/
Author: Черепанов Г.П.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел физика механика механика деформируемых тел
Year: 1974
Text
Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
МЕХАНИКА
ХРУПКОГО
РАЗРУШЕНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1974
S31
4-46
УДК 531
Механика хрупкого разрушения, Г. П. Черепанов,
Издательство «Наука», Главная редакция физико-
математической литературы, М., 1974, 640 стр.
Непредвиденные разрушения конструкций, как
правило, являются хрупкими, т. е. вызываются посте-
постепенным или быстрым развитием трещин. В последние
годы был достигнут значительный прогресс как в об-
области теоретического осмысления этих вопросов, так
и в области инженерных приложений теоретических
результатов для расчета и прогнозирования хрупкого
разрушения.
В книге излагаются основные идеи и методы ме-
механики хрупкого разрушения, а также некоторые
наиболее важные практические вопросы их прило-
приложений. В частности, изложены следующие вопросы:
теория Гриффитса — Ирвина, теория роста усталост-
усталостных трещин, теория водородного охрупчивания, кор-
коррозия под напряжением, теория действия взрыва,
адсорбционный эффект, теория огневого бурения,
оптическое разрушение, масштабный эффект и т. д.
Предназначена4 для научных работников, инже-
инженеров, преподавателей, аспирантов и студентов, за-
занимающихся проблемами прочности- и разрушения.
Илл. 329. Библ. 361.
Геннадий Петрович Черепанов
Механика хрупкого разрушения
М., 1974 г., 640 стр. с илл.
Редактор В. М. Сафрай
ГеКн. редактор Й. Ш. Аксельрод . Корректоры О. А. Бутусова, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 26/11 1974 г. Подписано к печати 9/VI11 1974 г. Бумага 60Х90'/16. тнп. № 2-
Физ. печ. л. 40. 'Услозн. печ. л. 40. Уч.-изд. л, 41,01. Тираж 5900 экз. Т-14535-
Цена книги 2 р. 70 к. Заказ № 110
Издательство сНаука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Гбсударственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Главная РеДакЦия .
физико-математической литературы
Н 1974
igQ^ фк
053@1)-74 издательства «Наука», 1974.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . б
Глава I. Введение 9
§ 1. Классификация реологических моделей . 9
§ 2. Теории прочности 14
§ 3. Вязкое разрушение 16
§ 4. Работа Гриффитса «Явление разрушения и течения твердого
тела» : 18
§ 5. Некоторые замечания 21
Глава II. Прочность идеально-периодических структур . 25
. § 1. Точный квантовомеханический метод ... . 25
§ 2. Приближенные методы 32
§ 3. Некоторые оценки 40
§ 4. Метод теплового смещения 42
Глава III. Сингулярные задачи теории упругости 4 ..... 51
§ I. Классификация особых точек 51
§ 2. Основные теоремы . 54
§ 3. Плоская задача теории упругости 58
§ 4. Цилиндр 68
§ 5. Поле упругих напряжений и смещений в малой окрестности края
произвольной трещины 71
§ 6. Налегающие трещины и влияние включений , . . 76
§ 7. Анизотропное тело ......... 86
§ 8. Кусочно-однородное тело 93
§ 9. Влияние конечности деформаций . . 101
§ 10. Влияние физической нелинейности и размеров начальной по-
полости ПО
§ 11. Динамические эффекты 118
Глава IV. Основные положения механики хрупкого разрушения ... 135
§ 1. Критерий локального разрушения 135
| 2. Энергетический метод 144
,§ 3, Обобщенный нормальный разрыв 149
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4 Устойчивость роста хрупких трещин ... . « . ... . . . 158
§ 5. Концепция квазихрупкого разрушения. Структура- конца тре-
трещины .->... ;..."- • ¦ 160
§ 6. Некоторые основные эффекты процесса разрушения .170
§ 7. Методы определения вязкости разрушения .183
§ 8. Оценка технической ..прочности и вязкости разрушения некоторых
материалов ....197
§ 9/ Другие критерии локального разрушения 208
§ 10. Одно приложение механики разрушения к горному делу . . .211
Глава V- Некоторые общие вопросы механики разрушения . . . . < 220
§ I. Уравнение энергии .- . . . 220
§ 2. Поток энергии . . ; 228
§ 3. Численный метод ................... 236
§ 4. Упругое тело .' . ' 239
§ 5. Упруго-пластическое тело 257
§ 6. Один упруго-пластический аналог задачи Гриффитса 283
§ 7. Вязкоупругое тело , ., 293
§ 8. Развитие полостей при конечных деформациях 300
Глава VI. Рост усталостных трещин 307
§ 1. Введение . . .307
§ 2. Подрастание трещины при монотонном нагружении 310
§ 3. Рост усталостных трещин (теория) - .-.. . . . 322
§'4. Сравнение теории с опытными данными . 333
§ 5. Некоторые конкретные задачи 346
§ 6. Пример расчета на ресурс длительной прочности при усталостном
разрушении . . 352
Глава VH. Влииние внешней среды на рост трещин ....... 364
§ 1. Введение 364
§ 2. Влияние водорода и влагн на рост трещин в металлах (опытные
данные 366
§ 3. Рост трещин в металлах под действием водорода (теория) . ч . 3-73
§ 4. Адсорбционный эффект 388
§ 6j Развитие коррозионных трещин (химическая коррозия под напря-
напряжением 398
§ 6. Электрохимический механизм роста трещин 408
§ 7. Сравнительный анализ основных механизмов докритического роста
трещин в металлах 426
§ 8. Влияние воды на разрушение стекла и горных пород ...... 435
§ 9. Разрушение горящих порохов . - 441
Глава VIII. Некоторые проблемы хрупкого разрушения ...... 449
§ 1. Разрушение при взрыве ....'.:..; 449
§ 2. Камуфлетный взрыв в сферический полости ........ 459
§3. Самоподдерживающееся разрушение ' 473
§ 4. Теория огневого бурения , 480
§ 5; Разрушение при соударении хрупких тел .' 486
,,.§6. Масштабный эффект 495
§ 7: Некоторые проблемы эрозии твердых тел в потоке жидкости или.
' газа . . 505
§ 8,'Оптическое разрушение .512
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Приложение I. Коэффициенты интенсивности напряжений., . . .519
§ 1. Плоские статические задачи 1521
§ 2. Пространственные задачи 548
§ 3.-Сложный сдвиг 568
§ 4. Динамические задачи . - . . 577
§ 5. Другие вопросы * -.........._ 586
Приложение П. Вязкость разрушения основных конструкционных
материалов ....:.•...........- 607
Приложение III. Некоторые пары, металл — среда, для которых на-
наблюдается хрупкое разрушение материала, подверженного растяги-
растягивающим вапряжением 621
Литература . ' . 626
ПРЕДИСЛОВИЕ
Непредвиденные разрушения конструкций, как правило, яв-
являются хрупкими, т. е. объясняются постепенным или быстрым
развитием трещин. Механика хрупкого разрушения занима-
занимается изучением развития трещин в -хрупких и квазихрупких
телах*).
' Термин «механика разрушения», появившийся несколько лет
назад, употребляется в двояком смысле. К механике разруше-
разрушения в узком смысле слова относят исследования по распростра-
распространению трещин; за два последних десятилетия они получили ши-
широкий размах как в СССР, так и за рубежом. В более широком
смысле механика разрушения включает в себя тот раздел науки
о сопротивлении материалов, который изучает заключительную
стадию процесса деформирования. Тем самым, проблемы проч-
прочности сооружений входят в механику разрушения как ее важная
составная часть.
Хотя людям с древнейших времен приходилось строить раз-
различные, порой весьма сложные сооружения, знания о прочности
и разрушении материалов раньше приобретались эмпирически и
в значительной степени случайно, передаваясь из поколения в
поколение как некое искусство. У истоков научного подхода
к вопросам прочности и разрушения стоят такие корифеи, как
Леонардо да Винчи и Галилео Галилей. Леонардо да Винчи
первым начал проводить опыты по определению несущей спо-
способности (эксперименты с железной проволокой). Ему приписы-
приписывают открытие явления, которое называют теперь масштабным
эффектом. .Однако достижения Леонардо да Винчи остались
неизвестными последующим поколениям и поэтому не оказали
влияния на развитие механики разрушения. Основоположником
*) Тело называется хрупким, когда материал сохраняет свойство линейной
упругости вплоть до разрушения. Если характерный линейный размер области
около контура трещины, где материал отступает от свойства линейной упру-
упругости, мал по сравнению с длиной трещины (или с другим характерным раз-
размером тела), то такое, тело называют квазихрупким. В соответствующих слу-
случаях говорят о хрупком или квазихрупком разрушении, хрупкой или квази*
хрупкой трещине.
ПРЕДИСЛОВИЕ 1
механики разрушения по праву может считаться Галилей, уста-
установивший, что разрушающая нагрузка растягиваемого бруса
прямо пропорциональна площади его поперечного сечения и не
зависит от его длины. Этот вывод, модифицированный на
неоднородное напряженное состояние, до сих пор играет
основную роль в практических инженерных расчетах на проч-
,ность.
С именами Ш. Кулона, А. Сен-Венана, О. Мора, А. Гриффитса
связано дальнейшее развитие механики разрушения. Кулон, Сен-
Венан и Мор положили начало теории предельного равновесия,
а Гриффите — теории хрупкого разрушения. Обе эти теории, в
дальнейшем доведенные многочисленными последователями до
совершенства, составляют фундамент современной механики
разрушения.
В последние годы был достигнут значительный прогресс как
в области теоретического осмысления вопросов прочности и раз-
разрушения, так и в области инженерных приложений теоретиче-
теоретических результатов.
В этой книге излагаются основные идеи и методы- механики
хрупкого разрушения, а также некоторые их обобщения. Первая
глава имеет вводный характер, во второй и третьей главах изло-
.'жены физические и математические основы теории хрупкого раз-
разрушения. Главное внимание уделяется наиболее принципиаль-
принципиальным вопросам, относящимся к формулировке дополнительных
условий на фронте трещин и к постановке физически коррект-
корректных математических задач о разрушении твердых тел (четвер-
(четвертая— восьмая главы). В Приложении I для справок приведены
наиболее значительные результаты вычислений коэффициентов
интенсивности напряжений для тел с разрезами. Изложение
_ориентировано не только на научных работников и студентов,
но и на инженеров, в связи с чем в Приложениях II и III по-
помещены некоторые экспериментальные данные, относящиеся
к основным конструкционным материалам.
Частичное изложение некоторых из .упомянутых вопросов
можно найти во втором томе известного курса Л. И. Седова
«Механика сплошной среды» и в книге В. В. Панасюка «Пре-
«Предельное равновесие хрупких тел с трещинами». Весьма интерес-
интересный материал регулярно публикуется в двух международных
журналах по механике разрушения. Недавно в США вышло
семитомное энциклопедическое издание. «Разрушение», охваты-
охватывающее широкий круг вопросов механики разрушения. Однако
очень большой объем этого руководства, отсутствие единого
подхода1 и к тому же недостаточное освещение некоторых наи-
наиболее принципиальных вопросов распространения трещин
отнюдь не способствует усвоению читателем методов механики
разрушения.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей монографии в основном содержатся резуль-
результаты, полученные автором. Литература по вопросам разрушения
столь обширна, что автор при всем своем желании не смог
уделить достаточного внимания многим весьма интересным и
важным исследованиям. Поэтому в данной книге в список ра-
работ вошел лишь необходимый минимум источников.
Автор выражает искреннюю признательность лицам, ока-
оказавшим помощь при подготовке книги: В. Д. Кулиеву, X. Хал-
манову, А. Б. Каплуну, В. М, Мирсалимову, В. М. Смольскому,
Г. Г. Кузьмину.
30 сентября 1971 т. Автор
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Классификация реологических Моделей
В природе и человеческой практике встречается великое
многообразие материалов, процесс разрушения которых харак-
характеризуется различными свойствами. Прежде всего это металлы
и их сплавы, имеющие главное значение в инженерных кон-
конструкциях. Далее идут полимеры, биологические ткани и кости,
горные породы и грунты, сыпучие тела, стёкла и керамика, по-
пористые материалы, композиты, лед и т. п. Многообразны также
внешние условия, типы нагрузок, конфигурации конструкций,
температура и др. Исследованием разрушения отдельных мате-
материалов или некоторых их классов в определенных условиях
'занимаются в рамках различных дисциплин целые научные
направления. .
Для механики характерно стремление к описанию основных
черт явления разрушения в рамках строго сформулированных
и достаточно' общих математических моделей. Поскольку, по-
видимому; в настоящее время еще рано говорить о построении
какой-то общей теории разрушения, более предпочтительным
представляется развитие частных теорий, более или менее хо-
хорошо описывающих поведение некоторых классрв материалов
в определенных условиях. В связи с этим возникает необходи-
необходимость достаточно полной и общей классификации основных
типов поведения твердых тел и соответствующих им многочис-
многочисленных теорий.
Вначале дадим классификацию реологических моделей*).
Рассмотрим элементарный объем dxdydz, нагруженный по
поверхности напряжениями ац как некий «черный я,щик», на
вход которого подаются напряжения оч> а на выходе сни-
снимаются деформации etj. Будем считать, что если в число пара-
параметров, описывающих эту систему, ввести температуру Т, то
система будет замкнутой. Согласно этому феноменологиче-
феноменологическому допущению, деформации etj должны вполне опреде-
определиться величинами оц, Г и их эволюцией. При этом бесконечно
*) Основы классификации в рамках термодинамического подхода и
описание основных моделей сплошной среды можно найти в курсе Л. И. Се-
Седова [М. . '
10 ВВЕДЕНИЕ • [ГЛ. I
малые приращения выходных величин могут быть записаны
через соответствующие приращения damn, dt и dT в следую-
следующем виде:
dzi} = Ailmn damn + Ви dt + С{} dT A.1)
(t — время). Здесь Ацтп, Вц, Сц— некоторые функционалы от
параметров ъц(х,у,z, t), aij(x,y,z,t), T(x,y,z,t) в области, за-
занятой, телом.
Введем гипотезу «близкодействия». Согласно этой гипо-
гипотезе, параметры, определяющие уравнения A.1) для произ-
произвольного элементарного объема, не зависят от состояния лю-
любого другого элементарного объема, даже сколь угодно близко
расположенного. Кроме того, предполагается, что в уравнения
A.1) не входят объемные силы (в частности, инерционные и
гравитационные). Эта гипотеза основана на том физическом
факте, что силы взаимодействия элементарных частиц весьма
быстро убывают с увеличением расстояния между ними, так
что на расстояниях порядка Д (Д — характерный линейный
размер элементарного объема) их можно не учитывать. Систе-
Системы, удовлетворяющие этой гипотезе, будем называть систе-
системами с близко действием. Почти все известные в механике реоло-
реологические модели относятся к системам с близкодействием*).
Если силы, сцепления — дальнодействующие {таковы, на-
например, кулоновские силы в некоторых физических систе-
системах), то и в этом случае ввиду произвольного характера Д
его можно, вообще говоря, выбрать достаточно большим, что-
чтобы была справедлива гипотеза близ ко действия. Таким обра-
образом, учет взаимного влияния объемов тела в определяющих
уравнениях A.1) существен лишь тогда, когда размер Д из
каких-то дополнительных физических соображений не может
быть взят достаточно большим; последнее обстоятельство мо-
может иметь место, например, в тех случаях, когда характерный
размер тела сравним с радиусом «угасания» сил сцепления
(в однородных материалах) или с размером зерна (в неодно-
неоднородных материалах).
Функционалы Ацтп, Вц, Сц по t,x,y,z в определяющих
уравнениях A.1) в случае систем с близкодействием вырож-
вырождаются в функционалы только по t от параметров eij, оц, Т и
их производных по x,y,z любого конечного порядка.
Реологические модели для систем с близкодействием мож-
можно разбить на градиентные и безградиентные. В последнем
*) Заметим, что гипотеза «бдизкодействия» по существу равносильна до-
допущению о том, что элементарный объем с заданной системой параметров
можно считать замкнутой системой.
$1] . КЛАССИФИКАЦИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 11
случае в определяющие уравнения не входят производные по
x,y,z от Eij, вц, Т. Большинство рассматриваемых в механике
моделей являются безградиентными, однако в теории упруго-
упругости был предложен также ряд градиентных моделей. Заметим,
что физические теории микронеоднородного упругого тела при-
приводят к необходимости учета градиентных членов, когда про-
производные достаточно велики [2].
Если функционалы А^тп, Bjj, Сц не инвариантны относи-
относительно сдвига во времени*), то соответствующие системы на-
называют системами «со старением»; реологические свойства
таких систем изменяются с течением времени. Мы будем рас-
рассматривать только безградиентные модели, инвариантные от-
относительно сдвига во времени, для систем с близкодействием.
Дальнейшую классификацию таких систем естественно
провести по характеру реакции системы на внешние возмуще-
возмущения. Заметим, что в нашей системе (элементарном объеме)
роль реакции играют деформации е,ц, а роль внешних возму-
возмущений — нагрузка оц и температура Т на поверхности элемен-
элементарного объема. В данном случае вопрос о том, в каком
смысле понимаются, вообще говоря, конечные деформации ец
элементарного объема, не имеет принципиального значения.
Мы предполагаем, что, начиная с некоторого момента времени
t = 0, эволюция внешних возмущений ац и Г в точности из-
известна; считается известным также распределение Eij, оц и Т
в начальный момент t = 0. Элементарный объем состоит из
одних и тех же материальных частиц (х, у, z—'лагранжёвы
координаты). Требуется определить реакцию системы eij во
времени.
Реакция системы на внешнее возмущение может быть мгно-
мгновенной и с последействием (соответствующие системы будем на-
называть системами с мгновенной реакцией и с последействием).
Для систем с мгновенной реакцией Вц =. 0, а функционалы
Ацтп и Сц не зависят от времени (в том числе от производ-
производных определяющих параметров по t любого порядка). В таких
системах реакция на мгновенное возмущение появляется мгно-
мгновенно и в дальнейшем, вообще говоря, остается неизменной,
если Oij и Г не изменяются. В произвольных системах есте-
естественно представить полную реакцию (полное приращение де-
деформаций) в виде суммы мгновенной реакции и последействия.
Последнее по определению представляет собой ту часть полной
реакции, которая возникает с течение^ времени.
Предположим, что внешнее возмущение исчезает с течением
времени. При этом реакция системы также может исчезнуть.
*) Начальный момеш времени t = 0 считается фиксированным.
12 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Системы, в которых реакция на исчезнувшее возмущение
также исчезает (хотя бы за бесконечно большое время), будем
называть системами с обратимой реакцией. Таким, образом,
полную реакцию произвольной системы на исчезнувшее-внеш-
исчезнувшее-внешнее возмущение в некоторый конечный момент времени можно
представить в виде суммы обратимой реакции и необратимой,
которая остается даже по истечении сколь угодно большого
промежутка времени. В свою очередь, каждое слагаемое со-
состоит из мгновенной реакции и последействия. Остаточные де-
деформации характеризуют «память» системы об исчезнувшем
внешнем возмущении. . '
Основные реологические модели па типу реакции можно
классифицировать следующим образом.
Термоупругое тело относится к системам с мгновенной
обратимой реакцией. Мгновенность и обратимость полной
реакции означает, что eij представляют собой некоторые одно-
однозначные функции Gij и Т. Таким образом, в этом случае коэф,-
фициенты Ацтп, Cn(Bij = 0) в определяющих уравнениях
A.1) представляют собой некоторые обычные функции от ац
и Т, удовлетворяющие, кроме того, условию существования
полного дифференциала. К тому же выводу можйо прийти, ис-
используя термодинамический подход. Уравнения A.1) допу-
допускают дальнейшие упрощения/ при наличии физической или
геометрической симметрии системы (например, изотропии), ма-
малости деформаций, линейности соотношений A.1),' изотермич-
ности процесса.
Упруго-пластическое тело принадлежит к системам с мгно-
мгновенной реакцией (Bjj = O). Введение дополнительной гипотезы
о существовании поверхности нагружения и применение ква-
квазитермодинамического постулата Драккера позволяют, по-ви-
по-видимому,' наиболее просто получить ассоциированный закон
течения, лежащий в основе современной теории упруго-пласти-
упруго-пластических сред. Вместо постулата Драккера^ можно использовать
также следующие два допущения: а) вся^ необратимая работа
переходит в тепло, б) скорость приращения энтропии макси-
максимальна; можно принять и некоторые другие допущения. Со-
Согласно ассоциированному закону, роль эксперимента, помимо
определения термоупругих констант, сводится к определению
поверхности нагружения и ее изменения при необратимых про-
процессах деформирования. Использование дополнительных физи-
физических принципов дает возможность найти в специальной
форме функционалы Aiimn и Сц из меньшего числа опытов.
Тела называют идеально упруго-пластическим, если соответ-
соответствующая поверхность нагружения не изменяется, при любом
процессе деформирования (в этом случае ее называют также
поверхностью текучести или условием текучести). Наиболее
Ij'ti: • КЛАССИФИКАЦИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 13
вдвестны варианты теорий течения, применяемые к металлам
и их сплавам, а также к грунтам.
Если имеет место простое нагружение, т. е. в каждой точке
тела параметры состояния -возрастают прямо пропорционально
параметру нагружения, то уравнение A.1) (при Вц = 0) ин-
интегрируется. То же самое справедливо для малой частицы при
любом фиксированном пути нагружения в пространстве (ац,
Т). Так подходят к изучению упруго-пластических сред в де-
деформационных теориях пластичности. -
Теории предельного состояния (идеальное жестко-пластиче-
жестко-пластическое тело, сыпучее тело, тело, не выдержквающее^растягиваю-
щих напряжений, и др.) можно рассматривать как предельные
случаи соответствующих теорий идеальной • упруго-пластиче-
упруго-пластической среды, когда в уравнениях опускаются члены с упругой
компонентой деформации.
Вязкое тело относится к системам с последействием (с ну-
нулевой мгновенной реакцией) и с полной необратимой реакцией;
в этом случае в уравнениях ¦ A.1) /4ijmn = Ci;= 0. При этом
естественно считать Вц обычными функциями ац, ы$ и Т.
В простейшем случае, когда В,, представляют собой линейные
функции о*;, получается классическая модель вязкой жидкости.
Если учесть также мгновенную деформацию, определяемую
согласно теории упруго-пластических сред, и считать Btj неко-
некоторыми функциями . аг, ег — г?-, и Т, то из A.1) получится
наиболее распространенный вариант теории ползучести метал-
металлов (г°и — необратимые мгновенные деформации). В основу
этой теории положено допущение о существовании потенциала
скоростей ползучести.
Наследственное тело с последействием и с полностью обра-
обратимой реакцией описывает поведение многих полимерных мате-
материалов. Весьма общее описание таких систем дается при по-
помощи обобщенной теории Вольтерра
г. t-f, amn(t')]dt' +
о
t f
+ J J KilHlmAT,t-t',t-t",akl(t'),amn(t")\dt'dt"+ .... A.2)
0 0
где -
Kltmn\T, t—t', СТт„(О1 = 0 при t'>t0,
' Ktjkimn\T, t—t', t—t", akt {f), ann (t")\ = 0 при /' >.4 t" > f»
KiimnlT.t, amn)^0 при t-*oo, A.3)
oo, f —* oo.
Kilmn(T, t, emn)-+0 при t-
КцЫтп{Т, t, t', akh dmn)->0 При t-
14 ВВЕДЕНИЕ !ГЛ. I
Здесь Кцтп, Kijkimn,... — непрерывные однозначные функции
аргументов Т, атп, аы,... и, вообще говоря, обобщенные функ-
функции /.
Если отказаться" от условий A.3), то появится также оста-
остаточная компонента деформаций, и уравениями A.2) можно
будет описывать также необратимую реакцию (ползучесть).
Наиболее широко распространен вариант линейного вязко-
упругого тела или наследственного тела Больцмана, содержа-
содержащийся в A.2).
Вязко-пластическое тело относится к разновидности нели-
нелинейно-вязких сред. Предполагается, что в пространстве (ац, Т)
существует поверхность, такая, что по одну сторону от этой
поверхности реакция на внешнее возмущение отсутствует, а по
другую сторону от нее среда ведет себя как вязкое тело. Про-
Простейшими моделями такого типа описывается поведение густых
смазок, металлов при высоких температурах и т. д. ,
Поведение рассматриваемой системы бписывается указан-
указанными основными типами реологических моделей (упруго-пла-
(упруго-пластическое, вязкое и наследственное тела) или некоторой их
комбинацией, если только в системе нет каких-либо скрытых
параметров (описывающих, например, химические реакции, фа-
фазовые переходы, электромагнитные эффекты и т. д.). В конкрет-
конкретных исследованиях важно не столько знание общей теории,
сколько искусство подбора наиболее простой модели, дающей
объяснение и описание наблюдаемого на опыте реологического
явления.
Правильный выбор реологической модели является опреде-
определяющим при решении проблемы разрушения и прочности; за-
задачи механики разрушения невозможно решать без предвари-
предварительного исследования деформативных свойств тел.
§ 2. Теории прочности
В расчетах на прочность обычно предполагается, что раз-
разрушение тела происходит, как только в некоторой точке его
определенная комбинация параметров ац, гц, Tut достигнет
критического значения. При этом сам процесс разрушения не
рассматривается. Ясно, что при таком подходе проблема проч-
прочности решается подбором той или иной реологической модели
и критерия разрушения (последний в сопротивлении материа-
материалов обычно называют теорией прочности).
Этот подход является прямым логическим следствием при-
принятого феноменологического рассмотрения в рамках указанных
параметров. Физически он оправдывается тем, что развитие
дефектов материала, приводящих к потере несущей способно-
способности, весьма часто происходит в узкой околокритической обла-
§ 21 ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ . 15
сти, так что детальное знание самого процесса разрушения
имеет второстепенное значение. При этом определяемый экспе-
экспериментально критерий разрушения отражает сложные микро-
микрофизические процессы разрушения, происходящие в масштабе
структурной ячейки вплоть до молекулярного уровня и приво-
приводящие к образованию макродефекта. Кроме того, поведение
макродефекта (понимаемого феноменологически как -некото-
-некоторый разрыв смещения) зависит от типа разрыва. Например,
образование дислокаций и линий скольжения, даже перерезы-
перерезывающих тело, как правило, не приводит к его разрушению.
В качестве критериальной величины обычно берут наиболь-
наибольшее главное ' напряжение, наибольшее главное относительное
удлинение, наибольшее главное касательное или октаэдриче-
ское напряжение, удельную энергию формоизменения, полную
удельную энергию деформации*). Каждый из критериев при-
применим при вполне определенных условиях для некоторого
класса материалов. Правильное использование этих критериев
существенно зависит от практического опыта исследователя.
^Накоплению такого опыта посвящено большинство эксперимен-
экспериментальных работ по прочности.
Заметим, что в разное время этим критериям придавали
различное значение, иногда абсолютизируя тот или иной кри-
критерий. Например, Ляме и Рэнкин принимали в качестве крите-
критерия прочности наибольшее главное напряжение, а Понселе и
Сен-Венан — наибольшую деформацию.
Приведем два наиболее ярких примера использования кри-
критерия 'наибольшего главного относительного удлинения.
1) При растяжении стержня под действием постоянного
напряжения о, вообще говоря, возникают необратимые дефор-
деформации ползучести (наиболее существенные для металлов при
высоких температурах и полимеров). При этом большую часть
времени до разрушения т стержень «ползет» с постоянной ско-
скоростью деформации ёс (установившаяся ползучесть). Таким
образом, имеем
тё(, = е0, A.4)
где во — наибольшее относительное удлинение. Если считать
величину ео постоянной материала и учесть эмпирическую за-
зависимость скорости установившейся ползучести от нагрузки а
Ьс — С^ или гс = С2ап A.5)
(Ci, Сг, К, п — постоянные материала), то формула A.4) позво-
позволяет найти время до разрушения (долговечность) в зависимо-
зависимости от приложенного напряжения.
*) Часто применяют также условие сухого трения со сцеплением (Кулоч)
Щ ?Eфбщенную теорию прочности Мора.
16 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Получающаяся зависимость для долговечности действи-
действительно наблюдается для.широкого класса полимеров и метал-
металлов и даже для таких материалов, которые до разрушения
практически не обнаруживают необратимых деформаций и раз-
разрушаются хрупко. (Для последних приведенные выше сообра-
соображения теряют смысл.)
2) Пусть на металлический стержень действует периодическое
во времени напряжение 0 = 0(/) (циклическое нагружение).
Обозначим наибольшую величину растягивающего, напряжения
в течение цикла через 0Шах, а наименьшую — через —0Шах-
. Так как структура металлов существенно неоднородна, то
даже при сравнительно малых напряжениях в местах локаль-
локальной концентрации напряжений возникают местные пластиче-
ческие зоны, соответствующие определенным структурным из-
изменениям. Это приводит к накоплению необратимой пластиче-
пластической деформации Аер за цикл, величина которой обычно очень
мала. Предполагая ее не зависящей от числа предшествующих
циклов, можно найти необратимую деформацию стержня е0 за
п циклов до разрушения:
п-.Дер = е0. . .A.6)
Если теперь считать е0 постоянной материала и допустить,
что по аналогии с накоплением необратимых деформаций пол-
ползучести справедлива формула
Дер = С3е^ах . A.7)
(С3, % — постоянные материала), то по формуле A.6) можно
найти число циклов до разрушения в- зависимости от макси-
максимального напряжения за цикл (кривая Велера). Получаю-
Получающаяся зависимость действительно наблюдается для металлов
в том случае, когда величина 0max больше предела усталости.
При меньшей нагрузке, по-видимому, вследствие эффекта
микроприспособляемости становится неприемлемым допущение
о накоплении пластических деформаций.
Эти примеры нетрудно обобщить на произвольный трехмер-
трехмерный случай, если взять в качестве критериальной величины,
например, второй инвариант девиатора напряжений (октаэд-
рическое напряжение) ввиду сдвиговой природй необратимых
деформаций в металлах.
§ 3. Вязкое разрушение
Изучение критериев разрушения (теорий прочности) в рам-
рамках указанного подхода до сих пор сохраняет основное практи-
практическое значение при расчетах на прочность/ Однако исследова-
исследований только в этом направлении недостаточно по целому ряду
причин.
§3]
ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
17
Прежде всего, многие материалы в достаточно широком
интервале изменения внешних условий и параметров системы
способны испытывать значительную пластическую деформацию
до разрушения. Для таких материалов более правильным ока-
оказывается предположение о том, что разрушению тела соответ-
соответствует постепенный переход наиболее опасного .сечения тела
в пластическое состояние, когда в некоторой окрестности этого
сечения выполняется условие пластичности, т. е. определен-
определенная комбинация параметров aij и Т достигает критического зна-
значения. Этот тип разрушения будем называть вязким разру-
разрушением. .
Следует отметить, что в однопараметрических" задачах
(растяжение, изгиб или кручение одним моментом и т. п.) вы-
выбор критерия разрушения или условия пластичности не имеет
существенного значения, так как в любом случае момент раз-
разрушения будет определяться некоторым критическим значением
<0
,р
о
Рис. 1.
параметра, которое можно определить экспериментально.
Например, в случае растяжения стержня достаточно знать
.величину 0в, определяемую на опыте по диаграмме a—е
(рис. \,а).
В случае вязкого разрушения вопрос о предельных нагруз-
нагрузках, выдерживаемых телом, решается в рамках соответствующей
модели идеальной упруго-пластической среды. При этом надоб-
надобность в критерии разрушения отпадает, а критические нагрузки
находятся из условий существования решения определенной
краевой задачи.
В однопараметрических задачах о деформации идеальных
упруго-пластических тел диаграмма р—v (обобщенная нагруз-
нагрузка—обобщенное смещение) имеет вид, изображенный на
рис. 1, б. В случае растяжения стержня постоянного сечения
'Криволинейный участок на этой диаграмме отсутствует,
18
ВВЕДЕНИЕ
!ГЛ.
Если в уравнениях идеальной упруго-пластической модели
опустить члены с упругой деформацией, то получатся уравне-
уравнения соответствующей теории предельного состояния. Приме-
Применение теории предельного состояния позволяет значительно
упростить определение верхней и нижней оценок для разру-
разрушающих нагрузок, а в ряде случаев получить совпадение верх-
верхней и нижней оценок, т. е. точно найти предельные нагрузки
в случае вязкого разрушения, не решая сложной упруго-пла-
упруго-пластической задачи.
Изложение хорошо развитых к настоящему времени теорий
вязкого разрушения можно найти, например, в монографиях
Надаи [3], Ю. Н. Работнова [4], Хилла [5], Койтера [6], В. В. Со-
Соколовского [7], Д- Д- Ивлева [8] и др.
§ 4. Работа Гриффитса «Явление разрушения
и течения твердого тела»
Существует широкий круг явлений хрупкого разрушения,
для которых представление о критериях разрушения (теориях
прочности) неприменимо. Еще Фохт, проведя серию экспери-
экспериментов х; хрупкими материалами, пришел- к отрицательному
заключению относительно возможно-
А А | | | | сти применения к ним критериев проч-
111111, ности. Бриджмен обнаружил явление
«пинч-эффекта», которое невозможно
объяснить с позиций теорий прочности.
Открытый А. Ф. Иоффе эффект уве-
увеличения прочности кристалла камен-
каменной соли при растворении его поверх-
поверхностных слоев, многочисленные случаи
разрушения металлических конструк-
конструкций при напряжениях, меньших услов-
условного предела текучести о0,2, а также
многие другие явления разрушения,
принципиально необъяснимые с точки
зрения теорий прочности, заставили
ряд исследователей отказаться от га-
лилеева представления о прочности ов
как о некоторой константе материала.
Это направление в механике разруше-
разрушения основано на изучении самого про-
процесса разрушения. Оно берет начало от работы Гриффитса [9],
опубликованной в 1920 г. В этой работе была рассмотрена сле-
следующая задача.
Пусть тонкая хрупкая пластина равномерно растягивается в
одном направлении напряжениями р в своей плоскости (рис.2).
mill
Рис. 2.
§ 4] РАБОТА ГРИФФИТСА Ш
В пластине имеется сквозная трещинагдлины 21, ориентирован-
ориентированная перпендикулярно направлению растяжения. Длина тре-
трещины считается малой по сравнению с размерами пластины
(/<о, I <.b). Опыт показывает, что, начиная с некоторого р,
происходит развитие трещины, сопровождающееся увеличением
свободной поверхности. Поэтому Гриффите ввел поверхностную
энергию хрупкого тела и сформулировал принцип, согласно
которому существующая трещина станет лавинообразно рас-
распространяться, если только скорость освобождения энергии
упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энер-
энергии.трещины, т.-е. если
dAU/dl>4y. A.8)
Здесь AU— изменение упругого потенциала пластины вслед-
вследствие наличия трещины, у— поверхностная энергия единицы
свободной поверхности.
Упругая энергия U пластины с трещиной равна^ Uo —.AU,
где Uo — упругий потенциал пластины без трещины. Величина
AU равна произведению средней площади области концентра-
концентрации напряжений (пропорциональной Р), на среднее значение
плотности упругого потенциала (пропорциональной р2/Е, где
Е— модуль Юнга)
AU = X0l2p2/E, U=U0 — AU. A.9)
Здесь множитель Яо может зависеть только от коэффициента
Пуассона*).
Так как величина Uo не зависит от /, то, согласно A.9) и
A.8), находим в критическом состоянии
2Еу = %0рЧ. A.10)
Таким образом, из A.10) получается следующая зависи-
зависимость нагрузки от длины трещины:
p = %i VEy/l. A.11)
Здесь Я1 — множитель порядка единицы **).
Формула A.11), которая представляет собой выражение
для разрушающей нагрузки в зависимости от длины начальной
трещины, является основным достижением теории Гриффитса.
*) р своей основополагающей работе [9] Гриффите провел точный рас-
расчет на основе решения Инглиса и нашел значение константы Ко, однако сде-
сделал это неверно. Правильное значение этой постоянной (равное 2л для тон-
тонкой пластины) было указано им впоследствии.
**) Для плоского напряженного состояния Ai =
20 ВВЕДДНИ? ' 1ГЛ. t
Согласно уравнению A.11), процесс происходит следующим
образом (рис. 3). Вначале с увеличением нагрузки р длина на-
начальной трещины А) остается неизменной, пока не достигается
значение р, соответствующее кривой A.11); после этого начи-
начинается динамический процесс развития трещины (в предель-
предельном случае «идеально-следящей» нагрузку принципиально воз-
возможно реализовать и квазистатический
спуск по неустойчивой кривой).
Примерно" до 50-х годов считалось,
i что теория Гриффитса применима толь-
\ /;?=_? ко к хрупким материалам типа стекол;
\ ' я1 большинство же конструкционных мате-
материалов проявляет пластические свой-
свойства при разрушении. Эксперименталь-
Экспериментальные исследования Зенера и Холломона,
ч Орована,.Ирвина, а впоследствии и мно-
\ гих других ученых привели к так назы-
ч>.^ ваемой концепции квазихрупкого разру-
разрушения [10, 11], согласно которой формула
l0 ^ A.11) справедлива также для большин-
большинства материалов в условиях квазихруп-
Рис. 3. кого разрушения, если величину у за-
заменить на необратимую энергию дис-
диссипации в тонком слое пластичееких деформаций вблизи
поверхности трещины, п-риходящуюся на единицу площади
свободной поверхности. Последняя величина оказалась в сотни
и тысячи раз больше теоретически вычисленных значений по-
поверхностной энергии у» соответствующей идеально-хрупкому
отрыву. -
Проведение анализа в рамках энергетического подхода
Гриффитса для более сложных конфигураций тела и трещин
наталкивается на вычислительные трудности. Поэтому до кон-
конца 50-х родов число решенных до конца задач исчислялось
единицами.
Эти трудности в-значительной мере были преодолены в си-
силовом подходе, предложенном Ирвином [12] в 1957 г. и в прин-
принципиальном отношении адекватном методу Гриффитса. Со-
Согласно силовому методу Ирвина, для решения ^вопроса о разви-
развитии трещин достаточно из чисто упругой (и, следовательно,
линейной) задачи найти некоторые коэффициенты интенсивно-
интенсивности напряжений на контуре трещины, вполне определяющие
локальное распределение напряжений, смещений и деформаций
вблизи .кромки трещины; дальнейший-анализ -юсит чисто алге-
алгебраический характер. Поэтому это направление стали называть
«линейной механикой разрушения», хотя в случае развития
устойчивых трещин соответствующие математические задачи
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 21
относятся к классу нелинейных задач, с неизвестной заранее '
|раницей. - ¦ -
fc Наиболее серьезное возражение против теории Гриффитса
|остоит в том, что она чрезмерно упрощает ряд гораздо более
Вложных явлений разрушения. Некоторые из таких явлений
|писаны ниже (§ 6 гл. IV, а также главы V—VII): Однако
Существование явлений-, для "объяснения которых теория Гриф-
(|йтса не годится, подчеркивает ее значение как некоторого;
Универсального предельного случая более общих, но зато и
|Ьлее сложных теорий, В этом смысле механика хрупкого раз-
разрушения, основанная, по существу, на теории Гриффитса, за-
занимает в механике разрушения место, аналогичное тому, кото-
которое занимает теория упругости в механике твердого деформи-
деформируемого тела.
" Величину у по традиции часто называют пов'ерхностной
Энергией; на самом деле она представляет собой необратимую
работу (на единицу площади), так как трещины всегда необ-
необратимы. Для ее обозначения применяются также следующие
термины: удельная энергия диссипации, энергия разрушения,
эффективная поверхностная энергия, скорость освобождения
упругой энергии (последний термин—-для величины, рав-
равной 2у). ¦ ¦
Следует подчеркнуть, что под необратимостью трещин пони-
понимается их неспособность «залечиваться» мгновенно, сразу после
снятия внешних нагрузок. «Залечивание? трещин, происходящее
пр диффузионному (например, сращивание двух кусков металла
Ври сжатии)* или биологическому (например, заживление по-
пореза) механизмам и протекающее во времени, здесь не рас-
рассматривается.
§ 5. Некоторые замечания
В современной механике разрушения, берущей начало от
работ. Гриффитса, Дж. Тейлора, Орована, Ирвина, -в качестве
исходных обычно используются следующие соображения.
Разрушение твердого тела почти всегда происходит вслед-
вследствие развития в нем некоторых поверхностей разрыва смеще-
смещений. При этом, если реализуется разрыв нормального к поверх-
поверхности смещения, то говорят о трещине нормального разрыва
^отрыва) или просто трещине; если же реализуется разрыв ка-
касательного к поверхности смещения, то говорят о трещине
сдвига, полосе скольжения или дислокации. Роль указанных
двух типов разрывов различна в различных конкретных усло-
условиях. С уменьшением прочности материала, увеличением тем-
йературы при сжатии, как правило, возрастает роль трещин
Сдвига и дислокаций. С увеличением прочности, уменьшением
Температуры, при наличии циклических нагрузок, агрессивных
22 . ВВЕДЕНИЕ |ГЛ. !
сред, облучения, как правило, возрастает роль трещин нормаль-
нормального разрыва.
Развитие поверхностей разрыва начинается с несовершенств
структуры материала, которые приходится рассматривать в
начальный момент как некоторые заданные конечные возмуще-
возмущения, всегда присутствующие в системе. Эти возмущения обычно
рассматривают в виде некоторых начальных трещин или дисло-
дислокаций, что хорошо согласуется с прямыми наблюдениям».
Дальнейшее развитие начальных возмущений при нагружении
может происходить по-разному.
Для роста дислокаций характерно почти одновременное и
стабильное развитие "сразу многих дислокаций, образующих по-
полосы скольжения и целые пластические области. Поэтому тео-
теория дислокаций яйляется физической основой феноменологиче-
феноменологической теории пластичности. Как уже отмечалось, модель идеаль-
идеального упруго-пластического тела и теории предельного состояния
(типа теорий Мора) дают ответ на вопрос о предельных на-
нагрузках и несущей способности конструкции в рамках самой
реологической модели без привлечения каких-либо дополнитель-
дополнительных критериев прочности.
Для роста трещин характерно преимущественное развитие
одной, наиболее опасной трещины (однако есть исключения,
например, рост трещин в условиях сжатия), ее способность к
быстрому неустойчивому росту, обычно приводящему к разде-
разделению, тела на части. При составлении критерия прочности на
основе теории трещин в большинстве случаев получаются обыч-
обычные теории прочности, однако фигурирующие в них константы
следует считать уже зависящими от размеров начальной тре-
трещины, а также от ее формы и места расположения. Впрочем,
для широкого круга явлений разрушения микронеоднородных
тел прочность не зависит от величины начального возмущения
(начальной трещины) и определяется характерными парамет-
параметрами структуры тела, например, величиной зерна [13].
Таким образом, формально к теории трещин можно подойти
как к простейшему*обобщению обычных теорий прочности пу-
путем введения одного дополнительного внутреннего структурного
параметра, не участвующего в формулировке реологической мо-
модели. Такой подход созвучен идее о введении дополнительных
структурных параметров в уравнения состояния, развиваемой
Л. И. Седовым и Ю. Н. Работновым.
Не следует забывать также о том, что исследование про-
процесса разрушения весьма часто представляет самостоятельный
интерес, вне связи с вопросом о несущей способности.
Исторически теория дислокаций и теория трещин складыва-
складывались отдельно; различие формального аппарата этих теорий
объясняется тем обстоятельством, что в теории дислокаций рас-
§ 51 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 23
сматривают непосредственно разрывы смещений и потому в ли-
линейной теории имеют дело с логарифмическими особенностями,
а в теории трещин на поверхности разрыва обычно задают си-
силовые условия и потому имеют дело со степенными особенно-
особенностями. Однако между этими теориями имеется глубокое внут-
внутреннее сходство, заключающееся в том, что коэффициентам при
этих особенностях в обеих теориях придается смысл основных
параметров системы. Заметим так-
также, что зависимость характерной
нагрузки р от характерного смеще-
смещения v для идеально-хрупкого тела
с трещинами имеет вид, изображен-
изображенный на рис. 4. Криволинейный уча-
участок диаграммы отвечает устойчи-
устойчивому росту трещин, стрелки указы-
указывают направления, по которым раз-
разрешается движение изображающей
точки.
В теории трещин наиболее прин-
принципиальным моментом является р .
формулировка условия локального
разрушения в рассматриваемой
точке контура трещины. Для решения вопроса о развитии тре-
трещины это так же важно, как, например, выбор правильного
условия текучести в случае вязкого разрушения.
Теория предельного состояния и теория хрупких трещин со-
составляют основу современной механики разрушения. Это мате-
математически завершенные теории, на основе которых было решено
много проблем большого практического значения. Эти теории
дают идеализированное описание"свойств вязкого и хрупкого
разрушения (пластичности и хрупкости), которые в разной мере
присущи всем твердым телам.
В реальных условиях прочность твердого тела может.зави-
может.зависеть от следующих основных факторов: а) вид материала,
б) форма и размер тела, в) время, г) число циклов нагрузки
(в случае циклического нагружения), д) температура, е) сте-
степень агрессивности внешней среды, ж) скорость и предыстория
деформирования, з) внешнее излучение и электромагнитное
поле. Оказывается, существует некоторая переходная зона из-
изменения указанных параметров, которая отделяет область вяз-
вязкого разрушения от области хрупкого разрушения, в которой
эксплуатация конструкции обычно считается недопустимой.
В области вязкого разрушения расчет прочности производят или
по теории предельного состояния, или по теориям прочности.
Перечислим основные факторы, способные вызвать охрупчи-
вание и, как следствие, ослабление конструкции:
24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
— увеличение содержания углерода в стали;
— близость напряженного состояния к равномерному все-
всестороннему растяжению;
— увеличение прочности металла при термообработке (не
всегда); - -
— увеличение габаритов конструкции;
— наличие концентраторов напряжения;
— увеличение числа циклов нагрузки;
— понижение температуры;
— наличие водорода во внешней среде;
— коррозионная и адсорбционная активность внешней среды;
— наличие жидкого металла в контакте с конструкцией (не
всегда);
— увеличение скорости нагружения (не всегда);
— наличие влаги в окружающей среде (не всегда);
— радиационное издучение (в особенности-^ потоки про-
протонов).
Вывод о недопустимости работы конструкции в области
хрупкого разрушения связан с трудностью "обнаружения зара-
заранее, методами неразрушающего контроля, трещиноподобных де-
дефектов, могущих привести к разрушению и фигурирующих в
формулах хрупкой прочности. Следует иметь в виду, что типы
таких дефектов многообразны; Зто могут быть, например,, раз-
различного рода непровары в сварных конструкциях, зоны окислен-
окисленного или охрупченного металла, загрязнения, инородные вклю-
включения металлургической или технологической природы и т. д.
К сожалению, во многих ответственных конструкциях не удает-
удается избежать даже весьма больших по^размерам дефектов.
Внезапные хрупкие поломки конструкции при напряжениях,
меньших предела текучести, связаны прежде всего с общей тен-
тенденцией использования все более прочных (и, как правило, бо-
более хрупких) материалов, со специфическими условиями работы
некоторых конструкций, вызывающими рост усталостных и кор-
коррозионных трещин (например, в химически активных средах).
Нет сомнения, что вывод о недопустимости работы конструкции
в области хрупкого разрушения имеет временный характер, и
в будущем, по-видимому, его придется- пересмотреть.
Отметим в заключение два важнейших круга задач, когда
вопрос о предельных нагрузках может быть в принципе решен
без привлечения механики разрушения, на основе решения за-
задачи в рамках реологической модели: а) задачи, в которых тело
способно испытывать произвольные конечные деформации,
б) задачи на'потерю устойчивости.
ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ
СТРУКТУР
. § 1. Точный квантовомеханический метод
Все тела представляют собой совокупность атомных ядер и
электронов; объем, занимаемый этими частицами, ничтожно
мал по сравнению с объемом образуемого ими твердого тела.
Каждая из частиц представляет собой некоторый сгусток мате-
материи, являющийся носителем массы, энергии и заряда. Заряд
ядра всегда положителен и равен Ze, где Z — порядковый номер
соответствующего химического элемента в таблице Менделеева,
е — абсолютная величина (отрицательного) заряда электрона
(е = 4,8-10~10 электростатических единиц). Масса покоя элек-
электрона те = 9,1-10~28 г, а масса ядра почти точно равна Ата,
где А — массовое число (атомный вес) соответствующего хи-
йического элемента или некоторого его изотопа, та—атом-
яая единица массы (та = 1,66 • 10~24 г). Радиус ядра имеет по-
порядок 10~13—10~12 см, а межатомное расстояние — порядок
ТО'8 см. ¦ . '
Пока еще не существует теории, которая объясняла бы ато-
атомистическую природу материи; последняя принимается как не-
некоторый исходный (по существу, чисто эмпирический) факт во
рсех физических теориях. Процесс разрушения твердых тел в
©бычных условиях представляет собой весьма слабое (химиче-
(химическое) взаимодействие указанных элементарных частиц. Каждая
вз частиц создает вокруг себй электромагнитное поле и, в свою
ряередь, находится в силовом поле, созданном всеми другими
Частицами (при изучении процессов разрушения в большинстве
«еЛучаев можно пренебречь ядерным и гравитационным взаимо-
Й?йствием). Кроме того, сами элементарные частицы можно
считать материальными точками, не имеющими размеров. Почти
бегда можно пренебрегать также релятивистскими эффектами,
явственными лишь при скоростях движения элементарных
астиц, близких к скорости света. Заметим, что в некоторых
яучаях, кроме обычных пространственно-временных координат,
г 4ементарным частицам следует приписывать дополнительную
Яезавиеимую переменную — спиновое число.
26 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР {ГЛ. II
В основе теории твердого тела, объясняющей, в частности,
его .дефармативные и прочностные свойства, лежит квантовая
механика. Используя квантовомеханический подход, все эмпи-
эмпирические постоянные, фигурирующие в феноменологических тео-
теориях упругости, пластичности, ползучести, разрушения и т. д.,
можно, в принципе, точно вычислить, коль скоро известны
строение и химический состав тела. Более того, в принципе
можно заранее (до опыта) определить все наиболее устойчивые
или наиболее прочные структуры элементарных частиц; можно
также предсказать поведение любой структуры ,при изменении
внешних условий.
Однако по целому ряду причин возможные рамки таких вы-
вычислений (и любых других, основанных на атомистических
представлениях) ограничены, по существу, ситуациями, близ-
близкими в некотором смысле или к идеальному беспорядку, или
к идеальному порядку в расположении частиц. Первая ситуа-
ситуация реализуется в идеальных газах, вторая — в идеальных кри-
кристаллах. В остальных случаях приходятся привлекать допол-
дополнительные сведения и эмпирические факты; поэтому соответ-
соответствующие теории имеют частный характер и пригодны для
описания только вполне определенных свойств системы в неко-
некоторых границах изменения внешних параметров. Это обстоя-
обстоятельство объясняется не столько математическими трудностями
решения задач квантовой механики для многих частиц (а они
весьма велики), сколько тем, что точная структура любого твер-
твердого тела заранее неизвестна.
Большинство конструкционных материалов состоит из мно-
множества нерегулярно расположенных мелких кристаллов (поли-
(поликристаллические тела). Таковы, например, металлы и их спла-
сплавы. В лучшем случае при описании структуры таких тел можно
надеяться на определение функций распределения кристаллов
по величине, форме, расположению и т. д., на определение ме-
места расположения и размера наиболее крупных кристаллов
или дефектов типа трещин, дислокаций, инородных включений
и т. п. ' ¦
В полимерах роль таких зерен играют различного рода над-
надмолекулярные образования, в аморфных телах типа стекол —
начальные флуктуации структуры, имеющие технологическое
происхождение (например, трещины). Опыт показывает, что
прочность твердого тела существенно зависит от характера и
величины таких образований, размеры которых значительно
больше среднего межатомного расстояния.
В рамках классической электродинамики определение поня-
понятия твердого тела как некоторой системы электрических заря-
зарядов вызывает существенные затруднения.
§ П ТОЧНЫЙ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИИ МЕТОД 27
Действительно, запишем уравнения Максвелла для точечных
зарядов, движущихся в пустоте [1, 14]:
=-i-^, div#=0,
if+±LJ, • B.1)
Здесь Е и Я — векторы напряженностей электрического и маг-
магнитного полей соответственно, / — вектор плотности тока, t —
время, р — плотность заряда (представляемая, в нашем случае
суммой дельта-функций), с — скорость света в вакууме (с =
=3-1010 см/сек). Величина каждого точечного заряда кратна е.
Сначала покажем, что при отсутствии внешних полей любое
расположение покоящихся зарядов неустойчиво, т. е. стабиль-
стабильные структуры из покоящихся электрических зарядов невоз-
невозможны. Действительно, допустим, что существует некоторое
расположение покоящихся точечных зарядов в пространстве. Из
соображений анализа размерностей энергия взаимодействия
равна ае2/г, где а — некоторое число, свое для каждого распо-
расположения зарядов, г — характерный линейный размер (например,
кратчайшее расстояние между зарядами). Поэтому сила вза-
взаимодействия, возникающая при всестороннем равномерном рас-
растяжении, будет равна производной по г от энергии взаимодей-
взаимодействия и всегда отлична от нуля, так что состояние покоя
неустойчиво.
Теперь покажем, что при отсутствии внешних полей не су-
существует решений уравнений Максвелла, отвечающих устано-
установившимся периодическим движениям точечных зарядов в конеч-
конечном объеме. Опять-таки допустим, что существует некоторое
такое движение; при этом движении, очевидно, каждый точеч-
точечный заряд должен описывать замкнутую траекторию в про-
пространстве. Скорость изменения кинетической энергии Тп произ-
произвольно фиксированной частицы с зарядом е равна
dTJdt = eEv, ¦ B.2)
уде v — вектор скорости частицы.
Из первого и третьего уравнений B.1) легко получить сле-
следующее соотношение:
-в4?- + -Я-~-= — — JE — HrotE + Etotff. B.3)
!Гак как
u{EXH) HiE — ErotH,
равнение B.3) можно записать в виде
jJL f B.4)
28 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
Проинтегрируем B.4) по некоторому конечному объему V,
включающему в себя установившиеся траектории всех частиц,
которые согласно предположению образуют рассматриваемое
твердое тело; используя теоремуч Остроградского, получаем
BXmdZ. B.5)
Так как ток, создаваемый зарядом- е, равен ev6(r — г0) (где
г0-*-'радиус-вектор заряда), то интеграл JEdV можно запи-
записать в виде суммы "LevE по всем зарядам и при помощи B.2)
прийти к следующему уравнению:
J j B-6)
Здесь Т — кинетическая энергия всех частиц, образующих твер-
твердое .тело.
Уравнение B.6) выражает закон сохранения энергии. Слева
стоит изменение полной энергии рассматриваемого твердого
тела, а справа — количество энергии поля, протекающее в еди-
единицу времени через его поверхность. Воображаемое твердое
тело либо излучает энергию (при этом правая часть B.6) отри-
отрицательна), либо не излучает ее. В первом случае полная энер-
энергия твердого тела будет уменьшаться, стремясь к нулю при
rf—>оо, что, очевидно, невозможно. .
В другом случае при t —*¦ оо имеем
+ T\ = 0; B.7)
т. е. полная энергия твердого тела сохраняется постоянной.
Ввиду произвола в выборе объема V (напомним, что он дол-
должен включать в себя траектории всех частиц) отсюда вытекает,
что поле может быть отличным от нулевого только вдоль траек-
траектории частиц, а вне траекторий поле отсутствует. Так как это
невозможно, остается признать, что исходные допущения были
неверными. .
Следовательно, построение теории твердого тела и, в част-
частности, объяснение его прочностных и деформативных свойств в
рамках классической физики невозможно, и необходимо при-
привлекать квантово-механические представления.
Рассмотрим идеально-периодическую пространственную
структуру, состоящую из ядер и электронов. Согласно кванто-
вомеханическому методу, все возможные стационарные со*
*$ 1J ТОЧНЫЙ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД 29
стояния системы определяются из решения уравнения Шредин-
гера [15] -
Wj anl>, B.8)
где *ф — волновая функция, до—полная энергия системы; опе-
оператор W определяется так:
—fiT
Здесь Шг и ?i — масса и заряд i-й элементарной Частицы соот-
соответственно; Хи уи zt — координаты i-й частицы (спиновым вза-
взаимодействием частиц пренебрегается), Ь — постоянная Планка
{Ь = 1,05-107 эрг-сек), N — число частиц в системе.
Первый член в формуле B.9) описывает кинетическую энер-
энергию частиц, второй — кулоновское взаимодействие частиц.
В силу идеальной периодичности можно выбрать такую наи-
наименьшую по размерам область V в пространстве (элементар-
(элементарную ячейку), чтобы состояние в любой фиксированной точке
пространства описывалось состоянием в соответствующей точке
элементарной ячейки, причем соответствие точек определялось
0ы только векторной операцией периодического продолжения.
^Очевидно, элементарная ячейка всегда представляет собой не-
некоторый правильный многогранник; условимся выбирать его
|аким образом, чтобы на гранях S выполнялось граничное ус-
условие локальной симметрии
= -Ц- = 0 на 5 (i=l, 2, .... АО, B.10)
Ше tii — нормаль к соответствующей грани (п* — Щ(хиУи
Тогда можно ограничиться изучением одной указанной эле-
йентарной ячейки; N будет равно числу частиц в одной ячейке,
^.условие нормировки запишется в виде
^ (*i. Уи «1 %. #*>• *n) f dxx dyx dzx ... dxN dyN dzN = \.
Запомним, что выражение
I iH*i> У\, Zi xN, yN, zN) f dxx dyx dz{ ... dxN dyN dzN
pier вероятность того, что первая частица находится в элементе
щ^ма-dxi dyi dzi с центром в точке (xuyuzi), вторая частица
Йроднтся в элементе объема dx2 dy2 dz2 с центром в точке
Щз» Уг, ?г) и т. д., т, е. |ij)|2 представляет собой плотность ве-
|ЮЯТНОСТН.
30 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР 1ГЛ. Н
Дуализм квантовомеханических представлений заключается
в том, что, несмотря на наличие в уравнении Шредингера ко-
координат частиц, в результате его решения можно определить
только вероятность нахождения совокупности частиц в том или
ином объеме пространства (частицы «размазаны» в некоторое
«облако»). Примерные размеры этого «облака» Ад:, Ау, Дг свя-
связаны с размером соответствующего «облака» в пространстве
импульсов Д/?ж, &Pv> bpz соотношением неопределенностей
Ах ¦ Арх ~Н, Ду • Ару ~ ft, Дг • Арг~ И. B.12)
Кроме того, неопределенность в величине полной энергии частиц
Aw связана с характерным «временем жизни» в нестационарном
состоянии Д/ соотношением
Aw-At~h. B.13)
В стационарном состоянии At == оо и Aw = 0.
Согласно квантовомеханическим представлениям, мир имеет
статистическую природу; при задании начального состояния си-
системы дальнейшее ее развитие можно определить лишь с неко-
некоторой вероятностью.
Краевая задача B.8) — B.10) представляет задачу на соб-
собственные числа, где роль собственного числа играет полная
энергия элементарной ячейки w. Поэтому решение задачи су-'
шествует только для вполне определенного множества значе-
значений w. Если это множество дискретно, то говорят о дискретном
спектре; если множество непрерывно, то говорят, что спектр —
сплошной. Оператор W — самосопряженный, поэтому для конеч-
конечной области V собственные числа да образуют действительное
счетное множество. Для механики разрушения наибольший ин-
интерес представляет состояние с наинизшей энергией Доо', в этом
состоянии система может находиться сколь угодно долго. Дру-
Другие стационарные состояния системы, соответствующие боль-
большим w, обычно квазистационарны, так как под действием внеш-
внешних электромагнитных волн система через определенное конеч-
конечное время с вероятностью, близкой к единице, переходит в
более устойчивое состояние с меньшей энергией. Вблизи точки
w = w0 на основании соотношения B.13) нет других возмож-
возможных стационарных состояний системы.
Из соображения анализа размерностей энергия w0 равна
-=•)• B-14>
Здесь г — характерный линейный размер элементарной ячейки;
функция / — своя для каждого заданного набора N ядер и элек-
электронов.
fjU| ТОЧНЫЙ КВАНТОВОМЁХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД 31
Знание функции w0 позволяет отыскать все величины, харак-
характеризующие реакцию идеальной решетки на внешние возмуще-
возмущения, например, ее сопротивление деформации,, прочность, хими-
химическую активность и т. д.
Указанная постановка задачи довольно неопределенна, по-
поскольку не приведены дополнительные данные для выбора раз-
размера и формы элементарной ячейки. По существу, факт суще-
существования, а также размер и форма этой ячейки для заданного
набора ядер4 и электронов должны определяться из решения
самой задачи при помощи граничного условия B.10) и условия
абсолютного минимума полной энергии ячейки w. Получаю-
Получающаяся обратная задача чрезвычайно сложна; решение ее
открыв бы грандиозные перспективы в создании новых кри-
кристаллических материалов (или некоторых модификаций уже
Известных кристаллических форм), обладающих, например, по-
повышенной прочностью.
Некоторые предварительные соображения, основанные на
принципе максимального перекрывания и принципе Паули [15],
позволяют полагать, что для соединений с ковалентной связью
более прочные на разрыв материалы, чем углерод со структурой
алмаза, невозможны (особенно если иметь в виду удельную
прочность).. Действительно, среди элементов с двумя энергети-
энергетическими уровнями углерод имеет наилучшее число валентных
электронов (четыре), так как при ковалентной связи у каж-
каждого атома углерода на втором уровне оказывается максималь-
максимально возможное число электронов D + 4 = 8); «обобществление»
большего числа электронов (большего 4 на втором уровне) не
допускается принципом Паули. Для металлов этот вопрос го-
гораздо более сложен; в первом приближении, по-видимому, мож-
можно "считать, что прочность структуры тем больше, чем больше
янсло валентных электронов и число ближайших соседей у
каждого иона.
Приведем вариационный принцип, получающийся умноже-
умножением обеих частей уравнения B.8) на ф и интегрированием по
объему ячейки V. На основании B.11) и условия стационар-
стационарности энергии системы w получаем
б J ij>Wi|> dxi dyl dzi ... dxN dyы dzH = 0. B.15)
v
Вариационный принцип B.15) открывает возможность при-
применения прямых методов типа метода Ритца. Вариационная
оцедка дает верхнюю границу, вообще говоря, для наинизшего
значения энергии w0.
ч р 0
^Форма и размеры элементарной ячейки кристаллов, встре-
встречающихся в природе, весьма точно определяются эксперимен*
щ Йрочйость идеально-Периодических стрдаур [гл. и
таяьно. При использовании таких дополнительных данных за-
задача'значительно упрощается, однако все еще остается весьма
сложной. В случае простых элементов для определения элемен-
элементарной ячейки нужно построить плоскости, проходящие через
середины отрезков между соседними ядрами и перпендикуляр-
перпендикулярные к этим отрезкам. Для получения численных результатов
наряду с использованием вариационного принципа применяют
различные варианты метода возмущений, который подробно
описан в книгах по квантовой механике. Следует отметить, что
большие возможности, открывающиеся в применении точного
квантовомеханического метода,, пока не реализованы из-за вы-
вычислительных сложностей, и поэтому в дальнейшем будут рас-
рассмотрены только приближенные полуэмпирические методы, поз-
позволяющие дать оценку прочности некоторых идеально-периоди-
идеально-периодических структур.
§ 2. Приближенные методы
В классической физике идеально-периодическая структура
(ее называют также идеальной решеткой или идеальным кри-
кристаллом) представляется [16] состоящей из упакованных частиц
конечных размеров, между которыми при растяжении действуют
силы притяжения, а при сжатии — силы отталкивания (урав-
(уравновешивающиеся в состоянии покоя).
Частицами, образующими кристалл,, могут быть разноименно
заряженные ионы (как в каменной соли), положительно заря-
заряженные ионы (как в металлах), ней-гральные атомы одного и
того же элемента (как в алмазе), нейтральные атомы различ-
различных элементов (к^к в карборунде), молекулы (как в, кристал-
кристаллах льда). Соответственно, по характеру сил притяжения
различают ионную, металлическую, ковалентную и межмолеку-
межмолекулярную (ван-дер-ваальсову) связь. В металлах валентные элек-
электроны свободно перемещаются в решетке, образуя «электронный
газ». Сила притяжения в случае металлической и ковалентной
связи объясняется обменным взаимодействием валентных элек-
электронов и носит существенно квантовомеханический характер.
Сиды отталкивания во всех случаях — квантовомеханического
происхождения. '
С точки зрения -квантовой механики представление о таких
частицах оправдывается тем, что> в большинстве случаев об-
область, в которой, в основном, распределена плотность, |я|)|2,
представляет собой совокупность некоторых . повторяющихся
зон, сравнительно слабо связанных друг с другом и характер-
характерных для отдельного иона, атома или молекулы того или иного
химического вещества (волновые функции которых в кристалле
§ i\ ¦ ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ 33
«перекрываются» обычно лишь в небольшой пограничной об-
области).
Наиболее существенным недостатком классических представ-
представлений является предположение о том, что все частицы в кри-
кристалле имеют сферическую форму и между любыми двумя ча-
частицами имеет место центральное взаимодействие. Однако это
упрощение дает возможность наглядного и эффективного ко-
количественного . описания. В большинстве
материалов обычно так или иначе пред- ил
ставлены все типы связей, и доминирую-
доминирующую связь, характеризующую прочность
на разрыв, иногда выделить нелегко.
Общая схема приближенных методов О
такова: потенциал взаимодействия двух
частиц задается в виде некоторой функ-
функции U(г) типа изображенной на рис. 5
с точностью до нескольких констант,
определяемых экспериментально; после ' Рис. 5.
этого вычисляются теоретическая проч-
прочность, поверхностная энергия, энергия диссоциации и другие
величины, представляющие интерес не только для механики раз-
разрушения, но и для других дисциплин, изучающих твердое
тело.
Приведем некоторые известные выражения для потенциалов
взаимодействия двух частиц, расположенных на расстоянии г
одна от другой: *
кулоновское взаимодействие (притяжение или отталкивание)
. ?/~1/г, B.16)
потенциал сил отталкивания между атомами идеальных
газов
?/~е-*г, B.17)
потенциал ван-дер-ваальсовых сил притяжения нейтральных
молекул
С/— 1/гб B.18)
Укажем некоторые простейшие типы решеток.
а) Тетрагональная решетка (алмаз, карборунд и др.). Час-
Частицы (нейтральные атомы) расположены в центре и вершинах
тетраэдра. Расстояние между ближайшими атомами в кри-
кристалле алмаза равно 1,54-10"8 см. Элементарная ячейка — один
или два тетраэдра.
б) Простая кубическая решетка (NaCl, CsCl и др.). Частицы
.<{ноны) расположены в вершинах куба. Элементарная ячейка
состоит из двух соседних кубов.
2 Г, П. Черепанов
34
прочность идеально-периодических структур
[ГЛ. П
в) Объемно-центрированная и гранецентрированная кубиче-
кубическая решетка. В первой, помимо вершин куба, в центре куба
имеется еще одна частица (элементарная ячейка — октаэдр); во
второй, помимо вершин куба, частицы расположены в центре
каждой грани (элементарная ячейка — додекаэдр).
г) Гексагональная решетка. Каждая элементарная ячейка
представляет собой додекаэдр с расположенной в центре ча-
частицей, соседние частицы касаются друг друга в серединах гра-
граней (всего 12 пятиугольных граней). Большинство металлов
кристаллизуется по типам в) иг).
Изложим теорию Борна, развитую применительно к ионным
кристаллам типа NaCl (рис. 6). Аналогичную структуру имеют
и другие галогениды щелочных металлов.
