А, А. Головков, И. J О. Пивоваров, И. Р. Кузнецов

Компьютерное
моделирование
и проектирование
радиоэлектронных
средств

Рекомендовано учебно-методическим объединением
вузлв РФ по образованию з области радиотехники,
электроники, биомедицинской техники и автоматизации
ДЛЯ ВУЗОВ

СТАНДАРТ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ

А. А. Головков, И. Ю. Пивоваров, И. Р. Кузнецов

Компьютерное
моделирование
и проектирование
радиоэлектронных
средств

Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов Российской
Федерации по образованию в области радиотехники, электроники,
биомедицинской техники и автоматизации в качестве.учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению 210400 «Радиотехника» и 2110ОО «Конструирование
и технология электронных средств».

ПИТЕР

Москва • Санкт-Петербург • Нижний Новгород • Воронеж
Ростов-на-Дону • Екатеринбург * Самара • Новосибирск
Киев • Харьков • Минск

2015
А Гэловков, И. Пивоваров, И. Кузнецов

Компьютерное моделирование и проектирование радиоэлектронных средств.

Учебник для вузов.
Стандарт третьего поколения

Серия «Учебник для вузов»

Рецензенты: д. т н., профессор Е. Г Лебедь ко,
к. т. н,, доцент В. В. Губер ее

Руководитель проекта
Ведущий редактор
Художник
Корректоры
Верстка

17. Щеголев
Ю. Сергиенко
С Замам веская,
М. Рошаль, В. Ганчурина
Л. Шантурова

ББК 32.841Я7 УДК 621.37(075)

ГоловковА., Пивоваров И., Кузнецов И.

Г61 Компьютерное моделирование и проектирование радиоэлектронных средств. Учебник
для вузов. Стандарт третьего поколения. — СПб/ Питер, 2015. — 208 с.: ил. — (Серия
«Учебник для вузов»).

ISBN 978-5-496-01238-6

В учебнике изложены основы моделирования и оптимизации аналоговых и цифровых радиоэлектронных
средств различного назначения. Большое внимание уделен о вопросам учета влияния разбр оса параметров ком-
понентов на характеристики радиоустройств, численным методам решения различных зэдэт, встречающимся
в САПР радиоаппаратуры. Помимо теоретического материала приводятся описания важнейших алгоритмов
моделирования и оптимизации, численных методов решения уравнений различных типов, аппроксимации
и интерполяции табличных данных и и п. Приводятся также контрольные вопросы для проверки глубины
усвоения материала и задачи для самостоятельного решения.

Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в обла-
сти радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 210400 «Радиотехника» и 211000 «Кон-
струирование и технология электронных средств».

ISBN 978-5-496-01238-6

© ООО Издательство «Питер», 2015

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без пись-
менного разрешения владельцев авторских прав.

ООО «Питер Пресс». 192102,Санкт-Петербург ул. .Андреевская (д. Волкова), д. 3, литер А, пом 7Н.

Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 034-2014.

5S.11.11.000 —Учебники печатные общеобразовательного назначения.

Подписано в печать 20.01.15. Формат 70х 100/16. Усп. п. л. 16,770. Тираж 500. Заказ
Оглавление

Предисловие..........................................................7

Глава 1. Математические модели радиоэлектронных объектов
проектиро вания......................................................8

1.1.	Общие сведения о математических моделях РЭС....................8

1.2.	Примеры моделей компонентов радиоэлектроники................13

1.3.	Электрические модели интегральных схем......................24

1,4.	Топологические основы автоматизированного формирования
уравнений математической модели РЭС..............................30

Вопросы и упражнения для самопроверки............................43

Глава 2. Математические модели РЭС во временной области.............44

2.1.	Табличный метод формирования уравнений математической
модели для электрической цепи....................................44

2.2.	Топологические методы формирования уравнений математической
модели по методу узловых потенциалов и контурных токов............46

2.3.	Моделирование РЭС методом переменных состояния..............53

2.4.	Моделирование статического режима РЭС.......................59

2.5.	Моделирование переходных процессов в РЭС....................60

Вопросы и. упражнения для самопроверки...........................63

Глава 3. Математическое моделирование цифровых устройств............65

3.1.	Описание языков моделирования и элементов цифровых устройств
в моделях логического уровня.....................................66

3.2.	Синхронное моделирование цифровых устройств двоичным алфавитом.69

3.3.	Асинхронное двоичное моделирование цифровых устройств.......75

3.4.	Моделирование цифровых устройств многозначными алфавитами......82

3.5.	Моделирование ЦУ с помощью высокоуровневых языков описания
аппаратуры.......................................................86

3.6.	Моделирование неисправностей в цифровых устройствах и синтез
диагностических тестов...........................................90

Вопросы и упражнения для самопроверки............................94

Глава 4. Математические модели РЭС в частотной области...............%

4.1.	Методы моделирования РЭС в частотной области................96

4.2.	Применение матриц классической и волновой теории
для моделирования РЭ С...........................................98

4.3.	Формирование системы уравнений математической модели РЭС
с использованием матриц классической теории.....................107

4.4.	Формирование системы уравнений математической модели РЭС
с использованием матриц рассеяния...............................112

4.5.	Особенности моделирования нелинейных РЭС в частотной области.115

Вопросы и упражнения для самопроверки...........................120
Глава 5. Учет влияния разброса параметров элементов
на характеристики РЭС...............................................122

5.1.	Формулировка задач учета влияния разброса параметров.......122

5.2.	Метод коэффициентов чувствительности........................124

5.3.	Статистические методы учета разброса параметров............127

5.4.	Статистический синтез компонентов РЭС......................130

5.5.	Алгоритмы генерации случайных чисел с заданным
законом распределения...........................................136

Вопросы и упражнения для. самопроверки..........................138

Глава 6. Численные методы в задачах САПР............................139

6.1.	Методы решения систем линейных алгебраических уравнений....139

6.2.	Методы решения систем нелинейных уравнений.................147

6.3.	Методы решения систем дифференциальных уравнений...........151

6.4.	Аппроксимация и интерполяция табличных данных...............158

6.5.	Методы численного дифференцирования........................169

6.6.	Методы численного интегрирования...........................174

Вопросы и упражнения для самопроверки...........................178

Глава 7• Оптимальное проектирование РЭС на основе решения
задачи нелинейного программирования.................................179

7.1.	Приведение.задачи проектирования РЭС к задаче
нелинейного программирования....................................179

7.2.	Методы одномерного поиска оптимального решения.............183

7.3.	Градиентные методы оптимизации решения.....................189

7.4.	Статистические методы оптимизации..........................197

7.5.	Генетические алгоритмы оптимизации.........................200

7.6.	Эвристические алгоритмы оптимизации........................204

Вопросы и упражнения для. самопроверки..........................207

Список литературы...............................................208
Предисловие

Материал настоящего учебника базируется на курсах лекций по дисциплинам «Осно-
вы компьютерного проектирования РЭ С», «Основы компьютерного проектирования,
и моделирования телекоммуникационных систем» и «Основы компьютерного про-
ектирования и моделирования электронных средств», которые В течение многих лет
авторы читают студентам факультета радиотехники и телекоммуникаций Санкт-Пе-
тербургского электротехнического университета «ЛЭТИ», обучающимся по програм-
мам подготовки бакалавров техники и технологии по направлениям «Радиотехника»,
«Инфокоммуникационные технологии и системы связи» и. «Конструирование и тех-
нология электронных средств».

Содержание учебника полностью соответствует требованиям. Федеральных госу-
дарственных образовательных стандартов третьего поколения, что нашло отражение
в программах дисциплин, входящих в основные образовательные программы под-
готовки бакалавров по направлениям «Радиотехника», «Инфокоммуникационные
технологии и системы связи», «Конструирование и технология электронных средств»
и инженеров по специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы». Учебник
может быть полезен также студентам бакалавриата, обучающимся в рамках родствен-
ных направлений или специальностей.

Материал, включенный в учебник, является базовым для подготовки специали-
стов — пользователей САПР радиоэлектронных средств. Успешное изучение материала
предполагает глубокое знание таких дисциплин, как математика, основы электроники,
физика, основы теории электрических цепей. Материал учебника служит необходи-
мым фундаментом для выполнения курсовых проектов по. специальным дисциплинам
и выпускных квалификационных работ для бакалавров и магистров.

Контрольные вопросы и задачи, помещенные в конце глав, позволяют проверить
глубину понимания материала студентами и улучшить его усвоение.

Авторы признательны рецензентам учебника д-ру техн, наук профессору Е. Г. Ле-
бедько и канд. техн, наук доценту В. Б. Губареву за полезные критические замечания,
и советы.

Вопросы, замечания и предложения можно направлять в издательство либо непо-
средственно авторам ПО адресу:algolll0843@yandex.ru.

Учебник подготовлен в рамках государственной программы «Проведение науч-
но-исследовательских работ» (задание № 2014/187, код проекта 1031) базовой части
государственного задания Минобрнауки Российской Федерации.
Глава 1

Математические модели
радиоэлектронных объектов
проектирования

1.1.	Обшие сведения о математических моделях РЭС

Проектирование радиоэлектронных средств (РЭС) с применением компьютера требует
описания этого объекта на языке математики в виде, удобном для его алгоритмической
реализации.

Математическое описание проектируемого объекта называют математической
моделью. Математическая модель — это совокупность математических элементов
(чисел, переменных, векторов, множеств и т. п.) и отношений между ними, которые
с требуемой для проектирования точностью описывают свойства проектируемого, объ-
екта. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание
проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностя-
ми анализа на компьютере, что приводит к необходимости иметь для одного объекта
несколько моделей различного уровня сложности.

В общей теории математического моделирования математическую модель любого
объекта характеризуют внутренними, внешними, выходными параметрам и фазовым
переменными.

Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов,
входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной
схемы. Если проектируемый объект содержит п элементарных компонентов, то и его
математическая модель будет определяться параметрами которые образуют
вектор внутренних параметров W = |	| т. Каждый из параметров ге;-, в свою

очередь, может быть функцией, вектором или еще более сложным математическим
функционалом в зависимости от объекта проектирования.

Выходные параметры модели — это показатели, характеризующие функциональ-
ные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие
характеристики проектируемого объекта. К Таким показателям могут относиться
коэффициенты передачи, масса и габариты, надежность, стоимость проектируемого
объекта и т. п. Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моде-
лировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними
и наоборот. Например, сопротивление резистора — внутренний параметр при моде-
лировании усилительного устройства, компонентом которого он является, но это же
сопротивление будет выходным параметром при моделировании самого резистора,
что требуется при пленочном его исполнении. Вектор выходных параметров модели
будем обозначать F = | Д...Д | т.

Внешние параметры модели — это характеристики внешней по отношению к проек-
тируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних
параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих,
к которым с полным правом можно отнести все, что говорилось ранее о. составляющих
вектора внутренних параметров. Будем обозначать его Q= |	| т-

Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические ха-
рактеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта,
но не являются выходными или внутренними параметрами модели (например, токи
и напряжения в радиоэлектронных устройствах, внутренними параметрами которых
являются номиналы элементов электрических схем, а выходными параметрами —
выходная мощность, коэффициент передачи и т. п.). Такие характеристики называют
фазовыми переменными. Минимальный по размерности вектор фазовых переменных
V = |	1Tj полностью характеризующий работу объекта проектирования, называют

базисным вектором. Например, при составлении уравнений математической модели
радиоэлектронных устройств в качестве базисного вектора V можно использовать
вектор узловых потенциалов либо вектор напряжений на конденсаторах и токов
в индуктивностях — переменные состояния. Использование вектора фазовых пере-
менных позволяет упростить алгоритмическую реализацию программ, составляющих
уравнения математической модели устройства.

В общем случае выходные параметры F представляются операторам от векторов V,
W, О и могут быть определены из решения системы уравнений математической модели
устройства. С учетом сказанного математическая модель любого радиотехнического
объекта может быть представлена в виде следующих систем уравнений:

®(V,W,Q) = 0;

F=y(V),

(1-1)

(1-2)

где ф и у - операторы, определяющие вид систем уравнений модели.

Система уравнений (1.1) может представлять собой систему линейных алгебраи-
ческих уравнений, нелинейных уравнений различного вида, дифференциальных
в полных или частных производных и представляет собой собственно математическую
модель проектируемого объекта. В результате решения системы (1.1) определяются
действующие в устройстве фазовые переменные V. Система уравнений (1.2) определяет
зависимость выходных параметров объекта от фазовых переменных V.

В частных случаях составляющие вектора V могут являться внутренними или
выходными параметрами объекта, и тогда системы уравнений (1.1), (1.2) упрощаются.

Отметим, что часто моделированием называют лишь составление системы (1.1).
Решение уравнений (1.1) и нахождение вектора F с помощью уравнения (1.2) называют
анализом математической модели.

На каждом уровне моделирования различают математические модели проектиру-
емого радиотехнического объекта и компонентов, из которых он состоит. Математи-
ческие модели компонентов представляют собой системы уравнений, устанавливаю-
щих связь между фазовыми переменными, внутренними и внешними параметрами,
относящимся к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными,
а соответствующую им модель — компонентной.

Математическую модель объекта проектирования, представляющего собой объ-
единение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов,
входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель
объекта осуществляется на основе фундаментальных физических законов, выражаю-
щих условия непрерывности и равновесия фазовых переменных, например законов
Кирхгофа. Уравнения, описывающие эти законы, называют топологическими, они
отражают связи между компонентами в устройстве. Совокупность компонентных
и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему (1.1),
являющуюся математической моделью объекта.

С точки зрения задач конкретного этапа проектирования математическая модель
проектируемого объекта должна отвечать самым различным требованиям: отражать
с требуемой точностью зависимость выходных параметров объекта от его внутренних
и внешних параметров в широком диапазоне их изменения; иметь однозначное соот-
ветствие физическим процессам в объекте; включать необходимые аппроксимации
и упрощения, которые позволяют реализовать ее программно на компьютере с раз-
личными возможностями; иметь большую универеальность, то есть быть применимой
к моделированию многочисленной группы однотипных устройств; быть экономичной
с точки Зрения затрат машинных ресурсов и т. п. Эти требования в большинстве своем
противоречивы, и удачное компромиссное их удовлетворение в одних задачах может
оказаться далеким от оптимальности в других. По этой причине для одного и того же
компонента или устройства часто приходится иметь не одну, а несколько моделей.
В связи с этим классификация моделей должна выполняться по множеству признаков,
чтобы описать все возможные случаи.

По уровню сложности различают полные модели и макромодели. Полные модели
объекта проектирования получаются непосредственным объединением компонентных
моделей в общую систему уравнений. Макромодели представляютсобой упрощенные
математические модели, аппроксимирующие полные.

В свою очередь, макромодели делят на две группы: факторные и фазовые модели.
Факторные модели предназначены для использования на следующих этапах проек-
тирования в качестве компонентных моделей. Их выходными параметрами являются
фазовые переменные полных математических моделей для следующего этапа проек-
тирования. Фазовые макромодели предназначены для использования на том же этапе
проектирования, на котором их получают, для сокращения размерности решаемой
задачи.

По способу получения математические модели радиотехнических объектов делят
на физические и формальные. Физические модели получают на основе изучения
физических закономерностей функционирования проектируемого объекта, так что
структура уравнений и параметры модели имеют ясное физическое толкование.
Формальные модели получают на основе измерения и установления связи между
основными параметрами объекта в тех случаях, когда.физика работы его известна
недостаточно полно. Как правило, формальные модели требуют большого числа
измерений и по своей природе являются локальными, справедливыми вблизи тех
режимов, в которых производились измерения. В литературе такие модели иногда
называют моделями «черного ящика».
В современных системах автоматизированного проектирования формирование
системы уравнений математической модели проектируемого объекта выполняется
автоматически с помощью компьютера. В зависимости от того, что положено в основу
алгоритма формирования системы уравнений, модели радиотехнических объектов
можно разделить на электрические, фиэико-т апологические и технологические.

Понятие электрической модели включает либо систему уравнений, связывающих
напряжения и токи в электрической схеме, являющейся моделью объекта, либо саму
электрическую схему, составленную из базовых элементов (резисторов, конденсаторов
и т. п.), на основе которой можно в компьютере получить систему уравнений, связы-
вающих напряжения и токи в модели объекта.

В физико-топологических моделях исходными параметрами являются геометриче-
ские размеры определяющих областей проектируемого объекта и электрофизические
характеристики материала, из которых они состоят. В результате решения системы
уравнений этой модели находятся поля внутри и на внешних выводах устройства.
Такие модели применяются при разработке полупроводниковых приборов, СВЧ-
устройств и в ряде других случаев.

Технологические модели основываются, на параметрах технологических процессов
изготовления проектируемого объекта (температураи время диффузии, концентрация
диффузанта и т. п.). Выходные параметры такой модели — совокупность физико-то-
пологических либо технологических параметров.

По. способу задания внутренних и внешних параметров математические модели
делят на дискретные и непрерывные.

Различают модели статические и динамические в зависимости оттого, учитывают
ли уравнения модели инерционность процессов в проектируемом объекте или нет.
Статические модели отражают состояние объекта проектирования при неизменных
внешних параметрах и не учитывают его переходные характеристики. Динамические
модели дополнительно отражают переходные процессы в объекте, протекающие при
изменении во времени внешних параметров.

Существуют и другие варианты классификации математических моделей элементов
и узлов радиоустройств.

При проектировании радиотехнических объектов наиболее широкое распростране-
ние получили электрические модели. Поэтому в настоящей книге основное внимание
будет уделено именно этому виду моделей проектируемых объектов.

Программа моделирования радиотехнических и других объектов должна автома-
тически формировать систему уравнений математической модели из базового набора
элементарных схемных элементов, компонентные уравнения для которых хранятся
в библиотеке программы. Для синтеза адекватных реальному объекту моделей боль-
шинства радиотехнических устройств базовый набор должен содержать ряд идеальных
двухполюсных схемных элементов (табл. 1.1). В таблице приведены и компонентные
уравнения для каждого из элементов базового набора.

Компонентные уравнения могут связывать мгновенные значения напряжений и то-
ков, действующих на базовом элементе, либо их комплексные амплитуды. В первом
случае говорят о моделировании во временной области, во втором — вчастотной. Чем
больший набор базовых компонентов позволяет использовать система автоматизиро-
ванного проектирования (САПР), тем она более многофункциональна.
Таблица 1.1

Базовые элементы	Компонентные уравнения	
	во временной форме	в частотной форме
Резистор:		
— линейный;	u(t) = Ri(t)	z/(co) = R/(co)
— управляемый током;	u(t) = 7?[z(O]z(O	zz(co) = /?[z(co)]z(co)
— управляемый напряжением:	i(t) = G [w(Z)] «(0	if®) = G [z/(co)] zz(co)
Конденсатор:		
— линейный;	i(t) = C^- dt	z(co) = jcoCzz(co)
— управляемый током;	u(t) - f	1 dt	/ x	*((»)  «(®)=	.	„Г.,	.-J  jcoC[z(co)J
— у пр а в ля ем ы й нап ряж е н ием	k ) ~	(It	z(co) = JG>C[zz((jp)]z/(<0)
И ндуктивность:		
— линейная;		zz(co) = j(aLi((a)
— у пр авляем ая током;	ф[/(0]/(0]  {’	dt	u(o)) = ja>L	z(®)
— управляемая потоком	dt	w(a>) = уа)Ф(а))
И сточнйк напряжения:		
— независимый;	u(t) = E(t)	zz(co) - Е(ы)
— управляемый током		u((0) = E [iaZ1 (co)]
— управляемый напряжением иа^	u(t) = E [ufrf,(0]	u(co) = E[weA(®)]
Источник тока:		
— независимый;	i(0 = 2(0	/(co) = /(co)
Базовые элементы	Компонентные уравнения	
	во временной форме	в частотной форме
— управляемый током iaj};		'(“) = I [й(со)]
— управляем ы й пап ряжен ием иа^	г’(0 = /[«я4(0]	?(<») = I [«„*(<»)]

В табл. 1.1 отсутствуют распределенные и излучающие элементы, ряд специальных
элементов теории цепей (трансформаторы, преобразователи импедансов и т. д.) будут
описаны в последующих главах по мере необходимости.

Рассмотрим теперь примеры электрических моделей различных функциональных
компонентов, из которых состоят радиотехнические устройства.

1.2.	Примеры моделей компонентов радиоэлектроники

При разработке электрических моделей функциональных компонентов радиоэлек-
троники (после подробного изучения физических основ их функционирования)
стремятся отразить основные зависимости, наиболее сильно влияющие на работу са-
мого компонента и связанных с ним других компонентов. Характерной особенностью
радиоэлектронных компонентов является зависимость их основных характеристик от
конструктивного исполнения. Эта зависимость естественным образом должна учиты-
ваться и в электрической модели. Так, если компонент выполнен дискретным, то его
Электрическая модель должна учитывать влияние корпуса и выводов. Если компонент
является составной частью интегральной схемы, то модель должна учитывать, каким
образом изготовлена эта схема. При гибридно-интегральной технологии необходимо
учитывать влияние подложки и физические свойства материалов, из которых выпол-
нены отдельные элементы схемы. В монолитной моно кристальной микросхеме модели
компонентов должны отражать способы изоляции их друг от друга, электрофизические
свойства подложки, технологический процесс изготовления элементов. В связи с этим
современные САПР содержат по нескольку электрических моделей компонентов,
выполняющих в устройствах одну и ту же функцию.

Рассмотрим примеры электрических моделей простейших компонентов радио-
электроники при различном их конструктивном выполнении.

Модель пленочного резистора. Пленочные резисторы обычно представляютсобой
узкие полоски высокоомной резистивной пленки (нанесенной на диэлектрическую
подложку), снабженные низкоомными контактными площадками (рис. 1.1, я).

Рис. 1.1. Пленочный резистор: а — вид; б — электрическая модель
Сопротивление такого резистора рассчитывается по формуле R = 7?0//со, где _R0 —
поверхностное сопротивление резистивного слоя; /ио — длина и ширина резистив-
ной полоски. Высокоомные резисторы, выполняются в виде змеек с прямоугольными
или закругленными изгибами, и их сопротивление рассчитывается по аналогичным
формулам, но с поправочными коэффициентами, зависящими от конкретной топо-
логии резистора.. В электрической модели обычно учитывают наличие паразитных
шунтирующих емкостей между выводами резистора С= z&d/l и на корпус = z&l/d,
где е — диэлектрическая проницаемость подложки, a d — ее толщина. Таким образом,
глобальная модель пленочного резистора, справедливая в широком диапазоне рабочих
частот, примет вид, показанный на рис. 1.1, б. Локальная модель, предназначенная,
например, для цепей постоянного тока, будет содержать только один резистор R.

Модель диффузного резистора. Диффузные резисторы представляют собой ре-
зистивные полупроводниковые слои, созданные в кристалле в результате локальной
диффузии и изолированные от остального объема кристалла р-п-переходом. Выводы
резистора создаются металлизацией на поверхности структурных областей. Наиболее
распространенная структура диффузного резистора, сочетающая высокое сопротив-
ление с хорошей температурной стабильностью, показана на рис. 1.2, а.

Рис. 1.2. Диффузный резистор: а — структура; б", в — электрические модели

При построении электрической модели диффузного резистора необходимо учиты-
вать, что обратносмещенный р-п-переход обладает током утечки и распределенной
емкостью вдоль его длины. Глобальная модель будет представлять собой распреде-
ленную цепь (рис. 1.2, б), описываемую уравнением в частных производных

д2и

dz2

“rl

Zi(z/)

где z — координата вдоль слоя диффузного резистора с граничными условиями u(zi}
t) =	u(z2, 0 = ^г(0’ гДе ?i’ Q? h ~ Удельные на единицу длины сопротивление,

емкость и ток утечки диффузного резистора; ?1} z2 — координаты выводов резистора;
zz1? z/.9 — напряжения на выводах относительно подложки.

Если пренебречь током подложки, то локальная модель такого резистора может
быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.2, в.

Модель пленочного конденсатора. Пленочные конденсаторы формируются, по-
следовательным нанесением на диэлектрическую подложку металлической, диэлек-
трической и еще одной металлической пленок (рис. 1.3, й). Удельное поверхностное
сопротивление металлических пленок довольно велико (0,1—3,0 Ом/мм2), и потери
в них становятся заметными уже на частотах порядка единиц мегагерц. На высоких
частотах существенную добавку вносят релаксационные потери R, связанные с по-
ляризацией диэлектрика. В глобальной электрической модели такого конденсатора
помимо полезной емкости С учитывают и паразитные эффекты, обусловленные по-
терями в металлических электродах г и диэлектрике R.

а

Рис. 1.3. Плен очный конденсатор: а — структура; б — электрическая модель

На рис. 1.3, б представлена глобальная электрическая модель пленочного кон-
денсатора. Величины R и L определяют экспериментально, а значения С и г можно
найти по формулам С = zS/d, где 5 — площадь перекрытия обкладок, d — толщина
диэлектрической пленки, и r= 2RQl&, где _R0 — поверхностное сопротивление пленок
металлизации, I, о — длина и ширина обкладок. Для создания малогабаритных конден-
саторов с большой емкостью могут применяться многослойные структуры, состоящие
из нескольких последовательно наносимых диэлектрических и металлических слоев,
и тогда в модели приходится учитывать распределенный характер конденсатора.

Локальная, модель пленочного конденсатора представляется обычно просто кон-
денсатором с соответствующей емкостью.

Модель диффузного конденсатора. Диффузные конденсаторы представляют собой
барьерную емкость р-п-перехода, в котором диэлектриком является обедненный носи-
телями слой. Такой конденсатор может быть реализован на различных типах переходов,
например когда одной из обкладок является базовая область p-типа, а второй — область
п-типа (рис. 1.4, а). В электрической модели диффузионного конденсатора кроме пара-
зитных элементов следует учесть нелинейность ёмкости р-м-перехода, зависящей от
приложенного напряжения: C(«) = C0/(1-«/yt)y, где Со — емкость перехода при и = 0;
у = 0,3...0,5 — коэффициент, зависящий от характера распределения примесей в зоне
перехода. Глобальная электрическая модель такого конденсатора для случая изоляции
структуры диэлектрическим слоем приведена на рис. 1.4, б. Здесь R — нелинейное
сопротивление р-п-перехода, г — объемное сопротивление ?Л-об ласти, Сп — емкость
яФ-области — подложки.

а

Рис. 1.4. Диффузный конденсатор:а — структура; б — электрическая модель
Модель дискретной индуктивности. Миниатюрные дискретные индуктивности
представляют собой проволочные катушки, намотанные на миниатюрный керамиче-
ский обычно прямоугольный корпус, снабженные низкоомными контактными пло-
щадками (рис. 1.5, а). Электрическая модель такой индуктивности должна учитывать
межэлектродную емкость С, появляющуюся за счет керамического корпуса и меж-
витковых емкостей и приводящую к появлению параллельного резонанса, ограничи-
вающего рабочий диапазон частот, сопротивление потерь проводника R, приводящее
к сравнительно невысоким значениям добротности катушек, особенно на сверхвысоких
частотах, порядка 50... 100, а также монтажные ёмкости на корпус СА11 и См2. Глобальная
электрическая модель такой катушки индуктивности L показана на рис. 1.5, б.

Локальная модель миниатюрных катушек индуктивности обычно представляется
в виде индуктивности соответствующей величины с конечным значением ее доброт-
ности.

Рис. 1.5. Миниатюрная катушка индуктивности: а — структура; б — электрическая модель

Модель полупроводникового диода. Основой полупроводникового диода яв-
ляется р-77-переход на границе двух слоев полупроводникового материала с раз-
личными типами проводимости. В качестве модели полупроводникового диода
в современных САПР чаще всего используется зарядовая модель р-гс-перехода
Гуммеля — Пуна, учитывающая три механизма токопереноса в полупроводниках:
диффузионного тока Ц, генерационно-рекомбинационного тока и тока пробоя 1^,
дополненная Сд — суммой барьерной и дифф уз ионной, емкостей перехода и г —
объемным сопротивлением, зависящим от геометрических размеров и степени
легирования полупроводника.

Схема модели диода с р-п-переходом приведена на рис. 1.6, а. Здесь вольт-амперная
характеристика диода Г моделируется нелинейным управляемым источником:

4=Jd+Jg+Jb-

А1=л/»(ехр(“<|/лг<₽т)-1);

-|М/2 г

^g ^Sg

1- — +0,0001
U,
> /



ехр

«d

ехр

-»d+Mb
jVbq>r

-1 ;


где 1& — ток насыщения перехода, обусловленный тепловой генерацией неосновных
носителей в слоях полуп.роводника; qT=kT/e, е — заряд электрона; zzj — напряжение на
диоде, и, — контактная разность потенциалов перехода, 1Н — ток начального участка
лавинного пробоя при напряжении пробоя A, N, JVj, — эмпирические коэффици-
енты, зависящие от структуры диода; Т — абсолютная температура.

Емкость диода Сд включает в себя две составляющие: барьерную емкость Q и диф-
фузионную емкость

Z уМ

г — г |

1>_	и

k /

аиА

где Cj0 — барьерная емкость при нулевом напряжении на переходе; тп — время пролета
носителей через толщу перехода.

Рис. 1.6. Электрические модели полупроводникового диода: а — модель Гуммеля — Пупа;
о — вольт-амперные характеристики диода и его модели: в — глобальная модель дискретного
диода; г — варианты выполнения интегрального диода

Данная модель хорошо аппроксимирует вольт-амперную характеристику диода
(рис. 1.6, б). В электрической модели дискретного диода необходимо учесть наличие
индуктивностей выводов и L2 емкости корпуса Ск и подложки Сп (рис. 1.6, в).

Температурная зависимость тока диода определяется в основном температурной
зависимостью концентрации неосновных носителей и ширины запрещенной зоны.
В связи с этим ток насыщения и ширина запрещенной зоны Е^(Т) в модели диода
Гуммеля — Пуна представляются выражениями

7 - 7 (lT/N	р 1Т\-Р аТ‘2

s s(l[rJ ехр N<wrT0 '	) 8” Р + 7”
где Is0 — ток насыщения при нормальной темпе ратуре Го; Т — темпера туфа; TI — по-
правочный коэффициент, зависящий от структуры диода; — ширина запрещенной
зоны при нормальной температуре; аир — коэффициенты, зависящие от материала
диода (для кремния а ~ 7  1(Н эВ/K, р ~ 1108 К, £g0 =1,16 эВ).

Интегральный диод обычно представляет собой полную структуру биполярного
транзистора, изолированную от подложки и используемую в диодном включении.
Возможные варианты такого включения показаны на рис. 1.6, г, при этом рабочим
является лишь один из переходов, второй переход либо не используется вовсе, либо
подключается параллельно первому.

Модель биполярного транзистора. К настоящему времени известно много элек-
трических моделей биполярных транзисторов. В САПР радиоэлектронных средств
наиболее часто используется обобщенная модель управления зарядом Гуммеля —
Пуна. Многие элементы, этой модели, например емкости коллекторного и эмиттерного
переходов С1зс, Сс|с, Cj^, Cj-e, моделируются точно так же, как это было рассмотрено
ранее для диодов с р-^-переходом. Основным ее отличием от других моделей служит
отслеживание заряда в базе транзистора в соответствии с режимом его работы. Элек-
трическая схема модели Гуммеля — Пуна для биполярного транзистора представлена
на рис. 1.7, а.

Токи нелинейных источников описываются выражениями

ехр

Че

Pr L

где

K\R >

KF

^KR

exp



зависимость заряда в базе транзистора при высоких уровнях инжекции, и^с, мЬе — напря-
жения «база — коллектор», «база — эмиттер» транзистора; VAF, VAR — прямое и обратное
напряжения Эрли; — сквозной ток насыщения транзистора, jVf, jVr — коэффициенты
неидеальности для диффузионных токов транзистора в прямом и обратном включе-
ниях, IKF, ZKR — прямой и инверсный токи перехода к высокому уровню инжекции;
PF, P.r — нормальный и инверсный коэффициенты передачи тока транзистора в схеме
с общим эми ттером.
Рис. 1.7. Электрические модели биполярного транзистора: а — модель Гуммеля — Пуна,
б — глобальная модель дискретного транзистора; в — интегральный транзистор,
г — модель интегрального транзистора

Модель
Гуммеля —
Пупа

Генерационно-рекомбинационные составляющие токов коллекторного и эмиттер-
ного переходов определяются выражениями

ехр

ЛеФт,

ехр

^Ьс



-1,

где!^, 1йс — генерационно-рекомбинационные токи насыщения для эмиттерного и кол-
лекторного переходов транзистора.

В дополнение к представленным характеристикам модель Гуммеля — Пуна учи-
тывает также шумовые характеристики, температурные зависимости и влияние рас-
пределенного сопротивления базы.

Биполярные интегральные транзисторы обычно выполняют по планарно-эпи-
таксиальной технологии. Если изоляция транзисторов в микросхеме друг от друга
и от подложки осуществляется с помощью диэлектрической изоляции, то структуры
транзисторов формируются в специальных «карманах» — однолегированных областях,
предварительно изолированных от поли кристаллической подложки слоем диэлектрика
(обычно оксидом кремния) (рис. 1.7, в). Электрическая модель такого транзистора
должна учитывать возникновение R- С-структуры, образованной распределенным
по длине коллекторной области объемным сопротивлением изолирующего слоя и ем-
костью «коллектор — подложка». Влияние изолирующего слоя, может быть учтено
подключением к коллекторному выводу параллельного соединения, конденсатора Сп
и резистора 7?п (рис. 1.7, г).
Физико-топологическая модель биполярного транзистора. Рассмотрим теперь
для примера построение физико-топологической модели биполярного транзистора
в диффузионно-дрейфовом приближении. Это приближение основано на локальной
и феноменологической зависимости плотности тока в полупроводнике от градиента
потенциала электрического поля и концентрации носителей заряда, причем коэффи-
циенты пропорциональности содержат в качестве множителя подвижность носителей
заряда. В предположении невырожденного полупроводника и малости электрического
поля плотность тока в полупроводнике складывается из плотностей тока проводимости
(дрейфовой составляющей) и диффузии. Выражения для плотностей электронного
и дырочного токов имеют такой вид:

j„ = е; jp = е{рррЕ - DpVp);

cln 1_.	„ dp

dt e	dt

= —V;

e jp ’

где & — заряд электрона; рл, pp — подвижность электронов и. дырок соответственно;
п, р — концентрация электронов и дырок в материале полупроводника; Е — на-
пряженность электрического поля; Dp — коэффициенты диффузии носителей;
V — оператор Гамильтона; Rf} = (и - ия)/тн, R =(р - Рр)/хр — скорости рекомбинации
носителей; п/}, р — равновесные концентрации носителей; тя, тр — время жизни элек-
тронов и дырок.

Для упрощения задачи рассмотрим одномерную модель транзистора, которую
разделим на ряд характерных областей (рис. 1.8). Каждую из областей будем рас-
сматривать по отдельности. В базовой области можно считать, что электронный ток
отсутствует и для базового тока можно.записать:

jp=epppE-eDp^ = 0,

откуда для напряженности электрического поля в базе транзистора несложно получить:

„ DP 1 dp 1

Е = —-----— = у-г--------—

ц р dx 7 У dx
р	р

где N — избыточная концентрация дырок в области базы; yr = Dp/p. — контактная
разность потенциалов.

Рис. 1.8. Физико-топологическая модель биполярного транзистора
С учетом последнего выражения исходная система уравнений диффузионно-дрей-
фового приближения упрощается, и базовая область транзистора будет описываться
краевой задачей относительно распределения концентрации носителей п(х, £) из
системы уравнений

dn(x,t) _ 1 djn

dt е dx

п “ Пп	dn

~A jn=ehnE + eD„^
тя	dx

при следующих граничных условиях у эмиттерной и коллекторной границ базовой
области:



п
р

«„(О;

тде n3(t), /?K(t) — полная концентрация электронов в эмиттере и коллекторе; п,р —
равновесная концентрация носителей в базе; тн — время жизни электронов в базе;
уг — контактная разность потенциалов; и & ик6 — напряжения «эмиттер — база»
и «коллектор — база».

На практике удобнее иметь систему уравнений относительно избыточной концен-
трации электронов: ЛГ(х, £) = ?7(х, t) - ир(х).

Граничные условия для N(x, t) имеют вид

= п!>

^-,(0

\ = «р(хкб)ехР

Сформулируем теперь краевую задачу для эмиттерной области транзистора в пред-
положении прямого смещения на входном р-п-переходе. Считая, что в /7-области
электронный ток отсутствует, запишем систему уравнений:

jA =

е dx

р(хЛ)-рЛх) .

т 5 Л»
р

dN

= -е|1

1	{ dx

dp(x, t)
dx



Граничные условия для данной системы характеризуют концентрацию дырок
в эмиттере на границе перехода «база — эмиттер»

р(Х1б) = Рр ('Гэб)ехР

и плотность тока, обусловленного поверхностной рекомбинацией:

jps е$рРэ№)'
Совместное решение краевых задач, для областей базы и эмиттера позволяет пол-
ностью описать работу транзистора.

Как видно из приведенных ранее соотношений, даже упрощенная физико-тополо-
гическая модель транзистора требует решения краевых задач, что затрудняет исполь-
зование подобных моделей при моделировании радиоэлектронных устройств, многие
из которых содержат большое количество (до нескольких тысяч) полупроводниковых
приборов.

Поэтому такие модели в основном используются при разработке самих радиоэлек-
тронных компонентов.

Модель полевого транзистора. Полевые транзисторы имеют разнообразные
конструкции и изготавливаются по различным технологиям. Наиболее сложным
при построении модели является учет новых физических эффектов, появляющихся
при уменьшении длины канала. Так, первые модели (модель уровня Levell) были
справедливы только для транзисторов с длиной канала более 5 мкм, модели уровня
Level! — 2 мкм и т. д. Последние модели довольно хорошо моделируют транзисторы
с длиной канала менее 100 нм (модель уровня В57М4). Формирование множества
моделей таких транзисторов, настроенных под определенные конструкции и техно-
логии полевого транзистора, весьма затруднительно, поэтому в последнее время в па-
кетах проектирования используют одну и ту же компактную электрическую модель,
которая может быть настроена на любую конструкцию и любой процесс измерения
ее параметров, доступных пользователю. Физико-топологические модели, как и для
биполярных транзисторов, синтезируют; анализируя различные области полупровод-
никовой структуры с целью обоснования упрощающих допущений, которые позво-
лили бы получить аналитическое или численное решение уравнений непрерывности,
переноса и Пуассона.

Рассмотрим такую компактную электрическую модель полевого транзистора,
предложенную И. Ангеловым. Полевой транзистор, в отличие отбиполярного, обычно
является четырехполюсным прибором. Кроме трех основных выводов — истока., сто-
ка и затвора, — он имеет и четвертый — подложку. К примеру, на рис. 1.9, а показана
структура МДП-транзистора, а на рис. 1.9, б — компактная электрическая модель
полевого транзистора.

Здесь элементы Ссы и 7?си учитывают инерционные свойства носителей в канале,
представляя собой сосредоточенный эквивалент распределе иной емкости и сопротив-
ления канала, межэлектродные емкости Сзи и Сзсобусловлены перекрытием областей
стока и истока областью затвора, гзи. и гзс — сопротивления, обусловленные реком-
бинацией носителей, /3, гс и гы — объемные сопротивления областей затвора, стока
и истока, Rm, 7?ип — сопротивления /7-области между подложкой, стоком и истоком.
Управляемый генератор тока 1с, отражающий усилительные свойства транзистора,
описывается соотношением

Л = W1+ th$)(1+ Ч..Жа“еп) -

где — ток стока при максимальной проводимости канала, примерно соответству-
w

ющей напряжению на затворе w/;I. = -0,27 + 0,65th(z/3II + 0,34); ф = X А
м
полином, обычно третьей степени, коэффициенты которого А} подбираются по ре-
зультатам измерений характеристик транзистора; а — параметр насыщения;
А. — модуляционный параметр длины канала; иси, изи, изс — напряжения «сток — исток»,
«затвор — исток» и «затвор — сток» у транзистора.

а

Рис. 1.9. МДП-транзистор: а — структура, б — электрическая модель конечных приращений

Емкости Сзи и Сзс определяются соотношениями

С3„ = С3110 (1 + th (Р1Из11)) (1 + th (РА1));

С-.к ~ ^жО + th ))(1 — th (^2ит + ^Зизииж ))’

где ^зио» Сзсо — емкости «затвор — исток», «затвор — сток», измеренные при напряже-
ниях изс = изн = 0; Рь Р2, D}, D2, D3 — коэффициенты полиномов, которые подбираются
по результатам измерений характеристик транзистора.

Выражение для сопротивления «сток — исток» существенно зависит от конструкции
транзистора и для. большинства транзисторов аппроксимируется отношением

где коэффициенты, полиномов Bj} Gk также определяются по результатам измерений,
степени полиномовNи М обычно не превышают 3...4; _Кси0 — сопротивление «сток —
исток», измеренное при напряжениях мзс = мзи = 0.

В настоящее время опубликовано много работ, результаты которых позволяют
интерпретировать неизвестные коэффициенты полиномов по измерениям различных
характеристик транзистора, включая измерение У параметров.
Электрические модели дискретных МДП-транзисторов получают — по аналогии
с моделями дискретных биполярных транзисторов — добавлением к электрической
модели индуктивностей выводов электродов L3, Lc, £и и паразитных емкостей корпуса.

В заключение заметим, что при топологическом формировании системы урав-
нений математической модели к электрическим моделям могут предъявляться
специальные требования, например не допускаться нелинейные пассивные базовые
компоненты электрических моделей. Однако это не вызывает больших трудностей
при моделировании, так как любой нелинейный пассивный компонент может быть
представлен в виде линейного элемента той же природы и нелинейного источника
тока или напряжения.

1.3.	Электрические модели интегральных схем

Моделирование интегральных схем (ИС) в радиоэлектронных устройствах, включа-
ющих несколько десятков или даже сотен корпусов интегральных схем, представляет
собой непростую задачу прежде всего из-за ее размерности. ИС или другой крупный
электронный функциональный узел состоит из тех же компонентов, примеры электри-
ческих моделей которых рассмотрены в предыдущем разделе. В принципе, разделив
ИС на простейшие компоненты, можно получить ее модель из электрических моделей
этих компонентов, как это делается при формировании моделей радиоэлектронных
устройств в целом. Для ИС средней и высокой степени интеграции такой путь по-
строения электрической модели связан с неоправданно большими вычислительными
затратами. Это объясняется слишком высоким порядком системы уравнений математи-
ческой модели для таких схем и значительными трудностями определения номиналов
элементов электрических моделей отдельных компонентов, из которых состоит ИС.
Поэтому более рациональным представляется использование для моделирования
ИС в радиоэлектронных устройствах макромоделей, имеющих в пределах требуемой
точности такие же внешние характеристики, как и реальное устройство.

Один из возможных путей построения электрических макромоделей ИС состоит
в том, чтобы на первом этапе разработать наименее подробную локальную макромодель
ИС, отражающую главные особенности работы ИС в радиоэлектронных устройствах.
На втором этапе в модель добавляются, элементы, моделирующие неидеальность ха-
рактеристик реальной ИС: конечные входное и выходное сопротивления, частотные
зависимости характеристик, задержки при срабатывании и т. п. Достоинством такого
подхода к построению макромоделей служит явный физический смысл каждого базо-
вого элемента в электрической модели, недостатком — неформализованноеть подхода
и, как следствие, необходимость определения номинала ряда базовых элементов путем
измерений.

Рассмотрим примеры такого подхода при разработке макромоделей аналоговых
и цифровых ИС.

Модель операционного усилителя. Одним из самых распространенных в совре-
менной схемотехнике устройств является операционный усилитель. Для него харак-
терны наличие двух дифференциальных входов, большой коэффициент усиления
(30... 100 дБ), частотная, зависимость коэффициента усиления, смещение выходного
напряжения относительно нуля при нулевых напряжениях на дифференциальных
входах усилителя, конечныезначения входных и выходного сопротивлений, входные
токи смещения [4], [6].

В локальной модели идеального операционного усилителя не учитываются частот-
ные зависимости коэффициента передачи, смещение выходного напряжения, входные
токи смещения. Электрическая макромодель из базовых элементов, отражающая
указанные свойства операционного усилителя, показана на рис. 1.10, а. Здесь рези-
стор Rx отражает конечное входное сопротивление между двумя дифференциальными
входами и w2, управляемый источник напряжения и{ =	- и2) — усилительные

свойства(K=duBUX/dum — крутизна по входному сигналу), резистор R2 — конечную
нагрузочную способность операционного усилителя (зависимость выходного сигнала
от сопротивления нагрузки усилителя).

Реальная амплитудная передаточная характеристика операционного усилителя
показана на рис. 1.10, б, а частотная характеристика — на рис. 1.10, в. Возможный
вариант глобальной макромодели операционного усилителя для линейного режима
работы в диапазоне частот приведен на рис. 1.10, г.

а

Рис. 1.10. Макромодель операционного усилителя.:^ — локальная модель усилителя;

б — амплитудная характеристика; в — частотная характеристика; г — глобальная модель
опе р ац ио и но г о у силителя

Здесь смещение выходного сигнала относительно нуля учитывается с помощью
постоянного источника напряжения = Aw на одном из входов модели. Входные
токи смещения, необходимые для базового смещения транзисторов во входном диффе-
ренциальном каскаде операционного усилителя, отражены источниками постоянного
тока^ и на входных зажимах модели. Частотную зависимость коэффициента пере-
дачи операционного усилителя целесообразно учитывать с помощью промежуточного
управляемого источника I3 = Su. с комплексным сопротивлением нагрузки R3-C3, на-
пряжение на котором имеет такую же частотную зависимость, как и коэффициент пе-
ре дачи усилителя. Усложнением этого сопротивления можно обеспечить практически
любую частотную характеристику коэффициента передачи. Если это сопротивление
нагрузки будет нелинейным, то можно будет учесть и нелинейность амплитудной пе-
редаточной характеристики операционного усилителя. Источник напряжения и-=Ки3,
управляемый напряжением и3, характеризует усилительные свойства, а резистор Т?4
и конденсатор СА — нагрузочную способность операционного усилителя.

На основе электрической модели рис. 1.10, г можно разрабатывать макромодели
и множества других устройств радиоэлектроники, реализуемых на основе операцион-
ных усилителей: умножителей, делителей, сумматоров напряжения, логарифмических
и антилогарифмических устройств, интеграторов, дифференциаторов, компараторов
и т. д. Для построения моделей этих устройств макромодель операционного усилителя
должна быть дополнена электрическими моделями элементов, подключаемых к вход-
ным и выходным зажимам усилителя для реализации требуемой функции.

Используя аналогичный подход, можно разрабатывать электрические макромодели
и цифровых ИС. Такие модели, несмотря на функциональное различие цифровых ИС,
будут похожи друг на друга по принципам построения. Поэтому далее рассмотрим
только макромодели сумматора с инверсией ИЛИ-HE и /ТЖУ-триггера.

В локальных макромоделях цифровых функциональных элементов не конкретизи-
руется физическая природа сигнала (ток или напряжение), уровни логического нуля
или единицы считаются фиксированными и функциональный элемент описывается
соответствующим логическим уравнением либо таблицей истинности. Такие макромо-
дели функциональных элементов используются на начальных этапах проектирования
цифровых устройств, когда наиболее важным фактором представляется правильная
работа всего цифрового устройства. Особенности моделирования цифровых устройств
на логическом уровне рассматриваются в главе 3.

В электрических моделях цифровых функциональных элементов конкретизируется
природа сигналов в устройстве, учитываются задержки при срабатывании цифровых
элементов, их конечные входные сопротивления и нагрузочная способность, допускает-
ся, что уровни логической единицы и нуля могут изменяться (например, при изменении
напряжения питания), что можно установить экспериментально, или моделированием
цифрового элемента на уровне отдельных компонентов, из которых он состоит.

Модель элемента ИЛИ-НЕ. Логическое функционирование двухвходового инвер-
тирующего сумматора (рис. 1. И, а) описывается логическим уравнением и = U Щ
либо таблицей истинности (табл. 1.2).

При подаче на входы их и и2 напряжений, соответствующих уровню логического
нуля в цифровом устройстве, на выходе сумматора будет наблюдаться напряжение и,
соответствующее уровню логической единицы, во всех остальных случаях уровень
будет соответствовать уровню логического нуля.

Временные диаграммы работы инве ртирующего сумматора показаны на рис. 1.11, б,
где Zq и — максимальные задержки срабатывания сумматора при спаде и нарастании
выходного сигнала (в дальнейшем для упрощения примем =т), z/j" и — ми-
нимальное и максимальное напряжения, соответствующие логической единице в мо-
делируемом цифровом устройстве, = 0, z/J = 0 — аналогичные напряжения для
уровня логического нуля.
Рис. 1.11. Двухвходовый инвертирующий сумматор: а — схема:
б — времен иые диаграммы работы; в — макромодель

Таблица 1.2

	и2	из
0	0	1.
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Один из возможных вариантов электрической макромодели инвертирующего
сумматора, учитывающей перечисленные особенности его работы, представлен на
рис. 1.11, в. Здесь элементы Q, R2, С2 отражают полные входные сопротивления
элемента, логические значения уровней напряжения на которых ui и и9 определяются
по следующему правилу: если напряжение на любом из входов больше и меньше

, то на этом входе присутствует уровень логической единицы, в противном случае —
уровень логического нуля. Зависимый источник, отражающий логические свойства
сумматора 1.2, определяется соотношением

I9 = (иа + d)/R,

где и - zzl U — логическое состояние на выходе сумматора, определяемое логиче-
ским уравнением либо табл. 1.2 в зависимости от логических уровней напряжений на
входах элемента; а и d — коэффициенты, определяемые из условия равенства.напря-
жения и3 уровню, соответствующему логическому нулю на выходе сумматора при и = О
( Uq < и3 < wjj ) и уровню единицы при и = 1 ( wf и3 £ и* ).

Элементы R3 и С3 (R3C3 = т/3) служат для моделирования задержки срабатывания
сумматора. Ток второго зависимого источника I- определяется соотношением I} = Su3
Источник /.совместно с резистором R- моделирует конечную нагрузочную способность
элемента.
Приведенная модель по переходным характеристикам хорошо согласуется с харак-
теристиками реального инвертирующего сумматора.

Модель JKRS-триггера. Рассмотрим пример построения электрической, макро-
модели более сложного цифрового элемента — /КВУ-триггера (рис. 1.12, а). Триггер
имеет два информационных входа: J и К. Входы установки и. сброса У и R при работе
триггера в асинхронном, режиме устанавливают триггер в состояние 1 или 0 в соот-
ветствии с таблицей переходов (табл. 1.3).

Рис. 1.12. /КУ^-триггер: а — схема; б, в — временные диаграммы работы; г — макромодель

Таблица 1.3

UR	us	UQ	UQ
0	0	3 а п р е ще ни ая комб и и а ция	
0	1	0	1
1.	0	1.	0
1.	1.	3 а пре ще ни ая ко м б и и а ц ия	
В синхронном режиме работой триггера управляет вход С в соответствии с та-
блицей переходов (табл. 1.4), причем переключение триггера происходит по фронту
синхронизирующего импульса. Сигналы, установки и сброса на входах У и R имеют
приоритет по сравнению с тактовыми сигналами на входе С. Временные диаграммы,
поясняющие работу /КЛУ-триггера, показаны на рис. 1.12, б, в.

