Author: Мхитарян В.С.
Tags: экономика народное хозяйство экономические науки экономическая статистика математика статистика издательство юнити математические методы компьютерная программа
ISBN: 5-238-00535-0
Year: 2003
А.Ю. КОЗЛОВ, В.С. МХИТАРЯН, В.Ф. ШИШОВ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ MS Excel В ЭКОНОМИКО- СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ Под редакцией профессора В.С. Мхитаряна Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведении, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия для студентов экономических вузов и специальностей Ж юнити UNITY Москва • 2003
УДК [31:33]004.4(075.8) ББК 65.051в6я73 К59 Рецензенты: кафедра экономических 'информационных систем и информационных технологий Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (зав кафедрой д-р экон, наук, проф. В П. Божко); д-р техн, наук, проф. Г.П. Шлыков (Пензенский государственный университет) Главный редактор издательства доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили Козлов А.Ю., Мхитарян В.С., Шишов В.Ф. К59 Статистические функции MS Excel в экономико-стати- стических расчетах: Учеб, пособие для вузов /Под ред. проф. В.С. Мхитаряна. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 231 с. ISBN 5-238-00535-0 Это вторая из двух книг, посвященных применению пакета MS Excel (см.: Козлов А.Ю., Шишов В.Ф Применение пакета анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах. ЮНИТИ, 2003). Учебное пособие содержит полное и подробное описание всех статистических функций, вхо- дящих в MS Excel. Достаточно подробно изложены необходимые теоре- тические основы, приведены формульные зависимости, используемые для расчета различных параметров, необходимые сведения по основам работы в Excel. Все рассмотренные вопросы сопровождаются примерами решения конкретных задач (экономика, статистика, теория вероятно- стей). Для студентов, аспирантов, преподавателей и практических работни- ков, занимающихся вопросами анализа и обработки статистической ин- формации. ББК 65.051в6я73 ISBN 5-238-00535-0 © А Ю. Козлов, В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишов, 2003 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2003. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издательства
Оглавление Введение 7 1. Необходимые сведения о MS Excel 9 1.1. Основные положения работы с электронной таблицей 9 1.2. Мастер функций 22 1.3. Работа с массивами 23 1.4. Некоторые замечания об использовании статистических функций 28 2. Предварительная обработка статистических данных 32 2.1. Подсчет количества значений. Функции СЧЕТ, СЧЕТЗ, СЧЕТЕСЛИ, СЧИТАТЬПУСТОТЫ 32 2.2. Определение экстремальных значений совокупности данных. Функции МАКС, МИН, МАКСА, МИНА, НАИБОЛЬШИЙ, НАИМЕНЬШИЙ 36 2.3. Подсчет частот из массива данных, попадающих в заданные интервалы. Функция ЧАСТОТА 42 2.4. Оценка относительного положения точки. Функция ПРОЦЕНТРАНГ 45 2.5. Определение величины, соответствующей ее относительному положению. Функция ПЕРСЕНТИЛЬ 47 2.6. Определение числа перестановок. Функция ПЕРЕСТ 49 2.7. Определение ранга числа в списке чисел. Функция РАНГ 51 3. Определение характеристик положения 54 3.1. Вычисление среднего. Функции СРЗНАЧ, СРЗНАЧА, СРГЕОМ, СРГАРМ, УРЕЗСРЕДНЕЕ 54 3.2. Определение моды в интервале данных или массиве. Функция МОДА 61 3.3. Определение медианы. Функция МЕДИАНА 62 3.4. Определение квартилей. Функция КВАРТИЛЬ 63 4. Определение характеристик рассеивания 66 4.1. Определение среднего отклонения. Функция СРОТКЛ 66 4.2. Определение суммы квадратов отклонений. Функция КВАДРОТКЛ 67 4.3. Вычисление дисперсии. Функции ДИСП, ДИСПА, ДИСПР, ДИСПРА 69 4.4. Вычисление стандартного (среднего квадратического) отклонения. Функции СТАНДОТКЛОН, СТАНДОТКЛОНА, СТАНДОТКЛОНП, СТАНДОТКЛОНПА 73 4.5. Определение асимметрии распределения. Функция СКОС 78 4.6. Определение эксцесса распределения. Функция ЭКСЦЕСС 80 ч
5. Зависимость случайных величин 83 5.1. Определение ковариации. Функция КОВАР 83 5.2. Определение коэффициента корреляции. Функция КОРРЕЛ 85 5.3. Определение коэффициента корреляции Пирсона. Функции ПИРСОН, КВПИРСОН 87 6. Интервальное оценивание 92 6.1. Определение доверительного интервала для среднего. Функция ДОВЕРИТ 92 6.2. Определение вероятности попадания дискретной случайной величины в интервал. Функция ВЕРОЯТНОСТЬ 95 7. Определение параметров распределений непрерывных случайных величин 98 7.1. Определение значения функции распределения и функции плотности нормального распределения. Функция НОРМРАСП 98 7.2. Определение аргумента по значению функции распределения. Функция НОРМОБР 101 7.3. Определение нормализованного значения аргумента. Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ 103 7.4. Определение значения функции распределения стандартного нормального распределения. Функция НОРМСТРАСП 105 7.5. Определение аргумента по значению стандартной интегральной функции нормального распределения. Функция НОРМСТОБР 106 7.6. Определение вероятности статистики Z при проверке гипотезы о равенстве статистической оценки математического ожидания заданному значению. Функция ZTECT 107 7.7. Определение значения функции распределения логнормального распределения. Функция ЛОГНОРМРАСП НО 7.8. Определение аргумента по значению функции распределения. Функция ЛОГНОРМОБР 113 7.9. Определение значения функции распределения Стьюдента (интегральной функции). Функция СТЬЮДРАСП 115 7.10. Определение параметра t по значению функции распределения. Функция СТЬЮДРАСПОБР 118 7.11. Проверка гипотезы о равенстве средних (определение вероятности, соответствующей критерию Стьюдента). Функция ТТЕСТ 120 7.12. Определение значения функции распределения %2. Функция ХИ2РАСП 130 7.13. Определение параметрах по значению функции распределения %2. Функция ХИ2ОБР 133 7.14. Проверка гипотезы о виде закона распределения (определение вероятности значения %2). Функция ХИ2ТЕСТ 134 4
7.15. Определение значения функции распределения /’-распределения (распределения Фишера-Снедекора). Функция FPACII 142 7.16. Определение параметра х по значению функции распределения /’-распределения. Функция ЕРАСПОБР 145 7.17. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий (определение вероятности статистики /). Функция ФТЕСТ 147 7.18. Определение значения преобразования Фишера. Функция ФИШЕР 151 7.19. Определение обратного преобразования Фишера. Функция ФИШЕРОБР 152 7.20. Определение значения функции распределения и функции плотности экспоненциального распределения. Функция ЭКСПРАСП 154 7.21. Определение значения функции распределения и функции плотности гамма — распределения. Функция ГАММАРАСП 156 7.22. Определение аргумента по значению функции распределения. Функция ГАММАОБР 159 7.23. Определение натурального логарифма гамма — функции. Функция ГАММАНЛОГ 161 7.24. Определение функции распределения бета — распределения. Функция БЕТАРАСП 162 7.25. Определение аргумента по значению функции бета — распределения. Функция БЕТАОБР 165 7.26. Определение значения функции распределения и функции плотности распределения Вейбулла. Функция ВЕЙБУЛЛ 167 8. Определение параметров распределений дискретных случайных величин 171 8.1. Определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Функция БИНОМРАСП 171 8.2. Определение наименьшего значения биномиальной случайной величины. Функция КРИТБИНОМ 174 8.3. Определение вероятности числа неудач в последовательности испытаний Бернулли. Функция ОТРБИНОМРАСП 176 8.4. Определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Функция ПУАССОН 178 8.5. Определение вероятности заданного количества успехов в выборке. Функция ГИПЕРГЕОМЕТ 180 9. Построение уравнения регрессии и прогнозирование 184 9.1. Определение параметров линейной регрессии. Функция ЛИНЕЙН 184
9.2. Определения значений результативного признака по линейному уравнению регрессии. Функция ТЕНДЕНЦИЯ 194 9.3. Определение параметров показательной функции. Функция ЛГРФПРИБЛ 198 9.4. Определение значений результативного признака по показательному уравнению регрессии. Функция РОСТ 204 9.5. Определение значения уравнения регрессии вида у = b(j + Ь\Х в заданной точке. Функция ПРЕДСКАЗ 208 9.6. Определение точки пересечения линии регрессии с осью Y. Функция ОТРЕЗОК 211 9.7. Определение тангенса угла наклона линии регрессии к оси X. Функция НАКЛОН 213 9.8. Определение стандартной ошибки отклонения результативного признака от уравнения регрессии. Функция СТОШУХ 215 Библиографический список 218 Приложение 219
Введение В настоящее время трудно себе представить исследование и прогно- зирование экономических явлений без использования математической статистики, эконометрического моделирования, регрессионного и кор- реляционного анализа, трендовых и сглаживающих моделей и других методов, опирающихся на вероятностно-статистические закономерно- сти, присущие как централизованной, так и рыночной экономике. С развитием общества экономическая система все более усложняется. Следовательно, должен усиливаться статистический характер законов, описывающих социально-экономические явления. Все это предопреде- ляет необходимость овладения методами теории вероятностей и мате- матической статистики как инструментом статистического анализа и прогнозирования экономических явлений и процессов, а компьютер- ные программы для аналитических исследований и прогнозирования должны являться повседневным рабочим инструментом специалиста, связанного с обработкой статистической информации. В настоящее время наиболее популярно программное обеспечение, работающее в операционной системе Windows и поставляемое вместе с компьютером. Одна из составляющих этого обеспечения — программа Microsoft Excel, с помощью которой удобно работать с таблицами ста- тистических данных. Она позволяет упорядочивать, обрабатывать, гра- фически представлять и анализировать различную статистическую ин- формацию. MS Excel содержит много встроенных функций, их использование значительно облегчает обработку статистической информации. В дан- ной книге подробно рассмотрены статистические функции, с помощью которых достаточно просто и удобно проводить экономические и ста- тистические расчеты. Все статистические функции (80 функций) рас- пределены на восемь разделов. Статистические функции каждого из разделов позволяют выполнять следующие действия: • проводить предварительную обработку данных; • рассчитывать характеристики положения и рассеивания; • определять зависимость определяемых величин; • проводить интервальное оценивание; • определять параметры законов распределения непрерывных слу- чайных величин; • проверять статистические гипотезы о параметрах распределения и виде закона распределения случайных величин; • определять параметры законов распределения дискретных слу- чайных величин; • строить линейные и нелинейные уравнения регрессии, проводить их анализ и давать прогнозные оценки результативного признака. Для новичков, впервые встречающихся с MS Excel, в книге имеется раздел, посвященный основам работы в Excel. Он составлен таким об- 7
разом, что за минимальное время можно овладеть основными практи- ческими навыками работы с Excel и всем, что необходимо для работы со статистическими функциями. В данной книге при рассмотрении той или иной статистической функции MS Excel подробно изложены теоретические основы данного вопроса, приведены формульные зависимости, используемые для рас- чета различных параметров, приведен пример, который решен «вруч- ную» и с помощью соответствующей статистической функции. Такой подход дает возможность пользователю понять, каким обра- зом решаются различные статистические и экономические задачи с помощью статистических функций, правильно интерпретировать и ана- лизировать полученные результаты, делать обоснованные выводы. Учебный материал в книге изложен так, что читатель может осво- ить его, последовательно изучая раздел за разделом. При необходимо- сти изучение материала можно начать с любого раздела или с любой статистической функции. Для более полного представления о возможностях Excel по обра- ботке статистических данных читателю будет полезно ознакомиться с ранее изданной книгой Козлова А.Ю., Шишова В.Ф. «Применение Па- кета анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах», в кото- рой рассматриваются статистические инструменты Пакета анализа MS Excel, позволяющие: • генерировать случайные числа, подчиняющиеся различным зако- нам распределения; • проводить формирование различных выборок; • по выборке строить вариационные ряды, гистограмму, кумуля- тивную кривую, диаграмму Парето; • вычислять точечные и интервальные оценки статистической со- вокупности; • проводить сглаживание временных рядов; • проверять статистические гипотезы; • проводить однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ; • строить и проводить анализ множественного уравнения регрессии; • проводить прямое и обратное преобразование Фурье.
1. Необходимые сведения о MS Excel В этой главе изложены сведения, необходимые для исполь- зования статистических функций в экономических и статисти- ческих расчетах. При этом в качестве базовой версии будем ис- пользовать русскую версию Microsoft Excel 2000. Excel относится к программным продуктам, известным под названием электронные таблицы. Электронные таблицы — это интерактивная программа, состоящая из набора строк и столб- цов, изображенных на экране в специальном окне. Область, на- ходящаяся на пересечении строки и столбца, называется ячей- кой. В ячейке могут находиться число, текст или формула, с по- мощью которой осуществляются вычисления, относящиеся к одной или нескольким ячейкам. Ячейки можно копировать, пе- ремещать, а также изменять их содержимое. При изменении со- держимого ячейки производится автоматический пересчет со- держимого всех ячеек, использующих в формулах измененную ячейку. На основе групп ячеек создаются диаграммы, графики и сводные таблицы. Электронную таблицу можно сохранить в от- дельном файле для дальнейшего использования. Для начала работы необходимо запустить Excel. Это можно сделать, нажав кнопку Пуск и выбрав категорию Программы Mi- crosoft Excel или с помощью иконки на рабочем столе Windows. 1.1. Основные положения работы с электронной таблицей После запуска на экране появится окно программы Excel (рис. 1.1). Рассмотрим основные элементы этого окна, которыми мы будем пользоваться при использовании статистических функций Microsoft Excel. При запуске Excel автоматически создается файл, называе- мый Книга (на рис. 1.1 — Книга 1). Книга состоит из листов, число которых обычно равно 16. Каждому листу можно присво- ить имя, оно указывается на ярлычке листа. При первом запуске имена листов — Лист 1, Лист 2 и т.д. Щелкнув мышью на нужном ярлычке, на экран выводится соответствующий рабочий лист. Когда рабочих листов в книге много, все ярлычки не помещаются на экране. С помощью кно- пок в левом нижнем углу экрана можно прокручивать ярлычки
горизонтально, чтобы найти нужный. Каждый лист — это элек- тронная таблица, являющаяся элементом одного файла-книги. Электронная таблица состоит из строк и столбцов; строки нумеруются 1, 2, ..., 16394; столбцы обозначаются буквами А, В, ..., АА, АВ,...; всего столбцов 256. На пересечении строк и столбцов находятся ячейки. Каждая ячейка имеет свой адрес: Al, В18, А0243 и т.д. ----Заголовок окна Закрыть окно---- ----Полоса меню Максимизировать или восстановить окно ---Панель инструментов Стандартная Свернуть окно — ।---Панель инструментов Форматирование Рис. 1.1. Окно программы Excel Вертикальная и горизонтальная полосы прокрутки предна- значены для просмотра той части рабочего листа, которая в данный момент не видна, т.е. с помощью указанных полос ин- формация на листе может прокручиваться в окне в вертикаль- ном или горизонтальном направлении.
Настройка Excel Для работы с программой Excel следует провести необходи- мые настройки. Практически все настройки Excel можно сде- лать с помощью диалога Параметры, который вызывается ко- мандой меню Сервис -> Параметры. > Выберите команду меню Сервис -> Параметры. На экране появится диалог Параметры. > Если какой-либо из описанных выше элементов окна, за исключением панелей инструментов, не присутствует на экране монитора, щелкните мышью на ярлычке с надписью Вцд, чтобы выбрать нужную вкладку с элементами управления (рис. 1.2). Рис. 1.2. Ярлык Вид > Затем с помощью мыши установите флажки напротив на- званий тех элементов, которых нет на экране. > Выберите вкладку Правка (рис. 1.3) и убедитесь, что уста- новлены флажки Правка прямо в ячейке, Автозаполнение значе- ний ячеек, Переход к другой ячейке после ввода, в направлении и что в списке выбора установлена строка Вниз. 11
Рис. 1.3. Ярлык Правка > После установки флажков закройте диалог Параметры, на- жав кнопку ОК. Видимостью панелей инструментов можно управлять с по- мощью диалога Панели инструментов, который вызывается, ис- пользуя команду меню Вид -> Панели инструментов. Если в окне Excel на вашем экране нет панелей инструментов Стандартная или Форматирование, выполните следующие действия: > выберите команду меню Вид -> Панели инструментов. На экране появится диалог Панели инструментов (рис. 1.4); > установите с помощью щелчка мыши флажки напротив названий Стандартная и Форматирование и убедитесь, что все остальные флажки сброшены. Если нет, то сбросьте их. Использование справочной системы Excel, как и другие программы Windows, имеет мощную справочную систему. Если возникают вопросы во время работы, 12
мо^кно быстро получить на них ответы, не отходя от компьюте- ра. \При этом вызов справки в Excel ничем не отличается от вы- зов^ справки в других программах Windows. S Microsoft Excel - Книга! Стандартная Масштаб... Настройка... Панели инструг-wwuE ► Visual Basic Web WordM bg Буферобмена Внешние данные Диаграммы ц у -- Г.Н- ib в Правка; §цд Вставка Формат Сервис Данные Окно Справка 1 Й 4 Обычный Разметка страницы ---г— 23 _1_1_ 2 3 4 5 6 7 ’в То и 12 13 14 15 16 17 1В 19 20 5i Рис. 1.4. Диалог Панели инструментов Рисование Сводные Таблицы 'Формы • . • ' \ Элементы управления > Для вызова справки нажмите клавишу F1. На экране поя- вится окно, где находится справочная информация. О том, как пользоваться справочной системой, подробно на- писано в книгах, посвященных Windows, поэтому мы остано- вимся лишь на тех особенностях и способах получения подсказ- ки, которые присущи программе Excel. > Закройте справочное окно, нажав комбинацию клавиш Alt+F4. А > Подведите указатель мыши к кнопке -* на панели инстру- ментов Стандартная. > Под указателем мыши появится надпись Печать (Название принтера). Этот способ получения подсказки действует только в случае, если в диалоге Панели инструментов установлен флажок Всплы- 13
вающие подсказки. Более подробно справку о кнопках на пане- лях инструментов, командах меню и других элементах экрана можно получить следующим образом. / > Нажмите команду меню Справка -> Что это такое? /или комбинацию клавиш Shift+Fl. К указателю мыши добавится знак вопроса. Когда перемещается этот указатель над кнопками панелей инструментов, в строке состояния также появляются подсказки. > Щелкните мышью на кнопке ® . На экране появится окно, которое содержит подсказку о назначении этой кнопки (рис. 1.5). Комацца «Печать» (меню «Файл») Печать текущего файла или выделенных элементов. Параметры печати задаются с ; помощью команды Печать меню Файл Рис. 1.5. Подсказка о назначении кнопки Ввод и форматирование данных При запуске Excel автоматически создается новая рабочая книга. При этом темная рамка находится в левом верхнем углу чистого ра- бочего листа, в ячейке А1, что и отражается в поле имен (рис. 1.6). Рис. 1.6. Текущая ячейка А1 > Наберите на клавиатуре текст «Статистические функции». Этот текст появится в ячейке А1 и строке формул. В ячейке после текста увидите вертикальную черту — текстовый курсор (рис. 1.7). А1 Статистические функции ..А 1 6 ' 7 с " J. р.;...... Т~Ё1 1 | Статистические функции[ Рис. 1.7. Ввод текста в ячейку А1 14
Появление вводимого текста одновременно в ячейке и строке формул означает, что можно вводить информацию либо сразу в ячейку, либо в строку формул. Сейчас вводим строку непосредст- венно в ячейку, работу со строкой формул рассмотрим позднее. > Нажмите клавишу Enter, чтобы закончить ввод текста в ячейку. Темная рамка перейдет в ячейку А2. Таким образом, ввести текст в ячейку очень просто. В про- цессе ввода можно удалять неправильно введенные символы с помощью клавиши Backspace. Здесь рассмотрен только один спо- соб ввода текста, на самом деле это можно сделать по-разному: > нажав клавишу F2; > дважды щелкнув мышью в ячейке А1; > установив указатель мыши в строке формул. При выполнении перечисленных действий в выделенной ячейке сразу появится текстовый курсор. Передвижение по таблицам и способы выделения ячеек Перемещаться по ячейкам таблицы можно с помощью кла- виш управления курсором. Одно нажатие на клавишу со стрел- кой приводит к перемещению на одну ячейку. Чтобы ускорить перемещение, можно нажать и удерживать клавишу со стрелкой. Включится режим автоповторения, в котором клавиатура сама быстро генерирует коды нажатия клавиши так, как будто вы бы- стро нажимаете и отпускаете клавишу. Для перемещения по таблице вверх и вниз на размер окна надо использовать клави- ши Page Up и Page Down. С помощью вертикальной и горизонтальной полос прокрутки можно прокручивать изображение таблицы в окне, при этом теку- щая ячейка не изменяется, т.е. темная рамка вокруг текущей ячей- ки остается на месте при перемещении изображения таблицы. Для оформления таблицы очень часто будет необходимо вы- делять диапазоны ячеек, например, чтобы выделить их цветом или полужирным шрифтом, поэтому очень важно усвоить навы- ки, с помощью которых можно быстро выделять ячейки. Выделить одну ячейку не составляет труда: надо щелкнуть на ней мышью или с помощью клавиш управления курсором пере- местить на нее темную рамку. Выделение диапазона ячеек осуществляется с помощью кла- виш управления курсором. При этом необходимо удерживать нажатой клавишу Shift. 15
> Выделите ячейку А2. > Нажмите и удерживайте клавишу Shift. > Удерживая нажатой клавишу Shift, три раза нажмите а- вишу Ф. Будет выделен диапазон А2:А5. > Отпустите клавишу Shift. После того как ячейки будут выделены, их содержимое мож- но скопировать в другое место таблицы, например, для того, чтобы не вводить одни и те же формулы. Копирование и перенос Для копирования информации в среде Windows существует так называемый буфер обмена. Это участок памяти, в который можно скопировать любую информацию из различных про- грамм: из Excel можно скопировать содержимое ячеек. Затем содержимое ячеек из буфера обмена вставить в любое другое место таблицы. > Выделите ячейку А4. > Введите в эту ячейку формулу «=СУММ (В2:ВЗ)». > Выберите команду Правка -> Копировать. Вокруг ячейки А4 появится бегущая пунктирная рамка, а значит, содержимое ячейки А4 уже скопировано в буфер обмена Windows. > Выделите ячейку В4 и выберите команду меню Правка -> Вставить. В ячейку В4 из буфера обмена будет вставлена форму- ла «=СУММ (В2:ВЗ)». Здесь надо обратить внимание на то, что в ячейке А4 нахо- дится формула «=СУММ (А2:АЗ)», а в ячейку В4 вставлена формула «=СУММ (В2:ВЗ)». Дело в том, что Excel автоматиче- ски отслеживает адреса ячеек при переносе формулы из одной ячейки в другую. Формула переносится на один столбец вправо, и адреса всех ячеек формулы также увеличиваются на один столбец. Это очень удобно в повседневной работе, например, если сумму или другую операцию или функцию надо вычислять для нескольких столбцов, расположенных подряд. Но иногда необходимо избежать автоматического изменения адресов ячеек. Для этого следует использовать абсолютные адреса ячеек в фор- муле. Абсолютный адрес ячейки А2 обозначается так: $А$2. > Введите в ячейку А4 формулу «=$А$2+А3». > Выделите ячейку А4 и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Insert. Содержимое ячейки будет скопировано в буфер обмена. > Выделите ячейку В4 и нажмите комбинацию клавиш CtrH-Insert. В ячейку будет вставлена формула «=$А$2+В3». 16
Абсолютный адрес ячейки А2 в формуле не изменился. Не- обходимо обратить внимание еще на одну особенность абсо- лютной адресации. Если указать в формуле адрес ячейки А$2, то при переносе формулы в этом адресе будут изменяться только столбцы; соответственно если $А2, то только строки. Для изменения адреса ячейки на абсолютный во время ре- дактирования формулы используется клавиша F4. > Выделите ячейку В4. > Нажмите клавишу F2, чтобы начать редактирование формулы. > С помощью клавиши <- установите текстовый курсор сра- зу за адресом ВЗ или между символами «В» и «3». > Нажмите клавишу F4. Адрес ВЗ изменится на $В$3. > Нажмите клавишу Esc, чтобы отменить редактирование. Отметим, что, один раз скопировав информацию в буфер обмена Windows, можно вставлять ее из буфера в разные места таблицы неограниченное число раз. Существует два разных спо- соба помещения информации в буфер обмена. Первый — это копирование, уже рассмотренный выше. Второй — вырезание, т.е. когда содержимое ячейки удаляется из таблицы и помещает- ся в буфер обмена. Рассмотрим этот способ на практике, на- помним, что в таблице выделена ячейка В4. у > Нажмите кнопку на панели инструментов Стандарт- ная. Вокруг ячейки В4 появится бегущая штриховая рамка. > Выделите ячейку С4 и нажмите кнопку на панели ин- струментов Стандартная. Содержимое ячейки В4 перенесено в ячейку С4. Обратите внимание: для работы с буфером обмена использо- вали кнопки на панели инструментов. Это самый быстрый и удобный способ. Для копирования информации в буфер обмена - можно воспользоваться кнопкой . Если необходимо просто быстро удалить содержимое ячеек, то нажмите клавишу Delete. Выбор шрифта и выравнивание текста Все действия по оформлению таблиц можно выполнить с помощью кнопок и списков на панели инструментов Формати- рование (рис. 1.8). 1. Щелкните мышью на ячейке А1 и откройте список Шрифт на панели инструментов Форматирование. Напомним, чтобы от- 17
67 8 12 13 14 Рис. 1.8. Панель инструментов Форматирование крыть список, надо щелкнуть на кнопке Прокручивая спи- сок с помощью полосы прокрутки, найдите необходимый шрифт, например Times New Roman Суг, и щелкните на нем мышью. Текст в ячейке А1 (см. рис. 1.7) будет отображен вы- бранным шрифтом. 2. Откройте список для выбора размера шрифта и выберите размер 16. Размер символов в ячейке А1 будет увеличен. W 3. Нажмите кнопку на панели инструментов Форматирова- ние. Текст в ячейке А1 будет выделен полужирным стилем, кнопка w зафиксируется в нажатом состоянии. 4. С помощью кнопки можно выделить текст курсивом. Г~“"Ж 5. С помощью кнопки 1а» можно подчеркнуть текст. 6. Выделите диапазон ячеек А2:АЗ и нажмите кнопку а на панели инструментов Форматирование. Текст в выделенном диа- пазоне будет выровнен по левой границе ячеек. 7. С помощью кнопки S можно выровнять текст по центру ячеек. 8. С помощью кнопки можно выровнять текст по пра- вой границе ячеек. 9. Выделите диапазон ячеек А1:Е1 и нажмите кнопку на панели инструментов Форматирование. Текст в ячейке А1 будет выровнен по центру выделенного диапазона ячеек. 10—14. Кнопки ’00 предназначены для форматирования ячеек. 15. Кнопки вставки и удаления строк. 16. Кнопка для оформления границ таблиц. 18
17. Кнопка выделения цветом. 18. Кнопка для установления цвета шрифта. Выберите из контекстного меню команду Формат ячеек (данную команду можно вызвать и через пункт Формат панели Стандартная). На экране появится окно Формат ячеек (рис. 1.9). В данном окне имеются следующие ярлыки: Число, Выравнива- ние, Шрифт, Граница, Вад, Защита. Формат ячеек Число | Выравнивание | Шрифт | Граница | Вид Защита ) Числовые форматы: ' г Образец 4 00 Общий Денежный Финансовый Дата Время Процентный Дробный Экспоненциальный Текстовый Дополнительный (все форматы) 3 I Число десятичных знаков: 2 Г" Разделитель групп разрядов ) Отрицательные числа: -1234 10 1234,10 1234,10 -1234,10 Числовой формат является наиболее общим способом представления чисел. Для вывода денежных значений используются также форматы "Денежный" и "Финансовый". ОК J °Т|,|ена| Рис. 1.9. Ярлык Число окна Формат ячеек В ярлыке Число определяется числовой формат и число де- сятичных знаков после запятой. В ярлыке Выравнивание предлагается выровнять текст по го- ризонтали и вертикали, сориентировать текст, а также можно управлять видом ячеек. Ярлык Шрифт предлагает инструменты по формату шрифта текста. С помощью ярлыка Граница оформляется обрамление ячеек. Ярлык Вид предлагает выбрать цвет заливки ячеек. С помощью ярлыка Защита можно установить на выделен- ные ячейки защиту или скрыть формулы. 19
Печать рабочих листов Распечатать таблицу из программы Excel можно нескольки- ми способами: > нажав кнопку Печать в режиме предварительного про- смотра; > нажав кнопку Печать в диалоге Параметры страницы; > выбрав команду меню Файл -> Печать в обычном режиме редактирования; > с помощью комбинации клавиш Ctrl+P в обычном режиме; л > с помощью кнопки с* на панели инструментов Стандартная. Работа с диаграммами Мастер диаграмм — одно из наиболее мощных средств в про- грамме Excel. На панели Стандартная имеется кнопка для вызо- ва Мастера диаграмм О . Построить диаграмму можно, выделив фрагмент таблицы с исходными данными и нажав указанную кнопку. Для построения диаграммы Мастер диаграмм сделает четыре шага (рис. 1.10). Рис. 1.10. Окно Мастера диаграмм (тип диаграммы) Первый шаг — это выбор типа диаграммы. Мастер предлагает Стандартные и Нестандартные диаграммы. Каждый тип диа- 20
граммы снабжен комментариями, а также предварительным просмотром. На втором шаге необходимо указать источник данных диа- граммы. На этом окне имеются два ярлыка: Диапазон данных и Ряд. На ярлыке Диапазон данных необходимо указать, как пред- ставлены данные в исходной таблице — в строках или в столб- цах, а также указать диапазон ячеек, в которых представлены данные (поле Диапазон автоматически заполняется ссылками на ячейки исходной таблицы). На ярлыке Ряд можно добавлять или удалять ряды данных. Для ввода значений в другие поля данного ярлыка необходимо использовать кнопку 33. Нажав на эту кнопку, сворачиваем окно и переходим к листу Excel с ис- ходными данными. Выделив с помощью мыши необходимую информацию из таблицы и нажав снова на эту кнопку, развора- чиваем окно Мастера диаграмм. На третьем шаге производится изменение параметров диа- граммы. В полях Название диаграммы, Ось X (категорий), Ось Y (значений) можно набрать с клавиатуры заголовки как самой диаграммы, так и ее осей. В поле Оси можно выбрать, будет ли показана оцифровка осей диаграммы или нет. На ярлыке Линии сетки предложены варианты показа сетки диаграммы, а именно: показывать для осей X и Y основные или промежуточные линии сетки или нет. В поле Легенда можно выбрать: показывать или нет легенду и ее размещение. В поле Подписи данных необходи- мо указать: отображать или нет подписи значений на диаграмме. Если поставить флажок в поле Таблица данных, то на листе с диа- граммой будет показана еще и таблица с исходными данными. На четвертом шаге указывается размещение диаграммы: на отдельном листе или на одном из имеющихся. После выбора размещения нажмите кнопку Готово. Параметры уже построенной диаграммы можно изменять, используя контекстное меню, вызываемое по нажатию правой кнопки мыши. Если внести изменения в ту часть таблицы, по которой строи- лась диаграмма, то Excel автоматически модифицирует диаграмму. Ввод и редактирование формул Вводить формулы в ячейки таблицы можно точно так же, как и текст, единственное отличие: все формулы начинаются со знака равенства «=». Покажем, как вычислить сумму двух ячеек. 21
> Введите цифру 4 в ячейку А2 и затем цифру 5 в ячейку АЗ. > Введите в ячейку А4 формулу «=А2+А3». После того, как завершится ввод формулы, в ячейке А4 появится результат сло- жения 9. Если необходимо сложить содержимое большого количества ячеек, то операцию суммирования можно легко автоматизиро- вать вместо того, чтобы вводить длинную формулу. > Удерживая левую кнопку мыши, перемещайте мышь и вы- делите диапазон ячеек от А2 до АЗ. Диапазоны ячеек в Excel обозначаются так: «А2:АЗ». > Щелкните мышью на кнопке , которая находится на панели инструментов Стандартная. В ячейку А4 будет автомати- чески вставлена формула «=СУММ (А2:АЗ)», что означает вычис- ление суммы значений, начиная с ячейки А2 и заканчивая АЗ. Таким образом, можно быстро вычислять сумму ячеек по столбцам или по строкам таблицы. Кроме простых арифметических действий можно использо- вать сложные встроенные функции Excel, доступ к которым осуществляется с помощью так называемого Мастера функций. 1.2. Мастер функций Вставка формул с помощью Мастера функций В Excel существует специальная программа — мастер, упро- щающая процесс создания формул. Ее задача — исключить не- которые типичные ошибки, давать по ходу дела подсказки и комментарии, вычислять промежуточные результаты. Формула в Excel может состоять как из одной, так и из не- скольких функций, а также включать в себя различные арифме- тические операторы. Для примера вставим в ячейку В2 формулу, состоящую из одной функции СЧЕТ для подсчета количества чисел. > Сформируйте таблицу исходных данных, для чего в диапа- зон Al: А6 введите различные числовые данные: 2 4 '6 6 3 -9 67 42 22
> Выделите ячейку В2. > Нажмите клавишу «=». Включится режим редактирования. > Нажмите кнопку На экране появится развернутый список, содержащий перечень последних используемых функ- ций (рис. 1.11). |1 КОРЕНЬ КОРЕНЬ СТОШУХ СУММ СРЗНАЧ ЕСЛИ ГИПЕРССЫЛКА СЧЁТ МАКС SIN СУММЕСЛИ е функции... Отмена Значение. Рис. 1.11. Список последних используемых функций > Нажмите кнопку мыши на поле Другие функции..., вызвав окно Мастера функций (рис. 1.12). Мастер Функций шаг 1 из 2 Ка’егорня » функция: 10 недавно использовавшихся ? Полный алфавитный перечень I Финансовые Дата и время | Математические______ СТАНДОТКЛОНПА СТОШУХ СТЬЮДРАСП СГЬЮДРАСПОБР Статистические Ссылки и массивы Работа с базой данных Текстовые ЯЛогические ^Проверка свойств и значений СЧЁТ (значение 1 ;значение2;...) СЧЕТ СЧЕТЕСЛИ СЧЁТЗ СЧИТАТЬПУСТОТЫ ТЕНДЕНЦИЯ ТТЕСТ УРЕЗСРЕДНЕЕ U' Подсчитывает количество чисел в списке аргументов. ' И Отмена Рис. 1.12. Окно Мастера функций > Щелкните мышью на строке Статистические в списке Ка- тегория. > Прокручивая список Функция, найдите строку СЧЕТ и щелкните на ней мышью. 23
> Нажмите кнопку ОК. На экране появится следующее окно Мастера функций для ввода аргументов выбранной функции (рис. 1.13). На данном окне есть подсказки. Кроме смысла функции поясняется и смысл ее аргументов. Excel сразу же вы- числяет промежуточные результаты по каждому из аргументов, ниже — по всем аргументам, а в самом низу окна пишет резуль- тат вычисления функции (Значение). ,.ГцрТ_____-.. —• & -Ж __ !СЧЕТ ........................................у ' ’ Значение! |д1:Аб] = {1:4:3:-9:67И2}, Значение? 1 - Э = i . .?.*£=............... —- d - ....................................... - - «= о Подсчитывает количество чисел в списке аргументов. Значение1:.значение1;значение2;... от 1 до 30 аргументов, которые могут содержать или ссылаться на данные различных типов, но В подсчете участвуют только числа. Значение: б | ОК | Отмена [ 1г' • "thlBUiiminjiwiSw. i 1?<иими«1мтии^............^чпп..... J Рис. 1.13. Окно Мастера функций (функция СЧЕТ) > Щелкните мышью на кнопке -=•; в поле Значение!. Окно Мастера функций свернется и можно будет мышью выделить диапазон ячеек, содержащих исходные данные. После этого, снова щелкнув мышью на кнопке 3, возвратитесь в окно Мас- тера функций. В поле Значение! появятся адреса этих ячеек. В нижней части окна появится результат вычисления функции — Значение^ (рис. 1.13). Следует отметить, что, нажав кнопку EJ, с помощью которой вы вызвали окно Мастера функций первый раз, вы можете запустить новую копию Мастера функций, чтобы ввести любую вложенную функцию. > Нажмите кнопку ОК (или кнопку на панели инстру- ментов), чтобы закончить ввод формулы. Excel содержит сотни функций, поэтому очень удобно поль- зоваться Мастером функций, который всегда подскажет количе- ство и назначение аргументов выбранной функции. 1.3. Работа с массивами Формулы массива и их ввод Формулы (могут содержать многие функции и различные арифметические операторы), которые возвращают массивы (рас- 94
считывают несколько значений), должны быть введены как формулы массивов после выделения подходящего числа ячеек. Формула массива может выполнить несколько вычислений, а затем вернуть одно зйачение или группу значений. Формула массива обрабатывает несколько наборов значений, называемых аргументами массива. Каждый аргумент массива должен вклю- чать одинаковое число строк и столбцов. Формула массива соз- дается так же, как и другие формулы, с той разницей, что для ввода такой формулы используется комбинация клавиш CTRL+ +SHIFT+ENTER. Создание формулы массива При вводе формулы массива Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ({}). Порядок ввода формулы массива следующий: 1. Выделите ячейку (если формула массива рассчитывает од- но значение) или диапазон ячеек (если формула массива рас- считывает несколько значений). 2. Наберите формулу. 3. Нажмите комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Иногда для получения одного результата в Microsoft Excel необходимо выполнить несколько вычислений. Например, есть данные о компании, имеющей региональные представительства в Европе и США, торгующие тремя типами товаров. Необходимо рассчитать средний доход по каждому типу товаров в Европе за 1992 г., используя формулу массива. Задачу можно решить, используя функции ЕСЛИ и СРЗНАЧ (все ис- пользуемые здесь функции подробно рассмотрены в следующих разделах книги). Функция ЕСЛИ используется при проверке условий для зна- чений и формул. Она рассчитывает одно значение, если задан- ное условие при вычислении дает значение ИСТИНА, и другое значение, если ЛОЖЬ. Функция СРЗНАЧ рассчитывает среднее арифметическое своих аргументов. Решение задачи показано на рисунке 1.14. Ячейка С16 содержит формулу массива {=СРЗНАЧ (ЕСЛИ (С5:С14=«Европа»; D5:D14))}, которая отбирает из диапазона С5:С14 ячейки, содержащие текст «Европа», а затем вычисляет среднее значение по соответствующим ячейкам диапазона D5:D14 - 106566,7. 25
16 " а {=СРЗНАЧ(ЕСЛИ(С5.С14=‘Европа";Р5:Р14))} | В ................. С I D I, E ~|g 7992 7997 Аппаратура Европа 100600 161000 США 133100 198200 Аппаратура: итог 233700 359200 Акустические Европа 129200 160700 США 150500 190100 Акустические итог 279700 350800 Студийное оборудование Европа . 89900 153900 США 112300 190700 Студийное оборудование: итог 202200 344600 =СРЗНАЧ(ЕСЛИ(С5С14=-Европа";О5О14)) Рис. 1.14. Решение задачи по определению среднего дохода Для вычисления нескольких значений с помощью формулы массива необходимо ввести массив в диапазон ячеек, состоящий из того же числа строк или столбцов, что и аргументы массива. Рассмотрим пример, в котором по заданному ряду из трех значений продаж (в строке 5) и ряду из трех месяцев (в строке 3) (рис. 1.15) необходимо определить продолжение линейного ряда объемов продаж. Для решения данной задачи можно ис- пользовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ. Данная функция рассчиты- вает значения в соответствии с линейным трендом, используя аппроксимацию по методу наименьших квадратов. Для отображения всех вычисляемых значений формула вве- дена в три ячейки строки 6 (С6:Е6). Рис. 1.15. Решение задачи по определению продолжения линейного ряда объемов продаж 26
Формула =ТЕНДЕНЦИЯ (С5:Е5;;СЗ:ЕЗ), введенная как формула массива, определяет три значения, вычисленные по трем объемам продаж за три месяца: 22196, 17079, 11962. Формулу массива можно также использовать для вычисления одного или нескольких результатов для ряда значений, еще не введенных на лист. Формулы массива принимают константы так же, как и дру- гие формулы, но константы массива необходимо вводить в оп- ределенном формате. Например, имея те же три значения про- даж, что и в предыдущем примере, можно спрогнозировать объ- емы продаж на следующие два месяца (рис. 1.16). Рис. 1.16. Решение задачи по прогнозированию объемов продаж в условиях предыдущего примера Для прогнозирования четвертого и пятого значений в ежеме- сячной последовательности на основе первых трех значений ис- пользуется формула =ТЕНДЕНЦИЯ (С5: Е5;;{4;5}), которая дает следующие результаты: 6845, 1728. Константы в формулах массива Обычно формула при обработке одного или нескольких ар- гументов возвращает (рассчитывает) одно значение; в качестве аргумента формулы может при этом выступать либо ссылка на ячейку, содержащую значение, либо само значение. В формуле массива, которая обычно используется для ссылки на диапазон ячеек, можно ввести массив значений в одну ячейку. Этот мас- сив значений называется массивом констант; удобен он тем, что при этом не требуется заносить по одному значению в ячейку на листе. Чтобы создать массив констант, надо выполнить сле- дующие действия: > ввести значения непосредственно в формулу, заключив в фигурные скобки ({}); > столбцы разделить запятыми (,); > строки разделить точками с запятой (;). 27
Например, вместо ввода четырех чисел (10, 20, 30, 40) в от- дельные ячейки их можно ввести в массив, в одну ячейку в фи- гурных скобках: {10, 20, 30, 40}. Такой массив констант является матрицей размерности 1 на 4 и соответствует ссылке на 1 строку и 4 столбца. Чтобы представить значения 10, 20, 30, 40 и 50, 60, 70, 80, находящиеся в расположенных друг под другом ячейках, можно создать массив констант размерностью 2 на 4, причем строки будут отделены друг от друга точкой с запятой, а значе- ния в столбцах — запятыми: {10, 20, 30, 40; 50, 60, 70, 80}. Массив констант может состоять из чисел (числа в массиве могут быть целыми, с десятичной точкой или в экспоненциаль- ном формате), текста (текст должен быть взят в двойные кавыч- ки, например «Вторник»), логических значений (например, ИС- ТИНА или ЛОЖЬ) или значений ошибок (например, #Н/Д). Массив констант может состоять из элементов разного типа, например {1,3,4; ИСТИНА, ЛОЖЬ, ИСТИНА}. Элементы мас- сива должны быть константами, но не формулами. Массив констант не может содержать $ (знак доллара), скобки или % (знак процента), ссылки на ячейки, столбцы или строки разной длины. 1.4. Некоторые замечания об использовании статистических функций В состав Microsoft Excel входит большое количество функций как специального, так и общего назначения. Доступ к функциям может быть осуществлен, если непосредственно набрать имя и параметры функции в строке формул или через рассмотренный выше Мастер функций. Для вызова статистических функций необходимо в окне Мастера функций из списка Категория выбрать Статистические. В списке Функция появится весь список статистических функ- ций (всего 80 функций). В данной книге для удобства пользования информация о всех статистических функциях разделена на восемь разделов (со второго по девятый), каждый из которых содержит функции од- ной тематики. Во втором разделе рассмотрены функции, позволяющие осу- ществлять предварительную обработку статистических данных: > подсчет количества значений; > определение экстремальных значений совокупности данных; 28
> подсчет частот из массива данных, попадающих в задан- ные интервалы; > оценку относительного положения точки; > определение величины, соответствующей ее относитель- ному положению; > определение числа перестановок; > определение ранга числа в списке чисел. Третий раздел посвящен определению характеристик поло- жения. С этой целью описаны функции: > вычисления среднего; > определения моды в интервале данных или массиве; > определения медианы; > определения квартилей. В четвертом разделе рассматривается определение характе- ристик рассеивания с помощью следующих функций: > определения среднего отклонения; > определения суммы квадратов отклонений; > вычисления дисперсии, стандартного (среднего квадрати- ческого) отклонения; > определения асимметрии распределения, эксцесса распре- деления. Содержанием пятого раздела (зависимость случайных вели- чин) являются функции для определения ковариации; коэффи- циента корреляции; коэффициента корреляции Пирсона. Шестой раздел посвящен интервальному оцениванию: функ- ции определения доверительного интервала для среднего и оп- ределения вероятности попадания дискретной случайной вели- чины в интервал. В седьмом разделе рассматриваются функции для определения параметров распределений непрерывных случайных величин: > определение значения функции распределения и функции плотности нормального распределения; > определение аргумента по значению функции распределения; > определение нормализованного значения аргумента; > определение значения функции распределения стандарт- ного нормального распределения; > определение аргумента по значению стандартной инте- гральной функции нормального распределения; > определение вероятности статистики Z при проверке гипо- тезы о равенстве статистической оценки математического ожи- дания заданному значению; 29
> определение значения функции распределения логариф- мически нормального распределения; > определение аргумента по значению функции распределения; > определение значения функции распределения Стьюдента (интегральной функции); > определение параметра t по значению функции распреде- ления; > проверка гипотезы о равенстве средних (определение ве- роятности, соответствующей критерию Стьюдента); > определение значения функции распределения %2; > определение параметра у по значению функции распреде- ления х2; > проверка гипотезы о виде закона распределения (опреде- ление вероятности значения %2); > определение значения функции распределения F-распре- деления (распределения Фишера — Снедекора); > определение параметра х по значению функции распреде- ления /’-распределения; > проверка гипотезы о равенстве дисперсий (определение вероятности статистики /); > определение значения преобразования Фишера; > определение обратного преобразования Фишера; > определение значения функции распределения и функции плотности экспоненциального распределения; > определение значения функции распределения и функции плотности гамма-распределения; > определение аргумента по значению функции распределения; > определение натурального логарифма гамма-функции; > определение функции распределения бета-распределения; > определение аргумента по значению функции бета-распре- деления; > определение значения функции распределения и функции плотности распределения Вейбулла. В восьмом разделе рассматриваются функции для определе- ния параметров распределений дискретных случайных величин: > определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение; > определение наименьшего значения биномиальной слу- чайной величины; 30
> определение вероятности числа неудач в последовательно- сти испытаний Бернулли; > определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей распределение Пуассона; > определение вероятности заданного количества успехов в выборке. Последний раздел — девятый, он посвящен описанию функ- ций для построения уравнения регрессии и прогнозирования: > определение параметров линейной регрессии; > определение значений результативного признака по ли- нейному уравнению регрессии; > определение параметров показательной функции; > определение значений результативного признака по пока- зательному уравнению регрессии; > определение значения уравнения регрессии вида у = Ьо + + Ь\х в заданной точке; > определение точки пересечения линии регрессии с осью У; > определение тангенса угла наклона линии регрессии к оси X; > определение стандартной ошибки отклонения результа- тивного признака от уравнения регрессии. Все статистические функции можно использовать самостоя- тельно для решения экономических и статистических задач и в составе различных математических зависимостей (уравнений, неравенств и т.д.). Зная материал, представленный в книге, и основы языка Visual Basic, можно самому составлять сложные статистические программы. В следующих главах книги подробно рассмотрены все пере- численные статистические функции, приведены примеры исполь- зования этих функций в экономико-статистических расчетах.
