диссипации энергии, равную работе в единицу времени сил напряжения, затраченной на деформацию самого объема. Пользуясь законом Стокса (3), по которому Т-D = = —PID 2pvD-D, где Z = (йо)—единичный тензор, а также несжимаемостью жидкости, вследствие которой 1 Vi / dV i у. ----------1--5— =divV = 0, мы можем 2 11 \ дх. 1 дх, / I, /=1 ' 11 переписать выражение диссипации энергии в виде Q = 2pv \D.Ddv=^ Г £ (^L + ^L\2dv. (6) t) * \ '-'Л f UXf / V V i, i=l 1 1 ' Эта величина выражает количество механической энер- гии объема, которое за единицу времени переходит в тепловую энергию.
38 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Граничные условия. В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число гра- ничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие не- проницаемости (V, п) = О, а в теории вязкой жидко- сти— три (скалярных) условия У = 0. (7) Это — так называемое условие прилипания, оно оправ- дывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вяз- кой жидкостью существуют силы молекулярного сцепле- ния. На движущихся твердых границах условие прилипа- ния сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль век- тор напряжений: Т • п = 0, (8) где п — вектор нормали к поверхности, и кроме того, должно выполняться кинематическое условие, согласно которому нормальная составляющая вектора скорости совпадает со скоростью перемещения поверхности в на- правлении своей нормали. Учет вязкости.Уравнение Навье—Стокса значительно сложнее для исследования, чем уравнение - Эйлера, и даже приближенный счет на вычислительных машинах при решении некоторых задач для этого уравнения ока- зывается затруднительным. С другой стороны, для обыч- ных сред (таких, как воздух или вода) коэффициент вязкости v является малой величиной, и казалось бы, что для таких сред пренебрежение вязким членом (т. е. замена уравнения Навье — Стокса уравнением Эйлера) не должно приводить к существенным ошибкам. Однако это не так, и причиной тому является разли- чие граничных условий для уравнений Эйлера и Навье— Стокса. Граничное условие непроницаемости в схеме не- вязкой жидкости приводит к ряду парадоксов — напри- мер, к отсутствию сопротивления при движении тела в жидкости (о таких парадоксах пойдет речь в гл. V).
§ 3] Вязкая несжимаемая жидкость 39 Но условие прилипания при отбрасывании вязкого чле- на становится переопределенным, и ему нельзя удовле- творить. В силу этого условие прилипания фактически приво- дит к тому, что несмотря на малость v, в тонком слое вблизи границы градиенты скорости оказываются очень большими. Но тогда вязкие члены становятся по вели- чине сравнимыми с остальными членами уравнения (2), и пренебрежение ими уже незаконно. Действие сил вяз- кости в пограничном слое приводит к отрыву этого слоя Рис. 8. от граничной поверхности и в целом течение становится существенно отличным от того, которое получается в схеме невязкой жидкости. В ряде важных задач вследствие отрыва погранич- ного слоя за обтекаемым телом создаются зоны с замк- нутыми линиями тока и отличной от нуля завихрен- ностью (рис. 8). Причина этого прежняя — граничные условия прилипания. Потенциальное (безвихревое) дви- жение всегда удовлетворяет уравнению Навье—Стокса, ибо если скорость V является градиентом гармонической функции <р, то очевидно, что AV = 0, и тогда достаточно взять Р = — р (ср, + у I grad ф 12) • Поэтому безвихревое движение вязкой жидкости динамически возможно. Но так как безвихревое движение не может удовлетворять условиям прилипания, то в вязкой жидкости непременно должны образовываться вихри. Трудности, возникающие при изучении движения вяз- кой жидкости в точной постановке, заставляют искать
40 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ (ГЛ. t более простые математические модели, которые могли бы служить в качестве первого приближения к действи- тельности. Одной из таких моделей является модель, в которой движение в некоторых зонах считается потен- циальным, а в других имеет заданную завихренность. В гл. V и IX мы увидим, что этот способ учета вязкости позволяет решить ряд важных задач. Малая толщина пограничного слоя и большие гра- диенты скорости в нем послужили основой, на которой Л. Прандтль развил приближенную теорию интегри- рования уравнений Навье—Стокса и построил теорию пограничного слоя. Эта теория позволяет рассчитывать течение в пограничном слое и определять касательные напряжения на поверхности тела. Однако она справед- лива только до точки отрыва пограничного слоя и не дает возможности, например, вычислить полное сопро- тивление, испытываемое телом (за исключением случаев, когда отрыва погранслоя не происходит). В настоящее время вообще не существует теории, по которой можно рассчитать сопротивление тела, движущегося в жидко- сти. Проблема изучения движения вязкой жидкости су- щественно осложняется еще одним обстоятельством — при больших значениях безразмерного параметра Re = ^-, (9) называемого числом Рейнольдса (здесь v — характерная величина скорости, а I—характерный размер), движе- ние становится турбулентным. Для описания турбулент- ных движений не существует полной системы уравнений, и потому в каждой конкретной задаче приходится делать дополнительные предположения, основанные на экспе- риментах. Уравнение Гельмгольца. В заключение приведем од- ну форму уравнения движения вязкой жидкости, в ко- торую явно входит завихренность. Эта форма будет нам нужна в следующих главах. Применим к обеим частям уравнения Навье—Стокса операцию rot; мы получим уравнение ~-4-rot(F, V)F = vA®, (10)
$ 4] РАЗМЕРНОСТНЫЙ ПОДХОД 41 в котором, как всегда, <о = rot V. Далее еще раз вос- пользуемся формулой из векторного анализа (V, V) У = [®, F] + grad-y- (и = |V|—величина скорости), согласно которой rot (У, V) У = rot [<о, У], (11) ибо rot от градиента гладкой функции равен нулю. Пра- вую часть можно раскрыть по формуле двойного век- торного произведения и правилу действия оператора V на произведение: [V, [<*>, У ]] = (У, V) to + to (V, У) - У (V, (о) - (ш, V) У. Теперь учтем условие несжимаемости (1) и тожде- ство div rot ==s 0, тогда средние члены в последней фор- муле исчезнут и мы получим rot [(О, У]=(У, V)(0-(w, V)y. Подставляя это в (11), а затем в (10), мы и придем к уравнению Гельмгольца 4r = -^ + (V, V)a»=(<o, V)y + vA®. (12) Отметим еще, что в плоском случае, где завихрен- ность имеет лишь одну отличную от нуля компоненту (® = ak), первый член в правой части (12) исчезает и это уравнение принимает вид да> . д& . 5<в / д2® . <32<в \ + ---Г®Т'=» ТТТТТ , (13) dt ' дх ду \ дх2 1 ду- ) ’ v ' где и и v — компоненты вектора скорости. § 4. Размерностный подход Во многих задачах механики можно получить полез- ную информацию, если использовать соображения, ос- нованные на анализе размерностей величин, существен- ных для рассматриваемой задачи. Здесь мы кратко опишем, как это делается, отсылая за подробностями к книге Л. И. Седова [6].
42 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 4 Размерности. Пусть выбрана некоторая система ос- новных величин £i, ..., Еп, через которые выражаются остальные величины, рассматриваемые в той или иной теории, и для этих основных величин пусть выбраны еди- ницы измерения. Пусть некоторая величина выражается через Ei, ..., Еп так, что при изменении величины Ех в А1 раз, ...,Е„ вХв раз величина р изменяется в л раз, причем л = ..........................(1) где 61, ..., 6„ — некоторые числа. Тогда говорят, что величина р в системе единиц Е{, ..., Еп имеет размер- ность Ер, ..., сл»и записывают это в виде [?] = £*, .... Е6». (2) Так, в механике обычно пользуются системой единиц CGS, в которой за основные величины приняты длина L (в см), масса М (в г) и время Т (в сек). В этой си- стеме, например, скорость, ускорение, плотность, давле- ние и энергия »меют размерности м=4-’ [pj=-^. Г ] _ Af Г Fl — ML* IP] у’ЗД > ^2 * Функциональные связи между величинами, которые определяются в результате исследования математиче- ской модели явления или экспериментально, должны со- храняться при любом изменении масштабов единиц для основных величин. Это требование можно выразить еще и так: пусть размерная величина р является функцией других размерных величин р\, ..., рт\ p = f(pi, рт); (3) тогда для этой функции должно выполняться соотно- шение И = [Л- (4) Требование сохранения размерности, несмотря на его большую общность, дает повод к высказываниям о ха-
$ 41 РАЗМЕРНОСТНЫЙ ПОДХОД 43 рактере зависимости j, которые в ряде задач могут ока- заться весьма полезными. л-теорема. Пусть среди размерных величин р{, ... ..., рт первые k величин (k т) имеют независимые размерности. Это означает, что размерность ни одной из этих k величин нельзя выразить в виде произведения размерностей других величин (из них же) в некоторых степенях. Число k величин с независимыми размерно- стями не может превышать числа п основных единиц. ^Например, размерности скорости у-, ускорения у и м давления независимы, а размерности плотности М L М \ р--, скорости у- и давлеь я уу—зависимы. I Пусть теперь k является наибольшим числом величин с независимыми размерностями в группе pi, ..., рт, так что размерности ph+i, ..., рт можно выразить через [Pi], • • •, [РаГ Поэтому можно составить безразмерные комбинации rfe-n _ _______________'т___________ ,к\ ₽<<> el1’............. m~k ~ e<m-ft’ e'm-fe>' 1 ' Pi1 ••• pkk Pi pkk Предположим, что величина p выражается через pi, ... ..., рт по формуле (3) и, значит, можно составить без- размерную комбинацию л р “1 ak Pl' ••• Pk (6) Тогда зависимость (3) равносильна следующей зависи- мости между безразмерными величинами-. л = /?(л1....лт_А). (7) Это утверждение известно под названием л - тео- рем ы. Его доказательство можно найти в книге Л. И. Седова [6]. Преимущество зависимости (7) пе- ред (3) в меньшем числе независимых переменных: в (3) их т, а в (7) т — k. В ряде задач это преимуще- ство оказывается решающим. В частности, если k = т, то соображениями,^ основанными- на размерности,
44 математические модели жидкой среды (ГЛ. t величина р определяется с точностью до постоянного множителя: Р = СР? •••/’>, (8) который находится или экспериментально, или в про- цессе решения соответствующей математической задачи. Выбор k параметров с независимыми размерностями из т параметров, определяющих величину р, можно про- изводить разными способами. При этом вид функции F в л-теореме, конечно, меняется, но число независимых переменных всегда снижается с т до т — k. Автомодельность. В задачах механики искомые вели- чины, как правило, являются функциями времени /, ко- ординат х, у, z и некоторых постоянных величин alt ... ..., ат, существенных для данной задачи, p = f(t, х, у, z, Ui..ат). (9) Число основных единиц, как мы говорили, в этих зада- чах равно 3. Пусть в результате приведения зависимости (9) к безразмерному виду мы получаем, что безразмерная искомая величина зависит только от комбинаций х у z bfi ’ bfi ’ bfi ' (Ю) где b — постоянная, [b] = LT~&, и еще от некоторых по- стоянных безразмерных комбинаций. Задачи, в которых это происходит, называются автомодельными. В автомодельных, задачах число независимых пере- менных снижается на 1: вместо х, у, z и t мы имеем три величины (10), и тем самым эти задачи упрощаются. Особенно существенное упрощение из-за автомодельно- сти достигается в задачах, в которых искомая функция зависит от времени и только от одной пространственной координаты — здесь вместо уравнений с частными про- изводными мы получаем обыкновенное дифференциаль- ное уравнение. В заключение приведем несколько примеров приме- нения размерностного подхода. Удар струи о плоскость. Пусть струя невязкой не- сжимаемой жидкости плотности р, которая в бесконеч- ности имеет радиус г и скорость V, ударяет о плоскость,
5 41 РАЗМЕРНОСТНЫЙ ПОДХОД 45 наклоненную к оси струи под углом а (рис. 9). Требует- ся найти силу F, с которой струя действует на плоскость. Давление вне струи мы считаем равным 0 и пренебре- гаем силой тяжести. Так как жидкость невязкая, то F будет направлена перпендикуляр- но плоскости, и остается найти / / ее величину F. Эта величина on- v / ределяется параметрами р, V, г и г /\а а, т. е. имеет вид у)--------——' F = F(p, V, г, а). (11) / X / / F Анализ размерностей позволяет конкретизировать вид этой зави- Рис. 9. симости. Действительно, [F] = и комбинация pV2r2 также имеет размерность F силы, следовательно, ру2гг' является безразмерной ве- личиной. Так как размерности р, V и г2 независимы, то на основании л-теоремы зависимость (11) можно заме- нить такой: F = 9V2r2f (а). (12) Вид функции f можно определить либо решая соот- ветствующую задачу, либо опытным путем. Переход от зависимости (11) к (12) сильно сокращает число опы- тов, ибо теперь р, V и г можно считать постоянными и менять лишь угол а. Сфера в вязкой жидкости. В несжимаемой вязкой жидкости с коэффициентом ВЯЗКОСТИ V и плотностью р движется с постоянной скоростью V сфера радиуса г; требуется найти силу сопротивления F, действующую на сферу. В этой задаче F = F(p, V, v, г), (13) но из размерностных соображений, аналогичных тем, которые проводились в предыдущей задаче, эту зависи- мость можно заменить другой: F = PV2r2f (Re), (14) где Re = — — число Рейнольдса, v
46 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Определение вида функции f является важной и трудной задачей гидродинамики. В полном объеме она еще не решена, так что с теоретической точки зрения размерностный подход к успеху не привел. Но с точки зрения экспериментальных исследований достигнуто серьезное преимущество — вместо функции четырех пе- ременных теперь нужно исследовать функцию одного переменного f (Re). Диффузия вихревой нити. Приведем, наконец, при- мер автомодельной задачи, которую благодаря размер- ностным соображениям удается решить полностью. Пусть в вязкой жидкости в момент времени 1 — 0 имеется распределение скоростей, соответствующее прямолиней- ной вихревой нити; требуется найти распределение скоростей в следующие моменты. Примем вихревую нить за ось х и введем цилиндри- ческие координаты (х, г, 0); координаты вектора скоро- сти в этой системе обозначим через Vx, Vr и Ие. В на- чальный момент во всех плоскостях, перпендикулярных оси х, поле скоростей одинаково и имеет вид Vr=°’ = (15) где Г — некоторая постоянная, характеризующая интен- сивность вихревой нити1). Из соображений симметрии ясно, что характер поля сохранится во все время движе- ния: Vr и останутся равными нулю, а Ив будет зави- сеть от г и t. Удобно вместо скорости рассмотреть завихренность поля, которая в этой задаче будет характеризоваться скалярной величиной <o(r, t) —скорость через нее выра- жается. В самом деле, по формуле Стокса, примененной к кругу радиуса г с центром на оси х, мы получаем Г ^0 = 7- / ®(р> ОР<*Р о (16) (р — переменная интегрирования). ') Это поле описывается плоским полем точечного вихря, о ко- тором будет говориться в следующей главе (см. § 7).
§4] РАЗМЕРНОСТНЫЙ ПОДХОД 47 Изменение завихренности описывается уравнением Гельмгольца (3) § 3, которое в нашем случае имеет вид *) да I д2а . 1 да \ ,, ----------------ч- , (17) dt \ дг‘ г дг ) х ' и следующим начальным условием: при t = 0 функция w(г, 0) равна 0 всюду, кроме точки г = 0, где она беско- нечна, причем 2л | и (г, 0)r dr = Г (18) (так что св (г, 0) является обобщенной функцией). Перейдем к рассмотрению размерностных соображе- ний. Из характера задачи ясно, что, кроме переменных г и t, завихренность зависит еще от двух параметров v и Г, так что со = со (г, /, v, Г). (19) Размерности величин, сюда входящих, таковы: [а>] = 7г, И = А, И = Л 7 2 7 2 м=4-, [г]=4г. Среди четырех величин г, t, v и Г имеется только две с независимыми размерностями, например t и v. При таком выборе мы можем составить три безразмерные - t Г Г комбинации: со/, , — и на основании л-теоремы V vt v заменить (19) зависимостью Мы видим, что задача является. автомодельной, и урав- нение с частными производными (17) в ней можно заме- нить обыкновенным дифференциальным уравнением. ’) Мы воспользовались выражением для оператора Лапласа в цилиндрических координатах.
48 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I Для этого мы вводим переменное £ = и из (20) выражаем производные со по времени и координате (за- Г ч висимость от параметра — мы для простоты не пишем): -^ = -^-[й(^) + |й' (£)], ' Q'(g), = ’ Q"(£). dr vt2i, va' dr2 vt2 v&/ Подставляя это в (17), получаем для функции Q обык- новенное дифференциальное уравнение Q" + (f + f)Q' + Q = 0- (21) Нетрудно видеть, что соотношение (18) остается справедливым в любой момент времени t (для этого до- статочно проинтегрировать (17) по всей плоскости (г, t), предполагая, что <о вместе с производными достаточно быстро убывает на бесконечности). В автомодельных пе- ременных это соотношение принимает вид оо 2njQ(g)U£ = v- (22) о Решением уравнения (21), удовлетворяющим условию (22), является и, следовательно, решением исходной задачи является Так происходит изменение (диффузия) завихренности в нашей задаче. По формуле (16) можно найти и закон изменения скоростей I'» —(2-*) Задача решена полностью.
ЛИТЕРАТУРА 49 Литература 1. Л. И. Седов, Механика сплошной среды, тт. 1, 2, «Наука», М., 1970. 2. В. С. Владимиров, Уравнения математической функции, изд. 2-е, «Наука», М., 1971. 3. Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», М., 1964. 4, Дж. Сер р ин, Математические основы классической механики жидкости, ИЛ, М., 1963. 5, Л. Берс, Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, ИЛ, М., 1961. 6,- Л. И. Седов, Методы подобия и размерности в механике, изд. 7-е, М„ 1972
Г лав а II ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Здесь мы введем понятия, на которых строится ма- тематическое описание плоских движений идеальной жидкости или идеального газа. Они относятся к теории аналитических и обобщенных аналитических функций. § 5. Комплексные числа и их обобщения Плоские движения особенно просты для математиче- ского описания потому, что плоские векторы допускают хорошую алгебраизацию. Дело в том, что действия над векторами делятся на две группы. Первую группу со- ставляют действия сложения и умножения на число, которые определяются покоординатно и не зависят от размерности векторов. Так, суммой двух n-мерных век- торов х = (%i, ..., хп) и у — (z/i, ..., уп) называется вектор х + у = (х{ 4-z/i, .... x„ + z/„), а произведение вектора х = (Xj, ..., хп) на число (ска- ляр) X называется вектор Zx = (Zxj, ..., Zx„). Вторую группу составляет действие умножения век- торов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух век- торов (х, у) — Х\у{ + ... -ф х-пУп — скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено).
5 51 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ 51 Плоские векторы. Случай двумерных (плоских) век- торов составляет приятное исключение. Для таких век- торов можно определить умножение, полностью сохра- няющее свойства этого действия. Проанализируем раз- личные возможности определения произведения двух плоских векторов Z\ = (xi, z/i) и z2 = (х2, уг) Пользуясь действиями первой группы, мы можем представить эти векторы как суммы Z1 = х, + zz/b z2 = х2 + /г/,, где Xfc = Xfc-l—вектор, направленный по оси х, a iy& — вектор, направленный по оси у (здесь k= 1, 2, симво- лами 1 и z обозначены единичные векторы осей х и у). Мы будем вводить умножение так, чтобы соблюдался распределительный закон (закон раскрытия скобок) и переместительный закон, поэтому должно выполняться соотношение ZiZ2 =(xi + zz/O (х2 + z>2) = х{х2 + i (xty2 + х2г/,) + 12у{у2- Умножение не должно выводить из рассматриваемого класса плоских векторов, поэтому i2 = i-i нужно счи- тать равным какому-либо вектору, пусть z'2 = а + z‘p. Таким образом, по определению мы полагаем z1z2 = x1x2 + az/1z/24-«(XiZ/24-x2z/i 4-P//ii/2)- (1) Легко видеть, что при любых аир так определенное умножение удовлетворяет переместительному, сочета- тельному и распределительному закону и что при z/2=0 оно совпадает с умножением вектора z^ на число z2=x2, а при z/i = f/2 = 0 — с обычным умножением действи- тельных чисел (ziz2 = XiX2). Остается выяснить вопрос о выполнимости обратного действия—деления, для чего, как известно из алгебры, достаточно существования у каждого вектора а -|- ib О обратного к нему вектора z — х + iy такого, что (а + ib) (х + iy) = 1. Согласно (1) последнее равенство переписывается в виде системы уравнений ах + aby = 1, bx + (а + pft) у = 0, (2)
S2 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ аппарат (ГЛ. II определитель которой А — а2 + abfi — ab2 — (а + у bj — -(а + -т)ь2- Обозначим х = а + -^-; (3) мы видим, что плоскость (а, ₽) параболой х = 0, т. е. на три части. В первой из них (/), где х < О, оп- ределитель Д представ- ляет собой сумму квадра- тов и обращается в нуль лишь при а = b — 0. В этой части, следователь- но, допустимо деление на все векторы, отличные от нуля. Вторую часть (//) составляют точки пара- болы х = 0, для них А=^а+у^) обраща- ется в нуль в точках торая проходит через на- чало координат и параллельна касательной к параболе в фиксированной точке (а, р). В третьей части (///), где х > 0, определитель А= (а+у b^ — х bf обращается в нуль на двух прямых, также проходящих через на- чало: а + (-у ± ]Ас^Ь =0. Если определитель А = 0, то система (2) разрешима относительно х и у не при любых а и Ь, а соответствую- щая однородная система ax-{-aby=0, bx+(a-}-$b)y=0 имеет ненулевые решения. Последнее означает, что су- ществуют делители нуля — отличные от нуля векторы а + ib и х + iy, произведение которых равно 0. Три типа комплексных чисел. Таким образом, если мы определим произведение двух векторов по формуле (1), то в зависимости от расположения точки 12=а4-ф на плоскости мы получим три типа алгебраических си- стем.
$ Sj КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЙХ ОБОВЩЁНЙЯ 53 (I) I2 лежит внутри параболы (х<0). Система об- разует алгебраическое поле, обратный элемент суще- ствует у любого элемента, отличного от нуля, и следо- вательно, допустимо деление на любой отличный от нуля вектор. Такие системы векторов мы будем называть эллиптическими комплексными числами. Простейшей из них является обычная система комплексных чисел, для которой i2 — —1 (т. е. а =—1, £ = 0) и которую мы будем называть канонической. Можно показать, что лю- бая эллиптическая система алгебраически изоморфна канонической системе (т. е. между этими системами су- ществует взаимно однозначное соответствие, которое сумму векторов переводит в сумму, а произведение — в произведение). (II) i2 лежит на параболе х — 0. Такие системы мы будем называть параболическими комплексными чис- лами. В каждой такой системе есть делители нуля, ко- торые располагаются на прямой %+-|-z/ = 0; деление на остальные числа возможно. Параболические системы комплексных чисел изоморфны канонической системе, для которой i2 = 0 (т. е. а = 0 = 0) и делители нуля располагаются на оси у. (Ill) I2 лежит вне параболы (х>0), системы назы- ваются гиперболическими комплексными числами. В каждой из них есть делители нуля, располагающиеся на паре прямых х + )/х^г/ = 0, деление на осталь- ные числа возможно. Гиперболические системы изо- морфны канонической системе, для которой i2 = 1 (т. е. а = 1, Р = 0) и делители нуля располагаются на бис- сектрисах координатных осей у = +х. Модуль и аргумент. Начнем с обычной (т. е. простей- шей эллиптической) системы комплексных чисел. На- ряду с представлением z = x-\-iy комплексного числа в декартовых координатах мы можем рассматривать его представление в полярных координатах z — г (coscp + i sin qp). (4) Число г = ]/х2+ у2 называется модулем комплексного числа z, а угол ф, 1§ф=-^-, — его аргументом. Модуль
54 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II определяется однозначно (мы рассматриваем неотри- цательные значения корня), а аргумент — лишь с точ- ностью до слагаемого, которое представляет собой целое кратное 2л (число z = 0вовсе не имеет аргумента). Стандартные обозначения для этих величин таковы: мо- дуль числа z обозначается символом |г|, а аргумент — символом Arg z; символом arg z обозначается какое- либо одно из значений Arg г, так что Arg г = arg z-|- -|- 2йл, k = 0, -4~ 1, -4-2, ... Полярные координаты комплексного числа удобны для выполнения действий умножения и деления. Нетруд- но показать, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются: |2ч22| = |2!1 Ыг2|, arg(z1z2) = argz1 + argz2, (5) аналогично I Z| I I Z1 I I Z2 I 1 Z2 I ’ argy- = arg2, — argz2 (6) (мы считаем, что Z\ и z2 не равны нулю). Число z = х — iy, у которого модуль равен |z|, а ар- гумент равен —arg z, называется сопряженным к комп- лексному числу z = хЦ- iy. Очевидно, zz = | z |2. Понятие сопряженности, а также модуля и аргу- мента, можно распространить на обобщенные системы комплексных чисел. Именно, условимся в общем случае, когда произведение определяется формулой (1), назы- вать сопряженным к комплексному числу z = хiy число z = х +'₽// — iy. Тогда произведение zz = х? 4- fixy — az/2 = (х + у) — хг/2 (7) всегда является действительным числом, а делители нуля определяются условием zz — 0. Чтобы оправдать принятые выше названия обобщен- ных комплексных систем (в дальнейшем эти названия получат и другое обоснование), заметим, что геометри- ческим местом точек z, для которых zz — 1, для эллип- тических систем является эллипс (в каноническом слу- чае— окружность х2-f-z/2 = 1), для гиперболических — гипербола (в каноническом случае равнобочная:
§ 5] КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ 55 № — i/2 = 1), а для параболических — пара параллель- ных (в каноническом случае слившихся) прямых. В дальнейшем основную роль будут играть эллипти- ческие и гиперболические системы комплексных чисел; случай параболических систем является промежуточ- ным. Для простоты письма мы будем рассматривать только канонические системы, для которых соответствен- но i2 = — 1 и i2 = 1. Покажем, как вводится модуль и аргумент для ги- перболических комплексных чисел. Пусть |х|>|«/|; тогда мы полагаем г =\ z \ = Уzz, выбираем <p = argz так, что th ср = у (значение ср определяется однознач- но), и получаем вместо (4) z = г (ch ср + I sh <р). (8) Нетрудно проверить, что при умножении гиперболиче- ских комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При |х| = |z/|, т. е. zz = О, модуль считается равным нулю, а аргумент не опреде- ляется; при |x|<|z/| можно положить! z | = У~ zz > а аг§ф = аДЬ~, тогда вместо (8) будем иметь z = = r(sh ф + i ch ф). Покажем еще, как в канонических системах выпол- нить деление, если пользоваться декартовыми коорди- натами: Эллиптическая система Гиперболическая система *i _ £i£i+j/i£2 । • x2yt — -У1Уг 2 г 2 "Г 2.2 z2 х2 + у2 х2 -f- у2 £i_ . . x2yi — xty2 9 2 ' 1 2 2 z2 x2 — y2 4 - У2 (9) (мы умножаем числитель и знаменатель дроби на z2; в эллиптическом случае предполагается, что z2 =/= 0, а в гиперболическом, — что z2 не является делителем нуля). Многомерный случай. Возможности обобщения ал- гебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, со- гласно которой система эллиптических комплексных чи- сел является единственным (с точностью до изомор- физма) расширением поля действительных чисед с
56 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II сохранением всех законов сложения и умножения. Если отказаться от переместительного закона, то появится еще одна возможность — четырехмерные векторы (си- стема кватернионов), а если пожертвовать и сочета- тельным, то еще одна — восьмимерные векторы (октавы Кели). Других возможностей построить умножение век- торов, хорошо сочетающееся со сложением, нет. В част- ности, нельзя построить и хорошей алгебраической си- стемы для трехмерных векторов, и это обстоятельство сильно затрудняет решение пространственных задач гидродинамики. § 6. Дифференцирование комплексных функций Производная. Пусть в области D плоскости (х, у) за- дана пара дифференцируемых функций двух перемен- ных: и = и(х, у), v = v(x,y); (1) мы будем рассматривать ее как функцию w = f(z) ком- плексного переменного z = х -ф iy, принимающую ком- плексные значения w = и -|- iv. Для таких функций естественно ввести понятие производной в точке z^D как предела f'(z)= lim , (2) л-*о п где комплексное число h = hx 4- стремится к нулю (т. е. h}—>0 и h2 —>0) произвольны м_ образом, лишь бы только /г 4 0 в эллиптическом и hfi #= 0 в ги- перболическом случае. Легко видеть, что дифференцируемости функций и(х,у) и v(x, у) недостаточно для существования производной f'(z). В самом деле, дифференцируемость функций (1) означает возможность выделения из их приращений главной линейной части и (z + h) — и (z) = uxhx -ф uyh2 -ф а, v (z -ф h) — v (z) = vxhi -ф vyh2 -ф ₽, где ux, ..., vy — частные производные в точке z = x-\-iy, а а и p — малые высшего порядка относительно У h\ -ф /?2. Если подставить эти выражения в (2), то
§ 61 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ 57 , , f (z + h) — f (2) будет видно, что в общем случае предел с-1 —-х-!- зависит от способа приближения /ij и h2 к 0, т. е. не существует в смысле принятого нами определения (в ко- тором требуется существование предела при произ^ вольном стремлении h к 0). Мы придем к дополнительным условиям, необходи- мым для существования f' (z), если потребуем совпаде- ния пределов при двух различных способах стремления h к нулю: а) в направлении оси х, когда h = h\, h2 = 0 и б) в направлении оси у, когда h = h2i, hi — 0. Сравни- вая эти пределы, мы получим . .. uxhi + а + i (vxhi + Р) f'(z)= hm -------------г---------- "1 = lim цу/гг+ а+г (vyh2 + Р), lh2 т. е. их + ivx = у (иу + ivy). В эллиптическом случае, 1 когда — = — t, это условие приводит к уравнениям Ux = Vy, Uy = — Vx, (4) л 1 а в гиперболическом, когда — — i, — к уравнениям = uy = vx. (5) Легко проверить, что эти соотношения и достаточны для существования f'(z) при условии дифференцируе- мости функций и и V, т. е. что при их выполнении пре- дел (2) существует независимо от способа приближения h к 0. Аналитичность. Таким образом, комплексная диф- ференцируемость (т. е. существование производной [') оказывается более ограничительным требованием, чем обычная дифференцируемость функций и и V. Мы скоро увидим, однако, что дополнительные ограничения, свя- занные с комплексной дифференцируемостью, имеют естественный геометрический и физический смысл. Имен- но эти ограничения и приводят к созданию аппарата, хорошо описывающего плоские течения жидкости. Функции, имеющие производную f' (z) в каждой точ- ке области D, называются аналитическими в этой обла- сти, если мы имеем дело с обычными комплексными чис- лами; в случае гиперболической системы мы будем
58 ОСНОВНОЙ математический аппарат [ГЛ. п называть их гиперболически аналитическими, или, короче, h-аналитическими. Уравнения (4) и (5) называют со- ответственно условиями аналитичности и /г-аналитич- ности. Первые из них называют еще условиями Коши — Римана. Примеры. Хотя условия аналитичности и /г-аналитич- ности довольно ограничительны (например, такая про- стая функция, как f(z) = х + 2.iy, не является ни ана- литической, ни /г-аналитической), им все же удовлетво- ряет весьма большой запас функций. Приведем примеры таких функций. 1) Полиномы P(z} = aQ +ауг+ ... + anzn, (6) где ak— произвольные комплексные постоянные, а zk = z ...z. Здесь произведения могут пониматься как k раз в эллиптическом, так и в гиперболическом смысле, на- пример, z2 = х- — у2 -ф 21 х у (в обычном смысле) или z2 = х2 -ф у2 -ф 2ixy (в гиперболическом смысле). В обеих случаях произ- водная Р' (z) — а{ + 4a2z + ... +nanzn~[ (7) существует для всех комплексных г. 2) Рациональные дроби /? (z) = (8) v ’ ba + btz + ... + bnzn ' ’ аналитичны всюду, где знаменатель отличен от нуля (и /z-аналитичны, где знаменатель не является делите- лем нуля). Легко видеть, что производная вычисляется по той же формуле, что и в действительном анализе. 3) Показательная функция. По определе- нию в эллиптическом случае полагаем ег __ ex+iy — ех (cos у + i sin у), (9)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ 59 § 6] а в гиперболическом вг — ex+iy _ ех(^у _|_ i shz/), (10) Прямой подсчет показывает, что эти функции удовлет- воряют условиям (4) или соответственно (5) во всей плоскости z и что для них сохраняется обычная формула дифференцирования (ег)' = ez. 4) Логарифм определяется как функция, обрат- ная показательной. В эллиптическом случае, полагая z = г (cos <р + i sin <р) = rei(f и w = и + iv, мы находим из соотношения ew = z по формуле (9): и = log г, ц = ф. Значение ф определено лишь с точностью до целого кратного 2л, поэтому и логарифм оказывается много- значным: w = Logz = log| z | + i Arg z. (11) Выделяя одно какое-либо значение аргумента, мы выде- ляем и одно значение логарифма: logz = log] z | + i argz. (12) Если в окрестности точки zQ #= 0 выделить какую-- нибудь однозначную и непрерывную ветвь аргумента (обозначим ее через arg г), то соответствующая одно- значная ветвь логарифма logz = log|z|-j-i argz ока- жется аналитической функцией; в этом смысле Logz называют многозначной аналитической функцией. Заме- тим, что производная логарифма не зависит от выбора ветви и всегда равна —; в этом смысле можно говорить, что (многозначный) логарифм имеет (однозначную) производную: -^(Log^) = 4- (13) В гиперболическом случае, ограничиваясь числами z = x-\-iy с |x|>|z/|, мы получим, что логарифм опре- деляется той же формулой (12), в которой теперь | z | = = — у2, a argz = arth^- = ylog *^у • Это —од- нозначная /i-аналитическая функция с производной, равной у (деление — гиперболическое).
60 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I! 5) Тригонометрические функции в эллип- тическом случае просто выражаются через показатель- ную, например, etz + е-{г . elz - e~iz COS Z =---2---, Sin Z =--------- (для комплексных z мы принимаем эти формулы за определение). Они также аналитичны во всей пло- скости и для них сохраняются обычные формулы диф- ференцирования. В гиперболическом случае аналогично выражаются ch 2 и sh z. Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается ана- литичность (или /i-аналитичность) функций; такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций — это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свобод- ными от других особенностей функции. Такие точки бы- вают двух родов: однозначного и многозначного харак- тера. Особые точки однозначного характера делятся на полюсы, при приближении к которым функция стремится к бесконечности, и существенные особенности, при при- ближении к которым функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Примером полюса служит точка z = 0 для любой функции где п — целое положи- тельное число, примером существенной особенности — 1 та же точка для функции ег (при 2->0 справа по дей- ствительной оси эта функция стремится к бесконечно- сти, а слева — к нулю). Особые точки многозначного характера называются еще точками ветвления. Они характеризуются тем, что в их окрестности нельзя выделить однозначных и непре- рывных ветвей рассматриваемой функции. Примером такой особенности является точка 2 — 0 для функций rt — w = Vz, где п — целое число, большее 1 (точка ветвле- ния конечного порядка), и для функции ai = Log2 (точка ветвления бесконечного порядка, или ло- гарифмическая точка ветвления). При полном од- нократном обходе окружности |г| = г аргумент <р числд
’§ 7] ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 61 2 = ге’Ч> меняется на 2л, так что arg/z — изменится 2л на — и функция \! z придет к другому своему значе- нию; лишь п-кратный обход этой окружности приведет к начальному значению функции. Для логарифма одно- кратный обход такой окружности меняет на 2л мнимую часть этой функции, а каждый новый обход в том же направлении будет снова добавлять к функции значение 2ш — двигаясь по окружности в одну сторону, мы ни- когда не вернемся к начальному значению. § 7. Физический и геометрический смысл аналитичности Комплексный потенциал. Пусть в некоторой плоской области имеется установившееся течение идеальной не- сжимаемой жидкости. Как отмечалось в первой главе, условия отсутствия ис- точников и вихрей в этой области обеспечи- вают существование в ней двух функций — потенциала скоростей <р(х, у) и функции тока ф(х,у). Линии уровня ф(х,//) = const совпа- дают с линиями тока (траекториями движу- щихся частиц), а ли- нии ф(х,у) = const ор- Рис. 11. тогональны к ним (рис. 11). Через производные этих функций выражаются координаты вектора скорости: у _____ дер ___ дф у ____________ дер _______ дф х -дх ду ’ V У ду дх ' Мы видим, что эти соотношения являются условиями аналитичности в области D функции комплексного пе- ременного /(х) = ф(х, г/) + гф(х, у), (2) которая называется комплексным потенциалом течения. Верно и обратное: любую аналитическую в области D функцию /(г) можно трактовать как комплексный по- тенциал некоторого установившегося течения идеальной
62 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Таким образом, условия аналитичности имеют прямую гидро- динамическую интерпретацию—-они эквивалентны ука- занным условиям на течения. Зная комплексный потенциал течения, мы можем найти все связанные с этим течением величины. В част- ности, вектор скорости в произвольной точке z области течения выражается комплексным числом V = Vx-HV„ = -^-i-^==FU), (3) л у дх дх I \ ) 1 \ > сопряженным к производной комплексного потенциала. Производная f' аналитической функции f также яв- ляется аналитической функцией (см. следующий пара- граф), а комплексно сопряженная к аналитической функция называется антианалитической (такие функции, очевидно, удовлетворяют условиям Коши — Римана с из- мененными знаками). Формула (3) показывает, следо- вательно, что поля скоростей течений, удовлетворяющие принятым выше условиям, описываются антианалитиче- скими функциями. В дальнейшем мы увидим, что и граничные условия, которые возникают в задачах гидродинамики, для рас- сматриваемых течений естественно выражаются через комплексный потенциал. Так как теория аналитических функций очень хорошо развита, то мы получаем мощный математический аппарат для решения задач гидроди- намики таких течений. Физический смысл особых точек. Простую гидроди- намическую интерпретацию допускают также изолиро- ванные особые точки аналитических функций. 1) Источник. Рассмотрим плоское поле скоростей, инициированное единственным точечным источником1), который расположен в начале координат z = 0. Из со- ображений симметрии ясно, что вектор скорости имеет вид V = X(|z|)z, где А, > 0. Поток этого вектора через любую окружность |z| — г равен N = \ Vnds = 1(г) г 2лг, ______________ I г 1=г ') Точечный источник нужно представлять себе как точку, из которой в окружающее пространство постоянно подается жидкость и в окрестности которой других источников .нет.
ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 63 откуда А(г) = причем N — постоянная величина, она характеризует обильность источника. Таким обра- зом, вектор скорости течения jVz N 2л | z21 2лг ’ (4) а его комплексный потенциал (он находится из фор- мулы (3) интегрированием, несущественное постоянное слагаемое мы отбрасываем) f(z)—-£-Logz. (5) На рис. 12, а приведены линии тока (сплошные) и линии равного потенциала (пунктирные) этого течения. а) 6) Рис. 12. 2) Вихрь. Точно так же находятся вектор скорости и комплексный потенциал плоского течения, иницииро- ванного единственным точечным вихрем, который рас- положен в начале координат: V f^)=^^ogz. (6) Постоянная Г характеризует интенсивность вихря. На рис. 12,6 приведены линии тока и равного потен- циала течения.
64 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. И Можно рассматривать также точечный вихре- источник, который представляет собой объединение в одной точке и источника, и вихря. Если вихреисточник расположен в начале координат, а его интенсивность характеризуется комплексным числом c = N-\-ir, то вектор скорости и комплексный потенциал течения, им инициированного, получится из (4), (5) и (6) сложе- нием: (7) V=lh’ f^ = ^ogz. Мы видим, таким образом, что логарифмическая точка ветвления комплексного потенциала физически интер- претируется как вихреисточник, расположенный в этой точке. 3) Диполь. Рассмотрим совокупность источника и стока обильностей Рис. 13. расположенных соответственно в точках = —h и z2 = 0. Комплексный потенциал тече- ния получается из формулы (5) и ее обобщения, когда ис- точник располагается в точке г = —h, сложением: = = ~ Log (г 4-/1)-^-Log Z. Пусть теперь й->0 и одно- временно М-»-оо, так что Nh стремится к конечной величи- не р. Предельное образование, этом получается (слияние источника истока которое при возрастающей интенсивности), называется точечным ди- полем с моментом р. Комплексный потенциал течения, инициированного диполем, находится из предыдущей формулы предель- ным переходом: <8> На рис. 13 изображены линии тока и линии равного потенциала поля точечного диполя.
ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 65 § 7] Можно рассматривать также точечные особенности, которые получаются слиянием диполей с возрастающими моментами. Так, из предыдущей формулы мы получаем для слияния диполей, расположенных в точках = —h, z2 — 0: !____Л =_______t- 2л h \ 2 + h z ) 2лг2 ’ слияние таких особенностей дает степень z3 в знамена- теле и т. д. Особенности такого типа называются точеч- ными мультиполями. Мы видим, что полюсы комплексного потенциала ин- терпретируются как точечные мультиполи. Конформные отображения. Выясним теперь геомет- рический смысл условий аналитичности функции f = = u-\-iv. Как мы уже говорили, из них вытекает орто- гональность линий уровня и и V, что выражается усло- вием ортогональности градиентов этих функций: /Г7 г? \ ди dv , ди dv п ,п. (v«, Va) = -5—-——л-=0. (9) х ' дх дх ду ду ' ’ Из тех же условий вытекает равенство модулей этих градиентов: iv<,|>=|vop „ли тг + (*г)!=(*у + (^у (10) ' \ дх J 1 \ ду ) \ дх / 1 \ ду / х ' Чтобы понять геометрический смысл последнего условия, будем рассматривать функцию (2) как отобра- жение f области D на некоторое множество D* плоскости и» = и + iy. Величина |Vu| означает тогда растяжение в направлении, ортогональном к линии уровня и(х, у) — = const, т. е. растяжение линии v (х, у) = const, и ана- логично |Vw| обозначает растяжение линии и(х, у) = = const. Условие (10) выражает, следовательно, равен- ство этих растяжений. Таким образом, (9) и (10) вместе показывают, что при отображении f, осуществляемом аналитической функцией, бесконечно малые квадраты, образованные линиями и = const, v = const, преобразу- ются также в бесконечно малые квадраты (рис. 14). Это высказывание можно уточнить, если вместо ото- бражения f рассмотреть его главную линейную часть 3 М. А. Лаврентьев, Б. В, Шабзх
66 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. И (дифференциал) в точке г0, т. е. линейное преобразо- вание и — и0 = их(х — х0) + иу(у — у0), V — и0 = vx (х — ха) + Vy (у — Уо), (здесь и0 + iv0 = f (го), а частные производные их,..., vy берутся в точке го). В общем случае, когда функции и и v лишь дифференцируемы в смысле действительного анализа, это преобразование (если оно не вырождено, т. е. его определитель д (и, v) тт—т —uxvu — uuvx (12) д (х, у) х у у х ' ' отличен от нуля в точке го) переводит квадраты в па- раллелограммы. Если же f — аналитическая функция, то, как видно из (9) и (10), оно преобразует квадраты сно- ва в квадраты, т. е. сводится к повороту с растяжением. Из условия И % (9) вытекает, что — = иУ а — ; обозначая Ух это отношение через k, мы найдем из (10), что № = 1. При k = 1 мы получим их = vy, иу = —vx, т. е. условия аналитичности; если же k = —1, то получим их — —vy, uv=vx, т. е. условия антианалитичности (аналитической будет функция f = и — iv, сопряженная с /), в этом слу- чае якобиан отображения == — («^-|-«^) отрица- телен. Таким образом, условие аналитичности при Г(2о)У=О в точности сводится к условиям положитель- ности якобиана и сохранения бесконечно малых квад- ратов. Взаимно однозначные отображения, обладающие этими свойствами, называются конформными. Они со-
§ л ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 67 храняют форму бесконечно малых фигур, т. е. их дифференциал в каждой точке области сводится к по- добному преобразованию (растяжению с поворотом). Мы видим, что условие аналитичности геометрически означает конформность отображения f во всех точках, где f(z)=#0. В тех же точках, где f'(z) = 0, дифферен- циал отображения f вырождается и конформность на- рушается. Нетрудно видеть, что конформность отображения f можно выразить также условием, что его дифференциал (11) сохраняет углы или сохраняет окружности — каж- дое из этих условий приводит к тому, что (11) сводится к повороту с растяжением. Квазиконформные отображения. Имея в виду приме- нения к более общим задачам о течениях сжимаемой жидкости, которые будут рассмотрены в дальнейших главах, мы приведем здесь обобщение понятия конформ- ности. Это обобщение получится, если вместо условия сохранения бесконечно малых окружностей мы рассмот- рим условие преобразования одного семейства подобных и подобно расположенных эллипсов в другое такое же семейство. Запишем такое семейство эллипсов с центром в точке z0 = хо + iyo уравнением У (х — х0)2 — 2р (х — х0) (у — у о) + а (у — у о)2 = ph2, (13) где h — малая полуось эллипса, р 1 — отношение по- луосей, а коэффициенты выражаются через р и угол 0 наклона большой полуоси эллипсов к оси х по фор- мулам а = р cos2 0 + — sin2 0, r Р Р = (р — у) sin 0cos0, ау —Р2 = 1, у = р sin2 0 + ~cos2 0 (рис. 15). Пусть в плоскости w задано аналогичное се- мейство с уравнением Yi (и - н0)2 - 20, (и - «0) (и - о0) + «1 (« - у0)2 = РК (14)
68 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 11 Как показывают выкладки, условие того, что диффе- ренциал отображения f = и -j- iv преобразует эллипсы семейства (13) в эллипсы семейства (14), записывается Рис. 15. в виде системы двух уравнений, связывающих частные производные отображения: vy = aux + buy, — vx—dux -ф сиу, (15) коэффициенты которой выражаются через коэффициен- ты уравнений эллипсов по формулам a— — , 6 = d = C = СС1 Ctj «1 «1 (16) Обратно, любую систему вида (15), для которой . / Ь + d \2 . А —ас — I—g—) >6, (17) можно рассматривать как условие преобразования друг в друга семейств эллипсов, коэффициенты уравнений которых определяются через коэффициенты системы по формулам к b “р d , с 7Й’ р — 2 Кл ’ Y=W __ о b — d ___ас — bd 1 “ VJ ’ Pl “ 2/Д ’ Y1 /7 ' (18) В частности, если оба семейства эллипсов являются окружностями, т. е. а = «1 = у = yi = 1, а р = р) = О, то будем иметь а = с=\, b = d = 0, и система (15) превратится в условия конформности. Поэтому отобра-
§ 7] ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 69 жения, осуществляемые решениями систем вида (15), называются квазиконформными отображениями. Зада- вая различным образом коэффициенты системы (15), мы будем получать различные классы квазиконформных ото- бражений. В наиболее простом случае коэффициенты задаются как известные функции точки z = x-\-iy (ли- нейные системы). Для приложений особенно интересен случай, когда коэффициенты являются заданными функ- циями от | Vu |= Vих + иу, — о нем мы будем гово- рить в следующей главе. Интерпретация й-аналитичности. Система = uy=vx, (19) выражающая условия /i-аналитичности, не принадлежит только что рассмотренному типу систем, ибо для нее не выполняется неравенство (17). Можно было бы интер- претировать й-аналитичность как конформность, только не в обычной евклидовой, а в некоторой специальной «гиперболической» метрике. Однако мы не будем этого делать, а ограничимся указанием других связей. Если в плоскости (х, у) ввести новые оси координат (£, г]), повернутые относительно старых на 45°, т. е. по- ложить £ = х-|-г/, ц = х— у, то в новых переменных система (19) перепишется так: Uj = U-q — Отсюда видно, что и — v зависит лишь от г), а и + v — лишь от Вводя функции, выражающие эти зависимо- сти, и возвращаясь к старым переменным х и у, мы найдем общее представление й-аналитических функций: и = ср (х + у) 4- ф (х — у), v = ф (х + у) — ф (х - у), (20) где ф и ф — произвольные функции. Это представление обнаруживает простоту устрой- ства й-аналитических функций и показывает, что их тео- рия вполне элементарна. Она далеко не так глубока, как теория обычных аналитических функций. Это же пред- ставление выявляет связь й-аналитических функций с волновыми процессами. Чтобы найти эту связь, будем представлять одну из независимых координат, скажем, у, как время и
70 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. П рассмотрим одну из функций, комбинациями которых яв- ляются /i-аналитические функции, скажем, ф(х — у). Эта функция сохраняет постоянные значения на прямых х — у — const. Двигаться по такой прямой — это значит перемещаться со скоростью 1 в положительном направ- лении оси х (ведь у у нас означает время, и закон на- шего движения записывается так: х — у + х0, где постоянная х0— значение х в начальный момент г/ = 0). При этом значение ф не меняется, т. е. если предста- вить распределение значений ф как некоторую волну, то при нашем перемещении мы движемся вместе с фрон- том распространения этой волны (рис. 16). Точно так Рис. 16. же ср(х-|-г/) можно представлять как волну, движу- щуюся в отрицательном направлении оси х со ско- ростью 1 (т. е. по закону х— —z/ + xo). Через комбина- ции этих двух волн и выражаются ^-аналитические функции. Система (19) является простейшей системой двух уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы описывают вол- новые процессы и характеризуются наличием двух се- мейств линий, по которым распространяются процессы; эти линии и называются характеристиками системы. Для системы (19) характеристиками служат два семей- ства прямых: х 4- у = const и х — у = const. (Заметим, что характеристики у — ±х, проходящие через начало координат, служат и геометрическим местом делителей нуля для соответствующей (14) гиперболической систе- мы комплексных чисел.) С гиперболической системой (19) мы встретимся, когда будем рассматривать модельные задачи для сверх-.