Таблица 1.4

ис		ик	UQ	
0	0	0	II р ед ы д у ще е со ст оя н и е	
1	0	0		
0	1	1		
1	0	1		
0	0	1	0	1
1	1	0	0	1
0	1	0	1	0
1	1	1	1	0
0	1	1	0	1
1	1	1	0	1
0	1	1	1	0

На диаграммах выделены задержки при установлении выходного напряжения для
сигналов установки или сброса У и R ( Г' и ) и задержки в установлении выходного
напряжения для тактовых сигналов С (Zj" и ).

Работу /КЖ-триггера можно описать системой логических уравнений

“ UJ*hURUC ’ ^3 “	5

Q\ = F2q2uf ;	= uRF3q4 ;

Д = uciWiK ; F4 = иси^ик 5

(J2 = <hF\uK ;	= UKFA(h >

где uc, Up uK — логические уровни напряжений на входах R, С, У, /, К соответ-
ственно.

В макромодели триггера необходимо учитывать конечные входные сопротив-
ления элемента по всем входам, логические функции триггера, задержки уста-
новления выходного напряжения для логического нуля и единицы при подаче
тактовых сигналов, сигналов установки и сброса, а также конечную нагрузочную
способность триггера.
Электрическая макромодель триггера, учитывающая все указанные эффекты,
приведена на рис. 1.12, г. Здесь входные сопротивления всех управляющих и инфор-
мационных входов моделируются параллельными соединениями резисторов и конден-
саторов 7?1...7?5 и Cj-.-Ccj. Подобно предыдущему случаю, логические уровни сигналов
на этих входах и определяются по правилу: если напряжение на входе больше или
равно некоторому минимальному пороговому уровню wj“, то сигнал на данном входе
принимается равным логической единице, в противном случае считается, что на входе
присутствует сигнал логического нуля.

Токи зависимых источников Д и /2, моделирующих логическую функцию элемента,
оп ре деляю тся соо тношениями

Л = (Мз + di)/R<i’

= (<?2?4 + d2)/RS>

где логические функционалы q3 и qA определяются из решения приведенной ранее
системы логических уравнений, коэффициенты а2, dif d2 определяются из условия
равенства а^3 + d± и + ^2 напряжению логического нуля и <	, если q = 0, и на-

пряжению логической единицы и > z/j“, если q = 1.

Времена задержки переключения триггера по сигналам установки и сброса У и R и по
синхросигналам входа С моделируют интегрирующими цепочками R7C6 и Т?9С7. Для
упрощения модели, приведенной на рис. 1.12, г, задержки установки логического нуля
и единицы на выходе /ТЖУ-триггера принимаются для. S, R и С-входов одинаковыми.

Токи управляемых источников I3 = Su6 и =Su7 моделируют выходные цепи триг-
гера, а резисторы 7?10 и — нагрузочные способности по выходам Q и Q.

Таким образом, электрическая модель (см. рис. 1.12, г) отражает основные особенно-
сти работы /КРУ-триггеров и можетбыть использована для моделирования цифровых
устройств на их основе.

Электрические макромодели других цифровых элементов различной сложности
приведены в [4], [6].

1.4.	Топологические основы автоматизированного
формирования уравнений математической модели РЭС

Как указывалось ранее, уравнения математической модели радиоэлектронного
устройства на основе электрической модели этого устройства, состоящей из базовых
элементов (см. раздел 1.1),.формируются с помощью компьютера. Общие методы
решения задачи формирования системы уравнений математической модели основы-
ваются на теории графов. Теория графов — обширная область математики, имеющая
множество инженерных и вычислительных приложений. Здесь нас будут интересовать
только машинные методы формирования уравнений модели объекта проектирования,
поэтому ограничимся теми разделами этой теории, которые имеют непосредственное
отношение к материалам данной главы.
Для формирования уравнений математической модели на основе электрической
модели устройства, состоящей из базовых элементов (см. табл. 1.1), используются
направленные графы G(V, У), в которых каждая ветвь гм соответствует двухполюсному
базовому элементу модели, а ее направление совпадаете направлением действия на
этом элементе фазовой переменной (направлением протекания тока или напряже-
ния). Каждая вершина графа s- соответствует узлу электрической модели — точке
соединения двух или более базовых элементов. Таким образом, направленный граф
полностью описывает топологию электрической модели. Для полного описания мо-
дели ее граф необходимо дополнить списком типов и номиналов базовых элементов
в ветвях графа. Приведем ряд определений, которые понадобятся для дальнейшего
изложения материала.

Путь. Путем в графе между вершинами s. и Sy называют множество ветвей, в котором,
двигаясь по смежным ветвям, можно перейти из вершины s- в вершину s-. Графически
путь представляется отрезком между двумя вершинами без ответвлений.

Связный граф. Направленный граф G(V, S) называют связным, если можно указать
путь между двумя любыми вершинами графа s. и s..

Инцидентность. Ветвь называют инцидентной вершине, если она начинается или
заканчивается в.этой вершине.

Контур. Контуром называют связный подграф, в котором каждой вершине, инци-
дентны ровно две ветви.

Дерево. Деревом связного графа называют связный подграф, включающий все узлы
графа, но не имеющий контуров. Дерево графа, соответствующего электрической мо-
дели с т + 1 узлами, содержит т ветвей. Ветви графа, вошедшие в дерево, называют
ребрами графа. Ветви графа, не вошедшие в дерево, образуют дополнение к графу
и называются, хордами графа.

Главное сечение. Главным сечением графа называют сечение, проходящее через
одно ребро и через столько хорд графа, сколько требуется для разделения графа на
отдельные части. Так как в дерево с т+ 1 вершинами входит т ребер, то в связанном
графе существует т главных сечений.

Для примера на рис. 1.13, а показана электрическая модель фазового контура, ис-
пользуемого для коррекции фазовых характеристик радиотрактов, а на рис. 1.13, 6 —
соответствующий ей направленный граф. Выбор дерева неоднозначен, и в качестве
ребер графа могут быть выбраны г^10, г>94, а30, г>40. Ветви г^19,	^ являются хордами

графа. Главные сечения графа показаны стрелками на рис. 1.13, в.

Рис. 1.13. Фазовый контур: а — схема;
б — направленный граф схемы;
в — главные сечения графа
Хотя направленный граф полностью описывается соединениями и направлениями
ветвей, такая форма неудобна для представления и хранения в памяти компьютера.
Для записи в компьютер наиболее удобно представление информации о графе в виде
таблицы. Содержащаяся в графе информация может быть полностью представле-
на матрицей, называемой матрицей инциденций. Для направленного графа G( V, S)
с | У | = т + 1 вершинами и | У | = п ветвями матрицей инциденций является матри-
ца А =	4.^,, в которой а}. = 1, если ветвь инцидентна вершине и направлена от

нее, а.}- = -1, если ветвь инцидентна вершине и направлена к ней, а}- = 0, если ветвь не
инцидентна вершине. Например, для графа, приведенного на рис. 1.13, б, матрица
инциденций имеет такой вид:

Вершины	Ветви						
	V10	V30	V24	V40	v'12	v23	v34
1	-1	0	0	0	1.	0	0
2	0	0	1.	0	-1.	1.	0
3	0	1.	0	0	0	-1	1
4	0	0	-1.	1.	0	0	-1.
0	1	-1	0	-1.	0	0	0

Графы электрических моделей радиоэлектронных устройств не содержат собствен-
ных контуров (ветвь называют собственным контуром, если оба ее конца инцидентны
одному и тому же узлу), вследствие чего каждый столбец матрицы инциденций [я--]
содержит только два ненулевых элемента 1 и -1, а остальные элементы, равны нулю.
Это позволяет без потери информации исключить любую строку матрицы инци-
денций, так как содержащуюся в ней информацию несложно восстановить. Обычно
исключают строку матрицы, соответствующую нулевому узлу. Матрица, полученная
путем исключения одной из строк, называется редуцированной. Для связного графа
ранг матрицы инциденций А равен числу вершин графа без единицы — т.

Существует доказательство двух важных теорем о свойствах строк и столбцов.ма-
трицы инциденций связного графа. В первой из них доказывается, что для связного
графа набор всех строк редуцированной матрицы инциденций является линейно-
независимым.

Вторая теорема постулирует важное свойство столбцов редуцированной матрицы
инциденций: в редуцированной матрице инциденций связного графа с т + 1 узлами
т столбцов матрицы линейно независимы, если соответствующие этим столбцам ветви
об разую т дерево в графе.

Матрица инциденций, описывая нам топологическую структуру электрической
модели, имеет ясный физический смысл, поскольку с ее помощью можетбыть записан
закон сохранения заряда для электрической цепи (первый закон Кирхгофа для токов).
Действительно, так как строки редуцированной матрицы описывают ветви, подклю-
ченные к соответствующим вершинам графа, и направление токов в них, то, умножив
каждую строку матрицы на вектор токов в ветвях 1и, получим алгебраическую сумму
токов в узлах электрической модели, которая по первому закону Кирхгофа равна нулю.
В результате можно записать:
А1в=0,	(1.3)

где 1Н= |	11т — вектор токов через ветви графа, соответствующего электриче-

ской модели.

Для. электрической модели фазового контура, показанной на рис. 1.13, а, запись
первого закона Кирхгофа с помощью матрицы инциденций имеет вид

*10

-1 0 0 0 1
0 0 10 -1
0 10 0 0
0 0-11 о

о

1

-1
о

о
о

1

-1

7зо

*24

*40

*12

*23

*34

В скалярной форме эта запись соответствует системе уравнений

210 + *’12 _

*24 - г12 + 223 = 0;

230 — *'23 + *34 = Ф

—*24 + *40 — *34 = О’

С помощью матрицы инциденций может быть записан и второй закон Кирхгофа —
закон равновесия напряжений. Действительно, напряжение на v- ветви электрической
модели через узловые потенциалы и}, и- можно определить равенством и}- = и} - и-.
В векторной форме это равенство может быть записано следующим образом:

и¥ = | 0...010...0 - 10—0 | и0,

где Uo = | и±...и I т — вектор узловых потенциалов.

Сравнивая строку в последнем равенстве с соответствующим столбцом матрицы
инциденций, можно заметить, что они являются транспонированными по отношению
друг к другу.

Обобщая этот результат на все ветви графа электрической модели, окончательно
запишем:

UQ = ATU0,

(1-4)

где UQ = | z/10...z/w _ 11 т — вектор напряжений на ветвях графа электрической модели

устройства (т — знак транспонирования матрицы).
Для нашего примера (см. рис. 1.13) уравнения (1.4) запишутся в виде

2/|0		-1	0	0	0		
ZZ30		0	0	1	0		u.
ZZ24  ZZ40		0  0	1  0	0  0	-1  1		1  ZZ2
ZZj2  u23		1  0	-1  1	0  -1	0  0		zz3
ZZ34		0	0	1	-1		

Для того чтобы использовать при составлении системы уравнений более общую
форму записи закона Кирхгофа для токов, а именно: алгебраическая сумма токов через
любое сечение электрической цепи всегда равна нулю, введём другую матрицу графа,
называемую матрицей главных сечений. Для ее получения необходимо выделить де-
рево графа и дополнение к нему. Направление сечения будем считать совпадающим
с направлением ребра, его образующего.

Матрицей главных сечений направленного графа называют матрицу D = [^], в ко-
торой элемент dr= 1, если ветвь j находится в сечении ?.и ориентация ветви совпадает
с ориентацией сечения, задаваемой ребром, d- = -1, если ветвь j находится в сечении i
и их ориентации противоположны, и d... = 0, если ветвь j не находится в сечении i.

Например, для графа, приведенного на рис. 1.13, б, один из возможных вариан-
тов дерева и соответствующего этому дереву набора главных сечений показан на
рис. 1.13, в (хорды даны пунктиром), а матрица главных сечений имеет следующий вид.

Сечения	Ветви						
	V10	v24	V30	V40	V12	V23	V34
1	1	0	0	0	-1	0	0
2	0	1	0	0	-1	1	0
3	0	0	1	0	0	-1	1
4	0	0	0	1	-1	1	-1

Общая форма первого закона Кирхгофа с помощью матрицы главных сечений D
может быть записана следующим образом:

DIB = 0,

(1.5)

где 1п = 1| т — вектор токов в ветвях графа, составляющие которого перечи-
слены в порядке нумерации столбцов в матрице D.

Нетрудно убедиться, что для графа, приведенного на рис. 1.13, б, общая форма
первого закона Кирхгофа в матричной и скалярной формах имеет вид
1 О

О 1
о о
о о

0-10

О 0 -1

О -1 1
1 -1 1

о
1
о
-1

*10

*30
i'M

*40

*12

*23

*34

о
о

о

*10 — *1.2 “ GJ

*30 — *23 + *34 =

*24 — *1.2	*23 =

*40 - *1.2 + *23 “ *34 = О'

Ветви дерева удобно нумеровать в следующем порядке: вначале ребра, потом хорды
графа. В этом случае вектор токов в ветвях и матрицу главных сечений можно пред-
ставить в блочном виде следующим образом:

(1.6)

где индекс «р» относится к ребрам графа, а индекс «х» — к хордам. Исходя из метода
получения матрицы главных сечений D, можно заключить, что подматрица Dp всегда
может быть приведена к единичной: Dp = [1], следовательно, можно записать равен-
ство (1-6) следующим образом:

Выполнив в последнем равенстве матричные действия, приведем запись общей
формы закона Кирхгофа (1.6) к более удобному для практики виду:

1р = -DA

(1-7)

Последнее соотношение представляет собой выражение токов ребер графа через
токи его хорд. Так как токи, протекающие в базовых элементах электрической модели,
представляют собой токи ребер и хорд графа, то из (1.7) можно записать:
(1.8)

Следовательно, токи хорд можно рассматривать как независимые переменные,
решив систему уравнений математической модели относительно которых можно рас-
считать токи во всех базовых элементах, если воспользоваться (1.8). При этом матрица
главных сечений позволяет записать относительно токов в ветвях 1п в минимальную
по размерности и линейно независимую систему уравнений.

Так, последовательно записав выражения (1-6.)—(1.8) для графа, показанного на
рис. 1.13, б, можно на конкретном примере убедиться в справедливости сказанного
ранее относительно свойств матрицы главных сечений графа:

1

DP

О

О

о

о

о

о

I

р

О

-1

1

о

1

о

о

о

1
о
-к

А 2
723
*34

Последнее равенство при скалярной форме записи для модели, изображенной на
рис. 1.13, а, приводит к системе уравнений закона токов в виде

7'10 = Z12’

Z30 - Z23	Z34’

Z24—Z12	Z23’

Z40 = Z12 - Z23 + Z34-

Для упрощения записи второго закона Кирхгофа введем еще одну матрицу, ха-
рактеризующую граф электрической модели, — главную матрицу контуров. Метод
построения главной матрицы контуров основан на выделении дерева в графе G( V, S).
Подключение к дереву любой хорды, приводит к образованию для этой хорды глав-
ного контура, ориентация которого выбирается по направлению обхода, задаваемого
хордой. В связном графе ст + 1 вершинами и п ветвями можно выделить п - т хорд
и, следовательно, п — т главных контуров. Поочередно подключая хорды к дереву
графа, будем последовательно выделять главные контуры графа, на основе которых
и строится матрица контуров.

Матрицей главных контуров В называют матрицу хя _ т, где b.}- = 1, если
ветвь i входит в ;-й главный контур и ее направление совпадает с направлением об-
хода контура, задаваемым хордой, Zr. = -1, если ветвь входит в главный контур и ее
направление противоположно ориентации контура, и Ь}- = 0, если ветвь не входит
в главный контур.

Для нашего примера матрица главных контуров будет иметь следующий вид.

Контуры	Ветви в контурах						
	V10	V30	V24	V40	V12	V23	V34
1	1	0	1	1	1.	0	0
2	0	1	-1	-1	0	1	0
3	0	-1	0	1	0	0	1

Очевидно, что в соответствии со способом формирования матрицы главных конту-
ров В ее столбцы, соответствующие хордам, всегда будут содержать только один отлич-
ный от нуля и равный 1 элемент. Поэтому, подобно (1.6), при формировании матрицы
главных контуров ветви графа также удобно будет перечислять в таком порядке: ребра
графа, затем его хорды в порядке нумерации главных контуров графа. Именно в таком
порядке и сформирована матрица главных контуров для нашего примера.

При указанном порядке перечисления ветвей матрица главных контуров может
быть записана в виде двух подматриц: В = [Вр|В J, где подматрица Вх, соответствующая
хордам графа, является единичной, Вх = 1. Эта подматрица определяет ранг матрицы В,
который для связного графа равен ??, - т + 1.

Матрица главных контуров позволяет компактно записать закон напряжений Кирх-
гофа, устанавливающий, что алгебраическая сумма напряжений В каждом контуре
любой сложной схемы всегда равна нулю:

вин = о,

(1-9)

где UQ = |	t |т — вектор напряжений на ветвях графа. Отметим, что матрица

главных контуров позволяет записать относительно напряжений на ветвях UQ ми-
нимально возможную по размерности и линейно независимую систему уравнений
математической модели.

Если при формировании матрицы главных контуров нумерация ветвей была
упорядочена, как указывалось ранее, то равенство (1.9) можно преобразовать к виду

[вр|вх]и„=[вр|(

и

1>

= 0,

где, как и ранее, индекс «р» относится к напряжениям на ребрах графа, а «х» — к на-
пряжениям на хордах.
После выполнения действий над матрицами из последнего равенства получим
систему уравнений, связывающую напряжения на ребрах и хордах графа:

их=-врир.

(1.10)

Подобно (1.8), учитывая, что действующие на базовых элементах электрической
модели напряжения представляют напряжения на ребрах и хордах графа, из (1.10)
можно получить:

“1

(1.11)

Следовательно, напряжения на ребрах графа являются независимыми перемен-
ными, определив которые из решения системы уравнений (1.11), можно найти все
остальные напряжения, действующие на элементах.электрической модели радио-
устройства.

Напряжения и токи на базовых элементах электрических моделей представляют
собой фазовые переменные этих моделей, так как они полностью описывают работу
моделируемого устройства. Связь напряжений и токов на базовых элементах представ-
ляет собой. соответствующие компонентные уравнения, которые могут быть заранее
записаны в память компьютера.

Выражения (1.8) и (1.11), связывающие фазовые переменные, действующие
на различных базовых элементах.электрической модели устройства, по сути сво-
ей представляют матричную запись топологических уравнений модели. Таким
образом, для автоматизированного получения в компьютере системы уравнений
математической модели устройства необходимо сформировать матрицы главных
сечений D или главных контуров В и компонентные уравнения для каждого ба-
зового компонента (см. табл. 1.1). После подстановки компонентных уравнений
в (1.8) или (1.11) получается система уравнений, представляющих математическую
модель нашего устройства.

Рассмотрим методы получения в компьютере главных матриц сечений и контуров
для графа электрической модели радиоустройств.

Между матрицами главных сечений и главных контуров существует фундамен-
тальное соотношение. Если столбцы матриц расположены в одинаковой последова-
тельности, то эти матрицы связаны соотношениями

BD1 = 0; DB1 = 0.

(1.12)

Справедливость соотношений (1.12) можно проверить для графа, изображенного
на рис. 1.13, б, матрицы В и D для которого получены ранее:
10 0-1 О -1
0 10 0-11
0 0 10 1 о

	-1 0	0  -1
-1	-1	1
1	-1	1
“1	1	0
	0	1
	0	0

о о
о о
о о

Из соотношений (1.12), используя представление матриц главных контуров и се-
чений в блочном виде, можно записать:

= Bp+D^=0; [l|Dj

1

= BJ + Dx = 0,

откуда следует, что между блоками матриц выполняются соотношения

Bp=-Dj; Dx =-В*.

(1.13)

Из выражений (1-13), в свою очередь, можно получить два важных равенства:

B = [-DJ 11]; D = [l | -BJ,

(1.14)

Равенства (1-14) свидетельствуют что в компьютере матрицу В можно получать из
матрицы D и наоборот. Справедливость этого покажем на примере матриц контуров
и сечений для графа, изображенного на рис. 1.13, б\

Вп =	'-1 0	0  -1	-1 ”1  1 1	; D =	1 I -ВТ		"1  0	0  1	0  0	0  0	-1 0	0	o'  1
р	0	1	0 -к		LI	р J		0	0	1	0	-1	1	0
							0	0	0	1	-1	1	-1_

что совпадает с матрицей D для графа, полученной ранее.

В свою очередь, существует также связь между матрицей инциденций и главной
матрицей контуров, которая при одинаковой последовательности столбцов матриц
может быть записана в виде такого равенства:

АВг = 0.

(1-15)

Равенство (1.15) следует непосредственно из правил формирования матриц А и В.
В том случае, если в графе электрической модели выделено дерево, матрицы А,
В и D можно записать в блочном виде:

А = Ар | Ах j; В =	| 1 ; D = [1 | Dx ].

Из последних равенств и (1.15) имеем

Вт

р

1

=арв;+ах =о,

откуда следует, что блоки матрицы инциденций Ар и А* и блок матрицы контуров Вр
связаны соотношением

в;; = -А-‘Ах.	(1.16)

Из (1.12), (1.14)-(1.16) запишем выражения, связывающие матрицу инциденций
с матрицами главных контуров и сечений графа:

В = [-А;>АХ 11]; D = -А"‘ [Ар | Ах] = А-‘А.	(1.17)

Уравнения (1.17) показывают путь автоматизированного получения матриц В и D
в компьютере. Для этого необходимо описать в компьютере граф электрической модели
с помощью матрицы инциденций, выделить в графе дерево и после разделения матри-
цы А на блоки Ар и Ах с помощью равенств (1.17) найти матрицы контуров и сечений
графа, которые, как подчеркивалось ранее, представляют собой одну из форм записи
топологических уравнений электрической модели.

Запись матрицы инциденций в компьютере может быть осуществлена с помощью
программы, использующей один из видов диалога, в том числе графического. Этот
вопрос относится к проблемам выбора языка описания электрических моделей [4], [6],
поэтому здесь не рассматривается, а основное внимание будет уделено вопросам вы-
деления с помощью компьютера дерева графа.

Электрическая модель радиоустройства может содержать независимые источники
тока и напряжения. Уравнения (1.8) показывают, что токи, соответствующие хордам
графа, являются независимыми переменными. Поскольку ток независимого источни-
ка не может быть зависимой переменной, эти базовые элементы всегда должны быть
хордами графа и не могут входить в дерево.

Аналогично, уравнения (1.11) показывают, что независимыми переменными являют-
ся напряжения, соответствующие ребрам графа. Следовательно, все базовые элементы,
представляющие независимые источники напряжения, должны быть ребрами графа
электрической модели, то есть входить в дерево графа. При этом предполагается, что
в электрической модели недопустимы контуры, состоящие только из независимых
источников тока или напряжения. Образующие контуры независимые источники тока
или напряжения могут быть исключены без последствий для результатов моделиро-
вания, так как появление подобных контуров означает параллельное включение двух
или более идеальных источников, которые всегда могут быть приведены к одному
экви, вале нтному.

В ряде случаев предъявляются совершенно определенные требования к порядку
формирования де рева графа. Так, для моделирования методом переменных состояний
дерево графа должно быть выбрано таким образом, чтобы в него вошли все незави-
симые источники напряжения, за ними все возможные зависимые источники напря-
жения, конденсаторы, резисторы и индуктивности. В частном случае дерево графа
может не содержать всех типов указанных ранее базовых элементов либо включать
другие их типы.

Для нахождения дерева графа электрической модели устройства обычно использу-
ется свойство столбцов матрицы инциденций, о котором упоминалось ранее: в графе
с т + 1 узлами т линейно независимых столбцов матрицы, инциденций соответствуют
ветвям, образующим дерево графа. Известно, что столбцы у единичной матрицы, ли-
нейно независимы. Следовательно, нахождение дерева графа можно свести к диаго-
нализации первого блока матрицы инциденций А = ^Ар | Ах], Ар = 1. Ветви графа,
соответствующие линейно независимым столбцам, входящим в единичную матрицу,
и будут образовывать дерево графа.

Если обратиться к записи закона токов Кирхгофа с помощью матрицы инциден-
ций (1.3), то процесс формирования единичной подматрицы Ар = 1 будет представлять
собой исключение из первого уравнения всех токов ребер, кроме первого, из второго
уравнения — всех токов ребер, кроме второго, и т. д. В ходе этих преобразований
можно использовать следующие операции: перестановка строк и столбцов, суммиро-
вание и вычитание строк матрицы, умножение их на -1. Допустимость этих действий
следует непосредственно из записи первого закона Кирхгофа (1.3). Действительно,
перестановка строк в матрице А. представляет перестановку уравнений в системе (1.3),
перестановка столбцов — перестановку членов в уравнениях (1.3), суммирование
или вычитание строк соответствует суммированию или вычитанию уравнений си-
стемы (1.3) друг из друга.

Так как матрица А включает элементы 1, -1,0, то формирование, единичной подма-
трицы Ар можно свести к формированию диагональной матрицы. В настоящее время
известно много алгоритмов диагонализации матриц на основе перечисленных ранее
преобразований. Рассмотрим один из них.

Алгоритм 1.1. Диагонализация матрицы инциденций

Шаг 1. Столбцы матрицы инциденций располагаются в порядкезаданном требуемым
приоритетом для составления дерева графа? например: источники напряжения^
конденсаторы^ резисторы., источники тока., индуктивности.

Шаг 2. Последовательно просматривают столбцы недиагонализированной части
матрицы до первого ненулевого элемента в недиагонализированной строке j.
Шаг 3. Если k = то столбец сдвигается на место остальные столбцы.,
выделенные для формирования дерева от j до k - сдвигаются на один вправо.
Шаг 4. Если г > то меняются местами строки г и j.

Шаг 5. Если в столбце j имеются ненулевые элементы., кроме диагонального
то они устраняются прибавлением строки j с соответствующим знаком к строкам
с ненулевыми элементами.
Шаг 6. Если а — = то строка j умножается на -1.

Шаг 7. Если j < т (т + 1 — число вершин)то переходим к шагу иначе
подматрица единичная и переходим в конец.

Отметим, что в описанном алгоритме при диагонализации предпочтительны наи-
более левые столбцы. Таким образом, заданная приоритетность базовых элементов
для составления дерева расположением столбцов сохраняется.

До сих пор изложение материала велось применительно к двухполюсным базо-
вым элементам электрических моделей. Однако полученные результаты могут быть
обобщены и для случая базовых элементов с произвольным числом пар выводов,
описываемых матрицами классической или волновой теории цепей. Рассмотрим для
примера четырехполюсный базовый элемент, характеризуемый матрицей сопротив-
лений Z и включенный между парами узлов k, / и т, п (рис. 1.14, а).

а	б

Рис. 1.14. Четырехполюсник:а — схема; б — направленный граф

Компонентные уравнения для четырехполюсника в этом случае могут быть запи-
саны через элементы матрицы Z в следующем виде:

U=ZI;

Wj —“ ^11^1	M'ltl ””	~~ ’

w2=zi2/i+z22^=V=

где ил, и2,	29 — напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника; uki, ит/1 —

напряжения на ветвях; ит, ип, uk, — напряжения на узлах, к которым подключен
че тырехполюсник.

Приведенная ранее пара компонентных уравнений позволяет представить каждую
пару зажимов четырехполюсника ветвью графа (рис. 1.14, 6\ характеризуемой своим
компонентным уравнением. При нумерации ветвей графа электрической модели этим
ветвям необходимо будет присвоить два числа. По аналогии можно получить и граф
базового элемента с произвольным числом входов.

Подведем краткие итоги полученных в этом разделе результатов. В электрических
моделях, сформированных на основе базовых элементов теории цепей, фазовыми пе-
ременными являются напряжения и токи, действующие на элементах. Компонентные
уравнения, связывающие эти токи и напряжения для каждого компонента, хранятся
в памяти компьютера. Описав электрическую модель с помощью матрицы инциденций,
дополненной списком типов и номиналов базовых элементов, получаем в компьютере
полную информацию о модели проектируемого устройства. На основании матрицы
инциденций формируются главные матрицы контуров и сечений графа, с помощью
блоков которых записываются топологические уравнения, представляющие собой
запись двух фундаментальных законов для электрической цепи — законов равновесия
напряжений и токов Кирхгофа. Дополнением топологических уравнений компонентны-
ми в компьютере формируется система уравнений, представляющих математическую
модель проектируемого устройства.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Выберите фазовые переменные, внешние и внутренние параметры в модели тран-
зистора Эберса — Молла (см. рис. 1.5, а).

2.	Выделите все возможные деревья и независимые контуры в графе фазового кон-
тура, схема которого приведена на рис. 1.13, б.

3.	Докажите, что сумма любого столбца нередуцированной матрицы инциденций
равна нулю.

4.	Что характеризует сумма модулей элементов строки матрицы инциденций на-
правленного графа, а также суммы отрицательных и положительных элементов?

5.	Используя модель диода Эберса — Молла, получите электрическую модель де-
тектора амплитудно-модулированных (АМ) колебаний с разделенной нагрузкой
(рис. 1.15).

Рис. 1.15. Детектор амплитуд ио-модул и ров а иных колебаний

6.	Постройте направленный граф электрической модели детектора АМ-колебаний
из п. 5, выделите ребра (дерево графа) и хорды.

7.	Для направленного графа, построенного в п. 6, запишите матрицы инциденций,
главных сечений и главных контуров, перечисляя ветви графа в порядке «ребра —
хорды».

8.	Разделите матрицы инциденций, главных сечений и контуров, записанные при
выполнении п. 7, на блоки согласно (1.6), (1.10), (1.15). Проверьте совпадение
выражений (1.13), (1.16), (1-17) для графа электрической модели АМ-детектора.

9.	Запишите уравнения математической модели детектора для токов ветвей (1.10),
используя блоки матрицы главных контуров из п. 8.
Глава 2

Математические модели РЭС
во временной области

В главе 1 было показано, что система независимых уравнений, описывающая мате-
матическую модель устройства, может быть получена топологическими методами
с помощью теории графов. Конкретный вид алгоритма формирования системы урав-
нений математической модели зависит от выбранного вектора фазовых переменных —
набора параметров, характеризующих функционирование моделируемого устройства.
В зависимости от того, являются ли фазовые переменные функциями времени, или
комплексной частоты, различают математические модели устройств во временной
и Частотной областях. В обоих случаях при формировании системы уравнений мате-
матической модели обычно используют операторную форму записи компонентных
уравнений для базовых элементов электрических моделей. Это объясняется удобством
алгоритмического преобразования системы интегрально-дифференциальных урав-
нений, записанных в операторной форме, к виду, наиболее удобному для численного
решения, удобством перехода от операторной формы записи к частотным моделям
заменой оператора s на мнимую частоту /со, а также целесообразностью использования
обратного преобразования Лапласа.

Модели во временной области наиболее удобны для анализа переходных процессов
в радиоустройствах, моделирования статического режима и нелинейных устройств.
В настоящей главе рассматриваются алгоритмы формирования системы уравнений
математической модели радиоустройств во временной области, а также ее решения
численными методами относительно выбранных фазовых переменных.

2.1.	Табличный метод формирования уравнений
математической модели для электрической иепи

Многие методы автоматизированного формирования системы уравнений математи-
ческой модели проектируемого устройства во временной и частотной областях можно
получить из общего метода, называемого в литературе табличным [1]. В этом методе
при формировании системы уравнений математической модели в качестве фазовых
переменных используются токи ветвей 1п и напряжения на них UH, а также узловые
потенциалы Uo, отсчитанные от заземленного узла электрической модели.

Рассмотрим самый общий вариант табличного метода формирования системы
уравнений математической модели для электрической модели, содержащей элементы
С, L, R и источники тока и напряжения 1(f), Е(£). Первый (1.3) и второй (1.4) законы
Кирхгофа запишем через матрицу инциденций следующим образом:

А113 = 0; UD - ATU0 = 0.
Здесь индекс «в» соответствует ветвям, а индекс «О» — узловым напряжениям,
отсчитанным от нулевого узла.

В общем случае система уравнений, описывающая базовый двухполюсный элемент
электрической модели, подключенный между узлами / и;, может быть записана в виде



(2.1)

где и 3;.(s) — проводимость и импеданс базового элемента, записанные В опера-

торной форме; =/г2= 1 — безразмерные константы; W- =

— токи и напряжения

независимых источников, в том числе учитывающих начальные условия в базовом
элементе — токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах (см. табл. 1.1).
Для всех базовых элементов равенство (2.1) запишем в матричном виде:

PUB+RIB=W° =

1°

Е°

(2.2)

где UB = uQjj

— диагональная подматрица

т

 I

> в



проводимостей включенных в ветвях базовых элементов; ZD = I Z^-j — диагональная

подматрица импедансов в ветвях; 1 — единичные подматрицы соответствующего раз-
мера; Е°, 1° — векторы, учитывающие источники напряжения и тока.

Уравнения законов Кирхгофа для электрической модели и компонентные урав-
нения (2.2) перепишем в такой последовательности:

UB-ATUo = O;

YdUd + ZdId = W»;

aid=o.

Последнюю запись можно представить в матричной форме, которая и является
обобщенной системой уравнений табличного метода:

1 A«xw  Y  в пхп	®их«  7  в ггхп	_Дт  (//л-1)х//	।  а  1			0  w°	(2.3)
	A/fxO+l)	0(w-{-L)x(ot+1)_	LuoJ		0	
Размерности всех подматриц указаны в (2.3), где п — число ветвей в графе, соот-
ветствующем электрической модели устройства, т — число вершин графа, исключая
заземленную.

Чтобы оператор Лапласа s всегда входил в числитель, емкости в (2.3) будем
определять через проводимости конденсаторов, а индуктивности — через импедансы
катушек индуктивности (см. табл. 1,1). Так как оператор s эквивалентен дифферен-
циальному оператору во временной области, то система уравнений (2.3), полученная
табличным методом, в общем случае будет представлять собой систему дифферен-
циально-алгебраических уравнений, позволяющую моделировать проектируемый
объект во временной области. Достоинства такого подхода составления системы
уравнений математической модели на основании электрической — отсутствие
необходимости различать ветви с пассивными компонентами, источниками тока
и напряжения, произвольные нумерация ветвей и описания матрицы инциденций
графа электрической модели в компьютере.

Однако табличный метод имеет и ряд существенных недостатков, из-за которых
он практически не используется в системах автоматизированного проектйрования
радиотехнических устройств. Как видно из (2.3), блочная матрица в левой части си-
стемы уравнений имеет на главной диагонали квадратные подматрицы, в том числе
нулевую, нулевые подматрицы имеются и вне главной диагонали. Наличие нулевых
диагональных и не диагональных блоков затрудняет использование специальных ал-
горитмов для работы с разреженными матрицами.

Главный же недостаток этого метода заключается в большой размерности системы
уравнений, так как подобное описание электрических моделей приводит к появлению
излишних фазовых переменных в системе уравнений, что, естественно, затрудняет
решение задачи. В (1.4) было показано, что часть переменных в системе (2.3) может
быть исключена путем подстановки и тем самым будет уменьшен порядок системы
уравнений математической модели устройства. Так, если модель характеризовать толь-
ко потенциалами узлов, отсчитанными от нулевого Uo, то от системы уравнений (2.3)
придем к системе уравнений по методу узловых потенциалов, а.если в системе урав-
нений (2.3) оставить в качестве фазовых переменных только напряжения на ветвях
модели UH, то получим систему уравнений по методу контурных токов.

Рассмотрим эти методы более подробно.

2.2.	Топологические методы формирования уравнений
математической модели по методу узловых
потенциалов и контурных токов

Использование фазовых переменных только одного типа — токов ветвей либо напря-
жений на узлах электрической модели — позволяет сформировать машинными мето-
дами более компактные системы уравнений математической модели проектируемого
устройства с меньшей размерностью вектора фазовых переменных и меньшим числом
нулевых элементов в матрицах. Такие модели на основе практически одних и тех же
алгоритмов могут быть сформированы как во временной, так и в частотной областях,
что является несомненной ценностью такого подхода.
В случае моделирования во временной области по методу узловых потенциалов
в качестве вектора фазовых переменных V выбирается вектор узловых напряжений,
отсчитанных от одного из узлов электрической модели, потенциал которого полагается
равным нулю: Uo = | иг..ит I т- Вектор Uo полностью описывает электрическую модель,
а значит и работу устройства в целом.

Для формирования системы уравнений математической модели по методу узловых
потенциалов необходимо, чтобы электрическая модель устройства не включала источ-
ников напряжения. Перед моделированием все источники напряжения должны быть
преобразованы в источники тока по теореме об эквивалентном генераторе (теореме
Тевенина). Таким образом, электрическая модель будет содержать только пассивные
базовые элементы и источники тока (см. табл. 1.1).

Для любого пассивного базового элемента связь тока ветви гш..и напряжения на ней
в операторной форме записывается через проводимость y}j(s) с помощью соотно-
шения ^-=^(5)^. В матричной форме для всех пассивных элементов эти выражения
можно записать в следующем виде:

YnUn.B=In.B + W°,	(2.4)

где Yn — диагональная матрица проводимостей пассивных ветвей электрической
модели; Un H, 1П н — векторы напряжений и тока на пассивных ветвях графа модели,
W0 — вектор независимых источников, в том числе учитывающих начальные условия
в реактивных элементах в соответствии с (2.1).

Для примера на рис. 2.1, а приведена электрическая модель, содержащая за-
висимые и независимые источники тока и напряжения, на рис. 2.1, б показана та
же модель после преобразования по теореме Тевенина источников напряжения
в источники тока.

в

Рис. 2.1. Электрическая модель: а — исходная схема; б — модель с источниками тока;
в — модель с источн иками напряжения

Матрица Yn проводимостей пассивных ветвей электрической модели (см. рис. 2.1, б)
в операторной форме имеет вид
Согласно выражению (1-5), запись первого закона Кирхгофа через матрицу главных
сечений графа электрической модели такова:

DIB = 0.

Вектор токов через ветви графа 1Н сформируем в следующем порядке: вначале
перечислим все токи через пассивные, элементы электрической модели, потом токи
всех зависимых и независимых источников тока. Разделив матрицу главных сечений
на блоки [Dn | Dj], относящиеся к ветвям, характеризующим пассивные базовые эле-
менты, и источникам тока соответственно, последнее равенство можно записать как

[D„ I

= 0 или D I = -D J.

(2.5)

где 1П н — вектор токов через пассивные элементы модели; 1у — вектор токов источ-
ников тока.

Воспользовавшись выражением (2.4), преобразуем уравнения (2.5) и запишем их
относительно вектора напряжений на пассивных ветвях графа электрической моде-
ЛИ Un.G:

DnYI1U,1B-D1,W°=-D/Iy.	(2.6)

Как показано в главе 1 (см. 1.5), напряжения на ветвях графа UH связаны с узловыми
потенциалами Uo соотношением

Ч = АШ0.

Разделив вектор Un и матрицу инциденций на блоки по аналогии с (2.5), последнее
выражение можно записать в виде

ИЛИ

U >

п.в

и»

U = ATU  U = ATU

(2.7)


где U-Q — вектор напряжений на источниках тока, входящих в электрическую модель
устройства; Ап, А? — блоки матрицы инциденций, относящиеся к пассивным ветвям
и ветвям, содержащим источники тока.

После подстановки (2.7) в (2.6) получаем систему уравнений относительно вектора
узловых потенциалов электрической модели устройства:

d„y,A'.Uo-diiwo = -d7i/.

(2.8)

Полученная в (2.8) система уравнений представляет собой систему дифферен-
циально-алгебраических уравнений математической модели относительно вектора
неизвестных фазовых переменных — узловых потенциалов UQ. Напряжения, действу-
ющие на пассивных элементах модели UrL0 и источниках тока U^H, могут быть найдены
с помощью (2.7) после решения системы уравнений (2.8) относительно Uo.

Как видно из (2.8), запись компонентных уравнений для пассивных базовых эле-
ментов в форме (2.4) предполагает, что нелинейности в электрической модели могут
здесь моделироваться только с помощью нелинейных источников тока, что накладывает
некоторые ограничения на структуры электрических моделей компонентов устройства.

Для нашего примера (см. рис. 2.1, б) система уравнений математической модели,
построенная методом узловых потенциалов из (2.8), имеет вид

111 1

О 0 -1 -1

о

-1

1

MJL0

или

/^2 + sC3Ul + sC.A (Z/l ~ W2 ) + (W1 ” U'> )/^5 = Л ’
-iC4 («j - «2 ) - (“1 - м2 )Az5 + "2/Д6 = Л 

Заметим, что система уравнений математической модели (2.8) может быть получена
и на основании (1.3) с помощью матрицы инциденций графа электрической модели,
однако в этом случае матрицы в левой части системы будут содержать большее число
нулевых элементов, что приводит к необходимое та использования специальных алго-
ритмов работы с разреженными матрицами. Вывод уравнений узловых потенциалов
через матрицу инциденций читатель может найти в [1].

Алгоритм 2.1. Моделирование радиоустройства во временной области
методом узловых потенциалов

Шаг 1. Столбцы матрицы инциденций располагаются в следующем порядке:
пассивные базовые элементы., затем зависимые и независимые источники тока.
Выделяются подматрицы Ап и AJ? относящиеся к пассивным ветвям и ветвям
с источниками тока.
Шаг 2. Находится дерево графа и формируется матрица главных сечений графа
D с принятым на первом шаге приоритетом базовых элементов (см. (1.17)).
Выделяются подматрицы Dn и Dj_, относящиеся к пассивным ветвям и источникам
тока.

Шаг 3. В цикле формируется диагональная матрица проводимостей пассивных
базовых элементов Yn в соответствии с принятым на первом шаге порядком их
перечисления.

Шаг 4. Формируются векторы узловых потенциалов U0 и токов источников тока Ij
в соответствии с записью строк и столбцов матрицы инциденций.

Шаг 5. Согласно (2.8)? производятся матричные операции и формируются левая
и правая части системы уравнений относительно вектора узловых потенциалов U0.
Шаг 6. Переход к решению системы дифференциально-алгебраических уравнений
относительно вектора фазовых переменных — узловых потенциалов V = U0.

При моделировании радиоустройств по методу контурных токов в качестве вектора
фазовых переменных выбирается вектор токов в хордах графа электрической, моде-
ли 1х. При этом все зависимые и независимые источники тока, имеющиеся в модели
устройства, должны быть преобразованы в эквивалентные источники напряжения на
основе теоремы Тевенина.

Для примера на рис. 2.1, в, показана электрическая модель (см. рис. 2.1, а) после
преобразования по теореме Тевенина источников тока В эквивалентные им источники
напряжения.

Подобно (2.4), для всех пассивных базовых элементов электрической модели связь
токов ветвей 1П н с действующими на них напряжениями Urh н может быть записана
в матричной форме в виде

Z I = и + w°

И II. В	И. В	’

(2.9)

где Zn — диагональная матрица сопротивлений пассивных ветвей электрической моде-
ли в операторной форме; W0 — вектор источников, учитывающих начальные условия
в реактивных элементах (2.1).

Для нашего примера (рис. 2.1, в) уравнения (2.9) имеют вид

Согласно (1.9), запись второго закона Кирхгофа через матрицу главных контуров
электрической модели В может быть представлена в следующей форме: BUQ = 0.

При формировании матрицы инциденций графа электрической модели А, а значит
и матрицы главных контуров В, согласно разделу 1.4, вначале опишем все независимые
источники напряжения, потом все зависимые источники, затем пассивные ветви графа
электрической модели устройства. Это позволит разделить матрицу главных контуров
В на блоки В = [В£|ВП ], относящиеся к ветвям с источниками напряжения и ветвям
с пассивными элементами. На две составляющих разделим и вектор напряжений на
ветвях модели UJ =| U£ | UJ’ п |, первая из которых будет описывать независимые
и зависимые источники напряжения, а вторая — напряжения на ветвях, содержащих
пассивные элементы.электрической модели. В результате.запись закона равновесия
напряжений Кирхгофа можно будет представить в следующем виде:

[ВЕ|В„]^-=0 ИЛИ В£и£ = -Виил„.	(2.10)

Подставляя в (2.10) выражение (2.9), запишем систему уравнений относительно
вектора токов через пассивные элементы электрической модели устройства 1П 13:

в^Ли-вл^-в^.	(2.11)

Первый закон Кирхгофа из (1.8) и (1.14) можно записать как

iH = ВЧХ

или после разделения вектора 1п и матрицы В на блоки

II. В

вь
в;1;



где 1Х — вектор токов через хорды графа электрической модели устройства; 1£— вектор
токов, протекающих через источники напряжения.

Последнее выражение можно записать в виде двух подсистем уравнений:

I...B =в;,1х.

(2.12)

После подстановки (2.12) в (2.11) получим систему уравнений математической мо-
дели устройства относительно неизвестных токов хорд графа электрической модели 1Х:

В Z ВП -В W0 =-BFU£.

(2.13)

Система уравнений (2.13) представляет собой искомую запись дифференциально-
алгебраических уравнений математической модели методом контурных токов, удобную
для алгоритмической реализации на компьютере. Токи, протекающие через пассивные
элементы модели 1П>П, и токи, протекающие через источники напряжения, могут быть
найдены после решения системы уравнений (2.13) с помощью (2.12).

Необходимо заметить, что запись уравнений (2.13) не совпадает с общепринятой
записью уравнений по методу контурных токов. Это объясняется тем, что здесь контуры
сформированы на основе хорд графа электрической модели, что обеспечивает мини-
мальную размерность системы уравнений (2.13) и удобство моделирования не только
планарных, но и непланарных моделей. Отметим также, что запись компонентных
уравнений (2.9) и топологических уравнений (2.13) предполагает, что нелинейности
в электрической модели могут присутствовать только в источниках напряжения U£,
что, естественно, накладывает ограничения на возможные электрические модели
компонентов проектируемого устройства.

Для конкретного примера электрической модели, приведенной на рис. 2.1, в, система
уравнений по методу контурных токов (2.13), если в качестве ребер выбрать Д, С3, С4,
Е7, а в качестве хорд — R2, Ls, _R6, будет иметь вид

или

Приведем укрупненную пошаговую схему алгоритма.

Алгоритм 2.2. Моделирование радиоустройств по методу контурных токов
во временной области

Шаг 1. Столбцы матрицы инциденций располагаются в таком порядке: независимые
источники напряжения^ зависимые источники напряжения^ пассивные элементы.

Шаг 2. С помощью описанного в разделе 1.4 алгоритма выделяется дерево графа
с заданным на первом шаге приоритетом ветвей. Выделяется вектор токов хорд
графа 1х.

Шаг 3. Формируется матрица главных контуров графа В с принятым на первом
шаге расположением столбцов согласно выражению (1.17). Выделяются подматрицы
Bf и Вп? относящиеся к ветвям с источниками напряжения и ветвям с пассивными
элементами.
Шаг 4. Формируется диагональная матрица сопротивлений пассивных базовых
элементов Zn в операторной форме в соответствии с принятым порядком их
перечисления.

Шаг 5. Формируется вектор напряжений источников напряжения Uf.

Шаг 6. Согласно (2.13)? формируются левая и правая части системы уравнений
относительно вектора токов хорд электрической модели V = 1Х.

Шаг 7. Переходим к решению системы дифференциально-алгебраических уравнений
относительно вектора фавовых переменных 1Х.

Если в алгоритмах 2.1 и 2.2 принять s = /со, то получим системы уравнений мате-
матической модели устройства по методам узловых потенциалов и контурных токов
в частотной области.

2.3.	Моделирование РЭС

методом переменных состояния

Рассмотренные в предыдущем разделе методы автоматизированного формирования
системы уравнений математической модели радиоустройства на основе его электри-
ческой модели, несмотря на удобство алгоритмической реализации, обладают тем
существенным недостатком, что приводят к математическим моделям в виде систем
дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка, решение которых
зачастую связано с большими вычислительными трудностями.

С середины 1950-х годов в автоматизированном проектировании начал широко
применяться метод переменных состояния, позволяющий получить систему.уравнений
математической модели в виде двух систем матричных уравнений:

У

4-(V) = LV + MQ;
at

F = F(V}QfV;...),

(2.14)

где V — вектор фазовых переменных, называемых переменными состояния; L, М —
постоянные действительные матрицы соответствующего размера; Q — вектор, харак-
теризующий входные воздействия; F — вектор выходных параметров.

Уравнения (2.14) представляют собой систему дифференциальных уравнений пер-
вого порядка, называемую системой уравнений для переменных состояния в нормаль-
ной форме, численное решение которой относительно вектора фазовых переменных V
самое простое из всех методов моделирования. Кроме того, уравнений в (2.14), как
правило, оказывается меньше, чем при использовании метода узловых потенциалов
либо контурных токов, что также облегчает процесс моделирования, особенно нели-
нейных устройств.

Алгоритмическую реализацию метода во многом определяет выбор вектора пере-
менных состояния V. За вектор переменных состояния могут быть выбраны, например,
узловые потенциалы (при этом размерность системы (2.14) будет равна количеству
узлов в электрической модели), контурные токи либо другие переменные. При моде-
лировании переходных процессов в радиоэлектронных устройствах за переменные
состояния рационально выбирать вектор, состоящий из напряжений на всех кон-
денсаторах электрической модели устройства Uc и токов во всех индуктивностях I,
и позволяющий для динамических моделей получить систему дифференциальных
уравнений первого порядка минимально возможной размерности.

Для электрических моделей, состоящих из базовых элементовR, С, L, М, I, U, такой
выбор вектора переменных состояния возможен только для электрических моделей
без особенностей: в графе модели должны отсутствовать контуры, состоящие только
из независимых или управляемых источников напряжения и только из конденсаторов,
в графе не должно быть сечений, содержащих только независимые или управляемые
источники тока, а также сечений, составленных только из индуктивностей либо ин-
дуктивностей и источников тока. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только
моделей без особенностей, топологические же методы формирования уравнений
переменных состояния для электрических моделей с особенностями можно найти,
например, в [1].

В случае электрической модели без особенностей можно выделить специальное
дерево графа, называемое нормальным, в котором ребра выбираются в следующем
порядке: все независимые и управляемые источники напряжения, все возможные
конденсаторы, все возможные резисторы и минимально необходимое для составления
дерева число индуктивностей. При выборе нормального дерева графа из (1.7), (1.10)
и (1.12) первый и второй законы Кирхгофа могут быть записаны в блочном виде с по-
мощью матрицы главных сечений следующим образом:

	I	Е			EG					k			
I =	I	и			®UG					k		-DVL;	
р	I	С			®CG			*>cj		[		XX ’	
	I	к								J			(2.15)
		и	G			Ofc	^CG			E			
и =		и	L	—	пт  ^EL	D&i				L	Г	= DU ,	
X		и			DT  UEI		Db	DT  URI		t		X p’	
		и			пт	D&/		Db/		U			

где 1^—векторы токов, протекающих через независимые и управляемые источники
напряжения; 1с— вектор токов, протекающих через конденсаторы; 1?— вектор токов,
протекающих через резисторы, включенные в дерево графа; I.G — вектор токов, проте-
кающих через резисторы, включенные в хорды графа; IL — вектор токов, протекающих
через индуктивности в хордах; I, J — векторы токов независимых и управляемых источ-
ников тока; Е, U, Uc, UG, U,, U/? U^- — векторы напряжений на соответствующих
элементах в ребрах и хордах графа; — блоки матрицы главных сечений, отвечающие
за взаимодействие соответствующих базовых элементов в ребрах и хордах.

