МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
- им. М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
В. И. Арнольд
На правах рукописи
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ СУПЕРПОЗИЦИЯМИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Автореферат диссертации
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель — академик А. Н. Колмогоров
И7/' ИЦУ
МОСКВА —1961
Принято считать, что если решение какой-нибудь задачи
математического анализа содержит произвольную функцию п
переменных, то оно является более общим, чем решение, зави-
сящее от функций меньшего числа переменных. Эта идея о не-
сводимое™* функций большего числа переменных к функциям
меньшего числа переменных может быть четко сформулирова-
на, например, так:
Пусть N — некоторый класс функций п переменных, К —
некоторый класс функций к переменных и п > к. Тогда в клас-
се N есть функция, которую нельзя представить в виде конеч-
ной суперпозиции функций класса К. В зависимости от выбора
классов N' и К подчеркнутое предложение может быть верно
или неверно. Мы будем называть его гипотезой Гильберта для
классов N и К.	।	>
Гильберт [1] высказал эту гипотезу применительно к важ-
нейшим классам функций (аналитических, алгебраических,
дифференцируемых, непрерывных) в 1900 г. Он доказал ее
для случая, когда N и К — классы всех аналитических функций
п и„й переменных.
Дальнейший прогресс был достигнут лишь в 1954 г., когда
А. Г. Витушкин [2] доказал гипотезу Гильберта для гладких
функций классов № = Сп’а, К — Cf’?* при условии
, —— > —— , q + Р > 1.
р + а р + ₽
Однако легко видеть, что в классе всех (в том числе раз-
рывных) функций гипотеза Гильберта неверна (см. [3]). Для
классов С всех непрерывных функций вопрос оставался откры-
тым, пока в 1956 г. А. Н. Колмогоров не опроверг гипотезу
Гильберта для К = С3, разложив каждую непрерывную функ-
* Ср1 — класс функций I переменных, все r-ные частные производные
которых удовлетворяют условию Гель дера с показателем у: если f(x)—одна
из. производных, то
1
цию и > 4 переменных в суперпозицию непрерывных функций
трех переменных [4].
В предлагаемой работе каждая непрерывная функция трех
переменных представлена в виде суперпозиции
3	3
f (-4, х2 х8) = S Shit [фу U'i, х2), ха]
/=!
непрерывных функций двух переменных.
Работа состоит из 5 частей, каждую из которых можно чи-
тать независимо от остальных: введения, части 1, части 2, при-
ложения 1 и приложения 2. В первой части функции трех пере-
менных сводятся к функциям, заданным на произведении от-
резка и дерева, у которого индекс каждой точки ветвления ра-
вен 3. Это достигается некоторым усложнением конструкций
заметки [4].
Основное содержание работы заключено в части 2. Упомя-
нутое выше дерево располагается в трехмерном пространстве
так, чтобы каждая функция данного компактного семейства,’
заданная на дереве, представлялась в виде суммы функций
координат.
Хотя идея соответствующего построения довольно проста
(см. введение), подробное проведение ее весьма сложно (см.§ 3—
9). Дерево строится с помощью последовательного «приклеи-
вания веток». На дереве, состоящем из одного отрезка, каждая
функция может быть многими способами представлена в виде
суммы функций координат (например, как функция одной ко-
ординаты). Пусть построено дерево с п ветками, и функции на
нем представлены в виде сумм функций координат. Чтобы
сумма функций от координат давала данную функцию на де-
реве, содержащем еще одну ветку, в построенные три функции
координат надо ввести поправки. Эти поправки должны вза-
имно компенсироваться на дереве с п ветками, а на вновь при-
клеенной ветке* должны обеспечивать данную сумму. Поправки
вносятся на конечной системе попарно не пересекающихся ин-
тервалов. С помощью специального рзспределения поправки
по двум направлениям» удается обеспечить сходимость построе-
ния даже в случае дерева с бесконечным числом ветвей.
В приложении 1 изложены основные факты, относящиеся к
дереву компонент множеств уровня непрерывной функции. Это
понятие, введенное А. С. Кронр< д м 5]. оказалось очень полез-
ным при построении разложен?: [ функций в суперпозиции.
Приложение 2 посвящено гладким гомеоморфизмам отрез-
ка на себя. Следует заметить, что в первоначальном тексте ча-
2
сти 2 была допущена ошибка ([6], последний абзац на стр. 32)*.
Утверждалось, что можно строить дерево из отрезков прямых
так, чтобы некоторые конфигурационные соотношения («замы-
кание молний») не имели места. Но в действительности сущест-
вуют тождественно замыкающиеся молнии (теорема Паппа).
Указанного затруднения можно избежать, если строить де-
рево не из отрезков прямых, а из надлежащим образом искрив-
ленных простых дуг. Соответствующие изменения параграфов
3—6 статьи [6] внесены в текст диссертации. При этом исполь-
зуются свойства дифференцируемых гомеоморфизмов, уста-
новленные в приложении 2. Там показано, что гомеоморфизмы
«общего вида» не удовлетворяют тождественно никакому со-
отношению тогда как линейные преобразования, использован-
ные в [6], удовлетворяют соотношению
(ЛВЛ-ТВ-1) (CDC-1/)-1) (ЛВЛ-’В-1)-1 (CDC-1/?-1)-1 - Е.
Результаты диссертации опубликованы в 1957 г. [7]. Позже
они были усилены. А. Н. Колмогоров [8], используя, в частно-
сти, и основную для части 2 идею распределения поправок по
двум направлениям-, разложил любую непрерывную функцию
и> 2 переменных в суперпозицию непрерывных функций од-
ного переменного и операции сложения.
Вопрос же о возможности представления функции с по-
мощью суперпозиции гладких функций в случае, когда условие
Витушкина (1) не выполнено, остается открытым.
Автор приносит благодарность А. Н. Колмогорову за по-
стоянное внимание и помощь в работе. Автор благодарен
А. Г. Витушкину, который привлек его к этой теме, и Н. G. Bot-
he за ценные критические замечания.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1	Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen, 3, n° 17, 1935.
2.	Витушкин А. Г. К 13-й проблеме Гильберта. ДАН, 95, № 4, 1954.
3.	П о л и а Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, ч. I. Физматгиз,
М., 1956, отд. II, задачи 119 и 119а.
4.	Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций не-
скольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего
числа переменных. ДАН, 108, № 2, 1956.
5.	Кронрод А. С. О функциях двух переменных. УМН, 5, № 1 (35), 1950.
6.	Арнольд В. И. О представлении непрерывных функций трех пере-
менных суперпозициями непрерывных функций двух переменных. «Ма-
тематический сборник», 48 (90) 1 : 5.
7.	Арнольд В. И. О функциях трех переменных. ДАН, 114, № 4, 1957.
8.	К о л м о г о р о в А. Н. О представлении непрерывных функций не-
скольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного
переменного и сложения, ДАН, 114, № 5, 1957.
* На это мое внимание любезно обратил Н. G. Bothe.
3
Т 12010 17/X 1961 г. Объем 0,25 п. л.	Зак. 203	Тир. 200
Типография Изд-ва МГУ, Москва, Ленинские горы