$ 8) СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 71 звуковых течений газа. Сейчас мы расстанемся с пей, чтобы подробнее познакомиться с ее антиподом—си- стемой (1), простейшей системой эллиптического типа, которая описывает течения несжимаемой жидкости. § 8. Свойства аналитических функций Класс аналитических функций весьма широк. Это видно, например, из следующей теоремы: Если ряд из функций, аналитических в области D, сходится равномерно в этой области, то его сумма так- же является аналитической в D функцией. Степенные ряды. Рассмотрим, в частности, степен- ной ряд ^о + ^+ ... +спгп+ ... = f(z). (1) Известно, что если он сходится в какой-либо точке 20 =/= 0, то он сходится, и притом равномерно в любом круге |г|^г, где г — произвольное число, меньшее |z01, и что областью его сходимости всегда является некото- рый круг |г| </?. Так как члены степенного ряда ана- литичны во всей плоскости, то по цитированной теоре- ме сумма такого ряда будет аналитической в круге его сходимости. С другой стороны, можно доказать, что если неко- торая функция f аналитична в окрестности какой-либо точки 2= а, то в некотором круге 12 — а | < R с цент- ром в этой точке она разлагается в сходящийся степен- ной ряд: f(z) = c0 + ci(z — а)+ ... +с„(г —а)п+ ... (2) Таким образом, аналитичность функции в окрестности некоторой точки оказывается эквивалентной ее разло- жимости в степенной ряд с центром в этой точке. Теории степенных рядов посвящено много исследо- ваний и она оказалась сильным аппаратом как для изу- чения свойств аналитических функций, так и для при- ближенного решения прикладных задач. Заметим, од- нако, что здесь речь идет о локальных свойствах и задачах, т. е. об изучении свойств функций в окре- стности некоторой точки, — для глобального изучения
72 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. И функций в областях, отличных от кругов, аппарат сте- пенных рядов не годится. Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно по- членно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитиче- ских функций в степенной ряд совпадают с их разло- жениями по формуле Тейлора: /(г) = Ж + Па)Сг - «) + • • • + (z-a)n+... (3) В частности, справедливы известные разложения эле- ментарных функций л>2 5^3 ег= 1 + z + -зт + -3j- + • • •, 2»3 ^5 sin2 = z-^r + >- ..., z2 z4 (4) .... log (I-ф г) = г —-ф— ... (первые три из них сходятся во всей плоскости, чет- вертое— лишь в круге |z|< 1, его сходимость лимити- руется точкой z= — 1, в которой log( 1 -ф г) теряет ана- литичность). Далее отметим, что каждая не тождественно равная нулю аналитическая функция обращается в нуль как некоторая целая степень: если /(а) = 0, то найдется но- мер п 1 такой, что в окрестности точки а f(z) = cn(jz — a)n-]- ... =(z — а)п ср (z), (5) где сп =/= 0 и cp(z) = сп -ф cn+i (г — а) -ф ...— аналитиче- ская функция, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности а (последнее вытекает из того, что <р(а) = = сп ¥= 0, и из непрерывности функции ср). Такое целое число п называется порядком нуля функции f в точке а. Свойство открытости. Из формулы (5) вытекает, что непостоянная аналитическая функция каждую внутрен-
§ 8] СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 73 нюю точку ее области определения переводит во внут- реннюю точку множества ее значений (в самом деле, f(z) — f(a) в окрестности z = a ведет себя, с точностью до малых высших порядков, как целая степень (г—а)п, а целая степень обладает этим свойством). Последнее свойство называется свойством открытости отображе- ния. Из него вытекает, что непостоянные аналитические отображения всегда преобразуют области в области. Из условий аналитичности видно, что якобиан ана- литического отображения f = и -ф iv д (и, у) / ди \2 . / dv \2 д (х, у) \ дх / ' \ дх ) ’ т. е. он равен квадрату модуля производной |f(z)|2. Следовательно, он всегда неотрицателен, а обращается в нуль лишь там, где f'(z) = 0. По теореме о неявных функциях, известной из анализа, в точках, где якобиан отличен от 0, отображение f локально взаимно одно- значно. Как мы видели выше, в нулях производной f(z) — f(a) локально ведет себя как целая степень (z — а)п, п > 1. Последние точки называются критиче- скими точками отображения можно доказать, что множество таких точек изолировано в области анали- тичности функции, т. е. не имеет предельных точек вну- три этой области. Описанное локальное поведение характеризует ана- литические отображения. Можно доказать, что если не- которое непрерывное отображение / локально взаимно однозначно в плоской области D всюду, кроме изоли- рованных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно одно- значное преобразование D, которое преобразует f в ана- литическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смы- сле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их яко- биан = 4qp'(x + у) ф'(х — у) может менять знак на характеристиках; даже простейшие из них не обла- дают свойством открытости (например, гиперболический квадрат w = (х + iy)2 = х2 + у2 + 21 ху преобразует внутреннюю точку z = 0 в граничную точку w — 0
74 основной математический аппарат [ГЛ. и множества образов, ибо при этом отображении всегда и = х2 -ф у2 0). Простым следствием свойства открытости является важный принцип максимума модуля: если модуль ана- литической в области D функции f достигает максиму- ма во внутренней точке D, то эта функция постоянна. В самом деле, если функция f непостоянна, то по этому свойству в окрестности любой точки а из D она прини- мает все значения из некоторой окрестности точки f (а), в том числе и такие значения, модуль которых больше [f(a) |, т. е. значение |/(а)| не может быть макси- мальным. Интегрирование. Опишем теперь коротко теорию ин- тегрирования аналитических функций. Понятие интегра- ла по кривой у, лежащей в комплексной плоскости, можно ввести для любой комплексной функции f, опре- деленной на у. Для этого нужно разбить у на конечное число частей точками Zo = a, Z\, ..., zn = b (а и b — концы у), на каждом отрезке (zft, гй+1) кривой у произ- вольно выбрать точку и взять предел суммы n—1 — zj = {f(z)dz (6) 6=0 т в предположении, что все |zft+1 — zh| стремятся к нулю. Легко видеть, что если f — и -ф iv, то этот интеграл вы- ражается через криволинейные интегралы от действи- тельных функций: J f (z) dz = J и dx — v dy -ф i J v dx -ф и dy. (7) v v v Как доказывается в анализе, эти интегралы существу- ют, если кривая у — кусочно гладкая, а функция f не- прерывна на ней. Выясним специфику случая, когда кривая интегри- рования лежит в области аналитичности функции. Для этого вспомним теорему из анализа, по которой криво- линейный интеграл J Pdx -ф Qdy У
§8] СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 75 от функций, непрерывно дифференцируемых в одно- связной области D, не зависит от вида кривой у и полностью определяется ее концами в том и только том случае, когда подынтегральное выражение является точным дифференциалом, т. е. всюду в D удовлетво- ряется условие дР _ dQ ду дх Но для первого из интегралов в правой части (7) это ди dv условие имеет вид , т. е. совпадает со вто- dv ди рым условием аналитичности, а для второго и совпадает с первым условием аналитичности. Таким образом, справедлива следующая основопо- лагающая теорема Коши: если функция f аналитична в односвязной области D, то интеграл от f по любой кривой у, лежащей в D, зависит лишь от концов, но не от вида у, или, что эквивалентно, интеграл от f по лю- бому замкнутому контуру у, лежащему в D, равен нулю: J f(z) dz—0. у (8) Заметим, что это свойство также характеризует анали- тические функции: если некоторая функция f непрерыв- на в области D и ее интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен 0, то f аналитична в D. Непосредственным следствием теоремы Коши яв- ляется возможность построения для аналитических функций понятия первообразной. В самом деле, если функция f аналитична в односвязной области D, то по теореме Коши в D определена функция 2 F(z)= (9) а где а — произвольная фиксированная точка D (инте- грал не зависит от пути, поэтому мы не указываем кривой, по которой он берется). По элементарным
76 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ (ГЛ. И свойствам интегралов, которые вытекают прямо из опре- деления (6), имеем г+Zt Z откуда видно, что существует производная F'(z) = f(z). Мы видим, что функция (9) оказалась аналитической в области D и что ее производная равна подынтеграль- ной функции. Функция F и называется первообразной функции [. Доказывается, что две первообразные одной и той же функции в одной и той же области могут отличать- ся лишь постоянным слагаемым, а отсюда обычным об- разом вытекает формула Ньютона — Лейбница, выра- жающая интеграл через первообразную: ь f (z) dz — F (b) — F (а). (10) а Физическая интерпретация. Описанные основные фак- ты интегрального исчисления аналитических функций имеют прямую гидродинамическую интерпретацию. Пусть в односвязной области D' задано течение идеаль- ной несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Как мы видим, величина, комплексно сопряженная ско- рости течения, выражается аналитической в D функ- цией— производной комплексного потенциала: V х —iV y = f'(z). Согласно формуле (7) J f'(z)dz = J V Xdx + V ydy + i j— Vydx + Vx dy. (11) v v v Здесь первый интеграл справа берется от скалярного произведения векторов V = ]7Х + IVy и dz = dx + idy (касательного вектора к кривой у); он равен сумме ка- сательных составляющих вектора скорости: Г = J(V,rfz) = jKsds. (12) Y Y
§ 8J СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 77 Точно так же второй интеграл берется от скалярного произведения вектора V и вектора dn = —i dz = dy — — idx, который получается из dz поворотом на 90° по часовой стрелке (рис. 17), т. е. вектора нормали к у; он равен сумме нормальных составляющих вектора V: \ dz"ct"T4 И. С С 1 t N — J (V, dn)= J Vnds. (13) I/ V Y AC! . / dn = -i.dL Физически этот интеграл озна- чает количество жидкости, 7 протекающей за единицу вре- рис 17 мени через кривую у в напра- влении нормали dn, — так называемый расход жидко- сти. Подынтегральные выражения в (12) и (13) равны, соответственно, дифференциалам потенциальной функ- ции и функции тока: Vx dx + Vy dy = dx 4- dy = dtp, — Vydx-}-Vxdy— ~dx + -^-dy = dip, поэтому интегралы равны приращениям этих функций, и (11) можно переписать в виде Г + tW- j f'(z)dz=f(b)-f(a), (14) v где а и b — концы у. Мы получили физическую интер- претацию формулы Ньютона — Лейбница. Пусть у — замкнутая кривая, лежащая в односвяз- ной области течения с описанными выше свойствами. Теорема Коши, примененная к производной комплекс- ного потенциала течения, сводится к утверждению, что для этой кривой Г = 0, М = 0. (15) Первое из этих равенств выражает отсутствие циркуля- ции и показывает, что течение не является закрученным на у — положительные и отрицательные значения каса- тельной составляющей скорости на у компенсируют
78 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II Рис. 18. друг друга. Второе равенство выражает равенство нулю расхода на у, оно показывает, что секундное количество жидкости, втекающей в у, равно количеству жидкости, вытекающей из него. Такова физическая интерпретация теоремы Коши. Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что усло- вие односвязности в теореме Коши существенно—если об- ласть течения D имеет дырку, как на рис. 18, то инте- грал по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это фи- зически очевидно: в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на у могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области D величина ин- теграла не меняется. Мы прове- рим этот факт в его простейшей математической постановке: пусть область D ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и yi, которые об- ходятся в одинаковом направлении (скажем, против ча- совой стрелки), и функция f аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание D (так называется об- ласть вместе с ее границей); мы покажем, что в этих условиях $ f(z)dz = J f(z)dz. То Yi (16) Для доказательства соединим уо и yi гладкой линией X, расположенной в О, и обозначим через D' односвязную область, которая получится, если удалить X из D. Гра- ница D' состоит из у4, кривой уо, проходимой в отрица- тельном направлении, и кривой X, проходимой дважды в противоположных направлениях (рис. 18). По теореме Коши интеграл по полной границе D' равен нулю, но по элементарным свойствам интегралов он равен [ f dz = f dz — f dz f dz — j fdz. rp.D' Yi Yo A A
СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 79 § 8] Последние два слагаемых сокращаются, и мы получаем формулу (16). Отметим, что формула (16) остается справедливой и тогда, когда f аналитична лишь в об- ласти D (а не в более широкой области, как считалось выше), но непрерывно продолжается на границы уо и уь Простым следствием доказанного свойства является следующий фундаментальный факт, известный под на- званием интегральной формулы Коши; пусть функция f аналитична в односвязной области D, ограниченной ку- сочно гладкой кривой у, и непрерывно продолжается на границу; тогда значение f в любой точке z области определяется через ее граничные значения по формуле £ / \_________________ 1 Г f (?) ^? (17J • (17) Подынтегральная функция (мы рассматриваем ее в зависимости от переменной ? при фиксированной г) аналитична не всюду в D, ибо знаменатель в ее выра- жении обращается в нуль в точке ? = г; поэтому тео- рема Коши к ней неприменима. Но мы можем восполь- зоваться формулой (16), применив ее к области D, из которой исключен малый кружок с центром в точке г радиуса г. По этой формуле f f (?) а? __ Г f (?) rf? П8) J ?-Z J ?—z ’ v ' У Уг где yr — окружность | ? — z | = r. Вводя на yr параметр cp = arg(£ —г), меняющийся от 0 до 2л, мы найдем, что на ней t, — z = re^, dt, = — irel'fd([, следовательно, интеграл в правой части (18) 2л Vr О В силу непрерывности f на уг имеем f (?) = f(z)+«(?), где а(?) равномерно по ср стремится к 0 при г—>0, по- этому предел этого интеграла при г->0 равен 2nif(z). С другой стороны, из (18) видно, что этот интеграл не зависит от г, и значит, он равен 2nif (г) — формула (17) доказана,
80 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II Интегральная формула Коши имеет богатые след- ствия, из которых мы укажем сейчас только одно. Возь- мем произвольную точку z, в окрестности которой функ- ция f аналитична, и применим эту формулу к окруж- ности уг радиуса г с центром в г. Полагая на уг, как и выше, £ — г = гег(₽, мы найдем 2 л = f(z + re*)d<p. (19) Tr 0 Эта формула показывает, что аналитические функции очень правильно устроены — их значение в каждой точ- ке равно среднему арифметическому значению на до- статочно малой окружности с центром в этой точке {теорема о среднем). Из нее можно снова получить принцип максимума модуля, о котором мы говорили выше. § 9. Гармонические функции Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравне- ния Лапласа . д2и . д2и п А// -) • 2 Д "2~ — 0* (1) дх2 ду2 7 В самом деле, дифференцируя первое из условий ана- литичности ди _ dv ди dv /г>ч дх ду ’ ду дх ' ' по х, а второе по у и приравнивая смешанные производ- d2v d2v , ные ~дх и , мы найдем, что функция и — дей- ствительная часть аналитической функции — является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической. С другой стороны, для каждой гармонической в од- носвязной области D функции и можно найти дру- гую гармоническую в D функцию V, которая называется сопряженной гармонической к и и вместе с которой и удовлетворяет системе (2), так что f — и ф-iv будет
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 81 § 9) аналитической в D. В самом деле, в силу уравнения (1) ди < . ди < „ , выражение —-^ах-\--^ау в односвязнои области является точным дифференциалом некоторой функции ц, которая и является искомой. Таким образом, сопря- женные гармонические функции находятся простым ин- тегрированием. Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция беско- нечно дифференцируема. Из формулы (19) предыду- щего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций: 2л = «(z + re^dq), (3) о где г столь мало, что круг {|£ — z\ < г} принадлежит области гармоничности и. Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в ча- стности, получается важный принцип экстремума', непо- стоянная гармоническая в области D функция не может достигать внутри D ни максимума, ни минимума. Задача Дирихле. Принцип экстремума показывает, что гармоническая /в области D и непрерывно продол- жающаяся в замыкание D функция полностью опреде- ляется своими значениями на границе. Действительно, пусть существуют две такие функции Ui и и2 с одина- ковыми граничными значениями. Тогда их разность щ — и2 будет гармонической в D и непрерывной в D функцией, равной нулю всюду на границе. По свойствам непрерывных функций U\— и2 должна достигать и мак- симума и минимума где-то в О, а по принципу экстре- мума это должно происходить на границе. Но там щ — и2 = 0, следовательно, и максимум и минимум «1 — и2 в D оба равны нулю. Таким образом, щ — и2 = = 0, т. е. U\ = и2 всюду в D. Возникает естественная задача восстановления гар- монической в области функции по ее граничным
82 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1Г значениям. Эта задача является основной в теории гар- монических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется: На границе у области D задана функция и(Д), тре- буется найти гармоническую в D и непрерывную в D функцию u(z) так, чтобы в каждой точке она принимала заданные значения «(£). Приведенное выше рассуждение показывает, что за- дача Дирихле не может иметь двух различных реше- ний, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей су- ществование решения можно доказать прямой кон- струкцией. Пусть, например, D представляет собой единичный круг. Предположим сначала, что задача решена и мы нашли гармоническое продолжение и (г) заданной на окружности функции w(£). Тогда мы можем построить сопряженную с ней гармоническую функцию v(z) и к аналитической в круге функции f = и -ф iv применить интегральную формулу Коши: Дг) = 1 f f К) dt, 2л i J С, — z ' It 1=1 (4) Постараемся преобразовать правую часть этой фор- мулы так, чтобы ее действительная часть содержала лишь известные граничные значения и и не зависела „ 1 от v. Для этого возьмем точку -j- и, заметив, что она не принадлежит единичному кругу (ибо у нас |z|< 1 и, следовательно, |4-|>1), воспользуемся теоремой Коши, по которой t f К) = 0> 2ni J 1 ltl=l Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, пред- варительно подсчитав, что 1______г = g z _ё(1-|г|2) 5-г £z-J 1-£г + l-£z 11 _ |2
§ 9] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 83 (у нас ££ = |£|2=1) и что при |£|=1 мы имеем t, = eil, dt = i^dt\ мы получим 2Л О Наша цель достигнута, ибо справа при f(£) теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так назы- ваемый интеграл Пуассона 2л а(?) = ^-[и(ен)-:—-л——гл—2 dt (z = rei4’). (5) о Прямой оценкой можно доказать, что он и решает за- дачу Дирихле для круга —при любой непрерывной на окружности функции ы(е17) определяет гармоническую в круге функцию iz(z) с заданными граничными зна- чениями. Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию f(z) по граничным значениям ее дей- ствительной части: 2л f (z)=u ® Шdt+iC &=eit^ ® о эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной. Такую же задачу для полосы {0 < у •< 1} решает формула 00 f (z) = 4 J {«о (О cth + щ (t) th } dt + iC, — 00 (7) где u0 и «1 обозначают, соответственно, значения дей- ствительной части f на нижней и верхней границах по- лосы. Связь с конформными отображениями. Между гар- моническими и аналитическими функциями имеется еще
84 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II одна связь — гармоничность сохраняется при аналити- ческих преобразованиях. Это выражается следующей теоремой: если функция и (г) гармонична в области D, а функция <р(ю) аналитична в области А и принимает там значения из D, то сложная функция »[<p(w)] = = U(w) гармонична в А. Теорема доказывается пря- мым подсчетом, по которому оператор Лапласа A(/(tt’) = Аы(г) • | <p'(w) |2. (8) В частности, гармоничность сохраняется при кон- формных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования. Связь теории гармонических функций с теорией кон- формных отображений проявляется также в связи со- ответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит сле- дующая задача Римана-. Заданы две односвязные области D и А; требуется построить функцию w = f(z), реализующую конформ- ное отображение одной из этих областей на другую. Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде все- го, если для некоторой области D мы умеем решать за- дачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение f на единичный круг А = {| w | < 1}, то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области D является про- стой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, f продолжается до непрерывного и взаимно однозначного отображения D на А. Поэтому на единичной окружно- сти |со|— 1 мы можем рассматривать обратную к f функцию Д1 и с ее помощью перенести на эту окруж- ность заданные граничные значения: U(и) = u[f~l (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи ин- теграла Пуассона построить гармоническую в круге [щ|< 1 функцию 2л U (w) = f U (со)-4—dx (со = е!'т). о
§ 91 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 85 Остается вернуться к переменной z и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображе- ниях; мы получим искомое решение: u(z) = U[f (z)]. Во многих случаях оказывается полезным обратный ход — построение конформного отображения области D на единичный круг при помощи решения в D задачи Дирихле. Зададимся точкой z0 е D, которую искомое отображение f переводит в центр круга w = 0 (рис. 19). В ней функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разложение вида f (Z) = С[ (z — z0) + с2 (z — z0)2 4- .. •, f (2) где Ci = f' (z0) =#= 0. Отсюда следует, что функция g _ 2 = = с, с2 (z — z0) + • • • аналитична в точке Zo, а в ос- тальных точках D она и подавно аналитична. Нигде в области D эта функция не обращается в 0, потому что числитель дроби равен 0 лишь при z = Zo, но там эта функция равна С] #= 0. Но тогда логарифм этой функции аналитичен в О, а значит, его действительная часть, т. е. функция «(z) = logrB^r> (9) | z0 I должна быть гармонической в D. Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если f отображает D на единичный
86 ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. II круг, то |f(z) | должен равняться 1 на границе D, а зна- чит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны U (£) = log 77- s K-Z0 (10) и определяются геометрической формой границы об- ласти и выбранной точкой z0 (рис. 19). Чтобы найти ис- комое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным гра- ничным значениям (10) построить гармоническую в D Рис. 20. функцию u(z) (задача Дирихле), 2) найти функцию v(z), гармонически сопряженную с и (интегрирование). Теперь мы знаем функцию g (z) = И (z) + iv (z) = log откуда искомое отображение находится по формуле f(z) = (z-z0H4 (11) Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на грани- це D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения D на круг), то такая проверка излишня — проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображе- ние есть, то оно непременно восстанавливается по фор- муле (11).
ЛИТЕРАТУРА 87 В заключение заметим, что задача конформного ото- бражения криволинейной полосы D = {уо(х) < у < < у(х)} на прямолинейную полосу А = {0 < v < h} с нормировкой f(±oo) = ±оо сводится к задаче Ди- рихле еще проще. Из геометрических соображений (рис. 20) ясно, что гармоническая функция v = Im f на нижней границе Го полосы D должна принимать значе- ние и = 0, а на верхней границе Г — значение v = h, кроме того, функция v должна быть ограниченной (O^v^/i). Таким образом, искомую гармоническую функцию v мы знаем на всей границе области D, исклю- чая бесконечные точки х — ±оо. Можно доказать, что эта обобщенная задача Дирихле имеет и притом един- ственное решение v в классе ограниченных гармониче- ских функций. Интегрированием мы найдем сопряжен- ную гармоническую к v функцию и (с точностью до постоянного слагаемого) и тогда f = u-\-iv будет ис- комым конформным отображением. Литература 1. А. И. Маркушевич, Краткий курс теории аналитических функ- ций, «Наука», М., 1965. 2. М. А. Евграфов, Аналитические функции, «Наука», М., 1965. 3. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, «Наука» М., 1969. 4. М. А. Лаврентьев, Вариационый метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, Изд-во АН СССР М 1962. 5. Л.$И. Волков ыский, Квазиконформные отображения, Львов, 6. Л. Альфорс, Лекции по теории квазиконформных отображений, ИЛ, М„ 1969.
Г л а в a Ill КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Здесь мы подробнее расскажем о геометрических ме- тодах теории аналитических и обобщенных аналитиче- ских функций, которыми больше всего будем пользо- ваться в приложениях. § 10. Задача Римана Об этой основной граничной задаче теории конформ- ных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображе- ния одной области на другую. Существование и единственность. Начнем с замеча- ния, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области. Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение f~l, обратное и конформному отображению f, и 2) сложное отобра- жение f ° g, составленное из двух конформных отображе- ний f и g (т. е. отображение w = f [g(z)]) , снова яв- ляются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаим- но однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций. Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции fi и f2 конформно ото- бражают соответственно области Dy и D2 на единичный
§ ю] ЗАДАЧА РИМАНА 80 Круг U, ТО функция f = f~2 D2 (рис. 21). Задача Римана решена о fi будет отображать Di на точки, Круг. односвязную область, чем из одной на единичный Рис. 21. областях Di и D2. Со- до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую граница которой состоит более, можно конформно отобразить В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими со- ображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный про- бел) . Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько ре- шений она имеет при заданных гласно замечанию, для решения этого вопроса доста- точно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг {|z| < 1} на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном а, |а| < 1, и любом действительном числе 0 функция W = е‘в ~~а- 1 — az конформно отображает круг на себя (в самом деле, lit 1 I z — а I при |z|— 1 имеем — — z и, следовательно, _ = =1 4-^4 | = 1, т. е. (1) преобразует единичную ок- ружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно г, и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров — двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относи- тельно центра. Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана: (1)
КОНФОРМНЫЕ Й КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. ni конформное отображение одной области на другую оп- ределится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе за- дается одним параметром) или соответствие одной па- ры внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение — они .назы- ваются условиями нормировки—могут иметь раз- личный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра. Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений. 1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отобра- жающую внешность U, т. е. область {|z| > 1}, на себя; в бесконечность она переводит точку = которая называется симметричной с а относительно единичной окружности {|z|=l}. 2) Верхняя полуплоскость {у > 0} на круг {|щ|<1} тоже отображается дробнолинейной функцией: w = etQ , (2) z — а ’ ' > здесь а — произвольная точка верхней полуплоскости (Ima>0), она переводится при отображении (2) в центр круга; w ~ eiG — точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости z (предел пра- вой части (2) при 2 —* оо, очевидно, равен е»е). На рис. 22 показано, во что переходят прямые у — h—это окружности, касающиеся единичной в точке ei0.
§ 101 ЗАДАЧА РИМАНА 91 3) Внешность единичного круга на внешность отрезка [—1, 1] отображается так на- зываемой функцией Жуковского и’ = 4(2 + 7)- (3) Окружности {|z| = г}, г > 1, переходят при этом в эл- 1 I । 1 \ , 1 / 1 \ липсы с полуосями а — у Iг 4- — I, Ь = —-I и с фокусами ±1, а лучи argz = const — в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23). 4) Полоса | —^- < х < j на единичный круг отображается функцией w 1 eiz — e~lz , (4) Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24). 5) Верхняя полуплоскость с выброшен- ным круговым сегментом на верхнюю по- луплоскость при нормировке w' |ш'(оо)|= 1 отображается функцией йЛ ) . I, а \ л—а I , w --------1 1 — 1--j ( 4- с, л — а I \ z J J 1 ’ (5)
92 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III где а и а — параметры сегмента (рис. 25), а с — дейст- вительная постоянная (отметим, что наши условия нор- мировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным). Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейло- ровских разложений, ее можно заменить прибли- женной формулой /\ - .6 2 w z + 6лг + const. (6) и о. D Можно еще заметить, что НИС. за. а2а -д— с точностью до ма- лых высших порядков дает площадь о выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде W ~~ Z 4---------И const. • <rro> 1 6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь вы- брошенной луночки мала, можно записать так: о 2л 1 + ze~ia ] . i — ze~‘a) (7)
§ 101 ЗАДАЧА РИМАНА 93 здесь е'а— вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка. 7) Такая же приближенная формула для отображе- ния полосы {0 <7 //<7 1} с выброшенной лу- ночкой малой площади о на полосу {0 < v < 1} имеет вид w ~ z 4- th я-^2 а} 4- const, (8) где а — абсцисса одной из точек луночки; thz = ег — е~г —----------гиперболический тангенс. е2 + е г Течение в канале. Уменье решать задачу Римана оп- ределяет успех решения некоторых задач гидродина- мики. Мы проиллюстрируем это на классических при- мерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных ци- линдров (с произвольны- — ми направляющими ли- ---- X ниями), чтобы можно бы- / ло воспользоваться схе- z \^/7/ мой плоского движения, б —" -----//// Пусть нужно найти ~ —-у течение в канале со стен- 7 ками, которые перпенди- ~ —------------------ кулярны к некоторой рис 26. плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым Го и Г без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе D, ограниченной кривыми Го и Г. Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала — аналитической в D функции f = и 4- iv. Найти тече- ние— значит найти эту функцию. Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых Го и Г должна быть линией тока v = const, это дает граничное условие задачи. Мы можем задать
94 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III еще расход потока h, который, как показано в прошлой главе, равен J (У, га) ds = v (£i) - v (Со), v (9) где у—линия с концами ^еГс и £i е Г, т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас ин- тересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что v = 0 на Го и v = h на Г. В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда D является прямой поло- сой {0 < у < h}, ее решением служит любая функция nnz f (?) = z 4- Ke h при любых действительных К и целых п (мнимая часть япх у-}-Ке h обращается в нуль при у = 0 и y = h). Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограничен- ной в бесконечности, наложить на Го и Г некоторые ус- ловия гладкости и рассматривать лишь течения с огра- ниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение f области D на полосу {0 < у < h} с нормировкой / (±оо) = ±оо. Это отображение определено с точностью до (действи- тельного) постоянного слагаемого, которое не сущест- венно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, све- дено к решению задачи Римана. Обтекание тел. Рассмотрим еще задачу обтекания тела неограниченным потоком с заданной скоростью на бесконечности. Теорема Римана позволяет свести за- дачу к частному случаю, когда тело представляет со- бой круговой цилиндр, т. е. к задаче построения потока во внешности круга. В самом деле, пусть <р — конформ- ное отображение внешности D замкнутого контура Г на внешность круга А = {| w | > Р) с нормировкой ф(оо) — оо, |q/(co)|=l (нормировка содержит три действительных параметра). Пусть / — комплексный по-
ЗАДАЧА РИМАНА 95 § 101 тенциал некоторого течения в А со скоростью в беско- нечности Vx, тогда будет комплексным потенциа- лом течения в D с той же скоростью в бесконечности, ибо | (foq>)'|= 1Г(°°) I • Iq^00) I = 1Г(°°) I- Очевидно, что и любое течение в D может быть получено из не- которого течения в А, так что задачи действительно эк- вивалентны. Простейшее решение задачи обтекания круга радиу- са R с заданной скоростью Vx на бесконечности дает функция /(г)=7оо(г+-^). (10) Поле скоростей здесь симметрично относительно оси х, точкой разветвления потоков служит z = —R, а точ- кой слияния z = R. Можно, не меняя величины скорости в бесконечности, поместить там точечный вихрь. Тогда мы получим циркуляционное обтекание круга с комп- лексным потенциалом f(z)=Vc0[z + со/Log г, (11) Г где со = — постоянная, характеризующая интенсив- ность вихря. Под влиянием циркуляции точки разветвления и слияния потока (так называемые критические точки) сместятся. В самом деле, в этих точках скорость тече- ния очевидно равна нулю, следовательно, они находятся из уравнения f'(z)=V0o(l = Решая это квадратное уравнение, получаем zKp = ± /4/?П-со2). (12) При со < 2RVx имеем |zKP| = R, т. е. обе критические точки лежат на обтекаемой окружности, их аргументы равны соответственно . и cp0=arcsin^p—, Ф1==Я —ф0.
бб КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III В частности, при со = 0 имеем фо = О, Ф1 = т. е. кри- тические точки совпадают с концами диаметра: zKp = = ±R (этот случай бесциркуляционного обтекания мы отметили выше). Циркуляция стремится сблизить эти точки — при возрастании со они поднимаются и при со = 2RVX сливаются в одну. Дальнейшее возрастание со приводит к тому, что одна из критических точек сдвигается в поток *) и образуются замкнутые линии то- ка (рис. 27). О физическом смысле этого явления мы будем говорить в гл. V в связи с парадоксами в схеме идеальной жидкости. § 11. Нелинейные квазиконформные отображения Обобщение понятия квазиконформности. Как уже го- ворилось в первой главе, возрастание скоростей тече- ния приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене систе- мы Коши — Римана нелинейной системой двух диффе- ренциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями: vx — — риу, Vy = pux, (1) где р — известная функция от величины скорости Г = + BJ. Рассмотрим произвольную систему такого вида У7! (х, у, и, v, их, иу, vx, Vy) = 0, F2 (x, у, и, v, ux, Uy, vx, Vy) = 0 ’) При co > 2RV„ имеем | zKp |= — (co ± V"a2 — и одна из гкр лежит внутри круга |г| < R, а другая вне его.
§ п] нелинейные квазиконформные отображения 97 и назовем квазиконформным отображением, соответ- ствующим этой системе, любое взаимно однозначное ее решение f — u-\-iv в некоторой области D плоскости 2 = х + iy. Роль теоремы Римана в решении задач обтекания потоками несжимаемой жидкости делает заманчивой перспективу распространения этой теоремы на общие квазиконформные отображения. Однако в такой общей постановке теорема не может быть верной. В самом деле, рассмотрим, например, систему похожую на систему уравнений газовой динамики и от- личающуюся от системы Коши — Римана лишь множи- 1 гг телем р = —5——5- в правых частях. Легко видеть, что «х + 4 эта система эквивалентна двум уравнениям Нх^х “Ь UyVy = 0, НхОд UyVx 1. Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). По- этому области с различной площадью оказываются за- ведомо неотобразимыми друг на друга. И тем не менее оказалось возможным выделить весьма широкий класс систем вида (2) (содержащий уравнения газовой динамики при дозвуковых режимах), на которые теорема Римана распространяется. Для выделения этого класса мы перепишем систему (2) в другом виде, заменив четыре участвующие в ней част- ные производные их, иу, vx и vy четырьмя другими ве- личинами, которые элементарно через них выражаются. Эти величины называются характеристиками отображе- ния. Они служат параметрами параллелограмма, ко- торый дифференциал отображения f преобразует в еди- ничный квадрат с основанием, наклоненным под углом Р (0 Р < 2л) к оси и; характеристики, конечно, зави- сят от р. В качестве таких характеристик выбираются
98 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ill (рис. 28): 1) сторона рр, отвечающая основанию квад- рата, 2) высота q$, 3) угол 0р при основании, 4) угол ар основания с осью х. При р = 0 параллелограмм соответствует единично- му квадрату, образованному линиями v = const и и = = const (линиями тока и линиями равного потенциала), и характеристики приобретают простой физический смысл: р — величина, обратная ско- рости, q—величина, обратная расходу, а — угол наклона ско- рости к оси х (через р, q, ... обозначаются характеристики рр, 9р, ... при ₽ = 0). Подставляя в (2) выраже- z ния частных производных че- Рис. 28. рез характеристики, мы полу- чим систему двух уравнений, которые назовем уравнениями в характеристиках. Пер- вое требование, налагаемое на системы, носит формаль- ный характер и состоит в том, что уравнения в харак- теристиках можно разрешить относительно <73 и 0р, т. е. записать их в виде = Ф1 (х, у, и, v, рр, ар), е0 = Ф2 (х, у, и, v, рр, ар). (4) Второе требование геометрическое, оно состоит в том, чтобы характеристический параллелограмм не вы- рождался и чтобы его высота росла вместе с основа- нием. Оно формулируется так: существуют постоянные &1, 0 < k{ < л, и k2 > 0 такие, что при всех значениях переменных и всех р kx < 0р< л - kx, (5) Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими. При р = 0 последнее требование сводится к тому, 1 1 что расход — растет при возрастании скорости —. Как говорилось в гл. I, это — характеристическое свой-
§ II] НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 99 ство дозвуковых газовых течений; условие сильной эл- липтичности является его естественным обобщением. Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на ква- зиконформные отображения, осуществляемые решения- ми сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображе- ний. В том числе для них справедлива обобщенная тео- рема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую об- ласть (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, выте- кает, что теоремы существования решений задач обте- кания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в кото- рых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. Особое значение имеют уравнения в характеристи- ках (4) при р = 0: q = q^x, у, и, V, р, а), 6 — 0(х, у, и, v, р, а). ' ' Для случая уравнений газовой динамики (1) эти урав- нения имеют очень простой вид: q = q(p), е = -у; (7) первое из них выражает газовый режим—зависимость расхода газа W. — у от его скорости V — а второе показывает, что характеристический параллелограмм является прямоугольником. Напомним, что если тече- ние адиабатно, т. е. давление Р пропорционально неко- торой степени плотности pY, у > 1, то •у ~ 1 Г/2\ Y-1 2 ) (см. гл. I). Переходя к обратным величинам р =-у и q =-j^- и обозначая еще a — j/”~ 2 1 , мы получим 4*
100 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III зависимость 1 q = p а2 \ 2а2 Р2) (8) график которой изображен на рис. 29. Движение определено лишь при р > а (когда ско- рость течения не достигает максимально возможной для 1? и у данного газа скорости —При 11 । \ yr Ct / । \ у / значении р = 1 сь2, кото- J \ / рое соответствует скорости звука, । \ / график имеет минимум. Участок | а < р < ps, где q' < 0, соответ- ствует сверхзвуковым течениям, участок p>Ps, где р'> 0, — до- « ps звуковым. График имеет асимп- Рис. 29. тоту q = р, так что при больших р (малых скоростях) мы имеем q ~ р, характеристический прямоугольник близок к квадрату, а отображение близко к конформному. Производные системы. При исследовании нелиней- ных классов квазиконформных отображений важную роль играют так называемые производные системы. Смысл их введения состоит в следующем. Вместо неиз- вестных функций и и v будем рассматривать новые пе- ременные T=10gy, Ух vy ’ (9) а = — характеризующие величину и направление скорости те- чения (р и а, как и раньше, обозначают характеристики рц и ац при р = 0); плоскость переменных т и а на- зывают плоскостью годографа. Доказано (М. А. Лав- рентьев [4]), что эти переменные, рассматриваемые в зависимости от и и V, удовлетворяют системе <3т „ дх . да . да , дх . , да , , •ч— — С1\ ------1 #2 ----г "3— — И "3— + ^2 "3— + > (10) dv j ди 1 1 ди ‘ 69 dv 1 ди * 2 ди ‘ 13 ’ v ' коэффициенты которой выражаются через уравнения в
§ 11] НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Ю1 характеристиках (6) по формулам dq , л 00 q а\ — ctg 9--------5----гтд-, 1 др ь др sin20 ’ 1 [ dq , о . 00 q \ а2 — — — -Л ctg 9 + -----4- q , 2 p \ да b 'da sin2 0 1 «, = ->, ^“yO+xctse). di) Л / 1 dq . dq \ . A . [ 1 dQ . dQ \ q cio — —— I —-— —— I ctff 9 "4-1 — -J—~— I —. о n1. 6 \ p du ds ) b 1 \ p du ds ) sin2 0 1 h l dq } dq ° 3 p ди "Г ds ' д д , d . где cos a -f- sin a — производная в направ- лении основания характеристического параллелограмма (скорости течения). Система (10) и называется произ- водной системой системы (2). Более простой вид производная система имеет для систем, уравнения в характеристиках которых не содер- жат координат, т. е. записываются так: q = q(p, a), 9 = 9(р, a). (12) Для таких систем в уравнениях производной системы (10), очевидно, «з = Ь3 = 0, а остальные коэффициенты зависят лишь от р = е~х и а. Поэтому, если в производ- ной системе принять г и а за независимые переменные, а и и v — за искомые функции, то после простых преоб- разований она примет вид ди ~ dv . dv ди , dv , dv ,1r>. — й| “ч--I— Йо *35— , -ч-Ь\ *з--— Ь, “з—, (13) da 1 da, 1 2 дт ’ дт 1 да 2 дт ' ’ т. е. станет линейной системой. Теория линейных систем развита существенно лучше, чем теория систем нелинейных. Поэтому описанный спо- соб перехода к производным системам оказывается ре- шающим, особенно для граничных задач, которые фор- мулируются в терминах потенциала (и, v) и скорости (т, а). Примеры таких задач будут встречаться в даль- нейших главах. Рассматриваемый класс систем содержит, в част- ности, уравнения газовой динамики (1), для которых
102 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III уравнения в характеристиках иьгеют вид (7). В этом случае производная система записывается так: дт_?(р) да да _ _ ,, . <?т dv ~ р ди ’ dv ~~ Ч ди ' u ’ Для этого наиболее важного в приложениях случая мы приведем, следуя М. М. Лаврентьеву [7], гео- и I + А/ можно принять метрический вывод произ- водной системы. Рассмот- рим криволинейный прямо- угольник, переходящий при отображении f = и iv в малый квадрат со сторона- ми длины h, параллельными осям и и v; пусть I ~ ph и т ~ qh— его стороны, при- мыкающие к точке z, а I + + А/ и т -j- Ат — парал- лельные им стороны (рис. 30). С точностью до малых высших порядков стороны I дуги концентрических окруж- ностей; тогда из рис. 30 видно, что / + ~ Г + т I ~ г 1 1 и где г = у—радиус кривизны дуги I. Но кривизна k~---(у нас на рис. 30 Aia<0), следовательно, А/ ~ —mAia, и подставляя значения I ph, т ~ qh, деля обе части на h2 и переходя к пределу при Л —0, мы получим др ____ да dv Q ди ‘ Если теперь подставить р = е~х, то получится первое уравнение (14). Далее, приращение Ат стороны т происходит за счет приращения Ага угла а на участке т, и с точ- цостьщ до малых высших порядков Am « / Ага. От-
§ 111 НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 103 сюда р и в пределе при h —► 0 мы получаем dq ______________________ да ди & dv Подставляя сюда q — q^p} и опять вводя т = —logp, получим второе уравнение (14). Для случая классических уравнений газовой дина- мики уравнения (14) были другим способом получены С. А. Ч а п л ы г и н ы м и носят его имя. Метод перехо- да от зависимости (%, у) ->• (и, и) к зависимости (w, v) —> (т, а) называется методом годографа, он по- лучил в гидродинамике и газовой динамике немаловаж- ные применения. Заметим, что в частном случае несжимаемой жид- кости, когда q(p) s р и q'(p) = 1, система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Ко- ши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае т — la = log (z) 14- i arg f'(z), где f — комплексный потенциал, является аналитической функцией как от z, так и от w=f(z). Таким образом, переменные (т, а) и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смыс- ле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли произ- водных систем в общей теории нелинейных квазикон- формных отображений. В заключение несколько слов о трудностях, связан- ных с применением метода годографа и его обобще- ния — метода производных систем. Основная трудность состоит в том, что в большинстве задач область в плос- кости годографа неизвестна. Далее, уже в простейшем случае несжимаемой жидкости, функция Logf(z) имеет особенности в критических точках потоков (где скорость обращается в нуль). Кроме того, переменные (т, а) рассматриваются в зависимости от (и, v), а не от (х, у) этот переход требует взаимной однознач- ности отображения (х, у) —> (и, о). Переход от системы (10) к линейной системе (13) требует взаимной одно- значности отображения (u, и) —► (т, а). В случае урав- нений газовой динамики, а тем более — общих нели- нейных систем, проверка этих условий может быть
104 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III довольно затруднительной. Математическое изучение всех особенностей, которые встречаются на пути приме- нения метода производных систем, еще далеко не за- вершено. §12. Вариационные принципы Эти богатые как математическими, так и механиче- скими 'приложениями принципы показывают, как ме- няются конформные (или квазиконформные) отображе- ния при малом изменении отображаемых областей. Основной принцип. Сформулируем один из таких принципов для случая конформного отображения об- ласти типа полосы. Пусть D = {у<,(х) <.У<.у(х)}— область, ограниченная двумя гладкими кривыми Го: у = у0(х) и Г: у = у(х), —оо < % < оо, и f — ее конформное отображение на полосу А — {0 < v < 1} с нормировкой f(±oo) = +оо. Через Гл, 0 < h < 1, мы обозначим линию уровня v, т. е. кривую, переходящую при отображении f в прямую v = h. Рис. 31 Основной вариационный принцип утверждает, что если заменить Г кривой Г: у = у(х), расположен- ной частично или полностью ниже Г (но выше Го), и че- рез f обозначить конформное отображение области О — {уо(х) <у<у(х)} на ту же полосу А с той же нормировкой, то произойдет следующее (рис. 31): 1) все линии уровня опустятся, причем соприкосно- вение Гл и Гл возможно лишь в случае, когда деформа- ции нет, т. е. у(х) *=у(х);
§ 12] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 105 2) в любой точке z0 линии Го растяжение возрастет, т. е. I F'Uo) 1>1 Г (z0) I; (1) 3) во всех точках го линии Г, которые остались не- деформированными (если такие есть), растяжение уменьшится: 1№)1<1Г(г1)1 (2) (при этом знак равенства в (1) и (2) достигается толь- ко при отсутствии деформации); 4) в точках наибольшей деформации, где у(х} — — у(х) достигает максимума, растяжение также воз- растет: если г2 = х2 ф- iy(x2) и г2 = х2 ф- iy(x2) — та- кие точки, то I Г<22) 1>1 Л(г2) |. (3) Принцип допускает простую механическую трактов- ку: при вдавливании одной стенки канала все линии то- ка прижимаются к противоположной стенке, скорости течения в точках недеформированной стенки и в точках наибольшей деформации возрастут, а в точках первой стенки, оставшихся недеформированными, уменьшатся. Этот принцип выводится из принципа максимума для гармонических функций. Рассмотрим в D гармониче- ские функции v = Im f и v — Im на Го и в точках Г, оставшихся недеформированными, имеем v — v, а в точ- ках Г, отличающихся от Г, у нас v — 1, a v < 1. Та- ким образом, всюду на границе D, а значит, и в этой области v (z) > v (г); (4) отсюда следует утверждение 1). Утверждения 2) и 3) также получаются из неравенства (4), если заметить, что |f(z)| на границе можно рассматривать как мо- „ dv дуль производной в направлении нормали к гранич- ным кривым, и аналогично— |/'(г) |. В самом деле, так как все линии v = const при деформации опускаются, ,, dv dv ,, то на 1о имеем а в точках 1, которые
106 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III да dv „ л , остались на месте, -5—. Доказательство 4) осно- ’ дп дп ' вано на той же идее, но требует некоторых дополни- тельных построений (см. Л. и Ш., стр. 357). В такой качественной постановке принцип можно распространить на квазиконформные отображения, осу- ществляемые решениями сильно эллиптических систем, уравнения в характеристиках которых не содержат ко- ординат и имеют вид q — q(p, а), 8 = 8 (р, а). (5) В частности, мы получим тогда, что описанный выше за- кон изменения линий тока и скоростей течения в кана- ле при деформации его стенки полностью распростра- няется на газовые потоки со скоростью, нигде не до- стигающей скорости звука. Количественные уточнения. Доказанный принцип до- пускает и количественное уточнение. Для случая кон- формных отображений это уточнение получается не- сложно на основе формулы (8) § 10 для отображения полосы с выброшенной малой луночкой на полосу. Пусть область D близка к полосе {0 < у < 1} в том смысле, что ее нижняя граница Го совпадает с осью х, а верхняя Г имеет уравнение У = 1 — 6 (х), (6) где б(х) мала по абсолютной величине и достаточно быстро стремится к 0 при |х| —> оо (для приложений достаточно считать, что б(х) = 0 вне некоторого ко- нечного отрезка). Очевидно, что Г ниже прямой у = 1 там, где б(х) > 0, и выше, где <5(х) <0. Приближенно можно считать, что переход от прямолинейной полосы {0 < у < 1} к области D совершается в результате вы- полнения конечного числа локальных вариаций, при каждой из которых граница области меняется лишь на малом отрезке вблизи точки х = «/t. Для локальной ва- риации мы можем воспользоваться формулой (8) § 10, ибо с принятой точностью измененный участок границы можно считать дугой окружности. Складывая эти вариа- ции1), получим приближенную формулу для конформ- ') Это можно сделать на основании принципа локализации, о котором пойдет речь на стр. 107.
§ 12] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 107 ного отображения проварьированной полосы {0<г/<1} на полосу {0 < v < 1}: w «2 + ^-у-th fe=i я(г~ай) 2 где os — площадь проварьированного участка — счи- тается положительной, если мы продавили прямую у— 1 в окрестности точки ah вниз, и отрицательной, — если вверх. В пределе, когда верхняя граница области D пред- ставляется кривой (6), сумма заменится интегралом и мы получим приближенную формулу для конформного отображения на полосу {0 < v < 1} области, близкой к этой полосе: 00 + | j d^th^^-dt. (7) — 00 Эта формула дает возможность количественно оценить, насколько сдвигаются линии тока при нашей деформа- ции контура. Дифференцируя ее, получим формулу 00 гы~1+^- /ад СП 2 (8) по которой можно оценить, насколько при деформации меняются скорости. Особо отметим, что в случае локальной вариа- ции, когда верхняя граница полосы деформируется лишь в малой окрестности точки х = а, влияние такой вариации затухает по мере удаления от места вариации со скоростью где k > 0 — некоторая постоянная, а d—расстояние от проварьированного участка. Это утверждение называют принципом локализации. Для простейшего случая прямолинейной полосы оно вытекает непосредственно из формул (7) и (8); оно имеет место и для произвольных гладких областей ти- па полосы, причем постоянная k в общем случае зависит от геометрических свойств полосы (точнее, от постоян- ных, оценивающих снизу и сверху ширину полосы, а
108 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III также от верхних оценок для наклона и кривизны ее границ). Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно по- лучить и для квазиконформных отображений, осуще- ствляемых решениями сильно эллиптических систем ви- да (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие силь- ную эллиптичность системы. Они получаются значи- тельно сложнее, чем в случае конформных отображе- ний, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя. Отметим, что принцип локализации, по которому влияние локальных вариаций сильно убывает по мере удаления от места вариации, также распространяется на квазиконформные отображе- ния, осуществляемые решения- ми сильно эллиптических сис- тем. Другие области. Вариаци- онные принципы можно полу- чить и для других канонических областей: верхней полуплоско- сти, круга, внешности ' круга. Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматри- ваются односвязные области, содержащие фиксированную точку za, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозна- чается линия уровня при отображении f, т. е. прообраз окружности {| w | = р} при этом отображении; в частности, Г1 = Г —граница отображаемой области D (рис. 32). Если продеформировать область D, продавливая границу Г (или ее участок) внутрь D, то произойдут следующие изменения: 1) все линии уровня сожмутся, т. е Гр будет лежать внутри Гр для всех р, 0 < р < 1; 2) растяжение в точке го увеличится, т. е будет |Д(г0) | > (г0) |; 3) в общих точках Г и Г (если та- кие есть) растяжение уменьшится: |f(zi) | < |f (г() |. В дополнительном предположении, что контуры Г и Г
§ 121 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 109 звездны относительно точки z0, т. е. что они представ- ляются однозначными уравнениями г=г(ф) и г — — г(ф) в полярных координатах с полюсом z0, можно сделать еще утверждение: 4) в точках наибольшей де- г (<р) Г (<р) формации, где достигает своего минимума Л< 1, растяжение увеличится: | f'(z2) |>4*1 Г fe) !• Отправляясь от формулы (7) § 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принци- па. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ г = г (ф) = 1 — 6(ф), 0^ ф<2л, (9/ имеем |б|, |6'|, [6"| < е, где е достаточно мало. Тог- да с точностью до малых порядка выше е конформное отображение такой области на единичный круг с нор- мировкой ДО) =0, f'(0) > 0 задается формулой f(z) ~ z 2л 0 (Ю) При помощи дополнительного конформного отобра- жения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отобра- жение на единичный круг с нормировкой f(z0) = 0, f'(z0) >0. Рассмотрим еще область D с границей Г и для любой точки £ е Г обозначим через 6(g) отрезок нормали к Г, заключенный между Г и Г; будем считать 6(g) > 0, если этот отрезок лежит в D, и 6(g) < 0, если он лежит вне D. Будем считать область D близкой к D в том смысле, что для всех точек g е Г величины |6(g)|, |6'(g) |, |6"(g)| не превосходят фиксированно- го малого числа е. Тогда для отображения D на еди- ничный круг с юй же нормировкой f(z0) = 0, Г(2о) > 0
НО КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III справедлива приближенная формула 2л +М б'(‘> о elt — f (z) (Н) гдее»-|(О иб*(О = 1т)|Ж). Для случая локальной вариации, когда область D отличается от D лишь в малой окрестности точки Г, эту формулу можно записать в виде f(zww{i оз) где eitl! = f(^0) и о — площадь, заключенная между границами Г и Г. Из нее получается принцип локализа- ции в следующей форме: вблизи места вариации вариа- ция конформного отображения пропорциональна про- варьированной площади и обратно пропорциональна расстоянию до этого места. Вариационный принцип и его количественные уточне- ния, а также принцип локализации можно распростра- нить на квазиконформные отображения, осуществляе- мые решениями сильно эллиптических систем ви- да (5). Граничные производные. При изучении движений жидкости и газа наиболее интересным является опре- деление скорости вблизи границы области течения у об- текаемых тел. Поэтому для приложений особенно важ- но знать поведение модуля производной отображения на границе отображаемой области. Мы приведем здесь некоторые факты, относящиеся к этому вопросу. Прежде всего отметим условия, обеспечивающие су- ществование граничной производной. Пусть граница Г области D дважды гладка в окрестности точки и такова же граница Г* области D* в окрестности точки coo. Тогда производную f' конформного отображения об- ласти D на D* можно непрерывно продолжить на неко- торый участок границы Г, содержащий £0, и на этом ') Это означает, что в окрестности у; кривую Г можно предста- вить уравнением вида ? = С(0, где t — действительный параметр, £(/0) = £о и производные непрерывны в окрестности t0, причем ИО Ф 0.
§ 12] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 111 участке f'(£) У= 0 (мы считаем, что f(£0) = wo). Если же to — угловая точка Г и в ней смыкаются под углом ал, О < а < 2 (угол меряется со стороны области, рис. 33), две дважды гладкие граничные дуги, то для конформно- го отображения D на гладкую в окрестности точки wo = f(So) область мы имеем в окрестности £0: 1—а / 1—а' Г(г) = -^(г-?0) “ +o\|z-gol а . где а #= 0. Доказательство этих утверждений можно найти в книге Г. М. Г о л у з и н а [1]. Рис. 33. Отсюда, в частности, следует, что, если на границе области течения есть угол, направленный в сторону те- чения, где 1 < а < 2 (как в точке At на рис. 33), то в этой точке скорость течения бесконечна. В углах, на- правленных от течения, где 0 < а < 1 (как в точке А2 на рис. 33), скорость течения равна нулю. Покажем теперь, как получать приближенные выра- жения граничных производных для конформных отобра- жений областей, близких к данной. Остановимся на случае отображения f области {0 < у < 1 — 6(х)}, близкой к полосе, на полосу. Нам удобнее рассматри- вать обратное к f отображение g\ с той же точностью, что и в формуле (7), его можно представить в виде (14)
112 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III а его производную в виде оо g'W^l-T f --------,-r. (15) s / 4 J ,2n(w — t) -co ch’-------- В силу соотношения ch + aj = г sh а в точках w — = и1 граничной прямой у=1 имеем ch------------%—- = ,9 л (и — t) — — sir —2—- , следовательно, подынтегральная функция при t = и обращается в бесконечность второ- го порядка, интеграл расходится и формула (15) на прямой v = 1 неприменима. Формулу для граничной производной можно полу- чить, если воспользоваться понятием главного значения интеграла, т. е. понимать интеграл по оси х от функции Ф, обращающейся в бесконечность в некоторой точке а, а в остальном непрерывной, как со a—s 1Л 1 ф(х)с1х = Пт ф(х)(кф ф(х)г/х? 4 ц->оо 4 4 I е->0 “Ч а+г ' (здесь существенна симметричность пределов интегри- рования). В этом смысле, очевидно, оо J cth -п (и~ t} dt = 2и, (16) и поэтому формулу (14) при w — и 4- I можно перепи- сать в виде оо g (w) « w — j J [d (t) — d («)] cth —-ц2~ dt — uf> (u) (мы воспользовались соотношением th (-^- + a) = ctha^. Отсюда, дифференцируя и снова пользуясь (16), нахо- дим нужное выражение для граничной производной 00 g'W ~ 1 - Ь(и) + 4 J <и-. (17)
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 113 § 12] здесь интеграл существует в смысле главного значения, ибо 6(/) —6(и) при t — и имеет нуль не ниже первого порядка. Аналогичные формулы, также содержащие интегра- лы в смысле главных значений, можно получить для граничных производных конформных отображений на другие канонические области. Узкие полосы. Приведем еще одну формулу для граничной производной конформного отображения кри- волинейной полосы D == {0 < у < у(х)} на прямоли- нейную полосу {0 < v < h}. При этом мы будем пред- полагать, что число h мало, ширина у полосы D имеет порядок h, а производная у' столь мала, что величиной у'2 можно пренебречь в сравнении с уу". В силу принципа локализации приближенное вычис- ление граничной производной — локальная задача и, следовательно, мы можем заменить отображающую функцию первыми несколькими членами ее тейлоров- ского разложения. Без ограничения общности будем считать, что точке, в которой мы вычисляем производ- ную, соответствует точка w = ih, и запишем прибли- женное выражение функции, обратной к отображаю- щей: z = а -ф aw -ф bw2 -ф сел3. (18) Условие соответствия нижних границ полос — осей и и х — выражается в том, что все коэффициенты этого разложения действительны. Полагая в (18) w=u-i- -ф ih, получим параметрические уравнения границы по- лосы D: х = а — bh2 -ф (а — Зс/г2) и -ф Ьи2 -ф си3, у —ah — ch3 -ф 2bhu -ф 3chu2. Коэффициенты разложения (18) мы найдем, приравни- вая значения функции у и первых двух производных у = -Г, у’ —J— при и — 0 известным значениям у (ширина полосы), у' и у". Обозначив а — Зс/г2 = А, мы найдем a — cfi2 = -~-, Ь = ~, ЗАс-2Ь2 = -^, h ’ 2h 2Л
114 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III откуда для А получаем квадратное уравнение А2 + ^±Са--^==0. (19) Производная функции (18) в точке w = ih равна ~ |.h = а - Зс/г2 + 2bih = А (1 + »/'), откуда модуль искомой граничной производной । 1 = Т~37Т~ = —* # а V 1 + / I dw \ih С принятой точностью в (19) можно пренебречь вели- чиной у'2, тогда корень этого уравнения, конечный при малых h, будет А = - -^-тг + тХ-1/1 + 4 УУ" ~ т (1 “ V УУ"} 2пу 1 2hy V । з я» /г \ 3 / (мы воспользовались приближенным равенством j/l-j-a ~ 1 -j-справедливым для малых а). С той же точностью +iyy"\ (2°) Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться. Сильно эллиптические системы. Мы уже отмечали, что вариационный принцип и принцип локализации рас- пространяются на квазиконформные отображения, осу- ществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5): q = q(p, a), 0 = 6 (р, а). Как и в случае конформных отображений, это позво- ляет оценить растяжение на границах криволинейной полосы D ее квазиконформного отображения на пря- молинейную полосу Д (такое растяжение — аналог мо- дуля граничной производной). При этом предполагает- ся, что ширина полосы D заключена между некоторыми положительными постоянными и что тангенс угла на- клона ее границ и их кривизна также ограничены. В оценку рраничного растяжения входят геометрически?
§ 131 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 115 свойства полосы (границы для ее ширины, наклона и кривизны), а также постоянные и k2, характеризую- щие сильную эллиптичность системы: О < k, < 0R < л — k}, -5—k2 > О 1 р 1 дР$ (определение характеристик /?g, q$ и 0р см. на стр. 98). Пользуясь этими оценками, можно доказать такую теорему существования (см. М. А. Лаврентьев [4], гл. VI). Для любой сильно эллиптической системы вида (5) существует соответствующее ей квазиконформное ото- бражение криволинейной полосы D = {уо(х') < у < < у(х)} на прямолинейную полосу А = {0 < v < h}, если ширина D ограничена сверху и снизу, ограничены наклон и кривизна ее границ, а ширина h полосы Д до- статочно мала. Эта теорема доказывает, в частности, существование в полосе D установившегося течения идеального газа, если расход достаточно мал. При увеличении расхода такое течение будет существовать до тех пор, пока его скорость в какой-либо точке границы не достигнет ско- рости звука. § 13. Приближенные методы При решении конкретных задач гидродинамики для всех математических моделей (от установившихся дви- жений идеальной жидкости до неустановившихся дви- жений сжимаемой вязкой жидкости — плоских и с осевой симметрией) все большее и большее значение приоб- ретают приближенные решения. За последнее десяти- летие в этом направлении достигнуты особенно большие успехи благодаря созданным и освоенным электронно- вычислительным машинам (ЭВМ). Для большого класса задач гидродинамики разрабо- таны программы для численного решения этих задач на ЭВМ. Сущность метода состоит в редукции граничных задач для уравнений гидродинамики к задачам решения систем алгебраических уравнений, которые получаются, если частные производные заменить их конечноразност- ными приближениями, а граничные условия — условиями
116 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III в конечной системе точек на границе. Создана новая область — машинная математика со своими специфиче- скими приемами редукции «непрерывных» задач к ди- скретным, оценками точности, контролем в процессе счета. Для «сильно» устойчивых задач машинная ма- тематика достигла предельного успеха, однако осталось немало задач механики, где прямое применение число- вых методов не приводит к нужным результатам. Особо важными оказываются проблемы устойчи- вости решений граничных задач для уравнений — мате- матических моделей движений среды. Большое значение имеют также приемы грубых расчетов, которые могут дать возможность оценки характера искомого решения, а также дать количественную оценку устойчивости за- дачи. Приведем краткое описание некоторых приемов при- ближенного построения конформных отображений. Численные методы. Как мы видели, построение кон- формного отображения односвязной области D на кано- нические области сводится к задаче Дирихле. Поэтому мы остановимся на решении последней задачи: требует- ся определить гармоническую в D функцию и(х, у), принимающую на границе Г области заданные значе- ния. Разностный метод решения этой задачи состоит в следующем. В плоскости (х, у) строим сетку квадратов с шагом h и со сторонами, параллельными осям коор- динат. Пусть (хг, Уз)—один из узлов нашей сетки. Теперь положим в точке (хг-, г/;) д2и д ди 1 г / । 1 х / 1 #/) + + u(ai — h, y^ — uixt, z/y)] и аналогично ^у2 ~ дг [«(•*-£> УI “Ь К) 2и (xt-, у-ф- и (а,, уj /г)]. ,, гг * д2и , д2и „ Уравнение Лапласа аи = = 0 приближенно заменится разностным уравнением « (*г, У1) = 4 [«(*г + h, У!) + и {Xi — h, у,) + 4-ы(хг, у} 4- /г) + и (xi, ys—7г)]. (1)
§ 13] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 1 ]7 Оно отражает основное свойство гармонических функ- ций: значение и в каждом узле есть среднее арифмети- ческое ее значений в соседних узлах. Мы можем выпи- сать это уравнение для всех узлов (х,, z/j), расположен- ных внутри области D. Для узлов, расположенных от Г на расстоянии, меньшем h, мы можем считать значение u(Xi, yj) известным, приравняв его заданному значению и в точке Г, ближайшей к этому узлу. Таким образом, для определения и(х{, у,) мы получим систему линей- ных уравнений. Доказано, что при непрерывных заданиях и на Г эта система всегда разрешима и при Л—>-0 величина ы(хг-, z/j) стремится к соответствующему значению иско- мой функции. Система (1) при малых h содержит большое число неизвестных. Для облегчения ее решения существует несколько приемов. Среди них укажем метод Либ- мана, который является методом последовательных приближений. По этому методу сначала во всех узлах задаются произвольные значения u(Xi, у^. Затем по- следовательно обходятся все узлы, и в каждом из них значения исправляются по формуле (1) через заданные (или уже исправленные) значения в соседних узлах. Этот процесс последовательных исправлений можно облегчить, если изготовить специальные шаблоны с окошечками, в которых видны только нужные значения и. При довольно широких условиях на кривую Г и гра- ничные данные доказано, что при неограниченном по- вторении обхода узлов с исправлением значенийкаж- дая величина u(x,, z/;) будет стремиться к решению си- стемы (1) при фиксированном h. ' Описанный метод приближенного решения задачи Дирихле может быть распространен на линейные урав- нения второго порядка как в плоском, так и в прост- ранственном случае. Наряду с задачей Дирихле может быть также рассмотрена задача Неймана, когда на границе Г области D задана нормальная производ- ная или вообще некоторая линейная комбинация а(0 + ^ (?) V-• Заметим, что в этих постановках
118 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ill надо оговорить условия гладкости Г, а также некоторые ди дополнительные условия на . Вариационные методы. Эти графоаналитические ме- тоды основаны на вариационных принципах теории кон- формных отображений. Начнем с приближенного ре- шения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. Пусть сначала область D близка к кругу в том смысле, что в полярном уравнении г = 1—6(ср) ее границы Г функция 6 вместе с двумя производными не превосходит малое число е. Как показано в предыдущем параграфе, приближенное с точностью до е2 выражение для конформного отображения этой области на единич- ный круг с нормировкой f(0) = О, f'(0) > 0 имеет вид f(z) ~ Z (2) С гой же точностью для обратного отображения g = f~l круга {|w|< 1} на область/) имеем g-(ay) w 2л о eil + w elt — w dt (3) n •< g (w) , В пределах принятой точности ----------1 можно за- менить на log и тогда, отделяя в (3) действитель- ные и мнимые части, получим полезные формулы, кото- рые связывают полярные координаты соответствующих друг другу точек z = re‘(f' и w = ре!’е: {2л 1 - тгМ б (о -j——— dt 2л J 1 1 — 2р cos (/ — 0) + р2 о 2л ^e+iJ а ю -г-_ 22ррс:?(?~/>'+р» (4)
§ 131 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 119 При р — const эти формулы дают параметрические представления линий уровня Гр — прообразов окружно- стей {| w | = р}. Вторая из них применима и при р = 1: 2л Ф-0 + ^| 6(Octg-^-^, (5) о если интеграл в ней понимать в смысле главного зна- n . t-Q чения. Впрочем, если учесть, что интеграл от ctg—%— по отрезку [0, 2л] в том же смысле равен нулю, то по- следнюю формулу можно переписать так, чтобы в ней стоял обычный интеграл: 2л (Р"0+4г1 [б (0-6(9)] CtgЛ. (6) о В том же § 12 мы показали, что этим способом мож- но получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной: если область D близка к D в смысле близости второго порядка и f — конформное отображение D на единичный круг с нормировкой f (z0) = 0, f'(zo) > 0, то область f(D) близка к кругу, ее отображение /т на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция f — fi°f бу- дет отображать D на круг. Укажем еще процесс приближенного построения конформного отображения на круг областей достаточно широкого класса, основанный на той же ид^е Бу- дем предполагать, что граница Г рассматриваемой об- ласти D задается полярным уравнением г=г(ф), где функция г ограничена: 0<г0<г(ф) <rt и имеет две непрерывные производные. Фиксируем натуральное число п и построим п кри- вых к Г == гИф) = 2Г1 - 7[2/-1 — Г(ф)], Й = 1, 2, П. Если п достаточно велико, то кривая r= ri(cp) близка к окружности {|z| = 2Г1) и по формуле (2) мы сможем построить приближенное конформное отображение ft ее внутренности на круг {|га | < 1}. Кривая г = г2(ф) близкц
120 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III к г = г1(ф), и описанным выше приемом можно по- строить отображение /г ее внутренности на круг. По- ступая так же и дальше, мы через п шагов получим приближенное конформное отображение на круг задан- ной области D. Хотя точность этого процесса невелика, он оказы- вается удобным для прикидочных расчетов и построе- ний конформных отображений на круг ограниченных об- ластей. Описанные приемы распространяются на отображе- ния полос. Если полоса D = {0 < у < 1 —6(я)} близка к прямолинейной полосе в смысле близости второго по- рядка, то ее конформное отображение на полосу А — {0 < v < 1} приближенно выражается формулой 00 + 4 J d(0 th " 0 dt, — 00 (7) а обратное отображение — формулой g(w)~w — ~ J д(0th д (и,2 t} dt (8) — оо (см. предыдущий параграф). Последняя формула спра- ведлива в замкнутой полосе {0 v 1}, и полагая в ней w = и и w = и -f- i, мы найдем соответствие точек прямых v = 0, v = 1 и границ полосы Го, Г: 00 х ~ и - 4- f S (о th п(и~^ dt, — оо (9) х и — у J* д (0 cth п ^и~ dt\ — 00 последний интеграл надо понимать в смысле главного значения. При помощи этих формул можно, как и выше, на- ходить отображение на А полос, близких к таким, ото- бражение которых известно. Можно также построить процесс для приближенного конформного отображения
§ 13] приближённые методы (21 на А = {0 < v < 1} полос D = {0 < у < z/(x)} доста- точно широкого класса, для которых O</io^z/(x) -g; /ii и у', у" также непрерывны и ограничены. Фиксируем число див полосе у(х) <y<hi по- строим п кривых y=yk(x) = hl — ~[hi — у (х)]> 6 = 1,2.п. При достаточно большом п кривая у — У1(х) близка к прямой у = hi, и для отображения fi полосы {О < у < yi (х)} на А можно воспользоваться формулой (7). Функция fi преобразует кривую у = у2(х) в кри- вую, близкую к прямой v — 1, и значит, мы можем най- ти отображение f2 полосы {0 < у < у2(х)} на А. Про- должая процесс, через п шагов мы получим прибли- женное конформное отображение заданной полосы D на А. Пристрелочный метод. Этот метод основан на реше- нии так называемых некорректных граничных задач теории уравнений с частными производными. Пусть, например, требуется найти конформное отображение криволинейной полосы D — {0 < у < г/(х)} на прямо- линейную полосу А = {0 < v < 1}. Мы видим, что эта задача сводится к решению задачи Дирихле для урав- нения Лапласа д2е . д2з _____ дх2 ду2 (Ю) которому удовлетворяет функция v. Уравнение Лапла- са— эллиптического типа, и задача Дирихле яв- ляется для него корректной граничной задачей (ее решение существует, единственно и устойчиво, т. е. не- прерывно изменяется при изменении граничных дан- ных). Мы опишем другой метод решения задачи об отобра- жении, который основан на решении не задачи Дирих- ле, а задачи Коши для уравнения Лапласа, в которой на оси х задаются значения не только функции V, ио и „да ,, производной —. Хотя эта задача является некоррект- ной (она корректна для уравнений гиперболиче- ского типа, например, уравнения колебаний струны
122 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ill — ~ 0J > все же метод, на ней основанный, оказывается полезным для приложений. Для описания метода заметим, что в силу условий тл т-> do ди Коши — Римана , поэтому можно считать, dzz л что на оси х заданы значения растяжения или об- ратной к нему величины — характеристики р. Напом- ним еще, что в случае конформных отображений харак- теристики р и а связаны соотношениями dp = да да = 1 др .... do ” ди ’ dv р ди ' ' (см. производную систему (14) § И). Будем также счи- тать, что полоса D асимптотически близка к единичной, Рис. 34. т. е. существуют постоянные Auk такие, что для всех х |z/(x)-l (12) Перейдем к описанию метода пристрелки. Фиксируем натуральное число п и представим себе, что полоса А покрыта сетью квадратов со стороной/i——. Задача приближенного построения конформного отображения D на А с нормировкой f(±oo) — ±оо сводится к построе- нию в D сети криволинейных квадратов, которая покры- вает D, не выходит за ее пределы и при больших |х| близка к сети прямолинейных квадратов со стороной h. Зададимся положительными величинами pk, k = О, ±1, ±2...... lim pk=A, и покроем ось х отрезками [& |->ОО длины pkh так, чтобы соседние имели общие концы (рис. 34). Эти отрезки мы примем за основания криво-
5 13] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 123 линейных квадратов, боковые стороны которых ортого- нальны к оси х, а верхние наклонены к оси х под уг- лом ЧП==ТГ (pk+i — Pk) — мы использовали разност- ный аналог второго уравнения (11). Верхние стороны этих квадратов мы сгладим так, чтобы они образовали плавную линию уь при больших |х| близкую к пря- мой у = h. Над у1 построим вторую полосу криволинейных квад- ратов, боковые стороны которых ортогональны к yi, а верхние имеют длины p^h и наклонены к оси х под углом а®, где „(П _ „(О 4a=4l, + -!S±b-,— (13) Pk (Pfe" — Pk)~ MbI использовали разностный аналог урав- нений (И). Верхние стороны квадратов снова сгладим И получим ЛИНИЮ У2> при больших |х| близкую к прямой у = 2h. / Продолжая этот процесс, шерез п шагов мы получим линию уп и сеть криволинейных квадратов, которая при больших | х | почти точно покрывает соответствующую часть области D. В конечной части некоторые участки линии уп в общем случае окажутся выше границы Г об- ласти D, а некоторые ниже этой границы. Если квадрат с верхней стороной р{£} оказался выше Г, то мы умень- шим соответствующую величину pk, а если ниже — то увеличим; изменение pk будем делать пропорционально отклонению верхней стороны квадрата от линии Г. Таким образом мы получим новое распределение pk характеристик р и, отправляясь от него, повторим опи- санный процесс. Он даст новую линию уп (более близ- кую к Г, чем уп), по которой можно снова ввести по- правки к распределению характеристик ph и т. д. Можно организовать процесс так, чтобы верхние квадраты с данным номером k были попеременно то выше, то ниже линии Г, поэтому метод и называется пристрелочным. При плавных границах Г за несколько приемов можно получить достаточно хорошее приближение к искомому конформному отображению (см. рис. 34),
124 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. III Обобщения. Пристрелочный метод можно применять также для приближенного построения конформного ото- бражения ограниченных двусвязных областей на круго- вые кольца. Пусть такая область D ограничена двумя гладкими кривыми Го (внутренняя граница) и Г (внеш- няя) и требуется найти ее конформное отображение на кольцо {р0 < | w | < 1}. Число ро не задается, а должно быть определено в процессе решения задачи (см. Л. и Ш., стр. 160); мы можем задать еще точку <= Г, соот- ветствующую точке w = 1. Рис. 35. Фиксируем натуральное число п и на окружности {|и? | = 1} построим п криволинейных квадратов, внеш- 2л ние основания которых равны h = — (рис. 35). Зада- димся положительными величинами ph, k = 1, 2, ..., п, и на Г построим п криволинейных квадратов, внешние основания которых равны p^h, боковые стороны ортого- нальны к Г, а внутренние основания подсчитываются при помощи разностных аналогов системы 1 др __ да р др ____________ да р дд Р др ’ р др д0 ’ (14) которая представляет собой запись производной системы (12) в полярных координатах (р, 9) на плоскости w (см. Л. и Ш., стр. 25). Внутренние основания этих квадратов мы сглажи- ваем так, чтобы получилась замкнутая кривая уь На yi
ЛИТЕРАТУРА 125 снова строим кольцо криволинейных квадратов (как раньше строили на Г), получаем кривую у2 и продол- жаем построение. Через т шагов кривая ут будет пере- секаться с внутренней границей Го области D. Тогда мы выберем новое распределение величин р><, уменьшая их, если соответствующий квадрат попал внутрь Го, и уве- личивая в противоположном случае. По этому распреде- лению снова строим сеть криволинейных квадратов, за- тем еще раз исправляем распределение рь (при этом можно также уменьшать шаг /г), строим новую сеть и т. д. При достаточно большом п, повторяя процесс до- статочное число раз, можно получить хорошее прибли- жение искомого конформного отображения. Метод применим и для построения конформного ото- бражения на круг {|а»|< 1} односвязных ограниченных областей D. Здесь нужно, кром^т-очки соответствую- щей w — 1, задаться еще точкой"^, соответствующей w = 0, и организовать процесс так, чтобы боковые сто- роны квадратов сходились в одну точку г0. Последнее можно заменить условием, что на предпоследнем шагу кривая Ym-i, сглаживающая внутренние основания квад- ратов, близка к окружности малого радиуса с центром в точке г0. Важным достоинством метода пристрелки является его универсальность. С небольшими изменениями его можно применять для приближенного решения про- странственных задач гидродинамики с осевой симме- трией, вихревых задач, а также плоских и с осевой сим- метрией задач газовой динамики. Например, в случае плоских задач газовой дина- мики, сводящихся к квазиконформным отображениям на полосу {0 < v < 1}, изменение описанного выше про- цесса состоит лишь в том, что вместо квадратов строят- ся прямоугольники со сторонами pkh, q^h, а система (14) заменяется более общей системой (14) из предыдущего параграфа. Литература 1. Г. М. Гол уз ин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, изд. 2-е, «Наука», М., 1966. 2. Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и ми- нимальные поверхности, ИЛ, М., 1953.