Такие кристаллы построены из положи-
положительно и отрицательно заряженных
ионов, заряды которых равны соответ-
соответственно ±е. Ионы противоположного
знака притягиваются друг к другу, а
ионы одного знака взаимно отталкивают-
отталкиваются с силой е2/г2, где г — расстояние
между ионами. Между любыми двумя
ионами действует также сила отталкива-
отталкивания, потенциал которой Ur аппроксими-
аппроксимируется выражением
Ur = ar~s (s>l). B.19)
Cl
Рис. 6.
Здесь а и s — некоторые постоянные. Точ-
Точное вычисление функции Ur,r возникаю-
возникающей от «перекр*ывания» волновых функ-
функций, как уже говорилось, возможно .на
основе уравнения Шредингера.
Полный потенциал взаимодействия двух ионов разного знака
Ud(r) будет равен сумме кулоновского потенциала сил притя-
притяжения B.16) и потенциала B.19)
г
B.20)
Эта сумма при s > 1 будет иметь вид, изображенный на
рис. 5.
При помощи потенциала B.20) нетрудно вычислить полную
энергию решетки, которая потребуется для расщепления кри-
кристалла на образующие его ионы. Определим вначале работу,
которую надо затратить, чтобы вырвать один ион из решетки.
Эта работа равна заряду иона е, умноженному на потенциал
электростатического поля ф в той точке, где находится этот
5 2] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ион, от действия всех остальных ионов. Суммируя, находим
—оо /=—оо
(i, /,
Здесь г — кратчайшее расстояние между ионами противополож-
противоположного знака, ам — сумма тройного ряда. Прямое вычисление [16]
дает ам= 1,7476.
Следовательно, электростатическая, энергия взаимодействия,
приходящаяся на пару ионов, равна —а,ме2/г.
При вычислении сил отталкивания обычно предполагают, что
эти силы убывают с расстоянием так быстро, что достаточно
учесть только ближайшие ионы. В рассматриваемой структуре
у каждого иона имеется шесть ближайших соседей, поэтому
энергия перекрывания, приходящаяся на пару ионов, равна 6Ur,
а полная энергия решетки, приходящаяся на пару ионов, равна-
„(,) = _¦? + ?. . B.22)
В отсутствие внешнего давления состояние устойчивого рав-
равновесия, реализующееся в кристалле, очевидно, будет отвечать
точке минимума функции U(r) при г = г0 («дно потенциальной
ямы»). Отсюда (dU/dr)r=r = 0 и
«лАо — 6sa- B-23)
Значение второй производной d2U/dr2 в точке минимума оп-
определяет объемную сжимаемость и частоту колебаний ионов
вблизи положения равновесия.
Действительно, разложение потенциала в окрестности точки
минимума имеет вид
(^Ц(ЛгJ. B.24)
Обозначим модуль всестороннего сжатия через k. Приравни-
Приравнивая упругую энергию сжатия —ke2r^N, образующуюся в объеме
Nr^ (N — число ионов в этом объеме, е = ЗАг/г0), величине
-^N(U — C/min) соответствующего изменения полной энергии ре-
решетки из N ионов, получаем
2*
36 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
Используя выражение B.22), отсюда находим
0 rs-l
rO
Таким образом, если воспользоваться экспериментальными
значениями г0 и k, из системы уравнений B.23) и B.26) можно
определить постоянные а и s. Находим
Вычислим величины, представляющие для нас основной ин-
интерес: прочность и поверхностную энергию рассматриваемой
структуры.
Представим себе, что решетка, изображенная на рис. 6,
подвергается всестороннему растяжению усилием а, отнесен-
отнесенным к единице площади. При этом прира-
приращение внешней работы 3a{Nr3yibN'lsdr, оче-
очевидно, равно изменению полной энергии ре-
решетки у N dr (dUjdr) в объеме Nr3. Отсюда
получаем выражение
справедливое также для конечных дефор-
г маций решетки. Функция а (г) имеет вид,
качественно изображенный на рис. 7. Мак-
Рис. 7. симальное сопротивление всестороннему
растяжению атах достигается в точке г=г#,
где da/dr обращается в нуль. Окончательно при помощи формул
B.22), B.27) и B.28) находим
B.29)
s—1 аме2
B>30)
Величину Ощах называют теоретической прочностью идеального
кристалла. При а > атах равновесное состояние ионов невоз-
невозможно; при г> г* равновесие неустойчиво, что отвечает, во-
вообще говоря, динамическому протеканию процесса разрушения.
Отметим, что разрушение идеального* кристалла соответствует
расщеплению его на отдельные ионы, т. е. полной диссоциации.
Теория Борна, несмотря на кажущуюся простоту и стро-
строгость, вызывает серьезные возражения. Как видно, она основана
J Я ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 37
на суммировании кулоновских взаимодействий во всем про-
пространстве (см.. ряд B.21)). Этот ряд, как нетрудно заметить,
является условно сходящимся. Следовательно, его сумму в за-
зависимости от порядка суммирования членов можно сделать рав-
равной любому наперед заданному числу*). Отметим, что в фи-
физической постановке задачи нет каких-либо дополнительных
условий, позволяющих отдать предпочтение какому-то опреде-
определенному способу суммирования. Поэтому даже в силах притяже-
притяжения для ионных кристаллов, по-видимойу, необходимо учиты-
учитывать обменное взаимодействие. В рамках же излагаемого под-
подхода Борна наиболее правильно выбирать константу ам на
основании дополнительных экспериментальных данных. Напри-
Например, при помощи цикла Борна — Габера можно найти из опы-
опытов величину Umm и, сравнивая ее с теоретическим значением,
определить ам- Полученное таким способом значение ам совпа-
совпадает с приведенным выше.
Метод Борна, обычно применяемый для вычисления поверх-
поверхностной энергии ионных кристаллов и приводящий к необходи-
необходимости суммирования некоторых дополнительных условно сходя-
сходящихся рядов, представляется еще более ненадежным, так как
лока что отсутствуют надежные опытные данные по поверхно-
поверхностной энергии. Поэтому при вычислении поверхностной энергии
будем применять приближенный метод, считая, что связи су-
существуют лишь между ближайшими частицами, так что энер-
энергия каждой связи равна -^ Umin, а сила натяжения каждой
связи равна F. Таким образом, энергия решетки, приходящаяся
на объем r-j, т. е. —у(^),._Г|>, равна поверхностной энергии
где у — поверхностная энергия структуры, приходящаяся
на единицу свободной поверхности. Отсюда получаем
Эта величина характеризует, очевидно, геометрически наи-
наименьшую величину поверхностной энергии. Возможно также
образование свободных плоскостей, проходящих под углом 45°
к граням кубов; соответствующие значения поверхностной энер-
энергии также нетрудно подсчитать. Заметим, что величина (— Щг=и
по своему физическому смыслу представляет энергию диссоциа-
диссоциации, приходящуюся на пару ионов.
*) В работах Борна, Штерна, Маделунга, Френкеля и многих других
авторов этот ряд именуется «плохо сходящимся», причем всюду подразуме-
подразумевается,, что сумма этого ряда не зависит от порядка суммирования,
38 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
Для решетки каменной соли NaCl имеем
г0 = 2,8 ¦ 10~8 еж, k = 3 ¦ 105 кГ/см2.
В этом случае вычисление по формулам B.27) — B.31) дает
s = 9,4, — (?/)г=Го = 182 ккал/г ¦ атом,
г, = 3,2 • 10~8 см, атах = 420 кГ/мм2, B.32)
Y = 1350 дн/см, Fmax = 4,3 • 10 дн.
Экспериментально наблюдались значения прочности кри-
кристаллов каменной соли, достигающие 160 кГ/мм2. В этих опытах
А. Ф. Иоффе и его сотрудники испытывали на односторонний
разрыв образцы в воде, после того как поверхностные дефект-
дефектные слои кристалла растворялись [Ц]. Измеренная многими ис-
исследователями величина у кристалла каменной соли [18] колеб-
колеблется примерно от 200 до 500 дн/см, т. е. приблизительно в три
раза меньше теоретического значения. Указанные опыты про-
проводились в условиях естественной атмосферной влажности;
ввиду сильной гигроскопичности каменной соли и полярности
молекул воды поверхностные слои ионното кристалла находи-
находились в условиях, далеких от теоретической схемы (подробнее
об этом см. § 8 гл. VII).
Изложенная теория удовлетворительно описывает прочность
галогенидов щелочных металлов и серебра, а также силикатных
стекол (см. § 8 гл. VII). Для более прочных структур с метал-
металлической и ковалентной связью эта теория не годится, по-
поскольку силы притяжения в этих случаях оказываются гораздо
более короткодействующими. Однако общую схему метода рас-
расчета можно использовать, если задаться более точным выра-
выражением для потенциала взаимодействия.
Примем следующие допущения:
а) каждая частица взаимодействует только с п ближайшими
частицами, причем потенциал всех парных взаимодействий оди-
одинаков и не зависит от других взаимодействий;
б) полная энергия взаимодействия пары частиц описывается
потенциалом
^о = -7Г- тг, B.33)
где по и а\ — некоторые постоянные.
Первое допущение ограничивает круг рассматриваемых ве-
веществ и, строго говоря, допускает только простые соединения
(т. е. состоящие из одного химического элемента). При этом
элементарная ячейка может представлять собой правильный
многогранник только одного из четырех типов: тетраэдр, куб,
приближенные методы
39
октаэдр, додекаэдр (предполагается плотная упаковка частиц).
Величина г (расстояние между ближайшими ядрами) будет
равна удвоенному расстоянию от ядра до грани ячейки. Второе
допущение надо рассматривать как некоторую аппроксимацию
реального потенциала (степень первого члена, характеризую-
характеризующего силы отталкивания заполненных электронных оболочек,
взята под влиянием предыдущего расчета для структуры NaCl).
В металлах кулоновское взаимодействие частиц (положитель-
(положительных ионов) экранируется электронными оболочками, так что
им можно пренебречь.
, В силу указанных допущений полная энергия решетки, при-
приходящаяся на пару частиц, равна
U (г) = -р pj- B.34)
(п — число ближайших соседей в решетке).
Вычисления, аналогичные предыдущим, позволяют опреде-
определить значения а0, аь г*, атах через эмпирические значения г0
и k. Опуская эти вычисления, приводим окончательный ре-
результат:
ао
2k%
.12
Зп 'с
;=1,1Ого,
kkr0
а, =
kXr20
Здесь ^тах — предельная сила натяжения одной связи.
Значения Я и ц приводятся в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Значеняя параметров I яц, входящих
в формулы B.35), для разных типов
элементарных .ячеек
B.35)
Я
V-
п
Тетраэдр
1.73
10.39
4
Куб
1
6
6
Октаэдр
0.86
5,20
8
Додекаэдр
, ,0.69
4.17
12
Подчеркнем, что в формулах B.35), как и везде ранее в
этом параграфе, речь идет о всестороннем растяжении и о наи-
наименьшем значении поверхностной энергии. -
40 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
Отметим одно обстоятельство, которое обычно не учитывает-
учитывается. «Кажущаяся» поверхность излома кристаллов представляет
собой некоторое геометрическое осреднение действительной по-
поверхности, обычно имеющей различные неровности, впадины и
пики. Площадь действительной свободной поверхности всегда
больше площади «кажущейся». Кроме того, как было показано
выше, на различных участках действительной поверхности по-
поверхностная энергия может быть существенно различной. Поэ-
Поэтому экспериментально замеряемые величины поверхностной
энергии всегда характеризуют некоторый средний для данной
поверхности рельеф. Это обстоятельство может иметь сущест-
существенное значение при сравнении экспериментальных данных с
результатами теоретического расчета.
§ 3. Некоторые оценки
Прочность и поверхностную энергию идеально-периодических
структур оценивают обычно при помощи одного дополнитель-
дополнительного допущения (как правило, не оговариваемого), которое су-
существенно упрощает расчет на одноосное растяжение. А имен-
именно, считают, что деформации и разрушению подвергаются лишь
связи, пересекаемые некоторой плоскостью, перпендикулярной
к направлению растяжения, а все остальные связи считаются
абсолютно жесткими недеформируемыми. При этом атомная
структура учитывается только в выражении для сил сцепления
двух полупространств путем использования некоторых приемов,
которые рассматриваются ниже. Указанное допущение дает
возможность весьма просто оценивать теоретическую прочность
и поверхностную энергию тел любой структуры (например,
аморфных и поликристаллических тел); точность получающихся
результатов зависит от удачной аппроксимации разрывающих-
разрывающихся связей.
Метод Френкеля. В 1926 г. Я- И. Френкель оценил макси-
максимальную величину касательного напряжения, возникающего
при относительном сдвиге двух полупространств. Если тело
имеет периодическую атомную структуру, то силы сцепления
должны представлять собой периодическую функцию взаимного
смещения полупространств с периодом bo (характерным для
границы). Френкель аппроксимировал эту функцию синусоидой
и использовал закон Гука для малых смещений, считая, что
границы полупространств отстоят одна от другой на расстояние
ао. Тогда для напряжения сдвига т получается выражение
где ц, — модуль сдвига.
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ 41
Отсюда максимальное напряжение сдвига равно
W = ^. B.37)
Например, в случае гранецентрированной кубической решет-
решетки (плотная упаковка) для плоскости A11) имеем ao — boY~2,
ТЭК ЧТО Ттах «0,1 Ц,.
Совершенно аналогичный метод применил Гилман [19] для
оценки теоретической прочности при одностороннем растя-
растяжении напряжением ст. Была взята синусоидальная аппрокси-
аппроксимация
а = 3± sin 22- @ < v < bo). B.38).
Здесь Е — модуль Юнга, v — взаимное смещение полупро-
полупространств по нормали к плоскости разрыва, а0 — среднее меж-
межатомное расстояние, Ьо — «радиус угасания» сил сцепления, ко-
который Джиллмэн принял равным диаметру атома.
Отсюда для теоретической, прочности на одностороннее рас-
щщёййе Отах и поверхностной энергии у имеем
По-видимому, Джиллмэн сильно преувеличивал значение наи-
наибольшей деформации решетки (для алмаза, например, он счи-
считает справедливыми оценки bo/ao ~ 1 и сттах ~ Е/п).
Метод Гриффитса. Формула Гриффитса для прочности упру-
грго тела с трещиной длинц / позволяет оценить теоретическую
Прочность, если экстраполировать формулу на трещины до раз-
размеров порядка среднего межатомного расстояния: / ~ а0. При
этом из A.25) получаем
Отах = Л, УЕ\/п0. B.40)
Как будет показано в дальнейшем, согласно методу Гриф-
фйтса прочность хрупкого тела на одностороннее и всесторон-
яее растяжения одинакова.
Другие аппроксимации. Для простейшей аппроксимации
«треугольником»
a = Ev/d0 при 0<w<60/2, B.41)
ст —Д (Ьо — v)/a0 при 60/2 < v < Ьо
следующие выражения для стШах и у.
Отп = EbJBa0), у = Eblmaj). B.42)
42
ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР
[ГЛ. II
Для аппроксимации типа B.33) зависимость сил сцепления
о от расстояния между плоскостями (v -\- а0) будет следующей:
Величина ffmax и y Для силы сцепления B.43) будет равной
<W = 0,043? (при v ~ 0,125а0), B.44)
Y = a0?/108.
§ 4. Метод теплового смещения
Получающиеся оценки довольно разноречивы (ср., напри-
например, B.39) и B.44)), поэтому представляет интерес оценка
«радиуса угасания» сил сцепления из
каких-либо дополнительных сообра-
. жений.
а* До сих пор в расчетах нигде не
учитывались колебания атомов и ио-
ионов решетки вблизи положения равно-
равновесия. Это объясняется тем, что при
. обычных температурах энергия коле-
' баний решетки, приходящаяся на пару
частиц, равна примерно 10~2—10~' эв,
в то время как энергия химической
связи, определяющая прочность ре-
.] шетки, для твердых тел обычно со-
' ставляет 1—10 эв.
С увеличением температуры тепло-
тепловое движение частиц (атомов, ионов,
молекул) усиливается, пока не дости-
достигается такая температура, при кото-
которой энергия колебаний решетки стано-
t) вится сравнимой с энергией химиче-
химической связи и близлежащие частицы
обретают способность в той или иной
степени преодолевать взаимное притя-
притяжение. В процессе нагревания тела
происходит его тепловое расширение.
Эти явления можно увязать в следующей простой модели [Щ
(рис.8).
Допустим, что при абсолютном нуле температуры эффектив-
эффективный радиус частицы равен с0, а расстояние между центрами
двух соседних частиц равно а0 (рис. 8,а). Эффективный размер
частицы несколько больше геометрического размера самой ча-
частицы (области, где ф-функция ire равна нулю) вследствие слу-
случайных колебаний ее вблизи положения равновесия. Величина
Рис. 8.
§4] МЕТОД ТЕПЛОВОГО СМЕЩЕНИЯ 43
Со представляет собой некоторую среднюю величину (осредне-
(осреднение производится или по одной фиксированной частице за до-
достаточно большой промежуток- времени, или же по многим ча-
частицам в один и тот же момент времени; в силу стационарно-
стационарности процесса эти средние совпадают). Соотношение между Со
и а0 зависит от характера связи; в случае ионной и молекуляр-
молекулярной связи обычно 2с0 « а0, так как ф-функции частиц почта
«не перекрываются», а в случае ковалентной и металлической
связи обычно ао < 2со вследствие перекрывания ф-функций и
обобществления валентных электронов. Колебания частиц при
абсолютном нуле температуры имеют квантовый характер и объ-
объясняются тем, что каждая частица в устойчивом стационарном
состоянии находится на дне некоторой «потенциальной ямы».
Предположим, что к решетке быЯа приложена некоторая
внешняя растягивающая сила, под действием которой соседние
частицы разошлись вначале на расстояние (ao-f и»), соответ-
соответствующее максимальному значению силы сопротивления связи
(теоретической прочности), а затем на расстояние (ао-{-Ьо), где
силы взаимного притяжения двух частиц пренебрежимо малы
(рис. 8,6).
С увеличением температуры энергия колебаний частиц рас-
растет, вследствие чего увеличивается эффективный средний ра-
радиус частиц и происходит тепловое расширение тела (рис. 8, в,
где увеличенными кружками изображены эффективные размеры
частиц; с определенной конечной вероятностью частица может
находиться в любой точке этого кружка).
Наконец, достигается такое состояние (рис. 8,г), в котором
при отсутствии внешней нагрузки расстояние между наиболее
дальними точками двух соседних зон (в каждой из зон одна
из двух рассматриваемых частиц испытывает случайные ко-
колебания) достигает величины а0 + и,. Как только это расстоя-
расстояние будет превзойдено, возникает конечная вероятность «пере-
«перехвата» одной из двух рассматриваемых частиц некоторой со-
соседней частицей (не изображенной на рис. 8), так что частицы
могут менять своих соседей. Вероятность «перехвата» становит-
становится больше вероятности сохранения своего постоянного «соседа»,
как только среднее расстояние между рассматриваемыми части-
частицами (среднее межатомное расстояние) превысит величину
а0 + и,. Последнее свойство характерно для жидкости, поэтому
температура тела, равная температуре плавления, характери-
характеризует тот момент, когда среднее межатомное расстояние Aв от-
отсутствие внешней силы) р-авно ао + и*- Следовательно,
Tf
' B.45)
44 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
Здесь Tf — абсолютная температура плавления материала,
Р(Г) —коэффициент линейного температурного расширения (на
рис. 8 и, = г, — г0).
Разумеется, теоретическая прочность жидкости при всесто-
всестороннем растяжении будет иметь порядок теоретической проч-
прочности соответствующего твердого тела, так как она опреде-
определяется осреднением по очень многим связям на элементарной
площадке, а в любой заданный момент времени доля связей,
для которых межатомное расстояние меньше,- чем а0 -\- v*, от-
отнюдь не мала.
Состояние жидкости можно охарактеризовать плотностью ве-
п=п2
роятности р(п), считая, что величина iV 2 Р(п) (гДе N — об-
щее число частиц в системе) равна числу частиц в системе,
имеющих за бесконечное время от rt\ до щ разных «соседей».
Под «соседями» подразумеваются частицы, центры которых в
некоторый момент времени отстояли один от другого на рас-
расстояние, меньшее по -j- и*- При нагревании жидкости максимум
плотности р(п) сдвигается вправо, до тех пор пока не будет
достигнуто предельное распределение
0 при пф N,
1 при n — N, v '
характеризующее идеальный газ (абсолютно хаотическое дви-
движение частиц).
Температура жидкости, равная температуре кипения, харак-
характеризует тот момент, когда среднее межатомное расстояние
(в отсутствие внешней силы) становится равным а0 -\- Ьо. Сле-
Следовательно,
Tv
B.47)
Здесь Tv — абсолютная температура кипения материала.
Ход рассуждений не изменится, если его проводить не от аб-
абсолютного нуля, а от некоторой началяной температуры тела То;
при этом, очевидно, нижний предел интегрирования в B.45) и
B.47) будет равен То.
Следует отметить, что вследствие случайных колебаний ча-
частиц для твердого тела также существует определенная вероят-
вероятность перескока частицы из стационарного узла в решетке в не-
некоторое другое положение (именно этим объясняется образова-
образование «вакансий» и междоузлий в идеальной решетке, а также
диффузия в твердых телах), однако эта вероятность чрез-
чрезвычайно мала. Идеальной решетке (колебания частиц
lU метод теплового смещения 45
полностью отсутствуют) соответствует предельное распределение
0 при п ф «л,
, B-48)
1 при п = по,
где щ — некоторая постоянная решетки (число «соседей» у каж-
каждой частицы). Когда энергия тепловых колебаний становится
существенной (особенно вблизи точки плавления), диффузион-
диффузионные процессы в твердом теле могут играть значительную роль.
Всем промежуточным состояниям (от идеальной решетки до
идеального газа) соответствуют некоторые распределения, про-
промежуточные между B.46) и B.48).
Составим уравнение энергии. Для определенности положим,
что единичный объем рассматриваемого твердого тела нагре-
нагревался от Т = То до Т = Tv при постоянном внешнем давлении
(например, атмосферном). Внутреннюю энергию этого объема
представим в виде суммы энергии связи Uc (потенциальной энер-
энергии взаимодействия частиц) и энергии колебаний решетки Uk
(средней,кинетической энергии движения частиц). Электронной
составляющей, обусловленной движением и спином электронов,
пренебрегаем. Тогда закон сохранения энергии в любой момент
процесса нагревания запишется в виде
Ue(T) - Uе (Го).+ Uk\T) - Uk (То) =
г ,
dT. B.49)
)
¦•о То
Здесь р и V — внешнее давление и объем тела соответственно,
Ир — теплоемкость при постоянном давлении.
Все предыдущие методы вычисления поверхностной энергии
.были основаны на мысленном процессе разрыва, в котором
Т = const, Uk = 0, так что энергия св,язи изменялась только за
.Счет последнего члена в правой части уравнения B.49), т. е.
за счет внешней работы. Если внешние нагрузки малы (гораздо
меньше теоретической прочности), то этим членом можно пре-
йебречь.
Предположим, что
Uk(To)<Ve(To). B.50)
Как уже говорилось выше, для большинства твердых тел в
йбычных условиях это условие выполняется.
Тогда из уравнения B.49) получаем
т
= - J cp(T)dT + Uk(T) + UC{T). B.51)
и
4в прочность идеально-периодических структур [гл. и
При температуре кипения T=TV будет [/сG\,)=0, а
Uk(Tv) будет равно средней кинетической энергии частиц при
давлении р и температуре Tv (т. е. внутренней энергии газа,
образовавшегося из рассматриваемого единичного объема твер-
твердого тела). Окончательно получаем
Uс (T0) = -\cp(T)dT + ^g^-. B.52)
Здесь ро — плотность твердого тела при Т = То, гп0 — масса од-
одной частицы, Na = 6,02-1023 моль~1 — число Авогадро, R =
= 1,987 кал/(град-моль)—универсальная газовая постоянная.
Последний член в формуле B.52), равный Uk(Tv), полу-
получается следующим образом. В единице объема твердого тела
находится 'роМо частиц, которые после превращения твердого
тела в газ при Т = Tv приходят в хаотическое движение. Со-
Согласно кинетической теории газов, средняя кинетическая энер-
энергия этих частиц равна
<2-53)
где Afi — число частиц в единице объема газа. Это число равно
(pNa)/(RTv), так как в одном моле газа, занимающем объем
Vm (pVm = RTV), согласно закону Авогадро, содержится Na ча-
частиц. Отсюда и находится окончательное выражение для Uh(Tv).
В первом члене правой части B.52) (энергия сублимации),
разумеется, должна быть учтена скрытая теплота плавления и
испарения, а также скрытая теплота других возможных фазо-
фазовых превращений.
Формула B.52) представляет интерес для механики разруше-
разрушения, так как поверхностная энергия твердого тела прямо про-
пропорциональна энергии связи UC(TO), которая на основании
B.52) может быть вычислена довольно точно из опытных дан-
данных по нагреванию и испарению твердого тела.
Отметим еще один метод, которым весьма точно (особенно
для простых элементов) можно определить энергию связи. До-
Допустим, что решетка подвергается облучению потоком частиц
(например, протонов или а-частиц). Если кинетическая энергия
атома после соударения с одной из этих частиц превышает
энергию связи, приходящуюся на атом, то он вырывается из ре-
решетки.
Законы сохранения импульса и энергии при ударе нереляти-
нерелятивистских частиц записываются в виде
moVo = mi (У» — Vlk), m0V20 = пц (i4— V\k). B.54)
§ 4] МЕТОД ТЕПЛОВОГО СМЕЩЕНИЯ 47
Здесь /щ, Vik, Fio —масса, конечная и начальная скорости ле-
летящей частицы соответственно; /щ—чиасса вырываемой части-
частицы, -получающей после удара скорость Vo. Отсюда можно опре-
определить энергию связи по минимальной, кинетической энергии
летящих частиц, требуемой для начала радиационного повреж-
повреждения.
Следует упомянуть также чисто химический метод измерения
энергии связи по реакционной способности твердого тела, осно-
основанный на измерении его химического потенциала.
Поверхностную энергию можно вычислить из энергии связи
U? следующим способом.
Допустим, что разрьиз твердого тела образовался вдоль не-
некоторой поверхности. Пусть на единицу этой поверхности при-
приходится sQ разорвавшихся связей. Будем учитывать взаимодей-
взаимодействие только близлежащих частиц твердого тела (связь можно
изображать черточкой, которая соединяет любые две соседние
частицы и которая стирается, если через нее прошла поверх-
поверхность разрыва). Считаем, что энергия всех связей одинакова.
Тогда поверхностная энергия у на единицу площади опреде-
определяется формулой
- Ро«
Действительно, общее число связей в единице объема равно
p0n/Bm0), так что для разрыва одной связи требуется энергия
2Ucm0/(p0n); отсюда легко получить- формулу B.55), если
учесть, что свободная поверхность тела, образовавшаяся после
разрыва, по площади в два раза больше соответствующего гео-
геометрического сечения в сплошном теле.
По формулам B.52) и B.55) можно определить также зави-
зависимость поверхностной энергии тела от его температуры То. Как
видно, с ростом температуры поверхностная энергия убывает,
причем в не слишком широком интервале температур эту зави-
зависимость можно считать линейной.
Приведенные в этом параграфе расчеты можно модифици-
модифицировать также на случай неравнозначных частиц и связей, если
ввести статистические функции распределения соответствующих
величин. Однако эти вычисления ввиду их громоздкости опу-
опускаем; полученные ранее формулы будем применять и к этому
более сложному случаю, используя осредненные характе-
характеристики.
Применяемый подход (как и статистический подход) не учи-
учитывает перераспределения усилий, возникающего при обрыве
лишь некоторых связей. Учет этого обстоятельства, как будет
показано в гл. IV, приводит к величине прочности, значительно
меньшей теоретической и хорошо согласующейся с эксперимен-
48 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР [ГЛ. II
тальными данными по прочности большинства обычных мате-
материалов. Значение изложенного метода заключается прежде всего
в том, что он позволяет определить «потолок» возможной проч-
прочности твердых тел. В будущем, с улучшением структуры (а тем
самым и прочности) конструкционных материалов роль этого
метода, а также требования, предъявляемые к его точности,
будут возрастать. В настоящее время область его практического
применения ограничена в основном кристаллами, близкими
к идеальным. Для хрупких материалов (стекло, плавленный
кварц и т. д.) представляют интерес также расчеты поверхност-
поверхностной энергии.
Знание энергии связи позволяет более точно рассчитать тео-
теоретическую прочность. Для этого аппроксимируем полную энер-
энергию взаимодействия пары частиц в решетке U следующим вы-
выражением:
• V(r)=^~--^-. B.56)
Здесь г — расстояние между частицами, Ао, А\, t—некоторые
постоянные, которые будем определять на основании экспе-
экспериментальных измерений сжимаемости, периода решетки
и энергии связи в состоянии равновесия (в отсутствие внеш-
внешних сил).
Принимая допущения а) и б) § 2 и проводя расчеты, совер-
совершенно аналогичные вычислениям § 2, нетрудно получить сле-
следующие результаты:
_
/in
0 я (9-0 ' "' nf (9-0 '
12
j. г U
у =
г.
B.57)
Обозначения в этих формулах совпадают с принятыми в соот-
соотношениях B.35). Знание предельной силы натяжения одной свя-
связи Fmax позволяет оценить прочность идеальной структуры
также при одностороннем растяжении (точный расчет оказы-
оказывается слишком сложным из-за различного натяжения связей, за
исключением некоторых простейших случаев, например, растя-
растяжения простой кубической решетки в направлении ее ребра).
Поверхностная энергия на любой площадке разрыва вычисляет-
§fl
МЕТОД ТЕПЛОВОГО СМЕЩЕНИЯ
49
ся весьма просто: для этого достаточно просуммировать энер-
энергию связей, оборвавшихся на данной площадке.
Формулы B.57) позволяют определить теоретическую проч-
прочность и поверхностную энергию твердого тела, по-видимому,
с наибольшей точностью. ,
Отметим, что разрушение всегда должно сопровождаться
акустическим и электромагнитным излучением. Действительно,
в процессе разъединения атомных плоскостей (или некоторых
участков, больших по сравнению с межатомным расстоянием,
Таблица 2.2
Теоретические значения поверхностной энергии н прочности
некоторых материалов
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
Кристалл
MgO
LiF
NaCl
NaBr
KC1
KBr
KJ
Стекло
Cu
a-Fe
v-Fe
Al
Au
Лед
Алмаз
Алмаз
Расстояние
между
ближайшими
соседями
в решетке
га X Ю~8 см
2,10
2,00
2,81
2,97
3,14
3,29
3,53
2,30
2,55
2,58
2,57
2,86
2,88
' 2,76
1,54
1,54
Модуль
сжимаемости
1 см2
к ' кГ
0,70 • 10
1,50-10"?
3,30 • 10"'
5,20 • 10~°
5,51 • 10-°
6,30 • 10 "'
8,60 • 10"'
2,03 • 10"'
0,719 «10"'
0,587 • 10"'
0,587 • 10"'
1,33-10"'
0,584 • 10"'
0,5 • 10
0,6-10
0,6 - 10~7
Поверхност-
Поверхностная
энергия V,
дн/см
3 300
3 400
1350
1 120
950
830
620
2 320
980
1200
1200
600
1400
15
5 500
7 100
Энергия
связи 11С,
икал/гратом
186
236
182
167
162
159
145
213
76
137
95
58
98
3
170
212,6
Теоретиче-
Теоретическая
прочность
при всесто-
всестороннем
растяжении
<ттах, кГ/мм'
1730
1 140
420
310
260
225
160
800
1470
1800
1800
800
1800
21
11600
17660
ПРИМЕЧАНИЯ К ТАБЛ. 2.2
1. Кристаллы 1—7 ямеют простую кубическую решетку типа NaCl.
Величины у, Uc и атах вычислялись по формулам B.22), B.30), B.31).
2. Химический состав стекла и метод расчета указаны в § 8 гл. VII.
3. Кристаллы металлов Си, А1, Аи, ^-Fe имеют структуру гранецентриро-
ванного куба, a-Fe — объемноцентрированного Куба. Величины у. Uc и атах
для этих кристаллов вычяслены по формулам B.35).
4. Молекулярная решетка льда считалась тетрагональной. Величины у,
Uc и атах для льда и алмаза A6) вычислены по формулам B.35).
5. Данные для алмаза A5) рассчитаны по формулам B.67), причем энер-
энергия связи была взята из работы [324].
6. Величины г0 и k были взяты из следующих источников: кристаллы
1-7 [325.326,19], кристаллы 9-13 [19.327], дед [328] алмаз [324]
50 ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР (ГЛ. II
как в концевой части трещины) практически невозможно осу-
осуществить медленный спуск по неустойчивой ветви (см. рис. 7).
Поэтому процесс разрушения — всегда динамический (в малой
окрестности конца трещины); некоторая часть работы внешних
сил переходит в энергию звуковых и электромагнитных волн.
Эта энергия мала, однако она может иметь большое значение
для контроля за процессом разрушения. Мощность излучения,
очевидно, прямо пропорциональна площади вновь образовав-
образовавшейся поверхности трещины и обратив пропорциональна вре-
времени ее образования.
В табл. 2.2 приводятся результаты вычислений \, Отах и Uc
для некоторых материалов.
Г Л А В А III
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Классификация особых точек
Прочность большинства хрупких тел определяется дефек-
дефектами типа трещин, размеры которых велики сравнительно
с межатомным расстоянием. Такие дефекты в десятки и сотни
раз снижают прочность материала по сравнению с теоретиче-
теоретическим значением для идеально-периодической структуры. По-
Постановка задачи, учитывающая атомную структуру материала
в явном виде, настолько усложняет решение, что почти всегда
приходится отказываться от нее и прибегать к модели сплош-
сплошного деформируемого тела. Для хрупких материалов такой мо-
моделью является модель линейно-упругого тела при малых де-
деформациях.
Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы проч-
прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответ-
соответствующей математической задачи теории упругости для тела
с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так на-
называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным
задачам с особыми точками. Такими точками являются, напри-
например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая
точка, точка разрыва граничных условий, точка приложения
сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно
связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи.
При этом в линейных задачах решение (или его производные,
начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при
приближении к особой точке. Поскольку граничная задача
в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке
физически осмысленного дополнительного условия в такой
точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой
задачи.
Особый интерес представляет исследование бесконечно уда-
удаленной точки; общепринятый подход основан на применении
эвристического принципа, сформулированного впервые Сен-Ве-
наном для кручения и изгиба тонких стержней и обобщенного
Буссинеском и Томсоном на пространственные задачи и на
пластинки. В последние десятилетия в основном усилиями Ми-
зеса, Штернберга, Розенталя, Койтера,- Белоносова были
52 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (ГЛ. Ш
найдены некоторые (правда, довольно экзотические) примеры,
противоречащие принципу Сен-Венана, а формулировка самого
принципа была уточнена. Однако указанным авторам не уда-
удалось получить законченных результатов в этом направлении.
В этой главе излагается общий подход к решению проблемы
особых точек, основанный на понятии корректной краевой за-
задачи и теореме об однородных решениях [21]. В сочетании с про-
простейшими инвариантно-групповыми соображениями предлагае-
предлагаемый подход позволил достаточно полно изучить наиболее ин-
интересные случаи в плоской статической задаче теории упругости,
а также случай цилиндрической точки.
Используя предложенный подход и теорему Клапейрона, уда-
удалось доказать классический принцип Сен-Венана в его перво-
первоначальной формулировке, т. е. для кручения и изгиба цилиндри-
цилиндрических (призматических) тел.
Показано, что для плоских задач теории упругости все мно-
множество сингулярных упругих задач с бесконечно удаленной
точкой можно разбить на два эквивалентные по мощности*)
класса: класс S, для которого выполняется принцип Сен-Ве-
Сен-Венана, и класс N, для которого принцип Сен-Венана несправед-
несправедлив. Например, к классу N принадлежит упругая задача для
тела с бесконечно удаленной точкой типа клина с углом рас-
раствора, большим я. Для постановки корректной краевой задачи
в классе /V оказывается необходимым ввести дополнительное
условие на бесконечности. В качестве иллюстрации рассмот-
рассмотрены решения некоторых конкретных задач. Показано, напри-
например, что известные решения задач о действии сосредоточенной
силы и момента в вершине бесконечного клина некорректны
при угле раствора, большем я.
Задачи теории упругости для тел с разрезами типа трещин
оказываются принадлежащими классу N. Упомянутый метод по-
позволил, в частности, строго вывести закон распределения на-
напряжений и деформаций в малой окрестности края трещины
любой гладкой формы для различных наиболее часто встречаю-
встречающихся случаев (с учетом анизотропии, неоднородности, сил
инерции, физической и геометрической нелинейности, различных
вариантов граничных условий на трещине и т. д.).
Рассмотрим классическое линейно-упругое тело, ограничен-
ограниченное поверхностью F(x,y,z) = О, где х, у, z — прямоугольные де-
декартовы координаты. Для простоты тело вначале считаем одно-
однородным и изотропным; учет неоднородности или анизотропии
вносит в анализ усложнения, не имеющие принципиального ха-
характера. Объемными силами пренебрегаем. Вся граница упру-
*) Два множества эквивалентны по мощности, если каждому элементу
одного множества соответствует один элемент другого множества, и обратно.
§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 53
гого тела разбита на фиксированные области, в каждой из ко-
которых заданы или нагрузки, или смещения, или краевые условия
типа контактной задачи. Контуры этих областей считаются за-
заранее заданными и неизменными в процессе деформации. Гра-
Границу тела предполагаем всюду гладкой, за исключением конеч-
конечного числа особых линий и точек.
Кроме того, граничная поверхность может содержать беско-
бесконечно удаленную точку; считается, что в окрестности этой точки
поверхность допускает группу подобия или переноса (клин, ко-
конус, цилиндр, полоса и т. д.). Для определенности предположим,
что граница тела в окрестности бесконечно удаленной точки
свободна от нагрузок. (Применяемый ниже подход годится и
для более общих однородных граничных условий.) Напомним,
что принцип Сен-Венана формулируется именно для таких граг
ничных условий. Этот принцип утверждает, что если некоторая
совокупность внешних сил, действующих на некотором участке
поверхности тела, будет заменена другой системой внешних сил,
статически эквивалентной предыдущей и распределенной на том
же участке, то напряжения, соответствующие этим двум нагруз-
нагрузкам, будут одинаковыми на достаточном удалении от места при-
приложения сил.
Требуется найти решение уравнений статической теории
упругости в указанной области, удовлетворяющее заданным гра-
граничным условиям в регулярных точках границы и некоторым
дополнительным условиям в сингулярных точках. Общий вид
дополнительных условий в особых точках устанавливается
ниже.
Итак, поставленная краевая задача имеет особые линии и
точки следующих типов:
а) бесконечно удаленные точки;
б) линии разрыва первых производных функций F(x, у, z);
в) точки пересечения линий разрыва и конические точки;
г) линии разрыва граничных условий;
д) точки приложения сосредоточенных сил, моментов и т. д.
к границе тела.
Во всех случаях предполагается, что поверхность в малой
окрестности изолированной особой точки допускает или группу
подобия
0), /=1,2,3, C.1)
или группу переноса
*[ === #j -J- Kj> Х2 = Х2 ~\- И2» #3 == Х3>
9 в малой окрестности точки, находящейся'на особой линии,—
следующую группу подобия:
*{ = **,, x'2 = tx2, x'3 = x3 (t>0). C.3)
54 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. ill
Здесь Х{ — локальные декартовы координаты с началом в осо-
особой точке, t и %i — произвольные параметры (параметры
групп). В формулах C.3) ось х3 направлена вдоль особой
линии.
§ 2. Основные теоремы
Определим вначале некоторые понятия.
Канонические сингулярные задачи. Краевую задачу теории
упругости будем называть канонической сингулярной задачей,
если удовлетворяются следующие требования:
1) граничная поверхность тела F(x, у, г) =0 представляет
собой или двугранный угол, или совокупность двух параллель-
параллельных плоскостей (слой), или цилиндрическую поверхность (в част-
частности, бесконечный круговой цилиндр и бесконечная призма),
или коническую поверхность (в частности, многогранный угол
и круглый конус);
2) линии раздела граничных условий в случае смешанной
краевой задачи допускают одну и ту же группу, соответствую-
соответствующую граничной поверхности;
3) граничные условия однородны и относятся, например,
к одному (или к некоторой совокупности в случае смешанной
задачи) из следующих типов: а) внешние нагрузки отсутствуют,
б) ректор смещения равен нулю, в) нормальная нагрузка и ка-
касательное смещение равны нулю, г) нормальное смещение и ли-
линейная комбинация касательной и нормальной составляющих
вектора внешней нагрузки обращаются в нуль (кулоново
трение). ,
Можно поставить также много других корректных, однород-
однородных граничных условий, имеющих физический смысл.
Решения канонических сингулярных задач будем называть
однородными решениями. Относительно однородных решений
имеет место следующее предложение.
Теорема 3.1. Каждой канонической сингулярной задаче со-
соответствует некоторое трансцендентное уравнение, каждому
корню которого отвечает определенное однородное решение;
число произвольных действительных постоянных в этом реше-
решении равно кратности корня. . v
Трансцендентное уравнение, его корни и соответствующие им
однородные решения представляют собой своего рода характе-
характеристическое уравнение, собственные числа и собственные функ-
функции рассматриваемой канонической сингулярной задачи. Число
собственных функций бесконечно, так как число корней транс-
трансцендентного уравнения бесконечно; каждый корень непрерывно
зависит от коэффициента Пуассона (и коэффициента трения
при наличии кулонова трения), вообще говоря, входящего в
трансцендентное уравнение. Модуль Юнга, очевидно, не может
jf 2] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 55
входить р трансцендентное уравнение для указанных выше
типов граничных условий.
Общее решение канонической сингулярной задачи равно
произвольной линейной комбинации собственных функций.
Теорема 3.1 доказывается в следующих параграфах для наи-
наиболее типичных канонических задач. В число однородных реше-
решений, естественно, входят решения Сен-Венана, которыми мы бу-
будем в общем случае называть однородные решения, дающие
конечные главный вектор и главный момент. Эти решения полу-
получаются из обычной теории изгиба, растяжения и кручения
стержней, а также отвечают решениям задач о сосредоточенной
силе и сосредоточенном моменте в вершине клина и в вершине
конуса (в случае слоя решение Сен-Венана соответствует чи-
чистому изгибу и однородному растяжению). Однородные реще-
ния, не являющиеся решениями Сен-Венана, по определению
дают главный вектор и главный момент, равные или нулю, или
бесконечности.
Всюду в дальнейшем, когда производится сравнение различ-
различных собственных функций, подразумевается, что они относятся
к одним и тем же физическим величинам (например, напряже-
напряжениям или смещениям) и, следовательно, все произвольные по-
постоянные имеют одинаковую размерность.
Если левая часть трансцендентного уравнения представляет
собой аналитическую функцию, то корни уравнения (вообще го-
говоря, комплексные) будут дискретными («дискретный спектр»).
Корректная краевая задача теории упругости. Исходную
краевую задачу теории упругости будем называть корректной,
если 1) существует единственное решение этой задачи (решение
предполагается непрерывным в смещениях всюду в конечной
области при отсутствии сосредоточенных воздействий), 2) ре-
решение устойчиво по отношению к малым возмущениям гранич-
граничных условий и формы тела в следующем смысле: если форма
тела и граничные условия претерпели изменения на некотором
малом участке, такие, что разность главных векторов и главных
моментов возмущенной и невозмущенной внешних нагрузок
равна нулю, то при стремлении всех размеров этого участка
к нулю отношение характерных возмущенных напряжений к со-
соответствующим невозмущенным будет всюду как угодно близко
к единице. Под характерными понимаются компоненты тензора
напряжений, не равные тождественно нулю в возмущенном или
невозмущенном состоянии. л
Принципиальную в'ажность исследования однородных реше-
решений показывает следующая
Теорема 3.2. В бесконечно малой окрестности особой точки
решение корректной краевой задачи теории упругости ведет
себя как асимптотически наибольшая по абсолютной величине
бб СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
собственная функция соответствующей канонической сингуляр-
сингулярной задачи. Собственная функция, естественно, должна быть
или решением Сен-Венана, или удовлетворять одному из сле-
следующих условий: а) смещения непрерывны в конечной особой
точке, б) напряжения затухают в окрестности бесконечно уда-
удаленной точки типа клина или конуса, в) напряжения ограни-
ограничены в окрестности бесконечно удаленной точки типа слоя или
цилиндра.'
На первом этапе доказательства теоремы 3.2 покажем, как
вопрос об исследовании поведения решения в окрестности осо-
особой точки приводится к определенной канонической сингуляр-
сингулярной задаче теории упругости.
Рассмотрим малую окрестность х\ + х\ < г\, х\ < ъ\, г\ <С е|
некоторой точки О, находящейся на особой линии (линии раз-
разрыва граничных условий или первых производных функции
F(x,y,z), или тех и других вместе). Напомним, что поверхность
тела в малой окрестности рассматриваемой точки допускает
группу подобия C.3).
Запишем уравнения Ляме
«М/ + Т=27<им).'=0 (U=l,2,3), C.4)
где щ — составляющие-вектора смещения по осям х{. Перейдем
в них к новым переменным х\ согласно C.3). Получим
а 1+ \-2чдх[^ t2[d{4J
JL 4. _L
, , "Г л
. 1
где
l-2v дх'2 t2[d(x3f l-2v дх'3дх'2
_L Г д2цз . t д__ t ди\ , ди2 . 1 диЛ'
t2 [d(x3f 1 - 2v 3^3 \3^ ^2 1~д73)
= 0, C.5)
= 0,
q 3«l . 3«2
В новых переменных рассматриваемая область будет сле-
следующей:
Примем значение параметра t равным {z2l&if и перейдем к сле-
следующему пределу в формулах C.5) и C.6):
8[-*0, е2->-0, ejE2-+Q, f->oo. C.7)
В результате получим уравнения
Д"' + 7^;^"==0' А = 0 (/==1'2) C.8)
§ 21 ' бСНОВНЫЕ ТЕбРЁМЫ Ы
в бесконечной области, заключенной внутри двугранного угла,
образованного касательными плоскостями к поверхности тела
в точке О. Уравнения C.8) представляют собой уравнения Ляме
в случае плоской задачи теории упругости (первые два урав-
уравнения соответствуют обычной плоской деформации, последнее —
сложному сдвигу). При предельном переходе C.7) в однород-
однородных граничных условиях указанного выше типа в новых пере-
переменных получаются те же условия, если в них формально по-
положить д/д*з = 0.
Таким образом, вопрос об исследовании поведения решения
в окрестности точки, лежащей на особой линии, сводится к ка-
канонической сингулярной задаче плоской теории упругости для
двугранного угла.
Если заранее предположить выполненными условия плоской
задачи, то совершенно аналогичное преобразование к тем же
новым переменным при t = е~2 и предельный переход е —¦ оо
позволяют свести к той же канонической задаче вопрос об
исследовании решения в окрестности бесконечно удаленной
точки типа клина.
Пользуясь аналогичным приемом*), нетрудно установить
сводимость к соответствующей канонической сингулярной за-
задаче всех случаев особых точек, указанных в первом пара-
параграфе.
Теперь для доказательства теоремы 3.2 осталось лишь пока-
показать, что для условия корректности краевой задачи теории упру-
упругости следует выбирать наибольшее по абсолютной величине
однородное решение, соответствующее одному из собственных
чисел.
Предположим, что выбрана некоторая собственная функция,
не являющаяся асимптотически наибольшей по модулю. Изме-
Изменим на некотором малом участке форму граничной поверхности
и приложим к ней некоторую нагрузку, статически эквивалент-
эквивалентную нулю и отвечающую собственной функции, наибольшей по
модулю. Тогда при приближении к особой точке возмущенное
решение будет по порядку величины превосходить невозмущен-
невозмущенное решение, что противоречит предположению о корректности
краевой задачи. Теорема доказана.
Классы S а N краевых задач теории упругости. Будем го-
говорить, что краевая задача теории упругости с бесконечно уда-
удаленной точкой принадлежит классу S, если для нее справедлив
принцип Сен-Венана, и классу N, если принцип Сен-Венана для
нее не выполняется.
*) Этот прием иногда называют «принципом микроскопа» (соответ-
(соответственно «принципом телескопа» при <->-0). Разумеется, эти «принципы» не
имеют физического содержания; они дают лишь наглядное представление
о соответствующем математическом преобразовании и предельном переходе.
88 сингулярные задачи tеорий yrtpyrocfи (гл. пт
На основании теоремы 3.2 принцип Сен-Венана можно сфор-
сформулировать так: асимптотически наибольшая по модулю соб-
собственная функция канонической сингулярной задачи (удовлет-
(удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений)
всегда представляет собой решение Сен-Венана.
Отсюда получаем следующий признак принадлежности крае-
краевой задачи теории упругости к классу N или 5.
Теорема 3.3. Если существует собственная функция (удовлет-
(удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений)
более высокого порядка по сравнению с решением Сен-Венана,
то соответствующая краевая задача теории упругости принадле-
принадлежит классу N. Если такой собственной функции не существует,
то соответствующая упругая задача относится к классу S.
Для доказательства второй половины теоремы 3.3 Нужно
быть уверенным в том, что, если некоторая собственная функция
имеет тот же порядок, что и решение Сен-Венана, то эта соб-
собственная функция с точностью до множителя есть решение Сен-
Венана. Это утверждение доказывается ниже для наиболее ти-
типичных случаев.
Дополнительное условие в бесконечно удаленной точке для
упругих задач класса N. Из теорем 3.2 и 3.3 следует, что решение
упругой задачи, относящейся к классу N, зависит от произволь-
произвольных-постоянных, которые входят в наибольшую по модулю соб-
собственную функцию и которые в отличие от решения Сен-Венана
не зависят от граничных условий в конечной части тела. По-
Поэтому в постановку корректной краевой задачи теории упруго-
упругости, относящейся к классу N, следует включить задание ука-
указанных постоянных. Физический смысл этого дополнительного
условия будет выяснен в дальнейшем. Аналогичное дополни-
дополнительное условие требуется также в некоторых задачах класса S
(см., например, далее задачу о гиперболе).
< § 3. Плоская задача теории упругости
Допустим, что поле упругих смещений и деформаций не за-
зависит от одной из прямоугольных декартовых координат х, у, г,
например, от г. В этом весьма общем и важном случае все
смещения и напряжения можно представить через функции
Ф(г), W(z) и j(z), являющиеся аналитическими функциями
комплексного переменного *) г = х + iy в области, занятой те-
телом. Первые две из них часто называют потенциалом Коло-
Колосова — Мусхелишвили.
*) Применение одной и той же буквы г для обозначения комплексной
переменной н декартовой координаты, очевидно, не должно привести к пу-
путанице.
§8J
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
59
Приведем основные представления, которые в дальнейшем
будут часто использоваться (вывод их. можно найти в моногра-
монографии Н. И. Мусхелишвили [23]):
<т„ - <х, + 2irtn = 2е««* [гФ' B) + Т B)],
2ц (ы + lv) = щ (г) — 2ф' (г) —1|) B),
w = Re / B), тй + /т„г = цГфе-,
?5j* j Xn + ^Т„) ds,
АВ
C.9)
f
1
3 — 4v (плоская деформация, ez = 0),
C — v)/(l+v) (плоское напряженное состояние, <х2 = 0).
t
Здесь Ы — произвольная прямоугольная декартдва система ко-
координат в плоскости ху, а—угол между осями х и t (направ-
(направление отсчета — от х к t), и, v, w — составляющие вектора сме-
смещения по осям х, у, z соответственно, at, on, oz, ttn, ttz, tnz —
компоненты тензора напряжений, ц и v — модуль сдвига и ко-
коэффициент Пуассона-соответственно.
Наиболее часто формулы C.9) применяются при а = О,
тогда индексы t и п заменяются соответственно на х и у. Далее,
символ [ ]д обозначает приращение выражения, заключен-
заключенного в скобки, при перемещении по, дуге АВ из А в В; Хп и Yn —
компоненты усилия, действующего на дугу в данной точке, по
осям х и у.
Как видно, плоское поле распадается на два независимых
поля, одно из которых соответствует сложному сдвигу
0,
xtz
ф0, и = v = 0,
а другое — плоской деформации
ифО, v-фО, апф0, а{ф0,
dw/dz = 0, xtz = xnz--
т,„ Ф 0, oz Ф 0,
= 0,
ИЛИ плоскому напряженному состоянию
ифО, уф 0, апф0, а{ф0, хмф0,
dw/dz фО, аг = хи = хпг = 0.
В плоской задаче теории упругости Г. В, Колосовым и
Н. И. Мусхелишвили были развиты мощные методы [23]. Еще
более широкий круг эффективных решений может быть получен
60 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
методами, предложенными сравнительно недавно С. М. Белоно-
совым [34].
Рассмотрим одну каноническую сингулярную задачу теории
упругости для двугранного угла (клина).
Двугранный угол. Пусть (в полярных координатах) тело за-
занимает область 0 < г < оо, 6i < 9 < вг. Границы свободны от
нагрузок.
Напряжения вв и тге при помощи потенциалов Колосова —
Мусхелишвили можно представить так:
~ (z = re'e). C.10)
Согласно C.10), если Ф(г) и W{z) удовлетворяют гранич-
граничным условиям, то Ф(С[2) и xF(Ciz) (Ci — произвольное действи-
действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейно-
линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф(г) и C2W(z)
(С2— произвольный действительный параметр) также будут
решениями. Следовательно, общее решение, порожденное неко-
некоторыми решениями Ф(г) и W(z), имеет вид соответственно
С2Ф{Схг) и C2W(Ciz); иначе говоря, множество искомых функ-
функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Со-
Согласно определению группового свойства [25], функции Ф(г) и
^(z) должны удовлетворять функциональному уравнению
C2f(ClZ) = f(z). C.11)
Допустим, что решение этого уравнения представляет собой
некоторую дифференцируемую функцию. Подставляя ее в урав-
уравнение C.11), найдем, что С2 будет функцией Ct и, вообще го-
говоря, некоторых постоянных, входящих в решение. Если под-
подставить эту функцию С2 = C2(Ci) в уравнение C.11), оно пре-
превратится в тождество, которое можно дифференцировать по Си
В результате дифференцирования получим
0*^-0. C.12)
Введя постоянную Я'== d ^ с" , это уравнение можно запи-
записать так:
Л^- =-К. C.13)
d In z v '
Его Общее решение, очевидно, имеет вид
f (z) = C3z-* (Я - In Ca/In С,), C.14)
где Сз — произвольная постоянная.
Можно показать, что решение функционального уравнения
C.11) в классе любых непрерывных функций также дается фор-
формулой C.14),
§ 3] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 61
Таким образом, решение исходной граничной задачи имеет
следующий вид:
Ф(г)*=Аг-\ ^{z) = Bz-\ C.15)
где А, В, Я —некоторые (вообще говоря, комплексные) по-
постоянные.
Дальнейший ход решения таков: подставляем C.15) в гра-
граничные условия при 9 = 6i и 8 = 8г, полученные при помощи
(ЗЛО); сокращение одного и того же множителя г~х приводит
к линейной однородной алгебраической системе, состоящей из
четырех уравнений (вместе с комплекснр-сопряженными)_и слу-
служащей для определения неизвестных коэффициентов Л, А, В, В.
Условие обращения в нуль определителя системы приводит
к следующему характеристическому уравнению задачи:
sin2 Р = ЬУ, C.16)
где
р = (А-0F,-6,), б^9!.-90.
Каждому корню уравнения C.16) соответствует некоторое
решение C.15); число неопределенных постоянных, входящих
в него, очевидно, равно кратности корня. Число корней беско-
бесконечно, мнимая часть корня с наибольшей действительной частью
равна нулю.
Наличие комплексного корня с наибольшей действительной
частью свидетельствовало бы о некорректности физической по-
постановки задачи, так как решения с бесконечно частым изме-
изменением знака на конечном интервале не имеют физического
смысла; тем не менее, и в этом случае, который представится
далее при изучении кусочно-однородных тел, постановка мате-
математических задач имеет определенный смысл при выполнении
некоторого общего условия, накладываемого на физические па-
параметры. Отметим некоторые частные решения.
а) Сосредоточенная сила (решение Мичелла р6])
А— 1, о— л, л
-9')<х + 'г> +1^Щ~е2г9')Iх- iY)
4[(в2 — 602 — sin2 (в2 — es)]
C.17)
где X, Y — составляющие вектора силы.
б) Сосредоточенный момент М (решение Карозерса [27])
, = 2, А = — 2 [sin (9г _ в)) _ (е2 _ 6i j cos (е2 _ 9i)] . C.18)
tg (в, - в,) - (в, - в,)
62
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
в) Сосредоточенный момент п-го порядка (X = п — целое
число, больше двух) существует только при 82 — Oi = я и
Э2 — 01 = 2я;
г) Решение, непрерывное в смещениях при z -> 0 и соответ-
соответствующее корню характеристического уравнения с наибольшей
действительной частью • (решение Вильямса [28]). Указанный ко-
корень Vmx кратности единица (в данном случае мнимая часть
его равна нулю) с ростом (92 — 9i) монотонно увеличивается;
приведем график этой зависимости (рис. 9). В частности,
при 02— 81->0 %-*¦ — оо (полоса),
при 82— Э1 = я К=0 (полуплоскость),
при 82 — 0! = 2я К = 1/2 (щель).
C.19)
Решения а) и б) представляют собой решения Сен-Венана,
по нашей терминологии. Приведенные результаты анализа ха-
характеристического уравнения
C.16) на основании теорем
3.2 и 3.3 позволяют сформу-
сформулировать следующие предло-
предложения.
А. Краевая задача плоской
-теории упругости для тела с
бесконечно удаленной точкой
типа клина принадлежит клас-
классу S, если угол раствора кли-
клина изменяется в пределах 0 <
< 82 — 0i < я, и классу N,
если выполняется неравенство
я < 8г — 0i ^ 2я. В частности,
решения C.17) и C.18) не
имеют физического смысла
(некорректны) при я < 02 —
— 01<2я.
Рис. 9. Б. В корректной краевой
задаче для тела с бесконечно
удаленной точкой типа клина, угол раствора которого удовлетво-
удовлетворяет условию я'< 02 — 0i ^ 2я, должны быть заданы постоян-
постоянные Л и Б в формуле C.15), определяющие асимптотический
характер затухания напряжений в бесконечно удаленной точке.
В. В случае конечной угловой точки при z = 0 (некоторая
окрестность границы которой свободна от нагрузок) при я <
<С 02 — 0i ^ 2я в корректной краевой задаче должно быть по-
поставлено следующее условие:
при
1 = 0A), C.20)
§ 3] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 63
где К—корень уравнения C.16) с наибольшей Действительной
частью.
Г. Множества краевых задач класса S и класса N эквива-
эквивалентны по мощности*).
Предложение Г легко доказывается; если заметить, что каж-
каждой краевой задаче класса 5 взаимно однозначно соответствует
некоторая задача класса N, которая получается из первой рас-
рассмотрением области, дополняющей область, занятую телом, до
полной плоскости.^ Это предложение разрушает распространен-
распространенную иллюзию, что принцип Сен-Венана не справедлив только
в исключительных случаях.
Случай 02 — 8i->0 (полоса) нужно рассматривать как осо-
особый, он изучается в следующем параграфе.
Некорректность представления о сосредоточенной силе или
моменте, приложенных в угловой точке при л < 82 — 9i <; 2я,
математически состоит в том, что результат предельного пере-
перехода, соответствующего некоторому возмущению границы тела
или нагрузок в окрестности угловой точки, существенно зависит
от способа предельного перехода. Решения C.17) и C.18) в этом
случае представляют собой результат лишь некоторого опреде-
определенного способа перехода, при других предельных переходах мо-'
гут получиться совершенно другие решения. Физически это
означает, что упругое поле на расстояниях, больших по сравне-
сравнению с характерным радиусом закругления в «угловой» точке, но
малых по сравнению с характерным линейным размером тела,
в этом случае существенно зависит от характера распределения
нагрузки по закруглению.
Предложения А — Г завершают решение проблемы угловой
точки. Решения а) — г) были найдены ранее как некоторые
частные решения теории упругости вне связи с общими предло-
предложениями А —Г. Например, Вильяме не приводит каких-либо
соображений при выборе корня с наибольшей действительной
частью (см. также статью Каландия [29]). Штернберг и Кой-
тер [30], используя некоторую частную систему возмущающих
нагрузок, показали, что решение б) не имеет физического
смысла при 02 — 0i > 1,43л. В отличие от условия C.20) усло-
условия в угловой точке, накладываемые на искомые функции для
обеспечения единственности решения, обычно получаются фор-
формально из некоторых математических требований, физический
смысл которых неясен (см., например, [и>24]).
Рассмотрим два примера неканонических сингулярных за-
задач теории упругости, наглядно иллюстрирующих предложения
А и Б.
*) Т. е., грубо говоря, случаи, когда принцип Сен-Венана выполняется,
встречаются так же часто, как и случаи, когда он нарушается.
64
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
(ГЛ. Ш
Парабола. Пусть упругое тело занимает область х2^
^ 4а2 (у + а2), т. е. часть плоскости не со стороны фокуса па-
параболы; ось параболы направлена по оси у, вершина распо-
расположена в точке х = 0, у = —а2, а фокус —в начале координат
(рис. 10). На границе тела считаем заданными нагрузки. При
помощи конформного отображе-
у ния на нижнюю полуплоскость
0
z^i&-iaJ (a>0) C.21)
легко найти общее решение одно-
однородной задачи
C>22)
(С
~ la)*
—]•
Рис. 10.
Здесь С — произвольная комп-
комплексная постоянная.
Частное решение неоднород-
неоднородной задачи получено Н. И. Мус-
хелишвили Р3]; при z -* оо оно ведет себя как О A/z), если
главный вектор внешних нагрузок отличен от нуля. Общее ре-
решение поставленной задачи, очевидно, равно решению Мусхели-
швили плюс решение C.22). Согласно C.22) и C.19), при
z —* оо это решение ведет себя так, как если бы тело представ-
представляло собой внешность полубесконечного разреза вдоль оси у,
что хорошо согласуется с «принципом телескопа». Рассматри-
Рассматриваемая задача, очевидно, принадлежит классу N, и величина С
должна быть задана при ее постановке. При любых С Ф 0 реше-
решение Мусхелишвили неустойчиво по отношению к малым воз-
возмущениям границы тела и внешней нагрузки.
Параметр С определяется из решения более общей задачи,
в которой рассматриваемая парабола будет конечным элемен-
элементом. Рассмотрим пример.
Пусть полуплоскость с глубоким вырезом в форме параболы
растягивается на бесконечности постоянными напряжениями р
в направлении, перпендикулярном оси параболы (последняя
нормальна к границе полуплоскости (рис. 11)). Предполагается,
что глубина выреза / гораздо больше радиуса кривизны пара-
параболы в ее вершине, т. е. / S> 2a2. Граница тела свободна от на-
нагрузок. Решение этой задачи «склеивается» из двух решений,
первое из которых представляет собой решение соответствую-
соответствующей упругой задачи для полуплоскости с щелью длины /, а вто-
5 31
ПЛОСКАЯ- ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
65
tttttt
рое — решение C.22); первое решение описывает упругое поле
на расстояниях от вершины параболы, больших по сравнению
с радиусом-кривизны в этой точке, а второе решение — в остав-
оставшейся окрестности конца выреза. Параметр С определяется из
условия асимптотического склеивания этих решений при
I Э> г ^> а2, где г — расстояние от вер-
вершины параболы. Решение первой за-
задачи приводится в Приложении I
(см. формулу (П.22)). Используя его
асимптотику при г-*~1, можно най-
найти С:
С = 0,79рУТ. C.23)
Существенно подчеркнуть, что
склеиваемые асимптотики этих двух
решений обязаны быть одними и теми
же, так как они отвечают одной и
той же канонической сингулярной за-
задаче.
Число примеров решения задач для
различных тел с глубокими вырезами
параболической и более сложной фор-
формы можно значительно увеличить, ис-
используя аналогичный метод. \^
Как видно, в задачах класса N напряжения, вызванные на-
нагрузками, приложенными в окрестности конца выреза, вообще
говоря, затухают как 1/г, а напряжения от внешнего поля за-
затухают как 1/г\ где 0 < Ж 1/2, т. е. гораздо медленнее, так
что внешнее поле нельзя не учитывать.
Гипербола. Пусть упругое тело занимает область (рис. 12)
1, C.24)
c2cos260 с2 sin2 6,, ^= '
т. е. часть плоскости, расположенную между ветвями гиперболы
Bс— расстояние между фокусами, ±tg60 — угловые коэффи-
коэффициенты асимптот). Границы тела считаем свободными от на-
нагрузок. Рассматриваемая задача, очевидно, принадлежит клас-
классу S; искомое решение при z -* <х> ведет себя так, как если бы
тело представляло собой клин с углом раствора я — 28о, где
О < 8о < я/2. Своеобразие этой задачи заключается в том, что
в ней имеется две бесконечно удаленные точки, и поэтому, не-
несмотря на принадлежность к классу S, существует нетривиаль-
нетривиальное решение однородной задачи. Это решение отвечает конеч-
конечным главному вектору и главному моменту нагрузок, приложен-
приложенных в каждой из бесконечно удаленных точек.
3 Г. П. Черепанов
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ш
Краевую задачу на основании формул C.9) можно запи-
записать так:
VJ (zs=L) C.25)
(бо = 0 при х < О, 60=1 при л:>0). Здесь (X, У) —главный
вектор нагрузок, приложенных в бесконечности при у-*—оо
Рис. 12.
(из условия равновесия в другой бесконечно удаленной точке —
при у-* со — главный вектор равен (—X,—Y)).
При помощи конформного отображения
z = -^\e X -\- е % ) (<х=(я — 2Э0)/я), C.26)
где ?а = exp[a(ln|?|-f- i arg?)], перейдем на верхнюю полу-
полуплоскость параметрического переменного ?; при этом стремле-
стремлению у->оо соответствует ?->со, стремлению у—*—со соответ-
соответствует ?->0, левая ветвь гиперболы переходит в действительную
полуось (—со, 0), а правая часть — в полуось @, оо).
Краевая задача C.25) на > плоскости ? примет следую-
следующий вид:
при
C.27)
Здесь
F='sin па/(па)).
C.28)
§ 3] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 67
Согласно C.27), если ф*(?) и г|)*(?,) удовлетворяют гранич-
граничным условиям, то (p,(Ci?) + С2 и г|э*(С3?) + С4 соответственно
-также будут решениями краевой задачи, и множество искомых
функций допускает группу (Сь Сз— произвольные действитель-
действительные, а С2, С4 — произвольные комплексные числа, С2 + С4 = 0).
Согласно определению группового свойства функции ф*(?) и
•ф*(?) должны удовлетворять функциональному уравнению
+ C2 = f@, C.29)
общее решение которого нетрудно найти при помощи метода,
подробно рассмотренного ранее на примере функционального
уравнения C.11):
f(O = _C5lnE + C6 (C8 = C2/InC,). C.30)
Таким образом, решение сингулярной краевой задачи C.27)
должно иметь вид
+ D, C.31)
где А, В, С, D — некоторые постоянные. Подставляя C.31)
в C.27), находим эти постоянные:
X + iLVX^lY) ' B = -A, C + D=i(X + iY). C.32)
Постоянные С и D не влияют на напряженное состояние.
При ?-*оо и ?—>-0 решение C.31), C.32) переходит в ре-
решение Мичелла C.17), как это и должно быть на основании
«принципа телескопа».
