Author: Натансон И.П.
Tags: анализ физика математика математические задачи издательство наука переменная функции множества
Year: 1974
Text
И. П. НАТАЙ СОИ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего' специального образования СССР
• качестве учебного пособия для высших учебных заведений
издательство «наука>
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1974
517.2
НЗЗ
УДК 517.5
Теория функций вещественной переменной.
И П Натансон, Главная редакция физико-
математической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга посвящена, в основном, функциям одной
вещественной переменной. Лишь в трех главах
(XI—XIII) рассматриваются функции многих
переменных и функции множества
Книга содержит большое количество
упражнении, и сравнительно легкие, доступные широкому
кругу читателей, и значительно более трудные,
которые могут служить хорошим материалом для
студенческих математических кружков.
Рис. 9.
Исидор Павлович Натансон
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
М , 1974 г., 480 стр. с нлл.
Редактор fl. В. Абгарян
Техн редактор Л. В Лихачева
Корректор А. Л. Ипатова
Сдано в набор 20/П 1974 г Подписано к печати 26/VI 1974 г.
Бумага бОхЭО'/ш, тип № 3 Физ. печ. л. 30 Условн печ л.
30 Уч -изд л 31,31. Тираж 37 000 экз. Цена книги 1 р. 24 к.
Заказ № 1273.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская
типография № 1 «Печатный Двор» имени А М Горького Со-
юзмолиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136,
Гатчинская ул., 26.
20203-099
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию 8
Глава I. Бесконечные множества 9
§ 1. Операции над множествами 9
§ 2. Взаимооднозначное соответствие 13
§ 3. Счетные множества 16
§ 4. Мощность континуума 20
§ 5. Сравнение мощностей 26
Глава II. Точечные множества 34
§ 1. Предельная точка 34
§ 2. Замкнутые множества 37
§ 3. Внутренние точки и открытые множества 41
§ 4. Расстояния и отделимость 44
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств . . 47
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества .... 51
Глава III. Измеримые множества 56
§ 1. Мера ограниченного открытого множества . . . . , 56
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества 61
§ 3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества ... 65
§ 4. Измеримые множества 68
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения 72
§ 6. Класс измеримых множеств 76
§ 7. Общие замечания о проблеме меры 80
§ 8. Теорема Витали 82
Глава IV. Измеримые функции 86
§ 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции . . 86
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций 90
§ 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере 92
§ 4. Структура измеримых функций 98
§ 5. Теорема Вейерштрасса ; 103
Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной функции 109
§ 1. Определение интеграла Лебега 109
§ 2. Основные свойства интеграла 114
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла 119
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега 121
§ 5. Восстановление первообразной функции 126
Глава VI. Суммируемые функции 129
§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции 129
§ 2. Суммируемые функции любого знака 136
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла 142
Глава VII. Функции, суммируемые с квадратом 154
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма 154
§ 2. Сходимость в среднем 157
§ 3. Ортогональные системы 163
§ 4. Пространство /2 172
§ 5. Линейно независимые системы 179
§ 6. Пространства Lp и /р 183
Глава VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса . . 191
§ 1. Монотонные функции 191
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной
функции 193
§ 3. Функции с конечным изменением 202
§ 4. Принцип выбора Хелли 207
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением , 210
§ 6. Интеграл Стилтьеса 213
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса .... 218
§ 8. Линейные функционалы 222
Глава IX. Абсолютно непрерывные функции. Неопределенный интеграл
Лебега 226
§ 1. Абсолютно непрерывные функции 226
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций 229
§ 3. Непрерывные отображения 230
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега 234
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега 242
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность 245
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением и
интегралов Стилтьеса 248
§ 8. Восстановление первообразной функции 251
Глава X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды.
Выпуклые функции 257
§ 1. Понятие сингулярного интеграла 257
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной
точке 261
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье 266
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов
Фурье . . : 273
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции 279
§ 6. Единственность разложения функции в тригонометрический
ряд 269
4
Глава XI. Точечные множества в двумерном пространстве 300
§ 1. Замкнутые множества 300
§ 2. Открытые множества 302
§ 3. Теория измерения плоских множеств 305
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения 312
§ 5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений .... 318
Глава XII. Измеримые функции нескольких переменных и их
интегрирование 322
§ 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных
функций .'. 322
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл 326
§ 3. Теорема Фубини 328
§ 4. Перемена порядка интегрирований 333
Глава XIII. Функции множества и их применения в теории
интегрирования 337
§ 1. Абсолютно непрерывные функции множества 337
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование 342
§ 3. Обобщение полученных результатов 344
Глава XIV. Трансфинитные числа 348
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы 34В
§ 2. Вполне упорядоченные множества 352
§ 3. Порядковые числа 355
§ 4. Трансфинитная индукция 358
§ 5. Второй числовой класс 359
§ 6. Алефы 361
§ 7. Аксиома и теорема Цермело 363
Глава XV. Классификация Бэра 367
§ 1. Классы Бэра 367
§ 2. Непустота классов Бэра 372
§ 3. Функции 1-го класса 377
§ 4. Полунепрерывные функции 385
Глава XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега 392
§ 1. Введение 392
§ 2. Определение интеграла Перрона 393
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона 395
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона 397
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега 399
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобшение ....... 403
§ 7. Узкий интеграл Данжуа 408
§ 8. Теорема Г. Хаке 411
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана 418
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа 422
Глава XVII. Функции с неограниченными областями задания 425
§ 1. Мера неограниченного множества 425
§ 2. Измеримые функции 427
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам .¦ 427
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом 429
§ 5 Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса . . . 430
§ 6. Неопределенные интегралы и абсолютно непрерывные
функции множества , 433
5
Глава XVIII Некоторые сведения из функционального анализа . . . 436
§ 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные
пространства 436
§ 2. Компактность 442
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах 447
§ 4. Банаховский «принцип неподвижной точки» и некоторые его
приложения 462
Добавления 471
I Длина дуги кривой 471
II Пример Штейнгауза 474
III Некоторые дополни (ельные сведения о выпуклых функциях 476
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собою руководство, написанное
применительно к действующим учебным программам наших
университетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций
в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким
шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.
Теория функций вещественной переменной излагается в
университете, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя
предполагается свободное владение основными понятиями анализа:
иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства
непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются
известными в объеме любого обстоятельного курса
дифференциального и интегрального исчисления.
Большинство глав книги сопровождается упражнениями.
Читатель должен быть предупрежден, что они, как правило, довольно
трудны и требуют подчас весьма значительного напряжения. Тем
не менее, лицам, желающим основательно усвоить предмет, я
настоятельно советую постараться решить хотя бы часть
приводимых задач.
В своем настоящем виде эта книга является переработкой моей
более ранней книги „Основы теории функций вещественной
переменной", вышедшей небольшим тиражом в 1941 году в издании
Ленинградского университета и в скором времени полностью
разошедшейся. Мысль о переиздании этой, более ранней книги
возникла уже довольно давно и отчасти была осуществлена
издательством „Радянська школа", выпустившим расширенный
украинский перевод книги, выполненный доцентом Киевского
университета С. И. Зуховицким.
Профессор Е. Я. Ремез, бывший рецензентом упомянутого выше
украинского перевода, сделал гго поводу него ряд ценных
указаний, которыми я воспользовался и при подготовке настоящего
издания. Кроме того, я весьма обязан профессорам Н. К. Бари,
Д. К. Фдвдееву и, особенно, Г. М. Фихтенгольцу за
многочисленные советы и указания. Искренно благодарю всех названных лиц.
3 декабря 1949 г. И. Натансо.ч
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Важнейшие отличия настоящего издания от предыдущего таковы:
1. Изложен вопрос о замене переменной в интегралах Лебега
(для случая, когда старая переменная есть монотонная функция
новой).
2. Сообщены некоторые сведения о выпуклых функциях,
включая неравенства Иенсена и (в .Добавлении") Юнга.
3. Доказаны теоремы Кантора и Дю-Буа-Реймонда — Валле-Пус-
сена и некоторые другие результаты, также относящиеся к
вопросу об единственности разложения функции в
тригонометрический ряд.
4. Изложена теория интегралов Данжуа — Перрона и дано
понятие об интегралах Данжуа — Хинчина.
5. Рассмотрен вопрос о переносе основных результатов книги
на функции с неограниченными областями задания1).
6. Изложен (в „Добавлении") вопрос о спрямлении явно
заданной кривой.
Чтобы избежать чрезмерного увеличения объема книги, я
исключил теорему Хаусдорфа (о неразрешимости „легкой" задачи
теории измерения), а также главу XVII старого издания
(посвященную обзору отечественных работ по теории функций).
При подготовке нового издания я получил много ценных
указаний от проф. Г. М. Фихтенгольца. Ряд полезных советов мне
дали редактор книги доц. Г. П. Акилов и мой сын Г. И. Натансон.
Благодарю названных лиц.
8 декабря 1956 г. И. Натансон
1) При написании соответствующей главы я использовал те добавления,
которые внес в американское издание этой книги редактор перевода
проф. Хьюнгт (Е. Hewrtt).
ГЛАВА I
БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ I. Операции над множествами
Основой теории функций вещественной переменной служит так
называемая „теория множеств". Эта дисциплина имеет сравнительно
небольшую историю: первые серьезные работы в этой области,
принадлежащие Г. Кантору, появились в конце прошлого века.
Тем не менее, в настоящее время теория множеств представляет
собою весьма обширную область математики. В нашем курсе, для
которого теория множеств имеет лишь вспомогательное значение,
мы ограничиваемся только элементами этой дисциплины, отсылая
читателя, желающего углубить свои познания по теории множеств,
к книгам П. С. Александрова и Ф. Хаусдорфа. х)
Понятие множества является одним из основных
математических понятий и не поддается точному определению. Поэтому мы
ограничимся лишь описанием этого понятия. Множеством
называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных
по какому-нибудь признаку. Например, можно говорить о
множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек прямой,
множестве всех многочленов с вещественными коэффициентами
и т. п.
Говоря о множестве, мы считаем, что относительно всякой
вещи верно одно и только одно из двух: эта вещь либо входит
в наше множество в качестве его элемента, либо не входит.
Если А есть некоторое множество, а х — вещь, то факт
принадлежности вещи х множеству А обозначается так
хе= А.
Если же х не входит в Л, то это записывают так:
хё=А.
Например, если R есть множество всех рациональных чисел, то
3
| <= R, J/2 е R.
*) П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и
функций, Гостехиздат, 1948; Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937.
Само множество никогда не является своим элементом:
АША.
В целях общности и простоты формулировок полезно ввести
так называемое „пустое множество", которое вовсе лишено
элементов. Например, множество вещественных корней уравнения
х2 + 1 = 0 пусто. Пустое множество обозначается символом 0,
причем опасность смешения с числом „нуль" в дальнейшем не
возникает, ибо из контекста будет ясно, о чем идет речь. Иногда,
впрочем, пустое множество обозначают через Л.
Наряду с пустым множеством нам придется иметь дело с
„одноэлементными" множествами, т. е. множествами, состоящими
только из одного элемента. Например, множество корней
уравнения 2х — 6 = 0 состоит из одного элемента — числа 3. Следует
остерегаться смешения одноэлементного множества с его
единственным элементом.
Если общее имя элементов множества А есть х, то иногда
пишут
А = {х].
Если же возможно выписать обозначения всех элементов
множества, то пишут их подряд и заключают в фигурные скобки,
например
А = {а, Ь, с, d}.
Определение 1. Пусть А и В два множества. Если всякий
элемент множества А является элементом множества В, то
говорят, что А есть часть (или подмножество) множества В и пишут
А а В или В zd А.
Подобное соотношение называется включением.
Пусть, например, N есть множество всех натуральных, a R —
множество всех рациональных чисел, тогда
N<=R.
Ясно, что всякое множество есть часть самого себя
Л с Л.
Пустое множество есть часть всякого множества А. Для того
чтобы это утверждение стало вполне ясным, достаточно высказать
определение 1 в такой форме: ни один элемент, не входящий в В,
не входит и в Л.
Определение 2. Пусть А и В два множества. Если А а В и
В а А, то говорят, что множества Л и В равны и пишут
А = В.
Например, если Л = {2, 3}, а В есть множество корней
уравнения х2 — 5лг + 6 = 0, то А = В.
Ю
Определение 3. Пусть Л и В два множества. Множество 5,
состоящее из всех элементов обоих множеств Л и В и не
содержащее никаких других элементов, называется суммой множеств А
и В и обозначается так:
S = A + B, или S = A U В.
Подобным же образом определяется сумма п множеств Л1(
Л2, ..., Ап, сумма последовательности множеств Аъ Л2, А3, ...,
и вообще сумма множества множеств Л|, отмеченных для
отличия друг от друга значком |, принимающим какие-нибудь
различные значения. Соответствующие обозначения таковы:
S = AX U Л2и ... U Ап, или S= U А„,
4=1
5 = Л1 + Л2 + Л3 + ...) 5=|] ЛА,
4=1
S = Ai U Л2 U Л3и .... или S= U Ак,
4=1
s = 2'4|. или 5=иЛ6.
Например1), если S есть множество всех положительных чисел,
то
S=f](*-lf k].
Если Л с В, то очевидно
А + В = В,
в частности
А + А = А.
Определение 4. Пусть Л и В два множества. Множество Р,
состоящее из всех элементов, общих обоим множествам А а В,
и не содержащее никаких других элементов, называется
пересечением множеств Л и В и обозначается так:
Р = АВ, или Р = А П В.
1) Как обычно, при а^Ь, мы обозначаем через (а, Ь), [а, 6], [а, Ь),
(а, Ь] множества чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам
а< х <b, a^x^b, а^ х <Ь, а<х^Ь Каждое из этих множеств
называется промежутком, а а и b его концам и. Промежуток (о, Ь) называется
также интервалом, а [а, Ь] отрезком, или сегментом.
Промежутки [а, Ь) и (а, 6] называются полусегментами.
11
Например, если Л = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то
АВ = {3, 4}.
Сходным образом определяется пересечение п множеств Аъ
А2, .... Ап, последовательности множеств Аи Л2, Аа, ... и вообще
множества множеств А%, отмеченных для отличия друг от друга
значком |. Соответствующие обозначения таковы:
п
Р = АгА2 ...,Ап, Р = П Ak,
Р = Аг П А2 П ... (]Ап, или Р= П 4
4=1
р=л1л2л3..., ^=Пль
*=1
^ = '4i П А2 П ^з П .... или Р= ft А„,
*=i
р=Пл1> или ^=л%
Например,
оо
П (~Т* ?J = ^^ (одноэлементное множество)
ОО
Y\ (О, т^) = 0 (пустое множество).
Если А а В, то очевидно АВ = А и, в частности, АА = А.
То обстоятельство, что множества Л и В не имеют общих
элементов, можно записать так:
ЛВ = 0.
В этом случае говорят также, что множества А и В «ни
пересекаются-».
Теорема 1. Пусть А некоторое множество и {Е^
множество множеств. Тогда
Доказательство. Положим S = A^Ei, T — ^АЕ^.
Пусть х е S. Это значит, что неА и что лге^^-
Последнее же соотношение обозначает, что х е Ege. Но тогда х е АЕ^а и,
тем более, х е Г. Итак, S сТ.
Пусть теперь, наоборот, хеГ. Это значит, что iE%.
Иначе говоря, ш1и х е ?^в, но из того, что х е Е^, следует,
12
что jfe^?E> a Т0ГДа (поскольку х^А) x^.S. Значит, TczS,
что вместе с доказанным выше дает S = T.
Из доказанной теоремы в частности вытекает, что
А(В + С) = АВ + АС.
Определение 5. Пусть А и В два множества. Множество R,
состоящее из всех тех элементов множества А, которые не вхо
дят в множество В, и только из этих элементов, называеюя
разностью множеств А и В и обозначается так:
R = A-B или R = A\B.
Например, если А = {\, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то
Л-В = {1, 2}.
Теорема 2. Если А, В, С три множества, то
А (В - С) = АВ - АС.
Доказательство предоставляем читателю.
Бросается в глаза аналогия между свойствами операций над
множествами и свойствами арифметических действий. Однако
эта аналогия не полна. Мы уже видели, что А + А = А, АА = А;
этих соотношений в арифметике, вообще говоря, нет. Приведем
еще один пример нарушения указанной аналогии.
Теорема 3. Соотношение
(А-В) + В = А A)
верно тогда и только тогда, когда В а А.
Доказательство. Пусть A) верно. Так как слагаемое
всегда есть часть суммы, то В а А. Допустим теперь, что В а А.
Тогда очевидно (А — В) + В с: А. Но обратное включение (А—
— B)-\-Bzd А, как легко видеть, верно без всяких ограничений,
откуда и следует A).
§ 2. Взаимнооднозначное соответствие
Пусть А и В два конечных множества. Естественно поставить
вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих
множествах.
Для того, чтобы решить этот вопрос, мы можем сосчитать
элементы каждого из множеств и затем посмотреть, одинаковы
или нет получаемые в результате счета числа.
Однако поставленный вопрос можно решить и не считая эле-
_ментов наших множеств. Пусть, например, А есть множество
латинских букв А = {а, Ь, с, d, e\, а В множество греческих
'букв В = {а, р, у, б, е}.
13
Если мы расположим элементы этих множеств так:
A:\a\b\c\d\e
В : | а | р | у | б |е '
то без всяких подсчетов видим, что А и В имеют одинаковое
количество элементов.
Что характерно для этого способа сравнения множеств?
Характерно то, что для каждого элемента одного множества
указывается один и только один соответствующий ему элемент другого
множества и обратно.
Сила этого второго способа сравнения состоит в том, что
его можно применять и тогда, когда сравниваемые множества
бесконечны. Например, если N есть множество всех натуральных
чисел, а М множество чисел вида 1/га, то второй способ
сравнения сразу показывает, что «количество» элементов в множествах
N и М одинаково; чтобы убедиться в этом, достаточно
расположить наши множества так:
N:
М:
1
1
2
\
3
1-
4
1
4
и считать взаимно соответствующими числа «и \/п.
Перейдем теперь к точным определениям.
Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило ср,
которое каждому элементу а множества А соотносит один и
только один элемент Ь множества В, причем каждый элемент
бе В оказывается соотнесенным одному и только одному йеЛ,
называется взаимнооднозначным соответствием между
множествами А а В.
Определение 2. Б.сли между множествами А к В можно
установить взаимнооднозначное соответствие, то говорят, что эти
множества эквивалентны или что они имеют одинаковую мощность,
и пишут
А~В.
Легко понять, что два конечных множества оказываются
эквивалентными тогда и только тогда, когда они состоят из
одинакового числа элементов, так что понятие одинаковой мощности
есть прямое обобщение понятия одинаковой численности
конечных множеств.
Приведем несколько примеров попарно эквивалентных
множеств.
Пусть А и В суть множества точек на двух параллельных
сторонах прямоугольника (рис. 1). Легко понять, что А^->В.
Пусть, далее, А и В суть множества точек двух
концентрических окружностей (рис. 2). И здесь очевидно А ~ В.
14
Этот пример менее тривиален, чем предыдущий. Если мы
«распрямим» наши окружности, то одна нз них превратится
в более короткий прямолинейный отрезок, чем другая. Казалось бы,
что на более длинном отрезке и точек «больше». Мы видим, что
это не так.
Вот пример, где этот парадокс еще более ярок. Пусть А
множество точек гипотенузы, а В множество точек катета
прямоугольного треугольника. Как видно из рис. 3, А~В, хотя
В
Рис 1.
Рис. 2.
катет и короче гипотенузы. Если мы наложим катет на
гипотенузу, то множество В окажется частью множества А и притом
отличной от самого А. Такую часть мы будем называть
правильной частью множества (т. е. В есть правильная часть А, если
В а А, но В Ф А). Таким
образом, в последнем примере мы
сталкиваемся с множеством, у
которого есть эквивалентная ему
правильная часть. Само собою
ясно, что конечное множество не
имеет эквивалентных ему
правильных частей. Стало быть,
именно бесконечности
множества А мы обязаны этим его
удивительным свойством. Ниже
мы убедимся, что всякое
бесконечное множество имеет
эквивалентные правильные части, а пока иллюстрируем этот факт
еще одним примером.
Пусть N множество всех натуральных, а М — всех четных
чисел: N = {n}, Л1 = {2«}.
Располагая эти множества так:
В
Рис 3
Л/:
М:
1
2
2
4
6
4
8
1 5 |..
10 ..
мы непосредственно убеждаемся в их эквивалентности, хотя М
есть правильная часть N: «четных чисел столько же, сколько
всех натуральных».
15
Приведем некоторые простые свойства понятия
эквивалентности, доказательства которых можно предоставить читателю.
Теорема 1. а) Всегда А~А.
b) Если Л~Б, то В~А.
c) Если А~В, а В>~^С, то Л ~ С.
Теорема 2. Пусть Alt А2, А3, ... и Въ Въ В3, ... две
последовательности множеств. Если множества Ап не пересекаются
между собою, а множества Вп между собою
ЛПЛ«- = О, ВпВП' = 0 (пфп1),
и если при каждом п
Ап~Вп (я = 1, 2, 3, ...),
то
от от
§ 3. Счетные множества
Определение 1. Пусть N множество всех натуральных чисел
JV = {1, 2, 3, 4, ...}.
Всякое множество А, эквивалентное множеству N, называется
исчислимым, или счетным.
Иногда говорят также, что множество А шмеет мощность а».
Очевидно, все счетные множества эквивалентны между собою.
Вот несколько примеров счетных множеств:
А = {\, 4, 9, 16 п\ ...},
Б = {1, 8. 27, 64,..., п\ ...},
С = {2, 4, б, 8 2/г, ...},
DHL 1/2. 1/3, 1/4 1/л, ...}.
Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным,
необходимо и достаточно, чтобы его можно было
«перенумеровать», т. е. представить в форме последовательности:
А = {аи аг, а3, .... ал, ...}. A)
Доказательство. Если множество А представлено в форме
A); то достаточно каждому его элементу ап соотнести индекс п
этого элемента, чтобы получить взаимнооднозначное соответствие
между А и N, так что А счетно.
Обратно, если А счетно, то существует взаимнооднозначное
соответствие ф между А и N. Достаточно обозначить через ап
тот из элементов множества А, который в соответствии q>
отвечает числу п, чтобы получить представление А в форме A).
16
Теорема 2. Из всякого бесконечного множества А можно
выделить счетное подмножество D.
Доказательство. Пусть А бесконечное множество.
Выделим из А произвольный элемент ах. Так как А бесконечно, то
оно не исчерпывается выделением элемента аъ и мы можем
выделить элемент а2 из оставшегося множества А — {а^. По тем же
соображениям множество А — {alt a2} н^ пусто, и мы можем
из него выделить элемент а3. Ввиду бесконечности множества А
мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в
результате чего получим последовательность выделенных элементов
alt а2, ..., ап, ..., которая и образует искомое множество D.
Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного
множества счетно.
Доказательство. Пусть А счетное множество, а В его
-бесконечное подмножество. Расположим А в форме
последовательности аи а2, а3, ..., ап, ... и будем перебирать один за
другим элементы А в порядке их номеров. При этом мы время
от времени будем встречать элементы множества В, и каждый
элемент В рано или поздно встретится нам. Соотнося каждому
элементу В номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество В,
причем, в силу бесконечности его, нам придется на эту
нумерацию израсходовать все натуральные числа.
Следствие. Если из счетного множества А удалить конечное
подмножество М, то оставшееся множество А — М будет счетным.
Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного
множества без общих элементов есть счетное множество.
Доказательство. Пусть
A = {alt a2, ..., ап\, B = {bx, b2, Ь3, ...},
причем АВ = 0. Если A + B = S, то S можно представить в форме
S = {аи а2 а„, bx, b2, b3, ...},
после чего становится очевидной возможность перенумеровать S.
Условие отсутствия общих элементов как в этой, так и в
следующих теоремах могло бы быть опущено.
Теорема 5. Сумма конечного числа попарно не
пересекающихся счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Проведем доказательство для случая
трех слагаемых множеств; из контекста будет ясна полная
общность рассуждения.
Пусть А, В, С три счетных множества:
А = {alt а2, а3, ...}, B = {blt b2, bs, ...},
C={C1> C2> C3> •••}•
Тогда сумму S — A-\-B-\-C можно представить в форме
последовательности S = {a1( bx, cv aa, Ьг, сг, а3, ...}, и счетность ее
очевидна.
17
Теорема 6. Сумма счетного множества попарно не
пересекающихся конечных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть Ak(k=\, 2, 3, ...) суть попарно
не пересекающиеся конечные множества:
Аг = {аГ, а'Г, .... atf,1},
А2 = {аТ, d?, .... <},
Ая=*{а'(\ а?, .... <#;},
Для того чтобы расположить сумму их S в форме
последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества Аи
затем элементы Аг и так далее.
Теорема 7. Сумма счетного множества попарно не
пересекающихся счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть множества Ak(k=\, 2, 3, ...)
попарно не пересекаются и счетны. Запишем эти множества так:
Л1 = К'. a?y а? ...},
А2 = {а?>, a'i\ а?, ...},
А3 = {аГ, a?, oS», ...},
Если мы выпишем элемент а\и, затем оба элемента а'2" и аТ,
у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем
те элементы, у которых эта сумма равна 4, и т. д., то сумма
со
S = 2 Ak окажется представленной в форме последовательности
*=i
(«A1 „(II „B> „(II „B) „(SI „111 I
откуда и следует ее счетность.
Используя символ а как обозначение мощности счетного
множества, мы можем доказанные теоремы изобразить с помощью
мнемонических схем:
а — п = а, а-\-п = а, а-\-а-\-...-\-а = па = а,
П! + п2 + п3^-... = а, а-\-а + а-\-... = аа = а.
Теорема 8. Множество R всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Множество дробей вида p/q с данным
знаменателем ц, т. е. множество l/q, 2/q, 3/q, ... очевидно счетно.
Но знаменатель может принять также счетное множество
натуральных значений 1, 2, 3, ... Значит, в силу теоремы 7,
множество дробей p/q счетно; удаляя из него все сократимые дроби
и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности множества R+
всех положительных рациональных чисел. Так как множество R_
отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно
множеству R+, то счетно и оно, а тогда счетно и множество R, ибо
R = R. + {0\ + R+.
18
Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента
\а, Ь\ счетно.
Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить
конечное или счетное множество А новых элементов, то это
не изменит его мощности, т. е.
М + А~М.
Доказательство. Выделим, пользуясь теоремой 2, из М
счетное подмножество D и пусть М — D = P, тогда
М = Р + Д M + A=P + (D + A).
Так как Р<-^Р, D + A^D (теоремы 4 и 5), то М + А^ М.
Теорема 10. Если бесконечное множество S несчетно, а А
его конечная или счетная часть, то
S-A~S.
Доказательство. Множество М = S — А не может быть
конечным, ибо иначе исходное множество S было бы конечным
или счетным. Но тогда, в силу теоремы 9, будет М-\-Аг^>М,
а это и значит, что S ~ S — А.
Следствие. Всякое бесконечное множество содержит
эквивалентную правильную часть.
Действительно, удаляя из бесконечного множества
произвольное конечное подмножество, мы, согласно теоремам 3 и 10,
не изменяем его мощности.
Как уже отмечалось, конечное множество не обладает
указанным свойством. Это обстоятельство позволяет дать
(принадлежащее Р. Дедекинду) положительное определение бесконечного
множества.
Определение 2. Множество называется бесконечным, если оно
содержит эквивалентную правильную часть.
В заключение докажем следующую, весьма общую теорему:
Теорема 11. Если элементы множества А определяются п
значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает
счетное множество значений
A = {ah,xt xj (** = 4'\ xi>, ...; A=l, 2, 3, .... n),
то множество А счетно.
Доказательство. Докажем теорему методом
математической индукции.
Теорема очевидна, если и=1, т. е. имеется только один
значок. Допустим, что теорема справедлива для п = т, и покажем,
что она справедлива для п = т-\-1.
Итак, пусть А = [ах х х х ).
Обозначим через Ai множество тех элементов А, для которых
Хт+ 1 = Хт+ 1 > ГДе Х<т+\ 0ДН0 И3 ВОЗМОЖНЫХ ЗНЭЧеНИЙ (/П+1)-ГО
значка, т. е. положим Ai = \a х(ц \.
19
В силу^ сделанного допущения множество At счетно, а так как
оо
/4 = 2] Ль то счетно и А. Теорема доказана
Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:
1) Множество точек (х, у) плоскости, у которых обе
координаты рациональны, счетно.
2) Множество комплексов (пъ «2, ..., nk), состоящих из k
натуральных чисел, счетно.
Более интересным является следующий факт:
3) Множество многочленов aQxn + a1xn-1-\-...-\-an-lx-\-an с
целыми коэффициентами счетно.
В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11,
если рассматривать только многочлены фиксированной степени п,
и для завершения доказательства следует применить теорему 7.
Так как каждый многочлен имеет конечное число корней, то
из доказанного предложения вытекает следующая тесрема
Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно,
(Напомним, что алгебраическим называется число,
являющееся корнем многочлена с целыми коэффициентами.)
§ 4. Мощность континуума
Не следует думать, что все бесконечные множества счетны.
Докажем это на следующем важном примере.
Теорема 1. Сегмент U = [0, 1] несчетен.
Доказательство. Допустим, напротив, что сегмент U есть
счетное множество. Тогда все точки его можно расположить в виде
последовательности
Xi, Х%, Х3, ... ( )
Пусть это сделано, т. е всякая точка х <= U находится в
последовательности (*). Разделим U на три равные части точками
"'_ ft
+
о //з ' г/, 1
Рис. 4.
1/3 и 2/3. Ясно, что точка х± не может принадлежать всем трем
сегментам
[о. ±]. [II]. [!• >]¦ (»
и хоть один из них не содержит ее (рис. 4). Обозначим его
через 11Х (если точка хх не принадлежит двум из сегментов A),
то через ?/, назовем любой из них, например тот, который
лежит левее другого).
20
Теперь разделим на три равные сегмента сегмент Ux и
обозначим через U2 тот из новых сегментов, который не содержит
точки хг (а если таких сегментов два, то один из них).
Затем делим на три равные сегмента сегмент ?У2 и обозначаем
через U3 тот из них, который не содержит точки хэ и т. д.
В результате мы получим бесконечную последовательность
вложенных друг в друга сегментов Уэ^э^п^Г)...,
которые обладают тем свойством, что хп <= Un.
Ввиду того, что длина сегмента Un есть 1/3", ясно, что эта
длина с возрастанием п стремится к нулю, а тогда, по известной
теореме теории пределов, существует точка \, принадлежащая
всем сегментам iln
lz=Un (n=l, 2, 3, ...).
Будучи точкой сегмента V, точка ? должна входить в
последовательность (*), но это явно невозможно, ибо какое бы п
ни взять мы имеем
хп (=Un, | <= Un, откуда ? ф хп,
т. е. | не может совпасть ни с одной из точек
последовательности (*). Полученное противоречие и доказывает теорему.
Доказанная теорема дает повод к установлению следующего
определения:
Определение. Если множество А эквивалентно сегменту U=[0, 1 ]
A~U,
то говорят, что А имеет мощность континуума или, короче,
мощность с.
Теорема 2. Всякий сегмент [а, Ь], всякий интервал (а, Ь) и
всякий полусегмент (а, Ь] или [а, Ь) имеет мощность с.
Доказательство. Пусть А=[а, b], t/ = [0, 1]. Формула
у = a -f (b — а) х устанавливает взаимнооднозначное соответствие
между множествами А = {у\ и 1) = {х\, откуда и следует, что А
имеет мощность континуума. Так как удаление одного или двух
элементов из бесконечного множества приводит к множеству,
эквивалентному исходному, то промежутки (a, b), (a, b], [a, b) имеют ту же
мощность, что и сегмент [а, Ь\, т. е. мощность с. Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся
множеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство. Пусть
S=j]?A (?*?*< = 0, кФк\
4 = 1
где каждое из множеств Eh имеет мощность с. Возьмем
полусегмент [О, 1) и точками со = О<С!<С2< ... <ccn_j<cn= 1
разложим его на п полусегментов
[Cft_i, ck) (k=\, 2, .... п).
21
Каждый из этих полусегментов имеет мощность с, так что мы
можем связать множество ER и полусегмент [ck u ck)
взаимнооднозначным соответствием. Легко видеть, что тем самым
оказывается установленным взаимнооднозначное соответствие между
суммой S и полусегментом
[О, 1)= ?[<*_!, Ch).
4 = 1
Теорема доказана.
Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не
пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.
со
Доказательство. Пусть S= ? Ek (EkEk' = 0, k^-k'),
* = i
где каждое из множеств Ek имеет мощность с.
Возьмем на полусегменте [0, 1) монотонно возрастающую
последовательность с0 = 0<сх<с2<..., для которой limc* = l.
Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами
Ek и [ck-u ck) для всех k, мы тем самым установим
взаимнооднозначное соответствие между S и [0, 1).
Следствие 1. Множество Z всех вещественных чисел имеет
мощность с.
со
В самом деле 1= 2 {[k-l, *) + [—*, —k+l)}.
* = i
Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет
мощность с.
Следствие 3. Существуют трансцендентные1) числа.
Теорема 5. Множество Q всех последовательностей
натуральных чисел
<2={(«1, «2. «3. •¦•)}
имеет мощность с.
Доказательство. Установим взаимнооднозначное
соответствие между Q и множеством всех иррациональных чисел
интервала @, 1) (последнее множество очевидно имеет мощность
континуума), считая взаимно соответствующими последовательность
(пи п2, п3, ...) е Q и иррациональное число х, для которого
разложение в непрерывную дробь имеет вид
х = Ц
П1+-
П2 +
П3+ ¦:
Возможность соответствия и доказывает теорему.
Изложенное доказательство предполагает, что читатель знаком
с теорией непрерывных дробей.2)
!) Т. е. неалгебраические.
2) См., например, А. Я. Хинчин, Цепные дроби, Гостехиздат, 1949.
22
Можно дать другое доказательство, основанное на теории
двоичных дробей. С этой целью напомним некоторые факты этой
теории. Они будут нам полезны и для других целей. Вот нужные
нам свойства двоичных дробей:
1) Двоичной дробью называется сумма ряда
У а> а -(°
2jW> ak~\\-
Указанная сумма обозначается символом
О, а^Оа ... A)
2) Всякое число *е[0, 1] допускает представление в форме
х = О, агаф3 ...
Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь
вида т/2" (т=1, 3, .... 2"—1). Числа 0 и 1 разлагаются
(единственным образом) в дроби
0 = 0,000..., 1=0,111...
Если же х = т/2" (т = 1, 3, ..., 2™ — 1), то х допускает два
разложения. В этих разложениях знаки alt a2, ..., ап-1 совпадают,
а знак ап в одном из них равен 1, а в другом равен 0. Все
остальные знаки у первого разложения суть нули («0 в периоде»),
а у ьторого —единицы («1 в периоде»). Например,
3 _ f 0,011000 ...
«10,010111 ...
3) Всякая двоичная дробь A) равна некоторому числу х из
[0, 1].
Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то х есть число
вида т/2™ (т=1, 3,..., 2"—1) (исключение составляют дроби
0,000... и 0,111...), и тогда, наряду с исходным, существует
еще одно двоичное разложение х. Если же дробь A) не содержит
цифру 0 или 1 в периоде, то х Ф mj2n и других двоичных
разложений х не имеет.
Отметив это, возвратимся к теореме 5. Условимся не
пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое
число из полусегмента [0, 1) будет иметь единственное
представление в форме
0, адаз ... A)
причем какое бы число N ни взять, найдутся такие ак, что
а* = 0, k>N.
Обратно, любой дроби A) с этим свойством отвечает точка из
[0, 1). Но задать дробь A) можно, указав те k, для которых ak = Q.
23
Эти k образуют возрастающую последовательность натуральных
чисел
k1<k2<k3<... B)
и каждой такой последовательности отвечает дробь A). Значит,
множество Н последовательностей B) имеет мощность с. Но между
множествами Н и Q легко установить взаимнооднозначное
соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности B)
последовательность (nlt пг, п3, ...) из Q, для которой nl = k1,
n2 = k2 — ku n3 = ka — k2, ...
Теорема доказана.
Теорема 6. Если элементы множества А определяются п
значками, каждый из которых, независимо от прочих значков,
принимает с значений1)
Л=К.*„ . .*„}•
то множество А имеет мощность с.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай трех
значков, ибо рассуждение имеет общий характер.
Пусть А = \ах, у, г\.
Назовем через X (соответственно, Y и Z) множество значений
значка х (соответственно, у и г), при этом каждый из значков
изменяется независимо от прочих и каждое из множеств X, У, Z
имеет мощность с.
Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из
множеств X, Y, Z и множеством Q всех последовательностей
натуральных чисел. Это позволит нам установить такое же
соотношение между А и Q.
Именно, пусть ? есть некоторый элемент А. Тогда
1 = ах„ Utt Zt, где х0 еХ, у0 е= У, г0 «= Z.
В соответствиях между X, Y, Z и Q элементам х0, у0, г0
отвечают какие-то элементы из Q; пусть
элементу х0 отвечает последовательность (nlt n2, п3, ...),
» Уо » » (Pi. Pa. Рз. •••).
» г0 » » (<7i, Яъ <7з. •••)•
Соотнесем элементу | последовательность
(iii Pii Яъ гег. Яъ п2> • • •).
очевидно входящую в Q. Легко понять, что этим мы действительно
получили взаимнооднозначное соответствие между А и Q.
Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий.
!) И здесь и ниже мы употребляем такие обороты речи как «с значений>,
«в множестве есть с элементов» и т. п., вместо того, чтобы сказать «множество
значений имеет мощность лит. д.; надеемся, что это не затруднит читателя.
24
Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет
мощность с
Следствие 2. Множество всех точек трехмерного
пространства имеет мощность с.
Иначе говоря, мощность множества точек пространства не
зависит от числа его измерений.
Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств
мощности с имеет мощность с.
Действительно, можно установить взаимнооднозначное
соответствие между множеством слагаемых множеств и множеством всех
прямых плоскости ху, параллельных оси Ох. Если затем установить
взаимнооднозначное соответствие между каждым из слагаемых
множеств и соответствующей ему прямой, то мы, очевидно,
получим взаимнооднозначное же соответствие между суммой и
плоскостью ху.
Схематически теоремы 3, 4 и последнее следствие можно
записать так:
с-\-с-\-... -\-с = сп = с, с-\-с-\-с-\- ... =са = с, сс = с.
Теорема 7. Если элементы множества А определяются с
помощью счетного множества значков
А = { aXl, х„ х },
каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает
с значений, то множество А имеет мощность с.
Доказательство. Пусть множество значений значка хь
есть Xk. Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с
множеством Q всех последовательностей натуральных чисел. Пусть это
соответствие обозначено через фй(&=1, 2, 3, ...).
Сделав это, выберем произвольный элемент | е А. Тогда
I = а,@), ,@), ,<<», , . где xf еХ( (?=1,2,3,...).
Пусть в соответствии ср* значению х1? значка -xk отвечает
последовательность (n\k), «<*>, ft<fe), ...) е Q. Тогда элементу | е А
отвечает бесконечная целочисленная матрица
(*)
я}'),
п?\
nf\
п?\ ...
Легко видеть, что полученное соответствие между. А и
множеством L матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается
обнаружить, что множество L имеет мощность с. Но это почти
очевидно, ибо, соотнеся матрице (*) последовательность
(л}», <>, ftp, ft'", «f, л<Д я'", ...)
25
(построенную так же, как мы это делали при доказательстве
теоремы 7 § 3), мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие
между L и Q.
Теорема 8. Множество Т всех последовательностей вида
(alt a2, а3, ...),
где ak, независимо друг от друга, принимают значения 0 и I,
имеет мощность с.
Доказательство. Пусть 5 есть множество тех
последовательностей из Г, в которых, начиная с некоторого места, все ак
равны 1. Каждой последовательности (alf a2, а3, ...), входящей
в S, можно соотнести число, имеющее двоичное разложение
О, а^аз ...; это число будет или 1 или т/2" (т = 1, 3, ..., 2" — 1),
причем полученное соответствие между S и множеством чисел
указанного вида, очевидно, взаимнооднозначно, откуда следует,
что S есть множество счетное.
С другой стороны, если последовательности (аъ а2, а3, ...),
входящей в Т — S, соотнести число с двоичным разложением
О, ахагаъ ..., то мы получим взаимнооднозначное соответствие между
T — S я полусегментом [0, 1), откуда вытекает, что Т — S, а
значит, и Т имеет мощность с.
Следствие. Если элементы множества А определяются с
помощью счетного множества значков, каждый из которых,
независимо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет
мощность с.
В самом деле, если А = { aXl х, х, } и хЛ = I ft , то достаточно
\тк
соотнести каждому элементу А последовательность (аи а2, а„, ...),
где ап равно 0 или 1, смотря по тому, будет ли хк = lk или хк — тк,
чтобы получить взаимнооднозначное соответствие между Л и Т.
§ 5. Сравнение мощностей
Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют
одинаковую мощность», «множество имеет мощность а», «множество
имеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность»
в одном из подобных выражений, мы знаем, что оно означает, но
само по себе это понятие у нас еще не определено. Что же такое
мощность множества?
Г. Кантор пытался определить это понятие с помощью таких,
довольно-таки туманных, выражений:
«Мощностью данного множества А называется та общая идея,
которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве,
отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка».
В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом
(две черты — «двойное» отвлечение).
В настоящее время канторовский способ определения понятия
мощности не считается удовлетворительным (хотя обозначение А
оказалось очень удачным) Вместо этого принято такое формальное
определение.
Определение 1. Пусть все множества разбиты по классам, так
что два множества попадают в один класс тогда и только тогда,
когда они эквивалентны. Соотнесем каждому такому классу
множеств какой-либо символ и будем его называть мощностью любого
множества данного класса. При этом, если мощность некоторого
множества А есть а, то пишут
При таком способе определения ясно, что эквивалентные
множества действительно имеют одинаковую мощность, а также что,
соотнеся классу, содержащему множество jV всех натуральных
чисел, символ а, можно сказать, что счетное множество имеет
мощность а.
Далее, буква с есть символ, соотнесенный классу, содержащему
множество U = [0, 1] и потому про все множества, эквивалентные U,
мы и говорим, что они имеют мощность с.
Приведем еще один пример применения определения 1. Пусть
классу, содержащему множество А = {а, Ь, с\, соотнесен символ «3».
Тогда можно сказать, что любое множество, эквивалентное
множеству А (т. е., попросту сказать, любое множество из трех
элементов), имеет мощность 3. Мы видим, что понятие количества
элементов конечного множества есть частный вид более общего
понятия мощности.
Наконец, 0 есть мощность пустого множества, а 1—мощность
любого «одноэлементного» множества.
Имея, таким образом, определение понятия мощности,
естественно поставить вопрос о сравнении мощностей.
Определение 2. Пусть А и В множества, имеющие
соответственно мощности а и (J:
Ж = а, ! = р\
Если: 1) множества А и В не эквивалентны, но 2) в
множестве В есть часть В*, эквивалентная множеству А, то говорят,
что множество В имеет большую, а множество А—меньшую
мощность, и пишут а<Р, Р>а.
Например, если
Л = {alt а2 а32}, J= 32,
B = {blt b2 btt], В = 49,
то А не ~5, но Л~В*. где B* = {blt b2, ..., Ь3Л , а потому
32<49.
Точно так же любое конечное натуральное число п меньше,
чем каждая из мощностей а я с.
27
Наконец, если
Л/ = {1, 2, 3,...}, W=a,U = [0,\], U=c,
то N не ~ U (см. теорему 1, § 4), но N^U*, где
//* _ 1 1 1/ 1/ \ г— II
Поэтому а < с.
Вопрос о том, существуют ли мощности ц, промежуточные
между а и с, т. е. такие, что a<i\i<ic, еще не решен1), хотя ему
было посвящено много исследований.
Зато легко построить множества мощности, большей чем с.
Теорема 1. Множество F всех вещественных функций,
заданных на сегменте [0, 1], имеет мощность, большую чем с.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что F не ~ U,
где U = [0, 1]. Допустим, напротив, что F^U, и пусть ф есть
некоторое взаимнооднозначное соответствие между F и U.
Условимся обозначать через ft (x) ту функцию из F, которая отвечает
в соответствии ср числу / е [0, 1]. Положим, F(t, x) = ft(x). Это
есть некоторая совершенно определенная функция двух
переменных, заданная в области 0^/^1, 0^л:^1.
Положим теперь \|з (х) = F (х, х)+1. Эта функция задана для
O=^jc«s 1, т. е. i|)(jr) ef. Но тогда в соответствии ф функция t|)(x)
отвечает некоторому числу ael/, т. е. ty(x) = fa(x), или гИ*) =
= F(a, х).
Иначе говоря, при всех х из [0, 1] будет F(x, x)-\-\=F(a, x),
а это невозможно, например, для х = а.
Итак, действительно, F не ~ (J. Но если мы рассмотрим
множество функций F* = {»тх-\-с\ (О^с^ 1), которое есть часть F,
то сразу увидим, что F* ~ U.
Теорема доказана.
Определение 3. Мощность множества F всех функций, заданных
на сегменте [0, 1], обозначается символом f.
С помощью этого символа теорему 1 можно формулировать так;
с</.
Существуют ли мощности, большие чем /? Оказывается, что да,
существуют. Больше того, мы покажем, что, исходя из множества
любой мощности, можно построить множество большей мощности.
Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т есть
множество всех частей множества М, то Т>М.
Доказательство. Отметим, что элементами множества Т
являются все части М, в частности само М, пустое множество О
и все одноэлементные подмножества М.
1) Предположение, что таких мощностей нет, носит название <гипотезы
континуума». [Современное состояние вопроса о гипотезе континуума изложено
в книге: П Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969
(Прим. ред.).]
28
Покажем, прежде всего, что Т не ~М.
Допустим, напротив, что Г~ М, и пусть ср какое-либо
взаимнооднозначное соответствие между этими множествами Каждому
m е М в соответствии ф отвечает определенный элемент Т,
который мы обозначим через q> (m), и каждый элемент Т есть q> (m)
для одного и только одного теМ.
Назовем элемент m е М «хорошим», если шеф (т), и
«плохим» в противном случае. Элемент, который в соответствии ф
отвечает самому множеству М, наверное «хороший», а элемент,
отвечающий пустому множеству, наверное «плохой». Пусть S
множество всех «плохих» (и только «плохих») элементов М. Так как
SeT, то в соответствии ф множеству S отвечает элемент ma e M
S = ф (т0).
Каков же этот элемент т0 — «хороший» или «плохой»?
Допустим, что т0 «хороший» элемент. Это значит, что тоеф(та) = S,
а так как S состоит только из «плохих» элементов, то /п0 элемент
«плохой», что противоречит сделанному допущению.
Итак, т0 «плохой» элемент. Но тогда т0 ее ф (т0) = S, а это
означает, что ш0 «хороший» элемент. Стало быть, элемент т0 ни
«хороший», ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший»
или «плохой», то получается абсурдная ситуация, которая и
обнаруживает, что Т не '--'М.
Но, если Т* есть множество всех одноэлементных
подмножеств М, то, очевидно, Т*~М, а так как Т* а Т, то теорема
доказана.
Замечание. Пусть М конечное множество, состоящее из п
элементов. Тогда множество Т содержит 2" элементов. В самом деле,
Т содержит одно пустое множество, С1п одноэлементных множеств,
Сп двухэлементных множеств, и т. д., а всего в Т будет входить
элементов. Отметим, что этот результат верен и для случаев,
когда М пустое (и = 0), или одноэлементное (п=1) множество,
ибо в первом случае Т состоит из одного М, а во втором из М
и пустого множества.
В связи с этим естественно дать следующее определение.
Определение 4. Если множество М имеет мощность jx, а
множество всех его частей Т имеет мощность т, то говорят, что
т = 2^.
Теорема 2 означает, что 2^ > ц.
Теорема 3. Справедлива формула с = 2".
Доказательство. Пусть Т есть множество всех частей
натурального ряда чисел N, a L множество всех
последовательностей вида
¦ii-
(аъ аъ аз, ...), аꦦ
[ 1
29
Тогда (теорема 8, § 4) Т = 2а, 1 = с.
Возьмем произвольный элемент N* e T. N* есть некоторое
множество натуральных чисел. Соотнесем N* последовательность
(аъ а2, а3, ...) по такому правилу: если Ае jV*, to ak= 1, а если
k!=N*, то ak = 0. Очевидно, мы получаем при этом
взаимнооднозначное соответствие между Т и L, что и доказывает теорему.
Из теорем 2 и 3 снова следует, что с>а.
Следующие две теоремы имеют большое значение.
Теорема 4. Пусть A zd Ах zd А2. Если Л2~ А, то и Лх~ А.
Доказательство. Пусть ф есть некоторое
взаимнооднозначное соответствие между А и А2. Каждому элементу А в этом
соответствии отвечает некоторый элемент А2.
В частности те элементы А2, которые отвечают элементам Аъ
образуют определенное множество А3 <zz Аг.
Таким образом Ах связано взаимнооднозначным соответствием
с А3. Но А2 с: Ах, значит те элементы Аа, которые при этом
отвечают элементам А2, образуют определенное множество Atcz A3.
Теперь, поскольку Ая с= А2, а А2 и А4 связаны
взаимнооднозначным соответствием ф, можно образовать множество Аъ с: At
и состоящее из тех элементов А4, которые отвечают элементам Аа.
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность
множеств
А => Ах Z3 А2 Г) А312 А4 zd А& =э ...
такую, что
Л~у42, Аг~А3, Л2~.44) Л3~у45, ...
Отметим при этом, что справедливы и такие соотношения:
А -/42~ А2 — А3,
A1-A2~A3 — Ai,
А2 — А3 /щ^> Л4 — А§,
п
вытекающие из самого определения1) множеств Ап.
Пусть D— ААгА2А3 ... Легко видеть, что
А = (А-А1) + (А1-А2) + (А2-А3) +
+ (А3-А,) + (А,-Аь)+...+Р
A1 = (A1-A2) + (Ai-A3) + (A3-Ai) + (Ai-Ab)+...+D,
причем отдельные слагаемые каждой из строк не пересекаются.
В силу (*) одинаково подчеркнутые слагаемые обеих сумм
эквивалентны друг другу. Но прочие слагаемые этих сумм
попарно тождественны, откуда и вытекает эквивалентность А и Аи
!) Обращаем внимание читателя на то, что из соотношений А* с /4,
В* с: В, Л*~5*. Л~В, не следует, что А-А*~В — В*.
30
Теорема 5 (Э. Шредер — Ф. Бернштейн). Пусть А и В
два множества. Если каждое из них эквивалентно некоторой
части другого, то они эквивалентны между собой.
Доказательство. Пусть Л~В*. В*аВ, В~А*,
А* а А.
Установим взаимнооднозначное соответствие между В я А*,
при этом те элементы А*, которые окажутся соответствующими
элементам множества В*, образуют некоторое множество Л**
Очевидно A-z>A*-=>A** и Л~ А** (ибо А~В*, В* ~ А**)
Отсюда, на основании теоремы 4, А^А*, а так как А* ^ В,
то А ~ В.
Теоремы 4 и 5 имеют ряд важных следствий.
Следствие 1. Если a u P две мощности, то соотношения
а = р\ а<р, а>Р
несовместимы.
Действительно, тот факт, что соотношение а = р исключает
оба прочих, вполне очевиден.
Допустим теперь, что одновременно выполняются соотношения
а «< Р и а ;> р. Пусть А и В суть два множества мощностей
аир1:
1=а, ! = р.
Так как а <р, то
1) Л и В не эквивалентны;
2) Л~В*, где В* czB.
Но из того, что а > р, следует, что
3) В~А*, где Л*с= Л.
Из 2) и 3) вытекает, что Л~В, а это противоречит 1).
Следствие 2. ?суш а, Р, v три мощности и а<р, Р<у,
то a<v, т. е. отношение <.транзитивно.
В самом деле, если Л, В, С три множества мощностей а, р,
Y, то А ~ В* <= Б, В~С* czC, откуда следует, что Л~С**сг
с С, где С** есть множество тех элементов С*, которые в
соответствии между В и С* отвечают элементам В*.
Остается обнаружить, что Л не ~С
Но если бы было А~С, то оказалось бы, что С**~С,
а тогда, по теореме 4, мы имели бы, что С* ~С, откуда В ~С
и р = ?.
Замечание. Из самого ^определения 2 вытекает, что если
А ~ В* а В, то либо А = В, либо ~А < В.
В связи с этим соотношение Л~^В*с:В часто записывают
так:
С помощью этого обозначения теорему 5 можно
формулировать так:
31
Если а^р и а^Р, то а = р.
Если тип два натуральных числа, то из трех соотношений
т = п, m<in, m>n
одно (и только одно) обязательно имеет место. В главе XIV мы
докажем, что для любых мощностей аир также обязательно
выполняется одно из трех взаимно исключающих соотношений
а = Р, а<р, а>р.
Это свойство мощностей называется трихотомией.
Покажем применение теоремы 5 на следующем примере.
Теорема 6. Множество Ф всех непрерывных функций,
заданных на сегменте [О, 1], имеет мощность с.
Доказательство. Пусть O* = {sin;t + ?}. Очевидно,
Ф* cz Ф и Ф*=с, откуда следует, что
Ф=г=с A)
Остается показать, что
Ф==5с B)
С этой целью обозначим через Н множество всех
последовательностей вида [ии щ, и3, ...], где uk, независимо друг от друга,
принимают все вещественные значения. В силу теоремы 7 § 4,
Перенумеруем все рациональные числа сегмента [0, 1]:
Г1г ГЪ Л3>
и каждой функции /(л)еФ соотнесем последовательность
«/ = [/('!). /Ы. ^э), ...]•
Очевидно, af^.H. При этом, если непрерывные функции f(x)
и g (x) не тождественны, то at ¦? ае.
Действительно, если бы было af = ае, то равенство f(x) = g (x)
выполнялось бы для любого рационального значения х из [0, 1],
откуда, в силу непрерывности обеих функций, следовало бы, что
это равенство верно для всякого х из [0, 1], и функции f (х) г
g (x) были бы тождественны.
Значит, множество Ф эквивалентно множеству Н* = {af\. Так
как Н* а Н и Н = с, то доказано соотношение B), а с ним и
теорема.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции разве
лишь счетно
2. Установить взаимнооднозначное соответствие между @, 1) и [0, 1)
3. Доказать, что f = 2c _
4. Доказать, что если А = В-\-С, Л~=с, то хоть одно из множеств
В или С имеет мощность с.
32
5. Пусть / (х) функция, обладающая тем свойством, что всякому х„
отвечает такое б > О, что как только \х — *0 | < 8, так сейчас же / (х) >? f (х0).
Доказать, что множество значений / (х) разве лишь счетно.
6. Показать, что в теоремах 4, 5, 6, 7 § 3 и 3, 4 § 4 можно откинуть
условие отсутствия общих элементов в складываемых множествах.
7. Доказать формулу АВ + С=(А+С)(В + С) Обобщить ее. _
8. Пусть Ах, Ач, Аа, . последовательность множеств. Обозначим через А
множество элементов, принадлежащих бесконечному множеству множеств Ап,
а через А множество элементов, не принадлежащих только конечному числу
со со со со
множеств Ап. Доказать, что А= JJ 2 ^*> -^ = S И ^**
n=Ik=n n=\k=n
со
9. Доказать, что если Л= 2 Ап и Х=с, то хоть одно из множеств Д„
п=1
имеет мощность с.
ГЛАВА II
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе мы будем заниматься множествами точек
числовой прямой. Все множество вещественных чисел мы будем
обозначать символом Z. Отметим, что все понятия, которые
встречаются ниже, как-то: «точка», «сегмент», «интервал» и т. п., мы
употребляем в чисто арифметическом смысле; говоря, например,
что «точка у лежит' правее точки х», мы имеем в виду,, что у >х
и т. п.
§ 1. Предельная точка
Определение 1. Точка х0 называется предельной точкой1)
точечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту
точку, содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х0.
Замечания: 1) Сама точка х0 может принадлежать, а может
и не принадлежать множеству Е.
2) Если точка х0 принадлежит множеству Е, но не является
его предельной точкой, то она называется изолированной точкой
множества Е.
3) Если х0 есть предельная точка множества Е, то всякий
интервал (а, Р), содержащий эту точку, содержит бесконечное
множество точек Е.
Докажем последнее замечание. Допустим, напротив, что
интервал (a, (J), содержащий х0, содержит только конечное число
точек Е. Пусть отличные от х0 точки множества Е ¦ (а, Р) суть
?i, ia \п- Обозначим через б наименьшее из положительных
чисел |л-0 —!i|. |*о —!а|, ¦•¦. |*о —!п|. хо-а, $ — х0 и
рассмотрим интервал (хо — Ь, х0 + б). Ни одна из точек \k (k = 1, 2 п)
в него не попадает, а так как (*0 —б, хо-\-Ь) а (а, Р), то
интервал (лг0 — б, хо-\-6) вообще не содержит точек Е, отличных
от х0, а это противоречит тому, что х0 предельная точка
множества Е.
К понятию предельной точки можно подойти и с другой точки
зрения. С этой целью докажем следующее предложение.
Теорема 1. Для того чтобы точка х0 была предельной
точкой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого мно-
х) Или точкой сгущения.
34
жества можно было выделить последовательность различных
точек хъ х2 хп, ... такую, что
хо= lim xn.
Доказательство. Достаточность условия вполне очевидна.
Докажем его необходимость.
Пусть х0 есть предельная точка множества Е. Выберем в
интервале (х0— 1, хо+ 1) точку *! е Е, отличную от х0.
Затем в интервале (л:0 — 1/2, д:0+ 1/2) выберем точку хг е Е,
ОТЛИЧНУЮ И ОТ Хо И ОТ *х И Т. Д.
На n-м шагу процесса в интервале (х0— 1/п, хо+ \/п) мы
выбираем точку х„ е ?, отличную от *0, лГц .... *,,_!.
В результате из множества Е выделена последовательность
{хп\, для которой, очевидно, будет \imxn = x0.
Доказанная теорема позволяет высказать определение 1 в
другой форме.
Определение 2. Точка х0 называется предельной точкой
множества Е, если из этого множества можно выделить
последовательность различных точек xlt хг, х3, ... такую, что
хо= lim xn.
Теорема 2 (Б. Больцано — К. Вейерштрасс). Всякое
бесконечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну
предельную точку {которая может и не принадлежать Е).
Доказательство. Так как множество Е ограничено, то
можно указать содержащий его сегмент [а, Ь].
Положим, с = '—Т)— и рассмотрим сегменты [а, с] и [с, Ь]. Не
может оказаться, чтобы каждый из них содержал только
конечное число точек Е, ибо в этом случае и все множество Е было
бы конечным. Значит, хоть один из этих сегментов содержит
бесконечное множество точек Е. Обозначим его через [аи bj] (если
оба сегмента [а, с] и [с, Ь] содержат бесконечное множество
точек Е, то через [аи 6Х] обозначаем только один из них, какой —
безразлично).
Положим с1 = й1~]у -1 и обозначим через [а2, 62]тотиз сегментов
[о1( cj и [clt bj], на котором лежит бесконечное множество
Точек Е (существование его устанавливается так же, как и выше).
Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную
последовательность вложенных сегментов
[a, b] id [alt 6J id [a2, b2] :э ....
каждый из которых содержит бесконечное множество точек Е.
Так как Ьп — ап = -^-, то длина сегмента [ап, Ьп] с
возрастанием п стремится к нулю и, по известной теореме теории
35
пределов, существует точка х0, общая всем сегментам [ап, Ь„],
причем Пта„ = lim bn = дг0.
Покажем, что х0 и есть предельная точка множества Е. Для
этого возьмем произвольный интервал (ос, Р), содержащий х0.
Очевидно, если п достаточно велико, то [ап, bn] cz (а, р), так что
в (а, р") находится бесконечное множество точек Е, откуда и
следует наше утверждение.
Заметим, что условие ограниченности множества Е не может
быть опущено без нарушения справедливости теоремы. Примером
может служить множество /V всех натуральных чисел. Оно хотя
и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.
В приложениях часто оказывается полезной другая форма
теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не о
множествах, а о числовых последовательностях.
Мы говорим, что имеем дело с числовой последовательностью
Xi, Xi, Х3, . . . , ( )
если каждому п соотнесено определенное число хп\ при этом
различные члены последовательности могут быть равны друг другу.
Такова, например, последовательность
О, 1, 0, 1, О, I, ...
Если рассматривать ее как точечное множество, то это'
множество конечное, ибо состоит только из двух точех 0 и 1, как
последовательность же она бесконечна.
Последовательность (*) называется ограниченной, если
существует такое число К, что при всех п будет
\хп\<К.
Упомянутая выше форма теоремы Больцано — Вейерштрасса
такова:
Теорема 2*. Из всякой ограниченной последовательности
хъ х2, х3, ... (*)
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Хп„ Хп„ Xnz, ... (rt1<rt2<rt3< ••¦)•
Доказательство. Рассмотрим множество Е членов
последовательности (*). Если это множество конечно, то одна из его
точек встречается в последовательности (*) бесконечно много раз,
пусть эта точка | и пусть хП1 = хП2 — хп,= ... = I, тогда
последовательность \хп^ требуемая.
Если же указанное множество бесконечно, то к нему
применима теорема Больцано—Вейерштрасса. Пусть х0 есть
предельная точка множества Е, тогда из Е выделяется
последовательность
Xmit Хщг, Хт3у • ¦ • i ( )
36
сходящаяся к точке х0, причем все члены ее, а тем более их
индексы Шх, т2, т3, ... , различны.
Положим, п1 — nil и обозначим через п2 первое из чисел mlt пц,
т3, .... которое окажется больше, чем пъ затем обозначим через
л3 первое из этих чисел, которое больше, чем п2, и т. д. В
результате мы получим последовательность хп,, хП2, хПа, ... с
возрастающими индексами. Поскольку эта последовательность есть
частичная для (**), то ясно, что 1\тх„к = х0. Теорема доказана.
§ 2. Замкнутые множества
Дадим определения целого ряда понятий, тесно связанных
с понятием предельной точки.
Определения. Пусть ? точечное множество.
1. Множество всех предельных точек Е называется
производным множеством для множества Е и обозначается через Е'.
2. Если Е' а Е, то множество Е называется замкнутым.
3. Если Е а Е', то множество Е называется плотным в себе.
4. Если Е — Е', то множество Е называется совершенным.
5. Множество ? + ?' называется замыканием множества Е и
обозначается через ?.
Таким образом, множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки. Плотное в себе множество
лишено изолированных точек. Совершенное множество замкнуто
и плотно в себе.
Иллюстрируем данные определения примерами.
Примеры.
1. ?={1, 1/2, 1/3 1/я, ...}, ?' = {0}. Множество не
замкнуто и не плотно в себе.
2. Е = (а, b), E'= [а, Ь]. Множество плотно в себе, но не
замкнуто.
3. Е = \а, b], E' = [а, Ь]. Множество совершенно.
4. E = Z, E'=Z, т. е. множество всех вещественных чисел
совершенно.
5. ? = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/«, ..., 0}, ?' = {0}; множество
замкнуто, но не плотно в себе.
6. ? = /? (множество всех рациональных чисел), E' = Z;
множество плотно в себе, но не замкнуто.
7. ? = 0, ?'=0, т. е. пустое множество совершенно.
8. ? — конечное множество, ?' = 0, т. е. конечное множество
замкнуто, но не плотно в себе.
Ниже мы познакомимся с более сложными и интересными
примерами замкнутых и совершенных множеств.
Теорема I. Производное множество ?' любого точечного
множества Е замкнуто.
Доказательство. Теорема тривиальна, если ?' пусто.
Пусть ?' не пусто и х0 есть предельная точка ?'.
37
Возьмем произвольный интервал (а, р*), содержащий точку х0.
По определению предельной точки, в этом интервале найдется
точка ге?'. Значит интервал (а, Р) есть интервал,
охватывающий предельную точку исходного множества Е (рис. 5), а потому
он содержит бесконечное мно-
д7 I I \а жество точек Е.
' Т Г /° Итак, всякий интервал, со-
0 держащий точку х0, содержит
Рис. 5. бесконечное множество точек Е,
так что точка хп есть
предельная точка Е. Иначе говоря, хое Е'. Таким образом, множество ?'
содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
Теорема 2. Если А а В, то А' а В'.
Этот факт очевиден.
Теорема 3. Справедлива формула
(А + В)' =А' +В'.
Доказательство. Включение А' + В' а (А +В)' вытекает
из теоремы 2. Установим обратное включение
(А+ВУаА' + В1. (*)
Пусть хп е (А + В)'. Тогда из А + В выделяется
последовательность различных точек хъ хг, х3, ..., такая, что \\тхп = хй.
Если в этой последовательности найдется бесконечное
множество точек, входящих в Л, то х0 будет предельной точкой
множества А и дг0 е А' с А' -\-В'. Если же среди точек хп лишь
конечное число принадлежит А, то хи е В' d А' -\-В'. Таким
образом, всегда х0^. А' -\-В', откуда и следует (*), а значит и
теорема.
Следствие 1. Замыкание Е любого множества Е замкнуто.
Действительно,
(?)' =(Е + Е')' = ?' + (?')' с ?'+?'=?' с: Е.
Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием:
Е = Е.
Достаточность этого условия вытекает из предыдущего
следствия. Обратно, пусть множество ? замкнуто, тогда E = E-\-E'cz
а Е cz Е, откуда и следует, что Е — Е.
Следующая теорема также вытекает из теоремы 3.
Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть
множество замкнутое.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух
слагаемых множеств Ф = Г1 + /Г2-
В силу теоремы 3, имеем Ф' =F[ + F'i, но, так как F[aFlt
F'zCzFz, то Ф' сг Ф, откуда и следует теорема.
Общий случай исчерпывается способом математической индукции.
38
Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых
множеств может и не быть замкнутым множеством.
В самом деле, пусть, например,
Fn = [l/n, 1] (я=1, 2, 3, ...)•
Тогда все Fn замкнуты, но их сумма
не замкнута.
Для пересечения замкнутых множеств справедлива
следующая теорема:
Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых
множеств есть множество замкнутое.
Доказательство. Пусть замкнутые множества F^ отмечены
для отличия друг от друга значком |, принимающим какое-нибудь
множество значений, и O = ]^[F^ их пересечение.
Тогда Фсг/^! при любом \, откуда следует, что Ф' aF^ и тем
более Ф' cfj. Так как это верно при любом ?, то Ф' czJ'J/^,
т. е. Ф' с:Ф, что и требовалось доказать.
Лемма. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и
P = sup? (a = inf?); тогда р е ? (а ё ?).
Доказательство. Если Ре?, то и подавно р <= Е. Допу^
стим же, что Р ё=?. Так как при каждом е>0 существует такая
точка хё?, что х>Р — е, то любой интервал, содержащий
точку р, содержит и точки множества Е, которые, очевидно,
отличны от р, ибо Рё=?. Значит, р есть предельная точка
множества Е и, стало быть, р е Е' с Е. Итак, всегда Ре?.
Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом
множестве F есть самая правая (самая левая) точка.
Действительно, пусть p = sup/r. Тогда Ре/7 = /г.
Определение 6. Пусть Е — точечное множество, а Ш —
некоторая система интервалов. Если для каждого х е Е существует
интервал б е 9Л такой, что дгеб, то говорят, что множество Е
Покрыто системой интервалов Ш.
Теорема 7 (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное
множество F покрыто бесконечной системой интервалов ЗЛ, то из
последней можно извлечь конечную систему 9Л*, также
покрывающую множество F.
Доказательство. Докажем теорему от противного. Допу-
Стим, что из ЭЛ нельзя извлечь никакой конечной системы интер-
-валов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим,
вытекает, что множество F бесконечно).
Заключим F в некоторый сегмент [а, Ь] (что возможно,
поскольку F ограничено) и положим с = ^~.
39
Не может оказаться, чтобы каждое из множеств F[a, с]
и F ¦ [с, Ь] могло быть покрыто конечным числом интервалов
системы Ш, ибо в этом случае и все множество F покрывалось бы
конечным числом этих интервалов. Значит, хоть один из
сегментов [а, с] и [с, Ь] содержит часть F, не могущую быть покрытой
конечной частью дI. Обозначаем через [alt Ьг] тот из этих, сегментов,
который содержит такую часть F. При этом, если оба сегмента
[а, с] и [с, Ь] содержат части F, не могущие быть покрытыми
конечной частью SOJ, то через [alt 6j] обозначаем только один из
них, какой — безразлично. Ясно, что множество F ¦ [alt b^\
бесконечно.
Положим теперь c1 = ai~L х и обозначим через [a2l fe2] тот из
сегментов [аи Ьх] и [clt Ь{\, который содержит часть множества F,
а 5 не могущую быть покрытой ко-
i г" \ -к" \ нечным числом интервалов си-
' L I J )Р стемы Ш; в том, что хоть один
т° из сегментов [alt q] и [clt b^\
Рис. 6. этим свойством обладает, мы
убеждаемся так же, как и выше
(если они оба им обладают, то через [а2, Ь.2] мы обозначаем только
один из них).
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность
вложенных сегментов [а, Ь] :э [аи bt] zz [as, b2] zd ..., обладающих
тем свойством, что ни одно из множеств F ¦ [ап, Ьп] (п = 1, 2, 3, ...)
не может быть покрыто конечным числом интервалов системы ЯМ
(и, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).
Так как длина сегмента [а„, Ьп], равная —^г, с
возрастанием п стремится к нулю, то существует точка х0, общая всем этим
сегментам, причем ]\man — lim Ь„ = х0.
Покажем, что точка х0 принадлежит нашему множеству F.
С этой целью выберем в множестве F [аи Ь±\ точку xlt затем
в (бесконечном) множестве F ¦ [а2. bi\ выберем точку х2, отличную
от xlt затем в множестве F [а3, Ь3] выберем точку х3, отличную
от *! и от х2, и т. д.
В результате мы получим последовательность хи хг, х3, ...
различных точек множества F, причем ап^хп^Ьп.
Но тогда, очевидно, хй = \\тхп, так что ха есть предельная
точка множества F.
Но ведь множество F замкнуто, значит, действительно, xoef.
Теперь уже легко закончить доказательство. Так как
множество F покрыто системой Ш, то в системе ЭД существует
интервал бо = (а, Р) такой, что *0е80.
Если п достаточно велико, то очевидно (рис. 6)
[ап, bn\ a 6о,
и тем более
F[an, 6„]с=б0,
40
т. е. множество F ¦ [ап, Ьп] покрывается одним интервалом из Ш,
а это противоречит самому определению сегмента [аа, Ь„\, что
и доказывает теорему.
Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить
условие ограниченности или условие замкнутости множества F.
В самом деле, рассмотрим, например, множество N всех
натуральных чисел. Оно замкнуто (ибо ЛГ=0), но неограничено.
Рассмотрим систему Ш всех интервалов вида
(n —-i-, п + 4") («=1.2,3,...),
покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов
системы Ш содержит только одну точку множества N, то ясно,
что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии
покрыть бесконечного множества N. Итак, условие
ограниченности существенно.
В качестве другого примера рассмотрим множество Е всех
чисел вида \/п
Е = У> 2 • 3~' ""Г
Это множество ограничено, но не замкнуто.
Построим около каждой точки \/п интервал 6„, содержащий
эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой
другой точки множества Е, и обозначим через ЗЛ систему всех
интервалов бл. Ясно, что система 2I покрывает множество Е, но
те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают,
что Е не покрывается никакой конечной частью Ш. Значит,
условие замкнутости также существенно.
В заключение параграфа отметим одно свойство замкнутого
множества, применение которого могло бы несколько сократить
доказательство теоремы 7.
Теорема 8. Пусть F замкнутое множество и
xlt х2, х3, ... (*)
последовательность точек F. Если lim дг„ = дг0, то xo^F.
В самом деле, если последовательность (*) содержит
бесконечное множество различных точек, то х0 есть предельная точка F
и jfoeF, если же в последовательности (*) лишь конечное число
различных точек, то, как легко понять, все члены
последовательности, начиная с некоторого, совпадают с х0 и х0 е F.
§ 3. Внутренние точки и открытые множества
Определение 1. Точка х0 называется внутренней точкой
множества F, если существует содержащий эту точку интервал (а, р),
целиком содержащийся в множестве Е:
хоее (а, Р)с?.
41
Из самого определения ясно, что внутренняя точка
множества Е принадлежит этому множеству.
Определение 2. Множество Е называется открытым, если все
его точки суть внутренние точки.
Пример ы.
1. Всякий интервал (а, Ь) есть открытое множество.
2. Множество Z всех вещественных чисел открыто.
3. Пустое множество 0 открыто.
4. Сегмент [а, Ь] не есть открытое множество, ибо его концы
не являются внутренними точками.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств
есть множество открытое.
Доказательство. Пусть S = ^Gj, где все множества G%
открыты. Пусть х0 е S, тогда х0 е G|o при некотором !¦„. Так как
G|o есть открытое множество, то существует такой интервал (а, (}),
что *ое(а, Р) с= GSo, но тогда и подавно *ое(а, р1) с: S, так
что х() есть внутренняя точка S. Поскольку х0 есть произвольная
точка 5, теорема доказана.
Следствие. Любое множество, представимое в форме суммы
интервалов, открыто.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
п
Доказательство. Пусть ^ = ]Д Gk, где все Gk открыты.
k=\
Если Р пусто, теорема тривиальна. Допустим, что Р не пусто,
и пусть х0 е Р.
Тогда j(oeGj (k = 1, 2, ..., п) и для каждого k (k = 1, 2 я)
найдется интервал (a.k, p\) такой, что
л-0 е (aftl PA) с: Gft.
Положим, Я==тах(а1, а2) ..., ал); jx = min(p1( P2, ..., рл),
очевидно лг0 е (X, ц) а Р, т. е. х0 есть внутренняя точка Р.
Теорема доказана.
Замечание. Пересечение бесконечного множества открытых
множеств может и не быть открытым множеством.
В самом деле, если
G- = (-4,?) («=1,2,3,...),
то все Gn открыты, но пересечение их
со
я = 1
не есть открытое множество.
42
Определение 3. Пусть Е п S два точечных множества. Если
Е cz S, то множество S — E называется дополнением множества Е
до множества S и обозначается так:
CSE.
В частности, множество С?Е [где Z = (—оо, + °°)] называется
просто дополнением множества Е и обозначается через
СЕ.
С помощью понятия дополнения легко обнаружить связь
между замкнутыми и открытыми множествами.
Теорема 3. Если множество G открыто, то его дополнение
CG замкнуто.
Доказательство. Пусть х0 е G, тогда существует такой
интервал (а, Р), что х0 <= (а, Р) с G.
Этот интервал вовсе не содержит точек CG, стало быть, х0 не
есть предельная точка множества CG, а потому точка,
являющаяся предельной точкой множества CG, не может входить в G.
Отсюда следует, что CG содержит все свои предельные точки.
Теорема 4. Если множество F замкнуто, то его дополнение
CF открыто.
Доказательство. Пусть *0<= CF. Тогда х0 не является
предельной точкой множества F и, следовательно, существует
интервал (а, Р), содержащий точку х0 и не содержащий ни одной,
отличной от х0, точки F. Но так как -и х0 не входит в F, то
в (а, Р) вообще нет точек F, так что (а, C) a CF и хй есть
внутренняя точка CF.
В качестве примера отметим, что каждое из взаимно
дополнительных множеств Z и 0 одновременно и замкнуто и открыто.
Легко видеть, что 1) если G открытое множество', а [а, Ь] —
содержащий его сегмент, то множество [a, b] — G замкнуто
и что 2) если F замкнутое множество, а (а, Ь) — содержащий
его интервал, то множество {a, b)—F открыто.
Эти утверждения следуют из очевидных тождеств
[a, b]-G = [a, b]CG, (a, b)-F = (a, b)CF.
Напротив, если F замкнуто и [a, b] id F, то множество [a, b] — F
не является, вообще говоря, открытым. Пусть, например, F = [Q, 1]
и [а, 6] = [0, 2], тогда [a, b]-F = (\, 2].
В связи с этим полезно дать следующее определение.
Определение 4. Пусть Е непустое ограниченное множество и
a = ini?, 6 = sup?. Сегмент 5 = [а, Ь] называется наименьшим
сегментом, содержащим Е.
Теорема 5. Если S есть наименьший сегмент, содержащий
ограниченное замкнутое множество F, то множество
CsF = [a, b]-F
открыто.
43
Доказательство. Очевидно, Достаточно убедиться в
справедливости тождества CSF = (а, Ь) ¦ CF.
Пусть xoe.CsF; это значит, что х0 е [a, b], xo!=F.
Но раз х0ШF, то х0 Ф а и хйфЬ (ибо по теореме 6 § 2 а
и Ь входят в F). Значит xQ e (а, Ь). Кроме того, х0, очевидно,
входит в CF, так что CSF с (a, b) CF.
Обратное же включение очевидно. Теорема доказана.
§ 4. Расстояния и отделимость
Определение 1. Пусть х и у две точки числовой прямой. Число
\х-у\
называется расстоянием между точками х и у и обозначается через
Р(*. У)-
Очевидно, что р (х, у) = р (у, х) :э= 0, и что р (х, у)— 0 тогда
и только тогда, когда х = у.
Определение 2. Пусть хп некоторая точка и Е непустое
точечное множество. Точная нижняя граница расстояний между х0
и точками множества Е называется расстоянием между точкой х
и множеством Е и обозначается через р (х0, Е) или р (Е, х0)
р(лг„, Е) = inf {р (л-о, х)} {х<=Е).
Очевидно, р {х0, Е) всегда существует и не отрицательно. Если
х0 е Е, то р (ха, Е) = 0, но обратное утверждение было бы неверно.
Например, если хо = О, а ? = @, 1), то p(jr0, ?) = 0, но ioe?.
Определение 3. Пусть Л и В два непустых точечных
множества. Точная нижняя граница расстояний между точками
множества А и точками множества В называется расстоянием между
множествами А и В и обозначается через р(Л, В)
р(А, B) = ini{p{x, у)} (х<=А,у<=В).
Очевидно, что р(А, В) существует всегда и что р(Л, В) =
= р(В, Л)гэО.
Если множества А и В пересекаются, то р(Л, fi) = 0, но
обратное утверждение неверно. Например, если А = (—1, 0), В =
= @, 1), то р(Л, fl) = 0, но ЛВ = 0.
Заметим, что расстояние между точкой х0 и множеством Е
есть не что иное, как расстояние между множеством Е и
множеством {д:0}, единственной точкой которого является х0. Это
замечание будет нам очень полезно.
Теорема 1. Пусть А и В два непустых замкнутых
множества, причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют
такие точки
х*е=А, у*^В,
что
р(х*. у*) = р(А, В).
44
Доказательство. По определению точной нижней
границы, для каждого натурального п существуют две точки хп е А,
г/„ е В такие, что
р(Л, В)^\хп-уп\<р(А, В) + ±. A)
По условию одно из множеств А и В ограничено. Допустим,
например, что это А. Тогда ограничена последовательность {хп\
и по теореме Больцано — Вейерштрасса из нее выделяется
сходящаяся подпоследовательность *„,, хПг, хПз, ...
]\mxnk = x*.
В силу замкнутости множества А, точка х* должна
принадлежать этому множеству, х* ^ А.
Рассмотрим последовательность [УпА. Если |хп |<С, то
KI^KI + K-^I^ + P^' В) + ±-*?С + р(А,В)+1.
Отсюда видно, что последовательность \уп \ тоже ограничена,
а значит и из нее выделяется подпоследовательность, имеющая
предел
«V *V *"*. ШУпк=у\
При этом, благодаря замкнутости множества В, будет у* е В.
Нетрудно видеть, что
\y*-x*\ = \im ynк-хп. =р(Л, В),
чем и доказана теорема.
Покажем на примере, что теорема становится неверной, если
оба множества Л и В не ограничены.
Пусть N = {n\ и yVf = In +-~—|. Оба эти множества замкнуты
(N' = М' — 0) и р (N, М) = 0, но так как N ¦ М = 0, то двух точек
x*^N, у* еУИ, для которых было бы р (лг*, у*) = 0, не
существует. Ясно также, что если хоть одно из множеств Л и В не
замкнуто, то теорема также неверна, что видно хотя бы из
примера Л = [1, 2), В = [3, 5], где р(Л, Я)=1.
Отметим несколько следствий доказанной теоремы.
Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них
ограничено и р(Л, В) = 0, то А и В пересекаются.
Следствие 2. Пусть х0 произвольная точка и F непустое
замкнутое множество. Тогда в F есть точка х*, для которой
Р(*о, **) = Р(*о. F).
Следствие 3. Если точка х0 и замкнутое множество F таковы,
что р(ха, F) = o, то xoe=F.
45
Из доказанных результатов без труда выводится
Теорема 2. Если замкнутое множество А непусто и отлично
от всей прямой Z, то оно не может оказаться открытым.
Доказательство. Пусть А -ф О, А Ф Z, А замкнуто и А
открыто. Тогда таково же и его дополнение В = СА. Пусть D
отрезок, содержащий точки обоих множеств А а В. Обозначим
через х и у точки, для которых хеЛО, y^BD, \х — у\ =
= p(AD, BD) = d, и положим 2г = х-\-у. Тогда геОи одно из
соотношений z e AD, г е BD выполняется. Пусть хотя бы г е AD.
Тогда d = p(AD, BD)^\z — y\ = d/2, что нелепо, ибо d>0.
Перейдем к установлению важной «теоремы отделимости».
Предварительно докажем две простые леммы.
Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и d^>0 —
положительное число. Положим1)
B = Z(p(x,A)<d).
Тогда A cz В и В есть открытое множество.
Доказательство. Включение А а В очевидно. Установим,
что множество В открыто.
Пусть j:oeB. Тогда р(лг0, A)<d и в А найдется такая
точка х*, что р(*0, x*)<cd.
Положим d — p(x0, x*) = h и покажем, что (xo — h,xo + h)
содержится в В. Отсюда будет следовать, что х0 внутренняя
точка В, а, стало быть, и то, что В открыто.
Возьмем произвольную точку y^(xo — h, хо + п). Тогда
I у — х01 < п, и так как | х0 — х* | = d — h, то
\y-x*\^\y-xo\ + \xo-x*\<h + (d-h) = d.
Значит, р(г/, х*)<й, и тем более р(у, A)<d, так что у^В.
Таким образом, действительно
(xQ-h, xo + h)<=B,
и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Аг и А% два непустых множества, причем
р(Ль Л2) = г>0.
Положим
В, = Z (р (х, AJ-< f), В2 = Z (р (х, Аг) < J).
Тогда
В.В^О.
Доказательство. Допустим, что ВхВг ф 0, и пусть г е 5х52.
Тогда
р(г, Л1)<~, Р(г, Л2)<4,
!) Смысл обозначения таков: «В есть множество тех точек х, для
которых р (х, А) < d».
46
и найдутся точки хг е Лх и хг <= Аг такие, что
|2-*il<y, |2-jra|<-2-, откуда \х1-х.,\<г
и, тем более, р (Аи А2) < г, что нелепо. Лемма доказана.
Теорема 3 (свойство отделимости). Пусть Ft и F2 два
не пересекающихся непустых замкнутых ограниченных множества.
Существуют открытые множества Gx и G2 такие, что
Gi^)/7!, G2zdF2, 0^2 = 0.
Доказательство. По следствию 1 теоремы 1 имеем
p(^i. Fi) = r>0. Остается положить
Gi^Z(p(x,Fi)<r/2) (i=l,2)
и применить леммы 1 и 2.
Заметим, между прочим, что условие ограниченности мног
жеств Ft и F2 можно снять без нарушения справедливости
теоремы, на чем мы, однако, не будем останавливаться. Напротив,
условие замкнутости обоих множеств существенно, что видно
хотя бы из примера А = [О, 1), В = [\, 2].
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных
множеств
Определение 1. Пусть G открытое множество. Если интервал
(а, Ь) содержится в G, но его концы этому множеству не
принадлежат
(a, b)czG, aiG, b g= G,
то мы будем называть этот интервал составляющим интерваломх)
множества G.
Теорема 1. Если G есть непустое ограниченное открытое
множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его
составляющему интервалу.
Доказательство. Пустьх0 <= G. Положим/1 = [л-0. + co)-CG.
Каждое из множеств [х0, + оо) и CG замкнуто, а потому
множество F также замкнуто. Кроме того, поскольку G ограничено,
F не пусто. Наконец, ни одна точка множества F не лежит левее
точки х0, так что множество F ограничено снизу. В таком случае
в этом множестве есть самая левая точка |х, причем, очевидно,
ц;э=*0. Но *oeG и, стало быть, j:oef, так что х0 ^ \i, т. е.
х0 < ц. _
Отметим далее, что \i e G (ибо jxef aCG). Наконец,
установим, что [х0, |i) a G. Допустим, напротив, что это не так. Тогда
Должна найтись такая точка у, что у е [х0, р), i/eG.
1) Этот термин вводится здесь впервые.
47
Но из этих соотношений вытекало бы, что y^F, у <[л, а это
противоречит самому определению точки ц.
Итак, нами установлено существование точки \i со следующими
тремя свойствами:
1) \i>x0, 2) ц!С, 3) [*„, \i)dG.
Аналогично доказывается существование такой точки X; что
1) Я<*0, 2) XeG.'S) {k,xo]c.G.
Отсюда следует, что (к, ц) есть составляющий интервал
множества G, содержащий точку х0, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует и самое существование
составляющих интервалов у каждого непустого ограниченного
открытого множества.
Теорема 2. Если (К, ц.) и (а, т) два составляющих интервала
одного и того же открытого множества G, то они или
тождественны, или не пересекаются.
Доказательство. Допустим, что существует точка х,
общая обоим интервалам (X, \i) и (а, т): Я<СЖ|а, <т<х<т.
Предположим, что т<ц. Тогда, очевидно, т е (>,, ц), но это
явно невозможно, ибо (X, ja) aG, теб. Значит цsgт.
Но так как [гит совершенно равноправны, то по тем же
соображениям T^fi, а тогда x — \i.
Аналогично устанавливается, что а = Х, откуда следует, что
интервалы (X, ц) и (а, т) тождественны.
Следствие. Множество различных составляющих интервалов
непустого ограниченного открытого множества G конечно или
счетно.
Действительно, если мы выберем в каждом из этих интервалов
по рациональной точке, то множество составляющих интервалов
окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с
частью множества R всех рациональных чисел.
Все сказанное Можно резюмировать в форме теоремы:
Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое
множество G представимо в форме суммы конечного числа или
счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых
не принадлежат множеству G:
G = 2>*, ц„) (J,»iC, |»»ifi).
Мы уже отмечали, что и обратно: всякое множество, предста-
вимое в форме интервалов, открыто.
Теорема 4. Пусть G непустое ограниченное открытое
множество и (а, Ь) — интервал, содержащийся в G. В таком случае
среди составляющих интервалов множества G найдется такой,
который содержит в себе интервал (а, Ь).
48
Доказательство. Пусть х0е (а, Ь). Тогда х0еG, и среди
интервалов, составляющих множество G, найдется такой интервал
(А,, ц), что х0 (= (X, ц).
Допустив, что \i < Ь, мы получили бы, что ц e (d, ft), а это
невозможно, потому что \l e G. Значит, b^[i.
Аналогично мы убедимся, что Х^а, а тогда (а, ft) с (X, ц),
что и требовалось доказать.
Перейдем к изучению структуры замкнутых ограниченных
множеств.
Пусть F такое множество и S наименьший сегмент,
содержащий F. Как мы знаем, множество C$F открыто. Если это
множество не пусто, то к нему применима теорема 3. Поэтому имеет
место следующая теорема.
Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество F
или является сегментом, или получается из некоторого сегмента
удалением конечного числа или счетного множества взаимно не
налегающих интервалов, концы которых принадлежат
множеству F.
Совершенно ясно, что и обратно — всякое множество,
получаемое из сегмента удалением некоторого множества интервалов, —
замкнуто.
Отметим, что- составляющие интервалы множества C$F
называются дополнительными интервалами множества F.
Так как совершенное множество замкнуто, то и для него
справедлива теорема 5. Остается выяснить, какие требования
нужно наложить на дополнительные интервалы замкнутого
множества, чтобы оно оказалось совершенным. Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 6. Пусть F непустое ограниченное замкнутое мно-
окество и S = [a, b] наименьший сегмент, содержащий F.
Тогда
1. Точка х0, являющаяся общим концом двух дополнительных
интервалов F, есть изолированная точка F.
2. Если точка а {или о) есть конец одного из
дополнительных интервалов F, то она есть изолированная точка F.
3. Никаких других, кроме отмеченных в I и 2, изолированных
точек F не имеет.
Доказательство. Утверждения 1 и 2 очевидны.
Докажем 3. Пусть х0 есть изолированная точка F. Допустим сначала,
что a<zxo<ib. По определению изолированной точки, существует
содержащий эту точку интервал (а, Р), в котором нет отличных
от х0 точек множества F, причем, очевидно, (а, Р) с [а, Ь].
Но тогда интервал (х0, Р) вовсе не содержит точек F, и, стало
быть, (х0, Р) с CSF. Согласно теореме 4, существует
дополнительный интервал (X, |л) множества F, содержащий интервал (*0, Р).
Если бы было Х<х0, то точка х0 не принадлежала бы множеству
г, поэтому необходимо, чтобы было X ^х0. Но неравенство X>х0
противоречило бы тому, что (д:0, Р) с (X, ц).
49
Значит Х = х„, т. е. х0 является левым концом одного из
дополнительных интервалов множества F.
Совершенно так же устанавливается, что хй служит и правым
концом какого-то дополнительного интервала F, откуда и следует 3.
Случай х0 = а или х0 = Ь исчерпывается таким же образом.
Из этой теоремы вытекает следующая теорема:
Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное
множество Р есть или сегмент, или получается из некоторого
сегмента удалением конечного числа или счетного множества взаимно
не налегающих интервалов, которые не имеют общих концов ни
друг с другом, ни с исходным сегментом. Обратно, всякое
множество, полученное этим способом, совершенно.
Приведем интересный и важный пример совершенного множества.
Канторовы множества О„ и Ро. Разделим сегмент ?/ = [0, 1]
на три части точками 1/3 и 2/3 и удалим из него интервал A/3, 2/3).
И") (НИШ) (|1)A1111111111111П) (II) ( II) (и) [
О Щ 2/з 1
Рис. 7.
Каждый из двух оставшихся сегментов [0, 1/3] и [2/3, 1]
разделим на три части (точками 1/9 и 2/9 для первого сегмента, и
точками 7/9, 8/9 для второго) и удалим средние интервалы A/9, 2/9),
G/9, 8/9). Далее делим на три равные части каждый из
оставшихся четырех сегментов и удаляем из них средние интервалы
(рис. 7). Этот процесс мы продолжаем неограниченно.
В результате из [0, 1] окажется удаленным открытое
множество Go, являющееся суммой счетного множества интервалов
Оставшееся множество Ро оказывается (в силу теоремы 7)
совершенным.
Множества Go и Ро носят название канторовых множеств.
Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств.
С этой целью привлечем аппарат троичных дробей.
Какие точки попадают в первый из удаленных интервалов,
т. е. в интервал A/3, 2/3)? Ясно, что при разложении каждой из
этих точек в троичную дробь х = 0, а&аз-.. (ak = 0, 1,2)
необходимо окажется ах = 1.
Концы же этого интервала допускают каждый по два
представления
1 _( 0,100000... 2_ _ [ 0,12222...
^~ = \ 0,022222...' " ~ \ 0,20000...
Все остальные точки сегмента [0, 1] при разложении в
троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой единицу.
50
Итак, на первом шагу процесса построения множества Go из
сегмента U удаляются те и только те точки, первый троичный
знак которых необходимо есть 1.
Аналогично, мы установим, что на втором шагу удаляются
те и только те точки, второй троичный знак которых
необходимо есть единица, и т. д.
Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными
те и только те точки, которые могут быть изображены
троичной дробью 0, аффъ..., в которой ни одно из ак не равно
единице.
Короче говоря, множество Go состоит из точек, троичное
разложение которых невозможно без помощи 1, а Ро — из точек, для
которых такое разложение возможно.
Следствие. Канторово совершенное множество Ро имеет
мощность с.
В самом деле
С О
и дело сводится к следствию теоремы 8 § 4 гл. I.
Полученный результат показывает, что, кроме концов
удаленных интервалов (которых есть только, счетное множество),
канторово множество Ро содержит и другие точки. Примером такой
«не концевой» точки служит любая дробь
О, а^аз..., ак='
.2'
не содержащая 0 или 2 в периоде.
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества
В конце § 5 мы установили, что мощность канторова
множества Р() есть с. Оказывается, что это свойство присуще всем
непустым совершенным множествам.
Теорема 1. Всякое непустое совершенное множество Р имеет
мощность с.
Доказательство. Пусть Р непустое совершенное
множество. Возьмем точку хеРи интервал б, содержащий эту точку.
Так как точка х не есть изолированная точка Р, то множество Рб
бесконечно.
Выберем в Рб две различные точки х0 и хг и построим такие
интервалы б0 и бь чтобы при i = О, 1 было:
1) *, е= б«, 2) б, <= б, 3) 6Д = 0, 4) тб; < 1
F есть замыкание интервала б, тб есть длина б).
Так как х0 есть предельная точка множества Р, то в
интервале б0 есть бесконечное множество точек Р. Выберем среди них
51
две различные точки *п, 0 и xOi х и построим такие интервалы б0,0
и б01, чтобы при k = 0, 1 было
1) лг0, te50, k, 2NMc60, 3) 8o.oA.i = °. 4)m6Oi*<y.
Аналогичное построение проделаем, исходя из точки хх.
В результате у нас будут построены точки #,*(;', k = 0, 1)
и интервалы 8tt k такие, что '
1) x,,ke=P6likt 2) 6ис6,-, 3) 6,,*-6Л*. = 0, если (/, k) Ф (/', А'),
4) m8,-, ft <-g-.
Продолжаем процесс построения дальше. После я-го шага у нас
будут построены точки
Xivi2 ta (/ft = 0, 1; A=l, 2, ...л)
и интервалы 6,^, ,2 ,л такие, что
3) \. ,2 ,л • б,-;, ,; ,; = 0 (если (/х, *а, ..., g ^ («J, «; Q).
4)^ '.<i".
Так как каждая точка хсх tn есть предельная точка
множества Р, то можно найти в множестве Рб^ ,я две различные
точки Xit in, о и xti in, i и построить интервалы 6,^ j^, 0
и 6A сп. 1 такие, что (при *п+1 = 0, 1)
J) "г V 'я+гс бЧ '„• W 2) fi'i '»• '«п с 6'i V
3) 6\ '.. • А. •-, V • = 0' 4) fflS', -.'«. 'Л+1<7ТГ-
Предположим, что этот процесс проведен для всех
натуральных п.
Соотнесем каждой бесконечной последовательности
(«1, 4. /а, ¦••) D = 0, 1)
точку
являющуюся единственной точкой пересечения последовательности
вложенных сегментов
6»ч • Si., i. • 6ii, is, ia- • •
Легко видеть, что точки г. , , и г./ .' ,> , отвечающие
двум различным последовательностям
ii> h> 'ai • ¦ • и 'i> '»> 'э> ¦ •• >
различны.
52
В самом деле, если п есть наименьшее из тех т, для которых
im^i'm, TO
и сегменты
6. . и б.,
не пересекаются, откуда и следует, что
Пусть S = {г,,, ,„ iai...}. В силу теоремы 8, § 4^ гл. I S = c.
Но легко видеть, что S с: Р, откуда следует, что_ P^sc.
С другой стороны, ясно, что Р^с, откуда Р = с, что и
требовалось доказать.
Нашей ближайшей задачей будет перенесение полученного
результата на произвольные замкнутые множества. Для этой цели
полезно ввести (принадлежащее Э. Линделёфу) понятие «точки
конденсации».
Определение. Точка х0 называется точкой конденсации
множества Е, если всякий интервал (а, Ь), содержащий эту точку,
содержит несчетное множество точек Е.
Очевидно, что всякая точка конденсации какого-либо множества
и подавно является его предельной точкой.
Теорема 2 (Э. Линделёф). Если ни одна из точек
множества Е не является его точкой конденсации, то множество Е
разве лишь счетно.
Доказательство. Назовем интервал (г, Л?) «правильным»,
если: 1) его концы г и R рациональны; 2) в этом интервале
содержится разве лишь счетное множество точек множества Е.
Очевидно, что «правильных» интервалов существует разве лишь
счетное множество, ибо вообще существует только счетное
множество пар (г, А?) рациональных чисел.
Установим, что каждая точка множества Е (мы, естественно,
предполагаем множество Е непустым) содержится в некотором
«правильном» интервале. Действительно, пусть х е Е. Так как х
не есть точка конденсации множества Е, то существует интервал
(а, Ь), содержащий эту точку, и такой, что в нем имеется разве
лишь счетное множество точек Е. Если мы возьмем такие
рациональные числа г и R, что a<.r<.x<R<b, то интервал (г, R)
и будет «правильным» интервалом, содержащим точку х. Отсюда,
кстати сказать, вытекает и самое существование «правильных»
интервалов.
Перенумеруем все «правильные» интервалы 6lt б2, б3, ...
Из доказанного только что предложения следует, что
Е = I; ?8*.
53
В сумме, стоящей в правой части этого равенства, есть счетное
множество слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, разве
лишь счетно. Отсюда и вытекает, что множество Е также разве
лишь счетно.
Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существует
хоть одна точка конденсации этого множества,
принадлежащая ему.
Интересно сопоставить это следствие с теоремой Больцано —
Вейерштрасса. В то время как теорема Больцано — Вейерштрасса
относится ко всякому бесконечному множеству, в настоящем
следствии речь идет только о несчетных множествах. Зато здесь,
в отличие от теоремы Больцано — Вейерштрасса, нет надобности
требовать ограниченности множества Е и, кроме факта
существования точек конденсации, можно гарантировать существование
таких точек конденсации, которые входят в множество Е.
Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Р множество
всех точек конденсации множества Е. Тогда множество Е — Р
разве лишь счетно. '
Действительно, ни одна точка множества Е — Р, не будучи
точкой конденсации Е, и подавно не является точкой конденсации
самого множества Е~Р.
Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Р множество
всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно.
В самом деле, ЕР = Е~(Е — Р), и дело сводится к теореме 10,
§ 3, гл. I.
Отметим, что следствие 3 покрывает собой следствие 1.
Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множество Р
всех точек конденсации множества Е есть множество
совершенное.
Доказательство. Установим сначала замкнутость
множества Р. Пусть х0 есть предельная точка этого множества. Возьмем
произвольный интервал (а, Ь), содержащий точку х0. В нем имеется
хоть одна точка z множества Р. Но тогда интервал (а, Ь),
как интервал, содержащий точку конденсации множества Е,
содержит несчетное множество точек Е. Так как (а, Ь) есть
произвольный интервал, содержащий х0, то х0 оказывается точкой
конденсации Е и, стало быть, принадлежит Р. Итак, множество Р
замкнуто.
Остается убедиться, что Р не имеет изолированных точек.
Пусть ^,еР и (а, Ь) есть интервал, содержащий точку х0. Тогда
множество Q = E (a, b) несчетно; а потому, в силу следствия 3
теоремы 2, в Q содержится несчетное множество точек конденсации
множества Q. Но Q а Е, а потому все точки конденсации
множества Q суть и подавно точки конденсации Е, так что в Q
(а следовательно и в (а, Ь)) содержится несчетное множество
точек Р. Итак, любой интервал, содержащий точку х0, содержит
несчетное множество точек Р, откуда следует, что хо^Р'.
Теорема доказана.
54
Теорема 4 (Г. Кантор — И. Бендиксон). Каждое несчетное
замкнутое множество F представимо в форме
F = P + D,
где Р есть совершенное, a D разве лишь счетное множество.
Доказательство. В самом деле, если Р есть множество
точек конденсации множества F, то PcF и D = F — Р разве
лишь счетно.
Следствие. Несчетное замкнутое множество имеет мощность с.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Если f (х) непрерывная функция, заданная на [а, Ь], то множество
точек, в которых f (х) 2г с, при любом с замкнуто.
2. Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества
открытых множеств.
3. Доказать, что интервал (а, Ь) нельзя представить в форме суммы
счетного множества попарно непересекающихся гамкнутых множеств.
4. Обобщить теорему отделимости на неограниченные замкнутые
множества
5. Доказать, что множество точек [0, 1], десятичное разложение которых
возможно без помощи цифры 7, совершенно
6. Представить [0, 1] в форме суммы с совершенных множеств без
общих точек.
7. Доказать, что множество иррациональных чисел сегмента [0, 1] нельзя
представить в форме суммы счетного множества замкнутых множеств.
8. Построить на [0, 1] функцию ф (*), которая была бы разрывна в
каждой рациональной и непрерывна в каждой иррациональной точке.
9. Доказать невозможность построения на [0, 1] функции, непрерывной
В каждой рациональной и разрывной в каждой иррациональной точке.
10. Если функция f{x), заданная на [а, Ь], такова, что множества
Z(f(x)^c) и Z (f (x)sS,c), при любом с, замкнуты, то f (х) непрерывна.
11. Если множество Е покрыто произвольной системой интервалов gjj,
то из последней можно выделить счетную подсистему ЗК*, покрывающую
множество (Э Линделеф1.
12. Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто.
ГЛАВА III
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Мера ограниченного открытого множества
В теории функций вещественной переменной большую роль
играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие
длины промежутка, площади прямоугольника, объема
параллелепипеда и т. д. В этой главе мы изложим теорию измерения
линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А. Лебегу.
Так как наиболее простой структурой обладают открытые
множества, то естественно начать именно с них.
Определение 1. Мерой интервала (а, Ь) называется его длина,
т. е. Ь — а. Это число обозначается так:
т (а, Ь) = Ь — а.
Очевидно, что всегда т (а, Ь) > 0.
Лемма 1. Если в интервале Д содержится конечное число
взаимно не налегающих интервалов Ьъ б2 6„, то
п
Доказательство. Пусть А = (Л, В), 8k = (ak, bk) (k=l,
2 п).
Не нарушая общности, можно считать, что интервалы 6fe
перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т. е. что
«1 < а2 <... < ап.
Но тогда, очевидно, bk^ak+1 (k=\, 2, .... « — 1), ибо иначе
интервалы 6* и 8k+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма
Q^(B~bn) + (an-bn_1)+... + (a2-b1) + (a1-A)
п
не отрицательна. Но очевидно, что mA= ^ m^* + Q> откуда и
* = i
следует лемма.
Следствие. Если на интервале А лежит счетное множество
взаимно не налегающих интервалов bk{k=\, 2, 3, ...), то
2] m6fe<mA.
*= 1
56
[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы
приписываем ему сумму, равную -\-<х>; поэтому всякий положительный
со
ряд имеет некоторую сумму. Неравенство _?] я*<С (для поло-
жительного ряда) гарантирует его сходимость.]
Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного
множества G называется сумма длин всех его составляющих
интервалов бл:
(Не зная, конечно или счетно множество {6*}, мы будем
употреблять обозначение ^mbk, подразумевая, смотря по обстоя-
k
п со
тельствам, под этим символом ^] т^ь или 2 т^*-
В силу вышеотмеченного следствия,
mG <-f-oo.
Если множество G пусто, то мы, по определению, полагаем
mG = 0,
так что всегда mG ^э 0.
Если А есть интервал, содержащий в себе открытое
множество G, то
/nG«smA,
что вытекает из того же следствия.
Пример (Канторово множество Ои). Построение Канторова
множества Go состояло из ряда последовательных шагов.
На первом шагу брался интервал A/3, 2/3) длины 1/3. На
втором шагу к нему присоединялись два интервала: A/9, 2/9) и
G/9, 8/9), длины 1/9 каждый.
На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала,
длины 1/27 каждый и т. д.
Таким образом
mG0 = 3 + g + 27 + • • •
Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем
mG0 = 1.
Теорема 1. Пусть Gx и G2 два ограниченных открытых
множества. Если Gx a G2, то
mGx jS= mG2.
Доказательство. Пусть б, (i = 1, 2, ...) и Aft (k— 1, 2, ...)
суть, соответственно, составляющие интервалы множеств Gx и G2.
57
В силу теоремы 4, § 5, гл. II, каждый из интервалов б,-
содержится в одном (и только одном) из интервалов Ak.
Поэтому множество {б,-} можно разбить на ряд взаимно не
пересекающихся подмножеств Аъ Аъ А3, ¦¦-, относя б, в Ак в том
случае, когда б; а Ак.
Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы
можем написать
k \б.еЛА )
Но, в силу следствия леммы 1,
2 /яб,- sg тАк, откуда mG1 sg ? mAk = mG2,
что и требовалось доказать.
Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть
точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных
множеств, содержащих G.
Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является
суммой конечного числа или счетного множества взаимно не
налегающих открытых множеств
G = ?Gk (GAG,- = 0, кфк'),
it
то
mG = ^mGk.
k
Это свойство меры называется полной аддитивностью.
Доказательство. Пусть б,(А) ('=1> 2, ...) суть
составляющие интервалы множества Gk. Покажем, что каждый из них
является составляющим интервалом суммы С
В самом деле, то обстоятельство, что e[k) cr G, очевидно.
Остается убедиться, что концы интервала б!*' не принадлежат G.
Допустим, что, например, правый конец интервала 8\k)
принадлежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через \i) должен
принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть
jxeG*'. (Очевидно /г'ф/г, ибо множеству Gk точка \л заведомо
не принадлежит.) Но множество G*.- открыто и, стало быть, точка [х
принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества
^еб5*'. Однако это влечет за собой то, что интервалы б!*' и б^'
пересекаются, последнее же противоречит условию GkGk' = 0.
Итак, действительно, каждый из б!*1 есть составляющий
интервал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит
хоть одному б|*'. Наконец, все эти интервалы различны. Таким
образом, множество
{е]} (< = 1, 2, ...; А=1, 2, ...)
есть множество всех составляющих интервалов суммы G.
58
Установив это, уже легко закончить доказательство:
тО = % mb[k) =2/2 тб}«) = ? mGk,
i,k k \ i Ik
что и требовалось доказать.
Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменив ее)
на случай суммы пересекающихся слагаемых, нам
понадобятся две простые леммы.
Лемма 2. Пусть сегмент [Р, Q] покрыт конечной системой Н
интервалов (%, \х). Тогда
Q-P<?m(k, ц).
и
Доказательство. Выделим из системы Я некоторую ее
часть Я*, которая строится следующим образом: обозначим через
(Xlt |Lix) какой-нибудь из интервалов системы Я, содержащих
точку Р
%1<Р<ц1
(хоть один такой интервал существует). Если окажется, что
(i1>Q, то интервал (Хи ц^) и составляет требуемую систему Я*.
Если же ^s^Q, то (j^efP, Q], и можно в системе Я найти
интервал (А,2, ц2), содержащий точку \ilt
К < Hi < ц2.
Если окажется, что ц, >Q, то процесс окончен, и интервалы
(Яь Hi) и (Я2, ц2) и составляют систему Я*.
Если же H2sSQ, то ji2 e [P, Q], и можно в системе Я найти
интервал (Х3, щ), содержащий fi2,
^з < Нг < Нз-
Если ^3>Q> то процесс закончен, а если Цз^ф, то
продолжаем наш процесс.
Но ведь множество Я по условию конечно, а наш процесс
состоит в выделении из Я все новых и новых интервалов, ибо
Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его
состоит в том, что какая-то из точек \ik окажется лежащей правее
точки Q.
Пусть fin>Q, но Hn-i^Qi т. е. процесс заканчивается после
п-го шага.
Тогда интервалы (Х1( ц^), (k.2t ц2), ..., (%п, (j,n) и составляют
систему Н*. При этом Xk+1 < jxft (k=l, 2, ... n—1).
Значит
n n—\
2 (i-1*—M > 2 (^+1 ~ ^*)+(^ "¦ ^n)=н« - ^i.
k-=l A=l
59
п
а так как ^„-Ах><?-/>, то Q-P< J] (\ik — kk), откуда и
подавно
Q-/><2>-b).
н
Лемма 3. Пусть интервал Д есть сумма конечного или
счетного множества открытых множеств
д=2<?4.
Тогда
/тгД sg ^ mG*-
Доказательство. Пусть Д = (Л, Я) и пусть составляющие
интервалы множества Gk суть 6f° (г = 1, 2, . ).
Возьмем положительное число е I 0 <е <; ~ j и рассмотрим
сегмент [Л + е, В~г], содержащийся в интервале Д.
Этот сегмент покрыт системой интервалов б(</г) (*=1, 2, .. ;
k=\, 2, .. ). Применяя к этой системе теорему Бореля о
конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную
систему
6<*Л E=1, 2, ... п),
s
покрывающую сегмент [Л + е, В —в]. В силу предыдущей леммы,
п.
В — А— 2е< ^ *п$*\ откуда и подавно
В - А - 2е < 2] тб<Л) = ^ ffi тб<*' ] = ? тС*.
«.ft * \ i /ft
Так как число е произвольно мало, то
B-A*s:?mGk,
k
и лемма доказана.
Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G
является суммой конечного числа или счетного множества
открытых множеств Gk, G = ^ Gk, то
ft
mG^]?mGk.
k
Доказательство Пусть Д, (i = 1, 2,.. ) суть составляющие
интервалы суммы G. Тогда mG = ^ mAt.
i
60
Но Д,= Д, 2G* = .S (a«g*)i откуда, в силу леммы 3, тД,==?
=s?2m(AA) и> стало быть,
k
/nG<2ri;m(A.G*)i=i]rEm(A.G*)]- и
С другой стороны Gk = Gk 2A« = .S(AA)-
При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые
правой части взаимно не пересекаются (потому что Д,Д,< = 0 при
i ф t'). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2,
а потому
2>(A,G*) = /hG*. (%)
1
с*
Сопоставляя (*) и (%), мы и получаем теорему.
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества
Пусть F непустое ограниченное замнутое множество и S
наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно
(теорема 5, § 3, гл. II), множество CsF открыто и потому имеет
определенную меру m[CsF]. Это дает возможность установить
следующее определение.
Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого
множества F называется число
mF = B-A-m [CSF],
где S = [A, В] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно,
ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились
считать число 0. Кроме того (по теореме 2 § 4 гл. II), непустое
замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым
множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи
определений меры открытого и замкнутого множества.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. F = [а, Ь]. В этом случае, очевидно, S = [а, Ь] и CsF = 0,
Так, что т[а, b] = b — a, т. е. мера сегмента равна его длине
2. F есть сумма конечною числа попарно не пересекающихся
сегментов F = [аъ Ьх] + [а2, Ь2]+ +[ап, Ьп].
Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке
возрастания левых концов; тогда, очевидно,
bk<ak+1 (k=\, 2, ... л-1),
01куда следует, что
5 = К bn], CSF = {bv a,) + (bt, a3) + • • ¦ + (*„_:. an).
61
Стало быть,
п— I п
mF= bn-ax- 2 (a*+i-bk) = ? (bk-ak),
* = 1 fe = l
т. е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся
сегментов равна сумме длин этих сегментов.
3. Пусть F = Ро (Канторово совершенное множество). В этом
случае 5 = [0,-1] и CSF = G{), откуда
т. е. Канторово совершенное множество Ро имеет меру нуль.
Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества
Ро есть с.
Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F
не отрицательна.
Доказательство. Действительно, если пользоваться
обозначениями определения 1, то очевидно CsFcz(A, В), и по
теореме 1, § 1, m[CsF]^m (А, В) = В — А, откуда и следует, что
mfs=0.
Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество,
содержащееся в интервале Д, тогда
mF = тЛ — т [C\F].
Доказательство. Множество C&F — открыто, так что лемма
имеет смысл. Пусть А = (Л, В), а наименьший сегмент, содержащий
множество F, есть S = [a, b] (рис. 8).
Тогда легко видеть, что C\F = Сд5 + CsF.
'(—? 3 )'
а ь
Рис. 8.
Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают.
Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2, § 1) будет
m[CAF] = m[CbS] + m[CsF].
Но, очевидно, Сд5 = (^, а) + (Ь, В), откуда
m[CbS] = (a-A) + (B-b),
и следовательно,
т [C^F] = (В-А)-(Ь-а) + т [CSF],
что и доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых
множества. Если /^сг/7.,, то mF1^-mF2.
Доказательство. Пусть Л есть интервал, содержащий
множество F2. Тогда легко проверить, что C&F1 id C&F2, и, стало
62
быть. inlC^F^ 5: m[C\Fi], так что дело сводится к предыдущей
лемме.
Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть
точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств,
содержащихся в F.
Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, a G открытое
ограниченное множество. Если F <= G, то rnF =-= mG.
Доказательство. Пусть А есть интервал, содержащий
множество G. Легко видеть, что А = С + Сд/г, откуда, в силу
теоремы 3, § 1, получаем, что тЛ«сmG + m[C&F], и дело
сводится к лемме.
Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть
точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств,
содержащихся в G.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы, mG есть
верхняя граница мер замкнутых множеств F czG, и надо доказать,
что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно
близки к mG.
Пусть составляющие интервалы множества G суть (kk, fiA)
(k= 1, 2, ...), так что mG = V(^_^).
Возьмем произвольное е > О и найдем столь большое нату-
п
ральное п, чтобы оказалось У (ц* — hk)>mG — -| .
Затем для каждого k (k = 1, 2 п) найдем такой сегмент
[ak> Pa], чтобы было
[ак, Р*]с:(Хь \ik), т[щ, ?>к]>т(Хк, Ы ~ ^>
(для чего достаточно взять такое г\к, что
°<^<т1П|_ 2^' Тп\>
и положить ot,k = Kk + y]k, P/, = ц* — щ). Положим, наконец,
п
Тогда, очевидно, Fo a G, Fo замкнуто, и
п п
mF0 = 2 (Р* - а*) > 2 (К* - h) - | > mG - e.
Так как е произвольно мало, то теорема доказана.
Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F
есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых
ограниченных множеств, содержащих F.
Доказательство. Как и выше, достаточно показать, что
можно построить открытое ограниченное множество, содержащее
множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.
63
С этой целью возьмем интервал Л, содержащий множество F, и
рассмотрим открытое множество Сд/\ Каково бы ни было е > О,
мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф
такое, что ФсС/, m<b>m[CsF] — &.
Положим С0 = СдФ. Легко видеть, что Go есть открытое
множество, содержащее F. Вместе с тем
mGa = тА — тФ < mh — т [C\F] -f- e = /л/7 -f- e.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть ограниченное замкнутое множество F есть
сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых
множеств
F = ^Fk {FkFk, = Q, k^-k').
Тогда
П
mF^--^ mFk.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть
случай двух слагаемых F = F1-]-F2 (/^F^O).
Возьмем произвольное е>0 и подберем два ограниченных
открытых множества Gj и С2 так, чтобы оказалось
G^F;, mGi<mF, + ~ (i=l, 2),
что возможно в силу предыдущей теоремы.
Положим G = Gi + G2-
Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее
множество F. Значит,
mF ^ mG ^ mGl -f mG2 < mFx + mF2 + e.
В силу произвольности е, отсюда следует, что
mF =s; mFx -f- m^. (*)
С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют
такие открытые множества Вг и Bit что
B.^Fi (i=\, 2), B,B2 = 0.
Отметив это, возьмем произвольное е > 0 и найдем такое
открытое ограниченное множество G, что G zd F, mG < mF -f e.
Тогда множества Bfi и S2G суть открытые ограниченные
взаимно не пересекающиеся множества, содержащие,
соответственно, множества Fx и /\2.
Значит,
mF,. + тРг^т (Bfi) + m(B2G) ^mlBfi + BzG]
64
(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых
множеств). Но Bfi + Bfi с G, откуда
mFv -\- tnF2 sg mG < mF + e
и в силу произвольности е,
mFlJrmF2^mF. (*4<)
Сопоставляя (*) и (%), получим
mF — mFx + mF2,
что и требовалось доказать.
§ 3. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества
Определение I. Внешней мерой т*Е ограниченного множества Е
называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых
ограниченных множеств, содержащих множество Е:
т*Е= inf {mG}.
Очевидно, для всякого ограниченного множества Е существует
внешняя мера, причем 0^т*Е <Z-{-oo.
Определение 2. Внутренней мерой т^Е ограниченного
множества Е называется точная верхняя граница мер всевозможных
замкнутых множеств, содержащихся в множестве Е:
т%Е = sup \mF\.
FcE
Очевидно, что всякое ограниченное множество Е имеет
внутреннюю меру, причем 0 s~ т ,.? < + аз.
Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то
m*G = tn^G = mG.
Теорема вытекает из следствия теоремы 1, § 1 и теоремы 4, § 2.
Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то
m* F = т %F = mF'.
Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5, § 2.
Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е
т?Е^т*Е.
Доказательство. Пусть G ограниченное открытое
множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое
подмножество F множества Е ни взять, будет F a G и, в силу теоремы 3,
§ 2, mF^mG. Отсюда m^E-^-mG. Но так как это верно для
всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то
т*Е^т*Е, что и требовалось доказать.
65
Теорема 4. Пусть А и В суть ограниченные множества.
Если А с В, то
т^А^т^В, т*А^т*В.
Доказательство. Оба неравенства доказываются
аналогично. Остановимся для примера на первом из них.
Пусть 5 есть множество, состоящее из мер всевозможных
замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для
множества В. Тогда m^A—supS, tn tB = sup T.
Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F
является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S аТ,
и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя
граница подмножества какого-либо множества не превосходит
точной верхней границы самого этого множества.
Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества множеств Ek
E = ^Ek, то m*E^*?im*Ek.
k k
Доказательство. Теорема тривиальна в случае
расходимости ряда Vffl*?t, Предположим, что этот ряд сходится. Взяв
произвольное е>0, мы можем найти такие открытые
ограниченные множества G/,, что
Gu => Еь, mGk < ш+?* + ^ (/е - 1, 2, 3, .. ).
Назовем через Л какой-нибудь интервал, содержащий
множество Е. Тогда ?c=A^]Gfe, откуда, в силу теоремы 3, § 1,
k
1*1 * J *
k k
и теорема вытекает из произвольности числа е.
Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих
множеств Ek
E = ?Ek {EkEk> = 0, k ФН),
k
то
m^E^^mMEk.
k
Доказательство. Рассмотрим первые п множеств ?\, ?2,...
..., Еп. Для любого е>0 существуют такие замкнутые
множества Fk, что
FkczEki mFk>m*Ek-^ (k= 1, 2, ...,«).
66
п
Множества Fk попарно не пересекаются и сумма их ^ Fk
замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, § 2, получим
г- П 1 П. П
La—i J k-\ k-\
n
Так как е>0 произвольно, то ? m*Ek^m^E.
k-i
Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых
множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то,
опираясь на произвольность числа п, мы установим сходимость
ряда ^tn^Ek и неравенство ^ т^.Ек-^т^Е.
k- 1
Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если
отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Eh.
Например, если Ег = [0, 1], ?2=[0, 1], ?' = ?'1 + ?2, то invE=\,
m^.E1 + in^Ei = 2.
Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если А есть
интервал, содержащий это множество, то
шн? + /?ц [Сд?] = тД.
Доказательство. Возьмем произвольное е>0 и найдем
такое замкнутое множество F, что FcC\E, tnF> т^[С\Е] — е.
Если мы положим G = C&F, то множество G будет открытым
ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда,
с помощью леммы § 2, находим
шТ ^ mG = тА — mF < тА — mt [Сд?] + е.
Отсюда, в силу лроизвольностн б, следует, что
т*Е + т* [Сд?]<шЛ.
Для того чтобы получить обратное неравенство
/п*? + /и, [Сд?]^=тД, (*)
приходится рассуждать тоньше.
Возьмем е > 0 и найдем такое открытое ограниченное
множество Go, что Go =з ?, mGb < m*E + \ .
Назовем концы интервала Д через А и В и построим такой
содержащийся в А интервал (а, Ь), что
А<а<А+^, В~1<Ь<В.
Сделав это, положим G = AG0+(A, a)-\-(b, В).
Множество G открыто, ограничено, содержит ? и таково, что
fflG</n*?-f е.
67
Но кроме того (и это здесь основное) множество F = C\G
оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого
тождества F — [a, b] CG.
Так как Fс Сд?, Tomt [Сд?]5=-ft?/7 = тД — mG> тД — т*? — е.
Отсюда, в силу произвольности е, следует неравенство (*),
а с ним и теорема.
Следствие. В обозначениях теоремы будет
т* [СлЕ] — т# [САЕ] = т*Е — т#Е.
В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и Сд?,
то получим, что т* [С\Е]-\-т%Е = тД, откуда
т* [САЕ] + ш*? = т*Е + т* [Сд?],
а это равносильно доказываемому утверждению.
§ 4. Измеримые множества
Определение. Ограниченное множество Е называется
измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу:
т*Е = т*Е.
Их общее значение называется мерой множества Е и
обозначается через тЕ:
тЕ = т*Е = т*Е.
Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу,
в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством
«измеримым в смысле Лебега», или, короче, «измеримым (L)».
Если множество Е неизмеримо, то о его мере нельзя говорить,
и символ тЕ для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми
мы считаем все неограниченные множества. х)
Теорема I. Открытое ограниченное множество измеримо и
его вновь определенная мера совпадает с мерой, введенной б § 1.
Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1,§3.
Точно также из теоремы 2, § 3 вытекает следующая теорема:
Теорема 2. Замкнутое ограниченное множество измеримо и
его вновь определенная мера совпадает с введенной б § 2.
Из следствия теоремы 7, § 3 вытекает:
Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество,
содержащееся в интервале Д, то множества Е и С\Е одновременно
измеримы или нет.
Из сопоставления теорем 5 и 6, § 3 следует:
!) В гл XVII понятие измеримости обобщается на некоторые
неограниченные множества.
68
Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества измеримых множеств,
попарно не имеющих точек,
E = J]Ek (EkEk =0, кфК),
к
то множество Е измеримо и
тЕ = V mEk.
k
Доказательство вытекает нз следующей цепи неравенств:
2тЕ„ = 2т^Е^т^Е^т*? <? т*Ек = ^ тЕк.
k k k k
Доказанное свойство меры называется ее полной аддитивностью.
В последней теореме существенно было, что отдельные слага-
мые попарно не пересекаются. Избавимся от этого ограничения,
пока, впрочем, для случая конечного числа сла1аемых множеств.
Теорема 5. Сумма конечного числа измеримых множеств есть
измеримое множество.
п
Доказательство. Пусть Е = ^ Ek, причем множества
Ek(k =1, 2, .... ri) измеримы.
Возьмем произвольное е>0 и построим для каждого k такое
замкнутое множество Fk и такое открытое ограниченное
множество Gk, чтобы было
FkaEk<=Gk, mGk-mFk<:~ (?=l, 2 п).
п п
Сделав это, положим F= ^] Fk, G= ^ Gk.
k=\ *-i
Очевидно, что множество F замкнуто, a G открыто и
ограничено, и что F с Е с G, откуда следует, что
mF^m*E<:m*E^mG. (¦*¦)
Но множество G — F открыто (ибо его можно представить в
форме G CF) и ограничено. Значит, это множество измеримо.
Множество F также измеримо, а потому, поскольку
G = F + (G-F)
И множества F и G — F не пересекаются, можно применить
предыдущую теорему, что дает mG = mF -\-m(G — F), откуда
m(G — F) = mG — mF.
Аналогично мы установим, что
m(Gk-Fk) = mGk-mFk (*=l, 2 л).
69
Отметим теперь легко проверяемое включение
G-F<= J] (Gk-Fh).
Все входящие сюда множества открыты и ограничены, так что,
на основании теорем § 1, мы имеем
п
m(G-f)=?S ^m(Gk-Fk),
k=\
или
п
mG — mF^^ [tnGk — mFk] < e.
k=\
Отсюда и из (*) вытекает, что m"? —т*?< е, а так как е
сколь уюдно мало, то
т*Е = tn^E.
Теорема 6. Пересечение конечного числа измеримых множеств
измеримо.
п
Доказательство. Пусть Е = \\ Ek, причем множества Ek
fe-i
измеримы. Назовем через Л какой-нибудь интервал, содержащий
п
все множества Ek. Легко проверить, что Сд? = ? Сд?*..
fc = i
Но множества C\Ek измеримы одновременно с множествами
Ek, откуда, в силу теоремы 5, следует измеримость множества С\Е,
а с ним и множества Е, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Разность двух измеримых множеств измерима.
Доказательство. Пусть Е = Ег — Eit где множества Е±
и ?2 измеримы. Назовем через Л какой-нибудь интервал,
содержащий оба множества Ях и Е2. Тогда Е = Е1- С\Е2 и дело
сводится к предыдущей теореме.
Теорема 8. Если в условиях теоремы 7 будет Ег id E2, то
тЕ = тЕх — т?2.
Доказательство. Очевидно Ех = ? + Е2 (ЕЕ2 — 0),
откуда, в силу теоремы 4, m?1 = m? + m?2. что равносильно
теореме.
Теорема 9. Если ограниченное множество Е является суммой
счетного множества измеримых множеств, то Е измеримо.
оо
Доказательство. Пусть Е= ? Ek.
Введем множества Ah(k—\t 2, ...), полагая
Л1 = ?1, Ла = ?2-?1, .... Ak = Ek-(El + ... + Ek.l), ...
70
оо
Легко проверить, что Е— ^] Ак. При этом все множества Ак изме-
А—1
римы и попарно не пересекаются (в последнем вся суть
доказательства), так что дело свелось к теореме 4.