126 КОНФОРМНЫЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. Ш 3. В. Коппенфельс и Ц. Штальман, Практика конформных отображений, ИЛ, М., 1963. 4. М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, Изд-во АН СССР, М., 1962. 5. Л. И. Волков некий, Квазиконформные отображения, Львов, 1954. 6. Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, ИЛ, М„ 1968. 7. М. М. Лаврентьев, Об одной краевой задаче для гиперболи- ческой системы, Матем. сб. 38(80) : 4 (1956), 451—464.
Г л а в a IV КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ Сверхзвуковым течениям посвящено большое коли- чество работ как теоретического, так и прикладного ха- рактера, в которых решено много важных задач; осо- бенно плодотворным оказалось применение электронных вычислительных машин. Тем. не ‘менее многие явления, связанные с движениями со скоростями выше звуковой, остались неисследованными. Особенно мало изучены движения, у которых в одних зонах — скорости дозвуко- вые, а в других — сверхзвуковые. Здесь мы рассмотрим несколько значительно более простых для исследования моделей систем уравнений с частными производными, на которых видны некоторые явления, присущие уравне- ниям газовой динамики в сверхзвуковом и переходном режимах. § 14. Гиперболические конформные отображения Мы начнем с краткого описания основных задач, свя- занных с /i-конформными отображениями, которые пред- ставляют собой гиперболический аналог обычных кон- формных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными произ- водными. В то время как конформные отображения свя- заны с простейшей эллиптической системой — системой Коши —Римана, /i-конформпые отображения связаны с простейшей гиперболической системой ди_ i3t> ди ____dv . . дх ду ’ ду дх ‘ '
128 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Условия отобразимости. Под h-конформными отобра- жениями мы будем понимать взаимно однозначные ото- бражения f — и iv, удовлетворяющие системе (1). Как мы видели в гл. II, такие отображения допускают представление вида и = Ф (х + у) + ф (х — у), V - ф (х + у) — ф (х — у), (2) где ф и ф — произвольные гладкие функции одного пере- менного. Якобиан таких отображений / (х> lJ} = д (х’ у) = 4q/ (х + (х ~ может обращаться в нуль лишь на прямых х ± у = — const — характеристиках системы (1). В отличие от системы Коши — Римана якобиан решений системы (1) может менять знак на характеристиках, и тогда эти ха- рактеристики будут линиями ветвления — картина каче- ственно отличается от аналитических функций, которые могут иметь лишь точки ветвления. Теорема Римана о существовании конформных ото- бражений на /i-конформные отображения не распростра- няется. Дело в том, что, как видно из формул (2), /г-кон- формные отображения переводят характеристики систе- мы (1) снова в характеристики: и + v = 2ф (х у), и — v — 2ф (х — у), поэтому при х ± у — const мы имеем и ± v = const. При этом пара горизонтальных характеристических сек- торов (заштрихованы на рис. 36) в случае положитель- ного якобиана переходит в такую же пару секторов (как на рис. 36), а в случае отрицательного якобиана — в пару вертикальных секторов. Для взаимно однознач- ных отображений якобиан не может менять знака, по-
§ 11] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 129 этому граница Г области и граница Г* ее образа при й-конформном отображении должны быть расположены относительно характеристик все время одинаково (в слу- чае / 0) или все время различно (если /^0). По- этому, например, нельзя й-конформно отобразить круг на полуплоскость, ибо граница круга переходит из од- ной пары характеристических секторов в другую, а гра- ница полуплоскости все время остается в одной паре секторов. Области типа полуплоскости. Тем не менее, области, которые одинаково расположены относительно характе- ристик, оказываете^/возможным й-конформно отобра- жать друг на друга. Рассмотрим, например, задачу об отображении на полуплоскость области D типа полуплос- кости, ограниченной гладкой кривой Г = {у = у(х)}, для которой всюду |/(х) | 1, причем равенство может до- стигаться лишь в изолированных точках (условие одина- ковости расположения относительно характеристик) и, кроме того, Г при ± оо ни с одной стороны не при- ближается асимптотически к характеристикам. Мы докажем сейчас, что такую область можно й-кон- формно отобразить на верхнюю полуплоскость, и при- том бесчисленным множеством способов; именно можно еще задать возрастающее и гладкое соответствие точек Г и действительной оси. В самом деле, отображение f~\ обратное к искомому, также удовлетворяет системе (1), поэтому его можно представить в виде -^=<Р1(« + о) + Ф1(и —о), У = Ф1 (и + о) — ф! (и — у). (4) Пусть еще соответствие точек Г и оси и задается функ- цией х = Х(«); у нас Х'(м)^ 0 и равенство может до- стигаться лишь в изолированных точках. При v — 0 мы должны иметь Х(ы) = <₽1(м) +ф1(«), z/[A(u)] = ~<pi(u)— ф1(н), откуда находим Ф> (и) =у{Л(м) + у [Л («)]}, ф1(«)=у{Л(«)-//[Л(М)]}. (5) Правые части этих формул — известные дифференци- руемые функции, а их производные у {1 ± у'\к (м)]}Л'(и)
130 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV по условиям неотрица. ’ызы и могут обращаться в нуль лишь в изолированных точках. Следовательно, обе эти функции строго возрастают на всей оси и. При и —» + оо они стремятся соответственно к ± оо, ибо если хоть одна из них стремится к конечному пределу, то, как видно из (5), кривая Г асимптотически приближается к характе- ристике. Поэтому соотношения х -ф у — 2<pi(и -ф о), х — у — = 2-ф[ (и — и) можно однозначно обратить, и мы полу- чим и -ф v — 2<р(х -ф у), и — v = 2ф(и—о), где <р и ф— возрастающие гладкие функции, отображающие всю ось на всю ось. Легко видеть, что определенное при помощи этих функций по формуле (2) отображение и является искомым взаимно однозначным отображением D на полуплоскость {и > 0} с заданным соответствием границ. Мы видим, что /i-конформные отображения (если они существуют) обладают гораздо большей неопреде- ленностью, чем конформные — вместо соответствия трех граничных точек можно задавать соответствие всей гра- ницы. Однако можно указать естественные дополнитель- ные условия, при которых число параметров, определяю- щих /i-конформное отображение, будет такое же, как для конформных отображений. Именно, предположим, что в принятых выше усло- виях существует предел при х—►— оо углового коэффи- циента касательной к Г: Нт у' (х)=а, — 1<а<Л. Х~> — ОО Тогда функция, отображающая D на {и > 0}, опреде- ляется с точностью до двух действительных параме- тров1) условием, что существует предел гиперболи- ческой производной ['(г) = их -ф ivx (см. гл. II) при х->—оо, независимый от пути, по которому точка г = х-ф iy удаляется в —оо. Легко видеть, что условие существования предела f' при х -* — оо эквивалентно условию существования пре- делов производных <р( и ф[ функций (5) при и —► — оо. ') Число параметров здесь равно 2, а не 3, ибо бесконечные гра- ничные точки отображаемых областей соответствуют друг другу.
§ 14] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 131 Но на характеристике и v = и0 имеем ф' («+о)=ф[(и0), значит, независимый от пути lim ф[ (и) = <р[ (иЛ может W-> — оо существовать лишь в том случае, когда ф{ (u)=£=const. Но тогда ф1(«) = ku-{-b и (5) дает соотношение ' у [А, (и)] + Л(н) — 2ku + 2b, из которого в силу наших предположений однозначно определяется функция А (и). Эта функция монотонно возрастает от — оо до оо, когда и меняется от — оо до оо. После того, как А, (и) найдена, второе уравнение (5) определяет функцию фь также возрастающую от — оо до оо, причем так как л (и) — 1 + а ПРИ и —* — оо,1 то существует lim ф' = lim -—у — & * а . Наше утверждение доказано. Прообразы «линий тока» v = р0 при произвольном ft-конформном отображении D на {и > 0}, вообще гово- ря, сильно пульсируют на \ бесконечности, так что ка- - ________ / „ сательная к ним не имеет \________________ / _ предела при х~*—оо. --- Однако в случае, если — г касательная к Г имеет предел при —оо, Рис. 37. существуют и отобра- жения, для которых такой пульсации нет (рис. 37), и их оказывается столько же, сколько и конформных ото- бражений. Области типа полосы. Аналогично обстоит дело с й-конформными отображениями на полосу {0 < и < 1} областей типа полосы, которые ограничены гладкими кривыми Го: у = Уо(х) и Г: У — У(х), где функции у0 и у для всех х, — оо < х < оо, удовлетворяют условиям ^0W<^iW- l/WKl. причем равенства могут достигаться лишь в изолиро- ванных точках.
132 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Любую такую область D, границы которой не при- ближаются асимптотически к характеристикам, можно /i-конформно отобразить на полосу {0 < v < 1}, причем можно задать соответствие границ на некотором участ- ке Го, зависящем от вида области D. Для доказательства прежде всего заметим, что Го можно считать совпадающей с осью х. В самом деле, по предыдущему, область, лежащую выше Го, можно /i-конформно отобразить на верхнюю полуплоскость {а > 0}. Из формул (5) нетрудно вывести, что Г при этом перейдет в кривую Г*: а = а*(м), для которой а*(«)>0, |а' (м)|^1 (с равенством в изолированных точках) и которая не приближается асимптотически к характеристикам. Если мы сумеем построить Л-кон- формное отображение на полосу области, ограниченной осью и и кривой Г*, то композиция этого и предыдущего отображений будет /i-конформно отображать D на по- лосу. Итак, пусть D = {0 < у < у(х)}\ будем искать ото- бражение в виде (2). Из условия, что а = 0 при у = 0, получаем тождество ф(х)=ф(х), и, следовательно, иско- мое отображение имеет вид и = <р (х + .у) + <р (х — у), v = ф (х + у) — ф (х — у). (6) Условие соответствия Г и прямой а = 1 приводит к то- ждеству ф[х + у(х)] —ф[х —г/(х)]= 1. (7) Обозначим х — у(х) =t(x); так как у нас 1— у'(х)^0 с равенством в изолированных точках, то t(x) строго возрастает и имеет обратную функцию х = х(/), кото- рая, как нетрудно проверить, отображает всю ось на всю ось. Отсюда видно, что определена строго возрас- тающая на всей оси t функция x(t) + у[х(0] = А(0, и, следовательно, тождество (7) можно переписать в виде ф[М0>ф(0+ ь (8) Покажем, как из этого функционального уравнения определяется функция ф. Рассмотрим последователь- ность значений к: ко = 0, Xn = X(Xn_i), п = 0, ±1,
§ 14] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 133 ±2, ... (рис. 38); так как у нас k(t)—t = 2 £/(%)> О, то эта последовательность строго возрастает и Хп —► ±оо при п-> ± оо. Зададим теперь на отрезке [Хо, Xi] в каче- стве ф произвольную гладкую функцию, удовлетворяю- щую, .условиям ф(Х1) = ф(Х0) + 1, ф'(А<1) л.'(А.о) = ф'(Л.о). (9) При t, меняющемся от Хо до Xi, значения Х(0 меняются от X] до Хг, поэтому тождество (8) позволяет продол- жить ф на отрезок [Xi, Хг]; условия (9) обеспечивают не- прерывность и гладкость такого продолжения. Теперь, меняя t на [Xi, Х2], мы таким же способом продолжаем ф на отрезок [Хг, Хз] и т. д. Ес- ли менять Х(/) на отрезке [Хо, Xi], то t будет меняться на [Х-i, Хо] и тождество (8) позволит продолжить ф на этот последний отрезок. Ме- няя в нем Х(/), мы таким способом продолжим ф на [Х-2, Х-1] И т. д. Конечно, вместо [Хо, Xi] в качестве начального можно М) Рис. 38. брать любой отрезок [Х„, Xn-i]. Мы видим, что на таком отрезке функцию ф можно задавать произвольно (с со- блюдением условий (9), точнее — их аналога для лю- бого п)-, а тогда уравнение (8) позволит продолжить эту функцию на всю числовую ось. Если после этого по- строить отображение по формулам (6), то нетрудно про- верить, что оно и будет искомым. Эта задача, как и предыдущая, оказалась существен- но более неопределенной, чем аналогичная задача для конформных отображений: вместо одной действительной постоянной (у нас принята нормировка f(± 00)= + 00) она содержит произвол в задании отображения на целом отрезке. Но по-прежнему этот произвол можно снять, если наложить ограничения на асимптотическое поведе- ние отображающей функции, которые сводятся к устра- нению излишних пульсаций в бесконечности. Предположим, что Г при х-*-(-оо имеет горизон- тальную асимптоту у — Ь, и покажем, что /г-конфбрмное
134 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV отображение D на полосу {0 < v < 1} с точностью до сдвига определяется условием существования предела при х -* + оо гиперболической производной этого ото- бражения. Из формул (6) видно, что такой предел существует тогда и только тогда, когда существует lim q/(x). Что- Х-»оо бы вычислить этот предел, заметим, что для всех х У(х) у(х) J Wdy = ^ ^'(х + г/Э + фДх —z/)]dz/ = l; о о если существует lim ср' (х) = В, то переходя здесь к пре- Х-> °° делу под знаком интеграла, получим 2В&=1, т. е. В=-^ . Далее, дифференцируя тождество (7), находим <р'[х-у (х)] = ф' [х + у (х)] * * . (10) Заменяя здесь х на Xi такое, что Xj — у(х{) — х ф- у(х), получаем ф' [X + у (х)] == ф' [х1 — у (Xj)] = ф' [Xj + у (х,)] j • Аналогично, заменяя xt на х2 такое, что х2— у(х2) = = Xi ф- y(Xi), будем иметь ф' [xi + У (Xi)] — ф' [х2 + У (х2)] • Продолжая это рассуждение, мы строим последователь- ность точек хп‘ х0 = х, хп — у(хп) = хп-{ +у (x„-i), п=1, 2........... выписываем для k = 2, 3, ..., п соотношения, аналогич- ные предыдущим, и объединяя их, находим п Ф' [X - у (х)1 = ф' [х„ ф- у (х„)1 П • _1.Л. * у \ль) Последовательность хп, очевидно, неограниченно воз- растает. Поэтому если lim q/(x) =-Jr существует, то Х->°0
§ 141 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОЙФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 13э переходя к пределу при п->оо, получим ОС <Р'[Х-//(%)]= Пг-77^) ’ (11) а=о х ’ причем бесконечное произведение справа сходится. Та- ким образом, производная <р'(х) вполне определена для всех х и, значит, функция <р определена с точностью до постоянного слагаемого. Наше утверждение доказано. Влияние вариации границы. В предыдущей главе мы говорили о том, что влияние вариации границы отобра- жаемой области на конформное отображение быстро (по экспоненте) убывает по мере удаления от места вариа- ции. Этот эффект лежит в основе вариационных методов и вывода приближенных формул теории конформных отображений. Он присущ решениям не только системы Коши — Римана, но и других систем эллиптического типа. Легко видеть, однако, что для простейшей системы гиперболического типа — системы (1) эффект не имеет Рис. 39. места: влияние границы распространяется по характери- стикам без затухания внутрь области. Рассмотрим для. примера /ьконформное отображение на верхнюю полу- плоскость области, которая получается из верхней полу- плоскости выбрасыванием треугольника (рис. 39). Если ограничиться отображением без пульсаций на бесконеч- ности, то в представлении (4) обратного отображения х — ф! (и + v) + ф, (и — о), у = ф! (и 4- v) — ф, (и — о)
136 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV одна из функций будет линейной; скажем, ср; (w) е= . Тогда угловым точкам х = ± а будут соответствовать точки и = ± а оси и; условие соответствия оси и и гра- ницы области в плоскости (х, у) позволит однозначно определить функцию фц I и |>а, Ф1 (и) = и — 2а 6 ’ Зи -о—а, При таком отображении прообразы «линий тока» v = »о будут выглядеть так, как показано на рис. 39. До первой характеристики х ф- у = — at выходящей из левой вершины треугольника (зона I), и после второй х — у = а, выходящей из правой вершины (зоны VI), они будут прямыми, параллельными оси х, — в этих зо- нах влияние треугольника не сказывается; то же будет в зонах II и III. В зонах же IV и V «линии тока» будут ломаными; в них влияние границы без затухания рас- пространяется в область. Эффект распространения влияния границы внутрь области по характеристикам присущ системам гипербо- лического типа. § 15. Модель уравнений газовой динамики Классические уравнения. Еще раз напомним уравне- ния плоских установившихся течений идеального газа: dv ________________ ди ду _______ ди ... ду Р дх ' дх Р ду ' ' В них и — потенциальная функция, v — функция тока, ар — плотность газа — известная функция величины скорости И — Vu\ + му! Для адиабатических режимов она имеет вид Р=(1 (2)
§ 15] МОДЕЛЬ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 137 / ср где у— постоянная, характеризующая газ у = —, от- \ Со ношению теплоемкостей при постоянном давлении и объеме). Вместо (2) газовый режим можно характери- зовать также заданием расхода W =рЕ = -ф v1 как функции от скорости V; для адиабатических режи- мов график этой зависимости показан на рис. 40. Интервал скоростей 0 < V < Vs = ~ф-фТ с00твет’ ствует дозвуковым течениям; здесь расход растет вме- сте со скоростью и система (1) имеет эллиптический тип. Интервал л Рис. 40. v J7 = г т т/ 2 — у f соответствует сверхзвуковым течениям, здесь при росте скорости расход падает и система (1) имеет гиперболический тип. Величина Vm— максималь- но возможная для данного газа скорость. Система (1) —нелинейная система уравнений с част- ными производными. При режиме (2) из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазили- нейное уравнение 2 \ / 2 \ ~ I U,, \ -2-^иХу + [1 --fUyy = 0, (3) XX -—- V2 — квадрат скорости звука 2 1 ГДе С=^ = 1----------2 (Р —давление); равенство V = с равносильно V=Va. Естественно, что это уравнение имеет эллиптический тип при V <VS и гиперболический при V > Vs ^его дискри- минант Д = (1-----2/(1-----fl-----Г“ =1-----г )• \ С/Х ъ ! ъ С* ] Математическое исследование системы (1) при адиа- батическом режиме (2) или — что то же самое — урав- нения (3) довольно затруднительно. Поэтому при
138 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV изучении качественных вопросов, связанных с течениями газов, естественно попытаться ввести некоторый фиктив- ный газовый режим так, чтобы, с одной стороны, макси- мально упростить математический формализм и, с дру- гой стороны, сохранить общий характер явлений. Выбор модели. Такого рода упрощения впервые сде- лал С. А. Чаплыгин, который еще в 1902 г. в своей знаменитой работе «О газовых струях» предложил счи- тать плотность зависящей от скорости по закону Р— К1 + V2 ‘ Это соответствует тому, что в формуле (2) показатель адиабаты у, который по физическому смыслу всегда по- ложителен и даже больше 1, принимается равным —1. Получаемый таким образом фиктивный газ называется газом Чаплыгина, соответствующее ему уравнение для потенциала имеет вид (! + “D - 2ихиуиху + (1 + «2) Uyy - 0. (5) Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. по- верхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыль- ных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвя- щена обширная литература и оно поддается исследова- нию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-пер- вых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозву- ковые течения, перемена типа в ней невозможна. По- строены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. Седова [2]. Можно было бы попытаться моделировать систему (1), заменив ее парой простейших систем соответствую- щего типа: для дозвуковых режимов — системой Коши— Римана, а для сверхзвуковых — системой, описывающей /г-аналитические функции. Однако такая модель слиш- ком груба, в ней разрывны основные характеристики течения. Качественные явления газовой динамики существенно лучше отражает модель, предложенная М. А. Лаврентьевым в 1955 г., в которой указанная лара простейших систем моделирует не саму систему
§ 15] МОДЕЛЬ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДЙНАМЙКЙ 139 (1), а ее производную систему (см. гл. III). Сверхзвуков вая часть модели была рассмотрена в работе М. М. Лаврентьева [7]. Мы введем эту модель, задав следующий фиктивный газовый режим: для дозвуковых течений будем считать газ несжимаемым и положим расход W равным скоро- сти V, а для сверхзвуковых течений положим -ф yj- = = 1, т. е. W = -у/ J/>2- 1 (6) для непрерывности придется считать, что «скорости зву- ка» соответствует Vs — ]/2 . График зависимости W — И7(У) для нашего режима изображен на рис. 41. Рис. 41. Сравнивая его с рис. 40, мы видим, что в окрестности звуковой скорости качественная картина зависимости сохранена. Правда, для очень больших скоростей харак- тер модели иной—для нее максимальная скорость Vm = оо, а расход всегда остается большим 1. Заметим, что зависимость у от давления Р, которая для адиабатического режима изображается кривой Р = = kpv (см. гл. I), в нашей модели изображается лома- ной, состоящей из двух звеньев: касательной к адиабате в точке Ро, где угловой коэффициент касательной к ней равен —1, и горизонтальной прямой р — 1 (рис. 42). В самом деле, из уравнений движения в форме (8) § 2
140 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV для установившихся безвихревых плоских движений __________________g / v2 \ _L2f.____ р дх дх \ 2 ) ' р ду ду \ 2 / мы получаем dP = — pd I -у I = — W dV. Отсюда для нашей модели при сверхзвуковых скоростях (У > из (5) мы получаем прямую Р = С- /У2 - 1 =С--~- и при надлежащем выборе постоянной интегрирования С эта прямая будет касаться адиабаты в точке Pq. При дозвуковых скоростях (У < ]/2 ) имеем W = V, т. е. р = 1 — на графике мы получаем горизонтальную пря- мую. и W , Для нашей модели р=у равна 1 в дозвуковом режиме (при V < ]/2) и равна ковом (1/ > ]/2"), поэтому У^У всверхзву- система (1) для нее имеет вид ди ___ ди ди ___ dv дх ду ’ ду дх ди __1А/2____ i dv ди __ дх ’ ду ’ ду При V |^2 , (7) _ |Л/2 _ 1 при V > у2 . Учитывая, что V — мы можем дифференциро- ванием исключить из этой системы функцию V. Для до- звуковых скоростей (V < ]/2) мы получим обычное уравнение Лапласа ихх + иуу — О' (8!) а для сверхзвуковых скоростей (У > |/2) уравнение ги- перболического типа 0 -«D“xx + 2w^ + (I -uD% = 0> (§2) похожее на (3). Эти уравнения можно объединить, и мы получим ихх + иуу~Ъ (и1ихх - 2ихи уиху + UxUyy) = °> (8) где 6 = 0 при и2 + w2 < 2 и 6=1 при и2 + и2 > 2. * А у к X у
§ 15] МОДЕЛЬ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 141 Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока: + Vuu-----;-------(VlcVxx + 2vxVuVxu + VlVuu) — °> (9) XX 1 yy J_ ___ 1 \ X XX 1 x у xy * у yyf ' ' yx ' vy 1 где 6 = 0 при v; + tP < 2 и 6=1 при V; + v2 > 2; оно * X у _ * x у также эллиптично при V < |^2 и гиперболично при V > /2. Рассмотрим теперь производную систему для нашей модели. В гл. III мы отметили, что для системы уравне- ний газовой динамики она имеет вид да ___ 1 др да _________ д' (р) др ди ~~ q dv ’ dv р ди ’ Uy vpp а = arctg —•, их модели q = р при Р — V ’ p>w В случае нашей и q — /1 — р2 при р < поэтому производная система запишется так: да 1 др да 1 др 1 ди р dv dv р ди при р>тт. да 1 др да 1 др [ (10) ди q dv dv q ди при Р<у^. Введем еще функцию от скорости: log V при V < 1^2 , ₽ = ₽(Ю = 1 1 (11) -у arccos-p- при V > у 2 где коэффициент b = 21qg2 подобран так, чтобы эта функция была непрерывной. Теперь уравнения для про- изводной системы примут вид ^- = >, = при V<V2, ди dv dv du г v ^- = &#-, при V>V2, ди dv dv ди г г » (12)
142 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV т. е. при дозвуковых скоростях будут совпадать с про- стейшей эллиптической, а при сверхзвуковых — с про- стейшей гиперболической системой (точнее, отличаться от нее несущественным постоянным множителем Ь). Геометрия модели. АЛ.Ы будем рассматривать три пло- скости: 1) плоскость течения z — хiy, 2) плоскость комплексного потенциала w — и -ф iv и 3) плоскость годографа скоростей со = Veia = g + it). Якобиан ото- бражения Z —* W /=Яттг=р(“НЧ)=р,'г=,,“7 всюду неотрицателен, следовательно, оно локально го- меоморфно при V#= 0 и всегда сохраняет ориентацию. В дозвуковой области функция w — w (г) аналитич- на, а со = w' (z) представляет собой антианалитическую функцию. В сверхзвуковой области решения нашей си- стемы допускают простое представление. В самом деле, из формул (12) вытекает, что =0 при JZ > ]/2 , откуда р = <р(« + и) + Ф(и — v), гДе <р и ф— произвольные функции, а тогда из (12) найдется и а; учитывая еще (11), найдем А. = cosb{<p (w + v) + ф (и—v)), а = b {<р (м-фу)—ф (м—о)}. (13) В сверхзвуковой зоне существенную роль играют ха- рактеристики системы. Для рассматриваемой модели в плоскости потенциала ими служат прямые и -j- v = с1г и — v = с2, а в плоскости годографа — линии = cos {ос — 2&ф (ct)}, А = cos {а + 2&ф (с2)}, т. е. прямые £cos26<p (cj -ф г) sin 26<р (с,) = 1, g cos 26ф (c2) — т] sin 2&ф (c2) = 1. На линии перехода V=|/2 характеристики двух се- мейств ортогональны друг другу, а при увеличении V угол между ними уменьшается (рис. 43, а). В классиче- ской теории характеристиками в плоскости годографа V ~ также (14)
§ 15] МОДЕЛЬ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 143 являются эпициклоиды, причем на линии перехода ха- рактеристики различных систем касаются друг друга (рис. 43, б). Якобианы отображений w —► со и z —> о _ d(g,n) <?(V, a) v ЗУ |рв М * д (V, а) д (и, v) др | а„ av | И • д (g, т]) д (и, у) _ .. ‘‘ д (u, v) д (х, у) 1 в дозвуковой зоне равны I d<t> I2 I w" (z) I2 | dco I2 . /1C4 ] = — -j— = — ,;, Л = — =— ® (z) 15) | di® I I w (z) | | dz | 1 ' '1 ' ’ и обращаются в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой зоне эти якобианы равны j = 4W2 Vv2 — 1 ф' (и + v) ф' (и — у), (1 о) /! = 4б2И4ф' (« + п) ф' (« — v); они могут обращаться в нуль и менять знак на харак- теристиках. В сверхзвуковой зоне легко представить через функ- ции ф и ф отображение w -> z плоскости потенциала на
144 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV плоскость течения. Прежде всего, из соотношений и2 м2 — у2 _ — ——у и — = tg а = tg b (ф — Ф) X г “у cos2 Ь (ф + ф) их 6 S '-г т/ мы находим cos Z> (ф — ф) cos b (ф + ф) их — _ Sln » <ф — Ф) У cos b (ф + ф) ’ а учитывая, что p = -у — ctg (ф + -ф), из системы (1) получаем __ sin Ь (ф — ф) __ cos Z> (ф — ф) Vx sin b (ф + ф) * Vy sin b (ф + ф) n , д (и, v} 1 Далее, так как у нас J = = sin & (Ф~+ф)^ z> (F+Ф) отличен от нуля, то можно перейти к производным об- ратных функций хи, ..., yv и тогда получим хи + xv~ cos2b(p, уа + yv = sin 2Ьф, хи — x„ = cos 2£>ф, уи — yv = — sin 26ф. Введем, наконец, новые переменные u-{-v = s, и — — V — t, так что хи + xv = 2xs, ..., и тогда интегриро- ванием найдем искомое представление: х = 2 u+o и—о J cos 2&<р dt + У cos 2Ьф di 1 У = ~2 и+о U—V У sin26(prf/— У sin 26ф dt о о + хо> (17) + Уо- Для простоты письма можно еще ввести функции С (ы) — У cos 2&<р (t) dt, о («) = У cos 2&ф (t) dt о и аналогично, с заменой cos на sin, функции S(u) и Si(«), а также положить Хо = уо = 0; тогда будем иметь С (и + а) + С) (и — п) S (и + v) — S, (и - а) х =------------о---------, У =-------------о----------• (1 °) 2 2
ПРИМЕРЫ СВЕРХЗВУКОВЫХ ЗАДАЧ 145 § 16] Из формул (17) легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Именно, вдоль характеристики первого семейства и -j- v = с: имеем §- = - tg 26ф (2« - Cj) ~ tg ab а вдоль характеристик второго семейства « — v = с2 = tg 2&ф (2н — с2) - tg a2. Отсюда и из (13) видно, что направление биссектрисы угла между характеристиками ^+^. = &{ф(2«-С2)-ф(2М-С1)} = а (19) совпадает с направлением вектора скорости; угол ме- жду скоростью и характеристикой (угол Маха) равен a? ^-?1 = b {ф (2« — с2) + ф (2ы — с,)} = &р. (20) § 16. Примеры сверхзвуковых задач Течение в канале. Рассмотрим в принятой модели простейшую задачу о сверхзвуковом течении в канале с плоскими стенками {0 < у < h}. Примем, что функция тока v равна 0 на нижней и 1 на верхней стенке, так что задача сведется к отображению полосы {0 < у < h} на полосу {0 < v < 1}. Из условия обтекания стенок получаем соотношения <j—b {ф(«)—ф(ы)}=0, а=&{ф(«4- 1)—ф(« — 1)}=0, (1) справедливые для всех ы, —оо < и < оо, из которых следует, что ф(«) = ф(н) и что ф — произвольная перио- дическая с периодом 2 функция. Условие того, что ско- рость V —сверхзвуковая (У>/2)> выражается нера- венством -j < b [ф (и + v) +ф (« — w)] < j , которое экви- валентно неравенству у < bq (и) < , — оо < и < оо.
146 КАЧЕСТВЕННЫЕ модели СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. IV С другой стороны, условие соответствия верхних бере- гов полос у (и, 1)= h по формуле (18) предыдущего па- раграфа записывается в виде u+l 1 h — у J sin 26$ (t) dt — J sin 2&<p (t) dt u-1 -1 (мы воспользовались тем, что у нас <р имеет период 2, и известным свойством интегралов от периодических функций). По теореме об оценке интеграла из преды- дущего неравенства мы по- лучаем условия для h: Если функция <р const, то в силу ее периодичности ф' непременно обращается в нуль, меняя знак; из фор- мулы (16) предыдущего па- раграфа видно, что тем же свойством обладает и яко- биан / отображения а/->со. В этом случае величина ско- рости V не может иметь пре- дела в бесконечности (тече- ние пульсирует). Поэтому единственным решением, для которого существует предел скорости в бесконеч- ности (пульсация отсутст- вует), будет решение с ср = = const, т. е. поступатель- ное движение газа. Тот же вывод относится и к течению в полуплоско- сти {у > 0}: если потребовать существования предела V на бесконечности, не зависящего от способа удаления точки в бесконечность, то единственным решением за- 1) Наличие нижней оценки для h связано с тем, что для нашей модели в сверхзвуковой зоне расход 117 1,
§ 16] ПРИМЕРЫ СВЕРХЗВУКОВЫХ ЗАДАЧ 147 дачи будет поступательное движение, для которого Ф = const. В этой же модели задача о сверхзвуковом течении в криволинейном канале {0 < у <_ у (%)} была решена М. М. Лаврентьевым [7]. Эта задача приводится к нелинейному функциональному уравнению, содержа- щему еще интегралы от неизвестной функции, которое решается методом последовательных приближений. Су- ществование решения доказано в предположении, что у'(х) достаточно быстро убывает при х—>— оо. Как и в простейшем случае прямолинейного канала, един- ственность доказывается в классе течений, для которых существует предел скорости при х->—оо. Обтекание угла. Пусть угол имеет вид, изображен- ный на рис. 44, причем уравнением участка AAt пусть будет y = f(x). Зададим на отрезке [О,Л] оси и функ- цию x — %(w), определяющую соответствие этого от- резка и участка AAt границы течения. Тогда на [0, h] определятся функции у(и) = /[х(п)] и tga = ^l7 V ...... 1 -------, (3) х' (и) cos бр V[x' (и)]2 + [у’ (и)]2 а следовательно, и функции а + 68 , 6В — а Ф = = (4) Зададимся скоростью Уо = sec 6р() (у < Ж < у) на бесконечности и тогда, ограничиваясь решениями без пульсаций, получим, что в зоне I = Ф = (5) т. е. движение поступательно. В зоне 1Ц значение ф не меняется и остается равным ф0 = , но значение ф на- чинает меняться по закону (4) — движение такого типа называется простой волной. В зоне П2 по-прежнему ф = фо, а функция <р определяется ее значениями на участке границы А1В/, снова предполагая, что в зоне III нет пульсаций, мы заключаем, что ф принимает здесь
148 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV постоянное значение (cci — угол поворота участка XiB], величина Pi опреде- ляется скоростью поступательного движения в зоне ///) — в зоне II? мы имеем, таким образом, поступа- тельное движение. В зоне //3 значение <р = фЬ а ф меняется по закону (4) — здесь мы снова имеем простую волну. В зоне 1Ц обе функции ф и ф меняются по закону (4), и мы имеем сложный поток, и наконец, в зоне III — поступа- тельное движение с <р = фь = 2Ь~- На рис. 44 приведены также образы рассматривае- мого течения в плоскости w комплексного потенциала и плоскости годографа со. Отображение z —>w гомео- морфно, a z—имеет ряд особенностей: зоны I, III и II2 поступательного движения переходят в точки, зоны П\ и Из простой волны — в дуги, и лишь зона сложного потока //4, вообще говоря, преобразуется в область. Функция х(и), задающая соответствие [О,А]—>ДЛ], в описанном решении остается произвольной — нужно лишь обеспечить, чтобы скорость V менялась в нужных пределах (И > ]/2), а это достигается простыми огра- ничениями, на которых мы не останавливаемся. Однако в газовой динамике обычно делают дополнительное предположение о том, что поворот потока в зоне //4 осу- ществляется простой волной. Тогда из бесконечного множества решений задачи останутся возможными только два: а) Простая волна ф = ф0 = Здесь, как видно из первого уравнения (4), ₽ = й)--у, (8) а так как а на участке AAi убывает, то |3 возрастает, а с ней возрастает и скорость V = -со~^-—мы имеем так называемое течение разрежения. Соответствие опре- деляется теперь однозначно по формулам, приведенным выше.
§ 171 ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 149 б) Простая волна ф=фо=Ц>—все аналогично слу- чаю а), только скорость убывает, и мы имеем течение сжатия. Если сделать еще предположение, что на первой ха- рактеристике АС (рис. 44) режим течения не меняется, то случай б) отпадет и мы будем иметь единственное решение. § 17. Задачи с переходом через скорость звука К числу важных и трудных проблем газодинамики относятся проблемы исследования движения, в которых есть как дозвуковые, так и сверхзвуковые зоны. Обычно рассматриваются задачи, в которых сверх- звуковые зоны появляют- ся у стенок — границ по- тока, или имеется линия, соединяющая границы те- чения, на которой дозву- ковое течение переходит в сверхзвуковое. К числу последних относится и следующая задача. Задача о сопле. Пусть имеется симметричная относительно оси х труба (мы рассматриваем плос- кий случай), которая до некоторого момента су- жается, а затем начинает расширяться (рис. 45). Если в ней имеется тече- ние с достаточно боль- шой дозвуковой скоро- стью Vo в — оо, то по ос- новному свойству дозвую в Рис. 45. течений сужение трубы приведет к увеличению скорости, она достигнет скорости звука, а после этого расширение трубы (по свойству сверхзвуковых течений) также поведет к увеличению скорости. Так устроены сопла для получения
150 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV сверхзвуковых течений. Задача состоит в том, чтобы рас- считать это течение и, в частности, найти линию ОВ пе- рехода через скорость звука. Здесь мы приведем некоторые соображения, связан- ные с решением этой задачи для модели течений, вве- денной выше. Пусть линия перехода ОВ в плоскости по- тенциала задается уравнением и = x(f); величины со стороны сверхзвуковой зоны мы будем отмечать чертой сверху. Мы предполагаем, что линия перехода — гладкая и что вдоль нее скорости дозвукового и сверхзвукового те- чений склеиваются непрерывно как по величине, так и т 1 по направлению. Тогда касательные производные р =у и а на линии перехода также будут непрерывными, а это записывается в виде: 0 = у' + ^Р- = ,,др~ ди ' dv ди * ~ dv ’ , д (1) да , . да _ да , , да ' ’ ди ' dv ди ' dv .Далее, на линии перехода мы имеем так что основные уравнения (10) § 15 дают у^д^ = да г ди dv f dv ди (2) ^2^- = -^-, = r du dv r dv du Используя эти соотношения и предыдущие, после про- стых преобразований мы получим др __ у,’2 + 1 др да __ _ х'2 + 1 да ,д. ди У,'2 — 1 ди ’ dv у'2 — 1 dv ’ др _ др __ 2%' др да ______ да __ 2%' да ,., dv dv у’г _ ] qu ’ gu gu у’2 — 1 gv Отсюда легко заключить, что в рассматриваемой мо- дели переход через скорость звука без разрыва произ- водных модуля или аргумента скорости невозможен. Этот факт отражает особенность нашей модели, он свя- зан с тем, что коэффициенты основных уравнений этой
§ 17] ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 151 модели при переходе через скорость звука меняются скачком. Следующий факт, по-видимому, имеет общий харак- тер; он показывает, как должна располагаться линия перехода через скорость звука в сопле. Именно, в плос- кости потенциала, а значит, и в плоскости течения, ли- ния перехода располагается до первой характеристики по направлению течения. Этот факт следует из того, что на всей линии пере- хода должно выполняться неравенство 1, (5) причем знак равенства может достигаться лишь в изо- лированных точках. Для доказательства (5) заметим, что условие воз- растания скорости на линии перехода дает —^-^0, -g-<0, откуда в силу (2) заключаем, что на этой ли- нии Из уравнений (3) теперь полу- чаем следующее: если в какой-нибудь точке линии пе- рехода, а значит, и в некоторой ее окрестности, было , , др др п бы х2< 1, то в этой окрестности -^-===-^- = 0, а тогда /г>\ да да л 1 т / л \ ” по (2) и-^-s-^-sO. Из (4) следует, что в нашей др др да да окрестностии — т- е- производные р и а остаются непрерывными при переходе через уча- сток линии перехода, а это невозможно по сделанному выше замечанию. Таким образом, на линии перехода всюду у'2 1. Равенство может достигаться только в изолированных точках, ибо если бы оно достигалось на каком-либо отрезке, то этот отрезок был бы отрезком характеристики; тогда из наших соотношений следо- вало бы, что на нем а = const, а это нельзя склеить с дозвуковым режимом '). *) В самом деле, тогда на отрезке границы области (дозвуковой зоны) аналитическая функция peia была бы постоянной, т. е. дозву- ковой поток был бы поступательным, со скоростью, равной скорости Звука в нашей модели.
152 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV Мы доказали, что на линии перехода всюду либо у/—1, либо х'^1, причем равенство может дости- гаться лишь на изолированном множестве. Покажем, что второй случай невозможен. В самом деле, дозвуко- вой режим определяет на линии перехода значения 1 - л. р=—-=г и а, а значит, и функции (р(и + ц), ф(« — п) на некоторых отрезках 0 и + v hi, 0 «— v h2 (й2<Л1). Так как по формулам (13) § 15 на отрезке [О,/ii] оси и должно выполняться условие а = b {<р (и) — ф (и)} = О, то на этом отрезке <р ф. Далее, на этом отрезке функ- ция р = cos 2£>ф («) (6, должна убывать, а значит, <р = ф возрастать. Но на ли- нии перехода <р(ц-]-п)4-ф(«-1>)==^-, (7) значит, на том ее участке, где ф s ф, дифференцирова- ние по v дает Ф' (« + а) __ 1 — х' ф' (и — о) 1 + х' Если бы на линии перехода было %' > 1, то из этого равенства следовало бы, что <р'(н-]-у) и <р'(и —у) раз- ных знаков, т. е. <р не может возрастать ни на каком отрезке [0, h] оси и. Противоречие доказывает утвер- ждение. Итак, доказано, что в плоскости w комплексного потенциала линия перехода ОВ должна располагаться левее первой характеристики ОС (см. рис. 45). Так как отображение z-*w локально гомеоморфно, то таков же характер расположения этих линий и в плоскости те- чения. Выясним теперь характер отображения плоскости потенциала w на плоскость годографа, которое соот- ветствует течению в симметричном сопле с переходом через скорость звука. В качестве плоскости годографа мы розьмем плоскость переменного Q = р /а, просто
§ 171 ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 153 связанного со скоростью со = Ие’®. Якобиан j* отобра- жения w—>й в дозвуковой области равен Г = (8) он здесь всегда неположителен и обращается в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой обла- сти этот якобиан /'* < 4Z?cp' (и + a) if' (н — v) (9) может обращаться в нуль и менять знак на характери- стиках. Из предыдущего анализа следует, что на линии пе- рехода О В имеем — ht и + v 0 и —h2 и — v О, где hi < h2. Так как у нас ф(« + и) = у+ ф(и_р) = 1_ А., (Ю) причем на линии перехода 0 = у log 2, а а=а опре- деляется дозвуковым режимом, то зная дозвуковой ре- жим и вид линии перехода, мы можем определить ср на [— /11,0] и ф на [— h2, 0]. Будем" двигаться по линии перехода от точки В к 0; при этом 0 остается постоянным, а а возрастает от не- которого отрицательного значения до 0 (как это видно из движения в дозвуковой зоне). Так как при этом воз- растают и и v и и — v, то, как видно из (10), функция ср возрастает, а ф убывает, причем ф (0)=ф(0)=-|-= Эти значения ф и ф, индуцированные дозвуковым те- чением, определяют сверхзвуковое течение в зоне I, где и ф- v 0 и u — v^.0 (см. рис. 45). Как видно из (9) и только что сделанного вывода, якобиан j* в этой зоне остается отрицательным, так что отображение w —♦ й на линии перехода продолжает быть локально гомео- морфным. При и > 0 из того, что а = 0 на оси, и вытекает условие ф(«)==ф(«). На некотором участке [0,h} оси и функция ф должна продолжать возрастать — это сле- дует из (6) и условия возрастания скорости на оси сопла. Предположим сначала, что h 2, тогда всюду в зоне //, где 0 < и ф- и <2 и u — v<ZO, имеем ф' >• 0,
154 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV if)' < 0, т. е. в этой зоне всюду /* < 0 и на первой ха- рактеристике якобиан знака не меняет. В этой зоне должна лежать линия OD, на которой а = &{ф(н-ф -ф и) — ф(н — о)} = 0 (отмечена точками на рис. 45). В самом деле, при любом фиксированном v функция а возрастает с ростом и, причем на первой характерис- тике ОС имеем а = &{<р(0) —ф(—-2г)} < 0, а на второй ОЕ имеем а — 6{ф(2и) — ф(0)} > 0. После второй ха- рактеристики, в зоне III, где и -ф v > 0 и и — v > 0, обе производные ср7 и ф' становятся положительными, сле- довательно, там /* > 0, т. е. якобиан меняет знак на ОЕ и там у отображения появляется складка: образ зоны /// накладывается на образ зоны // (см. рис. 45). Линия OD, таким образом, служит местом, где нарушается гомеоморфность рассматриваемого ото- бражения. Если h < 2, то в зоне // на характеристике и -фv == h появится дополнительная складка отображе- ния w—якобиан /* на ней изменит знак. Отметим, что в многочисленных примерах точных и приближенных решений задачи о симметричном сопле в классической теории (Лайтхилл, Ф. И. Франкль, С. В. Фалькович, Томотико и Тамада и др.) характер перехода через скорость звука именно таков, каким он оказался в нашей модели (при /г ^2). Полного решения задачи о сопле с доказательством существования и выяснением условий, обеспечивающих единственность, пока еще получить не удалось ни для классической теории, ни для упрощенной модели. Сверхзвуковые включения. Кроме рассмотренного случая перехода через скорость звука в трубах, когда линия перехода пересекает поток от стенки до стенки, в большом числе экспериментов наблюдаются смешанные (до- и сверхзвуковые) течения другого рода. Рассмот- рим' симметричную трубу с симметричными стенками, движение в которой мы для простоты будем рассма- тривать в плоской постановке. Если скорость Vx течения в бесконечности сравнительно невелика, то Движение во всей трубе остается дозвуковым. При увеличении Vx в ряде случаев сначала появляются не- большие сверхзвуковые зоны вблизи мест, где трубы сужаются, а в остальной части течение остается дозву- ковым.
§ 171 ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 155 такого рода течениями. Рис. 46. Приведем математическую постановку задачи, кото- рая возникает в связи с сформулируем ее в рам- ках описанной выше мо- дели смешанных течений. Дана область D типа полосы, ограниченная осью х и гладкой кри- вой Г с горизонтальной асимптотой. При заданной скорости в бесконечности V< У 2 требуется найти область Оь ограниченную дугой Г1 с: Г и дугой у с= D, имеющей общие концы с Г\ (рис. 46), так что: 1) в Do — D\Di отображение f в плоскость ком- плексного потенциала определяется системой Коши — Римана ди dv ди dv .... дх ~~~ ду ’ ду дх ’ ' ' причем скорость V = У и2х + и2 в бесконечности равна Vx, а всюду в Do не превышает ]/Т; 2) в D} это же отображение удовлетворяет системе ^=-yv^idv (12) дх ' ду ду ' дх ' ' причем всюду V > |^2 ; 3) поле скоростей непрерывно всюду в D; 4) отображение f гомеоморфно в D и преобразует D в полосу {0 < v < Н} с нормировкой f(±oo) = ±оо. Напомним, что системы (11) и (12) подобраны так, что их производные системы являются соответственно простейшими системами эллиптического и гиперболиче- ского типа. Для этой задачи можно провести качественное ис- следование, подобное тому, которое выше было прове- дено для перехода через скорость звука в сопле. В слу- чае классических уравнений газовой динамики такое ис- следование было проведено А. А. Никольским и Г. И. Тагановым [10], которые установили, что в рассматриваемой задаче отображение на плоскость
156 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ (ГЛ. IV годографа должно быть взаимно однозначным. Отсю- да, в частности, вытекает, что линия перехода у долж- на быть строго выпуклой (не может содержать пря- молинейных отрезков). Ряд результатов исследований сверхзвуковых течений можно найти в книге Л. И. Седова [2]. Однако в общей постановке сформулированная выше задача до сих пор не решена. Хотелось бы иметь ре- зультат, по которому при каких-либо (хотя бы и очень ограничительных) условиях на кривую Г обеспечива- лось существование постоян- ных Vo и Vi таких, что при < Voo < Vi в области D су- ществовало единственное тече- ние со сверхзвуковой зоной, Do -—У примыкающей к Г. Быть мо- рис. 47. жет, переход к упрощенной модели уравнений газовой ди- намики, которая предложена здесь, облегчает математи- ческий аппарат (в дозвуковой зоне можно пользоваться теорией конформных отображений, а в сверхзвуковой — простыми представлениями решений, которые даны в § 15), и для этой модели задачу удастся решить. Необходимость значительных ограничений на кри- вую Г видна из исследований Ф. И. Франкля и дру- гих, в которых для ряда случаев доказывается невоз- можность течений с местными сверхзвуковыми зонами без разрыва скоростей. С соображениями такого рода можно ознакомиться по книге Л. Берса [5]. В свете сказанного, естественно наряду с поставленной выше задачей, где поле скоростей остается непрерывным, рас- сматривать также течения со скачками скорости и дав- ления. Такие течения были рассмотрены в работах Ф. И. Франкля [11] и [12], где граница сверхзвуковой зоны состоит из линий перехода у и скачка уплотнения о (рис. 47). Поясним этот термин. Как известно, у эллиптиче- ских уравнений с гладкими коэффициентами и все ре- шения гладкие. Гиперболические уравнения не обла- дают таким свойством, например, решения уравнений второго порядка с гладкими коэффициентами могут иметь разрывы вторых производных на характеристи-
§ 17] ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 157 ках (см., например, Р. Курант и К. Фридрихе [4]). Кроме таких разрывов, называемых слабыми разры- вами, могут существовать разрывы другого рода, кото- рые называются скачками. Скачки (в двумерном случае, рассматриваемом здесь) представляют собой линии, на которых происхо- дит разрыв скорости, а значит — плотности и давления. Физически они реализуются в виде узких полосок весь- ма быстрого изменения скоростей, где выступает вяз- кость как существенный параметр, которым нельзя пренебрегать. Величины разрывов на скачке (т. е. раз- ностей предельных значений после скачка и до него, считая по направлению движения вдоль линий тока) не произвольны, они управляются гидродинамическими и термодинамическими факторами. Наиболее часто рассматриваются скачки, удовлетво- ряющие следующим трем условиям: 1) тангенциальная (по отношению к скачку а) составляющая скорости остается непрерывной при переходе через скачок; 2) остается непрерывным произведение плотности на нормальную составляющую скорости (это требование вытекает из закона сохранения массы); 3) плотность при переходе через скачок может лишь возрастать (следствие второго закона термодинамики). Такие скач- ки поэтому называются скачками уплотнения. При пе- реходе через них скорость движения может, следова- тельно, лишь упасть, в частности, сверхзвуковое течение может перейти в дозвуковое, но не наоборот. Подробнее о разрывных решениях уравнений газовой динамики можно прочитать в книге Н. Е. Коч и на, И. А. Кибе- ляиН. В. Розе [1]. Было бы интересно проанализировать течения со сверхзвуковыми зонами, заканчивающимися скачками уплотнения, в рассматриваемой здесь упрощенной до- дели уравнений газовой динамики. По-видимому, в этой модели можно дать более исчерпывающее исследова- ние, чем в классической. Задача о склейке. В заключение приведем еще один модельный вариант задачи о смешанном течении, рас- смотренный в статье М. А. Лаврентьева [13]. Пусть дана область D типа полосы, ограниченная гладкой кривой Го: у = Уо(х) с горизонтальной асимптотой и
158 качественные МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV ----------------------Г Рис. 48. прямой Г: у= 1. Требуется найти кривую у: у = у(х), Уо(х) < у(х) < 1 для —оо < х < оо, разбивающую D на две области Do и (рис. 48) так, чтобы существо- вали квазиконформные отображения fo и fi соответ- ственно Do и на полосы До = {—h < v < 0} и Aj = = {0 < v < 1}, сохраняющие бесконечные точки полос, причем fo в Dq удовлетворяет системе уравнений эллип- тического типа, a fi в D\—системе гиперболического типа; на у оба отображения должны совпадать. Для простоты формулировок бу- дем обозначать через D (уь у2) область типа полосы, ограни- ченную снизу кривой yt и сверху у2- Для произвольных систем эта задача, по-видимому, не- разрешима. Дело в том, что в эллиптической зоне Do влияние локальных вариаций границы у быстро затухает по мере удаления от места вариации, а в гиперболической зоне Dx эффект затухания отсутствует (см. §§ 12—14). Это обстоятельство может сделать поставленную задачу неустойчивой и в общем случае неразрешимой. Из этого затруднения можно найти выход, соответ- ствующий условиям, которые реализуются на практике. Он состоит в учете вязкости, под влиянием которой эффект локальных вариаций затухает по мере удаления от места вариации также и в сверхзвуковых течениях. В модельных постановках вязкость можно учитывать в форме какого-либо сглаживающего процесса, которому следует подвергать решения гиперболических систем. Например, пусть в описанной выше постановке fo — конформное отображение, a fi удовлетворяет в D-, ги- перболической системе (12); пусть V = V (х, у) и а = ==а(х,у)— характеристики отображения fi, а Уо и а0 = 0 — предельные значения этих характеристик при х-*—-оо. Сглаживающий процесс для отображения fi можно организовать, скажем, так. Заменяем характе- ристики V и а функциями V (х, y) = V0 + {V (а, У) - Ио) g-е(Г^+i-i) (!-</), а(х, г/) = а(х,
§ 17] ЗАДАЧИ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА 153 где 6 > 0 — малый параметр. Эти функции мы прини- маем, соответственно, за растяжение и наклон прообра- зов линий тока v — const и по ним восстанавливаем отображение fi области /)(у, Г) на полосу Ai, считая его близким к линейному при больших отрицатель- ных х. Для этого случая уточненная постановка задачи о склейке такова: найти в области D = D(To, Г) кри- вую у так, чтобы сглаженное процессом (13) квазикон- формное отображение области О(у,Г) на полосу Ai = — {О < v < 1} и конформное отображение области О (Го, у) на полосу Ао = {—h < v < 0} совпадали во всех точках кривой у, которая получается из у процес; сом сглаживания. Укажем процесс последовательных приближений для решения этой задачи, сходящийся в случае, когда Го близка к прямой у = — h в том смысле, что у0(х) -> —h при | х |-> оо со скоростью е~|х|, а |z/0(x)+ /г|, | у'о (х) | и | У о W | /(Л2, где /( — постоянное и число h мало- В качестве первого приближения примем за у —Yi ось х. Тогда f^(z) = z, для него JZ^l, а = 0 и сгла- живающий процесс не изменяет отображения. При кон- формном отображении /^области /)(Г0, у,) на Ао растя- жение К*1’ на у( будет отличаться от 1 на величину порядка h (см. § 12). В качестве второго приближения для у примем кривую у2 такую, что при конформном отображении Д(Г0, у2) на Ао растяжение на у2 всюду равно 1 (как мы. увидим в следующей главе, такая кривая у2 существует, единственна и отклоняется от У( на величину порядка Л3). Далее мы найдем квазиконформное отображение области О(у2, Г) на Дь сгладим его процессом (13) и- тогда на сглаженной кривой уг растяжение И2* будет отличаться от 1 на величину порядка /г2 и при |х|-> ->оо стремиться к 1 по экспоненциальному закону (так- же будет отличаться от 0 и наклон а). Теперь найдем кривую уз, чтобы на ней растяжение конформного ото- бражения /)(Г0, уз) было равно И(12) и т. д. Естественно ожидать, что этот процесс сходится к решению задачи
160 КАЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. IV о склейке, но доказательство, по-видимому, сопряжено с большими трудностями. В заключение мы приведем общую постановку, ко- торая естественно возникает в связи с рассмотренной выше задачей. В большом количестве явлений, наблю- даемых в гидродинамике, наряду с факторами, управ- ляемыми дифференциальными уравнениями, оказы- ваются весьма существенными и некоторые другие факторы. Поэтому представляется очень заманчивым построение теории классов отображений, описываемых не как решения тех или иных систем уравнений с част- ными производными, а скажем, заданных аксиоматиче- ски, по совокупности характерных свойств. Например, пусть задан класс Е односвязных обла- стей D с гладкими границами, который наряду с каж- дой областью Dq содержит и все области, которые по- лучаются из Da гладкими малыми деформациями. Пусть еще задан алгоритм A(D), который каждой области D е Е ставит в соответствие единственное при задан- ном соответствии трех пар граничных точек гомеоморф- ное отображение / области D на какую-либо канониче- скую область (круг, полуплоскость или полосу). Алго- ритм предполагается непрерывным, т. е. сопоставляю- щим близким областям D и близкие отображения f = A(D). Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = A(D) спра- ведливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяют- ся так, чтобы для соответствующих отображений влия- ние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые назы- ваются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений. Отображения, соответствующие алгоритмам с опре- деленными свойствами, можно рассматривать как ква- зиконформные отображения в широком смысле. Раз- витие такого аксиоматического подхода к теории квази- конформных отображений представляет значительный интерес, как с точки зрения самой теории, так и ее возможных приложений.