В случае, если X = Y = 0, краевая задача C.27) допускает
группу, которой соответствует функциональное уравнение типа
C.11); поэтому ее решение должно иметь вид
Ф.(» = ОГ\ *.(?) = ^ГХ (ReA>0), C.33)
где %, G и N\ — некоторые постоянные.
Подставляя функции C.33) в C.27), находим, что характе-
характеристическое уравнение в точности совпадает с уравнением
C.16), в котором нужно положить р = пК (б определено в
C.27)). Это уравнение в данном случае (т. е. при 0 < а < 1)
имеет единственный корень, удовлетворяющий условию Re?->0:
Х = а (при этом Ni = — G). C.34)
Это решение отвечает конечному главному моменту нагрузок,
приложенных на бесконечности. Обозначая величину момента че-
через М, из уравнения равновесия окончательно находим
д ' Мге~г9° C 35)
с cos rax (tg па — па)
68 " СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (ГЛ. Ш
в полном соответствии с решением Карозерса C.18) при ?—>0 и
С —оо. "
Частное решение общей неоднородной задачи для гиперболы
(описывающее поЛе местных возмущений от приложенных нагру-
нагрузок) найдено С. М. Белоносовым [24]. Общее решение, очевидно,
равно сумме полученного решения C.31) — C.35) (общего ре-
решения однородной задачи) и решения Белоносова.
Как видно, из-за наличия двух бесконечно удаленных точек
в однородной задаче при ее постановке следует задавать вели-
величины М, X и Y, определяющие интенсивность внешнего поля.
Полученные решения представляют также практический ин-
интерес в задаче о концентрации напряжений в образцах с двумя
симметричными глубокими выточками, форма каждой из кото-
которых близка к клиновидному вырезу с закругленным основанием
(образец подвергается растяжению и изгибу). Однородная за-
задача другим методом была решена ранее Нейбером [31]. Умест-
Уместно отметить, что её не удается решить общими методами, изло-
изложенными в монографиях [23>24]. Например, использование ме-
метода С. М. Белоносова приводит к расходящимся интегралам.
§ 4. Цилиндр
Пусть упругое те'ло ограничено бесконечной цилиндрической
(призматической) поверхностью, свободной от внешних нагру-
нагрузок. Ось г прямоугольной декартовой системы координат xyz
направим вдоль образующей.
Рассмотрим систему уравнений в напряжениях
<*/./ = О
= 0, (/,/=1,2,3). (8.36)
Здесь индексам 1, 2, 3 соответствуют х, у, г; принимаются обыч-
обычные соглашения о немых индексах, за исключением одного слу-
случая: при i = / во втором уравнении ви означает соответствую-
соответствующую компоненту тензора напряжений.
Пусть Oth(x, у, z) представляют собой некоторое решение по-
поставленной канонической сингулярной задачи. Тогда, очевидно,
будут решением также функции CiOik(x, у, z-f C2), т. е. мно-
множество искомых функций обладает групповым свойством, со-
согласно определению которого функции а,к(х, у, z) должны удов-
удовлетворять функциональному уравнению
(х, у, z + C2) = aik (x, у, г). C.37)
Здесь С2 — произвольная действительная постоянная, а
произвольная комплексная постоянная.
Щщ цилиндр 69
(Убщее решение функционального уравнения C.37) можно
райти совершенно аналогично предыдущему; оно имеет следую-
следующий вид:
о1к = Re [Fik (х, у) е^}. (я. = -~ 1п ±). C.38)
Здесь % — произвольное комплексное число, Fik (х, У) — произ-.
Вольные комплексные функции хну.
,: Подставляем общее решение C.38) в систему уравнений
1C.36) и граничные условия; после сокращения общего множи-
'теля еи получаем на плоскости ху однородную краевую задачу
в области S для функций F{h(x,y), где S—поперечное сечение
цилиндра. Решение этой задачи существует только при неко-
некоторых (собственных) значениях к и определяется, очевидно,
с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы
приходим к типичной задаче на собственные значения.
Легко убедиться непосредственной проверкой, что число
X = 0 является собственным значением краевой задачи, а со-
соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных
действительных постоянных (при этом используется теорема
существования и единственности в классических теориях пло-
плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выра-
выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три
составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном се-
сечении S. Получается классическое решение Сен-Венана (рас-
(растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда
не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конеч-
конечной длины.
Учитывая этот результат, принцип Сен-Венана в рассматри-
рассматриваемой задаче можно сформулировать так: значение "к = О
представляет собой единственное чисто мнимое собственное
число полученной выше краевой задачи. Действительно, соглас-
согласно C.38) любое решение при ЯекфО дает главный вектор и
главный момент, которые стремятся или к нулю, или к беско-
бесконечности при z-*±oo; по определению, такое решение не мо-
может быть решением Сен-Венана*).
Характеристическое уравнение для определения собственных
чисел X нетрудно составить в случае, если можно произвести
разделение переменных в краевой задаче, когда, например, об-
область S представляет собой круг, полосу или клин. Для первых
двух случаев соответствующие характеристические уравнения и
исследование их корней имеются в книгах А. И. Лурье [32] и
Я. С. Уфлянда [33]. В частности, там показано, что единственным
*) По той же причине невозможны кратные чнсто мнимые собствен-
собственные числа.
70 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. HI
чисто мнимым корнем этих уравнений является нуль. На
основании предыдущего, этот результат завершает строгое
доказательство принципа Сен-Венана для кругового цилинд-
цилиндра и слоя.
Дадим доказательство принципа Сен-Венана для произволь-
произвольного сечения цилиндра. Будем доказывать от противного. Пусть
существует решение однородной краевой задачи теории упруго-
упругости для бесконечного цилиндра с чисто мнимым собственным
числом % = iy, отличным от нуля (y^=0)- Согласно C.38), на-
напряжения и деформации, отвечающие этому решению, будут
периодическими функциями z с периодом 2я/у. Покажем, что
соответствующие им смещения также будут периодическими
функциями z (с точностью до смещения и вращения тела как
жесткого целого). Для этого выпишем следующие три кинема-
кинематических соотношения:
-^ = ег, *L+to^ *L+*L==2evz. C.39)
дг г' дг ' дх гх дг ' ду Уг v '
Здесь и ниже ех, еу, ez, exz, eyz, exy — деформации. Интегрируя
по порядку C.39), убеждаемся в периодичности по z функций
и, v, w.
Рассмотрим теперь два поперечных сечения цилиндра z = 0
и z~2nnl\, где п — некоторое целое число, и применим тео-
теорему Клапейрона к конечной части цилиндра, ограниченной
этими сечениями. Напомним, что теорема Клапейрона является
следствием уравнений теории упругости; теорема утверждает,
что
(Xnu + Ynv + Znw)dS,
S
Здесь V — область, занятая телом, S — поверхность тела,
(Xn,Yn,Zn) — вектор внешней нагрузки, W — потенциальная
энергия деформации, заключенная в единице объема. В нашем
случае боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок, и
S будет совпадать с поверхностью торцов 2 = 0 и z = 2лп/у,
а компоненты внешней нагрузки Хп, У„, Zn будут равняться на-
напряжениям %xz, tyz, oz соответственно, взятым с обратным зна-
знаком. Левая часть равенства C.40) вследствие периодичности де-
деформаций (а, следовательно, и W) по z будет равна пЭ, где
Э — упругий потенциал цилиндра длины 2я/у, т. е. величина,
всегда положительная. Правая часть равенства C.40) вслед-
ЩЩ НАПРЯЖЕНИЯ СМЕЩЕНИЯ У КРАЯ ТРЕЩИНЫ 71
ртвие периодичности по z напряжений и смещений будет пред-
представлять собой величину, не зависящую от п. Ввиду произволь-
произвольности п, очевидно, всегда можно выбрать такое п, чтобы тео-
теорема Клапейрона не выполнялась, что невозможно.
Таким образом, исходное допущение о существовании чисто
мнимого собственного числа X — iy, отличного от нуля, не-
неверно. Принцип Сен-Венана доказан.
Анализируя доказательство, нетрудно заметить, ч^то оно
справедливо для конечного поперечного сечения S любой связ-
связности, при наличии угловых точек на контуре сечения, а также
в кусочно-однородном случае, когда стержень составлен из
призматических (цилиндрических) тел, сделанных из различ-
различных материалов и спаянных между собой вдоль боковых по-
поверхностей.
Решение однородной краевой задачи определяется с точно-
точностью до произвольных множителей, которые находятся только
из решения более сложной задачи с учетом краевых эффектов.
Во всяком случае, на основании C.38) краевой эффект (раз-
(разность между строгим решением и решением Сен-Венана) за-
затухает экспоненциально при z-*oo, при этом существенно, что
показатель при экспоненте вполне определяется формой попе-
поперечного сечения S и не зависит от граничных условий на торце.
Упругое поле напряжений и деформаций вблизи торца про-
произвольного тонкого стержня постоянного поперечного сечения
или тонкой упругой оболочки постоянной толщины согласно
«принципу микроскопа» определяется из решения следующих
канонических задач: а) для криволинейного стержня — задача
о прямолинейном полубесконечном цилиндре того же самого
поперечного сечения; граничные условия на его торце в точ-
точности соответствуют граничным условиям на изучаемом торде
исходного стержня; б) для тонкой оболочки — задача о полу-
полубесконечной полосе; граничные условия на ее основании в точ-
точности соответствуют граничным условиям на исследуемом краю
исходной оболочки.
§ 5. Поле упругих напряжений и смещений
в малой окрестности края произвольной трещины
Для механики разрушения большой интерес представляет
изучение асимптотического распределения напряжений, дефор-
деформаций и смещений вблизи свободного от нагрузки края щели
в однородном и изотропном упругом теле.
Малая окрестность каждой точки контура щели является
двугранным углом, рассмотренным в § 3 при Q2 — 0i = 2я и
% = 1/2; поэтому можно непосредственно использовать оконча-
чательные формулы C.15) и представления C.9). Однако,
п
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1гл, m
ввиду важности для дальнейшего этого частного случая, изучим
его отдельно.
Рассмотрим малую окрестность произвольно фиксированной
точки О на гладком контуре щели, выбранной в качестве
начала декартовых координат' xyz (рис. 13). Путем двойного
предельного перехода, ана-
аналогичного «принципу микро-
микроскопа», в этом случае мож-
можно прийти к следующей
канонической сингулярной
задаче теории упругости:
при у = 0, — оо <* <0,
— OO.<Z<+OO C.41)
Передняя . °у = %ху = Хуг = °-
кромка трещины _
Эта задача принадлежит
классу N, т. е. для нее прин-
принцип Сен-Венана не выпол-
Рис 13. няется. Согласно общим по-
положениям А, Б и В (см. § 3)
корректное решение этой задачи в напряжениях при г-*-О и
при z -> оо (z = х + iy) должно иметь порядок О (| z | ~1/2),
причем коэффициенты в асимптотике при z-»-oo должны быть
заданы.
Выясним смысл этих результатов в данном, случае. При
помощи представлений C.9) граничные условия C.41) запи-
запишем так:
при у — О, х < О
= 0r ImQ(z) = 0,
C.42)
Нетрудно заметить, что краевая задача C.42) имеет беско-
бесконечное множество решений вида Czn, где С — произвольная дей-
действительная постоянная, а п равно 0, ±1/2, ±1, ±3/2, ±2, ...
Условия корректности из этого множества выделяют единствен-
единственное значение л = —1/2, причем соответствующие постоянные С
должны быть заданы заранее. Действительно, значения п, рав-
равные 0, +1/2, +1, +3/2, +2, ..., недопустимы вследствие усло-
условия затухания напряжений на бесконечности (тривиальный слу-
случай простого растяжения в направлении осей z или х, соответ-
соответствующий п = 0, не рассматривается), а при п, равных —1,
—3/2, —2 смещения в конце щели оказываются бесконеч-
, НАПРЯЖЕНИЯ СМЕЩЕНИЯ У КРАЯ ТРЕЩИНЫ
73
ршми, что не допускается в отсутствие сосредоточенных воз-
воздействий.
Решения с п,= —1 и п =.—2 отвечают сосредоточенной
Силе и моменту соответственно, приложенным в конце трещины;
Эти решения некорректны.
Итак, общее корректное решение зависит от трех действи-
действительных параметров, которые участвуют в решении в качестве
множителей при различных членах асимптотики и которые сле-
следует считать заданными в локальной постановке задачи (на
самом деле они определяются из решения задачи в целом).
а
ш
Каждый из указанных трех членов асимптотического разложе-
разложения соответствует одному из трех основных типов трещин, ко-
которые изображены на рис. 14. Решение можно записать так:
if G\
C.43)
Ki — //Си = 2 Mm |
при 0 = 0 0Й -f /тед = {Ki
Ф (г)],
где
(угол 0 отсчитывается от продолжения трещины).
Действительные параметры Ki, Кц, Km носят название ко-
коэффициентов интенсивности напряжений. Они зависят от формы
74 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
тела, внешних нагрузок, расположения и длины трещин. Ко-
Коэффициенты интенсивности напряжений имеют размерность
силы, деленной на длину в степени три вторых.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
I. Нормальный разрыв или отрыв (при Ки = Km = О,
КгФО). '
Трещина локально представляет собой разрыв нормального
смещения и, симметричный относительно плоскостей xz и ху;
остальные смещения {и и ш) на разрезе равны нулю.
II. Поперечный сдвиг (при Ki = Km = О, Кц Ф 0).
Толщина вблизи края представляет собой разрыв касатель-
касательного смещения и, симметричный относительно плоскости ху и
кососимметричный относительно плоскости xz; смещения v и w
на разрезе равны нулю.
III. Продольный сдвиг (при Ki = Kii = 0, КтФО).
Трещина вблизи края представляет собой разрыв касатель-
касательного смещения w; смещения и и v на разрезе равны нулю.
Этим типам разрывов в теории дислокаций отвечают клино-
клиновые, краевые и винтовые дислокации соответственно. Для тре-
трещин произвольного типа все величины Ki, Ku, Km. отличны от
нуля.
По формулам C.9) при помощи C.43) найдем распределе-
распределение напряжений и смещений вблизи края произвольной хрупкой
трещины для указанных основных типов разрывов.
Нормальный разрыв:
ох = -jk= cos 1 A - sin -5- • sin 1 б),
]/2яг 2 I 2 2 /
cos-5-/1 + sin^--sin-2-
2 \ 2 2 }
. e e з n
sin — • cos — cos — 0,
Ш 2 2 2
a = v(a -t- a \ т =т =0 C-44)
при г/ = 0, л;>0, ax = ay =
при г/ = 0, х < 0, о = ^-=^- Ki \Гг1Щ), и = 0,
i 5] НАПРЯЖЕНИЯ СМЕЩЕНИЯ У КРАЯ ТРЕЩИНЫ 75
. Поперечный сдвиг:
ах = ^L-sin-f2 + cos-cos-?- б),
/Си ¦. в е з Q
Ф sinTcos 7cos 1 '
хху = -ДУ=г cos|/1 - sin-5- sin -i в),
** ^ 2 ^ 2 2 I' C<45)
ог = v (стл + a y), xxz = туг = О,
при у —0, х > О, ах = а
при у = О, х<0, о = 0
Продольный сдвиг:
т =--?lli-sin-
xz Y 2nr 2
cos — ,
2 C.46)
при y = Q, x>0, xxz = 0, Xyz = /Cm
при // = 0, x<0, Ш
Формулы C.44) и C.45) были получены для случая плоской
деформации; в случае плоского напряженного состояния нужно
взять в них аг = 0 и заменить v на v/(l+v). Эти формулы
можно получить также из решения частных задач, разлагая ре-
решение по г в малой окрестности края щели и ограничиваясь
наибольшим членом разложения. Слова «в малой окрестности
края» означают физически, что г считается малым по сравнению
с характерным линейным размером тела, например, длиной тре-
трещины или расстоянием ее конца от свободной границы. Именно
таким способом — из точного решения различных частных за-
задач—были найдены асимптотические формулы C.44) —C.46)
?6 СИНГУЛЯРНЫЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. Ш
различными исследователями (Снеддон, Ирвин, Вильяме). Ир-
Ирвин и Вильяме первыми поняли общий характер этого распреде-
распределения, однако строгого доказательства его общности они не дали.
Приведенный анализ упругого поля вблизи края трещины,
как нетрудно сообразить, используя «принцип микроскопа» или
соответствующий ему предельный переход, годится также для
произвольных неоднородных тел, если зависимость модуля
Юнга и коэффициента Пуассона от координат точки представ-
представляет собой дифференцируемую функцию. В этом случае слова
«вблизи края» означают также, что расстояние от контура тре-
трещины г считается малым по сравнению с величинами ЕО1Е'О и
Vq/vq, где Ео, v0, Е'о и v'o — значения упругих постоянных и
их градиентов в рассматриваемой точке О. Случай анизотроп-
анизотропных тел и тел, у которцх упругие постоянные представляют со-
собой разрывные функций координат (например, случай кусочно-
однородных тел), требует специального изучения.
Замечание. Допустим, что в некоторой окрестности конца
полубесконечного разреза заданы некоторые нагрузки. Общее
решение этой неоднородной задачи, очевидно, равно некоторому
частному решению неоднородной задачи плюс общее решение
однородной задачи,-выражаемое формулами C.43).
Например, в частном случае граничных условий
при у«= 0, *<0, %Xy = xyz = 0, Oy = p(x),
при г/=А х>0, i:xy = xyz = Q, dvJdx = 0,
где функция р(х) обращается в нуль при х <—d, решение
имеет вид
Jd х-г 2]/nz
и, следовательно, при z-^oo не зависит от нагрузок р(х). Это
свойство решения, типичное для всех задач класса N, суще-
существенно используется в дальнейшем.
В конце разреза при z = Отрешение может обращаться в бес-
бесконечность или- быть ограниченным; это не влияет на его асим-
асимптотику при \z\ S> d.
§ 6. Налегающие трещины и влияние включений
. При действии сжимающего напряжения в направлении, пер-
перпендикулярном к поверхности трещины, а также в некоторых
других случаях противоположные берега ее смыкаются, налегая
друг на друга. Эффект налегания берегов трещины в окрестно-
окрестностях точки О контура трещины приводит к перераспределению
I в] НАЛЕГАЮЩИЕ ТРЕЩИНЫ И ВЛИЯНИЕ ВКЛЮЧЕНИЙ 77
сингулярного поля напряжений и деформаций вблизи точки О.
Результирующее поле можно отыскать, пользуясь общими мето-
методами нахождения сингулярных решений.
В данном случае граничные условия соответствующей кано-
канонической сингулярной задачи теории упругости имеют следую-
следующий ВИД1
при у = 0, — оо.<;с<0, — oo<z<oo
Здесь F(ay) — некоторая заданная функция. Первая группа
условий C.47) означает непрерывность нормального смещения
на разрезе и условия равновесия; вторая группа условий вы-
выражает условия взаимного скольжения противоположных бере-
берегов трещины (условие предельного равновесия и условие ко-
аксиальности вектора касательного напряжения и вектора
скачка смещения в каждой точке поверхности трещины). В про-
простейшем случае в качестве условия предельного равновесия
можно взять условие сухого кулонова трения со сцеплением
F = (—k -\- рбуJ, где k — постоянная сцепления, р — коэффи-
коэффициент трения.
Если предельное равновесие не достигнуто и, таким образом,
взаимное проскальзывание берегов отсутствует,' то граничные
условия C.47) заменятся следующими:
при у==0, —oo<jc<0, —оо<г< + оо
KI = [*хв] = [*гв] = 0, [и] = [v] = И = 0. C.48)
В этом случае все напряжения и деформации будут, очевид-
очевидно, ограничены в точке О (сосредоточенные воздействия исклю-
исключаются из рассмотрения).
Найдем- решение нелинейной граничной задачи C.47).
При помощи основных представлений C.9) и функции
Q(z) = гФ'(z)-\-^?(z) условия непрерывности можно записать
в виде
-/'(*)] = 0,
[ (х) — Щх)] = 0 при х<0.
Последнее уравнение получается из продифференцирован-
продифференцированного по х представления для смещений и и v.
Из граничных условий C.49) для Ф(г) и п{г) видно, что
при х < 0
[Im Q (*)] = [1га Ф (*)]=* 0, {ЯеBФ(*) + О(*))] = 0. C.50)
78 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill
Отсюда следует, что функция 2Ф(z) + Q(z) на разрезе
у = 0, х < О непрерывна, а поэтому аналитична во всей пло-
плоскости г. Поэтому в классе ограниченных функций
+ Q(z) = o0 + /C,. C.51)
Здесь 0о представляет собой, согласно C.9), напряжение оу
при у = 0, действительная постоянная С\ несущественна. От-
Отсюда,, в частности, вытекает, что в малой окрестности точки О
контура налегающей трещины (на ее поверхности и на продол-
продолжении трещины) напряжение ау ограничено; величина, сто опре-
определяется из решения задачи в целом.
При помощи C.51) и C.9) для смещений и касательных на-
напряжений при у = 0 можно получить следующие формулы:
a=Reco(x), т,„ = —-^J
, tyz — — \ilmf'(x),
где
<»(z) = —
Используя C.52), оставшиеся граничные условия C.47)
можно записать так:
при у = 0, х < 0
-—^ {Im©'(*)}2 + (Im/'(х)}2 = ±F
lX + lj4 Im со' (*) ~ Re со (х) '
Первое граничное условие C.53), очевидно, может выпол-
выполняться только в том случае, когда Im «/(*)* и \mf'(x) постоянны
на разрезе. Отсюда нетрудно найти общее решение краевой за-
задачи C.53) в классе функций, ограниченных на бесконечности,
а в нуле имеющих особенность (по напряжениям) более слабую,
чем 1/г:
f (г) = ^iiLL- + / Ь. , ГШЕ + с2, C.54)
Здесь /Сц, /Cm, Сь Сг — произвольные действительные постоян-
постоянные, определяемые из решения задачи в целом.
§ 6] НАЛЕГАЮЩИЕ ТРЕЩИНЫ И ВЛИЯНИЕ ВКЛЮЧЕНИЙ 79
. Сравнивая решение C.54) с соответствующими формулами
C.43) для свободной вблизи точки О трещины, легко заметить,
что сингулярная часть решения C.54) в точности отвечает фор-
формулам C.43) при Ki = 0. Следовательно, распределение напря-
напряжений, деформаций и смещений вблизи точки О контура тре-
трещины с налегающими берегами такое же, как для трещин про-
продольного и поперечного сдвига со свободными берегами, т. е.
оно определяется формулами C.45) и C.46).
Полученное решение представляет интерес также для трещин
«с заполнителем». Допустим, что некоторая трещиновидная по-
полость плотно заполнена материалом, более пластичным, чем
основной материал. Тогда при увеличении внешних нагрузок
вначале будет достигнуто некоторое предельное состояние пла-
пластического материала в полости, и только затем в основном
материале будет расти концентрация напряжений вблизи края
полости согласно формулам C.45) и C.46).
Можно показать, что вторая группа граничных условий
C.47) является следствием уравнений пластического течения
«заполнителя» при таких допущениях:
а) «заполнитель» представляет собой произвольное несжи-
несжимаемое идеально-пластическое тело;
б) между поверхностью полости и «заполнителем» нет про-
проскальзывания;
в) выполняются условия /i<L, |grad/i|<Cl, где h(x,z) и
L — поперечный и характерный продольный размеры полости;
г) нагружение — пропорциональное.
Действительно, для «тонкого» несжимаемого «заполнителя»
можно считать, что его напряженное состояние в каждой точке
(х, z) описывается суммой напряжения всестороннего сжатия
или растяжения ау и вектора касательного напряжения в сре-
срединной поверхности (по толщине полости напряжения не изме-
изменяются). Далее, вектор скорости сдвига Y в каждой точ$е равен
V = [u]lh, C.55)
где [и]—скачок вектора скорости противоположных берегов по-
полости в соответствующих точках. Согласно ассоциированному
закону течения, из C.55) следует, что
[йУххд = [хЬУтуг. C.56)
Отсюда для пропорционального нагружения [u] = A,[tw] полу-
получается соотношение, фигурирующее в C.47).
От условия пропорциональности нагружения можно отказать-
отказаться, взяв в качестве граничного условия уравнение C.56). В этом
случае, проверив ход решения, нетрудно убедиться в том, что
Д80 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. Ill
формулы C.54) будут по-прежнему верны, если взять Ко
равным
4к . C.57)
¦
На практике трещины с «заполнителем» встречаются весьма
часто. Роль «заполнителя» играют, например, графитовые про-
прослойки в чугуне, инородные включения или зоны окисленного
м,еталла в сплавах, слои малопрочной глины или песка в текто-
тектонических трещинах, сварные швы и т. д.
Следует подчеркнуть, что приведенный анализ влияния «за-
«заполнителя» на напряженно-деформированное состояние в окрест-
окрестности края полости годится только для случая непрерывного
течения несжимаемого «заполнителя»; при наличии разрывов
или упругости «заполнителя» вблизи края трещины, вообще го-
говоря, появляется также ненулевая компонента Ki нормального
разрыва.
Исследуем влияние упругого «заполнителя» на поле напря-
напряжений и деформаций вблизи края трещины. В математическом
отношении этот вопрос эквивалентен вопросу об упругом поле
вблизи конца линии «утонения» в тонкой пластине.
Граничные условия соответствующей канонической сингуляр-
сингулярной задачи теории упругости имеют следующий вид:
при t/ = 0, — oo<*<0, — oo<z< + «>
x = K[w]
Здесь Я.1, fa, "кг— функции, определяемые соотношениями
f C.59)
где h--толщина слоя, Еи ц2, цз— модуль Юнга и модули
сдвига упругого слоя, характеризующие его работу на нормаль-
нормальный разрыв, поперечный и продольный сдвиг соответственно (по
аналогии с винклеровским основанием). Толщина слоя, а тем
самым и величины К\, ^2. ta представляют собой заданные функ-
функции х.
Решение граничной задачи C.58) можно представить в виде
суммы решений следующих трех задач:
1) oy = 2Xl\v\, т^ = тгг, = 0; C.60)
2) хху = 2к2\и\, оу = туг = 0; C.61)
3) ryz = 2%3\w\, <xy = T^ = 0. C.62)
Эти граничные задачи отвечают соответственно нормальному
разрыву, поперечному -и продольному сдвигу, причем первое
§6) НАЛЕГАЮЩИЕ ТРЕЩИНЫ И ВЛИЯНИЕ ВКЛЮЧЕНИЙ 81
граничное условие в каждой задаче выполняется при у = О,
х < 0, а второе — на всей оси х.
При помощи представлений C.9) для соответствующих слу-
случаев можно получить следующие формулы:
„, Р C.63)
при г/ = 0 <т* = ofj, = 2ReФ(г), и = -^—1т<р(г);
2)
' ' v "' C.64)
при г/ = 0, Txy=lmQ (z), u = —*J~ Re(o(z);
3) Ф B) = п (z) = 0,
при г/ = 0, xzy = — film/'(z), ai = Re/(z). C>65)
При получении представлений C.63) — C.65) было исполь-
использовано лишь условие исчезновения напряжений в бесконечно
удаленной точке, поэтому эти формулы годятся для произволь-
произвольных плоских задач, когда,граничные условия заданы вдоль оси
х. Указанный прием разбиения любой краевой задачи такого
типа на сумму трех задач (для нормального разрыва, продоль-
продольного и поперечного сдвига) особенно удобен при решении кон-
конкретных задач, так как встающие математические проблемы для
каждой из этих задач эквивалентны. Достаточно получить ре-
решение, например, для нормального разрыва; решения для дру-
других случаев получаются при помощи очевидных подстановок.
Поэтому можно ограничиться решением краевой задачи
C.60). Используя формулы C.63), из условий C.60) получаем
краевую задачу для отыскания функции ф(г):
при -у = 0, х<0 ^
при у = 0, х>0 Im<p(z) = 0. Cl66)
Решение краевой задачи C.66) для произвольной функции
%\(х) весьма сложно и в замкнутом виде недостижимо. По-ви-
По-видимому, впервые с задачами такого типа столкнулся А. Пуан-
Пуанкаре при решении некоторых проблем гидродинамической тео-
теории приливов.
Ограничимся решением некоторых классов краевых задач
C.66); эти решения можно найти в замкнутом виде, и они охва-
охватывают практически наиболее важные случаи*).
1. Упругое включение в форме тонкого клина. Пусть толщина
упругого «заполнителя» меняется по закону
h (х) = — 2ак (а < 1), C.67)
*) Далее в этом параграфе для простоты предполагается, что при у = О,
х-+ оо будет Ох =:= Оц.
82
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
где 2а — угол раствора клина. В этом случае функция ki(x)
имеет вид
Т, ( v\ ~j /О C:Q\
а соответствующая краевая задача C.66) допускает следующую
группу преобразований:
х' = Схх, ф' = С2ф, C.69)
где Ci и Сг — произвольные действительные параметры.
Поэтому в рассматриваемом случае решение граничной за-
задачи C.66) имеет вид
<p(z)=Az\ . C.70)
где А— произвольный действительный коэффициент. Подставляя
C.70) в C.66), нетрудно получить характеристическое уравне-
уравнение для определения к:
Корни уравнения C.71), как нетрудно видеть из графического
представления решения, находятся на сегментах (Г/2, 1),
C/2,2), ..., (—1/2,—1), (—3/2,—2), ... действительной оси, по
/г/л
Рис. 15.
одному на кйждом из этих сегментов. Как следует из теоремы
3.2, решению корректной краевой задачи отвечает единственный
корень, расположенный на отрезке A/2, 1). Зависимость вели-
величины этого корня от безразмерного коэффициента упругости
«заполнителя»
C-72)
изображена на рис. 15. Коэффициент А, как всегда в задачах
класса N, считается заданным заранее.
§ 61 НАЛЕГАЮЩИЕ ТРЕЩИНЫ И ВЛИЯНИЕ ВКЛЮЧЕНИЙ 83
Легко видеть, что аналогичное автомодельное решение
имеет место для упругого включения в форме клина с произ-
произвольным углом раствора 2а, а также для любого числа раз-
различных включении такого типа. В каждой из этих задач полу-
получается свое трансцендентное уравнение для определения
числа к.
2. Упругие включения специального вида. Пусть толщина
упругого включения меняется по закону
h{x)=iMu (x<0)- C-73)
Здесь Р(х) и Q(x) —произвольные полиномы с действительны-
действительными коэффициентами.
Введем новую аналитическую функцию F(z):
F (z) = <р' (z) - (к + 1) Е, VzQ (z) Ф (z)/[2M/> (г)]. C.74)
Согласно C.66) и C.73), эта функция должна удовлетворять
следующим граничным условиям:
при z/ = 0, x<0 ReF(z) = Q,
при у = 0, х > 0 Im F (z) = 0. ^3^
Из выражения C.74) вытекает, что функция F(z) анали-
тична всюду в верхней полуплоскости, за исключением нулей
полинома P(z), в которых она имеет полюсы соответствующего
порядка, и, быть может, бесконечно удаленной точки.
Решение краевой задачи C.75) имеет вид
F(z)= L(z\-. C.76)
w P(z)Vz K '
Здесь L(z)—некоторый полином с действительными коэффи-
коэффициентами.
Решая дифференциальное уравнение первого порядка C.74)
относительно функции <$(z), получаем
Ык^й- <3'77)
где
Порядок полинома L(z) легко определяется из граничного
условия на бесконечности при помощи формул C.76) и C.74).
Функция (f(z) согласно формуле C.77) имеет особенности в ну-
нулях полинома Р{г), что исключается физической постановкой
задачи. Уничтожение этих особенностей приводит к некоторой
$4 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
линейной однородной системе уравнений относительно неопреде-
неопределенных коэффициентов полинома L(z).
Полученная однородная система, очевидно, будет Действи-
Действительной, так как все аналитические функции, фигурирующие
в формуле C.77), удовлетворяют условию типа ф(г)=ф(г).
Поэтому решение линейной системы существует и определяется
с точностью до произвольного действительного множителя.
Этот множитель аналогичен коэффициенту интенсивности
напряжений Ki для обычных трещин нормального разрыва со
свободными от нагрузок берегами вбл«зи кромки; он опреде-
определяется из решения задачи в целом, а в данной сингулярной
задаче (принадлежащей классу N) его следует ''задавать при
постановке корректной краевой задачи.
Функцией типа. C.73). можно с любой точностью аппрокси-
аппроксимировать произвольную непрерывную функцию h(x) на любом
конечном интервале; поэтому решение рассмотренного класса
задач можно использовать в качестве приближенного эффектив-
эффективного метода решения и в общем случае.
В качестве простейшей иллюстрации приведем окончатель-
окончательные формулы для тонкого упругого включения параболической
формы:
где р и Ki — заданные действительные постоянные. В пределе
при z -* О будет ф (z) = К\ \'zj{2n).
3. Упругое включение постоянной толщины. Пусть включе-
включение имеет постоянную толщину
h (х) = h = const (Л, = ?,//г). C.79)
В этом случае можно дать точное решение краевой задачи
C.66) при помощи интегральных преобразований. Однако этот
метод приводит к чересчур сложным выражениям, к тому же
он годится только для полубесконечных областей. Поэтому при-
приведем лишь одну оценку поведения решения вблизи конца
включения и укажем схему решения задач такого типа при по-
помощи асимптотических разложений.
Введем безразмерный параметр е:
ee*?±]L C.80)
Решение граничной задачи будем искать в виде следующего
асимптотического разложения:
при е-»0 Ф(г) = фо(г) + вф,B) + е2ф2(г)+ ... C.81)
Здесь фо, фь ф2» — — искомые аналитические функции.
§ 6) НАЛЕГАЮЩИЕ ТРЕЩИНЫ И ВЛИЯНИЕ ЙКЛЮЧЁНЙЙ 85
Подставляя C.81) в граничное условие, нетрудно получить
следующую цепочку стандартных краевых задач:
@) при у = 0, х<0 Req>?(z) = 0,
при у = 0, х>0 1тфо(г) = О;
A) при у = 0, *<0 Неф[B) = -^-1тфо(г),
при 0 = 0, х>0 Imq>,(z) = 0; C>82)
B) при у = О, х<0 Re<p5(z) = llmqiJ(z),
при г/ = 0, х > 0 1т ф2 (г) — О
и т. д.
Для рассматриваемого случая полубесконечной области не-
непосредственное решение краевых задач C.82) приводит к рас-
расходящимся интегралам. Поэтому необходимо прибегнуть к ус-
условному интегрированию, оставляя в формальна вычисленном
расходящемся интеграле лишь его конечную часть, а слагаемые,
стремящиеся в бесконечность, полагая равными нулю. Такое ус-
условное понимание интеграла соответствует выделению в реше-
решении для конечной области, когда расходящихся интегралов не
возникает, главных членов вблизи конца включения. В этом
можно убедиться, составляя указанным методом решения раз-
различных частных задач.
Функция ф'(г) вблизи конца включения ведет себя следую-
следующим образом:
^ > -Inz)].' C.83)
Здесь /Ci—некоторая постоянная, фо — алгебраическая функция
своих аргументов. Естественно, при этом предполагается, что
\г\ >Л. -
Когда модуль Юнга включения Е\ велик по сравнению с мо-
модулем Юнга основного материала, т. е. е >¦ 1, естественно
искать решение граничной задачи в виде асимптотического раз-
разложения по малому параметру 1/е. При этом получается це-
цепочка легко решаемых стандартных задач Дирихле.
Для нахождения решения при промежуточных значениях е
следует применить склеивание различных асимптотических
разложений при малых и больших е. Практически хорошие
(т. е. весьма близкие к точным) результаты получаются уже,
если ограничиться только первыми двумя-тремя членами разло-
разложений по е и 1/е. Отметим, что аналогичные методы широко
распространены в теории течений вязкой жидкости (теория по-
пограничного слоя).
Замечания. 1. Задачи о тонком упругом включении в об-
общем случае не допускают какой-либо группы преобразований,
S6 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
поэтому они не принадлежат к каноническим сингулярным за-
задачам и для них не существует конечного характеристического
уравнения.
2. Задача о тонком упругом включении представляет инте-
интерес также в том случае, когда имеется некоторый заданный
скачок смещения вдоль этой же линии. При этом\ краевая за-
задача становится неоднородной; методы ее решения в основных
чертах аналогичны только что изложенным.
§ 7. Анизотропное тело
Рассмотрим некоторые сингулярные задачи для анизотроп-
анизотропного однородного линейно-упругого тела.
Предварительно найдем общее решение уравнений плоской
задачи анизотропной теории упругости, аналогичное представ-
представлениям C.9) для изотропного тела.
В плоской задаче напряжения, деформации и смещения не
зависят от координаты г; при этом полная система уравнений
для произвольного анизотропного тела имеет следующий вид:
уравнения равновесия
дох дхху дхху деу дтхг дгу1_
~~ '
закон Гука
ех = апах + ai2ay + ai3xxy + аиххг + а15хуг,
C.85)
а52ау + асзтху + амхХ2 + a55xyz,
кинематическая связь деформаций со смещениями
д,и do dw p.
&х~~~д7' &у~~ду' e2~~"ai"~Uj
— J*l _i_ iL — ^!_ — JE. C.86)
yxy~ ду -г дх ' Vxz — -^-, Ууг— ду •
При записи закона Гука C.85) было учтено, что гг = 0; это
равенство служит для определения напряжения oz через осталь-
остальные напряжения. Матрица упругих постоянных о.ц симметрична
(т. е. ац = ац). Таким образом, число существенных упругих
постоянных в самом общем случае анизотропной плоской зада-
задачи равно 15.
Частный случай плоской задачи, когда отличны от нуля
только 6 постоянных an, ai2, а\г, а22, а23, а3з, подробно изучен
С. Г. Лехницким [34]. В этом случае упругие свойства в каждой
§ 7] АНИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО 87
точке тела симметричны относительно любой плоскости, перпен-
перпендикулярной ОСИ 2.
Из соотношений C.86) вытекают следующие условия сов-
совместности:
дЧу
Ihj2'+ ~dx~2~ ~~ Wdy ' ~ду~~~Ш~' [-'>
Общее решение уравнений равновесия можно представить
через две произвольные функции так:
д2и __ д2и
_ д2и _dF_ __iL ( '
Х*У— дхду' Ххг~~ ду' ХУг~~ дх'
Подставляя выражения C.88) в закон Гука, а полученные
выражения для деформаций — в условия совместности C.87),
получаем следующую систему уравнений для функций U и F:
21 + 22
Здесь
д1
i2 + «зз)
¦ _ I _ д* i I \
¦42 — L21 — а2Ь -flZT "Т" \а2\ ~Г а35>
d2
Согласно C.89), функции if и F должны удовлетворять
уравнениям
LU = 0, LF = 0. C.90)
Здесь
L - L,,L22 - L12 = 6, ^^ + b
Й6 Й6 Й6 Й6
x — a22a55 — a25,
2 = 2a25 (a24 + a35) — 2a23a55 — 2a45a22,
= a22a44 + 4a45a23 + a55 Ba12 + а3з) — (a2i + %;J — 2a25 (a,5 + a34),
= 2a14a25 + 2 (a24 + a35) (a15 + a34) —
— 2a23a44 — 2a13a55 — 2a45 Ba12 + a33),
5= 0,11^55 + 4ai3a45 + a44 Ba12 + a33) — (a15 + a34J + 2^14(^24 + «as).
= 2aH («15 + «34) — 2а4ба„ — 2а13а44,
88 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
Нетрудно показать, что все смещения, напряжения и дефор-
деформации также удовлетворяют уравнению C.90).
Оператор L можно представить в виде
Здесь 2i, 22, zi — следующие комплексные переменные:
z3 = x — \i3y, C.92)
где постоянные величины \i\, ц2, Из суть корни характеристиче-
характеристического уравнения
b7\i6 + hn5 + htf + b4ix» + 63Ц2 + Ь2\х + 6, = 0. C.93)
Так как коэффициенты этого уравнения действительны, то
его корни представляют собой комплексные числа, встречаю-
встречающиеся только сопряженными парами (т. е. корнями будут ць Дь
Р2> Ц2. Цз. Дз)- Чисто действительные корни, по-видимому, не-
невозможны из физических соображений, однако строгое доказа-
доказательство этого факта в общем случае затруднительно; для слу-
случая плоской деформации такое доказательство получено
С. Г. Лехницким [34]. Дальнейшее изложение относится только
к случаям комплексных (или чисто мнимых) корней.
При помощи разложения C.91) легко найти общее решение
уравнений C.90); могут представиться три случая:
1. Все корни различны, т. е. цг ф ц2, Цгт^Цз» M^i =Н= из»
U = фц (Zi) + <Pl4 Bi) + ф12 (Z2) + <Pl5 (Z2) + Ф13 (z3) + <Pl6 (Z3)>
F = q>21 (Zi) + qp24 (г,) + Ф22 (z2) + ф25 (z2) + ф23 (z3) + ф^ (z3).
2. Два корня одинаковы, т. е. ц2 = ц3> V-i Ф ц2» C.94)
U = ФП (z,) +. ф14 B0 + ztz{ [ф12 (z2) + ф15 B2)] +
+ [22ф13 B2) + 22ф,6 B2)] ZtZu
F — ф21 (Zi) + Ф24 Bl) + 2,2, [фга B2) + ф25 B2)] +
+ [22ф23 B2) + 22ф26 B2)] ZiZi.
3. Все три корня одинаковы, т. е. Ц[ = \i2 = \х3,
U = Ф„ B.) + Ф14 B,) + 2,ф12 B,) + 2,ф15 B,) + ф13 B,) + 2?ф16 B,),
Ф24 B,) + г^^ B,) + 2,?25 B,) + 2^ (г,) + zjq^ B,).
Так как ?/ и F — действительные функции, то аналитические
функции <$ц должны удовлетворять очевидным соотношениям
(г = 1, 2). C.95)
§71 , АНИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО 89
После этого общее решение C.94) можно записать в более ком-
компактной форме:
L ^1=7^2. ^2^3. ILtl^f^
(U, F) = Re [qpn B,)
(при / = 1 правая часть этого равенства дает U, а при
i = 2-F).
(U, F) = Re [фп B,) + г&мп (z2) + z2z{z^a (z2)). C.96)
3. ^,==^2 = ^3.
(U, F) = Re [Фп B,) + 2,Фг2 (z,) + 2f?i3 B,)].
Между функциями ф*3- существуют некоторые зависимости,
вытекающие из уравнений C.89). Подставляя общее решение
C.96) в C.89), после простых преобразований нетрудно найти
эти соотношения:
Случай 1 (hi Ф ц2, ц2 Ф ц3> ^1 ^ Цз)
«„ + «зз) I*? + 2^f + «J-
+ ^^ + К + ^^ + а»] С3-97)
(/=1,2,3);
эти зависимости верны также для случая 2 (при i = 1,3) и для
случая 3 (при i = 3). 4
Случай 2 ({Х2 = ц3, Ц|=7^Ц2)
2) [«22 + 2М2з + »\ Bа
12
.= - Ф^ B2) [«25 + ^2 («24 + fl35) + ^2 (flU + «34)
¦ + <Й Ы [~ За25 - ц2 (а24 + а35) + м| (а15 + а34) +
Формулы для случая 3 не будем выписывать ввиду их гро-
громоздкости.
Таким образом, в каждом случае 6 функций фг-3- оказывают-
оказываются связанными посредством трех линейных зависимостей. По-
Поэтому общее решение определяется тремя аналитическими
функциями, которые могут быть выбраны из указанных шести
произвольно..
В дальнейшем ограничимся наиболее общим случаем трех
различных корней. При помощи C.96) и C.97), переобозначая
90 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ?ГЛ. Ш
аналитические функции, находим следующие основные пред-
представления:
U= S Re[pub(Zi)], F= 2 Re^fr)]. C.98)
Здесь
р2. = аиц* + 2аац] + Bа12 + «зз) I*? + 2«2з1** + «22-
Для напряжений отсюда, согласно C.88), получаются фор-
формулы
,= SRe[|i,pn<p7(zf)], C.99)
Аналитические функции ф1, ф2 и ф3 должны находиться из
решения граничных задач. Смещения, как обычно, восстанавли-
восстанавливаются по деформациям интегрированием зависимостей C.86);
находим.
<1 О 3 '
и=21 Re[9,^B,)]. o=SRe[92M(zi)]. ш = 21 Re[Wt(z*)]-
C.100)
Здесь
Как видно, в общем случае плоская задача не расщепляется
на плоскую деформацию и сложный сдвиг; расщепление имеет
место только в том случае, когда постоянные аи, ai5, a2i, a25,
«34, «35 равны нулю. Этот вырожденный случай требует отдель-
§ 7] АНИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО 91
ного рассмотрения; для него представления C.98) — C.100) не
годятся. При этом уравнения C.89) упрощаются:
L,,C/*=O, L22F = 0 (L12=L21 = 0). C.101)
Решения уравнений C.101) для плоской деформации, а так-
также соответствующие представления для напряжений и смеще-
смещений записываются в следующем виде [34]:
Числа Hi, p.], ц2, jl2— корни уравнения
' йцН4 — 2д1з}г3 + B^12 + %?) ^2 — 2я23ц + я22 = 0. C.103)
Далее, для сложного сдвига будет
*«&-**«¦?%+ <Ь%-?0 C.104)
w = Re ф3 («а), Bз = *^
где (i3 и Д3~КОРНИ уравнения
2 % = 0. C.106)
В частном случае плоской деформации, когда щ = ^2, имеют
место представления
U — Re [ф,(г,)
«х = ^е [Й?ФГ (^,) + 2ц, Й,Ф2' ()]
«, = «е К C^ + ^^O + W (*.)].
т„ = Re [|*.фГ (z.) + A*1 + А) ф' («О + i*s< (*)]
и = Re [р,Ф; (z,) + Р2Ф2 (z.) 4- /»,г,ф^ (z,)],
о = Re [- qyt (z,) + ?2Ф2 (z,) - ^z1?j (z,)],
92 ' СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
где р, = anv\ + ai2 + ц^, р2 = BД,— Ц^Ц^ц + Яю + Мю»
2 '. 23> Mi L 12 \ni / ^2 J 23J"
Приведенные представления практически исчерпывают все
возможные случаи плоской задачи анизотропной теории упру-
упругости.
Теперь рассмотрим задачу о распределении напряжений и
деформаций вблизи произвольной точки О контура трещины в
анизотропном однородном упругом теле.
Применяя «принцип микроскопа», приходим к следующей
канонической сингулярной задаче (см. рис. 13):
при у = 0, х<0 ау = хху = хуг = 0, C.108)
которая при помощи C.99) формулируется так:
при у = 0, х< 0
з
2 Re[Pi^7(z)] =
3 3
= 2 Re [Miitf Щ = 2 Re [- Р2|< (г)] = 0. C.109)
Корректное решение краевой задачи C.109) запишется сле-
следующим образом:
з
?=1
3
t=l
3
1=1 2i l 3
Здесь Ки К2, Кз — заданные действительные постоянные, ана-
аналогичные коэффициентам интенсивности напряжений; они опре-
определяются из решения задачи в целом. -
Отсюда легко определить функции ф", ф2', ф" и, подставив
их в C.99) и C.100), найти искомое поле напряжений и смеще-
смещений вблизи конца трещины. Получающиеся формулы ввиду их
громоздкости в общем случае выписывать не будем; приведем
эти формулы только для случая расщепления поля на плоскую
S 8] КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЕ ТЕЛО
деформацию и сложный сдвиг [35]:
_ __ __^1_ р„ / _HiH2_ Г Иг
°х — _/-=— ке <
I Hi¦— Иг L
93
— и? sin 9 /cos 9 — |i] sin 9
" /2лг
V2nr
Hi — Иг L V cos 9 — |i2 sin 9
_J Г и.
Hi — Иг L
— Hi sin 9
— n2sin9 /cos 9— Hi sin 9 J J
— ^s sine J J (зли)
l
— u? sin 9
Ku
t hi — Иг L
x = K11L Г
— n2sin9 /cos 9 — njsin9
Иг
9JJ
/cos9 —Hisinejj'
Нз
V^cos 9 — Нз sin 9 '
V2n?
/cos 9 — Цз sin 6
при 6 = 0 ay + ixxy = (Ki + iKu)l 1
Здесь Ki, /Си, Km — действительные постоянные (коэффициен-
(коэффициенты интенсивности напряжений), определяемые из решения за-
задачи в целом.
§ 8. Кусочно-однородное тело
Рассмотрим задачу о распределении напряжений и деформа-
деформаций вблизи края щели, выходящей на границу раздела двух од-
однородных изотропных полупро-
полупространств с различными упру-
упругими постоянными. Эта задача /
представляет интерес также
для механики разрушения ком-
композитных материалов, приме-
применительно к клеевым соедине-
ниям, в вопросах развития -^
сквозных трещин вблизи сту-
ступенчатого утолщения пластин
и т. д.
Применяя «принцип микро-
микроскопа», приходим к следующей
канонической сингулярной задаче теории упругости (рйс. 16):
при у = 0, х < 0 ау = хху — %уг = О,
Рис. 16.
2.
94 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
Условия на границе двух различных упругих полупро-
полупространств (y = xtga) означают отсутствие скачка смещения и
отсутствие внешних нагрузок.
При помощи основных представлений C.9) отсюда получаем
следующую краевую задачу:
при у = 0, х<0 f'{ = j't,
Ф* + Ф/ + гФ'г + гр, = 0 (г =1,3);
при y — xiga и t>0
Ф,-+ Ф1 + е21а (гФ{ + ?,) = Ф2 + Фа + е2
— Ф1 — е~ПагФ[ — е-2НР,) =
= ц, (х2ф2 - Ф2 -е
при y = xtgaut<0
Фг + Ф2 + e2ia (гФ2 + ^г) = Фз + Фз + е21а (гЩ +
фз - ф"з - е-"а*®3 ~ е~Ш%) =
= ц, (х2Ф2 — Ф2 — e~2iaz% —
Здесь индексы 1, 2, 3 относятся к соответствующим секто-
секторам, указанным на рис. 16; в секторах 1 и 3 упругие постоян-
постоянные одинаковы и равны \ii и %\.
Краевая задача C.113) допускает группу преобразований
подобия; следовательно, ее решение, согласно § 3, имеет сле-
следующий вид:
Oi(z)=Aiz\ Wi(z) = Biz\
П(г) = С^ (/=1,2,3) C.114)
tz\—.e\(\a\z\ + i argz); Z6 __ g6(In | z | + < arg г))_
Здесь Ait Bit Ci — некоторые комплексные постоянные, А. и
б — собственные числа, отвечающие соответственно плоской де-
деформации и сложному сдвигу (плоская задача, как видно, рас-
расщепляется на плоскую деформацию и продольный сдвиг).
Функции z% и z6 аналитичны вне разреза у — 0, х < 0.
§ 8] КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЕ ТЕЛО 95
Легко заметить, что указанное групповое свойство имеет
место также в том случае, когда в точке О сходится произволь-
произвольное число секторов с различными упругими постоянными, при-
причем каждый из секторов однороден и анизотропен, а вместо
трещины может быть «пустой» сектор. Поэтому применяемый
метод решения годится и в этом более общем случае.
В том случае, когда число X (или 5) комплексно (Я =
= Я,о + ф, где ко и р— вещественные числа), искомые функции
(например, OiB)) ведут себя как О (A sin pin г) или О (rx° cos р In г).
Функции типа sin (pinr) на любом участке вблизи конца тре-
трещины испытывают бесконечное число перемен знака, поэтому
напряжения при приближении рассматриваемой точки к концу
трещины также меняют знак бесконечное число раз. Этот ре-
результат говорит о том, что решение с комплексным Я, вообще
говоря^ не имеет физического смысла, а появление комплексного
Я свидетельствует о некорректности математической постановки
задачи.
Тем не менее, решениям с комплексным собственным числом
Я можно придать совершенно четкий смысл, если физические па-
параметры таковы, что комплексность Я в некотором смысле
«слаба». Выясним в общем виде это ограничение, накладывае-
накладываемое на физические параметры.
Неопределенные коэффициенты Аи Ви С* в C.114), очевидно,
должны содержать множитель типа ехр (—t'p/nL), где L — не-
некоторая постоянная размерности длины. В рассматриваемой по-
постановке сингулярной канонической задачи величины размерно-
размерности длины отсутствуют, поэтому точное значение множителя,
как и самих коэффициентов Л,-, Bit CV может быть определено
только из решения задачи в целом.
По своему физическому смыслу величина L представляет
собой характерный линейный размер тела (например, длину
трещины или расстояние ее конца от границы тела). При этом
размер области А, в которой напряжения меняют знак и реше-
решение некорректно, определяется соотношением
lpin(A/L)|« 1, C.115)
т. е.
Согласно «принципу микроскопа», решение с комплексным
Я имеет физический смысл на расстояниях г, больших по срав-
сравнению с А, т. е." при
r/L » е-1/ IPI. C.116)
Покольку при постановке сингулярной канонической задачи
предполагалось, что г ¦< L, то отсюда вытекает необходимое
96 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ^ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. «1
условие корректности рассматриваемой краевой задачи
' , I»*-1/!?!, C.117)
налагающее ограничения на значения физических параметров
системы.
Строго говоря, эти рассуждения справедливы лишь при бес-
бесконечно малых |р|; поэтому для малых, но конечных |р| реше-
решение типа C.114) имеет смысл приближенной асимптотики не-
неизвестного строгого решения на расстояниях г, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию 1 > .4- > е~111p (.
Если выполняется условие корректности задачи C.117), то
fH3 C.116) следует, что в указанном асимптотическом прибли-
приближении будут справедливы следующие соотношения:
р In (r/L) « 0, cos(p in r) » 1, sin (p In r) » 0. C.118)
Используя C.118), подставляем функции C.114) в гранич-
граничные условия C.113); после сокращения общего множителя
гл» (или г8») получаем следующую однородную систему линей-
линейных уравнений относительно постоянных А{, В\ и С,:
A +Л) Л,+ 1,6-^+6, = 0,
A + Л) Л, + А{е-2Ш + Я,е«« = A+Я) A2+A2e-u«l+B2e2ia,
A + К) Аг — к, А1е~2Ш + Bie2ia =
= k [A + А) Л2 — %2А^-2Ш + Я2е2<«],
A + Л) А2 + Л2еш («-«* -f B2e2ia = ' ¦
= A + к) А3 + ~А#2и <*-»> + Bse2'"»
еш<я-а) + б3е2га= (ЗЛ19)
== k [A + Л) Л2
, | , = С2е + 2
k [С, — С,е2'« ('+«)] = С2 — С2е2га (•+«,
= С3е2«' <«
С2 — Сгв2'0^«'<а-") = k [С3 —
$'81
КусоЧйо-ОДноРоДное тело
9?
Всего имеется 6 комплексных уравнений для 6 комплексных
постоянных Ах и В{, а также 6 действительных уравнений для
трех комплексных постоянных d(i = 1, 2,3).
Собственные числа X и б удовлетворяют характеристическим
уравнениям, получающимся из условия разрешимости этой од-
однородной системы линейных уравнений. Согласно теореме 3.2,
интерес представляют в данном случае только те корни харак-
характеристических уравнений, которые лежат в области
— KRe6<0, — KReA<0.
C.120)
Искомые корни будут представлять собой некоторые (вооб-
(вообще говоря, комплексные) функции к, щ, к2, а.
Характеристические уравнения в общем случае довольно
громоздки; поэтому ограничимся двумя важнейшими частными
случаями рассматриваемой задачи, когда а = 0 и а = я/2.
Трещина на границе раздела различных упругих сред *).
В этом случае а = 0, и третий сектор исчезает; для величин
Ah A2, В и В2 остается система первых четырех уравнений из
системы C.119) (во втором уравнении А3 и 53 заменяются на
А2 и В2). Система для Ci и С2 состоит из четырех действитель-
действительных уравнений (два последние уравнения в C.115) пропадают,
а С3 заменяется на С2).
Характеристические уравнения оказываются следующими:
k A
— е-ая1
+ е2Ш)
= 0. C.121)
Решение этих уравнений, удовлетворяющее C.120), име-
имеет вид
6=»—'1/2, Л=-1/2±/р
. C.122)
Проверим выполнимость общего условия корректности
C.117) в,рассматриваемом случае. Простой анализ выражения
C.122) для р показывает, что максимум |р| в случае плоской
деформации равен 1пЗ/2я (при vi = 0, ц,2=°°), т. е.
ехр(—1/|р|) ^ 0,0007, что гораздо меньше 1. Поэтому найден-
найденное сингулярное решение имеет физический смысл.
Представляет интерес вопрос о причинах физической некор-
некорректности «в малом», казалось бы, классической краевой
*) Задачи такого типа рассматривались в работах Вильямса, Черепа-
Черепанова, Эрдогана и др.
4 Г. П. Черепанов
§8 Сингулярные задачи теории УпруГОстй [ГЛ. ш
задачи, сравнительно хорошо изученной для гладких областей.
В настоящем примере это объясняется невозможностью удовлет-
удовлетворить граничным условиям отсутствия нагрузок вблизи края
щели; если материалы различны, то всегда вблизи края щели,
оказывается, существуют участки, на которых противоположные
берега щели «взаимно проникают» один в другой, что невоз-
невозможно. Поэтому решения поставленной краевой задачи, строго
говоря, не существует; тем не менее, когда комплексность соб-
собственных чисел «слаба» в указанном ранее смысле, формальное
математическое решение имеет определенный физический смысл.
Постоянные Ль Л2, Ви В2 определяются с точностью до двух
действительных параметров следующей цепочкой формул:
В, = — A + М Л,— Л,е-2Ляг, C.123;
В2 = — A + I) Л2 —
Напряжения, вычисленные по формулам C.9) при
= —1/2 +/р, имеют вид (с учетом условия C.118))
*i ( р (9-д) Г3 cos 1 _ 2р Sin 9 • cos — -
2 ch яр • Vinr I L 2 2
-sine-sin—1 —ер(е-я)-соз-2-1 Ku ,— (eg'9-"'sin-+
2 J 2 / 2 ch Я0 • f2nr \ 2
-Y-—2psine-sin-y-]},
os
vT=fe)[cos + 2Psine-cos + sine-sin-l
2chnp-j/2n7 I L ¦ 2 2 2J
(esin +
2 / 2сЬяр-К2я/- I 2
в-Р(в-я) Jsin| _ sine • cos -y- + 2p sine • sin-f-] }, C.124)
«) fsin- +sine-cos--2p sine sin-1-
L 2 2 V 2 J
2с
2 ch яб ¦ V~2nr I "~ 2
Kn (-еР(в-Я).'С051
2
§ 8] КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЕ ТЕЛО 99
при 0 = 0
(z = relf>).
Здесь /Ci, /Си, /Cm — действительные параметры (коэффи-
(коэффициенты интенсивности напряжений), которые должны опреде-
определяться из решения задачи в целом. При у < 0 и при X =
= —1/2 — ф соответствующие формулы получаются при помо-
помощи очевидных переобозначений.
Трещина, перпендикулярная к границе раздела различных
упругих сред*). В этом случае а = л/2, и для трещин продоль-
продольного сдвига при помощи C.119) можно найти
б = — 1 arctg l/jiL . C.125)
Соответствующие напряжения и смещения имеют вид
*шУ]±гве-™ при 1 в |< я/2,
У 2яц,
» при л/2 < 1 6 |< я,
XSO =
Ж
191<я/2) (ЗЛ26)
_яб] При f
Здесь /Сщ — коэффициент интенсивности напряжений от
продольного сдвига.
В случае трещин нормального разрыва, когда на продолже-
продолжении трещины при у = 0, х > 0 будут выполняться условия
v = 0, тжу = 0, являющиеся следствием симметрии относительно
плоскости трещины, искомое собственное число К будет также
действительным. При этом величины А2 и В2, как легко видеть,
будут действительными, и в силу симметрии достаточно рас-
рассмотреть область #>0; в системе C.119) останется всего три
комплексных уравнения (первое, третье и четвертое).
*) Эту задачу рассматривали Зак и Вильяме [зе] при помощи другого,
более частного метода
100 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ {ГЛ. III
В результате их решения получим:
fei (ЗЯ + 2) - fe2О
_;cos JiX*+JL [k
2О + 2Я).+ Я+П
Г+1 J~
- C.127)
(ЗЛ 4- 2) — ^a A Ч- 2Л.) + Я, 4-
(Л + 2) (ft, + 1)
+ /cos
JJ'
__. Ki (Я + 1)
I &1(ЗЯ + 2) — А21
Здесь /Ci—коэффициент интенсивности напряжений, kx=-. _—г,
i 1 — Vo . / , Ц| \
k2=-, —k йе^-1— ; для плосконапряженного состояния Vi
надо заменить на Vi/A +v<).
Число Я представляет собой единственный действительный
корень характеристического уравнения
[(к+ lJD&i&2— 4ft?)+ 2Л? —2*1*2 + 2^ — ^2 +
+ 1— cos яЯ Bftifts —2ft? —2fti + 2ftj)] sin яЛ, = О, C.128)
лежащий в интервале (—1, 0). Зависимость этого корня от ве-
величины k при vi = V2 == 0,3, взятая из работы Зака и Вильямса
[36], приводится на рис. 17 (при ft—>oo имеет место асимптотика
X = —1+0,88 ft~1/2). Качественно зта зависимость имеет вид,
аналогичный соответствующей функции C.125) для продольного
сдвига.
Рассмотренный пример замечателен тем, что в данном слу-
случае напряжения в конце трещины имеют особенность порядка
г\ причем Я., вообще говоря, отлично от —1/2. Поэтому размер-
размерность коэффициентов интенсивности напряжений Кг и Km от-
отлична от размерности коэффициентов интенсивности напряже-
напряжений в однородном теле. Существенно, что, если трещина пере-^
It]
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ .
V
с
—II —
•
*¦' :т
л
ходит из более твердой среды в более мягкую (т. е. k цц
> 1), то порядок особенности больше, чем в однородном теле
(т. е. А.< —1/2), н наоборот.
Не нужно думать, что эта сингулярность имеет преходящий
характер, не существенный для механики разрушения, посколь-
поскольку при сколь угодно малом
приращении длины трещины Ы
конец ее оказывается уже окру-
окруженным однородной средой, и
напряжения будут по-прежне-
по-прежнему иметь особенность О (г-'1').
Дело в том, что последняя
особенность реализуется на
расстояниях, малых по сравне-
нию с А(; на расстояниях же,
больших по сравнению с А1
(но по-прежнему малых срав-
сравнительно с характерным ли-
линейным размером тела), будет ^
реализоваться только что изу-
изученная промежуточная асимп- Рис- 17-
тотика, характерная для ку-
кусочно-однородного тела. Поэтому коэффициенты интенсивности
напряжений, характеризующие упругое поле на расстояниях,
малых по сравнению с А/, будут вполне определенными функ-
функциями коэффициентов Къ Кп, Km промежуточной асимптотики
кусочно-однородной среды. Все эти заключения становятся со-
совершенно очевидными, если применить «принцип микроскопа»..
§ 9. Влияние конечности деформаций
Обращение физических величин в бесконечность при реше-
решении задачи говорит об идеализации математической постановки
физической проблемы. Наиболее часто такие особенности воз-
возникают вследствие линеаризации задачи. Не следует думать,
что эти особенности представляют собой что-то патологическое
и потому мало интересны для приложений. Наоборот, иссле-
исследование этих особенностей представляет наибольший интерес
при изучении линейных задач, так как в них заложены ос-
основные свойства и возможности решений линеаризованных
задач.
Особенности напряжений и деформаций в конце трещинь^
возникающие при решении корректно поставленной задачи в
рамках классической линейной теории упругости, неизбежны.
Они говорят о том, что полученное решение в непосредственной
окрестности конца трещины не годится и нужно привлекать
102 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
более точную постановку задачи для определения физических
величин вблизи конца трещины.
При любом уточнении постановки задачи особенность приб-
приближенного решения будет играть уже роль некоторой промежу-
промежуточной асимптотики уточненного решения в том смысле, что
уточненное решение очень близко к приближенному на рас-
расстояниях г от конца трещины, удовлетворяющих условию / 3>'
^> г ^> Д, где / — характерный линейный размер тела (напри-
(например, длина трещины), Д — характерный линейный размер обла-
области вблизи конца трещины, в которой приближенная постановка
задачи по тем или другим причинам незаконна.
Однако если свойство линейной упругости в какой-то мере
присуще всем твердым телам, то отклонения от нее при доста-
достаточных деформациях для различных типов материалов имеют
различную природу и описываются в рамках различных мате-
математических теорий. Поэтому распределение напряжений и де-
деформаций в области размером Д и сама величина Д различны
в разных материалах, а линейно-упругая асимптотика, всегда
реализующаяся при достаточно больших размерах I, с точно-
точностью до некоторых множителей будет одной и той же для всех
материалов.
Этот факт, как будет видно из дальнейшего, лежит в осно-
основе построений линейной механики разрушения и объясняет ее
основной интерес к сингулярным решениям теории упругости.
Отметим основные причины появления сингулярности реше-
решения в конце трещины:
а) незаконность вблизи конца трещины применяемых при
решении приемов в рамках линеаризованной постановки (на-
(например, снесение граничных условий со стенок начальной тре-
щиноподобной полости с конечным радиусом закругления в ее
конце или неучет участков перекрывания берегов в случае тре-
трещин на границе различных упругих сред);
б) пренебрежение конечностью деформаций (эффект гео-
геометрической нелинейности);
в) пренебрежение влиянием пластических деформаций (эф-
(эффект физической нелинейности);
г) пренебрежение дискретным (атомным) строением твер-
твердого тела.
В каждом реальном материале представлены все указанные
факторы, однако весьма часто доминирует одна из этих причин.
В металлах и их сплавах, во многих полимерах доминирующим
является пластическое течение; в низкомодульных материалах
типа резин и в некоторых полимерах — фактор высокоэластиче-
высокоэластических (конечных) деформаций; в хрупких материалах типа стек-
стекла, плавленного кварца и др. — атомная природа тела (непри-
(неприменима модель сплошной среды). Следует отметить также при-
§ 9] ЁЛИЯНИЁ KOHE4H0CfH ДЕФОРМАЦИЙ ЮЗ
сущую всем телам микронеоднородность структуры, которая во
многих случаях существенно влияет на распределение напряже-
напряжений и деформаций в области размером А.
Учет любого из указанных эффектов приводит к «размазы-
«размазыванию» упругой особенности, которое является следствием ре-
решения математической задачи в уточненной теории. Следует
подчеркнуть, что сингулярность в конце трещины обычно
остается даже в уточненной (геометрически или физически не-
нелинейной) теории; однако она существенно изменяется и имеет
силу на значительно меньших расстояниях, чем упругая асимп-
асимптотика. Этот факт говорит о приблизительном характере всякой
«строгой» теории.
Рассмотрим эффект конечности деформаций. Пусть Х\, х2,
х3 — некоторая декартова система отсчета. Тройка чисел (хи
х2, Хз) задает положение некоторой материальной точки, испы-
испытавшей смещение (мь и2, м3) из недеформированного состояния.
Смещения иь и2, щ будем считать функциями х\, х2, Хз, при
этом начальные координаты точки в недеформированном со-
состоянии jfOi определятся соотношением хт = х* — щ.
Между напряжениями ai} и деформациями етп в упругом
теле существует взаимно однозначная зависимость [37], которую
можно записать так:
(n, v,, v2, .,.). C.129)
Здесь
„ L ( дит 1 dUn L диа ди
6 \- Г +
2. \~охп ахт
Б, vi, V2, ... — упругие постоянные, первая из них имеет размер-
размерность напряжения, а остальные безразмерны, /'¦>' — некоторые
ограниченные безразмер-
безразмерные функции.
Допустим, что в не-
деформированном теле
имелся разрез нулевой /fo х АО В
толщины; при приложе- ///z^^
нии нагрузки разрез пре- в
вращается в полость (рис. Рис. 18.