Условие ограниченности множества Е (которое в теореме 5
выполнялось само собой) отбросить нельзя, как видно хотя бы
из примера Ek = [0, /г], где сумма ^ Ек = [0, +оо) неизмерима.
А = 1
Теорема 10. Пересечение счетного множества измеримых
множеств измеримо.
оо
Доказательство. Пусть Е= \\Ек, где все множества
?* измеримы. Так как Е с Еъ то множество Е ограничено.
Обозначим через А какой-нибудь интервал, содержащий это множество,
и положим Ak = AEk {k=\, 2, 3, ...).
Тогда
со оо оо
? = Д? = ЛП?*=П№)=ГН*-
k = \ fe-=I A = l
оо
Легко проверить, что Сд? = ^ СдЛ*, и дело сводится к тео-
k=\
ремам 3 и 9.
В заключение установим две теоремы, играющие важную роль
в теории функций.
Теорема 11. Пусть множества Еъ Ег, Е3, ... измеримы. Если
E1czE2ciE3(zl...
со
и если сумма Е—^Ек ограничена, то
А=1
тЕ = lim [тЕп].
п~*со
Доказательство. Легко видеть, что множество Е можно
представить в форме
E = E1 + (Ei-E1) + (E3-EJ + (Et-Ea) + ...,
где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу
теорем 4 и 8, следует, что
со оэ
тЕ^тЕ^ 2 m(?/Hl-?fr)=m?1+ ? [тЕк+1-тЕ„].
k=\ k=\
На основании самого определения суммы бесконечного ряда,
последнее равенство можно переписать так
тЕ= Игл \тЕ1+ ^ [шЕ^-тЕ,,]],
п^со\ k = \ )
71
а это равносильно теореме, ибо
и-1
mEi + ^ ['«?*-i - mEk] = mEn.
A = i
Теорема 12. Пусто Еи Е,, Е3, ... суть измеримые множе-
оо
ства, и Е — \\ Ек. Если Ег zd Е2 ^ Е3 гэ ..., то
тЕ = lira [тЕп].
Доказательство. Эту теорему легко свести к предыдущей.
Действительно, обозначив через А какой-нибудь интервал,
содержащий множество Ei, мы будем иметь
CaEi cz Сд?2 ^ СаЕ3 с: ..., Сд? = ^ СдЕ^-
В силу теоремы 11 мы получаем, что
т(Сд?)= Ига [т (Сд?я)],
« —» со
что можно представить и так:
тА — тЕ= Нт [тД-т?„],
л -> со
а это равносильно теореме.
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения
Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов
любой природы. Если указано правило, которое каждому
элементу а множества А ставит в соответствие один и только один
элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное
отображение множества А в множество В. При этом не
предполагается, что каждый элемент множества В оказывается
соотнесенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения
есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим
элемент бе В, отвечающий элементу яеЛ, часто обозначают через
/ (о) и пиш^т b — f (и).
Если b — f (а), то мы будем называть элемент b образом
элемента а, а элемент а прообразом элемента Ь. При этом один
элемент b может иметь несколько прообразов.
Пусть А' есть часть множества А, & В* есть множество
образов всех элементов А ' (иначе говоря, если ае/1\то/(й)е В*,
и если Ь^В\ то существует хоть один элемент сеЛ* такой,
что f(a) = b). В таком случае множество В* называется образом
множества А", что записывают так: B*—f{A*).
При этом множество А' называется прообразом множества В*.
72
Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению
одного важного специального вида отображений.
Определение 1. Однозначное отображение ср (х) числовой
прямой Z в себя называется движением, если расстояние между
образами любых двух точек прямой равно расстоянию между
самими этими точками:
I ф(*)-ф (уI = !*-</'•
Иначе говоря, движением называется такое отображение
множества Z в множество Z, которое не изменяет расстояний между
точками 2.
В определение понятия движения не включено требование,
чтобы каждая точка Z служила образом какой-нибудь точки, а
также требование, чтобы разные точки Z имели разные же образы.
Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом
пока для одного из них.
Теорема 1. Пусть ф (х) есть движение. Если х ^ у, то
у(х)фц{у).
Действительно, в этом случае ' ф (х) — ср (у) j = | х — у \ ^=0.
Теорема 2. а) Если А с В, то ф (А) с ф (В).
ь) фB^ = 5>(я*)
\ I I I
d) Если Л пустое множество, то ф (А) = А.
Доказательство предоставляется читателю, укажем лишь на
то, что при доказательстве с) используется теорема 1.
Легко проверить, что следующие три отображения являются
движениями:
I. ц>{х) = х-\-й (сдвиг),
II. <р(х) = — х (зеркальное отражение),
III. ф(х) = — x + d.
Чрезвычайно важным является то, что этими тремя
(собственно—двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все
возможные движения в Z.
Теорема 3. Если ф (х) есть движение, то либо
либо
<p(x) = ~x + d.
Доказательство. Положим, ф@) = d. Тогда для всякого х
будет \v(x)-d\ = \x\ и, стало быть,
Ф (*) = (— \)a{x)x + d [ст(х) = 0, 1].
Функция а (х) определена для всякого х Ф 0. Нашей задачей
является установление того, что а (х) есть постоянная величина.
73
Пусть х и у две точки, причем х Ф О, уФО, х Ф у. Тогда
Ф (х) - ф (у) = (— 1)°1л)х-(— l)a(i/)(/,
или
ФМ-Ф (У) = (- 1)°(Jf > [* - (- 1Г У],
где р = а (у) — а (х) имеет одно из трех значений р=1, 0, — 1.
Пользуясь определением движения, можно утверждать, что
Отсюда, либо х-(—\)9у = х — у, либо же х —(—\Уу =
= ~х + у.
Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что
2х = у[\+(—1)р], откуда (при р = ±1) х = 0, или (при р = 0)
х = у, а это противоречит условию.
Значит, остается первый случай, который дает, что р = 0, т. е.
о (*) = a (//).
Значит, для всех х Ф 0 функция a (x) имеет одно и то же
значение а(х) = а (а = 0, 1), так что <$(х) = (—\)ax-\-d.
Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для
л: = 0, теорема доказана.
Следствие. При движении каждая точка y^.Z служит
образом некоторой точки xeZ, т. е. ср (Z) = Z.
Действительно, если ф (#) = (— \)°x-\-d, то прообразом точки у
служит точка х = { — \)°{у — d).
Если <р(х) = (— \)°x-\-d есть некоторое движение, то
движение
ф-1(х) = (-1Г(х-с/)
называется обратным движением. Эти два движения связаны
соотношениями
ср[ф-1(х)] = ф'1[ф(х)]=х.
Иначе говоря, если точка х в движении ф имеет образом
точку у, то в движении qf1 точка у имеет образом точку х.
Весьма важным является то, что для всякого движения сущест-
вует обратное ему движение.
Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит
в интервал той же меры, причем концами интервала-образа
служат образы концов интервала-прообраза;
Ь) образ ограниченного множества есть ограниченное же
множество.
Доказательство. Пусть A = (a, b) есть некоторый
интервал. Тогда при движении q>{x)=x + d образом интервала Д
служит интервал (a + d, b-{- d), а при движении ц>{х) = — х + d —
интервал (d — b, d — a). В обоих случаях тц> (А) = Ь -а = т А.
Чтобы доказать Ь), обозначим через Е какое-нибудь
ограниченное множество. Если Д есть интервал, содержащий множество Е,
то ф (?) с: ф (Д), так что ср (?) ограничено. Можно рассуждать
74
и так: если для всех х из Е будет \x\<.k, то для всех у из
Ф(?) будет \y\<k + \dK
Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество
переходит в замкнутое множество;
Ь) открытое множество переходит в открытое множество.
Доказательство, а) Пусть ср (F) есть образ замкнутого
множества F. Обозначим через у0 какую-либо предельную точку
множества ср (F) и найдем последовательность {уп\, для которой
lim//„ = t/0, yn<=y(F).
Пусть х0 = qr1 (г/0), хп = ц>1 (у„).
Тогда хп <= /\ Но ; хп - л:01 = ] //„ -*/„;, так что хп ->х0 и, в силу
замкнутости Л хоеЛ откуда уо = Ц)(х0) <= ф (F).
Значит ф (F) есть замкнутое множество.
Ь) Пусть G есть открытое множество. Положим F = CG. Тогда
F есть замкнутое множество и 6 + ^ = 2, GF = 0.
Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,
q>(G) + q>(f) = Z, ф(С7)-Ф(/-) = 0,
т. е. ф (G) является дополнением замкнутого множества ф (F) и,
стало быть, открыто.
Теорема 6. Мера открытого ограниченного множества не
меняется при движении.
Доказ ательство. Пусть G открытое ограниченное множество.
Тогда и ф (G) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через
6ft (k= I, 2, 3...) составляющие интервалы множества G. На
основании теоремы 4, составляющими интервалами множества ф (G)
служат интервалы ф(б«,), причем легко проверить, что этими
интервалами исчерпываются все составляющие интервалы множества
cp(G). Отсюда: тф (G) = JT тф (бй) = ^ mSft = mG, что и требова-
А k
лось доказать.
Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни
внутренней меры ограниченного множества.
Доказательство, а) Пусть Е ограниченное множество.
Взяв произвольное е>0, найдем такое открытое ограниченное
множество G, чтобы было Gt^.E, mG<m*?4-e.
В таком случае ф (G) есть открытое ограниченное множество,
содержащее множество ц>(Е). Стало быть
т* ф (?) < тц> (G) =mG< m*E + е.
В силу произвольности числа е, отсюда следует, что т* ф (Е) «^
=^т*?, так что при движении внешняя мера ограниченного
множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается,
ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней
меры.
Итак:
т*<р(Е) = т*Е.
75
b) Обозначим через А какой-нибудь интервал, содержащий
множество Е. Тогда <р (Д) есть интервал, содержащий множество
Ф(?). Положим, далее, А—С&Е.
Соотношения Е-\-А — А, ЕА = 0 дают, что
Ф(?) + Ф(Л) = Ф(Л), Ф(?) Ф(Л) = 0,
так что ф (Е) есть дополнение множества ф (А) относительно
интервала ф(А). Отсюда, в силу теоремы 7, § 3,
ть ф (A) + mttf (E) = лир (А)
и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,
т* A-\-nivq> (E) = тА.
Значит т* ф(?) = т& — т+(Сл?), и снова применяя теорему 7,
§ 3, мы находим, что
т*ср (Е) = т,?.
Следствие. При движении измеримое множество переходит
в измеримое множество той же меры.
Определение 2. Множества А и В называются конгруэнтными,
если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.
С помощью этого термина доказанные результаты можно
высказать в такой форме.
Теорема 8. Конгруэнтные множества имеют одинаковые
внешнюю и внутреннюю меры Множество, конгруэнтное
измеримому множеству, измеримо и имеет ту оке меру.
§ fi. Класс измеримых множеств
В §§ 4 и 5 мы изучали свойства самих измеримых множеств,
здесь же мы остановимся на некоторых свойствах всего класса
измеримых множеств.
Теорема 1. Всякое ограниченное счетное множество измеримо
и мера его равна нулю.
Доказательство. Пусть ограниченное множество Е
состоит из точек г,, х,, Л'.»,. .
Обозначим через Et одноэлементное множество, состоящее из
точки xk. Очевидно Ek есть измеримое множество меры нуль, и тео-
рема следует из равенства Е= У] Ек и теоремы 4, § 4.
k i
Как показывает пример канторова совершенного множества Ро,
доказанная теорема не допускает обращения.
Определение 1. Если множество Е представимо в форме суммы
счетного множества замкнутых множеств
оэ
то говорят, что Е есть множество типа Fa.
76
Определение 2. Если множество Е представимо в форме
пересечения счетного множества открытых множеств
E=\\Gk,
то говорят, что Е есть множество типа G&.
Из теорем 9 и 10, § 4 следует
Теорема 2. Всякое огоаниченное множество типа Fa или типа
Ga измеримо.
Доказательство. Относительно множества типа Fa это
очевидно, ибо из ограниченности суммы множеств вытекает
ограниченность слагаемых, а так как последние замкнуты, то и измеримы.
Если Е есть ограниченное множество типа Ga, то, обозначив
через Д какой-нибудь интервал, содержащий множество Е, мы
сможем представить Е в форме пересечения измеримых множеств Е =
— \\ (AG^), после чего измеримость множества Е становится оче-
видной.
Определение 3. Если множество Е может быть получено,
исходя из замкнутых и открытых множеств, с помощью применения
конечного числа или счетного множества операций сложения и
пересечения, то множество Е называется борелевым множеством.
Ограниченное борелево множество называется измеримым (В).
Например, множества типа Fa и типа G$ суть борелевы
множества.
Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, установим, что
верна следующая теорема.
Теорема 3. Множество, измеримое (В), измеримо (L).
Обратная теорема неверна: существуют примеры множеств
измеримых (L) и неизмеримых (В). Первый эффективный пример
такого множества был построен безвременно умершим московским
математиком М. Я. Суслиным A894—1919). Суслин открыл
чрезвычайно важный и обширный класс так называемых Л-множеств,
каждое из которых (при условии ограниченности) измеримо (L).
Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств, но
существенно шире его.
Интересно выяснить, существуют ли вообще ограниченные
множества, неизмеримые (L)^ Прямым счетом этого вопроса
решить нельзя, как показывает следующая теорема.
Теорема 4. Множество М всех измеримых множеств имеет
ту же мо1цность, что и множество всех точечных множеств,
т. е. 2е.
Доказательство. Прежде всего ясно, что М«<2С.
С другой стороны, возьмем какое-либо измеримое множество Е
меры нуль и мощности с (например, канторово множество Р„) и
обозначим через S множество всех его подмножеств. Так как
77
всякая часть множества меры нуль также имеет внешнюю меру нуль
и, стало быть, измерима, то SczM, а поскольку 5 = 2е, то ясно,
что М^ 2'.
Теорема доказана.
Тем не менее, имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Существуют ограниченные неизмеримые множества.
Для доказательства этого факта приведем следующий пример.
Пример неизмеримого множества. Разобьем все точки сегмента
[—1/2, +1/2] на классы, относя две точки х и у в один класс,
тогда и только тогда, когда разность их х — у есть число
рациональное Это можно сделать следующим образом- соотнесем
каждой точке ie [—1/2, +1/2] класс К (х), состоящий из тех точек
сегмента [—1/2, +1/2], которые имеют вид *+/", где г
—рациональное число. В частности jteKD
Покажем, что различные1) классы К(х) и К (у) не
пересекаются между собою. Действительно, предположим, что они
пересекаются и пусть z^K(x)K(y) Тогда 2 = х+гЛ = г/+ гу,
где гх и г, рациональные числа, откуда у = х-\-гх — гу.
Теперь, если t e К (у), то
t = y+r = x + (rx-ry + r) = x+r',
так что t е К (х) и К (у) а К (х). Аналогично мы установим, что
К (х) cz К (у) и тогда окажется, что К{х) = К{у), т. е. К(х) и
К (у) представляют собою один и тот же класс, вопреки
предположению, что это различные классы.
Множество всех построенных таким образом классов и дает
нам требуемое разбиение.
Сделав это, выберем из каждого класса по одной точке и
обозначим через А множество выбранных точек.
Множество А неизмеримо.
Чтобы доказать это, переномеруем все рациональные точки
сегмента [—1, +1]:
ro = 0, /-j, гг, rs, ...
и обозначим через Ak множество, получаемое из множества .4
сдвигом
<tk{x) = x + rk.
(Иначе говоря, если хе А, то x-f-rke Ak, и если xe/1t, то
х-гк<=А).
В частности, Ап= А. Все множества Ak конгруэнтны друг
с другом, а потому (теорема 8, § 5)
m^Ak = tn^A = a, m*Alt = m*A = fi {k = 0, I, 2, ,..),
2) «Различные» в смысле теории множеств, т е такие, что К (к) -± К (у).
Напротив, вполне возможно, что К (х)-=-К (у), хотя х-?у, и тогдл jth классы
не различны.
78
Убедимся, что
Р>0. A)
Для этого заметим, что
- . +
1
2 ' ' 2
У А„. B)
Действительно, если х<= — „-, + „ , то х попадает в один
из классов произведенного выше разбиения. Если представитель
этого класса в множестве А есть х„, то разность х — х0 есть число
рациональное и притом, очевидно, принадлежащее сегменту
[ — 1, +1], откуда x — xil = rk и x^Ak. Итак, B) доказано.
Но тогда (теорема 5, § 3)
. со -. со
откуда и следует A).
С другой стороны, легко показать, что
а = 0. C)
Для этого прежде всего убедимся, что при пфт
АпАт = 0. D)
В самом деле, если бы точка г входила в Аг1Ат, то точки
хп = z — гп, хт = г— гт были бы (очевидно, различными) точками
множества А, т. е. представителями двух различных классов,
чего быть не может, ибо их разность хп — хт = гт — гп есть число
рациональное. Итак, D) доказано.
С другой стороны, легко видеть, что при любом k
3 3 1
Ак d — -2-, + 2 J
(ибо, если х<=Ак, то x = xo-{-rk, где |хо|йс1/2, l/^lsgl), так
что
со
2^Ак а I- 2, + 2 |. E)
А-=0
Из E) и D), в силу теоремы 6, § 3 следует, что
1СО . О"'
k = 0 J k = 0
79
откуда
а -f а -\- ос -f-... -=s 3 и а = 0.
Сопоставляя A) и C), получим т^А <тМ, что и
доказывает неизмеримость множества Л.
Замечание. Если бы мы с самого начала разбили на классы
не регмент [—1/2, +1/2], а произвольное измеримое множество Е
положительной меры, то, буквально повторяя проведенное
рассуждение, пришли бы к неизмеримому множеству А а Е. Итак,
всякое множество положительной меры содержит неизмеримую
часть.
§ 7. Общие замечания о проблеме меры
Отрицательный результат, полеченный в конце § 6, наводит на мысль,
что самое мероопределение Лебега плохо, и приводит к естественному
вопросу, нельзя ли как либо улучшить его.
Для ответа на этот вопрос прежде всего нужно точно сформулировать
проблему, которую желательно разрешить.
Задачу измерения точечных множеств можно ставить двумя способами.
I. Трудная задача теории измерения. ') Требуется каждому ограниченному
множеству ? приписать неотрицательное число \iE — его меру, так, чтобы
были удовлетворены следующие требования:
1. Если С=[0, 1], то цП = \.
2. Если множества А и В конгруэнтны, то |л.Л = цй.
3. Если множество Е есть сумма конечного чи<\па или счетного
множества взаимно не налегающих множеств ?/, (k=\, 2, 3, .. ), то
|х?=2ц?* (полная аддитивность меры),
k
Мы сформулировали задачу для случая множеств линейных, т. е. для
одномерного пространства Rx. Ее можно было бы поставить и для плоскости
#2 и вообще для «-мерного пространства /?„, только в требовании 1 нужно
было бы говорить не о сегменте [0, 1], а о квадрате [0, 1; 0, 1] или вообще
об я-мерном единичном кубе.
Однако легко показать, что справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Трудная задача теории измерения неразрешима даже в
пространстве /?!.
Доказательство. В примере неизмеримого множества, приведенном
в § 6, мы построили взаимно не налегающие и попарно конгруэнтные
множества Ло, Ль Д3, ... такие, что
оо
Если бы трудная задача измерения была разрешима, то оказалось бы,
что
со
k=0
') Термины «трудная», «легкая» задачи измерения не являются
общепринятыми. Я ввожу их лишь для краткости формулировок, хотя и не считаю
вполне удачными.
80
Но сегмент [—1/2, +1/2] конгруэнтен сегменту [0, 1], кроме того (для
любого k)
\ьАк — \iA ^a
и, наконец, множество [—3/2, +3/2] ограничено, откуда
1 sr-a + a + 0 + ... < + oo,
что невозможно ни при a > О, ни при а = 0.
Теорема доказана.
В связи с этим ставится
II. Легкая задача теории измерения, которая формулируется почти так
же, как и трудная задача, с тем единственным отличием, что требование 3
ставится только для случая конечного числа слагаемых множеств, т. е.
вместо полной аддитивности меры требуется лишь конечная ее аддитивноаь.
Относительно этой задачи мы приведем без доказательства следующие
результаты.
Теорема 2 (С. Банах). Легкая задача теории измерения разрешима для
пространств #х и R^, но не единственным образом.
Теорема 3 (Ф. Хаусдорф). Для пространства Rn, где п^З, легкая
задача теории измерения неразрешима.
Различие между этими результатами объясняется тем, что понятие
конгруэнтности, входящее в формулировку задачи, существенно связано с
понятием движения. Так как в пространстве с большим числом измерений группа
движений гораздо обширнее, то вполне естественно, что создать инвариант
такой группы труднее.
В заключение приведем некоторые соображения, до известной степени
«оправдывающие» мероопределение Лебега.
Пусть мы имеем некоторое решение легкой задачи теории измерения.
Тогда и? соотношения А с В вытекает, что р.А ^ \хВ (принцип монотонности),
ибо )iB = \iA + ц {В — А). Отсюда сразу следует, что мера jj.? всякого
множества Е, состоящего только из одной точки, равна нулю, ибо на сегменте
[О, 1] можно указать сколь угодно большое число ^множеств», конгруэнтных С.
В свою очередь, отсюда вытекает, что мера ц, любого конечного
множества равна нулю, а также что yi (a, b) = p.(a, b]=p.[a, b) = p.[a, b].
Далее, соотношение
*4"-.LW^]+-+(^-']
показывает, что
1
f*
О,
n
откуда ясно, что мера р. сегмента [а, Ь] с рациональной длиной равна Ь — а.
Пользуясь принципом монотонности, легко установить, что равенство ц[а, Ь] =
= Ь — а верно для любого сегмента [а, Ь].
Но тогда ясно, что для любого открытого ограниченного множества G
с конечным числом составляющих интервалов будет j.i<j = mG, если же
составляющих интервалов счетное множество, то \iG~^mG.
Наиболее естественными способами решения легкой задачи теории
измерения будут те способы, при которых мера ц открытого ограниченного
множества G равна сумме длин его составляющих интервалов (из сказанного
выше- ясно, что достаточно потребовать лишь того, чтобы было p.G--^]p.Sft
k
и то только для случая бесконечного множества интервалов). Из доказательства
теоремы Банаха можно усмотреть, что такие способы решения действительно
существуют (таким образом, мы принимаем это без доказательства). Если мы
назовем такие способы «регулярными», то легко докажем следующую теорему.
81
Теорема 4. При всяком, регулярном способе решения легкой задачи теории
измерения мера \\.Е измеримого множества Е равна его лебеговой мере тЕ.
Доказательство. Из определения регулярного способа ясно, что
мера цО открытого множества G равна его лебеговой мере mG Но тогда для
всякого замкнутого ограниченного множества F также будет \iF = mF.
Если теперь ограниченное множество Е содержит замкнутое множество F
и содержится в открытом ограниченном множестве G, то, в силу принципа
монотонности, mF ^ p.F =~ mG, откуда т.^Е =?_ ц? ^ т* Е и теорема доказана.
§ 8. Теорема Витали
Определение. Пусть Е есть точечное множество, а М —
некоторая система (не вырождающихся в точки) сегментов. Если для
всякой точки х е Е и любого е>0 существует такой сегмент
d^M, что xed, md<e, то мы будем говорить, что
множество Е покрывается системой М в смысле Витали.
Иначе говоря, множество Е покрыто в смысле Витали
системой М, если всякая точка Е содержится в сколь угодно малых
сегментах этой системы.
В теории функций многочисленные приложения имеет
следующая теорема.
Теорема 1 (Д. Витали). Если ограниченное множество Е
покрыто в смысле Витали системой сегментов М, то из
последней можно выделить такое конечное или счетное множество
сегментов {dk}, что
dkdt = 0 (кфь), т*|?-2</*1 = 0.
Иначе говоря, сегменты dk попарно не пересекаются и
покрывают множество Е с точностью до множества меры нуль.
Мы изложим принадлежащее С. Банаху доказательство этой
замечательной теоремы.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь интервал Д,
содержащий множество Е (оно ограничено!), и удалим из М те сегменты,
которые не содержатся целиком в Д. Легко понять, что система Ми,
состоящая из оставшихся сегментов (т. е. тех сегментов исходной
системы М, которая целиком содержится в Д) также покрывает
множество Е в смысле Витали.
Заметив это, возьмем какой-нибудь сегмент d1 e Мо. Если
Eczdlt то вопрос исчерпан. В противном случае, мы будем
продолжать выделять из Ми один сегмент за другим, руководствуясь
следующим правилом. П^сть сегменты
rfi, d,, ..., dn A)
п
уже построены и попарно не пересекаются. Если Е а ^ dk, то
4=1
процесс выделения сегментов закончен и теорема доказана. Если же
Е - X (h -± 0, B)
k— i
82
п
то положим Fn = У] dk, Gn = А — Fn и рассмотрим все те сегменты
А = 1
системы Л10. которые содержатся в открытом множестве Gn. В силу
B) такие сегменты заведомо существуют и их длины ограничены
(хотя бы числом тА). Обозначим через kn точную верхнюю границу
длин этих сегментов и обозначим через dnn тот из них, для
которогох)
mdn+1 > у kn. C)
Ясно, что сегмент dn±x не пересекается ни с одним из
сегментов A).
Если процесс построения сегментов dly d2, d3, ... не обрывается
после конечного числа шагов (в каковом случае доказательство
было бы завершено), то он приводит к последовательности
dlt d2, d3, ... D)
попарно не пересекающихся сегментов. Мы покажем, что это и
есть искомая последовательность, т. е. что
m*(E-S) = 0, E)
СО
где S = 2 dk.
k= i
С этой целью построим для каждого k сегмент Dk, имеющий
ту же середину, что и сегмент dk, но в пять раз большую длину,
mDk = bmdk. Легко видеть, что
со
2 mDk< + со. F)
А = 1
Действительно, сегменты dk не пересекаются и содержатся в А,
так что
со
2>d»^mA, G)
A=I
откуда и следует F).
Поэтому для доказательства соотношения E) до.11аточно
обнаружить, что при любом i будет
со
E-SczJ]Dk. (8)
А=г
Пусть х <= Е — S. Тогда jreG, и (лоскольку G, открыто)
существует такой сегмент d системы Мо, что х е d cz Gt.
Однако не может оказаться, чтобы при всех п было
d с Gn, (9)
1) Так как сегменты системы М не вырождаются в точки, то kn > 0.
83
ибо отсюда следовало бы, что при всех п
md^kn< 2tndn+1,
а это невозможно, так как [в силу G)] mdn-*-0. Значит, при
некоторых п соотношение (9) не выполняется, а выполняется, стало
быть, соотношение
d-Fn^0. A0)
Мы будем считать, что п есть наименьшее из чисел,
удовлетворяющих соотношению A0). Так как d -F,— 0, a /\ cz F2 cz fa с ...,
то ясно, что n > /.
Из определения п вытекает, что d-Fn ! = 0, а отсюда, в свою
очередь, проистекают два следствия: во-первых,
d-dn^0, (И)
а во-вторых, d с: Gn-X и, стало быть,
mds^kn-i<2mdn. A2)
Но из A1) и A2) с очевидностью следует, что dczDn и, тем
более, dc _?]?>«. Значит, х <= ^ Db откуда следует (8), и тео-
рема доказана.
В приложениях иногда бывает полезна несколько измененная
форма теоремы Витали.
Теорема 2 (Д. Витали). В условиях теоремы 1, для всякого
е>0 существует конечная система dx, d2, .... dn взаимно не
налегающих сегментов системы М, для которой
п
т* Е-? d* <е.
\ *=i /
Доказательство. Обозначим через А какой-нибудь
интервал, содержащий множество Е, и выбросим из М все сегменты,
которые не содержатся в интервале Д. Если оставшаяся система
есть Ма, то, очевидно, она также покрывает множество Е в смысле
Витали. Применим теорему 1 к системе Мп и построим систему
\dk\ взаимно не налегающих сегментов системы Мо, для которой
[?-?"*1
= 0.
Если система \dk) конечна, то теорема доказана. Если же эта
со
система бесконечна, то, очевидно, ^md^scmA и можно найти
*= i
столь большое п, что ^ mdk < e.
84
Но легко видеть, что
?-j]d4c|?-f;</J+ f; dk, (i3)
откуда
m*\E- У d*|<e,
ибо внешняя мера первого слагаемого правой части A3) равна
нулю.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Доказать, что:
1. В каждом совершенном множестве есть совершенное подмножество
меры нуль.
2. Если А измеримое множество положительной меры, то в нем
существуют такие точки х и у, расстояние между которыми рационально.
3. Для измеримости ограниченного множества Е необходимо и достаточно,
чтобы для всякого е > О существовало такое замкнутое множество F а Е, что
т* {Е — /¦) < f. (Признак Валле-Пуссена.)
4. Для каждою ограниченного множества Е можно построить такие
множества Лий, что А аЕ с В, А типа Fa, В типа 6'g и mA = mi.E, mB — m*E.
5. Если Л II В два измеримых множества без общих точек, то для любого
множества Е будет
т* [Г.(А + В)\ = т*(СА)+,п*(ЕВ), тЛЕ (A+B)] = m.t (EA)+mt(EB).
6. Для того чтобы ограниченное множество Е было измеримо, необходимо
и достаточно, чтобы для любого ограниченного множества А было т*Л =
— т* (АЕ)-\-т* (А СЕ) (признак Каратеодори).
7. Множество Е называется нигде не плотным, если любой интервал
содержит точки множества СЕ'. Построить нигде не плотное ограниченное
совершенное множество положительной меры.
8. Построить содержащееся в U = [0, 1] измеримое множество Е так,
чтобы для любого интервала Act/ было т (Д • ?) > 0, т (А ¦ СЕ) > 0.
со
9. Если Е = 2 Ек, ^cfjcfjC... и Е ограничено, то при п —> со
будет т*?„ —> т*Е.
10. При всяком способе решения легкой задачи теории измерения мера
ограниченного счетного множества равна н\лю.
ГЛАВА IV
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение и простейшие свойства
измеримой функции
Если каждому х из множества Е поставлено в соответствие
некоторое число }(х), то мы будем говорить, что на множестве ?
задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные
значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т. е.
вводим «несобственные» числа —со и -fee. Эти числа связаны между
собой и с любым конечным числом а неравенствами
~со<а< + сс,
и мы устанавливаем для них следующие законы действий:
-f- 0O-±fl= + СО, +СО + (+ СО)= + СО, -\- СО — ( — СО) = -f- СО,
— со±а =— со, — оо-(-(—со) = — со, — со— (-)- со) = — со,
| + оо [ = | — со | = + со, -[-со а = а (~f- со) = -|- со,
— оо-а = а-(—со) = —оэ, если о>0,
4-со'а = а (+ со) = — со,
— со-а = а-(—со)= + оо, если а ¦< О
О ¦ (± со) = (± со) • 0 = О,
(+ со) ¦ D- со) = (— оо) • (— со) = + со,
(+со) (—со) = (—со)-(+со)=-со,
-?- = 0.
+ оо
Здесь а обозначает вещественное конечное число. Символы
+ со-(+со), —со-(—со), +со + (—о.), —со+ (+со).
а
±оэ' 0
мы считаем лишенными смысла.J)
Имея дело с функцией /(*), заданной на мьожестве Е, мы
будем символом
?(/>а)
1) Обычно символам 0(± ее) и (^ ос) 0 также не приписывают смысла.
Нам кажется более удобным считать их равными нулю.
86
обозначать множество тех х из множества Е, для которых
выполнено неравенство f(x)>a.
Аналогичным образом вводятся символы
E(f^a), E(f = a), E(f^a), E(a<f^b)
и т. п. Если множество, на котором задана функция f(x),
обозначено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы
соответственно будем писать
A(f>a), В(/>й)
и т. п.
Определение 1. Функция f(x), заданная на множестве Е,
называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при
любом конечном а измеримо множество
E{f>a).
В связи с тем, что здесь речь идег о множествах, измеримых
в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это
обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все
множества E{f>a) измеримы (В), то и / (х) называется измеримой
(В) функцией.
Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры
нуль, измерима.
Это утверждение очевидно.
Теорема 2. Пусть f (x) есть измеримая функция, заданная
на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то
f(x), рассматриваемая только для хеЛ, измерима.1)
Действительно, Aif>a) = A E(f>a).
Теорема 3. Пусть f (x) задана на измеримом множестве Е,
представимом в форме суммы конечного числа или счетного
множества измеримых множеств Ek:
E = ^Eh.
k
Если f(x) измерима на каждом из множеств Ek, то она
измерима и на Е.
В самом деле, Е (f>a) = ? Ek(f>a).
/г
Определение 2. Две функции / (х) и g(x), заданные на одном
и том же множестве Е, называются эквивалентными, если
mE(f1±g) = Q.
Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:
f(x)~g{x).
') Вместо этого, несколько громоздкого, способа речи мы б^дем говорить,
что [(х) измерима на множестве А.
87
Определение 3. П^сть некоторое обстоятельство S имеет место
для всех точек какого-нибудь множества ?, кроме точек, входящих
в подмножество Еи множества Е Если т?„ = 0, то говорят, что S
имеет место почти везде на множестве Е, пли почти для всех
точек Е.
В частности, множество исключительных точек ?„ может быть
и пустым.
Теперь можно сказать, что две функции, заданные на
множестве Е, эквивалентны, если они равны почти везде на Е.
Теорема 4. Если / (х) есть измеримая функция, заданная на
множестве Е, a g(x)>^f(x), то g(x) также измерима.
Доказательство. Пусть А = Е (/ Ф- g), В — Е — А. Тогда
тА = О, так что В измеримо. Значит функция / (х) измерима на
множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g (л:)
неотличимы, так что и g (х) измерима на В. Поскольку g(x) измерима
и на А (ибо тА = 0), она измерима на Е = А-\-В.
Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е
будет f(x)=Cy то функция f{x) измерима.
Действительно,
Е«>а) = {Е' еСЛ" п<С-
{ 0, если а^гс.
Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.
Функция f(x), заданная на сегменте [а, Ь], называется
ступенчатой, если [а, Ь] можно разложить точками
со = а<с1<.с1<...<.сп = Ь
на конечное число частей, внутри которых (т. е. в интервалах
(с*, <Vi) при k = 0, 1, ..., я —1) функция [(х) постоянна. Легко
понять, что из теоремы 5 вытекает
Следствие. Ступенчатая, функция измерима.
Теорема 6. Если f(x) есть измеримая функция, заданная на
множестве Е, то при любом а измеримы множества
E(f^a), ?(/ = a), ?(/<а), ?(/<а).
Доказательство. Легко проверить, что
да
1 \
E(t^a) = \\Ej>a-ln),
п = 1
откуда следует измеримость множества ?(/=эа). Измеримость
прочих множеств вытекает из соотношений:
?(/ = a) = ?(/=2=a)-?(/>a), ? (/-сa) = ?-?(/ >a),
?(/<й) = ?-?(/гга).
Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств
Е if 75* a), E(f^a), E(f<a) A)
оказывается измеримым при всяком а, то функция f(x) измерима
на множестве Е (которое также предполагается измеримым).
со
Действительно, тождество Е (f>a) — У f/rssa-j )
Исказила
вает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества
E(f>a). Сходным образом устанавливаются и остальные
утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно
заменить множество E(f>a) любым из множеств A).
Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е,
измерима, a k конечное число, то измеримы и функции 1)/(л) + &,
2) kf (x), 3) |/(л)|, 4) /2(.v), и если /(*)=? О, то измерима и
функция 5) Tljr.
Доказательство. 1) Измеримость функции f(x)-\-k
вытекает из соотношения ?(/ + &> о) = ?(/>¦ а —&).
2) Измеримость функции kf(x) при k = 0 следует из теоремы 5.
Для прочих k измеримость следует из очевидных соотношений
Flbt^ \-\ E(f>a^' еСЛИ ^>0'
m>a)~\E(f<a/k), если А<0.
3) Функция |/(л-)| измерима потому, что
Е, если a<z О,
E(f>a) + E(f<-a), если а>=0.
E(\f\>a) =
4) Аналогично, из того, что
Е,
?(/а>й) =
если о < О,
E(\f\>Va), если а^О,
вытекает измеримость функции f2(x).
5) Наконец, при f(x)jLQ имеем
ч (E(f>0), если
E{j>aj = lE(f>O)-E(f<l/a), если
I ?(/>0) + ?(/<0) E(f<\/a), если
а = 0,
а>0,
а<0,
измеримость т-р-.
откуда и следует
Теорема 8. Функция f(x), заданная и непрерывная на
сегменте Е=[А, В], измерима.
Доказательство. Прежде всего установим, что множество
замкнуто. Действительно, если х0 есть предельная точка этого
множества и хп-+х0 (xn^F), то f(xa)^a и, в сичу непрерывно-
сти !{х), будет f(xo)^a, т. е. xo^F, что и устанавливает
замкнутость множества /\
89
Но тогда множество Е (/ > а) = Е — Е (/ -^ а) измеримо, и
теорема доказана.
Из самого определения измеримой функции следует, что
функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.
Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции,
заданной на измеримом множестве.
Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е =
= [Л, В]. Функция (рм(х), равная единице на множестве М и нулю
на множестве ? — М, называется характеристической функцией
множества М.
Теорема 9. Множество М и его характеристическая
функция ц>м одновременно измеримы или нет.
Доказательство. Если функция ц>м (х) измерима, то
измеримость множества М вытекает из соотношения
М = ?(фЛ1>0).
Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения
О, если а 5з 1,
Е (фл, > а) =
М, если 0^а< 1,
Е, если а < О,
устанавливают измеримость функции флг(^).
Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры
разрывных измеримых функций.
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций
Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции
f (х) и g(x), то множество E(f>g) измеримо.
Действительно, если мы переномеруем все рациональные числа
г^ гъ гз, • • ¦. то легко проверим справедливость соотношения
со
?(/>?)-.? E([>rk)E(g<rk),
откуда и следует лемма.
Теорема 1. Пусть / (х) и g(x) суть конечные измеримые
функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из
функций \) f(x)-g(x), 2) f(x)+g(x), 3) f(x) g{\), и если
t (х)
g (х) ф 0, то измерима также функция 4) ~.
Доказательство. 1) Функция a + g(x) измерима при
любом а. Значит (на основании леммы), множество ?(/>« 4-g)
измеримо, а так как Е (f — g> a) = Е (/> a-{-g), то измерима
функция f(x)-g(x).
2) Измеримость суммы f (x)-\-g (а) следует из того, что
f(x) + g(x) = f(x)-\-g(x)\.
90
3) Измеримость произведения f(x)g(x) вытекает из тождества
f(x)g(x) = \ {[f{x) + g(x)\*-[l(x)-g(x)\*\
и теоремы 7, § 1.
{ (х)
4) Наконец, измеримость частного -j-t есть следствие
тождества
/w._/W._L
g(*) ' ' ' *(*)
Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи
применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого
класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный
результат относительно уже не арифметической операции —
предельного перехода.
Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность
измеримых функций /](*), fi(x), ... Если в каждой точке х е Е
существует (конечный или бесконечный) предел
F(x) = lim fn(x),
П -*¦ ОТ)
то функция F (х) измерима.
Доказательство. Фиксируем произвольное а и введем
в рассмотрение множества
Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства
теоремы достаточно проверить, что
E(F>a)='?B%).
п, т
Займемся же проверкой этого тождества.
Пусть хо<= Е (F >а), тогда F(xo)>a, и найдется такое
натуральное т, что F(xn)>a+]/m. Поскольку же fk (x) -+F(x0), то
найдется такое п, что при k^s-n будет
/ft (х0) >а+ У-.
Иначе говоря, х0 е А(т при всех k ~^п, а тогда *„ е В(т и тем
более ioej Вт". Отсюда следует, что ? (F>a) c= ? В%\
*, т п, ги
Теперь остается установить обратное включение
? B(?aE{F>a), (*)
п, т
и теорема будет доказана.
91
Пусть хо<= 2 В™1. Тогда ^efii при некоторых фиксиро-
п, т
ванных пит. Это значит, что л:0<= А{т для k^n. Иначе говоря,
при &2э« будет [k(xn)>a+ \ltn.
Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем
неравенстве к пределу, получим, что F (х()) ^г а + \/т, откуда ясно,
что F(xa)>a, т. е. xo<=E(F>a). Этим и доказано включение (т).
Доказанная теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3. Пусть на множестве Е заданы измеримые
функции /j(x), f2(x), ... и некоторая функция F(х). Если соотношение
\imfn(x) = F(x) (<*)
п -* со
выполняется почта везде на Е, то функция F (х) измерима.
Доказательство. Обозначим через А множество тех точек
хе?, в которых соотношение (а) не имеет места (в этих точках
предела \\mfn{x) может вовсе не существовать). По условию,
тЛ=0 и F{x) измерима на множестве А. По теореме 2 она
измерима и на множестве Е — А, а тогда она измерима на всем
множестве Е.
§ 3. Последовательности измеримых функций.
Сходимость по мере
В этом параграфе нам придется рассматривать множества вида
?(J-g|S=a), ?(|f-g|<a), где f (x) и g(x) суть функции,
заданные на множестве Е, а а некоторое положительное число.
При этом точки, в которых обе функции [(х) и g(x) принимают
бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни
в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность
f(x)~g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство
представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся
эти точки относить к множеству Е( |/ — g\ s==a). x) При таком
соглашении, очевидно
E = E(\f-g\^a) + El\f-g\<a)
и слагаемые правой части не пересекаются.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность измеримых и почти везде конечных
функций f1 (х), /2 (х), /3 (х), ... , которая почти во всех точках Е
J) Это соглашение имеет довольно случайный характер. Но так как
в дальнейшем мы рассматриваем только почти везде конечные функции, а
множества ?(,/ — gK=a) будут интересовать нас только с точки зрения их
меры, то в конце концов безразлично, как поступить с множеством
E(f=± oo) + ?(g=± сю),
ибо мера его равна нулю.
92
сходится к почти везде конечной функции f(x). Тогда, каково бы
ни было о > О, будет
\im[mE{\fn-f\^a)]=O.
п -* оо
Доказательство. Отметим прежде всего, что в силу
теоремы 3, § 2, предельная функция f(x) также измерима и, стало
быть, измеримы те множества, о которых идет речь.
Положим
A = E(\f\ = + oo), Л„ = ЕAМ = + со), B = E(fam-+f)
Q = A+? An + B.
n = l
Очевидно,
mQ = 0. A)
Пусть, далее,
Ek[a) = E{\fk-f\^a), /?я(о)= _f Е„(а), M=f[Rn(o).
k = n ft = 1
• Все эти множества измеримы.
Так как R± (о) id /?2 (о) гз R3 (о) zd ..., то, в силу теоремы 12,
§ 4, гл. Ill, при п-*оо будет
mRn(a)-*mM. B)
Убедимся в том, что
М a Q. C)
В самом деле, если ^gQ, to lim fk (x0) — f(x0), причем все
числа М*о). h(xo)' ¦¦• и их пРеДел /(^о) — конечны. Значит,
найдется такое п, что для k^n будет , fk{хй) — f (x0)] <;а.
Иначе юворя, х„ ^ Ek (a) (k Ss n), a потому x0 e R* (о) и тем
более *оё=М, откуда и следует C).
Но тогда, в силу A), тМ = 0, и B) принимает вид
mRn(a) - 0. D)
Этим и доказана теорема, ибо Еп (а) с: Rn (a).
Замечание. Отметим, что нами установлен результат D), более
сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже, при
доказательстве теоремы Д. Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно
этим более сильным результатом.
Доказанная теорема дает повод установить следующее !)
Определение. Пусть на измеримом множестве Е задана
последовательность измеримых и почти везде конечных функций
h(x), Ш. UM, ... (*)
1) Принадлежащее венгерскому математику Ф. Риссу.
93
и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если, каково
бы ни было положительное число а, оказывается, что
lim [т?(|/я-Л5э=о)]=0,
то говорят, что последовательность (*) сходится к функции f(x)
по мере.
Мы будем, следуя Г. М. Фихтенгольцу, обозначать сходимость
по мере символом
fn(x)=>f(x).
С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать
теорему Лебега так.
Теорема /*. Если последовательность функций сходится почти
везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.
Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.
Пример. Определим на полусегменте [О, 1) для каждого
натурального k группу нз k функций: /f (.r), fik) (х), .... Д*1 (х),
полагая
1 у Г~Г I
'' Х<=[ k • k)'
rw=
О, хе[т
[В частности, /,' (х) == 1 на [О, 1). Нумеруя все построенные
функции подряд одним значком, мы получим последовательность
<Pi(-O = fi' (к). (p2(*) = /iJ (*). Фз(*) = //(*)> Ф4(*) = /Г (х), ...
Легко видеть, что последовательность функций ф„ (*) сходится
по мере к нулю. В самом деле, если фм (х) = f,k: (x), то при
любом о>0 будет
EVVn\^o) = [—t-kj,
и мера этого множества, равная \/k, стремится к нулю с
возрастанием п. х)
Вместе с тем, соотношение ф„ (х) ->0 не выполняется ни в одной
точке промежутка [О, 1). Действительно, если хп е= [О, 1), то для
всякого k найдется такое /, что xee ^-, 'k i, так что/,(fc| (лг0)—
— 1. Иначе говоря, как далеко мы ни продвинемся вдоль ряда
чисел Ф^*,,). Фг'^п). Чз(^п). ••¦ . мы всегда будем встречать в этом
ряду числа, равные I, что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, понятие сходимости по мере есть пончтие,
существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и
тем более, чем понятие сходимости везде.
1) Мы считаем, что о -=? 1, ибо иначе множество Е (' фп ! &о) пусто и все
становится тривиальным.
94
Естественно спросить, в какой степени соотношение
/„(*)=>/(*)
определяет функцию f(x), т. е. единственна ли предельная
функция при сходимости по мере.
Теоремы 2 и 3 позволяют ответить на этот вопрос.
Теорема 2. Если последовательность функций fn (х) сходится
по мере к функции f(x), то эта же последовательность сходится
по мере ко всякой функции g(x), эквивалентной функции f(x).
Доказательство. При любом 'i>0 будет
Е( fn-g ^.o)czE(f jLg) + E(\fa-fi7&o),
откуда (поскольку тЕ (/ Ф g) — 0)
тЕ ( /„ -g ' 5го) ^ тЕ (| fn,-/| 5г а),
что и доказывает теорему.
Теорема 3. Если последовательность функций fn (x) сходится
по мере к двум функциям f (х) и g{x), то эти предельные
функции эквивалентны.
Доказательство. Легко проверить, что при о>0 будет
о
ибо точка, не входящая в правою часть этого соотношения, и
подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения
fn=>f, fn=$g
показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с
возрастанием п, откуда ясно, что тЕ (| / — g ( 2з а) = 0.
Но так как
со
E(f^g)a У ?(,/-?1^ JW)
п
то f^g, что и требовалось доказать.
Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство
единственности предельной функции для сходимости по мере, мы
должны были бы условиться считать эквивалентные функции за
тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах
теории функций, т. е. в тех вопросах, где все свойства функций
изучаются с помощью меры множеств, на которых функция
обладает или не обладает тем или другим свойством. В
интегральном исчислении мы найдем много примеров подобного подхода
к вещам.
4) Было бы неверно употребить здесь знак = вместо знака с Например,
те точки, в которых /(x)=g(*)= f- со, в левую часть не входят, но мы
условились их включать во все множества вида Е (\f —g t-Ssa).
95
Хотя сходимость по Mt-pe общее сходимости почти везде, имеет
место все же следующая теорема.
Теорема 4 (Ф. Рисе). Пусть {/„(*)} последовательность
функций, которая сходится по мере к функции f(x). В таком
случае существует подпоследовательность
М*). /»,W, М*). ••• («i< «а <%<••¦).
сходящаяся к функции f(x) почти везде. J)
Доказательство. Возьмем последовательность
положительных чисел а1 >а2> о3 >... , для которой \\mak = 0.
Пусть, далее, т]1-}-г12 + г1з + -• ¦ (%>0) есть сходящийся
положительный ряд.
Теперь мы можем построить требуемую последовательность
индексов
<«2<«3<--- (*)
следующим образом: обозначим через пг натуральное число, для
которого
тЕ(\и-(\^сц)<т}1-
Такое число обязательно существует, ибо
тЕ( \fn — /| Sscr1)->0 при «->со.
Затем через п.г обозначим то натуральное число, для которого
tf»?(;//i,-/|Ss<*2)<1b. n2>nv
Вообще через пк мы обозначаем такое число, что
mE(\fn -f\Sz<yk)<4k, nk>nkl.
"к
Последовательность (!|;), таким образом, построена.
Теперь установим, что почти везде на множестве Е будет
Y\mfnt{x) = f(x). (%)
Действительно, пусть
*-,»"*
Я,= 2 E(\fnk-f\^°k). Q = U*t.
Так как Rt zd R2 =) Ra =з..., то (теорема 12, §4, гл. Ill)
mRi-+mQ.
со
С другой стороны, очевидно, что mRi < ^ 'I*. так что
ш/?,->0 и, стало быть, mQ = 0.
') Формулируя теорему, мы считаем само собою ясным, что имеют место
все оговорки, сделанные при определении сходимости по мере, как-то:
измеримость множества ?, на котором заданы функции, измеримость самих
функций и т. п.
96
Остается проверить, что соотношение (%) имеет место для
всех х из множества Е — Q.
Пусть х0 <= Е — Q. Тогда хоёй,. Иначе говоря, при k~^ziQ
Jfoe=?(,/nA-/iS2=a*).
и, следовательно,
i fnh (х„) - f (д-и); < ок (k -? /0)
и, поскольку а*->0, ясно, что /,^(л)-*-/(*„).
Теорема доказана.
Теорема Лебега дала повод к установлению понятия
сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы
можно установить весьма важную теорему Д. Ф. Егорова. *)
Теорема 5 (Д. Ф. Егоров). Пусть на измеримом
множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде
конечных функций fi(x), fo{x), f3(x), ..., почти везде сходящаяся
к измеримой и почти везде конечной функции f (х):
lim/,,(*) = /(*)• (*)
л -» со
В таком случае, для любого б > 0 существует такое
измеримое множество Е& cz E, что:
1) m?6>m?-6;
2) на множестве Е& стремление (*) происходит равномерно.
Доказательство. При доказательстве теоремы Лебега было
установлено, что при любом <т>0 будет
mRn(a)-*0, A)
л -> со
где Я„(а)= ^E(\fk-f\^o).
k = n
Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд
% + 1Ъ + г1з + --- (%>0)
и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел
°1> °2 > аЗ>- ¦ • t lilTlff;=0.
В силу A), можно каждому натуральному / соотнести такое
натуральное nit что mRn (о,)<11;.
со
Сделав это, найдем такое /0, что ^ г|; < б (где б число, фи-
со
гурирующее в формулировке теоремы), и положим е= У] Rn (a,-).
Очевидно,
те<б.
*) В менее общих предположениях этот результат был установлен и
К. Северини.
97
Пусть Е(, = Е — е. Установим, что множество Е& требуемое.
Неравенство тЕ&~> тЕ — Ь ясно, так что остается убедиться
в равномерности стремления
/«WWW
на множестве Е6.
Пусть е>0. Найдем i такое, что /;>/„, а, <е, и покажем,
что при &2гя, и при всех * е ?а б^дет
\fk(x)-f(x)\<e,
откуда и будет следовать теорема.
Если х е ?а. то *€=?¦ Значит, в частности, х ^ Rn (ai).
Иначе говоря, при k^-n,
xJ=E{\fb—f\^al),
так что
\h(x)-f(xy<ol (k^-щ),
и тем более
IM*)-f (*),<* (?>л,).
Теорема доказана, ибо и, зависит только от е, но не от х.
§ 4. Структура измеримых функций
При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос
о точном или приближенном представлении ее с помощью функций
более простой природы.
Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении
многочлена на множители или рациональной дроби на простейшие.
Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в
степенной или тригонометрический ряд и т. п.
В этом параграфе мы устанавливаем различные теоремы о
приближении измеримых функций функциями непрерывными, т. е.
решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы
позволят нам найти основное структурное свойство измеримой
функции, выражаемое теоремой 4.
Теорема I. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти
везде конечная функция f(x). Кокове бы ни было е>0,
существует измеримая ограниченная функция 'g(x), такая, что
mE(f^g)<e.
Доказательство. Положим
Ak = E(\f\>k), Q = ?(|/] = + co).
По условию, mQ — 0. Ввиду очевидных соотношений
Ау => А^ => Л3 =>..., Q=\[Ak
98
будет (теорема 12, § 4, гл. Ill) при k-^-co
mAk-+mQ = 0.
Значит, найдется такое k0, что mAka < e.
Определим на множестве Е функцию g(x), полагая
( f(x) при х<=Е — Ак,
g^X' \ 0 при хе\
«о>
Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку
|g(*)|^&0- Наконец, E([^g) = A/,a, что и доказывает теорему.
Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти
везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь
множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть функция f (х) задана на множестве Е и хо^Е,
причем f (х„) Ф ± со. Говорят, что функция f (х) непрерывна
в точке xQ в двух случаях: 1) если ха есть изолированная точка Е;
2) если jt,e?' и соотношения хп-+х0, хп е Е влекут соотношение
Если f(x) непрерывна в каждой точке множества Е, то говорят,
что она непрерывна на этом множестве.
Лемма I. Пусть множества Flt F2, ..., Fn замкнуты и
попарно не пересекаются. Если функция ц> (х), заданная на
множестве
постоянна на каждом из множеств Fk, то она непрерывна на
множестве F,
Доказательство. Пусть 10еГ и xl-^-x{), x,e.F.
В силу замкнутости множества F точка х0 принадлежит этому
множеству и, стало быть, найдется такое т, что xoeFm.
Но множества Fk попарно не пересекаются. Значит, если k Ф т,
то x{)^Fh и, в силу замкнутости множества Fk, точка х0 не
является и предельной точкой этого множества.
Отсюда следует, что в последовательности {хь) может быть
только конечное число точек, принадлежащих множеству Fk при
кф т. Отметим все члены последовательности, которые входят
в одно из множеств Flt ..., Fm_lt Fm lt ..., Fn, и пусть хи,
последний из них. Тогда при i > i0 необходимо будет x,eFB т. е.
при i > i0 оказывается ср (х,) = ср (дг0), а это и доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся
в сегменте [а, Ь). Если функция ср(лт) задана и непрерывна на
множестве F, то можно определить на [а, Ь] функцию г|э (х) со
следующими свойствами:
1) г|э(х) непрерывна;
2) если х е F, то ty (x) = ц> (х);
3) max | г|} (х) \ = max | ц>(х)\.
99
Доказательство. Обозначим через [а, Р] наименьший
сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция ty(x)
была уже построена на сегменте [а, р1], то достаточно было бы
дополнить ее опрелеление, полагая
, [ф(а), если х(=[а, а),
1ф(Р). если лге=(Р, 6],
чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [а, Ь].
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что [а, Ь]
и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Если F— [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что
F ф. [а, Ь]. Тогда множество [a, b] — F состоит из конечного или
счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы
которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).
Зададим функцию ty(x), полагая ее равной ф (х) в точках
множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.х)
Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее
в каждой точке множества [a, b] — F очевидна. Пусть х0 есть
точка множества F. Мы покажем, что функция ty(x) непрерывна
в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается
совершенно аналогично).
Если точка х0 служит правым концом какого-нибудь
дополнительного интервала, то непрерывность функции "ф (х) в этой
точке слева очевидна.
Пусть же xt) не является правым концом никакого
дополнительного интервала и пусть х1 < xi <; х3 <с ... последовательность
точек, стремящихся к х0.
Если xn^F (п= 1, 2, 3, ...), то, используя непрерывность
на множестве F функции ф (х), имеем ty (хп) — ф (хп) ->¦ ф (х0) = г|) (^0).
Поэтому можно считать, что xne=F (n=\, 2, 3, ...).
В таком случае точка хх попадает в какой-то дополнительный
интервал (Хи fjх), причем ц1<сх0 (ибо х0 не служит правым
концом дополнительного интервала). Пусть
K<Xk<H (k=\, 2, ..., пх) Xni + ]>ih-
Тогда xHl + i попадает в другой дополнительный интервал (А,2, [х2)
причем снова (л2<;.г0. Продолжая это рассуждение, мы приходим
к последовательности (^ i^), (к2, (х2), (Х3, |х3), ... дополнительных
интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо
и таких, что
xk<=(klt ц,) (k = я,_х + 1, ...,«,).
Соотношение Xi. <ji»<^n показывает, что [х, -+х0, а из того,
ЧТО Ji.-i^S^, <Х0, ЯСНО, ЧТО И к,-У Хо.
Но X, и (о,; входят в F, так что
liim|)(X,) = linii|3(|i«)=i|)(jfo)-
!) Точнее, на замыканиях этих интервалов.
100
Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь
интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала,
ясно, что и linn|) (х„) = г|)(х0).
Итак, непрерывность функции -ф (х) доказана.
Из самого ее построения видно, что она совпадает с ср (х) на
множестве F.
Наконец, по известной теореме Вейерштрасса, среди значений
непрерывной на сегменте функции \ty(x)\ есть наибольшее —
max | ф (х) | . Легко видеть, что этот максимум достигается именно
в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных
интервалах функция ty(x) линейна. Поэтому max|\j}(jr)j = max \ц>(х) К
Лемма доказана полностью.
Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [а, Ь] задана
измеримая и почти везде конечная функция f(x). Каковы бы ни
были числа а > О и е > О существует непрерывная на [а, Ь]
функция г|з (х), для которой
m?(|/-i|3|Sso)<e.
Если при этом \f(x)\^K, то можно и г|э(х) выбрать так,
что я|) (х) | -sc К-
Доказательство. Предположим сначала, что \f(x)\-^K,
т. е. что функция f(x) ограничена.
Фиксируя произвольные а>0 и е>0, найдем столь большое
натуральное т, что K'm<io, и построим множества
т "' ~~' " т
Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и
т
[а, 6]= 2 Et.
с = 1 — т
Построим для каждого t замкнутое множество FlaEl с мерой
т
mFt^mEf — ^- и положим F= У, Fi-
1 = 1—т
Ясно, что [a, b] — F = '?(El — Fi), откуда т[а, ft] —mF<e.
Зададим теперь на множестве F функцию ц>(х), полагая
ф(л-) = — К при дг'е/^, (i= 1 — т, ..., т).
В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F,
\Ч>(х)\^К и, наконец, при x^F будет |/(*) — ф(х) | <о.
Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной
Функции ij) (x), совпадающей на множестве F с функцией <р (х),
101
E^E{l-^K^f<~K] {i=\-m, 2-т, .... т-\)
причем |ф(х)\ <К- Поскольку ?( |/ —1|)| Sscr) с: [a, b] — F, ясно,
что функция t|) (х) требуемая.
Итак, для ограниченной функции теорема доказана.
Допустим теперь, что f(x) не ограничена. Тогда, пользуясь
теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g(x),
что m?(/^g)<e/2.
Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g(x), мы
найдем такую непрерывную функцию гр (*), что
е
m?(|g-i|j|^a)<-;.
Но легко видеть, что
E(\f-y\^a)czE(fJ:g) + E(\8-y\^o),
так что функция i|) (.*¦) решает задачу.
Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной
функции f(x), заданной на сегменте [а, Ь], существует
последовательность непрерывных функций ip,,(x), сходящаяся по мере к
функции )(х).
В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю
последовательности
Oi > сг2 > о3 > ..., art ->¦ 0.
е1>е2>е3> ..., ег,-»-0,
построим для каждого п такую непрерывную функцию i|>,,(#), что
т?(|/-г|5„|=э:стп)<ея.
Легко видеть, что т))я (x)=$f(x).
Действительно, какое бы a > 0 ни взять, для п^п0 будет
ал<сг, а для таких п
E(\f~^n\^a)czE(\f-^n\^an),
откуда и следует наше утверждение.
Применив к последовательности {г|)„ (х)} теорему Ф. Рисса из
§ 3, мы приходим к последовательности непрерывных функций
11|)я<[ (х) \, которая сходится к функции f(x) почти везде.
Иначе говоря, установлена
Теорема 3 (М. Фреше). Для всякой измеримой и почти
везде конечной функции f(x), заданной на сегменте [а, Ь],
существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f (x)
почти везде.
С помощью этой теоремы легко устанавливается весьма
замечательная и важная
Теорема 4 (Н. Н. Лузин). Пусть f(x) измеримая и почти
везде конечная функция, заданная на [а, Ь]. Каково бы ни было
8>0, существует такая непрерывная функция ц>(х), что
т?(/^Ф)<б.
Если, в частности, \f(x)\=scK, то и (ф(л-)|^/С.
102
Доказательство. Пусть <pi(*), Ф2(#), фя (jc), ... есть та
последовательность непрерывных функций, о которой шла речь
в теореме Фреше. Пользуясь теоремой Д. Ф. Егорова, мы найдем
такое множество .Ей, что т?б> Ь — а— „ , причем на множестве Е&
равномерно относительно х будет ф„(лг)-*/(#).
Отсюда, в силу известной теоремы анализа, функция / (х)
непрерывна на множестве Е&1) (в смысле определения, данного в начале
параграфа. Не следует понимать это так, что функция {(х),
рассматриваемая на [а, Ь], непрерывна в каждой точке
множества Es- Нужно вовсе отказаться от рассмотрения f(x) вне
множества Е&).
Найдем замкнутое подмножество F множества Еь с мерой
mF>mEs— 2 .
Если функцию / (х) рассматривать только на множестве F, то
она, очевидно, оказывается непрерывной на этом множестве.
Применяя лемму 2, мы приходим к непрерывной функции ф (х),
заданной на [а, Ъ\ и совпадающей с / (л:) на множестве F.
Значит, Е (f Ф ф) с [a, b] — F, и мера этого множества меньше б,
так что ф (х) есть требуемая функция.
Если, в частности, \f(x) ^ К, то это неравенство верно и для
тех х, которые входят в F, a тогда, в силу той же леммы 2, и
|<Р (*)!<*•
Теорема доказана.
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так:
измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной,
если пренебречь множеством сколь угодно малой меры. Некоторые
авторы2) принимают это важное свойство за самое определение
понятия измеримой функции. Нетрудно установить равносильность
обоих определений; второе менее формально и сразу показывает,
что понятие измеримой функции тесно связано с понятием
функции непрерывной.
§ 5. Теоремы Вейерштрасса
В предыдущем параграфе мы установили ряд теорем об аппроксимации
измеримой функции с помощью функций непрерывных. Можно пойти дальше
и вместо непрерывных функций говорить о многочленах.
Для этой цели нам понадобится, важная и сама по себе, теорема
Вейерштрасса. Мы изложим ее, следуя С. Н. Бернштейну.
Лемма 1. При всяком х буд^т
2 С*х*A-*)"-* = 1. A)
k = o
1) В курсах анализа теорема доказывается для случая функций, заданных
на сегменте, но доказательство сохраняет силу и для функций, заданных на
любом множестве.
') См., например: П. С. Александров и А. Н. Колмогоров,
Введение в теорию функций действительного переменного, 1938 г.
103
л
Действительно, полагая в формуле бинома Ньютона (a-\-b)"= 2 С*а*йп~*
а = х, Ь—\—х, получаем формулу A)
Лемма 2. При всех вещественных х будет
п
2 Ckn(k~nxf-xk{\-x)n-k^ П4. B)
Доказательство Продифференцируем по г тождество
2 С*гк = A+г)п C)
и умножим результат на г:
2 6С*г* = ягA Ьг)"-1. D)
Дифференцируя D) и умножая результат на г, получим
J] /г1 Cf/ = пг A + «г) A + zf ~ 2~. E)
* = о
Положим в C), D) и E) г = дсД1—я) и умножим полученные тождества
на A — х)п Это дает
2 с***о-*>"-*=], (б)
А = 0
2 feC*x*(l-x)n-* = rw, G)
2 й)С^дс*A-дС}п-*=мA-х + п*). (8)
4 = 0
Умножим F) на п2х2, G) на — 2пх, (8) на 1 и все сложим:
2 {к-пхУсУA-х)п -к = пхA-х).
А = 0
Для доказательства леммы достаточно отметить, что при всех
вещественных х будет1) х A — х) «? 1/4
Определение 1. Пусть f (*) конечная функция, заданная на сегменте [0, 1].
Многочлен
п
в'^)=^!{кп)с^Н\-Х)п-к (9)
А = 0
называется многочленом Бернштейна для функции / (х)
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). Если функция f (x) непрерывна на
сегменте [0, 1], то при п-—оэ равномерно относительно х будет
В» (*)—/(*). (Ю)
2) В самом деле, 4ха — 4*+1 = Bх— 1J5=0 Стало быть, 1 5=4* A — х).
104
Доказательство Пусть М = max I / (х)' Возьмем е>0 и подберем
такое fi > 0, что I Да") —/(*') | < е, как только х — v' | < 6
Сделав это, возьмем произвольное х е [0, 1] Из A) следует, что / (х) =
= 2 /WC^(l-^)"-*, откуда
п
\Bn(x)-f(x)\
k = Q
/[jHW
с,> (•-*)
n —ft
A1)
Разобьем все числа fc = 0, I, 2, , п на две категории Л и В, так что
ft e Л, если
Если ft e Л, то
*
и
ft e В, если
л;
-/(*)
< е, и, на основании леммы 1,
/ (* j -/ w I су A -xf - * ^ е 2 с,*/ A -*)" - * ^
see У Cf/(!-*)"-* = е. A2)
А = 0
Если же ft e S, то -—г^^— Э= !, откуда, в силу леммы 2,
п2б2
'U;-/w
сУо-^-^Ц^^-"^^^1-^
\R — k
^ (fc-iur)scy(l-x)»-*<^j. A3)
Сопоставпяя A1), A2) и A3), находим, что для любого х е [0, 1]
|S»W-/WI<e4 2^.
Значит, при п>у-« будет Вп (x)—f (x) \ < 2ь, что и требовалось доказать
Теорема 2 (К. Вейерштрасс). Пусть f (x) функция непрерывная на
сегменте [a, ft] Для любого е > 0 существует такой многочлен Р (х), что при
всех х е [а, Ь]
\f(x)-P(x)\<e.
Доказательство Если [а, Ь] = [0, 1], то теорема непосредственно
вытекает из теоремы Бернштейна Пусть [а, Ь\ф [0, 1] Рассмотрим следую
щую функцию от аргумента у f[a-\-y(b — a)]
Эта функция задана и непрерывна на сегменте [0, 1 ] Найдем такой
многочлен Q(y), что при i/e[0, 1]
\f[a + y(b-a)]-Q{y)\<e.
Если х е [а, Ь], то
х — а
: [0, 1] и, стало быть,
/W-Q
* — а
< ь.
105
Поэтому многочлен P(x) = Q\-, 1 требуемый.
' \ b — at
С помощью теоремы Вейерштрасса можно теоремы Бореля и Фреше
(но не Лузина1) формулировать иначе. Например, теорему Фреше можно
высказать в такой форме
Теорема 3 (М, Фреше). Для всякой измеримой и почти везде конечной
функции f (х), заданной на [а, Ь\, существует последовательность многочленов,
сходящаяся к f (к) по чпи везде
Доказательство Пусть {сря (х)} есть последовательность
непрерывных функции, сходящаяся почти везде к f (х). Если Рп (х) такой многочлен,
что для всех х (= [а, Ь]
|Ря(*)-фп(*I<-^,
то последовательность { Рп (х)} сходится к / (х) в любой точке х, где ф„ (х) —
—>/(*), что и доказывает теорему
Предоставляем читателю соответственно изменить теорему Бореля (с
сохранением оценки Р„ (х) -< sup f (x) ')
В тесной связи с доказанной теоремой Вейерштрасса находится другая
теорема того же автора об аппроксимации периодических непрерывных
функции с помощью тригонометрических многочленов.
Определение 2. Тригонометрическим многочленом п-го порядка называется
функция
п
Т (х) = А + ^ (а* cos kx + bk Sltl kx)-
k = i
Если йх= =й„ = 0, то тригонометрический многочлен Т(к) называется
четны и
Лемма 3. а) Функция cos* л: представима четным тригонометрический
многоч геном
b) Если Т (х) тригонометрический многочлен, то Т (х) sin к также есть
тригонометрический многочлен
c) Сели Т (х) тригонометрический многочлен, то Т(х-\-а) также есть
тригонометрический многочлен
Доказательство предоставляем читателю
Лемма 4. Если функция { (х) задана и непрерывна на сегиенте [0, л],
то дгч всякого ь>0 существует такой четный тригонометрический
многочлен 1 (к), что при всех х<= [0, я] будет
\f(x)-T(x) <e.
Доказательство. Рассмотрим функцию f (arccos у)
Эта функция задана и непрерывна на сегменте [—1, +1].
/1
Поэтому найдется многочлен ^ аьУк такой, что при всех у е [—1, -f-1]
f (arccos у) — У1 aky
2 nu,k
<e.
Пусть теперь x e @, я]. Тогда cos:ce[—1, -fl] и, стало быть,
f(x)- 2 afecos**
<e.
fe = 0
n
Остается заметить, что в силу леммы 3 (а) функция ^ akcos*х есгь
*=о
четный гриюнометрический многочлен.
106
Следствие. Если четная функция / (х) имеет период 2я и непрерывна на
всей оси, то для всякого е > 0 найдется такой тригонометрический
многочлен, что при всех вещественных х будет f(x)~T(x) < e
Действительно, на сегменте [0, л] этому неравенству можно
удовлетворить четным тригонометрическим многочленом Т (х), так что неравенство само
собой удовлетворяется и при х е [—я, 0], а тогда, благодаря периодичности
разности f (х) — Т (х), оно удовлетворяется везде
Теорема 4 (К. Вейерштрасс). Пусть f (х) непрерывная периодическая
функция периода 2л Каково бы ни было е > 0, существует такой
тригонометрический многочлен Т (х), что при всех х будет
f(x)-T(x) <е.
Доказательство В силу следствия леммы 4 для четных функций
f{x) + f(-x), [f(x)-f(-x)]smx
найдется такие тригонометрические многочлены 7\ (х) и Г2 (х), что
/ (*) + f (-*) = 7\ (х) + ах (х), [f (х) - f (-*)] sin *=Г2 (*) + а2 (х),
где ах{х) <ь2, аг(х) <е'2
Умножая первое из этих равенств на sin2 x, а второе на sin х, складывая
и деля на 2, получаем
f(x)sm*x=T3(x) + PW (lP(*)i< з
где Г3 (л:) снова есть некоторый тригонометрический многочлен
Здесь функция f (х) была любой непрерывной периодической функцией.
Значит, такое же равенство справедливо для функции f (*— 2 )'•
/ (*-¦?)sin»Ar=r4(x) + Y(*) (|Y WKy).
Заменяя здесь л на х + я'2, получим
/ (*) cos2 х= Тъ (*) + 6 W ( S (х) , < ^ ) ,
откуда
/ W = Гэ (х) + Г5 (ж) + р (лг) + 6 (ж),
т е полином Т3 (x) + 7 (л-) требуемый.
Сейчас эту теорему мы не б>дем связывать с теорией измеримых
функций, но ниже она будет нам весьма полезна.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Если /„ (х) =3 f (х), gn (х) =? в (v), то fn (х) -\-Вп « =>f(x)+g (x).
2. Если fn (x) ^zi> f {x), a g (x) измерима и почти везде конечна, то
fn(x)g(x)=*f(x)g{x).
3. Распространить теорему Егорова на случай последовательности
функций, которая в каждой точке множества Е стремится к-(-со.
4. Существует ряд многочленов р, (х)-\-р2(х) + рч(х) , обладающий
следующим свойством какую бы непрерывною па произвольном сегменте [а, Ь\
функцию f (x) нп взять, можно так ггр>ппировать члены ряда (не меняя их
порядка), чтобы ряд V \р _,,(«) + .. +р„ (д:)) сходился к / (х) равномерно
ft=il ft"r "+1 l
на [a, b],
5. Для того чтобы последовательность измеримых и почти везде
конечных функций fi(x), [2(х), ... сходились по мере, необходимо и достаточно,
107
чтобы всякой паре чисел я>0и е>0 отвечало такое N, что при «>jV и
т > N будет тЕ (I /я — fm I > а) < е (Ф. Рисе).
6. В теоремах Бореля и Фреше можно вместо непрерывных функций
говорить о тригонометрических многочленах (если основной сегмент есть [—л, +П1)-
7. Точная верхняя граница счетного множества измеримых функций есть
измеримая функция.
8. Если при любом фиксированном п и при k — со будет
а при п — со будет
f""(x)=>f(x),
то из множества W"' (х)\ можно извлечь последовательность, сходящуюся по
.мере к / (х).
9. Предыдущий результат не верен, если всюду в его формулировке
заменить сходимость по мере на сходимость в обычном смысле.
10. Пусть / (t) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
сегменте Е= [a, ft]. Доказать существование такой убывающей функции g{t),
заданной на [a, ft], которая при всех вещественных к удовлетворяет
соотношению тЕ (g> x) = mE (f> x).
11. Пуоъ /(/) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
сегменте Е = [а, Ь]. Доказать существование и единственность такого числа Л,
что
тЕ (/ 5- h) =г Ь-^-, тЕ (} а-И) <~^ , при Н > h,
(Л. В. Канторович).
ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение интеграла Лебега
Классическое определение интеграла, данное О. Коши и
развитое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем:
рассматривается конечная функция /(*)> заданная на сегменте [а, Ь];
этот сегмент разбивается на части точками
х0 = а < xv < х2 <... < хп = Ь,
в каждой части [хк, хк^] выбирается точка |А и составляется
риманова сумма
я-1
Если сумма а при стремлении к нулю числа
X = max (лгАт1 — хк)
стремится к конечному пределу /, не зависящему ни от способа
дробления [а, Ь], нц от выбора точек |ft, то этот предел /
называется интегралом Римана функции f (х) и обозначается символом
\f(x)dx.
а
Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римано-
вом интеграле, пишут
(R)\[(x)dx.
а
Функции, для которых интеграл Римана существует,
называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче,
интегрируемыми (/?). Для интегрируемости (R) функции f (х) необходимо,
чтобы она была ограниченной.
Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция
интегрируема (R). Существуют также и разрывные функции,
интегрируемые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная
функция.
109
Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не
будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию
Дирихле г|>(*), которая определяется на сегменте [0,'1] следующим
образом:
( 1, если х рационально,
¦ф (х) = \
{ 0, если х иррационально.
Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо
сумма а обращается в 0, если все точки |ft иррациональны и
а=\, если все |* рациональны.
Таким образом, риманово определение интеграла страдает
существенными недостатками —даже очень простые функции
оказываются неинтегрируемыми.
Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.
Дело заключается в следующем при составлении сумм
Римана а мы дробим сешент [а, Ь] на мелкие части [х0, хг],
[хъ х2], ..., [хп !, хп] (обозначим их через е0, еъ ..., еп J, в каж-
п— 1
дой части ек берем точку \k и, составив сумму а = ^ f (?4) mek,
требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек
|ft в множествах ек. Иначе говоря, каждая точка х из
множества ек может быть взята за |А, а варьирование этой точки не
должно заметно влиять на значение суммы а. А это возможно
лишь в том случае, когда варьирование точки %к мало изменяет
величину /(?/,). Но что же объединяет между собой различные
точки х множества ek? Их объединяет то, что они близки друг
другу, ибо ек есть малый сегмент [хк, хк^\.
Если функция f (х) непрерывна, то достаточная близость
абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений
функции и мы вправе ждать, что изменение точки \к в пределах
множества ek мало влияет на величину суммы а, но для
функции разрывной это вовсе не так.
Иначе можно сказать, что множества ек составлены так,
что только для непрерывных функций значение /(!*) можно
считать нормальным представителем других значений функции
на е„.
Таким образом, самое определение риманова интеграла можно
считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных,
для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже
мы убедимся, что для интегрируемости (А!) необходимо, чтобы
рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».
Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы
функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования,
в котором точки х объединяются в множества ек не ио
случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку
достаточной близости соответствующих значений функции. С этой
целью Лебег разбивает на части не сегмент [а, Ь], расположен-
110
ный на оси абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат
и включающий все значения функции f (х):
А=уо<у1<...<уп = В.
Если составить множества ек так: ek — Е (yk -^f <укг\), то
ясно, что различным точкам х (=ек и в самом деле отвечают
близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского
процесса, сами точки х могут быть весьма далеки друг от друга.
В частности, хорошим представителем значений функции на
множестве ек может служить, например, yk, так что естественно
л —1
положить в основу понятия интеграла сумму 2 У^ек.
k = 0
Перейдем теперь к точному изложению вопроса.
Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая
ограниченная функция /(*), причем
A<f(x)<B. A)
Разобьем сегмент [А, В] на части точками
Уо=А<У1<У1<---<У„ = В
и соотнесем каждому полусегменту [yh, ук^) множество
ek = E(yk^f<yk+1) (k = 0, I, ..., n-1).
Легко проверить четыре свойства множеств ek:
1) Множества ek попарно не пересекаются: екек' — 0 (k^k1).
2) Эти множества измеримы.
3) E=Zek.
п — 1
4) шЕ= 2] тек.
Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:
п—\ л — 1
s= 2 Ук>тмк, S= 2 yk+itnek.
Если мы положим Х = max (yk+1 — ук), то будем иметь
О < S - s < Аш?. B)
Основное свойство сумм Лебега выражает
Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В]
отвечают суммы Лебега su и So. Если мы добавим новую точку
дробления у и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется
Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя
сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Доказательство. Допустим, что
У1<У<УЧ1- C)
111
Тогда при k -f i полусегменты [ук, у,, j), а с ними и
множества е,„ фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент
же [</,, уч1) при переходе к новому способу заменяется дв\мя
полусегментами [у„ у), [д, у, г), в связи с чем и множество е,
разбивается на два множества
el = E(yl^f<g), et = E(g<f<ylrl).
Очевидно, что е, = ej + e,", ete" = 0, так что
met = me'i -\- me"t. D)
Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы sn
заменой слагаемого у1те1 двумя слагаемыми y,met + yme'l, откуда,
в связи с C) и с D), и следует, что s^s(j.
Для верхних сумм рассуждение аналогично.
Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной
верхней суммы S.
Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа
дробления I и К, сегмента [А, В]. П^сть этим способам
отвечают соответственно нижние суммы st и s2 и верхние суммы St
и S2.
Составим третий способ дробления [А, В] — способ III, в
котором точками деления сложат точки деления обоих способов I и II.
Если способу III отвечают суммы s3 и S3, то, в силу леммы,
s1 -^ 53, S3 -^ S.it откуда, в связи с тем, что s3 ss S3, ясно, что
sl -<- S2, а это и требовалось доказать.
Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S,,. Так
как для всякой нижней суммы s будет s~^-Su, то множество [s]
. всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченным сверху.
Пусть U есть его точная верхняя граница: t/ = sup{s}.
Тогда ясно, что U =s; So.
Ввиду произвольности суммы S,,, последнее неравенство
доказывает, что множество {S} всех верхних cjmm Лебега
ограничено снизу. Обозначим через V его точную нижнюю границу:
V=ini{S\.
Очевидно, при любом способе дробления будет
Но, как мы отмечали, S — s-^^mE, откуда
О -^ V - U ,, ХтЕ
и, так как X произвольно мало, то
U=V.
Определение. Общее значение чисел U и V называется
интегралом Лебега функции / (*) по множеству Е и обозначается
символом
(L) ^ f (х) dx.
Е
112
В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла
исключено, пишут просто
\ f{x) их.
Е
В частности, если Е есть сегмент [а, Ь], употребляют символы
ъ ь
(L)\f(x)dx, \f{x)dx.
а а
Из сказанного выше следует, что каждая измеримая
ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче,
интегрируема (L). Уже из этою замечания видно, что процесс
интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу
функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно
отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости,
которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный
характер.
Теорема 1. Если Л,->-0, то суммы Лебега s и S стремятся
к интегралу $ f (x) dx.
Теорема непосредственно вытекает из неравенств
s^\f{x)dx^S, S-s^K-mE.
Е
Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение
интеграла Лебега, которое в силу самого определения его связано
с числами А и В, на самом деле от них не зависит.
Действительно, допустим, что А < / (х) < В, А < f (x) < В*,
причем В*<В. Раздробим сегмент [А, В] на части
А = У о < Ух < • • • < У а = В,
причем включим и точку В* в число точек деления В*=ут.
Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что ek = О
(JfeSsm).
Значит,
/1—1 m — 1
где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из
сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу,
найдем, что 1 = 1*, где / и /* суть значения интегралов Лебега,
отвечающие сегментам [Л, В] и [А, В*\. Таким образом,
изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же
относится и к числу А. Этот факт весьма существен, ибо только
теперь определение интеграла оказывается освобожденным от
случайного характера выбора точек А и В.
ИЗ
§ 2. Основные свойства интеграла
В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от
ограниченной измеримой функции.
Теорема 1. Если измеримая функция f (х) на измеримом
множестве Е удовлетворяет неравенствам a^f(x) ^b, то
а-тЕ^ \f{x)dx^b-mE.
Е
Эта теорема обычно называется теоремой о среднем.
Доказательство. Пусть п натуральное число. Если мы
положим А=а—п, В = Ь-\--,то окажется, что Д </(*)< В,
и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].
Но если А ^у/г-s^B, то, очевидно,
и — 1 п — \ п — \
a Yi mek-^ Yi y^mek <B Y me*
k = 0 A = 0 k = 0
или, что то же самое,
A inEsCs^B-mE,
откуда и в пределе
(a-^)mE^^f(x)dx^{b+Xn)mE.
В силу произвольности числа п, теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом
множестве Е и f{x) = c, то
\f{x) dx = cmE.
Е
Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна {не
положительна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной
функции f(x), заданной на множестве Е, будет
\l(x)dx = 0.
Ё
Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана
измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества попарно не
пересекающихся измеримых множеств
E = %Ek (EkEk> = 0, k^k'),
k
то
k Ek
114
Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его
полной аддитивностью.
Доказательство. Рассмотрим сначала простейший
случай, когда число слагаемых равно двум: Е = Е'-\-Е" (?"?" = 0).
Если на множестве Е
A<f(x)<B,
и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, ylt ..., уп, составим
множества
ek = E(yh^f<yk + 1),
е'к = Е' (yks^f<yk + l),
e"k = E" (yk^f<yk+i),
то, очевидно, будем иметь ек = е'к-{-е"к (е'ке'к = 0), откуда
п — 1 п — 1 п — 1
2 уктек = 2 Уктек-\- J] укте"к
4^=0 А=0 к = й
и в пределе, при А,->-0,
\f(x)dx= \f{x)dx+ \ f(x)dx.
Е Ь' Е"
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств.
Пользуясь методом математической индукции, мы легко
распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых
множеств.
Остается рассмотреть случай, когда Е= ? Ек.
к- 1
оо
В этом случае ^ тЕк = тЕ, так что при п->-оо будет
4 = 1
со
Z тЕк^0. (*)
А = я+ ]
со
Заметив это, положим 2 ?* = #«• Так как для конечного
к = г: + I
числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
\fdx = % \fdx+ \fdx.
Е k=\Lk Rn
В силу теоремы о среднем
А ¦ mRn sc $ / dx S& В ¦ mRn,
115
а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с
возрастанием п, откуда ясно, что ^ fdx->0. Но это и означает, что
««
СО
5/^=2 If**-
Е *.= !?,
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и
g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то
\f{x)dx = \g{x)dx.
Е Е
Действительно, если A = E(f^g), В = Е(/ = g), то тА—0 и
\fdx = \gdx = 0.
А А
На множестве же В обе функции тождественны и
\fdx= \gdx.
в в
Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен
нулю.
Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо.
Например, если f(x) задана на сегменте [ — 1, -\-\\ так:
и \ — \ ' ПРИ х>0'
'W~\_l при х<0,
то1)
\ f(x)dx= \ f(x)dx + \f(x)dx = -\ + l=O,
- J — I О
хотя функция / (х) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной
измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю
\f(x)dx = Q (f(x)^Q),
ъ
то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что
?(/>0)= J ?(/>!).
1) Так как выбрасывание из множества Е одной точки не меняет
интеграла \fclx, то мы вправе интеграл по любому из промежутков [а, Ь), (а, Ь\,
Ь
(а, Ь) обозначать так же, как и по сегменту [а, Ь], символом \'/(*)с/л:.
а
116
Если бы / (х) не была эквивалентна нулю, то необходимо
нашлось бы такое п0, что mE(f> 1/яо) = а>0.
Полагая А = ? (f > 1/л„), В = Е — А, мы имели бы, что
\f(x)dx^^a, \f{x)dx-0,
л в
и, складывая эти неравенства, мы получили бы
\
f(x)dx^noa,
что противоречит условию.
Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две
измеримые ограниченные функции f (х) и F (х), то
\ [/ (х) + F(x)]dx=\f (х) dx+\F (x) dx.
Q Q Q
Доказательство. Пусть а </(*) < b, A<.F(x)<B.
Разобьем оба сегмента [a, b\ и [А, В\ точками
a = yo<y1< ... <yn = b, A = Ya<Y1< ... < YN = B,
и введем в рассмотрение множества
ek = QiUk^f<yk + i), Ei = Q(Yi^F<Yl + 1),
T,,k = E,ek (/ = 0, 1, .... JV-1; k = 0, 1, ..., n-\).
Очевидно, Q — ^T^ki и множества Tltk попарно не пересе-
каются. Поэтому
l(f + F)dx = 2, $ (f + F)dx.
Но на множестве Tit k будет
yk+Yi^f(x) + F(x)<yk + 1+Yi + 1,
откуда, на основании теоремы о среднем,
(Уь+У,)тТ,,к^ \ (f + F)dx^(yk + 1+Y^1)mThk.
Ti,h
Складывая все эти неравенства, получим
Z(yk + Yl)mTi,k^\(f + F)dx^2l(yk,1+Yl + 1)mTl,k. A)
I, ft Q '. *
Подсчитаем отдельно сумму
1>*тГ,1Й. B)
117
Ее можно представить в форме
л—1 N — 1 \
? у» ? mTti k}.
k=0 \ ( = 0
Но
N - 1 HV —
2 /и7,,*=/п ^ Titk
i = Q L, = o
Л- 1
= mk 2 ?,
ГЛ»-I
= m 2 ?<e* =
L i = o
= m (ekQ) = meA,
l =0
я —1
так что сумму B) можно представить и так: 2 У*теА'
Иначе говоря, это есть нижняя сумма Лебега sf функции/(х).
Аналогично подсчитываются и прочие суммы, входящие в
неравенство A), так что этому неравенству можно дать вид
s/+sF^\(f + F)dx^Sf + SF, C)
Q
где введенные обозначения понятны сами собой.
Сгущая точки дробления сегментов fa, b\ и [А, В\ и переходя
в неравенстве C) к пределу, мы и получим теорему.
Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана
измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
\ с/ (х) dx = с \ / (*) dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если с = 0.
Рассмотрим случай, когда с>0. Пусть Л</(л)<В.
Разбивая сегмент [А, В\ точками yk и вводя, как обычно,
множества ek, мы будем иметь
п— 1
\cf{x)dx= ]? \cf(x)dx.
Е *=ОЧ
Но на множестве ek будет cyk<,cf(x)<cyk + 1, так что в силу
теоремы о среднем
cykmek sc \ cf (x) dx ^ cyk + xmek.
Складывая все такие неравенства, получим
cs*s \cf(x)dx^cS,
Е
где s и S суть суммы Лебега для функции f(x). Теорема
получается из последнего неравенства с помощью предельного
перехода.
118
Пусть, наконец, с < 0. Тогда
0 = \[cf (л-) + (- с) \ (х)\ dx=\cf (х) dx + (-c)\f (х) dx,
Е ЕЕ
откуда и следует теорема.
Следствие. Если f (х) и F (х) измеримы и ограничены на
множестве Е, то
llF(x)-f(x)]dx= \F{x)dx-\f(x)dx.
Е ЕЕ
Теорема 5. Пусть f{x) и F (х) измеримы и ограничены на
измеримом множестве Е. Если
f(x)^F(x),
то
\f(x)dxk^]F(x)dx.
Е Е
Действительно, функция F(x) — f(x) не отрицательна, так что
\Fdx- \fdx= \(F-f)dxSsrQ.
Е Е Е
Теорема 6. Если функция f (x) измерима и ограничена на
измеримом множестве Е, то
\f(x)dx ^ \\f(x)\dx.
к е
Доказательство. Пусть Р = Е(f5s0), М = Е(f <0). Тогда
\fdx= \fdx+ \fdx= \\f\dx-\\f\dx,
Е Р N Р N
tl\f\dx=l\f\dX+\\f\dx,
Е Р N
и дело сводится к элементарному неравенству
\а-Ь\?^а + Ь (aSsO, b^O).
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом
множестве Е задана последовательность измеримых ограниченных
функций /j (х), /2 (х), /з (х), ..., fn (х), ... которая в каком-нибудь
смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой
ограниченной функции F (х). Спрашивается, будет ли справедливо
соотношение
lim \fn(x)dx = \F(x)dx. A)
Если A) верно, то говорят, что допустим предельный переход
под знаком интеграла.
119
Легко видеть, что вообще говоря, это не так. Например, если
функции fn{x) определены на сегменте [0, 1] следующим образом:
( п при дге@, 1/п),
'Лх)~\ о при *-ei@, \/п),
то при всяком *е[0, 1] будет
i
lim /„ (х) = О, но \ fn (х) dx = \,
и этот интеграл не стремится к нулю.
Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных
ограничениях, которые нужно наложить на функцию /„ (Jf', чтобы
равенство A) все же имело место.
Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.
Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность /г (х), /2М> fa(x)< ¦¦¦ измеримых
ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной
функции F (х)
fn(x)=*F(x).
Если существует постоянная К, такая, что при всех п и при
всех х
\Ш\<к,
то
lim \fn(x)dx= \F{x)dx. A)
" -» °° Ь Е
Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для
всех х е Е будет
\F{x)\^K. B)
В самом деле, из последовательности {fn(x)\ можно (на
основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность
{fnk(x)}, которая сходится к F (х) почти везде. Во всех точках, где
fr,k(x)-*F(x),
можно перейти к пределу в неравенстве I [ll!t (x) I < К, что и
приводит к B).
Пусть теперь а есть положительное число. Положим,
An(o) = E(\fn-F\^o), Ba(o)=E(\fa-F\<o).
Тогда
\fndx- \Fdx < 5|/,,-F|flf* =
= \ \Jn-F>dx+ ^ \U-F\dx.
120
An(o) BnW
В силу неравенства | /„ (х) — F (х) \ *=; | /„ (х) ] +1F (х) |, почти для
всех х из множества А „(а) будет | /„ (х) — F (х) \ <. 2К, так что по
теореме о среднем
$ \fa-F\dx^2K-mAa(a) C)
Ап (а)
(то обстоятельство, что неравенство |/„ — /"[<2/С может не
выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно,
например, функцию i fn (x) — F(x)\ на этом множестве изменить, сделав ее
равной нулю; тогда неравенство C) будет выполняться во всех
точках А. Но так как изменение функции на множестве меры О
не влияет на величину интеграла, то C) верно и без такого
изменения).
С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,
^ \fa — F\dx^ omBn (a) ^ атЕ.
я„ (а)
Сопоставляя это с C), находим, что
\fadx-\Fdx
\2К-тАп(а) + атЕ.
D)
Заметив это, возьмем произвольное е > 0 и найдем столь малое
0>О, что а-т?<е/2. Фиксировав это 0, мы, на основании
самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при я-»-со
тЛ„(а)-^0
и, стало быть, для n>N окажется 2/С • тАп (о) ¦< е/2.
Для этих я неравенство D) примет вид
\fndx-\Fdx
<е,
что и доказывает теорему.
Легко понять, что теорема остается верной и в том случае,
когда неравенство | /„ (х) | < К выполняется только почти везде на
множестве Е. Доказательство остается прежним.
Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной
сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая,
когда f/l(x)-^F(x) почти везде (и тем более везде).
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, Ь] задана (не обязательно конечная)
функция f(x). Пусть х0 е [а, Ь] и 6>0. Обозначим через т6(х0)
и М^ (х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю
границы функции f{x) на интервале (хо — 6, хо + 6)
тй (х0) = inf {/ (*)}, Мй (х) = sup {/ (х)}
(хо-Ь<х<хо + 6).
121
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь
те точки интервала (х0 — б, *0 + 6), которые лежат также и на
сегменте [й, Ь].)
Очевидно, т6 (хп) ==?- / (хп) < М6 (х0).
Если б уменьшается, то т6(х0) не убывает, а М&(х0) не
возрастает. Поэтому существуют определенные пределы
т(хо) = lim т6(х0), M(xQ)= lim M& (ха),
причем, очевидно,
т6 (х0) ss /к (х0) =ss / (дг0) ==== М (хп) ==s УИв (л:0).
Определение. Функции т(х) и М (х) называются соответственно
нижней и верхней функциями Бэра для функции f{x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f{x) конечна в точке ха.
Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо
и достаточно, чтобы было
т(хо) = М(хп). (*)
Доказательство. Допустим, что функция / (х) непрерывна
в точке ха. Взяв произвольное е>0, найдем такое б > 0, что как
только \х — хп <б, так сейчас же \f{x) — f(x0) |<e.
Иначе говоря, для всех х^(х0 — 8, хо-\-8) будет
f(xo)-*<f(x)<f(xo) + B.
Но отсюда следует, что
/(д-0) -е<тб (хй) ^ М6 (х0) ^ f (х0) + г,
а стало быть, и тем более
/ (Jfo) - е ^ т {х0) < М (х0) < / (ха) + г,
откуда, ввиду произвольности е, и вытекает (*). Итак,
необходимость условия (*) доказана.
Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда,
очевидно, т (х0) = М (х0) = / (х0) и общее значение функций Бэра
в точке х0 конечно.
Возьмем произвольное е>0 и найдем столь малое б>0, что
т (х0) - е < тв (х0) ^ т (х0), М (х0) < М6 {х0) < М (х0) + е.
Эти неравенства означают, что
/(*о)-е</?26(л-о), M&(x0)<f(xQ) + e.
Если теперь х^(х0 — б, л-0 + б), то f{x) лежит между т&(х0)
и М6(х0), так что /(*„) —е </(*)</(*„) +е.
Иначе говоря, из того, что |х — лго|<б, вытекает, что
I/W-/WK»,
т. е. функция f{x) непрерывна в точке х0.
122
Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений
сегмента [а, Ь]
а = л-0"<х111<...<лг„!11 = й,
п — ru) ^- vA) «-- «<- у"' — А
О — л0 <^ л 1 <. . . . <С Хп^ — О,
причем, при (->оо
Я( = max [4'!ь1-^>1-> 0.
Пусть т^ есть точная нижняя граница значений функции f (х)
на сегменте Ы'>, л-f+il- ^ве^ем функцию ф, (х), полагая
Ф, (дг) = 0 ир« х = 4°, *i'\ ¦ • •, xl\ ¦
Если х0 не совпадает ни с одной точкой x(^(i= 1, 2, 3, ...;
6 = 0, 1, 2, .... «,), то
lim ф,(хо) = т (х0).
Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и обозначим
через Ы(>, ^'', ,1 тот из сегментов г-го способа дробления, который
содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек
деления, то xf <Сх() <-v^»+, и, следовательно, при достаточно
малых б>0 будет (лг0 — б, хи + Ь) а[х^, х^+]], откуда следует,
что тМ^т6(хй) или, что то же самое, что ф, (х0) ^ т6 (х0).
Устремив б к нулю и перейдя к пределу, находим, что при
любом г
Ф, (х0) <т(х0).
Этим самым лемма уже доказана для случая m(xQ) = — co.
Пусть m(*„)> — оо и пусть п<.т(ху]). Тогда найдется такое
б>0, что т6(хп)>Л. Фиксировав это б, найдем столь большое ?„,
что при 1>г0 будет [4'0'. 4'i+il с (х»~б> xo + 6)> гДе> как и BbU"e.
[лг^, л:''>, , 1 есть сегмент, содержащий точку х0. Существование
такого /0 следует из условия Л, -»- и.
Для таких i будет m^5smu(xa)>h, или, что то же самое,
Ф, (*0) > h.
Итак, для всякого h<m(xu) найдется такое г0, что приг>10
а это и значит, что ф, (xo)^-m(xo). Лемма доказана.
Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
В самом деле, множество точек деления |*?>| счетно и, стало
быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что у,(х)-+т(х)
почти везде.
123
Но ф, (дг) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит
измерима и функция т(х). Для верхней функции Бэра М (х)
рассуждение аналогично.
Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция /(к)
ограничена, то
ь ь
(L)\(ft(x) dx-+ (L)[m (x) dx.
а а
Действительно, если \f(x) *f К, то, очевидно,
|ф,(*)|^К, \m(x)\^K,
откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L),
после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла.
Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
ь ".-i'm-i "«-'
(L)\cfl(x)dx= ? J 4>l(x)dx = ^ "^K'Vi-^l^"
a k = 0 x(i) k = 0
где s, есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая г-му способу
дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при г->оо
ь
s, -^(Ц^т (х) dx.
а
Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу S,
при возрастании t стремится к интегралу от верхней функции Бэра
ь
S, -+(L)]M (x) dx.
а
Но в таком случае
ь
S, - s, -*- (L) \ [М (х) - т {х)\ dx.
а
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для
того, чтобы ограниченная функция f{x) была интегрируема (R),
необходимо и достаточно условие S, — s,->-0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для
интегрируемости (R) функции f (х) необходимо и достаточно, чтобы
было
(L)\[M(x)-m(x)]dx = 0. A)
а
Условие A) во всяком случае выполнено, если разность
М (х) — т (х) эквивалентна нулю, но так как заразность
неотрицательна, то и обратно из A) следует, что
т(х)~М(х). B)
124
Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x)
равносильна соотношению B).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую
теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная
функция f (х) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы
она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наибочее
простой и ясный признак интегрируемости (/?). В частности, она
оправдывает сделанное в § 1 замечание, что интегрируемыми (R)
могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда
она необходимо ограничена и почти везде будет т{х) = М (х). Но
ведь т (х) =s^ f(x) *с М (х). Значит, почти везде f(x) = tn(x), и f(x),
будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама.
Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема
(L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь
функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле
Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f {х)м т (х) следует, что
ь ь
{L)\f{x)dx={L)\m{x)dx.
а а
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной
леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет
st-+(R)lnx)dx,
а
где Si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая г-му способу
дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
ь
s, -> (L) \ т {х) dx,
а
МЫ ВИДИМ, ЧТО
ъ ь
(R)][(x)dx=(L)\f(x)dx.
а а
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо
интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле -ф (х) (равная нулю
в иррациональных и единице в рациональных точках)
интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в § 1,
не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.
125
§ 5. Восстановление первообразной функции
Пусть на сегменте [а, Ь] задана непрерывная функция f(x),
которая в каждой точке [а, Ь] имеет определенную производную
/' (х) (в концевых точках а и b имеется в виду односторонняя
производная). Спрашивается, как, зная производную f (х),
восстановить первообразную функцию /(х)?
В курсе Анализа устанавливается, что если производная /' (х)
интегрируема (/?), то
f(x) = f(a) + \f'(t)dt,
а
но возможны случаи, когда (даже ограниченная) производная не
интегрируема (R). Чтобы привести подобный пример1), введем
понятие нигде не плотного множества. Так называется
множество Е, обладающее тем свойством, что всякий интервал
содержит точки, не входящие в замыкание Е множества Е.
Пример. Пусть F ограниченное, замкнутое, нигде не плотное
множество положительной меры,2) a = mlF, fr = sup/\ Зададим
на [а, Ь] функцию /(*), положив ее равной 0 на F и равной
(х — а„J (х — Ь„J sin -77— г; п гт-
на интервалах (ап, Ь„), дополнительных к множеству F до отрезка
[а, Ь]. Легко показать, что всюду на F существует /' (х) == 0.
Действительно, пусть xoef и х есть точка [о, Ь], лежащая правее х0.
Если jref, то f {х) = /(х,,) = 0. Если же х<= (а,„ Ьп), то хо^ап<.х.
Поэтому
X Xq ^3: X — пп
И
f(x)-f(x0)
(x-an)(b-ay^(x-x0)(b-a)->.
х — х„
Отсюда вытекает, что f'+ (х0) = 0. Аналогично и /1 (х0) = 0. Если
г) Первый пример такого рода принадлежит итальянскому математику
В. Вольтерра A881). Немного более простой пример, приводимый нами,
заимствован из книги П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова
«Введение в теорию функций действительного переменного», изд. 3-е, 1938 г.,
стр. 215.
2) Его можно построить так: расположим все рациональные точки
интервала (а, Ь) в последовательность гъ г2, г3, ... и для каждого k построим
интервал (гк — bh, гк + 8*.) с: (а, 6), взяв 8к > 0 столь малым, чтобы оказалось
2 Fi + S2 + 6a + ¦••)< b — a; множество
F = [a, b]- fj (rk-6k, rk + 8k)
— требуемое.
126
jefc, bn), то
/' (x) =2(x- an) (x - bn) Bx -ал- bn) sin р.-^Д.Н*-*,,) -
2х-ап-Ьп
-cos-
Таким образом, всюду на [а, Ь] существует конечная (и даже
ограниченная) f (х) и потому f (х) непрерывна на [а, Ь]. Из
выражения f (x) видно, что, когда х, оставаясь на (ап, Ь„),
приближается к ап или к Ьп, то f (x) не имеет предела, а колеблется
между —1 и +1. Отсюда уже легко вывести, что во всех
точках F производная /' (х) разрывна, атак как mF>0, то /' (х) не
интегрируема (R).
Таким образом, интеграл Римана не в полной мере решает
задачу восстановления первообразной по ее производной. Интеграл
Лебега оказывается более сильным орудием для решения этой
задачи.
Теорема. Пусть функция f{x) в каждой точке [а, Ь] имеет
производную р (х). Если f (x) ограничена, то она
интегрируема (L) и
f(x) = f(a) + \f'(t)dt.
а
Доказательство. Прежде всего заметим, что функция f(x)
необходимо непрерывна, поскольку в каждой точке [о, Ь] она имеет
конечную производную. Распространим определение функции f(x)
на более широкий сегмент [a, ft-fl], полагая для Ь < х «? Ь -\-1
f(x) = f(b) + (x-b)P(b).
Функция I (х) теперь непрерывна и имеет конечную
производную на [а, Ь-\-\].
Положим для 1?[а, Ь] и п = \, 2, 3, ...:
В каждой точке х<=[а, Ь] будет lim Ф,г(л-)-=/'(д:), а так как
П —* со
каждая из функций ср„ (х), будучи непрерывной, измерима, то
измерима и /' (х), откуда следует и интегрируемость (L) этой, по
условию ограниченной, функции.
Далее, по формуле Лагранжа,
Vn(x) = n[f(x+±)-f(x)]=r(x+bn) @<8<l),
так что все функции ц>п(х) ограничены одним числом и, по теореме
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
ь ь
U'(x)dx= lim [yn{x)dx. A)
127
Но
ь ь ь
J <pn(x)dx = n ^f(x+ln)dx-n^f{x)dx =
а а а
b + i/n Ь
= п \ f(x)dx-n\f (л-) dx.
a + l/n a
(Замену переменной в интеграле от f(x+ \/n) произвести можно,
ибо эта функция непрерывная и интеграл можно понимать в смысле
Римана, а для интегралов {R) теория подстановки хорошо
известна.) Отсюда
Ь b-H/'i a+1/n
\(fn(x)dx = n ^ f{x)dx-n \ f(x)dx.
а Ъ а
Применяя теорему о среднем к каждому из последних двух
интегралов, получим
^(fn(x)dx = f[b+^)~f(a+b'^ @<8;1<1, 0<8;<1),
а
откуда, на основании непрерывности функции f (x),
lim l<pa(x)dx = f(b)-f(a).
П-.00 а
Сопоставляя это с A), найдем, что
f(b)-f(a) = \f'(x)dx.
а
Заменяя Ь на произвольное х из [а, Ь], получаем теорему.
ГЛАВА VI
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Интеграл от неотрицательной измеримой функции
В этой главе мы обобщим определение интеграла Лебега на
неограниченные функции, причем в первом параграфе займемся
функциями неотрицательными.
Лемма I. Пусть функция f(x) измерима и неотрицательна
на измеримом множестве Е. Пусть, далее, N натуральное число.
Если функция [f{x)]ivl) определена следующим образом:
ш у. _//(х)> ecm /(*)<#•
UWl"-\ N> ест f{x)>N,
то эта функция также измерима.
Доказательство. Легко проверить, что
\ 0, если as^N,
откуда и следует лемма.
В условиях леммы функция [/(*)]лг, очевидно, ограничена и,
стало быть, интегрируема (L). Так как, кроме того,
V(x))i^U(x)h^U(x)h^ ....
то
Е Е Ь
и существует определенный (конечный или бесконечный) предел
Пт \[f(x)\Ndx. (*)
N -» + со ?
Определение. Предел (*) называется интегралом Лебега
функции / (х) по множеству Е и обозначается символом
\f(x)dx.
*) Эту функцию иногда называют «срезанной функцией», или, короче,
«срезай функции I (х) чисюм. N».
129
Если этот интеграл конечен, то функция /(х) называется
интегрируемой (L) или суммируемой на множестве Е.
Таким образом, мы приписываем интеграл всякой
измеримой неотрицательной функции, но суммируемой будем называть
только ту функцию, у которой интеграл конечен.
Иногда, желая подчеркнуть, что интеграл понимается в смысле
Лебега, обозначают его символом
(L) \f{x)dx.
Е
Для случая, когда Е = [а, Ь], употребляют обозначение
\f(x)dx.
а
Нетрудно видеть, что для ограниченной (измеримой и
неотрицательной) функции / (х) новое определение интеграла совпадает
с данным ранее, ибо при достаточно больших N будет
lf(x)]N=*f(x).
Поэтому всякая ограниченная (измеримая и неотрицательная)
функция суммируема.
Теорема I. Если функция f(x) суммируема на множестве Е,
то она почти везде конечна на этом множестве.
Доказательство. Положим А = ?(/— + °°).
На множестве А функция [fix)]^ равна N, так что
\[fhdx^ \[f]Ndx = NmA,
Е А
и если бы оказалось, что тА > 0, то интеграл \[f\Ndx возра-
Е
стал бы неограниченно вместе с N, что противоречит
суммируемости функции f(x).
Теорема 2. Если тЕ = 0, то всякая неотрицательная
функция f(x) суммируема на множестве Е и
Е
Эта теорема очевидна.
Теорема 3. Если функции f{x) и g(x) эквивалентны на
множестве Е, то
\f(x)dx= \g{x)dx.
Е Е
Действительно, в каждой точке, где функции f(x) и g (x) равны
между собой, будут равны и функции [f(x)]N и [g(x)]N, так что
эти последние функции также эквивалентны друг другу.
Остальное ясно.
130
Теорема 4. Если функция f{x) неотрицательна и измерима
на множестве Е, а Ео есть измеримое подмножество Е, то
\f(x)dx^ \f(x)dx.
Действительно, это неравенство очевидно, если f(x) заменить
на [f(x)]N, после чего остается перейти к пределу при N-+co.
В частности, из суммируемости функции f(x)na множестве ?
следует ее суммируемость на всяком измеримом подмножестве Е.
Теорема 5. Пусть функции f(x) и F (х) неотрицательны и
измеримы на множестве Е. Если f(x)^F(x), то
\f(x)dx^ \F(x)dx.
Е Е
Это свойство устанавливается интегрированием очевидного
неравенства [/ (x)]n ^ [F (х))н и последующим предельным
переходом.
В частности, если F (х) суммируема, то суммируема и }(х).
Теорема 6. Если (в обычных предположениях)
\f(x)dx = 0,
Е
то функция f(x) эквивалентна нулю.
Доказательство. Так как
O=sS $tfMH*^ \f(x)dx,
Е Е
то функция [f(*)]i эквивалентна нулю. Но легко видеть, что
всюду, где [f(x)]1 = Q, будет и f(x) = O, ибо [[(х)^ может
принять только одно из двух значений: f(x) и 1. Остальное ясно.
Теорема 7. Пусть f (х) и /'' (х) две неотрицательные
измеримые функции, заданные на множестве Е. Если f(x) = f (*) +
+ /"(*), ™
\f(x)dx=\f'(x)dx+\f"(x)dx.
Е Е Е
Доказательство. Так как при любом N
\r(*)]N + U"(x)]N^f(x),
ТО
\[f'hdx+\[f"]Ndx^ \fdx,
ЕЕ Е
откуда, переходя к пределу при N-+co,
\f dx+\f"dx^\fdx. A)
ЕЕ Е
Чтобы доказать обратное неравенство, установим, что при
всяком N будет
[/№<[П*)к+[/"(*)к. B)
131
Пусть х0 е= Е. Если /' (*0) < N, /" (*0) < N, то
[/ (хо)]„ < f (*„) = /' (*о) + Г' (*«,) = W М* + W' {xo)]ff.
Если же хоть одно из чисел /' (хп) и /" (х0) больше, чем jV, то
U(Xo)]N = N^\r(xo)]N+\f"(xo)]N,
ибо одно из слагаемых правой части равно N, а другое
неотрицательно. Итак, B) доказано.
Интегрируя неравенство B), получим
\[f]»dx^\[f'hdx+\[f"]Ndx.
Е Е Е
Отсюда
\\f\Ndx^ \f'dx+\f"dx
Е ЕЕ
и в пределе при iV->- + oo
\fdx^\rdx+\f"dx. C)
? ? ?
Сопоставляя A) и C), получаем теорему. В частности, если
каждая из функций /' (х) и /" (х) суммируема, то суммируема и
их сумма.
Теорема 8. Если f(x) измеримая неотрицательная функция,
заданная на множестве Е, a k^sQ конечное число, то
\kf{x)dx = k \f{x)dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если k = 0. Для
всякого натурального k она есть следствие предыдущей теоремы.
Если k=\/m, где т натуральное число, то, опять-таки в силу
теоремы 7, будет
\f{x)dx = m^f(x)dx
Е ?
И
[inx)dx = ~\f(*)dx.
Отсюда следует справедливость теоремы при всяком
рациональном значении k. Пусть, наконец, k есть иррациональное
положительное число. Возьмем такие положительные рациональные
числа г и R, что r<ck<R. В силу теоремы 5
г \f(x)dx^ \kf(x)dx^R \f(x)dx
ЕЕ Е
и остается перейти к пределу при г и R, стремящихся к k.
В частности, из суммируемости функции }(х) вытекает
суммируемость kf(x).
132
Следующая теорема очень важна. Перед ее формулировкой
докажем одну почти очевидную лемму.
Лемма 2. Пусть в точке х0 будет
lim fn(x0) = F(xa).
п ~* оо
Тогда при всяком натуральном N
lim \ft(xo)]x = [F(xo)]N.
п -> со
Доказательство. Если F(xo)>N, то для достаточно
больших п будет fn(x0)>N и, стало быть (для этих п),
[L(xo)lv = N^[F(xo)]N.
Точно так же, если F (х„) < N, то, для достаточно больших п,
будет fn(x0)<:N и, стало быть,
[/« (*o)]jv = fn (x0) -> F (х0) = [F (xo)]N.
Остается рассмотреть случай, когда F (х0) = N. В этом случае
для любого е>0 можно указать такое п0, что при п>п0 будет
/л(л-0)>Л^ — е и, стало быть (при п>п0),
N-e<[fn(x0)]N^N,
т. е.
|[f(*o)k-[M*o)kl<8 (я>п0).
Итак, лемма верна во всех случаях.
Теорема 9 (П. Фату). Если последовательность измеримых
и неотрицательных функций fl (х), /2 (х), ... почти везде на
множестве Е сходится к функции F (х), то
\F(х)dx^sup i\fn(x)dxy) (*)
Доказательство. В силу леммы, почти везде на
множестве Е будет (при n->oo) [fa(x)]N->-[F(x)]N.
Поскольку каждая ^з функций [/„ (x)]N ограничена числом N,
мы можем применить теорему Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла, так что \[F]Ndx= lim \[fn]Ndx.
Е п~соЕ
!) Нетрудно вид§ть, что (*) верно и тогда, когда последовательность
{[п(х)\ сходится к F (х) не почти везде, а лишь по мере. Действительно,
в этом случае из \fn(x)} выделяется подпоследовательность {fnk(x)}<
сходящаяся к F (х) почти везде, и достаточно отметить, что sup J \ /„ (д:) dx\ ^
s^sup ( [fn (x) dx\. Укажем, что это замечание ие есть обобщение теоремы,
\ё )
ибо в теореме не исключен случай, когда f (*) =+оо, а тогда о сходимости
по мере говорить нельзя.
133
Но при любом п
\ UnUdx < \ fn dx*s sup | \ fn dx\,
L E it )
так что и в пределе
\[F]lVdx^ sup i\fndx\.
E \e )
Устремив теперь jV к -f-°° и перейдя к пределу, мы
получаем теорему. В частности, если все /л(х) суммируемы и
\fn{x)dx^A < + оэ,
ь
то суммируема и предельная функция F (х).
Следствие. Если в условиях теоремы существует
lim \fn(x)dx, D)
п^оэ Е
то
\F(x)dx^ lim \fn(x)dx. E)
2 п -г со ?
Доказательство. Следствие тривиально, если предел D)
равен +°°- Допустим, что
lim 5/„^ = /< + оо.
П -+ СО ?
Тогда для любого е > 0 можно найти такое п0, что при
J fn dx < / + е.
?
Применив теорему к последовательности функций f,4 (x),
na+i(x), ..., мы получим, что
\ F dx ^ I + е,
Е
откуда, в силу произвольности е, и следует E).
С помощью этого следствия легко получить теорему,
относящуюся к вопросу о предельном переходе под знаком интеграла.
Теорема 10 (Б. Леей). Пусть на множестве Е задана
возрастающая последовательность измеримых неотрицательных
функций
/iW^M'XM*)^ •¦••
Если
F(x)= lim fn(x),
п -* со
то
\F(x)dx= lim \fn(x)dx.
д а -» со ?
134
Доказательство. Прежде всего, предел lim \fndx суще-
й
ствует п, по предыдущему следствию,
^F dx«s lim ^fndx.
E n — ¦*> E
С другой стороны, при всяком п будет fn(x)^F (х), откуда
[fn(x)dx^ \F(x)dx,
Е Е
а значит, и в пределе
lim §/„dx s^ \Fdx.
E E
Теорема доказана.
Теорема 11. Пусть на множестве Е задана
последовательность измеримых неотрицательных функций иу{х), ы2(л), ...
Если
оо
J^uk(x)=F(x),
* = i
то
\F(x)dx=^ \uk(x)dx.
k=\ E
п
Для доказательства достаточно положить fn (х) = ^] и* (х) и ПРИ"
* = i
меьить предыдущую теорему.
Следствие. Если в условиях теоремы
га
mo почти везде на множестве Е будет
lim uk (x) = 0. F)
А -* со
В самом деле, в рассматриваемом случае функция F(x)
суммируема и, стало быть, почти везде конечна. Иначе говоря, ряд
2 «л (х) сходится почти везде, а в точках сходимости этого ряда
выполнение F) очевидно.
Теорема 12 (Полная аддитивность интеграла). Пусть
измеримое множество Е является суммой конечного числа или
счетного множества попарно не пересекающихся измеримых
множеств Ek
E=%Ek (?*?* = 0, кфК).
k
135
Для всякой неотрицательной измеримой функции f{x),
заданной на множестве Е, будет
$/(*)</*=_? $ nx)dx.
* Н
Доказательство. Введем функции uk(x) (k=\, 2, .. ),
полагая
f{x), если x<=Ek,
Uk{x)-\ о, если ш?-?,
Легко видеть, что f(x) = ^Piuk(x), а потому (в силу теоремы 7,
если число слагаемых конечно, и теоремы 11 в противном случае)
\f(x)dx = ^l\u,!(x)dx. G)
k E
Вычислим теперь интеграл $ ub (x) dx. Для этого отметим, что
Е
U(x)]n, если *<=?*,
[^№ = 1 0, если xezE-E,,.
откуда следует, что
\[uk]vdx=\ [flvdx.
Увеличивая TV и переходя к пределу, найдем
\ukdx= \ fdx,
Е Е,
что, в связи с G), и доказывает теорему.
§ 2. Суммируемые функции любого знака
Теперь мы распространим определение интеграла Лебега на
неограниченные функции любого знака. Как мы увидим, это
оказывается возможным не для всех измеримых функций.
Пусть f (х) есть измеримая функция, заданная на измеримом
множестве Е. Введем функции /+ {х) и /_ (х), полагая
(/(*), если f(x)^0 М )==| 0, если /(х)>0
U(X) \ 0, если /(х)<0; ' (Х) \-/(*), если /(дг)<0.
Эти функции измеримы и неотрицательны, так что существуют
оба интеграла \ /+ (х) dx, J / {х) dx.
Е Е
136
Легко видеть, что / (х) =/х (х) — /L (x). Поэтому естественно
условиться называть разность
\U(x)dx~\fAx)dx
Е t
интегралом от функции f(x). Однако «разность» -f-°°—(+оо)
лишена смысла. Поэтому символ
\f+(x)dx-\f-(x)dx
Е Е
имеет смысл тогда и только тогда, когда хоть одна из функций
/+ (х) и /_(*) оказывается суммируемой.
Определение 1. Если хоть одна из функций f+(x) или f_(x)
оказывается суммируемой на множестве Е, то (конечная или
бесконечная) разность
\U(x)dx-[f-(x)dx
Е Е
называется интегралом Лебега от функции f (х) по множеству Е
и обозначается символом
\f(x)dx. A)
Е
Если измеримая функция f (х) ограничена, то обе функции
f+(x) и f-(x) также оказываются ограниченными, а потому новое
определение интеграла для функции f (х) приводится к данному
ранее. Точно так же, если (хотя бы и неограниченная)
измеримая функция f (х) неотрицательна, то f+{x)=f(x), /L(*) = 0, и мы
снова приходим к старому определению интеграла.
Для того чтобы интеграл A) существовал и был конечен,
очевидно необходимо и достаточно, чтобы обе функции /+ (х) и /_ (дг)
были суммируемы.
Определение 2. Функция f (х) называется интегрируемой (L)
или суммируемой на множестве Е, если интеграл ^f(x)dx суще-
Е
ствует и конечен.
Всякая измеримая ограниченная функция суммируема; для
неотрицательной функции новое определение суммируемости
равносильно данному ранее.
Класс всех функций, заданных и суммируемых на множестве Е,
обозначается обычно через L(E). Если смешение исключено, то
вместо L (Е) пишут просто L.
Таким образом, факт суммируемости функции f (х) можно
записать так: / (х) е L.
Теорема 1. Для того чтобы измеримая функция f (x) была
суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы суммируемой была
функция \f(x)\. Если это условие выполнено, то
\f(x)dx < I f{x)\dx.
Е Е
137
Доказательство. Легко видеть, что
|/(*)!=М*)+М*)
и, стало быть (теорема 7, § 1),
\>f\dx=\f+dx+\f_dx,
Е Е Е
откуда и следует теорема.
Отметим несколько очевидных следствий теоремы.
I. Суммируемая функция почти везде конечна.
II. Если тЕ = 0, то на Е суммируема всякая функция f (х)
и \f(x)dx = 0.
Е
III. Функция, суммируемая на множестве Е, суммируема и
на всяком его измеримом подмножестве.
IV. Пусть функции f (х) и F (х) измеримы на множестве Е и
| / (х) | =sS F (х). Если суммируема функция F(x), то суммируема
uf(x).
Если функции f (х) и g (x) эквивалентны на множестве Е, то,
очевидно, эквивалентны /+(лг) и g+(x), а также и f_(x) и g-(x).
Отсюда вытекает
Теорема 2. Пусть функции f (x) и g (x) эквивалентны. Из
существования одного из интегралов $ / (х) dx и ^g (x) dx следует
Е Е
существование другого и их равенство.
В частности, функции f (х) и g(x) одновременно суммируемы
или нет. В дальнейшем мы вообще не будем различать между
собой эквивалентные функции. Та.кое соглашение очень удобно:
например, можно без оговорок складывать суммируемые
функции. Дело в том, что при образовании суммы /' (х) + f" (x) мы
должны исключать из рассмотрения те точки, где слагаемые
принимают бесконечные значения разных знаков. Чтобы не делать
такого исключения, мы просто будем в этих точках менять
значение одного из слагаемых, ибо множество таких точек имеет
меру нуль (слагаемые суммируемы!). При этом безразлично, какое
слагаемое изменяется и какое новое значение мы ему
припишем, — новая сумма эквивалентна старой.
Теорема 3 (Конечная аддитивность интеграла). Пусть
множество Е есть сумма конечного числа попарно не
пересекающихся измеримых множеств
Е=^Ек (EkEk, = 0, кфк').
* = i
Если функция f (x) суммируема на каждом из множеств Ek, то
она суммируема и на их сумме Е и
\f{x)dx=fi \ f^dx-
Е k = lEk
138
Доказательство. В силу теоремы 12, § 1 справедливы
равенства
причем их правые (а значит и левые) части конечны. Остается
вычесть второе равенство из первого.
В случае счетного множества слагаемых из суммируемости
функции f (х) на каждом слагаемом не вытекает ее суммируемости
на их сумме.
Пример. Пусть функция f (х) задана на @, 1] следующим
образом
/ 2и+1 _. 1
п при о , i 1 ч •< х- -^ —.
1-. При rLi<," 2»+l
¦2л(пН-1)
Тогда /(л:) суммируема на каждом из полусегментов (—— — ,
1/1
причем § f(x)dx = Q.
1/(л + 1)
Вместе с тем на сумме их @, 1] функция f (х) не суммируема,
ибо
I со \/п оо
О /г = 1 I/(n + l) rt = I
Однако имеют место такие теоремы о полной аддитивности
интеграла.
Теорема 4. Если функция f (x) суммируема на множестве Е,
представимом в форме суммы счетного множества попарно не
пересекающихся измеримых множеств
Е = ^Ек (?*?*• = О, кфк'),
то
со
]f(x)dx='2l \f(x)dx. B)
k=\Ek
Теорема 5. Пусть измеримое множество Е представимо
в форме суммы счетного множества попарно не пересекающихся
измеримых множеств Ек. Если f (х) суммируема на каждом из
множеств Ек и если
S \ \f(x)\dx< + oo,
то f (х) суммируема на множестве Е и справедливо равенство B).
139
Доказательство. В условиях теоремы 4 имеем (см.
теорему 12, § 1)
причем левые (а значит и правые) части этих равенств конечны.
Остается почленно вйчесть второе равенство из первого.
Если выполнены условия теоремы 5, то (в силу теоремы 12, § 1)
[\f\dx=jt $ \f\dx.
Е *=,?fe
Отсюда следует суммируемость функции \f(x)\, а, стало быть,
и функции f (х) на множестве Е, и дело сводится к теореме 4.
Следует отметить, что, как видно из предшествующего
примера, условие теоремы 5 нельзя заменить условием сходимости
ряда
2 \f(x)dx-
* = 1?*
Теорема 6. Если функция f (x) суммируема на множестве Е,
a k — конечная постоянная, то функция kf (x) также суммируема
на Е и
\kf(x)dx = k ]f(x)dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если» й = 0. Для
k > 0, на основании очевидных равенств (kf)+ = kf+, (&/)_ = ?/_,
теорема сводится к теореме 8, § 1 (именно, нужно
проинтегрировать'указанные равенства и почленно вычесть второе из первого).
Чтобы исследовать случай отрицательного k, рассмотрим
сначала более частный случай, когда k = —1. Легко видеть, что
(—/)+ = /-, (—/)_=/+, откуда
\-f(x)dx= \f- (x) dx-\U (x) dx = - lf(x) dx.
E Ё E E
Итак, множитель (—1) можно выносить из-под знака интеграла.
Пусть, наконец, k есть произвольное отрицательное число.
Тогда
\kfdx = — \\k\fdx = —'k\ \fdx = k\fdx
Ь Е ЕЕ
и теорема доказана.
Следствие. Если функция f (x) суммируема на множестве Е,
а ф (х) измерима и ограничена на этом множестве, то
произведение их ф (*)/(*) суммируемо на Е.
Действительно, абсолютная величина этого произведения
(являющегося, очевидно, измеримой функцией) не превосходит
суммируемой функции K\f (х) |, где i(==sup {| ф (х) \\.
140
Теорема 7. Если каждая из функций /' (х) и f" (х)
суммируема на множестве Е, то суммируема и функция /(*)=/'(*) +
+ /*(*). причем
\f(x)dx=lf'(x)dx+]r(x)dx. C)
? U Г.
Доказательство. Суммируемость функции f (х) следует
из того, что \f(x)i^\f'(x)\ + 'f"(x)\, и теоремы 7, § 1. Остается
доказать равенство C). С этой целью введем множества
?^?(/'^0, Г^О); ?2 = ?(/'<0, Г<0);
?3 = ?(/'^0, Г<0, /SsO); ?4 = ?(/'=г0, /"<0, /<0);
?5 = ?(/'<0, Г 22= 0, /^0); ?« = ?(/'<0, /"^0, /<0).
Очевидно, ? = 2 ?* (?/;?/:' = 0, k^k')\ достаточно доказать,
А = 1
ЧТО
$/dx= $/'Лг+ S/'dx (Л=1,2 6).
Ч hk Ek
Это делается одинаково для всех k. Для примера проведем
рассуждение для ? = 6. Переписав равенство /(*)=/'(*) + /"(*)
так:
_П*)=П*Ж-/(*)].
мы добиваемся того, что на множестве ?6 оба слагаемых правой
части неотрицательны. Поэтому, в силу теоремы 7, § 1, мы имеем
\ {-r)dx=\rdx+\(-f)dx,
Е, ?„ ?„
откуда
]fdx=[f'dx+lrdx.