ЛИТЕРАТУРА 161 Л итература 1. Н. Е. К оч ин, И. А. К и бель, Н. В. Розе, Теоретическая гид- ромеханика, т. II, Гостехиздат, М., 1948. 2. Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат, М., 1950. 3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, Гостехиздат, М., 1953. 4. Р. Курант, К. Фридрихе, Сверхзвуковое течение и удар- ные волны, ИЛ, М., 1951. 5. Л. Берс, Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, ИЛ, М., 1961. 6. А. В. Бицадзе, Уравнения смешанного типа, ВИНИТИ, М., 1959. 7. М. М. Лаврентьев, Об одной краевой задаче для гиперболи- ческой системы, Матем. сб., 38(60), 1956, 451—464. 8. Б. В. Ш а б а т, Об аналоге теоремы Римана для гиперболических систем дифференциальных уравнений, Успехи матем. наук, 11 :3 (69), 1956, 203—206. 9. Б. В. Шабат, О гиперболических квазиконформных отображе- ниях (в сб. «Некоторые вопросы математики и механики», к се- мидесятилетию М. А. Лаврентьева, Новосибирск, 1970). 10. А. А. Никольский, Г. И. Таганов, Движение газа в мест- ной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потен- циального течения, Прикл. матем. н мех., 10 (1946), 481—502. 11. Ф. И. Франкль, К образованию скачков уплотнения в дозвуко- вых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями, Прикл. матем. и мех., 11 (1947), 199—202. 12. Ф. И. Франкль, Обтекание профилен газом с местной сверх- звуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, Прикл. матем. и мех., 20 (1956), 196—202. 13. М. А. Лаврентьев, Об одной задаче на склеивание, Сибир- ский матем. журн., 5 : 3 (1964), 603—607. 6 М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат
Глава V ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В предыдущих главах уже не раз говорилось об этих задачах в их классической постановке. Здесь мы про- должим разбор, причем наряду с классическими рас- смотрим и некоторые новые задачи. § 18. Парадоксы в схеме идеальной жидкости Парадокс подъемной силы. Напомним, что величина давления в установившемся безвихревом течении иде- альной несжимаемой жидкости определяется из инте- грала Бернулли: Р = Л-|1/2, (1) где А — некоторая постоянная, р — плотность жидкости, K = |V| — величина скорости течения (действием сил тяжести мы пренебрегаем). Пользуясь этой формулой, нетрудно вычислить результирующую силу давления, действующую на обтекаемое тело в целом. Так как дав- ление на контур у направлено внутрь по его нормали, то сила, действующая на элемент dt, контура, равна Pi dt = At dt - f V2i dt, а результирующая сила, действующая на весь контур: F = X + iY = ^Pidt=-£- ^V2dt (2) v v (мы учитываем, что интеграл от dt по замкнутому кон- туру равен нулю). Составляющая X вектора F назы-
§ 18] ПАРАДОКСЫ В СХЕМЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (63 вается лобовым сопротивлением, а У — подъемной си- лой. Преобразуем эту формулу, введя в нее комплексный потенциал f течения. Мы знаем, что вектор скорости V = Г (г); учитывая, что в силу условия обтекания кон- тура на нем У= Уе‘ф, где <р = argd£, получаем в точ- ках у V2 d£ = (Ш)2 e~2i* = (fW dl Подставим это в (2) и перейдем к комплексно сопря- женным величинам: мы получим классическую формулу С. А. Ч а п л ы г и н а (1910 г.): Р = Х-/У = 4/ (3) V Применим ее к простейшему случаю бесциркуляцион- ного обтекания круглого цилиндра. Здесь комплексный потенциал равен f(2) = Voo(z+^) (4) (где Vco — скорость на бесконечности), а его произвол- / П2 \ ная f' (z) = Ух 11 —jj-j. Подставляя это в формулу (3), мы приходим к парадоксальному результату: и подъем- ная сила, и лобовое сопротивление в этой задаче оказы- ваются равными нулю! Как мы сейчас убедимся, парадокс не исчезнет, если мы будем рассматривать бесциркуляционное обтекание произвольного замкнутого контура у. В самом деле, для любого течения во внешности у производная комплекс- ного потенциала f' течения должна быть аналитической функцией в этой внешности, а в окрестности бесконеч- ности должна иметь разложение вида /'(2) = ^ + -^ + -^- + ..., (5) где Voo — вектор скорости течения в бесконечности. Интеграл от f' по любому замкнутому контуру, охва- тывающему у, равен Г + iN, где Г — циркуляция, a V — поток через этот контур (см. гл. II). В нашем случае, 6*
(64 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ (ГЛ. V так как имеется обтекание у, то Vn — 0 вдоль у и, сле- довательно, N = j K„ds = O. v С другой стороны, как видно из (5), j* f'(z) dz — • 2nz v (так как по теореме Коши интеграл не меняется при из- менении контура вне у, мы можем считать, что он распо- ложен в той области, где (5) уже действует). Сопостав- , Г ляя эти два факта, мы заключаем, что с_1 = -й-г, и ин- тегрируя (5), получаем следующее разложение ком- плексного потенциала нашего течения в окрестности бесконечности: — Г с f(z) = Voez + c+logz--^r--; (6) здесь с — произвольная постоянная. Мы видим, что в отсутствии циркуляции (Г = 0) при обтекании произвольного контура у разложение в бес- конечности f' и (/')2 не содержит степени —. Поэтому интеграл в формуле Чаплыгина равен 0, и в этом случае парадокс сохраняется для любого контура. Условие Чаплыгина. Эти же выкладки показывают, что в случае циркуляционного обтекания произвольного замкнутого контура у в окрестности бесконечности [Г« = ^ + ^у + -^+... Подставляя это в формулу (3) и переходя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе (1904 г.) (7) Как мы показали в гл. III, комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра {|z|=/?} равен — v р2 г Г(г) = ^2+-^ + ^1о?г, (8)
ПАРАДОКСЫ В СХЕМЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 165 § 18) а критические точки потока — Г Фо arcsin > Ф1== л Фо (.9) (переход от рассмотренного там случая К» > 0 к рас- сматриваемому здесь элементарен). Общий случай об- текания произвольного контура у сводится к предыду- щему при помощи конформного отображения g внешно- сти у на внешность окружности {|£| = /?} с нормировкой g(oo)= оо, g'(<x>)= 1; величина R вполне определяется условиями нормировки. Подставляя в (8) g(z) вместо г, получим комплексный потенциал течения: f (z) = V^g (2) + log g (z); (10) полученное представление действует во всей внешности контура, а (6) дает разложение этой функции в окрест- ности бесконечности. Подсчитаем число параметров, определяющих это ре- шение задачи обтекания. Функция g и радиус R пол- ностью определяются видом обтекаемого контура у и принятыми условиями нормировки. Вектор скорости в бесконечности У*, остается свободным параметром — мы можем задавать его произвольно. Остается выяснить ситуацию с величиной циркуляции Г. Как видно из (9), эта величина полностью определится, если известен ар- гумент образа точки разветвления или схода потока при отображении g. В принципе эти точки можно задавать произвольно, так ,что Г также является свободным па- раметром. Однако в приложениях к авиации дело обстоит не так. Обтекаемый контур — профиль крыла самолета — здесь обычно имеет острую кромку, скажем, точку 20, с углом между касательными ал (0 а < 1), как на рис. 49. Как мы видели в гл. III, из этого вытекает, что производная g' отображающей функции обращается в этой точке в бесконечность. Отсюда, вообще говоря, следует физически невозможный вывод о том, что ско- рость течения в точке z0 бесконечно велика. Этот парадокс проанализировал С. А. Чаплыгин. Он ввел условие, что точка 20 является точкой схода по- тока— как показывает простой подсчет, при этом
166 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI условии скорость оказывается конечной. В самом деле, в окрестности точки z0 мы имеем &=g(z)^A(z—z0)2-“ + 4- £о, и следовательно, ^==g'(z)~ fi(z-z0)^ (А и В — некоторые постоянные, £0 = g(z0)). Но как видно из решения задачи об обтекании круглого ци- линдра в гл. III, производная комплексного потенциала w — w(^) имеет в точке £0 нуль первого порядка, т. е. в окрестности этой точки С (£— £0), где С — по- стоянная. Тогда в окрестности z0 по правилу дифферен- цирования сложных функций , «-1 д Иг) = ~ ВС ~ (2 ~ 2о) - ABC (z -z0) 2-“, и эта производная действительно конечна в точке z0. Гипотеза Чаплыгина достаточно хорошо оправды- вается на опыте. По-видимому, это объясняется тем, что если точка схода не совпадает с острием, то вследствие очень больших скоростей вблизи этой точки при сколь угодно малой вязкости образуются вихри, которые и сме- щают точку схода к острию (подробнее мы рассмотрим это явление в гл. VII в связи с задачей обтекания тел струями). Следствием гипотезы Чаплыгина является то, что циркуляция Г перестает быть свободным параметром задачи — ее величина определяется по формуле (9), если точка £о = е’фо известна. Значит, по формуле (7). опре-
4 19) ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ ЗАВИХРЕННОСТЬЮ 167 делится и величина результатирующей силы, которая действует на крыло: I ^1 = рКмГ. Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах. Заметим, однако, что проблема устранения парадок- сов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмо- трим в дальнейшем изложении. Пространственный случай. В заключение отметим, что способ устранения парадокса нулевой подъемной силы, который был описан выше, в пространственных за- дачах неприменим. Рассмотрим причину этого на при- мере обтекания шара. В плоской задаче обтекания круга для устранения парадокса на бесциркуляционное тече- Г , ние мы наложили течение вида Log z, все векторы скорости которого направлены по окружности и имеют постоянную длину. В пространстве аналогичного течения нет — это вытекает из геометрической теоремы, по кото- рой на сфере не существует непрерывного касательного векторного поля отличных от нуля векторов (ее назы- вают теоремой о невозможности причесать ежа). По- этому в пространственных задачах устранить парадокс описанным выше способом не удается. Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений. § 19. Течения с постоянной завихренностью Движения с точечными вихрями. Здесь мы рассмо- трим некоторые новые схемы установившегося движения идеальной жидкости в ограниченных областях с доста- точно гладкой границей. Прежде всего заметим, что
168 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ (ГЛ. V согласно принципу максимума для гармонических функ- ций в этих задачах единственным решением с ограни- ченными скоростями будет покой. В самом деле, по ус- ловию обтекания функция тока ф = const на границе области, и если ф не имеет особенностей внутри или на границе области, то по этому принципу ф == const. Помещая внутри области или на ее границе точеч- ные источники или точечные вихри, мы можем получить движения следующих типов: Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно ма- лую вязкость, то под ее влиянием движение быстро пе- рестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная дисси- пация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на гра- нице нет трения, под влиянием вязкости будет стремить- ся к вращению жидкости как твердого тела. Постоянная завихренность. Новую схему установив- шегося движения в ограниченной односвязной области с гладкой границей мы получим, если откажемся от ус- ловия отсутствия вихрей, предполагая, что вихри распо- лагаются во всех точках области. Для простоты будем считать завихренность со постоянной во всей области D. Тогда вместо обычных уравнений, приводящих к усло- вию аналитичности, для координат вектора скорости — мы будем их здесь обозначать через Vx и Vv — получим следующие уравнения: dVy dVx дх ду М’ dVx dV„ —-Ч----— = 0 дх ' ду (1)
§ 19] ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ ЗАВИХРЕННОСТЬЮ 169 (второе уравнение по-прежнему выражает условие от- сутствия источников). Дифференцируя эти уравнения, мы получим, что каждая из функций Vx и Vv — гармоническая, ДИХ = О, ДИа = 0, (2) однако они не являются сопряженными, и функция F = — Vx— iVy не аналитична. Поэтому удобнее перейти от Vx и Vy к функциям ы = Уж4-®1/, о = — Vy, (3) тогда (1) перейдет, очевидно, в систему Коши — Римана ди dv <Эи dv дх ~~ ду ’ ду дх и функция f = и 4- iv будет аналитической. Это позво- ляет привлечь для изучения рассматриваемой схемы ап- парат теории аналитических функций. Рассмотрим для примера простейшую задачу о те- чении в круге {И </?}. Условие обтекания окружности состоит в ортогональности векторов е'Ч> и Vx-\-iVy, т. е. имеет вид Vх cos <р + Vy sin <p = 0. Переходя к функции f = и -ф iv, мы перепишем его в виде и cos ф — v sin ф = ay cos ф, или, после умножения на R, в виде их — vy — аху. По- следнее условие можно переписать так: Re(zf + 4z2) = °. Из принципа максимума следует, что единственным ре- шением задачи, которое не имеет особенностей в круге {| z | < R}, будет f (z) = —• -у z, откуда V = Vx + iVy = ^z. (4) Траекториями этого движения (векторными линиями Т7, , dx dy доля V) будут кривые, на которых т. е. ух v
170 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V окружности х2 + у2 — г2. В отличие от классического вих- ревого движения, изображенного на рис. 50, в, это дви- жение устойчиво, ибо для него энергия всюду конечна. Такую же задачу можно решить и для произвольной ограниченной области D с гладкой границей Г. Если обо- значить через а угол касательной к Г с осью х, то усло- вие обтекания будет состоять в коллинеарности векторов eia и V — Vx-[-iVy- Оно записывается в виде Vx sin а — Vy cosa = 0, (5) или, после перехода к аналитической функции f = = и ф- iv, в виде u sin a + о cos a = ay sin a. (6) Это — одна из так называемых линейных граничных за- дач теории аналитических функций. В классе ограничен- ных функций она имеет единственное решение для лю- бого гладкого контура Г (см. Л. и Ш., гл. III). Для решения задач обтекания в рассматриваемой схеме удобно,-как и в классическом случае, ввести функ- цию тока ф. Она по-прежнему вводится как функция, дифференциал которой равен Дф = — Vydx + Vxdy (7) (в силу второго уравнения (1) выражение справа яв- ляется точным дифференциалом). Мы имеем Vx = ^-, V = (8) х ду ’ у дх ' ' ' так что линии уровня ф = const совпадают с вектор- ными линиями поля скоростей V = Vx -|- iVv. Условие обтекания (5) теперь записывается просто в виде усло- вия, что ф = const на границе D. Подставляя (8) в первое уравнение (I), мы найдем, что функция тока удовлетворяет так называемому урав- нению Пуассона . . <92ф . с?2-ф Дф = -т-?- + - — со. (9) Y дх2 1 ду2 ' ' Потенциала скоростей в этой схеме не существует про- сто потому, что движение не потенциально.
§ 191 ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ ЗАВИХРЕННОСТЬЮ 171 Заметим, что принятое в схеме условие постоянства завихренности является естественным, если рассматри- вать течение как предельное для ламинарного течения вязкой жидкости в предположении, что вязкость v 0. В самом деле, завихренность для установившегося пло- ского движения вязкой несжимаемой жидкости удовле- творяет уравнению Гельмгольца + = (10) х дх 1 у ду (см. § 3). Это уравнение можно переписать в виде das \<ss vTvT’ d где обозначает производную вдоль линии тока. Пусть теперь v-» 0 так, что-^у остается ограниченным; das п тогда-^-->0 и, следовательно, при малых v максимум и минимум со на любой линии тока, в частности, на границе области D, сколь угодно близки друг к другу. Но для решений уравнения (10) и максимум и минимум дости- гаются на границе области (см. Курант [1], стр. 324), следовательно, при малых v максимум со в D мало отли- чается от минимума — за'вихренность со почти постоянна в D. - Свойства течений. При завихренных течениях (без особенностей) в ограниченной односвязной области D в этой области найдется по крайней мере одна непод- вижная точка, в которой скорость равна нулю. В самом деле, на границе области ф = const, и поэтому либо максимум, либо минимум ’) этой функции в D дости- гается во внутренней точке области, а там^-= — V у = и ^1 = 17х = 0. ду х Далее заметим, что в рассматриваемом случае, как и в классическом, поток вектора скорости V через лю- бую кривую у, лежащую в D, равен приращению ’) Так как ф удовлетворяет уравнению (9), то при <в < 0 вну- три области не может достигаться максимум функции ф, а при as > >0 — минимум этой функции (см. Курант [1], стр. 324).
172 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ (ГЛ. V функции тока ф на этой кривой (т. е. разности значений ф в ее концах). Отсюда следует, что поток V через любую кривую, соединяющую фиксированную точку г0 области с ее границей Г, равен ф(£)—ф(г0), где £ G Г, и не за- висит от вида этой кривой, так как у нас ф постоянна на Г. В частности, если z0 — точка D, в которой дости- гается минимум или максимум функции ф, то такой по- ток Q= J г/ф = ф(£)~ Ф(*о) (Н) V называется угловым расходом рассматриваемого тече- ния (рис. 51). Важно выяснить, в какой мере на движения с по- стоянной завихренностью распространяются вариацион- ные принципы. Рассмотренный выше пример круга пока- зывает, что при фиксированном ш ос- новной вариационный принцип неверен. В самом деле, из (4) видно, что ско- рость на границе {| z | = /?} равна V ~~ R — при уменьшении радиуса круга она не увеличивается, а умень- шается. Однако этот принцип можно сохра- нить, если рассматривать движения с одинаковым угловым расходом. Для случая ограничен- ных областей он формулируется так: Пусть область В содержится в D, а ее граница Г имеет общую дугу у с границей Г области D. В D и В рассматриваются течения с постоянными завихренно- стями со и ш и с одинаковым угловым расходом Й. При этих условиях на у скорость второго течения меньше скорости первого, т. е. Р < V во всех точках у. Если до- полнительно предположить, что D и В — выпуклые об- ласти, то в точках наибольшей деформации Р > V. Представляет интерес изучение течений с постоянной завихренностью в областях типа полосы. Пусть дана та- кая область D = {уо(х)< у < г/Дх)}, ограниченная двумя непересекающимися кривыми Го: у = Уо(х) и Г: У — У(х), и в ней требуется построить движение с за- данной завихренностью со и с заданным расходом И.
§ 20] ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ 173 Задача сводится к отысканию функции ф, удовлетво- ряющей уравнению (9) и граничным условиям ф|г — = 0,ф|Г1=Я. Последнюю задачу легко свести к задаче Дирихле для гармонических функций. В самом деле, вместо ф можно искать функцию Т = ф ~, для которой АТ = Аф со = 0, и следовательно, она является гар- монической в D. Граничные условия для этой функции принимают вид T|ri = tf+f у>(х), (12) где правые части известны из условий задачи. Задача Дирихле имеет в классе ограниченных гармонических функций единственное решение, а значит, однозначно разрешима и наша задача построения течения с постоян- ной завихренностью в областях типа полосы. § 20. Задачи со свободными границами Сюда относится большой круг классических задач, в которых ищется движение идеальной жидкости или идеального газа в областях с частично известными гра- ницами. Неизвестную часть границы в этих задачах нужно определить из каких-либо дополнительных усло- вий. Простейшим из таких условий является постоянство на неизвестной части границы величины скорости (за- дача Кирхгофа). Другое важное условие высту- пает в задачах о волновых движениях тяжелой несжи- маемой жидкости: условие постоянства давления на волновую поверхность согласно интегралу Бернулли (см. § 1) приводит на искомой части границы у = у(х) к ус- ловию |к2 + р^=д, (1) где g — ускорение силы тяжести, р — плотность жидко- сти, К —величина скорости и А— некоторая посто- янная. Задача Кирхгофа. Начнем с простейшей задачи о те- чениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной
174 плоские задачи [гл. v поверхностью в условиях, когда силой тяготения можно пренебречь, движение плоско параллельно и давление над свободной поверхностью постоянно. Из интеграла Бернулли тогда следует, что на свободной поверхности постоянна величина скорости V, и математически задача ставится следующим образом. Задана кривая Го: у = Уо(х') —дно водоема, причем предполагается, что функция Уо(х) непрерывна и огра- ничена вместе с двумя производными на всей оси х; за- дан также расход h. Требуется найти свободную поверх- ность, т. е. кривую Г: у = у(х), у(х)>у0(х) (2) так, чтобы на ней величина скорости течения была за- данной постоянной величиной. Если ввести комплексный потенциал течения f = = и -f- lv, то эта задача сводится к геометрической за- даче построения конформного отображения на полосу {О < v < h} области D типа полосы, у которой нижняя граница Го задана, а верхняя Г неизвестна — известно только, что на ней постоянно растяжение | f'(z) | = С; отображение нормируется условиями f(±oo)=±oo. Разрешимость и единственность решения задачи Кирхгофа можно доказать вариационным методом. Сущ- ность этого метода состоит в следующем. Если задаться кривой Г, удовлетворяющей неравенству (2), то можно найти конформное отображение f области D, ограничен- ной кривыми Го и Г, на полосу {0 < v <z h}, причем ус- ловия нормировки f(± оо)= + сю определяют это ото- бражение с точностью до постоянного слагаемого. Пред- положим еще, что функция у(х) ограничена вместе с двумя производными, тогда на Г существует ограни- ченная производная f' и можно рассматривать величину / (Г) = тах| |/'(z) j — С |, рЗ) зеГ которая при фиксированной постоянной С вполне опре- деляется кривой Г. Таким образом, каждой кривой Г из некоторого мно- жества ставится в соответствие число /(Г), причем близ- ким кривым (с учетом значений функций у(х) и их пер- вых двух производных) соответствуют близкие значе-
§ 20] ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ 175 ния I. В таких случаях говорят, что на рассматриваемом множестве кривых задан непрерывный функционал. Да- лее, нужно сузить множество допустимых кривых до компактного множества, т. е. такого, что из любой по- следовательности принадлежащих ему кривых можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некото- рой кривой из того же множества (в смысле близости с учетом значений функций и их первых двух производ- ных). Для этого нужно задать постоянные в следующих неравенствах: К^у (х) — у0(х)^К', I у'(х) |<max| у'0(х) \+М=К1г | у" (х) | < max | у'о (х) i + N = Т(2. Если выбрать кривую Г: у(х) = Уо(х) k, то при ма- лых k растяжение |f'(z) | на Г будет большим, а при больших k— малым, поэтому при заданном значении скорости С можно выбрать постоянные К и К' так, чтобы на кривой у = г/0(х)Д- К. растяжение было всюду боль- ше С, а на кривой у = Уо(х) + К' — всюду меньше С. В остальных неравенствах мы считаем М и N достаточ- но большими. Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, на таком мно- жестве непрерывный функционал / (Г) достигает своего наименьшего значения. Пользуясь вариационным прин- ципом для конформных отображений полос, можно до- казать, что если бы полученное наименьшее значение было отличным от нуля, то оставаясь в классе допусти- мых кривых, можно было бы проварьировать Г так, чтобы величина I (Г) уменьшилась. Отсюда следует, что /(Г) = 0, т. е. что построенная кривая — искомая. Из того же вариационного принципа можно заключить, что кривая Г, которая дает решение задачи, определяется единственным образом. Подробнее об этом методе см. М. А. Лаврентьев [2]. Аналитическое решение задачи можно получить, если воспользоваться выражением для растяжения конформ- ного отображения на полосу области типа полосы, кото- рое приводилось в гл. III. Этот путь приводит к инте- гральному уравнению, из которого можно найти искомую функцию у = у(х). При дополнительных ограничениях
176 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V на форму дна задачу можно решить и для случая сжи- маемой жидкости. Волны в тяжелой жидкости. Если считать дно во- доема плоским (т. е. Го — совпадающей с осью х), то задача об установившемся волновом движении тяжелой несжимаемой жидкости сведется к следующей задаче теории конформных отображений: Построить периодическую кривую Г: У = У(х), y(x)>Q (рис. 52), так, чтобы при конформном отображе- нии f области D = {0 < у < <г/(х)} на полосу {0 < v < h} Y всюду на Г удовлетворялось Z условие \ГШ + ^У = А, (5) где К = 2g и Я—некоторая Рис. 52. постоянная (интеграл Бер- нулли). Обозначим через Уо и уо соответственно максималь- ное и минимальное значения функции у(х). Из вариа- ционного принципа для отображения полос следует, что в точке максимума растяжение | f' (z) |^-Д-, а в точке * о h минимума —. Подставляя это в (5), мы получим Уо . 1 Л 1 V i J1 Ку0 Н--+ Дг Уо го Но функция <р (у) = Ку + при # = дости- гает своего единственного минимума, а так как у нас должно быть уо Уо и <р(«/о) <р(Уо), то мы заключаем, что при возможны лишь тривиальные движения, для которых Уо = Уо, т. е. у(х) = const. Трудность этой задачи состоит в том, что граничное условие (5) нелинейно — оно содержит квадрат модуля искомой функции. Задача существенно упрощается, если рассматривать только волны малой амплитуды, для ко- торых кривая Г мало отличается от прямой у = Уо —
§ 20] ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ 177 при такой гипотезе условие (5) можно приближенно за- менить линейным. Для этой цели мы полагаем комплекс- ный потенциал f(z) = kz -ф ft(z), где k=-£~, a ft — ' о — ф + 1ф — аналитическая функция со столь малой про- изводной, что ее квадратом можно пренебречь. Таким образом,у нас u = kxA-q, v = ky-{-ty tn \ ди . .dv , , <?qp , . dib „ , и f (z) = -z—ф z-— = k 4- -5х- -ф1 , а на Г, где v = h, ' ' ' dx 1 dx 1 dx 1 dx ’ ’ имеем у = - ~ = Уо — у-. Подставляя это в (5), полу- чим приближенно ^ + 2^ + |(/г-ф) = Л <5<р <5тЬ или, после замены и введения новых постоян- ных |х=А- и а = -±(А- = (7) Наконец, заметим, что в пределах принятой точности граничное условие (7) можно снести с кривой Г на пря- мую у = Уо- Мы приходим к следующей линейной гра- ничной задаче: найти гармоническую в полосе {0 < у < < Уо} функцию ф(х, у), равную 0 при у — 0 и удовле- творяющую условию (7) при у = Уо; волновая поверх- ность, соответствующая решению ф этой задачи, нахо- дится по формуле У = У0 — уф(х, Уо)- (8) Эта задача решается в элементарных функциях. В самом деле, функция ф = В cos ах sh ay -ф Су (9) гармонична при любом выборе значений параметров а, В и С, равна 0 при у = 0, и нам остается выбрать эти па- раметры так, чтобы удовлетворить условию (7). Мы приходим к тождеству аВ cos ах ch аУ0 -ф С — р (В cos ах sh аУ0 -ф СУ0) == а,
178 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V для выполнения которого необходимы и достаточны со- отношения achaK0 = nshay0, С = ~.—(10) У нас остался неопределенным параметр В, его можно найти из нормировочного условия ф(0, Уо) — 0, откуда В = - (1 - иу0) sh ar0 • Задача свелась к вопросу о разрешимости первого урав- нения (10), которое после введения переменной £=оУо можно переписать в виде | ch g = цУ0 sh g. О2? Это уравнение, очевидно, разрешимо при цУо > 1; при рУ0 1 оно не имеет решений. Легко видеть, что по- следнее неравенство совпадает с (6), так что условия разрешимости, общей и линеаризованной задачи о вол- нах оказываются одинаковыми. Учет нелинейности. В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экс- периментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каж- дый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значи- тельной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум. Более точную теорию (которая, в частности, вклю- чает и эти явления) мы получим, если при той же гипо- тезе малости амплитуды воспользуемся приближенной формулой для растяжения при конформном отображе- нии узких полос: lf(z)l«y(l + ^УУ") (см. § 12). Подставляя это выражение в граничное условие (5), мы получим для определения формы свободной поверх- ности обыкновенное дифференциальное уравнение вто- рого порядка. В пределах принятой точности в этом
§ 20] ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ 179 уравнении можно пренебречь членом с (z/г/")2 и тогда оно примет вид */" = -^-+ау-₽У2> (13) где аир — положительные постоянные, определяемые физическими параметрами задачи. Заметим, что в каче- стве таких физических параметров естественно принять так называемую среднюю глубину водоема R Н = lim 4- [ y(x)dx (14) Д->ОО Я и расход h. Правая часть дифференциального уравнения (13) имеет три корня (два из которых, возможно, комплекс- ные сопряженные). Можно доказать, что у него суще- ствуют решения у(х), ограниченные на всей оси, лишь в том случае, когда из этих корней в точности два поло- жительны и различны (тогда третий корень непременно отрицателен). Предположим, что это условие выпол- няется; пусть f]o и t]i, 0 < т]о < т]1, будут такие корни, и рассмотрим для уравнения (13) начальную задачу у(О) = Уо, /(0) = 0. (15) Для определенности будем считать, что г/"(0)< 0, т. е. ограничимся рассмотрением тех волн, которые в точке (0, Уо) имеют гребень, а не впадину; для этого нужно предположить, что Уо гц. Меняя Уо, мы получим однопараметрическое семей- ство волн различной длины. При Уо = тц эт0 прямая, при Уо > т] и мало отличающихся от гр — периодическая кривая с крутыми горбами и пологими впадинами. При возрастании Уо период кривой возрастает, и при Уо, стремящемся к некоторому значению Уь которое, можно выразить через параметры аир, период возрастает не- ограниченно — мы получаем кривую с единственным максимумом в точке х — 0, т. е. уединенную волну (рис. 53). Пользуясь вариационными методами теории кон- формных отображений, можно доказать, что в окрест- ности построенного только что описанным методом
180 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V приближенного решения существует единственное точ- ное решение, причем ширина этой окрестности мала по Рис. 53. сравнению с амплитудой приближенного решения (см. М. А. Лаврентьев [2]). Волна Стокса. В настоящее время методы теории функций и функционального анализа позволили решить почти все вопросы, связанные с существованием и един- ственностью волн в тяжелой жидкости. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться, например, по сборникам [9] и [10]. Остановимся на одном из остав- шихся нерешенными вопросов — доказательстве суще- ствования так называемой предельной волны Стокса, которая имеет острия на гребнях. Даже проведенное выше приближенное исследова- ние, в котором было принято условие малости ампли- туды, показало, что при увеличении амплитуды волны ее горб становится круче. Если же отказаться от этого ус- ловия, то естественно ожидать, что увеличение ампли- туды до некоторого критического значения приведет к появлению на гребнях волны острых углов. Это явле- ние было предсказано еще Стоксом, и оно хорошо подтверждается экспериментами. Величину угла на гребне волны легко подсчитать, пользуясь граничным условием (5) и свойствами кон- формных отображений. В самом деле, пусть угол на гребне волны (0, Уо) равен а (рис. 54), тогда в окрест- ности точки х = 0 уравнение волновой поверхности должно иметь вид y(x) = Y0— |x|tga + o(x). (16) Учитывая поведение конформного отображения в уг- ловых точках (§ 12), можно заключить, что в окрестно- сти точки Zo = Yoi комплексный потенциал течения
§ 201 ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ 181 имеет разложение вида f(z) — a(z — z0)₽ + o(|z-z0|p), (17) где р = —и а =# 0. Так как 0 < а < у, то р > 1, ' л и следовательно, f'(zo)=O. Подставляя это в (5), мы находим, что = А- Теперь подставим в (5) выраже- ния (16) и (17) и получим соотношение *2(P~1)-A'I х |tga = o(| х |), из которого вытекает, что непременно должно быть 2(р— 1) = 1. Отсюда заключаем, что р =3/2, и значит, угол на гребне волны а = л/6. Читатель, без сомнения, не раз видел волны с такими углами в 120° на гребнях (см. рис. 54). Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локаль- ной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банахо- вом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Од- нако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обес- печивающее гладкость (аналитичность) волновой по- верхности в окрестности точки z0, — этим условием яв- ляется необращение в нуль производной комплексного потенциала: Г(го)=#О (18) (т. е. г0 не есть критическая точка течения).
182 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V Ю. П. Красовский [11] указал достаточное усло- вие, обеспечивающее выполнение (18) и, следовательно, гладкость волновой поверхности: угол наклона волны к оси х строго меньше критического значения а0 = у . Вопрос о существовании волн с угловыми точками на поверхности, т. е. с углами наклона, большими или рав- ными у, до сих пор остается открытым. Получены до- казательства существования (гладких) волн с накло- нами, близкими к критическому, но критическое значе- ние еще не достигнуто и, таким образом, существование волны Стокса не доказано. §21. Модель Кирхгофа и другие модели Классические модели. Модель Кирхгофа была одной из первых попыток избежать парадоксов бесконечных скоростей и нулевого лобового сопротивления в схеме идеальной жидкости. Рассмотрим задачу об обтекании пластинки конечной ширины, расположенной перпенди- кулярно направлению скорости потока в бесконечности (рис. 55). В простейшей схеме комплексный потенциал течения дает конформное отображение внешности от- резка [—al, ai] на внешность отрезка оси и с норми- ровкой /(оо) = оо Такое отображение выписывается элементарно: /(г)=Уте/?Т^. (1)
§ 21] МОДЕЛЬ КИРХГОФА И ДРУГИЕ МОДЕЛИ 183 В соответствии с общей теорией скорость течения f (г) = V z — z_ обращается в бесконечность на краях пла- У г2 + а2 стинки, а воздействие потока на пластинку равно нулю. Чтобы избавиться от этих противоречащих действитель- ности эффектов, Кирхгоф пред- ложил другую схему течения. © Именно, он предположил, что с краев пластинки происходит срыв струй, т. е. что течение заполняет не все дополнение к отрезку [—ai, ai], а лишь его часть, ограниченную кривыми у и у', выходящими из концов отрезка; между этими кривыми зона (рис. 56). Кривые у и у' Рис. 56. образуется застойная заранее не задаются, а находятся из того условия, что на них давление — а по интегралу Бернулли, значит, и скорость — сохраняет это параметр задачи, постоянное значение. Эта задача также про- сто решается. Пусть w = © = f(z), f(0) =0, —комп- лексный потенциал тече- ния; он конформно ото- бражает область течения на плоскость с разрезом по положительной полу- оси с соответствием точек, указанным на рис. 56 и 57, а. Пусть b ~> 0 — точ- ка, в которую попадают концы отрезка 3 и 3' — характеризующий ширину плас- тинки. Введем новую переменную g = log f'(z) = g + Б], ко-, торая связана со скоростью V = f'(z) течения; пло- скость £ называют плоскостью годографа скоростей. Функции g = log|f(z) | и т] — arg f'(z) = — arg V яв- ляются сопряженными гармоническими как от переменной г, так и от w = [(z), ибо f — конформное отображение,
184 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V (2) с разделяющимися перемен- на границе образа области течения в плоскости w, т. е. на разрезе вдоль полуоси и > 0, мы знаем одну из этих функций: из физических соображений очевидно, что на участке 2—3 имеем т] = — , на 2 — 3' т] = , а на 3— 1 и 3' — 1 g = log У- = I. Мы пришли к так назы- ваемой смешанной граничной задаче теории гармониче- ских функций: на части границы заданы значения иско- мой функции, а на остальной части границы — значения сопряженной с ней функции. В нашем случае заданные значения постоянны и за- дача решается в элементарных функциях. Очевидно, что ее решение дает конформное отображение плоскости с разрезом рис. 57, а на полуполосу рис. 57, б с указан- ным на этом рисунке соответствием точек. Такое отобра- жение получается в несколько шагов из стандартных отображений и мы получаем Кд — w + V b Мы нашли скорость течения, правда, в зависимости от переменной w = f(z), а не от г. Мы могли бы под- ставить в (2) f' (а>) — и решить полученное диффе- ренциальное уравнение ными — тогда мы найдем f(z). Однако мы знаем общий характер зависимости w = f(z), а для качественного ис- следования задачи этого достаточно. Так, из (2) мы ви- дим, что на участке 1—2 скорость падает от Vx до О, оставаясь положительной. На участках 2—3 и 2—3' она снова растет по модулю, но не до бесконечности, как в первой схеме, а только до величины Vx. Далее, со- гласно интегралу Бернулли при росте скорости давление падает, а минимальное давление с левой стороны пла- стинки, которое достигается на ее концах (и, соответ- ствует скорости Уоо), оказывается равным (постоянному) давлению с правой стороны. Таким образом, давление потока на пластинку слева больше, чем справа, — мы получаем эффект лобового сопротивления. (Пользуясь формулой (2) и формулой Чаплыгина (3) из § 18, можно подсчитать величину лобового сопротивления, но МЫ не будем этого делать.)
§ 21] МОДЕЛЬ КИРХГОФА и ДРУГИЕ модели 185 Таким образом, в схеме Кирхгофа удается избежать обоих отмеченных выше парадоксов. Поэтому понятно, что математики пытались решить в этой схеме задачу обтекания со срывом струй для возможно более широ- кого класса контуров. Прежде всего описанный выше метод был распространен на случай, когда контур со- стоит из конечного числа отрезков (см. Л. И. Седов [5]). Вариационный метод и метод интегральных урав- нений позволили решить эту задачу также для широкого круга гладких дуг (см. М. А. Лаврентьев [2] и Биркгоф и Сарантонелло [4]). Однако модель Кирхгофа имеет несколько сущест- венных дефектов даже в простейшем случае обтека- ния плоской пластинки. Например, застойная зона, ко- торая в действительности имеет конечные размеры, в схеме Кирхгофа бесконечна и для ее создания в этой схеме требуется бесконечно большая энергия. Новые модели.В силу этого за последние 20—30 лет появилось много новых моделей, трактующих ту же за- дачу. Опишем сначала бо- лее старую модель, которая была предложена Р я б у- шинским еще в начале этого столетия. Наряду с ос- новной обтекаемой пластин- кой 1 (рис. 58) он вводит еще равную ей по ширине фиктивную пластинку II и располагает вторую плас- тинку за первой на расстоя- Рис. 58. нии Н от нее. Линии тока у и у' (струи) должны быть определены так, чтобы на них давление, а значит, и скорость, были постоянными. В этой схеме задача решается до конца и в том случае, когда обтекаемый контур представляет собой ломаную с прямолинейными звеньями. Теорему существования и единственности и приближенное решение задачи можно получить вариационным методом, а также методом ин- тегральных уравнений. В сороковые годы Эфрос предложил новую мо- дель, в которой срывающаяся с пластинки струя у
186 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ;гл. v возвращается обратно к пластинке и, проходя через нее, уходит в —оо вдоль оси симметрии (рис. 59). Предпо- лагается, что вдоль этой струи скорость постоянна и, кроме того, что скорости всюду в потоке меняются не- прерывно. Эта модель дает хорошо согласующееся с опытом распределение давления на пластинке; нали- чие обратной струйки также наблюдается эксперимен- тально. Дефектом мо- дели является фи- зически невозможное предположение о том, что обратная «отсасывается» стинкой и после про- хождения пластинки течет по уже занятому течением пространству, не смешиваясь со ста- рым течением. Дефект устраняет- ся в следующей схеме (М. А. Лаврентьев, 1958), которая дает примерно такое же распределение давления на пластинке, что и схема Эфроса. В ней делается допущение, что за обтекае- мой пластинкой возникают два жидких кольца 6 и струя пла- 6', которые ограничены плас- тинкой, отрезком оси симмет- рии, струями у и у', сходящи- ми с краев пластинки, и замк- нутыми линиями тока уо и у'о, ограничивающими кольца из- нутри (рис. 60). Неизвестные линии у, у' и у0, Уд опреде- ляются из следующих усло- вий: 1) на у0 и Yq скорость имеет заданную постоянную величину, 2) на у и у' скорость движения в кольцах совпадает со скоростью основного потока, обтекающе- го пластинку, дополненную линиями у и у'. Расчет по этой схеме делается методами, о которых говорилось выше.
§ 22] СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ 187 § 22. Склеивание вихревых и потенциальных течений Здесь будет описано еще несколько новых моделей для решения классических задач, которые основаны на склеивании потенциальных течений с вихревыми. Обтекание пластинки. В предлагаемой здесь модели движение распадается на три независимых движения: 1) в области Di, ограниченной верхней половиной пла- стинки, отрезком оси симметрии (оси х) и струей у, срывающейся с верхнего края пластинки, 2) в области D\, симметричной с D\ относительно оси х, и 3) в об- ласти Do, дополняющей Di (J Di до всей плоскости. Те- чение в Do предполагается потенциальным, а в Di и D'i —вихревым, в Di — с постоянной завихренностью —со, в D\ — с завихренностью со. Кривые у и у7 не за- даются, их надо подобрать так, чтобы они были ли- ниями тока и поле скоростей оставалось непрерывным всюду вне пластинки. На рис. 61 приведена фотография обтекания плоской пластинки, из которой видно, что предлагаемая модель хорошо согласуется с опытом. Обозначим координаты вектора скорости V через и и — v, тогда эти функции будут удовлетворять
188 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V следующим системам дифференциальных уравнений: в Пр ди дх dv ~ ду ’ ди . dv ду ' дх ’ в D]: ди дх dv ~ ду ' ди . dv -ч — (0, (1) ду 1 дх ' ' в Dn: ди dv ди dv n дх ду ’ ду 1 дх Описанная выше схема приводит к задаче о склеивании по непрерывности решений этих систем, удовлетворяю- щих условиям обтекания, о которых будет говориться ниже. Ясно, что эта задача симметрична: если нам уда- стся найти в Di и в верхней половине Do непрерывную функцию f = и + iv', удовлетворяющую системе (1) и такую, что v = 0 на оси х, то положив fi = Ui + it»i, где u\ (х, у) = и(х, — у), vi(x,y) — —v(x,—y), мы полу- чим, что функция, равная f при у 0 и f\ при у < О, у будет непрерывной вне ________________________пластинки и удовлетво- .___________рять системе всюду в О. \ Di U D\ U Dq. > \в0 Таким образом, зада- j 1 ча свелась к следующей: j найти линию у, соединяю- I щую конец вертикального д -Jотрезка I = [0, ai] сточ- 0 кой b > 0 оси х так, что- Рис. 62. бы существовала непре- рывная в верхней полу- плоскости с исключенным отрезком / функция f = u-{-iv, которая в области Di удовлетворяет системе ди dv ди . dv лг-^=о’ W + (2) а в области Do аналитична. При этом должны выпол- няться еще такие условия обтекания: I) v — 0 на всей оси х, 2) и = 0 на отрезке I, 3) u sin а + v cos а = 0 на кривой у, где а — угол наклона касательной к этой кри- вой (рис. 62). При заданной скорости в бесконечности для выде- ления решения нужно задать еще одну из величин а или b (из некоторых допустимых интервалов), другая
§ 22] СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ 189 из этих величин определяется. Расчеты, выполненные на электронных вычислительных машинах, показали, что в определенном диапазоне скоростей эта модель об- текания пластинки дает весьма хорошее совпадение с опытом. Однако полное математическое решение и исследо- вание задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено. Мы укажем на эти трудности сначала для более простого варианта задачи, в котором отрезок I отсутствует. Задача о склейке. Пусть D — верхняя полуплоскость у > 0; требуется найти область D\ с D, граница кото- рой состоит из заданного отрезка [—а,а] оси к и опи- рающейся на этот отрезок (неизвестной) дуги у, так, Рис. 63. чтобы существовало течение с постоянной завихрен- ностью —® в Z?i и потенциальное в остальной части Do = D\Dit причем поле скоростей непрерывно всюду в D, а у является линией тока (рис. 63). Кроме того, предполагается, что течение имеет заданную скорость в бесконечности Vx, направленную по оси х; величина завихренности <в определяется в процессе решения. Можно также задавать и в и подбирать величину отрезка [ —а, а]. В отличие от задачи обтекания пластинки, эта за- дача разрешима при любых заданных значениях скоро- сти на бесконечности и любой завихренности <в. Из размерностных соображений следует, что при фиксиро- ванной Коо и для очень малых <в вихревая область £>i весьма велика; при увеличении <в эта область сжи- мается и при <в —»оо ее диаметр стремится к нулю. В самом деле, из уравнений (1) видно, что если они справедливы для какого-либо течения, то они будут справедливы и для течения, у которого пространственные
190 ПЛОСКИЕ .ЗАДАЧИ [ГЛ. V координаты увеличены в ks раз, скорость в kv раз, а завихренность в раз. Задача сводится к интегральному уравнению с не- известной областью интегрирования. В самом деле, введем, как выше в § 19, функцию тока ф такую, что u — эта функция должна удовлетворять уравнению (0 в Do, Дф = л (3) I со в D{. Нам нужно найти решение, которое: 1) имеет непре- рывные частные производные всюду в D, 2) имеет lim 3) принимает постоянное значение Х-> — ОО °У (пусть равное нулю) на оси х; 4) то же значение при- нимает на неизвестной дуге у. Решение, удовлетворяющее первым трем условиям, легко выписывается: ф(г) = Игог/ + ^- JJ log | dt,di\ (4) (£ = £4~Й1 — переменная точка интегрирования), при- чем Di здесь может быть произвольной частью D — до- казательство этого можно найти, скажем, в книге Р. Куранта [1], стр. 247. Нам, однако, нужно найти такое решение, для которого £>i имела бы вид, указан- ный в постановке задачи, и притом удовлетворялось условие 4), по которому ф = 0 на у. Это условие и дает интегральное уравнение, о котором мы говорили: если у —у(х)— уравнение искомой кривой у, то оно имеет вид а у (I) + j Iog (x-j)2+[?(x) + Jp dn = 0 (5) —a 0 при —a < x <. а. Заметим, что внутренний интеграл по т] легко вычисляется в элементарных функциях, и по- этому двойное интегрирование здесь можно заменить простым.
§ 22] СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЩГ Как мы уже говорили, величина завихренности в этой задаче определяется в процессе ее решения. Это можно сделать, отправляясь от условия, что величина скорости течения в точке z = —а должна быть равной 0. Вычисляя и~-^ по формуле (4) дифференцирова- нием под знаком интеграла и полагая «(—а) = 0, мы после простых преобразований получаем формулу, по которой можно найти <о для данного решения у(х): а 2^ + ® jlogjl +(^)2}^=0. (6) —а Уравнение (5) было решено на электронных вычис- лительных машинах А. Б. Шабатом [12]; на рис. 63 приведена полученная им картина линий тока для зна- чения а = 0,5 и скорости в бесконечности 1. Од- нако доказательство существования и единственности и устойчивости решения получить пока не удалось. Бо- лее того, имеются варианты задачи, для которых при машинном счете обнаружено несколько решений (см. ниже пункт о течении в траншее). Приведем модельный вариант задачи, в котором су- ществование решения очевидно, а единственность дока- зана. В этом варианте линия склейки у считается не конечной, опирающейся на заданный отрезок [—а,а], а бесконечной, отрезающей от D область D\ типа полосы (так что D} ограничена осью х и кривой у); считаются заданными скорость V™ потенциального по- тока, завихренность <о и расход N в вихревой полосе (т. е. разность значений ф на у и на оси х). Из общих соображений естественно искать решение этой задачи в классе функций ф, зависящих лишь от у, а в этом классе задача становится совсем простой. Пусть у будет прямая у — h; тогда уравнение (3) за- менится обыкновенным дифференциальным уравнением (0, yZ^ h, ф// = । ' т [ <й, 0 у h. Будем по-прежнему считать, что ф — 0 на у, тогда из условия на бесконечности находим, что в £)0 (т. е. при у > h) функция ф=Ко(г/ — h). В (т. е. при
192 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V О < у < h) имеем ip =—у- + by + с, где постоянные b и с находятся из условий склейки ф и х|/ при у — h с предыдущим решением. Так мы находим Ф = V^y-h) в Do, ^ + (^-<оЛ)у + (^ в D,. (7) Остается найти величину h: расход N равен значению хр А aft2 TZ > при у — 0, т. е. -g--Vхп, откуда определяется един- ственное положительное значение А. Б. Шабат [12] доказал, что в этой задаче любое решение хр должно зависеть лишь от у, и тем самым доказана единствен- ность построенного ре- шения. Все сказанное здесь распространяется на я более общий случай, когда D — произволь- ная область типа полу- плоскости, ограничен- ная кривой Г, гладкой Рис. 64. всюду, кроме, быть мо- жет, точек z = — а, z — а, в которых допускаются углы. Этот случай приво- дится к рассмотренному при помощи конформного ото- бражения области на верхнюю полуплоскость. В такую более общую схему укладывается ряд задач, важных для приложений (см. работы М. А. Гольдштика [14], А. Б. Шабата [12], [13], П. И. Плотникова [15]). Обтекание выпуклых тел. В том же круге идей строится модель для обтекания круга или вообще выпуклой фигуры, симметричной относительно оси х, по- током с той же осью симметрии. И здесь область тече- ния разбивается на три зоны, в двух из которых течение имеет постоянную завихренность ±со, а в третьей — потенциально. Линии у и у' и величина со подби-
§ 22) СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ 193 раются из условий обтекания и непрерывности поля скоростей вне контура Г (рис. 64). При заданной ско- рости в бесконечности для однозначного определения решений нужно задать еще размеры завихренных зон, задавая, например, точки а и а' срыва струй с обтекае- мого контура. Доказательство существования и единственности ре- шения этой задачи также еще не получено. Однако для Рис. 65. ряда тел проведено численное решение на ЭВМ, которое дало хорошее совпадение с экспериментальными дан- ными. Приведем для примера фотографию одного из этапов обтекания круглого цилиндра (рис. 65), на ко- торой для сравнения указаны данные расчета по при- веденной здесь схеме в том же режиме обтекания; точ- ки срыва струй с контура цилиндра были заданы на угловом расстоянии в 120 °C от передней критической точки (М. А. Гольдштик). Обтекание траншеи. Рассмотрим задачу о течении в глубоком водоеме с плоским дном, в котором имеется траншея с квадратным сечением; скорость в бесконеч- ности задана, параллельна дну и перпендикулярна траншее. Имеются два классических решения этой задачи: 1) все течение считается потенциальным и 2) решение по схеме Кирхгофа. 7 М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат
194 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V По первой схеме комплексный потенциал опреде- ляется конформным отображением f области течения на верхнюю полуплоскость ф>0 с нормировкой f(oo) = = оо, f'(oo) = Voo. Линии тока (прообразы прямых Рис. 66. ф = const при отображении f) заходят в траншею, как показано на рис. 66, а. По схеме Кирхгофа течение рас- падается на два — поступательное движение со скоро- стью Иоо в полуплоскости и покой в траншее (рис. 66,6). Однако опыты показывают, что в весьма значительных диапазонах чисел Рейнольдса и значений V™ ни одна
§ 22] СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИИ 195 из этих двух схем не реализуется. В частности, скорость течения на дне траншеи, которая по первой схеме очень мала, а по второй вовсе равна нулю, оказывается срав- нимой с Уоо. В этих диапазонах наилучшее совпадение с опытом дает следующая модель. Движение распа- дается на две зоны: в первой, ограниченной отрезками (—оо, —а) и (а, оо) оси х и некоторой линией у, соеди- няющей концы отрезков, движение потенциально; во второй, ограниченной у и тремя сторонами квадрата, движение имеет постоянную завихренность —<о. При за- данной К» линию у и величину завихренности <в нуж- но подобрать так, чтобы поле скоростей было непрерыв- ным во всей области течения. Это — частный случай рассмотренной выше задачи о склейке, в котором линия Г представляет собой лома- ную, составленную из отрезков (—оо, —а), (а, оо) и трех сторон квадрата. При помощи конформного ото- бражения области D, ограниченной ломаной Г и лежа- щей выше нее, на верхнюю полуплоскость (это отобра- жение можно выписать с помощью интеграла) задача сводится к решению интегрального уравнения (5). За- дача была просчитана М. А. Гольдштиком на ЭВМ, и решение (рис. 66, в) оказалось очень хорошо совпа- дающим с результатами эксперимента. Им же были просчитаны варианты этой задачи, в которой траншея имела вид прямоугольника с основа- нием 2а и высотой Ь. Интересно, что в случае мелкой траншеи, для которой у =2,5, на машинах было полу- чено два решения, изображенных на рис. 67, а и б (на рисунках приведены лишь левые половины течений, пра- вые симметричны). Эти решения отличаются числом критических точек, где скорость обращается в 0: в первом решении их три, а во втором — две. По-види- мому, несколько решений, отличающихся числом крити- ческих точек, может быть и для глубоких траншей, для которых глубина b примерно в два раза больше ее ши- рины 2а. С экспериментом хорошо согласуется решение, в котором течение распадается на три зоны: в первой, расположенной над траншеей, движение потенциально, в двух других, расположенных в траншее друг над дру- гом, движение имеет постоянные завихренности —w в 7*
196 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V верхней и со в нижней. На рис. 68 приведены кадры, снятые А. А. Б узу косным в Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР: на них отчетливо вид- ны зоны с течениями различных типов. 6) Рис. 67. Представляется весьма интересным довести до кон- ца математическое исследование задачи о склейке и, в частности, выяснить вопрос о числе ее решений в раз- личных вариантах. Заключительное замечание. Мы рассказали о некото- рых новых схемах решения задач гидродинамики. Хотя они и дают наибольшее приближение к реальности, они все же остаются схемами, и при их применении « прак- тическим задачам нужно вносить некоторые поправки. Главные поправки связаны с тем, что эти схемы, как и большинство схем, в которых решаются конкретные за- дачи гидродинамики, не учитывают вязкости.
§ 22] СКЛЕИВАНИЕ ВИХРЕВЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИИ 197 Рис. 68.
198 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V Следует заметить, однако, что эти новые схемы су- щественно лучше приспособлены к учету вязкости, чем классические. Дело в том, что вязкость в реальных за- дачах того типа, которые мы здесь рассматривали, при- водит к образованию сравнительно узких турбулентных зон вблизи мест склейки различных типов течений. По- этому, получив решение по какой-либо из рассмотрен- ных схем, мы должны лишь учесть в качестве поправки наличие турбулентных зон вблизи линий, которые нам известны. В классических же схемах решения этих за- дач учет вязкости производить практически очень трудно. Вообще методы, в которых склеиваются различные режимы в различных зонах, а физические факторы учи- тываются на сравнительно небольших участках, в по- следние годы приобретают все большее значение. Сле- дует ожидать, что они получат и дальнейшее развитие. Закончим эту главу сравнением последней задачи о течении в глубокой траншее с реальной задачей захоро- нения радиоактивных остатков в глубоких ямах на дне океана. Как мы отмечали выше, расчет по потенциаль- ной схеме дает на дне траншеи столь малые скорости, что энергия течения не может увлечь эти остатки, рас- чет по схеме Кирхгофа дает на дне покой. По этим классическим схемам, следовательно, захоронение ос- татков вполне безопасно. Рассмотрим теперь решение по новой схеме с уче- том поправок, о которых мы только что говорили. По этой схеме скорости движения на дне траншеи сравни- мы со скоростью основного течения, так что остатки вовлекаются в вихревое движение в нижней зоне. По схеме траектории этого движения — замкнутые кривые, расположенные под нижней линией раздела, и теорети- чески остатки будут все время двигаться в этой зоне. Но поправка на вязкость дает турбулентный слой во- круг линии раздела, так что захороненные остатки, по- пав в этой слой, выходят во вторую вихревую зону, в которой скорости движения снова велики. Из этой зоны через второй турбулентный слой они выходят в основ- ное течение. Вывод из этого решения — и он подтверж- дается практикой — такой способ захоронения радиоак- тивных остатков неприемлем!
ЛИТЕРАТУРА 199 Литература 1. Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», М., 1964. 2. М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, Изд. АН СССР, М., 1962. 3. Г. Биркгоф, Гидродинамика, ИЛ, М., 1963. 4. Г. Биркгоф, Э. Сарантоннелло, Струи, следы и каверны, «Мир», М., 1964. 5. Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат, М., 1950. 6. М. И. Гуревич, Теория струй идеальной жидкости, Физматгиз, М„ 1961. 7. Л. Н. Сретенский, Теория волновых движений жидкости, Гостехиздат, М., 1936. 8. М. А. Лаврентьев, До теорН довгих хвиль, 36. праць [нет. матем. АН УРСР, 8 (1947), 13-69. 9. Теория поверхностных волн, сборник переводов, ИЛ, М., 1959. 10. Нелинейная теория волн, сборник переводов, «Мир», М., 1970. 11. Ю. П. Красовский, К теории установившихся волн конеч- ной амплитуды, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1 :5 (1961). 12. А. Б. Шабат, Об одной схеме движения идеальной жидкости при наличии траншеи на дне, Журн. прикл. мех. и техн, физ., 4 (1962), 68—80. 13. А. Б. Шабат, О двух задачах на склеивание, Докл. АН СССР, т. 150, № 6 (1963), 1242—1245. 14. М. А. Г о л ь д ш т и к, Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости, Докл. АН СССР, т. 147, № 7 (1962), 1310—1313. 15. П. И. Плотников, О разрешимости одного класса задач на склеивание потенциального и вихревого течений, В сб. «Дина- мика сплошной среды», вып. III, Новосибирск, 1969.