18). Пусть имеет место
нормальный разрыв, а длина начального разреза достаточно ве-
велика (или приложенные нагрузки достаточно малы), так что
разрез можно считать полубесконечной плоскостью у = 0, х<0;
образующаяся полость близка к этому разрезу в том смысле,
что деформации на бесконечности бесконечно малы, а распреде-
распределение напряжений и деформаций при г->-оо такое же, как в ли*
нейной теории упругости (формулы C.44)). Реальность такой
ситуации следует из «принципа микроскопа».
J04 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (ГЛ. Ш
Отметим следующие свойства решения этой задачи, харак-
характерные для любых конечных упругих деформаций:
а) угловые точки и точки возврата на контуре недеформиро-
ванного. тела исчезают при сколь угодно малых нагрузках;
б) напряжение ау в,конце полости (в точке О на рис. 18) не
зависнет от Ki (и, тем самым, от приложенных нагрузок) и
равно
a» = ?X,(v,, v2> ...); C.130)
в) характерный линейный размер области А, в которой су-
существенны эффекты конечности деформаций, равен
A = -§-Mv" v2, ...)• C-131)
Здесь Ху и Я2 — некоторые безразмерные функции своих ар-
аргументов.
Первое свойство непосредственно следует из сингулярности
напряжений и деформаций в угловой точке (и точке возврата)
при сколь угодно малых внешних нагрузках в линейной теории
угругости, которую можно рассматривать как теорию малых
возмущений точной (геометрически нелинейной) теории упруго-
упругости. Разумеется, имеются в виду угловые точки класса N.
Второе и третье свойства становятся очевидными, если
учесть, что в поставленной задаче нет характерного линейного
размера и единственным внешним .параметром является коэф-
коэффициент интенсивности напряжений Къ определяющий требуе-
требуемую на бесконечности/асимптотику.
При получении формулы C.130) существенно использована
также ограниченность функций рк Если pi нёограничены, то
возможна также зависимость типа
5-, v,, v2, ...J (при r->0 A3-*oo),
где т — расстояние от конца полости.
¦Найдем точное решение поставленной задачи для следую-
следующей модели несжимаемого упругого тела при конечных дефор-
деформациях (плоская деформация):
3
Ееху — -^х
C.132)
ау).
Здесь
е* ~~~-дх ' еУ ~ ду ' вх« ~~ 2 \ ду + дх
точка над буквой означает полную производную по времени.
§ 9]' ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 105
Соотношения C.132) представляют собой обычный закон
Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Оче-
Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно
малого деформирования в окрестности произвольной конечной
деформации любого несжимаемого упругого тела, однако мо-
модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины ко-
конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тен-
тензора деформации, так как тело считается изотропным). Пред-
Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной
модели упругого тела на малые возмущения не зависит от
величины конечной деформации.
Следует иметь в виду, что полное соответствие модели, опи-
описываемой уравнениями C.132), некоторому геометрически нели-
нелинейному упругому телу имеет место в случае только одного
параметра нагружения. При наличии нескольких параметров
нагружения конечные деформации этой модели, вообще говоря,
будут^зависеть от пути нагружения (гипоупругое тело).
Общее решение уравнений C.132) и уравнений равновесия
"лГ+"^Г==0> ~dT"^~df===0 C.133)
можно представить при помощи формул, аналогичных соотно-
соотношениям Колосова — Мусхелишвили C.9) в плоской задаче ли-
линейной теории упругости:
ох + ду =А Re Ф (г, t) (z = х + iy),
ду — ох + 2ixxy = 2 [гФ' (z, f) + W (z, t)],
у?(п + п)) = ф(г, *) —zq>'(z, О-* (г. 0.
[Ф(z, t) + гЩг~Т) + <ЙгГО]д =1 \ (К + Яп) ds, C.134)
АВ
t) — d(f (z't]
Здесь /^время, y(z, t) и i|)(z, t)—однозначные аналитические
функции z в области, занятой телом; другие обозначения иден-
идентичны принятым в формулах C.9).
Следует отметить, что уравнения C.133) —не точные, а при-
приближенные; в них пренебрегается членами вида grad ii-grada*
по сравнению с членами типа -=T-grad(rx. Строго говоря, это
верно только для малых деформаций. Приближенность такой
постановки задачи вполне искупается возможностью ее полного
аналитического исследования. Кроме тога, решение этой задачи
позволяет проиллюстрировать некоторые моменты, характерные
для проблемы конечной деформации в целощ,
106 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
На неизвестной границе полости L, уравнение которой имеет
вид F(x,y, t) = 0, должно выполняться условие кинематической
совместности
3F . . 3F . . dF n /o 1Qr\
-дГ + иЖ + и^^° (ЗЛ35)
(F (х, у, 0)— заданная функция).
Граница полости L в любой момент времени свободна от
внешних нагрузок; отсюда при помощи представлений C.134)
находим следующее граничное условие:
, 0 = 0 (ze=L). C.136)
В бесконечно удаленной точке функции ф(г, t) и i|>(z, t), со-
согласно C.43), ведут себя так:
" при z—> сю
Ф(г, t) = KlVm^ + o{zW),
C.137)
Таким образом, поставленная задача свелась к краевой за-
задаче C.135) — C.137) с неизвестной границей от одной ком-
комплексной и одной действительной переменных.
Перейдем на верхнюю полуплоскость параметрической пло-
плоскости ? при помощи отображения 2 = со(?, t); аналитическая
функция со(?, t) конформно отображает область Im^^O на об-
область, занятую телом и ограниченную контуром L, со взаимно
однозначным соответствием начала координат и бесконечно
удаленных точек (см. рис. 18). Следовательно,
ш(?. <) = —сЮС + ой8) при ?->оо, C.138)
где c(t) —действительная положительная функция.
При этом краевые условия C.136), C.137) на плоскости ?
запишутся в виде
Ф. E. « = - Kill V^f)№t + о (О,
Здесь
% (I, t) = Ф [<а (;, о, fl, if. (?, 0 = 1|> [ш (;, 0,
§8]
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
107
где соо(?)—задаваемая функция. Точка над буквой означает
производную по комплексной переменной. Функции ф*(?, t),
•ф. (?, t) и со (?, t) подлежат определению.
Условие кинематической совместности удобно записать та-
таким образом:
при Im? = О
2п, [ да> (С, t)
у ? lm [
да Д. О 1 _
1 _
J —
Это условие получается из следующих соображений
(рис. 19). Каждой точке М контура L в любой момент времени
t соответствуют две скорости: а)
скорость материальной частицы, на-
находящейся в момент времени / в
точке М; комплексный вектор этой
скорости и + iv определяется фор-
формулой C.134); б) кинематическая
скорость перемещения точки М са-
самого контура L (daldt), соответ-
соответствующая одному и тому же значе-
значению параметра ?, задающего поло-
положение точки М на кривой L в любой
момент времени, Как следует из
рис. 19, на котором сравниваются два близких положения кон-
контура L в малой окрестности точки М в моменты времени / и
t + dt, проекции указанных двух векторов скорости на нормаль
пг к контуру L в точке О должны быть равны между собой. Те-
Теперь для доказательства C.140) осталось лишь найти-выражение
для комплексного вектора единичной нормали пг на контуре L:
„ _ dz _ ю'(Е. 0 # __, ">'(?¦*)
t+it
Рис. 19.
\dz\
I «>'(?. 01
C.141)
и составить скалярное произведение а„ комплексного вектора
а = |a|exp(uxi) на комплексный вектор nz = exp(ia2):
ап = | a |cos (ai — a2) = Re (aiiz). C.142)
Формулы C.138) —C.140) завершают постановку краевой
задачи для верхней полуплоскости комплексного переменного
?. Рассмотрим класс решений этой краевой задачи, в котором
выполняется условие
|*^|4py--*^0 (ЗЛ43)
»' (С 0
при
108 , сингулярные задачи теории упругости [гл. т
представляющее собой векторное равенство кинематической
скорости и скорости материальной частицы на границе полости.
При этом условие C.140) выполняется тождественно. Как будет
видно из дальнейшего, исходная задача, в которой начальная
полость представляет собой полубесконечный прямолинейный
разрез нулевой толщины, входит в этот класс.
Сложив C.143) и C.139), получим
^- = 3cp.(S, t) при Im? = 0. C.144)
В силу принципа непрерывного продолжения соотношение
C.144) должно выполняться также в полной плоскости ?.
Подставляя функцию ф*(?, t) согласно C.144) в C.143) или
в C.139) и преобразуя, можно найти
= — Зо^ю' при Im? = 0 C.145)
или
Т1ГНС. *)<»'«, 01 = -¦.«, <)ffl'<C t) при
Введем вспомогательную аналитическую функцию Г E, t):
Г«' /) = —^hr\ h'& ^)W'(S> <)л+го@ • C-146)
Функция Г<>(?) несущественна, и ее можно считать равной
нулю. При помощи функции Г(?, t) краевое условие C.145)
можно записать так:
=»Г(С, t) при ImS = 0. C.147)
Решение краевой задачи C.147) -в классе функций, имею-
имеющих на бесконечности заданный порядок О(?2) и удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям симметрии, запишется в виде
»E, *) = —сфС2 —ЭД?, Г«, 0 = --g-^I
C.148)
Действительные положительные функции c(t) и b{t) должны
определяться из условий C.139) на бесконечности для функций
$91 ЁЛИЯМИВ К0НЕЧН6СТИ ДЕФОРМАЦИЙ Ю9
Ф.С?,0 и т|з*(С, 0; при помощи C.146), C.148) и C.144) нахо-
находим следующие дифференциальные уравнения, которым долж-
должны удовлетворять функции c(t) и b(t):
de 1 db
dt ' 3 dt
Таким образом^ функция c(t) равна постоянной, которую без
ограничения общности можно считать равной единице. Оконча-
Окончательно получаем
Ь = 3Kil{E V^2jT) + b0, с = 1, C.150)
где bo — произвольная постоянная.
Искомые функции o>(g, /), <р*(?, /) и i|)*(?, t) запишутся
в виде
В начальный момент нагружения Ki = 0 и b = bo, т. ё. по-
постоянная 60 определяет форму начальной ^полости. Согласно
C.151), контур полости в любой момент нагружения представ-
представляет собой параболу
W C.152)
Как видно, величина 62/2 равна 'радиусу кривизны в вер-
вершине параболы. В интересующем нас случае начального разре-
разреза нулевой толщины Ьо = 0.
Найдем исходные функции в физической плоскости г;
К, 2z + b Yb2 + 4г — Ь2
¦
C.153)
(Ь2 + 4г)
3/2
1 К) СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (ГЛ. И!
Из формул C.134), интегрируя по времени, определяем поле
смещений и напряжений
— 4? Рр In
3
_ АЕ Г 6 + /б2 + 4г 32 +
3 L uJ 0
C.154)
u+lv =±R[V7T Vl& ](b2®
b + fW+H 1 ,
— Z In . -{ Z In
bo+Vbl+& 2
Формулы C.154) позволяют определить также конечные де-
деформации тела в любой точке и при любом значении параметра
нагружения Ki (или Ь, согласно C.150)).
В случае начального разреза нулевой толщины, когда
60 = 0, напряжения в вершине параболы ведут себя следующим
образом:
при 2->0
ах^0> хх,^0, ау = ^-\п~ + ОA), C.155)
т. е. напряжение ау имеет логарифмическую особенность. Появ-
Появление этой особенности связано, по-видимому, с тем обстоятель-
обстоятельством, что в используемой модели упругого тела допустимы
бесконечно большие напряжения и деформации; последнее пред-
представляет собой некоторую идеализацию. Следует отметить так-
также, что на применяемой диаграмме а — е нет каких-либо харак-
характерных точек; поэтому граница области, в которой существенны
эффекты конечности деформаций, имеет условный характер.
§ 10. Влияние физической нелинейности
и размеров начальной полости
В рамках теории малых деформаций отклонения от закона
Гука при достаточно больших деформациях, а также отличие
начального трещиноподобного дефекта от математического раз-
разреза нулевой толщины приводят к перераспределению напряже-
напряжений и деформаций в непосредственной окрестности контура тре-
трещины. Рассмотрим эти эффекты на простейших примерах.
§ !0] ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 111
1. Нелинейно-упругое тело*). Пусть нелинейно-упругое од-
однородное и изотропное тело содержит в себе трещины нормаль-
нормального разрыва. Будем считать, что среда несжимаема и подчи-
подчиняется произвольной степенной зависимости между интенсивно-
интенсивностью касательных напряжений / и интенсивностью деформаций
сдвига Г. Эту зависимость можно рассматривать в качестве
удобной аппроксимации произвольной связи между / и Г в ин-
интервале величин, характерных для окрестности контура тре-
трещины.
На основании теоремы Ильюшина р2] поведение рассматри-
рассматриваемого тела идентично поведению упрочняющейся несжимае-
несжимаемой упруго-пластической среды со степенной зависимостью
между интенсивностью касательных напряжений и интенсивно-
интенсивностью скоростей деформаций сдвига, если внешние нагрузки
возрастают прямо пропорционально одному параметру на-
гружения. /
Следует указать еще на одно счастливое обстоятельство:
в случае степенной зависимости переменные в соответствующих
уравнениях нелинейной теории упругости разделяются, по край-
крайней мере, в декартовых и полярных координатах. Это позво-
позволяет найти эффективное решение некоторых конкретных задач
для рассматриваемого тела.
Приведем основные соотношения в полярных координатах г8:
уравнения равновесия
0 ^rL iifl o^L-o (
+ г ае + г ~"и> дг ^ г ае + z г — и> \
условие совместности деформаций
д I дегв \ д2ег дег д* (гее)
2 IF у ~Ш~!:==~т2 Г1Г + Г аг2 ' C-157)
соотношения между деформациями и напряжениями
ег = — se == т aI* (°r — ffe). ere = al\e,
C.158)
2/=1/K_ffeJ + 4T2e> r =
Здесь а и к — упругие постоянные. Величины / и Г в данном
случае равны максимальному касательному напряжению и
наибольшей деформации сдвига в каждой точке.
Согласно «принципу микроскова» вопрос о распределении
напряжений и деформаций вблизи края трещины нормального
*) Решение этой задачи впервые было получено в работе автора C81.
Позже тем же методом, но без ссылки на работу [38J эта задача была решена
Райсрм и Розенгреном [39].
112 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
разрыва сводится к решению следующей однородной краевой
задачи для системы уравнений C 156)— C.158):
при 0=±я, 0<г<оо {г9 = тг9 = 0. C.159)
. Кроме того, решение должно быть симметрично относитель-
относительно оси абсцисс, так как рассматриваются трещины нормального
разрыва.
Поставленная краевая задача допускает группу преобразо-
преобразований /' = С\1, 8' = 6, г' = С2г, где под / подразумеваются на-
напряжения (или деформации), С] и С2 — параметры группы.
Можно показать, что такую же группу допускает аналогич-
аналогичная краевая задача для произвольного сектора, занятого рас-
рассматриваемым материалом; в вершине сектора могут быть при-
приложены сосредоточенная сила и момент. Граничные условия
могут быть любого из четырех типов, указанных в § 2 при
определении канонических сингулярных задач. Кроме того, сам
сектор может быть кусочно-однороден и кусочно-анизотропен;
линии разрыва упругих постоянных должны совпадать с радиу-
радиусами. Качественное и количественное исследование указанного
класса нелинейных задач может быть проведено при помощи
излагаемых здесь методов.
Следует отметить, что получающиеся качественные резуль-
результаты для рассматриваемого нелинейно-упругого тела оказы-
оказываются теми же, что и для тела Гука; в частности,' в, случае
свободных от внешних нагрузок границ s будут справедливы
утверждения, аналогичные предложениям А — Г § 3.
Из группового свойства и из общего решения уравнений
равновесия при помощи функции Эри вытекает, что сингуляр-
сингулярное решение краевой задачи должно иметь вид
Or = - (А + I) ^ [Г (в) + d + 2)f @I,
Ч г*П6)
Здесь /@)—произвольная функция, % — собственное число.
Подставляем выражения C.160) в формулы C.158) для де-
деформаций, затем последние подставляем в условие совместности
C.157); окончательно получаем следующее обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение относительно функции /@):
[ ] [Ф* W - (/О2] • C.161)
Здесь
4Ф2 = 4 (/'J + [(А + 2) / - (Я + I) (Г + Ч + 20JV
S 10] ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ИЗ
Граничные условия C.159) запишутся в виде:
при 6= ±л / F) = /' (в) = 0. C.162)
Вследствие симметрии тге, дог/дд и двв/dQ должны обра-
обращаться в нуль при 6 = 0; отсюда:
при 6 = 0 /'@) =/"'@) = 0. C.163)
Таким образом, на сегменте [0, л] для уравнения четвёртого
порядка C.161) получается двухточечная краевая задача на
собственные значения. Для любого заданного значения упругой
постоянной к можно получить численное решение этой задачи
на ЭВМ.
В случае разрезов нулевой толщины (как в данной задаче)
собственное число К может быть найдено [38] из физических со-
соображений, на основании общих положений механики разру-
разрушения. В гл. V будет показано, что во всякой физически кор-
корректной модели упругого тела характерные напряжения и де-
деформации на краю математического разреза (в рамках теории
малых деформаций) должны обращаться в бесконечность так,
чтобы их произведение имело особенность вида 1/г. В предель-
предельных- случаях допускается ограниченность напряжений или де-
деформаций: идеально-пластическое тело (напряжения ограниче-
ограничены, деформации имеют порядок О A/г)), идеально-отвердеваю-
идеально-отвердевающее тело (деформации ограничены, напряжения имеют порядок
0A/0).
Согласно C.160) и C.158), деформации имеют порядок
О(г%+Ы), а напряжения — порядок О (г1). Тогда из указанного
условия находим
Х=-1/(х + 2). C.164)
В частности, для тела Гука х = 0 и К = —1/2, что уже было
получено ранее другими методами.
Таким образом, на краю разреза в подчиняющемся степен-
степенному закону нелинейно-упругом теле напряжения имеют поря-
порядок О (г-^н-2»), а деформации — порядок О (г-<*+1>/<*+2>).
Знание собственного числа Я значительно облегчает задачу
численного интегрирования уравнения C.161), так как для за-
заданного v. оно вполне определено. Заметим, что функция /(9)
находится из граничной задачи с точностью до неопределенного
множителя, который, играет роль коэффициента интенсивности
напряжений и определяется внешним полем. Как и вообще в
задачах класса N, он должен быть задан при постановке за-
задачи. Без потери общности функцию f@) можно считать равной
1 при 0 = 0; при этом простейший метод решения краевой.за-
краевой.задачи C.161) — C.163) состоит в том, чтобы, задавая еще /"@)
при 6 = 0 и решая стандартную задачу Коши для уравнения
114 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
C.161), стремиться к тому, чтобы /F) обращалась в нуль при
б = я. Последовательное задание /"F) при 6 = 0 удобно осу-
осуществлять, например, способом, аналогичным методу Ньютона
при отыскании корня уравнения.
Отметим наиболее примечательный результат численного
анализа: при увеличении к От нуля до бесконечности (что соот-
соответствует переходу от диаграммы Гука к диаграмме Прандтля)
происходит притупление конца трещины от упругой параболи-
параболической формы до прямоугольной, с конечным скачком смещения
2v0 в конце трещины, что отвечает идеальному упруго-пласти-
упруго-пластическому телу.
2. Полости. Реальные дефекты, служащие причиной разру-
разрушения, в большей или меньшей степени отличаются от мате-
математических разрезов нулевой толщины, обычно фигурирующих
в теории.
Пусть S — срединная поверхность, представляющая собой
геометрическое место точек, равноотстоящих от противополож-
противоположных берегов начальной трещиноподобной полости. Обозначим
через h(x\, х2) толщину полости (пара чисел (хи х2) задает
положение точки на поверхности 5).
Допустим, что выполняются условия
h(xux2)<l, lgrad/ф,, х2)\< 1, ' C.165)
где / — характерный линейный размер полости в продольном
направлении. В этом случае для приближенного решения за-
задачи можно применить следующий прием: снесем граничные
условия со стенок полости на поверхность S, опуская в гра-
граничных условиях малые величины, и решаем задачу так, как
если бы полость была математическим разрезом вдоль S. При-
Прибавляя к начальным координатам материальной точки ее сме-
смещение, полученное из приближенного решения, находим поло-
положение соответствующей точки в деформированном состоянии.
Этот прием соответствует нулевому приближению в решении
задачи асимптотическим методом, когда искомые функции пред-
представляются в виде асимптотического разложения по малому
параметру е = max h/l:
оо
/ (хи х2, х3) = /о (*i, х2, х3) + 2 ft (хи х2, х3) ф,- (е) -3 j
(фг(е)-*0 при е-*0).
Здесь координата х3 выбрана так, чтобы при х3 = 0 получа-
получалась поверхность S.
Представляет интерес вопрос о степени близости приближен-
приближенного решения f0 к точному при е—*0 в рамках линейной теории
упругости. Можно показать, что, если во всех точках поверхно-
поверхности § эьшолняются условия C.165) и, кроме того, полость на
§ Ю] ВЛИЯНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 115
конце (на контуре поверхности S) имеет точку возврата, то
приближенное решение во всех точках Х\, х2, хг близко к точ-
точному по абсолютной величине. Если же полость на конце (на
контуре поверхности S) имеет угловую точку или, тем более,
плавное закругление, то о близости этих решений можно гово-
говорить только в пространстве Lp *). В малой- окрестности точек
контура поверхности S эти решения значительно отличаются по
модулю при сколь угодно малых е. Асимптотическое разложе-
разложение C.166) годится только на расстояниях, больших по сравне-1
нию с характерным размером полости в ее конце (для случая
плавного закругления таким размером служит радиус закруг-
закругления).
Таким образом, решение, получаемое путем снесения гра-
граничных условий на поверхность S, близко к точному на расстоя-
расстояниях от контура поверхности S, больших по сравнению с радиу-
радиусом закругления полости А. На расстояниях порядка Д задачу
следует решать в точной постановке (метод асимптотического
разложения не годится).
При / ^> А на основании «принципа микроскопа» для поло-
полостей имеет смысл представление о коэффициентах интенсивно-
интенсивности напряжений, задающих поле напряжений и деформаций на
расстояниях от края полости, больших по сравнению с А и
определяемых внешним полем.
Концевая часть любой плавно закругляющейся полости с
ограниченным радиусом кривизны при е-*0 представляет со-
собой параболический цилиндр; поэтому распределение напряже-
напряжений и деформаций в непосредственной окрестности края полости
определяется потенциалами C.22) для параболического цилин-
цилиндра, которые удобно записать так:
*) Lp — пространство функций, заданных при а ^ х < Ь, для которых
b
Г [f(x)]pdx принимает конечное значение.
116 сийг^лйрнЫё задачи теории уйругос*и [гл. Ш
Здесь уравнение контура параболического цилиндра принято
в виде Ь2х = —у2, так что срединная поверхность полости бу-
будет совпадать с полуплоскостью у = О, х ¦< 0.
В частности, для максимальных напряжений в конце поло-
полости получаются формулы
Приведем два конкретных примера (для эллиптической по-
полости и двух глубоких гиперболических вырезов).
Пусть контур полости представляет собой эллипс
а упругая плоскость растягивается на бесконечности напряже-
напряжением оу = р (задача Колосова). В этом случае, воспользовав-
воспользовавшись указанным приближенным приемом, легко определить ко-
коэффициент интенсивности напряжений (см. гл. IV), а по фор-
формуле C.168) — максимальное растягивающее напряжение в
конце полости. Находим
Ki = Р V^R, оу = 4р/( 1 - т). C.170)
Согласно точному решению Колосова [23], максимальное на-
напряжение при произвольных т равно
3 — 2/и — /п2 /
Отношение максимальных напряжений, согласно формулам
C.170) и C.171), равно
(стк)точн ,1 / 1 \ /о 1 то\
_-_=1—-е 8=1— т). C.172)
• \ау)прибл- *
Как видно, даже для круговой полости, когда т = 0, ошибка
приближенного решения не превышает 25%.
Пусть теперь упругое тело занимает область, расположен-
расположенную- между ветвями гиперболы (см. формулу C.24) и рис. 12),
причем Э «С 1 (задача Нейбера). В этом случае также можно
воспользоваться приближенным приемом снесения граничных
условий на ось абсцисс и без труда определить коэффициенты
интенсивности напряжений.
Находим (в точке z = с)
L ™ * =-?=' C-173)
У пс
.. У пс с у пс у пс У пс
Здесь приняты обозначения рис. 12, добавлены лишь сосре-
сосредоточенные силы Z на бесконечности от продольного ^двига,
действующие перпендикулярно плоскости чертежа.
iioi влияние ФизйЧбской нелинейности и?
По формулам C.168) отсюда можно найти максимальные
напряжения в конце глубокого тонкого гиперболического выре-
выреза при х = с, у = 0:
(Д = с02). C.174)
Согласно точному решению (см. § 3), для гиперболы с про-
произвольным углом раствора Эо напряжение атах при х = с, у = 0
равно
_ -2/ ¦ AM ctg 80
тах с sin 90 (яа + sin яа) "" с2 cos яа (tg яа — яа)
(яа = я — 2во). C.175)
Отношение максимальных напряжений при М = 0 полу-
получается равным
(вшах/точи ^9("
• (я — 290 + sin 2B0) *
Даже для равнобочной гиперболы, когда Эо = я/4, ошибка
приближенного решения не превышает 35%.
Таким образом, указанный приближенный прием с исполь-
использованием промежуточных сингулярных решений C.167) полезен
также при определении концентрации напряжений в наиболее
опасных точках вырезов и отверстий различной формы. Это
особенно важно в тех случаях, когда точное решение задачи
представляет большие трудности.
Если известно точное решение задачи о концентрации напря-
напряжений при произвольном радиусе закругления А в конце по-
полости, то при помощи C.167) легко определить соответствую-
соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений при А—»0, на-
например, по асимптотике решения C.167) при z-*0 (т. е. при
Находим
Ki — iKn= Hm
г , ft,\ — ftn\-\ C.177)
: = — film lim
г/Д-»0, .
Здесь ф(г) и f(z) — потенциалы точных решений.
Например, коэффициенты интенсивности напряжений Ki и
Кш можно определить по максимальным напряжениям
118 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. III
в наиболее опасной точке 2 = 0:
/<¦]= lim М—-отах , Кщ= Vim [УпК %тлх\
A-»OL л J Д->0
famax = Оу lz-0. ^тах = *zy Iz-o)> C-178)
Отметим, что случай полостей, концы которых не имеют
плавного закругления, требует специального рассмотрения.
§11. Динамические эффекты
Учет сил инерции приводит к перераспределению напряже-
напряжений и деформаций в окрестности края хрупкой трещины. Наи-
Наиболее просто анализируются эти эффекты в следующих слу-
случаях, являющихся в известном смысле предельными случаями
общего динамического решения:
а) фронт трещины распространяется в упругом теле с боль-
большой скоростью, сравнимой со скоростью звука, причем упругое
поле стационарно в малой окрестности кромки трещины в дви-
движущейся системе координат, связанной с концом трещины;
б) фронт трещины неподвижен; внешние нагрузки, помимо
постоянной составляющей, имеют компоненту, которая изме-
изменяется во времени с большой частотой по закону синуса (уста-
(установившиеся колебания).
Изучим эти случаи, считая упругое тело для простоты од-
однородным и изотропным.
1. Локально стационарное поле. В плоской стационарной
динамической задаче теории упругости имеют место следую-
следующие основные представления, полученные впервые Л. А. Гали-
ным [40]:
" ^ 7^17Im
— Req>3(z2),
- 2v) [P,fW (.) + Ы N].
op (-5.1/У)
7
(l+vOl-2v)
fg») ReЖ
'§11] ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 119
Здесь:
m =
С\ и с2 — скорости распространения волн расширения и сдвига
соответственно, р — плотность. Функции cpi(zi), 92B2) и фз(гг)
представляют собой аналитические функции комплексных пере-
переменных
Zx = x—Vt+ihy, z2 = x-Vt + i$2y. C.180)
Представления C.179), C.180) описывают плоское упругое
поле, стационарное в системе координат % = х— Vi, т) = у, дви-
движущейся в направлении неподвижной положительной оси х со
скоростью V, меньшей с2. Это поле, как и в статическом случае,
расщепляется на два независимых поля, дающих соответственно
плоскую деформацию (функции cpi и фг) и сложный сдвиг
(функция фз).
Приведем также следующие зависимости:
2nER(m,x)
+ v) A - 2v) [- р^,, (га) + ф4р1Ш2 (г2)]
(ш, v)
Здесь ш(B) и ш2(г) — аналитические функции (потенциалы
Галина), которые определяются следующими интегралами
Коши:
+ 0
+00
} ЫЛ-ОТ#7. C.182)
120 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
Отметим еще соотношение
?М _ 1+у Гр?(Р4 —1) г" dt
д% /п_о "" ER (я, v) я J lCVi-o l _
U ¦ —оо
C.183)
Теперь рассмотрим задачу о распределении напряжений и
деформаций в малой окрестности произвольной точки О дви-
движущегося фронта трещины, причем направление скорости V
перемещения фронта в этой точке лежит в плоскости, касатель-
касательной к поверхности трещины в той же точке.
Упругое поле считаем локально стационарным в рассмат-
рассматриваемый момент времени относительно системы координат,
движущейся вместе с концом трещины. На основе «принципа
микроскопа» приходим к следующей канонической сингулярной
задаче для упругого пространства с полубесконечным разрезом:
при т) = 0, |< 0 CTtl = T5r)=Ttl2-=0. C.184)
Подвижные координаты |тJ, связанные с фронтом трещины, —
те же, что и координаты xyz на рис. 13.
При помощи C.179) и C.182) граничные условия C.184)
запишутся в виде
при т) = 0, |<0 ImWj (z) = lm w2(z) = Im <$'3(z) = 0. C.185)
Корректное решение этой сингулярной краевой задачи по
аналогии со статическим случаем имеет следующую форму:
У „ , ^ . V C-186)
Здесь Vz — однозначная аналитическая функция в плоско-
плоскости z, разрезанной вдоль положительной полуоси | (|Лг ^0
при г = х + /О).
Коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Kn, Km в об-
общем случае зависят от времени, граничных условий, конфигура-
конфигурации тела и трещины, скорости и ускорения роста трещины
и т. п.; эта зависимость определяется из решения задачи в це-
целом. Если упругое поле стационарно в целом, то эти коэффи-
коэффициенты, очевидно, не будут зависеть от времени и от скорости
трещины.
§ ill Динамические эффекты 121
Напряжения и деформации вблизи конца трещины легко оп-
определяются по формулам C.179), C.181) и C.186). Приведем
получающийся результат, ограничившись наиболее важным
случаем трещин нормального разрыва, когда Кп = Кш = 0:
ч
* . . . I — 8184 cos -pr arctg (pi tg 9)
ди д i A -г v) I 2 ^ ,
~д% ~~ ER (m, v) У~Ъп L (cos29 + p^sin29I/4
|- arctg (p2tg 9I
.I ' I» I j I -4 1 Л/I
3 + P|sin29I/4 J
P1P2 «OS -5- i
dv
Cl + v> f~P?sinTarCtg(P2tg9) P4P? sin -I aretg (p
L
~д$~~ ER(m,s)^bTr L (cos2e+Pisin2ey/4 ~ (cos2 9 + tfx sin2 9)
_ Kx \ PP
П ~ R (m, v) f*Tr L
g (p, tg в) 1 '
sin2 9I'4 J'
(cos2 9 + P2 sin2 e)
2sin29I/4
P,P3p4cosYarctg(P1tg9) 1
~ (cos29+p2sin29I/4 J'
_ Ki Г P^cos^rctg^tgg)
Gi)~ R (m, v) K^ L (cos2 9 + E2 sin2 9) ' ~
p2p2cos-^-arctg(P2tg9) 1
(cos29+p2sin2eI/4 J'
(P2tg9) 1
sin29) J'
sini-arctg(p,tg9) siniarctg
Xlr]== R{m,v)f2^r [ (co^e+pfsta'eI'* "" (cos29+($2sin29)
fb —^=0, (Tc^V^s + a,,).
Примерный график функции arctg(ptgG) указан ниже на
рис. 79.
Выясним, при каких условиях.упругое поле вблизи конца
движущегося разреза будет локально стационарным. Вначале
напишем уравнения динамической теории упругости для плос-
плоской задачи, когда д/dz = 0:
122 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЁОС ИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. lit
Напряжения и смещения выражаются через волновые потен-
потенциалы у(х, у, t) и ty(x, у, t) так:
В этих формулах xyz — неподвижная декартова система ко-
координат. Допустим, что скорость V распространения разреза
в рассматриваемой точке О фронта трещины представляет со-
собой непрерывную функцию времени. Тогда в течение бесконечно
малого промежутка времени ее можно считать постоянной.
В подвижной системе координат | = х—Vt, r\ = у волновой
оператор ? на этом промежутке времени запишется следую-
следующим образом:
U дх2 """ ду2 с2 dt2 ~
~ d|2 ^ дт\2 с2 д%2 ^ с2 dldt с2 dt2 ' \
Таким образом, необходимым и достаточным условием ло-
локальной стационарности упругого поля вблизи точки О является
ограниченность вторых производных d2/d?,dt и d2/dt2 волновых
потенциалов в точке О, рассматриваемых как функции |, г\ и t.
Действительно, при выполнении этого условия двумя послед-
последними членами в выражении оператора ? можно пренебречь в
малой окрестности точки О по сравнению с первыми тремя син-
сингулярными членами.
Следует отметить, что в некоторых (например, автомодель-
автомодельных) задачах условие локальной стационарности не выполняется.
2. Установившиеся колебания. Рассмотрим стационарный
волновой процесс в плоскости ху, считая, что зависимость всех
переменных физических величин от времени выражается мно-
множителем ехр(—шО» гДе ** — частота колебания. При этом
S 11] ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 123
уравнения C.188) примут вид
— 0, kW + klw = O, C.191)
Ф (*, у, t) = Ф (л:, у) е-'«", Мр (х, y,t) = V (х, у) е~ш,
w(x, y,t) = W(x, у)е~ш.
Здесь ki и k2 — волновые числа для продольной и попереч-
поперечной волн. Отметим известные соотношения для монохроматиче-
монохроматической волны
C.192)
где Т — период колебания, с — скорость распространения волны,
К — длина волны, k — волновое число.
В соотношения C.189) время не, входит, поэтому они оста-
останутся справедливыми также для соответствующих предэкспо-
ненциальных множителей при искомых функциях.
Пусть в упругом теле имеется трещина-разрез с характер-
характерной длиной /; фронт трещины предполагается неподвижным.
Качественная картина изменения упругого поля в окрестности
трещины в зависимости от частоты будет следующей. При ма-
малых частотах колебаний, пока длина волны велика по сравне-
сравнению с /, упругое поле будет квазистатическим; в частности, за-
зависимость коэффициентов интенсивности напряжений на фрон-
фронте трещины от времени будет выражаться только множителем
ехр(—iat). С увеличением частоты колебаний, когда длина
волны X становится сравнимой с /, упругое поле будет пере-
перестраиваться, а предэкспоненциальны» множители в коэффициен-
коэффициентах интенсивности напряжений будут уже зависеть от со.
Наконец, при больших частотах, когда длина волны X мала
по сравнению с характерной длиной трещины /, вблизи фронта
трещины обосабливается область, характерный линейный раз-
размер которой мал по сравнению с / (своеобразный пограничный
слой). При этом вне этой области решение легко находится
(оно соответствует решениям геометрической оптики), а для
определения краевого эффекта нужно решать сингулярную гра-
граничную задачу для волновых уравнений C.191) на полубеско-
полубесконечном прямолинейном разрезе, свободном от внешних на-
нагрузок.
Существенно подчеркнуть, что при больших частотах, когда
К -С I, коэффициенты интенсивности напряжений на фройте^
трещины вполне определяются характеристиками падающей
волны (угол падения, частота, интенсивность) и коэффициен-
коэффициентом Пуассона; конфигурация тела и трещины не влияет на их
величину. Действительно, при любых частотах, очевидно, рас-
распределение напряжений и деформаций в достаточно малой ок-
окрестности фронта трещины при г <^; % будет квазистатичееким
|24 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
(т. е. определяется формулами C.44) — C.46)), так как вблизи
фронта трещины инерционные члены в уравнениях C.191) пре-
пренебрежимо малы по сравнению со статическими (на самом
фронте волновые потенциалы ограничены, а их вторые произ-
производные по координатам сингулярны). При Я «С / квазистатиче-
квазистатическое упругое поле имеет место в области г <С Я, а на расстоя-
расстояниях г ~ Я поле вполне определено характеристиками падаю-
падающей волны.
Поэтому на основании анализа размерностей нетрудно найти
следующие асимптотические формулы для коэффициентов ин-
интенсивности напряжений (модуль сдвига, очевидно, входит в
решение только через посредство с\ или с2):
при Я < / (или при и > с/1)
Ки = Ли (8. v) тутах ]Г^ е-Ч. (ЗЛ93)
Km = Лш (9. v) тгтах У с Jet е~ш.
Здесь t)i, т)п, Лш — некоторые безразмерные функции коэффи-
коэффициентов Пуассона и направления излучения на бесконечности;
Рис. 20.
х, Тутах и tzmax — наибольшие значения напряжений ау,'хху
и tzn, соответственно, для волны на бесконечности (п — нормаль
к фронту волны).
В пределе при и->оо (т. е. при Я-*0) решение легко стро-
строится для трещин произвольной формы, причем концентрация
напряжений на контуре трещины, согласно C.193), исчезает.
В качестве иллюстрации на рис. 20 построено решение этой
предельной задачи для изолированной прямолинейной трещины
I 111 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 125
длины 21. Предполагается, что плоская монохроматическая вол-
волна расширения
<ро<—'exp{?[(fe, г)—e>t]), ¦фо==О (|fe| = co/c,) C.194)
излучается из бесконечности на трещину под углом 0, опреде-
определяемым вектором k.
Потенциалы отраженных волн имеют вид:
в области ABB"А"
\Lf J •^^fc' CA.L7 1^1 \**1 > ' / J J VI I I "" ***/ ^11 IJC ^~~ «v Jg> -1Ы У/1
C.195)
в области ABCD
¦ф, — exp ft Г(Л„, г) — ©Ш
LV Ji , C.196)
I I f» I . — f{\ I f b -"' ¦ о о — т- I/ (itfi114 ^— ?** 1
\ rt-n | Ш/ I'nj /vn,, №vj /Vn.. —"" У W /l/q *v v I*
\ | Z [ ' L AX, A ^y • ' л */
В области A'ABB' возмущение отсутствует («тень»); линии
АА\ ВВ', АА", ВВ", AD и ВС представляют собой линии раз-
разрыва потенциалов.
Амплитуды отраженных волн легко находятся из граничных
условий на трещине. Для определения коэффициентов х\\, х\а
и т)ш в асимптотических форму-
формулах C.193) необходимо найти У
решения сингулярных задач о па-
падении монохроматических пло-
плоских волн на полубесконечный
прямолинейный разрез, свобод-
свободный от внешних нагрузок (см.
рис. 21). <»»»)>ш»/»,гт
В случае плоской деформации ч *'
эту задачу изучал Мауэ D1]; в Рис- 21.
случае продольного сдвига реше-
решение этой задачи (точнее, математически эквивалентной ей опти-
оптической задачи о дифракции волны на экране) <>ыло получено
Зоммерфельдом [42].
Как вытекает из предыдущего, решение динамических задач
теории упругости об установившихся колебаниях однородного
изотропного тела со свободным от нагрузок разрезом должно
удовлетворять следующему условию (условию на ребре):
при r-»0 aik = О (r-Ч2), ф~Чг~г3/2. C.196а)
Рассмотрим сингулярную граничную задачу для полубес-
полубесконечного разреза, ограничившись для простоты наиболее
126
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ш
важным случаем нормального разрыва:
при у = 0, х < 0 а у = хху = О,
при у = 0, л; > 0 t^ = 0, у = О,
при г->оо Ф0(л;, г/) =
C.197)
1 = 0 (у>0).
Таким образом, монохроматическая волна сжатия (или рас-
растяжения) с максимальным напряжением Отах падает на полу-
полубесконечный разрез вдоль отрицательной полуоси х под углом
6 = я/2 (см. рис. 21).
Введем новый потенциал <Di = Ф — Фо; при этом согласно
условию на бесконечности потенциал Ф] должен стремиться к
нулю при г-*оо.
Решение задачи ищем в виде [41], который легко находится
методом разделения переменных;
ФЛх,у) = - ]~R (Я) A kl - Я2) е1
W (Х, у) = fR (Я) Я Vk\ - Я2 e
\-%2у)
dh (у>0),
C.198)
(у>0).
Здесь #(Я)—неизвестная функция; функция j/&2 — я2 ана"
литична в комплексной плоскости Я с двумя полубесконечными
разрезами вдоль действительной оси (—оо, —k{) и (k\, оо); под-
подразумевается ветвь этой функции, действительная и положи-
положительная при —ki <. Я< ku т. е. положительно мнимая на верх-
верхнем берегу левого разреза и на никнем берегу правого разреза.
Контур интегрирования в C,198) показан на рис. 22.
Будем пользоваться следующими соотношениями, легко по-
получаемыми из C.189) и C.191):
дФ
дх '
C.199)
дхду '
(
2ц ~ дх ду \дх2
(множитель е~т здесь опущен).
,§ и! динамические эффекты 12?
Решение в форме C.198) удовлетворяет дифференциальным
уравнениям C.191) и граничному условию %ху = 0 при у =? 0.
Условия излучения для принятой временной зависимости
ехр(—Ш) также выполняются [43].
Выберем функцию R(K) так, чтобы удовлетворить остав-
оставшимся граничным условиям, нулевому условию на бесконеч-
бесконечности и условию на ребре.
Решение будем строить методом Винера — Хопфа, точнее,
при помощи его модификации, предложенной Джонсом (см.
книгу Нобла [43]).
Согласно формулам C.198) и C.199), находим при у = 0
величины оу и v, соответствующие потенциалам Ф{ и Ч':
где
_оо —оо
(при г/ = 0),
а (л) = я2 V{k] - л2) (kl - я2) + A *? - я2 J,
Отсюда, используя обратное преобразование Фурье, по-
получаем
+°о
А (Я)
В'(Я)
Г ,
1 (О
J v
— oo
+ 00
f (о
y/2\i)y=0 e l x dx = Q
)y^oe-ilxdx=V+(b
!+(Я)
¦)+v
+ Q"
/¦— /л \
\ / *
(Я),
C.201)
где
C.202)
128
СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[гл: m
Искомые функции О~(к) и V+(l) аналитичны соответственно
в нижней и верхней полуплоскости комплексного переменного X.
Напомним, что граница, разделяющая эти полуплоскости, про-
проходит так, как показано на рис. 22 (в частности, точки X = О,
Х =—k\ и X = — k2 принадлежат нижней полуплоскости, а
точки X = k\ и X = k2 — верхней полуплоскости).
Оставшиеся неудовлетворенными граничные условия C.197)
при помощи величин (ау)у = о и (и)„ = о, отвечающих потенциа-
потенциалам <X>i и Ч?, запишутся так:
(On \
2ц /j,_0
СТщах
C.203)
(при у = 0, х<0), (при у = 0, х > 0).
Подставляя эти значения в Q+ (X) и V~ (X), находим
i2 '
C.204)
Ири вычислении бралась конечная часть расходящегося ин-
интеграла, как обычно в теории волн [43].
Подставляя найденные функции в соотношения C.201), ис-
исключая из них R(X) и вводя обозначение
*!-*?_
2 —
C.205)
приходим к следующему уравнению Винера — Хопфа:
F (X) V+ (Я) - О" (Я,):
4пцХ
Функции F(X) и
(факторизация):
= /1+(Л)^-(Л),
(l—~) Vkl — X2 F (Я). C.206)
представим в виде произведении
C.207)
Здесь ^(Я) и F~(Я.) — функции, аналитические соответствен-
соответственно в верхней и нижней полуплоскостях Я. Согласно выбору
ветви функции Ykl X2 и контура, разделяющего нижнюю и
верхнюю полуплоскости X (см. рис. 22), Yk2-\-X будет анали-
аналитической функцией в верхней полуплоскости (разрез вдоль
§ il]
ДИЙАМИЧЕСКЙЕ ЭФФЕКТЫ
= 0, —оо <; Я < — k2), а У k2 — Я — аналитической функ-
функцией в нижней полуплоскости (разрез вдоль Im Я = 0, k2 < Я<
Задачу факторизации функции F{X) решил Мауэ [41]; вос-
воспользуемся его результатом
г, г,\2
±Я
2 —
~ { arctg
2 2
rfz
(KR = <a/cR). C.208)
Здесь ся — скорость распространения поверхностных волн Рэлея
(cR < c2); в формуле C.208) берутся только верхние или толь-
только нижние знаки.
С учетом факторизации уравнение Винера — Хопфа C.206)
можно записать так:
l(Tmax
C.209)
f- (Я) v k2 - х
Так как второй член в правой части этого уравнения имеет
полюс при Я = 0, а точка Я = 0, согласно рис. 22, принадлежит
нижней полуплоскости, преобразуем этот член следующим об-
образом:
_
@) Vk2 - F~ (Я) /fe2 - Я,]
4яцЯ/?~ (я; Vk2 — я
"Ттах
@) V^ 4jthXF" (Я) fki-XF' @)
Здесь значение функции F~ (%) в точке Я = 0 равно [44]
f-(Q) = /?+(Q) = . ^^«=.= с'^с' =, (з.2Ц)
Учитывая это преобразование, уравнение Винера^ Хопфа
можно записать в форме
C 212)
F (Я) /ft2 — Я 4яцЯ/?~ (Я) /fta — Я F~ @) |^ '
Левая часть этого уравнения представляет собой функцию,
аналитическую в верхней полуплоскости, а правая часть —
5 Г, П. Черепанов
130 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill
функцию, аналитическую в нижней полуплоскости %. Согласно
принципу непрерывного продолжения, левая и правая части
этого уравнения являются аналитическим продолжением друг
друга. Осталось выяснить поведение определенной таким об-
образом функции, аналитической во всей плоскости Я, в беско-
бесконечно удаленной точке.
Для этого воспользуемся следующим известным соотноше-
соотношением [43].
Если при — 1 < б < 0
U-*oo
то C.213)
A->0
Здесь Q (%) = J a (x) e~Xx dx, Г (б + 1) — гамма-функция. _
о
В этих формулах нужно брать либо верхние, либо нижние
предельные переходы.
Согласно условию на ребре C.196а) и формулам C.123),
единая аналитическая функция, определенная уравнением Ви-
Винера— Хопфа C.211), стремится к нулю на бесконечности. Сле-
Следовательно, по теореме Лиувилля она тождественно равна нулю
во всей плоскости %. Таким образом, получаем
1/+ (J.\ =
OVnax
C.214)
При помощи преобразования Фурье и формул C.204) вос-
восстанавливаем напряжение ау на продолжении разреза и сме-
смещение его берегов о, отвечающие исходной граничной задаче
C.197) и описываемые потенциалами Фи?:
о = — I-
C.215)
Контур интегрирования показан на рис. 22.
IPJ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 131
Теперь определим коэффициент интенсивности напряжений
Ifi и тем самым коэффициент rji(n/2, v.) в формуле C.193). На-
Ц сначала, используя C.213) и C.208),
~'/2. C.216)
Так как при х-> + 0 ay = Ki/V^nx > то при помощи формул
C.211), C.213) и C.202) отсюда можно окончательно найти
(с учетом опущенного ранее экспоненциального множителя)
?
*! = (!+0 атах^ИЕ1 /ie-. C.217)
Как уже говорилось, эта формула годится не только для по-
полубесконечных разрезов, но также для конечных трещин -при
наличии пограничного слоя, т. е. когда со >¦ с/1 (I — характерная
длина трещин)..
Воспользовавшись решением Зоммерфельда (см. также [43])
и формулой C.213), нетрудно вычислить и коэффициент интен-
интенсивности напряжений для трещины продольного сдвига
Km = V 1 ~ cos 9 тгтах Y*tA + 1) е~Ш- C'218)
В случае трещин-разрезов конечных размеров наиболее
эффективным является метод асимптотических разложений иско-
искомого решения уравнений C.191) по малым и большим волно-
волновым числам. Разложение по малым параметрам kl и k\ при-
приводит к цепочке стандартных граничных задач статической
теории упругости с объемными силами, определяемыми преды-
предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый
параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины
возникает описанное явление пограничного слоя, где требуется
точный анализ задачи для полубесконечного разреза; вне по-
пограничного слоя решение строится элементарно. Склеивание
асимптотических разложений при малых и больших частотах
позволяет получить эффективное решение для всей области
частот.
3. Ударные нагрузки. Для решения динамических задач
о воздействии произвольных ударных (импульсных) нагрузок
(например, ударных волн) на неподвижные разрезы наиболее
эффективен следующий метод. Ударный импульс a{t), движу-
движущийся в упругом теле, представляет собой, «пакет» монохрома-
132 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
тических волн, которому соответствует комплексная спектраль-
спектральная функция (т(<й):
+°°
а (о) = —у J a (t) еш dt. C.219)
—оо
Ширина спектра Аи и длительность импульса А/ связаны
соотношением неопределенностей, аналогичным принципу Гей-
зенберга в квантовой механике:
Ао • А/ ~ 2я. C.220)
Следовательно, чем более «размазан» импульс a(t), тем бо-
более компактен спектр, и наоборот.
Величина ст(о))^о)/]/2л представляет собой амплитуду моно-
монохроматической волны е~ш в этом «пакете»; она создает коэф-
коэффициент интенсивности напряжений Ki{(o)da>e-iat на фронте
трещины. При этом Ri(u>), отвечающий монохроматической
волне с частотой ©, определяется из решения задачи об уста-
установившихся ^колебаниях, рассмотренной выше. Отсюда, приме-
применяя принцип суперпозиции, находим коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений Ki(t) в вершине трещины при произвольном
динамическом ударе:
Ki(t) = f7L- Г &Ие-'*<*©. C.221)
— оо
Таким образом, распределение'напряжений и деформаций в
достаточно малой окрестности конца неподвижного разреза в
упругом теле будет всегда статическим, т. е. в любой динами-
динамической задаче также будет иметь вид C.44) — C.46).
Рассмотрим, например, задачу о воздействии произвольных
ударных нагрузок на полубесконечную трещину нормального
разрыва, расположенную вдоль у = 0, х < 0, используя при
этом полученное выше точное решение этой задачи в случае
установившихся колебаний с произвольной частотой и. Огра-
Ограничимся лишь выражением для коэффициента интенсивности
напряжений, представляющим наибольший интерес для меха-
механики разрушения; формулы для напряжений и смещений в уп-
упругом пространстве опустим. При помощи C.217) получаем
-1-ОО
-1-ОО
~^=^- f /-5-а>)в-'«>. C.222)
—оо
Здесь функция ду(а>) определяется через заданный импульс
ov(t) посредством формулы C.219).
* 111
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
133
Рассмотрим некоторые частные случаи общей формулы
C.222).
Пусть импульс напряжений o(t) имеет прямоугольную
форму:
ау @ = О ПРИ t < О и при t > Т,
оу @ = <т0 ПРИ 0<t<T
@0 и Т постоянны). Спектральная функция этого импульса
имеет вид
?шт _ i)# C.224)
Подставляя это значение в формулу C.222) и вычисляя интег-
интеграл, находим в этом случае
Ki(t) =
Ж=ЦRe(VT- \П=
C.225)
Следовательно, при t <; Г коэффициент интенсивности на-
напряжений прямо пропорционален Yt, а при t > Т прямо про
порционален \/t —Yt—Т. Напомним, что коэффициент Kj(t)
в физических задачах действителен, а в силу предполагаемой
Рис. 23.
симметрии для трещин нормального разрыва ударные импульсы
должны симметрично сходиться к оси х. График функции
(Y — Vt— Т) изображен на рис. 23.
Наиболее интересны следующие предельные частные случаи
этой задачи.
а) Бесконечно длинный импульс. При этом Г—>оо и для К\
получается формула
C.226)
134 СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ. Ш
Этот случай физически соответствует мгновенному образо-
образованию полубесконечного разреза в бесконечной упругой плос-
плоскости, подвергнутой однородному растяжению напряжением о0.
Непосредственное решение этой автомодельной динамической
задачи теории упругости D4] оказывается достаточно утоми-
утомительным.
б) Мгновенный импульс. При этом Т—>0, так что oqT-*P,
где Р — величина суммарного импульса, и тогда
Это соотношение справедливо также для произвольного им-
импульса при больших временах t >• At, где /it — продолжитель-
продолжительность импульса.
Из предыдущего изложения вытекает, что трещины, присут-
присутствующие в упругом теле, «срезают» частоты <а^ С\\1 (/ — ха-
характерная длина трещин). Трещина длины / полностью отра-
отражает колебания с частотой й> cjl (см. рис. 20), являясь для
них своеобразным «зеркалом». Трещиноватое упругое тело, та-
таким образом, непроницаемо для звуковых частот w ^ Ci/l; поэ-
поэтому оно модулирует ударные импульсы, «срезая» высокоча-
высокочастотную часть их спектра. В силу соотношения неопределенно-
неопределенностей наибольшей модуляции подвергаются короткие импульсы
с крутыми фронтами. При прохождении через трещиноватое
тело форма импульса сглаживается и округляется.
Эти свойства трещин-полостей и трещиноватых тел могут
представлять интерес, например, для следующих приложений:
а) обнаружение внутренних дефектов типа трещин в напря-
напряженных конструкциях посредством звукового облучения высо-
высокой частоты, * '
б) создание искусственных полостей-«зеркал» в горном мас-
массиве в целях облегчения сейсморазведки,
в) определение средней трещиноватости горных пород,
г) защита сооружений от взрывов путем создания искус-
искусственных трещинообразных полостей и т. д.
Замечание к главе III. Методы решения конкретных
задач для полубесконечных разрезов, рассмотренные в §§ 5—7,
позволяют получить эффективное решение этих задач также для
случая произвольного числа разрезов, расположенных вдоль
одной и той же прямой.
t Л А Ъ А IV
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ
ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
§ 1. Критерий локального разрушения
В этой главе рассматриваются основные методы механики
хрупкого разрушения (общефункциональный и энергетический),
Криволинейные трещины, структура края квазихрупкой тре-
трещины, указываются основные эффекты явления разрушения, вы-
выходящие за рамки классической теории, и приводятся различ-
различные оценки физических характеристик прочности.
Рассмотрим трещину произвольной формы в однородном и
изотропном хрупком теле, подвергнутом растяжению. Предпо-
Предположим, что при определенной внешней нагрузке в бесконечно
малой окрестности некоторой точки О контура трещины произо-
произошло местное разрушение, в результате которого контур тре*
щины переместился в новое положение. Встает вопрос о том,
как сформулировать критерий локального разрушения.
Напряжения, деформации и смещения вблизи точки О до
разрушения описывались формулами C.44) — C.46), в которые
входят в качестве параметров коэффициенты интенсивности на-
напряжений Къ Кп, Km- Задание этих параметров полностью
определяет напряженно-деформированное состояние вблизи
точки О. Поэтому простейшее предположение о локальном раз-
разрушении состоит {45] в том, что начало-разрушения определяется
только этими параметрами, т. е. существует замкнутая поверх-
поверхность
f(Ku Кп, Кт) = 0, D.1)
охватывающая начало координат, такая, что, как только конец
вектора {Ki, Кп,,Кт) попадает на эту поверхность, в соответ-
соответствующей точке О контура трещины происходит локальное раз-
разрушение. Если конец вектора находится внутри области, огра-
ограниченной поверхностью D.1), то разрушения не происходит, а
положение конца вектора вне этой области считается невозмож-
невозможным. Из простых соображений очевидно, что любой луч, исходя-
исходящий из начала координат, может пересекать поверхность D.1)
только в одной точке.
Физически реализуется случай Ki 5& 0. так как при Ki < 0
вследствие налегания противоположных берегов трещины
136 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. tV
происходит перераспределение напряжений вблизи контура тре-
трещины*).
Указанное предположение в рамках идеально-упругого тела
тривиально, поскольку состояния вблизи любых двух точек кон-
контура трещины в таком теле при одном и том же векторе
{#ъ Кп, Km} совершенно не различимы, если тело однородно и
изотропно, и не зависят ни от времени, ни от предшествующего
роста трещины.
В дальнейшем под однородными и изотропными телами бу-
будут подразумеваться такие тела, у которых не только упругие,
но и прочностные свойства однородны и изотропны. Более стро-
строго, тело однородно, если поверхность D.1) не зависит от поло-
положения в теле точки О контура трещины; тело изотропно в дан-
данной точке О контура трещины, если поверхность D.1) не зави-
зависит от ориентации плоскости трещины в этой точке.
Поэтому можно говорить о телах, которые неоднородны и
анизотропны по прочности (в указанном смысле), но одно-
однородны и изотропны по своим упругим свойствам. Этот случай
реализуется на практике весьма часто в клеевых соединениях,
в образцах и заготовках из металлов и сплавов, где всегда ма-
материал в большей или меньшей степени анизотропен и неодно-
неоднороден по прочности вследствие предшествующих технологиче-
технологических процессов (например, проката, термообработки и т. п.).
Для произвольных неоднородных по прочности тел функция
D.1) будет зависеть также от трех координат точки О; для
произвольных анизотропных по прочности тел в функцию D.1)
войдут еще два аргумента, определяющие ориентацию вектора
нормали к плоскости трещины в точке О. Таким образом, в са-
самом общем случае неоднородного и анизотропного по прочно-
прочности хрупкого тела в функцию D.1) будут входить еще пять
независимых переменных. В случае плоской задачи число до-
дополнительных аргументов снижается до трех, а если тело одно-
однородно— до одного.
Для общего случая неоднородного и анизотропного по проч-
прочности идеально-упругого тела физическое допущение, содержа-
содержащееся в закономерности D.1), состоит лишь в том, что процесс
локального разрушения считается не зависящим от предысто-
предыстории развития трещины.
Функцию f(Ki,Kii,Km) можно определить из эксперимен-
экспериментальных данных или из дополнительных физических соображе-
соображений. Для трещин основных типов критерий локального разру-
разрушения D.1) принимает следующий вид:
нормальный разрыв
Ki"BtKiCt Kn = Km — 0> D.2)
*) Для полостей физический смысл имеет также случай Кг < О,
s I]
КРИТЕРИЙ ЛОКАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
137
поперечный сдвиг
Кп = Кп
Ki = Km = 0;
продольный сдвиг
Km = Km с> Ki = Кп = 0.
D.3)
D.4)
Здесь Kic, Kiic, Ктс — некоторые постоянные материала. Ве-
Величина Kic называется вязкостью разрушения.
Наибольшую важность для механики разрушения представ-
представляет изучение трещин нормального разрыва. В этом случае, со-
согласно критерию локального разрушения D.2), на той части
контура трещины, где происходит локальное разрушение и тем
самым продвижение трещины, коэффициент интенсивности на-
напряжений постоянен и равен Kic, а на неподвижной части кон-
контура трещины он меньше Kic-
Это условие играет роль дополнительного граничного усло-
условия на контуре трещины нормального разрыва в хрупком теле.
Оно позволяет замкнуть постановку задачи о. развитии таких
трещин в упругом теле, если из каких-либо соображений зара-
заранее известно направление распространения трещины. Например,
если задача обладает симметрией относительно некоторой пло-
плоскости (т. е. тело и внешние нагрузки симметричны относитель-
относительно этой плоскости, а начальная трещина — плоская и ее пло-
плоскость совпадает с плоскостью симметрии), то естественно до-
допустить, что плоскость симметрии останется таковой и в процессе
развития трещины, так что трещина останется плоской. Это до-
допущение оправдывается в теории криволинейных трещин нор-
нормального разрыва; в боль-
шинстве случаев оно под-
подтверждается на опыте, хотя
есть и исключения, объяс-
объясняющиеся различными усло-
усложняющими факторами (в
основном, влиянием пла-
пластичности и инерционными
эффектами).
Рассмотрим некоторые
конкретные задачи.
Пусть прямолинейная изолированная трещина у = 0, а <
< х < Ь в бесконечной упругой плоскости подвергается воздей-
воздействию нагрузок
Рис. 24.
¦Р(х),
, = о,
D.5)
приложенных к ее берегам симметрично относительно оси х
(рис. 24). Напряжения на бесконечности предполагаются нуле-
нулевыми. Задача считается плоской.
J38 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
При помощи основных представлений C.9) и условия сим-
симметрии задачи относительно оси х находим
при # = 0, a<x<b, Q(z) = 0, ЯеФ(г)*=±р{х), D.6)
при z->oo Ф(г) = оA), Q(z) = o(l). D.7)
Согласно условиям C.43), функция Ф(г) на концах разреза
имеет особенность порядка z~1/2
Решение задачи Дирихле D.7) для разреза (а, Ь) оси х
в этом классе функций находится по формулам Келдыша — Се-
Седова [46-47]:
/
Q(z) = O, Ф(г) = - г - . =¦
2я/]^(z — a) (z — 6) J * —z
Здесь при z-> оо
Корень под знаком интеграла представляет собой значение вет-
ветви соответствующей аналитической функции, выделяемой усло-
условием D.9), на верхнем берегу разреза.
Используя решение D.8), D.6) и формулы C.43), нетрудно
найти коэффициенты интенсивности напряжений:
в точке х = а
ь
= ^-ff—г f p W Yt=1 dx' ^n^Km = 0; D.10)
У л (Ь — a) J г х — а
в точке х — Ь
= *»1=0- DЛ1)
Сделаем одно замечание. Используя принцип линейной су-
суперпозиции, нетрудно рассмотреть также случай, когда напря-
напряжения ох и оу на бесконечности не обращаются в нуль. В дан-
данном случае этот принцип гласит: напряженное состояние в за-
задаче о трещине с ненулевыми напряжениями на бесконечности.
ох—в%(х, у), оу=о™(х, у), ^=0 является суперпозицией двух
напряженных состояний, одно из которых отвечает напряже-
напряжениям на бесконечности для пространства без трещины,
т. е. ох=о™(х, у), оу—о™(х, у), *ху=0, а другое — напряжениям
в только что рассмотренной задаче с нулевым напряженным
состоянием на бесконечности и нагрузкой
ау = Р М ~ °Г (*. °)' х*у = ° D.12)
S ij Критерий локального разрушения 139
на берегах трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений
в исходной задаче, очевидно, соответствуют второму напряжен-
напряженному состоянию.
Разберем простейшие примеры.
а) Задача Гриффитса (см. рис. 2). В этом случае в форму-
формулах D.8) — D.11) надо положить
a = ~l, b = l, р (я) = р = const, D.13)
где 21 — длина трещины, р — величина растягивающего напря-
напряжения ау на бесконечности.
Величина другого главного напряжения (ах) на бесконечно-
бесконечности не входит в р{х), поэтому на развитие хрупкой трещины
в этом случае оказывает влияние только та нагрузка, которая
перпендикулярна к плоскости трещины.
По формулам D.10) — D.13) находим
Ki = pV^l, /Сп = /Сш = 0. D.14)
Используя критерий локального разрушения для трещин
нормального разрыва D.2), находим зависимость разрушаю-
разрушающей нагрузки р от длины I:
p^KijVrt. DЛ5)
Таким образом, при увеличении нагрузки трещина вначале
стоит, до тех пор пока не будет достигнуто критическое значе-
чение ру после чего трещина начинает расти (см. рис. 3). Как
видно, величина нагрузки р уменьшается с ростом размера тре-
трещины I; из элементарных соображений*) следует вывод о не-
неустойчивости равновесия трещины в этом случае.
Формула D.15) совпадает с полученным ранее результатом
Гриффитса AЛ1), если положить Kic—^i YnEy для плоского
напряженного состояния. Отметим, что формулу D.15) легко
получить также из соображений анализа размерностей (с точ-
точностью до численного множителя).
" По формулам D.8) и C.44) нетрудно определить потенциал
Ф{г) и форму трещины при р(х) = р = const:
D.16)
= 0, \х\<1 v =
при j/ = 0, \x\>l oy=
*) Строгая теория устойчивости, основанная на общей закономерности
A.10), излагается в § 4 для произвольных хрупких трещин.
140 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ (ГЛ. IV
Следовательно, трещина Гриффитса имеет форму сплюсну-
сплюснутого эллипса.
б) Задача о сосредоточенной силе (рис. 25). Пусть к проти-
противоположным берегам трещины в точке х = с приложены две
равные и противоположно направленные сосредоточенные силы
Р, расширяющие начальную трещину. В этом случае
р(х) = -Рд(х-с), , D.18)
где Ь{х — с) — дельта-функция Дирака. По формулам D.8) —
D.11) находим
ф(г)== РУ(с--а)(Ь-с)
v ' 2п(с-г)Уг(г-а)(г~Ь) ) '
в точке х = а
4p/A^ 0; D.20)
у n{b — а) ' с — а
в точке х= Ь
Ь — с
D.21)
Допустим вначале, что размеры начальной трещины удов-
удовлетворяют условию &о + ао < 2с. В этом случае предельное
значение коэффициента интенсивности напряжений, равное Ки,
при увеличении Р достигается впервые в точке х = bo при зна-
значении силы Р = Р., определяемом из уравнения D.21):
D.22)
Поэтому трещина начинает развиваться своим правым кон-
концом х = Ь, а левый конец остается неподвижным (см. рис. 25).
При значении силы Р = Р**, где
P» = KicVn(c-ctQ), D.23)
предельное значение коэффициента интенсивности напряжений
достигается т'акже в точке х = а^, в этот момент правый конец
трещины находится в точке
Ь = 2с — ай. D.24)
При дальнейшем увеличении силы Р оба конца трещины
симметрично растут, причем
i D.25)
где 21 — длина трещины.
Случай Ьо + по ^ 2с рассматривается аналогично.
КРИТЕРИЙ ЛОКАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
141
В этой задаче росту трещины отвечает увеличение силы Р\
это свидетельствует об устойчивом квазистатическом разви-
развитии трещины.
в) Комбинация сосредоточенной силы и растяжения на бес-
бесконечности (рис. 26). Пусть в центре трещины длины 21
действуют равные и противеположно направленные силы Р,
\
Р**
о-ао 0 bo-c 2c-an
-I
\
Р1
Рис. 25
иг
Р
Рис. 26.
которые стремятся сомкнуть трещину, а на бесконечности
приложены постоянные разрывающие нагрузки р, как в задаче
Гриффитса.
Комбинируя формулы D.16) и D.19), D.14) и D.25), со-
согласно принципу линейной суперпозиции получаем в этом
случае:
Ф(г) = *L-(l—g-).
Согласно D.26) и D.2) величина разрывающей нагрузки р*
равна
f--4-- D.27)
Развитие трещины неустойчиво, как и в задаче Гриффитса.
Пусть, например, сила Р, подкрепляющая трещину, осущест-
осуществляется посредством сварного шва или приклепанного стрин-
стрингера, поперечное сечение которого равно S, а прочность на
142
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
разрыв — йь. При этом будет иметь место неравенство Р ^ сть5;
знак равенства соответствует разрушению стрингера. Подста-
Подставив в D.27). Р = ObS, в этом случае можно найти предельную
нагрузку, не решая сложной задачи о предшествующем про-
процессе деформирования стрингера.
Рассмотрим еще один интересный частный случай, содержа-
содержащийся в D.26). Пусть нагрузка р будет сжимающей, а сила
II
1
t
р
р
ч
И!
р
Рис. 27.