2. Предварительная обработка статистических данных 2.1. Подсчет количества значений. Функции СЧЕТ, СЧЕТЗ, СЧЕТЕСЛИ, СЧИТАТЬПУСТОТЫ Подсчет количества чисел. Функция СЧЕТ Синтаксис функции'. СЧЕТ {Значение!, Значение?, ...) При использовании функции СЧЕТ производится подсчет ко- личества чисел в списке аргументов. Список аргументов при этом может содержать различные данные, но в подсчете участвуют только числа. Если аргумент является массивом или ссылкой, то подсчиты- ваются только числа в этом массиве или ссылке. Учитываются аргументы, которые являются числами, пустыми значениями, логическими значениями, датами, или текстами, изо- бражающими числа; аргументы, представляющие собой значения ошибок или тексты, если их нельзя интерпретировать как числа, игнорируются. Пустые ячейки, логические значения, тексты и зна- чения ошибок в массиве или ссылке игнорируются. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.1, а): ..... Значение! ,|В2 Q2| ' ~ ~ {3,52; 4,25;‘-j 1,5В, Значений" .......... ....... ....... ~ ЛЗ * Подсчитывает количество чисел W списке аргументов. Значение!: значение! ; значений, от 1 до 30 аргументов, которые могут кодер^ат'ьйяиёсыяатьрйна Данный различных - подсчета уца^уюттсйьКоШ: ад. ' Значение' 12 | ...| | где Значение!, Значение!, ... — от 1 до 30 аргументов, которые могут содержать или ссылаться на данные различных типов, но в подсчете участвуют только числа. Подсчет количества непустых значений. Функция СЧЕТЗ Синтаксис функции: СЧЕТЗ {Значение!, Значение?, ...) При использовании функции СЧЕТЗ производится подсчет непустых значений в списке аргументов, т.е. подсчитывается количество ячеек с данными в интервале или массиве. 32
Окно этой функции аналогично окну функции СЧЕТ, где Зна- чение!, Значение!,... — от 1 до 30 аргументов, количество которых требуется сосчитать. В данном случае значением считается значе- ние любого типа, включая пустую строку (""), но не включая пус- тые ячейки. Если аргументом является массив или ссылка, то пус- тые ячейки в массиве или ссылке игнорируются. Подсчет количества непустых значений в соответствии с заданным критерием. Функция СЧЕТЕСЛИ Синтаксис функции: СЧЕТЕСЛИ (Диапазон, Условие) Функция СЧЕТЕСЛИ подсчитывает количество ячеек внут- ри диапазона, удовлетворяющих заданному критерию. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.1, в): Q2 1,58; .УшовиН'м* . Условие уйювиевфорие числа, mmubooi или совета, ввясый □гс.едт'ое’,:какие:1т^йкИиадоподсчнтс«атЬ' где Диапазон — диапазон, в котором нужно подсчитать ячейки; Условие — критерий в форме числа, выражения или текста, опреде- ляющий, какие ячейки надо подсчитывать. Например, критерий может быть выражен следующим образом (согласно примеру 2.1)’ 4 (подсчитает, сколько значений, равных 4, имеется в диапазоне), «4» (значение может быть задано в виде текста), «>4» (подсчитает, сколько значений, больших 4, имеется в диапазоне), «компьютеры» (значение может быть задано в виде текста, если диапазон содержит ячейки с текстом). Подсчет количества пустых ячеек в заданном интервале. Функция СЧИТАТЬПУСТОТЫ Синтаксис функции: СЧИТАТЬПУСТОТЫ (Диапазон) Подсчитывает количество пустых ячеек в заданном интервале. Ячейки с формулами, которые возвращают значение «» (пус- той текст), учитываются при подсчете. Ячейки с нулевыми зна- чениями не учитываются. 2 Статистические функции в экономике- 33
Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.1, г): где Диапазон — интервал, в котором требуется подсчитать количество пустых ячеек. Работу вышеперечисленных функций рассмотрим на следую- щем примере. Пример 2.1, При проведении анкетирования 16 респондентов на вопрос анкеты о величине средней заработной платы за пер- вый квартал текущего года были даны ответы, отраженные в табл. 2.1. Найдите: а) число респондентов, давших ответ на вопрос анкеты; б) число респондентов, давших ответ на вопрос анкеты, вклю- чая прочерк в анкете; в) число респондентов, имеющих среднюю заработную плату более 4 тыс. руб.; г) число респондентов, не давших ответ на вопрос анкеты (которые не поставили прочерка в графе вопроса). Т а б л и ц а 2.1 Результаты анкетирования № респон- дента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Средняя заработная плата, тыс. руб. 3,52 4,25 — 1,58 2,73 5,11 4,10 3,72 — 3,15 4,00 2,95 4,17 4,55 Решение. 1. Сформируем таблицу исходных данных: 3 1 |№ Ср з/п, Щ-гыс руб 1___ 3,52 2___ 4.25 4____5_____б 1.58 2.73 5.11 8 9______ 4.1 3,72 10 11 3.15 4 13 2.95 14___15____16 4.17 4.55 7 34
2. Выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числения ($А$3). 3. Определим число респондентов, давших ответ на вопрос анкеты: > вызовем Мастер функций, нажав кнопку Гя на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СЧЕТ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СЧЕТ; > нажав кнопку 33 в поле Значение!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим их мышью (B2.Q2). Затем, повторно нажав эту же кнопку, вернемся к окну функции СЧЕТ; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 12 респондентов. 4. Определим число респондентов, давших ответ на вопрос анкеты, включая прочерк в анкете: > вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СЧЕТЗ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СЧЕТЗ; > нажав кнопку 33 в поле Значение!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим их мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СЧЕТЗ; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 14 респондентов. 5. Определим число респондентов, имеющих среднюю заработ- ную плату более 4 тыс. руб.: > вызовем Мастер функций, нажав кнопку ИИ на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СЧЕТЕСЛИ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СЧЕТЕСЛИ; 2» 35
> нажав кнопку -л! в поле Диапазон, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СЧЕТЕСЛИ; > в поле Условие наберем — «>4»; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 5 респондентов. 6. Определим число респондентов, не давших ответ на вопрос анкеты (которые не поставили прочерка в графе вопроса): > вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели ин- струментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СЧИТАТЬПУСТОТЫ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СЧИТАТЬПУСТОТЫ; > нажав кнопку 2а в поле Диапазон, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СЧИТАТЬПУСТОТЫ; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 2 респондента. 2.2. Определение экстремальных значений совокупности данных. Функции МАКС, МИН, МАКСА, МИНА, НАИБОЛЬШИЙ, НАИМЕНЬШИЙ Определение наибольшего значения. Функция МАКС Синтаксис функции-. МАКС (Число1, Число2, ...) При использовании функции МАКС производится опреде- ление максимального значения. При этом аргумент функции должен являться массивом или ссылкой. Пустые ячейки, логи- ческие значения или текст в массиве или ссылке игнорируются. Если аргументы не содержат чисел, то функция МАКС опреде- ляется в качестве максимального числа ноль. Если логические значения или текст не должны игнорироваться, следует исполь- зовать функцию МАКСА. 36
Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.2, а): МАКС _____________________________ - Число! |B2:Q2|_ ~~ я £адгмМ’-*А®; Ч«1Ю2^ -5.11 Ислнмиввт м*С'*мяы-:е- значение из списка Аргументов. Логические значения или текст ‘гнорируются., х,? . / §? S-5 « Число!: мислорчислсЙ;,. от 1 до.ЗО чисел, логических значений или строк, ,с₽ед и которых ищется максимальное значение, ____. Г 0] Значение, 5,11 ] ОК Отмена | где Число1, Число!,... — от 1 до 30 чисел, среди которых ищется макси- мальное значение. Определение минимального значения. Функция МИН Синтаксис функции'. МИН (Число!, Число?, ...) При использовании функции МИН производится определе- ние наименьшего значения в списке аргументов. При этом спи- сок аргументов может содержать от одного до тридцати чисел. Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения или тексты в массиве или ссылке игнорируются. Если логические значения или тексты игнорироваться не должны, то следует пользоваться функцией МИНА. Можно задавать аргументы, которые являются числами, пус- тыми ячейками, логическими значениями или текстовыми пред- ставлениями чисел. Аргументы, представляющие собой значе- ния ошибок или тексты, не преобразуемые в числа, вызывают значения ошибок. Окно данной функции аналогично окну функции МАКС, где Число 1, Число2, ... — это от 1 до 30 чисел, среди которых ищется минимальное значение. Определение наибольшего значения в списке аргументов. Функция МАКСА Синтаксис функции: МАКСА (Значение!, Значение?, ...) В отличие от функции МАКС выполняет также сравнения текстовых и логических значений, таких, как ИСТИНА и ЛОЖЬ. Список аргументов должен содержать от одного до три- дцати значений. 37
Можно задавать аргументы, которые являются числами, пус- тыми ячейками, логическими значениями или текстовыми пред- ставлениями числа. Если аргумент — массив или ссылка, учитываются только зна- чения массива или ссылки. Пустые ячейки и тексты в массиве или ссылке игнорируются. Аргументы, содержащие значение ИСТИ- НА, интерпретируются как 1 (единица), аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль). Аргументы, являющиеся значениями ошибок, приводят к ошибке. Если логические значения и тексты не должны игнори- роваться, следует пользоваться функцией МАКС. Если аргумен- ты не содержат значений, то функция МАКСА показывает ре- зультат 0 (ноль). Окно данной функции аналогично окну функции СЧЕТ, где Значение!, Значение!, ... — это от 1 до 30 значений, среди кото- рых ищется наибольшее. Определение наименьшего значения в списке аргументов. Функция МИНА Синтаксис функции: МИНА (Значение!, Значение?, ...) Определяет наименьшее значение в списке аргументов, при этом наряду с числовыми значениями выполняется сравнение текстовых и логических значений, таких, как ИСТИНА и ЛОЖЬ. Список аргу- ментов должен содержать до тридцати значений. Можно задавать аргументы, которые являются числами, пус- тыми ячейками, логическими значениями или текстовыми пред- ставлениями чисел. Если аргумент — массив или ссылка, учитываются только значения массива или ссылки. Пустые ячейки и тексты в масси- ве или ссылке игнорируются. Аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интерпретиру- ются как 1 (единица), аргументы, содержащие текст или значе- ние ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль). Аргументы, являющиеся значениями ошибок, приводят к ошибке. Если логические значения и тексты должны игнориро- ваться, следует пользоваться функцией МИН. Если аргументы не содержат значений, то функция МИНА показывает результат 0 (ноль). Окно данной функции аналогично окну функции МАКСА, где Значение!, Значение!, ... — это от 1 до 30 значений, среди которых ищется наименьшее. 38
Определение значения, отстоящего от наибольшего на К значений. Функция НАИБОЛЬШИЙ Синтаксис функции-. НАИБОЛЬШИЙ {Массив, К) Функция определяет К-е наибольшее значение'из множества данных. Эту функцию можно использовать, например, чтобы определить второй {К = 2), третий (К = 3) и т.д. результат в бал- лах, показанных при тестировании на экзамене. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.2, г): НАИБОЛЬШИЙ - Массив |B2:Q2 .. ....~ {3,52;4,25;‘-“; 1,58; . * . “Xj.« г Возвращает 1<-ое наибольшеезначение' из множестваданных. Л. К позиция (начиная с гмкю»• е массиве или _ *влдх>*- ] Значение: 4,55 ОК Отмена где Массив — массив или интервал данных, для которых определяется К-е наибольшее значение; К — позиция (начиная с наибольшей) в массиве или интервале яче- ек данных. Если и — это количество данных в массиве или интервале, то функция НАИБОЛЬШИЙ (массив; 1) определяет наиболь- шее значение, а функция НАИБОЛЬШИЙ (массив; и) опреде- ляет наименьшее значение. Если Массив пуст, то функция НАИБОЛЬШИЙ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если К меньше или равно 0 или если К больше, чем число точек данных, то функция НАИ- БОЛЬШИЙ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Определение значения, отстоящего от наименьшего на К значений. Функция НАИМЕНЬШИЙ Синтаксис функции-. НАИМЕНЬШИЙ {Массив, К) Функция определяет К-е наименьшее значение из множества данных. Эту функцию можно использовать, например, чтобы определить предпоследний {К= 2), третий от наименьшего {К = = 3) результат. 39
Окно данной функции аналогично окну функции НАИ- БОЛЬШИЙ, где Массив — массив или диапазон числовых данных, для которого определяется К-е наименьшее значение; К — это позиция (начиная с наименьшей) в массиве или ин- тервале ячеек данных. Если п — это количество данных в массиве или интервале, то функция НАИМЕНЬШИЙ (массив; 1) определяет наимень- шее значение, а функция НАИМЕНЬШИЙ (массив; п) опреде- ляет наибольшее значение. Если Массив пуст, то функция НАИМЕНЬШИЙ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если К меньше или равно 0 или К больше, чем число точек данных, то функция НАИМЕНЬШИЙ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Работу вышеперечисленных функций рассмотрим на сле- дующем примере. Пример 2.2. В условиях примера 2.1 определите: а) наибольшее значение средней заработной платы; б) наименьшее значение средней заработной платы; в) третью, от наименьшей, величину заработной платы; г) вторую, от наибольшей, величину заработной платы. Решение. 1. Сформируем таблицу исходных данных: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3,52 4.25 1,58 2,73 5,11 3,72 3,15 4 2,95 4,17 4,55 .Ср з/п, ТЫС руб 2. Выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числения ($А$3). 3. Определим наибольшее значение средней заработной платы: > вызовем Мастер функций, нажав кнопку И на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию МАКС -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции МАКС; > нажав кнопку в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим их мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции МАКС; 40
> в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 5,11 тыс. руб. Примечание. Если бы исходные данные содержали текстовые и ло- гические значения, такие, как ИСТИНА и ЛОЖЬ, то необходимо было бы использовать функцию МАКСА. 4. Определим наименьшее значение средней заработной платы: > вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию МИН -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции МИН; > нажав кнопку Э в поле Число 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим их мышью (B2:Q2). Затем, повтор- но нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции МИН; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 1,58 тыс. руб. Примечание. Если бы исходные данные содержали текстовые и ло- гические значения, такие, как ИСТИНА и ЛОЖЬ, то необходимо было бы использовать функцию МИНА. 5. Определим третью, от наименьшей, величину заработной платы: f > вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НАИМЕНЬШИЙ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НАИМЕНЬШИЙ; > нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции НАИМЕНЬШИЙ; > в поле К наберем — 3; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -» 2,95 тыс. руб. 41
6. Определим вторую, от наибольшей, величину заработной платы: > вызовем Мастер функций, ..ажав кнопку на панели инструментов; > в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НАИБОЛЬШИЙ -> ОК; > в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НАИБОЛЬШИЙ; > нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:Q2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвращаемся к окну функ- ции НАИБОЛЬШИЙ; > в поле К наберем — 2; > в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 4,55 тыс. руб. 2.3. Подсчет частот из массива данных, попадающих в заданные интервалы. Функция ЧАСТОТА Синтаксис функции'. ЧАСТОТА {Массив данных', Двоичный_ массив) Функция подсчитывает появление значений в заданном ин- тервале и может быть использована для построения интерваль- ного вариационного ряда. Для построения интервального ва- риационного ряда необходимо иметь массив данных — это мас- сив или ссылка на множество данных, для которых вычисляют- ся частоты; массив карманов (границы интервалов), где группи- руются значения массива данных. ЧАСТОТА вводится как формула массива после выделения интервала смежных ячеек, в которые нужно вернуть полученный массив распределения. ЧАСТОТА игнорирует пустые ячейки и тексты. Формулы, возвращающие массивы, должны быть введены как формулы массивов. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.3): 42
ЧАСТОТА Массив_даин'ык (агазо" Двоичный массив |В1 :ВЗ] Вдирашавт распределение частот в виде вертикального нассива. 3d * {2,5:3,2:3,3;5:4;3:б = {5:8:11:6} Двоичный_массив массив или ссылка на диапазон,, котором группируются значения д массиве_данных. где Массив_данных — массив или ссылка на множество данных, для которых вычисляются частоты. Если Массив_данных не содержит зна- чений, то функция ЧАСТОТА показывает массив нулей; Двоичный_массив — массив или ссылка на множество интервалов, в них группируются значения аргумента Массив_данных. Если Двоич- ный массив не содержит значений, то функция ЧАСТОТА показывает количество элементов в аргументе Массив данных. Количество элементов в определяемом массиве на единицу больше числа элементов в массиве Двоичный_массив. Дополни- тельный элемент в определяемом массиве содержит количество значений, больших, чем максимальное значение в интервалах. Например, при подсчете трех диапазонов значений (интерва- лов), введенных в три ячейки, убедитесь в том, что функция ЧАСТОТА возвращает значения в четырех ячейках. Дополни- тельная ячейка показывает число значений в массиве Мас- сив_данных, больших, чем значение границы третьего интервала. Пример 2.3. Постройте интервальный вариационный ряд для следующего массива данных: 2,5; 3,2; 3,3; 5,0; 4,3; 6,2; 3,9; 7,5; 9,1; 6,4; 3,8; 8,5; 7,5; 8,6; 9,4; 2,5; 0,7; 8,6; 6,3; 6,8; 7,2; 4,7; 5,8; 1,9; 2,5; 5,5; 6,3; 7,1; 8,7; 5,0 границы интервалов (массив карманов): 2,5; 5,0; 7,5. Решение. Интервальный вариационный ряд будет состоять из двух строк. В первой определены границы интервалов, затем произ- ведем подсчет значений из массива данных, попавших в задан- ные интервалы, и запишем это число. В результате получим ин- тервальный вариационный ряд (табл. 2.2). 43
Табл иц a 2.2 Интервальный вариационный рад Интервалы 0-2,5 2,6-5,0 5,1-7,5 7,6-10,0 Частота 5 8 11 6 Решим данный пример с использованием функции ЧАСТОТА. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем исходные данные в виде двух столбцов: мас- сива данных (А1:А30) и массива карманов (В1:ВЗ): А В 1 I 2.5 2,5 2 3.2 5 3 3.3 7,5 4 5.0 J5 4,3 6 6.2 ?, 3.9 8 9 7.5 9,1 10 6,4 11 3,8 12 8,5 .12 7,5 14 8,6 1? 9,4 16 2,5 17 0.7 18 8,6 19 6,3 20 6,8 .21 22 7,2 4.7 23 5,8 24 18 25 2,5 26 5,6 6,3 28 7.1 29 8.7 ет 5Д._.. 2. так как массив карманов содержит три значения, мышью выделим четыре (3+1) вертикально смежные ячейки для выво- да частот попаданий значений из массива данных в заданные интервалы (Н5:Н8); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЧАСТОТА -> ОК; 44
5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЧАСТОТА; 6. нажав кнопку 2 в поле Массив данных, перейдем на ра- бочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1: АЗО). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ЧАСТОТА; 7. нажав кнопку 53 в поле Двоичный массив, перейдем на рабочий лист с данными границ интервалов и выделим его мы- шью (В1:ВЗ). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратим- ся к окну функции ЧАСТОТА; 8. в окне функции появится результат решения. Наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод формулы массива); 9. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках Н5:Н8 появится результат вычисле- ний — число значений из массива данных, попавших в задан- ные интервалы: и е 2.4. Оценка относительного положения точки. Функция ПРОЦЕНТРАНГ Синтаксис функции: ПРОЦЕНТРАНГ {Массив', Х\ Значимость) Функция используется для оценки относительного положе- ния некоторого значения в наборе данных. Оценка проводится в относительных величинах. При этом наибольшему значению соответствует 1,0; наименьшему значению соответствует 0. Эту функцию можно, например, использовать для оценки подходящего результата тестирования среди всех полученных результатов. Если интересующий нас результат отсутствует (не соответствует ни одному из значений массива), то функция ПРОЦЕНТРАНГ проводит интерполяцию и определяет относи- тельное положение этого результата. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.4): 45
3 = 73 KJ=,3 «троцентранг W\ Массив j 62 U2 J,j = {48;56,81;45;62;73 X|/3 .—,n«——........li'»ll'.»l.l..a..,,,,..„w-.,saiM.lll»..ll Значимость (з| ................. - ж 0,631 Возвращает процентную норму значения в множестве данных Значимость необязательное значение, определяющее количество значащих цифр е возвращаемом значении процентного содержания. Значение: 0,631 где Массив — массив или интервал данных с численными значениями, который определяет относительное положение; X — значение, для которого определяется процентное содержание; Значимость — необязательное значение, определяющее коли- чество значащих цифр в определяемой величине процентного содержания значения. Если этот аргумент опущен, то функция ПРОЦЕНТРАНГ использует три цифры (0,ххх%). Если Массив пуст, то функция ПРОЦЕНТРАНГ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Значимость < 1, то функция ПРОЦЕНТРАНГ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если X не соответствует ни одному из значений аргумента Массив, то функция ПРОЦЕНТРАНГ производит интерполяцию и опреде- ляет корректное значение процентного содержания. Пример 2.4. При приеме экзаменов в вузе используется балль- ная система оценок. Максимальное количество баллов, которое может набрать абитуриент, равно 100. В группе абитуриентов по- лучены следующие результаты (табл. 2.3). Таблица 2.3 Результаты сдачи экзаменов в баллах Порядковый номер аби- туриента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Количество баллов 48 56 81 45 62 73 82 87 36 40 51 62 67 80 82 38 49 69 73 84 Определите процентный ранг значения 73. Решение. Процентный ранг определяется следующим образом. Рас- сматриваемая выборка ранжируется. Определяется ранг данного значения г. Процентный ранг рассчитывается по формуле: 46
п - г-1 Процентный ранг=---, п-1 где п — объем выборки. 13-1 Для условий задачи Процентный ранг= ——- = 0,631. Решим данный пример с использованием функции ПРО- 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числения ($А$6); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПРОЦЕНТРАНГ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПРОЦЕНТРАНГ; 6. нажав кнопку 51 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:U2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПРОЦЕНТРАНГ; 7. в поле X наберем значение 73; 8. в поле Значимость наберем значение 3; 9. в окне функции появится результат решения. После нажа- тия кнопки ОК в ячейке А6 появится результат расчета — 0,631. 2.5. Определение величины, соответствующей ее относительному положению. Функция ПЕРСЕНТИЛЬ Синтаксис функции'. ПЕРСЕНТИЛЬ (Массив', К) Функция используется для определения некоторого значения из набора данных, соответствующего заданному относительному положению этого значения. Набор данных должен содержать не 47
более 8191 значений. Если число к не кратно величине ----------------------, п-1 где и — общее число значений в наборе данных, то функция ПЕРСЕНТИЛЬ производит интерполяцию для определения значения к-й переменной, к — значение персентиля в интервале от 0 до 1 включительно. Эта функция может быть использована, например, для определения границы изменяемости значений из набора данных, причем наименьшее значение имеет персентиль О, наибольшее значение — 1. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.5): 1ПЬни±1]ИЛЬ ------ -- ! Массив |B2:U2 " 5] » {43;56;81;45;62;73. = 0,6 « 70,6 Возвращает k-ую персентиль для значений диапазона. К значение гчосеитипя в интес®э w от 0 до I •» поччтвлме. Значение:70,6 где Массив — массив или интервал данных с численными значениями, определяющий относительное положение; К — значение персентиля в интервале от 0 до 1 включительно. Если Массив пуст или содержит более 8191 точек данных, то функция ПЕРСЕНТИЛЬ показывает значение ошибки #ЧИС- Л О! Если К не является числом, то функция ПЕРСЕНТИЛЬ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если К меньше 0 или К больше 1, то функция ПЕРСЕНТИЛЬ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 2.5. В условиях примера 2.4 принято решение при- нимать в вуз тех абитуриентов, которые набрали количество баллов, превышающее 60-й персентиль (К = 0,6). Определите количество баллов, соответствующее этому персентилю. Решение. Вначале определим процентранг для каждого значения (бал- ла) и выберем значения, у которых процентранг больше и меньше заданного к — 0,6:69->0,578, 73->0,631; используя ли- 48
нейную интерполяцию, определим количество баллов, соответ- ' ствующее заданному персентилю: Количество баллов = 69+—————(0,6-0,578) = 70,6. 0,631-0,578 Решим данный пример с использованием функции ПЕР- СЕНТИЛЬ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем исходные данные в виде таблицы: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числения ($А$6); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПЕРСЕНТИЛЬ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПЕРСЕНТИЛЬ; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:U2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПЕРСЕНТИЛЬ; 7. в поле К наберем значение 0,6; 8. в окне функции появится результат решения. После нажа- тия кнопки ОК в ячейке А6 появится результат расчета — 70,6. 2.6. Определение числа перестановок. Функция ПЕРЕСТ Синтаксис функции'. ПЕРЕСТ ( Число; Выбранноечисло) Соединения, каждое из которых содержит к различных эле- ментов к < п, взятых из совокупности элементов объема п, от- личающихся друг от друга или составом элементов, или их по- рядком, называются перестановками (размещениями) из п эле- ментов по А: в каждом. Число таких перестановок обозначается Рк п (Р*) и определяется по формуле: 49
(2.1) nl Рк,„ = 7~Г, = *<" ~ Ж" - 2)-<и - к + ’ (и-*)! Соединения, в каждое из которых входили все п элементов рассматриваемой совокупности к = п и которые отличаются друг от друга только порядком элементов, также являются переста- новками из п элементов. Число таких перестановок „ и! . Р„ =--------------------------= л! (и-и)! Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.6): (2.2) где Число — целое число, задающее количество объектов; Выбранное.число — целое число, задающее количество объектов в каждой перестановке. Оба аргумента усекаются до целых. Если Число или Выбранжкчисло не являются числом, то функ- ция ПЕРЕСЕ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Число <= О или Выбранноечисло < 0, то функция ПЕРЕСЕ показывает значе- ние ошибки #ЧИСЛО! Если Число < Выбранноечисло, то функция ПЕРЕСЕ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 2.6. На девяти карточках записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Берут четыре карточки и составляют из цифр, запи- санных на них, четырехзначное число. Сколько различных че- тырехзначных чисел можно составить таким образом? Решение. Всего различных комбинаций из четырех карточек можно составить столько, сколько существует перестановок из 9 эле- ментов по 4: 50
IP? =—— = 9-8-7-6 = 3024. (9-4)! Решим данный пример с использованием функции ПЕРЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числения ($А$1); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПЕРЕСТ -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПЕРЕСТ; 5. в поле Число наберем значение 9 (число карточек); 6. в поле Выбранное_число наберем значение 4; 7. в окне функции появится результат решения. После нажа- тия кнопки ОК в ячейке А1 появится результат расчета — 3024. 2.7. Определение ранга числа в списке чисел. Функция РАНГ Синтаксис функции'. РАНГ {Число', Ссылка', Порядок) Ранг числа — это его величина относительно других значе- ний в списке чисел. Если список чисел отсортировать, то ранг числа будет его позицией в этом списке. Список чисел может быть отсортирован в порядке возраста- ния и в порядке убывания. Для этого в функцию РАНГ вводит- ся число, которое носит название «порядок», и это число опре- деляет способ упорядочения. Если «порядок» равен нулю или опущен, то Excel отсортировывает список в порядке убывания, если «порядок» отличен от нуля, то список сортируется в по- рядке возрастания. РАНГ присваивает повторяющимся числам одинаковый ранг. Однако наличие повторяющихся чисел влияет на ранг по- следующих чисел. Например, для списка целых, если число 10 появляется дважды и имеет ранг 5, то число 11 будет иметь ранг 7 (и никакое число не будет иметь ранг 6). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 2.7): 51
ГАНГ —*..................................................... ................ -a ............. Число |B2:U2 = 48 Ссылка |b2:U2 .*\j » {48j56;81;4S;62;73. ...*............... Порядок |o| 2j = no»b = 16 Возвращает ранг числа в списке чисел; его йорядкоей номер относительно других чисел В списке. Порядок число, определяющее способ округления. 3 ; Значение 16 j ОК | д Отмена где Число — число, для которого определяется ранг; Ссылка — это массив или ссылка на список чисел. Нечисловые значения в ссылке игнорируются; Порядок — это число, определяющее способ упорядочения. Пример 2.7. В условиях примера 2.3 провести ранжирование полученного ряда в порядке убывания. Решение. В результате ранжирования получим следующий ранжиро- ванный ряд (табл. 2.4). Т а б л и ц а 2.4 Ранжированный ряд № абитуриента 1 2 3 4 ' 5 6 7 8 9 10 Количество баллов 48 56 81 45 62 73 82 87 36 40 РАНГ 16 13 5 17 11 7 3 1 20 18 Окончание табл. 2.4 № абитуриента 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Количество баллов 51 62 67 80 82 38 49 69 73 84 РАНГ 14 11 10 6 3 19 15 9 7 2 Решим данный пример с использованием функции РАНГ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем исходные данные в виде таблицы:
2. выберем диапазон, в который будет выведен результат вы- числений (B5:U5); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию РАНГ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции РАНГ; 6. нажав кнопку 53 в поле Число, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:U2). Затем, по- вторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции РАНГ; 7. нажав кнопку Э в поле Ссылка, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:U2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции РАНГ; 8. в поле Порядок наберем значение 0 (Excel отсортировыва- ет список в порядке убывания рангов); 9. наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод формулы массива); 10. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках B5:U5 появится результат вычислений — список рангов для количества баллов каждого абитуриента: Примечание. Как было отмечено ранее, функция РАНГ присваивает повторяющимся числам одинаковый ранг. Однако наличие повторяю- щихся чисел влияет на ранг последующих чисел. В нашем примере число 82 появилось дважды и имеет ранг 3, тогда число 81 имеет ранг 5 (и никакое число не имеет ранг 4). 53
3. Определение характеристик положения 3.1. Вычисление среднего. Функции СРЗНАЧ, СРЗНАЧА, СРГЕОМ, СРГАРМ, УРЕЗСРЕДНЕЕ Вычисление среднего арифметического значения. Функция СРЗНАЧ Синтаксис функции'. СРЗНАЧ(Число!, Число2, ...) Среднее арифметическое значение определяется по формуле: X - 1 п п1=\ (3.1) где п — число значений; х, — значения величин, для которых рассчитывается среднее (apiy- менты). Если аргумент функции является массивом или ссылкой и содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются, однако, ячейки, содержащие ну- левые значения, учитываются. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 3.1): СРЗНДЧ. Число! 1а1.К1| ~ 3 ’ (3;4;4;5; ;3;5; Л';. Чнсло2| ~ ' 3 ** ... — 3,9 ... Воясашае' среднее (арифметическое) своих аргументов, которые могут быть числами или именами, масс .вами или ссылками на ячейки с числами. Число!: чисЛо!;число2;... от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее. Значение:3,9 где Число!, Число!, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется среднее. Пример 3.1. Имеются данные о баллах, набранных студентами на экзамене: 3; 4; 4; 5; 3; 3; 5; 3; 5; —; 4. Определите средний балл. 54
Решение. 1 " 1 х = — У х, = —(3 + 4 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 3 + 5 + 4) = 3,9. м ТУ 10 Решим данный пример с использованием функции СРЗНАЧ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных (в ячейке Л введен дефис вместо числа): 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку & на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СРЗНАЧ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СРЗНАЧ; 6. нажав кнопку 3 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СРЗНАЧ; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 3,9 (функция СРЗНАЧ дефис в ячейке Л проигнорировала). Вычисление среднего арифметического значения. Функция СРЗНАЧА Синтаксис функции'. СРЗНАЧА (Значение!, Значение?, ...) Среднее арифметическое значение определяется по формуле (3.1). При использовании этой формулы кроме чисел в расчете могут участвовать текст и логические значения, такие, как ИС- ТИНА и ЛОЖЬ. Аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками. Массивы и ссылки, содержащие текст, интерпретируются как 0 (ноль). Пустой текст интерпретируется тоже как ноль.
Аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интерпретиру- ются как 1 (единица), а содержащие значение ЛОЖЬ, интерпре- тируются как 0 (ноль). Окно данной функции аналогично окну функции СРЗНАЧ, где Значение!, Значение?, ... — от 1 до 30 ячеек, интервалов яче- ек или значений, для которых вычисляется среднее. При решении примера 3.1 с использованием функции СРЗНА- ЧА результат будет отличен от результата функции СРЗНАЧ. Сред- нее арифметическое будет равно 3,55, так как дефис интерпретиро- вался как 0. Вычисление среднего геометрического значения. Функция СРГЕОМ Синтаксис функции: СРГЕОМ(Число 1, Число2, ...) Среднее геометрическое — одна из форм средней величины. Вычисляется как корень и-й степени из произведения отдель- ных значений — вариантов признака х(: х = <(]х1-х2-...-х„ , (3.2) где п — число значений признака; х, — значения признака. Среднее геометрическое, в частности, применяется в стати- стических расчетах при исчислении средних темпов роста. При использовании данной функции аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, являющийся массивом или ссылкой, содер- жит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются, но ячейки с нулевыми значениями учитываются. Окно данной функции аналогично окну функции СРЗНАЧ, где Число!, Число?, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется среднее геометрическое. Можно использо- вать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяе- мых точкой с запятой. Пример 3.2. Имеются данные о темпах роста производства продукции. Год 1990 1991 1992 1993 1994 Темп роста — 1,111 1,078 1,075 1,094 56
Определите средний темп роста производства за 1990— 1994 годы. Решение. Средний темп роста определим как среднюю геометриче- скую по формуле (3.2): ТР = 3/1,111-1,078-1,075 1,094 = 1,089 (108,9%). Решим данный пример с использованием функции СРГЕОМ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: I I Год 1990 1991 1992 1993 1994 дТемп роста) - 1,111 1,078 1,075 1,094 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку В на панели инструментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СРГЕОМ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СРГЕОМ; 6. нажав кнопку Э в поле Число!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2:F2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СРГЕОМ; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 1,089 (функция СРГЕОМ дефис в ячейке В2 проигнорировала). Вычисление среднего гармонического значения. Функция СРГАРМ Синтаксис функции-. СРГАРМ (Число!, Число2, ...) Среднее гармоническое — одна из форм средней величины. Вычисляется из обратных значений признака по формуле сред- ней гармонической невзвешенной: 57
где-----обратные значения вариантов признака; х, и — число вариантов. Среднее гармоническое всегда меньше среднего геометриче- ского, которое всегда меньше среднего арифметического. При использовании данной функции аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками, содержащи- ми числа. Если аргумент, представляющий собой массив или ссылку, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются, но ячейки с нулевыми значения- ми учитываются. Если любая из точек данных меньше или равна 0, то функ- ция СРГАРМ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Окно данной функции аналогично окну функции СРЗНАЧ, где Число1, Число!, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется среднее гармоническое. Можно использо- вать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяе- мых точкой с запятой. Пример 3.3. Имеется три одинаковых участка для выращива- ния пшеницы, на которых урожайность составила 22, 26 и 30 ц/га соответственно. Определите среднюю урожайность. Решение. Среднюю урожайность вычислим по формуле средней гар- монической невзвешенной (3.3): 3 х = —-------— = 25,862 ц/га. ---}---j-- 22 26 30 Решим данный пример с использованием функции СРГАРМ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: — т _ 1 |22 рб |30 | 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ** на панели ин- струментов; 58
4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СРГАРМ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СРГАРМ; 6. нажав кнопку Э в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:С1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СРГАРМ; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 25,862. Вычисление среднего без крайних экстремальных значений. Функция УРЕЗСРЕДНЕЕ Синтаксис функции'. УРЕЗСРЕДНЕЕ (Массив, Процент) Эта функция используется в тех случаях, когда необходимо исключить из анализа выбросы (крайние экстремальные значе- ния). Для исключения крайних значений задается доля (про- цент) значений, исключаемых из вычислений. При этом коли- чество отбрасываемых значений округляется до ближайшего це- лого числа, кратного 2. Значения, не включаемые в обработку, отбрасываются из начала и конца множества (наибольшие и наименьшие значения). Среднее вычисляется из числа остав- шихся значений по формуле (3.1). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 3.4): Массив |д1:01 Процент |д2 jyvv ' У'С \ . .Возвращает среднее внутренней части множества данных. 48,73076923 Процент дробное число точек данных, исключаемых из вычислений. где Массив — массив или интервал усредняемых значений; Процент — доля точек данных, исключаемых из вычислений. На- пример, если Процент = 0,2, то 4 точки исключаются из множества 59
данных, содержащих 20 точек (20 • 0,2), 2 точки с наибольшими зна- чениями и 2 точки с наименьшими значениями в множестве данных. Если Процент меньше 0 или Процент больше 1, то функция УРЕЗСРЕДНЕЕ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Процент = 0,1, то 10 процентов от 30 точек данных составляют 3 точки, но из соображений симметрии функция УРЕЗСРЕДНЕЕ исключит по одному значению из начала и конца множества. Пример 3.4. Имеются данные о скорости автомобилей на од- ном из участков дороги (км/ч): 38,7; 45,6; 53,6; 52,7; 50,3; 49,6; 48,7; 51,2; 46,7; 47,6; 48,1; 50,1; 49,2; 43,6; 50,1. Определите среднюю скорость автомобилей, исключив 20% экстремальных значений. Решение. Всего получено 15 значений скорости. 20% составляют 3 значения. Значит, необходимо исключить из обработки одно наибольшее (53,6) и одно наименьшее (38,7) значения. По ос- тавшимся результатам вычислим среднее по формуле (3.1): х = — (45,6 + 52,7 + 50,3 + 49,6 + 48,7 + 51,2 + 46,7 + 47,6 + 48,1 + 50,1 + 13 + 50,1 + 49,2+ 43,6+ 50,1) = 48,73 км/ч. Решим данный пример с использованием функции УРЕЗ- СРЕДНЕЕ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку Я на панели инструментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию УРЕЗСРЕДНЕЕ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции УРЕЗСРЕДНЕЕ; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:О1). За- 60
тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции УРЕЗСРЕДНЕЕ; 7. в поле Процент введем долю точек данных, исключаемых из вычислений, равную 0,2; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 48,7. 3.2. Определение моды в интервале данных или массиве. Функция МОДА Синтаксис функции. МОДА (Число 1, Число2, ...) Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого призна- ка, повторяющееся с наибольшей частотой. При использовании данной функции аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками, содержащи- ми числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются, но ячейки с нулевыми значения- ми учитываются. Если количество данных (значение признака) не содержит одинаковых значений, то функция МОДА выдает значение ошибки #Н/Д. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 3.5): Бо тарой, авт значение моды множестве данных,, Число1:число1;число2;... от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется мода. Значение^ ОК | Отмена | где Число1, Число!, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется мода. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. 61
Пример 3.5. Рабочие бригады, состоящей из восьми человек, имеют следующие тарифные разряды: 4; 3; 4; 3; 3; 6; 2; 6. Опре- делите моду. Решение. Так как в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, то этот тарифный разряд и будет модальным: Мо= 3. Решим данный пример с использованием функции МОДА. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: Bw A ; Е" * F l-GTH '1 HI 41 3| 4] з].~3| .6| 2| б| 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$3); f 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку Л на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию МОДА -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции МОДА; 6. нажав кнопку 3 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Н1). Затем, по- вторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции МОДА; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 3. 3.3. Определение медианы. Функция МЕДИАНА Синтаксис функции: МЕДИАНА {Число 1, Число2, ...) Медиана {Me) — это значение признака, приходящееся на се- редину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Другими словами, медиана — число, которое является серединой множест- ва чисел. При этом половина чисел имеет большие значения, чем медиана, половина чисел — меньшие значения, чем медиана. При использовании данной функции аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками, содержащи- ми числа. Все другие игнорируются. 62
Если в рассматриваемом массиве четное количество чисел, то медиана определяется как среднее двух чисел, находящихся в середине рассматриваемого ряда. Окно данной функции аналогично окну функции МОДА, где Число1, Число!, ... — от 1 до 30 чисел, для которых определяет- ся медиана. Пример 3.6. В условиях примера 3.5 определите медиану. Решение. Для определения медианы надо провести ранжирование рас- сматриваемой совокупности: 2; 3; 3; 3; 4; 4; 6; 6. Так как в массиве четное количество чисел, то медиана оп- ределяется как среднее двух чисел, находящихся в середине ранжированного ряда — 3 и 4, Me = 3,5. Решим данный пример с использованием функции МЕ- ДИАНА. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ** на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию МЕДИАНА -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции МЕДИАНА; 6. нажав кнопку 5] в поле Число 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Al: Н1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции МЕДИАНА; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 3,5. 3.4. Определение квартилей. Функция КВАРТИЛЬ Синтаксис функции'. КВАРТИЛЬ (Массив, Значение) 63
Квартили (Q) представляют собой значения признака, деля- щие ранжированную совокупность на четыре равновеликие час- ти. Различают квартиль нижний (первый) Q\, отделяющий % часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (третий) ft, отсекающий !4 часть с наиболь- шими значениями признака. Средним (вторым) квартилем ft является медиана. Эго означает, что 25% единиц совокупности бу- дут меньше по величине Qi; 25% единиц будут заключены между Q1 и ft; 25% — между (Ь и ft; остальные 25% превосходят ft. Квартили вариационного ряда Х(р, х<2), —> хм объемом п вы- числяются по формуле: ft = X(nq) + (1 - q)(X(nq + i, - Xnq), (3.4) где q = 0,25 для ft; q = 0,5 для ft; q = 0,75 для ft; n • q — целое число. Если n • q — дробь, то Qq = X([nq] + 1), (3.5) где [nq] — целая часть числа п • q. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 3.7): где Массив — массив или интервал ячеек с числовыми значениями, для которых определяются значения квартилей; Значение — значение, которое необходимо определить. Если Массив пуст или содержит более 8191 точек данных, то функция КВАРТИЛЬ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Значение не целое, то оно усекается. Если Значение мень- ше 0 или Значение больше 4, то функция КВАРТИЛЬ показыва- ет значение ошибки #ЧИСЛО! 64
Пример 3.7. Имеется выборка из генеральной совокупности объемом и = 12: 3,7; 4,3; 6,2; 6,3; 6,6; 7,2; 8,3; 8,4; 9,1; 9,3; 9,9; 10,2. Определите квартили данной выборки. Решение. G1 = 6,2 + (1 - 0,25)(6,3 - 6,2) = 6,275 (пд = 3); 02 = 7,2 + (1 - 0,5)(8,3 - 7,2) = 7,75 (пд = 6); Q1 = 9,1 + (1 - 0,75)(9,3 - 9,1) = 9,15 (пд = 9). Решим данный пример с использованием функции КВАРТИЛЬ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: < А I В С D , Е , F G н , I J К : М ij ЗД 4,з| 6,2) 6,з] 6,б| 7,2| 8,з] 8,4] 9,11 9,3] Ю,2| 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КВАРТИЛЬ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КВАРТИЛЬ; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Al: L1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КВАРТИЛЬ; 7. в поле Значение введем число 1 для расчета первого квартиля; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 6,275. Примечание. Для расчета второго и третьего квартиля необходимо снова вызвать функцию КВАРТИЛЬ, но в поле Значение ввести числа 2 и 3 соответственно. Результат вычислений будет аналогичен решению примера 3.7. Если в поле Значение ввести числа 0 и 4, то результатом вычислений будут наименьшее и наибольшее значения выборки соот- ветственно (3,7 и 10,2). 3 Статистические функции в экономико- статистических пасчстах
4. Определение характеристик рассеивания 4.1. Определение среднего линейного отклонения. Функция СРОТКЛ Синтаксис функции'. СРОТКЛ (Число 1, Число2, ...) Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант х, от средней х: — 1 " п 1=1 (4.1) где п — объем выборки; X/ — значения выборки; - 1 <7 X = — у Xt — среднее выборки. И ,=1 При использовании функции аргументы должны быть чис- лами, именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, содержащие ну- левые значения, учитываются. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 4.1): те™ "--------- Число! jAl Jll - {37;39;3S;33;31;38. Число2 Г* * .............................. » 4,2 &ззор,5и.ввт среднее абсолютных значений отклонений точек данныхот среднего. Аргументами могут являться числа, имена, массивыйли Ссылки на ячейки с числами. Число!: Число1;число2;... от ! ДО 30 аргунентог, для которых '.юредёляетсЗ среднее аосоло’-ньг отклонений. С?) .Значение:*,2 | ОК | Отмена | где Число!, Число2, ... — от 1 до 30 аргументов, для которых определя- ется среднее абсолютных отклонений. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. 66
Пример 4.1. Имеется выборка объемом п — 10: 37; 39; 35; 33; 31; 38; 42; 45; 47; 43. Определите среднее ли- нейное отклонение. Решение. Вычислим среднее выборки: х = —(37+ 39+ 35+ 33 + 31+ 38+ 42+ 45 +47+ 43) = 39 . Определим среднее линейное отклонение: J = -L[|37-39| + |39-39|+|35-39|+...+|43-39|] = 4,2. Решим данный пример с использованием функции СРОТКЛ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: МЧ^ч AJ в . ТсЗЕ'р.OEEgLG 1 1 I • J t 37Д 39| 35| 33| 311 38| 42| 45| 47 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку UL на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СРОТКЛ -> ОК; 5. В левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СРОТКЛ; 6. Нажав кнопку Э в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СРОТКЛ; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 4,2. 4.2. Определение суммы квадратов отклонений. Функция КВАДРОТКЛ Синтаксис функции: КВАДРОТКЛ (Число1, Число2, ...) Сумма квадратов отклонений определяется по формуле: J2=f(x,-x)2, (4.2) i=i где х, — значения выборки; з* 67
_ 1 Л х = —У'х, — среднее выборки. «(=1 При использовании функции аргументы должны быть чис- лами, именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, содержащие ну- левые значения, учитываются. Сумма квадратов отклонений как самостоятельная величина не используется для характеристики или анализа выборки, но может быть использована в дальнейшем для вычисления дис- персии, среднего квадратического отклонения и других величин. Окно данной функции аналогично окну функции СРОТКЛ, где Число1, Число2,... — от 1 до 30 аргументов, для которых определя- ется сумма квадратов отклонений. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. Пример 4.2. По данным примера 4.1 вычислить сумму квад- ратов отклонений. Решение. (Р = (37 - 39)2 + (39 - 39)2 + (35 + 39)2 +...+ (43 - 39)2 = 246. Решим данный пример с использованием функции КВАД- РОТКЛ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: А I в с D J:№.F с- г.н I . J ' . Г| 37Д 39] 35[33] 31Г 381 42| 45]47| 43| 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку h на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КВАДРОТКЛ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КВАДРОТКЛ; 6. нажав кнопку -3 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КВАДРОТКЛ; 68
7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 246. 4.3. Вычисление дисперсии. Функции ДИСП ДИСПА, ДИСПР, ДИСПРА Вычисление несмещенной оценки дисперсии. Функция ДИСП Синтаксис функции: ДИСП (Число1, Число2, ...) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений зна- чений признака от средней величины и характеризует рассеивание случайной величины относительно среднего (математического ожи- дания). Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формулам: 1 Л S2=52=J-S(XI.-X)2, или 4>2-(Z»2 S2=O2=-^-----------, п(и-1) где и — объем выборки; х,- — значения выборки; 1 ” х = — Jj^x, — среднее выборки. (4.3) (4.4) Аргументами данной функции являются только числа. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 4.3): дисл •_....................................., Число! ]A1:J1 *У “ {1345;13<Л,!36в;!; числог|........* ” ~*Ук> -754,2666667 Оценивает дисперсию по’еьйоркеХдйгйческие значения и текст игнорируются). ’ > - t Чисяо1: число1;число2.;... йт 1 до 30 числовых аргументов, ".соотмтстеуюшях выборке из. совокупности. ~! 1^| . Зиачение;7Я,3 | ОК | Отмена | где Число1, Число!, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, соответст- вующих выборке из генеральной совокупности. 69
ДИСП предполагает, что определяется несмещенная оценка генеральной дисперсии. Если требуется определить выборочную смещенную оценку дисперсии, то используют функцию ДИСПР. Логические значения, такие, как ИСТИНА или ЛОЖЬ, а также текст, игнорируются. Если они не должны игнорироваться, необ- ходимо использовать функцию ДИСПА. Пример 4.3. Из деталей, изготовленных на одном станке, вы- браны наугад 10 штук и испытаны на излом. Получены следую- щие результаты (кг): 1345; 1301; 1368; 1322; 1310; 1370; 1318; 1350; 1303; 1299. Оцените дисперсию сопротивления деталей на излом. Решение. Вычислим среднее значение сопротивления на излом: ЗЕ = ^(1345+ 1301+ 1368+ ... + 1299) = 1328,6 кг. Вычислим дисперсию по формуле (4.3): s* 2 3 4 5 6 7 = |[(1345-1328,6)2 +(1301-1328,6)2 +... + (1299-1328,6)2]= 754,3 кг2. Решим данный пример с использованием функции ДИСП. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: , Д 1, Б С . I 1 I 1345111301] 1368|1322| 1310| 13TO|1318| 1350| 1303] 1299 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели инструментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ДИСП -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ДИСП; 6. нажав кнопку 3 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ДИСП; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 754,3. 70
Вычисление несмещенной оценки дисперсии. Функция ДИСПА Синтаксис функции'. ДИСПА (Значение!, Значение2, ...) Дисперсия вычисляется по формулам (4.3) или (4.4), но в расчетах помимо числовых значений учитываются текстовые и логические значения. При этом аргументы, содержащие значе- ние ИСТИНА, интерпретируются как 1 (единица), а аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как О (ноль). Если текст и логические значения должны игнориро- ваться, следует использовать функцию ДИСП Окно данной функции аналогично окну функции ДИСП, где Значение!, Значение!, ... — от 1 до 30 аргументов, соответст- вующих выборке из генеральной совокупности. ДИСПА предполагает, что определяется несмещенная оценка генеральной дисперсии. Если требуется определить выборочную смещенную оценку дисперсии, то используют функцию ДИСПРА. Вычисление выборочной дисперсии. Функция ДИСПР Синтаксис функции: ДИСПР (Число!, Число2, ...) Если предполагается вычисление выборочной дисперсии, смещенной оценки дисперсии генеральной совокупности ст2, то используются следующие формулы: 52=о2=-У(х/-3?)2, (4.5) n J=i или где п — объем выборки; х, — значения выборки; _ 1 « х = —Ух, — среднее выборки. «,=1 Логические значения, например ИСТИНА и ЛОЖЬ, а также текст игнорируются. Если они не должны игнорироваться, ис- пользуют функцию ДИСПРА. ДИСПР предполагает, что определяется смещенная оценка дисперсии. Если требуется определить исправленную, несмещен- ную оценку дисперсии, то следует использовать функцию ДИСП. 71
Окно данной функции аналогично окну функции ДИСП, где Число1, Число2, ... — от 1 др 30 числовых аргументов, соответ- ствующих генеральной совокупности. Пример 4.4. Воспользуемся данными примера 4.3 и опреде- лим выборочную дисперсию. Решение. х = 1328,6 кг; s2 = -L [(1345-1328,6)2 +(1301-1328,6)2 + ...+(1299-1328,6)2]= = 678,84 кг2. Решим данный пример с использованием функции ДИСПР. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: А 1 в Нс' J . L Е 11 1345013011 13563322 1310 ГН/ 7з7б|131еГ135б ИЗ 1303 1299] 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ж на панели инструментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ДИСПР -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ДИСПР; 6. нажав кнопку 31 в поле Чисто 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). Затем, по- вторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ДИСПР; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 678,84. Вычисление выборочной дисперсии. Функция ДИСПРА Синтаксис функции: ДИСПРА (Значение!, Значение 2, ...) Дисперсия вычисляется по формулам (4.5) или (4.6), но в рас- четах помимо числовых значений учитываются текстовые и логи- ческие значения. При этом аргументы, содержащие значение ИС- ТИНА, интерпретируются как 1 (единица), а аргументы, содержа- щие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль). 72
Окно данной функции аналогично окну функции ДИСПА, где Значение!, Значение!, ... — от 1 до 30 аргументов, соответст- вующих генеральной совокупности. ДИСПРА предполагает, что определяют смещенную оценку дисперсии. Если требуется определить исправленную, несмещен- ную оценку дисперсии, то следует использовать функцию ДИСПА. Если текст и логические значения должны игнорироваться, следует использовать функцию ДИСПР. 4.4. Вычисление стандартного (среднего квадратического) отклонения. Функции СТАНДОТКЛОН, СТАНДОТКЛОНА, СТАНДОТКЛОНП, СТАНДОТКЛОНПА Вычисление исправленной оценки стандартного (среднего квадратического) отклонения по выборке. Функция СТАНДОТКЛОН Синтаксис функции'. СТАНДОТКЛОН {Число 1, Число2, ...) Стандартное (среднее квадратическое) отклонение характе- ризует рассеивание случайной величины относительно центра распределения (средней величины). Исправленная оценка стандартного (среднего квадратическо- го) отклонения по выборке определяется по формуле: 5 = 6 = р— Х(х, -х)2 , (4.7) или 4>2-о»2 /1_______ и(п-1) (4-8) где п — объем выборки; х, — значения выборки; _ 1 " х = —Ух, — среднее выборки. «ы Аргументами данной функции являются только числа. СТАНДОТКЛОН предполагает, что определяется исправлен- ная оценка стандартного отклонения. Если требуется определить 73
выборочное стандартное отклонение, то следует использовать функцию СТАНДОТКЛОНП. Логические значения, такие, как ИСТИНА или ЛОЖЬ, а также текст игнорируются. Если текст и логические значения игнорироваться не должны, следует использовать функцию СТАНДОТКЛОНА. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 4.5): где Число1, Число!, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, соответст- вующих выборке из генеральной совокупности. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. ! Пример 4.5. По условиям примера 4.3 определите исправ- ленную оценку стандартного отклонения по выборке. Решение. Вычисление проведем по формуле (4.7) или (4.8), в результа- те получим 5 = 6 = 7754,3 = 27,46 кг. Решим данный пример с использованием функции СТАН- дотклон. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ® на панели инструментов; 74
4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СТАНДОТКЛОН -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СТАНДОТКЛОН; 6. нажав кнопку 3 в поле Число!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СТАНДОТКЛОН; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 27,46. * Вычисление исправленной оценки стандартного (среднего квадратического) отклонения по выборке. Функция СТАНДОТКЛОНА Синтаксис функции'. СТАНДОТКЛОНА {Значение!, Значение2, ...) Исправленная оценка стандартного (среднего квадратического) отклонения вычисляется по формулам (4.7) или (4.8), но в расчетах помимо числовых значений учитываются текстовые и логические значения. При этом аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интерпретируются как 1 (единица), а аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль). СТАНДОТКЛОНА предполагает, что определяется исправ- ленная оценка стандартного отклонения. Если определяется вы- борочное стандартное отклонение, то следует использовать функцию СТАНДОТКЛОН ПА. Если текст и логические значения должны игнорироваться, следует использовать функцию СТАНДОТКЛОН. Окно данной функции аналогично окну функции СТАН- ДОТКЛОН, где Значение!, Значение!, ... — от 1 до 30 аргумен- тов, соответствующих выборке из генеральной совокупности. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргу- ментов, разделяемых точкой с запятой. Вычисление выборочного стандартного (среднего квадратического) отклонения. Функция СТАНДОТКЛОНП Синтаксис функции. СТАНДОТКЛОНП {Число!, Число2, ...) Если предполагается вычисление выборочного стандартного (среднего квадратического) отклонения, то используются формулы 75
ИЛИ S = G= -X)2 , V«,=l (4-9) (4.10) где n — объем выборки; Xj — значения выборки; 1 " x = -Ух, — среднее выборки. «<=1 Аргументами данной функции являются только числа. СТАНДОТКЛОНП предполагает, что определяется выбороч- ное стандартное отклонение. Если требуется определить исправ- ленную оценку стандартного отклонения, то следует использо- вать функцию СТАНДОТКЛОН. Для больших выборок СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП приводят к примерно равным значениям. Логические значения, такие, как ИСТИНА или ЛОЖЬ, а также текст игнорируются. Если текст и логические значения иг- норироваться не должны, следует использовать функцию СТАН- ДОТКЛОНА. Окно данной функции аналогично окну функции СТАН- ДОТКЛОН, где Число1, Число2, ... — от 1 до 30 числовых аргу- ментов, соответствующих генеральной совокупности. Можно ис- пользовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, раз- деляемых точкой с запятой. Пример 4.6. По условию примера 4.4 определите выборочное стандартное (среднее квадратическое) отклонение. Решение. Вычисление проведем по формуле (4.9) или (4.10), в резуль- тате получим 5 = 0 = ^678,84 = 26,05 кг. Решим данный пример с использованием функции СТАН- ДОТКЛОНП. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 76
I A | В C D J'E'j F G j H J j J 1 I 134511301 [ 1368|1322| 1310| 137O|1318|135O| 130зГ1299| 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку f* на панели инструментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СТАНДОТКЛОНП -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СТАНДОТКЛОНП; 6. нажав кнопку 53 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СТАНДОТКЛОНП; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 26,05. Вычисление выборочного стандартного (среднего квадратического) отклонения. Функция СТАНДОТКЛОНПА Синтаксис функции'. СТАНДОТКЛОНПА (Значение!, Значе- ние2, ...) Стандартное (среднее квадратическое) отклонение определя- ется по формулам (4.9) или (4.10), но в расчетах помимо число- вых значений учитываются текстовые и логические значения. При этом аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интер- претируются как 1 (единица), а аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль). СТАНДОТКЛОНПА предполагает, что определяется выбо- рочная оценка стандартного отклонения. Если определяется ис- правленная оценка стандартного отклонения, то следует исполь- зовать функцию СТАНДОТКЛОНА. Если текст и логические значения должны игнорироваться, следует использовать функцию рабочего листа СТАНДОТКЛОНП. Для больших выборок СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТ- КЛОНПА приводят к примерно равным значениям. Окно данной функции аналогично окну функции СТАН- ДОТКЛОНА, где Значение!, Значение!, ... — от 1 до 30 аргумен- тов, соответствующих генеральной совокупности. Можно ис- 77
пользовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. 4.5. Определение асимметрии распределе- ния. Функция СКОС Синтаксис функции: СКОС (Число 1, Число2,...) Асимметрия характеризует степень асимметричности распре- деления относительно среднего. Положительная асимметрия ука- зывает на преобладание в распределении положительных откло- нений от среднего. Отрицательная асимметрия указывает на пре- обладание в распределении отрицательных отклонений от средне- го (рис. 4.1). Коэффициент асимметрии определяется по формуле: „ f ~Ч3 п Л ( х, - х 1 (n-l)(n-2)£ClJ ’ (4.11) где п — объем выборки; Xj — значения выборки; 1 ” х = —Yx,- — среднее выборки; «и 11" 2 V«-U1 — стандартное отклонение выборки. Принято считать, что асимметрия выше {0,5} считается значи- тельной, а меньше |0,25| — незначительной. Асимметрия симмет- ричного распределения равна нулю (нормальное, Стьюдента и др.). 78
д Аргументами данной функции могут быть числа, имена, мас- сивы или ссылки, содержащие только числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то т|акие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются, | Если имеется менее трех точек данных или стандартное от- клонение равно нулю, то функция СКОС показывает значение ошибки #ДЕЛ/0! Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 4.7): \ где Число1, Число2, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется асимметричность. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, ] разделяемых точкой с запятой. Пример 4.7, Имеются данные об урожайности зерновых на различных посевных площадях (ц/га): 35; 27; 32; 18; 30; 39; 24; 28; 31; 21. Определите асимметрию данного распределения. Решение. Величину асимметрии определим по формуле (4.11). Предва- рительно определим: л = 10; х = 28,5; 5 = 6,35. I ( 10 [735-28,5? У27-28,5? t (21-28,5? s (10-1)(10-2) V 6,35 J + 6,35 J + ” + ( 6,35 J = -0,098. :арактеру асимметрии. Полученный результат свидетельствует о незначительной по величине и отрицательной по Решим данный пример с использованием функции СКОС. Алгоритм действий следую] ций: '9
1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку & на панели инструментов; | 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СКОС ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel /появится окно функции СКОС; 6. нажав кнопку 51 в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его г^ышью (А1:Л). Затем, по- вторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции СКОС; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится резуль/ат вычислений -> —0,098. 4.6. Определение эксцесса распределения. Функция ЭКСЦЕСС ' Синтаксис функции. ЭКСЦЕСС (Число 1, Число2, ...) Эксцесс характеризует относительную остроконечность или распределения равен нулю. сглаженность распределения по сравнению с нормальным рас- пределением. Эксцесс нормального Положительный эксцесс означает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс означает относительно сглаженное распределение (рис. 4.2).'
Эксцесс определяется по формуле: п(п +1) (и —1)(и-2)(и-3) 3(и~1)2 (и-2)(п-3)’ е = - (4.12) где п — объем выборки; X, — значения выборки; 5 — стандартное отклонение выборки (определяется по формуле (4.7)); х — среднее выборки (определяется по формуле (3.1)). Аргументами функции должны быть числа, имена, массивы или ссылки, содержащие только числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются. Если задано менее четырех точек данных или если стандарт- ное отклонение выборки равняется нулю, то функция ЭКС- ЦЕСС показывает значение ошибки #ДЕЛ/0! Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 4.8): эксцесс 1~ -У Число! A1:J1 —3] “ {35; 27; 32; 18; 30 39 ></ .Г, = -0,320948531 Возвращает эксцес множества данных. Более подробные сведения приведены в справочной системе. Число!: число1,число2;... от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется эксцесс. j Щ | Значение: -0,321 | J Отмена | где Число1, Число2, ... — от 1 до 30 числовых аргументов, для которых вычисляется эксцесс. Можно использовать массив или ссылку на мас- сив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. Пример 4.8. В условиях примера 4.7 определите эксцесс рас- пределения. Решение. Величину эксцесса определим по формуле 4.12. Предвари- тельно определим: п = 10; х=28,5; «=6,35. 81
10(10 + 1) <35-*28,5? f 27-28,5 У < 21-28,5^ (10-l)(10-2)(10-3) V 6,35 J A 6,35 J + V 6,35 J 3(16-I)2 (10 —2)(10—3) = -0,321. Полученный результат свидетельствует об относительно сглаженном распределении по сравнению с нормальным. Решим данный пример с использованием функции ЭКСЦЕСС. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$3); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку & на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЭКСЦЕСС -► ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЭКСЦЕСС; 6. нажав кнопку в поле Число1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (А1:Л). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ЭКСЦЕСС; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> —0,321.