Г лав a VI ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ Одним из наименее развитых разделов гидро- и аэро- динамики является теория течений, обтекающих трех- мерные тела. Особенно мало сделано в задачах с ча- стично или полностью неизвестной границей области те- чения. Причиной этого является недостаточность математических методов решения таких задач вообще и отсутствие пространственного аналога метода годогра- фа в частности. В этой главе в основном будут изучаться задачи, в том или ином смысле близкие к плоским, и для их решения привлекаться методы, развитые в предыдущих главах для плоских задач. Мы не касаемся других мето- дов решения пространственных задач; с этими методами можно ознакомиться, например, по обзору в [8]. Начнем с класса пространственных движений, простота изучения которого определяется тем, что для его описания, как и в плоском случае, можно ограничиться двумя функ- циями двух действительных переменных. § 23. Движения с осевой симметрией Об уравнениях, связывающих потенциал <р и функ- цию тока ф для установившихся движений с осевой сим- метрией идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии источников и стоков, мы уже говорили в гл. I. Они имеют вид дф___дф_ Зф__________д-ф , г дх ~ дг ’ дг “ дх ' где х — координата вдоль оси симметрии, г — расстоя- ние до этой оси. Здесь мы остановимся на том, как на
ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 201 § 231 такие движения переносятся решения гидродинамиче- ских задач, уже разобранных в плоских постановках. Общие замечания. Для любой гармонической функ- ции ф от трех переменных (т. е. функции, удовлетворяю- „ гг л д2<р . д2<р . д2<р п\ щей уравнению Лапласа Аф = -^г + 0J, которая зависит только от х и г = }Л/2 + z2, можно найти сопряженную с ней функцию ф такую, что ф и ф вместе удовлетворяют системе (1). Это следует из того, что уравнение Лапласа в цилиндрических координатах х, г, 0 для функций, не зависящих от угла 0, записы- вается в виде дх \ дх]' dr \Г dr) U > и, значит, для каждого решения ф этого уравнения вы- ражение A dx-\-B dr, где Л = — г-|у- и В = г-^-, удов- . . дА дВ летворяет условию полного дифференциала -^7 = -^-. Заметим, однако, что в отличие от плоского случая функция ф уже не является гармонической, а удовлет- воряет уравнению « (T*L) = 0. (3) дх \ г дх ) ' dr \ г dr J ' ' Единственной гармонической функцией, зависящей только от г, является ф = a log г -ф Ь, а зависящей толь- ко от х — линейная функция ф = а% + & (а и b — по- стоянные). Далее по сложности идут гармонические по- линомы любой степени. Подбирая к таким ф сопряжен- ные функции, мы получим аналоги степеней (x-\-iy)n комплексного переменного — простейшие векторные функции, удовлетворяющие системе (1). Выпишем пять первых таких «степеней» (не считая тривиальной Z°= 1): Z- — log г — ix, Z2 = 2х -ф ir2, Z3 = r2 — 2x2 — 2ir2x, Z4 = 4x (3r2 - 2x2) - Sir2 (4x2 - r2), (4) Z5 = 3r2 _ 24r2x2 + 8x2 + 4ixr2 (4x2 - Sr2) (индексы вверху указывают степень ф — максимальную степень полинома). В курсах уравнений с частными
202 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI производными доказывается, что любое решение систе- мы (1) представляется (в некоторой окрестности произ- вольной точки) в виде ряда f(Z) = W, (5) k=0 где Z = х + ir, Zk — «степени» (4) и uk — действитель- ные постоянные. Кроме этих элементарных решений, соответствующих положительным степеням комплексного переменного z, можно написать еще решения, правильные в бесконеч- ности, которые соответствуют отрицательным степеням. Простейшим таким решением уравнения (2) будет функ- ция Ф = , где R = ]/х2 + у2 + z2 = /х2 + г2, а сопря- женная к ней функция ф=-^-. Остальные «отрицательные степени» получаются дифференцированием этих по х. Так мы находим v-i 1 + ix — х + ir2 Z ~ R ’ L ~~ R~3 ’ ' • .... г=£|1+;-П... (6) dx" \ R ' dx J v > Любое решение системы (1), правильное в бесконечно- сти, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим «степеням». Компоненты вектора скорости течения с осевой сим- метрией по осям х и г выражаются через потенциаль- ную функцию д по формулам Vx=^-, Vr = ~-, (7) х дх гдг ' ' и из (1) видно, что векторные линии поля скоростей совпадают с линиями ф(х, у) = const, так что ф, как и в плоском случае, служит функцией тока. Из тех же уравнений (1) видно, что линии ср = const и ф = const ортогональны, однако отображение f = ср + г’ф не кон- формно— оно преобразует бесконечно малые квадраты в прямоугольники. Рассматриваемые отображения составляют, следова- тельно, класс квазиконформных отображений. Система
ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 203 § 23] (1) представляет собой частный случай системы (15) из § 7 (гл. II), для которой коэффициенты а = с = г, a b = d = 0 (вместо принятых в гл. II обозначений х и у для независимых переменных здесь приняты х и г, а вместо и, v для функций — обозначения ф и ф). Коэф- , л / Ь И- d фициент А=ас — I—%— , положительность которого определяет эллиптичность системы, в нашем случае ра- вен г2, поэтому система (1) является сильно эллиптиче- ской лишь в областях, не примыкающих к оси вращения г = 0; на этой оси система вырождается. Из формул (18) того же § 7 видно, что дифферен- циалы решений системы (1) преобразуют окружности (х— хо)2-|-(г— Го)2 = const плоскости х + ir в эллипсы г0 (<р — ф0)2 + — (ф — фо)2 — const плоскости ср + 1ф, где фо = ф(%о, го), фо = ф(*о, го). При приближении точки %о + Йо к оси вращения отношение полуосей этих эллип- сов неограниченно возрастает. Такое нарушение ква- зиконформности является геометрическим признаком вырождения типа системы (1) на оси вращения. В обла- стях, замыкание которых не пересекается с осью вра- щения, отображения f = ф + гф, удовлетворяющие систе- ме (1) или, как мы еще будем говорить, квазиконформ- ные отображения по системе (1) — обладают основными свойствами конформных отображений. Поэтому решения задач с осевой симметрией, как правило, несущест- венно отличаются от решений соответствующих плоских задач. Метод источников. Решения (6) имеют простой фи- зический смысл. Вычисляя по формулам (7) вектор ско- рости течения, мы найдем, что для комплексного потен- циала f = Z-1 этот вектор равен + (8) Все векторы поля направлены к началу координат, а ве- личина вектора убывает обратно пропорционально квад- рату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, расположенного в начале (точ- нее — стока).
204 ПРОСТРА11СТЗСПНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ VI Размещая два источника интенсивностей ± q в точ- ках ±а оси к, получим осесимметричное движение с комплексным потенциалом f г 7\ _ а ( 1 + / (х + й)_________1 + i (х — а) 1<Л ) — <7 )/(х + а)2_|_г2 /(д. _ а)2 г2 (9) Предельное образование, которое получается в резуль- тате слияния таких источников с возрастающей интен- сивностью (а—>0, q-*oo, так что 2^7->ц), называется точечным диполем с моментом, направленным вдоль оси х. Как видно из (9), комплексный потенциал поля такого диполя , , „ — х + ir2 „-2 / (^) Н 1^3 -- (Ю) Точно так же другие «от- рицательные степени» Z~h Рис. 69. трактуются как комплекс- ные потенциалы полей мультиполей, которые получают- ся слиянием диполей (квадруполей), слиянием квадру- полей и т. д. Комбинируя элементарные решения системы (1), можно получать примеры движений с осевой симмет- рией. Рассмотрим, например, течение с комплексным потенциалом / (Z) = aZ2 — pZ-2, (II) где Z2 и Z~2 определяются по формулам (4) и (6), a a и a — положительные постоянные. Функция тока этого течения Ф = ar2 - |х обрашается в нуль на оси г — 0 и на окружности 7? = |/ — = /?0. Следовательно, это течение обтекает шар радиуса Ro с центром в начале так, что ось х является линией тока и осью симметрии течения. На рис. 69 изо- бражены линии тока ф = const этого течения в любой меридианной плоскости. Скорость течения в бесконеч- ности Ио,, очевидно, равна 2а.
§23] ДВИЖЕНИЯ с осевой симметрией 205 Если в этом примере заменить точечный диполь си- стемой источников интенсивностей ±q, расположенных в точках ±о оси х, то получим течение с комплексным потенциалом f(Z) = ^-Z2-fa(Z), где fa определяется формулой (9). Линия тока ф = 0 распадается на ось х и кривую овальной формы, окру- жающую точки Z = ±а. Течение обтекает поверхность, вытянутую вдоль своей оси вращения х, со ско- ростью К» в бесконечно- сти, направленной вдоль этой оси. На рис. 70 изображены липни тока в любом меридианном сечении. Пример можно обоб- щить, если считать, что источники размещены на произвольном множестве Е оси х (ограниченном хотя бы слева) с переменной плотно- стью распределения интенсивностей. Комплексный потен- циал такого течения задается формулой f(Z) К £ 2 а функция тока 2 J У (X - £)- + г2 £. (12) (13) Чтобы на участках оси х вне обтекаемого тела было ф(х, 0) = 0, очевидно, необходимо и достаточно потре- бовать равенство нулю суммарной обильности источни- ков: J ?(« = о. Е (14) При соблюдении этого условия уравнение ф(х, г) = 0, где ф определена формулой (13), распадается на г — 0 и уравнение профиля обтекаемого тела вращения. Оче- видно, что это тело содержит множество Е.
206 пространственные задачи [гл. VI Можно обратить задачу — задаться формой профиля тела вращения и искать распределение источников на оси вращения так, чтобы создаваемое этими источниками течение обтекало заданное тело. Для решения такой за- дачи можно также воспользоваться формулой (13). На этот раз в ней нужно считать известной функцию г = г(х) (уравнение профиля обтекаемого тела), и тогда ф(х, г) = 0 вместе с условием (14) будет интегральным уравнением относительно неизвестной плотности рас- пределения источников 1?(£). Задачи обтекания. Одна из часто встречающихся на практике задач с осевой симметрией — это задача о те- чении в трубе, меридианное сечение которой представ- ляет собой полосу D, ограниченную осью х и кривой Г с асимптотой, параллельной этой оси. На оси х, так же как и на Г, функция ф должна принимать постоянные значения, так что задача сводится к квазиконформному по системе (1) отображению f полосы D на прямолиней- ную полосу {0 < ф < h} с соответствием точек /(±оо) = - ±00. Для выяснения смысла величины h вычислим поток вектора скорости через любое поперечное сечение S тру- бы (все такие потоки одинаковы), например, через се- чение х = Xq. Если учесть, что здесь нормальная состав- rz TZ дф 1 дф ляющая скорости vn = Vx = а элемент площади сечения dS = г drdQ, то поток N = ^VndS = s 2л Го = J dQ | у-^-Гб/г = 2л{ф(х0, г0) — ф (0, г0)}. о о Мы видим, что ширина h полосы в плоскости комп- лексного потенциала выражается через расход N по формуле л-i. (15) Точно так же задача о течении с осевой симметрией вне тела вращения (конечно, ось тела должна совпадать
§ 23] ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 207 с осью симметрии течения) сводится к квазиконформ- ному по системе (1) отображению на полуплоскость {ф > 0} области, которая получается из полуплоскости {г > 0} выбрасыванием меридианного сечения тела. При этом бесконечные точки должны соответствовать друг другу и нужно задать величину скорости в бесконеч- ности. Хотя система (1) имеет особенность на оси вращения г = 0, на нее, тем не менее, можно распространить тео- рему Римана о существовании и единственности отобра- жений. В основу доказательства можно положить вариа- ционные принципы, которые, как отмечалось в гл. Ill, справедливы и для квазиконформных отображений. (Заметим, что в рассматриваемых нами задачах варьи- ровать границу надо лишь для значений г е [г0, /]], где Го > 0, Г] < оо, а для таких г система (1) сильно эллип- тична.) Аналогично, даже с некоторыми упрощениями, свя- занными с тем, что вырождение системы (1) можно не учитывать, доказывается существование и единствен- ность течения в пространственной области, заключенной между двумя соосными поверхностями вращения, мери- дианное сечение которой представляет собой полосу, ограниченную кривыми Го и Гь Узкие трубы. Для прикидочных подсчетов и прибли- женного решения ряда гидродицамических задач весьма полезны приближенные выражения скорости течения в узких трубах и в узких слоях между соосными поверхно- стями вращения. Эти выражения получаются примерно так же, как в плоском случае. Мы остановимся на слу- чае течений в трубах. Зададимся малой величиной h и будем рассматри- вать трубы, в уравнении границы меридианного сече- ния Г: г = г(х) которых г и г" являются величинами порядка h, а г' — малой высшего порядка. Можно до- казать, что как и в случае конформных отображений, влияние вариации границы области на квазиконформ- ное по системе (1) отображение сильно убывает по мере удаления от места вариации1). Отсюда следует, что >) При этом предполагается, что вариация происходит в окрест- ности точки Ze = Xq ф ir9, где Гр =£ О,
208 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ VI формула, которую мы хотим получить, имеет локальный характер и, значит, при ее выводе можно ограничиться несколькими членами тейлоровского разложения гра- ницы области и несколькими членами разложения (5) предыдущего параграфа для отображающей функции. Без ограничения общности можно считать, что точка, в которой мы хотим определять скорость, есть точка Zo — iTq. В ее окрестности уравнение Г имеет вид г" г « г0 + г'х + -J- X2, (16) где производные берутся в точке х0 = 0. Так как при г = 0 у нас должно быть ф = 0, то в разложении (5) для отображающей функции должно быть ао = а1 = О; в нашем приближении мы ограничимся тремя ненуле- выми членами этого разложения: f(Z)«a2Z2 + a3Z3 + a4Z4. (17) Отделяя здесь мнимые части, мы найдем с учетом выражений (4) для Zft приближенную формулу для функции тока: ф (Z) г2 {а2 — 2а3х — За4 (4х2 — г2)}. На кривой Г эта функция должна принимать по- стоянное значение h, поэтому мы подставляем сюда вы- ражение (16) и приравниваем результаты h. Так мы находим коэффициенты: h г' . r"h ®2 гг > аз уз а4 — 12г3 Подставляя это в (17) и отделяя действительные ча- сти, получаем приближенное выр\„Ление для <р, из ко- торого по формуле ,/’/ д<р \2 . / дф \2 V \ дх )х=0 ( dr находим искомое выражение для скорости: (18) Заметим, что главный член формулы отвечает слу- чаю поступательного движения в круглом цилиндре со
S 21] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ 339 скоростью /=тг; расход здесь равен xr = '2~Ji в соответствии с формулой (15). Аналогичным способом получается формула и для скорости движения з узких слоях между двумя соосными поверхностями вращения. Формула (18) позволяет решить з случае осевой сим- метрии и некоторые задачи со свободной границей. Вот одна из таких задач, связанная с капиллярными вол- нами. Как известно (см., например, Ламо [1]), сила поверхностного натяжения, действующая на свободную поверхность, пропорциональна средней кривизне этой поверхности. В случае узкой трубки, удовлетворяющей условиям, в которых была выведена формула (18), мак- симальная и минимальная кривизны плоских сечений со- 1 ответственно равны — и г, так что средняя кривизна 1 rr Е олизка к —. Пользуясь интегралом Бернулли, мы по- лучаем следующее дифференциальное уравнение для меридианного сечения поверхности трубки: = (19) (А и с — постоянные). Оно лишь членами высшего по- рядка отличается от уравнения (13) § 20 (гл. V) для плоских волн в тяжелой жидкости, так что мы получаем возможность провести з случае капиллярных волн та- кое же исследование, как в гл. V для плоских вслн. § 24. Пространственные движения Трудности пространственного случая. Основным ма- тематическим аппаратом решения плоских задач и за- дач с ссеЕой симметрией является теория конформных и квазиконформных отображений. К великому сожале- нию, в пространстве ксноормные отображения состав- ляют очень узкий класс (согласно классической теореме Лимбелля они сводятся к сдвигу, растяжению с пово- ротом и инверсиям относительно сфер), а квазиконформ- ные— хотя их запас и достаточно велик — еще сравни- тельно мало изучены.
210 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI Мы ограничимся установившимися движениями иде- альной несжимаемой жидкости. Если, как и раньше, предположить еще, что движение — безвихревое и без источников в области течения, то по-прежнему будет существовать потенциал скоростей ср — гармоническая функция трех переменных: V = grad<p, Аф — 4-^ + 4-v + 4-v — 0. (1) ° г v дх2 1 ду2 dz2 ' ' Гармонические функции в пространстве хорошо изу- чены и обладают многими свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций двух переменных. Однако в пространстве нет понятия сопряженности гар- монических функций, которое связывало бы потенциал с функцией тока, как на плоскости. Хотелось бы наряду с потенциалом скоростей ф(х, у, z) иметь еще две функ- ции ф1(х, у, z) и ф2(х, У, z)~ гармонические или удовлет- воряющие другим простым уравнениям, такие, что по- верхности уровня ф| — С[, ф2 = с2 пересекаются по ли- ниям тока течения, причем три семейства поверхностей Ф = с, ф1 = Ci, ф2 = С2 взаимно ортогональны. К сожа- лению, таких функций тока построить в общем случае не удается. Поэтому задачи обтекания нельзя по аналогии с пло- ским случаем сводить к отображению области течения на область в «пространстве потенциала» (ф, фь ф2). Условие обтекания приходится формулировать лишь в терминах одной функции ф как условие ортогональности вектора gradф с нормалью п к обтекаемой поверхности: (grad ф, /1°) = -^-=°, (2) где п° — единичный вектор нормали, а -^- — производ- ная в направлении нормали. Если область течения со- держит бесконечную точку, то требуют еще существова- ния предела §табф при х2 + у2 + z2 —► оо — скорости на бесконечности Уоо — и считают этот вектор заданным. В теории уравнений с частными производными дока- зывается, что для областей D с достаточно гладкой гра- ницей гармоническая в D функция ф, удовлетворяющая граничному условию (2) и сформулированному выше ня бесконечности, если D содержит бесконеч-
§ 24] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ 211 ную точку, всегда существует и определяется с точно- стью до действительной постоянной1). Для некоторых задач область течения D содержит бесконечность не внутри, а на границе, и тогда задание условий на бес- конечности несколько усложняется — об этом мы будем говорить ниже. Только очень немногие пространственные задачи ре- шаются до конца в элементарных или специальных функциях. Поэтому классические методы почти ничего не дают для решения таких задач и пространственная гидродинамика осталась еще очень мало разработанной. Между тем, именно в этой области можно надеяться на существенные продвижения, если широко пользоваться, с одной стороны, вычислительными машинами и с дру- гой— новыми методами, основанными на локальном изучении явлений в отдельных зонах и склейке получен- ных при этом-решений в соседних зонах. Элементарные решения. Отметим несколько простых решений уравнения Лапласа (1), которыми можно поль- зоваться для локального приближения произвольных решений. Это, прежде всего, большой запас гармониче- ских полиномов: любая константа, любая линейная функция ах -ф by -ф cz, полиномы второй степени, кото- рые представляют собой линейные комбинации с произ- вольными коэффициентами функций ху, yz, гх, ах2 -ф by2 — (a + b) z2, полиномы третьей степени — такие же комбинации функций xyz, х {ах2 -ф by2 — (За -ф &) z2) и двух других, получаемых из последней круговой за- меной х, у и z, и т. д. Линейными комбинациями гармонических многочле- нов можно с любой точностью приблизить в произволь- ной ограниченной области D со связным дополнением любую функцию ср, гармоническую в окрестности D {теорема Рунге). ’) Задача восстановления гармонической в области функции по заданной на границе нормальной производной называется задачей Неймана.
212 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ, VI Наряду с гармоническими полиномами, которые (кроме константы) имеют особенность в бесконечности, можно рассматривать запас функций, правильных в бес- конечности: это функция Ф (Р) = = -^===^======, (3) лр V (х — а)2 + (.у — Ь)2 + (г — с)2 где q— постоянная и RAP— расстояние от произвольной фиксированной точки А — (а, Ь, с) до точки Р — (х, у, г), ^i + kj+k3 а также любые ее производные fe[ (&ь k3>0). Функция (3) имеет простой физический смысл — это потенциал точечного источника, расположенного в точке А — (а, Ь, с). В силу гармоничности ф поток вектора ско- рости У=§гас1ф через любую замкнутую поверхность, содержащую точку А внутри, имеет одно и то же зна- чение (теорема Остроградского). Вычисляя этот поток через сферу S = {Rap — М с центром в А, находим = _ f _£-ds = _^_4np2==_4 J J 7 так что величина q характеризует обильность источника. Предельное образование, получаемое слиянием источника и стока обильностей ±q, расположенных в точках А и А', когда А'—>А по прямой направления / = (cosa, cosfJ, cosy), a qr'AA->p, называется диполем с осью I и моментом ц; потенциал диполя равен д / 1 \ / d. Q д . <Э \ 1 cos 0 и~di W = цlcos“+ cosP W + cosV = н, (4) где R = Rap, а 9 — угол между векторами R = АР и осью диполя I. Аналогично трактуются и старшие про- изводные функции (3). Рассмотрим теперь примеры сочетания этих элемен- тарных решений. Метод источников. В предыдущем параграфе мы рас- смотрели течение с осевой симметрией, которое полу- чается, если в поступательный поток в направлении оси х внести источники, расположенные на оси х. Если
§241 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ 213 источники располагаются не на оси поступательного потока, то течение осевой симметрией обладать уже не будет. Внесем, например, в поступательный поток со ско- ростью Voo, направленной вдоль оси х, два источника одинаковой обильности q, расположив их перпендику- лярно к этой оси, в точках ±а оси z; мы получим тече- ние с потенциалом <р = l^x 4- о I г -г ,Л- П х2 + у2 + (z — а)2 Ух2 + у2 + (z + а)2 Координаты вектора скорости равны соответствующим частным производным функции <р, и мы имеем X^l ^2/ у 4-_Ц (6) У 1 j 7 Х ' tz f z — а , z + а\ v‘=“’hr+^r)' где /?i,2 = V У1 + У1 + (г + а)2— расстояния точки (х, у, z) от источников. При 2 = 0 у нас V2 s= 0, следо- вательно, рассматриваемый поток обтекает плоскость (х, у). В этой плоскости мы получаем векторное поле которое (как плоское поле) не является ни потенциаль- ным, ни соленоидальным. Построим еще семейство поверхностей, образованных линиями тока этого течения, которое зависит от пара- метра h. Такие поверхности z = z(x,y) должны удов- летворять уравнению с частными производными первого порядка Vx^-\-Vy~^Vz (8) х дх у ду £ 4 7 с коэффициентами, определяемыми по формулам (6). Мы рассмотрим решение асимптотической задачи Ко- ши для этого уравнения: z-*-h при х->—оо, где h, 0 < /г < а, — некоторая постоянная.
214 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ (ГЛ. VI Можно доказать, что такое решение представляет собой поверхность z = z(x, у) с единственным макси- мумом на оси х вблизи начала координат (величина этого максимума зависит от q) и асимптотически стре- мящуюся к плоскости z — h при г=У х2 + у2 —> оо, при- чем z— h. имеет порядок (рис. 71). Эти утвержде- ния основаны на том, что влияние источников сказы- вается лишь в окрестности начала координат; при уда- лении в бесконечность их влияние затухает со скоростью 1 р-, и превалирующим становится поступательное дви- жение. Мы построили течение, обтекающее простран- ственный слой {0 < z < z(x, у)} со скоростью в беско- нечности Vx, направленной по оси х. Этот пример можно обобщить, если вместо одной пары источников рассмотреть семейство таких пар, рас- положенных над кругом t2 + г|2 < г2 в точках (|, т], ±а(1, л))- Если варьировать функцию а(£, ц) и плотность распределения обильности источника <?(£, ц), то формула q>(x, y,z)=VMx+ ^(g, t))(-t====L===+ 9 J У , kF (х-£)2+(//-Ч)2+(г-а)2 ________________1______________ /(x-^ + (y-T))’ + (z-W даст потенциал течения, обтекающего пространственный слой (0 < z < z(x, у)}, где z = z(x, у) — поверхность из достаточно широкого класса.
§ 25) МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 215 § 25. Модельные задачи Здесь мы рассмотрим несколько вопросов, не свя- занных непосредственно с определенными гидродинами- ческими задачами, но относящихся к ситуациям, близ- ким к тем, которые встречаются в пространственных за- дачах гидродинамики. Вариационные принципы. В пространственном слу- чае вариационный принцип для течения в слоях в по- становке, аналогичной той, которая была дана в пло- ском случае (см. § 12 гл. III), оказывается неверным. В самом деле, пусть имеется поступательное движение в слое между двумя горизонтальными плоскостями. Очевидно, что если вставить в поток тонкий нож, пло- скость лезвия которого направлена по течению, то ни- чего не произойдет — все линии тока и скорости оста- нутся неизменными. Ясно, что принцип не сохраняется и в том случае, когда деформации границ производятся в классе гладких поверхностей. Например, в том же слое продавим нижнюю плоскость вверх так, чтобы об- разовался гладкий узкий холм, сплюснутый в направле- нии поступательного потока и симметричный относительно плоскости, направленной по течению (рис. 72,а). Тогда линии тока в плоскости симметрии, как и в плоской задаче, поднимутся и скорости над вершиной холма воз- растут. Но некоторые линии тока просто раздвинутся, обходя холм с боков, и скорости на второй плоскости не обязаны всюду возрастать. Здесь проявляется принципиальное отличие про- странственного случая от плоского, которому в нашем примере соответствует продавливание нижней плоскости
216 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI в форме бесконечного хребта — цилиндрической поверх- ности с образующими, перпендикулярными течению (рис. 72,6). При продавливании такого вида все линии тока поднимутся, входя в сузившийся проход над хреб- том, а скорость на второй плоскости всюду возрастет. Математически нарушение вариационного принципа в пространственных задачах связано с тем, что здесь поверхности, образованные линиями тока, вообще го- воря, не являются поверхностями уровня гармонических функций. А для поверхностей уровня гармонических функций вариационный принцип остается справедливым в следующей форме. Пусть D — область типа простран- ственного слоя, которая ограничена поверхностями Го: z = z0(x, у) и Г: z = z(x, у), где 20 и z — гладкие функ- ции, определенные во всей плоскости, и всюду Zq(x, у) <Z <Zz(x,y). Через D мы обозначим такую же область, ограниченную поверхностями Го: z = Zo(x, у) и Г: г = = z(x,y), а через и и й— гармонические в D и соот- ветственно в D функции, непрерывные в замыкании этих областей, которые на Го принимают значение 0, а на Г и Г равны 1. Через Г; и Гг, где 0 < t < 1, соответствен- но обозначим поверхности уровня н(х, у, z) = i и й(х, у, z) = t. В этих обозначениях справедлив (см. М. А. Ла в- р е н т ь е в [6]) следующий Вариационный принцип. Если область D со- держится в D, то: 1) все поверхности Г/ лежат ниже Tf, 0 < t < 1, 2) во всех точках Го производная в направлении „ дй ди внутренней нормали , дй__ди 3) если Г и Г имеют общие точки, то в них-^-^-^-. При этом соприкосновение Г( и Г< при 0 < t < 1 и до- стижение знаков равенства возможно лишь при совпа- дении D и D. Сузим класс рассматриваемых областей D, предпо- ложив, во-первых, что через каждую точку их границ можно провести две касательные сферы фиксированного радиуса из которых одна лежит в D, а другая рне D, и во-вторых, что лежащие в D отрезки нормалей
МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 217 § 25] к границам в каждой их точке не меньше А? и не боль- ше N', где ;V > 0 и N' < оо — фиксированные постоян- ные. Пользуясь вариационным принципом и произведя оценки для элементарных гармонических функций, на области этого класса можно распространить принцип затухания локальных вариаций в следующей форме: Пусть область D отличается от D лишь в малой окрестности какой-либо граничной точки Qo и отклоне- ние D от D также невелико. Тогда в любой внутренней точке Р или граничной точке Q области D \й(Р)-и(Р)\, (1) ' ' ’ ' ’ ” I дп <9/?. |q d3 х ’ где А и В — постоянные, зависящие лишь от k, N и N', d — расстояние точки от места вариации и о — объем, заключенный между границами D и D. Узкие слои. Рассмотрим область D, удовлетворяю- щую сформулированным выше условиям, и кроме того, предположим, что для любой точки Qo е Го отрезок n = QoQ нормали к Го, лежащий в D, заключен в пре- делах Nh, N'h, где N и N' — фиксированные постоянные, a h — малая величина. Будем еще считать, что произ- водные функций z0(x, у) и z(x, у) до третьего порядка во всех точках имеют тот же порядок h. Для таких узких слоев можно дать формулу, обоб- щающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нор- мальной производной гармонической в слое функции и, которая на Го принимает значение 0, а на Г равна по- стоянной Н. Согласно принципу затухания задача имеет локаль- ный характер, поэтому при подсчете мы можем заме- нить Го и Г в окрестности рассматриваемой точки Qo поверхностями уровня гармонических многочленов. Под- счет упростится, если воспользоваться следующим сооб- ражением. Обозначим через 9 угол между нормалью QoQ к Го в точке Qo и нормалью QQ' к Г в точке Q; по условию 9 имеет порядок h. Но -у- является четной
218 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI функцией от 9, ибо при замене 9 на —9, которая экви- валентна повороту слоя на 180° вокруг нормали Q0Q, величина этой производной не изменится. Поэтому при разложении по степеням 9 коэффициент при пер- вой степени должен обращаться в нуль, а величинами порядка h2 мы пренебрегаем, и следовательно, при на- шем подсчете мы можем считать 0 = 0. Далее без ограничения общности можно считать, что Qo— начало координат и что касательные плоскости в Qo и Q горизонтальны. Тогда в пределах принятой точности можно заменить Го и Г поверхностями уровня гармонического многочлена Ф = z + а (г2 — х2) 4- b (г2 — у2), (2) первую—уровня 0, вторую — уровня h. Длина нор- мали n — QoQ определится из уравнения n-f- (a-\-b)n2=h, откуда п ~ 2 (У" 1 + 4/г (а + &) — 1) ~ /г — (« + &) /г2 * {a -f- и) мы заменили У1 + а « 1 + у — . Но тогда ’Un ибо в пределах принятой точности мы можем в средней части этой формулы принять h ~ п. Остается заметить, что по известным формулам диф- ференциальной геометрии главные кривизны поверхно- сти Го в точке Qo k> — 2а, k2 = 2b (мы приняли за Го поверхность Ф = 0), и мы получим окончательно Гармонические отображения. Мы уже говорили о трудностях, которые возникают в пространственных за- дачах в связи с отсутствием функций тока. Однако вве- сти понятие сопряженности трех гармонических функций
§ 25] МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 219 в пространстве удается, и эта сопряженность аналогична той, которая на плоскости связывает потенциал и функ- цию тока. Именно, три функции и, v и w переменных х, у и z называются сопряженными, если они являются соответствующими частными производными некоторой гармонической функции ср: <Э<р дер дер и—^-, v = w—-~ дх ду ' дг (4) (гармоничность самих функций и, v и w вытекает авто- матически из того, что уравнение Лапласа можно диф- ференцировать частным образом по х, у и z). В пло- ском случае, когда ср — гармоническая функция от х dm дер иу,а и — , v = ^r-, мы имеем соотношения дх ’ ду ди dv ди dv ду дх ’ дх ду (первое в силу равенства смешанных производных ср, а второе в силу того, что ср удовлетворяет уравнению Лапласа), которые показывают, что функция f = и -ф iv является антианалитической, т. е. функции и и —v — сопряженные гармонические в обычном смысле. Легко видеть, что введенное условие (4) сопряжен- ности в пространстве эквивалентно тому, что векторное поле f = (м, v, w) является одновременно потенциаль- ным и соленоидальным: rot/ = 0, divf = O (5) (мы предполагаем, что область, в которой рассматри- вается поле, является односвязной, т. е. что в ней лю- бой замкнутый путь непрерывной деформацией можно стянуть в точку). В самом деле, из первого условия (5) следует существование потенциала — функции <р такой, что f=grad ср, а второе показывает, что Дср=div grad <р= = 0. Мы доказали, что из (5) следует (4), а обратное доказывается также просто. Отображения f, удовлетворяющие эквивалентным условиям (4) или (5), мы будем называть гармониче- скими. Очевидно, что это — отображение области тече- ния жидкости на область изменения вектора скорости, если жидкость идеальная, течение установившееся и в области течения нет ни вихрей, ни источников.
220 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI Заметим, что якобиан отображения f Фхх фху Фхг д (и, v, w) д (х, у, г) ~ Фух Чуу <Pyz (6) Фгх <Pzy <Pzz (такой определитель называется гессианом функции qp) не принимает положительных значений — это следует из того, что гармоническая функция <р не может внутри области иметь ни минимумов, ни максимумов. Поэтому f всегда меняет ориентацию; чтобы получить отображе- ние, сохраняющее ориентацию, мы должны изменить знак одной из координат, либо переменить их порядок. Кроме того, в отличие от плоского случая, система (5), определяющая отображение f, переопределена: она содержит четыре уравнения относительно трех неиз- вестных функций, поэтому естественно ожидать, что тео- рема Римана на гармонические отображения не распро- страняется, т. е. не всякую односвязную пространствен- ную область можно гармонически отобразить на другую такую же область. Например, по-видимому, не суще- ствует гармонического отображения слоя {0 < г < 1} на шар и2 + ц2 ф- w2 < 1 (доказательства этого утвержде- ния пока нет). Тем не менее области D = {z0(x, у) < < z < г(х, у)} типа слоя, границы которых Го и Г удов- летворяют соответствующим условиям, можно гармони- чески отображать на плоский слой. Справедливо, напри- мер, такое утверждение: Если границы Го и Г области D типа слоя дважды гладки и при x2 + t/2—достаточно быстро стремятся к горизонтальным асимптотам, скажем, к z = 0 и z=h, причем первые и вторые производные функций г0 и z достаточно быстро стремятся к нулю, то гармоническое отображение f — (и, v, w) этой области на слон {0 < w < Н} существует. Отображение f определяется единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы точка (0, 0, г0(0, 0)) переходила в (0, 0, 0), а оси и соответствовала кривая с асимптотой, параллельной оси х, и задать растяжение в бесконечности вдоль этой кривой. Приведем идею доказательства, ограничиваясь для простоты письма случаем, когда Го совпадает с пло-
МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 221 § 25] скостью z = 0. Третья координата w отображения f должна быть гармонической в D функцией, которая на Го принимает значение 0, а на Г равна 1. Ее определе- ние, таким образом, сводится к задаче Дирихле, которая в принятых условиях имеет единственное решение w(x,y,z). По известной w функция qp, градиентом кото- рой является f, восстанавливается интегрированием с точностью до функции ф от двух переменных: Z <р (х, у, z) = j w (х, у, + Ф (х, у). (7) о Функцию ф надо выбрать так, чтобы qp была гармо- нической. Вычисляя оператор Лапласа от qp и пользуясь гармоничностью w, мы получаем Z Аф = _ + + + = +^L + ^_ 4 J dg2 ъ dz 1 дх2 ду2 dz |2==0 1 дх2 1 ду2 Таким образом, ф должна удовлетворять уравнению Пуассона Кроме того, как видно из (7), grad ф осуществляет гомеоморфное отображение плоскости х -ф iy на пло- скость u-\-iv. Воспользуемся еще тем, что в принятых условиях для больших х2 -ф у2 близка к постоянной , а значит, фо (вместе с производными) близка к ре- шению уравнения Дфо = -Т- Любое решение последнего уравнения представляется в виде ф0 = Р(х, у) — -|^х2, где Р — гармоническая во всей плоскости функция. Так как grad ф0 = grad Р — — ~^~х ’) переводит бесконечность в бесконечность, то ') Здесь, как и раньше, мы представляем плоские векторы ком- плексными числами.
222 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI Р — гармонический полином. Если его степень выше 2, то grad тро, а значит, и близкий к нему grad тр не может быть взаимно однозначным в окрестности бесконечности. Поэтому Р = а0 + aix -ф- biy -ф а2ху -ф Ь2(х2 — г/2), и сле- довательно, grad ф = aj -ф- (2b2 — yj х -ф- а2у -ф i (bx -ф а2х — 2Z>2t/) + + <х(х, у) -ф /р(х, у), (0) где аир стремятся к нулю при х2-фу2—>оо. Из соответствия точек х — у = 0 и и — v = О мы находим «1 = —а(0,0), Ь\ =—(3(0,0), из параллельно- сти оси х прообраза оси заключаем, что а2 = 0, а тогда заданное растяжение этого прообраза в бесконечности позволяет найти Ь2 — отображение f определено един- ственным образом. Векторные функции, осуществляющие гармонические отображения, обладают рядом свойств, аналогичных свойствам аналитических функций. Некоторые из них можно найти в книгах А. В. Б и ц а д з е [3] или С. Берг- мана [4]. Следует, однако, отметить, что теория таких функций разработана еще очень мало. Системы из трех уравнений. Рассмотрим произволь- ное гладкое отображение f = (и, v, w) области D — = {z0(x, у) < z < z(x, у)} типа слоя на слой Если якобиан этого отображения не обращается в нуль (что мы и предположим), то его дифференциал df —-уг- dx -ф dy -ф -^-dz ' дх ' ду 1 dz преобразует в единичный куб со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, некоторый парал- лелепипед (рис. 73). Будем трактовать f как преобразование некоторого течения в области D в поступательное движение в пло- ском слое {0 < w < Н} в направлении оси и; пусть и будет потенциал скоростей. Геометрически естественно потребовать, чтобы ребро PPi параллелепипеда, соответ- ствующее ребру куба, параллельному оси и, было пер- пендикулярно плоскости его грани, соответствующей грани куба и — const. Это условие выражается двумя
§ 25] модельные задачи 223 уравнениями: иХ____________иУ_____ _ ___________ (До. VyWz—VzWy ~~ Vzwx—vxwz ~ VxWy—VyWx' Третье уравнение естественно задать как условие, вы- ражающее режим рассматриваемого течения, в виде Рис. 73. зависимости ребра р = РР\ параллелепипеда от пло- щади о ортогональной к нему грани: Р = Р(°)> (Н) где р (о) — возрастающая функция, р(0) = 0. Если учесть, что у нас р= |gradMj (величина, обратная ско- рости), а р<з— объем параллелепипеда, равный обрат- „ х , д (и, v, ш) нои величине якобиана J— то это условие д (х, у, z) ’ J также запишется в виде некоторого нелинейного урав- нения с частными производными первого порядка. Особо следует рассмотреть случай, когда уравнение (11) имеет вид о = р2, т. е. 7 = | grad « |3. (12) Если к системе трех уравнений (10), (12) добавить еще два условия, выражающих, что грань с представляет собой квадрат: 1) 0 = у, где 0 — угол между РР2 и РР3 и 2) | grad п| — |grad w|, то полученная система из пяти уравнений будет выражать условия конформности ото- бражения f. Полученная система переопределена, и это делает понятной теорему Лиувилля, выражающую тот
224 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI факт, что класс конформных отображений в простран- стве весьма невелик (мы говорили об этой теореме в начале главы). Представляет большой интерес изучить системы вида (10) — (11) и, в частности, попытаться распространить на них теорему Римана о существовании отображений и другие свойства конформных и квазиконформных ото- бражений плоских областей. § 26. Гидродинамические задачи Здесь мы рассмотрим несколько пространственных задач гидродинамики, решения которых можно получить методами, изложенными выше. Течения, близкие к плоским. В § 24 мы рассмотрели течение в слое {0 < z < z(x, у)}, где Г: z = z(x, у) — поверхность с единственным максимумом, приближаю- щаяся со скоростью (г2 — х2 у2) к своей асимп- тоте z = h, скорость течения в бесконечности направ- лена по оси х и, как видно из формул (6) того же параграфа, координаты. скорости Vy и Vz на бесконеч- & 11,, ности убывают соответственно как и , a Vx стре- мится к К» тоже как • Для больших г течение, следо- вательно, близко к поступательному движению. Здесь мы рассмотрим течения в слоях D = {20 (х, у) < Z < z (х, у)}, (1) которые предположим тонкими и мало отличающимися от плоских. Для этого введем следующее: Условие (А): существует малое число h такое, что для всех х, у 1) 0 г0 (х, у) koh, h^.z(x, у)< (1 + k0) h; z0(x, у), z(x, у) — h < koe-r\ I I I !?£ I <r ь h2 • I d2z<> I I I ь h ' I dx | ’ | I 1 1 + r2 ’ I dx2 I ’ I dx2 2 1 + r2 ’ ox |5zo| I I h3 . I d2z0 I | d2z | A h2 I ду I' | dy j Й11 -f- r2 ’ | dy2 Г 10ц2 [ 2l-hr2’
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 225 § 26] где &о, и k2 — некоторые положительные постоянные. Кроме того, мы будем рассматривать лишь течения, у которых скорость в бесконечности направлена вдоль оси х. Для областей этого класса и малы сравни- dz0 дг - тельно с ^7 и поэтому задача обтекания, кото- рая, как мы видели, сводится к отысканию гармониче- ской в D функции ср по граничному условию д<р __ дг0 . дф дг0 да дх дх ' ду ду ' на Го: z = z0(x,y) и аналогичному условию на Г: z — z(x, у), допускает приближенное решение. Имен- но, мы пренебрежем в (3) и в таком же условии на Г дга дг дф членами с и а -Д- положим равной постоян- ду оу дх г ной величине V». Тогда условия обтекания примут вид дф дг0 „ дф ,, дг — на Го, на Г. (4) дг 00 дх и’ дг °° дх 4 ' Условия (4) представляют собой задачу Дирихле для гармонической функции Решив эту задачу, мы, как И в предыдущем параграфе, найдем <р интегрированием, а появляющийся при интегрировании произвол устраним при помощи асимптотических условий на бесконечности. Вариационные принципы. Мы уже отмечали, что в случае произвольных пространственных слоев вариа- ционный принцип в обычной гидродинамической поста- новке несправедлив: продавливание обтекаемой поверх- ности в форме тонкого холма, сплюснутого по направ- лению течения, может привести лишь к раздвиганию линий тока без увеличения скорости на противополож- ной стенке. Если, однако, ограничиться движениями в слоях, удовлетворяющих условию (А) и имеющих фик- сированную скорость в бесконечности, параллельную оси х, и предположить еще, что вариации поверхностей не выводят из рассматриваемого класса, то принцип останется справедливым в следующей форме: Пусть в принятых условиях область D — {z0(x, у) < .< z < г(х, у)} принадлежит области D; тогда: 1) во 8 М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат
226 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI всех точках поверхности Го скорости течения в D боль- ше скорости течения в D\ 2) если Г отличается от Г лишь в ограниченной области, то во всех общих точках Г и Г скорость течения в В меньше скорости течения в D. Для областей рассматриваемого класса справедлив также принцип локализации, по которому при локаль- ной вариации границы слоя величина вариации скорости убывает по закону \6V\<Ae-Bd~, (5) а6 ' ' где А и В — постоянные, d — расстояние до места вариа- ции и о — объем, заключенный между исходной и про- варьированной границей. Доказательство этого утверждения получается при помощи вариационного принципа, сформулированного выше. Для его применения достаточно мажорировать рассматриваемый слой таким, течение в котором описы- вается элементарными функциями (см. § 24). Течения в узких слоях. Принцип локализации позво- ляет строить приближенные решения пространственной задачи обтекания, достаточно точные для практических приложений. Общая схема построения примерно такая же, как в плоском и осесимметрическом случае. Пусть дана пространственная область D = {0 < г < <г(х, у)} типа слоя, удовлетворяющая условию (А), и нам нужно изучить течение в окрестности U какой- либо точки (хо, Уо)- Вне этой окрестности мы будем считать все линии тока близкими к параллелям оси х и, учитывая, что слой D — узкий, воспользуемся «гидра- влическим» приближением, в котором предполагается, что величина V и направление а скорости постоянны на каждом вертикальном отрезке, заключенном в D. Это упрощение приведет нас к плоской задаче 1 дУ_____да ___ 1 дг да _____ h dz . . V дх ду г дх 1 дх г2 ду ’ * ' где z — z(x, у) — уравнение границы слоя Г (уравнения (6) представляют собой запись условий потенциально- сти и неразрывности в наших предположениях). Система (6) решается простым интегрированием — сначала нахо-
§ 261 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 227 дим а из второго уравнения, затем результат подстав- ляем в первое: X а(х, y) = h f —~ v J z2(l, у) ду V(x, y) = V0 ,h v z (x, y) (7) -a m2U J J z2 (g, y) dy2 z3 (g, y) \dy / । где Vo —скорость течения в —оо (мы воспользовались еще тем, что z(x,y)->h при х-*—оо и, считая -уу близким к I, заменили log-fry тут-1 ь Vah Voh ) В интересующей нас окрестности U мы будем поль- зоваться другими идеями. Именно, на основании прин- ципа локализации, мы заменим в этой окрестности за- данную поверхность Г поверхностью Г: z = z(x, у), близкой к Г и такой, что в слое между z — 0 и Г тече- ние описывается элементарными функциями. Близость Г к Г мы обеспечим условием, что эти поверхности имеют в точке (х0, Уо, z(x0, Уо)) соприкосновение достаточно вы- сокого порядка (условие совпадения достаточного коли- чества коэффициентов тейлоровского разложения функ- ций г(х, у) и г(х, у) в рассматриваемой точке). Запас поверхностей Г с известными течениями нам дает метод источников, который был изложен в § 24, — решение (6) § 24 содержит лишь два параметра (q и а), что дает лишь грубое приближение, но более общая фор- мула (9) § 24 позволяет в принципе получить элемен- тарное решение с любым числом параметров. Подробнее с описанным методом можно ознако- миться по работе М. А. Лаврентьева [7]. Отметим еще некоторые постановки, связанные с движением жидкости в узких слоях {z0 (х, у) < г < <г(х, у)}. Прежде всего нужно получить приближен- ные уравнения для поля скоростей с учетом узости слоя, обобщающие и уточняющие уравнения (6). Эти
228 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI уравнения должны связывать производные по перемен- ным х и у от величины V и направления а вектора скорости течения на нижней границе слоя и представ- лять собой линейную неоднородную систему двух урав- нений с частными производными первого порядка с ко- эффициентами и свободными членами, зависящими от уравнений границ слоя. Далее, желательно получить закон изменения поля скоростей при переходе от нижней границы слоя к верх- ней, а также изучить влияние локальной деформации границ на расстояниях от места деформации, значи- тельно превышающих ширину слоя. Задачи со свободной границей. Свободной границей пространственного течения называется поверхность, на которой давление всюду постоянно, а по интегралу Бер- нулли постоянна и величина скорости. Здесь мы отметим несколько особенностей, отличающих пространственный случай от плоского. В пространственных задачах свободные границы яв- ляются поверхностями, составленными из линий тока. Возникает естественный вопрос о том, какие геометри- ческие свойства отличают линии тока на свободных по- верхностях? Ответ на него оказывается простым: на лю- бой свободной поверхности линии тока являются гео- дезическими. В самом деле, для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости из уравне- ний движения видно, что ускорение движущихся частиц пропорционально градиенту давления: (V,V)V = _±VP. (8) Отсюда следует, что на свободных границах, которые являются поверхностями уровня давления, вектор уско- рения направлен по нормали к поверхности. Но вектор ускорения, очевидно, идет по главной нормали к линии тока, поэтому в каждой точке линии тока ее соприка- сающаяся плоскость содержит нормаль к свободной по- верхности. Это и показывает, что линия тока — геодези- ческая. Дальнейшие наши замечания относятся к трудностям, связанным со следующей задачей, которая представляет собой пространственный аналог задачи о волнах:
§ 261 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 229 Дана нижняя граничная поверхность Го области D типа слоя и требуется найти верхнюю граничную по- верхность Г из условия, что на ней величина скорости течения постоянна. Скорость в бесконечности считается заданной и направленной вдоль оси х; задается также средняя глубина водоема, которую по аналогии с пло- ским случаем можно определить как (9) где z = z(x, у) — уравнение свободной поверхности Г. Прежде всего отметим, что в отличие от плоского случая эта задача неопределенна. Действительно, пусть Го — плоскость z = О, тогда естественным решением за- дачи будет плоскость Г: z = Н и поступательное дви- жение жидкости в слое между Го и Г с потенциалом Ф = Vxx. Но это решение неединственно. Об одном типе нарушения единственности мы уже говорили выше в примере с тонким ножом, плоскость лезвия которого идет по направлению поступательного потока: такой нож ничего не меняет в потоке, поэтому наряду с плоско- стью решением поставленной задачи будут и кусочно гладкие поверхности, составленные из плоскости z — Н и, например, кусков плоскостей, параллельных оси х (очевидно, что такие куски не меняют и средней глу- бины водоема). Чтобы исключить такого рода примеры, нужно огра- ничиться рассмотрением гладких границ Го и Г, урав- нения которых имеют вид z — z0(x, у) к z = z(x, у). Но и это дополнительное условие еще не обеспечивает един- ственности: в нашем примере наряду с плоскостью г — Н решением будет служить и любая цилиндриче- ская поверхность Г: z — z(y) с образующими, парал- R дельными оси х, для которой lim z(y)dy — H * л (рис. 74). В самом деле, средняя глубина слоя между Го и Г также равна Я и в нем жидкость может двигаться поступательно вдоль оси х с заданной скоростью (и с потенциалом ф = VooX). Чтобы исключить примеры
230 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI такого рода, нужно наложить на границы Го и Г допол- нительные условия, например, на их асимптотическое поведение при х—>—оо. Простейшим из таких условий является требование, чтобы Го и Г при х-*—оо асимп- тотически приближались к параллельным плоскостям (т. е. чтобы слой D при больших отрицательных х был почти плоским слоем). Но трудности, связанные с пространственным слу- чаем, этим не исчерпываются. Асимптотические условия Рис. 74, при х—>— оо, которые обеспечивают единственность, еще не гарантируют устойчивости решения, а отсутствие устойчивости сильно затрудняет, скажем, приближенный машинный счет. Приведем соответствующий пример. Рассмотрим слой, ограниченный плоскостью Го: z—0 и поверхностью Г О») (а > 0 — постоянная), которая при х—>—оо асимпто- тически стремится к плоскости г= 1; так как Я R I dx I 7^cosf/d{/ = 0, -R —R то средняя глубина водоема, ограниченного Го и Г, равна 1. В этом водоеме рассмотрим течение со скоро- стью в бесконечности Vx — 1, направленной вдоль оси х. Ясно, что это течение периодично по у с перио- дом 2л и его достаточно рассмотреть над полосой —л С.у < л (рис. 75).
§ 261 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ задачи 231 Пусть потенциал этого течения <р = х 4-«; усло- вие обтекания поверхности Г записывается в виде ди /1 । ди \ дг . ди дг = H + ИЛИ ди _ 1 dz , дп — Т7Т’ ( ' д п где —производная по направлению нормали к Г, 1 п /’l I / <?Z V / <?Z \2 ,, а А=у 1 + (j~) +(-Ы • На других гранях тела Рис. 75. А, изображенного на рис. 75, граничные условия одно- родны: на дне: -^- = 0, на боках: -^- = 0. (12) дг ду v ' Мы пришли к задаче Неймана восстановления гар- монической в области А функции и по заданной на гра- нице ее нормальной производной, причем на трех гра- нях у нас = 0, а на четвертой (Г) она принимает значения 1 д-г ____ 2а ех cos у к дх ЗА, (1 + ае^)2 ’ всюду малые при достаточно малом а и экспоненциаль- но стремящиеся к нулю при х->±оо. Отсюда можно заключить, что в классе решений с ограниченными гра- диентами1) величина grad и при достаточно малом а ') Заметим, что без дополнительного условия об ограниченности градиента утверждение о его малости неверно — в этом можно убе* диться на примере, аналогичном тому, который был рассмотрен на стр. 94. Такого рода явления связаны с неограниченностью областей.
232 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI сколь угодно мала в замыкании области А. В частности, на Г малы все частные производные функции и, и зна- чит, малы компоненты скорости Vy и Vz, a Vx = 1 сколь угодно близка к 1. Итак, при достаточно малых а на поверхности Г величина скорости сколь угодно мало отличается от 1, а между тем отклонение Г от плоскости z = 1 конечно, 2 оно близко к у (в точках с большими х и у — 0). Это и означает неустойчивость решения задачи. Подчеркнем, что пример отражает особенности пространственного случая: на плоскости аналогичная конструкция не осу- ществима и задача оказывается устойчивой. Рассмотренный пример показывает, что при построе- нии решения задачи со свободной границей нужно зара- нее выделить класс областей, для которого имели бы место и существование, и единственность, и устойчи- вость. Приведем условия, по-видимому, достаточные для обеспечения всех трех требований. Пусть задано малое число h и поверхность Го совпадает с плоскостью z — 0 вне эллипса-yj* + — 1 > где а и b — величиныпорядков, соответственно h и /г2; внутри эллипса Го пусть за- дается уравнением z — Zo(x, у), где | дх | 1 ’ I ду I 1 <13> причем функции z = z0(c1,z/) и z = z0(x,c2) четны и имеют единственный максимум при у. = 0 и х = 0. В этих условиях существует единственная поверх- ность Г: г = г(х, у) 0<г(х, y)<h(\ + Ae~r), lim z(x, y) = h (14) Х->—ОО такая, что при течении между Го и Г со скоростью в бесконечности, направленной вдоль оси х, всюду на Г величина скорости V = 1. Решение устойчиво в том смысле, что если на некоторой поверхности Г: z—z(x, у), удовлетворяющей условиям (14), скорость течения,
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 233 § 26] в бесконечности также направленного вдоль оси х, всюду отличается от 1 не больше, чем на е, то I z(x, y)-z(x, у) |< Кг, (15) где К— некоторая постоянная, а е сколь угодно мало. Сформулированные утверждения, вероятно, можно доказать, используя приведенные выше методы. Пред- ставляет интерес подробное их обоснование и выяснение возможности расширения принятых выше условий. Две задачи. Сформулируем еще две задачи со сво- бодной границей, имеющие существенно пространствен- ный характер. Первая из них относится к нелинейной теории волн в тяжелой жидкости. Общая постановка за- дачи такова. Требуется найти поверхность Г: z = z(x, у) так, что- бы при движении жидкости в слое {0 < z < z(x, у)} всюду на Г выполнялось соотношение | grad ф |2 + Лг = С, (16) где <р — потенциал течения, а л и С — постоянные. Счи- тается заданной скорость на бесконечности и средняя глубина водоема. Из сказанного выше ясно, что в такой общей поста- новке эта задача также неопределенна, как предыдущая, и ее решение также неустойчиво. Приведем постановку, по-видимому, свободную от этих недостатков. Рассмотрим две системы установившихся плоских волн, которые распространяются со скоростью Уо в на- правлениях, образующих с осью х соответственно углы ±а. Их суперпозиция дает существенно пространствен- ную картину. Вдоль оси х возмущение распространяется со скоростью Vo cos а, поэтому, выбрав систему коорди- нат, движущуюся вдоль оси х с этой скоростью, мы получим неподвижную волновую поверхность, кото- рая дает решение задачи в линейной постановке. Если за амплитуду волны принять число 2а, за период 2л Т = — и за среднюю глубину водоема Н, то уравне- нием этой поверхности будет Z = Н -ф a {sin со (х cos а + у sin а) + + cos со (х cos а — у sin a)}. (17)
234 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. VI Задача. Доказать, что при малых углах а и малом отношении существует решение нелинейной задачи (16), близкое к решению (17) в линейной постановке. Выяснить класс поверхностей, в котором имеет место единственность и устой- чивость решения. Вторая задача пред- ставляет собой простран- ственный вариант класси- ческой задачи Кирхгофа об обтекании со срывом струй. Задача. Построить течение идеальной жид- кости со скоростью в — оо, равной 1 и направ- ленной вдоль оси х, об- Рис. 76. ласть которого ограничена наклонной эллиптической пластинкой у2 + утру — Ь х cos а + У sin а = О и неиз- вестной поверхностью Г, вдоль которой скорость равна 1 (Г примыкает к границе пластинки, см. рис. 76). Здесь не вполне ясны вопросы единственности и устойчивости. Представляет интерес даже изучение слу- чая, когда пластинка вертикальна (ос = 0) и близка к круговой (число b мало). Литература 1. Г. Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, М., 1947, гл. V. 2. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь, Н. В. Розе, Теоретическая гидро- механика, Гостехиздат, М., 1948, т. I, гл. 7. 3. А. В. Б и ц а д з е, Основы теории аналитических функций комп- лексного переменного, «Наука», М., 1969, гл. VIII. 4. С. Бергман, Интегральные операторы в теории линейных урав- нений с частными производными, «Мир», М., 1964. 5. М. А. Лаврентьев, Задача Дирихле для узкого слоя, Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 38 (1951), 146—151. 6. М. A. L a v г е n t i е f f, On the theory of quasi-conformal mappings of three-dimensional domains, Journ. d’Analyse math. Vol. XIX (1967), 217—225. 7. M. А. Лаврентьев, О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа, Сибирск. матем. журн., т. III, № 5 (1962), 715—728. 8. Механика в СССР за 50 лет, т. 2, «Наука», М., 1970.