Р — разрывающей (рис. 27). В этом случае с увеличением Р
трещина развивается устойчиво, причем
р=яр/ + Ки V^i ¦ D-28)
Если прочность материала пренебрежимо мала по сравне-
сравнению с действующими на тело нагрузками, точнее, ¦ если
Ки ^ Р V^l то из D.28) получается зависимость
P — npl, D.29)
которая соответствует контактной задаче о сжатии двух упру-
упругих полупространств (сжатию противодействуют сосредоточен-
сосредоточенные силы).
г) Изгиб на бесконечности (рис. 28). Пусть издали от трещи-
трещины, поверхность которой свободна от нагрузок, действуют на-
напряжения
. ох = хху = 0, D.30)
§ 1]
КРИТЕРИИ ЛОКАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
143
возникшие, например, от чистого изгиба моментом М полосы
шириной 2h, причем начальная трещина мала сравнительно с
шириной полосы, т. е. Ь — a <g. h.
По формулам D.10) и D.11), используя принцип суперпози-
суперпозиции, находим
в точке х = Ъ
зУп л л
= ;=г М
^2
D.31)
в точке х= а
_ -ь* — 2аЪ
A3 Vb - a
Км = Кщ = 0.
Разрушение начинается с правого конца начальной трещины
при х = Ь; медленное развитие трещины неустойчиво, как в за-
задаче Гриффитса.
д) Влияние1 прочностной неоднородности- Допустим, что в
задаче Гриффитса при росте трещины вязкость разрушения Ки
меняется от точки к точке, т. е.
Kic = Kic(l)- Наглядно это можно
представить себе как случай неод-
неоднородного по прочности клея, соеди-
соединяющего два одинаковых упругих
полупространства. Пусть, например,
функция Kic(l) монотонно возрас-
возрастает: при малых / — прямо пропор-
пропорционально /, а при достаточно боль-
тих / достигает некоторой постоян— р*
ной насыщения.
Соответствующая зависимость
«нагрузка — длина трещины», кото-
которая определяется по формуле D.15),
изображена на рис. 29. Как видно, о
в этом случае трещина растет ус-
устойчиво при 0 < / <С /*, а с мо-
момента- достижения наибольшей
нагрузки р=р* начинается неустойчивый рост трещины, причем
Рис. 29.
/.)
D.32)
Существенно подчеркнуть, что в этом случае разрушающая
нагрузка рч не зависит от размера начальной трещины U (если
U <¦ '•)'. разрушение происходят, даже если начальной трещины
нет вовсе. . '
Рассмотренная задача может служить моделью, дающей
объяснение одному из возможных механизмов образования
144 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
начальных трещин в процессе нагружения. Этот механизм, по-ви-
по-видимому, имеет место в металлах и сплавах при возникновении и
развитии внутризеренных трещин, когда макропластические
процессы не развиты, и следовательно, вязкость разрушения
существенно меньше, чем для макротрещин (размер которых
велик по сравнению с величиной зерна).
§ 2. Энергетический метод
Пусть в упругом однородном и изотропном теле имеется
хрупкая трещина; форма тела и трещины совершенно произ-
произвольны. Предположим, что локальное разрушение в процессе
развития трещины всегда происходит в плоскости, касающейся
поверхности трещины в точке разрушения, так что результирую-
результирующая поверхность трещины не имеет угловых линий и точек.
В этом случае некоторое обобщение метода Гриффитса позво-
позволяет определить функцию f(Ki,Kn,Km), фигурирующую в об-
общем критерии локального разрушения D.1).
Запишем закон сохранения энергии для упругого тела с тре-
трещинами
J ,da=U—TS + 2Y1 D.33)
Здесь вц и «г — составляющие тензора напряжений и вектора
смещения на поверхности тела Б (включая трещины), U —
внутренняя энергия тела, Я; —компоненты внешней нормали
к поверхности Б, у~~повеРхностная энергия, приходящаяся на
единицу свободной поверхности тела, Т и S — температура и
энтропия тела соответственно. Точка над буквой означает про-
производную по времени.
Закономерность D.33) нужно дополнить еще условием не-
необратимости роста трещины
S>0. D.34)
Существенно, что условие D.34) должно выполняться также
для любой части рассматриваемого тела. При этом, естественно,
не учитывается изменение поверхности, обусловленное малыми
деформациями тела.
По теореме Остроградскбго — Гаусса и вследствие уравне-
уравнений равновесия имеем
J or,/«i«/rf(T=J (ei,ui)l,tdv=j oitBittdv,eil~=j(uttl^-uht), D.35)
2 V ,V
где V — объём, занятый телом,
S 2] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 145
Поэтому уравнение D.33) можно записать также в виде
J (ачё{, — Uа — TS0) dv = 2уЁ D.36)
(u=j.Uodv, TS=JTSodv\.
\ v v )
Здесь Uo и So — объемная плотность внутренней энергии и
энтропии соответственно.
Отсюда вытекают обычные уравнения теории упругости
.. =|-г— {rn=Un — ТЬп) D.37)
ае. / \ уе., /
2=const 2=const
и обобщенное условие Гриффитса
дН_\ _
12 As<f=const
S0const
u~const
где
H = U— J aijUitijda, F=U—TS, G = U — TS—
Уравнения D.37) и D.38) вместе с условием необратимости
D.34) представляют собой наиболее общую замкнутую форму-
формулировку задач о распространении трещин в упругих телах. Эта
формулировка годится для произвольных неоднородных анизо-
анизотропных тел, в том числе нелинейно-упругих; поверхность тре-
трещины может быть произвольно криволинейной и может иметь,
например, угловые линии.
Изучение локального поля напряжений и деформаций
вблизи контура трещины во всех этих случаях принципиально
позволяет при помощи D.38) и сингулярного решения найти
связь между y и предельными комбинациями из коэффициентов
интенсивности, фигурирующих в сингулярном решении. Найдем
эту связь в частном случае линейно-упругого однородного и
изотропного (по упругим свойствам) тела, считая поверхность
растущей трещины всегда гладкой.
Применяя «принцип микроскопа», приходим к уже рассмат-
рассматривавшейся сингулярной задаче для полубесконечного разреза
(см. рис. 13). Считая процесс адиабатическим, используем пер-
первую формулу D.38) и сингулярное решение C.44).
146
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV_
Пусть вначале К\ ф О, Ки = Km = 0. При этом напряжение
Оу вблизи рассматриваемой точки О контура трещины на ее
продолжении равно
Oy*=KilV*u (хху = хгу = 0), D.39)
а упругие смещения v берегов трещины вблизи ее конца, опре-
определяющие форму трещины вблизи точки Q, таковы:
i>=±2(l — v)/Ci
D.40
AL
Рис. 30
Процесс распространения конца трещины из положения О
в положение О\, находящееся на расстоянии А/ от точки О
(рис. 30), можно представить
себе так *). В тот момент, когда
конец трещины находится в точ-
точке О, сделаем мысленный раз-
разрез вдоль ОО\ и приложим к про-
противоположным берегам разреза
ОО\ равные и противоположно
*?¦ (направленные нагрузки K\J V2nx,
дающие такие же напряжения,
которые имеют место в нераз-
неразрезанном теле в момент ло-
локального разрушения. Затем будем монотонно уменьшать эту
нагрузку до нуля. В результате снятия нагрузки берега разреза
ОО\ будут расходиться, и в тот момент, когда нагрузка ста-
станет равной нулю, смещения берегов достигнут наибольшей
величины, очевидно, равной ±2A—v) К\с V&l — xf(Y2n\i).
Изменение внутренней энергии Д?/ рассматриваемой полу-
полубесконечной области за счет представляемого таким образом
возрастания длины трещины на А/, при 5 = const и щ =.const
(щ — в данном случае смещения на бесконечности), легко оп-
определить по формуле D.33), используя теорему Клапейрона.
Находим:
м
Д?/
=— ^~К\ J
о
при и, = const. D.41)
Вычисляем интеграл в D.41), переходим к пределу при
Д/-+0 и используем первую формулу D.38). В результате по-
получим, считая, что U относится к единице длины вдоль оси z:
— V
¦2Y)/ = 0.
D.42)
*) Этот прием впервые применил Ирвин в 1957 г. [1Z].
§•21 . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД , 14?
Отсюда вытекает, что для неподвижной трещины (/ = 0)
выражение в квадратной скобке, вообще говоря, отлично от
нуля, а для растущей трещины (/ > 0) выражение в квадрат-
квадратной скобке должно обращаться в нуль.
Окончательно получаем:
Y == /Сic A — v2)/B?) (плоская деформация). D.43)
Точно такой же расчет в случае плоского напряженного со-
состояния приводит к следующей формуле:
у = К.ЫBЕ) (плоское напряженное состояние).
В общем случае Ki ф 0, Кп Ф 0, /Cm Ф 0, применяя анало-
аналогичные рассуждения, вместо D.41) нетрудно получить следую-
следующее уравнение:
м
= — J
о
Здесь напряжения ау, хху, тгу берутся из сингулярного ре-
решения C.44) — C.46) при 0 = 0, г = х\ смещения и, v, w отве-
отвечают смещениям кончика трещины, взятым из того же решения
при 0 = я, г = А/ — х.
При помощи условия Гриффитса D.38) отсюда получаем
такой локальный критерий разрушения:
f (Кь /Си, Km) = 4hy - A - v) (/Ci + /Cri) - Km = 0. D.45)
Совершенно аналогичный результат можно получить, рас-
рассматривая другие процессы, например, при Т = const, ы* = const
или при 5 = const, Oijtij = const. При этом отличие будет со-
состоять лишь в том, что упругие постоянные* ц и v должны со-
соответствовать этим процессам. Из опыта известно, что длЪ
большинства- упругих тел различие между адиабатическими и
изотермическими константами упругости очень мало, так что в
большинстве случаев им можно пренебречь.
Таким образом, в случае трещин основных типов (нормаль-
(нормальный разрыв, поперечный сдвиг, продольный сдвиг) между соот-
соответствующими константами Kic, Kiic, Кшс и поверхностной энер-
энергией у существует прямая зависимость; поэтому энергетический
метод в этом случае не дает ничего принципиально нового по
уравнению с простым общим подходом, изложенным в преды-
предыдущем параграфе.
148 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Для трещин произвольного типа с гладкой поверхностью
предположение о постоянстве у позволяет, найти [*8] критерий
локального разрушения D.45) и тем самым замкнуть поста-
постановку соответствующего класса задач линейной механики раз-
разрушения. Этим же методом можно получить аналогичные кри-
критерии для случая анизотропных и кусочно-однородных, а также
нелинейно-упругих тел.
Приведем некоторые из полученных таким образом резуль-
результатов:
анизотропное тело C.85) с девятью отличными от нуля кон-
константами [35] аи, ai2, аи, a22, а2з, «зз, «44, а55, ai5:
(Hi и ц2— корни уравнения C.103));
ортотропное тело, когда три из указанных девяти констант
обращаются в нуль: а\г = а2ъ = «45 = 0 [35]:
4Y =
+ Ки Van Ba22 + 2a12 + a33) +
трещина на границе раздела двух различных изотропных
упругих сред: v
(обозначения здесь в точности такие же, как в формулах
C.124)).
Однако практическое значение этих результатов, по-види-
по-видимому, невелико. Это объясняется следующими двумя обстоя-
обстоятельствами:
а) трещины смешанных типов в неоднородных или анизо-
анизотропных телах чаще распространяются неплоско, с образова-
образованием угловых линий на своей поверхности;
б) когда трещина смешанного типа распространяется без
образования угловых линий (это имеет место в тех случаях,
когда развитие трещины происходит по заранее известной из
конструктивных соображений гладкой поверхности, например,
в клеевых соединениях), пользование критерием типа D.45)
без дополнительных экспериментальных данных представляется
|3) ОБОБЩЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЫВ 149
неразумным, так как величина у, вообще говоря, зависит от
отношений Ki/Kn, Ki/Km- Действительно, из опыта известно,
что для большинства хрупких и квазихрупких тел величина у
при нормальном разрывэ существенно меньше, чем при сдвиге.
§ 3. Обобщенный нормальный разрыв
Гораздо больший практический интерес представляют тре-
трещины обобщенного нормального разрыва.
Вначале заметим, что величины
[Vu] D.46)
г->0
(оц — напряжения вблизи точки О контура трещины, г — рас-
расстояние от точки О) представляют собой компоненты симмет-
симметричного тензора интенсивности напряжений, зависящего от 0.
Согласно свойствам симметричных" тензоров, существуют три
взаимно перпендикулярных направления |, ц и ?, таких, что
Кн = Кя = Кг& = 0. D.47)
На каждой из площадок, перпендикулярных к одному из
главных направлений, действует только нормальное напряже-
напряжение, а касательные напряжения обращаются в нуль.
Естественно было бы считать, что локальное разрушение
происходит в тот момент, когда в условии
тах(Кц,Кт,К&ХКгс D.48)
впервые будет достигнут знак равенства, а само разрушение
имеет место вдоль площадки, перпендикулярной к главному на-
направлению, отвечающему наибольшей из величин Кц, /Cw K&.
Однако эта площадка обычно не лежит в плоскости трещины,
поэтому условие D.48) не годится для определения магистраль-
магистрального направления развития трещины.
В опытах наиболее часто имеет место другой тип локального
разрушения, который будем называть обобщенным нормальным
разрывом; более подробно рассмотрим его для - того случая,
когда Кш = 0. При этом напряжение ав в малой окрестности
некоторой точки О контура трещины ведет себя так:
D.49)
где /Се(9) — некоторая функция полярного угла. Развитие тре-
трещины происходит по направлению, определяемому углом 0 = 0».
Величина 0» является корнем уравнения
. D.50)
ISO йсновы меХАнИки хрупкого разрушений [гл. iv
где /CicF)—вязкость разрушения. Для изотропных по прочно-
прочности тел Kic не зависит от угла 8, а для'однородных по прочности
тел /Cie не зависит также от положения точки О в теле. Локаль-
Локальное разрушение происходит в тот момент, когда в условии
Кв(ВХКи(в) - D-51)
впервые будет достигнут знак равенства.
Обобщенный нормальный разрыв реализуется в большинстве
хрупких и квазихрупких тел. У кусочно-однородных тел и в не-
некоторых других случаях порядок особенности, вообще говоря,
будет уже отличен от 1/2; соответствующее определение поня-
понятия обобщенного нормального разрыва на этот случай не вы-
вызывает затруднений.
Аналогично можно определить обобщенный сдвиг как та-
такой тип локального разрушения на контуре трещины, который
удовлетворяет критерию
г->о
где К.в — некоторая постоянная. При этом разрушение происхо-
происходит на площадке, ориентированной под углом 8, к плоскости
трещины. Такие трещины можно назвать трещинами обобщен-
обобщенного сдвига.
В случае статических плоских трещин в однородных и изо-
изотропных телах, когда Кп — Km = 0. наибольшее значение
Кв(8), согласно C.44), достигается при 8 = 0, а условие D.51)
совпадает с критерием локального „разрушения D.2) для тре-
трещин нормального разрыва; поэтому обобщенный нормальный
разрыв совпадает с обычным нормальным разрывом.
Рассмотрим произвольные криволинейные трещины обоб-
обобщенного нормального разрыва в однородных и изотропных
телах.
В этом случае постоянная Kie не будет зависеть от 8, а функ-
функция /Се(8) будет дифференцируемой. Поэтому условия D.50)
и D.51) можно записать так (Б0]:
. D.52)
Дополнительное условие в точке излома поверхности трещи-
трещины. Пусть вследствие несимметрии, исходной задачи в окрестно-
окрестности некоторой точки О контура трещины возникло напряжен-
напряженное состояние, характеризуемое коэффициентами интенсивности
напряжений Ki и Ки (Дш = 0). Согласно C.44) и C.45), на-
напряжение се определяется формулой ^
Г 1 ¦ 3 ~\
аа = —L= Re |3 (Ki - iKu) e"? "" + (Ki + ЗВД e? "J. D.53)
4 у ZJtr
S3]
ОБОБЩЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЫВ
161
Максимальное значение ое достигается по направлению
8 = 8», которое определяется из условия 09F,) = 0, приводя-
приводящего к следующему уравнению:
in -^ + sin-|-) + Кп (Зсоз-^ + cos f-) = 0. D.54)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 9* = О
при К = О, можно привести к виду
8. = 2 arctg [A - Vi+ 8А2)/DА)] (А = KxxIKi). D.55)
Зависимость 8. = 8*(Х) представлена на рис. 31.
о
-0,2
>-0,6
-1,0
Ж OJL
\
Рис. 31.
О 0,2 Cfi ' W
Рис. 32.
Подставляя угол 8* из D.55) в выражение D.53) и исполь-
используя второе условие D.52), можно найти критерий локального
разрушения в следующем виде:
где
D.56)
Ш-4/2А3-
При 1~>оо /0(А,) = 2А//3, 8, = —69°, 2/Си=
График функции fo(^) изображен на рнс. 32.
Рассмотрим конкретную задачу.
Пусть бесконечная упругая плоскость разрезана вдоль от-
отрезка (—/, -\4) оси х; к верхнему и нижнему берегам разреза
152
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. JV
приложены нагрузки <т+, т+ и а~, х~ соответственно. На бес-
бесконечности действуют главные напряжения JVi и А/2, причем
ось, соответствующая Nu составляет угол а с осью Ох. При
помощи представлений C.9) эта граничная задача сводится
к задаче Дирихле во внешности разреза для функций Ф(г)
и Q(z).
Решение ее имеет вид [23]
Ф(г) =
1 Г ЧоМ
Здесь
D.57)
+1 . +1
^l2 J t — z 2ni J /_
+
|
- (Nt - N2) e*«] -
. D-58)
^bu j
= T К ~ <V) - T (T^ ~ T^)'
D.59)
— I2 = z -j- О (z~x) при г-*оо,
/|/г2 —/2| при Imz = 0, —/<Re2</,
(X, Y) — главный вектор нагрузок, приложенных к разрезу.
Разлагая решение D.57), D.58) в ряд вблизи концов раз-
разреза и используя асимптотические формулы C.43), находим
коэффициенты интенсивности напряжений;
S3]
ОБОБЩЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЫВ
153
при х
К\ — i
-(Ni - N2)e**] - -pL J pQ (t) ^TTt
при x =
dt
±±JL\, D.60)
-iNi- M2) e^] - pL
j
При х= ± I находим
= р sin a • cos a Y~nl. D.63)
Используя критерий D.56) и формулы D.60), D.61), не-
нетрудно определить минимальные нагрузки, а также направле-
направление самого разрушения по
формуле D.55).
Пусть, например, берега
трещины свободны от нагру- у
зок, а на бесконечности плос-
плоскость растягивается одноосным
напряжением р под углом а к
оси х (рис. 33). В этом случае
в формулах D.60) и D.61)
надо положить *)
Ро(О = О, N{ = p,
N2=*0. D.62)
¦О
21
Рис. 33.
Подставляя значения Ki и Кп согласно D.63) в формулы
D.55) и D.56), получаем разрушающую нагрузку /?* и угол 0»
*) Эта задача была рассмотрена в работах Эрдогана и Си [51], В. В. Па-
насюка и Л. Т. Бережницког.о [52].
1в4
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЙ
[ГЛ. IV
в зависимости от а:
р, V~nl _ tg а A2 ctg2 а + 1 - )Л + 8 ctg2 аK/2
Кю 4 }/2cos2аA + 3 j/"l+8ctg2a)
9e = 2arctg
+ 8ctg2 a
D.64)
4 ctg а
Графики этих функций изображены на рис. 34 и 35. Как
видно, угол 9* — а, составляемый начальным направлением
распространения трещины с на-
направлением растяжения, ме-
меняется в пределах я/2 ± 0,1я; при
я/4 ",<: а < я/2 разрушающая на-
нагрузка почти не отличается от
9ш,
0
цгя
П/iif
i
Ы
/
не -
/
а
Рис. 34.
Рис. 35.
гриффитсовой, соответствующей углу а = я/2. Любопытно, что
минимальная разрушающая нагрузка, составляющая 0,97, от
х гриффитсовой, достигается при
щ ' а «70°.
*~ ' *- В качестве еще одной простой
| иллюстрации рассмотрим тот
* случай, когда на бесконечности
¦ плоскость сдвигается касательны-
i,,,r, ,ш,,, ми напряжениями т параллельно
1 плоскости трещины (рис. 36).
"' ' В этом случае в формулах D.60)
и D.61) надо положить
Рис. 36.
<х = я/4. D.65)
При xi= ± I находим
i(, = 0, Ки = т V*i. . D.66)
В этом случае X — Kn/Ki -*«» и, совершая предельный пе-
переход а формулах D.55), D.56), получаем
6 = — 2 arctg (l/]/2) м — 69°, Ки = (УЩКи- D.67)
§ 3] ОБОБЩЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЫВ 155
Согласно D.66) и D.67), разрушающая нагрузка т, име-
имеет вид
т в Щм-. D:68)
2/я/
.. Рассмотрим в заключение случай трещин продольного
сдвига, когда Кг = Кп = 0. Допустим, что 'Произвольный ци-
цилиндрический стержень, скручиваемый некоторым моментом,
имеет начальный разрез (или щель), края которого параллельны
образующей цилиндра. Поверхность разреза представляет со-
собой цилиндрическую поверхность, соосную с поверхностью
стержня. Напряженно-деформированное состояние вблизи края
щели будет продольным сдвигом; оно описывается формулами
C.46). Легко видеть, что максимальное растягивающее напря-
напряжение будет равно KmlV^nr вблизи края щели; оно дей-
действует на площадке, направленной под углом 45° к оси стержня
и к поверхности щели в рассматриваемой точке контура. В слу-
случае обобщенного нормального разрыва локальное разрушение
на этой площадке произойдет в тот момент, когда коэффи-
коэффициент Km достигнет величины Kic- Дальнейшее развитие тре-
трещины проследить трудно, так как плоскость образовавшегося
разрыва не совпадает с плоскостью начальной трещины и за-
задача становится трехмерной.
Дополнительное условие на контуре гладкой криволинейной
трещины. Угол излома 6* может быть конечным только в том
случае, если внешняя нагрузка изменяется во времени скачко-
скачкообразно, или же положение конца трещины в точке О соответ-
соответствует начальному несимметричному состоянию. В случае не-
непрерывного изменения нагрузки и непрерывного развития тре-
трещины поверхность трещины будет гладкой, без изломов; при
этом, согласно D.52), в любой момент роста трещины каса-
касательная плоскость к ее поверхности в любой точке -контура бу-
будет представлять собой площадку, на которой величина Кв
максимальна, а Кгв обращается в нуль.
В малой окрестности произвольной точки О контура тре-
трещины упругое поле будет симметрично относительно этой пло-
площадки, так что рассматриваемая трещина будет относиться
к трещинам нормального разрыва. Таким образом, состояние в
каждой точке контура трещины нормального разрыва (т. е. Бри
/Си = Km = 0) аналогично одноосному растяжению стержня
в силу аналогии, существующей между тензором интенсивности
напряжений Кц и тензором напряжений а^-.
Поверхность криволинейной трещины неизвестна заранее и
должна быть определена в процессе решения. Найдем дополни-
дополнительное условие, определяющее радиус кривизны поверхности
трещины в каждой точк~е [*Б].
156 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Обозначим параметр внешней нагрузки через р, а длину
трещины, измеряемую от некоторой фиксированной точки, че-
через I. Для определенности ограничимся плоской задачей. Пусть
х = хоA), у = г/о@ будут уравнениями линии трещины. Пред-
Предположим, что значениям пара-
метров I, p n I -\- Al, p + Ар со-
соответствует положение конца
трещины в точках О и О] со-
соответственно (рис. 37).
rOt(L+M, р+Ар) Разобьем мысленно процесс
развития трещины на конечное
число шагов так, чтобы Ар и
Д7 соответствовали одному
шагу, а распространение тре-
0A,р) л щины было скачкообразным.
При этом ломаная линия тре-
Рис- 37- щины будет состоять из отрез-
отрезков прямых. В пределе при
Др->0 и Д/->0 должно получиться постепенное развитие иско-
искомой гладкой трещины.
На каждом шаге малому углу излома линии трещины
Д8 = 6* соответствует некоторая малая величина АК\\\ обе эти
величины удовлетворяют общему уравнению D.54). Совершая
в нем предельный переход Д9-*0, АКп—>О, находим для глад-
гладкой трещины
-2(^L) =*,. D.69)
Здесь dKn — приращение Ки в точке О, соответствующее уве-
увеличению нагрузки на dp при фиксированной длине трещины.
Напомним, что для гладкой растущей трещины нормального'
разрыва, согласно D.52), имеют место соотношения
КЛР,1) = Ки, /Си (р, 0 = 0. D.70)
Пусть функция 1 = 1(р) представляет собой искомую зави-
зависимость длины трещины от нагрузки. Подставляем ее в первое
уравнение D.70) и дифференцируем получившееся тождество;
находим
dp dp I dl
Уравнения D.69) и D.71) позволяют определить радиус кри-
кривизны гладкой трещины в любой точке:
I 3) ОБОБЩЕННЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЫВ 157
Примененный конечно-разностный метод удобен также для
численного решения задачи о развитии криволинейных тре-
трещин; условия D.70) и D.72) играют в этих задачах роль допол-
дополнительного граничного условия на контуре гладкой трещины
нормального разрыва.
Рассмотрим один пример.
Допустим, что в рассмотренной выше задаче об изолирован-
изолированной трещине действующие нагрузки близки к симметричным от-
относительно оси х, т. е. величины а, X, У, qo{t) близки к нулю.
При этом контур криволинейной трещины будет близок к пря-
прямолинейному отрезку вдоль оси х. В первом приближении, снося
граничные условия на ось х, форму слабо искривленной тре-
трещины можно определить следующим образом.
Обозначим через (I, у) координаты конца трещины ((/</).
Величина I соответствует условию Кц = 0в конце трещины, т. е.
а = 0, q — 0. Величина у определяется из решения обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения
xc^W)' D#73)
полученного согласно дополнительному условию D.72). Здесь
правая часть представляет собой некоторую функцию I, свою
для каждого пути нагружения; величины Ki и Кц берутся со-
согласно формулам D.60) и D.61), причем Ki соответствует
а = 0, q — 0, а Кц отвечает малым отклонениям от симметрии.
Пусть, например, действующие нагрузки близки к случаю
нагружения двумя симметричными сосредоточенными силами
(АР<Р). D.74)
В этом случае, согласно D.61),
Kl~W Ktt—W+4VW D>75)
В силу симметрии задачи относительно оси у достаточно огра-
ограничиться рассмотрением правого конца трещины.
В случае пропорционального нагружения
D.76)
имеем
дК\ _ Ао дКи _ _ (х— 1)ДД) ,4 77ч
dp ]/lTl ' dp 2A+х)/я7*
а дифференциальное уравнение D.73) принимает вид
(х-1)дл,\ D78)
158
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
{ГЛ. IV
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
условиям
при l = l0, y = 0 dy/dt = Q^, D.79)
имеет вид
y = Al[lln(l/lo) — l + l()] + e.(l — to)- D-80)
Здесь 0» — угол отклонения трещины от оси х в начальный мо-
момент развития; его нетрудно найти при помощи формулы D.69):
(х+1)Л0 • <4>й1^
Параметры р и / связаны между
собой, согласно условию /Ci=/Cic,
так:
1 = ^~- D-82)
32
16
8
У
-
Зависимость D.80) в безразмер-
безразмерных переменных
в
Рис. 38.
10 t
изображена на рис. 38.
Формулы D.80)—D.82) определяют размер и форму кри-
криволинейной трещины в любой момент нагружения.
Весьма существен тот факт, что форма криволинейной тре-
трещины зависит от пути нагружения.
§ 4. Устойчивость роста хрупких трещин
Рассмотрим вопрос о -локальной устойчивости развития
конца хрупкой трещины по отношению к малым возмущениям
внешних нагрузок, сопровождающимся малым увеличением по-
поверхности трещин 6Е.
Будем исходить из следующего общего соотношения:
— 2y 62.
D.83)
Здесь 6f/, 6«i> 6S, 6Е—бесконечно малые возмущения соответ-
соответствующих величин; знак равенства отвечает состоянию равно-
равновесия (ср. с формулой D.33)). Это соотношение справедливо
для всего тела или любой его части, причем в силу необрати-
необратимости роста трещин 6Е ^ 0. Заметим, что в функцию U входит
также некомпенсированное тепло, образующееся при развитии
трещины (см. гл. I).
S 4] УСТОЙЧИВОСТЬ РОСТА ХРУЙКИХ ТРЕЩИН 1S9
Знак неравенства в соотношении D.83) обусловлен необра-
необратимостью бесконечно малых возмущений (правая часть больше
левой на величину кинетической энергии и некомпенсированного
тепла в объеме тела,'соответствующих этим возмущениям).
Рассмотрим случай линейно-упругого однородного и изотроп-
изотропного (по упругим свойствам) тела, считая поверхность разви-
развивающейся трещины гладкой, без изломов. Изучим процесс де-
деформирования и разрушения, как обычно, в малой окрестности
произвольной точки О контура -трещины. Применим «принцип
микроскопа» и придем к канонической сингулярной задаче для
полубесконечного разреза (см. рис. 13).
Для определенности -ограничимся процессом щ = const,
Т = const. Согласно общему соотношению D.83), в рассматри-
рассматриваемой системе самопроизвольно могут протекать только такие
процессы, которые сопровождаются уменьшением функции F:
F = U—TS +2yZ, т. е. 6F<0. D.84)
Следовательно, в состоянии устойчивого равновесия функ-
функция F должна быть минимальна, т. е.
dF==0, d2F>0. D.85)
Применяя прием Ирвина совершенно аналогично тому, как
это сделано в § 2 этой главы, при помощи D.85) легко полу-
получить следующие соотношения:
D.86)
(Ж
Соотношение D.86) представляет собой уже полученное ра-
ранее условие локального равновесия упругого тела с трещинами;
неравенство D.87) является условием локальной устойчивости
этого равновесия.
Следует подчеркнуть, что полученные условия устойчивого
равновесия являются локальными в том смысле, что они отно-
относятся к некоторой точке контура трещины при определенных
значениях внешних нагрузок. Решение вопроса о развитии тре-
трещины и о характере этого развития (устойчивом или неустой-
неустойчивом) в целом требует изучения конкретной задачи, т. е. зна-
знания зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от
нагрузок и длины трещины. Последнее представляет собой за-
задачу классической теории упругости, и коль скоро она решена,
решение вопроса о развитии трещин на основе условий D.86)
и D.<87) может натолкнуться разве что на трудности алгебраи-
алгебраического характера.
160 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
В наиболее важном случае трещины нормального разрыва
условия устойчивого равновесия сводятся к следующим:
Ki = Kxc, dKi/dl<0. D.88)
Здесь было принято, что величина у не зависит от / (однород-
(однородное по прочности тело).
Пусть р и / — параметры внешней нагрузки и длины тре-
трещины соответственно, а Кг представляет собой некоторую функ-
функцию этих параметров Ki(p,l), причем дКт/др > 0. Тогда на
основании D.88) и D.67) условие устойчивости равновесия
можно записать также так:
^ = _f/^>0. D.89)
dp dp I dl v '
Условие устойчивости в этой форме хорошо согласуется с ин-
интуитивным представлением об устойчивости равновесия хруп-
хрупкой трещины.
Если хрупкая трещина растет устойчиво, скорость роста
трещины / прямо пропорциональна скорости увеличения на-
нагрузки /):
'—'^-/Ф- с-90»
В случае неустойчивого равновесия имеет место неравенство
D.91)
так что после достижения предельного состояния равновесия
режим развития трещины становится динамическим.
§ 5. Концепция квазихрупкого разрушения.
Структура конца трещины
Концепция квазихрупкого разрушения формулируется так:
величина необратимой работы у, затраченной на образование
единицы площади свободной поверхности тела при развитии
трещины, является постоянной материала, не зависящей от на-
нагрузок, формы и размеров тела.
Эта эмпирическая закономерность была установлена на
основании многочисленных экспериментов, с различными ма-
материалами в широком диапазоне изменения внешних условий.
Впервые наиболее четко сформулировали ее Ирвин и Орован
в конце 40-х — начале 50-х годов. Установление этой законо-
закономерности явилось крупнейшим достижением механики хрупкого
разрушения после работы Гриффитса.
Чтобы понять физический смысл этой концепций, рассмотрим
конкретный пример. Пусть полоса с краевой трещиной растяги-
i 5|
КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
161
вается на бесконечности напряжением р (рис. 39). Допустим,
что нагрузка монотонно увеличивается, начиная с нуля, в ре-
результате чего в конце трещины образуется пластическая область,
размер которой растет с увеличением р. Возможны два исхода:
или пластическая область будет расти неограниченно при до-
достаточно больших / и L (при этом разрушение будет связано
с тем, что все сечение перед
трещиной перейдет в пластиче-
пластическое состояние, т. е. с исчерпа-
исчерпанием способности тела к пла-
пластическому деформированию),
или же рост пластической об-
области будет происходить до не-
некоторого предельного размера
d, после чего будет иметь ме-
место локальное разрушение в
конце трещины, и она будет
развиваться.
Согласно концепции квази*
хрупкого разрушения, для всех
материалов при достаточно
больших / и L считается реа-
реализующейся вторая возмож-
возможность, т. е. существует пре-
предельный размер d. Тогда для
любого материала существуют такие достаточно большие раз-
размеры тела и трещины L и I, что о нем можно говорить, как о
хрупком материале. Действительно, пусть I a L настолько ве-
велики, что на расстояниях г от конца трещины О, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
d < г <С /, d < г < L, D.92)
распределение напряжений и деформаций будет описываться
упругой асимптотикой C.44). То, что для любых конечных d
и достаточно больших I тл L такая асимптотика существует, вы-
вытекает из «принципа микроскопа». Будем говорить, что у тре-
трещины реализуется тонкая структура, если на некоторых рас-
расстояниях г от конца трещины (d <С «С I, d<g r <g^ L) осуще-
осуществляется упругая асимптотика C.44). При наличии тонкой
структуры можно провести все энергетические рассуждения,
которые привели к формулировке критерия локального разру-
разрушения на контуре хрупкой трещины (см. § 2 этой главы).
,При этом для трещин нормального разрыва условие локаль-
локального разрушения по-прежнему формулируется в виде К\ = A'ie
(для любых нагрузок имеет место неравенство Ki^Kic)- Из
Рис. 39.
в Г, П. Черепанов
162 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ 1ГЛ. IV
общефункционального метода § 1 вытекает, что величина Kic
представляет собой некоторую функцию предыстории нагруже-
ния (в частности, времени, скорости роста трещины и т. п.). На
основании концепции квазихрупкого разрушения функциональ-
функциональной зависимостью Kic от предыстории нагружения пренебре-
пренебрегаем, и величина Kic считается постоянной характеристикой ма-
материала (концепция Kic).
Концепция квазихрупкого разрушения позволяет полностью
перенести все установленные для хрупких тел закономерности
на квазихрупкие тела, т. е. такие упруго-пластические тела
с трещинами, для которых реализуется тонкая структура. В этом
случае пластическая область перемещается вместе с концом
трещины как жесткое целое, не изменяя своей формы; форма и
размер этой области не зависят от нагрузок и конфигурации
тела с трещинами.
Указанная концепция позволяет также подойти к объясне-
объяснению хрупкого и вязкого разрушений как к некоторым предель-
предельным случаям квазихрупкого разрушения при d—>0 и d-»oo со-
соответственно.
Само название константы Kic (вязкость разрушения) озна-
означает, что при одинаковых геометрических размерах образцов
с трещиной из различных материалов (с одинаковым времен-
временным сопротивлением) разрушение будет тем ближе к вязкому,
чем больше Kic, и наоборот, чем меньше Къ, тем ближе раз-
разрушение к хрупкому.
Существенно подчеркнуть, что в рамках теории квазихруп-'
кого разрушения распределение напряжений и деформаций на
расстояниях порядка d от конца трещины может быть самым
различным; сила и общность механики хрупкого разрушения
как раз и заключается в том, что ее закономерности не зависят
от характера этого распределения.
Однако для различных уточнений и обобщений механики
хрупкого разрушения знание такого распределения (будем го-
говорить— знание структуры конца трещины) представляет боль-
большой интерес.
Структура конца сквозной трещины в тонкой пластине. Рас-
Рассмотрим тонкую пластину с произвольной сквозной трещиной
нормального разрыва, подвергающуюся воздействию растяги-
растягивающих усилий. Материал пластины будем считать идеальным
упруго-пластическим и удовлетворяющим условию пластичности
Мизеса. Рассмотрим окрестность конца трещины, малую срав-
сравнительно с характерным линейным размером пластины, но
большую по сравнению с характерным размером пластической
области. На плоскости ху трещина представится полубесконеч-
полубесконечным разрезом вдоль отрицательной полуоси х, свободным от
внешних нагрузок (рис, 40).
§б]
КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
163
Численное решение этой упруго-пластической задачи конеч-
конечно-разностным методом [53] показало, что уравнение контура L,
разделяющего упругую и пластическую области, можно запи-
"сать приближенно в следующем виде:
^-. D.93)
Здесь as — предел текучести на растяжение.
Соответствующая пластическая область
рис 40 в безразмерных координатах
изображена на
). D.94)
Как видно, она довольно близка к приближенному решению
Дагдейла; согласно гипотезе Дагдейла [54], пластические де-
деформации сосредоточены на продолжении трещины вдоль уз-
узкого слоя нулевой толщи-
толщины (рис. 40), так что пла- У*
стическую линию можно
считать просто линией
разрыва упругого смеще-
смещения, а само решение ис-
искать в классе разрывных
решений теории упруго-
упругости. Напряжения на пла-
пластической линии разрыва
@, d) будут равными
, = 0. D.95)
Рис. 40.
При помощи основных представлений C.9) и условия тонкой
структуры C.43) находим
/ (г) = 0, при 2 -> оо ф (г) =
{ 0 при у=*0, х < 0,
D.96)
-5-a.s при г/ = 0, 0<x<d.
Ограниченное всюду решение краевой задачи D.96) име-
имеет вид
ni
D.97)
Для сравнения с точным решением отрезок d показан на рис. 40
жирной линией.
¦Jfl4 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Приведем еще формулу для наибольшего скачка смещения
на пластической линии разрыва 2ио, достигаемого в точке О
(конец трещины) согласно D.97) и определяющего раскрытие
трещины в этой точке:
2vo=-gf. D.98)
Формулы D.97) и D.98) позволяют определить наибольший
размер пластической линии d и наибольший скачок смещения
2v0 в момент локального разрушения*), т. е. при К = Кс-
Заметим, что
oydv = — J Gy-^-dx = osv0 = -?§-. D.99)
о о
Как видно, физически величина у может рассматриваться
не только как необратимая работа образования единицы по-
поверхности трещины, но и как равнодействующая внешних сил,
приложенных к пластическому слою @, d) и направленных
вдоль оси х. Последнее оправдывает в данном случае силовое
рассмотрение у как некоторого эффективного поверхностного
натяжения материала в конце трещины.
Следует отметить, что экспериментальные данные в некото-
некоторых случаях (тонкие пластины из малоуглеродистой стали, не-
некоторые полимерные и композитные материалы) лучше согла-
согласуются с гипотезой Дагдейла, чем точное решение. По-видимому,
это связано с особенностями распространения пластических зон
в материалах- с задержкой текучести и с ориентационным
упрочнением.
Структура конца трещины в плоскодеформированном состо-
состоянии. Гораздо больший практический интерес представляет
изучение структуры конца трещины нормального разрыва в наи-
наиболее типичном для нее состоянии плоской деформации. Мате-
Материал тела будем по-прежнему считать идеальным упруго-пла-
упруго-пластическим и удовлетворяющим условию пластичности Мизеса.
Численное решение этой упруго-пластической задачи для
квазихрупкого тела конечно-разностным методом [55] с приме-
применением деформационной теории пластичности показало, что
*) Для пластин величина Кс в случае сквозных трещин иногда суще-
существенно зависит от толщины пластины, а для весьма тонких пластин из пла-
пластичных материалов трещина часто распространяется как трещина продоль*
ного сдвига, причем поверхность трещины становится наклоненной к лло»
скости пластины под углом 45° (косой срез). Пластическая линия разрыва
физически реализуется как локальная «шейка» в пластине на продолжении
трещины (см. § 7 этой главы).
КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
165
уравнение контура L, разделяющего упругую и пластическую
„области, можно записать приближенно так;
¦(—У
D.100)
Соответствующая пластическая область изображена на
рис. 41 в безразмерных координатах D.94). Она представляет
собой внутренность эллипса с центром
в конце трещины.
Как видно, пластические деформа-
деформации в этом случае сосредоточены вдоль
сравнительно узкого слоя, исходящего
из конца трещины перпендикулярно к
ее поверхности.
Поэтому представляет интерес при-
приближенное решение этой задачи в по-
постановке, которая в некотором смысле
аналогична постановке Дагдейла. Бу-
Будем считать пластическую зону отрез-
отрезком вдоль оси у, а решение искать в
классе разрывных решений теории уп-
упругости (см. рис. 41).
На линии разрыва, представляю-
представляющей собой при таком подходе линию
пластического скольжения, должны
выполняться условия
при х = 0, —d<y<d
X
D.101)
Здесь скобки [ J означают скачок со-
соответствующей величины. Для просто-
простоты принято условие Треска. Укажем
простое приближенное решение этой задачи, аппроксимировав
скачок смещения v на линии скольжения линейной функцией
координаты у и удовлетворив условию хяу =» as/2 в среднем, т. е.
считая, что
при х = 0, \у\
[ах + 1тху] = 0,
D.102)
jgg " ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
При помощи основных представлений C.9) отсюда можно по-
получить следующую граничную задачу для аналитических функ-
функций Ф(г) и Q(z):
при х = 0, | у |.< d
[ф(г)] = -2цР0/(к+1), [Q(z)] = -4hPo/(k+1); D.103)
при у = 0, х<0,
Im Q = 0, Re BФ + Q) — 0;
при г -» то
Решение краевой задачи D.103) запишется так:
с'
ln Z + W
_ _
?l_ + -!^- f
О
F{x)dx
— oo
Постоянные Ро и d находятся из условия на бесконечности и
условия для среднего касательного напряжения на линии сколь-
скольжения. Постоянные Ci и С2 вычисляются из условия отсутствия
сосредоточенной силы и скачка смещения в точках z = ±id.
После вычисления интегралов получаются следующие уравнения:
Р 1n Z-'d | ?} |_
, j
2n/ A + к) У г + l^^iJ 2 K=U (KF + V^ld) ' D.105)
- 5,4р0Ц » я A + х) а„ - цРо /5" = /я A +
Есть основания полагать, что для материалов с задержкой
текучести построенное разрывное решение ближе к истине, чем
непрерывное решение упруго-пластической задачи.
Окончательно для величин р0 и d, определяющих мощность
и размер линии скольжения, получаются следующие выражения?
d = 0,2WCj/oJ, Po = 2,3 A - v) сг,/ц. D.106)
.15]
Концепций Квазихрупкого разрушения
16?
Приведем еще формулу для раскрытия трещины в ее конце:
2и0 = 0,58 A — v2) K^j(Eas). D.107)
Задача о структуре конца трещины в плоскодеформирован-
ном состоянии для идеального упруго-пластического материала
с условием Мизеса (по теории течения) была изучена Райсом
с сотрудниками [56]. Для численного расчета на ЭВМ был при-
применен метод конечных элементов;
коэффициент Пуассона был взят
равным 0,3.
Полученные результаты для кон-
. тура L, а также напряжения ау на
продолжении трещины приведены на рис. 42 и 43. Напряжение
можно приближенно аппроксимировать следующими выраже-
выражениями:
«У** = [Vr^'-(VrJW./8 + 0,l _ о, is)],
или, более грубо, с погрешностью 20%
D.108)
Контур L, разделяющий упругую и пластическую области,
4 в координатах х* и у* имеет приблизительно форму эллипса с
большой-осью длины 0,43, малой осью длины 0,35 и с центром
в точке х-, « 0,05, у* «0,18, причем большая ось наклонена
к оси х* под углом 70° и контур L пересекает ось х* в точке
*, « 0,1.
Раскрытие трещины в ее конце оказывается равным
D.109)
168
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[гл, iv
Структура конца трещины продольного сдвига. В случае тре-
трещин продольного сдвига может быть найдено точное решение
упруго-пластических задач р7]. Ограничимся изучением распре-
распределения напряжений и деформаций в окрестности такой тре-
трещины, когда реализуется тонкая структура (рис. 44). Решение
этой задачи было впервые получено Халтом и Мак-Клинтоном
[58]. Приведем здесь простое решение, данное в работе [57].
В этом случае в пластической области имеют место соот-
соотношения
дхи
дх
dw
= 0
dw
xz~bJ~
(уравнение равновесия),
(условие текучести),
(уравнение Генки).
D.110)
Здесь k = os/2 по условию Мизеса, k=as/Y3 по условию
Треска — Сен-Венана.
Представим напряжения в виде [3]
Здесь функция %(х,у) удовлетворяет уравнению
cos 6 -~ sin 6-^— =0.
Характеристики этого уравнения представляют собой семей-
семейство прямыХ у = xtgQ-\- С, 0 = const, совпадающих с линиями
скольжения и ортогональ-
B'
ных вектору х = rxz-\-ityz
в каждой точке. На осно-
основании уравнения Генки
D.110) вдоль линии сколь-
скольжения имеет место так-
также условие w = const.
Линии скольжения, оче-
очевидно, представляют со-
собой перпендикуляры, вос-
восставленные из точек
контура свободной от на-
нагрузок границы тела в
пластической области. На
границе упругой и пластической областей L напряжения и сме-
смещения непрерывны.
Напомним общее представление напряжений и смещения в
упругой области через аналитическую функцию f(«):
D.111)
Рис. 44.
% 51 КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ 169.
Заметим, что контур L не может охватывать точку О, так
как в противном случае на некоторой части контура L, согласно
граничному условию, будет f'(z) = const, что невозможно.
Если представить себе конец трещины (точку О) как пре-
предел некоторого выпуклого овала, стягивающегося в эту точку,
то становится ясным, что линии скольжения должны представ-
представлять собой радиальные прямые («веер»), т. е. в пластической
области, согласно D.109),
гхг + пуг = Ш*. D.112)
При этом в конце трещины смещение w будет терпеть ска-
скачок 2ш0, а деформация будет иметь особенность порядка 1/л
Таким образом, для функции f(z) получается следующая
краевая задача:
при у = 0, л:<0 Imf (z) = 0,
. на L |/'(z)|=*/ii, arg[z/'(z)] = -ji/2, D.113)
при z->oo /'(z) =
На плоскости годографа ?
? Г (г) D.114)
Г
упругой области соответствует верхняя половина единичного
круга. На плоскости Z, на основании D.113) получаем краевую
задачу
при ImC = 0 Imzft)-0,
при 1С 1=1 С*2(С) + 2@ = 0,
При С"*0 Z@ = ——illy.
Продолжим аналитически функцию z(?) в нижний полукруг при
помощи соотношения z(?) = z(?); получим следующую гранич-
граничную задачу для единичного круга:
при | С 1= 1
D.116)
Продолжим еще раз аналитически функцию z(?) на всю
плоскость ? при помощи соотношения
z(l/C) =-С8* (С). D-П7)
Получившаяся функция z(?) аналитична во всей плоскости
С» за исключением точки Z, = 0, где она имеет полюс второго
§. 6] НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ 171
времени, предыстории, внешней среды и др. (некоторые из них
подробнее рассмотрены в главах VI—VIII).
1. Устойчивое подрастание трещины при монотонном нагру-
жении*). В большинстве материалов, проявляющих в какой-то
мере пластические свойства перед разрушением (например, ме-
металлы, полимеры и др.), трещина устойчиво подрастает в про-
процессе монотонного нагружения, прежде чем перейти в динами-
динамический режим или в режим контролируемого устойчивого роста,
характерные для хрупких и квазихрупких трещин и изученные
выше. Средняя величина докритического подрастания для ме-
металлов составляет КН— 10 см в условиях плоской деформа-
деформации, а в тонких пластинах значительно больше. Это подраста-
подрастание нельзя объяснить в рамках концепции квазихрупкого раз-
разрушения неоднородностью прочностных свойств материала, так
как оно зачастую значительно больше среднего размера зерна.
Величина подрастания зависит от остроты искусственного
надреза (трещины): для более острой трещины подрастание на-
начинается раньше, а величина подрастания, как правило, больше;
для тупого надреза подрастание может вовсе отсутствовать.
Механизм такого докритического роста трещины состоит
в исчерпании способности к пластическому деформированию в
некоторой области вблизи конца трещины, малой по сравнению
со всей пластической зоной в конце трещины, задолго до на-
наступления предельного состояния всей тонкой структуры.
В основе этого механизма лежит локальная концентрация де-
деформаций на контуре трещины.
Если реализована тонкая структура, то из соображений
анализа размерностей скорость роста трещины при монотонном
нагружении должна выражаться формулой вида
DЛ22)
dKx о* v
Здесь Ф — некоторая безразмерная функция своих аргументов,
Y — необратимая работа образования единицы поверхности тре-
трещины.
Наиболее простое теоретическое описание этого явления
представляется следующим [б0]. Пусть в упруго-пластическом
теле рост трещины происходит в процессе локального нагру-
нагружения при любых Къ меньших Къ- Напомним, что при выводе
критерия локального разрушения D.1) для хрупких трещин
считалось, наоборот, что при достаточно малых К\ трещина не
растет.
.•) По-видимому, первая (неудавшаяся) попытка теоретического объяс-
объяснения этого явления была предпринята Я. И. Френкелем [*»].
170 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
порядка с заданной интенсивностью; при ?—»-оо согласно D.И6)
и D.117) она равна постоянной KuiK^nk2).
Таким образом, получаем
г @ = Али A - Г*)l{2nk*). . D.118)
Отсюда
f(z)= _^HI=r, D.119)
ц V К?„ - Ink2г
Контур L, разделяющий упругую и пластическую области, пред-
представляет собой окружность
- d/2f = d2/4, d == Kmlink2). D.120)
Отметим еще формулу для раскрытия трещины в ее конце
и формулы для распределения деформаций в пластической
области
Напряжения в упругой области, согласно D.119) ,и D.111),
оказываются такими же, как если бы конец трещины был рас-
расположен в центре пластического круга x = d/2, j = 0 и тело
было идеально-упругим.
Все полученные в этом параграфе решения упруго-пластиче-
упруго-пластических задач найдены для того случая, когда в процессе нагру-
жения коэффициент интенсивности напряжений в данной точке
О контура трещины монотонно возрастает.
Отметим одно общее свойство всех изученных здесь реше-
решений: при значительном разнообразии свойств структуры конца
трещины форма трещины вблизи ее конца оказывается во всех
случаях прямоугольной с некоторым характерным раскрытием
в этой точке.
§ 6. Некоторые основные эффекты процесса разрушения
Основная концепция механики хрупкого разрушения (вяз-
(вязкость разрушения Kjc является постоянной характеристикой ма-
материала) не в состоянии- объяснить многие весьма важные яв-
явления процесса разрушения. Хотя бы беглое знакомство с ними
представляется целесообразным прежде всего для того, чтобы
оценить границы применимости указанной основной концепции
механики хрупкого разрушения, а также для того, чтобы иметь
представление об основных направлениях научных поисков в
этой области. В этом параграфе рассматриваются основные
эффекты, связанные с влиянием пластичности, температуры,
172
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
Можно показать [в0], что в этом случае для идеальных упру-
упруго-пластических сред необратимая работа у, расходуемая при
образовании единицы свободной поверхности трещины нормаль-
нормального разрыва, равна
Y «=» —7L /С? 4- &к\ (а 19ч\
Здесь р — некоторая постоянная материала.
При этом процесс развития трещины представляется таким,
как он изображен на рис. 46. Пластическая область в процессе
нагружения не только расширяется, но и смещается как жест-
жесткая в направлении роста
трещины вместе с ее кон-
концом; концепция квази-
квазихрупкого разрушения реа-
реализуется асимптотически
при достаточно больших
приращениях длины тре-
трещины как выход на ста-
Рис. 45. ционарный режим рас-
распространения пластиче-
п „ ской области.
Простейшее допущение о том, что Y является постоянной
материала, позволяет при помощи D.123) получить простую
аналитическую зависимость подрастания трещины Д/==/_/о
от Ki в процессе монотонного на-
нагружения *)
«1
1
Г"
1 '
>
а*2
Klc
и
0,2
dl.
Рис. 46.
изображенную на рис. 46. Эта
зависимость хорошо описывает
имеющиеся экспериментальные
данные [35>61-62].
Существенно подчеркнуть, что
величина Ки, соответствующая
обычно переходу в неустойчивую область и, тем самым за-
замеряемому на опыте моменту разрушения, оказывается меньше
предельной величины, достигаемой при Д/-»со (различие этих
величин исчезает только при хрупком разрушении, когда нет
подрастания и пластической области).
рушения ЩВИСИМ0СТЬ на?-ывают Диаграммой Ki-Al или диаграммой раз-
§ 6] НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ 173
Если тонкая структура трещины устойчива, т. е. dKi/dl < О,
то на опыте может быть достигнуто также значение Kic-
Концепция о постоянстве y пРи Д/-*°° переходит в концеп-
концепцию квазихрупкого разрушения,.а при А/—>0 — в концепцию
Гриффитса для хрупких тел. Таким образом, концепция Гриф-
фитса и концепция Ирвина — Орована представляются различ-
различными предельными случаями данной теории.
2. Рост усталостных трещин при циклическом нагружении.
Допустим, что к упруго-пластическому телу прикладываются на-
нагрузки, являющиеся периодическими функциями времени. Со-
Согласно основной концепции механики хрупкого разрушения,
трещина нормального разрыва расти не будет, если всюду на
ее контуре максимальная величина коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений за цикл нагружения меньше вязкости разру-
разрушения Kic. Это не соответствует многочисленным опытным дан-
данным по усталостному разрушению, причиной которого является
{часто весьма значительное) докритическое развитие трещин.
Если реализована тонкая структура, то анализ размерностей
дает [60]
^*Ц (* i ^ Л D.124)
dn as \ Ey /Cimax Е
Здесь dl/dn — скорость роста трещины, п — число циклов,
и /Cimin — наибольшее и наименьшее значения коэффициента
интенсивности напряжений за один цикл.
Наиболее характерная особенность развития усталостной
трещины заключается в ее устойчивом подрастании в процессе
монотонного нагружения за каждый цикл и в необратимости
трещины при разгрузке (dl^O). Концепция о постоянстве y
на основе уравнения энергии D.123) позволила найти следую-
следующую зависимость [60]:
dl
¦ = — ay
dn 4 2?Y/(l-v2)
2?у-A-У2)^тах 1
22?V-6(l-v2)/C2miJ'
D.125)
1 При Kl mln > 0,
~ 0 При Kl min < 0.
Здесь a — некоторая постоянная материала'(а > 0).
При /Cimin = 0, /С2тах^-Еу из зависимости D.125) полу-
получается следующая простая формула:
dl _ a(l -v2J „4
dn ~~ av2"
174
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. tv
Эту формулу впервые получил Пэрис [63] на основании анализа
экспериментальных данных по многоцикловым усталостным
трещинам. Зависимость D.125) подтверждается опытом прак-
практически во всем диапазоне числа циклов до разрушения [64>65].
3. Скачкообразный рост трещины. В некоторых упруго-пла-
упруго-пластических материалах наблюдается скачкообразное развитие
трещин в условиях локальной плоской деформации, когда в
процессе плавного нагружения этапы медленного роста трещины
чередуются с промежутками весьма быстрого развития.
Предлагались различные объяснения этого явления, осно-
основанные на введении зависимости у от скорости роста трещины
dl/dt [66] и от скорости нагружения dKi/dt [60].
4. Зависимость вязкости разрушения от толщины пластины
для сквозных трещии. Распространение сквозных трещин в пла-
пластинах из упруго-пластического материала имеет некоторые
Рис. 47.
особенности, которые затрудняют применение к ним общей тео-
теории, основанной на предположении о плоском деформированном
или плоском напряженном
состояниях. На рис. 47 и 48
показаны обычные виды из-
изломов, характерные для раз-
разрушения пластин, и схема-
схематически пунктирными линия-
линиями изображены последова-
последовательные положения фронта
трещины для полностью
«косого» излома и для сме-
смешанного излома [35].
Как видно из этих рисун-
рисунков, в пластической области
вблизи конца трещины, при-
прилегающей к свободной по-
поверхности пластины, механизм пластического деформирования
и разрушения аналогичен тому, который характерен для косых
изломов в тонких пластинах, и близок к продольному сдвигу.
В области прямого излома поле пластических деформаций
л
Vs"
\\
1 J
\''
\
\
/
/
/
*~ /
/
t /
N ч
>
/
1
г
N
\
/
/
Ч
\
\
;
у
Рис. 48.
f 6]
НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ
175
вблизи края трещины близко к плоскодеформированному со-
состоянию.
Допустим, что длина трещины гораздо больше толщины пла-
пластины и реализована тонкая структура конца трещины в том
смысле, что линейный размер пластической области вблизи
конца трещины (и толщина пластины) гораздо меньше харак-
характерного размера в плане (например, длины трещины). Тогда
-коэффициенты интенсивности напряжений в рассматриваемом
конце трещины будут по-прежнему теми единственными внеш-
внешними параметрами, через которые могут быть выражены зако-
закономерности локального разрушения и, в частности, особенности
структуры конца трещины.
Поэтому все результаты механики хрупкого разрушения,
основанные лишь на представлении о коэффициентах интенсив-
интенсивности напряжений в конце трещины, целиком переносятся и на
рассматриваемый случай. Однако при этом соответствующие
константы и прежде всего соответствующая вязкость разруше-
разрушения, будут зависеть уже от толщины пластины.
Рис. 49.
Чтобы отразить эту зависимость для трещин нормального
разрыва, будем обозначать через К и Кс коэффициент интен-
интенсивности напряжений и вязкость разрушения соответственно.
Подчеркнем, что в определение понятия «нормальный разрыв»
входят лишь условия Кп = Km = 0 на расстояниях, больших
по сравнению с размером пластической зоны и толщиной пла-
пластины; реализующийся на самом деле тип разрыва может быть
весьма далек-от нормального разрыва, в особенности в области
вблизи свободной поверхности пластины.
Диаграмма К — А/ для пластин имеет характерный вид [35],
Изображенный на рис. 49. В качестве приращения длины тре-
Щнны Д/ берется средняя по толщине пластины величина.
176
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ. IV
К..
При величине коэффициента интенсивности напряжений,
равной Kic, на диаграмме наблюдается скачок*), являющийся
следствием локального разрушения в центральной части вна-
вначале прямолинейного фронта трещины и быстрого продвиже-
продвижения контура трещины в этой об-
области. Затем фронт трещины
останавливается; при дальней-
дальнейшем увеличении К наблюдается
медленное неравномерное по
фронту подрастание трещины, до
тех пор пока не будет достигнуто
значение /С*, отвечающее момен-
моменту перехода тонкой структуры в
неустойчивое состояние (см. рис.
46). Если тонкая структура тре-
трещины устойчива, то может быть
достигнуто также предельное зна-
значение Кс-
Типичная зависимость К* от
толщины пластины h изображе-
изображена на рис. 50**). Наиболее ха-
характерная черта таких зависи-
зависимостей состоит в том, что при
достаточно больших толщинах
пластин величина К* и толщина
«губы среза» hJ2 становятся
постоянными величинами для данного материала; при h ~ /г*
достигается наибольшее значение К*, которое в два-три раза
больше наименьшего зна«
чения, равного Kic.
5. Масштабный эф-
эффект. Допустим, что обра-
р зец с начальной искус-
искусственной трещиной под-
подвергается растяжению
(рис. 51). Толщина h об-
образца считается достаточ-
достаточно большой, так что рас-
рассмотренными в предыду-
предыдущем пункте эффектами
можно пренебречь. Опыт показывает [68], что с увеличением абсо-
абсолютных размеров образца среднее разрушающее напряжение в се-
12
16 го
h,MM
Рис. 50.
Рис. 51.
*) В американской литературе это явление носит название «pop-in» .
**) Приведенная кривая построена по данным работы Ирвина, Киса и
Смита [<"],
§ 6] НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ 177
чении с трещиной («сечении-нетто») падает (рис. 52). При этом
его наибольшее значение равно ов (в модели идеального упруго-
пластического тела значение ав аппроксимируется величиной as)
я соответствует малым размерам образца, когда характерный
линейный размер предельной пластической области в конце
трещины при /Ci = /Cic гораздо больше
L и /. Это условие при помощи D.100) ,pj$H
можно записать так: *
Эффект уменьшения прочности наи-
наиболее ясно проявляется при достаточ-
достаточно больших размерах образца, когда
на конце трещины формируется тон-
тонкая структура; в этом случае
Рис-52'
и соответствующее значение прочности может быть вычислено
методами механики хрупкого разрушения.
Опытные данные [35] позволяют уточнить границу примени-
применимости механики хрупкого разрушения, вытекающую из D.128).
Согласно этим данным, результаты, полученные методами ме-
механики хрупкого разрушения, т. е. на основе концепции Kic,
удовлетворительно согласуются с экспериментальными резуль-
результатами вплоть до среднего разрушающего значения напряже-
напряжения в «сечении-нетто», равного*) О,8(Хо,2, если вместо длины
трещины I в формулы для прочности подставить величину
I + А/, где поправка
А/ «* PK2idao,2 (р —некоторое число) D.129)
учитывает подрастание трещины и пластическую зону (раз-
(разность Kic и Ки).
6. Эффект Грини. Если образец с трещиной, изображенный
на рис. 51, подвергнуть сначала сжатию, а затем растянуть до
разрушения, то вязкость разрушения получится несколько мень-
меньшей. Этот эффект объясняется двумя основными причинами:
а) предварительное сжатие уменьшает остроту трещины и при-
приводит к появлению остаточных растягивающих напряжений в
пластической области вблизи конца трещины, б) предваритель-
предварительное сжатие уменьшает прочность пластически деформирован-
деформированного металла на растяжение вследствие эффекта Баушингера.
*) Напомним, что условный предел текучести иа растяжение Сто.г равен
тому значению напряжения, при котором в гладком растягиваемом стержне
Появляется необратимая пластическая деформация величиной 0,2%.
178 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Это явление, замеченное впервые Грини [б9], имеет значение
только для малопрочных пластичных металлов.
7. Влияние температуры на вязкость разрушения. Вязкость
разрушения для большинства хрупких материалов (стекла, ке-
керамика, графит, прочные горные породы и т. д.) монотонно па-
падает с ростом температуры. Заметим, что для таких материалов
вязкость разрушения можно выразить через другие постоянные
при помощи методов, изложенных в гл. II.
Вязкость разрушения большинства металлов монотонно воз-
возрастает с увеличением температуры, за исключением некоторых
довольно узких температурных диапазонов,
в которых вязкость разрушения изменяется
почти скачкообразно.
Одна из таких наиболее характерных
температурных зон обусловлена резким из-
изменением подвижности дислокаций при
этих температурах и, как следствие, резким
изменением способности материала к пла-
пластической деформации. Это явление назы-
называют хладноломкостью. Вязкость разруше-
разрушения по сравнению с другими характеристи-
характеристиками материала наиболее чувствительна к
изменению температуры в диапазоне тем-
рис 53. ператур хладноломкости (см. рис. 53, где
через TL и Ти обозначены нижняя и верхняя
границы хладноломкости). Разность Ти — Г, обычно не пре-
превышает нескольких десятков градусов.
При определенных температурах в металлах, их сплавах и
полимерах могут протекать химические реакции, фазовые пре-
превращения, микроструктурные изменения и т. д. Все эти внутрен-
внутренние изменения в материале немедленно сказываются в резком
увеличении или уменьшении К\с. Эти явления практически ис-
используются в металлургическом процессе и в различных техно-
технологических процессах термообработки, старения, закаливания,
пластификации и т. д. с целью придания материалу нужных
прочностных свойств.
8. Влияние скорости нагружения и скорости роста трещины
на вязкость разрушения. Вязкость разрушения металлов зави-
зависит от скорости нагружения dKi/dt. У некоторых металлов [35]
она изменяется в 1,5—2 раза при изменении скорости на-
нагружения на пять порядков, что соответствует переходу от
обычного медленного нагружения к квазистатическому удар-
ударному.
Вязкость разрушения малоуглеродистой стали, как правило,
убывает с ростом скорости нагружения, причем эффект тем за-
заметнее, чем меньше содержание углерода в стали. Этот эффект,
§ 6] некоторые эффекты Процесса разрушения 179
по-видимому, объясняется явлением задержки текучести [70],
наблюдающимся у малоуглеродистых сталей.
Более общим следствием увеличения скорости нагружения
является локальное увеличение температуры вблизи края тре-
трещины. Это в какой-то мере присуще всем упруго-пластическим
материалам, например, металлам и полимерам.
Верхнюю оценку величины локального теплонагрева для
движущейся трещины можно произвести следующим простым
способом. Будем считать, что вся необратимая работа y> затра-
затраченная на образование единицы площади свободной поверхно-
поверхности трещины, переходит в теплоту, выделяющуюся в пластиче-
пластическом слое единичной длины; толщина слоя, -согласно D.100),
равна
(влиянием остаточных напряжений на толщину слоя пренебре-
пренебрегаем) . Допустим, что процесс нагружения весьма быстрый (ло-
(локально адиабатический), так что утечкой тепла из пластиче-
пластического слоя можно пренебречь. Тогда среднее увеличение тем-
температуры в слое AT будет равно
Здесь р — плотность, с — теплоемкость.
При аналогичных допущениях можно найти верхнюю оценку
величины локального повышения температуры в пластической
области вблизи края трещины для неподвижной трещины. Пусть
коэффициент интенсивности напряжений очень быстро увеличи-
увеличивается от нуля до максимально возможной величины Kic. За
это время в пластической области диссипируется энергия, имею-
имеющая порядок
l (Гр~<г,/?). D.131)
Здесь 5 — площадь пластической области, Гр — интенсивность
пластических деформаций сдвига. Отсюда находим максимально
возможное повышение средней температуры
ДГ = D/(pcS) « аЦ(рсЕ). D.132)
Формулы D.130) и D.132) дают, как видно, примерно одина-
одинаковые значения.
У сталей, даже самых высокопрочных, разогрев оказывается
незначительным и не превышает 10—20 °С; у титановых спла-
сплавов разогрев может достигнуть уже нескольких сот градусов.
По-видимому, именно локальное повышение температуры
180 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ IV
объясняет наблюдающееся на опыте увеличение вязкости разру-
разрушения некоторых титановых сплавов с увеличением скорости
нагружения [35].
Следует отметить, что скорость роста трещины dl/dt и ско-
скорость нагружения dKildt в случае постоянных внешних нагру-
нагрузок связаны очевидным соотношением
Поэтому в этом случае указанные параметры равнозначны
с точки зрения оценки их влияния на вязкость разрушения.
9. Влияние времени. Замедленное разрушение. Если обра-
образец с трещиной подвергнуть нагружению постоянной во времени
нагрузкой, меньшей критической, то, вообще говоря, через не-
некоторое время т образец разрушится (предполагается, что
dKi/dl>0). Этот эффект также не описывается классической
концепцией механики хрупкого разрушения D.1).
Общее время до разрушения можно представить в виде
суммы
т = Т1 + т2. D.134)
Здесь xi — продолжительность инкубационного периода, в те-
течение которого исходная трещина не развивается, тг — время
роста трещины от начальной до критической величины. По-
Последняя отвечает тому моменту, когда коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений в конце трещины достигает величины вяз-
вязкости разрушения данного материала.