5. Зависимость случайных величин 5.1. Определение ковариации. Функция КОВАР Синтаксис функции: КОВАР (Maccuel, MaccueZ) Для однозначного определения системы двух случайных вели- чин кроме статистических оценок математического ожидания и дисперсии необходимо уметь определять статистическую оценку ковариации. Статистическую оценку ковариации определяют по формуле: соу(Х,У) = к' = -£(х,- - х)(у, - у), (5.1) « и где п — объем двумерной выборки; X/, У/ ~ значения двумерной выборки; — 1 " х = — У х,- — средняя выборки X, п,=\ — 1 " у = —Уу,- — средняя выборки Y. «,=1 Ковариация характеризует рассеивание и взаимную зависи- мость этих случайных величин, имеет размерность, равную про- изведению размерностей случайных величин. Аргументами этой функции должны быть числа или имена, массивы, ссылки, содержащие числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то та- кие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значе- ниями учитываются. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 5.1): = 2,7094 Возвращает ковариацию, среднее попарных произведений отклонений. Массив? второй диапазон целых чисел - числа, массивы или ссылки на 1 ячейки, содержащие числа. лл :J ' х -А"-** Значение:^?!" •Отмена Ж 83
где Массив! — первый исходный массив, или интервал данных; Массив! — второй исходный массив, или интервал данных. Если Массив1 и Массив! имеют различное число данных, то КОВАР показывает значение ошибки #Н/Д. Если либо Мас- сив!, либо Массив! пуст, то КОВАР показывает значение ошиб- ки #ДЕЛ/0! Пример 5.1. Имеется выборка из генеральной совокупности системы двух случайных величин (X 1): X, 12,1 14,7 20,5 11,2 16,6 10,0 13,0 14,9 16,3 15,1 У, 53,2 44,2 51,4 57,7 45,5 42,0 53,5 68,9 57,7 63,3 Определите ковариацию этих случайных величин. Решение. Определим средние: — 1 " х = — Ух, = 14,4; «i=i У = -^У,=53,7; «/=1 Вычислим ковариацию по формуле (5.1): cov(X У) = [(12,1 -14,4)(53,2 - 53,7)+(14,7 -14,4)(44,2 - 53,7)+...+(15,1- -14,4)(63,3-53,7)] = 2,71. Решим данный пример с использованием функции КОВАР. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: Л к 121 14,7 20,5 11,2 16,6 10 13 14,9 16,3 15,1 2 53,2 44,2 514 | 57,7 | 45,5 | 42 | 53,5 68,9 57,7 63 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КОВАР -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КОВАР; 84
6. нажав кнопку им в поле Массив 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КОВАР; 7. нажав кнопку в поле Массив 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КОВАР; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений ->2,71. 5.2. Определение коэффициента корреляции. Функция КОРРЕЛ Синтаксис функции: КОРРЕЛ (Maccuel, Массив?) Ковариация имеет размерность, равную произведению раз- мерностей случайных величин. Более удобной величиной, ха- рактеризующейся только зависимостью случайных величин, яв- ляется коэффициент корреляции: соу(Х,У) (5.2) где Sx = J— (х, -х)2 V л 11 , \2 . 1 V '—(у,-у) ;у=-2.у<- И Л ,=1 Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и может изменяться в пределах -1 < р^< 1. Аргументы этой функции должны быть числами или имена- ми, массивами или ссылками, содержащими числ^. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются. Окно данной функции аналогично окну функции КОВАР, где Массив 1 — первый исходный массив или интервал данных; Массив! — второй исходный массив или интервал данных. 85
Если Массив1 и Массив! имеют различное количество точек данных, то функция КОРРЕЛ показывает значение ошибки #Н/Д. Если Массив! либо Массив! пуст или если 5 (стандарт- ное отклонение) их значений равно нулю, то функция КОРРЕЛ показывает значение ошибки #ДЕЛ/0! Пример 5.!. В условиях примера 5.1 определите коэффици- ент корреляции. Решение. 1. cov(X,y) = 2,71; 6X=2,89; о,, =8,09. 2 ООУ№Г)= 2,71_ = 5xov 5,89-8,09 Решим данный пример с использованием функции КОРРЕЛ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КОРРЕЛ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КОРРЕЛ; 6. нажав кнопку 51 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В1:К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КОРРЕЛ; 7. нажав кнопку 30 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2:К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции КОРРЕЛ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений 0,116. 86
5.3. Определение коэффициента корреляции Пирсона. Функции ПИРСОН, КВПИРСОН Определение коэффициента корреляции Пирсона. Функция ПИРСОН. Синтаксис функции: ПИРСОН (Maccuel, Массив?) Линейный коэффициент корреляции (Пирсона) характеризует тесноту и направление связи между двумя корреляционными при- знаками в случае наличия между ними линейной зависимости. На практике применяются различные формулы расчета дан- ного коэффициента. Наиболее удобной является формула: п n п ПТ.Х>У> -Xх =1 __________________ n ( п 1=1 к 1=1 2 (5.3) где п — объем двумерной выборки; х„ у,- — значения двумерной выборки. Можно рассчитать этот коэффициент и по формуле (5.2). Коэффициент корреляции Пирсона используется при иссле- довании социально-экономических процессов и явлений, рас- пределение которых близко к нормальному. Коэффициент кор- реляции изменяется в пределах от —1 до 1, т.е. — 1 < Гху< 1. При гху = 0 величины X и Y являются независимыми. Аргументы этой функции должны быть числами или имена- ми, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются. Окно данной функции имеет такой вид, как показано ниже (числовые данные из примера 5.3). Если Массив 1 или Массив! пуст или они содержат различ- ное число точек данных, то функция ПИРСОН возвращает зна- чение ошибки #Н/Д. 87
ПИРСОН— — массив! |b1:G1 ~ ”2У = -i96;?7;77;89;82;8i: Массивг |В2:С;| ‘ “* * 2* 1221Д070Л001,60£ <=-0,983900842 Возвращает коэффициент корреляции Пирсона. Более Подробные сведения риеедены в стс-эг системе Массив2 множество зависимых значений. ф| Значение:-0,984 | ОК | Отмена [ где Массив! — первый массив, или интервал данных; Массив! — второй массив, или интервал данных. Пример 5.3. На основе выборочных данных о деловой актив- ности однотипных коммерческих структур оцените тесноту свя- зи между прибылью Y (млн руб.) и затратами X на 1 рубль про- изводства продукции: X 96 77 77 89 82 81 Y 221 1070 1001 606 779 789 Решение. Используя формулу (5.3), получим значение линейного ко- эффициента корреляции гху = —0,984. Полученный результат свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками. Решим данный пример с использованием функции ПИРСОН. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходны^ данных: ,В сЖ D Е И G 4 К 96 77 77 89 82 81 2 !У 221 1070 1001 606 779 789 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПИРСОН -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПИРСОН; 88
6. нажав кнопку .ди в поле Массив 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В1:К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПИРСОН; 7. нажав кнопку в поле Массив 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2:К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПИРСОН; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> —0,984. Определение квадрата коэффициента корреляции Пирсона. Функция КВПИРСОН Синтаксис функции'. КВПИРСОН (Известные^, Известные_х) Квадрат коэффициента корреляции носит название ко- эффициента детерминации и вычисляется по формуле: (5.4) где п — объем двумерной выборки; х,, У< — значения двумерной выборки. Этот коэффициент показывает долю вариации зависимой переменной, учтенной в модели и обусловливаемой вариацией включенных факторов. Аргументы данной функции должны быть числами или име- нами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 5.4): 89
КВПИРСОН '—чJ~~' ~ ~ —•— я Известные^ |B2:G2~ ' / ^^jH-{221;1070;10OT;60t' Известные_j<iBl:Gl _ {96;77;77;89;82;81 ~«0,968060вМ боэердшает квадрат коэффициента коррелящх Тихоне по данным точкам,. Известные_х массив или диапазон, могущий включать числа или имена, массивы или ссылки на ячейки с числами. Значение:!),9681 . | ОК | Отмена [ ________________ьЛ где Известные_у — массив, или интервал точек данных; Известные_х — массив, или интервал точек данных. Если Известные_у и Известные_х пусты или содержат раз- личное число точек данных, то функция КВПИРСОН показы- вает значение ошибки #Н/Д. Пример 5.4, На основе данных примера 5.3 определите квад- рат коэффициента корреляции Пирсона. Решение. Расчеты проведем по формуле (5.4), в результате получим =0,9681 (96,81%). Полученный результат свидетельствует, что около 97% ва- риации зависимой переменной Y (прибыли) обусловлено вариа- цией фактора X (затратами на 1 рубль производства продукции). Остальные 3% вариации Yобусловлены другими факторами. Решим данный пример с использованием функции КВПИР- СОН. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КВПИРСОН -> ОК; 90
5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КВПИРСОН; 6. нажав кнопку 50 в поле Известные_у, перейдем на рабо- чий лист с исходными данными и выделим его мышью (B2G2). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции КВПИРСОН; 7. нажав кнопку S1 в поле Известные_х, перейдем на рабо- чий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: G1). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции КВПИРСОН; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,9681.
6. Интервальное оценивание 6.1. Определение доверительного интервала для среднего. Функция ДОВЕРИТ Синтаксис функции'. ДОВЕРИТ (Альфа, Стандартное_откл, Размер) Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных параметров (погрешности) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный харак- тер: можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в статистике используется интервальное оценивание (доверительные интервалы и доверительные вероятности). Задачу интервального оценивания можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероят- ностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Доверительным интервалом 2е для параметра 0 называется такой интервал, относительно которого можно с заранее вы- бранной вероятностью р = 1 — а, близкой к единице, утвер- ждать, что он содержит неизвестное значение параметра О, т.е. Р(|о-©|<е) = 1-а. (6.1) Чем меньше для выбранной вероятности доверительный ин- тервал 2s, тем точнее оценка неизвестного параметра О, и на- оборот, если этот интервал велик, то оценка, произведенная с его помощью, мало пригодна для практики. При этом интервал практически возможных значений ошибки при замене 0 на 0 будет равен ±е; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью а, называемой уровнем значимости. Доверительный интервал для среднего (интервальная оценка математического ожидания) строится следующим образом. 1. По доверительной вероятности р — 1 — а по значению функции Лапласа Ф(^) определим zp. 2. Вычислим величину е: где п — объем выборки; сх — известное стандартное (среднее квадратическое) отклонение. 92
3. Определим величину доверительного интервала для мате- матического ожидания Шх. тх е x±zp Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ДОВЕРИТ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 6.1): ДОВЕРИТ -------- -------------- Альфа [о[о5 * 0,05 Ствндартиое_огкл [го 51 * 20 Размер [12| 51ш 12 *11,31584056 Возвмщает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности. Более подробные сведения приведем в справочной системе. < где Альфа — уровень значимости, используемый для вычисления уров- ня надежности. Уровень надежности равняется 100 • (1 — Альфа) про- центам. Например, Альфа, равное 0,05, определяет 95%-ный уровень надежности; Стандартноеоткл — стандартное отклонение генеральной совокупности для интервала данных, предполагается известным; Размер — размер выборки. Если Альфа <= 0 или Альфа => 1, то функция ДОВЕРИТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Стандартное откл <= 0, то функция ДОВЕРИТ пока- зывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Размер не целое, то оно усекается. Если Размер меньше 1, то функция ДОВЕРИТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 6.1. Для отрасли, включающей 500 фирм, проведена случайная выборка из 12 фирм. По этим фирмам определена численность работающих: 325; 415; 381; 510; 435; 366; 515; 465; 458; 386; 358; 410. Заранее известно, что среднее квадратическое (стандартное) отклонение сх = 20. 93
Постройте доверительный интервал для данной выборки при уровне значимости а = 0,05 и а = 0,1. Решение. 1. Определим среднюю численность работающих: х=-У>, =419. и>=1 2. По таблице функции Лапласа определим zo 95 ~ 1 >96; zo 9 = = 1,645. 3. Вычислим величину е: 20 при р = 0,95 с = —== 1,96 = 11,3 ; 712 при р — 0,9 £ = —р= 1,645 = 9,5 . 712 4. Определяем величину доверительного интервала: при р = 0,95 тх е [419 ± 11,3]; при р = 0,9 тх е [419 ± 9,5]. Решим данный пример с использованием функции ДОВЕРИТ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$3); ,“9 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку Ж на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ДОВЕРИТ -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ДОВЕРИТ; 5. в поле Альфа введем уровень значимости а = 0,05; 6. В поле Стандартное_откл введем величину среднего квад- ратического (стандартного) отклонения <зх = 20; 7. в поле Размер введем объем выборки п — 12; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$3 появится результат вычислений -> 11,3. Примечание. В результате использования данной функции мы полу- чили значение величины половины доверительного интервала для среднего (е). Полученный нами результат соответствует только довери- тельной вероятности, равной 0,05. Если необходимо получить е для доверительной вероятности, равной 0,10, необходимо в поле Альфа вве- сти значение 0,10. Результат вычислений будет равен 9,5. 94
6.2. Определение вероятности попадания дискретной случайной величины в интервал. Функция ВЕРОЯТНОСТЬ Синтаксис функции: ВЕРОЯТНОСТЬ (X диапазон, Диапазон веро- ятн, Нижний_предел, Верхний_пред) Функция определяет вероятность того, что значение выбор- ки находится внутри заданного интервала. Выборка должна быть задана дискретным вариационным рядом в виде: Варианты х. X! х2 хп Вероятность р, Pl Pl Рз Рп При расчете вероятности задаются границы интервала чи- словых значений х, — Xj (i * j). Для тех значений хь которые по- пали в интервал, подсчитываются вероятности, соответствую- щие этим значениям. Если верхняя граница интервала не зада- на, то определяется вероятность значения х,. Для заданного ва- п риационного ряда необходимо выполнение условия = 1. i=i Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 6.2): где X-диапазон — интервал числовых значений х, с которыми связаны вероятности; Диапазон_вероятн — множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе Х_ диапазон; Нижний_предел — нижняя граница значения, для которого вычис- ляется вероятность; 95
Верхнийпред — необязательная верхняя граница значения, для ко- торого требуется вычислить вероятность. Если любое значение в аргументе Диапазон_вероятн <= 0 или если какое-либо значение в аргументе Диапазон_вероятн > 1, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если сумма значений в аргументе Диапазон_вероятн не равна 1, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Верхний_пред опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ показывает вероятность равенства значению аргумента Ниж- ний_предел. Если Х диаиазон и Диапазон_вероятн содержат различное ко- личество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 6.2. Задан дискретный вариационный ряд X, 3 7 10 20 21 32 44 45 47 50 Pi 0,08 0,09 0,12 0,11 0,10 0,12 0,08 0,07 0,13 0,10 Определите вероятность попадания случайной величины в интервал (8—46), а также вероятности того, что величина X примет значения х, = 10 и х; = 15. Решение. 1. < х < 46) = 0,12 + 0,11 + 0,10 + 0,12 + 0,08 + 0,07 = 0,6; 2. ЛЮ) = 0,12; 3. Р(15) = 0. Решим данный пример с использованием функции ВЕРО- ЯТНОСТЬ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ВЕРОЯТНОСТЬ -> ОК; 96
5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ВЕРОЯТНОСТЬ; 6. нажав кнопку 3 в поле Х_диапазон, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ВЕРОЯТНОСТЬ; 7. нажав кнопку 5J в поле Диапазон_вероятн, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ВЕРОЯТНОСТЬ; 8. в поле Нижний_предел введем значение 8; 9. в поле Верхний_пред введем значение 46; 10. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,6. Примечание. Полученный нами результат соответствует вероятности по- падания в интервал (8—46). Если необходимо получить вероятность приня- тия конкретных значений 10 и 15, необходимо в поле Нижнии_предел ввести значения 10 и 15 сочьстстенно (поле Верхнийпред оставляем пустым). Результаты вычислений будут равны 0,12 и 0 соответственно. 4 Статистические функции в экономике-
7. Определение параметров распределений непрерывных случайных величин 7.1. Определение значения функции распределения и функции плотности нормального распределения. Функция НОРМРАСП Синтаксис функции: НОРМРАСП (X, Среднее, Стандарт- ное откл, Интегральный) Нормальным называется распределение непрерывной случай- ной величины X, плотность распределения которой имеет вид: (^тх)2 /(x) = -J^e 2о« , (7.1) У2лох а функция распределения (интегральная функция) х (*->”, )2 F(x) = -=U- р 2о‘ dx, (7.2) Л/2 ТЕСУ —оо где тх — математическое ожидание случайной величины Х\ — стандартное (среднее квадратическое) отклонение случайной величины X. Графики функции плотности и функции распределения име- ют следующий вид (рис. 7.1 и 7.2). Рис. 7.1. График функции плотности нормального распределения 98
Рис. 7.2. График функции распределения нормального распределения (интегральная функция) Среди непрерывных случайных величин нормальное распре- деление занимает центральное место. С ним приходится встре- чаться при анализе погрешностей измерений, контроле техноло- гических процессов и режимов, при анализе и прогнозировании различных явлений в экономике, биологии, медицине и других областях знаний. Нормальный закон проявляется во всех случаях, когда слу- чайная величина X является результатом действия большого числа факторов, причем каждый фактор в отдельности на слу- чайную величину X влияет незначительно и не преобладает по своему влиянию над остальными. Основная особенность, выделяющая нормальный закон сре- ди других законов, — то, что он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения. На практике нормальный закон распределения используется при определении доверительных интервалов и доверительных вероятностей, проверке статистических гипотез и других методах статистического анализа. Практически во всех этих случаях не- обходимо определять значение функции плотности или функ- ции распределения в заданной точке. Статистические оценки параметров распределения по вы- борке объемом п определяются по формулам: 4* 99
=x = 6* =—Ц-£(х,-x)2. «,=1 «-L=i Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.1): Интегральный логическое значение/ определяющее Рид функции* интегральная . • ... функция распределения (ИСТИНА) или Ресрвая функция, ,: г распределенияфожь), ,, , ' Знамение: 0,043 . > ' ' ФК , I , Отмена где X — значение, для которого строится распределение; Среднее — математическое ожидание распределения; Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения; Интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если Интегральный имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП определяет интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то определяется функция плотности распределения. Если Среднее или Стандартное_откл не являются числом, то функция НОРМРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Стандартное_откл <= 0, то функция НОРМРАСП показы- вает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Среднее равно 0 и Стан- дартное_откл равно 1, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, то есть НОРМСТРАСП. Пример 7.1. Случайная величина X имеет нормальное рас- пределение с параметрами тх = 20, <зх = 3. Определите значение функции плотности и функции распределения в точке х = 24,5. Решение. Значение функции плотности определим по формуле (7.1): (х-т,)2 /(х) = Д е 2о* =0,043. 100
Значение функции распределения определим по формуле (7.2): X <Х~тхУ F(x)= л-1....Je 2о* dx = 0,933. v 2лох _СЛ Решим данный пример с использованием функции НОРМ- РАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НОРМРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НОРМРАСП; 5. в поле X введем значение х = 24,5; 6. в поле Среднее введем значение тх — 20; 7. в поле Стандартное_откл введем значение ох = 3; 8. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,043 (значение функции плотности). Примечание. Если в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП вычислит значение функции рас- пределения — 0,933. 7.2. Определение аргумента по значению функции распределения. Функция НОРМОБР Синтаксис функции'. НОРМОБР (X, Среднее, Стандартное_откл, Интегральный) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение, определяемое законом распределения (7.2); из- вестны параметры распределения тх и ох и значение функции распределения в заданной точке х. Необходимо по известным параметрам определить точку х, в которой функция распределе- ния принимает заданное значение.
Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.2): НОРМО6Р ,___________________________________________________, Вероятньсть|о,933 м = ДЭЗЗ Среднее I20 = 20 Стандартное_откл [з 5J,= 3 - .4.49554591 Возвращает обратное нормальное распределение. Стандартное_откл стандартное отклонение распределения, положительное число. I i?,! j 1 Значение-24,5 Отмена | где Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распре- делению; Среднее — математическое ожидание распределения; Ставдартное_откл — стандартное отклонение распределения. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция НОРМОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция НОРМОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Стан- дартное откл <= 0, то функция НОРМОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! НОРМОБР использует стандартное нормаль- ное распределение, если Среднее равно 0 и Стандартное_откл равно 1 (см. НОРМСТОБР). НОРМОБР использует метод ите- раций для вычисления функции. Если задано значение вероят- ности, то функция НОРМОБР производит итерации, пока не получит результат с точностью ± 3 • 10~7. Если НОРМОБР не сходится после 100 итераций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.2. Случайная величина X имеет нормальное распре- деление с параметрами тх — 20, = 3. В некоторой точке х функ- ция распределения Р[х) = 0,933. Определите значение этой точки. Решение. Определим значение х из уравнения; х (х~т^г 0,933 = -Д................... f е 2с’ dx . л/2лох 102
Решение данного уравнения дает результат х = 24,5 (табл. П.1). Решим данный пример с использованием функции НОР- МОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку п на панели инструментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НОРМОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НОРМОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,933; 6. в поле Среднее введем значение тх = 20; 7. в поле Стандартное_откл введем значение = 3; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 24,5. 7.3. Определение нормализованного значения аргумента. Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ Синтаксис функции'. НОРМАЛИЗАЦИЯ (X, Среднее, Стандарт- ное_откл) Для того чтобы привести нормальное распределение к так называемому стандартному виду стх = 0и о = 1, для зависимо- сти (7.1) и (7.2) вводится замена переменной: С использованием этого преобразования рассматриваемые формулы примут вид: 1 /(z) = -=e 2 , (7.4) л/2я 1 z ~— F(z) = — f е 2 dz . (7.5) Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.3): 103
НОРМАЛИЗАЦИЯ X|24,Ь Среднее |20 Етан ....... 1кп|з| Возвращает нормализованное значение Стандартное_откл стандартное отклонение распределения, положительное число | Ej)| Значение:1,5 | ОК ~| Отмена | где X — нормализуемое значение; Среднее — среднее арифметическое распределения; Ставдартное_откл — стандартное отклонение распределения. Если Стандартное откл <= 0, то функция НОРМАЛИЗА- ЦИЯ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.3. Определите нормализованное значение аргумен- та нормального распределения при тх = 20, = 3, х = 24,5. Решение. Нормализованное значение аргумента определим по формуле (7-3): х—т 24,5-20 z -------=--------= 1,5. Решим данный пример с использованием функции НОР- МАЛИЗАЦИЯ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку “ на панели инструментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НОРМАЛИЗАЦИЯ -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НОРМАЛИЗАЦИЯ; 5. в поле X введем значение 24,5; 6. в поле Среднее введем значение тх — 20; 7. в поле Стандартное откл введем значение сх = 3; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 1,5. 104
ЧА. Определение значения функции распределения стандартного нормального распределения. Функция НОРМСТРАСП Синтаксис функции: НОРМСТРАСП (Z) Функция распределения стандартного нормального распре- деления (тх = 0, = 1) такая: F(z) = -= [е 1 2 dz. (7.6) V2TT Д При использовании данной функции необходимо определить значение функции распределения в точке z- Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.4): .= 7933192771 Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. , I. s ; Z значение, для которого строится распределение _________________________________ Т [?J1 Значение: 0 933 [ ' ^™ена j A MW»!. где Z — значение, для которого строится распределение. Если Z не является числом, то функция НОРМСТРАСП по- казывает значение ошибки #ЗНАЧ! Пример 7.4. Определите значение функции распределения стандартного нормального распределения в точке z = 1,5. Решение. Значение функции распределения определим по формуле (7.6): 1 г F(z) = —= [ е 2 dz = 0,933 (табл. П. 1). л/2л Решим данный пример с использованием функции НОРМ- СТРАСП. Алгоритм действий следующий: 105
1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку г* на панели инструментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НОРМСТРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НОРМСТРАСП; 5. в поле Z введем значение 1,5; 6. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,933. 7.5. Определение аргумента по значению стандартной интегральной функции нормального распределения. Функция НОРМСТОБР Синтаксис функции: НОРМСТОБР (Вероятность) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами тх = 0, = 1, которое описыва- ется функцией распределения (7.6). Известно значение функции (7.6) в заданной точке z- Необходимо по значению функции F(z) определить значение аргумента Z- Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.5): '-НОРМСТОБР- : ..— F ~~ — Вероятность ]о,93з| ^|=р,933 = 1,498515303 fcijepamarT обратное значение стандартного нормального распределения. Вероятность вероятность, соответствующая нормальному распределению. Значение:1,5 J Отмена где Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распре- делению. Если Вероятность не является числом, то функция НОРМ- СТОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! 106
Если Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция НОРМОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! НОРМСТОБР использует метод итераций для вычисления функции. Если задано значение вероятности, то функция НОРМСТОБР производит итерации, пока не получит результат с точностью ± 3 • 10~7. Если НОРМСТОБР не сходится после 100 итераций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.5. Определите значение z, в котором стандартное нормальное распределение принимает значение Дг)=0,933. Решение. Значение z определим из уравнения: 1 z 0,933 = -= [е 2 dz yl2n Л, Решение данного уравнения дает результат z. — 1,5 (табл. П.1). Решим данный пример с использованием функции НОРМ- СТОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НОРМСТОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НОРМСТОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,933; 6. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 1,5. 7.6. Определение вероятности статистики Z при проверке гипотезы о равенстве статистической оценки математического ожидания заданному значению. Функция ZTECT Синтаксис функции'. ZTECT (Массив, X, Сигма) Имеется нормальная генеральная совокупность, из которой извлечена выборка объема п, по ней найдена статистическая 107
оценка математического ожидания (выборочное среднее) х, причем генеральная дисперсия с* известна. Требуется по выбо- рочной средней при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но : Л/[А] = xq о равенстве оценки математиче- ского ожидания заданному значению. При проверке статистической гипотезы рассчитывается опыт- ное значение критерия: Vn 1 " где Х= — Ух,. (7.8) л ГТ Критическая область строится в зависимости от вида конку- рирующей гипотезы, при этом рассматривают три случая. 1. Нулевая гипотеза Hq : М[Х\ = xq. Конкурирующая гипотеза Н[ : М[Х] * xq. В этом случае строят двустороннюю критическую область с уровнем значимости 2а. 2. Нулевая гипотеза Hq : М[Х\ — xq. Конкурирующая гипотеза Н\ : М\Х\ > хо- В этом случае строят правостороннюю критическую область с уровнем значимости а. 3. Нулевая гипотеза Но : М\Х\ = Xq. Конкурирующая гипотеза Нх : М[Х\ < xq. В этом случае строят левостороннюю критическую область с уровнем значимости а. Если вычисленный уровень значимости больше заданного, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в противном случае гипотеза отвергается. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.6): лест Массив |в2:К2 __________________ Д « J J £ипя|о,15 ....... Дч» ода. -ОЖ048329 Возвращает двустороннее Р-гначенцв z-теста Сигме Известное стандартное отклонений вьтеральнюй совокупности, 'Значение 0,897 ] | Отмена | 108
где Массив — массив или интервал данных, с которыми сравнивается X; X — проверяемое значение; Сигма — известное стандартное отклонение генеральной совокуп- ности. Если этот параметр опущен, то используется стандартное откло- нение выборки. Если Массив пуст, то функция ZTECT показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7,6, Станок-автомат изготавливает детали с номи- нальным размером xq = 1,3 мм. Точность станка = 0,15 мм. Для контроля точности станка взята выборка из десяти деталей, измерения размеров которых дали следующие результаты. Деталь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Размер, X/, мм 1,08 1,14 1,25 1,10 1,36 1,42 1,40 1,38 1,15 1,12 Требуется при уровне значимости а — 0,05 проверить нуле- вую гипотезу Яо : М\Х\ = xq при конкурирующей гипотезе Н} : М[Х\ * Xq. Решение. Вычислим статистическую оценку математического ожидания: _ 1 ” х~ — У Xj =1,24 мм . «,=1 Определим расчетное значение критерия: х-х0 1,24-1,3 гв=__.------------ . 1,265. 0,15 Ло п По найденному значению критерия определим двусторон- нюю доверительную вероятность (табл. П.1): P(|zB|< 1,265) = 0,897; 1-Р = 0,103. Так как вычисленное значение 1 — Р= 0,103 больше задан- ного а = 0,05, то нулевая гипотеза не отвергается. Решим данный пример с использованием функции ZTECT. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: ет 1 2 4 5 7 - 9 10 ИЙ Размер, мм 1 08 1,14 1.25 1 1 1.36 1.42 14 1,38 115_ 1.12 109
2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ZTECT -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ZTECT; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ZTECT; 7. в поле X введем значение xq = 1,3; 8. в поле Сигма введем значение о\ = 0,15; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,897 (P(|zB|< 1,265)). 7.7. Определение значения функции распределения логнормального распределения. Функция ЛОГНОРМРАСП Синтаксис функции'. ЛОГНОРМРА СП (X, Среднее, Стандарт- ноеоткл) Логарифмически нормальным называется распределение случайной величины X, при котором ее логарифм Y = In X рас- пределен нормально с функцией плотности: (У~ту)г /(у) = -Д^-е 2°> , (7.9) У2лоу где у = In х; ту = М[ И; оу = ylD[Y]. Случайная величина Xимеет функцию плотности (lnx-ет^,)2 /(*) =.Д.... е 2°‘ , (7.10) xv2nov ПО
ау+ту 2 ау+2т . а2 ,, где mx=el ; ох = е ’ (е у -1) . График функции плотности имеет вид (рис. 7.3). Рис. 7.3. График функции плотности логнормального распределения Логарифмически нормальное распределение используется в теории надежности. Статистические оценки параметров распределения опреде- ляются по формулам: ту 1 " =у=-Ё1пх, > °* 1 " ( —гЕ 1пх<- 1 л (7.П) (7.12) Функция распределения логнормального распределения име- ет вид (Inx-ffl02 F(x) = -^-fE? 2°' dx. (7.13) о * График функции распределения изображен на рис. 7.4. 111
Рис. 7 4. График функции распределения логнормального распределения Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.7): • ЛОГНОРМРА . Й»’* ' ... " .. ^(=*'2.3 Стандартное, рткл |о,2О 3’’= 0,2 = 0,121870727 Возвращает йиг«гра«*исе лоториагьим распределение где 1п(х) представляет собой нормальное распределение Ста>шн>тное_откр стандартное отклонение^ Положительное число Значение: 0,121870727 OK J Отмена | где X — значение xh для которого вычисляется функция; Среднее — среднее, вычисленное по значениям In х,; Стандартное откл — стандартное отклонение, вычисленное по зна- чениям In Xj. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функ- ция ЛОГНОРМРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X <= 0 или Стандартное откл <= 0, то функция ЛОГНОРМРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.7. Имеется выборка объемом п = 10 случайных ве- личин х[. 10,8; 8,1; 7,9; 10,7; 13,2; 7,9; 11,4; 10,9; 8,1; 12,4. Опре- делите значение функции распределения в точке х = 7,9. Решение. Определим величины у, = In х,: 2,38, 2,09; 2,06; 2,37; 2,58; 2,06; 2,44; 2,39; 2,09; 2,52. 112
Определим статистические оценки у и Ъу: 1 п у = -^у. =2,30; «,=1 I i ” О у = J г Ё О', - у) = 0,20. Значение функции распределения определим по формуле (7.13): (1п^-.?)2 F(x) = -=L—fie 2°' dx = 0,122. >/2лоу Jo х Решим данный пример с использованием функции ЛОГ- НОРМРАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку й на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЛОГНОРМРАСП > ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЛОГНОРМРАСП; 5. в поле X введем значение х = 7,9; 6. в поле Среднее введем значение у =2,30; 7. в поле Стандартное_откл введем значение су = 0,20 ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,122. 7.8. Определение аргумента по значению функции распределения. Функция ЛОГНОРМОБР Синтаксис функции'. ЛОГНОРМОБР {Вероятность, Среднее, Стандартноеоткл) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина X имеет логнормальное распределение, определяемое законом распределения (7.13); из- вестны параметры распределения тх, ах и значение функции 113
распределения в точке х. Необходимо по известным параметрам определить точку х, в которой функция распределения прини- мает заданное значение. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.8): г ?ор л >: т-обратное дог^^мичёскбё нормалы1ае распределение, где 1п(х) предстаёлЛет собой нормальное р лиределение ; Стандартное_откл стандартное отклонение поло,* и тельное число СУ Значение: 7,901010326 | ОК | Отмена где Вероятность — вероятность, связанная с логарифмически- нормальным распределением; Среднее — среднее, вычисленное по значениям In х,; Ставдартное_откл — стандартное отклонение, вычисленное по зна- чениям In х,. Если любой из аргументов не является числом, то функция ЛОГНОРМОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Веро- ятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция ЛОГ- НОРМОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Стан- дартное_откл <= 0, то функция ЛОГНОРМОБР показывает значе- ние ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.8. Случайная величина X имеет логнормальное распределение с параметрами ту — 2,30, су = 0,20. В некоторой точке х функция распределения Дх) = 0,122. Определить значе- ние этой точки. Решение. Значение х определяем из решения уравнения: (Inx-rn^)2 0,122 = —1— f -le 2°* dx при ту = 2,30, = 0,20. J2noy 30* Решение данного уравнения дает результат х = 7,9. Решение получаем путем итераций (подбором х), пока не получим иско- мый результат с заданной точностью. 114
Решим данный пример с использованием функции ЛОГ- НОРМОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЛОГНОРМОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЛОГНОРМОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,122; 6. в поле Среднее введем значение ту — 2,30; 7. в поле Стандартное_откл введем значение оу = 0,20; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 7,9. 7.9. Определение значения функции распределения Стьюдента (интегральной функции). Функция СТЬЮДРАСП Синтаксис функции'. СТЬЮДРАСП (X Степени свободы, Хвосты) Распределению Стьюдента подчиняется случайная величина: 1~Х-Хп Т = V п —, 5 _ 1 -А ~ I 1 -ч2 где х = — У1х1; 5 > (х, — х) ; х, — независимые нормальные случайные величины с M[xt ] = тх и £>[*,] = о*. Функция плотности распределения Стьюдента имеет вид: (7.14) где к = п — 1 — число степеней свободы; п — число наблюдений (опытов); 115
CO Г(з) = Je~xxs~ldx — гамма-функция (Эйлеров интеграл второго рода), о Частные значения гамма-функции: Г| — | = -Ути; Г(1) = 1; Г(и+1) = иГ(и) = п! (п- целое число). График функции плотности распределения Стьюдента имеет вид (рис. 7.5). Рис. 7.5. График функции плотности распределения Стьюдента Интегральная функция распределения Стьюдента определя- ется зависимостью: F(r) = *+i dt. (7.15) Числовые характеристики распределения Стьюдента: математическое ожидание М[Т\ = 0; k дисперсия £>[Т] =--- (к > 2). к 2 Распределение Стьюдента не зависит от математического ожи- дания и дисперсии случайной величины X, а зависит лишь от объе- ма выборки п. Функцию плотности (7.15) часто называют законом распределения статистики t или /-распределением Стьюдента. Данное распределение в математической статистике исполь- зуется для построения доверительных интервалов и проверки 116
статистических гипотез при использовании малых выборок. При больших значениях к = п — 1 распределение Стьюдента асим- птотически приближается к стандартному нормальному распре- делению. С помощью распределения Стьюдента, определяемого функ- цией распределения (7.15), можно найти значение уровня зна- чимости а при односторонней доверительной вероятности р — 1 — а, числе степеней свободы к — п — 1 по значению вели- чины t; значение уровня значимости 2а при двусторонней доверительной вероятности р = 1 — 2а. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.9): СТЬЮДРАСП........- ДЕ - g” - - - - - — ... xjz,262 Степени_свободы J9 ...........j |F'1 ij:. > Хвосты (1| .... ...............У| = 1 ' = 0,025006423 Возвращает Ьфаспределение Стьюдента. Хвосты число возщмшжяы. хвостов распределении (1 илй 2), « ж t *“ • Значение: 0,025 | ОК | , Йтиена [ где X — численное значение, для которого требуется вычислить уровень значимости; Степени_свободы — число степеней свободы; Хвосты — число определяемых хвостов распределения. Если Хвосты равно 1, то функция СТЬЮДРАСП определяет одностороннюю доверительную вероятность. Если Хвосты равно 2, то функция СТЬЮДРАСП определяет двустороннюю довери- тельную вероятность. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция СТЬЮДРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Степени_свободы меньше 1, то функция СТЬЮДРАСП по- казывает значение ошибки #ЧИСЛО! Аргументы Степе- ни_свободы и Хвосты усекаются до целых. Если Хвосты — любое значение, отличное от 1 и 2, то функция СТЬЮДРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! СТЬЮД- РАСП вычисляется следующим образом: СТЬЮДРАСП = р{х < А), где X— случайная величина, соответствующая /-распределению. 117
Пример 7.9. Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы к = 9. Для значения t = 2,262 определите уровень значимости при односторонней и двусторонней доверительной вероятности. Решение. По формуле функции распределения (7.15) определим: • для односторонней доверительной вероятности а = 0,025; • для двусторонней доверительной вероятности 2а = 0,05 (табл. П.З). Решим данный пример с использованием функции СТЬЮД- РАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку & на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СТЬЮДРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СТЬЮДРАСП; 5. в поле X введем значение t = 2,262; 6. в поле Степени_свободы введем значение к = 9; 7. в поле Хвосты введем значение 1; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,025 (уро- вень значимости для односторонней доверительной вероятности). Примечание. Если в поле Хвосты ввести значение 2, то получим уро- вень значимости для двусторонней доверительной вероятности -> 0,05. 7.10. Определение параметра tno значению функции распределения. Функция СТЬЮДРАСПОБР Синтаксис функции'. СТЬЮДРАСПОБР {Вероятность, Степе- нисвободы) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина Т имеет распределение Стьюдента, определяемое функцией распределения (7.15); из- вестны параметры распределения Стьюдента — число степеней