Ев Е, ?„
Теорема доказана. Следующая теорема очень важна.
Теорема 8. Пусть функция f (x) суммируема на множестве Е.
Всякому е > 0 отвечает такое б > 0, что для любого измеримого
множества е а Е с мерой те < б будет
f (х) dx
<е.
Доказательство. Одновременно с функцией f(х)
суммируема и ее абсолютная величина |/(*),. Поэтому, на основании
самого определения интеграла от неотрицательной функции,
существует такое Л^, что
l\f{x)\dx-^[\f{x)\]N.dx<±
141
Положим 6 = —^. Эю б является искомым. Действительно,
z/V,,
функция |/(.v) — [i/(v) ],vu не отрицательна на множестве Е.
Значит, какое бы измеримое подмножество е множества Е ни взять,
необходимо
$! 7М i-[I/М !К} dx^ ){|/(х),-[ /(*) iЯ} <?*,
е Е
откуда
<|,
<е,
\\f{fi)Kdx-^[\f(x)\]Nadx
и, стало быть,
$|/M'd*<!+ Jtl/W.Kdor.
Но так как [ | / (х) \ ]Na eS Л^о, то
)[\f(x)\]Nodx^No-me,
е
и, следовательно,
§ |/(*)|d*< 2- + Л/0-те.
Отсюда ясно, что при те<С.Ь будет
\\f (х) \ dx < е, и тем более I \ f (x) dx
е \ е
что и требовалось доказать.
Доказанное свойство интеграла называется его абсолютной
непрерывностью.
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Теорема Лебега, доказанная в § 3, гл. V, допускает
следующее обобщение.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на множестве Е задана
последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), f3(x), ...,
которая сходится по мере к функции F(x). Если существует такая
суммируемая функция Ф(х), что при всех п и х
\и(х)\^Ф(х), П
то
JIH \fnix)dx= \F{x)dx.
Ё Е
Доказательство. Прежде всего заметим, что условие (*)
обеспечивает суммируемость каждой из функций fn {x). Далее,
легко видеть, что почти для всех х будет
\Р(х)[^Ф(х). A)
142
Чтобы обнаружить это, достаточно, пользуясь теоремой Рисса,
выделить из {fn(x)\ подпоследовательность \fnk(x)\, сходящуюся
к F (х) почти везде, и перейти к пределу в неравенстве
'|/ЯА(*)|<Ф(д0.
Изменив, в случае надобности, значения функции F(х) на
множестве меры нуль, можно добиться выполнения неравенства A)
в каждой точке множества Е. Из A), в частности, вытекает
суммируемость функции F(x).
Выберем теперь произвольное о>0 и положим
An(a) = E(fn-F\^a), Вп(а)=Е (' fn- F ,<о).
Тогда Е = Ап{а) + Вп(а), Ап(о) ?„(а}=0, и при п^-оэ
тЛя(а)->0.
Заметив все это, проведем такие оценки:
\fndx-\Fdx ^\\fa-F\dx= \ \fa-F\dx+ \ 4n~F\dx.
Е Е Е Ап{0) Вп(а)
Но на множестве В,г (а) будет \fn — F\<.a, откуда
§ |/„ — F | dx^ отВп (о) ==:а -тЕ.
С другой стороны, |/я —/=1|=^2Ф(лт), так что
\ \fn-F\dx^2 \ <?>{x)dx.
л>) л"{т
Сопоставляя все сказанное, получаем
\]fndx- \Fdx =С2 \ <S(x)dx + omE. B)
| ? E An (a)
Пусть, наконец, е > 0. Фиксируем столь малое о > 0, что
о ¦ тЕ < ^ . C)
Затем, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла от
функции Ф(х), найдем такое б>0, что для всякого измеримого
множества ес? с мерой те<с6 будет
\<S>(x)dx< J-.
Если п>п0, то (при уже фиксированном а) тАп(а) <б, и,
стало быть,
2 J Ф(*)^< 2- ^4)
AnW
143
Сопоставляя B), C) и D), мы видим, что при п>п0
оказывается
\fn{x)dx- \F(x)dx <e,
? ?
что и доказывает теорему.
Следствие. В условиях теоремы будет
}]Z $ Ч> М U (*) dx=\<p(x)F (х) dx,
? Е
где ф (х) любая измеримая ограниченная функция.
В самом деле, если \ср(х)\^К, то | <р (x)fn(x) \ ^КФ(х),
и условие (*) выполнено. Остается обнаружить, что
4,(x)fn(x)z^(p(x)F(x).
Но это вытекает из того, что
E(\vfn-<?F\^o)ciE^fa-F\^°
так что наше предложение доказано.
Доказанную теорему можно еще более обобщить. Для этого
нам понадобится ввести одно важное понятие. Пусть на
измеримом множестве Е задано целое семейство М = {/ (х)} суммируемых
функций. Если мы фиксируем какую-нибудь из этих функций
fo(x), то для всякого е>0 можно будет указать такое б>0, что
соотношения ecz:E, те<.Ь влекут соотношение
W
fo(x)dx
<е.
Но это б зависит от выбора функции fQ (x) и, вообще говоря,
одного общего б для всех функций семейства М не существует.
Это обстоятельство дает повод установить следующее
Определение. Пусть M — {f(x)\ есть семейство суммируемых
функций, заданных на множестве Е. Если всякому е > 0 отвечает
такое б>0, что соотношения еспЕ, те<б влекут соотношение
f(x)dx
<г
для любой из функций семейства М, то говорят, что функции
семейства имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Теорема 2 (Д. Витали). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность суммируемых функций fx(x), f2(x),
f3{x), ..., сходящаяся по мере к функции F(x). Если функции
последовательности {/„ (х) \ имеют равностепенно абсолютно
непрерывные интегралы, то F (х) суммируема и
lim \fn(x)dx=\F(x)dx.
144
Доказательство. Прежде всего нужно убедиться в том,
что и предельная функция F (х) суммируема на множестве Е. Для
этого выберем произвольное е > 0 и найдем такое б > 0, что при
те < б будет
[h(x)dx
<4 (п=1, 2, 3, ...).
Пусть е какое-либо измеримое множество (е с: Е) с мерой
те<.8. Тогда, полагая e+ = e(fn^O), e_ = e(fn<0), мы будем
иметь me+<CS, me_<6 и, стало быть,
\\fn\dx= \fndx <|, J|fnj<fr*= $/„4*
«+ е+ е- е_
<|.
откуда
$|M*)|d*<e.
E)
Иначе говоря, функции \fn(x)\ также имеют1) равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы.
Если построить (по теореме Рисса) подпоследовательность
jfn (д;)}, сходящуюся к F (х) почти везде и написать неравенства
E) для fnk {x), то теорема Фату из § 1 позволяет утверждать, что
\\F(x)\dx^z, F)
е
так что F (х) суммируема на множестве е. Здесь е означает любое
подмножество Е с мерой <б. Отсюда ясно, что F (х) суммируема
и на исходном множестве Е, ибо его можно разложить на
конечное число частей с мерой <б.
Теперь можно приступить к доказательству главного
утверждения теоремы. Выбрав сг > 0 и положив, как и выше,
Aa(o) = E(\fn-F\^o), Bn(a) = E(\fa-F\<a),
мы снова получим оценку
\]fndx-]Fdx <: \ \fn-F\dx + omE.
\Е Е Ап@)
Отсюда
I \ fndx - J F dx =sc \ \fn\dx+ \ \F\dx + omE. G)
U ? An@) Ап(в)
Пусть е>0 и а фиксировано столь малым, что отЕ <е/3.
1) Читателю рекомендуется обратить внимание на то, что нами попутно
доказано наличие равностепенно абсолютно непрерывных интегралов у
семейства модулей | /„ (х) | при единственном условии, что сами функции /„ (х)
имеют такие интегралы.
145
Как мы видели в начале доказательства, всякому е > 0
отвечает такое б > 0, что как только eczE, me<6, так сейчас же
[см. E) и F)]
3 •
Но для п> п0 будет тАп (а) <С 8, так что G) принимает вид
\fndx-\Fdx
<е,
и теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы будет
lim \ ф (х) /„ (*) ^ = $ ф (л-) Т7 (*) Лг,
где ф (*) есть любая измеримая ограниченная функция.
В самом деле, если \ц>(х)\^ К, то
Ф (х) fn (x) дх
\K\\fniti\dx,
так что функции ф (*)/„(*) также имеют равностепенно абсолютно
непрерывные интегралы.
Оказывается, что это следствие обратимо. Чтобы установить это
обстоятельство, нам понадобится важная и сама по себе
Теорема 3 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана
последовательность суммируемых функций {fn(x)\. Если для всякого измеримого
подщожества е множества Е оказывается
lim \fn(x)dx^0, (8)
то функции fn (x) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Доказательство Допустим, что теорема неверна. Это значит, что
существует число s0 > 0, обладающее следующим свойством: для всякого б > О
можно найти измеримое множество вс? с мерой пи <8 и индекс п такие,
что
и
fn M dx
Ss?n
(9)
Заметив это, фиксируем какое иибудь б > 0 и рассмотрим первые N функций
последовательности: /^(л,), \„ (х), ..., fA (x). Для каждой из функций jk (x)
найдется такое бд, > 0, чго как только те <8/1(е cz E), так сейчас же
I h W dx
Horn
Обозначим через б* наименьшее из чисел б, бг б„, ..., бд,. По
сказанному выше, для б* найдутся множество е cz Е с мерой тс < б* и индекс п,
для которых выполнено неравенство (9). С другой стороны, me<6k (fe=l,
2 N), так что для ?=1,2, , jV выполняется A0) и, стало быть, п > N.
Таким образом, число е0 обладает следующим свойством' каковы бы ни
были числа б>0 и /V, найдутся ишеримое множество е < L и индекс п,
для которых
n>N, me<&, \\jjn(x)dx\^ea.
U 1
146
Установив -по, фиксируем какое-нибудь множество с1 с Г и индекс иь
для которых
\ fnt(x)dA -'о
Опираясь на абсолютную непрерывность интеграла от функции fn (х),
подберем такое 8j > 0, чтобы для всех множеств е а Е с мерой те < 6\ было
$'»•
» dx
<
So
4 '
Сделав это, найдем такие множество е2 с: Е и индекс и2, что
2
К*
x)dx
:К0,
после чего подберем такое б2 > 0, чтобы из те < б2 (е а Е) вытекало
\l
(х) dx
<
4 '
Нетрудно понять, что S2 < f*i/2.
Проделав сказанное, находим множество е3 с: Е и индекс п3, для которых
п3 > и2, mea < --
S'-
Гх)^д:
:«о.
после чего подбираем такое б3 >¦ 0, чтобы из те < б3 (е а Е) вытекало
$'-
(A:)dx
<
?0
4 "
Очевидно, б3 < 62/2-
Продолжая этот процесс, мы построим три последовательности:
измеримых множеств eft с: Е, строго возрастающих индексов п^ и чисел б^ > О
такого рода, что
1)
$fnA*)d*
=ге0;
2) тв*+1<в*/2,
3) если вс? и те <8к, то
5 Ч м ^
< 7.
Из этих свойств следует, что 6ft+1 < 6/,/2, а потому
2
"'(в*-1 + в*та + е*^ + -)< 62* + ^ + -6^ + - <SA.
Стало быть,
!,,(•)''
<-;¦
Введем в рассмотрение новые множества
147
Ясно, что
S'..
(x)dx
Тео-
A1)
Вместе с тем (что и является целью введения множеств Ak и что
отличает их от множеств ек) множества Ак попарно не пересекаются.
Заметим еще, что ^4 се/, и потому
m(Ak + l+Ak^ + Ak + a + ...)<Sk. A2)
Теперь уже нетрудно закончить доказательство теоремы. Именно,
положим /гх=1 и обозначим через k2 какой-нибудь из индексов т> 1, для
которых
Л*,
(x)dx
< г.
Существование таких индексов т вытекает из условия (8). Сделав это,
обозначим через /г3 какой-нибудь из индексов т > k2, для которых
S >•
(x)dx
Ак^Ак2
<
4 "
Продолжая этот процесс, мы получим строго возрастающую
последовательность ?j < &2< ^з < ••- . такого рода, что
А. +...-{ А
jj ¦ fn^ (х) dx
*i-i
<?•
С этим неравенством следует сопоставить неравенство
3
J ink{*)dx
А;
So.
A3)
A4)
являющееся частным случаем A1).
Наконец, в силу A2)
m(Vi+4,+V,+-)<M(V1+V.+-)<e*i
и, стало быть,
S
/. w^
*«Ч1 *i + 2
*.-
<^°.
A5)
Положим Q = Aki + Ak +Ak +... Тогда
lfn (x)dx= \ fnk(x)dx+ \ fn(x)dx +
\+-+Aki_l
+
1
fnk (x)dx.
откуда, в связи с A3), A4) и A5), следует, что
fnb (x)dx
«о
^ (/=1.2,3....),
а это противоречит условию (8). Теорема доказана.
148
Несколько сложный способ1) доказательства этой теоремы применяется,
однако, весьма часто, читателю следует тщательно разобрать изложенное
рассуждение.
Следствие 1. Пусть на измеримом множестве Е заданы последовательность
суммируемых функций {fn{x)\ и суммируемая функция F (х). Если для любого
измеримого множества е а Е оказывается
AС)
hm \fn(x)dx=\F(x)dx,
то функции /„ (х) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
В самом деле, по теореме 3, разности }n(x) — F(x) имеют равностепенно
абсолютные интегралы, а тогда наше утверждение следует из неравенства
К/п (*)<** *S:\\ if n(*)-F (*)}** + \F(x)dx
Следствие 2. Пусть на измеримом множестве Е заданы последовательность
суммируемых функций fn(x) и суммируемая функция F (х). Если для любой
измеримой ограниченной функции ц> (х) будет
lim
^(x)!n(x)dx=^f(x)F(x)dx,
то функции fn (x) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
В самом деле, за функции ф (х) можно, в частности, выбирать
характеристические функции различных измеримых подмножеств Е, а тогда дело
сводится к следствию 1. Этим и оправдано наше замечание об обратимости
следствия теоремы 2
Из всего сказанного мы получаем следующий результат.
Теорема 4 (Д. Витала). Пусть на измеримом множестве Е задана
последовательность суммируемых функций \fn (х)}, сходящаяся по мере к
суммируемой функции F (х). Для того чтобы равенство A6) имело место для
всякого измеримого множества е а Е, необходимо и достаточно, чтобы функции
fn (x) имели равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Следует заметить, что условие равностепенной абсолютной непрерывности
интегралов функций fn (x) становится необходимым только при требовании,
чтобы предельный переход можно было осуществить под знаком интеграла,
распространенного на любое измеримое подмножество множества Е. Из одного
же соотношения
lira \fn{x)dx= \F(x)dx
Л-.О0 ? ?
равностепенной абсолютной непрерывности упомянутых интегралов не
вытекает. Пусть, например, функции fn(x) заданы на [0, 1] следующим образом:
/я@) = 0и
л при 0 ¦ - '
/»(*) =
— п при
О при —
Ясно, что последовательность этих функций стремится к нулю и
1
lira Un(x)dx = 0.
л-»ш
х) Представляется уместным называть его «способом скользящего горба».
149
Вместе с тем
1/2н
о
и равностепенной абсолютной непрерывности нет.
Интересно, что для функции, сохраняющих знак, дело обстоит проще
Именно, имеет место
Теорема 5. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность
неотрицательных суммируемых функций {/„ (*)}, сходящаяся по мере к
функции F (х). Если допустим предельный переход под знаком интеграла,
распространенного на все множество Е, то допустим также и предельный переход
под знаком интеграла, распространенного на любое измеримое подмножество ')
е множества Е.
Эта теорема без труда выводится из теоремы Фату2) [гл 6, § 1]. В самом
деле, допустим, что теорема неверна. Тогда найдется измеримое множество
А а Е, для которого равенство
im \fn{x)dx = \F(x)dx
^ю А А
lim
п
не выполняется. Но тогда найдется такое число а > 0, что бесконечное
множество интегралов jj /„ (х) dx лежит вне интервала
Fdx — 2a, \Fdx + 2a\
а ]'
Если бы существовало бесконечное множество интегралов \ /„ (х) dx,
А
меньших, чем \ F (x) dx — 2а, то можно было бы, перейдя к частичной после-
А
довательности, считать, что неравенство
\fn(x)dx^ \F(x)dx-2a
А А
имеет место для всех п, а это сразу привело бы к противоречию с
упомянутой теоремой Фату. Таким образом, для бесконечного множества значении п
будет
Un(x)dx^\F(x)dx + 2c, A7)
и можно считать, что это так для всех п. Но так как под знаком интеграла,
распространенного на все множество Е, предельный переход по условию
допустим, то для достаточно больших п окажется
и
fn{x)dx-\F{x)dx
t
<о,
откуда, снова переходя к частичной последовательности, получим, что при
всех я будет
\fn{x)dx< \F(x)dx + o.
х) Предыдущий пример показывает, что без условия /я(*);Э0 теорема
неверна.
2) Точнее, из подстрочного примечания к этой теореме.
150
Вычитая отсюда неравенство (I7) и вводя множество В = Е — А, находим
\fn(x)d*<lr(x)dx-a,
в в
что приводит к противоречию с теоремой Фату.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 6 (Г. М. Фихтенгольц). Пусть на измеримом множеств? Е
задана последовапк шноапь суммируемых функций {fn (к)}, сходящаяся по мере
к суммиругмой функции F (х). Соотношение
lim
\ /»(*)
* СО ?¦
dx=\
?
F (х) ! dx
A8)
необходимо и достаточно для того, чтобы равенство A6) имело место для
всякого измеримого множества tc?.
Действительно, если A8) выполнено, то в силу теоремы 5 в этом
соотношении можно заменить множество Е любым измеримым множеством гс?.
Но тогда функции \fn(x) , а значит и функции fn{x), имеют равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы, откуда и следует выполнение A6) для
всякого измеримого е cz E.
Обратно, если равенство A6) имеет место для всякого измеримого
множества с с Е, то функции /„ (х) имеют равностепенно абсолютно непрерывные
интегралы. Но тогда (см. сноску на стр. 169) и модули , /л (х) р имеют такие же
интегралы, и остается применить теорему 2 к этим модулям.
В заключение остановимся на признаке, с помощью которого можно
устанавливать равностепенную абсолютную непрерывность интегралов.
Теорема 7 (Ш.-Ж. Валле-Пуссен). Пусть на измеримом множестве Е
задано семейство измеримых функций M = {f (х)\. Если существует
положительная возрастающая функция Ф (и), заданная для к^О и стремящаяся к +оо
вместе с и, дня которой
$|/(*)|-ФA/(х) )dx<A,
где f (х) любая функция из М, а А конечная постоянная, от выбора f (x)
не зависящая, то функции f (x) суммируемы на Е, а интегралы их
равностепенно абсолютно непрерывны.
В пояснение условий теоремы, заметим, что суперпозиция Ф (| / (х) |)
монотонной функции Ф (и) и измеримой функции 1 / (х) \ есть функция измеримая.1)
Переходя к доказательству, возьмем е > 0. Ему отвечает такое К, что
Ф (К) 2 *
Закрепив это К, рассмотрим какое-нибудь измеримое множество е cz E. Пусть
/ (х) есть любая функция из М. Положим е1 = е (, / (х) \ > К), е2 = е A / (х) \ ^/С).
Тогда i
\\f(x)tdx= \\f{x) dx +
Отсюда
+ J , I (x) dx^-^щ J | / (x) I • Ф (! / (x) \) dx+^\f (x) I dx.
ea ei ea
\
\f(x)\dX:
оЩ+к-"и»<Т+Ктв-
J) В самом деле, если а > 0, то Е (Ф (и) ~> а) есть интервал вида (b, +00)
или [Ь, + оо). Поэтому Е (Ф (/) > а) = Е (f > b) или Е (/ =э Ь).
151
g
Этим уже доказана суммируемость /(*). Кроме того, положив б— 9„ ,
получим, что при те <С б будет
\\f{x)\dx<?..
е
Теорема доказана. Из нее, например, вытекает, что, если для функций {(х)
семейства М будет
[f* (х) dx<A,
то эти функции имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВАМ V и VI
1. Если fn(x)^O и ^ }п (х) dx -*¦ 0, то /„ (х) гг> 0, но не обязательно /„ (х)
будет стремиться к 0 почти везде.
С IМ
2. Соотношение \ ' ' dx -*¦ 0 равносильно тому, что fn (x) =$ 0.
J ' + | 1П I
3. Если ая -»¦ 0, то существует последовательность неотрицательных изме-
оэ
римых функций ип(х), такая, что ^ ап \ ип (х) dx < + оо, но ни в одной
п=\ Ё ¦
точке ? функции ип (х) не стремятся к 0.
4. Если интеграл \ц>(х) f (x) dx существует при любой суммируемой функ-
?
ции f (х), то функция ф(х) ограничена почти везде (Лебег).
5. Пусть на множестве Е задана измеримая конечная функция f (x).
Возьмем ряд чисел
¦¦¦У-з, У-а. У-ъ г/о, </1, г/г. Уз, ¦¦¦ (Ук-+ + ся, У-к~+ — аз, 0<У/гп — Ук<Ъ)
и положим ck — E(yil^f<.yk+1). Для суммируемости функции f (x) необхо-
со
дима и достаточна абсолютная сходимость ряда ^ Уьтек-
6. Если в условиях упражнения 5 ряд ^ У/гтеь абсолютно сходится, то
при Х-*0 его сумма стремится к ^ f (я) dx.
7. Предел равномерно сходящейся последовательности функций,
интегрируемых (R), есть функция, интегрируемая (R).
8. Характеристическая функция канторова совершенного множества Ро
интегрируема (R).
9. Если f (х) равна 0 в точках канторова множества Ро и равна п на тех
1
дополнительных к Ра интервалах, длина которых равна 3"", то С / (х) dx = 3
0
(Е. Титчмарш).
10. Чтобы измеримая и неотрицательная / (х) (asgxs^b) было
суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы было ^] "*? (/ Э= «J < + оо (Орбек).
11. Пусть /(а:)>;0 измеримая функция, а {f (л:)}д, функция, равная f (х)
или 0, смотря по тому —будет ли f(x)s^N, или f(x)>N. Если / (*) почти
везде конечна, то
Условие, что [ (х) почти везде конечна, отбросить нельзя.
152
12. Пусть / (х) и g(x) две неотрицательные измеримые функции, заданные
на множестве Е. Если Ey = E(g,, у), то
где Ф (г/) = W (*) dx (Д. К. Фаддеев).
i
у
13. Пусть на [0, 1] расположены я измеримых множеств Еъ Е2, ..., Еп.
Если каждая из точек [0, 1] принадлежит по крайней мере q из этих
множеств, то хоть одно из них имеет меру :> qjn (Л. В. Канторович).
14. Пусть на [а, Ь] задана суммируемая функция /(*). Пусть, далее,
а есть постоянное число, 0 < а <С b — а. Если для каждого множества е меры
а будет ^t(x)dx = 0, то /(*)~0 (М. К. Гавурин).
е
15. Пусть f (х) суммируема на [а, Ь] и равна 0 вне [а, Ь\. Если
*+л ь ь
<р (Л) = -L С f (<) d/, то f | ф (*) j dx й? С | / (jc) | dx (A. H. Колмогоров).
x—h a a
16. Пусть на [а, 6] задана суммируемая функция / (х). Если при любом
с
с(а^с^Ь) будет ^f (x) dx = Q, то f (x) ~ 0.
a
17. Пусть на fa, 6] задана строго положительная суммируемая функция
f(x). Пусть Q <q^b — а и S есть множество таких измеримых подмножеств
е cz [a, b], у которых me^q. Показать, что
inf \\f(x)dx\>0.
«es
18. Пусть M = {f(x)\ семейство функций, суммируемых на [a, b]. Если
функции семейства имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы,
то существует возрастающая положительная функция Ф (и), заданная при
0--г-и<; + оо, стремящаяся к +со вместе сип такая, что для всех f (х) из
Ь
М будет ( | f (х) \ • Ф (j f (x) !) dx sg A < + co, где постоянная А не зависит
а
от выбора f (х) (Валле-Пуссен).
19. Если / (*) суммируема на [a, b], то для любого е >0 существует такая
ь
непрерывная на [а, Ь] функция ф(*), что f | / (х) — ф (д;) | dx < e.
а
20. Если I (х) суммируема на [а, 6 + 6] (б>0), то
ь
I'm U(*+A)-f(*)|d* = 0.
21. Пусть на [a, b\ задана измеримая функция f(x)>0. Соотношение
ь ь
\U(x)hndx-UHx)]ndx^ 0
i i »-¦»
и п-тЕ (/>п)->0 равносильны A0. С. Очан).
22. Пусть на [а, Ь] заданы две измеримые функции / (х) > 0 и
g(x)>0. Если существует конечный предел lira \ {[f {x)]n — [g(x)]n} dx, и
n • mE (/ > л) -г 0, то л • /n? (g > я) ->• 0 A0. С. Очан).
ГЛАВА VII
ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма
В этой главе мы рассмотрим весьма важный класс функций —
функций с суммируемым квадратом. Для простоты мы будем
предполагать, что все функции, о которых идет речь, заданы
на некотором сегменте Е = [а, Ь).
Случай, когда функции определены на произвольном
измеримом множестве Eocz E = [а, Ь\, может быть сведен к указанному
выше, если каждую рассматриваемую функцию доопределить,
полагая ее равной нулю в точках множества Е — Ео.
Определение. Измеримая функция / (х) называется функцией
с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с
квадратом, если
ь
\P(x)dx< + <x>.
а
Множество всех функций с суммируемым квадратом
обозначается обычно *) символом L2.
Теорема 1. Всякая функция, суммируемая с квадратом,
суммируема, т. е. L2 cz L.
Эта теорема вытекает из очевидного неравенства
Точно так же из неравенства
\1Ш(х)\^?Щ?&
вытекает
Теорема 2. Произведение двух функций, суммируемых с
квадратом, есть функция суммируемая.
Отсюда, в силу тождества (/±gJ = f ±2/g + g2, следует
Теорема 3. Сумма и разность функций, входящих в L2,
входят в L*.
х) Иногда, чтобы указать, о каком отрезке [а, Ь] идет речь, пишут
U ([а, Ь\).
154
Наконец, отметим вполне очевидное обстоятельство, что
одновременно с f(x) в L2 входят и все функции вида kf(x), где k
конечная постоянная.
Теорема 4 (Неравенство Буняковского). Если / (х) <= L2
и g(x)^ U, то
\ f (х) g(x) dx^ <р Г- (х) dxj ¦ []g* (x) dxj. A)
Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен
Ц(и) = Аи2-\-2Ви + С,
коэффициенты которого А, В, С вещественны и А > 0. Если этот
трехчлен неотрицателен при всех вещественных значениях и, то
В2й=ЛС. B)
Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы,
что
Заметив это, положим
q(u) = \\uf(x) + g(x)r-dx = u*\pdx + 2u\fgdx + \g*dx.
а а а а
Этот трехчлен неотрицателен и потому для него выполняется
условие B), что равносильно теореме.х)
Следствие. Если ['(х)е12> то
\\f(x)\dx^\fb=R-r/'\f*(x)dx. C)
а У а
Действительно, полагая в A) g(x)= 1 и заменяя f(x) на (/(*)[,
мы получаем C).
Теорема 5 (Неравенство Коши). Если f(x)^L2 и g (x) e
е Lo, то
\/ I If (х) + g (х)? dx ^ Л/ \р (х) dx + Л/ \ g* (х) dx.
» а 'а * а
Доказательство. Извлекая корни из обеих частей
неравенства Буняковского, находим
\fgdx^yrlf*dx-yr\g*dx.
а 'а 'а
b Ь
!) Мы предполагаем, что ^ /2 dx > 0. Если бы было \f2dx = 0t то функ-
и а
Ция / (х) была бы эквивалентна рулю и неравенство A) превратилось бы
в тривиальное тождество 0 = 0.
153
Умножая это неравенство на 2 и прибавляя к обеим
частям по
ь ь
а а
получим
откуда и следует теорема.
Неравенство Коли позволяет рассмотреть множество L2 с новой
точки зрения. Именно, если мы сопоставим каждой функции
/(x)eL2 число 11/11=1/ \iP(x)dx, то будут иметь место следую-
' а
щие обстоятельства:
I. || /1| ^ 0, причем || /1| = 0 тогда и только тогда, когда f (x) ~ 0.
II. || kf || = | k | ¦ IJ /1 и, в частности, ||— /1| = |] / [).
HI- ll/ + g|<||/|| + ll?l!-
Число I/I называется нормой функции f(x). Аналогия между
1/1 и абсолютной величиной |jc| вещественного (или комплексного)
числа х бросается в глаза. Эта аналогия служит источником ряда
важных и красивых построений.
Грубо говоря, основное назначение абсолютной величины в
Анализе заключается в том, что с ее помощью мы производим
измерение расстояний на числовой прямой р(х, у) = \х — у\.
Но в таком случае введение нормы позволяет и на
множество Z-2 смотреть как на некоторое «пространство», в котором
также можно производить измерения, если принять число
P(f,g) = lf-8l
за расстояние между элементами / и g класса L2.
Если мы условимся эквивалентные между собой функции
считать за тождественные, то расстояние р(/, g) будет обладать
привычными нам свойствами:
О Р(/> g)SsO> причем р (/, g) = 0 тогда и только тогда,
когда / = g.
2) Р(/, g) = 9(g, /)•
3) Р(/, g)^p(f, h) + p(h, g).
Если на некотором множестве А элементов любой природы
задана подобная функция пары элементов р (лг, у), то множество А
называют метрическим пространством.
Значит L2 есть метрическое пространство. Впервые эту точку
зрения на L2 развил Д. Гильберт, почему L% часто называют
пространством Гильберта.
156
§ 2. Сходимость в среднем
Понятие нормы позволяет ввести понятие предела в
пространстве Гильберта при помощи почти тех же выражений, что и
в обычном случае числовой прямой.
Определение 1. Элемент / пространства L2 называется пределом
последовательности /х, /2. /а. • ¦ ¦ элементов этого же пространства,
если всякому е> 0 отвечает такое N, что при всех п> N будет
1/»-/1<е-
Это же обстоятельство мы будем выражать, говоря, что
последовательность {/„} сходится к элементу /, или что элемент fn
стремится к /, и записывать обычным образом
\\mfn = f, /„->-/.
Здесь мы должны обратить внимание читателя на глубокое
различие соотношений fn(x)-*-f(x) и /„->¦/.
Первое означает, что при фиксированном х числовая
последовательность {/„ (х)} в обычном смысле сходится к пределу / (х).
Второе же соотношение означает, что последовательность
элементов L2 сходится к элементу /ё!2 в смысле определения 1.
В обычных терминах теории функций соотношение /„->/означает,
что
l\m\[fn(x)-f(x)Ydx = O.
л — со а
Этот новый вид сходимости последовательности функций
называется сходимостью в среднем.
Теорема 1. Если последовательность {/„ (х)} сходится в
среднем к функции f(x), то она сходится к ней и по мере.
Доказательство. Пусть и>0 и
Л„ (о) = ?(!/„-/> о).
Тогда
\(fa-fFdx7* \ (fn-f)*dx^<PmAn(a),
а Лп (а)
и так как а фиксировано, то тАп (а) -*¦ 0, а это и значит, что
Следствие. Если последовательность {/„(*)} сходится в среднем
к f(x), то из нее выделяется подпоследовательность {fnh{x)),
сходящаяся к f(x) почти везде.
Это следствие устанавливается простым сопоставлением
теоремы 1 и теоремы Ф. Рисса из § 3, гл. IV. Можно его, однако,
доказать без всякого привлечения сходимости по мере. Именно,
157
о
b
если lim ^ (/„ — If dx = О, то можно найти такие я1<гс2<я3<-• •>
rt->ooa
ЧТО
со Ь
Тогда ряд 2 \(fnk — fJ ^х сходится и, по следствию теоремы
* = 1 а
11, § 1, гл. VI, почти везде на [а, Ь]
fnk(x)-+f(x).
Заметим, что из сходимости в среднем последовательности
\fn{x)} к функции f (х) не следует ее сходимости к f{x) почти везде.
Это иллюстрируется хотя бы примером, приведенным в § 3, гл. IV.
Точно так же, сходимость fn(x)-+f(x) в каждой точке [а, Ь]
не влечет за собой сходимости в среднем.
Пример. Пусть на [0, 1] задана последовательность {/„(х)}:
fn(x) = n при 0<х< п и /„(*) = 0 в прочих точках [0, 1].
Тогда ясно, что при любом д: е [0, .1] будет Пт/„(х) = 0, но
в то же время
I ]/п
\f-n(x)dx= \ n2dx = n-> + oo.
о о
Теорема 2 (Единственность предела). Последовательность
/i> /а. /з> • ¦ •. элементов L2 может иметь только один предел.
Доказательство. Допустим, что /«->/, fn-^g, тогда
11/-?|]<!/-//.«+11/»-Н
и так как правая часть этого неравенства стремится к нулю, а
левая постоянна и не отрицательна, то||/ —g| = 0, откуда / — g = 0
и f = g, что и требовалось доказать.
Можно дать и другое доказательство теоремы. Если fn-*-f и
fn-*~g> т0 последовательность {/„(*)} сходится по мере и к f(x)
и к ^(х), так что f(x)<~^g (x), а эквивалентные функции мы
условились считать за один элемент пространства.
Теорема 3 (Непрерывность нормы). Если /„->-/, то
II/«II-41/II-
Доказательство. Из очевидных неравенств
ll/*I<ll/I + i/n-/l'. I/ll^l/»« + I/n-/i
вытекает, что
Ill/JI-ll/il^ll/WI,
откуда следует теорема.
158
Следствие. Нормы членов сходящейся последовательности {/„}
ограничены.
Определение 2. Последовательность {/„} точек пространства L3
называется сходящейся в себе, если всякому е>0 отвечает такое
N, что как только n>N и т>N', так сейчас же |/я — /т]<е.
Теорема 4. Если последовательность {/„} имеет предел, то
она сходится в себе.
Доказательство. Пусть lim/„ = /. Взяв произвольное
п—*¦ со
е>-0, найдем такое N, что при я>Л/ будет
1/»-/11<2--
Если теперь п>N и т>N, то
||/«-/m||^||/n-f|| + ll/-/»ll<«.
что и доказывает теорему.
Гораздо более глубокой является обратная
Теорема 5 (Э. Фишер). Если последовательность {/„}
сходится в себе, то она имеет предел.
со
k = 1
Доказательство. Возьмем сходящийся ряд У, ~~k и для
каждого k подберем такое nk, что при n^nk и m~>-nk будет
.j_
¦2fe"
Не ограничивая общности, можно считать, что пх < п2 < п3 <...
так что ||/пА+1-/яА||<2-А> и, стало быть,
I;ii/b*+1-/bji<+oo.
В силу неравенства C) § 1
ь
\ I /»*+i - /»* ! <** ^ /Ь - а I, /я,+1 - /я, II,
а
так что ряд
оз Ь
k=\ a
также сходится. Отсюда, в силу теоремы И, § 1, гл. VI сходится
со
почти везде ряд | ftli (х)\+ ? \fnk+1 (*) -/„ft (x) \, и тем более почти
везде сходится ряд
А = 1
159
Но сходимость этого последнего ряда, очевидно, равносильна
существованию конечного предела lim/„ (х).
il-->co
Введем функцию /(*), равную этому пределу, всюду, где он
существует и конечен, и равную нулю в тех точках, где этот
предел не существует или бесконечен. Функция f(x), очевидно,
измерима, и /nft(*)->-/(*) почти везде на [а, Ь].
Нашей задачей является установить, что эта функция есть
элемент пространства Гильберта и что она и является пределом
последовательности элементов {/„}.
С этой целью, взяв произвольное в > 0, найдем такое N, что
при n>N и m>N будет ||/а — fm|<e.
Если k0 таково, что nka>N, то при любом п>N и любом
ь
k>k0 будет $(/rt-/n/dx<e2.
а
Отсюда, применяя теорему Фату к последовательности функций
ь
{(fn-fnkJ\ (*>*o). находим, что1) \ (/„- ff dx<е2, т. е. при
а
любом п> N будет ||/я —/||^е. Теорема доказана.
Свойство пространства Гильберта L2, установленное в этой
теореме, называют полнотой этого пространства. Читатель конечно
заметил, что теоремы 4 и 5 являются аналогом известного признака
сходимости Больцано —Коши. Признак Больцано — Коши есть
одна из многочисленных форм свойства непрерывности числовой
прямой Z. Это свойство можно выразить любым из следующих
предложений:
A. Если точки прямой Z разбиты на два класса X и У так,
что каждая точка класса X расположена левее каждой точки
класса Y, то либо в классе X есть самая правая точка, либо
в классе У есть самая левая точка.
B. Ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю
границу. '
C. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху переменная
имеет конечный предел.
D. Если [dn\ есть последовательность вложенных друг в друга
сегментов, длины которых стремятся к нулю, то существует точка,
входящая во все сегменты dn.
E. Признак Больцано —Коши: последовательность {*„},
сходящаяся в себе, имеет конечный предел.
Достаточно удалить из прямой Z одну точку, чтобы все
указанные теоремы стали неверны.
Из теорем А, В, С, D, Е только последняя, Е, сформулирована
без помощи понятия о порядке точек на прямой. Естественно
поэтому, что именно она и переносится в качестве характеристики
!) Из этого соотношения следует, что /„ (*) — / (*) = L2, а значит и то,
что f (x) <= L2.
160
свойства непрерывности пространства на случай пространств более
сложного типа, чем числовая прямая.
Определение 3. Множество А, содержащееся в L2, называется
всюду плотным в L2, если любая точка *) Lt есть предел
последовательности точек, принадлежащих А.
На теоретико-функциональном языке это определение звучит
так: класс функций А а Ь.г всюду плотен в L2, если всякая
функция, входящая в L2, есть предел (в смысле сходимости в
среднем) последовательности функций, выделенных из А.
Легко видеть, что для того, чтобы множество А = \g\ было
всюду плотным в Lo, необходимо и достаточно, чтобы для любой
точки /eL2 и любого е>,0 можно было найти такую точку
ge=4, что |',/-g|'<e.
Теорема 6. Каждый из классов функций:
М—класс измеримых ограниченных функций,
С —класс непрерывных функций,
Р — класс многочленов,
S — класс ступенчатых функций
всюду плотен в L2. Если основной сегмент [а, Ь] есть [— л, л],
то всюду плотен и класс
Т — класс тригонометрических многочленов.
Доказательство. 1) Пусть / (х) е L2. Взяв произвольное
е > 0, найдем (пользуясь свойством абсолютной непрерывности
интеграла) такое б>0, что соотношения е с [a, b], me<6 влекут
соотношение ^ f2 (x) dx <Z г2.
е
В силу теоремы 1, § 4, гл. IV для этого б>0 можно найти
такую измеримую ограниченную функцию g (х), что тЕ (f Ф g) < б,
причем можно считать, что^(л:) = 0 в точках множества E(f^g).
Тогда
\\f-g? = \(f-gfdx= \ {f-gfdx= \ Pdx<z2,
a C(fzpg) E{fz±g)
т. е.
||/-?«<е.
Этим теорема доказана для класса М.
2) Пусть f(x) sL2 и е > 0. Найдем такую функцию g (х) е М,
что ||/ — g']<e/2. Пусть I g (x) \ ==с К. В силу теоремы Лузина
существует такая непрерывная функция <р(х), что
тЯ(?=^ф)<щ5. \Ц>(х)\^К.
Для этой функции будет
ь
|?-ф|2 = )|(?-фJ^= ^ (S-^Jdx^4K2-mE(g^(p)< J,
*) Т. е. элемент L2.
161
откуда
li § - ф ii < 2 - "• стало быть- !1 / - ф I <е-
Этим теорема доказана для класса С.
3) Пусть / (х) е L2 и е > 0. Найдем такую ф (х) е С, что
1,/-ср|!<е/2.
Далее, по теореме Вейерштрасса подберем такой многочлен Р(х),
что для всех х <= [а, Ь] будет
Ф(х)-Р(*) < е
2| Ь — а
Тогда
|iФ — ^i,2 = ^ (ф-ЯJ^<т^-(Ь-й)= J,
откуда
|ф — Я||< 2~ и> стало быть, I/ —Р||<е.
Итак, теорема доказана для класса Р.
4) Пусть /WeL2 и е>0. Найдем такую ф(#)еС, что
|/-ф|<е/2.
Так как ф (х) непрерывна на [а, Ь], то [а, Ь] можно разбить
точками сп = а < сх <с3 <... < сп = b на такие части, в каждой
из которых колебание ц>(х) меньше, чем —-—. Сделав это,
2 У Ь -а
введем ступенчатую функцию s(x), полагая:
s (л-) = ф (ск) (ск ^ х < с,, !, k = 0, 1, ..., л - 2)
sW-ф (с„л) (сл_! -л? л- -с 6).
Тогда всюду на [а, Ь] будет s (л-) — ф (х) < —-— и потому
2 | Ь — п
113-ф|<2' 0ТКУДа ll/-sll<e.
и теорема доказана для класса S.
5) Пусть, наконец, [а, Ь]-= [—л, л] и f{x)^.Ll.
Взяв произвольное е>0, мы, как и выше, найдем такую
непрерывную на [—л, л] функцию ц>(х), что ||/ — ф||<е/2.
Пусть | ф (х) I =?? К-
Построим на сегменте [—л, л] непрерывную функцию ty(x),
полагая
¦ф(х) = ф(дг) при *<=[—я + 6, л], ij3(—л)=ф(я)
и считая функцию t|i (х) линейной на сегменте [— л, — л + 6],
при этом 6>0 мы выбираем под условием &<(Щ72-
Функция ty(x), так же как и ф(х), непрерывна на [—л, л],
но, что сейчас для нас главное, она периодична, т. е. ^(—л) =т|з(л).
162
При этом, очевидно, I i|}(x)| ^SK, так что
-я + 6
—я —я
откуда I1/ — г|з|<Зе/4.
В силу теоремы Вейерштрасса (периодичность ^(я)!), существует
такой тригонометрический многочлен Т(х), что при всех хё[—л, л]
л
Тогда ;|г|з - Т \? = ^ (ф - Tf dx < ~ , и, следовательно,
— я
\f — T\<ie, что и завершает доказательство теоремы.
Во многих вопросах важную роль играет понятие слабой
сходимости последовательности функций.
Определение 4. Последовательность функций Д (х), (ч(х), ...,
входящих в Lu называется слабо сходящейся к функции f(x) <= L2,
если равенство
ь ь
Hm \g(x)fn(x)dx = \g(x)f{x)dx
имеет место при всякой функции g(x)e.L2.
Мы не будем подробно изучать этот новый вид сходимости,
а ограничимся только одной теоремой.
Теорема 7. Если последовательность функций {fn (x)\
сходится в среднем к функции f{x), то она сходится к ней и слабо.
Доказательство. Пусть g (x) e L2- Тогда неравенство
Буняковского дает, что
{$ g (х) [fn (x) - f (x)] Ja-J2 ,? [] g* (x) dx^ ¦ p [fn (x) - f (x)Y dx],
откуда
\gfndx-\s;dx ^\\g\\-lfn-n\->o,
a a
что и требовалось доказать.
§ 3. Ортогональные системы
Определение 1. Две функции f (х) и g(x), заданные на сегмент
[а, Ь], называются взаимно ортогональными, если
]f(x)g(x)dx = 0.
а
163
Определение 2. Функция f(x), заданная на [а, 6], называется
нормированной, если
а
Определение 3. Система функций ых (х), со2 (х), ьц (х), .. ,
заданных на ceiменте [а, 6], называется ортонормальной системой,
если каждая функция системы нормирована, а любые две функции
системы взаимно ортогональны.
Иначе говоря, система функций {а>к (х)\ ортонормальна, если
Ясно, что всякая ортонормальная система содержится в L2.
Классическим примером ортонормальной системы является
тригонометрическая система
1 cos х sin х cos 1х sin 2х
К 2л' Vn' |/я' Vn ' \> n
A)
рассматриваемая на сегменте [— л, -f л].
Пусть какая-нибудь функция f(x)^L> есть линейный агрегат
функций ортонормальной системы / (х) = qcoj (*) + ... + спыл (х).
Умножая это равенство на a>h(x) (k=\, ..., п) и интегрируя
ь
его, находим ck = jj / (х) ak (x) dx, т. е. коэффициенты съ .... сп
а
определяются совершенно однозначно. В частности, если
и
Т(х) = А+ 2 (ak cos kx-l bk sin kx),
k = i
TO
n n л
—я —я —л
Для тригонометрической системы эти формулы были найдены
Фурье, почему естественно дать и следующее общее определение:
Определение 4. Пусть {сод, (х)} есть ортонормальная система и
f (х) некоторая функция из L2, Числа
ь
Ck = \\(х) (ok (x) dx
а
называются коэффициентами Фурье функции f(x) в системе {сок(х)}.
Ряд
ОЭ
у; cfecofe (x)
называется рядом Фурье функции f(x) в системе {oja(a-)}.
164
Рассмотрим, насколько близка в пространстве Гильберта
частная сумма ряда Фурье функции /(*)
п
'=2
k=1
Sn (Х) = У, Ск^Ь (X)
к самой этой функции, т. е. вычислим |l/ — Sfl\\.
Для этого вычислим сначала интегралы
ь ь
\f(x)Sn(x)dx и \S-n(x)dx.
а а
Для первого из них имеем
b n b n
\f(x)S*{x)dx= ^ск\1{х)ак(х)йх= ?ci.
а *=1 a k=l
Точно так же
Ь Ь п
$ Sn (x) dx = % ctck \ и, (х) щ (х) dx = 2 с%. B)
a I, k a k = l
Заметив это, получаем
||/- 5Л ,2=5 (Г - 2fSn + SA)^ = IP dx - 2 с\,
a a k~ I
ИЛИ
\f-Snt=Vf- 2<%- О)
Равенство C) называется тождеством Бесселя. Так как его
левая часть не отрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
•Iff-
к = \
Поскольку п здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно
представить в усиленной форме
fjtf^ll/IP. D)
Если, в частности, окажется, что
I>i=iim E)
то это равенство носит название формулы замкнутости. 1) Оно
имеет очень простой смысл. Именно, тождество Бесселя C)
>) Или равенства Парсеваля.
165
позволяет записать формулу замкнутости в равносильной форме
lim ||/ —S«|| = 0.
п—*оо
Иначе говоря, формула замкнутости означает, что частные
суммы Sn{x) ряда Ф^рье функции f(x) сходятся (в смысле
метрики, установленной в Lz, или, проще, в среднем) к этой
функции.
Определение 5. Ортонормальная система {ак {х)\ называется
замкнутой, если формула замкнутости имеет место для любой
функции из L2.
Теорема I. Если система {oik (х)\ замкнута, то для любой
пары функций f(x) и g(x) из L2 будет
\f(x)g(x)dx = f>*ft»,
а * = 1
где
ь ь
a>, = \f (х) Щ (х) dx, bk = \g (х) соА (х) dx.
а а
Доказательство. Для суммы f{x)-\-g(x) коэффициентами
Фурье служат числа ak + bk. Поэтому \f + gf= ^ (а*+ &*)*•
откуда
Ъ Ь Ъ со со оо
\f*dx + 2\fgdx + \g*dx= %а% + 2 ^akbk+J^ Ы,
a a a k = l k=\ k^\
а это равносильно теореме.
Доказанная формула называется обобщенной формулой
замкнутости.
Следствие. Если система {(ok(x)\ замкнута и f(i)Gls, пю
ряд Фурье f(x) в системе {со„(х)} можно почленно интегрировать
по любому измеримому множеству Е с. [а, Ь], т. е.
\f(x)dx= %ck\a>k(x)dx.
Е А = | ?
Действительно, если в качестве g(x) выбрать
характеристическую функцию множества Е, то g(x), очевидно, окажется
суммируемой с квадратом, и дело сведется к обобщенной формуле
замкнутости.
Интересно отметить, что сам ряд Фурье ^сксчк(х) вовсе не
обязан сходиться к функции f{x).
Теорема 2 (В. А. Стеклов — К. Северини). Пусть А есть
класс функций, всюду плотный в L2. Если формула замкнутости
имеет место для любой функции класса А, пю система {со* (х)\
замкнута.
166
Доказательство. Пусть f(x) есть функция класса L2.
/г
Составим частные суммы ее ряда Фурье ? c*cofr (х) и, желая под-
* = i
черкнуть их зависимость от функции / (х), обозначим их через Sn (/).
Тогда легко проверить, что
1) SAkf) = kSn(f),
2) Sa(fl + h) = Sn(f1) + Sa(fi),
3) [5Л/Ж1/1!.
Первые два свойства тривиальны. Что касается третьего, то
оно следует из B) и неравенства Бесселя ||Sn|j2= 2 с* =s;|!/|2.
Заметив это, выберем какую-нибудь функцию f (x) e L2 и
возьмем е > 0. Так как класс А всюду плотен в L2, то найдется
такая функция g(x)^A, что |/ —gi|<e/3.
Но тогда
li/-sB(/);i<||/-fi[l|+||ff-sn(g)t+l-sB(g)-sn(/)||.
Далее
!5n(g)-5n(/)!| = ||5n(g-/)||<||g-f«<|,
и, стало быть,
\\f-Sn(fn<le + \\g-Sn(g)l
Так как для g(x) формула замкнутости справедлива, то для
п>пп будет ]| g — Sn (g)]<e/3, и, следовательно, для этих п
окажется |/ —S,, (/)!<?, что и доказывает теорему.
Следствие 1. Если формула замкнутости имеет место для
каждой функции 1, х, х2, хя, ..., то система {ак(х)} замкнута.
Действительно, рассмотрим произвольный многочлен
Р(х) = А„ + А1х + ... + А„хт.
Тогда
Sn (Р) = АЛ, (О + A,Sa (х) + ... +AmSn (xm)
и, стало быть, Р - S,, (Р) ] < У] М*' • || л:* - 5„ (д-*) ||.
* о
Правая часть этого равенства стремится к 0 вместе с 1/я,
значит формула замкнутости справедлива для всякого многочлена,
а класс многочленов Р всюду плотен в L2.
Однако, существуют ли замкнутые системы? Ответ дает другое
следствие теоремы Стеклова.
Следствие 2. Тригонометрическая система A) замкнута.1)
х) Предполагается, что — л^хг?я.
167
В самом деле, достаточно проверить, что формула замкнутости
справедлива для любого тригонометрического многочлена
п.
Т(х) = А+ J] (akcobkx + bksinkx),
к= 1
но это тривиально1) ибо Т (х) есть линейный агрегат функций
системы A).
Теорема 3 (Ф. Рисе — Э. Фишер). Пусть на сегменте [а, Ь]
задана ортонормальная система {щ(х)}. Если числа си с2, с3, ...
таковы, что
со
то существует функция f (x) e L2 такая, что:
1) числа ck суть ее коэффициенты Фурье;
2) для нее справедлива формула замкнутости.
п
Доказательство. Положим Sn(x)= ? сk<iik(x) н покажем,
k = \
что последовательность Sb S2,.. .сходится в себе. С этой целью
положим т>п и вычислим |Sm — Sn\\:
Ь г- m i2 Ь т
Sm-Sn\? = \\ Yi Cb<»k(x)\dx='?clck\al(x)cok(x)dx= J] c%.
aL* = n + I J i,k a * = ra + l
Если е>0, то существует такое N, что при m>n>Сбудет
m
^] cl < e2 или, что то же самое, [| Sm — Sn \\ < е, а это и значит,
* =¦ н -, 1
что последовательность {S,,} сходится в себе.
Но тогда, в силу полноты пространства L2, существует такая
функция f(x)<=L2, что j]Sn —/| —0.
Это искомая функция. Действительно, в силу теоремы 7, § 2,
последовательность {Sn(x)} слабо сходится к f(x), т. е. для любой
ь ь
g{x) e L2 будет lim J Sn (x) g (x) dx = \ f (x) g (x) dx.
га^оо a a
В частности, полагая g(x) = Mi(x), получим
ь ь
\ f (x) со, (х) dx = lim [ Sn (х) <л, (х) dx.
х) Если f (x)=2 cAwft Mi т0! умножая это равенство на f (x) и интегри-
4 = 1
ь и
руя, мы сразу получаем формулу замкнутости \'/2 М dx = ^ СЬ
а А = 1
168
Но, если п> i, то
b b r n -1
5 Sn (х) со, (х) dx = jj ^] cftcoft (*) со, (х) dx = с„
а а L* = 1 J
откуда
ь
\ f {х) со, (х) dx = d
а
и функция f(x) удовлетворяет первому требованию.
Но в таком случае Sn (x) есть частная сумма ряда Фурье
функции f(x) и соотношение || S,, —/||— 0, послужившее для самого
определения функции f(x), показывает, что формула замкнутости
для f(x) справедлива. Теорема доказана.
Замечание. Существует только одна функция,
удовлетворяющая обоим условиям теоремы Рисса —Фишера.
В самом деле, допустим, что таких функций две: f(x) и g(x).
В силу первого условия они имеют общий ряд Фурье, а тогда
второе условие показывает, что Sn —• /, 5Я —¦ g, откуда f = g.
Интересно выяснить, сохранит ли силу это замечание, если
откинуть второе условие теоремы. Для ответа на этот вопрос нам
понадобится следующее определение:
Определение 6. Система функций {ф*(х)}, заданных на
сегменте [а, Ь] и принадлежащих L2, называется полной, если в L3
не существует отличной от нуля:) функции, ортогональной ко
всем функциям ср/, (х).
Отметим, что в этом определении не ставится требования,
чтобы система {ср* (х)\ была ортонормальной.
Легко видеть, что для того, чтобы функция, удовлетворяющая
первому условию теоремы Рисса — Фишера, была единственной,
необходимо и достаточно, чтобы исходная ортонормальная система
|coft(x)} была полной.
В самом деле, если эта система полна и две функции f{x) и
g(x) имеют в ней одинаковые коэффициенты Фурье
ь ь
\f{x)iull{x)dx = \g{x)iuk{x)dx (?=1, 2, 3, ...),
а а
то разность их, будучи ортогональной ко всем функциям системы,
должна быть тождественной нулю, откуда f(x) = g(x).
Обратно, если система не полна и h(x) есть функция, не
тождественная нулю и ортогональная ко всем функциям системы, то
достаточно прибавить ее к какой-нибудь функции f{x),
удовлетворяющей первому условию, чтобы получить отличную от f(x)
функцию, также удовлетворяющую этому условию.
1) Напомним, что функцию, эквивалентную нулю, мы считаем
тождественной нулю.
169
Для случая ортонормальных систем понятия замкнутости и
полноты совпадают.
Теорема 4. Для того чтобы ортонормальная система {ык (х)\
была полна, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнута.
Доказательство. Пусть система {tofe (jc)J- замкнута. Если
какая-нибудь функция /(i)sl2 ортогональна ко всем функциям
системы, то все ее коэффициенты Фурье суть нули.
СП
Тогда формула замкнутости дает |/||2= ^ci = 0, и функция
f(x) тождественна нулю, т. е. система полна.
Обратно, пусть система {cofe (x)\ полна. Допустим, что для
какой-нибудь функции g(x)^.Li формула замкнутости не выгюл-
со b
няется. Тогда необходимо ^ C/i<l|g'|2, где ck = ^ g (x)<ak (x) dx суть
k = \ a
коэффициенты Фурье функции g(x). На основании теоремы
Рисса — Фишера найдется такая функция f(x), что
Ь со
\!(х)щ(х)Aх = ск, Iff =?4.
a k = \
Но в таком случае разность f(x) — g(x) ортогональна всем
функциям системы и (система полна!) f(x) = g(x), что
противоречит условию |/|!<ng|i.
Теорема доказана.
Следствие. Если — яг=:л'< л, то тригонометрическая система
A) полна.
В заключение остановимся еще на одном вопросе, связанном с теорией
ортонормапьных систем.
П)cib {со/, (*)} есть орюнормальная система сегмента [а, Ь] и ряд
? *k F)
k- I
сходится, Тогда, по геореме Рисса — Фишера, ряд
со
Ц с^и W G)
А- I
рсть ряд Фурье некоторой функции / (х) е Z.2, и его частные суммы
п
sa W = 2 ?цщ W
k— I
сходятся в среднем к f (х). Поэтому из них можно составить такую
частичную последовательность {Sn;(*)f, которая сходит:я (к функции \ {х)\ почта
везде на [а, Ь]. Оказывается, что выбор индексов п, можно произвести, не
зная системы {(^^(х)}, а использ\я только ряд F). В настоящее время имеется
цепып ряд исследований, посвященных лой проблеме. Мы приведем лишь самые
простые из относящихся сюда результатов,
170
Теорема 5 (С. Канмаш). Пусть
со
Если чист пх<п%<-.. таковы, что
|>я/< + оо, (К)
1 = 1
то последовательность ISni (дг)| сходится почти везде.
Доказательство. Тождество Бесселя дает, что
ii-VjWiphi/ip-"!; с%=Гя
(мы считаем f (х) как раз той функцией, которая удовлетворяет обоим
условиям теоремы Рисса — Фишера). Поэтому из условия (К) вытекает, что
оо b
2 S (^И(-1~fJ d* < + °° и, в силу следствия теоремы 11, § 1, гл. VI, почти
1= 1 а
везде на [а, Ь] будет Sn/ _г (х) — f (x).
из Ь са
С другой стороны, ^ { \ctfsik (д;)]2 dx = ^ с|< + °° и. в СИЛУ тои же
k = \a k =-1
теоремы 11, § 1, гл. VI, почти везде на [а, Ь\
сп;ш„; (х) — 0, откуда S,,. (л) —/(г).
что и требовалось доказать.
Теорема 6 (Г. Радемахер). Пусть ф F) положительная, возрастающая
функция, стремящаяся к -\-оз вместе с k и такая, что
? if (*) <*< + ». (8)
А=1
?сли ч /см «! < па < п3 < ... таковы, что
yj?(ti)^i, (R)
то последовательность ISn; (x)J сходится почти везде.
Доказательство. Мы покажем, чго числа п,-, удовлетворяющие
условию (R), удовлетворяют также условию (К), откуда и будет следовать
теорема. С этой целью заметим, что условие (8) может быть записано так:
оо п.+1- '
I] U Ф(*И<+оо, (9)
1 = 1 А = я(.
откуда, в силу (R), и подавно
171
< = 1 *=/j(.
Это означает, что двойной ряд
А=яа * = л, (¦ A1)
Л4-1
+ 2 <:*+...
сходится, если его суммировать по столбцам. Но тогда он сходится и будучи
суммируем по строкам, что равносильно условию (К), ибо сумма г'-й строки
равна rni. Теорема доказана.
Замечание. Условия (К) и (R) равносильны. Действительно, мы уже видели,
что числа п„ удовлетворяющие условию (R), удовлетворяют условию (К).
Обратно, пусть числа л, удовлетворяют условию (К). Это значит, что
суммируя ряд A1) по строкам, мы приходим к конечной сумме. Суммируя его по
столбцам, мы установим, что выполнено A0). Если положить
1|> (?) = ( (я,«е/г<л,+1; j=l, 2, ..),
то A0) можно записать в форме (9) или (8). Значит, г|> (k) удовлетворяет
условиям теоремы Радемахера, а числа /г, удовлетворяют условию (R).
§ 4. Пространство /2
Точками двумерного эвклидова пространства R2 служат
упорядоченные пары (аи а.,) вещественных чисел.
Если каждой точке М (аъ а2) соотнести ее радиус-вектор х,
то координаты ах и а2 точки М будут служить проекциями
вектора х на оси координат. Поэтому пару чисел (аи а2) можно
рассматривать не только как точку М, но и как вектор х. Такая
трактовка более содержательна. Именно, имея два вектора х —
= («!, а2) и у = (Ьъ 62), можно образовать их сумму
x + y = (a1-{-b1, a2 + b2),
а также можно умножить вектор х = {аг, а2) на вещественное число k
kx = (kau ?a2),
в то время как для точек подобные операции не вводятся.
Длиной вектора х = {аъ az) является число
(Отметим, кстати, что это не что иное, как теорема Пифагора.)
Напомним далее, что скалярным произведением (х, у) двух
векторов х = (а1, а2) и y = (blt b2) называется произведение их
длин на косинус угла между ними
(X, 0) =|И-И-COS 6,
172
причем оно выражается через проекции векторов по известной
формуле
(х, y) = alb1 + a2bi.
Зная это произведение и длины обоих векторов, легко найти
угол между ними из соотношений
cos 6 = тгЦИг-т, @<б<л).
В частности, условие ортогональности векторов имеет вид
(х, у) = а А + аф2 = 0.
Буквально то же мы можем повторить о трехмерном
пространстве R3:
1) Тройка чисел x = (alt a>, а3), взятых в определенном порядке,
может рассматриваться или как точка пространства, или как
вектор, лежащий в этом пространстве.
2) При второй трактовке можно вектор умножать на число и
складывать два вектора. Длина ||д:|| вектора х = {ах, а2, а3), как
это следует из теоремы Пифагора, есть
\\х\\ = У а1 + а:г + а-3.
3) Имея два вектора, x = (ait a2, аэ) и y = (blt b2t b3), можно
составить их скалярное произведение
(х, у) = \\х\\-\\у\\- cos 6 = аА + а А + ajK.
4) Зная скалярное произведение (л:, у) и длины векторов, можно
найти угол 6 между ними
5) Наконец, условие ортогональности векторов имеет вид
(х, у) = а А + аф2 + a3b3 = 0.
Обобщая эти соотношения, можно ввести понятие п-мерного
эвклидова пространства Rn, точками и векторами которого служат
n-членные упорядоченные комплексы х = (alt аъ ..., ап)
вещественных чисел.
Здесь мы, по определению, длиной вектора х = (ах ап)
будем называть число
\x\ = V а\+ ¦¦¦ +ah.
Заметим, далее, что скалярное произведение теперь уже не
может быть определено через угол, а за самое его определение
нужно принять равенство
п
(х, у) = 2 akbk.
173
Напротив, yroi 6 может быть определен через скатярное
произведение с помощью соотношений
соье = ,.{х;у)„ (О-^е^я),
\\*\\ 10 II
но для того, чтобы это определение было законным, н^жно
доказать, что
\(х, у)\^\\х\\ \\y\\.
Когда это будет доказано (ниже это делается), то естественно
считать векторы х = (аи ..., ап) и y = (bi, ..., Ьп) взаимно
ортогональными, если
п
(х, у) = ^ а„Ьк = 0.
* = i
Продолжая этот процесс обобщения, мы естественно приходим
к понятию «бесконечномерного» пространства Roc, которое
обозначается также и через 1г. При этом мы ограничимся «векторной»
трактовкой вопроса.
Определение. Бесконечная последовательность вещественных
чисел
x = (alt a%, а3, ...)
называется вектором пространства 1Ъ если
Hi/ 2*
Г А=1
Число |дг<1 называется длиной или нормой вектора х.
Легко видеть, что если х е /2, то при любом k вектор
kx = {kalt ka2, kas, ...)
также входит в /2, причем
]kx\ = \k\ И
и, в частности, || —л:|| = |дг||.
Точно также, если наряду с х в /, входит вектор
y = (blt b2, b3, ...)
то вектор-сумма
x + y = (a1 + b1, йг + 62. а3+Ь„ ...)
тоже входит в /,, ибо (ak + bk)'^2(ak-\-bk).
Далее из неравенства \akbk ^ai-^-bi следует, что ряд
(х, У)= .2 аФк
А=1
174
сходится абсолютно. Сумма его называется скалярным
произведением векторов х и у.
Между пространствами I, и L1 существует тесная связь Возьмем
как}ю нибудь полную ортонормальн^ю систему {(ак(х)} и каждой
функции /(jf)eL, соотнесем последовательность х = (си с2, с3, •••)
ее коэффициентов Фурье.
ь
ck = \f{x)ah(x)dx.1)
а
В силу формулы замкнутости
= ||/||<0О,
последовательность д: есть вектор /2.
Легко проверить, что соответствие, установленное между L2
и 12, взаимно однозначно. Действительно, разным элементам L2
(в силу полноты системы {<ofc (х) \) отвечают разные же векторы 12,
а в силу теоремы Рисса — Фишера, каждый вектор из /2 есть
набор коэффициентов Фурье некоторой функции из L,.
Но это соответствие обладает и другими свойствами, кроме
взаимной однозначности. Именно, если x~f, y^g, то
x + y^f + g, kx^kf.
Иначе говоря, ни одно линейное соотношение
^fi-f-.-- +?„/„ = 0
между элементами L2 не нарушится, если мы заменим элементы
fu ..., fn соответствующими им элементами11г [при этом через 0
в 1г обозначается вектор @, 0, 0, ...)]. Если это сопоставить
с тем, что (как уже отмечалось) [|ж| = ||/||, то станет ясна полная
геометрическая тождественность пространств L2 и /2. В связи
с этим и /2 называется пространством Гильберта.
Пусть х = (аи а2, а3, .. ), у={Ьъ b2, ba, ...) суть два вектора
из /,, а / и g соответствующие им элементы пространства L2.
Обобщенная формула замкнутости дает, чго
Ь со
\f(x)g(x)dx= У] akbk = (x, у).
а А = 1
В связи с этим естественно интеграл
ь
\\(x)g{x)dx
!) Мы надеемся, что чшагеля не смутит то обстоятельство, что буквой х
мы обозначаем и аргумент функций / (х), wk(x), .. и векторы пространства/2.
175
назвать скалярным произведением элементовх) / и g и обозначать
его через (/, g), так что (/, g) = (x, у).
Неравенство Буняковского принимает теперь следующий вид:
\(f, s)l<llfll Ш-
Отсюда следует возможность определить угол S между
элементами fug пространства L2:
С05В=шш <°~-в^>-
В частности, данное выше определение взаимной
ортогональности функций f (х) и g(x) (У, g) = 0 оказывается равносильным
условию, что угол между ними, как элементами L2, равен л/2.
Далее, если <а(х) есть нормированная функция ||со||=1, то ее
можно рассматривать как единичный вектор (орт) пространства L2
(или /2, что, как мы видели, безразлично). В таком случае можно
определить проекцию вектора / на направление со обычным
способом
npu)/=||/i|-cose,
где 6 угол между векторами / и со. Иначе говоря,
ь
UpJ=]f(x)m(x)dx.
а
Таким образом, коэффициенты Фурье функции f{x) в ортонор-
мальной системе2) {cot, (х)} суть проекции вектора / на
направления, характеризуемые функциями системы.
Если мы имеем я-мерное эвклидово пространство, то длиной
вектора х = (а1, а2> ..., ап) называется число
\х\ =
Это есть обобщение теоремы Пифагора, ибо числа ак суть
проекции вектора х на координатные оси. Рассмотрим т(т~сп) этих
проекций. Чтобы узнать, все ли п проекций на оси приняты
во внимание, можно просто сравнить числа т и п, а можно
вместо этого посмотреть, будет ли при всяком векторе х верно
равенство
т
k=1
1) Элементы пространства L2 мы теперь будем называть п векторами этого
пространства.
2) Это не обязательно та система, с помощью которой устанавливалось
соответствие между /_2 и 1г.
176
(ибо если т<л, то обязательно найдутся векторы, для которых
т
2 ак <']*!). Можно, наконец, выяснить, существуют ли напра-
вления, ортогональные ко всем принятым во внимание т осям.
Для бесконечномерного пространства L2 всякая ортонормальная
система {шк (х)} есть система ортогональных координатных осей.
Желая выяснить, все ли возможные направления приняты во
внимание при составлении этой системы, мы лишены возможности
действовать прямым счетом. Обобщая другие два способа,
указанные для л-мерного пространства, мы естественно приходим к
определениям замкнутой и полной ортонормальной системы. В
частности, становится совершенно ясной причина равносильности этих
определений.
До сих пор связь пространств /, и L2 использовалась нами
для установления некоторых новых точек зрения на L2 (что
также, конечно, очень важно). Покажем, что эта связь полезна
и для установления новых фактов.
Прежде всего, неравенство I (*, у) I -S-|*|| -\\y\\, равносильное
неравенству Буняковского , (/, g) \ ^ff\\-fgl, означает, что
'со \2 ' оо \ / оо ^
Ц akbk\ < 2 а*)' 2 **'. (О
4=1 / \k=\ I k=\
а неравенство |1 х -\- у |-с || х\ + || у \ может быть представлено в форме
/со Г~ со А со
2 {ak + bhf~^y Ц^ + 1/ И ^- B)
Неравенства A) и B) имеют чисто алгебраический характер.
Далее, из полноты пространства L2 следует автоматически полнота
пространства /2 (т. е. сходимость последовательности хи х,, ...,
у которой I, хп — х,п | стремится к н^лю с возрастанием п и т).
Так как всякое л-мерное пространство R,, есть замкнутое
подмножество пространства /2, то все сказанное (неравенства A) и
B), полпота) применимо и к случаю этого пространства.
Рассмотрим в заключение еще один вопрос, где весьма полезной окажется
связь между lo Id 'з-
Фиксируем какой-либо элемент g e L, и соотнесем каждому / е L2 число
Ф (/)-(/, g). C)
Этим чадана в L2 некоторая функция, значениями когорои являются
вещественные числа. Она обладает очевидными свопствами
1) Ф(/Н-/з)-=Ф(М + Ф(Ь).
2) 1Ф(/) -^/C-ll/l (A'-llffll)-
Всякая функция Ф(/), аргумент котороГ! / есть элемент Ц, а знэчрния
которой суть вещественные числа и которая обл^аег свойствами 1) и 2), —
называется линейным функционалом в пространстве L2 Оказывается, что
никаких других линенных функционалов, кроме C), в пространстве 12 нет-
177
Теорема (М. Фреше). Есш Ф{[) есть линейный фунициона! в
пространстве Z.2 то существует один (и только один) элемент g e L,, mahou,
что при всяком / е Z.2 будет
Ф (/) - (f. g)
Доказательство Допустим, что \ нас с помощью какой либо орто
нормальной системы осуществлено взаимно однозначное соответствие между L2
и lit которое не нарушает линейных соотношений в этих пространствах и
сохраняет норму элемента Исли мы будем считать, что значению Ф (/) функ
ционала Ф cooihcccho тому элементу х просграшгва /,, который отвечает
в указанном соответствии элементу f e L3, го в конечном счете наш
функционал будет задан в /2 и обладать свойствами
Ф{х1 + х2)^Ф(х,)+Ф(х2), Ф(х) -К \\x\\
Установим существование таього элемента у е /2, что при всех х е /2 б>дет
Ф (*)-=(*, У). D)
С этой целью мы \беди\гя сначала, что функционал Ф однороден, т е.
что при любом веш.еа венном а будет
Ф (ах) - аФ (х) (о)
Соотношение (Ч), очевидно, выполняется, есш а есть натуральное число
Отсюда легко усмотреть, что оно выполняется и в том случае, когда а имеет
вид 1 га, где т натуральное число, а стаю быть, и при всяком положительном
рациональном а Дале», гбозначая через 0 век юр @, 0, ), мы будем иметь,
что Ф @) = Ф @-[-0) = 2Ф @), откуда ясно, что Ф@)=0 и E) имеет место
при а —0 Наконец из того, что 0 — Ф @) — Ф [* + (— х)]--Ф (*) + Ф (—х)
следует, что Ф(—х) = — Ф(х) и, стало быть, E) верно для всякого рацио
нального а Остается рассмотреть случаи, кО1да а иррационально В =>гом
са>чае назовем через г какое нибудь рациональное число и покажем, что
равенство
Ф (гх) = /-Ф (х) F)
при г —а в пределе переходит в E) Для правой части F) это очевидно.
С др^1 ой стороны, Ф(гх) — Ф(ах) =1Ф[(г — о) х] -^К г — а \ х\ , так что
и левая часть (Ь) стремится к левой ча ти ("i) Итак, (i) доказано
Введем в рассмотрение векторы ^ = @, 0, 1, 0, ) (единица на
k ом месте) и положим Ф (<,.) —Л)( (fe-= 1, 2, . )
Покажем, что вектор у=(А1, Ait А3, ) входит в /^ Деиствигельно,
п
если уп=(А1, А,_, , Аа, 0, 0, ), го уп= ^ ЛАеА, откуда Ф (уп) =
k = i
л /г
= 2] /'*Ф^л)— 2 ""'* и fItPdBth(-TBO Ф (х) ^f |*!l в применении к уп
дает, что 1/ ^ A'k^K, откуда, ввиду произвольности п, будет |(/1|-5^С.
Покажем теперь, что элемент у п явтяется искомым, г е что при любом
х е <2 имеет место D)
П^еть х — («!, а>, а3, ) есть элемент /,. Положим
*я = (<*!, ait , а„, 0, 0, ).
II
Тогда хп= 2 °*е* и
п п
Ф(хп)=. 2 а*Ф(е*)= S А"ак- G)
ft = l *=1
178
Если п стремится к + -о, то правая часть этого равенства стремится
к (х, у) С др> гои стороны,
|Ф(*)-Ф(*„) -=Ф(х-хп) ^К {х-х„\ = К 1/ 21
V k = п -4-
аь.
I
так что Ф (х„) с возрастанием п стремится к Ф (х) и G) переходит в D)
Назовем через g тот элемент L i, который отвечает bicvkhtj у в
установленном соответствии Пусть f произвольный лемент L, и п\сть х соответ
ств>ющий ему элемент I, Тогда Ф (/) ~=Ф (х) = (х, y) = (f, g)
Остается убедиться в том, что в i2 есть только один элемент g, удовлетво
ряющий при любом / соотношению ф (/) = (/, g)
Но если бы их было два, gv и gi, то при любом \ было бы
(/ ffl-g2)=Cf. gl)~(/. б2)^Ф(/)~Ф(/)=0
Положив здесь f = g1 — g2, мы нашти бы, что
(gi—gi, gi—gi)= Si -вг\2^0,
откуда ^=^2 Теорема доказана полностью
§ 5. Линейно независимые системы
Определение 1. Система функций <р, (х), ц>,(х), ..,ср„(л),
заданных на [а, Ь], называется линейно зависимой, есш можно
указать такую совокупность постоянных Аъ А,, .. , А„, из
которых хоть одна отлична от нуля, что
A1<pl(x) + Ai(pi(x)+ "+Лф/|М~0. A)
Если же такой совокупности постоянных нет, т е если из A)
следует, что Л1 = Л3= • . =Л, = 0, то система {<р*(*)} называется
линейно независимой
Легко видеть, что если хоть одна функция системы {ф*(х)}
эквивалентна нулю, то система линейно зависима, и что всякая
система, являющаяся частью линейно независимой системы, линейно
независима.
Теорема 1. Всякая ортоноршальная система линейно
независима
Действительно, если {tofe (jf)} (k=\, 2, ..,п, a^x^b) есть
п
ортонормальная система и если 2] ^aW^O. т°. >множая
k = i
это равенство на со, (*; и интегрируя, мы найдем, что А, = О
(i=l, 2, ..., /г), откуда и следует теорема.
Теорема 2. Система функций У1, х"-, .,*"', где
показатели пх, п2, ..., п, целые и неравные между собой числа, линейно
независима на любом сегменте.
Эта теорема следует из того, что целый многочлен может иметь
только конечное число корней.
Определение 2. Счетная система функций щ(х), ср2(л), ..
называется линейно независимой, если линейно независима всякая ее
конечная часть.
179
Например, линейно независима всякая счетная ортонормальная
система, или система 1, х, х2, ...
Пусть ф! (х), ..., ф;1 (х) есть система функций из L2, заданных
на сегменте [а, Ь]. Положим, как и выше, для любых двух
функций f(x) и g(x) из L2
V, 8) = {nx)g{x)dx
и составим определитель
А« =
(фь
(ф2,
(фя,
Ф1)(ф1.
Ф1) (ф2.
Ф1)(ф«.
Фа)
Фг)
фВ)
• • • (фи
¦ • • (ф2,
• • • (фП,
фи)
Фя)
Фя)
Определение 3. Определитель Ал называется определителем
Г рама системы функций {ф^ (х)}.
Теорема 3. Для того чтобы система функций
ФхМ. фаОО, •¦-, Ц>п{х)
B)
бьма линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель Г рама равнялся нулю.
Доказательство. Пусть система B) линейно зависима.
Тогда существует система констант Аъ ..., А„, из коих хоть одна
отлична от нуля, такая, что
Л1Ф1 (*) + Л2ф2 (х)+ ...+ i4лф„ (дг) ~ 0.
C)
Умножая это равенство на фх (х), ц>2 (х), ..., ф„ (.г) и каждый
раз интегрируя, получим
А.(ф1. ф1) + ^г(ф1. Фа)+ ..¦ +>4„(ф1, ф„) = 0,
^1(фа. ф1>-т Л2(ф2. Фа)+ . •. + Л„ (ф-2> ф„) = 0,
^1 (ф«. Ti) + ^2 (ф«, ф2) + • • ¦ + ^« (фи, ф,») = 0.
D)
Если бы в равенствах D) числа Alt были неизвестными, то эти
равенства образовывали бы линейную систему уравнений с
определителем Д„. Но при наших значениях чисел Ak однородная
система D) удовлетворяется и, так как не все Ак суть нули, то
Ал = 0,
E)
что и доказывает необходимость этого условия.
Допустим теперь, что А„ = 0. Тогда однородная линейная
система уравнений D) имеет решения, отличные от нуля. Пусть
180
Аъ Аг, ..., Ап эти решения, так что равенства D) суть тождества.
Перепишем эти тождества так:
h
5 ф1 (х) [Л:ф! (х)+ ...+ Апц>п (х)] dx = О,
\ ф« (х) [А!фх (-с) + .. • + Л„ф„ (*)] dx = 0.
Умножая эти равенства на Аъ...,Ап и складывая, найдем, что
ь
\[Ai(fl(x)+...+An(fn(x)fdx^0,
а
откуда и вытекает C), так что система {ц>к (х)} линейно зависима.
Следствие. Если А„ Ф 0, то ни один из определителей Дь Д2,
Д3, ..., Aft_j также не равен нулю.1)
В самом деле, если Д„ Ф 0, то система {ф&(х)} линейно
независима, следовательно, линейно независима и всякая ее часть
ф1? ..., фт (т < /г), а тогда и Am ^ 0.
Лемма. Пусть на сегменте [а, 6] задана система п
функций ф! (х), ср„ (*). Положим
(Ф1. Ф1)(ф1.
Тогда
Доказательство. Для того чтобы умножить i\>n (x) на ф^ (х),
достаточно умножить на фА (х) последний столбец определителя F),
а чтобы найти интеграл от полученного произведения, также нужно
интегрировать лишь его последний столбец. Остальное ясно.
Если мы развернем определитель г|з„ (х) по элементам
последнего столбца, то, очевидно, получим
iM*) = .<41<Pi(x)+ ...+Лл-1фя-1(*) + Ал-1ф,|(*). G)
Значит, если система {ф*(*)} линейно независима, то гр„ (л:) не
эквивалентна нулю (ибо Д^-^О). Умножая равенство G) на
У>п(х), интегрируя и принимая во внимание лемму, находим
ь
\^dx = An-1bnt (8)
(Ф1.
(ф>,
(ф«.
Ф1) (ф1.
Фг) (фг,
9i) (фи.
ф*)=!
Фа)
Фг)
Фг)
0
• •• (Фь Ф»_1)ф1
• •¦ (фг. фи-1)фа
••¦ (фя, фи-1)фп
(k<n),
(k = n).
(х)
(х)
(х)
J) Под Дх разумеется (фх, фх).
181
так что определители А„ и А,,-! (не равные нулю) одного знака.
Но по тем же причинам одного знака и определители А„_г и Д„ 2
и т. д. Значит, А„ имеет тот же знак, что и Ах = (ф1( фх) > 0.
Таким образом, мы установили теорему.
Теорема 4. Определитель Г рама линейно независимой системы
положите /ен
Развитые здесь соображения позволяют легко доказать
следующее предложение.
Теорема 5 (Э. Шмидт). Пусть на сегменте [а, Ь] задана
конечная или счетная линейно независимая система rpt (x),
Ф2(*)> .. Тогда можно построить такую ортонормальную
систему (i>i(x), со2 (х), ... что 1) каждая функция ып(х) есть
линейный агрегат первых п функций системы {цк (х)\ и обратно,
2) всякая функция ср„ (л:) есть линейный агрегат первых п функции-
системы {(Hit (Х)}.
Доказательство. Положим
где i|\, (x) определяются равенством F). Этим построена требуемая
и
система. В самом деле, из G) ясно, что ш„(х)= ^]ak(fk{x), так
к I
что система {шк (х)\ удовлетворяет первому требованию
теоремы.
Из леммы следует, что г|з„(х), а значит и ш„(х), ортогональна
ко всем функциям n>i(x), . ., ф„ г(х). Но тогда шп (х) ортогональна
ко всем линейным агрегатам функций ц>х (л:), ..., ф„ 1 (х) и, в
частности, к функциям аг(х), . , (о„ г(х) Значит, система {<oft(x)}
состоит из попарно ортогональных функций В силу (8), все
функции ып(х) нормированы, и {<йк(х)\ есть ортонормальная система.
Остается убедиться, что
п
Это тривиально для п=\. Пусть это доказано для всех n<z.m.
Тогда, в силу G),
т — 1
к — I
откуда, заменяя в правой части Ц)т(лг) на j/Am г Д,„(о,„ (дг), а
каждую (f;,(х) (/г=1, ..., т—1) на линейный агрегат функций
щ(х), . , (дк{х), мы находим, что (9) верно и для п = т, что
и требовалось доказать.
Замечание. Системы {<рк (х)} и {<oft (x)} одновременно полны или
нет.
182
Это следует из того, что всякая функция h(x), ортогональная
ко всем функциям одной системы, ортогональна и ко всем
функциям друтй.
Пример. Система функции 1, х, х2, х1*, . линейно
независима на сегменте [—1, +1] Применяя к ней процесс ортогона-
лизации, указанный в теореме, мы получим ортонормальную на
сегменте [—1, -f-1] систему многочленов
L0(x), М*). Ц(х), ... A0)
где Ln(x) есть полином степени п.1) Полиномы A0) называются
полиномами Лежандра.
Теорема 6. Система полиномов Лежандра замкнута.
Доказательство. Согласно теореме Шмидта
п
*"=? а*М*). (И)
Но в начале § 3 мы установили, что в подобном случае
коэффициенты ак суть коэффициенты Фурье функции хп в ортонор-
мальной системе \Lh{x)\.
Умножая A1) на хп и интегрируя в пределах [—1, +1], най-
A
дем, что ||хя[2= У] а\, т е. формула замкнутости справедлива
* —о
для каждой из функций хп (« = 0, 1, 2, ...). В силу следствия 1
теоремы Стеклова, наша теорема доказана
Следствие. Система функций 1, х, х2, ... полна.
§ 6. Пространства Lp и 1Р
В этом параграфе мы вкратце изложим одно обобщение
пространства L2.
Определение 1. Измеримая функция f(x) (как и выше, мы
ограничиваемся функциями, заданными на некотором сегменте [а, Ь])
называется суммируемой с р-й степенью, где р >1, если
ь
\ f(x) Pdx< + oo.
а
Множество всех таких функций принято обозначать через Lp (или
через Lf,[a, b]) Очевидно, LX = L
Теорема 1. Функция / (х), суммируемая со степенью р > 1,
суммируема, rn. e. LpczL.
Действительно, если положить Е-=[а, Ь], А = Е{ / < 1),
В = Е — А, то суммируемость функции f(x) на множестве А оче-
1) По теореме степень Ln (x) не выше п. Но она и не ниже п, ибо
183
видна, а ее суммируемость на множестве В вытекает из того, что
на этом множестве \f(x)\~-~\f(x)\l>.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Сумма двух функций, входящих в Lp, также
входит в этот класс.
В самом деле, пусть /(х) и g(x) входят в Lp. Полагая
Е = [а, Ь], A = E(\f\^\g\), В^Е-А,
будем иметь для х е А:
i/w+gw,/>^{i/w|+i5Wi}p<2"igM:p,
откуда
\\f(x) + g(x)Pdx^2P \'g(x)lPdx<+oo.
А А
Так же мы убедимся в конечности интеграла ^\f-\-g\pdx. Отме-
в
тим еще очевидный факт, что вместе с f(x) в Lp входит любая
функция kf (x), где k конечная постоянная.
Пусть р > 1. Число
называется показателем, сопряженным с р. Ввиду того что
-1 + ' = 1
р я
показатель, сопряженный с q, есть р, так что р и q это два вза-
имносопряженных показателя. В частности, если р = 2, то и q = 2,
т. е. показатель 2 самосопряжен (в этом обстоятельстве коренятся
некоторые важные свойства пространства L2, не переносящиеся на
другие Lp).
Теорема 3. Если f (x) <^LP, a g (x) e Lq, где р и q взаимно
сопряжены, то произведение f{x)g(x) суммируемо'и справедливо
неравенство
ь " Г~ъ 1 Г~ь
\f{x)g(x)dx -^1/ \\f{x)^dx-\/ \\g(x)lUtx. A)
a a V a
Доказательство. Пусть 0<<а<;1. Рассмотрим функцию
¦ф (х) = х1- — ах @<д:< + со).
Ее производная г|/ (л) = а [^ х — 1] положительна при 0 <л:< 1
и отрицательна при х> 1. Значит, наибольшее значение функции
-ф(дг) достигается при х—\. Таким образом, -ф (х) ==^= я|;A)= 1 — сх,
откуда следует, что при всех х>0 будет
дс*<адг + A-о). B)
184
Пусть А и В два положительных числа. Если в B)
подставить х = А/В и полученное неравенство умножить на В, то мы
получим
АаВ1 а==саЛ + A -а) б.
Пусть р и q — те два взаимно сопряженных показателя, о
которых говорится в условии теоремы. Если положить а = \/р, 1 — а =
= l/q, то мы увидим, что
л./рВ1/, А + А. C)
р q v '
Это неравенство доказано для Л>0 и В>0, но оно
очевидным образом справедливо и тогда, когда одно (или оба) из этих
чисел обращается в 0.
Установив это, рассмотрим те функции f (х) и g(x), о которых
идет речь в теореме. Если хоть одна из них эквивалентна нулю,
то все утверждения теоремы очевидны. Исключив этот
тривиальный случай, мы можем утверждать, что оба интеграла
\\f(x)\Pdx, \\g(x)\"dx
а а
строго положительны, и потому можно ввести функции
р Гь ' ' v ' 1 ГГ
что
\\\{x)\Pdx 1/ \ g(x)t9dx
а ' "а
Если в C) положить А = \ ф (х) \р, В = I у (х)|?, то мы получим,
|Ф(*Ж*I^^ + ^. D)
откуда следует суммируемость произведения ф (х) у (х), а с ним и
произведения f{x)g(x). Кроме того, замечая, что
ь ь
\\^{.x)\Pdx = \\y{x)fdx=\
а а
и интегрируя D), мы находим
ь
$|<p(*)YW|d*<^+ \=\,
а
откуда следует неравенство
\Пх) g{x)\dx^]/ \\f{x) fdx -\/ \\g(x),Uix,
а а а
даже более сильное, чем A).
185
Неравенство A), называемое неравенством Гёльдера, является
обобщением неравенства Буняковского, в которое оно и переходит
при р = 2.
Теорема 4. Если f (х) е Lp и g (x) е?0(р5=1), то
р Гь р Гь р Гь
У \\f(x) + g(x)pdx^y \j(x)i>dx + y \\g(x)\»dx.
E)
Доказательство. Теорема очевидна при р = 1. Пусть р>¦ 1
и q есть показатель, сопряженный с р.
По теореме 2 сумма f(x) + g(x) входит в Lp, а потому
/ (х) + g (x),"/" входит в Lq.
Заменим в неравенстве Гёльдера / (х) на J(x)\, a g(x) на
f (х) + g (x) \P/Q. Это дает, что
[j(x)\-\f(x) + g(x)\"^dx^
Р Гь 1 ГЬ ~
^]/ \\f(x)*dx-y \j(x) + g(x)Pdx. F)
а 'а
Аналогично
ь
\\g{x)\-\f(x) + g(x)i4idx^
Р Гь 1 Гь
< У \ ё (х),р d.x Л/ \f (х) + g (x) \Pdx. G)
а 'а
Но ведь р — 1 + Р ¦ Значит
\f + g\p = J + gr'f + g '"'^ / ¦i/ + g'p'" + lgl-!/+glp/''.
Отсюда и из F) и G) следует, что
lf + g\"dx^\y ]\f\Pdx + y \\g\Pdxly \\f + gPdx,
1A
а отсюда и вытекает теорема сокращение на I у f + g\pdx< за-
L ^а
конно, если этот интеграл отличен от нуля, но в противном
случае теорема очевидна .
Неравенство E) называется неравенством Минковского. При
р = 2 оно превращается в уже известное нам неравенство
Коши.
186
Теми же рассуждениями устанавливаются н сумматорные
неравенства Гёльдера и Минковского:
*= i
S«A^1/ t V у У, '&*!» fp>i. <7 = г^г), (8)
А=I *= 1
V7
Ц a* + V<l/ i] lfl*" + {/ j] | 6* |" (P^l). (9)
ft=i rfc=i » ft_|
Определение 2. Пусть f (x) ^ Lp. Число
I/Hi/ iW.p^
называется нормой функции /(*) (как элемента Lp).
Очевидны следующие свойства нормы:
I. I /1! ^г 0, причем j / I = 0, тогда и только тогда, когда f (x) ^ 0.
II. ||А/| = ^|-||/|! и, в частности, || — f] = \\fi
т. ii/+gi|4i/n+iig:'-
Введение нормы позволяет и для Ljt установить ту же
геометрическую терминологию, что и выше для L,. Сходимость
последовательности элементов {fn(x)\ из Lp к пределу f (x) e Lp по норме
означает, что
ь
lim \ fn(x)-f(x)Pdx = 0.
Этот вид сходимости называется также сходимостью в среднем
порядка р.
Так же, как и для L2, можно показать, что из сходимости
некоторой последовательности в среднем порядка р вытекает ее
сходимость (к тому же пределу) и по мере. Так же, как и для L2,
устанавливается непрерывность нормы и единственность предела
(если не различать между собой эквивалентных функций). Буквально
так же, как для L2, вводится понятие сходимости в себе и
доказывается, что последовательность элементов Lp имеет предел
тогда и только тогда, когда она сходится в себе (полнота
пространства Lp).
Ввиду отсутствия здесь новых идейных моментов, мы не
останавливаемся на доказательстве всех этих предложений. Точно
так же без доказательства отметим, что каждый из классов М,
С, Р, S и Т (последний при Ь — а = 2л), рассмотренных в
теореме 6, § 2, всюду плотен в Lp.
Понятие слабой сходимости при р>\ вводится так:
последовательность [fn(x)\ с Lp слабо сходится к f(x)^Lp, если
равенство
Пт\ f,l^)g(x)dx = \f(x)g(x)dx A0)
187
имеет место для любой функции g(x) из Lq, где q показатель,
сопряженный с р. При помощи неравенства Гёльдера легко
показать, что последовательность, сходящаяся в среднем, сходится
(к тому же пределу) и слабо.
Если р — 1, то сопряженного показателя не существует. В этом
случае юворят, что последовательность {fn{x)} cL слабо сходится
к f (x) ^ L, если равенство A0) имеет место для всякой
измеримой и ограниченной функции g(x). Ясно, что и здесь сходимость
в среднем (первого порядка) влечет слабую сходимость к тому же
пределу.
Упомянем вкратце еще об одном типе «пространств»,
применяемых в анализе, а именно о пространствах /р, где р:>1. Под
пространством /,, понимают множество всех последовательностей
л =-- (xv л2, х3, ...) вещественных чисел xk, у которых
Р Г оо
1 = 1/ 2
xk\p< + oo.
Число |х| называется нормой элемента хе(р. Так же, как
выше для /2, вводится понятие суммы х-\-у двух элементов 1Р и
произведения kx элемента х^1р на число k.
Норма обладает уже привычными нам свойствами:
I. l-vlls^O, причем |л:|| = 0 тогда и только тогда, когда
х = 0.!)
II. |&х|= \k\ -\х\ и, в частности, [| — х| = |дг|.
HI. \x + \j\^\x\\\i)\.
Первые два из этих свойств очевидны, а третье вытекает
из(9).2)
При помощи понятия нормы вводятся понятия предела
последовательности элементов !р, сходимости в себе, всюду плотного
в 1Р множества и т. п. Можно доказать, что предел
последовательности элементов 1Р единствен, что норма непрерывна, что
пространство 1Р обладает свойством полноты, но мы не будем
останавливаться на этом.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Пусть {/„ (х)\ есть последовательность функций из L2, сходящаяся по
мере к F(x). Если |/пР^К, то последовательность \fn(x)} слабо сходится
к F(x) (Ф. Рисе).
2 Если последовательность {fn(x)} слабо сходится в L2 к Fix) то
||/л|| ^/С (А. Лебег).
3. Из слабой сходимости в Ц последовательности {/„ (х)} к F (х) не
следует сходимости по мере.
4. Если последовательность {fn(x)} слабо сходится в L.2 к F (х) и, кроме
того, \\fn\\-*-\\F\\, то последовательность \fn(x)} сходится к F (х) в среднем
(Ф. Рисе).
!) Это означает, что х = @, 0, 0, ...).
2) В неравенстве (9) мы имеем дело с конечными суммами, но с помощью
предельного перехода это неравенство обобщается и на суммы бесконечных
рядов.
188
b
5. Если интеграл ^f (x) g (х) dx существует при всякой f (х) ei2, то g (x)<=L2
(А. Лебег).
6. Всякая ортонормальная система разве лишь счетна.
7. Если {со/, (х)} (а -_- х -- Ь) есть замьнутая ортонормальная система, то
со
почти везде на [а, Ь] будет ^ со^ (х) = -\- со (В. Орлич).
к = I
8. При тех же условиях для любого измеримого множества е с мерой
¦О будет ^ ^ со], dx = + оо (В. Орлич).
ft "= I е
9. Конечная система функций не может быть полной в Z.2.
10. Пусть {сод, (х)\ (k= 1, 2, ..., «) ортонормальная система и f (j) s i2.
/г
Из всех линейных комбинаций ^ Ак®к 00 наименьшее значение норме раз-
k= i
доставляет та, у которой А^ = A, (O/,)(k=\, 2, ..., п)
ности f— ^ ^/гш*
ft = 1
(А. Тёплер).
11. Пусть {ш/г{х)\ полная ортонормальная система функции. Если {ф*(л)}
СУ Ь
такая система функций из L2, что ^ )j tMft (*) — Ф* t*)]2 ^* < '. то система
k = 1 а
{ф/Д*)} также полна (Н. К. Бари).
12. Пусть на [—л, я) задана функция / (х) г Lj, положим /(* + 2л) =
= f(x) и пусть
*.<*)= $
Функции gn (д:) сходятся в среднем на [—л, л| к функции q (x) e Lit
причем
л
II 9 II Sll/ll- ^ —-f- dt
— я
и множителя при |i/]| снизить нельзя (И. П. Натансон).
13. Пусть | («) е ?г на [а, Ь] и f (дс) = О вне [а, Ь]. Если
Ф« = 2^ j /@*.
лг — /г
то 11ф||#г||/|| (А. Н. Колмогоров).
14. В тех же обозначениях, при /г->-0 функции ф (х) сходятся в среднем
в Ц к / (х) (А. Н. Колмогоров).
15. Перенести результаты упражнений 1, 2, 3, 4, 5, 13 и 14 с L2 на Lp
при р> 1.
16. Доказать полноту пространства /.„ при р ^ 1.
17. Доказать полноту пространства 1Р при р>~\.
18. Доказать полноту пространства т всех ограниченных
последовательностей х = {xk}, | ж | = su р j[ | xk \ } < + оо.
19. Если во множестве С всех непрерывных на [а, Ь,\ функций ввести
норч> ||/p-max \f(x)\, то полученное пространство будет обладать свойством
полноты.
189
20. Система функций { ф^ (*) } называется полной в классе
функций А, если в последнем нет отличной от нуля функции, ортогональной ко
всем фд (л-). Ич полноты ортонормальной системы в классе (R) всех
интегрируемых по Риману функций не следует замкнутости этой системы (Г. М. Фих-
тенгольц)
21. Если 1- г <С р, то LpcLr.
22. Если 1 г < р, то 1р^э1г.
23. Пусть {/„ (л)} cz Lp (р ;> 1) последовательность ф\нкций, сходящаяся
в среднем порядка р к функции F(x)^Lp. Показать, что \fn(x)} сходится
к / (х) также и в среднем порядка г, где 1 ~ г < р.
24. Пусть 1 - г < р и *я = (*<"', a('J', аг(«I . \ е /л. Если лс„ стремится
к элементу л: в пространстве 1Г, то это имеет место также и в пространстве 1р.
25. Если последовательность {ак) такова, что ряд ^ ак хк сходится для
всякой последовсиельности {xlt} <=lp(p> 1), то {ak} e ^, где _). =1,
26. Если последовательность {а^\ такова, что ряд V а^ xk сходится для
* = 1
всякой последовательности (^)е/ = ;ь то {ak\ е т, г е sup j и/, }<-t-co.
27. Ест /j > 1 ив неравенстве Минковского E) стоит знак равенства, то
g(A) = K/(r), где /E=0.
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИИ С КОНЕЧНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1. Монотонные функции
Как известно, функция /(л-), заданная на сегменте [а, Ь],
называется возрастающей, если из
х<у, A)
вытекает
/«^/({/)•
Если из A) следует f(x)<if(y), то говорят, что f (х) есть
строго возрастающая функция. Аналогично, функция / (х)
называется убывающей (строго убывающей), если из (]) следует
/(*)S=- f (У) U (х) >!(У)]- Функции возрастающие и убывающие
называются монотонными (строго монотонными). Если функция
f (х) убывает, то — f (х) возрастает. Это простое замечание
позволит нам рассматривать только восстающие функции. Отметим,
наконец, что, говоря о монотонной функции, мы всегда будем
считать ее конечной.
Пусть f (х) — возрастающая функция, заданная на сегменте
[а, Ь], и пусть а - л'„ < Ь.
В курсе Анализа доказывается, что какую бы
последовательность точек хи х2, х3, ..., стремящуюся к д-0 и расположенную
правее х0, хп-*-х0, х„>дг0 ни взять, существует конечный предел
lim / (хп). Этот предел есть не что иное, как inf {/ (х)\ (ха < х ^ b),
и потому он не зависит от выбора последовательности {хп\.
Обозначают его через /(хп + 0).
Аналогично определяется символ f(x0 — 0) (а ¦< хи ^ Ь).
Легко видеть, что
/(*о-О)^/(*о)*?/(*о + О) (а<хо<Ь),
f(a)^f(a + 0), /(&-0)</(й).
Отсюда следует, что для того чтобы функция f (х) была
непрерывна в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы было
/(*о-О) = /(*о) = /(* + О).
[Если х„ совпадает с а или с Ь, то нужно говорить лишь об
одностороннем пределе /(а + 0) или f (b — 0)].
191
Числа ( (xH) — f(xQ — 0); f (xn-\-0) — f (хп) называются,
соответственно, скачками слева и справа функции f (х) в точке х(и а сумма
их /(-*>,+ 0) — f(xa--Q) называется просто скачком функции / (х)
в этой точке (для точек а и b рассматриваются только
односторонние скачки).
Лемма. Пусть на сегменте [а, Ь] задана возрастающая
функция f(x). Если xit х.,, .. •, хп произвольные точки, лежащие внутри
[а, Ь], то
lf(a + Q)-f(a)]+ 2 lf(Xk + O)-f(Xb-O)} + [?(b)-f(b-O))^.
^f(b)-f(a). B)
Доказательство. Можно считать, что
a<xL<x2<...<:xll<b.
Положим а = хп, 6 = х„ф1 и введем в рассмотрение точки у0,
У и ¦ , Уп, где xk<yk<xk + 1 (k = 0, I, .., л).
Тогда
f(xk + O)~[(xk-O)^[(yk)-f(y^1) (k=l, 2,.... п),
f{a + O)-f(a)<:f(y1)-f{a),
f(b)-f(b-O)^f(b)-f[yn).
Складывая все эти неравенства, мы и получаем B).
Следствие. Возрастающая функция \(х), заданная на сегменте
[а, Ь], может иметь лишь конечное число точек разрыва, в
которых ее скачок больше данного положительного числа а.
В самом деле, если лежащие внутри [й, Ь] точки хи ... , хп
суть точки разрыва со скачком большим, чем а, то из B| следует,
что na^f(b)- f (а) и, стало быть, п не может быть сколь угодно
большим.
Теорема 1. Множество точек разрыва функции f{x),
возрастающей на сегменте [а, Ь], разве лишь счетно. Если
хи х2, х3, ... суть все внутренние точки разрыва, то
[f{a + O)-f(a)]+XU(^ + O)-f(xk-O)) + [f(b)-f(b-O)]^
</(&)-/(а). C)
Доказательство. Обозначим через Н множество всех точек
разрыва функции f(x), а через Hk множество тех точек разрыва
этой функции, в которых ее скачок больше, чем \lk. Очевидно,
Н — #i + #2 + #з + • • • . и счетность Н вытекает из конечности
каждого Нк.
Неравенство C) следует из B) с помощью предельного
перехода.
192
Пусть f (х) функция возрастающая на сегменте [а, Ь]. Введем
функцию s(x), полагая
s («) - О,
s(jf) = [f(fl + O)-/(e)]+ % [/(** + 0)-/(**-0)] +
xk<x
+ [f(x)-f(x-O)] (a<x^b).
Эта функция носит название функции скачков функции f{x).
Ясно, что это тоже возрастающая функция.
Теорема 2. Разность <р(х) = f (x) — s (x) между возрастающей
функцией и ее функцией скачков есть возрастающая и
непрерывная функция.
Доказательство. Пусть a-^x<iy^ b. Если
неравенство C) применить к сегменту [х, у] вместо сегмента [а, Ь], то
мы получим неравенство
S(y)-s(x)^f(y)-f(x), D)
откуда ф(х)«?ф(у) и функция ф(х) оказывается возрастающей.
Далее, если в неравенстве D) заставить у стремиться к х, то
в пределе мы получим, что
s(x + 0)-s(x)^f(x + 0)-f(x). E)
С другой стороны, из самого определения функции s (x) следует,
что при х<у будет f(x-\-O)--f(x)^s(y) — s(x), откуда, в
пределе при у-+х,
f(x + 0)-f(x)^s(x + 0)-s(x).
Отсюда и из E) ясно, что f(x-\-0) — f (x) = s (x + 0) — s(x), и,
стало быть,
Ф(* + 0) = ф(х).
Аналогично мы убедимся, что ф (х — 0) = ф (х).
§ 2. Отображение множеств.
Дифференцирование монотонной функции
Пусть на каком-нибудь множестве А задана функция f(x).
Эта функция всякому множеству Е cz А соотносит множество
/(?), состоящее из всех точек f(x), где ie?. Иначе говоря, f(E)
состоит из всех таких и только таких точек у, для которых
в множестве Е найдется корень х уравнения f(x)^y.
Множество / (?) называется образом множества Е, а последнее
называется прообразом множества /(?). Операция перехода от
множества Е к множеству /(?) называется отображением Е на
f(?).
193
Теорема Л Если
со
1) Е, cl ?,; 2) Е =- ^ Е">
/«о, соответственно,
1) / (?0 с / (?2); 2) /(?)= V /(?„).
/i=i
Эта теорема очевидна.
Особенно простой оказывается теория отображений в том
случае, когда отображающая функция устанавливает взаимно
однозначное соответствие между множествами А и f(A). Тогда
существует и обратная функция x^g(y), заданная па множестве
f (А) и имеющая значения, лежащие в множестве А. Легко понять,
что в указанном случае будет
f(\[En)=f[f(En)
/1=1 / ii=-i
и, в частности, если множества EL и ?, не пересекаются, то не
пересекаются и их образы /(?i) и /(?.,,).
В качестве примера такого «хорошего» отображения можно
указать на отображение, даваемое непрерывной, строго возрастающей
функцией f(x), заданной на сегменте А = [а, Ь]. В этом случае
f(A)=[f(a), f(b)].
Понятие отображения очень полезно при изучении
дифференцирования функций.
Определение. Число "к (конечное или бесконечное) называется
произвсдным числом функции f (х) в точке х„, если существует
такая стремящаяся к нулю последовательность /tlt /г,, /гэ> •••
(й,,#0), что
нтк*°+у-/(*о>=я.
п-*са "п
То обстоятельство, что Я есть производное число функции / (х)
в точке л'о, мы будем записывать так: A=D/(x0).
Если в точке х0 существует (конечная или бесконечная)
производная /' (х0), то она и будет производным числом Df(x0), причем
в этом случае никаких других производных чисел в точке х0 у
функции / (х) нет.
В качестве другого примера рассмотрим функцию Дирихле ф (х),
которая равна нулю при иррациональных значениях х и равна
единице, когда v рационально.
Предположим, что х„ число рациональное. Тогда отношение
тр(х0 ¦rli) — ф (ха)
h
194
равно нулю для рациональных h и равно —l/h, когда h
иррационально. Отсюда следует, что в точке хп у функции гр (лг) есть
3 производных числа: —со, Он + со. Легко проверить, что других
производных чисел у ip (x) в точке х0 нет. Так же обстоит дело
и тогда, когда хи иррационально.
Теорема 2. Если функция f (х) задана на сегменте [а, Ь], то
в каждой его точке существуют производные чис^ла.
Доказательство. Пусть хп е [а, Ь] и {/г,,} (И„Ф0) такая
стремящаяся к нулю последовательность, qio *„ + /!„ е [а, Ь].
Положим а„ = '." ~ . Если последовательность fa,,} огра-
ничена, то, по теореме Больцано —Вейерштрасса, из нее
выделяется подпоследовательность {а„к}, имеющая некоторый предел Я,
который и будет производным числом функции f (х) в точке хп,
X -D/(*„). Если же последовательность {а„} неограннчена,
например, сверху, то из нее выделяется подпоследовательность {а„Л,
стремящаяся к -foo. В этом случае -f со = Df(x0).
Теорема 3. Для того чтобы функция f{x), заданная на
сегменте [а, Ь], имела в точке х0 е [а, Ь\ обыкновенную
производную f (*„), необходимо и достаточно, чтобы все производные числа в
этой точке были равны друг другу.
Необходимость условия, уже отмеченная выше, совершенно гри-
внальна. Допустим, что оно выполнено и пусть X есть общее
значение всех производных чисел в точке хA. Существование
обыкновенной производной /' (*„) будет доказано, если мы установим, чго
для всякой стремящейся к нулю последовательности {h,,\ (Нпф0)
будет
lim 05+WdW = i.
Допустим, что это не так. Тогда найдется хотя бы одна такая
последовательность \hn\ (hn->0, hn^0), что отношение
rt _i(xo + ftn)-f(xo)
п ~ h
не стремится к X. Но это означает [мы будем считать, что — со <
<л<-1-оо; если Л,= ±оо, то рассуждение только упростится]
существование такого е>0, что бесконечное множество из чисел
ст„ лежит вне интервала (X —г, Х-\-?). Это бесконечное множество
будет содержать в себе последовательность {о„к), стремящуюся к
некоторому конечному или бесконечному пределу и, который будет
отличным от X производным числом функции f (х) в точке х0,
а существование такого производного числа противоречит
условию.
Лемма /. Если функция f (х) возрастает на сегменте [а, Ь],
то все ее производные числа неотрицательны.
Эта лемма очевидна.
195
Лемма 2. Пусть на [а, Ь] задана строго возрастающая
функция f(x). Если в каждой точке множества Е с [а, Ь] существует
хотя бы одно производное число Df {x), такое, что
Df(x)^p @<р<4-оо),
то
m*f{E)^p.m*E.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь е>0 и построим
такое открытое ограниченное множество G, что
EczG, mG<m*E + R.
Пусть, далее, ра>р. Если х0 е Е, то существует стремящаяся
к нулю последовательность {hn\ такая, что
п -» со
В таком случае при всех достаточно больших п сегмент1)
[х0, xo + ha] будет целиком содержаться в множестве G. Кроме
того, при всех достаточно больших п будет
}(xo+hn)-f(xo)
к </7°-
Мы будем считать, что оба эти обстоятельства имеют место
при всех п. Введем в рассмотрение сегменты
da(x0) = [x0, xo + hn], An(x0) = [f(xa), f(xo + hn)\.
Так как функция / (х) возрастает, то очевидно, что
Д4(*оIс:Лп(*о).
Длинами этих сегментов являются числа
mdn (х0) = j К |, тД„ (д:0) = | / (*0 + hn) - / (хо)\.
Поэтому тА„ (х0) <Cpomd,, (x0). Но hn-*-0, значит среди
сегментов Лл(х0) имеются сколь угодно короткие. Так как образ j (E)
множества Е состоит из точек f(x0), входящих в сегменты Ап(х0),
то f (Е) покрыто всеми сегментами Лч (х) (где х е Е) в смысле
Витали.2) Но тогда можно выбрать из множества этих сегментов
счетную последовательность попарно не пересекающихся
сегментов {Д„.(дг,)| (i = 1, 2, 3, ...) такую, что
т
Г °° I
ЖЕ)-?Д»,(*.) =0-
!) Мы приспособили знпись к случаю Л„ > 0 Если А„<0, то н^до было
бы писать [ха 4- Л„, дг0] Впрочем, можно условиться обозначать через[а, р] мно
жество чи*ел, лежащих между аир независимо от того, будет ли а - f) или
а>{5
2) Здесь именно и использовано то, что / (х) возрастает строго. Деистви-
тельно, иначе некоторые сегменты Дл (х) могли бы выродиться в точки и нельзя
было бы применить теорему Витали.
196
Ясно, что m*f (Е) «g % mA«, (¦*«) < /°o 2 яи/я, (*,).
1=1 i=i
Заметим теперь, что не только сегменты Л„ (х,), но и
сегменты dlu (xt) также попарно не пересекаются.х) Поэтому
>] т&,н(х) = т
1 = i
А гак как V] dni{x)czG, то m*f(E)<:pomG<:po[m*E + e].
1 = 1
Устремляя е к нулю, а р0 к р и переходя к пределу,
завершаем доказательство.
Сходным образом, хотя технически и несколько сложнее,
доказывается
Лемма 3. Пусть на [а, Ь] задана строго возрастающая
функция f(x). Если в каждой точке множества Е с [a, b] существует
хотя бы одно производное число Df(x), такое, что
Df(x)^q @-^<7< + oo),
то
m*f(E)^sqm*E.
Лемма тривиальна, если q = 0. Пусть же <7>0. Обозначим через
q0 какое-нибудь положительное число, меньшее чем q, q0 < q, и пусть
е>0. Найдем такое открытое ограниченное множество G, что2)
G =>/(?), mG<m*f(E) + e.
Обозначим через 5 множество тех точек х из Е, в которых
функция f(x) непрерывна. Множество E — S разве лишь счетно,
ибо у монотонной функции может быть разве лишь счетное
множество точек разрыва.
Если хи^Е, то найдется последовательность {/?„}, для которой
Мы будем считать, что при всех п
i(xB + hn)-f(.xB)^ п
Поэтому, вводя, как и выше, сегменты
dn(Xn) = [x0, xo + hn\, An(x0) = [f(x0), f(xo + hn)],
мы будем иметь
m&n(x(u>qomdn(x0).
J) Действительно, если бы точка г входила в пересечение d,4 (xj ¦ dnjt (xk),
то / (г) входила в пересечение Д„{ (*,) • Д,[/г (xk).
а) Полезно отметить, что множество f (E) ограничено, ибо содержится
в сегменте [/ (a), f (&)].
10 7
Если *oeS, то при достаточно больших п весь сегмент
[/(*о)> /(Яо-Ь^я)] будет целиком содержаться в множестве G. Мы
будем считать это выполненным при всех п.
Множество S покрыто сегментами dn (х) (где х <=S) ъ смысле
Витали Значит, из множества этих сегментов можно выбрать
счетную последовательность попарно не пересекающихся сегментов
|- СО -,
\dn (х,)] такого рода, что m\S— ^ dni(x,)\ = 0. Но тогда
L i = i J
т *S ^ f] mdni (х,) < i- f] m АП[ (*,).
Но сегменты ДЯ/(дг,), так же как и ^Я[ (дг,), попарно не
пересекаются [здесь, именно, и использовано условие строгого
возрастания f (х)]. Значит,
f] т Д,( (.v() = m Г |] Дл, <*,)] < mG < m* / (Е) + е.
<= 1 b=i J
Таким образом, m* S <[—[пг*/(?) +е], откуда, устремляя е
к нулю, а 9о к Я и переходя к пределу, мы находим m*f(E)l3z
>; qrn*S. Но m*? -' m*S + tn* (E — S) = m*S, откуда и следует
лемма.
Следствие. Множество точек, в которых хоть одно
производное число возрастающей функции f (x) бесконечно, имеет меру нуль.
Действительно, пусть сначала функция f (х) строго
возрастает. Если бы было m*E(Df(x) = +co)>0, то образ этого
множества должен был бы иметь бесконечную внешнюю меру, что
нелепо, ибо этот образ лежит в сегменте [/(a), f(b)]. Итак, для
строго возрастающей функции наше утверждение доказано.
Если f(x) возрастает не строго, то мы положим g(x) = f (x) -f x.
Это }же строго возрастающая функция. Но
h ~ А *~ ' •
Значит, множество точек, где хоть одно Df(x\ = + со,
совпадает с таким же множеством для g (x) и потому имеет меру нуль.
Лемма 4. Пусть f (x) возрастающая функция, заданная на
сегменте [a, b], a p и q два числа, причем p<Cq. Если в каждой
точке множества ЕГ: q a [a, b] существуют два таких
производных числа DJ (х) и D2f (x), что
DJ(x)<p<q<D2f(x),
то mEPiq = 0.
В самом деле, допустим сначала, что f(x) возрастает строго.
Тогда к ней можно применить обе леммы 2 и 3, согласно которым
m*f(Ep,g) ^рт*Ер,д, m*f {EP:Cl)^qm*EPtq, откуда qm*Ep ,<
Е?:рт*?р,? и m*EPig = 0.
198
Если же / (х) возрастает не строго, то, как и выше, потагаем
g (х) = f (х)-\-х и применяем уже доказанную часть леммы к g(x)
(с заменой р и q на р-fl и q+l).
Теперь, наконец, мы можем установить основную в этом
параграфе теорему.
Теорема 4. Если f (x) есть возрастающая1) функция,
заданная на [а, Ь], то почти во всех точках [а, Ь] существует
конечная' производная f (х).
Доказательство. Обозначим через Е множество тех точек
[а, Ь], где не существует производной /' (х). Если х0 е Е, то
найдутся два производных числа DJ (хп) и DJ(x0) не равных между
собой, DJ (x0) <D2/(л",,). Но тогда можно указать такие
рациональные числа р и q, что D,/ (л:,,) <р <q <D2f (х0).
Значит, ?'=2 Ер<я, где EPiq — множество тех х из [о, Ь],
(Р, <7)
в которых существуют два производных числа DJ (х) и D2f(x),
удовлетворяющих неравенствам DJ (x) <р <q <D2f(x), а
суммирование распространено на все пары (р, q) рациональных чисел,
в которых р <iq.
Согласно лемме 4 каждое множество Ep<q имеет меру нуль,
а так как множеств этих счетное множество, то тЕ = 0.
Таким образом, производная /' (х) существует почти везде на
[а, Ь]. Так как обращаться в -f20 °на может лишь на
множестве меры 0 (следствие леммы 3), то теорема доказана полностью.
Впредь, говоря о производной /' (х) возрастающей функции
f(x), мы будем считать, что ее определение пополнено так, что
символ /' (х) определен для всех х из [а, Ь]. Для этого
условимся раз навсегда полагать /' (х) = 0 в тех точках х, где у [ (х)
нет производной, хотя бы бесконечной.
Теорема 5. Если f (x) возрастающая функция, заданная на
[а, Ь], то ее производная /' (х) измерима и
lf'(x)clx^f(b)-f(a), П
а
так что f (x) суммируема.
Доказательство. Распространим определение функции
f(x), полагая f(x) = f(b) при Ь<жЬ+1.
Тогда всюду, где /' (х) есть производная f(x) [кроме, может
быть, точки х = Ь, где /' (Ь) ранее была лишь левосторонней
производной] будет /' (*) = lim n If (х + ) — / (х) .
п -*¦ со L \ у J
Значит, /'(х) есть предел почти везде сходящейся
последовательности измеримых 2) функций и, стало быть, /' (х) — функция
!) Читатель обратит внимание на то, что непрерывности f (x) не
предполагается.
2) Функции / (х) и пх+ -) возрастают и потому измеримы. Действи-
тельно, Е([>с) есть или пустое множество, или промежуток.
199
измеримая. Ввиду того, что она неотрицательна, можно говорить
h
об ее интеграле Лебега ^f (x)dx. По теореме Фату [гл. VI, § 1]
а
* f 5 |
jj /' (х) dx^sup In jj [/ [x+ ^ -/(*) J dx\.
а У a J
Ho
b b 1 11 n
a a -\~ I я
(здесь не потребуется никаких ссылок на теорию замены
переменной в лебеговых интегралах, ибо f (х) монотонна и интеграл
можно понимать в римановском смысле). Значит:
Ь Ь л \ п а -г- 1 п
\[f'x+\)-f(x)\dx=* 5 f(x)dx- [ f(x)dx =
а Ь а
а + 1 п
= \ПЬ)~ ) f(x)dx<±[f(b)-f(a)],
а
откуда и следует оценка
ь
\f(x)dx^f(b)-f(a).
а
Мы привыкли, что интегрирование производной
восстанавливает первообразною. В связи с этим предыдущее неравенство
несколько «режет глаз». Однако, в общем случае, его нельзя
заменить равенством, даже предполагая функцию f(x) непрерывной.
Примьр. Пусть Р{) есть канторово совершенное множество.
Tiro дополнительные интервалы можно распределить на группы,
1 2 \ ^
относя в первую группу интервал , I, во вторую —оба ин-
/ 1 2 \ / 7 8 \ ' / 1 2 \
тервала 1^-, g ), (-g-, g- ], в третью — четыре интервала \^, ^),
П 8\ /19 20\У ,25 26\ ' D , _„ \
27-27J' \2/' 27J- \,27' 27;1 и Т" Д" В ""и гР^ппе бУДет 2
интервалов.
Введем функцию в (х), полагая в(х)= придге'^-, „),
0(jc) = | при ^ef'-, g2) в(х) = | при ^е(^,^).
В четырех интервалах третьей группы функция в (х) равна
13 5 7
последовательно , „ , И вообще на 2" интервалах л-й
о о о о г
группы полагаем функцию в (х) последовательно равной
^35 2" -1
200
Функция в (х) задана на канторовом открытом множестве Gn. Она
постоянна на каждом составляющем интервале этого множества
и является возрастающей функцией на множестве G,, в целом. J)
Дополним определение функции 9(лг), задав ее на точках
множества Рп. Для этого положим в @) =-0, (-) A)^1.
В тех же точках х0 е Ро, которые лежат между 0 и 1, положим
в (дгв) = sup {в (х)\ (х <= Gn, х < хп).
Легко видеть, что это определение сохраняет монотонность
функции 6 (*), которая теперь задана на всем ceiменте [0, 1].
Установив монотонность в (х), мы легко докажем, что эта
функция непрерывна. Это вытекает из того факта, что множество
значений, принимаемых функцией G (х) на множестве Со, всюду
плотно на сегменте [0, 1] [действительно, если возрастающая
функция /(v) имеет точку разрыва х0, то хогь один из интервалов
(f(xQ — 0), f (*„)) и (/(*(,), /(Х)+0)) свободен от значений функции].
Итак, 9 (х) — непрерывная возрастающая функция. Вместе с
тем, почти везде на [0, 1] будет 9' (х) = 0 (это соотношение
заведомо выполняется в каждой из точек множества С„). Значит,
i
$ 9' (х)dx = 0 < 1=6A)-9@).
о
Ниже мы установим условия того, чтобы в (+) стоял знак равенства.
В заключение докажем полезную во многих вопросах теорему.
Теорема 6. Какое бы множество Е меры нуль в сегменте
[а, Ь] ни взять, существует такая непрерывная возрастающая
функция а (х), что во всех точках х е Е будет а' (х) — + со.
Доказательство. Построим для каждого натуральною
числа п такое ограниченное открытое множество Gn, что
Gn zd E, mGn < 2„ .
Положим гр„ (х) = т (С„[й, *][. Функция г|) (.v) возрастает,
неотрицательна, непрерывна и удовлетворяет неравенству ф„ (х) < \>2".
со
Поэтому функция а (с) =2 tyn (х) также неотрицательная
и- I
возрастающая и непрерывная.
Если ха е Е, то при достаточно малом ' /г весь cei мент [ки, xo-\-h]
целиком содержится в множестве Gn [при закрепленном п]. При
таком h (считая для простоты /г>0) мы будем иметь
^п {х0 + h) = m{Ga- [a, xv] + Gn ¦ (х0, х0 + h]\ -= \|)я (х0) + /г,
откуда
\pn(xo+h) — % (а0) .
h ~ '"
') В jtom проще всего убедиться индуктивно. Представляем читателю
провести подроСное доказательство.
201
Но тогда, каково бы ни было натуральное число Л\ при
достаточно малом | h | окажется
N
a(xa-\-h)— g(v0) у ^n J4 + h)~^n (*о) __ д/
h ^ L h JV>
п--=\
так что
о' (х0) ¦= + оо.
Теорема доказана.
§ 3. Функции с конечным изменением
В этом параграфе мы изложим теорию важного класса
функций—функций с конечным изменением, тесно связанных с
монотонными функциями.
Пусть на сегменте [а, Ь] задана конечная функция f(x).
Разложим [а, Ь] на части точками хи = а <С хх <. ¦. ¦ <ixn = b и соста-
п—\
вим сумму У=У] \f(xk^)-f(xk)\.
Определение 1. Точная верхняя граница множества
всевозможных сумм V называется полным изменением х) функции f(x)
ь
на сегменте [а, Ь] и обозначается через V(/)- Если
а
V(/)< + oor
а
то говорят, что f(x) есть функция с конечным изменением 2) на
[а, Ь] или, что f (х) имеет на [а, Ь] конечное изменение.
Теорема I. Монотонная функция есть функция с конечным
изменением.
Достаточно доказать эту теорему для возрастающей функции.
Если f (х) возрастает на [а, Ь\, то все разности /(xk+1) — f (xk) не
« — i
отрицательны и 1/=^ {/(**Ti) ~ f(xk)\ =f(b) — f{a), откуда и сле-
д>ет теорема.
Другим примером функций с конечным изменением являются
функции, удовлетворяющие «условию Липшица»:
Определение 2. Конечная функция f(x), заданная на сегменте
[а, Ь], удовлетворяет условию Липшица, если существует такая
постоянная К, что для любых двух точек х и у из [а, Ь\
if(x)-f(y)> " К\х-у .
Если функция f (х) в каждой точке [а, Ь\ имеет производную
f (х) и последняя ограничена, то, как это видно из формулы
!) Или полной вариацией.
2) Или функция ограниченной вариации.
202
Лагранжа
f(x)-f(y) = f{z)(x-y) (x<z<y),
функция f{x) удовлетворяет условию Липшица.
Если / (х) удовлетворяет условию Липшица, то
\f(Xk+i)-f(x>,) <^К(хк^-хк),
откуда
Vsr,K(b-a)
и, стало быть, f(x) есть функция с конечным изменением.
Примером непрерывной функции с бесконечным полным
изменением служит функция
/(x) = xcos ? @<*^1, /@) = 0).
Если за точки деления сегмента [0, 1 ] принять точки
1 . , 1 '
то легко проверить, что
V=l+i-+...+ ' откуда V(/)=+oo.
сп 0
Теорема 2. Всякая функция с конечным изменением ограничена.
В самом деле, при a^xs^b
V=\J(x)-f(a)\ + \f(b)-f(x)\^V(f),
а
откуда
\f(x)\^\f(a); + V(f).
а
Теорема 3. Сумма, разность и произведение двух функций
с конечным изменением суть функции с конечным изменением..
Доказательство. Пусть f(x) и g(x) суть функции с
конечным изменением на сегменте [а, Ь\ и s(x) их с^мма. Тогда
I s (л'*+1) - s (xk)[ <: [ / (х,,^) - f (х„) \ + \g (лг^х) - g {хк) |,
ь ь ь
откуда следует, что V (s) «S V (/) + V (g) и s (x) есть функция
а с а
с конечным изменением. Для разности доказательство аналогично.
Пусть далее р (x) = f{x)g(x). Положим A = sup {|/(x) ]}, В =
= sup{\g(x)\}.
Тогда
Р (х*+i) - Р (хк) ^ i /(дг*т1)g(х„ j) -/(х„) g(xk^)\ +
+ 11Ш g (xkj - f (хк) g (х„) ><^B\f (х^) - f (хк) I +
+ Л g(**xi)-g(**)|,
203
откуда
V(p)^BV(f) + A\/(g),
а а а
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если f (л) и g (х) суть функции с конечным
изменением и, сверх того, g (*) 5г а > О, то частное^—- есть функ-
ё\Х)
ция с конечным изменением.
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема 5. Пусть на [а, Ь\ задана конечная функция f (x)
и a<ic<zb. Тогда
V(/) = V(/) + V(f). A)
а а с
Доказательство. Разложим на части каждый из
сегментов [а, с] и [с, Ь\ точками
у а -= а < у1 < ... < ут = с; г0 = с < гх <... < zn = Ь
и составим с}ммы
Я! — I Я — 1
I7! = ? I f («Am) - / Ш I. V2 = Ц I / (г*+х) - / (г*) |.