Если реализована тонкая структура конца трещины, то из
общих соображений теории флуктуации для времени п полу-
получается следующее соотношение [20]:
U-?Kl . D.135)
Здесь R—универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная
температура, т0, U и г] — постоянные материала, которые зави-
зависят также от окружающей среды. В работе [71] эта зависимость
была подтверждена для некоторых алюминиевых сплавов.
Если реализована тонкая структура конца трещины, то ско-
скорость докритического роста трещины dl/dt хорошо коррелирует
[72] с коэффициентом интенсивности напряжений Ki, т. е.
dl/dt = f(Ki), D.136)
где / — некоторая функция. Кинетические соображения приво-
приводят к следующей зависимости [20]:
^ ^^. D.137)
§6] НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ 181
Здесь у0) ?, U— постоянные материала, зависящие от окружаю-
окружающей среды.
Соотношения типа D.136) позволяют определить время до-
критического развития трещины т2. Формула D.137) в перемен-
переменных «логарифм времени тг — приложенное напряжение р» при-
.водит к характерной линейной зависимости, подтвержденной,
например, для некоторых закаленных хромокремнистых сталей
в работе [74] (см. также [7б'76]).
Относительная роль указанных двух этапов (инкубацион-
(инкубационного периода и периода роста трещины) зависит от условий
испытания и от материала.
Практически, если коэффициент интенсивности напряжений
/Ci меньше некоторой «пороговой» величины Късс, трещина не
развивается. Зависимости D.135) и D.137) не описывают этого
«порога».
Формулы типа D.135) или D.137) позволяют объяснить
большинство экспериментальных данных по временной зави-
зависимости прочности в инактивных средах. Однако общность этих
формул иллюзорна; это объясняется тем, что эти формулы
имеют структуру вида 0-оо. Действительно, множители то и Vo
очень малы (например, то ~ 10~12 сек), а множитель exp(U/RT)
чрезвычайно велик (напомним, что Т/ -— 104 кал/моль, R л;
« 2кал1'{град• моль)). Поэтому относительно небольшим изме-
изменением постоянных т, U, ц, лежащих в пределах опытных дан-
данных, можно получить любое требуемое значение ti или dl/dt
(своеобразная неустойчивость, вызванная неопределенностью
произведения типа 0-сю). По этой причине указанные формулы
.не годятся для практического применения (т. е. для прогноза
долговечности при заданных эмпирических константах т0, U, ?),
так как они требуют недостижимо высокой точности определе-
определения этих эмпирических постоянных, чтобы добиться точности
предсказания хотя бы по порядку величины.
Однако те же самые формулы становятся пригодными для
расчета, если их записывать в виде
т, = Al exp (— aiKJT), dl/dt = v2 exp (a2KJT),
где Аи аи v2, a2 — некоторые эмпирические константы (для опре-
определения А\ и v2, на основании изложенного, требуются допол-
дополнительные опыты, так как их нельзя определить по to, v0, U).
При этом указанные формулы проигрывают в общности, но
зато выигрывают в содержании. Именно в таком смысле сле-
следует понимать формулы D.135) и D.137).
10. Влияние внешней среды. Коррозионный и адсорбцион-
адсорбционный механизмы. Наиболее сложным является вопрос о влиянии
внешней среды на развитие трещины. Экспериментальные дан-
данные р, 7б, 7г, 78] свидетельствуют о том, что водород, жидкие
182 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
металлы, влага, поверхностно-активные вещества обычно способ-
способствуют росту трещин в металлах (и уменьшают «пороговый»
коэффициент интенсивности напряжений Кыс)\ в то же время
кислород, добавленный даже в очень небольших количествах
в водородную среду, практически останавливает в некоторых
случаях развитие трещин.
Форма зависимости скорости докритического развития тре-
трещины dl/dt от коэффициента интенсивности напряжений Ki мо-
может быть весьма различной, характеризуя тот или иной домини-
доминирующий механизм разрушения в конце трещины [72-75].
По-видимому, наиболее полно изучено прямое адсорбцион-
адсорбционное воздействие активной внешней среды на материал, сказы-
сказывающееся непосредственно в уменьшении истинной поверхност-
поверхностной энергии материала yt. Последняя может быть выражена ме-
методами гл. II через постоянные других физических процессов.
Некоторые соображения [79] приводят к выводу о том, что yt
имеет порядок yoJE. Поэтому вдякое изменение y* вызывает
пропорциональное изменение необратимой работы у и соответ-
соответствующее изменение вязкости разрушения материала.
В то же время известный эффект Иоффе [17]> при котором
происходит растворение поверхностных слоев материала вместе
с трещинами (или, по крайней мере, затупление конца тре-
трещины), приводит к упрочнению материала под воздействием
внешней среды.
В отличие от физической (обратимой) адсорбции, влияние
химической (необратимой) адсорбции, как и коррозионного воз-
воздействия, изучено гораздо менее полно.
Вопросы докритического развития усталостных и коррозион-
коррозионных трещин имеют основное практическое значение; исследо-
исследование их занимает центральное место в современной механике
хрупкого разрушения.
11. Влияние горения твердого тела. Если твердое тело пред-
представляет собой взрывчатое вещество, то при некоторых условиях
в теле может произойти бьштрое развитие начальных трещин,
что вызовет резкое изменение нормального режима горения [80].
12. Вторичные звуковые и электромагнитные эффекты. При
развитии трещины ее край является источником звукового и
электромагнитного излучения; эти эффекты представляют
интерес, в частности, для методов неразрушающего контро-
контроля [81-82].
13. Самоподдерживающееся разрушение. Разрушение мате-
материалов с прочностью, близкой к теоретической, должно быть
в какой-то степени близким к теоретической диссоциации, т. е.
в результате разрушения должно образовываться большое коли-
количество мелких частиц. Это явление действительно наблюдается,
например, при разрушении высокопрочных стекол [83]. Разру-
f 7J МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ 183
Шение таких материалов происходит в волне разрушения, ана-
аналогичной в некотором смысле детонационной волне во взрывча-
взрывчатых веществах [84].
Самоподдерживающееся разрушение может иметь место так-
также в обычных хрупких телах (например, в стекле, прочных гор-
горных породах и т. д.), если предварительное нагружение тела
или некоторого его объема близко к всестороннему сжатию.
Это условие реализуется, например, в приконтактной зоне при
соударении хрупких тел [85], на продолжении выработки в гор-
горной породе [86] и т. д.
14. Влияние двуосности напряженного состояния. Согласно
концепции /Cic, прочность тела определяется лишь составляю-
составляющей внешней нагрузки, обеспечивающей растяжение по нор-
нормали к трещине, а растяжение вдоль трещины не влияет на
предельную нагрузку, так как не вызывает концентрации на-
напряжений на фронте трещины.
Это заключение противоречит многочисленным эксперимен-
экспериментальным данным для пластичных металлов и полимеров, со-
согласно которым опасность хрупкого разрушения возрастает
с увеличением растяжения в плоскости трещины. Для некото-
некоторых неориентированных полимеров предельная нагрузка при
всестороннем растяжении пластины с трещиной на порядок
ниже, чем при одностороннем растяжении.
Это наиболее типичный эффект, который не может быть
объяснен в рамках представления о тонкой структуре; он объ-
объясняется тем, что растяжение в плоскости трещины по разным
причинам «загоняет» пластическую область в конец трещины.
У металлов причина кроется в сдвиговой дислокационной при-
природе пластичности, у полимеров — в ориентационном характере
пластического течения, приводящего к существенно анизотроп-
анизотропной пластичности.
§ 7. Методы определения вязкости разрушения
При экспериментальном определении вязкости разрушения
/Cic (или Кс Для сквозных трещин в пластинах малой толщины)
встают следующие основные проблемы:
а) выбор наиболее рациональной формы и размера образца,
а также схемы нагружения;
б) создание искусственных трещин;
в) регистрация длины трещины и нагрузок.
В зависимости от вида материала и от экономических воз-
возможностей исследователя эти вопросы в применяемых на прак-
практике методах решаются по-разному. Универсального метода, ко-
который наилучшим образом решил бы эти вопросы для всех ма-
материалов, по-видимому, указать нельзя.
184
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
Наиболее существенные ограничения связаны с выбором
размера образцов, поскольку в небольшом образце из хрупкого
материала трудно создать трещину, а у пластичных материа-
материалов существует некоторый минимальный размер образца, ниже
которого разрушение становится преимущественно вязким (на
опыте последнее сказывается в том, что формально определяе-
определяемые величины Kic, у, Кс становятся зависящими от размеров
образца).
Применяемые на практике экспериментальные методы мож-
можно условно разбить на следующие три группы:
A. Методы, в которых используется корреляция вязкости
разрушения с другими, более легко измеряемыми величинами.
Б. Прямые методы измерения необратимой работы у.
B. Методы, основанные на решении конкретных задач линей-
линейной механики разрушения.
Рассмотрим каждую из этих групп в отдельности.
А. Наиболее заманчивыми представляются методы первой
группы. Действительно, наличие надежной корреляции, напри-
например, между Kic и значениями твердости, ударной вязкости, 0В,
0о,2 и др., позволило бы весьма быстро находить вязкость раз-
разрушения при помощи стандартной аппаратуры. Хотя в суще-
существование такой корреляции для всех материалов трудно по-
поверить, для некоторых классов материалов она вполне воз-
возможна. На образцах определенной формы с трещинами такие
корреляционные зависимости в некоторых случаях можно на-
находить опытным путем. Такие корреляции особенно полезны и
надежны, потому что позволяют
определять вязкость разрушения
в условиях, максимально прибли-
приближенных к условиям разрушения
конструкции. Приведем три лри*
мера.
Растяжение. Пусть разруше-
разрушение металлической конструкции
происходит из-за наличия пло-
плоской краевой трещины под дей-
действием растяжения, перпендику-
перпендикулярного к плоскости трещины
(рис. 54). Чувствительность материала к дефектам такого типа
и вязкость разрушения можно найти, не прибегая к теоретиче-
теоретическим решениям. Для этого берется образец любой удобной из
конструктивных соображений формы (например, в форме пря-
прямоугольного параллелепипеда), в котором под действием цик-
циклического растяжения создается краевая усталостная трещина;
затем образец растягивается до разрушения и замеряется раз-
разрушающая нагрузка 0, соответствующая созданной трещине.
Рис. 54.
|'7] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ 185
Размер образца должен быть таким, чтобы была реализована
тонкая структура конца трещины.
На основании анализа размерностей корреляционная связь
должна иметь вид
oVa/Kic = h(a/h). D.138)
Здесь /i — некоторая безразмерная функция своего аргумента,
а и h — характерные линейные размеры трещины и образца со-
соответственно.
Теперь заметим, что скорость роста усталостной трещины,
чрезвычайно чувствительна к величине коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений (см. формулу D.125)). Поэтому трещина раз-
развивается так, чтобы распределение коэффициента интенсивности
напряжений вдоль ее контура выравнивалось; последнее харак-
характерно такжг для хрупкой трещины при монотонном нагружении
в некотором диапазоне начальных трещин [87]- Вследствие этого
можно говорить о практически достаточно точном соответствии
формы развитой усталостной трещины и развитой хрупкой тре-
трещины в начале ее нестабильного роста для некоторого множе-
множества начальных трещин различной формы.
Аналогичное стремление к некоторой стандартной форме
краевой трещины будет иметь место также у коррозионных тре-
трещин и трещин замедленного разрушения, так как скорость ро-
роста таких трещин также весьма чувствительна к величине ко-
коэффициента интенсивности напряжений*).
Из соображений анализа размерностей форма усталостной
трещины, созданной в результате растяжения, при заданной на-
нагрузке не будет зависеть от свойств материала (если не считать'
коэффициента Пуассона), а будет вполне определяться формой
и размерами образца. Поэтому функция /i в D.12) для образца
заданных размеров и формы будет зависеть лишь от одного
аргумента, и ее можно определить экспериментально на осно-
основании таких же опытов по разрушению с искусственно создан-
созданной усталостной трещиной для некоторого контрольного мате-
материала с уже известной вязкостью разрушения Къ (в качестве а
можно взять, например, глубину трещины, а в качестве h —
толщину образца).
Коль скоро функция /i определена, формулу D.138) можно
использовать для определения вязкости разрушения других
материалов из аналогичных экспериментов с образцами той же
формы и размеров (по разрушающей нагрузке о и глубине тре-
трещины а).
' *) Возможны исключения (например, для коррозионных трещин, разви-
развивающихся по электрохимическому механизму, см. гл. VII).
186
Основы механики Хрупкого разрушений
[ГЛ. IV
Рис. 55.
Изгиб. Совершеннно аналогичные соображения верны также
для практически важного случая чистого изгиба моментом М
(на единицу ширины); при этом усталостная трещина должна
создаваться под действием циклического изгиба образца фикси-
фиксированных размеров (рис. 55). Соот-
Соответствующая корреляционная связь
имеет вид
M/(Kica3l2)^f2(a/h). D.139)
Удар. В тех случаях, когда кон-
конструкция подвергается быстропере-
менным или ударным нагрузкам,
представляет интерес оценка вязко-
вязкости разрушения в условиях ударно-
ударного нагружения, так как зависимость
вязкости разрушения от скорости
деформирования может быть существенной. Например, при из-
изменении скорости деформирования на пять порядков, что при-
приблизительно соответствует переходу от обычного медленного на-
нагружения к ударному, вязкость разрушения малоуглероди-
малоуглеродистой стали уменьшается в полтора раза, а вязкость разрушения
некоторых титановых сплавов
тд увеличивается примерно в пол-
полтора раза [35].
Допустим, что на пластину
падает ударник весом mg с вы-
высоты Н (рис. 56). При квазиста-
квазистатическом ударе хрупкое разруше-
разрушение определяется максимальной
силой сопротивления Р, достигае-
достигаемой в тот момент, когда удар-
ударник останавливается; следова-
следовательно,
W) = h{alh)- D.140)
Рис. 56. _ , ,. ,
Здесь ]г — безразмерная функ-
функция одного аргумента для тре-
щиноподобных дефектов стандартной формы, а — глубина тре-
трещины, h — толщина пластины.
В том случае, когда конец ударника имеет форму сферы ра-
радиуса гь где rx < h, а удар идеально упругий, силу Р можно
найти по формуле Герца
§ 7] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ 187
Здесь v — скорость ударника в момент, предшествующий на-
началу контакта, Vj и ?j (? = 1, 2) — коэффициенты Пуассона и
модули Юнга материала ударника и образца.
Если же форма ударника такова, что площадка контакта
не изменяется в процессе упругого удара, то силу Р легко опре-
определить по упругому коэффициенту постели k так:
В других случаях требуется непосредственное измерение
силы Р.
Рассмотренная задача представляет интерес также в связи
с распространенным методом испытания материалов на удар-
ударную вязкость (рис. 57). Пусть
образец Шарпи с V-образным
сквозным надрезом глубины
/о и усталостной трещиной дли-
длины /, развившейся из дна над-
надреза в глубину образца, под-
подвергается удару. В этом слу-
случае величина разрушающей
кинетической энергии ударни-
ударника, приходящейся на единицу
нетто-площади (ударная вяз- Рис 57.
кость), определяется при помо-
помощи формулы D.140), где нужно положить а = 10 + I. Определив
на контрольном материале функцию f3, на основании этой фор-
формулы имеем корреляцию ударной вязкости с вязкостью разру-
разрушения для любых материалов. Еще раз подчеркнем, что этакор--
реляционная связь будет различной для образцов разной формы
и условий закрепления. При этом методе испытаний, очевидно,
усталостная трещина может быть создана различными спосо-
способами, лишь бы фронт ее был параллелен дну надреза.
Во всех изложенных примерах для получения корреляцион-
корреляционных зависимостей был применен метод моделирования разру-
разрушения .на образцах одних" и тех же размеров из разных мате-
материалов, однако, очевидно, можно использовать также геометри-
геометрически подобные образцы с геометрически подобными трещи-
трещинами. При этом нужно следить лишь за соблюдением условия
тонкой структуры; практические границы соблюдения этого
условия, а тем самым, границы законного применения представ-
представлений механики хрупкого разрушения оказываются удивитель-
удивительно широкими, особенно если использовать эмпирическую по-
поправку на подрастание трещины и наличие пластической зоны
(см. формулу D.129)).
Указанный метод моделирования можно использовать и во
многих других практически часто встречающихся случаях
188 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ..IV
.разрушения; следует иметь в виду, что хотя используемое пред-
представление о наличии некоторых стандартных форм простран-
пространственной трещины в момент начала ее нестабильного развития
достаточно универсально и охватывает наиболее важные прак-
практически случаи, тем не менее возможны исключения, относя-
относящиеся к начальным трещинам продолговатой формы. В послед-
последнем случае возникают осложнения, связанные с трудностями
создания трещины заранее заданной формы и с появлением
в корреляционной зависимости других параметров моделирова-
моделирования, описывающих форму трещины.
Б. В методах второй группы экспериментально измеряется
величина необратимой работы у. Рассмотрим теоретические
основы этих методов.
Пусть на упругое тело действует некоторая внешняя сила Р;
смещение v точки приложения силы вследствие деформации
тела и развития трещины равно
и = ЯР, . D.141)
где X — податливость упругой системы, которая зависит от ее
конфигурации и в том числе от размера трещины. Чтобы избе-
избежать возникающего в теории упругости парадокса расходимо-
расходимости, связанного с действием сосредоточенной силы, нужно пред-
представлять себе силу Р приложенной
к некоторому абсолютно жесткому
телу конечных или бесконечных
размеров, которое давит на упругое
тело; при этом v будет равно сме-
смещению жесткого тела. Зависимость
D.141) схематически изображена
на рис. 58 кривой ОАВС. Трещина
начинает расти от точки А; участок
О А — прямолинейный, что соответ-
соответствует неподвижной начальной тре-
трещине. В случае хрупкой трещины
при разгрузке все напряжения и
Рис. 58. смещения в упругой системе долж-
должны исчезать, а трещина вследствие
необратимости оставаться неизменной; поэтому на диаграмме
Р — v участок разгрузки будет представляться прямолинейным
отрезком, проходящим через начало координат под углом к оси
v, меньшим соответствующего угла наклона начального прямо-
прямолинейного участка нагружения. Последнее вытекает из того оче-
очевидного факта, что при развитии трещины податливость упругой
системы всегда увеличивается.
Необратимая работа, затраченная на образование новой
поверхности трещины вследствие ее роста, равна площади гй-
5 7] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ 189
стерезисной петли, образовавшейся в процессе «нагружение —
разгрузка» (на рис. 58—площадь заштрихованного криволи-
криволинейного треугольника ОАВ). Отсюда величина у будет равна
указанной площади, деленной на приращение площади поверх-
поверхности тела.
Возможны два случая: а) развитие трещины неустойчиво
с самого начала, б) развитие трещины устойчиво.
В первом случае реализуется лишь (теоретически) беско-
бесконечно малая гистерезисная петля, так как точка В бесконечно
близка к концу прямолинейного участка нагружения (к точке
А). Вычисляем эту площадь, используя D.141)t
ОАВ ОАВ
= j § P2dK = \PAdh D.142)
ОАВ ОАВ
(РА — величина силы Р в момент разрушения).
Здесь dk и d2 — бесконечно малые приращения податливо-
податливости -и поверхности одного берега трещины, соответствующие
участку АВ. Так как К для данного тела и условий нагружения
представляет собой однозначную функцию 2, отсюда находим
2y = jP2AdWZ. D.143)
Изложенный подход, по существу, эквивалентен энергетиче-
энергетическому методу, на основании которого Ирвин впервые получил
формулу D.143) и предложил использовать ее для измерения
у. Этот метод называют методом податливости или смещения
[35]. Осуществление этого метода на практике требует весьма
точных измерений смещения v и изменения поверхности тре-
трещины 2.
В случае устойчивого развития трещины величины Я и 2 мо-
могут претерпевать конечные изменения; в этом случае у можно
определять непосредственным изменением конечной площади
гистерезисной петли на диаграмме Р — v. При этом требования
К точности измерения и и 2 значительно меньше, так что этот
метод можно использовать даже для измерения у у хрупких
материалов типа стекол, графита, кристаллов и т. д.
Некоторые наиболее удобные типы образцов и схемы нагру-
нагружения, применяемые на практике для осуществления контроли-
контролируемого устойчивого роста трещин, изображены на рис. 59—61,
Вдавливание плоского осесимметричного индентора (рис. 61)
целесообразно применять лишь для хрупких материалов, прак-
практически не испытывающих пластических Деформаций при
190
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ, IV.
больших напряжениях сжатия (стекло, прочные горные породы
и т. д.). Схема с сосредоточенной силой была использована
С. Е. Ковчиком и В. В. Панасюком [88]. Схема, изображенная
на рис. 59, использовалась в работе [89].
Рис. 59.
Рис. 60.
Теоретический подход, примененный для обоснования этих
методов, дает еще один весьма наглядный способ построения
теории трещин. Из него видно, что представление о поверхно-
поверхностной энергии упругих тел яв-
ляется следствием таких допуще-
допущений: а) конечному приращению
внешней силы отвечает конечное
(или нулевое) приращение по-
поверхности трещины, б) упругий
материал однороден и изотро-
изотропен по прочности, в) при любом
неизменном во времени значении
I внешней силы, меньшей неко-
некоторой критической, трещина не
растет. В рамках этих допуще-
допущений структура конца трещины
может быть совершенно произ-
произвольной.
Следует отметить, что экспе-
экспериментальные методы рассмот-
рассмотренного типа применимы также для изучения развития трещин
в упруго-пластических материалах (для определения диаграмм
разрушения).
В. Наиболее широко применяются методы измерения Кц,
в которых реализуются размеры образца и способ нагружения,
соответствующие какому-либо конкретному теоретическому ре-
решению линейной механики разрушения. В принципе любое та-
Рис. 61.
§ 7] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ . 191
кое решение можно использовать для определения вязкости
разрушения.
В табл. 4.1 приведены некоторые достаточно простые схемы
нагружения и указаны типы образцов, позволяющие наиболее
экономно расходовать материал с использованием образцов
сравнительно небольших размеров. Там же даются формулы,
по которым нужно определять К\с, используя полученные экспе-
экспериментально значения разрушающей нагрузки. Формулы эти
можно применять практически даже тогда, когда среднее на-
напряжение в сечении-нетто достигает 0,8 Оо,2 (т. е. почти все се-
сечение образца под трещиной переходит в пластическое состоя-
состояние), если использовать' в этих формулах эмпирическую по-
поправку Р5]. Поправка* состоит в следующем: начальное значение
/Cico получают по упомянутым формулам, затем по тем же фор-
формулам вычисляют следующее приближение Kid," причем вместо
длины I в этих формулах берут 1 + &1, где kl — pK\cQl<5% 2; да-
далее по тем же формулам вычисляют Kic2> причем вместо / бе-
берут / + А/, где А/ = pKlci/o$ 2, и т. д. Полученное таким методом
последовательных приближений предельное значение Къ прини-
принимают за вязкость разрушения.
Величина поправочного коэффициента р выбирается из сле-
следующих соображений. Аппроксимируем напряжение ау на про-
продолжении трещины в упругой области функцией вида
ay = KilV2n(x — M) при у = 0 D.144)
(х—расстояние от конца трещины).
Эта функция описывает распределение напряжения ау в фик-
фиктивном идеально-упругом материале с вязкостью разрушения
изучаемого реального материала, причем конец фиктивной тре-
трещины сдвинут на расстояние А/ относительно конца реальной
трещины. Если возможна такая аппроксимация, то границы тон-
тонкой структуры для фиктивного материала и трещины в нем
можно сдвинуть до края пластической области.
Напомним, что для трещин продольного сдвига, согласно
D.119), указанная аппроксимация оказывается точной, если А/
взять равным радиусу пластического круга на продолжении
трещины:
Al = K2mfBnk2). D.145)
Поскольку в тонких пластинах из упруго-пластического ма-
материала тип разрушения вблизи конца трещины разрыва бли-
близок к продольному сдвигу, было предложено [35] на основа-
основании D.145) брать в этом случае'коэффициент р равным 1/2п,
гчто оказалось в хорошем согласии с экспериментальными
данными Р5].
192
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
¦Ч"
га
83
о
в
я
я
4)
в
IS
I
?
к
а
к
t
5
В"
В
к
к
в
V
ч
о
5
о,
13
о
а
8
i
as
в
о
I
S
8
I
I
о
О
со
о
-С
II
+
V/
V
-с
V
>я
о
я
л
я
9
га
р.
ю
О)
s
я
и
§71
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ
193
О
•I-
СО
о
г
•а
со
о
I
•а
о сГ
+ +
со со
о" о
I I
¦с -е
О)
s
X
S
S
о.
с
О
<и
s
к
в
В1
!U
S '
о.
с
О
я
к
в
В1
О)
S
S.
в
U
«о
Е
7 Г. П. Черепанов
194
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
«2
g
a
s
4)
S
0}
О
я
" f-
o
0>
о
льн
има
G
О
л
о Я
о ч
огреш
форм
Ч
S
«
?-
0}
В*
о
«I
ft
Схема
к
S
га
сил
Я
сосредоточен
я
3
&
я
о.
<м
о
1
•е
»-»
т
1B:
0,5
•я V/
,I<N Я
^ * '
О.
II
J
1
!
О)
о
а
зе:
га
о.
ю
О
ю
II °
" II
«э "
(N — о —"
II II II 11
1! II II II
о^ оз oq oq
^ !С !? "в
1
«3
—1
—^,
-*
СО л
о> о
+ v
х g v
^-
О.
о,
КЗ <N
»¦ А,
к X
ч
\
f Ч
(Ь rdr
t
с»
и
S
Щ
S
к
XT
и
<?
S
а
С
я
ч
ф
а
•S
ш
g
г
>,
а
(-
а>
а
s
о
и
га
ю
S
и
п
S
о
чистог
№
Ч
СО
Я
о
о
а;
Ч
S
фор
о
с
№
и
S-
ляе
преде
о
!^
гина
¦j
к
ч
о>
и
CD
4-
га
с;
о
О
<и
со
О.
\о
о
га
Е-
S
и
<**
00
га
S
X
и
ляется
и
№
га
Ч
га
SS
тер:
СЯ
S
к
к
•4J
юно:
ч
смыс
и
II 4
II о
^а
а
я я
11
si
2 ч
га о
хо «о
к к
и га
S
CD
S
схе
ется
X
ч
и
№
ени!
а
о
0TI
еском
в-
s
т
npai
и
той
црос
<и
.—. О)
Е|
га
ь X
о .
га
о.
$ 7] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ 195
Для толстых пластин (т. е. для плоскодеформированного
состояния) число р получается совершенно другим. Из формулы
D.108), аппроксимирующей решение Раиса с сотрудниками [56],
вытекает, что в этом случае
Д/«— 0,015/i(]/as2. D.146)
Следовательно, для плоскодеформированного состояния р =
= —0,015. При этом формула D.108) аппроксимирует истинное
распределение ау вплоть до конца реальной трещины.
Наличие сложной структуры конца сквозных трещин в плас-
пластинах и большая легкость протекания пластического деформи-
деформирования в этом случае создает дополнительные трудности изме-
измерения Kic на образцах конечной толщины со сквозной трещи-
трещиной. Бойл, Салливен и Краффт предложили метод скачка [90],
который позволяет определять Kic на пластинах, толщина
которых меньше, чем это требуется для полностью прямого из-
излома. Этот метод основан на том, что первое заметное распро-
распространение сквозной трещины происходит скачкообразно; в этот
момент иногда слышен слабый треск. Во время скачка прямо-
прямолинейный фронт трещины искривляется, при этом центральная
часть его продвигается вперед, а часть, прилегающая к свобод-
свободным поверхностям пластины, почти не изменяет своего положе-
положения (см. рис. 48). Скачок, очевидно, происходит в тот момент,
когда коэффициент интенсивности напряжений на фронте тре-
трещины достигает величины Kic (напомним, что в центральной ча-
части фронта осуществляется плоскодеформированное состояние).
Момент скачка определяют или на слух, или при помощи при-
приборов, следящих за длиной трещины.
Для регистрации длины трещины применяют следующие
основные методы:
а) визуальный метод,
б) фото- и киносъемка,
в) измерение электросопротивления (образца с трещиной
или тонкого слоя, наклеиваемого на образец),
г) анализ разрывов тонких проволочек, наклеенных на пути
распространения трещины,
д) использование красящих жидкостей, загоняемых в тре-
трещину,
е) наблюдение цвета побежалости металла,
ж) метод вихревых токов,
з) применение датчиков смещения, ¦ фиксирующих разность
смещений в некоторых точках, расположенных по обеим сто-
сторонам пути распространения трещины,
и) акустический метод с применением пьезоэлектрических
датчиков,
к) фрактографический метод.
196 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Каждый из упомянутых методов имеет свои достоинства и
недостатки, определяющие область его применения.
Искусственные трещины создаются следующими основными
способами:
а) локальным охлаждением области вблизи конца надреза
до температур, меньших температуры хладноломкости, с после-
последующим надрывом или ударным инициированием;
б) созданием усталостных трещин; •
в) применением нагрузок, приводящих к контролируемому
развитию устойчивых трещин из начального разреза (раскли-
(расклинивание, сосредоточенные силы и т. д.).
Следует отметить, что в некоторых случаях (пластичные ме-
металлы и полимеры) роль трещины может играть надрез, полу-
полученный обычным механическим способом, т. е. надрез с до-
довольно большим радиусом кривизны в конце. Это возможно в
тех случаях, когда раскрытие конца естественной трещины в
момент разрушения столь велико, что достигает размеров, при-
примерно равных размерам рабочей части инструмента (например,
толщины фрезы). Раскрытие конца трещины можно оценить по
формулам D.98) и D.107).
Максимально возможное раскрытие в ряде случаев можно
оценить практически из серии экспериментов по разрушению
одинаковых образцов с разрезами одинаковой глубины, но
различного радиуса кривизны дна надреза; существует такая
критическая величина радиуса надреза, что при радиусах кри-
кривизны, меньших этой величины, разрушающая нагрузка прак-
практически не зависит от радиуса дна надреза. Эта критическая
величина примерно равна наибольшему раскрытию естествен-
естественной трещины в ее конце. Для искусственных надрезов в этом
случае, разумеется, будет отсутствовать стабильное подрастание
конца трещины.
В некоторых случаях для определения вязкости разрушения
можно использовать следующий способ. Определяются средние
величины вязкости разрушения при нескольких значениях ра-
радиуса г искусственного надреза (серия образцов для каждого г)
и по этим опытным данным строится аппроксимирующая их
аналитическая "зависимость; распространение этой зависимости
вплоть до точки г = 0 позволяет найти наименьшую вязкость
разрушения, соответствующую максимально острому надрезу—¦
трещине.
Для любых г формула для вязкости разрушения берется
на основании решений механики хрупкого разрушения, полу-
полученных в предположении, что надрез представляет собой ма-
математический разрез нулевой трещины. Этот способ особенно
полезен в тех случаях, когда возникают трудности с созданием
трещины. В случае хрупких пористых тел (керамика, графиты,
J8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 197
горные породы и т. д.) экспериментально удается легко выхо-
выходить на горизонтальную асимптотику г-*0, применяя доступ-
доступные инструменты для создания надрезов с радиусом надреза
порядка наибольшего характерного размера пор.
Применяемые методы позволяют определять вязкость разру-
разрушения с точностью, примерно соответствующей точности изме-
измерения условного предела текучести ао,2-
Полученные различными методами значения вязкости разру-
разрушения некоторых материалов приводятся в Приложении II.
Величина Kic для стекол имеет порядок 1—2 кГ/мм\ для ме-
металлов 50—600 кГ/мм\ для хрупких горных пород 2—4 кГ/мм'Ь,
для некоторых полимеров 2—5 кГ/мм'Ь.
§ 8. Оценка технической прочности и вязкости
разрушения некоторых материалов
Одной из основных проблем материаловедения и металлур-
металлургии является создание материалов с наибольшей вязкостью
разрушения и наибольшей прочностью. Последнее требование
выражено не вполне четко, так как прочность не является кон-
константой материала. Поэтому будем различать два понятия: ме-
металлургическую прочность и конструкционную прочность. Под
первой понимается (обычно приводимое в справочниках по ма-
материалам) значение прочности, полученное на гладких лабора-
лабораторных образцах определенных размеров из материала в со-
состоянии поставки. Прочность изделия из этого же материала
(конструкционная прочность) иногда оказывается существенно
меньшей. Особенно часто это происходит при приближении к
области хрупкого разрушения.
Дефекты, служащие причиной разрушения образца или
конструкции, можно условно разделить на дефекты, образую-
образующиеся в металлургическом процессе (или в каком-либо другом
процессе создания заготовок материала), дефекты, создаваемые
в технологическом процессе сборки конструкции, и дефекты,
которые могут возникать или развиваться в процессе эксплуа-
эксплуатации конструкции (например, коррозионные или усталостные
трещины).
Наличие опасных дефектов технологического и эксплуата-
эксплуатационного происхождения как раз и объясняет обычно кажу-
кажущуюся преждевременной поломку конструкции.
Прочность конструкции всегда представляет собой некото-
некоторую случайную величину, так как, во-первых, точное располо-
расположение всех дефектов заранее неизвестно, а, во-вторых, если бы
это расположение и было точно известно, решение соответ-
соответствующей математической задачи было бы невозможно из-за
ее сложности.
198 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
При построении статистической теории прочности можно
идти двумя путями:
а) на основании опыта или интуиции выделить один или
несколько наиболее опасных дефектов, а остальные дефекты как
-бы равномерно «размазать», считая свойства получившейся
сплошной среды строго известными из макроэксперимента;
длина и, может быть, некоторые другие параметры, определяю-
определяющие расположение наиболее опасного дефекта, считаются слу-
случайными величинами с заданными функциями распределения;
б) все без исключения дефекты «размазать» по объему, счи-
считая получившуюся усредненную среду сплошной и «бездефект-
«бездефектной»; локальная прочность этой среды, а также напряжения
считаются некоторыми случайными функциями координат с за-
заданными функциями распределения в каждой точке тела (сред-
(средние значения напряжений и прочности определяются, соответ-
соответственно, из макротеории и макроопыта). При этом подходе
для получения окончательных выражений требуется еще ряд
дополнительных допущений.
Первый подход ближе к теории трещин (в нем подчерки-
подчеркивается физическая природа прочности); второй подход более
формален, он ближе к теориям прочности в сопротивлении ма-
материалов. Указанные подходы имеют несколько различные об-
области применения.
Допустим, что в процессе изготовления или эксплуатации
конструкции в ней не возникли более опасные дефекты, чем
металлургические, а характерный линейный размер конструк-
конструкции вел-ик по сравнению с размером зерна материала и раз-
размером дефекта. В этом случае применимость второго подхода
не вызывает сомнения. Именно этот подход разрабатывается
в большинстве исследований, посвященных статистическим воп-
вопросам прочности.
Теперь допустим, что при технологическом процессе или в
ходе эксплуатации в конструкции могут возникнуть более
опасные дефекты, чем металлургические. Для получения функ-
функций распределения согласно второму подходу требуется пред-
представительная выборка из некоторого числа п соответствующих
конструкций (минимально необходимое число п определяется
доверительным интервалом), при этом прогноз относительно
прочности одной конкретной конструкции оказывается уже ве-
вероятностным. Поэтому практически указанный подход может
быть применен лишь к сравнительно малоценным изделиям
массового производства; для уникальных или дорогих кон-
конструкций его использовать нельзя. В этом случае первый подход,
позволяющий, например, путем анализа сравнительно неболь-
небольшого числа поломок установить примерную величину и рас-
расположение дефектов, вызывающих разрушение, может оказать-
§ 8]. ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 199
ся единственно возможным. В дальнейшем в этом параграфе
дефекты технологического и эксплуатационного происхождения
исключаются из рассмотрения, и под прочностью будет пони-
пониматься обычная металлургическая прочность.
Представляют интерес оценки величины вязкости разруше-
разрушения и прочности, имеющие смысл для определенных классов
материалов в определенных условиях.
Тонкие пластины. Сквозные трещины «среза». В достаточно
тонких пластинах из упруго-пластического материала сквозные
трещины распространяются как трещины «среза», так что по*
верхность излома оказы-
оказывается наклоненной под
углом 45° к поверхности Р . —
пластины (косой излом, -* _
рис. 62). Рассмотрим сна-
сначала тот случай, когда
h <<¦ K\cjo2QiV т. е. толщи- —
на пластины значительно -=
меньше размера пласти- Р ~
ческой области вблизи
конца трещины, харак-
характерного для полностью Рис. 62.
прямого излома. При этом
пластическую область в конце трещины можно приближенно
считать плоскостью скольжения на продолжении трещинй
(см. рис. 40). В результате деформации пластины и разви-
развития трещины пластина теряет устойчивость в некоторой
окрестности трещины, причем с одного берега трещины пла-
пластина выпучивается в одну сторону, а с другого берега — в
другую сторону, в соответствии с рис. 62. Результат исчерпания
способности материала к пластическому течению ограничен
ситуацией, изображенной на нижнем рисунке, реализующейся
в конце трещины. Из геометрических соображений следует, что
при этом раскрытие трещины в ее конце 2v0 в момент продви-
продвижения конца трещины равно
2vo = h, D.147)
где h — толщина пластины. Это соотношение позволяет при по-
помощи формулы D.98) оценить вязкость разрушения /Сс тонких
пластин
Кс = V^Jh, V = josh. D.148)
Например, для алюминиевого сплава 7075-76 в случае, ис-
исследованном Ирвином с сотрудниками [67], толщина h при пол-
полностью «косом» изломе составляла 3 мм. Величина as для этого
200
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
сплава имеет порядок 50 кГ/мм2; отсюда по формуле D.148)
получаем у = 75 кГ/мм. Согласно опытам Ирвина, в этом слу-
случае у — 65 -т- 70 кГ/мм.
Полученная оценка Кс, строго говоря, справедлива только
для материалов, способных к неограниченному пластическому
течению вплоть до окончательного разделения образца. Для
большинства материалов ситуация, изображенная на нижнем
рисунке, не реализуется; поэтому формула D.145) дает завы-
завышенную оценку.
В некоторых материалах косой срез имеет место даже в
том случае, когда
К\с1
\ 2>
т. е. когда толщина пластины
значительно превышает размер пластической области вблизи
конца трещины, характерный для полностью прямого излома.
В этом случае разрушение можно считать квазихрупким; вели-
величина предельного раскрытия 2vu гораздо меньше толщины пла-
пластины h. Как вытекает из рис. 62, при этом на фронте трещины
возникает сложное напряженное состояние, которое о.твечает
комбинации продольного сдвига, и нормального разрыва с оди-
одинаковыми коэффициентами интенсивности напряжений К\ =
=/(ш=/<Уул2.Так как локальное разрушение при этом опреде-
определяется нормальным разрывом, то /Ci = /Cic в момент разруше-
разрушения, т. е. Кс = /2 К\с.
В общем случае в зависимости от значений безразмерного
параметра 1 = К\сОалЬ~Х величина вязкости разрушения Кс для
полностью косого излома изменяется от ]/2 /С1с до ]/ст4?/г.
Практически для большинства металлов и обычно применяемых
размеров образцов величина Кс при полностью косом изломе
изменяется в сравнительно узком диапазоне A,5 —- 2,5) Kic-
Сквозные трещины смешанного типа. Если сквозная трещи-
трещина в пластине вблизи свободных поверхностей пластины ведет
себя как трещина «среза» (косой излом), а в центральной
Рис. 63.
части — как трещина отрыва (прямой излом), то для приближен-
приближенной оценки можно пренебречь влиянием одной из поверхностей
пластины на другую, считая, что толщина «губ среза» равна
hj2, т. е. некоторой постоянной материала, отвечающей весьма
толстой пластине (рис. 63). Суммируя выражения для удель-
§8]
ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ
201
ной необратимой работы образования каждой из этих двух ча-
частей новой поверхности трещины, получаем [20] следующее вы-
выражение для эффективной (средней по толщине пластины)
величины у:
К , 1 - v2
¦Kic
—г)
DЛ49)
Рис. 64.
Здесь величина ycv значительно меньше максимальной вели-
величины D.148) вследствие неспособности поверхностного слоя к
выпучиванию.
Зависимости D.148) и D.149) охватывают'весь диапазон
толщин от нуля до бесконечности (рис. 64). Этот вид функции
Y«=y(^) качественно хорошо
описывает имеющиеся экспери-
экспериментальные данные, однако вряд
ли всегда можно ожидать хоро-
хорошего количественного совпаде-
совпадения при всех h, поскольку теоре-
теоретические соображения, лежащие
в основе вывода этих формул,
справедливы, строго говоря, лишь
при очень малых и очень боль-
больших толщинах. Однако, если по-
постоянные os, Yep, К, фигурирую-
фигурирующие в формулах D.148) и
D.149), выбирать из условий наилучшего согласия с опытом, то
полученные зависимости дают также хорошее количественное
описание опытных данных при всех h.
Следует подчеркнуть, что критерием, характеризующим тол-
толщину пластины, помимо параметра | = КиОо^~\ является
также безразмерный параметр Д = h/l, где / — длина трещины
(или какой-либо другой характерный линейный размер поверх-
поверхности пластины). Именно этот параметр характеризует выпу-
выпучивание пластины, т. е. переход от решения, обладающего той
же симметрией, что и граничные условия, к несимметричному
решению. Трещины «среза» реализуются теоретически при
А->0, а чисто отрывные трещины — при А—> оо. Так как вели-
величина / не является локальным параметром, диаграммы типа
изображенной на рис. 64 в общем случае имеют смысл только
применительно к тому или другому кругу изучаемых конструк-
конструкций и материалов; они не имеют универсального характера
(в отличие от концепции Kic).
Наибольший интерес (и наибольшую сложность) представ-
представляет оценка величины Kic, для этого необходимо учитывать
внутреннюю структуру материала. Выделим следующие основ-
основные группы материалов: композитные гетерогенные мятр.пиялн
202 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
(в том числе металлы и их сплавы), хрупкие пористые мате-
материалы, гомогенные хрупкие материалы, полимеры.
Композитные гетерогенные материалы. Большинство важ-
важнейших конструкционных материалов относится к композитным
материалам, состоящим из нескольких компонентов и имеющим
весьма сложную внутреннюю структуру (неоднородную, анизо-
анизотропную, со сложным распределением внутренних напряжений).
В этот класс материалов нужно, прежде всего, включить ме-
металлы и их сплавы, затем металлопласты, стеклопластики, ком-
композиты на основе металла и углерода, металла и кремния и т.д.
Введем понятие структурной ячейки. Структурной ячейкой
будем называть минимальное по размерам образование мате-
материала, такое, что любое тело из данного материала можно счи-
считать склеенным из большого числа таких периодически повто-
повторяющихся в пространстве образований. Свойства материала в
структурной ячейке меняются от точки к точке, однако в соот-
соответствующих точках любых двух ячеек одинаковы.
Структурную ячейку можно определить, например, так, что-
чтобы граница ее (или область контакта ячеек) была наиболее
прочной.
Реальный композитный материал в лучшем случае состоит
из некоторого распределения более или менее подобных по
свойствам образований, поэтому представление о стандартной
для данного материала структурной ячейке с характерным раз-
размером d0 является некоторой идеализацией, оправдываемой
лишь простотой получающихся выводов и оценок.
В сплавах такими ячейками чаще всего являются зерна ос-
основного металла и химически активных примесей, образовав-
образовавшиеся из центров кристаллизации при отвердевании расплава;
роль прочностных барьеров на границах ячеек в некоторых слу-
случаях играют межкристаллитные пленки, образовавшиеся из хи-
химически неактивных атомов примесей, которые были оттеснены
к границе в процессе роста зерен.
Если представление о структурной ячейке применимо к дан-
данному материалу, то его вязкость разрушения из соображений
анализа размерностей должна быть такой:
*1в = ЛогвУ^. D.150)
Здесь о"в — средняя прочность на разрыв структурной ячейки с
характерным размером do, I — примерно постоянный множитель
порядка единицы.
Величина ов в разных классах материалов имеет разное зна-
значение вследствие масштабного эффекта. В высокопрочных ста-
сталях с очень мелким зерном порядка нескольких микронов вме-
вместо d0 можно брать средний диаметр зерна, а вместо ав — тео-
теоретическую прочность, равную приблизительно 0,1 Е.
ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ
203
При этом, например, для стали СП 43 число X получается
равным примерно 1,6 (Ки « 7000 кГ/см\ do « 5 мкм, <тв да
« 160 кГ/мм2, Е да 2X104 кГ/мм2).
В крупнозернистых титановых и алюминиевых сплавах
(с величиной зерна порядка нескольких миллиметров) в фор-
формулу D.150) надо подставлять вместо ав временное сопротив-
сопротивление, определяемое из макроопыта, а вместо do— по-преж-
по-прежнему средний размер зерна. Приведем имеющиеся данные для
двух сплавов (титановый сплав ВТ 14 и алюминиевый сплав
Д20):
Материал
ВТ 14
Д20
К\с, кГ/см3/2
7000
3500
d,, мм
1-4-2
3
ав, кГ/мм2
104
40
1,7
1,6
В двухкомпонентных композитах, состоящих из достаточно
вязкого связующего, армированного прочными нитями (напри-
(например, металл — нити углерода, полимер — стеклянные волокна
и т. д.), на основании представления о структурной ячейке ве-
величины d0 и о"в будут выражаться через другие структурные
постоянные так:
Здесь Рвп — средняя прочность одной армирующей нити (или
стержня), п — среднее число нитей, приходящееся на единицу
поверхности излома (нити рвались, когда трещина их перере-
перерезала), о"вс — прочность связующего, е — объемная концентрация
армирующей компоненты (нитей).
В большинстве случаев вторым слагаемым в первой фор-
формуле D.151) можно пренебречь. При этом выражение для вяз-
вязкости разрушения, согласно D.150), принимает вид
Kia = ^PBnnm. D.152)
Прочность композита имеет порядок KiJVd . где d — ха-
характерный диаметр наиболее опасного трещиноподобного де-
дефекта.
В некоторых (в основном, крупнозернистых) металлах на-
начальный трещиновидный дефект в процессе нагружения устой-
устойчиво развивается примерно до контролируемых заранее разме-
размеров зерна, так что в момент разрушения величина d примерно
равна диаметру наибольшего зерна [13]. Это поясняет тот
факт, что прочность некоторых даже весьма хрупких сплавов
204
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
меняется в относительно небольшом диапазоне по сравнению с
прочностью аморфных материалов типа стекла.
В то же время существует много сплавов (в основном, вы-
высокопрочных сталей), для которых размеры трещиноподобных
дефектов металлургического?- происхождения существенно (на
несколько порядков) превышают средний размер зерна. Приве-
Приведем, например, данные для двух марок стали (СП 43 и Н 18,
см. Р5]).
Материал
СП 43
Н18Ц
К1с, кПсм'Ь
7000
9300
Размер
зериа,
мкм
~5
~4
<тв, кГ/мм2
160
190
Размер
критической
трещины, мм
~2
~2
В связи с этими оценками встает вопрос, всякие ли искус-
искусственные надрезы или трещины снижают прочность материала
по сравнению с сгв? Разумеется, в какой-то степени такое сни-
снижение происходит всегда, однако оно пренебрежимо мало, если
глубина вносимого надреза мала по сравнению с размером наи-
наиболее опасного дефекта, уже присутствующего в материале.
В этом смысле, если выполняется последнее ^условие, можно
говорить о том, что вносимый дефект не влияет на прочность
материала, имея в виду обычное трещиноватое тело. Для
идеального материала любой дефект вызывает уменьшение тео-
теоретической прочности.
Эти соображения должны быть определяющими при разра-
разработке нормативов на допуски при технологических операциях
с готовыми материалами. При этом следует помнить о таких
важнейших усложняющих факторах, как, например, коррозия,
цикличность нагрузок и т. д.
Хрупкие пористые материалы. Такие материалы можно
представить себе в виде окаменевшей губки со случайным и
однородным распределением пор, заполненных газом. К этому
типу материалов можно отнести многие горные породы типа
песчаников, графит, керамику, материалы, получаемые спека-
спеканием порошков, и т. д.
Из представления о структурной ячейке в этом случае вы-
вытекает следующая оценка для вязкости разрушения:
/Cie = А,! A — в
Здесь е — пористость (объем пор в единице объема простран-
пространства), Kico — вязкость разрушения монолитного материала, сгв —
теоретическая прочность монолитного материала, d0 — средний
диаметр пор, Ki и %2 — коэффициенты.
ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 206
Прочность пористого материала определяется формулами
} а (в, v)KiJVd^ при d<dQ, ,„ ,„„,
ffB={ I r— D.154)
I 4(v)KiJVd при d>d0.
Здесь dmax — наибольший диаметр одной поры, d — характер-
характерный линейный размер трещиновидного дефекта, а(е, v) и
«o(v) — некоторые безразмерные функции своих аргументов.
Аморфные хрупкие материалы. К таким материалам отно-
относятся стекла, плавленый кварц и др. Линейный размер струк-
структурной ячейки в этих материалах равен среднему межатомному
расстоянию. Поэтому для оценки вязкости разрушения (или
связанной с ней удельной необратимой работы у) можно при-
применить методы, рассмотренные в гл. II для идеально-периоди-
идеально-периодических структур. Они дают значения вязкости разрушения, со-
согласующиеся с экспериментальными.
Прочность таких материалов существенно зависит от раз-
размеров начальных трбщин, всегда присутствующих в этих мате-
материалах.
Например, прочность силикатного стекла на разрыв изме-
изменяется [92] примерно от 0,5 кГ/мм2 до 600 кГ/мм2. Нижняя
граница отвечает оконному стеклу с дефектным поверхностным
слоем, верхняя граница найдена при испытаниях в вакууме на
стеклянных образцах, полученных из хорошо гомогенизирован-
гомогенизированной стекломассы и обработанных плавиковой кислотой для уда-
удаления дефектного поверхностного слоя.
Так, например, в опытах, описанных в работе [83], был про-
произведен, изгиб пуансоном квадратной пластинки из такого
стекла; максимальное растягивающее напряжение при этом со-
составляло более 450 кГ/мм2. Многие исследователи [92] считают
достижимой прочность стекла порядка 1200 кГ/мм2.
Эти величины соизмеримы со значением теоретической проч-
прочности, отвечающей диссоциации тела на отдельные атомы.
Напомним, что для силикатных стекол модуль Юнга Е =
= E-г-7)-103 кГ/мм2. Как уже упоминалось ранее, разруше-
разрушение сверхпрочных стекол в какой-то степени напоминает такую
происходящую «со взрывом» диссоциацию, хотя размер обра-
образовавшихся осколков значительно больше межатомного рас-
расстояния (порядка 10~4—10~2 см).
Приведем оценку прочности силикатного стекла, считая, что
у = 2,Ы03 дн/см, Е = 6,7-103 кГ/мм2, v = 0,33. Среднее меж-
межатомное расстояние в стекле примем равным 4-10~8 см; напом-
напомним, что постоянные решетки натрия и кремния — основных
компонентов силикатного стекла — равны соответственно 3,2Х
XIО"8 см й 5,4-Ю-8 см.
206
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. IV
Прочность о хрупкого тела с круглой дискообразной трещи-
трещиной диаметром d определяется по формуле (см. Приложение I)
а =
D.155)
Для стекла получаем отсюда следующие данные:
d, см
а/Е
4- КГ8
0,6
2,6 ¦\0~7
0,2
ю-6
0,1
4-10~6
0,05
ю-6
0,01
ю-3
0,001
Представляет интерес также оценка размеров области вбли-
вблизи конца трещины, где тело уже нельзя считать сплошной сре-
средой. Согласно C.44), напряжение ау на продолжении конца
трещины в момент разрушения равно
0 у =
Еу
— V2
\2)лх
D.156)
Для стекла отсюда получаем:
X, СМ
Оу/Е
4-Ю-8
0,15
ю-7
0,1
4-10
0,06
Радиус кривизны конца трещины, определенный формально
по формулам C.44), равен
R = 8y(l — v2)/(nE). D.157)
Для стекла он примерно равен 0,5-10~8 см, т. е. гораздо меньше
среднего межатомного расстояния.
Приведенные оценки показывают, что используемый аппа-
аппарат механики сплошных сред не в состоянии описать структуру
конца трещины в аморфных хрупких материалах, так как на
расстояниях от конца трещины порядка межатомного дости-
достигается значение теоретической прочности, а радиус закругления
гораздо меньше межатомного расстояния, так что материал
нельзя считать сплошной средой. Поэтому вывод об эллипти-
эллиптической форме хрупкой трещины в ее конце и-о бесконечности
напряжений в этой же точке неверен, поскольку эти вопросы
не могут быть рассмотрены в рамках применяемой теории. Бо-
Более того, вопрос о структуре конца трещины становится бес-
бессмысленным для несплошной среды; решение же вопроса о точ-
точном определении области несплошности требует отказа от при-
S 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 207
менения концепции сплошной среды. Простейшее предположе-
предположение состоит во введении разрывных решений уравнений теории
упругости, однако выбор таких решений в данном случае ни-
ничем не определен и может быть весьма произвольным (ср., на-
например, D.97) и D.104)). . -
Полимеры. Исчерпание способности к пластическому дефор-
деформированию полимерного материала вблизи конца трещины свя-
связано со способностью отдельных молекул или пачек молекул
(надмолекулярных образований) - к наибольшей вытяжке без
разрыва. Опыт показывает, что на продолжении трещины в по-
полимерах образуется узкая клиновидная область, противополож-
противоположные берега которой скреплены невзаимодействующими между
собой нитями; нити образовались вследствие значительной вы-
вытяжки надмолекулярных образований.
В этом случае вязкость разрушения Kic наиболее естествен-
естественно оценить, используя формулу D.98)
Kic=VosEb. D.158)
Здесь А — наибольшая величина линейной вытяжки до разрыва
надмолекулярного образования.
Эта оценка годится также для некоторых композитных ма-
материалов (полимерное связующее плюс кристаллический за-
заполнитель), когда силы адгезии составляющих малы. К таким
материалам относится, например, твердое ракетное топливо.
Надежность конструкции с трещиной. Механика -хрупкого
разрушения, основываясь на опытных данных, исходит из воз-
возможности существования трещин в любой конструкции. Сравни-
Сравнительная оценка надежности работы различных конструкций с
трещинами представляет большой интерес.
Если размер d начального трещиновидного наиболее опас-,
ного дефекта можно обнаружить с вероятностью 100% мето-
методами неразрушающего контроля, то сравнительной оценкой на-
надежности различных конструкций будет служить, очевидно, сле-
следующее число х (при одинаковых предельных нагрузках) [60'87]:
Х = /ЗДЧ). D.159)
Чем больше число %, тем разрушение более вязкое; чем
меньше число %, тем разрушение ближе к хрупкому: Предпо-
Предполагается, что d гораздо меньше характерного линейного раз-
размера конструкции.
Величина os получается аппроксимацией реальной диаграм-
диаграммы а — е диаграммой Прандтля. Надежнее брать ее равной ве-
величине (То,2; для высокопрочных материалов, у которых Сто,2 и
ав близки, этот вопрос не имеет значения.
208 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
Пусть величины Kic, os и, в особенности, d известны лишь
с некоторой вероятностью. Тогда при аргументированном вы-
выборе коэффициента запаса нужно прежде всего задать довери-
доверительную вероятность надежной работы конструкции (скажем,
90, 95 или 99%—это зависит от назначения изделия), затем
по формулам, определяющим хрупкую прочность (см. Прило-
Приложение I), подсчитать коэффициент запаса, требующийся для
обеспечения заданной вероятности. Дальнейшее сравнение двух
конструкций (с одинаковым коэффициентом запаса и предель-
предельной нагрузкой) производится сравнением функций распределе-
распределения числа %.
Практически может оказаться удобнее по проектируемому
коэффициенту запаса определить критические размеры дефектов,
а затем на основании имеющейся статистики разрушений (или
анализа металлургического и технологического процессов, при
которых образуются дефекты) оценить вероятность наличия в
конструкции сверхкритических трещин.
Отметим изящный экспериментальный метод (метод «про-
«провокаций») определения критических размеров трещин в метал-
металлических конструкциях при заданных стационарных рабочих на-
нагрузках. Для этого надо подвергнуть знакопеременному цикли-
циклическому нагружению часть конструкции, содержащую наиболее
опасное место, в котором делается искусственный надрез или
насечка; максимальная амплитуда циклических напряжений
вдали от надреза должна равняться рабочим напряжениям.^
После разрушения (вследствие развития усталостной трещины
из надреза) край критической трещины, соответствующей дан-
данным рабочим нагрузкам, легко визуально определить как гра-
границу, разделяющую блестящую поверхность медленного разви-
развития усталостной трещины и шероховатую поверхность быстрого
роста трещины.
Данная оценка представляет интерес, в особенности, при
сравнении конструкций одинакового назначения, но разного га-
габарита и из различных материалов.
§ 9. Другие критерии локального разрушения
Формулировка критерия локального разрушения D.2) для
трещин нормального разрыва не зависит от структуры конца
трещины. Например, в случае внутренних трещин структура
конца трещины совершенно не похожа на структуру конца
сквозной трещины в пластине (см. § 5 этой главы), однако кон-
концепция механики хрупкого разрушения справедлива в обоих
случаях, если реализована тонкая структура. Впервые наиболее
четко это было понято Ирвином [12>9I], исходившим из общих
энергетических еоображений, аналогичных изложенным ранее.
;| S] ДРУГИЕ КРИТЕРИИ ЛОКАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ 209
Некоторые исследователи приходили к аналогичным крите-
критериям на основе некоторых частных представлений о структуре
конца трещины. Перечислим наиболее известные концепции.
Концепция Нейбера: вблизи конца трещины имеется пласти-
пластическая область, размер d которой является структурной по-
постоянной материала. Эта концепция «пластической частицы»
была выдвинута Нейбером еще в 1935 г. [31]. При помощи фор-
формул типа D.97) ее легко переформулировать в виде критерия
локального разрушения Ki^Kic, составляющего основу меха-
механики хрупкого разрушения для трещин нормального "разрыва.
Только несовершенство применяемого математического аппа-
аппарата помешало Нейберу достичь этого.
Концепция Вильямса: локальное разрушение происходит в
момент достижения радиусом кривизны конца трещины некото-
некоторого предельного значения, своего для каждого материала [93].
Концепция Уэллса: локальное разрушение отвечает некото-
некоторому максимальному раскрытию трещины в ее конце [94], харак-
характерному для каждого материала (С. О. D.) *).
Концепция Мак-Клинтока: локальное разрушение происхо-
происходит, как только средняя деформация на некотором малом расстоя-
расстоянии ps от кромки трещины в пластической зоне достигнет неко-
некоторого постоянного для данного материала значения [95] (ps —
постоянная материала).
Концепция Леонова и Панасюка: на некотором участке на
продолжении трещины напряжение ау, а также раскрытие тре-
трещины в ее конце равны некоторым постоянным материала [96].
Эту концепцию можно считать также относящейся к некоторым
случаям упруго-пластического деформирования (ср. с гипотезой
Дагдейла для тонких пластин из идеального упруго-пластиче-
упруго-пластического материала).
, Все эти концепции заслуживают дальнейшего изучения, так
как они не основаны на представлении о тонкой структуре и
могут представлять собой возможные пути обобщения механики
хрупкого разрушения.
Недавно новый подход к проблеме хрупкого разрушения с
общих позиций устойчивости упругих систем был развит
В. В. Новожиловым [97- 98].
При наличии тонкой структуры конца трещины концепции
всех указанных выше авторов естественно приводят к критерию
D~.2) и в этом смысле эквивалентны [45> 62]. Следует отметить,
что в рамках линейной механики разрушения можно предло-
предложить много эквивалентных-моделей конца трещины; некоторые
из таких моделей позволяют наглядно представить основную
концепцию линейной механики разрушения.
*) Crack opening displacement.
210 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ (ГЛ. IV
Обобщенный критерий локального разрушения. До сих пор
в этой главе рассматривались только трещины (т. е. математи-
математические разрезы начальной нулевой толщины) в однородных и
изотропных по деформативным свойствам телах. Однако не-
нетрудно рассмотреть также гораздо более общие случаи.
Действительно, основной общефункциональный метод меха-
механики хрупкого разрушения, изложенный в § 1 этой главы, легко
обобщить следующим образом. Пусть решение задачи о дефор-
деформации некоторого твердого тела в малой окрестности точки О
определяется с точностью до нескольких независимых парамет-
параметров d, С2, ..., Сп. Тогда критерий локального разрушения в
точке О формулируется так: существует функция f(C\, C2, ...
..., Сп) такая, что пока f < 0, разрушения не происходит, а
как только достигается значение f = 0, происходит разрушение
в точке О.
В регулярных точках параметры Си С2, ..., Сп представ-
представляют собой просто независимые комбинации первых членов
разложения в ряд Тейлора напряжений и деформаций в малой
окрестности точки О. В этом случае формулировка критерия
совпадает с принятой в сопротивлении материалов формули-
формулировкой теорий прочности. Напомним, что в линейно-упругом
однородном и изотропном теле регулярными точками являются
все внутренние точки и точки на гладкой поверхности тела.
Аналогичный смысл имеют параметры Си С2, ..., Сп в цилинд-
цилиндрической особой точке. В особых точках класса S напряжения
и деформации обращаются в нуль (если нет сосредоточенных
воздействий); роль Сь С2,..., Сп играют независимые коэф-
коэффициенты при главных членах асимптотического разложения.
В особых точках класса N напряжения и деформации имеют
особенности; параметры Cj, С2, ¦ ¦ ¦, Сп представляют собой не-
независимые коэффициенты при главных членах асимптотического
разложения, т. е. некоторые аналоги коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений. Наиболее часто встречающиеся случаи та-
таких сингулярных точек были изучены в гл. III (налегающие
трещины, включения, анизотропия, кусочно-однородные и нели-
нелинейно-упругие тела, полости и т. д.).
Если число независимых параметров равно единице, что
весьма часто бывает на практике, то критерий локального раз-
разрушения сводится к неравенству вида С\ < С\с, и остается
лишь провести соответствующие эксперименты для определения
константы Сic. Функция f(ChC2, ..., Сп), вообще говоря, ме-
меняется от точки к точке; кроме того, она зависит от типа и рас-
расположения особой точки.
В такой формулировке критерий локального разрушения
справедлив на любом этапе идеализации задачи, причем имеет-
имеется в виду не только приближение к свойствам реального тела
$ 10] ПРИЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ГОРНОМУ ДЕЛУ 211
в рамках конкретной математической модели, но и возможное
упрощение, связанное с выбором приближенного метода реше-
решения. Существенно подчеркнуть, что при таком подходе всякое
уточнение постановки задачи не изменит первоначального кри-
критерия, а только представит фигурирующие в нем постоянные
через другие постоянные, относящиеся к структурам меньшего
масштаба.
Приведем простой пример. Пусть образец растягивается мо-
нотонно возрастающим напряжением а. Согласно сформулиро-
сформулированному критерию, разрушение произойдет, как только а до-
достигнет предельной величины ас. Дальнейшее уточнение этой
задачи, диктуемое экспериментом, состоит в том, что в струк-
структуре материала стержня учитываются трещиноподобные де-
дефекты и, возможно, берется более точная модель среды. Это
позволяет выразить константу ос через другие постоянные типа
Kic, характеризующие предельную локальную интенсивность на-
напряжения в окрестности некоторых наиболее опасных точек
стержня, через размеры дефектов и через физические макро-
макроконстанты. Следующий этап состоит в более детальном изуче-
изучении малой окрестности опасных точек (тонких структур); он
приводит к выражению постоянных типа Kic через структурные
и физические постоянные материала, относящиеся к структурам
еще меньшего масштаба (сверхтонкие структуры). В пределе
такой подход должен привести к атомным масштабам и к вы-
выражению величины ас через атомные константы.
Отметим, что функция f может существенно зависеть также
.от других параметров (время, температура, скорость роста тре-
трещины, концентрация активного реагента и т. д.). Учет предысто-
предыстории приводит к тому, что в самом общем случае f является
функционалом по времени (в простейших случаях функционал
вырождается в обычную функцию от dl/dt, Си С2, ..., Сп и их
производных по времени до некоторого порядка). Отказ от ги-
гипотезы локального начального разрушения вызывает дальней-
дальнейшее усложнение: в этом случае / должна представлять собой
некоторый функционал по пространственным координатам.
В конечном счете необходимость учета того или другого из
усложняющих факторов диктуется опытом.
§ 10. Одно приложение механики разрушения
к горному делу
Одной из важнейших инженерно-технических проблем,
встающих при проведении выработок в горном массиве, являет-
является проблема безопасности. Рассмотрим возможные пути анализа
этой проблемы, основанные на развитых представлениях меха-
механики разрушения. При этом для определенности остановимся
212 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. IV
лишь на наиболее опасном и таинственном явлении — горном
ударе [86]..
Горным ударом называют взрывообразное внезапное раз-
разрушение породы в окрестности выработки, происходящее без
выделения газа; оно преставляет собой одно из проявлений
горного давления и тем опаснее, чем больше глубина горных
работ и прочность породы.
Горные удары происходят при прохождении подготовитель-
подготовительных выработок в их действующих забоях, еще более часты гор-
горные удары в целиках различного назначения, в забоях очистных
выработок., В подготовительных выработках гориые удары, с
выбросом в последних горной массы, происходят в забоях,
стенках выработок и в почве. Горные удары происходят в ста-
старых выработках, в старых целиках, и удары эти, как правило,
весьма большой мощности. Часто горные удары не сопровож-
сопровождаются выбросом массы в выработки, а их проявление выра-
выражается в виде сейсмической волны, аналогичной землетрясе-
землетрясению*).
. Сила толчка способна в этих случаях травмировать людей,
повредить оборудование и т. д. Достаточно полное представле-
представление о состоянии этой проблемы и ее связи с другими аспектами
горного дела- можно получить из трудов ["• 10°].
Возникновение горного -удара. Механизм горного удара
моЖно уяснить из следующей простейшей теоретической схемы
[101]. Пусть в горном массиве, который представим для простоты
однородным и изотропным телом, проводится горизонтальная
выработка высоты h (рис. 65). Считаем, что выработка имеет
прямоугольную форму и находится в поле горного давления
(в\ — боковое, а2~вертикальное давление); будем считать, что
размеры выработки в плане существенно превышают h^ при
этом все процессы деформирования и разрушения будут рас-
рассматриваться в плоскости чертежа (плоская задача).
Мысленно вырежем прямоугольную область ABCD длины /
на протяжении выработки (см. рис. 65) и приложим к грани-
границам этой области А В, ВС и CD нормальные и касательные на-
нагрузки, равные соответствующим" напряжениям в сплошном
теле.
*) В связи с особенностями роста трещин в сжатых телах [101>102] гор-
горному удару всегда предшествует устойчивое квазистатическое развитие тре-
трещин, что используется для обнаружения угрозы горного удара путем реги-
регистрации звуковых импульсов. Согласно имеющимся наблюдениям [103], для
горных ударов в прочных породах наиболее характерной является частота
звуковых импульсов (при числе «щелчков» меньше 20 в час горного удара
не бывает; при 30 и более горный удар возможен, а при 80 импульсах в час
горный удар неизбежен). Любопытно, что примерно за час до наступления
горного удара наступает тишина и звуковые импульсы полностью отсут-
отсутствуют.
5 Ю]
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ГОРНОМУ ДЕЛУ 213
Рассмотрим равновесие этой области в-зависимости от па-
параметра /. Единственное уравнение равновесия имеет вид
N(l) = T{l), D.160)
где N и Т — суммарные нормальная и касательная нагрузки,
изображенные на рис. 65. Остальные нагрузки, не указанные
L»h
D
Т/2
Рис. 65.