Выполняя в (2.15) матричные действия, запишем уравнения для токов, протека-
ющих через резисторы в ребрах графа, и напряжений, действующих на резисторах
в хордах графа:
=-D«A -Ол/i-D^J;

Uc = D^.E + D*cu + D^UC + DbcUR.

(2.16)

В матричном виде связь напряжений на резисторах с токами, протекающими через
них, можно записать как компонентные уравнения:

ид - & А;

“ ^G^G’

где R^, RG— диагональные матрицы, состоящие из сопротивлений резистивных ребер
и хорд графа.

Подставив последние соотношения в уравнение (2.16), получим

О

1 и яс
-DkR« Rg.

О -Dw

Ok о

О

со

Uki

о

Uc

I,

Г>г

UUG

Для упрощения записи введем следующие обозначения матриц:

т,=

Т3 =

О

DT
.EG

О

Г) г

UUG

Кроме того, будем полагать, что управляемые источники тока и напряжения зависят
линейно только от токов в резисторах модели Iff, IG, напряжений на конденсаторах Uc
и токов в индуктивностях 1£ переменных состояния:

иг

11

I/?

Ig

(2.17)

где N1? N2 — матрицы, которые определяются по известным зависимостям для напря-
жений и токов управляемых источников.

В результате можно записать выражения для токов через резисторы электрической

модели устройства в зависимости от вектора переменных состояния

Ur

V1

11

и вектора

д7?

Е

I

1

“DagR/? *g .

; т2 =

и

о J

о

и CG

О



О

О

U

J

2

Е

I

токов независимых источников напряжений и токов

или

Т,

+ t4n

Ue-

li

+t4n.

1С
Й-ТЛ.ГЕТз+Т^,]

ис
т.

(2.18)

Для примера, приведенного на рис. 2.1, а, эта запись имеет вид

Сечения		Хорды			
			«6	ч	h
	ч	-1.	0	0	0
DX =	сз	-1	1	0	-1
		0	-1	1	1

^EL &EI

R,
О

ч
ч.

-1 0]Ч

-° oj 1-



= [t1-t4n,]‘1t2

о

V

Е

I

1



Из (2.15) можно получать также выражения для напряжений на индуктивностях U£
в хордах графа и токов через конденсаторы 1с в ребрах:

и£ = DkE + D^U + D^UC +

Ч = -адс - DcA - DC,I - Dcy J.

(2.19)

Используя компонентные уравнения, выразим напряжения на сопротивлениях
в ребрах графа через протекающие в них токи: 11^=— и запишем (2.19) в виде
одного матричного уравнения:

U

J

и,.

ис

Ч

(2.20)

+ 4

где введены обозначения:

=	Ъх, о	4	₽? =		пт  и EL	0	
1	0	D,,		2		0	~DC7	
₽3 =	0  0 -dcg.		; Ч =		Пт  UUL  0	0  -Dg	

Для нашего примера (см. рис. 2.1) эта запись имеет вид
О

-1

1

ч
ч

Подставляя в (2.20) выражение для токов в резисторах в ребрах и хордах графа

(2.18) и выражение для напряжений и токов управляемых источников (2.17), запишем

систему уравнений для U£ и Тс относительно вектора переменных состояния

ис
к

и вектора напряжений и токов независимых источников

Е

I

+ P4N2+[P3+P4N1]MrlM,}

Ue-
li

где Mj = Tj - T4N2; M2 = T3 + T4Nr

Компонентные уравнения для емкостных элементов в ребрах и индуктивных эле-
ментов в хордах графа таковы:

1с = С^(ис); ид=1Д(1д),

где С, L — диагональные матрицы конденсаторов и индуктивностей. Последнее выра-
жение можно объединить водно матричное равенство:

Ui

L

о c]<*[uc

(2.22)

После подстановки (2.22) в (2.21) получим окончательную запись уравнений пе-
ременных состояния с помощью топологических методов:

={р,

+ P4N, +[р3 +P4N1]Mj-‘M2}

ис

I/.

{Р2+[Р3+РЛ]МГ1Т2

(2.23)

Решение системы дифференциальных уравнений (2.23) относительно вектора пере-

менных состояния

к

Uc

может быть выполнено с минимальными затратами по сравне-

нию с другими алгоритмами автоматизированного формирования системы уравнений
математической модели. После решения системы уравнений математической модели

относительно вектора

формируется система уравнений относительно вектора

выходных параметров модели F = F(V, О, Vформирование которой существенно
зависит от моделируемого устройства, а поэтому здесь рассматриваться не будет.

Для примера электрической модели, показанной на рис. 2.1, а, с учетом полученных
ранее выражений система уравнений по методу переменных состояния может быть
записана в виде

Г.

^5 -

О

%

В заключение приведем укрупненную схему алгоритма.

Алгоритм 2.3. Моделирование радиоустройств методом переменных
состояния

Шаг 1. Формируется нормальное дерево графа электрической модели устройства^
включающее все источники напряжения^ все конденсаторы и необходимое для
формирования дерева число резисторов^ с использованием алгоритма 1.1.

Шаг 2. На основании выражения (1.7) по матрице инциденций и выбранному дереву
графа формируется матрица главных сечений D = [-1/D ] .

Шаг 3. Матрица главных сечений разбивается на блоки в соответствии с (2.15).

Шаг 4. С использованием блоков матрицы главных сечений D формируются
вспомогательные матрицы Т1?    _> Lp Р1} - - - Рд.} N2 в соответствии
с выражениями (2.1б)? (2.17)? (2.20)? (2.22).

Шаг 5. Формируются диагональные матрицы индуктивностей}

Шаг 6. На основании выражения (2.23) формируется правая

емкостей., резисторов

часть уравнений

переменных состояния.

Шаг 7. Переходим к решению системы уравнений переменных состояний

относительно вектора состояний

ис

II

Решения систем дифференциальных уравнений при моделировании переходных
процессов в радиоустройствах рассматриваются в разделе 2.5.
2.4.	Моделирование статического режима РЭС

Моделирование статического режима — режима работы по постоянному току любого
радиоустройства — необходимо для расчета рабочих точек отдельных каскадов радио-
устройств, составления карты режимов работы компонентов устройства, определения
рассеиваемых мощностей в компонентах и т. п. Это моделирование можетбыть выпол-
нено на основании глобальной модели радиоэлектронного устройства во временной
или частотной областях, которые могут быть получены одним из описанных в насто-
ящей главе и главе 4 методов. В этих случаях для моделирования на постоянном токе
в системе уравнений математической модели устройства следует принять оператор
Лапласа s = 0, исключив тем самым из системы дифференциально-алгебраических
уравнений производные по времени, так как в статическом режиме токи и напряжения
в модели не зависят отвремени. При этом получается модель устройства в виде систе-
мы нелинейных уравнений относительно выбранного вектора фазовых переменных,
например узловых потенциалов, или переменных состояния.

Возможно и специальное формирование электрической модели устройства по
постоянному току, которая может быть получена на основе моделей отдельных ком-
понентов, из которых исключены реактивные элементы.

В первом случае отпадает надобность в специальных моделях радиоустройств по
постоянному току, но зато усложняются алгоритмы получения системы уравнений
математической модели. Во втором случае упрощаются алгоритмы моделирования
статического режима, но требуется использование специализированных моделей
компонентов по постоянному току, из которых состоит устройство.

Проблему моделирования статического режима будем рассматривать на примере
моделирования устройства по методу узловых потенциалов, хотя все результаты
могут быть перенесены и на другие алгоритмы формирования системы уравнений
математической модели устройства. Как указано ранее, математическая модель любого
радиоустройства по постоянному току представляет собой систему нелинейных урав-
нений F(U) = 0, решив которую, находят потенциалы на узлах.электрической модели.
В скалярном виде эта система уравнений может быть записана в виде

7I(u1...«„) = /t(Uo) = O;

,/2(«1...«„) = /2(Uo) = O;

IА («1 •••«„) = Z,(uo) = o.

Процедуры решения систем нелинейных уравнений численными методами глубоко
разработаны в математике и частично описаны в главе 6, поэтому рассмотрим только
алгоритмические аспекты моделирования РЭС на постоянном токе, математическое
же обоснование методов можно найти, например, в [8].

При моделировании РЭС на постоянном токе ряд сложностей возникает, если
устройство включает модели активных приборов, характеризующиеся экспоненци-
альными функциями. При итеративном решении систем уравнений математической
модели в этом случае возможно переполнение разрядной сетки, так как экспоненци-
альная функция очень быстро возрастает при положительных значениях показателя
степени. Возникают трудности и при больших отрицательных смещениях на полупро-
воднике выхприборах, так как вычисляемые для матрицы Якоби производные имеют
здесь очень малые значения. Один из возможных путей борьбы с этими трудностями
заключается в использовании при прямых и обратных напряжениях, превышающих
некоторые значения, кусочно-линейной аппроксимации характеристик приборов.

Кусочно-линейную аппроксимацию целесообразно использовать и тогда, когда
уравнения, описывающие нелинейности, не известны в аналитической форме, азада-
ны в виде таблиц измеренных значений. Алгоритмы, моделирующие нелинейности
с помощью кусочно-линейной аппроксимации, описаны, например, в [8].

2.5.	Моделирование переходных процессов в РЭС

Для моделирования переходных процессов в радиоустройствах необходимо решить
систему математической модели, описывающей поведение моделируемого устройства
во времени, с учетом начальных условий и временной зависимости входных сигналов.
Как показано в разделах 2.1-2.3, в этом случае модель устройства представляет собой
систему дифференциально-алгебраических или просто дифференциальных уравнений
относительно фазовых переменных, являющихся функциями времени. К настояще-
му времени разработано много подходов к компьютерному решению таких систем,
частично описанных в главе 6. Как и в предыдущем разделе 2.4, ограничимся, рассмо-
трением алгоритмической реализации наиболее распространенных из этих методов,
математическое же обоснование их.можно найти в [6, 8].

Для расчета переходных процессов в радиоустройствах, описываемых линейными
электрическими моделями, обычно используется метод преобразований Лапласа,
особенно удобный в связи с представлением уравнений модели в операторной форме
и в равной мере применимый к моделям во временной и частотной областях. Специ-
ально разработанный для реализации на компьютере метод обратного преобразования
Лапласа не требует определения полюсов и вычетов функции выходного параметра,
применим к жестким системам и системам с распределенными постоянными. Как
известно, временной отклик электрической модели определяется обратным преобра-
зованием Лапласа:

(2.24)

где F(s) — операторное изображение выходного параметра, полученное из математи-
ческой модели.

Классический метод вычисления обратного преобразования требует нахождения
полюсов и вычетов функции F(s), что неудобно при реализации его на компьютере. Что-
бы избежать этого, заменим в (2.24) переменную интегрирования s наг = ts, а функцию

W

е* заменим отношением полиномов —, имеющих степени п и т соответственно.

Q,„ (z)

Эта аппроксимация известна как аппроксимация Паде. Коэффициенты полиномовРп
и От в аппроксимации Паде могут быть найдены, если приравнять аппроксимирующую
функцию ряду Тейлора дня экспоненты е2:

P„(z)

/=1

л+рг	«о

Ы	/=ет-нн-1

1+Е^г'

где а}> Ь} — коэффициенты полиномов в аппроксимации Паде; с.} — коэффициенты ряда
Тейлора для е2. Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых
степенях можно получить систему линейных уравнений для определения коэффи-

,	х	Pn<Z)

циентов а.} и Ь}. Дня примера в таол. 2.1 приведена аппроксимирующая функция п
дня различных значений п и т.

Таблица 2.1

л  т	0	1	2
0	1	1 + 2  1	1 + 2 + z2/2 1
1.	1  1.-2	1 + г/2  1 - 2/2	1 + 2г/3 + г2/б  1 - z/3
2	1	1+г/З	1 + 2/ 2 + 2“/18 l-z/2 + z2/18
	l-z + z2/2	l-2z/3 + z2/6	

После подстановки е2 в (2.24) получим аппроксимирующее выражение для опре-
деления временного отклика модели через обратное преобразование Лапласа:

/(0 =

Qm&

(2.25)

Интеграл в (2.25) может быть вычислен с помощью вычетов, расположенных вну-
три бесконечного замкнутого контура интегрирования справа и слева от оси коорди-
нат. Чтобы, интегрирование вдоль бесконечно удаленного контура не давало вклада
в значение интеграла, п и т выбираются такими, чтобы у подынтегральной функции

Р (z)

- число полюсов было больше числа нулей по крайней мере на два. Тогда

в соответствии с теоремами операционного исчисления
с	k

(2-26)

где знак «плюс» берется, когда контур интегрирования с располагается в левой полу-
плоскости и его обходят против часовой стрелки, а знак «минус» — при расположении
контура в правой полуплоскости и при том же направлении обхода, Rk — вычеты в по-
люсах подынтегральной функции, расположенные внутри контура интегрирования.
Для п < т имеем

ff/2) _ у

QJJ) hz~zi

(2.27)

P(z) 1

где Zr — полюса аппроксимирующей, функции Паде —--; к.} — соответствующие

Gm<2)

им вычеты. Полюсы ?} и вычеты А’,. для различных п и т могут быть рассчитаны с вы-

сокой точностью. Если в (2.26) и (2.27) замкнуть контур интегрирования в правой
полуплоскости, то для временной зависимости выходного параметра модели получим
выражение

j т

=	(2.28)

1	1=1

Выражение (2.28) представляет основную формулу приближенного обратного пре-
образования Лапласа, которая используется для моделирования переходных процессов
в линейных электрических моделях. Определив из системы уравнений математической
модели операторное изображение выходного параметра F(s) и задавшись я.и т, можно
найти с требуемой точностью его временную зависимость.

Приведем пошаговое описание работы алгоритма.

Алгоритм 2.6. Моделирование переходных процессов в линейных моделях
с помощью обратного преобразования Лапласа.

Шаг 1. Ив системы уравнений математической модели получаем операторное
изображение выходного параметра модели.

Шаг 2. Задаем п и т и определяем полюсы и вычеты в них

Шаг 3. Делим каждое значение на t и заменяем s в f(s) на z^/t. Полагаем
текущее время моделирования t = tQ.

Шаг 4. В цикле т раз умножаем функцию F на	и суммируем результаты.

Выделяем действительную часть суммы (z^/t) и делим на t.

Шаг 5. Если t < £кон_> то увеличиваем t на At и переходим к шагу иначе
расчет переходного процесса окончен.

Описанный метод особенно удобен при моделировании линейных устройстве непе-
риодическими входными сигналами (одиночными импульсами, скачками потенциалов
и т. п.). Ошибки в расчетах вначале растут, потом стабилизируются даже для очень
больших значений времени, что позволяет увеличить допустимый интервал расчета
переходных процессов £кои за счет увеличения п и т. Для контроля ошибок выполня-
ются расчеты с выбранными значениями п и т, затем расчеты с тем же значением т,
но на единицу меньшим значением степени п. Если результаты совпадают, то расчет
сделан правильно.

Из других алгоритмов, используемых для решения систем дифференциальных
уравнений математической модели линейных радиоустройств, можно отметить метод
вариации произвольных постоянных.

При моделировании во временной области нелинейных устройств нельзя ис-
пользовать метод обратного преобразования Лапласа и приходится решать системы
дифференциальных либо дифференциально-алгебраических уравнений численными
методами.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Какова размерность вектора фазовых переменных при формировании системы
уравнений математической модели, изображенной на рис. 2.1, а, табличным ме-
тодом?

2.	Сформируйте электрическую модель двухтактного пикового детектора радиоим-
пульсов РЛС, схема которого приведена на рис. 2.2, используя модель полупровод-
никового диода Эберса — Молла. Получите для электрической модели пикового
детектора блоки матриц инциденций и главных сечений согласно (2.8) и запишите
систему уравнений по методу узловых потенциалов.

УНЧ

Рис. 2.2. Двухтактный пиковый детектор радиоимпульсов

3.	Преобразуйте источники тока в эквивалентные источники напряжения (теоре-
ма Тевенина) и получите для графа модели пикового детектора блоки матрицы
инциденций и главных контуров согласно (2.11). Запишите систему уравнений
математической модели для пикового детектора по методу контурных токов.

4.	Какова размерность вектора фазовых переменных при формировании системы
уравнений математической модели по методу переменных состояния?

5.	Для схемы, приведенной на рис. 2.2, запишитесистему уравнений математической
модели в статическом режиме исключением реактивных элементов из схемы и из
электрической модели, полученной в п. 2.
6.	Что достигается использованием аппроксимации Ладе при моделировании пере-
ходных процессов в линейных устройствах?

7.	Пусть математическая модель устройства описывается системой дифференциаль-
ных уравнений вида

Выполните несколько шагов интегрирования системы, используя разложение
Паде при п = 1 и т = 2 для начальных значений переменных Xj(0) =х9(0)= 1, Д£= 1.
Глава 3

Математическое моделирование

ж

ни

1 1

овых устройств

Целью моделирования цифровых устройств (ЦУ) является получение картины их ло-
гико-временного поведения при различных входных воздействиях. В настоящее время
принято рассматривать три области представления ЦУ: поведенческую, структурную
и физическую [ 1]. Для каждой из этих областей выделяют различные уровни абстрак-
ции: системный, языков регистровых передач (ЯРП), логический и схемный. При этом
в поведенческой обласпг дается функциональное представление ЦУ, в структурной
области описываются блоки архитектуры, физическая область отражает реальные
корпуса микросхем или кристалл (chip).

Процесс автоматизированного проектирования ЦУ можно представить в виде
последовательного спуска по уровням абстракции от системного до выполнения ЦУ
на кристалле. Проектирование ЦУ начинается с разработки технического задания,
на базе которого строится функциональная схема, последовательно преобразуемая
в реальное устройство. Далее функциональная модель трансформируется в модель
уровня языков регистровых передач, которая строится с использованием таких ком-
понентов, как регистры, модули памяти, операционные и управляющие автоматы.
На следующем этапе выполняется синтез логических схем для каждого компонента.
На уровнях ЯРП и логическом, как правило, выполняется верификация, проекта. Си-
стемный и ЯРП уровни абстракции относятся скорее к разделам цифровой техники
и здесь рассматриваться не будут.

Модели ЦУ, используемые при проектировании радиоустройств на логическом
и схемном уровнях, можно разделить на две основные группы: физические и логиче-
ские (функциональные).

В первом случае отдельные элементы, из которых состоит ЦУ, представляются их
электрическими макро моделями, состоящими из базовых элементов теории цепей (см.
главу 1), на основании которых формируется полная электрическая модель ЦУ [6].
Система дифференциальных уравнений во временной области, соответствующая пол-
ной электрической модели ЦУ, можетбыть получена одним из алгоритмов, описанных
в главе 2, и обычно представляет собой систему дифференциальных уравнений вы-
сокого порядка, решение которой требует больших машинных ресурсов. Физические
модели элементов ЦУ позволяют наиболее полно представить работу устройства во
времени с учетом реальных задержек срабатывания элементов, но их целесообразно
использовать на заключительном этапе проектирования ответственных ЦУ из-за боль-
ших затрат времени на моделирование, когда необходимо иметь данные об устройстве,
которые нельзя получить с помощью более простых моделей.

В логических моделях каждый элемент ЦУ представляется упрощенной формаль-
ной моделью в виде логического соотношения, описывающего логику функциони-
рования элемента, таблиц истинности в виде «примитивных» простых кубов либо
графов переходов. При меньшей детализации работы по сравнению с физическими
моделями логические модели обладают во много раз большим быстродействием
и позволяют на начальных этапах проектирования ЦУ решить ряд важных для
практики задач:

♦	проверить правильность логического функционирования ЦУ;

♦	сравнить характеристики различных вариантов схемных решений;

♦	разработать процедуры тестового контроля ЦУ и проверить их правильность
и полноту;

♦	проверить работу цепей установки ЦУ в начальное состояние.

В настоящее время разработано множество алгоритмов, пакетов прикладных про-
грамм и даже специализированных высокоуровневых языков описания (hardware
design languages — HDL) для моделирования ЦУ на логическом уровне. Рассмотрим
некоторые из них применительно к комбинационным цифровым устройствам.

3.1.	Описание языков моделирования и элементов
цифровых устройств в моделях логического уровня

Логическое моделирование выполняется в предположении, что информация обрабаты-
вается. элементами ЦУ и передается в схеме другим элементам в одном направлении —
от входов к выходам, причем физическая природа сигналов (ток или напряжение),
распространяющихся в ЦУ, не конкретизируется. Сигналы задаются символами,
которые описывают состояние и работу элементов ЦУ. Совокупность символов, ис-
пользуемых при моделировании, называют алфавитом логического моделирования.
Между реальными сигналами и символами алфавита всегда можно установить одно-
значное соотве тствие [1,7].

Простейший из используемых алфавитов для моделирования ЦУ на логическом
уровне — двоичный, включающий всего два символа: 0 и 1. Он обеспечивает макси-
мальную скорость моделирования, но не позволяет выявить неоднозначность работы
ЦУ и характер переходных процессов.

Моделирование многозначны™ алфавитами позволяет получить больше информа-
ции о ЦУ Так, для анализа состязаний сигналов на элементах ЦУ используют троичный
алфавит, содержащий кроме 0 и 1 еще символ неопределенного состояния. X, которому
ставится в соответствие процесс перехода из 0 в 1 и обратно либо безразличное состо-
яние сигнала (рис. 3.1, а).

Для примера на рис. 3.2, а, приведены таблицы истинности для наиболее распро-
страненных базовых элементов цифровых схем И, ИЛИ, НЕ при моделировании
трехзначным алфавитом. При этом полагалось, что X - X.

Для уточнения характера процесса смены состояний элементов ЦУ используется
пятизначный алфавит, показанный на рис. 3.1, б, в котором символы 0, 1 и X имеют
тот же смысл, что и. в трехзначном алфавите, а символ Е описывает гладкий переход
сигнала из 0 в 1. Соответственно, символ Е будет описывать обратное изменение
сигнала из 1 в 0. Таблицы истинности для элементов И, ИЛИ, НЕ при моделировании
их пятизначным алфавитом приведены на рис. 3.2, б.
О

1 I

б

X /////////

в

Рис. 3.1. Алфавиты моделирования:а — трехзначный; б— пятизначный; в — девятизначный

и="\и

и{	0	.г	1
и	1	л:	0

	0	Е	X	Е	1
6	0	0	0	0	0
Е	0	Е	X	X	Е
х	0	.X	X	.г	X-
Ё	0	X’	X	Ё	Ё
1	0	Е	X	Ё	1

	0	Е	X	Е	1
0	0	Е	X	Ё	1
Е	Е	Е	X	X	1
X	X	X	X	X	1
Ё	Ё	X	X	Ё	1
1	1	1	1	1	1

	0	Е	X	Е	1
и	1	Ё	X	Е	0

б

Рис. 3.2. Таблицы, истинности простых логических элементов: а — для трехзначного
алфавита; б —для пятизначного алфавита

Более подробно характер переходных процессов в ЦУ описывается при исполь-
зовании девятизначного алфавита, включающего символы 0, 1, X, Е, Е, G, G, F, F .
По сравнению с пятизначным алфавитом здесь добавлены символы G, G и F, F , со-
ответствующие статическим и динамическим сбоям при переключении из 0 в 1 и из
1 в 0 (см. рис. 3.1, в).

Для некоторых технологий (например, КМОП) требуется введение дополнитель-
ного сигнала Z, соответствующего состоянию высокого импеданса для схем с отклю-
чающимся выходом. В настоящее время широко используются лишь несколько вари-
антов многозначных алфавитов, которые применяются в логическом моделировании
и для генерации тестов. Большая часть из них включается в универсальную систему
многозначных алфавитов [1].

При моделировании ЦУ с помощью многозначных алфавитов отдельные элементы
моделируются многозначными таблицами истинности, что приводит к увеличению
времени моделирования и требуемого объема памяти.

Как указывалось ранее, в качестве моделей элементов ЦУ на логическом уровне
используются формальные модели, в которых связь между входными и выходными
сигналами элемента задается с помощью булевых уравнений либо таблиц истинно-
сти Это относится прежде всего к простейшим базовым элементам цифровых схем
И, ИЛИ, НЕ, сложению по модулю 2 и другим, в виде комбинаций которых может
быть реализовано любое цифровое устройство. Более сложные элементы цифровых
устройств — триггеры, регистры, устройства памяти и т. п. — в одних случаях представ-
ляются комбинациями простейших базовых компонентов, в других, на уровне реги-
стровых передач, их описывают в терминах выполняемых ими операций, не прибегая
к разложению на составляющие их простейшие элементы. Возможна и комбинация
обоих подходов, когда в одних и тех же программах моделирования используются
модели простейших базовых элементов цифровых схем и модели, более сложные на
уровне регистровых передач.

Описание соединений элементов цифровых устройств в. компьютере может быть
выполнено в форме списков, логической сети либо таблиц в зависимости от конкрет-
ного языка описания ЦУ, используемого В программе.

Как следует из сказанного, математическая модель ЦУ будет представлять собой
систему булевых уравнений, каждое из которых описывает один элемент ЦУ, либо из
многомерных таблиц истинности, то есть той же самой системы булевых уравнений,
но представленной в виде связанных таблиц. Такие математические модели могут быть
организованы в компьютере различным образом.

В зависимости от способа организации модели ЦУ можно разделить на компи-
лирующие и интерпретивные. В моделях компилирующего типа исходное описание
ЦУ в виде логической сети или таблицы транслируется на язык машинных кодов
и оформляется в виде объектного модуля, который затем и выполняется компьютером
в процессе моделирования. Для такого перевода описания ЦУ на язык машинных
кодов используется специальный компилятор, являющийся частью моделирующей
программы. Достоинством такого подхода служит большая скорость работы програм-
мы моделирования, недостатком же — необходимость повторных компиляций при
внесении изменений в ЦУ.

В моделях ЦУ ин те рпре Дивного типа связи между отдельными элементами ЦУ
представляются в виде таблиц, описание ЦУ в машинные коды не переводится и ка-
ждое логическое уравнение, представляющее математическую модель того или иного
элемента ЦУ, решается с помощью специальной подпрограммы. Выбор очередной
подпрограммы производится специальной интерпретирующей программой, которая
использует записанные в таблицу адреса перехода от одного элемента ЦУ к другому.
Обращение к подпрограмме, моделирующей элемент, будет происходить всякий раз,
когда интерпретатору понадобится выполнить данную логическую операцию. Модели
интерпретивного типа оказываются более простыми и менее трудоемкими в разработке,
однако они имеют меньшее быстродействие по сравнению с компилятивными.
В.зависимости оттого, учитываются или не учитываются задержки в срабатывании
ЦУ при моделировании модели, ЦУ подразделяются на синхронные и асинхронные,
а по способу организации процесса решения системы логических уравнений — на
сквозные и событийные.

Описание особенностей всех видов схемных моделей ЦУ приводится в следующих
разделах.

3.2.	Синхронное моделирование цифровых устройств
двоичным алфавитом

При синхронном моделировании ЦУ на логическом уровне не учитываются задержки
срабатывания отдельных элементов, из которых состоит ЦУ Это позволяет свести
моделирование к последовательному вычислению сигналов на выходах элементов
ЦУ по значениям сигналов на их входах с помощью булевых уравнений или таблиц
истинности, моделирующих каждый элемент. При этом считается, что независимыми
переменными, синхронизирующими работу модели устройства, являются события —
изменение сигналов на входах ЦУ После определения состояния, в которое перейдет
ЦУ при очередной смене входных сигналов, осуществляется сдвиг модельного времени
до момента наступления очередного события. В промежутке между двумя событиями
смены сигналов на входах ЦУ не происходит, а если на входах устройства появятся
новые сигналы, то они будут отнесены к началу следующего такта моделирования.
Контроль временного интервала между событиями необходим для построения вре-
менных диаграмм, наглядно представляющих работу ЦУ в предположении нулевой
длительности переходных процессов.

По принципу работы такая модель соответствует работе синхронного цифрового
автомата, в котором сигналы на входы ЦУ поступают только в моменты подачи син-
хросигналов, в остальное время входные сигналы не могут изменять состояние ЦУ.
Переходные процессы, в устройстве обязательно заканчиваются к моменту прихода
следующего синхросигнала.

Синхронные модели можно использовать для моделирования синхронных и асин-
хронных ЦУ, и термин «синхронное моделирование», общепринятый в литературе,
означает только не учитывание задержек в работе отдельных элементов ЦУ.

Как показано в разделе 3.1, математическая модель ЦУ без учета задержек пред-
ставляет собой систему булевых уравнений, связывающих между собой сигналы на
входах и выходах элементов ЦУ. В общем виде такая система может быть записана
следующим образом:

JU = L(UQ,U);
[f = F(U),

(3-1)

где U — вектор сигналов на внутренних узлах схемы ЦУ (входах и выходах элемен-
тов); L — логический функционал; Uq — вектор сигналов на входах ЦУ; F — вектор
выходных сигналов, интересующих разработчика.
Система логических уравнений (3.1) при каждом событии — изменении входных
сигналов — решается итерационно относительно вектора U, по координатам которого
определяются выходные сигналы устройства F.

Алгоритмы решения системы логических уравнений делят на две группы: сквоз-
ные и событийные. В первом случае при итерационном решении системы логических
уравнений математической модели ЦУ на каждой итерации решаются, все логические
уравнения и процесс решения системы U = L(Uq, U) во многом напоминает решение
итерационными методами системы линейных алгебраических уравнений. Сквозное
моделирование может выполняться методом простой итерации, когда для определения
сигналов в ЦУ на последующей итерации используются сигналы на предыдущей
итерации U^_ t. Итерационный процесс решения системы логических уравнений по
методу простой итерации может быть записан в виде

и,=uusu4_t)

(3.2)

или в скалярной форме = Z;(Uq, и^к_ 1?un k_ t), где i = 1,..., n.

Если решение системы логических уравнений ведется по методу итерации Зейделя,
то сигналы, определенные при решении предыдущих уравнений системы, использу-
ются для нахождения сигналов, определяемых последующими уравнениями. В этом
случае итерационная формула в скалярной форме записи имеет вид

Ui,k “ АдЦз» Ul,k>	Wz+M-1> •••’

“ А+1 (^Q’	UiJt’

(3.3)

Итерационный процесс решения системы логических уравнений продолжается
до тех пор, пока сигналы на всех узлах ЦУ на двух последних итерациях не совпадут,
что свидетельствует о получении установившегося состояния ЦУ. Для ускорения
итерационного процесса расположение уравнений В системе логических уравнений
математической модели ЦУ необходимо ранжировать в порядке распространения
сигналов через элементы устройства.

При программной реализации алгоритмов значения сигналов на узлах ЦУ на
каждой итерации хранятся в специальном массиве — рабочем поле РП(/г), при-
чем в рабочем поле, соответствующем нулевой итерации РП(0), хранятся, сигналы,
соответствующие начальному состоянию ЦУ перед изменением входных сигналов.
Изменения входных сигналов записываются в рабочее поле на первой, итерации, РП(1).
На последующих итерациях до получения решения сигналы на входных узлах ЦУ при
синхронном моделировании не изменяются. После получения установившегося реше-
ния сдвигается, модельное время и начинается моделирование следующего события,
а в качестве начального состояния ЦУ для него используется решение, полученное
на предыдущем шаге.

Для простоты изложения рассмотрим процесс сквозного синхронного моделиро-
вания ЦУ двоичным алфавитом на примере устройства, приведенного на рис. 3.3, а.
Рис. 3.3. ЦУ: а — схема; б — времен ные диаграммы ее работы

Математическая модель ЦУ представляет собой систему логических уравнений

zz5 = г/, л w3; uCi = и5 v и7;

м7 = и2 л w3; z/$ = и3 л w4;

A Z/IO —	j

где u} — сигналы на узлах устройства.

При сквозном моделировании по методу простой итерации в соответствии с (3.2)
итерационные формулы будут записаны следующим образом:

U5,k = UU’-l  li7,k ~ U2,k-t	л Z/3,k-\ ’  л W3.A-1;	«Ы = «5JW V «7Л-Р	
		u8,k ~ ЧЗЛ-I	л
U9.k = WC>.£-I	л м10Д»-| ’		! Л1/9,М'

Процесс сквозного моделирования ЦУ по методу простой итерации при изменении
входных сигналов и2, и3, и4 (рис. 3.3, б) иллюстрируется табл. 3.1.

Временные диаграммы, соответствующие приведенным результатам моделирова-
ния, показаны на рис. 3.3, б.

Существенно сократить время моделирования можно за счет выполнения итера-
ционного процесса по методу итерации Зейде ля. В соответствии с (3.3) для нашего
примера итерационные формулы будут записаны следующим образом:

U7tk = U2,k Л	= иЫг Л U4,k>

u9.k = u8,k л	UW,k = U8,k л W9./e-
Таблица 3.1

Изменение входных сигналов	Номер итерации	Сигналы на узлах НУ									
		входные				внутренние и выходные					
			и2	из	и4	и5		и7	и8	и9	и10
= Z Q	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0
Z’ = £0, изменение сигналов	1.	0	0	1.	1.	0	0	1	1	1	0
	2	0	0	1	1	0	0	0	0	1.	0
	3	0	0	1	1.	0	1.	0	0	1	1.
	4	0	0	1.	1	0	1	0	0	0	1
Решение	5/0	0	0	1.	1.	0	1.	0	0	0	1.
Z=Z'0 + A£, изменение сигналов	1	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1
	2	0	1.	1.	0	0	1.	1	1	0	1.
	3	0	1	1.	0	0	0	1	1	0	1
	4	0	1	1.	0	0	0	1	1	1	1.
	5	0	1	1	0	0	0	1	1	1.	0
Решение	6	0	1.	1.	0	0	0	1	1	1	0

Процесс сквозного моделирования ЦУ рис. 3.3, а по методу итерации Зейделяпри
таком же изменении входных сигналов, как и в предыдущем случае, приведен в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Изменение входных сигналов	Номер итерации	Сигналы на узлах НУ									
		входные				внутренние и выходные					
			и2	из	и4	и5		и7	и8	и9	и10
z=/0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0
= ^0?  изменение сигналов	1.	0	0	1	1.	0	0	0	0	1	1
	2	0	0	1	1.	0	1	0	0	0	1
Решение	3/0	0	0	1	1.	0	1	0	0	0	1
Z=Z0 +AZ; изм енение сигналов	1	0	1	1	0	0	1	1.	1.	0	1
	2	0	1.	1	0	0	0	1	1	1	0
Решение	3	0	1	1	0	0	0	1.	1.	1.	0
Как видно из табл. 3.2, решение системы логических уравнений по методу итера-
ции Зейделя позволяет существенно сократить число итераций, однако этот метод
неприменим при учете задержек срабатывания элементов.

Приведем пошаговое описание алгоритма для разового изменения входных сиг-
налов.

Алгоритм з.1. Сквозное моделирование ЦУ двоичным алфавитом по методу
простой итерации

Шаг 1. Формируется рабочее поле на нулевой итерации РП(0)л соответствующее
начальному состоянию устройства.

Шаг 2. Фиксируется изменение входных сигналов., формируется рабочее поле
на первой итерации РП(1).

Шаг 3. Номер итерации k полагается равным 2.

Шаг 4. Начиная с первого логического уравнения системы уравнений
математической модели ЦУ определяется новое значение сигналов на выходе
элемента ЦУЛ описываемого данным уравнением.

Шаг 5. Если сигнал на выходе элемента изменился., то в рабочее поле для /?-й
итерации РП(/?) вносится новое значение сигнала., иначе переписывается сигнал
из рабочего поля РП(./? - 1)л соответствующего предыдущей., (/? - 1)-й итерации.
Шаг 6. Если вычислены все сигналы на /?-й итерации., то переходим к шагу 7Л
иначе к шагу 4.

Шаг 7. Сравниваются рабочие поля на /?-й и (/? - 1)-й итерациях. Если они
совпадают., то моделирование отклика ЦУ на разовое изменение входных сигналов
оконченол иначе увеличиваем номер шага итерации на 1 и переходим к шагу 4.

Значение сигнала на выходе элемента ЦУ может измениться только в том случае,
если изменился сигнал по крайней мере на одном из его входов. Это обстоятельство
положено в основу работы событийных алгоритмов синхронного моделирования
ЦУ, в которых, в отличие от алгоритмов сквозного моделирования, на каждой ите-
рации решаются не все логические уравнения системы, а только уравнения для тех
элементов, у которых на предыдущей итерации изменились входные сигналы. Для
организации такого вычислительного процесса в конце каждой итерации решения
системы логических уравнений после сравнения рабочих полей на соседних итера-
циях формируется список изменившихся сигналов, по которому можно определить
активизированные элементы ЦУ, то есть элементы, на входах которых изменился
сигнал и для которых на последующей итерации необходимо решать логические
уравнения. Для ускорения процесса моделирования в программе обычно решается
задача определения очередности решения активизированных уравнений. Итераци-
онный процесс прекращается, когда в модели ЦУ не будет изменившихся сигналов
и активизированных элементов.

Процесс моделирования событийным алгоритмом ЦУ, схема которого представлена
на рис. 3.3, а, приведен в табл. 3.3. Начальные условия, изменения входных сигналов
и временные диаграммы совпадают с таковыми для предыдущих примеров.

Как видно из работы событийного алгоритма, здесь наиболее удобной представ-
ляется интерпретивная организация математической модели ЦУ, однако событий-
ное моделирование может быть и компилятивным. Как и сквозное моделирование,
событийное может выполняться методами простой итерации и итерации Зейделя.
Событийное моделирование, целесообразно применять в тех случаях, когда выигрыш
от уменьшения числа решаемых уравнений на всех итерациях превышает затраты на
анализ активизации элементов ЦУ.

Таблица 3.3

Изме- нение входных сигналов	Но- мер итера-  НИИ	Сигналы на узлах НУ										Изменившиеся сигналы	Активизирован- ные элементы
		входные				внутренние и выходные							
		“1	U2	из		U5	и6	и7	и8	и9	и10		
z-=z0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0	—	—
изме- нение сигналов	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0	Z/2,	од S3 гз”
	2	0	0	1	1.	0	0	0	0	1	0	од	«1.0
	3	0	0	1	1	0	1	0	0	1	1	и6> м10	ZZg
	4	0	0	1	1.	0	1	0	0	0	1.	z/9	«10
Решение	5/0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	1.	—	—
t = t0+At, изме- нение сигналов	1	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1.	zz2, ZQ	Si  Si  Go
	2	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	ZZy, Uq	«6’ «10
	3	0	1	1	0	0	0	1.	1	0	1	ZZG	г/д
	4	0	1	1.	0	0	0	1	1.	1.	1.	ZZg	«10
	5	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0	«10	«9
Решение	6	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0	—	—

Приведем пошаговое описание работы алгоритма для разового изменения входных
сигналов.

Алгоритм 3.2. Синхронное событийное моделирование ЦУ двоичным
алфавитом по методу простой итерации

Шаг 1. Формируется рабочее поле на нулевой итерации РП(0)_, соответствующее
начальному состоянию ЦУ^ списки изменившихся сигналов и активизированных
элементов полагаются пустыми:	= 0?	= 0.

Шаг 2^ Фиксируется изменение входных сигналов., формируется рабочее поле
на первой итерации РП(1). Номер итерации полагается равным k = 2.

Шаг 3. Сравниваются рабочие поля на (/? - 1)-й и (/? - 2)-й итерациях РП(/? - 1)
и РП(/? - 2)^ формируется список изменившихся сигналов 1^. Если = 0^ то
переходим к шагу 8.
Шаг 4. На основании и описания ЦУ определяется список активизированных
элементов А&.

Шаг 5. Начиная с первого элемента списка решается логическое уравнение^
моделирующее активизированный элемент ЦУ_, и определяется новое значение
сигнала на его выходе.

Шаг 6. Если сигнал на выходе элемента изменился> то в рабочее поле для /?-й
итерации РП(/г) вносится новое значение сигнала^ иначе переписывается выходной
сигнал из рабочего поля РП(/г - 1).

Шаг 7. Если промоделированы все элементы из списка А^} то полагаем k = k + 1
и переходим к шагу 3_> иначе к шагу 5.

Шаг 8. Фиксируем состояние ЦУ после изменения входных сигналов на шаге 2.

Рассмотренные ранее алгоритмы синхронного моделирования ЦУ обладают вы-
соким быстродействием, однако результаты моделирования ими не всегда могут вы-
явить ошибки в работе ЦУ, которые могут возникнуть из-за задержек в срабатывании
элементов ЦУ Кроме того, синхронное моделирование не позволяет выявить характер
переходных процессов в устройстве.

3.3.	Асинхронное двоичное моделирование
цифровых устройств

Упоминавшиеся недостатки синхронных алгоритмов моделирования ЦУ обусловили
разработку более медленных, но зато более адекватных реальной работе ЦУ асинхрон-
ных алгоритмов, учитывающих задержки срабатывания отдельных элементов. Благо-
даря тому что элементам присвоены задержки, появляется возможность обрабатывать
асинхронные схемы с обратными связями и проводить хотя бы приближенный анализ
временных соотношений в схеме.

Задержка срабатывания элемента цифрового устройства зависит от многих фак-
торов: от того, на каком входе элемента и каким образом произошла смена сигнала,
от начального состояния элемента, цепей питания и т. д. В ряде пакетов вводится мо-
дель инерционной задержки, в которой полагается, что если входной импульс имеет
длительность меньше инерционной задержки, то сигнал на выходе элемента ЦУ не
изменяется, то есть элемент не пропускает его. Введение такой задержки позволяет
моделировать ситуации в реальных схемах, когда элементы не успевают срабатывать
на коротких импульсах вследствие своей инерционности (например, из-за наличия
емкости).

В дальнейшем для упрощения изложения будем полагать задержки срабатыва-
ния не зависящими от вида переключения, а задержками в линиях передачи будем
пренебрегать, хотя описываемые далее алгоритмы несложно распространить и на
более общие случаи. Кроме того, для упрощения описания алгоритмов будем по-
лагать, что переходные процессы в ЦУ завершаются до следующей смены входных
сигналов.

С учетом сделанных допущений при асинхронном моделировании ЦУ модель
каждого элемента можетбыть представлена в виде каскадного соединения идеального
безынерционного логического элемента и линии задержки, реализующей функцию
u(t) = и \t - т-) (рис. 3.4), где т- — задержка срабатывания элемента.

Независимой переменной при асинхронном моделировании является время, ко-
торое в моделирующей ЦУ программе продвигается с шагом, равным минимальной
задержке срабатывания элементов в устройстве т. Задержки всех эле ментов округля-
ются до.значений, кратных т, что позволяет считать задержку срабатывания / элемента
равной ?'-т, где ?'• — целое число. Асинхронное моделирование может быть сквозным
и событийным, причем, в отличие от синхронных моделей, здесь алгоритмы сущест-
венно различаются.

Рассмотрим принципы организации сквозного асинхронного моделирования
ЦУ. При сквозном асинхронном моделировании работы ЦУ при каждой смене
входных сигналов необходимо наличие в моделирующей программе не одного ра-
бочего поля, а М + 1, где М = тП1ах/т, а ттах — максимальная, задержка срабатывания
элемента в устройстве. Каждое, из рабочих полей будет характеризовать состояние
устройства в различные моменты времени, отличающиеся друг от друга на величи-
ну т: РП(£0) — в момент смены сигналов t = tQ, РП(^) — в момент t= Ц + ти т. д.
Перед началом моделирования в рабочие поля РП(£0),..., РП(£М) заносятся сигналы,
соответствующие начальному состоянию устройства, затем текущее время полагается
равным моменту поступления входных сигналов, и во все рабочие поля заносятся
новые сигналы на входных узлах ЦУ.

Далее однократно решаются логические уравнения, моделирующие работу без-
ынерционных элементов устройства, исходя из состояния, задаваемого РП(£0). Если
при этом на выходах элементов изменяются сигналы, то их новые значения зано-
сятся в РП(0...РП(гм) в зависимости от задержки срабатывания элемента, а также
во все последующие рабочие поля. После решения всех логических уравнений для
состояния ЦУ, описываемого РП(£0), ему присваивается время РП(^), где tA =
и в него записываются значения сигналов на узлах ЦУ из рабочего поля РП(^) на
предыдущем такте tQ.

Описанный процесс повторяется с рабочим полем РП(^), потом с РП(£9) и т. д.
На любом /г-м такте моделирования, соответствующем времени tk = tQ + kr, сигналы на
входах элемента ЦУ для решения /-логического уравнения берутся, из РП(^), а изме-
нившиеся сигналы на его выходах заносятся в РП(/)г + ту-) и все последующие за ним
рабочие поля, где т. — задержка срабатывания/-го элемента. Процесс моделирования
продолжается до тех пор, пока на последнем такте не совпадут все рабочие поля.

В скалярном виде работа сквозного асинхронного алгоритма моделирования ЦУ
на любом /г-м шаге может быть записана следующим образом:

Uj + &т + т;) = Lj (и (/:0 4- /гт)),
где k = 1,я.

Описанный алгоритм допускает как компилятивную, так и интерпретивную ор-
ганизацию моделирования, однако, в отличие от синхронного моделирования, здесь
нельзя использовать для решения системы логических уравнений итерационный
процесс по методу Зейделя.

Для примера на рис. 3.5, а показана модель ЦУ с определенными задержками сра-
батывания элементов.

Рис. 3.5. ЦУ: а — асинхронная модель; б- —временные диаграммы ее работы

Процесс итерационного решения уравнений математической модели для каждо-
го такта сквозного асинхронного моделирования ЦУ можно записать следующим
образом:

w4 (г0	+	Ат + т) = и{ (/:0 4- Ат) v и2 (f0 + Ат);

(z0	+	Ат + 2т)	= и2 (/;0	ч- Ат) л	(z0	+ Ат);

zz6 (z0	4-	Ат 4- 2т)	= ил (z0	4- Ат) л	z/7 (7{)	4- Ат);

z/7 (/,0	4-	Ат 4- 2т)	= и5 (ZQ	4- Ат) A	Uq (z()	4- Ат).

Результаты моделирования для изменения входных сигналов, показанного на
рис. 3.5, б, приведены в табл. 3.4.

В табл. 3.4 на всех тактах: моделирования рабочие поля РП(/:0 + ir) и РП(1) исполь-
зуются для однократного решения логических уравнений математической модели.
Соответствующие результатам моделирования временные диаграммы приведены на
рис. 3.5, б. С помощью несложного анализа можно убедиться в их соответствии реаль-
ному переходному процессу в ЦУ.
Таблица 3.4

Изменение	Такт, мо-	Рабочие	Сигналы на узлах НУ						
сигналов	дельное	поля							
	время		входные			внутренние и выходные			
			“1	и2	из	^4	и5	и6	и7
Начальное состояние		РП(0)	0	0	1	1	0	0	1
Изменение	t<t0	РП(£0)	1	1	1	1	0	0	1
сигналов		РП(£0 + т)	1	1	1	1	0	0	1
		Pri(Z0 + 2т)	1.	1.	1	1	0	0	1
—	0	РП(£0)	1	1	1	1	0	0	1
	Z = Z'o	РП(1)	1.	1.	1.	0	1.	0	1.
		р||(/„-:)	1.	1.	1	0	0	0	1.
		Pri(Z0 + 2T)	1	1	1	0	1.	0	1.
		РП(£0 + Зт)	1.	1.	1	0	1	0	1
Изменение	1	РП(£0 + т)	1	1	1	0	0	0	1
	£ = i0 + T	РП(1)	1	1	1	0	1.	1	1.
		РП(£0 + 2т)	1	1	1	0	1	0	1
		Р П (zo + Зт)	1.	1.	1.	0	1	1	1
		Pri(Z0 + 4т)	1	1	1.	0	1.	1	1.
Изменение	2	Pri(Z0 + 2т)	1	1	1	0	1	0	1
zz5	t: = Zo + 2т	РП(1)	1.	1.	1	0	1	1	1
		Р!!('., + 3т)	1	1	1	0	1.	1	1.
		РП(£0 + 4т)	1	1	1	0	1.	1	1.
		Р П (£0 + 5т)	1	1	1	0	1	1	1
Изменение	3	РП(£0 + Зт)	1	1	1	0	1	1	1
	t: = z0 + 3т	РП(1.)	1.	1.	1	0	1	1	0
		РП(£0 + 4т)	1	1	1	0	1	1	1
		РII (/ „ + 5т)	1.	1.	1.	0	1.	1	0
		Р ГГ (Zo + 6т)	1	1	1	0	1.	1	0
—	4	РП(С0 + 4т)	1	1	1	0	1	1	1
	t=tQ + 4t	РП(1)	1.	1.	1	0	1	1	0
		РП(£0 + 5т)	1	1	1	0	1	1	0
		pri(zo + 6т)	1.	1.	1	0	1	1	0
		РП(£0 + 7т)	1	1	1	0	1	1	0
Изменение	5	РП(£0 + 5т)	1.	1.	1.	0	1.	1	0
U у	t = Zo + 5т	РП(1.)	1.	1.	1	0	1.	1	0
Решение		Pri(Z0 + 6r)	1	1	1	0	1	1	0
		Р П (£„ + 7т)	1.	1.	1	0	1	1	0
		РП(£0 + 8т)	1	1	1	0	1	1	0
Сквозные асинхронные алгоритмы требуют больших затрат машинного времени
и памяти компьютера из-за большого числа тактов и рабочих полей. Большое число
итераций объясняется тем, что число событий, происходящих в каждом такте, мало,
так как события распределяются в соответствии с задержками срабатывания эле-
ментов. По различным оценкам, в каждом такте доля акта визированных элементов
при моделировании комбинационных схем составляет 1...2,5 %. Следовательно, при
сквозном асинхронном моделировании, когда на каждом такте решаются все уравне-
ния математической модели, большая часть времени расходуется непроизводительно.
Тем не менее такие алгоритмы находят применение в ряде практических случаев при
моделировании устройств памяти, параллельной передачи данных по интерфейсным
шинам и т. п.

Приведем пошаговое описание алгоритма для однократного изменения входных
сигналов.

Алгоритм 3.3. Сквозное асинхронное моделирование ЦУ

Шаг 1. Задержки срабатывания элементов ЦУ нормируются к минимальной ив них т
и округляются до кратных величин. По значению М = ттах/т определяется
необходимое число рабочих полей М + 1.

Шаг 2. Формируются рабочие поля РП(±0)-,	РП(±^)? в которые заносится

начальное состояние устройства.

Шаг 3. В рабочие поля РП(±0).,	РП(±^.) заносятся новые значения входных

сигналов., текущее время моделирования полагается равным t = t&:f число тактов
моделирования k = 0.

Шаг 4. Производится однократное сквозное синхронное моделирование k-ro такта>
причем входные сигналы для j-ro элемента выбираются из Pn(t|!?)J а измененные
входные сигналы записываются в РП(±0 + /?т + т •) и все последующие поля., где
т. — задержка срабатывания j-ro элемента.

Шаг 5. В рабочее поле РП(±0 + /?т) переписываются сигналы из РП[±0 + (Л7 + /г)т]л
и ему присваивается время t0 + (Л? + k + 1)т.

Шаг 6. Текущее время моделирования полагается равным t = х = tQ + (/? + 1)
номер такта моделирования полагается равным k = k + 1.

Шаг 7. Производится сравнение Pn(tfe + х)^ . .	РП[±0 + (Л? + (k + 1)т]. Если

они не совпадают., то переходим к шагу 4., иначе моделирование отклика ЦУ на
изменение входных сигналов закончено.