Точки \ук\ и {г^.} дробят на части весь сегмент [а, Ь\. Если
назвать через V сумму, отвечающую этому способу дробления,
то IZ-Fi+V,.
ь
Отсюда сразу следует, что V1+ V2s=S V(/), а, стало быть, и
а
неравенство
V(/) + V(/)^V(/). B)
аса
Теперь разобьем на части сегмент [а, Ь] точками
ха--а<х1<....<хп^Ь,
озаботившись при этом включить точку с в число точек деления.
Если с — хт, то сумма У, отвечающая нашему способу деления,
имеет вид V = "? | / (дг*+1) - / (х„) \ + % | / (дг*+1) - / (**) | или, ко-
А=0 k=m
роче, V = ^ + ^2, где Vt и V2 СУТЬ суммы, отвечающие сегментам
[а, с] и [с, Ь\.
Отсюда
V<V(/) + V(/)- C)
а с
204
Это неравенство установлено пока лишь для с>мм V,
отвечающих таким способам дробления, при которых точка с включена
в число точек деления. Но так как добавление новых точек
деления, очевидно, не уменьшает сумм V, то C) верно для всех
вообще сумм V. Отсюда ясно, что
V(/)<V(/) + V(/). D)
а а с
Сопоставляя B) и D), получаем A).
Следствие 1. Если в условиях теоремы функция f (x) имеет
конечное изменение на сегменте [а, Ь], то она имеет конечное
изменение и на каждом из сегментов [а, с\ и [с, Ь\ и обратно.
Следствие 2. Если сегмент [а, Ь\ можно разложить на
конечное число частей, на каждой из которых функция f (x) монотонна,
то f (х) имеет на [а, Ь] конечное изменение.
Теорема 6. Для того чтобы функция f(x) была функцией
с конечным изменением, необходимо и достаточно, чтобы она
представлялась в форме разности двух возрастающих функций.
Доказательство. Достаточность условия следует из
теорем 1 и 3.
Для доказательства его необходимости положим
Jt(*)=V(f) (a<x^b), л(а) = 0.
а
Функция п (х) возрастает в силу теоремы 5. Если мы положим
v(*) = я (*)-/(*), E)
то функция v (х) также окажется возрастающей. В самом деле,
если a^x<Zy^b, то в силу теоремы 5,
v(y) = n(y)-f(y) = n(x) + \(f)-f(y)
х
и, стало быть,
v(y)-v(x) = V{f)-lf(y)-f{x)].
х
Однако из самого определения полного изменения ясно, что
f(y)-f (х) ^ V (/), так что v (у) - v (x) 5= О,
и функция v (х) возрастает. Остается переписать равенство E)
в форме / (х) = я (х) — v (х), чтобы получить искомое
представление f(x).
Следствие 1. Если функция f(x) имеет конечное изменение
на \а, Ь\, то почти в каждой точке [а, Ь] существует конечная
производная /' (х), являющаяся суммируемой функцией.
205
Следствие 2. Множество точек разрыва функции с конечным
изменением разве лишь счетно. В каждой точке разрыва х{)
существуют оба предела
f(xa + O) = Umf(x) (х>х0), /(хо-О)- Vimf(x) (х<х„).
X —* Ао А —» Лц
Пусть последовательность
хъ х_, х3, ... (а<хп<Ь) F)
состоит из всех точек, являющихся точками разрыва хоть одной
из функций л (*) или v (х). Введем в рассмотрение функции скачков
sn(x) = [n(a + 0)-n(a)]+ ? [л (дгЛ + О)-л(х*-0)]+
xk<x
+ [л(*)-л(*-0)] (а<х<^Ь),
s?W = [v(fl + 0)-v(a)|+ У] [v(^ + 0)-v(**-0)] +
xk<x
+ lv(*)-v(*-0)],
5Я (а) = ^ (а) = 0.
(Если точка хь есть точка непрерывности одной из функций
л (л:) или v (х), то соответствующее слагаемое исчезает само собой.
Впрочем, можно показать, что точка разрыва функции v (x) не
может быть точкой непрерывности функции я(х); для нас это
мало интересно.)
Пусть s (х) — Sjx (х) — 5Л (х). Эту функцию можно записать так:
b(x) = [f(a + 0)-f(a)\+ ? lf(Xk + 0)-f(xk-0)} +
xk^x
+ lf(x)-f(x-O)] (a<x<b),
s(a) = 0.
Она также есть функция с конечным изменением и называется
функцией скачков ф\нкции / (х). Само собою ясно, что
определение функции л (а) не изменится, если из последовательности F)
удалить те точки, в которых функция f (х) непрерывна,1) так что
можно считать, что F) состоит только из точек разрыва
функции f(x).
Мы видели (теорема 2, § ]), что функции л(х) — ья(х), v(v)—
— i\ (а') непрерывны и возрастают. Отсюда следует, что разность
Ф (х) -= ((х) — s (л-) есть непрерывная функция с конечным
изменением. Иначе говоря, доказана.
Теорема 7. Всякую функцию с конечным изменением можно
представить в форме суммы ее функции скачков и непрерывной
функции с конечным изменением.
1) Можно поклзгть, что в F) таких точек не было с самого начала.
Читатель усмотрит jTo из |соремы 1, § 5.
206
§ 4. Принцип выбора Хелли
В этом параграфе мы изложим важною в приложениях
теорему, принадлежащею Э. Хеллп.
Сначала докажем две леммы.
Лемма 1. Пусть на сегменте [я, Ь\ задано бесконечное
семейство функций H = {f(x)\. Если все функции семейства ограничены
одним и тем же числом
\Нх)\^К, A)
/по, какое бы счетное множество Е с [a, b] ни взять, из
семейства Н можно извлечь последовательность {fn(x)\, сходящуюся
в каждой точке множества Е.
Доказательство. Пусть Е = {хк\. Рассмотрим множество
{/(¦*i)r значений, принимаемых функциями семейства Н в
точке х1. В силу A) это множество ограничено и, по теореме
Больцано—Вейерштрасса, из него выделяется сходящаяся
последовательность
Л" (*,), f[" (*i), /(,° (*i). • ¦ •; Hm /<,'> (*i) = A,. B)
П—> 'О
Рассмотрим теперь последовательность
U (х,), // (х.), К(хг), ...
значений, принимаемых функциями множества {/„' (х)\ в точке Хо.
Эта последовательность также ограничена и мы можем
применить к ней теорему Больцано — Вейерштрасса (в ее второй
форме), что приводит нас к сходящейся последовательности
/Г (*j), // (xz), f- (х,), ..., lim f,r(Xi) = A3, C)
n -> en
выделенной из {/„' (x,)\. Важно отмениь, что взаимный порядок
двух функций fn и /„-< в последовательности C) такой же, как и
в последовательности B).
Продолжая этот процесс неограниченно, мы nocipoiiM счешое
множество сходящихся последовательностей
fi (*i). U (*i). /."(*i) Urn/,/ (xl) = Al,
n --*¦ со
/f1 (x>), /Y (x>), f- (x,), ..., lim f,i (x_) = A2,
/Г (xk), /f (-V,), /.',*' (xh) lim /<,*» (Xh) = Ak,
n —* со
причем каждая следующая последовательность функции выделена
(без пар>шення порядка следования элсменюв) из предыдущей.
Заметив это, составим последовательность диагональных
элементов построенной матрицы, т. е. последовательность
{/<,"»(*)} (п = \, 2, 3, ...).
207
Это есть требуемая, т. е сходящаяся в каждой точке
множества Е, последовательность Действительно, при любом
фиксированном k последовательность {/^ {хк)\ (п _ k) есть частичная для
{/!*' (хк)\ и сходится к Ak, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть F = \f(x)\ есть бесконечное семейство
возрастающих функций, заданных на сегменте [а, Ь). Если все
функции семейства ограничены одним и тем же числом \f(x)\ 5 К,
то из F можно извлечь последовательность {/„ (х)}, которая в
каждой точке [а, Ь\ сходится к некоторой возрастающей функции ср (х).
Доказательство. Применим к {[(х)\ лемму 1, взяв в
качестве множества Е множество, состоящее из всех рациональных
точек сегмента [а, Ь] и точки а, если она иррациональна. В
каждой точке xk e E существует конечный предел
lim/<«>(**) D)
п —* со
последовательности функций /70 = {/(/г) (а:)}, выделенной из F.
Введем функцию ty(x), положив ее равной пределу D) в
точках множества Е
tW= lim/<«>(**) (**е=?).
п —* со
Этим функция г|) (х) задана пока только на множестве Е, причем
легко видеть, что она есть функция возрастающая, т. е. если xk
и л:, суть две точки множества Е и х,,<х,, то г|) (*>,) =5г|з(*г).
Распространим определение функции ty(x) на весь сегмент
[а, Ь], положив ее равной i])(a:)= sup {i|5(xft)} (xk e E) для всех
иррациональных точек промежутка (а, Ь].
Ясно, что функция -ф(х) есть возрастающая на всем сегменте
\а, Ь]. В таком случае множество Q точек разрыва функции ty(x)
разве лишь счетно.
Покажем, что в каждой точке х0, в которой ty(x) непрерывна,
будет
hm/<»>(*.,) = 4>(*о)- E)
и —* со
Действительно, для произвольного е > 0 можно найти такие
точки xk и х, множества Е, что
Xh < Хо < Хп Ц (*«) - ^ (Xk) < 2 •
Фиксировав эти точки, найдем такое п0, что при п > п0 будет
| /<«> (xk) - if (xk), < |, I /<«> (дг() - чр (х,) |< I .
Легко понять, что при этих п окажется
г|) (*„) - в < /"" (х,) . fI") (х,) < ip (д:0) + в,
208
а так как /ы (xk) йС/ы (х0) ^/ul (xt), то при п>п0 будет
гМ*0) - ? </ы (хо)< гМх„) + е,
откуда и следует E).
Итак равенство
lim/<»>(*) = ф(лг) F)
п —* со
может не выполняться только на счетном множестве Q точек
разрыва г|)(л:).
Заметив это, снова применим лемму 1 к последовательности Fo,
взяв за множество Е множество тех точек Q, где не
выполняется F). Это приведет нас к последовательности {/„(*)},
выделенной из Ро и сходящейся теперь уже во всех точках [а, Ь] (ибо
там, где сходилась последовательность {f(n)(x)\, сходится и ее
подпоследовательность {/«(*)')• Если положить ф(х) = hm fn{x),
п-*со
то функция (р(х), очевидно, окажется возрастающей.
Теорема (Э. Хелли). Пусть на сегменте \а, Ь] задано
бесконечное семейство функций F = \f(x)}. Если все функции
семейства и полные изменения всех функций семейства ограничены
одним числом
а
то из семейства F можно выделить такую последовательность
\fn(x)\, которая в каждой точке [а, Ь] сходится к некоторой
функции ф (а:), также имеющей конечное изменение.
Доказательство. Положим, для каждой функции f(х)
семейства F
X
n(x) = V(f), v(x) = n(x)-f(x).
а
Обе эти функции возрастают. При этом | я (л:) | < К, ' v (х) \ ^" 2/С.
Применив к семейству {л (х)} лемму 2, мы выделим из этого
семейства сходящуюся последовательность {nk (x)}
lim nk(x) = а (х).
k —на
Каждой функции лк (х) соответствует функция vk (x),
дополняющая ее до функции />(*) семейства F. Применив лемму 2
к семейству {vk(x)}t мы выделим из него сходящуюся последЪва-
тельность [vft; (x)J
lim vbl(x) = fHx).
I —f OO
Но тогда последовательность функций fki (x) = nki(x) — vft( (x),
выделенная из F, сходится к функции <р (х) = а (х) — C (х).
Теорема доказана.
209
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением
Теорема 1. Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция с
конечным изменением f(x). Если f (х) непрерывна в некоторой точке хи,
то в этой точке непрерывна и функция
n(x)=V(f).
а
Доказательство. Предположим, что xt)<b, и покажем,
что я(х) непрерывна в точке хп справа. С эгой целью, взяв
произвольное е > 0, разложим сегмент [*,„ Ь] точками
х„ < Ху <... < хп = Ъ
на части так, чтобы оказалось
V^Z: ,f(xkl-f(xk)\>V(f)-e. (I)
/г = 0 х.
Так как сумма V лишь возрастает от добавления новых точек,
то можно считать, что | / (xL) — f(xfi) i < е. В таком случае, из A)
следует, что
V(/)<e+ |/(*,м)-/(**),<2в +
+ ni'f(-4-i)-f(xk)<<2s+V(f).
Стало быть V if) < 2е, и, следовательно, я (х^ — я (х0) < 2е.
Отсюда и подавно л (хо + О) — л (х0) < 2е. Но е произвольно. Значит
к(хи + 0) = л(хп).
Аналогично доказывается, что л (хп — 0) = л (хи), т. е. что я (х)
в точке х0 непрерывна слева (если хо>а).
Следствие. Непрерывная функция с конечным изменением пред-
апавима в форме разности двух непрерывных же возрастающих
функций.
В самом деле, если f(x) непрерывная функция с конечным
изменением, заданная на сегменте [а, Ь\, то непрерывны обе ее
X
возрастающие компоненты n(x)=-\(f) и v(x) = n(x) — f(x).
а
Пусть на сегменте [а, Ь] задана непрерывная функция j(x).
Разложим \а, Ь] на части точками
хп = а < хг < х, <... < хп = b [max (хкт1 — xk) = к]
п—\ п—\
и составим суммы V= J]\f(x^.1) — f (хк) I, Q = _? ш*. гДе ш*
означает колебание функции f(x) на сегменте [хк, xkrl].
^10
Теорема 2. Если % ->- 0, то каждая из сумм V и п спгре-
ь
мится к полному изменению V (/) функции f(x).1)
а
Ь
Заметим, чго конечности изменения V (/) мы не предпо-
а
лагаем.
Доказательство. Как уже отмечалось, сумма V не
убывает от добавления новой точки деления. С другой стороны, если
эта новая точка попадает в интервал между xk и xk-lt то
увеличение суммы V, проистекающее из появления этой точки, не
превосходит удвоенного колебания о>А функции f (х) в сегменте
[¦**! -К*!
lift
Заметив это, возьмем какое-либо число А < V (/) и найдем
а
сумму V* такую, что V*>A. Пусть эта сумма отвечает
следующему способу деления:
х„ = а < xf <... < xfn = b.
Выберем столь малое б >0, что как только [ х" — х' \ <С б, так
сейчас же
1/(Л-/(*')|<^-,
и покажем, что для любого способа деления, у которого % < б,
будет
V>A. B)
В самом деле, имея подобный способ деления (I), составим
новый способ (II), получающийся из (I) добавлением всех точек
\хь\. Если способу (II) отвечает сумма Vo, то
V0^V*. C)
С другой стороны, способ (II) получается из (I) путем т-крат-
ного добавления по одной точке. Так как каждое добавление
,, V*-A
вызывает увеличение суммы V меньшее, чем на —^ > то
Отсюда и из C) следует, что
v>vn-^A^^>A.
г) Здесь существенно, чго речь идет о непрерывной функции. Пусть,
например, / {х) задана на [—I, -j-1] гак: f@) = !, /(^) = 0 при х -Ь 0. Тогда
+ 1
V (/) = 2, но для любого способа дробления [—1, +1], при котором х — 0
]
не является точкон деления, будет l' = 0, Q = l.
211
ь
Итак, при Я<6 выполнено B), но поскольку всегда V^V(f),
а
Ь
то hml/ = V(/).
Теперь уже легко провести доказательство и для сумм Q.
С одной стороны, ясно, что
Q =г= V. D)
Но если мы найдем сумму Q, отвечающую какому-нибудь
способу деления, а затем добавим в качестве новых точек
деления те точки, в которых функция f(x) принимает значения
mft = min {/(*)}, Mk = max {/(*)} (xk^x^xk+1),
то сумма V", отвечающая получившемуся новому способу
деления, очевидно, не будет меньшей, чем Q, откуда
Q^V(/). E)
а
Ь
Из D) и E) и следует, что HmQ = V(/).
Я^О а
Доказанная теорема лежит в основе принадлежащего С Банаху весьма
интересного подхода к непрерывным функциям с конечным изменением
Пусть I (х) задана и непрерывна на сегменте [a, ft] и m = min {/ (х)\,
M = ma\ {f{x)\
Введем функцию N (у), заданную на сегменте [т, М\ следующим образом.
N (у) есть число корней уравнения j:{x) — y Если множество этих корней
бесконечно, то N (у) = -\-со. Мы будем называть функцию N (у) индикатрисой
Банаха
Теорема 3. (С. Банах). Индикатриса Банаха измерима и
'м ь
I N(y)dy = \(f).
т а
Доказательство. Разложим [а, Ь] на 2" равных частей и положим
Ъ — а
.-[..
а + -
2"
dk = (a + (k-l)^, « + ^^| (* = 2, 3, ..., 2").
Пусть, далее, функция L)t(y) (fe=l, 2, ..., 2") равна 1, если уравнение
f(*) = y F)
имеет в промежутке dk хотя бы один корень, и Lfr(y) = 0, если в dk нет ни
одного корня этого уравнения Если т^ и Ж/, суть, соответственно, точная
нижняя и точная вер-хняя границы функции f (x) в промежутке dj., то Lk(y)
равна 1 в интервале {tnllt Мд.) и равна нулю вне сегмента [mk, M^}, так что
эта функция может иметь не больше двух точек разрыва и, очевидно,
измерима. Отметим еще, что
м
$ my)dy^=Mk — mk = (ak,
т
где й>? есть колебание / (я) на сегменте d ^,
212
Введем, наконец, функцию N п (y) = Lx (y) + /2 (у)+ +^п(у). равную
числу тех промежутков d(,, в которых содержится хоть по одному корню
уравнения F) Очевидно, функция Nn (у) измерима При этом
так что в силу теоремы 2,
м 2"
j Na{m)dy=^
т * = 1
М Ь
hm $ Nn(y)dy = \(f).
«->со m а
Легко понять, что Nt (у) -?- М2 (у) < N3 (у) si . и, стало быть, существует
конечный или бесконечный предел N* (i/)= hm Nn{y), которьы является
п—>со
функцией измеримой. Согласно теореме Б. Леви (гл. VI, § 1),
М Mb
\ N* (у) dy= hm \ Nn (у) dy=V (ft.
т n-*°° m a
Если мы покажем, что
N*(y) = N(y), G)
то теорема будет доказана
Прежде всего совершенно ясно, что Nп (у) <: N (у), откуда и
N*(y)^N(y). (В)
Пусть теперь q натуральное число, не большее чем N (у). Тогда можно
указать q различных корней хх < х, < . х0 уравнения F). Если п настолько
Ь~а
велико, что „д <m\n(xii+l — xi1), то все q корней *ft попадут в разные
промежутки dk, так что Nn(y)^ q, откуда и подавно
N* (У) =s q. (9)
Если N (у) = -\- со, то q можно брать сколь угодно большим, так что и
N* (у) = + оз, если N (у) конечно, то можно взять q = N(y), и тогда (9)
примет вид N* (у)^- N (у) Отсюда и из (8) следует G).
Следствие 1. Для того чтобы непрерывная функция f (х) имела конечное
изменение, необходимо и достаточно, чтобы ее индикатриса Банаха N (у)
была суммируема
Следствие 2. Если f (x) есть непрерывная функция с конечным изменением,
то множество значений, принимаемых ею бесконечно много раз, имеет (на оси
ординат) меру нуль
Действительно, в этом случае индикатриса Банаха, будучи су лмируемой,
почти везде конечна.
§ 6. Интеграл Стилтьеса
Здесь мы изложим весьма важное обобщение понятия об
интеграле Римана — интеграл Стилтьеса.
Пусть на сегменте [а, Ь] заданы две конечные функции / (х)
и g(x). Разложим [а, Ь] на части точками хо = а<^х1 <... <х„ =
= Ь, выберем в пределах каждого частичного сегмента \xk, xk+i]
п— 1
по точке 1к и составим сумму а= ? / (?*)[g(**+i)-g (**)]•
213
Если при Х = тах (хк+1 — xh)-+0 сумма а стремится к
конечному пределу /, не зависящему ни от способа дробления, ни от
выбора точек %к, то этот предел называется интегралом Стал-
/пьеса функции f (х) по функции g(x) и обозначается через
\f(x)dg(x) или (S){f(x)dg(x).
а а
Точный смысл определения таков: число / есть интеграл Стил-
тьеса функции / (х) по функции g (х), если всякому е > 0 отвечает
такое б>0, что при любом способе дробления, при котором Х<. 6,
будет (а —/|-<е, как бы мы ни выбирали точки %k.
Ясно, что интеграл Римана есть частный случай интеграла
Стилтьеса, получающийся при g(x) = x.
Отметим некоторые очевидные свойства интеграла Стилтьеса.
1 • {[h (*) + h (*)] dg (x) = \ U (x) dg (x) + \ h (x) dg (x).
a
b
2. \ f (x) d [gl (x) + g2 (x)] = \ f (x) dgl (x) + \f(x) dg2 (x).
о в а
3. Если k и / постоянные, то
\kf(x)dlg(x) = kl\f(x)dg(x).
а а
Во всех трех случаях из существования правой части
вытекает существование левой.
4. Если a<lc<b и существуют все три интеграла, входящие
в равенство
I / (х) dg (х) = I / (х) dg {x) + ]f (х) dg (x),
а а с
то это равенство справедливо.
Чтобы доказать это свойство интеграла, нужно лишь
озаботиться включением точки с в число точек деления сегмента [а, Ь]
ь
при составлении суммы а для интеграла \ f dg.
а
b
Нетрудно доказать, что из существования интеграла \fdg сле-
а
с b
дует существование обоих интегралов \f dg и ^f dg, но мы не
а с
будем на этом останавливаться. Интереснее отметить, что
обратное предложение неверно.
Пример. Пусть функции f (х) и g(x) заданы на сегменте
[—1, +1], причем
( 0 при -1«2х<0, /ч ( 0 при — ls?x<0,
/(А') = ЬпРи (X.V-.1, й (А) = i 1 при 0^1.
214
О 1
Легко видеть, что интегралы \ f(x)dg{x), \f (x) dg (x) суще-
— i 6
ствуют (ибо суммы а равны н\лю). В то же время интеграл
-j-i
\ f (x) dg (x) не существует. Действительно, раздробим сегмент
— 1
[—1, +1] на части так, чтобы точка 0 не попадала в число то-
п-1
чек деления, и составим сумму <т= ? f (lk) [g (x&+i) — g (*/,)]¦
4 = 0
Легко понять, что если х1 <сО<х1т1, то в сумме а останется
только i-oe слагаемое, ибо если точки хк и хи^ лежат по одну
сторону от точки 0, то g(xk) = g(xk+1).
Значит, о = / (?,) [g (дг|+1) - g (х,)] = f (g,)-
В зависимости от того, будет ли ?,sg;0 или |,->0, будет а —0
или а= 1, так что а не имеет предела.
ь
5. Из существования одного из интегралов \f (x) dg(x) и
а
Ь
\g{x)df(x) вытекает существование другого и равенство
а
S / (х) dg (x) + \g(x) df (x) = [f (x) g (x)fa, A)
a a
где, как обычно, положено
U(x)g(x)Ta = f(b)g(b)-f(a)g(a). B)
Формула A) называется формулой интегрирования по частям.
Докажем это свойство интеграла. Пусть существует интеграл
ь
\ g(x) df(x). Разделим [а, Ь] на части и составим сумму
а
o=Zf(b)[g(x^)-g(xk)l
k = 0
Ее можно представить и так
/!— I II —I
о= Z /(i*)g(W- U f(b)g(xk),
k~t) k = 0
откуда
п—\
о = - Z ё <**) U (Ь) - f (ift-i)] + / (i»-i) g (*n) - f (lo) g W.
Прибавляя и вычитая в правой части выражение B), находим
o=[nx)g(x)]ba-
- [g (a) U (У - / (аI + ? g (х,) [f (Ы-/ E*-i)]+g Ф) [f F)-/ (!„-!)]}.
215
Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть не что иное,
ь
как сумма, составленная для интеграла \gdf, причем точками
а
дробления [а, Ь] служат точки а ""?,»-- 2а - ?2%-5.. .^-\а i " b,
а точки а, хи х2, ..., xn-lt b суть точки сегментов [a, ?0] [?0, lt], ...
.... [?,-!, Ь].
Если стремится к нулю max (xh+1 — xk), то к нулю же
стремится и max (|ftil —?ft), так что сумма в фигурных скобках
ь
стремится к интегралу \gdf, откуда и следует доказываемое
а
предложение.
Естественно поставить вопрос об условиях существования
интеграла Стилтьеса. Мы ограничимся лишь одной теоремой в этом
направлении.
Теорема 1. Интеграл
а
существует, если функция f (х) непрерывна на сегменте [а, Ь],
a g (x) имеет на этом сегменте конечное изменение.
Доказательство. Очевидно достаточно считать, что
функция g(x) возрастает, ибо всякая функция с конечным изменением
есть разность двух возрастающих функций.
Разложим [а, Ь] на части точками
*0 = а < xt <... < ха = b
и обозначим, соответственно, через тк и Мк наименьшее и
наибольшее значения функции f(x) в сегменте [хк, *А+1].
Пусть
п—\ п—\
s = У] ть[g(хк+1)-g(х„)], S = У] Мk[g(л-fc+x)-g(xk)].
Ясно, что при любом выборе точек \k в сегментах [л'ъ хк+1]
окажется s a ~ S.
Легко проверить, что при добавлении новой точки деления
сумма s не убывает, a S не возрастает.
Отсюда следует, что ни одна сумма s не превосходит ни одной
суммы S. Действительно, имея два способа, I и II, дробления
сегмента [а, Ь\, которым отвечают соответственно суммы ьъ Sx
и s2, Sit мы можем составить способ III, объединяя точки
деления обоих способов — I и II. Если способу 111 отвечают суммы
sa и 53, то s1--S3-"^S3-<S2, так что и в самом деле Sy^S^
Заметив это, назовем через / точную верхнюю границу
множества {s} всех нижних сумм: /=sup{s}.
При всяком способе деления будет s-?/ -= S, и, следовательно
(в силу неравенства s«s;as=;S), (a — I\-^S — s.
216
Если взять произвольное е>0 и найти такое 6>0, что
неравенство | х" — х' | < б влечет неравенство , f (х") — f (x') \ < е, то при
Я<б окажется Ми — m*<e (k = Q, 1, ..., п— 1) и, стало быть,
S-s<e[g(*)-g(o)].
Отсюда и подавно при к < б будет
|o-/i<e[gF)-g(fl)].
й
Иначе говоря, limcr=/, так что / и есть интеграл \f(x)dg(x).
Из доказанной теоремы следует, что всякая функция с
конечным изменением интегрируема ио всякой непрерывной функции.
Вопрос о вычислении интеграла Стилтьеса будет подробно
рассмотрен в § 6, гл. IX. Сейчас мы ограничимся двумя
элементарными случаями.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на [а, Ь], а
функция g (x) в каждой точке [а, Ь] имеет производную g' (x),
являющуюся функцией интегрируемой (/?), то
ь ь
(S) \ / (л) dg (х) = (R) \ f {x) g' (x) dx. C)
а а
Доказательство. Из условия теоремы следует, что g(x)
удовлетворяет условию Липшица, а потому имеет конечное
изменение, и интеграл в левой части C) существует. С другой стороны,
функция g' (x), а с ней и произведение f{x)g'(x) почти везде
непрерывны, так что существует и правая часть C). Остается
убедиться в их равенстве.
С этой целью разложим [а, Ь] на части точками
х0 = а < xt <... < хп = Ь,
и к каждой разности g(xk+1) — g(xk) применим формулу Лагранжа
g (Xk+i) ~ ё (**) = g' (**) (**+l - **) (** < Л* < **+i).
ь
Если при составлении суммы о для интеграла \fdg мы в каче-
а
стве точки !/, возьмем именно точку хк, доставляемую формулой
Лагранжа, то сумма о примет вид
о = 2 / (х*) g' (**) (**+i - **)•
т. е. окажется римановой суммой функции f{x)g' (x). «Размельчая»
дробления и переходя к пределу, мы и получим равенство C).
Теорема 3. Пусть f(х) непрерывна на [a, b], a g(x)
постоянна в каждом из интервалов {а, сг), {с1у с2), ..., (ст, Ь), где1)
а < сг < е2 <... < ет < Ь.
х) Иначе говоря, g (х есть ступенчатая функция.
217
Тогда
\f(x)clg(x)=f(a)[g(a + O)-g(a)] +
а
in
+ 2,f(Ck)[g(c, + 0)-g(ck-0)] + f(b)[g(b)-g(b-0)]. D)
Доказательство. Легко видеть, что
V(g) = \g(a + 0)-g(a)\+ f] {\g(ck)-g(ck-Q)\ +
+ \g(ck + 0)-g(ck)\} + \g(b)-g(b-0)\,
так что функция g (х) имеет конечное изменение на [а, Ь], а
значит, и на всякой части [а, Ь]. Поэтому
\f(x)dg(x)='j] Yf(x)dg(x), E)
где положено сп = а, с„, i = b.
Остается вычислить интеграл ^ f{x)dg{x). Но разлагая
ск
[ск, ск+1] на части и составляя сумму а для интересующего нас
интеграла, мы, очевидно, будем иметь
о = / (Ы [g (с» + 0)-g (ch)] + f (?„_,) [g (c^) -g(ckl- 0)],
ибо все прочие слагаемые исчезают. Значит, в пределе
ck-i
\ f(x)dg(x)=f(ck)[g(ck + O)-g(ch)] + f(c^1)[g(c^1)-g(ck+1-O)],
ck
откуда, в связи с E), и следует D).
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], a g(x)
имеет на этом сегменте конечное изменение, то
\f{x)dg(x)
:M(f)-\(g), A)
где М (/) = max f (x) \.
Доказательство. Для любого способа дробления [а, Ь]
и любого выбора точек |ft будет
А = 0
*? М (/) I] g {х„Л - g (х„)! ^ М (/) • V (g),
откуда и следует A).
218
Теорема 2. Пусть на [а, Ь] задана функция с конечным
изменением g(x) и последовательность непрерывных функций {/,,(*)},
равномерно сходящаяся к (непрерывной) функции f(x). Тогда
ь ь
Umjfn(x)dg(x)=\f{x)dg(x).
Доказательство. Пусть М (/„ — f) — max | /„ (х) — /(*),•
То1да, в силу A),
]fa(x)dg(x)-\f(x)dg(x)
:M(fn-ft-\(g),
и остается заметить, что по условию УИ (/"„ — /)-> 0.
Теорема 3 (Э. Хелли). Пусть на сегменте [а, Ь] заданы
непрерывная функция f (х) и последовательность функций {gn(x)\,
которая в каждой точке [а, Ь] сходится к конечной функции g(x).
Если при всех п
V(g,,K/<< + ao,
а
то
ь ь
lim \l(x)dgn(x) = \nx)dg(x). B)
Доказательство. Прежде всего установим, что
V (g) < К, C)
а
так что н предельная функция имеет конечное изменение.
Действительно, если мы произвольным образом разложим сегмент
[а, Ь] на части, то будем иметь
т — 1
2 lfif«(jfftTi)-g»(**)i</C (п=1, 2, 3, ...),
откуда и в пределе (при n-vco)
Е I г (**-i)-ff(**) К я.
* = 0
Ввиду произвольности произведенного дробления, отсюда
следует C).
Заметив это, возьмем произвольное е > 0 и разложим [а, Ь]
точками [xk) (k = Q, I, ..., т) на столь малые части [хк, xfr+1],
что в каждой из них колебание функции f (х) оказывается меньше,
219
чем ^. Тогда
Ь т-\ *k+i
\f(x)dg(x)= ? I f(x)dg(x) =
k = 0 x.
m—\
Л*4-1
= 'l! \TlV(x)-f(xk)]dg(x)+ X /(**) \ d6(*)-
Ho
! = 0 Xh
*k+l
k = 0
^ dg (x) = g (xk+1) - g (xh).
С другой стороны, на сегменте [xk, xfe+1] будет
\f(x)-f(xk)\<±
Ж'
откуда
V-1
J U(x)-f(Xk)]dg(x)
A*.i
Ж
<\ (g).
и, стало быть,
т— 1 *k+l
У ) U(x)-f(x*)]dg(x)
k = 0 xh
Ж
v<*)^;-.
Таким образом,
т-\
jj / (х) dg (x)=yif (xk) [g(хк+1) -g(Хк)] + e I (i б к l).
A = 0
Аналогично
6 m-l
a ft=0
Но для n > л0 будет
m —1
m —1
^ / (**) [gn (Xk+i) - g» (X*)] - У f(Xk)[g(Xk+i)-g(Xk)]
k — 0
k = 0
<!-
и, следовательно, при этих п окажется, что
ь ь
\f(x)dgll(x)-\f(x)dg(x)
а а
а это и доказывает теорему.
220
<е,
С помощью доказанной теоремы мы можем свести вопрос
ь
о вычислении интеграла \>f(x)dg(x) (где функция f(x) непре-
а
рывна, a g (х) имеет конечное изменение) к тому случаю, когда
g{x) непрерывна.
Действительно, пусть g (x) произвольная функция с конечным
изменением. Введем в рассмотрение функцию скачков s (x)
функции g(x)
s(x) = [g(a + 0)-g(a)]+ 2 [g(Xk + 0)-g{Xk-0)] +
+ [g(*)-8(x-0)]-
Как установлено в теореме 7, § 3, g(x) = s(x) + y(x), гд,еу(х)
непрерывная функция о[раниченной вариации. Отсюда
\ f (х) dg (x) = \ f (x) ds (x) + \f (x) dy (x).
a
b
Покажем, что интеграл t\f(x)ds(x) легко вычисляется. С этой
а
целью отметим, что ряд
S {\g(Xk)-g(xk-0)\ + \g(xk + 0)-g(xk)\\
к = \
сходится. 1) Заметив это, введем функции sn(x), полагая s,t(a) = 0 и
Sn(x) = [g(a + Q)-g(a)] +
+ 2 \g(xk + 0)-g{xk-0)] + \g(x)-g(x-0)]
xk<x
для a<zx^b, причем учитываются только те точки разрыва хк
функции g(x), у которых k^n.
Ясно, что при каждом х из [a, b] lim sn(x) = s(x).
и—юо
С другой стороны,
V(s,) = '?(a + 0)-g(a)| + 2 {\g(xk)-g(xk-0)\ +
+ \g(Xk + 0)-g(xk)\} + \B(b)-g{b-0)\,
так что изменения всех функций sn(x) ограничены одним числом.
!) Действительно, если g(x) — n(x) — v(x), где я (х) и v (x) возрастающие
функции, то каждый из (положительных) рядов
со со
2 [я(^ + 0)-я(^-0)], ^ [v(** + 0)-v(*A-0)]
k=\ k=\
очевидно сходится, и остается заметить, что
«(**)-« (**-0)i +,g(xk + 0)-g(xk) <
=?[n(** + 0)-n(^-0)] + [v(*4 + 0)-v(^-0)].
221
Поэтому
* b
\f(x)ds(x)=hm \f{x)ckAx).
a n-»f a
Но функция st(x) постоянна в интервалах между точками
а, хи . , хп, Ь. Значит, в силу георемы 3, § 6,
ь
\ [ (х) dsn (г) = / (a) [g (a + 0)-g (a)] +
а
+ yf(x>)[g(xll + O)-g(xk-O)] + f(b)[g(b)-8(b-O)]
*—1
(ясно, что скачки функции sn(x) в точках а, х1 хп, b
совпадают со скачками функции g{x)). Отсюда
ь
\[(x)ds(x) = f(a)[g(a + O)-g(a)] +
+ 2lf(xl,)[g(xk + 0)-g{xk-0)) + f(b)lg(b)-g(b-0)]t
6
и для нахождения интеграла \f(x)dg(x) остается вычислить
а
h
\f (x) dy(x), где у (х) непрерывная компонента функции g(x).
Обратим внимание читателя на то, что само значение g (xk)
функции g(x) во внутренней точке разрыва хк никакого вли-
ь
яния на величину интеграла \fdg не оказывает Это вполне
естественно, ибо точку хк мы можем не включать в число точек
деления при составлении суммы ст.
§ 8. Линейные функционалы
Пусть на сегменте [а, Ь\ задана функция с конечным изменением g (х)
Эта функция позволяет каждой непрерывной функции / (х), заданной на
[а, Ь], соотнести число
/)
O(f) = \f(x)dg(x). A)
а
При этом соблюдены услония.
1) ф(/1 + /2) = ф(/1)-|-ф(/2)
ь
2) \0>(f)\^KM(f), где M(f) = max /(*) , a K*=V (g).
a
Если каждой непрерывной функции f(x), заданной на [а, Ь], соотнесено
число Ф (/"), причем соблюдены условия 1) и 2), по говорят, что на
множестве С непрерывных на cei менте [а, Ь\ функции задан линейный функционал.
222
Оказывается, что чпк.жих др\гих лнменных функционалов, кроме A), на
множестве С не существует
Прежде чем доказать это предложение, отметим, что для всякого линрн-
ного функционала Ф (/) на множестве С -б^дет ф(?/) = &ф(/), что
докатывается так же, как для случая функционалов, заданных на L2 (см гл VII, § 4)
Теорема (Ф. Pull). Если на множестве С непрерывных в сегменте [а, Ь\
функций f (х) юдан линейный функционал Ф (/), то существует такая
функция ограниченной вариации g (х), что дгя всякой f (л) е С будет
л
Ф (/)=$/(*)*(*) A)
Доказательство Достаточно рассмотреть случай, когда а — 0, /> = 1,
ибо общий с 1} чаи сводится к этому с помощью линейного преобразования
аргумента
п
В § 5, гл IV отмечалось, что ^ Cknxk (\- x)n~k=\.
*-0
Кроме того, при х е [0, 1] каждое спагаемое этой суммы не отрицатепьно.
Значит если t^= i I (k~0, I, , n), то
2 е*ф*A-*)»"*
k = o
B)
Заметив это, рассмотрим линейный функционал Ф (/) заданныи для
непрерывных на [0, 1] функций / (х) По определению линейного функционала,
существует такое К, что | Ф (/) s? AT M (/) Отсюда и из B)
2 8#Ф[С*ДС* A-Х)»"*]
fe = 0
к.
Если мы распорядимся числами efc так, чтобы все слагаемые последней
с^ммы были неотрицательны, то обнаружим, что
2 ф [c*jt* A —*)«-*] | ^ /с.
4 = 0
Введем теперь ступенчатую функцию gn (x), полагая
*«@)=0,
ёп(х) = Ф[С^A-х)п-о^
г„(*) = Ф[С^A -*)« °] + Ф[С,',^ A-л)»-1]
C)
о<,<-),
2J
/1 — 1
п
gn(x)= 2 Ф|С***A-дс)»-*]
и 1
-«?*<
tfnO)= 2 Ф[С*х*A-дг)»-*].
*^о
В силу C), сами функции g,, (г) и их полные изменение ограничены
одним числом Поэтому, на основании принципа выбора Хелли, ш после^о
вательности {gn(x)\ можно выделить подпоследовательность ign (*H, которая
в каждой точке [0, 1] сходится к функции с конечным изменением g (x).
223
Если f (х) непрерывная функция, заданная на [О, 1], то в силу тео
ремы 3, § 6,
1 п
\ /(*)*»(*) = ^ /(?)Ф1С*** 0-"
А = 0
п
откуда jj /<*)*,<*) = Ф[йя(хI, гдеВп(л;)=2 /'-? )СМ1 -*)"
О * = 0
потином Бернштейна для функции f (х)
В силу теоремы С Н Бернштейна из § 5, гл IV М (Вп — /) —* 0, а по
определению линейного функционала
Ф(В„)-Ф(/) = Ф(В„-/) -<КМ(Вп-П.
Значит, при п —г оо Ф (В„) —> Ф (/), откуда
Но если п стремится к+оо, пробегая значения П], п.%, па, , то по тео-
1 |_
реме Хелли из § 7 будет hm \ f (x) dgn (х) = \ f (x) dg (x)
1
Значит, Ф (/)= \ / (х) dg (x), что и требовалось доказать
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
1. Для того чтобы функция f (к) имела конечное изменение, необходимо
и достаточно, чтобы существовала такая возрастающая функция ф(д;), что при
2. Если в каждой точке множества Е существует производная /' (*) конеч
ной функции f (х), причем f (х) аг- К, го m*f([) К т*Е
3. Функция / (х) удовлетворяет условию Липшица порядка а > 0, если
/ (х ) — / (х1) \ г= К | х" —х' \а Показать, что при а > 1 / (х) = const Построить
пример функции с конечным изменением, которая не удовлетворяет никакому
условию Липшица Построить функцию, удовлетворяющую условию Липшица
данного порядка а < 1 и имеющую бесконечное полное изменение
Ь
4. Интеграл [ ((х) dg (x) существует, если / (х) удовлетворяет условию
а
Липшица порядка a, a g (x) — условию Липшица порядка fj, причем a + fi> 1
(В Кондурарь)
X
5. Если / (х) непрерывна, а g (х) имеет конечное изменение, то \ / (х) dg (x)
а
есть функция с конечным изменением, непрерывная во всех точках
непрерывности g (х)
6. Пусть дана числовая последовательность ц0, |ilr (i2i Положим Д°цп. =
= цл, Д*11fin = A*fin — A*|.in+1 Для того чтобы существовала
возрастающая функция g (x), для которой
\x"dg(x) = lin (п = 0, I, 2, ), (I)
необходимо и достаточно, чтобы при всех k и п было Д*ц„ 5= О (Ф Хаусдорф).
224
7 В тех же обозначениях для существования функции с конечным ичме
нением g (а), здовлсгворяющеи условию (I), необходимо и достаточно, чтобы
п
при всех п было ^ С* Дя *|х* -_ Л (Ф v а> дорф)
*- о
8 Показать, чю теорема Рисса из § 8 есть следствие теоремы Хаусдорфа
сформулированной в предыдущем упрлжпенип
9 Множество r=\f{x)\ состоит из равноап шнных шnptрывных функций,
если всякому ь>0 отвечает такое S>0 что неравенство л: — лг <6 в те
чет неравенство f (х ) — /(«) <е для всех функции ич Г Е^пи в е функ
цин такою бесконечного множества Г ограничены одним чпгл )ч то ич F
выделяется р шномерно сходящая я посчед^ватетыюсть (Ц \рцела —
Дж \сколи)
ь с ь
10 Дока!?1ть равенство V (/) —V (/)+ V (/) для непрерывной функции
а о с
f(x), onnpjfli_b на георему Ьанаха из § 5.
ГЛАВА IX
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ {. Абсолютно непрерывные функции
С классом функций ограниченной вариации тесно связан более
узкий класс абсолютно непрерывных функций.
Определение. Пусть на сегменте [а, Ь] задана конечная
функция f(x). Если всякому е>0 отвечает такое б > О, что дпя любой
конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов
(alt bj), ... (ап, bn), для которой
оказывается
Ц (bk-ah)<8
V ij(bk)-f(ak)}
:е,
A)
B)
то говорят, что функция /(х) абсолютно непрерывна.
Очевидно, что всякая абсолютно непрерывная функция
непрерывна в обычном смысле слова, ибо в частности можно взять
п=\. Ниже мы увидим, что обратное неверно.
Не изменяя смысла определения, мы можем условие B)
заменить более тяжелым условием
X I/(&*)-/(а*) 1<е.
C)
k^ I
Действительно, пусть число б > 0 таково, что из A) вытекает
неравенство
я
2 №)-/Ы}
* = 1
<!•
Тогда, взяв любую систему взаимно не пересекающихся
интервалов {(ак, bk)j (k=\, 2, ..., п), для которой выпотнено A), мы
можем разбить эту систему на две части А а В, отнеся в А те
интервалы (ak, bk), для которых f(bk) — f(ak)^sQ, а в В все
226
остальные интервалы системы. Ввиду очевидных соотношений
2 \f(bk) -/Ы| = ^№)-/Ы}
А А
<*¦
ясно, что выполнено C).
Поскольку все сигаемые суммы C) неотрицательны, а число
их произвольно, ясно, что всякому s>0 отвечает такое б>0,
что какую бо1 конечную или счетную систему взаимно не
налегающих интервалов {(ак, Ьк)\, для которой У] (Ьь — ак) <б, ни взять,
окажется, что
i;i/(M-/Mi<e.
Покажем, что вместо абсолютных приращений функции f (х)
можно говорить о ее колебаниях.
В самом деле, если наибольшее и наименьшее значения / (х)
в сегменте [ак, btl\ суть тк и Мк, то в \ak, Ьк\ можно найти такие
точки ак и pft, что /(a,,) = mfe, /(Pfc) = Mfe.
Поскольку сумма длин интервалов (a*, pfr), очевидно, не
превосходит суммы длин интервалов (ak, Ьк), ясно, что
2№)-/(а*)]<Е-
Итак, если функция f (х) абсолютно непрерывна, то всякому
е>0 отвечает такое б>0, что какую бы конечную или счетную
систему взаимно не налегающих интервалов {(ак, Ьк)\, для которой
^](Ьк — aft)<6, ни взять, будет ^]@*<e) гДе, как обычно, <пк
k к
означает колебание f(x) на [ак, Ьк].
Простейшим примером абсолютно непрерывной функции может
служить любая функция f(x), удовлетворяющая условию Липшица
i/(*')-f(*')i<Ki*'-*'i.
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) абсолютно непрерывны,
то абсолютно непрерывны и их сумма, разность и произведение.
Кроме того, если g (x) не обращается в нуль, то абсолютно непре-
flx)
рывно и частное
gW
Доказательство. Абсолютная непрерывность суммы и
разности сразу следует из того, что
\{f(bk)+g{bk)}-{f{ak)±g(ak)\
¦¦\Hbk)-f(ak)\ + \g(bk)-g(aky.
227
Далее, если А и В суть верхние границы \f(x)\ и \g(x)\, то
I / (Ь>) g (bk) - / Ы g (ак) | < | g (Ьк) | ¦ l f (btl) - f (ак) I dr
+ \f (a^l-lgib,,)- g (ak)\ -^ B\f (bk)~-f(ak)\ + A\g(bk) - g(ak)\,
откуда следует абсолютная непрерывность функции f(x)g(x).
Наконец, если g(x) не обращается в нуль, то g{x)'?^a>0, откуда
1 1
Ф
8 ('>') ~g <ак)
g (Ы g (a/,-)
я^гп гттптип мрггпрпр-
gW
1 {l>k) g (а/,-)
и функция —г-.- абсолютно непрерывна, а потому абсолютно
непрерывна и функция ^ =--/(*) •—.
Суперпозиция ^[/(х)] двух абсолютно непрерывных
функций Z7 (у) и /(*) может и не быть абсолютно непрерывной
функцией. Ниже мы вернемся к этому вопросу, а пока приведем два
простых условия, обеспечивающих абсолютную непрерывность
суперпозиции двух абсолютно непрерывных функций.
Теорема 2. Пусть на сегменте [а, Ь] задана абсолютно
непрерывная функция [(х), значения которой попадают в сегмент [А, В].
Если заданная на [А, В] функция F(у) удовлетворяет условию
Липшица, то сложная функция F[f(x)] абсолютно непрерывна.
Доказательство. Если \F{y") — F (у') \ К\у" — у'\, то
какую бы cucieMy взаимно не налегающих интервалов (а/;, bk)
п п
ни взять, 2] iF\}(bk)]-F\}(ak)\x<K % /(&*)-/(<**). а пра-
* =- I к - I
вая часть этого неравенства становится сколь угодно малой
п
вместе с У] (bk - ak).
k = i
Теорема 3. Пусть абсолютно непрерывная функция f(x),
заданная на [а, Ь], строго возрастает. Вели F (у) абсолютно непрерывна
на [I (а), [ (Ь)], то функция F[f(x)] абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Доказательство. Возьмем е > 0 и найдем такое 6 > О,
что для любой системы взаимно не налегающих интервалов (ЛА, Вк),
п п
у которой ? (В„-Ак)<6 будет У] F(Bk)-F(Ak), <e.
Затем найдем для этого 6 такое i| > 0, что неравенство
т ш
V (bk — ak) < ii влечет неравенство У] [/(&/,) — f (ak)] < 6, если
* — i к — i
только интервалы (а,, Ь,) попарно не пересекаются.
Сделав это, выберем любую систему попарно не
пересекающихся интервалов (ак, ft/,), у которой сумма длин меньше i].
Интервалы (f{ak), /(Ь/,)) тоже попарно не пересекаются (в этом
//I
суть дела) и их сумма длин меньше б, а потому V tF[f(bk)] —
к= I
— f[f(ak)]\ <e, что и доказывает теорему.
228
§ 2. Дифференциальные свойства
абсолютно непрерывных функций
Теорема I. Абсолютно непрерывная функция имеет конечное
изменение.])
Доказа1ельство. Пусть на сегменте [а, Ь] задана
абсолютно непрерывная функция f(x). Найдем такое 6>0, что для
всякой системы взаимно не налегающих интервалов {{ah, bk)\,
п п
у которой У] (bk - afr)< б будет _? | f {bk) - f (ok) < 1.
it ^ i л — i
Разложим [a, b] точками cn = a <<ct <; с. < ... < сv — 6 на такие
части, что cfe x — с^<5 (k = 0, I, ..., /V~l).
Тогда, при всяком разложении сегмента [ch, ck x] на част,
сумма абсолютных приращений f(x) на этих частях окажется
меньшей, чем 1, откуда V (/)^1, а тогда \(f)^N, что и
ск а
требовалось доказать.
Следствие. Если f (х) абсолютно непрерывна на [а, Ь], то
почти в каждой точке [а, Ь] эта функция имеет конечную
производную f (x), которая оказывается суммируемой функцией.
Теорема 2. Если производная f (x) абсолютно непрерывной
функции f (x) почти везде равна нулю, то функция f (x) постоянна.
Доказательство. Назовем через Е множество тех точек
(а, Ь), где /'(л") = 0. Пусть е>0. Если лге?, то для всех
достаточно малых /г > 0 оказывается
lf(x+h)-j(x)\ ,.н
Легко понять, что сегменты [х, x + h] [где /г>0
удовлетворяют условию (*)] покрывают множество Е в смысле Витали.
Поэтому мы можем выбрать из них конечное число попарно
не пересекающихся сегментов
dx^ta, Xi + lii], с!2 = \х,, Xi + lu], ..., dn = [xn, xn + hn],
лежащих в интервале (а, Ь) и таких, что внешняя мера не
покрытой ими части множества Е окажется меньшей любого наперед
заданного числа 6>0. Пусть это сделано и xk<ixkvl.
Если
[a, Xj), (jq-b/i,, x,), ..., (л\,_[ + Л«-ь хп), (xn + /in, b] A)
суть промежутки, остающиеся после удаления из сегмента [а, Ь]
всех сегментов dk(k= 1, 2, ..., п), то сумма длин этих проме-
х) Отсюда уже вытекает существование непрерывных, но не абсолютно
непрерывных функций (например, такова функция х cos ^-; см. гл. VIII, § 3).
\ 2.X )
229
жутков необходимо будет меньшей, чем б. Это следует из того,
что
Ь-а = тЕ^ 2 mdk + m*\E- 2 <М<.? mdk + b,
к = \ L к = \ Л к=\
откуда
п
У] mdk>b-a-b.
Но функция /(*) абсолютно непрерывна. Поэтому число S
можно считать выбранным настолько малым, что сумма
приращений f(x) на промежутках A) меньше е
\{f(xl)-f(a)} + '? {/(W-/(** +А*)} +
+ {f{b)-f(xn + hn))\<t. B)
С другой стороны, в силу самого определения сегментов dk,
будет \f(xk + hk) — f(xk)\<ZEhk, откуда и подавно (поскольку
1К = V mrfft =s= b - а)
2 {/(** +A*)-f(**)!
А=1
<еF-а). C)
Из B) и C) следует, что 1/F) — /(а) I <f (I -(-6 — а) и, в силу
произвольности е, f(b) = f(a).
Это рассуждение можно провести для всякого сегмента [а, х],
где a<xsr~6. Поэтому для любого х из [а, 6] будет f(x) = f(a),
и функция /(л:) оказывается постоянной.1)
Следствие. Ес.ш производные /' (х) и g' (x) двух абсолютно
непрерывных функций f(x) и g(x) эквивалентны, то разность
этих функций постоянна.
В самом деле, если удалить из [а, Ь] множество меры ну ib
точек, в которых хоть одна из функций f(x) и g(x) не имеет
конечной производной, пли их производные не равны между
собой, то в любой оставшейся точке будет [/(*) — g(x)\' =0.
§ 3. Непрерывные отображения
В § 2 гл. VIII мы уже имели случай остановиться на понятии
отображения точечного множества с помощью некоторой функции. Здесь мы
продолжим эти рассмотрения. Чюбы не повторять каждый раз одного и гого же,
условимся раз навсегда, чю t (x) означает непрерывную функцию, заданную
на сегменте fa, b].
Теорема 1. Образ f (F) замкнутого множества F есть замкнутое
множество.
:) Из доказанной теоремы следует, что непрерывная функция 0 (х),
построенная в § 2 гл. VIII, заведомо не абсолютно непрерывна,
230
Доказательство. Пусть уа есть предельная точка множества / (F)
у0 — hm уп [yn<=j (F)\. Соотнесем каждой точке уп так>ю точку хп е F,
п ->оэ
ЧТО f (*„) = (/„.
Так как последовательность {хп} ограничена, то из нее выделяется
сходящаяся подпоследовательность \хп I
причет, в силу замкнутости множества F, r,ef и, стало быть, j (xa) е/(Л.
С другой стороны, из непрерывности функции / (х) следует, чго
limj^hm/^J =/(*„),
так что yn = f (х0) и </(, е/(Г). Таким образом, множество [ (F) содержит все
свои предельные точки.
Hi сопоставления этой теоремы с теоремой 1, § 2, гл VIII вытекает:
Следствие. Если Е есть множ( ство типа Fa, то и образ его [ (Л есть
множество типа Fo.
Займемся вопросом о том, сохраняется ли свойство измеримости
множества при его непрерывном отображении. Для решения этого вопроса
понадобится следующее определение, принадлежащее Н. Н Лузину.
Определение. Если образ / (?) любого множества е, имеющего меру,
равную нулю, также есть множество меры нуль, то говорят, что функция f (x)
обладает свойством (N).
Теорема 2. Дач того чтобы образ f (Е) любого измеримого множества Е
представлял собою измеримое множество, необходимо и достатомо, чтобы
функция j (x) обладала свойством (Л').
Доказательство. Пусть f (х) обладает свойством (N) и Е есть
измеримое множество, лежащее на [о, Ь\. Тогда E — A-j-e, где А есть множество
типа Fa, a e — множество меры О.1)
Значит, f (?) = / (Л) + /(е) и, следовательно, множество / (?) измеримо.
Теперь допустим, что функция f (х) свойством N пе обладает. Тогда
найдется лежащее на сегменте [а, Ь] множество с„, мера которого равна нулю,
но внешняя мера образа которого положительна т*\ (е0) > 0.
Но тогда из множества / (еа) можно выделить неизмеримую часть В.2)
Соотнеся каждому jefi такое iEt0, что f(x) = y, мы получим прообраз А
множества В, причем А а е0. Ясно, что множество А измеримо, ибо т' А =~
^/п?0 = 0. В то же время множество f(A) = B неизмеримо, т. е. наша
функция / (х) отображает измеримое множество в множество неизмеримое.
Теорема 3. Абсолютно непрерывные функции обладают свойством (N).
Доказательство. Пусть функция f (x) абсолютно непрерывна и
множество Е имеет меру 0. Установим, что т\ (?)=0. Для этого допустим
сначала, что точки а и Ь не принадлежат Е, так что Е а (а, Ь).
Взяв произвольное е >¦ 0, найдем такое б > 0, что для любой конечной
или счетной системы взаимно не налегающих интервалов {(a/,, ft/,)}, сумма
длин которых меньше б, будет ^ (Мк — тк) < р, где, как обычно, тк =
= min {/ {х)\, М* = гпах [{(х)} (х е [ак, Ь„\).
х) Чтобы доказать это утверждение, достаточно всякому натуральному п
соотнести замкнутое множество FncE с мерой mFn>mE и положить
1] Fn.
л = 1
2) Если f (еа) неизмеримо, то полагаем В=}(е0), в противном случае
применяем предложение, доказанное в конце § б гл. III.
231
Поскольку тГ =0, можно найти такое открытое ограниченное
множество О, что Е с G, inG < б.
При этом можно считать, что G cz (а, Ь) (ибо Е содержится в эюм
интервале). Но G есть сумма своих составляющих интервалов (яд,, Ьк), сумма длин
которых, стало быть, меньше б. Значит
/ (Е) <= { (G) = ^ I [(ак, Ьк)\ с X f (\ак, Ь„]),
к к
откуда
m*i(r.)^.?m*f([ak, Ь„]).
k
С другой стороны, ясно, что / ([ак, b(l]) = [mfl, Мк\ и, следовательно,
т*1(Е)^%(Мь-тк)<е.
к
Отсюда, ввиду произвольности е, и вытекает, что ;д/:(Г)=0.
Переходя к общему случаю, достаточно ошетнть, что выбрасывание из
множества Е точек а и b влечет удаление из множества f (E) не больше чем
двух точек / (а) и / (Ь), что, как известно, не отражается на мере
множества f (E).
Следствие. Абсолютно непрерывная функция отображает измеримое
множество в измеримое множество.
Мы видели, что всякая абсолютно непрерывная функция имеет конечное
изменение и что она обладает свойством (V). Оказывается, что эти два
свойства характеризуют абсолютно непрерывные функции.
Теорема 4 (С. Банах—М. А. Зарецкий). Если f (x) есть непрерывная
функция с конечным изменением, обладающая свойством N, то чта функция
абсолютно непрерывна
Доказательство. Допустим, что / (х) не абсолютна непрерывна
/1
Тогда найдется такое е0 > 0, что ни при каком б > 0 неравенство ^ (Ьк — а^) <.
4=1
<б [при взаимно не налегающих интервалах (а^, Ьк)\, вообще говоря, не
п
обеспечивает неравенства ^ (М^ — тк) < е0.
Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд ^ б, и дтя каж-
дого б,- найдем такую систему взаимно не налегающих интервалов {a(l^' b^j
(k=[, 2, ..., п,), что
2№-4'))<вь 2 К"-«1°) з=^о,
где М^ и mj,1' суть наибольшее и наименьшее гшачешш /(г) в Ifl^1', b}j4.
п. о
Положим, ?,= ? (ag), ь"), А= \\ >_] С,.
Легко видеть, что тЛ = 0, откуда следует, что
тЦА) = 0. A)
Введем в рассмотрение функцию L^ (у), равною ] или 0, смотря по
тому, есть или нет хоть один корень уравнения
/(*)=*/ B)
232
в интервале (aj,'\ '->/;'). Эта функция равна единице при </, содержащемся в
интервале (т^\ Afj,'*) и рагна нулю при ij, лежащем вне сегмента \>и^\ М^\,
так что •)
м
\ LPb,)dy = Mp-mP. C)
Пусть Л'((у)= 2 L^} (у). Ясно, что .V, (у) есгь чиспр тех интервалов
(а?\ &1Я), в которых есгь хоть один корень уравнения B). Поэтому
N,(y)^N(y), D)
где /V ((/) есть индикатриса Банаха функции / (х). В силу C),
М
\ N, (у) dy -5- е0. E)
т
Для доказательства теоремы достаточно обнаружить, что почти для всех
у из [т, М\ будет
lini Л;,((/)=0, F)
ибо индикатриса Банахч N (у) с\миир\еми, и hj D) и F) будет следовать,
м
что lim ( NL (у) dy = 0, а это противоречит неравенству E).
Обозначим через В множества rex точек у, в которых F) не выполняется,
а через С множество тех у, в коюрых /V ((/) = -+- х\ Поскольку Л/ ((/) есть
суммир\емая функция, /7iC = 0, и для доказательава теоремы достаточно
установить, что
B-Cczf(A). G)
Пусть tjo<=B — C. Тогда найдется такая последовательность \ir), что
Л^Ыгг! (»" = 1. 2, 3, ...).
Это значит, что существует при каждом г такая точка х\г, что
f(Xir) = ya, Ч, е?,>.
Но, ввиду того что /V (уи) <с + со, среди точек х1г может быть лишь
конечное число различных. Поэтому одна из них —назовем ее через
Повстречается в последовательности \х,Л бесконечно много раз.
Итак, нами найдена такая точка х0, которая принадлежит бесконечному
множеству множеств ?,-, и в которой f(xo)=yQ.
Но тогда, очевидно, что д:0 е А, а стало быть, yat=f(A). Этим доказано
включение G), а с ним и георема.
Теорема 5 (Г. М. Фихтекгольц). Пусть F (у) и f (x) две абсолютно
непрерывные функции, причем значения f (x) падают а сегмент, на котором
задана F (у). Дгя того чптбы суперпозиция F [f (х)\ была абсолютна
непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечное изменение. 2)
Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна. Чтобы
доказать его достаточность, отметим, что суперпозиция двух функций,
обладающих свойством (/V), также, очевидно, обладает этим свойством.
!) Как обычно, ш = гшп {/ (х)}; М = тах{1(х)}.
2) Впервые эта теорема была найдена Г. М. Фичгенп льцем в 1922 г.
В 1925 г. желая дать новое ее доказательство, М. А. Зарецкин установил
теорему 4, которую тогда же нашел и С. Банах.
233
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега
Пусть на сегменте [а, Ь] задана суммируемая функция f(t).
Функция
<b(x) = C + ]f(t)dt
а
называется неопределенным интегралом (Лебега) функции f{t),
так что у последней есть бесконечное множество неопределенных
интегралов, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.
Теорема 1. Неопределенный интеграл Ф (х) есть абсолютно
непрерывная функция.
Доказательство. Для любого е>0 существует (см.
теорему 8, § 2, гл. VI) такое б > 0, что для всякого измеримого
множества е с мерой те<8 будет ^{(fydt <e.
В частности, если сумма длин конечной системы взаимно не
налегающих интервалов (ak, bk) меньше, чем б, то
п b <
Z V(f)dt
= 1 aL
и остается заметить, чго
\f{t)dt = <b{bk)-<b{ak), откуда
<е,
2{ФF*)-Ф(а*М
*=i
<е.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что Ф (х) почти везде имеет
конечную производную, являющуюся суммируемой функцией. Однако,
можно установить гораздо более точное предложение.
Теорема 2. Производная неопределенного интеграла
<b(x) = \f(t)dt
а
почти везде равна подынтегральной функции f{x).
Доказательство. Пусть р<<7Два вещественных числа.
Обозначим через EPi<l множество тех точек [а, Ь], в которых
функция Ф (х) дифференцируема и ее производная Ф' (х)
удовлетворяет неравенству Ф' (х) > q> p >f(x). Легко видеть, что
множество Et,,q измеримо. Нашей ближайшей задачей является
доказать, что
т?р., = 0. A)
С этой целью, взяв произвольное е > 0, найдем такое б > О,
что неравенство me<ib влечет неравенство
t)dt
<в,
234
и построим такое открытое множество1) Gcz[a, b], что
Сз?,,,„ mG<m?1Pi9 + 6.
Если j;e?M, то при всех достаточно малых Л>0 окажется
*(* + *)-*(«>>,,. B)
Ясно, что множество ?р, 4 покрыто сегментами [х, х + ^| [где
&>0 удовлетворяет условию B)] в смысле Витали.- Можно
считать при этом, что все сегменты [х, х-{-/г] лежат в С Поэтому
можно выделить такое счетное множество этих сегментов
[хъ *i + /ii], |>2, л-., + /г,], ...,
чтобы они попарно не пересекались и чтобы оказалось
I - *=i J
В силу B), окажется, что
jj f(t)dt>q.
>b + hk
_1_
Если мы положим 5=^] [xk, xk-\-hi,], то из последнего нера-
венства следует, что \ f (t) dt>q ¦ mS, или, что то же самое,
*s
5 / (О Л > q [тЕр, „ + бе] @ ^ 8 ^ 1). C)
s
С другой стороны, S cz.G, а потому S — EPi9 czG — Ep<q и
m[S-EPi4]<6, так что
\ f (t) dt < e,
s~bp.o
и следовательно,2)
5/@Л< $ f(t)dt + e. D)
s ?P.9
Но на множестве Яр,, будет f(t)<p и, стало быть,
^ f(t)dt^p-mEp,q. E)
?..9
!) Можно считать, что точки а и Ъ не входят в E,,,q; пусть, кроме того,
i<e.
2) Следует обратить внимание на то, что т(Ер, q — S) = 0 и, стало быть,
\ /Л= \' /Л-
235
Из C), D) и E) следует, что q[mEp, q + бе] <ртЕг„ ,,-f-e,
откуда, ввиду произвольности е, вытекает, что qmEPtq^pmEPi4,
а это возможно лишь при tnEPi q = 0.
Итак, равенство A) доказано.
Пусть теперь Е обозначает множество тех точек [а, Ь], в
которых функция Ф(х) дифференцируема и Ф' (х)> f{x).
Тогда Е= ? EPtq, где суммирование распространено на все
(Р. Ч)
пары (р, q) рациональных чисел, в которых p<.q. В силу A)
будет т? = 0.
Иначе говоря, если А есть множество точек, в которых
существует производная Ф' (х), то почти везде на А будет
Ф'(*)^/(*)- F)
х
Отметив это, положим g (х) = — f (х), Г (х) = jj g (t) dt.
a
Легко понять, что Г (дг) = — Ф (*), так что Г'(а:) существует
во всех точках А. Применяя уже доказанную часть теоремы к
функции Г (л:), получим, что почти везде на А
или, что то же самое,
Ф'(*)>/(*)• G)
Из F) и G) следует, что почти везде на А, а значит, и
почти сезде на [а, Ь]
Ф'(*) = /(*).
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Абсолютно непрерывная функция является
неопределенным интегралом своей производной.
Доказательство. Пусть функция F (х) абсолютно
непрерывна. Ее производная F' (х) существует почти везде и
суммируема.
Л"
Положим, Ф (л') = F (fl)-j- [f (f) dt. Эта функция также абсо-
а
лютно непрерывна и почти везде Ф' (х) = F' (х).
Значит (следствие теоремы 2, § 2), разность F (х) — Ф (х)
постоянна, но, так как эта разность обращается в 0 при а' = а,
то функции F (х) и Ф(х) тождественны.
Теорему 2 можно значительно усилить. Для этого дадим
Определение. Если в точке х будет f {х) ^ ±. <х и
x + h
Hm J \ \f(t)-nx)\dt = O,
х
то точка х называется точкой Лебега функции f(t).
236
Теорема 4. Если х точка Лебега функции / (t), то в этой
X
точке неопределенный интеграл Ф (х) = \ / (/) dt имеет производной
число f (х).
Доказательство. Легко видеть, что
Ф (у +/;)-Ф (л)
h
Л'-f- П
откуда
Ф(у + /р-Ф(*)
x+h
-f(*)\<-\ ) \f(t)-f(x)\dt,
что и доказывает теорему. Заметим, что обратное предложение,
вообще говоря, неверно.
Теорема 5. Если функция f(x) суммируема на [а, Ь], то
почти всякая точка [а, Ь] есть ее точка Лебега.
Доказательство. Пусть г — рациональное число. Функция
\f{t) — r суммируема на [a, b], a потому почти для всех точек
л:<= [а, Ь] будет
х+ h
lim
U ,/@-г|СК = 1/(х)-г|.
(8)
Обозначим через Е (г) множество тех точек [а, Ь], в которых (8)
не выполняется. Ясно, что тЕ(г) = 0. Перенумеруем все
рациональные числа и положим
Е= X ?(гя) + ?(/|=+ оо).
/i^ i
Тогда тЕ^О, и достаточно обнаружить, что все точки
множества [о, Ь] — Е с)тъ точки Лебега функции /(/).
Пусть л-{|е [а, Ь\ — Е. Возьмем произвольное е>0 и найдем
такое рациональное число г,„ что J(xo) — rn < !j .
Тогда, очеьидио, <\[(t) — rn'— f(t) — )'(xll) < ..и, стало быть,
Ло+ '' л„-(- /l
\ \f{t)-rn\dt-l jj ,/@~/(А-„) (It
h
A.I A „
Но (поскольку л„ е?) Для |/г|<б(е) окажется
e
~ 3 '
h
^ ,i(t)-rn\dt-\t(xa)-ra
т. e.
А,Н Л
\ ,Ht)-ra tit < з Е,
237
и, стало быть, для этих h будет
] \ \f(t)-f(xoLt<e.
Теорема 6. Всчкач точка непрерывности суммируемой
функции f (х) есть ее точка Лебега.
Доказательство. Пусть fit) непрерывна в точке х. То1да
всякому е>0 отвечает такое б > 0, что при t — xj<cS
окажется \f(t) — f(x)\<Ce. По тогда при Л <б будет
I J \f(t)-f(x)\dt-
<е,
откуДа и следует теорема.
Из теорем 1 и 3 вытекает, что для того чтобы функция Ф (х) сл\жила
неопределенным iimei ралом с\ммир5ечой функции, необходимо и достаточно,
чтобы она была абсолютно непрерывна В связи с этим естественно постаригь
вопрос о характеристическом признаке санкции, являющемся неопреде пенным
интегралом функции, входящем в Lf при р ,-> 1 Ответом служит
Теорема 7 (Ф. Рисе). Для того, чтобы функция I (x) (asSLx^b)
представлялась в форме
F(x) = C + *\f(t)dt, (9)
а
где f(/)ei| (p ~> '). необходимо и достаточно, чтобы при всяком разложении
[а, Ь\ на части точками а — х0 < хх <. х2 < <хп = Ь было
"х n*^)-F(*k)p ^ к 0
где К не зависит от способа разложения [а, Ь] г)
Доказлельство. Необходимость условия A0) почти очевидна.
В самом деле, в снл\ неравенства Гельдера [глава 7, § G, формула A)]
\FD+i)-r(xk) =
где q = —^-р. Откуда
**+i
\ /W
dt
"k
**+i
lf?r:^"'""-'
и выполняется A0), причем за число К можно принжь интеграл [ f (t) p dt.
') 1"сми р— 1, тг A0) есть \словие конечности изменения функции F (х).
Таким образом, это условие остается необходимым, но перестает быть
достаточным для представимости Г (х) в форме (9) с f(t)^L.
238
Достато шость усповпя A0) устанавливается сложнее Прежде всего
замены, что неравенств" A0) лишь \иппи.я, ее пи отбросить некоторые слагаемые
из его левой части Kuhomv д 1я любом конечной системы взаимно не нале
гающнх интервалов (ah, bk) (ft—I, 2, , п), содержащейся в [а, Ь], будет
X [F(I>,)-F{at) P
Я = 1
Но, в силу с^мматорного неравенства Гель^ера [гл VII, § 6, формула (8)j,
*=Г k=\
Фк-аь) "
n а г п
у \F(b,)-F(ak) p л у
k=\ k=l
и, стало быть,
llFibkJ-Fia*) ^ 1 К I/ У (bk-ak),
откуда вытекает абсолютная непрерывпость функции F (х) Значит, эта
функция представпма в форме (9), где f (I) e L. Остается обнаружить, что
/ W е= L,.
С. эточ целью, разложив [а, Ь] на п равных частей точками ^^"'=0 +
k
-\- (Ь — а) (k = 0, 1, . ., и), введем ф)нкцию \n{t), полагая
F /'v(n) \_г (у(")\
Xh Л- I X h
InW- м -<7о • если х* <t<xk+x-
В самих же точках лечения полагаем /„ (*ji,'!>) = 0
Легко видеть, что почти везде [исключение могут составить ючки деления
И точки, в которых F' (х) Ф\ (х)\ будет l) Mm fH(t)^f(t). Отсюда, по теореме
п-*со
Фату
ь <ь \
\\\{t) РЛ-gsup J\" /„« РЛ|.
J [а )
!) Если точка х не является точкой деления и в ней существует опреде
ленная F' (а), то х лежит в каждом из бесконечной последовательности интер-
валов J4"), *l;"+i) («=-!- 2. 3- )• TdK как **"„', \~х{к1 = ^Г~-*й' то
r(A<">MW(A) rw-!rD'0) "
каждое из отношении —-—"- , г~^ ^ возрастанием п
х\"> , х х—хг'
стремится к Р (а) Но fn (а) — :—^- т^~—!i-L лежит между зтими отно-
шениями и питому Inn jn(x) = F' (к).
п—юо
239
Но
In)
Ь п — I ЬЛ- I n -
и, стало быть, I f (/) '' dt <C -f-со.
Теорема доказана.
В заключение рассмотрим вопрос о том, каково полное
изменение неопределенного интеграла.
Теорема 8. Пусть на \а, Ь\ дана суммируемая функция f(t).
Если
х Ь Ь
F{x)--\!it)M, то V (F) -\" /@ dt,
а а а
т. е. полное изменение абсолютно непрерывной функции равно
интегралу от модуля ее производной.
Доказательство. Если .*,, = а < х1 < х2 < ... < .v^ = 6 есть
некоторое разложение |а, й] на части, то
V F^J-f (^)|= V
*=0 4=0
\ Н*)(П . v j J(t)\dt =
откуда вытекает, что
V(F) A\f(t)\dt.
а и
Чтобы доказать, чю здесь на самом деле имеет место точное
paLenciBo, положим (а, Ь) — Е и пусть Р = Е(} - 0), Л' —?1(/<0).
1огда
ь
\ f(() dt = \f(l)dt- \f(t)dt.
а Р N
Возьмем е>0. Благодаря абсолютной непрерывности
интеграла, сущес1вуег такое 6>0, что для любою измеримою
множества ecz[«, b\ с мерой шй<<6 будет J [ f (t) i dt <. v.
П\сть /•" (P) и F (N) замкнутые множества, содержащиеся
соответственно в Р и /V и такие, что
m[P-F(P)\<6, m[N-F(N)]<5.
Тогда
ь
\\){t) i,t< \ l(t)dt- \ f(t)dt + 2e.
a F(P) /• (/V)
240
Согласно теореме отделимости нанд\ гея открытые множества
Г (Р) и Г (Л/) такие, что Г (Р) zd F (Р), Г (Л") и F (N), Г (Р) • Г (Л/) = О,
при этом можно считать указанные множества
содержащимися в (а, Ь). Найдем, далее, такие открытые ограниченные
множества А (Р) и A (N), чтобы они содержали, соответственно,
F(P) и F(N) и чтобы было т [А (Р) - F (Р)] < 6, т[А(\')~-
—/7(Л/)]<6. Сделав это, полагаем G(P) = A(P)-V(P), G(N) =
= A(N)-T(N).
Эго тоже открытые множества, содержащиеся в (а, Ь), не
пересекающиеся, содержащие соответственно F (Р) и F (N), и такие,
что m[G(P)-F (P)]<8, m[G (N) - F (/V)]<6. Поэтому
\\f(t)\dt< \ f(t)dt- \ f(t)di + 4B.
a G \l') С (Л1)
Множество G (Р) является суммой своих составляющих ннтер-
ватов. Взяв достаточно большое конечное число этих интервалов,
мы получим множество В(Р), которое по мере отличается от G (Р)
меньше, чем на б. Тогда окажется J f (t) dt — \ f(t)dt<&.
G(P) H\P)
n
Пусть В(Р)= V (X,, Н). Тогда
\ f(t)dt='? (f(t)dt=2l[F(iill)-F(kk)].
В(Р) k=\ik k = \
Итак,
\ f(t)dt< V[F(,i,)_/^)] + e.
С (Р) k - I
Аналог ичпгям образом можно найгп конечное число
составляющих интервалов множества G(N), пусть эю будут (aL, тх),
(а,, т,), ..., (аш, т,„), такого рода, что
5 f(t)dt> ^[FM-FiaM-B.
C(/V) 1=1
Сопоставляя все сказанное, мы видим, что
I f (/); dt < V [F ((l,) - F (h)] - >] [F (t,) - F (a,)] + 6e,
u a =. l < = l
откуда и подавно
Si/@'^< i;'/=¦ од-/=•(>.*)i+S,^(т«)-f(oji+бе.
241
Но интервалы ().к, \\.t) не пересекаются ни между собой, ни
с интервалами (сгм т,), которые также не пересекаются друг
с другом. Поэтому
Таким образом
\\f(t)\dt<V(F) + 6e,
а а
откуда, ввиду произвольности в, и вытекает теорема.
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега
Общеизвестно, какое большое значение имеет в интегральном
исчислении вопрос о замене переменной интегрирования. Здесь
мы рассмотрим этот вопрос для интегралов Лебега, причем
ограничимся случаем1), когда старая переменная интегрирования х
является строго монотонной и абсолютно непрерывной функцией
новой переменной t. Для определенности будем счч1ать эту
функцию возрастающей. Итак, пусть
х = Ф (t) [p <:t~Cq, а = ср (р), Ь = ср (<?)],
где ф (t) абсолютно непрерывна и строго возрастает на [р, q].
Лемма 1. Если Е1 есть измеримое множество, содержащееся
в [р, q], a Ex = (f(Ei) его образ при отображении x = (p(t), то2)
тЕх= \ ср' (t)dt. A)
Et
Доказательство. Измеримость Ех была доказана в § 3.
Для сличая, когда EL = \a, P], формула A) очевидна, ибо в этом
случае ?v = [q> (а), Ф (Р)] и тЕх = <р ф) - Ф (а) = jj Ф' @ dt.
Аналогично обстоит дело, когда Е, = {а, Р). Но тогда ясно,
что A) имеет место всякий раз, когда Ef есть открытое множество
(в этом случае и Ех будет открытым множеством). Переходя
к дополнениям, убеждаемся в справедливости A) для случая,
когда Et есть замкнутое множество. Рассмотрим, наконец, общий
сличай, когда Et есть произвольное измеримое множество. Взяв
б > 0, найдем такое замкнутое множество Fx и открытое
множество Gx, чтобы оказалось J)
Fxcz E^czGx a (a, b), mFx> mEx — e, mGx <; mEv + e.
!) Более обстоятельно вопрос тложен и книге Ш. Валле-Пуссена «Курс
анализа бесконечно малых», т. I, сгр 298 (ГГТИ, 1933).
2) Чтобы символ ф' (t) был всюду определен, мы, как и в гл VIII,
условимся, что ф'(<)=0 Fia том множестве (меры 0), где у ср (t) нет производной.
3) Не ограничивая общности, можно считать, что р и q не в-ходят в Et.
242
Пусть F/ и G, суть прообразы множеств Fx и Gv. По
доказанному (очевидно, что F, замкнуто, a Gt открыто) будет
\<?'{t)dt = mFxt \^{t)dt = mGx.
Так как ц/ (t) =г 0, то
$ ф' @ dt ^ I ф' (/) Л < $ Ф' @ dt.
ut
Таким образом,
m/V=? ]ц>' (t)dt^mGx
Ft
и, тем более,
тЕх-г< \ ф' (t)dt<mEx + e.
Lt
Ввиду произвольности е лемма доказана.
Лемма 2. Пусть е^ есть измеримое множество меры О,
содержащееся в [а, Ь] , а е, его прообраз. Тогда подмножество е?
тех точек е,, где не выполнено соотношение1)
ф'@ = 0 B)
имеет меру 0.
Доказательство. Отметим, что измеримости множества
е, мы не утверждаем.2) Построим [можно считать, что е^ а (а, Ь)\
последовательность открытых множеств
(а, Ь) :=> Gi] zd GJ zd G; =э ..., G^ zd ex, mGf — 0
и пусть
n = l
Если G'n) суть прообразы G(.ra), a Et есть прообраз ?\, то G\n)
ее
открыты и Et = \\ G\n\ откуда следует измеримость Et. Ясно, что
п 1
mEv = 0. Значит, по лемме 1,
]<f'(t)dt = O. C)
Et
Если через Ef обозначить множество тех точек Е,, где не
выполнено B), то из C) вытекает, что т?? = 0. Остается заметить,
чго е* a Ef, ибо et с Ех и etcz E,.
!) Иными словами, ^ есть та часть с,, где существует (может быть
бесконечная) ф' (t) > 0
2) Хотя у ф(^) есть обратная функция, но последняя не обязана быть
абсолютно непрерывной.
243
Теорема. Пусть f (х) функция, суммируемая на г) [а, Ь\.
Тогда
\f(x)dx = \nv(t)](p'(t)dt. D)
а р
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда f (х)
непрерывна2) на [а, Ь], так что интеграл, стоящий в D) слева,
можно понимать в римановском смысле. Разложим [а, Ь\ точками
a = хо<сх1 <\ .. <Хц = b и пусть Мк и mh суть наибольшее и
наименьшее значения }(х) на [xk, хк {\. Если ф (//,) -—**, то для
t^[tk, tk^] будет т„ <-f[q(t)]-^Mk, откуда в связи с
неравенством ср' (t) ^0 и соотношением
\ ц/ (t)dt=xk^-xk
'к
следует, что интеграл
Vi
(L) \ f[<p{t)W(t)dt
'*
содержится между числами тк {хк_ 1 — х,,) и М/, (хк 1 — хк). Стало
быть, интеграл, стоящий в D) справа, содержится между суммами
Дарбу функции f(x), отвечающими произведенному дроблению.
Отсюда и следует D).
Пусть теперь / (х) измеримая, ограниченная функция \f(x) sj M.
Найдется последовательность непрерывных функций {?„(-*:)}> для
которой почти везде на [а, Ь] будет
Ит ?„(*) = /(*)¦ E)
п —* со
Можно считать, что \gn(x)\^M. Тогда D) будет верно, если /
заменить на gn. Отсюда без труда следует, что
\f(x)dx= Um \gn[(p(t)\<f'(t)dt. F)
Покажем, что почти везде на [р, q] будет
lim ЫФ@]фЧ0-/[ф(')]ф'@- G)
Обозначим через е^ множество тех х, для которых нарушено
E). Это измеримое множество и mex-=Q. Обозначим через е,
прообраз множества е^ и пусть е? есть подмножество тех / из е,,
для которых не выполнено B).
Если t^e,, то q>(Oe=<\, п G) выполнено. Точно так же,
если t^e, — et, то ф'(/)--0, и снова выполнено G). Таким обра-
!) Мы сохраняем введенные выше обозначения.
2) Тогда и / [ц (t)\, очевидно, непрерывна на [р, q].
244
зом, единственные точки /, где может нарушаться G), это точки
множества <?/, а по лемме 2 будет те{ = 0.
Из того, что G) имеет место почти везде на [р, q], следует
измеримость произведения1) /[ф@]ф'@- Кроме, того
1Ыф(')]ф#@КЛ*<р'@
и G) обеспечивает возможность перейти к пределу в F) под
знаком интеграла, что и приводит к D).
Пусть, наконец, f(x) произвольная суммируемая функция.
Можно предположить ее неотрицательной, ибо всякая суммируемая
функция есть разность двух неотрицательных суммируемых же
функций. Положим
f i ^_J fW ИРИ f(x)^n>
U{X) \ n при f(x)>n.
По доказанному D) будет верно, если заменить / на /„. Отсюда
\f(x)dx = lim\ fn[<?(t)]<p'(t)dt. (8)
Но всюду на [р, q\ будет2) / [Ф (/)] Ф' (/)= Нт/я[ф@] ф' @ и,
кроме того, произведение /л[ф@1ф'@ возрастает вместе с п.
Поэтому, в силу теоремы 10 (Б. Леви) из § I, гл. VI, будет
jПф 101 Ф'(')<«= Пт \fnl<9(t)W(t)dt,
р п^со р
откуда, в связи с (8), и вытекает D).
Следствие. Справедливы формулы
b й —ft Ъ Ь/к
lf(x)dx= \ f(t + h)dt, \f(x)dx = k \f(kt)dt (A^O).
a a — h а а/к
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность
Пусть дано измеримое множество Е. Взяв произвольную
точку х и число Л>0, положим Е (ха, h) = E ¦ [х„ — h, *u + /iJ.
Это тоже измеримое множество. Рассмотрим отношение
ml- (а'„, h) ,,,
2/i ¦ (l>
Его естественно считать «средней плотностью» множества Е
в сегменте [xo — h, xn-\-h\.
Определение 1. Предел отношения (I) при Л—0 называется
плотностью множества Е в точке ха и обозначается через DXaE.
J) Этот факт замечателен тем, что множитель / [ф (/)| вовсе не обязан
быть измеримым.
*) Это обеспечивает измеримость произведения / (ф) ц>'.
245
Если DinE — 1, то дг() есть точка плотности множества Е, а
если D%I1 В — О, то лг„ — точка разрежения Е.
Заметим, что, давая это определение, мы не считаем, что
хпе^Е. Далее, ясно, что измеримое множество вовсе не обязано
иметь определенною плотность в каждой точке прямой.
Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Почти все точки измеримого множества Е суть
его точки плотности.
Доказательство. Пусть множество Е измеримо. Возьмем
какой-либо сегмент [а, 0], содержащий множество Е, и пусть
а = а~ 1, ft = fj-f-l. Тогда при х е Е и Ль=-1 мы гарантированы,
что сегмент \х — h, x-\-h\ не выходит из [а, Ь]. Впредь не
оговаривая этою, мы будем считать, что h ~~].
Введем характеристическую функцию ср (х) множества Е
f I при ie?,
{ 0 при дг<= Е,
рассматривая ее только на [а, Ь\. Эта функция измерима и огра-
X
ннчена. Пусть Ф(дг) = jj ф (/) Л.Почти везде на [а, Ь) б^дет Ф' (х) =
а
= ф(л') и, в частности, почти везде на Е
Ф'(*)=1. B)
Покажем, что точки, где имеет место B), с^ть точки
плотности множества Е. Действительно, в такой точке
Л-0 h «-0 h
откуда
итФ(* + *)-Ф(*-*)=1.
je-f Л
НоФ(х + А)-Ф(х-А)= \ ц> (t) dt = mE(x,h), так что DXE =
x-h
— lim "' 'i ' — 1, что и требовалось доказать.
В тесной связи с понятием о точках плотности находится
одно важное обобщение понятия непрерывности функции.
Определение 2. Пусть функция / (х) задана на сегменте [a, b]
и х{1 е [a, b\. Если существует такое измеримое множество Е,
лежащее на [а, Ь\ и имеющее точку xQ точкой плотности,1) что
!) Если л-,, — а, то вместо того, чтобы множество /,' имело х0 точкой
плотности, нужно требовать, чтобы вг,в единицу обращалась правая плотность
множества Е, т. е. чтобы было lim т ' ' '"' а' '' =1 Для точки Ь опре-
Л^о h
деление аппроксимативной непрерывности также нужно несколько изменить,
введя в рассмотрение левую плотность.
246
f(x) вдоль Е непрерывна в точке х„, то говорят, что f(x)
аппроксимативно непрерывна в точке хи.
Ясно, что всякая точка непрерывности функции и подавно
есть ее точка аппроксимативной непрерывности. Измеримая
функция может вовсе не иметь точек непрерывности. Такова, например,
функция, равная 0 в иррациональных и 1 в рациональных точках.
Напротив, справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (А. Данжуа). Если [(х) измеримая и почти
везде конечная функция, заданная на сегменте \а, Ь], то она
аппроксимативно непрерывна почти во всех точках [а, Ь].
Доказатель ство. Возьмем е>0 и, опираясь на теорему
Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию ц> (х), что
тЕ (/ 9± ф) < е.
Пусть /1 есть множество тех точек плотности множества Е (f = ср),
которые принадлежат последнему. В силу предыдущей теоремы
тА = гпЕ (/ = ф) > b — а — е.
Если хи^А, то f(x), очевидно, аппроксимативно непрерывна
в этой точке, ибо за множество Е, фигурирующее в определении 2,
можно взять множество Е(/ = ф). Поэтому множество Н всех
точек аппроксимативной непрерывности f (х) имеет внутреннюю
меру тхН = тА > b — a — г, откуда (е произвольно!) mji ~^-Ь — а.
Но Н cz [а, Ь], так что b — а -с mji ~< m"H ~"~Ь — а. Стало
быть, Н измеримо и тН = b — а, что и требовалось доказать.
Замечание. Данное выше определение понятия плотности можно
обобщить. Именно, условимся называть плотностью множества Е
тЕ (х,,, h,, /и) i ,-.
в точке хи предел отношения ——, когда «!>0 и
"l~r'!2
/г2>0 независимо друг от друга стремятся к нулю, причем
Е (х0, hu ho), есть часть множества Е, находящаяся в сегменте
[х0 — hy, хи^-/г,\. Однако это обобщение понятия плотности не
меняет класса точек разрежения, а стало быть, и класса точек
плотности множества Е. Действительно, пусть х„ точка разрежения
множества Е в смысле определения 1. Взяв числаА1>0 и /г2>0,
назовем через h большее из них. То1да
Е(х0, hu 1г2)сЕ{Хц, И),
а потому
тЕ (лг„, ftlt /;2) 9 mE fa, К)
h1 + h2 ~-' 2/2 •
Так как правая часть этого неравенства стремится к нулю
, ,. тЕ (хп, Л., /i2) ,-.
вместе с п, то lim—r-V-;—^ = 0 и х0 есть точка разрежения
Л,-» 0 Л1 + '!2
множества ? и в смысле обобщенного определения плотности.
Обратное утверждение очевидно. Именно поэтому мы и дали
выше определение плотности в частной его форме. Ясно, например,
что определение точки аппроксимативной непрерывности не
зависит от того, каково положенное в его основу определение плотности.
247
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением
и интегралов Стилтьеса
Пусть / (х) (а «=: х ==- Ь) непрерывная функция с конечным
изменением. Ее производная /' (х) почти везде существует и сумми-
х
руема. Положим (p(x) = f(a) + ^f'(t)dt, г (х) = / (х) — ср (х). Тогда
а
f(x) = (f(x)-\-r{x), где ф (х) абсолютно непрерывная функция
[причем (p(a) = f(a)}, a г (х) непрерывная функция с конечным
изменением, производная которой, очевидно, почти везде равна
нулю. Ясно, что г (х) исчезает лишь тогда, когда сама f (х)
абсолютно непрерывна.
Определение. Отличная от постоянной непрерывная функция
с конечным изменением, производная которой почти везде равна
нулю, называется сингулярной функцией.
Ясно, что сингулярная функция не может быть абсолютно
непрерывной, ибо иначе (теорема 2, § 2) она была бы постоянной.
Примером сингулярной функции служит функция в(д:),
построенная в конце § 2, гл. VIII.
Теорема I. Непрерывная функция с-конечным изменением /(.г)
единственным образом представляется в форме
f(x) = <f(x) + r(x),
где ср (х) абсолютно непрерывна и ц>(а)=[ (а), а г (х) — сингулярная
функция (или нуль).
Доказательство. Возможность такого представлення
установлена выше. Обнаружим его единственность. Если
бы таких представлений было два:
f(x)^4>(x) + r(x)^(fl(x) + r1(x),
то мы имели бы
Ф(.г)-Ф1(л:) = г1(х)-г(л:).
Отсюда — производная разности ц> (х) — <рх (х) почти везде равна О,
а так как эта разность абсолютно непрерывна, то она постоянна.
Но ф (а) = фх (a) = f(a). Зпачиг, <f (х) = ф: (х), откуда и г (х) = гх (х).
Теорема 2. Если функция f (x) возрастает, то обе ее
компоненты ф (х) и г (х) также возрастают.
Доказательство. Очевидно, что ['(х)^0 всюду, где эта
производная существует. Отсюда вытекает, что функция ф (,v) =
X
= Ф(а) -f-jj/' (t)dt, возрастает. Далее, теорема 5, § 2, гл. VIII
а
U
дает нам, что jj/' (t)dt <f(y)—f (x) (y>x), откуда
X
Ф(#)-Ф (*)</(#)-/(*), или г (х) <Lr(y).
248
Следствие. Для того чтобы возрастающая непрерывная
функция f (х) была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно,
чтобы было
\r(x)dx^f(b)-f{a). A)
а
Необходимость условия A) очевидна. Обратно, пусть / (х) не
абсолютно непрерывна и ср(х) и л(х)суть абсолютно непрерывная
и сингулярная компоненты f(x). Тогда
/(b)-/(o) = (p(b)-cp(a) + r(ty-r(fl),
или
b
/ F) - / (а) = \ f (х) dx + r(b)-r (a). B)
а
Но г (х) возрастает и отлично от постоянной. Значит, r(b)>
> г (а) и A) не выполняется, откуда и следует достаточность
условия теоремы.
В § 3, гл. VIII мы видели, что всякая функция с конечным
изменением представима в форме суммы своей функции скачков
и непрерывной функции с конечным изменением.
Сопоставив это с теоремой 1, мы получаем возможность
представления всякой функции с конечным изменением в форме
f(x) = (p{x) + r(x) + s(x), где ср (х) абсолютно непрерывная
функция, г (х) сингулярная функция, a s(x) функция скачков (причем
некоторые слагаемые могут здесь отсутствовать).
В § 7, гл. VIII мы свели вопрос о вычислении интеграла
ь
Стилтьеса ^/(х)dg(x) к случаю, когда g(x) непрерывна. Оказы-
а
вается, что случай, когда g(x) абсолютно непрерывна, сводится
к интегрированию в смысле Лебега.
Теорема 3. Если / (х) непрерывна, a g (x) абсолютно
непрерывна на {а, Ь], то
ь ь
E) \ f (х) dg(x) = (L) $ / (x) g' (x) dx. C)
a a
Доказательство. Существование обоих интегралов
очевидно. Докажем их равенство.
Для этого оценим разность между суммой
п — \
и интегралом
lf(x)g'(x)dx.
а
249
Так как
g(**u)-?(**)= 5 S'(x)dx,
то
о - \f (л-) g' (дг) rfx = I] "\ [f (?*) -f{x)] g' (x) dx. D)
a k =0 *fc
Если колебание функции f(x) на [xfe, xkJrl] есть шь то из D)
следует, что
o-]f(x)g (х) dx
я —1 Л*+1
2] оэ, $ 'g'(x)^dx^a\ g'(x),dx,
*=Q
где а = max {co^J. Если длины сегментов [**, дгЛ+1 J стремятся к О,
то и а-»-0, откуда следует, что а стремится к интегралу
ь
\ f (x)g'(x) dx. Но так как по определению lima есть интеграл
а
Ь
\ f (x) dg(x), то теорема доказана.
а
Таким образом, вопрос о вычислении интеграла Стилтьеса не
сводится к лебегову интегрированию и суммированию ряда лишь
тогда, когда в составе g(x) есгь сингулярная функция.
Аналогично теореме 3 доказывается и
Теорема 4. Формула C) справедлива и тогда, когда / (х)
имеет на [а, Ь] конечное изменение, a g(x) абсолютно непрерывна.
Действительно, существование обоих интегралов и в этом
случае очевидно. Точно также не требует новых разъяснений и
соотношение D). Если vk есть полное изменение функции / (х) на
[**» **+i]. T0 D) приводит к оценке
ь
o-y(x)g'(x)dx
п — \
>1
^ vk \ \g'(x)\dx^VV(f),
А = 0
л*+1
где р означает наибольший из интегралов \ | g (x) ( dx. Остается
заметить, что р стремится к нулю вместе с наибольшей из
разностей xk+i — xh.
С помощью теоремы 3 (или 4) можно установить некоторые
свойства интегралов Лебега. Например:
Теорема 5 (Интегрирование по частям). Если f(x) и
g(x) абсолютно непрерывны, то
ь ь
\ f (х) g (х) clx + ^g (х) Г (х) dx = Г/ (х) g (x)fa. E)
a a
250
Для доказательства достаточно записать левую часть в форме
ь ь
\f(x)dg(x) + \g(x)df(x)
а а
и применить формулу A) § 6, гл. VIII.
Впрочем, соотношение E) легко доказать и непосредственно,
исходя из того, что абсолютно непрерывная функция [ (х) g (х)
почти везде имеет конечную производную, равную сумме
f(x)g'(x) + r(x)g(x).
§ 8. Восстановление первообразной функции
В § 5, гл. V мы уже решили вопрос о восстановлении
непрерывной функции f(x) по ее производной f (x), если последняя
существует всюду и ограничена. Здесь мы рассмотрим вопрос
о том, следует ли равенство
f(x) = [(a) + \f'(t)dt A)
а
из того, что /' (х) существует всюду, но не обязательно
ограничена. Совершенно ясно, что это так, если f(x) абсолютно
непрерывна. В этом случае достаточно было бы предположить, что f (х)
существует лишь почти везде, что, вообще говоря,1) недостаточно
для выполнения A) даже тогда, когда f (х) возрастающая
непрерывная функция, производная f (x) которой почти везде равна
нулю. Мы, однако, ставим целью формулировать условия
равенства A) в терминах, относящихся не к самой функции f(x), а к ее
производной f (х).
Теорема /. Если производная f (x) существует всюду, конечна
и суммируема, то справедливо A).
Доказательство этой теоремы будет построено на двух леммах.
Лемма I. Пусть на [а, Ь] задана конечная функция Ф(х).
Если в каждой точке [а, Ь] все производные числа Ф(х) не
отрицательны, то Ф (х) возрастает.
Доказательство. Возьмем е>0 и положим
ф (х) = Ф (х) + ел:.
Допустим, что Ф1(Ь)<Ф1(а).
Тогда, если с = —у-> т0 хоть одна из разностей
<!>! (*>)-<!>! (с), OMcJ-OMa)
отрицательна. Обозначим через [alt bt] тот из сегментов [а, с] и
[с, Ь], для которого Фх (bj) < Ф1 (а^), и положим cl=°ir'1
2
х) Как видно, хотя бы, из примера функции Э (*), § ?, гл. VIII.
251
Хоть одна из разностей Фх (Ь,) — Фх (ct), Фх (сх) — Фх (о,)
отрицательна. Обозначим через [я^, 62] тот из сегментов [аи сх] и [си Ьх],
для которого Фх (Ь2) < Фх (а2).
Прочолжая этот процесс, мы построим последовательность
вложенных сегментов {[«„, Ьп\\, для которых Фх F„) <ФХ (ап).
Пуаь х„ есть точка, общая всем сегментам \а„, Ьп\. Тогда
(при каждом «) очна из разностей Фг (Ь„) — Фх (х0), Ф1 (хA) —
— Фх(а,) отрицательна. Положим hn — Ь,г — х0, если Фх (Ьп) <С
<Ф1(*„), и /г„ = ап—ц, если Фх (й„) -аФх(л-0). Ясно, что
л _ ф1 («о + /'n)-(l»iM ^ а
Выбрав подпоследовательность {A,fr[, имеющею (конечный или
бесконечный) предел, мы приходим к производному числу
ДФх(лг„)<0, что невозможно, поскольку ясно, что во всех
точках х е [а, Ь]
?)ФХ (л-) 5г е.
Итак, неравенство ФхF)<Фх(а) невозможно. Значит, Фх (b) ^
Т>Фх(а), или, что то же самое, Ф(Ь)-\-гЬ^Ф(а)-\-га.
Отсюда (t произвольно') Ф (Ь) -_ Ф (о), что и доказывает
лемму, ибо вместо [а, Ь\ можно было бы взять любой частичный
сегмент [х, у].
Лемма 2. Пусть на [а, Ь] задана конечная функция ц> (х).
Если почти везде на [а, Ь\ вес производные числа <р (х) не
отрицательны, и ни в одной точке [а, Ь] ни одно из производных
чисел ф (х) не обращается в — сг-, то ср (л) возрастает.
Доказательство Обозначим через Е множество тех точек
[а, Ь\, где хоть одно производное число ф(г) отрицательно.
По условию тЕ = 0.
В силу теоремы 6, § 2, гл. VIII существует гакая
непрерывная возрастающая функция сг(л'), что во всех точках множества Е
будет а' (х)= + оо.
Положим, Ф(д') = ф(х)|шD где t > 0, и покажем, что ни
в одной точке [а, Ь\ ни одно производное число Ф (х) не может
оказаться отрицательным. Действительно, прежде всего из
возрастания а (л:) следует, что
Ф(у + /))-Ф(д.) ^ ф (х + h) - ф (х)
Л ^' h
так что при Л' е Е
пФ (л-) _ - 0.
Но если j:e?, то Ф' (л-) существует и равна +со, ибо при
i г\ ф (х г hn) — ш (х) ,
/г„-*-0 отношение J-i—!—у—т ограничено снизу (иначе
существовало бы производное число Оц> (х) = —"о), a a'(.v)=-fco,
11так, всегда пФ (х) __ 0.
252
Отсюда, по предыдущей лемме, Ф(*) возрастает, т. е. при
х<у
Ф (х) ^ Ф (у)
или, что то же самое,
Ф (л-) -|- to (а) ф (у) + ео (у)
Устремив е к нулю и перейдя к пределу, получим
Ф(*Ь-Ф((/),
что и требовалось доказать
Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение
функцию ф„(*), полагая
( f(x), если f'(x) п,
тп m — {
{ п, если /' (х) > и.
Легко видеть, что
]фЛ*)'<1/'(*)'. B)
так что <Рп(х) суммируема Положим,
RAx) = fM-\vn(<)dt,
а
и покажем, что R,, (х) возрастающая функция.
Для этою прежде всего отмегнм, что почти везде
Яп(х) = Г(х)-'Рп(х)~-О,
так что множество точек, п которых хоть одно производное число
функции /?„(\) отрицательно, имеет меру путь.
С другой стороны, (р„(х) ^~п, гак что и
\ 4 и
I \ Фя (О (U < П
к
и, стало быть,
Ru(x + h)-Ra(x) ^ j(X + h)-f(x) _
h ^ h n'
откуда ясно, что ни одно производное число функции /?„ (х) не
обращается в —сю. Поэтому, в силу предыдущей леммы, Rn(x)
возрастает. Значит, Rn(b)~~^ Rn(a) или, что то же самое, / (Ь) —
ь
— [(а)^\ц>п(х)с1х.
а
b
Но lim ф„ (л-) ^[(к), откуда, в связи с B), Inn \ ф„ (л:) dx =
h b
~^f'(x)dx и, следова1ельно, f (b) — f (а) ^ ^ ['(х) dx.
а а
253
Но те же соображения, примененные к функции — /(а-), лают,
ь
что f(b)-f(a)<[f(x)dx.
а
Значит,
ь
f(b) = f{a) + \f(x)dx,
а
что п доказывает теорему, ибо роль b может играть любое х,
где а <.х Ь.
В заключение приведем два примера.
I. Пусть на [0, 1] задана функция
з .
f(.Y) = x2sin ' (.v>0), /@) = 0.
*
Эта функция всюду имеет конечную производную
f(x) = \x*s\n\-x~*co»{- (*>0), Г @) = 0.
Эта производная суммируема, ибо
1П*I' о+ '
Г*
Поэтому функция f (х) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.
Однако, легко видеть, чю f (x) не ограничена, так что теорема
§ 5, гл. V к ней неприменима.
II. П^сть на [0,1] задана функция
/(д:) = х2со5-5 (х>0), f@) = 0.
Она также всюду имеет конечную производную f'(\), но
последняя не суммируема. Действительно, если 0 < а <с р 1, то в
сегменте [а, Р] производная /' (х) ограничена и, стало быть,
Р
^ Г (jc) rfjc = р* cos -^л - оь= cos ^а-.
В частности, при а„ = ]/ -j^j, Р" = Т^Г бУдет
К
[Г(хLх=1.
254
Но сегменты [ап, fin] (n — l, 2, ...) попарно не пересекаются;
значит, если?-= ^ [а„, fi,,], то
,i= 1
со
и /' (х) не суммируема. Таким образом, операция интегрирования
по Лебегу не может считаться полностью решающей задачу
восстановления первообразной функции по ее производной. Полное
решение задачи дает процесс интегрирования Перрона — Данжуа,
обобщающий процесс Лебега. Этот процесс мы излагаем в гл. XVI.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
1. Суммируемая функция аппроксимативно непрерывна в каждой своей
точке Лебега. Обратное неверно.
2. Для ограниченной измеримой функции понятия точки Лебега и точки
аппроксимативной непрерывности совпадают.
3. Из того, что в точке хп функция / (х) есть производная своего
неопределенного интеграла, не следует, что она аппроксимативно непрерывна
в этой точке.
4. Если все производные числа функции / (х) удовлетворяют неравенству
\Df(x) -<K, то / (х) удовлетворяет условию Липшица.
5. Если, функция F[f(x)] абсолютно непрерывна при всякой абсолютно
непрерывной /(*), то Fix) удовлетворяет условию Липшица (Г. М. Фихтен-
гольц).
6. Пусть на [а, Ь\ задана / (х). Если всякому е > 0 отвечает такое 6 > О,
что для всякой конечной системы интервалов {(а^, Ь^)} с суммой длин,
меньшей б, б;, дет
k= 1
то / (*) удовлетворяет условию Липшица :) (Г. М. Фихтенгольц).
7. Прямым способом доказать следующий частный случай теоремы
Банаха— Зарецкого: если непрерывная и строго возрастающая функция обладает
свойством ((V), то она абсолютно непрерывна.
8. Пусть / (х) непрерывна на [а, Ь\ и С есть множество точек, где хоть
одно производное число / (х) не положительно. Если образ / (С) множества Е
не содержит никакого сегмента, то / (х) возрастающая ф\нкция (А. Зигмунд).
9. Пользуясь предыдущим результатом, следующим образом обобщить
лемму 2, § 8: если / (х) непрерывна на [а, Ь], почти в каждой точке [а, Ь]
все производные числа / (х) неотрицательны и множество точек, в которых
существует хоть одно производное число, равное —-о, разве лишь счетно, то
/ (х) возрастающая функция.
10. Пусть f (х) непрерывна, а /'(*) существует всюду и суммируема. Если
множество Е( /'| = +эс) разве лишь счетно, то f (х) абсолютно непрерывна.
(Применить результат предыдущего упражнения.)
L) Этот результат показывает, что в определении понятия абсолютной
непрерывности нельзя отбросить требование, чтобы интервалы (а^, Ь^) попарно
не пересекались.
255
11. Функция, всюду имеющая конечною производную, обладает своист-
вом (/V)
12. Для того чтобы непрерывная строго возрастающая функция /(с) была
абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы обрат /(?) множества С
точек, в которых f (x) = J-^t имет мер> 0 (Ai Л Зарецкни )
13. Дтя того чтобы функция, обратная непрерывной и строго возрастаю-
щен функции }(х), была абсочютио непрерывна, необходимо и достаточно,
чтобы было тС (/' = 0; = 0 (М А Зарецкни)
14. Пусть на [а, Ь] заданы суммируемые функции fn(x) (n=l, 2, )
Гели для каждого измеримого множества Гс|д, Ь\ существует конечны»
предел lim \ flt(\)dx, то сущетвует такая суммируемая функция f{x), что
для любой измеримом и ограниченной функции ц (х) будет1)
л ь
•т \tA^)g(x)dx = \i(x)g(x)dx.
и
п -» х .
]) Эг\ чада чу можно решить методами гл IX Несколько проще было бы
применить материал п МП
ГЛАВА X
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
В этой главе мы намерены показать применения методов
теории функций вещественной переменной к отдельным вопросам
анализе. Попутно сообщаются некоторые новые сведения из
области самой теории функций.
§ 1. Понятие сингулярного интеграла
Чтобы ознакомить читателя с идеей, лежащей в основе важного понятия
сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
ф«<'-*>-1г-1+4-«г- A)
Еоли п и х фиксированы, а / меняется от 0 до 1, то зта функция есть
непрерывная функция от /. Значит, для всякой суммируемой / (t) @^/sSl)
можно образовать величину
f M-n j two* B)
о
Докажем, что во всякой точке *@<*<1), в которой функция /(/)
непрерывна, будет
lim/„(*)=/(*). C)
п —* со
Для этого прежде всего отметим, что при я-*со
О 0 — пк —со
Поэтому, чтобы установить C), достаточно показать, что при n-юо
стремится к нулю разность
1 1
о о
С этой целью взяв произвольное е>0, найдем такое б > 0, что при
|f—*|<6 будет |/@— /(*) | <е. Считая, что 0 < х — 8 < х + b < 1,
представим г„ в форме
'-h'towTtW&*+
0 х-й
х + й
257
Интеграл Вп оценивается следующий образом:
х-\ 6 х + 6
|д , „_« С 1/@-/(*•)' .,^-г л С <*'
1 Я|й=я J 1+п2(^-*J я J 1 + «Ч'-*J
*-6 *-<
л 3
^ - 1 dz
— QQ
Что касается интеграла Ап, то в этом интеграле будет \t — л: ] 2= 8, так
что
— о
О
где Л (б) не зависит от п. Аналогично
, л. С (б) , . , , /1F) +С (б)
| С„ | < —^- и, стало быть, | г„ | < е-| 5^LJ ^_L>
так что при достаточно больших п будет I гя | < 2s, т. е. г„ стремится к О
с возрастанием п, что и требовалось доказать.
Нетрудно разобраться в том, какие именно свойства функции Ф„ (t, x)
обеспечивают соотношение C). Дело в том, что при весьма больших
значениях п те значения Ф„ (t, x), которые отвечают сколько-нибудь заметно
удаленным от х значениям tt весьма малы, так что величина интеграла B)
определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной
близости точки х. Но около точки х функция / (/) почти равна f (x) (ибо она
непрерывна при t — x). Значит, если п велико, то интеграл B) мало
изменяется при замене f (t) на f(x), т. е. он почти равен интегралу
,<«>; S
dt
1+/J2 (/—*)»
о
и, в силу D), почти равен f(x).
Функция <?>n(t, x), обладающая подобными свойствами, носит название
ядра. Точное определение ядра таково:
Определение. Ядром называется функция Фп (t, x) (л=1, 2, ...),
заданная в квадрате (a^ts^b, a<x<.b) и такая, что
Р
lim \'Ф„('. x)dt = l,
п->са?
если только а^а<х<р^6. Само собою разумеется, что Ф„ (t, x)
предполагается суммируемой по t при каждом фиксированном х.
Интеграл вида
ь
Л.М = $ФЯ('. «)/(")<",
а
где Ф„ (t, x) есть ядро, называется сингулярным интегралом.
Теория таких интегралов имеет многочисленные приложения. Основной
вопрос этой теории состоит в установлении связи предельных значений
интеграла fn(x) при п — оэ со значением функции f (t) в точке х. Так как
изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на
величине /„(*), то необходимо потребовать, чтобы значение f (х) функции f (t)
в точке х было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простей-
258
шая форма такой связи есть непрерывность функции / (/) в точке t — x.
Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность,
требование, чтобы х была точкой Лебега функции j(t), и т. п.
Приведем одну теорему Лебега, которая будет нам полезна в дальнейшем.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [а, Ь] задана последовательность
измеримых функций <pj (t), Ф2 (t), фз ((), ¦¦¦ Если существует такая постоянная К,
что при всех nut будет
I ф„ (о: < к, E)
и если при всяком с (а:
; Ь) будет
с
lim $Ф/1@Л = 0,
F)
то, какова бы ни была суммируемая на [а, Ь] функция / (t), справедливо
равенство
Ь
Hm f/@<P»(9«« = 0, G)
Доказательство. Если [а, E] есть сегмент, содержащийся в [а, Ь],
то из F) следует, что
е
lim СФя@Л = О. (8)
Заметив это, рассмотрим какую-нибудь непрерывную функцию f (t) и для
наперед заданного в > 0 разложим [а, Ь] точками хо = а < х1 <...< хт = Ь
на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание / (t) было меньше,
чем е. Тогда
Ь m — lxk + i m—l xk^i
I f (О Ф» @ dt = 2 I If W -/(**) 1 Ф» W d/ + I] /1**) $ Ф» @ d^- (9)
Ho
A = 0 д;ь
46-П
ft = 0
i [/@-/(**Iф»@Л
i^8 («A+ ! — ¦«*).
так что первая сумма из (9) не больше, чем Ке.ф — а), Вторая же сумма (9),
в силу (8), стремится к пулю с возрастанием п и, стало быть, для п> па
окажется меньшей, чем е. Для этих п будет
ь
Sf{t)<?n(t)dt
:ь[К(Ь-а) + 1],
так что G) доказано для непрерывной функции f(t).
Пусть, далее, f(t) измеримая ограниченная функция \j{t)\^M.
Возьмем е>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую
непрерывную функцию g (t), что тЕ (/ фg) < е, \ g (t) \ sg M.
Тогда
5 / @ Фя @ dt = \[f(t)-g (О ] Фя (О dt + ^g @ Ф„ @ dt.
а а а
Но
$[/@-г@1фя@л
^ [/Ю-в@]ф„@<«
< 2/СМе,
269
интеграл же $g<prt<#, по уже доказанному, стремится к нулю и для доста-
а
точно больших п становится меньше е. Значит, аля этих п будет
\ь
$/@<р»@<й
<BКМ+\)е,
что доказывает G) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть, наконец, /@ произвольная суммируемая функция.
Возьмем е > 0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла,
найдем такое 8>0, чтобы для любого измеримого множества е с: [а, Ь\ с мерой
те<Ь было j \f(t)\dt<&.
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию (гл. IV, § 4,
теорема 1) g(t), чтобы было тЕ (/ ф g) < б.
Можно считать, что на множестве Е (f Ф g) функция g (t) равна нулю.
Тогда
Ь ь ь
\ f (О ФЯ W л = \" I/ @ - в @1 ф» @ dt+\s @ ф» @ л.
а а а
Но
16
$[/@-вР)]ф»@Л
5 /(Оф.»л
s?/F.
6
интеграл же (йф„ d/ при достаточно больших п будет меньше е, и при этих п
а
окажется
\f(t)^n{t)di
<(К + 1)е,
что и доказывает теорему.
Пример. Пусть ср„ @ = cos nt. Тогда
/Л .... sin лс — sin па п
•фп@Л = = >°
и, очевидно, выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично
рассматривается случай <pn(t) = sin nt. Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман —Лебег). Для любой суммируемой на [а, Ь]
функции / (/) будет
ь ь
lim \" / @ соз nt dt = lim \f (t) sin ntdt =0.
В частности, коэффициенты Фурье
я я
оЛ=Л- f/@ cos я/Л, 6П = ^- ^/(OsinnMt
— я —я
произвольной суммируемой функции стремятся к нулю *) при п —»со.
г) Для функции, суммируемой с квадратом, это предложение есть
очевидное следствие сходимости ряда ]У] (ап + ^п).
260
Если соотношение G) имеет место для всякой суммируемой на [а, Ь\
функции f(t), то мы будем говорить, что последовательность {q>n(t)} слабо
сходится к нулю.s)
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом
в заданной точке
Во всем дальнейшем, не оговаривая этого специально, мы будем считать,
что ядро Фп (t, x) при фиксированных п и х ограничено. Тогда сингулярный
Ь
интеграл fn (х) = \ Фп (t, x) f (t) dt имеет смысл при любой суммируемой
функции /(<).
Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном х (а<х <Ь) и любом
б > 0 ядро Фп (t, х) слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [а, х — 6],
[л: + 6, Ь] и сверх того
ь
$|Ф„(<, x)\dt<H(x),
а
где Н (х) не зависит от п, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t),
непрерывная в точке х, справедливо равенство
Нт /„(*) = /(*)¦
п-»оо
Доказательство. Так как Ф„ (t, x) есть ядро, то
Ь
lim \ФПA, x)dt=\,
и достаточно обнаружить, что
ь
Нт \иЩ-Цх)\Фп{(, ж)Л = 0.
С этой целью, взяв е>0, найдем такое 8>0, что при \t — x\<b будет
1/<0-/М1<й^.
Тогда при любом п
\ [/@-/(*)]ФпС x)dt
Но каждый из интегралов
х-в ь
5 [/@-/М]ФяС, x)dt, J иA)-((х)]Фп((, *)
а х + 6
при п—*со стремится к нулю, так что для п>п0 каждый из них будет по
абсолютной величине меньше в/3, и для этих п, очевидно, окажется
Ь
$[/«-/М]Фя(', x)dt
а
что и требовалось доказать.
е
dt
<е,
2) Здесь имеется некоторое отклонение от терминологии функционального
анализа.
261
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках
непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной
точки непрерывности, что, конечно, понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой
функции в тех точках, где эта функция служит производной своего
неопределенного интеграла, или в точках Лебега, ибо, как мы уже знаем, и те и другие
точки заполняют почти весь сегмент задания функции. х) К этому вопросу мы
и переходим.
Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [а, Ь] дана суммируемая
функция I (t), обладающая тем свойством, что
М =
sup
1
-a\'h
т
f(t)dt
< + оз.
0)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g (t), заданная
и суммируемая на [а, Ь] интеграл
$/@йС)
dt
B)
существует {может быть как несобственный при t = a) и справедливо
неравенство
]t(t)g(t)ctt
.M]g(t)dt.
C)
В пояснение условий леммы заметим, что мы не исключаем случая, когда
g(a) = -\- со. Если же g (а) < ~[-со, то функция g (t) ограничена и интеграл B)
существует как обычный интеграл Лебега.
Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая
общности, можно принять, что g(b) = O. Действительно, если бы это не было так,
то мы просто ввели бы вместо g{t) функцию g* (t), определив ее равенствами
Uu = {8{t)^^a^t<b,
к к> \ 0, если t = b.
Доказав теорему для g* (t), мы затем смогли бы всюду заменить g* (t) на
g (t), ибо такая замена не отражается на величине интересующих нас
интегралов. Итак, мы считаем, что g(b) = 0.
Пусть а<а<6. На сегменте [а, Ь] функция g (t) ограничена и
интеграл
]f(t)g(t)dt (A)
а
t
заведомо существует. Если положить F (t) = ^f(u) du, то интеграл D) можно
а
д) Другим типом «регулярной» точки для суммируемой (и вообще
измеримой) функции является точка аппроксимативной непрерывности. Однако,
для теории сингулярных интегралов эти точки не представляют большого
интереса, ибо, как показано мною [I. N a t a n s о n, Sur la representation des
fonctions aux points de continuite approximative par des integrates singulieres,
Fund. Math., 18, 1931, стр. 99—109] не существует таких сингулярных
интегралов, которые представляли бы любую суммируемую функцию во всех ее
точках аппроксимативной непрерывности.
262
записать в форме интеграла Стилтьеса
ь ъ
\f{t)g(t)dt = \g(t)dF{t),
откуда, после интегрирования по частям, находим
Ь ь
\f(t)g(t)dt = -F(a)g(a) + \F(t)d[-g(t)].
а а
Но, в силу A), мы имеем, что
а так как g (t) убывает, то
g(a)(a-a)^]g(t)dt.
E)
F)
Значит | F(a.)g (a) | sgAl *\g (t) dt. С другой стороны, функция —g (t)
возрастает. Отсюда и из E) следует, что
\F(t)d[-g(t)]
¦M](t-a)d[-g(t)].
Преобразуем стоящий справо интеграл по формуле интегрирования по
частям:
ь ь
\ (i-a) d [-g(i)] = g (а) (а-а) + $гМ dt.
а а
Отсюда, в связи с F), следует, что
ь
]{t-a)A-g{t))
Сопоставляя все сказанное, получаем:
(а
¦ U®dt-
b to. b
J /(ОЯ(О dt ^M ttg(t) dt + jg(t) dt\.
a
G)
Хотя это неравенство установлено при предположении, что gF) = 0, не,
как уже объяснено, оно останется верным и без этого предположения.
Значит, мы можем заменить здесь предел b на р, где а <. р <. Ь. Но тогда,
устремляя а и р к а, мы убедимся, что
15
limj/ (t)g(t)dt = Q,
а
чем доказывается существование интеграла B). Наконец, если в G) перейти
к пределу при а->а, то мы получим C). Лемма доказана.1)
Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро Фп (t, x) положительно
и обладает следующим свойством: при фиксированных них ядро Ф„ (t, x),
1) В оценке C) множителя М уменьшить нельзя, так как при f(t)=l
в C) достигается равенство.
263
как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [а, х] и убывает в
сегменте [х, Ь].
Тогда для любой суммируемой функции f(t), которая в точке х является
производной своего неопределенного интеграла, будет
ь
lim ]f(t)(bn(t, x)dt = f(x).
(8)
а
Доказательство. Так как Ф„ (t, x) есть ядро, то достаточно
проверить, что
ь
lim \[f{t)-f(x)]Qn(t, x)dt = 0. (9)
Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте [а, х]
и \х, Ь] займемся вторым из них, так как первый изучается аналогично.
Возьмем е > 0 и найдем такое б > 0, что при 0 < h s? б будет
x-\-h
j [t{t)-f{x)\dt
<е,
что возможно, так как f (t) в точке / = х есть производная своего
неопределенного интеграла.
Тогда по предыдущей лемме
х+6
) UW-f(x)]<t>n(t.x)<u
х + 6
s?s
J Ф„ (t, х) dt <c e J Фп (t, х) dt.
Так как Ф„ (t, x) есть ядро, то lim \ Ф„ (t, x)dt=l.
Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует
ъ
постоянная К(х), такая, что ^ Фп (t, x) dt <K (*).
а
Таким образом,
х+Ь
\ lHt)-f(*)]<l>nV*x)dt
< еК (х).
С другой стороны, если x+6sS/s?i>, то
х+й
*)«<^.
A0)
Значит функции фп@ = фп('. *) на сегменте [х + Ь, Ь] равномерно
ограничены и выполнено условие E) теоремы Лебега из § 1. Но второе ее
условие, т. е. условие F), также выполнено для этих функций, ибо Ф„ (t, x)
есть ядро. Стало быть, Ф„ (t, x) на сегменте {х + 8, Ь] слабо сходится к нулю,
и для достаточно больших и будет
\ lf(t)~f(x)]On(t, x)<U
xU
<е.
264
При этих п окажется [см. A0)]
5 [/(')-/(*)]«•» с *)*
<г[К(х)+\],
так что
Mm][f(t)-f(x)]On(t, x)dt = 0.
(И)
Теорема доказана.
В качестве примера ее приложения укажем на интеграл Вейерштрасса
и
Wn(x)=J=\e-«*V-*'f(f)dt.
У п J
Функция Wn(t, х) = —=е n'(t xI есть ядро, ибо при а < х < E
У п
W
пф—х) +со
„ (/, х) it = 1= \ е~* dt -vi= С е-г3 й = 1.
«(а—д:)
Эта функция положительна, и она возрастает при a-^/sCjc и убывает
при x^t^b. Значит, для всякой / (<) е L будет hm Wn(x)—f(x) в каж-
п —>со
дой точке *, где / (t) есть производная своего неопределенного инте|рала.
Условимся говорить, что функция ? (^, д:) является горбатой
мажорантой функции Ф (t, х), если | Ф (/, х) \ ^ V (t, х) и если Y (/, л;) при
фиксированном х возрастает на сегменте [а, х] и убывает на сегменте [х, Ь].
Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро Ф„ (t, x) при каждом п имеет
такую горбатую мажоранту *?п (t, x), что
$Va(t, x)dt<K(x)< + ca,
яо\< К (х) зависит лишь от х, то для любой f(t)<=L, имеющей точку t = x
точкой Лебега, будет справедливо (8).
Доказательство. И здесь достаточно доказать равенство A1). Взяв
*>0, находим такое б>0, что при 0</г^б будет
x + h
\ J |/@-/(*I<й<е.
По лемме будем иметь
х+6
5 {f®-t(x))<»n(t.x)dt
х + 6
jj l/W-fWI-^p, x)di-.
х Н
,=;e \" Тя(/, x)dt<el<(x).
265
С другой стороны, в сегменте [х + 8, Ь] последовательность ф„ (t) = Фп(t, х)
слабо сходится к нулю, ибо при ^е[л: + б, Ь] будет
| ф„ (t, х) | ^ ?„ (t, х) ^ Vn (* + а, *) ==? ^ J ?„ (*, ж) Л <-^.
X
Заметив это, мы заканчиваем доказательство теоремы Фаддеева так же,
как и выше.х)
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье
В § 3, гл. VII мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (х) по
любой ортонормальной системе {ш^ (л;)}. В частности, если речь идет о
тригонометрической системе
1 cos х sin x cos 2x sin 2x ...
1/2я' 1/я ' У я ' У Я' ' |/я '
то рядом Фурье функции / (х) служит ряд
° + 2 (в* cos *x +ft* sin**), B)
й = 1
где
я я
аА = - V / (х) cos te d*, ft* = — \ / (*) sin kx dx. C)
Л J Я J
—я —я
В гл. VII мы предполагали, что f (x) e Z.2- Это предположение обеспечило
нам существование коэффициентов Фурье c/1=^f(x)aiil(x)dx функции f (х)
а
в любой орюнормальной системе. Но функции системы (]) ограничены.
Поэтому коэффициенты C), а с ними и ряд B), можно образовать для любой
суммируемой функции.
Вопрос о сходимости ряда B) приводится к исследованию некоторого
сингулярного интеграла. Дейетвительно, если
п
s« W =* + 2 {ak cos kx+bk sin **>•
то, в силу (З),
л Г " 1
х) Д. К- Фаддеевым («О представлении суммируемых функций
сингулярными интегралами в точках Lebesgue'a», Матем. сборник, т. 1 D3), № 3,
1936, стр. 351 — 368) доказано, что условия теоремы и необходимы для
того, чтобы (8) имело место для всякой f{t)(=L, имеющей при t = x точку
Лебега.
266
Пользуясь известной формулой *)
1 v яп-^о
-j+ >cosfta = —, D)
А = 1 2 sin -2
. 2п+1 ., .
j ,, sm—75—-(* — *)
придадим сумме Sn (ж) вид
S.W=^ J—ПГ=^—:f«& E)
-я sin -у-
Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.