свободы к=п— 1 и двусторонняя доверительная вероятность р — 1 — 2а. Необходимо по числу степеней свободы к и вероят- ности 2а определить параметр t, при котором функция распре- деления принимает заданное значение. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.10): , ОМСДРАСЛОа>-.^| в ™'qsggg Вероятность jo.OS Степенисвободы [gj Возвращает обсзетховраспределение тьюдента Степени_свободы положительное целое число степеней свободы, характеризующее распределение | (gjj Значение: 2,262 | | Отмена | где Вероятность — вероятность, соответствующая двустороннему рас- пределению Стьюдента; Степени_свободы — число степеней свободы, характеризующее рас- пределение. Если любой из аргументов не является числом, то функция СТЬЮДРАСПОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция СТЬЮДРАСПОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Ес- ли Степенисвободы не целое, то оно усекается. Если Степе- ни_свободы меньше 1, то функция СТЬЮДРАСПОБР показыва- ет значение ошибки #ЧИСЛО! СТЬЮДРАСПОБР вычисляется следующим образом: СТЬЮДРАСПОБР=р (/ < X), где X — случайная величина, соот- ветствующая /-распределению. СТЬЮДРАСПОБР использует метод итераций для вычисления функции. Если задано значение вероятности, то функция СТЬЮДРАСПОБР производит итера- ции, пока не получит результат с точностью ± 3 • 10-7. Если СТЬЮДРАСПОБР не сходится после 100 итераций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.10. Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы к = 9. В некоторой точке t функция распределения Д/) = 0,975, 2а = 0,05 (Д/) = 0,95, 2а = 0,10). Определите значение этой точки. 119
Решение. Значение параметра t определим из равенства: F(t) = j/ к +1А *+1 при 2а = 0,05 F(t) = 0,975, t = 2,262; при 2а = 0,10 F(t) = 0,95, t = 1,833. Решим данный пример с использованием функции СТЬЮД- РАСПОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку Д на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СТЬЮДРАСПОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СТЬЮДРАСПОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 2а = 0,05; 6. в поле Степени_свободы введем значение к = 9; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 2,262. Примечание. Если в поле Вероятность ввести значение 2а = 0,10, то получим значение параметра t — 1,833. 7.11. Определение вероятности, соответствующей критерию Стьюдента. Функция ТТЕСТ Синтаксис функции'. ТТЕСТ (Массив!, Массив2, Хвосты, Тип) Окно данной функции имеет такой вид, как показано ниже (числовые данные из примера 7.11). Если Массив! и Массив! имеют различное число точек дан- ных, а Тип равен 1 (парный), то функция ТТЕСТ показывает значение ошибки #Н/Д. Аргументы Хвосты и Тип усекаются до целых. 120
ТТЕСТ = 0,68442036 Возвращает вероятность, соответствующую t-тестуСтьюдента. Тип вид t-test: парный =. 1, двухпарный = 2, двухпарный с неравным отклонением = 3., Значение: 0,684 Отмена | где Массив! — первое множество данных; Массив! — второе множество данных; Хвосты — число хвостов распределения. Если Хвосты равно 1, то функция ТТЕСТ определяет уровень значимости для односторонней доверительной вероятности. Если Хвосты равно 2, то функция ТТЕСТ определяет уровень значимости для двусторонней доверительной веро- ятности; Тип — вид исполняемого /-теста. Тип Выполняемый тест 1 Парный 2 Двухвыборочный с равными дисперсиями (гомоскедастический) 3 Двухвыборочный с неравными дисперсиями (гетероскеда- стический) Если Хвосты или Тип не являются числом, то функция ТТЕСТ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Хвосты име- ет значение, отличное от 1 и 2, то функция ТТЕСТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Рассмотрим подробно каждый их выполняемых тестов. Парный двухвыборочный t-тест для средних Парный двухвыборочный Z-тест Стьюдента используется для проверки гипотезы о равенстве средних для двух зависимых вы- борок из одной генеральной совокупности, когда каждый эле- мент выборки наблюдается по двум признакам х и у. При этом равенство дисперсий не предполагается. 121
Таким образом, необходимо установить, значимо или незна- чимо различаются статистические оценки хну, вычисленные по выборкам объема п из одной генеральной совокупности. Проверка статистической гипотезы проводится следующим образом. Вычисляют разности выборочных значений х, и у,: d, = y, —х, (/= 1, 2, ... я). (7.16) Полученный ряд разностей d, считается выборкой объема п. Рассчитывают характеристики новой выборки: — 1 " d=-Xd.; (7.17) 1й — ^=— (7.18) п -1 ,=i Вычисляют опытное значение критерия с числом степеней свободы к = и — 1: (7.19) sd Критическая область строится в зависимости от вида конку- рирующей гипотезы, при этом рассматриваются три случая. 1. Нулевая гипотеза — M[ Y], Конкурирующая гипотеза //] : Л7[Л] * M[Y\. В этом случае строят двустороннюю критическую область с уровнем значимости 2а. 2. Нулевая гипотеза Но : М\Х\ = М[У]. Конкурирующая гипотеза Н\ : Л/|Л"| > М[ ¥]. В этом случае строят правостороннюю критическую область с уровнем значимости а. 3. Нулевая гипотеза Но : М\Х\ — М[¥]. Конкурирующая гипотеза Н{ : М\Х] < Л/[У]. В этом случае строят левостороннюю критическую область с уровнем значимости а. Если вычисленный уровень значимости больше заданного, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в противном случае гипотеза отвергается. Пример 7.11. Необходимо сравнить работу двух измеритель- ных приборов, используемых для проверки размеров некоторых 122
деталей. Из партии была сделана случайная выборка объемом п = 10 и проведены замеры обоими приборами. Результаты за- меров представлены в таблице. Прибор А xi 76,10 76,20 76,00 76,04 76,10 76,08 76,18 76,02 76,12 76,06 Прибор В У, 76,20 76,00 76,25 76,02 76,18 76,06 76,04 76,25 76,00 76,10 d, = х,— -у. 0,10 -0,20 0,25 -0,02 0,08 -0,02 -0,14 0,23 -0,12 0,04 При уровне значимости а = 0,05 определите, имеются ли различия между приборами А и В, т.е. проверьте нулевую гипо- тезу Но : М\Х\ = M\Y\ при конкурирующей гипотезе — Н\ : : М[Х\ * M[Y\. Решение. По условию задачи имеем две парные случайные выборки. Определим среднее и дисперсию полученных разностей: d = dt = 0,02; s2d = —Tid, - d)2 = 0,0225 . «,=i Определим опытное значение критерия: t =—Jn =^710=0,422. sd 0,15 Определим расчетный уровень значимости: 1 - Р(|7] < 0,422) = 0,684 — для двусторонней критической области; 1 - F(f) = 1 - Р(Т< 0,422) = 0,342 — для односторонней кри- тической области. Так как вычисленный уровень значимости больше заданно- го, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Это означает, что приборы существенно не отличаются друг от друга. Решим данный пример с использованием функции ТТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: -.1 А 0 с . 0 , Е, . F . е _ н _ ь. 3 t 4 * Прибор А X, 76,1 76,2 76 76.04 76,1 76,08 76,18 76,02 76,12 76,06 Прибор В Л 76,2 76 76,25 76,02 76,18 76,06 76,04 76.25 76 761 123
2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ТТЕСТ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ТТЕСТ; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТТЕСТ; 7. нажав кнопку 3 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТТЕСТ; 8. в поле Хвосты введем значение 2 (для двусторонней кри- тической области); 9. в поле Тип введем значение 1 (пфэный тест); 10. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,684. Примечание. Если в поле Хвосты ввести значение 1 (для односто- ронней критической области), то получим расчетный уровень значимо- сти 0,342. Двухвыборочный t-mecm с одинаковыми дисперсиями Двухвыборочный /-тест с одинаковыми дисперсиями исполь- зуется для проверки гипотезы о равенстве средних двух выборок из разных генеральных совокупностей. Если возможно предпо- ложить, что неизвестные дисперсии генеральных совокупностей равны между собой, то можно построить критерий сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы. Если нет уверенности в одинаковости дисперсий, то, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера (функция ФТЕСТ), предварительно проверить гипотезу о равен- стве дисперсий генеральных совокупностей. 124
Таким образом, в предположении, что дисперсии генераль- ных совокупностей одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу Но : Л/[А] = M[ YJ, т.е. необходимо установить, значимо или незначимо различаются статистические оценки х и у , вы- численные по независимым малым выборкам объемов щ и П2- Проверка статистической гипотезы производится следующим образом. Вычисляют статистические оценки средних: *=—; У = «11=1 «2 /=1 Определяют опытное значение критерия: (Т-у)7«1+«2-2 ?в - г ............. —......... I П1 П2 +£(У,~У)2 V 1=1 i=l Критическая область строится в зависимости от вида конку- рирующей гипотезы, при этом рассматриваются три случая. 1. Нулевая гипотеза Hq : М[Х\ = M[YJ. Конкурирующая гипотеза Н\ : М[Х] ф Л/[У]. В этом случае строят двустороннюю критическую область с уровнем значимости 2а. 2. Нулевая гипотеза Но : Л/[А] = М[У]. Конкурирующая гипотеза Н\ : М[Х] > Л/| У]. В этом случае строят правостороннюю критическую область с уровнем значимости а. 3. Нулевая гипотеза Hq : Л7[А] = М[У]. Конкурирующая гипотеза Н\ : М\Х\ < М[ У]. В этом случае строят левостороннюю критическую область с уровнем значимости а. Если вычисленный уровень значимости больше заданного, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в противном случае гипотеза отвергается. Пример 7.12, Имеются две независимые выборки из гене- ральных совокупностей X и Y. xi 7,52 8,18 2,02 4,46 1,95 9,47 6,79 6,45 1,50 9,91 У, 0,75 7,94 4,82 4,80 2,36 7,68 0,23 4,15 3,51 1,70 125
При уровне значимости а = 0,05 проверьте нулевую гипотезу Но : М\Х\ = Л7[ У] при конкурирующей гипотезе Н\ : М[Х\ * Л/[У]. Решение. Рассчитаем средние значения выборок: 1 «1 1 «2 х = 5,83; у = — £у,=3,79. «1 ,=1 «2 1=1 Опытное значение критерия с числом степеней свободы к = п1 + п2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18. (х - +и2 ~2 (В = I Wj ^2 '£(х,-х)2 3 4 5 6+£(у,-у)2 -^- = 1,56. И] +п2 Определим расчетный уровень значимости: 1 — Р(|7] < 1,56) = 0,136 — для двусторонней критической области; 1 — F(t) = 1 — Р(Т< 1,56) = 0,068 —• для односторонней кри- тической области (табл. П.З). Так как вычисленный уровень значимости больше заданно- го, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Решим данный пример с использованием функции ТТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 0я 7,52 ДЖИ 4,46 1,95 9,47 6,79 6,45 1,5 9,91 Hh 8,18 2,02 и* 0,75 7,94 4,82 4,8 2,36 7,68 0,23 4,15 3,51 1,7 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку S на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ТТЕСТ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ТТЕСТ; 6. нажав кнопку Э в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТТЕСТ; 126
7. нажав кнопку -51 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). Затем, по- вторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ТТЕСТ; 8. в поле Хвосты введем значение 2 (для двусторонней кри- тической области); 9. в поле Тип введем значение 2 (гомоскедастический тест); 10. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,136. Примечание. Если в поле Хвосты ввести значение 1 (для односторонней критической области), то получим расчетный уровень значимости 0,068. Двухвыборочный t-mecm с неравными дисперсиями Двухвыборочный Z-тест с неравными дисперсиями использует- ся для проверки гипотезы о равенстве средних двух выборок из разных генеральных совокупностей. При этом предполагается, что их дисперсии неизвестны и в общем случае не равны между собой. Требуется проверить нулевую гипотезу Hq : М\Х\ = М[У], т.е. необходимо установить, значимо или незначимо, различаются статистические оценки х и у, вычисленные по независимым выборкам из генеральных совокупностей X и Y объемом п\ и п^. При проверке статистической гипотезы вычисляют опытное значение критерия: х-у (7.21) где X — «1 ,=1 «2 2=1 Число степеней свободы определяют по зависимости которое округляют до ближайшего целого. 127
Критическая область строится в зависимости от вида конку- рирующей гипотезы, при этом рассматриваются три случая. 1. Нулевая гипотеза Но : Л/[Л] = Л/[У]. Конкурирующая гипотеза Ну : Л/[А] * М[У]. В этом случае строят двустороннюю критическую область с уровнем значимости 2а. 2. Нулевая гипотеза Но : Л/[А] = Л/[У]. Конкурирующая гипотеза Ну : Л/[А] > M[Y], В этом случае строят правостороннюю критическую область с уровнем значимости а. 3. Нулевая гипотеза Но : Л/[А] = M[YJ. Конкурирующая гипотеза Ну : М[Х] < Л/[У]. В этом случае строят левостороннюю критическую область с уровнем значимости а. Если вычисленный уровень значимости больше заданного, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в противном случае нулевая гипотеза отвергается. Пример 7.13. В цехе работают две линии по выпуску одно- типных деталей. Сделаны случайные выборки. С линии А взято 8 деталей, а с линии В — 6 деталей. Проведены замеры диаметра деталей. Результаты измерений представлены в таблице. Дис- персии этих линий неизвестны. А (х,) 7,0 7,1 7,3 7,2 7,6 7,7 7,4 7,5 В0>) 7,7 8,2 7,5 8,1 7,5 7,9 — — При уровне значимости а = 0,05 проверьте нулевую гипотезу Но : Л/[Л] = A7J У] при конкурирующей гипотезе Ну : т.е. проверьте, различаются ли между собой линии. Решение. Вычислим средние: 1 "I 1 «2 х = —2>,=7,35; у = — 7=7,82; «1 ,=1 «2 7=1 дисперсии: *12 =—- х)2 = 0,06; 4 = — 2(у7 - у)2 = 0,09. «1 /=1 ”2 71 Рассчитаем опытное значение критерия и число степеней свободы: 128
Определим уровень значимости: 1 — Р(|7| < 3,115) = 0,012 — ддя двусторонней критической области; 1 — F(t) = 1 — Р(Т< 3,115) = 0,006 — для односторонней критической области (табл. П.З). Так как вычисленный уровень значимости меньше заданно- го, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. линии различаются, по- этому они выпускают неодинаковые по диаметру детали. Для выпуска одинаковых деталей линии требуют наладки. Решим данный пример с использованием функции ТТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ТТЕСТ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ТТЕСТ; 6. нажав кнопку 3 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (ВГ. II). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТТЕСТ; 7. нажав кнопку 53 в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: G2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТТЕСТ; 5 Статистические функции в экономико- ГТЯТКСТНигГГП» 129
8. в поле Хвосты введем значение 2 (для двусторонней кри- тической области); 9. в поле Тип введем значение 3 (гетероскедастический тест); 10. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,012. Примечание. Если в поле Хвосты ввести значение 1 (для односто- ронней критической области), то получим расчетный уровень значимо- сти 0,006. 7.12. Определение значения функции распределения %2. Функция ХИ2РАСП Синтаксис функции: ХИ2РАСП (X Степени свободы) Распределению %2 подчиняется случайная величина: Y = Xf + Х^+... + Х^, (7.22) где X, — независимые нормальные случайные величины с тх = 0 и о2 =1. Функция плотности распределения %2 имеет вид: (7.23) где п = к — число степеней свободы; т/ А Г1 — I — гамма-функция. График функции плотности распределения х2 изображен на рис. 7.6. Числовые характеристики распределения %2: • математическое ожидание М[ У] == к; • дисперсия Л[У] = 2к, где к — число степеней свободы, равное числу независимых слагаемых в (7.22). Распределение х2 не зависит от числовых характеристик (Л/[У| и £)[У|), а зависит лишь от объема выборки п. Данное распределение в математической статистике исполь- зуется при построении доверительных интервалов для диспер- 130
сии (среднего квадратического отклонения) и проверке стати- стических гипотез. Функция распределения х2-распределения определяется за- висимостью (7.24) С использованием распределения %2, определяемого функци- ей плотности (7.23) и функцией распределения (7.24), находят уровень значимости а для односторонней доверительной веро- ятности Р = 1 — а, отвечающий значению у и числу степеней свободы к. Окно данной функции представлено ниже (числовые данные из примера 7.14). Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ХИ2РАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X отрицательно, то функция ХИ2РАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Степени_свободы не целое, то оно усе- кается. Если Степени_свободы меньше 1 или Степени_свободы => 1О10, ХИ2РАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! 5* 131
ГХИ2РАСП __________ X |19,674 51 “ *9>674 Степени_свободы |ц S в= 11 I » 0,050017051 Возвращает одностороннюю вероятность распределения хи-квадрат. Степени_сво6оды число степеней свободы - число от 1 до 10Л10, исключая 10Л10. С?) Значение. 0,05 | ОК | Отмена | где X — значение, для которого требуется вычислить распределение; Степени_свободы — число степеней свободы. ХИ2РАСП вычисляется как ХИ2РАСП = Р (X > х), где X — X2 случайная величина. Пример 7.14, Случайная величина Y имеет распределение х2 с числом степеней свободы к = 11. Для значения у — 19,674 и у =8,147 определите доверительную вероятность Р= 1 — а = = Ду) и уровень значимости а. Решение. Значение Р= 1 — а определим по зависимости (7.25): для у = 19,674; Р = 1 — а = 0,95; а = 0,05; для у = 8,147; Р = 1 — а = 0,30; а = 0,70 (табл. П.4). Решим данный пример с использованием функции ХИ2РАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ** на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ХИ2РАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ХИ2РАСП; 5. в поле X введем значение 19,674; 6. в поле Степени_свободы введем значение к = И; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,05 (уровень значимости а). Примечание. Если в поле X ввести значение 8,147, то получим уро- вень значимости а = 0,70. 132
7.13. Определение параметра у по значению функции распределения %2. Функция ХИ2ОБР Синтаксис функции. ХИ20БР (Вероятность, Степени_свободы) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина Y имеет распределение X2, определяемое законом распределения (7.23) или (7.24): из- вестны параметры распределениях2 — число степеней свободы к = п и односторонняя доверительная вероятность Р = 1 — а . Необходимо по числу степеней свободы к и уровню значимости а определить параметр у, при котором функция распределения принимает заданное значение. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.15): WEO6F"".......... - , Вероятность|о. 70 w 0,7 Степени_свободы [и *J «. 11 — 8,147865117 Вгярвилят значение обратное к односторонней вероятности распределения хи-квадрат Степени^свободы число степеней свободы - число от 1 до 10х10, исключая 10Л10. Эначение18,И8 j О* } Отмена j где Вероятность — вероятность, связанная с распределением %2 (уровень значимости); Степени_свободы — число степеней свободы. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ХИ2ОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция ХИ2ОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Степе- ни_свободы не целое, то оно усекается. Если Степени_свободы меньше 1 или Степени_свободы => 1О10, ХИ2ОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! ХИ2ОБР использует метод итераций для вычисления значе- ния. Если задано значение вероятности, то функция ХИ2ОБР производит итерации, пока не получит результат с точностью ± 3 • 10~7. Если ХИ2ОБР не сходится после 100 итераций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. 133
Пример 7.15. Случайная величина Y имеет распределение %2 с числом степеней свободы к= 11. В некоторой точке у функция распределения Fly) = 0,30 (0,95). Определите значение этой точки. Решение. Значение параметра у определим по функции распределения (7.24). При Р = 0,3; а = 1 - Р = 1 - F(y) = 1 - 0,3 = 0,7; у = 8,148; Р = 0,95; а = 1 — Р = 1 — F(y) = 1 — 0,95 = 0,05; у = 19,675 (табл. П.4). Решим данный пример с использованием функции ХИ2ОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ХИ2ОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ХИ2ОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,70; 6. в поле Степени_свободы введем значение к = 11; 7. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 8,148. Примечание. Если в поле Вероятность ввести значение а= 0,05, то получим у = 19,675. 7.14. Проверка гипотезы о виде закона рас- пределения (определение вероятности значения %2). Функция ХИ2ТЕСТ Синтаксис функции'. ХИ2ТЕСТ (Фактическийинтервал, Ожи- даемыйинтервал) Если закон распределения генеральной совокупности не из- вестен, то по выборке проверяется гипотеза о виде закона рас- пределения при помощи критериев согласия. Одним из наибо- лее используемых критериев является критерий %2. Согласно этому критерию наблюдаемое эмпирическое рас- пределение выборки, выраженное абсолютными и относитель- 134
ними частотами сгруппированного ряда, сравнивается с гипоте- тическим теоретическим распределением соответствующей гене- ральной совокупности. Для этого выдвигается гипотеза Но, ут- верждающая, что признак генеральной совокупности имеет функцию распределения F(x), которая сопоставляется с выбо- рочной функцией, и в зависимости от величины отклонения эмпирического распределения от теоретического выдвинутая гипотеза принимается или отвергается. При проверке статистических гипотез о виде закона распре- деления строится интервальный (табл. 7.2) или дискретный (табл. 7.1)вариационный ряд. Табл ица 7.1 Дискретный вариационный рвд Варианты, х. Xi x2 Xj X, Частоты, т. /П1 m2 ... mt «li Вероятность, р. Pl P2 ... Pi ... Pi пр{ npi np2 npi npi Табл ица 7.2 Интервальный вариационный рвд Интервалы Xi~X2 x2 — X3 ... X|—1 Xj Xi Xj+i Частоты, m. mi m2 mi-i mt Вероятность, р. P\ P2 Pi-i Pi npf npi «Р2 nPi-i npi где pt — вероятность попадания случайной величины в данный интер- вал для непрерывной случайной величины (вероятность того, что слу- чайная величина приняла данное значение для дискретной случайной величины). Определяется согласно выдвинутой гипотезы; п — объем выборки. По данным вариационного ряда определяется опытное зна- чение критерия 135
число степеней свободы к = 1-г- 1, где I — число вариант (интервалов) вариационного ряда; г — число оцениваемых параметров распределения. Определяется вероятность того, что случайная величина Y примет значение больше ^в > т-е- a = P(y>x|) = HF(j), (7.26) где F(y) — функция распределения %2 (7.24). По величине вероятности (7.26) принимается или отвергает- ся выдвинутая гипотеза Но о виде закона распределения случай- ной величины. Для принятия гипотезы используются стандарт- ные вероятности = 0,05; «^ = 0,10. При а > гипотеза принимается, в противном случае гипотеза отвергается. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.16): где Фактический_интервал — интервал данных, который содержит на- блюдения, подлежащие сравнению с ожидаемыми значениями; Ожидаемый_интервал — интервал данных, который содержит про- изведения npj (ожидаемые значения частот). Если Фактический интервал и Ожидаемыйинтервал имеют различное количество точек данных, то функция ХИ2ТЕСТ по- казывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.16. Используя критерий х2 при уровне значимости a = 0,05, проверьте, согласуется ли гипотеза о нормальном рас- пределении генеральной совокупности с эмпирическим распре- делением выборки объема п = 100 из этой генеральной совокуп- ности. Выборка представлена интервальным рядом. 136
Интервал 3-8 8-13 13-18 18-23 23—28 28-33 33-38 Частота, mt 6 8 15 40 16 8 7 Решение. 1. Определим статистические оценки параметров распреде- ления: i х = -----= 20,7; 1=1 i £(х,- -х)2ГП/ О? - ——7--------= 52,96 ; Л I 1=1 ох = 7,28. 2. Вычислим вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами х и 5Х в интервал с использованием функции Лапласа, приняв Xi = —оо, х, = а>: Р(х, ^Х<хм) = ^ (х —х') 2 г — где Ф ——----- = Ф(г) = —== [е 2 dz— функция Лапласа (табл. П.2), I о, ) V2n Ь и составим расчетную таблицу. Интервал 3-8 8-13 13-18 18-23 23-28 28-33 33—38 Pi 0,0405 0,1045 0,2103 0,2687 0,2181 0,1124 0,0455 пр. 4,05 10,45 21,03 26,87 21,81 11,24 4,55 3. Вычислим опытное значение критерия: и число степеней свободы &=7 — 2—1 = 4. 137
4. По таблице распределения %2 (табл. П.4) определим вероят- ность (можно использовать рассмотренную функцию ХИ2РАСП, п. 7.12): а = Р(Г>Хв) = О,О36. Так как а < = 0,05, то гипотезу о нормальном распреде- лении генеральной совокупности отвергаем. Решим данный пример с использованием функции ХИ2ТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем рабочую таблицу, где будут производиться про- межуточные расчеты: Границы интервалов.х. 3 6 8 13 13 18 18 23 23 28 28 33 33 38 Середины интерваловЛ 55 105 155 205 255 305 355 Xj -X -152 -102 62 02 4.8 9.8 14.8 231J04 104 J04 27,04 0j04 23.04 9604 219.04 Л5 16. 17 18 zi -1376.97 -175 -1.75 -1JQ6 -1J06 -027 -037 0.32 0.32 1.00 1ДО 159 159 137128 0.0405 0,1045 02103 02687 02181 0,1124 0,0455 4,05 10,45 21*03 26,87 21.81 1124 4,56 Частоты,^ 6 8 15 40 16 8 7 1 23 й I 1 _ .... J. _ J 1 I II 1 Г - i ' 1 1 20Д 1 1 . I i i i ' 52,961 ; — —1 T7 ’ H •I 1 +' i 728 — : -J . i J - ! В данной таблице приведены следующие данные: / Y^imi х=^------= 20,7; ячейка А22 содержит значение • ячейка А24 содержит значение £(х, -х)2/п, б2 = ——]----------= 52,96; 2>. i=l • ячейка А26 содержит значение 5Х =7,28; 138
• в первой строке рабочей таблицы приведены значения гра- ниц интервалов х,-; • вторая строка таблицы содержит значения середин интер- валов х{; • в третьей строке рассчитываются значения (х - х); • в четвертой строке рассчитываются значения (х; — х)2; • в пятой строке рассчитываются значения z, = ——— , при- няв Х[ = —оо, х, = со; • шестая строка содержит значения вероятностей попадания случайной величины в интервалы, рассчитанные с помощью функ- ции НОРМСТРАСП: д-НОРМСТРАСП fe+1)-HOPMCTPACH fe); • в седьмой строке приведены значения произведений ид; • восьмая строка содержит значения эмпирических частот; 2. сформируем таблицу исходных данных, содержащую толь- ко две строки: строку со значениями эмпирических частот и строку со значениями рассчитанных частот: А в . 0 . Е ян F : н Я д-? Частота, т, 6 8 15 40 16 8 7 2 У | 4,05 10,45 21,03 26,87 21,81 11,24 4,55 3. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 4. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ® на панели ин- струментов; 5. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ХИ2ТЕСТ -> ОК; 6. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ХИ2ТЕСТ; 7. нажав кнопку 3 в поле Фактический_интервал, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: Н1). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ХИ2ТЕСТ; 8. нажав кнопку 2 в поле Ожидаемый_интервал, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: Н2). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвращаемся к окну функции ХИ2ТЕСТ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,036 (а = Р(У>у2в)). 139
Пример 7.17, Проведено 100 опытов, каждый из которых со- стоит из 10 испытаний. Вероятность появления события А в од- ном испытании р — 0,3. В итоге получено следующее эмпириче- ское распределение. Число появления события А в од- ном опыте, X, 0 1 2 3 4 5 Число опытов, в котором событие А появилось Xj раз 2 10 27 32 23 6 Проверьте гипотезу о том, что число появлений события А распределено по биномиальному закону. Решение. 1. Вычислим вероятности появления события А в одном опы- те i раз р. *с;ер'^ и составим расчетную таблицу. / 0 1 2 3 4 5 Pi 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 npj 2,82 12,11 23,35 26,68 21,01 10,29 2. Вычислим расчетное значение критерия li=^tW=wl4 ,=1 пр. и число степеней свободы к~ I— г - 1=6 — 1 — 1=4. 3. По таблице распределения %2 (табл. П.4) определим вероят- ность (можно использовать рассмотренную функцию ХИ2РАСП, п. 7.12): а = /’(Г >xl) = 0,519. Так как а > акр = 0,05, то нет оснований отвергнуть гипотезу о биномиальном распределении генеральной совокупности. Решим данный пример с использованием функции ХИ2ТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем рабочую таблицу, где будут производиться про- межуточные расчеты: 140
ч 8 9 i 0 1 2 3 4 5 Р< 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 2,82 12,11 23,35 26,68 21,01 10,29 В этой таблице приведены следующие данные: • в первой строке приведены значения числа появления со- бытия А в одном опыте /; • вторая строка содержит значения вероятностей появления события А в одном опыте i раз, рассчитанные с помощью функ- ции БИНОМРАСП (/; 10; 0,3; ЛОЖЬ); • в третьей строке приведены значения произведений пр,; 2. сформируем таблицу исходных данных. Данная таблица состоит из двух строк: в первой строке представлены эмпириче- ские частоты rrij (число опытов, в котором событие А появилось i раз), во второй строке — расчетные частоты пр, (рассчитаны по биномиальному закону); 1 А ! В С Z В Е J -ХИ 1 | Частота, т, 2 10 27 32 23 б 2,82 12,11 23,35 26,68 21,01 10,29 3. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 4. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 5. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ХИ2ТЕСТ -> ОК; 6. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ХИ2ТЕСТ; 7. нажав кнопку 2 в поле Фактический_интервал, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: G1). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ХИ2ТЕСТ; 8. нажав кнопку 51 в поле Ожидаемый_интервал, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: G2). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ХИ2ТЕСТ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -» 0,519 (а = Р(У >Хв))- 141
7.15. Определение значения функции распределения F-распределения (распределения Фишера — Снедекора). Функция FPACn Синтаксис функции'. FPACIJ (X, Степени_свободы1, Степени сво- боды2) /-распределение имеет случайная величина (7.27) где X} и Х2 — независимые случайные величины, имеющие х2_Рас- пределение соответственно Ц и степенями свободы. Если х|; х2, — выборка из нормальной (тих,о2) гене- ральной совокупности, a J], у2, Уь2 — выборка из нормальной (ту,а2у ) генеральной совокупности, то статистика 1 - (7.28) где х = имеет /’-распределение с (k\ - 1, к2 — 1) степенями свободы; /-распределение имеет функцию плотности: /(*) = вГ^-Д (22 х >0 , (7.29) 1 где В(г, s) = J xr-1 (1 - x)'~xdx — бета-функция, о График функции плотности /’-распределения имеет следую- щий вид (рис. 7.7). 142
Рис. 7.7. График функции плотности F-распределения Числовые характеристики /’-распределения: математическое ожидание — MfA'l = —-—, к2 > 2; к2-2 дисперсия — D[ Jf] = к2 > 4. kt(k2-2)(k2-4) /’-распределение в математической статистике используется для проверки статистических гипотез. Функция распределения /’-распределения определяется зави- симостью: (7.30) С использованием /’-распределения, определяемого функци- ей плотности (7.29) или функцией распределения (7.30), опреде- ляется уровень значимости а для односторонней доверительной 143
вероятности р = 1 — а, отвечающей значению х с к\ и kj степе- нями свободы (рис. 7.7). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.18): где X — значение, для которого вычисляется функция; Степени_свободы1 — степени свободы числителя; Степени_свободы2 — степени свободы знаменателя. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ЕРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X отрицательно, то функция ЕРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Степени_свободы1 или Степени_свободы2 не це- лое, то оно усекается. Если Степени_свободы1 меньше 1 или Степени_свободы1 => Ю10, ЕРАСП показывает значение ошиб- ки #ЧИСЛО! Если Степени_свободы2 меньше 1 или Степе- ни_свободы2 => 1О10, ЕРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! РРАСП вычисляется следующим образом: ЕРАСП=Р (F<x), где F — случайная величина, которая имеет ^-распределение. Пример 7.18. Случайная величина X имеет Е-распределение с к\ = 5, ki = 8 степенями свободы. Определите значения функ- ции распределения Е(х) при х = 3,69 и при х = 6,63. Решение. Значения функции распределения Е(х) определим по форму- ле (7.30): х = 3,69; Е(х) = р = 1 - а = 0,95; а = 0,05; х = 6,63; Е(х) = р = 1 - а = 0,99; а = 0,01 (табл. П.5). Решим данный пример с использованием функции РРАСП. Алгоритм действий следующий: 144
1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку S на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию РРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЕРАСП; 5. в поле X введем значение 3,69; 6. в поле Степени_свободы1 введем значение к\ = 5; 7. в поле Степени_свободы2 введем значение к% = 8; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,05 (уровень значимости). Примечание. Если в поле X ввести значение 6,63, то получим значе- ние уровня значимости а = 0,01. 7.16. Определение параметра х по значению функции распределения F-распределения. Функция РРАСПОБР Синтаксис функции'. РРАСПОБР (Вероятность, Степени сво- боды1, Степени свободыТ) При использовании данной функции решается следующая за- дача: известно, что случайная величина X имеет /’-распределение, определяемое законом распределения (7.29) или (7.30); известны параметры /’-распределения — числа степеней свободы к\ и и односторонняя доверительная вероятность р = 1 — а. Необходимо по числу степеней свободы ку к^ и уровню значимости а опреде- лить параметр х, при котором функция распределения принимает заданное значение. Окно данной функции представлено ниже (числовые данные из примера 7.19). Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция РРАСПОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Ес- ли Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функция РРАСПОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Степе- ни_свободы1 или Степени свободы! не целое, то оно усекается. Если Степени_свободы1 меньше 1 или Степени_свободы1 => 1О10, РРАСПОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Сте- 145
пени_свободы2 меньше 1 или Степени_свободы2 => IO10, FPAC- ПОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! где Вероятность — вероятность, связанная с /•’-распределением (уровень значимости); Степени_свободы1 — степени свободы числителя; Степени_свободы2 — степени свободы знаменателя. РРАСПОБР можно использовать, чтобы определить крити- ческие значения /’-распределения. Например, результаты дис- персионного анализа обычно включают данные для F- статистики, Р-вероятности и Р-критическое значение с уровнем значимости 0,05. Чтобы определить критическое значение F, нужно использовать уровень значимости а как аргумент Вероят- ность для РРАСПОБР. РРАСПОБР использует метод итераций для вычисления зна- чения. Если задано значение вероятности, то функция FPAC- ПОБР производит итерации, пока не получит результат с точно- стью ± 3 • 10-7. Если РРАСПОБР не сходится после 100 итера- ций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.19. Случайная величина X имеет /'-распределение с числом степеней свободы к\ == 5, kz = 8. В некоторой точке х функция распределения F(x) - 0,95(0,99). Определите значение этой точки. Решение. Значение параметра х определяется по функции распределе- ния (7.31). а = 1 - р = 1 - Р(х) = 0,05; х = 3,69; а = 1 — р = 1 — F(x) = 0,01; х = 6,63 (табл. П.5). 146
Решим данный пример с использованием функции РРАСПОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию РРАСПОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции РРАСПОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,05; 6. в поле Степени_свободы1 введем значение к\ = 5; 7. в поле Степени_свободы2 введем значение кэ = 8; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 3,69. Примечание. Если в поле Вероятность ввести значение а = 0,01, то получим х = 6,63. 7.17. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий (определение вероятности статистики F). Функция ФТЕСТ Синтаксис функции'. ФТЕСТ (Maccuel, Массив?) На практике необходимость сравнения дисперсий возникает при сравнении точности приборов, инструментов, самих мето- дов измерений. Предпочтение следует отдать прибору (методу), который имеет большую точность (меньшую дисперсию). Пусть имеются две генеральные совокупности X и Y, имею- щие нормальное распределение. Из этих совокупностей извле- чены две выборки, объемом гц и пъ по которым определены статистические оценки дисперсий: (7.31) Требуется по этим дисперсиям при заданном уровне значи- мости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ге- неральные дисперсии равны между собой. 147
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. гене- ральные дисперсии одинаковы, то различие вычисленных дис- персий незначимо и объясняется случайными причинами. На- пример, если различие вычисленных дисперсий результатов из- мерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначи- мым, то приборы имеют одинаковую точность. Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные дисперсии не одинаковы, то различие вычисленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии раз- личны. Например, если различие вычисленных дисперсий ре- зультатов измерений, производимых двумя приборами, оказа- лось значимым, то точность приборов различна. При проверке статистической гипотезы вычисляют опытное значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей): - 2 ^в=-?Т (7-32) и числа степеней свободы к\ = «1 — 1; = П2 “ 1. Дисперсии вычисляются по формулам (7.31). Критическая область строится в зависимости от вида конку- рирующей гипотезы. При этом рассматривают два случая. 1. Нулевая гипотеза Но : = ДЧ- Конкурирующая гипотеза Н\ : D[X\ * _Й[У]. В этом случае строят двустороннюю критическую область с уровнем значимости 2а. 2. Нулевая гипотеза Но : = 7)[У]. Конкурирующая гипотеза Hi : Z)[i] > 7)[У]. В этом случае строят одностороннюю критическую область с уровнем значимости а. Для вычисленного значения критерия (7.32) определяют рас- четное значение уровня значимости (табл. П.5): а = Л/в > х). (7.33) Если вычисленный уровень значимости больше заданного, то гипотеза не отвергается (принимается). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.20): 148
где Массив! — первый массив или интервал данных; Массив! — второй массив или интервал данных. Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями учитываются. Если количество точек, данных в аргументе Массив1 или Массив!, меньше 2, или если дисперсия аргумента Массив1 или Массив! равна нулю, то функция ФТЕСТ показывает значение ошибки #ДЕЛ/0! Пример 7.20, Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две выборки, объемом п\ — 10 и «2 = 8. В результате изме- рения контролируемого размера получены результаты: Xi 1,08 1,14 1,25 1,10 1,36 1,42 1,40 1,38 1,15 1,12 У1 1,33 1,35 1,22 1,18 1,36 1,12 1,11 1,38 — __ Можно ли считать, что станки имеют одинаковую точность при уровне значимости а — 0,10? Решение. Рассчитаем средние значения выборок и статистические оцен- ки дисперсий: _ 1 «1 _ 1 «2 х = —V х,- = 1,240 ; у =—Vy, = 1,266; «I ,=1 «2 ,=1 5х2=—Ц-^(х,-х)2 =0,0187; «1 -1 <=1 149
5/=—!—Е(Л-П2= 0,0124. «2-1 i=l Вычислим опытное значение критерия: гв=Х-Л«1Е=1,51. Sm2 0,0124 Уровень значимости для опытного значения FB определим по формуле (7.30): х = 1,51; а = 0,3; 2а = 0,6. Так как а = 0,3 > а = 0,1, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Станки имеют одинаковую точность. Решим данный пример с использованием функции ФТЕСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: j5 X; 1,08 1,14 1,25 1Д 1,36 1,42 1,4 1,38 1,15 1,12 ‘Г У, 1,33 1,35 1,22 1,18 1,36 1,12 1,11 1,38 - - 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ФТЕСТ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ФТЕСТ; 6. нажав кнопку -3 в поле Массив 1, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ФТЕСТ; 7. нажав кнопку Ji в поле Массив!, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: 12). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ФТЕСТ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,60 (двусторонний уровень значимости 2а). 150
7.18. Определение значения преобразования Фишера. Функция ФИШЕР Синтаксис функции-. ФИШЕР (X) Плотность распределения выборочного коэффициента кор- реляции Гху, вычисляемого по выборке объема п из двумерной нормальной генеральной совокупности с коэффициентом кор- реляции р^, в общем случае имеет довольно сложный вид (осо- бенно при Рду^О). Распределение выборочного коэффициента корреляции можно приближенно привести к нормальному с помощью преобразования Фишера: (7.34) £(*, -х)(у, -у) где гху = . 1=1 — выборочный коэффициент корре- -x)2i(y> -у)2 V mi 1=1 ляции; — 1 " — 1 " х = —; у = — V yt — выборочные средние. п /=1 «,=1 Распределение величины Z, отдельные реализации которой определяются соотношением (7.34), при п -> оо стремится к нормальному с числовыми характеристиками: М[7] = -1п^-^-+...Рху ; D[Z] = —^—. 2 1-р^ 2(и-1) п-3 При этом даже при небольших п, приближение достаточно хорошее, и получаемая погрешность аппроксимации вполне приемлема для решения практических задач. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.21): Если X не является числом, то функция ФИШЕР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X <= -1 или X => 1, то функция ФИШЕР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.21, По двумерной выборке объема п определен вы- борочный коэффициент корреляции = 0,541. Определите значение Z-преобразования Фишера.