Указанные ранее недостатки сквозного асинхронного моделирования обусловили
широкое применение при асинхронном моделировании ЦУ событийных алгоритмов.
При произвольных задержках срабатывания элементов асинхронное событийное
моделирование обычно организуется интерпретивными методами. Рассмотрим при-
мерную организацию событийных интерпретивных алгоритмов моделирования ЦУ
с учетом задержек.

Для организации событийных алгоритмов асинхронного моделирования ЦУ в про-
грамме формируется массив, хранящий очереди совершения событий и два рабочих
поля, в одном из которых, РП(1), хранятся текущие значения сигналов на выходах
безынерционных логических элементов, а во втором, РП(2), — значения сигналов на
выходах элементов задержки (см. рис. 3.4). Каждое событие в очереди совершения
событий содержит номер элемента, сигнал на выходе которого должен измениться,
и номер такта моделирования, в котором это событие должно произойти. События
в очереди упорядочены в порядке возрастания времени их наступления.

На каждом /г-м такте работы алгоритма из очереди совершения событий выбираются
события, которые должны, произойти в текущий момент времени t=tQ + /гт, и сигналы,
на выходах задержек в РП(2) устанавливаются такими, как и сигналы, записанные
для этих элементов в РП(1). Далее решаются логические уравнения для активизиро-
ванных изменениями сигналов элементов в РП(2). Если при этом на выходах активи-
зированных элементов изменяются сигналы, то новые значения сигналов заносятся
в первое рабочее поле, РП(1), а сами элементы. — в очередь Совершения событий, где
располагаются в порядке, определенном задержкой срабатывания данного элемента.
В результате моделирования длина очереди совершения, событий возрастает на число
элементов, на выходе которых в результате моделирования на данном такте изменился
выходной сигнал.

Для примера в табл. 3.5 приведен процесс событийного асинхронного моделиро-
вания ЦУ, показанного на рис. 3.5, а, при тех.же изменениях входных сигналов, что
и в предыдущем случае.

Таблица 3.5

Измене- ние сигна- лов	Такт, Мо- дельное время	Рабочие поЛя	Сигналы на узлах НУ							Очередь совершения событий
			входные			внутренние и выходные				
			“1	и2	из	и4	и5	и6	и7	
Начал ьное состояние		РП(0)	0	0	1.	1.	0	0	1.	—
Измене- ние сигна- лов	0	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1.  1	1.  0	0  1	0  0	1.  1.	К«4> /;0 + т)’ (а5,£0 + 2т)]
Измене- ние	1  £ = £0 + т	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1.  1	0  0	0  1	0  1	1  1.	К»5> £0 + 2т), (а6,£о+3т)]
Измене- ние ZZ 5	2  t = t'0 + 2т	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1  1.	0  0	1  1.	0  1.	1.  1.	1(*6, ^0 + ^Т)1
Измене- ние и б	3  £ = £о + 3т	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1.  1	0  0	1.  1	1.  1.	1.  0	| (а7, £0 + 5т)]
Измене- ние и7	4  t - tQ + 4т	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1  1.	0  0	1  1.	1.  1	1.  0	| (и7, £0 + 5т)]
Решение	5  t = t'o + 5т	РП(2)  РП(1)	1  1	1  1	1.  1	0  0	1.  1	1  1	0  0	—
Нетрудно убедиться в совпадении результатов, полученных с помощью сквозного
и событийного алгоритмов, и в упрощении процесса асинхронного моделирования при
использовании событийных методов. Временные диаграммы работы ЦУ, полученные
по результатам моделирования, приведены на рис. 3.5, б.

В событийных алгоритмах особенно остро стоит проблема обработки одновре-
менных событий. В описанном ранее алгоритме последовательность одновременных
событий, происходящих в одном такте, не анализировалась. Известны более совер-
шенные алгоритмы, позволяющие учитывать очередность событий в каждом такте
моделирования [7], однако они и более сложны в алгоритмической реализации.

Наибольших затрат машинного времени при работе событийного алгоритма требует
процедура включения события в очередь совершения событий и исключения из нее.
Каждое новое событие должно быть включено между двумя соседними событиями,
которые должны произойти в предыдущий и последующий моменты времени. Так как
события в очереди расположены в порядке возрастания времени и для поиска места
включения должны просматриваться поочередно, то время включения и исключения
оказывается пропорциональным длине очереди совершения событий, в сложных ЦУ
этот процесс требует больших вычислительных ресурсов.

Приведем пошаговое описание событийного алгоритма для однократного измене-
ния входных сигналов.

Алгоритм 3.4. Событийное асинхронное моделирование ЦУ

Шаг 1. Формируются рабочие поля РП(1) и РП(2)_, характеризующие состояние
элементов ЦУ без учета, задержки и с ее учетом., содержание которых
соответствует начальному состоянию ЦУ.,

Шаг 2. В РП(1) заносятся изменившиеся входные сигналы., и из сравнения РП(1)
и РП(2) формируется очередь совершения событий Q.

Шаг 3. Текущее модельное время полагается равным t = tQ.

Шаг 4. Из очереди совершения событий Q выделяется список элементов., события
на выходе которых должны произойти в текущий момент времени.

Шаг 5. Производится запись в РП(2) новых значений сигналов для очередных
событий из РП(1).

Шаг 6. Выполняется решение логических уравнений для активизированных
элементов ЦУ., на входы которых поступают сигналы., выбранные из очереди
совершения событий. Изменившиеся сигналы заносятся в РП(1).

Шаг 7. Уточняется очередь совершения событий., в которую заносятся
в соответствии с задержками срабатывания элементов изменившиеся сигналы
с шага 6.

Шаг 8. Проверяется очередь совершения событий. Если очередь не является
пустой (Q ± 0)j то увеличивается модельное время t = t + т и переходим
к шагу 4^ иначе моделирование ЦУ окончено.

Асинхронные алгоритмы двоичного моделирования позволяют более полно описать
работу ЦУ и переходные процессы в нем, выявить статические и динамические риски
сбоя. В ряде случаев, например при возникновении режима генерации, возможно
обнаружить и состязания сигналов в ЦУ. Недостатками этих алгоритмов являются
невозможность учета разброса задержек срабатывания элементов ЦУ и существенно
большие затраты машинного времени на моделирование, чем в синхронных алгоритмах.
3.4.	Моделирование цифровых устройств
многозначными алфавитами

Синхронное моделирование двоичными алфавитами не позволяетвыявить возможную
неоднозначность в поведении ЦУ, возникающую, например, из-за неопределенного со-
стояния ЦУ перед подачей входных сигналов, наличия элементов памяти, состязаний
сигналов на входах элементов и т. п. Асинхронное, двоичное моделирование ЦУ может
выявлять неоднозначность поведения устройства не во всех случаях, кроме того, оно
требует больших затрат маши иного времени для моделирования. Моделирование мно-
гозначными алфавитами (см. раздел 3.1) при умеренных затратах машинного времени
на моделирование — всего в 4... 6 раз больших, чем при моделировании двоичными
алфавитами, позволяет обнаружить состязания сигналов на входах элементов ЦУ
и оценить характер переходных процессов в нем.

При моделировании многозначными алфавитами задержки срабатывания элемен-
тов принимаются произвольными, а модели элементов характеризуются многозначны-
ми таблицами истинности, подобными приведенным на рис. 3.2. Для простоты изло-
жения в дальнейшем ограничимся. только моделированием ЦУ троичным алфавитом.

Моделирование ЦУ многозначными алфавитами производится в два этапа (метод
Эйхельбергера). На первом из них всем входным сигналам, которые должны изме-
ниться на данном такте моделирования, присваивается неопределенное значение X
(промежуточный набор) и выполняется синхронное моделирование ЦУ с использо-
ванием многозначных таблиц истинности. Состояние, в которое перейдет устройство,
фиксируется.

На втором этапе на входных узлах ЦУ устанавливается требуемый набор входных
сигналов и опять выполняется моделирование устройства с использованием многознач-
ных таблиц истинности, в котором в качестве начального состояния ЦУ используется
состояние, полученное на предыдущем этапе моделирования. Символы неопределенно-
го состояниях, оставшиеся на узлах ЦУ после получения установившегося решения,
будут свидетельствовать о возможности состязаний сигналов на входах элементов,
выходные сигналы которых имеют значения X. На элементах, получившихся в резуль-
тате второго этапа моделирования, значения сигнала 0 или 1 состязания невозможны.

Для примера выполним моделирование троичным алфавитом ЦУ, схема которого
показана на рис. 3.6, а.

Итерационные формулы для моделирования этого устройства по методу простой
итерации имеют такой вид:

u5,k “ V U3,k-V U6,k = WU-I л

A ll$k = л W9,£-P

UV,k ~ Z/7,Zf-l A W8,£-P

Результаты моделирования устройства при смене входных сигналов, показанной
на рис. 3.6, б, приведены в табл. 3.6.
Рис. 3.6. Моделирование ЦУ трехзначным алфавитом:
а — схема; б — результаты моделирования при отсутствии состязаний;
в — результаты моделирования: при наличии состязаний

Таблица 3.6

Этап троично- го моделиро- вания	Изменение сигналов, время	Номер итера- ции	Сигналы на узлах НУ								
			входные				внутренние и выходные				
			“1	Ц2	из	и4	и5	и6	и7		
1.	Начальное состояние	0	1	0	1	1.	1	1	0	0	1
	Изменение сигналов, i<i0	1	X	х	1	X	1	1	0	0	1
		2	X	X	1	X	1	X	X	0	1
		3	X	X	1	X	1	X	X	X	1
		4	X	X	1	X	1	X	X	X	X
	Решение	5/0	X	X	1	X	1	X	X	X	X
2	Изменение сигналов, i=t0	1.	0	1.	1	0	1	X	X	X	X
		2	0	1	1	0	1	0	1.	X	X
		3	0	1.	1	0	1	0	1	1	X
		4	0	1	1	0	1	0	1	1	0
	Решение	5	0	1.	1	0	1	0	1.	1	0
Временные диаграммы, иллюстрирующие работу ЦУ при такой смене входных
сигналов, показаны на рис. 3.6, б. Нетрудно заметить, что при выбранном наборе вход-
ных сигналов состязания сигналов в ЦУ будут отсутствовать, что и подтверждается
результа тами модели ро ван ия.

Рассмотрим теперь процесс моделирования этого же устройства в том случае, ког-
да набор входных сигналов приводит к появлению состязаний сигналов. Состязания
можно получить при следующем наборе входных сигналов: = 1, щ = 1, = 0, иА = О
(рис. 3.6, в). Выполним троичное моделирование устройства по той же схеме, что и в
предыдущем случае, с приведенным ранее набором входных сигналов. Результаты
моделирования сведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7

Этап троично- го моделиро- вания	Изменение сигналов, время	Номер итера- ции	Сигналы на узлах НУ								
			входные				внутренние и выходные				
			“1	U2	из	"4	U5	и6	и7	U8	U9
1	Начальное состояние	0	1	0	1	1	1.	1	0	0	1
	Изменение сигналов, z<z0	1	1	X	X	X	1	1	0	0	1
		2	1	X	X	X	X	1	X	0	1.
		3	1	X	X	X	X	X	X	0	1
		4	1	X	X	X	X	X	X	X	1
		5	1	X	X	X	X	X	X	X	X
	Решение	6/0	1	X	X	X	X	X	X	X	X
2	Изменение сигналов, Z’ = t:Q	1	1	1	0	0	X	X	X	X	X
		2	1	1.	0	0	1.	X	1	X	X
		3	1	1	0	0	1	1	1	X	X
	Решение	4	1	1.	0	0	1.	1	1	X	X

Как видно из табл. 3.7, в установившемся решении сигналы на узлах и8 и ид ЦУ не
определены, что и свидетельствует о Наличии предсказанных состязаний в устройстве
при таком наборе входных сигналов. Временные диаграммы, иллюстрирующие работу
ЦУ для этого случая, показаны на рис. 3.6, в.

Троичное моделирование позволяет обнаружить любые опасные состязания сиг-
налов, которые могут иметь место в устройстве при сравнительной простоте алго-
ритмической реализации и относительно небольших затратах машинного времени.
Недостатком моделирования троичным алфавитом является то, что из-за допущения
произвольности задержек срабатывания элементов оно может указывать на состязания,
отсутствующие в реальном устройстве. Это часто наблюдается при моделировании
сложных ЦУ с разветвлениями и счетными входами, где при троичном моделировании
любое переключение счетного входа приводит к состязаниям.

Алгоритм 3.5. Моделирование ЦУ трехзначным алфавитом

Шаг 1. Изменяющимся сигналам на входных узлах ЦУ присваиваются неопределенные
значения сигналы на внутренних и выходных узлах сохраняют значения>
соответствующие начальному состоянию устройства.

Шаг 2. Выполняется синхронное моделирование ЦУ троичным алфавитом одним
из описанных в разделе 3.2 алгоритмов от состояния., определенного на шаге 1.
Шаг 3. Сигналам на входных узлах ЦУ присваиваются изменившиеся значения^
сигналы на внутренних и выходных узлах сохраняют значения., полученные при
моделировании на шаге 2.

Шаг 4. Выполняется синхронное моделирование ЦУ троичным алфавитом
от состояния., определенного на шаге 3.

Шаг 5. По результатам моделирования исследуется возможность состязаний в ЦУ.

Несколько иначе производится моделирование троичным алфавитом установочных
последовательностей на ЦУ. Перед подачей входных сигналов элементы ЦУ могут
находиться в одном из устойчивых состояний, и разработчиков интересует, в каком
состоянии окажется ЦУ при подаче ему на входные узлы того или иного набора вход-
ных сигналов.

При моделировании установки ЦУ от неопределенного состояния всем сигналам
на внутренних и выходных узлах ЦУ присваивается неопределенное значение X, затем
за один этап выполняется троичное моделирование при заданном наборе сигналов на
входных узлах устройства. Если по окончании моделирования сигналы на каких-то
узлах ЦУ окажутся неопределенными, то данный набор входных сигналов не является
для ЦУ установочным.

Более подробные сведения о работе устройства можно получить при исполь-
зовании многозначных алфавитов: пяти-, семи- и девятизначного. По принципу
работы алгоритмы моделирования ЦУ этими алфавитами мало чем отличаются
от троичного моделирования, за исключением таблиц истинности для элементов.
Так же как и при троичном моделировании, допущение о произвольности задержек
при моделировании многозначными алфавитами может привести выявлению ма-
ловероятных в реальных схемах случаев статических и динамических рисков сбоя,
и состязаний сигналов.

Таким образом, моделирование ЦУ многозначными алфавитами позволяет опре-
делить всевозможные, даже маловероятные в реальных устройствах, риски сбоя
и состязания сигналов. Асинхронное моделирование двоичным алфавитом никогда
не указывает на ложные состязания и сбои, но позволяет обнаруживать их не во всех
случаях. Это привело к разработке методов логического моделирования ЦУ, занимаю-
щих промежуточное положение между многозначным моделированием и асинхронным
моделированием двоичным алфавитом. Из этих методов наибольшую известность
получили алгоритм моделирования с нарастающей неопределенностью и алгоритм
А-троичного моделирования, в которых принят троичный алфавит моделирования, то
есть возможности изменения задержек срабатывания элементов ограничены [1,7]. Суть
метода заключается в том, что моделирование на промежуточном наборе ограничива-
ется сверху некоторым числом итераций. Этот параметр задается заранее и косвенно
отражает степень разброса задержек элементов в схеме. При этом распространение
неопределенных значений X искусственно прекращается, не дожидаясь, пока процесс
сойдется. При Л-троичном моделировании используется модель единичной задержки.
Сходимость этого методане гарантирована, поэтому после выполнения максимального
числа итераций всем линиям, на которых сигналы не установились, присваивается
неопределенное значение.

Многозначное схемное моделирование ЦУ реализовано в широко распространен-
ных пакетах программ OrCAD, ADS и др.

3.5.	Моделирование НУ с помощью
высокоуровневых языков описания аппаратуры

Типичная комбинационная схема ЦУ в графическом представлении содержит на
странице экрана фрагмент, эквивалентный примерно 200 вентилям. Соответствен-
но, схема большой интегральной схемы (СБИС) на 10 000 вентилей будет занимать
50 страниц. Поэтому при разработке программируемых логических интегральных схем
(ПЛИС), СБИС и систем на кристалле (СНК) стали отказываться от схемного про-
ектирования из-за громоздкости схем и больших трудозатрат. На сцену вышли новые
программные средства, позволившие существенно упростить процесс моделирования
и проектирования ЦУ, содержащих 10 000 и более вентилей. Для решения таких задач
были разработаны специальные программные средства: ELLA, DACAPO, CASCADE,
AHDL, VERILOG, VHDL и др. [7], которые можно было использовать для быстрого
и компактного описания ЦУ и его моделирования.

Исторически сложилось так, что при разработке ЦУ и вычислительных устройств
с 80-х годов прошлого столетия наиболее широко применялся язык VERILOG,
разработанный в США для формального описания логических схем на всех этапах
разработки ЦУ.

Язык VHDL (Very High Speed Integrated Circuits Hardware Description Language)
был разработан в 1983 году. Это процессорно-ориентированный язык имитацион-
ного моделирования ЦУ. Он,более универсален и является стандартным языком
IEEE с 1993 года. Наряду с языками AHDL и VERILOG это базовый язык при
разработке современных компьютеров и ЦУ. Существенным достоинством VHDL
является его независимость от элементной базы, результаты проектирования могут
быть использованы через какой-то промежуток времени на новой элементной базе,
которая устаревает за2...5 лет. К настоящему времени появились версии VHDL для
моделирования ЦУ с помощью многозначной логики и для разработки аналоговых
СБИС.

В процессе проектирования на языке VHDL ЦУ описывается поведенческой мо-
делью, на которой отрабатывается ее алгоритм функционирования. Затем поведен-
ческая модель трансформируется в синтезируемую модель ЦУ, описанную на уровне
регистровых передач. Такая модель после трансляции компилятором-синтезатором
дает проектную документацию в виде описания схемы ЦУ на уровне вентилей —
так называемый EDIF-файл (Electronic Distribution International Format), который
принимают в качестве исходных данных все САПР изготовления ПЛИС и СБИС.
САПР выполняют замену идеальных вентилей библиотечными компонентами, их
размещение на площади кристалла, трассировку межсоединений, проектирование
технологических масок, проверку соответствия проекту. В результате получаются
файлы проектной документации изготовления кристалла и его логическая модель на
языке VHDL, учитывающая, задержки как в вентилях, так и в межсоединениях. Все
этапы проектирования: алгоритмический, структурный, логический и технологиче-
ский — сопровождаются моделированием и проверкой ЦУ с помощью VHDL-моделей.
Схема разработки проекта ЦУ, предназначенная для исполнения в ПЛИС, с помощью
пакета VHDL показана на рис. 3.7 [7].

САПР ПЛИС

Моделирование на VHDL

Рис. 3.7. Схема разработки! проекта ЦУ для ПЛ ИС

Рассмотрим процесс моделирования ЦУ в VHDL более подробно. Определенные
в пакете VHDL операции, типы и функции представляют собой фундамент языка,
на котором строятся системы для моделирования процессов в ЦУ, происходящих во
времени. Основой для этих систем служит соответствующий набор библиотек. Пакет
стандарта IEEE содержит более чем десяток библиотек и предназначен для дискрет-
ного асинхронного моделирования микросхем, а также синтеза логических схем на
всех уровнях, кроме уровня транзисторов.

При разработке ЦУ программист создает проект в VHDL. После компиляции
в проекте создается проектная библиотека, которая содержит все скомпилированные
объекты проекта. После запуска программы на моделирование выполняется связы-
вание между собой объектов проекта и назначение начальных значений переменным.

Элементы в реальных ЦУ работаютпараллельно. Параллелизм при моделировании
в VHDL задается в явном виде в параллельных операторах. Параллельным операторам
соответствуют одинаковые, по структуре виртуальные процессорные элементы (ВПЭ),
которые образуют нижний уровень в программистской модели вычислителя VHDL.
Структура каждого ВПЭ состоит из арифметико-логического устройства (АЛУ), ОЗУ
данных (ОЗУД), ОЗУ программы (ОЗУП) и необходимого количества источников
выходных сигналов (ИС) и приемников входных сигналов (ПС) (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Структура виртуального вычислительного процесса

АЛУ выполняет весь набор операций процесса: сложение, умножение, деление
с фиксированной и плавающей точкой, логические операции, операции над двоичными
числами с заданной разрядностью, функции с многозначным логическим представ-
лением разрядов и т. д. При выполнении этих операций постоянно контролируется
корректность результата и фиксируются ошибки.

В ОЗУ данных хранятся переменные, участвующие в вычислениях. Они имеют
статические адреса, но VHDL позволяет реализовать и динамический доступ к данным.

В ОЗУ программы хранится программа выполнения ВПЭ в виде цепочки опера-
торов. Операторы, включая условные операторы, выполняются последовательно друг
за другом, как в обычных языках программирования.

Источники и приемники сигнала служат для связи ВПЭ между собой. При по-
ступлении сигнала в ВПЭ приемник фиксирует событие и хранит как текущее- так
и предыдущее значение сигнала, которое используется как операнд в программе.

При выполнении в ВПЭ оператора с идентификатором сигнала выполняется чтение
содержимого приемника или источника сигнала. Источники генерируют выходные
сигналы не сразу, а в момент завершения программы и остановки ВПЭ. В этот момент
и организуется обмен исходными и промежуточными данными между Отдельными
вычислительными процессами.

Отдельным операндом любого ВПЭ является шина передачи глобальных перемен^
ных. Глобальная переменная может приниматься или передаваться из ВПЭ в произ-
вольные моменты времени.

Количество ВПЭ в системе равно числу процессов в модели VHDL после ее ком-
пиляции. Верхний уровень программистской модели составляет множество ВПЭ,
объединенных линиями связи, по которым процессы обмениваются сигналами мгно-
венно и без искажений. Клавиатура и дисплей, дисковая память, ОЗУ глобальных
переменных используются всеми ВПЭ как общие. Структура VHDL модели ЦУ на
верхнем уровне схематически показана на рис. 3.9.
Рис. 3.9. Верхний уровень VHDL-модели ЦУ с точки зрения пользователя

Язык VHDL работает на однопроцессорном компьютере, поэтому в архитектуре
вычислительного ядра VHDL приняты меры для организации псевдо параллельного
моделирования процессов. На рис. 3.10 условно показана архитектура симулятора
VHDL. Каждый ВПЭ в нем реализован как отдельный вычислительный процесс. Все
вычислительные процессы в ЦУ разделены на три подмножества: список спящих
процессов, список готовых к исполнению процессов и исполняемый.

Рис. 3.10. Архитектура симулятора VH DL
Если процесс получает входной сигнал, то он переводится в список готовых к ис-
полнению вычислительных процессов. Один из готовых к исполнению процессов
пересылается в кэш-ОЗУ центрального процессора компьютера для исполнения.
Исполняемый процесс выполняет все свои операторы в соответствии с семантикой
функционирования ВПЭ и с использованием библиотек процедур. Выработанные им
сигналы запоминаются и пересылаются другим вычислительным процессам, которые
являются приемниками этих сигналов в соответствии с логикой функционирования
ЦУ и переводятся в список готовых к исполнению. В свою очередь исполненный
процесс переводится в список спящих.

В центральном процессоре находится еще один исполняемый процесс, который
служит диспетчером для остальных процессов и называется ядром симулятора. Он
формирует списки спящих и готовых к исполнению процессов, а также определяет
очередность исполнения последних. Ядро симулятора пересылает сигналы от испол-
няемого процесса к другим процессам в соответствии с логикой функционирования
ЦУ. Кроме того, оно продвигает модельное время, выполняет связь с консолью, об-
служивает обращения к дисковой памяти и библиотекам.

Одним из важнейших назначений VHDL является описание проектов ЦУ при
автоматизированном проектировании микросхем. В основе технологии лежит авто-
матическая трансляция VHDL-описания ЦУ в схему на. логическом уровне, то есть
получение аппаратной модели. Эта трансляция выполняется с помощью специального
компилятора-синтезатора, работа которого основана на взаимно-однозначном отобра-
жении программистской VHDL-модели ЦУ в аппаратную модель. Таким образом, ка-
ждому ВПЭ с его программой ставится в соответствие некоторый специализированный
процессорный элемент, входы и выходы которого соответствуют входам и выходам
ВПЭ. При этом схема ЦУ подвергается, оптимизации в соответствии с заложенным
в компилятор алгоритмом — обычно по быстродействию или объему оборудования.
На аппаратную модель реализации VHDL налагаются ограничения, связанные с эле-
ментной базой физически реализуемой СБИС или ПЛИС. Эти ограничения имеют
прообразы в модели ЦУ.

Примером такой САПР для ПЛИС является система проектирования Quartus II
фирмы Altera. Компилятор Quartus состоит из ряда модулей, выполняющих следую-
щие функции: проверку проекта на наличие ошибок, логический синтез, размещение
и разводку проекта в ПЛИС, генерацию выходных файлов для моделирования проекта,
анализ временных характеристик, программирование. Компиляторы-синтезаторы
существенно различаются по возможностям оптимизации, наборам атрибутов, библи-
отекам процедур и функций, возможностям распознавания выражений VHDL. Более
подробно эти вопросы рассмотрены в [7].

3.6.	Моделирование неисправностей в цифровых
устройствах и синтез диагностических тестов

В процессе разработки, производства и эксплуатации ЦУ в составе различных радио-
электронных средств возникают задачи отыскания физических дефектов и неисправ-
ностей в них. Физические дефекты {defects) возникают либо в процессе изготовления,
либо при эксплуатации и проявляются на электрическом и логическом уровнях в виде
отказов различных видов {failures modes). Отказы моделируются (представляются)
неисправностями {faults) на логическом и функциональном уровнях. Следует от-
метить, что отображение из физической области на логический и функциональный
уровни облегчает процесс обнаружения отказов, так как многие физические дефекты
можно моделировать одной и той же неисправностью на логическом или функцио-
нальном уровнях. Кроме этого, некоторые неисправности (модели логического или
функционального уровня) не зависят от технологии изготовления интегральных
схем в том смысле, что одна и та же модель-неисправность применима к различным
технологиям. Далее в табл. 3.8 представлены наиболее распространенные типовые
модели неисправностей.

Таблица 3.8

Модель неисправности	Описание
Од ин оч н ые константы ые неисправности {stack at faults®, stack at faults 1)	Одна линия схемы принимает постоянное значе- ние 0 или 1
Kp ат н ы e ко н ст а нт н ы е неисправности {multiplestack at faults)	Две или более линий схемы имеют постоянные значе н ия си гнал ов
M о ст и ков ы е н е ис п р а в н о ст:и ( b ridging fa и Its)	Две или более линии схемы, значения сигналов на которых не зависят друг от друга в исправной схеме, становятся электрически связанными в неисправной
Н е и с п р а в н о ст ь «уст о й ч и в о е замыкание транзистора» {stuck on SON, stuck skort faults)	В КМОП-логике транзистор находится постоянно в замкнутом: (проводящем) состоянии
H e и сира в н о сть «у ст о йч и в :ы й обрыв транзистора» {«stuck open»- SOP faults)	В КМОП-логике транзистор находится постоянно в разомкнутом: (непроводящем).состоянии. При этом обычно он отключен либо от питания, либо от «земли» и ведет себя при этом как элемент памяти
Неисправность «задержка»	Вызывается задержкой распространения сигналов в одном или более путях схемы
Пер ем ежающиеся: неисправ- ности	Вызываются ухудшением: внутренних параметров схемы. Неправильные сигналы: возникают при некоторых, но не всех состояниях схемы.  Ухудшение параметров прогрессирует до тех пор, пока не проявится как постоянная неисправность
Неустойчивые неисправност и	Неправильные значения: сигналов вызываются наводками. Наводка может быть емкостной через шину питания или индуктивной

Окончание ►
Таблица 3.8 (окончание)

Модель неисправности	Описание
Дефектное р и ентирова н н ы е неисправности (defectoriented faults)	Неисправности электрического или логического уровня, которые вызываются дефектами на физи- ческом уровне
Фу н кци о н ал ьные неисправности	Используются в том случае, когда цифровые систе- мы описываются на функциональном уровне с по- мощью языков описания аппаратуры и представля- ют ся т а кж е яз ы ков ы м и с р ед ст в ам и. П о л н от а т ест о в также оценивается на функциональном уровне (покрытие путей, ветвлений и т. п. см. раздел 3.5)
Не и:с п равно ст и у р о в ня Я Р П	Соответствуют исправил ьному выпол нению.язы- ке вых конструкций ЯРП
Нетестируем:ые неисправности (untestable faults)	Неисправности, для которых не может быть построен тест. Среди них: избыточные неисправно- сти, чье присутствие не изменяет поведения схемы; неисправности, вызывающие неправильное поведе- ние схемы, но тесты для них не могут быть построе- ны данными методами. К ним: относятся, например, неисправности, препятствующие инициал изации последовательностных схем

Задачу поиска неисправностей можно свести к решению задачи разработки наборов
входных сигналов, позволяющих локализовать тип и место неисправности в логической
модели ЦУ При этом контролирующие и диагностические тесты должны выявлять
как устойчивые, так и перемежающиеся неисправности. Разработка тестов является
трудоемкой задачей, решить которую в большинстве случаев возможно лишь с при-
менением двоичного, реже троичного алфавита.

Поведение неисправного элемента в составе ЦУ часто отображают логическим
сложением или умножением его входных сигналов с соответствующей маской. На-
пример, при моделировании в схеме ИЛИ одиночной константной неисправности
типа «постоянная 1 на выходе» достаточно каждый раз при моделировании этого эле-
мента в набор его входных сигналов вводить логическую единицу сложением набора
выходных сигналов с маской, Содержащей символ логической единицы. Используя
логическое умножение, можно задать константную неисправность типа «постоянный О
на выходе», для чего следует умножить входные сигналы на маску, содержащую только
символы логического нуля. В этом случае оказывается ненужной отдельная программа,
управляющая моделированием дефектов, а устанавливать и отменять неисправности
можно в любом месте, не затрагивая структуры математической модели ЦУ.

Для комбинационных схем ЦУ существует ряд хорошо разработанных методов
построения контролирующих и диагностических тестов, описанных в [1]. По спосо-
бу формирования их можно разделить на две группы: алгоритмы случайного поиска
и направленные алгоритмы.

В первом случае, задав в ЦУ некоторую неисправность, с помощью датчиков слу-
чайных чисел формируют наборы входных сигналов и анализируются диагностиче-
ские способности каждого из них. Способность набора входных сигналов выявлять
неисправности в ЦУ проверяют сравнением отклика модели ЦУ при отсутствии не-
исправностей и при их наличии. Различие откликов свидетельствует о возможное™
диагностирования неисправности. После моделирования ЦУ неэффективные наборы
входных сигналов отбрасывают; исходя из следующих правил: набор входных сигналов
должен обнаруживать максимальное число, неисправностей, а число наборов, прове-
ряющих работу всех элементов ЦУ, должно быть минимальным.

Направленные алгоритмы, наоборот, формируют наборы входных сигналов, пред-
назначенные либо для выявления определенной неисправности, либо для проверки
данного участка ЦУ. По результатам моделирования определяется эффективность той
или иной комбинации входных сигналов и решается вопрос о включении ее в набор
контролирующих и диагностических тестов. Все направленные алгоритмы связаны
с большим перебором вариантов наборов входных сигналов, поэтому время поиска
оптимального входного набора обычно ограничивается программно.

Построение тестов для ЦУ с памятью более сложная задача, чем построение
тестов для комбинационных устройств. Это объясняется тем, что для проверки
ЦУ с памятью обычно необходимо использовать не один набор входных сигналов,
а последовательность таких наборов, кроме того, дополнительные трудности вносят
возможная неоднозначность поведения устройства и необходимость учета состяза-
ний сигналов в исправном и неисправном устройствах. По этим причинам объем
моделирования при подборе тестов для ЦУ с памятью в несколько раз больше, чем
для комбинационных. Алгоритмы, используемые для отыскания тестов для ЦУ
с памятью, как правило, представляют собой развитие соответствующих алгоритмов
для комбинационных ЦУ.

В заключение качественно сравним эффективность алгоритмов случайного и на-
правленного поиска диагностических тестов. При использовании алгоритмов случайно-
го поиска время генерации случайного набора входных сигналов много меньше времени
моделирования ЦУ и за короткое время можно получить тестовые входные наборы,
проверяющие неисправности, для которых число проверяющих наборов велико. Затем
эффективность работы алгоритма резко снижается, так как остаются неисправности,
проверяющиеся малым числом входных наборов, вероятность генерации которых
мала. Это иллюстрируется пунктирной кривой на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Эффективность алгоритмов случайного
и направленного поиска диагностических тестов

Для направленных алгоритмов время получения каждого набора входных сигналов
сравнимо со временем моделирования либо значительно больше него. Направленные
алгоритмы поиска диагностических тестов, таким образом, работают медленнее, чем
алгоритмы случайного поиска, но обеспечивают большую полноту тестов (сплошная
кривая на рис. 3.11). Наиболее целесообразно совместное использование алгоритмов:
на начальных этапах используются алгоритмы случайного поиска, а затем — направ-
ленные алгоритмы.

Обычно при производстве сложных ЦУ и СБИС разработанные тесты с помощью
систем АСНИ под управлением компьютера через интерфейсные устройства подаются
навходные узлы ЦУ и используются для поискан устранения неисправностей. Реакция
ЦУ на поданные входные сигналы вводится, в компьютер, где и выполняется анализ
работы ЦУ сравнением отклика реального устройства с теоретически полученными
значениями.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Составьте таблицы истинности для двухвходовых элементов ЦУ, реализующих
логические функции И — НЕ, ИЛИ — НЕ при троичном и пятизначном алфавитах
моделирования.

2.	Составьте таблицы истинности для двухвходового элемента ЦУ, реализующего
функцию сложения по модулю 2 (исключающее ИЛИ), при троичном и пяти-
значном алфавитах моделирования.

3.	Выполните сквозное и событийное моделирование двоичным алфавитом
схемы дешифратора кодов (рис. 3.12) при смене входных сигналов 1001111
на 101000.

Рис. 3.12. Дешифратор цифровых кодов
4.	Выполните сквозное моделирование троичным алфавитом для задания из п. 3.

5.	Проверьте, является ли набор входных сигналов 101001 установочным для де-
шифратора из п. 3.

6.	Приведите типовые модели неисправностей для ИС.

7.	Что такое константные неисправности?

8.	Что такое мостиковые неисправности?
Г лава 4

Математические модели РЭС
в частотной области

Как указывалось в главах 1 и 2, фазовые, переменные, полностью характеризующие
состояние объекта проектирования в частотной области, могут быть функциями
комплексной частоты s = /со. Этот случай соответствует анализу установившегося
режима при возбуждении линейной или нелинейной цепи источниками синусои-
дального сигнала.

В настоящей главе рассматриваются основные алгоритмы моделирования различно-
го уровня в частотной области, методы, решения систем линейных уравнений, а также
алгоритмы моделирования нелинейных радиочастотных трактов.

4.1.	Методы моделирования РЭС в частотной области

При моделировании РЭС в частотной области используется метод комплексных
амплитуд, суть которого заключается в том, что в установившемся режиме в любой
сложной электрической цепи при синусоидальном воздействии напряжения и токи
могут быть представлены в виде суммы синусоидальных составляющих: основной (со)
и высших (2со, Зсо...) гармонических составляющих. Подобный подход называют также
спектральным анализом устройства. Наиболее часто его применяют при анализе радио-
частотных трактов, в которых и протекают такие периодические синусоидальные токи.

В качестве фазовых переменных в частотной области применяются напряжения
и токи не только на отдельных элементах, но и на входах четырехполюсников и мно-
гополюсников, а также линейные комбинации напряжений и токов цепи.

К выходным параметрам радиоэлектронных средств в частотной области относятся
различные функции цепей — входные и передаточные комплексные сопротивления
и проводимости, коэффициенты отражения и передачи по напряжению и току, коэф-
фициенты усиления радиоэлектронных средств и др., причем для цепей с сосредото-
ченными элементами эти функции являются дробно-рациональными относительно
комплексной частоты.

Рассмотрим связь между некоторыми выходными параметрами. Так, если Х(/со) —
комплексный коэффициент передачи цепи, то частотная К(/оо) и импульсная харак-
теристики g(t) связаны между собой парой преобразований Фурье:

K(j(&) = Г	g(t) = — Г K(j(S))e-№ d(£>.

J	2 л J
Если используются аналоговые сигналы, то соотношения (4.1) — непрерывные; дагя
импульсных сигналов применяются специально разработанные алгоритмы дискретного
(в том числе быстрого) преобразования Фурье.

Представив комплексный коэффициент передачи в показательной форме
Х(/со) =	отмечаем, что Х(со) — ампли тудно-частотная, ср (со) — фазочастот-

ная характеристика цепи.

Импульсная и переходная h(f) характеристики связаны друг с другом соот-
ношениями

d	г

g(O = -j-A(O; Л(Г) = /й(т)</т.	(4.2)

at	0

При подаче на устройство произвольного входного сигнала выходной сиг-
нал ^ьк(0 во временной области можно найти с помощью интеграла свертки (Дюамеля ):

*„ых (0 = f	•	(4-3)

о

Этому соотношению в частотной области соответствует

хвы^=ка^хта^,	(4.4)

где Х13х(/со) и Хньге(/оо) — спектры входного и выходного сигналов.

Методы моделирования РЭС в частотной области можно разбить на две группы.
В первой из них используется связь между временными и частотными характеристи-
ками цепей, во второй — выполняется непосредственное моделирование выходных
параметров радиотехнических устройств.

Методы моделирования первой группы заключаются в.нахождении импульсной
характеристики g(i), определении по прямому преобразованию Фурье (4.1) частот-
ного коэффициента передачи и затем расчете по (4.4) спектров выходных сигналов
по заданным входным. Наконец, с помощью обратного преобразования Фурье (4.1)
находятся временные формы выходных сигналов.

В методах второй группы для анализа устройств используется выражение (4.4),
причем частотные функции цепи непосредственно моделируются по внутренним
параметрам устройств. При необходимости получить временные формы входного
и выходного сигналов используют соотношения (4.1)-(4.3).

В подавляющем большинстве случаев используются методы второй группы, в ко-
торых, для различных значений рабочих частот вычисляются значения частотных
характеристик устройств [1] — используется так называемый численный спектраль-
ный подход.

Большим достоинством частотных методов анализа по сравнению с временными
является высокое быстродействие, возможность анализа устойчивости и др. Они
наиболее удобны при использовании матриц классической и волновой теории для
моделирования РЭС, радиочастотных и излучающих устройств, комплексов радио-
электронных средств и т. п.
4.2.	Применение матриц классической и волновой
теории для моделирования РЭС

При частотных методах анализа все двухполюсные элементы, входящие в схему,
характеризуются своим комплексным сопротивлением 2 (/со) = г(со) + /х(со) или про-
водимостью z/(/co) = 1/2(700) = g(oo) + /2Ь(оэ), зависящими в общем случае от частоты.

Четырехполюсные и многополюсные элементы электрических схем описываются
одной из матриц параметров. Для упрощения изложения материала в дальнейшем
будем рассматривать только четырехполюсные элементы.

Все. матрицы параметров делятся на две основные группы:

♦	матрицы, соответствующие классической теории четырехполюсника;

♦	матрицы, соответствующие волновой теории четырехполюсника.

В первую группу входят матрицы сопротивлений (импеданса) Z, проводимости Y,
передачи А, гибридная Н и др. Во вторую — матрица рассеяния S и волновая матрица
передачи Т.

Элементы и структуру матриц рассмотрим на примере четырехполюсника N
(рис. 4.1). Пусть к обоим входам четырехполюсника подключены два независимых
источника с активным внутренним сопротивлением.

1 Л
-о—»—

I л

|у2

—•—о—

Рис. 4.1. Нап ряжения и токи на входах четырехполюсника

Матрицы классической теории четырехполюсника. В этом случае фазовыми
переменными, полностью описывающими цепь (см. рис. 4.1), являются частотные
характеристики комплексных амплитуд токов и напряжений на входах четырехпо-
люсника. Соответствующие элементы матриц связывают эти две пары переменных
в виде двух уравнений, поэтому при известных матрицах две из фазовых переменных
зависимые, а две — независимые (источники).

В зависимости от того, какая пара фазовых переменных выбирается независимой,
формируется таили иная матрица классической теории. Возможны шесть комбинаций
пар зависимых и независимых параметров. Все элементы матриц в общем случае также
являются функциями комплексной частоты.

В матрицах сопротивления (холостого хода) Z независимыми считаются токи на
входах, поэтому напряжения равны

“ 2пЛ + 212^2’
Р‘1 ~ 22iA + 222^2

или

U-ZI; U =

и.

2И 212
_221 222_

; z =

1 =


Элементы матрицы Z называются ^-параметрами и определяются в режиме холо-
стого хода того или иного входа четырехполюсника:

2

2И - г
Л

,=А
12 г

2 /,=0

^2

; £•><= —

21 /<

и,
г22 =~г

1 /,=о

(4.5)

/2=0



Сопротивления 21л и з22 называют входными, аз12 и z21 — передаточными. Для
взаимного четырехполюсника матрица Z является симметричной и передаточные
сопротивления равны з19 = 291.

Для определения матрицы проводимости (короткого замыкания) Y в качестве
независимых переменных задаются напряжения UY и Z72 на входах четырехполюсника,
тогда токи равны

А “ У"Щ У\^2^

или

1 = YU;

#21 #22

Элементы матрицы Y называются «/-параметрами и определяются в режиме корот-
кого замыкания того или иного входа:

#11 “

А

(4.6)

Проводимости уп и z/99 называют входными, а г/19 и г/21 — передаточными. Для вза-
имного четырехполюсника матрица Y является симметричной и передаточные сопро-
тивления равны. Отметим, что «/11 1/2и и т. д., так как эти параметры определяются,
в разных режимах, в то же время сами матрицы являются взаимно обратными: Z = Y-1.

Матрица передачи (цепная матрица) А соответствует передаче сигнала с левого
входа на правый, следовательно, независимыми фазовыми переменными считаются
выходные (для четырехполюсника) напряжения U2 и ток -12, а входные напряжение
и ток равны

^1”Л11^2	а12^2>

/1 ~ а21^2 ~ #22^2

ИЛИ

U

= А

и2

(4.7)

а12

; А =

Л

^21 #22
Элементы матрицы передачи А называются «-параметрами и определяются частью
в режиме холостого хода, частью — в режиме короткого замыкания второго хода:

а" и2



_ f7 i

Я!2 “г
/2

_А_

’ 6/21" и

’ а22 ~ _ г

/..=0	7 2

(4-8)

t/2=o

Элементы матрицы «1;1 и а22 называют коэффициентами передачи, соответственно,
по напряжению в режиме холостого хода и по току в режиме короткого замыкания на
втором входе. Элементы «12 и «21 — соответственно, передаточные сопротивление и про-
водимость при коротком замыкании и холостом ходе на втором входе (см. (4.5), (4.6)).
Знак «минус» в формулах (4.7), (4.8) указывает на то, что направление тока 12 удоб-
нее заменить на обратное, тогда «минус» исчезнет. Для взаимной цепи определитель
матрицы det А = 1.

Гибридная матрица Н получается, когда независимыми фазовыми переменными
считаются ток на первом входе 1Л и напряжение на втором входе U,r Тогда остальные
переменные равны

Ui=huii + hl2U2;

или

Элементы гибридной матрицы Н называются Л-параметрами и определяются в ре-
жиме холостого хода по первому входу и короткого замыкания — по второму:

1

Элементами гибридной матрицы И являются /?.11 и Л21 — соответственно, входное
сопротивление и коэффициент передачи по току при коротком замыкании на выходе,
/?.12 и h22 — соответственно, коэффициент передачи по напряжению и передаточная
проводимость при холостом ходе на входе. Для взаимного четырехполюсника дейст-
вует условие й19-+ /?.91 = 0.

Области применения рассмотренных матриц различны при разном включении
отдельных четырехполюсников в состав общей схемы. Так, матрица сопротивлений
удобна при последовательном соединении четырехполюсников с общими токами на
их входах, тогда общая матрица Z цепи равна сумме матриц Z} отдельныхчетырехпо-

п
люсников: Z = £ Z,.
/=1
Матрица проводи мости удобна при параллельном соединении отдельных четы-
рехполюсников с общими напряжениями на их входах, тогда общая матрица Y-цепи
п

равна сумме матриц Yf отдельных четырехполюсников: Y = X \ .
/=|

Цепная матрица удобна при каскадном соединении отдельных четырехполюсни-
ков, когда выходные напряжения и ток предыдущего четырехполюсника совпадают
с входными напряжением и током последующего. В этом случае матрица передачи А
каскадного соединения равна произведению матриц передачи А. отдельных четырех-
п

полюсников: A-JJA-.

Гибридная матрица Н удобна при смешанном соединении четырехполюсников:
последовательном — по входу, параллельном — по выхода Тогда матрица Н общей

и

цепи равна сумме матриц отдельных четырехполюсников: Н = У, Н-.

Связь между элементами рассмотренных матриц отражена в табл. 4.1. Определители
матриц связаны следующими соотношениями:

detZ = _J—detA = ii = ^2
detY й91	/?22

А21

detH = —= —= —

222 #lt

#22

Таблица 4.1

Ма-
трица

Z11 ZI2
_Z21 Z22.

1	Z22	Z12
det Z	.~Z21	’ll J

		
1	У22	“J/12
detY	-/Z2I	•Vil .
		ra

Z/ц Z/12

У22,

1	^11

«21 L1

1 ^22

Я12

det A

a22 .

-det A'

«и .

1 det H hi2

i //jo

A,, detH

1  Z2I	’zH detZ'  J Z99		-1  У2\	У22	1  detY			^11 ^12  (ly ।	^79	-1  /?2|	det H Aj । _^22	1
1  Z22	detZ .-22i	1 .		I i'll	1	~У[2  detY		1  "22	1	1  01 —  «з“ 1  1	1		^11 ^12  Jl2\ ^22.




По табл. 4.1 легко получить связь между элементами матриц при условиях:

♦ взаимности четырехполюсника з12 = -221, У\2 = ~У2Ь	А = 1, /г12 + /?.21 = 0;

♦ симметрии четырехполюсника t = 222, z/±t = z/22, aY t = a22, det H. = 1.

Возможны еще два типа уравнений, соответствующих двум комбинациям пар за-
висимых и независимых параметров, но они не получили широкого распространения:

\у2 J

Л.

£11	$12

ГМ

Пу,]
= А' J

2j L 1.

«II «12

ащ a'Q2

; А' =

Первая из них — гибридная матрица, обратная матрице Н, вторая — обратная
матрица передачи, соответствующая направлению передачи справа налево (см.
рис. 4.1).

Матрицы параметров наиболее часто применяемых четырехполюсных моделей
компонентов РЭС приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Вид четырех- полюсника				Элементы матрицы		
				Z	Y	A
•	  Z  •			_ j ” У	—•  	•	Не существует	У -у  -у У	1 z  0 1
•	  •			-г  -А-		•  1 У=Т  	•	Т N  N ?	Не существует	1 0  У 1
•—  Дл  ВОЛ лег пос стр	и иная линия, новое сопротив- нее JV,  угоянная распро- анения у			—/IVctgyZ	7  sin у/  / , jlVctgy/  sin у/	ctgyZ -у esc у/  W	IV  j CSC у/ -/ctgy/  IV	IV	cosy/ /IVsin у/ j sin у/	.  cosyZ It
J	> М2^  •	1	1	•  zz2/zz1 = п Идеальный транс- форматор				Не существует	He существует	n 0  0 l/n
Вид четырех- полюсника			Элементы матрицы		
			Z	Y	А
			Не существует	Не существует	l/tt 0  0 0
|«1 Q					
и 2 = р У}  И сточ н и к нап ря- жения, управляе- мый напряжением					
।	Ч  ▼ш  z2 = gz*i Источник тока, у пр а в л яе м ы и н а - пряжением			Не существует	0 0 ё °	о -i/g  0	0
			0 0  г 0	Не существует	0 0  1/г 0
•  г1	d)и’2  	 	ж				
112= ГЦ  Источник напря- жения, управляе- мый током:					
			Не существует	Не существует	О 1  о о
• г  ч					
г2 — Р г1 Источник тока, управляемый током.					

Матрицы волновой теории четырехполюсника. Эти матрицы вводятся для нагру-
женного четырехполюсника (рис. 4.2). В этом случае в качестве.фазовых переменных
принимаются комплексные падающие и отраженные волны — линейные комбинации
нормированных напряжений и токов на входах четырехполюсника:

(4.9)
Рис. 4.2. Нагруженный четырехполюсник

Используются два типа волновых уравнений, соответствующие двум комбинациям
пар падающих и отраженных волн: матрица рассеяния S и волновая матрица передачи Т.

Матрица рассеяния S связывает падающие волны (независимые переменные)
и отраженные волны (зависимые переменные) в виде уравнений

b\ =5|ia|+s|2a,;

= s21a[ + s22«2

или

Элементы матрицы рассеяния называются s-параметрами, и определяются они
в режиме наличия и отсутствия падающей волны с того или иного входа (наличия
или отсутствия генераторовили Е9 (см. рис. 4.2)), то есть их измерения проводятся
в согласованном тракте:

Подставив (4.9) в (4.10), получаем:

" mv 22 za+v’21 mv 12

где Z} и Z2 — входные сопротивления с первого или второго входа Соответственно,
когда источник на противоположном входе замкнут накоротко. Следовательно, диа-
гональные элементы и s22 матрицы рассеяния есть коэффициенты отражения по
первому или второму входам, а внедиагональные $12 и s21 — коэффициенты передачи
в прямом или обратном направлениях.

Для взаимного четырехполюсника матрица рассеяния симметрична и коэффици-
енты передачи равны: s12•=s21. Для четырехполюсника без потерь матрица рассеяния
унитарна: SS+= 1, где знак «плюс» означает комплексно-сопряженную транспониро-
ванную матрицу.

Волновая матрица передачи Т связывает волны на одном входе с волнами на дру-
гом входе. При этом в качестве падающих волн принимают волны, идущие в одном
направлении, а в качестве отраженных волн — идущие в другом. Если принять за
независимые фазовые переменные выходные волны bQ и aQi то входные волны а± и Ь±
определяются решением системы уравнений

а\ ~ ^1 А + ^;12Л2;

А - £2 А + ^;22Л2

ИЛИ

т =

= Т

Элементы волновой матрицы передачи Т называются ^-параметрами и определя-
ются при отсутствии второго генератора или отражений от него:

Волновая матрица передачи, как и матрица А, наиболее удобна при каскадном
соединении четырехполюсников. Общая матрица в этом случае также равна произ-

ведению соответствующих матриц: T=JJT-.

/=|

Элементы волновых матриц рассеяния S и передачи Т связаны соотношениями

5п 512

1 t21 detT

т =

S =

1	z;12 _

1	1	^22

б'.?1 5| । det S

Формулы связи между элементами классических матриц и матрицы рассеяния S
приведены в табл. 4.3.

Рассмотренные ранее матрицы параметров для четырехполюсников могут быть
распространены на случай произвольного многополюсника. При произвольном
соединении многополюсников наиболее часто используются матрицы рассеяния S
и неопределенные Y-матрицы.

В случае неопределенных Y-матриц фазовыми переменными модели являются
напряжения на входах многополюсника (рис. 4.3).