Мы не будем останавливаться на вопросах сходимости ряда B), отсылая
интересующегося читателя к исчерпывающей монографии Зигмунда.2)
Напротив, мы рассмотрим вопрос о суммировании ряда B) по способу
Ч е з а р о. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического
первых п сумм 5^, (х):
„ /., S0(x) + S1(x) + -.. + Sn_1(x)
°п \х) — " •
F)
Известно, что в случае сходимости ряда B) в точке х последовательность
ап(х) сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и
тогда, когда ряд B) расходится. 3)
Для исследования ап (к) преобразуем ее с помощью формулы E)
r/1-l
Ж
-яЬ = 0 J sin -
Но
"У ,inBk+l)aL=*^. G)
Zj v ' sin a y '
Действительно, складывая равенства
cos2ta, — cos2(fe+l)a = 2sinasin Bfe+l)a (k = 0, 1, ..., n— 1),
l) Впрочем, ее легко вывести. Для этого сложим равенства
sin ( ft + g i a — sin ( ft — 2 ) a = 2 sin -^ cos fta (ft = 1, 2, ..., л),
. a . a
sin 2 = sin у.
Это дает
[n -.
1 , V
-2 + 2j cos ka .
4 = 1 J
откуда и следует D).
2) А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. ГОНТИ, 1939.
3) См., например: И. И. Привалов, Ряды Фурье (ОНТИ, 1934) или
Л. В. Канторович, Определенные интегралы и ряды Ф)рье (изд. ЛГУ,
1940) или Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. 3 (ГТТИ, 1949).
267
находим
и —1
2 sin а У] sin B?+1)а=1— cos 2па = 2 sin2 па,
* = о
откуда и следует G).
С помощью G) получаем
sin п-
t-x -\
sin
t — x
/(О л.
(8)
Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него
выполнены условия теоремы Фадцеева.
Для этого рассмотрим функцию /@ = 1- Вычисляя ее коэффициенты
Фурье по формулам C), получим an = 2, alt = bk = Q (&=1, 2, .. ).
Значит, для этой функции S,,(x) = l (n = 0, 1, 2, .. ), а следовательно и
ая(*)-1.
Но выражая ан (х) интегралом Фейера, получим, что
Sin И —jr-
2пя J
sin
< -х
d*=l.
(9)
Заметив это, рассмотрим точку х е (— л, л). Пусть — я^а<*<Р^я.
Если / s [— я, а], то
1 Г 1 1
sin2
t — x
sgmax
и, следовательно,
а
2пя I
. . а—х ' . , — я — *
sin2 —?- sm2 j—
t — x
[ = A(fi, а),
sin n
sin ¦
<—JC
di<
A (x, a)
где Л (я, а) не зависит от п. Отсюда следует, что
hm „—
sin и-
t — x
. t-x
sin -2~
dt = Q.
Аналогично мы >бедимся, что стремится к нулю интеграл по промежутку
[р\ я]. Сопоставляя это с (9), находим, что
t — x
lim -x— I
„_да2ля J
sin n
sin
/— X
dt=l.
так что функция
есть ядро.
268
Г . t-x
1 I sinn —
2пл t — x
sin -к—
Для этого ядра легко построить горбатую мажоранту. Для этого
заметим, что | sin 2 | s? | z I. Отсюда , „5=^ . Ho ^ m 3s 1. Стало быть,
sm2 z ~" г2
sm2z
1
sin2 z
2 , ^z2j 2г2
sin2
2
2n2(<-s)a
n2(f-xJ + 4
С другой стороны, когда | z | =g = . то I sin z I ^ — I z |, так что')
sin2
t — x
1
(*-*)».
A0)
(H)
Из A0) и A1) следует, что
1
2пп
sm л-
/ —*
sin •
/ — л:
1 2ri*(t — xy
tin
2пл rfi{t — xJ + 4 (/ — лJ n2(^_xJ + 4
Функция -^-Tj j^Tj ecib горбатая мажоранта ядра Фейера. Но
+ О0
ь
nndi
?(t — xf + 4
<
я2
: 2 '
т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от п.
Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы Д. К. Фаддеева.
Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер—А. Лебег). Почти везде на [—я, + я] будет
hmon(x) = f(x). A2)
л -*оо
Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех
точках непрерывности функции f(t), лежащих внутри [—я, +п].
В гл. VII мы установили, что тригонометрическая система A) полна. Это
означало, что всякая функция / (х) е L2, у которой все коэффициенты Фурье
!) Так как —я<дс<я, —я^/sSji, то
t-x
может оказаться и
больше, чем . . Однако, это несущественно. В самом деле, положим а =
— max {—я, х — п\, b = min {я, * + п}. Нетрудно видеть, что разность между
интегралом Фейера (8) и интегралом
а" 2яя I
sm n-
t-x
sin ¦
t — x
f(t)dt.
при возрастании п стремится к нулю (ибо, например, при —rc^'sga будет
. t — x
sin —
sin ¦
— п — х
интеграла a*.
поэтому все рассуждения можно вести для
269
C) равны нулю, эквивалентна нулю Теперь мы можем избавиться от
ограничения, что / (а) суммируема с квадратом Справедлива следующая
Теорема 2. Если вес коэффициенты Фурье C) суммируемой функции
f (х) равны ну 1ю, то / (х) эквивалентна нулю
В самом деле, в этом случае ап(х) = 0 и, следовательно, /(х)=0 во всех
точках, где имеет место A2), т е почти везде
Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм
Sn(x). Для этого заметим, что
п — 1
о» (х) =а2° + ^ ^1Г~ (а* C0S kx + b>> Sln kx)>
k=\
так что
n
Sn (x) - an (x) = ^ - (aft cos kx + bk sin kx). A3)
A=l
Отсюда
л и
^ ^ [Sn (x)-an (*)]» d^= ^ ^2 K + b*). A4)
— n A = l
Рассмотрим последовательность n1( n2, «3, .. натуральных чисел, для
которой
^>Л>1. A5)
Такая последовательность называется лакунарной. Справедлива
следующая
Теорема 3 (А. Н. Колмогоров). Пусть } (х) суммируема с квадратом
Если {щ} лакунарная последовательность, то почти везде на [—я, + я]
будет
hmSn (*) = /(*).
1—voo 1
Доказательство В силу теоремы Фейера —Лебега достаточно
показать, что почти везде будет lim \Sn (x) — an (ж) 1 = 0.
Для этого (теорема 11, § 1, гл VI, следствие) достаточно показать, что
2 j (Sn —cn \2^/v< + oo, или, что то же самое, что
со г п, -1
Q=2 b?2 k2(ai+bm<+co.
1=1L ' ь=\ л
1=1 L • k=\
Сумму Q можно записать так:
1
k=i
+i<2Uk+h 2 "*+
'ft=l ft = n, + l
"l П,
A=l
A = l A=n, + 1 /s = ,,2-i_i
+ •
270
где uk = ft2 (a"k + u|). Суммируя этот ряд по столбцам, получим
СО / СО \ / ", »
1=1 \s = t
Но так как
\4S"
Отсюда
00 "( CO
ибо ряд 2j(aA~bk*) сходится Теорема доказана
Полезно отметить близость этой теоремы А Н Колмогорова и теорем
Качмаша и Радемахера из § 3, гл VII. Именно, в обоих случаях ищутся
со
такие индексы п„ чтобы частные суммы Sn (х) ряда Фурье ^] cka>k (x)
1 к=\
функции / (х) сходились к / (х) почти везде Однако у Качмаша и Радемахера
предполагаются заданными коэффициенты cfe и индексы nt характеризуются
через них независимо от системы {ю^ (х)}. Напротив, А Н Колмогоров
рассматривает определенную — тригонометрическую — ортонормальную систему и
дает характеристику индексов л,, не зависящую от коэффициентов с^.
Определение. Тригонометрический ряд
2 (ап cosntx + bn smn,x)
называется лакунарным, если {п,} есть лакунарная последовательность
Теорема 4 (А. Н. Колмогоров). Если ряд Фурье суммируемой функции
f (х) оказывается лакунарным, то он сходится к f (x) почти везде
Доказательство. Если n,^«<n1+i, то
Sn(x) = Sni(x), ибо a,lj+1=6,I( + 1 = an(+2= =bn = 0.
Поэтому достаточно показать, что почти везде оказывается
hm Sn (x)=f(x), (*)
г->со i
а это утверждение, в свою очередь, будет доказано, если мы установим, что
почти везде
.'iTccIV^V^h0- (%)
Отметим, кстати, что для частного случая, когда f (x) (^ L2, равенство (*),
а с ним и теорема сразу следуют из предыдущей теоремы Колмогорова.
271
Переходя к доказательству соотношения (%), заметим, что в силу A3)
V k
fe=i
Если ft не совпадает с одним из чисел пъ п2, па, ..., то аА = йА=0.
Стало быть,
г
т = \
В силу теоремы Римана —Лебега (§ 1) hm ап = hm Ьп = 0.
Заметив это, возьмем в > 0 и найдем такое т0, что при т > т0 будет
(anm| + |ufflm|<e. Тогда, обозначая ^ rtm (| а«т [ + | ьпт |) чеРез ^. бУДем
m = l
иметь, при i >щ
I
i\Wwi<^-+- 2 ?¦ <16)
Но так как
/г, Л'-«
m
Отсюда и из A6) следует, что
М А
\\to-e*t<*\<-zr+j=TB-
м
Если i достаточно велико, то — < е, и при этих i будет
что и доказывает теорему.
Замечание. Хорошо известен также способ Абеля —Пуассона для
суммирования рядов Фурье.!) Он состоит в образовании вспомогательного ряда
со
S/.(x) = -^-\- 2, fk (a* cos &я + &? sin kx), который сходится при 0<г<].
Если существует конечный предел lim Sr (x), то этот предел и считается
л->1— О
обобщенной суммой ряда
со
Ц + ^ (ak cos kx + bk sin kx). A7)
') И И. Привалов, Ряды Фурье, стр. 108, Л. В. Канторович,
Определенные интегралы и ряды Фурье, стр 217, Г. М. Фихтенгольц,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, стр. 723.
272
Нетрудно показать, что в каждой точке х, в которой ряд A7)
суммируется процессом Чезаро—Фейера, он суммируется и процессом Абеля —
Пуассона к той же сумме х) Значит ряд Фурье суммируемой функции f (х)
суммируется к ней способом Абеля —Пуассона почти везде Этот факт можно
доказать и не пользуясь теоремой Фейера —Лебега, а привлекая теорему
П. И. Романовского2) к исследованию того сингулярного интеграла, которым
выражается Sr (x):
п
— л
(интеграл Пуассона). Мы не будем останавливаться на этом.
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов
и рядов Фурье
Не всякий тригонометрический ряд
со
у + 2_ (°*cos kx+bk sin **)
является рядом Фурье какой-нибудь суммируемой функции, даже если его
коэффициенты стремятся к нулю Чтобы в этом убедиться, установим
некоторые предложения, имеющие и самостоятельный интерес.
Лемма 1 (Н. Абель). Пусть даны числа аъ а2 ап. Положим
k
i = l
и пусть
| sft | sc Л (fe=l, 2, .. , п).
Если <7i > <7з > ¦¦¦ > qn> 0, то
п
2 а*G*
fc=l
:/4(/i.
Доказательство. Если k > 1, то a.k = Sk — sk-i- Значит
л п п п
2 a*<7ft = siGi+ 2 (sk — Sk-i)Qk= 2 «А?А- 21 s*-i9A
ft = l ft = 2 ft=l ft = 2
И, стало быть,
П Л —1
A=I A= 1
x) И. И Привалов, Ряды Фурье, стр ПО, Л В. Канторович,
Определенные интегралы и ряды Фурье, стр. 218, Г. М. Фихтенгольц,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, стр. 731.
2) Путь, основанный на теореме Романовского, дает более сильный
результат, чем теорема Фейера — Лебега. Именно, он показывает, что ряд
Фурье функции f (х) суммируется процессом Абеля —Пуассона в каждой
точке, где / (х) есть производная своего неопределенного интеграла (а не
только в точках Лебега, как это следует из теоремы Фейера—Лебега).
273
Отсюда
2 а*<7*
k=\
n—l
Л\ 2 (<?a-<?* + i) + «7,
* = 1
'n =^<7i.
что и требовалось доказать.
Определение. Будем говорить, что ряд а1 + а2 + аэ + ---, удовлетворяет
условию Абеля, если
2а*
А = 1
гсЛ (n=l, 2, 3, ...).
Лемма 2. Каждый из рядов
cos х-{-cos 2x+cosЗх-{-... (x=?2kn),
sin x + sin 2x -\- sin 3x +... (я — любой)
при фиксированном х удовлетворяет условию Абеля.
п п
Доказательство. Положим, Ап = ^ cos fejc. Bn = S sin to. Чтобы
не повторяться, оценим эти суммы способом, отличным от применявшегося
нами в аналогичных случаях выше.
Эти суммы представляют собой вещественную и мнимую части суммы
п
gXl giП + 11 -VI
Значит, достаточно оценить модуль последней суммы. Очевидно
,„ , . 2 1
1 - txi I
sm -_
Отсюда
М»1 =
sm ^
\В„
sin
и лемма доказана при хф2кп. Если же дг = 2йя, то для ряда синусов лемма
тривиальна.
Теорема 1 (Н. Абель). Пусть ряд ^ аА удовлетворяет условию Абеля.
* = 1
Если
то ряд 2 ад/t сходится.
4=1
Доказательство. Положим, Sn= J] аА</А. Тогда, по лемме Абеля,
при гп> п
\Sm-Snl =
2 a*?A
-2Aqn+i
н при достаточно большом п эта величина сколь угодно мала, откуда и
следует теорема.
274
Следствие. Если
</i>?2> ... ><7„> ... , lim <7„ = 0,
mo каждый из рядов
2 ^г„ cos па: (x=t-2kn), ^ 9л sin ад (л: —любой)
сдгоЭится.
Например, ряд
п = |
VI sin
п*
^ Inn
11 = 2
A)
сходится при всяком х. Мы покажем ниже, что A) не является рядом Фурье
никакой суммируемой функции. Для этого нужна
Лемма 3. Пусть
п
VI sin kx
*=i
Каковы бы ни были х и п, справедлива оценка I фл (*) | < 2 ]/"я.
Доказательство. Пусть сначала 0 < х < я. Пусть g целое число,
такое, что q sg ^— < q + 1. Тогда
I ^л (*)! < ! Ь (*) [ +
VI sin foe
* = <? + !
(Если (? = 0, то исчезает первое, а если i?5:ft, то —второе слагаемое правой
части). Так как [ sin a | ^ | а |, то
ч
IЬ W1
sin &х |
/"-
: ?л: sg У л.
B)
4=1
С другой стороны, в силу леммы Абеля,
п
sin kx
k=q + \
: 9-Ы'
где А = max
/
sin kx
((/+1 set sg n). Но, буквально повторяя рассуж-
дения, проведенные при доказательстве леммы 2, мы увидим, что
I
у
Li
sin kx
1
sin
2"
значит Л:
1
и, следовательно,
sin
sin kx
k = g + i
(i?+l) sin-2
275
Принимая во внимание, что sin -д- 3=— , a <?+1>-—, имеем
1
sin kx
*=*+! 1л *
1
= V'ji,
откуда, в связи с B), и следует требуемая оценка. Ввиду того что I фл (х) \
четная функция, эта оценка верна и для — я<*<0. Для х = 0 и п эта
оценка тривиальна, т. е. она верна для —п <.х ^я, а тогда, в силу
периодичности а|5„ (х), она верна всегда, что м требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть f (x) суммируемая функция. Если
Л оо
Ьп = — V / (х) sin nx dx, то ряд Л —
—я л = 1
сходится.х)
гт г. V sin nx ,
Доказательство. Ряд У сходится по следствию теоремы 1.
Если его сумма есть if (x), то при всех х
lim t;1W/W=i|3W/W.
п-«оо
В силу леммы 3,
Значит, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
я я
lim \" tyn(x)f(x)dx= \ $(x)f(x)dx.
л-»-я -я
Но
л
l~[ 4n(*)f(x)dx= 2%,
-Л 4=1
откуда и следует теорема.
оо
Обращаясь к ряду A), мы видим что ряд / ~т— расходится.2) Зна-
^ л In п
п = 2
чит A) дает пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не
являющегося рядом Фурье никакой суммируемой функции.
В том же порядке идей доказывается следующая теорема.
•) Если f (x) e/.j, то теорема есть очевидное следствие сходимости обоих
рядов /*„ и /—2 и неравенства —^~<*п+^2- ^ этом слУчае сходится
также и ряд Л — t который для произвольной суммируемой функции может
расходиться.
л + 1
2) Так как функция —, убывает, то —; > \ —=—.
' т/ х\пх 3 п\пп J х\пх
п
Отсюда
N N
1 ¦> [ -4^— = lnlnJV —1п1п2.
Zi n Inn ^ J дс1п*
п = 2
276
Теорема 3. Пусть е промежутке [— п, п] задана суммируемая функция
/(*), имеющая ряд
оо
Ч+ Zd ^п cos nx+hn sin nx)
n = l
своим рядом Фурье. Если [А, В] с: [— я, п], то
в в со в
V / (дс) dx = \ 1' dx + У \ (an cos nx + Ь„ sin nx) dx.
А А »=1Л
Иначе говоря, ряд Фурье суммируемой функции можно почленно
интегрировать. Этот факт весьма замечателен, поскольку сам этот ряд
может и не сходиться.
Для того случая, когда функция f (х) суммируема с квадратом, наша
теорема немедленно вытекает из замкнутости тригонометрической системы
и следствия теоремы 1, § 3, гл. VII.
Чтобы доказать теорему в общем случае, положим
Ф(*) = {
1 при х е [Л, В],
О при х i= [А, В].
Эта функция, как известно из элементов Анализа, разлагается в ряд
Фурье
ф W = "" + ^ (a* cos kx + р* sin kx)
во .всех точках сегмента [—я, л], кроме разве лишь точек —я, Л, В, л.
п
Пусть Sn (дс) = ^° + ]? (а* cos ** + Р* sin Ь)-
Эту сумму можно представить иначе, если фактически вычислить
коэффициенты а.к и р^:
я
—я
я
1С , , . , sin fefi — sin feA
1 I
a^ = — \ ф (x) cos ^дс dx =
71 J
— л
n
P* = ~ \ ФЙ sinfex?k =
An
— л
n
cos /гЛ — cos kB
Ы
— n
Подставляя эти величины в выражение Sn (x), найдем:
с/ч В~А . ' V Г^АИн^) sin fe (Л — л:) |
k = i
Отсюда, в силу леммы 3, при всех х и п
277
t. e. суммы Sn (x) равномерно органичены. Пользуясь теоремой Лебега о
предельном переходе под знаком интеграла, мы находим
J / (*) Ф (х) dx = Jim [ f (x) Sn (x) dx,
что можно записать и так:
в я
J f(x)dx = ^ J f(x)dx + ^ а* \ f(x)coskxdx + ?,k ^ f(x)sinkxdx\
или так:
В со
f ... , а0 Y Г sinkB — srnkA coskA — coskB]
\ f(x)dx = -?(B-A)+ 2, К 1 Ь6* 1 j,
А А=1
а это равенство и представляет доказываемую теорему.
Теорема 4 (Г. Кантор — А. Лебег). Если во всех точках множества Е
положительной меры будет
hm (a;Jcos nx + bn sin ях) = 0, mo lim an= lim 6n = 0.
/I —* OO П —»• CO /1 —> CO
Доказательство. Положим rn = \/ra'n-j-b^l. Тогда для любого п
существует угол 6Л, для которого
art cos nx-\-bn sin пд; = гп cos (мх: + 6га).
Допуская, что гп не стремится к 0, мы сможем выделить
последовательность п1<п2<п3< ..., для которой rn >a>0. Но при х е ? будет
rncos(nx-f в„)->0,
значит при этих д;
C0S(V + \)^°-
Отсюда, в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла,
lim [ cos2(nkx + Bn \dx = 0. C)
С другой стороны,
\ cos^(nx + un)dx^j ^ [1 + cos B/1* +26л)]?/* =
Е В
— g m? 4- cos 26Л V cos 2п* с?л: — sin 26Л \ -sin 2/u d^.
Интегралы JcosnA;^, j sin яд- rfjc, будучи коэффициентами Фурье харак-
теристичевкой функции множества Е, стремятся к 0 (следствие 1еоремы
Римана —Лебега). Отсюда
ЛШсо ^ Cos2 (nx + e«) dx = l mE'
ь
что противоречит C). Теорема доказана.
278
Следствие. Если тригонометрический ряд сходится на множестве
положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю.
Весьма близко по идее доказательство следующен теоремы.
Теорема 5 (Н. Н. Лузин— А. Даяжуа). Если тригонометрический ряд
со
-°° + 2^ (а'г cos пх+h/i sin nx>>
п= 1
абсолютно сходится на множестве Е положительной меры, то
со
2 (|яЯ1-рЬ„|)< + со.
и = 1
Доказательство. Сохраняя обозначения предыдущей теоремы, будем
иметь для х е Е
со оо
2 rn cos^ (пх + Вп) *? 2 r« I cos (^ + вл) | < + оэ.
со
Пусть 2 rn cos2 (плг -f- бге) = Л (*). Эта функция измерима и конечна на
п = \
множестве Е. Значит, из Е выделяется подмножество ?(т?'0>0), на
котором А (х) ограничена и, стало быть, суммируема.
со
Тогда ^ гп \ cos2 (пх + ^п) dx = ^ А (х) dx < + оэ. Но при доказатель-
стве теоремы 4 мы видели, что
Значит, для A>л0 этот интеграл будет больше, чем ni?0/3 и, стало быть,
со оо
—^ 2 '«< 2 ^ §соз2(п*+е'0л<+оэ>
л = п0 га = п0 ?0
со
откуда следует сходимость ряда ^ гп-
Теорема доказана.
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции
Мы имеем в виду изложить некоторые факты, связанные с вопросами
единственности разложения функции в тригонометрический ряд. Для этого
нам понадобятся некоторые новые сведения, представляющие и
самостоятельный интерес. Настоящий параграф мы и посвятим изложению этих сведений.
Определение 1. Пусть функция F (х) определена в некоторой окрестности
точки х. Если существует определенный предел
UmF(X + h)-F(X-h)
ft-о 2Л
то он называется производной Шварца функции F (х) в точке х и обозначается
через F1'1 (х).
279
Если в точке х существует обыкновенная производная ?' (х), то
существует и производная Шварца, причем F' (х) = F' (х)
Это утверждение непосредственно следует из того, что правая часть
равенства
F{x + h)-F(x-h) I \F(x + h)-F(x) f (x -//) - Г (а)
2/i
_ 1 \ F(x + h)-F(x) F(x~h)-r(x)l
""" 2 L h ^ —h J
при h -*¦ 0 стремится к F' (x)
Но возможны случаи, когда F' (x) не существует, a F1' (x) существует.
Так, например, обстоит дело в точке х=0 v функции
F(x) = xsm^ [F@) = 0].
Таким образом, понятие производной Шварца есть обобщение понятия
производной Аналогичным способом можно обобщить понятие второй производной.
Определение 2. Пусть функция F (х) определена в некоторой окрестности
точки х. Если существует определенный предел
h F(x + h)-2F(x) + F(x-h)
ft-o Л2
то он называется второй производной Шварца и обозначается через 1'"](х).
Если в точке х существует обыкновенная вторая производная F" (х), то
существует и F'"' (х), причем F("> (x) = F" (x).
В самом деле, наличие в точке х второй производной предполагает,
что в окрестности этой точки существует первая производная F' (х).
Положив
F(x + h)+F(x-h) = <f(h),
мы сможем к правой части равенства
F(x + h)-2F(x) + F(x-h) _ф(А)-Ф@)
применить известную формулу Коши, что дает
Ф(/1)-ф@) Ф' (Щ /0^.я<гМ
откуда
F(x + h)-2F(x) + F(x-h) _ F' (х + Щ- F' (у-Аб)
Л» ~ 28А '
а правая часть этого равенства, как мы видели, стремится (при А->0)
к F"(x)
Пример функции
л.
х)= [ tsm Xt At A)
показывает, что F1"'(х) может существовать и тогда, когда F" (х) не
существует [у функции A) так обстоит дело в точке * = 0]
Теорема 1 (Г. А. Шварц). Пусть функция t (x) задана и непрерывна
на отрезке [а, Ь]. Если всюду в интервал (а, Ь) будет
F<">(x) = 0,
то F (х) есть линейная функция.
Доказательство. Возьмем е > 0 и положим
Ф (x) = F (X)-[F(a) + F {b)b_Fa{u) (x-a)] + e(x-a) (x-b).
280
Очевидно ф(л:) непрерывна на [а, Ь\ и ф(а) = фF) = 0 Кроме того, всюду
в (а, Ь) будет
ф""(х) = 2е. B)
Покажем, что всюду в [а, Ь] будет
ФМ^О. C)
Действительно, если бы это было не так, то функция ф (х) в какой-то
внутренней точке хп принимала бы свое наибольшее значение ср (х0) и тогда
Ф (хп + h) — 2ф (ха) + m (*0 — И) .
неравенство YV "^ ; ,2 *=° дало бы в пределе ф "> (х0) s?0,
что противоречит B)
Аналогично мы убедимся, что функция
^W = -(fW-[f(fl)+^M(t_fl)j + E(,_fl)(;[_t)
всюду удовлетворяет неравенству
*!>(*)«? О D)
Объединяя C) и D), получим
F(x)-{F(a) + F{b)bZFa{a) (*-*)} | ^е | (х-а) (х-b) |,
откуда, ввиду произвольности е, следует, что
Теорема доказана
Теперь мы займемся вопросом о том, можно ли, зная вторую
производную Шварца F(">(x), восстановить исходную функцию Г (х) Ход идей здесь
весьма напоминает те рассуждения, которые мы проводили в § 8 гл IX, когда
занимались вопросом восстановления первообразной функции по ее
производной. Рекомендуем читателю освежить в памяти указанный параграф
Определение 3. Число X (конечное или бесконечное) мы будем называть
вторым производным числом Шварца функции F (х) в точке х, если с>ществ>ет
такая стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел hu h2,
h3 что ,
JL= i,m FU + hn)-2F(x) + F(x-hn) ^
n-tco hn
Легко проверить, что во всякой точке х любая функция F (х) имеет вторые
производные числа Шварца и что для того, чтобы в точке х существовала
вторая производная Шварца, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке
все вторые производные числа Шварца были равны между собой
Определение 4. Функция F (х), заданная на отрезке [а, Ь], называется
выпуклой вниз, если для любых двух точек х± и х2 отрезка [а, Ь] будет
р[ь+«)^-Щ?ы. E)
Простейшим примером такой функции служит линейная функция, у
которой в E) стоит знак равенства Менее тривиальные примеры доставляет
Лемма 1. Если функция f (t) возрастает на отрезке [а, Ь], то ее неопре
деленный интеграл
F{x) = \f{t)dt
а
есть функция, выпуклая вниз,
281
Доказательство. Пусть a s; jcx < х2 зс b. Тогда
х, + хг
х, 2
*, + .ta
Так как / (/) возрастает, то
Xi + Xs
f(t)d(^f(x-^\x-^^ i f(t)dt,
2
откуда и следует, что F(x1)—2F{ Х"Г 2 J -\-F (х2) ;>0.
Легко видеть, далее, что
1) сумма конечного числа функций, выпуклых вниз, есть функция,
выпуклая вниз;
2) предел сходящейся последовательности функции, выпуклых вниз, есть
функция, выпуклая вниз;
3) с^мма сходящегося ряда функций, выпуклых вниз, есть функция,
выпуклая вниз.
Переходя к дифференциальным свойствам таких функций, прежде всего
отметим, что все вторые производные числа Шварца функции, выпуклой вниз,
неотрицательны. Это свойство характеризует такие функции. Именно,
имеет место
Лемма 2. Если все вторые производные числа Шварца непрерывной
функции F (к) неотрицательны, то эта функция выпукла вниз.
Доказательство. Возьмем е > 0 и, так же как при доказательстве
теоремы Шварца, введем функцию
<P(*) = f (*)~[f <fl)+F{b)bZfala) (*-a)] + e(x-a)(x-ft).
Она непрерывна; <p(a) = <p(b) = O и все вторые производные числа Шварца
Я этой функции удовлетворяют неравенству >. 5= 2е. Отсюда, так же как и
в теореме Шварца, следует, что <р(х)^сО.
Из этого неравенства, переходом к пределу при г-*-0, получаем
и, в частности,
(а + Ь\ F(a)+F(b)
Г\ 2 )- 2
Это и доказывает лемму потому, что вместо чисел а и b мы могли бы
взять любые другие числа хх и х2.
Лемма 3. Пусть функция F (х) задана и непрерывна на отрезке [а, Ь].
Если почти везде на (а, Ь) все вторые производные числа Шварца
неотрицательны и ни в одной точке (а, Ь) ни одно второе производное число Шварца
не равно — оо, то функция F (х) выпукла вниз.
Доказательство. Обозначим через Е множество тех точек (а, Ь),
в которых хоть одно второе производное число Шварца функции F (х)
отрицательно. По условию тЕ = 0.
Поэтому, в силу теоремы 6 § 2 гл. VIII, существует непрерывная
возрастающая функция a (x), такая, что во всех точках множества Е будет
о'(*) = +сх>. F)
282
Положим т (х) = (j о (t) dt. В силу F) во всех точках множества Е будет
т"(*) = +оо. G)
Заметив это, возьмем произвольное е>0 и рассмотрим функцию Ф (х) =
= F(x)+er(x).
Все вторые прои^одные числа Шварца функции Ф (х) неотрицательны.
Действительно, по лемме 1, функция т (х) выпукла вниз, а потому
Ф (х + К)-2Ф (*) + Ф (х —/г)„ F (х-\-1г)- 2F (х) + F (x—h)
№¦ =* W-
Значит, если бы у функции Ф (х) при х е Е существовало бы отрицательное
второе производное число Шварца, то при этом же х должно было бы
существовать отрицательное второе производное число Шварца и у F {х), что
невозможно по самому определению множества Е. Если же хе?, то отношение
F(x + h)-2F(x) + F(x-h)
——!—- , 2 должно оказаться ограниченным снизу (иначе
в точке х существовало бы второе производное число Шварца, равное — оо)
и потому [в силу G)] Ф1 (х) — -\- оо.
Итак, Ф (х) удовлетворяет условиям предыдущей леммы и потому выпукла
вниз. Но тогда и F (х)=\\т Ф (х) выпукла вниз. Лемма доказана.
Теперь мы можем доказать интересующий нас результат о восстановлении
функции по ее второй производной Шварца.
Теорема 2 (Ш. Ж. Валле-Пуссен). Пусть на [а, Ь] задана непрерывная
функция F (х), имеющая всюду в интервале (а, Ь) вторую производную Шварца
F<">(x) = f(x).
Если f (х) всюду конечна и суммируема, то справедливо равенство
F (х) = ^ dt j f (и) du + Ax + B. (8)
а а
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию фл (х), полагая
|7 (х), если f (x) s? n,
Уп(х)-{ п, если f(x)>n.
Так как
l<P«(*)l^|f(*)l. (9)
то срп {х) суммируема.
х t
Пусть Ф„ (а-) = j\dt ^ ф„ (и) du и Rn(x) = F (х) — Фп(х). Ввиду непрерыв-
а а
/
ности интеграла \ фл (и) du, мы имеем для всех х е [а, Ь]
а
х
Фп (х) = ^ цп (и) du.
а
А так как правая часть этого равенства почти везде имеет производную,
равную ф„ (х), то почти для всех х оказывается
Фп(х) = <Рп(х). A0)
Но всюду, где имеет .место A0), разность Rn (x) имеет вторую производную
Шварца Rn '(*) = / (х) - ц>п (х) > 0.
Итак, множество точек, где хоть одно второе производное число Шварца
функции Rn (x) отрицательно, имеет меру 0.
283
С другой стороны, по формуле Коши
фп (x+h)-2<bn (х) + Фп (x-h) _ Фп (х + Щ -Фп (х-Щ _
№ ~ 29Л
х+вн
х — ви
и, стало быть,
Rn(x + h)-2Rn(b) + Rn(x-h)^F(x + h)-2F(x) + F(X-h)
Jfl S: p П.
Отсюда ясно, что ни одно второе производное число Шварца функции Rn (x)
не равно —оо. Поэтому, в силу леммы 3, функция Rn (x) выпукла вниз
Если п-*оо, то ср„ (*) -*¦/(*)• Отсюда и из (9) вытекает, что при любом t
будет
/ {
J Ф„ (и) du-^^f (и) da.
Но
j ф„ (и) du
,]\i(u)\du
и потому, при каждом к будет
х t х t
Фя (х) = \ dt \ Ф„ (и) du -> j Л j f (ц) rfu.
а а а а
Значит, функция
R(x) = F(x)-]dt]f(u)du,
а а
будучи предельной для выпуклой функции /?„ (х), и сама выпукла вниз.
Это означает, что при любых xv и х2 окажется
nfxt + хЛ R(Xl) + R(x2)
\ 2 J 2 ' 1 '
Но, если бы вместо F(*) мы стали бы говорить о функции —F (х), то вместо
f (х) появилась бы функция —/(*). Вместе с ней изменила бы знак и R (х),
так что неравенство A1) приняло бы вид
gffl^W+«W. A2)
Из A1) и A2) следует, что при любых хх и х2
Г 2
Отсюда при любом х е (а, Ь) и достаточно малом h > 0 будет
Я (x + fc) — 2Я (*) + Я (х — А) = 0 и, следовательно, i?"'l(x) = 0.
По теореме Шварца отсюда следует, что R (х) = Ах-{-В, а это равносильно
доказываемой теореме
Для теории тригонометрических рядов нам достаточно изложенных
сведений. Однако мы хотим установить еще некоторые предложения о выпуклых
функциях, ввиду их самостоятельного интереса, хотя ссылаться на них нам
и не придется.
284
Теорема 3. Если f (x) задана, ограничена и выпукла вниз на отрезке [a, ft],
то во всех точках интервала (а, Ь) она непрерывна
Доказательство. Пусть а < х0 < Ь и М (х) и т (х) суть верхняя
и нижняя функции Бэра функции f(x), введенные нами в § 4 гл. V. Покажем,
что можно найти такую последовательность {хп\, чтобы хп-+х0 и f (xn) -*¦
-> М {х0) В самом деле, если п-+со, то М{^п (х0) -*¦ М (х0), а по самому опре-
1 , 1
делению М1/п (ха) в интервале 1х0 , хо-\—) найдется такая точка хп,
что М1/п(ха) <f (хп) ^М[/п (х0). Очевидно {хп\ и есть требуемая после-
п
довательность >)
Взяв такую последовательность, положим уп = 1хп — хй. Тогда и уп-*-х0 и
{(х«)-<[—2~)^ 2 *
Возьмем произвольное &>0. Если б достаточно мало, то3) Мд (л;0) <
<М(хо)->ге, а так как при достаточно больших п окажется упе(х0 — 6,
¦*о + 6)> то для этих п будет
/ (хп> ^ 2 •
Переходя к пределу, сначала при п -*¦ со, а потом при t -*¦ 0, получим
M(xo)^f(Xo)+2M{Xa), откуда MWsc/W
и, стало быть,
M(xo) = f(x,). A3)
Это справедливо и тогда, когда ха = а, или хо = Ь, потому что точка уп лежит
с той же стороны точки х0, что и хп.
Теперь найдем такую последовательность {хп\, чтобы оказалось ^-t^x,,
/ (хп) -> т (х0), и положим уп = 2*0 — хп.
Если а < х0 < Ь, то для достаточно больших п точка уп попадет в [а, Ь]
(ибо уп-*х0) и тогда окажется
,/„, f (*П + Уп\ ^.f M + f (Уп)
f(*A = f[—2—)^ 2 •
Для достаточно больших п, как и выше, мы будем иметь
/ (.^о) *S g >
откуда, переходя к пределу сначала при п->-со, а потом при е->-0, получаем
f /„ ч ^ т(хо) + М(хо)
I \хо) «? 2 •
В силу A3) и очевидного соотношения т (х) ^М (х), отсюда следует, что
М (*о) = т (*„)
По теореме Бэра (§ 4, гл. V) f (*) непрерывна в точке х„.
Замечания. 1) Условие ограниченности функции f (x) существенно.
Существуют конечные, всюду разрывные, выпуклые функции, но они не ограничены
ни в одном интервале.
!) Аналогично, конечно, можно найти и такую последовательность {хп\,
чтобы было хп ->- х„, f (хп) -* т (х0)
2) Ввиду ограниченности {(х) обе функции Бэра М (х) и т (х) всюду
конечны.
285
2) Функция
f 0, если — 1<*<+1,
Пх>-\ 1, если х=± 1
показывает, что на концах отрезка своего задания выпуклая функция может
быть разрывна.
Теорема 4. Если f (х) выпукла вниз, то при всяком натуральном п
Доказательство. Если п=2, то A4) равносильно соотношению E),
определяющему понятие функции, выпуклой вниз. Пусть для /i = 2m
неравенство A4) доказано и пусть n = 2mH1. Положим
, *,+-+> у+,+-+уж
х — 2т i 2m '
Тогда
tfx1 + ... + xa\_tfx' + x"\^f(x')+f(x")^ f(x{j + ... + f(*n)
f[ п j^f'\ 2~/^ 2 ^ п '
Таким образом, A4) доказано для всех п вида 2т.
Пусть теперь п. не есть число вида 2т. Подберем столь большое т, чтобы
оказалось 2т > п, и положим
/г
Тогда
л (J;1 + ... + Xn)-|-B"'-/t)/t
л 2~т
и по уже доказанному
f(l,^f(xi) + ... + fM + &m-n)HA) HM^fD) + --- + f(xn)
что и доказывает теорему. Этот остроумный способ рассуждения принадлежит
Коши.
Следствие. Если р\, р2, ... , рп не отрицательные числа, причем
Pi + Pi + --- + Pn>0,
a f (x) непрерывная выпуклая вниз функция, то *)
f { РЛ + ¦¦¦ + Рпхп \ ^ Pif (Xj) + ... + pnf (xn)
f\ Рг + ..- + Рп )^ й + ... + ря ' °5)
В самом деле, если все р; рациональны, то A5) приводится к A4). Общий
случай получается предельным переходом [для чего и нужна непрерывность/ (х)],
исходя из рациональных р,-. В частности,
f(ow + P!/)^afW + Pf(tf) (aSsO, p^O, a + p=l). A6)
Из неравенства A6) вытекает
Теорема 5. Если Ф (и) непрерывная, выпуклая вниз функция, заданная
на всей оси, то существует такая линейная функция Аи-\-В, что при всех
вещественных и оказывается
Ф(и)>Аи + В. A7)
х) Соотношение A5) называется сумматорыым неравенством
И е не е н а.
286
Доказательство. Пусть
1(и) ФA)-Ф(-1) t, ( ФA) + Ф(-1) ^
Очевидно /A) = ФA), /(— 1) = Ф(—1).
Покажем, что при и\ > 1 будет
Ф(и)^=/(и). A8)
Пусть, например, и> 1. Положим а =
ц+1 ' н м+1 "
Если в неравенстве A6) положить х = — 1, у = и, то оно примет вид
откуда и следует A8). Для и < — 1 рассуждение аналогично.
На отрезке [—1, +1] функция Ф (и), будучи непрерывной, ограничена
и потому найдется столь большая постоянная К, что при всех и е [—¦ 1, -)- 1]
будет
;(>ФA)-Ф(-1)и_ф(и) A9)
Из A8) и A9) следует A7), если взять
^ф<"-ф'-", в<-к, д<-ф("+ф(-1).
Следствие. Пусть Ф (и) удовлетворяет условиям теоремы 5. Если f (x) и
р (х) ^ 0 заданы на [a, b], f (ж) измерима и почти везде конечна, а р (х) и
Р Iх) f (x) суммируемы, то интеграл
ь
J Ф [/ (х)] р (х) dx B0)
а
имеет числовое значение, конечное или равное +оо.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать f (х)
конечной. Сложная функция ф (х) = Ф [f (x)] измерима потому, что она
является почти при всех х пределом последовательности непрерывных функций
Ф[/л(*)]> где 1п(х) непрерывные функции, почти везде удовлетворяющие
соотношению fn(x)->-} (x). Пусть
(x) = i <РМ пР" Ф(*)Э=0' / ч=Г 0 при ф (дг) 3= 0,
ф+ [Х> \ 0 при ф (х) < 0, ф" W \ — ф (х) при ф (ж) < 0.
Интеграл B0) имеет числовое значение, если его имеет разность
ь ь
\ Ф+ (х) Р (х) dx — \ ф_ (х) р (х) dx.
а а
Но по теореме 5 будет ф (х) "> Af (x)-\-B. В частности, это выполнено на
множестве jV тех х, при которых ф (х) < 0. Значит, для этих х будет
05?ф_(х)?? — Af(x) — В.
Умножая это неравенство на р (х), убеждаемся в суммируемости функции
Ф_ (х) р (х) на N. Но вне N это произведение равно нулю. Стало быть,
ь
i| ф- W Р (х) ах ф со.
а
Остальное ясно.
287
Теорема 6. Если в условиях предыдущего следствия будет
ь
$ р (х) dx > О,
то справедливо неравенство
Ь
Ф
\\{х)р (х) dx
ja
b
$ Р W dx
] Ф If (*)] P W dx
?
B1)
называемое интегральным неравенством Иенсена.
Доказательство. Пусть сначала обе функции f (*) и р (*)
непрерывны. Положим
Ч = а + ^~к (* = 0, 1, .... п).
В силу A5) имеем1)
" 1 (*о) Р W + ¦••+/ (*n-l) Р (*n-l) 1 ^
фр
Отсюда
p(^o) + --- + P(*n-i)
ф[Х?ЫрЫ^*
Ф (/ Ы1 Р W + - + Ф [/ (*„-!)] Р (ДСД-1)
PW + - + P('«-i)
. S Ф [f («*)] Р («*) Д*А
[ ?р(дс*)Ддс|« J 2р(**)Л**
и B1) получается предельным переходом при п—»оо.
Откажемся теперь от предположения непрерывности р (х), продолжая пока
считать, что / (х) непрерывна.
Легко убедиться в существовании такой последовательности непрерывных
функций р„ (х) > 0, для которой
Ь
lim \\pn(x)-p(x)\dx = Q.
п-*со-а
По доказанному, неравенство B1) будет справедливо, если в нем вместо р (х)
написать рп (х). Остается перейти к пределу при п-»-оо.
Рассмотрим теперь случай, когда / (х) измерима и ограничена, |/ (х) | ^К.
Тогда Ф [/ (х)] также будет измеримой и ограниченной функцией
|Ф[/М1
М, М= max -|Ф(м)|.
Пусть последовательность непрерывных функций fn (x) такова, что почти
везде на [а, Ь] будет lim /„ (x)=f (х). Можно считать при этом, что | /„ (х) | =$
^К. Тогда
I Ф IU Ш р{х)\^ Мр (х), \ fn (х) р(х)\^ Кр (х),
и B1) получается предельным переходом при п-*оэ из такого же неравенства
Для /„ (х).
Перейдем, наконец, к общему случаю. Как мы видели выше, правая часть
неравенства B1) имеет определенное числовое значение. Можно считать его
конечным, ибо иначе нечего доказывать.
*) Легко проверить, что при больших п будет р (*о) + • • • + р (xn-i) > О-
288
Но тогда, взяв произвольное е > 0, мы можем найти такое б > 0, чтобы
из те<.?) вытекали неравенства
S i Ф U Ml Р М dx < в, \' р (х) dx < в.
С в
Построим измеримую ограниченную функцию fe (x), для которой
тЕ (fs ф !)< 6.
Можно считать, что там, где fE(x)^ f(x), будет /е(х) = 0. Если е->0, то
fe(x) по мере сходится к / (х). Кроме того, \}е(х) ^ / (х) ,. Поэтому1)
Ь б
hm \fe(x)p(x)dx=\f(x)p(x)dx.
Значит, если написать B1) с заменой / (х) на fe(x), то левая часть
полученного неравенства при е-»-0 будет стремиться к левой части B1).
С другой стороны,
ь ь
^Ф([)рс1х-\ф([г)рс1х= J Ффрёх-Фф) J pdx.
E<f6-?f) E(f^f)
Отсюда
§<b<j)pdx-laHfJpdx
:е{1+1Ф@),}.
Поэтому при е->-0 и в правой части упомянутого неравенства допустим
предельный переход, приводящий к правой части B1).
§ 6. Единственность разложения функции
в тригонометрический ряд
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, сколькими способами
можно разложить (если это вообще возможно) данную функцию в
тригонометрический ряд.
Мы начнем с рассмотрения функций, заданных на всей оси и имеющих
период 2я. По отношению к таким функциям справедлива следующая элементарная
Теорема 1. Если функция, заданная на всей оси, разлагается в равномерно
сходящийся тригонометрический ряд, то это есть ее ряд Фурье.
Эту теорему можно высказать и в такой форме:
Теорема 1. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на всей
оси, то он есть ряд Фурье своей {очевидно непрерывной) суммы.
Справедливость теоремы вытекает из того, что равенство
со
/ <*)=f- + 2{а"cos kx+b"sin kx)
k= 1
можно почленно проинтегрировать, умножив его предварительно на cos nx или
sin nx (что, очевидно, не нарушает равномерной сходимости ряда). В
результате получаются равенства
я я
1 Г If
ап= \ / (х) cos nx dx, bn= - \ f{x)$mnxdx (n = 0, 1,2,...),
— я — л
доказывающие теорему.
х) Так как р (х) почти везде конечна, то ft,p^>tp.
289
Для дальнейшего нужна
Лемма I (Б. Риман). Рассмотрим сходящийся ряд
Яо + а1 + 02+ =S.
Исходя из A), построим ряд
I sm h \2 / sin 2A \2
A)
B)
Тогда ряд B) сходится при любом h^tO и его сум на S(h) удовлетворяет
соотношению
hm S(h)=S. C)
Л-.0
Доказательство Из сходимости ряда A) вытекает, что все его
члены ограничены одним числом, \ак\<М, а потому ряд B) мажорируется
¦ и, стало быть, сходится.
Положим
со со
2 /1ч V fsmkh\2
k = п
k = п
Взяв е > 0, можно найти такое п, чтобы при k 5= п было
I rk \ < е.
Закрепим это л и не будем менять его до конца рассуждения.
Так как afc = rfc —г*+1, то
D)
* = л
sm kh \з
kh
откуда
^(Л) = ^П1 „/(
sin n/г \2
Y Г/ sin ЛгА \а /sin(ft-l)ftY4
Но
sinWi\2_ /sm (fe— 1) /г ,а
kh
(k-l)h )
kh. kh
(*- l)n
(*-l)A
d /smjt\a
rf*.
Поэтому
со *Л •
и, в силу D),
t = n+l (*-1)й
+ СО
|гя(ЛI<вП+ J
d / sin л; ,2
1х\~1Г
dx}.
E)
290
Если мы положимх)
+ оо
Г ;—
d_ / jnnje \2
~dx\ x
dx.
F)
то неравенство E) примет вид
|гя(Л)|<рA+Ц.
Заметив это, мы можем, исходя из равенства
п—1
sin ftft \»
sw-s- 2 -*{(-т^)'-4+г-(Л)-г-
*=1
утверждать, что
|S(/i)-S
а*
* = 1
sin *й \»
<Л J
\ -1
+ (t + 2)e.
чает такое б > 0, что при \h •< б оказывается
При фиксированном Сбудет limEE__) _i. Поэтому нашему е отве-
<е.
п — \
ак\
k = \
sin kh\2
\~kTj
— 1
При этих h будет \S(h) — S <(L + 3)e, что и доказывает лемму.
Рассмотрим тригонометрический ряд
подчиненный условию
+ Л (о„ cos пх + bn sin яд:),
|оя <м, !*Я|<Л1,
G)
(8)
где М не зависит от п
Если мы формально дважды проинтегрируем почленно ряд G), то
получим ряд
4-1
ап cos nx +• bn sin пж
О)
л = 1
!) Этот интеграл конечен Действительно,
d ^ sin ж \з _ „ sin ж д: cos х — sin x
dx \~~T~) ~ х~ ~& *
Вблизи точки x = 0 эта функция ограничена, и интеграл F) не является
несобственным, а неравенство
dx
х+1
X3
устанавливает его сходимость и на бесконечности.
291
V 2Л1
В силу (8) ряд (9) мажорируется рядом > -- и потому сходится равно-
мерно на всей оси к некоторой непрерывной функции F (х), которую мы будем
называть функцией Римана ряда G)
Таким образом, всякий ряд G), удовлетворяющий условию (8), имеет
функцию Римана. В частности, по теореме Кантора —Лебега из § 4, ряд,
сходящийся на множестве положительной меры, удовлетворяет условию (8).
Заметим, что из сходимости ряда (/) в одной точке не вытекает, что он
со
имеет функцию Римана. Например, ряд У л2 sin пх, сходящийся в точке х = 0,
п = 1
V
после двукратного интегрирования превращается в ряд — j sin nx, pacxo-
л = 1
дящийся г) при х ф кк.
Определение. Если в некоторой точке хи функция Римана F (х) имеет
конечную вторую производную Шварца, то эта производная F " (х0)
называется суммой ряда G) в томе х0 в смысле Римана.
Теорема 2 (Б. Риман). Если ряд G) удовлетворяет условию (8) и
сходится в некоторой то^ке дг0, то в этой точке он имеет сумму в смысле Римана,
совпадающую с его обычной суммой.
Доказательство. Исходя из равенства
F (х) = ^- — 7 „2 (а« cos nx + bn sin пх),
п = \
после простых вычислений мы придем к равенству
F (xo + 2h)-2F(xo)-{-F(xo--2h) о0 , V , , . • Jsinnh^ /lm
' 4да -= 2+ 2m(a'lCoinXo + bnSmnXa)\l^r) -A0)
п=-\
Ряд A0) получен из ряда
% + 2 ^"cos пх°+Ьп sin пх<^ (п)
л-=1
таким же образом, каким ряд B) получался из A). Отсюда, в силу леммы 1,
lim F fa + 2/i) ~F (Xo) + F {x°~ 2/'^ Q
где 5 есть сумма ряда A1). Это и доказывает теорему.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 3 (Г. Кантор). Если тригонометрический ряд сходится на
всей оси и его сумма везде равна нулю, то и все его коэффициенты равны нулю.
:) Действительно, если х ф кк, то
sin kx =
п к 2п+1
V cos 2 ~ C0S —Т~ Х
' SIP f?Y ^= —
А= 1 2 ып
а эта величина не имеет предела при п —• оо,
292
Доказательство. По теореме Кантора — Лебега ряд удовлетворяет
условию (8) и, стало быть, имеет функцию Римана F(x). По предыдущей
теореме вторая производная Шварца F'"'(х) всюду равна нулю F'"' (дс) = О,
откуда, в силу теоремы Шварца из § 5, функция Римана Г (х) должна
оказаться линейной F (х) — Ах-\-В.
Таким образом, при всех вещественных х будет
со
ArMR — Sa^i— V anzosnx + bnsmnx .
т 4 Z. Ф ' к '
п-^\
Полагая здесь х = п, а затем х=—к и вычитая полученные равенства
друг из друга, убедимся, что А=0. Точно так же, полагая сначала х = 0,
а потом х = 2я и вычитая, получаем ао = О. Поэтому равенство A2)
принимает вид
— 2
ап cos пх + Ьд sm nx
я*
п = 1
Ряд направо сходится равномерно. Значит, по теореме 1, он есть ряд
л
Фурье левой части, откуда "= \ ( — В) cos nxdx = 0 и, стало быть, ал = 0.
— я
Аналогично и 6„ = 0. Теорема дс казана
Теорема 4 (Г. Кантор). Если два всюду сходящихся тригонометрических
ряда имеют одинаковые суммы, то эти ряды тождественны, т. е. их
соответствующие коэффициенты попарно равны друг другу.
Действительно, вычитая почленно один ряд из другого, получим всюду
сходящееся разложение нуля.
Все коэффициенты этого разложения по доказанному должны равняться
нулю, а эго и означает справедливость 1еоремы 4 Ее можно формулировать
и так: функция может разлагаться только в один тригонометрический ряд.
В связи с доказанной теоремой естественно встает вопрос о том, каким
образом определяются коэффициенты тригонометрического ряда по его сумме.
Теорема 1 отвечает на него в случае равномерной сходимости. Гораздо более
общей является замечательная
\ Теорема 5 (П. Дюбуа-Реймонд—Ш. Ж. де ля Валле-Пуссен). Если
сумма всюду сходящегося тригонометрического ряда интегрируема (L), то этот
ряд есть ее ряд Фурье.
Доказательство. Пусть f (х) есть конечная суммируемая функция,
для которой при всех х будет
со
/ м=а2°+2 <а« c°s nx+*»sin «*)• w
Так как ряд A3) удовлетворяет условию (8), то он имеет непрерывную
функцию Римана F (х).
Согласию теореме Римана, всюду F'"' (x) = f(x), откуда по геореме
Валле-Пуссена из § 5 F (х) = Ф(х)-\-Ах-\-В, где положено для краткости
X t
ф (х) = (| rf/ \ f (и) du.
Таким образом,
со
-°о*г /1„ d V а"cosnx+b^smnx
293
Отсюда после небольшого вычисления вытекает, что
V ' 4tf ' = 2 + 2 К C°S ПХ+ п "т ПХ) \~~ЯГ) '
л = 1
Ряд направо сходится равномерно и, следовательно, является рядом Фурье
левой части. Значит
2я
о
Отсюда
2п
^р = \ ф W cos «д; 4*. A4)
о
где для краткости положено
ф(*) = Ф(*+2Л)-2Ф(*) + Ф(д:-2й).
Но, интегрируя по частям, получим
2я 2я
О
откуда
2я ,x+2h
Снова интегрируя по частям, находим
а(А) =Л Ф (*+ 2А)а»шгй« = Гф (д: + 2А) ^рП^- ^ Ф' (* + 2А)^1Н л,
2я ,x+2h \
1 С / С \
а(Л)= 1 \ /(u)du sin nxdx.
о \ о У
а частям, находим
2Я+2Л 2я
a(A)=i ^ f(li)d"~/r2 \ f (x + 2h) cos nxdx.
2Л 0
Пользуясь периодичностью f(x), это равенство можно записать так:
2я
a (A)-^ J / М [1 -cosn (х-Щ\ dx.
о
Отсюда
2я _ 2я
t 9(x)cosfwdx = a(ft)-2a@) + a(-ft)=^2^ ^ f (x)cosnxdx.
2Я
Сопоставляя это с A4), получаем ап= - V ((х) cos nx dx.
о
Аналогично убеждаемся, что ай и Ьп также суть коэффициенты Фурье /(х),
что и требовалось доказать.
Замечания. 1) Дюбуа-Реймонд доказал эту теорему для функций,
интегрируемых (R), а Валле-Пуссен придал ей полную общность.
2) Теорема 3 является частным случаем теоремы Дюбуа-Реймонда —
Валле-Пуссена. Действительно, так как функция, тождественно равная нулю,
294
суммируема, то ее тригонометрическое разложение, будучи рядом Фурье нуля,
имеет и все коэффициенты равными нулю.
3) В § 4 мы встретили всюду сходящийся тригонометрический ряд, не
являющийся рядом Фурье никакой суммируемой функции. Ясно, что сумма
подобного ряда не интегрируема (L). В связи с этим возникает задача такого
обобщения интеграла Лебега, чтобы всякий всюду сходящийся
тригонометрический ряд оказывался «рядом Фурье» своей суммы. Этой задачей занимался
А. Данжуа.')
До сих пор мы рассматривали всюду сходящиеся
тригонометрические ряды. Для них проблема единственности разрешается теоремами
Кантора и Дюбуа-Реймонда — Валле-Пуссена. Теперь мы остановимся на случае
не всюду сходящихся рядов. Для них проблема единственности ставится так:
Известно, что тригонометрический ряд
у + ^ К cos пх + Ъл sin пх) A5)
сходится к нулю*) во всех точках отрезка [ — л, я], кроме, может быть, точек
некоторого множества Е с [ — я, я].
Если из этого предложения вытекает, что все коэффициенты ряда A5)
равны нулю
ая = 6„ = 0 A6)
(так что ряд сходится к нулю и на множестве Е), то множество Е называется
множеством типа U (от французского слова unicite — единственность). Если же
существуют ряды A5), сходящиеся вне Е к нулю, но не удовлетворяющие
условию A6), то Е называется множеством типа М (от французского слова
multiplicite — множественность). Требуется установить условия принадлежности
множества Е к одному из этих типов.
Указанной проблемой занимались Г. Кантор, В. Юнг, Д. Е. Меньшов,
Н. К. Бари, А. Райхман и др. Мы приведем лишь самые элементарные
результаты из этой области. Значительно глубже эта тема изложена в неоднократно
цитированной книге Зигмунда. Современное состояние вопроса читатель
найдет в обзорной статье Н. К. Бари.3)
Теорема 6. Если множество А есть множество типа М, то и всякое
содержащее его множество В, В гэ А, есть множество типа М.
Действительно, существует ряд с коэффициентами, отличными от нуля,
сходящийся к нулю всюду вне А. Но тогда он и подавно сходится к нулю
всюду вне В.
Следствие. Если множество В есть множество типа V. то и всякая его
часть А есть множество типа U.
Грубо говоря, чем обширнее множество Е, тем вероятнее, что оно
типа М; чем беднее оно, тем больше оснований, что оно типа U. Хорошей
иллюстрацией сказанного служит
Теорема 7. Всякое множество Е положительной внутренней меры т*Е > О
есть множество типа М.
Доказательство. По определению внутренней меры можно найти
замкнутое множество F положительной меры, содержащееся в Е. Можно
считать, что точки я и — я не входят в F. Тогда F получается из [— я. я]
удалением конечного числа или счетного множества попарно не
пересекающихся интервалов и двух промежутков [— я, а), (р\ я] (где аир суть
крайние точки F). Пусть f(x) есть характеристическая функция множества F.
*) A. D е п i о у, Lecons sur le calcul des coefficients d'une serie tngono-
metrique. Pans, Gauthier —Villars, I, II, III A941); Wlt IVa A949).
a} Мы будем говорить, что ряд сходится к нулю, если он сходится и его
сумма равна нулю.
3) Н. К. Бар и, Проблема единственности разложения функции в
тригонометрический ряд. Усп. матем. наук, 4, вып. 3 C1), 1949, 3—68.
295
Тогда ряд Фурье этой функции всюду на множестве [—я, я]— F сходится
я
к нулю, но d то же время ап = — \ f{x)dx= — > 0, и условие A6) не выпол-
— я
нено.') Значит F и тем более Е гэ F суть множества типа М.
Желая привести хоть один пример С-множества, докажем следующую
теорему:
Теорема 8 (Г. Кантор). Всякое конечное множество есть множество
типа U.
Для доказательства этого утверждения нам понадобятся некоторые леммы.
Лемма 2 (А. Г. Шварц). Пусть функция F (х) непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Если всюду в (а, Ь), кроме, может быть, коне-шого числа точек
х1<хг<...<хт, A7)
будет
F<">(x) = 0, A8)
а в точках A7) оказывается
]im F(xk + h)-2F(xk) + F(xk-h) _Q
л-, о Л ' у '
то F (х) есть линейная функция.
Доказательство. По теореме Шварца из § 5 функция F (х) должна
быть линейной на каждом из отрезков
[а, хг], [хи х2] [хт, Ь].
Пусть
Ах + В Бри
F(x)=|
Cx-j-D при хх--
Условие A9) в точке хг дает, что
lim rffa+/t)-f(*i) fW-f(ti-»I,= 0
h-»0L n h J
откуда С=А.
С другой стороны, F (x1) = Ax1-\-B — Cxx-\-D и потому D = B.
Таким образом, F (x) оказывается линейной на отрезке [а, х2]. Аналогично
мы установим ее линейность на всем [а, Ь].
Лемма 3. Если h > 0, то
|^<ЗЛ. B0)
Доказательство. Найдем такое натуральное я, что
л —1 <-T-s?n.
п.
Тогда в силу неравенства ] sin а ' =ё ' а ' окажется
л — 1 я —1
vi sinaWt V k2h2
Li A2
2 ^..(я_1)да<А.
J) Нарушение A6) видно и из равенства Парсеваля
л = 1
296
С другой стороны!)
оэ
sin2 kh ^. X 12
k - п k = п
откуда и вытекает B0).
Лемма 4. Если hm an = 0, то
п —*со
со
,. V sin2/?/; .
k = l
Доказательство. Возьмем s > 0 и найдем такое п, чтобы при
k ^ п было ак \ < е.
Тогда, в силу B0),
V sin2kh
<
— У
h L
s\v?kh
~~W~
<3е.
k = \
sin2fe'i
С другой стороны, при фиксированном k будет hni —-г— =0 и для доста-
Л->0 П.
п-\
... V sin2 kh
точно малых h окажется J а/, —пг,— < е.
km
k = \
При этих h, очевидно, будет
ак
sin2kh
~?h~
k= i
<4e,
что и доказывает лемму.
Лемма 5. Если тригонометрический ряд удовлетворяет условию
hm а„= lim bn = 0,
/I ->СО II -*СО
то в любой точке х функция Римана F (х) нашего ряда удовлетворяет
соотношению
hm F(x + h)-2F(x) + F(x-h) Q
Л-.0 h
Доказательство. Исходя из равенства
F(\ — ^-— V ancosnx + bn sin пх
rW- 4 Li. n*
n = \
определяющего функцию Римана, легко найти, что
со
F {x + 2h) — 2F (x) + F {х — Щ aQh , \1 , ...
' Ah -= °2-+ 2, (ancosn* + &nsinnx)
и дело сводится к предыдущей лемме.
со
1
sin2nA
со со
V 1 ^ ! Ч \ _
k—n ft=n+l
_ , -1) ~ П Г ii \ft-l ft
297
Теперь можно дать
Доказательство теоремы 8. Пусть тригонометрический ряд
сходится к нулю всюду в [ — л, я], кроме, может быть, точек х±<х2< <хт.
Тогда его коэффициенты стремятся к нулю, и, в силу лемм 5 и 2 и теоремы 2,
функция Римана этого ряда линейна в любом конечном промежутке, а значит,
и на всей оси После этого замечания доказательство уже буквально ничем
не отличается от доказательства теоремы 3.
Теорема 8 была обобщена В. Юнгом, показавшим A909), что всякое
счетное множество есть множество типа U. В связи с этими результатами среди
специалистов было распространено мнение, что всякое множество меры 0 есть
LZ-множество. Однако в 1916 году Д. Е. Меньшов опроверг это, построив
пример УИ-множества меры 0. Разумеется, множество, построенное Д. Е.
Меньшовым, было несчетным. Тогда стали подозревать, что вообще все несчетные
множества имеют тип М. Но и это мнение оказалось неправильным: в 1921 году,
независимо друг от друга, Н К. Бари и А. Райхман построили некоторые
классы совершенных ^/-множеств. Ь частности, канторово совершенное
множество Ро оказалось {/-множеством Вопрос об (не тавтологических) условиях,
необходимых и достаточных для того, чтобы данное множество меры 0 имело
тип 13, до сих пор не решен.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X
Условимся говорить, что точка к есть точка d суммируемой функции f (t),
если в этой точке производная неопределенного интеграла функции / (t) равна
f (*) (причем / (х) ф ± со).
1. Интеграл Ln(x) = ~l/ -- \ [1 —('—*J]"/@dt есть сингулярный интег-
о
рал Ландау. Если *@<х<1) есть точка d суммируемой функции f (t), то
Ln{x)-f(x) (Ф. Рисе).
2. Интеграл
я
Р'Ю-45 l-2r<L<f-x>+*Mdt
есть сингулярный интеграл Пуассона. Если х( — л<х<л) есть точка d
суммируемой функции f ((), то
hm Pr(x)=f(x)
г—1 -0
(П. Фату).
л
~\Гц С t X
3. Интеграл Vn(x)= \ cos2"—^-f(t)dt есть сингулярный интеграл
2ynJ ^
—я
Валле-Пуссена. Если х( — л<х<п) есть точка d суммируемой функции/(*).,
то Vn (к) — / (х) (Ш. Ж. Валле-Пуссен).
4. Полином
* + |
*«(*) = ("+!) |] С**» A-х)»"* J f(t)dt
*=о k
есть сингулярный интеграл Л. В. Канторовича. Если х @ <х < 1) есть точка d
суммируемой функции J (*), то Кп (х) —> \ {х) (Л В. Канторович).
5. Пусть Sn (x) сумма первых я членов ряда Фурье суммируемой
функции f (f) и
Bn(x)=l-[sn(*) + Sn(x+^)].
298
Вп(х) есть сингулярный интеграл С Н. Бернштейна Еслих( — я<х<я)
очка Лебега f(t), то Bn(x)—>f(x) (И. П. Натансон).
ь
6. Для того чтобы равенство lim f ф„ (t)f(t) dt = O имело место для вся-
Л-.О0 J
кой суммируемой функции f (/), необходимо, чтобы все функции <р„ (t) были
ограничены одним числом, | ф„ (/) | < К (А. Лебег).
7. Нельзя построить такого ядра Ф„ (t, х), чтобы равенство
ь
lim $Ф„(/, x)f(t)dt = f(x)
имело место для любой суммируемой функции f (x), аппроксимативно
непрерывной в точке х (И. П Натансон).
8. Построить ядро, удовлетворяющее условиям теоремы Лебега из § 2 и
не удовлетворяющее условиям теоремы Фаддеева.
9. Пусть ядро Ф„ (t, x) удовлетворяет условиям теоремы П. И.
Романовского. Пусть F @ ограничена и при некотором х е (а, Ь) имеет смысл интег-
ь
рал Стилтьеса /„ = ^ФЛ(*, x)dF(t). Если при этом х существует конечная
F' (х), то In-*F'(x)(W. П. Натансон)
10. Вывести теорему П. И. Романовского из результата упражнения 9.
11. Пусть М (и) ( — оэ < и <-(-оо) четная, выпуклая вниз функция;
М @) = 0, Ьт —5—L _ -)-оэ. Чтобы F (х) (а^х^Ь) могла быть представлена
х Ь
в виде F (х) =С + j f (t) dt, где ^ M [f (t)] dt < + oo, необходимо и достаточно,
a a
чтобы множество сумм 2_,М i * jAx,, отвечающих любым дроблениям [а, 6],
было ограничено (Ю. Т. Медведев).
12. Выпуклая вниз функция удовлетворяет условию Липшица в каждом
отрезке, лежащем внутри интервала ее задания.
ГЛАВА XI
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Замкнутые множества
До сих пор мы занимались изучением функций одной
переменной. Для теории функций нескольких переменных следует
ознакомиться с точечными множествами в многомерных
пространствах. Этому и посвящена настоящая глава. Надо заметить, что
все наиболее существенные факты теории многомерных точечных
множеств можно наблюдать уже в двумерном случае, каковым
мы и ограничимся для простоты формулировок и записей;
переход на пространства более высокого числа измерений
представляет лишь технические трудности.
Как и в линейном случае, наиболее простыми множествами
являются замкнутые и открытые. С них мы и начнем.
Определение 1. Точка Мо называется предельной точкой
плоского множества Е, если всякий открытый круг, содержащий Мо,
содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную от Мо.
При этом открытым кругом называетсях) множество точек
(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству
(х-а)* + (у-Ь)*<г*,
где а, 6 и г>0 постоянные числа. Точка {а, Ь) называется
центром круга, а число г его радиусом. Если присоединить к
открытому кругу его контур, т. е. те точки, для которых (х — аJ +
-\-(у — bJ = r2, то получится замкнутый круг.
Как и в линейном случае, легко показать, что точка Мо
будет предельной точкой множества Е тогда и только тогда, когда
из Е выделяется последовательность различных точек Mlt М.,,
М3, .... такого рода, что M0 = UmMn.
Это последнее соотношение означает, что расстояние р (Мо, М„)
стремится к нулю с возрастанием п. Под расстоянием р(А, В)
между точками А (аъ а2) и В (Ьъ Ь2) разумеется число
р(Л, B) = V(b1-alf + (bi-a2)*.
х) Само собою разумеется, что для плоского случая термины «круг»,
«центр», «радиус» хорошо известны читателю. Мы, однако, останавливаемся
на чисто арифметическом определении этих понятий, ибо хотим дать образец,
которому надлежит следовать и при переходе на n-мерный случай.
300
Легко показать, что если М„ предельная точка множества Е,
то всякий круг, содержащий Мп, содержит бесконечное множество
точек Е.
Совокупность всех предельных точек множества Е
обозначается через Е' и называется производным множеством. Точки
множества ? — Е' суть изолированные точки множества Е.
Важную роль и здесь играет
Теорема 1 (Б. Больцано — К. Вейерштрасс). Всякое
бесконечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную
точку.
Доказательство в основном такое же, как в линейном случае.
Именно, множество Е заключают в прямоугольник R{a^x^
«S b, cecy^d) и разлагают его прямыми х = а ^ , У~~о~ на
четыре прямоугольника, из которых выбирают тот, в котором
содержится бесконечное множество точек множества Е.
Продолжая подобный процесс, получают последовательность вложенных
прямоугольников, стягивающуюся в некоторую точку (х0, у0).
Легко проверить, что она и будет предельной точкой множества Е.
Нетрудно перенести эту теорему и на последовательности
точек и получить такой результат:
Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности Мъ М2,
М3, ..., точек плоскости выделяется подпоследовательность Мпо
МПг, Мп„ ...(«! <Г«2 < «з <•••). сходящаяся к некоторой точке Мо
WmMnk = M0.
Определение 2. Точечное множество F называется замкнутым,
если оно содержит все свои предельные точки, т. е. если Е' cr E.
Если Е'=Е, то множество Е называется совершенным.
В качестве примеров замкнутого множества можно привести
замкнутый круг (л: — аJ + (у — bJ ^ г2, замкнутый прямоугольник
a^x^b, csgf/sgj, а также множество точек М, координаты
(х, у) которых удовлетворяют неравенству F (х, у) 5э 0, где F (х, у)
любая непрерывная функция, заданная на всей плоскости.
Мы не будем так подробно изучать замкнутые множества, как
в линейном случае, а ограничимся рассмотрением лишь тех из
их свойств, которые непосредственно используются ниже.
Теорема 3. Пересечение произвольного множества замкнутых
множеств есть множество замкнутое. Сумма конечного числа
замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от
линейного случая.
Определение 3. Пусть Е — точечное множество, а 301
—некоторая система открытых кругов. Если для каждой точки Ме?
существует круг /(еЙЛ, такой что AfeJd то говорят, что
множество Е покрыто системой 302.
Теорема 4 (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное
множество F покрыто бесконечной системой открытых кугов Ш, то
301
из последней можно извлечь конечную систему ЭЛ*, также
покрывающую множество F.
Доказательство, как и в линейном случае, ведется от
противного. Именно, предполагая, что F нельзя покрыть конечным
числом кругов системы 9)?, заключим F в прямоугольник R(a^
«?*«?&, csSy^Sd) и разобьем его прямыми * = —?г~, У = ~^~
на четыре прямоугольника. Хоть один из них будет содержать
часть F, не могущую быть покрытой конечным числом кругов из
системы Ш. Разбивая его на четыре части и продолжая этот
процесс, придем к последовательности вложенных прямоугольников,
каждый из которых содержит часть F, не покрывающуюся
конечной частью Ш.
Эти прямоугольники будут стягиваться к некоторой точке Мо,
относительно которой легко показать, что она будет
принадлежать F. После этого так же, как и в линейном случае, без труда
получается противоречие.
§ 2. Открытые множества
Определение 1. Точка Ма называется внутренней точкой
множества Е, если существует открытый круг К, содержащий точку
Л10 и сам содержащийся в множестве Е:
М0(=КаЕ.
Определение 2. Если все точки множества Е суть его
внутренние точки, то Е называется открытым множеством. Примером
открытого множества может служить открытый круг.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств
есть открытое множество.
Доказательство такое же, как для линейного случая.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
Достаточно показать, что пересечение двух открытых множеств
Gj и G2 есть открытое множество. Пусть М0(х0, у0) — точка этого
пересечения. Тогда найдутся открытые круги
К,: (х - atf + (y- btf < r] (i = 1, 2)
такие, что
Moe=KiczGt (/=1,2).
Если мы покажем, что существует круг К, содержащий точку Мо
и сам содержащийся в пересечении кругов К\ и К2, то теорема будет
доказана. Нетрудно видеть, что таким кругом К является хотя бы
круг
К: (х-хоу + (у-у0у<р*,
где
р = гшп{г, -У (а,— *оJ + (Ь;-уоJ}.
302
Будем обозначать через СЕ дополнение плоского множества Е
до всей плоскости. Тогда совершенно так же, как и в линейном
случае, мы докажем, что справедлива
Теорема 3. Дополнение CG открытого множества G есть
множество замкнутое. Дополнение CF замкнутого множества F
есть множество открытое.
Далее, с помощью тех же рассуждений, что и в § 4 гл. II, мы
установим «теорему отделимости»:
Теорема 4. Если Ft и F2 два ограниченных, не
пересекающихся замкнутых множества, то существуют два открытых
множества Gx и G2 таких, что
G1z>F1, G2^>F2, 0^2 = 0.
Что касается до структуры открытых множеств, то это
первый вопрос, в котором обнаруживается существенная разница
между одномерными и двумерными открытыми множествами. Именно,
в двумерном случае нет понятия составляющего интервала
открытого множества. Поэтому основная теорема о структуре открытого
множества для плоского случая имеет менее четкий характер, чем
для случая линейного.
Теорема 5. Всякое не пустое открытое множество есть сумма
счетного множества замкнутых квадратов, стороны которых
параллельны осям координат и которые попарно не имеют общих
внутренних точек.
Доказательство. Рассмотрим две системы прямых
х = 0, ±1, ±2, ±3,...; у = 0, ±\, ±2, ±3,...
Эти прямые разбивают всю плоскость на счетное множество
квадратов (к каждому из которых мы причисляем его контур) со
стороной, равной I. Эти квадраты попарно не имеют общих
внутренних точек. Назовем их квадратами 1-го ранга. Далее,
проведем прямые вида
х = 0 -+- — -Ы -+- — • w = О -ь -- -+- 1 -+--3-
Л \Jf - л | 1 f С\ У • • • У Z/ * О J * * О 1 • ¦ •
Те замкнутые квадраты, на которые разбивается плоскость
этими прямыми, назовем квадратами 2-го ранга. Ясно, что
каждый квадрат 1-го ранга состоит из четырех квадратов 2-го ранга.
Проводя, далее, системы прямых вида
*=-Ъу = Т (л, /п = 0, ±1, ±2,...),
Х:=8'у==~8 (п, т = 0, ±1, ±2, ...)
и продолжая этот процесс неограниченно, мы получим квадраты
рангов 3, 4, 5,...
Все эти квадраты замкнуты, стороны их параллельны осям, два
квадрата одного и того же ранга не имеют общих внутренних точек,
303
всякий квадрат ранга k состоит из четырех квадратов ранга k~\-1,
сторона квадрата ранга k имеет длину 21-*1; наконец, множество
всех таких квадратов счетно.
Проделав это предварительное построение, рассмотрим какое-
нибудь не пустое открытое множество G. Если Мп произвольная
точка этого множества, то можно указать (может быть не
единственным способом) последовательность вложенных друг в друга
квадратов 1-го, 2-го, 3-го, ... рангов, содержащих точку Мо. Пусть
это будут квадраты Qll) zdQ{2) id Q(J) id ...
Так как точка Мо есть внутренняя точка множества G, а
сторона квадратов Q(n) с возрастанием п стремится к нулю, то все
квадраты Q(n), начиная с некоторого из них, содержатся в G.
Таким образом существуют квадраты построенной выше сети,
содержащиеся в G. Заметив это, назовем через Т1 множество всех
квадратов 1-го ранга, содержащихся в G, через Т2 множество всех
тех квадратов 2-го ранга, которые содержатся в G, но не содержатся
ни в одном квадрате системы 7\, через Та множество всех
квадратов 3-го ранга, которые содержатся в G, но не содержатся ни
в одном квадрате систем 7\ и Т2 и т. д.
Каждая из систем 7\, Т2, Т3, ..., а значит и сумма их Т, разве
лишь счетна. Перенумеруем все квадраты системы Т и пусть это
будут квадраты Qx, Q2, Q3, ... Покажем, что
To обстоятельство, что G содержит сумму всех Qk, тривиально.
Обратно, если 7И0 точка G, то, как мы видели выше, существуют
квадраты исходной сети, содержащиеся вй и содержащие Мо.
Пусть Р есть множество номеров рангов таких квадратов.
Р есть не пустое множество натуральных чисел, значит в нем есть
наименьшее число. Пусть это будет т. Тогда существует квадрат
ранга т, содержащий Мо и содержащийся в G. Этот квадрат не
содержится ни в каком квадрате сети, который содержал бы Мо,
содержался в G и имел ранг, меньший т, ибо иначе т не было
бы наименьшим числом из Р. Но тогда упомянутый квадрат вхо-
оо
дит в систему Тт, чем показано, что G cz ^ Qk.
k=\
Таким образом, равенство (*) доказано. Остается показать, что
в правой части действительно счетное, а не конечное, множество
слагаемых. Но если бы их было конечное число, то G, будучи
суммой конечного числа замкнутых квадратов, было бы
множеством замкнутым.
Единственное не пустое плоское множество, которое
одновременно является открытым и замкнутым, есть вся плоскость, !) но
если бы G совпадало со всей плоскостью, то уж конечно не пред-
1) Теорема 2, § 4, гл. II переносится на двумерный случаи.
304
ставлялось бы суммой конечного числа квадратов, так что эта
последняя возможность исключается.
Следует отметить, что представление открытого множества
в форме, указываемой этой теоремой, возможно не единственным
образом; можно, например, разбить один из рассматриваемых
квадратов на части, или с самого начала строить сеть, деля квадраты
не на 4, а на 9 частей и т. п. Это мы и имели в виду выше,
говоря, что в плоском случае основная теорема о структуре
открытого множества имеет менее четкий характер, чем в линейном.
В заключение докажем следующее обобщение теоремы Бореля.
Теорема 6. Пусть Я)? некоторая система открытых множеств,
a F замкнутое ограниченное множество. Если каждая точка F
принадлежит хотя бы одному множеству G е Ш, то из Ш
выделяется конечное число открытых множеств, сумма которых содержит F.
Действительно, каждое открытое множество есть сумма всех
содержащихся в нем открытых кругов. Поэтому F покрыто
системой всех открытых кругов, содержащихся в множествах системы :ЭД.
Применяя к этим кругам теорему Бореля, получим конечное число
их, покрывающее F. Каждый из них содержится в каком-то
множестве системы гО1. Отбирая эти множества, мы и получим
требуемую конечную подсистему ОТ.
Отсюда, в частности, видно, что в теореме Бореля можно было
бы говорить не о кругах, а, например, о квадратах.
§ 3. Теория измерения плоских множеств
Теория измерения плоских множеств строится совершенно так
же, как и для линейного случая. Различие имеется только в
исходных пунктах этих теорий, ибо плоское открытое множество не
допускает однозначного разложения на составляющие интервалы,
а дополнение замкнутого ограниченного множества до содержащего
его наименьшего прямоугольника не обязательно открыто.
Определение 1. Мерой открытого прямоугольника i?(a<x<6,
c<iy<d) называется его площадь, т. е. число
mR = (b-a)(d-c).
То же число называется мерой замкнутого прямоугольника
R(a^x^b, c-^y^d). (В обоих случаях заранее предполагается
a sg b, с s? d. В случае равенства а = Ь, открытый прямоугольник R
есть пустое множество.)
Лемма 1. Пусть на плоскости дано конечное число
прямоугольников Rlt R2, ..., Rn, стороны которых параллельны осям.
Эти прямоугольники могут пересекаться или не пересекаться
между собой. Некоторые из них открыты, а некоторые замкнуты.
Тогда суи^ествует такая конечная система открытых
прямоугольников уг, у2, ..., Y/v, со сторонами, параллельными осям,
которая обладает следующими свойствами:
1. Прямоугольники ук не пересекаются между собой.
305
2. Если Rifk ^ 0, mo Ri =э yk.
3. Площадь каждого Rt равна сумме площадей тех yk,
которые имеют с Rt общие точки.
Доказательство. Пусть (смотря по тому, замкнут или
открыт Ri)
Ri = Ri (at < x < blt Ci^y^di), Rt = Ri (at<x< bh Ci<y< dt).
Рассмотрим множество точек {аД + {bt} и перенумеруем их так,
чтобы они образовали возрастающую конечную последовательность
Х0<Х1<...<Хр.
Аналогично, пусть yo<yi<- ¦•<.УЧ есть расположенное в
порядке возрастания множество {c,} + {d(}. Требуемое множество
прямоугольников V* мы получим, рассматривая прямоугольники
(хк<х<хк+1, У»<У<Уц+1)
(Х = 0, 1,..., р-1; ц = 0, 1 <7-1).
Доказательство этого простого факта представляется читателю.
Лемма 2. Пусть {а,} и {f>f) две конечные системы
прямоугольников, г) причем прямоугольники а,- попарно не имеют общих
внутренних точек. Если 2 а<с= 2 Р/> пю 2 та< ^ 2 тРу-
Для доказательства объединяем обе системы {а,} и {{J;-} в одну
общую систему {Rs}, к которой применяем предыдущую лемму.
Так как прямоугольники а; не имеют общих внутренних точек, то
один и тот же прямоугольник yk не может содержаться в двух
разных а,-. Поэтому те yk, которые содержатся в J^ait можно
распределить по группам, относя в группу Г,- те yk, которые
содержатся в а;. Важно заметить, что эти' группы не пересекаются.
Поэтому 2 та> — 2 B mYft = ) 2 mV*> гДе Т — множество всех yh,
1 XTi
содержащихся в Хаг-
Произведем перераспределение прямоугольников уь^-Т на
другие группы. Именно, пусть St множество тех yk e T, которые
содержатся в plf S2 множество тех yk е Т, которые содержатся в р2,
но не входят в Slt S3 множество тех ук е Т, которые содержатся
в р3. но не входят в 5x + S2, и т. д.
Тогда ^myk^mfij, ибо m$j, равна сумме площадей всех yk,
s.
содержащихся в (J,. Значит
2 та, = ^ mVA = 2B mV*] < 2 »*Ру
Лемма доказана.
!) Имеются в виду прямоугольники, стороны которых параллельны осям,
но мы больше не будем делать этой оговорки, ибо других случаев вообще
не рассматриваем.
306
Следствие. Если прямоугольники конечной или счетной
системы {oli\, попарно не имеют общих внутренних точек и все
содержатся в одном прямоугольнике R, то
2 та,- «с rnR.
Действительно, случай конечного числа прямоугольников а;
является частным случаем леммы, а случай их счетного
множества получается отсюда предельным переходом.
Лемма 3. Пусть А и В — два плоских ограниченных
множества, каждое из которых представимо в форме суммы счетного
множества замкнутых прямоугольников
Л=|>, fl=f)Py,
причем прямоугольники аг попарно не имеют общих внутренних
точек. Если А а В, то
СО СО
2 ma,- s? 2 m$j.
i=i ,=i
Заметим, что ряд, стоящий здесь направо, может расходиться,
ибо прямоугольники Р7- могут налегать. Но в этом случае лемма
тривиальна, ибо сумма расходящегося положительного ряда равна
-f- оо. Чтобы доказать лемму при условии сходимости ряда 2 т$;-,
допустим, что она неверна. Тогда можно найти столь большое
натуральное п, что
i>a,>f>py. <*>
i=i ,=i
Заключим каждый прямоугольник (J;- в открытый
прямоугольник Р*, выбрав его так, чтобы оказалось т$* <.гт}} +|-. где
е — положительная разность между левой и правой частями
неравенства (*). Тогда система открытых множеств {Р*} покрывает
п
ограниченное, замкнутое множество F = ^a;.
По обобщенной теореме Бореля можно указать конечное
т
число прямоугольников Р*, Р*, ..., Рт таких, что F а ^ Р*.
В силу леммы 2 мы получим
2 /na,< 2 т$* < 2тРу + е.
i=i /=i /=i
п со
откуда и подавно 2 та' < 2тР/"Ье> ЧТ0 противоречит опре-
делению числа е.
307
В частности множества А и В могут совпадать. Поэтому
справедлива
Лемма 4. Ее ш плоское ограниченное множество Е двумя
способами представимо в форме суммы счетного множества
замкнутых прямоугольников
оо оо
1 = 1 / = 1
причем прямоугольники каждого из этих представлений попарно
не имеют общих внутренних точек, то
со со
Каждое открытое множество есть сумма счетного множества
замкнутых квадратов. Естественно меру такого множества
определить как сумму площадей этих квадратов. Этот путь
аналогичен принятому нами в линейном случае, где вместо квадратов
фигурировали составляющие интервалы. Но здесь, в отличие от
линейного случая, нет однозначности указанного разложения
и потому можно было бы сомневаться, будет ли при разных
разложениях получаться одна и та же сумма площадей. Лемма 4
устраняет такие сомнения, и мы вправе дать
Определение 2. Мерой mG плоского ограниченного открытого
множества G называется сумма площадей замкнутых квадратов,
попарно без общих внутренних точек, суммой которых является G.
Из леммы 3 вытекает
Теорема 1. Если G1 и G2 ограниченные открытые множества
и Gx с: G2, то
mGx s^ mG2.
Далее справедлива
Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G
является суммой конечного числа или счетного множества взаимно
не пересекающихся открытых множеств Gk, то
mG = 2 mGk.
k
Если же отбросить условие отсутствия у слагаемых общих точек,
то
mG^^mGk.
k
оо
Действительно, пусть равенство Gk = ^] а!А) Дает представле-
ние Gk в форме суммы замкнутых квадратов без общих
внутренних точек. Тогда
g = 2>,<*>. П
1, к
308
Если множества GR попарно не пересекаются, то в
представлении (*) отдельные квадраты а[к) попарно не имеют общих
внутренних точек и по самому определению 2 окажется
mG = V /па<*> = 2 ( i] та\к)) = Е mG*-
I, k k \[ =1 ' k
Если же условия GkGw = Q не ставить, то G нужно разложить
оо
на квадраты каким-то другим способом G= ^]6У и, по лемме 3,
mG = |] тб7 *=? 2 та^ = 2] B1 та1,*>) = 2]mG*'
Таким образом, мы видим, что, хотя определение меры
открытого множества несколько осложнилось по сравнению с
линейным случаем, но основные свойства ее, выражаемые тремя
теоремами § 1, гл. III, сохраняются.
Переходя к определению меры замкнутого ограниченного
множества F, заключим его внутрь открытого прямоугольника R.
Легко понять, что множество CrF — R — F будет открытым, ибо
оно представимо в форме пересечения R ¦ CF двух открытых
множеств. Покажем, что число
mR-mCRF (*)
не зависит от выбора прямоугольника R. В самом деле, если Rx
и 7?2~Два таких прямоугольника, то можно указать третий
прямоугольник R3, содержащий их внутри себя.
Если мы покажем, что
m#t — mCRiF = mRa — mCRf, mR2 — mCR,F =- tnR3 — mCRf,
то этим будет установлена требуемая независимость разности (*)
от R. Итак, достаточно рассмотреть сличай, когда R1<nR2.
Можно считать, что
R1 = R1(a1<x<bl, c1<y<d1), R2 = R2(a2<x<b2, c2<y<d2),
где
ai<a1, b2>blt c2<cu di>d1.
Значит, чтобы перейти от R1 к R2 надо у Rx отодвинуть левую
сторону налево, правую направо, верхнюю наверх и нижнюю вниз.
Эти преобразования можно произвести последовательно, а так как
они совершенно однотипны, то достаточно сравнить числа
mR — mCRF и mR' — тСц-F,
где
R = R(a<x<b, c<y<d), R' = R' (a<x <b + h, c<y<d)
(Л>0).
309
Но ясно, что rtiR' = mRJrh(d — с). С другой стороны, CR>F =
Отсюда без труда1) устанавливается, что
mCR'F = h(d-c) + mCRF,
чем и доказывается наше утверждение.
Это позволяет ввести
Определение 3. Мерой niF ограниченного замкнутого
множества F называется разность
mR — mCRF,
где R произвольный открытый прямоугольник, содержащий
множество F.
Легко показать, что если множество F есть сумма конечного
числа замкнутых квадратов, попарно не имеющих общих внут-
п
ренних точек F = ^ <**¦ то согласно данному определению будет
п
tnF*= 2 mak.
В самом деле, множество CRF, будучи открытым, представимо
оо
в форме С/г/г= ^] Р/, где Р,- замкнутые квадраты, попарно не
имеющие общих внутренних точек друг с другом. Тем более, нет
п со
никаких общих точек у ak и рг. Значит R= ?] aft+ ^] P/ и
i = i
потому т#= 2 /на*+ 2 '"Р» откуД8
k=i 1=1
fe=i i=i
J) Это было бы совсем просто, если бы множество R' — R было открытым,
но это не так. Поэтому надо рассуждать несколько сложнее. Именно, возьмем
е > 0 и рассмотрим открытые прямоугольники
U = U(b-e<x<b+h, c<y<d), V= V (b + e. < x<b+h, c<y<d).
Очевидно, Uz3R' — R=> V. Значит
U + CRF^CR,F^ V + CRF
m[l/+CKF]3:mCjR,fSi/n[V + CRF].
Множества V и CRF не пересекаются. Поэтому
mU-\-mCRF ^ mCR,F^ mV + mV-\-mCRF,
откуда
(h + &) (d-c) + mCRF ^z mCR,F 7s {h-v) (d-c) + mCRP,
и остается перейти к пределу при е-»-0.
310
Если мы вернемся к § 2, гл. III и просмотрим все теоремы
о мере линейного замкнутого ограниченного множества, но
заметим, что все они основаны не столько на определении меры mF,
сколько на лемме, гласящей, что mF = mA — mC\F, где А
произвольный интервал, содержащий F, и на том, что мера суммы
конечного числа сегментов без общих точек равна сумме их длин. *)
Но мы видели, что оба эти свойства оказались переносимыми
в теорию плоских множеств. Поэтому мы, не входя в дальнейшие
подробности, можем утверждать, что и вся теория измерения
замкнутых множеств переносится с линейного случая на плоский.
Так, например, если FxCzF^ то mF1^LmF2, если G — открытое
ограниченное множество, то его мера есть точная верхняя
граница мер содержащихся в нем замкнутых множеств и т. п.
Но тогда, уже дословно, как в § 3, гл. III, можно определить
понятия внешней и внутренней меры произвольного ограниченного
множества Е. Все 7 теорем § 3, гл. III переносятся на
двумерный случай без изменения, лишь вместо интервалов Д,
упоминаемых в гл. III, придется говорить об открытых
прямоугольниках.
Наконец, можно ввести основное определение измеримого
множества, как такого ограниченного множества, у которого
внутренняя мера равна внешней. После этого на плоский случай без
труда переносится содержание §§4 и 6, гл. III. Мы не будем
входить здесь в подробности и лишь пополним уже известный
материал одним предложением, полезным для дальнейшего
изложения.
Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е суще-
ствуют множества А и В, обладающие следующими свойствами:
1) А множество типа Fa, а В множество типа G6;
2) А с=?с=5;
3) тА=т*Е, тВ = т*Е.
Для доказательства поставим каждому натуральному п в
соответствие замкнутое множество Fn и открытое множество Gn, для
которых
Fnc=EczGn, mFn>m^E-ln< mGn<m*E + ~,
после чего полагаем
A = F1-\-F2 + F3 + ..., B = G1G2G3....
Что касается теоремы Витали, составляющей предмет § 8,
гл. III, то она переносится на плоский случай без изменений.
Именно, условимся говорить, что множество Е покрыто системой
Ш замкнутых квадратов2) в смысле Витали, если для каждой
') Это свойство использовано в теореме 4, § 2, гл. III.
2) Напомним, что мы всегда предполагаем, что стороны рассматриваемых
квадратов параллельны осям.
311
точки из ? в системе 4IU найдутся содержащие ее квадраты
сколь угодно малой площади. С помощью этого определения,
почти буквально повторяя рассуждения § 8, гл. III, можно
установить две формы теоремы Витали.
Теорема 4. Если плоское ограниченное множество Е покрыто
в смысле Витали системой замкнутых квадратов W\ = \Q\, то
из Ш выделяется счетное множество попарно не пересекающихся
квадратов Qlt Q2, Q3, . ., сумма которых покрывает множество Е
с точностью до множества меры нуль, т. е.
L k = \ J
Теорема 5. В условиях предыдущей теоремы всякому е > О
отвечает такое конечное множество Qv Q2, ... Qn попарно не
пересекающихся квадратов из Ш, что
ш*\е- ZQk]<*-
В особом положении оказывается § 5, гл. III, трактующий
вопросы инвариантности меры относительно движения. Перенос
соответствующих результатов на многомерный случай
представляет существенные трудности, и мы посвятим этому следующий
параграф.
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения
Определение 1. Однозначное отображение М* = ц>(М)
плоскости /?2 в себя называется движением, если расстояние между
образами любых двух точек плоскости равно расстоянию между
самими этими точками.
Р[Ф(М), Ф(Л0] = р(М, N).
Ясно, что разным точкам М отвечают разные же образы М*,
так что движение есть преобразование обратно однозначное
Пусть образами точек Л, @, 0), Р1A, 0) и Р2@, 1) буд^т
точки Я5 («о. Pu). Pi («I. Pi) и Рг («2. Р2).
Так как р(Ро, Р1) = \, р (Ро, Р2)=\, р(Р1; Р2) = ]/2, то таковы
же расстояния и между их образами. Значит
(«1 - «оJ + (Pi - РоJ = 1 , («2 - «оJ + (Ра - РоJ = 1,
(«2-а1J + (р2-р1J = 2.
Представив разности а2 — ос1 и р2 — Pi в форме
(а2 - о0) - (а,. - ап), (р2 - р0) - (р\ - р„),
мы из предыдущих равенств без труда получим, что
(а2 - ай) (а, - а0) + (Р2 - р„) (Рх - р0) = 0.
312
Заметив это, рассмотрим определитель
ai — ао Pi — Ро
«J — а0 Рг — Ро
его квадрат, составленный по правилу перемножения «строка на
D=-
строку», равен
О
= 1 и потому \D\-l.
Пусть, далее, М {х, ^ — произвольная точка плоскости, а
М*(х*, у*) — ее образ. Приравнивая друг другу расстояния
р(М, Р,) и р(М*, Pf) (z = 0, 1, 2), мы получим три равенства;
*2 + у2 = (х*-аоJ + (</*-роJ,
(х - 1 f + у2 - (** - KlK + (У* - PiJ,
*2 + (У - IJ = (** - а2J + (Г - Р2K.
A)
Вычитая второе и третье равенства из первого, находим:
х = (а1- а„) х* + (Pi - р0) у* + Vi.
t/ = (а2 - а0) х* + (Р2 - Ро) «/* + ?2,
где Yi и Тг — постоянные, точные выражения которых нам не
нужны.
Покажем, что каждая точка плоскости Q(X, ц) есть образ
какой-то точки М (х, у). Действительно, пусть
* = («!-«о) ^ + (P1-Po)n + Yi. B)
tf = (a2-a0)?. + (P2-p0)li4-72-
Образ точки М (х, у) надо находить по х и у из уравнений
A). Но определитель системы A) естьЛ^=0 Значит есть то ль ко
одна пара чисел (х*, у*), удовлетворяющая уравнениям A),
а тогда из B) видно, что х1 = X, у* = ц.
Таким образом, движение есть обратно-однозначное
отображение всей плоскости R2 в себя. Ясно, что обратное отображение
также есть движение. Но тогда, меняя ролями точки —образы и
прообразы, — мы увидим, что координаты образа выражаются
через координаты прообраза равенствами типа (I) Итак, доказана
Теорема 1. Координаты (х*, у*) точки М*, являющейся
образом точки М (х, у) при некотором движении, выражаются
формулами
x* = a1x + b1y + c1, y* = a2x + bzy + c2.
Если
Д =
«1 bv
a, b9
C)
D)
то
Al = l.
Определение 2. Всякое преобразование УИ* = ф(М) плоскости
R2 в себя, при котором координаты образа М*{х*, у")
выражаются через координаты прообраза М (х, у) формулами C),
313
называется аффинным преобразованием. Если при этом
определитель D) (называемый определителем преобразования) отличен
от нуля, то говорят, что преобразование невыродившееся.
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Всякое движение есть аффинное преобразование,
модуль определителя которого равен единице2) | А | == 1.
Далее, имеет место
Теорема 3. Два последовательно произведенных аффинных
преобразования равносильны одному аффинному преобразованию,
определитель которого равен произведению определителей
исходных преобразований.
Простое доказательство этого факта предоставляется читателю.
Теорема 4. Пусть R(a^x^$, ys^y^b) есть замкнутый
прямоугольник. В результате каждого из четырех аффинных
преобразований
I)**=у> щх*=х+у' ш) х*=х+а' iv)*-*** («*=o)
' у* = х, ' у*=у, ' y*=y + b, ' y*=ty, '
прямоугольник R переходит в измеримое множество R*, мера
которого есть
mR* = | А | ¦ mR,
где А есть определитель преобразования.
В самом деле, в случаях I, III и IV наш прямоугольник R
переходит в прямоугольник же R*, определяемый, соответственно,
неравенствами:
} <x^y*^$, ' y + b^y*^8 + b, ' /у<г/*</6
(последние неравенства написаны для случая k>0, />0. Если,
например, ?<0, то первое из них надо заменить неравенством
k$^x*s^ka).
Отсюда видна справедливость теоремы для преобразований I,
III, IV. Изучение преобразования II значительно сложнее.
Заметим, прежде всего, что R* в случае II определяется
неравенствами
а «?;** — у* =&; р, у^у* «s6.
Возьмем, далее, натуральное число п и разложим R* на части
#* = S1 + S2 + ... + ?„,
2) Полезно заметить, что обратная теорема неверна Например,
преобразование х*=2х, У* = 1) У не есть движение. Аффинное преобразование C)
будет движением тогда и только тогда, когда
al+a* = l, b\+b] = l, 0^ + 03^ = 0.
314
где Sk при k=\, 2, ..., п—\ определяется неравенствами
«<**-*/*<р\ Y+*=±F-Y)<0*<T + AF-Y),
a Sn определяется неравенствами
Очевидно, множества Sk попарно не пересекаются.
Легко видеть, что Uha Skcz Vk, где Uk и Vk
прямоугольники, определяемые неравенствами
U^Uk[a + y+^(b-y)^x*^^ + y+^-(b-y),
V+~1F-Y)<y*<Y+4(S-Y)J.
у+^1(8-у)^у*^у+^ф-у)].
Поэтому
или
Складывая такие неравенства и замечая, что
/я,/?* ^ ? m»S*. m*i?* < _S m*Sk,
находим:
(P_a)F-Y)- F~VJ<m*?*^m*ff*^(p-«)F-v) + -fa^.
Так как « произвольно, то отсюда вытекает, что
m+R* = m*R* = (Р - а) (б - -у) = ш/?.
Теорема доказана полностью.
Теорема 5. Пусть G есть открытое ограниченное
множество. В результате каждого из рассмотренных аффинных
преобразований I, II, III, IV, множество G переходит в измеримое
множество G*, мера которого есть
mG* = | Д | • mG,
где Д определитель преобразования.
Действительно, условие Д Ф 0 показывает, что всякое невыро-
дившееся аффинное преобразование М* —<р(М), будучи
однозначно обратимо, сохраняет инцидентность, т. е. из соотношений
со
MzeE, AczB, AB = 0, ? = 2 Ek
315
вытекают соотношения
СО
М*(вЕ\ А аВ\ А*В*=0, Я* = 2 Я.
4 = 1
где употребляемые обозначения понятны сами собой.
Кроме того, нетрудно видеть, что в результате аффинного
преобразования ограниченное множество переходит опять в
ограниченное множество.
Заметив это, возьмем какое-нибудь открытое ограниченное
со
множество G и представим его в форме G= ? #*. гДе -Rk замк-
нутые квадраты без общих внутренних точек Если G* = ср (G) и
/^ = ф(#А) суть образы множеств G и Rk при одном из преоб-
ос
разований I — IV, то G* = ^] /??.
ft = i
Отсюда видна измеримость G* и справедливость1) равенства
'"О DO
mG*- =2 m^ = 2! I A I'm/?* = A I mG-
ft=i *=l
Теорема доказана.
Теорема 6. Всякое невыродившееся аффинное преобразование
C) является результатом последовательности простейших
преобразований I — IV.
Действительно, если в преобразовании
x* = a1x + b1y-\-cu y'?=aix + b2y + c2
ни один из коэффициентов alt а., Ьг не нуль, то это
преобразование есть результирующее для следующих восьми
преобразований типа I — IV:
хг = ахх
Ух = hy
•Ь = *1 + #1
Уг = У\
Vb = yi
хй = хъ
а,
Ув= а\ Уъ
Хл = Уг
Уз = Хг
*7 = *6
У7 = Ч
хА =
Х*=Хт + СХ
у*=у? + с2
В случае, если некоторые из указанных коэффициентов равны
н)лю, рассуждение лишь упрощается.
1) Следует заметить, что множества R| могут пересекаться, ибо у
квадратов R), могут быть общие стороны Но каждая такая сторона есть
прямолинейный отрезок, параллельный одной из осей, и, стало быть, мера такой
стороны равна нулю На каждый отрезок, параллельный оси, можно смотреть
как на прямоугольник Значит по предыдущей теореме мера образа такого
отрезка есть 0 Поэтому множество тзчек, обших нескольким /?°?, имеет меру
нуль, и этим множеством при подсчете mG* можно пренебречь.
316
Теорема 7. В результате невыродившегося аффинного
преобразования ограниченное плоское множество Е переходит в
ограниченное плоское множество Е*, внешняя мера которого есть
т*Е* = \А\ т*Е,
где А — определитель преобразования.
В самом деле, пусть сначала нами производится одно из
простейших преобразований типа I, 11, 111, IV. Взяв произвольное
ограниченное множество Е, найдем такое открытое ограниченное
множество G, что G zd E, mG <Цп*Е + е, где е>0 взято наперед
Бели ?* и С* суть образы множеств Е и G в результате
преобразования, то
т*?*<тС' = 'Д mG < ' Д | (т*Е + е),
откуда, ввнд\ произвольности е, вытекает, что т*Е* < ] А | т*Е.
Так как любое певыродившееся преобразование можно
заменить последовательностью простейших, причем определитель
результирующего преобразования равен произведению
определителей составляющих преобразований, то для всякого
невыродившегося преобразования будет m*?*s?;jAI m*E.
Но преобразование, обратное невыродившемуся аффинному
преобразованию, также есть невыродившееся аффинное
преобразование с определителем 1/Д, причем при переходе к этому
преобразованию множества Е и Е* меняются ролями. Значит, ио
доказанному
т'Е^-^- т"Е*,
откуда и следует теорема
Отметим далее совершенно очевидный факт, что в результате
аффинного преобразования замкнутое множество переходит опять
в замкнутое множество Отсюда без труда получается
Теорема 8. При невыродившемся аффинном преобразовании
внутренняя мера образа Ег ограниченного множества Е
удовлетворяет соотношению
m.YE* = | А [ ¦ т„Е.
Возвращаясь теперь к случаю движения, получаем основной
результат:
Теорема 9. В результате движения ни внешняя, ни
внутренняя меры ограниченного множества не меняются. В частности
измеримое множество переходит в измеримое и притом той же
меры.
Хотя изложение проведено нами для двумерного случая, но
мы надеемся, что читатель уже не затруднится при переходе
к ироараиствам большею числа измерений,
317
§ 5. Связь меры плоского множества
с мерами его сечений
Определение. Пусть Е плоское множество, состоящее из точек
(х, у). Одномерное множество Е (х0), состоящее из таких чисел у,
что (х0, ?/)е?, называется сечением множества Е прямой х = хй.
Легко видеть, что соотношения
со оэ
Ас: В, ?=??*, Р=ЦЕк, R-A-B
влекут соотношения
со со
А (х) с В (х), S (х) = 2 Е" (*)• Р(х)=Ц Ек (х),
R(x) = A(x)-B(x).
Далее, если F замкнутое множество, то таково же и F (х),
а если G открыто, то и G (х) открыто. ') Наконец, сечение
ограниченного множества есть ограниченное (или пустое) множество.
Теорема 1. Пусть Е измеримое плоское множество,
содержащееся в открытом прямоугольнике R(a<ix<b, c<iy<.d). Тогда
1. Почти для всех х е (а, Ь) множество Е (х) измеримо.
2. Если Д есть множество тех х е (а, Ь), для которых Е (х)
измеримо (тЛ = b — а), то функция тЕ (х) измерима на
множестве А.
3. Справедлива формула
тЕ = ^ тЕ (х) dx.
л
Мы докажем эту теорему, последовательно рассматривая все
более и более сложные множества.
1. Пусть Е есть замкнутый прямоугольник Q(a^xs^p, y^:
¦<«/¦<6)i где а<а«?Р<6, c<v^6<rf. Если л:е(а, а) или
д;е(Р, Ь), то множество Q(x) пусто и, стало быть, измеримо,
причем mQ{x) = 0. Если же а==,-*=4р\ то Q(x) — [y, б], так что
и в этом случае Q (х) измеримо и mQ (х) = б — у. Отсюда видно,
что то множество Д, о котором шла речь в формулировке
теоремы, есть просто весь интервал (а, Ь), причем функция mQ(x)
на нем оказывается ступенчатой и потому измеримой. Наконец,
ь р р
\ mQ (x) dx = [mQ (x) dx = J (б - у) dx = ф - а) (б - у) = mQ,
а
чем и доказана теорема для нашего простейшего случая.
2. Пусть теперь Е — G, где G открытое множество. Тогда и
G (х) открытое множество и потому G (я) измеримо при каждом
») G (х) надо рассматривать как линейное множество.
318
х <= (a, b) [т. е. А = (а, Ь)]. Далее, множество G представимо
ОО
в форме G= ? Qk, meQk = Qk(ak^x^$k, ук^у^&к)-замк-
k=i
нутые квадраты, без общих внутренних точек. Тогда G (х) =
со
— 2 Q* М- ^сли * отлично от всех точек аА и р\, то
к= 1
00
В самом деле, неравенство mG (х) ^ ^ mQ* (¦*•) очевидно.
С другой стороны, Qk (x) есть или пустое множество, или сегмент,
причем сегменты Qk(x) попарно не имеют общих внутренних точек.
Обозначим через Uk(x) множество всех внутренних точек
множества Qk (х). Если Qk (х) пусто, то таково же и Uk (x), если же
Qk (x) есть сегмент, то Uk (x) есть интервал, получающийся из
Qk(x) удалением его концов. Значит всегда mUk(x) = mQll(x). Но
со
G (х) =з 2] Uk (x). Поэтому
mG (х) 5* /я Г f] 1^ (*)] = |] mUk (x),
L* = 1 J 4 = 1
откуда и следует (*).
Если из (а, Ь) удалить счетное множество S точек {ctft} Ц- {Р^},
то на оставшемся множестве mG (x) будет суммой сходящегося
ряда измеримых функций. Отсюда следует измеримость tnG(x) на
(a, b) — S, a значит и на (а, Ь). Положительные ряды измеримых
функций можно почленно интегрировать. И так как интегралы
по интервалу (а, Ь) совпадают с интегралами по множеству
(a, b)-S, то
Ь со Ь со
\mG{x)dx^ 2 ]mQk(x)dx= ? mQk = mG,
a k=\a ft=1
что и доказывает теорему для открытого множества.
3. Пусть Е = F, где F з а м к н у т о е множество. Тогда F — R — G,
где G —открытое дополнение F до прямоугольника R. В таком
случае F(x) = R(x) — G(x), причем все написанные здесь
множества измеримы. Но тогда
mF(x) = (d-c)-mG(x),
и функция mF(x) измерима на (а, Ь). Интегрируя последнее
равенство, находим
* ь
\ mF (x) dx = (b-a)(d-c)-\ mG (x) dx = mR-mG = mF,
а а
и теорема доказана для замкнутого множества.
319
4. Пусть Е есть множество типа Fa. Тогда и Е (х)—
множество типа Fa, так что Е(х) измеримо при всех х^(а, Ь).
Пусть ? = Ф1 + Ф2 + Фз + --¦, РДе Ф, —замкнутые множества.
Полагая
Ф1 + Ф1 + ... + Ф,1 = Рп,
мы сможем представить Е в форме
E = F1 + F? + F3 + ...,
причем Fx cz F2 cz F3... В этом случае тЕ = lim mFn. По тем же
основаниям /пЕ(х) = Vim mFn(x), откуда вытекает измеримость
я—>оэ
функции т? (лг). Так как функции mFn (x) все ограничены одним
числом [ведь Fn(x) лежит в (с, d) и потому mFn(x)^d — c], то
допустим предельный переход под знаком интеграла, т. е.
ь ь
\тЕ (x)dx= lim \tnFn(x)dx— lim mFn = mE.
a n-ooa a n-*ca
Теорема доказана для множеств Fa.
5. Пусть ? —множество типа Св. Тогда B = R — E
множество тииах) Fa. Измеримость Е (х) для каждого х е (а, Ь)
тривиальна, ибо Е (х) есть G$. Кроме того тЕ (х) = d — с — тВ (х),
откуда следует, что тЕ (х) измеримая функция и что
ъ ь
J тЕ (х) dx = (b- a) (d — c) — § тВ (х) dx = mR- тВ = тЕ,
а а
чем снова доказаны все утверждения теоремы.
Отметим, что во всех рассмотренных случаях было А = (а, Ь).
6. Пусть, наконец, Е есть произвольное измеримое
множество. Построим множества А типа Fa и В типа G&, для которых
А а Е с В, тЛ = тЕ = тВ.
Можно считать при этом, что В с: R. По доказанному
функции тА (х) и тВ (х) измеримы на (а, Ь) и
ь ь
тЕ = \ тА (х) dx = \mB (x) dx.
а а
Но А (х) а Е (х) cz В (х). Значит, тА (х)^СтВ(х), а тогда из
равенства интегралов от этих функций вытекает их совпадение
почти везде.
оо со
!) В самом деле, если ? = XI Gn> то/?—?= ]~[ (R — Gn). Но R —
п -= 1 п = 1
— Gn — R-CGn. Множество CGn замкнуто, a R — открытый прямоугольник и
потому А? —множество типа Fa, ибо всякое открытое множество, будучи
суммой замкнутых квадратов, есть Fa Значит R — Gn есть Fa, а тогда и R — Е
есть Fa.
320
Пусть 8 = (я, b) и \п = &[тА(х) = тВ(х)] (тА„ = 6-о).
Так как /?М (х) ^~т ,.? (л:) =?-т*Е (х) ^~тВ (х), то при *еЛ0
множество ? (х) измеримо. Далее, функция тА (х), будучи
измерима на (а, Ь), измерима и на Л,„ а на До мера тЕ (х) совпадает
с тА(х), так что тЕ (х) есть функция, измеримая на Д„. Если
теперь ввести множество Л, состоящее из всех Areg, для
которых Е (х) измеримо, то окажется АвсАс ?,, откуда шЛ = b — a
и функция тЕ (х) (будучи измеримой на До) оказывается
измеримой на А. Наконец,
ь
\ тЕ (х) clx = ^ тА (х) dx = \ тА (х) dx = тА = тЕ.
Д До а
Теорема доказана в полном виде.
Следствие 1. Если Е — плоское множество меры нуль, то почти
все его сечения также суть множества меры нуль.
Следствие 2. Если почти все сечения плоского измеримого
множества Е суть множества меры нуль, то и тЕ = 0.
Как и все результаты этой главы, теорема 1 переносится на
многомерный случай. Дадим ее формулировку для трехмерного
случая.
Определение. Если Е множество точек (х, у, г) трехмерного
пространства, то его сечением плоскостью х = х() называется
множество таких точек (у, ?), что (дг„, у, 2) e E.
Теорема 2. Пусть Е — измеримое пространственное
множество, содержащееся в параллелепипеде R{a<ix<_b, c<iy<cd,
с<г</). Тогда
1) почти для всех х е (а, Ь) плоское множество Е (х) измеримо;
2) если Д есть множество тех х е (а, Ь), для которых Е (х)
измеримо (тА = Ъ — а), то функция тЕ (х) измерима на А;
3) справедлива формула
тЕ = \ тЕ (х) dx.
ГЛАВА XII
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Измеримые функции.
Распространение непрерывных функций
Перенеся понятие измеримого множества на многомерный
случай, мы уже без всякого труда можем построить теорию
измеримых функций нескольких переменных. Именно, в основу теории
кладется уже известное
Определение. Функция f{M), где М (хь х2, ¦ , хп) — точка
n-мерного пространства Rn, заданная на некотором множестве Е,
называется измеримой на множестве Е, если измеримо само это
множество и измеримы множества E(f>a) при любом
вещественном а.
Имея это определение, мы без каких бы то ни было
изменений переносим на многомерный случай содержание §§ 1, 2, 3,
гл. IV. Лишь теорема 8, § 1 примет такую формулировку
Теорема. Функция f(M), заданная и непрерывная на
замкнутом параллелепипеде, измерима.
Вообще при переходе от одномерного случая к многомерному
роль сегментов будут играть замкнутые параллелепипеды.
Доказательство формулированной теоремы не отличается от приведенного
в гл. IV. Заметим, между прочим, что то же рассуждение, что и
приведенное в гл. IV по поводу теоремы 8, § 1, устанавливает
справедливость такой леммы:
Лемма 1. Если функция f{M) задана и непрерывна на
замкнутом множестве Г, то при любом вещественном а оказываются
замкнутыми множества F(f^a) и F(fs^a).
Сложнее обстоит дело с переносом на многомерный случай
содержания § 4, гл. IV. Доказательства теорем Э Бореля и
Н. Н. Лузина, данные в этом параграфе, опирались на лемму 2
этого же параграфа, при доказательстве которой уже существенно
использовалось то, что мы имели дело с одномерным случаем.
Поэтому сейчас нам придется несколько изменить изложение.
Лемма 2. Пусть Е произвольное, не пустое множество,
содержащееся в п-мерном пространстве /?„. Если мы обозначим через
г(М) расстояние любой точки М е RH от множества Е, г(М) =
= р(М, Е), то функция г (М) будет непрерывна во всем
пространстве.
322
Для доказательства выберем две точки пространства М и N.
По самому определению понятия расстояния точки от множества,
взяв произвольное е>0, мы сможем в множестве Е найти такую
точку А, что р(М, А)<:г(М) + г. Но тогда окажется
r(N)^p(N, A)^p(N, M) + p(M, A)<p(N, М) + г(М) + г.
Благодаря произвольности е, отсюда вытекает, что
r(N)-r(M)^p(N, М),
а так как точки М и N совершенно равноправны, то
\r(N)-r(M)\^p(N, M),
чем и доказана теорема.
Лемма 3. Пусть замкнутые множества Flt F2 F,n
попарно не имеют общих точек. Если функция ср (М), заданная
на множестве
F = F1 + F2 + ... + Fm,
на каждом из множеств Fk постоянна, то существует
функция г|з (М), заданная и непрерывная уже во всем пространстве Rn,
совпадающая с <р (М) в точках множества F и такая, что при
всех М е Rn будет
mm {ф (M)}s^ty (Af)s^max {ф (М)}.
F F
Доказательство. Обозначим через rk(M) расстояние точки
М е Rn от множества Fk(k=\, 2, . , т) Ввиду того, что
множество Fk замкнуто, функция rk(M) обращается в нуль только
в точках множества Fh.
Заметив это, обозначим через ak то значение, которое функция
Ф (М) принимает на множестве Fk, и введем функцию г|> (М),
положив ее равной ф (М) при М е F и положив
ai .+ tf2 + +- пт
Ч(М>- 11 -Т~
при Мё?. Опираясь на предыдущую лемму, читатель легко
убедится, что функция \|з(М) требуемая.
Теперь мы докажем теорему, которая заменит нам лемму 2,
§ 4, гл. IV, но которая имеет также и большой самостоятельный
интерес.
Теорема. Пусть Ф — замкнутое множество, лежащее в Rn,
и ф (М) — функция, заданная, ограниченная и непрерывная1) на
множестве Ф. Тогда существует функция г|з(М), заданная и
!) Для большей общности множество Ф мы не предполагаем ограниченным
В противном случае, как известно из элементов А-нализа, ограниченность
функции ф (М) следовала бы из ее непрерывности и функция <р (УК) имела бы
наибольшее и наименьшее значения
323
непрерывная уже во всем пространстве Rn, совпадающая с (р (М)
в точках множества Ф и такая, что при всех М е /?„ будет
|^(Л1)|^:5ир{|ф(М)|}.
ф
Доказательство.1) Положим ф„ (М) ^ц>{М) и пусть
i40 = sup{ Фо(Л1)!}.
ф
Введем множества
F_ = Ф (ф0 < - ф i, F = Ф ^Фо > ^
По лемме 1 оба эти множества замкнуты (причем одно из них
может быть и пустым). По лемме 2 можно построить функцию
%(М), заданную и непрерывную во всем пространстве R,,,
равную — Ло/3 на множестве F_, равную Ло/3 на множестве F^ и
такую, что при всех М е Rn будет
-Л30^Фа(М)<з°-
Рассмотрим разность фх(Л1) = фо(М) — т))а (М), которая
определена только на множестве Ф и является на этом множестве
функцией О1раниченной и непрерывной. Нетрудно видеть, что2)
l<Pi(M) ^ \а0.
ПОЛОЖИМ Al = SUp {l ф! (М) } И ПОСТРОИМ фуНКЦИЮ Я)I (М), КО1О-
ф
рая по отношению к q>i(M) играла бы такую же роль, чтог|з„(уИ)
по отношению к фо(М). Иными словами, функция ^(М) будет
обладать следующими свойствами: она задана во всем
пространстве, всюду непрерывна, удовлетворяет при всех М неравенству
и при МёФ оказывается
!Ф1(М)-%(МI^Г. А,.
о
2
Подчеркнем, что А1^. 3 Ао. Построив такую грл (М), полагаем
Ф2(М)-ф1(Л1)-г(I(М) (МеФ)
и продолжаем этот процесс. В результате, мы построим две
последовательности непрерывных функций {(pk(M)} и {^(Л?)!. причем
!) Это доказательство заимствовано из книги П С. Александрова
«Введение в общую теорию множеап и функции». Гостехиздат, 1948.
2) В самом деле, если Mef , то i|),, (М) — °~ ф0 (М) == Ла Гак же
о
обстоит дело и при М е /_ Если же /W е Ф — (/'_+/г ), то
— 3 ~ 3 — 3 Ч-о v'" J — з~*
324
Фй(М) заданы только на Ф, a tyk(M) — на всем /?„. Эти
последовательности будут обладать следующими свойствами
Ф*(Л1) = Ф*_1(М)-1|>А L(M) (МеФ, *>1),
l9ft(AD-i|)ft(Af) ^ з Л* (МеФ).
П]ш этом, через Лк мы обозначаем величину sup { фЛ (М) } так,
ф
что 4-S з 4-1. откуда Ak-cCj А„.
Проделав все сказанное, образуем бесконечный ряд
Фо(Л1) + 1ЫМ) + гЫМ) + .. • (*)
Члены этою ряда непрерывны. Кроме того, в силу неравенства
I i|)A (М) | sc I 3 i ^30, этот ряд сходится равномерно. Поэтому ею
сумма г|)(М) есть функция непрерывная. Это требуемая функция.
Действительно, она допускает оценку
Поэтому остается лишь ..ровершь, что при М е Ф будет ф(И) =
= Ф(М). С ^гой целью заметим, что при М s Ф будет
^*(Л1)=-^(Л1)-ф^1(М).
Стало быть, частную сумму SPGW) — г|э0(Д1) —|— г|-± (М)+ ... -\-
-\-tyP-i(M) ряда (*) при МеФ можно записать так.
5ЛМ) = [фи(М)-Ф1(М)] f-
+ [ф1(М)-ф,(М)]+.. +[Ф^ 1(Л1)-ф/,(Ж)) = ф(Л^)-ф,(М).
Но так как 1ф„(М) =ss(^/'Л.,, ю Um Sp(M) = q>(M) (МеФ),
а это и значит, что ф (М) =- ф (Л'/) при /ИеФ Теорема доказана.
Опираясь на эту теорем}, ми можем без дальнейших
пояснений считать все содержание § 4, гл. IV перенесенным на
многомерный случай1).
!) Если бы гсорему Н Н. Лузина формулировать в несколько О(_лаблен-
нои форме, а именно так. «если / (А1) задана, измерима и почти вездг конечна
на измеримом множестве Е, то всякому е > 0 отвечает такое множество
?е сЕ, что тЕе> mE — t и на Еь функция / (М) непрерывна», то для
доказательства ее не потребовалась бы теорема настоящею параграфа, а можно
было бы ограничиться ссылкон на лемму 3.
325
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл
При определении интеграла Лебега в гл. V и VI мы нигде,
за исключением §§ 4 и 5 гл. V, не опирались на то, что речь
идет о функциях одной переменной. Поэтому все содержание этих
глав переносится на многомерный, случай. Мы не будем вдаваться
здесь в подробности. Заметим лишь, что для обозначения
интеграла по множеству Е, лежащему в пространстве п измерений,
мы б>дем применять одно из обозначений
\f(M)dw, \\...\f (хъ х2, .... хп) dxx dx2 ... dxn.
Остановимся на вопросе о геометрическом смысле интеграла.
Определение. Пусть f {М) = f (xlt х2, ..., хп) есть
неотрицательная функция, заданная на множестве Е. Будем называть подгра-
фиком1) функции f(M) множество S = S(E, /) тех точек
(хи х2 хп, z) пространства Rnvi, для которых
(хи х2, .... х„)е?, Q^z^f(xu x2 л-,).
Нетрудно видеть, что для случая непрерывной положительной
функции f(x), заданной на сегменте [а, Ь\, подграфик есть не что
иное, как криволинейная трапеция, ограниченная снизу осью Ох,
сверху кривой */ = /(*) и с боков прямыми х = а и х = Ъ. В этом
ь
частном случае, как известно, интеграл $ / (х) dx представляет со-
а
бой площадь указанной трапеции. Мы покажем, что и в общем
случае имеется нечто аналогичное.
Лемма. Если Е измеримое множество пространства Rn,
а функция f (M) во всех точках этого множества равна
положительному числу h, то подграфик S (Е, /г) есть измеримое
множество пространства Rn+1 и
mS(E, k) = hmE.
Эта лемма обобщает элементарную теорему о том, что объем
цилиндра равен площади его основания, умноженной на его
высоту. Мы докажем эту лемму, ограничиваясь для простоты
случаем я=. 2.
Если множество Е есть прямоугольник R(a^x^b,c^ysS,d),
то лемма тривиальна, ибо S(E, h) оказывается прямоугольным
параллелепипедом Т{а^.х^Ь, c^y^d, Qs^z^h). To же будет
и в том случае, когда Е есть открытый прямоугольник. Если Е
есть ограниченное открытое множество, то его можно представить
00
в форме Е = 2 Q». гДе Qk — замкнутые квадраты попарно без
!) Этот термин вводится здесь впервые.
326
общих внутренних точек. Тогда S (Е, Л) = 2 ^ ^*> ^- Значит
*= 1
OD ОО
m*S(E, А)< 2 mS(Q*. л) = X h mQk = h mE.
4=1 fe= 1
С другой стороны, если Uk есть множество внутренних точек
ОО
квадрата Qk, то S(E, h)zD ^ S(Uk, h), откуда
*=1
ОО ОО
/иф5(?, A)Ss 2 mS(u>» /г) = ? Л mUh = h mEt
A=l A=1
что и доказывает лемму для открытого ограниченного множества.
Но в таком случае она верна и для замкнутого ограниченного
множества, ибо его можно представить в форме R — G, где R —
открытый прямоугольник, a G — открытое ограниченное множество.
Пусть, наконец, Е — произвольное измеримое множество. Взяв
е>0, найдем такое замкн>тое множество F и такое ограниченное
открытое множество G, что fc?cG, mF > mE — е, mG < mE + г.
В таком случае S (F, И) с 5 (?, Л) с S (G, Л), откуда, по
доказанному,
h-mF^m*S(E, h)^m*S(E, h)^h mG,
и тем более
h(mE-e)^m*S(E, h)^m*S{E, h)-^h(mE + e).
Ввиду произвольности е, это и доказывает лемму.
Теорема. Если f (M) ограниченная, измеримая,
неотрицательная функция, заданная на множестве Е, то ее подграфик S (?, /)
измерим и
mS(E, f)= \f{M)dw.
ь
В самом деле, пусть Os^f(M)<A. Разделим промежуток
[О, А] точками га = 0 ¦< гх < г2 <;...•< г„ = А и составим
множества Лебега е, = Е{г1 =sS/<2, + 1). Нетрудно видеть, что S(E, /) =
п — 1
= 2 S (et, /), причем множества S(et, f) попарно не пересе-
» = о
каются. Отсюда
'^ rn,S(elt f)^m*S(E, f)^m*S(E, f)*? ? m*S(enf).
1=0 i=0
С другой стороны, S{et, z,) cS(eM /)с5(е„ г,т1), откуда,
применяя предыдущую лемму, находим, что
zlmel^m^S(ei, /), m*S(el, /)<z/ + 1me,.
327
Таким образом,
II — I П — I
? 2,те, *ёт, S (?, f)<m*S (Е, /) < ^ г' - >те'-
1—0 1 — U
Измельчая дробление и переходя к пределу, завершаем
доказательство.
§ 3. Теорема Фубини
Остановимся на вопросе о сведении кратного интеграла к
простым.
Лемма. Если /(дг, у) есть измеримая функция, заданная
в прямоугольнике R{a^x<-b, c^-ys^d), то почти для всех
х <= [а, Ь] эта функция, как функция одного у, измерима на [с, d].
Доказательство. Пусть сначала f (х, у) ограничена в R.