ФИШЕР............ , -----. X jo,541 ij = C,541 «0,605568313 Возвращает т«л.г ratine Фишера. Более подробные сведения приведены в спмс'.’ч* •системе. X числовое значение, которое ».е лзтепсио г^есбриомгь, целое число в интервале от -1 до 1 исключая концы. Значение:0,6056 ' | • ’ Отмена | где X — числовое значение, которое желательно преобразовать. Решение. По формуле (7.34) определяем: 1 1 + 0,541 Z = —In------= 0,6056 . 2 1-0,541 Решим данный пример с использованием функции ФИШЕР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку я/* на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ФИШЕР ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ФИШЕР; 5. в поле X введем значение 0,541; 6. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,6056. 7.19. Определение обратного преобразования Фишера. Функции ФИШЕРОБР Синтаксис функции'. ФИШЕРОБР (Y) Обратное преобразование проводится по зависимости С помощью обратного преобразования по величине Z опре- делим выборочный коэффициент корреляции гху. 152
Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.22): ФИШЕР0БР £_________________________5 ¥10,6056 = 0,6056 . ....'"< ..................................:____г— = 0,541022413 Вожчщд*’ обратное преобразование Фишера если у = ФИШЕР(х), то ФИШЕРОБР((у) » X. Более подробные сведения приведены в справочной системе : . - Y значение, для которого производится обратное преобразование | ©] Значение: 0,541- | | Отмена | где Y — значение, для которого производится обратное преобразование. Если Y не является числом, то функция ФИШЕРОБР пока- зывает значение ошибки #ЗНАЧ! Пример 7.22. Известно значение преобразования Фишера Z = 0,6056. Определите значение выборочного коэффициента корреляции. Решение. Значение выборочного коэффициента корреляции опреде- лим по формуле (7.35): 2 0 6056 1 р — 1 г =----------- = 0 541 20 6056 I ’ е +1 Решим данный пример с использованием функции ФИШЕР- ОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку И на панели инструментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ФИШЕРОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ФИШЕРОБР; 5. в поле Y введем значение 0,6056; 6. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,541. 153
7.20. Определение значения функции рас- пределения и функции плотности экс- поненциального распределения. Функ- ция ЭКСПРАСП Синтаксис функции: ЭКСПРАСП (X, Лямбда, Интегральный) Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если у плотности распределения такой вид. /(%) = Хе-Хх,х>0; О , х < 0, (7.36) где X — параметр распределения. Функция распределения определяется зависимостью Г(х) = 1-е-Ьг,х>0; О ,х<0. (7.37) Графики функции плотности и функции распределения име- ют вид (рис. 7.8). Рис. 7.8. Графики функции плотности и функции распределения Числовые характеристики: М[х] = |; = k X2 Экспоненциальное распределение широко используется в теории массового обслуживания, теории надежности, при изу- чении сроков службы различных устройств. 154
Статистическое оценивание параметра X производится по формуле Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.23): где X — значение функции; Лямбда — значение параметра; Интегральный — логическое значение, которое указывает, какую форму экспоненциальной функции использовать. Если Интегральный имеет значение ИСТИНА, то функция ЭКСПРАСП определяет интегральную функцию распределения; если этот параметр имеет значение ЛОЖЬ, то определяется функция плотности распределения. Если X или Лямбда не является числом, то функция ЭКСП- РАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X меньше О, то функция ЭКСПРАСП показывает значение ошибки #ЧИС- ЛО! Если Лямбда <= 0, то функция ЭКСПРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.23. Определите значения функции плотности и функции распределения при х = 1,2; X = 5. Решение. Значение функции плотности определим по формуле (7.36), а функции распределения — по формуле (7.37). 155
f{x) = Te~u =0,0124; F(x) = l-e~kc =0,9975. Решим данный пример с использованием функции ЭКСП- РАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку г* на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЭКСПРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЭКСПРАСП; 5. в поле X введем значение х — 1,2; 6. в поле Лямбда введем значение X = 5; 7. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,0124 (значение функции плотности). Примечание. Если в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то получим значение функции распределения F[x) = 0,9975. 7.21. Определение значения функции распределения и функции плотности гамма - распределения. Функция ГАММАРАСП Синтаксис функции'. ГАММАРАСП (X, Альфа, Бета, Интегральный) Непрерывная случайная величина X имеет гамма- распределение с плотностью вероятности: /(*)=< X 1 р“Г(а) (7.38) 0, х<0, где а и р — параметры распределения (а > 0, р > 0); 00 Г(а) = — гамма-функция Эйлера, о 156
Функция распределения определяется зависимостью: ^М = раГ(а) О, 1 X 1 jua-le Pdu, о х<0. х > 0; (739) График функции плотности гамма - распределения имеет вид (рис 7.9). Рис. 7.9. Графики функции плотности гамма-распределения Числовые характеристики Af[x] — Ра; D[x] = р2а. Гамма-распределение является непрерывным аналогом отри- цательного биномиального распределения. При а = 1 гамма- распределение совпадает с экспоненциальным — с X = , а при а = у, р = у — с /^-распределением с и степенями свободы. При р = лц и а = п гамма-распределение называется эрлангов- ским распределением с параметрами (л, ц) и описывает распре- деление длительности интервала времени до появления и собы- тий процесса Пуассона с параметром ц, используемым в теории массового обслуживания и теории надежности. При Р = 1 получаем стандартное гамма-распределение с функцией плотности: 157
f(x) = Г(а) ’ x>0. (7-40) Статистические оценки параметров распределения опреде- ляются по формулам: 1 « , 1 д , где х = -Ух( ; s2 =-У(х,- -х)2 . и ,=1 п (=1 Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.24): Возвращает гамма-распределение. Более подробные сведения приведены в справочной системе. Интегральный логическое значение, определяющее вид функции: интегральная функция распределения (ИСТИНА) или весовая функция распределения (ЛОЖЬ). Значение: 0,0669 | ОК | Отмена где X — значение, для которого требуется вычислить распределение; Альфа — параметр распределения; Бета — параметр распределения. Если Бета равно 1, то функция ГАММАРАСП определяет стандартное гамма-распределение. Интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если Интегральный имеет значение ИСТИНА, то функция ГАММАРАСП определяет интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то определяется функция плотности распределения. Если X, Альфа или Бета не являются числом, то функция ГАММАРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X меньше 0, то функция ГАММАРАСП показывает значение ошиб- ки #ЧИСЛО! Если Альфа меньше 0 или если Бета меньше 0, то функция ГАММАРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! 158
Пример 7.24. Определите значения функции распределения и функции плотности гамма-распределения при х = 12; а = 5; Р = 2. Решение. Данные значения определим по формулам (7.38) и (7.39). 1 х F{x) =------₽Ju = 0,7149; Р“Г(«)о f{x) =—-—ха *е ₽ =0,0669. Р“Г(а) Решим данный пример с использованием функции ГАМ- МАРАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку И на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ГАММАРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ГАММАРАСП; 5. в поле X введем значение х = 12; 6. в поле Альфа введем значение а = 5; 7. в поле Бета введем значение р = 2; 8. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,0669 (значение функции плотности). Примечание. Если в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то получим значение функции распределения Дх)=0,7149. 7.22. Определение аргумента по значению функции распределения гамма — распределения. Функция ГАММАОБР Синтаксис функции: ГАММАОБР {Вероятность, Альфа, Бета) При использовании данной функции решается обратная за- лача: известно, что случайная величина X имеет гамма-распре- 159
деление, определяемое законом распределения (7.39); известны параметры распределения а и 0 и значение функции распреде- ления в заданной точке х. Необходимо по известным парамет- рам определить значение точки х, в которой функция распреде- ления принимает заданное значение. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.25): ГАММАОБР - ,--- — -- ........- - Вероятность |о,7149 ^ = 0,7149 В Альфа .А) игВ : Бета|Г“~----------------------3 = 2 = 11,99935014 Возвращает обратное галил-orvr депемш ‘ i I' Бета параметр распределения, положительное число. Если бета=1, то Г АММАОБР гпчюашаетстэндартное гамма-распределение. (3 Значение; 12 | ОК ] Отмена j ——----------— ---------------—-------——----------— XJ где Вероятность — вероятность, связанная с гамма-распределением; Альфа — параметр распределения; Бета — параметр распределения. Если Бета равно 1, то функция ГАММАОБР определяет стан- дартное гамма-распределение. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ГАММАОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Вероятность меньше 0 или Вероятность больше 1, то функ- ция ГАММАОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Альфа <= 0 или если Бета <= 0, то функция ГАММАОБР пока- зывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Бета <= 0, то функциг ГАММАОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! ГАММАОБР использует метод итераций для вычисления функции. Если задано значение вероятности, то функция ГАММАОБР производит итерации, пока не получит результат с точностью ±3 • 10~7. Если ГАММАОБР не сходится после 100 итераций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.25. Определите значение х, при котором гамма- распределение принимает значение 0,7149; а = 5; 0 = 2. Решение. Значение х определяется из решения уравнения: 160
0,7149 =----fwa-1e * du. 0ar(a)Jo Решение данного уравнения дает результат х = 12,0. Решим данный пример с использованием функции ГАМ- МАОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку Я на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ГАММАОБР -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ГАММАОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,7149; 6. в поле Альфа введем значение а = 5; 7. в поле Бета введем значение р = 2; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кнопку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 12. 7.23. Определение натурального логарифма гамма-функции. Функция ГАММАНЛОГ Синтаксис функции'. ГАММАНЛОГ (А) При использовании данной функции определяется натураль- ный логарифм гамма-функции, т.е. ГАММАНЛОГ (х)= In Г(х) = In J е~ии x~ldu . (7.41) о Число е, возведенное в степень ГАММАНЛОГ (я), где п — целое число, определяет (и — 1)! Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.26): Если X не является числом, то функция ГАММАНЛОГ по- казывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X <= 0, то функция ГАММАНЛОГ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.26. Определите натуральный логарифм гамма- функции в точке х = 25. 6 Статистические функции в экономике- 161
где X — значение, для которого вычисляется ГАММАНЛОГ. Решение. 1пГ(х) = InJ e~uux~'du = 54,785 . о Решим данный пример с использованием функции ГАМ- МАНЛОГ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ГАММАНЛОГ ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ГАММАНЛОГ; 5. в поле X введем значение 25; 6. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -+ 54,785. 7.24. Определение функции распределения бета-распределения. Функция БЕТАРАСП Синтаксис функции: БЕТАРАСП {X, Альфа, Бета, А, В) Непрерывная случайная величина X имеет бета-распределе- ние с параметрами (а, Р) (а > 0, р > 0), если функция плотности определяется выражением: 162
ж>= 'Г(а + Р)ха-1(1_л)Р-1 Г(а) + Г(₽) 1___ В(а,₽) х“'(1-х)р|, х е (ОД); (7-42) О, х<?(0,1), оо где Г(а) = | xa ie Xdx — гамма-функция; о В(а,Р) = |х“ *(1-х)р 1 = ~ бета-функция. Функция распределения выражается через неполную бета- функцию 7?(х) = —(7.43) В(а,Р)о Вид функции плотности сильно зависит от параметров рас- пределения аир (рис. 7.10). Рис. 7.10. Графики функции плотности бета-распределения Числовые характеристики: Л/[%] = а а + Р 6* 163
«Р (a+P)2(a + p + l) Распределения многих порядковых статистик сводятся к бе- та-распределению. Если а = 1, р = 1, то бета — распределение совпадает с равномерным на интервале (0,1). При р = а + 1 бета-распределение называется обобщенным распределением арксинуса, а при а = р = -| — распределением арксинуса. Статистические оценки параметров распределения опреде- ляются по формулам. а = х|х(1-х)/5,2]-1}, Р = (1-х)|х(1-х)/х2]-1^ 1 И Iя где х = - ; s2 = -£(х, _*)2 • « i=i « ,=i Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.27): где X — значение в интервале между А и В, для которого вычисляется функция; Альфа — параметр распределения; Бета — параметр распределения; А — необязательная нижняя граница интервала изменения х; В — необязательная верхняя граница интервала изменения х. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция БЕТАРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Ес- 164
ли Альфа <= 0 или Бета <= О, то функция БЕТАРАСП показы- вает значение ошибки #ЧИСЛО! Если X < А, X > В или А = В, то функция БЕТАРАСП пока- зывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если значения А и В опу- щены, то функция БЕТАРАСП использует стандартное инте- гральное бета-распределение, так что А=0 и В=1. Пример 7.27. Определите значение функции распределения бета-распределения при х = 0,8, а = 5, 0 = 2. Решение. Значение функции распределения в данной точке найдем по формуле (7.43): Jи“ * <1" ")₽ 'du=°’6554 • В(«,₽)о Решим данный пример с использованием функции БЕТАРАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию БЕТАРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции БЕТАРАСП; 5. в поле X введем значение х = 0,8; 6. в поле Альфа введем значение а = 5; 7. в поле Бета введем значение 0 = 2; 8. значения в полях А и В опускаем (стандартное интеграль- ное бета-распределение); 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,6554. 7.25, Определение аргумента по значению функции распределения бета- распределения. Функция БЕТАОБР Синтаксис функции: БЕТАОБР (Вероятность, Альфа, Бета, А, В) При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно, что случайная величина X имеет бета-распре- 165
деление, определяемое законом распределения (7.43); известны параметры распределения а и 0 и значение функции распреде- ления в заданной точке х. Необходимо по известным парамет- рам определить значение точки х, в которой функция распреде- ления принимает заданное значение. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.28): где Вероятность — вероятность, связанная с бета-распределением; Альфа — параметр распределения; Бета — параметр распределения; А — необязательная нижняя граница интервала изменения х; В — необязательная верхняя граница интервала изменения х. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция БЕТАОБР показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Альфа <= О или Бега <= 0, то функция БЕТАОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Вероятность <= 0 или Вероятность > 1, то функция БЕТАОБР показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если опущены значения аргументов А и В, то функция БЕТАОБР использует стан- дартное интегральное бета-распределение, так что А = 0 и В =1. БЕТАОБР использует метод итераций для вычисления зна- чения. Если задано значение вероятности, то функция БЕТА- ОБР производит итерации, пока не получит результат с точно- стью ±3 • 10-7. Если БЕТАОБР-не сходится после 100 итера- ций, то функция показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 7.28. Определите значение х, при котором бета- распределение принимает значение 0,6554; а == 5; 0 = 2. 166
Решение. Значение х определяем из решения уравнения: 0,6554 = —. Решение уравнения дает результат х = 0,8. Решим данный пример с использованием функции БЕТАОБР. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычис- лений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку W на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию БЕТАОБР > ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции БЕТАОБР; 5. в поле Вероятность введем значение 0,6554; 6. в поле Альфа введем значение a = 5; 7. в поле Бета введем значение р = 2; 8. значения в полях А и В опускаем (стандартное интеграль- ное бета-распределение); 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений 0,8. 7.26. Определение значения функции распределения и функции плотности распределения Вейбулла. Функция ВЕЙБУЛЛ Синтаксис функции: ВЕЙБУЛЛ (X, Альфа, Бета, Интегральный) Непрерывная случайная величина х имеет распределение Вей- булла с плотностью вероятности: -f-T /(x) = ^-xale , (7.44) где а, р — параметры распределения. Функция распределения определяется зависимостью: 167
F(x) = l-ekp; (7.45) Вид графика функции плотности и функции распределения сильно зависит от параметров распределения аи₽ (рис. 7.11). Числовые характеристики: £>Ш = р2 W а+2 а -12 Данному распределению подчиняются пределы упругости стали, характеристики прочности некоторых материалов и неко- торые другие случайные величины. При а = 1 распределение Вейбулла определяет экспоненци- , 1 альное распределение с параметром X = —. Статистические оценки параметров распределения опреде- ляются из решения системы уравнений: 168
п |у£х“ lnx' ~£1пх- _ 1 п ~ Р= Iй 1=1 Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 7.29): = 0/908789913 Возвращает распределение Вейбулла.. Более подробные сведения приведены.в справочной системе» Интегральный логическое значение, определяющее вид.функции: интегральная функция ре гт-г.г1>-н1ъ* (ИСТИНА) или весовая функция распределения (ЛОЖЬ), @Эначе>1ие:?,909 | ОК | Отмена [ где X — значение, для которого вычисляется функция; Альфа — параметр распределения; Бета — параметр распределения; Интегральный — определяет форму функции. Если X, Альфа или Бета не являются числом, то функция ВЕЙБУЛЛ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X < 0, то функция ВЕЙБУЛЛ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Альфа <= 0 или Бета <= 0, то функция ВЕЙБУЛЛ пока- зывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 7.29. Определите значения функции распределения и функции плотности распределения Вейбулла при х = 1,8; а = 5, ₽ = 2. Решение. Значение функции плотности определим по формуле (7.44), а значение функции распределения — по формуле (7.45); f(x)=—хие^ =0,909; ра 7 Статистические функции в экономико- статистических оаечстах 169
F(x) = l-e =0,446. Решим данный пример с использованием функции ВЕЙБУЛЛ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку & на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ВЕЙБУЛЛ -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ВЕЙБУЛЛ; 5. в поле X введем значение х = 1,8; 6. в поле Альфа введем значение а = 5; 7. в поле Бета введем значение р = 2; 8. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений 0,909 (значение функции плотности). Примечание. Если в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то получим значение функции распределения F(x) = 0,446.
8. Определение параметров распределений дискретных случайных величин 8.1. Определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Функция БИНОМРАСП Синтаксис функции: БИНОМРАСП (4ucao_s, Испытания, Ве- роятность_5, Интегральный) Биномиальным является распределение вероятностей появ- ления т числа событий в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. Вероятность возможного числа появления события вычисля- ется по формуле Бернулли: Рп„ = Р(Х = т) = С™рт (1 - р)п~т = Рт(1-рГт, (8.1) т'.(п - ту где т — возможное значение случайной величины X, указывающее, какое число раз при п испытаниях может наступить интересующее нас событие. Биномиальное распределение может быть задано в виде ряда распределения, значения которого находим по формуле (8.1) и в виде функции распределения: О, т < 0; F(x) = ^Р(Х = т), 0<т<п; т=0 (8-2) 1, т > п. Числовые характеристики биномиального распределения: MIX] = пр-, ЛИ = ир(1 - р). Примерами случайных величин, имеющих биномиальное распределение, являются: число бракованных изделий в повтор- ной выборке из п изделий; число работающих станков в произ- 7* 171
вольный момент времени рабочей смены; число попаданий в цель при п выстрелах и т.п. С использованием биномиального распределения определя- ется вероятность возможного числа появления события (8.1) и функция распределения (8.2). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 8.1): где Число_* — количество успешных испытаний; Испытания — число независимых испытаний; Вероятность* — вероятность успеха каждого испытания; Интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент Интегральный имеет значение ИСТИНА, то функция БИНОМРАСП определяет интегральную функцию распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испы- таний не менее значения аргумента Число_*; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то определяется вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргу- мента Число*. Число* и Испытания усекаются до целых. Если Число*, Испытания или Вероятность * не являются числом, то функция БИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Чис- ло * меньше 0 или Число * больше Испытания, то функция БИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Вероятность * меньше 0 или Вероятность * больше 1, то функ- ция БИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 8.1. В партии деталей имеется 1% брака. Найдите ве- роятность того, что среди 50 отобранных деталей из этой партии 172
будет О, 1, 2, 3 бракованных; вероятность того, что число брако- ванных деталей будет не более двух. Решение. Вероятность того, что число бракованных деталей будет 0, 1, 2, 3, определяется по формуле (8.1): Р(Х = 0) = -—— 0,01° • О,9950 = 0,605; 0!(50 —0)! Р(Х = 1) = ———0,01* • 0,9949 = 0,306 ; 1!(50-1)! Р(Х = 2) =--— 0,012 • 0,9948 = 0,076 ; 2!(50-2)! Р(Х - 3) =--—----0,013 0,9947 = 0,012 . 3!(50-3)! Вероятность того, что число бракованных деталей будет не более двух, определяется по формуле (8.2): 2 F(2) = £P(Jf = т) = Ро + Рх + Р2 = 0,987 . т,-0 Решим данный пример с использованием функции БИНОМ- РАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку И на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию БИНОМРАСП -» ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции БИНОМСТРАСП; 5. в поле Число_8 введем значение 0; 6. в поле Испытания введем значение 50; 7. в поле Вероятностью введем значение 0,01 (1% брака); 8. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,605 (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента Числою). 173
Примечания. 1. Если в поле Число_в последовательно ввести значения 1, 2, 3, каждый раз вновь вызывая функцию БИНОМРАСП, то получим соот- ветственно следующие результаты вычислений: 0,306; 0,076; 0,012; 2. Если в поле Число_8 ввести значение 2, а в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то функция БИНОМРАСП вы- числит значение интегральной функции распределения (вероятность того, что число бракованных деталей будет не более двух) — 0,987. 8.2. Определение наименьшего значения биномиальной случайной величины. Функция КРИТБИНОМ Синтаксис функции'. КРИТБИНОМ (Испытания, Вероятностью, Альфа) Применение данной функции позволяет определить наи- меньшее значение случайной величины, имеющей биномиаль- ное распределение, для которой функция распределения (8.2) принимает значения не меньше заданного. При использовании функции распределения (8.2) определяется вероятность того, что случайная величина примет значения т = 0;т=1;т = 2и т.д., т.е. F(x) = Р$ + Р\ + Рг +... При использовании данной функции решается обратная за- дача: известно значение функции распределения и по этому значению определяется минимальное значение числа т. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 8.2): где Испытания — число испытаний Бернулли; Вероятность^? — вероятность успеха в каждом испытании; Альфа — значение критерия. 174
Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция КРИТБИНОМ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Испытания не целое, то оно усекается. Если Испытания меньше 0, то функция КРИТБИНОМ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Вероятность_8 меньше 0 или Вероят- ность_8 больше 1, то функция КРИТБИНОМ показывает значе- ние ошибки #ЧИСЛО! Если Альфа меньше 0 или Альфа больше 1, то функция КРИТБИНОМ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 8.2. Проводится контроль качества партии изделий объемом п = 1000. Вероятность появления бракованного изделия при одном испытании р = 0,005. Определите число бракованных изделий, при котором партия принимается, если в качестве кри- терия берется значение функции распределения Дх) = 0,15. Решение. Значение числа бракованных изделий определим из решения уравнения: ад= t с™рт(1-ру-т. т~0 При Дх) = 0,15; р — 0,005; п — 1000 решение данного урав- нения дает результат т = 3. Решим данный пример с использованием функции КРИТ- БИНОМ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию КРИТБИНОМ > ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции КРИТБИНОМ; 5. в поле Испытания введем значение п = 1000; 6. в поле Вероятность_8 введем значение р = 0,005; 7. в поле Альфа введем значение Их) = 0,15; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений 3. 175
8.3. Определение вероятности числа неудач в последовательности испытаний Бернулли. Функция ОТРБИНОМРАСП Синтаксис функции-. ОТРБИНОМРАСП{ЧислоJ, Число s, Ве- роятностъз) Случайная величина X имеет отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля) с параметрами (г, р), если в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q = 1 — р вероятность числа не- удач к, происшедших до г — го успеха, определяется по формуле: Р(х = к) = Ск+к_хрг(\-р)к, (8.3) где г — число успехов, целое положительное число; к — число неудач, происшедших до числа успехов г. Числовые характеристики отрицательного биномиального рас- пределения: М[Х]= ; £)[%]= r(1 . Р Р Отрицательное биномиальное распределение используется в статистике несчастных случаев и заболеваний; в задачах, свя- занных с количеством особей данного вида в выборках из био- логических популяций, и т.д. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 8.3): где Число_Г — количество неудачных испытаний; Чис л os — пороговое значение числа успешных испытаний; 176
Вероятность» — вероятность успеха. Число!' и Число» усекаются до целых. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ОТРБИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Вероятность» меньше 0 или Вероятность» боль- ше 1, то функция ОТРБИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если (Числов + Число_» — 1) <= 0, то функция ОТРБИНОМРАСП показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 8.3. Кадровой службе предприятия необходимо из числа претендентов отобрать четыре человека с определенными данными. Вероятность того, что кандидат обладает такими дан- ными, равна 0,2. Определите вероятность того, что придется провести собеседование с десятью кандидатами, прежде чем бу- дут отобраны все четверо подходящих кандидатов. Решение. Данную вероятность определим по формуле (8.3) при р = = 0,2; г = 4; к = 10: P(x = k) = Ck+k_iPr(l-p)k =С11з°О,24О,810 =0,049. Решим данный пример с использованием функции ОТРБИ- НОМРАСП. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ОТРБИНОМРАСП -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ОТРБИНОМРАСП; 5. в поле Число_1 введем значение к = 10; 6. в поле Число_» введем значение г = 4; 7. в поле Вероятность» введем значение р = 0,2; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,049. 177
8.4. Определение вероятности возможного значения и функции распределения случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Функция ПУАССОН Синтаксис функции’. ПУАССОН (X, Среднее, Интегральный) Распределением Пуассона называется такое распределение дискретной случайной величины, при котором она может при- нять одно из возможных значений 0, 1, 2, п с вероятностью -л т Р(Х = т) = Рт=—е-\ (8.4) т\ где т = 0, 1, 2, п; X = пр — параметр распределения, характеризующий интенсивность появления событий в п испытаниях. Распределение Пуассона может быть задано в виде ряда рас- пределения, значения которого определяются по формуле (8.4) и в виде функции распределения: О, т < 0; F(x) = ^Р(Х = т), 0 < т < п; т=0 (8.5) 1,т>п. Числовые характеристики распределения Пуассона: М[Х] = пр = /.; грз = х. Распределение Пуассона является предельным случаем би- номиального распределения при 0, п -> <ю. Отсюда следует, что распределение Пуассона с параметром X = пр можно применять вместо биномиального, когда число опытов п достаточно велико, а вероятность р — достаточно ма- ла, т.е. в каждом отдельном опыте интересующее событие про- исходит крайне редко. Отсюда происходит применяющееся ино- гда для закона Пуассона название «закон редких явлений». Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число а-частиц, испускаемых радиоактив- ным источником за определенный промежуток времени; число требований на выплату страховых сумм за год; число вызовов, 178
поступивших на телефонную станцию за единицу времени; чис- ло отказов элементов при испытании на надежность сложных радиоэлектронных устройств и др. Статистическую оценку параметра распределения находим по формуле: X = х = — У х1 . П ,=1 Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 8.4): Интегральный логическое значение, определяющее вид функции: интегральная функция распределения (ИСТИНА) или весовая функция распределения (ЛОЖЬ). | 1?)| Значение: 0,061 | ОК | Отмена | где X — количество событий; Среднее — ожидаемое численное значение; Интегральный — логическое значение, определяющее форму опре- деляемого распределения вероятностей. Если аргумент Интегральный имеет значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН определяет интегральное распределение Пуас- сона, т.е. вероятность того, что число случайных событий будет от 0 до X включительно; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то определяется вероятность того, что событий будет в точности X. Если X не целое, то оно усекается. Если X или Среднее не является числом, то функция ПУАССОН показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если X <= 0, то функция ПУАССОН показы- вает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Среднее <= 0, то функ- ция ПУАССОН показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 8.4. Завод отправил на склад 500 годных изделий. Вероятность того, что изделие в пути придет в негодность, равна 0,002. Определите вероятность того, что на склад поступят три негодных изделия и не более трех негодных изделий. 179
Решение. Вероятность того, что негодных изделий будет ровно три, определим по формуле (8.4): ’кт I3 1 Р(Х = т) = Р = — е~х =—е-1 = -е~' =0,061; “ ml 3! 6 Х = пр = 500 0,002 = 1. Вероятность того, что негодных изделий будет не более трех, определим по формуле (8.5): з F (х) = ^рт = Ро + Р, + Р2 + Р3 = 0,981. т=0 Решим данный пример с использованием функции ПУАССОН. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку * на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПУАССОН -> ОК; 4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПУАССОН; 5. в поле X введем значение 3; 6. в поле Среднее введем значение 1 (Л. = пр = 500 • 0,002 = 1); 7. в поле Интегральный введем логическое значение ЛОЖЬ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,061 (вероятность того, что негодных изделий будет ровно три). Примечания. Если в поле Интегральный ввести логическое значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН вычислит значение вероятностичо- го, что негодных изделий будет не более трех — 0,981. 8.5. Определение вероятности заданного количества успехов в выборке. Функция ГИПЕРГЕОМЕТ Синтаксис функции'. ГИПЕРГЕОМЕТ {Примеру, Размер_выборки, Г?н_совокупностъ_$, Размер_ген_совокупности) 180
Случайная величина X имеет гипергеометрическое распреде- ление, если вероятность возможного значения случайной вели- чины определяется по формуле: s-in—k Р(Х = к) = м N~M , (8.6) cnN где N — размер генеральной совокупности; п — размер выборки; М — число интересующих нас событий (элементов) в генеральной совокупности; к — число интересующих нас событий (элементов) в выборке. Числовые характеристики гипергеометрического распределения N №(«-1) Типичная схема, в которой имеется гипергеометрическое распределение: проверяется партия готовой продукции, содер- жащая М годных и N— М негодных изделий. Случайным обра- зом выбирают п изделий. Число годных изделий к, среди вы- бранных, описывается гипергеометрическим распределением. При < 0,1 гипергеометрическое распределение может быть приближенно заменено биномиальным распределением с веро- м ятностью успеха р = — и числом испытании и. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 8.5): 181
где Пример_8 — количество успешных испытаний в выборке; Размер_выборки — размер выборки; Ген_совокупность_8 — количество успешных испытаний в генераль- ной совокупности; Размер_ген_совокупности — размер генеральной совокупности. Все аргументы усекаются до целых. Если любой из аргументов не является числом, то функция ГИ- ПЕРГЕОМЕТ показывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Примеру меньше 0 или Примеру больше, чем меньшее из чисел Раз- мер выборки и Ген_совокупность_8, то функция ГИПЕРГЕОМЕТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Примеря меньше, чем большее из чисел 0 и (Размер выборки - Размер_ген_совокуп- ности + Ген_совокупность_5), то функция ГИПЕРГЕОМЕТ показы- вает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Размер_выборки < 0 или Раз- мер_выборки > Размер_ген_совокупности, то функция ГИПЕРГЕО- МЕТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Если Ген_сово- купностья < 0 или Генсовокупносгья > Размергенсовокупности, то функция ГИПЕРГЕОМЕТ показывает значение ошибки #ЧИС- ЛО! Если Размергенсовокупности < 0, то функция ГИПЕРГЕО- МЕТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Пример 8.5. Проверяется партия готовой продукции объемом N = 1000. В среднем в партии 95% годных изделий. Из всей партии извлекается выборка объемом п — 50. Определите веро- ятность того, что в выборке окажется 45 годных изделий. Решение. Искомую вероятность определим по формуле (8.6): х~»45 х-^5 Р(Х = 45) = - 9-°0 50 = 0,0646. QoOO Решим данный пример с использованием функции ГИПЕР- ГЕОМЕТ. Алгоритм действий следующий: 1. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений ($А$4); 2. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 3. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ГИПЕРГЕОМЕТ ОК; 182
4. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ГИПЕРГЕОМЕТ; 5. в поле Пример_8 введем значение 45 (число годных изде- лий в выборке); 6. в поле Размер_выборки введем значение п = 50; 7 в поле Ген_совокупность_8 введем значение 950 (95% год- ных изделий от размера всей генеральной совокупности); 8. в поле Размер_ген_совокупности введем значение N = 1000; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,0646.