Неопределенная Y-матрица связывает напряжения и токи на входах многополю-
сника:

1= YU; 1= [^2•••zn]T’ U = [^2
Таблица 4.3

—	Z	Y		A	H
р	detZ +	+  + z22 + 1	det Y +	+  + 2/21 + 1	al	t + я12 + a2J + a22	detH + /711 + + Л22 +1
Y1	detZ +	—  — ^22 — 1	-det Y -	+  + 2/22 + 1.	al	+ tf|2 —	~~ ^22	det H +	-  _ ^22 “ 1
Ъ	detZ - z^ + + ^22 _ 1	-det Y + 2/11 -  #21 + 1	-(	/ц + «12 — fl2I + Cl22	-det H + /?11 — h*yj ~b 1
S	1 Y|	2zi2  P L2z21 У2 J	Ipi	-21/,, 1  P 2.//,, Y,	P	y. 2 det A  .2 У2 J	2 pl 2*12! P L"2Л21 У2 J

Рис. 4.3. Неопределенная Y-матрица

п

Так как сумма всех токов, втекающих в многополюсник, равна нулю:	= 0, то

н п

(4.11)

/-1

то есть определитель неопределенной Y-матрицы равен нулю. Так как напряжения щ
могут быть произвольными, то

п п

/=1	>1
то есть сумма элементов любого столбца или любой строки матрицы равна нулю. Если
один из узлов (например, /г-й) может быть заземлен, как обычно и бывает в РЭС, то
все напряжения можно отсчитывать относительно него. В матрице Y это эквивалентно
вычеркиванию /г-го столбца и /г-й строки. Сумма элементов оставшейся матрицы не
равна нулю, и такая матрица называется определенной Y-матрицей. Она связывает
внешние токи (токи внешних узлов) с узловыми напряжениями, отсчитываемыми
относительно.заземленного узла. Такая матрица и была рассмотрена ранее на примере
че тырехполюсника.

Неопределенную Y-матрицу несложно получить, даже если в модели РЭС исполь-
зуются модели базовых компонентов с различным числом полюсов: двухполюсники,
четыре зщолюсн ики и т. д. При наличии в модели РЭС только пассивных компонентов
неопределенная Y-матрица будет симметричной. Эта симметрия нарушается при
наличии в РЭС моделей активных компонентов.

Как будет показано далее, формирование. Y-матрицы легче выполнить для ее
неопределенной формы, хотя для нахождения выходных параметров устройства не-
обходимо использовать определенную Y-матрицу.

Рассмотренные матрицы классической и волновой теории широко применяются
при решении различных задач моделирования РЭС.

4.3.	Формирование системы уравнений
математической модели РЭС

с использованием матриц классической теории

Электрическую модель любого сложного радиоэлектронного устройства всегда можно
представить состоящей из четырехполюсных или двухполюсных моделей более про-
стых базовых компонентов (см. табл. 4.1 и 4.2), соединенных произвольным образом.
Соотношения для элементов результирующих матриц при различном соединении
четырехполюсников приведены в табл. 4.4 [1].

Используя табл. 4.2, в которой приведены элементы матриц базовых четырехпо-
люсников, табл. 4.1 и 4.3 для связи элементов матриц классической и волновой теории
четырехполюсников, а также табл. 4.4, где помещены соотношения между элементами
матриц при различном соединении четырехполюсников, можно получить выражения
для элементов результирующей матрицы, описывающей все устройство. Как указано
в предыдущем разделе, на основе результирующей матрицы классической либо вол-
новой теории многополюсника могут быть вычислены любые выходные параметры
устройства. Таким образом, процесс формирования уравнений математической модели
РЭС в частотной области сводится к нахождению элементов результирующей матрицы
модели устройства, состоящей из моделей базовых четырехполюсников, вычислению
выходных параметров по элементам результирующей матрицы и дальнейшему анализу
устройства с помощью выражений (4.1)-(4.4).

Однако такой подход к моделированию не очень удобен для алгоритмической реа-
лизации. Это объясняется необходимостью алгоритмизировать более 30 таблиц меж-
матричных преобразований. На практике для упрощения алгоритмической реализации
обычно выбирают матрицу передачи А в качестве промежуточной и преобразование
матрицыD в матрицу С выполняют последующей схеме: тип D е А, А е тип С. В этом
случае все возможные преобразования, которые необходимо алгоритмизировать,
можно свести к следующим:

(Z, Y, Н, S, Т) е А;
А е (Z, Y, Н, S, Т).

Таблица 4.4

Вид параметров	Схема соединений четырехполюсников						Результирующее соотношение
Z-napa метры							Z = Z j + Z?
	•	  9			21			•		
							
							
							
Y-параметры							Y = Y1 + У2.
			Yt				
							
			*2				
							
А-параметры							А — Aj А^
		Л,					
							
Н-параметры							н=н1 + н2
	*							
							
			Иг				
							

Следовательно, в этом случае необходимо алгоритмизировать лишь 10 возможных
межматричных преобразований. Матрица передачи имеет преимущества перед дру-
гими матрицами классической теории, поскольку она существует для большего числа
базовых четырехполюсников (см. табл. 4.2).

В некоторых пакетах программ взаимные преобразования полностью исключе-
ны. Это достигается описанием базовых четырехполюсников только В параметрах
матрицы передачи А и выражении результирующих матриц всех схем различных
соединений четырехполюсников, приведенных в табл. 4.4, через матрицы четы-
рехполюсников, записанных в параметрах матрицы передачи А. Например, для
различных схем соединения двух четырехполюсников, матрицы передачи которых
записаны в виде
«29

А" =

a!'t
a2l

tt

I2

//

«92

а

в соответствии с табл. 4.4 можно получить результирующие матрицы А-параметров
в следующем виде:

♦ для последовательного соединения четырехполюсников

	^11^21 +	1^21	а> + «" 1	^ц)(^21 #22 )	
А =	/	, и  Я2| + Я2|  ^21  «21 + «21	«12	।	«12  «9^«99 4” б?9|6?99  ^21 + Й21	#21 + #21	;	(4.12)

♦ для параллельного соединения

1^12	1^12

6712 * й12

л' ±л"	“а11Хй22

б72:1 + «21---------------------------

<2f2!2

Л12 + а12

(4-13)

♦ для последовательного соединения по входу и параллельного соединения по выходу

А =

^21^22

^22

+ ^21^21

+ «99

<2)<«2I -«21)	«196/99 4“	9«9|
«99 4* «92	Й99 + #92 «22«22 «99 4" «99

4- а{\

Применение выражений (4.12)-(4.14) позволяет существенно сократить затраты
на формирование результирующей матрицы моделируемого устройства. На основе
библиотеки базовых четырехполюсников и приведенных выражений в настоящее
время разработано большое число эффективных работающих программ для модели-
рования РЭС в частотной области.

Еще большей простотой отличается алгоритм формирования неопределенной
Y-матрицы, что и обусловило широкое применение этого метода моделирования
в различных пакетах моделирования и оптимизации радиоустройств. Как указано
в разделе 4.2, в основе этого метода моделирования лежит обобщенная запись первого
закона Кирхгофа для многополюсника. Рассмотрим подробнее алгоритм формирова-
ния неопределенной Y-матрицы.

На рис. 4.4 показана часть модели устройства, состоящей из двухполюсников
и имеющей п узлов. Предположим, что выделенный /-узел модели соединен с каждым
/г-узлом модели ветвью с проводимостью Y.^. Очевидно, что если два узла модели
непосредственно не соединены между собой, то соответствующая проводимость вет-
ви может быть приравнена к нулю. Кроме того, к /-узлу подходит ток от внешнего
источника тока. При отсутствии такого источника у какого-нибудь узла его значение
без потери общности может быть приравнено к нулю.

Рис. 4.4. Формирование неопределенной Y-матрицы

По первому закону Кирхгофа с учетом алгебраической записи токов для /-узла
можно записать

+ i}i +ij2 + ... + iJlt

= 0- =
a=i
kxj

(4.15)

На основании закона Ома для каждой ветви с проводимостью Y^k можно записать

=(ыу -u^Y*.

(4.16)

Подставляя (4.16) в (4.15), получим:

Я	.	II	п

k=\	k=\	k=\

j	kpf j	j

(4.17)

11	H

Здесь y^	определяют как собственную проводимость /-узла, у^ =	—

как взаимную проводимость между /- и /г-узлами. Записывая аналогичным образом
уравнения для всех узлов модели, можно получить систему уравнений (4.11).

Проведенные преобразования позволяют получить простой алгоритм формирова-
ния неопределенной У^матрицы для модели, содержащей только пассивные двухпо-
люсники. Диагональные.элементы получают как сумму проводимостей всех ветвей,
подходящих к /-узлу, недиагональные элементы у^ — как сумму проводимостей всех
ветвей, соединяющих /г- и /-узлы, взятую с обратным знаком. Поэтому для описания
моделей в виде неопределенной Y-матрицы часто используется табличный способ
описания модели в виде соединений «узел — ветвь».

При соединении произвольных многополюсников с известными неопределенными
Y-матрицами Y ги Y "(рис. 4.5) общая Y-матрица может быть получена простым включе-
нием заданных параметров матриц многополюсников в соответствующие позиции общей
Y-матрицы. Элементы матриц, попадающие в ячейки с одинаковыми номерами узлов,
суммируются. Так, для соединения многополюсников, показанного на рис. 4.5, получаем:

Y =

Y' О

О Y'

#11	Уч	у;5	- 0
#21	Ум	У25	- 0
#31	Ум	Ум	- 0
#41 -	Ум+Уи	#45 + #45 #46 #47
#51 -	Ум + Ум	#55	#55 #56 #57
0...	Ум	#65	#66 #67
0...	Уч	#75	#76 #77 _

Рис. 4.5. Соединение многополюсников

Для нахождения выходных характеристик радиоустройства требуется определенная
матрица Y, которая может быть получена из неопределенной путем исключения из
нее строки и столбца, соответствующих заземленному узлу. Методы решения полу-
чающейся при этом системы уравнений (4.11) описаны в главе 6.

В заключение рассмотрим алгоритм формирования Y-матрицы радиоустройства.

Алгоритм 4.1. Формирование определенной Y-матрицы

Шаг 1. Формируется неопределенная Y-матрица части модели РЭС_, составленной
из пассивных двухполюсников в соответствии с (4.17).

Шаг 2. Формируются неопределенные Y-матрицы для базовых многополюсников^
входящих в модель устройства.

Шаг 3. Суммируются неопределенные Y-матрицы пассивной части устройства
с неопределенными Y-матрицами базовых многополюсников в соответствии
с выражением (4.18).

Шаг 4. Исключаются из полной неопределенной Y-матрицы устройства строка
и столбец., соответствующие заземленному узлу.

Шаг 5. Переходим к. решению системы уравнений относительно напряжений
на входах многополюсной модели устройства для. нахождения его выходных
параметров.
4.4.	Формирование системы уравнений
математической модели РЭС

с использованием матриц рассеяния

Моделирование РЭС с помощью матрицы рассеяния S имеет ряд преимуществ перед
использованием матриц классической теории четырехполюсника. К ним можно отне-
сти прежде всего то, что измерение s-параметров выполняется не в режимах короткого
замыкания и холостого хода, а в согласованном тракте, что позволяет измерять их не
только для пассивных, но и для активных компонентов. Кроме того, осуществление
режимов короткого замыкания и холостого хода, особенно на сверхвысоких частотах,
вызывает большие трудности. В настоящее время выпускается большое число анализа-
торов цепей различных типов, с помощью которых производится экспериментальное
измерение s-параметров сложных элементов радиочастотных трактов и появляется
возможность включения моделей этих элементов в виде s-параметров непосредственно
в модель РЭС. Многие производители радиочастотных компонентов приводят на своих
сайтах s-параметры выпускаемой продукции для включения их в библиотеки пакета.
Результаты электродинамического моделирования отдельных элементов РЭС легко
могут быть представлены в терминах s-параметров, что позволяет включать их в схе-
мы радиочастотных трактов, комбинируя схемотехнические и электродинамические
методы моделирования РЭС.

При изучении алгоритмов,формирования для всего устройства матрицы рассе-
яния.S будем предполагать, что все компоненты РЭС представляются четырехпо-
люсниками, заданными своими матрицами рассеяния S(/), а моделируемое устройство
можно представить многополюсной цепью, составленной из отдельных четырехпо-
люсников (рис. 4.6).

Если не учитывать соединение четырехполюсников внутри модели РЭС друг с дру-
гом, то связь векторов отраженных и падающих волн на портах четырехполюсников
может быть записана в блочно-диагональном виде:

Ь(1)		S(l)	0	.	. .	0		а(1)
Ь(2)		0	S(2)	0	• •	0		а(2)
•		в	•	•	в в	в		•
Ю)		0	•	SQ) • •	0		аО)
•		в	•	•	• •	0		В
Ь(л)		_ 0	•	•	• 0 S(w)_		a(zz)

(4.19)

где b(/), a(j) — вектора отраженных и падающих волн на портах j четырехполюсника
(см. рис. 4.2); S(/) — матрица рассеяния / четырехполюсника.

Матрица рассеяния S всего РЭС связывает вектор отраженных волн на внешних
портах устройства Ь(е) с вектором падающих волн на этих.же портах а(е) (рис. 4.6).
Чтобы установить эту связь, перегруппируем строки в выражении (4.19) так, чтобы
вначале перечислялись все внешние порты, затем все внутренние. Тогда (4.19) можно
преобразовать к виду
b(e) _ S(ee) S(ei) а(<?)
b(/) S(ie) S(if) a(j)

(4.20)

где b(i), a(z) — вектора отраженных и падающих волн на портах, находящихся внутри
устройства; Ь(е), а(е) — вектора отраженных и падающих волн на внешних портах;
S(ee), S(ei), S(ze), S(«) — блоки блочно-диагональной матрицы в (4.19) после пере-
становки строк.

Выполнив в (4.20) поблочное умножение, получим:

b(<?) - S(ee)a(e) + S(ez)a(z);
b(z) = S(w)a(e) + S(n)a(z).

(4.21)

Чтобы получить искомую связь b(e) с вектором падающих волн на внешних же
портах а(е), из первого уравнения в (4.21) необходимо исключить вектор падающих
волн на портах, находящихся внутри устройства a(z). Для этого рассмотрим два со-
единенных портами четырехполюсника k и I(рис. 4.7), находящиеся внутри многопо-
люсной цепи (см. рис. 4.6).

Рис. 4.6. Многополюсиая модель РЭС в терминах S-матриц
	га]	—►	—►  b2(k) а//) «,(/;)	6j(Z)  ч2—	ч		га]	

Рис. 4.7. Схема соединения внутренних четырехполюсников

Как видно из рис. 4.7, падающие и отраженные волны на соединенных портах свя-
заны очевидными зависимостями: b9(k) = ал(Г), л2(/г) = />1(/). В матричной форме эта
зависимость может быть записана в виде

Z»2(^)

й2(/г)
«,(/)

где Cki— матрица, показывающая связь портов/г и / внутренних четырехполюсников.
Действуя подобным образом, для всех четырехполюсников, находящихся внутри мно-
гополюсной модели нашего устройс тва, можно записать связь отраженных и падающих
волн на соединенных портах:

b(z) = Ca(z),

(4.22)

где С — матрица, составленная из 0 и 1, описывающая связи портов внутренних че-
тырехполюсников.

Подставив (4.22) во второе уравнение (4.21), получим уравнение связи падающих
волн на внутренних a(z) и внешних а(в) портах Ca(z) — S(ze)a(e) “Ь S(iz)a(z), откуда

а(г) = [С - S(iz)]-1S(ie)a(e).	(4.23)

Используя (4.23) и первое уравнение системы (4.21), нетрудно найти связь между
векторами отраженных Ь(е) и падающих а(е) волн на внешних портах устройства:

b(e) = S(ee)a(e) + S(ez)[C - S(zz)]-1S(ze)a(e) =
= {S(ee) + S(ez)[C - S(zz)]-1S(ze)}a(e) = Sa(e),

где S= S(ee) + S(ez)[C - S(iz')]-1S(ie) представляет собой искомую матрицу рассеяния
S всего устройства и позволяет записать систему уравнений математической модели
через независимые переменные — а(е). По элементам результирующей матрицы
S можно определить выходные параметры РЭС и выполнить дальнейший анализ
устройства.

Моделирование с помощью S-матрицы требует больших затрат машинных ресур-
сов, чем моделирование с помощью матриц классической теории цепей, поскольку
приходится обращать матрицу обычно большого размера, а это довольно трудоемкий
процесс.
4.5.	Особенности моделирования нелинейных РЭС
в частотной области

На рис. 4.8 приведена классификация методов моделирования и анализа нелинейных
устройств в частотной области. Здесь используются различные признаки для клас-
сификации методов: режимы малого и большого сигналов, явные и неявные методы,
моделирование безынерционных (резистивных) и инерционных цепей, использование
различного математического аппарата — ряды Тейлора, Фурье, Вольтерра и др.

Рис. 4.8. Классификация методов моделирования и анализа нелинейных устройств
в частотной области

При подаче на вход нелинейного радиотехнического устройства нескольких сиг-
налов с частотами оо1} со2-> в схеме возникают колебания на высших гармониках
т2&2... и на комбинационных частотах ± т2&2 - Если амплитуды этих новых
гармоник малы по сравнению с амплитудами основных гармоник со1, со9 , то говорят,
что схема работает в режиме малого сигнала, в противном случае — в режиме большого
сигнала.

В режиме малого сигнала схемы делятся на безынерционные, содержащие только
нелинейные резистивные элементы, и инерционные, содержащие линейные или не-
линейные индуктивности и емкости.

Разработаны явные методы моделирования и анализа нелинейных устройств в ре-
жиме малого сигнала. Термин «явные методы» означает, что известно возбуждение
(например, u(t) на рис. 4.9, а), подаваемое на вход цепи с нелинейным элементом,
необходимо лишь найти реакцию нелинейного элемента, например i(t), на заданное
воздействие. В неявных методах и воздействие и(б), и реакцию i(t) необходимо опре-
делить (например, при подсоединении резистора к диоду, рис. 4.9, б).
а	б

Рис. 4.9. Подходы к моделированию нелинейных устройств: а — явный; б- — неявный

В явных методах характеристика нелинейного элемента аппроксимируется степен-
ным полиномом (обычно рядом Тейлора) и затем вычисляются амплитуды высших
гармоник с требуемой точностью. Подставляя функцию возбуждения в полином,
выполняя необходимые действия и группируя члены с частотами со1, 2со1} Зсо1, легко
определить амплитуды колебаний на выходе с этими частотами.

Реализация неявных методов моделирования в инерционных цепях осуществля-
ется двумя способами (см. рис. 4.8). При первом из них временными методами через
переходный процесс находится установившийся режим (см. главу 3), определяется
временная функция сигнала на выходе и С помощью преобразования Фурье определя-
ются амплитуды гармоник сигнала. Достоинствам такого подхода являются общность
и универсальность, так как при этом используются наиболее общее описание нелиней-
ной цепи — система нелинейных дифференциальных уравнений — и наиболее прямой
путь поиска решения этой системы — численное интегрирование. Метод позволяет
решить задачу анализа нелинейной цепи для любых уровней входного воздействия как
при одно-, так и при многосигнальном воздействии. К недостаткам метода относится
необходимость расчета переходного процесса в нелинейной цепи, анализ которого для
высокодобротных цепей и при многосигнальном воздействии длительный и весьма
неэкономичный с точки зрения затрат компьютерных ресурсов.

При втором способе неявного подхода используется оператор передачи в виде
функционального ряда Вольтерра, который является обобщением интеграла Дюаме-
ля (4.3) на случай нелинейной инерционной цепи и связывает выходной и входной
сигналы рядом в виде [1]

= £ у№=

t=i

li^j

99	90

= j (т)х(£ - т)б/т 4“ j j /?2	, т2) X (t - )x(z - т2)	+ ...,

где x(t) — входной сигнал;	— ядро Вольтерра — нелинейная импульсная

характеристика гс-го порядка. При /7 = 1 hA (т) — обычная импульсная характеристика.
Добавление членов при п > 1 соответствует учету нелинейных преобразований. Если
входной сигнал и нелинейности схемы не слишком велики, то достаточно использовать
сравнительно небольшое число первых членов ряда.
Выполнив преобразование Фурье, получим связь между входным и выходным
сигналом в частотной области:

w	k

Y(>,,>2,.... >„) = £Н(;copjco2,.... >,,)ПЛ(>/)>	(4-24)

&=!	/=1

где Я(/со1, /со2, > /%) — передаточная функция п-го порядка функционального ряда
Вольтерра.

Передаточные функции ряда Вольтерра определяются более просто, чем мно-
гомерные импульсные характеристики, и представляют собой коэффициенты
передачи нелинейной цепи, на вход которой поданы гармонические колебания оди-
наковой амплитуды с частотами оо1} со2, оо3,%, к выходному колебанию с частотой
С01 + ®2 +	+ — + со// ПРИ определенных соотношениях между частотами.

Анализ нелинейной схемы заключается в. итерационном решении системы урав-
нений типа (4.24) с последовательным определением частотных ядер Вольтерра
и уточнением воздействия и реакции нелинейного элемента. Метод функционального
ряда Вольтерра применяется только при относительно малых сигналах, так как при
больших сигналах и сильных нелинейностях ряды Вольтерра часто расходятся. Тем
не менее практически все современные пакеты моделирования РЭС включают метод
рядов Вольтерра как хорошо применимый к широко распространенным в аппаратуре
смесительным устройствам.

В режиме большого сигнала и больших нелинейностей также разработаны явные
и неявные методы. При этом в случае явных методов задается воздействие на нели-
нейный элемент в режиме большого сигнала и затем определяются гармоники реак-
ции нелинейного элемента на заданное воздействие. Подобный подход применяется
при расчете режимов генераторных приборов радиопередающих устройств, анализе
вентильных схем и др.

При неявном задании возбуждения на нелинейном элементе обычно выделяют ли-
нейную инерционную часть схемы и отдельно нелинейные безынерционные элементы
(рис. 4.10). Одним из самых распространенных неявных методов анализа нелинейных
схем при периодическом воздействии является метод гармонического баланса. Рас-
смотрим метод применительно к моделированию РЭС с помощью Y-матрицы, когда
предполагается, что все нелинейности моделируются нелинейными источниками тока
в нелинейной части цепи.

В методе гармонического баланса в любом /-сечении, связывающем линейную
и нелинейную части анализируемого устройства, искомое напряжение представля-
ется в виде укороченного ряда Фурье в тригонометрической форме с неизвестными
амплитудами A..,

>1 г	-1

j =	А /7 cos (i($t) + В - si n (/со/) ,

i=o L

где i = О...??. — число учитываемых гармоник напряжения, одинаковое для всех сечений,
i= 0 соответствует постоянному току; j= 1...т — количество сечений, равное числу
нелинейных источников тока; t — текущее время.
Затем эти ряды подставляются в аппроксимирующие зависимости для токов источ-
ников тока нелинейной части цепи, и для каждого сечения получаются ряды для токов,
текущих из нелинейной части цепи:

Ij = У [с, cos (iwt) + D- sin (ko£) + У [C-- cos (zcof) + D- sin (zojf) ,
f=0	/=«+!

где j = при этом теоретически амплитуды гармоник тока нелинейных источников
зависят.от всех амплитуд гармоник напряжения: Ц-, D- = f(А^, Ад,А^}, В/я), а длина
ряда Фурье для токов всегда больше п и может быть даже бесконечной.

Для линейной части цепи справедлив метод суперпозиции, и для определения
токов из линейной инерционной части цепи находят элементы матриц Y на частотах
/со, 2- 0,..., п\ Y(0), Y(co)...Y(?7.co).

После чего приравниваются амплитуды при косинусоидальных и синусоидальных
составляющих гармоник тока одинакового порядка из линейной и нелинейной частей
в каждом сечении:

т

X Л (О) А'о = С70 (4/о’ Aji ’ Bji ’ * * *» Ajn»Bjn)»
k=i

m

У Re) jk (co) Aj| —	(Ajo, Aj।»• *•» Ajn, BjJ{),

Jbl

m

=D;1 Л.ОМЛ,5.Р .... А^,В., ;

m

£Не^(2<о)Лу2 =CJ2{Aj0,AjvBjv .... Ahl,Bjn ;

fc.1

tn

X Im Y^Bj 2 = D.2[A.0,A.v Bjx............A^B.,)-,

m

У Re 1 д(//co)A.)t — Cjlt yAjQt A^fBj^ ..., Ajn, Bjn j,
k=\

tn	.	.

= DJU (Aj^B»..........AJn,Bjtt)

Jbl

для всех j = l...m

(4.25)

В итоге для каждой из неизвестных амплитуд гармоник напряжения А1о, А20,..., А^,
В#,..., В.тп (4.25) представляет собой систему (2/г + 1) т алгебраических, в общем случае
нелинейных гармонических компонентных уравнений, решение которой выполняют
одним из численных методов. Таким образом, осуществляется переход от системы не-
линейных дифференциальных уравнений во временной области к системе, нелинейных
алгебраических уравнений в частотной области, что упрощает анализ.
Рис. 4.10. Пример представления нелинейной цепи для анализа
методом гармонического баланса

Метод гармонического баланса может быть применен при любом количестве вход-
ных сигналов с различными частотами, необходимо только учесть соответствующие
гармонические компонентные уравнения.

Ошибка метода гармонического, баланса определяется как отношение нормы ам-
плитуд неучтенных гармоник тока нелинейной части цепи к норме амплитуд первых
учтенных п + 1 гармоник:

Обычно по умолчанию в пакетах программ принимается значение е < 10-3. Если
в процессе моделирования значение s велико, то повторяют моделирование с увели-
чением числа учитываемых гармоник п до получения необходимой точности.

Главными недостатками метода гармонического баланса служат большое количе-
ство уравнений и негарантированная сходимость решения системы уравнений,
решение которой зачастую требует вмешательства проектировщика.. В тоже время
этот метод, в отличие от методов анализа в режиме малого сигнала, связан не с разло-
жением в ряд Тейлора, а с разложением в ряд Фурье, и поэтому его точность зависит
не от амплитуды сигнала, а от количества учитываемых гармоник.
К методу гармонического баланса примыкают проекционные (вариационные)
методы, которые построены на основе итерационной процедуры с последовательным
увеличением числа учитываемых гармоник. В ряде случае в анализ удобно выполнять
методом коллокаций, добиваясь строгого решения на ограниченном числе точек на
периоде основного колебания частоты со.

Рассмотренные методы моделирования и анализа нелинейных каскадов радиоча-
стотных средств находят широкое применение при разработке САПР РЭС и исполь-
зуются, например, в пакетах Microwave Office, Ansoft Designer, ADS и др.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Назовите способы моделирования РЭС в частотной области.

2.	Назовите режимы определения параметров матриц Z, Y, А и Н четырехполюсников.

3.	В чем различие вычислений параметров классических и волновых матриц четы-
ре хпо люсни ков?

4.	Сформулируйте условия, налагаемые требованиями взаимности и симметрии
четырехполюсников на элементы классических и волновых матриц.

5.	Определите элементы классических матриц для реактивной цепи, изображенной
на рис. 4.11, а.

6.	Определите элементы волновых матриц Y и Н. для схемы из п. 5.

7.	Определите элементы матриц импеданса Z и передачи А для цепи, изображенной
на рис. 4.11, а.

z,	z2

а	$

Рис. 4.11. Примеры схем четырехполюсников

8.	Определите элементы матриц проводимости Y для цепи, изображенной на
рис. 4.11, б'.

9.	Определите элементы матрицы рассеяния S для цепи, изображенной на рис. 4.11, б.

10.	Перечислите явные и неявные методы при моделировании нелинейных устройств
в режиме малого и большого сигналов.

И. Составьте уравнение гармонического баланса для цепи, изображенной на рис. 4.12,
если гармонический ряд для напряжения имеет вид и = Aq + At cosco/; + sin со/;.
Рис. 4.12. Пример схемы для метода гармонического баланса
Глава 5

Учет влияния разброса параметров
элементов на характеристики РЭС

5.1.	Формулировка задач учета влияния
разброса параметров

Ни один параметр .элемента РЭС не может быть реализован со значением, в точности
равным номинальному. На отклонения будут влиять технологические погрешности
изготовления самого элемента, разброс параметров материалов, из которых он выпол-
нен, а также условия эксплуатации (старение элемента, температура, влажность и т. п.).
Следовательно, параметры элементов РЭС есть случайные величины с оцределен-
ными статистическими характеристиками. Наличие разброса параметров элементов
неминуемо приводит к появлению разброса внешних характеристик РЭС, поэтому
последние — тоже случайные величины, но уже с неизвестными статистическими
характеристи ками.

Конечно, найти разброс внешних характеристик можно, изготовив опытную партию
разработанного компонента РЭС, экспериментально исследовав их внешние харак-
теристики и выполнив статистическую обработку результатов измерений. Однако
такой подход требуетзначительныхзатрат времени, материалов и труда, а в результате
компонент может оказаться непригодным к серийному выпуску. Поэтому возникает
необходимость учета влияния разброса параметров с помощью компьютера при замене
изготовления и испытания образцов их математическим моделированием. При этом
можно ввести следующую классификацию решаемых задач.

1.	Допусковый анализ — заданы структура компонента РЭС и его номинальные па-
раметры, а также допуски на них. Требуется найти возникающие допуски внешних
характеристик компонента. Данная задача решается, когда устройство полностью
спроектировано и необходимо лишь проанализировать влияние разброса пара-
метров для оценки изделия при его выпуске в серию и необходимости введения
подстроенных элементов.

2.	Допусковый синтез — заданы структура компонента РЭС и его номинальные па-
раметры, а также допуски на внешние характеристики. Требуется найти допуски
на параметры элементов. Данная задача обратна допусковому анализу и возника-
ет, когда устройство спроектировано, но еще не выбраны требования к точности
изготовления элементов.

3.	Статистический параметрический синтез — заданы структура компонента РЭС,
допустимые границы его параметров и допуски на них, а также требуемые уровни
и допуски для внешних характеристик. Требуется найти номинальные параметры.
Данная задача возникает; когда разброс параметров необходимо учесть еще на этапе
проектирования компонента.

4.	Статистический структурный синтез — заданы лишь требуемые уровни внешних
характеристик компонента РЭС и допуски на них. Требуется найти структуру ком-
понента и номинальные параметры. Учитывая, что проблема структурного синтеза на
компьютере, даже по детерминированной модели, в настоящее время решена лишь для
ограниченных классов цепей, данную задачу в дальнейшем рассматривать не будем.
Наиболее наглядное решение указанных задач можно было бы. получить, найдя
в явном виде связь допусков на параметры с допусками на внешние характеристики.

Введем понятие функции качества F(W) — некоторой функции, зависящей от
вектора параметров W и являющейся интегральной оценкой качества всех интере-
сующих нас внешних характеристик компонента РЭС (способы построения данной
функции будут описаны в главе 7). Пусть известен также вектор номинальных
значений параметров Wo, которому соответствует номинальная функция качества
F(W0). Вследствие наличия разброса конкретная реализация вектора параметров
компонента отличается от номинальной на вектор отклонений AW, а функция ка-
чества для него — .F(W0 + AW).

Разложим данную функцию качества в многопараметрический ряд Тейлора вокруг
номиналов Wo в виде

,	\	/	\ 1	3F(W0)	1	£ 32F(W0)

F Wo + AW) = F Wo + T £ -4-^Д®,. +^£2 T..........\..+....

i=l.	I	i=l j—\ t j

тд,е Aw,f, i = 1,2,..., n — компоненты вектора отклонений AW.

Данный ряд содержит бесконечное число членов и непригоден для практического
решения поставленных задач. В зависимости от значений отклонений параметров
можно выделить два случая.

1.	Случай малых отклонений. Отклонения AW малы настолько, что в данном выра-
жении можно пренебречь всеми членами ряда, кроме первых двух. Этот случай
характерен в основном для пассивных схем, выполненных на дискретных элементах
или по гибридной технологии. Как будет показано в дальнейшем, основным ме-
тодом решения задач учета разброса параметров элементов при этом будет метод
коэффициентов чувствительности.

2.	Случай больших отклонений. Компоненты вектора AW довольно велики, и пре-
небрежение высшими членами ряда невозможно. Такие разбросы характерны для
полупроводниковых приборов, и для их учета необходимо использовать методы
статистического моделирования.

Необходимо отметить, что граница между малым и большим отклонением довольно
условна и определяется не только собственно вектором AW, но и значениями частных
производных функции качества, то есть чувствительностью цепи к изменению пара-
метров. Поэтому отклонение в единицы процентов для элемента, входящего в высо-
кодобротный колебательный контур, уже может считаться большим. В среднем же за
границу этих двух случаев принимают разброс порядка 5 %.

Рассмотрим более подробно пути решения названных задач.
5.2.	Метод коэффициентов чувствительности

Итак, пусть разбросы параметров элементов довольно малы и можно пренебречь
высшими членами ряда Тейлора. Тогда будет справедливо приближенное равенство

F(W0 + AW) = f(We) + £

/=|



или

.	.	. .	"3F(W0)

AF(AW) = F(W0 + AW)-F(W0) = £ fa Awf	(5.1)

Это выражение и представляет собой искомую связь разброса параметров с раз-
бросом внешних характеристик.

Входящие в (5.1) частные производные функции качества по параметрам называ-
ются коэффициентами чувствительности:

, 9f(Wo) ,- =
' to

п.

Отметим, что абсолютное значение коэффициента чувствительности а. характе-
ризует степень влияния отклонения параметра на функцию качества, а знак — «на-
правление» влияния (при щ > 0 функция качества с увеличением возрастает, а при
а,} < 0 — уменьшается).

Однако введенные таким образом коэффициенты чувствительности а. обладают
существенным недостатком — их нельзя сравнивать для различных параметров, так
как значение коэффициента зависит от значения самого параметра. Поэтому для целей
сопоставления влияния различных параметров (например, при выделении элементов
подстройки) пользуются нормированными коэффициентами чувствительности

9F(W0)/F(We)	w(>.

'	' F(W0)'

(5.2)

Если функция F(W) может быть получена аналитически, то и коэффициенты
а.} можно вычислить непосредственно. В противном случае необходимо будет вос-
пользоваться методами численного дифференцирования (см. раздел 6.5). При этом
потребуется многократное вычисление функции F(W) — один раз для определения
F(W0) и п раз для определения ее значения при отклоненных параметрах (при
условии использования односторонних разностей) или 2п раз при двусторонних
разностях.

Рассмотренный способ вычисления коэффициентов чувствительности при помощи
численного дифференцирования получил название метода приращений. Его основное
достоинство универсальность, а недостатки — значительные вычислительные затраты
и невысокая точность. В САПР РЭС применяются еще несколько методов определения
коэффициентов чувствительности — метод присоединенной схемы, вариационный
метод и т. п., однако они предназначены для работы лишь с моделями устройства в виде
системы ОДУ. Следовательно, эти методы обладают ограниченными возможностями
(хотя и обеспечивают большую точность и малые вычислительные затраты), поэтому
здесь подробно не рассматриваются.

Пусть в итоге коэффициенты a., i = 1,2,..., п определены. Тогда формула (5.1) будет
приведена к виду

W	п

AFUW = X	= £ Ci,	(5.3)

i=l	/=1

где q — частные отклонения, характеризующие вклад г-го параметра в изменение
функции качества.

Применим найденные коэффициенты дня решения задач допускового анализа
и синтеза.

Лопусковый анализ

Подставляя в выражение (5.3) в качестве отклонения Л;»; допуск на соответствующий
параметр Лжл = (±s;), находим допуск на функцию качества s/;b виде

w

ef = Ха,(±е;)-	(5-4)

Ml

В зависимости от способа выбора знака перед допуском %, возможны два частных
случая.

1.	«Наихудший» случай. Знак перед допуском принимается одинаковым со знаком

и

соответствующего коэффициента чувствительности	|а,| Е,, то есть направ-

/=1

ление отклонений параметров выбирается таким, чтобы sF имела максимальное
значение. Такая оценка sFявляется граничной и, следовательно, излишне жесткой.

2.	Случай граничных пар. Необходимо вычислить значение ,8гпри всех возможных
комбинациях знаков допусков si (для этого потребуется выполнить вычисление sF
2" раз; при не слишком большом числе параметров эта задача вполне реальна, так
как собственно коэффициенты а- требуется определять лишь однажды), а.затем
найти, к примеру, математическое ожидание его дисперсию и т. п.

Важной особенностью этих способов допускового анализа является то, что они не
требуют задания статис тических характеристик параметров устройства, а используют
лишь информацию о величине допуска.

Лопусковый синтез

Формула (5.3) не обеспечивает возможности непосредственного решения задачи до-
пускового синтеза, поскольку приводит к одному уравнению с п неизвестными. Сле-
довательно, необходимы дополнительные условия. В зависимости от их определения
различают несколько методов синтеза.
Метод равных отклонении. Принимаем допуски на все параметры равными, то есть
s- = е = const, i = 1, 2, ..., п.

Тогда (5.4) преобразуется к виду = е^ pzf|, откуда с ле дует тривиальное решение
ы

/п
\а> |.
Ml

Подобно «наихудшему» случаю при допускевом анализе, данный метод дает слиш-
ком жесткие ограничения на разброс параметров, так как ориентируется на наиболее
сильно влияющие элементы.

Этот метод можно несколько усовершенствовать. Ориентируясь на коэффициен-
ты чувствительности, разобьем все параметры на две группы: щ «сильновлияющих»
и п2 = п - п± «слабовлияющих» — и зададимся допустимым относительным вкладом
каждой группы в полное отклонение функции качества (например, соответственно
ki и /г9, причем + k2 = 1). Тогда и допуск для каждой группы также получится свой.

Варьируя величину /г1? можно итеративно подобрать приемлемое соотношение
допусков gj и s2. Естественно, возможно разбиение и на большее число групп.

Метод равных влияний. Здесь равным для всех параметров принимается не
допуск е, а частное отклонение с-{ = | | г,{ = с = const, i = 1, 2,..., п. Тогда из (5.4) опре-
деляем с = 8Г/??, откуда искомое выражение дня допуска на параметр w} находим как
e;=c/|aJ = eF/(K|a,.|).

Этот метод дает значение г. гораздо более близкое к реальным условиям, но и оно
еще далеко от оптимального. При необходимости в этом методе можно также вос-
пользоваться разбиением параметров на группы с различной степенью влияния на
функцию качества.

Другим способом получения более реалистичных требований на допуски элементов
является учет статистического характера параметров. Так, если предположить, что все
параметры распределены внутри интервала частного отклонения по равномерному
закону, то дисперсия этого распределения будет равна v'j =	е^/3 , а дисперсия

н
функции качества найдена как	.

/=1

Предположим далее, что допускается некоторая вероятность брака (то есть невы-
полнения условия допускового синтеза) Рб. Тогда из интеграла вероятности можно
найти соответствующие допустимые значения eF/aF. Так, при Рб = 0,003 получим
87/иг=3, а при Рб = 0,05 имеем eF/cF= 2. Поскольку частные отклонения для всех пара-
метров равны, то Оу = <JF /п, откуда окончательно получаем £; = а/З gf (р6)/(^|«,.|).
Можно показать, что полученный таким образом допуск существенно, больше, чём
найденный ранее. Предположение о нормальном законе распределения внутри частного
отклонения вместо равномерного дополнительно смягчает требования к допускам.

Оптимизационные методы. Наиболее универсальным способом осуществления
допускового синтеза с применением коэффициентов чувствительности является
способ, основанный на поиске условного экстремума (минимума или максимума)
некоторой вспомогательной функции. R(X), называемой целевой функцией (методы
поиска экстремума будут рассмотрены подробно в главе 7). При этом целевая функция
есть функция от допусков на параметры, в качестве условия ограничения будет высту-
пать выражение (5.4), а сам поиск станет производиться не в пространстве параметров
W е [W.nin > WnKK ],а в пространстве допусков £ е [emin, £max ].

Простейшим случаем служит случай максимального суммарного допуска, когда

w

принимается 7?(Х) = X е* и задача допускового синтеза записывается в виде

ы

п

5л

max S

п

»=1

Как сама целевая функция, так и ограничения являются линейными функциями
относительно допусков s-. Следовательно, здесь можно применить методы решения
задачи линейного программирования [1].

Более сложный случай — формирование целевой функции не непосредственно
по допускам eif а через некоторые зависящие от допусков вспомогательные функции.
Так, например, целью допускового синтеза можно поставить минимизацию стоимо-
сти изготовления радиоэлектронного изделия в целом. При этом необходимо задать
функциональную связь стоимости реализации каждого параметра s. сего допуском
ef. s.j =	i = 1, 2,..., n и записать задачу допускового синтеза в виде

и

j‘=i

п

В зависимости от вида функции ffa) данная, формулировка приводит к задаче
линейного [1] или нелинейного (глава 7) программирования.

Таким образом, в случае малых отклонений с помощью коэффициентов чувстви-
тельности можно решить задачи допускового анализа и синтеза.

5.3.	Статистические методы учета
разброса параметров

В случае больших разбросов параметров пренебречь высшими членами ряда Тейлора
не удается и для решения, задач допускового анализа и синтеза необходимо исполь-
зовать методы статистического моделирования, наиболее известный из них — метод
Монте-Карло. По своей сути этот метод аналогичен натурному макетированию, од-
нако вместо изготовления макета из элементов с разбросом используется генерация
вектора случайных параметров с заданными статистическими характеристиками
(средним, дисперсией и т. п.), а вместо измерения внешних характеристик макета — их
вычисление с помощью алгоритмов моделирования. Несомненным преимуществом
метода Монте-Карло перед методом коэффициентов чувствительности (вынуждаю-
щим зачастую использовать его и в случае не очень .больших разбросов параметров)
является возможность учета любых статистических законов распределения параметров,
любой функциональной (в том числе корреляционной) связи параметров, а также
любых дополнительных условий-ограничений на параметры компонента РЭС и его
внешние характеристики.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло для допускового анализа и синтеза.

Лопусковый анализ

Алгоритм 5.1. Допусковый анализ методом Монте-Карло

Шаг 1. Выполняется генерация случайной реализаций вектора параметров
компонента РЭС Ш^. При этом каждая компонента вектора т =	2., п

генерируется с соответствующими статистическими характеристиками (закон
распределенияматематическое ожидание? дисперсия., корреляция и т. п.).

Шаг 2. Проводится моделирование компонента РЭС с данным вектором параметров
и определяется реализация внешних характеристик Н^.

Шаг 3. По полученным внешним характеристикам вычисляется реализация функции
качества = F(Wfe).

Шаг 4. Заданное число раз повторяются шаги 1...3. Число повторений М зависит
от требуемой точности статистического моделирования.

Для ориентировочной оценки необходимого значения М можно воспользоваться
формулой М-> 1/[Д2(1 - Рд)Ъ где А — требуемая относительная погрешность.,
— доверительная вероятность.

Из анализа данного выражения видно_, что метод Монте-Карло при высокой
точности требует очень большого объема испытаний (до 109 и более) однако
уже при 1000 испытаний обеспечивается точность порядка 1 чего вполне
достаточно для практики.

Возможно применение и другого критерия завершения испытаний. Для этого на
каждом испытании оценивают текущую дисперсию функции качества., и процесс
моделирования прекращается} когда относительное изменение дисперсии по
сравнению с предыдущим испытанием окажется меньше заданной точности
Ad> то есть когда будет выполнено | (D^ -	— ADj где г — номер

испытания.

В любом случае обычно требуется 500...1000 повторений.

Шаг 5. По найденной совокупности реализаций внешних характеристик
k = lj 2j M выполняется их статистическая обработка. Напримерj
определяются математическое ожидание., дисперсия., их доверительные интервалы.,
границы нулей допусков и т. д.

Шаг 6. По полученной совокупности реализаций функции качества
k = lj 2M строятся гистограммы распределения.

Статистическая обработка внешних характеристик особенностей не имеет. На по-
строении же гистограмм необходимо остановиться особо. Оно состоит в следующем.
1. В результате статистического моделирования находится совокупность значений
функции качества Fk, k = 1, 2,..., М.

2.	Вычисляются минимальное Fmih=min{F^} и максимальное Fmax = max{Fk} значения
функции качества.

3.	Интервал F^.F^^ разбивается на заданное число подынтервалов с границами F{,
Fj,..., Fj +1, где L — количество отсчетов гистограммы.
4.	Определяется L} — число попаданий отсчетов функции качества в каждый из
подынтервалов. Это можно сделать одним из двух способов:

•	границы каждого подынтервала известны, так как

1)/д*=

Тогда значение каждой реализации Fk последовательно сравнивается с границами
каждого подынтервала и находится тот подынтервал, для которого выполня-
ется условие F} < Fk < F,l +1. В среднем для такого метода потребуется около kL
операций сравнения;

•	номер подынтервала i, в который попадает отсчет функции качества Fk, вычи-
сляется из соотношения /' = int{(F^ - Fm-[ri)L/(Fmax - Данный способ, без
сомнения, более экономичен по времени.

5.	Разделив число попадалий отсчетов функции качества в данн ый z-й подын тервал Lf
на общее количество отсчетов L h-f = L JL и сопоставив полученному значению
высоту некоторого прямоугольника с основанием на интервале [F....F+J, получаем
гистограмму плотности вероятности распределения отсчетов Fk. Используя ее,
можно оценить закон распределения функции качества.

i

6.	Находим р; = i = 1,2,..., L и, приняв р_. за высоту прямоугольника (анало-

гично п. 5), строим гистограмму плотности вероятности. Пользуясь ею, получаем
следующую информацию:

•	отложив на гистограмме значения.функции качества, соответствующие номи-
нальным параметрам, можно узнать, какой процент изготовленных компонентов
РЭС будет иметь функцию качества хуже номинальной;

•	отложив некоторые классификационные значения функции качества (например,
соответствующие границам между группами компонентов), получаем процент
выхода компонентов в каждой группе и выход в брак.

При необходимости непосредственно по результатам работы алгоритма Монте-
Карло возможно вычислить и коэффициенты чувствительности a., i = 1, 2,..., ??. В от-
личие от определенных в (5.2), эти коэффициенты будут учитывать реальные законы
распределения параметров, а также при необходимости и наличие корреляционной
связи между ними. Порядок их определения состоит в следующем.

1.	Оцениваются коэффициенты корреляции функции качества с каждым из пара-
метров по формуле

где М — число статистических испытаний; тги — определенные по резуль-
татам статистического моделирования математическое ожидание и дисперсия
функции качества; т.-{ и — заданные математическое ожидание и дисперсия
i-го параметра.
2.	Решается система п линейных уравнений Dp = R, где D — матрица коэффициентов
корреляции значений параметров устройства; R — матрица коэффициентов кор-
реляции функции качества и параметров, определенных на шаге 1; р — искомый
вектор вспомогательных коэффициентов. Очевидно, что в случае некоррелиро-
ванности параметров устройства имеем р = R и решение системы не требуется.

3.	Вычисляются абсолютные и относительные коэффициенты чувствительности:
ai =	/а,-; b; =	.

Допусковый синтез

Решить задачу допускового синтеза методом Монте-Карло можно, к сожалению, лишь
итерационно.

Алгоритм 5.2. Допусковый синтез методом Монте-Карло

Шаг Т. Задаются некоторые исходные разбросы параметров элементов.

Шаг 2. Выполняются шаги 1...6 метода Монте-Карло для допускового анализа.

Шаг 3. Результаты допускового анализа сравниваются с критериями допускового
синтеза. Вид этих критериев может быть разнообразен^ например:

—	критерии по статистике внешних характеристик: математическое ожидание
или границы поля допусков должны быть не ниже (не выше) заданного уровня;
дисперсия или ширина поля допусков не больше заданных и т. п.;

—	критерии по статистике функции качества: процент выхода компонентов
с функцией качества не выше (не ниже) некоторого уровня., не менее заданного
значения и т. д.

Шаг 4. Если результат статистического моделирования признан
неудовлетворительным (критерии синтеза не выполняются)то разбросы
некоторых параметров (каких именно., можно оценить., например., по максимальным
коэффициентам чувствительности) увеличиваются и алгоритм повторяется^
начиная с п. 2. Если же критерии выполнены} то текущие разбросы параметров
и принимаются за результат допускового синтеза.

5.4.	Статистический синтез компонентов РЭС

Согласно введенной в разделе 5.1 классификации, задачей статистического синтеза
является отыскание таких номинальных значений параметров элементов, которые
при заданных статистических характеристиках этих параметров обеспечивали бы
получение оптимальных (наилучших в некотором смысле) статистических оценок
внешних характеристик компонента РЭС. В качестве критерия оптимальности обычно
используется один из трех основных вариантов:

♦	процент выхода годных схем (отношение числа схем, для которых выполняются
все условия работоспособности, к общему числу изготовленных схем);

♦	процент выхода взаимозаменяемых схем (отличается от предыдущего тем, что
проверяются не только работоспособность данного экземпляра схемы, но и условия
его стыковки по внешним характеристикам с соседними узлами РЭС);
♦	надежность (вероятность того, что за заданное время эксплуатации внешние ха-
рактеристики схемы не выйдут за границы условий работоспособности и, если
требуется, условий стыковки).

Первый критерий — базовый для остальных, поэтому дальнейшее рассмотрение
проблемы будем вести применительно к максимизации процента выхода годных схем.

В зависимости от условий производства и эксплуатации возможны два подхода
к решению задачи статистического синтеза:

♦	в разрабатываемом устройстве нет подстроечных элементов;

♦	в разрабатываемом устройстве есть некоторое число подстроечных элементов.

Очевидно, что обеспечение 100 %-ной заменяемости компонентов без подстройки
устройства возможно лишь за счет худших (в среднем) характеристик устройства,
чем при втором подходе; следовательно, и применять первый подход нужно лишь
в исключительных случаях.

Проектирование схем без элементов подстройки

Подобно детерминированным методам синтеза, алгоритмы статистического синтеза
можно разделить на регулярные (не использующие производные функции качества,
использующие только первые производные, использующие высшие производные
и т. д.) и случайные (слепого поиска.и с самообучением). Рассмотрим кратко, как
функционируют алгоритмы статистического синтеза различной сложности.

Регулярные алгоритмы, не использующие производных. Простейшим из алго-
ритмов этой группы является следующий.

Алгоритм 5.3. Простейший регулярный алгоритм

Шаг 1. Задаются начальные параметры устройства^ их статистические
характеристикиа также совокупность условий работоспособности.

Шаг 2. Выполняется допусковый анализ методом Монте-Карло., при этом
запоминаются реализации вектора параметров., при которых выполняются все
условия работоспособности. Если условия работоспособности не выполнились
ни при одной случайной реализации вектора параметров., то необходимо изменить
начальные значения параметров и повторить шаг 2.

Шаг 3. Вычисляется математическое ожидание каждого параметра по совокупности
запомненных векторов и текущее значение параметра принимает значение
математического ожидания.

Шаг 4. Шаги 2 и 3 повторяются до тех пор_, пока процент выхода годных схем
не достигнет максимума. На этом синтез заканчивается.

Необходимо отметить важные особенности данного алгоритма.

♦	Вектор, проходящий через два последовательных приближения вектора пара-
метров, является статистическим градиентом функции качества и совпадает
с истинным, если число испытаний бесконечно, а параметры некоррелированы
и распределены по нормальному закону. Следовательно, достоинством этого ал-
горитма является определение градиента без вычисления частных производных
функции качества.