Г tag a VII СТРУИ В этой главе будут рассмотрены некоторые сравни- тельно новые задачи, которые связаны со струями ко- нечной ширины. Начнем с описания общих свойств та- ких струй. § 27. Струи конечной ширины Струи с завихренными зонами. Рассмотрим еще один вариант задачи о склейке из числа тех, о которых гово- рилось в гл. V. Движение происходит в области D типа полосы, нижней границей которой является ось х, а верх- ней— линия Г с горизонтальной асимптотой y — h при Рис. 77. х—*±оо (струя шириной h в бесконечности). Предполо- жим, что в области D\, ограниченной отрезком [а, 6] оси х и дугой у, опирающейся на этот отрезок, течение имеет постоянную завихренность —со, а в остальной ча- сти Do области D оно потенциально (рис. 77). Скорость течения в бесконечности Vx и величина завихренности <в заданы; линии Г и у нужно найти — первую (свобод- ную поверхность) из условия постоянства на ней вели- чины скорости V = Vx, вторую (линию склейки) —из
236 СТРУИ [ГЛ. VII условия непрерывности поля скоростей и того условия, что она является линией тока. В отличие от аналогичной задачи, в которой глубина основного течения бесконечна (см. гл. V § 22), в классе областей Di, диаметр которых ограничен снизу поло- жительной постоянной и кривизна у также ограничена, эта задача не всегда разрешима. Именно, если фикси- ровать Усо, то найдется значение h0 такое, что при h < h0 задача оказывается неразрешимой. Качественное обоснование этого утверждения таково. В точке (а, 0), где струя встречает завихренную зону Dit скорость течения должна быть равной нулю, а на сво- бодной границе Г величина скорости равна кроме того, в рассматриваемой схеме производные скорости ограничены. Если взять ширину струи h очень малой сравнительно с диаметром D\ и величиной, обратной кривизне у, то на у найдется точка £, расположенная от (а, 0) на расстоянии d малом, но большом в сравне- нии с h, скажем, d «== У h. Скорость течения в точке £ при малом h будет сколь угодно близка к V,x, а, с дру- гой стороны, эта точка близка к точке (а, 0), где ско- рость равна 0. Это противоречит ограниченности произ- водных скорости, и следовательно, в наших условиях течений с очень малыми h существовать не может. Физически более естественным является следующий вариант задачи. Рассмотрим (в плоской постановке) об- текание струей шириной h угла, образованного положи- тельными полуосями х и у, скорость в бесконечности пусть равна Коо и направлена вниз по оси у (рис. 78). Классическое решение этой задачи проводится в схеме потенциального течения и состоит в отыскании линии Г (границы струи) из условия постоянства на ней вели- чины скорости У — Роо. Однако эта схема далека от действительности. Реальная жидкость не любит ни очень больших, ни очень малых скоростей и особенно избегает больших перепадов скоростей. Поэтому на самом деле в значительном диапазоне скоростей Коо у вершины обте- каемого угла (где в потенциальной схеме скорость те- чения обращается в нуль) возникает завихренная зона. Мы приходим к такой модели движения: область течения делится линией тока у на две области —Do ^не- ограниченную) и Di (ограниченную), в первой из них
§ 27] СТРУИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 237 течение потенциально, а во второй имеет постоянную завихренность со, причем поле скоростей непрерывно во всей области течения (рис. 78). Как и в предыдущей задаче, скорость в бесконечности ширина струи h и величины завихренности считаются заданными, а ли- нии Г и у ищутся из соответствующих условий. Здесь также было бы интерес- но получить количествен- ные оценки для величины h = h0, отделяющей слу- чаи разрешимости и не- разрешимости задачи, в зависимости от других параметров. Еще ближе к действи- тельности схема неуста- новившегося движения. Такими движениями мы займемся в следующей главе, а здесь лишь рас- смотрим постановку, свя- занную с задачей обтекания угла. В реальной жид- кости под влиянием вязкости размер завихренной зоны с течением времени будет увеличиваться. Кроме того, вследствие трения о нижнюю стенку угла на эту зону будет действовать сила, направленная вправо, а силы сцепления с вертикальной стенкой будут ее удерживать. В результате завихренная зона, увеличиваясь, приобре- тает склонность вытягиваться в горизонтальном направ- лении. По достижении некоторого критического размера вихревая зона срывается со стенки и уносится потоком. После этого вблизи вершины угла образуется новая вихревая зона, которая растет до критического размера и вновь срывается и т. д. Было бы весьма интересно построить математическую модель обтекания угла по этой схеме и, в частности, оценить критический размер вихревой зоны, по дости- жении которого она срывается. Первая из рассмотренных здесь задач может слу- жить основой для построения модели образования вих- рей в струях, если наряду с течением, изображенным на рис. 77, рассмотреть еще течение, симметричное с ним
238 СТРУИ [ГЛ. VII осносительно оси х. Подробнее мы рассмотрим этот воп- рос в гл. IX. Косой удар струи о прямую. Эта классическая за- дача решается методами комплексного анализа. Рас- смотрим комплексный потенциал £ = f(z) = tp(z)+ 1ф(z) течения; он определяется с точностью до по- стоянного слагаемого, которое мы подберем так, чтобы в точке разветвления потока 2 (рис. 79) (мы примем ее Рис. 79. за начало г = 0) было f = 0. На свободных границах струи Г и Г' функция тока ф принимает постоянные значения, пусть это будут q на Г и —q' на Г'; значе- ния ф на прямой, о которую ударяет струя (мы примем ее за ось х), пусть равны 0. Функция f конформно ото- бражает область течения на полосу {—q' < ф < q} с разрезом вдоль отрицательной полуоси <р (рис. 79). Пусть z = g(£) будет функция, обратная f; рассмот- рим аналитическую в нашей полосе с разрезом функцию = Ф + iW = log g4^ = log|g4£)l + *\arg£'(?)• (О Величина скорости |/'(z) | на границах Г и Г' полосы принимает постоянные значения, равные Vx; не ограни- чивая общности, мы можем считать К» — 1. Так как I g'(E) 1= |)'(г)| ’ то на границах полосы Г и Г' имеем
§ 27] СТРУИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 239 Ф = —log Voo — о, а на верхнем и нижнем берегах раз- реза значения гр = argg'(£) соответственно равны Ойл (вспомните геометрический смысл производной). Отсюда следует, что функция (1) отображает нашу полосу с разрезом на полуполосу А = {Ф < 0, 0 < Д' < л} плоскости w, а такое отображение можно выписать элементарно. В самом деле, как нетрудно проверить, функция ? = log (со - 1) + log (w + 1) - 7 +_-9- log (со - а), V L J V У Ь (2) где д — д' д + я' ’ отображает верхнюю полуплоскость а = Im со > 0 на полосу с разрезом; соответствие точек при этом отображении показано на рис. 79. Остается найти отображение верхней полуплоскости Im со > 0 на полу- полосу А, а обратное к такому отображению выписы- вается просто: — iw — -у I — — ch w. Подставляя это в (2), мы находим отображение, обрат ное к искомому: £ = log (I + ch w) + -у log (1 — ch w) — — (l+„q log (a + ch w) — q'i. (3) В принципе отсюда находится и само отображение w = — G(t), а тогда £ £'(C) = -g- = eG4 г = (4) о Найдем приближенное выражение этой функции вблизи начала струи, т. е. точки 3, которой соответствует значение такое, что ch Wo = —а. Так как у нас —1 < < а < 1, мы можем положить а = —cos а, а тогда из уравнения ch®o = cosa получим, что = йх. Для получения нужного приближения мы положим в первых двух слагаемых w — wo, а в третьем заменим цо
240 СТРУИ [ГЛ. VII формуле Тейлора ch w ~—а + sh дао(да— дао)- Получен- ное уравнение легко разрешается относительно да, и пос- ле вычислений мы получаем, что в окрестности начала струи g'(S)»e , (S) где £о — некоторая постоянная. Так как в окрестности точки 3 значения £ близки к положительной бесконечно- сти, то там g' очень близко к eia, и значит, g(£)« да eia^ 4- const. Мы видим, что а — это угол наклона струи к оси х и что ее ширина асимптотически равна q + q' (ширине полосы в плоскости £). Заметим, однако, что этот вывод можно получить и без вычислений ком- плексного потенциала: по теореме о количестве движе- ния проекция на ось х количества движения в набегаю- щей струе, т. е. величина (q' + q)cos а, должна рав- няться разности количеств движений в струях, идущих по оси х, т. е. q' — q-, отсюда снова получаем cos а = д' — д__ q’ + q а. (6) Обтекание тел струями. Существенно сложнее за- дача о набегании струи на произвольный контур у, кото- рая ставится так. Найти потенциальное и без особенно- стей движение жидкости по следующим условиям: 1) вблизи точки х = — оо это движение близко к по- ступательному движению струи | у | < — вдоль оси х со скоростью Voo, которую мы принимаем равной 1; 2) на свободных поверхностях струи Г и Г' (неиз- вестных заранее) скорость постоянна, т. е. в силу пре- дыдущего условия равна 1; 3) струя обтекает заданный контур у, ограничиваю- щий некоторую область, конечную или бесконечную. Укажем путь решения этой задачи. Как и в преды- дущем пункте, рассмотрим функцию СЮ = 1од£'(£) = Ф + ‘Х где g — функция, обратная к комплексному потенциалу £ = f(z) искомого течения. Предположим сначала, что у — гладкая кривая и ограничивает бесконечную об-
§ 27] СТРУИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 241 ласть типа полуплоскости. Тогда картина в плоскости £ будет такой же, как в разобранной задаче, т. е. образом области течения служит полоса {—q' < Т < q} с раз- резом вдоль отрицательной полуоси <р. На границах этой полосы по-прежнему будет Ф = —log У» = 0, однако значения Т = argg'(£) на разрезе теперь являются не- известными, ибо мы не знаем, в какую точку кривой у переходит £ при отображении g. Для практических целей можно задавать значения ф на разрезе, и тогда, решая соответствующую смешанную граничную задачу, полу- чать классы движений с различными контурами у. Можно применять также метод последовательных приближений — задавая одну из свободных гра- ниц, скажем Г, подбирать Г7 из условия, что на ней V = У.» (это задача о волнах, о которой говори- лось в гл. V), затем Рис. 80. подобранную Г' считать заданной и по тому же усло- вию подбирать новую Г и т. д. Пусть теперь у — граница области конечного диаметра (мы будем считать ее гладкой, а область — выпуклой), тогда можно действовать так же, как в только что разобранном случае. Однако этот случай имеет существенное отличие от предыдущего: решение не определяется заданием величины обтекае- мого контура, ширины и положения струи вблизи х = = — оо. Мы получаем при таком задании семейство ре- шений, зависящее от одного параметра. Этот параметр можно определить, задавая еще точку встречи струй на контуре (вторую критическую точку течения) или цир- куляцию скорости вокруг у. Иными словами, положение здесь такое же, как в задаче обтекания тела неограни- ченным потоком, которую мы рассматривали в § 18 гл. V и которая является предельным случаем рассматривае- мой здесь задачи при q = q' = оо. Рассмотрим частный случай этой задачи, когда у — окружность радиуса 1 (рис. 80), и приведем ее
242 СТРУИ [ГЛ. VII приближенное решение при малом h, 2h = q q'. Тогда точка раздвоения струй z{ будет близка к левой точке пересечения у с осью х; как говорилось выше, в качестве точки встречи струй z2 можно взять любую точку окруж- ности (z2=/=2i)- Из возможности обратить движениесле- дует, что течение симметрично относительно диаметра у, перпендикулярного к хорде ZiZ2- В окрестности Zt с точ- ностью до малых высших порядков можно заменить у касательной L к ней в точке zt (которая параллельна оси симметрии течения), и воспользоваться решением из пре- дыдущего пункта. Из формулы (6) мы находим отноше- ние ширин струй, образовавшихся после раздвоения: д' _ 1 + cos а q I — cos а ’ где а — угол оси симметрии с отрицательной полуосью х (рис. 80). В окрестности точки z2 течение симметрично с найденным. Пользуясь приближенными формулами для конформных отображений узких полос и учитывая, что на свободной поверхности скорость постоянна, мож- но доказать, что вне окрестностей точек z{ и z2 свобод- ные поверхности раздвоенной струи близки к дугам ок- ружностей радиусов 1 + q' (нижняя) и 1 + q (верхняя). Конечно, ближе к действительности схемы струйных течений с вихревыми зонами. Рассмотрим несколько ва- риантов таких схем для простейшего случая обтекания Рис. 81. струей плоской пластинки (см. рис. 81, где изображена верхняя половина течения, нижняя симметрична ей). Схема рис. 81, а 'аналогична рассмотренной в § 22 гл. V — здесь вихревая зона представляет собой одно- связную область, примыкающую к пластинке. При за- данных Коо, h и b величина завихренности ® опреде- ляется, равно как и положение критической точки (в верхней половине течения она одна). В схеме рис. 81,6 около критической точки имеется небольшая зона по- стоянного давления, а вокруг нее расположена зона по-
§ 27] СТРУИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 243 стоянкой завихренности. В схеме рис. 81, в зона постоян- ного давления велика, а завихренная зона представляет собой узкое кольцо. Схема рис. 81, г является предель- ным случаем предыдущей, когда вихревая зона уже ис- чезла. Весьма любопытно было бы получить семейство ре- шений задачи струйного обтекания пластинки, зависящее от некоторого параметра и осуществляющее непрерыв- ный переход от схемы течения с односвязной зоной по- стоянной завихренности (рис. 81, а) к схеме Кирхгофа (рис. 81,г). Вероятно, более простыми являются схемы рис. 81,6 и в, в первой из которых можно воспользо- ваться малостью зоны постоянного давления, а во вто- рой — узостью вихревой зоны. Интересно также построить математическую модель решения этой задачи в схеме неустановившегося дви- жения. Здесь постановка такова: плоская пластинка мгновенно помещается в перпендикулярную к ней струю, и сразу же под влиянием вязкости у краев пластинки (где скорость потенциального течения бесконечна) на- чинают возникать небольшие зоны постоянной завихрен- ности. С течением времени эти зоны растут, деформи- руются и по мере достижения некоторых критических размеров срываются с пластинки в поток. После этого у краев пластинки начинают расти новые вихревые зоны и процесс повторяется. Задача о затопленной струе. Пусть имеется бесконеч- но глубокий потенциальный поток идеальной жидкости, движущийся над дном (осью х) со скоростью V] в — оо; пусть в этот поток со дна (у точки х = 0) втекает струя со скоростью Уг, направленная под углом а к дну, и тре- буется определить, как эта струя будет двигаться. На самом деле это — задача на неустановившееся движение. Быть может, для ее решения даже нет устой- чивой схемы, и очень интересно было бы выяснить, как именно развивается в ней неустойчивость. Однако в не- котором приближении можно попытаться описать явле- ние в схеме установившегося движения. Приведем несколько возможных схем такого рода, аналогичных схемам обтекания тел со срывом струй. В схеме рис. 82, а струя идет в + оо, не примыкая ко дну, и за ней образуется бесконечная зона покоящейся
244 СТРУИ [ГЛ. VII жидкости. В схеме рис. 82,6 струя на некотором рас- стоянии от точки выхода примыкает к дну, а за струей образуется ограниченная зо- на, в которой жидкость мож- но считать покоящейся или, в другом варианте, движу- щейся с постоянным завих- рением. Можно ожидать, что эти схемы допускают сравни- тельно несложное математи- ческое описание. v / Два гидродинамических —— / эффекта. Первый эффект из- -----7 z вестей давно и на нем ос- ' новано несколько игрушек. Он состоит в следующем: Рис. 82. легкий шарик (например, из пробки или мяч от пинг-пон- га) может устойчиво держаться в тонкой струе воздуха или воды, направленной вверх. Второй эффект был сравнительно недавно обнару- жен М. А. Гольдштиком. Возьмем круглый цилиндр высотой, в несколько раз большей диаметра, и закре- пим его так, чтобы он мог легко вращаться вокруг своей оси, которую расположим горизонтально. Пустим на этот цилиндр струю воды, ось которой (при форми- ровании струи) горизонтальна и проходит несколько ниже оси цилиндра. Если толщина струи мала по срав- нению с диаметром цилиндра, то цилиндр раскручивает- ся в естественно ожидаемом направлении — так, что нижняя его часть движется в направлении струи. Од- нако оказывается, что в. некотором диапазоне толщин струи и расстояний между осями струи и цилиндра нижняя часть цилиндра движется в противополож- ном направлении! Задачи, которые были разобраны выше, позволяют объяснить эти эффекты. Рассмотрим сначала эффект устойчивости шарика в струе, причем мы ограничимся плоской задачей обтекания круга узкой струей. Пусть сначала ось струи проходит через центр круга, так что точка разветвления струй Zj = —1 (мы пользуемся обо-
§ 271 СТРУИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 245 значениями предыдущего пункта и располагаем оси ко- ординат, как там). Как мы говорили, в схеме идеальной жидкости точку встречи струй z2 можно задавать произ- вольно, однако физически очевидно, что реализовываться будет лишь симметричный случай, когда точка развет- вления струй z2 = 1. Это объясняется вязкостью — в са- мом деле, при любой малой вязкости на большей из двух дуг у с концами и z2 будет и большая потеря скорости струи, а струя с большей скоростью будет сби- вать вторую струю, так что точка z2 будет перемещаться к положению, диаметрально противоположному Zj. Та же тенденция будет наблюдаться и в случае, когда ось струи не проходит через центр круга — в пер- вом приближении можно считать, что точка z2 диа- метрально противоположна Zj. Однако нужно еще учесть, что в более толстой струе потеря скорости Рис 83 вследствие вязкости (на уча- стках равной длины) будет несколько меньшей, чем в тонкой. Вследствие этого точка z2 немного сместится в сторону тонкой струи и по теореме Жуковского о подъ- емной силе (см. гл. V § 18) возникнет сила, действующая на круг в сторону от набегающей струи (рис. 83). Мы получаем, таким образом, объяснение устойчи- вости шарика в струе — если ось струи проходит через центр шарика, то реализуется симметричное течение, если же под влиянием каких-либо причин шарик не- сколько сместится, то сейчас же возникнет сила, пере- мещающая его центр к оси струи. Эти же причины объясняют и вращение цилиндра в нормальном случае, при обтекании его тонкой струей — если ось струи проходит ниже оси цилиндра, то толстая часть струи будет занимать больше половины обтекае- мой окружности и цилиндр будет вращаться в сторону, куда его увлекает толстая струя (на рис. 83 против ча- совой стрелки). Нам остается объяснить аномальный случай вращения цилиндра.
'246 СТРУИ [ГЛ. VII Пусть ширина струи 2/г велика по сравнению с ра- диусом цилиндра, который мы по-прежнему принимаем равным 1. Сначала рассмотрим случай симметричного обтекания, когда ось струи проходит через ось цилиндра (рис. 84), т. е. точка раздвоения струи Z\ ——1. Если принять схему идеальной жидкости, то в соответствии с тем, о чем говорилось в цилиндром возникнут зоны начале этого параграфа, за и с постоянной завих- ренностью ±®. Каждая из этих зон ограничена дугой обтекаемой окружности, от- резком [1, Ь] оси х и кри- вой, соединяющей конец ду- ги с точкой (6, 0); в осталь- ной части струи Do (J Do дви- жение потенциально. Если ширина струи 2h достаточно велика, то раз- мер завихренной зоны может быть произвольным — от нуля до некоторой предельной величины. С уменьшением h предельный размер убывает и при небольших h его можно считать величиной порядка h. Наличие вязкости меняет картину — описанного сейчас установивше- гося движения существовать не будет. Зародившаяся за цилиндром малая вихревая зона будет расти и с до- стижением некоторого предельного размера она отде- лится от цилиндра. Учитывая рассмотрения, проведенные выше в связи с образованием вихревых зон в струях, естественно считать, что меньшим значениям h соответ- ствуют и меньшие размеры вихревых зон в момент отрываJ). Теперь мы можем объяснить и парадоксальный слу- чай вращения цилиндра. Пусть ось достаточно широкой струи проходит ниже оси цилиндра (рис. 85). В каче- стве основного (безвихревого) течения по причинам, о которых говорилось выше, следует принять то, при котором точки Zi и г2 раздвоения и встречи струй диа- ) Интересно было бы проверить экспериментально, соответ- ствуют ли размеры отрывающихся зон в случае вязкой жидкости предельным возможным размерам этих зон в схеме идеальной жид- кости.
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О СТРУЯХ 247 метрально противоположны. Но тогда снизу цилиндра пойдет более широкая струя, чем сверху. Если допу- стить сколь угодно малую вязкость, то в окрестности точки слияния струй начнут образовываться две вихре- вые зоны Di и Di, растущие со временем. Обе эти зоны будут по достижении некоторых критических размеров срываться с цилиндра. Но критический размер зоны D\, соответствующей более широкой ' струе, будет больше критического раз- мера £>1. Поэтому дуга окружности, вдоль кото- рой направление вихрево- го потока обратно напра- влению струи, будет большей для нижней струи (эта дуга выделена жирно на рис. 85). В си- лу трения это превыше- ние и дает дополнительный момент, вращающий цилиндр в сторону, противоположную направлению широкой струи (на рис. 85 —по часовой стрелке). Экспериментально установлено, что парадоксальное направление вращения цилиндра исчезает, если жид- кость практически невязкая (ее число Рейнольдса очень велико) или, наоборот, слишком вязкая (с очень малыми числами Рейнольдса). Этот эксперимент подтверждает естественность приведенного объяснения. Рис. 85. § 28. Пространственные задачи о струях Задача о встречных струях. Решение этой задачи позволит нам в следующем параграфе объяснить неко- торые явления, связанные с кумуляцией; уже поэтому она представляет большой интерес. Задача ставится так. Требуется найти движение с осевой симметрией по следующим условиям: 1) при х —►—оо асимптотически струя представляет собой цилиндр радиуса Го, ось кото- рого совпадает с осью х, и движется со скоростью Ро в направлении оси; 2) при х —► -j- оо струя также пред- ставляет собой асимптотически цилиндр радиуса н < г0
248 СТРУИ [ГЛ. VII и движется с той же скоростью Vo навстречу первой струе; 3) на свободной поверхности струй давление по- стоянно, или — что то же самое — скорость постоянна и равна Vo (рис. 86). Плотности обеих струй предпола- гаются одинаковыми. Рассмотрим сначала плоский вариант задачи, т. е. будем считать, что сечение на рис. 86 изображает не осевое сечение, а одно из параллельных сечений поля. Задача, очевидно, симметрична относительно оси х, а если мы рассмотрим часть течения, лежащую выше оси х, и воспользуемся принципом обращения течения, то увидим, что эта задача совпадает с задачей о косом ударе струи о прямую, которую мы решали в начале главы. Мы видели там, что отображение плоскости ком- плексного потенциала £ — <р + ity на плоскость течения z = х + iy дается формулой s z=jeG(C’d£, (1) о где функция G находится из уравнения (3) § 27, в кото- ром надо положить q = rQ и q' = угол а наклона к оси х струи, образовавшейся после соударения, опре- деляется из формулы В осесимметрическом варианте столь законченного решения задачи получить не удается. Дело в том, что
§ 281 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О СТРУЯХ 249 в основе решения плоского варианта лежит переход к плоскости годографа w = logg'(S), где g — функция, обратная к комплексному потенциалу, и этот переход также представляет собой конформное отображение. Для квазиконформных отображений такой переход так- же возможен — это переход к производной системе (см. гл. III). По формулам (11) § 11 мы находим, что в дан- ном случае производная система имеет вид да дт дт да sin а т -д— = г-гт-> -з— = — --------е-т, (3) <7ф Оф Оф Оф Г ' где т = log V и а — угол наклона скорости к оси х. К сожалению, система (3) неоднородна (в ней присут- ствует член, содержащий е-т), а теория квазиконформ- ных отображений, соответствующих таким системам, еще не разработана. Приходится ограничиваться приближенными реше- ниями этой задачи и ее качественным исследованием. Общая качественная картина решения будет примерно такой же, как в плоском случае: после соударения струи образуют так называемую пелену, которая асимптоти- чески приближается к некоторому круговому конусу с осью х (на рис. 86 изображено сечение любой плоско- стью, проходящей через ось вращения). В отличие от плоского случая, где ширина струи после соударения асимптотически приближалась к Го + ri, толщина пе- лены б стремится к нулю по мере удаления от оси вра- щения. Наиболее важными элементами расчета являются угол а образующей асимптотического конуса с осью х и закон убывания толщины пелены 6. Эти величины можно подсчитать из физических соображений. Так как жидкость несжимаема и в струях нет источников и сто- ков, то сумма потоков вектора скорости через попереч- ные сечения струй (которая стремится к У0(лг^ + лг^, если сечения удаляются в ± оо по оси х) должна быть равна потоку этого вектора через поперечное сечение пелены (который для больших г равен примерно 2лгдУ0)- Отсюда мы получаем с точностью до малых высших по- рядков, что
250 СТРУИ [ГЛ. VII Для нахождения угла а, как и в плоском случае, можно воспользоваться законом сохранения количества движения: проекции количества движения на ось х до соударения и после него должны быть одинаковыми. Рассмотрим два элемента струй, которые представляют собой цилиндрики высотой 1 вблизи точки х — ± оо; их суммарное количество движения равно (лг^ — ЛГ|)УО, если плотность равна 1, что мы и предполагаем. После соударения, когда эти элементы будут уже находиться вблизи асимптотического конуса, проекция их суммар- ного количества движения на ось х будет примерно равна (2лгб) Уо cos а & 2л (г* + гу). Отсюда cos а (5) г0 + Г1 Задача о вихрях. В осесимметрическом варианте мож- но рассматривать также задачи, связанные с образова- нием вихрей в неограниченных потоках или струях. За- метим сразу, что в отличие от плоских задач здесь за обтекаемым телом об- разуются не две вих- ревых зоны, а одна с тороидальными труб- ками тока (рис. 87). Вот одна из поста- новок таких задач. Ищется движение, для которого ось х являет- ся осью симметрии. Движение распадается на две зоны: вихревую и по- тенциальную Do, причем D\ — ограниченная область, для которой ось х служит осью симметрии, a Do представ- ляет собой дополнение Di. В D[ имеется осесимметриче- ское течение с постоянной завихренностью о», а в Do — такое же потенциальное течение со скоростью в бес- конечности У,». Фиксируется величина Уя, и длина а отрезка, который образуется в пересечении Di с осью х, а величина ® и общая граница зон Do и D[ подбираются из условия непрерывности поля скоростей во всем про- странстве.
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О СТРУЯХ 251 Выпишем уравнения этой задачи. Если обозначить через Vx и Vr составляющие вектора скорости по оси х и радиальную, то одно из уравнений — условие отсут- ствия источников — запишется одинаковым образом для обеих зон Dq и Df. = (6) дх ' dr ’ ’ а второе, связанное с вихрями, будет иметь вид п п . dVr дУх „ п . дУг dVx . в -Тх-----------дГ=0’ в -аГ-Т = £й-(7) Если, как и выше, ввести функцию тока ф такую, что rVx — ^, гУг~ — то эта функция будет удовле- творять уравнению где е = 0 в области Do и е = 1 в Dt. Точное решение задачи столь же трудно, как и в пло- ском случае. Однако, как и там, можно строить ее при- ближенные решения, например, основанные на формулах для скорости в узких слоях. В том же круге идей можно получать приближенные решения задач обтекания осе- симметрических тел потоками с осевой симметрией в предположении, что за телом образуются вихревые зоны. Вращение жидкости в сосуде. К числу классических проблем гидродинамики принадлежит проблема расчета истечения жидкости из цилиндрического сосуда через круглое отверстие на его дне. Экспериментально из- вестно, что при таком истечении поток, казавшийся в на- чале покоящимся, приобретает в зоне стока, кроме есте- ственной радиальной скорости, также значительную вра- щательную скорость. (Резкое увеличение скорости вращения каждый наблюдал, скажем, при спуске воды из ванны.) Такое вращательное движение жидкости пытались объяснить вращением Земли или случайным начальным вращением. Однако расчеты в схеме идеальной жидко- сти не давали числового совпадения с экспериментом.
252 СТРУИ [ГЛ. VII Наиболее явное расхождение теории и, опыта прояв- ляется в следующем факте: при истечении жидкости из отверстия в дне вращающегося цилиндрического сосуда (рис. 88) суммарный момент количества движения жид- кости (отнесенный к ее массе) относительно вертикаль- ной оси сосуда увеличивается со временем. Этот факт легко проверяется экспериментально: надо раскрутить цилиндрический сосуд с жидкостью до определенной (малой) угловой скорости, затем открыть сток в центре дна и за- мерить суммарный момент коли- чества движения жидкости, отне- сенный к ее массе. Следствием этого является та- кой, на первый взгляд неожидан- ный, эффект. Пусть сосуд с жид- костью, о котором только что го- ворилось, укреплен на подшип- никах так, что он может свобод- но вращаться вокруг своей оси. Если раскрутить его до некоторой угловой скорости, а потом снять крутящие усилия и одновременно открыть сток на дне, то скорость вращения цилиндра нач- нет возрастать! По-видимому, объяснение этого эффекта следует искать в вязкости. В схеме идеальной жидкости истече- ние привело бы к резкому увеличению угловой скорости жидких колец малого радиуса, близких к оси вращения. По мере удаления от оси прирост угловой скорости вследствие истечения быстро затухал бы, и на скорости вращения самого сосуда истечение жидкости не сказа- лось бы. Но под влиянием вязкости различие в угловых скоростях жидких колец разных радиусов будет вырав- ниваться — скорость колец, близких к оси, уменьшится, но зато скорость периферийных колец возрастет. По- следнее, в силу граничных условий прилипания, приве- дет к увеличению скорости вращения всего сосуда. Следуя описанной схеме, можно попытаться сделать и приближенный количественный расчет. Для этого нужно представить, что жидкость состоит из некоторого количества цилиндрических слоев, в каждом из которых
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О СТРУЯХ 253 она движется с постоянным завихрением <оь, причем учет вязкости приводит к определенным соотношениям ме- жду (Оь; во всем цилиндре поле скоростей жидкости счи- тается непрерывным. Возникает задача о склейке типа тех, которые рассматривались в гл. V. Для ее решения можно организовать машинный счет. Близка к рассмотренной следующая задача. Пусть цилиндр, наполненный жидкостью, вращается с постоян- ной угловой скоростью вокруг своей оси и в него встав- лен неподвижный стержень, ось которого совпадает с осью цилиндра. Если вязкость жидкости невелика, то ее свободная поверх- ность будет близка к параболоиду вращения так, как если бы стер- жня не было (рис. 89,а). Если же вяз- кость значительна, то жидкость оказывается более поднятой в цент- ре, чем на границе ци- линдра (рис. 89,6). а) 6} Опыт можно видоизме- рис. 89. нить: цилиндр с вязкой жидкостью оставить неподвижным, а круглый стержень, вставленный в жидкость по оси цилиндра, вращать — жидкость поползет по стержню вверх. Качественное объяснение явления таково. В отсут- ствии вязкости при установившемся движении все ско- рости перпендикулярны к оси цилиндра; поле скоростей и распределение давлений в жидкости нетрудно рассчи- тать. Наличие вязкости, как и в предыдущей задаче, приводит к увеличению скоростей и избыточному давле- нию вблизи оси цилиндра — это давление и объясняет появление составляющих скоростей, параллельных оси цилиндра и направленных к свободной поверхности жид- кости. Примерно такими же соображениями объясняются еще два явления. Первое из них впервые отмечено А. Эйнштейном — если чай в стакане раскрутить ложкой, то чаинки соберутся в центре стакана. Второе явление наблюдается в реках с быстрым течением.
254 СТРУИ [ГЛ. VII У берега возле вогнутых мест русла реки скорости имеют заметную составляющую, направленную вниз: течение в таких 'местах затягивает плавающие тела на глуби- ну и переносит грунт со дна реки на противоположный берег. Пространственные задачи. Рассмотрим еще несколь- ко существенно пространственных задач (без осевой симметрии), для которых ограничимся качественным объяснением явлений. Количественный (приближенный) расчет, с ними связанный, также можно организовать, но он достаточно сложен и требует предварительных ис- следований. В плоской постановке эти задачи уже рас- сматривались. Удар струи о плоскость. Пусть в бесконечно- сти струя представляет собой цилиндр радиуса г0, ось которого лежит в плоскости у — 0 и составляет угол а с отрицательной осью х. Эта струя должна обтекать пло- скость z — 0, а на свободной поверхности Г (рис. 90) величина скорости должна быть постоянной, скажем, равна 1. Для качественного решения задачи примем в первом приближении, что вне круга х2 + у2 /?2, где R >> г0, линии тока представляют собой лучи, выходящие из оси z, а скорость близка к 1. Высоту свободной поверх- ности над окружностью х2 -)- г/2 = г2, где г > R, будем считать линейно зависящей от х, пусть z = ах Ь. Чтобы вычислить постоянные а и Ь, воспользуемся усло- виями постоянства расхода и теоремой о количестве движения.
§ 28] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О СТРУЯХ 255 Расход в струе для больших z равен N = nr20, а над окружностью х2-\-у2 = г2 он равен 2лг(а-\-Ь), отсюда Проекция на ось х количества движения массы жидко- сти в цилиндрике высотой 1 в струе при больших z равна nr^cosa (плотность мы считаем равной 1). Эта масса с течением времени будет занимать объем, кото- рый высекают из цилиндрического слоя г2 < х2 < у2 < < (г-)-1)2 плоскость 2 = 0 и свободная поверхность, а проекция на ось х соответствующего количества дви- жения равна г+1 2л (Г+1)2 2л г dr J х cos ф = b J г2 dr cos2<pd<p = г 0 г 0 _^(3г2 + Зг + 1). Приравнивая полученные выражения, мы найдем b « 2 2 r0 cos a r0 — и, следовательно, Таким образом, г2 2 ~(1 + 2 cos a cos <р) (9) (конечно, мы должны еще считать а < 60°, чтобы было 2cos a < 1). Удар струи о выпуклое тело. Если струя до- статочно тонка, то, как и в плоском случае, мы можем считать, что в окрестностях точки удара струи о поверх- ность тела и точки отхода струи от поверхности течение примерно такое же, как в случае удара струи о пло- скость. Вне этих окрестностей можно считать, что струи имеют осевую симметрию. В частности, сюда входит за- дача об ударе струи о шар. Если дополнительно учесть влияние вязкости, то по тем же соображениям, что и в плоском случае (см. стр. 241), в этой задаче нужно считать, что точка отхода струи от сферы должна нахо- диться на одном диаметре с точкой удара. Пользуясь этим, можно объяснить устойчивость шара в струе и в пространственной постановке.
« 29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 257 Эффект проявляется также, если жидкость в бутылке предварительно резко встряхнуть так, чтобы в ней обра- зовалось много пузырьков воздуха (аэрация). Упругие силы, возникающие в пузырьках, действуют подобно сжатой пружине, они и создают струю, выбивающую пробку. В следующем параграфе мы увидим, что аналогич- ные явления лежат в основе весьма важных технических эффектов. § 29. Кумулятивные струи Опыт Покровского. Профессор Г. И. Покровский про- делал следующий опыт. В стеклянную или металличе- скую пробирку наливается вода и с небольшой высоты (10—20 см) пробирка из вертикального по- ложения падает на стол (рис. 92). Сразу после падения из пробирки вверх выбива- ется тонкая струя воды высотой свыше метра! • Для объяснения этого эффекта первона- чально была выдвинута идея, что при ударе от выпуклого дна пробирки образуется сфокусированная упругая волна, которая и создает струю. Но эта гипотеза не подтвер- й й дилась—были сделаны пробирки с плос- | ким и даже вогнутым дном, а эффект фор- мирования струи не исчез. ff Качественная картина явления была ЕД вскоре выяснена — при ударе свободная ГД- поверхность жидкости получает такой им- Г-_- пульс, что поднятый из-за смачиваемости ее ЕД край мгновенно приобретает конечную скорость, направленную вниз, а централь- ная часть — скорость вверх (см. рис. 92). Эта средняя часть и образует струю. В обоих описанных примерах (с бутыл- Рис. 92. кой и с пробиркой) общим является то, что в них энергия концентрируется в определенных на- правлениях, приводя к образованию тонкой, но сильной струи. Эффекты такого рода называются кумулятив- ными.
258 СТРУИ [ГЛ. VII Следует отметить, что указанные эксперименты по- лучили не только качественное объяснение, удалось по- строить и метод расчета отдельных элементов явления. Ниже мы рассмотрим родственные явления, связанные с подрывом так называемых кумулятивных зарядов. Здесь также удалось получить не только качественное объяснение явлений, но и установить ряд важных для приложений количественных соотношений. Кумулятивные заряды. Начнем с краткого описания понятия детонации взрывчатых веществ. Представим себе, что в. некотором объеме неограниченной упругой среды мгновенно создано большое давление. Тогда по среде побежит ударная волна — поверхность, перед ко- торой среда покоится, а за ней частицы имеют конечную скорость; на самой поверхности имеется скачок давле- ния, плотности и скорости. Если при этом в среде не происходит химических реакций, то с удалением от ме- ста возмущения все скачки на фронте волны будут падать. Имеется, однако, много веществ (газообразных, жидких и твердых), таких, что при достижении в каком- либо их месте определенного давления в этом месте происходит химическая реакция с большим выделением тепла. Если по такому веществу пустить ударную волну достаточно большой интенсивности, то сразу за волной будет выделяться энергия, которая питает скачок. При этом, как правило, быстро образуется установившийся процесс, при котором на фронте ударной волны сохра- няются величины скачков давления, плотности и скоро- сти, и скорость распространения самой волны также становится постоянной. Вещества, обладающие таким свойством, называются бризантными взрывчатыми ве- ществами, а описанный процесс их превращения — дето- нацией. Вот средние данные, относящиеся к наиболее распро- страненным в технике твердым бризантным взрывчатым веществам (тротил, тэн, гексоген и др.): плотность 1—1,5, скорость детонации 5—10 км/сек, давление за фронтом волны 100—200 тонн/см1. Таким образом, эти ВВ превращаются в газ почти мгновенно, а возникаю- щее давление достаточно для разрушения самого проч- ного материала. При подрыве 100-граммового кубика
§ 29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 259 такого вещества на стальной плите в ней образуется вмятина, гранит дробится. Чтобы получить представление о кумулятивном за- ряде, проделаем следующий опыт. На стальной плите толщиной в 20 см разместим шесть цилиндрических за- рядов бризантного ВВ одинаковой высоты — 15 см и диа- метра— 4 см (рис. 93). Заряды а и б пусть будут сплошными, а остальные имеют коническую выемку со стороны, обращенной к плите; в последних двух зарядах (д и е) в выемку вставлены конусы из стали толщиной Рис. 93. 1,5 мм. Заряды а, в и д стоят на плите, а остальные приподняты на полтора диаметра заряда. Инициирова- ние зарядов производится в месте, указанном на рис. 93 буквой А. На рис. 93 изображено также действие этих зарядов. Обращает на себя внимание необычное — парадоксаль- ного характера — увеличение пробивного действия в случае е, когда в заряде имеется выемка, покрытая сталь- ной оболочкой, и заряд удален от пробиваемого тела. Эффект увеличения бронебойного действия заряда при наличии выемки (заряд в) был открыт еще во вто- рой половине прошлого века и получил название куму- лятивного эффекта. Его использование тогда ограничи- валось некоторыми техническими задачами в горном деле. Резкое повышение бронебойного действия при вве- дении металлической облицовки выемки было обнару- жено несколько позже, а к 1914 г. относится первый па- тент на использование эффекта в военном деле —
260 СТРУИ [ГЛ. VII создание на его принципе бронебойного снаряда. Однако широкое применение явление кумуляции нашло только в войне 1941—1945 гг. К этому же времени относится и создание теории этого явления. Но первая открытая публикация [7], в которой были изложены основы теории кумулятивного заряда с металлической облицовкой, по- явилась лишь в 1948 г.; она принадлежит группе ученых во главе с Г. Тейлором и Г. Биркгофом. Физические предпосылки. Для построения количест- венной теории понадобились простые и вместе с тем до- Тстаточно надежные физические предпосыл- ки, причем внимание было сосредоточено на кумулятивном заряде с металлической оболочкой. В качестве предпосылок теории первого приближения были приняты сле- дующие гипотезы: 1°. Детонация происходит мгновенно, а действие ВВ на оболочку сводится к им- пульсу, направленному перпендикулярно к поверхности конуса. 2°. Материя оболочки, а также проби- ваемая сталь, считается идеальной несжи- маемой жидкостью. Обе эти гипотезы легко обосновать, хо- тя на первый взгляд представление броне- Рис. 94. вой стали в виде идеальной жидкости и ка- жется совершенно неправомерным. Дело, однако, в том, что возникающие при кумулятивном взрыве давления имеют порядок 100 000 атмосфер, а при таких давлениях упругие силы составляют сотые доли сил инерционных. В принятых предпосылках качественную картину яв- ления можно представить следующим образом. В на- чальный момент все элементы жидкой конической обо- лочки приобретают скорость (порядка 2 км/сек) в на- правлении оси конуса и происходит обжатие конуса с утолщением его стенок. При подходе элементов к оси конуса часть их выжимается и выплескивается вперед подобно тому, как выплескивается морская вода при входе в клинообразную бухту. В результате этого из конуса выжимается струя — проволока (рис. 94). Рас- чет, о котором пойдет речь ниже, показывает, что про-
§ 29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 261 волока будет иметь тем большую скорость, чем острее конус. Обычно наблюдаемые здесь скорости имеют по- рядок от 2 до 10 км!сек-, в отдельных экспериментах до- стигнута скорость до 90 км]сек. Эта проволока, встречаясь с броней, производит на нее давление порядка 1 000 000 атмосфер, что и объяс- няет применимость схемы идеальной жидкости для по- строения теории пробивания. Качественная картина про- бивания, т. е. проникания струи в преграду, отличается от картины формирования струи лишь направлением из- менения времени (заменой / на —/). Характерным в этом процессе является то, что по мере его развития длина струи уменьшается — на каждый пробиваемый участок расходуется часть струи. Расчетная схема. В соответствии выше качественным решением в теории формирования струи, так и в теории пробивания, с достаточной степенью точности воспользоваться решением за- дачи о .встречных струях, с ко- торой мы начали эту главу. Однако, имея в виду теорию пробивания, где плотности ку- мулятивной струи и брони, во- обще говоря, различны, мы должны несколько обобщить ее постановку. Задача ставится так. Вдоль оси симметрии (мы при- нимаем ее за ось х) слева направо движется струя жид- кости плотности ро, которая асимптотически, вблизи — оо, имеет диаметр 2г0 и скорость Ко; навстречу ей справа налево движется струя плотности рь имеющая асимптотически, вблизи оо, диаметр 2rt и скорость Vi (рис. 95). Течение имеет свободные поверхности Го и Г1 и по- верхность раздела у сред с различными плотностями. Так как движение мы считаем установившимся, то по формуле Бернулли давление с приведенным задачи мы можем, как И Рис. 95. p^C-^-V2, (О
262 СТРУИ [ГЛ. VII где С — постоянная, равная давлению при V = 0, т. е. в точке пересечения оси х и поверхности раздела у (пусть это будет точка х = 0). Из условия постоянства давления в среде, на свободной поверхности Го мы имеем V = Го, а на поверхности раздела у должно выполнять- ся соотношение Ро^2о = РП (2) где Го и Vi — соответственно скорости потоков, идущих из ± оо. Отсюда вытекает, что скорость вдоль Г], рав- ная предельному значению скорости струи в оо, (3) Все сказанное до сих пор относится в равной мере и к плоской и к осесимметричной трактовке задачи. Рас- смотрим теперь подробнее плоский случай. Обозначим через fo (2) = Фо + *Фо> fi (2) = Ф1 + гф1 (4) комплексные потенциалы наших встречных потоков. В силу симметрии этих потоков относительно оси х до- статочно рассмотреть их ча- сти, лежащие в верхней по- луплоскости. Эти части функции fo и fi конформно отображают на горизонталь- ные полосы шириной, рай- ной соответствующим рас- ходам ?о = УоГо и = Viri. Функции fo и fi определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы полоса- ми в плоскости потенциала w — ф + гф служили {0 < ф < qo} и {—qt < ф < 0} и чтобы точка разветвле- ния потоков z = 0 при обоих отображениях переходила в точку w = 0 (рис. 96). Для решения задачи нужно найти кривые Го, Г1 и у и соответствующие отображения (4) так, чтобы вдоль кривых Го и Г1, переходящих в прямые ф = q^
S 29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 2бЗ и ф = —qlt было соответственно По<г)| = И0, ЮТ1 = Р,“-/-“Р.. <5) а вдоль кривой у, переходящей в положительную ось <р, 1«<г)| = /т71Ш|. (6) Заметим еще, что при отображениях (4) отрицательная и положительная полуоси х переходят соответственно в верхний и нижний берега разреза вдоль отрицатель- ной оси <р (см. рис. 96), так что arg/o(x) = O при х<0, (7) argf'(x) = — л при х>0. ' 7 Задача существенно упростится, если от fh перейти к функциям Gk(w) = logg'k(w), (8) где k = 0, 1 и gk — функции, обратные функциям (4). Функции Gk должны удовлетворять следующим гранич- ным условиям: вдоль прямых ф = q$ и ф = —<?i соот- ветственно Re Go (да) = log Vo. Re G{ (да) = log Vo + 4- > (9) z Pi вдоль положительной полуоси ф ReG! (да) = Re Go(да) +4-log —, Im G, (да) = Im С0(да), 2 Pi (10) а на нижнем и верхнем берегах отрицательной полуоси Ф соответственно 1гцСо(да) = О, 1шС1(да) = л. (11) Из (10) видно, что функция G{ (да) — 4- log — являет- р! ся аналитическим продолжением С0(да) через положи- тельную полуось ф, и следовательно, функция g==G(ai) = Go(да) при 0<ф<70, при ~<71<^<0 л Р1
264 струи (ГЛ. VI1 Рис. 97. конформно отображает полосу с разрезом вдоль отри- цательной оси <р (рис. 96) на полуполосу {Re £ < log Vo, О < Im £ < л}. Без ограничения общности можно счи- тать, что Vo = 1, и тогда G будет совпадать с функцией, которую мы рассматривали в § 27 при решении задач об ударе струи о прямую и о встречных струях. Зная G, мы из (12) и (8) сможем найти функции fo и fj и тем са- мым определить форму струй и рас- пределение скоростей в потоке. Для случая осевой симмет- рии столь полного решения полу- чить не удается. Однако, пользуясь теорией квазиконформных отобра- жений и повторяя физические рас- суждения, которые мы проводили в начале главы (с той лишь разни- цей, что теперь у нас плотности струй различны), мы можем прий- ти к следующим выводам: 1°. При неограниченном удале- нии от оси вращения линии Го и Г1 асимптотически приближаются к не- которой прямой, так что существует асимптотический конус, к которому приближаются свободные поверхно- сти струйных потоков, ограничивающие так называемую «пелену» (рис. 97). 2°. Ширина 6 полосы между Го и Г1 стремится к нулю с увеличением расстояния г от оси вращения: го + г? 6 ~“2Г~ (условие несжимаемости жидкости). 3°. Между радиусами струйных потоков га и rlt их плотностями ро и pi и углом а асимптотического конуса имеет место соотношение (13) ,2 _ . 2 г0 Лг 1 cos а = -5---р-, __ ro + v? где Л=1//' — (теорема о сохранении количества дви- жения). (14)
§ 29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 265 Как мы сейчас увидим, этих фактов достаточно для построения приближенных расчетных формул теории ку- мулятивных зарядов. Теория пробивания. Рассмотрим описанную выше схему соударения двух жидких струй в подвижной си- стеме координат, относительно которой левая (толстая) струя неподвижна. В этой системе координат скорость правой (подвижной) струи будет равна ^ = ^ + ^ = (1+^)7,. По аналогии со многими задачами механики сплош- ной среды (теория крыла самолета, волновое сопротив- ление судов, расчет движения грунтовых вод и т. д.) мы принимаем, что процесс пробивания в теории кумуляции следует законам установившегося проникания жидкой струи в жидкость. Скорость места соударения Ко в теории кумуляции будет вместе с тем скоростью проникания; обозначая ее через и, будем иметь и — ЛК1 = . . V. (15) 1 т л Из последней формулы видно, что скорость проникания всегда меньше скорости струи: в частности, если струя и броня имеют одинаковую плотность, то скорость прони- кания будет вдвое меньше скорости струи. Из формулы (15) получается также следующий важ- ный факт: если некоторое фиксированное сечение струи продвинется на расстояние Л, то точка проникания про- двинется на расстояние а струя при этом укоротится на величину L -Z = l(l откуда отношение длины израсходованной части струи, l2 — L — I к длине пробитого участка I равно l2 __ L — I _ 1 / — I ~~ Л или __ Z = AZ2 = j/-^ 12, (16)
266 СТРУИ [ГЛ. VII В частности, если плотности струи и брони одинаковы, то I = 12, т. е. глубина пробития равна длине израсхо- дованной на это пробитие части струи. Соотношение (16) хорошо согласуется с проблемой пробивания, когда струя имеет конечную длину. Пусть цилиндрический жидкий стержень, диаметр которого мал сравнительно с его длиной, ударяется соосно о другой цилиндрический жидкий стержень. В период, близкий к моменту начала соударения, мы будем иметь резко выраженный неустановившийся процесс, однако, опи- раясь на вариационные принципы, нетрудно показать, что процессы, происходящие в голове струи, будут за- метно влиять только на расстоянии в 2—3 диаметра струи. Когда реальный процесс приближается к разоб- ранному выше установившемуся процессу, то на это тра- тится лишь небольшая часть струи (всего несколько диаметров), которой можно пренебречь. Поэтому дли- ну 12 части струи, израсходованной на пробитие, можно просто считать равной длине струи. Мы приходим к та- кой приближенной формуле для глубины проникания кумулятивной струи; (17) Г Ро где а — длина струи, pi — ее плотность и р0 — плотность брони. Опираясь на формулу (17), можно решать и более общие задачи, например, изучать пробивание жидкой массы жидкой струей переменной толщины и перемен- ной скорости (по длине струи). В теории первого при- ближения можно принять, что каждый элемент струи работает так же, как если бы вся струя была устроена, как этот элемент; такой квазистационарный расчет так- же широко используется в неустановившихся задачах сплошной среды. Представляется весьма интересным и важным получить методы для оценок погрешностей этого приема и, что особенно интересно, формулы следующего приближениях учетом неустановившихся членов. Эта за- дача, естественно, относится не только к разбираемой задаче пробивания, но и ко всем подобным задачам на квазистационарный расчет.
КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 267 § 29] Формирование кумулятивной струи. Рассмотренная выше схема соударения двух струй при р0 == pi может быть положена также в основу расчета параметров ку- мулятивной струи. Для этой цели обозначим через V об- щую скорость границ обеих струй (по формуле (5) у нас Ко = У]) и введем новую подвижную систему коорди- нат, которая движется вдоль оси х справа налево со V скоростью——, где а — угол раствора асимптотиче- ского конуса пелены. В этой системе асимптотический конус движется по нормали к своей поверхности со скоростью U = V tg а, а скорость кумулятивной струи оказывается равной ц — И + ~с0^а~ • Подставляя сюда V = U ctg а, мы по- лучаем выражение скорости кумулятивной струи в зави- симости от угла раствора а и «скорости обжатия» U асимптотического конуса: р = ..1±-С08-° [/. (18) sin a v ' Легко получить также выражение радиуса струи в зависимости от угла а и толщины оболочки в одном из ее сечений1). Примем толщину оболочки при г — 1 равной 6. Тогда в силу формулы (13) будем иметь при- ближенно 26 « + г|, а согласно (14) Отсюда для радиуса кумулятивной струи получаем fj = ]/б(1 — cos а) = ]/26 sin у. (19) Как и в теории пробивания, от рассмотренной иде- альной схемы можно перейти к расчету (в первом при- ближении) реального кумулятивного заряда. Начнем со случая, когда оболочка заряда есть конус, толщина которого меняется по формуле (13) и когда заряд таков, что все элементы оболочки получают мгновенно ско- рость U, постоянную по величине и направленную по *) Зная толщину одного сечения оболочки, можно определить всю оболочку, ибо геометрия оболочки у нас определяется формой пелены, создаваемой двумя струями.
268 струи [ГЛ. VII нормали к асимптотическому конусу. Если толщина ко- нуса мала по сравнению с его высотой, то начальной неустановившейся фазой процесса можно пренебречь и, следовательно, считать, что формирование струи проис- ходит по схеме, изображенной на рис. 97. Обжимаю- щийся конус будет выдавливать из себя проволоку, ра- диус которой вычисляется по формуле (19) и которая движется со скоростью, вычисляемой по формуле (18). Длина струи и глубина пробития по формулам (16) и (17) будут равны длине образующей конуса. Используя принцип квазистационарного расчета и опи- раясь на формулы (18) и (19), можно дать расчет пер- вого приближения для работы произвольной металличе- ской оболочки с произвольным распределением импульса (с осевой симметрией). Получающаяся при этом струя будет, естественно, иметь переменную толщину, кроме того, различные элементы струи будут двигаться с раз- личной скоростью — струя в полете будет в одних своих участках сжиматься, в других растягиваться. Пределы применимости теории. Приведенная выше теория первого приближения полностью подтвердилась на опыте в достаточно широких пределах диаметров за- рядов, форм и толщин оболочек, в материалах различ- ных плотностей й прочностных свойств. На рис. 98 приве- дено сравнение гидродинамической теории с эксперимен- том для различных значений скорости v кумулятивной струи. В этом эксперименте струя и мишень имели оди- наковую плотность (обе из стали), так что X — 1 и по
§29] КУМУЛЯТИВНЫЕ СТРУИ 269 гидродинамической теории (формула (15)) скорость про- никания и =4-v. Из рис. 98 видно, что отношение — 2 1 V близко к теоретическому при скоростях струи v > > 4 кмIсек. Накопилось, однако, и некоторое количество фактов, не укладывающихся в теорию и требующих для своего объяснения существенных дополнений к теории. а) Острые конусы. Согласно полученным фор- мулам чем меньше угол, тем тоньше струя и тем больше ее скорость; делая угол все меньше и меньше, мы мо- жем теоретически получать сколь угодно большие ско- рости, и следовательно, в зоне образования струи (со- гласно формуле Бернулли)—сколь угодно большие давления. Этот качественный вывод на опыте не под- тверждается: при малых углах а наблюдается резкое снижение пробивного действия (вплоть до полной потери), а скорость перестает увеличиваться. При коли- чественном изучении этого явления оказалось, что здесь существенную роль играет материал оболочки (марка стали, свинец, алюминий, бериллий и т. д.): каждый материал дает свой предельный угол ао, начиная с кото- рого появляются аномалии. Поскольку проблема полу- чения больших скоростей и давлений имеет самостоя- тельный интерес, то за последние годы появились ра- боты теоретические и экспериментальные, ставящие своей задачей дать более точный расчет при малых а и получить возможно большие скорости. Основным доба- вочным фактором в расчетах явилась сжимаемость, от- сюда одной из существенных характеристик металла явилось его уравнение состояния, в частности, коэффи- циент объемного сжатия. Из отечественных работ отме- тим работу Н. А. Слезкина [6], из иностранных — Уолша с сотрудниками [9]. Наиболее ценная экспери- ментальная работа принадлежит Коски с сотрудника- ми [8]. Используя цилиндрическую оболочку из бериллия и обжимая эту оболочку специальным зарядом, этим ав- торам удалось получить поток частиц — но не струй — (в пустоте) со скоростями около 90 км/сек. В работе [8] авторы, опираясь на ряд дополнительных гипотез, вы- числяют предельное значение ао; при меньших значе- ниях струя не может образоваться.
270 СТРУИ [ГЛ. VII б) Диаметр пробиваемого отверстия. Со- гласно гидродинамической теории, в процессе пробива- ния преграды струей преграда раздвигается так, что все ее элементы получают скорости, соответствующие рас- ширению отверстия; струя при этом размазывается по стенкам. Мы считаем процесс законченным, когда вся струя размажется. На самом деле в схеме идеальной жидкости полученное жидкостью движение будет продолжаться так, что диаметр отверстия будет неогра- ниченно расти. Задача определения диаметра отвер- стия, таким образом, в схеме идеальной жидкости неразрешима. Начальное распределение скоростей мож- но брать из схемы идеальной жидкости (или газа), а дальнейший счет нужно вести в вязко-упругой среде. в) Фокусное расстояние. Как показывает опыт, для каждого конуса, в зависимости от его тол- щины, диаметра и высоты и соответствующего ему за- ряда существует относительное расстояние заряда от брони, при котором получается наибольшее пробитие. Резкое падение пробивного действия при удалении за- ряда от преграды объясняется прежде всего неустойчи- востью струи; задача изучения струи в полете также выходит за рамки идеальной жидкости и требует при- влечения теории вязко-пластических течений металла. Литература 1. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь, Н. В. Розе, Теоретическая гид- родинамика, т. I, Гостехиздат, М., 1948. 2. Г. Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, М., 1947. 3. Г., Биркгоф, Э. С а р а н т о н е л л о, Струи, следы и каверны, «Мир», М., 1964. 4. М. А. Лаврентьев, О некоторых задачах движения жидкости при наличии свободных поверхностей, Прикл. матем. и мех., т. 30, в кн. 1 (1966), 177—182. 5. М. А. Лаврентьев, Кумулятивный заряд и принципы его ра- боты, Успехи матем. наук, т. XII, вып. 4 (1957), 41—56. 6. Н. А. Слезкин, Об ударе плоской газовой струи в безгранич- ную стенку, Прикл. матем. и мех., 16:2 (1952). 7. G. В i г k h о f f, D. Me D о u g a 11, E. Pugh, G. Taylor, Explo- sives with lined cavitis, Journ. of Appl. Phys., 19 (1948), 563—582. 8. W. Koski, F. L u к y, R. S h г e f f 1 e r, F. W i 1 1 i g, Fast jets from collapsing cylinders, Journ. of Appl. Phys., 23 (1952), 1300—1305. 9. J. W a 1 s c h, P. S h r e f f 1 e r, F. W i 1 1 i g, Limiting conditions for jet formation in high velocity collisions, Journ. of Appl. Phys., 24 (1953), 349—359.
Глава VIII НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Этот сравнительно молодой раздел гидродинамики сейчас интенсивно развивается, и количество работ, ему посвященных, растет из года в год. Внимание исследо- вателей здесь привлекает, с одной стороны, трудность и новизна проблем и, с другой, — то, что многие из этих проблем возникают из запросов техники сегодняшнего дня — движение судов на подводных крыльях, поиски нового типа тяговой силы, быстро меняющиеся процессы (в том числе взрывы в атмосфере и воде), изучение и использование природных явлений и т. д. и т. п. В этой главе мы коснемся лишь некоторых из очень широкого круга проблем, связанных с неустановивши- мися движениями. В следующих главах проблемы этого круга также будут занимать значительное место. § 30. Постановка задачи Общая постановка задачи о неустановившемся дви- жении несжимаемой жидкости такова. В начальный момент времени, скажем, t = 0, задана пространственная область D, заполненная жидкостью, и пусть известно распределение скоростей в этот момент, требуется определить дальнейшее движение жидкости. Эта постановка, однако, очень неопределенна и нуждается в упрощающих и конкретизирующих предпо- ложениях. Наиболее общими упрощающими предполо- жениями являются предположения об отсутствии вяз- кости и потенциальности движения. Рассмотрим их несколько подробнее..
272 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Потенциальные движения. Естественно возникает следующий вопрос: если в начальный момент t — 0 дви- жение идеальной несжимаемой жидкости является по- тенциальным, то будет ли оно оставаться таким же во все время движения? На этот вопрос можно ответить утвердительно, если предположить еще, что жидкость находится в потенци- альном поле внешних сил F. В самом деле, возьмем произвольный жидкий замкнутый контур Lt> который будем считать заданным параметрически уравнением г — r(s, t), где г — (х, у, z)—радиус-вектор, а пара- метр s в любой момент времени t меняется на отрезке [О, 1]. Производная по времени от циркуляции вектора скорости вдоль Lt 1 4т ДУГ I (V, dr)^ f -^-(v, = dt dt j v ' J dt \ ’ ds ) Ч о 1 1 c ( dV dr \ , । f / j/ d. dr \ , — tt, -3— ]ds -f- V, as, J \ dt ’ds ) 1 J \ ’ dt ds / о 0 d dr dV dV\ 1 d ,,, Ho -di^^-dl’ a lv’ id ’ П0ЭТ0МУ ВТ°Р°Ч . V2 интеграл равен приращению функции -у вдоль конту- ра Lt и в силу замкнутости последнего равен нулю. Таким образом, dr fIdV . \ /n dT= J VdT’ dr)’ W 4 а так как в силу уравнений движения ^K^F-lgradp, (2) где согласно сделанным предположениям F имеет по- тенциал, а р — постоянная, то интеграл в правой части (1) равен нулю. Итак, доказано, что -^у-==0, а так как в начальный момент у нас Г = 0, то и все время Г = О — отсюда и следует потенциальность движения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 273 § 30] Опишем принципиальную схему определения того, как с течением времени меняются область течения и поле скоростей в отсутствии внешних сил. Для любого момента t мы обозначим через Dt положение области те- чения, а через <р (г, /) —потенциал скоростей в этот мо- мент. Будем еще считать, что Dt имеет свободную гра- ницу—поверхность S(. Условие постоянства давления на этой поверхности приводит к соотношению, которое выполняется всюду на Sf: + gradqp |2 = с, (3) здесь с — некоторая постоянная (см. § 1). Это соотно- шение и можно использовать для приближенного опре- деления Dt и ф. Выберем малый отрезок времени б/. За время 6t каждая точка границы S области D сдвинется в на- правлении grad фо, где фо = ф(г, 0), на расстояние | grad фо | Ы — так мы получим поверхность S6t. С дру- гой стороны, согласно (3), на S за время Ы значение ф изменится на величину бф — у| grad ф0 |2)бЛ Если еще учесть изменение ф на отрезке |grad <р0|б/, на который сдвинулась точка поверхности S, мы получим, что на S6t значение ф(г, б/) = Фо (г) + (с + у| grad ф012) 6t (4) Решая в области D6i задачу Дирихле с такими гранич- ными данными, мы найдем значение ф(г, б/) в этой об- ласти. Описанный процесс можно продолжить, и мы полу- чим тогда приближенное представление о виде Dt и зна- чении ф(г, t) в «любой» момент времени t. Пользуясь этой схемой, Р. М. Гарипов провел на ЭВМ расчет неустановившегося движения идеальной не- сжимаемой жидкости со свободной поверхностью в пря- моугольном бассейне с сечением {0 х{ <: 2, 0 х2 1}. В начальный момент времени t = 0 свободная Поверхность имеет вид кривой (0) рис. 99, которая
274 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII соединяет точки, отмеченные 0 и 1. Потенциал скоростей на свободной поверхности в начальный момент прини- мается равным Xi, а внутри жидкости вычисляется как решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее усло-г виям непроницаемости на стенках бассейна. На рис. 99 скопирован выданный машиной бланк, на котором кроме начального положения свободной поверх- ности приведены точки, полученные в результате рас- чета для момента t = 0,244 — они отмечены цифрами 2 и 3 и соединены кривой (/). На этот же рисунок с дру- гих бланков снесены кривые (2), (3), ... , (S), соединяю- щие расчетные точки и указывающие положения свобод- ной поверхности в моменты времени 0,488; 0,732; ... ...; 1,951. Задача формально решалась как пространственная (с осью х3, перпендикулярной плоскости рисунка), но так как от х3 ничего не зависит, она по существу яв- ляется плоской. На рис. 99 изображены сечения плоско- стями х3 = 0 (точки с индексом 0 на кривой (0) и г индексом 2 на кривой (/)) и х3 = 0,146 (точки с ин- дексом 1 на кривой (0) и с индексом 3 на кривой (/)). Точки не совпадают из-за того, что в качестве узлов разностной схемы бралась шахматная сетка, но соот- ветствующие точки лежат на одной кривой.