9. Построение уравнения регрессии и прогнозирование 9.1. Определение параметров линейной регрессии. Функция ЛИНЕЙН Синтаксис функции'. ЛИНЕЙН (Изв_знач_у, Извзначх, Кон- станта, Стат) При построении уравнения регрессии подбирают вид функ- ции, связывающей результативный показатель у и аргументы хь Х2,..; х^, отбирают наиболее информативные аргументы, вычис- ляют оценки неизвестных значений параметров уравнения рег- рессии и анализируют точность полученного уравнения. Уравнение регрессии — это функция, описывающая зависи- мость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, т.е. у = f(xl,x2,...,xk). Многочисленные опыты по подбору параметров уравнения регрессии показывают, что в реальных процессах зависимость результативного показателя (отклика системы) у от аргументов (факторов) х\, Х2,..., х% хорошо описывается полиномом вида к к к y=b0+Ybix’ +Ybiix> +Xbijxixj+-' <91> z=l z=l j*i Такой полином называют регрессионной зависимостью (уравнением регрессии), а коэффициенты by, by — статисти- ческими оценками коэффициентов регрессии. При этом Ь, — линейные коэффициенты, Ьц — нелинейные коэффициенты, by — коэффициенты, учитывающие взаимное влияние факторов. Задача регрессионного анализа заключается в эксперимен- тальном определении статистических оценок коэффициентов регрессии Ь путем наблюдения за характером изменения вход- ных переменных (факторов) и выходной величины (результа- тивного показателя). Линейная модель уравнения регрессии строится с использо- ванием следующей зависимости: В = (ХГ X)~l XrY, (9.2) 184
те В = bi — матрица-столбец статистических оценок коэффициен- bi тов регрессии; н х12...хи *21 х22 — Х2к — матрица значений объясняющих пере- Л Х„1 хп2 — хпк; менных; V v У2 матрица-столбец значений результативного показателя; \Уп) ХУ — транспонированная матрица Х\ (ХУ Х)~1 — обратная матрица; к — число факторов; п — число наблюдений. Решив уравнение (9.2) в матричном виде, получим коэффи- циенты уравнения регрессии Ьь зная которые можно записать линейную модель уравнения регрессии. Используя зависимость (9.2), можно определить и коэффи- циенты регрессии, учитывающие нелинейную зависимость и взаимное влияние факторов. С этой целью необходимо факторы переобозначить. Например, выходной параметр зависит от трех факторов у = = ДХ1, Х2, хз). Запишем значение этих факторов, квадраты фак- торов, их взаимные произведения и переобозначим их: X] -> X] ; х2 -> х2 ; х3 -> х3 ; X] -> х4 ; х2 -> х5 ; х3 -> х6 ; XjX2 -> х7 ; Х]Х3 —>х8 ; х2х3 —> х9 ; Х]Х2х3 —> х)0 . В результате можно построить линейную модель вида у =Ьъ+Ь}Х\ + b2x2 + b3x3 +b4x4 +b5x5 +b6x6 +67х7 +bsxs + b9x9 + bl0xl0 . Проведя обратное переобозначение, получим регрессионную модель, учитывающую нелинейность и взаимное влияние факторов: 185
у =b0 + b}x} + b2x2 +b2x3 +bi}Xi +b22x2 + 633X3 +612x1x2 + 6)3x1x1 + + 623 x2 x3 + 6123x1x2x3. Для построенной модели вычисляют коэффициент детерми- нации: п п Е(у/-л)2 R2 = 1----/=1 = 1 - , (9.3) п п ’ х ' Ё(^< -у)2 Ёи-у)2 1=1 1=1 где е1=у1-у1 — регрессионные остатки; 1 " у =—У у, — среднее результативного признака. »i=i Коэффициент детерминации показывает долю вариации ре- зультативного признака под воздействием изучаемых факторов, т.е. какая доля вариации зависимой переменной, обусловлена влиянием включенных в модель факторов. Проверка значимости уравнения регрессии проводится на основе критерия Фишера (9.4) п-к — 1 Расчетное значение критерия Ед сравнивается с критическим Екр(а; k; п - к — 1), определяемым по таблице критических то- чек распределения Фишера (можно определить с помощью рас- смотренной функции РРАСПОБР, п. 7.16). Если Ев > Екр, то уравнение регрессии считается значимым, т.е. хотя бы один коэффициент регрессии не равен нулю. Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помо- щью критерия Стьюдента, основанного на статистике (9.5) где = 52[(A'rAr)J/1] — дисперсия коэффициента регрессии Ь-, „2 1 V- 2 s =---------> е, — несмещенная оценка остаточной дисперсии; п-к-1 186
(ХгХ)и1 — элементы обратной матрицы, стоящие на главной диа- гонали. Расчетное значение критерия tb сравнивают с критическим Ма’А гДе/= п- к - Если tb >tKp, то коэффициент Ь, значим. При построении регрессионных моделей рассчитываются: • сумма квадратов регрессии SSj = £(у,-у)2 с числом сте- 1=1 пеней свободы 1с, п • сумма квадратов остатков SS2 = £0',- ~Л)2 с числом сте- 1=1 пеней свободы п — к - 1. С помощью этих величин можно рассчитать: 2 1 • дисперсию регрессии MS{ = sf = —-; k SS • остаточную дисперсию MS2 -s2=------—. п-к-\ Для значимых коэффициентов, при необходимости, можно построить доверительные интервалы 1 к±гл(*г*)«]2 (9.6) Если уравнение регрессии имеет вид у = Ьо + Ь\х, то пара- метры данного уравнения определяются по методу наименьших квадратов на основе решения системы уравнений: ^Ех<2+6оЕх< = Exi>'<5 1=1 1=1 п п b\^xi+nbG=YJyi- . <=1 1=1 Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.1): 187
ДИНЕИН —— ' ~ _ д*~ H»JSHa4_y jB2:B 16 ' 3J® {26:33:24:29:42:24 'Мзв_знач_х)с2:016 ______|37.39.33.40;15,3g Константа |истинд «= ИСТИНА Стат (иСТИНД| 41 *= ИСТИНА j = {1,43565381560953;-О,? Вошмшаг' параметры линейного приближения по методу нэииеньшил яыздотм. Стат логическое мм»»*, которое укатывает, требуется вернуть . • муйытвленуюстатист»» у по регрессии (ИСТИНА) или нет у (ПСТы. Значение:!,435653816 ОК | Отмена где Изв_знач_у — множество значений у; Изв_знач_х — необязательное множество значений х; Константа — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы коэффициент Ьц был равен 0; Стат — логическое значение, которое указывает, требуется ли рас- считать дополнительную статистику по регрессии. Если массив Изв_знач_у имеет один столбец, то каждый столбец массива Изв знач х интерпретируется как отдельная переменная. Если массив Изв_знач_у имеет одну строку, то каждая строка массива Изв знач х интерпретируется как отдельная переменная. Массив Изв_знач_х может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна перемен- ная, то Изв_знач_у и Изв_знач_х могут быть массивами любой формы при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то Изв_знач_у должны быть вектором (то есть интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец). Если Изв_знач_х опущены, то предполагается, что это мас- сив {1; 2; 3; ...} такого же размера, как и Изв_знач_у. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то коэффициент Ьо вычисляется обычным образом. Если Константа имеет значение ЛОЖЬ, то коэффициент Z>0 полагается равным 0. Если Стат имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН рассчитывает дополнительную регрессионную статистику (табл. 9.1). Если Стат имеет значение ЛОЖЬ или опущена, то функция ЛИНЕЙН определяет только коэффициенты Ьо, Ь\, Ь2, ... . 188
Таблица 9.1 Дополнительные характеристики у Дополнительная регрессионная статистика Величина Описание sei, se2, —, sen Стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрес- сии Ьь b2, bn (sbv sb2, sbn) seb Стандартная ошибка коэффициента Ьц — (seb ~ #Н/Д, если Константа имеет значение ЛОЖЬ) г2 Коэффициент детерминации R2 sey Стандартная ошибка регрессионных остатков s F Расчетное значение F-критерия (FB) df Степени свободы SSreg Сумма квадратов регрессии (SS)) SSresid Сумма квадратов остатков (SSj) В приведенной ниже таблице показано, в каком порядке рас- считываются значения дополнительной регрессионной статистики. mn mn-i m2 mi b sen sen-i se2 set seb г2 sev F df SSreg SSresid Пример 9.1, Объем реализации продукции фирмы у зависит от двух факторов: jq — расходов на рекламу и - цены про- дукции (табл. 9.2). Постройте линейную модель регрессии, учи- тывающую эту зависимость, и проведите ее анализ. Таблица 9.2 Зависимость объема реализации (у) от расходов на рекламу (xj) и цены продукции (х2) № п/н Объем реализации продукции, у Расходы на рекламу, Х1 Цена продукции, х2 1 2 3 4 1 26 37 39 189
Окончание табл. 9.2 1 2 3 4 2 33 33 40 3 24 15 35 4 29 36 48 5 42 26 53 6 24 24 42 7 52 15 54 8 56 33 54 9 26 44 50 10 45 34 53 11 27 63 46 12 54 8 50 13 34 44 43 14 48 43 55 15 45 31 51 Решение. Определим коэффициенты уравнения регрессии: Ч 37 39> 1 33 40 ч 1 1 ... Г Х = 1 15 35 ; хт = 37 33 15 ... 31 <39 40 35 ... 51, <1 31 51, ' 15 486 713 ' ' 565 ' ХТХ 486 18416 23132 ; XTY = 17513 J13 23132 34455, 27656, ' 4,4075412 -0,0111708 ч-0,0837088 -0,0111708 0,0003748 -0,0000204 -О,О837О88Л -0,0000204 0,001775 , 190
(- 20,4137^ B = (XTX)l(XTY) = -0,3136 1,4357 J Уравнение регрессии имеет вид: у = -20,4137-0,3136*! +1,4357х2. Рассчитаем коэффициент детерминации: ZU-л-)2 Я2 = 1 —---------= 0,731. - J)2 i=i Он показывает, что около 73% вариации зависимой пере- менной обусловлено влиянием включенных факторов, а остав- шиеся 27% — влиянием других не учтенных в модели факторов. Проверим значимость уравнения регрессии: 1-Я2 0,731/2 (1—0,731)/12 = 16,30. п-к-1 По таблице критических точек распределения Фишера (табл. П.5) по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы fi = к= 2 и f2 = п- к~ 1 = 12 определяем FKp =3,88. Так как Fb > FKp, то получаемое уравнение регрессии значимо, т.е. хотя бы один из коэффициентов Ь, не равен нулю. Рассчитаем несмещенную оценку остаточной дисперсии: 1 п ------Тх? = 42,883 ; s = 6,549; п-к-1% дисперсии коэффициентов регрессии: s2bi = 42,883 • 0,0003748 = 0,01607; sb{ = 0,127; s2b2 = 42,883 • 0,001775 = 0,0761; sb2 = 0,276. Проверим значимость коэффициентов регрессии: 0,3136 ‘hi ~ 0,127 = 2,469; 191
1,4327 *Ь2 ~ 0,276 = 5,202. По таблице критических точек распределения Стьюдента (табл. П.З) по а = 0,05 и числу степеней свободы f=n~k — — 1 = 12 определим /кр = 2,179 (/кр можно определить с помо- щью рассмотренной функции СТЬЮДРАСПОБР, п. 7.10). |rfcl| > tKp, коэффициент /^значим; ’ коэффициент значим. При необходимости вычислим: • сумму квадратов регрессии: SS^t^-y)2 = 1396,74; i=i • сумму квадратов остатков: SS2=f(y,-у)2 =514,59; 1=1 • дисперсию регрессии: ,^139674 к 2 -2 остаточную дисперсию: -=^^= 514^9 и-Аг-1 12 Построим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью р = 0,95, используя зависимость (9.6): Ро е [-20,4137 ± 2,179-13,748] = -20,4137 ± 29,96; Р] е [-0,3176 ± 2,179 • 0,127] = -0,3776 ± 0,277; р2 е [1,4357 ± 2,179 • 0,276] = 1,4357 ±0,601. Решим данный пример с использованием функции ЛИНЕЙН. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 192
А В С D № Объем реализации продукции, у Расходы на рекламу,X] Цена продукции, * 2 1 26 37 39 3 2 33 33 40 3 24 15 35 4 29 *36 48 5 42 26 53 -,4 6 24 24 42 а 7 52 15 54 9 8 56 33 54 10 9 26 44 50 11 10 45 34 53 #- 12 11 27 63 46 й 12 54 8 50 14 13 34 44 43 15 14 48 43 55 1 15 45 31 51 2. выберем диапазон ячеек размером 3x5 (5 — число строк: постоянная величина; 3 — число столбцов: равно числу коэффи- циентов уравнения регрессии), в которые будет выведен резуль- тат вычислений (А20: С24); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку I на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЛИНЕЙН -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЛИНЕЙН; 6. нажав кнопку в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2:В16). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ЛИНЕЙН; 7. нажав кнопку 5J в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (C2:D16). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ЛИНЕЙН; 193
8. в поле Константа введем логическое значение ИСТИНА; 9. в поле Стат введем логическое значение ИСТИНА; 10. наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод формулы массива); 11. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках А20: С24 появится результат вычислений: 19 20 1,4357 -0,313611829 -20,41372146 2L 0,2759 0,126781486 13,74803059 0,7308 6,548502705 #н/д 23 16,286 ' 12 #н/д 24 1396,7 514,5946521 #н/д 25 Таблица результатов содержит следующие данные: Z>2 b0 s»2 R2 «2 — FB f — SSi ss2 — 9.2. Определения значений результативного признака по линейному уравнению регрес- сии. Функция ТЕНДЕНЦИЯ Синтаксис функции: ТЕНДЕНЦИЯ (Изв_знач_у, Изв_знач_х, Новзначх, Константа) Использование данной функции позволяет определить зна- чения результативного признака у„ рассчитанные по построен- ному линейному уравнению регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН. При этом в построенное уравнение регрессии у = = Ьо + Ь]Х\ + />2-^2 +— подставляют необходимые значения пере- менных (факторов) xi, Х2,... и получают значения функции (ре- зультативного признака), соответствующие этим переменным. 194
Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.2): где Изв_знач_у — множество значений у; Изв_знач_х — необязательное множество значений х; Нов_знач_х — новые значения х, для которых ТЕНДЕНЦИЯ опреде- ляет соогвегствующие значения у; Константа — логическое значение, указывающее, требуется ли, чтобы коэффициент />о был равен 0. Если массив Изв_знач_у имеет один столбец, то каждый столбец массива Изв_знач_х интерпретируется как отдельная переменная. Если массив Изв_знач_у имеет одну строку, то каждая строка массива Изв_знач_х интерпретируется как отдельная переменная. Массив Изв_знач_х может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна перемен- ная, то Изв_знач_у и Изв_знач_х могут быть массивами любой формы при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то Изв_знач_у должны быть вектором (то есть интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец). Если Изв_знач_х опущены, то предполагается, что это мас- сив {1; 2; 3; ...} такого же размера, как и Изв_знач_у. Нов_знач_х должны содержать столбец (или строку) для ка- ждой независимой переменной, так же как Изв_знач_х. Таким образом, если Изв_знач_у имеет один столбец, то Изв_знач_х и Нов_знач_х должны иметь одинаковое количество столбцов. Ес- ли Изв_знач_у имеет одну строку, то Изв_знач_х и Нов_знач_х должны иметь одинаковое количество строк. 195
Если Нов_знач_х опущены, то предполагается, что они сов- падают с Изв_знач_х. Если опущены оба массива Изв_знач_х и Нов_знач_х, то предполагается, что это массив {1; 2; 3; ...} такого же размера, что и Изв_знач_у. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то коэффициент Ьо вычисляется обычным образом. Если Константа имеет значение ЛОЖЬ, то коэффициент Ьо полагается равным 0. Можно использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ для аппрок- симации полиномиальной кривой, проводя регрессионный ана- лиз для той же переменной, возведенной в различные степени. Например, пусть столбец А содержит значения у, а столбец В — значения х. Можно ввести х2 в столбец С, х3 в столбец D, и так далее, а затем провести регрессионный анализ столбцов от В до D со столбцом А. Формулы, которые возвращают массивы, должны быть вве- дены как формулы массивов. При вводе массива констант в качестве аргумента, такого, как Изв_знач_х, следует использовать точку с запятой для разделения значений в одной строке и двоеточие для разделения строк. Пример 9.2. В условиях примера 9.1 определите объем реали- зации продукции, рассчитанный по уравнению регрессии: у = -20,4137-0,3736х, +1,4357х2 для опытных значений соответствующих переменных xt и х2. Решение. В полученное уравнение регрессии последовательно подста- вим значения Х| и х2 и получим значения у, рассчитанные по уравнению регрессии, например: Й = -20,4137 - 0,3736 • 37 +1,4357 39 = 23,97 ; у2 = -20,4137 - 0,3736 33 +1,4357 40 = 26,66; у15 = -20,4137 - 0,3736 -31 +1,4357 -51 = 43,08 . Сравнивая опытные данные у, и рассчитанные по уравнению регрессии yt, можно вычислить остатки ряда: ех = у, - yt = 26 - 23,97 = 2,03; 196
е2 = Ут - Ут = 33 - 26,66 = 6,34 ; *15 =Л5-Й5= 45 -43,08 = 1,92. При необходимости можно вычислить значение результатив- ного признака по любым значениям факторов. Например, при X] = 25, х2 = 30 у = -20,4137 - 0,3736 • 25 +1,4357 • 30 = 14,81. Решим данный пример с использованием функции ТЕН- ДЕНЦИЯ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: № Объем реализации продукции, у Расходы на рекламу, Цена продукции, х 2 2 1 26 37 39 i 2 33 33 40 I 3 24 15 35 5 4 29 36 48 р 5 42 26 53 1 б 24 24 42 3 7 52 15 54 i 8 56 33 54 G 9 26 44 50 11 10 45 34 53 Л 11 27 63 46 12 54 8 50 4 13 34 44 43 Й 14 48 43 55 А 15 45 31 51 2. выберем диапазон ячеек, в которые будет выведен резуль- тат вычислений (А20:А34); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ТЕНДЕНЦИЯ -> ОК; 197
5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ТЕНДЕНЦИЯ; 6. нажав кнопку 2 в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2:В16). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ТЕНДЕНЦИЯ; 7. нажав кнопку Э в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (C2:D16). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ТЕНДЕНЦИЯ; 8. поле Нов_знач_х оставим пустым. Если Нов_знач_х опу- щены, то предполагается, что они совпадают с Изв_знач_х; 9. поле Константа оставим пустым. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то коэффициент Z>o вычисля- ется обычным образом; 10. наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод формулы массива); 11. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках А20: А34 появится результат вычислений 1,201 23,97 21 26,66 22 25,13 23 37,21 24 47,52 25 32,36 26 52,41 271 46,76 28 37.57 23 45,01 30 25,87 31 48,86 32 27,52 33 45,06 за 43,08 9.3. Определение параметров показательной функции. Функция ЛГРФПРИБЛ Синтаксис функции'. ЛГРФПРИБЛ (Изв_знач_у, Изв_знач_х, Константа, Стат) На практике возможны разные виды уравнений парной и мно- жественной регрессии: линейные и нелинейные. Порядок построе- 198
ния линейных уравнений регрессии подробно рассмотрен в пункте 9.1. Построение нелинейных уравнений основано на той же методике. Так, если зависимость результативного признака от различ- ных факторов описывается показательной функцией вида У = *о -Ь^2 ...ЪкХк , (9-7) то ее преобразуют к линейному виду 1gУ = lg*o +*i lg*i +х2 lgb2 +- + х£ • (9-8) Используя зависимости для построения линейных регресси- онных моделей, определяют параметры lgZ>o> Ig^i, lg&2, Ig^t- Потенциируя эти значения, определяют параметры Ьц, b\, Ь},.,-,,* bk и соответственно общий вид показательной функции. Даль- нейший анализ построенного уравнения регрессии проводят по тем же зависимостям, что и для линейной модели. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.3): Иэв_знач_у ,Изв_знач_х jC2:D16 Конг- тДиСТИНА Стат | ИСТИНА! 3J = {26:33:24:29:42:24 3J = {37;Э9:33;40;18)35 3J = ИСТИНА = ИСТИНА = {1,03981042044585:0.9' Возвращает параметры экспоненциального приближения по методу наименьших квадратов. Стат логическое значение, Которое указывает, Требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии (ИСТИНА) или нет (ЛОЖЬ). Значение: 1,03981042 | . ! бк | Отмена где Изв_знач_у — множество значений у; Изв_знач_х — необязательное множество значений х; Константа — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы коэффициент />0 был равен 1; Стат — логическое значение, указывающее, требуется ли рассчитать дополнительную статистику по регрессии. Если массив Изв;_знач_у имеет один столбец, то каждый столбец в массиве Изв знач х интерпретируется как отдельная переменная. Если массив Изв_знач_у имеет одну строку, то каждая строка массива Изв_знач_х интерпретируется как отдельная переменная. 199
Массив Изв_знач_х может включать одно или более мно- жеств переменных. Если используется только одна переменная, то Изв_знач_у и Изв_знач_х могут быть интервалами любой формы, если только они имеют одинаковые размерности. Если используется более одной переменной, то аргумент Изв_знач_у должен быть интервалом ячеек высотой в одну строку или ши- риной в один столбец (так называемым вектором). Если аргумент Изв_знач_х опущен, то предполагается, что это массив {1; 2; 3; ...} такого же размера, как и Изв_знач_у. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то коэффициент Ьо вычисляется обычным образом. Если Константа имеет значение ЛОЖЬ, то коэффициент Z>o полагается равным 1. Если Стат имеет значение ИСТИНА, то функция ЛГРФПРИБЛ рассчитывает дополнительную статистику по регрессии. Если Стат имеет значение ЛОЖЬ или опущено, то функция ЛГРФПРИБЛ рассчитывает только коэффициенты Ьо, Ь\, Ь2, ... Чем больше график эмпирических данных напоминает экс- поненциальную кривую, тем лучше вычисленная кривая будет аппроксимировать данные. Так же, как функция ЛИНЕЙН, функция ЛГРФПРИБЛ определяет массив, который описывает зависимость между значениями, но ЛИНЕЙН подгоняет пря- мую линию к имеющимся данным, а ЛГРФПРИБЛ подгоняет экспоненциальную кривую. Формулы, возвращающие массивы, должны быть введены как формулы для массивов. При вводе массива констант, такого, как Изв_знач_х, в каче- стве аргумента следует использовать точки с запятой для разде- ления значений в одной строке и двоеточия для разделения строк. Символы-разделители могут быть разными в зависимости от национальных установок. Пример 9.3. В условиях примера 9.1 построить показатель- ную модель регрессии и провести ее анализ (табл. 9.3). Таблица 9.3 Зависимость объема реализации (у) от расходов на рекламу (aj) и цены продукции (хЦ № У А/ *1 У =lg У 1 2 3 4 5 1 26 37. 39 1,415 \ 200
Окончание табл. 9.3 1 2 3 4 5 2 33 33 40 1,519 3 24 15 35 1,380 4 29 36 48 1,462 5 42 26 53 1,623 6 24 24 42 1,380 7 52 15 54 1,716 8 56 33 54 1,748 9 26 44 50 1,415 10 45 34 53 1,653 11 27 63 46 1,431 12 54 8 50 1,732 13 34 44 43 1,531 14 48 43 55 1,681 15 45 31 51 1,653 Решение. Таблицу исходных данных дополним величинами у = 1g у. Используя в качестве исходных данных у = 1g у, хь Хг, постро- им линейную модель вида (9.8): <1 37 39' 1 33 40 Х = 1 15 35 ; хт 31 51, 1 1 1 . • И 37 33 15 . . 31 39 40 35 . • Я т 15 486 713 486 18416 23132 23,339 А 713 ' 23132 ; XTY' = 747,917 34455 1118,832 8 Статистические функции в экономико- CTflTMrTMlirrVMV ПЯГЧГТЯУ 201
' 4,4075471 -0,0111709 ч- 0,0837085 -0,0111709 -0,0837085^ 0,0003748 -0,0000205 -0,0000205 0,0017750 . ' 0,8571049 Л В' = (ХгХ)-1(Лг7’Г)= -0,0032921 к 0,0169458 J В результате расчетов получим b'=lgb0 = 0,8571049; b; =lgb, = -0,0032921; b2 = lg b2 = 0,0169458 и оценку уравнения регрессии у' = Ь'о + Ь[х} + Ь'2х2 = 0,857 - 0,003х] + 0,017х2. Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (9.3): п Х(Х-Л')2 R2 =1-Лг1-------= 0,719. И _ Ж-У)2 1=1 Он показывает, что около 72% вариаций зависимой пере- менной обусловлено влиянием включенных факторов. Проверим значимость уравнения регрессии: d2 / F /к - 0/719/2 .15 3S в (1-7?2)/ (1-0,719)/12 /(и - к -1) По таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы f\ = к: = 2 = к — 1 = 12 определим _FKp = 3,88. Так как FB > FKp, то полученное уравнение регрессии значимо, т.е. хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Дальнейший анализ уравнения регрессии проводится в соот- ветствии с методикой, изложенной в п. 9.1. Потенциируя значения параметров модели, находим Ьо =1О0’8571049 = 7,192 ; 202
b{ =1o °’0032991 =0,992 ; fe2=10°-0169458= 1,040. Показательное уравнение регрессии имеет вид: у = 7,192-0,992Л1 • 1,04Л2. Решим данный пример с использованием функции ЛГРФПРИБЛ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: д ММ С 0 1 № У 2 1 26 37 39 3 2 33 33 40 .4 3 24 15 35 5 4 29 36 48 6 5 42 26 53 7 б 24 24 42 - 7 52 15 54 Г'7'1 9 8 56 33 54 Чо 9 26 44 50 и 10 45 34 53 ;12] И 27 63 46 Г— из3 12 54 8 50 ц 13 34 44 43 (15 14 48 43 55 15 45 31 51 2. выберем диапазон ячеек, в которые будет выведен резуль- тат вычислений (А20: С24); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели инст- рументов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ЛГРФПРИБЛ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ЛГРФПРИБЛ; 8* 203
6. нажав кнопку —J в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: В16). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ЛГРФПРИБЛ; 7. нажав кнопку 3 в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (С2: D16). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции ЛГРФПРИБЛ; 8. в поле Константа введем логическое значение ИСТИНА; 9. в поле Стат введем логическое значение ИСТИНА; 10. наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод формулы массива); И. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках А20:С24 появится результат вычислений: ['20 1,03981042 0.992451 7191931 21 0.007572888 0.00348 0.377364 22 0.719439034 0.179747 #Н/Д 23 15.38572621 12 #н/д 24 0,994193522 0.387707 9.4. Определение значений результативного признака по показательному уравнению регрессии. Функция РОСТ Синтаксис функции:. РОСТ (Изв_знач_у, Извзначх, Кон- станта, Стат) Использование данной функции позволяет определить зна- чения результативного признака yh рассчитанные по построен- ному показательному уравнению регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ. При этом в построенное уравнение регрессии 204
y=b0-blx' b2X2 bkXt подставим необходимые значения переменных (факторов) х2, —, хк и получим значения функции (результативного признака), соответствующие этим переменным. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.4): РОСТ ~ ; . - - - Изв_Энач_у |в2:В16 51“#6:33'24:29:42:24 Изв.энам.х |с2~016 ж-{37;39:33;40;15;Э5 Йоеди6м_х| ST* константа | М2«,«64622?** :26,69 Biertiuoe- мммив в Соответствии с зкспонвмаимьнье- тремдон( toжоашая зн ачения у для /казанных рядов новых значений х. Изв_зиачД<необязмёльноеттежествозна^ний<, длякоторых, эоэжмнп уже известно -«отношение у »= Ь*т-х ~ где Изв_знач_у — множество значений у; Изв_знач_х — необязательное множество значений х; Нов._знач_х — новые значения х, для которых РОСТ определяет со- ответствующие значения у; Константа — логическое значение, указывающее, требуется ли, что- бы коэффициент b(t был равен 1. Если массив Изв_знач_у имеет один столбец, то каждый стол- бец массива Изв_знач_х интерпретируется как отдельная пере- менная. Если массив Изв_знач_у имеет одну строку, то каждая строка массива Изв_знач_х интерпретируется как отдельная переменная. Если какие-либо числа в массиве Изв_знач_у равны 0 или отрицательны, то функция РОСТ показывает значение ошибки #ЧИСЛО! Массив Изв_знач_х может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна перемен- ная, то Изв_знач_у и Изв_знач_х могут иметь любую форму при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если исполь- зуется более одной переменной, то Изв_знач_у должны быть вектором (то есть интервалом высотой в одну строку или шири- ной в один столбец). 205
Если Изв_знач_х опущены, то предполагается, что это мас- сив {1; 2; 3; ...} такого же размера, как и Изв_знач_у. Нов_знач_х должны содержать столбец (или строку) для каж- дой независимой переменной, как и Изв_знач_х. Таким образом, если Изв_знач_у — один столбец, то Изв_знач_х и Нов_знач_х должны иметь такое же количество столбцов. Если Изв_знач_у — одна строка, то Изв_знач_х и Нов_знач_х должны иметь такое же количество строк. Если аргумент Нов_знач_х опущен, то предполагается, что он совпадает с аргументом Изв_знач_х. Если оба аргумента Изв_знач_х и Нов_знач_х опущены, то предполагается, что это массив {1; 2; 3; ...} такого же размера, как и Изв_знач_у. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то коэффициент Ьо вычисляется обычным образом. Если Константа имеет значение ЛОЖЬ, то коэффициент Ьо полагается равным 1. Формулы, которые возвращают массивы, должны быть вве- дены как формулы массивов после выделения подходящего чис- ла ячеек. При вводе константы массива для аргумента, такого, как Изв_знач_х, следует использовать точку с запятой для разделе- ния значений в одной строке и двоеточие для разделения строк. Пример 9.4. В условиях примера 9.3 определите значения ре- зультативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии: у = 7,192 0,992^ 1,04*2 для опытных значений соответствующих значений переменных и %2- Решение. В полученное уравнение регрессии последовательно подста- вим значения Х| и х2 и получим значение у,-, рассчитанное по уравнению регрессии, например: у, = 7,192 0,99237 • 1,0439 = 24,91; у2 = 7,192 0,99233 • 1,0440 = 26,69; у15 = 7,192-0,99231 -1,0451 =41,64. 206
При необходимости можно вычислить значения результа- тивного признака по любым значениям факторов. Например, при Xi = 25, Х2 = 30 у = 7,192 -0,99225 • 1,О430 = 19,19 . Решим данный пример с использованием функции РОСТ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: Л в с ГТ 1 № У X] *2 2 1 26 37 39 3 2 33 33 40 i 3 24 15 35 5 4 29 36 48 6 5 42 26 53 7 б 24 24 42 е 7 52 15 54 9 8 56 33 54 10 9 26 44 50 11 10 45 34 53 12 И 27 63 46 13 12 54 8 50 14 13 34 44 43 й 14 48 43 55 1Е 15 45 31 51 2. выберем диапазон ячеек, в которые будет выведен резуль- тат вычислений (А20: А34); 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ** на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию РОСТ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции РОСТ; 6. нажав кнопку 3 в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: В16). 207
Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции РОСТ; 7. нажав кнопку 3 в поле Изв знач х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (С2: D16). Затем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функции РОСТ; 8. поле Нов_знач_х оставим пустым. Если Нов_знач_х опу- щены, то предполагается, что они совпадают с Изв_знач_х; 9. поле Константа оставим пустым. Если Константа имеет значение ИСТИНА или опущена, то b вычисляется обычным образом; 10. наберем комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+E1NTER (ввод формулы массива); 11. в окне функции появится результат решения (первый эле- мент массива). В ячейках А20: А34 появится результат вычислений: 20 24,90546222 21 26,69392148 22 25,16968514 23 35,65931502 24 46,75766777 25 30,89860162 26 52.84536784 27 46,10740649 28 36,28725474 29 44,00739151 30 26,87882743 31 47,66796105 32 27,61054351 33 44,44427665 34 41,63801348 9.5. Определение значения уравнения регрессии вида у = Ьо + Ь^х в заданной точке. Функция ПРЕДСКАЗ Синтаксис функции: ПРЕДСКАЗ (X, Изв_знач_у, Извзначх) Одной из задач математической статистики является нахож- дение зависимости между случайными величинами Хи Y. Пусть в результате эксперимента получены опытные данные: 208
х,- Х1 х2 Хп У1 У1 У2 Уп Требуется по опытным данным построить эмпирическую функцию у = f(x,b0,b}), т.е. по результатам наблюдений (х„ у,) найти оценки неизвестных параметров Ь$ и by Для линейной функции у = Ьо + Ь^х оценки параметров Ьц и bi определяются из решения системы уравнений Ь^х,2 +Ь0^х,2 = . >=i '=* „ «=• (9.9) =Ху, . i=i i=i или по формулам 1 л 1 л ьо Я 1=1 Я ,=1 я^х,уг(9.10) Построив уравнения регрессии y = b0+btx, можно опреде- лить значение у при любом значении х. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.5): ПРЕДСКАЗ- — . - ----------------- -----_________________ ' '-ХЬ2'6 jj*12/6 Изв_знач_у |в1:К1 51 = 142,3;44,2;55,5;43, Изв_знач_к |в2:К2 5J= 123,4)20,6)15,5; 10, .... .. . :_с ... ....... ... ..... . _ = 42,75258017 Возвращает значение линейного тренда, значение проекции по линейному при6>»’»е>*»о. Изв_знач_и независимый массив или диапазон. Дисперсия данных не должна > • - , быть нулевой. •. Эиачение:42,7^ | | Отмена где X — точка данных, для которой предсказывается значение; 209
Изв_знач_у — зависимый массив или интервал данных; Изв_знач_х — независимый массив или интервал данных. Если X не является числом, то функция ПРЕДСКАЗ пока- зывает значение ошибки #ЗНАЧ! Если Изв_знач_у и Изв_знач_х пусты или содержат различное количество точек данных, то функция ПРЕДСКАЗ показывает значение ошибки #Н/Д. Если дисперсия аргумента Изв_знач_х равна нулю, то функ- ция ПРЕДСКАЗ показывает значение ошибки #ДЕЛ/0! Пример 9.5. Имеются данные о среднегодовой выработке продукции на предприятии в зависимости от фондоотдачи. Выработ- ка про- дукции на одно- го рабо- тающего, тыс. руб. 42,3 44,2 55,5 43,8 34,3 42,3 37,9 32,6 42,4 42,9 Фондо- отдача, тыс. руб. 23,4 20,6 15,5 10,3 8,1 5,5 3,9 5,3 4,9 3,7 Постройте уравнение регрессии зависимости среднегодовой выработки продукции от фондоотдачи и определите выработку продукции при фондоотдаче 12,6 тыс. руб. Решение. Используя опытные значения (х„ у,), составим систему урав- нений: £>,=418,2; £х,= 101,2; £х,2 =1459,12; £ х, у, = 4409,29; 1459,12^1 + 1О1,26о = 4409,29; 101,26,+1О6о =418,2. Решая данную систему уравнений, получим оценки коэффи- циентов уравнения регрессии: 60 = 38,014; 6, = 0,376. Уравнение регрессии примет вид у = 38,014 +0,376х. 210
Определим выработку продукции при фондоотдаче х — 12,6 тыс. РУб-: у = 38,014 + 0,376-12,6 = 42,75 тыс. руб. Решим данный пример с использованием функции ПРЕДСКАЗ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 1 А В : 42,3 с „.„Си •.-'1 р „г _ F G Н 1 J К Выработка продукции на одного работающего, тыс руб 44,2 55,5 43,8 34,3 42.3 37,9 32,6 42,4 42,9 Фондоотдача, тыс руб 23,4 20,6 15,5 10,3 8,1 5,5 3,9 5,3 4,9 3,7 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений $А$4; 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ПРЕДСКАЗ -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ПРЕДСКАЗ; 6. в поле X введем значение х = 12,6; 7. нажав кнопку Э в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПРЕДСКАЗ; 8. нажав кнопку -2 в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ПРЕДСКАЗ; 9. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений 42,75. 9.6. Определение точки пересечения линии регрессии с осью У. Функция ОТРЕЗОК Синтаксис функции'. ОТРЕЗОК (Изв_знач_у, Изв знач х) Для линейной функции вида у = Ьц + Ь\х коэффициент Ьц определяет точку пересечения прямой, определяемой данным уравнением, с осью у. 211
Значение коэффициента bo можно определить по зависимо- стям (9.10). Данная функция используется в тех случаях, когда надо определить значение зависимой переменной у при значе- нии независимой переменной х, равной нулю. Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.6): ОТРЕЗОК - .. - .... ...... Изв_знач_у JB2’K2 ’М = ^5;7,5;8Д-Ц,8;1: В1.К1| 5 * {5,7ДО;15;20;23;2;. -«агмоэдв S. ясной* г отрезок., отсекаемый на оси линией линейной регрессии, Иэв змам_Ы хм»ю*оемиожеСтЙр1 Данных - чтела, массивы или ссылки на ячейки, содержащие числа. Значение: 4,027 | | Отмена | где Изв_знач_у — зависимое множество наблюдений или данных; Изв_знач_х — независимое множество наблюдений или данных. Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, содержащие ну- левые значения, учитываются. Если Изв_знач_у и Изв_знач_х содержат различное количе- ство точек данных или вовсе не содержат точек данных, то функция ОТРЕЗОК показывает значение ошибки #Н/Д. Пример 9.6. Имеются данные о влажности воздуха при раз- личной температуре: Темпера- тура воз- духа, °C 5 7 10 15 20 23 27 28 30 31 Влажность, мм рт. ст. 6,5 7,5 8,9 11,8 13,8 15,2 17,7 18,1 18,9 19,3 Постройте уравнение регрессии у = b0 + btx и определите влаж- ность воздуха при температуре 0°С. 212
Решение. Статистические оценки коэффициентов уравнения регрессии определим по зависимостям (9.10). В результате получим: у = b0 + bjx = 4,027 + 0,497л:. При температуре воздуха 0°С влажность воздуха равна 4,027 мм рт. ст. Решим данный пример с использованием функции ОТРЕЗОК. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку ** на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию ОТРЕЗОК -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции ОТРЕЗОК; 6. нажав кнопку Э в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ОТРЕЗОК; 7. нажав кнопку 5J в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции ОТРЕЗОК; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -» 4,027. 9.7. Определение тангенса угла наклона линии регрессии к оси X. Функция НАКЛОН Синтаксис функции'. НАКЛОН (Извзнач_у, Извзначх) Для линейной функции вида у — Ьо + Ь\х коэффициент Ь] оп- ределяет тангенс угла наклона данной линии регрессии к оси х. 213
Значение коэффициента b\ можно определить по зависимостям (9.10). Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.7): = 0,49707113 Возвращает наклон линии линейной регрессии. Изв_знач_х множество независимых -гинен! се данных - имена, массивы или ссылки на ячейки, содержащие числа. (?) Значение: 0,497 j ОК } Отмена где Изв_знач_у — массив или интервал ячеек, содержащих числовые зависимые точки данных; Изв_знач_х — множество независимых точек данных. Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, со- держит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями учитываются. Если Изв_знач_у и Изв_знач_х пусты или содержат различ- ное число точек данных, то функция НАКЛОН показывает зна- чение ошибки #Н/Д. Пример 9.7. В условиях примера 9.6 определите тангенс угла наклона линии регрессии к оси х. Решение. Построив уравнение регрессии по зависимостям (9.10), получим у = Ьо + Ь\Х = 4,027 + 0,497х. Тангенс угла наклона Ь\ = 0,497. Решим данный пример с использованием функции НАКЛОН. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: 214
2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вы- числений $А$4; 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели инст- рументов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию НАКЛОН -> ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции НАКЛОН; 6. нажав кнопку 2 в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции НАКЛОН; 7. нажав кнопку Э в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции НАКЛОН; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,497. 9.8. Определение стандартной ошибки отклонения результативного признака от уравнения регрессии. Функция СТОШУХ Синтаксис функции'. СТОШУХ (Изв значку, Изв знач х) При анализе построенного двумерного уравнения регрессии У = /U*o^i) рассчитывается несмещенная оценка остаточной дисперсии: (9.11) и~2,=1 где п — число наблюдений; у, — наблюдаемые значения результативного признака; jX — значения результативного признака, рассчитанные по урав- нению регрессии. 215
Стандартная ошибка определяется как корень квадратный из дисперсии, т.е. (9Л2) \ п — 2 1=[ Стандартная ошибка может быть рассчитана по формуле: и пи nYxiyi-XxiYyi Е(У,-^)2-(9.13) Окно данной функции имеет следующий вид (числовые дан- ные из примера 9.8): СТОПIYX ——— 4.. . ----~—.... —•. ..... Изв_знач_у |В2:К2 3^“ ^>5Л5;8,4;11,8;1: ИЖ_энач_и|в1:К1 —— - - -{5;?; 10Д5;20;23;2; = 0,197995974 Возвращает стандартную ошибку предсказанных значений у для каждого значения хе регрессии. Изв_знач_х массив или диапазон независимых точек данных - числа, массивы или ссылки на ячейки, о: числа. где Изв_знач_у — массив или интервал зависимых точек данных; Изв_знач_х — массив или интервал независимых точек данных. Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми зна- чениями учитываются. Если Изв_знач_у и Изв_знач_х пусты или содержат различ- ное число точек данных, то функция СТОШУХ показывает зна- чение ошибки #Н/Д. Пример 9.8. В условиях примера 9.6 определите стандартную ошибку отклонения результативного признака от уравнения рег- рессии. 216
Решение. Стандартную ошибку определим по формуле (9.12) или (9.13), в результате получим 5 = 0,198. Решим данный пример с использованием функции СТОШУХ. Алгоритм действий следующий: 1. сформируем таблицу исходных данных: ' . А „ " ЗКЯЙЗМ.... fT G ” н ОШО I (Температура i |в оз духа. 5 7 10 15 20 23 27 28 30 31 Влажность, мм рт 4ист 6,5 7,5 8,9 11,8 13,8 15,2 17,7 18,1 18,9 19,3 2. выберем ячейку, в которую будет выведен результат вычислений $А$4; 3. вызовем Мастер функций, нажав кнопку на панели ин- струментов; 4. в Мастере функций из категории Статистические выберем функцию СТОШУХ -» ОК; 5. в левом верхнем углу листа Excel появится окно функции СТОШУХ; 6. нажав кнопку 5J в поле Изв_знач_у, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (В2: К2). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СТОШУХ; 7. нажав кнопку 3 в поле Изв_знач_х, перейдем на рабочий лист с исходными данными и выделим его мышью (Bl: К1). За- тем, повторно нажав эту же кнопку, возвратимся к окну функ- ции СТОШУХ; 8. в окне функции появится результат решения. Нажав кноп- ку ОК, в ячейке $А$4 появится результат вычислений -> 0,198.