♦	В том случае, когда область разброса параметров существенно меньше области ра-
ботоспособности, найденное данным алгоритмом решение не будет оптимальным,
так как область разброса расположится на краю, а.не в центре области работоспо-
собности. Поэтому, если в процессе синтеза процент выхода приблизился к 100 %,
необходимо искусственно увеличить область разброса (пропорционально по всем
параметрам) и продолжить поиск. По окончании процесса разброс параметров
снова устанавливается равным исходному.

Регулярные алгоритмы, использующие производные функции качества. Для
функционирования этих алгоритмов необходимо вычисление частных производных
функции качества. Конечно, подобно детерминированному случаю, эти производные
можно найти численно, задавая последовательно приращение каждому из параметров.
Но поскольку в данном случае значение функции качества находится как результат
допускового анализа методом Монте-Карло, такое определение производных потре-
бовало бы чрезмерных вычислительных затрат.

Известны, однако, способы определения производных статистической функции
качества — процента выхода годных схем по результатам однократного применения
метода Монте-Карло.

Так, В простейшем случае некоррелированных нормально распределенных пара-
метров первая производная может быть найдена в виде

df(Wp) 1 к Wi t - wOi
Л j'f л»	I



где M — число испытаний; ^0,.и q. — математическое ожидание и среднее квадратиче-
ское отклонение i-ro параметра; коэффициентKf равен 1, если l-е испытание успешно,
и равен 0, если нет.

При аналогичных условиях и обозначениях вторая производная будет равна

d2-F(W0) =	1 и Уц ~ w.j - woj

dWjdt&j MOjGj	(5j	<5J

Данные выражения дают возможность использовать обычные регулярные алгорит-
мы. (градиентные, Ньютона и т. п.) для поиска экстремума статистической функции
качества.

Алгоритмы случайного поиска. Наиболее прост в реализации метод слепого поиска
экстремума статистической функции качества.

Алгоритм 5.4. Метод слепого поиска

Шаг 1. Задаются границы допустимых значений всех параметров
г =	2n и их статистические характеристики.

Шаг 2. Генерируется случайная реализация вектора номинальных значений
параметров., причем каждая компонента вектора считается распределенной
по равномерному закону в диапазоне	т — J-j ^-з —з п-

Шаг 3. Выполняется допусковый анализ методом Монте-Карло^ при этом
составляющие вектора параметров генерируются в соответствии со своими
статистическими характеристиками.
Шаг 4. Текущий процент выхода годных схем вычисляется и сравнивается
с предыдущими. Вектор номинальных значений., при котором процент выхода
максималенj запоминается.

Шаг 5. Шаги 2...4 повторяются заданное число раз или до тех пор? пока функция
качества не достигнет некоторого граничного значения. За вектор оптимальных
номиналов принимается запомненный вектор.

Недостатком данного метода является его низкое быстродействие.

Известно большое число алгоритмов случайного поиска с самообучением для нахо-
ждения экстремума детерминированной функции качества. Практически все они могут
быть применены и для статистической оптимизации простой заменой вычисления
детерминированной функции качества на ее статистическое моделирование методом
Монте-Карло. Естественно, что элементы самообучения повышают быстродействие
алгоритмов по сравнению с методом слепого поиска.

Для примера рассмотрим алгоритм, основанный на комбинации метода Монте-Кар-
ло с методом искусственного отбора. Данный алгоритм характеризуется высокой веро-
ятностью нахождения глобального экстремума функции качества в условиях сильной
неопределенности по параметрам и не нуждается в задании начального приближения.

Алгоритм 5.5. Метод случайного поиска с самообучением

Шаг 1. Задаются границы допустимых значений параметров
т = lj 2n и их статистические характеристики.

Шаг 2. Текущие границы варьирования параметров принимаются равными границам
допустимых значений^ то есть	= j =	-j п-

Шаг 3. Все параметры проектируемого устройства разделяются на четыре группы:

—	неварьируемые детерминированные параметры. К ним относятся параметры}
которые нельзя изменять в процессе синтеза и у которых разброс равен нулю или
мал по сравнению с другими параметрами. В дальнейшем они генерируются как
фиксированные значения., равные номиналу;

—	неварьируемые статистические параметры. Эти параметры также
не меняютсяно имеют существенный разброс. Генерируются как случайные числа
с заданными статистическими характеристиками;

—	варьируемые детерминированные параметры. В процессе синтеза будут
генерироваться по равномерному закону на интервале варьирования;

—	варьируемые статистические параметры: Будут генерироваться на интервале
варьирования по специальному закону распределения. Математическое ожидание
этого закона равно середине интервала варьирования., а вид закона зависит
от отношения ширины интервала варьирования параметра к его допуску. Когда
интервал варьирования много шире допуска., закон распределения близок
к равномерному. По мере уменьшения интервала варьирования закон стремится
к нормальному и при равенстве интервала варьирования и допуска превращается
в нормальный. Одновременно данный параметр переводится в группу неварьируёмых
статистических.

Шаг 4. Заданное число раз выполняется генерация случайных реализаций векторов
параметров устройства., при этом генерация значений параметров выполняется
в соответствии с приведенным ранее алгоритмом. Для каждого вектора
вычисляется детерминированная функция качества.
Шаг 5. Выделяется заданное число наилучших значении функции качества
и соответствующих им векторов параметров. По этой совокупности векторов
находятся новые интервалы варьирования — нижняя и верхняя границы интервала
принимаются равными^ соответственно? наименьшему и наибольшему случайным
значениям параметра.

Шаг 6. Шаги 4 и 5 повторяются заданное число раз_> или пока функция качества
не достигнет порогового значения^ или пока все параметры четвертой группы
не перейдут во вторую^ а интервал варьирования параметров третьей группы
не окажется уже технологических ограничений.

Проектирование схем с элементами подстройки

Проектирование устройства с элементами подстройки также может выполняться
двумя способами.

♦	Последовательный способ — с начала выполняется параметр ичес кий си нтез устрой-
ства без разброса параметров, затем выделяются (по критерию максимального
относительного коэффициента чувствительности (5.2)) подстроечные элементы
и, наконец, отыскиваются границы варьирования подстраиваемых параметров,
обеспечивающих заданную настройку при наличии разброса параметров остальных
элементов.

♦	Параллельный способ — поиск границ варьирования подстраиваемых параметров
выполняется одновременно с поиском оптимальных номинальных статистически
заданных параметров.

По возрастанию степени сложности решения названных задач способы можно
расположить в следующем порядке.

1.	Последовательный способ проектирования подстраиваемых схем.

2.	Проектирование схем без элементов подстройки.

3.	Параллельный способ проектирования подстраиваемых схем.

Как указано ранее, критерием оптимальности проектирования (функцией качества)
является процент выхода годных схем.

В отличие от параметрического синтеза устройства с детерминированными параме-
трами, когда для определения функции качества требуется, как правило, однократное
моделирование устройства, при статистической оптимизации функция качества может
быть найдена лишь в результате допускового анализа (методом коэффициентов чувст-
вительности или статистическим моделированием). Следовательно, вычислительные
затраты при статистическом синтезе существенно больше, чем при детерминированном,
причем в тем большей степени, чем больше статистических параметров будет учиты-
ваться. Собственно же поиск экстремума функции качества может производиться теми
же методами, что и для детерминированной задачи.

Рассмотрим алгоритмы решения поставленных задач более подробно.

Последовательный способ проектирования подстраиваемых схем. Пусть выпол-
нен параметрический синтез устройства без учета разброса параметров и выделены
элементы, подстройки. Для определенности будем считать, что всего параметров п,
из них первые параметров — неподстраиваемые, а параметры + 1, ..., п — под-
страиваемые.
В случае малых отклонений поиск границ подстройки можно выполнить с исполь-
зованием коэффициентов чувствительности.

♦	вычисляется отклонение функции качества вследствие разброса параметров не-

«1

подстраиваемых элементов для наихудшего случая:	;

♦	получившееся отклонение компенсируется перестройкой подстраиваемых пара-
метров на некоторую величину Aw. относительно номинального значения. Сле-

н

дователъно, должно выполняться соотношение Авг =	» из которого

j=w( + i

и необходимо определить значения Aw.-r Эта задача подобна допусковому синтезу
но не относительно допусков е?-, а в пространстве Аж? Следовательно, и решена она
может быть одним из рассмотренных ранее способов.

В случае же больших отклонений найти границы подстройки возможно, применяя
алгоритмы статистического моделирования.

Простейшим из алгоритмов синтеза элементов подстройки является алгоритм,
основанный на совместном применении метода Монте-Карло и методов параметри-
ческого синтеза детерминированной модели компонента РЭС.

Алгоритм 5.6. Простейший алгоритм синтеза элементов подстройки

Шаг 1. Выполняется параметрический синтез компонента РЭС без учета разброса
параметров по критерию оптимизации поведения внешних характеристик. Найденные
параметры — суть их номинальные значения.

Шаг 2. Определяются коэффициенты чувствительности и выделяются подстраиваемые
параметры (при этом следует учитывать не только собственно значения
коэффициентов., но и практическую возможность подстройки того или иного
элемента; общее число подстроечных элементов должно быть малым).

Шаг 3. В соответствии с методом Монте-Карло генерируется реализация вектора
параметров неперестраиваемых элементов и эти параметры отмечаются как
неварьируемые.

Шаг 4. Выполняется параметрический синтез компонента РЭС в пространстве
только перестраиваемых параметров по прежнему критерию. Оптимальные значения
перестраиваемых параметров запоминаются.

Временные затраты на выполнение данного шага не слишком велики по двум
причинам:

—	число варьируемых параметров мало;

—	существует хорошее начальное приближение^ в качестве которого обычно
принимаются номинальные значения подстраиваемых параметров., полученные на
шаге 1.

Вследствие этого можно применять простые методы синтеза (обычно градиентные)
описанные в главе 7.

Шаг 5. Шаги 3 и 4 повторяются заданное число раз.

Шаг 6. По полученной на шаге 4 совокупности оптимальных перестраиваемых
параметров определяются требуемые границы их перестройки	и max{w^.}.

В случае неудовлетворительности результата (например., границы перестройки
оказались слишком широкими) необходимо изменить выбор базиса элементом
подстройки и повторить алгоритм^ начиная с шага 3.
5.5.	Алгоритмы генерации случайных чисел
с заданным законом распределения

При реализации метода Монте-Карло для допускового анализа и синтеза, а также
алгоритмов статистической оптимизации требуется генерация последовательности
случайных чисел с заданным законом распределения. Из трех возможных способов
генерации (с помощью физических датчиков, табличный и программный) в САПР
РЭС применяется лишь последний, так как первый способ не обеспечивает необхо-
димой стабильности результата, а второй требует слишком большого объема памяти
компьютера. Правда, полученные программным путем числа являются, вообще говоря,
псевдослучайными, поскольку, задав конкретное число, всегда можно повторить всю
последовательность. Поэтому самой важной характеристикой качества генерации слу-
чайныхчисел служитинтервал апериодичности — длина последовательности неповто-
ряющихся случайных чисел. Чем этот интервал больше, тем выше качество генератора.

В основе программных генераторов различных распределений случайных чисел
лежит генератор равномерного распределения в интервале 0 < tf < 1, обычно входящий
в состав стандартного программного обеспечения компьютера. Способы построения
такого генератора можно разбить на три группы.

1.	Способы усечения случайных чисел (алгоритмы Лемера). Имеется несколько
разновидностей:

•	способ середины квадрата (способ Неймана). Задается исходное /7-разрядное
двоичное число Оно возводится в квадрат, получается 2/7-разрядное число,
средние п разрядов которого принимаются за и т. д. В качестве исходного
желательно брать какое-либо иррациональное число. Основной недостаток
способа — малый интервал апериодичности, не превышающий 2”;

•	способ середины, произведения. Здесь в качестве нового случайного числа t,f +1
принимаются средние п разрядов 2/?-разрядного числа, являющегося произве-
дением двух ^-разрядных предыдущих чисел t и Z). Интервал апериодичности
этого алгоритма больше, но по-прежнему не превышает 2я;

•	способ усечения целого. Целое число умножается на целую константу /г, из
произведения выделяются п младших разрядов, которые принимаются за новое
s.' + r Это значение s. +1 рассматривается как дробная часть очередного генери-
руемого вещественного числа +1. Константа k определяется соотношением
8р ± 3, где р — любое целое. В качестве начального значения s0 используется
любое нечетное число.

2.	Способы с использованием специальных функций. Наиболее часто используются
линейные алгоритмы, которые в общем виде можно записать как

(mod tri); tM



где — целая переменная; /, а^, k, т — некоторые целые числа; функция A (mod т)
означает операцию нахождения дробной части частного А/т.
Способы различаются выбором преобразующих функций. Например, наиболее
часто используются следующие разновидности генераторов:

•	мультипликативный генератор s- +1 = [osj(mod т);

•	смешанный генератор s. +1 = [as. + /г](mod т);

•	генератор Фибоначчи (аддитивный генератор) s- +1 = [s; + Sj _ J (mod in).

Интервал апериодичности зависит от выбора коэффициентов a, k и т. Так, у муль-
типликативного генератора при а = 517 и т = 242 интервал аперидичности равен
1012, а при а = 513 и т = 236 — уже 2  1О10.

3.	Способы перемешивания. Основаны на имитации хаотического перемешивания
содержимого разрядов случайного числа.

Полученное одним из рассмотренных способов равномерное распределение в диа-
пазоне [0, 1] может служить исходным для получения других законов распределения.
Так, равномерное распределение чисел в произвольном диапазоне a <xf<b получают
с помощью преобразования х} = а + (b - a)tr

Нормальное распределение с математическим ожиданием тх и дисперсией нахо-
дят на основании центральной предельной теоремы, суммируя некоторое М (обычно
М = 5... 10) равномерно распределенных в диапазоне [0, 1] чисел и воспользовавшись

м )

выражением xf

тх + а д. 2/ М	tj -1

\	;=1	>

Более сложные законы распределения получают способом обратной функции. Вид
наиболее часто встречающихся в САПР РЭС законов распределения q>(x) и соответ-
ствующих им преобразующих функций приведен далее.

♦ Экспоненциальный закон:

<р(х) = X ехр {-Х(х - b)}, Xj = b - In (г;)/Х.

Закон Вейбулла:

(р(х) = т(х - у)”2-1 ехр{-(х - у)т/mv^mv, х- = yj-mv In (1 - zj + у .

Закон Рэлея:

ср(х) = х ехр {(х - Ь) -х2/(2с2)}/о2, х} = a^-21n(z.).

Для генерации распределений произвольной формы (в том числе не имеющих
аналитического описания) используется способ, основанный на использовании ги-
стограммы требуемого закона распределения.
Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Сформулируйте основные задачи учета влияния разброса.параметров.

2.	Выполните разложение функции качества в ряд Тейлора.

3.	Когда применим метод коэффициентов чувствительности? В чем заключается его
применение для решения задач допускового. анализа и синтеза?

4.	Дайте сравнительную характеристику методов допускового синтеза с применением
коэффициентов чувствительности.

5.	Опишите алгоритм Монте-Карло для выполнения допускового анализа.

6.	Как по результатам работы алгоритма Монте-Карло формируется, гистограмма
расп ре деле ния?

7.	Как по результатам работы алгори тма Монте -Карло1 оп ределяю тся коэффициенты
чувствительности?

8.	Как с помощью алгоритма Монте-Карло можно решить задачу допускового син-
теза?

9.	Сформулируйте задачу статистического синтеза РЭС и укажите основные пути
ее решения.

10.	Дайте сравнительную характеристику алгоритмов статистического синтеза РЭС
с элементами подстройки.

11.	Дайте сравнительную характеристику алгоритмов статистического синтеза РЭС
без подстраиваемых элементов.

12.	Перечислите основные способы, построения программных генераторов различных
распределений случайных чисел. Дайте их сравнительную характеристику.
Г лава 6

Численные методы в задачах САПР

Как следует из материалов глав 1-4, при моделировании радиоэлектронных средств
чаще всего приходится решать системы линейных, нелинейных и дифференциальных
уравнений, интерполировать и аппроксимировать полученные при прогоне программ
табличные данные, выполнять дифференцирование и интегрирование. Численным
методам и алгоритмам решения этих задач и посвящена данная глава.

6.1. Методы решения систем
линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений в общем случае имеет вид

АХ = В

или

а11х1+в|2х2+... + а|А=й1;

_ а21'Г1 + Й22-Г2 +  + а2»хи ~ ^2’

(6-1)

a,AXi+an2X2 + - + atmXn=l>,e

где А — квадратная матрица с элементами (i — номер строки, / — номер столбца);
X — вектор неизвестных переменных; В — вектор известных констант.

Формально эту систему можно решить, обратив матрицу А:

Х = А-1В.

Решение систем линейных уравнений производится прямыми или итерационными
методами (рис. 6.1).

Прямыми методами называют такие методы, которые позволяют за конечное чи-
сло действий получить точное решение системы. Термин «точное решение» следует
понимать условно как характеристику алгоритма, а не реального вычислительного
процесса. Алгоритмы, лежащие в основе прямых методов, дают точное решение, если
все величины в системе заданы и все вычисления проводятся абсолютно точно, без
ошибок округления. К прямым методам относятся правило Крамера, методы Гаусса,
Жордана и LU-разложения в различных модификациях [2], [8].
Рис. 6.1. Классификация методов решения системы линейных уравнений

Итерационные методы основаны на построении итерационной последовательности,
сходящейся к искомому решению. Выполнив определенное число итераций и обрывая
процесс, можно получить приближенное решение системы с любой наперед заданной
точностью. Итерационные методы просты в реализации и требуют минимальных затрат
оперативной памяти. Они применяются в основном для решения задач сверхвысокой
размерности, когда число неизвестных изменяется от нескольких тысяч до миллионов.
К итерационным методам относятся метод простой итерации, методы Якоби, Гаусса —
Зейделя и релаксационные [2], [8].

Рассмотрим прямые методы.

Правило Крамера позволяет найти только одну неизвестную переменную. По это-
му правилу /г-я компонента xk вектора X равна отношению определителя матрицы А,
в которой /г-й столбец заменен вектором В, и определителя матрицы А [2, 8]:

_ (1е€(матрицы А с k-м столбцом, замененным на В)
"k	det А

Правило Крамера используется для решения уравнений низкого порядка и при
теоретических исследованиях. Однако этот метод требует больших затрат машинного
времени, очень чувствителен к ошибкам округления и редко применяется в вычи-
слительных программах. Так, общее число умножений в.методе Крамера — 2(п + 1)1
Например, при п = 10 число умножений около 80 млн.

Метод Гаусса — один из лучших численных методов решения линейных систем
уравнений невысокого порядка. Он основывается на том факте, что сложение одного
уравнения системы с другим, умноженным на константу, не изменяет решения систе-
мы [2], [8].

Метод Гаусса состоит из прямого и обратного ходов. Прямой ход выполняется за
(п - 1) шагов (где п — порядок системы), на каждом /г-м шаге исключается очередная
неизвестная xk из уравнений, начиная с (/г + 1)-го и заканчивая ??-м, по формуле

+ —	~	~	j ~ k + 1, ..., П,	(6.2)

где a- k, ajk k и a- k+1 — элементы матрицы А, преобразованной на /г-м и (/г + 1)-м шагах
соответственно; а^ k и ak- k — диагональные и внедиагональные элементы на /г-м шаге
преобразования. В соответствии с (6.2) пересчитываются и константы правых частей
системы (6.1):

Л +1 Ь ijt bfe* k^’kjt kfakk* jfe,

(6.3)

где b-t /г,bk k^bjk+i— правые часта системы, преобразованные на/г-м и (Л + 1)-мшагах
соотве тстве нно.

Элемент k в формулах (6.2) и (6.3) называется главным элементом на /г-м шаге
исключения по Гауссу и должен быть отличен от нуля: k ± 0- Так, например, на
первом шаге следует исключить первую переменную из всех уравнений, начиная со
второго. Для этого, составив отношения тй = -а^/а^ i = 2, 3, ..., п, прибавим к 2-му
уравнению системы первое уравнение, умноженное на т^. Выполнив это, получаем
преобразованную систему вида

й1Гг'1 + ^£2^2 + Й13Х3 + * ’*+ а1Л ~ ^1»
а22,ТГ2 + Й23ДЛ3 + •” +	~ ^2ГР

^2,Тг2 + апЗАХ‘А + ”• + аппА'Хп ~ fyiA’

(6-4)

Здесь aYh 1? biX (i, j = 2, 3,..., /г) — новые значения коэффициентов системы и правых
частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода Гаусса. На
втором шаге аналогичным преобразованиям подвергаем систему уравнений (??. - 1)-го
порядка и т. д. В результате выполнения (??. - 1) шагов исходная матрица А преобра-
зуется в. верхнюю треугольную матрицу U, а вектор В — в вектор ВТ:

(6.5)

Обратный ход заключается в последовательном определении неизвестных из си-
стемы (6.5): из последнего уравнения определяем хп = b'Jutm , по найденному х.п из
(п - 1)-го уравнения определяем по найденными _ 1 из (и - 2)-го уравнения
определяем х„_2 и т.. д. В общем виде обратную подстановку можно записать так:

н

xi = i - £ uijxj’ i = n -1, и - 2,.... 1,

(6.6)

где и-- — элемент верхней треугольной матрицы U (6.5). Последовательное вычисление
неизвестных продолжается до тех пор, пока из первого уравнения не определим
На этом процесс решения системы (6.1) с помощью эквивалентной ей системы (6.5)
заканчивается.
Алгоритм 6.1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Шаг 1. По формулам (6.2) и (6.3) вычислить элементы верхней треугольной
матрицы и столбца свободных членов — прямой ход алгоритма.

Шаг 2. По .формулам (6.6) вычислить переменные — обратный ход алгоритма.

Отметим, что прямой ход метода Гаусса требует выполнения п(п - 1)(?7 + 4)/3
операций, где п — порядок матрицы, а обратная подстановка может быть выполнена
приблизительно за 77(77 + 1)/2 операций.

При реализации метода. Гаусса на компьютере имеет большое значение выбор глав-
ного элемента; наибольшая точность реализуется, если на./г-м шаге главным выбира-
ется элемент в /г-м столбце, с наибольшим абсолютным значением из всех элементов
в строках отk до п. В случае разреженных матриц разработаны алгоритмы определения
главного элемента и компактной записи матриц в память компьютера [2], [8].

В методах Крамера и Гаусса непосредственно определяется решение системы
уравнений (6.1). Если заданы различные векторы правых частей В, то для каждого из
них необходимо решать всю систему уравнений. В ряде случаев более экономичным
бывает сначала найти обратную матрицу А-1, а затем, используя ее, найти решение
системы для любой заданной правой части. Кроме того, использование обратной
матрицы в различных прикладных задачах часто интересно само по себе. Одним
из широко используемых методов вычисления обратной матрицы является метод
Жордана [2], [8].

Метод Жордана базируется на формуле связи прямой и обратной матриц. Обозна-
чив элементы искомой обратной матрицы с~, получаем:

«и	Й12	...			С11	С12		с1„‘		”1	0	0...	0 '	
6/21	^22	...	«2„		^21	^22	♦ ♦ ♦	С2»	—	0	1	0...	0	(6.7)
• • •	• • •	...	* • ♦		• • •	• •«	* • *	« « «		♦ • •	♦ ♦ »	♦ ♦ •		
	йп2	...			Ai	Сн2	. -.	с««.		0	0	0...	1	

Разобьем эту систему на и систем линейных уравнений относительно столбцов
неизвестных элементов с}. обратной матрицы А. Тогда первая система.имеет вид

6/ц  ^21	а12  «22	...	С12п		С||  С9|	=	"Г 0	(6.8)
	ап2	...	апп _				0	

Во второй системе неизвестными будут столбец [с19 с99 ... с 9]т и правая часть
[010 ... 0]т (единица во второй позиции)., в третьей системе — третий столбец матри-
цы А-1 и единица в третьей позиции и т. д.

Решив составленные системы уравнений, например методом Гаусса, вычисляем
элементы обратной матрицы. Таким образом, по методу Жордана, нахождение обратной
матрицы сводится к 77-кратному решению систем линейных уравнений, поэтому при
больших ?7 требуемое число операций можно приближенно оценивать значением ?74.
Алгоритм 6.2. Обращение матрицы методом Жордана

Шаг 1. Принять k = 1.

Шаг 2. Составить систему линейных уравнений вида (6.7), вставив в правую
часть на /г-ю позицию единицу, а в остальные — нули.

Шаг 3. Решить систему уравнений, записать найденные неизвестные в виде k-го
столбца искомой обратной матрицы.

Шаг 4. Если k — п, вычисления закончить, в противном случае принять k = k + 1
и вернуться к шагу 2.

Метод IXJ-разложения наиболее предпочтителен, если требуется найти решение
системы линейных уравнений (6.1) для более чем одного вектора В. Алгоритмы это-
го метода близки к методу исключения Гаусса, хотя вычисления могут проводиться
в различной последовательности. При этом методе матрица А разлагается на нижнюю
треугольную матрицу L (lower) и верхнюю треугольную матрицу U (upper) так, чтобы

	/ц	0 .	.. О'		'1	w12 .	.. u[fl
A = LU =	41	^22 '	.. 0		0	1 .	• и2п
	-П\	4,2 *	.. /  пи J		о	0 .	.. 1

Тогда уравнение (6.1) принимает вид LUX = В.

Решение, этого уравнения получают в два этапа. Сначала, как в методе Гаусса,
методом прямого исключения получают решение относительно у, соответствующее
уравнению

Ly = B.

(6.9)

На втором этапе с помощью обратной подстановки находят решение, относитель-
но X:

UX = y.

(6.10)

Элементы треугольных матриц рассчитывают по формулам

k-i
hk ~ &ik ~ S
ni=l

i > k, ukj = ak-

(6.11)

где l.k — элеме нты матрицы L; uk- — элементы матрицы U. Эти уравнения описывают так
называемый алгоритм Краута разложения натреугольные матрицы [2]. Он выполняет-
ся при заданииk = 1, 2,..., п и поочередном использовании формул (6.11); необходимые
для них значения элементов матриц L и U рассчитываются на предыдущих этапах
процесса. Каждый элемент а~ исходной матрицы А требуется для вычисления только
соответствующих элементов матриц L и U. Так как нулевые элементы матриц L и U,
а также единичную диагональ матрицы U запоминать не нужно, в процессе вычислений
матрицы L и U могут быть записаны на месте матрицы А и занесены в те же ячейки
памяти, причем L расположена в нижнем треугольнике (/>/), a U — соответственно,
в верхнем треугольнике (i < j) матрицы А.

Существуют и другие формы алгоритма разложения, связанные с рассмотрением
по строкам или столбцам матрицы А. Так, записав матрицы L и U в виде общей ква-
дратной матрицы, получаем [2]:

/||	М12	и\з	...			41	й12/41	л1з/41	...
4i	/22	и2'3	...	«2»		41	^22 “ 41/^12	(^23 *“4| ^1з)/42	• 4
...	...	...	...	...		41	6/32 " hJUV2	(«33 ~41"13 ~ 42^2)	...
Jill	/ 0 пл	'„з	...	/  1пп _		...	..,		« 4 •

Видно, что первые столбцы матриц А и L совпадают, следовательно, 1}1 = Вычи-
слив z/.I2 = й.12//.и, находим элементы второго столбца матрицы L, далее последовательно
элементы третьего столбца и т. д. Эти действия могут быть сведены в алгоритм.

Алгоритм 6.3. LU-разложения (по столбцам)

Шаг 1. Примем k = 1.

Ztfaz 2. Lik = aik, i > k.

Шаг 3. ukj = akj/Lkk, j > k.

Шаг 4. ly =	- Likukj, i.,j > k.

Шаг 5. Если k = n} процедуру разложения заканчиваем, в противном случае
примем k = k + 1 и перейдем к шагу 2.

После разложения матрицы А на треугольные L и U промежуточные переменные у
из системы (6.9) определяются прямой подстановкой (прямым ходом):

(6.12)

Решение исходной системы (6.1) в соответствии с (6.10) вычисляется обратной
подстановкой (обратным ходом):

п

х„ = У,г xi = У,~ X uijxj’ * = n-i,n- 2,.... 1.

(6.13)

Описанный алгоритм LU-разложения эквивалентен приведению матрицы к верх-
ней треугольной форме с помощью процедуры Гаусса. Отличие заключается в том,
что элементы под главной диагональю в треугольной матрице замещаются не нулями,
а элементами матрицы L.

С использованием LU-разложения легко вычисляется определи тель матрицы:
п
det А = det L =	/...

r=l

Кроме того, если требуется найти решение для другого вектора В в правой части,
то не нужно повторно проводить разложение матриц на треугольные, а достаточно
только выполнить прямую (6.12) и обратную подстановки (6.13).

Алгоритм 6.4. Решение системы линейных уравнений методом

LU-разложения

Шаг 1. Произвести LU-разложение матрицы А системы уравнений.

Шаг 2. Вычислить промежуточные переменные у^ по (6.12).

Шаг 3. Вычислить неизвестные системы уравнений по (6.13).

С точки зрения объема вычислений метод LU-разложения вместе с прямой и обрат-
ной подстановками эквивалентен методу исключения Гаусса и требует также около
у^/З операций.

Как и в методе Гаусса, при использовании LU-разложения для сильно разреженных
матриц число операций можно значительно сократить, если использовать специальные
алгоритмы упорядочения для выбора на каждом шаге главного элемента матрицы.

При использовании точных методов надо обращать внимание на устойчивость
получившегося решения. Последняя связана с плохой обусловленностью матрицы
системы уравнений. Матрица называется плохо обусловленной, если определитель
ее почти равен нулю. В этом случае небольшие вариации коэффициентов матрицы
приводят к значительным ошибкам при вычислении решения.

Итерационные методы, как отмечалось ранее, основаны па построении итераци-
онной после до вательности Х1? Х9, Х3,... сходящейся к искомо му решению X. Каждый
такой метод характеризуется своей итерационной формулой, позволяющей вычи-
слять очередное приближение по ранее найденным. Так как точное решение системы
уравнений неизвестно, то для оценки точности метода вводится вектор приращений
АХ = Х^+:1 - Х^. Когда норма вектора приращения || АХ || < s, где е — заданная точность,
итерационный процесс считается законченным.

По методу простой итерации исходная система уравнений (6.1) приводится к виду

х, = л[2х2 + «[3X3 +... + Ъ{\
х9 — а'} ।Х| + Я93Х3 4-... + %;
< “г3 “ ЗД + а32 Х2 + ’ ’'+ ^3»

(6-14)

Хп ~ anixl + йл2:Г2 + ап3х3 + •••+ fyp

где коэффициенты а’~ получены делением элементов исходной матрицы на ап и пе-
реносом в правую часть. В матричной форме систему (6.14) можно представить как

Х, + 1 = А'Х, + В'.

(6.15)
Тогда, задавшись вектором Х^, подставляем его компоненты в правую часть урав-
нения (6.14) и вычисляем значения компонент вектора Х/г + 1. Далее полученные
значения вектора +1 снова подставляем в правую часть уравнения (6.14), получаем
новые значения переменных ит. д. При некоторых условиях доказана принципиальная
сходимость этого итерационного процесса.

Метод Зейделя отличается отописанного тем, что уточненное значение компоненты
вектора Х/г +1 сразу же используется для вычисления компоненты х2, найденные
компоненты и х2 — для вычисления х3 и т. д.

В матричной неявной форме решение по методу Зейделя может быть представлено
в виде

(L + D)Xa+1 + UX/i = B,

где L, D, U — соответственно, нижняя треугольная, диагональная и верхняя треугольная
матрицы, полученные из исходной матрицы А:

A=L + D + U.

Условия сходимости метода Зейделя иные, чем для метода простой итерации, по-
этому каждый из методов может сходиться там, где другой расходится. Для улучшения
сходимости метода Зейделя в него вводят свободные, параметры.

Другим вариантом соотношения (6.15) является итерационная процедура метода
Якоби:

DXA+1 + (L + U)XA=B.

Этот метод точно сходится для матриц со строгим диагональным преобладанием,
в которых



tyj ( z 1( 2,.

Z7.



Обобщением метода Зейделя является метод последовательной релаксации, по
которому процесс итерации происходит в соответствии с неявным матричным урав-
нением

(oL + D)X^ + 1 + [ctU - (1 - а)П]Х/г = аВ,

где а — параметр релаксации, причем 1 < а < 2. Существует оптимальное значение
параметра релаксации а0Г1Т, соответствующее на каждом этапе наибольшей скорости
сходимости.

Для многих практических случаев аопт = 2Д1 + ^1 - Ц), где р — максимальное собст-
венное значение матрицы D-1(L + U). Отметим, что при а = 1 метод последовательной
релаксации сводится к методу Зейделя.
6.2.	Методы решения систем нелинейных уравнений

Система.нелинейных уравнений в общем случае имеет вид

F(X)=B

или

(6.16)

f I (* | > Л2»• • • ’ Хп ) ~	,

где F — векторный функционал; X — вектор неизвестных переменных; В — вектор
известных констант.

В отличие от систем линейных уравнений, для систем нелинейных уравнений
неизвестны прямые методы решения и приходится использовать только итерацион-
ные методы. Наиболее простыми из итерационных методов решения систем нели-
нейных уравнений являются методы простой итерации и Зейделя, рассмотренные
в разделе 6.1.

Более быструю сходимость к решению системы обеспечивает метод Ньютона.
Итерационная формула для метода Ньютона может быть получена, если решение
на каждой итерации представить как сумму предыдущего решения и добавки:
Xk +1 = Xk + AXk — и разложить левые части уравнений системы (6.16) на (/г + 1)-й
итерации в многопараметрический ряд Тейлора вокруг значений переменных на
предыдущей итерации Х/г:

/ х ,	х / х "	1 « «э2/;(Хл)

Л (х„) - /, (X. + лх„) - Л (х,)+£	. * , + -X z

k (хы) = Л (х, дх(). (х,)+f	н- If f	fc,. „	;

/=1	f=l j-\

f (Xt4.J = / (X, + ДХ,) = f (Xj + У

J/i \ жл+1/ Jn \ k k) Jn \	2| ~ “ дх.-дг- ,tk

Если итерационный процесс является сходящимся к точному решению системы
уравнений Х,г +1 —> Хо то при k со приращения переменных будут малы, а сами пере-
менные будут близки к значениям корней системы и можно считать, что левые, части
разложений обращаются в нули. В силу малости ЛХ^отбросим все члены разложения,
начиная с квадратичного, и приведенная выше запись будет сведена к системе линей-
ных уравнений относительно приращений искомых переменных ЛХ^:
или F(Xfr) = -
трица Якоби).

(6.17)

где

dXj

— матрица первых производных (ма-

Уравнения (6.17) позволяют формально записать итерационную формулу метода

Ньютона в виде

х4+|

(6.18)

На практике же обычно обращение матрицы Якоби

вызывает трудности,

и система (6.17) решается одним из известных методов решения систем линейных
алгебраических уравнений (см. раздел 6.1), азатем находятся значения переменных
на новой итерации +1 = Xk + ЛХуг.

Так как цель итерационного решения заключается в наискорейшем уменьшении
от итерации к итерации нормы вектора левых частей системы уравнений (6.16), что
автоматически может и не выполняться на каждой итерации, то на практике чаще
используют модифицированную форму метода Ньютона

(6.19)

где коэффициент выбирается из условия минимизации нормы вектора ошибки на

I п

очередной итерации:	(Х/г 4- ^ДХА) —> min. Так как значения Xk и АХ^,

V

могут быть вычислены на каждой итерации, то величина tk может быть найдена мето-
дами однопараметрической оптимизации (см. главу 7).

Для случая одного уравнения с одним неизвестным Дх) = 0 итерационная, формула
Ньютона (6.18) принимает вид

'Че-г1 Л7; ^kJ [^k)/(Л7г)ж
На рис. 6.2, а иллюстрируется поиск корня, уравнения/(х) = 0 методом Ньютона
от начального приближениях0. Поиск корня по модифицированной формуле метода
Ньютона (6.19) с оптимизацией коэффициента tk показан на рис. 6.2, б.

Рис. 6.2. Графическая интерпретация метода Ньютон а — Рафе она

Приведем пошаговое описание работы алгоритма.

Алгоритм 6.5. Решение системы нелинейных уравнений модифицированным
методом Ньютона

Шаг 1. Задается вектор начальных значений переменных.

Шаг 2. Вычисляются значения левых частей системы уравнений (6.16)
й формируется вектор F(X^).

Шаг 3. Методом левых? правых или центральных разностей вычисляются все
возможные значения производных	Формируется матрица Якоби.

Шаг 4. Уравнения (6.17) решаются относительно вектора приращений
переменных АХ^.

Шаг 5. Одним из методов однопараметрической оптимизации находится оптимальное
значение коэффициента минимизирующего норму вектора левых частей системы
уравнений 1 на данном шаге k + 1.

Шаг 6. Вычисляются уточненные значения переменных Х^ х = Х^ + t^AX^ и норма
вектора левых частей уравнении +

Шаг 7. Если уточненное значение нормы /V^ + i больше заданной точности

+ 1 > £-> то пеРех°ДИМ к шагу иначе считаем., что получено решение системы
уравнений (6.16) относительно вектора переменных X.

Заметим, что хотя метод Ньютона и имеет квадратичную сходимость, тем не менее
для него тоже существует проблема выбора начального приближения Хо. Можно счи-
тать, что величина области сходимости обратно пропорциональна числу уравнений
и степени сложности системы.

Метод возмущения не имеет указанного недостатка, хотя и требует больших затрат
машинного времени на получение решения. Суть этого метода заключается во введении
наряду с исходной системой уравнений F(X) = 0 второй системы ср(Х) = 0 такого же
порядка, как и исходная, решение которой известно.

Поиск решения исходной системы уравнений F(X) = 0 выполняется за п последо-
вательных шагов решения деформированных систем уравнений D^(X) = 0, которые
на /г-м шаге деформации могут быть.записаны в виде
dik(X) = Ф1(Х) + |[/(Х) - Ф1(Х)] = 0;

^(Х) = <р2 (X) + |[/2(Х) - ф2(Х)] = 0;

(6.20)

<*(Х) = Ф,,(Х) + |[/„(Х) - Ф„(Х)] = 0.

При k = 1, поскольку число уравнений п велико, известное решение системы урав-
нений фх(Х) = 0 - Хср0 может быть использовано как хорошее начальное приближение
для итерационного решения системы на первом шаге деформации D1(X) = 0. Так как
система D1(X) = 0 мало отличается от известной системы ф(Х) = 0, сходимость мето-
да Ньютона будет обеспечена. Продолжая формировать деформированные системы
DA(X) = 0 и используя для их решения в качестве начального приближения решение,
полученное на предыдущем, (Л - 1 )-м шаге деформации, повторяем этот процесс п раз.
Когда k -п, деформированная система уравнений становится эквивалентной исходной
системеF(X)=D„(X)=0и решение последней из деформированной систем D„(X) = 0
будет являться искомым решением для модели на постоянном токе.

То, что при большом числе переменных для выполнения последовательных де-
формаций может понадобиться большое число шагов, приводит к увеличению затрат
машинного времени. В то же время при большом числе переменных искажение систе-
мы на каждом шаге будет мало и решение ее может быть получено всего за несколько
итераций методом Ньютона.

Приведем пошаговое описание работы алгоритма.

Алгоритм 6.6. Решение системы нелинейных уравнений
методом возмущений

Шаг 1. Формируется система уравнений с известным решением ср(Х) = 0 того же
порядка, что и исходная система.

Шаг 2. Полагается k = 1.

Шаг 3. В соответствии с (6.20) формируется деформированная система на /г-м
шаге деформации D^X) = 0.

Шаг 4. Выполняется решение деформированной системы нелинейных уравнений
методом Ньютона с использованием в качестве начального приближения результата
решения системы на предыдущем, (/г - 1)-м шаге деформации.

Шаг 5. Если k < п} то полагается k = k + 1 и переходим к шагу 3, иначе имеем
решение исходной системы нелинейных уравнений.

6.3.	Методы решения систем
дифференциальных уравнений

Для упрощения описания алгоритмов будем рассматривать их на примере одного
уравнения с одной неизвестной, затем распространим результаты на системы урав-
нений.
Пусть требуется найти функцию и, удовлетворяющую уравнению

du

— = и

= f(u, /)

(6.21)

и принимающую при t= £0 заданное начальное значение ^(t0)= uQ.

Выбором начального значения м0 выделяется одна из кривых семейства, задаваемого
уравнением (6.21) (рис. 6.3, я). Эта задача в математике известна как задача Коши. Для
ее решения широко используются разностные методы.

в

Рис. 6.3. Графическая интерпретация методов решения дифференциальных уравнений:
а — метод Рунге — Кутта первого порядка; б — явный метод Эйлера; в — неявный метод

В разностных методах решение задачи получают в дискретном ряде значений
аргумента tQi ..., tk,..., tjp различающихся на шаг интегрирования АЛ В одношаговых
разностных методах для нахождения следующего значения и/г = требуется ин-
формация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую
известность получил метод Рунге — Кутта, который на самом деле является целым
семейством методов, представляющих аппроксимацию методов, основанных на рядах
Тейлора, но без явного вычисления производных, за исключением первой.

Для пояснения методов Рунге — Кутта представим значение искомого решения
уравнения в точке tk разложением в ряд Тейлора вокруг предыдущей точки tk_if uk_

/ \	\	du(t. J д/~ d2u(t,

“	) = Uk = “	+ А*) = “4-1 +	+	-----^2------ <6'22)
Если шаг интегрирования At мал, то всеми членами разложения высокого порядка
можно пренебречь и представить (6.22) в виде

J	.z	ч

uk ~ uk-\ +	~ uk-\ + △V (z4-iJ	’	(6.23)

duUk_A ,	.

где.---= j \uk_vtk_{) — первая производная в предыдущей точке 4-1- Если

процесс продолжить, то для любой последующей точки задания аргумента получим
итерационную формулу

uk = uk -1+ Д(Ж _ 1, ik -1)-к = 1 ’ >

Полученные выражения (6.23) для определения переменной uk известны как явный
метод Эйлера, а по своей сути он представляет собой метод Рунге — Кутта первого по-
рядка. Графически выражение (6.23) проиллюстрировано на рис. 6.3, а, начиная с точки
w01, где видно, что на каждом новом шаге определения приближенного решения
переходим на другую кривую семейства. Систематическая ошибка метода (ошибка
дискретизации) имеет порядок А^, так как члены разложения (6.22), содержащие
степени At выше второй, отбрасываются. Кроме систематической ошибки в процессе
вычисления появляется ошибка округления, величина которой определяется компью-
тером и программой и которая накапливается с ростом числа шагов.

Точность метода можно значительно повысить, если сохранить член с А£2, однако
d2u )

для этого необходимо знание второй производной -г ~ . Величину второй про-

dt2

изводи ой можно аппроксимировать конечно-разностным выражением

dt2	At	At

где для вычисления f(uk, 4) используется приближенное значение

вычисленное по методу Эйлера. Подставив это выражение в ряд Тейлора и отбросив
члены выше третьего порядка AZ3, можно получить

“/г = “4-1+	+ Mf(uk_v tA_i)> tk) +f(uk_1, **_,)].	(6.24)

Выражение (6.24) известно как модифицированный метод Эйлера и по своей сути
представляет метод Рунге — Кутта второго порядка. Ошибка дискретизации для этого
метода пропорциональна Ai3 [2].
Очевидно, что чём выше порядок вычисляемой конечно-разностным методом про-
изводной, тем больше дополнительных вычислений правой части уравнения (6.21)
необходимо сделать. Метод Рунге — Кутта дает набор формул для расчета координат
точек внутри интервала tk - tk_x при реализации этой идеи. Для примера приведем
распространенную формулу метода Рунге — Кутта четвертого порядка

uk = tlk-\

+ y[A)+2/e1+2fe,+/63],

где

+ 2

^2 - J I uk-\ + 2

At'
4---

2 J

uk-i

Заметим, что в методе Рунге — Кутта четвертого порядка вначале вычисляется
величина kQ для предыдущей точки tk_ г Затем, используя это значение /г0, аргумент

.	t тт	t

смещают на полшага вперед + — и получают значение /et. На основе A’t из этой

точки tk _ 1 опять со смещением на половину интервала интегрирования вычисляют
значение k2 и, наконец, сделав полный шаг вперед от точки tk_ вычисляютзначение k3.
Значения kQ, , /г9, k3 затем суммируются с весами 1 /6, 1 /3,1 /3, 1 /6.

Шаг интегрирования выбирается из максимально допустимой ошибки на каждом
шаге интегрирования. Оценка ошибок приводится в [2] и в современных алгоритмах
обычно оценивается автоматически, позволяя автоматически изменять длину шага.
Недостатком методов Рунге — Кутта высокого порядка является необходимость вы-
числения большого числа значений правой части уравнения (6.21) для каждого шага,

причем вычисленные значения не используются на последующих шагах.

Одношаговые методы легко распространяются на системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Если в результате работы программы моделирования система
уравнений модели получилась более высокого порядка, то с помощью подстановок
ее всегда можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Например, в дифференциальном уравнении второго порядка

„ du
воспользоваться подстановкой —
ференциальных уравнений:

d2u

——- = J	можно

dt-

и и получить систему двух обыкновенных диф-

du

-т- = /о;

dt

dv> f!

dt
Пусть после подобных подстановок система уравнений математической модели
приведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

^^ = F(U,7),

где U — вектор переменных, F(U, f) = (Д,...,	— вектор правых частей уравнений

системы.

Воспользовавшись для простоты модифицированной формулой Эйлера (6.24),
запишем итерационную формулу для решения системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений одношаговым методом второго порядка:

= и ) = ut_t + % [1] [F (и*.,,	) + F (U^ + At[l]F (UM,	), tk)],

где [1] — единичная матрица.

Для сравнения эффективности различных одношаговых методов рассмотрим ре-

шение этими методами уравнения

= 2t2 + 2и при следующих начальных условиях:

t= 0, и = 1. Аналитическое решение этого уравнения с учетом заданных граничных
условий имеет вид

M = l,5e2it- t2-t-0,5.

В табл. 6.1 приведены результаты численного решения этого уравнения с шагом
интегрирования △£ = 0,1 различными методами.

Таблица 6.1

	Метод Эйлера	Метод Рунге — Кутта четвертого порядка	Точное решение
0,1	1,2000	1,2221	1,2221
0,2	1,4420	1,4997	1,4997
0,3	1,7348	1,8432	1,8432
0,4	2,1041	2,2783	2,2783
...	...	...	...
1.0	7,0472	8,5834	8,5836

Как видно из табл. 6.1, точность полученного результата зависит не только от
величины шага интегрирования At, но и от количества шагов. При большом числе
шагов точность получаемого результата снижается из-за накопления ошибок ин-
тегрирования.
Алгоритм 6.7. Интегрирование системы дифференциальных, уравнений мето-
дом Рунге - Кутта второго порядка

Шаг 1. Полагаем^ что время интегрирования равно началу процесса
интегрирования k = 0? t^ = t0? а переменные U(t0) = 11$ — их. начальным
условиям.

Шаг 2. Вычисляем вектор правых частей системы уравнений F(U^? t^) в момент
времени t^.

Шаг 3. Вычисляем вектор значений переменных по методу Рунге — Кутта первого
порядка^ используя вычисленные на втором шаге значения правых частей
уравнений Ufe = Ufe _ ± + At[l]F(Ufe _ tfe _ х) .

Шаг 4. Вычисляем вектор правых частей системы в момент времени

Л = tk - 1 + 4t п₽и F(Ufe + V tk + 1) 

Шаг 5. Вычисляем решение системы уравнений для момента времени t^? используя
выражение (6.24).

Шаг 6. Если tfe < tK0H? то увеличиваем t на шаг интегрирования At и переходим
к шагу 2j иначе расчет закончен.

Для рассмотрения многошаговых разностных методов вернемся к задаче Коши
(6.21). Будем полагать, что нам известны значения решения уравнения в /'предыдущих
точках	равные z^_1...z^_r соответственно. Значения z^_r..zz^_ можно вы-

числить, например, с помощью метода Рунге — Кутта. В многошаговых методах новое
значение переменной uk в следую щей точке интегрирования вычисляется с помощью
рекуррентного соотношения

а(Л+а1Л-1 + - + «гМ*-г

д/.

= V	!-к) + V («А-t Л-1) +   • + brf (.ик-Л-г) >	(6.25)

где a., b,f — коэффициенты, не зависящие от k, i = 0,..., г, причем aQ 0.

Из (6.25) видно, что в многошаговых методах допускается вычисление только
в регулярных точках интегрирования tk и изменять шаг интегрирования, как в методах
Рунге — Кутта, затруднительно. Если bQ = 0, то значение uk выражается явным обра-
зом через предыдущие значения uk_ i...uk_r и производные в этих точках
мы имеем дело с явным многошаговым методом. Когда же bQ 0, для нахождения uk
приходится решать нелинейное уравнение

г	г

ЛЛ - b0^f (uk’h) - S aiuk-i +

!-l

В этом случае метод называют неявным.

В практике вычислений наибольшее распространение получили методы Адамса,
которые представляют собой частный случай многошаговых методов (6.25), когда
йо= ~ai = 1’ ak = 0 ПРИ = 2, 3,..., г, то есть
г

«i = а*-1 +

j=l

В случае b = 0 методы Адамса будут явными, в противном случае — неявными.
Описание раз личных вариантов явных методов Адамса можно найти в [2], [8].

Рассмотрим неявные варианты многошаговых методов, которые применяются
для решения жестких систем дифференциальных уравнений. Дифференциальное
уравнение и система таких уравнений называются жесткими, если они описывают
разномасштабные по времени процессы, протекающие в моделируемом объекте.
Другими словами, жесткими системами уравнений являются системы, постоянные
времени в которых разнятся во много раз. Такие случаи часто встречаются в практике
моделирования радиочастотных устройств, когда постоянные времени цепей питания
во много раз превышают постоянные времени цепей радиочастоты. Решение таких
систем одношаговыми и явными методами приводит к значительным ошибкам. Рас-
смотрим для примера систему

^ = 998?/+19981);	=-999zz - 1999и

dt	dt

Если полагать uQ=*о0 = 1, то решение системы нетрудно найти аналитически и оно
будет равно

и = 4e”f — Зв"10004'; в = —2e”f + Зе”1(№.

Попробуем решить эту систему методом Эйлера. Дискретное решение можно за-
писать формулами

uk ~ ma,_j + A£(998z/a,_j + 19981)^);

в/г = i)A_t + △/• (—999z/jt_J - 1999в^_|),

где м0 ~d 0 — 1. Если шаг интегрирования А/;=0,0.1, то вместо точных значений получится
щ = 3,96, и = -1,98. Если сделать еще несколько шагов интегрирования, то расхожде-
ние с точным решением принимает катастрофический характер. На начальных шагах
интегрирования ошибку можно уменьшить использованием меньшего значения At,
однако постепенно ошибки округления и дискретизации накопятся в такой степени,
что снова приведут к неустойчивому решению. Графически решение системы явным
методом Эйлера показано на рис. 6.3, б.

В настоящее время для решения жестких систем дифференциальных уравнений
математической модели радиоустройств широко используется метод Гира, в основу
которого положены неявные многошаговые методы. Формулу Гира можно получить
из (6.25), если принять =ЬЭ=... =Ь = 0, = 1. Тогда для отыскания очередного зна-
чения переменной uk получаем нелинейное уравнение

г

(и*л) = -£•

1=1

(6.26)
Коэффициенты а- в правой части (6.26) выбираются из условия минимальной
погрешности аппроксимации. Это условие приводит к линейным уравнениям отно-
сительно коэффициентов af.