Существует такая последовательность непрерывных функций
gn (x, у), что почти везде в R будет
lim gn(x, y) = f{x, у). A)
Обозначим через Е множество тех точек (г, у) <= R, в которых A)
не выполнено. Так как тЕ — О, то [см. следствие 1 из § 5, гл. XI]
почти для всех х из [а, Ь] будет
т?(дг) = 0, B)
где Е (л'п) есть сечение множества Е прямой х — ха.
Пусть х такая точка [а, Ь], в которой B) имеет место. Если
i/e[r, d] — E(x), то (х, у) е R — Е и справедливо A). Иными
словами, при указанном х соотношение A) выполняется почти везде
на [с, d], а тогда / (х, у) (при том же х) есть измеримая функция //.
Если f (х, у) не ограничена, то найдется такая
последовательность ограниченных измеримых функций fn(x,y), что везде на R
будет Jim fn(x, y)=[(x, у). По доказанному для каждого п мно-
жество еп тех х е [а, Ь], для которых /„ (х, у) не есть функция,
измеримая на [с, d], имеет меру нуль. Пусть е = el + e.i + e4 +
Если х е [//, !>] - е, то все функции /„ (дг, у) измеримы на [с, d].
Но тогда и /(.v, у) такова же.
Теорема / (Г. Фубини), Пусть в прямоугольнике R(as^x^b,
с <c//-crf) задана суммируемая функция f(x, у).
Тогда-
1) почти для всех х^[а, Ь] функция f(x, у), рассматриваемая
как функция одного лишь у, будет суммируема на [с, (/];
2) если Д есть множество тех х е [а, Ь], для которых ) (х, у)
суммируема на [с, d] (шЛ -= b -и), то функция
л
\ / {х, '/) dy
с
суммируема на Л;
328
3) справедлива формула
\\f(x, y)dxthj= \dx\f(x, y)cly.
И А 6
Доказательство. Рассмотрим сначала случаи, когда f (х, у)
есть функция неотрицательная и ограниченная
О _/(л', у)~ Н.
Ее подграфик /4=-S(A?, /) б>дет множеством измеримым и
тА = \\f {х, у) clx dy.
'н
Обозначим через А' множество всех тех х€в[а, Ь], при
которых f(x, у) есть измеримая на [с, d] функция у. По лемме шД'-
= Ь — а. Так как при любом хп е [а, Ь] сечение А (х„) множества А
плоскостью х = х{) есть не что иное как подграфнк функции /(л-,,, у),
то (по leopeue из § 2) для х (= А' множество А (х) буде1
измеримым и
д
тА (х) = I f (х, у) dy. C)
с
С другой стороны, в силу результатов § 5 гл. XI, функция
тА (х) измерима на множестве Д" iex x e [a, b], для которых
А (.V) измеримо, и
тА = \ т A(x)dx.
л ¦
Так как1) А'сг А" и /»Д' = шД", то тА(х) будет измерима
и на Д'. Значит интеграл C), совпадающий с тА (х) на А',
будет измеримой и (в силу своей ограниченности) суммируемой
на А' функцией х. Кроме того,
<?
тА ^ \ тА (х) dx = \ dx ^ \ {х, у) dy.
X Л'
Остается отмеппь, что ограниченная функция [ (х, у),
рассматриваемая как функция одного у, будет суммируемой югда и только
тогда, когда она измерима. Поэтому введенное нами множество А'
совпадает с множеством А, упомянутым в формулировке теоремы.
Итак, для случая ограниченной и неотрицательной функции ieo-
рема доказана.
Теперь откажемся о: предположения, чго/(*, у) ограничена,
продолжая считать ее неотрицательной. Введем «срезанн>ю» функцию
, _ ( / (х, У), если / (х, у) п,
1ЛХ'у)-\ п, аслнЦх,у)>п.
х) Можно было бы доказать, чго nj самом деле Л'—Л .
329
Тогда
\\[(х, y)dxdy= lim \\fn(x, y)dxdy.
К функции /„ (х, у) уже применима доказанная часть теоремы.
Если Дге есть множество тех х, для которых fn(x, у) (как функ-
d
дня у) измерима на [с, d], то тАп = Ь — а, интеграл \fn(x, у) dy
измерим на Ап и
д
\ $ U (х, У) dxdy= \dx\ U (х, у) dy.
П^сть Д* = Д1Д2Д3--- • Ясно, что тА1: = Ь — а и при л:еД*
измеримы1) все /л (х, г/), а значит и /(*, г/). Кроме того,
d
\ S f'i (х> У) dxdy= \ dx\ fn (x, у) dy.
Я А* с
Ввиду того, что
fi(x, y)^h(x, j/Xf3(x, у)< ..., lim /„(*, y) = f(x, y),
tl-fCO
мы можем применить теорему Б Леви (для закрепленного te Д*).
Поэтому
d d
hm J fn (x, y)dy = \f (x, y) dy (x <= Д*),
причем попутно установлена измеримость интеграла
\f{x, y)dy
с
как функции хеА*.
Ввиду того, что
d d d
\hix, y)dy^\h{x, y)dy^\f3(x, y)dy<
с с с
мы можем еще раз применить теорему Б. Леви, что дает равенство
d л
hm \ dx\fn{x, y)dy= \ dx\f{x, y)dy.
n-юо д. с Д* с
1) Как функции от у.
330
Таким образом, мы нашли множество Л* с мерой тД* —Ь — а,
для всех точек х которого функция f(x, у) измерима, причем инте-
d
грал [ f (х, у) dy представляет собой функцию, измеримую на Д* и
с
d
\\f(x, y)dxdy= \ dx\f(x, y)dy.
R Д* с
Так как интеграл, стоящий слева, есть величина конеч-
й
ная, то интеграл \f(x, y)dy представляет собой функцию не только
с
измеримую, но и суммируемую на множестве Д*. А так как сум-
d
мируемая функция почти везде конечна, то интеграл \f{x,y)dy
с
конечен почти для всех х из Д*. Это показывает, что функция
f(x, у), как функция одного лишь у, суммируема на [с, d] для
почти всех х из Д*. Обозначим через Д** множество тех х из Д*,
для которых [(х, у) суммируема на [с, d]. Так как тА** =тА*, то
\\f(x, y)dxdy= \ dx\f{x,y)dy.
R Л** с
Заметив это, обозначим через Д множество всех х из [а, Ь\,
для которых f(x, у) есть суммируемая функция аргумента у. Ясно,
d
что Д**сДс1[а, Ь]; поэтому интеграл \f(x, у) dy суммируем и
с
на множестве Д, ибо т(Д — Д**) = 0. Тогда
d й
dx
д**
\ dx\f(x,y)dy=\dx]f(x, y)dy,
и теорема доказана для нашего случая.
Перейдем, наконец, к общему случаю, считая f(x, у)
произвольной суммируемой функцией. Положим, как обычно,
ft s = j f(*' У)> если /(*¦ У)^0'
MiW I 0, если/(х, у)<0,
ГЛ'У) \-Нх,у), если f(x, y)<0.
Эти функции суммируемы и неотрицательны, поэтому к ним можно
применить уже доказанную часть теоремы. Обозначим через Дт
и Д_ множества тех х из [а, Ь], при которых суммируемы
соответственно функции /+ (х, у) и /_ (х, у) на [с, d]. По доказанному
331
/нЛ- — niA — b — n, причем интегралы ^ /., (х, у) dx, \ /_ (х, у) dy
суммируемы, соответственно, на А^ и А_ и
$ 5 /_ (л-, у) dx dy = J dx $ /- (*. У) dy,
R &+ с
d
\\f (x, у) dx dy = \ dx \ /_ (jf, y) dy,
R & с
Пачожим А —А А . Тогда mA — b — а, и интегралы, стоящие
e правых частях предыдущих равенств, можно распространить не
на А_ п А , а на А. Тогда почленное вычитание этих .равенств
дает
d
\ \ f (л-, у) dx dy -- \ dx \ / (х, у) dy.
'ft' Л с
Остается заметить, что множество А = А+А_ состоит только из
таких Arefo, /;], для которых/(дг, у), как функция у, суммируема
на [с, d] и "что все такие х входят в А.
Теорема Ф^бини доказана полностью.
Замечания. 1. Пели функция f(x, у) задана не в
прямоугольнике, а па произвольном измеримом множестве Е, то следует это
множество заключить в прямоугольник R и пополнить
определение f(x, у), положив ее равной нулю на множестве R — E. Это
сведет дело к уже рассмотренному случаю.
2. Если f(x, у) есть измеримая1) и неотрицательная функция,
заданная в прямоугольнике R{a<x<=b, c^y-^d), то интеграл C),
рассматриваемый2) на множестве А тех хе [а, Ь], для которых
}(х, у) есть измеримая функция у(тА = Ь — а), будет измеримой
функцией х.
В самом деле, если f(x, у) ограничена, то она суммируема, и
наше утверждение )же содержится в теореме 1. Если же f(x, у)
не ограничена, то надо лишь совершить предельный переход от
срезанных функций и сослаться на теорему Б. Леви.
Теорема 1 допускает следующее обобщение, которое может
быть доказано теми же рассуждениями, что и сама эта теорема.
Теорема 2. Пусть f{хъ х.2, •••, хп\ ух, у2, ¦¦¦, ут) —
суммируемая функция, заданная в {п -\- т)-мерном параллелепипеде
Rn ып («I s? xx <- Ьи ..., ans^ xn s- Ь„;
с\'- Ух ^<U> •••. cm<ym^dm).
') Суммируемости / (х, у) не предполагается.
d
2) Интеграл \{ (х, у) dy может г,ри stom равняться -\- со на множестве
положительной меры.
'32
Пусть Rn = /?,, (л1=5с;д-1-^61, ..., ап sS хп «? Ьп) и R"m = R"m (сх «с ух «?
s^ дх, .. ., ст < ут -с <Эт). Тогда:
1. Почти для всех точек (хх, xit .... xn)^R'n функция
f(xu ..., л'„; ylf ..., yIP) суммируема на /?,",.
2. ?сли А„ er/иь множество -тих точек {mb.n = mR'n), то
интеграл
\\ ... \f(хъ .... х„\ ylt .... ут)с1уг ... dum
суммируема на А„.
3. Справедлива формула
^ ... I f (jfj, ..., хп\ уи ..., ут) dxx ... dxndyx ... dym —
= \... \ dxx ...dxn\...\f (xu ..., xn; ylt ..., ym) dyx ... dym.
§ 4. Перемена порядка интегрирований
Введем следующее обобщение символа интеграла. Пусть f(M) —
функция, заданная и суммируемая на некотором измеримом
множестве 1. Если Е есть любое измеримое множество, содержащее
множество А, Е^>А, и такое, что т(Е — Л) = 0, то мы положим
по определению § / (М) dw = J f (M) dw.
ь а
Таким образом, мы допускаем теперь и такие случаи, когда
подынтегральная функция задана не во всех, а лишь почти во всех
точках области интегрирования. При таком расширении смысла
символа интеграла формула, доказанная в теореме Фубини,
допускает более простую запись:
ь а
\\f{x,y)dxdy = \dx\f{x,y)dy.
R с с
Ввиду равноправности аргументов х и у, мы получаем такой
результат:
Теорема 1. Если f(x, у) есть функция, суммируемая на
прямоугольнике R(a^x^b, c-=?~y-^d), то существуют1) оба
повторных интеграла
b d d h
\dx\f(x, y)dy, \dy\f(x, y)dx, (*)
а с сп
причем
b d d b
\dx\f{x,y)dy = \dy\f{x,y)dx. (%)
') В только что указанном расширенном смысле, внутренние интегралы
существуют почти везде в области внешнего интегрирования.
333
Интересно заметить, что интегралы (*) могут существовать без
того, чтобы f(x, у) была суммируема на прямоугольнике R.
Пример Пусть функция / (х, у) задана в квадрате Q (— 1 ==g
=ёл:=г?1, — lsgr/sgl) формулой
ху
/(*> У) (*2+y2J
если х2-\-у2>0. В точке же @, 0) положим /@, 0) = 0. Если
закрепить один из аргументов х или у, то f(x, у) окажется
непрерывной функцией другого, так что
+ i
С xydy
\у (*2 + </2J
заведомо существует при всех х из [— 1, +1]. Будучи
интегралом от нечетной функции, этот интеграл равен нулю.
Таким образом,
+i+i +i+i
\dx\x^^dy=\dAi^wdx^-
Вместе с тем, функция f(x, у) не суммируема на Q.
Действительно, если бы она была суммируема на Q, то она была бы
суммируемой и на частичном квадрате Q* @ «с * «с 1, 0sg(/scl).
Тогда, по теореме 1, должен существовать конечный интеграл
С аЛ _ *У а.,
Но это не имеет
\
0
Г"
0
места,
(** + {/«)»
0
ибо
¦dy
(*2+f/2J
при х
1
~ 2х
- и
2
У-
0
X
(х2+1)
а эта функция не суммируема на @, 1].
В приведенном примере, несмотря на несуммируемость
функции f(x, у), формула (%) все же была справедлива.1) Вообще же
говоря, это может быть и не так.
!) Г М Фихтенгольцем был построен [«Sui une fonction de deux
variables sans integrale double», Fund Math, 6, 1924, стр 30—36] пример такой
несуммируемой в Ria^xs^b, c^y^.d) функции f(x, у), что равенство
UxJ/(x, y)dy=\ay\f(x, y)dy
Р Q Й fi
имеет место, каковы бы ни были измеримые множества Р и Q, содержащиеся,
соответственно, в [а, Ь\ и [с, d].
334
Пример. Если задать f(x, у) в @ < x-sc 1, О <z г/< 1) так:
/(О, 0) = О, а не в начале координат f(x, у) = Д ~*2u < т0
11 11
^dx\f(x,y)dy = ±, \dy\f(x,y)dx = -^.
0 0 6 6
В самом деле, ведь при х Ф 0 будет
/ (х, У) = ^ (^qp^j
и потому для хфО
1
\ / (х, у) dy = \ , ^ . = -ттт,
откуда вытекает указанное значение для первого повторного
интеграла.
Второй повторный интеграл вычисляется так же.
Важно заметить, что для измеримых функций, сохраняющих
знак, таких неприятностей быть не может. Именно, справедлива
Теорема 2. Пусть f (x, у) — измеримая неотрицательная
функция, заданная в прямоугольнике Rias^x^b, c-^y^d) Если
конечен1) один из повторных интегралов (*), то f(x, у)
суммируема на R, так что существует и второй из интегралов (*)
и справедлива формула (%).
В самом деле, пусть конечен первый из интегралов (*), а
двойной интеграл функции f (х, у) по прямоугольнику R равен +оэ.
Положим
, ( f(x, у), если f(x, y)<:n
<Лх'у)-\ п , если f(x,y)<n.
Тогда
lim ]Un(x, y)dxdy = + oot
и для достаточно большого п окажется
* d
\ \ U (¦<, y)dxdy>\dx\f {x, у) dy.
R ас
1) Существование (но не конечность1) обоих интегралов (*) выте
кает из замечаьия 2, сделанного к теореме 1 предыдущего параграфа Таким
образом, формула (%) верн^ и без оговорки о конечности одного из
интегралов (*) (но тогда она может принять вид -j- со — + со)
335
Но это нелепо, ибо fn(x, у) с^ммир>ема и, стало быть,
Ь d
\ \ fn (х, у) dx dy = \dx\ /„ (.о, у) dy,
R ас
а /Ж У)^ f(x, у).
Теорема доказана.
Следствие. Если ) (х, у) измерима на Ria^x^b, c^y-^d) и
b d
\dx\'j(x, у) dy < + oo,
a t
то существуют интегралы (+) и верна формула (%).
ГЛАВА XII/
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ I. Абсолютно непрерывные функции множества
В jtoii главе мы займемся переносом свойств неопределенного интеграла
Лебега па многомерным слуый Как и выше, ми си раппчнмея случаем то
скости, но все сказанное дальше без фуда обобщается на любое мнмомерное
пространство.
Пусть а—некоторое семейство мпожеав, а—{с} Еети каждому
множеству с е а отвечает некоторое чи^вд Ф (с), го говорят, чго на семействе а
задана функция иночачтво В дальпеншем мы считаем, чго я охгош и-< всех
измеримых множеств, содержащихся и одном н юм же ои.рыюм прямочттъ-
нике R. R (д„ гх<Х, у„ _ у < У), а все рассма1|)ива( мыс функции
множества предполагаются конечными.
Функция множества Ф(<) на!ываег;я аддитивной, если д м любых двух
не пересекающихся измеримых множеств c'j и t'j б\дег
Ф(с1+<.1)=-Ф(<1)±Ф(сг).
Нетрудно видеть, что гакая функция обладает следующим cbohcibom- длл
любого конечного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств е1,
е2, ..., еп справедливо равенство
ф 2l ^ - 2 фь)-
к—\ к=\
Если же и для счетного множества попарно nt пересекающихся измеримых
множеств еи е2, е3, будет J)
/on \ ^о
ф 2 ^ --= .Е ф ^'
к~ I , к- 1
то функция Ф (с) называйся впоше аддитивной
Функция множества Ф (е) называется абсолютно непрерывной, если ее
значение стремится к нулю вместе с мероп множества е, i e если всякому t > О
отвечает такое 6 > 0, что для любого измеримого множества i'FcS) с мерой
те < б будет Ф (е) < (¦_
Ясно, что значение "такой функции на всяком множестве меры нуль равно
нулю -)
') Напомним, что в< е множества о,- иредпола! аюгея лежащими в R, значит
сумма их ограничена и потому измерима
'-') Если е„ — пустое множество, то для всякой адднгивпоп функции
множества Ф(<А б>дст Ф(е„) — 0.
337
Теорема 1. Всякая аддитивная и абсолютно непрерывная функция
множества будет и вполне аддитивной.
В самом деле, если множества еъ е.г, с-,, ... попарно не пересекаются, то
при п —> со будет
I со \ / со \
'" 2 еЛ^ °- 0ТКУДа И Ф ! Л ек)-^0.
\k = n + \ I \k = n + \ I
Но
ф( 2 е* = 2 ф(с*)+ф! 2 <
\* = 1 / k — l \k = n + \
Остальное ясно.
Пусть Л— произвольное точечное множество (содержащееся в R). Назовем
его измеримой оболочкой всякое измеримое множество ?, удовлетворяющее
соотношениям1) С гз А, тС—т*А.
Впредь, не оговаривая этого специально, мы будем рассматривать только
такие измеримые оболочки, которые также содержатся в R
Лемма 1. Если А — произвольное точечное множество (А с/?), а Ф (е) -
аддитивная и абсолютно непрерывная функция множества, то для любых двух
измеримых оболочек Е± и ?а множества А будет
Ф(?1) = Ф(?г).
Действительно, если Е3 — Е,Е.2, то ?х =d ?3 ^ А, откуда ягно, что т?х =
= тЕ3. Значит, т(Е1 — ?3) = 0 и ф^ — ?3) = 0. Но ?х = ?3 +(?i —?3). так
что Ф(Е^ = Ф(ЕЯ). Аналогично и Ф(?2) = Ф(?3).
Впредь, имея дело с аддитивной и абсолютно непрерывной функцией
множества Ф (е), мы будем обозначать через Ф (А) значение этой функции на
измеримых оболочках множества А. Таким образом, символ Ф (А) получает
смысл и тогда, когда множество А и неизмеримо (но, как всегда, А с R).
Условимся, далее, в следующем обозначении: если М — произвольная точка
плоскости, a h — какое-нибудь положительное число, то через Q(M, h) мы
будем обозначать замкнутый квадрат с центром в точке М, стороны которого
параллельны осям и равны h.
Определение. Пусть Ф (с) —некоторая функция множества, а УИ — какая-
нибудь точка прямоугольника R. Если число к (могущее равняться и
бесконечности определенного знака) таково, что существует стремящаяся к нулю
последовательность положительных чисел {hn), для которой2)
П->ЭЗ "я
то мы будем говорить, что к есть симметричное производное число функции
Ф (е) в точке М и писать X — DиФ(е).
С помощью теоремы Больцано—Вейерштрасса легко показать, что у
всякой функции множества в каждой точке М е R существуют симметричные
производные числа.
Если все симметричные производные числа функции Ф (е) в какой-нибудь
точке М равны друг другу, то мы скажем, что в этой точке у Ф (е)
существует симметричная производная DМФ (е), равная общему значению всех
производных чисел. Заметим, что симметричную производную можно было бы
х) В гл. XI было доказано, что у каждого ограниченного множества есть
измеримые оболочки (даже типа <7§).
2) Напомним, чго R прямоугольник открытый. Значит, для всех
достаточно малых h будет Q(M, h) cz R, и символ Ф[<Э(Л1, h)\ имеет смысл.
338
,. Ф[<2(М, А)]
определить и иначе, а именно как предел lim —-^^п, —. но оба
определено п*
ния равносильны.
Докажем теперь основную во всей этой главе лемму.
Лемма 2. Пусть Ф (с) есть аддитивная и абсолютно непрерывная
функция множества. Если в каждой точке М некоторого множества А (А с R)
существует хотя бы одно симметричное производное число ОмФ(е),
удовлетворяющее неравенству
DMO (с) ^ q, то Q>(A)^q- m*A.
Доказательство. Пусть qn < q и е > 0. Найдем такое 6 > 0, что
неравенство те < 26 влечет неравенство Ф (с) <е. При этом можно
считать, что 8 < р. Пусть, далее, G— такое открытое множество, чго А с: G с: R,
/nG<mM+6.
Если М е А, то существует такая последовательность {ha\, что
й„>0, Q(M, hn)<=:G, hn-*0 и Inn Ф^^' Н")] = DМФ (е) > q0.
П-.00 п-п
Не ограничивая общности, можно считать (что мы и делаем), что при
всех п будет Q (M, hn) a G, Ф [Q (М, А,,)] > qbhju
Ясно, что квадраты Q{M, hn) покрывают множество А в смысле Витали.
Поэтому из них можно выделить такое счетное множество квадратов Qb Q2,
Q3 что
Q;Q*=o {1Фк)\ ш\а- SqJ=o.
со со оэ
Если положить S = У] Q*, то окажется Ф (S) = ^ Ф (Q/) > qa ^] mQ* =
ft — 1 ft — l * — i
= qa-mS. Ввиду того, что А с S-\-(A — S), будет т*А -г^ mS-{-m (A — S) —
= mS.
С другой стороны, S с G. Поэтому mS ^c mG. Значит
ш*Л ^ mS s? mG < т*А + S
и (*)
m(G — S) = mG-mS<d.
Кроме того, из (*) вытекает, что mS = m*A +66, где 0 «с 0 < 1.
Заметив это, возьмем какую-нибудь измеримую оболочку Е множества А.
Можно считать, что Е cz G. Но тогда Е — SE с G — 5и потому m С С — S?) <
< 6, откуда и подавно | Ф (? — 5?) i < e, или, что то же самое,
|Ф(?)-ФE?)|<е.
Но неравенство т (? — 5?) < б означает также, что
mSE > тЕ - 8 = т*А - 6 > mG — 26 =г /и5 - 26.
Стало быть, /и (S — SE) < 26 и ] Ф (S) — Ф (S?) ' < е.
Таким образом, ] Ф (?) — Ф (S) к 2е и Ф (?) > qamS — 2e.
Иначе говоря, справедливо неравенство
Ф (?) ><70 [т*А + Эе] - 2е.
Устремляя е к нулю и переходя к пределу, а затем устремляя q0 к q и
снова переходя к пределу, завершаем доказательство, ибо Ф(?) = Ф(Л).
Следствие 1. Если Ф (е) — аддитивная и абсолютно непрерывная
Функция множества и в каждой точке М множества А существует хотя
бы одно симметричное производное число ^^Ф (е), удовлетворяющее
неравенству -О^Ф (е) г? р, то Ф (А) =&-_ рт* А.
339
Действительно, еепп Ф, (е) = — Ф (<¦), то в кажтой точке М еЛ
существует такое симметричное производное число В^Ф(е), что D ,,Ф, (с) _ — р.
Отсюда, по лемме 2, будет Ф4 (Л) ~_ - р/нМ, а это равносильно
доказываемому неравенству.
Следствие 2. Ицсть Ф (<_') аддитивна и абсолютно непрерывна. Если р < q
и в каждой точке М множества Л существуют такие два симметричных
производных числа О\{Ф(е) и О'мФ(е), что
D'MO(e)<p<q<:D"MO(e), (*)
то тЛ =0.
В гамом деле, по лемме 2 и следствию 1 выполняются два неравенства
Ф(/1) qmrA, Ф (А) ^ рт*А. Поэтому qm" A s= рт*Л, а это во!можно
лишь при т* А =0.
Теорема 2. Пели функция множества Ф (е) аддитивная и абсолютно
непрерывна, то почти во всех точках прямоугольника R существует конечная
симметричная проимодная Е> МФ (<¦).
В самом деле, в каждом точке Л1, где нет симметричной прои тодной,
найд\тся днл неравных симметричных производных числа О'МФ (i) и 1)\{Ф(е).
Значит, множество А таких точек R, где не существует симметричной
производной, предстагимо в форме Л = V Л/5, v, причем Ар. ч обозначает множество
таких точек М е R, в которых выполнено (*), а суммирование
распространено на все пары рациональных чисел (р, q), p < q По следствию 2 каждое
слагаемое At, (| есть мнол<ество меры нуль, а потому и тА =0
Остается показать, что производная D ИФ (с) не может обращаться в
бесконечность на множестве положительной внешней меры. Но если обозначить
через В множество тех точек R, в которых DМФ (е) — -\- о., то по лемме 2 при
любом q будет Ф(В)" ат*В, откуда m*B=0. Так же обстоит дело н с
множеством точек, в которых DМФ (,¦) = — о:.
Теорема 3. Пусть Ф (с) - аддитивная а абсолютно непрерывная функция
множества. Если Rn есть множество тех точек прямоугольника R, в
которых существует симметричная проильодная D МФ (с), то ',ша производная
сети функция, измеримая на множестве Rfl
Доказательство. Введем прямоугольник Rlt более широкий, чем R,
и определяемый неравенствами
Я1(х0-\<х<Х-{-\, уп-\<у<У + \).
Если М се R и 0<Л<1, то Q(M, К) cz Rt. Расширим определение
функции Ф(е), положив Ф (с) = Ф (eR) для всякого измеримого множества с,
содержащегося в Rt. Ясно, что и после этого расширения функция Ф (?)
остается аддитивной и абсолютно непрерывной.
В каждой точке М & Ro 6}дет ЭмФ(е)= lim #b M,
п~*со I \ "
Поэтому достаточно показать, что при закрепленном Л@</г^с1)
функция Ф[<3(М, li)\ измерима на множестве Ro. Мы же вместо этого покажем, что
эта функция непрерывна во всем прямоугольнике R, откуда и будет следовать
ее измеримость на R, а значит и на У?,,.
Рассмотрим две течкн М (а, Ь) и \ ((i-\-ol, h + fi) прямоугольника R,
считая для простоты а 5^ 0 и 0^0, Ясно, что
Q(M, h) = Q'a- h2 -дс^а+2, fa-* ~у<-1>+*\,
Q(N, h)=Q e + a--|*x^fl + a+2 , ft + p-y^y^ + P+g
340
Если «<// ii Р<Л, то квадраты Q(M, Л) и Q(<V, Л) будут иметь общую
часть1) Т, определяемою неравенствами
Значит,
mT = (h — a)(h - 0)
и
т[<3(Л1, Л)-Г] = т[<3(Л/, Л) - Г| = а/; + (№ - оф < /г (a + E).
Возьмем f>0« найдем такое б > 0, чтобы из неравенства те < б
вытекало неравенство Ф (г) < е.
Если аир столь малы, что Ii (a -j- P) <. б, то
,Ф[(?(Л1, й)] —Ф(Т) <в, Ф IQ(JV, /;)] —Ф(Т) <е,
откуда
,Ф[<Э(М, Л)]—Ф[<2(Л/, /,)] <2е.
Теорема доказана.
То обстоятельство, что симметричная производная D „Ф (г) определена не
во всех, а лишь почти во всех точках /?, представляет ичвестные неудобства.
Чтобы избежать этих неудобств, введем функцию (р(М), определенную на
всем Л следующим образом-
[ О..Ф (<¦), если М ei),,
Ф(Л1) =
I 0, если jM e R — Rn.
Здесь, как и выше, Ro обозначает множество тех точек R, в которых
существует симметричная производная функции Ф (с).
Теорема 4. Функция ф (М) суммируема на прямоугольнике R. Кроме того,
для всякого измеримого множества С с R справедлива формула
1|Ф (/И) Лцр = ф(?).
Доказательство. Пусть К — измеримое множество, содержащееся
в R. Удалим из /. те точки, в которых симметричная производная DЦФ (е)
не существует, пли, хотя бы и существует, но бесконечна, и пусть А есть
оставшееся множество. Ввиду того, что т\С — Л)=0, ясно, что
Ф(?) = Ф(Л).
Обозначим через А+ множество тех точек М из А, в которых ОЛ1Ф(е)~^
^0, и пусть А_—А~А^. Тогда Ф(/1)--=Ф(/1 )-; Ф(Л_)
Рассмотрим последовательность чисел
0 1 2 3 4 т
' п ' п ' п ' п ' "'' п ' '"
и положим
^Л(Х^/Й<1) (* = «. 2,3, ¦..).
Множества f/j измеримы, попарно не пересекаются и ^ <¦<, = Л^. По-
А= 1
этому
Ф(Л,)= 2 ФЫ-
') Читателю рекомендуется сделать чертеж.
341
С другой стороны, функция ОМФ (ё) на множестве А+ измерима и
неотрицательна. Значит1)
\DM<b{e)da>= 2] \DMO(e)dw.
* = 1 eu
По теореме о среднем
А: — 1
1С k
— mek s? ^ ОуИФ (е) dw =S -- meA.
(*)
С другой стороны, по лемме 2 и ее следствию 1
—^- тек ==? Ф (ек) ==? -- mek.
Поэтому
Ф(е*)-J ОЛ1Ф(^)йш
Отсюда вытекает сходимость ряда, стоящего справа в равенстве (*), и
оценка
Ф(Л+)-\ DM<b(e)dw
п iu n +
* = 1
Так как п можно взять сколь угодно большим, то
Ф(ЛЛ= $ DMO(e)dw.
Сходным образом устанавливается такое же равенство, в котором лишь
А^ заменено на А_. Поэтому функция ОМФ (е) суммируема на множестве А и
ф (А) = J ОМФ (е) dw, откуда Ф (?) = $ DM<$> (e) dw.
А Е
Так как, в частности, можно взять E—R, то теорема доказана полностью.
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование
Пусть в открытом прямоугольнике R задана суммируемая функция f(M).
Полагая для каждого измеримого множества е с R
ф (е) = (j / (M) dw,
е
мы получим функцию множества, заданную на всех измеримых
подмножествах прямоугольника R. Эта функция множества называется неопределенным
интегралом функции f(M). По. известным свойствам интеграла Лебега она
аддитивна и абсолютно непрерывна. Обратно, в теореме 4 предыдущего
параграфа мы показали, что всякая аддитивная и абсолютно непрерывная
функция множества есть неопределенный интеграл функции ф (М). Поэтому
справедлива
Теорема I. Класс аддитивных и абсолютно непрерывных функций
множества совпадает с классом неопределенных интегралов суммируемых функций.
х) Подчеркнем, что в этот момент рассуждения мы еще не можем
гарантировать конечности ни левой, ни правой частей равенства (*).
342
Замечание. Все содержание предыдущего параграфа сохранилось бы, если
бы семейство а множеств е, на которых определена функция Ф(^), состояло
из всех измеримых множеств плоскости (а не только содержащихся в
закрепленном прямоугольнике) В результате мы установили бы, что у аддитивной
и абсолютно непрерывной функции множества Ф (е) почти во всех точках
плоскости1) существует симметричная производная ?>Л1Ф ((-¦), измеримая на
всяком измеримом множестве ? и такая, что
Ф(Е) = \ОмФ(е)с1ш.
Е
В связи с этим естественно было бы определить и понятие
неопределенного интеграла для всякой функции /(М), заданной на всей плоскости и
суммируемой на каждом измеримом множестве. Сделав это, мы установили
бы, что всякая абсолютно непрерывная и аддитивная функция множества
является неопределенным интегралом своей симметричной производной. Однако,
мы не могли бы утверждать, что всякий неопределенный интеграл есть
абсолютно непрерывная функция множества, т. е. теорема 1 не имела бы места.
В самом деле, если (ограничиваясь для простоты линейным случаем)
положить f(x) = O при х < 1 и f(x) = n при п s? *<n+ 1, то/ (*) будет
суммируема на всяком измеримом множестве е, но ее неопределенный интеграл не
будет абсолютно непрерывным. Чтобы избежать подобных неудобств, мы и
потребовали, чтобы все рассматриваемые функции были заданы в
закрепленном прямоугольнике.
Суммируемая функция / (М) однозначно определяет свой неопределенный
интеграл. Справедливо предложение, в некотором смысле обратное этому.
Теорема 2. Если функции f (M) и g(M) имеют один и тот же
неопределенный интеграл, то они эквивалентны.
В самом деле, по условию для всякого измеримого множества е
(содержащегося в основном прямоугольнике R) будет
^j (M)dw = ^g(M)dw.
е е
В частности, для множества <? = ? (f>g) будет
$[/(M)-g(M)]dw = 0,
е
откуда (гл. VI, § 1, теорема 6) следует, что m?(/>g) = 0.
Аналогично устанавливается, что множество E(g>f) также имеет меру
нуль. Теорема доказана.
Пусть f (M) — какая-нибудь суммируемая (на R) функция и Ф (с) ее
неопределенный интеграл. Введем функцию ф (М), равную симметричной
производной ОМФ (е) функции Ф (е) там, где эта производная существует (т. е.
почти везде на R) и нулю в остальных точках R. В теореме 4 предыдущего
параграфа мы установили, что Ф (е) будет неопределенным интегралом
функции ф (М). Таким образом, одна и та же функция Ф (е) служит
неопределенным интегралом и для / (М) и для ц>(М). Значит, / (М) и ф (М) эквивалентны.
Этим доказана
Теорема 3. Неопределенный интеграл суммируемой функции по^ти везде
имеет эту функцию своей симметричной производной.
Условимся говорить, что точка Мо есть точка Лебега суммируемой
функции f(M), если
Urn I [ \f(M)-f(Mu)>dw = Q.
Q(Ma, h)
*) Это значит, чю пересечение множества точек, где симметричной
производной нет, со всяким измеримым множеством имеет меру нуль.
343
Теорема 4. Почти все точки прямоуго гьника R суть точки Лебега
функции f (М) , заданной и а/ммирусмой в этом прямоугольнике.
Доклзательсшо згой теоремы вполне анало! нчно одномерному сл\ч,ио.
Именно, взяв любое рациональное число г, применим предыдущую георему
к функции i(M) — r . Почш для всех точек Ма с R будет
lirn ,'„ ^ ){M)-r da- f(Mn)-r*.
л —о
№
У(Л'о. It)
Обозначим через Л (г) множество (меры нуль) тех точек, в которых не
выполнено л о соотношение и hj сть
А=-%Л(г) + Я( f = +=с),
где суммирование распространено на все рациональные числа. Ясно, что
тА^Ь.
Покажем, чт всякая точка Мп, не ьходящал в А, буде| гочко!! Jleoti a
функции [ (М), чем и будет доказана теорема
Взяв в > 0, подбираем такое г, чтобы было
3^'
/ (Ма) - г
Тогда почти везде J) будет
| f(M)-r - /<Л1)-/(Д1„)
и потому
(I)
I \
f(M)-r dw-
s
hi ) f(M)-HM0) dw
Q<,\ia. 'о
B)
для всякого квадрата Q(M0, h), ачержащегося в R. Так как М„ е: Л, то
для взятого е>0 найдется, такое б >0, что, как только 0</i<6, ык сеп-
час же
1
У(ЛГ0. h)
Из A), B), C) следует, что при 0-<Л<6 будет
,', ^ \f(M)-t dw- )(М»)-г
г, что при
jj /(Л
г
C)
ЧМ)-1(М0) ilw<e,
чем и доказано, что Мо — точка Лебега функции / (Л/).
§ 3. Обобщение полученных результатов
В этом параграфе мы покажем, что вместо симметричной производной
в приведенных выше теоремах можно было говорить о производных более
общего вида.
Пусть М — какая-нибудь точка плоскости, а !М — некоторая система
измеримых множеав, содержащих точку М. Условимся говорить, что система Ш
сжимаема1) в точку М, если среди множеств системы имеются множестна
сколь угодно малого диаме1ра. При этом диаметром dE множества Е назы-
') Точнее, это соотношение верно во веех точках М, где j (M) /- со.
'2) Это выражение вводится здесь впервые.
344
вается точная перхняя граница расстояний точек Г. 'Лруг от друга dE —
= sup{p(M, N)\(MaR, N<=?).
Если система ЭД сжимаема в точку М и для каждого множества е этой
системы найдется такой содержащий его квадрат Q(M, И), что
Л2 - а ¦ тс,
где п. число, не зависящее от выбора множества с, го говорят, что система
Щ регулярно сжимаем,, в точку М. Грубо говоря, регулярная сжимаемость
системы означает, что в ней нет слишком «сплющенных» множеств.
Пусть :У1 есть система измеримых множеств положительной меры,
сжимаемая в некоторую точку М, а Ф (е) какая-нибудь функция множества. Если
существует (конечный или бесконечный) предел"
то этот предел называется праитводноп функции Ф (е) в точке М,
относительно системы ЭД.
Теорема 1. Путь Ф (е)— аддитивная и абсолютно непрерывная
функция множества. Почти в каждой точке М основного прямоугольника R
существует производная А^Ф (с) этой функции относительно любой системы
множеств, регулярно сжимаемой в эту точку, причем значение указанной
производной не зависит от выбора системы. Для любого измеримого множества Г.,
содержащегося в R, будет х)
О
$ АмФ(е)с1ш = Ф(Е).
Доказательство. Функция Ф(с), будучи аддитивной и абсолютно
непрерывной, является неопределенным интегралом некоторой суммируемой
функции /(/V). Почти все точки R суть точки Лебега этой функции. Пусть
Л10 — точка Лебега f(M). Покажем, что п этом точке производная Дл/ Ф (е)
относительно любой системы, регулярно сжимаемой в Мо, будет равна /(/Ио):
Лл1,ФИ=/(Л1о).
Этим и будет доказана теорема.
Пусть а'! = {е( — какая нибучь система множеств, регулярно сжимаемая
в точку Мп. Тогда для каждого множества с системы найдется с держащий
его квадрат Q (Мо, Л), у которого IC-^ame.
Так как
Ф-^С) - / (Мп) = ^ J / (М) dw -/ (Мй),
те
то
Ф(с)
- / (ЛУ
_1_
тс
\ I f (М) -
f(Ma) dw.
Но Q{Ma, h) гзе. Значит:
\ \f(M)-f{Ma) dw.
Q<
^ |/(Л1)-/(/И0) dw.
') Прои шодная Д^Ф (е) будет определена не во всех, а топько почти во
всех точках Е. Поэтому под написанным в последней формуле интегралом
надо понимать
лена ДЛ,Ф (t1).
Н,„ф
(е) dw, где EQ есть та часть Е, на которой опреде-
345
Отсюда следует, чго
те
а [ 7(Af)-/(M0) dw.
' h-
Q(Ma, ft)
Когда rfe->-0,- то и Л->-0, а так как Мп — точка Лебега функции /(Л1),
то последний интеграл стремится к нулю вместе с Л. Таким образом,
hm ^i?l = f(M0).
Теорема доказана. Полезно указать, чго она перестает быть верной, если
отбросить условие регулярной сжимаемости рассматриваемых систем множеств.
В заключение остановимся на вопросе о том, как из результатов этой
главы получить уже известные результаты гл. IX о функциях одной
переменной.
Пусть /(^—суммируемая на некотором интервале (а, Ь) функция.
Полагая Ф(е) = |/(^)Л [ec(j, b)], получаем ее неопределенный интеграл Его
производная относительно любой регулярно сжимаемой в точку х системы
равна / (*) почти в каждой точке х. В частности, это так, если за
рассматриваемую систему множеств принять систему сегментов \х, х-\-Ах], имеющих
точку х одним из своих концов. ]) Производная ДЛФ (е) относительно этой
системы совпадает с обычной производной в точке х функции
т ' J ' т\х, х + Ах] Ах
а
Отсюда снова получается теорема 2 из § 4, гл. IX. Чтобы доказать
теорему 3 того же параграфа, нам понадобится
Теорема 2 Если ф (х) — абсолютно непрерывная функция, заданная на
сегменте [а, Ь], то существует такая аддитивная абсолютно непрерывная
функция Ф (е), заданная на измеримых множествах сегмента [а, Ь], что
Ф([а, х]) = ф(х)-ф(а).
Мы дадим лишь набросок доказательства этой теоремы, предоставляя
детали рассуждения читателю.
Так как всякая абсолютно непрерывная функция точки есть разность
двух абсолютно непрерывных же возрастающих функций, то, не ограничивая
общности, мы можем считать (что мы и делаем), что функция ф (я) возрастает.
Пусть a-^a^;jisc6. Обозначим через Д любой m четырех промежутков
[а, р], (а, р4), [а, Р) и (а, р] и положим по определению Ф (Д) = ф (р) — <р (а).
Этим функция Ф (е) будет определена для всех промежутков,
лежащих в [а, Ь], а нам требуется определить ее для всякого измеримого
множества ес[а,Ь\. Бросается в глаза аналогия этой задачи с задачей
введения меры измеримого множества, которой мы занимались в гл. III.
Аналогия эта подсказывает и путь решения. Именно, если G есть открытое
множество, содержащееся в [а, Ь], то мы полагаем Ф (G) = ^ Ф (А*)> гДе
k=i
Дд, составляющие интервалы G. Нетрудно проверить, что из G1 с G2 вытекает
Ф (G1)-~©(G2), что из GiG2 = 0 следует Ф (Gt f G2) = Ф (Gj) + Ф (G2) и что
вообще Ф (G!-(-G2) гг=Ф (G^+Ф (G2). Все это устанавливается так же, как
в § 1, гл. III.
Опираясь на абсолютную непрерывность функции ф (х), мы без труда
устанавливаем, что
hm ФF)=0. (*)
1) У этой снсгемы a = 2.
346
Если ? есть произвольное измеримое множество, содержащееся в [а, Ь],
то мы выбрасываем из него точки а и Ь и рассматриваем всевозможные
открытые множества G, содержащиеся в (а, Ь) и содержащие ?. Положив по
определению <t>(?) = inf {Ф(С)}, мы и получим требуемую функцию. Действительно,
ее абсолютная непрерывность вполне очевидна, благодаря соотношению (*).
Значит, дело сводится к проверке аддитивности этой функции. Но так как
функция Ф (е) подобна внешней мере множества е, то, так же, как в
теореме 5, § 3, гл. III, мы установим, что Ф (ej -\-e2) ¦?- Ф (е^ + Ф (е2).
С другой стороны, если Fl и F2 — два замкнутых множества без
общих точек, то, опираясь на георему отделимости, мы покажем, что
Ф(Л + ^) = Ф(Л)+Ф(/Г2)-
Это делается так же, как в теореме 6, § 2, гл. III. Теперь нам надо
установить аналогию функции Ф(?) с внутренней мерой множества Е.
Если Е — произвольное измеримое множество, a F — его замкнутое
подмножество, то Ф (F) -гсф (?).
С другой стороны, всякому е>0 отвечает такое S > 0, что неравенство
те < 6 влечет неравенство Ф (е) < е. Заметив это, возьмем какое-нибудь
измеримое множество Е и е > 0. Найдя соответствующее этому е (в только что
указанном смысле) б, построим замкнутое множество fc?, у которого
mF> mE — ts.
Так как E = F+(E~F), то Ф (?) ==с ф (Г) + Ф (E-F). Но m(?-F)<6
и потому Ф(? — F) < е Стало быть Ф (?) < Ф (F)-f-e. Это показывает, что
ф (?) = sup {Ф (F)\, где F суть всевозможные замкнутые множества,
содержащиеся в ?. Этим доказано, что действительно, функция Ф (?) сходна с
внутренней мерой. Опираясь на это сходство и повторяя рассуждения, подробно
проведенные при доказательстве теоремы 6, § 3, гл. III, мы получим, что
при ^2 = 0 будет Ф(е1+е2)^Ф(е1) + Ф(е2).
В сочетании с ранее доказанным противоположным неравенством, это
соотношение устанавливает аддитивность функции Ф(е). Теорема доказана.
Теперь уже легко вывести теорему 3, § 4, гл. IX. Для этого надо лишь
построить, как только что указано, функцию Ф (е). Эта функция будет
неопределенным интегралом своей производной, т. е. Ф (s) = ^ / (t) dt.
е
х
В частности для е~[о, х] получаем ф (х) = сг (я)-}-\ f (t) dt, что равно-
а
сильно упомянутой теореме.
ГЛАВА XIV
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы
Начиная с гл. III, мы занимались почти исключительно метрической
теорнеп функции, в которой основным является понятие меры точечного
множества. Для этой теории нам оказались достаточными те скромные сведения
из icopnn множеств, которые изложены в первых двух главах книги. Желая
остнноыпься на некоторых вопросах дескриптивной теории функций, мы
должны расширить наши сведения по теории множеств; этому и посвящена
настоящая глава.
В гл. I, говоря о множестве, мы отвлекались от того, в каком порядке
расположены его элементы. Здесь, напротив, вопрос о порядке элементов
данного множества будет для нас основным.
Определение 1. Множество Л называется упорядоченным, если указано
правило ц, согласно которому из всяких двух различных элементов а и b
множества А один оказывается предшествующим другому. При этом должны
быть соблюдены два требования:
1) Если а предшествует Ь пю Ь не предшествует а.
2) Lc.ni а предшествует Ь, a b предшествует с, пю а предшествует <
Если а предшествует Ь, то говоряг, что b следует за а. Символически jw
записывас1ся гак:
a-$b, b$-a.
Самое правило ц,, о котором шла речь в определении, называется способом
упорядочивания. Говоря, что дано упорядоченное множество Л, мы всегда
будем считать, чю оно рассматривается вместе с его способом упорядочивания.
Если множества А — {а, Ь, с) иВ=[1), i, а) упорядочены в порядке написания
букв, ю jto суть разные упорядоченные множества.
В связи с этим находится и несколько своеобразное употребление термина
«чг-сть упорядоченного множества». Именно, если А есть упорядоченное
множество, а В есть подмпожес1во А, то всякие два элемента В входят и в Л и
там (в А) имеют определенный порядок следования. Так вот, мы раз навсегда
условимся считать, что и в множестве В эти элемешы имеют ют же порядок
следования, что и в Л. Легко понять, что это соглашение еаь способ
упорядочивания множества В.
Таким образом, частью упорядоченного множества Л мы будем называв
упорядоченное множество В, все элементы которого входят в Л и взаимный
порядок которых одинаков в Л и в Л.
Если, например, А = {а, Ь, с], Д={а, b], C={b, а}, то частью А
являе]ся В, но не С.
Приведем некоюрые примеры упорядоченных множеств.
1. Прежде всего всякое множество Л вещественных чисел можно
упорядочить, считая из двух чисел, входящих в Л, предшествующим то, которое
меньше. Этот порядок мы будем называть естественным.
2. Можно было бы упорядочить всякое множество вещественных чисел
и в обратном порядке, считая предшеивующим большее число. Например,
348
множество всех натуральных чисел упорядоченное по указанному способу,
расположится так: {... , 5, 4, 3, 2, 1}.
3. Конечное множество из я элементов можно упорядочить я! различными
способами.
4. Каждое натуральное число я единственным образом представляется
в форме ra = 2*Bm-rl) (й-=0, 1, 2, .; »i = 0, 1, 2. . ).
Условимся число я =¦-2к Bт-f1) считать предшествующим числ\ я'—
= 2к'Bш' + 1), если /г < /г' или если к = к', по /и < /«'. При этом способе ^ nor я-
дочивания натуральные числа расположатся так:
1, 3, 5, 7, 9, ...
2, 6, 10, 14, 18, ...
4, 12, 20, 28, 36, ...
причем из двух чисел разных строк предшествует то, которое написано выше,
а в каждой строке числа расположены в естественном порядке. Например,
7^2, 18 —§ 12, 28-^36.
5 Каждое комплексное число едина венным образом предегаоимо в форме
z = r (cos ф + j sin ф) @<ф<,2л), где г модуль, a q; аргумент числа ') Ь сло-
вившись считать, что из двух комплексных чисел предшествует го, у которого
модуль меньше, а в случае равенства модулей—то, у которого аргумент
меньше, мы упорядочим множество всех комплексных чисел.
Пусть ,4 упорядоченное множество и оеА Если в множестве A nei
элементов, предшествующих а, то а называется первым элементом А.
Аналогично вводится понятие последнего элемента. Датее, если а, Ь, с суть
элементы А м a —^ft—5С, го говорят, что Ь лежит между а и <
Определение 2. Пусть А и В два упорядоченных множества и ф взаимно
однозначное соответавпе между ними. Если всякое соотношение
а —$а',
имеющее место между элементами А, остаемся верным при замене инх те-
ментов соогвекгвуюпшмн им элементами Н, то соотвегавие ф )ызывае1ся
наложением множеств А и В друг на дру^а.
Иначе говоря, наложение двух упорядоченных множеав есть соогветавие,
сохраняющее порядок следования элементов
Определение 3. Если два упорядоченных множества А и В mo/khj напо-
жшь друг на друга, го говоря!, что ли множества подобны между соСоп и
пишу1
А - В.
Теорема 1 Если упорядоченные множества подобны между собой, то они
эквивалентны.
Действительно, наложение есть вид 1ьаимнсоднозиачного соогве1авня.
Легко видеть, чго для конечных мпожеав эта теорема обратима, г. е.
справедлива
Теорема 2. Ьгли А и В упорядоченные конечные, множества, состоящие
из одинакового количества элементов, то .ши множества подобны друг другу
Для доказательств jtoio факта нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Если А конечное упорядоченное множество, то в нем есть первый
элемент.
Действительно, возьмем какон нибудь элемент из А. Если он первый, го
лемма доказана. В противном случае в Л имеются элементы, предшествующие
выбранному. Возьмем какой нибудь из них. Если он первый в А, ю лемма
доказана. В противном случае открывается возможноиь дальнейшего i ыде-
ления новых элементов из А. Продолжая этот процесс, мы необходимо
1) Для 2 = 0 условимся считать ф = 0.
349
встретим первый элемент А, ибо иначе из конечного множества удалось бы
выделить бесконечную последовательность различных элементов, что
невозможно.
Следствие. Если А конечное упорядоченное множество из п элементов, то
его молено перенумеровать так, чтобы оказалось
ах^а2^а3^...^ап.
Действительно, для этого нужно обозначить через aL первый элемент А,
через а2 — первый элемент (конечного) множества А — {а^ и т. д.
Теперь теорема 2 очевидна. Действительно, если А и В упорядоченные
множества, в каждом из которых есть по п элементов, то нумеруем их
вышеуказанным способом и соотносим друг другу элементы с одинаковыми номерами.
Для бесконечных множеств теорема 1 не обратима. Например, если
Л={1, 2, 3, ...}, В = {..., 3, 2, 1},
то множества Л и В эквивалентны друг другу (они состоят из одних и тех
же элементов) Однако они не подобны, что видно хотя бы из того, что в А
есть первый элемент, а в В его нет, в то время как при наложении
упорядоченных множеств первому элементу одного из них необходимо должен отвечать
первый элемент другого.
Теорема 3. Пусть А, В, С упорядоченные множества. Тогда
\) Ас^А. 2) Если А^В, то В^А. 3) Если Ас^В, а В ~ С, то А^С.
Доказательство предоставляем читателю.
Точно так же как понятие эквивалентности двух множеств привело нас
к общему определению мощности, так и понятие подобия приводит к
определению порядкового типа.
Определение 4. Пусть все упорядоченные множества разбиты по классам,
так что два множества попадают в один класс тогда и только тогда, когда
они подобии. Соотнесем каждому такому классу упорядоченных множеств
какой-либо символ и назовем его порядковым типом любого множества
данного класса.
Порядковый гип упорядоченного множества А обозначают через А.
Относительно подобных множеств А \\ В говорят, что они имеют один и тот же
порядковый тип и пишут А = В.
Все множества, имеюшие данный порядковый тип а, имеют одинаковую
мощность. Ее называют мощностью типа а и обозначают через а. Если
А —а, то Л~=а.
Если а = р, то a = (i, но, как мы видели, обратное предложение, вообще
говоря, неверно.
Некоторые, часто встречающиеся, порядковые типы имеют общепринятое
обозначение.
Например, порядковый гип множества Л = {1, 2, 3 п} (а стало быть
и всякого упорядоченного множества, состоящего из п элементов) обозначают
буквой п. Таким образом символ п одновременно служит обозначением и
мощности и порядкового типа множества А. Это несовершенство обозначений
не приводит к сколько-нибудь заметным неудобствам.
В дальнейшем мы условимся пустое множество и множества из одною
элемента считать упорядоченными и их типы обозначать соответственно
через 0 и 1.
Порядковый тип множества всех натуральных чисел, расположенных
в естественном порядке Л/ = {1, 2, 3, 4, ...} обозначают символом со, /V = co.
Порядковый тип множества всех натуральных чисел, расположенных
в порядке, обратном естественному, А'* = {..., 4, 3, 2, 1} обозначают
символом со*.
Очевидно, со* = со, но со*=^со.
Вообще, имея упорядоченное множество А со способом упорядочивания ср,
можно получить другое упорядоченное множество А*, состоящее из тех же
элементов, но с «обратным» способом упорядочивания ср*. Именно, если аеЛ,
350
b e А и согласно ф будет a-^b, то согласно гр* дол/Kfio быть а^Ь. Если
тип А есть а, то тип А* обозначают через а*.
Легко понять, что (а.*)*— а. Для порядкового типа п конечного
множества будет п*=п.
Порядковый тип множества всех целых чисел в естественном порядке
{..., —3, — 2, —1, 0, 1, 2. 3, ...}
обозначают через я. Очевидно я*=я.
Порядковый тип множества R всех рациональных чисел, расположенных
в естественном порядке, обозначают через т). Очевидно г]*=г|.
Наконец, порядковый тип множества Z всех вещественных чисел, в их
естественном порядке, обозначают через к. Ясно, что X* =к Легко видеть,
что порядковый тип любого интервала ') (но не сегмента!) числовой прямой
есть X. Наложение интервала (а, Ь) = {х\ на множество Z={y) можно
, , Bх — а — Ь)п
осуществить, например, по формуле г/ = tg ——^— ^—.
Теорема 4. Каково бы ни было счетное упорядоченное множество А, из
множества R всех рациональных чисел в их естественном порядке можно
выделить часть 2) Ra, подобную множеству А.
Доказательство. Перенумеруем оба счетные множества А и R:
Л = {йь аъ а3, ...}; Я = {гъ гъ г3, ...}.
Само собою разумеется, что эта нумерация никак не связана с порядком
элементов в А и R (в R вообще невозможно установить нумерацию, при
которой Cj —I гг —3 гг ..., ибо R не содержит первого элемента).
Положим ^ = 1. Сделав это, назовем через гп тот из элементов R,
который: 1) расположен относительно гп так же, как элемент а2 расположен
относительно а± (т. е. если аг^аъ то rn >rnl а если а2~^,а1, то тп <ГП1)
и 2) из всех таких элементов R имеет" наименьший номер. Существование
такого, элемента г^ следует из того, что в R нет ни первого, ни последнего
элемента.
Далее, пользуясь тем, что между двумя элементами R всегда имеются
промежуточные, а также тем, что в R нет пи первого, ни последнего элемента,
легко убедиться, что в R есть элементы, расположенные относительно г и г
так же, как а3 расположено относительно ^ и а2. Тот из них, который имеет
наименьший номер, назовем через гп . Продолжая этот процесс неограниченно,
мы построим последовательность гп , гп , гп , ... элементов R, которая и
представит собой требуемое множество Ra (еще раз отметим, что взаимный
порядок чисел в [гпЛ определяется их величиной, а не величиной их
номеров).
Доказанную теорему можно формулировать так: множество типа т)
содержит части любого типа а мощности а.
Определение 5. Пусть А упорядоченное множество и а е А. Множество
всех элементов А, предшествующих элементу а, называется отрезком,
отсекаемым элементом а от множества А, и обозначается через Ап.
Отметим, что сам элемент а в отргзок Аа не входит. Если а первый
элемент А, то Аа есть пустое множество. Отрезок упорядоченного множества
есть часть последнего и, как таковая, сам есть упорядоченное множество.
Пусть а е А и Аа есть отрезок, отсекаемый элементом о от множества А.
Если а' есть элемеш А, предшествующий элементу а, то отрезки Аа, и {Aa)a,t
отсекаемые им от Л и от Аа, тождественны (Аа)а, = Аа,, так что из двух
отрезков упорядоченного множества один есть отрезок другого. Это дает
возможность упорядочить множество Н, состоящее из всех отрезков упорядо-
а) Мы считаем, что числа интервала расположены в естественном порядке.
2) При этоМ числа множества Ru расположены в Rub том же (естественном)
Порядке, что и в R.
351
чснного множества Л. Именно, мы мгловимся из 1вух отрезков Аа и А .
считать предшествующим Аа,, если Ап, cr А„, или, что го же самое, если
а' —\а Очевидно, ^праводшва спгдмощая теорема.
Теорема 5. Множество Н есех отракоа упорядоченного множества Л
подобно множеству Л.
Действительно, соотнеся др\ г другу элемент а и отсекаемым им отрезок
4,,, мы получим наложение множеств А и // др\г на др\га.
Например, если А—{а, /;, с), то //^{0, {а\, {а, ft)). Оба множества
имеют порядковый тип 3.
В заключение, останогимся на операции сложения порядковых шипов
Пусть / -{>.} есть \порядочсньое множество п п\сть кажчом\ ).et
соотнесено упорядоченное множество Л,, причем множества А, полярно не
пересекаются. В таком случае легко упорядоч/пь сумму 5= ^ А}.
) е/-
Именно, пусть а и а' с^ть элементы S. Тогда о е А), о'еИ)'.
Условимся считать, чго о—\а' (в множестве S) если А. —^А/ (в мпожестве /.) пни
если Х = л', но а-^о' в множестве Л,. В дальнейшем, говоря о сумме
упорядоченного множества упорядоченных множеств, мы всегда будем предполагать,
что эта гумма упорядочена по указанном} способу.
В силу сказанного, множества А~\-В и fi + Л суть различные
упорядоченные множества
П^сть, теперь, L — {X] есть упорядоченное множество и каждому к
соотнесен порядковый тип а,. Возьмем для каждого X множество А;,
упорядоченное по типу а, и, предполагая эти множества попарно не
пересекающимися, образуем сумму S= ^ А,.
Согласно сказанному выше, эта сумма есть упорядоченное множество.
Ее порядковый тип, по определению, называется суммой упорядоченного
множества порядковых типов {a,} S= ^ а?.
1е/.
Легко попять, ' что это определение не зависит от выбора множеств А),
а только от типов а.,.
В простых случаях порядок слагаемых будет указан самим способом их
написания.
Пример ы.
1) 2 + 3 = 5, ибо при А=2, й = 3 окажется A f-Д = 5. Нетрудно
убедиться, что и вообще для конечного числа слагаемых, являющихся типами
конечных множеств, новое определение суммы совпадает с обычным пониманием
этого термина.
2) 1-f-to = co. Действительно, \-\-ы есть тип множества
{а, />,, />,, h3, ...},
которое имеет тип со.
3) Напротив, гс)-{-1 ф о), ибо ы-\-\ есть тип множества
{/>,, Ь2, Ья, ... : а],
в котором есть последний члемент. Таким образом, 1+M^fcco+l и сло/кение
порядковых типов не коммутативно.
4) м*-(-со —я. Здесь также m-j-oj* у m*-\-oi.
5) 1-J-A.+ 1 есть порядковып гип сегмента [и, ft].
§ 2. Вполне упорядоченные множества
Определение. Если всякая непустая часть упорядоченного множества А
имеет первый члемент, то А называется впогн' упорядоченным множество».
Кроме того, мы условимся пустое множество также считать вполне
упорядоченным.
352
Теорема I. Всякое конечное упорядоченное множество вполне упорчдочено.
Действительно, всякая непустая часть такого множества сама есть
конечное упорядоченное множество и, по лемме § 1, имеет первый элемент.
Другими примерами вполне упорядоченных множеств могут служить
множества
JV = {1, 2, 3, 4, ...} (JV = w),
Af={l, 3, 5, 7, ...; 2, 4, б, 8, ...} (М = ш + ы).
Докажем для примера, что Л' вполне упорядочено. Пусть N* есть непустая
часть N. Возьмем в А* произвольный элемент п. Если п есть первый
элемент N*, то наше предложение доказано. В противном случае множество1)
N*Nn есть непустое и (вместе с Л'„) конечное множество, —в нем,
следовательно, есть первый элемент п0, который, очевидно, является первым и в /V*.
Напротив, упорядоченное множество L={..., 4, 3, 2, 1} не будет вполне
упорядоченным.
Из определения непосредственно следует
Теорема 2. 1) Всякая часть вполне упорядоченного множества вполне
упорядочена.
2) Непустое вполне упорядоченное множество имеет первый элемент.
3) Если из двух подобных упорядоченных множеств одно вполне упорядочено,
то и второе также вполне упорядочено.
4) За каждым, кроме последнего, элементом вполне упорядоченного
множества есть непосредственно следующий.
5) Из вполне упорядоченного множества нельзя выделить бесконечной
убывающей последовательности, т. е. последовательности вида
О1^а2с-аз с- ••• A)
Остановимся только на доказательстве 5). Если бы последовательность A)
существовала, то, будучи (непустой) частью вполне упорядоченного множества,
она содержала бы первый элемент. Но ни один ее элемент ап не первый, ибо
an+i -э ап-
Фундаментальную роль играет следующая теорема.
Теорема 3. Пусть А есть вполне упорядоченное множество, а А* его
часть (могущая совпадать с А). Не может существовать такого наложения-)
множества А на А*, в котором эгементу а е А отвечает в А*
предшествующий ему (в множестве А) элемент а*.
Доказательство. Допустим, напротив, что такие наложения А на
А* существуют, и пусть <р есть одно из них. Обозначим через М множество
тех элементов А, которым при наложении гр в множестве А* отвечают
элементы, предшествующие им (в А). По условию М не пусто и в нем, стало
быть, есть первый элемент о0. Пусть элементу а0 при наложении ф в
множестве А* отвечает элемент aj. Очевидно, в множестве А будет а^-^а0.
Но при наложении <р элементу ац-, как элементу множества А, в
множестве А* также отвечает какой-то элемент аг. Так как <р есть наложение,
т. е. соответствие, сохраняющее порядок следования элементов, то в
множестве Л*, а значит и в множестве А, элемент аг предшествует элементу а*
"l ->"о-
Таким образом, элемент а* также должен входить в М, что, очевидно,
невозможно, потому, что ао~-^ао, а ап первый элемент М. Теорема доказана.
Следствие 1. Вполне упорядоченное множество не может быть подобно
своему отрежу или части своего отрезка.
Действительно, если А вполне упорядоченное множество и Аа его
отрезок, отсекаемый элементом а, то при всяком наложении А на Аа или на часть
Аа элементу а должен был бы отвечать элемент, предшествующий ему, что,
как мы видели, невозможно.
J) Nn есть отрезок, отсекаемый от N числом п.
2) Как всегда, мы считаем, что А* упорядочено так же, как и А, так
что и Л* вполне упорядочено.
353
Следствие 2. Два различите отрезка вполне упорядоченное) иножестга не
могут оказаться подобными друг другу
Следствие 3. Вполне упорядоченное множ(С/пво не может быть подобным
отрезку своей части
Теорема 4. Дм подобных чежди собой впоше упорядоченных множества
можно на южить друг на друга единств/иным способе и
Доказательство Пусть (( и -ф два различных наложения вполне
упорядоче! ных множеств Л и В друг lid друга Обозначим, соответственно
через ц>(а) и ij, (а) образы элемента а е Л в множестве В при этих наложе
пиях, и пусть а0 такой элемент А, что ф (а,,) ф ф (а„) (таком элемент суще
ств\ет, погкольк\ q и 4 розничные наложения) Если Ь = ц,(а„) и J =
~ ^ (яоТ. то отрезок Аа подобен двум различным отрезкам Вь и Вь множе
ства В Но тогда эти отрезки допжны быть подобны между собой, что, как
мы видели, невозможно
Следующая теорема является основной в теории вполне \ горядоченных
множеств
Теорема 5. Из двух вполне упорядоченных множеств одно подобно другому
или отрезку другого
Доказательство П}сть А и В два вполне упорядоченных множе
ства Условимся говорить, что элемент а множества А есть «нормальным >
элемент, если отсекаемый им отрезок Л„ подобен какому ниб\дь отрезку Вь
множества В Примером нормального элемента может сл\жить первый эле
мент А
Легко видеть, что элемент а', предшеств} ющии нормальному элементу (/,
сам является нормальным В самом деле, начатая отрезок Да на подобным
(.му отрезок By мы очевидно наложим отрезок Аа —(Ав)и па некоторыи
отрезок отрезка Bf,, т е на отрезок множества В
Обозначим чере) М множество всех нормальных элементов множества А
Оказывается, что М inn совпадает с множеством А или является его отрез
ком Денствительно, если Mzz А, то множество (А — М) не п^сто и в нем
есть первый элемен т Покажем, что
М=Ат. B)
Если иё/И, то я^га Но невозможно также, чтобы оказалось я ?—/и,
ибо в этом сл\чае элемент т, предшествуя нормальноч\ элементу а, сам бщ
бы нормальным и входил в Л, в то время как т е М Таким образом, необ
\оаимо а^т и, стало быть, а е Ат Этим доказано что М с Ат
Обратно, если а е А,„, то а^т и, следовательно, а не может входить
в А М, так что оеМ Итак, Л„, с: М, и B) дока «но
Теперь назовем be В нормальным элементом ее in отрезок В/, подобен
какому нибудь отрезку множества Л, и пусть Л множество всех нормальных
элементов В Аналогично предыдущему, N =В или Л/= В„
Покажем теперь, что множества М и Л' подобны друг дру г^ Пусть
оеМ Тогда отрезок Л„ подобен отрежу Bi, множества В, причем, очевн jho,
h <= N Будем считать элементы а и /; вчапмно соответствующими Легко
вичеть, что каждом) эаемент\ а е М в множестве Л может соответствовать
только один элемент /) и обратно (если бы элементу а отвечали два элемента
b и /)', то отрезки Bh и Hlt , подобные отрезку, Аи, были бы подобны мр/кду
собой 410 невозможно)
Таким образом, у нас установлено взаимно одношачное соответствие
межд) множествами М и \ Оетаегся обнаружить, что Зто соответствие со\ра
няе1 порядок элементов, т е есть наложение
Пусть а и а два элемента М, Ь и Ь' соответству ющие им элементы Л и
а ->а' Налагая отре ок A t на подобный ему отрезок В1} мы наложим отре
зон Аи — (Аа)и на некоторыи отрезок (йй )/,о отрезка Вь Но (йй )й =^ьЛ н
стало быть, отрезок Л(| подобен отрезку Вь множества В С другой стороны,
в множестве В есть только один отрезок, подобный Аа, и это есть Вь Зна
354
чит, b = b0, а так как Ьд е Вь , то йо^6', т е b^b', что и доказывает
подобие множеств Л4 и /V
Теперь уже легко завершить доказательство Действительно, из четырех
логически мыслимых случаев
1) М = А N=B 3) М = Л, N=Ba
2) М = А,„, N = B 4) М = Лт, N = Bn
четвертый невозможен, ибо он означай бы, что т нормальный элемент а тогда
было бы me M — Ат, что противоречит определению отрезка
Итак, остаются первые три с!\чая В случае 1) множества Л и б подобны
а в случаях 2) и 3) одно ш них подобно отрезку др\гого Теорема доказана
Если вполне упорядоченное множество А подобно отрезку вполне \порядо
ченного множества В, то мы будем говорить, что множество А короче мно
жества В
Теорема 6, Во всяком множестве S попарно неподобных впогне упорядо
ценных множеств есть самое короткое
Доказательство Пу сть А е 5 Если А есть самое короткое из
множеств, входящих в S то теорема доказана В противном случае в S имеются
множества более короткие, чем А, и они подобны некоторым отрезкам А
Плеть R~{a\ есть множество таких элементов а множества А что отсекаемые
ими отрезки Аа подобны множествам, входящим в i Если а* есть первый
элемент R и А* е 5 есть множество, подобное отрезку Аа,, то А* и будет
самым коротким из множеств, входящих в S Действительно, А* короче
всякого множества В, если А пороче В Если же В короче А, то В ~- Л„ где
aeS Но а* первый элемент R, так что а* -^а и 4а, есть отрезок Аа,
откуда ясно, что А* короче В
Теорема 7, Сумма вполне упорядоченного множества вполне упорядоченные
множеств есть вполне упорядоченное множество
Доказательство Пусть S=^ 4;, причем множеава L и А,
J.S/
впотне упорядочены Множество 5 \ порядочено (см § 1) Плеть S№ есть не
п\"тая часть 5 Назовем через Ln множество таких )st, что Л,50^0 п
пусть Хп первый элемент Ln Множество А}/<Ьи есть непхетая часть А} Если
а0 первый элемент jroro множества, то он является первым и в множестве i0
Теорема доказана
§ 3. Порядковые числа
Определение 1. Порядковый тип вполне упорядоченного множества
называется порядковым числом
Если порядковое число имеет бесконечную мощность, то оно называется
трансфинитным, числом
Число 0 и все натуральные числа суть конечные порядковые числа Числа
со, ы-r-I и со-)-2 с\ть трансфинитные числа
Порядковые типы ы", л, i], k не являются порядковыми числами, ибо
это с\ть типы упорядоченных, но не вполне упорядоченных множеств
Определение 2. Пусть аир два порядковых числа Возьмем два вполне
упорядоченных множества 4 и В, имеющих соответственно типы аир Если
Л короче В, то говорят, что а меньше р или что р больше а, и пишут
а<р, р>а
Это определение зависит только от чисел а и р, но не от множеств Л
и В В применении к конечным числам данное определение равносильно обыч
ному, так что
0<1<2<3< ,
а трансфинитные чиста оказываются бопьшими всех конечных
Весьма важно, что для порядковых чисел имеет место трихотомия, т е
справед шва следующая теорема
35о
Теорема 1. Если а и Р порядковые числа, то каждое из соотношений
а = р, а < Р, а>р исключает остальные и одно из них обязательно
выполняется. _
В самом деле, пусть Л и В множества типов Л = а, В — р.
Если эти множества подобны, то а = р. Вместе с тем соотношения а < р,
а > Р невозможны, ибо если А = В, то ни одно из этих множеств не короче
другого. Если же множества Л и В не подобны, то одно (и только одно) из
них обязательно короче другого.
Замечание. Если В есть часть вполне упорядоченного множества А, то
Действительно, в силу следствия 3, теоремы 3, § 2, соотношение В > А
невозможно.
Теорема 2. Во всяком множестве S попарно неравных порядковых чисел
есть наименьшее число.
Доказательство. Каждому а е 5 можно соотнести вполне
упорядоченное множество А типа А = а. Если Ао есть самое короткое из этих
множеств (теорема 6, § 2), то ао = Ло есть наименьшее из чисел
множества S.
Следствие. Всякое множество порядковых чисел, если его упорядочить по их
величине, вполне упорядочение.
Условимся обозначать через \Va множество всех порядковых чисел,
меньших порядкового числа а. По следствию Wa есть вполне упорядоченное
множество.
Теорема 3. Тип множества Wa есть а:
?а = а.
Доказательство. Пусть А множество типа а. Обозначим через Н
множество всех отрезков множества А. Тогда, по теореме 5, § 1, тип Н есть а,
и достаточно показать, что Н и Wa подобны.
Пусть Аа есть элемент Н. Его порядковый тип есть число меньшее а,
т. е. элемент Wa. Итак, всякому элементу Н отвечает определенный
элемент Wa. Разным элементам Н при этом отвечают разные элементы Wа, ибо
разные элементы Н суть разные отрезки множества А, которые не могут
сказаться подобными. Наконец, всякий элемент Wa есть порядковое число
меньшее а, т. е. являющееся типом некоторого отрезка множества А. Таким
образом, соотнося элементам Н их порядковые типы, мы устанавливаем взаимно
однозначное соответствие между Н и Wa.
Но это соответствие есть наложение. Действительно, ведь Н упорядочено
так, что из двух входящих в него отрезков множества А предшествующим
считается тот, который является отрезком другого, т. е. тип которого меньше,
а это и означает, что взаимный порядок двух элементов Н такой же, как
соответствующих им чисел Wa. Теорема доказана.
Следствие4. Если А вполне упорядоченное множество типа а, то его
элементы можно перенумеровать порядковыми числами, меньшими а.
Действительно, осуществив наложение множества А на множество Wa,
мы соотнесем каждому элементу А порядковое число, меньше а —его номер.
Тогда А расположится в форме последовательности:
А = {а0, аи а2, ..., ар, ...} ф < а).
Отметим, что число 0 входит в Wа, так что первый элемент А именно
его и получает в качестве номера. Наконец, нелишним будет напомнить, что
наложение А на Wa возможно единственным способом.
С теоремой 3 находится в связи антиномия Бурали-Фортн:
Антиномия Бурали-Форти. Пусть W есть множество всех порядковых чисел.
По следствию теоремы 2 оно вполне упорядочено. Пусть его порядковый тип
есть у. Тогда тот же тип имеет и WT Но Wy есть отрезок множества W,
отсекаемый элементом у. Значит, множество W и его отрезок W^ подобны
друг другу, что противоречит следствию 1, теоремы 3, § 2.
356
Эта антиномия показывает, что самое понятие множества всех порядковых
чисел внутренне противоречиво.
Подобного рода внутренне противоречивые понятия появляются в теории
множеств при некритическом употреблении слова «все». Попробуем, например,
образовать множество 5 всех множеств. Тогда S должно и само себя
содержать в качестве своего элемента, а это противоречит принятому соглашению *),
что всегда А е А.
Причина появления подобных противоречий заключается в
незакономерности попыток рассматривать вещи, находящиеся лишь в процессе своего
становления, как нечто уже законченное.
Некоторыми учеными были предложены способы построения теории
множеств, позволяющие избежать появления антиномий. При той «наивной»
трактовке понятия множества, которая принята в настоящей книге, невозможно
войти в подробности по этому поводу. По мнению автора, можно в общих
чертах охарактеризовать упомянутые способы как различные виды
формализации идеи, заключающейся в том, что элементы всякого множества как бы
«предшествуют» понятию самого этого множества, образование же множества
означает создание нового математического объекта. Нам представляется,
что при последовательном проведении этой идеи антиномии не должны
возникать. . Например, если проводить указанную идею, то при образовании
множества S всех множеств А мы можем говорить лишь о iex множествах А,
которые отличны от S, ибо, пока мы не ввели этого 5, его просто не
было. А тогда на вопрос о том, содержит ли S само себя в качестве своего
элемента, надо дать отрицательный ответ, и никаких нарушений правил теории
множеств не происходит.2)
Опыт теории множеств показывает, что в тех случаях, когда все
рассматриваемые множества являются подмножествами некоторой за'ранее данной,
вполне определенной, внутренне непротиворечивой3) совокупности, никаких
абсурдных понятий не возникает. Это наблюдение также представляется нам
некоторым подтверждением высказанной точки зрения.
В заключение отметим, что вопрос о допустимости рассмотрения какого-
либо множества связан с тем, насколько корректно оно определено, а не с тем,
конечно оно или бесконечно: существуют примеры антиномий, возникающих
в обстановке, где ни о каких бесконечных множествах нет и речи. Таким
образом, проблема антиномий есть в большей степени проблема логическая,
чем математическая.
Теорема 4. Сумма вполне упорядоченного множества S порядковых чисел
е*ть порядковое число.
Эта теорема следует из определения суммы порядковых типов и
теоремы 7, § 2. Само собой разумеется, что 5 считается «законным» множеством4),
в частности S ф W.
Теорема 5. Если 5= {а} есть множество порядковых чисел, то существуют
порядковые числа, большие всех а е S.
s) Отказ от этого соглашения ничего не спасает, ибо в этом случае
антиномия появится при попытке образовать «множество R всех несамосо-
держащих множеств». Действительно, любое из предположений R e R,
R e R немедленно приводит к своему отрицанию.
2) Соглашение о том, что всегда А е А, мы также считаем проявлением
указанной идеи.
3) К сожалению, нет критерия, позволяющего относигельно всякого
множества решить, является ли оно непротиворечивым понятием. Практика всей
совокупности наших математических знаний, по-видимому, дает основания
считать, что такие «простые» множества, как множество натуральных чисел,
множество вещественных чисел и т. п., представляют собой достаточно
«надежные» образования.
¦*) Т. е. таким, рассмотрение которого не приводит ни к каким
противоречиям.
357
Доказательство. Прежде всего отметим, что для всякого
порядкового числа а существует большее, например, а+1- Полому теорема
очевидна для таього сл\чая, когда в 5 есть наибольшее число.
Допустим теперь, что в S нет наибольшего числа Тогда порядковое число
а= ^ а больше всех чисел из S. При этом мы считаем, что множество
слагаемых S упорядочено по их величине, так что оно вполне упорядочено.
Чтобы доказать неравенство а> а (я е S), соотнесем ьаждому aeS вполне
упорядоченное множество Аа типа Аа — а. Пусть В = ^ А а (fl = a).
Тогда каждое множество Аа есгь часть отрезка Вь, отсекаемого от
множества В первым элементом b множества Аи,, где a* s S и а* > а. Значит,
по следствиям 1 и 3, теоремы 3, § 2, множество й не подобно ни Аа, ни
отрезку Ла, т. е. о не =а и о не -<а, откуда а > а
Теорема 6. Число а -f-1 cchi/j первое следующее за числом а.
Доказательство. Пусть первое следующее эа числом а есть р.
Тогда №р= ИРа+{ос|, откуда по определению суммы порядковых типов р =
= Wp = re + 'M=« + 1-
В то время, как всякое число имеет первое следующее, существуют числа,
например ю, > которых нет последнего предшествующего. Это дает повод для
определения:
Определение 3. Порядковое число называется числом первого или второго
рода, смотря по тому, есть или нет у него непосредственно предшествзющее
число.
Все конечные числа (кроме 0) суть числа первого рода, таковы же все
числа вида а+1, например ы-г1. Напротив ш есть число второго рода.
§ 4. Трансфинитная индукция
Известно, какую важную роль играет в математике метод полной
индукции Напомним его.
Теорема 1. Пусть Т (п) предложение, в формулировку которого входит
натуральное число п. Если
1) Т (л0) истинно,
2) из истинности Т (п) следует истинность Т(п-\-\),
то Т (п) истинно при всяком п - я„.
Докаительсгво. Допустим, что существуют такие натуральные
числа п~ л„, что Т (п) ложно. Пусть п* наименьшее из них. В силу 1),
необходимо п" > пп. Тогда п* — ! ^ пп Из определения я* следует, что Т'(«* — I)
истинно, но тогда, в силу 2), Т (п*) тоже истинно. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Читателю ясно, что существование числа п* гарантируется нам полнои
упорядоченностью множества всех натуральных чисел1) Та же идея лежит
в доказательстве следующей теоремы о грансфинитной индук-
ц и и.
Теорема 2. Пусть 7'(а) предложение, в формулировку которого входит
порядковое число а, Если
1) Т (а0) истинно,
2) из истинности Г (а) при веек а таких, что ао-<«<:р\ вытекает
истинность Т (р),
mo Г (а) истинно для всякого порядкового числа а :> а0.
1) При строго формальном изложении теории натуральных чисел теорема I
(или какое-нибудь равносильное ей предложение) обычно принимается за
аксиому. По вопросу о том, насколько это обязательно, нет единомыслия [см.,
напр , А. А. Марков, Теория алгорифмов. Труды Магем. ин-та АН СССР,
42, 1954, стр. 18).
358
Доказательство. Пусть существуют такие а > аа, при которых
Т (а) ложно Обозначим через а% наименьшее из них. Тогда а' > а0 [ибо,
в силу I), Т (а0) истинно] и при всех а, где сс0 --ct < с.\ предложение Т (а)
истинно Отсюда, в снл\ 2), и Т(а") должно быть истинным. Полученное
противоречие доказывает теорему.
§ 5. Второй числовой класс
Определение. Вторым чис ювым к юссом1) Ка называется множество всех
порядковых чисел, являющихся типами счетных вполне упорядоченных
множеств. 2)
Ясно, что все числа второго класса трансфинитны.
Теорема 1. Чипа <о яв1яетсч наименьшим числом второго класса и
вообще наименьшим трансфинитным чисюм
Доказательство. По определению, ы есть тип множества
<V-{0, 1, 2, 3, 4, .. }.
Всякий отрезок этого множества /V,, есть конечное множество. Значит,
парядковое число, меньшее числа со, есть конечное число, и потом\ ш и а и-
меньшее трансфиннтное чисто Поскольку о) е Л,',,, теорема доказана.
Теорема 2. 1) Если а число второго класса, то и a-j- 1 число второго
класса.
2) Если S счетное множество чисе г второго класса и \ есть наименьшее
число, большее всех чисел из S, то у число второго класса.
Доказательство. Первая часть теоремы почти очевидна.
Действительно, a-f-1 = Wa -f- {a\, а множество №a-|-{a} счетно вместе с ttr/a.
Переходя ко втором части георемы, мы можем считать, что в 5 нет
наибольшего числа, ибо иначе дело свелось бы к 1J. Но легко показать, что
в этом предположении будет
«>Ч= I] «V A)
В самом деле, если какое-ниб\дь число входит в правую часть A), то
оно, очевидно, входит и в лев^ю. Обратно, если as №^, то о не может
быть больше всех а из S и, следовательно, в 5 есть число а„ ~_-о. Но а„ не
наибольшее из чисел S Значит, в S найдется число а > ос„, и тогда a e Wa.
Правая часть (I) есть счетное множество, значит W\ счетно, н у, как
тип №v, входит в Л'„.
Следствие. К-we Kn несчетен.
Действительно, иначе первое следующее за Кп число входило бы в Ка.
Мощность множества Д'„ обозначается символом Kt (читается: алеф3) —
один), а первое следующее за Ко число символом Q.
Теорема 3. Не существует мощности, промежуточной между мощноппыи
а счетного множества и fa.
Доказательство. Множество Wu есть сумма счетного множества
7V = {0, I, 2, ...} и А:,,. Значит Fo-Ni-
') Первый числовой класс есть множество N - {0, 1, 2, 3, .. }.
2) Вот некоторые соображения, имеющие целью показать, что Ко есть
„законное" множество. Множество R всех рациона пьных чисел в их
естественном порядке, по-видимому, есть законное множество. Но тогда есть
основание д\мать, что законно и множество всех его частей, которые являются
упорядоченными множествами и, в частности, законно и множество всех впочне
упорядоченных частей R, порядковые типы которых (теорема 4, § 1) и
составляют Ко-
3) Алеф (S) — первая буква еврейского алфавита.
359
Заметив зто, допустим, что существует такая мощность т, что а < т < Цх.
Тогда из 117 q выделяется часть Q мощности т Множество Q не подобно1) W а.
Значит, Q подобно отрезку WB Но каждый отрезок W п отсекается числом
из N или из Ко, т е является конечным или счетным множеством Поэтому
и Q конечно или счетно, а это противоречит допущению, что Q>a
Теорема 4. Если а е Ка еспи число второго рода, то существует такая
возрастающая пос гедовате чьносто порядковых чисел EХ < C2 < Рз < . чт0 а
есть наименьшее из чисег, богьших всех чисел последовательности
Доказательство Перенумеру ем (очевидно счетное) множество №а
всех чисел, меньших а а1: а2, а3,
Среди чисел afr нет наибольшего {ибо иначе а было бы числом первого
рода) Заметив это, положим п1 = \ и обозначим через щ наименьшее
натуральное число п, при котором аД > а.п , после чего обозначим через п3 нал
меньшее натуральное число п, при котором ап > а„2 и т. д В результате
мы получаем возрастающую последовательность а1Ц <а/1о < аПз < , причем
ih <n2<ns<
Покажем, что это требуемая последовательность Ясно, что а больше
всех чисел последовательности, и, следовательно, остается показать, что ни
одно число, меньшее а, не может быть больше всех чисел а„
Пусть у<.а Тогда yelfa и, стало быть, ¦у = а/л Если m совпадает
с одним из пь, то у входит в )а„ I н потому не может быть большим всех
чисел из 1а I Если же п^<т<п4+1, то поскольку п/1+1 есть наименьшее
из тех я, для которых ап > ап , ясно, что у < ап Теорема доказана
Укажем в заключение обозначения для некоторых чисел из Ко С
первым из них мы уже знакомы — это со За ним следуют па порядку числа
т+1, <о + 2, , ш + я, B)
Первое число, следующее за числами B), будет, очевидно, со + щ, это
число обозначается обычно через со 2 За ним следуют числа
со 2 + 1, со 2 + 2, , со 2 + п, ... C)
Первое число, следующее за числами C), есть со 3
Продолжая этот процесс, мы определим все числа вида со п + т
Таких чисел есть счетное множество Первое следующее за ними
число (все еще принадлежащее /Со) обозначается через со2 За ним следуют
числа
со2+1, соа + 2, , со2+п . ,
за ними идет число со2 + со, а затем числа
С02+С0+1, С02 + С0 + 2, , CO2+CD + fl, . .
За этими числами идет число ш2 + ш 2, а потом числа со2 + со 2 +п.
Первое следующее за числами этого вида есть число со2 + со 3 Подобным
образом строятся числа вида со2 + со п+т
Первое следующее за ними число есть со3 2, после чего вводятся
последовательно числа
со2 • 2 + со • п+т.
За этими числами идет и2 3 Этот процесс приводит нас к числам
со2 я+со-т + /.
!) Ибо Q даже не эквивалентно Wа.
360
Первое следующее за ними число обозначается через со3 За ним пойдут
числа
ш3 + со2 я + со т-\-1,
а за ними со3 • 2
Продолжая этот процесс, мы определим числа со4, со5, и все
«многочлены» вида
ш^-и+ш* «!+ +w щ i + nk D)
За этими числами идет число сош, все еще входящее в Кп [ибо чисел D)
счетное множество]
За сош пойдет со03-f-1, и весь процесс повторится сначала, что приведет
нас к числу сои 2 Потом новое повторение процесса, и мы приходим к со10 3
Таким образом, мы построим все числа вида со01 п За ними следует число
щш+1 Потом проделывается повторение всего процесса сначала и повторяется
число сош+1 2 Так будут введены числа соШт1 п, а за ними пойдет d)'jJ+2
Этим способом будут введены числа ша + п, а за ними появится число
о/° 2 За этим числом следуют со'0 2 +1, со" 2 + 2, , и все появляется сна
чала, что приводит к числу со" 2 2
Определив числа сош 2 п, первое следующее за ними мы назовем через
<ош ~*~ . Подобным образом строятся дальше и дальше числа
шм 2+", сои 3, со" 3 + ", со<° 4, , D)" ", .
и за ними пойдет число ши .
Так же вводятся числа со*2, со, , сош@,
со
Число первое, следующее за числами вида сош , обозначается через е
За ними следуют е+1, е + 2, и так далее Заметим, однако, что дня всех
чисел из /Со мы все же не получаем обозначений, ибо этими обозначениями
охватывается только счетное множество чисел.
§ 6. Алефы
Определение. Мощность вполне упорядоченного множества называется
алефом
Все натуральные числа (рассматриваемые как мощности) суть алефы
Алефы бесконечных множеств называются трансфинитными алефами
Теорема I. Всякие два алефа сравнимы
Доказательство Пусть а и Ь два алефа Возьмем вполне
упорядоченные множества А и В, для которых Л=а, 6 = 6
Если эти множества эквивалентны, то а = Ь В противном случае они и
не подобны Но тогда одно из них короче другого Легко видеть, что если А
короче В, то а < b
Теорема доказана Ее можно формулировать и так если а и 6 алефы,
то из трех (попарно несовместных) соотношений а = 6, а < b, a > 6 одно обя
зательно выполняется, т е для алефов имеет место трихотомия
Теорема 2. Пусть а и $ порядковые числа, а а и р4 их алефы Тогда
1) если а < р\ то а_< ft,
2) если а < р\ то а s? p.
Доказательство Вторая часть теоремы есть следствие первой
Чтобы доказать первую часть, возьмем вполне упорядоченные множества А
и В типов аир Они не подобны, ибо их алефы не равны и они даже не
эквивалентны Если бы В_окачалось короче А, то это означало бы, что,
вопреки условию, Р = ВеГЛ=а.
Значит, А короче В но это и значит, что а < Р
Легко видеть, что во второй части теоремы знак равенства откинуть
нельзя, например со<ш + 1, но со — ш + 1.
361
Теорема 3. Во всяком множестве Q попарно неравных а.кфов ecnii
наименьший.
В самом деле, приведя в соответствие каждому алеф\ ш Q вполне
упорядоченное множество, имеющее лот алеф своей мощностью, мы можем
i арантировать наличие среди этих множеств самого короткого. Его алеф
и будет наименьшим в Q.
Следствие. Всякое множество алефов, будут упорядочено по их величине,
окажется вполне упорядоченным.
Само собою разумеется, чго речь идет о „законном" множестве алефов.
Множество всех алефов рассматривать нетыя. Это видно hi следующей
теоремы:
Теорема 4. I) Нет наибольшего алефа.
2) Какое бы множество Q алефов ни взять, существуют ал'фы, большие
всех алефов in Q.
Доказательство. Пусть а есть алеф. Эго значит, что существует
вполне упорядоченное множество А, мощностью которого является а.
Рассмотрим наряду с А все впочне упорядоченные множества, состоящие из тех
же элементов, но отвечающие другим способам упорядочивания. Порядковые
типы этих множеств образуют некоторое множество Г порядковых чисел.
П\сть f} еегь число, большее всех чисел из Т, и b —р. Тогда Ь есть
алеф, и можно показать, что
Ь>а. (I)
В самом деле, если а —Л, ю а е Т и а < р. Но тогда a s? b, и остается
опровергнуть возможность равенства
Ь=а. B)
Допустим, что это равенство справедливо. Тогда можно установить
взаимнооднозначное соответствие <р между А и Н;'р. Пусть Ао есть множество,
состоящее из тех же элементе, что и А, но упорядоченное так, что из дв\ х
его элементов предшествует ют, которому в соответствии ц> отвечает
меньшее число. Множество Ап подобно \\У$, значит его тип есть р м ре Т, что
противоречит определению р. Итак, B) невозможно, и справедливо (I).
Переходя к доказательству второй части теоремы, очевидно можно
допустить, чго в Q нет наибольшего алефа, и что алефы Q попарно не равны.
Соотнесем каждому алефу m Q вполне упорядоченное множество А,
имеющее ею своей мощностью, п составим сумму S этих множеств, считая
множество слагаемых упорядоченным так же, как упорядочено Q. Но Q вполне
упорядочено. Поэтому S, б\дучн суммой вполне упорядоченного множества
вполне упорядоченных множеств, само вполне упорядочено, и его мощность
есть алеф. Ясно, чю этот нлеф больше всех алефов из Q. Действительно,
всякий алеф из Q есть мощность части S и, значит, не больше, чем S, но
если бы какой-нибудь m алефов Q совпал с 5, го он оказался бы
наибольшим в Q.
Замечание. Для всякого аи'фа есть непосредственно следующий акф.
Действительно, если а есть некоторый алеф, то сущеавуег больший алеф Ь.
Если /; непосредственно след\ег за а, наше утверждение доказано. В
противном случае мы рассмотрим все1) алефы т, для которых а<т<Ь, среди
них есть наименьший, который и является искомым.
Эт замечание позволяет установить для алефов рациональную систему
обозначений. Именно, обозначим через Ко мощность счетного множества
1) Упогребтение здесь слова „все" представляется допустимым по
следующим основаниям: если b существует, то существует (законное) множество В
мощности Л. Его части образуют законное множество, и, в частости,
законным окажыся мно'-кесгво тех часгеи В, мощность га которых удовлетворяет
неравенству а •< т < Ь.
362
(ясно, что эта мощность есть а неф). Первый С1едующий алеф обозначается
через1) Nil первый следующий за ним через № " 1- Д- Алсф первый,
следующий ia всеми алефами {<„, обозначается через Цы и т. д.
Теорема 5. Всякий алеф получаст обозначение Ца, еде а порядковое
число.
Доказательство. Пусть Я есть алеф и Т множество, состоящее из
всех алефов, меньших Я. Множество Т вполне упорядочено. Пусть его тип
есть а. Налагая Т на №гх, мы соотнесем каждому алефу 'из Т порядковый
номер, меньшим а, после чего остается обозначить Я через Ца.
Нетрудно убедиться, что установленная система обозначении
такова, что:
') Ка 1 есть первый, следующий за Ца;
2) если число р есть первое следующее за числами множества 5= {а}, то
Кр есть первый алеф, следующий за всеми алефами множества {#а\ (а <= S).
Множество Ка всех порядковых чисел, имеющих данную мощность Ца,
называется числовым классом. Наименьшее из чисел класса Д'а обосначается
обычно чере} Qa. В частности, Q0 = oj, Qi = Q. Класс Ki есть третий
числовой класс.
§ 7. Аксиома и теорема Цермело
Во многих математических рассуждениях используется следующее
предложение:
Аксиома Цермело. Пусть S= [M\ есть множество непустых и попарно
не пересекающихся множеств. Тогда существует множеепшо L, обладающее
свойствами:
1) ic ^ М;
м е s
2) множество L имеет с каждым из множеств MsS один и только один
общий элемент.
Можно сказать, что L состоит из „представителей" всех множеств
MeS.
Вопрос о том, допустима ли эта аксиома, вызвал среди математиков
ожесточенные споры и до сих пор по этому вопросу единомыслия нет. Автор
этой книги стоит на позиции безоговорочного признания аксиомы Цермело.
В частности, мы много раз ею уже пользовались в предыдущих главах. Так,
например, вполне очевидным было ее нспользов^не в гл. III при построении
примера неизмеримого множества. Но и раньше мы также пользовались
аксиомой Цермело. Существование в каждом бесконечном множестве счетной
части или измеримость (ограниченной) суммы счетного множества измеримых
множеств—эти результаты были установлены нами с помощью аксиомы
Цермело.2)
Например, доказывая теорему 5 in § 3 гл. Ill, мы рассуждали так: для
каждого множества ?д, ость целое семейство накрывающих открытых
множеств Gk. Чтобы образовать их сумму 2 *"'*¦ '^пользованную в обс\ждаемоп
теореме, мы, очевидно, должны были из этого семейства выбрать какое-то
одно множество Gt для каждого k, причем этот выбор надо произвести
для всех fe cpaiy Возможность такого выбора можно обосновать только
ссылкой па аксиому Цермело. Так же обстоит дело и в первом из упомян\тых
случаев.
¦) Выше мы определили ^ как мощность второго числового класса Ко.
Тождественность обоич определении вытекает и t теоремы 3, § 5.
2) По поводу аксиомы Цермело рекомендуем прочесть:
В. К. Серпинский, Аксиома Цермело, Журн. „Математ. сборник",
т. 31, в. 1, 1921; В. Молодшнй, Эффективном в математике, Соцэкгиз,
1938; А. Л е б е i, Интегрирование и отыскание примитивных функций
(Прибавление III, § 2). ПТИ, 1934.
363
Конечно, аксиому Цермело не нужно понимать так, что мы
фактически1) сможем построить множество L. Речь идет лишь о возможности
рассуждать об этом множестве, не рискуя впасть в противоречие.
С аксиомой Цермело тесно связана следующая теорема.
Теорема I (Общий принцип выбора). Пусть T={N} есть
множество непустых множеств. Тогда существует функция f (Л/), заданная на Т
и ставящая в соответствие каждому множеству N из Т определенный
элемент этого множества: / (<V) e N.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что в том случае, когда
множества Л" попарно не пересекаются, теорема равносильна аксиоме
Цермело. Действительно, приняв аксиому Цермело, мы сразу получаем
требуемую функцию, полагая /(Л/) = Л/1.
Обратно, принимая теорему 1, мы получаем множество L, полагая
L=if(N)\.
Перейдем к доказательству теоремы. Обозначая элементы множеств Л/,
входящих в Т, через п, рассмотрим все пары вида
(n, N), где beJV, a N <=Т.
При этом пары (я', N') и (я", N") мы будем считать тождественными
тогда и только тогда, когда
п' = п", N' = N".
Обозначим через М (Na) множество всех пар (n, No), в которых п е Л/о;
такое множество М (Л/) можно построить для каждого N еГ. Пусть
S = {M(N)} (Л/еГ).
Различные множества М (N) попарно не пересекаются (в этом идея
рассуждения). Действительно, то обстоятельство, что множества M(N') и M(N")
различны, означает, что различны множества N' и N". Но тогда ни одна
пара (л, Л/') не совпадает ни с одной парой (п, N") и, стало быть,
M(N')-M(N") = 0.
Применяя аксиому Цермело, мы можем констатировать существование
множества L, состоящего из пар (п, N), где »siV, и имеющего с каждым
М (Л') sS по одному общему элементу. Это множество позволяет определить
требуемую функцию. Именно, если iV0 е Т, то множество М (No) L состоит
из единственного элемента (л0, NQ), где nQ e Л/о.
Положив /(jVD) = n0, мы удовлетворим условиям теоремы.
Следствие. Пусть Т=-{М'\ есть множество всех непустых частей
данного непустого множества М. Тогда существует такая функция f (Л1'),
которая каждому М' <=Т ставит в соответствие определенный злемент
/не=ЛГ.
Если элемент m-f(M') мы будем называть „отмеченным" в ЛГ, то
следствие утверждает, что в каждом М' cz M можно отметить по одному
элементу. а)
Теорема 2 (Э. Цермело). Всякое множество можно вполне упорядочить.
Доказательство. Пусть М некоторое непустое3) множество.
Обозначим через Т—{М'} множество всех непустых частей М и «отметим»
в каждом М' по элементу.
J) С этим и связаны упомянутые выше споры: если множество L не
построено, то ни про одну вещь нельзя решить, входит ли она в L как элемент
или нет. Поэтому некоторые ученые вообще не соглашаются считать L за
математический объект.
2) Сама теорема 1 также означает, что в каждом множестве N еГ можно
„отметить" по элементу [каковым и является /(А/)].
3) Для пустого множества теорема тривиальна.
364
Некоторые части М можно вполне упорядочить. Таковы, например, все
конечные части М. Пусть А непустая часть М, вполне упорядоченная каким-
нибудь способом. Если:
для каждого as А в части Л1 — Аа
множества М (где Аа отрезок, отсекаемый от
А элементом а) отмеченным элементом
служит а
(Н)
то мы будем говорить, что А правильно упорядоченная часть М.
Условившись обозначать элемент, отмеченный в ЛГ, через f(M'),
условие (Н) можно записать так:
f(M — Aa)—a (при всех -а е= А).
Убедимся, что правильно упорядоченные части М существуют.
Действительно, если Ш], есть элемент, отмеченный в самом множестве М, и Mt есть
часть, состоящая только из этого элемента, то Л^ есть правильно
упорядоченная часть, ибо ее единственный отрезок есть пустое множество и
i[M-(M1)mt\^t4.
Далее, если в множестве М—Mt отмеченным является элемент т2, то
упорядоченная пара {mr, m2f есть правильно упорядоченная часть М.
В каждой правильно упорядоченной части А первым элементом
обязательно является элемент тъ отмеченный в самом множестве М. В самом
деле, если а первый элемент А, то a = f{M — Aa) = f(M)=m1.
Нетрудно показать, что часть А множества М может допускать только
один способ правильного упорядочивания. Действительно, допустим, что
существуют два способа (риф упорядочивания части А, в результате
каждого из которых она становится правильно упорядоченной. Обозначим через
Р и Q те правильно упорядоченные части, в которые превращается А при
упорядочиваниях ф и ф.
Одно из этих множеств (пусть это будет Р) подобно другому или его
отрезку. Наложим Р на Q (или на его отрезок). Элемент mt e P налагается
при этом сам на себя. Если бы в Р были элементы, которые не налагались
бы сами на себя, то один из них был бы первым. Пусть таким оказывается
элемент р, налагающийся на элемент дфр. Все элементы, предшествующие Pt
налагаются сами на себя. Это значит, что Pn = QQ.
Однако отсюда следует, что p = f (AT — Pv) = f (M — Qg) = q, а это
противоречит определению р. Итак, все элементы налагаются сами на себя, что
означает полную тождестьенность Р и <?.
Таким образом, если непустая часть А множества М вообще допускает
правильное упорядочивание, то только одно. Будем считать, что каждая
часть, которая может быть правильно упорядочена, уже сделана такой,
и будем называть ее в этом предположении нормальной.
Из двух различных нормальных частей одна есть отрезок другой.
Действительно, если А к В нормальные части, то одна (п^сть эго будет А)
подобна друтй или ее отрезку. Налагая А на В (или на О1резок В), мы
как и выше, убедимся, что каждый элемент А налагается сам на себя.
Если бы А и В были подобны, то они совпадали бы. Значит, А если
отрезок В.
Из этого предложения непосредственно следует, что если два элемента
множества М входят в несколько нормальных частей, то их взаимный
порядок во всех этих частях одинаков.
Заметив это, обозначим через L множество тех элементов М, которые
входят хоть в одну нормальную часть. Множество L можно сделать
упорядоченным. Действительно, пусть а и b два элемента из L. Тогда существуют
нормальные части А и В, такие, что а е А, Ъ е В. Но одна из этих частей
наверное содержится в другой. Значит, оба элемента а и b входят в одну
и ту же нормальную часть. В этой части один из них предшествует другому,
365
причем, если а—\Ь, то этот же взаимный порядок они имеют и ео всякой
нормяльнои части, содержащей их обоих Мы хсловим^я считав, что и в i
взаимный порядок этих элементов ют же, что и в содержащих их норма чь-
ных частях.
Итак, множество I. упорядочено Но легко убедиться, что оно и вполне
\порядочено. В самом деле, п\ сть L" неп\стля часть L. Возьмем в L*
произвольный элемент а Есчи он не явпяется первым a L1", то вге предшествио-
щне ему элементы L* входят во всякою нормальную часть, н которую вхо
дит и а. Пусть А такая часть Она вполне упорядочена, и пересечение AL*'
имеет первый элемент. Этот элемент является первым в L*.
Мы \становили, что L есть вполне упорядоченная часть М Покажем,
что она правильно упорядочена. Пусть net Тогда найдется нормальная
часть А, содержащая этот элемент. Вполне очевидно, что
La = Aa, откуда / (М -La) = f (M - Ап) = а,
и /. правильно упорядочено.
Доказательство почти закончено. Именно, нетрудно установить, что
/ -М.
Действительно, пусть это не так, и пусть а есть отмеченный в множе
стве М — L элемент Составим множество A=L-\-{a\, считая а следившим
ia всеми элементами L Ясно, что jto множество есть нормальная часть М,
Но тогда а должен входить в /, в то время как г; е М — L
Значит, действительно, L — M и М вполне упорядочено Теорема
доказана
Следствия. 1. Веякач мощность есть алеф.
2. Вечкис две мощности сравнимы, т. е. для мощностей имеет место
трихотомия
Ия первого следствия вытекает, что мощность континуума с есть алеф
Нахождение этого а составляет еще нерешенную пробн'цц континуума
Гипотеза континуума, о которой шла речь в паве I, состоит в том, что
а—\. Немецким ученым Кен игом доказано1) только, что a^w Заметим,
что сравнимость с с Xi и неравенство с ;> Ki вытекают hi теоремы 4, § 1 б»м
теоремы Цермело.2)
*) См И. И Жегалкнн, Трансфинитные чиста Москва, 1907, стр З.Т7
2) В самом деле, в \помян\топ теореме мы установили, что нз множества
всех рациональных чисет R можно выбрать Xj разчичных упорядоченных
подмножеств. Но так как всех вообще подмножеств R имеется с, то Кх^-с.
ГЛАВА XV
КЛАССИФИКАЦИЯ БЭРА
§ 1. Классы Бэра
Рассмотрим множество всех непрерывных функций, заданных на
некотором фиксированном сегменте [а, Ь\, и н<ьовем это множестпо нуывып
классом ф\шшнп. Если ф\нкцня f (х), заданная на сегменте [a, h\, не
входит в нулевой класс, но предстанима в форме
f(x)= lim /„(*), A)
п * :о
где все функции /„ (х) непрерывны, то / (х) называется фикцией первого
класса
Точно гак же <|\ нкцня /(<), не входящая ни в нулевой, ни в первый
классы, но пр'д тавимая в форме A), где все функции /„ (х) входят и
первый класс, на ываегся функцией второго класса
Вообще функцией класса т плывается функция, не входящая ни в один
из предыдущих классов, но являющаяся предечом последовательности
функций класса т - 1
Таким обрлчм определяются все классы функций с конечными номерами
Обозначим их через
На, Нъ ..., Н„ B)
Однако эг\ классификацию можно продолжать и дальше Именно, пусть
/(*), не входя ни в ' чин hi классов B), предегавнма в форме (I), где
каждая из ф\нкций fn(x) входш в какой нибудь m классов Нт . Тогда говорят,
что эта ф\нкция есть функция класса //,,,,
Функция, не входящая пи в оцш И4 классов Нт, ни в класс Яш, но
являющаяся пределом последовательности функций класса Но, называется
функциеи класса Я,„ !
П>сть а порядковое число рторого числового класса. Допустим, что нами
уже определены все классы Я^, где р <; а
Тогда класс На оире [еляе1ся, как множество ф\нкции, не входящих ни
в один из классов Н$ (^ ее), но предстаиимых в форме A), |де каждая iu
/„ (х) припадчежиг какому ниб\дь классу Но (Р„ < а).
Эта классификация называйся к шиифишцией bipa, а функции всех"
классов На (а < Q) называются функциями Вцш
Легко понять, что номерами классов Нг/ могут служить только числа
первого или втрого числового класса и, в частности, непьзя этим способом
определить кпасс Нп Действительно, какую бы счетную последовательность
ilni*)} функции Б^ра ни В1Я1Ь, каждая m них попадет в какой то класс
На при ап < Q
/„ (дг) *= Н% (а„ < U).
Но тогда существует число у, большее всех чисел ап (ге=1, 2, 3, )
и все еще входящее во второй класс. Значит, если последовательность fn (Ч)
307
сходится к какой-нибудь функции f(x), то последняя входит в класс с
номером, никак не большим числа у.
Далее, нетрудно показать, что если а есть число первого рода, т е.
a = p-f 1, то всякая функция / (л) е На представима в форме A), где все
/„ (х) входят в класс Яр. В самом деле, если бы среди функций /„ (л) было
бесконечное множество функций, входящих в классы Яу при у < |5, то и
сама f (<с) входила бы в Яр или в класс с еще меньшим номером. Поэтому
все функции fn(x), начиная с некоторой, войдут в Яр.
Если же / (*) е Яа> где а число второго рода, то / (х.) допускпет
представление A), в котором
/я (*) е Яр„ (Pi < h < Рз < • • • < «). C)
Депствительно, пусть /((*) е //^. Среди функций /2(х), f3(x), ...
обязательно найдется такая, которая принадлежит классу Я„ с j32 > Pi (иначе
/ (х) е //pi^_ j). Продолжая этот процесс, мы выделим из '/„(*)}
подпоследовательность, удовлетворяющую C).
Теорема 1. Все функции Бэра измеримы. ')
Это предложение вытекает из того, что измеримы непрерывные функции,
а предельные переходы не выводят из класса измеримых функций.
Обратное утверждение не верно, как показывает
Теорема 2. Множество всех функции Бэра имеет мощность с.
Доказательство. Мощность множества всех непрерывных функции
есть с. Значит, в классе Яо есть с функций. Докажем, что при всяком а
будет _
Яа sc с. D)
Для а = 0 это верно. Допустим, что D) доказано для всех а<р, где fj
некоторое число 1-го или 2-го класса, и покажем, что и для а = р
справедливо D).
С этой целью положим Т§= ^ Н\-
Каждое из Я^ имеет мощность, не превосходящую с, а слагаемых в
рассматриваемой сумме конечное или счетное множество. Значит, Тр^с. С дру
гой стороны, Яо с Гр, откуда Т^с и, стало быть,
Ц=с. E)
Заметив это, рассмотрим множество
M^={Ui(x), ft(x), f,w, ..)}
всевозможных по.'ледовательностей функций, взятых из множества Гр.
Элементы множества М определяются счетным множеством параметров, каждый
из которых принимает, согласно E), с значений. Поэтому (гл. I, § 4,
теорема 7) мощность М равна с.
Но всякой функции / (х) из Яр можно соотнести определенный
элемент М, а именно тот, для которого ]im fn(x)=-f(x).
п-*со
Значит, Яр эквивалентно части М и D) для а = р доказано. По теореме
о трансфпнитной индукции D) доказано для всех а<Й.
Теперь уже легко докончить доказательство Именно, если Т есть
множество всех функции Бэра, то Т= ^] 4<х-
а.<а
!) Более того, можно показать, что для того, чтобы f(x), заданная на
[а, Ь], была функцией Бэра, необходимо и доаатчно, чюбы она была
измеримой (В).
368
Каждое слагаемое имеет мощность, не большую, чем с, а множество
слагаемых имеет мощность Кь также не большую с, откуда и Т < с. Но так
как Г^7/.=с, то Т = с, и георема доказана.
Пусть Л и В суть два вещественных числа, причем А<В. Условимся
символом [х]д обозначать следующую функцию от х:
В если х>В,
х если A =g х s
А если х < А.
[х]^ = | х если А^х^В,
Лемма I. Если
„ лВ г ли
> оо
Игл *„ = /, mo lim [*„]д = [/]д.
Доказательство. Пусть сначала / ф А и I ф В, например А < / < В.
Тогда для достаточно больших п окажется, что А < *„ < В, так что
\хп\а =Хц—- 1=[1\а.
Аналогично исчерпываются случаи I < А и 1> В.
Допустим те'перь, что 1 = В. Взяв произвольное е > 0, мы найдем такое N,
что при п > N будет хп > В — в, хп > А.
Пусть п > .V. Справедливо одно из двух: или хп^В, и тогда [х/1]д=ха,
или же хп> В, и тогда [*(г]д = В. В обоих случаях будет
5-е<[л:„]^??В, откуда lim [xn]%=B.
а —>со
Для / = Л рассуждение аналогично.
Следствия. 1. ?сли f (х) непрерывная функция, то и [f (х)]^ есть
непрерывная функция-
2. Если f (х) есть функция класса с номером =ё а, то и [/ (х)]д есть
функция класса с номером г$ а-
3. Если f(x)^Ha и A =S / (x) s? 5, mo f (*) представила в форме предела
последовательности функций fn(x), каждая из которых входит в класс Наа
(а„ < а) и удовлетворяет неравенству A ^fn(x) ^ В.
Первое и третье следствия очевидны второе доказывается методом
трансфинитной индукции.
Лемма 2. Если
lim xn = l, то и lim [xn)"in = \.
П —* ОО /J-+OD
Доказательство предоставляем читателю.
Следствие. Всякая функция / (х) класса На представила в форме
f(x)= lim fn(x),
П—rCO
где fn (x) суть ограниченные функции классов Н$ при E < а.
Тем более функции fn (x) можно считать конечным и.
Теорема 3. Сумма, разность и произведение двух конечных функций
классов sga есть функция класса =?а. То же верно и для чаапносо, если
функция-делитель не обращается в 0.
Доказательство. Пусть / (*) и g (x) конечные функции, каждая
•из которых входит в некоторый класс с номером =g a, и пусть
s (*) = /(*)+?(*)•
Покажем, что и s (х) есть функция класса -^ а. Если а —0, то это
утверждение тривиально. Допустим, что оно уже доказано для всех a < Я, и
покажем, что оно верно и при а — X.
3G9
С этой ислью построим две последовательности конечных функций {'„(а)}
и {gn(x)\, для которых
II —* ^Q П —* ОП
ПОЛОЖИМ Srt (*)=/„ W+grt (A')-
Тогда, по допущению, sa(x) <= H)n, где Хга не превосходит большего
из чисел 0„ и уп и, стало быть, кп < Л Но lim s,, (v) = s (л), анида ясно,
чю s (v) входит в класс с номером si Я..
Для разности и произведения рассуждение вполне аналогично, а для
частного нужно привлечь функцию
/„ (*) Чп (х)
Лемма 3. Пусть дан числовой сходящийся по южительный ряд
Ах + А2 + А3 + ...
Если каждач из функций {fk(x)} есть функция класса =^ а (« > 0) и
удовлетворяет неравенству
'/*W ^-4* (* = 1, 2, 3, .. ),
то сумма ряда ^ fft W ecm& функция класса ~^<х.
k = 1
Доказательство Каждую из фу нкций Д, (v) можно предг тавить
в форме /д. (д) — 1)Ш ц>„ (х), где qfn (х) входит в класс с номер."м, м нь-
п -»со
и/и и а, и [(p^Wl^^s («=1. 2, 3, .. ).
Положим Фд (¦«) = ff'J,1'(*) +Фя"'(¦*) + •• +Фп'!> W- Эта ф\нкция входит
в ктасс с номером < а, и для доказательства леммы достаточно ooHdpwhim,
что, обозначив сумму ряда i^ fk (х) через / (v), мы б\ дем ичегь / (х) — lim Ф„ (х).
и —» оо
С этой целью возьмем и > 0 и найдем такое т, чго
21 А*-
k = m+ 1
Тогда
а поэтому
2 /* w
<<\
2 фГ (^
k — tn т\
Jk)
; е (n > m),
| / (*) - Фя М ' < .2 | ^* (*) -ф,'*1 W + 2е.
А= 1
Но при каждом фиксированном х разность t/, (х) — (р^ (х) с
возрастанием п стремится к н>лю. Поэтому для п > /V (v) б>дет
,/(*)-«•„(*) <Зр.
что и дока <ывает леич\.
Теорема I. Flpidei ракно\игно сходчщшеч последовательности фун\ций
кшаиь s~ а ес/7гь функция к шеса =^а.
.170
Дока i а т г т ь г т в о. Для а = 0 теорема тривиальна. Рассмотрим
случай, когда а > 0 Пусть
/(*)= lim /„(*),
л —»о-
где класс каждой ш функции /„ (*) не выше а, а предепьный переход
осуществляется равномерно относительно х.
Выберем последовательность индексов л, <ги<пл<_ . так, чтобы
оказалось
iUM-f (*),<?* (а =?=*«;>>)•
Тогда члены ряда
[/„2(а)-/Д1 (*)] + [Л|8(ж)-/Л!! (*)]+[bi4 (*>-/«;,(*)] + ¦•• F)
не превосходят членов сходящегося положительного ряда
.ii+i + ....
а потому, в сипу леммы, сумма ряда F), очевидно равная
l(x)-},h(x), G)
есть функция класса не выше а. Вместе с разностью G) и функиня f (х) вхо
дит в класс с номером ~- а.
Вообще говоря, операция предельного перехода приводит к функции более
высокого класса, чем классы, к которым принадлежат фу нкции
последовательности. Мы видели, что условие равномерности стремления достаточно,
(чтобы повышения класса не происходило. Б М. Pai аев1) нашел
необходимые и достаточные условия, которые надлежит наложить на
функции последовательности, чтобы класс предельной функции был не выше
класса, содержащего функции последовательности.
Теорема 5. Пусть f (x) функция не выше fi го класса, а ф (/) функция
не выше а го класса, значения которой падают в сегмент [a, ft], где огц/еде
лена f (х). Тогда сложная функция /|(р@1 есть функция класса ь ct-j-fl.
Доказательство. Пусть р-=0, т е f (л.) непрерывна. Покажем, что
функция Пф@1 б>Дет класса а, е-ли <р (/) класса <г а.
Для а= 0 по предложение тривиально Если оно уже доказано для всех
а < у и ф(()е Яу, то ф (/) = lim ф„ (t), где ц,п (/) входит в класс Яу (уп < у)
и можно считать, что а «5 ф„ (t) ^b.
Но тогда, в силу непрерывности f(x),
Пф@1= lim /[ф„@]
и, поскольку класс Пфл @1 не выше уп, то класс f [ф (/)] не выше у.
Итак, если гр (/) некоторая функция класса а, то при всякой
функции [(л) класса р1, при ji = Q, сложная функция /[ф@1 класса - а + р"
Пусть это предложение уже доказано для всех р1 < v и пусть /"(х)е//у.
Тогда/ (х) = lim |„(*), где класс /„ (*) есть ЯУп при уа<У- Значит,
п —* со
Пф@1= I'm /я[ф@1,
П —¦ -О
и класс fn [ф @1 не выше аА-уп, т е. ниже-) а-\-у. Отсюда класс /[ф@]
не выше а + у. В силу принципа трансфиннтной индукции, георема докатана.
1) «Sur les suites converg^ntes de Eonctions mesuiables B» (Fund, Math,
t. 18, 1931, cip 182 -188).
2) Мы пользуемся очевидным фактом, что при в<у будет а-\-а <а-\-у
(порядок слагаемых существен!J.
371
В заключение отметим, что все приведенные определения и теоремы
дословею переносятся на случай функций многих переменных, заданных в
каком-нибудь параллелепипеде.
Например, теорема 5 примет вид:
Теорема 5*. Пусть f (xy, х2, ..., х„) функция класса =s
в параллелепипеде ali^zXb^bk(k=\,'l, ... ,п), a <fi {U, ••-, ini)<
п функций классов Hav Ha.v
••¦Флй, ¦••, *-т) система
aks^qk(tu ..., *т)^~Ьк. Тогда сложная функция /((pi, Ф2,
в класс с номером г?а + Р, где а наибольшее из чисел ау,
Р, определенная
*&¦ ...,tm), ...
„ такая что
.. , ф„) входит
п
§ 2. Непустота классов Бэра
Возникает естественный вопрос о том, для всякого ли a < Q существуют
функции, входящие в класс На. Мы покажем, следуя А. Лебегу, что это
действительно так. Для этого нам понадобятся важные и сами по себе понятия
наибольшего и наименьшего пределов последовательности чисел.
Пусть
хъ хг, х3, ... A)
числовая последовательность. Положим !)
xn = sup{x«, xnvl, х„+2, ...}¦
Легко видеть, что х1 5; х2 Э= Н 5= ¦ • ¦ ¦ а потому существует определенный
(конечный или бесконечный) предел
hm
хп-
Этот предел называется наибольшим пределом последовательности A)
и обозначается через
Аналогично, предел
Пгп хп.
п -*¦ оо
Hm xn,
п -»си ~
где хп='т[ {хп, хп+1, хп^, ¦¦ } называется наименьшим пределом
последовательности A) и обозначается через
lim xn.
Из очевидного неравенства хп sg ~x,i следует, что
lim xn s? lim xn.
Теорема 1. Есш й = 1ипд:я, то из последовательности \хп\ можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к Ь.
Доказательство. Если Ь = —со, то теорема тривиальна, ибо, как
это следует из неравенства хп-^хп, в этом случае сама последовательность
{хп\ стремится к—со. Пусть, далее, —co<fc-< + co. Тогда найдется
такое ?0, что при всех k>klt числа хк также,будут конечны. Соотнесем
каждому к > k0 такое тк, что
хк — -г < xmk s? xk (mk^k).
J) Возможно, что хп =
ние означало бы, что хп = х,
372
со, а также что хп = —ей (последнее соотноше-
Пт1 =:... = —со, чего мы не исключаем).
Очепидно, lim xmk — b.
Желая получить последовательность \xnJ(, сходящуюся к Ь и такую, что
п1 <С п2 < пз < ¦¦• ' положим n1 = m1, а затем обозначим через л2 наименьшее
из чисел т^, большее, чем nx; через п3 — наименьшее из mk, большее, чем п2
и т. д. Поскольку последовательность {*„,} будет частичной для {xmk}, она
также сходится к Ь.
Остается рассмотреть случай, когда Ь = -\-со. В этом случае при всех k
будет xk = -\- со, т. е. все множества {xiit xjs+i, х/1+2, ¦¦¦} не ограничены сверху.
Положим fij = l и пусть п,-+1 выбирается под условием
*л,-+1>*п2+1, «/+!>«,••
Это сразу приводит к требуемой подпоследовательности. Теорема доказана.
Если й*>й, то найдется такое ? , что xl4<b*. При га>=п0 окажется
xra^^n <&*, и число Ь* не может служить пределом никакой частичной
последовательности, выделенной из {*„}. Таким образом, наибольший предел
числовой последовательности можно определить, как наибольшее из чисел,
являющихся пределами частичных последовательностей, выделенных из данной.
Аналогичное замечание можно сделать относительно наименьшего предела.
Теорема 2. Если последовательность A) имеет {конечный или бесконечный)
предел I, то
lim xn — lim xn = l.
Обратно, если наибольший и наименьший пределы последовательности A)
равны между собой, то их общее значение является пределом
последовательности.
Доказательство. Если последовательность A) имеет предел /, то
и все ее подпоследовательности сходятся к этому же пределу, откуда следует
первая часть теоремы.
Вторая часть есть непосредственное следствие очевидного неравенства
Введем следующее обозначение. Пусть а, Ь, ... , / есть конечная система
чисел. Наибольшее из них будем обозначать через max {a, b, ...,/}.
Лемма 1. Если
хп-+а, уп-+Ь, ..., 2п-+1,
то
max {*„, i/n, ... , гп} -*max {а, Ь, ... , /},
Доказательство предоставляем читателю.
Следствия. 1. Если функции /й (х), f2 (x), ... , /„ (х) непрерывны, то
и функция
ф (х) = max {h (x), h (x), ¦¦¦ , L Wl B)
непрерывна.
2. Если функции fi(x), ... , fn(x) входят в классы с номерами «?а, то
и функция B) есть функция класса =s; а.
Первое следствие очевидно, а второе доказывается методом грансфинитной
индукции.
Лемма 2. Пусть {хп} числовая последовательность Если
' = sup {хп\, г/„ = тах \хи хг, ... , хп\,
то
1= hm yn.
п -»¦ со
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема 3. Пусть
/(*)= hm [n(x).
И -» 00
373
Если каждая из /„ (л) есть функция класса sg а то / (х) есть фунщия класса
^С-, 2
Доказательство П> сть
in p (a) = max {/„ (х), fn ! (х), , fn+t, (x)\
Эта функция входит в класс с номером -=с а Но тогда ф\ нкция
\п (*) = sup \\п (л), \„ ! (л), f,, _(а), | = lim /„ ,, (х)
входит в к пасс с номером ^а + 1 и, наконец, j (х) — lim /„ (х) входиг в класс
п -» со
с номером < а \-2
Отметим одно следствие этой теоремы, стоящее несколько в стороне от
налагаемой теории, но не лишенное интереса
Теорема (Дж. Витали)- Всяка i ииирииая, поипи ветде конечная,
функция f (х), заданная на [а, Ь), эквивалентна некоторой функции g (\)
не выше 2 го кшг а Б эра.
Деиствнтельно, согласно теореме Фреше, с\ще^гв\ет последоватетьность
непрерывных функций {fp,t(-v)} тжая, чго поч и неп,е на [а Ь\ будет
lim ф„ (*)=/(а).
п -* ^э
Полагая g (дг) — 1 im ф„ (х), мы и получаем треб^ем^ю функцию
Вернемся к теме
Лемма 3 Ест / (дг) ^прерывна на [а, Ь\, то существует д гя всякого
е>0 такой много 1лсн Р \х) с рациона 1ьными коэффициентами, что дгя всех
х in [a, li\
Ч (Х)-Р(Х) <8
Действительно, в сил> теоремы Вейерштрасса, можно аппроксимировать
/(л) с точностью до е 2 некоторым многочленом Q (х) Заменяя его коэффп
циенты достаточно близкими рациональными числами, полечим нужный мно
гочлен Р (л)
Следствие. Всякая функция 1 го класса t (x) представима в форме
/(x) = limPn(*),
еде Рц(\) — многочлен с рациональными коэффициентами
Лемма 4. Если функция \[ (х), заданная и конечная на сеглинте [а, Ь],
имеет юнечное число точек разрыва, то -чпо функция 1 го ктсса Бэра
Доказательство П\сть точками разрыва \|з (х) сложат
с1<с2< <ст (a<ck<. b).
Окр>жиы кажд\ю из точек с^ интервалом \ск— ск-\- ^ считая п
настолько бопьшим, что эти интервалы не пересекаются и содержатся в [а, Ь\
Функция /„ (д;), равная iji (дг) вне всех интервалов (ск- , 0+ ) и в точ
ь,ах ck и линейная на сегментах \ск— -, ск\
прерывна Вместе с тем, при п -> со 6) дет /„ (х) '->• iji (л)
Несущественные изменения доказательства, когда а пчи Ь также сл\жат
точками разрыва, предоставляем читателю
Следствие. Функция б (д.), равная единим, в одной точке \а, Ь\ и ну но
в остальных есть функция I го к-юсса
Лемма 5. /cut капд/л чисю х in [0, ]| раножено е десятичную дробь
(без девятки <, периода д 1Я чиил < 1),
x — Q>, fl,a2a<i
то ак^ак(х) есть функг^ия 1-го класса.
374
Cfr, Ck
, очевидно, не
Денствитечьно, а^ (х), будучи постоянной в каждом из интервалов
In я -f I \
\Ю1" юк > нмеет лишь конечное число точек разрыва.