Библиографический список 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эко- нометрики. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 2. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финан- сах. — СПб.: БХВ — Санкт-Петербург, 2000. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 1998. 5. Гусаров В.М. Статистика. — М.: ЮНИТИ, 2001. 6. Долголаптев В.Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на примерах. — М.: БИНОМ, 1995. 7. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистиче- ские методы. — М.: Финансы и статистика, 1998. 8. Замков О. О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 1998. 9. Козлов А.Ю., Шишов В.Ф. Применение Пакета анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 10. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математи- ческая статистика: Учебник / Под ред. В.А. Колемаева. — М.: ИНФРА-М, 1997. И. Комягин В.Б., Коцюбинский А.О. Современный самоучитель работы на персональном компьютере. Быстрый старт.: Практ. пособие. — М.: ТРИУМФ, 1997. 12. Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистические методы в ме- дико-биологических исследованиях с использованием Excel. — К.: МОРИОН, 2000. 13. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. — СПб.: Питер, 2002. 14. Мацкевич И.П., Свирид Т.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. — Минск: Вышэйшая школа, 1993. 15. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической ста- тистике.: Пер. с нем. — М.: Финансы и статистика, 1982. 16. Microsoft Excel 97. Шаг за шагом: Практ. пособие / Пер. с англ. — М.: ЭКОМ, 2000. 17. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выпол- нение расчетов в среде Excel /Практикум: Учеб, пособие для ву- зов. — М.: Финстатинформ, 2000. 18. Справочник по прикладной статистике: В 2 т.: Пер. с англ. /Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. — М.: Финансы и статистика, 1990. 19. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере /Под ред. В.Э. Фигурнова. — М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. 20. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределе- ниям: Пер. с англ. — М.: Статистика, 1980.
Приложение Таблица П.1 Значения функции распределения стандартного нормального распределения F(z) = J_ [ е 2 dz , где z = ——— л/2л Д Целые и Сотые доли z доли z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 “3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 -3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 -з,з 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 -3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 -з,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 -з,о 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 -2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 -2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 -2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 -2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 -2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 -2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 -2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 -2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 -1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 -1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 -1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0.0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 219
Продолжение табл. П.1 Окончание табл. П.1 Целые £4 Сотые доли z доли z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 -0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 -0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 -0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0*4721 0,4681 0,4641 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 Целые и Сотые доли z доли z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 220 221
Таблица П.2 Значения функции Лапласа 9 2 Ф(г) = -±=[е 2 dt >12п 0 Целые и деся- тые Сотые доли z доли z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0080 0160 0239 0319 0399 0478 0558 0638 0717 0,1 0797 0876 0955 1034 1113 1192 1271 1350 1428 1507 0,2 1585 1663 1741 1819 1897 1974 2051 2128 2205 2282 0,3 2358 2434 2510 2586 2661 2737 2812 2886 2960 3035 0,4 3108 3182 3255 3328 3401 3473 3545 3616 3688 3759 0,5 3829 3899 3969 4039 4108 4177 4245 4313 4381 4448 0,6 4515 4581 4647 4713 4778 4843 4907 4971 5035 5098 0,7 5161 5223 5285 5346 5407 5467 5527 5587 5646 5705 0,8 5763 5821 5878 5935 5991 6047 6102 6157 6211 6265 0,9 6319 6372 6424 6476 6528 6579 6629 6679 6729 6778 1,0 6827 6875 6923 6970 7017 7063 7109 7154 7199 7243 1,1 7287 7330 7373 7415 7457 7499 7540 7580 7620 7660 1,2 7699 7737 7775 7813 7850 7887 7923 7959 7994 8029 1,3 8064 8098 8132 8165 8198 8230 8262 8293 8324 8355 1,4 8385 8415 8444 8473 8501 8529 8557 8584 8611 8638 1,5 8664 8690 8715 8740 8764 8789 8812 8836 8859 8882 1,6 8904 8926 8948 8969 8990 9011 9031 9051 9070 9090 1,7 9109 9127 9146 9164 9181 9199 9216 9233 9249 9265 1,8 9281 9297 9312 9327 9342 9357 9371 9385 9399 9412 1,9 9426 9439 9451 9464 9476 9488 9500 9512 9523 9534 2,0 9545 9556 9566 9576 9586 9596 9606 9616 9625 9634 2,1 9643 9651 9660 9668 9676 9684 9692 9700 9707 9715 2,2 9722 9729 9736 9743 9749 9756 9762 9768 9774 9780 2,3 9786 9791 9797 9802 9807 9812 9817 9822 9827 9832 2,4 9836 9841 9845 9849 9853 9857 9861 9865 9869 9872 2,5 9876 9879 9883 9886 9889 9892 9895 9898 9901 9904 2,6 9907 9910 9912 9915 9917 9920 9922 9924 9926 0928 2,7 9931 9933 9935 9937 9938 9940 9942 9944 9946 9947 2,8 9949 9951 9952 9953 9955 9956 9958 9959 9960 9961 2,9 9963 9964 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9072 3,0 9973 9974 9975 9976 9976 9977 9978 9979 9979 9880 3,1 9981 9981 9982 9983 9983 9984 9984 9985 9985 9986 3,5 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 9997 3,6 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 9998 9998 3,7 9998 0998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 3,8 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 3,9 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 4,0 999936 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 4,5 5,0 999994 99999994 Таблица П.З Критические точки распределения Стьюдента к Односторонняя доверительная вероятность 0,90 0,95 0,975 0,990 0,995 0,9975 Двусторонняя доверительная вероятность 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 1 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 8 1,397 1,859 2,306 2,896 3,355 3,832 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,054 3,428 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,090 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,056 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 50 1,298 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 70 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 2,899 80 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 90 1,291 1,662 1,987 2,368 2,632 2,878 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 150 1,287 1,655 1,976 2,351 2,609 2,849 200 2,286 1,653 1,972 2,345 2,601 2,838 300 1,284 1,650 1,968 2,339 2,592 2,828 400 1,284 1,649 1,966 2,336 2,588 2,823 500 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 2,819 оо 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 222 223
Таблица П.4 Распределение Пирсона (%2 -распределение) 2 2 Значения %^абл для вероятностей Р(х >Хтабл) к a ~ 1 ' р 0,999 0,995 0,99 0,98 0,975 0,95 0,90 0,80 0,75 0,70 0,50 1 0,05157 0,04393 0,03157 0,03628 0,03982 0,00393 0,0158 0,0642 0,102 0,148 0,455 2 0,00200 0,0100 0,0201 0,0404 0,0506 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1,386 3 0,0243 0,0717 0,115 0,185 0,216 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 2,366 4 0,0908 0,207 0,297 0,429 0,484 0,711 1,064 1,649 1,923 2,195 3,357 5 0,210 0,412 0,554 0,752 0,831 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 4,351 6 0,381 0,676 0,872 1,134 1,237 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 5,348 7 0,598 0,989 1,239 1,564 1,690 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 6,346 8 0,857 1,344 1,646 2,032 2,180 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 7,344 9 1,152 1,735 2,088 2,532 2,700 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 8,343 10 1,479 2,156 2,558 3,059 3,247 3,240 4,865 6,179 6,787 7,267 9,342 11 1,834 2,603 3,053 3,609 3,816 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 10,341 12 2,214 3,074 3,571 4,178 4,404 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 11,340 13 2,617 3,565 4,107 4,765 5,009 5,892 7,042 8,634 9,299 9,926 12,340 14 3,041 4,075 4,660 5,368 5,629 6,571 7,790 9,467 10,165 10,821 13,339 15 3,483 4,601 5,229 5,985 6,262 7,261 8,547 10,307 11,036 11,721 14,339 16 3,942 5,142 5,812 6,614 6,908 7,962 9,312 11,152 11,912 12,624 15,338 17 4,416 5,697 6,408 7,255 7,564 8,672 10,085 12,002 12,892 13,531 16,338 18 4,905 6,265 7,015 7,906 8,231 9,390 10,865 12,857 13,675 14,440 17,338 19 5,407 6,844 7,633 8,567 8,907 10,117 11,651 13,716 14,562 15,352 18,338 20 5,921 7,434 8,260 9,237 9,591 10,871 12,443 14,578 15,452 16,266 19,337 21 6,447 8,034 8,897 9,915 10,283 11,591 13,240 15,445 16,344 17,182 20,337 22 6,983 8,643 9,542 10,600 10,982 12,338 14,041 16,314 17,240 18,101 21,337 23 7,529 9,260 10,196 11,293 11,688 13,091 14,848 17,187 18,137 19,021 22,337 24 8,035 9,886 10,856 11,992 12,401 13,848 15,659 18,062 19,037 19,943 23,337 25 8,649 10,520 11,524 12,697 13,120 14,611 16,173 18,940 19,939 20,887 24,337 26 9,222 11,160 12,198 13,409 13,844 15,379 17,292 19,820 20,848 21,792 25,336 27 9,803 11,808 12,879 14,125 14,573 16,151 18,114 20,703 21,749 22719 26,136 28 10,391 12,461 13,565 14,547 15,308 16,928 18,937 21,588 22,657 23,617 27,386 29 10,986 13,121 14,256 15,574 16,047 17,708 19,768 22,475 23,567 24,577 28,336 30 11,588 13,787 14,953 16,306 16,791 18,493 20,599 23,364 24,478 25,508 29,336 224
Окончание табл. П. 4 к а = 1 — р 0,30 0,25 0,20 0,10 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,001 1 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 5,024 5,412 6,635 7,879 10,827 2 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 7,378 7,824 9,210 10,597 13,815 3 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 9,348 9,837 11,345 12,838 16,268 4 4,878 5,385 5,989 7,779 9,488 11,143 11,668 13,277 14,860 18,465 5 6,064 6,626 7,289 9,236 11,070 12,839 13,388 15,086 16,750 20,517 6 7,231 7,841 8,558 10,645 12,592 14,449 15,033 16,812 18,548 22,457 7 8,383 9,037 9,803 12,017 14,067 16,013 16,622 18,475 20,278 24,322 8 9,524 10,219 11,030 13,362 15,507 17,535 18,168 20,090 21,955 26,125 9 10,656 11,389 12,242 14,684 16,919 19,023 19,679 21,666 23,589 27,877 10 11,781 12,549 13,412 15,987 18,307 20,483 21,161 23,209 25,188 29,588 11 12,899 13,701 14,631 17,275 19,675 21,920 22,618 24,725 26,757 31,264 12 14,011 14,845 15,812 18,549 21,026 23,337 24,054 26,217 28,300 32,909 13 15,119 15,984 16,985 19,812 22,362 24,736 25,472 27,688 29,819 34,528 14 16,222 17,117 18,151 21,064 23,685 26,119 26,873 29,141 31,319 36,123 15 17,322 18,245 19,311 22,307 24,996 27,488 28,259 30,578 32,801 37,697 16 18,418 19,369 20,465 23,542 26,296 28,845 29,633 32,000 34,267 39,252 17 19,511 20,489 21,615 24,769 27,587 30,191 30,995 33,409 35,718 40,790 18 20,601 21,605 22,760 25,989 28,869 31,526 32,346 34,805 37,156 42,312 19 21,689 22,718 23,900 27,204 30,144 32,852 33,687 38,191 38,582 43,820 20 22,775 23,628 25,038 28,412 31,410 34,170 35,020 37,566 39,997 45,315 21 23,858 24,935 26,171 29,615 32,671 35,479 36,343 38,932 41,401 46,797 22 24,939 26,039 27,301 30,813 33,924 36,781 37,659 40,289 42,796 48,268 23 26,018 27,141 28,429 32,567 35,172 38,076 38,968 41,638 44,181 49,728 24 27,096 28,241 29,553 33,193 36,415 39,384 40,270 42,980 45,558 51,170 25 28,172 29,339 30,675 34,362 37,652 40,046 41,566 44,314 46,928 52,620 26 29,246 30,434 31,795 35,563 38,885 41,923 42,856 45,642 48,290 54,052 27 30,319 31,328 32,912 36,741 40,113 43,194 44,140 46,963 49,645 55,476 28 31,391 32,320 34,027 37,916 41,337 44,461 45,419 48,278 50,993 56,893 29 32,461 33,711 35,139 39,087 42,557 45,722 46,693 49,588 52,336 58,302 30 33,530 34,800 36,250 40,256 43,773 46,979 47,962 50,692 53,672 59,703 225
Таблица П.5 Распределение Фишера — Снедекора (^-распределение). Значения 7^абл, удовлетворяющие условию I\F> Гта^л) (первое значение соответствует вероятности 0,05; второе — вероятности 0,01 и третье — вероятности 0,001; к{ — число степеней свободы числителя; ~ знаменателя) *2 1 2 3 4 5 6 8 12 24 оо t 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 238,9 243,9 249,0 253,3 12,71 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6234 6366 63,66 406523 500016 536700 562527 576449 585953 598149 610598 623432 636535 636,2 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50 4,30 98,49 99,01 00,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,42 99,46 99,50 9,92 998,46 999,00 999,20 999,20 999,20 999,20 999,40 999,60 999,40 999,40 31,00 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53 3,18 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,49 27,05 26,60 26,12 5,84 67,47 148,51 141,10 137,10 134,60 132,90 130,60 128,30 125,90 123,50 12,94 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63 2,78 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,80 14.37 13,93 13,46 4,60 74,13 61,24 56,18 53,43 51,71 50,52 49,00 47,41 45,77 44,05 8,61 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36 2,57 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,27 9,89 9,47 9,02 4,03 47,04 36,61 33,20 31,09 20,75 28,83 27,64 26,42 25,14 23,78 6,86 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67 2,45 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,72 7,31 6,88 3.71 35,51 26,99 23,70 21,90 20,81 20,03 19,03 17,99 16,89 15,75 5,96 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23 2,36 12,25 9,55 8,45 7.85 7,46 7,19 6,84 6,47 6,07 5,65 3.50 29,22 21,69 18,77 17,19 16,21 15,52 14,63 13,71 12,73 11,70 5,40 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,99 2,31 11,26 8,65 7,59 7,10 6,63 6,37 6,03 5,67 5,28 4,86 3,36 25,42 18,49 15,83 14,39 13,49 12,86 12,04 11,19 10,30 9,35 5,04 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71 2,26 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,11 4,73 4,31 3,25 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,37 9,57 8,72 7,81 4,78 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54 2.23 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,71 4,33 3,91 3,17 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,92 9,20 8,45 7,64 6,77 4,59 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40 2,20 9,65 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,74 4,40 4,02 3,60 3,11 19,69 13,81 11,56 10,35 9,58 9,05 8,35 7,62 6,85 6,00 4,49 12 4,75 3,88 3,49 3,26 з,и 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30 2,18 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,16 3,78 3,36 3,06 18,64 12,98 10,81 9,63 8,89 8,38 7,71 7,00 6,25 5,42 4,32 226
Продолжение табл. П.5 *2 1 2 3 4 5 6 8 12 24 СО t 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21 2.16 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,30 3,96 3,59 3,16 3,01 17,81 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,21 6,52 5,78 4,97 4,12 14 4,60 3,74 3,34 з,н 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2 13 2,14 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,14 3,80 3,43 3,00 2,98 17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,44 6,80 6,13 5,41 4,60 4,14 15 4,45 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07 2,13 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,00 3,67 3,29 2,87 2,95 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,47 5,81 5,10 4,31 4,07 16 4,41 3,63 3,24 з£Ь1 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01 2,12 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4 20 3,89 3,55 3,18 2,75 2,92 16,12 10,97 9,01 7,94 7,27 6,80 6,20 5,55 4,85 4,06 4,02 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96 2,И 8,40 6,11 5,18 467 4,34 4,10 3,79 3,45 3,08 2,65 2,90 15,72 10,66 8,73 7,68 7,02 6,56 5,96 5,32 4,63 3,85 3,96 1 8 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92 2,10 8,28 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,71 3,37 3,01 2,57 2,88 15,38 10,39 8,49 7,46 6,81 6,35 5,76 5,13 4,45 3,67 3,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2,11 1,88 2,09 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,63 3,30 2,92 2,49 2,86 15,08 10,16 8,28 7,26 6,61 6,18 5,59 4,97 4,29 3,52 3,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,08 1,84 2,09 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,23 2,86 2,42 2,84 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,44 4,82 4,15 3,38 3,85 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,25 2,05 1,82 2,08 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,51 3,17 2,80 2,36 2,83 14,62 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,31 4,70 4,03 3,26 3,82 22 4,30 3, 44 3,05 2,82 2.66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78 2,07 7,94 5,72 4,82 4,31 3,99 3,75 3,45 3,12 2,75 2,30 2,82 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,19 4,58 3,92 3,15 3,79 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76 2,07 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,41 3,07 2,70 2,26 2 81 14,19 9,46 7,67 6,70 6,08 5,56 5,09 4,48 3,82 3,05 3,77 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73 2,06 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,36 3,03 2,66 2,21 2,80 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 4,99 4,39 3,84 2,97 3,75 25 4.24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71 2,06 7,77 5,579 4,68 4,18 3,86 3,63 3,32 2,99 2,62 2,17 2,79 13,88 9,22 7,45 6,49 5.89 5,46 4,91 4,31 3,66 2,87 3,72 227
Окончание табл. П.5 *2 *1 1 2 3 4 5 6 8 12 24 СО t 26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69 2,06 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,29 2,96 2,58 2,13 2,78 13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 4,83 4,24 3,59 2,82 3,71 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1,67 2,05 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,26 2,93 2,55 2,10 2,77 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 4,76 4,17 3,52 2,76 3,69 28 4,19 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65 2,05 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,23 2,90 2,52 2,06 2,76 13,50 8,93 7,18 6,25 5,66 5,24 4,69 4,11 3,46 2,70 3,67 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1,64 2,05 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,20 2,87 2,49 2,03 2,76 13.39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,65 4,05 3,41 2,64 3,66 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2.09 1,89 1,62 2,04 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,17 2,84 2,47 2,01 2,75 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,58 4,00 3,36 2,59 3,64 60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39 2,00 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,82 2,50 2,12 1,60 2,66 11,97 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 3,87 3,31 2,76 1,90 3,36 □0 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2.09 1,94 1,75 1,52 1,03 1,96 6,64 4,60 3,78 3,32 3,02 2,80 2,51 2,18 1,79 1,04 2,58 10,83 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,27 2,74 2,13 1,05 3,29 228
Таблица П.6 Значения натуральных логарифмов гамма-функции 1пГ(х) = 1п[еипЛ'du о X Сотые долях 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 оо 4,5995 3,9008 3,4900 3,1971 2,9689 2,7817 2,6228 2,4846 2,3624 0,1 2,2527 2,1532 2,0622 1,9783 1,9004 1,8278 1,7598 1,6958 1,6355 1,5783 0,2 1,5241 1,4724 1,4232 1,3762 1,3312 1,2880 1,2466 1,2068 1,1684 1,1314 0.3 1,0958 1,0614 1,0281 0,9959 0,9648 0,9346 0,9053 0,8769 0,8494 0,8227 0,4 0,7967 0,7714 0,7469 0,7230 0,6997 0,6771 0,6550 0,6336 0,6126 0,5922 0,5 0,5724 0,5530 0,5341 0,5156 0,4976 0,4800 0,4629 0,4461 0,4298 0,4138 0,6 0,3982 0,3830 0,3681 0,3536 0,3394 0,3256 0,3120 0,2988 0,2858 0,2732 0,7 0,2609 0,2488 0,2370 0,2255 0,2143 0,2033 0,1925 0,1821 0,1718 0,1618 0,8 и,1521 0,1425 0,1332 0,1241 0,1153 0,1066 0,0981 0,0899 0,0819 0,0740 0,9 0,0664 0,0589 0,0517 0,0446 0,0377 0,0310 0,0244 0,0181 0,0119 0,0059 1,0 0,0000 -0,0057 -0,0112 -0,0166 -0,0218 -0,0269 -0,0318 -0,0365 -0,0411 -0,0456 1,1 —0,0499 -0,0540 -0,0581 -0,0619 -0,0657 -0,0693 -0,0728 -0,0761 -0,0793 -0,0824 1,2 -0,0854 —0,0882 -0,0909 -0,0935 -0,0959 -0,0983 -0,1005 -0,1026 -0,1046 -0,1064 1,3 -0,1082 -0,1098 -0,1113 -0,1127 -0,1140 -0,1152 -0,1163 -0,1173 -0,1182 -0,1189 1,4 -0,1196 -0,1202 -0,1206 -0,1210 -0,1213 -0,1214 -0,1215 -0,1215 -0,1213 -0,1211 1,5 -0,1208 -0,1204 -0,1199 -0,1193 -0,1186 -0,1178 -0,1169 -0,1160 -0,1)49 -0,1138 1,6 -0,1126 -0,1113 -0,1099 -0,1084 -0,1069 -0,1052 -0,1035 -0,1017 -0,0998 -0,0979 1,7 -0,0958 -0,0937 -0,0915 -НО,0892 -0,0868 -0,0844 -0,0819 -0,0793 -0,0766 -0,0739 1,8 -0,0711 -0,0682 -0,0652 -0,0622 -0,0591 -0,0559 -0,0527 -0,0494 -0,0460 -0,0425 1,9 -0,0390 -0,0354 -0,0317 -0,0280 -0,0242 -0,0203 -0,0164 -0,0124 -НО,0083 -0,0042 2,0 0,0000 0,0043 0,0086 0,0130 0,0174 0,0219 0,0265 0,0312 0,0359 0,0406 2,1 0,0454 0,0503 0,0553 0,0603 0,0653 0,0705 0,0756 0,0809 0,0862 0,0915 2,2 0,0969 0,1024 0,1079 0,1135 0,1192 0,1249 0,1306 0,1364 0,1423 0,1482 2,3 0,1542 0,1602 0,1663 0,1724 0,1786 0,1849 0,1912 0,1975 0,2039 0,2104 2,4 0,2169 0,2234 0,2300 0,2367 0,2434 0,2501 0,2570 0,2638 0,2707 0,2777 2,5 0,2847 0,2917 0,2988 0,3060 0,3132 0,3204 0,3277 0,3351 0,3425 0,3499 2,6 0,3574 0,3649 0,3725 0,3802 0,3878 0,3955 0,4033 0,4111 0,4190 0,4269 2,7 0,4348 0,4428 0,4508 0,4589 0,4670 0,4752 0,4834 0,4917 0,5000 0,5083 2,8 0,5167 0,5251 0,5336 0,5421 0,5507 0,5593 0,5679 0,5766 0,5853 0,5941 2,9 0,6029 0,6117 0,6206 0,6295 0,6385 0,6475 0,6566 0,6656 0,6748 0,6839 3,0 0,6931 0,7024 0,7117 0,7210 0,7304 0,7398 0,7492 0,7587 0,7682 0,7778 3,1 0,7874 0,7970 0,8067 0,8164 0,8261 0,8359 0,8457 0.8556 0,8655 0,8754 3,2 0,8854 0,8954 ' 0,9055 0,9155 0,9257 0,9358 0,9460 0,9562 0,9665 0,9768 229
Продолжение табл. П.6 X Сотые доли х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,3 0,9871 0,9975 1,0079 1,0183 1,0288 1,0393 1,0498 1,0604 1,0710 1,0816 3,4 1,0923 1,1030 1,1138 1,1246 1,1354 1,1462 1,1571 1,1680 1,1790 1,1900 3,5 1,2010 1,2120 1,2231 1,2342 1,2454 1,2565 1,2678 1,2790 1,2903 1,3016 3,6 1,3129 1,3243 1,3357 1,3471 1,3586 1,3701 1,3816 1,3932 1,4048 1,4164 3,7 1,4281 1,4398 1,4515 1,4632 1,4750 1,4868 1,4987 1,5105 1,5224 1,5344 3,8 1,5463 1,5583 1,5703 1,5824 1,5945 1,6066 1,6187 1,6309 1,6431 1,6553 3,9 1,6676 1,6799 1,6922 1,7045 1,7169 1,7293 1,7417 1,7542 1,7667 1,7792 4,0 1,7918 1,8043 1,8169 1,8296 1,8422 1,8549 1,8676 1,8804 1,8932 1,9059 4,1 1,9188 1,9316 1,9445 1,9574 1,9704 1,9833 1,9963 2,0093 2,0224 2,0355 4,2 2,0486 2,0617 2,0748 2,0880 2,1012 2,1145 2,1277 2,1410 2,1543 2,1677 4,3 2,1810 2,1944 2,2078 2,2213 2,2347 2,2482 2,2618 2,2753 2,2889 2,3025 4,4 2,3161 2,3298 2,3434 2,3571 2,3709 2,3846 2,3984 2,4122 2,4260 2,4399 4,5 2,4537 2,4676 2,4816 2,4955 2,5095 2,5235 2,5375 2,5516 2,5656 2,5797 4,6 2,5939 2,6080 2,6222 2,6364 2,6506 2,6648 2,6791 2,6934 2,7077 2,7220 4,7 2,7364 2,7508 2,7652 2,7796 2,7941 2,8086 2,8231 2,8376 2,8522 2,8667 4,8 2,8813 2,8959 2,9106 2,9253 2,9399 2,9547 2,9694 2,9841 2,9989 3,0137 4,9 3,0286 3,0434 3,0583 3,0732 3,0881 3,1030 3,1180 3,1330 3,1480 3,1630 5 3,1781 3,3298 3,4836 3,6396 3,7977 3,9578 4,1199 4,2840 4,4499 4,6178 6 4,7875 4,9590 5,1323 5,3073 5,4841 5,6626 5,8427 6,0244 6,2078 6,3927 7 6,5793 6,7673 6,9568 7,1479 7,3404 7,5344 7,7297 7,9265 8,1247 8,3243 8 8,5252 8,7274 8,9309 9,1358 9,3419 9,5493 9,7579 9,9678 10,1788 10,3911 9 10,6046 10,8193 11,0351 11,2520 11,4701 11,6893 11,9097 12,1311 12,3536 12,5772 10 12,8018 13,0275 13,2543 13,4820 13,7108 13,9406 14,1714 14,4032 14,6360 14,8697 11 15,1044 15,3401 15,5767 15,8142 16,0526 16,2920 16,5323 16,7735 17,0155 17,2585 12 17,5023 17,7470 17,9926 18,2390 18,4862 18,7343 18,9833 19,2330 19,4836 19,7350 13 19,9872 20,2402 20,4940 20,7486 21,0039 21,2601 21,5170 21,7746 22,0331 22,2922 14 22,5522 22,8128 23,0742 23,3363 23,5992 23,8628 24,1270 24,3920 24,6577 24,9241 15 25,1912 25,4590 25,7275 25,9966 26,2664 26,5369 26,8081 27,0799 27,3524 27,6255 16 27,8993 28,1737 28,4488 28,7245 29,0008 29,2778 29,5553 29,8335 30,1124 30,3918 17 30,6719 30,9525 31,2338 31,5156 31,7981 32,0811 32,3647 32,6490 32,9338 33,2191 18 33,5051 33,7916 34,0787 34,3663 34,6545 34,9433 35,2326 35,5225 35,8130 36,1039 19 36,3954 36,6875 36,9801 37,2732 37,5669 37,8611 38,1558 38,4510 38,7468 39,0431 20 39,3399 39,6372 39,9350 40,2333 40,5322 40,8315 41,1313 41,4317 41,7325 42,0338 21 42,3356 42,6379 42,9407 43,2440 43,5477 43,8519 44,1566 44,4618 44,7674 45,0736 22 45,3801 45,6872 45,9947 46,3027 46,6111 46,9200 47,2293 47,5391 47,8494 48,1600 23 48,4712 48,7828 49,0948 49,4073 49,7202 50,0335 50,3473 50,6615 50,9761 51,2912 230
Окончание табл. П.6 X Сотые доли х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 51,6067 51,9226 52,2389 52,5557 52,8729 53,1905 53,5085 53,8270 54,1458 54,4651 25 54,7847 55,1048 55,4253 55,7462 56,0675 56,3892 56,7113 57,0338 57,3566 57,6799 26 58,0036 58,3277 58,6521 58,9770 59,3022 59,6278 59,9539 60,2802 60,6070 60,9342 27 61,2617 61,5896 61,9179 62,2466 62,5756 62,9050 63,2348 63,5649 63,8954 64,2263 28 64,5575 64,8891 65,2211 65,5534 65,8861 66,2192 66,5526 66,8863 67,2205 67,5549 29 67,8897 68,2249 68,5604 68,8963 69,2325 69,5691 69,9060 70,2432 70,5808 70,9188 30 71,2570 71,5957 71,9346 72,2739 72,6135 72,9535 73,2938 73,6344 73,9753 74,3166 31 74,6582 75,0002 75,3424 75,6850 76,0280 76,3712 76,7148 77,0586 77,4029 77,7474 32 78,0922 78,4374 78,7829 79,1287 79,4748 79,8212 80,1679 80,5150 80,8623 81,2100 33 81,5580 81,9062 82,2548 82,6037 82,9529 83,3024 83,6522 84,0023 84,3527 84,7035 34 85,0545 85,4058 85,7574 86,1093 86,4615 86,8140 87,1668 87,5198 87,8732 88,2269 35 88,5808 88,9351 89,2896 89,6444 89,9995 90,3549 90,7106 91,0666 91,4228 91,7794 36 92,1362 92,4933 92,8507 93,2083 93,5662 93,9245 94,2830 94,6417 95,0008 95,3601 37 95,7197 96,0796 96,4397 96,8001 97,1608 97,5218 97,8830 98,2445 98,6063 98,9683 38 99,3306 99,6932 100,0560 100,4191 100,7825 101,1461 101,5100 101,8742 102,2386 102,6033 39 102,9682 103,3334 103,6989 104.0646 104,4305 104,7968 105,1633 105,5300 105,8970 106,2643 40 106,6318 106,9995 107,3675 107,7358 108,1043 108,4731 108,8421 109,2114 109,5809 109,9506 41 110,3206 110,6909 111,0614 111,4321 111,8031 112,1744 112,5459 112,9176 113,2896 113,6618 42 114,0342 114,4069 114,7798 115,1530 115,5264 115,9001 116,2740 116,6481 117,0224 117,3970 43 117,7719 118,1470 118,5223 118,8978 119,2736 119,6496 120,0258 120,4023 120,7790 121,1559 44 121,5331 121,9105 122,2881 122,6659 123,0440 123,4223 123,8009 124,1796 124,5586 124,9378 45 125,3173 125,6969 126,0768 126,4569 126,8373 127,2178 127,5986 127,9796 128,3608 128,7423 46 129,1239 129,5058 129,8879 130,2702 130,6528 131,0355 131,4185 131,8017 132,1851 132,5687 47 132,9526 133,3366 133,7209 134,1054 134,4901 134,8750 135,2601 135,6454 136,0310 136,4168 48 136,8027 137,1889 137,5753 137,9619 138,3487 138,7357 139,1229 139,5104 139,8980 140,2859 49 140,6739 141,0622 141,4507 141,8393 142,2282 142,6173 143,0066 143,3961 143,7858 144,1756 50 оо 144,5657 ОО 144,9560 145,3465 145,7372 146,1282 146,5193 146,9106 147,3021 147,6938 148,0857 231
Учебное пособие Козлов Андрей Юрьевич, Мхитарян Владимир Сергеевич, Шишов Владимир Федорович СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ MS EXCEL В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ Редактор В.Г. Коржилова Корректор Т.И. Митрофанова Оригинал-макет И.С. Юрина Оформление художника В.А. Лебедева Лицензия серия ИД № 03562 от 19.12.2000 г. Подписано в печать 16.06.2003. Формат 60x88 1/16 Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 10,5 Тираж 20 000 экз. (1-й завод - 5 000). Заказ № 2344 ООО «ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА» Генеральный директор В.И. Закаидзе 123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1 Тел. (095) 194-00-15. Тел/факс (095) 194-00-14 www.unity-dana.ru E-mail: unity@unity-dana.ru Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14