а0 = ~Хяр ХЧ = -fc X i>ai = °> z = 2, 3,г.
i~[	7=1

Если эти уравнения записать в виде системы, то получим:

+21б?2 +... +гЦ, =1;

«1 + 22я2 +... + r2ar = aQ;

+ 23а9 +... + г3аг = 0;

+ 2гл2 + • • • + тг йг — 0,

(6.27)

где. г— порядок аппроксимации, учитываемый в конкретном случае. Эта система ли-
нейных уравнений имеет однозначное решение, так как ее определитель отличен от
нуля. Так, при г= 2 коэффициенты будут равны aQ = 2/3, ал = -2,	= 1 /2.

Для г= 3 из (6.27) можно получить значения коэффициентов aQ = 11/6, ал = -3,
а2 = 2/3, а3 = -1/3, и тогда уравнение для определения uk получим в виде

11	3	1

—Uk -	= -3z/^j --zz^2 + 3

Неявные разностные методы обладают хорошими свойствами устойчивости при
решении жестких уравнений, что компенсирует необходимость решения на каждом
шаге интегрирования нелинейного уравнения. Графически решение системы урав-
нений из приведенного примера неявным методом первого порядка (r= 1) показано
на рис. 6.3, в.

Полученные ранее формулы несложно распространить и на систему дифференци-
альных уравнений. Воспользовавшись формулой Гира для г= 2 для одного уравнения,
запишем итерационную формулу для решения системы на/г-м шаге интегрирования:

|ut-At[l]F(Ut>^) = 2Ut_, -|и,_2.	(6.28)

Система нелинейных уравнений (6.28) на каждом шаге должна решаться отно-
сительно значений искомых переменных и/г в очередной точке, интегрирования tk.
Это решение может быть выполнено, например, методом Ньютона, если в качестве
начального приближения для Щ использовать Щ Р

Алгоритм 6.8. Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравне-
ний методом Гира второго порядка

Шаг 1. Определяем начальные значения переменных в узлах интегрирования
и Uq., и1. Полагаем текущее время интегрирования t =
Шаг 2. В соответствии с (6.28) формируем левую часть системы нелинейных
уравнений относительно неизвестных значений переменных в точке t^:
3Ufc/2 - At[l]F(Ufe, tfc).

Шаг В. Формируем вектор правой части системы нелинейных уравнений
относительно Ufe: 211^ х - 1^. _ 2/2.

Шаг 4. Систему нелинейных уравнений^ сформированную на предыдущем шаге?
решаем относительно методом Ньютона.

Шаг 5. Если t^ < tKOH? то увеличиваем на шаг интегрирования At и переходим
к шагу 2j иначе моделирование переходного процесса закончено.

Оценка ошибок многошаговых методов интегрирования системы дифференциаль-
ных уравнений и областей их устойчивости довольно сложна и в существенной степени
зависит от характера интегрируемой системы. Эти материалы можно найти в [8].

6.4.	Аппроксимация и интерполяция табличных данных

При проектировании РЭС зачастую приходится иметь дело с функциями у = f(x),
заданными не аналитическими выражениями, а в табличной форме, то есть в виде
совокупности пар чисел (х;, z/Д i = 0, 1, ..., п. Обычно так представляют результаты
эксперимента или моделирования РЭС. Однако необходимость определения значений
функции между точками х0...х„ требует аналитического представления.

Поэтому возникает.задача аппроксимации — отыскания такой аналитической фун-
кции s(x) (аппроксимирующей функции), которая бы наилучшим образом отображала
таблично заданную функцию /(х.), i = 0, 1, ..., ??.. Здесь наблюдается случай точечной
аппроксимации, в отличие от непрерывной (интегральной) аппроксимации, когда
функция s(x) должна аппроксимировать исходную функцию f(x) на непрерывном
множестве точек (например, на отрезке хе [я, £]). Если функция з(х) аппроксимирует
/(х) на всем множестве значений х? i = 0, 1,..., п, то говорят о глобальной аппрокси-
мации, если же требуется несколько различных функций s(x), каждая из которых
аппроксимирует/(х) лишь на некотором подмножестве точек x,f, i =k,..., /, то это случай
локальной (кусочной) аппроксимации.

Числовой оценкой качества аппроксимации является ошибка е. Возможны две
основные постановки задачи:

♦ среднее квадратическое приближение (рис. 6.4, а)

(Ф;)-Ж))2-

11 /=0

♦ равномерное приближение (рис. 6.4, б)

е = max
г=о...»


Рис. 6.4. Сравнение методов приближения: я — среднее квадратическое; б — равномерное

Если-же дополнительно накладывается условие точного совпадения значений
аппроксимирующей и исходной функций во всех точках х-р i = 0, 1,..., п (рис. 6.5), то
задача превращается в задачу интерполяции. Рассмотрим наиболее часто применяемые
методы ее решения.

х

Рис. 6.5. Сравнение интерполяции и аппроксимации:
st(.v) — интерполяция, л’2(.г) — аппроксимация

Линейная интерполяция. Простейшим видом локальной интерполяции служит
линейная интерполяция, при которой используется интерполирующий многочлен
первой степени

s(x) = a. + b.x, х._х<х<х., i=l,2,...,n,

то есть пары соседних точек (;v-_ t,	и (;r;, г/.) соединяются отрезками прямой.

Коэффициенты многочлена находят из условий

-J

а1 + Ь1Х1=У1,

откуда получают выражения для. коэффициентов многочлена:

=
Пример линейной интерполяции некоторой функции показан на рис. 6.6, а.

Рис. 6.6. Примеры интерполяций: а — линейная., о — квадратичная

б

Квадратичная интерполяция. Следующей по точности является квадратичная
интерполяция многочленом второй степени

s(:r) = щ + Ь-х + с-х2, xj_A<x<xi + i, i= 1,2,..., п - 1.

Такая интерполяция строится по трем смежным точкам, (х-_ t, _	(х^, У}),

(х- + 1, y.j + i), которые соединяются квадратичной параболой. Коэффициенты многоч-
лена определяют из системы трех уравнений:

б; + М';-1 + сЛ2;-1=^-1;

«, + *л+сй2=^;

а{ + М/+1 + с^; + 1=й + 1>

откуда получают выражения для коэффициентов многочлена

с =	1	( Ум~ У;  У, ~ Ум ].

Xi+| -Л;_|	— Xj Xj - Х,_| ?

bi = (г/; - lJi_i )/(х, - х,_| ) - с; (х,- - Хм ) J

а,. =$/,.-Z^.-CfX?.

Пример квадратичной интерполяции функции показан на рис. 6.6, б.

Интерполяция многочленом А-й степени. Интерполяция многочленом/г-й степени вида

s(x) = ro + rtx+... + );/

должна выполняться по k + 1 смежным точкам (х?:, у ). Если k = п, то наблюдается гло-
бальная интерполяция, если k < п- — локальная. Коэффициенты многочлена при.этом
могут быть определены из системы k•+ 1 линейного уравнения вида
г0 +	+ ...+ г& = у* i = 0, 1.k,

которая решается одним из методов, рассмотренных в разделе 6.1.

Существуют более простые алгоритмы, позволяющие отыскать интерполирую-
щий многочлен Л-й степени с меньшими вычислительными затратами. Необходимо
подчеркнуть, что все они приводят к одному и тому же многочлену, различаясь лишь
способами идентификации его коэффициентов и, как следствие, быстродействием.

Многочлен Лагранжа. Будем искать интерполирующий многочлен в виде линейной
комбинации k + 1 многочлена /г-й степени:

Цх) =У010(х) + уг Zt(x) + ... + yklk(x),
потребовав при этом, чтобы многочлены lk(x) подчинялись условиям
l^xj) = 1 при i = /;

4(.^) = 0 приг^/.

Этим требованиям отвечает многочлен Лагранжа

Тогда интёрполяционный многочлен Лагранжа будет записан в виде

(х - х0) (х - xj - (х - Х,._,) (х - х.+1 )-(х - хА)

Нетрудно заметить, что линейная и квадратичная, интерполяции являются част-
ными случаями интерполяции Лагранжа.

Так, для линейной интерполяции k = 1 и

х — х

Чх) = у0 _ . . +#i

Xq Jtj



а для квадратичной (при k = 2) имеем

Z(x) = у0
В случае, интерполяции периодической функции с периодом 2тс можно построить
многочлен, подобный многочлену Лагранжа, в виде

*	siп (х - х0) sin (л: - xt)  • • sin (х - х^) sin (х - х/+1) • • • sin (х - xk)

ы/' sin(-v. -x0)sin(*; -.rj-sin^r.	-x?+1)-sin(x,. -xt)’

Многочлен Эрмита. Интерполяционный многочлен Эрмита — модификация мно-
гочлена Лагранжа. Он представляет собой многочлен 2k + 1 степени Н(х), значения
и первая производная которого в точках х- совпадают со значениями и первой произ-
водной исходной функции /(х):

Н(Х') = у
H'(x,) = y’i, » = 0,1.k.

В простейшем случае (/г = 1) многочлен Эрмита строится по двум точкам, (х0, yQ)
и (Xj, z/1), и имеет вид

Однако при k > 1 выражение для многочлена Эрмита очень громоздко и на практике
используется редко.

Многочлен Ньютона. Интерполяционный полином Ньютона записывается в виде

(х) = ср} + (х - х0) + а,, (х - х0) (х - xt) + ... + ап (х - х0) (х - xt)... (х - х„).

Из основного условия интерполяции находим систему уравнений для определения
коэффициентов многочлена:

~ #0’

«0+«1 (.г, -х0) = ^;

«О + al (*2 - ro ) + Й2 (-v2 - Д;0 ) (Х2 - *1) = У2;

«О + а1 (*,. - *0 ) + • •  + «и К - Х0 ) (*„ - Х1)  • • (л;< - *»-1) = Уп •

Полагаем для простоты все значения х; равноотстоящими (х; — х;_ 1 = h = const, i = 1,
2,..., п, где h — шаг) и вводим понятие конечной разности /г-го порядка:

д^. = Д*-‘г/.+|
где k = 2, 3...; i= 1, 2, п - 1;

= У,-

Нетрудно показать, что конечные разности можно вычислить и непосредственно
по значениям функции у = f(x) в виде

= Ук+1	+ k(k-i)yll+i_2/2l + ... + (-t)l>yj.

Подставляя выражения для конечных разностей в формулы для коэффициентов
многочлена, получим для интерполяционного многочлена Ньютона следующее вы-
ражение:

N(x) = yQ + Дг/() (х - х0 )/h + Д2уа (х - х0) (х - xt )/(2! h-) +... +

+Д"уп (х - х0) • • • (х - х„_,)/(я! й").

Это выражение можно дополнительно упростить, введя новую переменную
t= (х - х0)/Л. Тогда имеем окончательный вид интерполяционного многочлена Нью-
тона:

N(х) = уц +tД//о + t(t: - 1)Д2т/0 /2! +... + t(t - 1) • • • (Z‘ - n +1) Д " z/0/п!.

Многочлены на основе центральных разностей. Введя по аналогии с конечными
разностями в многочлене Ньютона понятие центральных разностей /г-го порядка

= 8*~'г/,.+1/2 -&-'У;_1/2 = A^,_V2>

где i = 0, i, п - 1; k = 2, 3.„, можно получить еще целый ряд интерполяционных
многочленов:

♦	многочлен Стирлинга

+ й AS2A+1z/_l/2 + SM+1z/I/2

Z-ol2/e + lJ

52*z/0;

♦	многочлен Бесселя

Уо + г/1

у С1/9 р + /г-р
♦ многочлен Эверетта

♦ многочлен Стефферсена

Каждая из этих форм интерполяционного многочлена имеет свою область опти-
мального применения. Например, многочлены Эверетта и Стефферсена используют
разности только четного или нечетного порядка.

Итерационные методы интерполяции. Основаны на многократном применении
простых схем интерполяции. Простейший и наиболее часто употребляемый из них —
алгоритм Эйткена, использующий линейную интерполяцию. Сущность алгоритма
заключается в следующем.

Алгоритм 6.9. Алгоритм Эйткена

Шаг 1. Выполняется линейная интерполяция для совокупности значений функции
f(xj? < = 0, 1, п:

УМ = [Уе(х£ - х) -	- х)]/(х£ - Xz), i = 1, 2, ..., п.

Здесь У^^(х) — совокупность интерполирующих прямых, соединяющих точку (х0, у0)
с точками (х^, у^) соответственно.

Шаг 2. Повторно осуществляется линейная интерполяция, но уже для совокупности
полученных прямых J^j_(x) :

yi2W = [Уи(*)(*£ " х) - yil(x)(x1 - х)]/(х£ - хе), г = 2, 3, ..., п}

откуда после подстановки имеем

Уг2М = [у0(*1 - х) - уг(х0 - х)](х£ - х)/(х£ - х0) -
- [уе(х£ - х) - у£(х0 - х)](х1 - х)/(х£ - х0).

Выражения для	описывают квадратичные кривые, проходящие через точки

(х0? У0), (х1? Ух) и (хо у^).

Шаг 3. Выполняя линейную интерполяцию для кривых	получаем кубические

кривые

г/;з(-г') = [feCOO'i - х) -	- *)]/(*;

х2),г=3,4....
проходящие черев точки (х0? у0)? (х1? уг), (х2? у2) и (хо yi) .

Шаг 4. Линейная интерполяция повторяется до ъ = п} то есть пока кривая п-го
порядка не соединит все точки функции.

Ло сравнению с интерполяцией Лагранжа данный алгоритм более прост в реализа-
ции на компьютере. На практике в данном алгоритме редко используют кривые выше
третьего порядка (чтобы чрезмерно не увеличивать накопление ошибок вычислений),
поэтому при п > 3 эта.интерполодия применяется как локальная.

Иллюстрация работы алгоритма Эйткена для случая интерполяции четырех точек
функции Дх;), i = 0, 1, 2, 3 представлена на рис. 6.7.

Сплайн-интерполяция. Рассмотренные ранее алгоритмы локальной интерполяции
обладают общим недостатком — при переходе от одного интервала интерполяции
к следующему наблюдается перелом функции. От этого недостатка свободна, интер-
полодия с помощью сплайн-функции.

Сплайн — это многочлен вида

Sk(4) = ГО + г/х - х;_ t) + г2(х - х;_t)2 + ... + rt(x - Х;_

при <х<х-г

Для целей интерполяции обычно используются кубические сплайны

У(х) = а. + 6;(х - -1) + сХх “ xi -1)2 + - + d£x ~ xi -1)3-

Для определения коэффициентов а}} Ьр с} и d- на п интервалах локальной интерпо-
лодии требуется 4??. уравнений.

Согласно определению интерполяции, требуется выполнение условия S(x?) =

1 = 0,1,..., ??, откуда получаем 2/7 уравнений вида

5(х._|) = «;. = г/м;

•У(х;) = а, + 6;/г; + сД? + dthf - у:, i = 1, 2.п,

TReh—Xj-Xi-i.
Из условия непрерывности первых производных во всех внутренних узлах интер-
поляции имеем $'(%}) = ST(x- +1), i = 1,2,..., п - 1, откуда получаем 77—1 уравнение вида

lx + 2с hi + 3d;hj = b-.,, i = 1, 2, ..., n -1.

Аналогично, из условия непрерывности вторыхпроизводныхУ”(х^) = У”(х;+1), i= 1,
2, ..., /7—1 имеем еще п - 1 уравнение

С,. + 3«/Д; = с; + h i = 1,2.п - 1.

Имеем 4?г - 2 уравнения. Для формирования полной системы необходимы еще
два уравнения. Их можно получить, задав в крайних точках х0 и дополнительные
условия. Например, можно указать значения первых производных

ь\ = Уо> ь„ + 2с>Л, + 3d„hn = У»

или вторых производных

С1 = Уо< Сп + Ч/г» = Уп 

При этом чаще всего задают у$ = у" = 0, получая свободный кубический сплайн,
обладающий свойством максимальной гладкости.

В случае интерполяции периодических функций должны выполняться условия
равенства значений функции и ее первой производной на краях интервала перио-
дичности:

5 (х0) = 5 (xz/); y'Q = y}J,

откуда получаем недостающие уравнения системы:

"о = а„ + ЬпЬп + Cnfln + dnbn’
b0=bn + 2cnhn+3dnhn-

В итоге получаем систему 4??. линейных алгебраических уравнений

а} 4* bdi- + с,/?? +	- ул

t fl it	f I	i

c(- + 3djhj = c|+1;

Ci =0;

c„ +	=0, i = 1, 2,n -1,
которую можно решить одним из методов, рассмотренных в разделе 6.1, либо непо-
средственно, либо предварительно упростив.

Так, из первого уравнения системы находим значения коэффициента а.= у}_ г Из
четвертого, пятого и шестого уравнений выразим коэффициенты

= (сы - с;)/(3/2,-) > ‘ = ! 2’ •••> п -
~~^п/) •

Подставив найденные и rf- во второе уравнение, выразим bi через с.-:

Ь; = {у; - г/;_!)//г; - h; (с;+1 + 2с, )/3, i - 1, 2.п -1;

-2Л»с„/3-

В итоге получим систему из п + 1 уравнения:

+2(/гм +hi)cl+hicM = з[(г/;-y^/h,-(г/м -y^/h^],
i= 2, 3, и, Cq = 0, c*w+| = 0.

Ненулевые элементы матрицы этой системы находятся лишь на главной из двух
соседних с ней диагоналях. Следовательно, она является ленточной матрицей
с шириной ленты, равной трем, и для решения системы удобно использовать метод
прогонки (см. раздел 6.1). Затем по найденным коэффициентам ^-определяются
коэффициенты Ь} и с..

Нередко для экономии машинного времени используют локальную интерполяцию
локальными сплайнами. В отличие от рассмотренного случая, условие непрерывно-
сти второй производной при этом не используется, а значения правой производной
на границах локального интервала интерполяции определяются не по всем п точкам,
а лишь по малому числу (3...5) смежных. При этом вместо решения системы из п + 1
уравнения относительно коэффициентов с используется интерполяционный полином
Ньютона.или Стирлинга, построенный по этим смежным точкам.

Интерполяция функции двух переменных. Способы интерполяции, рассмотрен-
ные для функции одной переменной у = /(х), можно распространить и на функции
нескольких переменных. Так, линейная интерполяция для функции двух переменных
? = /(х, у) строится по трем точкам (х., у., 2^), i= 1,2, 3 и имеет вид

2 = (Do “ d|A- - D2z/)/D3,

где Do, D1? D9 и D3 — определители матриц, соответственно,
	Х1	21	1"				f
d2 =	X*,	г2	1	; D3 =	Д'2	Уч	1
	_хз	г3	1		.,¥3	Уз	1

Интерполяционный многочлен Ньютона для случая трех равноотстоящих точек
(х., z/;), 2 = 0, 1,2, будет записан как

X .Ха

2:=zoo + -—:

7+1

у-Уо

Ум - У>

(zoi 2оо) +

2zoi

где Hj= f(x{> Уi>-

Подобным образом могут быть образованы и интерполяционные многочлены
других типов.

Метод наименьших квадратов* Рассмотрим данный метод на примере аппрокси-
мации многочленом /я-й степени:

s(x) = aQ +	+... + anr\fl.

Коэффициенты многочлена а. должны быть подобраны таким образом, чтобы
обеспечить минимум среднего квадратического отклонения:

w	л н	лу

△ = £ [* U) - f (xi)] = У (ао + aix: + ••• + W" ~ У<)' •
;=0

Условием минимума является равенство нулю всех частных производных откло-
нения △ по коэффициентам а}, то есть

</Д п  п t
— = О, I = О, 1,.
аа;

т.

Подставляя, выражение для △, получим систему уравнений
я

ЭД/Эа0 = 2£(«0 + в,х, +... + а„,х!" -у;) = 0;

»=0

п

ЭЛ/dflj = 2^(«0 + tfjX, +... + атх^ -	= 0;

i=O

п

Щдат = 2£ (a0 + «j x, +... + a„,.r?' - y-, >?' = 0.
;=o

Перегруппировав члены этих выражений, окончательно получим:

^00^0 + Vl + "* +	“ С(Р

J>i0«0+61|fl|+... + /?tea„,=Ci;

+ Ьт1а1 + •”	~

п	п

где Ьи = ^х^1, ck ^у,	1 = 0,1, ..., т.

i=Q	/=()

Данная система представляет собой систему линейных уравнений и может быть
решена относительно коэффициентов а} известными методами.

6.5.	Методы численного дифференцирования

Согласно определению, производной функции у = /(х) по переменной х называется

#(*) = lim /(х+Лу)-/(х)
dx	Av—>0	Ar

Если функция f(x) задана аналитически, то для нахождения ее производных поль-
зуются готовыми таблицами производных (при этом для определения производных
высоких порядков миграция аналитического дифференцирования будет выполняться
многократно). Потребность в численном дифференцировании может возникнуть в двух
случаях: функция f(x) задана либо таблично, либо аналитически, но вид выражения
столь сложен, что не допускает применения таблиц производных (данный случай мо-
жет быть сведен к первому путем вычисления функции /(х) на дискретном множестве
значений х^, i = 0,1,..., ??,.

Операция численного дифференцирования сводится к двум действиям:

♦	интерполяция таблично заданной функции f(x) аналитически заданной функ-
цией s(x);

♦	аналитическое, дифференцирование функции s(x).
К функции s(x) предъявляются два требования: достаточная точность отображения
f(x) и удобство применения таблиц дифференцирования.

Рассмотрим применение описанных в разделе 6.4 интерполирующих функций для
целей численного дифференцирования.

Линейная интерполяция. Функция s(x) имеет вид s(x) = а.} + b-x,p i= 0, 1,..., п, откуда
получаем для производной

ds(x) = [> + bi(xi + Аг)] - [д,- + 6,-г,] = ь
dx	Ах	'

Используя полученное в разделе 6.4 выражение для коэффициента Ь}? находим
фор мулу численного дифференцирования при линейной интерполяции для функции
f(x) в точке х} в трех вариантах:
♦ случай левосторонне й разнос™:



7-1

♦

случай правосторонней разности:

У- = ——У±, г= 0,1,я - 1;
xf+, - х -,

случай центральной разности:

...f _ У i+\ У i—\	’_ u г»	л

Z/j	*	1, 2, ..., ??	1.

Xj-H ” X/-l

Можно показать, что погрешность дифференцирования в случае лево- и право-
сторонней разности одинакова и пропорциональна шагу Ах, а при использовании
центральной разности — пропорциональна Ах2, то есть на порядок меньше.

Из полученных выражений можно определить и производные высших порядков.
Так, для второй производной, используя левосторонние разности, получим:

. у'(х.) - у' (х. - М .	- Ум )/(х1 - хм) - U-1 - Ум )/(хм - хм)

У/ ~	А -	“

Ax	Xj Х^2

i = 2, 3,..., п.

Если выполняется условие х* +1 - x-=h = const, i= 0, 1,..., n - 1, то данное, выражение
упрощается:

У; ~2у,-1 + Ум

У>~ А2

i = 2, 3, п.
Аналогично, при использовании правосторонних разностей получим:

Ум~2Ум+У>

Ji ~ й2

i = 0, 1, п - 2.

Применяя смешанные односторонние разности (правосторонние для второй про-
изводной и левосторонние для первой или наоборот), получим:

Ум ~2У> + Ум

Л Л2

i = 1, 2, п -1.

Во всех этих случаях для определения второй производной требуются три значения
функции f(x), а погрешность дифференцирования оказывается пропорциональной /г2.
Комбинация же односторонних и центральных разностей можетпривести к необходи-
мости использования уже четырех значений функции без уменьшения погрешности
диффе ре нцирования.

Интерполяция полиномом А-й степени. Формулы численного, дифференцирования
с использованием интерполирующего многочленаk-й степени (/г > 1) удобно получать
не непосредственно, а применяя многочлены Лагранжа, или Ньютона (возможно также
использование многочленов Стирлинга или Бесселя).

Многочлен Лагранжа. При k = 2 (три равноотстоящих узла интерполяции х.,
i = 0, 1,2) многочлен Лагранжа имеет вид

Для первой производной ут в точках х0, хп х2 получаем:

^Ур + ^У\ У 2.



21г

У 2 - Уо .

2h 1

уй - 4уА + Зг/2

2/г

причем погрешность определения у§ и у[ пропорциональна /?.2 и /?3 для у2.
Для второй производной имеем:

с погрешностями, пропорциональными й для Уд и уг " ий2 —для у".

При использовании интерполяции по четырем узлам многочленом Лагранжа тре-
тьего порядка выражения для первой производной имеем в виде
, -2г/0+9г/(-18^,+11г/3

й-------------й----------'

с погрешностью определения, пропорциональной/??.

Для второй производной с погрешностью, пропорциональной /?2, получим:

2?/0-5^+4^2-%

% -	h2

п„_Уо~2У1+У2.

Уг ~ 1Л

+4*/i ~5?/2+2Уз

Уз- 73	'

Аналогичные выражения для производных можно получить и для многочленов
Лагранжа более высокой степени. Необходимо отметить, что при четной степени
многочлена наименьшее абсолютное значение погрешности достигается в среднем
узле интерцоляции.

Многочлен Ньютона. Записав многочлен Ньютона для интерполяции п равноот-
стоящих точек t = (х - х0)//? в виде

хг/ \ .А ^"0*9	п+ 1) АИ

АГ(х) = у0 + ГД% +	Д2г/0 +... + -i--------Д"г/()

Z!	ПI

и продифференцировав его по переменной хнеобходимое число раз, получим выра-
жения для производной любого порядка. Так, для первой производной имеем

, 1С 2£ —1 . ,	3t2-6t + 2 ,

У = д I д% +	^ Уо +-----j*!----ДЧ +

4/.3 -18/.2 + 22t - 6 л,	5Г1 -40/3 + 105/.2 -100t + 24 ..

+----------4]---------ДЧ +------------------j,--------------д”% +•••]•
Аналогично, для второй производной



12г2 -36г+ 22
4!

20Z3 -120Z2 +210Л -100

5!

Ч
д5#0 + ... .

Очевидно, что число слагаемых в этих выражениях, а следовательно, и точность
вычисления производной жестко определяются количеством точек интерполяции.
Однако с увеличением числа точек резко возрастает сложность самих выраже-
ний. Существуют алгоритмы (например, метод Рунге — Ромберга), позволяющие
повысить точность определения производной при заданном количестве точек
интерполяции.

Определение частных производных. Численное дифференцирование функции
многих переменных 2=/(х1,..., хл) по сути аналогично численному дифференцированию
функции одной переменной у = f(x) и также может быть выполнено с применением
различных интерполирующих многочленов. Требуемого результата можно достичь
и путем разложения функции в ряд Тейлора.

Так, для функции двух переменных z = /(х, у) разложение будет иметь вид

/(л- + Дх, у + Дг/) = /(х, у)

df	Ъ[

+ ^-Дх + ^Ду +

ох	оу

2! Эх2 ЭхЭг/ Эг/2 J J

и для частных производных получим, к примеру, следующие выражения:

Эг _	. Эг _ zi,j+i .

Эх" 2ht ’ ду~ 2h2
d2z _ faj ~ 2г,j + г,
Эх2	h2 ’

Э2г _ z>.;+l	_

dy2 ~	’

d2z _ Zi+lJ+l	~Zi-l,j+l	+	Zi-l,J-1

дхду

где /г, = Дх, й, = Дг/, zi+k, -+l= f[x, + khv i/j +//?,).

При использовании других комбинаций разностных точек выражения могут иметь
другой вид.
Необходимо сделать два важных замечания.

♦ Как показано ранее, погрешность всех формул численного дифференцирования
определяется величиной шага дифференцирования и снижается при его уменьше-
нии. Однако по мере уменьшения шага усиливается влияние ошибок округления
из-за конечной точности компьютера. Поэтому существует некоторая оптимальная
величина шага, являющаяся компромиссом между уменьшением погрешности
интерполяции и увеличением погрешности округления.

♦ Если значения исходной функции у = /(х) заданы с некоторой ошибкой Аг/;,
7 = 0, 1,..., п (например, являются результатами эксперимента и — погрешности
измерений или функция /(х) вычисляется и Ат/.. — погрешности вычислений), то
дифференцирование функции приводит к усилению влияния ошибки, причем
тем значительнее, чем выше порядок определяемой производной. Поэтому для
снижения ошибки дифференцирования может потребоваться предварительное
сглаживание табличных значений исходной функции (например, методом наи-
меньших квадратов).

6.6.	Методы численного интегрирования

Определенным интегралом функции у = /(х) по переменной х в границах [я, назы-
вается

j f{x)dx = 2™0Х / (*;) А*.

а	'=4

Если функция /(х) задана аналитически, то для нахождения ее определенного ин-
теграла пользуются готовыми таблицами определенных интегралов либо вычисляют
его с помощью таблиц неопределенных интегралов по формуле

ь
f(x)dx = F{x)\’g= F{b)-F{a).

а

В любом случае для определения кратных интегралов операция аналитического
интегрирования будет выполняться многократно.

Потребность в численном интегрировании может возникнуть в двух случаях: функ-
ция /(х) задана либо таблично, либо аналитически, но вид выражения не допускает
применения таблиц интегралов. Второй случай может быть сведен к первому вычи-
слением функции /(х) на дискретном множестве значений х., i = 0, 1,..., ??..

Операция численного интегрирования сводится к трем действиям:

♦	интерполяции таблично заданной функции /(х) аналитически заданной функ-
цией s(x);

♦	аналитическому интегрированию функции s(x) на подынтервале [х-, х- + 1],
i = 0,1,п — 1;

♦	определению значения интеграла на всем интервале [а, 6].
Соответственно, к функции s(x) предъявляются два требования: достаточная точ-
ность отображения f(x) и удобство применения таблиц интегрирования.

Для целей численного интегрирования можно применять различные интерполи-
рующие функции, описанные в разделе 6.4.

Кусочно-постоянная интерполяция (метод прямоугольников). Функция s(x)
имеет вид

s(x) = a}, z =

Приравнивая интерполирующую функцию к исходной на левом краю подынтервала
интегрирования [х;, х- + J, i = 0,1,..., п - 1, s(:r;)=/(хД получаем значение коэффициента
я. = z/.. Тогда дня ин те грата на подынтервале [х? х}+1] имеем р^у^ и окончательно
выражение для определенного интеграла найдем в виде

z>	w-i

\ f{x)dx = '^hiyi.

В важном для практики случае интегрирования с постоянным шагом h- =h = const,
i = 0, 1,..., n- i формула приобретает вид

«-j

J/(*)& = Л£ г/,..

Пример интегрирования функции показан на рис. 6.8, а.

Рис. 6.8. Интегрирование методом прямоугольников:
а — п о левой границе; б — методом среднего

Аналогично, приравнивая интерполирующую функцию к исходной на правом краю
подынтервала интегрирования [х;, х} + Д, i = 0, 1, ..., п - 1, s(x- + Д = f(x- +1), получаем
значение коэффициента щ + г Тогда для интеграла на подынтервале [х., х.+Д име-
ем pi = у^ + ihi и окончательно выражение для определенного интеграла найдем в виде
b	я-1	b	п-1

]f(x)dx= У > ПРИ постоянном шаге — j f(x)dx = ум .

а	/=0	а	1=0
Ошибка интегрирования в обоих случаях одинакова и пропорциональна/?,2.

Точность интегрирования можно повысить, приравняв интерполирующую функ-
цию к исходной посередине подынтервала интегрирования [хр х} + J, то есть в точке
х0/= (х?- +1 + х;)/2, i = 0,1,??. -1, в результате чего получим значение коэффициента
b

а,}= f(xQj) и выражение для определенного интеграла найдем в виде J f(x)dx =	A-yQj,

h	п-l	a	f=0

а при постоянном шаге — j f(x)dx - yQj.

a	/’=0

Данный способ получил название модифицированного метода прямоугольников,
или метода среднего. Ошибка интегрирования здесь существенно ниже и пропорцио-
нальна /?3, однако применим он лишь в том случае, когда можно найти значение функ-
ции /(х) в середине подынтервала (например, если функция задана аналитически).
Пример интегрирования для этого метода показан на рис. 6.8, б.

Линейная интерполяция (метод трапеции). Функция s(x) имеет вид

s(x*) = + Ь}х, i = 0,1, п.

Значение интеграла на подынтервале [х., х.+1] равно р}=/?,.(у. + у.+1)/2, i=0,1,..., п - 1,

Ь	п-1

откуда для определенного интеграла получим J /<х№ =(*ьуо+hnyn}l2+X /ед ,
a	f=I

Ь	п-1

а.при интегрировании с постоянным шагом — J f(x)dx = h (z/0 + уп )/2 + X yt .

а	_

Ошибка интегрирования здесь также пропорциональна /?3, но несколько больше,
чем в методе среднего (но много меньше, чем в методе прямоугольников). Однако
этот метод не требует определения значения функции f(x) в середине подынтервала,
поэтому область его применения шире.

Пример интегрирования функции методом трапеций приведен на рис. 6.9.

Рис. 6.9. И нтегрирование методом трап еций
Интерполяция квадратичным многочленом (метод Симпсона). Функция s(x)
имеет вид

Дх) =	4- Ь'Х 4- С-Х2, I = 0, 1, П.

Интервал интегрирования разбивается обязательно начетное число подьщтервалов
(или функция задается в нечетном числе точек). Используя представление интер-
полирующей функции в виде многочлена Лагранжа 2-й степени, считая все точки х
равноотстоящими с шагом h, найдем значение интеграла на двойном подынтервале
в виде р} =	4- 4z/,. + у- + ±)/3, i = 1, 3, п - 1, откуда для полного интеграла на

интервале [я, Z?] имеем

I)

J J\x)dx = h [у0 + 4(у, + у3 +... + у„_х) + 2 (у2 + у* +... + //„_,) + 3/„ ]/з.
а

Ошибка интегрирования здесь меньше, чем в предыдущих методах, и пропорцио-
нальна /г4. Пример интегрирования приведен на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Интегрирование методом Симпсона

Определение кратных интегралов. Численное интегрирование функции многих
переменных 2=/(х1?..., ;^г) по сути аналогично численному интегрированию функции
одной переменной у= Дх) и также может быть выполнено с применением различных
ин терполирующих многочленов.

Так, для функции двух переменных z = Дх, у) при использовании аналога метода
прямоугольников с постоянным шагом /?х.по переменной хи h по переменной у получим:

« т

JJ f (X y)dxdy = hxhy £ £ / (х;, У))
' >=1>1

при использовании значений функции на левой границе подынтервала интегрирования;
J J /(-*'. y)dxdy = hxhy XX/ (л’> - Voj)

 >=2 j=2

при использовании значений функции на правой границе;

Я f(x> y^dxdy = hxhy XX/ (хо>> У о i)

при применении метода среднего.

В заключение необходимо сделать два важных замечания.

♦ Как показано ранее, погрешность всех формул численного интегрирования опреде-
ляется величиной шага интегрирования и снижается при его уменьшении. Однако
по мере уменьшения шага усиливается влияние ошибок округления из-за конечной
точности компьютера. Поэтому, подобно случаю численного дифференцирования, су-
ществует некоторая оптимальная величина шага, являющаяся компромиссом междуг
уменьшением погрешности интерполяции и увеличением погрешности округления.

♦ Если значения исходной функции у = /(х) заданы с некоторой ошибкой

1= 0, 1,..., п (например, являются результатами эксперимента и Az/?- — погрешности
измерений или функция/(х) вычисляется и Az/; — погрешность вычислений), то
интегрирование функции приводит к уменьшению влияния ошибки, причем тем
значительнее, чем выше кратность определяемого интеграла. Поэтому предвари-
тельное сглаживание табличных значений исходной функции, применяемое при
численном дифференцировании, обычно не требуется.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Сформулируйте постановку и основные понятия задачи аппроксимации таблич-
ных данных.

2.	Что такое линейная и квадратичная интерполяции?

3.	Дайте сравнительную характеристику методов интерполяции полиномом А-й
степени с применением многочленов Лагранжа, Эрмита и Ньютона.

4.	Как функционирует итерационный алгоритм интерполяции Эйткена?

5.	Что такое сплайн-аппроксимация, каковы ее разновидности?

6.	Как можно распространить методы интерполяции функции одной переменной
для функции двух переменных?

7.	В чем заключается применение методанаименьших квадратов для целей аппроксимации?

8.	Дайте сравнительную характеристику методов численного дифференцирования
с применением линейной интерполяции и различных многочленов /г-го порядка.

9.	Дайте сравнительную характеристику методов численного интегрирования: метода
прямоугольников, метода трапеций и метода Симпсона.

10.	Как выполняется численное определение кратных интегралов?
Глава 7

Оптимальное проектирование
РЭС на основе решения задачи
нелинейного программирования

7.1.	Приведение задачи проектирования РЭС
к задаче нелинейного программирования

При проектировании радиоэлектронных средств перед разработчиком встает вопрос
об оптимальности полученных технических решений. Формально оптимальность
оценивается значениями целевой функции (функции качества), характеризующей
близость спроектированного РЭС к предельным на данном уровне развития техники
характеристикам.

Оптимальные РЭС могут быть построены двумя способами. По первому из них,
называемому классическим синтезом, могут быть рассчитаны относительно нес ложные,
в основном пассивные устройства, для которых существуют аналитические способы
синтеза оптимальных схем. К таким устройствам относятся, например, оптимальные
частотные фильтры с аппроксимацией Чебышева или Кауэра, оптимальные широ-
кополосные согласующие устройства с аппроксимацией Фано, различных классов
частотно-разделительные и мостовые устройства и др. [1].

Для большинства же устройств не существует аналитических методик синтеза,
и их проектирование осуществляется вторым способом — методами оптимизации на
компьютере. Различают структурную и параметрическую оптимизацию.

При структурной (более сложной) оптимизации определяется наилучшая струк-
тура устройства, удовлетворяющая заданным требованиям, близким к предельно
возможным. Обычно это выполняется на начальном этапе синтеза схемы РЭС.

В настоящей главе будем рассматривать устройства заданной (или определенной
на ранних стадиях проектирования) структуры, различающиеся числовыми значени-
ями внутренних W = |^1,w9,..., й^;|т и выходных параметров F = \fvf2, //JT- Тогда под
параметрической оптимизацией (в дальнейшем просто оптимизацией) понимается
определение такой совокупности внутренних параметров схемы W (номиналов индук-
тивностей, емкостей, резисторов, параметров активных элементов и др.), при которой
заранее выбранные выходные параметры F (например, частотные характеристики
импеданса, коэффициента передачи, усиления, потребляемой и выходной мощности
и т. п.) при ни мают значения, близкие к предельно возможным или требуемым. Кроме
собственно оптимизации устройства на этом этапе могут быть определены чувстви-
тельности элементов устройства, оценено влияние дестабилизирующих факторов, вы-
полнен анализ статистических характеристик устройства и др. Если параметрическая
оптимизация проходит довольно оперативно (для несложных моделей устройств),
может быть выполнен перебор различных структур схем, то есть осуществлены опе-
рации структурной оптимизации устройства.

Полное решение задачи проектирования радиоэлектронного устройства методами
параметрической оптимизации будет включать три этапа:

♦	моделирование устройства;

♦	составление целевой функции с выбором тех или иных критериев качества устрой-
ства;

♦	минимизация (максимизация) целевой функции с целью получения оптимальных
внутренних параметров устройства.

Моделирование (анализ) радиоэлектронных средств в зависимости от их типа и на-
значения может быть выполнено по алгоритмам, описанным в предыдущих главах.
Главным критерием моделирования наряду с приемлемой точностью и адекватностью
модели является быстродействие — скорость расчета выходных параметров устройства.
При выборе метода и способа моделирования необходимо понимать, что для осуществ-
ления успешной оптимизации устройства анализ его в разумном временном интервале
должен быть проведен десятки и сотни тысяч раз. Если модель сложна и время анализа
велико, то можно выполнять оптимизацию упрощенной модели радиоустройства, аза-
тем полный анализ схемы (например, для учета паразитных параметров в элементах
устройств, неоднородностей и высших типов волн в антеннах и устройствах СВЧ,
ограничений на внутренние параметры и выходные характеристики и т. п.).

Этап составления целевой функции (функции качества) при оптимизации устрой-
ства —самый творческий и неформальный. Целевая функция должна быть построена
таким образом, чтобы ее минимум (максимум) соответствовал наилучшим предель-
но возможным характеристикам выходных параметров устройства F, по которым
проводится его оптимизация. Целевая функция обычно содержит частные критерии
оптимальности, соответствующие той или иной выходной характеристике. Возможны
различные способы объединения частных критериев в целевую функцию: мультипли-
кативный и аддитивный. В первом случае составляется отношение или произведение
частных критериев и минимизация целевой функции соответствует минимизации (или
максимизации) частных критериев [1]. Более простым и чаще используемым является
аддитивный способ построения целевой функции. В этом случае целевая функция
является линейной композицией частных критериев (функций) качества, имеющих
различную чувствительность при изменении внутренних параметров устройства,
и имеет вид

п

F(W) = X	W 6 Wlon,	(7.1)

Z-l

где pk — весовые коэффициенты, учитывающие важность того или иного критерия
оптимальности; Fk — частные критерии оптимальности; W — допустимая область
изменения параметров. Частный критерий является функционалом той или иной вы-
ходной характеристики. В то же время частный критерий — это многомерная функция
внутренних параметров устройства W.
Различают детерминированные и статистические частные критерии оптимально-
сти. К детерминированным критериям относятся критерии, соответствующие задаче
максимального приближения определенной характеристики устройства (временной,
частотной, амплитудной и т. п.) к заданной или предельновозможной. Наиболее часто
используются среднестепенные критерии, при которых минимизируется возведенное
в степень q отклонение частного критерия отего желаемого значения:

п

^(W)=£A.[F4(W)-FMJ/^min,
k=l

(7-2)

где F/iQ — требуемое (наилучшее) значение частного критерияоптимальности устрой-
ства. При q = 2 получается известный критерий минимума среднего квадратического
отклонения.

Возможны и другие детерминированные критерии. Так, для задачи (7.1) возможен
чебышевский критерий, соответствующий минимуму максимального отклонения вы-
ходной характеристики от требуемого значения:

F(W) - max | F/W) - Г/г01 min.

(7-3)

Этот не аналитический критерий, и поэтому при дальнейшей минимизации це-
левая функция может не быть гладкой, поэтому на практике применяют различные
аппроксимации чебышевского критерия.

Статистические критерии оптимальности основаны на использовании стати-
стических характеристик устройства. Таковыми могут быть процент выхода годных
схем, учет статистических параметров элементов (разброс, чувствительность), учет
статистических свойств внешней среды (при проектировании антенн, устройств СВЧ
и т. п.), учет статистических ограничений на внутренние и выходные, параметры и др.

При необходимости в целевую функцию (7.2) можно ввести слагаемые, учитываю-
щие ограничения на внутренние параметры устройства. В этом случае используются
штрафные функции, значения которых резко возрастают при приближении значений
параметров к границам области определения. Возможны и другие способы учета
ограничений на значения параметров элементов схем [1].

После конструирования целевой.функции в диалоговом режиме выполняется
этап минимизации целевой функции подбором параметров устройства. Так как
в большинстве случаев целевая функция нелинейно зависит от внутренних пара-
метров, то для минимизации целевой функции используются методы нелинейного
программирования, являющегося частным случаем решения задачи математического
программирования [5].

В общем случае задача нелинейного программирования выглядит еле дующим обра-
зом: найти вектор внутренних параметров Won.r обеспечивающий минимум нелинейной
скалярной функции F(W) при заданном множестве допустимых альтернатив, опре-
деляемом ограничениями на область допустимого варьирования вектора внутренних
параметров, то есть

^in=W)|w = wcm.

(7.4)
при W с W.l0„ . Задача (7.4) называется задачей нелинейного программирования без
ограничений. Однако в реальных проектных задачах зачастую параметры элементов
устройства связаны между собой уравнениями или неравенствами:

g.(W) = 0, i= 1,..., m; /?.(W) > 0, j = 1,..., р.	(7.5)

Выражения (7.5) задают дополнительные к W ограничения на параметры эле-
ментов устройства.

Тогда задача нелинейного программирования с ограничениями может быть запи-
сана в виде

Fn>ln=f(W)|W = Wn,1T	(7.6)

при W с W-ю,,, g( W) = 0, i = 1 т; h£W) > 0, j = 1 р.

Решение задачи с ограничениями (7.6) зачастую оказывается более сложным, чем
задачи без ограничений (7.4).

Если функция F(W) имеет один минимум (максимум) в заданной области W , то
ее называют одноэкстремальной (унимодальной); если же более одного, то многоэкс-
тремальной. Каждый минимум многоэкстремальной функции называют.локалъным,
наименьший из них — глобальным. Если ограничения на внутренние параметры (7.6)
отсутствуют, то минимизацию называют безусловной, в противном случае функция
имеет условные минимумы (экстремумы).

Математически задача сводится к поиску точки (точек) в /7-мерном пространстве
(отсюда поисковая оптимизация), удовлетворяющей минимуму целевой функции (7.6).
Дня реальных задач оптимального проектирования обычно невозможно найти мини-
мум за конечное число шагов и поиск осуществляется итерационными методами; на
каждой итерации необходимо решить две задачи:

♦	выбрать направление движения из заданной (исходной или полученной на преды-
дущей итерации) точки;

♦	подобрать оптимальный шаг в данном направлении — выполнить одномерный
поиск. Оптимальность одномерного поиска определяется либо нахождением ми-
нимума функции по данному направлению, либо общей стратегией многомерного
поиска.

Стратегией движения по //-мерному пространству является безусловное уменьше-
ние значения целевой функции. Оптимизация считается выполненной, если при необ-
ходимом изменении весовых коэффициентов и уточнении желаемых характеристик
(7.2) реализуются выходные параметры, удовлетворяющие разработчика.

Алгоритм 7.1. Общая стратегия оптимизации РЭС

Шаг 1. Выбрать начальное приближение

Шаг 2. Определить вектор направления движения.

Шаг 3. Выполнить оптимальный шаг по выбранному направлению— одномерный

ПОИСК.

Шаг 4. Если целевая функция уменьшается., перейти к шагу в противном
случае — к шагу 5.
Шаг 5. Если выходные параметры устройства удовлетворяют заданным требованиям.,
окончить оптимизацию., в противном случае изменить критерий качества., весовые
коэффициенты., параметры желаемых характеристик и перейти к шагу 2.

Приведенный алгоритм отражает не только.формальную минимизацию целевой
функции, но и при необходимости непрерывное конструирование самой целевой
функции. Поэтому широко применяемый термин «метод оптимизации» не совсем
точен, когда идет речь только о методе минимизации многомерной функции. А под
методом оптимизации, видимо, следует понимать то или иное решение всех этапов
алгоритма 7.1 оптимального проектирования устройства..

Рассмотрим предварительно одномерный поиск минимума целевой функции как
важную составную часть общей стратегии оптимизации. Практика показывает, что
часто от того, насколько хорошо организован одномерный поиск, в значительной
степени зависит успех решения всей задачи оптимизации.

7,2.	Методы одномерного поиска
оптимального решения

Рассмотрим методы численного определения минимума функции одной переменной
F(w) в случае отсутствия ограничений на область допустимых значений независимой
переменной. Необходимо найти

Fmin = f О>|W = дао..т >	(7-7)

где да — значение независимой переменной, соответствующее минимуму функ-
ции Г(да).

Известно, что если задана аналитическая функция Дда), то ее минимум определя-
ется из уравнения

di&

(7-8)

Однако в большинстве случаев практического проектирования РЭС функция F(w)
задана алгоритмически и непосредственное использование уравнения (7.8) затрудни-
тельно — необходимо применять различные численные конечно-разностные аппрок-
симации этого соотношения. Кроме того, в практических задачах обычно задается
допустимая область изменения переменной а <да < Ь, и решение уравнения (7.8) не
всегда будет ей соответствовать.

При решении задачи (7.7) численными методами определяется не точное значе-
ние даопт, а некоторый интервал неопределенности 5да, внутри которого лежит точка
даопт. Задача нелинейного программирования для одномерной функции выглядит
следующим образом: найти min Г(да) при да е [я, в предположении, что Р(да) вну-
три области [я, имеет один минимум, то есть F(w) унимодальна. Алгоритм поиска
min F(w) должен за наименьшее число обращений к вычислению функции F(w), то есть
к модели устройства, найти минимальный (или.заданный по ширине) интервал 5ге>,
любая точка внутри которого принимается за оптимальное значение wonT. Ло суще-
ству, методы одномерного поиска — это методы оптимального сокращения интервала
неопределенности.

Рассмотрим ряд методов.одномерной минимизации функции: равномерного поиска,
деления пополам (дихотомии), Фибоначчи, золотого сечения, поиска из начальной
точки, интерполяции.

Метод равномерного поиска относится к пассивным методам (без обучения
в процессе поиска) и заключается в вычислении функции Г(зу) с заданным шагом
5йу в интервале [й, £]. Очевидно, в этом случае число обращений к модели т, равное
кратности сокращения интервала неопределенности в N = т = (b - a)/5w, может
быть довольно велико при заданной точности определения минимума. Метод исполь-
зуется для грубого определения минимума или исследования поведения функции
в заданном интервале.

Остальные методы одномерного поиска относятся к методам с обучением, когда
выполняется последовательное сокращение интервала неопределенности, причем
после дующие вычисления функции проводятся с учетом результатов, полученных
на предыдущих этапах; Методы различаются лишь правилом сокращения интервала
неопределенности.

В методе деления пополам, (дихотомии) исходный интервал делится надвое и в малой
окрестности его середины (йу-j ± s/2) вычисляются значения функции (рис. 7.1, й). Далее
сравниваются значения Р(йу1 + е/2) и Р(йу1 - s/2), и если F(wx + s/2) >F(^1 - s/2), то в каче-
стве интервала неопределенности принимается [й, wj, если же	+ s/2) < F(w.{ - s/2),

то интервал равен [•®1, Z?], и процесс повторяется. Тогда кратность ДГ п сокращения
интервала неопределенности после т обращений к модели приближенно определится
выражением

^.п = 2”'/2,

что для заданного in существенно превосходит точность по методу равномерного
поиска.

Алгоритм 7.2. Метод деления пополам

Шаг 1. Ввести границы интервала а} Ь} параметры а и 8w.

Шаг 2. Вычислить середину интервала = (Ь — а)/2.

Шаг 3. Определить значения функции + s/2) и — s/2).

Шаг 4. Если + s/2) >	— s/2)? принять b = в противном случае

а =

Шаг 5. Если (b - а) < 8w — окончить поиск? иначе перейти к шагу 2.

Показано [5], что существует более оптимальная стратегия одномерного поиска.
Выберем в пределах заданного интервала две произвольные внутренние точки: и йу2
(рис. 7.1, б). Вычислив F(^t) и F(w2), сравним их. Возможны три случая:

♦	если F(w/) > F(w2), принимаем за интервал неопределенности [г^1, Z?], а область [й,
зуД отбрасываем;
♦	если F(w^) < F(^2), то за интервал примем [я, йу2];

♦	если F(w}) = F(w0), то интервал неопределенности будет равен [ге^, йу9].

Рис. 7.1. Методы одномерного поиска:а — дихотомии; б — сокращения интервала;
в. — Ф ибоначчи; г — золотого сечения

В любом случае получаем сокращение интервала неопределенности. Следующие
два метода направлены на оптимальный выбор точек и с целью минимизации
объема вычислений.