§30] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 275 Этот расчет дает основание полагать, что описанная выше схема приближенного решения задачи о неустано- вившемся движении жидкости устойчива. Задачи со свободными границами. Класс задач о не- установившихся потенциальных движениях идеальной жидкости со свободными границами достаточно широк. К нему относится, в частности, знаменитая задача Ко- ши— Пуассона о волнах, которые распространяются на поверхности водоема в результате действия какого-либо возмущения первоначально покоящейся воды. Хотя эта задача математически поставлена около 150 лет назад, ее полного решения до сих пор еще нет. До недавнего времени были известны лишь многочисленные прибли- женные теории и некоторые точные решения довольно специального характера. В последние годы в Институте гидродинамики Си- бирского отделения АН СССР под руководством Л. В. Овсянникова были разработаны методы, по- зволившие несколько продвинуть теорию. Мы хотим здесь дать представление об этих методах. Движение вполне определено, если известен потен- циал скоростей <p(r, t)—гармоническая функция про- странственных координат г=(х, у, г). Поэтому задача формулируется так: Дана область D и гармоническая в ней функция <ро(г). Требуется для всех t > 0 найти область Dt с гра- ницей St, зависящей от времени t, и функцию ф(г, /), гармоническую по г в области Dt, так, чтобы при всех t > 0 на St выполнялись соотношения + gradT |2 + Ф = £(/), (5) (л, grad ф) = (6) а при t = 0 было бы D0 = D, ф(г, О)=фо(г). (7) Здесь градиент, как всегда, берется по простран- ственным координатам, Ф = Ф(г, t) обозначает потен- циал внешних сил и считается заданной функцией, функ- ция p(t) (давление на свободной границе) также счи- тается известной. Во втором уравнении п — единичный вектор внешней нормали к поверхности St, a Vn —
276 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. VIII скорость перемещения этой поверхности в направлении ее нормали. Если St задается уравнением z = f(x, у, г), то как мы показали в гл. I (см. формулу (28) § 1), ус- ловие (6) можно переписать в виде ~ = (grad ф, grad (z — /)). (8) Напомним еще, что если в состав границы S; входят не- проницаемые поверхности, то на них условие (5) не ставится, и остается одно лишь условие (6), но зато форма таких поверхностей считается известной во все время движения. В эту постановку входит, в частности, и задача Коши — Пуассона о волнах на поверхности водоема ко- нечной глубины. В ней принимается, что Ф = az, где а — некоторая постоянная, а давление p(t) постоянно, например, тождественно равно нулю. Начальная область D задается неравенствами 0 < z < /о(*, у) и дно во- доема считается неподвижным, условие (6) на нем имеет вид -§- = 0. Даже в случае установившегося движения решение этой задачи наталкивается на трудности, о ко- торых мы говорили в предыдущих главах (см. § 20 в связи с плоской постановкой и § 24 — в связи с про- странственной). Подход к ее решению, предложенный Л. В. Овсян- никовым, в общих чертах состоит в следующем. До- пустим, что нам известна свободная поверхность S;, за- даваемая уравнением z = f(x, у, t), а также значение потенциала на этой поверхности, т. е. функция ф(х, У, f(x-. У> S(x, У, 0- Тогда в принципе (при определенных условиях, наложенных на функции f и g) мы можем найти единственную гармоническую в Dt функцию <р(г, /), которая на S; принимает значение g, а на плоскости z = Q удовлетворяет условию -^- = 0. Таким образом, определено отображение, которое каж- дой паре функций Д, g) из определенного класса Е ставит в соответствие векторное поле V = grad<p в об- ласти Dt V- (f> g)->grad®. (9)
$ 30] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 277 Задача свелась к отысканию в Е функций f и g, ко- торые вместе с соответствующей им функцией <р удо- влетворяют при всех х, у и всех t 0 соотношениям + grad ср |2 -фа/= 0, dt (10) = (grad ф, grad(z-f)), где z = f(x, у, t), а при 1 = 0— начальным условиям f(x, у, O)=fo(x, у), g(x, у, 0) = g0(x, у), (11) где /о и go — заданные функции, а точка (х, у) пробе- гает всю плоскость. Опишем теперь выбор класса Е. Говорят, что функ- ция f удовлетворяет в плоской области D условию Гёль- дера с показателем а, если для любых точек Р\, Р2^ D \f(P2}-t(Pd\ отношение —— а ограничено; верхнюю грань I Pi — Р? I этого отношения называют коэффициентом Гёльдера. При фиксированном а, 0 < а < 1, через II/IL, а обозна- чают сумму верхних граней в D модулей функции f и ее частных производных до порядка k включительно, а так- же коэффициентов Гёльдера этих производных (пред- полагается, что последние существуют и непрерывны). Для функций, которые обладают в D частными произ- водными всех порядков, вводят величину оо (Р) =У Z. max II (12) Через В^а обозначают множество всех функций f, для которых величина (12) конечна. Класс Е = Еа} составляется из тех функций f(x, y,t), которые по х и у во всей плоскости (х, у) принадлежат множеству В(^а, а при t 0 зависят от t аналитически. Этот класс оказался удобным для исследования задачи Коши — Пуассона; В. И. Налимов (ученик Л. В. Ов- сянникова) доказал следующую теорему [3]: Если начальные данные f0 и g0 в задаче Коши — Пуассона принадлежат некоторому классу Еа’1, то най- дутся числа pi > 0 и 6 > 0 такие, что в любом классе
278 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Еа , где р < pi, существует единственное решение этой задачи на отрезке времени 0 t 6. Таким образом, разрешимость задачи Коши — Пуас- сона в классе аналитических поверхностей St с уравне- нием вида z = f(x, у, t) установлена лишь для началь- ных отрезков времени. Как мы сейчас увидим, это ограничение, по-видимому, связано с существом дела. Устойчивость. При изучении инерционного неуста- новившегося движения жидкой массы естественно воз- никает вопрос об устойчивости этого движения. На са- мых простых примерах, хотя бы в рамках приближенной схемы, о которой говорилось в начале этого параграфа, можно убедиться в том, что даже при достаточно глад- ких начальных данных довольно скоро ©возникают особенности как у грани- цы St, так и у потенциала <р. j Следует различать неустойчивость, ч связанную с двумя видами особенно- \ стей границы — локальными и гло- } бальными. Локальные особенности / возникают при появлении у 5г волнооб- разной формы такой, что длина волн —*- мала по сравнению с размерами Dt. Рис. 100. При увеличении t эти мелкие «вол- ны» могут привести к образованию на St острых углов, складок и других особенностей. Но с точки зрения приложений, в которых обычно интере- суются движением основной массы жидкости, такие ло- кальные особенности большой роли не играют (так, на- пример, мелкая рябь на воде практически не влияет па движение длинных волн). При подсчетах следует заме- нить плохую поверхность близкой к ней хорошей и продолжать процесс. Иначе обстоит дело с глобальными особенностями, которые образуются, когда в процессе движения две точки поверхности St, находящиеся на конечном рас- стоянии, приближаются друг к другу с последующим гидравлическим ударом одной части жидкости о другую (рис. 100). Особенности такого типа связаны с природой явления и подлежат особому анализу. Во многих вопро- сах такие глобальные особенности играют фундамен- тальную роль.
ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 279 § 31] § 31. Подводный взрыв С явлениями, происходящими при подводных взры- вах, связан очень широкий круг задач, в которых уча- ствуют неустановившиеся движения. Мы начинаем с рас- смотрения двух вполне классических задач. Схлопывание пузыря. Одним из первых вопросов, возникающих при изучении взрыва под водой, является вопрос о том, как изменяется с течением времени обра- зовавшийся при взрыве газовый пузырь, который запол- нен продуктами детонации ВВ. В простейшей приближенной постановке задачу можно сформулировать так. Пусть сферический газовый пузырь переменного радиуса R = R(t) находится в без- граничной несжимаемой жидкости с плотностью 1 и по- стоянным давлением Pq. Силой тяжести, вязкостью, а также поверхностным натяжением и конденсацией га- зов в пузыре мы пренебрегаем. Требуется найти закон изменения радиуса R(t). Скорость движения жидкости, вызванного измене- нием радиуса пузыря, в данный момент времени t зави- сит лишь от расстояния г рассматриваемой точки от dr . центра пузыря и равна Сравнивая расходы на границе пузыря и концентрической с ней сфере радиуса г, мы найдем 4лР2Р = 4лг2г=Ф, (1) где Ф = Ф(/) — некоторая функция времени. Это соот- ношение позволяет вычислить кинетическую энергию всей массы жидкости в момент t: оо М <2> R Будем считать, что в начальный момент жидкость находится в покое, а Р(0) = Ro, пусть еще разность ме- жду давлением в жидкости Ро и давлением газа внутри пузыря равна Р; в силу наших предложений это — по- стоянная величина. Если не учитывать поверхностное натяжение, то dE = - 4лР2РР dt (3)
280 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII (знак минус объясняется тем, что у нас R < 0), откуда интегрированием находим E=^nP№-R\ Сравнивая это выражение с (2), получаем дифферен- циальное уравнение с разделяющимися переменными • _2Р /?30-/?3 * 3 R3 (4) а его интегрирование приводит к соотношению Ro __________________________________ Г3 . —3---о dr, Яо-г3 (5)- 7? = ' R из которого можно найти искомую зависимость Из уравнения (4) следует, что при R —► 0 скорость R неограниченно возрастает как R~l2. Это отражает тот факт, что в момент исчезания пузыря происходит гид- равлический удар — мы имеем пример глобальной осо- бенности, о которой говорилось выше. Описанный эффект называется схлопыванием пузыря. Полагая в (5) R = 0, мы находим время схлопыва- ния: Ro т = I/ — Г 1/ ——з dr ~ 0,9. |/ 2Р J у R3-r3 VP Можно еще рассматривать пульсирующий пузырь, который после схлопывания расширяется до начальной величины. Последняя формула позволяет определить пе- риод колебаний такого пузыря: Т = 2т. (7) Отметим, что в точной постановке задачи о движении газового пузыря, образовавшегося при подводном взрыве, следует учитывать влияние поверхности воды и силы тяжести, а давление в пузыре считать меняющимся по закону: (6) (8)
Подводный взрыв 281 $311 где со(0—объем пузыря в момент времени t, а с и у > 1 — постоянные. Массой газа внутри пузыря и си- лами поверхностного натяжения можно пренебречь. В этой постановке в начальный момент поверхность воды можно считать плоской, а границу газового пузыря— сферой; дальнейшее изменение формы этих поверхно- стей находится из решения задачи. Решение задачи о движении газового пузыря в такой точной постановке для начального этапа получил не- давно Л. В. Овсянников [2]. О дальнейших этапах движения мы будем говорить ниже при обсуждении про- блемы султана. Шары Бьеркнесов. Пусть в безграничной жидкости, которую мы по-прежнему предполагаем несжимаемой (с плотностью 1) и невесомой, пульсируют два воздуш- ных или газовых пузыря. Еще в прошлом веке отец и сын Бьеркнесы обнаружили и объяснили интересное яв- ление, связанное с этим экспериментом — оказывается, что если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, то они притягиваются друг к другу, а если в противофазе, то отталкиваются. Для объяснения этого явления нам понадобится сле- дующий элементарный факт — шар, движущийся посту- пательно в безграничной жидкости, можно имитировать точечным диполем, расположенным в центре шара. В са- мом деле, пусть шар радиуса R движется со скоростью U вдоль оси х. Потенциал скоростей этого движения пред- ставляет собой гармоническую вне шара функцию ср, равную 0 на бесконечности и на поверхности шара <5ф Г7 Л < удовлетворяющую условию = с/cos 9 (нормальная составляющая скорости, г и 9 — цилиндрические коор- динаты, см. рис. 101). Этим условиям, очевидно,
282 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII удовлетворяет функция <р = —2* —cos 9, а решение задачи единственно, следовательно, она и является ис- комым потенциалом. Мы видим, что вне шара (при г > R) она совпадает с потенциалом скоростей диполя, a cos 0 / расположенного в начале координат: <р =------— (см. § 23), причем U = . Переходя к описанию явления Бьеркнесов, заменим пузыри точечными источниками интенсивностей q(t) и в<7(0, расположенными соответственно в точках х = 0 и х = —а оси х, причем е = 1, если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, и в = —1, если они пульсируют в противофазе. Чтобы учесть возможность перемещения центров пузырей, будем еще считать, что в тех же точках помещены диполи. Так как пузыри равноправны, достаточно изучить движение одного из них, скажем, того, который пульсирует в окрестности начала. Ра- диусы пузырей мы будем считать малыми в сравне- нии с а. Если пренебречь влиянием диполя, расположенного в точке х — — с, то в точке М, близкой к началу коор- динат, потенциал поля скоростей запишется в виде Ф = — 4._е£ a cos 0 г2 (9) где I—расстояние точки М до второго источника, а а = а(/)— момент диполя (рис. 101). У нас /2 = а2 ф- ф- г2 ф- 2ar cos 9 и вблизи начала I « У а2 + 2ar cos 9 « ~ a^l -j- cos 9 j. Поэтому (9) можно приближенно пе- реписать в виде <7 eq I, г Л . a cos 0 »=~т » -Vcose) + -— или, если отбросить несущественное постоянное (при фиксированном t) слагаемое, в виде q , ocosO . acos0 Ф = -~ + е-^-^г+ -77— (Ю) Здесь первое слагаемое дает потенциал источника, расположенного в начале координат, второе — потен-
§ 31] ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 283 циал другого источника (приближенно) и третье — по- тенциал диполя. Если обозначить через R = R(t) радиус пузыря, пульсирующего в окрестности начала, то ско- рость его изменения (которая определяется первым сла- , k dR q гаемым) R — . а поступательная скорость пузыря U = -^- (она определяется третьим слагаемым; знак плюс объясняется тем, что речь идет о скорости пу- зыря, а не жидкости). Воспользуемся теперь тем, что в силу нашего предпо- ложения о невесомости суммарное давление на пузырь должно быть равным нулю. По интегралу Коши давле- ние в точке, близкой к началу, п , 1 г I Эф \2 . 1 / Эф \21 Эф Р = const — -к- Hr* +-Г "5Й~---= 2 L\ or ) 1 г2 \ Э0 ) J dt , 1 Г( q . ео cos 0 2а cos 0 \2 . = const _-^+—-------------+ , sin2 0 [ eqr а \2 . “г'-?2-“ / о , го cos 0 , d cos 0 -( г+еЛ^+^-)г (11) При интегрировании по граничной сфере пузыря члены, не зависящие от 0 или пропорциональные sin2 0 и cos2 0, сокращаются вследствие симметрии, поэтому ненулевой вклад в суммарное давление могут дать лишь члены _ cos о (±lL _ । । A) C0S H \ r2a2 r5 + 6 a2 г2 /' Условие обращения в нуль суммарного давления приво- дит, следовательно, к равенству . __ 2aq eq2 eqR3 а ~ А а2 (12) справедливому в любой момент времени t. Остается учесть, что за полный период пульсирова- ния пузыря суммарные эффекты изменения q(t) и q(t) равны нулю. Но тогда, как видно из (12), суммарный эффект изменения за период величины а((), а значит, ц a(t) по знаку противоположен знаку е. Так как
284 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII поступательная скорость центра пузыря U =-^-, то мы заключаем, что приращение U(t) за период пульсирова- ния отрицательно при е >0 и положительно при е < 0. Это и объясняет явление Бьёркнесов. Отметим еще один вариант этого же явления. Как известно, влияние на источник твердой стенки в точно- сти эквивалентно влиянию на него другого источника той же интенсивности, расположенного зеркально сим- метрично с первым источником относительно стенки. Точно так же действие на источник свободной поверх- ности можно заменить дей- ствием симметричного ис- точника, интенсивность ко- торого противоположна по знаку интенсивности первого источника. Поэтому приве- денный выше анализ объясняет еще и следующий экспе- риментально наблюдаемый факт: газовый пузырь, пуль- сирующий в воде вблизи от твердой стенки, притягивает- ся к стенке, а пузырек, который пульсирует вблизи свободной поверхности, отталкивается от нее. Переходим к новым задачам. Парадокс при подводном взрыве. Пусть в воду ча- стично погружен полый цилиндр с толстыми (в 20— 30 мм) стенками и тонким (в 1—3 мм) дном из железа или меди (рис. 102, а). При фиксированной глубине по- гружения Н на расстоянии h от дна цилиндра на его оси помещается заряд ВВ и производится подрыв. Для каж- дого h подбирается минимальный вес F = F (1г) заряда, при котором дно разрушается.
ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 285 § 31] Естественно ожидать, что функция F (h) строго воз- растает, однако в многочисленных опытах наблюдался следующий парадоксальный факт: функция F строго возрастает, пока h не достигнет некоторого значения h0, после этого на участке h0 h. h{ (где h\ в два-три раза больше /г0) она остается практически постоянной; при h > /ii величина F снова возрастает (рис. 102,6). Изменяется и характер разрушения дна — при h < h0 дно прорывается на большой площади, а при h h0 прорыв резко локализован. Приведем качественное объяснение этого парадокса. Опыты показывают, что эффект подводного взрыва ВВ делится на две стадии. На пер- вой стадии, сразу после подры- ва, продукты взрыва образуют газовый пузырь. От него преж- де всего отходит ударная вол- на, которая уносит около по- ловины энергии взрыва, а за- тем происходит нарастание скоростей жидкости и диаметр газового пузыря быстро увели- чивается. Если в конце этой стадии прорыва дна и выхода газов в атмосферу не произойдет, то наступает вторая стадия. Газовый пузырь под действием начнет сжиматься1), удаляясь дачу о сжатии газового пузыря в воде мы рас- сматривали выше; следует только иметь в виду, что на практике форма его не сферическая, а грушевидная с расширением книзу. С течением времени пузырь сплю- щивается, образуя шапку с выемкой внизу, и потому схлопывание пузыря происходит на нижней его поверх- ности. Возникающий в момент схлопывания гидравличе- ский удар приводит к струе, которая идет назад, к дну цилиндра (рис. 103). Эта струя имеет кумулятивный ха- рактер, энергия в ней сравнима с энергией пузыря на Рис. 103. атмосферного давления от дна цилиндра. За- ’) Когда пузырь достигает максимального размера, давление в нем невелико.
286 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ. ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII первой стадии. При определенном весе F заряда струя пробивает небольшое отверстие в дне цилиндра1). Для прорыва на первой стадии процесса характерно строгое возрастание функции F(h), на второй стадии пробивная сила мало зависит от расстояния. Таким об- разом, качественную картину явления можно считать достаточно ясной, но сколько-нибудь полный количе- ственный расчет пока еще не проведен. Сферическая кумуляция. В предыдущей главе мы рассматривали движение кумулятивных струй как уста- новившееся. Между тем большой интерес представляет также и процесс формирования струй, который является существенно неустановившимся. Для простоты рассмотрим случай сферической куму- ляции, где предполагается, что в начальный момент / = 0 жидкость занимает нижнее полупространство с вы- емкой в форме полушара. Кроме того, считается, что при t = 0 жидкость мгновенно становится тяжелой, а потенциальная функция ф и скорость частиц v на сво- бодной поверхности равны нулю. Задача сводится к отысканию функции ф = ф(г,/), гармонической по пространственным координатам г = — (х, у, г) в переменной области Dt, равной 0 в беско- нечности, а на границе Dt (свободной поверхности жид- кости) удовлетворяющей условию которое с учетом соотношения I /у у \ = _^Ф I 2 dt dt ~ dt и можно переписать в виде 4?=4 *2-^- (13) Приближенное решение этой задачи в плоском ва- рианте можно получить методом электрогидродинамиче- 1) Не исключена также возможность прилипания газового пу- зыря к дну цилиндра, и тогда при его схлопывании запасенная энер- гия концентрируется в непосредственной близости дна. Этот вариант представляет собой разновидность второй стадии процесса.
§ 31] ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 287 ских аналогий (ЭГДА) при помощи электропроводящей бумаги. Для этого нужно записать разностный аналог условия (13); если обозначить через i индекс точки на свободной поверхности жидкости и через / — индекс шага по времени, то мы будем иметь <рг у+1 = <рг, j + ~2 j ~* &zi (14) В начальный момент j = 0 получаем распределение Ф на известной свободной поверхности: фг, 1 = —gZiM0. Реализуя эти граничные условия на электропроводящей бумаге, мы сможем построить линии равного потенциа- ла, а затем и линии тока для выбранных точек свобод- ной поверхности. Далее можно найти скорости жидкости в этих точках, построить свободную поверхность в мо- мент времени с индексом / = 1 и по (14) найти новое распределение потенциала на этой поверхности. Это распределение снова реализуется на электропроводя- щей бумаге и процесс продолжается. На рис. 104 изображена последовательная картина формирования кумулятивной струи под действием силы тяжести для моментов времени 0 — 0 сек 5-47 • 10-3 сек 1 - 28 • 10-3 сек 6-49 10~3 сек 2 — 38 • 10-3 сек 7-50 • 10~3 сек 3 — 43 • 10-3 сек 8-51 10~3 сек 4 — 45 • 10~3 сек 9-52 • 10"3 сек. Результаты получены В. Кедринским описанным выше методом. На рис. 105 изображены кадры киносъемки повторе- ния опыта Покровского (§ 29). Пробирка с водой, сво- бодной поверхности которой придана сферическая фор- ма при помощи стеклянного мениска (виден на первом кадре), бросается в вертикальном положении на стол. В момент удара жидкость мгновенно становится тяже- лой, так что этот опыт можно рассматривать в связи
Рис. 104.
§ 3ij ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 289 с указанными выше расчетами по сферической кумуля- ции. Под кадрами на рис. 105 указано время, прошед- шее с момента удара. Проблема султана. При некоторых условиях в ре- зультате подводного взрыва наблюдается интересное явление, которое получило название «султан» — над сво- бодной поверхностью на большую высоту в виде узкого конуса выбрасывается вода (рис. 106). Отмечено, что 10 М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат
290 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII это явление характерно для жидкой среды и не наблю- дается при подземных взрывах. Укажем на некоторые особенности подводного взры- ва. В предыдущем разделе мы уже говорили о двух эта- пах развития такого взрыва. Первый, очень короткий, этап характеризуется созданием ударной волны, на что уходит около половины всей энергии взрыва. В рас- сматриваемой здесь задаче волна выходит на свободную поверхность и откалывает некоторую массу воды. От- колотая масса распадается на большое число мелких брызг, каждая с небольшой энергией, а на свободной поверхности образуется воронка в форме впадины. Второй этап связан с эволюцией газового пузыря, образовавшегося при взрыве, который тоже несет около половины энергии. Эта эволюция, как мы говорили, при- водит к схлопыванию и образованию струи, которая (при надлежащих условиях взрыва, т. е. глубине заряда и его весе) выходит на свободную поверхность в момент, когда там образовалась воронка. На этом этапе можно пользоваться моделью потенциального течения несжи- маемой жидкости — мы приходим к задаче определения поля скоростей, ортогонального поверхности воронки (задача о сферической кумуляции, о которой только что говорилось). В результате из воронки вырывается ку-
§ 31] ПОДВОДНЫЙ ВЗРЫВ 291 Рис. 107. мулятивная струя, которая и дает султан — всплеск с довольно большой энергией. Очень похожее явление (но, конечно, со значительно меньшей энергией) наблюдается при выстреле в воду пулей в направлении, пер- пендикулярном свободной поверхности (рис. 107).Дру- гое проявление того же эф- фекта можно наблюдать, когда на спокойную воду падает редкий прямой дождь—поверхность воды покрывается тогда неболь- шими фонтанчиками, кото- рые поднимаются навстречу дождю. Качественное объяснение этих явлений ясно из рис. 108, где показаны три последовательные фазы входа в во- ду пули (или дождевой капли): сначала поверхность воды q немного прогибается вниз (фа- 23^^ за а), затем падающее тело погру- а,)__________________жается в воду и за ним образует- ся полость (фаза б) и, наконец, ... кинетическая энергия тела идет на схлопывание полости. В результа- 6) те этого схлопывания и возникает встречная струя, имеющая куму- лятивный характер (фаза в). Это объяснение подтверждает- fl ся модификацией опыта — если , & стрелять пулей в воду не перпен- - дикулярно к поверхности, а под некоторым углом, то после выстре- ла образуется наклонный султан Рис. 108. в направлении навстречу движе- нию пули (рис. 109). Здесь про- гиб поверхности воды в фазе а будет несимметричным, полость в фазе б будет двигаться в направлении полета пули, и кумулятивная струя в заключительной фазе пой- дет не перпендикулярно к поверхности воды, а навстре- ч у движению полости!
292 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Взрыв в воздухе. Характерное отличие взрыва в воз- духе от взрыва в воде состоит в том, что здесь основная часть энергии переходит в ударную волну. Исследования по распространению ударных волн в воздухе приобре- тают основное значение. До сих пор при проведении больших взрывных работ инженеры сталкиваются с не- понятными явлениями — иногда действие ударной волны оказывается во много раз больше, а иногда во много раз меньше, чем то, которое было вычислено по хорошо проверенным формулам. Как правило, такие отклонения вызываются аномалиями в атмосфере, ибо как скорость акустической, так и ско- рость ударной волны зави- сит от состояния атмосферы (плотность, температура, влажность). Неоднород- ность атмосферы меняет фронт ударной волны — она может уйти вверх, а мо- жет и прижаться к земле. Как в воде, в воздухе мо- гут создаваться своеобраз- ные «волноводы», когда в некотором направлении за- тухание волн оказывается существенно меньше обыч- ного (об этом явлении мы будем говорить ниже, В §34). Около 20-ти лет назад среди гидродинамиков воз- никли острые споры по следующему вопросу. Пусть сферический заряд ВВ без оболочки в момент взрыва (в воздухе) имеет скорость V такую, что кинетическая mV о и Р энергия —g— соизмерима с потенциальной энергией Ь заряда или существенно больше ее; спрашивается, как скорость изменит эффект взрыва? В споре были высказаны две крайние точки зрения: по одной скорость заряда в момент взрыва практически не должна влиять на эффект, параметры ударной волны могут измениться лишь на несколько процентов. По мне- нию других, скорость может увеличить эффект взрыва примерно в десять раз.
$ 32| ПРОБИВАНИЕ ПРИ КОСМИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ 293 Решение этого спора оказалось довольно простым. Надо расчленить явление на два этапа — выделение энергии взрыва и формирование ударной волны. На первом этапе, в соответствии с точкой зрения одной из спорящих групп, скорость заряда практического влия- ния не оказывает, вся потенциальная энергия ВВ пере- ходит в кинетическую энергию разлетающихся частиц продуктов взрыва. На втором этапе необходимо рас- смотреть газовое облако, скорости частиц которого со- ставлены из радиальной скорости (от центра заряда) и из поступательной скорости самого заряда. Подсчеты и опыты показали, что эффект движуще- гося заряда (на достаточно большом расстоянии от ме- ста взрыва) эквивалентен эффекту неподвижного заряда /nV2 с потенциальной энергией, равной с у м м е Е -|—по- тенциальной энергии ВВ и кинетической энергии заряда в момент взрыва. При этом нужно еще считать, что приведенный центр взрыва отнесен от фактического центра взрыва в направлении движения заряда на рас- „ mV2 стояние, определяемое кинетической энергией—g— и по- тенциальной энергией Е. § 32. Пробивание при космических скоростях В предыдущей главе мы довольно подробно рассмот- рели явление пробивания брони кумулятивными струя- ми, которые имеют скорости порядка 4—10 км/сек и примерно в 10 раз больше артиллерийских. Гораздо ме- нее изучена проблема пробивания при скоростях 50—100 км/сек. Трудности экспериментов при таких ско- ростях *) заставляют особенно четко формулировать гипо- тезы, лежащие в основе объяснения и расчета явлений. Здесь будет рассмотрена модель несжимаемой сре- ды, которая отражает существенные стороны процесса пробивания при очень больших скоростях и, с другой стороны, позволяет провести расчеты с достаточной пол- нотой [4]. ') Сейчас в обычных условиях достигнута скорость метания 16 км/сек. при диаметре шарика в 0,5 лл,
294 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Одномерный случай. Здесь предлагаемая схема осо- бенно проста. Рассмотрим удар пластинки толщиной а, которая летит со скоростью Vo, о торец стержня дли- ной I. Толщину а будем считать малой в сравнении с / и для простоты письма предположим, что площадь по- перечного сечения стержня, площадь пластинки, а так- же плотности пластинки и стержня равны 1. Задача со- стоит в определении импульса, который получит стер- жень в результате удара. Пластинку-боек мы будем считать несжимаемой, аб- солютно твердой, а тело представим как предельный случай стопки сложенных тонких и также абсолютно твердых пластинок, когда толщина пластинок стремится к нулю, а их число неограниченно возрастает так, что общая сумма толщин остается равной I (рис. ПО). При ударе (который мы считаем неупругим) бойка о первую пластинку сохранится количество движения и вследствие увеличения массы произойдет потеря кине- тической энергии, то же самое будет происходить при вовлечении в движение каждой следующей пластинки. Произведем подсчет потери кинетической энергии си- стемы вдоль стержня в предельном случае. Пусть в рассматриваемый момент вовлечен в дви- жение участок стержня длины х и пусть V — скорость стержня в этот момент. Когда в движение вовлекается следующий участок стержня толщиной dx, то скорость изменится на величину dV, которая по закону сохране- ния количества движения удовлетворяет соотношению xdV -j- V dx = 0. Решая это дифференциальное уравнение при очевидном начальном условии V|x=a=Vo, найдем распределение
§ 32] ПРОБИВАНИЕ ПРИ КОСМИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ 295 скоростей вдоль стержня И==И0Т (1) Зная скорости, мы можем получить распределение энергии где Ео = — начальная энергия бойка. Предположим, что при ударе вся потерянная энергия переходит в теп- ловую, тогда плотность распределения тепла вдоль стержня будет выражаться так: Т = - = Ео . (3) ах и х£ ' 7 Обозначим через Ткр минимальную плотность тепла, при которой вещество стержня переходит в газ. Тогда описанный выше процесс передачи энергии будет про- исходить лишь до тех пор, пока х не достигнет величины В этот момент участок стержня 0 < х < хкр превра- тится в газ. Образовавшийся газ, расширяясь, отде- ляется от оставшейся части стержня, а эта оставшаяся часть получает некоторый импульс /. Займемся подсчетом величины /, причем для про- стоты ограничимся наиболее интересным случаем, когда а < хкр и хкр I. В этом случае количество энергии, уходящей на превращение куска стержня в газ, мало сравнительно с начальной энергией бойка Ео и можно считать, что вся энергия газа перейдет в его кинетиче- скую энергию. В этом предположении скорость v газо- вого облака находится из равенства xKpv2 — aVl: <5> Теперь задача свелась к чисто газодинамической задаче. Ограничимся лишь самыми грубыми подсчетами в двух крайних случаях при следующих дополнительных предположениях,
256 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. viii а) Пусть при разлете газового облака все его ча- стицы получают одинаковую скорость. Эта скорость тогда должна определяться из (5) и для импульса мы получим выражение l = xKpv = a^[~-} 70 = а70(^—I . (6) б) Пусть каждый слой dx газового цилиндра раз- летается в направлении оси х независимо от других слоев. Тогда по формуле (3) импульс слоя на расстоя- нии х от торца цилиндра V dx = tf2fdx = У2Ё^а ~, а суммарный импульс *кр ____ х у 1= V dx — / 2Е0а log — = аИ0 log ,JL_ . (7) J а V 2Ткр Пространственный случай. Имея в виду, например, образование кратеров при падении метеоритов на не- бесные тела, рассмотрим не- которую модификацию разо- бранной выше схемы. Именно, предположим, что летящее тело представляет собой шарик и что оно уда- ряется о полусферическую выемку радиуса R. Для упрощения расчетов придется еще более схема- тизировать модель. Мы бу- дем считать, что задача сво- дится к удару тонкого полу- сферического слоя о тол- стый, который по аналогии с одномерным случаем будем представлять как набор тонких полусферических слоев, расположенных бесконеч- но близко друг к другу (рис. 111). Предположим, что во всех слоях скорости направлены по радиусам и что распределение скоростей происходит по схеме идеаль- ной несжимаемой жидкости: в точке, удаленной от центра
§ 32] ПРОБИВАНИЕ ПРИ КОСМИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ 297 слоя на расстояние г, скорость 7-) , (8) где а — радиус внутренней выемки слоя-бойка и Vo — скорость этой выемки в момент соударения. По аналогии с одномерным случаем будем считать, что в результате удара бойка в начальный период будет происходить наращивание его массы по схеме неупру- гих ударов, а кинетическая энергия системы переходить в тепло. Произведем расчеты, относящиеся к этому пе- риоду, по-прежнему предполагая, что плотности бойка и среды, о которую он ударяется, равны 1. Пусть ka (k > 1) будет внешний радиус поверхности бойка. Через U(г) мы обозначим скорость внутренней поверхности бойка в момент, когда эффект удара дойдет до полусферы радиуса г; очевидно, имеем t/(^) = V0. (9) В силу принятого предположения о распределении ско- ростей, в этот момент скорость в точках, расположен- ных на расстоянии х от центра, будет равна к = у(г)(|)г. (10) При изменении г на величину dr скорость поверх- ности бойка изменится на величину dU, причем в силу закона сохранения количества движения (r-a)dU + Udr — 0. Решая это дифференциальное уравнение при начальном условии (9), найдем Формула (10) дает теперь распределение скоростей в полусферических слоях в рассматриваемый момент, и мы можем найти кинетическую энергию части слоя, по которой уже прошел удар: г £ = 1 j 2nx2t72(r)(yj4dx = nt/2(r)a3[l -у). (12' Cl
298 НЕУСТЛНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Отсюда с учетом (11) легко находится плотность распределения тепла в слое: т 1 dE 5T/2 (k— I)2 /. а\ 1 ~ 2лг2 dr ~av° гЦг-а)2 \1 2г}’ или, если ввести начальную энергию бойка E$=E(kr) — ==|^3(*-1), Т = k3, ~ Цг (1 - V-1 а2Е0 ~ -{k 7-'^- aT0. (13) № (г — а)2 \ 2г ) и яг5 о \ / Как и в одномерном случае, предположим, что в мо- мент, когда тепло на единицу объема достигает вели- чины Т = Ткр, часть слоя, по которой удар уже прошел, мгновенно превращается в газ. В среде, о которую уда- рился шарик, в этот момент образуется газовая полость радиуса гкр, где Эта формула дает нижнюю границу радиуса воронки, которая образуется при ударе. Для упрощения расчетов на втором периоде по-преж- нему будем считать, что а < гкр и rKp < R, и допустим, что на превращение в газ указанной выше части среды затрачивается лишь небольшая часть энергии бойка. Да- лее предположим, что скорости всех частиц газового об- лака, образовавшегося в воронке, одинаковы. Величина этой скорости определяется из равенства — пг’рд2 = Ео, откуда Теперь легко вычисляется импульс, который получает тело при ударе о него шарика: / = у агкРи = Аа1 То’, (16) 4 2, / k(k- 1) Г/s т, где /г = -я-:п'1 —г---- . Интересно отметить, что в 4 \ 1кр / принятой схеме импульс оказался зависящим от раз- меров ударяющего шарика.
ПРОБИВАНИЕ ПРИ КОСМИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ 299 § 32] Можно провести расчет и в другом крайнем случае, когда каждый элемент dr сферического слоя газа раз- летается независимо от других элементов и сообщаемый им импульс направлен по нормали к сферической выемке (см. работу [4]). Обобщение метода. Наиболее существенным пунктом описанного выше метода решения задачи о пробивании при космических скоростях является использование двух различных моделей среды: до тех пор, пока тепловая энергия процесса меньше некоторой критической ве- личины, среда считается твердой и применяется схема неупругого удара; по достижении этой критической ве- личины среда считается газом. Такое комбинирование различных моделей, выбираемых в соответствии с физи- ческими условиями, может привести к решающему успеху и в других задачах. Рассмотрим, например, задачи, связанные с воздей- ствием на металлы или пластические среды (такие, как плотная глина) в малые промежутки времени импульсов большой величины. Здесь можно применять следующий метод, который является обобщением описанного в пре- дыдущих пунктах. В качестве начального распределения скоростей деформации среды принимается то распре- деление, которое имело бы место, если среда являлась бы идеальной жидкостью. Дальнейший расчет ведется в предположении, что области среды, где скорости де- формации не превосходят некоторой фиксированной заранее (в зависимости от вязкости) постоянной с, рас- сматриваются как твердые тела. Мы получаем такую схему расчетов. Выбирается от- резок времени А/ и по законам неустановившегося дви- жения идеальной жидкости определяется изменение на- чального поля скоростей за этот отрезок. В полученном поле скоростей «замораживаются» (т. е. считаются твер- дыми телами) те зоны, где скорость деформации оказы- вается меньшей с; остальная часть среды считается идеальной жидкостью и в следующий отрезок времени. Счет ведется до тех пор, пока не окажется заморожен- ной вся среда. Этим методом хорошее совпадение с опытными дан- ными можно получить, например, 1) в задаче о кре- шере: дан свинцовый цилиндр, стоящий на твердой
300 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. VIII основе; на верхнем его конце подрывается заряд ВВ и требуется выяснить, во что превратится цилиндр после взрыва; 2) в задаче о форме полости, полученной при взрыве заряда эллипсоидальной формы в неограничен- ном массиве глины. Рис. 112 В Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР проведен ряд экспериментов, моделирующих падение метеоритов на небесные тела. Производились удары стальной частицей диаметром 1,7 мм по пластин- кам из дунита ’) различной толщины при скоростях ’) Дунит — горная порода, которая образуется в глубинах зем- ной коры при остывании магмы.
$ 321 ПРОБИВАНИЕ при космических скоростях 301 удара ио от 5 до 10,5 км/сек. Кратеры, образующие- ся в результате удара, имеют диаметры в 7—8 раз б) L d О 5 Ю ve км/сек. Рис. 113. у0 sa 5—8 км/сек на поверхности кратера остается несколько процентов вещества ударника, с ростом это количество уменьшается. На рис. 112 показаны фотографии среза пластинок из дунита различной толщины после удара. На них хо- рошо виден эффект действия ударной волны, прошедшей
302 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ, VIII впереди частицы, — наличие этой волны и учитывают описанные выше схемы. На рис. 113, а приведен график зависимости отно- шения глубины пробития L к диаметру частицы-удар- ника d от скорости удара и0 для удара стального шара по свинцовой пластинке. В начальном диапазоне ско- ростей имеется характерный участок немонотонности. Такой же участок немонотонности наблюдался и при ударе стального шара по пластинке из легкого пористого материала — пенопласта с плотностью 0,11 г/см? (рис. 113,6). Было бы интересно найти объяснение этого явления. § 33. Загадки движения рыб Много десятков лет назад было обнаружено несо- ответствие между скоростью движения некоторых видов рыб и их энергетическим потенциалом. Для объяснения этого несоответствия были выделены следующие три фактора: 1) рыбы, способные развивать большую ско- рость, выделяют смазку — жидкость с особыми свойст- вами, которая в несколько раз снижает сопротивление; 2) форма тела этих рыб оптимальна; 3) рыбы поль- зуются особыми способами создания -тяговой силы. Проблемам смазки посвящено много работ, как экс- периментальных, так и теоретических. Получены поли- мерные смазки, введение которых даже в ничтожных количествах в несколько раз снижает сопротивление ма- лых судов. Объяснение этого эффекта находят в том, что длинные молекулы полимеров, из которых состоит смазка, гасят пристеночные пульсации возникающей турбулентности и увеличивают толщину пристеночного слоя, в котором происходит резкое изменение скорости. Это приводит к падению градиента скорости, что вле- чет за собой падение напряжения трения на обтекаемой поверхности. Не меньшее количество работ посвящено и проблеме определения формы тел с наименьшим со- противлением при движении в жидкости. Существенно меньше работ посвящено принципам создания тяговой силы. Наиболее простым способом создания тяговой силы считается принцип машущего крыла: в жидкость погру-
§ 33] ЗАГАДКИ ДВИЖЕНИЯ РЫБ 303 жается пластинка, которая совершает колебательные движения относительно некоторой оси. Этот принцип применяется, например, во Франции, в Бретани, где поступательное движение рыбацким лодкам сообщают колебательным движением весла, прикрепленного шар- нирно к корме. На нем основаны также некоторые иг- рушки. Однако двигатели, основанные на принципе машущего крыла, имеют очень малый коэффициент по- лезного действия. В последние годы появился ряд работ, в которых рас- сматриваются другие предположения о тяговой силе рыб. Например, в ряде опытов установлено, что дельфин движется, создавая на своей коже поверхностные волны в направлении от головы к хвосту. Но и этот способ движения является недостаточно эффектив- ным. Здесь будет рассмотрен еще один способ движения (см. работу М. А. Лаврентьева и М. М. Лаврен- тьева [5]), который основан на следующем наблюде- нии— ужи и многие виды рыб движутся, производя не- прерывные волнообразные движения вдоль линии своего хребта. Качественная картина движения. Пусть имеется же- сткий канал с круговыми сечениями постоянного радиуса и с осевой линией, которая представляет собой плоскую волнистую кривую (например, синусоиду). Представим себе, что в этот канал посажен уж, круговые сечения которого совпадают с сечениями канала, и допустим, что трения между телом ужа и стенками канала нет. Сможет ли в этих условиях уж прийти в движение из состояния покоя и достичь значительной скорости, если длина канала достаточно велика? Оказывается, сможет, если будет мускульными уси- лиями напрягать различные участки своего тела таким образом, чтобы выпрямлять тело или делать его более изогнутым. Например, чтобы двигаться слева направо, уж должен делать такие усилия: если вправо от неко- торого участка его тела кривизна канала убывает, то уж должен выпрямлять этот участок, если же кривизна канала возрастает, то уж должен направлять усилия па увеличение кривизны этого участка. Короче говоря, уж должен создавать распределение кривизн своего тела,
304 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII которое соответствует его новому, продвинутому в же- лаемом направлении, положению в канале. Качественное объяснение такого способа движения получить совсем нетрудно. В самом деле, если при но- вом распределении кривизн своего тела уж продвинется так, что это распределение будет ближе к распределе- нию кривизн канала, то потенциальная энергия напря- жения уменьшится, а так как трения нет, то вся высво- бодившаяся энергия перейдет в кинетическую энергию поступательного движения. Но откуда же взять ужу в реальных условиях канал? Ответ на этот вопрос также прост: канал в воде он создает передней частью своего тела, вблизи головы, а средней и задней частью совершает изгибные движе- ния, которые и порождают тяговую силу. При этом используется инерционность воды, в силу которой в окрестности головы ужа примыкающие слои воды дей- ствуют на остальную часть тела как стенки канала. Наблюдения показывают, что ужи или рыбы, кото- рые способны создавать вдоль своего тела наперед за- данные напряжения, передвигаются в воде с очень боль- шой скоростью. Коэффициент полезного действия при этом оказывается тем выше, чем больше отношение при- соединенной массы воды к собственной массе рыбы. У плоских рыб коэффициент полезного действия, оче- видно, выше, чем у круглых, но при одинаковой массе у плоских рыб больше поверхность, а значит, больше и сопротивление трения. Таким образом, при заданном ко- эффициенте трения нужно иметь наиболее оптимальную форму тела. Но это уже другой вопрос, и его мы здесь не касаемся. Перейдем к расчетам. Движение в твердом канале. Предположим, что в плоскости z = х ф- iy в момент времени t уж занимает положение отрезка кривой z = z (s, t), 0 s < I, (1) где за параметр s принята отсчитываемая, скажем, от тается постоянной). Пусть фиксированной кривой Г (канала), уравнением длина участка тела ужа, хвоста (длина ужа I счи- уж перемещается вдоль которая задается z — Z (ст), — оо < о < оо, (2)
ЗАГАДКИ ДВИЖЕНИЯ РЫБ 305 § 33] где Z — известная комплексная функция действитель- ного аргумента о, длины дуги Г, отсчитываемой от ка- кой-либо ее точки (рис. 114). Движение ужа вполне определяется функцией a — которая задает положение его хвоста в мо- мент времени F, в са- мом деле, мы имеем Л/ z (s, t) = Z [s + о (/)]. (3) Ускорение ужа (точ- нее, касательная со- Рис. 114. ставляющая ускорения вдоль Г) равно, очевидно, а"(0, следовательно, уравне- ние его движения в канале можно записать в виде ma"(Z) = Fe(n + F/(0, (4) где т — масса ужа, a Fe и Ft — соответственно внешние и внутренние силы, на него действующие. Суммарная внешняя сила Fe определяется трением ужа о стенки канала, и сначала мы предположим, что она равна нулю. В соответствии с тем, что говорилось в предыдущем разделе, естественно считать, что внутренние силы, ко- торые определяются мышечными усилиями ужа, пропор- циональны производной кривизны линии Г в рассмат- риваемой точке. Поэтому мы предположим, что суммар- ная внутренняя сила i Fiit) = (f(s, t)K'[s+ a(t)]ds, (5) о где коэффициент пропорциональности <р — функция, ко- торую должен выбирать уж. Так как у нас Fe = 0, то Fi согласно уравнению (4) и есть тяговая сила ужа. Усилие, которое совершает уж на том или ином участке тела, определяется функцией ср. Поэтому сум- марное его усилие, затрачиваемое на создание тяговой силы: i 1 (t)= J t)]ds, (6) 9
306 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII где f — неотрицательная возрастающая функция, кото- рая определяет зависимость изгибающего усилия от напряжения мышц ужа. Желая экономно расходовать силы, уж должен ре- шить следующую экстремальную задачу: он должен задаться своим суммарным усилием J (t) — Jo и подо- брать функцию ф так, чтобы величина тяговой силы Fi(t) была наибольшей. Эта задача под силу всякому ужу, который знаком с элементами вариационного ис- числения— задача на экстремум функционала (5) при условии /(/) = /о- Как и обычные задачи на условный экстремум, она решается методом множителей Лагранжа, т. е. сводится к отысканию обычного экстремума функционала Ft (/)-Л (0 Н*) = i = J {ф (s, t) K'[s + o (/)] - Л (0 f [<p (s, 0]} ds. (7) 0 Теперь экстремальная функция должна удовлетворять соотношениям (фК' - = К' Is + О' (/)] - * (0 Г [ф (s, С] = о, z (8) J / [ф (s, 0]ds = Zo. о Из первого уравнения этой системы мы находим ^(3, O = + (9) где g — функция, обратная к известной функции К1), и тогда подстановка во второе уравнение при заданном усилии /о позволит подобрать функцию 1. Усилия ужа найдены, и для отыскания его закона движения остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение (4). Покажем теперь, как можно учесть трение. Мы пред- положим, что функция Z(o) является периодической, ') Для существования обратной к функции f' нужно предполо- жить, что I не только возрастает, но и выпукла — мы делаем это предположение.
§ 33] ЗАГАДКИ ДВИЖЕНИЯ РЫБ 307 с периодом I и что внеш.. я сила Fe зависит лишь от скорости движения: Fe(t) =—где k — извест- ная функция. Если потребовать, чтобы уж двигался с заданной постоянной скоростью o' = V, то из урав- нения (4) мы получим, что должно выполняться равен- ство Fe + Fi = 0, причем обе эти величины постоянны. Учитывая найденное выражение функции (9), в котором теперь можно положить / = 0 и о(0)=0, мы получим из (5) и (6) соотношения i i / = k^l = K'(s)ds. (10) о о Из них можно найти суммарное усилие J, которое дол- жен затратить уж, чтобы двигаться с заданной скоро- стью V. Движение в воде. По-прежнему будем считать, что уж двигается в плоскости, которую примем за пло- скость (х,у). Пусть в системе координат, движущейся вместе с центром тяже- сти ужа, его ось симмет- рии задается уравне- нием У = у(х, /), (11) а его сечение каждой плоскостью х — х0, а<^. хо х-' Ь, представляет собой круг радиуса г Рис. 115. (рис. 115). Считая движение безвихревым, по теореме о количе- стве движения можно написать mV = р j grad <p dv, D где m — масса ужа, V — скорость его центра тяжести, р —плотность жидкости, D — занимаемая ужом область, dv — элемент объема. По формуле Стокса mV = р j (рп dS, (12) $
308 неустАновивШиеся движения [ГЛ. VIII где S — поверхность тела ужа, п — единичный вектор внешней нормали к ней, dS — элемент поверхности. Вычислим компоненту пх вектора нормали; обозна- чая через а угол между этим вектором и осью у, а че- рез р — угол между касательной и кривой (11) и осью х = будем, очевидно, иметь пх = — cos a sin В ~ cos а, х г дх ’ если наклон невелик (что мы и предположим). Так как dS = rdadx, то из (12) получается, следовательно, что mV х = — рг j* J <pcosa-|^-dadx. (13) s Предположим, что в каждом сечении х — х0, а < < Хо < Ь, рассматриваемый поток мало отличается от потока, обтекающего цилиндр радиуса г, который дви- жется вдоль оси у со скоростью U = ^--^-Vx (14) dt дх х х ’ (см. рис. 115). Тогда на поверхности S значение потен- циала можно приближенно считать равным <р — — Ur cos a (см. § 23). Подставляя это значение в (13), получим 2л Ь Ь mVх — pr2 J cos2a da J* U dx — лрг2 J U-~dx. (15) Oa а Далее предположим, что движение ужа имеет харак- тер бегущей волны, т. е. что уравнение (11) представ- ляется в виде y = f [х +<т(/)]. (16) Тогда из (14) мы найдем U = f'[x + a(/)][</(/)— VJ и после подстановки в (15) будем иметь ь mVx = лрг2 [o' (0 — Vx] j (f' [x + a (Z)]}2 dx. a
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 309 Введем еще обозначение ь и = прг2 j {/' Ц + а (О]}2 dx, (17) а тогда для Vx будем иметь (18) х т + ц ' ' Величина и называется присоединенной массой жид- кости. Скорость центра тяжести ужа Vx<o'(t), а при движении в твердом канале V* = </(/). При движении ужа в канале вся полезная работа его мышц идет на создание поступательного движения.тела и работу про- тив сил трения, а при движении в жидкости некоторая часть мышечной работы идет на сообщение кинетической энергии частицам жидкости. Таким образом, коэффи- циент полезного действия при движении ужа в твердом канале больше, чем при движении в жидкости. В рас- смотренной здесь приближенной схеме движения этот коэффициент нетрудно подсчитать, см. Е. Н. Шер [6], § 34. Распространение волн и проблема цунами В заключение этой главы мы рассмотрим некоторые вопросы теории неустановившихся волновых движений жидкости. Из широкого круга таких вопросов мы выбе- рем лишь два: 1) эффект волновода — качественно но- вое явление, возникающее при неровном дне; 2) проб- лема краткосрочного прогноза цунами на основе сейс- мической информации. Цунами — японский термин, означающий необычно большую волну. Волны цунами возникают от внезапных перемещений обширных участков дна океана во время подводных землетрясений. Они, как правило, состав- ляют группу из двух-трех волн, которые в открытом море являются очень длинными (длина 100 км) и поло- гими (высота 1 .и), поэтому не опасны. Но при подходе к берегу их высота возрастает за счет уменьшения длины и может достигать 30 м (по словам очевидцев). Прони- кая в глубь прибрежной территории, они вызывают боль- шие разрушения и человеческие жертвы. Например,
310 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ VIII волной цунами в ночь с 4 на 5 ноября 1952 г., которая возникла в результате землетрясения вблизи берегов Камчатки, был полностью смыт город Северо-Курильск [7]. Надо заметить, что такие разрушительные цунами — явление редкое, бывают один-два раза в 100 лет. Анализируя данные наблюдений цунами, можно заметить, что высота волны на побережье (при одинако- вых условиях выхода на берег) не уменьшается монотонно с удалением от эпицентра землетрясения. Для объяснения этого явления можно указать две причины — начальную направленность волны, обусловленную на- чальными условиями, и влияние рельефа дна в процессе распространения волны. Рассмотрим подробнее вторую причину. Влияние рельефа дна. В гл. I мы видели, что в рам- ках линейной теории мелкой воды распространение волн описывается акустическим уравнением f д (, dt, \ . д (, dt, \ 1 „ ... \h \h ( = 0, (1) dt2 6 ( dx \ dx ) ду \ ду ) ) v ' где h — h (х, у) — глубина бассейна (см. (35) § 2). Ско- рость распространения волн в этой теории, следователь- но, равна Уgh(x, у), и над неровным дном скорость над подводными возвышениями оказывается меньшей, чем на глубоких участках. Это приводит к деформации волн, которая сопровождается концентрацией энергии на мелководных участках бассейна. Из акустики известно, что если скорость звука имеет минимум на какой-либо прямой или плоскости М, то от источника возмущений вдоль М излучается группа мед- ленно затухающих волн, энергия которых локализована в окрестности М. Линия (поверхность) минимума ско- рости звука служит, следовательно, своего рода волно- водом для звуковых волн. В 1957 г. М. А. Лаврентьев высказал гипотезу, что неровности дна типа подводных гребней также дол- жны служить волноводами поверхностных волн, и поставил задачу об изучении этого явления в рамках бо- лее точных теорий. Вскоре, в 1959 г., Сунь Цао [8] обнаружил экспериментально почти стационарное распространение уединенной волны над подводным гребнем — над гребнем амплитуда волны была больше,
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 311 § 34] чем в других местах. В 1965 г. Р. М. Гарипов [9] в рамках линейной теории доказал, что неровность дна типа подводного хребта: h = h(x), h (— оо) = h (оо) > min h (х) > 0, (2) где h достаточно быстро стремится к своему пределу при х—»±оо, действительно является волноводом по- верхностных волн. Напомним, что в линейной теории амплитуда волны £(х, у, t) и скорость жидкости grad Ф(х, у, z, t) счи- таются малыми. Это позволяет снести граничные усло- вия со свободной поверхности жидкости на плоскость ее равновесия z = 0 и считать, что потенциал скоро- стей Ф как функция пространственных переменных опре- делен в фиксированной области D — {—/г(х, у) < z < 0}. Условие несжимаемости приводит к тому, что функция Ф должна быть гармонической в области D для любого момента времени t ЛФ = ^ + ^ + ^ = о. (3) дх2 ду2 дг2 ' ’ На дне, при г = —/г(х,у), должно выполняться усло- вие непроницаемости 5Ф дh , дФ dh дФ „ —— -д— + -д—а-----Д— — о, (4) dt дх ' ду ду dz 4 ’ а на свободной поверхности £ = £(х, у, t)— два условия: постоянства давления, которое в силу интеграла Коши— Лагранжа (30) § 1 имеет вид 4г + т^га(1ф12 + ^=0’ <5‘> и условие непроницаемости gg ^Ф <ЭФ gg ^Ф dt "Г dx дх "Г ду ду dz ' В пределах принятой точности последние условия можно снести со свободной поверхности z = £(x, y,t) жидкости на плоскость ее равновесия z — 0 и отбросить в них нелинейные члены. Тогда эти условия примут вид: при 2=0 ^Ф 1 5- а <5? <ЭФ л -цг + g? — 0, -57---д—=0. (5) dt es dt dz ' ’
312 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIH Кроме того, должны выполняться начальные усло- вия: при t = О Ф = Ф0(х, у, z), £ = £0(х, у), (6) где Фо — гармоническая в области D функция. Задачу отыскания функций Ф и £, удовлетворяющих уравнению (3) и условиям (4), (5), (6), мы будем называть за- дачей (L). Задачу (Г) можно сформулировать и иначе. Для этого заметим, что гармоническая функция Ф в любой момент времени t однозначно определяется своими зна- чениями Ф | z—о — <р (х, y,t} на плоскости г = 0 и усло- вием (4) непроницаемости дна (смешанная граничная задача, см. Л. и Ш., стр. 259), поэтому определен one- г. дФ „ „ , ратор д: • сопоставляющий каждой функ- ции ср = Ф |z=0 значение нормальной производной соот- ветствующей гармонической функции Ф на плоскости 2 = 0. Исключая из (5) функцию £, мы придем к уравнению д2ср . <ЭФ I „ =0, которое можно переписать в виде аг аг |г_0 ^ + ^Ф = 0. (7) Если глубина жидкости мала, то оператор К можно приближенно заменить дифференциальным оператором, ибо <8> Подставляя это приближенное выражение в (7), мы найдем, что функция <р, так же как и £, удовлетворяет акустическому уравнению (1). Этими двумя функциями движение полностью определяется. Р. М. Гарипов показал, что качественная картина волновода при наличии подводного хребта правильно описывается уже в рамках изложенного выше акустиче- ского приближения. Является ли эффект волновода существенным при распространении цунами? Данные о рельефе дна океана в цунамиактивных районах не говорят о наличии под- водных хребтов, тянущихся от эпицентров землетрясе-
§ 34J РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 313 ний к побережью. Но роль волноводов, по-видимому, играют материковые отмели (шельфы) и уступы вдоль берега. На это указывают характерные особенности не- которых цунами. Общая характеристика волноводов. Волноводный ха- рактер распространения звука, упругих волн, радиоволн и т. п. в неоднородных средах без диссипации энергии имеет общую математическую природу, которую, сле- дуя Р. М. Гарипову [10], можно описать так. Предполагается, что процесс распространения волн описывается уравнением (7), в котором оператор К дей- ствует на функции только пространственных перемен- ных. Этот оператор в подходящим образом выбранном гильбертовом пространстве является симметричным и положительным, что влечет за собой закон сохранения энергии. В ряде задач допустима приближенная поста- новка, в которой этот оператор можно считать диффе- ренциальным. Для определенности в дальнейшем мы бу- дем говорить о волнах на воде. Примем дополнительно условие однородности волновода: уравнение (7) инвариантно относительно сдвигов по координате у, а дно бассейна имеет урав- нение вида h. = h(x) (так что речь идет об инвариант- ности относительно сдвигов вдоль неровностей дна). При этом условии можно искать частные решения уравнения (7) в виде е1' (х), (9) где со и v — действительные числа, а ф-»0 при х—*±оо. Подставляя это в (7) и пользуясь тем, что оператор К действует лишь на пространственные переменные, мы получим соотношение (х) = со2е~'жф' (х). (10) Из условия однородности следует, что здесь переменные х и у разделяются, и мы таким образом приходим к за- даче на собственные числа для функции ф. Если соб- ственные числа со2 (v) существуют (ф и со являются функциями также параметра v), то рассматриваемая не- ровность дна служит волноводом. Решение (9) представляет собой прогрессивную волну, которая бежит над подводным возвышением и
314 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII затухает по мере удаления от него в перпендикулярном направлении. Умножая его на произвольную функцию от v и интегрируя по v, мы получим неустановившуюся волну, распространяющуюся параллельно оси у, энергия которой локализована в полоске, параллельной этой оси. Р. М. Гарипов показал, что условие (2) при допол- нительном условии однородности достаточно для суще- ствования решений вида (9), дающих волновод. В част- ности, оно выполняется, если дно бассейна плоское всюду, кроме полоски шириной 8, над которой имеется возвышение высотой порядка 8. Следовательно, при лю- бом 8 > 0 над этим возвышением распространяются медленно затухающие .волны. Можно доказать, что при е~>0 значения ф(х) равномерно стремятся к 0, т. е. что при 8—>0 волновод постепенно пропадает. Заметим, что условие однородности не является огра- ничением по существу, а введено лишь для упрощения рассуждений. Естественно ожидать, что решения типа (9), дающие волновод, существуют и в более общем случае, когда возвышение дна бассейна локализовано в полосе ограниченной ширины, уходящей на бесконеч- ность. Следует сказать, что волны типа (9), бегущие вдоль плоского наклонного берега, были найдены еще Стоксом и изучены рядом авторов, см. [11]. Наши рассуждения справедливы и в случае уступа вдоль вертикального берега, который тоже может служить волноводом. Достаточные условия1). После отделения переменной у и времени t для функции ф(х) в (9) получаем сле- дующее уравнение: /1ф — со2ф. (11) Оператор А осуществляет отображение ф—> , 'z=0 где Т — решение граничной задачи d2'F , д2Ч 9П. n п , , , . Л1 -Д?-+ ~ v F 0 в (х) < г < 0}, w I (12) ') Для чтения этого и следующего разделов нужно владеть основами функционального анализа; см. Ф. Рисе и Б Секе- фальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, ИЛ М, 1954, стр. 321—401.