Поспе из поженил этого, несколько разнородного, материала, мы можем
-перейти к основной теореме о существовании функции в клжцом классе
Иа(а<п) Дня этого мы незначительно изменим классификацию Ыра,
а именно б\дем считать н\ левым классом #* множество всех многочленов
с рациональными коэффициентами Тогда 1 и класс Hf- будет содержать все
прочие непрерывные функции и функции, входившие в 1 и класс Нг, л все
остальные классы Бэра останется неизмененными В сущности говоря, мы
просто переносим часть множества непрерывных функции из нулевого класса
в первын Для этой измененном классификации справедлива
Теорема 4 (А. Лебег). Дш всякого а>0 из первого и\и ыпорого
числового класса существует функция двцх. переменных
Fa(x, 0 @ -*- 1, 0</^1)
такая, что 1) Fa(x, i) есть функция Ьзра 2) всякая функция Бэра j (х)
классами, погучаапся из la(x t) фиксированием некоторого ', т е.
f(x) = Fa(x, g @ х-1)
Такая функция ta(x, ') называем я универ альнои дпя множества функ
ций Бэра классов < а
Доказательс1во П>сть функция Н, (t) равна 1 при '=1п и
равна 0 при всех прочих / из [0, 1| Перенумеруем все многочлены с
рациональными коэффициентами Р1 (х), Р2(х), Ря(\), и положим
п 1
Это есть функция Бэра В самом деле, каждый из множите пей Рп (х.)
и 6„ (t) можно рассматривать как функцию ib\ x переменных и эта функция
есть функция Ьэра Но тогда и Рп (v) 6„ (t) есть (конечная) функция Ьэра,
а с ней функциями Бэра 6j i> г и все частные цмчы ряда Так как все ч тепы
ряда, кроме, может быть, одного, суть нули то ряд сходился во всякои точке
(я, t) квадрата 0 =?: х, /-^ 1 и с\У1ма его есть функция Ьэра
Какую бы функцию / (<) из нупевою mated Я7 ни взять, она предста
вима в форме f(x) = F1 (x, tn) Депсгвшельно, если / (х) есть многочлен Р^ (х), то
Таким образом, наша георема ycraiioBieiid для а-=\ Допустим теперь,
что функции Гр, (л, ') построены для всех р <. а, и построим Fa (x, ')
Для этого раэаичнм два случая
1) а—чисто первого рода Тогда а = р-{- 1 и функция fp,(x, ') суше
ствуег Определим следующею not педоватепьность функции от / @ =- < < 1)
разложим t в десятичную дробь (без 9 в периоде для t < 1)
( = 0, a^iUi
и положим
hx @=0, а^сча„
h1(t)=O, fl2ab"l0
h3 (/) = 0, o4Uj,flM... ,
Так как hn (t) есть сумма равномерно сходящегося ряда
'"{t) - +. гр
члены коюрого суть функции 1 го кпасса, то hn(t) есть функция 1-го класса
373
Пусть Fa(x, t)= lim F$[x, hk(t)].
k -<¦ CO
Ясно, что Fa (x, t) есть функция Бэра; покажем, что это универсальная
функция для множества функций классов < <х.
Действительно, если / (д;) есть функция класса <С а, то
/(*)= lim fk(x),
k -* 00
где каждая из функций //, (х) входит в класс < Р и, стало быть, представима
в форме fk (x) = Ft (х, Ц) (О ==? th ==c 1).
Легко найти такое t* из [О, 1], чтобы при всяком k было
hk{t*) = tk (*=1, 2, 3, ...).
Но тогда
Fa{x, t*)= MF9(x, tk)= fiinf* (*) = /(*).
k-'ca k-' oo
и, следовательно, Fa (x, t) удовлетворяет всем условиям теоремы.
2) Пусть теперь a — число второго рода. Тогда существует такая
последовательность рх < р2 < Рз < ••• 1 что a есть наименьшее число, следующее
за всеми числами последовательности.
Положим Fa (x, t)= lim F$k [х, Ад, (t)], где h^ (t) суть те же функции, что
k -* со
и выше. Функция Fa (x, t) есть функция Бэра.
Пусть / (х) функция класса < а. Тогда f (х) входит в класс Ну, где v<a-
Для k>k0 окажется Cft > 7 и, стало быть, / (х) представима в форме
/М = ^рА(*. У (й>*0).
Взяв в [О, 1] такое /*, что hfl(t*) = til (k > /г0) (это, очевидно, легко
сделать, причем /г1(^*), ..., АА (/*) можно взять произвольно), мы будем
иметь
Fa(x, t*)=mFtk(x, ^)=Hm7 (*) = /(*),
откуда ясно, что Fa (x, t) есть требуемая функция. Теорема доказана.
Теорема 5. Ни один класс На не пуст.
Доказательство. Пусть некоторый класс На пуст. Тогда все
следующие классы и подавно пусты, и все функции Бэра принадлежат классам
с номерами < а.
Построим функцию Fa(x, t), о которой шла речь в предыдущей теореме.
Если мы положим Ф (х, t) = [Fa(x, /)]J, то всякая функция Бэра / (х),
значения которой лежат между 0 и 1, будет представляться в форме / (х) —
= Ф (х, t0) при некотором фиксированном /„. Заметив это, положим
.. ,. иФ (*, О
(р(х, t)= lim -z——¦±-!i——г.
Эта функция принимает лишь два значения: 0 и 1. Она есть функция
Бэра и всякая функция Бэра, принимающая лишь значения 0 и 1,
представима в форме ф (х, t0).
В частности, в такой форме представима функция 1 —ф (л:, х) Но это
сразу ведет к нелепости, ибо равенство 1 — ф (л:, д;) = ф(л:, /0) при х — !а дает,
что ф (t0, /0)=I/2. Теорема доказана.
Возвращаясь к теореме 4, упомянем об интересной работе Л. В.
Канторовича, !) в которой между прочим установлен следующий результат: для
множества функций Бэра классов < а существует универсальная функция
Fa (x, t), которая сама, как функция Бэра, входит в класс На, по для
множества функций классов s?a такой универсальной функции не существует.
х) Л. В. К а и то р о в и ч, Об универсальных функциях. Журн. Ленингр.
ФМО, т. II, в. 2, 1929, стр. 13-21.
376
§ 3. Фуцкции 1-го класса
В этом параграфе мы специально остановимся на некоторых свойствах
функций 1-го класса.
Лемма 1. 1) Замкнутое множество сеть множество типа Од; 2)
открытое множество есть множество типа Fa; 3) разность двух замкнутых
множеств есть множество типа Fa.
Доказательство. Пусть F замкнутое множество. Обозначая
расстояние точки х от F через р (х, F), положим Gn — Z(p(x, F) < 1/я).
Мы видели (гл. II, § 4, лемма 1), что 0„ есть открытое множество. Но
со
легко видеть, что F— JJ 0„, и F есть множество типа Од.
п = 1
Переходя к доказательству 2), рассмотрим какое-нибудь открытое
множество О. Если его дополнение есть СО, то CG замкнуто, н по доказанному
оо со
О^=П Gn, где Gn открыты. Отсюда G= yj CGa, где CGn есть замкнутее
И = 1 11=1
дополнение множества Gn. Значит, О типа Fa.
Пусть, наконец, Ft и F2 суть замкнутые множества. Тогда множество
Fl — F2 представимо в форме F1 — F2 = F1-CF2 и, будучи пересечением
замкнутого множества и множества типа Fa само есть Fa.
Лемма 2. Если некоторое множество М допускает представление
М = А1 + А2 + .. +Ап,
где А^ суть множества типа Fa, то существует другое представление
М = В, + В2 + ... + Вп,
в котором Bk также суть множества типа Fa, Bk с: Ak (k = \, ... , п) и,
кроме того, множества В/, попарно не пересекаются.
со
Доказательство. Ясно, что М = yj ^*> гДе ^k СУТЬ замкнутые
*= 1
множества, причем каждое из множеств Fk целиком содержится в
каком-нибудь из множеств Л,-. Положим
S! = fi, 5А = ^-(Л + . . + Ft_j).
Множества Sk суть множества FO1 они попарно не пересекаются и
со
k = I
Разобьем множество 7'={Si.} на га частей 7\, Т2, ... , Тп, относя в Тх
те множества Sj., которые содержатся в Alt в Т2— те Sk ?Т — Т1, которые
содержатся в Az, и т. д. Положив St= У^ S^, мы и получим требуемое
разложение множества М.
Лемма 3. Пусть на сегменте Е = [а, Ь] задана функция f (х),
принимающая конечное число конечных значений с1 < с2 < •. • < с„.
Если каждог из множеств ?'(/ = cft) есть множество типа Fa, то {(х)
есть функция не выше 1-го класса.
со
Доказательство. Пусть Е (/ = сА) = JJ F\k\ где F\k) суть замкну-
1 -1
тые множества. Положим
ф<*>= V F^ ф = V ф<*>
и введем функцию грт (а), полагая
377
Функция ф,„ (х) -задана на чачкиуточ множестве Ф,„ и, согласно лемме 1,
§ 4, гл IV, есть непрерывная функция Пользуясь леммой 2 того же пара
графа, можно построить на [а, Ь\ непрерыьн\ю функцию трт (д.), которая на
множестве Ф,„ совпадает с гр„, (*) Нетрудно убедиться, что в каждой точке
[а, Ь\ будет liiT) ty,,, (x) = f (x)< откуда и слезет лемма
т — --
Теорема 1 (А. Лебег). Для того чтпбы функция f (х), заданная на сег
центе 1 -[о, 6], быт фуньцши не выии J го класса, необходимо и доста
точно, чтоды множеппва ? (/> Л), Г (f < А) при любом А быт инотстдиии
типа Fa
Доказательство Еспи / (л) есть ф\нкцня не выше ! го кчасса, го
/ (х) = lirn /„(*), где /„ (к) непрерывны Положим
со
п = т
При доказательстве теоремы 8, § 1, гл IV было установлено, что е>ли
функция f (г) непрерывна, то множество F ({ &с А) чячкнуто Значит, чноже
ства Г}*', а (_ ними и множества 5>^*\ замкнуты Замечая, что
*= I m — 1
мы убеждаемся, что С (] < А) еегь множество типа Fa Дтя ? (f > Л)
рассуждение аналогично
Перелодя к док<п^тельств\ достаточности \словия теоремы, предпопожич
сначала, что / (л) ограниченная ф) нкция I < f (x) < L
Разложим сегмент [/, L] на п равных ча-теп точками
си = 1<с1<сг< <c,, = L I ck^ — ck= —— j
И ПОПОАИМ
Ak = r{ck^<f<ck ,) (A = l, 2, , п-\)
Aa = t (/< Ci). An = l (f> с„ j).
Все эти множества с>ть множества Fn и /--=/1,- /1T-f- -f Лп.
На основании леммы 2 с\ществ\ет другое разпожение
? = бц+й,+ +В„,
в котором множества S^., также будучи множествами /а, попарно не Пересе-
каютеi и Bk a Atl
Виецем функцию /„ (д:), полагая
1п(х)^=ск при х(^Вк (/г=0, 1, , п)
Согласно пемме 3, функция \п (д.) не выше 1 го кпао_а Выберем
произвольною точк\ х,<= Е Тогда хи е Bf, с: Лд
Значит, ;„(л;и)= сА, сА_, < / (л„) <. ск j Оп.юда ясно, что
Таким образом, при п-*-^о функции f,,(x) равномерно стремятся
к функции / (л) и, стапо быть, поспеднтя есть функция не выше 1 го кл^са.
Переходя к общему случаю, положим g (a) = aic lg / (х)
Эта функция уже ограничена Но при — „ ^ А < -^
E(g>A) = E(l>tgA),
378
если же А ,_ ч 2, то множество E(g>A) пусто Наконец, есчи А < — л 2,
то ? (g > /1) = [а, Ь\ Таким образом, множество E(g>A) при всех А есть
множество Р„ То же верно и для t (g < А) Стало быть, g (х) есть функция
не выше 1 го класса, а потому и f (х) = tg [g (л:)] есть функция не выше 1 го
класса >)
Р Б:ф нашел дру1ую, очень интероснмо, характеристику функций 1 го
класса Для изложения его георемы нам понадобятся некоторые новые поня
тия и факты
Определения. П^сть А и В два точечных множества, причем Лей
1) Если всякий интервал, содержащим хоть одну точку В, содержит точки В,
не входящие в замыкание А множества А, то говорят что Л нигде не пютни
на множестве В 2) Если А поедставимо в форме суммы счетного множества
множеств, каждое и j которых нигде не плотно на множестве В, то говоря г,
что Л есть множество первой категории на множестве В
Теорема 2. Hi пустое замкнутое тожество F не есть множество первой
категории на самом себе
Доказательство Допустим, напротив, что Г можно представить
в форме F — Л, ( Л,+ А3-\- , где каждое из множеств А/ нигде не nionio
на множестве F Тогч.а существует точка xt e F, не являющаяся точкой
замыкания Л, множества Л, Поэтому найдется сегмент [xt 6t, ^i + fij, песо
держащий ни од он точки Alt причем можно считать что 6t < 1
В интервале (jtj —6j, x1-r(S1) существует точка х2 е F, не входящая
в множество Л, Значит, найдется сегмент [х2 -б2, jt2-)-бт), не содержащий
ни одной точки А, Можно считать, что 62 < 1 2 и что \xz — 6,>, Jtj-r62J с:
с: [л-,—б2, ^-г-б!]'
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность точек
входящих в F, и последовагечьность вложенных сегментов
[*1 — бх, XlJrbl) Г) [Xi — б2, *а-г62| =3 ID [*„ б„, ДГ,,-г-5„] =) .
такую, что сегмент [хп — Ьп, хп-\-&п] не содержит ни однои точки множества
Ап и б„ < 1 п
Пусть х„ есть общая точка всех сегментов [хп— оя, д;я + ОяJ
Очевидно jcA = 1iiti jcn и потому i,ef Вместе с тем х0 не может входить
ни в одно из множеств А„ Это противоречие доказывает теорему
Следствие. Есш непустое шнкнутое множество F есть сумма счетного
множества замкнутых множеств /г = /г] — Г, {-Г3 г , то существует интер
вал (X, ц), содержащий то<ки множества Г, и такое п, что (X, |ii) / с / „
Действительно, хоть одно из слагаемых множеств, п^сть это б)дет /¦„,
не будет ншде неплотным на множестве F Но зго и значит, что среди
интервалов, содержащих точки F, найдется такой интервап (X, ц), что все,
входящие в него точки F, входят в Fn, ибо это последнее множество, б\дучп
замкнутым, совпадает со своим замыканием
1) Функцию g (x) можно представить в форме
g(x)=- lim gn(x),
где gn (x) непрерывные функции, подчиненные \сювию
Тогда
ч 1 /Iя '
- 2 Н „ -- &п(х) - 2 - п
/W= !im ig[gn(x)\,
причем tg [g,[ (x)] есть непрерывная функция
379
Пусть на некотором множестве А задана функция f(x) и пусть В есть
подмножество А. Рассмотрим функцию f (х < В), определенную только
в точках множества В и совпадающую в этих точках с функцией f(x). Мы
будем говорить, что функция \(х\В) индуцируется функцией f (х) в
множество В. Легко понять, что если исходная функция f (х) непрерывна на
множестве А, то индуцированная функция f (х\В) непрерывна на
множестве В.
Теорема 3 (Р. Бэр)- Пусть на сегменте [а, Ь\ задана конечная :)
функция 1-го класса f (x). Каково бы ни было замкнутое множество рфО,
содержащееся в [а, Ь], в нем имеются точки непрерывности индуцированной функ-
4uuf(x\F).
Доказательство. Если множество F имеет хоть одну изолированнаю
точку, то последняя и будет искомой точкой непрерывности. Оставляя в
стороне этот тривиальный случай, мы будем считать, что F есть совершенное
множество.
Пусть D есть некоторый сегмент, содержащийся в [а, Ь] и внутри
которого имеется хотя бы одна (а значит, и бесконечное множество) точка
множества F.
Мы покажем, что существует сегмент d, лежащий внутри2) D, содср
жащий внутри себя точки множества F и такой, что колебание функции
f (х) на множестве Fd меньше любого наперед заданного числа.
Для этого мы прежде всего убедимся в существовании такого сегмента
Е с D, что множество EF есть совершенное (непустое) множество. П\сть
концы D суть А и В, так что D=[A, В]. Бесконечное множество DF
замкнуто и ни одна его точка, кроме А и В, не может оказаться
изолированной. Допустим, что А есть изолированная точка множества DF. Тогда
множество DF— {А), получающееся из DF удалением точки А, замкнуто. Пусть
самая левая точка этого множества есть Ль положим D1—[A1, В] В
замкнутом множестве DXF изолированной может быть только точка В. Если
она в самом деле такова, то мы удалим ее из множества DtF и обозначим
через В1 самую правую точку оставшегося (замкнутого) множества. Сегмент
E=[Ai, BJ и будет таким, что EF совершенное множество
По условию функция f (х) представима в форме f(x)= hm fn (x), где
п — оо
fn (х) суть непрерывные функции. Возьмем е >• 0 и положим
i4B.m = ?(lfn-fn+«Ke) (л=1, 2, .. , ш=1, 2, ...)•
Очевидно множество Ап,т замкнуто. Пусть далее
Ва= ft Ап.т-
т = \
со
Это также замкнутое множество Легко видеть, что ?==2 Бп.
п = ]
Действительно, если ха е Е, то последовательность {fn (x0)} -сходится,
а потому для достаточно большого п и любого т будет
IfnM — fn+тЫ |<е,
так что 1левл и, стало быть, ?с^]Вл. Обратное включение тривиально.
оо
Но из установленного равенства следует, что EF= 'S) FBn.
n=]
:) Условие конечности f (x) существенно, ибо функция, всюду равная +оо,
будучи функцией -1-го класса, вовсе не имеет точек непрерывности.
2) Мы будем говорить, что сегмент [К, ц] леа*ит внутри сегмента [а, т],
если а < X < |д, < т.
380
В силу предыдущего следствия существует интервал (X, ц), содержащий
точки множества EF и натуральное число п такие, что (X, ц) EF <zz FBn.
Если х е (X, fi) EF, то при любой tn оказывается
Увеличивая m и переходя в последнем неравенстве к пределу, мы
находим, что
1/nM-f (*)|«? е.
Множество EF есть совершенное множество, интервал (к, ц) содержит
хоть одну точку этого множества. Значит, множество (X, ц) EF бесконечно.
Пусть л;0 есть точка множества (X, ц) EF, отличная от концов сегмента F.
Возьмем сегмент d, содержащий точку х0 внутри себя и настолько малый,
что 1) он содержится в интервале (X, ц), 2) лежит внутри сегмента Е
(и, тем более, внутри сегмента D) и 3) колебание (непрерывной) функции fn (к)
на сегменте d меньше е
Пусть х1 и хг суть две точки множества Fd. Тогда
'/«(*i)-/(*i)Ke. lf»W-f»WI<e, I f» (*J-7 (*г) К в,
откуда
l/(*:)-f (*2)l<3e,
т. е колебание функции / (х) на множестве Fd меньше 3f.
Итак, нами установлено, что для всякого сегмента D cz [a, b\,
содержащего внутри себя точки Е, существует другон сегмент d, лежащий внутри D,
также содержащий внутри себя точки F и такой, что колебание / (х) на Fd
мало по желанию.
Доказав это, возьмем сегмент dl с [а, Ь\, содержащий внутри себя точки
F, с длиной mdx<_ 1 и такой, что колебание f (х) на множестве Fdx меньше 1.
Затем найдем сегмент d_, лежащий внутри dlt содержащий внутри себя
точки F, с длиной mdo<1l2 и такой, что колебание / (х) на множестве Fd2
меньше J 2.
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность сегментов
dt zd d2 zs d3 id .. (mdn < 1/n),
каждый из которых лежит внутри предыдущего, содержит точки множества F
внутри себя и таков, что колебание функции / (х) на множестве Fdn меньше l'/j.
Пусть \ точка, общая всем сегментам dn. Она очевидно принадлежит
множеству F. Легко видеть, что индуцированная функция / (л: F) непрерывна
в точке \. Теорема доказана.
Оказывается, что эта теорема допускает обращение. Чтобы это доказать,
нам' понадобится
Принцип стационарности Кантора — Бэра. Пусть всякому порядковому числу а
из первого или второго числового класса отвечает замкнутое множество Fa,
причем из а < Р следует Fa :э F$
F^zdF-lZS ... d^d ... гэ FaZD ... (a<Q).
Тогда все множества цепочки {Fa\, начиная с некоторого, совпадают
друг с другом, т. е. найдется такое число \х < Q, что
?Ц = ^М+1 = ^+2 = ¦ • • (*)
Доказательство.1) Расположим (счетное1) множество всех
интервалов с рациональными концами в последовательность Ьи 62, б3, Это
позволяет всякому множеству Е точек числовой прямой соотнести множество S (?),
состоящее из всех натуральных чисел k, удовлетворяющих соотношению
]) Это доказательство сообщено автору акад. П. С. Александровым.
381
Легко видеть, что из Л с В следует S (А) с S (В) Далее если множества
F и Г* замкнутый F ф F*, то1) S (F) ф S (F*) В самом деле, пусть х„ <= F — /*
Тогда все достаточно короткие интервалы, содержащие хп, не будут Пересе
каться с F* Ее пи 6, один из таких интервалов, го i e S(T) —5(f*)
Заметив зто, положим S(fa) = Sa Эго приводит нас к цепочке множеств
S,, з S, Z3 S2 =i dS83 (a < Й)
Пусть /<¦ пересечение всех множеств этом цепочки Если /С состоит из всех
натуральных чисел, то и все множества цепочки таковы же Эго означает
чго все множества !а начиная с Fn, совпадают др\г с цр) гом (каждое in
них б\дет совпадать со всей числовой прямой) Оставляя в стропе эгог три
виальныи случаи рассмотрим множество М всех натуральных чисел, не вхо
дящих в К Если т е М то найдутся такие числа а < й, чго ше5;
Обозначим через ат наименьшее из них Это приводит нас к конечному и пи
счетному множе тву чисел {ат\ Так как все они меньше Й, то нандется
порядковое число ц, все еще входящее в первый или второй числовой класс
и большее всех ат Если т е К, то т е Sam и тем более т е S(, Отсюда
след\ет что K = SU Таким образом, S^, ^5M 1 = S|, 2= , а это равносильно
соотношению (*)
Теорема 4. (Р. Бэр). Пусть на сегменте F = \а, Ь] задана функция I (\)
Если на всяком непустой замкнутой множестве F имеются точки непрерьн
поста индуцированной <р1/нкции j (x F), то f {х) непрерывна иш 1 го к шеи
Доказательство В силу теоремы Лебега, достаточно показать,
что множества Е (f > Л), Е (t < А) при любом А суть множества типа Рь
Пусть р и q два числа, причем р < q Положим
Р = ?а>р), Q = E(f<q)
Очевидно ? = P + tO
Пусть F непустое замкнутое множество, содержащееся в ? Обозначим
через х0 какую ннбудь точку непрерывности индицированной функции f (x F)
Ясно, что выполняется хоть одно из неравен тв
/W>P. l(xo)<q,
пусть, например, / (л;0) > р Тогда существует стоаь малый интервал S, содер
жащин точку л;0, что для всех точек множества F6 окажется / (х) > р Поло
жим F*^=F — F6, это замкнутое множество, потому что /rT=F C6 При этом
F — F* = Fb с Р Ести бы было ((x^-^q, то мы аналогично нашли бы
замкнутое множество F* с F такого рода что F — F*cQ Итак, какое бы
непустое замкнутое множество F ни в(ять, найдется такое его замкнутое же
подмножество F*, что множество F — F* не пусто и содержится целиком в Р
щи Q
Заметив это, положим F0 = \a, b] и найдем замкнутое множество F, cz/,,
такого рода, что Fa~Fl не пусто и целиком содержится в Р ипи Q Если Fх
также не пусто, то мы найдем его замкнутое подмножество F, такое, что
Fi—F, не пусто и содержится в Р или Q Продолжая згог прсцёсс, мы иш
натопкиемся на пустое множеиво /„ или для всех натуральных п построим
множества Iп такого рода, что Fn — Fn t не пусто и содержится в Р или Q
В последнем случае мы положим F^ - 11 Гп
п=0
Ести эго множество все еще не пусто, го перед нами открывается всь
можность дальнейшего построения множеств f ш L, FM 2 Г1\аь а есть
число 1 го класса и нами \же определены все множп-гва Fa при fi-^ а,
причем все они оказались непустыми
*) Без уловия замкнутости обоих множеств F и F* сказанное неверно
Например, если R и / с>ть соответственно мно/чествн все\ рациональных
и всех вещественных чисел, то S (R) —S (Z) — {1, 2, 3, j
382
Сечи а число первого poia, то мы обозначим через Fa такое ^амкн^тое
подмножество множества Fa , (где а 1 непосредственно предшествует а),
что fa ,—f^^O и целиком содержится в Р him Q Если же а число вто
рого рода, то мы полагаем Fa— | | Г^
Р «
Доп\стнм что все множества /-а при a<Q оказались неГпстыми Легко
видеть, что это доп\теине противоречит прннципл стационарности Кантора —
Бэра В самом дете сопасио этом;, прннцпп\, должно нангнсь такое и, что
F^ — Fn ,, в то время как из неп\стоты F^ вытекает неп^стота разности Го —
— Гц i
Таким образом, процесс опредепенпя множеств Fr/ не может быть прове
деп ття всех чпее ч nepBi.ix дв\х классов и необходимо с\ществ\ет такое
k^Q, что Г О (« <->),/-, =0
В таком cis чае исходный сегмент Fu = \a, b\ предетавляется в форме
[а, *>]¦=? [Га-Fa il
Действитечьно, если х е [я Л], то найд\тся такие а -~ >, что »Gff,
(например, а- >.) П^сть р первое иэ них Ясно, что fS чисно первого роп,а
(ибо еспн бы E было числом второго рода, то х, входя во вес Fa при с < р,
входит бы и в их пересечение F^) Значит, ieT^ ,—F^ н
[о. ft|c X [fe-Fa^}.
а л
Обратное включение тривпапьно Каждое in чнокеств F^, — Га , входит
в одно из множеств Р ити Q Обозначим через Т множество тех а < Л, дпя
которых fa — fa-i c f. и п^сть U —W, — Т Ясно, что GГ = 0 и
г и
Каждое ия множеств fry — Fr/ , есть множество тнт Fa таковы же и их
с\ммы А — ^[^х — Fa ,1, B = ^j[/ia - Fa t] ибо каждое и3 мнгж ств Т н U
т и
конечно или счетно Отметим, что Л а Р, В с Q и что множества А и В
попарно не пересекаются (ибо не пересекаются множества Fa — Fa±i и /^—
— Fp+1 при a^tp)
Итак всякой паре чисел р < q отвечает разложение сег\инта |а, Ь\ на
два непересекающнхея множества типа Fa
[а, Ь] = A i В, причем /lcf(f>p), В cz E (f < q)
Установив это, фиксируем р и придадим с/ по^тетрвательность ^начений
Я\ "- Яг > Яч "- 1 m 9» — Р
Для всякого « мы имеем [л, Ь] = Ап \-Вп (АпВ„-=0), iде 4Я и fl,, г\ть
множества типа F,, и /1„ cz L (} > р) Я„ с Г (/ < </„)
Положим ^=2 /I,,, 5= J] Д„ Очевидно 7?S 0 и [a, fc| = /? + S
и i il 1
Множество /? есть ^^ Покажем, что к {\ > р) /?
Дейсгвшельно, сени / (ж„) —¦ р то для достаючно большого п окажетеэ
/(дсо)>^я и х0 е Вп Значит, i,eS и «„ей Отсюда с |ед^ет, что
E(f>p)c:R
Обратное же вкпюче^нне очевидно Итак, Ь (f > р) есть Z7,, To же спра
ведливо и т,лч множеств ? (/ <^ q) Теорема доказана
Иллю^трир>ем теоремы Лебе1а н Ьэра некоторыми примерами
384
I. Характеристическая функция замкнутого ограниченного множества F
есть функция 1 го класса
Пусть F cz [а, Ь\ = Е и / (х) равна 1 в точках множества F и равна О
в точках множества Е—Г То1да
(Е, если А < О, IE, если Л>1,
=-\F. если 0 - Л <г 1. Е tf <г Л1 = ^Г — f. если 0 <г Л
? (f > ,4)=-]^, если 0 - Л < 1,
к'
если Л >: 1,
Е(/<Л) = ^Г-/Г, если 0<Л =
[О, если А ^ О
Во всех случаях множества ?(/>Л) и ? (/< Л) с}ть Га Чтобы это
пояснить, достаточно сослатося на лемму 1
Отметим, что наше предложение легко может быть доказано без помощи
предыдущей теории Если мы обозначим через г (х) расстояние точки х от мпо
жества Г, то функция г (х) окажется непрерывной Вместе с тем / (х) =
II Функция, имеющая счетное множество точек разрыва есть функция
1 го клкса
В самом деле, если F есть замкнутое множество, в котором есть изоли
рованные точки, то они и будут точками непрерывности индуцированной
функции f (х F) Если же F есть совершенное множество, то оно несчетно и
потому содержит точки непрерывности исходной функции, которые и подавно
являются точками непрерывности функции индуцированной
В частности
III. Монотонная функция и функция с конечным изменением суть функции
не выше 1 го класса
Следующий пример весьма поучителен
IV. Пусть Ро есть канторово совершенное множество Определим в сег
менте [0, 1] две функции f (х) и g(x), полагая / (*) равной 1 в точках мно
жества Ро и 0 в точках его открытого дополнения G0 = [0, \] — P0 ф^нк
цию же g (х) мы положим равной 1 в тех и только тех точках множества Рп,
которые не являотся концами дополнительных интервалов, а в остальных
точках [0, 1] полагаем g(*)=0
Легко понять, что обе функции f (х) и g (х) непрерывны в точках мно
жества Ga и разрывны в точках множества Ра Иначе говоря, эти функции
имеют одну и ту же совокупность точек разрыва И в то же время f (х) есть
функция 1 го класса (как характеристическая функция замкнутого множества
^о). а ё(х) таковой не является, ибо индуцированная функция g(x\P0) раз
рывна в каждой точке множества Ро
V. Функция Дирихле есть функция 2-го класса
Функция Дирихле равна 1 в рациональных точках сегмента [0, 1] и О
в иррациональных точках этого сегмента Она вовсе лишена точек непрерыв
ности и потому не может быть функцией 1 го класса В то же время, ее он
мы перенумеруем рациональные точки сегмента [0, 1] г1 г2, г3, и положим
A При Х = Ти
<йп(х) = \ v (fc=l, 2, , л),
(О в остальных точках [0, 1]
го функция фд (*), имея конечное число точек разрыва, б\дет ф\нкиней 1 го
класса Так как функция Дирихле есть предел <р„ (х) при я-»-jo, to наше
утверждение доказано 1)
Заметим, что функция Дирихле есть характеристическая функция мно
жества рациональных чисел, которое (б\дучи счетным) очевидно есть Fa Зна
чит, характеристическая функция множества типа Fa не всегда есть функ
ция 1-го класса
J) Нетрудно проверить также, что функция Дирихле -ф (х) представима
в форме г|з(ж)= lim {lira [los (minx)]2"}, откуда снова видно, что ty(x) есть
m ->• по п ->• оо
функция 2 го класса.
384
§ 4. Полунепрерывные функции
Остановимся на одном специальном виде функций 1 го класса — по lyucnpc
равных функциях Для этого нам придется перенести на ф\нкцпи понятия
наибольшего и наименьшего предеюв, усгановпенные нами в <j 2 для посте
доватетьностеи Для простоты мы ограничимся ф\ нкциячи одной переменной
П\сть ф\нкция f(x) -задана на множеств h, имеющем преде1ьн)ю точку
ха Возьмем число 6 > 0 и положим
Мв(лг„) = sup {/(*)}, me(*,,) = mf {f (х)\ [х е (х„-5, ж„ + б) Е]
С уменьшением <5 величина Мд (ха) не возрастает а щ(х^) не убывает,
а потом) существуют (конечные или бесконечные) предепы
М (хи) = Inn /Ив (*„), т (л-,,) = lim /лд (л„),
fi—о й .о
которые и называются') соответственно наибольшим и наименьшим преде ia ни
функции t(\) в точке хй Обозначаются эти пределы так
М (ха) = lira / (л-), т (ха) = Inn / (х)
Заметим, что в самой точке ха функция / (дг) может и не быть определена
Но, если »„ е ?, то очевидно т (хи) / (дг„) М (х„)
Теорема 1. Наибольший преды М (х„) функции f (x) e moihe хй есть наи-
бопшее из чисег, являющихся преде тми поспедовипи гьноегти вида
/(*l). /(*2). /(*э), -
где x,i <= Е, х„ -*¦ хп
Доказательство Если М(ха) = — со, то легко проверить, что для
всякой последовательности \х„\ а Г, которая сводится к д0, б\дет / (х„) -*¦
-*¦ М (ха) Пусть —со •< М (хп) < + со Тогда найдется такое \, что при
п>Л/ будет /W,у,,(*(,)<4-сю Для каждого натурального п > N в интервале
*о~ , хо-\ 1 можно найти такую точку *„<=?, что
Ml/n(*o)-]l<f(X«)<Ml/n(*o).
Ясно, что / (х„) -»¦ М (ха) С дp^гoй стороны, если В>М(х0), то найдется
такое Й > 0, что Л?д (х0) < В Для всех х е (дг0 — б, ло + б) б\дет f (v) <; /Ид (д;0)
и потому не может найтись такой последовательности {хП\ сг ?, что
х„ -*- ха, f (х„) ->- В
Если, наконец, УИ(л'п) = +с°, то ПР" всех натуральных п б\дет Mi „ (^п) =
= + со и, стало быть, можно в интервале 'ха— ха-\— ' найти точку
хп е Е, для которой / (х„) > п Тогда f (хп) ->- М (а0), а больших чисел вообще
не существует Теорема доказана Нет надобности говорить, что аналогичная
теорема справедлива и для т (х„)
Определение I. Ф\нкция } (х), заданная в сегменте [а, Ь\, называется
полунепрерывной снизу в точке х0 -iroro сегмента, если
lira / (a) /(*„)
x~>-a0
Если же
lira f(x) = l (х„),
то функция /(а) называется поtynenptрывной сверху в точке л.о
!) Читатель узнает здесь верхнюю и нижнюю функции Блра, о которых
речь шла в § 4, гл V
385
В этом определении не предполагается конечности функции f (х) ни в самой
точке ха, ни в прочих точках сегмента [а, Ь\ В частности, фрикция f (х)
полунепрерывна снизу в каждой точке х0, где / (х0) — — со
Если функция f (х) непрерывна в точке х0, то она будет в этоц точке
полунепрерывной одновременно сверху и снизу Обратно, из
полунепрерывности f (x) в точке х„ и сверху и снизу вытекает [при условии конечности f (v,,)]
непрерывность / (х) в точке ха Эти утверждения представляют лишь другую
формулировку теоремы 1 из § 4 гл V
В дальнейшем мы останавливаемся, главным образом, на функциях,
полунепрерывных снизу Все сказанное легко перенести и па функции
полунепрерывные сверх;,, если заметить, что полунепрерывность снизу
функции f (х) в точке хй равносильна полунепрерывное™ сверху в той же точке х0
функции — f (х)
Понятие полунепрерывности функции можно определить и в несколько
иной форме
Теорема 2. Пусть функция f (х) задана на [а, Ь] и х0 е [а, Ь\ Для
того чтобы f (х) была в хп полунепрерывной снизу, необходимо и достаточно,
чтобы для любой последовательности точек хп е [а, Ь], сходящейся к х0, бы го
/(хо)г? hm f(xn) A)
п —* со
В самом деле, пусть / (х) полунепрерывна в х0 снизу и хп -> х0 (хп е [а, Ь])
Тогда из {хп} выделяется такая частичная последовательность {-1„Л, что / (хпЛ '
стремится к lim f (xn). Отсюда, по теореме 1, следует, что
II -* СО
f(xo)= hm f(x)«? hm f(x,,k)= bm f (xn).
x—>xa A-»oo n->oo
Обратно, пусть A) выполнено для всякой последовательности {л:,,} с [а, Ь],
сходящейся к х0 Взяв, в частности, ту последовательность, для которой
f(xn)-*- I'm f(x), получим, ч го/ (х0) sc lim / (х), а так как заведомо hm f{x)^
X —* Л о X —* Xq X —* Xq
<:f(x0), то f (x) полунегюерывна снизу в х0
Теорема 3. Пусть f (х) задана на [а, Ь], хв <= [а, Ь] и f(xo)> — со Для
того чтобы f (х) бьпа в х0 полушпрерывна снизу, необходимо и достаточно,
чтобы всякому А < / (х0) отвечало такое 6 > 0, что как только \ х — х0 | < о
(и х е [а, Ь}), так сейчас же f (х) > А
В самом деле, пусть f (х) полунепрерывна снизу в х0 и A<f(x0) Так
как /(*>)= lim f(x)=m(xo)= lim т(,(ха), то нандется такое 6 > 0, что
х^ха 6^0
Щ (хи) > Л Так как при [ х — х0 < 6 (и х е [а, Ь\) будет / (л;) Э= Щ (xQ), то
найденное б —требуемое Обратно, пусть f (х) обладает свойством, указанным
в теореме Взяв любое А <. f (xn) и найдя соответствующее ему 6, мы,
очевидно, будем иметь tn^ (х0) 5- А, откуда и подавно т(хо)^г-А
Увеличивая А и переходя к пределу при Л->/-(х0), находим
m(xo)^f(xo),
откуда, в связи с тем, что т (ха) s^f (xa), и вытекает полунепрерывность f (х)
снизу в *,,
Если предположить f (xa) числом конечны м, то доказанную теорему
можно высказать и в такой форме
Теорема 4, Д гя того чтобы f (x) была в точке х0 полунепрерывна снизу,
необходи цо и достаточно, чтобы всякому е > 0 отееча ю такое 6 > 0, что,
как только \х — х0 <6 (и х е [а, Ь}), так сейчас же
/(*„)-!!</(*)
Здесь особенно наглядно выступает связь понятий полу непрерывности
и непрерывности.
386
Теорема 5. Пугть f (x) и g(x) -заданы в сегменте [а, Ь\ и полунепрерывны
снизу в точке х0 Сои сумма /(к)+й(А) опредекна1) при всех х е [а, Ъ\, то
и она по гунепрерывна снизу в хп
Доказате тьство Можно считать, что f (x,) -f- g (*o) > — со, ибо
иначе доказывать нечего Но тогда и каждое из чисел / («„) и g (ха) в отдель
ности также отлично от— Возьмем какое ниб'дь чисто А <. f (\.o) \-g(xa)
Тогда существуют такие В и С, что
В<[(*0), C^?(vfl), B + C>A
По теореме Ч c\uiecTBveT такое 6 ~--0, что при х— ха < 6 (и л, е [а, Ь\)
будет I (х) -- В g (х)> С Но тогда и подавно при лих х б) дет f (x) -\-g (x) > А,
otkvw, опять таки по теореме 3, и счед^ет полунепрсрывно'-ть с}мчы / (х) +
+ g (x) в точке ха снизу
Теорема 6. Пусть на [а, Ь] задана возрастающая последовать гьность
функции
по it/непрерывных снизу в одной и той ¦%' moiKC х0 _ [а, Ь] Тогда функция
f(x)= Игл 1п(х)
п —* со
также полунепрерывна снизу в х0
Доказательство Можно считать, чго/(л:|)> — со Если A<.f(x0),
то при достаточно большом п окл/К'кя /„ (ха) > А Закрепив такое п,
найдем 6 > 0 такое, что при х — ха <6 {х е [о, / ]) будет fn (x) > Л Так
как / (к) ~~ fn (х), то при этих х и подавно окажемся f (x) > Л, откуда и
вытекает теорема
Следствие Ьсш все чгены ряда
W + (*) + "з W + ¦ •
неотрицапи тьны и полунепрерывны снизу в точке ха, то и су\ша2) этого ряда
по гунепрерывна снизу i, x0
До сих пор мы рассматривали функции, пол\непрерывные в точке.
Теперь мы пепеходпм к функциям полунепрерывным па сегменте
Определение 2. Функция /(д.) называется почунепрсрывнои снизу на
сегм Hint [а, Ь], если она задана на этом сегменте и полунепрерывна снизу
в каждой его точке Апатогично определяется полунепрерывность на
сегменте сверху.
Теорема 7. Дгя того, чтобы функция f {к) заданная на сегменте Е =^ [а, 6],
бы га на нем погунепрсрывна снизу, необходимо и достаточно, чтобы при
любом вещественной с множество Г (с) = Е (f -с) быю замкнjnwiM f)
Доказательство Пусть f (х) полунепрерывна на [а, Ь\ снизу
Если «лё? (с) и хп -> х0, то по теореме 2 / (х0) =g lim / (хп), откуда х0 <= F (с)
п —> оо
и F (с) — замкнутое множество
Допустим теперь, что все множества Г (с) замкнуты и убедимся, что
функция f (х) полунепрерывна снизу в произвольно взятой точке ха
сегмента [а, Ь] Для этого положим А= lim f (x)
Х-* f0
!) Это значит, что f (х) и g (x) в одной и той же точке не принимают
бесконечных значений разных знаков Если же, например, при 0^jcs;1
( — со, при я = 0,
будет f (х) = — со, а гш = < то обе эти функции полу-
I -1 со, при 0 < я< 1,
непрерывны снизу при х = 0, но о сумме их нельзя говорить для х > О
а) Сходимости ряда не предполагается В точках расходимости его сумма
равна +со
3) Отсюда, между прочим, вытекает измеримость такой функции
13* 387
По теореме 1 существует последовательность таких точек хп е [а, Ь], что
хп-*х0, /(*„)->-Л.
Допустим, что
f(xo)>A. B)
Если обозначить через с какое-нибудь число, лежащее между А и ! (х„),
А <с < f (.V,,), ю для всех достаточно больших п окажется /¦(*„)•< с, т. е.
xre's F (с). Но тсгда будет и х„ & F (с), г. е. / {х„) <- с, что противоречит самому
выбору числа с. Значит, B) невозможно и f (х0) — lim f (x).
Теорема доказана.
Пример. Пусть множество 5 есть пересечение сегмента [а, Ь] и
некоторого открытого множества G. Если ц> (v) характеристическая фу нкция ')
множества S, го это функция полунепрерывная на \а, Ь\ снизу.
В самом деле, здесь
i \a, b] если с 5= 1,
F (с) =¦ [a, b]—G если 0 - с <
I О
если с < 0.
Во всех этих случаях F (с) замкнуто.
Теорема 8. Функция, полунепрерывная на сегменте снизу, достигает
своего наименьшего значения. '-)
Доказательство. Пусть / (х) полунепрерывна снизу на сегменте
[о, /;] и /n = inf \f(x)}. Тогда из [а, Ь] можно извлечь последовательность {*„},
для которой lim j («„) = /?;.
п -^ со
Переходя в случае надобности к частичной последовательности, можно
добиться, чтобы последовательность {х„} сходилась к некоторой точке х„.
Но тогда /(*„)= lim f(x)-<- lim f(xn) = m, а гак как неравенство f (xu) < т
к—> \0 п->са
невозможно, то 1(х„) = т.
Следствие. Если полинепрерывная на сегменте снизу функция не
обращается в — ог, то она ограничена снизу.
Заметим, что наибольшего значения функция, полунепрерывная
снизу, можег и не иметь. Такова, например, функция
Г х при 0-=:х< 1,
/(*) = {опрн,= 1.
Ич теорем 5 и 6 вытекает, что сумма двух функций, полунепрерывных
снизу на сегменте,J) а также предел монотонно возрастающей
последовательности таких функций, есть также функция, полунепрерывная снизу. Ввиду
того, что функция, непрерывная на сегменте, будет на нем одновременно и
полунепрерывной как сверху, так и снизу, мы получаем такой результат:
Теорема 9. Предел возрастающей (убывающей) последовательности
непрерывных функций есть фцнкция, полунепрерывная снизу (сверху).
Само собою разумеется, что теорема эта не обратима. Действительно,
если функция / (х) в какой-нибудь точке обращается в — о, то она не может
быть предельной для возрастающей последовательности непрерывных
функций, ибо последние всюду конечны. Однако, если ограничиться
функциями, не обращающимися в —со, то теорема 9 оказывается обратимой.
!) Заданная на [а, Ь], т. е. ф(х) = 1 при »eS и ф(х) = 0 при
; [a, b\ — S.
2) Которое может равняться —со (а также и +со, если f {х)=-\-оз).
3) В предположении существования этой суммы.
388
Теорема 10. Пусть на [а, Ь] задана полунепрерывная снту функция f(x).
Если {(х) не обращается в — со, то существует талая возрастающая
последовательность непрерывных функций
h (x) -S f2 (х) <: fa (х) < ..., что f (х) = lim fn (x).
п ¦ со
Доказательство. Закрепим точку х (= [а, Ь\ и рассмотрим функцию
аргумента г
Пг) + п г-х\, C)
где п—натуральное число. Функция г— к непрерывна, а потом) и nonj
непрерывна снизу. Значит, сумма C) полунепрерывна снту. lie обращаясь
в —оо, она имеет наименьшее значение, которое можно предполагать
конечным. !)
Обозначая это наименьшее значение ч?рез fn (x),
fn{x) = mm{f(z) + n\z-x }, D)
мы и получаем требуемые непрерывные функции.
Действительно, пусть гп = гп(х) есть одна из тех точек [а, Ь\, где C)
достигает значения /„ (х). Тогда
fn(x)=f[zn(x)]+n zn(x)-xi. E)
Так как fn (х) есть наименьшее ия значении функции C), ю для любой
точки у е [а, Ь\ будет fn (х) ¦-. [ [гп (у)] -\-п гп(у) — хк Отсюда и подавно \п (х) s?
^fUn(y)]+n\zn{y) — y +п у — х\.
В силу E) последнее неравенство означает, что f„ {х) -=с. fn (у) -\- п у — х\,
откуда ввиду равноправности точек х и у вытекает, что
i/л (x)-fn(y)l^n\x-y\,
и потому fn (x) непрерывная функция.
Далее, если m > n, то
fn (x)^fl*m Wl + «i2m (x) — x *cf[zm(x)]-\-m zm(x)—xl=fm(x),
так что fi (x) ==;/2 (х) -? /3 (х) ^ ¦ • • • С другой стороны, полагая в справедливом
для всех ге|а, Ь\ неравенстве
1,М«1йтЛ г-х\
г = «, получим
L(x)^((x). F)
Поэтому, положив g (x) = lim fn (x), мы будем иметь
п-»со
g(x)<f(x). G)
До сих пор мы не использовали условия полунепрерывности / (х); все
сказанное верно для любой функции /(я), не тождественной +°° и
ограниченной снизу.2)
Теперь мы временно допустим, что / (*) нигде не обращается в -fco" (что,
конечно, вовсе не означает ограниченности f (х) сверху). Тогда из E) и (Ь)
!) Если бы это наименьшее значение было равно -f- со, то это означало
бы, что /(дс)== + оо, а тогда теорема тривиальна — можно было бы просто
положить fn (х) = п.
2) Наличие наименьшего значения у функции C) мало существенно; если бы
его не было, то можно было вместо D) положить
/„(*) = inf {f(z) + n\z-x }.
Это только немного усложнило бы рассуждение.
389
(с учетом ограниченности f (г) снизу) следует, что гп (х) -*¦ х при п-г-со.
Возьмем е > 0, ему отвечает такое 6 > 0, что при \г — *|<6 будет / (z) >
>/(*¦) — *"¦ Для достаточно больших п будет ,гп(х) — х i < 6 и потому
f\zn (л-)] > / (х) — t, а значит, и подавно /„ (х) > / (л:) — е. Отсюда g 00 > f 00—
— г, а так как с произвольно, то g (х) - f (к), откуда, в связи с G), и
вытекает теорема
Теперь откажемся от предположения конечности f (х) и положим
| /00. ее пи /(ж) ~п,
gn ' \ п, если / (х) > п.
Очевидно gi (*) "^g2 (*) ¦=-" из М ¦ и llm?n00 = /00 Покажем, что функции
#„00 полунепрерывны снизу. В самом деле, если хи е [о, Ь] и е > 0, го
существует такое б > 0, что при х — х0 I < 6 будет / (*) > / (л:0) — е и, тем более
[ибо gn(Ar0) f(xo)\,
f(x)>Sn (х() — е.
С другой стороны:
n>g;i(l'o)-e-
Поэтому, взяв je(v,-8, ло + 6), мы будгм иметь gn (х-) > g,, (л-0) — р.
независимо от того, совпадает ли gn(x) с /00 или с п Итак, действительно
g,, (г) полунепрерывны снизу Но gn (x) конечны. Значит, по уже доказанному,
дтя каждого л существует последовательность непрерывных функций ср^"' (х)
такая, что
^(хХФ^ М^Ф^М^..., lim <tin)(x)=gn(x).
А~»оо
Положим
/„(v) = max{^n(v), q,M(x), ... , Ч1пп) (х)}.
Нетрудно видеть, что 5)
/iW</2W /з (*)•=?•••
Кроме того, все /я (д:) непрерывны, как это было установлено в следствии
1 леммы 1 § 2. Наконец, легко проверить, что
1ип /„(*) = /(*),
п —> оо
что и завершает доказательство.
В заключение докажем интересною теорему об «отделении полунепрерыв
ных функций с помощью непрерывных».
Теорема И. Пусть на [а, Ь] даны две функции и (х) и v(x), причем и (х)
полунепрерывна сверху, а а (х) полунепрерывна снизу, и u(x)^v(x). Если и(х)
не обращается в -\-со, a v (x) в —со, то существует такая непрерывная
функция f (x), что
u{x)^f(x)^v(x).
Доказательство. По предыдущей теореме сущеегвуют две
последовательности {<р„00} и {i|>n(*)} таких непрерывных функций, что
<fi 00 5г Фз 00 ^= Фз 00 Э= ¦ - • , Игл <pn(*) = «00,
% W s? ^2 (х) ^ Ь (х) s-..., lim % (х) = v (х).
:) Действительно, пусть /„О') = ф„ " (х). Тогда
390
Введем, как обычно, функции f+(x), полагая
/(л-), если f(x)-j:Q,
f (х) -
+ ' 10, если / (х) < 0.
Очевидно, если f(x)s^F(x), то f^(x) sS,F+(x). Заметив это, образуем
функции
'ф! - ti)+ S3 D>i — Ь)+ 2= (Ф2 — Ч>2) у is (ф2 — ifa)^ 5э ...
¦••>(фп-'Фл)^(фл-1|>я-1)+2=(фЛ + 1-'Ф« i)+5=---
Так как разность сря (х) — i|)n (л:) стремится к и (х) —а (л:) —0, то *) (фп — 4>Л) - —* 0.
Поэтому знакопеременный ряд
/W = i|'iM + [«FiM-i|'iW]+-[«PiW-*!W]++[«PaW-*1WJ----- (*)
сходится всюду на [а, 6].
Если в какой-нибудь точке х оказывается u(x) = v(x), то в ней будет
Ф; (х) =& "Фа М пРи всех ' и ^- Стало быть:
[фп W — 1|)л W]. = Ф„ (*) - "ф„ W,
[фд W — 1>ят1 М1+ = Фп W — H'n+i W.
и поэтому
/М = Ы*) +{фх (*)-*i М}-{ф1(«)-Ы*)ЖфгМ-1М*)}----
Частные суммы этого ряда суть tyt (x), (fi(x), tyi (х), фгМ. ••• Стало быть
/ (х) = lim ф„ (дг) = lim i|)n (jt) = u(x) = v (х).
Если же в точке х будет и (х) < v (x), то для достаточно больших п
окажется ф„ (х) < ф„ (*) [тогда и подавно фя (х) <^,!+t (x)]. Поэтому члены
ряда (8), начиная с некоторого из них, равны нулю. Если первая из равных
нулю скобок [.. ],. есть [фя (х)— г|)„ (д:)]+, то
/(*) = *! М + (Ф1 M-fi W) --.-{фя-1 W-Фя М} = *я (х).
Значит, /(x)sc-j (ж). Кроме того, 2) ф„ (х) 5=фл (л:). Значит, / (х) :г= а (х).
Таким образом, и (х) =< / (х) <; у (х). Аналогично устанавливается это
неравенство, если первая из обращающихся в нуль скобок в ряду (8) имеет вид
[ц>п(х) — \рп+1(х)]+. Итак, всегда и (х) й? / (х) ^ v (x). Остается обнаружить
непрерывность f{x). Но все члены ряда (8), а значит и его частные суммы
непрерывны. С другой стороны, ряд (8) знакопеременный, а модуль его общего
члена убывает. В таком ряде частные суммы ведут себя так:
О2 ^ ^4 ^S Sq ^ .. . , S± ^ 5з S5 Sj
Поэтому сумма / (х) ряда (8) будет одновременно и пределом
возрастающей последовательности непрерывных функций и пределом убывающей
последовательности таких же функций. Иначе говоря, f (х) одновременно
полунепрерывна снизу и сверху, а тогда она непрерывна. Теорема доказана.
х) Мы пользуемся здесь тем, что из соотношения /„ (х) —> F (х) вытекает
соотношение [/nW]+~>F+(x).
2) Именно потому, что [ф„ (х)— фл (х)]+ = 0.
ГЛАВА XVI
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
§ 1. Введение
В конце гл IX был приведен пример функции
/М = **соз? |/@) = 0],
которая всюду на [0, ') имеет конечною производную /' (х), но последняя
ока!ывается не интегрируемой по Лебегу Таким образом, операция интегри
ровання по JIe6ei у не полностью решает задачу восстановления
первообразной функции по ее конечной производной В 1912 г французский математик
Л Данж\а ввел более общий процесс интег рирования, ') чем лебеговский, и
показал, что этот процесс полностью решав! \качанного выше задачу
С друюй стороны, в 1914 г немецкий ученый О Перрон также ввел
некоторое определение инте!рала, основанное на других принципах, чем
определение Данжуа, и также полностью решающее задачу восстановления
первообразной функции по ее конечной производной.
Последующими работами Г. Хаке A921), П С Александрова A924)
и Г. Ломана A925) была установлена, однако, полная тождественность инте
гралов Данжуа и Перрона Таким образом, оказалось, что Перроном была
предложена лишь новая форма определения интеграла Данжуа, почему jtot
интеграл в настоящее время принято нашвать инте! ралом Данжуа —Пер
рона
В 1916 г, независимо друг от друга, А Даиж)а и р)сский математик
А Я Хинчин ia-ш еще более общее определение интеграла, позволяющее
восстанавливать первообразную функцию не только по ее обыкновенной
производной, но и по ее так называемой аппроксимативной (или аснми
тотическои) прошводнои2) Этот более общий интеграл принято называть
hhtci ралом Данжуа— Хинчина, или «широким» ннте! ралом Данжуа, вот
пичне от него интеграл Данжуа —Перрона называют «узким» интегралом
Данж} а
Мы подробно изучим теорию интегралов Данж> а— Перрона По поводу
же ннтегр<)лов Данж>а— Хинчина ограничимся лишь их определением, отсы
лая за подробностями к монографии С. Сакса а)
1) Сам Даиж\а назвал своп процесс интегрирования «тотализацией»,
а построенным им интеграл &готалои», но мы не будем придерживаться этой
терминологии
2) Число А называется аппроксимативной производной функции /(л)
в точке \0, если с}щесгв\ет талое множество Е, имеющее ха точкой плот
ности, что при х е Е и х -— ха оказывается
х л о
J) С Сакс, Теория интеграла, ИЛ, 1949,
392
§ 2. Определение интеграла Перрона
Для дальнейшего нам погребается следующее
Определение 1. Flvcib / (а) конечная функция, ладанная на отрезке [а, Ь\
И \д точка этого отрезка Числа
DF(xo) = lim Г(х)-Лхо1 ОГ(*о) = lim L(li
-fM
Д. ->Лц * — л0
называются соответственно нижней и верхней производной фмжции / (\)
в точке А'о
Легко понять, что эти числа (они могут равняться и бесконечности
определенного знака) суть наименьшее и наибольшее из производных чисел F {х)
в точке х0
Лемма 1. Пусть на [а, Ь\ заданы конечные функции U (х) и 1 (х) Ее ш
при некотором х0 <= [а, Ь] будет
Ш(а0)>-оэ, DV(a0)< + co A)
и R(x) = U(x)—V(x), то
DR(xo)-^DU(x(,)-DV(xa)
Доказательство Рассмотрим такую последовательность \hj,), что
hk -?- 0, А^Ои
Переходя в сл\чае надобности от самон поспедовательности {hh\ к над
лежащей ее подпоследовательности, можно допиться существования опреде
ленных пределов
hk hk
Согласно A) будет Х> — оэ и р.1 < + со, так что разность >„ —ц й\дет
иметь смысл В силу этого окажется DR (<¦<,) — X — ц Остается замегшь, чю
X7zDU(x0), ]i<DV(xft)
Следствие. Uau U, (х) и 11г(х) — конечные функции и
Wi(«)> —оо, Ш(*)> —со,
то
DIU^vJ + t/.WlSfDiyjfA) fDt/j (i)
Действительно, положив t/j (v) = —I (v) и чаметив, что
DU,(x)= — D\'{x),
можрм применить лемму.
Определение 2. Пусть / (а)—функция (не обязательно конечная), заданная
на [а, Ь]. Непрерывная на [а, Ь\ функция Г (а) называется')
надфункцши для / (х), если подфункцией для / (*) ее in
1) / (я)=0, 1) Г (")-0,
2) ОГ (х)>— со Д1я всех л-е [a, ft], 2) РГ (х) < + оо дчя всех t<= [w, ftj,
.3) ОГ (a-) ^/ (а) для всех л e [a, b\. 3) Df (v) / (а) для всех v e [a, /)]
!) Таким образом мы переводим немецкие Oberlunktion и Lnlerfuiiktion
39J
Понятия надфункции и подфункции являются обобщениями понятия
первообра шой Именно, вполне очевидна следующая
Лемма 2. Если конечная функция f (х) является производной функции F (х)
(причем /~(а) = 0), то Г (х) служит для / (х) одновременно и надфункцией и
подфункцией
Для всего дальнейшего большое значение имеет
Лемма 3. Если U (х) есть подфункция, а V (х) — подфункция дгя одной
и той one функции /(*), то разность R (х) = И (х)—V (х) не убывает.
Доказательство. В силу леммы 1 всюду на [а, Ь\ будет
DR (x) ~^DU(x)—DV (х) 5= О,
и дело сводится к лемме 1 из § 7 гл IX.
Следствие 1. В условиях леммы 3 будет U F) 5г V F).
Из сопоставления этого предложения с леммой 2 вытекает
Следствие 2. В условиях леммы 2 число F (Ь) одновременно является
наименьшим из чисех U ф) и наибонмшм из чисел V (Ь), где U (х) и V (х)
произвольные подфункция и подфункция функции / (х)
F F)^ nun {U (b)} = max {V (b)}.
Теперь мы дюжем дать основное
Определение 3. Функция f (х), заданная на отрезке [а, Ь], называется
интегрируемой в смысле Перрона [нли интегрируемой (Р)] на этом отрезке,
если
)) она nueei хоть одну надфункцию V (х) и хоть одну подфункцию V (х),
2) точная нижняя граница множества {GF)} значений всех надфункции
в точке V —6 совпадает с точной верхней границей множесша {V (b)}
значении всех подфункций в той же точке
inf{f/(ft)}=sup{V(ft)}. B)
Если f (х) на отрезке [а, Ь] интегрируема (Р), то общее значение чнесп B)
называется интегралом Перрона функции t (x) по отрезку [а, Ь] и
обозначается через
Ь
(Р) \ i (х) dx.
а
Приведенное выше следствие 2 лемм 2 и 3 можно теперь формулировать
в виде теоремы ')
Теорема. Гели функция F (х) всюду на [а, Ь] имеет конечную-)
производную f(x), то последняя интегрируема (Р) и
Ь
F(b)-F(a) = {P)\f{x)dx.
а
Таким образом, интеграл Перрона действительно до конца решает задачу
восстановления первообразной по ее конечной производной. Нельзя, однако,
не отметить, что приведенное определение интеграла Перрона не дает
никакого процесса построения этого интеграла. Указанный дефект будет
снят в теории итеграла Данжуа, который, как мы увидим ниже,
определяется при помощи совершенно определенной конструкции.
1) Из awn теоремы сразу вытекае1 существование функций,
интегрируемых (Р) и не интегрируемых (L). Гакова, например, производная функция
/W=x2cos " @<а: -' 1, /@)=0].
1\ Условие конечности f (х) отбросить нельзя. См. В. Я. Козлов,
Пример Рольдовского, Мат. сб., 1951, 28, № 1, 197 — 204.
394
В заключение этого параграфа отметим простое и важное условие
(/^-интегрируемости функции, непосредственно вытекающее из самого определения
интеграла Перрона.
Лемма 4. Для того чтобы функция f{x), заданная на отрезке \а, Ь],
была на нем интегрируема (Я), необходимо и достаточно, чтобы всякому е>0
отвечали такие подфункция U (л) и подфункция V (х), что U (Ь)—V (Ь) < е.
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона
Теорема I. Если функция интегрируема (Р), то она почти везде конечна
Доказательство Пусть U (л) и V (х) cyib надф^нкция п
подфункция функции /(г), интегрируемой (Р) па отрезке [а, Ь] Положим R (х) =
= U(x)—V(x) В силу леммы 1 § 2 всюду на [а, Ь] будет
DR(x)--zDU (x)-DV (х).
Но, если в какой-нибудь точке х0 окажется / (л:0) = 4-оз, то тем более
будет и Ш (*0) = -(- со, а так как DV (ха) < j-00. то
Dtf(x0) = -rco.
Последнее равенство имеет место и в каждой точке х0, где f(xa) = — со.
Таким образом, множество точек, в которых / (х) обращается в бесконечность,
есть часгь множества точек, в которых R' [х) — -\- го, и наша теорема
вытекает из того факта, что производная непрерывной возрастающей функции R (х)
может равняться -j-00 лишь на множестве меры 0.
Теорема 2. Если f (х) интегрируема (Р) на отрезке [а, Ь] и а < с < Ь,
то j (х) будет инт"грируема (Р) и на каждом из отрезков [а, с] и [с, Ь],
причемх)
Ь с Ь
(P)\f (х) dx = (P) ^ / (*) dx+ (Р) J / (х) dx. A)
а а с
Доказательство. Пусть е > 0, a U (х) и V (х)—такие надфункцпя
и подфункция функции / (х), что U F) — V (Ь) < е
Ясно, что и на отрезке [а, с] они также являются надфункцией и
подфункцией для / (х). С другой стороны, разность U (х) — V (х) возрастает
и потому U (с) — V (с) < е.
В силу произвольности е отсюда вытекает (Р)-интегрируемость / (х) на
отрезке [а, с]. Отметим, что
с
V{c)^{P)^f{x)dx^U(c). B)
а
Для отрезка [с, Ь] надфункцией и подфункцией для / (х) будут служить
U* (x) = U(x) — U(c), V*(x) = V (x) -V (с).
Так как U* F) - V* (b) sc U (b)— V (b) < е, то и на [с, Ь] функция / (х)
интегрируема (Р), причем
ь
V (Ь) - V (с) ^. (Р) J / (х) dx йС U(b)-U (с). C)
с
Складывая B) и C), находим, что
с Ь
V Ф) ^ С) S / W dx + {P)\ f (x) dx^kU (b),
а с
откуда следует A).
J) Равенство A) означает, что интеграл Перрона есть аддитивная
функция промежутка интегрирования.
395
Теорема 3. f сш a<Lc<.h и f (v) инт грируема (Р) на каждой ui
отрезков [а, с\ и (с, Ь\, то и на scot [a, ft] она uHincpupui па (Р)
Д о к а \ а т е ч ьс т в о П>сть t>0 и Ux(x) и i't (а) с^ть надфу нкция
и ио-;ф\ пкцпя /(г) на |а с], a U, (л) и 1Л (v) ее надфункцияи подфункция
на |<" //) при гем ilv (с)—\, (с) <. f "i/, (ty — 1 -¦ ('') -^ <¦
Введем в рассмотрение функции
при
ирн
ири
при
a -fe-
с -^
а ?^
X -_
л: -=
- с,
.*,
- с,
¦-ь.
+ I a W
Легко видеть, ') что это иадф^нкция и подфункция f {х) на всем fa, b\
Поскотьку же U (Ь) — V (Ь) •< 2ь а ь произвольно, то теорема доказана
Теорема 4 Гаи f (x) интегрируема (Я) на [а, Ь\, а к конечная
постоянная, то функции k j (л) также интегрируема (Р) на [а, Ь\ и
Ь Ь
(P)\k\(x)dx = k(P)\l(x)dx D)
а а
Доказательство Для А=0 теорема тривиальна 2) Пусть k >- 0
Если U (л) и I (х) с^ть надф^нкцпя и подфункция дпя /(л), то1) Ш (л) и
k\ (к) оказывают я на-;ф\ hkuirh и подфункцией для kf (х) Ввнд} того, что
разность Ш {li) — И (й) вместе с О (Ь) — Ь A>) может быть сцелана сколь
\годно мапон функция kf (x) б^дет (Р) интегрируемой Равенство D) вытекает
hj неравенств
ь
к\ (Ь) ^ Р \ kf (x) dx-^ Ш ф)
и
П\сть, наконец, к < 0 Тогда надф> нкцией и подфункцией для kf (х)
б>1\т к\ (а) и hi/(х), и доказатетьерво заканчивается как и выше
Теорема 5. Пусть каждая из функции [х (\) и /2 (v) интегрируема (Р) па
отрезке [о, Ь\ Гсш их сумча onpidt ина на все» [а, Ь\ то и она интсри
руеча (Р) на -иной отрезке, причал
Ь Ь ь
(Р) \ l/i (*) + h W1 dx = (P) \ h W dx h (P) \ /2 (*) dx
и а а
Доказательство П^сть Ul{x) и U2 (v) суть надф^нкции дня /t (х-)
и /2(v) Если U (x) — U] (\) + U2 (х), то [см следствие леммы 1 § 2] эта
(Ь\ нкция будет надф^нкцией cjmvjh /l (x)-\-f2 (x) Анапогичным образом сумма
подфункции функции /j (х) и /2(а) будет подфункцией их cjммы Остальное ясно
Теорема 6. Есш функция f(х) интиририсма (Р) на отрока [a b\, a
функция g(x), заданная на том же итрезм, iu 1Квива интна, то и g(x) инто
epupytua (P) на [а, Ь\, причем
b Ь
(P)^g(x)dx = (P)^f(x)dx. E)
1) В самом деле, DU (с) = min {DU^ (с), DU2(c)}, откуца спедуют оба
неравенства DU (с) > — оо, DU (с) ^ f (с)
1) Функция ц (х) = 0 есть производная функции Г (х) = с Значит, по
ь
теореме § 2 <р (х) интегрируема (Р) и (Р) l0dx = 0,
J) При fe>0 будет D[fef(A;)] = fepF(A-) и D t*:F(*)] = ftDF(*).
396
До1 азатепьство Обозначим через Е множество точек в которых
Так как т[ = 0, то (lm теорем\ 6 § 2 п \Ш) существует такая
непрсрыгная возрастающая ф\нкцня о (v) что во всех точках I окачивается
о» I -;¦
Мо кио считать, i) чт > а (/) — 0, а (/;) 1
Возьмем t^On рассмотрим такие плдфу нкцию U (л) и пот,ф\ нкцню I (*)
ф\икцпн /(v), что U (Ь) \ (I))-^ ь
П\сть U* (a)-=L'(a)J-ta(A.), l*(v)=l (л) —ta(v) Пегко показать, 2) что
это с\ ть надфункция и подфункция \ же и дтя #(\) Но так как
V* A>) - I * (Ь) < к
то /г (л) интегрнр\ема (Я) Наконец, из неравенств
Ь
а
вытекает E)
Замечание. Последняя теорема почвопяет в формулировке теоремы 5 отбро
енть оговорку о том, что с\ мма /i (i)-1-^ W допжна быть определена во всех
точках [а Ь\ В самом деле, так как стагаемые (по теореме 1) почти везде
конечны fo 1\мма /, (x)-\-f, (\) во рсяко;! спучае опредетена почти вечде
на [с Ь\, а на остающисч множесгрс мери 0 ее можно доопредетить по
промз! oi\
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона
Если I (х) задана и интегрируема (Р) на огрехе [a, ft] то ф\нкция
х
F{x)=C+(P)\f{t)dt (o<x^b)
Li
называется ее ньопрьдекнным иштграюч Перрона Положив
а
(P)\t{l)dt = Q,
а
мы сможем рассматривать F (х) дня всех х из [а, Ь\
Теорема 1. Нсоп/пдеинныи иипигра) fltppoHa непрерывен
До к а з а те n i ст в о Пусть U (х) и I (л) с\ть надф\нкция и подф\ нк-
цня, \ трвлетворяющпе неравенству U (Ь) -I A>) <. ь
Так как pа^lIocть U (х)—V (а) возрастает, то при всяком au из [а, Ь\
б\дет I (л,,)— I (v,,) < ь
•) В противном случае вместо а (а) надо рассмотреть
aiW~a(ft) a {a)
2) Действптепьно, из факта возрастания a (v), следует, что DU* (а) ^_
~S-DU(x) Поэтому всюд\ пл [а, Ь\ б\ чет DU1 (а) > - ^- Отсюда же выте
кает, что при х е С б^дeт DO* (л) Z- g (х) Однако при 1ёГ поспеднее нера
венство очевидно, так как дтя такого х будет DU* (а) __ DU (л-)- Do (\) — — со
Таким образом, t/* (лг) есть надсЬункция для g (х) Для I * (а) рассуждение
анало!ично
397
С др\гой стороны и на всяком отрезке [с х0] функции U (х) и I (х)
6jд^т являться надфункцнеи и подфункцией для j (х) Стало быть
V(xo)*S.(P)]°f{l)dt — U(xQ)
а
Таким образом, при всех х из [а, Ь] б)дет
O^U(x)-(P)\f(t)dt<e.
а
Возможность сколь угодно хорошего равномерного приближения к инте
X
гралу (Я) f f (t) dt при помощи непрерывных функщ и U (х) и доказы
а
ваег теорему
Теорема 2. Если / (х) интегрируема (Р) на [а Ь],
F(x) = (P)\r(t)dt, A)
а
a U (х) и V (х) суть подфункция и подфункция д*\ч f (х) то каждая из
разностей
U(x)-F(x) t{x)-\ (x) B)
есть возрастающая функция
Доказатепьство Пусть а < xt < x2 sg b Функция U(\) — U (хх)
будет надфункциеи для f (х) на отрезке [xlt x2] Отсюда
(P)\'[(t)dt^U(x2)-~U(x1),
или, что то же самое, Г (х2) — F (x{) =C U (х2) — U (хг) и, ста то быть,
UlxJ-FM^UM-Hxj
Для второй из разностей B) все аналогично
Теорема 3 Функция интегрируемая (Р), почти везде является
производной своего неопреде ченного инте^ра га Перрона
Доказательство Сохраняя обозначение A) найдем такую надф\ нк
цию U (х), что U (Ь) — Г (Ь) < ь2 где ь>0 заранее взятое число П>сть
R (х) = U (х) — F {х) Это возрастающая и непрерывная функция Как известно,
у нее почти везде существует конечная производная R (х) причем
ь
(L) \ R' (x) dx<R(b)-R (a) < е2
а
Обозначим через А (в) множество тех точек в которых оказывается
DF(x)<f(x)-e
В каждой из этих точек и подавно будет
DF(x)<DU(x) — e, откуда1) DU (x) — DF (х) > е
') Неравенство DF (х) </ (х) — г гарантирует, что DF (х) < + со, а так как
DU(x)> — со, то разность DU (х) — DF (х) имеет смысл
398
Обозначим да гее, через М множество тех точек [а Ь], где существует
конечная R (х) (таким образом тМ = Ь — а) Если х е М, то1)
DU(x) -Df(x) = R' (x)
Значит пересечение МА (ь) есть часть множества В (е) тех точек [а, 6],
в которых # (¦«¦)> е Но
й
етВ (8) s? (Z.) ^ R' (л) dx =s= (L) \ R' (л) djc < s\
В (?) a
откуда следует что тВ (е) < t ti стало быть, т*А(е)<е.
Заменяя здесь ь на _п , находим
»-л№)<2:.
Но очевидно что Е (DF < /) = д Л ( ] Отсюда видно, что т*Е X
X(DF<f)<s
В силу произвольности е ясно что почти везде на [a, b] будет
DF(x)^f(x) C)
Анатогично, привлекая подфункции, можно доказать, что почти везде
на [а Ь\ 6} дет
DF (*)</(*), D)
а всюд}, где выполнены оба неравенства C) и D), существует производная
F (v) равная f (x)
Следствие 1 Всякая (Р) интегрируемая функция измерит
В самом деле, сохраняя введенные обозначения и полагая
F{x) = F(b) для х>Ь,
мы видим, чго f (х) почти дпя всех х из \а Ь] представляется в форме пре
дела последоватепьности непрерывных функции
/(*)= lim n\l (x+ ],)-F(x)]
Следствие 2 Надфункцич U (л) н подфункция V (х) любой (Р) интегри-
ptjt мои функции почти везде дифференцируемы
В самом деле в тех же обозначениях, что и выше, будет
U{x)=[U(x)-F(x)\+r(x),
а каждая из функции U (х) — Г (х) и F (х) почти везде дифференцируема Дтя
V (х) — все аналогично
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега
Как мы уже отметили в § 2 (ш сноску на стр 454), существуют
функции, ипти рнруемыс по Перрон\ но не по Лебегу
В этом параграфе мы покажем что обратного быть не может Для этой
цепи нам потребуются две леммы
п п_„.„„,„„ U(x + h)-U(x) _F(x+h)-r(x)_,__R(x + h)-R_(x)_
') Действительно
// /г ' h
Отсюда ясно, что DU (x.) = DF (x) + R' (v)
399
Лемма 1. Пусть функция и (х) суммируема на [а, Ь\ и
U(x) = (L)]u{t)dt.
а
Если и (к) в точке х0 полунепрерывна снизу, то
DU (х0) =? и (*„).
Доказательство. Можно считать, что и (х„) > — оо, ибо иначе
нечего доказывать. Взяв какое-либо А, удовлетворяющее неравенству
А < и (х„), мы сможем гарантировать существование такого б > 0, что при
всех t е [а, Ь], для котрых t — xn < 6, будет u(t)>A.
В таком случае при ,х — х„ < 6 будет 1)
х
(L)[u(t)dt>:A(x-xQ), откуда *Ш^Ш^-^А
ха
и, стало быть, все производные числа DU (х0) не меньше А. В частности,
и DU (v(l) _ А. Остальное ясно.
Лемма 2. Пусть f (x) суммируема на [а, Ь\. Тогда для всякого е>0
существует функция и (л) со следующими свойствами:
1) она задана на [а, Ь] и всюду полунепрерывна снизу;
2) всюду и (х) > — со ;
3) всюду и {х) ~~- / (х);
4) функция и (х) суммируема и
ь ь
(L)\,l(K)dx<e + (L)\f(x)dx.
а а
Доказательство. I. Допустим сначала, что f (x) неогрицательна
и ограничена 0 ^ f (х) <_ М.
Положим
e=-r+bs-. A)
где е — число, упомянутое в условии леммы, и подберем столь большое
натуральное п, чтобы оказалось па > М.
Введем в рассмотрение множества
Ek=-E(ka<f<(k+\)o) (k = 0, I, .. , п-\).
Для каждого из mix существует такое ограниченное открытое
множество <7k, что
Glt гэ Ец, mG/, < mEk +
(^+1J*+1-
Пусть S/l=fa, b\ G/, и ф/, (дг)—характерисшческая функция множества Sk
(мы задаем ф,, (\) на исходном отрезке [а, Ь]). Все функции ф^(у)
полунепрерывны ситу. 2)
п — I
Положим и(\)=а ^ (й -(-1) ф/, (л) и покажем, что это требуемая ф\нк-
ция В самом деле, она неотрицательна, пол\ непрерывна сншу и ограничена
сверху, n^cib х е [о, й]. Тогда при некоюром ; окажется ,i е ?, с 5, и
Ф(-(л;) = 1 В гаком случае
u(K)Z-(i + \)a>)(x).
:) Мы приспособили запись к случаю х > х0. Читатель сам проведет
рассуждение для х < лгм
2) См. пример, приведенный в ^ 4 гл. XV.
400
Наконец,
ft а — I n — \
(L)\ u(x)dx = a У (fe-f \)mSk<a У (fc + 1) Гм?,, + - ' I.
а 4 = 0 А=0 L '"т '" -I
Отсюда
Ь п — \
[L)\u(x)dx< 2 okmEk-'ra [(b — a) + \].
a k = 0
Учитывая A) и неравенство
akmEk^L(L) \f(x)dx,
находим, что
Е\
ь ь
(L)\u{x)dx<z+(L)\nx)dx.
а а
Таким образом, для рассматриваемого случая лемма доказана.
II. Откажемся от предположения ограниченности функции f(x),
продолжая, однако, пока еще считать ее неотрицательной.
Положим
s м=/ ^' если ^х^п>
"I п, если f(x)>n,
и пусть
/1(x) = S1f*), fn(x) = Sn(x)-Sn ^x) (n = 2, 3, ..)•
Функции fn (x) измеримы, неотрицательны и ограничены, причем
/(«)=!] fn(*).
п= 1
По доказанному, для каждого натурального п существует
полунепрерывная снизу функция ип (х), удовлетворяющая неравенствам
ft ъ
«я (*) S= fn (x), (L) jj un (x) dK < 2ЬД + (L) jj fn (x) dx.
Легко видеть1), что функция и{х)= ^ ип(к) удовпетворяет всем требо-
п = [
ваниям леммы.
III. PaccMoipitM, наконец, общлй случай, когда f (х) есть произвольная
суммируемая функция.
Положим
(. — п, если f [х) < — п
Очевидно
\fn(x)]^ f(x) , hm fn(x) = fix).
n-»oo
Стало быть
ft ft
1) См. следствие теоремы 6, § 4, гл. XV.
401
Выберем и закрепим такое п, при котором
Ь ь
(L) ^fn(x)dx< \+{L) ^f{x)dx.
Функция n-\-fn(x) будет неотрицательной и суммируемой По
доказанному существует полунепрерывная снизу функция и* (х), такая что
b ъ
и* (х) ^sn + fn (х), (L) J «* (л:) dx < * + (L) jj [n + fn (x)\ dx.
а а
В таком случае функция и (х) = и* (х) — п обладает всеми требуемыми
свойствами
Теорема 1. Сели функция f (х) на отрезке [а, Ь] интегрируема в смысле
Лебега, то она интегрируема на этой отрезке и в смысле Перрона и
Ь ь
(P)\l(x)dx=(L)\f(x)dx.
а а
Доказательство Возьмем е>0 и рассмотрим tv полунепрерывную
снизу функцию и (х), о которой шла речь в предыдущей лемме. Если
U(K) = {L)\u(t)dt,
а
io U (л) будет надф>нкцисй для f {х) В самом деле, ее непрерывность и
равенство ?/(а) = 0 очевидны Далее, согласно лемме 1, при любом х из
[a, ft] будет DU (х) 2г и (х), откуда вытекают оба неравенства DU (х)~> — оз,
DU (хJ=/ (х), характеризующие надфункцию
~ В силу произвольности числа с из неравенства
ь ь
U (Ь) = (Ц \ и @ dt <e + (L) \ f (x) dx
а а
выiекает, что
Ь
m\{U(b)} <.{L)\t(x)dx,
а
где {U (h)} означает множество значении всевозможных надфункцин при л = й.
Аналогичным образом устанавливается, что
Ь
sup [V(b)}-(L) \)f(x)dx,
а
где введенные обозначения понятны сами собой Но так как всегда
sup {V (b)} ^ mi{U(b)},
Ь
то оба эти числа равны интегралу (Z,)j f (x) dx, что н завершает доказательство.
а
Интересным дополнением этой теоремы служит
Теорема 2. Всякая неотрицательная и интегрирую мая (Р) функция обч-
зате гьно интегрируема (L)
Доказательство Пусть f (х) функция, о которой идет речь, и U (х)
ее надфупкция Тогда из неравенств DU (х) у f (х) >- 0 вытекает, что U (х) —
возрастающая функция и потому ее производная U' (х) (существующая почти
402
везде) суммируема1) Но в таком случае теорема следует из неравенства
О :?;/ (а) с W (х), имеющего место во всех точках существования U (х)
Следствие. Если f (х) измеримая функция и существует интеграл Перрона
Ь
(Р)\\, (х) ' их,
а
то f (x) суммируема
Таким образом, интеграл Перрона является абсолютно сходящимся тогда
и только тогда, когда он приводится к интегралу Лебега
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые общие понятия, которые
будут в дальнейшем использованы при изложении теории интегралов Данжуа
Мы уже знакомы с целым рядом интегралов. R (Римана), L (Лебега),
Р (Перрона) Все эти интегралы обладают некоторыми общими свойствами,
и мы хотим охватить эти свойства некоей единой схемой
Пусть каждому отрезку [а, Ь], где а =-6, соотнесен некоторый непустой
класс Т ([а, Ь\), состоящий из каких-то функции, заданных на \а, Ь\
Систему подобных классов мы условимся называть правильной, если
при любом се [а, Ь] будет Т ([a, b]) = T ([a, c])T([c, ft]J)
Пусть Щ = {Т([а, Ь])\ -некоторая правильная система классов и пусть
на каждом классе Т {[а, Ь]) задан функционал
Ь
Ttf),
а
сопоставляющий каждой функции f из Т ([а, Ь]) определенное вещественное
число Этот функционал мы будем называть интегралом., если для любой
fsf ([а, Ь]) и любого с е [а, Ь] будет 3)
Т(о=Т(/)+Т(о о)
а а с
и (при х s [a, b])
Urn Ttf) = Ttf). B)
х^с а а
Иными словами, интеграл есть аддитивная и непрерывная функция отрезка.
Все функции, входящие в класс Т ([а, Ь\), мы будем называть Г
интегрируемыми на [а, 6] Из условия правильности системы классов Т {[а, 6])
вытекает, что всякая функция, Т интегрируемая на отрезке [а, Ь], будет
Т-интегрируема и на каждом отрезке4) [р, q], содержащемся в [а, Ь]
Рассмотрим некоторые свойства введенного понятия интеграла Пусть
f (х) функция, заданная на [а, Ь] и с<=[а, Ь] Если при любом б> 0
функция f(x) не будет Г-интегрируемой на отрезке [с —б, с + б] [а, Ь],
!) См теорему 5, § 2, гл. VIII.
2) Точный смысл этого соотношения таков функция f(x), заданная на
[а, Ь], входит в Г ([а, />]), тогда и только тогда, когда обе функции,
получающиеся из f(x) при рассмотрении ее лишь на [а, с] или на [с, Ь], входят
в соответствующие классы Т ([а, с]) и Т [(с, Ь)\.
а а а а
3) В частности, если f<=T{[a, а]), то Т (/) = Т (/)+Т (/), т. е.Т (/) = 0:
а а а а
интеграл «по точке» равен нулю.
4) И, в частности, на каждой точке с е [а, Ь\.
403
то точку с \словимсл называть Т-особой для функции /(*), а множество всех
таких точек б^дем обозначать через ST (/, [а, Ь\) Иногда вместо ST (f, [a ,b\)
мы б>дем писать Sг ([а, Ь]), или Sr ([) и даже просто S7 .
Ясно, что v функции Т-интегрир\емои на [а, Ь\, б\дет ST ([а,Ь\) = П
Справедчпво п обратное, как показывает следующая лемма-
Лемма I. Lnu /(л) задана на [а, 1>] и не входит в Т ([а, Ь}), то
ST(f; [п, Ь])^0.
Доказательство. Положим d = —L—. Хоть один из отрезков
[a, d] и [cl, Ь] обаадает тем свойством, что на нем f (х) не будет Т
интегрируемой. Обозначим ею через [alt bt] и, положив dl-~—l!—-t обозначим
через [о2, Ь2] тот из отрезков [at, dj] и [rfj, Ьг], на котором } (х) не T-HHTeipn-
р^ема Продолжая этот процесс, мы построим бесконечною последовательность
вложенных отрезков [о, Ь] гэ [alt bj] zd [с/2, !>2\ ^> . , на каждом из которых
/ (х) не будет Т-интегрируемой.
П)С1ь с точка, общая всем [о„, Ьп\ Если S > 0, то при достаточно
большом п окажется \ап, Ьп\ с. [с — б, с + 6] [п, Ь\
Отсюда следует, что f<=T([c— 6, с + 6] [а, Ь]), и точка с оказывается
Т особой
Лемма 2. Множество ST—ST(f, [a, b]) замкнуто
Д о к d з а т е ч ь с т в о. П^сть c,,€^ST и сп —» с. Возьмем б > 0. Если п
б
достаточно велико, ю сп — i ^ и потому
[с»-|. сп+&2^[а, b]cz[c-6, с + 8]\а, Ь].
Так как /(л) не Т-интегрнруема на отрезке, представляющем левую часть
этого включения, то она и подавно не Т-интегрир>ема на [с — б, с + 6] [а, Ь].
В силу произвольности 6 отсюда следует, что ceST, что и требовалось
доказать
В дальнеишем нас будут интересовать случаи, когда Sr не заполняет
всего отрезка [а, Ь]. В таких случаях дополнительное множество [a, b] - S t
будет состоять из конечного или счетного множества попарно не пересекаю
щихся промежутков. Действительно, если Sr=0, то [а, Ь] — ST = [a, b]
Если же Sj.^-0 и [p, q\—наименьший отрезок, содержащий Sr, то1)
[a, b]-ST=[a,p) + {lp, q]ST } + (<?, b]
и остается напомнить, что множество [р, q]—ST или пусто, или состоит из
попарно не пересекающихся интервалов То обстоятельство, что некоторые 1'ч
промежутков, дополнительных к Sr, не являются открытыми интервалами,
строго говоря, треб\ет <_оответств\юш,их усложнений в обозначениях, но мы
все же будем в дальнейшем все эти промеж) тки обозначать просто чс)к
(о„. Ь„), хоти и не исключено, что один из промежутков (й„, Ьп) на самом
деле есть [ап, Ьп) или (ап, Ьп] и даже [ап, Ьп\ (если 57 =0)
Допустим, что нами рассматриваются два интеграла Т, и Т2 Если вся
кая Тринтегрирхемая функция обязательно и Т2 ннте! рируема, причем
значения обоих интегралов для нее совпадают, то юворят, что интеграл 7\
более общий, чем Тх
Покажем, как, исходя из некоторого интеграла Т (в самое определение
которого должно входить указйние на соответствующую правильную систем)
') При р = а будет [о, р) = 0.
404
Si! классов Т-интегрир\емых функции Т (fa, b\))t можно построить другой
более общий ниш рйл /%
Для этой цечи мы прежде всего должны определить соответствующею
новому интегралу правильную систему классов интегрируемых ф\нкций.
Условимся нключать санкцию /(i), заданною на отрезке [а, Ь\, в класс
7, ([а, Ь]) то1да и только Т01да, ко] дл выполнены следующие три \еповпя
1) Множество S, — ST ([, [a, b\) пнгте не плотно па [a, b] и "функция
/ (х) на этом множестве интегрируема в смысле Лебега J)
2) Если )(а„, Ьп)\- совокупность дополнительных интервалов S? , то для
каждого п существует конечны» предел
(i
/n = limT(/) (an < a < р < й„, а--ап, $ — Ьп).
3) Если 2)
то
tFn = sup
Т(/)
2>я
К < а < р < 6„),
Убедимся в правильности системы классов 7% ([а, Ь\). Допустим пре кде
всего, что /(л-)еТ([а, Ь\) Тогда ST (/, fa, Ь]) = 0 и вся с}мма ^](а„, й„)
сводится к одному слагаемому отрезку [а, Ь] Уже было отмечено (см первую
сноску на этой странице), что условию 1) наша функция удовлетворяет.
Условие 2) для нее также выполняется, ибо в силу B) будет
р ь
limT(/) = T(/),
если a<a<p<6, a —а, р —6 Наконец, и условие 3) для f (х) также
б^дет выполняться, так как имеется всего лишь одно (конечное!) Ч1кло №.
Таким образом, Т([а, Ь\) с: Т., {[а, Ь\) и все кпассы Tt([a, b]) не пусты
Пусть, далее, f {x) s 7\([a, b\) и «<с<6 J) Рассмотрим множество
Sr(/, fa, с]). Легко видеть, что оно является частью множества ST (/, fa, b])
и потому нигде не плотно на [а, с], а функция f (х) на нем интегрируема
в смысле Лебега. Таким образом, ф) нкция / (х) на отрезке [а, с]
удовлетворяет условию 1). Пусть [a, c]—ST (j; [a, c]) = ^(an, bn).
п
Еспи ceST([, [а, с]), то каждый фигурирующий здесь промежуток
(ал1 Ьп) будет являться дополнительным и ко всему множеств\ Sr (j, [a, b])
до отрезка [a, b] Если же с е= Sг (/, [а, с]1), то это так для всех (а„, Ьп),
кроме, может быть, одною промежутка вида4) (а„„, с] Из этого
обстоятельства непосредственно вытекает выполнение условии 2) и 3), необходимых для
включения f М в класс Г* ([а, с]) Аналогично доказывается, что/ е Tt {[с, Ь\).
1) Это условие выполнено всегда, когда mST=0, и тем более тогда,
когда S7 =0.
2) Условие 2) обеспечивает конечность чисел W,,.
3) Случаи с —а и с = й тривиальны. В самом дече, если f (х) задана
в точке х0, то независимо от того, б)дет или нет она Г-интегрнруема на
этой точке, f (x) обяза1ельно войдет в класс Tt ([xa, а0])
4) Впрочем, возможно, что Sj- (}, [а, с]) = 0. Гогда упомянутым
исключением будет сам отрезок [а, с].
405
Таким образом,
ТЛ[а, 6]) с Г, (К с])Тя{[с Ь]).
Обратное включение устанавливается при помощи сходных рассуждений.
Итак, система классов Tt ([а, 6]) правильна. Определим теперь для каж
ь
дой / е Т, ([а, Ь]) значение функционала Т (/) при помощи формулы
а
Т\ (/') = 2'/. + (?) \ f(x)dx. C)
a u ST(f)
Это определение корректно, так как ' /п I -S U^n и потому ряд ? !п
абсолютно сходится.
Полезно заметить, что для всякой Т-интегрируемой функции / (,v) (мы ^же
отметили выше, что она входит и в 1\ ([и, Ь])\ б}дет
ь ь
Тф0"Т(»,
а а
ибо в правой части '3) интеграл Лебега исчезает, а сумма И /„ сводится
Ь
к одному слагаемому T(f)-
а
Другой простейший сличай мы имеем тогда, когда Т-особымп точками на
[а, Ь\ будут только а и ft. В этом случае
ь Р
Тф(/) = ПтТ(/) (а<а<р<6, а — а, В —6).
а а
В силу этого простого замечания из C) вытекает, что
ь ьа
а п ап STtf)
ь
Убедимся в том, что определенный нами функционал Т (/) является
а
интегралом в смысле определения, данного в начале параграфа, т. е.
в том, что он аддитивен и непрерывен как функция отрезка fa, b].
П> сть / е Т* ([а, Ь]) и а < с < Ь. Ясно, что
ST(fi I«. b]) = ST (f; [a, c]) + ST Q; [с, fcj),
причем множества, записанные справа, либо вовсе не пересекаются, либо
имеют только одну общую точку. Отсюда следует, чю
(L) j f(x)dx=(L) j ^(*)dx+(L) J f(x)dx, D)
Sr([°.b]) Sy([o, e]) Sj {[,, b])
причем оба интеграла, стоящие справа, существуют и конечны.
Пусть, далее,
[a, b]-ST([; [а, &]) = ?>„, Ъп).
п
Относительно точки с можно сделать три предположения: она входит
в оба множества ST ([а, с]) и ST ([с, 6]), она не входит ни в одно из них,
она входит в одно из этих множеств и не входит в другое. Во всех этих
406
случаях рассуждения очень похожи друг на друга, и мы для примера
рассмотрим только первый из них. В этом случае "псе множество промежутков
(ап, Ь„) распадается на два непересекающихся подмножества, состоящих из
промежутков, лежащих соответственно левее и правее точки с. При само собой
понятных обозначениях 6}дет
Га. Ь] [а. с\ [с, Ь\
откуда, б связи с D), вытекает, что •)
T,(/)=T,(f)+T,</). E)
нас
Итак, функционал Т# есть аддитивная функция отрезка. Лекажем теперь,
что при /еГ, ([а, 6]), х <= [а, 6], с <=[а, 6] и х -*с будет
limf,(fl = f,(/). F)
а а
Пусть для определенности х < с. Тогда мы можем считать, что с = Ь-
Относительно точки Ь можно сделать три предположения; она не входит
в множество ST (f; [о, b}), она является его изолированной точкой, она
является предельной точкой этого множества.
В первых двух сл\чаях рассуждения почти самоочевидны. Действительно,
если b eSr (f, [a, fcj), то функция f (x) будет Г-интегрируемой на отрезке
[р, Ь\, если только р достаточно близко к Ь. Стало быть, для таких р будет
ь ь
Т\(/)=Т(О.
р р
В таком случае
b х
T,tf) = hmT(/), G)
р р
X X
где р < х < 6, a: -v 6. Но так как Т(/) = Т*(/), то вместо G) можно напи-
р р
ь х
сать Т* (/) = lim T* (/), и остается заметить, что
р р
Тл/)-Тл/) = Тл/)-Т,(/).
я а р р
Если 6 —изолированная точка ST(f; [a, 6]), то при р, достаточно
близком к Ь, она б^дет единственной 7"-особой точкой отрезка [р, Ь\. По
определению Т* (/) снова будет выполняться G), и доказательство заканчивается,
как и в предыдущем случае.
Рассмотрим, наконец, основной случаи, ко1да Ъ есть предельная точка
множества Sr(f\ [a, b\). D лом случае точка b не может служить правым
концом ни одною интервала (л;|, 6п), дополнительного к ST(f\ [a, b\),
') Мы предположили, что а<с<6, но для а —с и с — Ь равенство E)
с
очевидно, ибо из самого определения Т, (/) ясно, что Т. (/)=0.
с
407
а число этих интервалов будет заведомо бесконечным. Заметив ло, возьмем
е>0и подберем такое N, чтобы было
2 W«<e.
т- N
(8)
Существование подобного Л' следует из условия 3), которому должна
удовлетворять f(x).
Отметим также такое 6 > 0, чтобы неравенство Ь — б < л: < 6 влекло
неравенство
(?) \ IV) dt
ST <[л. *])
(9)
Обозначим через р самую правую из точек 6 — 6, bv ft,, ... , 6/V и пусть
*>р\
Если teSj ([x, Ь]), то по самому определению Tt(f) будет
ь
т,(/)= s 7«+^ S ^(/>Л- A0)
л: пеЛГ $7" <!>'¦ ft])
где М есть множество тех п, для которых (ап, Ьп) а [х, Ь]. Ясно, что для
всех лих п будет я > N и потому
Если же isSj.([i, b]), то найдется такое m, что am-^ д: < &m. Очевидно,
при этом т> N. Тогда вместо A0) окажется
Но
н потому
тл/)=т,(/)+ 2 /«+(/-) J .
х х п S Л1 S г ([а\ Ь])
T,(/) = limT(/) <*<y<6m, </->6т)
A2)
ТИ^
;w.
: е.
Отсюда, с учетом (9) и A1), ясно, что при л>Р будет
Т,(/)-Т,(/)
Т. (/)
:3в.
Таким образом, и в этом случае верно F) и, следовательно, Г„ (/)
действительно является интегралом.')
§ 7. Узкий интеграл Данжуа
Теперь, наконец, мы можем дать определение «узкого» unrei рала
Данжуа. С этой целью сначала построим гранефиннтную последовательность
(типа Q + 1) все более и болеа общих интегралов, которые мы будем назы-
1) И притом более общим, чем Т Q).
408
вать /^-интегралами и для функции /(л), заданной на отрезке [а, Ь\,
обозначать через
ь
(O-J If / (v) dx. A)
Интегралы A) определяются Ш1д\ктикно. Именно, под
h
(Д.) \' / (дс) ^
мы будем понимать просто интеграл Лебега
ь
(L) (j / (х) dx.
а
Допустим теперь, что нами уже определены интегралы A) для всех \ < ц,
где1) 1] ^ Q, причем из t\ < ?2 <. Ц следует, что интеграл D, общее чем D,
Если !] — число первого рода и 1] — 1 ему непосредственно предшествует, то,
полагая
ь ь
Т(/)-(О„_,)|[/(дс)^,
а а
мы определяем интеграл D^ формулой
ъ ь
(Dn)J/(*)^=T, (/).
я а
Если же т) —число второго рода, то мы включим в класс функций,
?>п-интегрируемых на отрезке [а, Ь], все функции f(x), которые оказываются
на этом отрезке /^-интегрируемыми хоть при одном | < 1], и положим по
определению
ь ь
(Dn)\f(X)dx = (Dit)\f(x)dx,
а а
где со есть наименьшее2) из упомянутых g. Таким образом, если i] — число
второго рода, то класс /^-интегрируемых "функций есть
теоретико-множественная сумма (по всем % < \)) классов Dt-интегрир^емых функций Поэтому
данное нами определение интегралов A) \южно записать при помощи
символических соотношений
D0~L, D^tD,,.!),, D,,= 2 Dl,
\ - n
причем второе соотношение надо применять тогда, когда 7] есть число
первого рода, а третье тогда, ко)да i] второго рода.
В частности, беря ? = Я, мы приходим к «узкому» интегралу Данжуа.
Определение. Интегралом Данжуа в узком смысле слова функции / (х),
заданной на отрезке [а, Ь], называется интеграл
ь
(Dn)\f(x)dx B)
!) Ниже будет объяснено, почему интегралы A) не рассматриваются для
2) Легко видеть, что это |0 есть обязательно число первого рода. Ясно,
ъ
что функционал (Dt|) \f (x) dx является интегралом в смысле § 6.
а
409
Как мы уже упоминали, этот интеграл называют часто и интегралом
Данжуа — Перрона Вместо B) его обозначают обычно 4epej')
I)
(D) \ f (x) dx
а
Пользуясь той же символикой, что и выше, мы можем написать формулу
D= V D-q, так что всякая функция, интегрируемая по Данжуа б\дет и
?>ъ интегрируема при некотором \ < i и если наименьшее из этих \ есть ZQ, то
ь й
(D)i/Wdx = (Dgg)\/(*)^
и а
Остановимся на некоторых свойствах введенного интеграла
Теорема 1. Если функция f (л) на отрезке [а Ь] оказывания D%unme
грируемои при какой нибудь ?<L\ то она там и Dt[ инпигрируема при всех ц,
удовлетворяющих неравенству | <i ц <i Q, причем
Ь ь
(Dn)\[(x)dx = (D^\f(x)dx
а а
Доказательство Докажем теорему сначала дня 5 = 0 При 7^ = 0
наше утверждение тривиапьно Допустим, что оно уже доказано для всех
rj<?, где 0 < ?-^ Q Если t, — чиспо первого рода, то утверждение спра
ведливо для Ц — t, потому, что интеграл Tt более общий чем Т Если же
'Q — число второго рода, то дело сводится непосредственно к определению
интеграла A), когда индекс есть чисто второго рода Итак дтя Х = 0 теорема
доказана Пусть она доказана для всех ?<а, где 0 < а < Q Убедимся, что
тогда она будет верна и для ^ = а
Справедливость утверждения теоремы дтя т] = а очевидна Допустим,
что оно верно для всех ц < ?, где а < ?, -S й Если ?; — число первого рода,
то справедливость утверждения для i] = ? устанавчивается, как и выше Пусть
же ? — второго рода Тстда Dr интегрируемость функции очевидна При этом
* Ь
(D^) J/W dx = (D$) ^ / (a-) dx, где р есть наименьшее из у, обтадающих jем
а а
свойством, что сЬункция f {х) будет Dy интегрируема Ясно, что р sc. а Если
Р = а, то утверждение доказано, есчи же р<а, то оно вытекает из
индуктивного предположения, что теорема верна для всех |<'х, что и требовалось
доказать
Кратко доказанную теорему можно формулировать так чем больше ^,
тем общее интеграл Dt
Условимся обозначать множество D^ особых точек функции /(*), задан
ней на [а, Ь], через S| (/, [а, Ь]) Иногда мы будем употреблять и одно из
более простых обозначений S^ ([a, b]), S- (/), Se
Из теоремы 1 непосредственно следует, что при | < т| будет S| zs Sn
Теорема 2. Для того чтобы функция / (х), заданная на [а, Ь], бы га таи
D интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы было
П S?(/, [a, b]) = 0 C)
|<я
Доказательство Пусть f (х) будет D интегрир'\ема на [а, Ь] Тогда
она Dj интегрируема на [а, Ь] при каком ннбудь С, < Q
Ь
2) А иногда через (?>,.) ^ / (х) dx.
410
5 (/ [a, ft]) —0 Этим доказана необходимость условия C) Достаточность
его вытекает из принципа стационарности Кантора — Бэра, 1) ибо при выпол
нении C) наймется такое Е что S> (/, [а, Ь)) —О, a мто означает D^ интегри
р^смость / (х) на [а, Ь]
Остановимся в зак точение этого параграфа на том, почему не
рассматривают iiiiTcipanoB A) при t > Й Дело в гом, чго если бы мы захотели ввести
иитирач D,j ( по формуле Dq , ( = (?),->) , то это }>ке не привело бы к
расширению ктасса miTei рир\емых функции Действительно, допустим, чтофунк
ция /(л) зтдчнная на [a ft], оказалась бы на этом отрезке интегрируемой
в смы< тс D,, j ,, не б}одчи интегрируемой в смысле Dp В тачом случае
множество Sp (/) бы то бы нигде не плотным на [а, Ь] и f (х) была бы на нем
суммир\ема Ооозначим через \(аа Ьп)\ множество всех интервалов,
дополнительных к множеств1, SfJ (/) Для каждою из них должен существовать конеч
ныи предел интеграла
Р
(DQ)\f(x)dx D)
а.
при ач < а < р" < Ьп, а->ал, Р -*• Ьп Закрепим число п и пусть ах < f>lt
a1>a2>ct> ,P!<P2<P3< . «л-* On. Pft-* ft»
Тогда на каждом отрезке [a/,, Pj.] наша f (x) должна быть Dq
интегрируемой, а это означает существование дня каждого нат^рапьною k такого числа
|^<Й, что f (х) на [а/,, р4;] б^дeт D^ интегрируема Поскольку чисел \k
имеется всего лишь счетное множество то должно найтись число Т1Д<СЙ,
большее всех Ь,/ По топ же причине напьется такое ?<О, которое будет
ботьше всех т]„ Ясно что / (х) б^дет D^ игте! рир^емои на каждом отрезке
[a, PI, не пересекающемся с Sa (f) и лежащем в [п, Ь\
Отсюда вытекает совпадение множеств S- (/) и SQ(J) и возможность
замены в интеграчах D) знака Dfl на Dj. Все это, вместе взятое, означает
не что иное как интегрир\емость / (х) в смысле D^ j Последнее, однако,
противоречит предположеннои неинтегрируемости f (х) в смысле Ой.
§ 8. Теорема Г. Хаке
В lri21 г немецкий математик Г Хаке доказал, что интеграл Перрона
общее 2) чем узкий интеграл Данжуа Здесь мы излагаем зтот результат
Лемма 1. Пусть функция /(а), заданная на отрезке [а, Ь\, оказывается
интегрируемой (Р) на каждом отрезке [а, [}], где а<$<Ь. Если
существует конечный преде i
Р
У= \\m(P)\f(x)dx,
Р-й a
то /(х) будет интегрируемой (Р) и на всей [а, Ь], причем
Ь
{P)\j(x)dx=J. A)
1) Гл XV, $ 3
2) Мы употребляем этот термин в точном соответствии со смыслом,
приданным ему в § 6 Таким образом, каждый интеграл Т, «более общий», чем
он сам В частности, в рассматриваемом сл\чае мы как раз сталкиваемся
с этим обстоятельством, ибо, как будет показано ниже, на самом деле интег
ралы Р и D тождественны
411
Доказательство. Положим Ьп — а и
h _ bn-i + b . _. „ „ .
Очевидно Ь„ < Ь1 < Ьг < .. и Ь„-*Ь. На каждом отрезке [Ь,,^, /?„]
функция /(л) будет интегрируй^ (Я). Выберем некоторое ь > 0 При
каждом натуральном п на отрезке [Ьп_ъ Ьп\ будет существовать 1акая надфунк-
ция Un (х) функции / (*), что
Ь..
ипфп)<(Р) \ f(x)dx+*h.
K-i
С помощью этих надфункций зададим для а^к<.Ь функцию М (х),
положив
М (х) = Ut (x) при а^х-^Ьх,
M(x)^U1(b1) + U2(x) при bl-^x^-bi.
M(*) = Ul(bl) + Ui(bJ + .. +Un г(Ьп 1) + Un(x) при Ьп _х^х^ Ьп,
Так как t/rt(^n_i) = 0, то М («) будет непрерывна, и при любом * из (а, /;)
будет
D/W (ж) > -со, ПМ (х) --S / (*). B)
Убедимся в существовании конечного предела
lim М (л-). C)
По самому определению Un (x) будет
V
0^УяFл)-(Р) ^ f(x)dx<~ («=1,2,3,...)
ftn-l
и потому ряд
«Г ьп 1
сходится, причем сумма его меньше е. С другой стороны, ряд
сходится и сумма его равна J. Отсюда нытекает сходимость ряда
S Уя(*я). D)
причем его сумма меньше чем У + е.
П>сть теперь bn_i-s^x*s?- Ь„. Тогда
х х
(Я) i f{f)dt^Un{x)<(P) [ /W* + 4. E)
bn-l bn-l
412
Если x->-ft, то п -> оо и крайние члены неравенства E) стремятся
к н\лю. Стало быть, и Hm Un(x)—Q. Отсюда и вытекает существование
предела C), причем он оказывается равным сумме ряда D). Обозначая этот
предел через М (ft), мы приходим к функции М (х), заданной и непрерывной уже
на всем [а, Ь]. Однако мы все же не можем назвать ее надфункцией для f(x),
ибо неравенства B) не обязаны выполняться1) при х = Ь.
Покажем, что исходя из М (х), можно построить функцию U (х),
которая будет для I (х) служить надфункцией уже на всем [а, ft]. Для этого
обозначим через S (х) колебание функции М (х) на отрезке [х, Ь]. Ясно, что
S (л) будет убывающей и неотрицательной функцией, заданной на всем [а, Ь],
причем S(ft) = 0. Нетрудно также убедиться в том, что S (х) непрерывна на
[а, Ь].
Выберем точку с (а<с<.Ь) настолько близкой к 6, чюбы оказалось
S (t) < ё, и введем функцию U (х), положив
М (х) при a s? х =g с,
U(x) =
M(x) + S(c)-S{x) + bLLJL-LLJL при csc л: <Ь.
У Ь — с
Ясно, что U (х) непрерывна на [а, ft], ?/(«) = 0, и при a=S.x<:c будет
DU(x)>-со, DU(x)>f(x). F)
ГГрн х = с эти неравенства тоже очевидно будут выполнены, если под
DU (х) понимать левостороннюю нижнюю производную. Покажем, чго
м для х <= [с, Ь\ будут выполнены соотношения F). Пусть х и х-\-Ах — две
различные точки из [с, Ь]. Тогда
U(<c + Ax)-U(x) ^M(x + Ax)-M(x) S(x + bx)-S(x)
Ах Ах Ах
б \ Ь — х — Ах — УЬ — х
\ Ь — с Ах
Так как обе функции S (х) и \rb — x убывают, то
U(x + Ax)-U (х) ^М(х + Ах)-М(х)
Ах Ах
и для х Ф Ь соотношения F) справедливы в силу B).
С другой стороны, если с =?-ft — h <c Ь, то
U(b-h)-U(b) _M(b — h) — M(b) — S(b—h) , в
— h —h У b-c \ h
По определению S (х) будет М (Ь — h)~-M (ft) < S (ft— h) и поюму
U(b-h)-U(b) ^ в I
— h " \'JZTC | h '
Отсюда вытекает, что U' F) =-f- оо, г. е. при х — Ь выполнены
неравенства F). Таким образом U (х) есть надфункиия для / (х). При этом
U(b) = M(b) + S(c) + z
и потому U (ft) < J + Зе.
1) Существенно, разумеется, лишь то, что не исключена возможность
равенства DM (ft) =—со, ибо функцию f (x) можно изменить в точке х = Ь,
что не отражается на Р-ннтегрируемостц ее,
413
Аналогичным образом можно построить такую подфункцию V функции
/(а), что V (b) > J — Зр Вгшду произвольности е из сказанного вытекает
Я-интегрируемость / (а) на всем [а, Ь] Что касается равенства A), то оно
является следствием непрерывности неопределенного интеграла Перрона
Лемма 2. Если I) / (х) задана на \а, Ь] и интегрируема (Я) на каждом
[а, Ь], где a<a<ft, 2) существует конечный предеi
Ь
lim (Я) \' / (х) dx,
то {(х) интегрируема (Я) на всем [а, Ь].
Доказательство Рассмотрим вместо / (х) функцию /* (а), заданную
на [—Ь,—а] (|ирм)лш1 )* (д.) = / (— х). Если а < а < Ь и U (х) есть на д-
ф^нкция для / (х) на отрезке \а, Ь], то функция
(У1 {x) = U (b) — U (— х)
б)дет надфункциеи для /* (а) на [—Ь, —а], ибо
b*(<<±h) — U* (х) _ U(—x — h) — U(—x)
h ~ —h
и потому
DU* (x) = DU (— х).
Так как U* (—a) = U(b), то mf {U* (— а)} = inf {U (h)). Опираясь на
этот факт, легко убедиться, что f (х) на отрезке \—h, —а] удовлетворяет
всем условиям леммы 1. Значит,/* (а-) будет (Я)-интегрируемой на [—Ь, — а\,
а это равносильно Я-пнтегрпруемости f (х) на [а, Ь].
Из сопоставления обеих лемм следует
Теорема 1. Если f (х) задана на [а, Ь], интегрируема (Я) на каждой
[а, Р] cz (a, b) и существует конечный предел
Р
lim(P) U(x)dx (a->a + 0, f}-*fc_0),
а
то / (х) интегрируема (Я) на всем [a, ft].
Для дальнейшего нужна
Лемма 3. Пусть на \а, Ь] расположено счетное множество отрезков
[ak> Ь//], попарно без общих внутренних точек Пусть функция f(x),
заданная на [а, Ь], равна нулю вне интервалов (ад,, ft/,) и интегрируема (Я) на
каждом [ait, bk]. Если
Р
U^ = sup
(Я) \ f {х) dx
(ak s? а =? p sc bk)
k = \
то для любого 8 :> 0 у f (х) существует такая подфункция U (х), что
U(b)<?L3H + e. G)
Доказательство Пусть М/< (х) — такая надфункция f (х) на
отрезке [а^, Ь^\, что
Mk$kX(P) ^f(x)dx + -
в
3 2*
414
Так как для всех х из [ак, bk] будет
(P)y(t)dt^Mk(x)^(P) ^/(/)Л + _^Г)
то
Обозначим через Rk, Рк(х) и Qk (x) колебания М (/) соответственно на
отрезках [afe, f>fc], [аЛ, .г] и [х, Ьк\. Тогда
OsSPaW^*, О ^Q* (*)&**,
^ft(a*) = 0' Qti(bit) = O, Pk(x) и Qa (*) непрерывны на [afc, ftA], причем первая
из этих функций возрастает, а вторая убывает.
о
Покажем, что Rk g: 1^^+ ^ „k . Действительно, если х и у — две точки
из [ак, b/i], причем х^-у, то
X X
(P)^[(t)dt + ^w^Mll(x)^(P) ^f(t)dt,
И у
(Р) J / @ dt^Mk (у) ^(Р)у @ dt+^,
- У
(Р)\ f(t)dt-1^F^Mfl(y)-Mk(x)^(P) ^f(t)dt+-?p
откуда
X
и, стало быть,
\Mk{y)-Mk(x)\^Wk + 1±w,
чем и доказана требуемая оценка Як.
Определим на всем [a, b] последовательность функций <fi,(x), полагая
10 при a-^xs^ak,
Mk{x) + Rk + Ph(x)-Qk(x) прпак^х^Ьк ,
Mk(bk) + 2Rk при bk^x^b.
Все эти функции непрерывны, причем
0^<рк(х)^Жк + ^к.
Покажем, что функция
к = 1
требуемая Равенство U(a) = 0, неравенство G) и непрерывность U (х)
очевидны. Остается проверить, что DU (х) >—со, DL/ (х) ^/ (х).
Докажем эти неравенства только для правосторонних производных
чисел1) D+U (x), ибо для левосторонних производных DJJ (х) рассуждения
почти анало! ичны (хотя и немного сложнее).
') Правостороннее производное число есть предел последовательности
U(xa + hk)-U{xu)
-, в которой ЛА->0 и hk > 0. Аналогично, с заменой лишь
на hk < 0, определяется левостороннее производное число.
415
П^сть а — х0 < b Если найдется такое i, что а, ^ х0 < Ь,, то при
достаточно малых h > 0 б> rjex а, < л-0 \-h<bt и потому при fe Ф i окажется
<р*(^о + Л) = ф*(-»о). так что
(У (*„ + /1) - U (дг„) = Ф, (х0-J- Л) -ф, W =3 М, (х„ + Л) - М, (дг0)
Отсюда сразу вытекают оба неравенства
D+U(xa)>-^,, DM(xa)
Ч(*и)
(8)
Допустим теперь, что такого i не с>ществ^ет Тогда *0 лежит вне всех
промежутков [ак, fefr) и потому / (д:0) = 0 Выберем какое либо нат\рачьное k
Если Ьк х„, то при любом Л>0 б^дет ф,, (дгп + Л) = Ф/, (х0) Если же Ьк >
> л;0, то и о;, > д;0 (ибо иначе было бы о/, •- л0 < Ьк) Ста по быть, <рк (х0) =
= 0 ^ <fa (xo-\-k) Итак, при А > 0 и люСом k оказывается фл (л0) ^~ фА (л-0 + А).
Но тогда D U (х0) ~- 0 и снова выполнено (8) Лемма доказана
Докажем теперь основное для дальнейшего утверждение
ь
Теорема 2. Если интеграл Т (/) лише общий,') чем интеграч Перрона,
а
Ь
то и его расширение Т* (/) также мете общее, чем интеграл Перрона
а
Доказательство Пусть / (х) —функция Tt интегрируемая на fa, b],
но не Т ннтегрир\емс!я на этом отрезке. Обозначим через S мнокество ее
Г-особых точек, а через (йа, Ьк) — интервалы, дополнительные к множеству S,
Согласно теореме 1, функция f (х) б>дет Р интегрируемой на каждом отрезке
[ак, ь>г)
оо
Возьмем t>0 в найдем такое т, что ^ ^k < е> гАе> как " раньше,
* = m + 1
U7, = sup
Т(Л
= sup
(Я) I) / (jf) dx
(a* < a < p < ftfr)
Введем в рассмотрение три функции р(х), q (x), r (х), заданные
следующим образом
m
j (а) при х е ? (а„, Ъ„),
PW =
* = i
0 при хе [a, 6j— _2 (°к- bk)
<?М =
/(*) при х.
= 2 (а*, Ьк),
k = m -f* i
0 при дг е fa, й] — ^ (д*' **>;
/г = ш + 1
,M-ff(x} при дге5'
*¦ ' { 0 при хе [a, b\ -S.
]) Это значит, что интеграл (P)\f(x)dx более общий (в смысле § 6),
а
Ь
чем Т(/).
а
416
Ясно, что
/(t)-P(v) -q(x)J-, (х)
Ф\нкщ'я t (х) б!,дет с\м\шр\емои на [а, Ь], а эначш и Я интегрируемой
на этом отрезке, причем
/ л
(Я) \r(x)dx=- (L) \ г (л) их = (L) \ ! (л) dx
а ч S
Ф\шшпя р (л) так/ке Р интегрируема на [а, Ь] Действительно, как >же
было отмечено, функция /(г) ш.тегрир^ема на каждом т отрезков [ак, Ьк]
Гели тмгнить ее значения в дв>х течках ар, и Ьк, сцелав их равными н>лю,
то это не тэмпит ее Я интeгpиp^ емостн и не изменит величины ее интеграла
Поэтом\ функция р (\) на отрезках [о( bk\ (ft = l, 2, , /п) б^дет Я инте-
т
rpupytMa Но на мно/кестве [о, !>}— ^ (afr. 'J*)> являющемся суммой конеч-
fe = 1
ного чиспа отрезков, эта санкция есть 0 и, очевидно, Я интегрируема Таким
образом, о (О 1пмегрир\е ia (Я) на всем [о, Ь], причем
(Я) I р (х) dx = |] (Я) \ f (v) dx = |] /ft.
а
где положено
A=l Ofc fe=|
/А = 1"пТ(/) (a-*fl* + 0, p-»-6ft-0).
а
Благодаря Я интегрируемости р (х) и г(г) (и указанным значениям их
Р шпыралов) найду гея такие их надф^нкцнн U0(x) и t/,-(<). что
/и
i/» Ф)< Ц /* + е, ^ (*)< (Q \ f (х) dx + e.
к = \ s
Наконец, d силу леммы 3 для q (х) существ>ет такая надф\нкция Unix),
что ') Uq (I) < 4ь.
Потопим t/(Ar) = d/, (at) (-f/9(x) + t/r(x)
Тогда (см следс1вие леммы I § 2) (/ («) будет надфункцней для /(а),
причем
/л
i/(ft)< 2] /*+ (Л \"/Wrf-H-6e
С другой стороны,
k-in + l
i; »^*<е
ft = /H+ 1
Стало быть,
со -
U(b)< % I,, + (L)[l(x)dx + 7e,
ft = i S
или, что то же самое,
ь
U(b)<'l\(f) + 7e.
а
Остальное ясно
Теперь уже легко доказать интересующ>ю нас теорему.
]) Здесь Н < е.
417
Теорема 3 (Г. Хаке). Интеграл Перрона более общий, чем узкий
интеграл Данжуа.
Доказательство Всякая функция, D-интегрируемая, б\дет D^-ин-
тегрируемой при каком-нибудь | < Q Поэтому достаточно доказать
следующее предложение: если функция ?Ь-ннтегрир^ема при ?<й, то она и Р-инте-
грир^ема, и оба ее интеграла (Р) и (Dt) совпадают Для ? = 0 лто предпоже-
ние верно. П^сть оно верно для всех | < ti и пусть / (х) — функция D^-инте-
грируемая. Если г| -число второго рода, то справедливость предложения для
этого 1] очевидна Если же ц — первого рода и ц — l ему непосредственно
предшествует, то по предположению наше предложение верно для интегралов
^ri-i и достаточно, сославшись на то, что Dn = (Dn j),,, применить теорему 2.
Теорема доказана.
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана
В этом параграфе мы докажем полную тождественность интегралов
Перрона и Данжуа В силу теоремы Хаке для этого достаточно обнаружить, что
интеграл Данжуа общее ') интеграла Перрона. Этот факт был установлен
независимо друг от др\га русским математиком П. С Александровым A924) и
голландским ученым Г. Ломаном A925)
Лемма I. Пусть функция f (х) интегрируема (Р) на отрезке [а, ft] и
U (х)—кахая-нибудь ее подфункция. Обозначим через Et(i=\, 2, 3, )
множество всех таких х из [а, Ь], что при любом t Ф х и t e [а, Ь] оказывается
t — x
Тогда: а) каждое множество Е, замкнуто,
b) справедлива формула
[а, б]=2?«- B)
c) Па каждом множестве ?, функция / (х) суммируема.
Доказательство Пусть последовательность {xk} точек ?,- имеет
пределом точку х*. Выберем какое-нибудь t е. [о, Ь], отличное от х*. Тогда
для достаточно больших k окажется хд. Ф t и
U(t)-U(xh) ^_t
t-xk
Остается, опираясь на непрерывность U (х), перейти к пределу при fe-юэ.
Итак, а) доказано. Чтобы доказать Ь), выберем какое-либо х0 е [о, Ь]. По
определению надфункции будет
11Ш им-иы =DUM>-~.
I Xq
Возьмем какое-ниб>дь число Л, удовлетворяющее неравенству
А<Чт U«l-U^.
t -ха
По самому определению наименьшего предела существует такое б>0, что
при / е [а, Ь\ (х0 — б, хо + 6) (и t ф ха) б\дет
Т=~х~о >Л-
г) См. сноску 2) на стр. 411.
418
С другой стороны, если t <= [а, Ь] и i<=(x0 — б, хо + 6), то
U(t)-U(x0)
t-x,
о
2М_
6
где положено Л4 = тах U (к) . Тем самым для этих t окажется
U(t)-UD) _ 2М
t-xn '" 6 •
2/И
Если i настолько велико, что — i<minM, Х~\> то *о s ?,.
1) с) Для этого выберем к;
i t ф х, то
Ut(t)-Ut(x) _ U(t)-U(x)
Остается доказать1) с) Для этого выберем какое-нибудь i и положим
Ut (х) = U (x)-f- ix. Если 1фх, то
t-x t-x " + '
и потому для х е ?, и < =? х оказывается
/ Y ~~~ '
Отсюда следует, что на множестве Е, функция U, (х) возрастает. По
теореме Кантора—Бенднксона Et представляется в форме суммы Pt-\-Dt, где
Pt — совершенное, a D, — не более чем счетное множество. Обозначим через
а и Ь самую левую и самую правую точки Pj и п>сть {(ап, Ьп)} —
совокупность интервалов, дополнительных к Р, до [а, й]. Зададим на [а, й] функцию
U\ (х), положив ее равной U, (х) на множестве Р, и линейной на каждом из
отрезков [ап, Ьп\. Эта функция будет возрастающей на [а, Ь\. Поэтому почти
везде на [a, b] она имеет конечную производную 0' (х), причем последняя
суммируема на [a, b] и тем более на Я,.
С другой стороны, надфункция U (х) почти везде на [и, Ь\ имеет конечную
производную V (х) (см. § 4). Так как Ul(x) = U (x)-\-ix, то и Ul (x) почти
везде дифференцируема на [а, Ь], а значит и на [о, &]. Если х0 — такая точка
Я,, в которой существуют обе производные U' (х0) и if W, то последние
обязательно равны друг другу, ибо х0 есть предельная точка множества Я(, на
котором ?/, (х) и U( (х) совпадают. Значит на Я; производная U (х)
эквивалентна суммируемой функции U (х), а потому и сама суммируема. Но тогда
и U' (x) = u'.(x) — i суммируема на Я,.
X
Положим F (х) = (Я) ij / @ dt.
а
Разность U (х) — F (х) возрастает на [а, Ь], а потому она имеет почти везде
конечную производную, суммируемую на [а, Ь] и, тем более, на Я,. Но
F(x) = U(x)-[U(x)-F(x)].
Отсюда следует, что F' (х) суммируема на Я,, а так как почти везде на
[а, Ь] будет F' (*) = /(¦*), то / (х) оказывается суммируемой на Я,. Поскольку
суммируемость f (х) на счетном множестве D, тривиальна, доказано и с).
Лемма 2. Если f (х) интегрируема (Я) на [а, Ь], то существует такой
отрезок [с, d] с [а, Ь\, на котором f (х) суммируема.
Доказательство. Применим к отрезку [а, Ь] теорему о том, что
замкнутое множество не есть множество первой категории на самом себе.
!) Разумеется, с) содержательно лишь при т?, > 0. Будем считать это
выполненным.
419
Согласно следствию этой теоремы (гл. XV, § 3, стр. 374) и соотношению B),
найдется отрезок [с, d\ с [а, Ь] и натуральное i такие, что [с, d] a ?;. Так
как / (х) суммируема на ?,, то тем более она суммируема на [с, d], что и
требовалось доказать.
Так как доказанную лемму можьо применить к любому отрезку [ait 6t] с:
с: {а, Ь], то из нее вытекает
Лемма 3. Если, функция ! (х) Р-интегрируема на \а, />], /Ао множество
Sa се точек несуммируемости (т. е. L-особых точек) нигде не плотно
В обозначениях § 7 будет Sa гэ S1 zd 5j r> .. zs Sc з
Поэтому каждое из множеств S; и подавно нигде" не плотно.
Лемма 4. Если функция1 f (х) Р-интегрируема на \а, Ь) и
Sl = S^(f,[a,b])^Q, то и Sj:-Sgj^O.
Доказательство. П^сть сначала в 5- имеется изолированная точка с.
Будем считать, что а < с < Ь (если с = а, или с = 1>, го расс\ждение почти не
изменится). Тогда найдутся такие р н q (а ~~ р <с ¦< q -' Ь), что на \р, q]
с будет единственной D;-oco6oh точкой. Пусть г и s таковы, что р <с г <
<c<s<g. На каждом из отрезков [р, /•] и [s, 17] функция /¦ (дс) будет
О^-интегрируема и ])
(D^\f{x)dx = r{r)-F{p), (DQ)^(x)dx^r(q)~F(s).
р \-
Благодаря непрерывности /¦ (х), написанные здесь интегралы стремятся
к конечным пределам при л-»¦ с, s^-c. Отсюда вытекает, что на [р, с] и на
[с, q], а значит и на [р, q], ф\нкция / (х) D-r г интегрируема. Иными словами,
с е S^_!, и теорема доказана
Рассмотрим теперь случай, когда в St изолированных тот..к нет, т. е.
когда S? есть множество совершенное. Введем уже рассмотренные в лемме 1
функцию U (х) и множества Et.