на рис. 65, очевидно, не дают вклада в уравнение равновесия
(для простоты ограничиваемся случаем задачи, симметричной
относительно оси х). Из уравнения равновесия дох/дх =
= —дхху/ду и граничного ус-
условия ах = хХу = 0 при х = 0 iN
вытекает, что функция NA)
при малых / прямо пропорцио-
пропорциональна /2; з^тем NA) вслед-
вследствие концентрации напряже-
напряжений быстро возрастает, дости-
достигая максимума на расстоянии
порядка h (рис. 66). Падаю-
щая ветвь этой кривой отве-
чает приближенно распределе-
нию C.44) для разреза нуле-
нулевой толщины; эта промежуточная асимптотика при h <* <с L
проявляется тем более ясно, чем больше отношение L/h. На
расстояниях / порядка L и больших величина NA) асимптоти-
асимптотически стремится к невозмущенному выработкой значению o\h.
Физически NA) представляет собой силу, вызывающую горный
.
Рис 66.
214 ' ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. [V
удар; она равна
N{l) = f,{l/h)pgHh. D.161)
Здесь р — безразмерный коэффициент концентрации напря-
напряжений, зависящий от формы выработки, а также от расположе-
расположения и типа крепи (он определяется из решения соответствую-
соответствующей задачи теории упругости или опытным путем), pg— сред-
средний удельный вес горной породы, Н — глубина заложения
выработки.
Величина ТA) физически представляет собой суммарную
силу сопротивления горному удару (разрушению); очевидно,
она не может превосходить некоторой предельной величины
Tf(l), характеризующей прочность породы. Функция Tt{l) мо-
монотонно возрастает с увеличением / и имеет вид (см. рис. 66)
Tf(l) = a(l/h)l<jc. D.162)
Здесь а — безразмерная функция l/h, зависящая также от фор-
формы выработки и прочих факторов, ае — предел прочности по-
породы на одноосное сжатие.
При малых l/h механизм разрушения может быть связан
только с раздавливанием тонкого слоя вследствие одноосного
сжатия; поэтому при малых l/h будет а да 1. При l/h ~ 1 раз-
разрушение происходит вследствие сдвига вдоль А В и CD, поэтому
соответствующие значения коэффициента а будут меньше еди-
единицы. Сопротивление сдвигу будет особенно малым, если вдоль
А В и CD имеются малопрочные прослойки или трещины, что
часто встречается на практике.
Из указанного характера кривых следует, что явление гор-
горного удара объясняется первоначальным касанием кривых NA)
и Tf(l) не в начале координат, а при некотрром I > 0. Если бы
равенство N (l)= Tf(l) впервые достигалось при / = 0, то про-
проблемы горного удара не существовало бы, так как происходило
бы явление, аналогичное смыканию (обрушению) кровли.
Управление процессом обрушения кровли не представляет труд-
трудностей вследствие его равномерности и маломощности.
Таким образом, условие возникновения горного удара в
произвольных выработках можно записать так:
$pgHh>aljac. D.163)
Усложняющие факторы: а) неоднородность и неизотроп-
неизотропность горной породы, б) естественная трещиноватость, в) неуп-
неупругость деформационных свойств породы, г) различные формы
выработок и применение крепи — значительно затрудняют ко-
количественное описание возникновения горного удара, но не
влияют на указанную выше качественную картину.
5 10] ПРИЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ГОРНОМУ ДЕЛУ 215
Локальный критерий безопасности. Рассмотрим теперь слу-
случай, когда в некоторой окрестности края выработки реализует-
реализуется промежуточная асимптотика, характерная для концов раз-
разрезов нулевой толщины. Теоретически такая асимптотика имеет
место при условии L > h на расстояниях г от края таких, что
h <C r <C L. Точный расчет для случая эллиптического отвер-
отверстия (гл. III, § 10) показывает, что с приемлемой точностью
это условие можно считать выполняющимся уже при значениях
B)Л
()
Выработки или выемки часто таковы, что размеры выемки
в плане значительно больше ее высоты. Это связано с тем, что
полезные ископаемые, в особенности уголь, обычно залегают
в виде пластов или слоев.
Для выработок указанного типа сила, вызывающая горный
удар, описывается коэффициентами интенсивности напряжений
промежуточной асимптотики, которые определяются из решения
соответствующей упругой задачи при h = 0. Они зависят от
размеров выработки в плане, от положения точки на контуре
соответствующего разреза, от положения выработки в массиве,
от приложенных внешних нагрузок и т. п., но не зависят от h.
Сила сопротивления горному удару определяется, наоборот, де-
деталями структуры породы и пласта вблизи рассматриваемой
точки контура (т. е. в некоторой окрестности края выработки
порядка h). Однако независимо от этих деталей и механизма
разрушения локальный критерий безопасности запишется так:
f(Ku Ки, /СшХО. D.164)
Здесь f — некоторая функция (или функционал по времени, если
существенна предыстория образования полости), определяемая
экспериментально.
В случае Кп = Кха = 0 (аналогичном, с точностью до знака
напряжений, трещинам нормального разрыва) этот критерий
особенно прост:
\KiKKl D.165)
Здесь К* — величина, аналогичная вязкости разрушения для
трещин; она характеризует сопротивление разрушению системы
пласт — порода в рассматриваемой окрестности края выработки.
Величина Ki зависит от h, от прочности породы и пласта,
от механизма разрушения и других локальных факторов. Если
существенна ползучесть, то Кг будет зависеть также от вре-
времени. На основе анализа размерностей из предложенного ме-
механизма горного удара вытекает следующая формула:
D.166)
216 ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ 1ГЛ. IV
Здесь а8—абсолютная величина наименьшего сопротивления
сдвигу в системе пласт — порода (это может быть пласт, по-
порода и, чаще всего, контакт пласта с породой), к\ — безразмер-
безразмерный коэффициент, зависящий от внутренней структуры пласта
и окружающих пород в рассматриваемой окрестности тупика
выработки, а также от отношения упругих и прочностных ха-
характеристик пласта, прослоек и породы. Коэффициент ц имеет
порядок , единицы (точное его значение определяется опытным
путем).
Подчеркнем, что -если пласт имеет мощность порядка h
я достаточное сцепление с породой, то при вычислении коэф-
коэффициента интенсивности напряжений Ki все пространство
вне выработки-разреза можно считать заполненным одной
породой.
Рассмотрим некоторые конкретные случаи выработок, для
которых условие безопасности имеет особенно простой вид [104].
Вначале отметим, что для тяжелого однородного и изотропного
упругого полупространства z <C H поле напряжений вдали от
выработки определяется следующими формулами:
ах = oy = — [v/(\ — v)] pg (H — z), .
ог = — ?g{H — г), хху = хуг = ххг = 0.
Здесь мы пренебрегаем внутренними (тектоническими) на-
напряжениями в горном массиве. Внешние нагрузки на стенки
выемки учитывать не будем, высоту выемки h считаем по-
постоянной.
Горизонтальная выработка эллиптической формы в плане
(рис. 67). В этом случае коэффициент интенсивности напряже-
напряжений, согласно D.167) и (П.82) (см. Приложение I), равен
Ki = pgH Vnb [Е (?)Г1 • (sin2p + -¦?- cos2 p)'/4 D.168)
{k = V\-{blaf).
Здесь E(k) — полный эллиптический интеграл второго рода.
Наиболее опасные точки контура, т. е. точки, в которых Кг
максимально, согласно D.168) будут при 0 = ±п/2 (эти точки
лежат на малой оси эллипса). Используя локальный критерий
безопасности в виде D.165) и D.166), отсюда получаем следую-
следующее достаточное условие безопасности (устойчивости) данной
выработки;
pgH Vnb < цЕ (k) as УЪ. D.169)
В частности, когда выработка имеет в плане форму круга,
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ГОРНОМУ ДЕЛУ
217
будет а = Ь, E{k)= п/2, и условие устойчивости принимает вид
2pgH V~b < r\os Vnh. D.170)
В другом важном частном случае, когда выработка имеет
в плане форму горизонтальной бесконечной полосы ширины %Ь
•И
Рис. 67. Рис. 68.
(т. е. a/b-+oo, E{k)—*\), условие безопасности запишется так:
pgH Vnb < \]os ]/~h. D.171)
Вертикальная выемка эллиптической формы в плане
(рис. 68). В этом случае коэффициент интенсивности напряже-
напряжений, согласно D.167) и (П. 83) (см. Приложение I), равен
Ъкг sin P
' = b/a, к=У\—
D.172)
Здесь K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода.
При Ь2/Я2</г' наиболее опасной точкой будет точка р = л/2
(самая нижняя точка выработки). При этом, согласно D.165)
и D.166), достаточное условие безопасности (устойчивости)
примет вид
в щ-
DЛ73)
В частности, для вертикальной выработки, имеющей в плане
форму круга (т. е. а = b и /С(&) = 0), отсюда получается
Sis
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
|ГЛ. IV
следующее условие:
D.174)
Когда выработка имеет в плане форму бесконечной вер-
вертикальной полосы ширины 26, простирающейся горизонтально
(т. е. а/b—юо, E{k)—> 1), условие безопасности будет иметь вид
1 —'
D.175)
Формула D.172) становится непригодной при b > а. В этом
случае ограничимся только наиболее интересным случаем вы-
выработки (рис. 69), имеющей в плане форму бесконечной полосы
ширины 2а и простираю-
простирающейся вертикально (т. е.
Ь/а-»-оо). Предположим,
что z > а. Тогда в каж-
каждом сечении z = const
распределение напряже-
напряжений и деформаций по х и
у будет, очевидно,плоско-
деформированным (т. е. z
будет входить как пара-
параметр в боковое горное да-
давление) . Следовательно,
Рис. 69. можно использовать ус^
ловие D.171) с боковым
горным давлением; таким образом, получаем условие безопас'
ности (устойчивости) в следующем виде:
t ¦
z
X
-^— pgz
<
D.176)
Как видно, на большой глубине горные удары становятся
неизбежными, если не применять специальных подкреплений
(при наличии подкреплений на краю выработки коэффициент т]
увеличивается).
Приведем численный пример для случая горизонтального
бесконечного туннеля ширины 26, равной ~3/г(т] ~ 1, pg ~
~ 3 Г/см3, as ~ 100 кГ/см2). При помощи D.171) находим ус-
условие устойчивости неподкрепленной выработки: Н <<; 1 500 м.
Полученные условия безопасности выемок позволяют дать
оценки также для более сложных форм выработок. Например,
используя некоторые соображения, аналогичные приводимым в
контактной задаче [40], можно ожидать, что ошибка в опреде-
определении наибольшего коэффициента интенсивности напряжений
§ 10] ПРИЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ГОРНОМУ ДЕЛУ 219
на контуре разреза прямоугольной формы в плане не превысит
нескольких процентов, если прямоугольник заменить равнове-
равновеликим эллипсом с соотношением осей, равным отношению сто- ¦
рон прямоугольника.
Найденные условия легко обобщить также на тот случай,
когда величина Ki переменна вдоль контура выработки. Это
может иметь место или вследствие переменной мощности пла-
пласта, или же из-за изменения локальной структуры и прочности
породы и пласта.
В работе [86] предложены некоторые способы использования
энергии взрыва в целях управления горным ударом. Следует
отметить принципиальную возможность добычи полезного иско-
ископаемого на достаточно глубоких круто падающих пластах в
самоподдерживающемся режиме горного удара (начинающе-
(начинающегося с нижней кромки пласта и распространяющегося вверх),
если достаточно быстро выбирать снизу падающую породу.
В горизонтальных выработках порода, выброшенная горным
ударом, образует естественный подпор кровле и тем самым
снижает коэффициент интенсивности напряжений.
Защита сооружений от разрушения. При проведении горных
работ или же в силу естественных причин (например, вслед-
вследствие землетрясения) в породе возможно образование и раз-
развитие поверхностей разрыва смещений (трещин). Достигая фун-
фундамента здания, они могут вызвать его разрушение. Трещины
особенно опасны потому, что многие применяемые на практике
строительные материалы (кирпич, бетон и т. п.) имеют весьма
низкую вязкость разрушения (порядка вязкости разрушения
стекла). Поэтому для предотвращения разрушений обычно идут
по пути увеличения вязкости разрушения строительного мате-
материала (например, применяя железобетонные конструкции).
Недавно был предложен оригинальный способ защиты со-
сооружений, который заключается в том, что в породе вокруг
здания создается искусственный трещиноподобный слой, кото-
который заполняется каким-либо пластичным материалом с боль-
большой вязкостью разрушения (например, глинистой пастой). Та-
Такой слой представляет собой непреодолимое препятствие для
трещин. В результате здание как бы плавает на «пластической
подушке». Применение этого способа требует исследования во-
вопросов устойчивости, родственных проблеме остойчивости ко-
корабля.
ГЛАВА V
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
§ 1. Уравнение энергии
Ниже рассматриваются подвижные поверхности разрыва
типа трещин в неупругих сплошных средах*). Основное вни-
внимание будет уделено изучению поля напряжений и деформаций
на фронте таких поверхностей в условиях монотонного нагру-
жения. Излагаются общефункциональный и энергетический
подходы, служащие для формулировки локальных критериев
разрушения. Всюду (за исключением § 8) трещина считается
математическим разрезом нулевой тол-
толщины; тем самым, предполагается, что
деформации среды малы. Отметим, что
для тел с начальными математическими
разрезами эти два допущения равносиль-
равносильны; при учете конечности деформаций
трещина превращается в полость**).
Пусть сплошное деформируемое тело
содержит поверхности разрыва смещений
(трещины). Ограничимся рассмотрением
процессов, в которых достаточно учиты-
учитывать лишь механическую и тепловую
энергию [38]. Обозначим через 2 произ-
произвольную замкнутую поверхность, ограни-
ограничивающую некоторую область D тела
(рис. 70). (В области D могут находиться трещины, к которым
не приложены внешние нагрузки или внешние потоки тепла; по-
поверхность таких трещин не входит в 2.)
Рис. 70.
*) Широкий круг вопросов прочности и разрушения материалов рас-
рассмотрен в весьма доступной форме Мак-Клинтоком и Аргоном [105]. Их книга
может служить прекрасным введением в современную науку о сопротивлении
материалов.
**) Можно решать задачи и в более точной (нелинейной) постановке,
считая деформации малыми, а граничные условия — удовлетворяющимися на
текущей (а не на начальной, как обычно) поверхности тела. Получающаяся
при этом ошибка имеет порядок той, которая отвечает пренебрежению квад-
квадратичными членами в выражении для компонентов тензора конечной дефор-
деформации.
§ 1] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 221
Согласно закону сохранения энергии, работа Л, совершенная
за единицу времени поверхностными силами на 2 и объемными
силами в D, плюс тепловая энергия Q, подведенная к телу D
за единицу времени через 2, равняются скорости возрастания
суммы кинетической К и внутренней энергии U тела в области
D плюс энергозатраты в единицу времени П, идущие на увели-
увеличение поверхности трещин S:
, E.1)
А= J Oifuitijdl + J pFititdv,
2
Здесь <7г и Fi — компоненты вектора теплового потока и объ-
объемной силы соответственно; щ — компоненты единичного век-
вектора внешней нормали к поверхности 2; р — массовая плот-,
ность; Yo — энергозатраты, приходящиеся на единицу площади
вновь образующейся поверхности трещин (величина Yo> вообще
говоря, зависит от положения точки на контуре трещин L); / —
скорость распространения края трещины в каждой точке кон-
контура L по нормали к контуру. Остальные обозначения уже при-
применялись выше (например, в формуле D.33)). Точка над бук-
буквой обозначает полную производную по времени t. Как будет
видно из дальнейшего, величина Yo существенно зависит от того,
какой моделью аппроксимируется рассматриваемая сплошная
среда.
По теореме Остроградского — Гаусса в силу произвольности
области D из уравнения E.1), как обычно (см., например, [106]),
вытекает локальный закон сохранения энергии
?u = #о B«i/= «I. / + «м). E-2)
если предположить, что справедлив закон Ньютона
оц. i + pFi = рй*. E.3)
Уравнение E.2) выполняется в каждой точке сплошной среды,
не лежащей на L. Заметим, что если предположить справедли-
справедливость локального закона сохранения энергии E.2), то из урав-
уравнения E.1) будут вытекать уравнения движения E.3),
2
L
222 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
Воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса
Г Г
J qinid2 = j qlAdv. E.4)
2 D
Отсюда, на основании E.2), уравнение E.1) можно предста-
представить в удобном виде, содержащем лишь смещения и на-
напряжения:
Y0J ds =
= ацй^п^Ъ -f- \pFiuidv—j -^¦(giiiU^dv— ЧцЪцйь. E.5)
2 D D D
Члены в правой части уравнения E.5) физически представ-
представляют собой соответственно работу поверхностных сил, работу
объемных сил, кинетическую энергию и работу внутренних сил.
При выводе E.5) предполагалось, что область D не зависит
от времени. В некоторых задачах (например, в задачах о го-
горении твердых тел) целесообразно выбирать D зависящей от
времени; при этом в правой
части E.5), очевидно, нуж-
нужно добавить следующий
член:
s
Здесь Vn — скорость движе-
движения поверхности Б в направ-
направлении нормали к поверхно-
поверхности в каждой точке.
Рис 71. Рассмотрим окрестность
произвольно выбранной точ-
точки О контура трещины, малую сравнительно с характерным ли-
линейным размером тела и трещины. Сплошная среда в малой
окрестности каждой точки гладкого контура трещины находится
в условиях плоской задачи, т. е. щ, о^, уо, I и т. д. не зависят
от z (см. рис. 13). Поэтому процессы деформирования и разру-
разрушения тела в рассматриваемой малой области вблизи точки О
можно изучать на плоском чертеже (рис. 71), считая трещину
полубесконечной, прямолинейной и имеющей всюду свободную
от внешних нагрузок поверхность, а размер в направлении нор-
нормали к чертежу — равным единице длины. При этом во всей
области, и в том числе в бесконечно удаленной точке, все функ-
функции, характеризующие напряжения, омещения, температуру
§ Ц УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 223
и т. д., будут определяться некоторым асимптотическим распре-
распределением соответствующих величин в малой окрестности точ-
точки О исходного тела.
Обозначим через С\ и С% произвольные контуры, охваты-
охватывающие точку О и являющиеся границами соответствующих об-
областей D\ и D2 (см. рис. 71). На основании уравнения E.1)
в точке О будет
2Yo/= Лс_ + Qc, -KDi - UDi = АСг + QCi-KD- UD. E.6)
Второе равенство в E.6) является следствием закона сохране-
сохранения энергии для тела, занимающего область D2 — Di и не со-
содержащего в себе конца трещины.
Таким образом, величина Yo не зависит от выбора контура
С, охватывающего конец трещины; она вполне определяется
свойствами материала и характером процесса разрушения (на-
(начальными условиями, временем от начала нагружения, скоро-
скоростью роста трещины и т. д.). Поскольку край развивающейся
трещины из физических соображений представляет собой энер-
энергосток П > 0, то yo всегда положительна.
Допустим, что в некоторой сплошной среде, описываемой
определенной реологической моделью, распространяется мате-
математический разрез с заданным законом Движения его конца
l = l(t), l(t)^0. Чему равна величина удельных энергозатрат
Yo = Yo(O B этом случае? На этот вопрос можно ответить при
помощи E.1) и E.6); для расчета достаточно одного главного
члена асимптотического разложения решения вблизи края раз-
разреза. Вид этого члена обычно можно найти заранее, не решая
задачи в целом, методом сингулярных решений (гл. III); он
определяется с точностью до нескольких произвольных констант
или произвольных функций (последнее имеет место, например,
для некоторых уравнений гиперболического типа). Эти кон-
константы (или функции) могут быть найдены только из решения
задачи в целом. Предположим, что первый член асимптотиче-
асимптотического разложения известен, и будем стягивать контур С в точ-
точку О. Как следует из E.6), форма контура С несущественна,
поэтому ее можно выбирать произвольно, руководствуясь сооб-
соображениями удобства.
Обозначим через ху подвижную систему координат с цент-
центром в точке О и с осью х в направлении роста трещины (си-
(система Х\Х2 неподвижна и выбрана так, как показано на рис. 71).
Так как величины Ас, Qc, Kd, UD в E.6) представляет собой
некоторые функции t и l(t), то уравнение E.6) можно записать
так:
/4r(Ac + Qc-KD~VD)+jf(Ас + Qc~KD~VD). E.7)
224 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
Второй член в правой части этого уравнения равен нулю в силу
закона сохранения энергии для неподвижной трещины. Формула
E.7) принимает вид
(Б.8)
D D
Здесь и в дальнейшем контур С обходится против часовой
стрелки
Находим
дГ дх ' dt дх '
+ j рщщ) dv = — §(uo+~ рщщ) пх ds.
С
Здесь все функции, снабженные дополнительным индексом О,
отвечают первому члену асимптотического разложения реше-
решения в точке О в подвижных координатах ху, т. е., например,
Щ (хи х2, I, t) = ию (х, у, t) (х, — / == х). E.9)
Окончательно получаем следующее уравнение для определе-
определения величины Yo по первому члену асимптотического разложе-
разложения решения в точке О (дополнительный индекс 0 для простоты
опущен):
2Yo = j> [(Uo +1 рй,й| ~н)пх- {atl ^•¦b^f) «/] ds. (б. 10)
с
Следует отметить, что это уравнение можно сразу получить
из E.1), если главный член асимптотического разложения ре-
решения в точке О, например, функция Що в E.9), не зависит
от / (условие стационарности); однако, как видно из преды-
предыдущего, оно верно и в общем случае.
Каждое из слагаемых в подынтегральном выражении E.10)
на контуре трещины должно иметь особенность типа 1/г, чтобы
вклад от него в общую сумму был конечным. Особенность
большего порядка не допускается, так как это вызвало бы на-
нарушение закона сохранения энергии. Члены с особенностью
меньшего порядка, очевидно, выпадают из уравнения E.10).
§1]
УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
22S
Уравнение E.10) можно представить также в другом виде,
когда в него входят распределения лишь для смещений и на-
напряжений в окрестности точки О. Преобразуем, используя
E.2):
У,
= llk(uo-9)dxdy=§{Uo-9)nxds. E.11)
D С
Здесь Э = J ац deif — плотность энергии деформаций. Подста-
Подставляя E.11) в E.10), получаем
2Yo = §[(Э + | рщщ -Н)пх- ач ^ и;] ds. E.12)
с
Подчеркнем, что при выводе уравнений E.10) и E.12) со-
совершенно не затрагивались механические свойства сплошной
среды, использована лишь ее непрерывность. Более того, урав-
уравнение E.10) в лагранжевых координатах справедливо, очевид-
очевидно, также для произвольных
конечных деформаций тела.
Следует отметить, что урав-
уравнения E.10) и E.12) в усло-
условиях плоской задачи законны
для любого замкнутого кон« 6
тура С, охватывающего точку
О (а не только для контура,
бесконечно близкого к точке
О); при этом в общем случае
участвующие в них функции Рис- 72- -
отвечают решению в целом,
записанному в координатах ху. Это обстоятельство будет ис-
использовано в дальнейшем.
Формулы E.12) принимают особенно простой вид, если в ка-
качестве С взять узкий прямоугольный, контур вдоль оси х
(рис. 72):
u-^-n,ds, E.13)
2R
В
Действительно, вклад в общую сумму от интегралов по от-
отрезкам ВС и DA будет пренебрежимо мал, так как б «С R,
а вдоль отрезков АВ и CD величина пх равна нулю.
8 Г. П. Черепанов
Ш некоторые общиж вопросы механики разрушения fuf
В наиболее важном случае трещин нормального разрыва
поле напряжений и смещений (а, следовательно, и некомпенси-
некомпенсированных тепловых потоков) локально симметрично относитель-
относительно плоскости трещины, так что уравнение E.13) принимает вид
Yo = — Hm J ву-^-dx, E.14)
АВ
R-+0, 6/R-+0.
Из уравнения E.13) следует, в частности, что если yo ко-
конечно, то произведение напряжений и деформаций на контуре
трещины в рамках теории малых деформаций должно иметь
особенность типа 1/г.
До сих пор рассматривалась задача об определении yo(t)
в рамках заданной реологической модели и теории малых де-
деформаций, когда известен закон движения конца разреза
I =з l(t). Фактически же стоит обратная (более сложная) задача
определения закона развития трещины / = l(t). Наиболее есте-
естественный подход, к решению этой задачи состоит в следующем.
Определим из специально поставленного эксперимента вели-
величину yo. воспользовавшись ее инвариантностью относительно
контура С. Если материал однороден и изотропен, то yo не бу-
будет зависеть от положения конца трещины в теле и от направ-
направления плоскости трещины. Если, кроме того, пренебречь старе-
старением материала, а также локальными времешшми процессами
и считать, что удельные энергозатраты на образование новой
поверхности не зависят от /, \ и т. д., то /уо будет представлять
собой некоторую константу материала, не зависящую от времени
и процесса разрушения.
Концепция постоянства yo является логически простейшей
возможностью последовательной и непротиворечивой поста-
постановки общей задачи о развитии поверхностей разрыва смеще-
смещений (трещин) в сплошной среде, описываемой сложной реологи-
реологической моделью. При этом уравнения E.10) или E.12) служат
дополнительным условием на контуре растущей трещины (если
правая часть этих уравнений меньше 2yo, to трещина не рас-
растет). Закон развития трещины l = l(t) определяется в каждом
конкретном случае из решения соответствующей краевой задачи.
В некоторых случаях поток энергии yo(t), вычисленный для
заданного движения математического разреза, оказывается
равным нулю или бесконечности. В этих случаях можно гово-
говорить об определенной неадекватности математической задачи
и- физического процесса; истолкование такой неадекватности -
зависит от конкретной задачи (см. ниже).
Выясним более подробно физический смысл величины yo-
Для этого проделаем следующий мысленный эксперимент. Со-
УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 227
|вршим цикл «нагружение — разгрузка» над некоторым объе-
|{ом тела так, чтобы трещина подросла на малую величину А/
^задачу считаем* плоской). Необратимая работа за цикл АА,
Очевидно, равна теплу AQ, выделившемуся в объеме вследствие
$иссипативных процессов, плюс скрытая внутренняя энергия
Остаточных напряжений Ш, плюс истинная поверхностная энер-
энергия 2YiA/ новой поверхности трещины (кинетической энергией и
Объемными силами для простоты пренебрегаем):
АЛ— AQ.+ A?/ + 2y<A/. E.15)
Теперь допустим, что расчет соответствующих величин на осно-
основе решения краевой задачи в рамках заданной реологической
модели и теории малых деформаций дал значения AQi и AUU
AA = AQl + AU1 + 2y0Al. E.16)
Предположим, что реологическая модель тела точна в об-
области малых деформаций. Разности A(Q — Q\) и A(U—U{),
очевидно, будут равны теплу, выделившемуся непосредственно
вблизи новой поверхности трещины в слое толщиной порядка
величины раскрытия трещины в ее конце (в этом слое дефор-'
мации конечны и решение на основе теории малых деформаций
йе годится), плюс скрытая внутренняя энергия остаточных на-
напряжений в этом же слое.
Сравнивая E.15) и E.16), находим 2Yo:
E.17)
В идеальном случае, когда математическая постановка за-
задачи о деформировании тела точна вплоть до момента разру-
разрушения, имеем Q = Qi и U = Uu так что Yo будет равна по-
поверхностной энергии тела (см. гл. II). В общем случае Yo равна
сумме удельной необратимой работы деформаций в окрестности
края трещины (не учитываемых в принятой постановке задачи)
и поверхностной энергии. Например, для упругой модели Yo
равняется эффективной поверхностной энергии.
Таким образом, физический смысл Yo оказывается тесно свя-
связанным с точностью постановки задачи деформирования сплош-
сплошного тела. В рамках заданной модели величину Yo можно счи-
считать некоторой фиктивной поверхностной энергией, определяе-
определяемой из опыта.
Этот подход приводит к тем же результатам, что и обще-
общефункциональный подход, описанный в конце предыдущей главы,
если особенность подынтегрального выражения в формуле E.13)
можно описать с помощью одного параметра (коэффициента
интенсивности сверхтонкой структуры). В случае многих
8*
228 " НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
параметров и наличия усложняющих факторов функциональный
подход является более общим.
Замечание. Плотность энергии деформаций Э является
функцией деформаций в данной точке тела только для упругих
сред. В случае тел с необратимыми (пластическими, вязкими
и т. д.) деформациями величина Э, согласно E.2), представляет
собой некоторый функционал, зависящий от скорости и от исто-
истории процесса нагружения и разрушения всего тела, а также от
его теплового режима (Э = ?/о — Qi, %)¦
§ 2. Поток энергии
В объеме пространства, занятом сплошной средой, выделим
некоторую незамкнутую поверхность 2, ограниченную замкну-
замкнутой кривой С (рис. 73). Поверхность Е и кривая С могут произ-
произвольно двигаться в пространстве или же оставаться неподвиж-
неподвижными. Рассмотрим вектор с компонентами ГЦ:
Л]Е E.18)
= J al} deu, Н = J pF^ k d
Вектор П(Пь ГЬ, Пз) физически представляет собой поток
энергии через поверхность 2 в момент времени t, приходящийся
на единицу длины. Физический
смысл этой величины раскры-
раскрывается при рассмотрении движу-
движущихся источников или стоков
энергии.
Докажем следующее основное
свойство: векторный поток энер-
энергии П одинаков для всех незамк-
незамкнутых поверхностей Е, ограни-
ограниченных одной и той же кривой С.
Рис. 73. Для доказательства, очевидно,
достаточно показать, что для
замкнутой поверхности 2-f2i имеет место равенство
f [( уO/] E.19)
2+2,
где 2i — произвольная незамкнутая поверхность, ограниченная
кривой С (см. рис. 73).
ПОТОК ЭНЕРГИИ 229
Преобразуем поверхностный интеграл E.19) в объемный:
г
2+2,
+ 2
Н) k ~~ {°1>Щ-fe)-'] dv' El20)
где Di — объем, ограниченный поверхностью E + 2i-
Теперь преобразуем подынтегральные члены в E.20):
д
(dui)
\ дх. I
dxk dxk 2 "'/ [ dxk \ дх. I ' 5xfe
а /аИ/\ a / dut\ dau
dx.
(здесь использованы соотношения Оц = ац и 2eij = uiij + ujti),
ди, 1 дй. ди.
л,А = Р^г-^-, j9(uiul\k = pui-^- = pui-g^-. E.21)
В последнем преобразовании была использована малость
компонент тензора деформаций ъц и вектора ротации шу =
= у (««. / — «/. /)•
Собирая вместе преобразованные члены E.21), получаем,
что величина
] v E.22)
равна нулю в силу уравнений движения E.3), что и требовалось
доказать.
Как видно, инвариантное свойство вектора потока энергии
П в форме E.18) справедливо для произвольных сплошных сред
только при условии малости компонент %ц и юц. Укажем дру-
другое выражение для составляющих вектора потока энергии:
П* = J [(г/0 + \ РЩЩ - Я) nk - (ачщ, k + q,, k) nj dS. E.23)
s
Доказательство его инвариантности относительно выбора по-
поверхности 2 совершенно аналогично предыдущему.
Выражение для потока энергии в форме E.23), как легко
видеть, годится также для произвольных конечных деформаций
и углов поворотов, если под хи х2, х3 понимать лагранжевы ко-
координаты, «вмороженные» в деформируемую среду. При этом
230 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЕ 1ГЛ. V
компоненты тензоров и векторов берутся уже в соответствую-
соответствующей криволинейной системе координат.
Доказательство инвариантности вектора П справедливо
только в том случае, когда в области D\ нет каких-либо сосредо-
сосредоточенных источников или стоков энергии. В противном случае
напряжения и деформации будут обращаться в бесконечность
в сингулярных точках, и применяемые преобразования потеряют
в них смысл.
Необходимым и достаточным условием отсутствия подобных
сосредоточенных "источников и стоков энергии в области D яв-
является выполнение равенства E.19) для любой замкнутой по-
поверхности, расположенной в D.
Рассмотрим типы движущихся энергетических источников и
стоков: точечные, линейные, поверхностные и объемные. Будем
предполагать далее, что скорость движения источника или стока
энергии в любой точке совпадает со скоростью движения зам-
замкнутой поверхности или контура, охватывающих эту точку.
Можно считать также, что поверхность 2 и контур С непо-
неподвижны; при этом решение, фигурирующее в подынтегральном
выражении, надо брать в системе координат, движущейся вме-
вместе с источником или стоком как единое целое (как в предыду-
предыдущем параграфе).
Мощностью движущегося энергоисточника (или энерго-
энергостока) в точке О будем называть вектор Гр с компонентами Tph:
Г-р* = Нт | [(э + -j 9ШЩ — H}nk — atftifUi. *] dS E.24)
S(S0)->0.
Здесь 2о—произвольная замкнутая поверхность, охватываю-
охватывающая точку О, SBo) — площадь поверхности 20. Отметим, что
мощность точечного энергоисточника имеет размерность силы.
Пусть теперь энергосток распределен вдоль некоторой изме-
изменяющейся со временем пространственной кривой L. Линейной
плотностью движущегося, энергоисточника (или энергостока) в
точке О кривой L будем называть вектор Г с компонентами IV
Tk = lim <f \(э + у рщщ — н)пк — atjttjUit Jds,
сf u У J ч E.25)
е/Д->0, Д-»0.
Здесь Д — высота произвольно малой трубки, соосной с кривой
L в окрестности точки О, е — наибольшее расстояние точек бо-
боковой поверхности трубки от кривой L в сечениях, перпендику-
перпендикулярных кривой L, С — замкнутая кривая, получившаяся от пе-
пересечения поверхности этой трубки с плоскостью, перпендику-
Tsk = lim [(з + -i рщщ — я) nk —
ПОТОК ЭНЕРГИИ 231
jmofi к L в точке О, ttj — компонентьцзектора единичной нор-
(ыш к боковой поверхности трубки в точках кривей С.
рПлотность движущегося линейного энергоисточника имеет
^мерность силы, деленной на длину; вектор Г, очевидно, всегда
рпендикулярен кривой L в точке О.
Теперь распределим энергосток вдоль некоторой изменяю-
ся со временем поверхности S. Поверхностной плотностью
вргоисточника (или энергостока) в точке О движущейся по-
jxhocth S будем называть вектор Г8 с компонентами Т8й:
^ А и В — произвольно выбранные точки на перпендику-
перпендикуляре к поверхности S в точке О (по разные стороны от точки О),
!f(AO) и 1(ВО) — длины соответствующих отрезков [Х]\в озна-
означает разность X(А) — Х(В).
Вектор Г8 всегда перпендикулярен к поверхности S в точке
О; плотность движущегося поверхностного энергостока имеет
размерность силы, деленной на квадрат длины.
Наконец, распределим движущиеся энергостоки в некотором
объеме V. Объемной плотностью подвижного источника (стока)
Энергии в точке О объема V будем называть вектор Г„ с ком-
компонентами Гг*:
Г„к = lim i- J [E + ~ рщщ — я) nk ~ otjtijti,, k] dS,
S(E0)->0.
^десь 2o — произвольная замкнутая поверхность, охватываю-
охватывающая-точку О, S(So) — площадь поверхности So, о — объем за-
заключенной внутри нее области, щ — единичная внешняя иор-
маль к So. Величина Г„ имеет размерность силы, деленной на
куб длины.
Заметим, что во всех приведенных формулах можно брать
в качестве потока энергии выражение E.23). Уравнение E.27)
Можно записать также в следующих эквивалентных формах:
J
D
j рщщ - Я) nk ~ оцпрь k] d2 E.28)
ИЛИ
+ qt, i = Uo + pE, pE=V^vi, E.29)
Ще V — скорость движения источника (стока) энергии в точке
©г Рв — скорость поглощения энергии в единице объема.
232 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ (ГЛ V
Таким образом, удельная скорость поглощения энергии равна
скалярному произведению вектора Г„ на скорость движения
источника V.
Второе соотношение E.29) позволяет также понять физиче-
физический смысл идеализированных точечных, линейных и поверхно-
поверхностных источников (или стоков) энергии, если мысленно «раз-
«размазать» эти сосредоточенные источники в объемах, весьма близ-
близких к соответствующей точке кривой или поверхности. При этом
величина E# в формуле E.29) будет представлять собой
усредненную по этому объему удельную скорость поглощения
энергии.
След, оставляемый движущимся сосредоточенным источни-
источником энергии, представляет собой: незамкнутую кривую (точеч-
(точечный источник), незамкнутую поверхность (линейный источник),
ограниченный объем (поверхностный источник). Границы этих
областей являются источниками (или стоками) энергии в из-
изучаемый момент времени.
Развитый формализм относится к любым сплошным средам.
Конкретный физический смысл движущихся сосредоточенных
источников (стоков) энергии различен в разных физических си-
системах. Назовем, например, ударные волны в сжимаемых иде-
идеальных средах, которые представляют собой движущиеся по-
поверхностные стоки энергии; тонкое осесимметричное тело, дви-
движущееся с большой скоростью в сжимаемом идеальном газе
вдоль своей оси и имитируемое движущимся точечным энерго-
энергоисточником в головной части тела; различные тепловые источ-
источники и стоки и т. д. Теория этих явлений излагается в учебниках
по механике сплошной среды (см. курс Л. И. Седова [']).
Фронт движущейся поверхности разрыва смещений типа тре-
трещины представляет собой, как легко видеть, линейный сток
энергии, причем из сравнения формул E.12) и E.25) можно
заключить, что величина 2уо представляет собой проекцию век-
вектора Г на направление роста трещины в точке О (в плоскости
ху, перпендикулярной к фронту трещины в этой точке).
Рассмотрим несколько простых иллюстративных приложений
полученных результатов.
1. Криволинейные трещины. Теорию криволинейных трещин
в произвольных сплошных телах можно построить на основе со-
соотношения E.25) по аналогии с концепцией уо Для гладких
трещин.
Проведем из точки О контура трещины вектор потока энер-
энергии Г (рис. 74). Окружность, построенная на этом векторе как
на диаметре, представляет собой геометрическое место концов
векторов, проведенных из точки О, длина каждого из которых
ГF) равна потоку внешней энергии в точку О фронта трещины
в том случае, если направление вектора совпадает с направле-
ПОТОК ЭНЕРГИИ
233
ем роста трещины. Обозначим через 2уо@) величину удель-
энергозатрат, характеризующих локальные свойства ма-
ряала при развитии трещины из точки О под углом Э.
Сформулируем основные положения концепции у0, представ-
цяющей собой естественное обобщение соответствующей концеп-
|рм для хрупких тел.
В произвольной точке О контура трещины всегда выпол-
выполняется соотношение
E.30)
Причем трещина не развивается, если Г@)<2уо(9), и растет,
если Г (9) = 2уоF). Угол 0», под которым происходит рост тре-
трещины в точке О, является кор-
корнем уравнения *) У
= 2Yo@). E.31)
Рис. 74.
В частности, для изотроп-
изотропного тела величина 2уо не бу-
будет зависеть от 0, полярная
Диаграмма 2уо@) будет пред-
представлять собой окружность с
центром в точке О, так что рост
трещины будет происходить в
направлении вектора потока
энергии Г (при этом абсолют-
абсолютная величина вектора Г в
момент роста равняется 2уо).
Дальнейшие упрощающие допущения заключаются в том,
что величина 2уо считается не зависящей от положения точки О
в теле, от предыстории и скорости развития трещины. В общем
случае величину 2уо следует полагать экспериментально опре-
определяемой и зависящей от положения точки О в теле, от ориен-
ориентации плоскости трещины в этой точке, от предыстории и ско-
скорости развития-трещины.
Развитая энергетическая теория криволинейных трещин, как
будет видно из дальнейшего, не совпадает с теорией трещин
обобщенного нормального разрыва, однако экспериментальных
данных пока недостаточно, чтобы отдать предпочтение той или
другой теории.
Вычислим поток энергии Гж для нескольких простых конфи-
гураций в условиях плоской задачи, считая растущую трещину
прямолинейной. Объемными силами пренебрегаем.
*) Аналогичный подход развивали Л. В. Ершов и) Д. Д. Ивлев [""J,,
В. И, Моссаковский и М. 'Г. Рыбка [108].
234 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
"• 2. Полоса с защемленными основаниями*). Пусть полоса
<; основаниями у = ±h содержит полубесконечный разрез у=0,
х < 0 (рис. 75). Разрез свободен от нагрузок, а основания по-
полосы защемлены, так что вектор смещения и постоянен вдоль
каждого основания (но различен для у = —h и для y=+h).
Воспользовавшись основным свойством потока энергии, сде-
формируем контур С из бесконечно малой кривой, окружаю-
окружающей точку О, в контур, по-
показанный на рис. 75. Он со-
составлен границами полосы и
,У
2h ^лу/уу/У/улу/УлуЛ > 1 разреза, а также отрезка-
0 я Т ми, перпендикулярными к
оси х и отстоящими далеко
от точки О по сравнению с
шириной полосы.
¦ Воспользуемся формулой
E.12). Интеграл по берегам
разреза равен нулю вследствие того, что яж=0 и Oijtij—O. Вдоль
оснований полосы интеграл также обращается в нуль, так как
ди/дх = 0, пх = 0. Вдоль правого отрезка при я->--|-оо имеет
место однородное поле, так что ди/дх = 0 (пх = 1), и интеграл
вдоль него равен 29<x,h, где Э», — плотность энергии деформаций
при х—*-\-оо. Левый отрезок при х—*¦—оо возьмем достаточно
далеко не только от точки О, но и от той точки, в которой на-
находился конец разреза в начале нагружения. Тело будем счи*
тать ненапряженным и недеформированным до начала нагру-
нагружения; поэтому интеграл вдоль левого отрезка исчезает.
Член с кинетической энергией также не дает вклада, если
считать, что смещение границ полосы возрастало достаточно
плавно вплоть до заданного значения; при этом можно прене-
пренебречь кинетической энергией свободных колебаний полосы при
X—>—оо и при X—*-\-оо.
Окончательно получаем
1 х — "^оо"-1 (O.OZ)
3. Полоса с гладкими основаниями **). Пусть бесконечное
тело имеет периодическую систему разрезов вдоль у = 2nh,
х < 0, где п = 0, ±1, ±2, ... (рис. 76). Разрезы свободны от
внешних нагрузок, а напряжение ау при х—>-+оо равно ох,
*) Примеры 2 и 4 для упругих тел в условиях статики впервые рассмот-
рассмотрел Дж. Раис [ш'ш], который независимо, но несколько позже автора
(ср. t38]) развивал аналогичный подход, однако применительно лишь к упругим
статическим задачам (/ic-approach).
.**) Аналогичную задачу рассмотрел Койтер [1П] для лииешю-упругога
тела в условиях статики,
ПОТОК ЭНЕРГИИ
235
Шйчем в процессе нагружения оно возрастает достаточно
(равно.
В силу симметрии вдоль линий у = nh будут выполняться
келовия хху = 0, ди2/дх = 0. Поэтому область |г/|^Л можно
рйтерпретировать как полосу с жесткими гладкими основа-
Йиями.
Выбирая контур С так, как показано на рис. 76, по формуле
р. 12) вычисляем Гж совершенно аналогично предыдущей задаче;
|ри этом для Гж по-прежнему
Получается выражение E.32).
^Величина Эх в данном случае,
рчевидно, будет другой.
Точно так же можно рассмо-
рассмотреть случаи, когда при *->-|-оо
заданы постоянные касательные
напряжения %уг или %ху.
4. Изгиб полосы с разрезом *).
Теперь предположим, что осно-
основания аналогичной полосы с раз-
разрезом свободны от нагрузок, а
Йри х-*—оо действует напряже- Рис 76
йие ах, являющееся линейной
функцией у на каждой половине полосы, причем изгибаю-
изгибающий момент этих сил отличен от нуля, а их главный вектор
у
Zh
1
V
с
0 х
К/
Рис. 77.
равен нулю (рис. 77). При этом вклад в интеграл E.12) даст
только левый перпендикулярный отрезок при х—>—оо, а членом
•) Эту задачу приближенными методами теории балок рассматривали
ранее И. В. Обреимов [112], Гилман,[19] и др. (однако только для линейио-
|цругих тел в условиях статики).
236 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ.-V
с кинетической энергией по-прежнему можно пренебречь, если
нагружение весьма плавное. В итоге получаем
h h
Г* = -2 lim f b-cx^-)dy=2 lim f {-9+ox*x)dy. E.33)
Совершенно аналогично рассматривается тот случай, когда
полоса слева не бесконечна, а ограничена прямой, перпенди-
перпендикулярной основаниям полосы и отстоящей на расстоянии / от
конца разреза, причем к этому участку границы с каждой сто-
стороны полосы по параболическому закону приложено касатель-
касательное напряжение хху, создающее перерезывающую силу. Резуль-
Результат, очевидно, будет следующим:
J
о
л
= 2 J (-Э + ахвх + 2ххуеху) \x==_tdy + 2QlB,.f E.34)
о
так как
h . h h
ft
J xxy ^j-dy= ххущ — j щ dxxy = — J u, dxxy = — a,.Q,.
0 ° 0
°- 0
Здесь Qi — перерезывающая сила, mu — некоторая средняя ве-
величина щ при х = —I. В силу малости деформаций величина
uu при h^> h, очевидно, пренебрежимо мала по сравнению с и2.
Конфигурации, изображенные на рис. 75—77, принципиально
можно рассматривать как экспериментальные схемы определе-
определения величины Yo для трещин, растущих в конкретных материалах
при различных условиях. Действительно, правая часть формул
E.32) — E.34), дающих yo в этих случаях, легко определяется
из параллельных измерений в соответствующих точках (или же
вычисляется, если реологическая модель тела уже известна).
§ 3. Численный метод
Уравнения энергии в виде E.1) и E.5) (а также уравнения
для потока энергии в конце трещины в форме E.25)) на основе
физической концепции о постоянстве Yo (cm. E.30) и E.31))
позволяют указать численный алгоритм решения общей задачи
о распространении трещин в сплошном теле, описываемом за-
заданной реологической моделью.
I 3]
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
237
Предположим для определенности, что задача плоская, а по-
положение рассматриваемого конца трещины описывается одним
параметром / (например, длиной, отсчитываемой от некоторой
фиксированной точки тела). Пусть в начальный момент вре-
времени t = О параметр I равен V
Разобьем процесс развития трещины на конечное число ша-
шагов, так чтобы At и Д/ соответствовали одному шагу, а распро-
распространение трещины было прерывистым. Это означает введение
в плоскость (/, t) некото-
некоторой прямоугольной сетки
(рис. 78). Допустим, что
мы располагаем прямым
методом, позволяющим
решать нашу краевую за-
задачу для заданной рео-
реологической модели при
любых фиксированных
значениях параметра /
(особенность в конце
трещины должна иссле-
исследоваться отдельно, в про-
противном случае она должна
улавливаться методом).
Таким методом может
служить, например, ка-
какая-либо вариация метода Рис. 78.
конечных элементов [из].
Решаем этим методом краевую задачу при / = k, вычисляя
по формуле E.25) поток энергии в конце трещины Г в после-
последовательные промежутки времени О, Д*. 2М и т. д., а затем
сравнивая полученное значение с известной из эксперимента
величиной 2yo согласно условию E.30).
Значение Гж в момент времени t = tn удобно подсчитывать
по формуле E.14), которая в данном случае примет вид
'= — 2 lim J ау (х, б, *„_,) [иу (х, б, Q — иу (х, б, *„_,)] их.
в/й-»о Ав
Здесь начало координат берется в конце трещины в момент вре-
времени t — tn-i. Может случиться, что особенность в конце тре-
трещины аналитическими средствами исследуется только в на-
начальный момент роста трещины. Тогда в конечно-разностном
аналоге этой формулы величины б и R должны быть достаточно
велики по сравнению с шагом /±.х и Ду; искомая особенность при
$%& НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ' [ГЛ. V
этом улавливается асимптотически при достаточно малых ша-
шагах Дх и Ау.
Аналогичная формула имеет место для компоненты Ту по
вытянутому вдоль оси i/прямоугольному контуру. Узловые точки,
в которых'Г < 2уо, будем снабжать на рисунке квадратом, а те
точки, в которых Г ^ 2уо, обозначим треугольником (см.
рис. 78).
Счет ведем шаговым методом при / = const или при
t == const до первого узла, в котором Г ^ 2^0, после чего ме-
меняем направление. Более точные значения / или t, соответствую-
соответствующие равенству Г = 2уо, определяем линейной интерполяцией
между соседними прямоугольным и треугольным узлами (на
рис. 78 интерполяционные значения, I и t обозначены крести-
крестиком). Параллельно на каждом шаге в узле, где Г ^ 2уо, опре-
определяем отклонение направления роста трещины по формуле
E.31). Таким образом, плоскость (t,t) играет роль двумерного
времени, а условия E.30) и E.31) определяют правила обра-
обращения с ним.
Допустим, что в узловой точке А при / = t\ впервые ока-
оказалось Г ^ 2уо (рнс. 78). Интерполяцией определяем момент
времени t = t0, в который начинается рост трещины; по фор-
формуле E.31) находим угол 8». При t=t\ трещине дадим мгно-
мгновенное приращение А/; при этом все величины, характеризующие
поля смещений, скоростей, напряжений и т. д., получат неко-
некоторые приращения, которые, очевидно, можно определить тем
же прямым методом, что и прн счете вдоль / = const. Вычис-
Вычисляем в этой точке величину Г, сравнивая ее с 2уо согласно
E.30), и т. д. При Д7->0, Aif-»"O приближенное решение будет
стремиться к точному.
Это построение показывает, что задачи о развитии трещин
(в частности, об определении их траектории) носят существенно
инкрементальный характер; каких-либо принципов, которые
связывали бы начальное и конечное состояния, не существует.
Исключение составляет лишь тот случай хрупких трещин, когда
положение всех точек их контуров описывается единственным
параметром (и тем самым, в частности, траектория трещин за-
заранее известна из каких-либо дополнительных условий).»
Допустим, что внешние нагрузки на тело описываются сово-
совокупностью некоторых параметров /?i, р2, ..., рп (ограничимся
хрупкими трещинами). Из указанного построения вытекает
также следующее: не существует (за упомянутым исключением)
такой поверхности в пространстве р\, р2, ..., рп, которая разде-
разделяла бы недостижимые состояния (в которых равновесие тела
с трещинами невозможно) от допустимых. Последнее ограничи-
ограничивает возможности применения теорий предельного состояния
к телам с трещинами.
§ fl УПРУГОЕ ТЕЛО 239
Указанный метод годится также при использовании обще-
общефункционального подхода к развитию трещин. При этом вместо-
E.30) и E.31) правила движения по плоскости (/, t) будут
определяться некоторой экспериментально определяемой ком-
комбинацией из коэффициентов интенсивности сверхтонкой струк-
структуры конца трещины.
§ 4. Упругое тело
Рассмотрим вначале вопрос о развитии трещин в однород-
однородных и изотропных упругих телах, пренебрегая объемными си-
силами, а также взаимным превращением тепловой, и механиче-
механической энергии. В этом случае величины у и Yo совпадают.
1. Динамические, трещины. Пусть в линейно-упругом теле
распространяется некоторый математический разрез со свобод-
свободными вблизи кромки берегами. Поверхность разреза в любой
момент времени считаем гладкой, так что вектор скорости роста
разреза лежит в плоскости, касательной к поверхности разреза
в соответствующей точке. Под скоростью движения контура
(кривой) в пространстве, как обычно, понимается скорость по
нормали к контуру.
Вычислим поток энергии Гж в произвольную точку О кон-
контура разреза в направления"его роста. Ограничимся наиболее
важным случаем трещин нормального разрыва.
Нам понадобится следующий интеграл (простые, но громозд-
громоздкие выкладки опускаем):
? sin-|-arctg(fe2tg6)-cosy arctg(fe,tg6)
f (cos2e + felsm2еI/4sme dB=V E>35)
(cos2е + febin2ef (cos2e + felsm2е)
Заметим, что в формулах C.187), так же как и в E.35), функ-
функция у = arctg(&tg6) в интервале (—п,п) ведет себя примерно
так, как показано на рис. 79.
По формулам C.187)-, E.14) и E.35) находим
+R ¦
E.36)
:
(m = i/c2<mR).
Соотношение E.36) выражает линейную плотность энерго-
сгока на фронте движущейся трещины через локальный
240
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ. V
коэффициент интенсивности напряжений Кь В частности, в ква-
квазистатическом случае т-»-0 получается снова формула Ирвина
B)tf
()
Знаменатель правой части E.36) обращается в нуль при
= mR. Напомним, что уравнение Рэлея R(m, v) = 0 или
R(m, v) = |/(l-
-(l-i-m2J=0. E.37)
имеет единственный положительный корень, который меньше
единицы и который определяет скорость распространения неза-
незатухающих волн по свободной поверхности упругого тела [1М].
i ¦
J
У,
я
J
0
-Я
J
.6
t"
Рис. 79.
Рис. 80.
Приведем несколько значений корня mR в зависимости от
коэффициента Пуассона v:
mR 0,87 0,90 0,92 0,94 0,95 0,96
v 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Согласно E.36), поток энергии Тх в конец трещины растет
с увеличением скорости, обращаясь в бесконечность при рэлеев-
ской скорости; при m > mR величина Тх меняет знак; это озна-
означает, что конец трещины должен излучать энергию, чтобы рас-
распространяться с такой скоростью. Поскольку это физически
невозможно, рэлеевская скорость представляет собой недости-
недостижимую верхнюю границу скорости распространения трещин
нормального разрыва.
В однородных материалах максимальная скорость ограни-
ограничена еще раньше величиной m = m», при которой происходит
ветвление трещины и вместо одного фронта трещины появ-
появляются два или даже больше (рис. 80). Уравнение, определяю-
определяющее значение /и*, легко получить следующим образом. При по-
помощи формул (ЗЛ87) найдем напряжение ста(8) вблизи конца
трещины. Исследование функции <тв(Э) показывает, что
существует значение т — шч такое, что при т<^т^ макси-
§ 4] УПРУГОЕ ТЕЛО 241
мум этой функции, как и для квазистатических трещин
нормального разрыва, имеет место при 8 = 0, а при т> т*
у нее появляются два симметричных максимума при 9= ±9*
(точка 9 = 0 становится локальным минимумом). Таким
образом, согласно теории криволинейных трещин обобщен-
обобщенного нормального разрыва прямолинейное распространение тре-
трещины при т>т* невозможно*). Точка m = m,, определяет
момент слияния двух максимумов, т. е. находится из условия
при 9 = 0 -^f = 0. E.38)
Отсюда при помощи C.187) получаем искомое уравнение
+![(¦ -М- /о -«ч(¦-
•??
E.39)
Приведем несколько значений корня т* в зависимости от
коэффициента Пуассона v:
т.
V
0,51
0
0
0
,56
,1
0,60
0,2
0,
0
,62
,25
0,
0,
65
,3
0,71
0,4
0
0
,76
,5
Экспериментально наблюдались значения предельной скоро-
скорости роста трещин в интервале @,4-г-0,6) с2 Для различных ме-
металлов, полимеров, стекол (см., например, работу Ирвина [91]).
Зависимость сге (в) весьма сильно выполаскивается уже при т,
значительно меньших /и*; поэтому в опытах практически невоз-
невозможно достичь значения /и*.
Если прямолинейность распространения трещины заранее
обеспечена (например, благодаря анизотропии прочности мате-
материала), то максимальная скорость распространения трещины
совпадает с рэлеевской скоростью**).
Отметим следующее обстоятельство. При стационарном рас-
распространении конца трещины в поле напряжений, не зависящих
*) Этот результат впервые получен Э. Иоффе [П6].
**) К этому результату почти одновременно и независимо пришли многие
авторы (Стро Г116], Крэгс [117], Бейкер [118], Броберг [11в], Г. И. Баренблатт
и Г. П. Черепанов [120] и др.).
242 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
от расположения конца трещины, величина К* будет неизмен-
неизменной в процессе роета трещины. При этом процесс распростране-
распространения трещины будет самоускоряющимся, так как согласно E.36)
поток энергии извне в конец трещины'возрастает с увеличением
скорости. Самоускорение, очевидно, должно продолжаться
вплоть до двойникования трещины. Если постоянная предельная
скорость распространения трещины в этом случае наблюдается
на значительном интервале длины, то это явление можно объ-
объяснить только тем, что; начиная с этого значения скорости, вели-
величина энергозатрат, требуемых для ускорения развития трещины,
превышает поток энергии Тх в конец трещины.
Вычислим коэффициент интенсивности напряжений Ki в ди-
динамическом случае для конфигураций тела, изображенных на
рис. 75—77. Напомним, что для рассматриваемого идеального
линейно-упругого тела энергия деформаций Э дается формулой
E.40)
Используя это соотношение, при помощи формул E.32) —
E.34) нетрудно найти коэффициент интенсивности напряжений
и поток энергии Тх для указанных конфигураций.
' Полоса с защемленными основаниями (см. рис. 75). В случае
растяжения на бесконечности при^д: -> +°° будет
Eve™ oo_ (i-v)?e^ E.41)
a7 — aT — (i + v) A - 2v) • a7~ (i+v)(l-2v) '
а Гх определяется формулой
(l-v)E(CY ,
Сравнивая это выражение с формулой E.36), находим коэф-
коэффициент интенсивности напряжений
-4A- У) * (вуУ .(/С- т^ - jzjpf ~ (l ~ -j-
A + vJ A - 2*) m* |/l - i^g- m*
E.43)
В частности, при m—>0 находим
§ 4} УПРУГОЕ ТЕЛО 243
В квазистатическом случае поперечного и продольного сдвига
на бесконечности при помощи E.32) и D.45) аналогично по-
получаем
2(J
)()
9F2h(p°°Y
А ш — —A -j. vJ — zn \xxz) •
Формулы E.43) — E.45) останутся справедливыми также и
для бесконечной плоскости с периодической системой полубеско-
полубесконечных разрезов, изображенных на рис. 76. Из выражения E.43)
видно, что с увеличением скорости распространения разрезов
коэффициент интенсивности напряжений монотонно падает, об-
обращаясь в нуль при рэлеевской скорости т = mR\ при т> тп
коэффициент интенсивности напряжений становится мнимым.
Изгиб полосы с разрезом (см. рис. 77). Для линейно-упругого
тела в случае чистого изгиба соотношение E.34) приобретает
следующий вид:
Г* = 2 | Э№ dy = | <т?е? dy. E.46)
о о
Напряжения и деформации при я-> — оо равны
?A+v) E.47)
При помощи E.46) и E.47) находим
г _ 12A-vW E4g)
Сравнивая эту формулу с выражением E.36), получаем коэф-
коэффициент антенсивности напряжений
. E.49)
ttl2
2 —2v
В частности, при т-*0 находим
а-?=12М2М3. E.50)
Полученное точное решение позволяет найти приближенное
решение многих других задач, когда нагрузка приложена к бере-
берегам трещины и к торцу х = —/, если, воспользовавшись теорией
244 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
балок, вместо М в формулу E.50) подставить суммарный мо-
момент этих нагрузок относительно конца трещины. При этом
требуется, чтобы выполнялось условие I ^> h; практически доста-
достаточно, чтобы кратчайшее расстояние приложенных нагрузок от
конца разреза в три-четыре раза превосходило ширину полосы h.
2. Нелинейно-упругое тело. Сверхтонкая структура конца
трещины. Рассмотрим нелинейно-упругое тело с трещинами.
В предположении, что объемные деформации линейно-упруги,
связь напряжений с деформациями можно записать в следую-
следующем виде [*]:
2I
-±еккЪи), E.51)
—y \aij ~~ ~2
Здесь /(/)—заданная функция, удовлетворяющая условию
f'(/) > 0, 8{j — символ Кронекера.
Уравнения E.51) вместе с уравнениями равновесия и кинема-
кинематическими' соотношениями между деформациями и смещениями
теории малых деформаций составляют замкнутую систему урав-
уравнений. Можно показать, что эта система принадлежит к "эллипти-
"эллиптическому типу, если выполняется условие /'(/) > 0.
Решение указанной системы уравнений, как правило, всегда
сингулярно в конце разреза по напряжениям и деформациям.
Действительно, это вытекает, например, из уравнения E.10),
если учесть, что величина y конечна, поскольку для разделения
тела на части нужно затратить конечную работу. Случай огра-
ограниченного решения, как и в линейно-упругом теле, отвечает не-
некоторым частным значениям внешних нагрузок (когда компен-
компенсируются особенности противоположного знака от различных
внешних нагрузок).
В силу сингулярности решения в конце трещины его асимпто-
асимптотическое поведение определяется характером функции /(/) при
/—* оо. Применяя «принцип микроскопа» и результаты исследо-
исследования особенностей в конце трещины для линейно-упругого и
степенного тел (см. §§ 5 и 10 главы 3), приходим к следующим
выводам.
Линейно-упругая асимптотика. Если зависимость f(I) при
/->оо стремится к линейной:
f (Л = (/ — Щ-ico при / -> оо, E.52)
где ц,х> и /0 — постоянные материала, то поведение напряжений
и деформаций непосредственно -вблизи конца трещины опреде-
§ 4] УПРУГОЕ ТЕЛО 245
ляется формулами C.44) —C.46), в которых ц нужно заменить
на (ioo, а вместо v подставить Voo, где
2 _ ?-2^A-2v) __.
Соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений
будем обозначать/ через kj, kn, km. Размерность этих величин
совпадает с размерностью коэффициента Кь Для формули-
формулировки условия локального разрушения можно применить, оче-
очевидно, методы гл. IV. В простейшем случае трещин нормального
разрыва, если не учитывать влияние предыстории на локальное
разрушение, получается следующий критерий:
k\^kic, где ki = lim (У2яхоу). E.54)
Х->0
Здесь kic — некоторая постоянная материала, которая связана
с величиной у зависимостью, аналогичной формуле Ирвина
E.55)
Формула E.55), очевидно, останется справедливой, если за-
заменить в- ней 2y на Гх, a k\c на k\. Она позволяет определить
коэффициент интенсивности напряжений kj для указанной мо-
модели тела в случае конфигураций, приведенных на рис. 75—77.
Сравнивая E.55) с формулами E.42) и E.48) и исклю-
исключая у, находим:
для полосы с защемленными основаниями или периодиче-
периодической системы полубесконечных разрезов (см. рис. 75 и 76)
I ~~ A - v») A + v) A - 2v) ' {О-ОО)
для чистого изгиба полосы с полубесконечным разрезом (см.
¦ рис. 77) .
'и2_
В случае полубесконечного прямолинейного разреза в беско-
бесконечной упругой плоскости, приравнивая потоки энергии у, полу-
получаем зависимость kj от Ki'.
.2 _ A-у)цю К2
При выводе формул E.56) — E.58) существенно использова-
использовалось свойство инвариантности вектора потока энергии при де-
деформировании контура, охватывающего конец трещины. Особен-
Особенно важна формула E.58); она дает связь коэффициента интен-
интенсивности тонкой структуры К\ с коэффициентом интенсивности
Ш НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
сверхтонкой структуры k\. Подчеркнем, что постоянные v, ц, v«>,
Ноо представляют собой коэффициенты Пуассона и модули
сдвига на участках упругой диаграммы «напряжения — дефор-
деформации» только при бесконечно малых и бесконечно больших де-
деформациях (все это, разумеется, в рамках теории малых дефор-
деформаций, поэтому на самом деле здесь речь идет о некоторых про-
промежуточных асимптотиках).
Понятие сверхтонкой структуры края трещины уточняется
ниже. Формула E.58) справедлива также для критических (пре-
(предельных) значений коэффициентов интенсивности. Она позво-
позволяет определять вязкость разрушения Kic по эксперименталь-
экспериментальным значениям ⁣ последнее представляет большой практиче-
практический интерес, так как для определения kie годятся образцы
малых размеров, на которых тонкая структура края трещины не
реализуется.
Из формулы E.53) вытекает одно интересное следствие. По-
Поскольку для всех твердых тел ц*, <С Е, то v«> « 1/2, т. е.-с уве-
увеличением деформации Коэффициент Пуассона возрастает, так
что при больших деформациях, характерных для сверхтонкой
структуры, все тела приближенно можно считать несжимаемыми.
Разумеется, этот вывод верен лишь до тех пор, пока объемную
сжимаемость можно считать линейно-упругой. Из формул E.58)
и E.53) следует, что величина kic примерно в ty^n/[2(l —v)^]
раз меньше вязкости разрушения Kic- В пределе при [ico->0
величина kic также стремится к нулю, т. е. напряжения на краю
трещины становятся конечными.
Степенная асимптотика. Несжимаемое тело. Если зависи-
зависимость /(/)_при /-> оо стремится к степенной и при этом тело
можно считать несжимаемым, т. е.
) , v=l/2 при /->оо, E.59)
где es, as и к — постоянные материала, то поведение напряжений
и деформаций непосредственно вблизи конца трещины описы-4
вается соотношениями C.160) — C.164). В частности, напряже-
напряжения имеют порядок Н*^2). Обозначим соответствующий коэф-
коэффициент интенсивности напряжений в рассматриваемом случае
через k\, для случаев поперечного и продольного сдвигов — че-
через &2 и кг- Размерность этих величин равна силе, деленной на
длину в степени Bк + 3)/(и + 2). Для формулировки критерия
локального разрушения используем общефункциональный метод
гл. IV. В случае трещин нормального разрыва, если пренебречь
влиянием предыстории на локальное разрушение, критерий бу-
будет следующим:
где ki = lim [Bях)Шк+\]. E.60)
х-Ю
УПРУГОЕ ТЕЛО
247
Здесь kic — некоторая постоянная материала. Из соображений
Анализа размерностей (учитывая, что в уравнениях участвуют
йищь esas~K-1 и х) или же непосредственно из уравнения энергии
^5.10) видно, что величина k\ связана с
величиной у зависимостью
E.61)
Где Ао(и) —безразмерная функция к.
Сравнивая эту формулу с формулой 6
ррвина и исключая y> находим связь
Шг с Кг- ' g
иг2 —
AI —
E.62)
\
0 Ofi
¦*.—
15 0,010
X
Найдем приближенно функцию А0(х),
используя известный предельный случай
при х->0, а также некоторые числен-
численные результаты, полученные в работах
[39, i2i] для значений х = 2,33, к = 4,
к = 9.
На рис. 81 приведены графики напря-
напряжения ау на продолжении трещины для
этих значений х в зависимости от безраз-
безразмерного расстояния до конца трещины;
величина as задает масштаб напряжений, ее конкретное значе-
значение несущественно. Графики взяты из работы [122]; они построе-
построены при условии, что asl(esE)= 1/3, v = 1/2. При этих условиях
согласно E.60) и E.62) для весьма малых х имеем следующую
зависимость:
\Х+2
/LA I К, ¦ / Л. I I Ъ
E.63)
Рис. 81.
16я
При помощи этой формулы и рис. 81 находим следующие
значения Хо(х):
х 0 2,33 4 9
Я0(х) 8 165 1020 256 000
Последние три точки хорошо аппроксимируются функцией
Л0(х)= 12,8-3* B
E.64)
Погрешность этой аппроксимации составляет несколько процен-
процентов. Диапазон к от двух до десяти охватывает большинство
встречающихся на практике материалов, если их диаграммы
«напряжение — деформация» аппроксимировать прямой до
248 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
условного предела текучести 00,2, а затем применять степенную
аппроксимацию E.59). Формула E.64) хороша еще тем, что со-
согласно E.63) при % ->¦ °о<вблизи конца трещины на ее продолже-
продолжении получается ov = 3crS) что примерно отвечает идеальному
упруго-пластическому материалу (с условием пластичности Ми-
зеса) с пределом текучести на растяжение, равном as-
Подставляя E.64) в E.62), получаем окончательную зависи-
зависимость, связывающую k\ и К\'.