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 315 Этот оператор зависит от параметра v и формы дна z = —h(x); чтобы отметить последнее, мы будем пи- сать А = A (h). Здесь мы хотим доказать сформулированное выше достаточное условие (2) существования волновода. Как мы видели, для этого нужно убедиться в существовании собственных функций ф оператора А. Для простоты предположим еще, что дно водоема — достаточно глад- кая поверхность, а также что h(x) — I вне некоторого конечного интервала (рис. 116). Оператор А будем считать действующим в гильбер- товом пространстве L2(R). Он определен на простран- стве Соболева W2(R) и является самосопряженным. Обозначим.через Д(1) оператор А для случая плоского дна (ft(x)== 1); он имеет ту .же область определения W2(R). Лемма. Оператор В = A (h) — А (1) вполне непре- рывен. Доказательство. Обозначим через Dt полосу {—1 < z < 0}, а через Ч7!— решение граничной задачи (12) в этой области. Теперь заметим, что функция Ч7—Ч7] определена и удовлетворяет уравнению (12) в пересечении D П D\, обращается в нуль на границе z=0 и удовлетворяет неоднородному условию Неймана на нижней границе D П D\, причем носитель этой неодно- родности сосредоточен на ограниченном множестве, ко- торое на рис. 116 отмечено, пунктиром. Поэтому (см- Л. и Ш., стр. 228) все производные функции Чг— 4fi на z — 0 экспоненциально убывают при х—► ±оо. Кроме того, указанная неоднородность условий Неймана оце- нивается через Ьг-норму ||ф|| функции ф = Чг|2 = о =
316 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII = Чг!|г=о. Пользуясь еще локальностью эллиптических задач, получим 4- I дх т| дх ЗУ ЗУ, \ dz dz )z==0 const е_|х||| ФН- е1ахф(х) dx. ф (а) = Fty Отсюда и следует утверждение леммы. Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов: I) нижняя грань спектра оператора А совпадает с ниж- ней гранью значений (Лф, ф) на пересечении единичной сферы с областью его определения DA и 2) непрерыв- ные спектры операторов A (h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). Найдем спектр оператора Л(1). Для этого удобно воспользоваться преобразованием Фурье 1 / 2л Так как оператор Л(1) инвариантен относительно сдви- га, то его «преобразование Фурье» А(1) — FA (1) F-1 есть оператор умножения на функцию. Легко вычислить (А (1)ф) (а) = j/o2 + v2th |/а2 + у2ф(о). Спектр оператора А(1) чисто непрерывен (А(1) не имеет собственных чисел) и заполняет полуось [vthv, оо). По- скольку Л(1) и Л(1) унитарно эквивалентны, то их спектры совпадают. Таким образом, вне [vthv, оо) оператор А может иметь лишь изолированные собственные значения ко- нечной кратности. Поэтому условие inf (Лф, ф) < v th v (13 ПФ11=1. достаточно для существования собственных функций ф этого оператора. Наша цель — доказать достаточность условия (2). Для этого преобразуем выражение функционала оо со (Лф, Ф)= |фЛ(ф)4/х= j Т Uo^r|_odx-
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 317 <?’}г Здесь стоит интеграл от Ч'’ по части {z = 0} гра- ницы области D — {—h(x) < г <_ 0}; учитывая, что со- гласно (12) на остальной части границы — 0, мы можем считать, что этот интеграл берется по всей гра- нице dD. Тогда, применяя формулу Грина, будем иметь (Дф, ф) = < -х— -х— + -х— W -г— \\dxdz ' т 7 J J I дх \ дх ) ' dz \ dz ) j D или, рассматривая это выражение как функционал от Чг и учитывая уравнение (12), Т (49 = { J [4г2 + Т2 + V2T2| dx dz (Ы) D Уравнение (12) является уравнением Эйлера для функционала Т, следовательно, на множестве функций {4r е W2 (D): 4г|?=о == ф(х)} функционал Т принимает минимальное значение на решении этого уравнения (см., например, [12]). Вычислим значение Т на функции ур— |/а e-alx|w(z), 1 [ chv(z + l), — 1<г^0, w (г) = —г— ( . . . ch v ( 1, z < — 1; получим Г (W) = а JJ (ctW + D Первое слагаемое под интегралом заменим его макси- мальным значением и учтем, что при —1 (4^-^ +vW ——X—ch2v(z + l). Тогда будем иметь Т (49 a2 шах /г (х) + v th v + + 2^Jv{~ I sh(2v[l—h(x)])e~2a\^dx + I- pc: Л(х)<1] + 2v J [h (x) — l]e-2a|xli/x I. {x: J
318 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII Отсюда видно, что если существует точка хо, в которой Л(хо)< 1, то скобка в правой части этого неравенства при достаточно большом v станет отрицательной. За- фиксировав это v и уменьшая а, всю правую часть мож- но сделать меньше vthv, и тогда условие (13) будет выполнено. Тем самым достаточность условия (2) для существования волновода доказана. В приведенных выше рассуждениях тот факт, что дно однозначно проектируется на плоскость z ——1, является несущественным. Поэтому доказанный доста- точный признак волновода можно сформулировать так: дно совпадает с горизонтальной плоскостью вне неко- торой полосы, а минимальная глубина меньше, чем глу- бина над плоским участком дна (следует добавить еще некоторые условия гладкости дна). Пусть теперь ф— собственная функция оператора А. Тогда функция w(x, у) = e~ivvty(x, v) является обобщенной собственной функцией оператора К из уравнения (7) (она не убывает при у->±оа и поэтому не принадлежит пространству L2(R2), в котором действует оператор К). Обобщенная собственная функ- ция быстро убывает в направлении, перпендикулярном волноводу. В случае неоднородного волновода тоже должны существовать обобщенные собственные функции оператора К, обладающие этим свойством. Но это пока никем не доказано. Асимптотика волн. Можно доказать [10], что если функция h(x) достаточно быстро стремится к своему предельному значению /г(оо), то оператор А вне его непрерывного спектра [vthv, оо) имеет лишь конечное число собственных чисел. Занумеруем их, повторив каж- дое столько раз, какова его кратность: co[(v), ..., co2(v), и обозначим через ф1(х, v), ..., фР(х, v) соответствую- щую им ортонормированную систему собственных функ- ций. В силу (14) оператор А положителен, следователь- но, все Ий действительны; функции фд также можно считать действительными. Величины и ф^являются четными функциями па- раметра v (так как они зависят от v2) и определены
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 319 при ад < | v | < Рь, где ад О и рд оо. Оператор А зависит от параметра v аналитически, поэтому а2 и фй являются аналитическими функциями от у на интер- валах (ад, Рд) и (—рд,—ад); при |v|—>-ад или Рд вели- чина со^ (v) стремится к нижней границе непрерывного спектра v th v. Нам удобно считать, что ak (v)= ± У a2 (v) являются нечетными функциями. Мы хотим получить асимптотическое разложение волн, распространяющихся вдоль волновода (над под- водным хребтом). Для этого полезно заметить, что любое решение уравнения (7), удовлетворяющее началь- ным и граничным условиям (5) и (6), можно предста- вить в виде суммы Ф (х, у, t) = V f е-^к (х, v) X cxfe<| v| <₽fe + Mv)cos©ft(v)/jdv-|^,(x, y, t), (15) слагаемые которой ортогональны в смысле L2(Д2) (см. [9] и [10]). Для определения коэффициентов этого раз- ложения достаточно вспомнить, что ф = ф|г=0, и вос- пользоваться соотношением (5), по которому-^- = C'J ц=о — — gt (х, у, 0); мы получим (v) = - g j j (x, v) t (x, y, 0) dx dy, — co (16) b*(v)= j" j (x, у)ф(х, у, 0)dxdy. — co Так как начальные значения ф и £ (а также функции фд) действительны, то щ(—y) = ak(v), bh(—y) = bk(y). Ин- тересно отметить, что энергия движения равна сумме энергий движений, описываемых отдельными слагае- мыми в (15). Слагаемое ф» описывает волны, распространяющиеся во все стороны, мы его рассматривать не будем.
320 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ VIII Рассмотрим k-e слагаемое суммы, которое мы обозначим через Ему соответствует группа волн с амплитудой _____________________________1 (х, у, /) ~g dt движущихся вдоль оси у и локализованных в некоторой полосе, окружающей ось, — это следует из того, что функция Фа быстро убывает при возрастании |х|. Зай- мемся асимптотикой этих волн. В силу четности функции ф по v и отмеченного выше свойства коэффициентов ak и bh интеграл в (15) по отрезку (—0ft,—ак) комплексно сопряжен с интегралом По отрезку (as, Ра). Объединим эти интегралы, а также выразим синус и косинус по формулам Эйлера и возь- мем лишь часть фА, соответствующую eiui, тогда вместо (16) получим в £+ (х, у, /) = — 2~;Re j е/(®<_^>ф(х, v)(a -f- ibat)dv a (индекс k мы для краткости опускаем). Если мы будем двигаться вдоль оси у с постоянной скоростью с, так что у = ct, то задача сведется к асимптотической оценке при больших t интеграла в 1{х, t)= J ei^~cv')tF(x, v)dv, (17) a где F(x, v) — — — ф(х, v)(a + iba>). Нам нужно выяснить характер зависимости <o=co(v). Для этого воспользуемся соотношением (11), из кото- рого, учитывая, что )|ф|| = 1, находим ю2 —(4ф, ф). Те- перь воспользуемся выражением (14) и, внося дифференцирование под знак интеграла, найдем 2W = 2 П + 4 dz- D Так как функция ЧД* удовлетворяет уравнению
§ 34) Распространение волн И ПРоёлема цунами 321 которое получается дифференцированием (12) по v2, то предыдущее равенство можно переписать в виде । д дх ] дг \ дг dx dz — -JW dz. D Теперь применим формулу Грина, учитывая, что — q при z = —h(x)-, мы получим V4\dxdz = OZ / ) оо Г д^У d J dz d (v2) х Y Y' — 00 Подставляя это равенство в предыдущее с учетом того, что (Дф, ф) = (о2, найдем окончательно f [ V2dxdz>0, d (v2) J J D и, следовательно, можно выбрать co(v)= ± }Ло2(у) так, чтобы на отрезке (а, р) было (й'(у) > 0. Переходя к асимптотической оценке интеграла (17), заметим прежде всего, что при w"(v)sO, т. е. при и = а 4- bv волны не затухают. В самом деле, в этом случае ₽ I(x, i) = eiat | е‘(i,_c’4F(x, v)dv, а и если положить b = с, т. е. двигаться вдоль волновода со скоростью с = и' (v), то будем иметь I (х, t) = = eiatIo(x). Если, напротив, ®"(v)=^=0 на интервале (а, р), то к (17) можно применить метод стационарной фазы, ко- торый является разновидностью метода перевала (см. Л. и Ш., стр. 472). Мы получим, что в этом случае волны затухают со скоростью порядка (см. [14]).
322 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [гл. viii Заметим, что в отсутствии подводного хребта (плоского дна) волны затухают быстрее, со скоростью порядка (см., например, [13]). Тот же метод показывает, что если «"(v) в точке Vo е (а, Р) имеет нуль порядка т, то этой точке соот- ветствует группа еще более медленно затухающих волн, ___________________________i_ с амплитудой порядка t т+2, движущихся вдоль оси у со средней скоростью с = «/(vo). Метод позволяет найти и асимптотическое выражение для этих волн. Пусть, например, w"(v) в точке v = vo имеет нуль второго по- рядка, так что w'(vo) — с > О, w"(vo) = <n/z/(v0) — О, a wIV(vo) = — х < 0. Тогда (см. [9]) Ф (х, Ур) 4 ___ V х/ X Re Ы (v0) + ib (v0) <0 (Vo)l el !y-^] 1 + о (г'1'), I \ V~/.t / J (18) где . 3 1 4 1 - i 4gV 3 л + o(igr’V До сих пор мы говорили об асимптотическом разло- жении группы волн £ft, соответствующих &-му слагаемо- р му суммы (15). Асимптотика суммы £=2?* определя- fc=i ется наиболее медленно затухающим слагаемым, причем если таких слагаемых несколько, то главные члены их асимптотических разложений не могут взаимно уничто- жаться в силу отмеченной выше ортогональности. Функции Wfe(v), от которых зависит характер асимп- тотических разложений, определяются формой дна, т. е. функцией /i(x). В работе Е. И. Биченкова и Р. М. Гарипова [15] исследована зависимость (щ(у) от формы дна. Особенно простой характер она имеет для случая, когда подводный хребет представляет собой широкую ступеньку небольшой высоты, т. е. функция
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 323 Л(х) имеет вид ! 1—Sq для |х|<—, h(x)=\ j 1 для |х|>—, где q — малый параметр (рис. 117). Здесь оказалось, что существует такое критическое ступеньки S*k, что при S < S’k функция (о£ (v) не имеет нулей, при S = Sfe — один нуль крат- ности 2, а при S> Sfe —два простых нуля. Следовательно, при S < Sfe соответствующая значение площади группа волн затухает со ско- Рис. 117. /-1/2 ростью порядка t , при S > — со скоростью /-1/3, а при S = Sfe — медленнее ,-1/4 всего, со скоростью порядка t Таким образом, влияние подводного хребта на рас- пространение волн сводится не только к простому уве- личению амплитуды, но существенным образом опреде- ляет сам процесс распространения волны, изменяя ха- рактер затухания ее вдоль хребта. Вдоль хреб- та могут распространять- ся медленно затухающие волны. Простейшая модель цунами. Переходя к рас- смотрению цунами, мы прежде всего сильно идеа- лизируем явление. Зем- ную кору будем считать z Рис. 118. упругим, однородным и изотропным полупространством {z < 0}, над которым находится слой жидкости постоян- ной глубины h (рис. 118). В состоянии равновесия тензор упругих напряжений в земной коре имеет вид /00 сг° = ( 0 0 \ 0 0 о о - ро + Ро££
324 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII где ро — плотность коры, g — ускорение силы тяжести, а ро — давление на границе полупространства в отсутст- вии движения. Во время землетрясения возникают до- полнительные напряжения о и смещения u(x,y,z,t) = = (ui, и-2, из), которые связаны между собой законом Гука: (ди, ди, \ ^7+^-)’ <19> где к и ц— упругие постоянные Земли, дц — символ тл п ди, . ди2 . ди3 Кронеккера и 0 = + ^----дивергенция поля смещений (координаты х, у и z мы временно обозна- чили через Xi, х2 и х3). Процессы, которые выводят систему из состояния покоя, будем моделировать векторным полем f (х, у, z, t) = (fi, f2, fs) массовых сил. Учитывая, что поле напряжений Земли есть о0 + о, можно написать урав- нения упругих колебаний: д2и, к 4- ц 30 и. =------75— + — kUi + fi, 1 = 1, 2,3 (20) dt2 р0 дх. 1 р0 1 1 ’ (см., например, [16], стр. 185). Функция f меняется по некоторому закону в промежутке времени /о^^^^о+т, когда в очаге землетрясения происходят активные гео- физические процессы; мы считаем, что после этого она не зависит от времени и равна fo(x,y,z) (остаточная сила). На самом деле [о = 0, но она вводится, чтобы в рамках теории упругости учесть необратимые смещения коры, которые остаются после землетрясений, вследствие пластических деформаций. Так как движение жидкости начинается из состояния покоя, то мы считаем его потенциальным, потенциаль- ную функцию обозначим через Ф(х, у, z, t). Скорость жидкости grad Ф мы считаем малой. Давление внутри жидкости определяется по (линеаризированному) интег- ралу Коши — Лагранжа l , д<Ь \ Р = Ро - Р(gz + , где р — плотность жидкости. Опишем теперь граничные условия. Амплитуды жид- ких волн £ и волн £1 на границе упругого полупростран-
§ 34] распространение волн и проблема цунами 325 ства мы считаем малыми и сносим их на плоскости рав- новесия, соответственно z = h и z = 0. На свободной поверхности жидкости согласно (5) будем иметь условие д2Ф , <?Ф , + ПРИ z = h' (21) а на дне — два условия: непрерывности нормальной со- ставляющей скорости дФ dz dt ди3 dt при Z=0 (22,) и условие непрерывности нормальных напряжений, ко- торое (с учетом принятой линеаризации) записывается в виде (а0 + а) k ——pk (где k — орт оси z) или в ко- юрдинатах . du3 ___п du2 , du3 _________„ Jdz ' dx ’ dz +' dy ~ U’ PogSi + ^9 + 2p — p при z = 0. (222) Введем несколько упрощающих предположений. Прежде всего примем, что р. = 0 и что поле смещений и потенциально (rot и — 0), — последнее предположение противоречит первым двум условиям (222), и нам при- дется их отбросить. Далее будем считать, что плотность жидкости мала в сравнении с плотностью коры (р <С р0), и в силу этого правую часть последнего условия (222) положим равной нулю (она мала в сравнении с pogSi)• Пусть I и б — характерные размер и смещение в очаге землетрясения, тогда б, 0 « у, и если мы пред- Л положим, что то в (222) сможем пренебречь и членом pog£i. Это условие примет, следовательно, вид: 0 = 0 при z = 0. ' Массовые силы при z = 0 будем считать вертикаль- ными (fi = f2 = 0), тогда из наших предположений и из уравнения (20) будет следовать, что — при z = 0. Начальные условия для и можно считать ну- левыми, так как движение возникает из состояния покоя в результате массовых сил, начинающих действовать в момент /о 0. Поэтому на границе раздела z — 0 все
326 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII время будет = и2 — 0, и значит, граничное условие (222) примет вид = ° при z = 0. (22) Последнее упрощающее предположение состоит в том, что глубина слоя жидкости мала в сравнении с размером очага землетрясения (/[</), и значит, можно воспользоваться приближением (8); мы получим -й- L=> L -h »•h- +° (23) Перепишем, наконец, полученные уравнения и гранич- ные условия в безразмерных переменных £ см gL6 x — Lx', t——t', u = bu, f — , Ф =-----Ф', Co £ Co где масштаб длины L — это расстояние от очага зем- летрясения до точки наблюдения, а = + 2Н нас р. = 0) — скорость продольных упругих волн. Так как согласно (5) £ = —, то надо положить £=6£ . Обратимся к третьему уравнению (20); учитывая пред- положения ц = 0 и rot и — 0 (в силу последнего S0 . । -^-=Дн31, мы переписываем его в безразмерных ве- личинах *), для I > 0 и z < 0: □ + + (24) 6 dt2 \ дх2 ду2 dz2 ) ' причем функция fs отлична от нуля только при t > t0, где tQ 0 — момент начала землетрясения. Условие (21) в приближении (23) после перехода к безразмерной амплитуде волны t, и другим безразмерным величинам перепишется в виде s2g _ 2 / s2g s2g \ _ д2и3 I dt2 \ дх2 ду2 / dt2 |г=0 (25) где с — —— CQ 1) Штрихи в обозначении безразмерных величин мы опускаем.
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН Й ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 32? Уравнения (24) — (25) и представляют основные уравнения нашей модели. Граничным условием для урав- нения (24) является условие (22): 4^=0 при 2-0, (26) а начальные условия для этих уравнений по причинам, о которых говорилось выше, имеют вид: при t = 0 = = S=4|=0. (27) л dt ’ b dt ' ' В следующем разделе мы покажем, как можно при- менить эту модель к задаче краткосрочного прогноза цунами по сейсмической информации. Задача краткосрочного прогноза. Предотвратить цу- нами, по-видимому, так же трудно, как и землетрясения, поэтому имеется только две возможности. Первая воз- можность состоит в том, чтобы для прибрежных посе- лений выбирать нецунамиопасные места. Но такие места неудобны для строительства и, кроме того, поскольку в одном месте большие цунами бывают один-два раза в столетие, то экономически выгоднее отстраивать го- рода заново после цунами, чем строить их в трудно до- ступных районах и терпеть ежедневные дополнительные издержки. Важно только научиться предсказывать цу- нами и в случае предстоящей опасности успевать эва- куировать население из затопляемой зоны. Таким образом, задача краткосрочного прогноза цу- нами является важной народнохозяйственной задачей. В настоящее время для этой цели предназначаются цунаинстанции, которые прогнозируют цунами по изме- рениям сейсмических волн. По сейсмограммам опреде- ляются координаты эпицентра землетрясения и его интенсивность; если .последняя превышает пороговое значение, то в ближайших к эпицентру районах побе- режья объявляется тревога цунами. Однако сильные землетрясения не всегда вызывают большие цунами, и поэтому эффективность такого про- гноза низка — около 80% тревог оказываются ложными. Существующая практика прогноза цунами требует коренного улучшения. Нужно гораздо полнее использо- вать сейсмическую информацию, усовершенствовать
328 ПёусГановйвШИеся Движения (ГЛ. VI и методы ее анализа. Здесь мы хотим проанализировать постановку задачи и показать несколько модельных примеров, связанных с ее решением. Уточним прежде всего, что мы можем измерить и что должны предсказать. Пусть на побережье находится точка наблюдения, которую в рамках описанной выше модели будем считать совпадающей с началом коорди- нат. Высота волны цунами в точке наблюдения является скалярной функцией времени go (^) = С (О, О, Z), t > 0. В качестве начала отсчета времени выбираем начало наблюдения. Поставим своей целью предсказать £о настолько полно, насколько это возможно, зная поле смещений на некотором малом участке о поверхности Земли вблизи дочки наблюдения. Выберем в качестве о круг: х2 -ф У2 < Нь z = 0 и бу- дем считать известной и3(х, у, 0, t) для (х, у, t) е S, где S — о X R+ — произведение круга о на положительную полуось R+ = {t: t 0}. Правая часть уравнения (25) содержит значения функции w = “23 на плоскости z = 0, а нам известен лишь сейсмический сигнал w|s — значение этой функции на многообразии 5. По этому сигналу нам и нужно предсказать волну цунами £0(/) Для t > 0. Отметим еще, что в силу граничного условия (26) нам известна (рав- на 0) нормальная производная на S. Как мы сей- час увидим на примерах, именно это обстоятельство избавляет нас от необходимости измерять поле смеще- ний на глубине. Однозначное предсказание. Обозначим через W мно- жество всех возможных сейсмических полей, т. е. функ- ций &у(х, у, z,t), определенных и дважды гладких в про- изведении Г пространства R3 переменных (х, у, г) на положительную полуось R+ = {/^0}. Мы предположим, что эти функции четны по переменной г, т. е., что да(х, у, —-z, t) — w(x, у, z, t) всюду в Т, — это заменяет граничное условие (26). Оказывается, что если наложить некоторые начальные условия при t = 0 на функции ® £ tt" и, кроме того, не- которые условия на носители правых частей волнового
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 329 § 34] уравнения □ = (28) которому согласно (24) должны удовлетворять эти функции '), то задание однозначно определяет функ- цию w во всей области Т. В этом случае по измерен- ному сейсмическому сигналу ш|8 можно будет восста- новить значения ш|г=0, т. е. правую часть уравнения (25), и тогда, решив последнее при нулевых начальных условиях (27), однозначно предсказать волну цунами. Классы W, обладающие этим свойством, будем назьн вать классами единственности. Приведем два примера: Пример 1. Пусть начальное условие имеет вид dw (х, у, z, /) I dt И=о а период, в течение которого происходят активные про- цессы в очаге землетрясения, столь мал, что теоретиче- ски можно считать т = 0. Момент землетрясения t0 = 0 мы также считаем известным, и тогда правая часть уравнения (28) равна 0 при t > 0. Выясним, какие массовые силы /3 вызывают сейсми- ческие поля этого класса W. Так как согласно второму предположению у нас-^-=0 при t > 0, то ?з=4оз(*. У, z) + fI3(x, у, z)t при />0. Будем считать, что движение возникает из покоя, тогда ц3 и стремятся к 0 при / —>4-0, и из уравне- ния (24), которое имеет вид да = /з4~А«з, мы получим lim ®=4з + А«з 1,=0 =/оз> <->+о дш с . ди3 I с п Ьш — fl3 4- =fi3=0 <->+о 01 к=о ) Уравнение (24) приводит к тому, что (28) выполняется в точ- ках Т, для которых z < 0; мы считаем, что правая часть (28) чет- ным образом продолжена на значения г > 0, и тогда это уравнение удовлетворяется во всей области Т.
ззо НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. VIII (мы воспользовались условием (29)). Таким образом, массовые силы, вызвавшие из покоя упругие волны класса W, должны иметь вид _( fos(x, У, z), />0, '3 I 0, t<Q, где /оз— произвольная функция. Докажем, что этот класс W является классом един- ственности. Для этого достаточно доказать, что условие w | s = 0 влечет за собой тождество ® = 0. Если функ- ции w е W продолжить четным образом по t на зна- чения t < 0, то в силу условия (23) продолженная функ- ция w будет дважды гладкой во всем пространстве 7?4 переменных (х, у, z, t) и всюду в R4 будет удовлетворять волновому уравнению Пш = 0. Но по условию w = 0 на многообразии S = {х2 + у2 < г2, z = 0, —оо</<оо}, а из четности w по переменной z следует, что и =0. Таким образом, функция w является реше- нием волнового уравнения во всем пространстве R4, удовлетворяющим нулевым условиям Коши на много- образии S непространственного типа. Отсюда и следует, что w = 0 (см. Курант [1], стр. 749). Заметим, что в классе W из этого примера отобра- жение ш|8 —*w некорректно: малая погрешность изме- рения сигнала может повлечь за собой большие погрешности в определении w и, следовательно, в про- гнозе волны цунами £0. Чтобы избежать этого, нужно в классе единственности W при помощи некоторых до- полнительных условий выделить подкласс корректности. Результаты М. М. Лаврентьева [17] делают есте- ственной гипотезу, что корректность можно обеспечить условием ограниченности сверху энергии упругих волн заданной наперед постоянной Ео. Величина Ео оцени- вается из физических соображений как энергия земле- трясения. Пример 2. В качестве W выберем класс обобщен- ных функций в R4 с носителями в Т = R3 X R+, четных по переменной z и удовлетворяющих уравнению □ w = 6(| х - а |2 - (t - /0)2) + б (| х - а р - (t - Z0)2), (30)
§ 34] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ПРОБЛЕМА ЦУНАМИ 331 где х = (х, y,z), а = (а,, аг, аз) — произвольные точки R3, a — (ai, а2,—аз) — точка, симметричная с а относи- тельно плоскости г — 0, Zq 0 — постоянная и 6 — дельта-функция. Носители функций w е W сосредото- чены на поверхности кону- сов |х — а\2—(t — to)2 = 0, |х — ар — (t — to)2 = 0, t to, с вершинами в точках (a, to) и (a, to). В этом примере W также является классом единствен- ности, т. е. по значениям w|s однозначно определяют- ся значения w всюду в /?4. Этим самым однозначно оп- ределяется и точка {a, to). В самом деле, в противном случае существовали бы две функции v, w е W, для которых n|s = ®|s, но вершины соответствующих им конусов (a, to) и (ft, tp различны. Тогда должны совпа- дать и пересечения этих конусов с многообразием S, а это невозможно, если (a, t0) =/= (b,t\) (см. рис. 119, где плоскость (х,у) схематически изображена как прямая). Распознавание цунами. Делаются попытки отличить цунамигенные землетрясения от ’нецунамигенных (при одной и той же балльности) методом распознавания об- разов. При непосредственном рассмотрении сейсмограмм обнаружить цунамигенность землетрясения трудно, по- этому желательно найти преобразования сейсмограмм, после которых признаки цунамигенности выступили бы явно. Задача состоит, следовательно, в поиске небольшого числа числовых признаков (plt р2....рт) таких, чтобы при отображении Р- w\s-*(pi, р2, ..., рт) (31) точки пространства признаков, соответствующие цуна- мигенным землетрясениям, отделялись от точек, соот-
332 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ТТЛ. VH1 ветствующих землетрясениям нецунамигенным, некото- рой поверхностью. Еще лучше было бы найти такое преобразование' (31), чтобы образы землетрясений, вызывающих волну цунами одной и той же максимальной высоты, запол- няли в пространстве признаков некоторый слой и чтобы: слои, отвечающие существенно различным высотам волн, не пересекались друг с другом (рис. 120). Такая система признаков, однако, еще не найдена. Были вычислены спектральные (корреляционные) функ- ции сейсмограмм, но никаких характерных особенностей, отличающих цунамигенные землетрясения, при этом обнаружено не было. Представляется целесообразным такой способ выбора признаков. Известно, что если раз- меры эпицентра землетрясения малы по сравнению с' расстоянием до точки наблюдения, то высота волны цунами с большой точностью определяется положением эпицентра и моментами начальных возмущений отно- сительно этого эпицентра. Поэтому в качестве системы признаков естественно' принять координаты очага землетрясения и моменты на- чальных условий до некоторого порядка. Отображение (31) — это способ вычисления указанных моментов по сейсмограммам. Для идеализированного случая такой способ можно указать, и даже построить поверхности равной интенсивности цунами, такие, как на рис. 120.
ЛИТЕРАТУРА 333 В реальных условиях картина, конечно, деформируется, и толщина слоев равной интенсивности увеличивается, но общий топологический характер картины сохранится. Из сказанного здесь ясно, что задача исследования и предсказания цунами еще очень далека от сколько- нибудь удовлетворительного решения. Литература 1. Р. Курант, Уравнения с частными прозводными, «Мир», М., 1964. 2. Л. В. Овсянников, О всплывании пузыря, В сб. «Некоторые проблемы математики и механики» (К семидесятилетию М. А. Лаврентьева), «Наука», Л., 1970, 209—222. 3. В. И. Н а л и м о в, Априорные оценки решений эллиптических ура- внений и их приложение к задаче Коши — Пуассона, Докл. АН СССР, 189 (1969), 45—48. 4. М. А. Лаврентьев, Проблема пробивания при космических скоростях, В сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 3, Изд- во АН СССР, М, 1959, 61-65. 5. М. А. Лаврентьев иМ. М. Лаврентьев, Об одном прин- ципе создания тяговой силы для движения, ПМТФ, 4 (1962); 3—9. 6. Е. Н. Ш е р, О механизме движения ужей и рыб, В сб. «Некото- рые проблемы математики и механики», цит. выше, 267—276. 7. Цунами 4—5 ноября 1952 г., Бюллетень Совета по сейсмологии № 4, М., 1958. 8. Сунь Цао, О волноводе поверхностных волн в тяжелой жид- кости, Изв. СО АН СССР, 5 (1959), 20—25. 9. Р. М. Г а р и п о в, Неустановившиеся волны над подводным хреб- том, Докл. АН СССР, 161, № 3 (1965), 547—550. 10. Р. М. Гарипов, Волновод в упругой среде, Сб. материалов межд. конференции по механике сплошных сред (Варна, сен- тябрь, 1966) , София, 1968, 83—96. 11. F. U г sell, Edge waves on a sloping beach, Proc. Roy. Soc., A, 214, № 116 (1952), 79—97. 12. R. M. G a r i p о v, On the linear theory of gravity waves: the theo- rem of existence und uniqueness, Arch. Rat. Meeh. Anal. 24, № 5 (1967), 352—362. 13. Ю. Л. Газарян, О поверхностных волнах, возбуждаемых под- водными землетрясениями, Акуст. журн., 3 (1955). 14. Р. М. Гарипов, Об асимптотике волн в жидкости конечной глубины, вызванных произвольным начальным возвышением сво- бодной поверхности, Докл. АН СССР, 147, № 6 (1962). 15. Е. И. Биченков, Р. М. Гарипов, Распространение волн на поверхности тяжелой жидкости в бассейне с неровным дном, ПМТФ, 2 (1969), 21—26. 16. И. Н. Снеддон, Д. С. Берри, Классическая теория упруго- сти, Физматгиз, М., 1961. 17. М. М. Лаврентьев, О некоторых некорректных задачах ма- тематической физики, Изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1962.
Г л а в а IX ВИХРИ В этой главе изложены некоторые результаты тео- ретических и экспериментальных исследований, связан- ных с образованием, структурой и движением кольце- вых вихрей. Несмотря на большое число работ, посвященных этой проблеме, многие важные и интересные вопросы, к ней относящиеся, до последнего времени оставались без ответа. Исследования, проведенные за последнее де- сятилетие, улучшили положение. Были поставлены мно- гочисленные опыты, на основе которых создана мате- матическая модель, позволяющая определить закон движения, структуру кольцевых вихрей, количество при- меси, которое они могут переносить, и другие характе- ристики. Полученные результаты дают хорошее совпа- дение с опытом. Более трудным для исследования оказался механизм образования кольцевых вихрей. Здесь получены неко- торые экспериментальные результаты, дающие основу для качественного понимания явления, однако задача его полного математического описания еще не решена. § 35. Кольцевые вихри Если обычному воздушному шарику в резиновой обо- лочке сообщить скорость 5—10 м/сек, то он проходит расстояние 1,5—2 м. С другой стороны, давно известно, что если с той же скоростью кинуть (например, вытолк- нуть поршнем из трубки) такую же массу воздуха без оболочки, то она пройдет расстояние, в 10—15 раз большее.
§ 35] КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ 335 Опыт показывает, что во втором случае движение происходит так, как показано на рис. 121, где изобра- жены линии тока для движения относительно системы координат, движущейся вместе с вытолкнутой массой воздуха. Движение обладает осевой симметрией; внутри выпуклой области, образованной вращением участка АВС линии тока, оно вихревое, а вне этой области — практически потенциальное. На АВС скорости внутрен- него и внешнего движений совпадают, так что поле скоростей оказывается непрерывным. Это и объясняет эффект, с которого мы начали, — из-за непрерывности трение на границе движущейся без обо- лочки массы меньше, чем массы в оболочке, следовательно, мень- ше сопротивление и больше про- ходимое массой расстояние. Аналогичное движение мож- но наблюдать и в воде. Оно из- вестно уже давно и называется кольцевым вихрем. В конце прошлого века такая схема движения привлекала внимание в связи с попытками создания вихревой модели атомов (У. Томсон-Кельвин, Дж. Дж. Томсон). Эти попытки успеха не имели, но они послужили поводом для интересных исследований, с ко- торыми можно ознакомиться по книге Дамба [4]. Интерес к проблеме сильно возрос после появления атомных бомб, при взрыве которых образуется харак- терное грибовидное облако, структура которого анало- гична структуре кольцевого вихря, изображенного на фото рис. 122. Такое облако с большой скоростью под- нимается на высоту нескольких километров. Аналогич- ное явление наблюдается и при взрыве больших заря- дов обычных ВВ. В последнее время исследуются возможности прак- тического применения кольцевых вихрей для удаления дыма, вредных газов и т. п. на промышленных пред- приятиях. В связи с этим возникает много вопросов, от- веты на которые нельзя получить без учета вязкости, диссипации энергии, турбулентного характера движения и т. д. Однако прежде чем переходить к описанию ма- тематической модели, учитывающей эти факторы, мы
336 ВИХРИ (ГЛ. IX должны напомнить некоторые результаты, полученные в схеме идеальной несжимаемой жидкости. Вихри в идеальной жидкости. Если пренебречь вяз- костью и рассматривать осесимметричные движения не- сжимаемой жидкости, стационарные в системе коорди- нат, движущейся вместе с вихрем, то уравнения, связы- Рис. 122. вающие функцию тока ф и завихренность со в цилинд- рических координатах (г, a, z), имеют вид (1) dr dz \ г ) дг дг \ г ) ’ dz1 2 dr2 г дг ’ (см. гл. I). Из (1) следует, что отношение ~ постоянно вдоль линии тока, т. е. что со=гЕ(ф), (3) где F— произвольная функция. Так как движение на бесконечности должно быть потенциальным, то F должна тождественно обращаться в нуль вне некоторой области, ограниченной замкнутой линией тока, а на этой линии составляющие скорости должны быть непрерывными. При заданной F возникает типичная задача о склейке потенциального и вихревого
§ 351 КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ 337 течения, аналогичная тем, кторые мы рассматривали в гл. V. В такой форме эта задача не исследована даже для простейших функций F, известны только отдельные при- меры точных и приближенных решений. Пример точного решения дает сферический вихрь Хилла. Здесь завихрен- ность распределена внутри шара радиуса R по закону а; ^<86 6)^85 8)^85 Рис. 123. ю = Ь2г, где b — постоянная; вне шара поток — потен- циальный и жидкость, содержащаяся в этом шаре, движется вместе с вихрем со скоростью и=4^ относительно неподвижной системы координат (см. Л а м б [4], стр. 309—310). Вихри такого типа в опытах не наблюдаются. Боль- шее сходство с наблюдениями имеет приближенное ре- шение, полученное еще Максвеллом, где завихренная область представляет собой тор, радиус а поперечного сечения которого много меньше радиуса R самого тора. Тороидальный вихрь Максвелла движется со скоростью т/ г Л 8J? 1 \ V — т~п log---------г , (5) 4л/? \ ь а 4 / ' ' а форма объема, заключенного внутри замкнутой по- верхности тока и дйижущегося вместе с вихрем, зависит от отношения -у- (см. Лам б [4], стр. 299—305). На D рис. 123 изображены линии тока при различных —;
338 ВИХРИ [ГЛ. IX область, движущаяся вместе с вихрем, на этом рисунке заштрихована, а область завихренной жидкости зачер- йена. При — < 86 форма области, движущейся с вих- D рем, мало отличается от наблюдаемой. При — >86 эта область, как и область завихренности, имеет тороидаль- ную форму; в опытах этот случай не наблюдается, что, по-видимому, можно объяснить его неустойчивостью (строгого исследования здесь еще нет). В плоском варианте задачи о кольцевом вихре за- вихренность должна быть постоянной на линиях тока, т. е. (й = /?(ф). При постоянной F эта задача совпадает с задачей о склейке потенциального и вихревого дви- жения, рассмотренной в гл. V. Точное решение имеется для случая К(ф)=Ь2ф, где Ь — постоянная (Лам б [4], стр. 308—309), но он далек от практики. Итак, в схеме идеальной жидкости возможны раз- личные модели кольцевых вихрей — эта схема не дает никаких условий для определения вида функции F и формы области, в которой завихренность отлична от нуля. Поэтому ясно, что решения, полученные в рамках невязкой несжимаемой жидкости, не позволяют опреде- лить изменение скорости и размеров вихрей, наблюдае- мых в экспериментах. Влияние вязкости. Вязкость жидкости приводит к диссипации энергии, поэтому движение вихря в отсут- ствии внешних сил становится нестационарным. Можно было бы ожидать, что закон движения и распределение завихренности в кольцевом вихре определяются началь- ными и краевыми условиями и, следовательно, суще- ственно зависят от способа образования вихря. Однако опыт показывает, что дело обстоит не совсем так. Классический способ образования вихря состоит в следующем: в верхней крышке коробки с эластичным дном делается отверстие, диаметр которого существенно меньше, чем размеры коробки. К отверстию могут при- крепляться насадки в виде сопел различной формы. Ко- робка наполняется дымом, после чего по дну произ- водится удар. При малых числах Рейнольдса, определяемых радиу- сом и скоростью вихря, образуется ламинарный вихрь
§ 35] КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ ,339 Рис. 124,
340 ВИХРИ [ГЛ. IX с четко выраженной спиральной структурой, хорошо ви- димой на фотографиях1) (рис. 124, а). В этом случае распределение завихренности действительно опреде- ляется начальным полем скоростей, формой насадки, зависит от того, плавный или резкий был удар, и т. д. Это движение в принципе может быть описано с по- мощью уравнений Навье — Стокса, но решение соответ- ствующей нестационарной задачи, даже с применением вычислительных машин, связано с огромными трудно- стями. С другой стороны, начиная с Re ~ 103; характер дви- жения резко меняется, оно становится турбулентным (рис. 124,6). В этом случае, как показывает опыт, структура кольцевого вихря не зависит (или, по край- ней мере, зависит очень слабо) от деталей начальных и краевых условий. После того, как вихрь проходит рас- стояние порядка нескольких радиусов отверстия, вы- рабатывается некоторое распределение завихренности, вообще не зависящее от способа образования вихря. Усредненное движение в турбулентном вихре опреде- ляется только размером и скоростью вихря. При дальнейшем движении, как показывает эксперимент, размеры вихря линейно увеличиваются с пройденным расстоянием, причем форма вихря преобразуется подобно. Турбулентная вязкость. Турбулентное движение вяз- кой жидкости, как известно, не описывается замкнутой системой уравнений — в каждом конкретном случае для получения такой системы приходится выдвигать допол- нительные гипотезы, т. е. рассматривать какую-либо модель движения. В безграничном пространстве турбулентно движу- щуюся жидкость можно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью V*, отличной от истинной кинематической вяз- кости. Такое феноменологическое описание свободной турбулентности (в отсутствии границ) дает хорошие результаты в теории турбулентных струй и в некоторых других случаях. ’) Эти фотографии выполнены А. А. Бузуковым в Инсти- туте гидродинамики СО АН СССР
5 35J КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ 341 Турбулентный характер движения жидкости в коль- цевом вихре можно описать введением коэффициента турбулентной вязкости v*. Предположим, что этот коэф- фициент есть некоторая функция времени, не зависит от пространственных координат и определяется харак- терными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Более того, предположим, что v.(/)=W(/)/?(0, (6) где U и R — скорость и радиус вихря1), а коэффициент X — постоянная, величина которой должна определяться сравнением результатов расчета с экспериментом. Опыт показывает, что на значительном участке дви- жения вихря турбулентная вязкость во много раз боль- ше кинематической, и последней можно пренебречь. Окончательно получаем следующее: усредненное движе- ние турбулентного вихря описывается уравнениями Гельмгольца (гл. I), в которые вместо кинематической вязкости v входит турбулентная вязкость v*. Уравнения Гельмгольца. Будем рассматривать в вяз- кой жидкости одновременно осесимметричные кольце- вые вихри и соответствующий плоский аналог. В силу сделанных предположений система уравнений, описы- вающая такие движения, имеет вид: 3Q ЗУ д / Q \ д /_О\ = dt dr rk \ г* / dz dr \ rk / ... ( дЧ1 . d2Q . , d Q\ “ V* ( dz2 + dr2 dr r ) ’ dz2 dr2 r dr Г ' (7) Уравнения (7) называются уравнениями Гельмгольца, при k — 1 они описывают осесимметричное движение, а при k — 0 — плоское (Q — соответствующая компо- нента вектора завихренности, — функция тока). Предположение о коэффициенте турбулентной вязко- сти заведомо неверно на больших расстояниях от коль- цевого вихря, так как там этот коэффициент должен обращаться в нуль. Однако из уравнений Гельмгольца (7) видно, что члены с вязкостью существенны только там, ') Определение этих велечин см. ниже на стр. 344.
342 ВИХРИ [ГЛ. IX где завихренность заметно отличается от нуля. Посколь- ку в кольцевом вихре завихренность очень быстро уменьшается с удалением от него, можно ожидать, что сделанное предположение не будет давать существен- ной ошибки. Аналогичная ситуация имеет место в тео- рии турбулентных струй, дающей хорошее соответствие с экспериментом. Система (7) обладает важным законом сохра- нения. Умножая первое уравнение на г2 при k = 1 или на г при k = 0 и интегрируя по всему пространству, в предположении, что Q и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности, получим: J J Q(Z, г, z)rk dr dz — О. (8) Этот результат есть частный случай общего утвержде- ния о том, что в безграничной вязкой жидкости, покоя- щейся на бесконечности, величина Р=4 $(rXQ)dv (9) не зависит от времени (доказательство дано в работе [6]). Величину Р естественно назвать импульсом вихря, а постоянство этой величины есть не что иное, как за- кон сохранения импульса. Автомодельная задача. Для полученной системы уравнений необходимо, вообще говоря, задать начальное условие — начальное распределение завихренности, опре- деляемое способом образования кольцевого вихря. Од- нако, как уже отмечалось раньше, распределение за- вихренности очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий, которое в дальнейшем линейно зависит от расстояния. Естественно поэтому предположить, что предельное рас- пределение завихренности описывается автомодельным решением системы Гельмгольца (4). Поставим следующую задачу, которую снова будем рассматривать и в осесимметричном и в плоском ва- риантах. Пусть в момент времени t = 0 завихренность Q равна нулю всюду в безграничном пространстве, за исключением начала координат, где в осесимметричном случае расположен кольцевой вихрь бесконечно малого
§ 35] КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ 343 радиуса и бесконечной большой интенсивности так, что оо л J J Q(0, г, z)r2drdz = Р0. (10) — оо В плоском варианте будем считать, что в начале коор- динат имеется вихревой диполь: пара вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, рас- положенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга так, что оо у J J Q (0, г, z)r dr dz — р0. (11) — 00 Легко видеть, что Ро и р0 — это импульсы кольцевого вихря в начальный момент соответственно для осесим- метричного и плоского вариантов. В такой постановке единственной размерной постоян- £4 ной, определяющей движение вихря, будет [Ро]=у £3 в осесимметричном случае и [Дз]=-у-------в плоском. Следовательно, в осесимметричном случае искомые функции Q и Т имеют такой вид: й = Q (/, г, z, Ро), V = V (/, г, z, Ро), а турбулентная вязкость в соответствии с (6) — вид v, = v4 (t, Ро). Анализ размерностей (см. § 4) позволяет уточнить вид этих функций, именно Й==1®(х,г/), Чг = -^-ф(х, у), = (12) где Х ’ У ф'1. (13) a Zo — постоянная. Таким образом, сформулированная задача оказывается автомодельной (см. гл. I).
344 ВИХРИ [ГЛ. IX В плоском случае точно так же можно заключить, что искомые функции имеют следующий вид: 1 р2/з о1* Й = у со(х, ?/), Т = -^-ф(х, у), = (14) где Подставляя выражения (12) и (14) в (7), мы полу- чим уравнения для определения и и ф. Ограничимся далее плоским случаем (/г = 0); здесь получается сле- дующая система уравнений с частными производными: Я,о А® + у хах + у уау + со — — фхсоу, Аф = — со. (16) Нам нужно найти решения этой системы а и ф, стре- мящиеся к нулю на бесконечности и удовлетворяющие условию нормировки оо yadxdy = \, (17) — оо которое следует из закона сохранения импульса и на- чального условия. Из соображений симметрии ясно так- же, что со и ф должны быть нечетными функциями от у. <а(х,—у)= — в>(х, у), ф(х, — у) — — ф(х, у). (18) Постоянная Хо, входящая в первое уравнение (16), остается неопределенной — ее величина должна опреде- ляться сравнением с экспериментом. К сожалению, точное решение системы (16) получить не удается и мы ограничимся замечаниями общего ха- рактера. Назовем радиусом вихря и расстоянием, им пройденным, соответственно такие значения г = R(t) и z—L(t), при которых функция Q(t,r,z) имеет макси- мум при фиксированном значении t. Эти величины, оче- видно, определяются равенствами, которые в осесиммет- ричном случае имеют вид R(t)^P'^yM, L(t) = P^t'/tXo(h)-, (19)
§ 351 кольцёвыё вихри 34& здесь хо(%о) и уо(%о) — координаты точки, где достигает максимума функция а(х,у), положение этой точки зави- сит от Хо- Равенства (19) определяют закон движения вихря. Из них сразу следует, что R(t) = a(k0)L(t), (20) где а (М = У°пТ • Мы получаем, что радиус вихря ли- хо (Ло) нейно зависит от расстояния, им проходимого; этот ре- зультат хорошо подтверждается экспериментом. Вели- чина а измеряется в эксперименте и оказывается малой порядка 10~2—10~3. Зная а и имея решение системы (16), можно определить Хо- Естественно ожидать, что малым а соответствуют малые Хо, и следовательно, для сравнения с эксперимен- том достаточно получить решение системы (16) для ма- лых значений Хо. Но и эта задача оказалась сложной. Модельная задача. Следуя Б. А. Луговцову [7], рассмотрим модельную задачу, в которой (16) заме- няется похожей системой уравнений Zo Асо + у сох ф- у Оу ф со = фу (х0, у0) ах, Аф = —со, <21> где Хо и у0 — координаты точки максимума функции со (х, у). Сделаем замену переменных, полагая s = -3V*o. //a)], Tl=-i7=-«/, V оАо V 6л0 и = е 2 9(£, гф Тогда из первого уравнения (21) мы получим для 9 уравнение 9K + 0.T1 + (4-s2-T12)e = 0. Оно допускает разделение переменных: полагая 9(£, п) — 91 (£)02(т]), мы сведем его к обыкновенным дифференциальным уравнениям er - g2e, = - (с + 4) 91, е'2' - л2е2=ев2, (22)
34б ВИХРИ [ГЛ. IX где с — постоянная разделения. Нас интересуют реше- ния, стремящиеся к нулю при |||—>оо и |г)|->оо, кроме того, в силу (18) функция 92 должна быть нечетной. Эта задача хорошо изучена — в квантовой механике ей соответствует задача о гармоническом осцилляторе (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1]). Реше- ния уравнений (22), удовлетворяющие нашим дополни- тельным условиям, существуют только при с + 4 = 2т + 1 (т = 0, 1, 2, ...), — с = 2п+1 (п—0, 1, 2). Отсюда следует, что либо т = 0, п=1, либо т = 1, п = 0, а условие нечетности по г] оставляет только одну возможность т = 0, п = 1. Соответствующее решение имеет вид 01(^) = А1е 2, 02 (л) = Але 2> откуда Е2+Т1г 9 (I, п) = Аф 2 , где А—произвольная постоянная, определяемая норми- ровкой (17). Во втором уравнении (21) теперь правая часть из- вестна, и оно становится уравнением Пуассона, решение которого, обращающееся в нуль на бесконечности, опре- деляется формулой оо ф (*, г/) = - — | J со (|, n) log 1(£ - *)2 + (п - г/)2] — оо (см., например, В. С. Владимиров [2]). Зная ф, мы можем определить постоянную фг/(х0,у0) и найти окончательное решение модельной задачи: (х-х„)2+У2 со(х, у) — —Ц-е 6Х’ , / (х-хаУ+у* \ (23) ф (х, у) — —у ,г , г1 \ 1 — е 6Х° ); л [(х — х0)2 + у2\ здесь координаты точки максимума со х0=4-(2 -1), Уй = /ЗА, (24) лЛо \ 1 е /
$ 35] КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ 347 следовательно, а (%о) = Уо (Ао) «о (Ао) (25) Это модельное решение можно использовать для грубой оценки положения максимума <о(х, у) в точной задаче, что очень важно для возможности применения числен- ных методов. Сравнение с экпериментом. Закон движения вихря (19) дает хорошее согласие с экспериментом. Удобно преобразовать формулы (19) так, чтобы в них входи- ли экспериментально изме- ряемые величины — началь- ный радиус Ro и начальная скорость Uo. В качестве на- чала отсчета удобно выби- рать не момент выхода вих- ря из отверстия, а более поздний момент, когда вихрь от отверстия отойдет на некоторое расстояние (че- тыре-пять диаметров отвер- стия),— это объясняется тем, что на вырабатывание автомодельного распределе- ния завихренности в вихре необходимо некоторое время. Если время t и расстояние L(t), проходимое вихрем, от- считывать от этой точки, то вместо (19) получим = = + (26) На рис. 125 кружками отмечены экспериментальные точки, соответствующие движению вихря, начальные па- раметры которого равны 7?о=Ю см, Uo = 4,3 м/сек, а величина а = 6-10~3. Сплошная кривая получена по формуле (26). Отклонение расчетной кривой от экспе- риментальных точек при больших t объясняется тем, что турбулентная вязкость со временем уменьшается и, на- чиная с некоторого момента, делается сравнимой с ки-
348 ВИХРИ [ГЛ. IX нематической, после чего пренебрежение кинематической вязкостью становится неправомерным. После того как кинематическая вязкость становится существенной, вихрь быстро останавливается. § 36. Перенос примесей Турбулентная диффузия. Аналогичным образом мож- но изучить задачу о переносе турбулентным вихрем пас- сивной примеси, т. е. примеси, которая не оказывает влияния на его движение. Турбулентное перемешивание жидкости сопровождается переносом примесей в моляр- ных (макроскопических) объемах. Этот процесс в слу- чае свободной турбулентности (в отсутствии границ) можно описать введением специального «коэффициента турбулентной диффузии» О*, величина которого, как и величина коэффициента турбулентной вязкости v*, опре- деляется характерными масштабами движения (разме- ром и скоростью вихря). Из опытов с турбулентными струями известно [5], что коэффициент турбулентной диффузии с точностью до множителя порядка единицы совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости: ^(0 = yv.(0; (1) для турбулентных струй у ~ 1,2— 1,3. Уравнение, описывающее распределение примеси, концентрацию которой мы обозначим через С, имеет вид: -^ + (V, V)C = (DJ0 + D)AC, (2) где D — молекулярный коэффициент диффузии (см. [5]). Ясно, что на начальном участке движения вихря мо- лекулярным коэффициентом диффузии D можно прене- бречь по сравнению с турбулентным. Скорость V извест- на, если известно движение вихря. Для уравнения (2) необходимо, вообще говоря, за- дать начальные условия, которые сводятся к заданию начального распределения концентрации, зависящего от способа заполнения вихря примесями. Эксперимент, од- нако, показывает, что так же, как и распределение завихренности, распределение концентрации примесей очень быстро приближается к некоторому распределению,
ПЕРЕНОС ПРИМЕНЕН 349 § 36] не зависящему от начальных условий. При этом избыточные по отношению к предельному распределению количества примесей быстро теряются, а после этого потери примесей практически отсутствуют. Автомодельная задача. Естественно предположить, что предельное распределение концентрации примесей является автомодельным [7]. Поставим следующую за- дачу (ограничиваясь плоским случаем). Пусть в момент времени t = 0 концентрация С равна нулю всюду, кро- ме начала координат, где она бесконечно велика, так что 00 j j Cdrdz = No, (3) -'00 где No — полное количество примеси (например, полное число частиц дыма). В этой же точке при t = 0 нахо- дится и вихревой диполь с импульсом р0. Ясно, что концентрация C = C(t, г, z, ро, No), (4) а согласно (1) коэффициент турбулентной диффузии Dt = yvt(t, ро), (5) так как по предположению примесь не оказывает влия- ния на движение жидкости. В силу линейности уравнения (2) и нормировки (3) ясно, что С пропорциональна No, и из анализа размер- ностей следует, что функции (4) и (5) имеют вид С у)< В, ук0 ,, . (6) Подставляя это в (2), получаем уравнение для с: У^О Н д' С х Н д' Су Н tyy^x (7) причем нас интересуют его решения, стремящиеся к нулю при х2-)-у2 —* оо и удовлетворяющие условию нормировки оо j | cdxdy= 1, (8)
350 ВИХРИ [ГЛ. IX которое следует из закона сохранения полного количе- ства примеси. Решение поставленной задачи позволит определить предельное распределение концентрации примеси в вих- ре. Если, например, в момент образования весь объем вихря равномерно заполнен дымом, то через некоторое время в результате турбулентного перемешивания «лишний» дым будет потерян. Опыт и приближенные оценки показывают, что избыточное по сравнению с пре- дельным количество примеси убывает с расстоянием по экспоненте, т. е. очень быстро. Дымовые кольца. Проведенный анализ позволяет объяснить интересное явление, связанное с дымовыми Рис. 126. кольцами, которые выпускают изо рта искусные куриль- щики. Такие кольца хорошо моделируются в наполнен- ном дымом ящике с круглым отверстием, о котором говорилось в § 35. Кольца из этого ящика, не разру- шаясь, проходят расстояния порядка 150—200 диамет- ров. Можно соорудить пистолет, стреляющий дымовыми кольцами — вылетающие из него кольца колышат до- вольно плотную портьеру на расстоянии 5—6 метров от места выстрела. Мы знаем, что вместе с вихрем в воздухе движется тело вращения, близкое к сплюснутому эллипсоиду, но в описанных опытах четко видны именно кольца из дыма, за которыми остается дымовой след (рис. 126). Дело в том, что вследствие турбулентной диффузии частицы дыма у границ движущегося тела быстро от- ходят от него (они и образуют след). Видимой является только область высокой концентрации частиц дыма, которая представляет собой кольцо (тор). Такое
§371 ФОРМИРОВАНИЕ И ДВИЖЕНИЕ ВИХРЕЙ 351 распределение концентрации дыма описывается осесим- метрическим вариантом автомодельной задачи из преды- дущего пункта. Поразительная устойчивость дымовых колец, о кото- рой говорилось выше, по-видимому, и объясняется тем, что они представляют собой часть движущегося эллип- соида вращения — одной из наиболее часто встречаю- щихся в природе устойчивых форм. Заметим, что точно такие же кольца можно наблю- дать в воде, если вытолкнуть в нее поршнем некоторый объем жидкости, подкрашенный чернилами. Очень хо- рошо видно густо окрашенное чернильное кольцо, кото- рое движется вместе с некоторым, окрашенным слабее, объемом жидкости, имеющим эллипсоидальную форму. Ограниченные размеры экспериментальной установки не позволяют, однако, проследить весь путь вихря до его остановки — вихрь наталкивается на стенку и раз- рушается. § 37. Формирование и движение вихрей Вихри в воздухе. Экспериментально известен ряд спо- собов создания вихревых движений. Описанный выше способ получения дымовых колец из ящика позволяет получать вихри, радиус и скорость которых имеют поря- док 10—20 см и 10 м/сек соответственно, в зависимости от диаметра отверстия и силы удара. Такие вихри про- ходят расстояния 15—20 м. Вихри гораздо большего размера (радиусом до 2 дг) и большей скорости (до 100 м/сек) получаются с по- мощью ВВ. В трубе, закрытой с одного конца и запол- ненной дымом, производится подрыв заряда ВВ, рас- положенного у дна. Вихрь, получаемый из цилиндра радиусом 2 м при заряде весом около 1 кг, проходит расстояние около 500 м. На большей части пути вихри, получаемые таким способом, имеют турбулентный ха- рактер и хорошо описываются законом движения, кото- рый изложен в § 35. Механизм образования таких вихрей качественно ясен. При движении в цилиндре воздуха, вызванном взрывом, на стенках образуется пограничный слой. На краю цилиндра пограничный слой отрывается, в резуль-
352 ВИХРИ (ГЛ. IX тате чего создается тонкий слой воздуха со значитель- ной завихренностью. Затем происходит сворачивание этого слоя. Качественная картина последовательных этапов приведена на рис. 127, где изображен один край цилиндра и срывающийся с него вихревой слой. Воз- можны и другие схемы образования вихрей. При малых числах Рейнольдса спиральная структура вихря сохраняется довольно долго. При больших числах Рейнольдса, в результате неустойчивости, спиральная структура разрушается сразу и происходит турбулент- ное перемешивание слоев. В результате образуется вих- ревое ядро, распределение завихренности в котором Рис. 127. можно найти, если решить поставленную в § 35 задачу, описываемую системой уравнений (16). Однако в настоящий момент нет никакой схемы рас- чета, которая позволяла бы по заданным параметрам трубы и весу ВВ определять начальные параметры сформировавшегося турбулентного вихря (т. е. его на- чальные радиус и скорость). Эксперимент показывает, что для трубы с заданными параметрами существует наибольший и наименьший вес заряда, при которых вихрь образуется; на его образование сильно влияет и расположение заряда. Вихри в воде. Мы уже говорили, что вихри в воде можно получать аналогичным способом, выталкивая поршнем из цилиндра некоторый объем жидкости, под- крашенной чернилами. В отличие от воздушных вихрей, начальная скорость которых может достичь 100 м/сек и более, в воде при начальной скорости 10—15 м/сек вследствие сильного вращения жидкости, движущейся вместе с вихрем, воз- никает кавитационное кольцо. Оно возникает в момент образования вихря при срыве пограничного слоя с края Цилиндра. Если пытаться получить вихри со скоростью
§ 37] ФОРМИРОВАНИЕ И ДВИЖЕНИЕ ВИХРЕЙ 353 более 20 м)сек, то кавитационная каверна становится столь большой, что возникает неустойчивость и вихрь разрушается. Сказанное относится к диаметрам цилинд- ра порядка 10 см\ возможно, что с увеличением диа- метра удастся получить устойчивые вихри, движущиеся с большой скоростью. Интересное явление возникает, когда вихрь дви- жется в воде вертикально вверх по направлению к сво- бодной поверхности. Часть жидкости, образующая так называемое тело вихря, взлетает над поверхностью, сначала почти без изменения формы —• водяное кольцо выпрыгивает из воды. Иногда скорость вылетевшей мас- сы в воздухе увеличивается. Это можно объяснить от- брасыванием воздуха, которое происходит на границе вращающейся жидкости. В дальнейшем вылетевший вихрь разрушается под действием центробежных сил. Падение капель. Легко наблюдать вихри, образую- щиеся при падении капель чернил в воду. Когда чер- нильная капля попадает в воду, образуется кольцо, со- стоящее из чернил и движущееся вниз. Вместе с коль- цом движется некоторый объем жидкости, образующий тело вихря, которое также окрашено чернилами, но го- раздо слабее. Характер движения сильно зависит от соотношения плотностей воды и чернил. При этом ока- зываются существенными различия плотности в десятые доли процента. Плотность чистой воды меньше, чем чернил. Поэтому при движении вихря на него действует сила, направлен- ная вниз, по ходу вихря. Действие этой силы приводит к увеличению импульса вихря. Импульс вихря р^ГЯ2, (1) где Г — циркуляция или интенсивность вихря, и R — ра- диус вихревого кольца, а скорость движения вихря (2) Если пренебречь изменением циркуляции, то из этих формул можно сделать парадоксальный вывод: дейст- вие силы в направлении движени