Кроме того, обозначим через V (х) какую-либо подфункцию / (х) и
построим для каждого натурального у множество F/ гех х, для которых при / ~ х
оказывается
V(t)-V{x) .
t-x ~ h
Аналогично множествам El множества Г, замкнуты и сумма их составляет
весь отрезок [а, Ь\. В таком случае
Поэтому (на основании уже упоминавшегося выше следствия георемы 2, § 3,
гл, XV) найдутся такие i0 и /0 и такой интервал (A, g), что
ОФ01, g)SiC?,/,o.
Пусть х0 — какая-нибудь точка (h, g) S^. Так как S-. нигде не плотно, то
найдутся гакие точки р и q, что h<p < xo<q <g и р е S^, г/ е Sg. Ясно, что
O=^fp, „] S? с: ?,/v
Из того, что р и q не входят в S|, вытекает,2) что
[р, qlS-s=S?([p, q]).
!) Через f (ж) обозначен (Р) ^ / (/) ri/. Мы пользуемся здесь той частью
а
теоремы Хаке, в которой утверждается, что значение D-ннтеграла равно
значению Я-ннтеграла.
2) Если бы было р е S-_, то р могло бы оказаться левым концом
интервала, дополнительного к Ss, и тогда было бы р е [р, q] S^ — S^dp, q]).
420
Итак, S^dp, q]) cz ElaFjo. Покажем, что на отрезке [р, q] функция / (х) будет
В|,!-интегрируема. Из этого будет следовать справедливость леммы, так как
внутрь отрезка [р, q] не сможет попасть ни одна точка S%_lt в то время
как точки S| там заведомо имеются (например, точка х0).
Условие суммируемости / (х) на (нигде не плотном!) множестве Ss ([p, q))
выполнено в силу включения этого множества в Е1 и леммы 1. Обозначим
через {(ап, Ьп)\ совокупность всех интервалов, дополнительных к множеству
s'c(\P, Ч]) Д° отрезка [р, q\. Если п закреплено и а„<а<р<6Я1 то / (х)
будет О^-интегрируема на [а, р], и по теореме Хаке окажется
Р
(Dj) 4f(x)dx = F$)-F(a).
а
Отсюда, благодаря непрерывности неопределенного интеграла Перрона,
сразу вытекает, что при а-»я„ + 0, |3—>&„ —О существует конечный предел
написанного здесь D^-интеграта.
Поэтому для завершения доказательства остается лишь убедиться в том, что
^И7„< + оэ, где, как и до сих пор,
^„ = sup
р
(Dt)\f(x)dx
(а„<а<р<6„),
а
С этой целью заметим, что при всех ') п будет
a^S^lp, q])czEJh.
Значит, при всех t из [а, Ь], отличных от ап, будет
U(*)-U(<*n)^. , V(t)-V(an) ^.
В частности, если an<t < bn, то
U (t)-U(aa) =>-«о (<-а„), V (О- V Ы < /о С-ая)
и, тем более, для этих t будет
t/ (О-V (а„) ^-io(b»-ff«). У @ - V Ы =S/o (*я-ая).
С другой стороны, обе функции
Ht) = U(i)-F(t), M(t) = F(t)-V{t)
возрастают. Стало быть,
F(t)-F(an) = [U(t)-U(an)\ -[L{t)-L(an)\r>-i0(bn-an)-[L (bn)-L (а„)],
F (t)-F (an) = [V (t)-V (а„)] + [М (t)-M (an)]^jQ(bn-an) + [M (bn)-M(an)}.
Отсюда следует, что при ап < а < Р < Ьп будет
\F(f,)-F(a) , ^ (fo + /o) (bn-an) + [L (bn)-L (an)] + [M (bn)-M (an)),
а значит и
Wn^ Uo + io) (bn-an) + [L (bn)-L (an)] + [M (Ьа)-М (ап)].
Но тогда ясно, что ^Wn<-\-co, что и требовалось доказать.
Теорема (П. С. Александров — Г. Ломан). Функция, интегрируемая
по Перрону, интегрируема и по Данжуа в узком смысле слова.
1) Кроме того единственного п, при котором ап = р (такое п существует,
поскольку р е Sj).
421
В самом деле, по принципу стационарности Кантора —Бэра существует
такое a<Q, что ?J S^=Sa=SaTl.
Если бы множество ^J S-^ оказалось не пустым, то получилось бы
противоречие с леммой 4. Остается сослаться на теорему 2 из § 7.
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа
Чтобы дать понятие о широком интеграле Данжуа, ичи интеграле
Данжуа— Хинчинг, нам придется вернуться к общим рассмотрениям § 6
ь ь
Пусть дан какон-нибудь интеграл Т (/). Построим его обобщение Т" (/),
а и
ь
отличное от того обобщения Т^ (/), с которыми мы ознакомились в § 6.
а
Именно, условимся включать в класс Т* ([а, 6|) всякую функцию f (x),
заданную на \а, b\ и удовлетворяющую следующим четырем условиям-
1) множество ST—ST(f; [a, b\) нигде не плотно и f (х) на нем суммируема
по Лебегу;
2) если | (дA) Ьп) [ есть совокупность дополнительных интегралов ') ST>
то для каждого п существует конечный предел
Р
/„ = hm Т (/) (ап < a < 0 < Ь„, а — ап, р — Ьп),
и
3) справедливо неравенство
2|/д1< + со; A)
п
4) если промежутков (ап, Ь„) бесконечно много и
W« = sup
Т(/)
(ая<а<р<&я),
то
limrrt = 0. B)
Мы видим, что отличие определения класса Т* ([а, Ь]) от определения
класса 7\ ([п, Ь\) состоит в замене одного требования
2>„< + со C)
совокупностью двух требований A) и B). Так как \ln sjlP,,, го из C)
вытекает и A) и B), откуда
Tt ([а, Ч)сГ ([а, Ь]).
В частности, отсюда следует, что классы Т* ([о, Ь]) не пусты. Ничего не
меняя в рассуждениях § 6, можно показать, что система этих классов
правильна.
') С теми оговорками, которые были сделаны в § 6 относительно самого
левого и самого правого из промежутков (ап, Ь„).
422
Введя классы Т* ([а, ft]), мы можем на каждом m них задать функ-
ь
ционал Т*, сопоставляющий каждой / <= Т* ([а, Ь\) число
а
ь
T(f) = ^ln + (L) 5 f(x)dx.
а п ST
b b
Таким образом, Т (/) затается той же формулой, что и Т* (/), но на более
о а
широком классе функций. Теми же рассуждениями, что и в § 6, можно пока-
ь
зать, что Т {)) есгь интеграл в смысле § 6. Из сказанного ясно, что интеграл
а
b
этот более общий, чем Tt (/)•
о
Широкий интеграл Данжуа строится при помощи интеграла Т*
совершенно так же, как узкий интеграл был построен при помощи Tt.
Именно, вводится трансфинитная (типа Q + 1) последовательность
интегралов
ь
(Dl) J / (х) dx, D)
"а
определяемая по индукции. При | = 0 интеграл D) есть просто интеграл
Лебега. Если для всех | < Ц, где v|<Q, интегралы D) уже определены, то
для ?] первого рода полагаем D') = (D'i ~i)*, а для ц второго рода Z34= ^ &*•
Интеграл
и есть широкий интеграл Данжуа.
Можно доказать, что широкий интеграл Данжуа общее узкого. Более того,
оказывается, ') что вообще при любом g =g: Q интеграл D= общее чем Di.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVI
1. Понятие интеграла Перрона не расширится, если в определении над-
функции U (\) и подфункции V (х) функции /(v) требовать выполнения
неравенств DU(x)^~:f{\) и D \' (х) *~ f (x) лишь почти везде.
2. Пусть на [а, Ь] расположено замкнутое нигде не плотное множество S,
{ (а„, Ьп) } —совокупность его дополнительных промежутков, Т — некоторый
интеграл и / (д;) —функция, заданная на [а, 6) и Г-интегрируемая на каждом
[a, PJcK, ft,,) (n=l, 2, 3, ...). Пусть
W,, = sup
Ttf)
(о„ < а < P < 6„).
Если: а) при каждом п существует конечный предел
'(/) (а—о„ + 0, P-»ftn-0)
/„ = lirn Т|
а
1) См. И. П Натансон и Г. И. Натансон, «К взаимоотношению
между узким и широким интегралами Данжуа». Успехи матем. наук, 1958,
т. 13, № 1.
423
и b) ^W„< + оэ, то с) всякому е >0 отвечает такое б > 0, что для любой
конечной или счетной системы отрезков [а,, р,], у которой [а,, р(] а (ап1, й„()
(ni4bnk при i-фк) и 2(P;-a<)>2(u™-fl«)-s- бУДет
п 1 а.
3. Пусть (в тех же обозначениях) число Н обладает свойством: всякому
е>0 отвечает такое б > 0, что для любой конечной системы отрезков [а,, В,-],
у которой [сц, р;]с(аЛ1, Ьп.) {Щ-фпк при i-фЩ и ^($,-0.,) >^ F„ — а„) — б,
оказывается
Р«
W-2T(/) <e.
Тогда иуеют место а) и Ь).
4. Если S^—множество ОЕ-особых точек функции f (х), то
П h=sQ.
К я
5. Чтобы функция f(x) была D-ннтегрируемой, необходимо и достаточно,
чтобы соотношение St r±. О влекло соотношение Sj^?S?+1.
6. Показать, что функция t/ (x), построенная в лемме 3 § 8, удовлетворяет
соотношениям — то ^t D_U (x) ^г/ (х).
" h ь
7. Доказать, что если Т (/) есть интеграл, то и Т* (/) есть интеграл.
8. Если /(*) е D- ([a, fe])D1l([a, b]), то ее Dv и С^-интегралы равны.
9. Интеграл ?>» более общий, чем D^.
10. При любом |<Q существует /(х), входящая bDj+1([«,()])-D; ([a, b]).
U. При любом ?<Й будет ?>^+1(К 6J) ^ ?»|+1 ([а, ^]) + О6([в, *]).
ГЛАВА XVII
ФУНКЦИИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ
ОБЛАСТЯМИ ЗАДАНИЯ
До сих пор мы рассматривали функции, заданные на
ограниченных множествах. Теперь мы намерены распространить
некоторые из изложенных выше результатов на функции с
неограниченными областями задания. Для простоты мы будем говорить
лишь о функциях одной переменной, так как переход к случаю
нескольких переменных не представляет новых трудностей.
§ 1. Мера неограниченного множества
Множество Е, содержащееся в (— со, -\- оо),- называется и з м е-
римым, если при любом натуральном п измеримо множество
Е(п) = [-п, п]Е.
Мерой такого множества называется предел
тЕ = lira mE (п).
Этот предел всегда существует, так как тЕ (п) возрастает вместе
с п. Однако не исключено, что m? = -foo.
Вместо множеств на прямой можно было бы рассматривать
множества на плоскости или, вообще, в произвольном
многомерном пространстве. Естественно, что в определении при этом надо
промежутки [—п, п] заменить квадратами [—п, п; —п, п] или,
в общем случае, соответствующими кубами.
Можно показать, что множество Е будет измеримым тогда и
только тогда, когда измеримо пересечение Е ¦ е данного множества
с любым измеримым ограниченным множеством е. Далее,
тЕ = sup me,
где точная верхняя граница берется по всем измеримым
ограниченным множествам ес?.
Класс измеримых множеств и после указанного расширения
остается инвариантным относительно операций сложения,
пересечения и вычитания, если они производятся конечное или счетное
множество раз.
425
Остановимся на доказательстве полной аддитивности
меры. Пусть множества Еи ?•>, ?а> ¦•• измеримы, попарно не
пересекаются и ? = 5j ?*• Тогда
А = 1
со
? (л) = ? ?* (n), 0)
* = 1
откуда
оо оо
тЕ (п) = 2 /и?* (я) < У] т?*
* = 1 *= I
т? =< У] т?». B)
4 = 1
С друюй стороны, из A) вытекает, что при всяком конечном N
будет тЕ^ 2] mEk{ri). Переходя здесь к пределу сначала при
* = i
п-*-со, а затем при N->cc, находим, что /»? ^ ^ тЕк, откуда
k = \
в связи с B) следует, что1)
со
тЕ = У) тЕк. C)
k = 1
В частности, если A zd В и оба эти множества измеримы, то
тА = тВ + т (А - В).
Если дополнительно потребовать конечности тВ, то
/н (Л - В) = тА - тВ.
Легко перенести на неограниченные множества теорему 11 из
§ 4 1л. III. Именно, п^сть Excz ?., с: ?jC ... измеримые
множества и ? их сумма. Если хоть при одном п будет «(?„=-]-ос,
то и /п? = + оо, откуда
/?г?= lim mEa. D)
/I -¦ СС
Если же все Еп имеют конечную меру, то D) доказывается
буквальным повторением рассуждений гл. III.
Теорема 12 переносится на нео1раниченные множества в
следующем виде:
Теорема. Пусть EtzD ?> =) ?3 => • • • — измеримые множества
и Е их пересечение. Если /«?1<; + О0. то справедливо D).
2) Каждая из частей равенства C) может равняться +оэ.
426
Для доказательства надо лишь применить предшествующий
результат к множествам Ех — Ея(п=\, 2, 3, ...).
Без оговорки m?l< + ^° теорема неверна. Это видно из
примера Еа = [п, +->-).
§ 2. Измеримые функции
Функцию f(x), заданную на множестве Е, по-прежнему
называют измеримой, если измеримо как Е, так и все множества
вида E(f>c).
Если потребовать, чтобы было тЕ<С-\-оо, то перенос
результатов гл. IV на функции, заданные на множестве Е, не потребует
почти никаких новых соображений. Впрочем, теорема о том, что
предел сходящейся последовательности функций fh(x), измеримых
на множестве Е, есть функция, также измеримая на Е,
сохраняется и без ограничения тЕ<С-\-сх.. Это легко показать с
помощью предельного перехода от множеств Е(п). Для обобщения
теоремы Лузина оговорка т?< + с/- также не нужна. Докажем
это хотя бы для случая полупрямой.
Теорема (И. И. Лузин). Пусть f (х) измерима и почти везде
конечна на множестве ? = [0, -\- aJ). Для любого е>0
существует такая непрерывная на Е функция ц> (х), что
т?((р^/)<е. A)
Доказательство. Положим ?* = [?, k+ 1] (А = 0, 1,...).
При каждом k найдется функция (pk(x), заданная и непрерывная
на Ек, для которой тЕь((ркФ f) <—;—• Можно считать при этом,
что1) (fk(k) = (pk(k-\-\) = 0. Тогда требуемая функция ф (х) может
быть определена так:
ф(л-) = ср* (х) при k ^x^k-\- 1 D = 0, 1, ...).
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам
Пусть / (х) — измеримая и неотрицательная функция, заданная
на неограниченном множестве Е. По определению полагаем
lf(x)dx= Mm $ f(x)dx, A)
Г. A->со ?(«)
где, как и выше, ?(я) = [— п, п] Е. Предел A) заведомо
существует (хотя может и равняться -+- со) ввиду того, что интегралы
§ / (х) dx возрастают вместе с п.
Е(п)
*) П^сть I (х) измерима и почти везде конечна на 5= [а, Ь], Взяв любое
е > 0, можем (по теореме Лузина из гл. IV) найти такую непрерывную
на 5 функцию ф (х), для котором mS (ф =?/) <; к. Сделав это, возьмем такое
6 > 0, что 2S<minjfr — а, в}, и построим непрерывную на S функцию <р(х),
положив для а-рб с. х -~ Ь — б ее равной ф (х), q-(д) = rp (ft) = 0 и сделав ц> (х)
линейной на отрезках [а, а -[-б] и [Ь — б, ft]. Легко проверить что тЕ (ф^:/)< 2е.
427
Если интеграл A) конечен, то f(x) называют суммируемой
функцией. Остановимся на вопросе о том, как на интегралы A)
распространяются теоремы § 1 гл. VI. Здесь проще всего начать
с теоремы Фату.
Теорема 1. Если последовательность измеримых и
неотрицательных функций {fk(x)}, заданных на множестве Е, почти везде
на Е сходится к функции F (х), то,
$F(x)dx*?supttf»(x)dx\ B)
? (Е )
В самом деле, при любом натуральном п будет
\ Fdx^supi \ fbdx\^sup[\fkdx\t
?(п) I ?(») ) \Е )
откуда предельным переходом при п-+оэ получается B).
Опираясь на это предложение и буквально повторяя1)
рассуждения § 1 гл. VI, переносим на случай неограниченного
множества Е теоремы 10, 11 и 12 указанного параграфа.
В качестве следствия теоремы Б. Леви получается
Теорема 2. Если f(x) измерима и неотрицательна на
множестве Е, a fn{x) есть срезанная функция, /„ (.*•) = min {/(*)> п}> то
\f(x)dx= lim \fn{x)dx.
Заметим еще, что в том случае, когда f(x) есть измеримая и
ограниченная функция, заданная на множестве Е конечной
меры, 0 =^/(х)<~ А, то f (х) суммируема и ^ f (x)dx^ АтЕ. Это
?
также устанавливается предельным переходом от множеств Е (л).
Перенос на рассматриваемый случай других результатов § 1, гл. VI
не представляет труда.
Если / (х) — измеримая на множестве Е функция, которая может
принимать и отрицательные значения, то мы, как и в гл. VI,
вводим функции /+(х) и /_(х):
f+ (х) = max {/ (х), 0 }, /_ (*) = max {- / (*), 0 },
и полагаем по определению2)
\f(x)dx=lfjx)dx-]f.{x)dx, C)
!) По ходу дела потребуется опереться на то, что из неравенства / (х) ^
s?g(x) следует, что \ /Aescf gdx. Это предложение легко устанавливается
в ?
предельным переходом от множеств Е (п).
2) В тех случаях, когда ? = (—оэ, -f- со), ? = (— со, />] или Е — [a, -f- со),
интеграл C) обозначается соответственно через
^ f(x)dx, I f{x)dx, \ f(x)dx.
— оо — оо а
428
если только эта разность имеет смысл. Если интеграл C)
существует и конечен, то / (х) называется суммируемой на множестве
Е функцией. Класс таких /(л) обозначаемся через L(E).
На рассматриваемый случай легко переносятся результаты § 2
гл. VI. В частности, из суммируемости f{x) вытекает
суммируемость и f{x) . Если f{x)<=L(E), a g(x) ограниченная и
измеримая на Е функция, то / (a) g (x) ^ L (Е) Сохраняется и теорема 8,
§ 2, гл. VI (об абсолютной непрерывности интеграла), но только
при доказательстве ее нам придется теперь сослаться не на
определение интеграла, а на теорему 2 настоящего параграфа.
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом
Как и в случае ограниченного множества, определяется
понятие функции, суммируемой с квадратом на множестве Е. Именно,
это есть функция f(x), измеримая на Е, для которой f eL(?).
Класс таких функции обозначается через L2(E). Если тЕ < + со,
то всякая ограниченная измеримая функция входит в L (Е).
В частности, 1 е L(E), откуда, в связи с неравенством 2 а, -ь- 1 -f- a%,
следует включение L2(E)ciL(E). Если тЕ = + ос, то это
включение не имеет места1). Например, если ? = [1, -+- со), то
\ <=L2(E)-L(E).
На неограниченные множества распространяются неравенства
Буняковского 2) и Коши, а также вся основанная на них
геометрическая трактовка Li(b) как пространства. Это пространство полно:
всякая сходящаяся в себе последовательность его элементов имеет
предел. Если тЕ —-\- -с, то существуют измеримые ограниченные
функции g(x) (хотя бы g(x)=\), не входящие в L,(E) Однако
имеет место
Теорема 1. Класс тех непрерывных и ограниченных функций,
которые входят в L1(E), всюду плотен в L2(E).
Докажем теорему хотя бы для случая3) ? = [0, + со). Пусть
/ е L2 (?) и ?>0. Закрепляем столь большое А, чтобы оказалось
J P(x)dx<el, A)
А
и вводим непрерывную на [0, Л] функцию ^0(a'),
удовлетворяющую неравенству
А
Jj[4U*)-/WN*<8. B)
о
!) Предоставляем читателю докачать это в общем виде
2) В частности, из /еЛA), g е 12 (?) следует, чго ffr^L(E).
') Tea самым она б^дет доказана для всех измеримых множеств
? с [0, -| о_), ибо все функции, заданные на ?, можно доопределить,
положив их равными 0 на [0, -j-oJ) — L.
429
Пусть М = max г|эп (х)\ и б > 0 столь мало, что б < А и 32/И2б < е2.
Зададим на [О, А] функцию $(х), полагая ty(x) = tyo(x) для
0<л'-^Л —6, гр (Л) = 0 и делая ty(x) линейной на [A — б, Л].
Ясно, что ty (*) непрерывна и
л
^ № W - ^о (*)]2 с\х < 4Л42б < eg . C)
о
Так как (а-\-ЬJ^.2{а2-\-Ь2), то из B) и C) следует, что
А
\№-n2dx<e22.
о
ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ ф (*) = 1|) (*) ДЛЯ Оа^^г^Л И ф (х) = О ДЛЯ
х^Л, то (f (х) будет непрерывной и ограниченной функцией,
входящей в Ц(Е), для которой1) |1/ —ф!|<Се.
Теория ортогональных систем для бесконечного промежутка
интегрирования почти2) не отличается от случая конечного
промежутка: сохраняются теоремы Рисса — Фишера, В. А. Стеклова,
теорема о равносильности замкнутости и полноты системы и т. и.
§ 5. Функции с конечным изменением.
Интегралы Стилтьеса
Пусть функция f(x) задана и конечна на всей оси (—со, +оо).
Ее полным изменением называется предел
V7= Hm V(/)-
-со 1-*-г=°_„
Аналогичным образом определяем3)
а а +со п
V(/)= Hm V (/), V (/)= lim V(/). A)
-co и- + оо_„ а rt- + -o a
При любых конечных а и b (a<b) будет
+ oo a +cc 4-co b +oc
V (/)= V (/)+ V (/), V (/) = V (/)+ V (f).
— со—со a a a It
1) Аналогично, для любой fei.(?) и любого е > 0 существует
непрерывная и ограниченная ((igI (?), для которой
\ | ф — / I Aх < ?.
t
2) Так как функции х" не входят в L2(E), то не будет иметь места,
например, следствие 1 теоремы Стеклова
3) Разумеется, для введения величин A) нет надобности, чтобы / (х) была
задана на всей оси.
430
Если V (/)< + °Oi то
— ее
n -f со
lim V (/) = 0, lim V (fl = 0.
Доказательство этих (и аналогичных) простых утверждений
опускаем.
Теорема 1. Чтобы полное изменение f (х) было конечным,
необходимо и достаточно, чтобы f (x) была разностью двух
возрастающих и ограниченных функций.
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай,
когда f(x) задана на (—ос, + сс). Если V (/)< +сю, то f(x)
— от
ограничена1). Полагая
п(х)=Уф, v(x) = K(x)-f(x),
получаем требуемое представление
f(x) = n(x)-v(x). B)
Обратно, если имеет место B), где я (х) и v (x) возрастают и
ограничены, то
+ -л + оз + ^с
V (Л< V Ы+V (v),
и остается заметить, что для всякой возрастающей функции ср (х)
будет
V (ф) = ф(+00)-ф(— ОО),
— со
где ф(+оо) и ф(—ее) суть пределы ф (л:) соответственно при
X-v-j-00 и х~* °°'
Следствие. Если V (/)< + со, то существуют конечные
Д+эо) и f(-oc).
Теорема 2 (Э. Хелли). Пусть на (—со, -f-со) задано
бесконечное семейство функций F—\f{x)\. Если существует такое
К< + оз, что при всех /ef оказывается
\f(x)\^K, Уф^К.
+ « +да
!) Действительно, если — ns^x^n, то | / (х)— f @) | ^ V (f) ^ V (/)•
— п — оэ
431
то из F выделяется последовательность \fn(x)), которая при
всяком х сходится к некоторой <г (х) с конечным изменением
Доказательство Рассмотрим расширяющуюся
последовательность отрезков [—1, -| 1]с[—2, -|-2] с [—3, f 3] с= . Из F
выделяется последовательность {fi (х)\, сходящаяся на [—1, +1J.
Из этой последовательности выделяется последовательностьх)
\fk (х)\, сходящаяся на более широком отрезке [—2, +2], и т. д.
Построив последовательность последовательностей
{/*'} id {fe ) ^ {fk-}...
и рассмотрев „диагональную" последовательность f,l(x) = fn){x),
получаем требуемое, ибо ясно, что полное изменение предельной
функции не больше К.
Инте! ралы Стилтьеса
\ f (x) dg (x), I f (x) dg (х), 5 / (<) d§ № C)
— ел —со а
мы определим только для случая, когда f (х) непрерывна и
ограничена, a g(x) имеет конечное изменение. Остановимся хотя бы
на последнем из интегралов C)
Легко показать2), что существует конечный предел
л
и мы, по определению полагаем последний из интегралов C)
равным этому пределу. Другие интегралы C) определяются
аналогично.
Не останавливаясь на элементарных свойствах интегралов C),
отметим, что теорема Хеллн нз § 7 гл. VIII на них не
распространяется. Например, если /(я) —1 и
О при 0 < х sg п,
х — п при и ~^xscn-\-1,
Вп W =
при й+1=Сл:<+со,
то
Vfe)=l. g(x)= lim ?«(*)=-0, \ fdgn=\, I fdg = O.
о "^ю о о
!) Важно заметить, что порядок елсдоваш я элементов в lfg l такой же,
как и в !Jkl f.
2) Действительно, если а < В < С, то
с
W<te
в
4 тэ
~М\ (g), где Л1 ^
в
+ о
= max /(x)|. Если 5-> + сю, то V (g)-^O. Остальное ясно.
в
432
Однако при условии обращения f(x) в 0 на бесконечности
тесрема сохранится'
Теорема 3. Пусть функции g,t (\) (О С а < + --^, п = 1, 2, 3, ...)
удовлетворяют соотношениям
V Ы -: К < + с-, lim ga (х) = g (*).
О "-'"-'
?сш /(г) @ ~ х < + со) непрерывна, ограничена и такова, что
/(+со) = 0, то
hm I f(x)dga(x)= \ i(x)dg(x).
Доказательство. Взяв t > 0, закрепляем столь большое Л,
чтобы для х^А оказалось /(\.)|<<ь. Тогда
\ fdgn
Кг,
\ f'li
-Кг.
Для достаточно больших п окажется
\fdgn-Uctg
<е
и, тем самым,
+ оо
I f(x)dgn(x)- \ f(x)dg(x)
<B/С+1)е,
чем и доказана теорема.
§ 6. Неопределенные интегралы
и абсолютно непрерывные функции множества
Распространим некоторые резучьтаты гл XIII на ф\пкцш1 с пеограни
ценными областями задания. Дтя простоты мы рассмотрим лишь функции
одной переменном, заданные па (—cv , + ~>~).г)
Теорема I. Чтобы изиер.п'ач функция f(\) быы суммируема нл каждом
множестве конечной меры, н ибходимо и десташото, чтобы [ (\.) представ ш-
лась в виде
JW=«W+'i(a), A)
edi g (x) cynnupyt ш hi (—go, + о), о h (v) UjU^pmn и ограничено
Доказательство Драаточноаь ило^ня гсопемы ipiiaiia 1ьна
Докажем его Н(_обходп\юсть Итак, пусть f (\) с^мчир\ема па ка/[ч5о\! мно/лалве
конечнон меры Предпочожим егтчала, что f(\) 0 и введем множеств! L/,=
= ?(/¦> 2') (/v'=l,2, 3, ) Покажем, чго \oin одно из лих множеств имеет
конечную меру Депсгвптельно, если бы при всел к оказалось inCk— J- r-\ го
') Все сказанное ни/ке легко псрено"игся и ьл функции, оатанпые на
множестве А, от.п'чноч от (— , i ) Для этого надо лишь доопределить
такие функции, по пожив их равными нулю вне А.
433
мы ввели бы такие измеримые и ограниченные множества еъ е2, ^3. > ЧТ(>
ег сСъ m<1 = 2 ,
1
~22
1
e^cEi — еъ mel= ,
«*<=?* —(et4- +t*-i). meb = cTk>
Если s = P1 + <2-l-e3+ , to «w=l, и потому / e L (s) В то же время
множества е/ попарно не пересекаются, откуда
со со
$ / (*) dx =2 $ / (х) dx > 2 2*mefe = + со,
s к = \ e'k * = 1
что противоречит соотношению / е L (s)
Таким обраэом, найдется такое Л/, что
т? (/>2Л)< + оо.
Полагая
(/U) при /W>2V, f 0 при /(*)>2*
^W= / ... *(*) =
— »
при /(*)--2\ I / (а:) при f(x)^ 2'
пoлvчaeм A) с TpefiveMuvii ц{х) и h{x) Если f (x) может принимать и
отрицательные значения, то надо применить доказанною часть теоремы к / (д.)
и / (х)
Обозначим через Г класс измеримых функций, суммируемых на каждом
множестве конечной меры Если /еГ, то каждому множеству е, где те <-\-со,
соответствует число
a>(e) = j[f(*)dx. B)
в
Иными счовами, каждая санкция /еГ порождает функцию множества
B), заданную на всех множествах с конечноп меры Эта ф}ншпя впочне
аддитивна') и (в сил> теоремы 1) абсолютно непрерывна Функция Ф(<)
называется неопределенным интегралом функции j (х)
Теорема 2. Всякая абсопотно непрерывная и впочне аддитивная
функция Ф (с), определенная на множествах конечной меры, явтяетсч неопредс ten-
ным интегралом некоторой функции из Г
Доказательство Так как функция Ф(<) 6}дет определена, в
частности, для всех измеримых и ограниченных множеств е, \о к пен
применимы результаты гл VIII. Поэтому почти везде б}дет существовать
симметричная прошводная
fb) = Dxne)=\mO«*-h-* + h\ C)
!) В том емькле, что при C = ^]?fe, где e^e( = 0 (k Ф i), и при
условии тЕ < +со будет Ф (С) = ^ Ф (еп)-
434
являющаяся функцией, с\ммпр\емон на всяком измеримом и ограниченном
множестве ?, причем для всякого такого множества будет1)
Ф(?) = \"/(A)dx. D)
L
Возьмем произвольное множество ? конечной меры Оно представнмо
в виде
Е = А+В, где Л-С (/2.0), В = ?(/<0)
Каждое m множеств Лий измеримо и имеет конечную мер\ Множе-
ство Л можно представить в виде суммы Л = ^ Ак, где слагаемые мно/ке-
к = \
ствн Ак измеримы и ограничены Для каждого из них можно написать
равенство D), откуда
Ф(Л)=2 \l{x)dx.
* = 1 А,
Этим доказано включение / е L (А) и равенство
Ф(Л) = \f(x)dx
А
Аналогично доказывается такое же равенство с заменой лишь Л на В
Но тогда / е L (?) и справедливо D) Ввиду произвольности множества ?
теорема доказана
Следствие. К юсе абсолютно непр*рьшных и впошс аддитивных функции
множеств конечной лиры совпадачп с классом неопредаеннык интеграюв функ
ции in Г.
В связи с этим следствием в теореме 3, § 2, гл XIII можно говорить не
о суммируемой функции, а о ф\нкцни И1 Г
Теорема 3. Дгч тога, чтобы абсоиотно непр< рывнач и вполш лддитив
нал финкцич Ф (е), опредеченная на мнояаствих коне той лиры, бы т ограни
чена, необходимо и достаточно, чтобы она быю нсопр(д>"и'нныч ишмграюи
функции, cyMuupyi пои на всей оси
Дока^атечьство По предытлщен теореме справедливо B), гяе / еГ
Если / et[(—ее, -|-со)], то для любого множества е конечной меры
оказывается
1Ф(е) *? \ \fW dx,
— со
чем доказана достаточность условия теоремы Обратно, если для всякого
такого множества е б>дет Ф (е) /\, то и для множеств e(f^-Q) и е (f < 0)
можно написать подобное неравенство, отк;, ia
j /W <1х 2Л. E)
Полагая, в частности, е = [—«, -f- n\ н переходя в E) к пределу при п-*-\-со,
получим ^ f (x) dx -^2К, что и завершает доказательство.
!) Определение / (х) мы пополняем, положив /(л) = 0 в тех точках, где
предел C) не существует (эти точки образуют множество меры 0).
ГЛАВА XVIII
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Метрические и, в частности, линейные
нормированные пространства
В гл. VII мы уже говорили о понятии метрического
пространства. Напомним, что множество Е элементов х, у, г, ...
называется метрическим пространством, если любой паре х и у этих
элементов соотнесено вещественное число р (л-, у), обладающее
свойствами:
1) р (х, у) ;=; 0, причем р(х, г/) = 0 тогда и только тогда,
когда х — у;
2) (>(х, у) = р (у, х)\
3) Р(х, г) <р(х, у)А-р{у, г).
Это число р (х, у) называется расстоянием между элементами
х и у, а неравенство 3) называется неравенством треугольника,
ибо в случае двумерного эвклидова пространства оно означает,
что одна сторона треугольника не больше суммы двух других.
В метрическом пространстве можно ввести понятие предела
последовательности элемешов х\, х2, х3, ..., понимая под этим
такой элемент х пространства, для которого Inn р(хп, х) — 0.
п —' ^
То обстоятельство, что элемент х является пределом
последовательности [х„\, записывают обычным образом:
\imxn-x, или хп-+х.
Нетрудно показать, что последовательность элементов
пространства может иметь разве лишь один предел.
В самом деле, если x;i->-.i' и хп-+у, то
0-&:р(х, у) - р(х, хп)-\-р(х,г, у),
откуда, переходя к пределу при п-*-ъо, мы находим, что
р(лг, у) = 0 и, стало быть, х — у.
Определение. Последовательность {хп} элементов метрического
пространства называется сходящейся в себе, если всякому е>-0
отвечает такое N, что при п>Л/ п m^>N оказывается
Р{хп, хт)<е.
436
Легко видеть, что последовательность, имеющая предел,
сходится в себе. Действительно, пусть хп->х. Тогда, взяв
произвольное е > 0, можно найти такое N, что при п> N будет
р(хп, х)<е/2. Ясно, что когда оба значка п и т станут больше А;,
то окажется справедливым неравенство р(х1г, х,„)<Се.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Если,
например, в качестве метрического пространства взять множество всех
отличных от нуля вещественных чисел, причем расстояние
определено обычным образом, т. е. формулой р (х, у) = t х — у , то
последовательность {\/п\ будет сходящейся в себе, но не
имеющей предела. Ясно, что это обстоятельство вызвано своеобразной
«неполнотой» рассмотренного пространства н что «дополнив»
пространство элементом 0, мы устраним этот его дефект. В связи
с этим введем точное определение.
Определение. Метрическое пространство называется полным,
если всякая сходящаяся в себе последовательность его элементов
имеет предел.
Хорошо известно, что л-мернсе эвклидово пространство
обладает свойством полноты. Рассмотренное в 1Л. VII пространства
Lp и 1Р так же, как было показано, обладают этим свойством.
Важным частным сличаем метрического пространства является
так называемое линейное нормированное пространство.
Определение. Множество Е элементов х, у, г, ... называется
линейным пространством, если
I. Каждой паре элементов х и у из Е соотнесен некоторый
третий элемент, их сумма, г = х-\-у.
I1. Каждому элементу х е Е и каждому вещественному числу
а соотнесено их про из вед ение — элемент ах.
III. Введенные операции обладают следующими свойствами:
1) х^-у = у^х, т. е. сложение коммутативно.
2) (xA-y)-\-z = xJr(y -f- г), т. е. сложение ассоциативно.
3) Из соотношения х + у = х-\- г следует, что y = z.
4) 1х = х.
5) a{bx) = (ab)x.
6) (a + b)x = ax-\-bx.
7) а(х + у) = ах + ау.
П^сть ? — линейное пространство. Соотнесем каждому его
элементу х произведение Qx = 0 х.
Покажем, что это произведение на самом деле от выбора х не
зависит. Действительно, прежде всего,
х + &х= 1 • х + 0 • х = (Ц- 0) х= 1 • х = х.
Но тогда для любой пары элементов хну б^дет
{х + у) + вх = х + (у + вх) = х + (вх + у) = (х + ел) + у = х + у,
{х + у) + ви = х + (у + ву) = х + у.
Таким образом, (х-\-у)-\-@х = (х + у)-\-ву, откуда следует, что
©* = ©„.
437
Впредь элемент 6, мы будем обозначать просто через в. Ясно,
что он играет роль нуля при сложении элементов Е. В связи
с этим мы будем иногда обозначать его и через 0 (причем,
конечно, опасность смешения с числом 0 должна бьпь
исключена). Нетрудно видеть, что, кроме элемента в, ни один
элемент 2 пространства не может удовлетворить соотношению х +
+ 2 = х при каком-нибудь х. Действительно, из этого
соотношения вытекало бы, что х-\-z = х-\-(-) и г = 0.
Таким образом, линейное пространство Е обладает и таким
свойством:
8) В Е существует такой элемент 0, что при всех х из Е
будет х~\-О~х. Если хотя бы длч одного л е Е оказывается
х-\- г = х, то г = 0.
Отметим далее, что
9) Если ах = в, то либо о = 0, либо x = Q. Наоборот, каждое
из соотношений й = 0, х — 0 влечет равенство а* = 6.
В самом деле, если а — 0, то «д- = 6 ио самому определению
элемента в. Далее, Ов = в и потому ив = о-@в) = (а-0N =
= 0 6 = 6. Итак, каждое из соотношении « = 0, х = в влечет
равенство ах —в. П^сть теперь дано, что ax = Q. Если а^О,
то дг= 1 .х = (-.а)х= l -(ax)=^ l 0 = 0.
\а ] а к ' а
Из 9) без тр^да выводится, что
10) Если х — 0, то из ax = bx ciedyem a = b\
11) Если а^О, то из ах = ау следует х = у.
Действительно, соотношение ах = Ьх показывает, что (а — b) x =
= ах + (— b)x=bx+{— b)x=[b-\-(— b)]x = Q лг = 0, откуда при
х ^ 6 и следует, что а = Ь.
Точно так же из ах = ау последовательно выводим
a[x + (-\)y] = ax + (-a)y = ay + (-a)i; = [a + (-a))y = O-y = Q.
Значит, при а ^ 0 б^дет ,v + (— ])y — Q. Но, с другой стороны,
у + {—1)// = В, а потому х = у.
Впредь условимся в обозначениях
{—])-х = — х, х + {—у) = х-у.
Легко показать, что
12) х — х = 0 и если x — y = Q, то х = у.
13) Из х — у = х — г, следует у = г.
14) Если х + (/ = г, ню х = 2 — у, и обратно.
Мы не будем останавливайся на простой проверке этих
утверждений.
Определение. Линейное пространство Е называется
нормированным, если каждому его элементу х соотнесено вещественное
число |#ц, называемое нормой этого элемента и обладающее
следующими свойствами:
1) fx[|s&0, причем j]xJ = O тогда и только тогда, когда х = &.
2) |'й^|=|а1-||дг|| и, в частности, \\ —х\\ = \\х\\.
3) |!х+«/Ц^||*|+||0||.
438
Ясно, что имея гакое пространство, достаточно положить
р(*, у) = 1х-у\, A)
чтобы превратить его в метрическое пространство. Впредь, творя
о линейном нормированном пространстве, мы все1да будем
считать его метрическим, причем расстояние будем считать
заданным формулой A).
Полные линейные нормированные пространства были
предметом изучения польского математика С. С. Банаха, почему их и
называют пространствами Банаха.
Рассмотренные в гл. VII пространства Lp и 1р дают нам
примеры пространств Банаха. Приведем еще два примера таких
пространств.
Пространство С. Рассмотрим множество всех функций f(x),
заданных и непрерывных в одном и том же сегменте [а, Ь].
Определим в этом множестве сложение элементов f\ — f\{x) и
jz~f2(x) и умножение элемента f = f(x) на число с обычными
формулами
/i + /2 = /iW + /-W- cf = cf(x).
Легко видеть, что тем самым наше множество превращено
в линейное пространство. Пола! ая для каждою элемента } = f(x)
j/|! = max /(*) ,
мы превращаем наше тинейное пространство в нормированное.
Дейс1вигельно, без трчда проверяется выполнение всех трех
свойств нормы. Построенное таким образом линейное
нормированное пространство обозначается обычно через С или С ([а, Ь\).
Пусть {/„) [где /,1 = /,,(*I есть последовательность элементов С.
Ясно, что соотношение /„->-/ [где / = J(v)eC|, означает
равномерную сходимость последовательности функций fn(x) к
функции / (а-).
Теорема 1. Пространство С полно.
Действительно, пусть последовательность {/„) [fn=fn(x)\
элементов С сходится в себе. Закрепим какую-либо ючку *е[а, Ь].
Так как fn(x) — fm(x)l-^]fn — fm\\, то числовая
последовательность !/„(*)! сходится в себе и (в силу известного признака
Больцано — Коши) существует конечный предел
Пт/„(*) = /(*)• B)
Ввиду произвольности х, функция / (х) определена на всем [а, Ь].
Далее, взяв е > 0 и найдя гакое N, чго при ft>iV, m> N будет
l| In — 1т [ < е>
будем для всех х иметь (при n>N, m>N)
I/,(*)-/»(*) Ке-
439
Закрепим здесь х и n>N и перейдем к пределу при
возрастающем т. Это приводит нас к неравенству
|М*)-Д*)|<е,
справедливому при n>N n любом х. Так как число N от
выбора х не зависит, то стремление B) происходит равномерно,
откуда вытекает, что предельная функция / (х) непрерывна и, стало
быть, является элементом пространства С. Кроме того,
равномерность стремления B) и означает, что f = f{x) есть предел
последовательности {/„} в смысле метрики пространства С.
Пространство т. Рассмотрим множество всевозможных
ограниченных последовательностей 1)
x = (xlt х2, х3, ...)
вещественных чисел. Определим в этом множестве сложение,
умножение на число и норму следующим образом: пусть х =
-=(*!, х,, х3, ...) и у = (ух, уг, у ) две ограниченные
последовательности, а а некоторое число. Положим по определению
х + у = (хг-\-уъ х2 + у2, x-s + y.j, ...),
ах = (ах1, ах.-,, ах3, ...),
Нетрудно убедиться, что тем самым наше множество
превращается в линейное нормированное пространство. Это
пространство принято обозначать буквой т.
Теорема 2. Пространство т полно.
Пусть \хм\, где
jft»> = F{n>, ?<">, l\"\ ...) (n-=l, 2, 3, ...)
— сходящаяся в себе последовательность элементов т.
Так как при любом закрепленном k будет
?(п) _ t(«0 ¦ _-- II r(n) _ г(/н)
b/e г/, | -= |Л Л >
то числовая последовательность [\?\ g4J', gft1, ...} сходится в себе
и, стало быть, имеет конечный предел ?А =• lim ?,?"'.
п -» со
Взяв е>0, найдем такое /V, что при к> /V и т> N будет
|[*'"' — х1ш) |, -<s. Тогда при любом & окажется 1^1) — Щ"'] <е-
Закрепив здесь А и n>N, устремим m к бесконечности. В
пределе полечится неравенство
]) Напомним, что числовая последовательность (хг, х2, х3, ..) называетсп
ограниченной, если cjшествует такая постоянная Л, чю при всех k б)дет
xt/' - Д. Таким образом, ограниченность последовательности вовсе не
означает, что в пен конечное число членов Напротив, их имеется счетное
множество (хотя некоторые из них могу г быть равны др>г др>г}).
440
Отсюда, в частности, вытекает, что \h -~ ?<,"> + е -г:'!*' ||+е,
так что последовательность х — {^ъ ?2, ?3, ...) ограничена и
принадлежит т. Кроме того, ввиду произвольности значка k, из C)
следует, что \х{"] — х' -<?, а так как для достижения -jtoto нера-
вепства потребовалось лишь, чтобы было н>Л/, то нами
доказано соотношение lim .v' — х.
Теорема доказана.
Не следует д\мать, что не существует других метрических
пространств, кроме нормированных. Лег1<о привести примеры
линейных метрических пространств, которые не являются
нормированными.
Пространство S. Рассмотрим множество всевозможных
числовых последовательностей х = (хх, х.,, л'3, ...), в котором
сложение элементов и умножение элемента на число определим
так же, как и в случае пространства т.
Расстояние р(х,у) между элементами
x = (xv хг, хэ, ...) и //-=(//!, У>, Уз, •••)
определим формулой
- V ' . х1'~Ук
Р(х, //)= 2 2'
А:--^ I
'"Г Xk-lJh<
Выполнение первых двух условий, которым должно
удовлетворять расстояние, вполне очевидно. Чтобы установить
неравенство тре^ гольннка
р(х, г)=йср(л:, у) + р(у, г), D)
заметим, что функция ф@ = гт7 в области 0<^/< + со
возрастает [ибо ф (t) = 1 — y~t] )¦ Значит, если 2 = (гь г,, г3, ...) есть
третья числовая последовательность, то
х/, — 2к' , ! хк — у,! + tjk — 2k\
^ + ,Xk~2k\~^\ + tx,t~yk\-\- уь-гк1
Но
хк — ук\ ]хк — ук\
1-\-\Ч — Ук | + | г/* —г*,~~~ 1+ хк -y/t<'
' У к — г/г ^- ^ Ук — г к
1 +, хк — ук | +1 ук — zk j ^ 1 + | ук - гк
Поэтому
\хк — гк\ ^ \хк — ук\ 'Ук — г,/
1 +! *к — ?к I ^ 1 + ** —#ft, 1+ У к — гк
Умножая это неравенство на 2~к и суммируя по всем k,
приходим к D). Таким образом, построенное линейное пространство
оказывается метрическим. И в то же время оно не является нормиро-
441
ванным.1) Это пространство обозначается буквой s. Нетрудно
показать, что если л:("> = (?(">, ?<">, ?<.'". ...), х = &и 1г, |3. •••). то для
соотношения lim xin) — х необходимо и достаточно, чтобы при всех k
П —¦ ГЛ.
было lim |<г"> = |а. Опираясь на это предложение, легко убедиться
п —»о_
в полноте пространства s.
Пространство S. Пространством S называется пространство,
элементами которого являются всевозможные измеримые функции,
заданные на одном и том же измеримом множестве Е с мерой
тЕ>0. При этом эквивалентные функции не считаются
различными. Сложение элементов f1 = f1(x) и /2 = /2(*) этого
пространства и умножение элемента / = /(*),на число а определяется, как
и в случае пространства С, формулами
/i + ZWiW + Ы*), af = af(x).
Тем самым 5 есть пространство линейное. Оно становится
метрическим (но не нормированным!), если положить
n(f М - С М*)-Ы*) Иг
Сходимость lim/,, = / [где fn = fn(x), / = /(*)] в этом
пространстве есть сходимость последовательности \fn(x)} к функции f (х)
по мере. Предоставляем читателю доказать это предложение,
а также убедиться в том, что пространство S полно.
§ 2. Компактность
Установив понятие предела последовательности элементов
метрического пространства, мы уже без всякого труда переносим
в теорию этих пространств важнейшие понятия теории точечных
множеств. Так, например, если из множества А элементов
метрического пространства можно выделить последовательность
различных элементов {хп\, имеющую пределом элемент х^Е, то
говорят, что х есть предельный элемент, или предельная точка
множества А. Множество, содержащеевсе свои предельные точки,
называется замкнутым. Множество А, получающееся из
множества А присоединением к нему всех его предельных точек,
называется замыканием множества А. Множество, дополнительное
к замкнутому, называется открытым и т. д.
Если х0 — закрепленный элемент метрического пространства,
а г~> 0 — некоторое положительное число, то открытой сферой
с центром л-,, и радиусом г называется множество Sr(x0),
состоящее из всех точек х пространства, для которых р (х, х0) < г. Лна-
г) Если положить ||*l| = p(*, G), то не будет выполняться условие | ах\\ =
= 1а -цх||. Например, если ео=-A, 1, 1,...), то ||е0 [1=1/2, |,2еоц=2/3.
442
логично этому, множество Sr(x(l) тех точек х, для которых
р (x,xtl) -с г, называется замкнутой сферой с центром х„ и радиусом г.
Легко показать, что замкнутая сфера есть множество замкнутое,х)
а открытая— открытое и что сфера Sr(xu) есть замыкание сферы
Sr\x^. При помощи понятия сферы вводится обычным образом
понятие внутренней точки множества, а пользуясь этим
последним понятием, легко показать, что открытые множества это такие,
все точки которых суть внутренние. На всех этих вещах мы не
будем останавливаться ввиду отсутствия новых принципиальных
моментов.
Множество А элементов метрического пространства Е
называется ограни1 енным, если оно целиком содержится в некоторой
сфере. В гл. II была доказана теорема Больцано — Вейерштрасса,
гласящая, что у всякого ограниченного бесконечного множества
точек прямой имеется хотя бы одна предельная точка. В самом
начале гл. XI этот результат был перенесен со случая прямой на
случай любого эвклидова пространства. Однако он не переносится
на всякое метрическое пространство. Действительно, рассмотрим
хотя бы пространство L2. В качестве множества А возьмем какую-
либо ортонормальную систему {ш„\ [cofc = <afc (x)]. Так как при
любом k будет |] со/, ||=1, то это множество О1раниченное. Но при
i Ф k будет
i - ak f = [ [о,' (x) - 2co, (x) coft (x) + co| (x)\ dx = 2
CO
и потому из А нельзя выделить никакой сходящейся
последовательности. Поэтому в общей теории метрических пространств
понятие ограниченного множества уже не имеет того
фундаментального значения, как в случае пространств евклидовых. Его место
занимает понятие компактного множества.
Определение 1. Непустое множество А элементов метрического
пространства Е называется компактным, если оно конечно, или
же если всякая бесконечная часть Ац этого множества
имеет хотя бы одну предельную точку.
Впрочем, надо заметить, что справедлива
Теорема 1. Всякое компактное множество ограничено.
Допустим, что множество А не ограничено. Закрепив какую-
либо точку х„ е Е, мы можем найти такую точку %еА, чго
Р (*i> *о)>1- После этого можно найти такую точку хъ е/1, что
Р(*2> *0)>P(Xl, Хо)+1.
х) Для это1 о достаточно показать, что метрическая функция р (х, у)
непрерывна, т. е. что из соотношении *„->-*, уп-^-у вытекает соотношение
Р(*п. Уп)~*Р(х< У)- Действительно, р(х„, у„)^р(хп, х)-[Гр{х, у)+р(у, у„)
и при достаточно больших п окажется р (хп, уп)<р(х, </) + ?• С другой
стороны р (х, у) р(х, хп)-\-р (хп, уп) + 9(У,и У) и ПРИ достаточно больших
п будет р (лг, у)<р(хп, (/„) + ?.
443
Продолжая этот процесс, мы получим такую
последовательность хъ X}, х3, ... точек множссша А, что
р(хп, хо)>р(хи хо) + р(х2, *„) + . . + р(*„-1, хо)+1.
Тогда при п>т будет р (хл, xu)>p(xw, xo)+\, а так как
р(хп, л'(,)<р(л-л, *„) + р(хт, хи), го р(х», х,„)>\ и потому из
последовательности \хп\ не выделяется никакой сходящейся
подпоследовательности, т. е. {х„\ не имеет предельных точек. Но
тогда множество А не компактно.
Доказанная теорема допускает значительное усиление. Для
его изложения нужно следующее
Определение 2. Пусть А — некоторое множество точек
метрического пространства Е, Вез Л—его подмножество, а е>0 —
некоторое положительное число. Говорят, что В есть е-сеть в
множестве А, если для всякою элемента хеА найдется такой
элемент //еВ, что р(х, у) < е.
Теорема 2. Если А есть компактное множество, то для
любого е>0 в А имеется конечная е-сеть.
Нетрудно видеть, что всякое множество, в котором есть
конечная е-сеть, необходимо О1раничено.:) Поэтому настоящая
теорема есть действительно решение теоремы 1. Переходя к
доказательству, допустим, что теорема неверна. Тогда для некоторого
е>0 в множестве А нет конечной (-'-сети. Выберем в А какоь-
либо элемент хх. Так как он не образует е-сети, то в Л найдется
такой элемент х,, что р(ч> xi)"" e Но система двух элементов kl
и #2 также не образует с-сетн. Поэтому в А найдется такой
элемент х3, что p(xlt х3) ^ е, р(х2, л-3)„-г.
Продолжая это рассуждение, мы убеждаемся в существовании
такой последовательности {хп\ элементов А, что при пфт будет
р(х,п х„,I>г.
Но тогда у этой последовательности нет предельных
элементов, что противоречит компактности А. Теорема доказана.
Таким образом, существование в множестве А при любом е >¦ О
конечной е-сети есть условие, необходимое для компактности А.
Естественно спросить, не 6} дет ли оно также п достаточным.
Оказывается, что для произвольного метрического пространства
это не так. Пусть, например, нашим метрическим пространством
является множество рациональных чисел, содержащихся в се:-
менте [0, 1] с обычным определением расстояния р(х, у) = \х — у'.
Будем рассматривать само это пространство как некоторое
содержащееся в нем множество. 51сно, что в этом множестве
имеется конечная е-сеть при любом е>0 (такой сетью служит
хотя бы множество точек 0, \'п, 2/п, ..., 1, где ле>1). Тем не
:) Действительно, пусть >¦ сеть состоит из элементов уь уг, . ys. Выберем
какой-либо элемент пространства х0 и пусть ггых {p(i/,, xo)}=d. Ясно,
(t = 1,2, ... ,s)
что A cz Sr (х„), где r = d~i-t.
444
менее, наше множество не компактно, ибо из него можно
выделить последовательность
_ 1 Л . 1
Ха~ 3 У + п
п
имеющею иррациональный предел е/3, т. е. лишенною
предельных точек в нашем пространстве. Читатель, вероятно,
догадывается, что полученный неприятный результат имеет
источником неполно! у рассмотренного пространства. И
действительно, справедлива
Теорема 3. Пусть Е — полное метрическое пространство и А
есть бесконечное подмножество Е. Ее ш для всякого t > 0 в А
имеется конечная ?.-ссть, то А — компактное множество.
Обозначим через Р какую-нибудь бесконечную часть
множества А и пусть е>0. Рассмотрим конечную ^ -сеть, отвечающую
9
е т-г е
числу „ Пусть эта „ -сеть состоит из точек ylt t/2, ¦ ¦ ¦, ys. Тогда
множество А, а значит, и его часть Р, содержится в сумме
конечного числа открытых сфер Р cz ^] ^ 2 (у,). Но тогда хоть
одна из зт их сфер, пусть это будет Sc 2 ('/,), содержит бесконечно
мною точек, содержащихся в множестве Р (ибо иначе и все Р
было бы конечным) Если х' и х" — две точки, входящие в
(бесконечное!) пересечение Q = Se ^{у„) Р, то |>(v', x")< с. Иначе
говоря, нами доказан следующий факт: всякое бесконечное под-
множество Р множества А содержит бесконечную часть Q
диаметра1) не большего любого наперед заданною числа е,
d(Q)<E.
Заметив это, возьмем какого-нибудь бесконечную часть Аа
множества А. По доказанному из Ао выделяется бесконечное
множество Ai диаметра d{Ai)<C\. Далее, из А1 выделяется
бесконечное множество Ал диаметра d(A2)<i 1/2. Продолжая этот процесс,
мы получим последовательность вложенных друг в flpyia
бесконечных множеств
Ао^> Ау =) Л2гэ ...
таких, что d{А„)<С\'П. Выделим из каждою А„ по точке хп,
причем так, чтобы точка хп была отлична от хи хг, ..., х,г х.
Если т>п, то хт (= Ат а Ап и потому р(хп, х,„)<.],п. Отсюда
видно, что последовательность \х„) сходится в себе. Но тогда
(благодаря полноте пространства Е) существует предел х~\\тхп.
Этот предел есть точка, предельная для А». Итак, веялое беско-
!) Как всегда, диаметром d (Q) множества Q назывяеп-я точнс1я верхняя
граница множества чисел р (а', л"), где х' н х" jjiovciiTbi Q.
445
нечное подмножество Ао множества А имеет предельные точки, но
это ведь и означает, что А компактно.
Сходным образом доказывается
Теорема 4. Пусть А бесконечное множество элементов
метрического пространства Е. Для его компактности необходимо,
а в случае полноты пространства Е и достаточно, чтобы при
любом е > 0 в Е существовало компактное множество В?,
обладающее следующим свойством:1) для любого х е А найдется такое
у <= Ве, что р (х, у) < е.
Необходимость условия тривиальна, ибо в случае компактности
множества его само и можно принять за Вг. Переходя к
доказательству достаточности этого условия, покажем, что при его
выполнении из всякой бесконечной части Р множества А можно
выделить бесконечное же множество Q диаметра меньшего любого
наперед заданного е > 0. Сделав это, мы сможем закончить
доказательство уже дословно так же, как и в теореме 3.
Итак, пусть Р — бесконечная часть А и е >• 0 — некоторое
положительное число. Построим множество Bt/.i, отвечающее числу
е/3 и для каждого хеР выделим из Ве/з такой элемент у(х), чго
Р (х, У (*)) < з •
Пусть D есть множество всех у(х), где хеР,
Допустим сначала, что D содержит лишь конечное число
различных элементов. Тогда хоть один из них, пусть это будет г/,„
допускает представление уп — у(х) для бесконечного множества
элементов дгеР. Это множество и можно принять за искомое
2
множество Q, ибо его диаметр меньше е. Если же множе-
о
ство D бесконечно, то (оно есть часть компактного
множества Be,J) из него выделяется сходящаяся последовательное 1ь
У(х1), у(х2), у(х3), ...,
причем все элементы хи х,, х3... отличны друг от друга.
В силу сходимосш последовательности {у(хп)\ найдется такое Л',
что при п> N и т> N будет
Р(у(хп), У(хт))<~.
Но тогда за искомое множество Q можно принять множество
{*лть ^л-г2. ^v-,3, •••}¦ В самом деле, если «>М и m>N, то
Г' (•*¦„, х„,)^р(хп, Ь'(х„)) + р(у(хп), у(х,„)) + р(у(хт), хт)<е
и
Теорема доказана.
!) А1ы не можем назвать Ве е-сетью в А, ибо не предполагаем, что Ве с: А.
446
Теоремы 3 и 4 дают общие критерии компактности в полных
пространствах. Однако, для многих часто встречающихся
пространств найдены более простые признаки компактности.
Остановимся на некоторых из них.
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах
В этом параграфе мы устанавливаем условия компактности
множества, лежащего в одном из четырех пространств s, !р, С и Lp.
Пространство s. Элементами этого пространства являются
числовые последовательности х = (%и ?2> \э> •••)• Так как число %к,
стоящее в этой последовательности на k-ш месте, т. е. k-я
«координата» точки х меняется при переходе от одной
последовательности к другой, то оно является функцией от последовательности.
Поэтому уместно обозначить это число через %к (х).
При помощи этого обозначения можно сформулировать
следующую теорему:
Теорема 1. Пусть А = {х}, где х = Ц1(х), 1-2(х), 1я(х), ...),
бесконечное множество точек пространства s. Для того, чтобы А
было компактно, необходимо и достаточно существование таких
чисел Mi, Mo, M3 что при любом ie/1 оказывается
\1„(х) <М* (*=1, 2, 3, ...).
В самом деле, допустим, что такие числа М/, существуют.
Выберем из А последовательность различных точек хх, х2, х3, ...
и составим числовую последовательность из первых координат
выбранных точек
?i(*i). ?i(*2), ?i(*3) A)
Так как | ?t (х,г) sg; Mu то по теореме Больцано — Вейерштрасса
из A) выделяется сходящаяся последовательность
?i (xi1), Ei W ), h W),..., lim |x (.v,,1) = «j.
II —* OO
Отметим, что здесь x\"t x2v, х? , ... есть последовательность,
частичная для последовательности хи xlt х3, ..., причем взаимное
распололсение членов ее таково же, как и в последовательности
Xi, Хч, ЛГ.э, ....
Последовательность вторых координат
&.W), 1ЛхГ), Ы*П, ...
выделенных точек *,'', х'", х',11, ... ограничена (ибо J |2(xi) | ^М2)
и поэтому из нее выделяется сходящаяся последовательность
Ь. (л-j1), h (xr ), 12 (л-/ ) lim l2 (xT) = a2.
При этом последовательность лт', xr , x'f, ... есть частичная
для последовательности лг/ , л\/ , х'л[ ..., и взаимный порядок двух
447
членов, входящих в обе последовательности, одинаков в обеих
последовательностях.
Продолжая этот процесс, мы приходим к бесконечной матрице
различных точек множества Л:
Лj , .> , Л| , ...
А | , А , , A t , ...
X, , Л, , Л\ , ..
причем каждая слетиощая ее строка получается из предыдущей
удалением части членов без нарушения ву^'л iiioro порядка
оставшихся членов. Строки матрицы таковы, что c\i:vc[BytoT конечные
пределы lim L (*;;»)--а/)( (р --- 1, 2, 3, .. ).
Полечив указанною матрицу, рассмотрим последовательность
элементов ijy'-x^ , ij, ~х; , уа = х{' ..., стоящих на ее диагонали.
Это последовательность различных точек множества А.
Если закрепить какое нибудь натуральное ;», то элементы ур,
Ур , i> У г -' • ¦ ¦ будут элементами р-\\ строки пашен матрицы
Уп-=Х(,и\„1П) (П^р),
причем, очевидно, т{п, р) ^п. Но тогда
1,ЛУп) =lp(Xm\i.i») i'l^P)
и, стало быть,
lim lr, (yn) -= a.,,.
Последнее соотношение показывает, что последовательность
//ь //2. Уя< •¦¦> выделенная из последовательности хи к,, .v3, ...
точек Л, имеет пределом точку a — (alt a2, as, . ).
Значит всякая счетная часть \хп\ множества А имеет
предельную точку, а потому А компактно. Таким образом, нами
доказана достаточность условия теоремы.
Переходя к установлению его необходимости, допустим, что
это условие не выполнено. Тогда хогь для одного k не нанде1ся
такого числа Мк, чтобы при всех ле/1 было |/, (х) i --M,,.
Закрепив это k, мы можем гарантировать, что множество чисел
{li, (x)} не ограничено. Поэтому можно выбрать из А такую
последовательность хъ хг, х3 чтобы оказалось Inn 1,г (х„) — м.
п —» со
Ясно, что последовательность {х„\ не имеет предельных точек.х)
Теорема доказана.
Пространство 1р(р~^\). Это пространство состоит из
последовательностей л'=(^1(л'), !>(*), *.3(^*)| •¦•)> У которых
И = | 2 ||*(*)|рГ'<+со.
1) Еош бы нз {<(„} выделялась подпоследовательность {*„;}> имеющая
предел а, то ок«иывалось бы, что \к {хп^ —> |ft (й), в то время как %k {xn^ - со.
448
Условие компактности в этом пространстве дается следующей
теоремой:
Теорема 2. Пусть А — бесконечное множество точек
пространства 1Р. Для того, чтобы А было компактно, необходимо и
достаточно выполнение совокупности двух условий:
1) существуют такие числа Мъ М2, М3, ..., что при всех
х е А оказывается
\h(x)\^Mk (k=\, 2, 3, ...);
2) ряд
СО
сходится равномерно на множестве А.
Докажем сначала достаточность условий теоремы.
Предполагая их выполненными, прежде всего находим такое т, чтобы
оэ
при всех х е А было ^] | ?fc (*) |р < 1.
k = т + 1
Закрепив это т, мы будем иметь для всех х^А, что
m m
k=i *=i
т
Стало быть, положив ^ Л^^+1=Я, мы для всех * е Л
оо
будем иметь ^ I ^* W 1Р < ^;^-
Установив это, рассмотрим какое-либо бесконечное
подмножество Ао множества А. Совершенно так же, как в теореме 1,
мы покажем, что из Аа выделяется такая последовательность
Уъ Уъ Уз> • ¦ ¦ > что существуют конечные пределы
lim lk{yn) = ak (k=\, 2, 3, ...).
л -юз
N
При любом N будет ^ \ik{у*) \р<.Н.
Переходя здесь к пределу при возрастающем п и закреплен-
N
ном N, находим ^ \ak\p^H, откуда, в силу произвольности N,
/г= 1
вытекает, что последовательность а = (а1, а2, а3, ...) входит
в пространство 1Р.
Покажем, что
а= lim yn. B)
п -*¦ со
449
С этой целью возьмем е>0 и найдем такое h, чтобы при
всех хеЛ было
Ik (х) |" ¦
* = Л + 1
е \р
3
N
Тогда, как и выше (т. е. рассмотрев сначала сумму ? ,
мы убедимся, что
2 i«*M^'
Но
Г м
(У,
Стало быть:
¦П)-«*1Р]
Up
2 IS*
А — Л + 1
О/л)
¦1/Р
+ Z \а„\
k = h+ 1
Up
2 !?*Ы-а*|" <|е
= Л+ 1 J
г л -11/р
Так как для достаточно больших п будет
Л
2 И*Ы-«* !><(!)",
А = 1
то для этих п оказывается
||^-а||<е,
чем и доказано B), а значит и компактность множества А.
Необходимость условия 1) доказывается дословно так же,
как необходимость условия теоремы 1. Предположим теперь, что
не выполнено условие 2). Тогда существует такое е>0, что для
всякого натурального п в А найдется элемент хп, для которого
2 |?*<*л)|р^е.
C)
Нетрудно видеть, что среди элементов хп должно быть
бесконечное множество различных. И в то же время из [хп\ не
выделяется никакой сходящейся последовательности.
450
В самом деле, если бы последовательность хП1, х„„ хп%, ...,
где ttj < п2 <«3 <..., имела предел а = (аи аг, а3, ...), то мы
прежде всего могли бы найти такое h, что
_ a*ip<2V
Затем для достаточно больших i(i>iQ) мы имели бы
|хл.-а|< —,
откуда и подавно при этих i
оо
2 |Б»Ы-а*|"<-|г.
Значит, считая i> i0 настолько большим, что nt^h, мы
имели бы:
/от \1/р
со \1/р / оо \1/р
е ъ(*»,)-«*;р + s 1«*п <е1/р.
V*=«, + > У \* = »,+i У
а это противоречит неравенству C). Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим множество А, состоящее из
«единичных ортов» пространства /р, т. е. из элемента вида
?л = @, ..., О, 1, 0, 0, ...) A на я-м месте).
Здесь выполнение первого условия теоремы очевидно. Далее,
оо
ряд ^] | |ft (еп) \р сходится при всяком п, ибо \к (еп) = 0 при k-^n.
k = i
Но сходимость этого ряда не равномерна относительно п, и
множество А не компактно. Это видно и непосредственно.
Действительно, ведь lim h,k (en) = 0 и потому единственной предельной
п —• от
точкой А могла бы быть только точка 0 = (О, О, О, ...). Но при
любом /j
к„-ец=1
и потому у А нет предельных точек.1) Полезно отметить еще,
что при всех п оказывается ||ел|=1 и потому А ограниченное
множество. Таким образом, мы получаем еще один пример
множества ограниченного, но не компактного.
г) Еще проще установить это, заметив, что при тфп б\дет
451
\\еп-ет || = ^2.
Пространство С. Переходя к рассмотрению условий
компактности в пространстве С, дадим следующее
Определение. Пусть на сегменте [а, Ь] задано семейство А = {/ (х)}
непрерывных функций. Если всякому е>0 отвечает такое 6>0,
что при \х" — х' |<5 (где х' и х" взяты из [а, Ь]) для любой
функции f(x) из А оказывается
|/(.O-/(X')I<8,
то говорят, что функции семейства А равностепенно непрерывны.
В пояснение сказанного заметим, что наличие такого б для
каждой отдельной функции /(х) из А непосредственно
вытекает из непрерывности этих функций. Суть же дела заключается
в возможности подбора одного S для всех функций
семейства сразу.
Теорема 3 (Ц. Арцела — Дж. Асколи). Пусть A = {f(x)\
бесконечное семейство непрерывных функций, заданных на сегменте
[а, Ь]. Если
1) все функции семейства ограничены одним числом, \f(x)\^M,
2) эти функции равностепенно непрерывны,
то из А выделяется равномерно сходящаяся последовательность.
Доказательство. Обозначим через Е множество всех
рациональных чисел сегмента [а, Ь). Это множество счетное и
поэтому, на основании леммы 1, § 4, гл. VIII, из А выделяется
последовательность различных функций f\(x), f*(x), fs(x), ...,
сходящаяся на всех точках множества Е. Покажем, что эта
последовательность сходится не только на Е, но и на всем сегменте
[а, Ь]. Действительно, пусть л; —иррациональная точка из этого
сегмента. Взяв е> 0, находим такую рациональную точку r^[a, b],
чтобы для всех функций семейства А было \f(x) — f(r)\<z %.
О
Существование такого г вытекает из условия равностепенной
непрерывности функций семейства. Так как числовая
последовательность {fn(r)\ сходится, то нашему е отвечает такое N, что
как только n>N и m>N, так сейчас же \fn(r) — fm(r) | < |.
Но тогда для этих же п и т окажется
h{x)-tm{x)\^\hix)-U(r)\ + \U{r)-U(r)\ +
+ l/m@-/m(*)|<B.
Таким образом, последовательность {/„ (х)} сходится в себе и,
стало быть, имеет конечный предел.
Итак, нами доказано существование предела
Mm fn(x) = (p(x)
п ~* до
для всех х е [а, Ь]. Легко видеть, что предельная функция ср(л)
непрерывна. В самом деле, взяв е>0 и найдя такое 8>0, что
неравенство | х" — х' \ < 6 влечет для всех функций семейства
452
неравенство )/(*") — f(x') | <е, мы закрепим такие точки х' и х",
что \х" — х'\<с& и перейдем к пределу в неравенстве
|МЛ-Ы*')[<е,
что приведет нас к аналогичному неравенству
|Ф(л0-ф(д0|<е
уже для предельной функции.
Остается убедиться в том, что стремление /„ (х) к <р (х)
происходит равномерно относительно х.
Для этого прежде всего заметим, что разности ¦/„ (х) — ф (х)
так же, как и функции fn(x), равностепенно непрерывны. Поэтому,
взяв е>0, мы сможем найти такое 6>0, что при \ х" — х'\ <. §
и при любом п будет
1 {/„ (х") - ф (*")} - {/„ (*') - ф (х')} |< -J. D)
Найдя такое S, возьмем настолько большое натуральное число s,
что <6, и положим
i Ь — а . п Ь — а ,
го = а, гг = а-\ —, г2 = а + 2—— zs = b.
В каждой точке г, будет lim fn (г,-) = ф (г,) и потому найдется
И->00
такое Nit что при n>Ni будет
1Мг,)-ф(г,)|<|. E)
Пусть N = max{yV0, ^Vlf ..., JV4}. Если n>N, то при любом
х <= [а, 6] будет
1М*)-<Р(*)|<е. F)
Действительно, взяв какое угодно х е [а, й], сможем найти
такое i, что |гг —дт|< ~й'<6, а тогда F) будет следовать из
D) и E). Так как число JV от выбора х не зависит, то теорема
доказана полностью.
Теорема 4. Для того чтобы бесконечное множество А
элементов пространства С было компактно, необходимо и достаточно,
чтобы функции, входящие в А, были ограничены одним числом и
равностепенно непрерывны.
Достаточность условий теоремы доказана в теореме
Арцела — Асколи. Необходимость условия ограниченности
функций /(х) из А одним числом вытекает из теоремы 1
предыдущего параграфа, ибо ограниченность множества А, вытекающая
согласно этой теореме из его компактности, и означает, что
функции, входящие в А, ограничены одним числом. Остается
установить необходимость условия равностепенной непрерывности.
453
Допустим, что это условие не выполнено. Тогда для некоторого
ео>О найдутся последовательность функций {/„(*)} из Л и две
последовательности {хп\ и \уп} точек из [а, Ь], обладающие
свойствами:
lim &„-*„) = 0, \fn(Xn)-fM\^*o- G)
Последовательность {/„ (*)} должна содержать бесконечно много
различных элементов А. В то же время из нее не
выделяется никакой равномерно сходящейся подпоследовательности.
Действительно, предположим, что такая подпоследовательность
из {fn(x)\ выделилась. Не ограничивая общности, можно считать,
что это и есть сама последовательность {fn(x)}, ибо к этому
сводится дело при помощи перемены обозначений. Итак, кроме
соотношений G), о последовательности {/„ (х)\ известно, что она
равномерно сходится к некоторой (очевидно непрерывной) функции <р (х).
Для упомянутого выше ео> 0 существует такое 6>0, что
при \х" — *'|<8 будет |<р (*") — <Р (*') | <-у. С другой стороны,
можно найти такое N, что при п> N и любом х из [а, Ь] будет
\Ы(х)-ч(х)\<%.
Возьмем n>N, подчинив его еще условию, чтобы было
\Уп — Хп\<$- При этом п окажется
1М*я)-/»Ы1<1М*я)-ф(*»)Жф(*«)-фЫ1 +
+ 1фЫ-/яЫ1<8<>.
Но это противоречит соотношению G). Таким образом, при
невыполнении условия равностепенной непрерывности функций,
входящих в множество А, это множество не компактно. Теорема
доказана.
Приведем пример х) применения теоремы 3 в вопросах классического
анализа. Рассмотрим дифференциальное уравнение
?-/<*. УЬ (8)
правая часть которого задана и непрерывна в некотором замкнутом
прямоугольнике R.
Теорема 5. Если (х0, у0) внутренняя точка R, то через эту точку
проходит по крайней мере одна интегральная кривая уравнения (8).
Доказательство. Так как /(х, у) непрерывна в R, то она там
ограничена. Пусть J f (х, у) | < М.
Проведем через (х0, уа) прямые / и 11 с угловыми коэффициентами М
и — М. Построим, далее, две прямые х = а и х = Ь, где a<xg<b, выбрав
числа а и b настолько близкими к ха, чтобы треугольники ABC и ADE,
ограниченные прямыми х = а и х — Ь и проведенными ранее прямыми и //,
лежали целиком в прямоугольнике R (см. рис. 9).
Проделав это построение, разложим сегменг [а, Ь] точками zo = a<z1<
< z2 <. .<2s = b на s частей, причем так, чтобы точка х0 совпадала
:) Я следую изложению И. Г. Петровского (см его «Лекции по
теории обыкновенных дифференциальных уравнений», ГОНТИ 1939, § 12).
454
с одной из точек деления, пусть, например, xo = zm. Проведем через (ха, уа)
прямую с угловым коэффициентом / (х0, у0). Эта прямая будет лежать в
вертикальных углах ВАС и DAE. Двигаясь из точки (х0, у0) вдоль проведенной
прямой направо, мы встретим на ней точку (гт+1, ит+1). Предполагая
m+l<Si проведем через эту точку прямую с угловым коэффициентом
f (zm+i> "m+i) и рассмотрим ее отрезок, лежащий над сегментом [гт+1, гт+2].
Этот отрезок целиком лежит в треугольнике ABC. Если m-f-2<s, то через
правый конец (гт+2, um+2) полученного отрезка проводим новую прямую
с угловым коэффициентом /(zmi2, ит+2) и продолжаем этот процесс до тех
пор, пока в качестве правого конца одного из построенных отрезков не
получим точки, лежащей на прямой х =Ь. Аналогичное построение проделаем,
двигаясь из точки (х0, у0) влево.
В результате мы получим ломаную, имеющую вершины в точках
Bо. «о). (?U "О, •••. BS, Us),
где zm = x0, ит = у0, и такую, что угловой коэффициент звена, соединяющего
вершины (zk, ик) и Bft+1, uft+1), есть f (zk, ик) при k^m и f(гк+1, мА+1) при
У а ~
Рис. 9.
k<m. Эта ломаная называется ломаной Эйлера. Важно заметить, что она
не выходит из треугольников ABC и ADE (это проще всего доказать
индуктивно при самом построении ломаной, переходя последовательно от одного
звена ломаной к другому). Рассмотрим ту функцию <р (дс), графиком которой
является ломаная Эйлера. Эта функция ограничена, ибо ее график не
выходит за пределы прямоугольника R. Нетрудно видеть также, что ф (х)
удовлетворяет условию Липшица
|ф(*")-<Р(*')|«?Л1|*"-*'|.
Будем называть ф (*) функцией Эйлера и говорить, что она соответствует
произведенному разложению fa, b\ на части. Вообразим себе всевозможные
функции Эйлера, которые можно получить, меняя способ разложения [а, Ь\.
Согласно сказанному, эти функции ограничены одним числом и
равностепенно непрерывны. Значит, множество этих функций компактно в С.
Рассмотрим теперь последовательность таких способов разложения [а, Ь\
на части точками г0, гь ..., 2S, что max [гА+1 — zk] -*- 0. Этим способам
отвечают некоторые функции Эйлера. Выберем из их последовательности
равномерно сходящуюся подпоследовательность (fi(x), фгМ, фз(*)| ••• ¦ Пусть
lim yn(x) = ty(x).
п -»оо
Очевидно, 1|> (*о) = </о. так что кривая y — ty(x) проходит через точку
(*о> Уа)- Мы докажем, что это есть интегральная кривая уравнения (8).
455
Для эгого обозначим через zj,"', z\"\ ... , г*"' точки деления того способа
дробления, которому отвечает функция <pn (*). Напомним, что
hm ImaxM"! 1-zi")}|=0. (9)
Возьмем какую-нибудь точку x, лежащую в полуоткрытом промежутке
(дсо, Ь). Пусть 2<р"> < х ^ г <"| , [р = р (п)].
Тогда, сохраняя по-прежнему обозначение гт \т = т(п)\ для точки
деления, совпадающей с х0, мы будем иметь:
фЛ'П-ф-^о+'да!' i-^ii))^-*^!).'
фли=Фя(^)+/(гГ. фЛ'ГЖ'-'П-
Складывая эти равенства, находим
ф„м=«.+р1]1 K4rt). фяDп))) Wi-^O+K^'. фЛгГ))(*-4п))-
Функция / (х, у) равномерно непрерывна. Значит, взяв произвольное
е > 0, можно найти такое б > 0, что при у" — д'\<Ь будет
|/(х, y")-f(x, y')\<e
зграничивая "общнос!
большим, чтобы пр
|ф„(*)-1К;с)|<6.
при любом х g [a, 6J. Не ограничивая "общности, можно считать, что Ssge.
Будем считать п настолько большим, чтобы при всех х е [а, Ь] оказалось
Тогда сумма
'Е W. Ф.(»П)(»Г|1-*П+/(«1»")- фЛ»^))^—?»)
k = m
будет,отличаться от аналогичной суммы
°n=iif(*in)- vwn>))Wi-4n))+/Dn)' vKn>))(*-4n))
ft = m
меньше чем на е(х — х0). Отсюда следует, что при указанном достаточно
большом п будет
H>(*)-0u-CTn|<e(l+*-jfo). (Ю)
Замечая, что сумма а„ есть сумма Римана для интеграла
\f[Z, ф B)]d2,
¦«о
учитывая (9) и переходя в A0) к пределу при возрастающем п, находим
Ч>М-Й>- $Пг. +(г)]Л
456
=g:e(l+*-xa).
Отсюда, ввиду произвольности е, вытекает, что
х
ФМ=Уо+ У/[«. *BIЛ. A1)
-to
Дифференцируя это равенство по аргументу л:, получаем *) для любого
х е [х0, Ь]
V(x) = f[x, ipWJ. A2)
Аналогично устанавливается A2) для a ?g л: sg х0. Теорема доказана
полностью.
Замечание 1. Читатель обратит внимание на то, что если
прямоугольник R определяется как R (х0 — А ==? х s? х„ -f- /1, Уо — В^у-^у^-^В), то
проведенное доказательство обеспечивает существование решения в сегменте
[л;0 —б, А'о + б], где '
6 = min{v4, б/М}.
Замечание 2. В условиях теоремы 5 интегральная кривая, проходящая
через (х0, у0), не обязательно единственна. Например, через @, 0) проходят
две интегральные кривые у = 0 и у = х3 уравнения ,-=Зу у2.
Пространство Lp. Рассмотрим, в заключение, условия
компактности в пространстве Lp. Эти условия для р > 1 были
найдены А. Н. Колмогоровым в 1931 году. Через два года А. Н. Ту-
лайков2) доказал, что условия А. Н. Колмогорова оказываются
также необходимыми и достаточными и для случая р=1.
Чтобы установить интересующие нас результаты, потребуются
некоторые вспомогательные соображения.
Лемма 1. Пусть на [а, Ь] задана суммируемая функция ц> (t).
Распространим ее определение на сегмент [a — h, b-\-h], положив
ф(/) = 0 при <е[а, Ь] и построим новую функцию (fh(x), задав
ее на [а, Ь] формулой
x-'rh
. . 1
Фл
х-гп
x—h
Функция <(>ь(х) (называемая функцией Стеклова) непрерывна
на [а, Ь].
Действительно, ведь
<PH(x) = ~[F(x + h)-F(x-h)l tj&F(x)= J ^{t)dt,
a—h
a F (x), как известно, есть функция непрерывная.
1) Хотя A1) доказано лишь для к > х0, но A2) вытекает из A1) и при
я = л;0; само собой разумеется, что при х = х0 и х — Ь речь может идти только
об односторонних производных.
2) «2ur Kompaktheit im Raum Lp fur p = l», Gottinger N^chnchten, 1933,
стр. 167—170.
457
Лемма 2. В тех же обозначениях
ь ь
\\qh{x)\dx^\\q>(x)\dx. A3)
а а
Доказательство. Пусть сначала ф(х)^0. Рассмотрим
в прямоугольнике R(a^t^b, —h^z^ti) функцию <p(z + t).
Согласно теореме 2, § 4, гл. XII будет1)
Ь +h +h Ь
\dt\ <p(z + Odz=5 dz\y(z + t)dt. A4)
a —ft —ft a
Так как
+h i+h
] <p(z + t)dt= ] v(x)dx = 2h<ph(t),
-ft t—h
то интеграл, стоящий в A4) слева, есть не ч,то иное как
ь
2h\yh{t)dt.
а
Интеграл же, стоящий в A4) справа, преобразуется к виду
+ h Ь + г
\ dz \ (f(x)dx,
—h а + г
и остается заметить, что2)
Ь + г Ь
\ ф (лг) dx < \ ф (х) dx, A5)
а-\-г а
чтобы получить A3).
!) Измеримость <p(z-\-t), как функции одного из аргументов t или г при
любом закрепленном значении другого, очевидна. Установим, что и как
функция двух аргументов она измерима в R. При любом с множество тех
*е[а — h, b-\-h], для которых ср (х) > с, измеримо. Но тогда (см.
лемму 1, § 2, гл. XII) измеримо множество А точек (*, у) прямоугольника
(а — к^х ^ 6 +Л, —hs^ys^h), для которых ф (л;) > с. Пусть Е есть
множество тачек {t, г), в которое переходит А при аффинном преобразовании
плоскости по формулам t — x — y, z = y. Оно измеримо и остается учесть, что
Л[фB + 0>с] = Я?.
2) При 2=0 интегралы A5) равны. Если же, например, 2>0, то
(поскольку фЗ=0)
b + z Ь Ь
\ у(х)&х= \ Ф (х) dx =s $ Ф (х) dx.
а+г а+г а
458
Откажемся теперь от предположения, что ф(лгM=О, и
обозначим через Ф/Дх) функцию Стеклова для модуля |ф(*)|. Тогда
x + h
I Фл (X)
2/1
ж \ <t(f)dt
x — h
Ь
J_
~2h
х + h
¦ S |ф
x — h
(t)\dt = Vh(x)
l\<ph(x)\dx^(fh(x)dx.
a a
Но по уже доказанному
ь _ ъ
\yh(x)dx^\\<Q(x)\dx,
a a
откуда в связи с A6) и вытекает A3).
Лемма 3. Если q> (t) e Lp при р ^ 1, то
11фЛ«^1ф||-
При этом, как обычно,
A6)
A7)
1|Ф«
Р ГЬ
» а
(x)\"dx.
Полезно заметить, что, в силу непрерывности функции Стек-
лова фд (х), она входит в 1р.
Для случая р = 1 наша лемма совпадает с леммой 2. Поэтому
можно считать р>\. Но тогда, в силу неравенства Гёльдера,
будет
x + h lx\h \\Jplx + h y/q
l ф(ожU Wit)\pdt\ [\dt\ , (| + } = i)
* — й \j; —ft / \x — h '
или, что то же самое,
*+h
A8)
x — h
Правая часть этого неравенства есть не что иное, как
функция Стеклова для функции |ф(*)|р. Обозначая ее через фд(*),
можем переписать неравенство A8) так: | фл (х) |р ^ фй (х).
Отсюда
l\4>h(x)\"dx^h(x)dx,
d a
а в силу леммы 2 будет
ь _ ь
\yh{x)dx^\\<${x)\pdx.
а а
Из этих неравенств и вытекает A7).
459
Лемма 4. Если р 5г 1 и ср (х) е Lp, mo
lim \! фЛ (х) - ф (х) \pdx = Q. A9)
Действительно, пусть сначала функция ф (х) непрерывна. Если
а<х<6 и /г настолько мало, что [x — h, x + h]a[a, b], то по
теореме о среднем
x + h
ф/Л*) = -2т j ф(ол = фA),
л: — /г
где |е[дг —Л, Jf + Л]. Отсюда ясно, что для *е(а, 6) будет
lim фЛ (х) = ф (х)
и потому подынтегральная функция в A9) почти везде в [а, Ь]
[точнее, везде в интервале (а, Ь)] стремится к нулю. С
другой стороны, ф (х), будучи непрерывной, ограничена. Но если
ц>(х)\^М, то и | фА (х) | <; М. Значит подынтегральная функция
в A9) ограничена числом, не зависящим от параметра. Отсюда
следует возможность предельного перехода под знаком интеграла,
чем и доказана формула A9).
Пусть теперь ф (х) есть любая функция из Lp. Взяв е > О,
находим такую непрерывную ty(x), чтобы оказалось
1№-ф1<е. B0)
Если через tyn(x) обозначить функцию Стеклова для функции
гр(х) и заметить, что функция Стеклова для разности <р(х) — ty (x)
есть разность фл (х)~ ^л(х), то из B0) по лемме 3 будет вытекать,
что
|^А-фл||<8.
Но
1фл-ф11<1фл-1>*1+|1>л-1>11+1Ф-ф1|.
Значит
|Ц>А-ф1<2е + 1*А-*1,
а по уже доказанному для достаточно малых h будет ||t|jA —1|з[|<е,
так что для этих h окажется ЦфЛ —ф||<3е. Лемма доказана.
Теорема 6 (А. Н. Колмогоров). Пусть А = {f(x)\ есть
множество функций из Lp(p>l). Для того, чтобы это множество
было компактным, необходимо и достаточно выполнение
совокупности условий:
1) множество А ограничено в Lp;
2) стремление к нулю разности ||/л—/|| при Л->0 происходит
равномерно относительно выбора функции f(x)^A.
Необходимость условия 1) ясна, ибо всякое компактное
множество ограничено. Чтобы доказать необходимость условия 2),
460
предположим его не выполненным. Тогда существует такое е0 > О
и такие две последовательности \hn\ и \fyn){x)\, где /гя>0 суть
числа, а /(/г) (х) — функции из А, что
ИтА„ = 0, li/(;>-/(n)||^e0.
Покажем, что из {/("> (х)} не выделяется сходящейся
подпоследовательности. Допустим, напротив, что она выделяется. Не
ограничивая общности, можем принять, что это есть сама
последовательность {/(п'(*)}. ибо к этому можно свести дело при помощи
перемены обозначений. Итак, пусть последовательность SJM (x)}
стремится (в смысле метрики Lp) к функции g(x). Тогда при
само собой понятных обозначениях мы будем иметь
eo^i/^-^lKi/^-^ I + Uft -?l + «?-/(i-
л
Отсюда по лемме 3 % <.Ц g - f(n) \ + \\ ghn -g||.
Но (по лемме 4) для достаточно больших п будет \gh — g |] <;
<~ и, стало быть, для таких п окажется || g — fln) \\ > —¦, что
противоречит предположению о стремлении /(га) (х) к g (x).
Необходимость условий теоремы доказана.J)
Предположим теперь, что выполнены условия 1) и 2). Тогда
для любой / (х) е А будет
||/|]= [\\f(x)fdx) <M,
где постоянная М от выбора f(x) не зависит. Закрепим
некоторое Л>0 и рассмотрим множество функций Стеклова Ah = \fh(x)},
построенных при этом h для всех функций /(x)ei В силу
неравенства Гёльдера для любой из fh (x) будет
\ш^-к(\тг*) Q/') <^ (i+i = >
Значит, все функции из Ah ограничены одним числом.
Покажем, что они равностепенно непрерывны. В самом деле, для
любой из них при a s? х < х' sS Ъ будет
р'+Л x'-h "I
/A(*')-/AW = ij jj /@Л- \ f(t)dt\. B1)
U + h x-h )
Но
х' + Л
\ f(t)dt
х + Н
Iх'+*.... . ..\1/"Л'+" \!/«
\л: + Л / \х + Л
S 1/@1" л ^ л <м (*'-*)>/«.
!) При этом проведенное рассуждение не опиралось на то, что р> 1, а
годится и для р = 1.
461
Аналогичная оценка верна и для второго интеграла, стоящего
в скобках в B1). Стало быть
1Ы*')-ы*):<х (*'-*)'<«.
откуда и видна равностепенная непрерывность функций {fh(x)\.
Таким образом, при любом /г>0 множество Ah компактно
в С. Тем более оно компактно в Lp. Но тогда компактность
множества А непосредственно следует из условия 2) и теоремы 4 из § 2.
Замечание. Как показал В. Н. Судаков,х) первое из условий
теоремы 6 является следствием второго ее условия.
§ 4. Банаховский «принцип неподвижной точки»
и некоторые его приложения
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными.
Ее всегда можно записать в форме
*i = °i, i*i + ai, 2*2 + • • • + ah пхп + Ъх
Ч = й2, i*i + «2,2*2 + ¦ • ¦ + а% пхп + Ьг
хп = а„, ххг + ап< jXj +. • • + ая< пхп + Ъп
A)
Покажем, что на задачу решения системы A) можно
взглянуть с совсем новой точки зрения. С этой целью рассмотрим
систему п равенств
У\ = alt 1x1 + ahix2 + ... + alt пхп + Ьх
У<1 = «2, 1*1 + й2, 2*2 + • • • + Я2, пХп + Ьг
У п. = ап, 1*! + ал, 2*2 + • • ¦ + я„, пхп + bn
B)
Какую бы систему чисел {xlt x% хп) ни вставить в правые
части равенств B), в левых частях получатся некоторые числа
(Ух, Уг Уп)- Таким образом, равенства B) задают некоторую
операцию, или, как чаще говорят, оператор, преобразующую
числовой комплекс {хг, х2, ..., хп) в комплекс {ylt уг уп).
Иначе можно сказать, что равенства B) задают нам оператор,
переводящий точки я-мерного эвклидова пространства /?„ в точки
этого же пространства. При таком подходе к вещам вопрос о
решении системы A) есть вопрос о нахождении такой точки
пространства /?„, которая оператором B) переводится в себя же, т. е.
является «неподвижной» точкой преобразования.
Оказывается, что подобная же трактовка вопроса возможна
не только в отношении линейных алгебраических уравнений, но
1) «К вопросу о критериях компактности в функциональных
пространствах», Успехи мат. наук, 1057, 12, № 3.
462
и в отношении дифференциальных уравнений, интегральных
уравнений, систем таких уравнений и многих других задач анализа.
В связи с этим возник очень плодотворный метод1) изучения
всех таких задач, называемый «методом неподвижной точки».
Теория его состоит в исследовании различных типов операторов
и установлении условий, при которых эти операторы оставляют
неподвижными определенные точки. Мы ограничимся
рассмотрением лишь весьма частных условий этого рода, отсылая читателя
за более подробными сведениями к уже упомянутой статье
В. В. Немыцкого.
Определение 1. Пусть Е и Ех суть метрические пространства
и пусть U есть правило, соотносящее каждой точке х е Е
некоторую точку у е Ег. Такое правило называется оператором,
заданным в пространстве Е и переводящим его в пространство Еъ
Если у е Ег есть точка, соотнесенная оператором U точке х е Е,
то пишут у = U (х) и называют у значением оператора U в точке х.
Определение 2. Пусть оператор U переводит метрическое
пространство Е в это же пространство Е. Если существует такое
число q, что 0 «? q < 1 и что для любых точек х и х'
пространства Е оказывается
p(U(x), U(x'))^q-p(x, x'), C)
то мы будем называть V сближающим оператором.
Теорема (С. С. Банах). Если сближающий оператор U
задан в полном метрическом пространстве Е, то в этом
пространстве существует одна и только одна точка х*, для которой
U(x*) = x*. D)
Эта точка называется неподвижной точкой оператора U.
Для доказательства возьмем произвольную точку пространства
х0 и построим последовательность
x1=U(x0), x2 = U(xl), xa=U(xz), ...
Покажем, что эта последовательность сходится в себе. В самом
деле, при п 3=1 будет
р(*п+1, xn) = p(U(xn), U (*„-!)) sc q ¦ р (Хп, *„_!).
Отсюда следует, что р (х„п, хп) ==? aqn, где положено для
краткости a = p(#1, x0). Заметив это, выберем какое-нибудь
натуральное N и пусть п> N и т> N. Положим для определенности,
что т> п. Тогда
Р(Хп, Хт)?^р(Хп, ХпП) + р(Хп+1, Хя+гЭ + .-. + РрС/л-!. Хт).
!) Весьма обстоятельное изложение его дано в статье В. В.
Немыцкого «Метод неподвижных точек в анализе», Успехи мат. наук, вып. 1,
1936.
463
Отсюда
р(х„, хт) ^aq« + aq"^ + ... + aqm ' ^ ^~-
и тем более
N
Р(ХЯ, JfmXyz^".
Так как qN стремится с возрастанием N к нулю, то сходимость
последовательности {хп\ в себе доказана. Но пространство Е
полное. Значит существует
lim хп = х*.
п-усс
В силу C) имеем
р(*я+1, U(x*)) = p(U(xn), U(x*))^q-p(xa, x*).
Поэтому limp(*n+i, U(x*)) = 0, т. e. U (x*) = limx,,, а отсюда,
ввиду единственности предела, и следует D). Итак, неподвижная
точка существует. Остается убедиться в ее
единственности, но это весьма просто. Действительно, если бы у
оператора U, кроме х*, была другая неподвижная точка х, то
оказалось бы, что
р(х*. x) = p(U(x*), U(x))^q-f>{x", x),
что при р(х*, х) > 0 противоречит условию q<.\. Теорема
доказана полностью.
Замечание 1. Из самого доказательства теоремы Банаха видно,
что точка х* получается методом последовательных приближений,
исходя из любой течки пространства х0. Это замечание дает
практический прием приближенного нахождения этой точки. При этом,
переходя в неравенстве р (хп, хт) ^ "^ к пределу при
закрепленном п и возрастающем т, получаем оценку точности
приближения
р(Хп, X*)^j^.
Отсюда видно, что чем меньше q, тем быстрее сходимость
процесса приближения.
Замечание 2. Интересно, что условие
p(U(x'), U(x))<p(x, х) {х'фх)
недостаточно для существования неподвижной точки. Пусть,
например, Е есть множество вещественных чисел с обычным
определением расстояния. Положим
U (x) = x+ n -arctg*.
464
Так как при всяком х будет arctg *< л/2, то неподвижной
точки у нашего оператора нет. В то же время, если x<iy, то
U(y) — U(x) = y — x — (arctg у - arctg x),
и по формуле Лагранжа
U(y)-U(x) = y-x-^^ (x<z<y).
Если бы оказалось, что | U (у) — И (х) |;э= |у — х\ то это
означало бы, что
1 --
1, а это неравенство не выполнено ни
1+22
при каком г. Поэтому всегда
\U{y)-U{x)\<\y-x\.
Замечание 3. Ничего не меняя в рассуждениих), теорему
Банаха можно доказать в более общей форме. Именно, достаточно
предполагать сближающий оператор U с самого начала заданным
лишь на некотором замкнутом множестве F полного метрического
пространства Е и таким, что все его значения попадают в F.
Надо только начальную точку процесса последовательных
приближений хп также выбрать из F. Само собою разумеется, что и
неподвижная точка х* будет принадлежать F.
Приведем некоторые примеры применения теоремы Банаха.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
У' = !(х, У), E)
правая часть которого есть функция, заданная и непрерывная
на всей плоскости и удовлетворяющая относительно аргумента у
условию Липшица
\f(x, У)-fix, Уд\^К\у-Уг\. F)
Теорема. Какую бы точку (х0, у„) ни взять, через нее
проходит одна и только одна интегральная кривая у = ц>(х)
уравнения E), причем функция ц(х) удовлетворяет уравнению E) при
всех вещественных х.
В самом деле, уравнение E) вместе с начальным условием
у{хй) = уа вполне равносильно интегральному уравнению
ф(*)=0о + $П'. Ф(О1<«- G)
АО
Возьмем какое-нибудь б>0, подчинив это число
единственному условию /Сб< К и пусть С есть пространство непрерывных
функций, заданных и непрерывных на [хо — Ь, ха-{-Ь]. Определим
в С оператор U, положив для всякой ср (*) е,С
х
U (ф) = i|j (х), где q(x)=yo + lf [t, cp (t)] dt.
х»
1) Вместо того чтобы снова проводить рассуждение, можно просто сослаться
на то, что замкнутое множество, лежащее в полном метрическом
пространстве, само является полным метрическим пространством.
465
Это сближающий оператор. Действительно, если г^ (х) = 11 (ф^, то
l|i|>i-i|>ll= max
|*-*o|s?6
\ {f[t,4i(t)\-flt,4>(t)]\dt
*0
Но
I f It, Фх (Щ-f [t, ф (/)]! < К! Ф1 @ - ф (/) | < КIIФ1 - ф [|.
Поэтому
l^i — tll^ max
I*-Jil<8 Хо
\Kbi-4\dt
= /С« ¦ II ч>1 -
По принципу Банаха имеется единственная неподвижная точка
оператора U. Пусть это будет ф(х). Тогда у = ц>(х) есть
интегральная кривая, проходящая через (х0, у0). При этом функция ф(лг)
пока определена только на сегменте [х0 — б, *„-|-8]. Но, положив
*i = *o + 6, #i = 4>(*i) и приняв за исходную точку (х1( уг), мы
проведем и через нее интегральную кривую y = q>i(x), причем
функция ф! (х) будет определена на сегменте [х1 — б, хх + б]
(важно, что б то же, что и выше!). Сегменты [х0 — б, *0 + $] и
[*! — б, хг + б] пересекаются по сегменту [х0, xL]. На этом
последнем сегменте обе функции ф (л:) и ф! (л:) удовлетворяют
дифференциальному уравнению E) и условию у(х1) = у1. Значит, по
уже доказанному они должны совпадать. Таким образом, введя
функцию ф! (л:), мы распространяем определение ф (х) с сегмента
[л'„ —б, Л"о + б] на более длинный сегмент [*fl — б, *0 + 2б].
Продолжая этот процесс, мы убедимся в возможности
распространить определение у(х) на весь интервал ( — оо, -f со).
Заметим, что принцип Банаха дает возможность фактического
построения функции ф(х) на сегменте [хи — б, хо + б]. Именно,
взяв произвольную функцию <ро(*), заданную и непрерывную на
этом сегменте, и положив
q>«n(*)=jfo+5m<p»@]<«.
"а
мы будем иметь оценку
аКпЬп
тах|ф„(х) — ф(*)|<у!Г7(б (^о-б^лг<хо4-б).
Эта оценка показывает, что скорость сходимости процесса
последовательных приближений будет тем выше, чем меньше б
мы возьмем.
Нам удалось доказать существование функции ф(*),
удовлетворяющей уравнению E) и определенной на всей оси. Столь
значительный результат получился потому, что на правую часть
уравнения E) были наложены очень тяжелые условия. Они не
выполнены даже для такого простого уравнения, как, например,
у' = 2ху, хотя оно имеет всюду заданные решения у — Сех\
Естественно попытаться ослабить эти условия.
466
Пусть правая часть уравнения E) задана и непрерывна только
в прямоугольнике R(xo — A^x^xa + A, у0 — В ^ys^yo + B) и
удовлетворяет условию Липшица F). Выберем б>0, подчинив
его условию
S<min{,4, *,i},
где М = тах|/(х, у)\. Тогда существует одна и только одна
функция <р(х), определенная на сегменте [хи — 8, хо-\-Ь],
удовлетворяющая уравнению E) и начальному условию ц> (х0) = у0.
В самом деле, пусть С есть пространство всех непрерывных
функций, заданных на [xQ — 6, хо + 8] и F — множество тех из
них, которые удовлетворяют неравенству <р (х) — уо\ s^B.
Множество F замкнуто в пространстве С. Определим на F
оператор U, положив
X
*/(<p)=i|>(*) = ifo+$/[', ф(*)]Л (|JC-Jfo|<6).
Этот оператор не выводит нас из множества F. Действительно,
при хе[х0 — б, хо + 8] будет
I^W-Уо!
j iWrf*
;УИб=?;5.
Кроме того, как и выше, оператор f/ есть сближающий
оператор и можно сослаться на замечание 3 к теореме Банаха.
Заметим, что если не пользоваться принципом Банаха, а
непосредственно применить к уравнению G) метод последовательных
приближений, начав процесс с ц>0(х) = у0, то можно не ставить
условия Кб < 1.
Пример 2. Рассмотрим линейное интегральное
уравнение
ь
Ф (*)=/(*) +Л $/((*, t)tf(t)dt. (8)
а
Здесь {(х) и К(х, t) — заданные функции, определенные и
непрерывные в областях а-^x^b и (a^xs^.b, as^t^b)
соответственно. Эти функции называются свободным членом и ядром
уравнения (8). Множитель К, стоящий перед интегралом, есть
числовой параметр, а ф (х) есть искомая неизвестная функция.
Имея уравнение (8), можно ввести оператор U, переводящий
пространство С функций, непрерывных на [а, Ь], само в себя по
формуле U(q>) = ty(x), где
ь
ty{x)=f{x) + -k\K(x, t)tp(t)dt.
а
467
Вводя обозначение М = max | К (-v, t)\ мы получим при ?/(ср) =
= г|)(л-), У(ф1) = 1|I(^)) что
14>i W - !> (*)! ^ I ь! • м ¦ \ | фх @ - ф @ [ л =s | Ц ¦ м (Ь - а) • [|ф1 - Ф ц.
а
Стало быть, при условии
1М<АГ(Ьо (9)
оператор ?/ есть сближающий оператор. Таким образом, доказана
Теорема. При условии (9) уравнение (8) имеет одно и только
одно непрерывное решение ц>(х). Это решение можно получить
по методу последовательных приближений, взяв произвольную
функцию ф0 (х) е С и положив
ь
9»+i(*)=f<*)+MK(*, о ф« (*)<"¦
а
Отметим еще, что max J ф„ (л:) — ф (х) \ ^ С | Я, |пуИл (i? — а)п, где
С —постоянная, зависящая от начальной функции фо(*).
Пример 3. Рассмотрим, в заключение, вопрос о решении
бесконечной системы линейных уравнений. Так называется счетная
система равенств
а2,1*1 + а2,2*2 + Я2.Э*3 + ---=&2 ! ,Щ
«3.1*1 + «3,2*2 + 03,3*3 + • • • = Ь3 \
в которой коэффициенты ati k и свободные члены bt заданы, а числа
xh являются искомыми неизвестными. Решением системы A0)
называется такая последовательность значений неизвестных, которая
при подстановке в левые части уравнений превращает их в
сходящиеся ряды с суммами, равными правым частям.
Если перенести левую часть каждого уравнения направо,
к обеим частям г-го уравнения прибавить по x-t и положить
— «,-,* = citk (k Ф i), I - aiti = сц,
то система A0) окажется записанной в форме
со
*/= Е */.*** + *' («=1,2,3,...). A1)
4=1
В этой форме мы и будем рассматривать систему. Если
со
Ц кл*|<<7<1, \М\^В (i=l, 2, 3, ...),
k= I
где постоянные q и В не зависят от выбора г, то система A1)
называется вполне регулярной. Ее решение {хп \ называется
ограниченным, если при всех k будет \xk\^M.
468
Теорема. Вполне регулярная система имеет одно и только
одно ограниченное решение. Это решение может быть найдено
методом последовательных приближений, причем за исходные
значения неизвестных можно принять члены любой ограниченной
числовой последовательности.
Для доказательства рассмотрим пространство т всех
ограниченных числовых последовательностей и определим в этом
пространстве оператор U, положив для последовательности х= {xk\ e m по
определению U(x) = y, где у={у,} есть последовательность чисел
оо
</,=¦ Z <>,,*** + &, (»=1, 2, 3, ...).
Убедимся, прежде всего, в том, что нами действительно
определен некоторый оператор. В самом деле, если \\x\\ = sup {\xk \}, то
Ы<|]К*НИ+|й,|^1И + я. A2)
Это показывает, что наш оператор каждой точке х <= т соотносит
последовательность некоторых чисел (/,. Кроме того, эти числа
ограничены. Значит, оператор переводит пространство т в себя.
При этом полезно заметить, что в силу A2) оказывается
\\U(x)\\^B + q\\x\\. A3)
Покажем далее, что U есть сближающий оператор. Если {xk\ = х,
со
{4} = *', U(x) = {y,}, U(x')={yl}, то y'i-yi= ^citk{x'k~xk),
откуда \y'i-yl\^q\x' —x\ и \\U (x')~ U (x)\\s^q-\\х' -х\\, а это
ведь и значит, что U сближающий оператор. Теперь наша
теорема непосредственно вытекает из принципа Банаха. J)
Замечание 1. Нетрудно дать оценку решения системы. Для
этого примем за исходную точку в процессе последовательных
приближений точку х@) = в = @, 0, 0, ...) и положим *("+')=¦
= ?/(*<">). Согласно A3) будет fx'1 >!====?, Ц^Ц^В + цВ,
II *C> || =?= В + qB + q*B и вообще || х<"+»> || < Б + В? + В?2 + • ¦ • + ?<Л
что легко подтвердить индукцией. Но тогда || х \ <, . _ . Кроме
того, как всегда |xin~> — х\\^ . _ х——-q". Значит, при ука-
занном выборе начальной точки будет || x(n) — х || gg д _ ¦ qn.
Замечание 2. В теореме уже было указано, что вполне
регулярная система имеет единственное ограниченное решение. Но она
может иметь, кроме того, и неограниченные решения. Например,
1 1 1
вполне регулярная система хх=~„х2, х2 = 2 х3, x3 — -^xit ...
*) И полноты пространства т.
469
имеет бесчисленное множество решений (с, 2с, Ас, 8с, . ), где
с — произвольная постоянная (причем это есть общий вид
решения указанной системы). Все эти решения, кроме решения
(О, 0, 0, ...), не ограничены.
Замечание 3. Иногда приходится рассматривать вопрос о
нахождении такого решения (хъ х2, х3, .. ) бесконечной системы,
которое входит в /p(ps=l). Остановимся на этом вопросе для
р = 2. Пусть система A1) удовлетворяет условиям
2 2сЬ = <?2<1. |]6?< + оо. A4)
СО
Если х = {хк\ есть точка /2, то ряд ^ с*. *** будет сходиться
и, в силу неравенства Буняковского, окажется, что сумма его
г» удовлетворяет неравенству г;==Ц ? elk )||*||2-
Но тогда последовательность (zlt г2) г3, ...), а с ней и после-
00
довательность (уи уг, у.л, ...), где у1 = J] cl,kxk + bl = zt + b,,
k = \
входит в /2. Значит, оператор U, переводящий {хк\ в {у,},
определен на /3 и не выводит из /2- Кроме того, если х = {хк\ и
x' = {x'k\ две точки /3; а у = {у,} = U{x), у' = {у[} = (У (*'), то
СО
#.'-& = ,2 с'.*D-лг*),
откуда
* = 1
о/;-^)з< 2 <* .|x'-jfp и n^-i/ii<?iix'-xi.
Значит, I/ — сближающий оператор. Отсюда вытекает, что при
условиях A4) система A1) имеет единственное решение в /2.
Аналогично, при любом р> 1 условия
00 I ОО Р \ р — 1 00
2 2К*к~ <i, 21Мр<+°°
обеспечивают существование и единственность решения системы A1)
в lq. Для р = 1 условия существования и единственности таковы:
оо оо
2«.<i, 21&«1<+°°-
1=1 1=1
Здесь положено для краткости а, == sup {| cti k \} (k = 1, 2, 3, ...).
Доказательство предоставляем читателю.
ДОБАВЛЕНИЯ
I. Длина дуги кривой
Чтобы выяснить геометрический смысл понятия функции с
конечным изменением, рассмотрим вопрос о спрямлении дуги кривой
линии. Для простоты ограничимся линией вида
y = f(x) (a^x^b), A)
где f(x) непрерывна на [а, Ь]. Как известно, длиной кривой A)
называется предел s длины вписанной ломаной, когда длина
наибольшего из ее звеньев стремится к нулю. Если абсциссы вершин
ломаной суть а = Xq-^Xx. . .<.хп = Ь, то
s= lim 2 V(xk+i - xkf + [f (хк+0 - f(xk)]\ B)
где X = max(xk^l — xkI). Если s< + oo, то кривая называется
спрямляемой.
Лемма. Пусть дроблению а = х0 < xt <... < хп = b отвечает
сумма
о = "Ё У7?+1 - xkf + [f (х^) - f (xk)f. C)
Если добавить новую точку деления х е (х„ х1+1) и обозначить
через а вновь полученную сумму, то окажется
о < о «г а + 2 [xl+l -xt + aj,
где (Oj есть колебание f (х) на [xt, дгн1].
Доказательство. Неравенство а^а очевидно. С другой
стороны, разность а —а не превосходит суммы двух новых
слагаемых, каждое из которых не больше2) (х,+1 — *,) + сог.
!) Строго говоря, надо было бы характеризовать малость звеньев не
величиной X, а величиной
ц = тах V(*k+i-*kJ +1 f(xk +1)-/ (xk)\\
но легко показать, что соотношения Я.^-0 и ц-*-0 равносильны.
2) Поскольку ]/а2+й3 г? | а | +1 ft |.
471
Теорема 1. У всякой кривой A) есть конечная или
бесконечная длина s. Она равна точной верхней границе множества сумм
C), отвечающих всевозможным дроб гениям [а, Ь].
Доказательство. Пусть L есть упомянутая точная верхняя
граница. Обозначим через Ln какое-либо число, меньшее L, и пусть
LU<^M<L. По определению точной верхней границы найдется
такое дробление
х%-=а<х'[<...<х*т = Ь, D)
что соответствующая ему сумма а* удовлетворяет соотношению
о*>М.
Ввиду непрерывности f(x) найдется такое •п>0, что при
|*"-*'|<т1 будет |/(*")-/(*') К^4^-
Обозначим через d наименьшее из расстояний между точками
D) и пусть
Рассмотрим какое-нибудь дробление
х0 = а < хг <... < хп = Ь, E)
подчиненное условию к = тах(дгА+1 — xk) <б, и обозначим через
а соответствующую ему сумму C).
Чтобы оценить от, введем еще один способ — «составной» —
дробления [а, Ь], наложив дробления D) и E), и пусть
соответствующая этому «составному» дроблению сумма C) есть а. Так
как составное дробление получено из D) добавлением новых
точек, то по лемме
а=га*>УИ. F)
С другой стороны, составное дробление получено путем (т— 1)-
кратного добавления по одной точке деления к точкам E). Все
точки х\ попадают в разные отрезки [х„ х,+1] и появление
каждой из них увеличивает сумму C) не больше чем на —=-Л
Отсюда вытекает, что
Отсюда и из F) следует, что
o>L0.
Итак, любому L0<;L отвечает такое б, что из Я<б следует
cr>L0. Так как всегда a^L, то доказано, что L и является
пределом B).
Теорема 2 (К. Щордан). Чтобы кривая A) была спрямляема,
необходимо и достаточно, чтобы f (x) имела конечное изменение.
472
Доказательство. Так как при любом дроблении сумма
V=Z I/(**+i)-/(*a)I
не превосходит суммы C), отвечающей тому же дроблению, то
необходимость условия очевидна.
С другой стороны,
О= 2 1Л**+1-**)* + [/(**+!)-/(**)Р<
откуда
ь
о<й-а + У(/),
и условие теоремы оказывается достаточным.
Теорема 3. Если функция f(x) абсолютно непрерывна на [а,Ь],
то длину s можно вычислять по формуле
s=\V l+f'\x)dx. G)
а
Доказательство. Так как V\ +/'2 (*)«?, 1 + \f (x) \, то
интеграл G) конечен. Покажем сначала, что
/F - аГ + U (b) - f (a)f ^\Vl+f'2(x) dx. (8)
a
Для этого заметим, что левая часть (8) есть
Положим
ь
b — a=/-cos8, J/' (x)dx=r sin 8.
Тогда
у (й-а)а+[у (дс)Лс| = г = $ [cos 8 +/' (х) sin 8]^.
Остается заметить, что1)
|cos8+/' (x)&inQ\^yrl+f'2(x).
!) В силу неравенства Буняковского.
473
Если разбить [а, 6] на части точками xk и к каждому отрезку
[*k, Xk+i] применить (8), то мы без труда приходим к оценке
ь
s^W\+f'\x)dx. (9)
а
Теперь докажем неравенство противоположного смысла. Для
этого разложим [а, Ь] на п равных частей точками х%1)=а-{-
k
-f-(& —а) (&=0, 1, ... , п) и введем функцию fn(x), полагая
f (у) — v + |; v ' если x("> <r x<r л:(п)
xk+ \—xk
В самих же точках х?> полагаем /„(*<,«>) = 0. Почти везде будет J)
lim/„(*)=/'(')•
n -» со
Значит, по теореме Фату
ь
\Vl+f'\x)dx^sup\\Sl+fUx)dx\.
а [а )
Но
Ь п~\
i/7~<"
откуда 2) в связи с (9) и следует G).
Замечание. Можно доказать, что наличие равенства G) (при
условии s< + oo) и достаточно, чтобы /(х) была абсолютно
непрерывна.
II. Пример Штейнгауза
В § 4 гл. X мы видели, что у тригонометрического ряда,
сходящегося на множестве положительной меры, коэффициенты
стремятся к нулю. Интересно, что это предложение необратимо.
х) См. примечание к доказательству теоремы 7, § 4, гл. IX.
2) Мы видим, что неравенство
jj/l+f2 (x)dx^s
верно и без предположения абсолютной непрерывности / (х). Достаточно, чтобы
это была функция с конечным изменением.
474
Например 1), ряд
со
2 cosk(х — In Ink) ,,,
k = 3
коэффициенты которого стремятся к нулю, расходится всюду.
Для доказательства этого утверждения введем обозначения2)
uk = [\nk], vk = \n\nk, Дп = [у„, vn+l),
n + un n + un
°»w- Z —о—• °п~ Z
i
lnfe"
В сумме Gn наименьшим слагаемым является последнее
и потому
G ~> и"
Un^ \п(п + ипу
Но правая часть этого неравенства с ростом п стремится к 1 и,
стало быть, для п>п0 будет
G«>0,9. B)
С другой стороны,
Gn-Gn(x)<^-n ^ [1-cos *(*-«*)]
k=n+ 1
и так как 1 -cosa = 2sin2 %^% , то
2 ~~ 2
л
0а-0а(х)<^ ^ &(x-vkf. C)
*= п+ 1
Заметим, что по формуле Лагранжа для In In x будет
_ = ffn ^ ЧЛ I
Vn^un "n (п-|-б«я) !n(n+6un)"^-nlnn^ пш
Если хеД„, то3) уя<л:<уп+„п. Стало быть, при п<А<
: п + ип будет | х — vk \ < ия+„я - ип < - и
2 ^(^-^<(^±^.
k=n + \
1) Этот пример принадлежит польскому математику Г. Штейнгаузу.
А. Н. Колмогоров построил всюду расходящийся ряд Фурье суммируемой
функции.
2) \х] есть целая часть х
3) Здесь учтено, что ге^З, откуда ип^\.
475
Отсюда и из C) вытекает, что при хеД, будет
G -G (х) <-(п + "пJ""
Правая часть этого неравенства с ростом п стремится к 0,5. Значит,
для п>п1 она становится меньшей 0,6, откуда в связи с B) мы
видим, что для п> max (и0, nj и для всех х из Д„ будет Gn (x)>0,3.
Теперь уже легко закончить доказательство. Именно,
закрепив произвольное хй, положим Xi = xa-\-2ni (i = 1, 2, 3,...).
Каждая из точек xL (по крайней мере, начиная с некоторой)
попадет в какой-то промежуток ДП/, причем числа щ будут
неограниченно расти вместе с i. В силу 2л-периодичности сумм Gn (х)
будет Gn.(x0) = Gn. (xi)>0,3.
Этим и доказана расходимость ряда A) в точке ха, так как
Gn(x) есть разность частных сумм Sn+un и Sn этого ряда.
III. Некоторые дополнительные сведения
о выпуклых функциях
Здесь мы хотим дополнить § 5 гл. X.
Лемма. Если f (х) выпуклая вниз на (а, Ь) функция и с е (й, Ь),
то при хфс отношение
есть возрастающая функция х.
Доказательство. Пусть c<x<t/<&. Тогда1)
/ М = / — с Л У sg -— / (с) -\ / (у).
Отсюда
f(*)-f(c) ^f(y)-f(c) „v
x — с ~~- у —с ' *¦ '
Аналогично доказывается B) в случаях а<х<су<;с и
a<x<c<#<6.
Теорема 1. В условиях леммы функция f (x) удовлетворяет
условию Липшица на каждом отрезке [р, д] сг (й, Ь).
Доказательство. Пусть х и у две точки из [р, ^] и пусть
m = ~-. По лемме
/(»)-/(*) <; /W-/(x) ^ | f (т) | + ' / (*) I п)
у—х ~~~~ т — х ~~~ т — ц ' * '
Так как наша функция ограничена на [р, q], то правая часть C)
ограничена сверху, что приводит к неравенству
у-х —- х>
!) На основании неравенства A6) из § 5 гл. X. Так как на (а, Ь) функция
/(*) непрерывна, то применить A6) можно.
47G
Аналогично доказывается, что
f(y)-f(*)^L
Остальное ясно.
Следствие. В условиях леммы будет
f(x) = f(c) + \<p(t)dt, D)
с
где с любая точка из (a, b), a ср (t) измеримая функция,
ограниченная на каждом [р, q] с (a, b).
Теорема 2. Класс функций, выпуклых вниз на интервале (а, Ь),
совпадает с классом неопределенных интегралов от возрастающих
на (а, Ь) и ограниченных на каждом [р, q] cz (a, b) функций.
Доказательство. То, что каждый такой неопределенный
интеграл будет выпуклой вниз функцией, доказано в гл. X. Для
доказательства обратного покажем, что функцию <р (/), входящую
в D), можно считать возрастающей. Пусть лг<г/ две точки из
(а, Ь) и п>0 столь мало, что x-\-h<.y и y-\-h<:b.
По лемме дробь .—— не уменьшится при замене x-\-h
на у, откуда
f(x + h)-f(x) <- fti)-f(x) = fix)-fin)
h ==== y — x x — y
Заменяя х на y-\-h, мы лишь усилим неравенство. Значит,
f(x+h)-f(x) f(y+h)-f(y)
h ~~~ h
Предполагая, что в точках х и у существуют производные /' (х)
и ['(у), находим f'(x)^f'(y).
Обозначив через Е множество точек существования /' (х) и
положив для всех / е (а, Ь)
<р @ = sup {/'(*)} (x^t, xe=E),
завершаем доказательство.
Пусть выпуклая функция М (х), заданная на [0, + со), пред-
х
ставима в виде M[x) = \m{t)dt, где т (t) с т р о г о возрастает
о
и непрерывна, причем т @) = 0, т (+ со) = -f- со. Тогда у
функции z = m(t) есть обратная функция t = n(z), заданная на
промежутке 0^г<;-Ь00. также непрерывная и строго возрастаю-
X
щая, причем п @) = 0, п (+ со) = + со. Положим jV (х) = $ п (г) dz.
о
Как и М (х), эта функция будет возрастающей и выпуклой
вниз на [0, + со).
Теорема 3. При введенных обозначениях для любых a$r0 u 6 Ss 0
справедливо так называемое неравенство Юнга
ab^M.(a) + N(b). E)
477
Доказательство.1) Легко видеть, что интеграл
ь
N{b) = \n B) dz
о
можно представить2) в форме интеграла Стилтьеса
N(b)= $ tdm(t).
о
Интегрируя по частям и учитывая, что т[пф)] = Ь, находим
N ф) = Ьп ф) -М[п ф)].
Отсюда
ab = Ьп ф) - [п (Ь) -а]Ь = М[п ф)] + N ф) - [п (Ь) - а] Ь,
или
(п(Ь) 1
5 m(t)dt~[n(b) — аЩ.
Остается показать, что
п(Ь\
\ m(i)dt^[n(b)-a]b. F)
а
Предположим, что а-^пф) [случай а>пф) аналогичен]. Так
как т(t) возрастает, то для t^n(b) будет m(t)^m[п ф)] — Ь,
откуда и следует F).
Определение. Функции М (х) и N (х), заданные на [0,+ °о),
называются взаимно дополнительными в смысле Юнга, если при
любых а5=0 и Ь^О справедливо E).
Теорема 4 C. Бирнбаум — В. Орлич). Если М (х)
непрерывна на [0, + со), М@) = 0, М(х)^-0 при х>0 и
lim ~~= +со, G)
то существует неотрицательная функция N (х), дополнительная
к М(х) в смысле Юнга, непрерывная на [0,-foo), возрастающая
и выпуклая вниз.
Доказательство. Сопоставим каждому х^О функцию
<рх (У) =--ху — М (у).
1) Геометрически E) почти очевидно
2) Если m(t) непрерывна и строго возрастает на [р, q], а/(г) непрерывна
ha [m(p), tn(q)], то
(S)\f[m @] dm (')=-(/?) \ f(z)dz.
р т (р)
Это непосредственно следует из рассмотрения соответствующих интегральных
сумм.
478
Очевидно, фдг@) = 0. В силу G) при достаточно больших у
будет фЛ(г/)<0 Пусть это так для у~^уй. На отрезке [0, уй]
непрерывная функция <рх(у) имеет наибольшее значение, которое,
очевидно, будет наибольшим и на всей полуоси [0, +оо).
Обозначим это значение через N (х):
N (х) = max [ху - М (у)]. (8)
Ч > о
Легко видеть, что N @) = 0. Покажем, что N (х) удовлетворяет
всем требованиям теоремы.
Так как N (х) 5г ф* @) = 0, то Л' (дг) неотрицательна. Если д-
закреплен, то при любом у будет xy — M(y)^N(x), откуда и
видно, что N (х) дополнительна к М (х) в смысле Юнга. Далее,
для любых хг^0 и х2^0 будет
м(Ц^) = тгх[Ц^у-М(у)].
Но
*i+*2 „ _ м /,л _ х%У — М(у) х2у — М(у) N (xj + N (х2)
2 У 'п \У/ 2 2 2
Этим доказана выпуклость N (х), а значит и непрерывность этой
функции всюду, кроме л: = 0. Докажем, что и при х = 0 функция
iV (л:) непрерывна.
В силу G) множество (очевидно замкнутое и непустое)
значений у, для которых М(у)^у, ограничено сверху. Пусть р его
самая правая точка. Если 0<л:=^1, то для всех у>р будет
Ч>х(У) = ху-М(у)<ху-у^0.
Стало быть, наибольшее значение фх (у) принимается в такой
точке у0, что уо^р. Таким образом,
N (х) = хуо-М (у0) < ху0 < рх.
Отсюда и вытекает непрерывность N (х) при х = 0.
Остается обнаружить, что N (х) возрастает. Возьмем точки
0<х1<л-2. Тогда
I х2 х2 j хг х2
и так как N @) = 0, то Л^ (х^ «S Л' (х2).
Теорема доказана полностью.
Замечания. 1) Построенная при помощи формулы (8) функция
Л' (дг) такова, что
lim ^ = +co.
х^ + са х
В самом деле, взяв любые п и е, найдем такое х0, что из
х > х0 следует М (п -\- е) <; ex. Для этих х из E) имеем
(п + е) х =?= М (п + г) + N (х) < ел: + N (х),
откуда N (х) > пх.
479
2) Теорема 4 обобщает теорему 3, ибо в условиях последней
выполняется и G). Действительно, взяв любое А > 0, можно
найти такое а, что при /5= а будет тAM?А. Если х>а, то
М (х) М (а) + А (х-а)
—Г> х • W
С ростом х правая часть (9) стремится к А. Значит
,. М (х) _ ,
*->-f-oo
чем и доказано G).
3) В теореме 4 не предполагается, что М (х) выпукла и не
требуется1), чтобы было
Шп^ = 0. A0)
Напротив, в условиях теоремы 3 будет М (х)^хт(х), и A0)
выполняется. Если условие М(х)^0 теоремы 4 усилить,
потребовав, чтобы при лг>0 было М(х)>0, то можно было бы
доказать, что функция Л' (х), определенная формулой (8),
удовлетворяет условию2)
Hm^ = 0. A1)
Таким образом, N (х) «лучше», чем М (х).
4) Если М (х) удовлетворяет условиям теоремы 3, то формула
(8) доставляет ту же N (х), что и теорема 3. Действительно,
в этом случае
*ML> = x-m@).
ay ^'
Корень этого уравнения есть у — п{х). Стало быть,
N (х) = хп (х) — J m (t) dt.
о
Полагая в интеграле m(t) = z и интегрируя вновь
полученный интеграл по частям, получаем требуемое.
5) Применяя теорему 3 к т (/) = tp~l (p> 1), получаем
неравенство Гёльдера
и ар , № /1,1 ,
^~ р ^ д \р ^ q
1) Например, теорема 4 применима к функции
М(х)={ К* приО^дг^!,
I х2 при ! 'С х < + со.
2) Без указанного усиления (И) может не иметь места.