^ Ю). E.65)
Эта формула годится также для предельных значений коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений, поэтому она позволяет
определять вязкость разрушения путем измерения k\c на малых
образцах. Подчеркнем, что постоянные v, E и es, crs> % относятся
к тонкой и сверхтонкой структурам соответственно.
Уточним понятие сверхтонкой структуры. Распределение на-
напряжений и деформаций непосредственно вблизи края трещины
в материале, не являющемся линейно-упругим, будем называть
сверхтонкой структурой конца трещины, если это распределение
получено в рамках теории малых деформаций. Физически сверх-
сверхтонкая структура конца трещины представляет собой, так же
как и тонкая структура, некоторую промежуточную асимптотику;
а именно, она реализуется на расстояниях г от края трещины,
удовлетворяющих условиям
p<r<d, p<r<L. E.66)
Здесь L — характерный линейный размер тела, d — характерный
линейный размер области вблизи края трещины, в которой свой-
свойства материала нельзя считать линейно-упругими, р — характер-
характерный линейный размер конца трещины в предельном состоянии
(например, радиус кривизны или раскрытие трещины).
Представление о сверхтонкой структуре, как видно, имеет
смысл для любых тел с трещинами, если под трещиной пони-
понимать, как обычно, математический разрез. Это представление
позволяет перенести все основные результаты по формулировке
локальных критериев разрушения для линейно-упругих тел
(гл. IV) на произвольные и в том числе неупругие материалы,
если вместо коэффициентов К\, Кп, Km использовать соответ-
соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений сверхтон-
сверхтонкой структуры.
В случае квазихрупкого разрушения наряду со сверхтонкой
структурой реализуется также тонкая структура (на расстоя-
расстояниях г, удовлетворяющих условиям d <S r < L). Для нелинейно-
упругих тел последняя определяется характером функции f(/)
§41
УПРУГОЕ ТЕЛО
249
при / -> 0; соответствующие решения для линейно-упругой и сте-
степенной асимптотики были уже получены ранее в гл. III.
Приведем один конкретный пример. Пусть на границу полу-
полуплоскости перпендикулярно к поверхности выходит трещина
длины I (плоская деформация). На бесконечности тело подвер-
подвергается однородному растяжению напряжением р; поверхность
тела и трещины считается свободной от нагрузок. Кривую f(I)
аппроксимируем следующим выражением (материал считаем
несжимаемым):
3I/E при /<<то.2> ._с_.
ч*+1 , . E-67)
) т ПрИ /><То,2-
Используя, анализ размерностей и критерий локального раз-
разрушения E.60), нетрудно найти величину разрушающего напря-
напряжения р* в предельных случаях:
при
при
E.68>
Здесь Ai — число, Яг (и) — безразмерная функция и. В случае об-
образца конечной ширины они зависят также от отношения длины
трещины к ширине образца. Точное решение показывает (см.
Приложение I), что %\ = 0,516.
3. Концентрация напряжений в выточках. Используя инвари-
инвариантное свойство вектора потока энергии Г (см. E.18) или
E.23)), можно давать эффек-
эффективную оценку концентрации
напряжений и деформаций на
дне разнообразных выточек в
нелинейно-упругих телах в
наиболее опасных точках.
Рассмотрим окрестность
дна выточки, считая, что ее
верхняя и нижняя поверхно-
поверхности — плоские и параллельные
вплоть до некоторых точек А и
В, так что дуга АВ образует
дно выточки (рис. 82). Выточ-
Выточка предполагается близкой к
щели в том смысле, что
раскрытие 2/г мало по сравнению с глубиной выточки. Рас-
Рассмотрим цилиндрические поверхности- 2 с образующими, па-
параллельными оси г; каждая поверхность 2 ограничена обра-
образующей, лежащей на О'А и О"В. Поток энергии Тх через
Рис. 82.
260 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ {ГЛ. V
любую такую поверхность, приходящийся на единицу длины
вдоль z, равен *)
Гя =\3dy. E.69)
ВА
Действительно, согласно E.18) вдоль О'А и О" В имеет место
пх = 0 и, кроме того, вся поверхность выточки свободна от на-
нагрузок, т. е. Oijtij =* 0. С другой стороны, если поверхность Б вы-
выбрать достаточно далеко от начала координат в той области, где
реализуется тонкая структура, то величина Гж будет равной
E.70)
При этом предполагается, что нелинейно-упругое тело при
/ -> 0 ведет себя как линейно-упругое и, кроме того, что нагрузки
достаточно малы,' так что имеет место тонкая структура.
В нелинейно-упругом теле E.51) энергия деформаций равна
/ /
= Jade+1 |/<Ю = -4^(<^J + |J П'№1 E.71)
о о о
о
Предположим вначале, что напряжения и деформации вдоль
дуги АВ распределены равномерно, не изменяясь - от точки
к точке. Выточки с такими закругленными дугами АВ будем на-
называть равнопрочными. Они не имеют на дуге АВ каких-либо
точек, предпочтительных для разрушения, и потому по сравне-
сравнению со всеми другими выточками, имеющими отличную от равно-
прочных^орму закругления дна вдоль дуги АВ, обладают наи-
наибольшей прочностью. Определение формы равнопрочных выто-
выточек представляет самостоятельную задачу, решенную пока
только для нескольких частных случаев**). Для таких выточек
энергия деформации Э в формуле E.69), равная 5min. не будет
зависеть от у; поэтому при помощи E.69) и E.70) можно найти
(для условий плоской деформации)
^/d E.72)
Для всех остальных выточек на дуге АВ, очевидно, всегда
найдется такая точка, в которой энергия деформации Э будет
больше 5min- Поэтому величина Эцип представляет собой точную
нижнюю оценку наибольшей энергии деформации на дне вы-
выточки.
*) Райе tlos), ие знакомый с работой автора [м], предложил выражение
для» потока энергии в нелинейно-упругих телах именно в таком виде.
**) Одно решение ее дана, по-видимому, впервые в работе автора [1И].
УПРУГОЕ ТЕЛО
251
Используя формулу E.71), легко найти также величины на-
наяжений и деформаций, соответствующих значению Этщ- Наи-
олее важны два случая:
a) az = О (тонкая пластина); при этом
/; E.73)
б) ег = 0 (локальная плоская деформация); при этом согласно
р.51) и E.71) будет
2/ ffz 3
9 =
ff'4 2/ ? J'
E.74)
6?
I I t
I
2h
II
"Здесь ot — тангенциальное напряжение4 в точках дуги АВ. Пер-
Первое соотношение E.74) позволяет определить отношение аг1ой
например, для несжимаемых тел
v = 1/2 и 2ffz = at.
Таким образом, при помощи
.формул E.72)—E.74) легко най-
найти точную нижнюю оценку мак-
максимального напряжения на дне
выточки, если известен коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений
Ki для математического разреза,
соответствующего данной выточ-
выточке при h = 0. Точной верхней
оценки, очевидно, не существует,
так как наличие, например, угло-
угловой точки класса N на дуге АВ
приводит к локальной сингулярно-
сингулярности напряжений и деформаций.
Приведем некоторые примеры.
а) Пусть выточка выходит за границу полуплоскости, растя-
растягиваемой на бесконечности однородным напряжением р в усло-
условиях плоской деформации (рис. 83). Поверхность полуплоскости
•н выточки считается свободной от нагрузок. Функцию /(/) аппро-
аппроксимируем выражением E.67), материал для простоты считаем
несжимаемым. В этом случае коэффициент интенсивности на-
йряжений Kj равен (см. Приложение I)
E.75)
Рис. 83.
252 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
При этом предполагается, что область нелинейных деформаций
мала по сравнению с глубиной выточки /.
Величина Э, согласно E.74) и E.67), равна
чИ+2
„„„ у С_11л п \ I 4i
| °-2 17
(v=il/2, ст2=1/2(Т„ / = <r,
Сравнивая E.75) и E.76), согласно E.72) получаем точную,
нижнюю оценку для максимального напряжения (с*)max на дне
выточки
V2<
E.77)
б) Оценим форму равнопрочной выточки, аппроксимировав
дугу АВ отрезком параболы 2Дх = —у2, где А — радиус кри-
кривизны дуги А В в вершине выточки (см. рис. 83). Материал счи-
считаем линейно-упругим, тогда на дуге АВ
Э = -2р-, (Tz = 0 (плоское напряженное состояние),
1 _ V2 E.78)
Э = —2/Г~ аЬ az = vat (плоская деформация).
При помощи E.72) и E.78) находим напряжение at в точках,
дуги АВ равнопрочной выточки
ot = KxlVh. E.79)
Напомним, что согласно C.168) напряжение в вершине соот-
соответствующей чисто параболической выточки равно 2/Ci/ ]/яД.
Считая оба напряжения примерно равными, находим оценку для
искомого радиуса кривизны дна равнопрочной выточки
А ~ 4А/я. E.80)
В действительности эта оценка, очевидно, несколько завы-
завышена; поэтому радиус кривизны дна равнопрочной выточки мож-
можно считать примерно равным h.
в) Сравним концентрацию напряжений в наиболее опасных
точках эллиптической выточки C.169) и равнопрочной выточки
IЯ
УПРУГОЕ ТЕЛО
253
рлины 2(l'-f m)R с раскрытием, равным радиусу кривизны эл-
Здипса в наиболее опасной точке х = A + *n)R, у = 0, т. е. при
tf(lJ(l+)'
"(рис. 84).
Так как величина /Ci
отвечает трещине Гриф-
фитса длины 2A + m)R,
при помощи E.79) .на-
.находим
I Ы
I г
E.81)
I I
гA*т)й
Рис. 84.
Используя точное ре-
решение Колосова для эл-
эллипса C.171), получаем отсюда отношение максимальных на-
напряжений в сравниваемых случаях
К тах)эллипс ^ 3 - 2/П - ОТ2
at fn A - т2)
E.82)
4. Криволинейные трещины. Применим энергетическую тео-
теорию криволинейных трещин (§ 2 этой главы) к линейно-упругим
телам в наиболее важном случае, когда /Cm = 0, а остальные
коэффициенты интенсивности напряжений /Ci и /Си отличны от
нуля.
Вычислим вначале вектор потока энергии Г = Yxi + Tyj
в произвольно выбранной точке О фронта трещины (система ло-
локальных декартовых координат xyz выбирается, как обычно, см.
рис. 13). Общие формулы E.25) в данном случае можно за-
записать так:
Г х = ¦
С'
E.83)
Здесь контуры Ci и Сг выбраны так, как показано на рис. 85
и 86. Действительно, в рассматриваемом случае q, = 0, а вклад
в общую сумму от интегралов по отрезкам длины 26 пренебре-
пренебрежимо мал вследствие того, что б < R,
25.4
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ' 1ГЛ. »Г
Используя представления Колосова -г- Мусхелишвили C.9),
нетрудно получить следующие формулы:
E.84)
dv , ди к-г i T ,
'-д7 + ^у^х- = -^Г1т\
' ду ^ х» Эу 2ц '
y) Ф (г)].
Действительно, из формул C.9) вытекает следующее выра-
выражение для потенциала Ф (z):
В частности,
^-); E.85)
= ^ + 2^+'К-2^). E.86)
Подставляя Ф(х) из E.86) в E.84), убеждаемся в справедли-
справедливости соотношений E.84).
У
1 *
\П
\п
У
J
и
2R
С,
X
п
Рис. 85.
Рис. 86.
Отметим также следующие формулы, легко получаемые
из C.9):
о у - hxy = Ф (г) + Ф (г) + гФ' (г) + ? (г),
х + пху = Ф B) + Щг) — zWJz) - WJz).
E.87)
t$ WiPyroB тело 253^
На Основе соотношений E.84) и E.87) выражения для со-
составляющих вектора потока энергии E.83) примут вид
* ¦ (б<88)
_ __ __
г •=_ -?±I lim $1т(ФФ + & —гФФ' —ФУ) (n-i)ds.
Согласно C.43) функции Ф(г) и W(z), определяющие син-
сингулярное решение вблизи конца трещины, имеют вид
' УB)=/С1 + 3-^". E.89)
W 4/2H2 V
Подставляя функции Ф(г) и W(z) из E.89) в E.88) и опу-
опуская простые выкладки, находим в результате
Г,—=?¦(*? + *?,). Т^^-КгКп- E.90)
Таким образом, вектор потока энергии в конец трещины
равен
^=-2L^L[{K2l + Kn)i-2KiKid}- E-91)
В частности, для трещин нормального разрыва, когда Ки =0,
получается выражение
r = --?i±!^. , E.92)
Допустим, что трещина при своем развитии отклоняется на
угол 8 от своего первоначального положения в точке О. При
этом величина потока энергии, расходуемой на" такое развитие
"трещины, будет равна проекции вектора Г на направление роста
трещины (см. рис. 74)
г(Э) = —^[(к1+Кп) cose- 2/Ci/Cn sine]. E.эз)
Используя условия E.30) и E.31), находим отсюда критерии,
определяющие начало развития трещины и угол 8:
(/Ci + /С?,) cos в — 2/Ci/Cn sin 9 < ^у Yo (в). E.94)
Здесь Yo(9)—экспериментально определяемая функция в..В слу-
случае изотропного по прочности тела величина yo не будет зависеть
от 0; при этом из E.94) легко определить угол 0 и критерий ло-
локального разрушения (ем. рис. 74):
+ Kn), E.95}
Knf + 4/C?Ai, < 256ц2уо7A + кJ. E.96)
256
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИН ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ 1ГЛ.,У
Так как 16цуо/A +«) = К21с, то поверхность разрушения,
согласно критерию E.96), можно записать в стандартном виде
D.1)
f (Ki, Kn) = Ки - ATifo (Я) = 0, E.97)
где
График функции /0(Я) приведен на рис. 87; для сравнения
там же нанесена пунктирной линией соответствующая функция
/о(Я) из теории трещин обобщенного нормального разрыва (см.
формулу D.56) и рис. 32).
График зависимости угла от-
отклонения 0 от Я,
0 = — arctg [2Я/A + Я2)], E.98)
приведен на рис. 88 вместе с соот-
соответствующей пунктирной кривой
0,8
-0,2
f.2
/у
У
-Ofi
-0,6
О 0,2 Ofi 0,6 0,3 _ 1,0 Л
Рис. 87.
\
\
\
\
\
\
\
•-¦—
Рис. 88.
для трещин обобщенного нормального разрыва (см формулу
D.55) ирис. 31). v v н у у
Как показывает сравнение, энергетическая теория дает ре-
результаты, весьма близкие к тем, которые получаются для тре-
трещин обобщенного нормального разрыва, если А.<;1. Серьезное
расхождение этих теорий получается только при Я » 1, т. е. для
трещин поперечного сдвига. Существующих к настоящему вре-
времени опытных данных в последнем случае пока еще недоста-
недостаточно, чтобы четко разграничить области приложения этих тео-
теорий к тем или другим классам материалов.
В случае криволинейных трещин нормального разрыва е
гладкой поверхностью, когда угол 0 в любой момент развития
трещины равен нулю, можно применить метод бесконечно малых
скачков, изложенный в § 3 гл. IV. Поскольку, согласно E.98),
при Я <& 1 0 = —2Я, энергетическая теория в этом случае при-
§5]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЁСКОЁ
2S?
водит к точно таким же результатам, что и теория трещин обоб-
обобщенного нормального разрыва (см. формулы D.69) и D.72)).
Уместно подчеркнуть, что согласно энергетической теории
E.30) развитие трещины таково, что удельные энергозатраты на
образование новой поверхности в каждый момент развития тре-
трещины минимальны.
§ 5. Упруго-пластическое тело
Изучим сверхтонкую структуру конца трещины.в упруго-пла-
упруго-пластических средах. Вначале изложим основные представления
о развитии трещин в таких телах.
Допустим, что в упруго-пластическом теле сделан физически
абсолютно острый полубесконечный разрез (например, вынуты
одна или две атомных полуплоско-
полуплоскости, так что взаимодействием про-
противоположных берегов разреза мож-
можно пренебречь). Затем на бесконеч-
бесконечности тело нагружается; при этом
параметр нагружения —'¦ коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений —
монотонно увеличивается (рис. 89).
В момент начала движения раз-
разреза коэффициент интенсивности
напряжений &,(=/Ci) достигает
критического значения, равного kic:
klc= У4цУA — v). E.99)
Здесь yt — наименьшее значение
эффективной поверхностной энергии
тела.
Величина yt близка к теоретиче
ским оценкам поверхностной энер-
энергии твердого тела (см. гл. II), так как при K\<.Kic пласти-
пластические деформации в теле отсутствуют. Поэ/гому yt будем назы-
называть истинной поверхностной энергией.
Момент начала движения разреза совпадает с моментом на-
начала движения и развития дислокаций вблизи его конца, т. е.
с моментом образования и роста пластической области вблизи
конца разреза (см. рис. 89). Поэтому при Ki > &ic происходит
«расщепление» структуры конца трещины на тонкую структуру,
которая реализуется на расстояниях, больших по сравнению с
размером пластической зоны вблизи конца трещины, на сверх-
сверхтонкую структуру, имеющую место непосредственно вблизи края
трещины (на расстояниях, малых сравнительно с размером
пластической области), и на переходную зону, занимающую
Рис. 89.
9 Г, П. Черепанов
258 Некоторые общие вопросы механики разрушения 1ГЛ. v
промежуточное положение между тонкой и сверхтонкой струк-
структурами. В рамках теории малых деформаций свертонкая струк-
структура соответствует асимптотике, устанавливающейся на беско-
бесконечно малых расстояниях от конца математического разреза.
При К\ < k\c обе структуры совпадают.
Вследствие увеличения коэффициента интенсивности напря-
напряжений тонкой структуры происходит дальнейшее продвижение
конца разреза вглубь тела, которое сопровождается еще более
интенсивным движением и развитием дислокаций (и пластиче-
пластической области). Дислокации блокируют сверхтонкую структуру
конца трещины, оставляя неизменным уровень ее напряжен-
напряженности, т. е. сохраняя коэффициент интенсивности напряжений
сверхтонкой структуры k\ постоянным и равным kic. Более быст-
быстрое развитие пластической области приводит к тому, что движе-
движение конца разреза является устойчивым на этом этапе. Предста-
Представление о постоянстве коэффициента интенсивности напряжений
сверхтонкой структуры при росте трещины будем называть кон-
концепцией kjc.
Наконец, достигается предельное (критическое) состояние
напряженности тонкой структуры, характеризуемое следующей
величиной коэффициента интенсивности напряжений:
/Ci = Кю (Kl = I*Y/A - v)). E.100)
Здесь Kic — вязкость разрушения, y — эффективная поверхност-
поверхностная энергия трещины в данный момент нагружения. При
Ki = Kic все локальные характеристики в конце разреза (ха-
(характерное раскрытие его конца, характерный размер пластиче-
пластической области и т. д.) также достигают своего критического зна-
значения.
При /Ci = Kic в конце разреза на его продолжении обра-
образуется острый надрыв; в силу перенапряженности состояние
сверхтонкой структуры в конце этого надрыва будет теперь не-
неустойчивым, и разрез будет при постоянной нагрузке продви-
продвигаться вглубь тела с большей скоростью, чем пластическая об-
область. у
Таким образом, момент потери устойчивости при Ki = Kic
физически объясняется образованием более острого разреза-тре-
разреза-трещины в сверхтонкой структуре (т. е. локального хрупкого разру-
разрушения).
Во многих случаях такого локального хрупкого надрыва не
происходит; при Ki = К\с тонкая структура насыщается и ста-
стационарно перемещается в пространстве при продвижении конца
трещины вместе с пластической зоной и сверхтонкой структурой.
Такой процесс соответствует классической концепции квазихруп»
кого разрушения.
S 6] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 259
Характер дальнейшего распространения разреза зависит от
устойчивости или неустойчивости состояния тонкой структуры
(определяемого внешним полем, см. § 4 гл. IV). Если состояние
тонкой структуры неустойчиво, то скорость движения разреза
будет возрастать, приводя к неустойчивому динамическому ре-
режиму роста трещины. Если же состояние тонкой структуры
устойчиво, то распространение разреза вскоре прекратится (так
как его конец попадает в менее напряженную область) и возоб-
возобновится только после возрастания внешней нагрузки и увеличе-
увеличения коэффициента интенсивности напряжений до значения, близ-
близкого к Kic- Следует подчеркнуть, что это значение не будет
равно Kic в силу зависимости напряженно-деформированного
состояния окрестности конца трещины в упруго-пластической
среде от предшествующей истории деформирования.
В большинстве случаев вязкость разрушения Kic в упруго-
пластической среде характеризует начало локально неустойчи-
неустойчивого (нестабильного) развития трещины. Если состояние тонкой
структуры устойчиво, то развитие трещины в таких случаях бу-
будет скачкообразным (т. е. вслед за интервалом быстрого разви-
развития трещины при постоянной внешней нагрузке следует период
стабильного роста трещины при увеличении внешней нагрузки
и т. д.). Если число скачков достаточно велико, т. е. велик ли-
линейный размер подросшей трещины при выполнении условия
тонкой структуры, то устанавливается некоторое среднее влия-
влияние предыстории, так что можно говорить о том, что коэффи-
коэффициенты интенсивности напряжений в момент начала нестабиль-
нестабильного движения трещины и в момент ее остановки постоянны для
данного материала (но, вообще говоря, различны, причем Кг
в начале движения, очевидно, больше, чем Ki в момент оста-
остановки).
Предположим теперь, что раскрытие конца начального искус-
искусственного разреза гораздо больше межатомного. Отметим, что
в металлах наиболее острые разрезы, которые удается создавать
искусственно, отвечают усталостным трещинам. Раскрытие в их
конце может быть почти на два порядка меньше предельного
раскрытия, отвечающего моменту наступления нестабильности?
Однако это раскрытие на несколько порядков больше среднего
межатомного расстояния, поэтому критическое значение коэффи-
коэффициента интенсивности Ki в момент наступления неустойчивости
при монотонном нагружении будет отлично от величины вяз-
вязкости разрушения Kic, соответствующей абсолютно острому на-
начальному разрезу. В 1958 г. Ирвин [9I] предположил, что влияние
величины раскрытия начального разреза и способа его образо-
образования на вязкость разрушения Kic пренебрежимо мало, если на-
начальное раскрытие гораздо меньше предельного. Эта гипотеза
подтвердилась экспериментально; она послужила основой
260
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. V
допущения, что вязкость разрушения /Cic является константой
упруго-пластического материала, характеризующей чувствитель-
чувствительность материала к росту трещин.
Как видно, несмотря на существенные качественные и коли-
количественные отличия развития трещин в упруго-пластических сре-
средах и в хрупких телах, аппарат механики хрупкого разрушения
годится для предсказания начала нестабильного роста трещин
в упруго-пластических материалах, если имеет смысл предста-
представление о тонкой структуре конца трещины. Если тонкая струк-
структура неустойчива (что чаще всего встречается на практике), то
этого предсказания достаточно, чтобы судить о прочности тела
с трещиной.
Если же тонкая структура устойчива, то необходимо еще рас-
рассмотреть вопрос о дальнейшем развитии трещины в процессе
монотонного возрастания внешней нагрузки. При рассмотрении
последнего вопроса механика хрупкого разрушения также мо-
может оказаться достаточной, если число скачков достаточно ве-
велико и при исследовании ставится ограниченная задача об опре-
определении приблизительного местонахождения конца трещины
после большого числа скачков. Для решения последней задачи
нужно взять некоторое среднее значение вязкости разруше-
разрушения Kie для устойчивой тонкой структуры и приравнять его ра-
расчетному коэффициенту интен-
интенсивности напряжений Ki\ при
этом движение конца трещины
будет монотонным и устойчи-
устойчивым. Следует подчеркнуть, что,
вообще говоря, среднее значе-
значение вязкости разрушения для
устойчивой тонкой структуры
отлично от вязкости разруше-
разрушения, соответствующей началу
нестабильного роста трещин,
поэтому для ее измерения не-
необходимы дополнительные экс-
эксперименты.
На рис. 90 приведен характерный график зависимости длины
трещины от нагрузки для металлов в ситуациях с устойчивой
тонкой структурой; монотонная кривая отвечает теоретическому
решению, полученному на основе механики хрупкого разру-
разрушения.
Если пластическая область в конце трещины велика, так что
тонкая структура не реализуется, то методы механики хрупкого
разрушения становятся неприменимыми. Обобщение этих мето-
методов приводит к необходимости изучения сверхтонкой струк-
структуры.
Рис 90.
4 Б] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 561
В дальнейшем рассматриваются лишь процессы с монотонно
возрастающей (растягивающей) внешней нагрузкой. Для опре-
определенности ограничимся наиболее важным случаем трещин нор-
нормального разрыва в условиях плоской деформации.
Опыт показывает, что подрастание трещины в процессе уве-
увеличения коэффициента интенсивности напряжений от kjc до Кю
происходит лишь за счет локальных конечных пластических де-
деформаций вблизи фронта -трещины и обычно не сопровождается
локальными надрывами; поэтому докритическое подрастание
трещины имеет порядок раскрытия ее конца. Этот вывод под-
подтверждается также фрактографическими исследованиями по-
поверхности усталостной трещины (см., например, статью Бичема
и Пеллу в книге [35]). Следует подчеркнуть, что в случае сквозных
трещин в тонких пластинах (т. е. когда А = h/l малы) иногда
наблюдается весьма значительное докритическое подрастание
трещин (например, на несколько сантиметров, см. [61]); это объ-
объясняется локально неоднородной пластической деформацией на
фронте трещины.
Следовательно, докритическим подрастанием трещины можно
пренебречь, если ограничиться монотонным нагружениём и пло-
плоской деформацией. Это упрощение приносит наиболее эффектив-
эффективные результаты при изучении сверхтонкой структуры в рамках
модели несжимаемого упруго-пластического тела со степенным
упрочнением.
1. Упрочняющееся упруго-пластическое тело. Уравнения тео-
теории упрочняющихся упруго-пластических сред возьмем в виде [4]
1 + у . v , . , и'(/) ; / 1
при />0 (нагружение), E.101)
jY при /<0 (разгрузка). -
Здесь 8ц — символ Кронекера, ©(/)—заданная функция упроч-
упрочнения, которая определяет поверхность нагружения
X = «>(/) («/(/) >0), E.102)
где
= У \°11 — j
Для определения функции.«(/) достаточно одной экспери-
экспериментальной диаграммы растяжения о— et
262
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. V
t-0
Рис. 91.
Уравнения E.101) представляют собой один из наиболее
распространенных и хорошо проверенных вариантов изотерми-
изотермической теории пластичности металлов. В них предполагается
изотропное упрочнение, описываемое одним параметром. Вместе
с уравнениями равновесия и кинематическими соотношениями
эти уравнения составляют замк-
замкнутую систему.
При помощи «принципа мик-
микроскопа» изучение сверхтонкой
структуры фронта трещин нор-
нормального разрыва в такой среде
в рамках теории малых деформа-
деформаций сводится к следующей зада-
задаче: требуется найти решение ука-
указанной системы уравнений во
внешности движущегося полубес-
полубесконечного разреза вдоль у = 0,
x<Cl(t) в условиях плоской де-
деформации для произвольной мо-
монотонно возрастающей функции
l{t) (рис. 91).
Так как деформации сингу-
сингулярны в конце разреза, а наклон
кривой а — е к оси абсцисс при больших е гораздо меньше, чем
в начале координат (см. рис. 91) ¦, то упругая компонента ско-
скорости деформации ke{j' в сверхтонкой структуре будет пренебре-
пренебрежимо малой по сравнению с пластической составляющей Щ.
при нагружении, т. е.
По той же причине е^ > ee{j. Тогда, если диаграмма сг—е имеет
вид е = е(а), то функция со(/) будет следующей:
E.104)
В предположении E.103) согласно E.101).тело будет несжи-
несжимаемым. При этом для плоской деформации будут иметь место
соотношения
е2=0, d/dz = 0, oz = j(ax + oy), ех + ва = 0. E.105)
Примем, что диаграмма растяжения а — е при больших е
имеет асимптотически линейный участок (рис. 91)
при
E.106)
I S) УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО . 263
Постоянные ?<» и Цоо характеризуют наклон этого участка.
Вследствие сингулярности решения в конце разреза именно эта
часть диаграммы реализуется в сверхтонкой структуре.
На основе соотношений E.101) — E.106) получаем следую-
следующие уравнения плоской деформации сверхтонкой структуры: .
дй ___дд_ 3 / , ,
дх ду 4?0О / ^°х Оу''
дй , дЬ 3/ ; л ,к л Л7ч
-яТ + -я7==-ГТх*у ПРИ />0' <5Л07>
Здесь
ПРИ
= 3//B?J).
Предположим вначале, что разрез неподвижен и во всех точ-
точках сверхтонкой структуры происходит нагружение, В этом слу-
случае сингулярное решение уравнений E.107) (плюс уравнения
равновесия) будет иметь вид
I Щ 6 . k\ sin 9 , . лч
а + а==7шСО51 /==TF^" (^>0)>
, E.108)
й+г'°=~tt V^sin2 т ¦em {ki > 0)-
Здесь k\ — коэффициент интенсивности напряжений сверхтонкой
структуры, являющийся монотонно возрастающей функцией вре-
времени (при нагружении).
Согласно концепции k\c, как только будет достигнуто значе-
значение коэффициента k\, равное k\c, начнется движение разреза.
При бесконечно малом изменении нового параметра нагруже-
ния I на 81 все функции приобретают бесконечно малые изме-
изменения (бм, 8у, 8ах, 6ау, 8хху). На основании E.107) и E.108) си-
система уравнений, служащая для их определения, имеет вид
дЬи dbv зуТ ., . 39
при б/>0; Eл09)
= бе^ = 6&ху = 0 при б/
(sign^ = + 1 при ^>0, sign#= — 1 при у < 0).
264 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
Здесь
sign у ¦ Ы = -pL- sin-^ (вв, - 6<rx) + /2 cos -f- • вт,„. E.110)
Кроме того, должны удовлетворяться уравнения равновесия
- Введем функцию тока if (х, у) при прмощи соотношений
. 3]/Т 3* . 3^2" <Эф /е , 1О\
6«=-irif-' ба=—fc-~sr- EЛЬ2)
При этом, согласно первому уравнению E.109), будет
d?h EЛ13)
Подставляя E.112) и E.113) в E.109), получаем следующее
уравнение относительно функции тока:
Преобразуем его к полярным координатам г9:
32ф 2 79 / . 9 \"' д2^ 1 д2й 1 М 2,9
-7F^-_71^-7rctgY- ^- = 0
F1 > 0). E.115)
Дискриминант уравнения E.114), равный
-l-(ctg-fJ, . E.116)
всегда меньше нуля. Поэтому уравнение принадлежит к гипер-
гиперболическому типу. Два семейства его характеристик представ-
представляют собой интегральные кривые следующих уравнений:
dy_ ± 1 - cos C9/2) /с 117ч
dx — sin C9/2) [ОЛИ)
Решения этих уравнений имеют вид
[±1-cos C9/2I rf9 /еПЯч
_ tg 9 (± [ _ cos C9/2))] •
Поле интегральных кривых изображено на рис. 92.
fS]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
265
Через каждую точку плоскости проходят две взаимно ортр-
гональные кривые разных семейств (начало координат является
особой точкой типа центра). В системе криволинейных орто-
ортогональных координат ?т], образованных этими семействами,
уравнение E.11.4) приводится к простому виду д^/д^дц = 0.
Поэтому нетрудно найти об-
общее решение этого уравне-
уравнения, выраженное через две
произвольные функции. По-
Последние должны находиться
из граничных условий на
разрезе. При этом гранич-
граничные данные на любом отрез-
отрезке границы единственным
образом определяют реше-
решение внутри криволинейного
треугольника, основанием
которого является данный
отрезок, а сторонами — ха-
характеристики разных се-
семейств, исходящие из кон-
цов отрезка (рис. 92). Одна-
Однако в связи с рассматривае-
рассматриваемыми далее особенностями
этой задачи изберем другой
путь Решение уравнения
E.115) с однородными граничными условиями автомодельно;
оно имеет вид
ф __ rA.\jr @) E.119)
Подставляя его в E.115), получаем дифференциальное уравне-
ние относительно ^(б)
хр» (9) + 2 [ctg (9/2) + Я cos G9/2) cosec (9/2)] V (9) —
= 0 F/>0). E.120>
Рис. 92.
Величина б/, согласно E.113), будет равна
sign у • Ы =
?" (9) + 2 (Я + 1) ctg 29 • Ч" (9) - (Я - 2) Ш (9)].
(и. 12Л )
Найдем собственное число Я, используя энергетические сооб-
соображения. Величина потока энергии в конец трещины при ег<э
266 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
продвижении на 81, согласно E.14), равна
Yo б/ = — lim \oubvdx. E.122)
6/R->0 I
Так как величина уо конечна р отлична от нуля, а напряже-
напряжение оу, согласно E.108), имеет особенность порядка г/2, то из
E.122) вытекает, что собственное число X равно 1/2. При этом
из E.120) и E.121) для функции W(Q) получается следующая
краевая задача:
' W" + [2 ctg (9/2) + cos G9/2) cosec (9/2)] Ч" +1- ^ = 0
/ 3 \ (
sin29 • [sin C9/2)]-' \W" + 3ctg29 ¦ 4" -f -J Wj > 0,
при 9 = 0 W = 0. :
Граничное условие при 9 = 0 отвечает условию симметрии
8v = 0.
Покажем, что возможно лишь тривиальное решение краевой
задачи E.123) в классе ограниченных непрерывных функций.
Дифференциальное уравнение E.123) при бесконечно малых 0
имеет вид
?" + -§¦ У + -|ч? = 0. E.124)
Допустим вначале, что ^"(О) неограничена; тогда и ^'(О)
будет неограничена согласно E.124). При этом будет Y = С?И,
что неприемлемо. Теперь допустим, что W"@) и ^'(О) рграни-
чены. Разлагая функцию ^(Э) в ряд Тэйлора
? @) = а0 + а,в + а292 + ... . E.125)
и подставляя это разложение в E.124), находим
+ -Jflo = O. ••• E.126)
Если ЧЧО) = а0 = 0, то все коэффициенты разложения об-
обращаются в.нуль.
Таким образом, одно из двух линейно независимых решений
уравнения E.123) неограничено при 9 -*• 0, а другое ограничено
при 9 -*• 0, однако является тождественным нулем, если функ-
функция Y равна нулю в особой точке 9 = 0.
Так как тривиальное и неограниченное решения не отвечают
физическому смыслу задачи, остается допустить, что Чг@)^=0,
т. е. &v ф 0 при 9 = 0. При этом на продолжении трещины до-
допускается разрыв вариации перемещения §р,
51
упруго Пластическое тело
2-'
Следовательно, в данном случае развитие трещины можно
представить как результат последовательного разрыва локаль-
локальных связей непосредственно вблизи конца трещины; при k\ = kic
разрушение охватывает сразу некоторую область на продолже-
продолжении трещины, причем конец трещины продвигается мгновенно на
расстояние, равное вариации длины трещины (единственного
параметра нагружения в данной задаче).
Поскольку сингулярное решение определяется с точностью
до произвольного множителя, без ограничения общности можно
положить
?=1 при 8 = 0. E.127)
Получающаяся краевая задача (дифференциальное уравне-
уравнение E.123) и граничное условие E.127)) имеет единственное
решение, которое легко построить в виде ряда E.125) или же
численно, используя стандартные методы решения задачи Коши
(задача Коши ставится так: при б = А8 Ф = 1, W = 0, где Д9
достаточно мало). Дифференциальное неравенство в E.123)
играет роль фазового ограничения.
Приведем результаты численного анализа, ограничившись
для краткости вторым знаком после запятой (см. табл. 5.1).
Значения функций V (9) и — V (в)
Таблица 5.1
е
0
0.11
0.21
0.31
0.41
0.51
0,61
0.71
0.81
0.91
1.01
чг
1
1.00
1.00
0.99
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.93
0.91
-Ч"
0
0.01
0.02
0,04
0,05
0.07
0.10
0,13
0,16
0,20
0,23
в
1.11
1.21
1,31
1.41
1.51
1.61
1.71
1.81
1.91
2.01
2,11
ЧГ
0.88
0.86
0.83
0.80
0.78
0.75
0,73
0.71
0.69
0.67
0,65
0,25
0,27
0,27
0,26
0,25
0,24
0.22
0,21
0,21
0,21
0.22
е
2,21
2.31
2.41
2,51
2.61
2.71
2.81
2.91
3.01
з.п
чг
0.62
0.60
0.57
0.54
0.50
0.46
0.42
0.36
0.30
0.24
-ЧГ'
0.24
0.26
0.29
0.33
0.39
0.44
0.51
0.56
0.61
0.65
Условие нагружения выполняется при всех 0.
Вариации напряжений определяются из уравнений E.110) и
E.111). Введя функцию напряжений, нетрудно привести их
к уравнению E.115) относительно функции напряжений с из-
известной правой частью. Автомодельное решение последнего урав-
уравнения находится совершенно аналогичным способом.
Рассмотренная краевая задача интересна ещё тем, что она
имеет единственное решение, хотя есть лишь одно граничное
268 НЕКОТОРЫЕ ОВЩИВ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ 1ГЛ. V
условие E.127) (напомним, что дифференциальное уравнение —
второго порядка). Роль второго граничного условия в данном
случае играет условие ограниченности решения. Неопределен-
Неопределенный множитель в решении аналогичен коэффициенту интенсив-
интенсивности напряжений; из соображений анализа размерностей он
пропорционален k\U.-
Совершенно аналогично в рамках сверхтонкой структуры
можно поставить и исследовать задачу о начале движения тре-
трещины в упруго-пластическом теле с асимптотически степенным
упрочнением. При этом также оказывается, что рост трещины
можно представить как результат последовательного разруше-
разрушения материала непосредственно вблизи конца трещины.
2. Несжимаемое степенное тело. Модель несжимаемого сте-
степенного упруго-пластического тела получается из уравнений
E.101), если в них пренебречь упругими компонентами, а функ-
функцию ш'(/) считать степенной
(о'(/) = а/х+1, E.128)
где а и к — некоторые постоянные материала, которые полу-
получаются аппроксимацией эмпирических диаграмм а — е степенной
функцией. Постоянная а имеет размерность длины в степени
2(и+1)> деленной на размерность силы в степени (и+1); ве-
величина •& безразмерна.
Отметим основные свойства несжимаемого степенного тела.
Допустим, что на его границе заданы нагрузки. Тогда
1) напряжения в каждой точке несжимаемого степенного
тела не зависят от постоянной а;
2) если внешние нагрузки изменяются пропорционально па-
параметру нагружения, то и все напряжения в каждой точке тела
изменяются пропорционально тому же параметру [6];
3) напряжения и деформации в каждой точке этого упруго-
пластического тела такие же, как в степенном нелинейно-упру-
нелинейно-упругом теле, описываемом уравнениями E.51) и E.59), если все
внешние нагрузки изменяются пропорционально одному и тому
же параметру {6].
Первое свойство становится очевидным, если обе части урав-
уравнений E.101) разделить на а и учесть линейность условий со-
совместности. Второе свойство является следствием однородности
системы уравнений в напряжениях. Третье свойство не менее
очевидно, если проинтегрировать уравнение E.101) по пара-
параметру нагружения и учесть, что напряжение в каждой точке та-
такого 'тела пропорционально тому же самому параметру. При
этом получаются уравнения E.51), в которых нужно положить
x+\ v=l/2. E.129)
«61'
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
Отмеченные свойства делают особенно плодотворным прило-
приложение концепции &ic к несжимаемым степенным телам, так как
позволяют перенести на них все результаты, полученные для
напряжений и деформаций степенных нелинейно-упругих тел
с трещинами (в условиях пропорционального нагружения и в
пренебрежении подрастанием трещины).
ar=const
¦1 „
¦< " -'¦'
__. L >
L. ...
Рис. 93.
М
Рассмотрим несколько конкретных задач для несжимаемого
степенного тела.
Растяжение перешейка с разрезом (рис. 93). Пусть пере-
перемычка, образованная свободной границей тела и перпендикуляр-
перпендикулярным к ней полубесконечным разрезом,
также свободным от внешних нагрузок,
растягивается на бесконечности силой Р
в условиях плоской деформации.
Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений k\ в конце разреза, определяемый
формулой E.60), в случае монотонного
возрастания силы Р зависит лишь от ши-
ширины перемычки L, силы Р и постоянной
¦к. Следовательно,
i
М
(a = const). E.130)
4 Рис. 94.
Здесь -Hi (>c)—безразмерная функция к.
Изгиб перешейка с разрезом (рис. 94). Пусть для конфигу-
конфигурации предыдущего примера на бесконечности действует моно-
монотонно возрастающий изгибающий момент М. В этом случае
270
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ. V
величина k\ зависит лишь от L, М и и. Следовательно,
ТГГ
E.131)
Здесь Т12(и)— безразмерная функция и.
Условия в перемычке, весьма близкие к рассматриваемым
в этих двух примерах, реализуются, например, при растяжении
или изгибе полосы с глубоким надрезом, когда глубина надреза
превышает половину ширины полосы
(см. рис. 93). При этом случай растяже-
растяжения всегда сопровождается локальным
изгибом.
Растяжение полупространства с крае-
краевым дефектом (рис. 95). Пусть полупро-
полупространство имеет плоский краевой разрез
эллиптической формы в плане. Дефекты
такой формы с примерно постоянным
отношением полуосей (приблизительно
равным 2/3) наиболее часто встречаются
в конструкциях и служат источником
разрушения. Приблизительное постоян-
постоянство их формы объясняется условиями
докритического роста коррозионных и усталостных трещин в
процессе сборки или эксплуатации конструкции, приводящими
к выравниванию коэффициента интенсивности напряжений
вдоль контура разреза. Полупространство растягивается на бес-
бесконечности монотонно возрастающим напряжением р, нормаль-
нормальным к плоскости разреза. Граница полупространства и берега
разреза считаются свободными от нагрузок.
В рассматриваемом случае коэффициент интенсивности на-
напряжений k\ зависит лишь от глубины разреза Ь, от нагрузки р,
от постоянной и и от эксцентриситета эллипса. Следовательно,
E.132)
Рис. 95.
Здесь т]з — безразмерная функция и и отношения полуосей.
Критическая комбинация разрушающего усилия и размера
трещины получается приравниванием коэффициента k\ предель-
предельному значению, равному постоянной материала k\c.
Функции t]i, т]2 и Т1з в рассмотренных примерах определяются
или из точного расчета или на основании модельных эксперимен-
экспериментов с разрушением. В последнем случае для отыскания абсолют-
абсолютного значения klc можно использовать формулу E.65), связы-
связывающую коэффициенты интенсивности тонкой и сверхтонкой
структур. Для предельного состояния она примет вид
E.133)
§51 УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 271
При помощи этой формулы можно определить kie по извест-
известной вязкости разрушения и наоборот. Таким образом, доста-
достаточно провести серию испытаний какого-либо контрольного мате-
материала с известной вязкостью разрушения на разрушение в
пластической области, чтобы затем из опытов по вязкому раз-
разрушению малых образцов из других материалов находить их
вязкость разрушения. Это одно из возможных приложений кон-
концепции k\c и найденных решений.
Непосредственное определение вязкости разрушения по стан-
стандартным схемам весьма часто требует нереально больших раз-
размеров образцов.
Схемы, изображенные на рис. 93 и 94, могут быть рекомен-
рекомендованы как наиболее удобные для определения значения kic.
При этом необходимо, чтобы в опыте соблюдались два основных
условия:
1) все (или почти все) сечение-нетто должно перейти в пла-
пластическое состояние перед разрушением; например, при растя-
растяжении среднее напряжение в этом сечении должно превы-
превышать 00,21
2) излом должен быть прямым.
Эти условия можно соблюсти при достаточно малой ширине
перемычки. Они обеспечивают требования плоской деформации
и степенной аппроксимации, наиболее хорошо описывающей
свойства материала в пластической области.
3. Идеальное упруго-пластическое тело. Модель идеального
упруго-пластического тела с условием пластичности Мизеса
определяется следующими уравнениями:
при Я > 0 (нагружение)
1+v. v.. .;/ 1, \
вг/ = —?— о1} — -gr OijOkk + *- 1о[} —¦jo^akkj,
EЛ34)
22
[ 1 \/ 1
Р = [oif — j Okk&ii) [Oi, — -g-
при К = 0, / < Y^xs (разгрузка)
1 + v . v
Здесь xs — предел текучести на сдвиг, к—новая неизвестная
функция: Я = х/BтЗ) = Лр/BтЗ)>0.
Нужно отметить следующее. В случае любой неподвижной
системы координат под ёц и дц в уравнениях E.134) нужно по-
понимать обычные частные производные по времени от компонент
Eij и Оц (ввиду предполагаемых малых деформаций). В случае
движущейся системы координат положение изменяется. Если
272 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. У
система координат декартова и движение ее происходит в на-
направлении оси х со скоростью V, то точка над буквой будет
означать полную производную от соответствующей величины,
равную d/dt — Vd/дх.,
Если же система координат криволинейна, то при ее движе-
движении базис в каждой точке изменяется; поэтому в этом случае
под 6ц и k,tj нужно понимать соответствующие компоненты пол-
полных тензорных производных от тензоров напряжения и дефор-
деформации. Последние следует находить по обычным правилам диф-
дифференцирования тензоров [124].
Будем предполагать далее, что контур, отделяющий упругую
область от пластической в плоскости 2 = 0 (см. рис. 91)г цели-
целиком охватывает конец трещины и в сверхтонкой структуре нигде
не происходит разгрузки*). Кроме того, упруго-пластическое
тело будем считать несжимаемым (v = 1/2). При таких допу-
допущениях изучение сверхтонкой структуры конца трещины нор-
нормального разрыва согласно E.134) сводится к решению следую-
следующей системы уравнений для движущегося полубесконечного раз-
разреза, свободного от внешних нагрузок:
дах [ дхху _п дхху | дау _ п E.135)
~ 2t \ду + дх Е Х*у) ~ a a [ дх
ду + дх Е Х*у) ~ ax - ay [ дх 2Е
HLj--EiL — n E,136)
дх "Г dy u*
Здесь подвижная декартова система координат ху связана с кон-
концом трещины (см. рис. 91), точка над буквой обозначает опера-
операцию d/dt — уд/дх, где V = dl/dt.
Поле напряжений определяется системой уравнений E.135)
и граничными условиями на разрезе независимо от поля смеще-
смещений. Как видно, напряжения в сверхтонкой структуре, в отличие
от смещений, одинаковы для движущейся и неподвижной тре-
трещины. Как нетрудно заметить, этот вывод является следствием
допущения об отсутствии разгрузки в сверхтонкой структуре.
Математическая задача о напряжениях совпадает с ситуа-
ситуацией вблизи угловой точки штампа в известной задаче Пранд-
тля, решенной им задолго до возникновения общей теории пла-
*) Точное численное решение для неподвижной трещины при иаличиа
тонкой структуры [56] подтвердило это допущение.
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
273
стичности. Поэтому воспользуемся решением Прандтля, изло-
изложенным во всех учебниках по теории пластичности:
при 0 < | 6 |< л/4
при л/4 <| 6 |< Зл/4
, тгв = т, E.137)
• *ху = xs cos 26, \
о = тД1 + Зл/2 — 26) j;
при Зл/4 < ] 6 К л
Поле линий скольжения в сверхтонкой структуре изображено
на рис. 96.
У
Л
х
Рис. 96.
В области |6| < л/4 и |6| > Зя/4, согласно E.137), вели-
величина хХу равна нулю; следовательно, на основании E.136) будет
dv п дй , at г {5Л38)
дй
дх
ду ' дх
Общее решение этих уравнений, удовлетворяющее условию
симметрии v (у) =—v(—y), и (у) =«(—«/), имеет вид
й = /«(х -y,t) + ft (x + У, t), v = ft(x-ry, t)-f, (x+y, t) E.139)
(t = l при | в |< лс/4; i = 2 при Зл/4<|6[<я).
Здесь U и h — произвольные функции, определяемые из условия
непрерывности смещений и скоростей на границе раздела упру-
упругой и пластической зон. Из формул E.139) вытекает, в част-
частности, что в конце трещины при |6|<л/4 смещения и скорости
можно считать равными нулю, а при Зл/4<|0|<я — ограни-
ограниченными.
274 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
Осталось изучить область я/4 < |0| < Зя/4 (см. рис. 96).
Девиатор напряжений в ней, согласно E.137), равен
Ъ = х3(ЭгЭв + ЭвЭг). E.140)
Здесь Эг и Эв—орты системы полярных координат г0 (см. рис. 91).
Так как
^ ^ ^ ^„ E.141)
то полная производная тензора D по времени равна
4yV(eA+w
Уравнения E.134) при v= 1/2 в тензорной записи имеют вид
^- (ЭвЭв - ЭГЭГ). E.142)
ют вид
E.143)
d "•
Здесь -тг-г — тензор скорости деформаций; его компоненты
в полярных координатах ёг, ёв и ёгв выражаются через ком-
компоненты вектора скорости йг и йв так:
Из полученных соотношений вытекают следующие уравнения:
дйг _ svxs sme i дйв йг _ svxs sine
~дГ е ~» 7^Г+Т~ — ~е
Последовательно интегрируя их, находим
+ F(B),
E.146)
Здесь /*" и f3 — произвольные функции, определяемые из условия
непрерывности скоростей на границе упругой и пластической
зон, г0 — характерный линейный размер.
Из условия непрерывности скорости йв при 0 = л/4 следует,
что функция /з(/\ t) и ее первая производная по г обращаются
в нуль при г—*0. Поэтому при изучении сверхтонкой структуры
ее можно опустить без потери общности,
$ 6] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 275
В случае неподвижной трещины (когда V = 0) деформации
ег и ее равны нулю, а сдвиговая деформация еге и смещения
таковы:
t
E.147)
ur = JF'(B,t)dt, ue = -JF(e,i)dt.
Как видно, деформация еге имеет в сверхтонкой структуре
особенность порядка 1/г, которая определяется функцией FF, t).
В конце трещины при деформации образуется скачок смещения
(см. рис. 96).
Случай движущейся трещины более сложен. Из E.136) сле-
следует, что
-1^+1^ = 0. E.148)
Так как
то вектор скорости а в каждой точке можно представить так:
u~ dt v dx — at ~ v V dx ^~i~dx~)~
E.150)
{tUf = u cos 0 + у sin 9, «e = — « sin 9 + v cos 9).
Таким образом, для смещений и и v получаются следую-
щие уравнения:
= --^ sine-In-?-
276 Некоторые общие вопросы Механики разрушения 1ГЛ. V
Исключая dufdt, находим
до _-_ it dv
dt v дх~~
=- Щ5- [cos 8 [cos 8 ~ Ч~) +1п т;{1 ~ Ч~cos e)] + Q <*• У' ')•
E.152)
где
Q (х, У, 0 = F' (в, 0 sin в — F (в, *) cos в.
Общее решение этого уравнения имеет вид *)
+ F0(x+Vt,y). E.153)
Здесь Fa—произвольная функция, которая определяется из на-
начальных условий в момент начала движения трещины.
Аналогичное выражение для составляющей смещения и легко
получить при помощи условия несжимаемости E.148).
По формулам E.14) и E.152) поток энергии в конце движу-
движущегося разреза равен
г ^_2_ lim Г
1 * V 6/R+O J
R-Ю -R
у=Ь
E.154)
так как функции ау и Q ограничены при *->0, г/->0, а член
с логарифмической особенностью не дает вклада в интеграл.
Таким образом, согласно теории малых деформаций поток
энергии в конец движущегося разреза в идеальной упруго-пла-
упруго-пластической среде равен нулю. На самом деле на расстояниях по-
порядка А от конца трещины, где А — характерное раскрытие тре-
трещины в ее конце, деформации конечны, и теория малых дефор-
деформаций не годится. Поэтому, строго говоря, предельный переход
R -* 0 в формулах E.154) неправилен, так как трещину в ее кон-
конце нельзя считать математическим разрезом. Учитывая конечный
размер А и формулу D.109), оценим величину Тх
2 1* °Г
Г* ~ у J oyi)dx ~ -?¦ J ln| r/r0 \dr
J J
-д , -д
)^^к^1 E.155)
-д
*) Частный случай этого решения (для установившегося развития тре-
трещины, когда d/dt = 0) изучен Райсом Г1101. Решение Раиса совпадает с пер-
первым членом формулы E153)"
щины, когда d/dt = 0) изуче
вым членом формулы E.153).
§ SJ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 27?
Здесь учтено, что согласно E.152)
v ~ (VaJE) In (r/ru) (ey~es) E.156)
на расстояниях г ~ Д от фронта трещины.
, Согласно энергетической концепции Г* = 2уо, где величина
Yp равна сумме удельной необратимой работы деформаций вбли-
вблизи края трещины (не учитываемых моделью идеальной пластич-
пластичности) и поверхностной энергии. Идеальная пластичность лучше
других моделей сплошной среды описывает свойства твердых
материалов- непосредственно перед разрушением, поэтому в дан-
данном случае можно считать, что величина уо имеет порядок ис-
истинной поверхностной энергии. При этом на основании E.155)
получаем следующую оценку, связывающую эффективную и ис-
истинную поверхностные энергии твердого тела:
oJE. E.157)
Согласно этой оценке, величина у« на два-три порядка мень-
меньше, чем у> что хорошо согласуется с опытными данными (см.
табл. 2.2 и Приложение II).
Из энергетического анализа также вытекает, что теория ма-
малых деформаций идеальных упруго-пластических тел недоста-
недостаточна для изучения роста трещин. По-видимому, трещина в та-
таких средах не может расти за счет постепенных локальных раз-
разрывов в ее конце, а расширяется, как полость. Развитие трещин
нормального разрыва в идеальных упруго-пластических средах
можно объяснить только нелокальными разрывами,, выходя-
выходящими за рамки сверхтонкой структуры. Изучения одной сверх-
сверхтонкой структуры в данном случае недостаточно для формули-
формулировки критерия разрушения.
С этим выводом, полученным на основе энергетической кон-
концепции, согласуется также общефункциональный подход. Дей-
Действительно, в рассматриваемом случае сверхтонкую структуру
конца трещины нельзя описать посредством какого-то одного
или нескольких промежуточных "параметров типа коэффициентов
интенсивности напряжений; следовательно, критерия локального
разрушения не существует. Поэтому при наличии тонкой струк-
структуры концепция Кс описывает разрывы в конце трещины, мас-
масштаб которых значительно превышает размеры сверхтонкой
структуры.
Следует отметить, что некоторыми авторами были предло-
предложены ранее критерии локального разрушения сверхтонкой струк-
структуры. Наиболее известны критерии, предложенные Уэллсом и
Мак-Клинтоком (см. § 9 гл. IV). Как вытекает из предыдущего
изложения, приложение этих критериев к идеальному упруго-
пластическому телу в рамках теории малых деформаций в об-
общем случае лишено физического смысла.
278
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ 1ГЛ. V
4. Энергетические соотношения. Остановимся на некоторых
следствиях, вытекающих из энергетической концепции и общих
для всех упруго-пластических сред.
Примем следующее выражение для скорости изменения
удельной внутренней энергии Uq:
ct. E.158)
Здесь с—удельная теплоемкость, е?.;— обратимая (упругая) со-
составляющая деформации. При этом локальное уравнение энер-
энергии E.29) примет вид
Величина рЕ в рассматриваемом случае всюду (кроме конца
трещины) равна нулю, поскольку учитываются только механи-
механические и тепловые процессы. Из
п уравнения E.159) получается обыч-
' ное уравнение теплопроводности
?. Т1 i • Р г* Т1 /С 1 С±Г\\
HI, ц -\- Oij&ij = el, (о. lbU)
если воспользоваться законом Фурье
q. = kTii. E.161)
Здесь k — коэффициент теплопро-
теплопроводности, &ptj — необратимая (пла-
(пластическая) составляющая деформа-
деформации. Второй член б уравнении теп-
теплопроводности представляет собой удельную мощность объем-
объемного теплового источника.
Вследствие инвариантности вектора потока Г (см. формулу
E.25)) величина
Рис- 97-
-(°il^ + ~f)n]]ds E.162)
не зависит от того, где проведен контур С, охватывающий ко-
конец трещины. В частности, можно взять контур С\, проходящий
б тонкой структуре (рис. 97). Действительно, вдоль берегов
разреза между Ci и С2 величина Г* будет равна нулю, так как
пх = 0, оу = хХу — 0 и в силу отсутствия тепловых источников
Ш = о.
Если взять, например, контур Ci в виде узкого прямоуголь-
прямоугольника, изображенного на рис. 72, то согласно E.122) имеем
= — 2 lim
в
E.163)
§ 5] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 279
Пусть материал сверхтонкой структуры несжимаем и обла-
обладает упрочнением, которое характеризуется в среднем касатель-
касательным модулем Цоо (см. формулу E.106) и рис. 91). Для про-
простоты будем считать, что величины ау и dv/dl в сверхтонкой
структуре в начале движения трещины такие же, как в соответ-
соответствующем нелинейно-упругом теле. Правая часть в уравнении
E.163) зависит только от коэффициента интенсивности напря-
напряжений сверхтонкой структуры k\ и модуля JW Поэтому, исходя
из соображений анализа размерностей, получаем зависимость
Г, = г^/Цоо. F.164)
Здесь у\ — численный коэффициент (в случае нелинейно-упру-
нелинейно-упругого тела, согласно E.55), г\ = 1/4).
В формуле E.164) пренебрегаем тепловыми напряжениями
и деформациями, возникающими вследствие локального разо-
разогрева. Последние могут иметь существенное значение (особен-
(особенно при локально адиабатических процессах), так как мощность
тепловых источников равна о?/ё^ и, тем самым, Т в конце тре-
трещины имеет порядок 1/л Заметим, что температурные напря-
напряжения будут сжимающими, и поэтому они будут снижать дей-
действие внешних растягивающих нагрузок, т. е. эффект тепловых
напряжений приводит к увеличению вязкости разрушения. Тем
не менее, для большинства металлов этим эффектом можно
пренебречь из-за хорошей теплопроводности и сравнительно ма-
малого теплового расширения. '
Кроме того, локальный разогрев приводит к уменьшению
величины \ioo, так что при этом вязкость разрушения также уве-
увеличивается. Этот эффект количественно более существен; его
легко учесть в формуле E.164), считая указанную постоянную
известной функцией температуры.
Деформируя контур С в контур С2, для величины Гж можно
получить выражение через коэффициент интенсивности тонкой
структуры. При этом в отличие от упругих тел в общем случае
нужно учитывать тепловые потоки q, и объемные силы с по-
потенциалом Н, возникающие от самоуравновешенных термиче-
термических напряжений.
Рассмотрим подробно два простейших предельных случая
локально адиабатического и изотермического процессов.
При локально адиабатическом процессе выделяемое тепло
консервируется в источниках и не распространяется, т. е.
q{ 4 = о, а вдоль контура С2 в тонкой структуре будет Н = 0
и dqj/dl = 0. При этом поле напряжений и деформаций вдоль
С%, очевидно, будет таким же, как и в упругом теле. Таким
280 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. V
образом, находим, ограничившись для простоты статическим
-случаем,
Г* = -Ц^ К\. E.165)
Согласно конценпции уо, в момент локального разрушения
(появления локального хрупкого надрыва в сверхтонкой струк-
структуре) величина Тх становится равной некоторой постоянной
материала 2^о- Отсюда на основании E.165) следует, что
величина эффективной поверхностной энергии у при локально
адиабатическом процессе равна постоянной у<ь вязкость раз-
разрушения Kic при этом связана с у0 следующим образом:
K?e = 4|iYo/(l-vJ (Y = Yo> E.166)
Кроме того, согласно E.164), в момент разрушения имеем
EЛ67)
Сравнивая E.164) и E.99), находим следующее соотноше-
соотношение между уо и yt:
E.168)
Yo 2т) ц
Эта зависимость (для упрочняющихся упруго-пластических
сред) согласуется с опытными данными и с соответствующей
оценкой E.157) для идеального упруго-пластического тела.
Напомним, что в основе вывода формулы E.168) лежит кон-
концепция kjc, подробно изложенная в начале этого параграфа для
растущих трещин.
В том случае, когда докритическим подрастанием трещины
можно пренебречь, концепция kjc особенно проста и наглядна.
Согласно этой концепции, насыщение сверхтонкой структуры
происходит, когда поток энергии Гж достигает величины 2у*
(с этого момента вблизи конца трещины начинается движение
дислокаций, появляется пластическая область, а диаграмма за-
зависимости некоторого среднего напряжения о в сверхтонкой
структуре от соответствующей средней деформации е стано-
становится нелинейной). В дальнейшем с ростом Гж величина kj не
изменяется, т. е. k\ = kic, величина dajde в сверхтонкой струк-
структуре уменьшается, а пластическая область растет, пока не до-
достигается предельное состояние тонкой структуры, характери-
характеризуемое величиной потока энергии Г* — 2уо- Последовательные
этапы этого процесса изображены на рис. 98; стрелка указы-
указывает направление процесса.
Зависимость E.168) показывает, что предельные состояния
тонкой и сверхтонкой.структур тесно связаны. При помощи диа-
$5)
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
281
граммы рис. 98 величины цх и уо легко увязать также с неко-
некоторой предельной деформацией сверхтонкой структуры е,», при
которой течение этой структуры становится невозможным и
возникает локальный хрупкий надрыв. Существенно при этом,
что любая конкретная физическая модель разрушения сверх-
сверхтонкой структуры, не учитывающая временные процессы, при-
приводит к концепции k\c. В этом смысле можно говорить об уни-
универсальности концепции kic. В частности, теория Мак-Клинтока
с
л * as
Рис. 98.
[95] и теория Уэллса*) [Э4] в рассматриваемом случае приводят
к концепции kic. Вследствие E.164) концепции уо в рассматри-
рассматриваемом процессе эквивалентна концепции k\c.
Локально адиабатический процесс реализуется, если мате-
материал обладает специальными свойствами (плохая теплопровод-
теплопроводность, большая теплоемкость), или же при весьма быстрых
процессах (ударное нагружение для случая неподвижной тре-
трещины, быстрое продвижение фронта'трещины).
Температурное лоле в пластической области при таком про-
процессе определяется из уравнения
cf —
E.169)
В упругой области температура не меняется.
В формуле E.167) следует учитывать зависимость ц^, от
локальной температуры сверхтонкой структуры. Так как с увели-
увеличением Т величина \ix уменьшается, то значения \0 и вязкости
Концепция С. О. D. (см. подстрочное примечание к стр. 209).
282 некоторые общие йооросы механики разрушения [гл. v
разрушения Kic возрастают. Величину ftIc можно считать не за-
зависящей от температуры, так как постоянные ц и yt, через ко-
которые она выражается, слабо зависят от температуры.
Рассмотрим теперь изотермический процесс, когда выделяе-
выделяемое тепло мгновенно распределяется по всему телу. Он реали-
реализуется в материалах с хорошей теплопроводностью и малой
теплоемкостью при медленных процессах. Условия начала раз-
разрушения в металлах в большинстве случаев близки к условиям
изотермического процесса.
При изотермическом процессе согласно E.159) имеем
17n'ds =T J iinids=T J Ji<'<dv =
Л* = -7" EЛ70)
J cTnxds=cT J nxds = 0, Q= J J a^dv, J Hnxds = O.
C2 C2 Dp C2
Здесь Dp — пластическая область, Q — мощность тепловыделе-
тепловыделения в пластической области.
Поле напряжений и деформаций в тонкой структуре будет
таким же, как для идеально-упругого тела (случай стационар-
стационарного движения трещин здесь не рассматривается, зависимостью
упругих постоянных от характера процесса пренебрегаем). По-
Поэтому, интегрируя E.162) вдоль С2 и используя E.170) и
E.92), находим
г* ^r^1—w EЛ71)
Таким образом, вязкость разрушения Ки и эффективная по-
поверхностная энергия у при изотермическом процессе связаны
с yo следующим образом:
$) =Yo+^- EЛ72)
Для определения величины dQ/dl можно использовать или
прямой эксперимент', или же решение нестационарной упруго-
пластической задачи о начале движения трещины; при этом
следует применять' уравнения теории пластичности в скоростях
деформаций.
В общем случае процессов, не являющихся ни изотермиче-
изотермическими, ни локально адиабатическими, формулы E.172) оста-
останутся по-прежнему справедливыми, если пренебречь интегра-
§ 6] ОДИН УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИИ АНАЛОГ ЗАДАЧИ ГРИФФИТСА 283
лами J Tnxds и \Hnxds,обозначить через Q,согласно E.159),
Ci С?
величину Q= Г J (<х^ё?;—cf) dv и учесть зависимость ц» от
температуры.
При этом вязкость разрушения, согласно E.167) и E.172),
будет равна
^e=sl T^Tlii. (Г) +~дГГ <5Л73)
Формула E.173) позволяет выявить два различных (и дей-
действующих в противоположные стороны) механизма влияния
скорости нагружения на вязкость
разрушения упруго-пластических
материалов.
С увеличением скорости нагру-
нагружения или скорости роста трещины
первое слагаемое в E.173) возрас-
возрастает, так как вследствие разогрева
уменьшается величина ц», а второе
слагаемое убывает вследствие
уменьшения теплоотвода из пласти- угк
ческой зоны. При очень больших
скоростях можно пренебречь вто- Рис 99.
рым слагаемым, а в весьма пластич-
пластичных телах при очень малых скоростях — первым. Поэтому зави-
зависимость вязкости разрушения от скорости приобретает харак-
характерный вид, изображенный на рис. 99. Различные участки этой
диаграммы могут иметь разное значение в зависимости от усло-
условий испытания и от материала.
,§ 6. Один упруго-пластический аналог задачи Гриффитса
Проиллюстрируем основные особенности роста трещин в
упруго-пластических телах на конкретной задаче.
1. Задача Дагдейла. Пусть тонкая пластина из идеального
упруго-пластического материала имеет прямолинейную сквоз-
сквозную щель длиной 21, находящуюся в однородном поле растя-
растягивающего напряжения ау = р (рис. 100). Начало декартовых
координат ху возьмем в середине щели, ось х направим вдоль
щели. Пусть берега щели свободны от нагрузок.
Дагдейл [54] предложил следующую гипотезу: пластические
области около концов щели представляют собой прямолинейные
ртрезки длины d, расположенные на продолжении щели.
284
Некоторые общие вопросы механики разрушения
1ГЛ. У
Проведенные Дагдейлом [54] эксперименты на пластинах из мало1
углеродистой стали с большой точностью подтвердили эту ги-
гипотезу. Примерная диаграмма а — е испытанной им мягкой
стали приведена на рис. 100 (нижний предел текучести равен
примерно 20 кГ/мм2). В опытах Дагдейла было показано также,
что краевая щель длины I и внутренняя щель длины 2/ (см.
рис. 100) имеют*), пластические отрезки одинаковой длины d.
'I I f
ч
1
V
I,.
7771
Hft
l+d y.
\\р
Рис. 100.
Пластические области реализуются в виде локальных шеек на
протяжении щели; скольжение в них происходит под углом 45°
к плоскости пластины.
Дальнейшие эксперименты на различных материалах (ста-
(сталях, алюминиевых и титановых сплавах, полимерах) показали,
что гипотеза Дагдейла выполняется достаточно хорошо лишь
для весьма мягких сталей; в других материалах наблюдаются
более или менее систематические отклонения. Тем не менее,
количественные расчеты, проводимые на основе гипотезы Даг-
Дагдейла, оказываются для тонких пластин в достаточно хорошем
согласии с опытными данными даже тогда, когда гипотеза
Дагдейла не выполняется. Этот факт объясняется на основе
точных теоретических расчетов тем, что пластическая область
вблизи конца сквозной трещины в тонкой пластине имеет
сплюснутую форму (см. § 5 гл.