Наилучшие результаты дает метод Фибоначчи. Название метода обусловлено
использованием последовательности чисел Фибоначчи, определяемой формулой
Ф/г = Ф/г _ 1 • +	_ 9. Лервыми членами этой последовательности являются Фо = Ф1 = 1,

далее 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Согласно методу Фибоначчи, необходимо задать число
т (/я > 2) обращений к модели, тогда оптимальные положения точек и йу2 на каждой
2-й итерации будут определены выражениями

Ч'ш+М
/ х Ф 

4 m+1-i

7 = 1, 2, ..., т “ 1,

где а-р Ь- — границы интервала неопределенности на z-м шаге поиска.

Легко убедиться, что. точки и располагаются симметрично в интервале
[«;, 6;], то есть - а,- = Ь: - и>2, (рис. 7.1, в).
При построении алгоритма одномерного поиска по методу Фибоначчи необходимо
учитывать симметрию точек и w2. Так, если F(wA) < F(w2), то интервал неопреде-
ленности просто сокращается, на участок [£, йу2] и бывшая точка становится в новом
интервале точкой w2, если же F(w:1) > F(w2), то отбрасывается участок [я, а^], интервал
неопределенности зеркально обращается, нижней границей его становится бывшая
точка йУ-j, а верхней — бывшая правая граница Ь, при этом оставшаяся внутри нового
интервала точка w2 становится в новом интервале точкой аг>г Поэтому на каждой
итерации, начиная со второй, необходимо вычислять только одно значение функции,
второе же. совпадаете предыдущим.

После выполнения т итераций (обращений к модели) кратность сокращения
интервала неопределенности равна соответствующему числу Фибоначчи:

= Фяг

Метод Фибоначчи наиболее эффективен для сокращения интервала неопре-
деленности; однако для его применения необходимо задавать общее число обра-
щений к модели /я, что не всегда удобно. Начиная поиск минимума неизвестной
функции, проектировщик может не иметь четкого представления о желаемом
числе анализов модели. Заметим, что метод дихотомии, например, не нуждается
в задании числа т.

От этого недостатка свободен также метод золотого сечения, ненамного уступаю-
щий по точности методу Фибоначчи. Золотым сечением называют деление отрезка
на две неравные части такие, что отношение большей части к целому отрезку равно
отношению меньшей части к большей. Легко убедиться, что это условие приводит
к уравнению т2 + т= 1, решение которого — т = 0,5 (х/5 -1) = 0,618034. Тогда по методу
золотого сечения внутренние точки отрезка на z-м шаге определяются так (рис. 7.1, г):

к>2(/- =	~ ai) г = lt 2, ..., т -1.

В этом методе также получается симметричное расположение точек аг^ и w2 отно-
сительно центра интервала на каждой итерации, начиная со второй, так что на каждом
шаге необходимо вычислять только одно значение функции. Кратность сокращения
интервала неопределенности N3 г после т обращений к модели

N3^=i/Tm~\

Сравнив метод золотого сечения с методом Фибоначчи, отмечаем, что при боль-
ших т интервалы неопределенности, найденные с применением этих методов, отно-
сятся друг к другу как

т'»Д/5 = 1,1708,
то есть окончательный интервал в методе золотого сечения всего лишь на 17 % больше,
чем в методе Фибоначчи. Можно показать, что при больших т оба метода начинаются
практически из одной и той же точки, так как отношение двух соседних чисел Фибонач-
чи стремится к золотому сечению: уже при т> 4 отношение Ф/?/_ 1/Ф/„ ~ т. Поскольку
у этих методов много общего, приведем общий алгоритм поиска.

Алгоритм 7.3. Методы Фибоначчи (МФ) и золотого сечения (МЗС)

Шаг 1. Ввести границы интервала а} Ь} а также число обращений к модели т
для МФ или т для МЗС.

Шаг 2. Вычислить w2 = ° + а(Ь — а) ? причем а = Фт _ Х/Фт для МФ или а = т
для МЗС.

Шаг 3. Вычислить Л(и/2) .

Шаг 4. Вычислить = а + b - w2.

Шаг 5. Вычислить Г(мт) .

Шаг 6. Если	> F(w2)., принять а =	= w2 FQfif^ =	_> иначе b = w2?

w2 =	F(w2) =	.

Шаг 7. Если (Ь - а) < 8w? окончить поиск? иначе перейти к шагу 4.

Для сравнения в табл. 7.1 приведены количества вычислений функции т (обра-
щения к модели), необходимые для сокращения интервала рассмотренными ранее
методами в 104 раза.

Видно, что из этих методов наиболее предпочтителен метод золотого сечения,
обеспечивающий почти такую же скорость вычислений, как и метод Фибоначчи, но
не требующий предварительной фиксации числа вычислений.

Таблица 7-1

Метод одномерного поиска	Количество вычислений функции
Р а в н о м е р н о го п о и ска	19 999
Деления пополам	28
Фибоначчи	21
Золотого сечения	21

В рассмотренных методах исходный интервал неопределенности должен быть
заранее, задан, однако часто приходится вести одномерный поиск при неизвестном
интервале неопределенности. Для нахождения исходного интервала неопределенности
можно применить метод поиска из начальной 'точки [1]. Суть его сводится к следую-
щему. Пусть для исходной начальной точки wQ определено направление спуска (всто-
рону убывания или возрастания аргумента) (рис. 7.2, а). Тогда, сделав приращение
+ Д^? определяем новое значение функции. Если оно меньше исходного, шаг
удваиваем, и так до тех пор, пока функция не станет увеличиваться. Тогда последние
три точки и определяют искомый интервал неопределенности, для которого можно
применить рассмотренные ранее методы. При необходимости можно в этом интервале
снова применить метод поиска из начальной точки.
Алгоритм 7.4. Метод поиска из начальной точки

Шаг 1. Ввести начальную точку w0? начальный шаг Aw? число вычислить F(w0) -

Шаг 2. Принять wx = w0 + Aw? вычислить f (i^) .

Шаг 3. Если FCWj) >	то принять Aw = -Aw и вернуться к шагу 2? иначе

перейти к шагу 4.

Шаг 4. Принять Aw = 2Aw.

Шаг 5. Принять w2 = w1 + Aw? вычислить F(w2).

Шаг 6. Если /z(w2) < F(w1)?to принять w0 = w1? w1 = w2? F(w0) =	и перейти

к шагу 4? иначе перейти к шагу 7.

Шаг 7. Принять а = w0? b = w2? вывести [а? Ь] — интервал неопределенности.

Рис. 7.2. Методы одномерного поиска: а — из начальной точки;
б — с помощью аппроксимации:

Для успешного применения этого алгоритма начальный шаг должен быть доста-
точно малым для того, чтобы не пропустить минимум уже на первом шаге поиска.

После определения интервала неопределенности можно найти минимум, например
методом дихотомии или золотого сечения. Однако если одномерный поиск является
одним из этапов многомерного поиска и нет необходимости в определении точно-
го минимума для каждого направления, часто для экономии машинного времени
в сочетании с методом поиска из начальной точки используется интерполяция уже
вычисленных значений функций. При использовании метода интерполяции вообще
нет необходимости обращаться к модели устройства.

Допустим, определены последние три точки w _ w _9, найденные по методу
поиска из начальной точки (рис. 7.2, б), значения функции в них также вычислены.
Обозначим Fn = F(wf}), Fn _ 1= F(wf} _ 1), Fn_ 2 = F(wn _ 2). Тогда можно использовать, ква-
дратичную интерполяцию заданных узлов для определения приближенного значения
оптимума йУопт, несколько отличающегося от истинного w3 экстремума (рис. 7.2, б).
Обозначив искомый полином f(w) = aw2 + bw + с и использовав условие минимума
df/dw = law + b = 0, получаем точку приближенного минимума:

= -Ь/2а.

О ГП’	/

(7.9)

Коэффициенты полинома определяем из условия совпадения в узлах f(w„) = FH,
f(w.n _ t) = Ftl _ 1, f(w„ _ 2) = Ff} _ 2. откуда находим формулы для коэффициентов. Под-
ставив их в выражение (7.9), окончательно получаем:
1 5, «4 ~ rf-2 ) + 5,-1 (f<2 ~ Wn ) + 5,-2 № ~	)

2 F„ K-l - ^-2 ) + 5,-t (®„-2 ~	) + Fn-2 (®„ - ®„-l) '

Можно также использовать кубическую интерполяцию, но тогда должны быть
выведены положения и значения функций для четырех точек: исходной и послед-
них трех точек _4,	_ 2, найденных по методу одномерного поиска. В этом

случае ищем минимум df'/dw= 0 полинома третьей степени f(w) = aw3 + bw2 + cw + d.
Получающееся решение, как правило, ближе к истинному значению минимума,
поскольку полином третьей степени лучше аппроксимирует графики функций,
имеющих изгиб.

При практической одномерной оптимизации применяют рассмотренные методы
по отдельности или в некоторой их комбинации. В случае минимизации сложных
одномерных функций чаще используют методы дихотомии или золотого сечения.
Если же одномерный поиск является частью сложной многомерной минимизации
и целевые функции достаточно гладкие, применяют приближенные методы поиска
из начальной точки и интерполяцию функции.

7.3.	Градиентные методы оптимизации решения

Рассмотрим задачу минимизации многомерной целевой функции, причем начальная
точка оптимизации предполагается заданной.

Известно, что условия минимума функции F(w) одной переменной составляют

= о»

dw ’ did2

(7.10)

Для многомерной функции F(W), W = [^1? г^2, ..., условия минимума можно
получить, разложив ее в многопараметрический ряд Тейлора в малой окрестности
△W заданной точки W:

F(W + AW) = jF(W) + (AW)Tgrad F(W) + |(AW)'G(W)AW +...,	(7.11)

где grad F(W) — градиент скалярной функции W, представляющий собой ^-мерный
вектор

gradE(W) =

dF ЭЕ

Эк’, дт&2

Эа^

G(W) — симметричная квадратная матрица вторых производных, называемая
матрицей Гессе (гессианом):
32F	32F	32F

3w2	dwtdw2

32F	32F	32F

G(W) = 3w.j3wt	3wr,	3w23wn

32F	32F	32F

3w3k>,	3w,3w9	3ns2

V 9 i	»9 Лл	9 *

(7-12)

Экстремум Worrr многомерной функции определяется уравнением grad F(W0ITr) = О,
вид экс тремума зависит от знака второго слагаемого в (7.11), что в свою очередь опре-
деляется свойствами матрицы Гессе. Матрица Гессе называется:

♦	положительно определенной, если AWTGAW > 0;

♦	отрицательно определенной, если AWTGAW < 0;

♦	неопределенной, если AWTGAW <> 0, то есть производные имеют разные знаки.

Соответствующие поверхности в районе экстремума для двумерного случая, пока-
заны на рис. 7.3. Положительно определенная матрица Гессе соответствует минимуму
функции (рис. 7.3, а); отрицательно определенная — максимуму функции (рис. 7.3, б);
неопределенная — седловой точке (рис. 7.3, в). Если все собственные значения ма-
трицы Гессе имеют одинаковый порядок, то поверхность называется квадратичной
и линии (поверхности) уровня представляют собой линии, близкие к окружностям
(гиперсферам) (рис. 7.3, г). Если же собственные значения существенно различны
(различаются на 1...2 порядка и более), то функция называется овражной, или соот-
ветствующей жесткой системе (рис. 7.3, д). Поиск минимума функции при явлениях
существенной овражное ти (жесткости) представляет собой одну из наиболее с ложных
задач нелинейного программирования.

Таким образом, условия минимума многомерной функции (по аналогии с (7.10))
имеют вид

grad F (WOI1T) = 0, AWTGAW > 0.

В зависимости от числа учитываемых членов ряда (7.11) градиентные, методы
делятся на методы нулевого, первого и второго порядков.

В современных пакетах широко используются следующие методы минимизации:
нулевого порядка — ме тод Гаусса — Зейделя (покоординатного спуска), метод Розен-
брока (вращения координат); первого порядка — метод наискорейшего спуска, метод
Флетчера — Ривса (сопряженных градиентов); второго порядка — метод Ньютона,
метод Флетчера — Пауэла (переменной метрики).

Методы нулевого порядка самые простые и не требуют вычисления производ-
ных.

В методе Гаусса — Зейделя (покоординатного спуска) направление шага на каждой
итерации выбирается вдоль координатной оси и выполняется однопараметрическая
минимизация функции поочередно по всем осям (рис. 7.4, а). Например, сначала
выбирается ось и производится движение в сторону уменьшения функции Е(с^1)
до определения , соответствующего min При этом остальные независимые
переменные йу2, w3, ..., фиксируются. Затем идет поиск по оси w2 при остальных
фиксированных переменных и т. д. Для одномерной минимизации удобно сначала
использовать метод поиска из начальной точки, а затем уточнить минимум методом
дихотомии или золотого сечения. После цикла спусков вдоль всех п осей произво-
дится новый цикл, если минимум не. найден. Когда ни по одной из осей невозможно
перемещение с уменьшением функции F(W), поиск прекращается и полученная точка
принимается за минимум.

Рис. 7.3. Различные поверхности и линии уровня, соответствующие матрицам. Гессе:
а — положительно определенной; б — отрицательно определенной;

в — неопределенной; г — для почти сферической функции;

д — для овражной функции:

Рис. 7;4. Методы нулевого порядка: а — покоординатного спуска;
б — вращения координат
Алгоритм 7.5. Метод Гаусса — Зейделя

Шаг 1. Ввести размерность п} точность в.

Шаг 2^ Принять г = 1.

Шаг 3. Принять j = 1.

Шаг 4. Выполнить одномерный поиск функции F(wj) .

Шаг 5. Если j < п} принять j = j + 1 и перейти к шагу иначе — к шагу 6.

Шаг 6. Если изменение координат меньше в? окончить поиск? иначе принять
т = г + 1 и перейти к шагу 3.

Здесь i означает номер итерации (цикла), j — номер переменной w-многомерной
функции F(W).

Показано [1], что этот метод недостаточно эффективен, особенно при наличии
оврагов _F(W). Время, затрачиваемое на оптимизацию, определяется количеством т
обращения к модели:

т	(7.13)

где тср — среднее количество обращений на одну итерацию при одномерном поиске;
п — размерность задачи; R — число итераций.

Метод Розенброка является разбитием метода координатного спуска, но в отличие
от метода Гаусса — Зейделя более эффективен при наличии узких оврагов, направление
которых первоначально не совпадаете направлениями координатных осей. В основу
метода положен поворот координатных осей, вдоль которых ведется одномерный по-
иск, чтобы они на каждой итерации оказались совпадающими с направлением оврага.

Сначала из исходной точки Wo ищется минимум вдоль всех п координатных осей,
так же как и в методе Гаусса — Зейделя. Получается новая точка Wгг, лучшая, чем пре-
дыдущая (рис. 7.4, б). Затем направление Wгг— Wo принимается за новое направление
первой координатной оси, все остальные оси принимаются взаимно ортогональными.
Далее снова повторяется цикл покоординатных спусков из точки Wrr, но уже вдоль
новых координатных осей.

Алгоритм 7.6. Метод Розенброка

Шаг 1. Ввести точность в.

Шаг 2. Принять г = 1.

Шаг 3. Выполнить цикл покоординатного спуска.

Шаг 4. Если изменение координат меньше в? окончить поискл иначе перейти
к шагу 5.

Шаг 5. Выполнить поворот координат.

Шаг 6. Выполнить пересчет параметров в новые координаты.

Шаг 7. Принять г = г + 1 и вернуться к шагу 3.

Количество обращений к модели также определяется выражением (7.13), но поиск
более эффективен, чем в случае метода Гаусса — Зейделя.

К недостаткам метода Розенброка относится все-таки слишком малый шаг при
узких оврагах.
Методы первого порядка связаны с необходимостью вычисления градиента, то есть
первых производных в разложении функции вряд Тейлора (7.11). Общее соотношение,
определяющее стратегию поиска., в этих методах имеет вид

W-W^i+AW;.!,

(7.14)

где W; и W-_1 — соответственно, положение точки на 7.-й и предыдущей итерациях;
△W.;_ t — приращение вектора положения на 7-й итерации. Методы первого (и второго)
порядка различаются только способами расчета вектора приращения AW;_ t.

Известно, что направление градиента в каждой точке совпадает с направлением
наибыстрейшего возрастания функции, то есть локально наилучшим является гради-
ентное направление при максимизации функции или противоположное градиенту —
при минимизации функции. Градиент функции в каждой точке совпадает с нормалью
к поверхности (линии) постоянного уровня, проходящей через эту точку.

В методе наискорейшего спуска вектор приращения координат

AW;_J = -a. gradF(W._1),

где определяет величину оптимального шага на 7-й итерации. Следовательно, вектор
направления поиска на каждой итерации совпадаете вектором антиградиента согласно
выражению

W, = W,_l-afgradF(WM).

где W,- и W.; — положения точек на соседних итерациях, или в скалярном виде

dl0;

Величина шага а} подбирается на каждой итерации из условия минимизации
функции F(W) по направлению антиградиента (рис. 7.5, я). Величина а. не изменяет
направление спуска в пространстве, а лишь пропорционально изменяет значения по
всем координатным осям.

Рис. 7.5. Методы: первого порядка: а — паи скорейшего спуска: б — сопряженных градиентов
Для определения а-. также удобно применять метод поиска из начальной точки
в комбинации с интерполяцией или методом золотого сечения.

Алгоритм 7.7. Метод наискорейшего спуска

Шаг 1. Ввести размерность п} точность 8.

Шаг 2. Принять г = 1.

Шаг 3. Принять j = 1.

Шаг 4. Вычислить составляющую вектора градиента c/F(W)/c/Wj в точке

Шаг 5. Если j < п} принять j = j + 1 и перейти к шагу иначе — к шагу 6.

Шаг 6. Выполнить одномерный поиск по антиградиенту.

Шаг 7. Если изменение координат меньше окончить поиск? иначе принять
т = г + 1 и перейти к шагу 3.

Число обращений к модели т по этому методу составляет

/”Г.м=(«+ 1+/”срЖ

(7-15)

где тср — среднее число обращений к модели при одномерном поиске.

Метод наискорейшего спуска хорошо сходится при больших расстояниях от мини-
мума. Однако если функция представляет собой узкий овраг, то движение замедляется.
Дня овражной функции этот метод дает движение поперек его основного направления.
Поэтому необходимо вводить коррекцию в движение по антиградиенту.

В методе сопряженных градиентов (Флетчера — Ривса) выбор направления
движения на z-м шаге учитывает изменение параметров на (I — 1)-м шаге. Вектор
направления спуска в этом методе является линейной комбинацией направления
антиградиента и предыдущих направлений поиска, причем весовые коэффициенты
подбираются так, чтобы сделать эти направления сопряженными. В этом случае при
минимизации овражных функций поиск идет не перпендикулярно оврагу, а вдоль
него (рис. 7.5, б). Изменение внутренних параметров по этому методу определяется
соотношением



(7-16)

где Р- — вектор, пропорциональный вектору изменения внутренних параметров AW,-_ :I
(7.14). Вектор Р. рассчитывается по рекуррентной формуле

P.=gradF(WM)

где ||grad F(W)|| — длина (норма) вектора градиента в соответствующей точке. На
первой итерации полагается Ро = 0 и выполняется, как и в методе наискорейшего
спуска, поиск по ан та градиенту. Затем направление движения отклоняется от на-
правления антиградиента, причем отклонение тем больше, чем резче менялась длина
вектор-градиента на последней итерации. Тем самым осуществляется движение вдоль
оврага. Доказано [5], что метод сопряженных градиентов с ходится к точному миниму-
му за п шагов (где п — размерность задачи) для квадратичных функций. Поэтому на
практике после выполнения п итераций делают «обновление» метода сопряженных
градиентов шагом по антиградйенту. Этот метод в комбинации с эффективным одно-
мерным поиском является одним из популярных практических методов оптимизации
радиоэлектронных устройств.

Алгоритм 7.8. Метод сопряженных градиентов

Шаг 1. Ввести размерность п} точность а.

Шаг 2. Принять ъ = 1

Шаг 3. Принять вектор Р = 0.

Шаг 4. Вычислить вектор grad _ х).

Шаг 5. Вычислить вектор Р^.

Шаг 6. Выполнить одномерный поиск по вектору Р^.

Шаг 7. Если ъ < п} принять т = г + 1 и перейти к шагу	иначе — к шагу 8.

Шаг 8. Если длина вектора ||Р^|| меньше окончить поиск? иначе принять т = 1
и перейти к шагу 3.

Число обращений к модели в этом методе также определяется выражением (7.15),
однако поиск минимума более эффективен, чем в методе наискорейшего спуска.

В методе Ньютона необходимо рассчитывать вторые производные функции —
матрицу Гессе (7.12). Направление поиска в нем также определяется соотношением
(7.16), где вектор изменения параметров Р; должен быть равен произведению обратной
матрицы Гессе На градиент функции:

77.

Для квадратичных функций метод Ньютона также обеспечивает точную сходи-
мость. При подходе к минимуму матрица Гессе будет положительно определенной,
однако вдали от минимума она может таковой не быть. Кроме того, вычисление
и обращение этой матрицы требует больших вычислительных затрат, поэтому ме-
тод Ньютона в чистом виде используется редко. Разработан целый класс других
методов, называемых методами с переменной метрикой, в которых осуществляется
аппроксимация обратной матрицы Гессе, но используются для этого только первые
производные. Одномерный поиск в них для определения а; осуществляется так же,
как и в предыдущих методах.

В методе переменной метрики Флетчера — Пауэла вектор направления поиска
в (7.16) имеет вид

P-HigradrCW,.^),

где матрица Н;, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе, определяется по рекур-
рентному соотношению


(7.17)

тде AWf _ 1 = W.’ _ i - W.; _ 2 — вектор перемещения точки на предыдущем шаге;
R} _ j = grad F(W,) - grad F(Wf _ 1) — разность ве ктор-градиентов на z-м и (i - 1 )-м шагах.
Для первого шага полагают Н.= 1 и выполняют наискорейший спуск по антиградиенту,
формулу (7.17) применяют, начиная со второго шага. Можно отметать, что если для
всех итераций Н/:= 1, то метод переменной метрики сводится к наискорейшему спуску.

При практической оптимизации радиотехнических устройств большое внимание
следует уделять масштабированию переменных. Внутренние параметры РЭС обычно
определяются разнородными физическими величинам! (Омы, пикофарады, ми-
кроГенри, Вольты, Амперы и т. д.), численные значения которых могут различаться
на 2...3 порядка и более. Поэтому целевая функция от этих переменных будет иметь
чрезвычайно узкие овраги, значительно затрудняющие поиск ее минимума. На рис. 7.6
приведен пример влияния масштабирования на форму линий уровня целевой функции.
Если значения переменных и йу2 значительно отличаются друг от друга (рис. 7.6, а),
линии уровня — длинные узкие эллипсы, то минимизация идет долго без гарантии
достижения минимума. Если провести масштабирование (нормирование)переменных,
линии уровня превращаются в окружности, тогда даже методом наискорейшего спуска
минимум определяется за одну итерацию (рис. 7.6, б).

Рис. 7.6. Масштабирование переменных при оптимизации:
а — до масштабирования, б" — после масштабирования

Оптимизацию РЭС при наличии ограничений можно проводить двумя способами.
Если задана прямоугольная область допустимости значений внутренних параметров
в виде неравенств и границ, то, как указывалось ранее, можно ограничения учесть
в виде штрафных функций, включенных в общую целевую функцию. Тогда миними-
зация целевой функции одним из описанных методов обеспечивает поиск оптималь-
ных значений внутренних параметров устройства при наличии ограничений на них.

Если же задается область изменения параметров нелинейными уравнениями или
неравенствами в виде явных или неявных функций внутренних параметров, то необ-
ходимо использовать другие методы: проекции градиента, обобщенного приведенного
градиента, допустимых направлений (Зойтендейка) и др. Рассмотренные методы
направлены на поиск локальных минимумов нелинейной многомерной функции.

Для определения глобального минимума функции (в многоэкстремальных задачах)
обычно используют следующие приемы.
♦	Учитывают всякую априорную информацию о функции F(W), позволяющую свя-
зать возможные значения минимизируемой функции с известными значениями
в промежуточных точках испытаний и оценить вид функции.

♦	Многократно изменяют начальную точку спуска градиентным методом Wo. Если
при значительном разбросе начальных точек определяется одна и та же область
минимума, то с большой степенью вероятности можно считать, что найденная
область соответствует глобальному минимуму.

♦	Используют статистические методы поиска, позволяющие в. ряде случаев опре-
делить несколько областей локальных минимумов. Наименьший из найденных
минимумов можно считать глобальным.

Методы поиска предполагают многократный анализ устройства и расчет значения
целевой функции. При использовании многокритериальных функций зачастую невоз-
можно удовлетворить каждому критерию, поскольку они носят противоречивый ха-
рактер. Нахождение глобального экстремума в этом случае может стать неразрешимой
задачей. В работе [5] предлагается в этом случае использовать методы уступок и ми-
нимального отклонения от идеальной точки, которые будут рассмотрены в разделе 7.6.

Для разработчика главным критерием окончания оптимизации является вид
оптимизируемых характеристик устройства. Если полученные в результате опти-
мизации характеристики его удовлетворяют и могут быть получены при различных
начальных условиях, то можно закончить оптимизацию и не искать глобальный
минимум целевой функции. Один из методов поиска глобального экстремума рас-
смотрен в разделе 7.5.

7.4.	Статистические методы оптимизации

В рассмотренных детерминированных методах поиска экстремума каждый последую-
щий шаг поиска определялся однозначно предысторией всего предыдущего движения.
Кроме того, так или иначе необходимо вычислять частные производные, число которых
равно или больше размерности решаемой задачи минимизации. При оптимизации ра-
диоустройств, содержащих единицы и десятки элементов, детерминированные методы
довольно эффективно приводят к минимуму целевой функции.

Однако современные радиоэлектронные средства часто содержат несколько де-
сятков, сотен и тысяч элементов. Кроме того, применение малых шагов для расчета
производных конечно-разностными методами часто ведет к потере точности. Поэтому
применение в этом случае для оптимизации РЭС градиентных методов приводит
к большим затратам машинного времени. Для минимизации функций такой боль-
шой размерности целесообразно исцользовать методы случайного поиска. Подобные
методы следует применять также при использовании статистических критериев
минимизации.

В методах случайного поиска многократно генерируется вектор случайных значе-
ний параметров, в соответствии с ним выполняется расчет целевых функций в этих
точках и производится сравнение их значений. Далее по некоторому правилу для того
или иного метода выбирается один или несколько наборов случайных значений пара-
метров, соответствующих наименьшим значениям целевой функции, и выполняется
следующий шаг поиска (рис. 7.7).
Рис. 7.7. Траектория при случайном поиске

Методы случайного поиска могут обеспечить решение задачи нелинейного про-
граммирования с такой же, как у детерминированных методов, точностью за гораздо
более короткое время. Кроме того, с их помощью может быть проведена оптимизация
многоэкстремальной функции и найден глобальный оптимум.

Методы случайного поиска экстремума можно разделить на две основные группы:
методы слепого поиска и методы с.самообучением. В первой группе методов не ис-
пользуется информация, накопленная на предыдущих шагах оптимизации, и минимум
может быть найден на любом шаге поиска.

Во второй группе методов осуществляется последовательное приближение к экстре-
муму путем накопления статистических данных на предыдущих шагах оптимизации.
В этом случае зона поиска с каждым шагом сужается и при достижении ею заданных
размеров принимается за минимум многомерной функции. Если таким образом опре-
деляется несколько областей экстремумов, их можно исследовать по отдельности,
а затем выбрать глобальный оптимум.

В методах слепого поиска случайный вектор на каждом шаге генерируется неза-
висимо от результатов предыдущих шагов. Оценим вычислительные затраты при
использовании одного из методов слепого поиска — метода Монте-Карло [8].

Пусть необходимо найти min F(W) в заданной области допустимых параметров
WlI1In<W<WlIiaxс точностью (шириной) интервала неопределенности s. Оценим чи-
сло обращений к модели при величине допустимой области по одному из параметров
d= ^min- По мет°ДУ Монте-Карло программой оптимизации генерируется псев-
дослучайное значение параметра с равномерным распределением. Тогда вероятность
непопадания в область экстремума за один шаг (испытание) будет равна р1 _ = 1 - г/d.
•За ДГшагов (генераций) эта вероятность составитpN= (1 - г/d/^. Значит, вероятность
попадания в область минимума за т шагов будет

Отсюда число Дегенераций случайных значений параметра (число шагов), а значит,
и вычислений целевой функции, необходимых для уточнения минимума с точностью
s, с заданной вероятностью

хг __ lg(l-^,)

lg (1 - с/б/)’

(7.18)

В случае п внутренних параметров функции в первом приближении можно при-
нять, что число необходимых генераций вектора параметров W увеличивается в Jn
раз и составит . Тогда общее число т обращений к модели за R итераций при
методе Монте-Карло составит

mMK = NR\fn.

(7-19)

Подставив (7.18) в (7.19) и сравнив /7?мкс числом обращений к модели для градиент-
ных методов (7.15), то есть тг м = (??. + 1 + mcp)R, определяем условия применимости
методов случайного поиска при одинаковом числе итераций:

lg(l-e/rf)

п + 1 + т(,п

Ч'

4п

В этом случае статистические методы будут давать преимущество в затратах
машинного времени перед градиентными. На рис. 7.8 в качестве примера построена
зависимость кратности сокращения интервала неопределенности NMK = ^/е ПРИ ис"
пользовании метода Монте-Карло от размерности задачи (сплошная, линия). Видно,
что значительного уровня кратности можно достичь при очень больших размерностях
(?з = 1000 и более). При повышении требуемой точности определения оптимальных
параметров (снижении значения е) число испытаний неоправданно возрастает даже
при больших и. Поэтому при практической оптимизации следует комбинировать
статистические методы (в начале оптимизации) с детерминированными (на заклю-
чительных этапах поиска).

В методах случайного поиска с самообучением граница применимости идет выше
(штриховая линия на рис. 7.8), то есть даже при меньшей размерности п оказывается
выгодно применять статистические методы оптимизации.

Рис. 7.8. Эффективность случайных методов поиска

Методы с самообучением различаются правилом учета движения на предыдущих
шагах минимизации.

В методе Монте-Карло с сокращением, границ на каждом шаге определяются мак-
симальное £1пах и минимальное Fmin значения целевой функции на наборе случайных
векторов параметров W? Затем устанавливается пороговое значение

Л,ор = (^!П + ^ах)/(20,

где I — произвольно задаваемый управляющий коэффициент.
Все значения F(W}), которые обеспечили F(W-) <Епор, определяют новые, сокра-
щенные границы поиска, оставшиеся части допустимой области отбрасываются. На
следующих шагах операции повторяются. Если число попавших под порог испыта-
ний мало, то число испытаний на этой итерации увеличивают, чтобы уточнить новые
границы поиска. На рис. 7.9 в качестве примера приведено сокращение границ для
одной из переменных.

Рис. 7.9. Метод Мойте-Карл о с сокращением границ

После выполнения определенного числа шагов область поиска смещается к опти-
мальной точке со значением min F(W).

В ряде методов случайного поиска движение выполняется не с постоянным шагом,
ас изменяющимся в зависимости от уменьшения или возрастания целевой функции.
В более сложных случаях учитывается суммарное усредненное движение точки поиска
на. предыдущих шагах.

Методы случайного поиска постоянно совершенствуются с использованием фор-
мально-эвристических подходов при решении задачи оптимизации.

7.5.	Генетические алгоритмы оптимизации

Статистические методы поиска экстремума не дают уверенности в том, что найдено
глобальное решение, и требуют весьма большого количества испытаний, чтобы с за-
данной точностью решить задачу оптимизации. Использование модели биологической
эволюции позволяет реализовать адаптивные поисковые методы, основанные на се-
лекции лучших решений из имеющегося, множества, с использованием информации,
накопленной в процессе эволюции. Использование генетических алгоритмов при
решении инженерных задач большой размерности [3] позволяет уменьшить объем
и время вычислений, упростить моделирование функций и с большей вероятностью
найти глобальный минимум.

Впервые подобный алгоритм был предложен в 1975 году Джоном Холландом в Ми-
чиганском университете. Он получил название «репродуктивный план Холланда»
и лег в основу практически всех вариантов генетических алгоритмов [3].

Приведем некоторые определения. Каждая особь в природе может быть охаракте-
ризована в виде набора некоторого числа признаков — генов, называемого хромосомой.
Ген — это структурная единица наследственной информации, выполняющая какую-
либо эле мента рн ую функцию. В инженерных задачах ген представляет собой битовую
строку заданной длины, характеризующую один из оптимизируемых параметров. При
решении задачи оптимизации число генов в хромосоме соответствует размерности
решаемой задачи, каждый ген используется для кодирования небольшого интервала
значений одного из параметров модели. Ло существу, такая кодировка соответствует
разбиению пространства параметров на гиперкубы, которым соответствуют уни-
кальные комбинации битов в хромосоме (генотип). Фенотипом объекта называются
значения признаков, описывающих объект.

Каждое решение генетического алгоритма характеризуется следующей с труктурой:
♦ точкой W в пространстве параметров устройства (фенотип), принадлежащей до-

пустимой области D;

♦	бинарной строкой S фиксированной длины, однозначно идентифицирующей
гиперкуб разбиения пространства параметров (генотип) и точку W (фенотип):
S = (w1, w2,..., cj^„), и характеризующей количество интервалов, на которые разбиты
допустимые области изменения каждого из параметров;

♦	скалярной величиной F, соответствующей значению целевой функции в точке W
(приспособленность): F= /(W).

В терминологии, принятой в теории генетических алгоритмов, такую структуру
принято называть особью. Совокупность особей принято называть популяцией.

Для кодирования гена можно использовать самый простой вариант — битовое зна-
чение, соответствующее номеру интервала, на которые разбили область допустимых
значений этого параметра. Тогда можно будет просто использовать ген определенной
длины, достаточной для представления всех возможных значений признака. Недо-
статок такого кодирования заключается в том, что соседние числа могут различаться
в.значениях нескольких битов. Так, например, числа 7 и 8 в битовом представлении
различаются в четырех позициях, что затрудняет функционирование генетического
алгоритма и увеличивает время, необходимое для его сходимости. Для того чтобы
обойти эту проблему, лучше использовать кодирование, при котором соседние числа
различаются меньшим количеством позиций — в идеале значением одного бита. Таким
кодом является код Грея, который обычно и используют при реализации генетическо-
го алгоритма. При кодировании целочисленного признака его разбивают на тетрады
и каждую тетраду представляют кодом Грея.

Таким образом, при реализации генетического алгоритма хромосома представляет
собой битовую строку фиксированной длины. При этом каждому участку строки
соответствует ген, описывающий значение того или иного параметра. Длина генов
внутри хромосомы может быть одинаковой или различной. Чаще всего применяют
гены одинаковой длины. Рассмотрим пример хромосомы и интерпретацию ее зна-
чения. Допустим, у объекта имеется 5 параметров, каждый из которых закодирован
геном длиной В 4 элемента. Тогда длина хромосомы будет 5  4 = 20 бит, например
0010 1010 1001 0100 1101. Разделяя хромосому на гены, можно определить значения
каждого из параметров устройства с точностью до ширины интервала, на которые
разбита область его допустимых значений. Таким образом по генотипу определяется
фенотип объекта.

В задачах оптимизации различные наборы переменных кодируются как хромосо-
мы, а новые решения получаются путем обмена информацией между ними. При этом
ведется поиск такой комбинации генов, которая составляет наилучшее из решений,
возможное для данной популяции. Этот поиск выполняется рекомбинацией (скре-
щиванием), перераспределяющей наследственные факторы в природе. Регулярная
рекомбинация (кроссинговер) — это обмен гомологичными участками двух хромосом,
приводящий к появлению нового сочетания генов [3]. При этом возможна как одна,
так и несколько точек разрыва хромосом при рекомбинации. Этот оператор опреде-
ляет передачу признаков родителей потомкам. Действует он следующим образом: из
популяции выбираются две особи, имеющие минимальные значения функции каче-
ства, которые будут родителями; определяется (обычно случайным образом) точка
(точки) разрыва; потомок определяется как конкатенация частей хромосомы первого
и второго родителей.

Рассмотрим функционирование простейшего одноточечного оператора кроссин-
говера на примере. Пусть хромосомы родителей будут: хромосома_1 — 0000000000,
хромосома_2— 1111111111. Допустим, разрыв проис ходит после 3-го бита хромосомы,
тогда

Кросс ин го вер						
Роди- тель 1	0000000000	000-0000000	►	111-0000000	1110000000	Пото- мок 1
Роди- тель 2	1111111111	111-1111111	►	000-1111111	0001111111	Пото- мок 2

В результате из хромосом двух родителей получаем два.новых набора переменных-
потомков, для каждого из которых вычисляется функция качества F = /(W). Этот
процесс рекомбинации повторяется несколько раз. Лучшие из потомков, имеющие
значения функции качества меньшие, чем у родителей, в свою очередь подвергаются
скрещиванию и т. д. Операции скрещивания наилучших особей и представляют собой
процесс оптимизации генетическими алгоритмами.

Кроме простейшего случая могут использоваться и другие операторы кроссинго-
вера. Двухточечный оператор кроссинговера также случайным образом определяет
две точки разрыва, создавая новые хромосомы путем обмена участками между этими
точками. Упорядоченный оператор кроссинговера похож на одноточечный, но при
обмене из вставляемой части исключаются элементы, уже присутствующие в новой
хромосоме, сих заменой в упорядоченном виде элементами второй хромосомы-роди-
теля. Частично соответствующий оператор кр о ссинг о вер а анализирует часта обеих
хромосом-родителей, устанавливая частичное соответствие между их элементами.
После переноса частей за точкой разрыва из начальной части удаляются повторяю-
щиеся гены с их заменой на отсутствующие частично соответствующие.

В естественной природе большую роль играют мутации, то есть скачкообразное
изменение в структуре, генотипа, приводящее к качественно новому проявлению
свойств генетического материала [3]. При использовании данного оператора каждый
бит в хромосоме с определенной вероятностью инвертируется.

Кроме перечисленных в генетических алгоритмах используются и ряд других опе-
раторов. Оператор инверсии создает хромосому-потомка на основе инвертирования
хромосомы-родителя или ее части. В последнем случае точки инверсии определяют-
ся случайным образом. Оператор транслокации создает две хромосомы-потомка из
пары хромосом-родителей (или их частей) на основе скрещивания и инвертирования,
представляя собой комбинацию операторов кроссинговера и инверсии. Оператор
транспозиции позволяет создать хромосому-потомка на основе преобразования
и инвертирования выделяемой части хромосомы-родителя. Оператор сегрегации на
основе некоторого набора хромосом и выбора из них строительных блоков позволяет
создавать хромосомы-потомки. Оператор удаления позволяет создавать хромосомы
потомков путем удаления строительных блоков из хромосом-родителей. Оператор
вставки, наоборот, создает хромосомы-потомки путем вставки строительных блоков
в хромосомы-родителей. Оператор редукции выполняется для устранения неудачных
решений, уменьшая размер популяции до заданной величины, на основе анализа одного
или нескольких поколений решений при работе генетического алгоритма.

Как показано в [3], для оптимизационных задач вероятность применения указанных
операторов различна и составляет: для оператора кроссинговера — 0,6...0,99, оператора
мутации — 0,6, инверсии — 0,1...0,5, транслокации — 0,1—0,5, транспозиции — 0,1...0,5,
сегрегации — 0,6...0,99, удаления — 0,6...0,99, вставки — 0,6...0,99.

Простой генетический алгоритм предварительно генерирует случайным образом
популяцию альтернативных решений, представляющих наборы битовых последова-
тельностей (хромосом). Затем для каждой хромосомы оценивается значение целевой
функции и отбираются хромосомы с максимальными (минимальными) ее значениями
в случае решения задачи максимизации (минимизации). К отобранным решениям при-
меняют операторы кроссинговера (скрещивания), мутаций, инверсии, транслокации
и т. д., создающие на основе хромосом родителей хромосомы потомков, причем именно
эти операторы будут определять эффективность генетического алгоритма. Приведем
пошаговое описание работы генетического алгоритма в его классическом варианте.

Алгоритм 7.9. Генетический алгоритм

Шаг 1. Случайным образом сформировать начальную популяцию., состоящую
ив k о.собей?	w^}.

Шаг 2. Вычислить приспособленность (целевую функцию) каждой особи F^
1	k и среднюю для популяции в целом F^. Значение этой функции

определяет., насколько хорошо подходит особь., описанная данной хромосомой.,
для решения задачи.

Шаг 3. Выбрать особь ив популяции по значению целевой функции Fj = /(Wj)
меньше среднего F±.

Шаг 4. Выбрать вторую особь Wr из популяции по значению целевой функции
Fr = jf(Wr) меньше среднего С определенной вероятностью (вероятностью
кроссовера Р ) выполнить над ними оператор кроссовера Ас = Crossing(W^? Wr) .
Шаг 5. С определенной вероятностью (вероятностью мутации Р ) выполнить
оператор мутации.

Шаг 6. С определенной вероятностью (вероятностью инверсии Р{) выполнить
оператор инверсии.

Шаг 7. Поместить полученную хромосому в новую популяцию.

Шаг 8. Выполнить операции., начиная с шага 3? к раз.

Шаг 9. Увеличить номер текущей итерации на 1.

Шаг 10. Если выполнилось условие останова., то завершить работу., иначе перейти
на шаг 2.

Оценка значений целевых функций новой популяции служит основанием для
прекращения работы алгоритма или повторения для нее эволюционного процесса,
поэтому ее выбор является важным моментом при решении оптимизационных задач.
Для построения целевых функций можно также использовать любые методы ко-
дирования чисел, например в десятичной системе оценивать стоимость хромосомы.
При двоичном кодировании используются коды Грея или Хемминга.

7.6.	Эвристические алгоритмы оптимизации

Существует также целый класс алгоритмов оптимизации, которые не опираются на
какую-либо теорию, но результативность которых доказана экспериментально.

Метод Хука — Дживса был предложен более 50 лет тому назад, но до сих пор эф-
фективно используется в задачах оптимизации. Метод относится к категории методов,
в которых используется поиск по направлению. Алгоритмы, в которых использует-
ся такой поиск, называют алгоритмами ускоряющего шага. Каждая итерация этих
алгоритмов состоит из двух этапов: поиск вдоль координатных осей (исследующий
поиск) и поиск по образцу (ускоряющий шаг). Исследующий поиск ориентирован
на выявление направления вдоль оврагов. Полученная в результате исследующего
поиска информация используется затем в процессе поиска по образцу при движении
по Оврагам.

Для проведения исследующего поиска необходимо задать величину шага
b = (Ьь Ь2, ...» которая может быть различной для разных координатных направле-
ний и изменяться в процессе поиска. Поиск начинается в некоторой исходной точке
Wo. Делается пробный шаг вдоль одного из координатных направлений. Если значение
целевой функции в пробной точке меньше, чем в исходной, то шаг считается удачным.
В противном случае возвращаются в исходную точку и делают шаг в противополож-
ном направлении. После перебора всех координат исследующий поиск заканчивается.
Полученную в результате исследующего поиска точку называют базовой (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Метод Хука — Дживса
Второй этап (поиск по образцу).заключается в реализации единственного шага из
полученной базовой точки вдоль прямой, соединяющей ее с исходной точкой. Для
этого можно использовать рассмотренные ранее одномерные методы.

Как только движение по образцу не приводит к уменьшению целевой функции,
точка фиксируется в качестве временной базовой точки и выполняется исследующий
поиск. При уменьшении значения целевой функции эта точка рассматривается как
базовая точка. Если же исследующий поиск не дал результата, необходимо вернуться
в предыдущую точку и провести исследующий поиск заново. Если такой поиск не
приводит к успеху, то необходимо уменьшить величину шага. Поиск завершается,
когда величина шага приращения становится достаточно малой.

Алгоритм 7.10. Алгоритм Хука - Дживса

Шаг 1. Начиная с k = j = 1 ив точки	делаем пробные шаги по каждой

координате ин. При этом вычисляем целевую функцию
значение координаты по формуле

и определяем новое



+ bj} если FJ+ < F} и Fj+ < F}_

Wj - bij если Fi < F-- nF. < F_-. > -
j	j j j

Wj во всех остальных случаях

Шаг 2. Если найденное значение + х	то переходим к шагу в противном

случае уменьшаем длину вектора b и повторяем исследующий поиск шага 1.

Шаг 3. Если |	+ х	| < то завершить работу? иначе перейти на шаг 4.

Шаг 4. Выполняем шаг спуска в направлении вектора + х	подбирая

ускоряющий множитель а > 1 из условия нахождения экстремума одномерным
поиском по данному направлению.

Шаг 5. Увеличиваем номер текущей итерации k на 1 и переходим на шаг 1.

Экспериментальное сравнение алгоритмов Хука — Дживса и Розенброка по числу
вычислений оптимизируемой функции в процессе поиска оказывается в пользу ал-
горитма Розенброка, однако оптимизация методом Хука — Дживса более действенна
при овражных функциях.

Особенно важную роль эвристические алгоритмы играют при многокритериальной
оптимизации. В работе [5] показано, что аддитивный способ формирования целевой
функции не приводит к нахождению ее экстремума при объединении противоречивых
критериев, так как при удовлетворении одного из них нарушается оптимальность ряда
других. Дня решения задач многокритериальной оптимизации предлагается исполь-
зовать методы уступок и минимального отклонения от заданной точки.

Метод уступок основан на предварительном упорядочении частных целевых функ-
ций по их важности с указанием допустимых отклонений от их оптимальных значений
и последовательным решением од но критериальных задач известными методами для
каждой из них. Считается, что все целевые функции проиндексированы по степени
убывания их важности, причем для каждой из них задано некоторое положительное
число 5/? представляющее значение уступки.
Алгоритм метода уступок заключается в последовательной оптимизации целевых
функций с учетом их важности. Предварительно задаются исходные данные, причем
в качестве множества допустимых альтернатив решения используем область, опре-
деляемую системой ограничений задачи. Начиная с первой функции выполняется
решение однокритериальной задачи с нахождением оптимального значения этой
целевой функции. Проверяется условие окончания цикла на основе оптимизации
всех заданных целевых функций. Если целевая функция не является последней, то
переходим к следующей из функций и формируем новое, множество допустимых
альтернатив, вводя для предыдущей целевой функции дополнительное ограничение
как сумму (разность) полученного решения и заданной величины уступки для задач
минимизации (максимизации) целевых функций. После этого снова решаем одно кри-
териальную задачу и так повторяем до тех пор, пока все целевые функции не будут
оп тимизированы.

Для задач многокритериальной оптимизации можно рассматривать совокупность
их оптимальных решений по отдельности как идеальную точку, к которой надо стре-
миться, хотя она может и не входить в множество допустимых альтернатив общей
задачи. Затем в заданной метрике (наиболее часто используется евклидова метрика)
решается одно критериальная, задача минимизации отклонения от идеальной точки,
и полученный результат принимается за окончательное решение задачи многокрите-
риальной оптимизации.

Алгоритм 7.11. Алгоритм метода уступок

Шаг 1. В качестве номера целевой функции задаем к = 1? при этом в качестве
множества допустимых альтернатив решения используем область., определяемую
системой ограничений задачи.

Шаг 2. Используя известные методы? решаем однокритериальную задачу
оптимизации для выбранной целевой функции., получив ее оптимальное значение

~ ^топт-» и переходим к шагу 3.

Шаг 3. Если все целевые функции рассмотрены^ то выбираем из множества
полученных F^onT минимальное значение., считая аргумент этой функции точкой
решения., и завершаем работу., в противном случае увеличиваем номер целевой
функции k на 1 и переходим на шаг 4.

Шаг 4. Корректируем множество допустимых альтернатив^ добавляя к предыдущему
множеству дополнительное ограничение Fi_1<	_ 1? и переходим к шагу 2.

Алгоритм метода минимального отклонения от оптимальной точки также имеет
итеративный характер. Основная идея метода состоит в предварительном решении
совокупности однокритериальных задач и нахождении идеальной точки, состоящей
из множества оптимальных значений всех целевых функций. В качестве новой задачи
оптимизации ищем минимум отклонения общей целевой функции, сформированной
как расстояние в заданной метрике от полученной идеальной точки. Для чего решаем
полученную однокритериальную задачу известными методами, рассматривая полу-
ченные значения как решение исходной многокритериальной задачи.
Алгоритм 7.12. Алгоритм метода минимального отклонения от оптимальной
точки

Шаг 1. Используя известные методы? решаем однокритериальные задачи
оптимизации для всех целевых функций., получив для каждой из них оптимальное
значение = Т^опт? и переходим к шагу 2.

Шаг 2. В качестве новой целевой функции формируем функцию отклонения
от оптимальной точки вида FOTlol =	— Ьх) + (Г2 — Ь2) + ... + (Fn — Ьп)

и переходим к шагу 3.

Шаг 3. Используя известные методырешаем новую однокритериальную задачу
оптимизации и принимаем значение ее аргумента в качестве результата решения
исходной задачи^ после чего завершаем работу.

В силу ограниченности количества целевых функций задачи многокритериальной
оптимизации рассмотренный метод является конечным, причем целевые функции
могут конструироваться также с использованием чебышевского критерия.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.	Укажите основные .этапы и особенности оптимального проектирования радио-
устройств с применением методов нелинейного программирования.

2.	Приведите примеры составления функционалов при оптимизации радиоустройств.

3.	Приведите алгоритмы методов дихотомии, Фибоначчи и золотого сечения при
одномерной минимизации функций.

4.	Приведите алгоритмы поисковой одномерной минимизации функций.

5.	Укажите свойства матрицы Гессе для многомерных поверхностей различного типа.

6.	Объясните алгоритмы нулевого порядка для минимизации многомерныхфункций.

7.	Покажите эффективность метода сопряженных градиентов перед наискорейшим
спуском для минимизации многомерных функций.

8.	Приведите алгоритмы методов второго порядка при минимизации многомерных
функций.

9.	Укажите особенности статистических методов оптимизации радиоустройств.

10.	Объясните работу оператора.кроссинговера в генетических алгоритмах.

11,	Дня какого, рода задач предназначены эвристические алгоритмы?

12.	Объясните отличие метода Хука — Дживса от алгоритмов нулевого порядка дня
многомерных функций.

13.	Как определяется оптимальное решение в методе уступок?

14.	Как определяется оптимальное решение в методе минимального отклонения от
оптимальной точки?
Список литературы

1.	Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств: Учеб, пособие для
вузов / О. В. Алексеев, А. А. Головков, И. Ю. Пивоваров, Г. Г Чавка; Под ред.
О. В. Алексеева. — М.: Высш, шк., 2000. — 479 с.

2.	Вержбицкий. В. М. Основы численных методов. — М.: Высш, шк., 2005. — 382 с.

3.	Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы / Под ред.
В. М. Курейчика. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2006. — 320 с.

4.	Кеоун Дж. Электронное, моделирование в ORCAD. — М.: Д МК Пресс, 2010. — 628 с.

5.	Леоненков А. В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. — СПб.: БХВ-Пе-
тербург, 2005. — 704 с.

6.	Петров М. Н., Гудков Г В. Моделирование компонентов и элементов интегральных
схем: Учеб, пособие. — СПб.: Лань, 2011. — 464 с.

7.	Сергиенко А. М. VHDL для проектирования вычислительных устройств. — Киев:
ТИД «ДС», 2003. - 208 с.

8.	Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. — М.: Физматлит,
2003. - 304 с.